Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului ...au la baz˘a idei din diverse domenii:...

101
Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului Universitatea “OVIDIUS” Constanța Teză de doctorat Conducător științific: Prof.univ.dr. Mirela ȘTEFĂNESCU Doctorand: Alexandru BOBE Constanța 2007

Transcript of Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului ...au la baz˘a idei din diverse domenii:...

Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului

Universitatea “OVIDIUS” Constanța

Teză de doctorat

Conducător științific:

Prof.univ.dr. Mirela ȘTEFĂNESCU

Doctorand:

Alexandru BOBE

Constanța 2007

Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului

Universitatea “OVIDIUS” Constanța

Studiul unor algoritmi de

algebră și geometrie

computațională

Conducător științific:

Prof.univ.dr. Mirela ȘTEFĂNESCU

Doctorand:

Alexandru BOBE

Constanța 2007

Studiul unor algoritmi de algebrasi geometrie computationala

Alexandru BOBE1

1Lucrare partial sustinuta din Programul CEEX al Ministerului Educatiei siCercetarii, contract CEX 05-D11-11/2005

Cuprins

1 Algoritm pentru determinarea regiunii Groebner a unui ideal 21.1 Ideale monomiale. Ordonari monomiale . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Regiunea Groebner a unui ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Interpretari geometrice si algoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Implementarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Testarea algoritmului pe cazuri atipice . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Anexa: Codul ın Singular al algoritmului de determinare a

regiunii Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Aplicatii ale algoritmului de determinare a regiunii Groebner 302.1 Poliedru. Con. Fata a unui poliedru . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Insumarea poliedrelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Determinarea fanului normal al unui poliedru . . . . . . . . . . . 362.4 Fanul Groebner si politopul de stare al unui ideal . . . . . . . . . 39

3 Invarianti pre-Titeica 443.1 Relatii liniare pentru curbe de pe suprafete ın deformare . . . . . 443.2 Raport pre-Titeica pentru curbele de pe suprafetele ın deformare 50

4 Invarianti de tip Titeica 544.1 Functia Titeica pentru curbe ın R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Suprafete Titeica si ecuatii Monge-Ampere . . . . . . . . . . . . 564.3 Functia Titeica pentru suprafata Euler . . . . . . . . . . . . . . . 594.4 Invarianti tip Titeica pentru cuplul curba-suprafata . . . . . . . . 60

5 Lantul Clifford al configuratiei Titeica pentru elipse egale 655.1 Istoria problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Configuratia Titeica-Johnson pentru elipse egale . . . . . . . . . 665.3 Lant Clifford pentru elipse egale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4 Implementarea ın Mathematica a lantului Clifford . . . . . . . . 70

6 Curbe si suprafate Titeica ın Mathematica 746.1 Exemplu de suprafata Titeica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2 Aplicarea unei transformari centro-afine . . . . . . . . . . . . . . 766.3 Rolul liniilor asimptotice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

i

6.4 Algoritmul de test Titeica implementat ın Mathematica . . . . . 78

Lista de figuri 79

Bibliografie 81

ii

Introducere

In ultimii ani, ın algebra si geometrie, ca si ın alte ramuri ale matematicii, sepoate observa un interes sporit fata de metodele algoritmice de rezolvare a unorprobleme concrete. Acesta este justificat de faptul ca progresele spectaculoaseın tehnica de calcul permit efectuarea de calcule complet netriviale cu ajutorulcomputerului, care nu erau posibile ınainte. Un alt motiv este faptul ca algorit-mii contribuie la o mai buna ıntelegere a unei probleme.

Tot ın ultimii ani s-au dezvoltat noi metode de cercetare ın algebra. Acesteaau la baza idei din diverse domenii: geometrie poliedrala, teoria grafurilor,programare ıntreaga, calcul simbolic etc. Legatura cu probleme ale matematiciidiscrete si ale metodelor numerice sau ale cercetarilor operationale a devenit dince ın ce mai stansa. Astfel de metode si probleme cer, pur si simplu, abordareacu ajutorul calculatorului.

Teoria bazelor Groebner este un minunat exemplu cum o idee folosita pen-tru rezolvarea unei probleme devine cheia rezolvarii unei varietati de alte pro-bleme din diferite arii ale matematicii si chiar din afara matematicii (vedeti[Robbiano si Kreuzer, 2000]).

De aceea, teoria bazelor Groebner a devenit un subiect important de cercetareın algebra computationala, generand un interes constant datorita utilitatii unel-telor computationale create, care se aplica unor largi clase de probleme dinmatematica, inginerie si informatica.

Bazele Groebner1 au fost introduse ın 1965 de Bruno Buchberger2 ın teza sade doctorat [Buchberger, 1965]. Ideea de baza din spatele acestei teorii poatefi descrisa ca o generalizare a teoriei polinoamelor ıntr-o variabila. In inelulpolinomial k[X ], unde k este un corp, orice ideal I poate fi generat de unsingur element, si anume de cel mai mare divizor comun al elementelor dinI. Fiind data o multime de generatori {f1, ..., fs} ⊆ k[X ] pentru I, se poatecalcula un polinom d = cmmdc (f1, ..., fs) astfel ıncat I = (f1, ..., fs) = (d).Atunci un polinom f ⊆ k[X ] se afla ın I, daca si numai daca restul ımpartiriilui f la d este zero. Bazele Groebner sunt analoagele cmmdc-urilor ın inelelepolinomiale de mai multe variabile, ın urmatorul sens: o baza Groebner pen-tru un ideal I ⊆ k[X1, ..., Xn] genereaza I si un polinom f ⊆ k[X1, ..., Xn]este ın I, daca si numai daca restul ımpartirii lui f la polinoamele din baza

1Voi folosi acesta scriere a numelui ın locul scrierii Grobner2Doctorandul lui Wolfgang Grobner

iii

Groebner este zero. Daca sintetizam, teoria bazelor Groebner rezolva prob-leme de tipul urmator: avand dat sistem de ecuatii polinomiale peste un corparbitrar f1 (x1, ...xn) = 0,...,fs (x1, ...xn) = 0 si o noua ecuatie polinomialaf (x1, ...xn) = 0, vrem sa aflam daca solutiile sistemului initial sunt si solutiilenoii ecuatii. Desigur, aceasta problema depinde de corpul unde cautam o ast-fel de solutie. In oricare din cazuri, o parte importanta a problemei consta ına decide daca f apartine idealului I generat de f1, ...fs, adica sa existe poli-noamele g1, ..., gs astfel ıncat f = g1f1 + ... + gsfs. Daca f ∈ I, atunci oricesolutie a sistemului f1 = ... = fs = 0 este si solutie pentru f = 0. Deci, o bazaGroebner poate fi vazuta ca un sistem special de generatori pentru idealul Icu proprietatea ca problema apartenentei lui f la idealul I se rezolva printr-osimplu proces de ımpartire cu rest.

Aceasta caracterizare abstracta a bazelor Groebner este numai o fata ateoriei. De fapt, ideile din spatele acestei caracterizari au existat si ınaintede lucrarea lui Buchberger. De exemplu, Macaulay a folosit ın [Macaulay, 1927]astfel de idei pentru a detrmina anumiti invarianti ai idealelor din inelele poli-nomiale si Hironaka ın lucrarea [Hironaka, 1964] a folosit idei similare pentru astudia inelele de serii de puteri.

Adevarata importanta a bazelor Groebner este de fapt ca acestea se potcalcula si algoritmul lui Buchberger a facut din bazele Groebner un subiect cudrepturi depline ın algebra3.

Algoritmii de natura geometrica s-au format ca o stiinta de sine statatoare(geometria computationala), oferind solutii pentru multe dintre problemele prac-tice de natura geometrica din diverse domenii — design arhitectural, ingineriecivila si militara, transporturi, ecografie, ecologie, etc. Geometria computationalaeste, de asemenea, activitatea de a demonstra teoreme de geometrie folosind cal-culatorul, rezultatele ın acest domeniu fiind ınsa doar ale geometriei.

Studiul sistematic al algoritmilor si a structurilor de date pentru obiectele ge-ometrice poate fi facut daca obiectelor geometrice li s-au identificat proprietatile(de obicei altele decat cele caracterizarile geometrice clasice). Astfel de pro-prietati vom ıncerca sa gasim ın lucrarea de fata.

Teza este structurata ın 6 capitole.Folosind ın cadrul teoriei bazelor Groebner tehnici din combinatorica, geome-

trie poliedrala si geometrie computationala, se poate crea conceptul de regiuneGroebner pentru un ideal al unui inel de polinoame. In Capitolul 1 am con-struit un algoritm care sa calculeze ın O(nlogn) regiunea Groebner a unui idealprincipal ın doua nedeterminate, am implementat acest algoritm ın Singularsi am vizualizat obiectul creat folosind Mathematica. Acest algoritm asociazaunui obiect algebric un obiect geometric, care se poate vizualiza si folosi cu omai mare usurinta ın aplicatii. O parte din rezultatele acestui capitol le-amcomunicat ın cadrul a doua prelegeri la Scoala Nationala de Algebra - Editia aXIV-a, Septembrie 2005.

3pentru mai multe detalii puteti consulta [Robbiano si Kreuzer, 2000]

iv

Dupa ce ın Sectiunea 1.1 am prezentat cateva dintre proprietatile ide-alelor monomiale si ordonarilor monomiale ce ne sunt folositoare ın capitoleleurmatoare, ın Sectiunea 1.2 am folosit legatura dintre idealele initiale (inω) sibazele Groebner pentru a defini regiunea Groebner:

GR(I) = {ω ∈ Rn | inω(I) = inω′(I) pentru ω′ ≥ 0} .

Aceste doua sectiuni contin multe exemple originale, care permit o maibuna ıntelegere a notiunilor discutate. In Sectiunea 1.3, care este origi-nala, am construit algoritmul de determinare a regiunii Groebner pe urmatorulschelet: considerand polinomul f ∈ k[X, Y ] de forma: f = c1X

a1Y b1+c2Xa2Y b2+

... + cnXanY bn , c1, c2, ..., cn �= 0, fiecare vector vi = (ai, bi) determina ın planpunctul Ai(ai, bi). Pentru a calcula GR(I) suntem interesati de acele directiiω ∈ R2 astfel ıncat inω(I) = inω′(I) pentru ω′ ∈ R2

+, adica vrem sa gasimreuniunea tuturor multimilor cu elemente ω ∈ R2 astfel ıncat sa fie ındeplinitaconditia inω(I) = inω′(I), pentru ω′ ∈ R2

+. Conditia inω(I) = inω′(I) ınseamnade fapt sa gasim acele directii ω ∈ R2 astfel ıncat ωvi sa fie maxim, i = 1, n.Valoarea optima a functiei liniare ωv se obtine pe frontiera politopului New-ton New(f) si, mai exact, ıntr-un varf al frontierei H a lui New(f). Folosindacest rezultat, problema noastra se reduce la a afla, pentru fiecare varf din H ,directiile ω = (ω1, ω2) ∈ R2 astfel ıncat problema{

max(ω1x + ω2y)v = (x, y) ∈ New(f)

sa-si realizeze solutia ın varful considerat. In acest mod, vom determina de faptmultimile

Sωj =

{ω ∈ R2 | ωv ısi atinge maximumul ın punctul Aj , v ∈ New(f)

},

j = 1, m, unde m = este numarul de varfuri ale frontierei H . Atunci, algoritmulva determina regiunea Grobner astfel:

GR(I) =m⋃

j=1

(Sωj ∩ R2

+).

Rezultatele din acest paragraf au fost publicate ın [Bobe, 2006]. Aici ma simtdator sa amintesc discutiile avute pe aceasta tema cu domnul profesor GerhardPfister, la Workshop-ul “Cohen-Macaulay Rings and Related Structures” dinaprilie 2005 si cu doamna profesoara Viviana Ene ın cadrul pregatirii pentruSNA 2005. Aceste discutii au motivat scrierea unui astfel de algoritm, ca unpas important al unui algoritm ce calculeaza politopul de stare al unui ideal depolinoame.

In Sectiunea 1.4 am discutat detaliile de implementare ale fiecarui obiectdin algoritmul de determinare a regiunii Groebner aflat ın Anexa 1.6 si alesirurilor de caractere din Singular ce permit vizualizarea politopului Newtonsi a regiunii Groebner ın Mathematica. Sirurile de caractere contin de asemenea

v

si instructiuni de manipulare ın Mathematica. Tot ın aceasta sectiune am regasit(cu ajutorul algoritmului implementat) politopul Newton si regiunea Groebnerdin exemplul rezolvat teoretic ın Sectiunea 1.2.

In Sectiunea 1.5 am testat algoritmul de determinare a regiunii Groebnerpe cateva cazuri atipice, pentru a observa cum functioneaza algoritmul ın situatiiın care datele de intrare nu sunt conventionale si pentru a putea fi uzitat si ınalte aplicatii din capitolul urmator.

Scopul Capitolului 2 este de a aplica algoritmul de determinare a regiuniiGroebner la construirea, pentru un ideal I ⊂ k[X ], a unei corespondente bijec-tive ıntre diferitele ideale initiale si varfurile unui obiect geometric. Acest obiectva fi numit politopul de stare pentru I si ıl vom nota cu State(I).

In Sectiunea 2.1 am utilizat algoritmul de determinare a regiu-nii Groebner pentru a afla regiunea Groebner a fiecarei fete a unuipoliedru, folosindu-ma si de identitatea

faceω′(faceω(P )) = faceω+εω′(P ), ∀ω, ω′ ∈ Rn, ε > 0,

astfel: am gasit regiunea Groebner a fetei faceω(P ) (pe care o putem notacu GRω) si apoi am calculat regiunea Groebner a fetei faceω′(P ) (pe care amnotat-o cu GRω′). Daca vom intersecta cele doua regiuni GRω ∩ GRω′ vomobtine ca rezultat tocmai regiunea Grobner a fetei faceω+εω′(P ).

Pentru a putea aplica procedura de determinare a politopului New-ton folosita ın algoritmul din Capitolul 1, la calcularea sumei Minkowskia doua poliedre, ın Sectiunea 2.2 am exprimat poliedrele ca polinoame ınk[X ]. Dupa ce am facut aceasta transformare, am folosit rezultatul care leagasuma Minkowski de polinoamele obtinute, rezultat ce este o consecinta a iden-titatii faceω(New(f)) = New(inω(f)), ∀ω ∈ Rn si ∀f ∈ k[X ] si care afirma casuma Minkowski este tocmai politopul Newton al produsului polinoamelor.

In Sectiunea 2.3 am aplicat o rutina a algoritmului de determinarea regiunii Groebner pentru a construi fanul normal al unui poliedru.Conul normal al fiecarui varf al unui poliedru, precum si al fiecarei muchii sepoate gasi cu usurinta folosind algoritmul de determinare a regiunii Groebner,unde va trebui eliminata conditia de intersectie cu Rn

+ (pasul 6 din algorimul dedeterminare a regiunii Groebner). Reunind regiunile Groebner ale fetelor se vaobtine fanul normal al poliedrului.

Scopul Sectiunii 2.4 este de a construi politopul de stare pentru un ideal I ⊆k[X ]. Constatand ca ordonarile monomiale formeaza o multime nenumarabila,pentru un ideal fixat I le-am putea grupa totusi ıntr-un numar finit de clase deechivalenta. Daca vom nota clasa de echivalenta cu C[ω], atunci fanul Groebnerva fi dat de GF (I) = {C [ω] | ω ∈ Rn} ∪ ∅. In cazul particular ın care f este unpolinom omogen, politopul de stare ın putem calcula cu algoritmul dedeterminare a regiunii Groebner, deoarece este politopul Newton al lui f .

La sfarsitul secolului al XIX-lea, cateva dintre problemele importante dingeometria diferentiala au fost rezolvate datorita faimosului Program de la Erlan-gen al lui F. Klein ce a oferit ideea de a studia geometria prin anumite grupuri

vi

de transformari. Urmand ideile lui F. Klein, Gh. Titeica a studiat curbe sisuprafete obtinand importante proprietati afine, centro-afine si proiective aleobiectelor supuse transformarilor, descoperind ın 1907 o clasa de suprafete dinspatiul 3-dimensional (suprafetele S), ce sunt astazi exemple de sfere afine. Dinpunct de vedere istoric, Gh. Titeica a fost primul geometru ce a studiat sfer-ele afine folosind invarianti euclidieni. Aceste rezultate au fost generalizate lanotiuni precum hipersuprafete Titeica ıntr-o dimensiune arbitrara sau sfere afinepropriu-zise. O notiune geometrica importanta direct legata de hipersuprafeteleTiteica este functia distanta afina, cunoscuta de asemenea si ca functia suportafina [Nomizu si Sasaki, 1994]. O hipersuprafata Titeica poate fi caracterizataca locul geometric al punctelor care se afla la o distanta afina fixata fata de unpunct centru (considerat ca fiind originea) — de unde si terminologia de “sfereafine”.

Pornind de la ideea lui Titeica, ce afirma ca: “avand data o clasa de obiecte,pentru a le studia proprietatile ce sunt invariante fata de un anumit grup detransformari, trebuie sa consideram un element arbitrar al clasei de obiecte sisa vedem ce relatii satisface aceasta astfel ıncat aceste relatii sa fie invariantepentru ıntreaga clasa, la actiunea acelui grup”, ın Capitolul 3 am cautat relatiiıntre marimile caracteristice curbelor si suprafetelor ce se pastreaza sub actiuneatransformarilor centro-afine, idee ce ne va conduce la notiunea de suprafeteTiteica si am dat astfel un alt raspuns la ıntrebarea: “Cum si de ce au aparutsuprafetele Titeica?”.

In Sectiunea 3.1, pentru a ajunge la suprafete Titetica, am cautat mai ıntairelatii asemanatoare la curbe pe suprafete. Relatiile pe care le-am cautat suntıntre curbura curbelor si distanta de la origine la planul rectificant asociat. Amcercetat si daca aceste relatii sunt invariante la centro-afinitati. Acest studiul-am facut pe doua clase de suprafete: suprafetele tetraedrale ın deformare ST

(xm

m+1 +ym

m+1 +zm

m+1 = 1, m ∈ Z\{−1, 0}) si sferele astroidale ın deformare SA,anume cele date de ecuatia: x

22m+1 + y

22m+1 + z

22m+1 = 1, m ∈ N. Pentru ambele

clase de suprafete studiate (ST ) si (SA) am obtinut ca produsul K1 (x) · d (0, π)este constant doar ın cazul sferei uzuale si a celei astroidale, ce sunt singurelesuprafete din ST ∪ SA (singurele solutii ale ecuatiei m

m+1 = 22k+1 , m ∈ Z −

{−1}, k ∈ N sunt numai m = ±2, deoarece relatia se scrie k = m+22m ∈ N).

Obtinand ca relatia K1 (x) · d(0, π) = ct nu este invarianta pentru clasele deobiecte de mai sus, a trebuit sa cautam alta relatie ıntre aceste doua marimi.Relatia pe care am cercetat-o ın Sectiunea 3.2 este K1(x)

d3(0,π) = ct, inspirata dinforma expresiilor celor doua marimi.

Pentru ambele clase de suprafete studiate (ST ) si (SA) am obtinut ca ra-portul K1(x)

d3(0,π) este constant doar ın cazul sferei uzuale. Putem observa ca, desiaceasta relatie este un invariant centro-afin pentru curbele de intersectie dintresfera si un plan, ın momentul cand am trecut la alte clase de suprafete, relatianu ne ofera decat sfera. Cu alte cuvinte relatia K1(x)

d3(0,π) este destul de greu deındeplinit. Am fi putin descurajati la acest pas de strictetea relatiilor de tip

Kdn+1 , dar am insistat si ın momentul cand am trecut de la curbe pe suprafete

vii

la suprafete (adica am verificat Kd4 ), am constatat ca o ıntreaga clasa verifica

relatia: clasa suprafetelor S (numite astazi suprafete Titeica).

In Capitolul 4, am considerat geometria curbelor asimptotice asociatesuprafetelor Titeica, ceea ce ne-a condus la un nou invariant asociat cu-plului curba-suprafata Titeica. Rezultatele au fost sintetizate ın lucrarea[Agnew, Bobe si Boskoff, 2006] si au fost obtinute ın 2006. Utilizand limba-jul invariantilor, ca ın [Buchin, 1983], am observat ca distanta afina si sfer-ele afine sunt relativ invariante sub transformari liniare nesingulare arbitrarecare pastreaza centrul si sunt absolut invariante sub transformari care, ın plus,pastreaza volumul (i.e. determinantul). In aceasta lucrare am optat pentrutermenii curba/suprafata Titeica ın locul termenului de sfere afine propriu-zisesi functie Titeica (asociata curbei sau suprafetei date) ın loc de distanta afina(corespunzatoare unei curbe sau suprafete date). Formularile de mai sus pot ficoncentrate prin a spune ca curbele/suprafetele Titeica si functiile Titeica suntinvarianti centro-afini.

In Sectiunea 4.1 am considerat functia Titeica pentru curbe ın R3, stabilindinvariantul pentru curbe si relatia care exista ıntre functia Titeica pentruo curba si transformata centro-afina a acesteia. Totodata am obtinut, ca siconsecinta, rezultatul lui Titeica referitor la curbe Titeica.

Legand conceptul de suprafete Titeica de ecuatia Monge-Ampere, ın Sectiunea4.2 am definit functia Titeica pentru suprafete si am aratat invarianta acesteiapentru suprafete, obtinand ca rezultat particular cazul suprafetelor Titeica. Inplus, am determinat si relatia ın care se afla functia Titeica pentru o suprafatasi transformata ei centro-afina.

Unul dintre rezultatele clasice de geometrie diferentiala afina afirma ca liniileasimptotice ale unei suprafete Titeica sunt curbe Titeica. In Capitolul Invariantide tip Titeica am demonstrat acest rezultat ca un caz particular al unei teoremeenuntate ıntr-un caz mult mai general. In Sectiunea 4.3 am definit functiaTiteica pentru suprafata Euler si am oferit un contraexemplu rezultatuluiinvers, adica am sa gasit o curba Titeica pe o suprafata Titeica care nu estecurba asimptotica. Din cate stim, rezultatele acestei sectiuni nu au maifost discutate ın literatura de specialitate.

In Sectiunea 4.4 am tratat legatura dintre suprafetele Titeica si curbeleTiteica de pe aceste suprafete. Notiunea centrala a acestui studiu este cea decurbe asimptotice. Acesta analiza conduce la introducerea unui nou invari-ant asociat cuplului curba-suprafata Titeica, completand rezultatele dinsectiunile anterioare. Din ceea ce stim, acest rezultat nu a mai fost abordatın literatura de specialitate.

In Capitol 5 am extins configuratia Titeica pentru cercuri de raze egaleprezentata pe scurt ın Sectiunea 5.1 la elipse egale si am aratat ca problemaare sens pentru n elipse egale, generand astfel un lant Clifford. Aceste rezultatese gasesc ın lucrarea [Bobe si Boskoff, 2007].

In Sectiunea 5.2 am demonstrat doua rezultate ajutatoare pentru a putea

viii

extinde configuratia si la elipse de semiaxe egale si paralele cu axele de co-ordonate.

In Sectiunea 5.3 am introdus notiunea de lant Clifford pentru elipseegale si am enuntat si demonstrat doua rezultate ce generalizeaza configuratiainitiala.

Folosind programul Mathematica, ın Sectiunea 5.4 am implementat algo-ritmul de constructie al lantului Clifford pentru elipse egale si am vizualizatobiectele noi create.

In Capitolul 6 am discutat invariantii Titeica cu ajutorul programuluiMathematica. Suprafetele Titeica constituie un subiect excelent pentru a folosicapabilitatile de calcul simbolic ale programului Mathematica. Din acest motiv,acest capitol este ca un complement al capitolelor anterioare, oferind o imag-ine a discursului matematic si chiar o vizualizare a obiectelor implicate. Maimult, folosindu-ne de rezultatele teoretice obtinute ın Capitolul Invarianti detip Titeica, am dezvoltat un algoritm de verificare a apartenentei uneisuprafete la clasa suprafetelor Titeica. Acest algoritm se poate aplica nunumai pentru testarea proprietatii Titeica, dar si pentru verificarea invarianteiunei suprafete. Rezultatele acestui capitol au fost publicate ın[Agnew, Bobe, Boskoff si Suceava, 2006].

ix

Multumiri

Doresc sa adresez multumirile cuvenite tuturor celor care, direct sau indirect,prin sugestiile oferite au contribuit la slefuirea acestui demers stiintific si m-ausustinut ın finalizarea lui.

Pe tot parcursul efectuarii acestei lucrari am beneficiat de sprijinul per-manent al doamnei profesoare Mirela Stefanescu, conducatorul stiintific al tezeimele de doctorat, careia ıi aduc, pe aceasta cale, cele mai sincere multumiri pen-tru ındrumarea activitatii mele stiintifice si pentru exigenta manifestata fata delucrare.

Multumesc doamnei profesoare Viviana Ene pentru sugestiile oferite la parteade algebra, idei ce mi-au fost de un real folos ın elaborarea acestei teze.

Multumesc domnului profesor Wladimir Boskoff, care cu generozitate, rabdaresi profesionalism, a ıncurajat permanent continutul ideatic si stiintific al cercetariimele si pentru sprijinul personal si ıncrederea pe care mi le acorda ın viata simai ales ın cariera.

De asemenea tin sa le multumesc domnilor profesori Bogdan Suceava, Al-fonso Agnew si Laurentiu Homentcovschi, pentru exactitatea sugestiilor si pu-terea de sinteza ce-au manifestat-o de-a lungul articolelor scrise ımpreuna.

In cele din urma as dori sa exprim recunostiinta si multumire mamei, sotieisi fiicei mele, pentru sustinerea, ıntelegerea si linistea pe care mi-au acordat-ope parcursul acestor ani de studiu.

1

Capitolul 1

Algoritm pentru

determinarea regiunii

Groebner a unui ideal

Bazele Groebner constituie o unealta fundamentala ın algebra comutativa compu-tationala. Aceasta teorie a evoluat rapid si datorita introducerii unor tehnicidin combinatorica si geometria poliedrala. In particular, aceste tehnici suntfolosite pentru a crea conceptul de regiune Groebner pentru un ideal al unuiinel polinomial.

In acest capitol vom construi un algoritm care sa calculeze regiunea Groebnera unui ideal principal ın doua nedeterminate, vom implementa acest algoritmın Singular1 si vom vizualiza obiectul creat folosind Mathematica2.

Unul dintre pasii algoritmului de constructie a regiunii Grobner consta ın de-terminarea politopului Newton asociat. Acesta joaca un rol central la intersectiadrumurilor algebrei, geometriei si combinatoricii. Pentru a putea construi acestobiect, vom avea nevoie, mai ıntai, de cateva notiuni de baze Groebner, or-donari monomiale si ordonari ponderate. Vom ıncerca sa producem un drumde abordare a problemelor noastre cat mai scurt, prezentand numai notiunilesi rezultatele necesare ın continuare. Nu vom da demonstratii, dar vom trimiteexact la cartile ce le contin. Vom prefera, cand este posibil, trimiterea la carteade algebra computationala a doamnei profesor Viviana Ene [Ene, 2002], dar sila cartea [Cox, Little si O’Shea, 1992].

1.1 Ideale monomiale. Ordonari monomiale

Scopul acestei sectiuni introductive este de a descrie idealele monomiale si de acerceta proprietatile lor ce ne vor folosi ın capitolele urmatoare.

1A se vedea [Pfister, 2001]2A se vedea [Wolfram, 2007]

2

Orice monom X i11 X i2

2 ...X inn din inelul k[X ] = k[X1, X2, ..., Xn] este unic

determinat de n-uplul (i1, i2, ..., in) ∈ Nn.Notatiile utilizate sunt cele care au intrat deja ın traditie. Le vom aminti,

totusi.Convenim sa notam monomul X i1

1 X i22 ...X in

n cu Xα, unde α = (i1, i2, ..., in).Multiindicele α se va numi multigradul lui Xα; vom nota

α = multideg Xα

Gradul lui Xα este:|α| = i1 + i2 + ... + in.

Definitia 1.1.1. Un ideal I al lui k[X1, X2, ..., Xn] se numeste ideal mono-mial daca admite un sistem de generatori format numai din monoame, decidaca exista o submultime A a lui Nn astfel ıncat

I = (Xα|α ∈ A).

Exemplul 1.1.2. 1. Idealul I = (X2, Y Z, XZ) ⊂ k[X, Y, Z] este monomial.

2. Idealul I = (X4 + Y 2, X2) ⊂ k[X, Y ] este monomial pentru ca admite sisistemul de generatori {X2, Y 2}.

Urmatoarele afirmatii (fara demonstratii aici) se regasesc ın [Cox, Little si O’Shea, 1992],paginile 69-70, cu demonstratiile aferente.

Propozitia 1.1.3. Fie I ∈ k[X1, X2, ..., Xn] un ideal monomial si f un polinomdin k[X1, X2, ..., Xn]. Urmatoarele proprietati sunt echivalente:

1. f ∈ I.

2. Fiecare termen al lui f se afla ın I.

3. f este o combinatie k-liniara de monoame din I.

Corolarul 1.1.4. Doua ideale monomiale ale lui k[X1, X2, ..., Xn] coincid dacasi numai daca ele contin aceleasi monoame.

Teorema 1.1.5. (Lema lui Dickson) Fie I ∈ k[X1, X2, ..., Xn] un idealmonomial. Atunci exista o multime finita de monoame care genereaza I.

Corolarul 1.1.6. Fie I ⊂ S un ideal monomial. Din orice sistem de generatorimonomiali al lui I se poate extrage un sistem de generatori finit.

Corolarul 1.1.7. Orice ideal monomial din k[X1, X2, ..., Xn] are un unic sistemde generatori minimal format numai cu monoame. Acesta cuprinde elementeleminimale ın multimea monoamelor din I ordonata cu divizibilitatea.

Observatia 1.1.8. Un ideal monomial nu are un unic sistem de generatoriminimal. De exemplu, pentru idealul I = (X, Y ) ⊂ R[X, Y ], orice sistem degeneratori de forma {X, aX + Y }, a ∈ R, este minimal.

3

Sa notam cu M multimea monoamelor din inelul k[X1, X2, . . . , Xn], deci

M = {Xα| α ∈ Nn}.

Functiamultideg : M → Nn, Xα �→ α,

este izomorfism de la monoidul (M, ·) la monoidul (Nn, +), cu transportulrelatiilor introduse pe M. Deci orice relatie de ordine pe M compatibila cuınmultirea determina o relatie de ordine pe Nn compatibila cu adunarea si re-ciproc.

Definitia 1.1.9. O relatie de ordine ≤ pe M (respectiv pe Nn) se numesteordonare monomiala daca satisface urmatoarele conditii:

(i) este totala, adica pentru orice Xα, Xβ ∈ M, Xα < Xβ sau Xα = Xβ sauXα > Xβ (pentru orice α, β, γ ∈ Nn, α < β sau α = β sau α > β).

(ii) este compatibila cu ınmultirea monoamelor, adica daca Xα < Xβ siXγ este un monom arbitrar, atunci Xα+γ < Xβ+γ (este compatibilacu adunarea ın Nn, adica daca α < β, atunci, pentru orice γ ∈ Nn,α + γ < β + γ).

(iii) ≤ este ordine buna, adica orice submultime nevida a lui M (respectiv Nn)are prim element.

Ultima conditie din definitia de mai sus este echivalenta cu faptul ca oricesir strict descrescator de elemente din M (respectiv din Nn) este finit.

Propozitia 1.1.10. Fie ≤ o relatie de ordine totala pe M care satisface conditia(ii) din Definitia 1.1.9. Atunci ≤ este ordonare monomiala daca si numai daca1 este prim element ın M (sau, echivalent, 0 este prim element al lui Nn.)

Demonstratie. A se vedea [Ene, 2002], pg. 50.�

Definitia 1.1.11. (Ordonarea lexicografica) Fie

α, β ∈ Nn, α = (i1, i2, . . . , in), β = (j1, j2, . . . , jn).

Atunci α este mai mic decat β ın ordonarea lexicografica si scriem

α <lex β

(sau, echivalent, Xα <lex Xβ ın M) daca exista 1 ≤ t ≤ n astfel ıncat i1 =j1, i2 = j2, . . . , it−1 = jt−1 si it < jt, cu alte cuvinte, ın vectorul diferentaα−β = (i1−j1, . . . , in−jn) cea mai din stanga componenta nenula este negativa.

In Singular ordonarea lexicografica se noteaza cu lp.

4

Exemplul 1.1.12. 1. In inelul k[X, Y, Z], XY 3Z5 <lex X2Y Z sau, echivalent,α = (1, 3, 5) <lex β = (2, 1, 1) ın N3, deoarece α − β = (−1, 2, 4).2. Consideram urmatoarea ordonare a nedeterminatelor ıninelul k[X1, . . . , Xn]:

X1 >lex X2 >lex . . . >lex Xn.

Exista, evident, n! posibilitati de a ordona nedeterminatele ın inelul polinoamelorın n nedeterminate. In cazul ın care nu vom da o ordonare explicita, consideramnedeterminatele ordonate ca mai sus.3. In inelul k[X, Y, Z] avem urmatoarea ordonare a monoamelor de gradul doi:

X2 >lex XY >lex XZ >lex> Y 2lex > Y Z >lex> Z2.

1.2 Regiunea Groebner a unui ideal

Fie k un corp si k [X ] = k [X1, ..., Xn] inelul polinoamelor ın n nedeterminate.Fie < o ordonare monomiala fixata si I un ideal ın k[X ].

Pentru f ∈ k[X ] − {0} vom nota cu

in<(f) = monomul dominant al lui f ın ordonarea <,

si cuin<(I) = (in<(f)|f ∈ I, f �= 0)

idealul initial al lui I.

Definitia 1.2.1. O submultime finita G = {g1, ..., gr} ⊂ I se numeste bazaGroebner pentru I ın ordonarea <, daca in<(I) = (in<(g1), ..., in<(gr)).

Definitia 1.2.2. Fie ω ∈ Rn. Pentru orice polinom f =∑

v∈Nn

avXv ∈ k[X ],

definim forma initiala inω(f) =∑

v′∈Nn

av′Xv′, unde vectorii v′ maximizeaza

ω · v′ ın {v | av �= 0}, adica ω · v′ ≥ ω · v, pentru orice v cu av �= 0 (i.e. se vorconsidera ın suma decat monoamele ce au produsul scalar ω · v maxim).

Definitia 1.2.3. Pentru un ideal I ⊂ k[X ] definim forma initiala a idealuluiI: inω(I) = (inω(f) | f ∈ I).

Exemplul 1.2.4. Fie I idealul generat de

f (X1, X2) = 4X61X2

2 + 5X51X3

2 − X41 + 3X2

1X42 + X2

1 + X1X2 + X32 + 7.

Calculam forma initila pentru ω = (2, 1) si ω = (1, 1). Vectorii v cu av �= 0sunt: v1 = (6, 2), v2 = (5, 3), v3 = (4, 0), v4 = (2, 4), v5 = (2, 0), v6 = (1, 1),v7 = (0, 3), v8 = (0, 0).

Pentru ω = (2, 1) avem ca ω · vi = {14, 13, 8, 8, 4, 3, 3, 0}, i = 1, 8 si maxi-mumul acestei liste este 14 dat de ω · v1. Atunci inω(f) = X6

1X22 si inω(I) =

(X61X2

2 ). Acesta este un ideal monomial.

5

Pentru ω = (1, 1) avem ca ω ·vi = {8, 8, 4, 6, 2, 2, 3, 0}, i = 1, 8 si maximumulacestei liste este 8 dat de ω · v1 si ω · v2. Atunci inω(f) = 4X6

1X22 + 5X5

1X32 si

inω(I) = (4X61X2

2 + 5X51X3

2 ). Acesta nu este un ideal monomial.

Definitia 1.2.5. Fie ω ∈ Rn+ si < o ordonare monomiala fixata. Definim

ordonarea monomiala ponderata <ω, astfel: pentru a, b ∈ Nn avem ca

a <ω b ⇐⇒ ω · a < ω · b sau (ω · a = ω · b si a < b) .

Lema 1.2.6. Pentru orice ideal I ⊂ k[X ] avem relatia:

in<(inω(I)) = in<ω(I).

Demonstratie. A se vedea [Sturmfels, 1996], pagina 4.�Exemplul 1.2.7. Fie idealul I = (f), unde f este polinomul din Exemplul1.2.4, < ordonarea lexicografica cu X1 > X2 si ω = (1, 1). Atunci

in<(inω(I)) = in<(4X61X2

2 + 5X51X3

2 ) = (X61X2

2 )

pentru ca X61X2

2 > X51X3

2 . Daca vom calcula in<ω(I) ca in Definitia 1.2.5obtinem acelasi rezultat ca ın Lema 1.2.6, adica in<ω(I) = (X6

1X22 ).

Corolarul 1.2.8. Fie ω ∈ Rn+ si G o baza Groebner pentru I ın ordonarea

ponderata <ω. Atunci {inω(g) | g ∈ G} este o baza Groebner pentru inω(I) ınordonarea <.

Demonstratie. Fie G = {g1, g2, ..., gr} o baza Groebner pentru I ın ordonarea<ω. Din definitia bazei Groebner si Lema 1.2.6 rezulta ca

in<ω(I) = in<(inω(I)) = (in<ω(g1), in<ω(g2), ..., in<ω(gr)) =

= (in<(inω(g1)), in<(inω(g2)), ..., in<(inω(gr))) .

Deci,

in<(inω(I)) = (in<(inω(g1)), in<(inω(g2)), ..., in<(inω(gr))) ,

adica idealul initial al lui inω(I) este generat de monoamele initiale ale multimiiinω(g1), inω(g2), ..., inω(gr) si aceasta este tocmai definitia bazei Groebner pen-tru inω(I). Putem concluziona ca {inω(g) | g ∈ G} este o baza Groebner pentruinω(I) ın ordonarea < .�Corolarul 1.2.9. Daca ω ∈ Rn

+ si inω(I) este un ideal monomial, atunciinω(I) = in<ω(I).

Vom da un exemplu ın care vom calcula inω si in<ω pentru un ideal:

Exemplul 1.2.10. Fie idealul I = (f), unde f polinomul din Exempul 1.2.4si < este ordonarea lexicografica (X1 > X2). Sa consideram ω = (2, 1) si vomverifica relatia inω(I) = in<ω(I).

Forma initiala inω(I) = (X61X2

2 ) este un ideal monomial si este aceeasi ca siin<ω(I). Pentru ω = (1, 1) forma initiala inω(I) = (4X6

1X22 + 5X5

1X32 ) nu mai

este ideal monomial si este diferita de in<ω(I) = (X61X2

2 ).

6

Urmatoarea propozitie gaseste, pentru orice ordonare monomiala <, un vec-tor ω care reprezinta ordonarea monomiala si care este mult mai usor de folositdecat <. Pentru demonstratie se va vedea [Sturmfels, 1996], paginile 4-5.

Propozitia 1.2.11. Pentru orice ordonare monomiala < si orice ideal I ⊂k[X ], exista un vector ω ∈ Nn astfel ıncat inω(I) = in<(I).

Definitia 1.2.12. Fie ω ∈ Rn si < o ordonare monomiala astfel ıncat inω(I) =in<(I). ω se numeste o ordonare monomiala pentru I ce reprezintaordonarea monomiala <.

Definitia 1.2.13. Fie I ⊂ k[X ] un ideal. Definim regiunea Groebner pentruI, GR(I) ca fiind multimea tuturor acelor ω ∈ Rn astfel ıncat inω(I) = inω′(I)pentru ω′ ≥ 0.

Putem formaliza definitia regiunii Groebner astfel:

GR(I) = {ω ∈ Rn | inω(I) = inω′(I) pentru ω′ ≥ 0} . (1.2.1)

Observatia 1.2.14. GR(I) contine Rn+.

Exemplul 1.2.15. Pentru idealul I = (f), unde f este polinomul din Exemplul1.2.4, vom calcula GR(I).

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

� �

A8

A5

A6

A3

A1

A2

A4

A7

d1

d2

d3d4

d5

d6

Fig. 1.a: Politopul Newton pentru Exemplul 1.2.15

Fiecare vector exponent vi din scrierea f =∑

v∈Nn

avXv ∈ k[X ], cu avi �= 0 de-

termina un punct Ai ın plan, asa cum se poate vedea ın Fig. 1.a. Infasuratoareaconvexa a acestor puncte este hexagonul A1A2A4A7A8A3.

Pentru a calcula GR(I), suntem interesati sa cautam acei vectori ω ∈ R2

astfel ıncat inω(I) = inω′(I) pentru ω′ ∈ R2+, adica vrem sa gasim, pentru

fiecare element (varf sau muchie) al ınfasuratoarei convexe, toate directiile ω =(ω1, ω2) ∈ R2 astfel ıncat ele sa maximizeze ω ·vi pe acoperirea convexa. In plus,regiunile asociate fiecarui varf sau muchii trebuie sa aiba intersectia nevida cuprimul cadran al lui R2.

7

Deci, trebuie sa gasim acele directii care se situeaza ıntre vectorii normali aidreptelor d1 si d4. In Figura 2 avem toate directiile posibile divizate ın clase.Factorizarea directiilor se face prin varurile si muchiile ınfasuratoarei convexe.Astfel, regiunea Groebner este zona marcata cu sageata circulara, adica:

GR(I) ={(ω1, ω2) ∈ R2 | ω1 + ω2 > 0 si 2ω1 + ω2 > 0

}.

Celelalte zone (nemarcate) maximizeaza produsul ω · vi, dar intersectia cuprimul cadran este vida.

1 2 3 4 5−1−2−3

1

2

3

4

−1

−2

GR(I) = {(ω1, ω2) : ω1 + ω2 > 0 ∧ 2ω1 + ω2 > 0}

Fig. 1.b: Regiunea Groebner pentru idealul din Exemplul 1.2.15

1.3 Interpretari geometrice si algoritmi

Vom construi un algoritm pentru aflarea regiunii Groebner GR(I) pentru unideal principal I = (f), f ∈ k[X, Y ], pe care ıl vom implementa ın Singular.Vizualizarea regiunii Groebner o vom realiza cu Mathematica. Rezultatele dinacest paragraf au fost comunicate la Scoala Nationala de Algebra - Editia aXIV-a si au fost publicate ın [Bobe, 2006]. Trebuie mentionate si discutiileavute pe aceasta tema cu domnul profesor Gerhard Pfister, la Workshop-ul“Cohen-Macaulay Rings and Related Structures” din aprilie 2005, ce au mo-tivat scrierea unui astfel de algoritm ca un pas important al unui algoritm cecalculeaza politopul de stare al unui ideal polinomial.

Sa consideram polinomul f ∈ k[X, Y ] de forma: f = c1Xa1Y b1 +c2X

a2Y b2 +... + cnXanY bn , c1, c2, ..., cn �= 0. Fiecare vector vi = (ai, bi) determina ın planpunctul Ai(ai, bi). Pentru a calcula GR(I) suntem interesati de acele directiiω ∈ R2 astfel ıncat inω(I) = inω′(I) pentru ω′ ∈ R2

+(primul cadran), adicavrem sa gasim reuniunea tuturor multimilor de elemente ω ∈ R2 astfel ıncat

8

sa fie ındeplinita conditia inω(I) = inω′(I), pentru ω′ ∈ R2+. Din definitia lui

inω(I) (Definitia 1.2.3), conditia inω(I) = inω′(I) ınseamna de fapt sa gasimacele directii ω ∈ R2 astfel ıncat ωvi sa fie maxim, i = 1, n.

Sa consideram:

New(f) = conv({v1, ..., vn}) =

⎧⎨⎩

n∑j=1

λjvj | λj ∈ R+ ,

n∑j=1

λj = 1

⎫⎬⎭

politopul Newton pentru f .Observam imediat ca problema noastra foloseste idei din programarea liniara.

Intr-adevar, dintr-o teorema de programare liniara ([Dantzing, 2003], pg. 16-18)stim ca valoarea optima a functiei liniare ωv se obtine pe frontiera lui New(f)si, mai exact, ıntr-un varf al frontierei H a lui New(f). Folosind acest rezul-tat, problema noastra se reduce la a afla, pentru fiecare varf din H , directiileω = (ω1, ω2) ∈ R2 astfel ıncat problema{

max(ω1x + ω2y)v = (x, y) ∈ New(f)

sa-si realizeze solutia ın varful considerat. In acest mod, vom determina de faptmultimile

Sωj =

{ω ∈ R2 | ωv ısi atinge maximumul ın punctul Aj , v ∈ New(f)

},

j = 1, m, unde m = este numarul de varfuri ale frontierei H .Atunci:

GR(I) =m⋃

j=1

(Sωj ∩ R2

+).

Exemplul 1.3.1. Pentru a putea construi un algoritm sa observam mai ıntaicum se poate calcula Sω

2 pentru I = (f), f din Exemplul 1.2.4. PolitopulNewton al lui f este dat de acoperirea convexa a punctelor Ai, i = 1, 8, adicahexagonul ce are ca laturi dj , j = 1, 6 (vedeti Figura 1). Asa cum am descrismai sus, Sω

2 ınseamna multimea tuturor acelor ω = (ω1, ω2) ∈ R2 astfel ıncatωv ısi atinge maximumul ın punctul A2. Asadar avem de rezolvat urmatoareaproblema: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

max(ω1x + ω2y) = 5ω1 + 3ω2

y ≥ x − 4y ≤ −x + 8y ≤ − 1

3x + 143

y ≤ 12x + 3

x ≥ 0y ≥ 0

Daca consideram dreapta d : ω1x + ω2y = t, atunci nd = (ω1, ω2) estevectorul normal al acestei drepte. Deci, vectorul normal al dreptei de stare

9

ω1x + ω2y = t ce satisface conditiile problemei se afla ıntre nd2 = (1, 1) sind3 = (1, 3) asa cum putem observa si din Figura 1.b. Deci,

Sω2 = {(ω1, ω2) : −ω1 + ω2 ≥ 0 ∧ 3ω1 − ω2 ≥ 0} .

Asa cum am vazut mai sus, primul obiect important ce intervine ın constructiaregiunii Groebner este ınfasuratoarea convexa a unei multimi cu n > 2 puncte,obiect ce este de fapt frontiera lui New(f).

Ideea de baza pentru a gasi ınfasuratoarea convexa n puncte ın plan ınO(n log n) timp este urmatoarea ([Preparata, 1985], pg. 100): vom consideraun punct P al ınfasuratoarei convexe. Putem folosi ca punct P punctul deordonata minima ce apartine ınfasuratoarei convexe. In cazul ın care existamai multe puncte cu acelasi y minim, ıl vom alege dintre acestea pe acela cux maxim. In exemplul nostru, acest punct este A3. Dupa ce am ales punctulP , vom sorta unghiular ın functie de P , ın sens trigonometric, toate puncteleramase. Pentru a rezolva situatiile ın care avem coliniaritati, folosim urmatoarearegula: daca unghiul A este egal cu unghiul B, atunci spunem ca A < B daca‖A − P‖ < ‖B − P‖, adica este considerat mai ıntai punctul mai apropiat deP . Pentru exemplul nostru, punctele sortate sunt: A1, A2, A4, A7, A6, A5, A8.Vom procesa punctele ın ordinea data de sortarea anterioara pentru a construiincremental ınfasuratoarea convexa. La fiecare pas, ınfasuratoarea convexa estecorecta pentru punctele anterior examinate, dar punctele procesate ulterior voraduce schimbari deciziilor deja luate.

Infasuratoarea convexa este memorata ıntr-o lista circulara S, avand ca el-emente puncte. Initial, lista contine toate punctele: S = {A3, A1, ..., A3}. Unpunct Ai este sters din S, daca acest punct formeaza o ıntoarcere ın sens inverstrigonometric (la dreapta), adica determinantul format cu punctele Ai−1, Ai, Ai+1

este negativ (ex: A6) sau zero (ex: A5). Dupa ce am sters toate punctele cuaceasta proprietate, vom obtine ınfasuratoarea convexa S = {A3, A1, A2, A4, A7, A8, A3}.

Algoritmul ın pseudocod este (a se vedea [Preparata, 1985]):

Algoritm Infasuratoarea convexaInput : n > 2 puncte A1, ..., An.Output : Infasuratoarea convexa a acestor puncte.1. Gasim punctul cu ordonata minima (daca sunt mai multe ıl consideram

pe cel mai din dreapta) pe care-l notam cu P .2. Sortam unghiular ın jurul lui P toate punctele:

2.1. Daca avem coliniaritati, consideram primul punct cel mai apropiatde P .

2.2. Etichetam punctele A1, A2, ..., An−1.3. Lista S = (P, A1, A2, ..., An−1, P ).4. i = 1.Cat timp i < n

daca Ai formeaza o ıntoarcere la dreapta cu (Ai−1, Ai+1)atunci eliminam Ai din S

5. Afisam S.

10

Avand algoritmul de mai sus, vom determina dreptele ce ne vor da GR(I).Aceste drepte sunt determinate de vectorii normali exteriori ai laturilor ınfasuratoareiconvexe. Pentru fiecare latura AiAi+1 (unde Ai = (ai, bi)) a ınfasuratoarei con-vexe, vectorul normal este ni = (bi+1 − bi, ai − ai+1). Daca vrem ca sa avemnumai vectori normali exteriori trebuie sa verificam daca ni este orientat spreexteriorul ınfasuratoarii convexe, adica punctele Ai, Ai+1 si Ni au orientarenegativa, unde Ni = (αi, βi) este translatia vectorului ni ın Ai:∣∣∣∣∣∣

ai bi 1ai+1 bi+1 1αi βi 1

∣∣∣∣∣∣ < 0. (1.3.1)

Asadar, vectorul normal exterior nei = ni, daca conditia 1.3.1 este indeplinita si

nei = −ni, ın cazul contrar.

Avand vectorii normali exteriori {ne1, ..., n

em}, unde m este numarul de puncte

din ınfasuratoarea convexa, pastram doar acei vectori cu ambele componentepozitive:

{ne

i , nei+1..., n

ej

}(vectorii normali exteriori sunt consecutivi deoarece

laturile ınfasuratoarei convexe sunt sortate). Atunci, GR(I) este regiunea aflataıntre (ın sens trigonometric) dreptele ce trec prin (0, 0) si au vectori directorine

i−1 si nej+1.

In cazul ın care avem n ≤ 3, politopul Newton si regiunea Groebner sepot calcula direct astfel: pentru n = 1 politopul Newton este chiar punctulsi regiunea Groebner este R2; pentru n = 2 politopul Newton este segmentulformat cu cele doua puncte si regiunea Groebner poate fi R2 sau un semiplan,ın functie de pozitia vectorului normal exterior al dreptei formata cu cele douapuncte.

Iata, algoritmul nostru pentru determinarea regiunii Groebner:

Algoritm: Regiunea GroebnerInput : I = (f), f = c1X

a1Y b1 + ... + cnXanY bn , c1, c2, ..., cn �= 0.Output : GR(I).1. Pentru fiecare monom al lui f : vi := (ai, bi), i = 1, n.2. Daca n < 2, atunci: GR(I) = R2; afiseaza GR(I).3. Daca n = 2, atunci:Calculeaza vectorul normal exterior ne = (a, b), a > 0. Daca b > 0, atunci:

3.1. GR(I) = R2; afiseaza GR(I).3.2. Altfel: GR(I) =

{(ω1, ω2) ∈ R2 | − bω1 + aω2 > 0

}; afiseaza GR(I).

4. Determina H :=Infasuratoarea convexa(v1, ..., vn) = {A1, ..., Am}, m =numarul de varfuri din ınfasuratoarea convexa.

5. Determina vectorii normali exteriori ai lui H : V := {ne1, ..., n

em}.

6. Pastram din V doar vectorii ce au ambele componente pozitive:{ne

i , nei+1..., n

ej

}.

7. Fie nei−1 = (ai−1, bi−1) si ne

j+1 = (aj+1, bj+1) vectorii directori ai dreptelorce ne dau regiunea Groebner GR(I). Atunci,

GR(I) ={(ω1, ω2) ∈ R2 | − bi−1ω1 + ai−1ω2 > 0 or bj+1ω1 − aj+1ω2 > 0

}8. Afiseaza GR(I).

11

1.4 Implementarea

Vom discuta implementarea ın Singular (vedeti Anexa 1.6) a algoritmului dedeterminare a regiunii Groebner si vom construi un sir de caractere, care, in-trodus si executat ın Mathematica, va produce imaginea regiunii Groebner.

Tratam mai ıntai cazurile ın care numarul de monoame este mai mic decat3. In aceste cazuri, vom construi direct politopul Newton si regiunea Groebner.Procedura showmat afiseaza ın Singular o matrice data si procedura multindcalculeaza vectorii exponenti si rezolva aceste cazuri particulare. Pentru acestecazuri, programul ne creeaza acum sirurile de caractere ce vor fi rulate ın Math-ematica. Semnificatia acestor siruri de caractere o vom da ın momentul ın carevom fi pe cazul general.

Programul principal ıncepe cu initializarea polinomului caruia vrem sa-i de-terminam politopul Newton si regiunea Groebner.

Urmand ideea algoritmului pentru determinarea ınfasuratoarei convexe, tre-buie sa determinam punctul de ordonata minima si, ın caz ca exista mai multepuncte de acest tip, ıl vom considera pe cel de abscisa maxima. Dupa ce amdeterminat acest punct, ıl vom aduce pe prima pozitie ın lista cu ajutorul pro-cedurii interchange.

Vom sorta ın sens trigonometric punctele ın raport cu unghiurile pe care leformeaza cu punctul gasit anterior (de ordonata minima). Procedura detpointsformeaza o submatrice 3 × 3 cu coordonatele punctelor dintr-un pas de sortaresi calculeaza determinantul acestei submatrice. Avand punctele sortate, putemconstrui lista circulara.

Procedura elimin are rolul de a sterge un punct din lista circulara construitaanterior. Folosind acesta procedura, putem afla politopul Newton al polinomuluif ca ın algoritmul de alfare a ınfasuratoarei convexe.

Urmand pasul 5 din algoritmul de determinare a regiunii Groebner, vom cal-cula vectorii normali exteriori politopului Newton cu ajutorul procedurii deterv.

Avem acum toate elementele pentru a implementa algoritmul pentru deter-minarea regiunii Groebner pentru orice polinom ın doua nedeterminate. Vari-abilele right si left indica semidreptele frontiera ale regiunii Groebner.

Putem construi ın Singular siruri de caractere ce ne vor permite vizualizareapolitopului Newton si a regiunii Groebner ın Mathematica. Sirurile de caracterecontin de asemenea si instructiuni de manipulare ın Mathematica.

Vom vedea cum lucreaza acest program pentru determinarea regiunii Groeb-ner a polinomului din Exemplul 1.2.4. Urmarind pasii din algoritm, programulva afisa fiecare obiect important pentru constructia sirului final de caractere.

The EXPONENT VECTORS are:6 25 32 44 00 32 0

12

1 10 0

The NUMBER of the points is:8

The POSITION of the RIGHTMOST LOWEST POINT is:4

The MATRIX before the sorting procedure is:4 05 32 46 20 32 01 10 0

The MATRIX with the POINTS SORTED angulary is:4 06 25 32 40 31 12 00 0

The CIRCULAR LIST of the points is:4 06 25 32 40 31 12 00 04 0

ELIMINATE the point from the POSITION7ELIMINATE the point from the POSITION6

THE NEWTON POLYTOPE is:

13

4 06 25 32 40 30 04 0

THE EXTERIOR NORMAL VECTORS are:2 -21 11 3

-1 2-3 00 -4

The POSITIONS of the FRONTIER HALF LINESof the Groebner region are:14

THE GROEBNER REGION is:GR(I)={(w1,w2) in R^2 | 2*w1+2*w2>0 or 2*w1+1*w2>0}

Putem observa ca regiunea Groebner determinata cu acest program esteaceeasi cu cea dedusa teoretic ın Sectiunea 1.2.

Rulajul programului ın Singular ne furnizeza sirurile de caractere si, urmandinstructiunile din ultimele randuri, vom transporta aceste siruri ıntr-un Note-book din Mathematica.

Show[Graphics[{RGBColor[0,1,0],PointSize[.03],Map[Point,{{4,0},{6,2},{5,3},{2,4},{0,3},{1,1},{2,0},{0,0}}],RGBColor[0,0,1],Map[Point,{{4,0},{6,2},{5,3},{2,4},{0,3},{0,0},{4,0}}],RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Line[{{4,0},{6,2},{5,3},{2,4},{0,3},{0,0},{4,0}}]},AspectRatio->Automatic,Axes->True]];Show[Graphics[{RGBColor[0,0,1],Thickness[.01],Map[Line[{{0, 0},#}]&,{{2,-2},{1,1},{1,3},{-1,2},{-3,0},{0,-4}}],RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Line[{{0,0},{2,-2}}],Line[{{0,0},{-1,2}}]},AspectRatio->Automatic,Axes -> True]];

Executand instructiunile de mai sus ın Mathematica, vom obtine reprezentareagrafica a obiectelor dorite (politopul Newton si regiunea Groebner), la fel ca ın

14

Figura 1.a si Figura 1.b din Sectiunea 1.2. Politopul Newton al punctelor initialese poate vedea ın figura de mai jos:

Fig. 1.1: Vizualizarea politopului Newton cu Mathematica

Regiunea Groebner este data de sectorul circular infinit din primul cadrance se afla ıntre cele doua semidrepte rosii suport:

Fig. 1.2: Reprezentarea regiunii Groebner ın Mathematica

1.5 Testarea algoritmului pe cazuri atipice

Pentru a vedea ca algoritmul de determinare a regiunii Groebner si imple-mentarea acestuia sunt complete, vom da 5 exemple. Acestea ilustreaza catevacazuri speciale, cum ar fi:

(i) axele de coordonate sa nu coincida cu dreptele suport ale unor laturi alepolitopului Newton;

15

(ii) regiunea Groebner este ıntreg planul (cu toate ca politopul Newton esteun triunghi);

(iii) politopul Newton este un segment si regiunea Groebner este ıntregplanul;

(iv) politopul Newton este un segment si regiunea Groebner este un semiplan;(v) politopul Newton este un punct.

Exemplul 1.5.1. Vom construi politopul Newton si regiunea Groebner pentrupolinomul:

f (X1, X2) = X51X2

2 + X41X4

2 + X41 + X2

1X52 + X1X

22 + X6

2 + X2.

Politopul Newton al acestui polinom nu are nici o latura care sa apartina axelorde coordonate, iar acest lucru ar putea cauza probleme ın algoritm. Dupa cumse va observa mai jos, programul functioneaza cu succes si ın acest caz.

Fig. 1.3: Politopul Newton pentru Exemplul 1.5.1

Fig. 1.4: Regiunea Groebner pentru Exemplul 1.5.1

16

The EXPONENT VECTORS are:4 45 22 50 64 01 20 1

The NUMBER of the points is:7

The POSITION of the RIGHTMOST LOWEST POINT is:5

The MATRIX before the sorting procedure is:4 05 22 50 64 41 20 1

The MATRIX with the POINTS SORTED angulary is:4 05 24 42 50 61 20 1

The CIRCULAR LIST of the points is:4 05 24 42 50 61 20 14 0

ELIMINATE the point from the POSITION4ELIMINATE the point from the POSITION

17

5

THE NEWTON POLYTOPE is:4 05 24 40 60 14 0

THE EXTERIOR NORMAL VECTORS are:2 -12 12 4

-5 0-1 -4

The POSITIONS of the FRONTIER HALF LINESof the Groebner region are:14

THE GROEBNER REGION is:GR(I)={(w1,w2) in R^2 | 1*w1+2*w2>0 or 0*w1+5*w2>0}

Exemplul 1.5.2. Daca vom construi regiunea Groebner pentru polinomul:

f (X1, X2) = X21X5

2 + X51X3

2 + X61X2

2 ,

vom constata ca aceasta este ıntreg planul, cu toate ca politopul Newton esteun triunghi.

The EXPONENT VECTORS are:6 25 32 5

The NUMBER of the points is:3

The POSITION of the RIGHTMOST LOWEST POINT is:1

The MATRIX before the sorting procedure is:6 2

18

5 32 5

The MATRIX with the POINTS SORTED angulary is:6 25 32 5

The CIRCULAR LIST of the points is:6 25 32 56 2

THE NEWTON POLYTOPE is:6 25 32 56 2

THE EXTERIOR NORMAL VECTORS are:1 12 3

-3 -4

The POSITIONS of the FRONTIER HALF LINESof the Groebner region are:33

THE GROEBNER REGION is:GR(I)={(w1,w2) in R^2 | 4*w1+-3*w2>0 or -4*w1+3*w2>0}

Exemplul 1.5.3. Programul trateaza si cazul ın care politopul Newton este unsegment, iar regiunea Grobner este ıntreg planul. Pentru a observa acest fapt,sa consideram polinomul:

f (X1, X2) = X21X4

2 + X51X3

2 .

THE NEWTON POLYTOPE is:5 32 4

THE GROEBNER REGION is:GR(I)={(w1,w2) in R^2 | -3*w1+1*w2>0 or 3*w1+-1*w2>0}

19

Fig. 1.5: Politopul Newton pentru Exemplul 1.5.2

Fig. 1.6: Regiunea Groebner pentru Exemplul 1.5.2

Fig. 1.7: Politopul Newton pentru Exemplul 1.5.3

Exemplul 1.5.4. Algoritmul raspunde corect si ın cazul ın care politopul New-ton este un segment, iar regiunea Groebner este semiplanul determinat de vec-torul normal al acestui segment. Regiunea Groebner nu mai este ıntreg planuldeoarece unul dintre semiplane are intersectia vida cu primul cadran si nu va ficonsiderat ın reuniune.

f (X1, X2) = X1X2 + X31X3

2 .

THE NEWTON POLYTOPE is:

20

Fig. 1.8: Regiunea Groebner pentru Exemplul 1.5.3

Fig. 1.9: Politopul Newton pentru Exemplul 1.5.4

3 31 1

THE GROEBNER REGION is:GR(I)={(w1,w2) in R^2 | 2*w1+2*w2>0}

Exemplul 1.5.5. In cazul ın care polinomul are decat un singur monom, pro-gramul va raspunde ca regiunea Groebner este tot planul.

f (X1, X2) = X1X2.

THE POLYNOMIAL HAS LESS THAN 2 MONOMIALS.

21

Fig. 1.10: Regiunea Groebner pentru Exemplul 1.5.4

THE NEWTON POLYTOPE is:1 1

THE GROEBNER REGION is: R^2 !

1.6 Anexa: Codul ın Singular al algoritmului de de-

terminare a regiunii Groebner

LIB "matrix.lib";intmat a[100][2];proc showmat(intmat a,int n){int i,j;intmat b[n][2];for (i=1;i<=n;i++){for (j=1;j<=2;j++){b[i,j]=a[i,j];}

}print(b);}proc multind(poly f){int m,j;while (f<>0){m++;for (j=1;j<=2;j++)

22

{a[m,j]=leadexp(f)[j];}f=f-lead(f);

}if (m<2){print("THE POLYNOMIAL HAS LESS THAN 2 MONOMIALS.");print("THE NEWTON POLYTOPE is:");showmat(a,m);print("THE GROEBNER REGION is: R^2.");exit;

}if (m==2){print("THE NEWTON POLYTOPE is:");showmat(a,m);print("");print("THE GROEBNER REGION is:");int vnx,vny;vnx=a[2,2]-a[1,2];vny=-(a[2,1]-a[1,1]);if (vnx*vny>0){string s4;s4="GR(I)={(w1,w2) in R^2 | "+string(-vny)+"*w1+"+string(vnx)+"*w2>0"+" or "+string(vny)+"*w1+"+string(-vnx)+"*w2>0"+"}";

s4;string s,s1,sg,s3;s="{"+string(a[1,1])+","+string(a[1,2])+"}"+","+"{"+string(a[2,1])+","+string(a[2,2])+"}";

s="{"+s+"}";s1="Show[Graphics[{RGBColor[0,0,1],PointSize[.03],Map[Point,"+s+"],RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Line["+s+"]},AspectRatio->Automatic,Axes->True]];";s1;sg="{"+string(vnx)+","+string(vny)+"}";sg="{"+sg+"}";s3="Show[Graphics[{RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Map[Line[{{0, 0}, #}] &,"+ sg+"]},AspectRatio->Automatic,Axes -> True]];";

23

s3;}else{if (vnx<=0){vnx=-vnx;vny=-vny;

}string s4;s4="GR(I)={(w1,w2) in R^2 | "+string(-vny)+"*w1+"+string(vnx)+"*w2>0"+"}";

s4;string s,s1,sg,s3;s="{"+string(a[1,1])+","+string(a[1,2])+"}"+","+"{"+string(a[2,1])+","+string(a[2,2])+"}";

s="{"+s+"}";s1="Show[Graphics[{RGBColor[0,0,1],PointSize[.03],Map[Point,"+s+"],RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Line["+s+"]},AspectRatio->Automatic,Axes->True]];";

s1;sg="{"+string(vnx)+","+string(vny)+"}"+","+"{"+string(-vnx)+","+string(-vny)+"}";

sg="{"+sg+"}";s3="Show[Graphics[{RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Map[Line[{{0, 0}, #}]&,"+ sg+"]},AspectRatio->Automatic,Axes -> True]];";s3;}print("");print("In order to see the Newton polytope and theGroebner region paste the last 7 output lines intoa Mathematica notebook and then evaluate the cellwith SHIFT RETURN");exit;

}print("");print("The EXPONENT VECTORS are:");showmat(a,m);n=m;}

int n;ring r=0,(x,y),Dp;

24

//Introduce the polynomial!poly f=4x6y2+5x5y3-x4+3x2y4+x2+xy+y3+7;multind(f);

print("");print("The NUMBER of the points is:");n;int poz,i;//position of the rightmost lowest pointint ymin=a[1,2];poz=1;proc interchange(int i,int j){int tempx=a[i,1];int tempy=a[i,2];a[i,1]=a[j,1];a[i,2]=a[j,2];a[j,1]=tempx;a[j,2]=tempy;}for (i=1;i<=n;i++){if (a[i,2]<ymin){ymin=a[i,2];poz=i;

}else{if (a[i,2]==ymin){if (a[i,1]>a[poz,1]){poz=i;

}}

}}print("");print("The POSITION of the RIGHTMOST LOWEST POINT is:");poz;interchange(1,poz);

print("");print("The MATRIX before the sorting procedure is:");showmat(a,n);proc detpoints(intmat a,int i,int j,int k)

25

{intmat b[3][3]=a[i,1],a[i,2],1,a[j,1],a[j,2],1,a[k,1],a[k,2],1;return(det(b));}int temp;int t=0;while (t==0){t=1;for (i=2;i<n;i++){if (detpoints(a,1,i,i+1)<0){interchange(i,i+1);t=0;}else{if ((detpoints(a,1,i,i+1)==0) and (a[i,2]>a[i+1,2])){interchange(i,i+1);

}}

}}print("");print("The MATRIX with the POINTS SORTED angulary is:");showmat(a,n);

int j;intmat c[n+1][2];for (i=1;i<=n;i++){for (j=1;j<=2;j++){c[i,j]=a[i,j];

}}c[n+1,1]=a[1,1];c[n+1,2]=a[1,2];print("");print("The CIRCULAR LIST of the points is:");showmat(c,n+1);

int m=n+1;

26

proc elimin(int i){int k;for (k=i;i<m;i++){c[i,1]=c[i+1,1];c[i,2]=c[i+1,2];

}m=m-1;}print("");i=1;while (i<m-1){if (detpoints(c,i,i+1,i+2)>0){i=i+1;

}else{print("ELIMINATE the point from the POSITION");i+1;elimin(i+1);if (i<>1){i=i-1;}

}}print("");print("THE NEWTON POLYTOPE is:");showmat(c,m);

print("");print("THE EXTERIOR NORMAL VECTORS are:");int vx,vy;intmat v[m][2];proc deterv(int j,int vx,int vy){intmat b[3][3]=c[j,1],c[j,2],1,c[j+1,1],c[j+1,2],1,vx,vy,1;return(det(b));}for (i=1;i<m;i++){v[i,1]=c[i+1,2]-c[i,2];v[i,2]=-(c[i+1,1]-c[i,1]);vx=c[i+1,2]-c[i,2]+c[i,1];

27

vy=c[i,1]-c[i+1,1]+c[i,2];if (deterv(i,vx,vy)>0){v[i,1]=-v[i,1];v[i,2]=-v[i,2];

}}showmat(v,m-1);

int right;int left;i=1;while (i<m){if ((v[i,1]>0) and (v[i,2]>0)){right=i;i++;while ((v[i,1]>0) and (v[i,2]>0)){i++;}left=i;i++;

}else{i++;

}}right--;print("");print("The POSITIONS of the FRONTIER HALF LINESof the Groebner region are:");if (right==0){right=m-1;}print(right);print(left);print("");print("THE GROEBNER REGION is:");string s4;s4="GR(I)={(w1,w2) in R^2 | "+string(-v[right,2])+"*w1+"+string(v[right,1])+"*w2>0"+" or "+

28

string(v[left,2])+"*w1+"+string(-v[left,1])+"*w2>0"+"}";s4;print("");

string s,s1,s2,sg,s3;s="{"+string(c[1,1])+","+string(c[1,2])+"}";for (i=2;i<=m;i++){s=s+","+"{"+string(c[i,1])+","+string(c[i,2])+"}";}s="{"+s+"}";s2="{"+string(a[1,1])+","+string(a[1,2])+"}";for (i=2;i<=n;i++){s2=s2+","+"{"+string(a[i,1])+","+string(a[i,2])+"}";}s2="{"+s2+"}";s1="Show[Graphics[{RGBColor[0,1,0],PointSize[.03],Map[Point,"+s2+"],RGBColor[0,0,1],Map[Point,"+s+"],RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Line["+s+"]},AspectRatio->Automatic,Axes->True]];";s1;sg="{"+string(v[1,1])+","+string(v[1,2])+"}";for (i=2;i<m;i++){sg=sg+","+"{"+string(v[i,1])+","+string(v[i,2])+"}";}sg="{"+sg+"}";s3="Show[Graphics[{RGBColor[0,0,1],Thickness[.01],Map[Line[{{0, 0}, #}] &,"+ sg+"],RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Line[{{0,0},{"+string(v[right,1])+","+string(v[right,2])+"}}],Line[{{0,0},{"+string(v[left,1])+","+string(v[left,2])+"}}]},AspectRatio->Automatic,Axes -> True]];";s3;print("");print("In order to see the Newton polytope and the Groebnerregion paste the last 14 output lines into a Mathematicanotebook and then evaluate the cell with SHIFT RETURNThe NEWTON POLYTOPE is the polygon in red.The GROEBNER REGION is the sector which contains the firstquadrant between the two red straight lines.");

29

Capitolul 2

Aplicatii ale algoritmului

de determinare a regiunii

Groebner

Scopul acestui capitol este de a aplica algoritmul de determinare a regiuniiGroebner la construirea, pentru un ideal I ⊂ k[X ], a unei corespondente bijec-tive ıntre diferitele ideale initiale si varfurile unui obiect geometric pe care vatrebui sa-l construim. Acest obiect va fi numit politopul de stare pentru I siıl vom nota cu State(I). In particular, cand I = (f) este un ideal principal,State(I) este politopul Newton asociat. Pentru a putea construi State(I), vomavea nevoie, mai ıntai, de cateva notiuni de geometrie poliedrala.

2.1 Poliedru. Con. Fata a unui poliedru

Definitia 2.1.1. Vom numi poliedru o intersectie finita de semi-spatii ınchisedin Rn.

De aceea, un poliedru P poate fi scris ca:

P = {x ∈ Rn : Ax ≤ b}, A ∈ Mr×n(R), b ∈ Rn.

Definitia 2.1.2. O submultime C ⊂ Rn se numete con daca

C = {λ1u1 + ... + λmum | λ1, ..., λm ∈ R+ , u1, ..., um ∈ Rn}.

Definitia 2.1.3. C∗ = {ω ∈ Rn | ω · c ≤ 0 , ∀c ∈ C} se numeste conul polaral conului C.

Vom evidentia notiunile de mai sus pe urmatorul exemplu:

Exemplul 2.1.4. Fie conul:

C = {λ1u1 + λ2u2 | λ1, λ2 ∈ R+ , u1 = (1, 3), u2 = (4, 2)} .

30

Conul polar al lui C este dat, conform definitiei, de:

C∗ = {ω ∈ R2 | ω · c ≤ 0 , ∀c ∈ C}.

Aceasta multime este de fapt multimea tuturor vectorilor din R2 care fac ununghi obtuz cu vectorii din C.

Pentru a determina acesti vectori, trebuie mai ıntai sa aflam dreptele cedetermina frontiera lui C. Aceste doua drepte trec prin origine si au vectoriiu1 = (1, 3) si u2 = (4, 2) respectiv, ca vectori directori. De aceea, ecuatiile sunt:

d1 : y = 3x,d2 : y = 1

2x.

Conul C este regiunea din primul cadran cuprinsa ıntre cele doua drepte, ca ınFigura 2.1, marcata cu o sageata circulara.

Fig. 2.1: Vizualizarea conului polar pentru Exemplul 2.1.4.

Daca vom gasi vectorii normali ai acestor drepte vN (d1) si vN (d2), atunciconul polar va fi situat ıntre semi-dreptele ce au ca vectori directori vN (d1) sivN (d2).

Vectorii normali sunt vN (d1) = (−3, 1) si vN (d2) = (1,−2) (Am determinatacesti vectori din conditia ui · vN (di) = 0, i = 1, 2). Deci, conul polar esteregiunea din Figura 2.1 marcata cu sageata circulara dubla.

In concluzie:

C∗ = {λ1vN (d1)+λ2vN (d2) | λ1, λ2 ∈ R+ , vN (d1) = (−3, 1), vN (d2) = (1,−2)}.

31

Definitia 2.1.5. Fie v1, ..., vm ∈ Rn. Definim acoperirea convexa a luiv1, ..., vm, ca fiind:

conv({v1, ..., vm}) =

⎧⎨⎩

m∑j=1

ajvj | aj ∈ R+ ,m∑

j=1

aj = 1

⎫⎬⎭ .

Definitia 2.1.6. Un poliedru P ⊂ Rn ce este marginit se numeste politop.

Exemplul 2.1.7. Cubul este un exemplu de politop 3-dimensional.

Observatia 2.1.8. Pentru un politop, exista vj ∈ Rn, j = 1, m astfel ıncatP = conv({v1, ..., vm}).

Definitia 2.1.9. Fie P un poliedru ın Rn si ω ∈ Rn vazut ca o funtionalaliniara. Definim o fata a lui P , ca fiind:

faceω(P ) = {u ∈ P |ω · u ≥ ω · v, ∀v ∈ P}.

Un alt mod de a descrie faceω(P ) este sa definim f : P −→ R prin f(x) = ω ·x. Daca f ısi atinge maximumul pe C, atunci faceω(P ) = {x ∈ P | f(x) este maxim}.Daca nu, atunci faceω(P ) = ∅. Putem de asemenea observa ca face0(P ) = P,ceea ce ınseamna ca P este o fata a lui P .

Observatia 2.1.10. Relatia dintre poliedre “P este fata a lui P ′” este tranz-itiva, datorita urmatoarei identitati de baza (pentru demonstratie, se poateconsulta [Lauritzen, 2002], pg. 6):

faceω′(faceω(P )) = faceω+εω′(P ), pentru ε > 0 suficient de mic. (2.1.1)

Fig. 2.2: Ilustrarea identitatii 2.1.1.

32

Exemplul 2.1.11. Putem discuta aceasta identitate pentru cubul 3-dimensional.Pentru acest exemplu, faceω(P ) este muchia din spate sus si ω′ este un vectorındreptat spre dreapta. In ambele cazuri, cand vom calcula, rezultatul va fiacelasi: punctul marcat din Figura 2.2, care este tocmai faceω′(faceω(P )).

Acest exemplu poate fi vazut ca o aplicatie a algoritmului dinCapitolul 1, deoarece modul de evaluare al obiectului face este lafel ca si cel al regiunii Groebner, si anume: pentru a evalua expresia dinpartea stanga (faceω′(faceω(P ))), vom calcula ın primul rand faceω(P ), adicavom determina care dintre fetele cubului maximizeaza functia ω ·x, cand ω estedat ca ın Figura 2.2, iar x va apartine cubului. Deplasandu-ne ın directia ω,maximumul va fi atins pe muchia superioara spate a cubului, pe care o vomnota cu m. Expresia devine acum faceω′(m), ceea ce ınseamna ca trebuie sagasim fata ce maximizeaza ω′ · x, cand ω′ este vectorul ındreptat spre dreapta,ca ın Figura 2.2, iar x va apartine muchiei m a cubului. Deplasandu-ne spredreapta, maximumul se atinge ın punctul scos ın evidenta ın Figura 2.2. Pentruexpresia din partea dreapta (faceω+εω′(P )), ne vom deplasa ın directia ω + εω′

pentru a maximiza (ω + εω′) ·x, cand x apartine cubului. Maximumul se atingeın acelasi punct marcat pe Figura 2.2.

Observatia 2.1.12. Algoritmul de determinare a regiunii Groebner se poateaplica si la determinarea regiunilor Grobner ale fetelor unui poliedru astfel:gasim regiunea Groebner a fetei faceω(P ) (pe care o putem nota cu GRω) siapoi vom calcula regiunea Groebner a fetei faceω′(P ) (pe care am notat-o cuGR′

ω). Daca vom intersecta cele doua regiuni GRω∩GR′ω vom obtine ca rezultat

tocmai regiunea Grobner a fetei faceω+εω′(P ).

Definitia 2.1.13. Definim dimensiunea unei fete F a unui poliedru P ,dimP (F ) = dimensiunea spatiului afin pe care-l genereaza si codimensiuneaeste codimP (F ) = dim(P ) − dimP (F ). O fata de codimensiune 1 se numestefateta. Fetele de dimensiune 0 si 1 sunt numite varfuri si muchii, respectiv.

Exemplul 2.1.14. Cubul 3-dimensional are exact 27 de fete:

8 fete de dimensiune 0 = 8 varfuri12 fete de dimensiune 1 = 12 muchii

6 fete de dimensiune 2 = 6 fete uzuale1 fata de dimensiune 3 = cubul.�

Teorema 2.1.15. Orice poliedru P poate fi scris ca suma P = Q + C dintr-unpolitop Q si un unic con C.

Demonstratie. A se vedea Sectiunea 8.2 din [Schrijver, 1998].�Definitia 2.1.16. Conul C din teorema anterioara se numeste con de rece-siune al poliedrului P .

Exemplul 2.1.17. Sa consideram poliedrul P din Figura 2.3. P se descompuneıntr-un politop Q si un con de recesiune C ca ın Figura 2.3. Conul de recesiuneeste dat de directiile celor doua muchii infinite.

33

Fig. 2.3: Ilustrarea descompunerii din Teorema 2.1.15.

2.2 Insumarea poliedrelor

In descompunerea din Teorema 2.1.15 aparea semnul de adunare ıntre poliedreleP si Q. Vom defini ın general suma a doua poliedre astfel:

Definitia 2.2.1. Vom numi suma Minkowski de poliedre:

P1 + P2 := {p1 ∈ P1, p2 ∈ P2}.

Observatia 2.2.2. Un element de baza la operatia de sumare Minkowski esteaditivitatea fetelor:

faceω(P1 + P2) = faceω(P1) + faceω(P2),

ceea ce ınseamna ca daca v este un varf al lui P1 + P2, atunci exista varfurileunice p1 al lui P1 si p2 al lui P2 astfel ıncat v = p1 + p2. Suma Minkowski adoua poliedre poate fi facuta astfel: fiecare varf al sumei Minkowski este sumavarfurilor sumanzilor. Unele sume de varfuri ne vor da puncte interioare sumeiMinkowski si nu varfuri ale ei. Sa observam de asemenea ca orice latura a luiP1 + P2 este translatie a unei laturi din P1 sau P2. Un alt mod de a calculasuma Minkowski il vom descrie mai jos ın aceasta sectiune.

Exemplul 2.2.3. Sa consideram doua poligoane A1A2A3A4 si B1B2B3B4,unde A1 = (0, 0), A2 = (−3, 2), A3 = (−2, 4), A4 = (0, 2) si B1 = (0, 0),B2 = (2, 0), B3 = (3, 3), B4 = (0, 3). Vrem sa calculam suma Minkowski aacestor doua poligoane, reprezentate si ın Figura 2.4.

34

Fig. 2.4: Poligoanele pe care le ınsumam Minkowski.

Asa cum am precizat mai sus, putem calcula aceasta suma prin doua metode.Prin prima metoda, putem aduna fiecare punct al primului poligon cu fiecarepunct al celui de-al doilea poligon si dupa aceea sa calculam politopul New-ton al acestor noi puncte. Pentru acest pas putem folosi si procedura dinalgoritmul de determinare a regiunii Groebner ce calcula politopulNewton asociat unui polinom. Vom preciza mai jos si rezultatele de careavem nevoie pentru aceasta metoda. A doua metoda va fi inspirata tot de algo-ritmul de determinare a regiunii Groebner, ın speta, de procedura ceordoneaza pantele tuturor segmentelor initiale. Oricare dintre metodeam folosi, rezultatul este acelasi, adica poligonul din Figura 2.5.

Fig. 2.5: Suma Minkowski a poligoanelor din Figura 2.4.

35

Pentru a putea aplica procedura de determinare a politopului New-ton folosita ın algoritmul din Capitolul 1, la calcularea sumei Minkowskia doua poliedre, vom exprima poliedrele ca polinoame ın k[X ]. Dupa ce amfacut aceasta transformare, vom avea nevoie de un rezultat care sa lege sumaMinkowski de polinoamele obtinute. Rezultatul pe care-l vom demonstra vaafirma ca suma Minkowski este tocmai politopul Newton al produsului poli-noamelor.

Lema 2.2.4. Pentru orice ω ∈ Rn si f ∈ k [X ] avem ca:

faceω(New(f)) = New(inω(f)).

Demonstratie. A se vedea [Sturmfels, 1996], pg. 12.�

Dam rezultatul de baza ın aplicarea algoritmului nostru din Capitolul 1 lasumarea Minkowski:

Lema 2.2.5. Fie f, g ∈ k [X ]. Atunci

New(f · g) = Mink(f, g),

unde prin Mink(f, g) ıntelegem suma Minkowski a politopilor Newton atasaticelor doua polinoame.

Demonstratie. Este suficient sa aratam ca cei doi politopi au aceleasi varfuri.Sa observam ca lema este adevarata pentru monoame. Daca f = Xa si g =Xb, atunci Mink(f, g) = Mink(Xa, Xb) = New(Xa) + New(Xb) = a + b =New(Xa+b) = New(Xa · Xb) = New(f · g).

Pentru cazul netrivial, avem: faceω(New(f · g)) Lema2.2.4= New(inω(f ·g)) = New(inω(f) · inω(g)) monoame= = New(inω(f)) + New(inω(g)) Lema2.2.4=faceω(New(f)) + faceω(New(g)) =Observatia2.2.2= faceω(New(f) + New(g)).

Putem concluziona ca cei doi politopi au aceeasi multime de varfuri, decivor fi egali.�

Cu ajutorul Lemei 2.2.5 am aratat ca procedura de calculare a politopuluiNewton din algoritmul de determinare a regiunii Groebner poate fi folosita cusucces pentru calcularea sumei Minkowski a doi politopi.

2.3 Determinarea fanului normal al unui poliedru

Vom aplica o rutina a algoritmului de determinare a regiunii Groebner pentrua construi fanul normal al unui poliedru.

Definitia 2.3.1. Fie P ⊂ Rn un poliedru si F o fata a lui P . Definim conulnormal al lui F ın P :

NP (F ) = {ω ∈ Rn : faceω(P ) = F}.

36

Utilizarea termenului de con ın Definitia 2.3.1 este ındreptatita de un rezul-tat ce afirma ca NP (F ) este un con (pentru demonstratie, se va consulta[Lauritzen, 2002], pg. 8).

Observatia 2.3.2. 1) dim(NP (F )) = n − dimP (F );2) Daca F si F ′ sunt fete ale lui P , atunci F ′ este fata a lui F daca si numai

daca NP (F ) este fata a lui NP (F′).

Demonstratie. [Mora si Robbiano, 1988].�

Exemplul 2.3.3. Fie f (X1, X2) = X51X2

2 + X41X4

2 + X41 + X2

1X52 + X1X

22 +

X62 + X2. Vrem sa calculam conurile normale ale fiecarei fete a politopului

P = conv(f).

Fig. 2.6: Politopul caruia ıi calculam fanul normal.

In Figura 2.6, pentru o muchie arbitrara di, conul normal NP (di) este o semi-dreapta ce trece prin origine si are ca vector director tocmai vectorul normal allui di, i.e. vN (di) (vedeti Figura 2.7).

Pentru un varf arbitrar Ai, conul normal NP (Ai) este un con dat de semi-dreptele ce au ca vectori directori tocmai vectorii normali ai muchiilor incidenteın Ai, i.e. vN (dj) si vN (dk).

Conul normal al fiecarui varf, precum si al fiecarei muchii se poate gasi cuusurinta folosind algoritmul de determinare a regiunii Groebner, undeva trebui eliminata conditia de intersectie cu primul cadran.

Se poate verifica si Observatia 2.3.2:

dim(NP (A7)) = 2 − dimP (A7) = 2 − 0 = 2,

ceea ce este adevarat, iar

A2 este o fata a lui d4 ⇐⇒ NP (d4) este o fata a lui NP (A2),

este de asemenea adevarata.

37

Fig. 2.7: Ilustratea conurilor normale pentru fiecare fata a politopului din Figura2.6.

Definitia 2.3.4. Un complex Δ este o colectie finita de poliedre din Rn astfelıncat

(i) daca P ∈ Δ si F este o fata a lui P , atunci F ∈ Δ;(ii) daca P1, P2 ∈ Δ, atunci P1 ∩ P2 este o fata a lui P1 sau a lui P2.

|Δ| =⋃

P∈Δ

P se numeste suportul complexului Δ.

Definitia 2.3.5. Un complex Δ format din conuri se numeste fan.

Definitia 2.3.6. Un fan Δ se numeste complet daca |Δ| = Rn.

Definitia 2.3.7. Colectia de conuri normale NP (F ), unde F parcurge multimeafetelor lui P :

N (P ) =⋃

F∈P

NP (F )

se numete fanul normal al lui P .

Folosirea termenului fan ın definitia de mai sus este justificata de rezultatulce afirma ca N (P ) este fan ([Lauritzen, 2002], pg. 9).

In Figura 2.7 avem ilustrat fanul normal al politopului din Figura 2.6.

Observatia 2.3.8. 1) |N (P )| = C∗, unde C este conul de recesiune al poliedru-lui P .

2) Daca Q este un politop, atunci |N (Q)| = Rn.

Demonstratie. 1) A se vedea [Mora si Robbiano, 1988].Pentru 2), daca Q este un politop, atunci conul lui de recesiune este {0} si

conul polar C∗ = Rn. Folosind 1), avem ca: |N (Q)| = C∗ = Rn.

38

Fig. 2.8: Poliedrul pe care vom ilustra Observatia 2.3.8.

Exemplul 2.3.9. Sa consideram poliedrul P din Figura 2.8 ce are doua laturiinfinite.

Vom ilustra primul punct din Observatia 2.3.8.Fanul normal N (P ) este dat, conform Definitiei 2.3.7, de reuniunea tuturor

conurilor normale ale fetelor poliedrului P . Aceste conuri normale se determinafolosindu-ne de algoritmul de determinare a regiunii Groebner modificat ca ınExemplul 2.3.3. Deci, suportul lui N (P ) va fi tocmai regiunea cuprinsa ıntresemidreptele ce pornesc din origine si au ca vectori directori (2,−1) si (1, 2),regiune ce este marcata pe Figura 2.9 cu un arc de cerc.

Conul de recesiune al poliedrului P este calculat ın Exemplul 2.1.17 si estedat de vectorii directori ai laturilor infinite ale poliedrului. Conul polar al acestuicon, adica C∗ este dat, conform Definitiei 2.1.3, de vectorii ce formeaza unghiobtuz cu vectorii din conul C. La noi, acesti vectori sunt cuprinsi ıntre (2,−1)si (1, 2), adica exact ıntre vectorii ce ne dadeau |N (P )| (In exemplul ales, conulde recesiune are laturile suport perpendiculare din cauza ca poliedrul initialare laturile infinite perpendiculare. Din acest motiv, conul polar al conului derecesiune are si el laturile suport perpendiculare).

Notiunea de fan normal se aplica si la definirea izomorfismului politopilor,astfel:

Definitia 2.3.10. Doi politopi Q si Q′ se numesc tare izomorfi daca N (Q) =N (Q′).

2.4 Fanul Groebner si politopul de stare al unui ideal

Scopul acestei sectiuni este de a construi, pentru un ideal I ⊂ k[X ], o corespondentabijectiva ıntre diferitele ideale initiale si varfurile unui obiect geometric pe care

39

Fig. 2.9: Ilustrarea Observatiei 2.3.8.

va trebui sa-l construim. Acest obiect va fi numit politopul de stare pentru Isi ıl vom nota cu State(I). In particular, cand I = (f) este un ideal principal,State(I) este politopul Newton asociat.

Din nou, amintim cateva notiuni necesare din teoria ordonarilor monomiale.

Definitia 2.4.1. Fie < o ordonare monomiala si I un ideal ın k[X ]. MonoameleXv /∈ in<(I), v ∈ Nn se numesc monoame standard.

Propozitia 2.4.2. Multimea monoamelor standard formeaza o k-baza pentruspatiul vectorial k[X]

I .

Demonstratie. Sa notam multimea din enunt cu

S = {[Xv] | v ∈ Nn, Xv /∈ in<(I)}

Fie λ1, .., λr ∈ k. Sa consideram o combinatie liniara nula de elemente dinS: λ1[Xv1 ] + ... + λr [Xvr ] = 0 unde vi ∈ Nn si Xvi /∈ in<(I), i = 1, r.

Dar f = λ1Xv1 + ... + λrX

vr ∈ I. Daca f �= 0, atunci in<(f) ∈ in<(I) ceeace ar fi o contradictie cu faptul ca f este scris ca o suma de monoame standard.Avem atunci ca f = 0 impica λ1 = λ2 = ...λr = 0, deci S este sistem liniarindependent.

Fie G = {g1, ..., gr} o baza Grobner pentru I ın raport cu <. Atunci in<(I) =(in<(g1), ..., in<(gr)).

Fie [f ] ∈ k[X]I . Atunci [f ] = [f

G], unde f

Geste o suma de termeni ce nu

sunt ın in<(I) i.e. suma de monoame standard si S este sistem de generatoripentru k[X]

I .�

Propozitia 2.4.3. Fie < si <2 doua ordonari monomiale. Daca in<1(I) ⊆in<2(I), atunci in<1(I) = in<2(I).

40

Demonstratie. Presupunem prin reducere la absurd ca avem incluziunestricta. Sa consideram spatiile vectoriale k[X]

in<1 (I) � k[X]in<2 (I) . Monoamele stan-

dard relativ la in<1(I), respectiv in<2(I) formeaza baza in k[X]I peste k. In-

cluziunea stricta ne duce la contradictie pentru ca de exemplu, un sistem liniarindependent din k[X]

in<2 (I) este maximal si adaugandu-i un element din k[X]in<1 (I) ce

nu este ın k[X]in<2 (I) , sistemul de vectori nu mai este liniar independent.�

Propozitia 2.4.4. Pe Nn, n ≥ 2 exista o multime nenumarabila de ordonarimonomiale.

Demonstratie. A se vedea [Lauritzen, 2002a].�

Cu toate ca ordonarile monomiale constituie o multime nenumarabila, pentruun ideal fixat I le putem grupa ıntr-un numar finit de clase de echivalenta, asacum vom arata ın teorema ce urmeaza.

Teorema 2.4.5. Fie I un ideal ın k[X ]. Atunci multimea

T = {in<(I) | < ordonare monomiala}

este finita.

Demonstratie. Sa presupunem ca T este infinita.Fie f ∈ I −{0}. f va fi atunci o suma finita de termeni (I = finit generat)si

ın consecinta f are cel putin un monom m1 ce apartine unei multimi infinite T1

de ideale initiale din TPutem gasi un ideal initial in<1(I) ın T1 astfel ıncat (m1) � in<1(I).(• (m1) trebuie sa se regaseasca printre elementele lui T1;• daca (m1) = in<1(I), ∀mi, dar cum (mi) sunt in numar finit (f =

∑mi),

rezulta ca T1 = este finita, contradictie).Deci (m1) � in<1(I). Din Propozitia 2.4.2, rezulta ca exista un monom

m ∈ in<1(I) − (m1) astfel ıncat [m] = λ1[n1] + ... + λr[nr] cu n1, n2, ..., nr

monoame /∈ (m1), adica putem gasi f1 ∈ I − {0} ce nu are monoame ın (m1).Fie (m2) un monom ce apartine unei multimi infinite T2 de ideale initiale

din T1.Analog putem gasi f2 ∈ I−{0} ce nu are monoame ın (m1, m2). Continuand

acest procedeu, putem gasi un lant infinit strict ascendent de ideale (m1) �(m1, m2) � ..., ceea ce contrazice faptul ca inelul k[X ] este noetherian. �

Folosindu-ne de aceasta teorema, putem ajunge la notiunea de baza Groeb-ner universala.

Definitia 2.4.6. Fie I un ideal ın k[X ]. O baza Groebner universala pentruI este o multime (finita) G ⊆ I ce este baza Groebner pentru orice ordonaremonomiala.

Corolarul 2.4.7. Fie I un ideal ın k[X ]. Atunci I are o baza Groebner uni-versala.

41

Demonstratie. Fie in<1(I), ..., in<m(I) idealele initiale (numar finit) ale luiI. Vom considera bazele Groebner G1, ..., Gm corespunzatoare idealelor de maisus.

Luand G = G1∪...∪Gm, aceasta este o baza Groebner pentru orice ordonaremonomiala, deci G este baza Groebner universala.�

Definitia 2.4.8. Fie I ⊂ k [X ] un ideal si v, ω ∈ Rn. Definim

v ∼ ω ⇐⇒ inv(I) = inω(I)

o clasa de echivalenta pe Rn. Clasa de echivalenta ce contine ω este

C [ω] = {v ∈ Rn | v ∼ ω}.

Propozitia 2.4.9. Fie ω ∈ Rn. Atunci C [ω] este un con ın Rn.

Demonstratie. A se vedea [Sturmfels, 1996], pg. 12.�

Lema 2.4.10. Fie ω ∈ Rn. Atunci C [ω] = NQ(faceω(Q)), unde Q = New(∏

g∈G

g)

si G este baza Groebner redusa 1 a lui I.

Demonstratie. A se vedea [Lauritzen, 2002], pg. 13.�

Propozitia 2.4.11. Fie GF (I) = {C [ω] | ω ∈ Rn} ∪ ∅. Atunci GF (I) este unfan.

Demonstratie. A se vedea [Lauritzen, 2002], pg. 14.�Avand rezultatul de mai sus putem acum sa definim

Definitia 2.4.12. GF (I) se numete fanul Groebner al lui I.

Politopul de stare se defineste pe baza fanului Groebner astfel:

Definitia 2.4.13. Fie M ⊂ Rn un politop. Spunem ca M este un politop destare pentru I, daca N (M) = GF (I).

Teorema 2.4.14. Fie I un ideal omogen ın k[X ]. Atunci exista un politopState(I) ⊂ Rn al carui fan normal N (State(I)) coincide cu fanul GroebnerGF (I).

Demonstratie. A se vedea [Sturmfels, 1996], pg. 14.�

Acum ne vom ıntoarce la cazul din algoritmul de determinare a regiuniiGroebner pentru a putea calcula politopul de stare.

Propozitia 2.4.15. Fie f un polinom omogen si I = (f) idealul principal pecare acesta ıl genereaza. Atunci politopul Newton New(f) este un politop destare pentru I.

1Daca nici un monom din multimea {in<(g1), ..., in<(gr)} nu este redundant, atunci bazaGroebner G se numeste minimala. Baza este numita redusa daca, pentru oricare doua ele-mente distincte g, g′ ∈ G, niciun termen al lui g′ nu este divizibil prin in<(g).

42

Demonstratie. Baza Groebner redusa a lui I ın raport cu orice ordonaremonomiala este data de sigletonul {f}. Folosind Lema 2.4.10, avem ca:

C [ω] = NNew(f)(faceω(New(f))),

i.e. clasele de echivalenta ale ordonarilor monomiale sunt fanul normal al poli-topului Newton New(f). Deci, conform Definitiei 2.4.13 State(I) = New(f).�

Corolarul 2.4.16. Fie G o baza Groebner universala pentru I (este o bazaGroebner redusa pentru I ın raport cu orice ordonare monomiala). Atunci∑

g∈G

New(g) = State(I).

43

Capitolul 3

Invarianti pre-Titeica

La sfarsitul secolului al XIX-lea, cateva dintre problemele importante din geome-tria diferentiala au fost rezolvate datorita faimosului Program de la Erlangenal lui F. Klein ce a oferit ideea de a studia geometria prin anumite grupuride transformari. Urmand ideile lui F. Klein, Gh. Titeica a studiat curbe sisuprafete obtinand importante proprietati afine, centro-afine si proiective aleobiectelor supuse transformarilor, descoperind ın 1907 o clasa de suprafete dinspatiul 3-dimensional (suprafetele S), ce sunt astazi exemple de sfere afine. Dinpunct de vedere istoric, Gh. Titeica a fost primul geometru ce a studiat sfereleafine folosind invarianti euclidieni. Un studiu asupra invariantului Titeica, de-scoperirea lui, generarea geometriei afine si dezvoltari ulterioare ale teoriei suntcuprinse ın lucrarea [Agnew, Bobe, Boskoff si Suceava, 2007].

Asa cum chiar Titeica afirma, avand data o clasa de obiecte, pentru a lestudia proprietatile ce sunt invariante fata de un anumit grup de transformari,trebuie sa consideram un element arbitrar al clasei de obiecte si sa vedem cerelatii satisface aceasta astfel ıncat aceste relatii sa fie invariante pentru ıntreagaclasa, la actiunea acelui grup. Mai exact, vom cauta relatii ıntre marimile car-acteristice curbelor si suprafetelor ce se pastreaza sub actiunea transformarilorcentro-afine, idee ce ne va conduce la notiunea de suprafete Titeica si dam astfelun alt raspuns la ıntrebarea: “Cum si de ce au aparut suprafetele Titeica?”.

3.1 Relatii liniare pentru curbe de pe suprafete ın de-

formare

Asa cum am spus mai sus, pentru a ajunge la suprafete Titetica, vom cauta maiıntai relatii asemanatoare la curbe pe suprafete. Relatiile pe care le vom cautasunt ıntre curbura curbelor si distanta de la origine la planul rectificant asociat.Vom cerceta daca aceste relatii sunt invariante la centro-afinitati.

Vom analiza cazul intersectiei sferei de raza R cu planul z = r < R (Figura3.1) si atunci cercul de intersectie are raza R1 =

√R2 − r2 si curbura lui este

K1 = 1R1

= 1√R2−r2 .

44

Fig. 3.1: Vizualizarea relatiei K1 · d = ct.

Distanta de la origine la planul rectificant ıntr-un punct la cerc este d =√R2 − r2 (Figura 3.1) si astfel vom obtine K1 · d = ct = 1.Pentru a vedea daca relatia K1 · d = ct caracterizeaza si alte curbe de

intersectie ale unor suprafete cu planul z = r, vom avea nevoie de expresiilegenerale pentru curbura unei curbe de pe o suprafata si distanta de la originela planul rectificant. Ele apar ın urmatoarea propozitie clasica.

Propozitia 3.1.1. Fiind data o curba plana c(x) = (x, f(x), ct) avem:

a) K1 (x) = |f ′′(x)|(√1+(f ′(x))2

)3 , K1 (x) fiind curbura curbei ıntr-un punct;

b) d (0, π) = |f(x)−xf ′(x)|√1+(f ′(x))2

, unde π este planul rectificant.

Revenim acum la ideea de a cauta curbe ce ındeplinesc relatia K1 · d = ct,unde K1 este curbura curbei si d este distanta de la origine la planul rectificantal curbei ıntr-un punct.

Sa consideram, suprafetele tetraedrale ın deformare, adica cele date de ecuatia:

xm

m+1 + ym

m+1 + zm

m+1 = 1, m ∈ Z \ {−1, 0},

pe care le vom nota cu ST . Mai ıntai sa observam ca pentru m = −2 seobtine x2 + y2 + z2 = 1, adica sfera uzuala S2, iar pentru m = 2 vom aveax

23 + y

23 + z

23 = 1, adica sfera astroidala S1.

Sa vedem cum arata aceste suprafete tetraedrale pentru cateva valori alelui m, m ∈ {3, 9}. In Figura 3.1 putem observa ca suprafata tetraedrala are oanumita curbura, iar ın Figura 3.1 curbura se estompeaza. Cu cat vom crestem, cu atat mai mult suprafata va deveni de curbura apropiata de zero.

Observatia 3.1.2. Pentru m = ±2, relatia K1 · d = ct este verificata.

Vom arata ca m = ±2 sunt singurele valori pentru care suprafetele (ST )verifica relatia K1 · d = ct.

45

Fig. 3.2: Suprafata tetraedrala pentru m = 3

Fig. 3.3: Suprafata tetraedrala pentru m = 9

Teorema 3.1.3. Curbele determinate de intersectia suprafetelor tetraedrale ındeformare (ST ) cu planul z = c < 1 verifica relatia K1 · d = ct (unde K1 estecurbura curbei de intersectie, iar d este distanta de la origine la planul rectificantal curbei) daca si numai daca m = ±2.

Demonstratie. Consideram curba de intersectie a suprafetei tetraedrale cuplanul z = c < 1. Notam cu a = 1 − c

mm+1 > 0. Atunci, aceasta curba verifica

ecuatia:x

mm+1 + y

mm+1 = a.

Deci, vom construi curba y = f(x) ın forma

f(x) = (a − xm

m+1 )m+1

m .

46

Conform Propozitiei 3.1.1, expresiile curburii si distantei vor fi:

K1 (x) =|f ′′ (x)|(√

1 + (f ′ (x))2)3 =

∣∣∣ am+1x

−2−mm+1 (a − x

mm+1 )

1−mm

∣∣∣[1 + x− 2

m+1 (a − xm

m+1 )2m

] 32

si

d (0, π) =|f (x) − xf ′(x)|√

1 + (f ′ (x))2=

∣∣∣a(a − xm

m+1 )1m

∣∣∣[1 + x− 2

m+1 (a − xm

m+1 )2m

] 12.

Astfel vom avea si relatia dintre curbura si distanta:

K1 (x) · d (0, π) =a2

|m + 1| ·x

−2−mm+1 (a − x

mm+1 )

1−mm + 1

m[1 + x− 2

m+1 (a − xm

m+1 )2m

]2 .

I. Pentru ca produsul K1 (x) ·d (0, π) sa fie constant, trebuie, ın primul rand,ca expresia sa nu mai depinda de x. Gasim: −2−m

m+1 = 0 =⇒ m = −2. Deci,pentru sfera uzuala, relatia este: K1 (x) · d (0, π) = 1 = ct.

II. Mai avem o posibilitate ca produsul K1 (x) · d (0, π) sa fie constant: ter-menii ce contin (a − x

mm+1 ) sa dispara, deci puterile la care apare ın produs sa

fie zero: 1−mm + 1

m = 0 =⇒ m = 2.Deci, pentru sfera astroidala relatia va fi: K1 (x) · d (0, π) = 1

3 = ct.�

Vom considera o alta clasa de suprafete, pe care le vom numi sfere astroidaleın deformare (SA), anume cele date de ecuatia:

x2

2m+1 + y2

2m+1 + z2

2m+1 = 1, m ∈ N.

Rezultatul Teoremei 3.1.3 se pastreaza pentru aceste suprafete, cum vomarata ın continuare. Pentru m = 0 se obtine x2 +y2 +z2 = 1, adica sfera uzualaS2, iar pentru m = 1 vom avea x

23 + y

23 + z

23 = 1, adica sfera astroidala S1.

Clasa acestor suprafete este mult mai interesanta deoarece ne ofera suportulvizual al deformarii. Sa vedem cum arata aceste suprafete pentru cateva valoriale lui m, m ∈ {1, 2, 3, 4}.

Teorema 3.1.4. Curbele determinate de intersectia sferelor astroidale ın defor-mare (SA) cu planul z = c < 1 verifica relatia K1 ·d = ct (unde K1 este curburacurbei de intersectie, iar d este distanta de la origine la planul rectificant alcurbei), daca si numai daca m = 0 sau m = 1.

Observatia 3.1.5. Pentru ambele clase de suprafete studiate (ST ) si (SA) amobtinut ca produsul K1 (x) · d (0, π) este constant doar ın cazul sferei uzuale sia celei astroidale, ce sunt singurele suprafete din ST ∪ SA (singurele solutii aleecuatiei m

m+1 = 22k+1 , m ∈ Z−{−1}, k ∈ N sunt numai m = ±2, deoarece relatia

se scrie k = m+22m ∈ N).

47

Fig. 3.4: Sferele astroidale ın deformare pentru m ∈ {1, 2}

Fig. 3.5: Sferele astroidale ın deformare pentru m ∈ {3, 4}

Vom analiza daca relatia K1 (x) · d (0, π) = ct ramane invarianta la trans-formarile centro-afine.

Propozitia 3.1.6. Relatia K1 (x) ·d (0, π) = ct nu este un invariant centro-afinpentru curbele determinate de intersectia dintre sfera si un plan oarecare.

Demonstratie. Cum curbele de intersectie sunt cercuri, iar transformata cen-troafina a unui cerc este o elipsa, va trebui sa aratam numai ca elipsa nu verificarelatia din enunt. Fara a restrange generalitatea problemei, vom considera oelipsa centrata ın origine.

Folosind expresiile pentru curbura si distanta din Propozitia 3.1.1, vomobtine:

K1 (x) · d(0, π) = a2b2

(a2 − x2

)−2[1 + b2

a2 x2 (a2 − x2)−1]2 = a2b2 a4 + x2(b2 − a2)

a4.

48

Expresia de mai sus nu poate fi constanta decat ın cazul ın care a = b,adica atunci cand elipsa este un cerc, ceea ce se stia deja. Asadar am aratat carelatia K1 (x) · d (0, π) = ct nu este un invariant pentru curbele de intersectieale planelor paralele cu xOy cu sfere.�

Inainte de a trece la alte relatii ıntre marimile fundamentale asociate curbelorsau suprafetelor, vom vedea daca, pentru curbele de intersectie de pe suprafeteletetraedrale ın deformare (ST ) si de pe sferele astroidale ın deformare (SA),relatia K1 (x) · d (0, π) = ct este un invariant.

Pentru a putea calcula curbura si distanta de la origine la planul rectificanta transformatei centro-afine a unei curbe de intersectie dintre sfera astroidala siun plan paralel cu xOy, avem nevoie mai ıntai de niste expresii generale (clasice)pentru curbura si distanta.

Propozitia 3.1.7. Fiind data o curba ın planul xOy de forma c(x) = (f1(x), f2(x), 0)avem:

a) curbura curbei ıntr-un punct este

K1 (x) =|f ′

1(x)f ′′2 (x) − f ′′

1 (x)f ′2(x)|(√

(f ′1(x))2 + (f ′

2(x))2)3 ,

b) distanta de la origine la planul rectificant este

d (0, π) =|f1(x)f ′

2(x) − f ′1(x)f2(x)|√

(f ′1(x))2 + (f ′

2(x))2,

unde π este planul rectificant.

Putem acum enunta rezultatul asupra invariantei relatiei date.

Propozitia 3.1.8. Relatia K1 (x) · d (0, π) = ct nu este un invariant centro-afin pentru curbele determinate de intersectia dintre sfera astroidala cu planulz = c < 1.

Demonstratie. Pentru simplificarea calculelor, putem presupune ca planulcu care intersectam este z = 0 si atunci ecuatia curbei de intersectie va fi:

x23 + y

23 = 1(astroida),

de unde vom sti imediat ca y =(1 − x

23

) 32.

Transformata centro-afina a curbei de mai sus este tot o curba plana ce vaavea ecuatiile parametrice date de:(

x,(1 − x

23

) 32)(

a1 a2

b1 b2

)=(

a1x + b1

(1 − x

23

) 32

, a2x + b2

(1 − x

23

) 32)

.

49

Pentru a putea folosi Propozitia 3.1.7, vom identifica

f1(x) = a1x + b1

(1 − x

23

) 32

si

f2(x) = a2x + b2

(1 − x

23

) 32

.

Calculand cubura si distanta cu ajutorul Propozitiei 3.1.7, vom deduce caprodusul lor este:

K1 (x) · d(0, π) =(detA)2

3x− 4

3((f ′

1(x))2 + (f ′2(x))2

)2 .

Astfel putem observa ca produsul K1 (x) ·d(0, π) poate fi constant doar dacanumaratorul x− 4

3 se simplifica cu expresia de la numitor((a1 − b1x

− 13

(1 − x

23

) 12)2

+(

a2 − b2x− 1

3

(1 − x

23

) 12)2)2

,

lucru ce nu este posibil.�

Observatia 3.1.9. Obtinand ca relatia K1 (x) · d(0, π) = ct nu este invariantapentru clasele de obiecte de mai sus, va trebui sa cautam alta relatie ıntre acestedoua marimi. Relatia pe care o vom cerceta este K1(x)

d3(0,π) = ct, inspirata din formaexpresiilor celor doua marimi. Pe parcursul studiului de mai sus putem observaca numitorii celor doua expresii sunt aceiasi, dar apar la puteri diferite. Inconsecinta, pentru a obtine o expresie constanta, trebuie sa ımpartim cele douaexpresii una la cealalta, dar sa tinem cont si de puterile la care apar factoriicomuni.

3.2 Raport pre-Titeica pentru curbele de pe suprafetele

ın deformare

Vom analiza cazul intersectiei sferei cu planul z = r < R; mai precis, vomverifica daca cercul de intersectie verifica relatia K1(x)

d3(0,π) = ct si mai ales dacaacesta relatie este invarianta la o transformare centro-afina.

Propozitia 3.2.1. Curba de intersectie dintre sfera centrata ın origine si deraza R cu planul z = r < R verifica relatia

K1 (x)d3(0, π)

= ct,

K1 (x) fiind curbura curbei ıntr-un punct, iar d(O, π) este distanta de la originela planul rectificant al curbei.

50

Demonstratie. Cercul produs de intersectia sferei cu planul z = r < R areraza R1 =

√R2 − r2, iar curbura lui este K1 = 1

R1= 1√

R2−r2 .Distanta de la origine la planul rectificant ıntr-un punct la cerc este d =√

R2 − r2 si astfel vom obtine

K1 (x)d3(0, π)

=1

(R2 − r2)2= ct.�

Avem nevoie de un rezultat general asupra acestei relatii:

Propozitia 3.2.2. Fiind data o curba plana c(x) = (x, f(x), ct) avem:

K1 (x)d3(0, π)

=|f ′′ (x)|

|f (x) − xf ′(x)|3.

Demonstratie. Folosim Propozitia 3.1.1 ce ne da expresiile pentru curburasi distanta pentru o curba plana si obtinem relatia din enunt.�

Avem si urmatorul corolar:

Corolarul 3.2.3. Cercul verifica relatia K1(x)d3(0,π) = ct.

Demonstratie. Daca vom considera un cerc centrat ın origine, atunci K1(x)d3(0,π) =

1R4 = ct.�

Vom cerceta daca aceasta relatie ramane invarianta pentru cerc la o trans-formare centro-afina.

Propozitia 3.2.4. Relatia K1(x)d3(0,π) = ct este un invariant centro-afin pentru

curbele determinate de intersectia dintre sfera si un plan oarecare.

Demonstratie. Cum curbele de intersectie sunt cercuri, iar transformatacentro-afina a unui cerc este o elipsa, va trebui sa aratam numai ca elipsa verificarelatia din enunt. Fara a restrange generalitatea problemei, vom considera oelipsa centrata ın origine. Folosind Propozitia 3.2.2, relatia noastra devine:

K1 (x)d3(0, π)

=1

(ab)2= ct.�

In Propozitia 3.2.4 am demonstrat invarianta, dar nu am aflat exact cum seschimba aceasta constanta din relatia K1(x)

d3(0,π) = ct. Acest lucru se poate observadin urmatoarea propozitie.

Propozitia 3.2.5. Pentru cerc avem relatia:

Kg1 (x)

d3g(0, π)

=1

(det M)2· Kf

1 (x)

dfg (0, π)

,

unde Kg1 (x) este curbura transformatei centro-afine a lui f (la noi f este un

cerc), M este matricea transformarii, iar dg(0, π) este distanta de la origine laplanul rectificant pentru transformata centro-afina a lui f .

51

Demonstratie. Transformata centro-afina a lui f este

g (x, y) =(a1x + b1

√R2 − x2, a2x + b2

√R2 − x2

).

Folosind Propozitia 3.1.7, vom deduce ca:

Kg1 (x)

d3g(0, π)

=detM · R2

(R2−x2)√

R2−x2

(det M)3 · R6

(R2−x2)√

R2−x2

=1

(det M)2· 1R4

=1

(det M)2· Kf

1 (x)

dfg (0, π)

.�

Observatia 3.2.6. Propozitia 3.2.5 ne va ajuta sa ıntelegem care este invari-antul la suprafete Titeica si mai ales cum se schimba constanta din relatia cecaracterizeaza suprafetele Titeica.

Vom studia acum ce conditie trebuie sa verifice suprafetele tetraedrale ındeformare (ST ) si sferele astroidale ın deformare (SA) pentru ca raportul K1(x)

d3(0,π)

sa fie constant si ın plus vom cerceta daca relatia K1(x)d3(0,π) = ct este un invariant

centro-afin pentru curbele de intersectie dintre acestea si un plan paralel cuxOy.

Teorema 3.2.7. Curbele determinate de intersectia suprafetelor tetraedrale ındeformare (ST ) cu planul z = c < 1 verifica relatia K1(x)

d3(0,π) = ct (unde K1 estecurbura curbei de intersectie, iar d este distanta de la origine la planul rectificantal curbei), daca si numai daca m = −2.

Demonstratie. Consideram curba de intersectie a suprafetei tetraedrale cuplanul z = c < 1. Notam cu a = 1 − c

mm+1 > 0. Atunci, aceasta curba verifica

ecuatia:x

mm+1 + y

mm+1 = a.

Vom scrie curba sub forma y = f(x), cu

f(x) = (a − xm

m+1 )m+1

m .

Tinand cont de Propozitia 3.2.2 si de Teorema 3.1.3, avem:

K1 (x)d3(0, π)

=1a2

·∣∣∣∣ 1m + 1

∣∣∣∣ · x−2−mm+1 (a − x

mm+1 )

−2−mm

I. Pentru ca produsul K1(x)d3(0,π) sa fie constant, trebuie, ın primul rand, ca

expresia sa nu mai depinda de x:

−2 − m

m + 1= 0 =⇒ m = −2.

In acest caz K1(x)d3(0,π) = 1

a2 = ct.

52

Deci pentru sfera uzuala relatia este:

K1 (x) · d (0, π) =1a2

= ct.

II. Mai avem o posibilitate ca produsul K1(x)d3(0,π) sa fie constant: termenii ce

contin (a − xm

m+1 ) sa dispara, deci puterile la care apare ın produs sa fie zero:

−2 − m

m= 0 =⇒ m = −2.

ce este tot sfera uzuala ca mai sus.�

Un rezultat asemanator putem stabili si pentru sferele astroidale ın defor-mare.

Teorema 3.2.8. Curbele determinate de intersectia sferelor astroidale ın de-formare (SA) cu planul z = c < 1 verifica relatia K1(x)

d3(0,π) = ct (unde K1 estecurbura curbei de intersectie, iar d este distanta de la origine la planul rectificantal curbei), daca si numai daca m = 0.

Observatia 3.2.9. Pentru ambele clase de suprafete studiate (ST ) si (SA) amobtinut ca raportul K1(x)

d3(0,π) este constant doar ın cazul sferei uzuale. Putemobserva ca, desi aceasta relatie este un invariant centro-afin pentru curbele deintersectie dintre sfera si un plan, ın momentul cand am trecut la alte clase desuprafete, relatia nu ne ofera decat sfera. Cu alte cuvinte relatia K1(x)

d3(0,π) estedestul de greu de ındeplinit. Am fi putin descurajati la acest pas de strictetearelatiilor de tip K

dn+1 , dar Titeica a insistat si ın momentul cand a trecut de lacurbe pe suprafete la suprafete (adica a verificat K

d4 ), a constatat ca o ıntreagaclasa verifica relatia: clasa suprafetelor S (numite astazi suprafete Titeica).

53

Capitolul 4

Invarianti de tip Titeica

In acest capitol, vom considera geometria curbelor asimptotice asociate suprafetelorTiteica, ceea ce ne va conduce la un nou invariant asociat cuplului curba-suprafata Titeica. Rezultatele au fost sintetizate ın lucrarea[Agnew, Bobe si Boskoff, 2006] si au fost obtinute ın 2006.

Gheorghe Titeica a avut una dintre primele contributii importante ın ge-ometria diferentiala afina de la ınceputul secolului 20, atunci cand si-a publicatrezultatele despre “S-suprafete”, numite mai tarziu suprafete Titeica. Acesterezultate au fost considerate ca fiind punctul de pornire al geometriei diferentialeafine. Aceste rezultate au fost generalizate la notiuni precum hipersuprafeteTiteica ıntr-o dimensiune arbitrara sau sfere afine propriu-zise. O notiune geo-metrica importanta direct legata de hipersuprafetele Titeica este functia distantaafina, cunoscuta de asemenea si ca functia suport afina [Nomizu si Sasaki, 1994].O hipersuprafata Titeica poate fi caracterizata ca locul geometric al punctelorcare se afla la o distanta afina fixata fata de un punct centru (considerat ca fiindoriginea) — de unde si terminologia de “sfere afine”.

Utilizand limbajul invariantilor, ca ın [Buchin, 1983], vom observa ca distantaafina si sferele afine sunt relativ invariante sub transformari liniare nesingu-lare arbitrare care pastreaza centrul si sunt absolut invariante sub transformaricare, ın plus, pastreaza volumul (i.e. determinantul). In aceasta lucrare amoptat pentru termenii curba/suprafata Titeica ın locul termenului de sfere afinepropriu-zise si functie Titeica (asociata curbei sau suprafetei date) ın loc dedistanta afina (corespunzatoare unei curbe sau suprafete date). Formularile demai sus pot fi concentrate prin a spune ca curbele/suprafetele Titeica si functiileTiteica sunt invarianti centro-afini.

In cele ce urmeaza, vom trece ın revista munca de pionierat a lui Titeica sivom trata notiunile legate de functia Titeica asociata unui cuplu curba-suprafataTiteica. In sectiunea 5.1, vom discuta despre rezultate ce privesc curbele Titeicadin spatiul tridimensional. Urmatoarea sectiune trateaza suprafetele Titeica,strans legate de ecuatiile Monge-Ampere. In sectiunea 5.3, vom prezenta un ex-emplu nou de suprafata Titeica provenit din considerarea pantei dreptei lui Euler

54

asociata unui triunghi ın plan si a ecuatiei Monge-Ampere corespunzatoare. Incele din urma, ın sectiunea finala a acestui capitol, vom introduce notiunea defunctie Titeica asociata cuplului curba-suprafata si vom arata ca si aceasta esteun invariant afin. Din cate stim, acest ultim rezultat si suprafata prezentata ınsectiunea 5.3 nu au mai fost discutate ın literatura de specialitate.

4.1 Functia Titeica pentru curbe ın R3

Fie c : I ⊂ R −→ R3 o curba ın spatiul 3-dimensional. Vom nota cu K2(c) (t)torsiunea curbei c ıntr-un punct c(t) si cu dc(t) distanta de la origine la planulosculator ıntr-un punct c(t).

Lema 4.1.1. Fie c : I ⊂ R −→ R3, c(t) = (x(t), y(t), z(t)) o curba ın spatiul3-dimensional. Atunci avem relatia:

K2(c)(t) = d2c(t) · Ic(t),

unde Ic(t) = det(·c(t),

··c(t),

···c (t))(

det(c(t),·c(t),

··c(t))

)2 este o functie de variabila t.

Demonstratie. In primul rand vom gasi torsiunea curbei ın functie de can-titatile care apar ın ecuatiile analitice ale reperului Frenet. Torsiunea unei curbeeste:

K2(c)(t) =det(

·c(t),

··c(t),

···c (t))∥∥∥ ·

c(t) × ··c(t)

∥∥∥2 .

Pe de alta parte, planul osculator ın punctul c(t) este planul generat de·c(t) si

··c(t). Atunci, dc(t) este proiectia lui c(t) pe directia normala la acest plan:

dc(t) =

∣∣∣∣∣∣c(t) ··c(t) × ··

c(t)∥∥∥ ·c(t) × ··

c(t)∥∥∥∣∣∣∣∣∣ .

Punand ımpreuna aceste doua expresii, vom avea:

K2(c)(t)d2

c(t)=

det(·c(t),

··c(t),

···c (t))(

det(c(t),·c(t),

··c(t))

)2 = Ic(t).�

Definitia 4.1.2. Vom numi cantitatea Ic(t) din Lema 4.1.1 functia Titeicapentru curba c : I ⊂ R −→ R3.

Definitia 4.1.3. Transformata centro-afina a curbei c : I ⊂ R −→ R3,c(t) = (x(t), y(t), z(t)) este o curba h : I ⊂ R −→ R3, h(t) = c(t) · M , undeM ∈ M3(R), det M �= 0.

55

Rezultatul important al acestei sectiuni este urmatoarea teorema ce sta-bileste invariantul pentru curbe si relatia care exista ıntre functiile Titeica pen-tru o curba si transformata centro-afina a acesteia.

Teorema 4.1.4. Fie h : I ⊂ R −→ R3 transformata centro-afina a curbeic : I ⊂ R −→ R3, c(t) = (x(t), y(t), z(t)). Atunci functia Titeica pentru curbeI·(t) = K2(·)(t)

d2· (t)este un invariant centro-afin si, ın plus, satisface relatia:

Ih(t) =1

detM· Ic(t).

Demonstratie. Fie M ∈ M3 (R) o matrice nesingulara. Atunci, transformatacentro-afina corespunzatoare curbei c are urmatoarea forma:

h(t) = c(t) · M = (x1(t), y1(t), z1(t)) .

Folosind relatia dintre torsiune si distanta dc(t) gasita ın Lema 4.1.1, putem de-duce relatia pe care o satisface transformata centro-afina h(t): Ih(t) = K2(h)(t)

d2(h)(t) =1

detM · det(·c(t),

··c(t),

···c (t))(

det(c(t),·c(t),

··c(t))

)2 = 1detM · K2(c)(t)

d2(c)(t) = 1det M · Ic(t).�

Avand rezultatul general, putem acum sa definim curbele Titeica:

Definitia 4.1.5. O curba c : I ⊂ R −→ R3 se numete curba Titeica dacafunctia Titeica Ic(t) este constanta.

Rezultatul lui Titeica referitor la invarianta functiei pentru curbe Titeicadevine corolarul Teoremei 4.1.4:

Corolarul 4.1.6. (Titeica) Transformata centro-afina a unei curbe Titeica estetot o curba Titeica. In plus, relatia pe care o satisfac cele doua curbe este:

Ih =1

detM· Ic.

Demonstratie. Din ipoteza, c este o curba Titeica, deci K2(c)(t)d2

c(t) = λ = Ic ∈R. Folosind Teorema 4.1.4, vom obtine ca K2(h)(t)

d2h(t)

= Ih ∈ R, asa cum aveamnevoie.�

4.2 Suprafete Titeica si ecuatii Monge-Ampere

Sa consideram ecuatia Monge-Ampere neomogena ın dimensiune 2, adica oecuatie cu derivate partiale de ordinul doi de forma:

(∂2u

∂x∂y

)2

− ∂2u

∂x2· ∂2u

∂y2= F (x, y), (4.2.1)

56

avand ca solutie u = u(x, y). In sectiunea 7.2.2 din [Polyamin si Zaitsev, 2004],pot fi gasite solutii exacte ale ecuatiei Monge-Ampere pentru diferite forme aletermenului neomogen F (x, y).

Vom defini conceptul care leaga suprafetele Titeica de ecuatia Monge-Ampere:

Definitia 4.2.1. Numim o suprafata f : U =◦U ⊂ R2 −→ R3, cu conditia ca

f(x, y) = (x, y, u(x, y)),

suprafata generata de ecuatia Monge-Ampere neomogena, unde u =u(x, y) este o solutie pentru ecuatia 4.2.1

Fie f : U =◦U ⊂ R2 −→ R3 o suprafata ın R3. Sa notam cu K(f) (p)

curbura Gauss a curbei f ın punctul p = (x, y) si cu df (p) distanta de la originela planul tangent suprafetei f ın puncul f(p).

Rezultatul ce leaga ecuatia Monge-Ampere de suprafete poate fi enuntat subforma:

Lema 4.2.2. Suprafata generata de ecuatia Monge-Ampere 4.2.1 satisface relatia:

K (f) (p) = d4f (p) · Jf (p) ,

undeJf (p) =

−F (x, y)(u (x, y) − x∂u

∂x − y ∂u∂y

)4 .

Demonstratie. Pentru suprafata generata de ecuatia Monge-Ampere 4.2.1

avem ca det (gij) = 1 +(

∂u∂x

)2+(

∂u∂y

)2

, unde gij sunt coeficientii primei formefundamentale a suprafetei si curbura Gauss pentru f ın punctul p = (x, y) este

K (f) (p) =−F (p)

(det (gij))2 ,

iar distanta de la origine la planul tangent la suprafata f ın punctul f(p) este:

d4f (p) =

(u (x, y) − x∂u

∂x − y ∂u∂y

)4

(det (gij))2.

Atunci, avem ca:

K (f) (p) = d4f (p)

−F (x, y)(u (x, y) − x∂u

∂x − y ∂u∂y

)4 = d4f (p) · Jf (p) .�

Definitia 4.2.3. Numim cantitatea Jf (p) din Lema 4.2.2 functia Titeica

pentru suprafata f : U =◦U ⊂ R2 −→ R3 .

57

Fie f : U =◦U ⊂ R2 −→ R3 o suprafata generata de ecuatia Monge-Ampere

4.2.1. Notam cu M ∈ M3(R), detM �= 0 o transformare centro-afina ın spatiul3-dimensional.

Definitia 4.2.4. Transformata centro-afina a suprafetei f este o suprafata

g : U =◦U ⊂ R2 −→ R3 data de:

g(x, y) = f(x, y) · M.

Urmatoarea teorema evidentiaza invarianta functiei Titeica pentru suprafetesi relatia ın care se afla functiile Titeica pentru o suprafata si transformata eicentro-afina.

Teorema 4.2.5. Fie f : U =◦U ⊂ R2 −→ R3 o suprafata generata de ecuatia

Monge-Ampere 4.2.1 si g transformata centro-afina a suprafetei f . Atunci,functia Titeica pentru suprafete J·(p) = K(·)(p)

d4· (p) este un invariant al trans-formarii si, ın plus, satisface relatia:

Jg(p) =1

(detM)2· Jf (p) .

Demonstratie. Prin calcul direct, se poate obtine ca distanta de la originela planul tangent la transformata centro-afina a lui f este:

d4g(p) = (detM)4

(u(x, y) − x∂u

∂x − y ∂u∂y

)4

(det Ix)2.

Avand si expresia curburii Gauss pentru transformata K (g) (p) = (det M)2

(det Ix)2(−F (x, y)),

putem obtine ca:

K(g)(p) =1

(detM)2·d4

g(p) · −F (x, y)(u(x, y) − x∂u

∂x − y ∂u∂y

)4 =1

(detM)2·d4

g(p) ·Jf (p),

ceea ce ınseamna ca:Jg(p) =

1(det M)2

· Jf (p) .�

Avand acest rezultat, putem reveni la contextul particular de suprafeteTiteica.

Definitia 4.2.6. O suprafata f : U =◦U ⊂ R2 −→ R3 se numeste suprafata

Titeica daca functia Titeica Jf (p) este constana.

Rezultatul lui Titeica referitor la invariantul pentru suprafetele S devineacum o consecinta Teoremei 4.2.5:

58

Corolarul 4.2.7. (Titeica) Transformata centro-afina a unei suprafete Titeicaeste tot o suprafata Titeica. Mai mult, invariantul centro-afin satisface relatia:

Jg =1

(detM)2· Jf .

Demonstratie. Stiind ca f este o suprafata Titeica, avem ca Jf este constantsi, folosind Teorema 4.2.5, obtinem imediat concluzia si relatia dorita.�

4.3 Functia Titeica pentru suprafata Euler

Panta dreptei lui Euler ın raport cu un triunghi ABC avand baza BC pe axaOx este data de formula:

me = −3 + m1m2

m1 + m2.

Aceasta panta genereaza suprafata:

fe(x, y) = (x, y,−3 + xy

x + y).

pe care o vom numi supratata Euler.Conexiunea dintre geometria afina a suprafetei si geometria triunghiului din

plan, precum si alte rezultate referitoare la aceste doua obiecte sunt cuprinse ınlucrarea [Agnew, Bobe, Boskoff, Homentcovschi si Suceava, 2006].

Fig. 4.1: Suprafata Euler.

59

Pentru suprafata Euler sunt simplu de verificat prin calcul direct urmatoarelerezultate:

Lema 4.3.1. 1. Suprafata Euler este generata de ecuatia Monge-Ampere:

(1e)(

∂2u

∂x∂y

)2

− ∂2u

∂x2

∂2u

∂y2=

12(x + y)4

.

2. Suprafata Euler generata de ecuatia Monge-Ampere (1e) este o suprafataTiteica cu functia Titeica Je = − 1

108 .

3. Transformata centro-afina a suprafetei Euler este o suprafata Titeica,avand functia Titeica asociata −1

108·(detM)2, unde M ∈ M3(R), detM �= 0

este transformarea centro-afina.

Demonstratie. Prin calcul direct din Lema 4.2.2 si Teorema 4.2.5.�

4.4 Invarianti tip Titeica pentru cuplul curba-suprafata

In aceasta ultima sectiune vom trata legatura dintre suprafetele Titeica si curbeleTiteica de pe aceste suprafete. Notiunea centrala a acestui studiu este cea decurbe asimptotice. Acesta analiza conduce la introducerea unui nou invariantasociat cuplului curba-suprafata Titeica, completand rezultatele din sectiunileanterioare. Din ceea ce stim, acest rezultat nu a mai fost abordat ın literaturade specialitate.

Fie f : U =◦U ⊆ R2 −→ R3 o suprafata cu forma a doua fundamentala

notata cu II si normala unitate notata cu N . Sa consideram si o curba pesuprafata f , data de c = f ◦ α : I ⊂ R −→ R3, unde α : I −→ U este o curbaın R2 ce este ın pozitie generala. Fie {e1(t), e2(t), e3(t)} reperul Frenet asociatacestei curbe.

Definitia 4.4.1. Fie f : U −→ R3 o suprafata. Un vector X ∈ Tf(x)f senumeste directie asimptotica daca X �= 0 si IIx(X, X) = 0.

Definitia 4.4.2. Fie f : U −→ R3 o suprafata si c = f ◦ α : I −→ R3 o curbape f . Curba c se numeste linie asimptotica daca vectorul

·c(t) este directie

asimptotica pentru orice t ∈ I.

Pentru a da o caracterizare a liniilor asimptotice ale unei suprafete avemnevoie mai ıntai de urmatorul rezultat.

Propozitia 4.4.3. Fie f : U −→ R3 o suprafata si c = f ◦α : I −→ R3 o curbape f . Atunci avem urmatoarea relatie:

IIx

( ·c(t),

·c(t)

)=⟨··c(t), N(α(t))

⟩.

60

Demonstratie. Stiind forma lui c(t), putem deduce ca:

⟨··c(t), N(α(t))

⟩=( ·

x1(t))2

·⟨

∂2f

(∂x1)2(α(t)), N(α(t))

⟩+

·2 · x1(t) ·

·x2(t)·

·⟨

∂2f

∂x1∂x2(α(t)), N(α(t))

⟩+( ·

x2(t))2

·⟨

∂2f

(∂x2)2(α(t)), N(α(t))

⟩.

Deci, am obtinut ca:

IIx

( ·c(t),

·c(t)

)=⟨··c(t), N(α(t))

⟩.�

Observatia 4.4.4. Asa cum am vazut ın Definitia 4.4.2, o curba c = f ◦ α :I −→ R3 pe suprafata f : U −→ R3 este linie asimptotica daca si numai daca

IIx

( ·c(t),

·c(t)

)= 0, ∀t ∈ I.

Formula lui Meusnier ne ofera urmatoarea relatie:

K1(t) · cos θ(t) =

∣∣∣IIx

( ·c(t),

·c(t)

)∣∣∣Ix

( ·c(t),

·c(t)

) ,

unde K1(t) este curbura curbei c ın punctul c(t) si θ(t) ∈ [0, π2 ] este unghiul

dintre vectorii unitate N(α(t)) si e2(t). Din aceasta formula putem obtine oconditie echivalenta: c este linie asimptotica pentru suprafata f daca si numaidaca cos θ(t) = 0 i.e. N(α(t)) si e2(t) sunt ortogonali pentru orice t ∈ I.

Ca o concluzie a celor discutate mai sus cu privire la linii asimptotice, putemda urmatoarea caracterizare:

Propozitia 4.4.5. Fie f : U −→ R3 o suprafata si c = f ◦α : I −→ R3 o curbape f . Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. Curba c este linie asimptotica pentru suprafata;

2. Planul osculator al curbei c ın puncul c(t) coincide cu planul tangent lasuprafata ın punctul c(t) = f(α(t)).

Vom studia legatura dintre functia Titeica pentru suprafete si functia Titeicapentru curbe, folosindu-ne de notiunile studiate ın sectiunile anterioare.

Lema 4.4.6. Fie f : U −→ R3 o suprafata si c = f ◦ α : I −→ R3 o curba pef . Atunci:

Jf (p) = I2c (t) · Qf,c(p, t),

unde Qf,c(p, t) este o functie reala.

61

Demonstratie. Fie f : U =◦U ⊆ R2 −→ R3, f(x, y) = (x, y, u(x, y))

o suprafata si c = f ◦ α : I ⊂ R −→ R3 o curba pe aceasta suprafata,unde α : I −→ U este o curba ın R2, i.e. α(t) = (x1(t), x2(t)). Avem cac(t) = (f ◦ α) (t) = f(x1(t), x2(t)) = (x1(t), x2(t), u (x1(t), x2(t))) . FolosindLema 4.1.1 si Lema 4.2.2, vom obtine ca:

Jf (p)I2c (t)

=

K(f)(p)d4

f (p)(K2(c)(t)

d2c(t)

)2 =

−F (x,y)

(u(x,y)−x ∂u∂x −y ∂u

∂y )4

( ···x1(t)·A(t)+

···x2(t)·B(t)+

···u (t)·C(t)

)2

(x1(t)·A(t)+x2(t)·B(t)+u(t)·C(t))4

= Qf,c(p, t),

unde A(t) =

∣∣∣∣∣·

x2(t)·u(t)

··x2(t)

··u(t)

∣∣∣∣∣ , B(t) =

∣∣∣∣∣·u(t)

·x1(t)

··u(t)

··x1(t)

∣∣∣∣∣si C(t) =

∣∣∣∣∣·

x1(t)·

x2(t)··x1(t)

··x2(t)

∣∣∣∣∣ .�Definitia 4.4.7. Qf,c(p, t) din Lema 4.4.6 se numeste functia Titeica pentrucuplul (f, c).

Urmatorul rezultat este o particularizare a lemei anterioare ın cazul liniilorasimptotice ale unei suprafete.

Corolarul 4.4.8. Fie f : U =◦U ⊆ R2 −→ R3 o suprafata de curbura negativa

si c = f ◦ α : I ⊂ R −→ R3 o linie asimptotica pe aceasta suprafata. Atunci

Qf,c(t) = −1 = Qf,c.

Demonstratie. Din Propozitia 4.4.5 avem ca planul osculator la o curba c, ınpunctul c(t), coincide cu planul tangent la suprafata ın punctul c(t) = f(α(t)).Deci, distanta de la origine la planul osculator ın punctul c(t) este aceeasi cudistanta de la origine la planul tangent la suprafata f ın punctul f(α(t)), ceeace ınseamna ca:

dc(t) = df (t) = d(t).

Atunci,

Qf,c(t) =Jf (α(t))

I2c (t)

=K(f)(α(t))

d4(t)

K22(c)(t)

d4(t)

=K(f)(α(t))K2

2(c)(t).

Dar din Teorema Beltrami-Enneper (vedeti [O’Neill, 1966], pagina 230),avem ca

K(f)(α(t))K2

2 (c)(t)= −1 = Qf,c.

Deci, am demonstrat ca:Qf,c(t) = −1.�

Urmatorul rezultat ıi apartine lui Titeica si prin prisma celor discutate maisus devine un corolar.

62

Corolarul 4.4.9. (Titeica) Liniile asimptotice ale unei suprafete Titeica suntcurbe Titeica.

Demonstratie. Din Corolarul 4.4.8 avem ca functia Titeica pentru cuplul(f, c) este constanta, adica Qf,c(t) = Qf,c. Folosind ca f este o suprafata Titeica(Jf (t) = Jf ∈ R), vom obtine folosind Lema 4.4.6 ca Ic(t) ∈ R, i.e. (din definitia4.1.2), tocmai ceea ce vroiam sa demonstram.�

Vrem sa oferim un contraexemplu rezultatului invers, adica vrem sa gasim ocurba Titeica pe o suprafata Titeica care nu este curba asimptotica. Suprafatape care vom gasi acest contraexemplu va fi chiar suprafata Euler despre caream vorbit ın Sectiunea 4.3. Curbele provenind din sectiuni planare, fiind plane,sunt trivial curbe Titeica — curbe cu distanta afina de la origine nula. Acestecurbe nu sunt curbe asimptotice ale suprafetei, deoarece ın aceste cazuri planulosculator nu se suprapune peste planul tangent la suprafata. De aceea, aceastaclasa de curbe ofera un contraexemplu inversei (Titeica implica asimptotic).Acest rezultat precum si explicatiile de natura geoemtrica se pot gasi ın lucrarea[Agnew, Bobe, Boskoff, Homentcovschi si Suceava, 2006].

Urmatorul rezultat stabileste invarianta functiei Titeica pentru cuplul (f, c).

Teorema 4.4.10. Fie (f, c) un cuplu constand dintr-o suprafata f si o curbac pe aceasta suprafata, si fie (g, h) transformata centro-afina a cuplului (f, c).Atunci functia Titeica Q·,·(p, t) = J·(p)

I2· (t) este un invariant centro-afin pentruaceasta transformare. Mai mult, relatia pe care cuplurile o satisfac este:

Qg,h(p, t) = Qf,c(p, t).

Demonstratie. Folosind Teorema 4.1.4 si Teorema 4.2.5 avem ca:

Qg,h(p, t) Lema4.4.6=Jg(p)I2h(t)

=1

(detM)2· Jf (p)(

1detM · Ic(t)

)2 =Jf (p)I2c (t)

= Qf,c(p, t).�

Pentru a putea particulariza rezultatul de mai sus ca sa ajungem la rezul-tatele lui Titeica, avem nevoie sa stim cum se transforma liniile asimptotice aleunei suprafete prin aplicarea unei centro-afinitati.

Propozitia 4.4.11. Transformata centro-afina a unei linii asimptotice de pe osuprafata este o linie asimptotica pentru transformata centro-afina a suprafetei.

Demonstratie. Fie f o suprafata, c o linie asimptotica pe aceasta suprafata,g transformata centro-afina a suprafetei f si h transformata centro-afina a linieiasimptotice c. Vrem sa aratam ın primul rand ca h este o linie asimptoticapentru g. Folosind Propozitia 4.4.3 si Observatia 4.4.4, avem de fapt de demon-

strat ca⟨

··h(t), Ng(t)

⟩= 0. Stim despre curba c ca este linie asimptotica pentru

63

suprafata f , deci stim de fapt ca⟨··c(t), Nf (t)

⟩= 0, ceea ce este echivalent cu:

··x1 ·

(− ∂u

∂x1

)+

··x2 ·

(− ∂u

∂x2

)+

··u = 0.(∗)

Folosind aceasta expresie si expresia transformatei centro-afine a unei curbe,

relatia⟨

··h(t), Ng(t)

⟩= 0 devine:

det M · ··x1

(− ∂u

∂x1

)+ detM · ··

x2

(− ∂u

∂x2

)+ detM · ··u = 0,

care este adevarata conform relatiei (∗). Deci, produsul scalar⟨

··h(t), Ng(t)

⟩=

0, ceea ce ıncheie demonstratia.�

Pentru a putea particulariza rezultatul de mai sus la cazul suprafetelor sicurbelor Titeica, avem nevoie mai ıntai de particularizarea la curbe asimptotice.

Corolarul 4.4.12. Functia Titeica Q = JI este un invariant centro-afin pentru

cuplul transfomat centro-afin (g, h) al cuplului (f, c), unde f este o suprafata sic este o linie asimptotica pe f . Mai mult, avem si relatia:

Qg,h = Qf,c.

Demonstratie. Din Propozitia 4.4.11 avem ca h ramane linie asimptoticapentru g. Folosind Corolarul 4.4.8, gasim ca Qf,c(t) = constant = Qf,c siQg,h(t) = constant = Qg,h. Luand ın considerare relatia din Teorema 4.4.10,putem concluziona ca Qg,h = Qf,c.�

Corolarul 4.4.13. Functia Titeica Q = JI este un invariant centro-afin al

cuplului format din suprafata Titeica si linie asimptotica pe aceasta suprafata.

Demonstratie. Fie f o suprafata Titeica, c o curba asimptotica pe aceastasuprafata (aceasta curba este curba Titeica din Corolarul 4.4.9), g transformatacentro-afina a lui f (este o suprafata Titeica din Corolarul 4.2.7) si h transfor-mata centro-afina a liniei asimptotice c (este de asemnea curba Titeica, dupacum putem deduce daca folosim succesiv Propozitia 4.4.11 si Corolarul 4.4.9).Folosind Corolarul 4.4.12 avem ca egalitatea Qg,h = Qf,c este ındeplinita si, deaceea, raportul J

I este un invariant centro-afin al cuplului: suprafata Titeica-curba Titeica.�

64

Capitolul 5

Lantul Clifford al

configuratiei Titeica

pentru elipse egale

In acest capitol vom extinde configuratia Titeica la elipse egale si vom arataca problema are sens pentru n elipse egale, generand astfel un lant Clifford.Algoritmul de constructie al lantului Clifford ıl vom implementa ın programulMathematica, verificand astfel si cu ajutorul computerului rezultalele demon-strate teoretic. Rezultatele teoretice din acest capitol se gasesc ın lucrarea[Bobe si Boskoff, 2007].

5.1 Istoria problemei

Problema monedelor de 5 lei a lui Titeica este cunoscuta din 1908 si a fostpublicata si ın a sasea editie a lucrarii [Titeica, 1962]. Ea are urmatorul enunt:

Fiind date 3 cercuri de raza R ce se intersecteaza ıntr-un punct, atuncipunctele de intersectie mutuala apartin unui alt cerc avand aceeasi raza R.

Se cunoaste ca aceasta problema a lui Titeica este echivalenta cu relatia luiEuler OI2 = R(R−2r) (se poate vedea cartea [Mihaileanu, 1976], pp. 179-180),iar Barbilian ın “Pagini inedite” afirma posibilitatea ca aceasta configuratie sase extinda la mai mult de 4 cercuri formand un lant Clifford.

Problema este cunoscuta si sub numele de problema lui Johnson datoritapublicarii ei ın American Mathematical Monthly, ın lucrarea [Johnson, 1916].Ca urmare, ın cele ce urmeaza, ne vom referi la problema Titeica-Johnson sivom analiza extinderea ei pentru elipse egale.

65

5.2 Configuratia Titeica-Johnson pentru elipse egale

In aceasta sectiune vom extinde configuratia Titeica-Johnson la elipse ce ausemiaxele paralele cu axele de coordonate si lungimile semiaxelor coincid.

Lema 5.2.1. Fie ABCD un paralelogram ınscris ıntr-o elipsa E si {P} =AC ∩ BD. Atunci centrul O al elipsei coincide cu P .

Demonstratie. Sa presupunem ca P �= O. Sa notam cu A′, B′, C′, D′ simet-ricele punctelor A, B, C, D fata de O. Punctele A′, B′, C′ si D′ apartin elipseiE deoarece O este centru de simetrie pentru elipsa.

A

B

C

D

C´D´

PO

Cele patru segmente formate AC′, BD′, CA′ si DB′ sunt paralele cu OP siegale cu 2·OP deoarece OP este linie mijlocie ın triunghiurile ACC′, BDD′, CAA′

si DBB′, respectiv. Dar, pentru o directie data OP exista cel mult doua seg-mente paralele si egale ce apartin elipsei. Din acest motiv, avem ca P = O.�

Definitia 5.2.2. Doua elipse ce au axele paralele si semiaxele de aceeasi lungimese numesc egale.

Vom nota cu E1 (O1, a, b) si E2 (O2, a, b) doua astfel de elipse, unde O1, O2

sunt centrele, iar a, b sunt lungimile semiaxei mari si semiaxei mici, respectiv.

Lema 5.2.3. Fie E1 (O1, a, b) si E2 (O1, a, b) doua elipse egale. Daca E1 ∩ E2 ={A, B}, atunci AO1BO2 este un paralelogram.

Demonstratie. Construim C1C2 prin A si D1D2 prin B astfel ıncat C1C2 siD1D2 sunt paralele cu O1O2, unde C1, D1 ∈ E1, C2, D2 ∈ E2.

Cum translatia O1 −→ O2 suprapune O1 peste O2, atunci C1 −→ A, A −→C2, D1 −→ B si B −→ D2. Atunci avem c ua C1A ≡ AC2 ≡ D1B ≡ BD2 ≡O1O2. De aici rezulta ca C1ABD1 si AC2D2B sunt paralelograme. ConformLemei 5.2.1 vom avea ca A, O1 si D1 sunt coliniare si analog A, O2 si D2 coliniare.Atunci O1O2 va fi linie mijlocie ın triunghiul D1AD2, ceea ce implica faptul caAO1BO2 este un paralelogram.�

66

A

B

O

O

C

C

D

D

¹

¹

¹

²

²

²

Corolarul 5.2.4. In conditiile Lemei 5.2.3, daca A, O1, O2 au afixele 0, z1 siz2, respectiv, atunci afixul lui B este z1 + z2.

Teorema 5.2.5. Daca 3 elipse egale Ei (Oi, a, b) , i = 1, 3 au un punct comunP , atunci celelalte 3 puncte de intersectie Pij , i, j = 1, 3, i < j apartin uneielipse egala cu cele initiale.

Demonstratie. Fara a restange generalitatea problemei vom considera punc-tul P ca originea O. Vom considera ca centrele elipselor vor avea ca afixeurmatoarele numere complexe: O1 (z1) , O2 (z2) and O3 (z3). Folosind Coro-larul 5.2.4, punctele de intersectie vor avea afixele: P12 (z1 + z2) , P13 (z1 + z3)si P23 (z2 + z3).

×

×

×

×

O

O

O

O

P

P

P

P

¹

²

³

¹²³

¹²

²³

¹³

O´¹

Vom arata ca P12, P13, P23 apatin unei elipse E123 de centru O123 si afix z1 +z2+z3. Facem translatia T (−z1 − z2 − z3). Va rezulta ca O123 (z1 + z2 + z3) −→O (0), P12 (z1 + z2) −→ P ′

12 (−z3), P13 (z1 + z3) −→ P ′13 (−z2) si P23 (z2 + z3) −→

P ′23 (−z1). Aplicand simetria S (O), vom avea urmatoarele transformari:

P ′12 (−z3) −→ O3 (z3) , P ′

13 (−z2) −→ O2 (z2) , P ′23 (−z1) −→ O1 (z1) .

Deci, vom avea de demostrat decat ca O1, O2, O3 apartin unei elipse egala cucele initiale. Sa observam ca daca vom face translatia T (z1) atunci O1 (z1) −→O′

1 (2z1), O2 (z2) −→ P12 (z1 + z2), O3 (z3) −→ P13 (z1 + z3) i.e. triunghiulO1O2O3 este translatat in triunghiul O′

1P12P13. Luand ın considerare si faptulca O′

1 (2z1) este simetricul punctului O (0) fata de O1, triunghiul O′1P12P13

devine inscris in elipsa E1.�

67

5.3 Lant Clifford pentru elipse egale

Teorema 5.3.1. Fie Ei (Oi, a, b) , i = 1, 4 4 elipse egale, toate trecand printr-unpunct P si fie Pij , i, j = 1, 4, i < j punctele de intersetie ale elipselor Ei si Ej.Atunci cele 4 elipse (conform Teoremei 5.2.5) Eijk (Oijk, a, b) , i, j = 1, 4, i <j < k ce trec prin punctele Pij , Pik, si Pjk au un punct comun P1234.

Demonstratie. Fara a restrange generalitatea problemei vom considera punc-tul P ca fiind originea O. Considerand centrele elipselor ca fiind Oi (zi) , i = 1, 4,vom avea din Cororarul 5.2.4 ca afixele punctelor de intersectie sunt Pij (zi + zj),i, j = 1, 4, i < j si din Teorema 5.2.5 vom avea ca centrele elipselor Eijk voravea afixele Oijk (zi + zj + zk), i, j = 1, 4, i < j < k.

×

×

×

×O

O

O

O

P

P

P

P

¹

²

³

¹²³

¹²

²³

¹³

4

×P1234

Vom arata, prin transformarea configuratiei ın doi pasi, ca elipsele E123, E124,E134 si E234 au ca punct comun P1234 de afix z1 + z2 + z3 + z4.

Aplicand translatia T (−z1 − z2 − z3 − z4), vom avea ca: P1234 −→ O (0),O123 −→ O′

123 (−z4), O124 −→ O′124 (−z3), O134 −→ O′

134 (−z2) si O234 −→O′

234 (−z1). Aplicam simetria S (O) si vom obtine ca O′123 −→ O4 (z4), O′

124 −→O3 (z3), O′

134 −→ O2 (z2) si O′234 −→ O1 (z1). Deci am transformat configuratia

de 4 elipse E123, E124, E134, E234 ın configuratia initiala pentru care stim ca Oeste punctul comun. Inversand cele doua transformari (T (z1 + z2 + z3 + z4) ◦S (O)) vom avea ca elipsele E123, E124, E134 si E234 au ca punct comun punctulP1234 (z1 + z2 + z3 + z4) .�

Teorema 5.3.1 afirma existenta unui punct comun P1234 de intersectie a 4elipse determinate de Teorema 5.2.5 ıntr-o configuratie cu patru elipse egaleavand un punct comun P . Este natural sa ne punem problema configuratiei decinci elipse egale ce au un punct comun P . Conform Teoremei 5.3.1, fiecare 4determina un punct. Cele 5 puncte obtinute din intersectii apartin unei elipseegale cu cele initiale? Daca raspunsul este afirmativ, putem continua? Dacavom considera o configuratie formata din 6 elipse egale avand un punct comunP , fiecare 5 vor produce o elipsa egala cu cele initiale. Cele 6 elipse produse sevor ıntalni ıntru-un punct comun P123456? Putem gasi generalizarea rezultatelordin Teorema 5.2.5 si Teorema 5.3.1?

68

Definitia 5.3.2. In planul euclidian, un sir de teoreme de compexitate crescanda,fiecare fiind construita pe baza precedentei intr-o progres natural se numesc teo-reme ın lant Clifford.

Vom demostra rezultatele ce generalizeaza teoremele anterioare:

Teorema 5.3.3. Avand 2n + 1 elipse egale Ei (Oi, a, b) , i = 1, 2n + 1, n ∈ N∗,toate avand un punct comun P , atunci cele 2n + 1 puncte P1...i...2n+1, i =1, 2n + 1, fiecare dat de intersectia a 2n elipse E12...i...j...2n+1, j = 1, 2n + 1, j �=i, apartin unei elipse egala cu cele initiale. (unde i ınseamna omiterea lui i)

Demonstratie. Fara a restrange generalitatea problemei vom considera punc-tul P ca fiind originea O. Vom considera ca centrele elipselor vor avea afixeleOi (zi). Vrem sa demonstram ca cele 2n+1 puncte apartin unei elipse de centruO1...2n+1 si cu afix z1 + ... + z2n+1.

Urmand ideile din Teorema 5.2.5 vom face trei transformari:

P1...i...2n+1 (z1 + ... + zi + ... + z2n+1)T (−z1−...−z2n+1)−→ P ′

1...i...2n+1(−zi) ,

P ′1...i...2n+1

(−zi)S(O)−→ Oi (zi) , i = 1, 2n + 1,

O1, Oi (zi)T (z1)−→ O′

1 (2z1) , P1i (z1 + zi) , i = 2, 2n + 1.

Punctele O′1 (2z1) , P1i (z1 + zi) , i = 2, 2n + 1 apartin elipsei E1 deoarece

O′1 (2z1) este simetricul punctului O (0) ın elipsa E1 si punctele P1i (z1 + zi)

sunt punctele de intersectie ale elipsei E1 cu elipsele Ei, i = 2, 2n + 1.Facand transformarile inverse putem concluziona ca cele 2n + 1 puncte

P1...i...2n+1, i = 1, 2n + 1 apartin elipsei E1...2n+1 (O1...2n+1, a, b) .�

Teorema 5.3.4. Fiind date 2n + 2 elipse egale Ei (Oi, a, b) , i = 1, 2n + 2, n ∈N∗, toate intersectandu-se ıntr-un punct P , atunci cele 2n + 2 elipse

E1...i...2n+2

(O1...i...2n+2, a, b

), i = 1, 2n + 2, fiecare determinata (conform Teoremei 5.3.3) de cate 2n + 1puncte P1...i...j...2n+2, j = 1, 2n + 2, j �= i, au un punct comun P1...2n+2.

Demonstratie. Vom demonstra ca cele 2n + 2 elipse se vor intersecta ınpunctul P1...2n+2 de afix z1 + ... + z2n+2. Vom considera doua transforma ri:

O1...i...2n+2 (z1 + ... + zi + ... + z2n+2)T (−z1−...−z2n+2)−→ O′

1...i...2n+2(−zi) ,

O′1...i...2n+2

(−zi)S(O)−→ Oi (zi) , i = 1, 2n + 2.

Aceste doua transformari suprapun elipsele E1...i...2n+2 peste elipsele initialeEi, i = 1, 2n + 2 ce se intersectau ın P = O. In acelasi timp P1...2n+2 este dusın punctul O, de unde putem deduce ca P1...2n+2 este punctul comun al celor2n + 2 elipse E1...i...2n+2, i = 1, 2n + 2.�

69

5.4 Implementarea ın Mathematica a lantului Clifford

In aceasta sectiune vom implementa ın Mathematica rezultatele din Teorema5.2.5 si Teorema 5.3.1 si folosindu-ne de Teoremele 5.3.3 si 5.3.4 vom puteageneraliza algoritmul de generare a unui lant Clifford si ın Mathematica.

Sa consideram celei 3 elipse egale ce au ca punct comun originea:

e1 = Ellipse2D[{a, 0}, a, b, 0];e2 = Ellipse2D[{p, (b/a) Sqrt[a^2 - p^2]}, a, b, 0];e3 = Ellipse2D[{r, -(b/a) Sqrt[a^2 - r^2]}, a, b, 0];

Cele trei puncte de intersectie mutuala se vor calcula astfel:

pts12 = Points2D[e1, e2] // FullSimplify;pts23 = Points2D[e2, e3] // FullSimplify;pts13 = Points2D[e1, e3] // FullSimplify;

Elementele din configuratia initiala se pot acum vizualiza:

Sketch2D[{e1, e2, e3} /. {a -> 2, b -> 1, p -> 1/2, r -> -1}];

Fig. 5.1: Configuratia Titeica ın Mathematica.

Vom defini o funtie de doua variabile ce este de fapt o elipsa de semiaxe a sib (paralele cu axele de coordonate) si centru variabil:

e[x_, y_] := (x - u)^2/a^2 + (y - v)^2/b^2 - 1;

70

Daca vom pune aceasta curba sa treaca prin cele trei de intersectie mutualaa celor trei elipse

x1 = XCoordinate2D[pts12[[2]]];y1 = YCoordinate2D[pts12[[2]]];x2 = XCoordinate2D[pts23[[2]]];y2 = YCoordinate2D[pts23[[2]]];x3 = XCoordinate2D[pts13[[2]]];y3 = YCoordinate2D[pts13[[2]]];

de fapt vom rezolva urmatorul sistem de ecuatii, ce va avea ca solutie tocmaicentrul elipsei cautate:

Solve[{e[x1, y1] == 0, e[x2, y2] == 0, e[x3, y3] == 0},{u, v}] // FullSimplify

Vom considera elipsa data de solutia sistemului anterior

e4 = Ellipse2D[{a + p + r,((b/a) (Sqrt[(a - p) (a + p)] - Sqrt[(a - r) (a + r)]))},a, b, 0] //FullSimplify

si vom reprezenta grafic solutia. Se observasi in Figura 5.2 ca solutia estetocmai elipsa ce trace prin puctele de intersectie mutuala:

Sketch2D[{e1, e2, e3, e4} /. {a -> 2, b -> 1, p -> 1/2, r -> -1}];

Fig. 5.2: Solutia configuratiei Titeica.

Pentru cazul a 4 elipse egale ce au un punct comun, vom considera

71

e4 = Ellipse2D[{a, 0}, a, b, 0];e1 = Ellipse2D[{-p, (b/a) Sqrt[a^2 - p^2]}, a, b, 0];e2 = Ellipse2D[{-r, -(b/a) Sqrt[a^2 - r^2]}, a, b, 0];e3 = Ellipse2D[{s, (b/a) Sqrt[a^2 - s^2]}, a, b, 0];

si le vom intersecta cate 3, astfel:

pts12 = Points2D[e1, e2] // FullSimplify;pts23 = Points2D[e2, e3] // FullSimplify;pts13 = Points2D[e1, e3] // FullSimplify;pts14 = Points2D[e1, e4] // FullSimplify;pts24 = Points2D[e2, e4] // FullSimplify;pts34 = Points2D[e3, e4] // FullSimplify;

Configuratia o putem vizualiza:

Sketch2D[{e1, e2, e3, e4}/. {a -> 2, b -> 1, p -> 5/3, r -> -1/2, s -> 3/4}];

Fig. 5.3: Configuratia initiala pentru 4 elipse.

Cele 4 elipse determinate de punctele anterioare

e123 = Ellipse2D[{-p - r + s, (b (Sqrt[(a - p) (a + p)] - Sqrt[a^2 - r^2] + Sqrt[a^2 - s^2]))/a},a, b, 0] // FullSimplify;

e124 = Ellipse2D[{a - p - r, (b (Sqrt[(a - p) (a + p)] - Sqrt[a^2 - r^2]))/a}, a, b, 0] //

FullSimplify;e134 = Ellipse2D[{a - p + s, (

b (Sqrt[(a - p) (a + p)] + Sqrt[a^2 - s^2]))/a}, a, b, 0] //FullSimplify;

72

e234 = Ellipse2D[{a - r + s, (b (-Sqrt[a^2 - r^2] + Sqrt[a^2 - s^2]))/a}, a, b, 0] // FullSimplify;

le putem intersecta pentru a vedea daca au un punct comun:

Points2D[e123, e124] // FullSimplify;Points2D[e123, e134] // FullSimplify;Points2D[e123, e234] // FullSimplify;Points2D[e124, e134] // FullSimplify;Points2D[e124, e234] // FullSimplify;Points2D[e134, e234] // FullSimplify;

Punctul comun este:

P1234 = Point2D[{a - p - r + s, (b (Sqrt[(a - p) (a + p)] - Sqrt[a^2 - r^2] + Sqrt[a^2 - s^2]))/a}]

Solutia configuratiei pentru 4 elipse se poate vizualiza ın Figura 5.4:

Sketch2D[{e123, e124, e134, e234} /. {a -> 2, b -> 1, p -> 5/3,r -> -1/2, s -> 3/4}];

Fig. 5.4: Solutia pentru 4 elipse.

73

Capitolul 6

Curbe si suprafate Titeica

ın Mathematica

In acest capitol vom discuta invariantii Titeica cu ajutorul programului Math-ematica. Suprafetele Titeica constituie un subiect excelent pentru a folosi ca-pabilitatile de calcul simbolic ale programului Mathematica. Din acest motiv,acest capitol este ca un complement al capitolelor anterioare, oferind o imaginea discursului matematic si chiar o vizualizare a obiectelor implicate. Mai mult,folosindu-ne de rezultatele teoretice obtinute ın Capitolul 5 Invarianti de tipTiteica, am dezvoltat un algoritm de verificare a apartenentei unei suprafetela clasa suprafetelor Titeica. Acest algoritm se poate aplica nu numai pentrutestarea proprietatii Titeica, dar si pentru verificarea invariantei unei suprafete.Rezultatele au fost publicate ın [Agnew, Bobe, Boskoff si Suceava, 2006].

6.1 Exemplu de suprafata Titeica

Inainte de a da un algoritm general ın Mathematica de verificare a apartenenteila clasa suprafetelor Titeica, vom verifica anumite proceduri pe cazul suprafeteiz = 1

xy . Vom include rezultatele oferite de program, doar atunci cand suntrelevante.

Suprafata noastra

z = 1 / (x*y)

are urmatoarea reprezentare:

ParametricPlot3D[{{x, y, z}, {-x, -y, z}, {-x, y, -z}, {x, -y, -z}},{x, 0.1, 4}, {4, 0.1, 4}]

Pentru a putea calcula marimile fundamentale asociate, vom avea nevoie deacasta suprafata sub forma:

74

Fig. 6.1: Suprafata z = 1xy .

r = {x, y, z}.

Vectorii tangenti la suprafata ıntr-un punct oarecare sunt:

rx = D[r, x]; ry = D[r, y];

Putem calcula si componentele primei forme fundamentale:

e = rx.rxf = rx.ryg = ry.ry

Normala unitate la suprafata va fi:

u = Cross[rx, ry] / Sqrt[Cross[rx, ry].Cross[rx, ry]] // Simplify

Calculand derivatele partiale de ordinul doi ale lui r, vom putea gasi si coeficientiicelei de-a doua forme fundamentale:

rxx = D[rx, x]; rxy = D[rx, y]; ryy = D[ry, y];l = u.rxx // Simplifym = u.rxy // Simplifyn = u.ryy // Simplify

Avem acum toate elementele pentru a calcula curbura Gauss a suprafetei z = 1xy

k = (l * n - m ^2) / (e * g - f^2) // Simplify

75

si aceasta va fi: 3x4y4

(x2+y2+x4y4)2 . Distanta de la origine la planul tangent o putemcalcula usor facand produsul scalar dintre normala si vectorul de pozitie alpunctului de pe suprafata:

d = u.r // Simplify // Expand;

In final, pentru a verifica daca este o suprafata Titeica, vom calcula raportuldin invariantul Titeica:

k / d^4 // Simplify

Raspunsul este 127 , deci o constanta, ceea ce ne arata ca suprafata z = 1

xy esteTiteica.

6.2 Aplicarea unei transformari centro-afine

Vom aplica o transformare centro-afina suprafetei Titeica din sectiunea ante-rioara si vom constata ca este tot o suprafata Titeica. Este important sa ob-servam cat de dificil ar fi de facut aceste calcule cu mana, pe cand, cu Mathe-matica, aceste calcule iau aproximativ 12 secunde pe un PC Core 2 Duo de 3.0Ghz.

Calculele urmeaza pasii din sectiunea anterioara, numai ca acum sunt sim-bolice. In primul rand, vom aplica vectorului de pozitie r o transformare centro-afina reprezentata de o matrice generica:

z = 1 / (x * y);r = {{a11, a12, a13}, {a21, a22, a23}, {a31, a32, a33}}.{x, y, z};rx = D[r, x]; ry = D[r, y];e = rx.rx;f = rx.ry;g = ry.ry;u = Cross[rx, ry] / Sqrt[Cross[rx, ry].Cross[rx, ry]] // Simplify;rxx = D[rx, x]; rxy = D[rx, y]; ryy = D[ry, y];l = u.rxx // Simplify;m = u.rxy // Simplify;n = u.ryy // Simplify;k = (l * n - m ^2) / (e * g - f^2) // Simplify;d = (u.r) / (Sqrt[u.u]) // Simplify;d^4 // Simplify;k / d^4 // Simplify

Dupa rulare vom avea ca raspuns:

1/(27(a13a22a31−a12a23a31−a13a21a31+a11a23a32+a12a21a33+a11a22a33)2).

Deci, vom avea tot o suprafata Titeica cu constanta alterata de o putere adeterminantului matricei de transformare.

76

6.3 Rolul liniilor asimptotice

Din teorema Beltrami-Eneper (vedeti [O’Neill, 1966], pagina 230) stim urmatoarearelatie ıntre curbura Gauss a unei suprafete si torsiunea unei linii asimptoticepe acea suprafata: K = −τ2. Din aceasta relatie se poate observa faptul ca osuprafata cu linii asimptotice trebuie sa aiba curbura negativa. In particular,suprafata prezentata mai sus z = 1

xy nu va avea linii asimptotice.Pentru o discutie netriviala despre curbe asimptotice/Titeica de pe o suprafata

Titeica, vom considera exemplul suprafetei z = 1x2+y2 . La fel ca mai sus, poate

fi verificat ca invariantul Kd4 este pentru aceasta suprafata − 4

27 .Mai jos avem o imagine standard a acestei suprafete ın coordonate cilindrice:

Fig. 6.2: Suprafata z = 1x2+y2 .

Utilizand metodele standard de determinare a liniilor asimptotice (vedetiCapitolul 18 din [Grey, 1998]), vom gasi ca aceste linii asimptotice sunt (imag-inile) spirale logaritmice de forma:

θ = v ±√

3 Log[ρ],

ρ[θ] → u e±θ√

3 ,

unde u si v sunt noii parametrii. Vom figura una dintre aceste spirale pentru omai buna vizualizare:

Schimband coordonatele ın u si v, vom obtine o parametrizare ale carei curbede coordonate constante sunt curbe asimptotice/Titeica pe aceasta suprafata.

77

Fig. 6.3: Linie asimptotica pentru z = 1x2+y2 .

In Figura 6.4 am evidentiat curbele Titeica ale suprafetei folosindu-ne de o astfelde parametrizare.

6.4 Algoritmul de test Titeica implementat ın Mathe-matica

In aceasta sectiune vom enunta algoritmul de testare a apartenentei unei suprafetela clasa suprafetelor Titeica implementat ın Mathematica. In primul pas se vorintroduce coordonatele x, y si z ale suprafetei ca functii de parametrii suprafeteiu si v. Daca vrem sa verificam pentru transformata centro-afina a unei suprafete,vom multiplica vectorul de pozitie r cu transformarea dorita (numerica sau sim-bolica).

Testul Titeica

x =y =z =

78

Fig. 6.4: Curbele asimptotice/Titeica pentru z = 1x2+y2 .

r = {x, y, z}ru = D[r, u]rv = D[r, v]e = ru.ruf = ru.rvg = rv.rvnormal = Cross[ru, rv] / Sqrt[Cross[ru, rv].Cross[ru, rv]] // Simplifyruu = D[ru, u]ruv = D[ru, v]rvv = D[rv, v];l = normal.ruu // Simplifym = normal.ruv // Simplifyn = normal.rvv // Simplifyk = (l * n - m ^2) / (e * g - f^2) // Simplifyd = (normal.r) / (Sqrt[normal.normal]) // Simplifyd^4 // Simplify;k / d^4 // Simplify

79

Lista de figuri

1.1 Vizualizarea politopului Newton cu Mathematica . . . . . . . . . 151.2 Reprezentarea regiunii Groebner ın Mathematica . . . . . . . . . 151.3 Politopul Newton pentru Exemplul 1.5.1 . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Regiunea Groebner pentru Exemplul 1.5.1 . . . . . . . . . . . . . 161.5 Politopul Newton pentru Exemplul 1.5.2 . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Regiunea Groebner pentru Exemplul 1.5.2 . . . . . . . . . . . . . 201.7 Politopul Newton pentru Exemplul 1.5.3 . . . . . . . . . . . . . . 201.8 Regiunea Groebner pentru Exemplul 1.5.3 . . . . . . . . . . . . . 211.9 Politopul Newton pentru Exemplul 1.5.4 . . . . . . . . . . . . . . 211.10 Regiunea Groebner pentru Exemplul 1.5.4 . . . . . . . . . . . . . 22

2.1 Vizualizarea conului polar pentru Exemplul 2.1.4. . . . . . . . . . 312.2 Ilustrarea identitatii 2.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Ilustrarea descompunerii din Teorema 2.1.15. . . . . . . . . . . . 342.4 Poligoanele pe care le ınsumam Minkowski. . . . . . . . . . . . . 352.5 Suma Minkowski a poligoanelor din Figura 2.4. . . . . . . . . . . 352.6 Politopul caruia ıi calculam fanul normal. . . . . . . . . . . . . . 372.7 Ilustratea conurilor normale pentru fiecare fata a politopului din

Figura 2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.8 Poliedrul pe care vom ilustra Observatia 2.3.8. . . . . . . . . . . 392.9 Ilustrarea Observatiei 2.3.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1 Vizualizarea relatiei K1 · d = ct. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Suprafata tetraedrala pentru m = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Suprafata tetraedrala pentru m = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4 Sferele astroidale ın deformare pentru m ∈ {1, 2} . . . . . . . . . 483.5 Sferele astroidale ın deformare pentru m ∈ {3, 4} . . . . . . . . . 48

4.1 Suprafata Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1 Configuratia Titeica ın Mathematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2 Solutia configuratiei Titeica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3 Configuratia initiala pentru 4 elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4 Solutia pentru 4 elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1 Suprafata z = 1xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

80

6.2 Suprafata z = 1x2+y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.3 Linie asimptotica pentru z = 1x2+y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.4 Curbele asimptotice/Titeica pentru z = 1x2+y2 . . . . . . . . . . . 79

81

Bibliografie

[Adams, Loustaunau, 1994] Adams, W.W., Loustaunau, P., An Introduction toGrobner Bases, AMS, 1994.

[Agnew, Bobe, Boskoff si Suceava, 2007] Agnew, A.F., Bobe, A., Boskoff, W.G.,Suceava, B.D., Gheorghe Tzitzeica and the Origins of Affine Differential Ge-ometry, Hist. Math., Manuscript number: HM-06-24R2 (ın curs de publicare).

[Agnew, Bobe si Boskoff, 2006] Agnew, A.F., Bobe, A., Boskoff, W.G., Tzitzeica-Type Invariants, Rocky Mt. J. Math. (trimis spre publicare).

[Agnew, Bobe, Boskoff, Homentcovschi si Suceava, 2006] Agnew, A.F., Bobe, A.,Boskoff, W.G., Homentcovschi, L., Suceava, B.D., The Equation of Euler’s LineYields a Tzitzeica Surface, Elem. Math. (trimis spre publicare).

[Agnew, Bobe, Boskoff si Suceava, 2006] Agnew, A.F., Bobe, A., Boskoff, W.G.,Suceava, B.D., Tzitzeica Curves and Surfaces, The Math. J., WR-675289, 2006.

[Alexander, 1995] Alexander, A., Gaston Darboux and the history of complex dynam-ics, Hist. Math., 22(2) (1995), 179-185.

[Andonie, 1965] Andonie, G.S., Istoria matematicii ın Romania, vol. I, EdituraStiintifica, Bucuresti, 1965.

[Barbilian, 2000] Barbilian, D., Ion Barbu - Opere, vol. II, Proza, Academia Romana,Univers Enciclopedic, Bucuresti, 2000.

[Baues si Cortes, 2003] Baues, O., Cortes, V., Proper Affine Hyperspheres which Fiberover Projective Special Kaehler Manifolds, Asian J. Math., 7 (2003), 115-132.

[Bianchi, 1894] Bianchi, L., Lezioni di geometria differenziale, Ed. Spoerri, Pisa, 1894.

[Blaschke, 1930] Blaschke, W., Vorlesungen uber differential Geometrie unde ge-ometrische Grundlagen von Einsteins Relativitatstheorie, Berlin, 1930.

[Bobe, 2006] Bobe, A., Algorithm for the Groebner region of a principal ideal, An.Stiint. Univ. Ovidius Constanta, 14(1) (2006), 23-44.

[Bobe si Boskoff, 2007] Bobe, A., Boskoff, W.G., Tzitzica-Johnson Theorem Revis-ited, Aust. Math. Soc. Gaz., (trimis spre publicare).

[Boskoff si Suceava, 2004] Boskoff, W.G., Suceava, B.D., When Is Euler’s Line Par-allel to a Side of a Triangle?, College Math. J., 35 (2004), 292-296.

82

[Brınzanescu si Stanasila, 1998] Brnzanescu, V., Stanasila, O., Matematici speciale,Ed. All, Bucuresti, 1998.

[Buchberger, 1965] Buchberger, B., Ein Algorithmus zum Auffinden der Basiselementedes Restklassenringes nach einem nulldimensionalen Polynomideal, Ph.D. Thesis,Inst. University of Innsbuck, Austria, 1965.

[Buchin, 1983] Buchin, S., Affine Differential Geometry, Science Press, Beijing, Chinaand Gordon and Breach, Science Publishers, Inc., New York, 1983.

[Calabi, 1972] Calabi, E., Complete Affine Hypersurfaces, I. Symposia Mathematica,10 (1972), 19-38.

[Calabi, 1990] Calabi, E., Affine differential geometry and holomorphic curves. Com-plex Geometry and Analysis, Lecture Notes in Mathematics, 1422, Springer-Verlag, 1990, 15-21.

[Chen, 2000] Chen, B.-Y., Riemannian submanifolds. Handbook of Differential Ge-ometry, vol. I, Editors F.J.E. Dillen and L.C.A. Verstraelen, Elsevier, 2000, pp.187-418.

[Cheng si Yau, 1986] Cheng, S.-Y and Yau, S.-T., Complete Affine Hyperspheres. PartI. The completeness of affine metrics, Comm. on Pure and Appl. Math., 39(6)(1986), 839-866.

[Cox, Little si O’Shea, 1992] Cox, D., Little, J., O’Shea, D., Ideals, Varieties and Al-gorithms, Springer-Verlag, 1992.

[Coxeter si Greitzer, 1967] Coxeter, H.S.M., Greitzer, S.L., Geometry Revisited, YaleUniv. Press., 1976.

[Cruceanu, 2005] Cruceanu, V., Research works of Romanian mathematicians onCentro-Affine Geometry, Balkan J. Geom. Appl., 10(1) (2005), 1-5.

[Dantzing, 2003] Dantzing, G.B., Thapa, M.N., Linear Programming, Springer, 2003.

[Darboux, 1894] Darboux, G., Lecons sur la theorie generale des surfaces et les ap-plications geometriques du calcul infinitesimal, Vol. I-IV, Third edition, Chelsea,New York, 1972.

[Demoulin, 1911a] Demoulin, A., Sur les surfaces R et les surfaces Ω, C.R. Acad. Sci.Paris, 153 (1911), 590-593.

[Demoulin, 1911b] Demoulin, A., Sur les surfaces R, C.R. Acad. Sci. Paris, 153(1911), 797-799.

[Dillen si Vrancken, 1994] Dillen, F., Vrancken, L., Calabi Type composition of affinespheres, Diff. Geom. and Its Appl., 4 (1994), 303-328.

[Dillen, 1996] Dillen, F., Komrakov, B., Simon, U., Verstraelen, L., Van De Woestyne,I., Geometry and Topology of Submanifolds VIII, World Scientific, 1996.

[Dumitru, 1981] Dumitru, N.C., Gh. Titeica, Gazeta matematica, 6 (1981), Electronicedition, Softwin, Bucharest, 2005.

83

[Eisenhart, 1909] Eisenhart, L.P., A treatise on the differential geometry of curves andsurfaces, Dover Publications, Inc. New York, new edition published in 1960.

[Eisenhart, 1917/1918] Eisenhart, L.P., Darboux’s contribution to geometry, Bull.Amer. Math. Soc. 24 (1917/18), 227-237.

[Eisenhart, 1921] Eisenhart, L.P., Conjugate nets R and their transformations, Ann.Math. 22(2) (1921), 161-181.

[Ene, 2002] Ene, V., Capitole de algebra asistata de calculator, Ex Ponto, Constanta,2002.

[Euler, 1765] Euler, L., Solutio facilis problematum quorundam geometricorum diffi-cillimorum, Novii Comm. Acad. Sci. Petropolitanae 11 (1765), 103-123 (in Operaomnia, 26(1), 139-157).

[Fubini, 1924] Fubini, G., Su alcune classi di congruenze di rette e sulle trasformazionidelle R, Ann. di Mat., 1(4) (1924), 241-257.

[Fubini, 1926] Fubini, G., Proprieta proiettive delle superficie a curvature metricacostante, Rend. Accad. Roma, 4(6) (1926), 167-171.

[Fubini, 1928] Fubini, G., Riassunto di alcune ricerche di geometria proiettivo-differenziale, Proc. Congress Toronto 1, 1928, pp. 831-834.

[Gheorghiev si Popa, 1960] Gheorghiev, G., Popa, I., Geometrie projectivedifferentielle des varietes de cones, C.R. Acad. Sci. Paris, 251 (1960),1208-1210.

[Gheorghiev si Popa, 1961] Gheorghiev, G., Popa, I., Geometrie des reseaux d’unesurface, C.R. Acad. Sci. Paris, 252 (1961), 2499-2501.

[Gheorghiev si Popa, 1962] Gheorghiev, G., Popa, I., Corespondenta ıntre varietati deconuri, An. Stiint. Univ. Al. I. Cuza Iasi, sectia I, mat., fiz., chim., 8(1) (1962),97-103.

[Gheorghiu, 1939] Gheorghiu, G.T., George Titeica, Gazeta matematica, 4 (1939),Electronic edition, Softwin, Bucharest, 2005.

[Gheorghiu, 1956] Gheorghiu, G.T., Les courbes Tzitzeica dans la geometrie projec-tive, Rev. Roum. Math. Pures Appl., 1 (1956), 133-150.

[Gheorghiu, 1959] Gheorghiu, G.T., Hipersuprafete Titeica, Lucrarile stiint. Inst.pedag. Timisoara, mat., fiz., 1959, 45-60.

[Gheorghiu si Popa, 1959] Gheorghiu, G.T., Popa, C., O proprietate afina caracteris-tica suprafetelor Titeica, Lucrarile stiint. Inst. pedag. Timisoara, mat., fiz., 1959,65-71.

[Gheorghiu, 1962] Gheorghiu, G.T., Asupra varietatilor neolonome Titeica, StudiaUniversitatis Babes-Bolyai, series math.-phys., 7(1) (1962), 45-60.

[Godeaux, 1932] Godeaux, L., Les quadriques de Tzitzeica et la theorie des surfaces,Ann. Soc. Polon. Math. 10 (1932), 21-24.

84

[Grey, 1998] Grey, A., Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces withMathematica, CRC Press, Boca Raton, 1998.

[Gross si Siebert, 2003] Gross, M., Siebert, B., Affine manifolds, Log structures, andmirror symmetry, Turkish J. Math. 27 (2003), 33-60.

[Guggenheimer, 1963] Guggenheimer, H.W., Differential geometry, McGraw-Hill,New York, 1963.

[Hironaka, 1964] Hironaka, H., Resolution on singularities of an algebraic variety overa field of characteristic zero, Ann. Math. 79 (1964), 109-326.

[Ianus, 1995] Ianus, S., Gheorghe Titeica (1873-1939) - fondatorul scolii de geometriedin tara noastra, Gazeta matematica, 100 (1995), 399-401.

[Johnson, 1916] Johnson, R.A., A Circle Theorem, Amer. Math. Monthly, 23(1916),161-162.

[Kimberling, 2007] Kimberling, C., Gossard Perspector, 2007,http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html

[Lauritzen, 2002] Lauritzen, N., Convex analysis, 2002,http://home.imf.au.dk/niels/Topics/convexanalysis.pdf

[Lauritzen, 2002a] Lauritzen, N., Sturmfels expanded, 2002,http://home.imf.au.dk/niels/Topics/chapter1.pdf

[Lauritzen, 2002] Lauritzen, N., Groebner bases, 2002,http://home.imf.au.dk/niels/Topics/statepoly.pdf

[Loftin, 2002] Loftin, J., Affine spheres and Kahler-Einstein metrics, Math. Res. Lett.,9 (2002), 425-432.

[Loftin, 2005] Loftin, L, Yau, S.-T., Zaslow, E., Affine manifolds, SYZ geometry andthe ”Y” vertex, J. Diff. Geom., 71 (2005), 129-158.

[Li si Simon, 1993] Li, A.M., Simon, U., Zhao, G., Global affine differetnial geometryof hypersurfaces, W. De Gruyter, Berlin-New York, 1993.

[Liu, 1996] Liu, H., Magid, M., Scharlach, Ch., Simon, U., Recent developments inaffine differential geometry, in Geometry and topology of submanifolds VIII, (F.Dillen et al., eds.), World Scientific, 1996.

[Macaulay, 1927] Macauly, F.S., Some properties of enumeration in the theory of mod-ular systems, Proc. London Math. Soc. 26 (1927), 531-555.

[Mayer, 1927] Mayer, O., Sur les surfaces reglees a lignes flecnodales planes, Ann.Scient. Univ. Iassy, 15(1-2) (1927), 25-55.

[Mayer, 1928] Mayer, O., Etudes sur les surfaces reglees, Bul. Fac Stiinte, Cernauti,1(2) (1928), 1-33.

[Mayer si Myller, 1933] Mayer, O., Myller, A., Geometrie centro-affine differentielledes courbes planes, Ann. Scient. Univ. Iassy, 18(3-4) (1933), 234-280.

85

[Mayer, 1934] Mayer, O., Geometrie centro-affine differentielle des surfaces, Ann. Sci-ent. Univ. Iassy, 21 (1934), 1-77.

[Mayer, 1938] Mayer, O., Etude des reseaux plans en geometrie centro-affine, Ann.Scient. Univ. Iassy, 24(1) (1938), 57-71.

[Mayer, 1940a] Mayer, O., Sur les surfaces reglees, III, Ann. Scient. Univ. Iassy, 26(1940), 299-308.

[Mayer, 1940b] Mayer, O., Sur les surfaces reglees, IV, Ann. Scient. Univ. Iassy, 26(1940), 626-632.

[Mignotte, 1991] Mignotte, M., Mathematics for Computer Algebra, Springer-Verlag,1991.

[Mihaileanu, 1955] Mihaileanu, N., Gheorghe Titeica, Gazeta matematica, 8 (1955),Electronic edition, Softwin, Bucharest, 2005.

[Mihaileanu, 1972] Mihaileanu, N., Geometrie Analitica Proiectiva si Diferentiala.Complemente, Ed. Did. si Ped., Bucuresti, 1972.

[Mihaileanu, 1976] Mihaileanu, N., Lectii complementare de geometrie, Ed. Did. siPed., Bucuresti, 1976.

[Mora si Robbiano, 1988] Mora, T., Robbiano, L., The Groebner fan of an ideal, J.Symb. Comp., 6 (1988), 183-208.

[Nicolescu, 1945] Nicolescu, A., Sur les courbes spheriques de Tzitzeica, Bull. Sci. Ec.Polyt. Timisoara, 12(1-2) (1945), 37-44.

[Nicolescu, 1956] Nicolescu, A., Cateva proprietati ale suprafetelor Titeica, Com.Acad. R.P.R., 6(9) (1956), 1065-1071.

[Nicolescu, 1962] Nicolescu, A., Constructia invariantilor geometriei centro-afine, Ed.Acad., 1962, pp. 139-141.

[Nomizu si Sasaki, 1991] Nomizu, K., Sasaki, T., A new model of unimodular-affinelyhomogeneous surfaces, Manuscr. Math., 73 (1991), 39-44.

[Nomizu si Sasaki, 1994] Nomizu, K., Sasaki, T., Affine differential geometry, Geom-etry of affine immersions, Cambridge University Press, 1994.

[Oliker si Simon, 1992] Oliker, V., Simon, U., Affine geometry and polar hypersur-faces. Analysis and Geometry: Trends in Research and Teaching, (B. Fuchssteinerand W. A. J. Luxemburg, eds.), BI-Mannheim-Zurich, 1992, pp. 87-112.

[O’Neill, 1966] O’Neill, B., Elementary Differential Geometry, Academic Press, SanDiego, 1966.

[Pambuccian, 2005] Pambuccian, V., Euclidean geometry problems rephrased in termsof midpoints and point-reflections, Elem. Math., 60 (2005), 19-24.

[Papuc si Munteanu, 1960] Papuc, D., Munteanu, E., Asupra geometriei diferentialea unui grup particular de transformari proiective, An. St. Univ. Iasi, mat., fiz.,chim., 6(3) (1960), 655-663.

86

[Papuc, 1963a] Papuc, D., Sur les varietes des espaces kleineens a groupe lineairecompletement reductible, C.R. Acad. Sci. Paris, 256(1) (1963), 62-64.

[Papuc, 1963b] Papuc, D., Sur la theorie des varietes des espaces kleineens a groupelineaire completement reductible, C.R. Acad. Sci. Paris, 257(3) (1963), 589-591.

[Pfister, 2001] Pfister, G., Greuel, G.M., Schonemann, H., Singular 3.0. A ComputerAlgebra System for Polynomial Computations, Centre for Computer Algebra, Uni-versity of Kaiserslautern, http://www.singular.uni-kl.de, 2001.

[Polyamin si Zaitsev, 2004] Polyamin, N., Zaitsev, V., Handbook of Nonlinear PartialDifferential Equations, CRC Press, 2004.

[Popa, 1934a] Popa, I., Geometrie centro-affine hyperbolique des courbes gauches,Ph.D. thesis., Ann. Sci. Univ. Iassy, 21, 78-181.

[Popa, 1934b] Popa, I., Geometrie centro-affine parabolique des courbes et des sur-faces, Ann. Sci. Univ. Iassy, 21 (1934), 141-181.

[Preparata, 1985] Preparata, F.P., Shamos, M.I., Computational Geometry. An Intro-duction, Springer, 1985.

[Pripoae si Gogu, 2005] Pripoae, G.T., Gogu, R., Gheorghe Tzitzeica - an incompletebibliography, Balkan J. Geom. Appl., 10 (2005), 32-56.

[Robbiano si Kreuzer, 2000] Robbiano, L., Kreuzer, M., Computational CommutativeAlgebra I, Springer, 2000.

[Rodriguez, 2006] Rodriguez, J., Manuel, P., Simiao, P., A conic associated with Eulerlines, Forum Geom., 6 (2006), 17-23.

[Scharlach, 1997] Scharlach, Ch., Simon, U., Verstraelen, L., Vrancken, L., A newintrinsic curvature invariant for centroaffine hypersurfaces, Contrib. Alg. Geom.,38 (1997), 437-458.

[Scharlach si Vrancken, 1996] Scharlach, Ch., Vrancken, L., A curvature invariant forcentroaffine hypersurfaces, Part II. Geometry and Topology of Submanifolds, 8,(ed. by F. Dillen et al.), World Scientific, Singapore, 1996, pp. 341-350.

[Schrijver, 1998] Schrijver, A., Theory of Linear and Integer Programming, J. Wiley,New-York, 1998.

[Simon, 1991] Simon, U., Schwenk-Schellschmidt, A., Viesel, H., Introduction to theaffine differential geometry of hypersurfaces, Science University of Tokyo, 1991.

[Simon, 2000] Simon, U., Affine differential geometry. Handbook of Differential Ge-ometry, vol. I, (Editors F.J.E. Dillen and L.C.A. Verstraelen), Elsevier, 2000, pp.905-962.

[Slebodzinski, 1937] Slebodzinski, W., Sur la realization d’une variete et connexionaffine par une surface plongee dans un espace affine, C. R. Acad. Sci. Paris, 7(2)(1937), 31-40.

[Slebodzinski, 1939] Slebodzinski, W., Sur quelques problemes de la theorie des sur-faces de l’espace affine, Prace Mat. Fiz. 46 (1939), 81-88.

87

[Soare, 2005] Soare, N., Gheorghe Titeica An Affine Differential Geometry, Balkan J.Geom. Appl., 10 (1) (2005), 21-23.

[Sturmfels, 1996] Sturmfels, B., Grobner Basis and Convex Polytopes, AMS, 1996.

[Teleman, 2005] Teleman, K., On the mathematical work of Gheorghe Titeica, BalkanJ. Geom. Appl., 10(1), 59-64.

[Titeica, 1895] Titeica, G., Relatiuni ıntre elementele unui tetraedru, Gazeta matem-atica, 3 (1895), Electronic edition, Softwin, Bucharest, 2005.

[Titeica, 1903] Titeica, G., Geometria ın ınvatamantul secundar, Gazeta matematica,Part 1, 1 (1903); Part 2, 3 (1903), Electronic edition, Softwin, Bucharest, 2005.

[Titeica, 1906] Titeica, G., Sur la deformation de certaines surfaces tetraedrales, C.R. Acad. Sci. Paris, 142 (1906), 1493-1494.

[Titeica, 1907] Titeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, C. R. Acad. Sci. Paris,144 (1907), 1257-1259.

[Titeica, 1908a] Titeica, G., Sur une classe de surfaces. C. R. Acad. Sci. Paris, 146(1908), 165-166.

[Titeica, 1908b] Titeica, G., Sur les surfaces reglees, C. R. Acad. Sci. Paris, 147(1908), 173-174.

[Titeica, 1908c] Titeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, I, Rend. Circ. Mat.Palermo, 25 (1908), 180-187.

[Titeica, 1908d] G. Titeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, Atti del IV Con-gresso Internazionale dei Matematici, Roma, vol. 2, 1908, pp. 304-308.

[Titeica, 1909] Titeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, II, Rend. Circ. Mat.Palermo, 28 (1909), 210-216.

[Titeica, 1910a] Titeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, C. R. Acad. Sci.Paris, 150 (1910), 955-956.

[Titeica, 1910b] Titeica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, C. R. Acad. Sci.Paris, 150 (1910), 1227-1229.

[Titeica, 1913a] Titeica, G., Sur une generalization des surfaces minima non-euclidiennes, C. R. Acad. Sci. Paris, 156 (1913), 1136- 1138.

[Titeica, 1913b] Titeica, G., Sur une generalisation des surfaces minima, Bull. Sect.Sci. Acad. Roumaine, 2(1) (1913), 11-15.

[Titeica, 1915a] Titeica, G., Sur une classe speciale de surfaces, Bull. Sect. Sci. Acad.Roumaine, 3 (1915), 200-204.

[Titeica, 1915b] Titeica, G., Sur une classe speciale de surfaces, II, Bull. Sect. Sci.Acad. Roumaine, 3 (1915), 205-210.

[Titeica, 1916] Titeica, G., Deformarea unei clase de suprafette tetraedrale, An. Acad.Romana, Mem. Sectiei St., 2(38) (1916), 241-259.

88

[Titeica, 1924] Titeica, G., Geometrie differentielle projective des reseaux, CulturaNationala, Bucharest and Gauthier-Villars, Paris, 1924.

[Titeica, 1926] Titeica, G., Sur la deformation de certaines surfaces tetraedales, lessurfaces S et les reseaux R, Appendix of Geometria proettiva differenziale, (G,Fubini - E. Cech), Bologna, 1926, vol.II, 663-669.

[Titeica, 1931] Titeica, G., Introduction a la geometrie differentielle projective descourbes, Mem. Sci. Math. Paris, 47 (1931), 61 pag.

[Titeica, 1935] Titeica, G., Sur quelques proprietes affines, C. R. Acad. Sci. Paris, 200(1935), 1563-1565.

[Titeica, 1956] Titeica, G., Geometrie diferentiala proiectiva a retelelor, Edit. Acad.R.P.R., 1956.

[Titeica, 1962] Titeica, G., Probleme de geometrie, Editia a sasea, Ed. Tehnica, 1962.

[Transon, 1841] Transon, A., Recherches sur la courbure des lignes et des surfaces, J.Math. Pures et Appl., 6 (1841), 191-208.

[Vrancken, 1991] Vrancken, L., Li, A.M., Simon, U., Affine spheres with constantaffine sectional curvature, Math. Z., 206 (1991), 651-658.

[Vranceanu, 1972] Vranceanu, Gh., Invariants centro-affines d’une surface, Rev.Roum. Math. Pures Appl., 24 (1972), 979-982.

[Vranceanu, 1977] Vranceanu, Gh., Surfaces Tzitzeica, An. Univ. Craiova, Ser. Mat.Fiz.-Chim., 5 (1977), 5-10.

[Vranceanu, 1979a] Vranceanu, Gh., Tzitzeica fondateur de la geometrie centro-affine,Rev. Roum. Math. Pures Appl., 24 (1979), 983-988.

[Vranceanu, 1979b] Vranceanu, Gh., Sur les surfaces de Tzitzeica, Bul. Stiint. Univ.Teh. Constr. Bucuresti, 40(1) (1979), 63-64.

[Wilczynski, 1907] Wilczynski, E.J., Projective differential geometry of curved surfaces(First Memoir), Trans. Amer. Math. Soc., 8 (1907), 233-260.

[Wilczynski, 1908a] Wilczynski, E.J., Projective differential geometry of curved sur-faces (Second Memoir), Trans. Amer. Math. Soc., 9 (1908), 79-120.

[Wilczynski, 1908b] Wilczynski, E.J., Projective differential geometry of curved sur-faces. III, Trans. Amer. Math. Soc., 9 (1908), 293-315.

[Wolfram, 2007] Wolfram Reasearch, Mathematica 6.0, http://www.wolfram.com,2007.

[Ye si Wu, 2002] Ye, Z.H., Wu W.C., Problem 10980, Am. Math. Mon., p.921 (2002),solution pp. 823-824 (2004).

[Ziegler, 1995] Ziegler, G.M., Lectures on Polytopes, Springer-Verlag, 1995.

89