Modelarea deciziei financiare şi monetare

Teoria producătorului

Alexandru Leonte

Departamentul de Monedă şi Bănci

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE FINANȚE, ASIGURĂRI, BĂNCI ŞI BURSE DE VALORI

Structura capitolului

1. Teoria funcţiilor de producţie

2. Fundamentarea deciziei de producţie

2.1 Decizia de producţie pe piaţa cu concurenţă perfectă

2.2 Decizia de producţie pe piaţa cu concurenţă monopolistă

1. Teoria funcţiilor de producţie

De citit Varian, cap. 1, 2, 3, 4, 5; Mankiw, cap. 13, 14

Privim procesul de producţie ca un black box

...

1x

2x

nx

nxxxFY ,...,, 21Procesul de producţie

nxxx ,...,, 21factori de producţie (input-uri), care formează un vector

Y producţie (output)

F funcţie de producţie

În cele ce urmează, vom considera că factorii de producţie sunt munca (L) şi capitalul (K)

Exemplu: Funcţia de producţie de tip Cobb-Douglas (CD) În cele mai multe cazuri, vom considera , punând de obicei A reprezintă acele elemente care contribuie la realizarea producţiei şi nu sunt cuprinse în cadrul celor doi factori de producţie. Uneori, A este utilizat ca aproximare (proxy) pentru nivelul tehnologic O creştere a factorului A conduce la obţinerea unei producţii mai mari, pentru acelaşi nivel al celorlalţi factori de producţie (L,K), prin urmare A poate fi interpretat ca o productivitate totală a factorilor de producţie (total factor productivity) .

KLAKLFY ),(

1 1

Indicatori asociaţi funcţiei de producţie

Sunt asemănători celor asociaţi funcţiilor de utilitate

Productivitatea medie a unui factor de producţie – arată cantitatea de output corespunzătoare utilizării unei unităţi din factor

Pentru o funcţie de tip CD,

Productivitatea marginală a unui factor de producţie – se defineşte ca variaţia output-ului raportată la variaţia cantităţii utilizate din factor, ambele fiind exprimate în termeni absoluţi

x

YW xmed ,

1

1

111

, kAL

KAKLA

L

KLA

L

YW Lmed

12

12,

xx

YY

x

YW xmg

L

Kk înzestrarea cu capital a forţei de muncă

Putem calcula productivitatea marginală în vecinătatea unui punct, referindu-ne la variaţii infinitezimale corespunzătoare producţiei şi respectiv factorului.

În această situaţie, indicatorul poate fi interpretat ca reprezentând derivata funcţiei de producţie în raport cu factorul, calculată în punctul respectiv

Pentru o funcţie de tip CD, productivitatea marginală a muncii va fi Elasticitatea output-ului în raport cu un factor de producţie – se defineşte ca variaţia output-ului raportată la variaţia cantităţii utilizate din factor, ambele fiind exprimate în termeni relativi

nnxmg xxdx

dYxxW ,...,,..., 11,

L

Y

L

KAKLAKLA

dL

d

dL

dYW Lmg

1

111

,

112

112/

%

%

xxx

YYY

x

YE xY

Elasticitatea output-ului în raport cu un factor calculată în jurul unui punct

Pentru o funcţie CD, elasticitatea producţiei în raport cu munca este Putem reprezenta producţia în termeni relativi, ca fiind modificare procentuală faţă de un anumit nivel de referinţă. În acest caz, funcţia CD va căpăta o formă liniară

Y

x

dx

dY

x

dxY

dY

E xY /

Y

L

L

Y

Y

L

dL

dYE LY /

1KLAY

1**** KLAY nivelul de referinţă al producţiei (producţie ˶de echilibru˝)

Notăm Logaritmând cele două relaţii şi scăzând membru cu membru, obţinem Rata tehnică de substituţie între doi factori de producţie – arată creşterea cantităţii dintr-un factor cu care trebuie suplinită scăderea cantităţii dintr-un alt factor, astfel încât output-ul să rămână neschimbat.

Calculat în vecinătatea unui punct, acest indicator va fi Utilizând aproximarea liniară a dezvoltării în serie Taylor,

**** lnln,lnln,lnln,lnln KKkLLlAAaYYy

(alt k faţă de slide-ul 5)

klay 1 (funcţia de producţie CD în formă log-linearizată)

.

/

constYi

j

ijxxx

xRTSRTS

ji

.1

2

constY

ijdx

dxRTS

j

i

xmg

xmg

ijW

WRTS

,

,

Pentru funcţia de producţie de tip CD, Elasticitatea de substituţie dintre doi factori de producţie – arată modificarea procentuală a raportului de utilizare dintre doi factori de producţie, raportată la modificarea procentuală a ratei tehnice de substituţie

k

L

K

K

YL

Y

W

W

dL

dKRTS

Kmg

Lmg

constY

KL

111,

,

,

ij

i

j

constY

ij

ij

i

j

i

j

ijxxRTSd

x

xd

RTS

dRTS

x

x

x

xd

ji ln

ln

...

.

/

Pentru funcţia de tip CD, Pentru funcţia de tip CES, avem Randamente la scară Consumăm diferite cantităţi din factorii de producţie şi obţinem un anumit output. Ne punem problema ce se va întâmpla dacă, de exemplu, dublăm cantitatea fiecărui factor. Va creşte şi output-ul în aceeaşi măsură? Sau mai mult? Sau mai puţin? Funcţia de tip CD are randamente constante la scară dacă suma elasticităţilor este 1.

1LK

1

1, KLAKLY

1

1LK

n

n

n

n

xxxFYiii

xxxFYii

xxxFYi

xxxFY

,...,,)

,...,,)

,...,,)

,...,,

21

21

21

21

(randamente descrescătoare la scară) (randamente constante la scară) (randamente crescătoare la scară)

YKLFKLAKLAKLF

,, 11

Obiectivul producătorului este maximizarea profitului său

unde este costul unitar al factorului

Punctele de maxim se găsesc printre punctele critice În punctul de optim, productivitatea marginală a factorului de producţie va fi egală cu costul său real Temă: Putem considera uneori că problema producătorului se referă la minimizarea funcţiei de costuri, pentru o anumită producţie. Modelaţi această situaţie şi obţineţi relaţiile care stabilesc cererea pentru factor de producţie

Cererea pentru factori de producţie

n

i

iin

nn

xWxxFp

xWxWCT

YpCA

CTCA

1

1

11

,...,

...

P

WWWxx

x

Fpnixx

x

iimgin

i

n

i

,11 0,...,,...,1,0,...,

iW ix

2. Fundamentarea deciziei de producţie

Discutăm în continuare despre obiectivul agentului producător de a-şi maximiza profitului. După cum am văzut,

Vom nota cantitatea realizată (care coincide cu cantitatea vândută pe piaţă, întrucât presupunem că firma nu produce pe stoc) cu Q, iar preţul cu p. Aşadar,

În cele ce urmează, vom avea o discuţie mai extinsă legată de costurile de producţie

CTCA

QpCA

Vom împărţi costurile implicate de producerea bunului respectiv în două categorii:

Costuri fixe (CF): valoarea lor nu depinde de volumul producţiei Costuri variabile ( ): valoarea lor depinde de volumul producţiei.

De asemenea, utilizăm noţiunea de cost marginal, definit ca variaţia costului total raportată la variaţia cantităţii produse

Calculat în vecinătatea unei cantităţi produse, costul marginal are semnificaţia derivatei costului total în raport cu cantitatea, care este egală cu derivata costului variabil

QQCV

QCFQCT

QQ

CF

Q

CTCmg

Costurile de producţie

QdQ

d

dQ

dCTQCmg '

0'

00,0

0

Q

Q

CF

Odată reamintite aceste funcţii de cost, este folositor să punem în evidenţă o serie de proprietăţi ale lor

În plus, de cele mai multe ori, vom presupune că funcţia de cost variabil este convexă, ceea ce echivalează cu a spune că funcţia de cost marginal este crescătoare. Practic, fiecare cantitate produsă în plus va implica un cost suplimentar mai mare, comparativ cu cel generat de cantitatea precedentă Exemplu:

0'0'' QCQ mg

0.

2

2

2

QPt

CFQQCT

QQ

QQCmg

Definim de asemenea şi costul total mediu, ca fiind raportul dintre funcţia de cost şi cantitatea produsă

QCVMQCFM

Q

Q

Q

CF

Q

QCF

Q

QCTCTM

Costul total mediu va avea,de obicei, forma literii U. Pentru valori mici ale Q , este predominantă valoarea ridicată a costului fix mediu. Pe măsură ce Q creşte, CFM va scădea (linia roşie de pe grafic), dar de la un punct mai departe, influenţa CVM devine mai puternică şi CTM reîncepe să crească. În exemplul anterior, dacă presupunem că CF = 3:

QCFM

QCVMQ

QQ

QQCTM

332

Costul marginal şi costul total mediu se vor intersecta în punctul de minim al celui din urmă

Primelor unităţi produse le corespunde CTM ridicat (datorită CFM) şi Cmg mic. Înglobarea acestor unităţi în calculul CTM coboară acest indicator, până la unitatea pentru care Cmg este egal cu media. În continuare, noile unităţi au cost peste CTM de la momentul respectiv, ceea ce va determina creşterea acestei medii.

Q 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4

CFM 6.000 4.000 3.000 2.400 2.000 1.714 1.500 1.333 1.200 1.091 1.000 0.923 0.857 0.800 0.750

CVM 0.500 0.750 1.000 1.250 1.500 1.750 2.000 2.250 2.500 2.750 3.000 3.250 3.500 3.750 4.000

CTM 6.500 4.750 4.000 3.650 3.500 3.464 3.500 3.583 3.700 3.841 4.000 4.173 4.357 4.550 4.750

Δ CTM - -1.750 -0.750 -0.350 -0.150 -0.036 0.036 0.083 0.117 0.141 0.159 0.173 0.184 0.193 0.200

CTM creşteCTM scade

4;5,0,332

QQ

QQ

QQCTM

QCFM

QCVM

Vom discuta despre decizia de producţie a agentului în următoarele situaţii: Piaţă cu concurenţă perfectă Piaţă cu concurenţă monopolistă

Realizăm această diferenţiere întrucât, după cum vom vedea, producătorul va acţiona diferit în funcţie dacă deţine sau nu capacitatea să influenţeze preţul pieţei prin cantitatea realizată

Ambele categorii de pieţe presupun existenţa multor consumatori şi a multor producători.

Concurenţa perfectă – sunt produse bunuri foarte similare, şi ţinând cont de dimensiunea mică a producătorilor, cantitatea realizată de fiecare nu poate modifica preţul de pe piaţă

Pe piaţa cu concurenţă monopolistă sunt produse bunuri diferenţiate, fiecare agent are nişa proprie. Astfel, cantitatea realizată influenţează preţul pieţei (via cererea de pe piaţă)

preţul pieţei este exogen preţul pieţei este endogen

Decizia de producţie

Decizia de producţie pe piaţa cu concurenţă perfectă

După cum am văzut, în acest caz, p este o constantă. Vom scrie problema de maximizare a profitului:

Presupunem că derivata funcţiei de cost variabil este inversabilă. Astfel: g este funcţia de ofertă a producătorului, pe baza căreia atribuim unui preţ de pe piaţă un anumit nivel al cantităţii realizate.

Funcţia de ofertă este pozitivă (valoarea ei este o cantitate) şi crescătoare (este inversa costului marginal, la rândul său funcţie crescătoare)

QCFQpQ

max

pQCpQQpdQ

dmg

'0'0

pgpCpQ mg

S 11'

0',0 pgpg

Legat de condiţia de ordin II de optimizare a profitului, observăm că funcţia de profit este concavă pe tot domeniul (am presupus costul variabil convex), deci punctul critic este punct de maxim

Să privim din nou condiţia de optim:

Observăm că şi decizia de producţie se face pe baza unui indicator marginal. Pentru fiecare unitate produsă, comparăm beneficiul marginal (preţul încasat) cu costul marginal, producând atâta vreme cât beneficiul se va situa deasupra costului Exemplu: Presupunem că un agent vinde o unitate din produsul său la preţul de 10 u.m., iar costul marginal al fiecărei unităţi este Atunci, el va produce 5 unităţi.

pQCmg

Q 1 2 3 4 5 6

Cmg 2 3.5 4 6 9 11

Folosind în continuare exemplul anterior de funcţie de costuri, ne propunem să determinăm funcţia de ofertă:

pgp

QpQpQC S

mg 2

2

Decizia de producţie este legată de maximizarea profitului, însă agentul doreşte concomitent să obţină într-adevăr profit şi nu pierdere

Pe termen lung, condiţia să existe producţie este:

Pe termen scurt, producătorul poate accepta profit negativ, dacă veniturile depăşesc costul variabil. Se aşteaptă ca în viitor costurile fixe să fie acoperite de profiturile de la momentul respectiv

QCTMpQ

QCTpQCTQpQCTCA

oferta

QCVMpQ

QpQQpQCA

(g este pozitivă şi crescătoare)

Pe piaţa de bunuri şi servicii, oferta provine de la producător, iar cererea de la consumatori. Vom nota funcţia de cerere cu f

În mod evident, f este pozitivă, pentru că valoarea funcţiei este o cantitate, de asemenea, f este descrescătoare (cu cât preţul va fi mai mare, cu atât cantitatea cerută va fi mai mică – bunurile Giffen sunt o excepţie) Punctul de echilibru al pieţei, care arată cantitatea tranzacţionată efectiv şi preţul la care se tranzacţionează, se regăseşte la intersecţia cererii cu oferta Dacă presupunem că funcţia de cerere are forma

pfQD

0',0 pfpf

Funcţia de cerere. Echilibrul pieţei

20,0,2

10 pp

pf

5

10

210

2 *

*

Q

ppppfpg

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

g f

p

Q

A

BC

O

Pe piaţa cu concurenţă perfectă, vor primi produsul toţi acei consumatori care sunt dispuşi să plătească un preţ mai mare sau egal cu preţul pieţei (10).

Vom folosi noţiunea de surplus pentru a cuantifica gradul de bunăstare resimţit de agenţi Surplusul consumatorului = Cât ar fi dispus să plătească – Cât plăteşte efectiv (=10)

Surplusul producătorului = Cât primeşte efectiv (=10) – Cât ar fi dispus minim să primească

Surplusul total al consumatorului = Aria ABC Surplusul total al producătorului = Aria OBC Surplusul total = Aria OAC

Piaţa liberă (adică fără intervenţia statului) cu concurenţă perfectă asigură surplusul total maxim

Intervenţia statului

Se concretizează prin impunerea de impozite (accize) sau prin acordarea de subvenţii

Acciză unitară: pentru fiecare unitate produsă (şi vândută), producătorul va da statului o sumă fixă T

Acciză ad valorem: producătorul dă statului un procent din încasări

Subvenţiile sunt practic opusul accizelor

Dat fiind că preţul pieţei este preţul plătit de consumator, introducerea unor accize sau a unor subvenţii nu afectează funcţia de cerere, doar funcţia de ofertă

QTQCTQpQ

QCTQptQptQCTQpQ 1

După introducerea unei accizei unitare, condiţia de ordin I de maximizare a profitului se scrie:

pgTpgTpQTpQTQp S

1

1''0'

Fără acciză unitară, dacă preţul pieţei este p atunci producătorul va realiza g(p) produse Cu acciză unitară, dacă preţul pieţei este p atunci producătorul va realiza g1(p)=g(p-T)<g(p)

produse (g este crescătoare) Astfel, remarcăm că introducerea unei accize conduce la scăderea ofertei (curba ofertei se deplasează către stânga).

Măsură Noua funcţie de ofertă

Acciză unitară

Acciză ad valorem

Subvenţie unitară

Subvenţie ad valorem

TpgpgT

ptgpgt 1

psgpgs 1

SpgpgS

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

g g1

Q

p

Introducerea unei accize are drept efect scăderea ofertei, curba de ofertă deplasându-se către stânga. Cererea rămânând neschimbată, rezultă că preţul de echilibru va creşte, iar cantitatea de echilibru va scădea Similar, introducerea unei subvenţii are drept efect creşterea ofertei, curba de ofertă deplasându-se către dreapta. Cererea rămânând neschimbată, rezultă că preţul de echilibru va scădea, iar cantitatea de echilibru va creşte

În cazul accizei unitare şi respectiv a subvenţiei unitare, noua curbă a ofertei rămâne paralelă cu vechea curbă a ofertei, iar ˶distanţa˝ dintre cele două curbe, măsurată pe verticală, va fi tocmai mărimea accizei / subvenţiei unitare.

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

g g1 (T=4) g2 (S=6)

Q

p T S

Exemplu: impactul introducerii unei accize unitare T=4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

g f g1 (T=4)

p**

p*

Q*Q**

A

O

CB

DE

p** - TF G

După introducerea accizei, oferta devine g1 iar punctul de echilibru se mută din C în D Consumatorul pierde o parte din surplusul său, şi ţinând cont că preţul încasat de producător este p** - T, observăm că şi surplusul acestuia scade Pierdere consumator = aria DEBC Pierdere producător = aria FGCB O parte din această pierdere se recuperează prin încasările bugetare, care aduc beneficii societăţii. B = T · Q** = aria DEFG O parte din surplusurile pierdute nu se recuperează Pierderea societăţii = aria CDG

1. Înainte de introducerea accizei, surplusul total = aria OAC, iar după introducerea ei, surplusul total = aria OADG

Introducerea accizei are un efect negativ asupra bunăstării sociale, măsurate cu ajutorul surplusului total

2. Pierderea consumatorului şi respectiv pierderea producătorului cuantifică efectul accizei asupra bunăstării celor doi agenţi

Din perspectiva bunăstării, este irelevant dacă producătorul /consumatorul este cel care virează valoarea accizei către stat, acesta acţionând ca un agent al Fiscului. Cel care va avea pierderea de surplus cea mai mare este cel care suportă într-un grad mai mare acciza

Pierderea de surplus va fi cu atât mai mare cu cât cererea / oferta este mai inelastică Temă: Reprezentaţi grafic situaţia în care se introduce o subvenţie unitară. Va exista o pierdere a societăţii?

Discuţie

1. În cazul manifestării unor externalităţi negative, optimul economic poate fi diferit de optimul social. În această situaţie, impunerea unei accize poate contribui la îmbunătăţirea gradului de bunăstare socială. Exemplu: o întreprindere realizează echipamente pentru care există o cerere robustă, însă în decursul procesului de fabricaţie sunt eliberate în mediul înconjurător substanţe poluante. Prin implementarea unui sistem al permiselor de poluare (echivalent cu impunerea unei taxe pe cantitatea de poluare, care se presupune că variază similar cu cantitatea produsă), oferta şi cantitatea de echilibru scad (implicit poluarea), cu efecte pozitive din punct de vedere social.

Observaţii

2. Statul poate interveni în manieră nedistorsionară (fără a determina modificarea comportamentului producătorilor) impunând accize (sau subvenţii) în sumă fixă Exemplu: atât producătorul care realizează 10000 de unităţi pe an cât şi cel care realizează 100 de unităţi pe an vor plăti Fiscului aceeaşi sumă Oferta nu se va modifica (dacă agentul decide să continue activitatea), însă măsura are un caracter inechitabil.

Decizia de producţie pe piaţa cu concurenţă monopolistă

În această situaţie, p este influenţat de cantitatea produsă (şi invers), legătura dintre cele două fiind dată de funcţia de cerere.

Vom scrie problema de maximizare a profitului:

Q* care este soluţia ecuaţiei de mai sus va fi cantitatea produsă, iar va fi preţul de echilibru Similar, puteam considera profitul ca o funcţie de preţ şi întâi am fi obţinut preţul de echilibru (din cond. de ord. I), iar apoi cantitatea de echilibru, pe baza funcţiei de cerere

DD QfppfQ 1

QQCAQCFQQfQ

1max

QCAQCQQCAdQ

dmgmg

0''0

** 1 Qfp

Comparativ cu piaţa cu concurenţă perfectă, dispare noţiunea de funcţie de ofertă. Totuşi, putem calcula în continuare surplusul producătorului, ţinând cont de faptul că suma minimă pe care acesta este dispus să o încaseze pentru o unitate produsă este tocmai costul marginal al respectivei unităţi (iar funcţia de cost marginal există în continuare)

Exemplu: Vom considera în continuare producătorul care are funcţia de cost total iar cererea pentru produsele sale este singura diferenţă fiind că firma activează pe o piaţă cu concurenţă monopolistă Inversa funcţiei de cerere este: Cifra de afaceri marginală: Echilibrul pieţei:

32 QQCT

2

10p

pf

QfQpQp

Qpf 12202

10

QQQdQ

dQQf

dQ

dQCAmg 420220 21

3,133

40

3

10220)3(,3

3

102420 ** pQQQQCQCA mgmg

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

CAmg Cmg f

O

C

A

B

M N

R

T

Comparaţie: echilibrul pieţei în situaţia de concurenţă monopolistă vs. perfectă În cazul concurenţei monopoliste: 1. Preţul de echilibru este mai mare iar cantitatea de echilibru este mai mică

2. Surplusul consumatorului este mai mic (aria AMN, faţă de aria ABC)

3. Surplusul producătorului este de obicei mai mare (aria OMNR faţă de aria OBC) Producătorul pierde aria CRT intrucât nu vinde unităţi pentru care ar încasa mai mult decât costul marginal, în schimb câştigă aria MNTB pentru că vinde la un preţ mai mare

4. Surplusul total este mai mic (aria OANR faţă de aria OAC)

Prin urmare, situaţia concurenţei monopoliste este în interesul producătorilor şi nu este în interesul consumatorilor

Surplusul total este mai redus în cazul concurenţei monopoliste, cu excepţia cazului în care producătorii pot practica discriminarea perfectă prin preţ (adică nu va mai exista un preţ unic pe piaţă, ci vânzătorul va cere fiecărui client suma maximă pe care acesta din urmă este dispus să o plătească). Atunci, surplusul total va fi egal cu cel din situaţia concurenţei perfecte (aria OAC), dar va fi repartizat în totalitate producătorului, în timp ce surplusul consumatorului va fi 0