Model Prof Initial Pt Redactare

7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare

1/40

2 STABILITATEA GEOMETRIC GRINZILOR DE BETONPRECOMPRIMAT

2.1 Fundamentarea din er!e"ti#$ i!t%ri"$

Problema instabilitii elastice a capatat incepnd cu secolul XX o

importanta deosebita datorita folosirii otelului si aliajelor de inalta rezistenta in

structurile ingineresti, navigatie si aviatie. Primele probleme de instabilitate

elastica au fost rezolvate de L. Euler, care a studiat flambajul barelor

comprimate acum mai bine de 2 de ani. !eoarece materialele folosite atunci

aveau rezistenta relativ mica "lemnul si piatra#, elementele construite erau

relativ groase, iar astfel problema stabilitatii nu era de prima importanta.

$onstruirea de poduri metalice la sfarsitul sec. X%X a facut ca problema

flambajului sa capete o importanta deosebita.

Lateral stabilit& of t'e beams is a concern since t'e end of t'e X%X

centur&, ('en Prandtl and )ic'ell performed t'eoretical studies upon long

beams (it' a narro( rectangular cross*section +-. %n 'is earl& scientific

activit&, imos'en/o derived t'e fundamental differential e0uations of torsion

for %*beams and studied t'e lateral buc/ling of t'e transversel& loaded %*beam

+2-. 1ince t'an, man& ot'er investigators "e.g., lasov, 3inter, 4ill and

5alambos# studied bot' elastic and inelastic lateral*torsional stabilit& of beams

(it' various s'apes +6-. 'e elastic stabilit& of t'e t'in*(alled beams subjected

to a midspan concentrated load, e0ual end moments and uniform distributed

load, (as solved b& 'imos'en/o and 5ere +7-.

Prin folosirea otelului s*au realizat elemente zvelte comprimate, placi

subtiri si invelitori subiri, care pot ceda nu numai din cauza eforturilor mari

care pot depasi rezistenta materialului, ci si datorita insuficientei stabilitatii

elastice a elemenetelor sale zvelte sau cu pereti subiri. %n acest sens, au inceput

sa fie realizate cercetari intense teoretice si e8perimentale, stabilinduse*se


2/40

limitele in care pot fi aplicate formulele teoretice. !e asemenea s*a stabilit ca

flambajul elementelor comprimate este doar un caz particular al instabilitatii

elastice, viitoare cercetari fiind facute asupra comportarii stalpiilor cu sectiune

plina, compusa sau si cu elemente tubulare, table cu inima plina, placicilindrice subtiri etc, cu ajutorul carora s*au stabilit mai multe tipuri de cedare a

elementelor "imos'en/o 9 5ere, :;6#.

2.2 Tiuri de in!ta&i'itate

%n general, t'e structural stabilit& of a prestressed concrete girder is a

ver& comple8 problem. %t is related to t'e distance bet(een t'e lateral supports

to t'e compression flange, boundar& conditions, t&pe and position of t'e loads,moment gradient along t'e unsupported lengt', t&pe of t'e crosss*section, non*

prismatic nature of t'e member, material properties, magnitude and distribution

of residual stresses, initial imperfections, eccentricit& of loading, prestressing

force, position of stiffening elements + interaction of s'ear*bending*compression, creep and

s'rin/age of concrete, t'ermal effects etc. 3'en dealing (it' concrete, long

term stabilit& becomes a primar& issue to be surpassed in order to meet t'e

goals of a performance based design.

)odalitile de pieredere a stablitii a unui element ?ncovoiat se pot

descrie ?n cel mai adecvat mod prin relaia dintre deplasri @i ?ncrcri. Pentru

domeniul de comportare liniar*elastic se disting urmtoarele tipuriA

pierderea stabilitatii prin bifurcarea echilibrului

* trecerea brusca a barei din pozitie rectilinie in pozitie deformata ca pozitie de

ec'ilibru stabil la limita, dupa care pentru orice crestere a fortei a8iale aplicate,

bara isi pierde stabilitatea

* dupa o anumita valoare a fortei Pcr, e8ista mai multe forme de ec'ilibruA

stabile si instabile

* pentru o bara comprimata fara incarcari transversale Bigura 6.a#, in diagrama

vCf"P# la atingerea sarcinii critice PCPcr,poate sa para o discontinuitate brusca a

pantei curbe


3/40

* curba prezinta doua ramuri, din care una dreapta si alta carecterizata printr*o

crestere brusca a deformatiilor. "Bigura 6.c##

* in Bigura 6.b# este indicata ramificarea care apare in punctul PCPcr.

*momentul ?n care ?ncrcrile e8terioare ating valorile critice, bara iese dinpoziia de ec'ilibru @i tinde s ocupe o nou poziie de ec'ilibru

* e8A flambajul barelor drepte, comprimate centric , flambajul arcelor, flambajul

lateral la incovoiere al grinzilor, flambajul prin rasucire, flambajul placilor

plane etc

Bigura6.c# bare din materiale care asculta de legea lui 4oo/e

Bigura ADifurcarea ec'ilibrului

pierderea stabilitatii prin deformare contiunu, divergenta echilibrului

este caracterizata prin faptul ca diagrama vCf"P# este de la inceput o curba continua

care in apropierea valorii critice a sarcinii, prezinta cresteri mari ale sagetiilor.

* calculul se face luand in considerare imperfectiuniile geometricesistructutrale


4/40

* daca in cazul precedent se adauga si efectele transversale initiale "momente

incovoietoare#, curba vCv"P# nu mai prezinta ramificarea din Bigura 6.b,

corespunzatoare fortei transversale

* pe masura cresterii incarcarii e8terioare, ca urmare a descresterii progresive a

rigiditatii structurii, deformatiile structurii se accentueaza contiunuu

* sarcina limita de ec'ilibru corespunzatoare momentului anularii rigiditatii

structrii, cand deformatiile structurii se pot dezvolta fara o crestere a incarcarii

e8terioare

Bigura 2A Dare din materiale ideal elastice ce asculta de legea lui 4oo/e sicalculate conform teoriei de ordinul %%%

pierderea stabilitatii prin traversare

* este caracteristica membranelor pocnitoare, arce cu sageti foarte mici, arce pleostite

subtiri, invelitori subtiri cu curbura foarte mica si sistemelor care pot fi reduse la

sc'ema din Bigura


5/40

Bigura 6 a#, b#

Bigura < c#

disparitia formelor stabile de echilibru- in cazul din Bigura ;.a# , forta are

tot timpul directie tangentiala la bara si nu e8ista alte forte transversale.

* relatia vCv"P# are forma din Bigura b#, dupa PCPcrnee8istand decat situatia de

instabilitate

Bigura 7

pierderea de stabilitate prin curgere lenta* in cazul barelor solicitate transversal si

cu materiale cu proprietati de curgere lenta, deformatiile transversale cresc in timp,tinzand la un moment dat la infinit.


6/40

* variatia deplasarii in timp e data in Bigura .

* cresterea are loc pentru pentru un timp denumit critic. La doua forte a8iale PFP2,

corespund doua curbe caraceristice pentru care t,crG t2,cr "Bigura f#.

Bigura < a#, b#

1unt considerate imperefectiuni gemoetriceA abateri de la forma teoretica a8ei,

aplicarea sarciniilor cu e8centricitate, abateri geometrice in forma sectiunii

transvesale sau e8istenta unor slabiri locale etc. iar imperfectiuni structuralecele carese refera la material ca de e8emplu neomogenitatea materialului caracterizat aprin

vibratii ale curbei caracteristice, zone plastice ale unei parti din structura, prezenta

eforturilor reziduale etc#. =ceste imperfectiuni sunt cauza dezvoltarii continue a

deformatiilor inca de la inceputul aplicarii sarcinilor. %n acest caz, sarcinile critice se

determina prin considerarea formei deformate a structurii, folosind calculul de ordinul

%% sau %%%.

%n continuare, se va face o caracterizare succinta a tipurilor de flambaj care potaparea la elementele de tip bara.

%n literatura de specialitate, in functie de modul dencrcare, elementul de tip

barse clasific inA "2# , "2#, "#

. Element de tip column sau stalp " figura a #*bara solicitata doar la

compresiune a8ial sau bara verticala solicitata la compresiune

2. Element de tip beam sau grinda " figura b # * bara solicitata lancovoiere

6. Elemente de tip beam-column sau grinda comprimata " figura b #* barasolicitatncovoiere @i compresiunen acelai timp.


7/40

Bigura $lasificarea elementelor de tip bara

2.2 M%duri de ierdere a !ta&i'it$(ii )rin*i'%rre"%mrimate +i ,a"t%rii de in,'uen($

Bactori care influeneaz flambajulA

distana dintre reazemele tlpii comprimate condiiile de contur tipul i forma seciunii tipul, poziia i nivelul ?ncrcriilor "de stabilizare sau destabilizare# propietiile materialului fortele de prcomprimare pozitia si modul de rigidizare si fi8are al talpii sau al inimii imperfeciunile iniiale ale geometriei seciunii i e8centricitatea ?ncrcrii momentul gradient de lungul lugimii nerezemate magnitudinea i distribuia tensiuniilor reziduale

2.- Sta&i'itatea e'a!ti"$ a e'emente'%r n"%#%iate

2.3.1 Flambajul torsional

2.6.2 Blambajul general

2.4.2 Tipurile de flambaj(de pierdere a stabilitatii) caracteristice elementelor de

tip bara


8/40

!in teoria elementara a incovoierii stim ca eforturile si deformatiile grinzilor

sunt proportionale cu sarcinile incarcate iar momentele si fortele taietoare sunt

nesemnificativ influentate. !eformatia finala a grinzii se va obtine prin insumarea

deformatiilor produse de fiecare solicitare in parte. $and grinda este actionata

simultan de sarcini a8iale si transverale, momentele incovoietoare, eforturile si

deformatiile din grinda nu mai sunt proportionale cu marimea sarcinii a8iale. 5rinzile

supuse la solicitari a8iale de compresiune si sarcini transversale se numesc grinzi

comprimate. $el mai detaliat si reperezentativ studiu de flambaj elastic si neelastic ale

elementelor de tip bara este realizat de imos'en/o95ere in "2#, pentru diferite

tipuri de sectiuni, conditii de rezemare si incarcare.

%ncarcarea critica a unei grinzi comprimate se poate determina utilizand doua

cai conform "2#A

* considerand actiunea simultana a solicitarilor de compresiune si incovoiere sau

admintinad ca grinda are o curbura initiala. 1arcina critica se determina considerand

ca forta a8iala produce deformatii mari ale grinzii, c'iar daca sarcinile transversale

sunt relativ mici

* studiind comportarea unei bare ideale, considerata a fi initial perfect dreapta si

comprimata de o forta perfect centrata "Bormula lui Euler, cazul unei bare zvelte

ideale# .

Pentru determinarea incarcarilor critice, se pleaca de la ecuatiile fibrei

deformate a barei, scriindu*se ecuatiile de ec'ilibru pe element si luand in considerare

conditiile de rezemare si de incarcare.

Bara de sectiune zvelta "dec'idereHinaltimeF2#este bara la care in sectiune o

lungime este mult mai mare cealalta. 5rinzile ?n care distana dintre talpa comprimata

si lateral suport este de


9/40

* flambajul prin incovoiere-torsiune(flexural-torsional),la barele drepte de sectiune

dublu simetrica dec'isa

*flambajul barelor curbe"arce si inele#

*flambajul lateral, al grinzilor supuse la incovoiere

- voalarea placilor plane

* voalarea generala sau locala a placilor curbe subtiri

Elementele cu pereti subtiri si elementele zvelte, pot fi supuse la unul dintre

modurile generice de flambaj: local, distorsional sau global, i la interaciunea

acestora . Flambajul local sau voalarea pereilor seciunii transversale reprezint

distorsiunea sau strmbarea seciunii. Termenul de "flambaj global" desemneaz

flambajul prin ?ncovoiere "Euler# precum i flambajul prin ?ncovoiere*rsucire sau

flambajul lateral, prin ?ncovoiere i rsucire, al grinzilor.

)odurile de flambaj pentru un element de tip barasuntA "26#

flambaj flexural al stlpiilor (columns)

flambaj prin rasucire al stlpiilor (columns)

flambaj lateral torsional al grinziilor(beam)

flambaj local- flambajul partii considerata cu pereti subtiri a sectiuniitransversale "flambajul inimii sau al talpii


10/40

Bigura ; )odurile de flambaj general pentru o grind % solicitat

a8ial

oduri de flambaj: )odul care corespunde incarcarii critice se numeste mod critic

de flambaj.+Bigura 2,6,7-

Tabel ! "aracteri#area modurilor de flambaj

Tipul de flambaj "aracteristici

$ocal

Blambajul inimii * comportamentul la flambaj al unei plci zvelte de tip

inim este similar cu flambajul unui element de tip

plac

* in timpul construciei se recomand limitarea

deformrilor din ?ncovoiere i deplasri transversale

ale inimii.

* flambajul local al unui element nu ?nseamn cedarea

total a seciuni

Blambajul talpii

%lobal

Lateral * deplasarea laterala a talpii superioare

Lateral* orsional * deplasare lateral i rsucire dar fr incovoiere


11/40

"incovoiere si torsiune in acelasi timp), talpa

comprimat flambeaz ?n direcie lateral, urmat de

rotirea grinzii

* bara este incovoiata pe directia a8ei strong sinefi8ata la incovoiere pe directia a8ei (ea/, astfel

aceasat se poate rasuci.

*nu e8ist rezerve post*critice ?n cazul acestui tip de

flambaj, deci fenomenul de instabilitate va duce la

colapsul general al grinzii.

* %n general apare dac rigiditatea seciunii

transversale este mic.orsional "flambaj prin

rasucire sau torsiune#

* se produce prin rotirea seciunii transversale ?n jurul

a8ei longitudinale, care ramane dreapta

* elementul va flamba, prin flambajul talpilor

* caracterizeaza stalpii scurti de sectiune desc'isa, la

care centrul de greutate corespunde cu centrul de

taiere si la care rigiditile la ?ncovoiere ?n raport cu

a8ele principale sunt apropiate ca valoare "sectiuni

dublu simetrice %, anti*s&mmetrical I*s'apes,cruciforms etc#

Ble8ural*orsional "flambaj

prin ?ncovoiereJrsucire#

* rsucirea se produce prin rotirea seciunii

transversale ?n

jurul a8ei longitudinale, concomitent cu ?ncovoierea

elementului ?n lungul a8ei, insa fara sc'imbarea

formei sectiunii

* este modul critic de flambaj al stalpilor de sectiune

nesimetrica, la care centrul de greutate si de taiere nu

coincid

* rigiditatea la ?ncovoiere ?n raport cu a8a de simetrie

are valori apropiate de rigiditatea la ?ncovoiere ?n

raport cu a8a perpendicular cu a8a de simetrie.

* apare ?n general la seciunile care nu au dou a8e de

simetrie, de sectiune transversal desc'is mono*

simetric sau cu seciune oarecare "K, $, , L..#, la


12/40

care rigiditatea la torsiune este redusa

*trebuie luat ?n considerare deoarece seciunea

transversal este critic.Ble8ural * incovoiere pe direcia (ea/ a8is

* este critic la stalpii zvelti si de sectiune dublu

simetrica sau stalpiilor or one ('ic' is not susceptible

to, sau care sunt fi8ati pentru a preveni rasucirea

!istorsional * flambaj lateral cu distorsiunea sectiunii

* const ?n deformarea inimii sau a tlpii

* cel mai comun este flambajul distorsional al tlpii ?n

care talpa se rotete vertical fa de a8a orizontal.Este un mod ?n care se sc'imb forma seciunii

transversale e8cluznd flambajul local " !efiniie

dat in 1tandardul =ustralianHMe( Iealand $B1

1tandard, Mort' =merican $B1 1pec i recent

acceptat i de terminologia de specialitate#


13/40


14/40

Bigura )oduri de flambaj caracteristice seciunii transversale

&igura '. ! Tipuri de flambaj

2.4.' imilitudinea intre flambajul unui stalp si pierderea stabilitaii laterale a

unei grin#i

$and elementele structurale zvelte sunt sunt incarcate pe directia strong a8is,,acestea au tendinta de a ceda prin flambaj in t'eir (ea/ plane, astfel pot sa isi piarda

stabilitatea. 1talpul solicitat a8ial si grinzile incarcate transversal se comporta

asemanator la flambaj.

!aca consideram o grinda fi8ata doar la capete si nu pe si lungime, de

desc'idere mica, supusa incremental la o incarcare transversala la mijlocul sectiunii

Bigur < aceasta se va deplasa pe directia incarcarii.

Bigura N a# 5rinzi scurte b# !eplasarea verticala a grinzii

!irectia de aplicare a incarcari si directia deplasarii sunt aceeleasi. =cest lucru

este similar cu cazul unui stalp scurt solicitat de compresiune. %n cazul unei grinzi

lungi "Bigura ;#, cand incarcarea este aplicata incremental, va produce o deplasare asectiunii pe directia de aplicare, iar dupa o anumita valoare citica, sectiunea grinzii se


15/40

va inclina intr*o parte si roti datorita instabilitatii talpii comprimate pe directia a8ei

longitudinale "Bigura ;.b#.

Bigura : a# 5rinzi lungi b# !eplasarea si rotirea grinzii

Prin cele doua pozitii ale sectiunii transverasle "Bigura ;.b#, apare flambajul

lateral prin deplasarea si rotirea sectiunii. $omportarea este asemanatoare cu cea a

unui stalp lung comprimat a8ial, la care intreaga sectiune se roteste ca un disc rigid

fara distorsiunea sectiunii. =semanarea este data mai jos.

Bigura 1imilitudinea dintre flamabjul grinzii si flambajul stalpului

Kn stalp solicitat a8ial se va deforma printr*o translatie pe directia

perpendiculara aplicarii punctului si va flamba intr*un mod de incovoire pura. O


16/40

grinda, sub incarcari transversale, este comprimata si intinsa in acelasi timp. Partea

comprimata devine instabila in timp ce tensiunile de intindere vor incerca sa

stabilizeze grinda. %ncarcarea aplicata in planul inimii, la o anumiita valoare va duce

la cedarea prin rotire si translatie a sectiunii transversale. "Bigura#. Problema

flambajului la grinda este mult mai comple8a decat cea a flambajului la stalp, fiind o

problema 6*dimensionala "forma de pierdere a stabilitatii este mult mai comple8a#.

asucirea este produsa de momentul aplicat iar momentul care produce rasucirea se

numeste moment critic. %ncarcarea critica a unei grinzi pe domeniul elastic, provides a

close upper limit to the load carrying capacity of the beam.

=stfel, la stalp apare flamabul cu o incovoiere iar in cazul flamabjului lateral,

acesta este asimilat cu o incovoiere in doua plane, insotita de torsiunea grinzii. Este

cert ca pierderea prin instabilitate laterala apare daca urmatoarele conditii sunt

sadisfacuteA

* sectiunea are rigiditati diferite dupa cele doua planuri principale "t(o principal planes

#

* incarcarile aplicate produc incovoirea in planul stiffer plane "about t'e major a8is#.

2.4. *nfluenta formei sectiunii asupra flambajului lateral-torsional

1ectiunile pot fi de forma inc'isa sau desc'isa.

%n general, se recomanda utilizarea sectiunilor de forma desc'isa , la realizarea

stalpilor si grinziilor , deoarece acestea ofera o mai buna rezistenta la tensiunile de

incovoiere, "to in-plane bending stresses#, prin distribuirea materialului in talpi, la

distante mari fata de centrul de greutate al sectiunii. =cest tip de sectiune este

recomandat si pentru conectarea grinzilor cu elementele adiacente. %n cazul ideal, in

care grinzile sunt fi8ate lateral, bending strength about the major axis forms the

principal design consideration. u cat au mai mare high major axis bending strength,

they are relatively !ea" in their minor axis bending and t!isting.

%n sectiunile de forma desc'isa, resistenta la torsiune este mica, dar au rigiditatela

incovoire mare in planul vertical "E%8#, astfel deformarea mica sub incarcari verticale.

!aca grinda este solicitatata lateral, deormarea grinzii este mult mai pronuntata , deoarece

E%8este mai mic. 5rinda este vazuta astfel ca un element care care are tendinta de a ceda

dupa directia a8ei (ea/"secundara.#


17/40

%n contrast cu sectiunile desc'ise , rigiditatea torsionala a sectiunilor inc'ise poate fi si

de de ori mai mare. 1ectiunea cu cea mai ridicata rigiditate la torsiune este tubul

circular gol, dar rar folosita din cauza dificultatilor de conectare a acestei sectiuni cu

alte elemente si are o rigiditate scazuta la incovoiere. "27#

Bigura 1ectiuni inc'ise si sectiuni desc'ise

2. +ierderea stabilitatii talpii comprimate: flambajul lateral torsional si

flambajul local

2..! %eneraliti

5rinda este elementul de constructie solicitat de incarcari transversale.

!imensionarea unei grinzi la moment incovoierdor conduce la conduce la seciuni cu

rigiditate mare la ?ncovoiere mare ?n planul de aciune al momentului ?ncovoietor @i

mult mai redus ?n plan

perpendicular. %n analiza la flambaj, comportarea grinzii se considera ideala dacaA

* talpa comprimata grinzii este fi8ata pentru nu se deplasa lateral

* orice forma de flambaj este prevenita.

alpa comprimata a unei grinzi poate ceda lateral, prin flambaj lateral*

torsional sau local, prin cedarea locala, la nivel de sectiune.

E8ist dou tipuri de tlpi comprimate. Kn tip este cel al tlpiilor comprimate

rigidizate "fi8ate# de*a dungul ambelor margini longitudinale. =stfel de tlpi se


18/40

numesc elemente rigidizate comprimate @i sunt tlpile comprimate din cazul

grinziilor de seciune $. n cazul elementelor de tip %, acestea se numesc elemente

comprimate nerigidizate, care sunt rigidizate doar de*a lungul uneia dintre cele dou

margini longitudinale. $elalate margini ram

n libere. $omportamentul acestor dou

tipuri de elemente este similar ,dar nu identic. "27#

ezolvarea ecuaiilor de stabilitate permite determinarea e8act a forelor

critice @i a lungimilor de flambaj. =stfel se poate e8ploata la ma8imum capacitatea de

rezisten a materialelor @i alegerea unor seciuni economice optime, concomitent cu

asigurarea condiiilor de rezisten @i stabilitate. Ecuatile de stabilitate se scriu pe baza

relatilor dintre ecuatile a8ei formate, modul de rezemare si de incarcare.

2..2 &lambajul lateral torsional $T

5rinzile solicitate la ?ncovoiere simpl au rigiditi mult diferite dup cele

dou a8e principale "%zFF%, ca urmare sunt e8puse pericolului flambajului lateral al

tlpii comprimate "pierderea stabilitii generale sau flambaj prin ?ncovoiere#,

fenomen asemntor cu flambajul prin ?ncovoiere * rsucire al barelor comprimate.

Qn cazul ?n care talpa comprimat a grinzii nu este fi8at ?mpotriva flambajului

lateral, prin elemente ale structurii din care acesta face parte, se impune verificareagrinzii la pierderea

stabilitii generale, c'iar @i ?n situaia ?n care eforturile unitare din ?ncovoiere sunt

mult inferioare celor limit. 1tudiul se poate face pri metoda statica sau energetica.

)odelul matematic de calcul la flambaj lateral are la baz urmtoarele ipotezeA

deformaiile grinzii ?n planul de rigiditate minim nu sunt ?nsoite de deformarea

seciunii

transversale a barei "seciunea se rote@te ca un disc rigid ?n jurul centrului de rsucire

$, respectiv 1 J dup notaia E$#>

se admite c ?n starea deformat a grinzii, ?ncrcrile rmn paralele cu direcia

iniial.

Qn studiul flambajului lateral al grinzilor cu inim plin intervin urmtorii

parametri "Bigura :#A

* sc'ema de ?ncrcare a grinzii, caracterizat prin coeficienii $, $2 @i $6>

* nivelul de aplicare al sarcinilor pe ?nlimea seciunii transversale a barei, precizat

prin


19/40

coordonata za, a punctului = ?n care se aplic ?ncrcarea>

* forma seciunii transversale a barei "prin curba de flambaj# @i caracteristicile de

rezistent

ale seciunii "=, %&, %z, %R, %#>

* condiiile de rezemare fa de cele dou plane principale de inerie, prin coeficienii

/> /(>

* marca oelului caracterizat prin limita de curgere f&.

Bigura 2 1istemul de a8e si de notare a caracteristicilor de calcul

Qn cazul acestui tip de flambaj, geometria seciunii transversale nu se sc'imb.

$nd o grind c'esonat simpl este solicitat la ?ncovoiere, talpa superioar

este comprimat iar cea inferioar este ?ntins. !ac un element zvelt este acionat de

o for a8ial, elementul va ceda datorit ?ncovoierii sau torsiunii i nu datorit

compresiunii. !ac grinda nu este fi8ata pe direcie lateral "adic nu prezint

rigidizri care s actioneze perpendicular pe planul ?ncovoierii#, iar ?ncrcarea

fle8ural crete pna la o valoare limit, grinda va ceda datorit flambajului lateral al

tlpii comprimate. Qn seciunile cu tlpi late, dac talpa comprimat flambeaz lateral,

seciunea se va rsuci ?n torsiune, rezultnd modul de flambaj numitflambaj lateral-

torsiona(#$%) "2


20/40

realiza grinzi cu seciuni ct mai ?nalte @i ?nguste. =stfel de elemente de rezisten

devin instabile, producndu*se un fambaj lateral atunci cnd sunt solicitate c'iar

numai de un moment ?ncovoietor.

La un anumit nivel de incarcare, sectiunea sufera o deplasare si rotire iar

ultimate moment capcit& se reduce datorita deformarii si curgerii. Parametrul cel mai

important care afecteza stabilitatea laterala a grinzilor este distanta dintre elementele

de fi8are laterala.

"a# !esc'iderea @i solicitrile, "b# !eplasri ale tlpii superioare, "c# !eplasri ale

seciunii

Bigura 6 Blambajul lateral al unei grinzi % dublu simetrice

Ecuaiile difereniale de ?ncovoiere a grinzii suntA

Sx& momentul principal de inerie al seciunii transversale dup a8a 8S > Sy&

momentul principal de inerie al seciunii transversale dup a8a &S> Sx' momentul

S2

2

S

S2

2

S

yy

xx

'dz

ud(&

'dz

vd(&

=

=


21/40

de ?ncovoiere dup a8a 8S, avnd direcie pozitiv ca ?n figura &> y' momentul de

?ncovoiere dup a8a j,avnd direcie pozitiv ca ?n figura &

%ar ecuatia de rasucire a barei flambate esteA

S6

6

z'dzd

dzd =

=ceasta ecuatie este valabila in cazul unei grinzicu pereti subtiri, de sectiune desc'isa.

$C5T Jreprezint rigiditate la rasucire> $CE$(Jreprezint rigiditatea (arping sau la

deplanare "torsiune neuniform# ,5*modul de elaticitate transversal> E*modul de

elasticitate longitudinal > T*constanta de rasucire, $(*constanta de flambaj

lateral"(arping contstant#

=ceste trei ecuaii reprezint ecuaiile de ec'ilibru a grinzii din care se pot

determina valorice sarcinii critice. %n continuare, se vor prezenta incarcarile critice

pentru diferite cazuri de incarcare si rezemare.

Qn abelul 6 se prezint e8presiile sarcinii critice de flambaj lateral, pentru

cteva cazuri de ?ncrcare

Tabel 2 arcini critice de flambaj

Modul de ncrcare i

rezemare

Sarcina critic defambaj

Sectiune I

Sarcina critic defambaj

(j=It)

rinzi rectan!ulare

in!u"te

#ri!iditatea la de$lanare

%&'=Dara simplu rezemat la

capete, supus la ?ncovoiere

pur

,"2

2

)*

(

#)*(&

#' !ycr

+=

1au

)*(

' ycr,= )*('

ycr

=


22/40

Dara simplu rezemat la

capete, cu o sarcin

concentrata la mijlocul

desc'iderii, in centrul de

greutate al sectiunii

222

22

#H"

6.7

)*#(

#

)*(&+

!

y

cr

=

=

2

:7.;#

)*(&+

y

cr=

#

)*(&'

y

cr 26;.7=

* P aplicat la distanta a fata

centrul sectiunii

E7.":7.;

2 #

a

#

)*(&+

y

cr =

* P aplicat la distanta c fata de

reazeme

2< #

)*(&

+ y

cr =

Dara simplu rezemat la

capete, cu o sarcin uniform

distribuit p, aplicat la

?nlimea fibrei medii

27#"

#

)*(&,#

j

cr = 26.2N#"#

)*(&p#

-

cr=

#

)*(&'

y

cr


23/40

Dara ?ncastrat la un capt,

?ncrcat cu o sarcin uniform

distribuit, aplicat la

?nlimea

fibrei medii

2N

< * depinde de raportul cHl

O ?ncrcare vertical aplicat sub centrul de forfecare al seciunii "care

coincide cu centrul de greutate al seciunii, ?n cazul seciunilor dublu*simetrice#, are


24/40

un efect stabilizator si mareste valoarea momentului critic, ?n timp ce, aceia@i

?ncrcare aplicat deasupra centrului de forfecare, are un efect destabilizator si scade

valoarea momentului critic.

Bigura 7 Blambajul lateral torsional al unei grinzi supus la moment

unifom

2..' &lambajul local al talpii comprimate

2..'.! *ntroducere

Blambajul local are o influenta mare asupra rezistentei elementelor, in special

asupra celor care sunt supuse interactiunii flambajului global cu cel local saudistorsional. =stfel, pe langa comportamentul global,trebuie luat in considerare si

flambaj local si cel distorsional .

Blambaj local A* al talpii comprimate

*al inimii datorita fortei taietoare

* al inimii supusa la compresiune datorita incarcariilor concentrate

%nteractiunea modurilor de flambaj are asupra rezitentei grinziilor formate din

elemente de tip placa zvelte.


25/40

Blambajul local al talpii comprimate reprezint un caz particular de

instabilitate a unei tlpi inferioare sau superioare sau a inimilor seciunii. $omportarea

lor se poate face sub forma analizei unor plci independente. Dleic'": dac inima e zvelt talpa comprimat poate ceda

la flambaj vertical "n special la grinzile de metal

Bigura < Blambajul de compresiune


26/40

Bigura ; alpa comprimata

&lambajul vertical (caracteristic grin#iilor de metal): Pentru structurile deseciune %

, flambajul este controlat de zvelteea inimii.

f

!

ryfyf! .

.

FFF

(

t

h

+

#"

;N.

aloarea de limitare este conservativ deoarce flambajul vertical al tlpii

comprimaten inima apare doar dupa curgerea talpii.

yfF *tensiunea de curgere a materialului din care e realizat talpa

rF *tensiunea rezidual ce trebuie atins pentru a obine compresiune uniform la

curgere

Blambajul lateral torsional nu influeneaz n totalitate proiectarea tlpii

comprimate. lpile rigidizate @i nerigidizate pot fi tratate ca elemente de tip plac

ncastrate pe contur @i supuse la compresiune unia8ial."==14O#. "2N#

%n cazul elementelor de metal, analiza se face considerand ca elementul este

format din placi interconectate. Blambajul local al talpii comprimate se anlizeaza

considerand o flambajul unei placi.

2..'.2 "aracteristici

Blambajul local al tlpii comprimateA talpa comprimat flambeaz local

Blambaj local alA

tlpii comprimate inimii datorit forfecrii inimii comprimate datoritncrcriilor concentrate


27/40

Blambajul local sau voalarea este definit ca un mod de instabilitate cand

geometria seciunii transversale se sc'imb, insa fr sa fie insotit de deplasare

lateral sau rasucire. Biecare parte a seciunii transversale"inima sau talp# poate

flamba.1eciunea transversal se poate considera ca fiind format din elemente de tip

placa.!ac aceste elemente sunt subtiri, pot flamba local "voala# cand sunt supuse la

compresiune. )ai mult,betonul este un material care flambeaz elastic. E8ista trei

moduri de cedare a plciilor comprimateA flambaj flexural, torsional si torsional-

flexural. Pentru o analiz corect, se neglijeaz orice interaciune intre elemente,

astfel fiecare plac se trateaz independent.

Borma deformata a placilor, sarcinile si rezistentele critice la flamabaj depind

deA

*aspectul de form/ a elementului, adic raportul inalime*ltime > conditiile de

solicitare pe contur0 rezistena la curgere a materialului> modul de fi8are pe cele 7

laturi.Blambajul la structuriile de metal,este influenat de felul seciuniiA compacte

,necompacte sau zvelte.

Biecare ?ncrcare d un mod de flambaj. =tunci cnd o plac este acionat de

mai multe incrcri,vom avea mai multe tipuri de flambaj, adic/ are loc interaciunea

modurilor de flambaj.%n Bigura 26, apar compresiuni transversale care nu sc'imb

modul de flamaj. $nd modurile de flambaj sub aciunea diferitelor aciuni este

similar,tensiuniile de flambaj sub aciunea incrcrilor combinate sunt mai mici

dect efectele aciuniilor individuale


28/40

Bigura Blambajul placilor

O importan deosebit asupra flambajului o reprezinta rigidizariile. La

elementele de metal,incrcariile critice se determina in funcie de modul si pozitia

rigidizariilor. Uriste/ "


29/40

Bigura N Blambajul tlpii grinzii c'esonate

Bie grinda din Bigura 2;. Punctele = @i D se afl n partea comprimat a

grinzii. !in cauza imperfeciuniilor geometrice @i a e8centricittii accidentale,

tensiuniile din cele dou puncte nu sunt egale. alpa superioar la fel ca @i un stlp, se

va deforma prinncovoiere pe direcia a8ei * , dar inimile ofera suficienta rezisten

pentru a preveni flambajul. ns la oncrcare mai mare de compresiune, talpa va

tinde s flambeze prinncovoiere pe direcia a8ei

2*2. =cest tip de flambaj pe direcia a8ei principale a grinzii se nume@te, cum am mai

spus, flambaj lateral. =nalogia cu un stlp este valabil doarn cazul reprezentrii

comportamentului general de flambaj lateral.


30/40

Bigura : $edarea inimii comprimate

Bigura 2 1istem de grinzi nerigidizate si rigidizate

2..'.' &ormule de calcule si incarcari critice pentru elementele de tip placa

%n cazul talpiilor considerate elemente de tip placa"grinzi BP# solicitate lacompresiune, o e8presie simplificata a rezistentei critice la flambaj "voalare# estedata prin rezolvarea ecuatiei de mai jos"Wiao ::# "2:# ,

[ ]##"2#"#""##"#"2"2

22

fxyfxyfyfyfx

fcr

x )(p((,b

t++

=

p,0*coeficieni in funcie de coeficientul la intersectia dintre placi"modul de

rezemare a placii#


31/40

+entru grin#i *:

2H>#"

#"2>

7.

;

2.

N..>

6.

2..2

Pentru o grinda sub under 6*point bending, incarcarea criticaloacala de flambaj

"Pcrlocal# poate fi obtiunut cu ajutorul tensiunii critice si proprietatiile grinziiA

#b(1+

!x

cr

xlocalcr

#"N =

t*grosimea tlpii comprimate > b*limea tlpii comprimate > b(*inlimea seciunii >f*

talpa >0*constanta definit de coeficientul > (*inima > *coeficient care ine seama

de condiiile de rezemare a tlpii comprimate

!*silmilar cu E% in cazul materialelor izotropice>E&CH"tY22#, tCgrosimea panelului,+Y-*

matrice de compilanta, care e inversa matricei de rigiditate

Blambajul lateral al grinziilor la care dHb GC; nu reprezinta o problema.Kn element de plac acionat de tensiuni de compresiune, incovoiere,si

combinaia acestora poate flamba in plan sau distorsional la un anumit nivel al

incarcarii"tensiune critica locala.


32/40

Benomenul de voalare al placilor plane este analog flambajului barelor, insa

spre deosebire de cazul barelor drepte, pierderea stabilitatii prin flambaj a placilor

plane nu coincide cu pierderea capacitatii portante, placa fiind capabila sa preia in

continuare incarcari, curba caracteristica P*Z fiind de forma celei din Bigura 2N, fiind

necesara cunoasterea comportarii postcritice a placiilor. !escrierea acestor fenomene

fiind posibila numai in teoria neliniara.

Bigura 2 $urba caracteristica P*Z pentru o placa

Dr&an"N:# a fost primul care a studiat flambajul unei plci subiri

rectangulare simplu rezemat si a obinut ecuaia diferenial fundamental a

deformatei acesteia. Ecuatia pentru tensiunea elastic critic la flambaj este dat de

relatiaA2

2

2

#"2

=

b

t("fol

Knde / este un coeficient care depinde condiiile de contur.

$onform "2#, calculul plciilor se face considerand c placa flambeaz iniial

sub aciunea ?ncrcriilor aplicate in milocul planului sau,fiind astfel necesar s se

calculeze intensitatea acestora pentru a mentine placa in forma deformatA

Ecuaia unei plci care flambeaz este data de e8presiaA[

#2",

22

22

2

2

7

7

22

7

7

7

y

!2

yx

!2

x

!2

1y

!

yx

!

x

!yxyx

+

+

=

+

+

x2 , y2 , xy2 *forele constante prin placa


33/40

Tabel ' *ncarcarile critice caracteristice elementelor de tip placa in functie de

modul de incarcare si re#emare

Tipul de placa "aracteristici &ormula

!. &lambaj de compresiune

implu re#emat si uniform

comprimat dupa o direceA* placa este comprimat in planulsau median de fore uniform

distribute de*a lungul laturilor"8C>

8Ca#.

2

2 "#"

b

a

mm

a

12 crx +=

!*rigiditatea fle8ural

a plcii"

#,",2

22

=(h

1

m*reprezint numarul

de jumti deunda,in care placa

flambeaz

implu re#emat si comprimat

pe doua direcii perpendiculare

* fie o grinda simplu rezemat,

acionat de fore de compresiune

unform distribuite M8,M&. Ecuia de

la care se pleac esteA

"2

2

2

22

2

22

2

22

a

n

a

m1

b

n2

a

m2

yx

+=+

m,n* reprezint numrul de

jumati de und in care placa

flambeaz pe direcia 8 , respectiv

directia &>

* dac se consider m

de formaA

n

a

xma! mnmn

sinsin=

* pentru yy ==

tensiunea critic e

dat de e8presiaA

#"2

222

b

anmc +=

*placa patrata

#2 ec =

* unde

ha

1e 2

2 =

niform comprimate, simplu

re#emata de-a lungul a doualaturi perpediculare directiei de

* ecuaia de la care se pleac esteA

2

2

7

7

22

7

7

7

2x!

12

y!

yx!

x! y

=

+

+

* in cazul in care &C

simplu rezemata >latura &Clibera


34/40

compresiune si avand diferite

conditii de margine de-a lungul

celorlalte doua laturi

* &C incastrata, latura &Cb libera

* &C incastrata elastic, latura &Cb

libera* ambele laturi &C si &Cb

sunt incastatre

* ambele laturi &C si &Cb sunt

asezate pe grinzi elastice

* latura &* iar latura &Cb pe o

grinda elastica

2

2

#"b

1"2 cry

=

* in rezolvarea acestor

cazuri, valoarea

critice a fortelor de

compresiune se

determina egaland cu

ecuatiile transcente

caracteristice fiecarui

ca

implu re#emat de-a lungul a

doua laturi opuse si uniform

comprimate dupa directii

paralele cu acestea

* daca placa este simplu rezematade*a lungul laturilor 8* si 8Ca si

supusa la actiunea fortelor de

compresiune uniform distribuite

de*a lungul celorlalte doua laturi

nerezemate, ecuati placii flambate

esteA

2

2

7

7

22

7

7

7

2y!

12

y!

yx!

x! y

=

+

+

* sunt posibile doua forme de

flambaj

* valoarea sarciniicritice pentru cele

doua cazuri este

2

2

#"a

1"2 cry

=

implu re#emata, supusa la

incovoiere combinata cu

compresiune

* grind simplu rezemata de*a lungul

laturilor 8C, 8Ca cu forte continuu

distribuite actionand in planul ei

* prima apro8imatie


35/40

median , a caror marime esteA

#,"b

y22x =

M

*marimea fortei de compresiune

de*a lungul laturii &C

*factor numeric

pentru cazul in care Y

este mic, adica cazul

cand eforturile din

incovoiere sunt mici

in raport cu eforturile

de compresiune

,#" 2

2

2 +=

b

a

a

b

hb

1"cr

* cazul YC , e8presia

coincide cu cea pentru

o placa uniform

comprimata

2

2

"#"b

a

mm

a

12 crx +=

*efortul critic in a

treia apro8imatie,

suficient de buna

pentru cazul


36/40

incovoierii simple

hb

1"cr 2

2 =

2. &lambaj de forfecare(lunecare)

'. &lambaj la incovoiere

)ai general, in cazul flambajului la compresiune, pentru diferite conditii de rezemare

si de solicitare pe contur, forta critica de voalare este e8primata sub formaA "22#

2

2

2

2

2

#"#"2 b

h(h"

b

1"pcr

==

iar rezistenta critica de voalare esteA

h

pcrcr =

bH' reperezentand raportul de zveltete.

!e remarcat ca formulele sunt stabilite doar pentru domeniul elatic, in care

ecr =+++ #"

dx

dy+

dx

d'3

dx

dy+d''d33

dx,dx'

==>

=+++++ #"#"2

!aca efectul deformatiilor de forfecare cat si scurtarea grinzii sunt neglijate, e8presia

curburii a8ei grinzii este de formaA

'dx

yd(& =

2

2

Ecuatia diferentiala a a8ei grinzii se poate scrie sub formaA

3dx

dy+

dx

yd(& =+

6

6

sau

,dx

yd+

dx

yd(& =+

2

2

7

7

Tabel 0cuatii diferentiale a barelor comprimate

5rinda simplu rezemata Ecuatii

1arcina a8iala de compresiune si sarcinatranversala concentrata

* momentele in partea stanga si dreapa suntA


39/40

+yl

xlcl4'+yx

l

4c' +

=+=

##"",

* ecuatii de ec'ilibru

+yl

xlcl4

dx

yd(&

+yxl

4c

dx

yd

(&

=

=##""

2

2

2

2

1arcina a8iala de compresiune si mai multe forte

concentrate pe grinda

2

22

2

2

2

,

,,

2

,

2

##""+y

l

xlcl4

dx

yd(&

+yxl

c4

dx

yd(&

=

=


40/40

Model Prof Initial Pt Redactare

Documents

Transcript of Model Prof Initial Pt Redactare