Metode statistice

5122018 Metode statistice - slidepdfcom

httpslidepdfcomreaderfullmetode-statistice 168

Metode statistice utilizate icircn analiza

datelor financiar-bancare şi de asigurări

NOTE DE CURS



1 OBIECTUL SI ISTORIA DEZVOLTARII STATISTICII

Numeroase fenomene din viata economica si sociala din fizica biologie psihologie etc Necesita in studiul lor un instrument matematic special statistica

matematica De exemplu pentru a cunoaste starea de spirit a populatiei unei tari inaintea

alegerilor nu pot fi chestionati toti cetatenii ci se efectueaza un sondaj de opinie adica

se stabileste un esantion reprezentativ al populatiei numeric limitat se calculeaza

procentul cetatenilor care au o anumita opinie dupa care se extrapoleaza rezultatul la

intreaga populatie

Asadar statistica utilizeaza rationamente inductive prin inductie se ajunge de la parte la intreg Din punct de vedere al preciziei rationamentul inductiv este mai putin

precis decat cel deductiv Prin urmare afirmatiile se fac cu un anumit grad de

neincredere deci cu erori

Statistica are ca obiect sistematizarea analiza prelucrarea si interpretarea datelor

referitoare la anumite fenomene in vederea studierii pe cale inductiva a fenomenelor

aleatoare de masa precum si in vederea realizarii de previziuni privind producerea unor

anumite fenomene

Vom studia pe rand elemente de statistica descriptiva si statistica analitica

(matematica)

Statistica descriptiva se ocupa de culegerea gruparea si analiza datelor rezultate din

observatia diferitelor fenomene

Statistica matematica elaboreaza o metodologie fundamentata pe teoria probabilitatilor

care sa asigure o verosimilitate cat mai mare in rationamentele cu caracter inductiv

Cuvacircntul bdquostatisticărdquo precum şi primele conturări ale conceptului de statistică au

pătruns icircn literatura de specialitate abia icircn secolul XVIII Elementele concrete de evidenŃăstatistică icircşi au icircnsă originea icircn cele mai vechi timpuri

Potrivită de-a lungul dezvoltării sale istorice forma de bdquoevidenŃă statisticărdquo se

caracterizează icircn esenŃă prin aceea că datele statistice servesc pentru informarea



organismelor statului despre nivelul sau stadiul atins la un moment dat de fenomenele

social economice subordonate icircn special unor scopuri fiscale militare sau administrative

Etimologic cuvacircntul bdquostatisticărdquo icircşi are rădăcina icircn cuvacircntul latinesc bdquostatusrdquo care

icircnseamnă bdquosituaŃierdquo bdquostare socialărdquo dar şi bdquostatrdquo

Conceptul de statistică a fost definit de mai mulŃi autori mdash mai ales din sacircnul şcolii

germane mdash icircn diverse variante Se constată icircnsă că icircn ciuda acestei diversităŃi conŃinutul

esenŃial al statisticii rămacircne invariabil legat de modalităŃile practice de investigare a

fenomenelor social-economice şi de informare a organismelor statului Achenwall

considera statistica drept bdquoştiinŃă descriptivă a particularităŃilor unui stat Analizacircnd

concomitent bdquotermenul şi bdquoconceptul se desprinde faptul că icircn cazul statisticii există o

concordanŃă deplină termenul fiind stracircns legat de conŃinutul esenŃial al conceptului tot

atacirct de important este şi faptul că deşi termenul a fost introdus mai tacircrziu icircn adoptarea luis-a Ńinut seama de conŃinutul esenŃial al evidenŃei statistice mdash precursoarea statisticii

descriptive mdash precum şi de scopul primordial căruia icirci era subordonată această formă

bdquoprimară de investigare şi informare

Statistica descriptivă a fost continuu icircmbogăŃită restructurată şi perfecŃionată punacircndu-

se din ce icircn ce mai mult accent pe bdquodeterminările numerice pe bdquolimbajul cifric

Un reputat geograf A F Bussching a creat un gen de statistică comparativă foarte

apreciată de specialişti Au urmat icircn cadrul şcolii germane o serie de lucrări concepute şielaborate icircn scopul descrierii comparative a diverselor state europene

Icircn łările Romacircne prima şi cea mai reprezentativă lucrare de acest gen este

bdquoDescriptio antiqui et hodierni status Moldaviae elaborată de Dimitrie Cantemir mdash o

expunere monografică pe plan geografic politic economic social şi cultural Lucrarea 1-

a impus pe autor atenŃiei contemporanilor care 1-au considerat printre fruntaşii statisticii

descriptive europene

Trăsăturile esenŃiale ale statisticii descriptive sunt definite de caracterul său

analitic sunt prezentate descrieri complexe ale statelor sunt efectuate analize

comparative ale diferitelor situaŃii socio-economice Toate erau icircnsă orientate icircn scopuri

informaŃionale Deci nici statistica descriptivă cu toate că şcoala germană o ridicase la

rangul de ştiinŃă nu avea drept scop descoperirea şi cunoaşterea legităŃilor statistice



Cu toate acestea statistica descriptivă constituie o realizare de seamă a domeniului o

etapă foarte bine conturată şi integrată icircn procesul icircndelungat al dezvoltării statisticii ca

ştiinŃă

Icircn timp ce icircn Germania statistica se constituise ca disciplină descriptivă a

statului icircn Anglia se năştea icircn afara universităŃilor o statistică cu totul deosebită

cunoscută sub numele de bdquoaritmetica politică Caracteristic aritmeticii politice icirci este

faptul că pentru prima oară analiza datelor icircnregistrate se-face prin procedee matematice

urmărindu-se desprinderea regularităŃilor care domină schimbările esenŃiale de ordin

calitativ icircn structura şi dezvoltarea raporturilor dintre fenomenele social-economice

Folosirea metodei analitice preconizată de filozofii materialişti metafizicieni ai

timpului recurgerea la instrumentul matematic şi căutarea legităŃilor marchează un

substanŃial progres al statisticii prefiguracircnd apariŃia elementelor statisticii moderneReprezentanŃii aritmeticii politice din Anglia icircn frunte cu John Graunt William Petty

Kdmuad Halley au pus accent mai ales pe studiul fenomenelor demografice

J Graunt (1620mdash1674) studiind registrele de naştere şi decese ale Lon-drei şi-a propus

să descopere legităŃile creşterii numărului populaŃieiraquo ale echilibrului numeric dintre

sexe ale fertilităŃii mortalităŃii etc

W Petfcy (1623mdash1687) icircn lucrarea sa Aritmetica politică şi-a axat studiul asupra

fenomenelor social-economice prin intermediul numerelor al greutăŃilor şi almăsurilor folosind estimaŃiile cantitative icircn cadrul comparaŃiilor potenŃialului uman şi

economic al diferitelor state icircn special icircn evaluarea posibilităŃilor comerciale şi maritime

ale Angliei icircn rivalitatea sa cu FranŃa

E Halley (1656mdash1742) a efectuat unele estimări ale populaŃiei cacirctorva state a alcătuit

prima tabelă completă de mortalitate a introdus ideea de bdquodurată probabilă a vieŃii cu

aplicaŃie la calcularea rentei viagere anuale icircn funcŃie de vacircrstă

Şcoala aritmeticii politice engleze şi-a extins influenŃa şi icircn alte Ńări cuprinzacircnd o

arie din ce icircn ce mai largă de fenomene din domeniul demografiei łinacircnd seama de

trăsăturile caracteristice ale statisticii secolelor 17 şi 18 reŃinem faptul că s-au confruntat

icircn principal două curente

mdash statistica orientată spre descrieri empirice şi verbale ale particularităŃilor statului

(statistica descriptivă a şcolii germane)



mdash statistica orientată spre analiza fenomenelor sociale icircn căutarea legităŃilor apelacircnd la

instrumentul matematic da analiză şi interpretare (aritmetica politică reprezentată de

şcoala engleză)

Desigur disputa dintre cele două curente s-a icircncheiat icircn final cu triumful curentului de

tendinŃă modernă reprezentat de aritmetica politică

Descoperirile din domeniul calculului probabilităŃilor şi introducerea lor treptată icircn

statistică au determinat o cotitură radicală icircn conturarea şi dezvoltarea statisticii ca ştiinŃă

Primele icircncercări de valorificare a noilor descoperiri icircn analiza statistică a fenomenelor

economice şi sociale au fost făcute de Jacob Bernoulli (1654mdash 1705) mdash profesor de

matematică la Universitatea din Basel şi mai ales de Pierre-Simon Laplace (1749mdash1827)

mdash matematician fizician şi astronom francez care a efectuat icircn FranŃa icircn 1801 un

recensămacircnt pe bază de selecŃie calculacircnd şi coeficientul de eroareBernoulli a formulat bdquolegea numerelor mari folosită mai tacircrziu ca fundament teoretic al

sondajelor statistice

Karl Friedrich Gauss (1775mdash1855) mdash matematician fizician şi astronom german mdash

propune metoda celor mai mici pătrate publicacircnd o serie de consideraŃii privind aplicarea

matematicii icircn investigarea fenomenelor demografice

ContribuŃii de seamă la dezvoltarea statisticii matematice au avut Moivre Fourier

Poisson Cel care a dominat ca statistician epoca sa a fost Adolphe Quotelet (1796mdash 1874) mdash matematician statistician şi astronom belgian Prin contribuŃiile şale s-a produs

o nouă cotitură icircn evoluŃia statisticii

Elementele esenŃiale care au revoluŃionat substanŃial gacircndirea statistică sunt concretizate

icircn utilizarea noŃiunilor medie dispersie repartiŃie observare de masă regularitate

Lucrarea elaborată de Qu6telet icircn 1848 intitulată bdquoLa methode statistique a avut o

semnificaŃie deosebită pentru dezvoltarea conceptului de statistică Această lucrare

constituie prima expunere coerentă sintetică a teoriei statisticii

Qu6telet icircmpreună eu demograful şi statisticianul englez William Farr a organizat

primul Congres internaŃional de statistică (Bruxelles 1853)urmat de alte opt congrese

care au avut un rol important icircn dezvoltarea statisticii pe plan internaŃional

Pentru realizările sale deosebite Qu6telet este considerat fondatorul statisticii moderne



Icircn decursul secolului 19 o remarcabilă contribuŃie la progresul statisticii au avut şi alte

şcoli naŃionale Şcoala germană a continuat tradiŃia unei statistici concepută ca ştiinŃă

socială dar presărată icircncă cu numeroase elemente descriptive

Statistica rusă a fost reprezentată de D P Juravski mdash după care bdquostatistica este o ştiinŃă

materială avacircnd ca obiect studiul vieŃii sociale şi icircn acelaşi timp o ştiinŃă

metodologică El a pus un accent deosebit pe utilizarea metodei grupărilor icircn teoria

probabilităŃilor contribuŃii de seamă au avut P L Cebicircşev (1821-1894) şi A A Markov

(1866-1922)

ReprezentanŃii statisticii romacircneşti au avut contribuŃii valoroase la promovarea statisticii

atacirct pe plan teoretic cicirct şi pe linia instituŃionalizării ei

lon lonescu de la Brad (1818mdash1891) mdash agronom economist şi statistician - a organizat

şi condus primul oficiu naŃional de statistică din Moldova icircn lucrarea sa bdquoPovăŃuiri pentru catagrafia Moldovei (1859) mdash considerată un manual sintetic de teorie a

statisticii exprimacircndu-şi concepŃia despre statistică a reŃinut una dintre numeroasele

definiŃii ale acesteia şi anume bdquostatistica este ştiinŃa faptelor sociale exprimate prin

termeni numerici (Moreau de Jonn^s)

Dionisie Pop MarŃian (1829mdash1865) mdash economist şi statistician a organizat primul oficiu

de statistică din łara Romacircnească şi apoi a condus organul central de statistică al

Principatelor Unite Potrivit concepŃiei sale statistica studiază icircn expresie numericăbdquofenomenele naturale şi sociale şi are drept scop a conduce la descoperirile cauzelor şi

efectelor şi de aici la legile care domnesc viaŃa universală a naturii şi cea particulară a

popoarelor şi a arăta prin coordonarea acestor legi unitatea şi armonia lumii fizice şi

sociale icircn deosebitele lor fenomene

Spre sfacircrşitul secolului 19 şi icircnceputul secolului 20 statistica icircnregistrează o nouă etapă a

evoluŃiei sale prin extinderea şi perfecŃionarea metodelor specifice de investigare prin

introducerea pe scară largă a instrumentului matematic icircn prelucrarea şi analiza statistică

a datelor prin orientarea gacircndirii statistice spre interpretarea analitică a fenomenelor de

masă şi obŃinerea de concluzii inductive

Noile metode introduse icircn analiza statistică au fost elaborate icircn mare parte de şcoala

anglo-saxonă de statistică matematică fondată de F Galton şi K Pearson şi continuată de

R A Fisher F Y Edgeworth G U Yuleraquo M G Kendall şi alŃii ContribuŃiile lor sunt



hotăracirctoare pentru constituirea statisticii moderne fiind dezvoltate capitole de bază ca

analiza dispersionalăraquo teoria estimaŃiei calculul corelaŃiilor verificarea ipotezelor teoria

selecŃiei Sub impulsul şcolii Pearson-Fischer statistica a făcut progrese remarcabile

găsindu-şi fundamentări foarte precise ca disciplină ştiinŃifică icircn toate Ńările lumii

Analizacircnd icircn sinteză retrospectiva procesului evolutiv al dezvoltării statisticii se

conturează distinct următoarele etape evidenŃa statistică mdash statistica descriptivă mdash

aritmetica politică mdash statistica modernă Trecerea de la o etapă la alta a avut loc nu prin

perimarea a tot ceea ce s-a cacircştigat pacircnă la un moment dat şi crearea unei statistici icircntru

totul nouă ci printr-o perfecŃionare continuă a metodelor de culegere prelucrare şi

analiză a datelor printr-o extindere şi diversificare continuă a posibilităŃilor de

valorificare a informaŃiilor statistice

Folosirea metodelor statistico-matematice ca instrumente practice de investigare si

analiză socio-economică şi mai ales orientarea cercetărilor statistice spre descoperirea

legităŃilor care guvernează variabilitatea fenomenelor social-economice de masă au

conferit statisticii caracterul său ştiinŃific

Icircn zilele noastre conceptul de statistică are un sens larg şi un conŃinut deosebit de

complex cuprinzacircnd aproape toate formele sale evolutive

2 LIMBAJUL STATISTICII

Exista cateva elemente si concepte comune tuturor cercetarilor statistice concepte

care alcatuiesc limbajul de baza al statisticii

Populatia (colectivitatea) statistica reprezinta totalitatea elementelor de aceeasi

natura care au trasaturi esentiale comune si care sunt supuse unui studiu statisticTermenul de populatie nu se refera doar la un grup de persoane Prin populatie se

intelege o multime de obiecte pareri evenimente opinii etc

O populatie statistica include intreaga colectie de obiecte sau observatii pe care le

analizam statistic pentru a trage concluzii



In genearal populatia este bine definita in timp spatiu si ca forma organizatorica

si in plus este considerata a fi finita

Esantionul reprezinta un subset de elemente selectate dintr-o colectivitate

statistica

Cu cat este mai numeroasa o colectivitate cu atat devine mai dificila cercetarea

tuturor elementelor ei fiind consumatoare de timp si costisitoare In acest caz solutia este

extragerea unei subcolectivitati (esantion) din colectivitatea generala In felul acesta se

vor estima parametrii populatiei totale pe baza rezultatelor obtinute in esantion iar ceea

ce a fost determinat ca fiind tipic esential si caracteristic in esantion se presupune ca ar

fi fost gasit si daca s-ar fi cercetat colectivitatea generala

Exactitatea acestei presupuneri depinde de modul in care a fost extras esantionul

iar de acuratetea acestui proces depinde succesul mersului statistic Reprezentativitateaesantionului este asadar aspectul crucial al oricarui proces de cercetare pe baza de sondaj

statistic

Inferenta statistica reprezinta o decizie o estimatie o predictie sau o

generalizare privitoare la o colectivitate generala bazata pe informatiile statistice

obtinute pe un esantion

Unitatea statistica reprezinta elementul constitutiv al unei colectivitati si care

este purtatorul fiecarei trasaturi supuse observarii si cercetarii statisticeDefinirea clara a unitatii statistice trebuie sa evite orice ambiguitate sa faca

posibila identificarea ei exacta si sa fie posibila inregistrarea datelor statistice

Unitatile statistice pot fi simple sau complexe Unitatile complexe sunt rezultate

ale organizarii sociale sau economice (ex familia)

Caracteristica statistica reprezinta trasatura comuna tuturor unitatilor unei

colectivitati si care variaza ca nivel sau valoare de la o unitate la alta a colectivitatii Este

numita si variabila statistica sau variabila aleatoare

Caracteristicile statistice se pot clasifica dupa mai multe criterii astfel

Dupa modul de exprimare

calitative( nominative)

cantitative (numerice)

Dupa numarul variantelor de raspuns



alternative ( binare)

nealternative

Dupa natura variatiei caracteristicilor numerice

-continue

-discrete

d) Dupa continut

-de timp

-de spatiu

-atributive

3 ELEMENTE DE STATISTICA DESCRIPTIVA

Fenomenele de masa se caracterizeaza in principal prin variabilitatea formelor de

manifestare determinate de actiunea combinata in sensuri diferite a unui complex de

factori sistematici sau intamplatori obiectivi sau subiectivi esentiali sau neesentiali

identificati direct sau indirect Fenomenele de masa social-economice intra deci sub

incidenta aleatorului sub incidenta legilor statistice Acestea se manifesta nu la nivelul

fiecarei unitati din colectivitatea investigata ci la nivelul colectivitatii ca tendintaAbaterile de la tendinta se compenseaza obiectiv reciproc

Prin urmare fundamentarea deciziilor presupune cunoasterea la nivelul

colectivitatii investigate a tendintei a ceea ce este obiectiv essential comun si stabil in

formele individuale de manifestare a fenomenelor in acest scop este necesar sa se

determine indicatori sintetici adecvati

Indicatorii cu care se caracterizează tendinŃa centrala din forma de manifestare a

fenomenelor de masa au ca principala funcŃie aceea de a sintetiza in aşa manieră valorileindividuale icircnregistrate ale caracteristicilor urmărite astfel icircncacirct sa fie posibila

substituirea acestora fără sa se modifice esenŃa si şi relaŃia obiectiva dintre date

Indicatorii sintetici ai tendinŃei centrale trebuie acceptaŃi fără ambiguitate si trebuie

icircnŃeleşi de toata lumea in acelaşi fel Valorile lor calculate trebuie sa fie valori tipice si nu

valori arbitrare sau subiective



Indicatorii tendinŃei centrale se determina in general ca indicatori medii sau

indicatori de poziŃie(ai localizării) in funcŃie de natura caracteristicilor urmărite in

colectivitatea investigata de scopul investigaŃiei etc

Pentru cunoaşterea obiectiva a tendinŃei centrale elaborarea si utilizarea corecta a

indicatorilor sintetici este esenŃiala icircndeplinirea unor cerinŃe de principiu generale In

acest sens Yule precizează condiŃiile care ar trebui sa le icircndeplinească un astfel de

indicator si anume

- să fie definit in mod obiectiv independent de dorinŃa utilizatorului

- să depindă determinarea sa de toate valorile individuale icircnregistrate

- să aibă o semnificaŃie concreta uşor de icircnŃeles chiar si de nespecialişti

- să fie simplu si rapid de calculat

- să fie puŃin sensibil la fluctuaŃiile de selecŃie- să se preteze la calcule algebrice

Pentru caracterizarea tendinŃei centrale se vor folosi

Marimi medii

Indicatori de pozitie

Indicatori de variatie

Marimi medii

Media aritmetica

Media aritmetica a valorilor individuale n x x x 21 ale caracteristicii

numerice X reprezintă acea valoare care s-ar fi icircnregistrat daca toŃi factorii de influenta

ar fi acŃionat constant (cu aceeaşi intensitate) la nivelul fiecărei unităŃi de icircnregistrare

Aceasta icircnseamnă ca media aritmetica daca ar substitui fiecare o valoare individuala i x

(cu i = n1 ) valoarea totalizata obiectiv formata a caracteristicii nu s-ar modifica Prin

urmare fiind obiectivata activitatea valorilor individuale avem

n

x

x xn x

n

i

in

i i

sumsum =

==rArr= 1

1

DefiniŃia data mediei aritmetice este adevarată numai daca valorile individuale

icircnregistrate sunt numerice Mărimea calculata a mediei este unica o serie nu poseda mai



multe medii aritmetice distincte Suma diferentelor dintre toate valorilor individuale

icircnregistrate si media lor aritmetica este nula

Media armonica

Media armonica ca măsura a tendinŃei centrale intr-un ansamblu de observaŃii

cantitative se defineşte ca valoare inversă a mediei aritmetice a inverselor valorilor

individuale icircnregistrate Aplicarea mediei armonice pentru exprimarea numerica a

tendinŃei centrale are sens numai daca este obiectiva icircnsumarea inverselor valorilor

individuale Deci relaŃia de calcul a mediei armonice simple este următoarea

11

0

1

1

minusminus

=minus

∆

=∆ sum=

minus

T

x x

T

T T

t

x

t

t

x

Media armonica este mai mica decacirct media aritmetica pentru aceleaşi valori

pozitive In cazul in care intre doua variabile exista o relaŃie de inversa proporŃionalitate

(y= x

1) aceasta se pastrează si intre mediile calculate pentru fiecare variabila Media

armonica este egala cu media aritmetica daca sunt calculate din aceleaşi valori

individuale sau daca se folosesc ponderi diferite si compuse Media armonica se

utilizează pentru exprimarea tendinŃei centrale in funcŃie de scopul cercetării si mai ales

in funcŃie de natura obiectiva dintre valorile variabilei numerice observate

Media pătratică (sau momentul iniŃial de ordinul doi)

Media pătratică ( p x ) exprima tendinŃa centrala a valorilor numerice icircnregistrate

pentru variabila observata daca are sens obiectiv icircnsumarea pătratelor valorice

individuale Ea reprezintă acea valoare a caracteristicii care daca ar icircnlocui fiecare

individuala din serie suma pătratelor termenilor seriei nu s-ar modifica Deci

sum=

=++=n

i

pnii xn x x x1

2222

Prin urmare media pătratica se calculează după relaŃia următoare

2

1

1

2

=sum

=

n

x

x

n

i

i

p



Cu toate ca media pătratică se poate calcula atacirct din valori individuale pozitive

nule sau negative ea nu are sens din punct de vedere economic decacirct daca se calculează

din valori pozitive Valoarea mediei pătratice este mai mare decacirct cea a mediei aritmetice

atunci cacircnd ele se calculează din aceleaşi date Media pătratică se utilizează frecvent

pentru a caracteriza tendinŃa centrala din ansamblul abaterilor valorilor individuale de la

valoarea lor medie

Media geometrica

Spre deosebire de tipurile de medii prezentate anterior care au la baza o relaŃie de

aditivitate intre termenii unei serii statistice media geometrica se calculează pe baza unei

relaŃii obiective multiplicative intre termenii aceleiaşi serii Prin urmare media

geometrica ( g x ) reprezintă acea valoare a caracteristicii observate care daca ar icircnlocui

fiecare valoare individuala din serie produsul acestora nu s-ar modifica

g x =nn

i

i x

1

1

prod

=

Media geometrica uneori se mai numeşte si medie logaritmica deoarece se poate

determina prin logaritmii valorilor individuale Astfel

( )n

x

x

n

i

i

g

sum== 1

lnln de unde

= sum

=

n

i

i g xn

x1

ln1

exp

Daca cel puŃin o valoare individuala este nula sau negativa calculul mediei

geometrice este lipsit de sens Media geometrica se utilizează frecvent pentru calculul

indicelui mediu al dinamicii pentru caracterizarea tendinŃei centrale din seria indicilor de

dinamica cu baza mobila Media geometrica a produsului dintre doua variabile este produsul mediilor geometrice ale valorilor variabilelor observate Astfel daca indicii de

dinamica cu baza mobila sunt omogeni atunci indicele mediu de dinamica se determina

după relaŃia următoare



1

0

1

11 minusminus

=minus == prod T

T T

T

t

x

t t

x

x

x I I cu T 1 = numărul indicilor cu baza mobila

Media de ordin bdquoprdquo (momentul iniŃial de ordin bdquoprdquo)Analizacircnd tipurile de medii prezentate constatam ca esenŃial pentru exprimarea

numerica reala a tendinŃei centrale o analiza detaliata trebuie sa preceada alegerea tipului

de medie Consideram o funcŃie y=p(x) strict monotona definita pe intervalul de variaŃie

al datelor [ ] +rarr R x x maxmin Numim media de ordin p a unei variabile discrete de valori

i x si frecvente i f valoarea p( x ) pentru care exista egalitatea următoare

( ) ( )i

r

i

i x p f x p sum=

=

1

Media termenilor unei serii cronologice

Intr-o serie cronologica de intervale in virtutea continuităŃii timpului termenii

fiind aditivi nivelul mediu se determina ca medie aritmetica simpla după următoarea

relaŃie

T

x

x

T

t

t sum== 1 unde t x = nivelul variabilei icircnregistrate in intervalul t= T 1

T= numărul de termeni ai seriei cronologice analizate

BIndicatori de poziŃie

Caracterizarea tendinŃei centrale in seriile de repartiŃie presupune luarea in

considerare nu numai a valorilor individuale ale caracteristicii urmărite dar si a formei in

care se repartizează unităŃile colectivităŃii după caracteristica respectiva De multe ori

informaŃii mult mai utile fundamentării deciziilor decacirct cele oferite de indicatorii mediile furnizează indicatorii de poziŃie Aceasta icircnseamnă ca pentru caracterizarea tendinŃei

centrale in seriile de repartiŃie rolul de valoare tipica poate fi jucat nu numai de medie ci

si de indicatori de poziŃie modul si cuantilele

Valoarea modala a caracteristicii reprezintă acea valoare a caracteristicii care

corespunde celui mai mare număr de unităŃi sau aceea care are cea mai mare frecventa de



apariŃie De exemplu in seria 5678910 valoarea individuala bdquo8rdquo apare cel mai

frecvent modulul este deci 8 Pentru o repartiŃie discreta valoarea modala este uşor

reperabila pe calea simplei examinări a şirului de frecvente absolute sau relative Astfel

in tabloul statistic valoarea modala a caracteristicii va fi acea valoare individuala pentru

care frecventa de apariŃie este mai mare Daca seria prezintă doua frecvente maximale

identice atunci se defineşte intervalul modal avem repartiŃie bimodală

In cazul seriilor de repartiŃie pe intervale egale valoarea modala se determina cu

aproximaŃie in următoarele etape

se identifica intervalul modal Intervalul modal este intervalul cu frecventa cea mai mare

sau intervalul cu densitatea frecventelor maxima In interiorul intervalului modal se caută

valoarea modala

Estimarea valorii modale Aceasta operaŃie poate fi efectuata in mai multe variante sianume

- daca in cadrul intervalului modal frecventele sunt simetric distribuite

atunci valoarea modala coincide cu centrul intervalului modal

- daca repartiŃia frecventelor in cadrul intervalului modal nu este simetrica

atunci valoarea modala se determina in raport cu abaterea frecventelor intervalului modal

conform relaŃiei de mai jos

211000 ∆+∆

∆+= jM jM h xM unde

0 jM x - limita inferioara a intervalului modal ldquojrdquo

0 jM h - marimea intervalului modal

1∆ - diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului

precedent

2∆ - diferenta dintre frecventa intervalului modal sic ea a intervalului urmator

Cuantilele

Cuantilele sunt indicatorii care descriu anumite pozitii localizate in mod particular in

cadrul seriilor de distributie Conceptual de ldquocuantilardquo indica o divizare a distributiei

observatiilor intr-un numar oarecare de parti Cuantilele de ordin ldquorrdquo sunt valori ale



caracteristicii urmarite care impart distributia ordonata a observatiilor in ldquorrdquo parti egale

Fiecare parte are acelasi efectiv adica lr din numarul total al unitatilor

Frecvent se utilizează următoarele cuantile

mediana sau cuantila de ordinul 2 (r=2)

cuartilele sau cuantilele de ordinal 4 (r=4)

decilele sau cuantilele de ordinul 10 (r=10)

centilele sau cuantilele de ordinul 100 (r=100)

Cuantilele de ordin superior (r gt 4) se calculeaza in cazul distributiilor cu numar mare de

grupe sau clase de valori individuale

Dupa calculul indicatorilor tendintei centrale o atentie deosebita trebuie acordata

analizei in concordanta cu natura fenomenului analizat cu gradul de imprastiere a

valorilor individuale Aceasta este cu atat mai importanta cu cat in elaborarea deciziilor se tine seama de valoarea tipica calculata cea mai reprezentativa cu cea mai mare

incarcatura informationala despre tendinta centrala

C Indicatori de variatie

Variabilitatea este caracterizată şi măsurată printr-un sistem de indicatori care se pot

clasifica după următoarele criterii

A după nivelul la care se calculează şi aria de cuprindere avem

indicatori simpli ai variaŃiei (calculaŃi la nivelul unei unităŃi statistice)

indicatori sintetici ai variaŃiei (calculaŃi la nivelul icircntregii colectivităŃi sau al unei grupe a

acesteia)

B după forma de exprimare pot fi

indicatori absoluŃi (exprimă variaŃia icircn unităŃi concrete de măsură)

indicatori relativi (exprimă variaŃia icircn procente sau coeficienŃi)

I Indicatorii simpli absoluŃi ai variaŃiei compară sub formă de diferenŃă mărimea a doi

termeni ai seriei sau mărimea unui termen al seriei cu nivelul mediu al acesteia Se

exprimă icircn unitatea de măsură a caracteristicii pentru care s-au calculat



Amplitudinea absolută a variaŃiei

minmax x x A minus=

ObservaŃii

dacă cele două valori extreme sunt valori aberante amplitudinea nu mai prezintă o

semnificaŃie deosebită (este sensibilă la valorile extreme)

nu poate fi folosită icircn comparaŃii decacirct pentru serii care se referă la aceeaşi caracteristică

(care se exprimă icircn aceeaşi unitate de măsură)

este destul de instabilă pe măsura adăugării de noi date

dacă icircntr-o distribuŃie de frecvenŃe pe intervale de valori nu se cunosc limitele inferioarăşi superioară atunci amplitudinea nu poate fi calculată decacirct făcacircnd anumite presupuneri

pe baza mărimii intervalelor de grupare

Abaterea (devierea) individuală absolută

x xd ii

minus= cu ni 1= reprezentacircnd unitatea statistică

Abaterea maximă pozitivă (icircn expresie absolută)

x xd minus=+maxmax

Abaterea maximă negativă (icircn expresie absolută)

x xd minus=minusminmax

Indicatorii sintetici măsoară icircn mod sintetic abaterea termenilor seriei faŃă e nivelul

mediu al acesteia



Abaterea medie absolută (sau abaterea medie liniară)

Reprezintă media aritmetică simplă sau ponderată a abaterilor individuale luate icircn

valoarea absolută ale termenilor seriei faŃă de media lor

Arată cu cacircte unităŃi de măsură concrete s-a modificat icircn medie un termen al seriei faŃă de

nivelul mediu al acesteia

pentru o serie simplă n

x x

d

n

iisum

=minus

= 1

pentru o serie de frecvenŃe sum

sum

=

=minus

=r

ii

r

iii

n

n x x

d

1

1

sau

sumsum

=

=minus

=r

ii

r

i ii

n

n x x

d

1

1

Dispersia (sau varianŃa) este media aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor

abaterilor individuale absolute ale termenilor seriei faŃă de media lor

pentru o serie simplă

( )

n

x x

s

n

iisum

=

minus

= 1

2

2



pentru o serie de frecvenŃe

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2sau

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2

ObservaŃii

Dispersia nu are unitate de măsură

Cu cacirct este mai apropiată de 0 cu atacirct variaŃia este mai mică cu cacirct este mai depărtată de

0 cu atacirct variaŃia este mia mare

Prezintă avantajul că prin ridicarea la pătrat acordă o importanŃă mai mare abaterilor

individuale mai mari icircn valoare absolută faŃă de media seriei

Unele proprietăŃi ale dispersiei

1 Pentru un şir de valori constante dispersia este icircntotdeauna nulă

2 Dacă icircntr-o serie (simplă sau de frecvenŃe) fiecare termen se măreşte sau se micşorează

cu o aceeaşi constantă bdquoardquo atunci dispersia seriei nu se modifică

3 Dacă icircntr-o serie (simplă sau de frecvenŃe) fiecare termen se măreşte sau se

micşorează de un acelaşi număr de ori (h) atunci dispersia seriei se va modifica şi ea icircnacelaşi sens de bdquoh

2rdquo ori faŃă de dispersia seriei iniŃiale

O serie statistică poate să fie structurată icircn grupuri (serii componente) după un factor

principal de grupare sau după un criteriu organizatoric

Dacă o serie statistică este alcătuită din mai multe serii componente am văzut atunci

cacircnd am studiat media aritmetică că media icircntregii serii poate fi calculată ca o medie din

mediile parŃiale Pentru dispersie compunerea se face icircnsă după o schemă ceva mai

elaborată cunoscută ca regula adunării dispersiilor

Astfel dacă o serie este compusă din m serii componente (grupuri) fiecare serie

componentă fiind de volum n j m1 j = atunci se pot calcula mediile seriilor

componente jx m1 j = şi dispersiile seriilor componente



( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=

3 Abaterea medie pătratică (sau abatere standard sau deviaŃie standard) este media

pătratică simplă sau ponderată a abaterilor individuale absolute faŃă de medie


( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

Coeficientul de variaŃie este indicatorul sintetic al variaŃiei care măsoară icircn mod relativ şisintetic gradul de icircmprăştiere a valorilor faŃă de tendinŃa centrală a seriei

100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v



Avantaj Nu depinde de unitatea de măsură a caracteristicii urmărite de aceea poate fi

folosit pentru a compara omogenitatea sau dimpotrivă eterogenitatea a două sau mai

multe serii care se referă la variabile diferite

Interpretare

-dacă valoarea coeficientului de variaŃie este mai mică sau cel mult egală cu 30 - 35

atunci seria este omogenă şi media este reprezentativă pentru valorile din care s-a

calculat

-dacă dimpotrivă valoarea coeficientului de variaŃie este de peste 65-70 seria este

eterogenă media calculată icircşi pierde semnificaŃia şi nu mai este reprezentativă

5 Coeficientul de asimetrie Pearson

s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3

Pentru repartiŃii moderat asimetrice există relaŃia

Interpretare

Indicatorul Cas ia valori icircn intervalul [ ]11 +minus

Dacă MoMe xCas ==rArr= 0 seria este perfect simetrică

Dacă MoMe xCas gtgtrArrgt 0 seria este pozitiv asimetrică icircn ea predominacircnd valorile

mici

Dacă MoMe xCas ltltrArrlt0 seria este negativ asimetrică icircn ea predominacircnd valorile

mari

Dacă Cas ia valori apropiate de plusmn1 distribuŃia are asimetrie pronunŃată (pozitivă sau

negativă)

Dacă Cas ia valori apropiate de 0 distribuŃia are asimetrie uşoară (pozitivă sau

negativă)

Me xM x minusasympminus 30



4 ELEMENTE DE STATISTICA MATEMATICA

41 TEORIA SELECTIEI

DefiniŃie 411 Numim colectivitate sau populaŃie o mulŃime C de elemente care este

cercetată din punct de vedere a uneia sau mai multor caracteristici (proprietăŃi)

elementele colectivităŃii fiind numite indivizi iar numărul indivizilor unei colectivităŃi se

va numi volumul colectivităŃii

ObservaŃie 4121) Problema esenŃială a statisticii matematice este de a stabilii legea de probabilitate pe

care o urmează caracteristica X

2) Caracteristicile sunt de tip discret şi de tip continuu

DefiniŃie 413 Numim selecŃie (sondaj) o subcolectivitate a colectivităŃii cercetate C iar

numărul elementelor selecŃiei poartă numele de volumul selecŃiei (sondajului)

DefiniŃie 414 O selecŃie se numeşte repetată sau bernoulliană dacă după examinarea

individului acesta se reintroduce icircn colectivitate icircn caz contrar selecŃia este nerepetată

ObservaŃie 415 Dacă volumul colectivităŃii C este mult mai mare decacirct volumul

selecŃiei atunci selecŃia nerepetată poate fi considerată ca fiind selecŃie repetată Icircn

continuare considerăm numai selecŃii repetate

DefiniŃie 416 Numim date de selecŃie relative la caracteristica X valorile obŃinute

pentru indivizii care intră icircn selecŃie privind caracteristica X Dacă selecŃia este de volum

n vom nota datele de selecŃie prin x1 x2hellipxn

DefiniŃie 417 Datele de selecŃie x1 x2hellipxn sunt valorile unor variabile aleatoare

respectiv X1 X2hellipXn care se vor numi variabile de selecŃieObservaŃie 418

1) Dacă selecŃia este repetată atunci X1 X2hellipXn sunt independente şi identic repartizate

cu X (urmează aceeaşi lege de probabilitate ca X)



2) Dacă datele de selecŃie x1 x2hellipxn au valorile distincte x1 x2hellipx N atunci

N21

N21

f f f

xxxX unde f i = frecvenŃa apariŃiei valorii xi se va numi distribuŃia

empirică de selecŃie a lui X

3) Dacă X este de tip continuu se obişnuieşte să se facă o grupare a datelor de selecŃie icircn

clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii

+= minus f i este frecvenŃa datelor de selecŃie

din intervalul )aa[ i1iminus nf f f N21 =+++ n = volumul selecŃiei

Această grupare se face chiar şi pentru cazul cacircnd X este de tip discret

DefiniŃie 419 Dacă avem funcŃia R R h n rarr numim funcŃie de selecŃie sau statistică

variabila aleatoare )XXX(hZ n21n = iar valoarea numerică )xxx(hz n21n = onumim valoarea funcŃiei de selecŃie

DefiniŃie 4110 Numim medie de selecŃie funcŃia de selecŃie definită prin Xn

1X

n

1k k sum

=

=

iar valoarea numerică xn

1x

n

1k k sum

=

= o numim valoarea mediei de selecŃie

ObservaŃie 4111

1) Dacă X urmează legea normală )m( N σ atunci media de selecŃie X urmează legea

normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie

Avem ca variabile de selecŃie X1 X2 Xn urmează şi ele legea normală )( σ m N

FuncŃia caracteristică a variabilei Xk este de forma

)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus

==sum ==== prodprod=

adică X urmează legea normală )(n

m N σ



2) Dacă X urmează legea normală )m( N σ atunci statistica

n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=

Conform observaŃiei 1 dacă se consideră caracteristica X care urmează legea normală

)( σ m N atunci media de selecŃie X urmează legea normală )(n

m N σ

0)()()( =minus=minus= mmn

mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ

adică Z urmează legea N(01)

3) Dacă X1 X2 independente urmează legea normală 21i)m( N ii =σ atunci statistica

2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ

minusminusminus= urmează legea normală N(01)

DemonstraŃie

FuncŃiile caracteristice ale mediilor de selecŃie X şi

X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

= X şi X fiind independente rezultă )()()( t t t X X X X minusminus = ϕ ϕ ϕ

unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus

minus =minus= iar )()(

)(

)( t et X X

mmit

mm X X minusminusminus

minusminusminus = ϕ ϕ

Avem succesiv =+

== minusminusminus

+

minusminusminus )()()(

2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ


DefiniŃie 4112 Numim moment de selecŃie de ordin k funcŃia de selecŃie

sum=

=n

k

k

ik X n 1

1σ iar valoarea numerică sum

=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim

valoarea momentului de selecŃie de ordin k

DefiniŃie 4113 Numim moment centrat de selecŃie de ordin k funcŃia de selecŃie

( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n

1o numim valoarea momentului centrat de

selecŃie de ordin k

ObservaŃie 4114

1) Dacă X urmează legea normală )m( N σ atunci

statistica

1n

mXT

2

minusmicro

minus= urmează legea Student cu n-1 grade de libertate

statistica222 n

Hσ

micro= urmează legea 2χ cu n-1 grade de libertate

2) FuncŃia de selecŃie sum=

minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n

1se numeşte dispersia de selecŃie atunci

statisticile din observaŃia anterioară devin

n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=

3) Momentul centrat de selecŃie k micro de ordin k pentru n mare urmează legea normală

minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ



DefiniŃie 4115 Numim funcŃie de repartiŃie de selecŃie funcŃia de selecŃie definită prin

R xn

)x(K )x(F n

n isinforall= unde )x(K n este numărul valorilor variabilelor de selecŃie mai

mici decacirct x

Teorema lui Glivenko 4116 Dacă se consideră caracteristica X ce are funcŃia de

repartiŃie teoretică F şi fie funcŃia de repartiŃie de selecŃie nF atunci

P( 1)0)x(F)x(Fsuplim nR xn

==minusisininfinrarr

Teorema lui Kolmogorov 4116 Fie caracteristica X de tip continuu care are funcŃia de

repartiŃie teoretică F şi fie funcŃia de repartiŃie de selecŃie nF iar )x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus

infinrarrgtminus==ltsdot

k

xk 2k n

n0xe)1()x(K )xdn(Plim

22

ObservaŃie 4117 FuncŃia K(x) se numeşte funcŃia lui Kolmogorov şi are valorile

tabelate

Exemplul 4118 Se consideră un eşantion de 20 de clienŃi care intră icircntr-un magazin

alimentar pentru a cerceta frecvenŃa X cu care clienŃii fac apel la serviciile magazinului

de-a lungul unei săptămacircni şi respectiv pentru cercetarea cheltuielilor lunare Y icircn mii lei

ale clienŃilor pentru procurarea de bunuri alimentare S-au obŃinut următoarele date deselecŃie pentru X şi respectiv Y

X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere

a) distribuŃiile empirice de selecŃie pentru fiecare din caracteristicile X şi Y

b) mediile de selecŃie momentele centrate de selecŃie de ordinul al doilea şi dispersiile de

selecŃie pentru caracteristicile X şi Y

c) funcŃiile de repartiŃie de selecŃie pentru X şi Y

Rezolvare

a) Se observă că datele de selecŃie pentru caracteristica X au N = 6 valori distincte deci

distribuŃia empirică de selecŃie pentru X este



X

213464

654321 Pentru caracteristica Y toate datele de selecŃie sunt distincte

Vom face o grupare a datelor de selecŃie corespunzătoare caracteristicii Y Anume prima

clasă cuprinde valorile datelor de selecŃie icircn intervalul [7080) a doua clasă cuprinde

valorile din intervalul [8090) etc După efectuarea acestei grupări distribuŃia empirică de

selecŃie a lui Y devine

Y

136442

125115105958575

b) Mediile de selecŃie pentru cele două caracteristici sunt

sum sum= =

=sdot+sdot+sdot+sdot+sdot+sdot=sdot==20

1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=

=sdot+sdot+sdot+sdot+sdot+sdot=sdot=6

1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y

Valorile momentelor centrate de selecŃie de ordinul doi pentru cele două caracteristici

sunt respectiv

sum sum= =

minussdot+minussdot=minus=minus=micro20

1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(

32752])8526(2)8525(1)8524(3)8523(4 2222 =minussdot+minussdot+minussdot+minussdot+

sum sum= = minussdot+minussdot=minussdot=minus=

20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k

k k k y y f y yY micro

5182])598125(1)598115(3)598105(6)59895(4 2222 =minussdot+minussdot+minussdot+minussdot+Valorile dispersiilor de selecŃie se calculează imediat dacă se cunosc momentele

centrate de selecŃie de ordinul doi

452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k

2 =microsdot=minus=σ sum=

Astfel se poate obŃine 571)X()X( 2 =σ=σ şi respectiv 8613)Y()Y( 2 =σ=σ

c) FuncŃiile de repartiŃie de selecŃie pentru cele două caracteristici sunt respectiv



gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1

6x5daca20185x4daca2017

4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020

42 TEORIA ESTIMATIEI

Se consideră caracteristica X care urmează legea de probabilitate dată prin

funcŃia de probabilitate f(x λ ) λ parametru necunoscut unde f este funcŃia densitate de

probabilitate dacă X este de tip continuu respectiv funcŃia de frecvenŃă dacă este de tip

discret

Teoria estimaŃiei are ca scop evaluarea parametrilor de care depinde legea de

probabilitate a lui X folosind datele de selecŃie n21 xxx şi bazacircndu-ne pe rezultatele

teoretice relative la variabilele de selecŃie n21 XXX

DefiniŃie 421 Se numeşte funcŃie de estimaŃie (punctuală) sau estimator al parametrului

λ funcŃia de selecŃie (statistica) )XXX( n21lowastlowast λ=λ cu ajutorul căreia se trag

concluzii relative la λ

DefiniŃie 422 Spunem că funcŃia de estimaŃie este estimator consistent dacă

01)(Plimn

gtεforall=εltλminusλlowast

infinrarr adică

λ rarr λlowast Pn21 )XXX( iar valoarea numerică )xxx( n21

lowastλ se numeşte estimaŃie

consistentă pentru λ DefiniŃie 423 Spunem că funcŃia de estimaŃie este estimator absolut corect pentru λ

dacă λ=λlowast )(M şi 0)(D 2 rarrλlowast cacircnd n infinrarr iar valoarea numerică )xxx( n21lowastλ se

numeşte estimaŃie absolut corectă pentru λ



DefiniŃie 424 Spunem că funcŃia de estimaŃie este estimator corect pentru λ dacă

λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast

infinrarr iar valoarea numerică )xxx( n21

lowastλ se numeşte

estimaŃie corectă pentru λ

DefiniŃie 425 Se numeşte distorsiunea (deplasarea) estimatorului lowastλ diferenŃa

M( λminusλlowast ) iar dacă distorsiunea este nulă estimatorul lowastλ se numeşte nedeplasat

PropoziŃie 426 Dacă )XXX( n21lowastlowast λ=λ este un estimator absolut corect pentru λ

atunci estimatorul este consistent

DemonstraŃie

Din ipoteză avem că λ λ =)( M şi folosind inegalitatea lui Cebicircşev pentru λ obŃinem

( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D

P minusgeltminus pentru orice ε gt 0

Deoarece 0)(lim 2 =infinrarr

λ Dn

din inegalitatea lui Cebicircşev se obŃine ) 1lim =ltminusinfinrarr

ε λ λ P n

pentru orice ε gt 0 deci λ este un estimator consistent pentru parametrul λ

ObservaŃie 427

1) Se arată că momentul de selecŃie k σ de ordin k este estimator absolut corect pentru

momentul teoretic )( k

k X M =σ

DemonstraŃie Icircntr-adevăr

k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k

cacircnd n rarr infin se obŃine că k σ este estimator absolut corect pentru k σ

2) Momentul centrat de selecŃie de ordin doi 2micro este estimator corect pentru momentul

centrat teoretic de ordin doi )X(D22 =micro adică pentru dispersia teoretică



DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=

micro micro cacircnd

n rarr infin respectiv

0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus

minus= micro micro micro

n

nn

n

n D cacircnd n rarr infin şi rezultă că 2micro este un

estimator corect pentru 2micro

3) Dispersia de selecŃie 2σ este estimator absolut corect pentru dispersia teoretică

)X(D 2

DemonstraŃie

Folosind relaŃia 22

1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus

= micro micro σ respectiv

0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n

n D D cacircnd n rarr infin şi deci 2

σ este un

estimator absolut corect pentru dispersia teoretică

DefiniŃie 428 Numim cantitate de informaŃie relativ la parametrul λ expresia

I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)

ObservaŃie 429 Se arată că estimatorul absolut corect lowastλ al lui λ verifică inegalitatea

Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast

DefiniŃie 4210 Estimatorul lowastλ absolut corect pentru parametrul λ se numeşte eficient

dacă)(I

1)(D 2

λ=λlowast iar raportul

)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ

=λ se numeşte eficienŃa estimatorului lowastλ

AplicaŃie 4211 Să se arate că media de selecŃie sum=

=n

j

j X n

X 1

1constituie un estimator

absolut corect şi eficient al parametrului λ din repartiŃia Poisson



Rezolvare

łinacircnd seama că variabila aleatoare X are repartiŃia Poisson cu λ == )()( 2 X D X M

avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j

λ λ cacircnd n rarr infin

şi deci media de selecŃie este un estimator absolut corect al lui λ

Pentru determinarea cantităŃii de informaŃie avem

)( e x f

xλ λ λ minus= lnln)(ln x x x f minus+minus= λ λ λ

λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M

Rezultă cantitatea de informaŃieλ λ

λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(

Icircntrucacirct egalitatea)(

1)(2

λ I X D = este verificată rezultă că X este un estimator eficient

al lui λ

Exemplul 4212 La un control de calitate se verifică diametrul pieselor prelucrate de un

strung Pentru a se realiza acest control s-a efectuat o selecŃie de 18 piese şi s-a obŃinut că

diametrul X al pieselor are următoarele dimensiuni (icircn cm)

Diametru 398 399 400 401 402 Nr Piese 4 3 5 3 3

Să se determine

a) o estimaŃie absolut corectă pentru diametrul mediu al pieselor realizate



b) o estimaŃie corectă şi una absolut corectă pentru dispersia diametrelor faŃă de diametrul

mediu

Rezolvare

a) DistribuŃia empirică de selecŃie a caracteristicii X este

X

33534

024014004993983

Diametrul mediu este media teoretică M(X)=m Dar se cunoaşte că un estimator absolut

corect pentru media teoretică m este media de selecŃie sum=

=n

1k k X

n

1X

Prin urmare valoarea mediei de selecŃie sum=

=n

1k k x

n

1x este o estimaŃie absolut corectă

pentru media teoretică mSe obŃine

02430143004599339834(18

1x sdot+sdot+sdot+sdot+sdot= = 39989

b) Deoarece un estimator corect al dispersiei teoretice )X(D2 este momentul centrat de

selecŃie de ordinul doi 2micro rezultă că o estimaŃie corectă pentru dispersia teoretică este

valoarea momentului centrat de selecŃie de ordinul doi adică

+minussdot+minussdot+minussdot=minus=micro sum=

222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1

422 108771)99893024(3)99893014(3 minussdot=minussdot+minussdot+

O estimaŃie absolut corectă pentru dispersia teoretică este

42

2 10987117

18 minussdot=sdot= micro σ

Exemplul 4213 Fie caracteristica X ce urmează legea normală N(m σ ) unde

m R isin este cunoscut iar 0gtσ este necunoscut Se consideră o selecŃie repetată de volum

n Să se arate că funcŃia de selecŃie V= sum=

minusn

k

m X n 12

1 π este o funcŃie de estimaŃie absolut

corectă pentru parametrul )X(D2=σ

Rezolvare



Arătăm că M(V)= σ şi 0)V(Dlim 2

n=

infinrarr Avem

=minus=minus=minus= sumsum==

)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2

minusπ= Deoarece X urmează legea normală N(m σ ) avem că

int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus

=sdotminus=minus=minus dxem xdx xm xm X M

m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t

dacă s-a făcut schimbarea de variabilă

t m x

=minusσ

Prin urmare avem M(V) = σ=σπ

sdotπ 2

2 deci prima condiŃie este satisfăcută

Pentru verificarea celei de-a doua condiŃii scriem succesiv

rArrminus=minus=minus= sumsum==

n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π

0)(lim 2 =rArrinfinrarr

V Dn

Metoda verosimilităŃii maxime

Considerăm caracteristica X supusă cercetării ca avacircnd funcŃia de probabilitate f(x

) s21 λλλ Variabilele de selecŃie n21 XXX sunt independente şi identic

repartizate rezultă că vectorul aleator ( n21 XXX ) va avea funcŃia de probabilitate

prod==

n

i

si sn X f X X X V 1

212121 )()( λ λ λ λ λ λ şi care se numeşte funcŃie de

verosimilitate

Spunem că estimatorii )XXX( n21iilowastlowast λ=λ sunt de verosimilitate maximă pentru

s1ii =λ dacă realizează maximul funcŃiei de verosimilitate



Determinarea estimatorilor de verosimilitate maximă se va face rezolvacircnd sistemul

s1i0V

i

==λpart

part care de regulă se icircnlocuieşte cu s1i0

Vln

i

==λpart

partnumit sistem de

verosimilitate maximă

ObservaŃie 4215

1) Se arată că un estimator eficient este un estimator de verosimilitate maximă

2) Un estimator de verosimilitate maximă este estimator consistent iar pentru valori mari

ale lui n este o variabilă aleatoare ce urmează legea normală N( ))](I[ 1minusλλ unde λ este

parametrul estimat

Exemplul 4216 Să se determine estimatorii de verosimilitate maximă pentru valoarea

medie şi abaterea standard dacă se consideră caracteristica X care urmează legea

normală N(m σ )

Rezolvare

M(X) = m şi σ=σ )X( f(x m2

2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus

πσ=σ Pentru a scrie sistemul de

verosimilitate maximă avem

ln f(x m σ ) = - ln2

2

2

)mx(ln2

σminus

minusσminusπ de unde

2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3

2)mx(1)mx(f lnσminus+

σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m

Exemplul 4217 Se consideră caracteristica X ce urmează legea binomială adică are

distribuŃia teoretică



Xm0k

)k m(P

k

=

unde P(mk) = p1qq pC k mk k

m minus=minus cu parametrul

p )10(isin necunoscut Folosind o selecŃie de volum n se cere

a) estimatorullowast

p de verosimilitate maximă pentru p b) să se arate că estimatorul lowast p este un estimator absolut corect pentru parametrul p

c) să se arate că estimatorul lowast p este un estimator eficient pentru parametrul p

Rezolvare

FuncŃia de probabilitate pentru caracteristica X este

f(x p) = m0x) p1( pC xmxxm =minus minus Pentru a scrie ecuaŃia de verosimilitate maximă

sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că

ln f(x p) = ln ) p1ln()xm( plnxCxm minusminus++ de unde

p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part

part Aşadar ecuaŃia verosimilităŃii maxime este

sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X

EcuaŃia verosimilităŃii maxime se mai scrie 0X pmpX) p1( =+minusminus de unde se obŃine

estimatorul de verosimilitate maximă Xm1)XXX( p p n21 == lowastlowast pentru parametrul p

Pentru aceasta avem icircn primul racircnd că

pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m

1) p(M =sdot===lowast iar apoi pentru dispersie se poate scrie

succesiv ==== sum sum= =

lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22

Prin urmare s-a obŃinut M( lowast p ) = p şi 0)X(Dlim 2

n=

infinrarr deci estimatorul lowast p este estimator

absolut corect pentru parametrul p

c) Cantitatea de informaŃie relativă la parametrul p se poate calcula după cum urmează



=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p

) pX(f ln[(nM) p(I 2

222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=

Pe de altă parte am văzut că ) p(I

1) p(D2 =lowast deci estimatorul lowast p este estimator eficient

pentru parametrul p

Metoda momentelor

Fie caracteristica X care are funcŃia de probabilitate

f(x s21 λλλ ) Această metodă de estimare a parametrilor constă icircn determinarea

parametrilor iλ i = s1 din condiŃiile că momentele iniŃiale teoretice ale lui X au ca

estimatori absolut corecŃi momentele de selecŃie de ordin corespondent Astfel se obŃine

sistemul de ecuaŃii k k σ σ = k = s1 din care se obŃin estimaŃii pentru parametrii

s21 λλλ

Exemplul 4219 Se consideră caracteristica X care urmează legea gamma de parametrii

agtbgt0 necunoscuŃi Vom estima aceşti parametri folosind metoda momentelor pe baza

datelor n21 xxx de selecŃie

FuncŃia densitate de probabilitate a caracteristicii X este

le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a

a unde Γ este funcŃia lui Euler de

speŃa a doua adică int infin minusminus=Γ

0

x1a dxex)a(

Icircn cazul de faŃă este vorba de doi parametri deci sistemul de ecuaŃii este format din douăecuaŃii anume 11 σ σ = şi 22 σ σ =

Vom calcula momentul teoretic iniŃial k σ de ordin k



int int infin

infinminus

infin minusminus+ sdotminus+minus+==Γ

== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ

σ care are soluŃia

1

212

212

21

σ σ σ

σ σ σ minus=minus= lowastlowast ba care reprezintă estimatorii

pentru parametrii a şi b

Metoda intervalelor de icircncredere

Fie caracteristica X care are funcŃia de probabilitate f(x )θ unde θ este parametrul

necunoscut Metoda constă icircn determinarea a două funcŃii de selecŃie

n1i)XXX( n21ii =θ=θ astfel icircncacirct P( 21 θltθltθ ) = 1- α unde α nu depinde de

θ şi poartă numele de probabilitate de risc iar 1- α se numeşte probabilitate de

icircncredere Intervalul aleator ( ) 21 θθ poartă numele de interval de icircncredere pentru

parametrul θ

De regulă pentru a construi un interval de icircncredere pentru parametrul θ se caută

determinarea unei statistici )XXX(ZZ n21nn θ= a cărei lege de probabilitate să fie

cunoscută şi să nu depindă de θ Se determină apoi un interval numeric ( )zz 21 astfelicircncacirct P( 2n1 zZz ltlt ) = 1- α Din 2n1 zZz ltlt se exprimă inegalitatea 21 θltθltθ şi de

aici intervalul aleator ( ) 21 θθ este determinat Intervalul este cu atacirct mai bun cu cacirct are

lungimea mai mică şi cu cacirct 1-α este mai mare

AplicaŃii

1 Interval de icircncredere pentru valoarea medie teoretică dacă dispersia teoretică este

cunoscută Se consideră caracteristica X care urmează legea normală N(m σ ) cu m R isin necunoscut

şi 0gtσ cunoscut Vom determina un interval de icircncredere pentru m cu o probabilitate de

icircncredere 1- α dată şi cunoscacircnd datele de selecŃie n21 xxx respectiv variabilele de

selecŃie n21 XXX corespunzătoare



Considerăm statistica

n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n

1X care urmează legea normală

N(01) ce nu depinde de parametrul necunoscut m Deci putem determina intervalul

( )zz 21 astfel icircncacirct P( )zZz 2n1 ltlt = 1- α adică αminus=ΦminusΦ 1)z()z( 12

int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2

este funcŃia lui Laplace şi care are valorile tabelate Intervalul are

lungime minimă cacircnd este simetric faŃă de origine adică2

112 zzz αminus=minus= Rezultă că

2

1)z(

21

αminus=Φ α

minus şi folosind tabelele de valori pentru funcŃia Laplace găsim2

1z αminus

Am obŃinut P( αminus=ltσminus

ltminus αminusαminus 1)z

n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt

σminus = 1- α Deci intervalul de icircncredere pentru media

teoretică m este ( )mm 21 unde2

11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X

ObservaŃie 4222 Cacircnd X nu urmează legea normală dar volumul selecŃiei este mare

(ngt30) şi se cunoaşte 0)X( gtσ=σ atunci statistica nZ =

n

mXσminus

unde m=M(X)

necunoscută este aproximativ repartizată normal N(01) Deci se poate considera pentru

m acelaşi interval de icircncredere obŃinut mai sus


necunoscută Fie caracteristica X ce urmează legea normală N(m )σ cu m=M(X) parametru

necunoscut şi 0)X(D 2 gt=σ necunoscută Considerăm statistica

n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1care urmează legea Student cu n-1 grade de

libertate Determinăm intervalul ( 21 tt ) cu P( )tTt 21 ltlt = 1- α adică

αminus=minus minusminus 1)t(F)t(F 11n21n unde int infinminus

+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(

)x(F este funcŃia de

repartiŃie a legii Student cu n grade de libertate şi care are valorile tabelate iar

)x(F1)x(F nn minus=minus Deci 1

211n

2 ttt minus== αminusminus

se determină astfel icircncacirct

21)t(F

211n

1n

αminus=α

minusminusminus apoi putem scrie αminus=lt

σminus

ltminus αminusminus

αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2

11n Adică intervalul de icircncredere pentru m

este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=

3 Intervalul de icircncredere pentru diferenŃa mediilor a două populaŃii

Fie două populaŃii 1ζ şi 2ζ la care se analizează aceeaşi caracteristică şi care pentru

1ζ este 1X ce urmează legea normală N( )m 11 σ iar pentru 2ζ este 2X ce urmează legeanormală N )m( 22 σ Vom determina un interval de icircncredere pentru diferenŃa mediilor

21 mm minus cu probabilitatea de icircncredere 1- α folosind datele de selecŃie

1n11211 xxx relativ la caracteristica 1X respectiv2n22221 xxx relativ la

caracteristica 2X

a) Presupunem abaterile standard ( ) 21 σσ cunoscute Statistica

2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ

minusminusminus= unde Xn

1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11

sumsum == == urmează legea

normală N(01) Se determină intervalul ( )zz 21 astfel icircncacirct P( )zZz 21 ltlt = 1- α la fel

ca icircn aplicaŃia 1



Deci αminus=ltσ

+σ

minusminusminusltminus α

minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn

z X X P σ σ σ σ α α ++minusltminuslt+minusminusminusminus

adică intervalul de icircncredere pentru 21 mm minus este (AB) unde

A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus

b) Presupunem abaterile standard σ=σ=σ 21 necunoscute Considerăm statistica

21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus

minusminusminus= unde 1X şi 2X sunt mediile de selecŃie

definite anterior iar 21σ şi 2

2σ dispersiile de selecŃie sum=

minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n

1 care urmează legea Student cu n = 2nn 21 minus+ grade de

libertate La fel ca icircn aplicaŃia 2 se determină intervalul )tt( 21 astfel icircncacirct

αminus=ltlt 1)tTt(P 21 adică

αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n

Rezultă intervalul de icircncredere (AB) pentru 21 mm minus unde

A = St)XX(2

1n21 sdotminusminus α

minusşi St)XX(B

21n

21 sdot+minus= αminus

cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2

minus++sdotσminus+σminus=



4 Intervalul de icircncredere pentru dispersia teoretică

Fie caracteristica X ce urmează legea normală N(m σ ) Considerăm statistica

2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n

1X ce urmează legea 2χ

cu n-1 grade de libertate Pentru probabilitatea de icircncredere 1- α se poate determina

intervalul ( )hh 22

21 astfel icircncacirct

αminus=ltlt 1)hHh(P 22

221

2

21n

21 hh α

minus= se determină din relaŃia

2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α

minusminus= se determină din relaŃia

21)h(F 2

21n

αminus=minus unde )x(Fn este funcŃia de

repartiŃie a legii 2χ cu n grade de libertate int minusminus

Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2

1)x(F care are valorile

tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2

adică s-a obŃinut intervalul de icircncredere

( ) 22

21 σσ pentru 2σ unde

2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus=σ iar intervalul de

icircncredere pentru abaterea standard σ este )( 21 σσ

Exemplul 4223 Relativ la populaŃia ζ se cercetează caracteristica X privind media

teoretică M(X) = m Ştiind că dispersia teoretică a caracteristicii X este 350)X(D2 = să

se stabilească un interval de icircncredere pentru media teoretică m cu probabilitatea deicircncredere 1- α = 095 utilizacircnd distribuŃia empirică de selecŃie

X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare

Folosind aplicaŃia 1 intervalul de icircncredere pentru media teoretică



m este )mm( 21 unde2

11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus

se determină astfel

icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus

folosind tabelele cu valorile funcŃiei Laplace

961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35

1x =sdot+sdot+sdot+sdot+sdot+sdot+sdot+sdot=

Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35

35007723m 2 =sdot+= adică

)2732388122(m isin

Exemplul 4224 Pentru recepŃionarea unei mărfi ambalată icircn cutii se efectuează uncontrol prin sondaj privind greutatea X a unei cutii Pentru 22 cutii cacircntărite s-a obŃinut

distribuŃia empirică de selecŃie relativ la caracteristica X

2453521

33231303928272X

Folosind probabilitatea de icircncredere 098 să se determine un interval de icircncredere pentru

valoarea medie a greutăŃii cutiilor presupunacircnd că X urmează legea normală )m( N σ

Rezolvare

Deoarece abaterea standard )X(D2=σ este necunoscută conform aplicaŃiei 2

intervalul de icircncredere pentru m este (m1m2) unde2

11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus

σ+= Pentru n-1=21 şi 9801 =αminus din tabelul cu valorile funcŃiei de

repartiŃie a legii Student se determină 1582t2

11n=α

minusminus

Folosind distribuŃia empirică de selecŃie se obŃine

( ) 032333223413503392582272122

1x =sdot+sdot+sdot+sdot+sdot+sdot+sdot= iar

1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin

Exemplul 4225 Masa de carne ambalată icircn produse de 1000 grame de maşinile M1 şi

M2 este o caracteristică X1 ce urmează legea normală )m( N 11 σ şi respectiv o

caracteristică X2 ce urmează legea normală )m( N 22 σ Cacircntărind 100 de pachete din

cele produse de maşina M1 s-a obŃinut valoarea medie de selecŃie 1007x1 = grameiar din

cacircntărirea a 150 pachete de la maşina M2 s-a obŃinut 1002x 2 = grame

Folosind probabilitatea de icircncredere 098 să se determine intervalul de icircncredere pentru

diferenŃa m1-m2 dacă se ştie că abaterile standard sunt 31 =σ şi 42 =σ

Rezolvare

Conform aplicaŃiei 3 a) intervalul de icircncredere pentru m1-m2 este (AB) unde

( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus

se determină aicirc 4902

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus

Folosind tabelul cu valorile funcŃiei lui Laplace obŃinem 332z2

1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=

=+minus=)02569753(mm 21 isinminusrArr

Exemplul 4226 Fie caracteristica X1 ce urmează legea normală N(m σ ) şi care

reprezintă vacircnzările icircn milioane lei pe săptămacircnă la magazinele alimentare icircn oraşul A şi

X2 vacircnzările icircn milioane lei la magazinele alimentare din oraşul B şi care urmează legea

normală N(m2 σ ) S-au efectuat două sondaje respectiv pentru X1 şi X2 şi s-au obŃinuturmătoarele date de selecŃie

X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238

Cu probabilitatea de icircncredere 095 să se construiască un interval de icircncredere pentru

diferenŃa m1-m2 dacă 0gtσ este necunoscut



Rezolvare

Conform aplicaŃiei 3 b) intervalul de icircncredere pentru m1-m2 este (AB) unde

StxxA2

1n21 sdotminusminus= α

minusşi StxxB

21n

21 sdotminusminus= αminus

dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1

S σminus+σminusminus+

+

= iar 2

1nt α

minusse determină aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus

Pentru 9601 =αminus şi n=1 obŃinem 2012t2

1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=

minus=sdotminusminus=

=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=

Exemplul 4227 Fie caracteristica X ce reprezintă timpul de producere a unei

reacŃii chimice măsurat icircn secunde Dacă X urmează legea normală )m( N σ şi avacircnd o

selecŃie repetată de volum n=11 cu datele de selecŃie

421403399405389398401392423385420 Să se determine intervalul de

icircncredere pentru dispersia )X(D 22 =σ şi pentru abaterea standard )X(D2=σ cu

probabilitatea de icircncredere 095

Rezolvare



Conform aplicaŃiei 4 intervalul de icircncredere pentru 2σ este ( )22

21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2

211nh αminusminus şi

2

21nh αminus se determină folosind tabelele de valori pentru

funcŃia de repartiŃie a legii 2χ cu n-1 grade de libertate

Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ

)05200080(2 isinσrArr şi )22800890(isinσ

43 VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE

DefiniŃie 431 Numim ipoteză statistică o presupunere relativă la o caracteristică X a

unei populaŃii C fie privind legea de probabilitate a lui X fie privind parametrii de care

depinde această lege

Metoda prin care o ipoteză statistică ce trebuie verificată se acceptă sau se respinge

poartă numele de test (criteriu) statistic

ObservaŃie 432

1) Dacă testul statistic se referă la parametrii de care depinde legea de probabilitate a lui

X spunem că avem un test parametric

2) Dacă testul statistic se referă la natura legii de probabilitate atunci spunem că avem untest de concordanŃă Consideracircnd caracteristica X cu legea de probabilitate θθ)x(f

parametru necunoscut ipoteza principală ce se face asupra lui θ o numim ipoteză nulă şi

o notăm AH0 isinθ iar orice altă ipoteză ce se face relativ la parametrul θ o numim

ipoteză admisibilă şi o notăm 21iAH ii =isinθ



ObservaŃie 433

1) icircn continuare relativ la parametrul θ vom considera doar două ipoteze ipoteza nulă

AH 0 isinθ şi o ipoteză alternativă 11 AH isinθ

2) Verificarea ipotezei nule icircn ipoteza alternativă pentru o probabilitate de risc α se facedeterminacircnd o regiune U nR sub numită regiune critică aicirc P(X1X2hellipXn)isin U α=)H 0

Din modul cum construim această regiune critică U obŃinem diferite teste de verificare a

ipotezei statistice H0

3) Probabilitatea de risc α se mai numeşte şi nivel de semnificaŃie a testului

DefiniŃie 434 Numim eroare de genul I respingerea unei ipoteze adevărate iar

probabilitatea de producere a acestei erori este isin)XXX((P n21 U α=)H 0 şi poartă

numele de riscul furnizoruluiDefiniŃie 435 Numim eroare de genul II admiterea unei ipoteze false iar probabilitatea

de producere a acestei erori este

notin)XXX((P n21 U β=)H1 şi poartă numele de riscul beneficiarului

DefiniŃie 436 Se numeşte puterea testului probabilitatea de respingere a unei ipoteze

false adică isin=θπ )XXX((P)( n21

~U )H1 unde

~H1 θ=θ sau βminus=θπ 1)(

~

ObservaŃie 437 Nu există o metodă generală de construire a regiunii critice U care ne

duce la testul de verificare a ipotezei nule H0 dar se cunosc clase de probleme pentru

care s-au construit astfel de regiuni critice şi corespunzător lor avem teste de verificare a

ipotezelor statistice

Testul Z

Fie caracteristica X ce urmează legea normală )m( N σ cu R m isin necunoscut şi

0gtσ cunoscut Vrem să verificăm ipoteza nulă H0m=m0 icircn

ipoteza alternativă 01 mmH ne cu probabilitatea de risc α şi datele de selecŃie x1 x2

hellipxn

Considerăm statistica Xn

1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ

minus= ce urmează legea

normală N(01) Deci pentru α dat putem determina intervalul



minus

minusminus2

12

1 α α z z aicirc αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21

Se defineşte regiunea critică U nR isin prin

U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X

Folosind regiunea critică U vom respinge ipoteza nulă H0 dacă (x1 x2hellipxn)isin U adică

minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz şi o admitem dacă notin)xxx( n21 U adică

minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439

1) Deoarece regiunea critică U corespunde complementarei

intervalului de icircncredere

minus α

minusα

minus2

12

1zz pentru statistica Z icircn continuare nu vom pune icircn

evidenŃă de fiecare dată regiunea critică U ci numai intervalul de icircncredere pentru

statistica utilizată

2) Testul Z se poate folosi şi pentru o caracteristică X ce nu urmează legea normală

atunci cacircnd volumul selecŃiei este mare (ngt30)

3) Deoarece ipoteza alternativă este 01 mmH ne testul Z se numeşte testul Z bilateral

Dacă se consideră H1mltm0 vom avea testul Z unilateral dreapta De exemplu pentru

testul Z unilateral dreapta intervalul de icircncredere pentru statistica Z devine

)z( 1 αminusminusinfin unde z1-α este determinat aicirc αminus=Φ αminus 2

1)z( 1



Etapele aplicării testului

1) Se consideră n210 xxxmm =σα

2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus

3) Se calculează )xxx(n

1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α

minuslt z z atunci ipoteza m=m0 este admisă icircn caz contrar este respinsă

Exemplul 4310 Caracteristica X reprezintă cheltuielile lunare icircn mii lei pentru

abonamentele la ziare şi reviste ale unei familii Să se verifice cu nivelul de semnificaŃie

α=001 dacă media acestor cheltuieli lunare pentru o familie este de 16 mii lei ştiind căabaterea standard este 3=σ mii lei şi avacircnd o selecŃie repetată de volum n=40 care ne

dă distribuŃia empirică de selecŃie

8101264

2017151311X

Rezolvare

Deoarece n=40gt30 şi 3=σ este cunoscută folosim testul Z pentru verificarea ipotezei

nule H0m=16 cu alternativa 16mH1 ne

Pentru α=001 folosind testul se determină 9950

21 zz =αminus aicirc ( ) 495021z 9950 =αminus=Φ Se

obŃine z0995=258 care ne dă intervalul numeric 8)(-25825 pentru statistica

n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440

1x =sdot+sdot+sdot+sdot+sdot=

4220

403 16815

n

mxz minus=minus=σminus=

Deoarece z = - 0422 ( )582582minusisin ipoteza se acceptă



Testul T(Student)

Fie caracteristica X ce urmează legea normală N(m σ ) cu 0gtσ şi R m isin necunoscuŃi

Relativ la media teoretică m=M(X) facem ipoteza nulă H0m=m0 cu ipoteza alternativă

01 mmH ne probabilitatea de risc fiind α iar variabilele de selecŃie x1x2hellipxn

Pentru verificarea ipotezei nule considerăm statistica

( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ

minus= ce urmează legea Student cu n-1 grade

de libertate Deci se determină intervalul numeric

minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=

ltltminus αminusminusαminusminus 1tTtP 211n

211n iar complementara acestui interval ne defineşte

regiunea critică U

Etapele aplicării testului T

1) Se consideră n210 xxxmm =α

2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus

3) Se calculează ( )sumsum ==minusminus=σ=σminus=

n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α

minusminuslt ipoteza m=m0 este admisă altfel este respinsă

ObservaŃie 4312 Deoarece ipoteza alternativă H1este 0mm ne testul T prezentat se

numeşte testul T bilateral există şi teste unilaterale

Exemplul 4313 Caracteristica X reprezintă gradul de ocupare zilnică a unei unităŃi

hoteliere (icircn procente) Să se verifice cu nivelul de semnificaŃie α=005 ipoteza că mediade ocupare zilnică a hotelului este dată prin m=80 dacă dintr-o selecŃie efectuată icircn 15

zile ale anului s-au obŃinut următoarele date de selecŃie (icircn procente)

608590758478925677826579836576

Rezolvare



Putem considera că X urmează legea normală )m( N σ cu m şi σ necunoscuŃi Ipoteza

nulă ce se face este H0m=80 cu alternativa 80mH1 ne

Deoarece σ este necunoscută folosind testul T cu α=005 şi tabelele

de valori se determină2

11nt α

minusminusaicirc 9750

21tF

211n

1n =αminus=

α

minusminusminus Se obŃine t140975 =2145

Prin urmare intervalul numeric pentru statistica

n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=

Icircntrucacirct -1291 )14521452(minusisin ipoteza ca media de ocupare zilnică a unităŃii hoteliere

este de 80 se acceptă

Teste pentru compararea a două medii

Fie două populaŃii C2 şi C2 cercetate din punct de vedere al aceleiaşi caracteristici anume

X1 pentru C1 care urmează legea normală )m( N 11 σ şi C2 care urmează )m( N 22 σ C1

şi C2

fiind independente

Vrem să verificăm ipoteza nulă H0m1=m2 icircn ipoteza alternativă 211 mmH ne cu

probabilitatea de risc α şi selecŃiile de volum n1 şi n2 din cele două populaŃii

a) Testul Z (dacă 21 σσ sunt cunoscute)


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ

minusminusminus= care urmează legea normală N(01)

Pentru α dat se determină intervalul numeric

minus α

minusα

minus2

12

1 zz astfel icircncacirct

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21




1) Se consideră 212n222211n1121121 mmxxxxxx =σσ

2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus

3) Se calculează sumsum==

==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α

minuslt ipoteza 21 mm = este admisă altfel este respinsă

b) Testul T (dacă σ=σ=σ 21 necunoscute)


21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus

minusminusminus= care urmează legea

Student cu 2nnn 21 minus+= grade de libertate

Pentru statistica T se determină intervalul numeric

minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n

Etapele aplicării testului1) Se consideră 2n222211n11211 xxxxxxα

2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=

( ) ( )sumsumsumsum ====minusminus=σminusminus=σ==

2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xx1n 1xx1n 1xn1xxn1x

4) Dacă2

1ntt α

minuslt atunci ipoteza 21 mm = este admisă altfel este respinsă

c) Testul T (dacă 21 σneσ necunoscute)




2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ

minusminusminus= care urmează legea Student cu n grade

de libertate n este dat de

+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


1) Se consideră xxxxxx 2n222211n11211α

2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α




Exemplul 4315 La o unitate de icircmbuteliere a laptelui există două maşini care

efectuează această operaŃie icircn sticle de 1l Pentru a cerceta reglajul de icircmbuteliere la cele

două maşini s-au efectuat două selecŃii relative la sticlele icircmbuteliate icircn cele două maşini

şi s-au obŃinut datele de selecŃie

k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4

Folosind nivelul de semnificaŃie 050=α să se verifice dacă mediile de umplere a

sticlelor de către cele două maşini sunt aceleaşi icircn cazul icircn care abaterile standard sunt

61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare

Caracteristicile X1 şi X2 ce reprezintă cantitatea de lapte (icircn ml) conŃinută de o sticlă

icircmbuteliată de prima maşină se consideră ca urmacircnd

legile de probabilitate normale N(m1 6) şi N(m2 75)

Verificarea ipotezei nule N0m1=m2 cu alternativa 211 mmH ne se va face cu testul Z

Folosind nivelul de semnificaŃie 010=α se determină din tabele valoarea 9950

21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus

Se obŃine 582z 9950 = care ne dă intervalul (-258 258)

pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40

1x1 =sdot++sdot+sdot=

424997)1010499059855(

33

1x 2 =sdot++sdot+sdot=

209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=

Deoarece )582582(2091z minusisin= rezultă că mediile de umplere a sticlelor nu diferă

semnificativ pentru cele două maşini



Exemplul 4316

Se cercetează două loturi de ulei pentru automobile din punct de vedere al vacircscozităŃii

obŃinacircndu-se datele de selecŃie

k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1

Analizele făcacircndu-se cu acelaşi aparat se consideră că abaterile standard sunt aceleaşi

Consideracircnd nivelul de semnificaŃie 050=α să se verifice dacă mediile de vacircscozitate

pentru cele două laturi nu diferă semnificativ

Rezolvare

Caracteristicile X1 şi X2 ce reprezintă vacircscozităŃile pentru cele două loturi de ulei se

consideră că urmează fiecare legea normală respectiv )m( N 1 σ şi )m( N 2 σ cuabaterea standard 0gtσ necunoscută

Verificarea ipotezei nule 210 mmH = cu alternativa 211 mmH ne se va face cu testul

T deoarece abaterea standard σ este necunoscută Folosind nivelul de semnificaŃie

050=α se determină folosind tabelele valoarea2

1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde

n=n1+n2-2 Adică se obŃine 1452t 975014 = intervalul 145)(-21452 pentru statistica

21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus

minusminusminus= care urmează legea Student cu n grade de

libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus

Deoarece )14521452(3970t minusisinminus= rezultă că vacircscozităŃile medii ale celor două loturi

de ulei nu diferă semnificativ

Testul 2χ privind dispersia

Fie caracteristica X ce urmează legea normală N(m σ ) cu parametri R m isin şi 0gtσ

necunoscuŃi Vrem să verificăm ipoteza nulă 20

20 H σ=σ icircn raport cu ipoteza alternativă

H 20

21 σneσ cunoscacircnd probabilitatea de risc α şi o selecŃie de volum n

Considerăm caracteristica ( )2

2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=

care urmează legea 2χ cu

n-1 grade de libertate şi se determină pentru aceasta intervalul numeric

αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n


1) Se consideră n2120

2i xxx σ=σα

2) Se determină 2hFaicirchh

2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=

αminusαminusminusαminus şi

21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n

2 hhh atunci ipoteza 20

2 σ=σ este admisă altfel este respinsă

Exemplul 4318 Se efectuează o selecŃie repetată de volum n=12 relativă la

caracteristica X ce urmează legea normală )m( N σ obŃinacircndu-se distribuŃia empirică de

selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X



Să se verifice cu nivelul de semnificaŃie 050=α ipoteza nulă 50)x(DH 220 ==σ

cu alternativa 50H 21 neσ

Rezolvare

Se utilizează testul 2χ La nivelul de semnificaŃie 050=α se determină intervalul

α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n

hh pentru statistica2

2)1n(

Hσ

σminus= care urmează legea 2χ cu n-1 grade

de libertate folosind tabelele de valori din ( ) rArr= 0250hF 202501111 823h 2

025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=

Deci intervalul pentru statistica 2H este (382219)

Calculăm [ ] 41670511)40(2)50(1121x =sdot++minussdot+minussdot=

( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=

Deoarece )921823(39611h 2 isin= ipoteza nulă făcută relativ la dispersia teoretică este

acceptată

Testul F (Sneacutedeacutecor - Fischer)

Fie două populaŃii C1 şi C2 referitor la care ne interesează caracteristicile X1 ce urmează

)m( N 11 σ şi X2 ce urmează )m( N 22 σ Cu probabilitatea de risc α vrem să verificăm

ipoteza nulă 22

210 H σ=σ icircn raport cu ipoteza alternativă 2

2211 H σneσ consideracircnd cacircte

o selecŃie din fiecare populaŃie respectiv de volum n1 şi n2

Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ

= urmează legea Sneacutedeacutecor - Fischer cu 1nm 1 minus= şi 1nn 2 minus=

grade de libertate iar intervalul numeric pentru această statistică

α

minus

α

21nm2nm

f f se

determină aicirc αminus=

ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm

ExtremităŃile intervalului se determină din



relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α

minus dacă )x(F nm este funcŃia de repartiŃie

a legii Fs şi are valorile tabelate

Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f

f şi de aceea tabelele pentru )x(F nm sunt icircntocmite numai

pentru valori mari ale lui β şi pentru Fgt1 Dacă Flt1 intervalul numeric pentru F este dat

prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f

Etapele aplicării testului F

1) Se consideră

2n222211n1121121 xxxxxx1nn1nm minus=minus=α

2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm

f f astfel icircncacirct2

f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm

f f f atunci ipoteza 22


Exemplul 4320 Două strunguri produc acelaşi tip de piese Caracteristica cercetată este

diametrul acestor piese Se consideră două selecŃii de volum 7n1 = şi 9n 2 = relativ la

diametrele pieselor produse de cele două strunguri Datele de selecŃie sunt prezentate prin

distribuŃiile empirice de selecŃie

241

836343X1 şi

2241

83736353X 2 Consideracircnd nivelul de semnificaŃie

050=α să se verifice ipoteza nulă 210 H σ=σ cu alternativa H 211 σneσ dacă se

presupune că X1 şi X2 urmează legea normală )m( N 11 σ şi respectiv )m( N 22 σ



Rezolvare

Se utilizează testul F Se determină intervalul

α

minusα

21nm

2nm

f f pentru statistica F folosind

tabelele de valori aicirc2

f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f

975068025086 === Rezultă intervalul (018465)

Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7

1x 21 =sdot+sdot+sdot+sdot==sdot+sdot+sdot=

( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11

21 =minusminus=σ sum= ( ) 010280xx1n 1

2n

1k

22k 22

22 =minusminus=σ sum=

851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=

Deoarece )654180(851f isin= rezultă că ipoteza făcută privind egalitatea dispersiilor

este admisă

Teste de concordanŃă

Testul2

χ

Fie caracteristica X care are funcŃia de repartiŃie teoretică F Ipoteza statistică pe care o

facem asupra caracteristicii X este că are funcŃia de repartiŃie )x(FF s10 λλ= unde

s1 λλ sunt parametrii necunoscuŃi

Folosind datele de selecŃie n21 xxx se estimează prin metoda verosimilităŃii maxime

aceşti parametrii obŃinacircndu-se s

2

1 λλλ Deci ipoteza statistică devine

)x(FF s

10 λλ= Icircn continuare se face o grupare a datelor de selecŃie obŃinacircndu-se

distribuŃia empirică de selecŃie

N21

N21

f f f

xxxX clasa ix reprezintă intervalul [ai-

1ai) Pentru clasa xi avem )a(F)a(F p 1iii minusminus= necunoscută dar putem calcula

)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0

i λλminusλλ= minus Prin urmare ipoteza făcută asupra funcŃiei de



repartiŃie devine ipoteza nulă N i p p H ii 1 0 == icircn ipoteza alternativă 01 HH falsă

Valoarea numerică sum=

minus=

N

1ii

ii2

pn

) pnf (h este valoarea unei variabile aleatoare 2H ce

urmează legea2

χ cu k = N-s-1 grade de libertate Deci pentru probabilitatea de risc α se

determină intervalul numeric ( )21k h0 αminus corespunzător lui 2H aicirc ( ) αminus=lt αminus 1hHP 2

1k 2

adică ( ) αminus=αminus 1hF 21k k


1) Se consideră )x(FFxxx s10n21 λλ=α

2) Se determină intervalul ( )21k h0 αminus aicirc ( ) αminus=αminus 1hF 2

1k k

ndash estimările de verosimilitate maximă

s

2

1 λλλ

ndash distribuŃia empirică de selecŃie N1ii

i

f

xX

=

ndash se calculează )a(F)a(F p s

2

11i0

s

2

1i0

1 λλλminusλλλ= minus

ndash k = N-s-1

3) Se calculează sum=

minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k

2 hh αminuslt atunci ipoteza F = F0 este admisă altfel este respinsă

ObservaŃie 2322 Testul 2χ nu este aplicabil dacă i pn sunt mai mici decacirct 5 caz icircn

care se recomandă o nouă grupare a datelor de selecŃie

Testul lui Kolmogorov

Se consideră caracteristica X care are funcŃia de repartiŃie teoretică F Dacă )x(Fn este

funcŃia de repartiŃie de selecŃie avem că )x(K )xdn(Plim nn

=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22

e)1()x(K este funcŃia lui Kolmogorov Se

face ipoteza H0 că X urmează legea de probabilitate dată de funcŃia de repartiŃie F Dacă

H0 este adevărată şi pentru probabilitatea de risc α se poate determina valoarea αminus1x aicirc



αminus=αminus 1)x(K 1 Deci avem că αminus=lt αminus 1)xdn(P 1n sau αminus=

lt αminus 1

n

xdP 1

n

adică dacă dn satisface inegalitatean

xd 1

nαminuslt admitem ipoteza H0 altfel o respingem

Etapele aplicării testului lui Kolmogorov

1) Se consideră N21

N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=

2) Se calculează αminus1x aicirc αminus=αminus 1)x(K 1

3) Se calculează2

aax)a(F)a(Fmaxd i1iiiin

N1in

+=minus= minus

=

4) Dacă αminuslt 1n xdn ipoteza este admisă altfel este respinsă

Exemplul 4324 Se consideră caracteristica X ce reprezintă rezistenŃa icircn ΩK a unor

tronsoane de ceramică acoperite cu carbon Să se verifice normalitatea lui X folosind o

selecŃie de volum n=124 pentru care s-au obŃinut datele de selecŃie

Clasa (- infin 165) [165170) [170175) [175180) [180185) [185190) [190195) [195200) [20+ infin )

Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8

a) utilizacircnd testul de concordanŃă2χ cu nivelul de semnificaŃie 050=α

b) utilizacircnd testul de concordanŃă al lui Kolmogorov cu nivelul de semnificaŃie 050=α

Rezolvare

Se cunoaşte că estimările de verosimilitate maximă pentru m şi σ sunt respectiv xm =

2 micro=σ

DistribuŃia empirică de selecŃie pentru caracteristica X este

81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124

1xm =sdot++sdot+sdot==



( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2

=minus=micro=σ sum=

a) se consideră valoarea numerică

sum=minus=

N

1ii

2

ii2

pn) pnf (h unde N =9

6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus

Se determină intervalul ( )h0 21k αminus pentru statistica 2H folosind tabelele de valori şi se

obŃine 5912h 29506 = adică intervalul (01259)

Calculele pentru

2

h se fac icircn tabelul

ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =

Valorile funcŃiei lui Laplace Φ se iau din tabele şi se are icircn vedere că )x()x( Φminus=minusΦ şi

=minusinfinΦminusminusΦ=

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=

Deoarece )59120(47432h 2 isin= rezultă că se acceptă ipoteza normalităŃii lui X

b) Pentru 050=α folosind tabelele de valori se determină 9501 xx =αminus aicirc

αminus=αminus 1)x(K 1 adică 361x 950 =



Ipoteza că X urmează legea normală )m( N σ cu m şi σ calculaŃi anterior este

acceptată dacă xdn 1n αminuslt unde )a(F)a(Fmaxd iin N1i

n minus==

Aici )x(Fn este funcŃia de repartiŃie de selecŃie iar F(x) este funcŃia de repartiŃie pentru

legea normală )m( N σ Calculele pentru determinarea lui dn sunt date icircn tabelul

următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ

minus F(ai) )a(F)a(F iin minus

165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441

Deoarece 361491004410124dn n lt=sdot= acceptăm ipoteza că X urmează legea

normală )m( N σ

44 Metodele statistice utilizate in asigurari

Icircn calculele diferitelor tipuri de asigurări de viaŃă apar anumiŃi factori reprezentaŃi prin constante statistice ce inflenŃează calculul primelor de asigurăriAceste constantesunt verificate şi icircmbunătăŃite continuu de către firmele de asigurări

Cel mai important factor privind asigurările de viaŃă este mortalitatea persoanelor ce este la racircndul ei influenŃată de alŃi factori precum vacircrsta sexul profesia regiunea etcCel ce a studiat pentru prima dată mortalitatea populaŃiei a fost J Bernoulli ce a dat unmodel matematic de mare generalitate pentru fenomenele vieŃii Intensitatea mortalităŃiiunui grup de persoane se măsoară cu ajutorul unor coeficienŃi numerici numiŃi funcŃii biometrice Cel mai important factor icircn determinarea mortalităŃii este vacircrsta dar calculeleactuariale nu pot neglija ceilalti factori



Dacă considerăm o populaŃie formată din indivizi de acceaşi vacircrstă de r ani notatăcu R şi fie A evenimentul ca o persoană din populaŃia R să fie icircn viaŃă la icircmplinirea

vacircrstei de r+1 ani iar evenimentul ca o persoană din R să nu mai fie icircn viaŃă la

icircmplinirea vacircrstei de r+1 ani Probabilitatea evenimentului A o vom numi probabilitate de

viaŃă şi o vom nota P(A)=p(rr+1)=p iar probabilitatea evenimentului o vom numi

probabilitate de deces şi o vom nota P( )=q(rr+1)=q Deoarece evenimentele A şi

sunt evenimente contrare atunci 1=+ r r q p

Dacă notăm probabilitatea ca o persoană icircn vacircrstă de r ani să fie icircn viaŃă laicircmplinirea vacircrstei de s ani cu p(rs) iar probabilitatea ca o persoana in vărsta de r ani sănu mai fie icircn viaŃă la icircmplinirea varstei de s ani cu q(xy) atunci are loc relatia

p(rs)+q(rs)=1

Considerăm t o vacircrstă cuprinsă icircntre r şi s ani atunci o persoană icircn vacircrstă de r anisă fie icircn viaŃă la icircmplinirea vacircrstei de s ani trebuie mai icircntai să fie icircn viaŃă la icircmplinireavarstei de t ani Vom nota cu A evenimentul ca persoana să fie icircn viaŃă la implinireavacircrstei de t ani şi cu B evenimentul ca persoana să fie icircn viaŃă la icircmplinirea vacircrstei de sani şi va rezulta

P(AcapB)=P(A) A P (B)sau

p(rs) = p(rt) p(ts)

Putem generaliza acest rezultat şi astfel vom obŃine

p(rs) = p(rr+1)p(r+1r+2) hellip p(s-1s)sau

11)( minus+= sr r p p p sr p

Fie o populaŃie formată din au persoane de aceeaşi vacircrstă de ani Numărul de

persoane care ajung să icircmplinească vacircrsta de x ani (xgta) din cele au persoane este o

variabilă aleatoare discretă de forma

X

ank

a

p p p p p

uk

210

10

cu 1 ak uk p 100 =ge



2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1

Dacă toate persoanele icircn vacircrstă de a ani cu aceeaşi probabilitate p(ax) de a fi icircnviaŃă la icircmplinirea vacircrstei de x ani variabila aleatoare X urmează legea binomială

k nk k

nk a

a

xaq xa pC pminus= )()(

Vom numi funcŃie de supravieŃuire valoarea medie a numărului de persoane careajung să icircmplinească vacircrsta de x ani şi o vom nota cu xu

)( xM u x =

Atunci)( xa puu a x sdot=

deoarece pn xM sdot=)( iar )( xa p pun a ==

Rezultă că probabilitatea de viaŃă este

a

x

u

u xa p =)(

Dacă a lt x lt y din relaŃia

)()()( y x p xa p ya p sdot=

Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u

y x p =)( ne permite să calculăm probabilitatea ca o persoana icircn

vacircrstă de x ani să fie icircn viaŃă la icircmplinirea vacircrstei de y ani dacă se cunosc valorile y x uu

Icircn continuare vom arăta că funcŃia de supravieŃuire este descrescătoare icircn raportcu vacircrsta

Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(

Dar )(1)( y x p y xq minus=

deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(

Cu xd egal cu numărul de persoane care au decedat icircntre x şi x+1 ani

Cum 10 ltlt x p atunci

10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10

ceea ce arată că funcŃia de supravieŃuire este descrescătoare

Vom numi viaŃă medie valoarea medie a numărului de ani pe care are să-i mai

trăiască o persoană icircn vacircrstă de x ani notată cu xm Dacă numărul de ani pe care icirci mai trăieşte o persoană icircn vacircrstă de x ani este o

variabilă aleatoare X şi presupunacircnd că data decesului din intervalul (x+t x+t+1) este lamijlocul intervalului corespunzător faptului că decesele sunt distribuite uniform icircntimpul anului variabila aleatoare X are repartiŃia

+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(

Dacă se neglijează2

1se obŃine viaŃa medie redusă



Scopul asigurărilor de persoane ofera garanŃii materiale care să-i pună la adăpostde consecinŃele anumitor evenimente cum ar fi pierderea capacităŃii de muncă parŃială sau totală decesul

Icircn cazul asigurărilor de persoane asiguratul plăteşte taxele de asigurare atacircta timpcacirct este icircn viaŃă sau pacircnă la expirarea termenului de asigurare La producerea unui

accident asiguratorul plăteşte suma asigurată Taxele plătite de asigurat instituŃiei deasigurare se numesc prime de asigurăriAceste prime se pot plăti periodic (lunar trimestrial anual) sau o dată pentru tottimpul asigurării

Primele de asigurare se calculează folosind ecuaŃii stabilite pe baza unei egalităŃiicircntre valorile medii actuale ale sarcinilor celor două părŃi la momentul iniŃial alasigurării Aceste prime se numesc prime matematice sau nete La determinarea lor seva Ńine seama de posibilitatea plăŃilor ce urmează a fi efectuate de asigurator cacirct şi defaptul că fondurile constituite de acesta fiind temporar disponibile se află icircn circuituleconomic şi icirci aduc venituri ce pot duce la micşorarea corespunzătoare a primei deasigurare

Valoarea medie a primelor plătite de asigurat evaluată la momentul icircnceperiiasigurării se numeşte primă unicăFie A o asigurare de viaŃă compusă din asigurările parŃiale n A A A 21 Notăm

cu n P P P 21 primele corespunzătoare acestor asigurări parŃiale Fie X valoarea

actuală a sumelor pe care urmează să le icircncaseze instituŃia de asigurare pentruasigurarea A şi i X valoarea actuală a sumelor ce urmează a fi icircncasate pentru

asigurarea n12i hellip=i A

Deoarece primele de asigurare sunt valori medii avem

ni X M P X M P ii 321)()( ===

Cum n X X X X +++= 21 rezultă )()()()( 21 n X M X M X M X M +++=

adică valoarea primei totale pentru asigurarea A este

n P P P P P ++++= 321

Dacă o persoană icircn vacircrstă de x ani icircncheie o asigurare icircn caz de supravieŃuire icircnvaloare de 1 um cu plata sumei peste n ani ne interesează valoarea primei nete ceurmează să o plătească asiguratul Astfel prima corespunzătoare este o valoare medie

)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0

valoarea actuală a sumei pe care o va primi

peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u

uvnpv X M +sdot=sdot=)( valoarea medie ce se mai numeşte factor de

actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =

sdot=sdotsdot=)( unde x D este

numărul de comutaŃie ce se găseşte in tabelele actuariale pentru toate vacircrstelePentru asigurarea unei sume S um prima netă va fi

x

n x

D

DS P

+

sdot=

ExempluO persoană icircn vacircrstă de 30 de ani contractează o asigurare icircn valoare de 300000

unităŃi monetare plătibilă icircn caz de supravieŃuire la icircmplinirea vacircrstei de 65 ani Care este prima unică pe care trebuie să o plătească pentru această asigurare procentul fiind de7

SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=

Aceste plăŃi periodice sunt certe ele plătindu-se la scadenŃă Mai există un tipde plăŃi periodice numite viagere icircn care plăŃile se fac cu condiŃia ca persoana care trebuiesă le icircncaseze să fie icircn viaŃă

Dacă sumele asigurate se plătesc anual plăŃile periodice viagere se numescanuităŃi viagere

Ne propunem să calculăm prima a x pe care trebuie să o plătească un asigurat icircn

vacircrstă de x ani pentru a primi 1 um la sfacircrşitul fiecărui an pe toată durata vieŃiiAsiguratul trebuie să plătească xt

x x x E E E minus 21 unde t este vacircrsta limită a vieŃii persoanei

asigurate

Atunci a xt

x x x x E E E minus+++= 21

sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21

Din tabelele actuariale luăm numarul de comutaŃie

t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=

Pentru o sumă asigurată anual S um prima unică va fi

x

x x D

N S aS P 1+=sdot=

ExempluCare va fi prima unică pe care trebuie să o plătească un asigurat icircn vacircrstă

de 50 de ani icircn momentul icircncheierii asigurării pentru a primi tot restul vieŃii la sfacircrşitulanului cacircte 1000 um procentul fiind 3

SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +

Dacă icircnsă persoana ar urma să primească S um pe toată durata vieŃii la icircnceputulfiecărui an atunci prima unică pe care trebuie să o plătească o persoană icircn vacircrstă de x ani

se va calcula cu formula

x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =

Cazul asigurarilor de deces

Icircn cazul acestui tip de asigurare ne interesează suma pe care urmează să o plăteascăo persoană icircn vacircrsta de x ani pentru ca la data morŃii sale societatea de asigurare să plătească urmaşilor o sumă de bani fixată numită suma asiguratăDeoarece riscurile celor două părŃi sunt egale rezultă că icircn momentul icircncheieriiasigurării prima unică este egală cu valoarea actuală a sumei asigurate

Daca notăm cu x A valoarea medie actuală a unui leu plătit la data decesului unei

persoane icircn vacircrstă de x ani iar 2

1

2

11

2

1++ n

vvv valorile actuale ale unui leu plătit icircn primul an icircn al doilea şamd la mijlocul acestor ani după cum decesul are loc icircn primul an icircn al doilea etc

Atunci variabila aleatoare X va avea repartiŃia

X

minusminusminus ++++++

++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv

Valoarea medie actuală a asigurării de deces este

)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =

unde t x x x C C C M +++= + 1

iar prima unică va fi



x

x x x

D

M S AS P =sdot= cu S um



1 OBIECTUL SI ISTORIA DEZVOLTARII STATISTICII

Numeroase fenomene din viata economica si sociala din fizica biologie psihologie etc Necesita in studiul lor un instrument matematic special statistica

matematica De exemplu pentru a cunoaste starea de spirit a populatiei unei tari inaintea

alegerilor nu pot fi chestionati toti cetatenii ci se efectueaza un sondaj de opinie adica

se stabileste un esantion reprezentativ al populatiei numeric limitat se calculeaza

procentul cetatenilor care au o anumita opinie dupa care se extrapoleaza rezultatul la

intreaga populatie

Asadar statistica utilizeaza rationamente inductive prin inductie se ajunge de la parte la intreg Din punct de vedere al preciziei rationamentul inductiv este mai putin

precis decat cel deductiv Prin urmare afirmatiile se fac cu un anumit grad de

neincredere deci cu erori

Statistica are ca obiect sistematizarea analiza prelucrarea si interpretarea datelor

referitoare la anumite fenomene in vederea studierii pe cale inductiva a fenomenelor

aleatoare de masa precum si in vederea realizarii de previziuni privind producerea unor

anumite fenomene

Vom studia pe rand elemente de statistica descriptiva si statistica analitica

(matematica)

Statistica descriptiva se ocupa de culegerea gruparea si analiza datelor rezultate din

observatia diferitelor fenomene

Statistica matematica elaboreaza o metodologie fundamentata pe teoria probabilitatilor

care sa asigure o verosimilitate cat mai mare in rationamentele cu caracter inductiv

Cuvacircntul bdquostatisticărdquo precum şi primele conturări ale conceptului de statistică au

pătruns icircn literatura de specialitate abia icircn secolul XVIII Elementele concrete de evidenŃăstatistică icircşi au icircnsă originea icircn cele mai vechi timpuri

Potrivită de-a lungul dezvoltării sale istorice forma de bdquoevidenŃă statisticărdquo se

caracterizează icircn esenŃă prin aceea că datele statistice servesc pentru informarea



































ştiinŃă































şcoala engleză)



































(1866-1922)






















































statistica









statistic




















nealternative


-continue

-discrete

d) Dupa continut

-de timp

-de spatiu

-atributive


























indicator si anume







Marimi medii



Marimi medii

Media aritmetica







n

x

x xn x

n

i

in

i i

sumsum =

==rArr= 1

1







Media armonica






11

0

1

1

minusminus

=minus

∆

=∆ sum=

minus

T

x x

T

T T

t

x

t

t

x



(y= x











sum=

=++=n

i

pnii xn x x x1

2222


2

1

1

2

=sum

=

n

x

x

n

i

i

p








valoarea lor medie

Media geometrica






g x =nn

i

i x

1

1

prod

=



( )n

x

x

n

i

i

g

sum== 1

lnln de unde

= sum

=

n

i

i g xn

x1

ln1

exp









1

0

1

11 minusminus

=minus == prod T

T T

T

t

x

t t

x

x







( ) ( )i

r

i

i x p f x p sum=

=

1




relaŃie

T

x

x

T

t
























valoarea modala







211000 ∆+∆





precedent


Cuantilele

























acesteia)










minmax x x A minus=

ObservaŃii









x xd ii



x xd minus=+maxmax




mediu al acesteia









x x

d

n

iisum

=minus

= 1


sum

=

=minus

=r

ii

r

iii

n

n x x

d

1

1

sau

sumsum

=

=minus

=r

ii

r

i ii

n

n x x

d

1

1




( )

n

x x

s

n

iisum

=

minus

= 1

2

2




( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2sau

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2

ObservaŃii
























( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=




( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2


100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v






Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




































ştiinŃă































şcoala engleză)



































(1866-1922)






















































statistica









statistic




















nealternative


-continue

-discrete

d) Dupa continut

-de timp

-de spatiu

-atributive


























indicator si anume







Marimi medii



Marimi medii

Media aritmetica







n

x

x xn x

n

i

in

i i

sumsum =

==rArr= 1

1







Media armonica






11

0

1

1

minusminus

=minus

∆

=∆ sum=

minus

T

x x

T

T T

t

x

t

t

x



(y= x











sum=

=++=n

i

pnii xn x x x1

2222


2

1

1

2

=sum

=

n

x

x

n

i

i

p








valoarea lor medie

Media geometrica






g x =nn

i

i x

1

1

prod

=



( )n

x

x

n

i

i

g

sum== 1

lnln de unde

= sum

=

n

i

i g xn

x1

ln1

exp









1

0

1

11 minusminus

=minus == prod T

T T

T

t

x

t t

x

x







( ) ( )i

r

i

i x p f x p sum=

=

1




relaŃie

T

x

x

T

t
























valoarea modala







211000 ∆+∆





precedent


Cuantilele

























acesteia)










minmax x x A minus=

ObservaŃii









x xd ii



x xd minus=+maxmax




mediu al acesteia









x x

d

n

iisum

=minus

= 1


sum

=

=minus

=r

ii

r

iii

n

n x x

d

1

1

sau

sumsum

=

=minus

=r

ii

r

i ii

n

n x x

d

1

1




( )

n

x x

s

n

iisum

=

minus

= 1

2

2




( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2sau

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2

ObservaŃii
























( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=




( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2


100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v






Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D






şcoala engleză)



































(1866-1922)






















































statistica









statistic




















nealternative


-continue

-discrete

d) Dupa continut

-de timp

-de spatiu

-atributive


























indicator si anume







Marimi medii



Marimi medii

Media aritmetica







n

x

x xn x

n

i

in

i i

sumsum =

==rArr= 1

1







Media armonica






11

0

1

1

minusminus

=minus

∆

=∆ sum=

minus

T

x x

T

T T

t

x

t

t

x



(y= x











sum=

=++=n

i

pnii xn x x x1

2222


2

1

1

2

=sum

=

n

x

x

n

i

i

p








valoarea lor medie

Media geometrica






g x =nn

i

i x

1

1

prod

=



( )n

x

x

n

i

i

g

sum== 1

lnln de unde

= sum

=

n

i

i g xn

x1

ln1

exp









1

0

1

11 minusminus

=minus == prod T

T T

T

t

x

t t

x

x







( ) ( )i

r

i

i x p f x p sum=

=

1




relaŃie

T

x

x

T

t
























valoarea modala







211000 ∆+∆





precedent


Cuantilele

























acesteia)










minmax x x A minus=

ObservaŃii









x xd ii



x xd minus=+maxmax




mediu al acesteia









x x

d

n

iisum

=minus

= 1


sum

=

=minus

=r

ii

r

iii

n

n x x

d

1

1

sau

sumsum

=

=minus

=r

ii

r

i ii

n

n x x

d

1

1




( )

n

x x

s

n

iisum

=

minus

= 1

2

2




( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2sau

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2

ObservaŃii
























( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=




( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2


100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v






Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D











(1866-1922)






















































statistica









statistic




















nealternative


-continue

-discrete

d) Dupa continut

-de timp

-de spatiu

-atributive


























indicator si anume







Marimi medii



Marimi medii

Media aritmetica







n

x

x xn x

n

i

in

i i

sumsum =

==rArr= 1

1







Media armonica






11

0

1

1

minusminus

=minus

∆

=∆ sum=

minus

T

x x

T

T T

t

x

t

t

x



(y= x











sum=

=++=n

i

pnii xn x x x1

2222


2

1

1

2

=sum

=

n

x

x

n

i

i

p








valoarea lor medie

Media geometrica






g x =nn

i

i x

1

1

prod

=



( )n

x

x

n

i

i

g

sum== 1

lnln de unde

= sum

=

n

i

i g xn

x1

ln1

exp









1

0

1

11 minusminus

=minus == prod T

T T

T

t

x

t t

x

x







( ) ( )i

r

i

i x p f x p sum=

=

1




relaŃie

T

x

x

T

t
























valoarea modala







211000 ∆+∆





precedent


Cuantilele

























acesteia)










minmax x x A minus=

ObservaŃii









x xd ii



x xd minus=+maxmax




mediu al acesteia









x x

d

n

iisum

=minus

= 1


sum

=

=minus

=r

ii

r

iii

n

n x x

d

1

1

sau

sumsum

=

=minus

=r

ii

r

i ii

n

n x x

d

1

1




( )

n

x x

s

n

iisum

=

minus

= 1

2

2




( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2sau

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2

ObservaŃii
























( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=




( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2


100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v






Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D


































statistica









statistic




















nealternative


-continue

-discrete

d) Dupa continut

-de timp

-de spatiu

-atributive


























indicator si anume







Marimi medii



Marimi medii

Media aritmetica







n

x

x xn x

n

i

in

i i

sumsum =

==rArr= 1

1







Media armonica






11

0

1

1

minusminus

=minus

∆

=∆ sum=

minus

T

x x

T

T T

t

x

t

t

x



(y= x











sum=

=++=n

i

pnii xn x x x1

2222


2

1

1

2

=sum

=

n

x

x

n

i

i

p








valoarea lor medie

Media geometrica






g x =nn

i

i x

1

1

prod

=



( )n

x

x

n

i

i

g

sum== 1

lnln de unde

= sum

=

n

i

i g xn

x1

ln1

exp









1

0

1

11 minusminus

=minus == prod T

T T

T

t

x

t t

x

x







( ) ( )i

r

i

i x p f x p sum=

=

1




relaŃie

T

x

x

T

t
























valoarea modala







211000 ∆+∆





precedent


Cuantilele

























acesteia)










minmax x x A minus=

ObservaŃii









x xd ii



x xd minus=+maxmax




mediu al acesteia









x x

d

n

iisum

=minus

= 1


sum

=

=minus

=r

ii

r

iii

n

n x x

d

1

1

sau

sumsum

=

=minus

=r

ii

r

i ii

n

n x x

d

1

1




( )

n

x x

s

n

iisum

=

minus

= 1

2

2




( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2sau

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2

ObservaŃii
























( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=




( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2


100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v






Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





nealternative


-continue

-discrete

d) Dupa continut

-de timp

-de spatiu

-atributive


























indicator si anume







Marimi medii



Marimi medii

Media aritmetica







n

x

x xn x

n

i

in

i i

sumsum =

==rArr= 1

1







Media armonica






11

0

1

1

minusminus

=minus

∆

=∆ sum=

minus

T

x x

T

T T

t

x

t

t

x



(y= x











sum=

=++=n

i

pnii xn x x x1

2222


2

1

1

2

=sum

=

n

x

x

n

i

i

p








valoarea lor medie

Media geometrica






g x =nn

i

i x

1

1

prod

=



( )n

x

x

n

i

i

g

sum== 1

lnln de unde

= sum

=

n

i

i g xn

x1

ln1

exp









1

0

1

11 minusminus

=minus == prod T

T T

T

t

x

t t

x

x







( ) ( )i

r

i

i x p f x p sum=

=

1




relaŃie

T

x

x

T

t
























valoarea modala







211000 ∆+∆





precedent


Cuantilele

























acesteia)










minmax x x A minus=

ObservaŃii









x xd ii



x xd minus=+maxmax




mediu al acesteia









x x

d

n

iisum

=minus

= 1


sum

=

=minus

=r

ii

r

iii

n

n x x

d

1

1

sau

sumsum

=

=minus

=r

ii

r

i ii

n

n x x

d

1

1




( )

n

x x

s

n

iisum

=

minus

= 1

2

2




( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2sau

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2

ObservaŃii
























( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=




( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2


100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v






Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D










indicator si anume







Marimi medii



Marimi medii

Media aritmetica







n

x

x xn x

n

i

in

i i

sumsum =

==rArr= 1

1







Media armonica






11

0

1

1

minusminus

=minus

∆

=∆ sum=

minus

T

x x

T

T T

t

x

t

t

x



(y= x











sum=

=++=n

i

pnii xn x x x1

2222


2

1

1

2

=sum

=

n

x

x

n

i

i

p








valoarea lor medie

Media geometrica






g x =nn

i

i x

1

1

prod

=



( )n

x

x

n

i

i

g

sum== 1

lnln de unde

= sum

=

n

i

i g xn

x1

ln1

exp









1

0

1

11 minusminus

=minus == prod T

T T

T

t

x

t t

x

x







( ) ( )i

r

i

i x p f x p sum=

=

1




relaŃie

T

x

x

T

t
























valoarea modala







211000 ∆+∆





precedent


Cuantilele

























acesteia)










minmax x x A minus=

ObservaŃii









x xd ii



x xd minus=+maxmax




mediu al acesteia









x x

d

n

iisum

=minus

= 1


sum

=

=minus

=r

ii

r

iii

n

n x x

d

1

1

sau

sumsum

=

=minus

=r

ii

r

i ii

n

n x x

d

1

1




( )

n

x x

s

n

iisum

=

minus

= 1

2

2




( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2sau

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2

ObservaŃii
























( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=




( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2


100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v






Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D






Media armonica






11

0

1

1

minusminus

=minus

∆

=∆ sum=

minus

T

x x

T

T T

t

x

t

t

x



(y= x











sum=

=++=n

i

pnii xn x x x1

2222


2

1

1

2

=sum

=

n

x

x

n

i

i

p








valoarea lor medie

Media geometrica






g x =nn

i

i x

1

1

prod

=



( )n

x

x

n

i

i

g

sum== 1

lnln de unde

= sum

=

n

i

i g xn

x1

ln1

exp









1

0

1

11 minusminus

=minus == prod T

T T

T

t

x

t t

x

x







( ) ( )i

r

i

i x p f x p sum=

=

1




relaŃie

T

x

x

T

t
























valoarea modala







211000 ∆+∆





precedent


Cuantilele

























acesteia)










minmax x x A minus=

ObservaŃii









x xd ii



x xd minus=+maxmax




mediu al acesteia









x x

d

n

iisum

=minus

= 1


sum

=

=minus

=r

ii

r

iii

n

n x x

d

1

1

sau

sumsum

=

=minus

=r

ii

r

i ii

n

n x x

d

1

1




( )

n

x x

s

n

iisum

=

minus

= 1

2

2




( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2sau

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2

ObservaŃii
























( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=




( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2


100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v






Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D









valoarea lor medie

Media geometrica






g x =nn

i

i x

1

1

prod

=



( )n

x

x

n

i

i

g

sum== 1

lnln de unde

= sum

=

n

i

i g xn

x1

ln1

exp









1

0

1

11 minusminus

=minus == prod T

T T

T

t

x

t t

x

x







( ) ( )i

r

i

i x p f x p sum=

=

1




relaŃie

T

x

x

T

t
























valoarea modala







211000 ∆+∆





precedent


Cuantilele

























acesteia)










minmax x x A minus=

ObservaŃii









x xd ii



x xd minus=+maxmax




mediu al acesteia









x x

d

n

iisum

=minus

= 1


sum

=

=minus

=r

ii

r

iii

n

n x x

d

1

1

sau

sumsum

=

=minus

=r

ii

r

i ii

n

n x x

d

1

1




( )

n

x x

s

n

iisum

=

minus

= 1

2

2




( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2sau

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2

ObservaŃii
























( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=




( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2


100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v






Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




1

0

1

11 minusminus

=minus == prod T

T T

T

t

x

t t

x

x







( ) ( )i

r

i

i x p f x p sum=

=

1




relaŃie

T

x

x

T

t
























valoarea modala







211000 ∆+∆





precedent


Cuantilele

























acesteia)










minmax x x A minus=

ObservaŃii









x xd ii



x xd minus=+maxmax




mediu al acesteia









x x

d

n

iisum

=minus

= 1


sum

=

=minus

=r

ii

r

iii

n

n x x

d

1

1

sau

sumsum

=

=minus

=r

ii

r

i ii

n

n x x

d

1

1




( )

n

x x

s

n

iisum

=

minus

= 1

2

2




( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2sau

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2

ObservaŃii
























( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=




( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2


100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v






Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D














valoarea modala







211000 ∆+∆





precedent


Cuantilele

























acesteia)










minmax x x A minus=

ObservaŃii









x xd ii



x xd minus=+maxmax




mediu al acesteia









x x

d

n

iisum

=minus

= 1


sum

=

=minus

=r

ii

r

iii

n

n x x

d

1

1

sau

sumsum

=

=minus

=r

ii

r

i ii

n

n x x

d

1

1




( )

n

x x

s

n

iisum

=

minus

= 1

2

2




( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2sau

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2

ObservaŃii
























( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=




( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2


100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v






Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D























acesteia)










minmax x x A minus=

ObservaŃii









x xd ii



x xd minus=+maxmax




mediu al acesteia









x x

d

n

iisum

=minus

= 1


sum

=

=minus

=r

ii

r

iii

n

n x x

d

1

1

sau

sumsum

=

=minus

=r

ii

r

i ii

n

n x x

d

1

1




( )

n

x x

s

n

iisum

=

minus

= 1

2

2




( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2sau

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2

ObservaŃii
























( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=




( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2


100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v






Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





minmax x x A minus=

ObservaŃii









x xd ii



x xd minus=+maxmax




mediu al acesteia









x x

d

n

iisum

=minus

= 1


sum

=

=minus

=r

ii

r

iii

n

n x x

d

1

1

sau

sumsum

=

=minus

=r

ii

r

i ii

n

n x x

d

1

1




( )

n

x x

s

n

iisum

=

minus

= 1

2

2




( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2sau

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2

ObservaŃii
























( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=




( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2


100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v






Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D










x x

d

n

iisum

=minus

= 1


sum

=

=minus

=r

ii

r

iii

n

n x x

d

1

1

sau

sumsum

=

=minus

=r

ii

r

i ii

n

n x x

d

1

1




( )

n

x x

s

n

iisum

=

minus

= 1

2

2




( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2sau

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2

ObservaŃii
























( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=




( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2


100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v






Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2sau

( )

sum

sum

=

=

minus

=r

i i

r

iii

n

n x x

s

1

1

2

2

ObservaŃii
























( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=




( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2


100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v






Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




( )m1 j

n

xxs

j

n

1i

2

ji2

x

j

j=

minus=

sum=




( )

n

x x

s s

n

iisum

=minus

== 1

2

2


( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2

sau

( )

sum

sum

=

=minus

==r

ii

r

iii

n

n x x

s s

1

1

2

2


100sdot= x

sv

sau100 sdot=

x

d v






Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D







Interpretare



calculat




s

Mo xCas

minus=

sau s

Me xCas

minus=

3


Interpretare




mici


mari


negativă)


negativă)





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





41 TEORIA SELECTIEI

























N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





N21

N21

f f f




clase astfel

N21

N21

f f f

xxxX

2

aax i1ii







1X

n

1k k sum

=

=


1x

n

1k k sum

=


ObservaŃie 4111


normală )n

m( Nσ

DemonstraŃie



)()()( 2

22

at t dar et X aX

t imt

X k ϕ ϕ ϕ

σ

==minus

2

22

21 )( n

t a

n

t im

X

n

et atuncik

minus

=ϕ

şi obŃinem n

t imt n

t

n

t imn

k

n

k

X n

X n

X eet t t k

n

k k

22

11

11

222

22

1

)()()(σ

σ

ϕ ϕ ϕ minus

minus



m N σ




n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





n

mXZ

σminus

= urmează legea

normală N(01)

DemonstraŃie

Statistica mn

X n

Z σ σ

minus=



m N σ


mn

X M n

Z M

σ σ σ

1)()()()( 22

22

22

22 ===minus=minus

=n

n X D

nm X D

nn

m X D Z D

σ

σ σ σ σ



2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ


DemonstraŃie


X sunt respectiv

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus

=

şi

22

2)( n

t imt

X et

σ

ϕ minus


unde

22

2)()( n

t itm

X X et t

σ

ϕ ϕ minusminus


)(

)( t et X X

mmit



Avem succesiv =+

== minusminusminus

+


2

2)()()()(

2

2

nn

t t t mm X X

nn

mm X X Z

σ σ ϕ ϕ ϕ

σ σ

=

+

= minus

+

minusminus

)(

2

2)(

)(

2

2

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ



=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




=

+

minus

+

= minus

+

minusminus

)()(

2

2

2

2

)(

2

2

nn

t

nn

t e X X

nn

mmit

σ σ ϕ

σ σ ϕ

σ σ

2)(2)(2

)(2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

t nn

n

t

nn

itm

nnn

t

nn

itm

nn

mmit

eeeeminus+

minus

+

minus

+

minus

++

minusminus

==σ σ

σ

σ σ σ σ

σ

σ σ σ σ



sum=

=n

k

k

ik X n 1


=

=n

k

k

ik xn 1

1σ o numim



( )k n

i

ik X X n

sum=

minus=1

1micro iar sum

=

minus=micron

1i

k ik )xx(

n



ObservaŃie 4114


statistica

1n

mXT

2

minusmicro


statistica222 n

Hσ



minusminus

=σn

1k

2k

2)XX(

1n



n

mXT

σ

minus= şi

2

2

2 )1n(H

σσminus

=


minus )(

1 2

2 k k k n

N σ σ σ




R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





R xn

)x(K )x(F n


mici decacirct x







n minus=isin

atunci

suminfin

minusinfin=

minus


k

xk 2k n


22


tabelate





X 12143256123234624312

Y 9901018885771021008697761211131109692108112103109

Se cere





Rezolvare





X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




X

213464






Y

136442

125115105958575


sum sum= =


1k

6

1k k k k 852]625143342614[

20

1f x

20

1x

20

1x

sum=


1k k k 598]125111531056954854752[

201

yf 201

y


sunt respectiv

sum sum= =


1k

6

1k

222k k

2k 2 )8522(6)8521(4[

20

1)xx(f

20

1)xx(

20

1)X(



20

1

6

1

22222 )59885(4)59875(2[20

1)(20

1)(20

1)(

k k




452)(19

20)(

19

1)( 2

220

1

2 =sdot=minus= sum=

X x x X k

k micro σ

105192)Y(19

20)yy(

19

1)Y( 2

20

1k

2k






gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

gt

leltlelt

lelt

lelt

lelt

le

=

125xdaca1

125y115daca2019115y105daca2016

105y95daca2010

95y85daca206

85y75daca202

75ydaca0

)y(F

6xdaca1


4x3daca2014

3x2daca2010

2x1daca204

1xdaca0

)x(F 2020





discret








01)(Plimn


infinrarr adică









λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





λ=λlowast

infinrarr)(Mlim

nşi 0)(Dlim 2

n=λlowast








DemonstraŃie


( ) 2

2 )(

1 ε

λ

ε λ λ

D



λ Dn


ε λ λ P n


ObservaŃie 427



k X M =σ


k k

n

i

k

n

i

k n

i

k

i

n

i

k

ik n

n

n X M

n X M

n X

nM M σ

σ σ σ =====

= sumsumsumsum

==== 1111

1)(

1)(

11)(

respectiv

==

= sumsum

==

n

i

k

i

n

i

k

ik X Dn

X n

D D1

22

1

22 )(11

)(σ

0)()()(12

2

2

1

22 rarr=== sum= n

X Dn

X nD X Dn

k k n

i

k






DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




DemonstraŃie

Avem succesiv

)()(11

)(1

)( 222

2

12 X D X D

n

n

n

n X X

nM M

n

k

k rarrminus

=minus

=

minus= sum

=



0)3)(1()1(

)( 22343

2

22 rarr

minusminusminus


n

nn

n




)X(D 2

DemonstraŃie


1micro σ

minus=

n

nse obŃine

)()(1

1)(

11)( 22

222 X D X D

n

n

n

nM

n

n

n

nM M =

minusminus

=minus

=

minus


0)(11

)( 22

2

2222 rarr

minus

=

minus

= micro micro σ Dn

n

n


σ este un



I(

λpart

λpartsdot=λ

2)x(f ln

Mn)


Rao-Cramer )(I

1)(D 2

λgeλlowast


dacă)(I

1)(D 2


)(D

)](I[)(e

2

1

lowast

minuslowast

λλ



=n

j

j X n

X 1





Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




Rezolvare


avem

λ λ =sdot===

= sumsumsum === n

n X M n

X M n

X n

M X M n

j

n

j

j

n

j

j

111)(1)(11)(

0)(1

)(11

)(2

1

22

1

22

1

22 rarr=sdot===

= sumsumsum

=== nn

n X D

n X D

n X

n D X D

n

j

n

j

j

n

j

j




)( e x f


λ λ

λ x x f +minus=

partpart

1)(ln

iar

)(12

1

)(1

)(2

121)(ln

22

222

22

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

++sdotminus=

=+minus=

+minus=

part

part X M X M

x xM

x f M


λ λ

n x f nM I =

part

part=

2)(ln

)(


1)(2


al lui λ





Să se determine





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





mediu

Rezolvare


X

33534

024014004993983



=n

1k k X

n

1X


=n

1k k x

n



02430143004599339834(18






222n

1k

2k 2 )998934(5)99893993(3)99893983(4[

181)xx(

n1



42

2 10987117





minusn

k

m X n 12



Rezolvare




n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





n=

infinrarr Avem


)(2

1)(

21

)(2

1)(

11

m X nM n

m X M n

m X M n

V M n

k

k

n

k

π π π

)mX(M2


int int infin

infinminus

infin

infinminus

minusminus


m x2

2

2

)(

2

1)()( σ

π σ ρ

σ π π

σ σ σ

π σ

2

2

2

2

1 2 ==sdotint infin

infinminus

minust dt et

t


t m x

=minusσ


sdotπ 2




n

k

n

k

k m X Dn

m X Dn

m X Dn

V D1

222

1

222 )(2

)(2

)()2

1()(

π π π


V Dn





prod==

n

i

si sn X f X X X V 1


verosimilitate






s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





s1i0V

i

==λpart


Vln

i

==λpart

partnumit sistem de


ObservaŃie 4215




parametrul estimat



normală N(m σ )

Rezolvare


2

2

)mx(

e2

1) σ

minusminus




2

2

)mx(ln2

σminus


2mx

m)mx(f ln

σminus=

partσpart iar

3


σminus=

σpartσpart

Se obŃine

sum sum sum= = =

minus=minus

=part

part=

partpart n

k

n

k

n

k

k k k m X

m X

m

m X f

m

V

1 1 122 )(

1)(lnln

σ σ

σ

sumsum sum== =

minus+minus=minus

+minus=part

part=

partpart n

k

k

n

k

n

k

k k m X m X m X f V

1

22

1 133

2

])([1

])(1

[)(lnln

σ σ σ σ σ

σ

σ

sau

=minus+σminus

=minus

sumsum

=

=

0])mX([

0)mX(n

1k

2k

2

n

1k k

micro=minus=σ

==rArr

sumsum

=

lowast

=lowast

2

n

1k

2k

n

1k k

)XX(n

1

XXn

1m





Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




Xm0k

)k m(P

k

=







Rezolvare



sum=

=part

partn

1k

k 0 p

) pX(f ln avem că


p1

xm

p

x

p

) px(f ln

minusminus

minus=part


sum=

=minusminus

minusn

1k

k k 0) p1

Xm

p

X( adică 0

p1

Xn

p1

mn

p

Xn=

minus+

minusminus unde sum

=

=n

1k k X

n

1X




pmpm

1)X(M

m

1)X(M

m



lowastn

k

n

k

k X D

nm X D

nm X D

m p D

1 1

222

222

22

2 )(1

)(1

)(1

)(

infinrarrrarr==== n

mn

pq

nm

mpq

nm

X D X nD

nm

0)(

)(1

22

22

22


n=






=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




=minus

=minusminus

=part

part= )X(D

) p1( p

n])mpX[(M

) p1( p

1n])

p


222

222

) p1( p

mn) p1(mp

) p1( p

n22 minus

=minusminus

=



pentru parametrul p

Metoda momentelor






s21 λλλ





le

gtΓ=

minusminus

0xdaca0

0xdacaex b)a(

1) bax(f

b

x1a



0

x1a dxex)a(





int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




int int infin

infinminus


== ak ak abdxe xba

dxba x f x k b

x

k a

a

k

k )2)(1()(

1)(

0

1σ Rezultă

sistemul

+=

=

)1(22

1

aab

ab

σ


1

212

212

21

σ σ σ









parametrul θ






AplicaŃii









n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





n

mXZn σ

minus= unde sum

=

=n

1k k X

n




int minus

π=Φ

x

0

2

t

dte2

1)x(

2




2

1)z(

21

αminus=Φ α


1z αminus



n

mXz 2

12

1 adică

P( )zn

Xmzn

X2

12

1α

minusα

minus

σ+ltlt



11 zn

Xm αminus

σminus= şi

212 z

nXm α

minus

σ+= iar sum

=

=n

1k k X

n

1X



n

mXσminus

unde m=M(X)






n

mXT

σminus

= unde



sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




sum=

=n

1k k X

n

1X şi sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n




+minus+

Γπ

+Γ=

x2

1n2

n ds)ns

1()

2

n(n

)2

1n(




211n



21)t(F

211n

1n

αminus=α


σminus


αminusminus

1)t

n

mXt(P

211n

211n

sau

αminus=σ

+ltltσ

minus αminusminus

αminusminus

1)tn

Xmtn

X(P2

11n2


este )mm( 21 unde2

11n1 t

nXm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

Xm αminusminus

σ+=






caracteristica 2X


2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Zσ

+σ


1XXn

1X

21 n

1k k 2

22

n

1k k 1

11






Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




Deci αminus=ltσ

+σ


minusα

minus1)z

nn

)mm()XX(z(P

21

2

22

1

21

2121

21

sau

))()((2

2

2

1

2

1

21

21212

2

2

1

2

1

21

21nn

z X X mmnn



A = (2

22

1

21

21

21 nnz)XX

σ+

σminusminus α

minusşi B =

2

22

1

21

21

21 nnz)XX(

σ+

σ+minus α

minus


21

21

222

211

2121

n1

n1

2nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+sdot

σminus+σminus




minusminus

=σ1n

1k

21k 1

1

21 )XX(

1n

1şi

sum=

minusminus

=σ2n

1k

22k 2

2

22 )XX(

1n




αminus=lt+

minus+

σminus+σminus


minusα

minus1)t

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(t(P

21n

21

21

222

211

2121

21n


A = St)XX(2


minusşi St)XX(B

21n


cu

2nnn

1

n

1

])1n()1n[(S21

21222

211

2






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D






2

22 )1n(

Hσ

σminus= unde sum

=

minusminus

=σn

1k

2k

2 )XX(1n

1 iar sum

=

=n

1k k X

n



intervalul ( )hh 22



221

2

21n

21 hh α


2)h(F 2

11n

α=minus şi

2

211n

22 hh α


21)h(F 2

21n



Γ

=x

0

2

t1

2

n

2

nn dtet

)2

n(2


tabelate

Deci )h)1n(

h(P 222

22

1 ltσ

σminuslt sau

αminus=σminus

ltσltσminus

1)h

)1n(

h

)1n((P

21

22

22

2


( ) 22


2

211n

22

1 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ şi

2

21n

22

2 h

)1n(

αminus






X

25764731

423323223123023922822722

Rezolvare





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





11 z

nxm α

minus

σminus= şi

21

2 zn

xm αminus

σ+=

21

z αminus


icircncacirct 47502

1

2

1)z(

21

=αminusαminus

=Φ αminus


961z2

1=rArr α

minus

07723)4232323522371236234922782237221(35


Rezultă 8812296135

35007723m1 =sdotminus= 27323961

35


)2732388122(m isin



2453521

33231303928272X



Rezolvare



11n1 t

nxm α

minusminus

σminus= şi

211n

2 tn

xm αminusminus



11n=α

minusminus


( ) 032333223413503392582272122


1670)xx(f 21

1 7

1k

2k k =minus=σ sum

=



ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




ObŃinem 9422518222

16700323m1 =sdotminus= 12235182

22


)12239422(m isin








Rezolvare


( )2

22

1

21

21

21 nnzxxA

σ+

σminusminus= α

minusşi ( )

2

22

1

21

21

21 nnzxxB

σ+

σ+minus= α

minusiar

21

z αminus


1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


1=α

minus

Deci

9753150

16

100

93325B

9753150

16

100

93325A

=++=






X1 2265224121862201228822962225

X2 221523022234224323082238





Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




Rezolvare


StxxA2


minusşi StxxB

21n


dacă

( ) ( )[ ]222

211

21

21 1n1n2nn

n

1

n

1


+

= iar 2

1nt α


21tF

21n

n

αminus=

α

minus


1n=α

minus

Calculăm

( )

( )

( )

( )

)61933266(mm

6193259220123531B

3256259220123531A zultăRe

2592)951145765176(11

6

1

7

1

S

95114xx5

1

76517xx6

1

66722582238230322442232230522161x

31422452226229822812206218122452267

1x

21

6

1k

22k 2

22

7

1k

1k 1

21

2

1

minusisinminusrArr

=sdot+minus=


=sdot+sdot+

=

=minus=σ

=minus=σ

=+++++=

=++++++=

sum

sum

=

=







Rezolvare




21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





21 σσ unde

2

211n

221 h

)1n(

αminusminus

σminus=σ

şi 2

21n

22

2 h

)1n(

αminus

σminus

=σ iar

2


2



Avem 520h 2975010 = şi 253h 2

025010 =

sum=

=minus=σ

=+++=

11

1k

2k

20170)xx(

10

1

0334)204034214(11

1x

Rezultă 0080520

01701021 =

sdot=σ şi 0520

253

01701022 =

sdot=σ








ObservaŃie 432









ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




ObservaŃie 433














~U )H1 unde


~





Testul Z




hellipxn


1X

n

mXZ

n

1k k sum

=

=σ





minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




minus

minusminus2

12


ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21


U sum=

αminus

αminus

=

minusnotin

σminus

isin=n

1k k

21

21

0nn21 u

n

1uzz

n

muR )uuu(

Astfel am obŃinut

α α α

α α σ

=notin=

==isin

minus

minusnotin

minus

minusminus

minusminus

02

12

1

0

21

21

)0)21((

H Z P

P H n X X X P

z z

H z z

n

m X


minusnotin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n


minusisin

σminus

= αminus

αminus

21

21

0 zz

n

mxz

ObservaŃie 439



minus α

minusα

minus2

12










1)z( 1





2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D






2) Se determină

2

1z α

minusaicirc

2

1z

2

1

αminus=

Φ α

minus


1x

n

mxz n21

0 =σminus

=

4) Dacă2

1α






8101264

2017151311X

Rezolvare






n

mXZ

σminus

= Calculăm

( ) 815)2081710151213611440


4220

403 16815

n





Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




Testul T(Student)





( ) XX1n

1X

n

1X

n

mXT

n

1k

2

k 2

n

1k k sumsum

==

minusminus

=σ=σ



minus α

minusminusα

minusminus2

11n2

11ntt aicirc

αminus=



regiunea critică U



2) Se determină2

11nt α

minusminusaicirc

21tF

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


n

1k

2

k

2n

1k k 0 xx1n 1xn1x

n

mxt

4) Dacă2

11ntt α







608590758478925677826579836576

Rezolvare







11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D








11nt α


21tF

211n

1n =αminus=

α



n

mXT

σ

minus= este (-21452145)

Calculăm 476)768560(15

1x =+++=

686116)xx(14

1 n

1k

2

k

2=minus=σ

sum=

2911

158010

80476

n

mxt 0 minus=

minus=

σ

minus=






şi C2

fiind independente





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(Z

σ+

σ



minus α

minusα

minus2

12


αminus=

ltltminus α

minusα

minus1zZzP

21

21





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





2) Se determină2

1z α

minusaicirc

2

1z

21

αminus=

Φ α

minus


==σ

+σ

minus=21 n

1k k 2

2

2n

1k k 1

1

1

2

22

1

21

21 xn1xx

n1x

nn

xxz

4) Dacă2

1zz α




21

21

2

22

2

11

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus




minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n


2) Se determină2

1nt α

minusaicirc 2nnn

21tF 21

21n

n minus+=α

minus=

α

minus

3) Se calculează

21

21

222

211

21

n

1

n

12nn

)1n()1n(

xxt

+

minus+

σminus+σminus

minus=


2121 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21

n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1


4) Dacă2

1ntt α






2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





2

22

1

21

2121

nn

)mm()XX(T

σ+

σ



+

=minus

minus+

minus=

2

22

1

21

1

21

2

2

1

2

1)1(

11

nn

nc

n

c

n

c

n σ σ

σ


minus α

minusα

minus2

1n2

1ntt aicirc

αminus=

ltltminus α

minusα

minus1tTtP

21n

21n



2) Se determină2

1nt α

minusminus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minusunde

1)1(

11

2

2

1

2

minusminus+

minus=

n

c

n

c

n

σ+

σ

σ

=

2

22

1

21

1

21

nn

nc

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σ21 n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

21 xx

1n

1xx

1n

1

sumsum==

==21 n

1k k 2

2

2

n

1k k 1

1

1 xn

1xx

n

1x

3) Se calculează

2

22

1

21

21

nn

xxtσ

+σ

minus=

4) Dacă2

1ntt α








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D








k X

990 995 1000 1005

1010k X 985 990 995 1000 1005 1010

k f 7 9 11 8 5

k f 5 5 6 7 6 4



61 =σ ml şi 572 =σ ml

Rezolvare






21

zz =αminus

aicirc 49502

1z

21

=αminus

=

Φ α

minus


pentru statistica

2

22

1

21

2121nn

)]mm()XX[(Zσ

+σ

minusminusminus=

Calculăm 375999)1010599599907(40


424997)1010499059855(

33


209133

25564036

)424997375999(nn

)xx(z2

22

1

21

21 =+minus=σ

+σ

minus=





Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




Exemplul 4316



k X 1027 1028 1029 1030 1032

k X 1026 1027 1029 1030 1031

k f 3 2 1 1 1

k f 3 2 1 1 1




Rezolvare






1nt α

minus aicirc

21tF

21n

n

αminus=

α

minus unde


21

21

222

211

2121

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)mm()XX(T

+

minus+

σminus+σminus


libertate

Calculăm

28510)321012810227103(8


28910)311032720126102(8


( ) 4n

1k

21k 1

1

21 101433xx

1n

1 1minus

=

sdot=minusminus

=σ sum

( ) 4n

1k

22k 2

2

22 109834xx

1n

1 2minus

=

sdot=minusminus

=σ sum



3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




3970

8

1

8

114

10)8813400122(

2891028510

n

1

n

12nn

)1n()1n(

)xx(t

4

21

21

222

211

21minus=

+sdot+

minus=

+

minus+

σminus+σminus

minus=

minus







H 20



2n

1k

2

k 22 )1n(

XX1

H

σ

σminus=minus

σ

= sum=



αminus=

ltlt α

minusminusα

minus1hHhP 2

211n

22

21n



2i xxx σ=σα


2

21n1-n

2

211n

2

21n

α

=


21hF 2

211n

1n

αminus=

α

minusminusminus


=minusσ

=n

1k k

n

1k

2k 2

0

2 xn

1x)xx(

1h

4) Dacă

isin α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n





selecŃie

minusminusminus

1211111121

512118060200204050X





Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D






Rezolvare


α

minusminusα

minus

2

211n

2

21n


2)1n(

Hσ



025011 = şi

( ) 921h9750hF 2975011

297501111 =rArr=



( ) 5180xx1n

1 n

1k

2

k

2=minus

minus=σ sum

=

3961150

518011)1n(h

20

2

2 =sdot

=σ

σminus=


acceptată




ipoteza nulă 22




Statistica22

22

21

21

Fσσ

σσ



α

minus

α

21nm2nm

f f se


ltlt α

minusα 1f Ff P

21nm

2nm




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




relaŃiile2

f F2

nmnm

α=

α şi

21f F

21nm

nm

αminus=

α



Are loc relaŃia β

β

minus=

1 1

mn

nm f



prin

=

minusminus

2

212

12

1

1

α α

α α

mnmn

nmnm f f f f


1) Se consideră


2) Se determină

α

minusα

21nm

2nm


f F2

nmnm

α=

α şi

2

1f F2

1nmnm

αminus=

α

minus

3) Se calculează

( ) ( )sumsum==

minusminus

=σminusminus

=σσ

σ=n

1k

22k 2

2

22

n

1k

21k 1

1

212

2

21xx

1n1xx

1n1f

1

sum=

=1n

1k k 1

1

1 xn1x sum

=

=2n

1k k 2

2

2 xn1x

4) Dacă

isin α

minusα

21nm

2nm







241

836343X1 şi

2241






Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




Rezolvare


α

minusα

21nm

2nm



f F2

nmnm α=

α şi

21f F

21nm

nm αminus=

α

minus

654f 975086 = deoarece 9750)654(F 86 =

180605

1

f

1f


Calculăm 6563)832732634531(9

1x6293)832634431(

7


( ) 019050xx1n 11n

1k

21k 11


2n

1k

22k 22


851010280

019050f

22

21 ==

σ

σ=


este admisă


Testul2

χ






2


)x(FF s



N21

N21

f f f



)a(F)a(F p s

11i0

s

1i0






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D






minus=

N

1ii

ii2

pn


urmează legea2



1k 2





1k k


s

2

1 λλλ


i

f

xX

=


2

11i0

s

2

1i0


ndash k = N-s-1


minus=

N

1ii

2ii2

pn

) pnf (h

4) Dacă 21k







=ltinfinrarr

unde

)x(F)x(Fsupd nR x

n minus=isin

iar sum+infin

minusinfin=

minusminus=k

xk 2k 22







lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D





lt αminus 1

n

xdP 1

n


xd 1




N1ii

i f f f nFf

xX +++=

α

=


3) Se calculează2


N1in

+=minus= minus

=






Frecare 11 14 17 17 18 16 13 10 8



Rezolvare


2 micro=σ


81013161817171411

125297519251875182517751725167516251X

Calculăm

821)12528675114625111(124




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




( ) 1290821x124

1 124

1k

2k 2



sum=minus=

N

1ii

2

ii2


6129k 2sma

ama

p

1i

i

i =minusminus==

σ

minusΦminus

σ

minusΦ= minus



Calculele pentru

2


ia if

σ

mai minus

σ

minusΦ

i ma

i p

i pn i

2ii

pn

) pnf ( minus

165

170

175

180

185

190195

200

infin+

11

14

17

17

18

1613

10

8

-132

-093

-054

-016

023

062101

140

infin+

-04066

-03238

-02054

-00636

-00910

0232403437

04192

05000

00934

00828

01184

01418

01546

0141401113

00755

00808

115816

102672

146816

175832

191704

175336138012

93620

100192

002921

135712

036610

001934

007146

013414004651

004348

040694

n=124 47432h 2 =



σ

minusΦminus

σ

minusΦ= )()321(

mama p

0

1

1

093405040660 =+minus=








n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D






n minus==



următor

ia if sum=

i

1 j jf )a(F in

i ma

σ


165

170

175

180

185

190

195

200

infin+

11

14

17

17

18

15

13

10

8

11

25

42

59

77

93

106

116

124

00887

02016

03387

04758

06210

07500

08548

09355

10000

-132

-093

-054

-016

023

062

101

140

infin+

00934

01762

02946

04364

05910

07324

08437

09192

10000

00047

00254

00441

00394

00300

00176

00111

00163

0

dn= 00441


normală )m( N σ













p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D











p(rs)+q(rs)=1



p(rs) = p(rt) p(ts)







X

ank

a

p p p p p

uk

210

10




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




2 sum=

=

an

k

k p0

1 =1


k nk k

nk a

a



)( xM u x =




a

x

u

u xa p =)(



Rezultă

x

y

x

a

a

y

u

u

u

u

u

u

xa p

ya p y x p =sdot==

)(

)()(

Astfel relaŃia x

y

u

u




Dacă y=x+m atunci

x

m x

u

um x x p +=+ )(


deci rezultă

x

m x x

u

uu y xq +minus

=)(

iar

x

m x x

u

uum x xq +minus

=+ )(



Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




Pentru m=1

x

x x

u

u x x p p 1)1( +=+=

x

x

x

x x

u

d

u

uu x xq =

minus=+ +1)1(



10 1 ltlt +

x

x

u

u

sau

x x uu ltlt +10





+

+++

13

2

2

1

2

1

2

12

2

11

2

1

x x x x qn

n

qqq

n

X

Atunci

x

xc

n

n x xc

n x

n xn x xc

n

x

x x x x

u

u

u

uunq

n

nn

qn

nnqqm X M

sumsumsum

minus

=+minus

=

+++minus

=

+=minus

+=+

+=

=++

++++==

1

0

1

0 2

1)

2

1(

1)

2

1(

1

)2

1(

2

1

2

3

2

1)(














ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D













ni X M P X M P ii 321)()( ===



n P P P P P ++++= 321


)( X M P = cu

x x

n

nqnp

v

X

0


peste n ani

Atunci x

n xn

x

n

u


actualizare viager



x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




x

n x

x

x

n x

n x

x

x

x

n xn

D

D

l v

l v

v

v

l

l v X M ++

++ =



x

n x

D

DS P

+

sdot=



SoluŃie

Ştim că x

n x

D

DS P +sdot= adică

30

65300 D

D P sdot=






asigurate

Atunci a xt


sau x

t

x

x

x

x x

D

D

D

D

D

Da +++= ++ 21


t x x x D D D N +++= +

şi rezultă x

x x

D

N a 1+=


x

x x D

N S aS P 1+=sdot=



SoluŃie



50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




50

511 1000 D

N

D

N S P

x

x sdot== +



x

x x

D

N S aS P =sdot=

deoarece x

x x

D

N a =





1

2

11

2

1++ n



X


++

1211

2

1

2

11

2

1

x

n xn x

x

x x

x

x x

n

l

l l

l

l l

l

l l

vvv


)( 2

112

11 +

minus++sdot

minus==

+++++

n

x

n xn x

x

x x x v

l

l l v

l

l l xM A

Dacă 2

1

1)11(+

+minus=x

x x x vC

atunci x

x x

D

M A =





x

x x x

D




x

x x x

D


Metode statistice

Documents

Transcript of Metode statistice