MISTERIOSUL NUMĂR PI

Eleva: Opriș Roxana

Clasa a X-a

Grupul Scolar de Industrie Usoara Cisnadie

Profesor coordonator: Rotaru Florentina

CE E CU NUMĂRUL PI ?

Matematicienii notează raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său

prin litera grecească PI care reprezintă inițiala cuvintelor din aceeași limbă

“perimetros” (perimetru) și “periferia” (periferie) , folosite de Arhimede în lucrarea

sa despre cerc. Dar nu întotdeauna matematicienii au întrebuințat litera PI pentru a

reprezenta raportul dintre circumferința și diametrul cercului. El a fost introdus abia

în secolul al XVIII-lea, și atunci nu de catre toți matematicienii ,care pentru a marca

acest raport foloseau litera “p” . Litera greceasca PI a fost folosită în geometrie

pentru prima dată de Isaac Barrow (1630-1677) în lucrarea “Lecții ținute în școala

publica a Academiei din Cambridge” de W. Oughtred în “Matematica recreativă”,

pentru a nota însă lungimea cercului.

CE E CU NUMĂRUL PI ?

Abia spre sfârșitul secolului al XVII- lea,când rapoartele au fost asimilate

cu numerele, a început să fie folosit PI în sensul de astăzi.

Cel dintîi matematician care l-a folosit pe PI pentru a-l nota pe 3,14… a

fost W. Jones (1675-1749), în anul 1706, apoi Cristian Goldbach (1690-

1764), în anul 1742. Celebrul matematicien elvețian Leonhard Euler (1707-

1783), membru al Academiei de Științe din Petersburg, mai întrebuința

prin 1734 litera “p” pentru a nota raportul dintre lungimea cercului și

diametrul său,apoi cațiva ani mai târziu litera “c”, pentru că în lucrarea

“Introducere în analiza infiniților”, publicată în 1748, să adopte definitiv

litera grecească PI, și, datorită lui, acest simbol a intrat definitiv în uzul

general al matematicienilor.

PI, VECHI DE MII DE ANI

Noi cunoaștem azi drept

valoare pentru Pi numărul

3,141.592.653…, dar , în decursul

istoriei , valoarea lui nu a fost

întotdeauna aceeași , ci a variat

față de acest număr, în funcție de

epocă, zonă geografică și popoare.

Vechile valori ale lui Pi au

fost calculate empiric, mai mult

deduse pe cale de încercări.

Astfel, se lua pur și simplu o

sfoară și se înconjura cu ea un

cilindru, după care se măsurau

lungimea ei și diametrul cercului.

Ceea ce ieșea din această

împărțire era valoarea lui Pi, deși

în aceea vreme , așa cum am

arătat, acest raport nu se nota cu

această literă.

PI, VECHI DE MII DE ANI

Cea mai veche valoare a raportului dintre circumferința

cercului și diametrul său a dat-o scribal egiptean Ahmes în

jurul anului 1.800 î. Chr. , în “Manualul lui Ahmes”, aflat pe

papirusul Rhind . Ea este de 3,1.604, mai mare decât

valoarea reală cu aproximativ 0,0188, rezultat care este însă

mult mai apropiat de valoarea sa reală față de rezultatul

obținut mai târziu de Arhimede.

PI-UL LA EGIPTENI,EVREI,GRECI SI ROMANI

Egiptenii mai obțineau valoarea lui Pi folosind raportul dintre

perimetrul pătratului de la baza piramidei lui Keops si dublul înălțimii

acestui monument, rezultatul fiind de 3,1.415.982. Încă din antichitate,

matematicienii au încercat să rezolve așa-numita problemă a cvadraturii

cercului, adică să contruiască un pătrat care să aibă aria egală cu a

unui cerc dat, folosind numai compasul și rigla, dar pentru aceasta le

trebuia valoarea exactă a lui Pi. Prin descifrarea unor tabele scrise pe

tăblițe de lut, descoperite in 1950, de M. Bruius, la Susa, în Iran,

rezultă că, în urmă cu 2.000 de ani î. Chr. , babilonienii calculaseră

pentru Pi valoarea de 3,125, cu 0,0166 mai mică decât valoarea reală.

La vechii caldeeni,valoarea lui Pi era egală cu 3, pentru că ei considerau

că raza cercului se poate înscrie de 6 ori pe circumferința cercului.

PI-UL LA EGIPTENI,EVREI,GRECI SI ROMANI

Evrei, care au avut relații culturale și politice foarte strânse cu

asiro-caldeenii.Îl considerau pe Pi egal tot cu 3. În “Biblie” se

relatează că în templul lui Solomon,ridicat în secolul al XI-lea î. Chr,

era un mare bazin de aramă, “de formă rotundă,având zece coți de

la o margine la alta și o linie de 30 de coți îi masura circumferința”.

Din descrierea acestui bazi, făcut de arhitectul Hiram de Tyr, la

cererea lui Solomon, rezultă că Pi era egal cu 3,așa cum rezultă și

din “Talmud”, o culegere de tradiții rabinice posterioare “Bibliei”, în

3 care se afirmă că “ceea ce are un înconjur de trei palme e lat de o

palmă”. Aceeași valoare de 3 o dă și chinezul Ceu-pei în lucrarea sa

“Cartea Sfântă a socotitului”,apărută în secolul III î.Chr.

Prin secolele VIII-VII î. Chr. , geometrii greci aveau două idei

fundamentale în legătură cu cvadratura cercului: prima – că cercul

se poate asimila cu un poligon regulat cu un număr înfinit de laturi

și, a doua – că aria cercului este cuprinsă între cea a unui poligon

regulat înscris și ce-a a unui poligon regulat circumscris,având

același număr infinit de laturi. Ei credeau că problema cvadraturii

cercului se poate rezolva prin metodă gramică, adică prin trasarea

unor curbe mai complicate decât cercul. Printre greci care au

căutat să rezolve cvadratura cercului și să afle valoarea lui Pi se

număra Hipocrat din Chios (secolul V î. Chr.) , care s-a folosit de

arile limitate de doua arce de cerc având aceleași extremități și a

căror convexitate sunt situate de aceeași parte, figura geometrică

plană numită “lunula”.

Dinostrat (sec. IV. î. Chr.), fostul elev a lui Platon, s-a

folosit de o curbă ajutătoare,cunoscută azi în geometrie de

“cvadricea lui Dinostrat”, iar Arhimede din Siracuza (287-

212 î. Chr.), în lucrarea sa “Despre masurarea cercului”, a

găsit valoarea lui Pi ca fiind cuprinsă între 3,141.606 și

3,141.590, valoarea cea mai apropiată de cea reală fiind

3,1.416, care este și astăzi folosită de către matematicieni.

Valori apropiate de cele obținute de Arhimede au găsit și

Claudiu Ptolomeu și Heron din Alexandria. Cel dintîi grec

care a popularizat problema cvadraturii

cercului,ridiculizând-o, a fost scriitorul Aristofan (sec V. î.

Chr.),în comedia sa “Păsările”.

În general romanii au folosit pentru Pi valoarea dată

de Arhimede, în schimb indienii foloseau pentru raportul

dintre lungimea cercului și diametrului său valoarea de

3,0625.La începutul Evului Mediu, matematicianul arab

Mahomed ben Musa (sec IX), în lucrarea sa “Algebra”, dădea

pentru Pi aceeași valoare ca și Arhimede , afirmând că

“Procedeul cel mai bun este sa înmulțim diametrul cu 3 1/7.

Acesta este mijlocul cel mai rapid și cel mai ușor. Mai mult

știe Dumnezeu!” . În secolul VI d. Chr. , renumitul

matematician indian Aria-Bahata a dat pentru Pi valoarea de

3,1416, plecând de la un hexagon înscris într-un cerc, căruia

i-a dublat succesiv laturile până la un poligon cu 384 de

laturi. Apoi, considerând că perimetrul unui poligon cu un

număr de laturi se apropie de lungimea circumferinței în care

se înscrie acel poligon, a calculat acest perimetru, pe care l-a

împărțit apoi la diametrul său.

UN REZULTAT SURPRINZATOR DE EXACT

Un alt matematician indian, Bhaskara înțeleptul, care a trăit în secolul al XII-lea,

a dat pentru Pi valoarea de 3,1416, folosind același procedeu de calcul aplicat de

Arhimede. Marele învățat uzbec Djemsid-ben Masud ed-Din al-Casi, care a trăit în

jurul anului 1400,primul director al observatorului astronomic de lângă Samarkand, a

scris o carte intitulată “învățătura despre cerc” în care a calculat raportul dintre

lungimea circumferiței și raza servindu-se de un poligon regulat cu 800.335.168 de

laturi, obținând pentru Pi urmatoarea valoare, cu 16 zecimale,

3,1415926535897932… rezultat surprinzător de exact.

Matematicianul olandez Ludolph van Keulen (1540-1610) din Leyda, a obținut, in

1596, valoarea lui Pi cu 35 de zecimale, număr care a fost agravat pe mormântul

lui,germanii numind și astăzi simbolul Pi număr ludolphian.

CONTROVERSELE NUMĂRULUI PI

În Europa medievală,problema cvadraturii cercului i-a preocupat

mai puțin pe matematicieni,acest lucru fiind prezentat ca având

ceva mistic, ca un fel de piatră filosofală a matematicienilor , cel

care ar fi putut rezolva această problema ar fi putut sa înțeleagă o

mulțime de lucruri tainice despre lume și viață. În timpul

Renașterii,unii matematicieni au încercat să-i combată pe vechii

greci,care au susținut că această problemă a cvadraturii cercului nu

s-ar putea rezolva , deși toată lumea știe că nici una din valorile

date lui Pi nu este exactă, din moment ce ele se bazează pe

perimetrele unor poligoane, și nu pe circumferința cercului. Lipsa

soluției la această problemă a făcut ca orice acțiune de orice natură,

grea și încurcantă, căreia nu i se întrevedea o soluție să fie numită

în literatură, ca fiind o adevarată cvadratura a cercului.

CONTROVERSELE NUMĂRULUI PI

Matematicianul și astronomul olandez Cristiaan Huygens

(1629-1695) a publicat in 1651 lucrarea “Teoreme asupra

cvadraturii hiperbolei, elipsei și cercului din datele proporțiilor

centrului de greutate”, iar în 1654 “Despre aflarea marimii

cercului”, în care, folosind aceeași metodă a perimetrelor, a

determinat valoarea lui Pi, el fiind ultimul care a mai folosit metoda

perimetrelor pentru determinarea valorii Pi. După el, matematicienii

nu au mai folosit metode geometrice, ci analitice pentru aflarea

valorii Pi, așa cum a facut matematicianul francez Francois Viete

(1540-1603), care, în anul 1593, a scos lucrarea “Opt cărți despre

raspunsuri la diferite probleme”, în care a demonstrat că raportul

dintre aria pătratului înscris în cerc și aria cercului se poate

exprima printr-un produs cu un număr infinit de factori.

CONTROVERSELE NUMĂRULUI PI

Matematicianul și filosoful englez Thomas Hobbes (1588-

1679) a încercat să rezolve problema cvadraturii cercului, dar după

mulți ani de muncă rezultatul la care a ajuns a fost total eronat,lucru

demonstrat de distinstul matematician englez John Wallis (1616-

1703), care a polemizat cu Hobbes o perioadă de timp,

demonstrându-i că s-a înșelat. În cele din urma, Hobbes i-a scris lui

Wallis : “Sau eu singur sînt nebun, sau ei toți (profesorii de

matematică) și-au pierdut mințile; nu văd o părere de mijloc – doar

dacă nu va veni altcineva care să spună că toți am înnebunit”. Wallis

i-a dat replica,scriindu-i: “Afirmația d-lui Hobbes nu poate fi

combătută. Pentru că daca el ar fi nebun,ar fi extrem de improbabil

să fie convins prin rațiune de acest lucru; pe de altaparte, dacă noi

toți am fi cei nebuni, n-am avea calificarea necesară pentru a încerca

să o facem”.

CONTROVERSELE NUMĂRULUI PI

Duelul verbal dintre ei a continuat până la moartea

lui Hobbes, la vârsta de 91 de ani. În unul din ultimele

sale atacuri,Hobbes scria despre afirmațile lui Wallis:

“Tot ce ați spus până acum este eroare și răutate; astfel

spus,, vânt rău mirositor, asemenea celui lansat de o

mirtoagă cu burta prea plină atunci când este

înșeuată”. Despre Hobbes s-a spus că reprezintă cazul

clasic al omului de geniu care se aventurează într-o

ramură a științei pentru care nu era bine pregătit și

care și-a cheltuit cea mai mare parte din energia sa

creatoare în tot felul de absurdității pseudoștiințifice.

CALCULUL ZECIMALELOR NUMARULUI PI

În secolul al XVIII-lea, Johann Lambert (1728-1777) a reușit să

soluționeze una din problemele legate de numărul Pi, arătând că aceasta

este un număr irațional,sau, cu alte cuvinte, că el nu se poate exprima sub

forma unui număr zecimal finit și că nici nu are vreun grup de zecimale care

să se repete, adică să poată fi scris sub formă de fracție zecimală periodică.

Mai târziu in 1882, matematicianul german Ferdinand Lindemann (1852-

1939) a demostrat că problema găsirii cvadraturii cercului nu poate fi

rezolvată, pentru că Pi face parte din clasa numerelor trascendente, care nu

pot fi rădăcini ale unor ecuații algebrice cu coeficienți întregi. Ori, pentru a

construi o linie cu rigla și compasul trebuie ca lungimea respectivei linii să

fie rădăcina unei ecuații algebrice cu coeficienți întregi. Din moment ce Pi

este transcendent, el nu poate fi o astfel de rădăcină și, că atare, găsirea

cvadraturii cercului este imposibilă.

CALCULUL ZECIMALELOR NUMARULUI PI

La sfârșitul secolului al XIX-lea, numeroși matematicieni au

căutat să calculeze, cu creionul și hârtia în față, cât mai multe

zecimale pentru Pi. Cel mai neobosit calculator s-a dovedit

matematicianul englez William Shanks, care, de-a lungul a peste

20 de ani, a reușit să calculeze 707 zecimale, numai că, după

inventarea calculatorului, în 1945, s-a constatat că Shanks

greșise ce-a de-a 528-a zecimală, iar toate celelante care urmau

erau și ele,evident,eronate.

CALCULUL ZECIMALELOR NUMARULUI PI

 În anul 1945,folosindu-se calculatorul ENIAC, s-au obținut nu

mai puțin de 2.000 de zecimale, în numai 70 de ore. Mai târziu, un alt

calculator, mai performant, a obținut 3.000 de zecimale în numai 13

minute ! în 1959, cu ajutorul unor calculatoare franceze și engleze s-

a ajuns la performanța de 10.000 de zecimale, iar la 29 iulie 1961, un

calculator IMB 7090 Data Center, din New York, a calculat pentru Pi

100.265 de zecimale, după 8 ore și 1 minut, și după alte 42 de

minute pentru a transforma rezultatul binar in formă zecimală.

ENIGMA NUMĂRULUI PI

Din revista “Science et Vie” aflăm că la centrul de calcul al Universității

din Tokyo, cercetătorul japonez Yasumara Kanada a lucrat la 1024 de

microprocesoare montate în paralel, timp de 10 ore, pentru a-l cunoaște mai

bine pe Pi. La sfarșitul acestui efort deosebit, matematicianul a aflat pentru

Pi 51 de miliarde de zecimale, fără să găsească o anumită regulă matematică

în însușirea acestor cifre, deși există și grupe de cifre care se repetă, astfel

fiind grupuri de 7.777 și chiar un neașteptat 999.999, dar ele sunt total

întâmplătoare. Scriind despre faptul că astăzi calculatoarele pot obține

pentru Pi câteva mii de zecimale în mod obișnuit, Philip j. Davis scrie în

cartea sa “Legendele numeroaselor mări “, ca o asemenea operație a devenit

un fel de “gărgară cu ajutorul căreia mașinile de calcul își curăță gâtul”.

POEZII DEDICATE LUI PI!

Pentru memorarea mai facilă a cat mai multor zecimale ale

numărului Pi s-au înlocuit, în diferite limbi, tot felul de

fraze,zicale,poezioare etc. ușor de memorat și care dau, prin numărul

de litere ale cuvintelor, luate în ordine,cifrele zecimale respective. În

Limba Română propoziția “Așa e ușor a scrie renumitul și utilul număr”

dă valoarea lui Pi cu 8 zecimale, în germană este un catren care dă 23

zecimale, iar în limba franceză, 4 versuri alexandrine dau primele 30 de

zecimale ale numarului Pi. Acesta este aproape recordul absolut, pentru

că mai departe nu se mai poate deoarece a 32-a zecimala e…. zero!Deși este studiat de mai bine de 5.000 de ani, nici astăzi numărul

Pi nu este cunoscut îndeajuns, el continuînd să fie un număr ciudat,care

își păstrează tainele și poate să ne rezerve înca multe surprize.

POEZII DEDICATE LUI PI!

1. “Dar o știm, e număr

important ce trebuie iubit

Din toate numerele

însemnate diamant

neasemuit,

Cei ce vor temeinic asta

prețui

Ei veșnic bine vor trăi”

2. “Sus e luna;

O zeiță fermecată,

Ca nebuna

Peste ape trece supărată.

Cântecele toamnei

parfumate

Mor de dor;

Legănate ușor

Visuri de iubire

Spre cer zbor”

În Limba Română performanța este de 25 de zecimale, dată de

urmatoarele doua poezii:

BIBLIOGRAFIE

http://www.almeea.com/misteriosul-numar-pi/

Istoria Matematicii de N. Mihăileanu

Istoria matematicii de Descartes până la mijlocul secolului al XIX-lea – H. Wieleitner.