METODE NUMERICE S˘I STATISTICA - deliu.ro · Capitolul 1 Metode de aproximare a r ad acinilor unei...
Transcript of METODE NUMERICE S˘I STATISTICA - deliu.ro · Capitolul 1 Metode de aproximare a r ad acinilor unei...
Ciprian Deliu
METODE NUMERICE SISTATISTICA
2016
Cuprins
I Metode numerice 1
1 Metode de aproximare a radacinilor unei ecuatii nelineare 3
1.1 Metoda iterativa de punct fix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Metoda bisectiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Metoda falsei pozitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Metoda lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Metoda secantei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Rezolvarea numerica a sistemelor de ecuatii liniare 15
2.1 Metoda eliminarii a lui Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Metoda factorizarii triunghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Metoda iterativa a lui Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Metoda Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Rezolvarea numerica a sistemelor de ecuatii neliniare 25
3.1 Metoda aproximatiilor succesive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Metoda Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Aproximarea functiilor 33
4.1 Metoda celor mai mici patrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Interpolarea functiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1 Polinomul de interpolare al lui Newton . . . . . . . . . 35
4.2.2 Polinomul de interpolare al lui Lagrange . . . . . . . . 37
4.2.3 Diferente divizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
i
ii CUPRINS
5 Integrarea numerica a functiilor 435.1 Metoda dreptunghiurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 Metoda trapezelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3 Metoda parabolelor (Simpson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4 Formulele Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 Aproximarea numerica a solutiilor ecuatiilor diferentiale 496.1 Metoda lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2 Metoda lui Euler ımbunatatita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.3 Metoda Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.4 Metoda lui Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.5 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
II Statistica 59
7 Statistica descriptiva 617.1 Prezentarea datelor statistice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.2 Caracteristici numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8 Probabilitati. Variabile aleatoare 718.1 Probabilitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.1.1 Campuri de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.1.2 Reguli de calcul cu probabilitati . . . . . . . . . . . . . 748.1.3 Scheme probabilistice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.2 Variabile aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.2.1 Variabile aleatoare discrete si continue . . . . . . . . . 778.2.2 Vectori aleatori bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . 798.2.3 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare . . . . 81
8.3 Repartitii clasice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.3.1 Repartitii discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.3.2 Repartitii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.4 Convergenta variabilelor aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.5 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9 Statistica inferentiala 979.1 Teoria selectiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.2 Estimatii punctuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.2.1 Verosimilitate maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.3 Intervale de ıncredere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.3.1 Interval de ıncredere pentru medie (σ cunoscut) . . . . 101
CUPRINS iii
9.3.2 Interval de ıncredere pentru proportie . . . . . . . . . . 1029.3.3 Interval de ıncredere pentru medie (σ necunoscut) . . 1039.3.4 Interval de ıncredere pentru dispersie . . . . . . . . . . 104
9.4 Verificarea ipotezelor statistice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.4.1 Notiuni generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.4.2 Teste pentru medie (σ cunoscut) . . . . . . . . . . . . . 1069.4.3 Teste pentru proportie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.4.4 Teste pentru medie (σ necunoscut) . . . . . . . . . . . . 1099.4.5 Test bilateral pentru dispersie . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.5 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
iv CUPRINS
Partea I
Metode numerice
1
Capitolul 1
Metode de aproximare aradacinilor unei ecuatiinelineare
Fie A o multime data si o aplicatie T ∶ A → A. Presupunem ca existaposibilitatea de a cuantifica elementele lui A, si notam aceste elemente cu aksau a(k), cu k = 0,1,2, . . . .
Ansamblul (A,T ) formeaza un sistem iterativ daca se poate defini orelatie ıntre elementele lui A de forma
ak+1 = T (ak)
Se porneste de la o valoare initiala a0 ∈ A si apoi la fiecare pas k se calculeazaak+1 aplicand T valorii ak calculate la pasul anterior.
Un element a ∈ A se numeste punct fix pentru T daca
T (a) = a.
Elementele ak formeaza un sir ın spatiul ce contine A numite si aproximantepentru punctul fix al lui T .
In acest capitol ne vom ocupa de sisteme iterative cu multimea suport R,iar aplicatia T poate avea proprietati legate de continuitate si diferentiabilitate.Convergenta sirului de aproximante catre punctul fix este asigurata de acesteproprietati ale lui T , precum si de unele conditii suplimentare. Oprireaiteratiilor se face atunci cand este ındeplinita o conditie de forma
∥ak+1 − ak∥ < ε
pentru un ε > 0 suficient de mic, sau dupa atingerea unui anumit numar deiteratii.
3
4 CAPITOLUL 1. APROXIMAREA RADACINILOR UNEI ECUATII
De asemenea este importanta si abaterea de la punctul fix a aproximan-tei la care se opresc iteratiile, numita si eroare de calcul, sau eroareametodei.
1.1 Metoda iterativa de punct fix
Presupunem ca ecuatia
f(x) = 0
are o radacina pe care am localizat-o printr-o metoda cum ar fi de exemplumetoda grafica. Mai presupunem ca aceasta ecuatie poate fi scrisa sub forma
x = g(x).
Pentru aproximarea radacinii ecuatiei ın aceasta forma vom folosi metodaiterativa de punct fix construind urmatorul procedeu iterativ:
xk+1 = g(xk)
cu k = 0,1,2, . . . unde x0 se alege cat mai aproape de radacina cautata.
O astfel de metoda este convergenta daca
∣g′(x)∣ ≤ λ < 1
Daca notam cu α punctul fix cautat, eroarea metodei, notata cu Ek, dacane oprim la aproximanta xk este data de
∣Ek∣ = ∣xk − α∣ ≤λk
1 − λ∣x1 − x0∣
Exemplu Sa se aproximeze radacina ecuatiei
x2x − 1 = 0
din intervalul [13 ,1] cu o eroare ε = 10−3.
Rezolvare: Reprezentam grafic functia f(x) = x2x − 1 pe intervalul [0,1] cuajutorul urmatorului script Matlab:
1.1. METODA ITERATIVA DE PUNCT FIX 5
x=0:0.001:1;
y=x.*2.^x-1;
plot(x,y,’r’);
grid
Observam ca ecuatia f(x) = 0 are o singura radacina ın [13 ,1];
Punem ecuatia sub forma x = g(x), deci g(x) = 2−x;
Derivata g′(x) = −2−x ln 2 verifica ipoteza de convergenta:
∣g′(x)∣ = 2−x ln 2 = ln 2
2x≤ ln 2
213
= 0,5501 < 1
Initializam cu x0 = 1 si din formula erorii ∣Ek∣ < ε obtinem n = 10 iteratii:
x1 = g(x0) = 2−1 = 12 = 0,5
x2 = g(x1) = 2−0,5 = 0,7071
x3 = g(x2) = 2−0,7071 = 0,6125
x4 = g(x3) = 2−0,6125 = 0,6541
x5 = g(x4) = 2−0,6541 = 0,6355
x6 = g(x5) = 2−0,6355 = 0,6437
x7 = g(x6) = 2−0,6437 = 0,6401
x8 = g(x7) = 2−0,6401 = 0,6416
x9 = g(x8) = 2−0,6416 = 0,641
x10 = g(x9) = 2−0,641 = 0,641
Aproximantele x9 si x10 au trei zecimale exacte si este suficient pentru aaproxima radacina α cu aproximanta x9 = 0,641.
6 CAPITOLUL 1. APROXIMAREA RADACINILOR UNEI ECUATII
Procedura MATLAB:
function [N,x,X]=tpfix(g,dg,a,b,x0,tol)
x=a:tol:b;
y=feval(dg,x);
A=max(abs(y));
X(1)=x0;
B=abs(feval(g,X(1))-X(1));
N=fix(log(tol*(1-A)/B)/log(A));
for k=2:N
X(k)=feval(g,X(k-1));
err=abs(X(k)-X(k-1));
relerr=err/(abs(X(k)-X(k-1)));
x=X(k);
if (err<tol)|(relerr<tol)
break
end
end
X=X’;
functia g(x):
function y=fg(x)
y=2.^(-x);
end
derivata g′(x):
function dy=fdg(x)
dy=-2.^(-x).*log(2);
end
(a, b) intervalulradacinii
x0 valoarea initiala
tol = ε (eroarea)
Apelam procedura cu sintaxa:
[N,x,X]=tpfix(’fg’,’fdg’,0,1,1,0.001)
unde N = numarul de iteratii, x = solutia cautata, X = iteratiile.
1.2 Metoda bisectiei
Presupunem ca ecuatia f(x) = 0 are o singura radacina localizata ın intervalul[a, b], deci f(a)f(b) < 0;
Metoda bisectiei presupune ınjumatatirea intervalului si alegerea jumatatiicare contine radacina. Se repeta acest rationament pana la un interval con-venabil:
Pas 1 a1 = a, b1 = b, c1 = a1+b12 .
Daca f(c1) = 0, atunci c1 este radacina cautata.Daca f(c1)f(a1) > 0 atunci radacina se afla ın [c1, b1]
Pas 2 a2 = c1, b2 = b1, c2 = a2+b22
Daca f(c1)f(a1) < 0 atunci radacina se afla ın [a1, c1]
1.2. METODA BISECTIEI 7
Pas 2 a2 = a1, b2 = c1, c2 = a2+b22
si repetam rationamentul pentru intervalul [a2, b2].
Daca ∣b − a∣ = l atunci ∣b1 − a1∣ = l⇒ ∣b2 − a2∣ = l2 ⇒ . . . ∣bk − ak∣ = l
2k−1 , care
poate fi folosita drept criteriu de oprire: daca c = ak+bk2 , radacina α ∈ (ak, bk)
si ∣c − α∣ < l2k−1 < ε.
Un alt criteriu de oprire poate fi: ∣cn−cn−1∣∣cn∣
≤ ε⇒ α ≃ cn.
Exemplu Sa se aproximeze radacina ecuatiei
2x lnx = 1
care se afla ın intervalul [1,2] cu eroarea ε = 0,02.Rezolvare: Functia din problema este f(x) = 2x lnx−1. Notam cu α radacinacautata. Observam ca f(1) = −1 si f(2) = 1,7726, adica sunt semne contrare.Aplicam metoda ınjumatatirii si ordonam calculele ın tabelul urmator:
i ai bi ci = ai+bi2 f(ci) Concluzii
1 1 2 1.5 0.2164 α ∈ (1,1.5)2 1 1.5 1.25 -0.4421 α ∈ (1.25,1.5)3 1.25 1.5 1.375 -0.1243 α ∈ (1.375,1.5)4 1.375 1.5 1.4375 0.0434 α ∈ (1.375,1.4375)5 1.375 1.4375 1.4073 -0.0411 α ∈ (1.4063,1.4375)6 1.4063 1.4375 1.4219 0.0001 α ∈ (1.4063,1.4219)7 1.4063 1.4219 1.4141 -0.00009
Criteriul de oprire ∣1.4219−1.4141∣1.4219 = 0.005 < 0.02⇒ c = 1.4219+1.4141
2 = 1.418.
8 CAPITOLUL 1. APROXIMAREA RADACINILOR UNEI ECUATII
Procedura MATLAB:
function [c,err,Yc]=mbisect(f,a,b,tol)
Ya=feval(f,a)
Yb=feval(f,b)
if Ya*Yb>0, return, end
N=1+round((log(b-a)-log(tol))/log(2));
for k=1:N
c=(a+b)/2
Yc=feval(f,c);
if Yc==0
a=c;
b=c;
elseif feval(f,c)*feval(f,a)<0
b=c;
Yb=Yc;
else a=c;
Ya=Yc;
end
if b-a<tol, break, end
end
c=(a+b)/2;
err=abs(b-a);
Yc=feval(f,c);
functia f(x):
function y=fn(x)
y=2*x*log(x)-1;
end
(a, b) intervalul radacinii
tol = ε (eroarea)
Procedura se apeleaza cusintaxa
[c,err,Yc]=mbisect(’fn’,-1,2,0.02)
c = radacina
err = l2k−1 < ε
Yc = f(c)
1.3 Metoda falsei pozitii
Presupunem ca ecuatiaf(x) = 0
are o singura radacina localizata ın intervalul [a, b], deci f(a)f(b) < 0. Casi la metoda bisectiei, la fiecare pas se ımparte intervalul curent ın douasubintervale, dar nu neaparat la jumatatea intervalului.
Pas 1 a1 = a, b1 = b, c1 = b1 − (b1−a1)f(b1)f(b1)−f(a1)
.
Daca f(c1) = 0, atunci c1 este radacina cautata.Daca f(c1)f(a1) > 0 atunci radacina se afla ın [c1, b1]
Pas 2 a2 = c1, b2 = b1, c2 = b2 − (b2−a2)f(b2)f(b2)−f(a2)
Daca f(c1)f(a1) < 0 atunci radacina se afla ın [a1, c1]
Pas 2 a2 = a1, b2 = c1, c2 = b2 − (b2−a2)f(b2)f(b2)−f(a2)
si repetam rationamentul pentru intervalul [a2, b2].
1.3. METODA FALSEI POZITII 9
Pas n Se construieste intervalul (an, bn) si se studiaza semnul functiei f ınpunctul
cn = bn −(bn − an)f(bn)f(bn) − f(an)
Criteriul de oprire poate fi ∣cn − cn−1∣ ≤ ε sau ∣f(cn)∣ < ε.
Exemplu Sa se aproximeze radacina ecuatiei
2x lnx = 1
care se afla ın intervalul [1,2] cu eroarea ε = 0,001.Rezolvare:Functia din problema este f(x) = 2x lnx − 1. Notam cu α radacina cautata.
f(1) = −1, f(2) = 1,7726, deci f(1)f(2) < 0.
Notam a1 = 1, b1 = 2 si calculam
c1 = 2 − (2 − 1)f(2)f(2) − f(1)
= 2 − (2 − 1) ⋅ 1,7726
1,7726 + 1= 1,3607
f(c1) = −0,1619 < 0, deci α ∈ (c1, b1)
Notam a2 = c1 = 1,3607, b2 = b1 = 2 si calculam
c2 = 2 − (2 − 1,3607)f(2)f(2) − f(1,3607)
= 2 − (2 − 1) ⋅ 1,7726
1,7726 + 0,1619= 1,4142
f(c2) = −0,0198 < 0, deci α ∈ (c2, b2)
Se continua ın acest mod pana se gasesc doua valori consecutive pentru cncare sa aiba primele trei zecimale care sa coincida.
10 CAPITOLUL 1. APROXIMAREA RADACINILOR UNEI ECUATII
procedura MATLAB:
function [c,err,yc]=mfp(f,a,b,delta,epsilon, max1)
ya=feval(f,a);
yb=feval(f,b);
for k=1:max1
dx=yb*(b-a)/(yb-ya);
c=b-dx;
ac=c-a;
yc=feval(f,c);
if yc==0,break;
elseif yb*yc>0
b=c;
yb=yc;
else a=c;
ya=yc;
end
dx=min(abs(dx),ac);
if abs(dx)<delta,break,end
if abs(yc)<epsilon,break,end
end
c;
err=abs(b-a)/2;
yc=feval(f,c);
functia f(x):
function y=fn(x)
y=2*x*log(x)-1;
end
(a, b) intervalul radacinii
delta = eroarea data pentru radacinac
epsilon = eroarea ceruta pentru f(c)
max1 = numarul maxim de interatii
Procedura se apeleaza cu sintaxa
[c,err,yc]=mfp(’fn’,1,2,0.001,0.001,10)
1.4 Metoda lui Newton
Presupunem ca ecuatia f(x) = 0 are o singura radacina ın intervalul [a, b] sifunctia f ∈ C2(a, b), f ′(x) ≠ 0, ∀x ∈ [a, b].
Tangenta la graficul lui f exista ın fiecare punct si va fi de aceeasi partea graficului (dedesubt sau deasupra)
Radacina α se poate aproxima ca limita a sirului xn definit prin procedeuliterativ:
xk+1 = g(xk) = xk −f(xk)f ′(xk)
, k = 0,1,2, . . .
ın care x0 ∈ [a, b] satisface conditia f(x0)f ′′(x0) > 0.
O alta conditie care trebuie verificata pentru a asigura convergenta aproximatiiloreste
∣f(x)f ′′(x)∣(f ′(x))2
≤ λ < 1, ∀x ∈ (x − ε, x + ε)
1.4. METODA LUI NEWTON 11
Conditia de oprire:∣xk+1 − xk∣
∣xk+1∣< ε
Exemplu Sa se aproximeze cu metoda lui Newton radacina ecuatiei
2x lnx = 1
care se gaseste ın intervalul [1.4,1.5] cu o eroare ε = 10−3.Rezolvare: Functia din problema este f(x) = 2x lnx − 1.- Calculam f(1) = −1 si f(2) = 1.7726, deci f(1) ⋅ f(2) < 0.- Luam ca aproximanta initiala mijlocul intervalului, deci x0 = 1.5- Verificam conditiile cerute asupra functiei f : f ′(x) = 2(lnx+1) si f ′′(x) = 2
x
1. f(x0) ⋅ f ′′(x0) = 4 lnx0 − 2x0
= 0.2885 > 0
2.∣f(x)f ′′(x)∣(f ′(x))2
≤ f(2)f′′(2)
(f ′(2))2= 0.62 = λ < 1 pentru orice x ∈ [1,2].
Aplicam procedeul iterativ si punem rezultatele ın urmatorul tabel:
k xk f(xk) f ′(xk) f(xk)f ′(xk)
0 1.5 0.2164 2.8109 0.077
1 1.423 0.004 2.7055 0.0015
2 1.422 0.0013 2.7041 0.0005
3 1.422
Procedura MATLAB:
function [p0,err,k,y]=mnewton(f,df,p0,delta,epsilon,max1)
for k=1:max1
p1=p0-feval(f,p0)/feval(df,p0);
err=abs(p1-p0);
relerr=2*err/(abs(p1)+delta);
p0=p1;
y=feval(f,p0);
if (err<delta)|(relerr<delta)|(abs(y)<epsilon),break,end
end
functia f(x):
function y=fn(x)
y=2*x*log(x)-1;
end
derivata f ′(x):
function y=fn1(x)
y=2*log(x)+2;
end
p0 valoarea initiala
12 CAPITOLUL 1. APROXIMAREA RADACINILOR UNEI ECUATII
delta = eroarea pentru radacina
epsilon = eroarea pentru f(p0)
max1 = numarul maxim de iteratii
Apelam procedura cu sintaxa:
[p0,err,k,y]=mnewton(’fn’,’fn1’,1.5,0.001,0.001,5)
unde p0 = radacina, err = eroarea, k = numarul de iteratii, y = f(p0).
1.5 Metoda secantei
Daca ın metoda lui Newton se face aproximarea f ′(xk) ≃f(xk) − f(xk−1)
xk − xk−1
se
obtine metoda iterativa a secantei, ın care
xk+1 = xk −f(xk)(xk − xk−1)f(xk) − f(xk−1)
unde aproximantele initiale x0, x1 pot fi extremitatile intervalului cu radacina.
Exemplu Sa se aproximeze cu metoda secantei radacina ecuatiei 2x lnx = 1care se gaseste ın intervalul [1,2] cu o eroare ε = 10−3.
Rezolvare: Consideram x0 = 1 si x1 = 2. Obtinem iteratiile:
x2 = 2 − f(2)(2 − 1)f(2) − f(1)
= 1.3607
x3 = 1.3607 − f(1.3607)(1.3607 − 2)f(1.3607) − f(2)
= 1.4142
x4 = 1.4142 − f(1.4142)(1.4142 − 1.3607)f(1.4142) − f(1.3607)
= 1.4220
x5 = 1.4220 − f(1.4220)(1.4220 − 1.4142)f(1.4220) − f(1.4142)
= 1.4220
Se observa ca x4 si x5 au primele trei zecimale care coincid, deci α ≃ x5 =1.422.
Procedura MATLAB:
1.6. EXERCITII 13
function [x1,err,k,y]=msecant(f,x0,x1,delta,epsilon,max1)
for k=1:max1
x2=x1-feval(f,x1)*(x1-x0)/(feval(f,x1)-feval(f,x0));
err=abs(x2-x1);
relerr=2*err/(abs(x2)+delta);
x0=x1;
x1=x2;
y=feval(f,x1);
if (err<delta)|(relerr<delta)|(abs(y)<epsilon),break,end
end
functia f(x):
function y=fn(x)
y=2*x*log(x)-1;
end
x0, x1 = capetele intervalului initial
delta = eroarea pentru radacina α
epsilon = eroarea pentru f(α)
max1 = numarul maxim de iteratii
[x1,err,k,y]=msecant(’fn’,1,2,0.001,0.001,20)
unde x1 = radacina, err = eroarea, k = numarul de iteratii, y = f(x1)
1.6 Exercitii
1. Folosind metoda iterativa de punct fix sa se aproximeze radacinileurmatoarelor ecuatii cu eroarea ε = 10−5:
a) x − sinx = 0.25, x ∈ [1,1.3]b) 2x = 4x, x ∈ [0,1]c) 2x = cos (π2x) , x ∈ [0,1]d) 1 − x − 2 cosx = 0, x0 = 0, x ∈ (−1,0]e) x2 − ex + 1.5 = 0, x0 = 0, x ∈ [0,1)
14 CAPITOLUL 1. APROXIMAREA RADACINILOR UNEI ECUATII
2. Folosind metoda bisectiei sa se aproximeze radacinile urmatoarelorecuatii cu eroarea ε = 10−5:
a) 4x − 2 cosx = 05, x ∈ [0,1]b) arcsin(x/3) − cosx = 0, x ∈ [1,2]c) x2 − 4 cos 2x = 0, x ∈ [0,1]d) x2 − ex + 1.5 = 0, x ∈ [0,1]
3. Sa se aplice metoda falsei pozitii la ecuatiile anterioare si sa se comparerezultatele cu cele obtinute cu primele doua metode.
4. Folosind metoda lui Newton sa se aproximeze radacinile urmatoarelorecuatii cu eroarea δ = ε = 10−5:
a) ex − 8 cos(2πx) = 0, x ∈ [0,0.4]b) 3x = 7 sinx, x ∈ [0.1,0.2]c) 12 cos(πx) = 2x, x ∈ [1.5,1.6] si x ∈ [2,3]d) x2 − 16 cos(2x) = 0, x ∈ [2,3]e) 4 sin(2x) + x2 − 4 = 0, x ∈ [1,1.6] si x ∈ [2,3]f) arcsin (x
3) − cosx = 0, x ∈ [1,1.6]
g) 2 sinx − 0.7 cos 3x = 0, x ∈ [0,1]h) 0.7 cos 3x − 2 sinx − 1 = 0, x ∈ [−0.5,0]i) 4x − 3 cosx = 0, x ∈ [0,1]j) e−0.2x cos 7x + 3x − 1 = 0, x ∈ [0.5,1]
5. Sa se rezolve ecuatiile de la exercitiul anterior cu metoda secantei si sase compare viteza de convergenta.
Capitolul 2
Rezolvarea numerica asistemelor de ecuatii liniare
2.1 Metoda eliminarii a lui Gauss
Fie sistemul liniar cu n ecuatii si n necunoscute:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
a11x1 + a12x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2nxn = b2
⋮an1x1 + an2x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + annxn = bn
⇔ AX = B
unde A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
⋮ ⋮ ⋱ ⋮an1 an2 . . . ann
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, X =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
x1
x2
⋮xn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
b1
b2
⋮bn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.
Transformari elementare:
Inmultirea sau ımpartirea unei ecuatii cu un scalar;
Schimbarea a doua ecuatii ıntre ele;
Adunarea la o ecuatie a unei alte ecuatii ın multita cu un scalar.
Prin aplicarea unor astfel de transformari sistemul initial poate fi adus laurmatoarea forma diagonala:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
c11x1+ c12x2+ ⋅ ⋅ ⋅ + c1nxn = d1
c22x2+ ⋅ ⋅ ⋅ + c2nxn = d2
⋱cnnxn = dn
15
16 CAPITOLUL 2. SISTEME DE ECUATII LINIARE
care se rezolva de jos ın sus (mai ıntai se afla xn din ultima ecuatie, apoi xn−1
din penultima, s.a.m.d.). Daca rangul r al matricei A este mai mic decat n,atunci forma diagonala va fi:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
c11x1 +c12x2 + . . . +c1rxr + . . . +c1nxn = d1
c22x2 + . . . +c2rxr + . . . +c2nxn = d2
⋱crrxr + . . . +crnxn = dr
0 = dr+1
⋮0 = dn
Daca di = 0,∀i > r atunci sistemul este compatibil nedeterminat, iar dacaexista i > r astfel ıncat di ≠ 0 atunci sistemul este incompatibil.
Daca matricea A este nesingulara, pasii algoritmului sunt:
Pasul 1 Se initializeaza matricea extinsa [A,B]:
[A1,B1] =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a111 a1
12 . . . a11n b1
1
a121 a1
22 . . . a12n b1
2
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮a1n1 a1
n2 . . . a1nn b1
n
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Pasul 2 Se obtin zerouri pe prima coloana astfel:
Pasul 2.1 Daca a111 = 0 se schimba L1 ↔ Li unde a1
i1 ≠ 0 (exista un astfel dei > 1 deoarece matricea A este nesingulara);
Pasul 2.2 Lk ← Lk −a1k1a111L1 pentru k = 2,3, . . . , n si se obtine
[A2,B2] =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a111 a1
12 . . . a11n b1
1
0 a222 . . . a2
2n b22
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 a2
n2 . . . a2nn b2
n
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Pasul 3 Se obtin zerouri pe a doua coloana astfel:
Pasul 3.1 Daca a222 = 0 se schimba L2 ↔ Li unde a2
i2 ≠ 0 (exista un astfel dei > 2 deoarece matricea A este nesingulara);
2.1. METODA ELIMINARII A LUI GAUSS 17
Pasul 3.2 Lk ← Lk −a2k2a222L2 pentru k = 3, . . . , n si se obtine
[A3,B3] =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a111 a1
12 a113 . . . a1
1n b11
0 a222 a2
23 . . . a22n b2
2
0 0 a323 . . . a3
3n b33
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 a3
n3 . . . a3nn b3
n
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Pasul n [An,Bn] =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a111 a1
12 . . . a11n b1
1
0 a222 . . . a2
2n b22
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 . . . annn bnn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Sistemul avand matricea triunghiulara superior obtinuta la ultimul pas serezolva prin substitutie inversa.
Exemplu Fie sistemul
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x1 + 2x2 + x3 = 8
2x1 + 3x2 − 2x3 = 2
3x1 + 4x2 + 4x3 = 23
.
Efectuam urmatoarele transformari elementare asupra matricei extinse:
⎛⎜⎜⎝
1 2 1 8
2 3 −2 2
3 4 4 23
⎞⎟⎟⎠
L2 − 2L1
∼L3 − 3L1
⎛⎜⎜⎝
1 2 1 8
0 −1 −4 −14
0 −2 1 −1
⎞⎟⎟⎠
L3 − 2L2
∼
⎛⎜⎜⎝
1 2 1 8
0 −1 −4 −14
0 0 9 27
⎞⎟⎟⎠⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x1 +2x2 +x3 = 8
−x2 −4x3 = −14
9x3 = 27
⇒ x3 = 3⇒
−x2 − 12 = −14⇒ x2 = 2⇒ x1 + 4 + 3 = 8⇒ x1 = 1.
Metoda este implementata ın MATLAB cu ajutorul urmatoarei proce-duri:
18 CAPITOLUL 2. SISTEME DE ECUATII LINIARE
function X=mgauss(A,B)
[N,N]=size(A);
X=zeros(N,1);
C=zeros(1,N+1);
AT=[A B];
for p=1:N-1
[Y,j]=max(AT(p:N,p));
C=AT(p,:);
AT(p,:)=AT(j+p-1,:);
AT(j+p-1,:)=C;
if AT(p,p)==0;
’A singulara. Nedeterminare’
break
end
for k=p+1:N
m=AT(k,p)/AT(p,p);
AT(k,p:N+1)=AT(k,p:N+1)-m*AT(p,p:N+1)
end
end
X=AT(1:N,1:N)\AT(1:N,N+1);
se definesc A si B:
A=[1 2 1;2 3 -2;3 4 4]
B=[8;2;23]
Procedura se apeleaza cusintaxa
X=mgauss(A,B)
2.2 Metoda factorizarii triunghiulare
Definitia 2.1. O matrice patratica A de ordin n, nesingulara, are o fac-torizare triunghiulara daca poate fi scrisa ca produsul dintre o matricetriunghiulara inferior L si o matrice triunghiulara superior U , adica
A = LU
Fie sistemul AX = B. Daca matricea A admite o factorizare triunghiu-lara, atunci sistemul se rescrie
LUX = B
Daca introducem notatia Y = UX, atunci solutia sistemului se poate obtinerezolvand succesiv sistemele
LY = B si UX = Y
Factorizarea triunghiulara a matricei A se poate obtine plecand de la identi-tatea A = InA si la fiecare pas k se obtin zerouri pe coloana k sub diagonalaprincipala a lui A folosind transformarile elementare de la metoda lui Gauss,iar ın In se ınlocuiesc zerourile de sub diagonala principala de pe coloana kcu coeficientii corespunzatori acestor transformari.
2.3. METODA ITERATIVA A LUI JACOBI 19
Exemplu Sa se rezolve prin metoda factorizarii triunghiulare sistemul
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
2x1 + 4x2 − 6x3 = −4
x1 + 5x2 + 3x3 = 10
x1 + 3x2 + 2x3 = 5
.
Rezolvare:
⎛⎜⎜⎝
2 4 −6
1 5 3
1 3 2
⎞⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
2 4 −6
1 5 3
1 3 2
⎞⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎝
1 0 012 1 012 0 1
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
2 4 −6
0 3 6
0 1 5
⎞⎟⎟⎠=
=⎛⎜⎜⎝
1 0 012 1 012
13 1
⎞⎟⎟⎠
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶L
⎛⎜⎜⎝
2 4 −6
0 3 6
0 0 3
⎞⎟⎟⎠
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶U
LY = B ⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
y1 = −412y1 + y2 = 1012y1 + 1
3y2 + y3 = 3
⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
y1 = −4
y2 = 12
y3 = 3
UX = Y ⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
2x1+ 4x2 − 6x3 = −4
3x2 + 6x3 = 12
3x3 = 3
⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x1 = −3
x2 = 2
x3 = 1
MATLAB:
A=[2 4 -6;1 5 3;1 3 2];
B=[-4;10;5];
[L,U]=lu(A);
Y=L\B;
X=U\Y
2.3 Metoda iterativa a lui Jacobi
Se rescrie sistemul AX = B sub forma
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x1 = b1−a12x2−⋯−a1nxna11
x2 = b2−a21x1−⋯−a2nxna22
⋮xn = bn−an1x1−⋯−ann−1xn−1
ann
.
20 CAPITOLUL 2. SISTEME DE ECUATII LINIARE
Procedeul iterativ al lui Jacobi este dat prin relatiile:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x(k+1)1 = b1−a12x
(k)2 −⋯−a1nx
(k)n
a11
x(k+1)2 = b2−a21x
(k)1 −⋯−a2nx
(k)n
a22
⋮
x(k+1)n = bn−an1x
(k)1 −⋯−ann−1x
(k)n−1
ann
, k = 0,1,2, . . .
unde valoarea initiala x(0) se poate lua coloana termenilor liberi B.
Conditie de convergenta:
n
∑j=1,j≠i
∣aij ∣ < ∣aii∣,∀i = 1, n saun
∑i=1,i≠j
∣aij ∣ < ∣ajj ∣,∀j = 1, n
Criteriu de oprire: ∥x(k+1)−x(k)∥∥x(k+1)∥ < ε.
Metoda este implementata ın MATLAB cu ajutorul urmatoarei proce-duri:
function X=mjacobi(A,B,X0,tol,max1)
N=length(B);
for k=1:max1
for j=1:N
X(j)=(B(j)-A(j,[1:j-1,j+1:N])*...
X0([1:j-1,j+1:N]))/A(j,j);
end
err=abs(norm(X’-X0));
relerr=err/(norm(X)+eps);
X0=X’;
if (err<tol)|(relerr<tol)
break
end
end
X=X’;
X0 = aproximatia initiala
tol = ε (eroarea)
max1 = numarul maximde iteratii
se definesc parametrii:
A=[3 1 1;-1 5 2;0 3 9]
B=[1;2;3]
X0=B
tol=0.0001
max1=20
Procedura se apeleaza cusintaxa
X=mjacobi(A,B,X0,tol,max1)
2.3. METODA ITERATIVA A LUI JACOBI 21
2.3.1 Metoda Gauss-Seidel
Este o varianta a metodei lui Jacobi ın care procedeul iterativ este dat prin:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x(k+1)1 = b1−a12x
(k)2 −⋯−a1nx
(k)n
a11
x(k+1)2 = b2−a21x
(k+1)1 −a23x
(k)3 −⋯−a2nx
(k)n
a22
⋮
x(k+1)n = bn−an1x
(k+1)1 −⋯−ann−1x
(k+1)n−1
ann
, k = 0,1,2, . . .
Exemplu:
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
10x1 + x2 + x3 = 12
2x1 + 10x2 + x3 = 13
2x1 + 2x2 + 10x3 = 14
⇔
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x1 = 1.2 − 0.1x2 − 0.1x3
x2 = 1.3 − 0.2x1 − 0.1x3
x3 = 1.4 − 0.2x1 − 0.2x2
Initializam cu x(0)1 = x(0)
2 = x(0)3 = 0 si avem iteratiile:
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x(1)1 = 1.2 − 0.1x
(0)2 − 0.1x
(0)3 = 1.2
x(1)2 = 1.3 − 0.2x
(1)1 − 0.1x
(0)3 = 1.06
x(1)3 = 1.4 − 0.2x
(1)1 − 0.2x
(1)2 = 0.948
,
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x(2)1 = 1.2 − 0.1x
(1)2 − 0.1x
(1)3 = 0.9992
x(2)2 = 1.3 − 0.2x
(2)1 − 0.1x
(1)3 = 1.00536
x(2)3 = 1.4 − 0.2x
(2)1 − 0.2x
(2)2 = 0.99908
care converg catre solutia x1 = x2 = x3 = 1.Metoda este implementata ın MATLAB astfel:
function X=mgseidel(A,B,X0,tol,max1)
N=length(B);
for k=1:max1
for j=1:N
if j==1
X(1)=(B(1)-A(1,2:N)*X0(2:N))/A(1,1);
elseif j==N
X(N)=(B(N)-A(N,1:N-1)*(X(1:N-1))’)/A(N,N);
else
X(j)=(B(j)-A(j,1:j-1)*(X(1:j-1))’-A(j,j+1:N)*X0(j+1:N))/A(j,j);
end
end
err=abs(norm(X’-X0));
relerr=err/(norm(X)+eps);
X0=X’;
if (err<tol)|(relerr<tol)
break
end
end
X=X’;
Procedura se apeleaza cu sintaxa
X=mgseidel(A,B,X0,tol,max1)
22 CAPITOLUL 2. SISTEME DE ECUATII LINIARE
2.4 Exercitii
1. Folosind metoda eliminarii a lui Gauss sa se rezolve AX = B pentru:
(a) A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 −2 4
2 −1 4 −5
1 4 −3 2
3 −1 4 6
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1
4
−1
3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
(b) A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 3 4
2 −3 −5 1
3 −5 7 3
4 1 3 8
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
−1
2
−2
5
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
(c) A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2 −1 4 −3
3 5 2 −1
4 −2 5 6
1 −1 −3 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2
−2
3
−3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
(d) A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
4 5 3 2
5 −6 −3 −1
3 −3 2 −4
2 −1 −4 3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2
−2
4
5
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
2. Folosind metoda factorizarii triunghiulare sa se rezolve sistemele:
(a)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x1 + x2 + 6x3 = 7
−x1 + 2x2 + 9x3 = 2
x1 − 2x2 + 3x3 = 10
(b)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
2x1 − 2x2 + 5x3 = 6
2x1 + 3x2 + x3 = 13
−x1 + 4x2 − 4x3 = 3
(c)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
3x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 = 5
2x1 − 4x2 − x3 − 3x4 = −2
5x1 − x2 + 2x3 − 2x4 = 1
6x1 − 3x2 − 2x3 + 5x4 = 3
(d)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
3x1 − 7x2 + 4x3 + 5x4 = 1
x1 − 2x2 + 9x3 + 8x4 = 7
2x1 − 7x2 + 11x3 − 9x4 = 13
4x1 + 5x2 + 13x3 + 2x4 = 5
3. Sa se aproximeze solutia sistemelor de ecuatii AX = B cu ajutorulmetodelor iterative ale lui Jacobi si Gauss-Seidel pentru:
(a) A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
10 −1 2 0
−1 11 −1 3
2 −1 10 −1
0 3 −1 8
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
6
25
−11
15
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
2.4. EXERCITII 23
(b) A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
11 −5 −3 −1
4 13 −4 2
2 −3 9 −2
3 −5 4 14
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
9
6
−5
3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
(c) A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
3 1 1 0
1 4 0 1
1 −1 3 0
0 1 1 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1
−1
0
1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
(d) A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 0.25 0.25 0
0 2 1 0
1 −1 3 0
0 1 −1 3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0
1
1
2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
24 CAPITOLUL 2. SISTEME DE ECUATII LINIARE
Capitolul 3
Rezolvarea numerica asistemelor de ecuatii neliniare
3.1 Metoda aproximatiilor succesive
Consideram sistemul de ecuatii
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
f1(x1, x2, . . . , xn) = 0
⋮fn(x1, x2, . . . , xn) = 0
, (x1, x2, . . . , xn) ∈D ⊂ Rn
care poate fi pus sub forma
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x1 = g1(x1, x2, . . . , xn)⋮
xn = gn(x1, x2, . . . , xn)Pentru aproximarea solutiei sistemului se considera urmatorul procedeu
iterativ:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x(k+1)1 = g1 (x(k)
1 , x(k)2 , . . . , x
(k)n )
⋮x(k+1)n = gn (x(k)
1 , x(k)2 , . . . , x
(k)n )
Conditii de convergenta: ∃λ > 0 astfel ıncat
∣ ∂gi∂x1
∣ + ∣ ∂gi∂x2
∣ + ⋅ ⋅ ⋅ + ∣ ∂gi∂xn
∣ ≤ λ < 1, ∀(x1, . . . , xn) ∈D, i = 1,2, . . . , n.
Exemplu Sa se aproximeze solutia sistemului
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = 13 cos(yz) + 1
6
y = 19
√x2 + sin z + 1.06 − 0.1
z = − 120e
−xy − 10π−360
− 1 ≤ x, y, z ≤ 1
25
26 CAPITOLUL 3. SISTEME DE ECUATII NELINIARE
Rezolvare: Introducem notatiile
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
g1(x, y, z) = 13 cos(yz) + 1
6
g2(x, y, z) = 19
√x2 + sin z + 1.06 − 0.1
g3(x, y, z) = − 120e
−xy − 10π−360
Verificam conditiile de convergenta
∣∂g1
∂x∣ + ∣∂g1
∂y∣ + ∣∂g1
∂z∣ = ∣0∣ + ∣−z
3sin(yz)∣ + ∣−y
3sin(yz)∣ ≤ 2
3= λ < 1
∣∂g2
∂x∣+∣∂g2
∂y∣+∣∂g2
∂z∣ = ∣ x
9√x2 + sin z + 1.06
∣+∣0∣+∣ cos z
18√x2 + sin z + 1.06
∣ ≤ 2
9< λ < 1
∣∂g3
∂x∣ + ∣∂g3
∂y∣ + ∣∂g3
∂z∣ = ∣ y
20e−xy∣ + ∣ x
20e−xy∣ + ∣0∣ ≤ e
10< λ < 1
Procedeul iterativ se scrie sub forma
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x(k+1) = 13 cos(y(k)z(k)) + 1
6
y(k+1) = 19
√(x(k))2 + sin z(k) + 1.06 − 0.1
z(k+1) = − 120e
−x(k)y(k) − 10π−360
Rezultatele se trec ıntr-un tabel de forma
k x(k) y(k) z(k)
1 0.49998 0.00944 -0.5231
2 0.49999 0.00002 -0.52336
3 0.5 0.00001 -0.52359
4 0.5 0 -0.52359
Solutia aproximativa va fi
x ≃ 0.5, y ≃ 0, z ≃ −0.52359
MATLAB:
function [P,iter]=mseidel(G,P,delta,max1)
% G este sistemul scris intr-un fisier function
% P=[x0,y0,z0,...] valorile initiale
% delta este eroarea de aproximare
% max1 este numarul maxim de iteratii
3.2. METODA NEWTON-RAPHSON 27
N=length(P);
for k=1:max1
X=P;
for j=1:N
A=feval(G,X);
X(j)=A(j);
end
err=abs(norm(X-P));
relerr=err/(norm(X)+eps);
P=X;
iter=k;
if (err<delta)|(relerr<delta)
break
end
end
Procedura se apeleaza cu sintaxa
[P,iter]=mseidel(’fun’,P,delta,max1)
Fisierul functie numit fun se va scrie astfel:
function w=fun(x)
w=zeros(n,1);
% n = numarul de ecuatii
w(1)=g1(x(1),x(2),...,x(n));
w(2)=g2(x(1),x(2),...,x(n));
...
w(n)=gn(x(1),x(2),...,x(n));
3.2 Metoda Newton-Raphson
Consideram sistemul de ecuatii
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
f1(x, y) = 0
f2(x, y) = 0, unde functiile f1, f2 ∶ D ⊂
R2 → R satisfac conditii de diferentiabilitate pana la un ordin necesar pentrua construi un procedeu iterativ.
Dezvoltam dupa formula lui Taylor functiile f1, f2 ın vecinatatea unuipunct (x(k), y(k)) ∈D:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
f1(x, y) = f1 (x(k), y(k)) + ∂f1∂x (x(k), y(k)) (x − x(k)) + ∂f1
∂y (x(k), y(k)) (y − y(k)) + . . .f2(x, y) = f2 (x(k), y(k)) + ∂f2
∂x (x(k), y(k)) (x − x(k)) + ∂f2∂y (x(k), y(k)) (y − y(k)) + . . .
28 CAPITOLUL 3. SISTEME DE ECUATII NELINIARE
asadar solutia sistemului initial este aproximativ egala cu cea a sistemului
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
0 = f1 (x(k), y(k)) + ∂f1∂x (x(k), y(k)) (x − x(k)) + ∂f1
∂y (x(k), y(k)) (y − y(k))0 = f2 (x(k), y(k)) + ∂f2
∂x (x(k), y(k)) (x − x(k)) + ∂f2∂y (x(k), y(k)) (y − y(k))
care poate fi rescris sub forma matriceala
⎛⎝
∂f1∂x
∂f1∂y
∂f2∂x
∂f2∂y
⎞⎠(x(k),y(k))
⋅⎛⎝x − x(k)
y − y(k)⎞⎠= −
⎛⎝f1 (x(k), y(k))f2 (x(k), y(k))
⎞⎠
Daca notam cu (x(k+1), y(k+1)) solutia (x, y) a acestui sistem obtinem unprocedeu iterativ, criteriul de oprire fiind atunci cand distanta dintre douaaproximante succesive este suficient de mica, sau cand un numar maxim deiteratii este atins.
Exemplu Sa se aproximeze solutia sistemului neliniar
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x2 − 2x − y + 0.5 = 0
x2 + 4y2 − 4 = 0
pornind de la valorile initiale (x(0), y(0)) = (2,0.25).
Rezolvare: Notam
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
f1(x, y) = x2 − 2x − y + 0.5
f2(x, y) = x2 + 4y2 − 4si calculam Jacobianul
J(x, y) =⎛⎝
∂f1∂x
∂f1∂y
∂f2∂x
∂f2∂y
⎞⎠=⎛⎝
2x − 2 −1
2x 8y
⎞⎠
Pasul 1.1 Se calculeaza
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
f1 (x(0), y(0)) = 0.25
f2 (x(0), y(0)) = 0.25
Pasul 1.2 Se calculeaza J (x(0), y(0)) =⎛⎝
2 −1
4 2
⎞⎠
Pasul 1.3 Se rezolva sistemul⎛⎝
2 −1
4 2
⎞⎠⎛⎝
∆x
∆y
⎞⎠= −
⎛⎝
0.25
0.25
⎞⎠
si se gaseste
⎛⎝
∆x
∆y
⎞⎠=⎛⎝−0.09375
0.06250
⎞⎠
Pasul 1.4 Se calculeaza⎛⎝x(1)
y(1)⎞⎠=⎛⎝
2
0.25
⎞⎠+⎛⎝−0.09375
0.06250
⎞⎠=⎛⎝
1.90625
0.31250
⎞⎠
3.2. METODA NEWTON-RAPHSON 29
Pasul 2.1 Se calculeaza
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
f1 (x(1), y(1)) = 0.00878
f2 (x(1), y(1)) = 0.02441
Pasul 2.2 Se calculeaza J (x(1), y(1)) =⎛⎝
1.8125 −1
3.8125 2.5
⎞⎠
Pasul 2.3 Se rezolva sistemul⎛⎝
1.8125 −1
3.8125 2.5
⎞⎠⎛⎝
∆x
∆y
⎞⎠= −
⎛⎝
0.00878
0.02441
⎞⎠
si se gaseste
⎛⎝
∆x
∆y
⎞⎠=⎛⎝−0.00556
−0.00129
⎞⎠
Pasul 2.4 Se calculeaza⎛⎝x(2)
y(2)⎞⎠=⎛⎝
1.90625
0.31250
⎞⎠+⎛⎝−0.00556
−0.00129
⎞⎠=⎛⎝
1.900691
0.311213
⎞⎠
MATLAB:
function [r,niter]=MNR(f,J,x0,tol,rerror,max1)
% f se da ca un fisier function si contine ecuatiile
% J este un fisier function si contine Jacobianul
% x0 = valorile initiale
% max1 = numarul maxim de iteratii
Jc=rcond(feval(J,x0));
if Jc<1e-10
error(’Incercati alta valoare x0’)
end
xv=x0(:);
xn=xv-inv(feval(J,xv))*(feval(f,xv));
for k=1:max1
xv=xn;
niter=k
xn=xv-inv(feval(J,xv))*(feval(f,xv));
if (norm(feval(f,xn))<tol|norm(xv-xn,’inf’)/norm(xn,’inf’)<tol)|...
(niter==max1)
break
end
end
r=xn
function w=func(x)
30 CAPITOLUL 3. SISTEME DE ECUATII NELINIARE
w(1)=x(1)^2-2*x(1)-x(2)+0.5;
w(2)=x(1)^2+4*x(2)^2-4;
w=w(:);
function S=mj(x)
S=[2*x(1)-2,-1;2*x(1),8*x(2)];
[r,iter]=MNR(’func’,’mj’,[2,0.25],eps,eps,9)
3.3 Exercitii
1. Sa se aproximeze solutiile urmatoarelor sisteme cu o eroare ε = 10−5:
(a)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = 7.17+3y2+4z12
y = 11.54+z−x2
10
z = 7.631−y3
7
, 0 ≤ x, y, z ≤ 1.4, (x(0), y(0), z(0)) = (0,0,0);
(b)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = 1 − cos(xyz)y = 1 − (1 − x)1/4 − 0.05z2 + 0.15z
z = x2 + 0.1y2 − 0.01y + 1
,
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
−0.1 ≤ x ≤ 0.1
−0.2 ≤ y ≤ 0.4
0.5 ≤ z ≤ 1.5
, (x(0), y(0), z(0)) =
(0,0,0)
(c)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = 6.81+3y+4z2
24
y = 1.24+2z−x2
18
z = 1.48+y2
14
, 0 ≤ x, y, z ≤ 1, (x(0), y(0), z(0)) = (0,0,0);
(d)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
10x = y3 + 6.81
18y = 1.24 − x2, 0 ≤ x, y ≤ 1, (x(0), y(0)) = (0,0);
2. Sa se aproximeze solutiile urmatoarelor sisteme cu o eroare ε = 10−5:
(a)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x2 + y2 − 2 = 0
x2 − y − 0.5x + 0.1 = 0, (x(0), y(0)) = (1.3,1) sau (−0.8,1.2);
(b)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
2xy − 3 = 0
x2 − y − 2 = 0, (x(0), y(0)) = (3,2)
(c)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x2 + 4y2 − 4 = 0
x2 − 2x − y + 1 = 0, (x(0), y(0)) = (1.5,0.5) sau (−0.25,1.1)
3.3. EXERCITII 31
(d)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
3x2 − 2y2 − 1 = 0
x2 − 2x + y2 + 2y − 8 = 0, (x(0), y(0)) = (−1,1) sau (3,−3.4)
(e)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
2x3 − y2 = 1
xy3 − y = 4, (x(0), y(0)) = (1.2,1.7)
(f)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x2 + y2 − 1 = 0
x + y3 − 2 = 0, (x(0), y(0)) = (−1,−0.5)
(g)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
arctg xy = 0.785
xy = 1, (x(0), y(0)) = (0.9,1.1)
32 CAPITOLUL 3. SISTEME DE ECUATII NELINIARE
Capitolul 4
Aproximarea functiilor
4.1 Metoda celor mai mici patrate
In multe cazuri din practica o functie este data tabelar printr-o multime devalori obtinute prin masuratori si se doreste determinarea valorilor functieiın puncte unde nu putem face masuratori.
x x0 x1 x2 . . . xn
y = f(x) y0 y1 y2 . . . yn
Aproximam functia cu un polinom
p(x) = αmxm + αm−1xm−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + α1x + α0
astfel ıncat functia abatere patratica
ϕ(α0, α1, . . . , αm) =n
∑k=0
(yk − p(xk))2
sa fie minima.Se demonstreaza ca solutiile sistemului obtinut prin egalarea cu zero
a derivatelor partiale ale functiei ϕ fac pozitiva diferentiala de ordinul 2d2ϕ(α0, α1, . . . , αm).
Exemplu Fie o functie avand valori date ın tabelul:
x 0 1 1.3 3 4 5 7
y 0.9 1.5 2 1 3 2.6 3
33
34 CAPITOLUL 4. APROXIMAREA FUNCTIILOR
Metoda este implementata ın MATLAB cu ajutorul functiei polyfit. Urmatorulscript reprezinta grafic atat datele din tabel cat si cele date de aproximare:clear;clc;
X=[0,1,1.3,3,4,5,7];
Y=[0.9,1.5,2,1,3,2.6,3];
c=polyfit(X,Y,4);
t=min(X):0.1:max(X);
Z=polyval(c,t);
plot(X,Y,’r-’,t,Z,’b.’);
grid;
legend(’functie’,’polinom’);
ab=sum((polyval(c,X)-Y).^2)
x=2;u=polyval(c,x)
4.2 Interpolarea functiilor
Consideram din nou o functie necunoscuta cu valori date tabelar
x x0 x1 x2 . . . xn
y = f(x) y0 y1 y2 . . . yn
Prin interpolare se ıntelege o metoda de determinare a unei functii ϕ(x)care sa aproximeze cat mai bine functia necunoscuta f si care sa ındeplineascaconditiile
ϕ(xk) = yk, ∀k = 0,1, . . . , n
numite si conditii de interpolare.
Consideram functia polinomiala
ϕ(x) = c0 + c1x + ⋅ ⋅ ⋅ + cnxn.
Conditiile de interpolare devin
c0 + c1xk + ⋅ ⋅ ⋅ + cnxnk = yk, k = 0,1, . . . , n
adica un sistem cu n + 1 ecuatii ın necunoscutele c0, c1, . . . , cn.
4.2. INTERPOLAREA FUNCTIILOR 35
4.2.1 Polinomul de interpolare al lui Newton
Fie f ∶ [a, b] → R o functie data si ∆x o crestere a argumentului x, notatauneori si cu h. Expresia
∆f(x) = f(x +∆x) − f(x)
este numita diferenta finita de primul ordin al functiei f . Se pot defini ınmod asemanator diferentele finite de ordin superior:
∆nf(x) = ∆(∆n−1f(x)), n = 2,3, . . .
Exemplu ∆2f(x) = ∆(∆f(x)) = ∆(f(x +∆x) − f(x)) == ∆f(x +∆x) −∆f(x) = (f(x + 2∆x) − f(x +∆x)) − (f(x +∆x) − f(x)) == f(x + 2∆x) − 2f(x +∆x) + f(x).
In cazul unei retele echidistante a = x0 < x1 < ⋅ ⋅ ⋅ < xn = b din intervalul[a, b] avand pasul h, asadar xi = x0+i ⋅h, notam cu y0 = f(x0), y1 = f(x1), . . . ,yn = f(xn) valorile cunoscute ale functiei f ın aceste puncte. Diferentele finiteale functiei ın aceste puncte pot fi aranjate ıntr-un tabel astfel:
xi yi ∆yi = yi+1 − yi ∆2yi = ∆yi+1 −∆yi ∆3yi = ∆2yi+1 −∆2yi
x0 y0 ∆y0 = y1 − y0 ∆2y0 = ∆y1 −∆y0 ∆3y0 = ∆2y1 −∆2y0
x1 y1 ∆y1 = y2 − y1 ∆2y1 = ∆y2 −∆y1
x2 y2 ∆y2 = y3 − y2
x3 y3
Cautam un polinom de grad n de forma
Pn(x) = c0+c1(x−x0)+c2(x−x0)(x−x1)+⋅ ⋅ ⋅+cn(x−x0)(x−x1) . . . (x−xn−1)
ın care coeficientii c0, c1, . . . , cn sunt necunoscuti.Punand conditiile de interpolare yi = Pn(xi),∀i = 0,1, . . . , n se obtine un
sistem de ecuatii liniare ın necunoscutele ci, i = 0,1, . . . , n.Inlocuind solutiile acestui sistem ın polinomul Pn(x) se obtine polinomul
de interpolare al lui Newton de prima speta
Pn(x) = y0 + q∆y0 +q(q − 1)
2!∆2y0 + ⋅ ⋅ ⋅ +
q(q − 1) . . . (q − n + 1)n!
∆ny0,
unde q = x−x0h .
Avem f(x) ≃ Pn(x), ∀x ∈ [a, b] ∖ x0, x1, . . . , xn. Acest polinom esteconvenabil de folosit pentru interpolarea unei functii ın partea de ınceput atabelului de valori
Eroarea de aproximare este mai mica decat ∣ q(q−1)...(q−n)(n+1)! ∆n+1y0∣.
36 CAPITOLUL 4. APROXIMAREA FUNCTIILOR
Exemplu Pentru functia data prin tabelul urmator se cere aproximareafunctiei ın punctul x = 1.9:
x 1 1.4 1.8 2.2 2.6 3
y = f(x) 2 1.8 1.5 1.8 1.9 2
Construim tabelul cu diferente finite:
xi yi ∆yi ∆2yi ∆3yi ∆4yi ∆5yi
1 2 −0.2 −0.1 0.7 −1.5 2.5
1.4 1.8 −0.3 0.6 −0.8 1.0
1.8 1.5 0.3 −0.2 0.2
2.2 1.8 0.1 0
2.6 1.9 0.1
3 2
q = x−x0h = 1.9−1
0.4 = 2.25
Pn(x) = y0 + q∆y0 + q(q−1)2! ∆2y0 + ⋅ ⋅ ⋅ + q(q−1)(q−2)(q−3)(q−4)
5! ∆5y0 ≃ 1.5436Metoda este implementata ın MATLAB cu ajutorul urmatorului script:
clear;clc;
N=6;
xmin=1;xmax=3;
h=(xmax-xmin)/(N-1);
X=linspace(xmin,xmax,N);
Y=[2,1.8,1.5,1.8,1.9,2];
x=1.9;
q=(x-X(1))/h;
for k=1:N
D(k,1)=Y(k);
end
for j=2:N
for k=1:N-j+1
D(k,j)=D(k+1,j-1)-D(k,j-1);
end
end
P=D(1,1)+D(1,2)*q+D(1,3)*q*(q-1)/2+D(1,4)*q*(q-1)*(q-2)/6+...
D(1,5)*q*(q-1)*(q-2)*(q-3)/24+D(1,6)*q*(q-1)*(q-2)*(q-3)*(q-4)/120
Daca se cauta un polinom de grad n de forma
Pn(x) = c0+c1(x−xn)+c2(x−xn)(x−xn−1)+⋅ ⋅ ⋅+cn(x−xn)(x−xn−1) . . . (x−x1),
4.2. INTERPOLAREA FUNCTIILOR 37
punand aceleasi conditii de interpolare yk = Pn(xk),∀k = n,n − 1, . . . ,1,0, seobtine polinomul de interpolare al lui Newton de speta a doua:
Pn(x) = yn + q∆yn−1 +q(q + 1)
2!∆2yn−2 + ⋅ ⋅ ⋅ +
q(q + 1) . . . (q + n − 1)n!
∆ny0,
unde q = x−xnh .
Avem f(x) ≃ Pn(x), ∀x ∈ [a, b]∖x0, x1, . . . , xn. Acest polinom este con-venabil de folosit pentru interpolarea unei functii ın partea finala a tabeluluide valori
Eroarea de aproximare este mai mica decat ∣ q(q+1)...(q+n)(n+1)! ∆n+1y0∣.
Diferentele finite ∆yn−1,∆2yn−2, . . . ,∆ny0 se gasesc pe diagonala secun-dara a tabelului cu diferente finite parcursa de jos ın sus.
4.2.2 Polinomul de interpolare al lui Lagrange
Consideram o functie f ∶ [a, b] → R, o retea de noduri oarecare a = x0 < x1 <⋅ ⋅ ⋅ < xn = b si valorile functiei ın aceste noduri yi = f(xi), i = 0,1, . . . , n.
Polinomul lui Lagrange este o combinatie liniara de n + 1 polinoamede grad n:
Ln(x) = y0ϕ0(x) + y1ϕ1(x) + ⋅ ⋅ ⋅ + ynϕn(x)
unde ϕi(x) = (x−x0)...(x−xi−1)(x−xi+1)...(x−xn)(xi−x0)...(xi−xi−1)(xi−xi+1)...(xi−xn) , i = 0,1, . . . , n.
Daca functia f admite derivate continue pana la ordinul n + 1, atuncieroarea ıntr-un punct x diferit de punctele de interpolare este:
∣En(x)∣ = ∣f(x) −Ln(x)∣ ≤Mn+1
(n + 1)!∣(x − x0) . . . (x − xn)∣
unde Mn+1 = maxa≤x≤b
∣f (n+1)(x)∣.Polinomul lui Lagrange poate fi rescris sub forma
Ln(x) = Π(x)n
∑i=0
yiDi
unde Di = (xi − x0) . . . (xi − xi−1)(x − xi)(xi − xi+1) . . . (xi − xn) si Π(x) =(x − x0) . . . (x − xn).
Exemplu Pentru functia data prin tabelul urmator se cere aproximareafunctiei ın x = 9 si x = 6:
xi 1 3 4 5 7 8 10 11
yi 0.9512 0.8607 0.8187 0.7788 0.7047 0.6703 0.6065 0.5769
38 CAPITOLUL 4. APROXIMAREA FUNCTIILOR
Organizam calculele ın urmatorul tabel:
i xi Di0 Di1 Di2 Di3 Di4 Di5 Di6 Di7 yiyiDi
0 1 8 −2 −3 −4 −6 −7 −9 −10 0.9512 −1.31 ⋅ 10−6
1 3 2 6 −1 −2 −4 −5 −7 −8 0.8607 3.2 ⋅ 10−5
2 4 3 1 5 −1 −3 −4 −6 −7 0.8187 −1.08 ⋅ 10−4
3 5 4 2 1 4 −2 −3 −5 −6 0.7788 1.35 ⋅ 10−4
4 7 6 4 3 2 2 −1 −3 −4 0.7047 −2.04 ⋅ 10−4
5 8 7 5 4 3 1 1 −2 −3 0.6703 2.66 ⋅ 10−4
6 10 9 7 6 5 3 2 -1 −1 0.6065 5.35 ⋅ 10−5
7 11 10 8 7 6 4 3 1 -2 0.5769 −7.15 ⋅ 10−6
De pe diagonala principala se obtine Π(9) = (9 − x0) . . . (9 − x7) = 3840.
De pe ultima coloana se obtine ∑yiDi
= 1.66 ⋅ 10−4.
Valoarea aproximativa a functiei ın x = 9 este
f(9) ≃ L7(9) = Π(9)∑yiDi
= 0.6376
MATLAB:
function [C,L,Yi]=mlagrang(X,Y,Xi)
m=length(X);
n=m-1;
L=zeros(m,m);
for k=1:n+1
V=1;
for j=1:n+1
if k~=j
V=conv(V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j));
end
end
L(k,:)=V;
end
C=Y*L;
Yi=polyval(C,Xi);
X = [x0, x1, . . . , xn] reteaua denoduri;
Y = [y0, y1, . . . , yn] valorilefunctiei ın nodurile retelei;
Xi = [x1, . . . , xr] valorileın care dorim aproximareafunctiei;
Functia se apeleaza cu sintaxa
[C,L,Yi]=mlagrang(X,Y,Xi)
si va returna ın C o matrice li-nie cu coeficientii polinomuluiLagrange, ın L o matrice de lu-cru, iar ın Yi valorile functiei ınpunctele din Xi.
4.2. INTERPOLAREA FUNCTIILOR 39
4.2.3 Diferente divizate
Fie f ∶ [a, b]→ R si reteaua de noduri a = x0 < x1 < ⋅ ⋅ ⋅ < xn = b neechidistanteın care se cunosc valorile functiei yk = f(xk), k = 0,1, . . . , n. Expresia
f(xk, xk+1) = [xk, xk+1] =f(xk+1) − f(xk)
xk+1 − xk
se numeste diferenta divizata de ordinul ıntai a functiei f .Diferentele divizate de ordinul al doilea se definesc astfel:
f(xk, xk+1, xk+2) = [xk, xk+1, xk+2] =[xk+1, xk+2] − [xk, xk+1]
xk+2 − xk
Diferentele divizate ale functiei f pot fi aranjate ıntr-un tabel de forma
xk yk = f(xk) [xk, xk+1] [xk, xk+1, xk+2] [xk, xk+1, xk+2, xk+3]x0 y0
[x0, x1]x1 y1 [x0, x1, x2]
[x1, x2] [x0, x1, x2, x3]x2 y2 [x1, x2, x3]
[x2, x3]x3 y3
Definitia 4.1. Polinomul Pn(x) = y0+[x0, x1](x−x0)+[x0, x1, x2](x−x0)(x−x1) + . . . +[x0, x1, . . . , xn](x − x0)(x − x1) . . . (x − xn) se numeste polinomulde interpolare al lui Newton cu diferente divizate.
Exemplu Fie functia f(x) = sin(πx) si nodurile de interpolare x0 = 0,x1 = 1
6 , x2 = 12 . Sa se construiasca un polinom de interpolare de gradul al
doilea.Rezolvare: Construim tabelul cu diferente divizate:
k xk yk = f(xk) [xk, xk+1] [xk, xk+1, xk+2]0 0 0
12−0
16−0
= 3
1 16
12
32−3
12−0
= −3
1− 12
12− 1
6
= 32
2 12 1
40 CAPITOLUL 4. APROXIMAREA FUNCTIILOR
Se obtine polinomul cu diferente divizate
P2(x) = 0 + 3(x − 0) + (−3)(x − 0) (x − 1
6) = 7
2x − 3x2
MATLAB:
function [C,D,Yi]=mdiviz(X,Y,Xi)
n=length(X);
D=zeros(n,n);
D(:,1)=Y’;
for j=2:n
for k=j:n
D(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));
end
end
C=D(n,n);
for k=(n-1):-1:1
C=conv(C,poly(X(k)));
m=length(C);
C(m)=C(m)+D(k,k);
end
Yi=polyval(C,Xi);
X = [x0, x1, . . . , xn] reteaua denoduri;
Y = [y0, y1, . . . , yn] valorilefunctiei ın nodurile retelei;
Xi = [x1, . . . , xr] valorileın care dorim aproximareafunctiei;
Functia se apeleaza cu sintaxa
[C,D,Yi]=mdiviz(X,Y,Xi)
si va returna ın C o matrice li-nie cu coeficientii polinomului,ın D diferentele divizate, iar ınYi valorile functiei ın puncteledin Xi.
4.3 Exercitii
1. Sa se aproximeze functiile urmatoare, date tabelat, folosind polinoamede gradul indicat si sa se aproximeze functia ın punctele indicate:
(a)x 2.3 2.5 3 3.6 3.8 4
y = f(x) 1.2 1.7 1.3 1.8 1.9 2
polinom de grad 1,2,3 si 7; aproximare functie ın 3.4 si 3.9
(b)x −1 0 1 2 3 4 5 6
y = f(x) 2.45 2.65 2.8 3 2.5 2.2 2.8 3
polinom de grad 1,2,3 si 10; aproximare functie ın 0.5, 3.5 si 5.6
4.3. EXERCITII 41
(c)x −2 −1.5 −1 0 1.5 2 2.5 3 3.5 4
y 3.00 3.36 3.86 4 3.50 3.25 3.00 3.70 3.80 4
polinom de grad 1,2 si 8; aproximare functie ın −1.7, 1.9, 2.6 si3.7
2. Sa se scrie polinomul lui Newton corespunzator functiilor date prinurmatoarele tabele si sa se aproximeze functiile ın punctele indicate:
(a)x −1 0 1 2 3
y = f(x) 1.8 3.5 6 11 22
aproximare ın −0.4 si 2.7
(b)x 1 2 3 4 5
y = f(x) 3.65 1.85 1.25 0.94 0.75
aproximare ın 1.6 si 4.8
(c)x 4 5 6 7 8
y = f(x) 2.1 2.2111 2.5544 2.6457 2.8585
aproximare ın 4.5 si 7.8
3. Considerati o functie cunoscuta. Alegeti un interval, o retea de punctesi o valoare a lui x ın care cunoasteti valoarea exacta a functiei. Aproximativaloarea functiei cu polinoamele date. Comparati rezultatele.
4. Folosind polinomul de interpolare al lui Lagrange sa se aproximezevalorile urmatoarelor functii ın punctele mentionate:
(a)xi 2 3 3.5 5 6 7.5 9
yi = f(xi) −6 8 −4 3 −7 10 13ın 2.4, 2.8, 4 si 7;
(b)xi −3 −1.5 −0.5 1 1.5
yi = f(xi) 5 6 7 4 9ın −2, −1 si 0;
(c)xi 2 3.5 6 8 9.6 12 14
yi = f(xi) 1.42 1.87 2.45 2.83 3.12 3.41 3.74ın 6.5, 7 si 8.9;
(d)xi 0 0.5 1.2 1.8 1.9 2
yi = f(xi) 3.12 4 4.5 4.12 4.05 4ın 1 si 1.5;
42 CAPITOLUL 4. APROXIMAREA FUNCTIILOR
Capitolul 5
Integrarea numerica a functiilor
Fie f ∶ [a, b]→ R si integrala I = ∫b
a f(x)dx.Daca f(x) > 0, ∀x ∈ [a, b], atunci I este aria domeniului plan D delimitat
de axa Ox, graficul functiei f si dreptele x = a si x = b.Consideram o retea de puncte
a = x0 < x1 < x2 < ⋅ ⋅ ⋅ < xn = b
echidistante cu pasul h = b−an , deci
xi = a + ih, i = 0,1,2, . . . , n.
Ducem prin fiecare xk paralele laOy si obtinem subdomeniileD0,D1, . . . ,Dn−1
si avem:A(D) = A(D0) +A(D1) + ⋅ ⋅ ⋅ +A(Dn−1)
Daca n este foarte mare si fiecare arie este calculata cu eroare cat maimica, se obtine o aproximare pentru integrala I.
5.1 Metoda dreptunghiurilor
Pentru o retea de puncte echidistante notam cu y0 = f(x0), y1 = f(x1),. . . yn = f(xn) valorile functiei f ın punctele retelei.
Pe fiecare interval [xk, xk+1] aproximam functia f(x) cu yk, respectiv yk+1.Se obtine o aproximare a ariei domeniului Dk cu ykh, respectiv yk+1h.Se obtin aproximarile
∫b
af(x)dx = A(D) ≃ h(y0 + y1 + y2 + ⋅ ⋅ ⋅ + yn−1) (5.1)
∫b
af(x)dx = A(D) ≃ h(y1 + y2 + y3 + ⋅ ⋅ ⋅ + yn) (5.2)
43
44 CAPITOLUL 5. INTEGRAREA NUMERICA A FUNCTIILOR
Eroarea
∣I −A(D)∣ < (b − a)2
nM, unde M = sup∣f ′(x)∣;x ∈ [a, b]
Exemplu Sa se aproximeze ∫1
0
1
1 + 3xdx folosind metoda dreptunghiuri-
lor.Avem a = 0, b = 1, n = 4, h = b−a
n = 14 = 0.25
x0 = a = 0⇒ y0 = f(0) = 1
x1 = a + h = 0.25⇒ y1 = f(0.25) = 0.5714
x2 = a + 2h = 0.5⇒ y2 = f(0.5) = 0.4
x3 = a + 3h = 0.75⇒ y3 = f(0.75) = 0.3077
x4 = a + 4h = b = 1⇒ y4 = f(1) = 0.25
∫1
0
1
1 + 3xdx ≃ h(y0 + y1 + y2 + y3) = 0.569775
∫1
0
1
1 + 3xdx ≃ h(y1 + y2 + y3 + y4) = 0.382275
Valoarea exacta este ∫1
0
1
1 + 3xdx = 1
3ln(1 + 3x)∣
1
0
= 0.4621
5.2 Metoda trapezelor
Consideram din nou o retea echidistanta, domeniile Dk si notam punctele depe graficul functiei f corespunzatoare retelei alese cu M0(x0, y0), M1(x1, y1),. . .Mn(xn, yn).
Aproximam aria domeniului Dk prin aria trapezului determinat de punc-tele Mk, Mk+1 si punctele de pe Ox corespunzatoare lui xk si xk+1:
A(Dk) ≃h(yk + yk+1)
2
Se obtine aproximarea
∫b
af(x)dx = A(D) ≃ h
2(y0 + 2y1 + 2y2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2yn−1 + yn) (5.3)
Eroarea
∣I −A(D)∣ < (b − a)3
12n2M, unde M = sup∣f ′′(x)∣;x ∈ [a, b]
5.3. METODA PARABOLELOR (SIMPSON) 45
Exemplu Sa se aproximeze ∫1
0
1
1 + 3xdx folosind metoda trapezelor.
Avem a = 0, b = 1, n = 4, h = b−an = 1
4 = 0.25
x0 = a = 0⇒ y0 = f(0) = 1
x1 = a + h = 0.25⇒ y1 = f(0.25) = 0.5714
x2 = a + 2h = 0.5⇒ y2 = f(0.5) = 0.4
x3 = a + 3h = 0.75⇒ y3 = f(0.75) = 0.3077
x4 = a + 4h = b = 1⇒ y4 = f(1) = 0.25
∫1
0
1
1 + 3xdx ≃ h
2(y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + y4) = 0.476
5.3 Metoda parabolelor (Simpson)
Consideram o retea echidistanta cu un numar par de noduri n = 2m sipunctele de pe graficul functiei f corespunzatoare retelei alese M0(x0, y0),M1(x1, y1), . . .Mn(xn, yn).
Pe fiecare interval [x2k, x2k+2] aproximam functia f cu o functie de gradul2 al carei grafic trece prin punctele M2k,M2k+1,M2k+2. Avem:
A(Dk) ≃h
3(y2k + 4y2k+1 + y2k+2)
Se obtine aproximarea
∫b
af(x)dx ≃ h
3(y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2y2m−2 + 4y2m−1 + y2m) (5.4)
Eroarea
∣I −A(D)∣ < (b − a)5
180n4M, unde M = sup∣f (4)(x)∣;x ∈ [a, b]
Exemplu Sa se aproximeze ∫1
0
1
1 + 3xdx folosind metoda lui Simpson.
Avem a = 0, b = 1, n = 4, h = b−an = 1
4 = 0.25
x0 = a = 0⇒ y0 = f(0) = 1
x1 = a + h = 0.25⇒ y1 = f(0.25) = 0.5714
x2 = a + 2h = 0.5⇒ y2 = f(0.5) = 0.4
x3 = a + 3h = 0.75⇒ y3 = f(0.75) = 0.3077
x4 = a + 4h = b = 1⇒ y4 = f(1) = 0.25
46 CAPITOLUL 5. INTEGRAREA NUMERICA A FUNCTIILOR
∫1
0
1
1 + 3xdx ≃ h
3(y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + y4) = 0.4639
MATLAB:function s=msimps(f,a,b,m)
h=(b-a)/(2*m);
s1=0;
s2=0;
for k=1:m
x=a+h*(2*k-1);
s1=s1+feval(f,x);
end
for k=1:(m-1)
x=a+h*2*k;
s2=s2+feval(f,x);
end
s=h*(feval(f,a)+feval(f,b)+4*s1+2*s2)/3;
Functia se apeleaza cu sintaxa
s=msimps(’fx’,a,b,m)
fx este un fisier care continefunctia f(x)
a, b sunt extremitatile interva-lului pe care se integreaza
m este ales astfel ıncat n = 2m.
5.4 Formulele Newton-Cotes
Consideram reteaua de noduri echidistante a = x0 < x1 < ⋅ ⋅ ⋅ < xn = b, notamh = b−a
n si avem xi = a+ih, i = 0,1, . . . , n si yi = f(xi) valorile functiei ın acestenoduri.
Aproximand functia f prin polinomul Lagrange Ln(x) asociat retelei date,se obtine formula de aproximare Newton-Cotes
∫b
af(x)dx ≃ (b − a)
n
∑i=0
Hiyi
unde Hi = (−1)n−ii!(n−i)! ∫
n
0q[n+1]q−i dq, iar q = x−x0
h , q[n+1] = q(q − 1) . . . (q − n).Una din cele mai folosite formule de cuadratura numerica de acest tip
este cea obtinuta pentru n = 3, numita si formula lui Simpson 3/8:
∫b
af(x)dx ≃ b − a
8(y0 + 3y1 + 3y2 + y3)
Eroarea de aproximare este mai mica decat
(b − a)5
80n4M, unde M = sup∣f (4)(x)∣;x ∈ [a, b].
Exemplu Sa se aproximeze ∫1
0
1
1 + 3xdx folosind formula lui Newton.
5.4. FORMULELE NEWTON-COTES 47
Avem a = 0, b = 1, n = 3, h = b−an = 1
3
x0 = a = 0⇒ y0 = f(0) = 1
x1 = a + h = 1
3⇒ y1 = f (1
3) = 1
2
x2 = a + 2h = 2
3⇒ y2 = f (2
3) = 1
3
x3 = a + 3h = 1⇒ y3 = f(1) =1
4
∫1
0
1
1 + 3xdx ≃ 1
8(y0 + 3y1 + 3y2 + y3) = 0.46875
48 CAPITOLUL 5. INTEGRAREA NUMERICA A FUNCTIILOR
Capitolul 6
Aproximarea numerica asolutiilor ecuatiilor diferentiale
6.1 Metoda lui Euler
Fie ecuatia diferentiala
y′ = f(x, y), x ∈ [a, b] (6.1)
cu conditia initiala y(x0) = y0, x0 ∈ [a, b].Daca se cere aproximarea solutiei ıntr-un punct x vecin cu x0, atunci vom
construi o retea de puncte ıncepand cu x0 si terminand cu x si pe baza uneischeme de aproximare calculam valorile solutiei ın aceste puncte.
Consideram o diviziune echidistanta a intervalului [a, b]:
xk = a + k ⋅ h, h =b − an
, k = 0,1,2, . . . , n
Formula lui Taylor pentru solutia y(x) ın vecinatatea lui xk:
y(x) = y(xk) + (x − xk)y′(xk) + (x − xk)2y′′(xk)2!
+ . . .
Considerand doar primii doi termeni din dezvoltare si folosind (6.1) gasim
y(x) = y(xk) + (x − xk)f(xk, y(xk))
iar ın punctele diviziunii avem
yk+1 = yk + hf(xk, yk), k = 0,1,2, . . . , n.
49
50 CAPITOLUL 6. ECUATII DIFERENTIALE
Exemplu Sa se aproximeze solutia problemei Cauchy
y′ = −2y + x + 0.5, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 1.
Consideram n = 5, deci h = b−an = 1−0
5 = 0.2, iar diviziunea este xk = a+k ⋅h =0 + 0.2 ⋅ k. Obtinem:
y0 = 1
y1 = y0 + h(−2y0 + x0 + 0.5) = 1 + 0.2(−2 + 0.5) = 0.7
y2 = y1 + h(−2y1 + x1 + 0.5) = 0.7 + 0.2(−1.4 + 0.2 + 0.5) = 0.56
y3 = y2 + h(−2y2 + x2 + 0.5) = 0.56 + 0.2(−1.12 + 0.4 + 0.5) = 0.516
y4 = y3 + h(−2y3 + x3 + 0.5) = 0.516 + 0.2(−1.032 + 0.6 + 0.5) = 0.5296
y5 = y4 + h(−2y4 + x4 + 0.5) = 0.5296 + 0.2(−1.0592 + 0.8 + 0.5) = 0.5778
Solutia exacta a ecuatiei este y(x) = e−2x+0.5x, iar valorile acestea ın punctelediviziunii sunt gasite cu ajutorul comenzilor MATLAB:
x=0:0.2:1
y=0.5*x+exp(-2*x)
Metoda este implementata ın MATLAB cu ajutorul procedurii:
function [x,y]=meuler(f,a,b,y0,n)
h=(b-a)/n;
x=zeros(1,n+1);
y=zeros(1,n+1);
x=a:h:b;
y(1)=y0;
for j=1:n
y(j+1)=y(j)+h*feval(f,x(j),y(j));
end
function f=fxy(x,y)
f=-2*y+x+0.5;
unde:
f = functia f(x, y) din ecuatie
[a, b] - intervalul variabilei x
y0 = valoarea din conditia initiala
6.2. METODA LUI EULER IMBUNATATITA 51
n = numarul punctelor diviziunii
se definesc parametrii:
a=0;b=1;y0=1;n=10;
Procedura se apeleaza cu sintaxa
[x,y]=meuler(’fxy’,a,b,y0,n)
Solutia exacta ın aceleasi puncte:
ye=0.5*x+exp(-2*x)
6.2 Metoda lui Euler ımbunatatita
Aceasta metoda ımbunatateste aproximarea prin aplicarea metodei lui Eulercu pasi intermediari:
Pas 1 y1,1 = y0 + hf(x0, y0)
y1,2 = y0 +f(x0, y0) + f(x1, y1,1)
2h
y1,3 = y0 +f(x0, y0) + f(x1, y1,2)
2h
⋮
Pas k+1 yk+1,1 = yk + hf(xk, yk)
yk+1,2 = yk +f(xk, yk) + f(xk+1, yk+1,1)
2h
⋮
In cadrul fiecarui pas sirul aproximantelor se va opri cand se vor gasi douaaproximante succesive care sa aiba aceleasi valori la numarul de zecimalecerute.
52 CAPITOLUL 6. ECUATII DIFERENTIALE
Exemplu Sa se aproximeze solutia urmatoarei probleme cu valori initialefolosind metoda Euler ımbunatatita:
y′(x) = 2x + y, y(0) = 1.
Se va aproxima solutia ın punctele x = 0.2 si x = 0.4 cu precizia ε = 10−3.Rezolvare: In cazul nostru avem f(x, y) = 2x+ y, x0 = 0, y0 = 1, f(x0, y0) =
1. Alegem h = 0.2 si gasim:
Pasul 1 : y1,1 = y0 + hf(x0, y0) = 1.2, f(x1, y1,1) = f(0.2,1.2) = 1.6
y1,2 = y0 + f(x0,y0)+f(x1,y1,1)
2 h = 1.26, f(x1, y1,2) = f(0.2,1.26) = 1.66
y1,3 = y0 + f(x0,y0)+f(x1,y1,2)
2 h = 1.266, f(x1, y1,3) = f(0.2,1.266) = 1.656
y1,4 = y0 + f(x0,y0)+f(x1,y1,3)
2 h = 1.2666, f(x1, y1,4) = f(0.2,1.2666) =1.6666y1,5 = y0 + f(x0,y0)+f(x1,y1,4)
2 h = 1.2666, deci y(0.2) ≃ 1.266.
Pasul 2 : y2,1 = y1 + hf(x1, y1) = 1.599, f(x2, y2,1) = f(0.4,1.599) = 2.399
y2,2 = y1 + f(x1,y1)+f(x2,y2,1)
2 h = 1.6725, f(x2, y2,2) = f(0.4,1.6725) =2.4725y2,3 = y1 + f(x1,y1)+f(x2,y2,2)
2 h = 1.6798, f(x2, y2,3) = f(0.4,1.6798) =2.4798y2,4 = y1 + f(x1,y1)+f(x2,y2,3)
2 h = 1.6806, f(x2, y2,4) = f(0.4,1.6806) =2.4806y2,5 = y1 + f(x1,y1)+f(x2,y2,4)
2 h = 1.6807, deci y(0.4) ≃ 1.680.
Calculele anterioare pot fi organizate ın urmatorul tabel:
xi yi,j f(xi, yi,j) f(x0, y0) + f(xi, yi,j) (f(x0, y0) + f(xi, yi,j)) ⋅ h/20 1 1
0.2 1.2 1.6 2.6 0.26
1.26 1.66 2.66 0.266
1.266 1.666 2.666 0.2666
1.2666 1.6666 2.6666 0.26666
1.2666
0.4 1.5992 2.3992 4.0652 0.4065
1.6725 2.4725 4.1385 0.4138
1.6798 2.4798 4.1458 0.4146
1.6806 2.4806 4.1466 0.4147
1.6807
6.3. METODA RUNGE-KUTTA 53
In Matlab exista functia ode23 care implementeaza metoda Euler modi-ficata. Functia se apeleaza cu sintaxa
[x,y]=ode23(’fxy’,xspan,y0)
unde:
fxy = numele unei functii Matlab ce defineste f(x, y)
xspan = [x0,x1,...,xf] valoarea initiala a lui x si punctele intermediareın care cerem valorile aproximative ale solutiei.
Functia returneaza ın x,y reteaua de puncte si valorile aproximative alesolutiei.
Exemplu 2xyy′ + x2 − y2 = 0, y(0.2) = 1, 0.2 ≤ x ≤ 1.
Rescriem ecuatia sub forma y′ = y2−x2
2xy si definim functia Matlab
function f=fxy(x,y)
f=(y^2-x^2)/(2*x*y);
si o apelam cu sintaxa
[x,y]=ode23(’fxy’,0.2:0.1:1,1)
6.3 Metoda Runge-Kutta
Metoda foloseste marimi intermediare atunci cand se trece de la aproximareasolutiei yn ın xn la aproximarea solutiei yn+1 ın xn+1. Formulele de calculpentru aceste marimi intermediare sunt:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
k1 = h ⋅ f(xn, yn)k2 = h ⋅ f (xn + h
2 , yn +k12)
k3 = h ⋅ f (xn + h2 , yn +
k22)
k4 = h ⋅ f(xn + h, yn + k3)
; yn+1 = yn +1
6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
Exemplu Sa se aproximeze solutia problemei Cauchy
y′ = 2xy, 0 ≤ x ≤ 0.5, y(0) = 1.
54 CAPITOLUL 6. ECUATII DIFERENTIALE
n xn yn k1 k2 k3 k4 1/6∑ki0 0 1 0 0.01 0.01005 0.020201 0.0100502
1 0.1 1.0100502 0.0202010 0.0306045 0.0307606 0.0416324 0.0307606
2 0.2 1.0408108 0.0416324 0.0530813 0.0533676 0.0656507 0.0533635
3 0.3 1.09417 0.0656504 0.07889 0.0793533 0.0938822 0.0793365
4 0.4 1.17351 0.0938809 0.109841 0.110559 0.128407 0.110514
5 0.5 1.28403
Metoda este implementata ın MATLAB cu ajutorul urmatoarei proce-duri:
function [x,y]=mrunkt(f,a,b,y0,m)
h=(b-a)/m;
x=zeros(1,m+1);
y=zeros(1,m+1);
x=a:h:b;
y(1)=y0;
for j=1:m
k1=h*feval(f,x(j),y(j));
k2=h*feval(f,x(j)+h/2,y(j)+k1/2);
k3=h*feval(f,x(j)+h/2,y(j)+k2/2);
k4=h*feval(f,x(j)+h,y(j)+k3);
y(j+1)=y(j)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
end
function f=fxy(x,y)
f=2*x.*y;
unde:
f = functia f(x, y) din ecuatie
[a, b] - intervalul variabilei x
y0 = valoarea din conditia initiala
m = numarul punctelor diviziunii
se definesc parametrii:
a=0;b=0.5;y0=1;m=5;
6.4. METODA LUI ADAMS 55
Procedura se apeleaza cu sintaxa
[x,y]=mrunkt(’fxy’,a,b,y0,m)
Solutia exacta ın aceleasi puncte:
ye=exp(x.^2)
6.4 Metoda lui Adams
Metodele precedente (Euler si Runge-Kutta) sunt metode cu pasi separati(adica folosesc pentru aproximarea solutiei ıntr-un punct xk doar informatiiledin punctul precedent xk−1).
Metoda lui Adams este o metoda cu pasi legati, adica pentru aproximareasolutiei ıntr-un punct xk se folosesc informatii din mai multi pasi precedentixk−1, xk−2, etc. Metodele cu pasi legati scurteaza timpul de lucru pentruaproximarea unei solutii.
Presupunem ca se cunosc y0, y1, . . . , yn si determinam yn+1, valoarea apro-ximativa a solutiei ın xn+1, cu ajutorul formulei lui Adams:
yn+1 = yn + h [fn +1
2∆fn−1 +
5
12∆2fn−2 +
3
8∆3fn−3 +
251
720∆4fn−4 + . . . ]
unde fi = f(xi, yi), i = 0,1, . . . , n iar ∆fn−1, ∆2fn−2, . . . sunt diferentele finitecorespunzatoare acestor valori.
Cazuri particulare:k = 1 ∶ yn+1 = yn + h
2(3fn − fn−1)k = 2 ∶ yn+1 = yn + h
12(23fn − 16fn−1 + 5fn−2)k = 3 ∶ yn+1 = yn + h
24(55fn − 59fn−1 + 37fn−2 − 9fn−3)MATLAB:
56 CAPITOLUL 6. ECUATII DIFERENTIALE
function A=madams(f,X,Y)
n=length(X);
if n<5,return,end;
F=zeros(1,4);
F=feval(f,X(1:4),Y(1:4));
h=X(2)-X(1);
for k=4:n-1
Y(k+1)=Y(k)+(h/24)*(F*[-9 37 -59 55]’);
X(k+1)=X(1)+h*k;
end
A=[X’ Y’];
X = [x0, x1, . . . , xn] reteaua depuncte
X = [y0, y1, y2, y3] primeleaproximari ale solutiei;
fxy este numele fisierului ce de-fineste functia f(x, y);
Functia se apeleaza cu sintaxa
A=madams(’fxy’,X,Y)
si returneaza ın matricea A co-loanele X si Y cu valorile siaproximarile pe reteaua data
Exemplu Sa se aplice metoda lui Adams pentru aproximarea solutiei pro-blemei cu valorile initiale y′ = 2xy, y(0) = 1 ın punctul x = 0.6 stiind ca
y(0.3) = 1.0941743, y(0.4) = 1.1735108, y(0.5) = 1.2840252.
Rezolvare: h = 0.1, k = 2, f(x, y) = 2xy. Prin Metoda lui Adams gasim
y(0.6) ≃ 0.1
12(23f(0.5, y(0.5)) − 16f(0.4, y(0.4)) + 5f(0.3, y(0.3))) = 0.1482847
6.5 Exercitii
1. Sa se aproximeze solutiile urmatoarelor probleme Cauchy:
(a) y′ = ( yx)2 + y
x , 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = 1, n = 10
(b) y′ = sinx + e−x, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 0, n = 10
(c) y′ = ex − y2, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 0, n = 10
(d) y′ = ( 2x) ⋅ y + x2ex, 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = 0, n = 10
2. Sa se aproximeze solutia problemei cu valori initiale, cu pasul dat, sisa se reprezinte grafic:
(a) y′ = e−2xy
1 + x2, y(0) = −0.5, 0 < x < 1, h = 0.1
(b) y′ = sin(xy), y(0) = 1, 0 < x < 1, h = 0.1
6.5. EXERCITII 57
(c) y′ = sin(x − 2y
x − y), y(0) = 0.5, 0 < x < 1, h = 0.1
(d) y′ = lnxy
1 − xy, y(1) = 2, 1 < x < 2, h = 0.1
(e) y′ = 2y − x2, y(0) = 0.25, 0 ≤ x ≤ 2, h = 0.1
(f) y′ = −y + cosx, y(0) = 0.5, 0 ≤ x ≤ 2, h = 0.25
(g) (y′ + 1)ey = 1, y(0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1, h = 0.1
(h) y′ = y + 1
x, y(1) = 0, 1 ≤ x ≤ 2, h = 0.2
3. Sa se aproximeze solutiile urmatoarelor probleme Cauchy:
(a) y′ = 1x+y2 , 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = 1, m = 10
(b) y′ = xy2+cosy , 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 1, m = 10
(c) y′ = 3x + e−y, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 0, m = 10
(d) y′ = x + ex−y, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 1, m = 10
58 CAPITOLUL 6. ECUATII DIFERENTIALE
Partea II
Statistica
59
Capitolul 7
Statistica descriptiva
7.1 Prezentarea datelor statistice
Statistica descriptiva este ramura statisticii care se ocupa cu prezentarea, or-ganizarea si interpretarea unei colectii de date. Descrierea acestor informatiise poate face grafic (prin liste, grafice liniare, de distributie, etc.), sau prinindicatori statistici (medie, mediana, abatere, etc.)
Analiza statistica a unui fenomen ıncepe cu statistica formala (culegereadatelor despre fenomenul respectiv si ınregistrarea datelor). Datele sunt apoianalizate si intepretate cu ajutorul statisticii matematice.
Definitia 7.1. Prin populatie statistica se ıntelege orice multime care for-meaza obiectul unei analize statistice. Elementele unei populatii statistice senumesc unitati statistice sau indivizi.
Prin caracteristica a unei populatii statistice ıntelegem o trasatura co-muna unitatilor acelei populatii. Caracteristicile pot fi calitative sau can-titative. Caracteristicile cantitative pot fi masurate folosind numere reale.Valoarea numerica a unei caracteristici se numeste variabila aleatoare.
Reprezentarea grafica realizata pentru studierea schimbarilor sau pentrucompararea variabilelor statistice se numeste grafic. Reprezentarea cu ba-toane foloseste batoane orizontale sau verticale, ale caror lungimi sunt chiarvalorile variabilei statistice. Batoanele verticale se folosesc de obicei pentrucaracteristici care variaza ın timp.
Exemplu: durata medie a vietii ın Romania ın perioada 2000-2012; ob-servam ca aceasta valoare creste ıncepand cu anul 2003, dupa o scaderenesemnificativa.
61
62 CAPITOLUL 7. STATISTICA DESCRIPTIVA
Anul Durata
2000 70.53
2001 71.19
2002 71.18
2003 71.01
2004 71.32
2005 71.76
2006 72.22
2007 72.61
2008 73.03
2009 73.33
2010 73.47
2011 73.77
2012 74.26
Reprezentarea cu batoane orizontale prezinta variante adaptate, de exem-plu reprezentarea pe componente, fara realizarea unei comparatii cu ıntregul.
Anul Urban Rural
1960 32.1% 67.9%
1970 36.9% 63.1%
1980 45.8% 54.2%
1990 54.3% 45.7%
2000 54.6% 45.4%
2010 53.9% 46.1%
Graficul liniar pe portiuni este format din segmente de dreapta ce se obtinprin unirea perechilor de valori corespunzatoare ale unei perechi de variabilediferite.Anul Total
imigranti
2003 3267
2004 2987
2005 3704
2006 7714
2007 9575
2008 10030
7.1. PREZENTAREA DATELOR STATISTICE 63
Diagrama circulara arata descompunerea unui ıntreg ın partile sale com-ponente. Ele se exprima ca procente din total si sunt reprezentate prinsegmente de cerc, unghiurile la centru avand masuri egale cu procentul co-respunzator din 3600.
Figura arata structura cheltuielilor din domeniul cercetare-dezvoltare, dinpunctul de vedere al surselor de finantare, ın Romania ın 2001.
Definitia 7.2. O variabila statistica se numeste discreta daca nu poate luadecat valori izolate ın intervalul sau de variatie, si se numeste continuadaca poate lua toate valorile posibile ın intervalul sau de variatie.
Exemple de variabile discrete: numarul capitolelor unei carti, numarularticolelor produse ıntr-o fabrica, etc.
Exemple de variabile continue: ınaltimea unei persoane, ora sosirii unuitren, etc.
Exemplu: Consideram un numar de 40 de angajati al caror salariu expri-mat ın mii de lei este dat ın tabelul urmator:
0.831 0.904 0.896 0.961 0.981
0.956 1.705 1.591 1.156 1.221
1.587 0.991 1.981 1.459 1.861
0.82 1.141 1.452 1.344 1.42
1.805 1.052 1.731 1.75 0.976
1.091 1.201 1.895 0.972 1.071
1.605 0.989 1.858 1.081 1.492
1.594 1.354 1.946 1.671 1.057
O descriere a seriei statistice obtinute se realizeaza prin construirea unuitabel al frecventelor, ın care observatiile sunt clasificate ın functie de numarulunitatilor statistice care se afla ıntre anumite limite.
64 CAPITOLUL 7. STATISTICA DESCRIPTIVA
Limitele Mijlocul Frecventa Frecventa Frecventa Frecventa
clasei clasei absoluta relativa(%) cumulata cumulata
absoluta relativa(%)
[0.8,0.95) 0.875 4 10 4 10
[0.95,1.1) 1.025 12 30 16 40
[1.1,1.25) 1.175 5 12.5 21 52.5
[1.25,1.4) 1.325 2 5 23 57.5
[1.4,1.55) 1.475 5 12.5 28 70
[1.55,1.7) 1.625 5 12.5 33 82.5
[1.7,1.85) 1.775 4 10 37 92.5
[1.85,2) 1.925 3 7.5 40 100Media aritmetica a limitelor unei clase se numeste mijlocul sau valoarea
centrala a clasei.Diferenta dintre cea mai mare si cea mai mica margine se numeste dome-
niu sau amplitudine.Frecventa absoluta este data de numarul unitatilor statistice aflate ıntre
limitele unei clase.Frecventa relativa este raportul dintre frecventa absoluta si numarul total
al unitatilor statistice.Frecventa cumulata absoluta a unei clase este suma frecventelor pana la
clasa respectiva.Frecventa cumulata relativa este raportul dintre frecventa cumulata ab-
soluta si numarul total al unitatilor statistice.Histograma este o reprezentare cu batoane fara spatiu ıntre acestea, avand
pe axa orizontala marginile claselor si frecventele pe cea verticala.
Poligonul frecventelor este un grafic liniar pe portiuni, mijloacele claselorfiind reprezentate pe axa orizontala si frecventele pe cea verticala. Fiecaremijloc are o frecventa corespunzatoare marcata printr-un punct, iar punctele
7.2. CARACTERISTICI NUMERICE 65
consecutive se unesc prin segmente de dreapta, rezultand o linie poligonala.
Poligonul frecventelor cumulate este un grafic liniar pe portiuni care serealizeaza similar cu poligonul frecventelor, singura schimbare fiind aceea caın locul frecventelor apar frecventele cumulate.
7.2 Caracteristici numerice
Datele statistice pot fi descrise cu ajutorul unor indicatori statistici. In acestsens, exista doua mari categorii:
masuri ale tendintei centrale: media, mediana, moda, etc.
masuri ale variatiei sau ımprastierii: amplitudinea, abaterea, etc.
Pentru o variabila discreta, moda este valoarea cu frecventa maxima.Pentru o variabila continua, clasa cu frecventa maxima se numeste clasa
modala, iar mijlocul acesteia este moda variabilei.
Definitia 7.3. Pentru cazul discret, mediana unei multimi de date ordonatecrescator x1 ≤ x2 ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ xm este valoarea de mijloc xm+1
2daca m este impar,
sau media celor doua valori de mijloc1
2(xm
2+ xm
2+1) daca m este par.
Exemple:
mediana multimii 5,6,8,9,12 este 8
mediana multimii 15,18,20,24,28,30 este 20+242 = 22.
Definitia 7.4. Pentru o variabila continua, prima clasa a carei frecventacumulata asociata este mai mare decat 1
2 se numeste clasa medianei
66 CAPITOLUL 7. STATISTICA DESCRIPTIVA
Pentru clasa [xi−1, xi], notam cu fi frecventa clasei, Fi frecventa cumulatasi hi = xi − xi−1 lungimea clasei. Efectuand o interpolare ın clasa medianei[xk−1, xk) obtinem valoarea medianei
md = xk−1 + hk0.5 − Fk−1
fk
Definitia 7.5. Media (de selectie) a unei multimi x1, x2, . . . , xm se definesteprin
x = 1
m
m
∑i=1
xi.
Exemplu: Consideram urmatoarea lista de preturi (ın lei) pentru centraletermice: 9900, 10300, 11200, 12500, 7600, 17500. Costul mediu al uneicentrale este
x = 1
6(9900 + 10300 + 11200 + 12500 + 7600 + 17500) = 11500
Daca x1, x2, . . . , xk sunt valorile distincte din selectie si notam cu nifrecventa lui xi pentru i = 1,2, . . . , k, atunci media de selectie se rescrie
x = ∑ki=1 nixi
∑ki=1 ni
,
si notand cu fi = nim , i = 1, . . . , k rezulta
x =k
∑i=1
fixi.
Definitia 7.6. Consideram un tabel al frecventelor cu k clase. Daca x∗1, x∗2, . . . , x
∗k
sunt mijloacele claselor, n1, n2, . . . , nk frecventele lor absolute si f1, f2, . . . , fkfrecventele relative, atunci media distributiei este
x = ∑ki=1 nix
∗i
∑ki=1 ni
=k
∑i=1
fix∗i .
Pentru datele din tabelul cu salarii anterior media este
x = 4 ⋅ 0.875 + 12 ⋅ 1.025 + 5 ⋅ 1.175 + 2 ⋅ 1.375 + 5 ⋅ 1.475 + 5 ⋅ 1.625 + 4 ⋅ 1.775 + 3 ⋅ 1.925
4 + 12 + 5 + 2 + 5 + 5 + 4 + 3= 1.3175
Se observa ca media nu da o imagine completa a datelor de selectie saua distributiei. De exemplu, multimile 2,2,2,5,8,8,8, 3,3,5,5,5,7,7,4,4,4,5,6,6,6 au aceeasi medie, dar au structuri diferite. Acesta estemotivul pentru care sunt introduse masuri ale variatiei, care indica gradulde ımprastiere a datelor ın jurul mediei.
7.2. CARACTERISTICI NUMERICE 67
Definitia 7.7. Pentru o variabila discreta, diferenta dintre cea mai mare sicea mai mica valoare a selectiei se numeste amplitudine.
Pentru o variabila continua, amplitudinea este diferenta dintre limitasuperioara a clasei cu cele mai mari margini si limita inferioara a clasei cucele mai mici margini.
Definitia 7.8. Fie datele de selectie x1, x2, . . . , xm avand media x. Abatereamedie se defineste prin relatia
a.m. = 1
m
m
∑i=1
∣xi − x∣ .
Exemplu: Consideram datele de selectie 12,15,13,20,13. Media lor
este x = 15(12 + 15 + 13 + 20 + 13) = 14.6, iar abaterea medie este
a.m. = 1
5(∣12 − 14.6∣ + ∣15 − 14.6∣ + ∣13 − 14.6∣ + ∣20 − 14.6∣ + ∣13 − 14.6∣) = 2.32
asadar valorile de selectie difera ın medie cu 2.32 fata de media 14.6.
Fie x1, x2, . . . , xk valorile distincte ale unei selectii X avand media x, iarni frecventa lui xi pentru i = 1, . . . , k. Atunci
a.m. =
k
∑i=1
ni ∣xi − x∣
k
∑i=1
ni
Notand cu fi = nim , i = 1, . . . , n frecventele relative, obtinem
a.m. =k
∑i=1
fi ∣xi − x∣ .
Definitia 7.9. Fie o variabila continua cu un tabel al frecventelor cu k clase.Daca x∗1, x
∗2, . . . , x
∗k sunt mijloacele claselor, n1, n2, . . . , nk frecventele lor ab-
solute si f1, f2, . . . , fk frecventele relative, atunci abaterea medie este
a.m. = ∑ki=1 ni ∣x∗i − x∣∑ki=1 ni
=k
∑i=1
fi ∣x∗i − x∣ .
Pentru datele din tabelul cu salarii anterior abaterea medie este 119.8540 =
2.9962.
68 CAPITOLUL 7. STATISTICA DESCRIPTIVA
Definitia 7.10. Fie datele de selectie x1, x2, . . . , xm avand media x. Dis-persia se defineste ca fiind
σ2 = 1
m
m
∑i=1
(xi − x)2.
Valoarea σ =
¿ÁÁÀ 1
m
m
∑i=1
(xi − x)2se numeste abaterea standard de selectie
(empirica).
Fie x1, x2, . . . , xk valorile distincte ale unei selectii X avand media x, iarni frecventa lui xi pentru i = 1, . . . , k. Atunci dispersia este
σ2 =
k
∑i=1
ni (xi − x)2
k
∑i=1
ni
Notand cu fi = nim , i = 1, . . . , n frecventele relative, obtinem
σ2 =k
∑i=1
fi (xi − x)2.
Definitia 7.11. Fie o variabila continua cu un tabel al frecventelor cu kclase. Daca x∗1, x
∗2, . . . , x
∗k sunt mijloacele claselor, n1, n2, . . . , nk frecventele
lor absolute si f1, f2, . . . , fk frecventele relative, atunci dispersia distributieieste
σ2 =
k
∑i=1
ni (x∗i − x)2
k
∑i=1
ni
=k
∑i=1
fi (x∗i − x)2.
Pentru datele din tabelul cu salarii anterior, dispersia este σ2 = 445.27540 =
1.114, iar abaterea standard este σ = 1.055.
Exercitiu: O grupa formata din 20 studenti sustin un test la matematicasi se obtin rezultatele din tabelul urmator:
7.2. CARACTERISTICI NUMERICE 69
Nota Frecventa Frecventa
absoluta relativa (%)
3 1 5
4 1 5
5 2 10
6 2 10
7 5 25
8 6 30
9 2 10
10 1 5
Sa se calculeze media, mediana, moda, amplitudinea, abaterea medie,dispersia si abaterea standard.
70 CAPITOLUL 7. STATISTICA DESCRIPTIVA
Capitolul 8
Probabilitati. Variabilealeatoare
8.1 Probabilitati
8.1.1 Campuri de probabilitate
Prin experienta aleatoare ıntelegem acele experiente ın care inter-vine ıntamplarea. Rezultatele posibile ale unei experiente aleatoare senumesc probe sau cazuri posibile ale experientei.
Numim eveniment aleator sau, mai simplu, eveniment (atasat uneiexperiente) orice situatie care se poate realiza prin una sau mai multeprobe si despre care putem spune cu certitudine ca s-a produs sau nu.
Evenimentul elementar este un eveniment care se realizeaza printr-osingura proba a experientei. Evenimentul compus este acel evenimentcare se realizeaza prin mai multe probe.
Evenimentul sigur este acel eveniment care se realizeaza cu certitudinela fiecare efectuare a experientei, adica prin oricare dintre probe. Eve-nimentul imposibil este evenimentul care nu se realizeaza prin nici oproba a experientei.
Evenimentul contrar unui eveniment dat este evenimentul care se rea-lizeaza atunci si numai atunci cand nu se realizeaza evenimentul dat.
Exemplu: Fie E experienta aruncarii simultane a doua zaruri. Probele expe-rientei sunt perechile (1,1) , . . . , (1,6), (2,1) , . . . , (2,6) , . . . , (6,1) , . . . , (6,6) .Proba (i, j) reprezinta aparitia fetei cu numarul i de puncte de la primul zar
71
72 CAPITOLUL 8. PROBABILITATI. VARIABILE ALEATOARE
si a fetei cu numarul j de puncte de la al doilea zar. Numarul tuturor probelor(al cazurilor posibile) este 36.
Fie A evenimentul ca suma de pe cele doua fete sa fie 5. A se realizeazaprin probele (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), deci este un eveniment compus.
Evenimentul B care consta ın aparitia probei (3,7) este un evenimentimposibil , iar evenimentul C care consta ın aparitia oricarei perechi este uneveniment sigur.
Evenimentul sigur se noteaza cu Ω, evenimentul imposibil cu ∅, iarevenimentul contrar lui A se va nota cu A . Avem evident Ω = ∅,
∅ = Ω, A = A.
Doua evenimente se numesc echivalente daca ele se realizeaza prin ace-leasi probe . Spunem ca evenimentul A implica evenimentul B (vomnota atunci A ⊂ B) daca orice proba care realizeaza evenimentul A,realizeaza si evenimentul B . Are loc evident A ⊂ Ω si ∅ ⊂ A, oricarear fi evenimentul A.
Evenimentele A si B se numesc compatibile daca se pot realiza simultan,adica daca exista probe care realizeaza atat pe A cat si pe B . In cazcontrar evenimentele se numesc incompatibile sau disjuncte.
Date doua evenimente A si B numim reuniunea lor (notata A ∪ B)evenimentul care se realizeaza atunci cand se realizeaza cel putin unuldintre evenimentele A si B . Se numeste intersectia evenimentelorA si B (notata A ∩ B) evenimentul care se realizeaza atunci cand serealizeaza simultan evenimentele A si B.
Evenimentele A si B sunt disjuncte daca A ∩B = ∅.
Teorema 8.1 (Proprietati ale operatiilor cu evenimente). 1. Daca A ⊂ B,atunci A ∪B = B si A ∩B = A.
2. A ∪A = A, A ∪ ∅ = A, A ∪ A = Ω, A ∪Ω = Ω, Ω ∪ ∅ = Ω,A ∩A = A, A ∩ ∅ = ∅, A ∩ A = ∅, A ∩Ω = A, Ω ∩ ∅ = ∅.
3. Daca A ⊂ C si B ⊂ C, atunci A ∪B ⊂ C si A ∩B ⊂ C.
4. A∪B = B∪A, A∪(B ∪C) = (A ∪B)∪C, A∩B = B∩A, A∩(B ∩C) =(A ∩B)∩C, A∩ (B ∪C) = (A ∩B)∪ (A ∩C) , A∪ (B ∩C) = (A ∪B)∩(A ∪C) .
Fie Ω = E1, . . . ,En multimea evenimentelor elementare corespunzatoareunei experiente aleatoare si K ⊆ P(Ω) o multime nevida de evenimente.
8.1. PROBABILITATI 73
Definitia 8.1. Cuplul (Ω,K) se numeste camp finit de evenimente daca:
i. ∀A ∈ K⇒ A ∈ K
ii. ∀A,B ∈ K⇒ A ∪B ∈ K.
Observatii:
1. Intr-un camp finit de evenimente (Ω,K) sunt adevarate afirmatiile:
A,B ∈ K⇒ A ∖B ∈ K ∅ ∈ K si Ω ∈ K A,B ∈ K⇒ A ∩B ∈ K
2. Daca multimea evenimentelor elementare este infinita dar numarabilaatunci (Ω,K) se numeste camp infinit de evenimente daca:
i. ∀A ∈ K⇒ A ∈ Kii. ∀Ai ∈ K, i ∈ I ⊂ N⇒⋃
i∈I
Ai ∈ K
Definitia 8.2. Intr-un camp finit de evenimente (Ω,K), spunem ca eveni-mentele Ai ∈ K, i = 1, . . . , n formeaza un sistem complet de evenimente(sau o partitie a campului) daca:
i.n
⋃i=1
Ai = Ω
ii. Ai ∩Aj = ∅,∀i ≠ j, i, j = 1, . . . , n
Evenimentele elementare corespunzatoare unei experiente formeaza unsistem complet de evenimente.Ω = E1, . . . ,En ımpreuna cu K = P(Ω) este un camp finit de evenimentecare contine 2n evenimente:
∅,E1 , . . . ,En ın numar de n = C1
n
Ei,Ej , i, j = 1, n, i < j, ın numar de C2n ,
⋮E1,E2, . . . ,En = Ω, ın numar de 1 = Cn
n .
deci numarul total de evenimente este 1 +C1n +⋯Cn
n = (1 + 1)n = 2n.
74 CAPITOLUL 8. PROBABILITATI. VARIABILE ALEATOARE
Definitia 8.3 (axiomatica a probabilitatii). Fie (Ω,K) un camp finit deevenimente. Se numeste probabilitate pe campul considerat o functie P ∶K → R care satisface axiomele:
i. P (A) ≥ 0, ∀A ∈ K
ii. P (Ω) = 1
iii. P (A ∪B) = P (A) + P (B), ∀A,B ∈ K,A ∩B = ∅.
Tripletul (Ω,K, P ) se numeste camp finit de probabilitate.
Au loc relatiile:
1. P (∅) = 0
2. P (A) = 1 − P (A)
3. P (n
⋃i=1
Ai) =n
∑i=1
P (Ai), ∀Ai ∈ K, i = 1, . . . , n cu Ai ∩Aj = ∅ pentru
i ≠ j.
In cazul unui camp infinit de evenimente, axioma a treia din definitiaprobabilitatii devine:
iii. P (⋃i∈I
Ai) = ∑i∈I
P (Ai), ∀Ai ∈ K, i ∈ I ⊆ N si Ai ∩ Aj = ∅ pentru
i ≠ j.
8.1.2 Reguli de calcul cu probabilitati
1. Probabilitatea diferentei:
P (B ∖A) = P (B) − P (A), ∀A,B ∈ K, A ⊂ B.
2. Probabilitatea reuniunii (formula lui Poincare)
P (A ∪B) = P (A) + P (B) − P (A ∩B), ∀A,B ∈ K.
3. Probabilitati conditionate: daca B ∈ K si P (B) ≠ 0, atunci functia
PB ∶ K → R, PB(A) = P (A ∩B)P (B)
este o probabilitate pe (Ω,K).
8.1. PROBABILITATI 75
Probabilitatea conditionata PB(A) se mai noteaza cu P (A∣B). P (A ∩B) = P (B) ⋅ P (A∣B)
P (n
⋂i=1
Ai) = P (A1) ⋅P (A2∣A1) ⋅P (A3∣A1 ∩A2) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅P (An∣⋂n−1i=1 Ai)
Daca evenimentele A si B sunt independente, atunci
PB(A) = P (A) si P (A ∩B) = P (A) ⋅ P (B)
4. Probabilitatea reuniunii evenimentelor independente: dacaA1,A2, . . . ,Ansunt evenimente independente, atunci
P (n
⋃i=1
Ai) = 1 −n
∏i=1
(1 − P (Ai))
5. Inegalitatea lui Boole:
P (n
⋃i=1
Ai) ≤n
∑i=1
P (Ai)
6. Formula probabilitatii totale: daca A1,A2, . . . ,An este un sistem com-plet de evenimente si X ∈ K atunci
P (X) =n
∑i=1
P (Ai) ⋅ PAi(X)
7. Formula lui Bayes: daca A1,A2, . . . ,An este un sistem complet de eve-nimente si X ∈ K atunci
PX(Ak) =P (Ak) ⋅ PAk(X)n
∑i=1
P (Ai) ⋅ PAi(X), ∀k = 1,2, . . . , n.
8.1.3 Scheme probabilistice
Schema lui Poisson
Fie E o experienta care consta ın efectuarea a n experiente independenteEi, i = 1, n. Consideram de asemenea evenimentele Ai legate de experienteleEi, i = 1, n.
Probabilitatea evenimentului care consta ın realizarea a k (0 ≤ k ≤ n) dincele n evenimente, atunci cand se efectueaza experienta E, este coeficientullui xk din polinomul
Q(x) = (p1x + q1)(p2x + q2) . . . (pnx + qn),
76 CAPITOLUL 8. PROBABILITATI. VARIABILE ALEATOARE
unde pi = P (Ai), qi = P (Ai), i = 1, n.Consideram cazul particular n = 4, k = 2 si fie A evenimentul care consta
ın realizarea a doua din cele patru evenimente. Avem:
A = (A1 ∩ A2 ∩A3 ∩A4) ∪ (A1 ∩A2 ∩ A3 ∩A4) ∪ (A1 ∩A2 ∩A3 ∩ A4) ∪∪(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩A4) ∪ (A1 ∩ A2 ∩A3 ∩ A4) ∪ (A1 ∩A2 ∩ A3 ∩ A4)
P (A) = q1q2p3p4 + q1p2q3p4 + q1p2p3q4 + p1q2q3p4 + p1q2p3q4 + p1p2q3q4
care este egala cu coeficientul lui x2 din polinomul Q(x).O varianta a schemei lui Poisson se obtine atunci cand se considera un
acelasi eveniment legat de fiecare din cele n experiente, ın loc de n evenimentediferite. Probabilitatea ca evenimentul considerat sa se realizeze de k ori sisa nu se realizeze de n − k ori este egala cu coeficientul lui xk din polinomulQ(x).
Exemplu: Se dau n urne care contin bile albe si negre ın diferite proportii.Se cunosc pi, probabilitatile evenimentelor care constau ın extragerea uneibile albe din urna i, i = 1, n. Probabilitatea evenimentului care consta ınobtinerea a k bile albe si n − k bile negre cand din fiecare urna se extragecate o bila este egala cu coeficientul lui xk din polinomul Q(x).
Schema lui Bernoulli (binomiala)
Fie A un eveniment care se realizeaza cu probabilitatea p la efectuareaexperientei E. In aceste conditii, probabilitatea evenimentului C care constaın realizarea lui A de k ori, atunci cand E se efectueaza de n ori este
P (C) = Cknp
kqn−k
unde q = 1 − p.Schema lui Bernoulli este un caz particular al schemei lui Poisson, cand
cele n experiente Ei constau ın repetarea (ın aceleasi conditii) experientei E,iar evenimentele A1,A2, . . . ,An se reduc la acelasi eveniment A, cu P (A) = p.Probabilitatea ca A sa se realizeze de k ori cand E se efectueaza de n ori estecoeficientul lui xk din polinomul
Q(x) = (px + q)n, deci P (C) = Cknp
kqn−k.
Schema lui Bernoulli se mai numeste schema bilei revenite, denumirejustificata de urmatorul exemplu:O urna contine a bile albe si b bile negre. Se fac n extrageri, punand defiecare data bila extrasa ın urna. Probabilitatea evenimentului C care constaın obtinerea a k bile albe si n − k negre este
P (C) = Ckn ( a
a + b)k
( b
a + b)n−k
.
8.2. VARIABILE ALEATOARE 77
Schema lui Bernoulli cu mai multe stari (multinomiala)
Se considera o experienta E ın urma careia poate aparea unul si numai unuldin evenimentele Ai cu probabilitatile P (Ai) = pi, i = 1, n care formeaza un
sistem complet de evenimente (n
∑i=1
pi = 1). Se repeta de k ori experienta E
ın aceleasi conditii. Probabilitatea evenimentului A care consta ın realizareaevenimentelor: A1 de m1 ori, A2 de m2 ori, . . . , An de mn ori (m1 +m2 + ⋅ ⋅ ⋅ +mn = k) este
P (A) = k!
m1!m2! . . .mn!pm1
1 pm22 . . . pmnn .
Schema hipergeometrica (schema bilei neıntoarse)
O urna contine a bile albe si b bile negre. Se fac n extrageri, fara a pune bilaextrasa ın urna. Probabilitatea evenimentului A care consta ın obtinerea,din cele n bile extrase, a k bile albe si n − k negre, este
P (A) =CkaC
n−kb
Cna+b
.
Numarul cazurilor posibile este Cna+b. Un grup de k bile albe poate fi luat ın
Cka moduri, iar un grup de n−k bile negre poate fi luat ın Cn−k
b moduri, decinumarul cazurilor favorabile este Ck
aCn−kb .
8.2 Variabile aleatoare
8.2.1 Variabile aleatoare discrete si continue
Dupa repetarea unui experiment de un numar mare de ori intervine o anumitaregularitate ın privinta aparitiei unor rezultate ale acestuia, dar nu se poatepreciza niciodata cu certitudine care anume dintre rezultate va apare ıntr-oanumita proba
Din acest motiv, conceptul de ”aleator” trebuie ınteles ın sensul ca avemde a face cu experimente sau fenomene guvernate de legi probabilistice (atuncicand exista un anumit grad de incertitudine privind aparitia unui rezultatsau reaparitia lui) si nu de legi deterministe (cand stim cu certitudine cerezultat va apare sau nu).
Pentru studierea unor astfel de experimente sau fenomene sunt impor-tante urmatoarele doua aspecte:
1. rezultatele posibile ale experimentului, care pot constitui o multimefinita, infinita si numarabila, sau infinita si nenumarabila.
78 CAPITOLUL 8. PROBABILITATI. VARIABILE ALEATOARE
2. legea statistica (sau probabilitatile) dupa care apar rezultatele experi-mentului considerat.
In ınteles mai larg, o marime care ia valori aleatoare (la ıntamplare) dintr-o multime oarecare posibila se numeste variabila aleatoare.
Definitia 8.4. Fie campul de probabilitate (Ω,K, P ). Se numeste variabilaaleatoare de tip discret o functie X ∶ Ω→ R care verifica:
1. are o multime cel mult numarabila de valori;
2. ω ∈ Ω∣X(ω) = x ∈ K, ∀x ∈ R.
Notam valorile pe care le ia X cu x1 < x2 < ⋅ ⋅ ⋅ < xn < . . . , iar evenimentelecorespunzatoare acestor valori cu (X = xi) = ω ∈ Ω∣X(ω) = xi, i ∈ N.
Definitia 8.5. Numim distributia sau repartitia variabilei aleatoare dis-
crete X un tablou de forma X ∶⎛⎝xi
pi
⎞⎠i∈I
unde pi = P (X = xi), i ∈ I sunt sunt
probabilitatile cu care X ia valorile xi, i ∈ I, multimea I fiind finita sau celmult numarabila.
Evenimentele (X = xi), i ∈ I formeaza un sistem complet de evenimentesi
∑i∈I
pi = 1.
Definitia 8.6. Fie campul de probabilitate (Ω,K, P ) si variabila aleatoarediscreta X ∶ Ω → R. Se numeste functie de repartitie a lui X functiaF ∶ R→ [0,1] definita prin
F (x) = P (X ≤ x) = ∑xi≤x
P (X = xi), x ∈ R.
Proprietati:
1. F este functie crescatoare pe R:
∀x1, x2 ∈ R, x1 < x2 ⇒ F (x1) ≤ F (x2)
2. ∀a, b ∈ R, a < b avem P (a <X ≤ b) = F (b) − F (a).
3. limx→−∞
F (x) = 0, limx→∞
F (x) = 1
4. F este continua la stanga ın orice punct x ∈ R:
F (x − 0) = F (x), ∀x ∈ R.
8.2. VARIABILE ALEATOARE 79
Definitia 8.7. Fie campul de probabilitate (Ω,K, P ). Se numeste variabilaaleatoare de tip continuu o functie X ∶ Ω→ R care verifica:
1. are o multime nenumarabila de valori (contine un interval de numerereale);
2. ω ∈ Ω∣X(ω) ≤ x ∈ K, ∀x ∈ R.
Definitia 8.8. Fie campul de probabilitate (Ω,K, P ) si variabila aleatoarecontinua X ∶ Ω → R. Se numeste functie de repartitie a lui X functiaF ∶ R→ [0,1] definita prin
F (x) = P (X ≤ x) = ∫x
−∞ρ(t)dt, x ∈ R.
Functia ρ ∶ R → R se numeste densitate de probabilitate a variabileialeatoare X.
Proprietati:
1. ρ(x) ≥ 0,∀x ∈ R
2. F ′(x) = ρ(x),∀x ∈ R
3. P (a ≤ x < b) = ∫b
aρ(t)dt
4. ∫∞
−∞ρ(t)dt = 1.
8.2.2 Vectori aleatori bidimensionali
Definitia 8.9. Spunem ca variabilele aleatoare discrete X si Y care au res-
pectiv distributiile X ∶⎛⎝xi
pi
⎞⎠i∈I
si Y ∶⎛⎝yj
qj
⎞⎠j∈J
sunt independente daca
P (X = xi, Y = yj) = P (X = xi) ⋅ P (Y = yj), ∀(i, j) ∈ I × J.
Teorema 8.2. Fie variabilele aleatoare discrete X si Y care au respectiv
distributiile X ∶⎛⎝xi
pi
⎞⎠i∈I
si Y ∶⎛⎝yj
qj
⎞⎠j∈J
. Atunci variabilele aleatoare suma
X + Y , produs X ⋅ Y si cat XY (daca yj ≠ 0,∀j ∈ J) au distributiile X + Y ∶
⎛⎝xi + yjpij
⎞⎠(i,j)∈I×J
, X ⋅ Y ∶⎛⎝xiyj
pij
⎞⎠(i,j)∈I×J
, XY ∶
⎛⎝
xiyj
pij
⎞⎠(i,j)∈I×J
, unde pij =
P (X = xi, Y = yj), ∀(i, j) ∈ I × J .
80 CAPITOLUL 8. PROBABILITATI. VARIABILE ALEATOARE
∑j∈J
pij = pi, ∀i ∈ I si ∑i∈I
pij = qj,∀j ∈ J .
Daca X si Y sunt independente, atunci pij = piqj, ∀(i, j) ∈ I × J .
Definitia 8.10. Fie campul de probabilitate (Ω,K, P ). Spunem ca U =(X,Y ) este un vector aleator bidimensional de tip discret daca functiaU ∶ Ω→ R2 ındeplineste conditiile:
1. are o multime cel mult numarabila de valori;
2. ∀(x, y) ∈ R2, (X = x,Y = y) = ω ∈ Ω∣X(ω) = x,Y (ω) = y ∈ K.
Definitia 8.11. Numim distributia sau repartitia vectorului aleator dis-cret (X,Y ) tabloul:
X Ó Y y1 . . . yj . . .
x1 p11 . . . p1j . . .
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱xi pi1 . . . pij . . .
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱
unde (xi, yj) sunt valorile pe care le iavectorul (X,Y ), iar pij = P (X = xi, Y =yj). Evident, ∑
(i,j)∈I×J
pij = 1.
In mod analog se definesc vectorii aleatori bidimensionali de tip continuu.
Definitia 8.12. Se numeste functie de repartitie a vectorului aleatorbidimensional functia F ∶ R2 → [0,1] definita prin:
F (x, y) = P (X ≤ x,Y ≤ y), ∀(x, y) ∈ R2.
Proprietati:
1. daca a < b si c < d, atunci
P (a <X ≤ b, c < Y ≤ d) = F (b, d) − F (a, c)
2. F este monoton crescatoare ın raport cu fiecare argument.
3. limx→−∞
F (x, y) = limy→−∞
F (x, y) = limx,y→−∞
F (x, y) = 0 si limx,y→∞
F (x, y) = 1.
4. F este continua la stanga ın raport cu fiecare argument.
5. Daca cele doua componente X si Y ale vectorului aleator au functiilede repartitie FX si FY , atunci
FX(x) = limy→∞
F (X,Y ) si FY (y) = limx→∞
F (X,Y )
8.2. VARIABILE ALEATOARE 81
In cazul continuu, functia de repartitie a unui vector aleator (X,Y ) sepoate scrie sub forma
F (x, y) =x
∫−∞
y
∫−∞
ρ(s, t)dsdt, ∀(x, y) ∈ R2.
Functia ρ ∶ R2 → R se numeste densitate de probabilitate a vectoruluialeator (X,Y ).
Proprietati:
1. ρ(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ R2;
2.∂2F
∂x∂y(x, y) = ρ(x, y), ∀(x, y) ∈ R2;
3. P ((X,Y ) ∈D) =∬D
ρ(x, y)dxdy, D ⊂ R2;
4. ∬R2
ρ(x, y)dxdy = 1;
5. ρX(x) =∞
∫−∞
ρ(x, y)dy, ∀x ∈ R si ρY (y) =∞
∫−∞
ρ(x, y)dx, ∀y ∈ R, unde
ρX si ρY sunt densitatile celor doua componente X si Y ale vectoruluialeator.
Definitia 8.13. Spunem ca variabilele aleatoare de tip continuu X si Y suntindependente daca F (x, y) = FX(x) ⋅ FY (y), ∀(x, y) ∈ R2.
8.2.3 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare
Definitia 8.14. Fie (Ω,K, P ) un camp de probabilitate si variabila aleatoare
discreta X ∶ Ω→ R cu distributia X ∶⎛⎝xi
pi
⎞⎠i∈I
. Se numeste valoare medie a
lui X caracteristica numerica
E(X) =∑i∈I
xipi
Definitia 8.15. Fie (Ω,K, P ) un camp de probabilitate si variabila aleatoarecontinua X ∶ Ω → R cu densitatea ρ(x). Se numeste valoare medie a lui Xcaracteristica numerica
E(X) = ∫∞
−∞xρ(x)dx
82 CAPITOLUL 8. PROBABILITATI. VARIABILE ALEATOARE
1. E(aX + b) = aE(X) + b, ∀a, b ∈ R;
2. E(X + Y ) = E(X) +E(Y );
3. X,Y independente ⇒ E(XY ) = E(X)E(Y ).
Definitia 8.16. Fie (Ω,K, P ) un camp de probabilitate si variabila aleatoareX ∶ Ω → R. Se numeste valoare dispersia (varianta) lui X caracteristicanumerica
V ar(X) = E [(X −E(X))2]
iar σ(X) =√V ar(X) se numeste abatere medie patratica.
Daca X este o variabila aleatoare discreta, atunci
V ar(X) =∑i∈I
(xi −E(X))2 ⋅ pi.
Daca X este o variabila aleatoare continua, atunci
V ar(X) = ∫∞
−∞(x −E(X))2
ρ(x)dx.
Proprietati:
1. V ar(X) = E(X2) − [E(X)]2;
2. V ar(aX + b) = a2V ar(X), ∀ab ∈ R;
3. X,Y independente ⇒ V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ).
Definitia 8.17. Se numeste corelatia sau covarianta variabilelor alea-toare X si Y caracteristica numerica
C(X,Y ) = E [(X −E(X))(Y −E(Y ))] .
Observatii:
C(X,Y ) = E(XY ) −E(X)E(Y ); C(X,X) = V ar(X)
daca X,Y sunt independente atunci C(X,Y ) = 0 dar nu si reciproc.
Definitia 8.18. Se numeste coeficient de corelatie al variabilelor alea-toare X si Y caracteristica numerica
r(X,Y ) = C(X,Y )√V ar(X)
√V ar(Y )
.
8.3. REPARTITII CLASICE 83
Observatii:
daca X,Y sunt independente atunci r(X,Y ) = 0 dar nu si reciproc;
daca r(X,Y ) = 0, spunem ca X,Y sunt necorelate;
∣r(X,Y )∣ ≤ 1;
r(X,Y ) = 1⇔ Y = aX + b, a > 0;
r(X,Y ) = −1⇔ Y = aX + b, a < 0.
8.3 Repartitii clasice
8.3.1 Repartitii discrete
Definitia 8.19. Spunem ca variabila aleatoare discreta X are o repartitieuniforma daca distributia ei este
X ∶⎛⎝x1 x2 . . . xn
p1 p2 . . . pn
⎞⎠, unde pk =
1
n,∀k = 1,2, . . . , n.
Teorema 8.3. Media si dispersia unei variabile aleatoare discrete repartizateuniform sunt:
E(X) = 1
n
n
∑i=1
xi
V ar(X) = 1
n
n
∑i=1
x2i −
1
n2(n
∑i=1
xi)2
Definitia 8.20. Spunem ca variabila aleatoare discreta X are o repartitiebinomiala cu parametrii n ∈ N si p ∈ (0,1) daca ia valorile 0,1,2, . . . , n cuprobabilitatile
P (X = k) = Cknp
kqn−k, ∀k = 0,1,2, . . . , n,
unde q = 1 − p.
Teorema 8.4. Media si dispersia unei variabile aleatoare discrete repartizatebinomial sunt:
E(X) = np, V ar(X) = npq.
84 CAPITOLUL 8. PROBABILITATI. VARIABILE ALEATOARE
Daca A este un eveniment legat de o experienta iar proabilitatea ca A sase realizeze cand efectuam o singura data experienta este P (A) = p, atuncivariabila aleatoare care are ca valori numarul realizarilor lui A cand efectuamde n ori experienta are o repartitie binomiala cu parametrii n si p.
Definitia 8.21. Spunem ca variabila aleatoare discreta X are o repartitiePoisson cu parametrul λ > 0 daca poate lua orice valoare ıntreaga pozitivacu probabilitatile
P (X = k) = λk
k!e−λ, ∀k = 0,1,2, . . . .
Teorema 8.5. Media si dispersia unei variabile aleatoare discrete repartizatePoisson sunt:
E(X) = λ, V ar(X) = λ.Daca n este suficient de mare si p suficient de mic (n ≥ 30 si np < 5), atunci
putem aproxima repartitia binomiala cu parametrii n si p prin repartitiaPoisson de parametru λ = np. Din acest motiv repartitia Poisson se mainumeste legea evenimentelor rare.
Exemple de variabile aleatoare care au repartitii de tip Poisson: numarulerorilor de pe o pagina (sau grup de pagini) dintr-o carte, numarul persoane-lor dintr-o comunitate care au peste 80 ani, numarul defectelor aparute la undispozitiv complex ıntr-un interval de timp, numarul clientilor unui magazinpe parcursul unei zile, etc.
8.3.2 Repartitii continue
Definitia 8.22. Spunem ca variabila aleatoare X are o repartitie uniformape intervalul [a, b] daca densitatea ei de repartitie este
f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1b−a , x ∈ [a, b]0, x ∈ (−∞, a) ∪ (b,∞)
Functia de repartitie a unei variabile aleatoare uniforme este
F (x) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
0, x ≤ ax−ab−a , a < x ≤ b1, x > b
.
Media si dispersia unei variabile aleatoare uniforme sunt
E(X) = a + b2
V ar(X) = (a − b)2
12.
8.3. REPARTITII CLASICE 85
Definitia 8.23. Spunem ca variabila aleatoare X are o repartitie normala(gaussiana) de parametri m si σ daca densitatea ei de repartitie este
f(x) = 1
σ√
2πe−
(x−m)22σ2 , m,x ∈ R, σ > 0.
Graficul densitatii unei v. a. repartizate N(m,σ2) este dreapta x =m este axa de simetrie;
pentru x =m se atinge valoarea ma-xima a densitatii 1
σ√
2π;
punctele x =m − σ si x =m + σ suntpuncte de inflexiune.
Pentru m = 0 si σ = 1 se obtine repartitia normala standard N(0,1) avanddensitatea de repartitie
f(x) = 1√2πe−
x2
2 .
Functia Φ ∶ R→ R data prin
Φ(x) = 1√2π∫
x
0e−
t2
2 dt
se numeste functia integrala a lui Laplace si are proprietatile
1. Φ(0) = 0,
2. Φ(∞) = 12 ,
3. Φ(−x) = −Φ(x), ∀x > 0.
Functia de repartitie a unei variabile aleatoare N(0,1) este
F (x) = 1
2+Φ(x).
Daca variabila aleatoare X este repartizata N(m,σ2), atunci variabila alea-toare Y = 1
σ(X −m) este repartizata N(0,1) si obtinem pentru functia derepartitie a lui X:
F (x) = 1
2+Φ(x −m
σ) .
Teorema 8.6. Daca variabila aleatoare X are o repartitie normala cu para-metrii m si σ, atunci valoarea medie si dispersia sa sunt
E(X) =m, V ar(X) = σ2.
86 CAPITOLUL 8. PROBABILITATI. VARIABILE ALEATOARE
Propozitia 8.3.1. Daca variabila aleatoare X are o repartitie normala cuparametrii m si σ, iar a, b, k ∈ R, k > 0 atunci
a) P (a <X < b) = Φ ( b−mσ
) −Φ (a−mσ
);
b) P (∣X −m∣ < kσ) = 2Φ(k).
Folosind tabelele de valori ale functiei Φ gasim:
P (∣X −m∣ < σ) = 2Φ(1) = 0.6826, adica cel putin 68% din valorile luiX se afla ın intervalul (m − σ,m + σ).
P (∣X −m∣ < 2σ) = 2Φ(2) = 0.9544, adica cel putin 95% din valorile luiX se afla ın intervalul (m − 2σ,m + 2σ).
P (∣X −m∣ < 3σ) = 2Φ(3) = 0.9974, adica cel putin 99% din valorile luiX se afla ın intervalul (m − 3σ,m + 3σ).
Definitia 8.24. Spunem ca variabila aleatoare X are o repartitie exponentialade parametru λ > 0 daca densitatea ei de repartitie este
f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
λe−λx, x ≥ 0
0, x < 0.
Functia de repartitie este
F (x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
0, x ≤ 0
1 − e−λx, x > 0.
Media si dispersia sunt:
E(X) = 1
λ,V ar(X) = 1
λ2.
Daca variabila aleatoare care da numarul de aparitii ale unui evenimentın intervalul [0, t] este repartizata Poisson de parametru λt, atunci variabilaaleatoare care da lungimea intervalului de timp dintre doua aparitii succesiveale evenimentului este repartizata exponential de parametru λ.
Definitia 8.25. Spunem ca variabila aleatoare X are o repartitie Gammade parametru a > 0 daca densitatea ei de repartitie este
f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
λaxa−1e−λxΓ(a) , x > 0
0, x ≤ 0.
unde λ > 0, a > 0, iar Γ(a) = ∫∞
0 xa−1e−xdx.
8.3. REPARTITII CLASICE 87
Γ(a) se numeste integrala Gamma a lui Euler si are proprietatile:
Γ(a) este convergenta pentru a > 0 si divergenta pentru a ≤ 0;
Γ(a + 1) = aΓ(a);
Γ(1) = 1 si Γ (12) =
√π;
Γ(n) = (n − 1)!, ∀n ∈ N∗.
Proprietati ale repartitiei Gamma:
Functia de repartitie este
F (x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
0, x ≤ 01
Γ(a) ∫x
0λata−1e−λtdt, x > 0.
Media si dispersia sunt
E(X) = aλ, V ar(X) = a
λ2.
Pentru a = 1 se obtine repartitia exponentiala.
Pentru a = 2,3, . . . repartitia Gamma corespunzatoare se numeste repartitieErlang.
Daca variabila aleatoare X este repartizata normal de parametri m siσ, atunci variabila aleatoare Y = 1
2σ2 (X −m)2 are o repartitie Gammacu parametrii λ = 1 si a = 1
2 .
Definitia 8.26. Spunem ca variabila aleatoare X are o repartitie χ2 cu ngrade de libertate daca densitatea ei de repartitie este
f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1
2n2 Γ(n
2)xn2−1e−
12x, x > 0
0, x ≤ 0.
Graficele densitatilor unor v. a. repartizate χ2 pentru diverse grade delibertate:
88 CAPITOLUL 8. PROBABILITATI. VARIABILE ALEATOARE
repartitia χ2 este un caz particularal repartitiei Gamma pentru λ = 1
2 sia = n
2 , n ∈ N;
media si dispersia sunt
E(X) = n, V ar(X) = 2n;
are multe aplicatii ın statisticainferentiala, motiv pentru carefunctia ei de repartitie este tabelatapentru diverse valori ale lui n.
Definitia 8.27. Spunem ca variabila aleatoare X are o repartitie Student(t) cu n grade de libertate daca densitatea ei de repartitie este
f(x) =Γ (n+1
2)
√nπΓ (n
2)(1 + x
2
n)−n+1
2
, n ∈ N, x ∈ R.
Media si dispersia unei variabile aleatoare repartizate Student sunt
E(X) = 0, V ar(X) = n
n − 2.
Pentru n→∞ densitatea repartitiei Student converge catre densitatearepartitiei normale standard.
Definitia 8.28. Spunem ca variabila aleatoare X are o repartitie Fisher-Snedecor cu parametrii n1, n2 ∈ N daca densitatea ei de repartitie este
f(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
(n1
n2)n12 Γ(
n1+n22
)
Γ(n12
)Γ(n22
)xn12−1 (1 + n1
n2x)−
n1+n22 , x > 0
0, x ≤ 0.
8.4 Convergenta variabilelor aleatoare
Definitia 8.29. Spunem ca sirul de variabile aleatoare (Xn)n∈N este con-vergent ın probabilitate la variabila aleatoare X daca pentru orice ε > 0
limn→∞
P (∣Xn −X ∣ > ε) = 0.
Teorema 8.7 (Legea numerelor mari). Fie un sir de variabile aleatoare(Xn)n∈N independente si identic repartizate cu
E(Xn) =m si V ar(Xn) = σ2, ∀n ∈ N.
8.5. EXERCITII 89
Atunci variabila aleatoare Yn =1
n
n
∑k=1
Xk converge ın probabilitate la m.
Legea numerelor mari este cunoscuta si sub denumirea de regulari-tate statistica. Termenul de regularitate statistica se motiveaza ın felulurmator: daca avem o caracteristica X si se fac n determinari independentex1, x2, . . . , xn, apoi m determinari independente y1, y2, . . . , ym ale acesteia,atunci pentru n,m mari avem 1
n ∑nk=1 xk ≃ 1
m ∑mk=1 yk.
Teorema 8.8 (Teorema limita centrala). Fie sirul de variabile alea-toare independente (Xn)n∈N cu aceeasi repartitie, pentru care exista E(Xn)si V ar(Xn) ≠ 0, ∀n ∈ N . Notam cu
Yn =1
n
n
∑k=1
Xk, Zn =Yn −E(Yn)√V ar(Yn)
si cu (Gn)n∈N sirul functiilor de repartitie ale variabilelor aleatoare Zn . Inaceste conditii sirul (Zn) converge ın repartitie la o variabila aleatoare cudistributia N(0,1), adica
limn→∞
Gn(x) =1√2π∫
x
−∞e−
t2
2 dt.
8.5 Exercitii
1. Consideram experienta aruncarii unui zar. Sa se calculeze probabi-litatile urmatoarelor evenimente:
a) Zarul cade pe fata cu 6 puncte;
b) Se obtine 1 sau 2;
c) Se obtine cel putin 3;
d) Se obtine cel mult 4.
2. Se arunca o moneda de 3 ori. Care este probabilitatea ca:
a) Stema sa apara de 2 ori
b) Stema sa apara cel putin o data
c) Stema sa apara cel mult o data
d) Sa apara aceeasi fata de 3 ori
3. Dintr-o urna cu 15 bile numerotate de la 1 la 15 se extrage o bila laıntamplare. Sa se calculeze probabilitatile urmatoarelor evenimente:
90 CAPITOLUL 8. PROBABILITATI. VARIABILE ALEATOARE
a) Obtinerea unui numar par
b) Obtinerea unui numar impar
c) Obtinerea unui numar de doua cifre
d) Obtinerea unui numar divizibil prin 3
4. Consideram experienta aruncarii a doua zaruri. Sa se calculeze proba-bilitatile urmatoarelor evenimente:
a) Se obtine suma zarurilor 7;
b) Se obtine suma zarurilor 11;
c) Se obtine dublu 6;
d) Se obtine o dubla;
e) Se obtine diferenta ıntre zaruri 2;
f) Se obtine un zar par si unul impar;
5. In confectionarea unui produs pot aparea independent doua tipuri dedefecte: de productie cu probabilitatea 0.1, respectiv de asamblare cuprobabilitatea 0.05. Care este probabilitatea evenimentelor:
a) un produs nu are ambele defecte
b) un produs este defect
c) un produs are un singur tip de defect
d) un produs are defect de productie dar nu si defect de asamblare.
6. Trei tragatori nimeresc o tinta cu probabilitatile 0.7,0.8,0.9. Care esteprobabilitatea ca:
(a) Tinta sa fie atinsa de 3 ori;
(b) Tinta sa fie atinsa de 2 ori;
(c) Tinta sa fie atinsa cel mult o data;
(d) Tinta sa fie atinsa;
7. Un aparat este format din patru componente care functioneaza inde-pendent una de alta si a caror fiabilitate este de 0.85, 0.87, 0.89 si 0.91.Sa se determine probabilitatile evenimentelor:
(a) aparatul functioneaza
(b) aparatul nu functioneaza
8.5. EXERCITII 91
(c) cel putin una din componente functioneaza
(d) o singura componenta nu functioneaza
(e) cel putin doua componente functioneaza
8. Un student are 4 examene ıntr-o sesiune. Probabilitatile de promovarea examenelor sunt 0.4, 0.5, 0.6, 0.8. Sa se calculeze probabilitatea ca:
(a) studentul sa fie integralist
(b) sa nu promoveze niciun examen
(c) sa promoveze cel putin 2
(d) sa promoveze cel mult 3
9. La un an de la terminarea studiilor, absolventii unei promotii au fostclasificati dupa cum rezulta din tabelul
Angajati Someri
Barbati 92 8 100
Femei 28 52 80
120 60 180
Se studiaza, la ıntamplare situatia unui fost absolvent. Sa se determineprobabilitatile evenimentelor:U=absolventul sa fie barbat, stiind ca este angajatV=absolventa sa fie somera, stiind ca este femeieR: 0.767, 0.65
10. S-a facut un studiu privind rolul sportului asupra sanatatii pe unesantion de 120 persoane si s-au obtinut rezultatele din urmatorul tabel:
Bolnavi Sanatosi
Sedentari 30 15 45
Sportivi 10 65 75
40 80 120
Se studiaza, la ıntamplare, situatia unei persoane. Sa se determineprobabilitatile evenimentelor:A=persoana sa fie sanatoasa, stiind ca face sport
92 CAPITOLUL 8. PROBABILITATI. VARIABILE ALEATOARE
B=pesoana sa fie bolnava, stiind ca nu face sportC=persoana sa fie sanatoasa, stiind ca nu face sportR: 0.867, 0.667, 0.333
11. S-a facut un sondaj pe 405 medici privind numarul celor specializati ınchirurgie si pediatrie, obtinandu-se rezultatele din urmatorul tabel:
Femei Barbati
Chirurgi 27 158 185
Pediatri 125 95 220
152 253 405
Se studiaza, la ıntamplare, situatia unei persoane. Sa se determineprobabilitatile evenimentelor:A=persoana sa fie femeie, stiind ca este pediatruB=pesoana sa fie chirurg, stiind ca este barbatC=persoana sa fie pediatru, stiind ca este barbatR: 0.568, 0.625, 0.375
12. S-a facut un sondaj pe 200 studenti privind situatia bursierilor, obtinandu-se rezultatele din urmatorul tabel
Bursieri Nebursieri
Baieti 46 59 105
Fete 68 27 95
114 86 200
Se studiaza, la ıntamplare, situatia unui student. Sa se determine pro-babilitatile evenimentelor:A=persoana sa fie bursier, stiind ca este fataB=pesoana sa fie nebursier, stiind ca este baiatR: 0.716, 0.562
13. Se considera trei urne identice ca aspect cu urmatoarele compozitii:U1(1a,1n), U2(5a,3n), U3(1a,3n). Se alege la ıntamplare una din urnesi din ea se extrage o bila. Se cere probabilitatea evenimentului ca bilaextrasa sa fie alba.R: 0.458
8.5. EXERCITII 93
14. Se considera 5 urne identice ca aspect cu urmatoarele compozitii: U1(2a,3n),U2(1a,4n), U3(3a,2n), U4(4a,1n), U5(1a,4n). Se extrage la ıntamplareo bila din una din urne si se constata ca este alba. Care este probabi-litatea ca bila sa fi fost extrasa din urna U4?R: 0.4
15. Un sortiment de marfa dintr-o unitate comerciala provine de la treifabrici diferite ın proportii, respectiv 1
3 de la prima fabrica, 16 de la a
doua fabrica si restul de la a treia. Produsele de la cele trei fabricisatisfac standardele de fabricatie ın proportie de 90%, 95% si respectiv92%. Un client ia la ıntamplare o bucata din sortimentul respectiv.
(a) Care este probabilitatea ca produsul sa satisfaca standardele defabricatie?
(b) Care este probabilitatea ca produsul sa provina de la prima fabricastiind ca este defect?
R: 0.918, 0.408
16. Trei loturi contin 6%, 8%, respectiv 7% produse defecte. Se extragela ıntamplare cate un produs din fiecare lot. Sa se afle probabilitatileevenimentelor:
a) A=un produs este defectb) B=un produs este bunc) C=toate produsele nu sunt buned) D=toate produsele sunt defectee) E=cel mult un produs este defectf) F=cel putin doua produse sunt defecte
17. O societate comerciala are 5 debitori. Probabilitatea ca la sfarsitul uneiluni un debitor sa fie solvabil este 0,85. Sa se determine probabilitatileevenimentelor:
a) A=toti debitorii sunt solvabilib) B=toti debitorii nu sunt solvabilic) C=trei debitori sunt solvabilid) D=cel putin trei debitori sunt solvabilie) E=trei debitori nu sunt solvabili
94 CAPITOLUL 8. PROBABILITATI. VARIABILE ALEATOARE
f) F=cel mult doi debitori nu sunt solvabili.
18. La un magazin s-au vandut ıntr-o luna 6 sortimente de produse ci, i =1,6 ın procent de: 15%, 25%, 20%, 10%, 18% si respectiv 12%. Se con-sidera 50 de clienti ai magazinului si se anticipeaza solicitarile acestora.Sa se determine probabilitatile evenimentelor:
a) A=5 clienti cumpara produsul c1, 7 clienti cumpara produsul c2,12 clienti cumpara produsul c3, 10 clienti cumpara produsul c4, 11clienti cumpara produsul c5, 5 clienti cumpara produsul c6
b) B=clientii nu cumpara produsele c2 si c3.
19. Dintr-un lot de 100 produse, dintre care 5% sunt rebut, se iau laıntamplare 8 produse. Care este probabilitatea evenimentelor:
a) A=6 produse sunt rebutb) B=3 produse sunt rebutc) C=3 sau 5 produse sunt rebutd) D=cel putin 2 produse sunt rebute) E=cel mult un produs este rebut
20. Fie variabila aleatoare discreta X ∶⎛⎝
1 2 3 4
p2 74p
13
16
⎞⎠
. Care este P (X ≤
3)?
21. Fie variabilele aleatoare independenteX ∶⎛⎝
0 1 212
14
14
⎞⎠
, Y ∶⎛⎝−1 1 213
16
12
⎞⎠
.
Sa se scrie variabilele aleatoare 2X, Y 2, X +Y, XY, XY ,
√X, 2X +3Y .
22. Fie variabilele aleatoare independente X ∶⎛⎝
−1 0 1
p + 16 q + 1
313
⎞⎠
, Y ∶
⎛⎝−1 0 113 2p − q 12p2
⎞⎠
.
(a) Sa se scrie distributia variabilei aleatoare 3XY
(b) Pentru ce valori ale lui c avem P (X + Y = c) > 29?
23. Sa se calculeze media, abaterea si dispersia variabilei aleatoare X ∶⎛⎝
0 1 2 3110
15
310
25
⎞⎠
.
8.5. EXERCITII 95
24. Fie variabila aleatoare X ∶⎛⎝
1 3 4
p1 p2 p3
⎞⎠
avand media M(X) = 83 si
dispersia D2(X) = 149 . Sa se determine p1, p2, p3.
25. Sa se determine variabilele aleatoare independenteX ∶⎛⎝x x + 1 x + 2 x + 3
p 2p 3p 4p
⎞⎠
si Y ∶⎛⎝y 2y 3y
q q2 q2
⎞⎠
stiind ca M(X) = 2 si M(Y ) = 7. Sa se calculeze
apoi media si dispersia variabilei aleatoare 2X + 3Y .R:x = 0, p = 1
10 , y = 4, q = 12 ,M(2X + 3Y ) = 25,D2(X) = 1,D2(Y ) =
11,D2(2X + 3Y ) = 103
26. Sa se scrie functiile de repartitie pentru variabilele aleatoareX ∶⎛⎝−1 0 112
13
16
⎞⎠
,
Y ∶⎛⎝
12 1 216
12
13
⎞⎠
.
27. Sa se calculeze coeficientul de corelatie al variabilelor aleatoare X ∶⎛⎝−2 1 0
0.3 0.5 0.2
⎞⎠
, Y ∶⎛⎝−1 1 2
0.1 0.4 0.5
⎞⎠
.
R:M(X) = −0.1,M(Y ) = 1.3,M(XY ) = −0.6,C(X,Y ) = −0.47,D(X) =1.3,D(Y ) = 0.9
96 CAPITOLUL 8. PROBABILITATI. VARIABILE ALEATOARE
Capitolul 9
Statistica inferentiala
9.1 Teoria selectiei
Cercetarea statistica a unei caracteristici pentru o populatie (ın general devolum mare) se face prin sondaje asupra unei parti finite, aleasa aleator apopulatiei. Aceste parti, care se presupun a fi omogene din punct de vedereal caracteristicii studiate, se numesc esantioane. Numarul de elementedintr-un esantion constituie volumul esantionului.
Procedeul de a obtine un esantion dintr-o populatie se numeste selectie.Daca fiecare element al populatiei are sansa egala de a apartine unui esantion,atunci avem o selectie aleatoare simpla.
Selectiile pot fi cu repetitie daca elementul ales este reintrodus ın populatieınainte de extragerea urmatorului element (alegerile succesive sunt indepen-dente si echiprobabile) si fara repetitie ın caz contrar. In cazul ın care volumulpopulatiei N este foarte mare ın raport cu volumul esantionului n, nu se facenicio diferenta ıntre selectia cu repetitie si cea fara repetitie. Selectia fararepetitie prezinta interes numai atunci cand volumul populatiei este mic.
Procedeul prin care se obtin informatii privind ıntreaga populatie folo-sind rezultatele din studiul esantioanelor se numeste inferenta statistica.Cercetarea statistica a unei caracteristici se poate face atat prin estima-rea parametrilor (o caracteristica numerica, un parametru din functia saudensitatea de repartitie), cat si prin verificarea ipotezelor statistice.
Exista doua tipuri de estimari utilizate mai des ın practica: estimaripunctuale si estimari prin intervale de ıncredere. In cadrul estimariipunctuale a unui parametru se foloseste un procedeu de determinare, pebaza datelor unei selectii, a unui numar care aproximeaza valoarea reala aparametrului.
In cadrul celuilalt tip de estimare a unui parametru λ, i se poate asocia un
97
98 CAPITOLUL 9. STATISTICA INFERENTIALA
interval (λ, λ), numit interval de ıncredere, cu proprietatea ca orice elementdin acesta reprezinta, cu o anumita probabilitate, o valoare aproximativa aparametrului:
P (λ < λ < λ) = α, α ∈ (0,1).
Intervalul (λ, λ) se numeste 100α% interval de ıncredere , α este nivel deıncredere , 1−α este pragul de ıncredere (sau nivel de semnificatie) , iar λ, λsunt limite de ıncredere pentru parametrul λ.
Definitia 9.1. Fie X o variabila aleatoare teoretica asociata unei caracte-ristici a unei populatii Ω si X1,X2, . . . ,Xn variabile aleatoare independentede selectie, asociate selectiilor de volum n ale lui Ω .
O variabila aleatoare S ∶ Ω → R pentru care exista o functie H ∶ Rn → Rastfel ıncat
S(ω1, ω2, . . . , ωn) =H (X1(ω1),X2(ω2), . . . ,Xn(ωn)) ,∀ωi ∈ Ω, i = 1, . . . , n
se numeste functie de selectie sau statistica.
Pentru comoditate vom nota
S =H(X1,X2, . . . ,Xn) =H(X,n).
Informatiile obtinute asupra variabilelor aleatoare de selectie Xi, i = 1, . . . , nne vor permite estimarea unor parametri asociati unei distributii.
9.2 Estimatii punctuale
Definitia 9.2. Fie X ∶ Ω→ R o variabila aleatoare a carei repartitie depindede un parametru real θ, asociata unei caracteristici numerice a unei populatiistatistice Ω, ω1, ω2, . . . , ωn ⊂ Ω un esantion de volum n si x1, x2, . . . , xnvalorile lui X pe esantionul respectiv, adica X(ωi) = xi, i = 1, . . . , n.
Se numeste estimator pentru parametrul θ orice functie de selectieH(X,n) care aproximeaza acest parametru;
Valoarea H(x1, x2, . . . , xn) = θ se numeste estimatie punctuala aparametrului θ.
Exemplu:Fie o variabila aleatoare X repartizata N(µ,σ) . Pe un esantion de volum 4se obtin valorile x1 = 25, x2 = 30, x3 = 29, x4 = 31 . Media de selectie a acestorvalori x = 25+30+29+31
4 = 28.75 este o estimatie punctuala a parametrului µ.
Definitia 9.3. Estimatorul H(X,n) se numeste:
9.2. ESTIMATII PUNCTUALE 99
consistent pentru parametrul θ daca
∀ε > 0, limn→∞
P (∣H(X,n) − θ∣ < ε) = 1
corect pentru parametrul θ daca
limn→∞
E(H(X,n)) = θ, limn→∞
V ar(H(X,n)) = 0
absolut corect pentru parametrul θ daca
E(H(X,n)) = θ, limn→∞
V ar(H(X,n)) = 0
nedeplasat pentru parametrul θ daca
E(H(X,n)) = θ
Estimatorul
m(X,n) = X = 1
n
n
∑i=1
Xi
se numeste medie de selectie si este un estimator absolut corect si nede-plasat pentru E(X):
E(X) = E ( 1
n
n
∑i=1
Xi) = 1
n
n
∑i=1
E(Xi) =1
nnE(X) = E(X)
V ar(X) = V ar ( 1
n
n
∑i=1
Xi) = 1
n2
n
∑i=1
V ar(Xi) =1
n2nV ar(X)
limn→∞
V ar(X) = limn→∞
1
nV ar(X) = 0
Estimatorul
D2(X,n) = S2 = 1
n
n
∑i=1
(Xi − X)2 = 1
n
n
∑i=1
X2i − X2
se numeste dispersie de selectie si este un estimator corect pentru V ar(X).Avem
E(S2) = n − 1
nV ar(X)
deci S2 nu este un estimator nedeplasat pentru V ar(X).Daca se alege
s2 = n
n − 1S2 = 1
n − 1
n
∑i=1
(Xi − X)2,
obtinem un estimator absolut corect si nedeplasat pentru V ar(X).
100 CAPITOLUL 9. STATISTICA INFERENTIALA
9.2.1 Verosimilitate maxima
Fie X o variabila aleatoare discreta care ia valorile xi∣i = 1, . . . , n cu proba-bilitatile depinzand de un parametru θ si X1,X2, . . . ,Xn variabilele aleatoarede selectie independente corespunzatoare selectiilor de volum n . Probabili-tatea ca vectorul aleator (X1,X2, . . . ,Xn) sa ia valoarea (x1, x2, . . . , xn) esten
∏i=1
P (xi, θ). Functia
V (x1, x2, . . . , xn; θ) =n
∏i=1
P (xi, θ)
se numeste functie de verosimilitate a variabilei aleatoare X .Daca X este o variabila aleatoare continua cu densitatea de repartitie
f(x, θ), unde θ este un parametru care trebuie determinat , atunci functiade verosimilitate se defineste ca fiind densitatea de repartitie a vectoruluialeator (X1,X2, . . . ,Xn), adica
V (x1, x2, . . . , xn; θ) =n
∏i=1
f(xi, θ).
Principiul verosimilitatii maxime consta ın determinarea parametrului θdin conditia ca V (x1, x2, . . . , xn; θ), considerata ca o functie diferentiabila deθ pentru un esantion dat, sa admita un maxim.
Deoarece f(x) = lnx este o functie monoton crescatoare, rezulta ca functiilelnV (x1, x2, . . . , xn; θ) si V (x1, x2, . . . , xn; θ) ısi ating valoarea maxima pentruaceeasi valoare a lui θ.
Valoarea θ a parametrului θ pentru care V admite un maxim se numesteestimatie de verosimilitate maxima si este solutia ecuatiei
∂(lnV )∂θ
= 0⇔n
∑i=1
1
f(xi, θ)∂f(xi, θ)
∂θ= 0.
numita ecuatia de verosimilitate maxima.Exemplu: Pentru o variabila aleatoare repartizata exponential de para-
metru θ se obtine functia de verosimilitate
V = (θe−θx1)(θe−θx2) . . . (θe−θxn) = θne−θ(x1+⋅⋅⋅+xn)
care ısi atinge maximumul pentru θ = nx1+⋅⋅⋅+xn
, asadar estimatorul de verosi-militate maxima pentru parametrul θ este
θ(X,n) = n
X1 +X2 + ⋅ ⋅ ⋅ +Xn
.
9.3. INTERVALE DE INCREDERE 101
9.3 Intervale de ıncredere
9.3.1 Interval de ıncredere pentru medie (σ cunoscut)
Intervalul de ıncredere pentru media unei variabile aleatoareX avand repartitiaN(m,σ2) cu m ∈ R necunoscut si σ2 > 0 cunoscut este de forma
(X − z1−α2⋅ σ√
n, X + z1−α
2⋅ σ√
n) ,
cu P (X − z1−α2⋅ σ√
n<m < X + z1−α
2⋅ σ√
n) = 1−α, unde X = X1+X2+⋅⋅⋅+Xn
n este
media de selectie , α ∈ (0,1) este nivelul de semnificatie iar z1−α2
este cuantilade ordin 1 − α
2 a repartitiei normale standard , mai exact:
z1−α2= F −1 (1 − α
2) = Φ−1 (1 − α
2)
unde F este functia de repartitie N(0,1) iar Φ este functia lui Laplace.Valoarea ∆X = z1−α
2⋅ σ√
nse numeste marja de eroare si cu ajutorul acesteia
putem rescrie intervalul de ıncredere sub forma
(X −∆X, X +∆X)
Cu cat nivelul de ıncredere 1 − α este mai mare, cu atat marja de eroare∆X este mai mare si lungimea intervalului de ıncredere este mai mare.
Pentru un nivel de ıncredere dat, volumul minim necesar al unui esantionpentru a obtine un interval de ıncredere cu marja de eroare ∆X este
n = (z1−α
2⋅ σ
∆X)
2
Pentru selectii de volum mare, intervalul de ıncredere pentru medie estevalabil si pentru cazul ın care variabila X are o repartitie oarecare datoritateoremei limita centrala.
Exemplu De la o masina de ımbuteliat bauturi racoritoare s-au testat 36sticle si s-a obtinut volumul mediu de 2.25 l. Presupunand ca volumul estenormal distribuit cu abaterea medie patratica de 0.15 l, sa se afle un intervalde ıncredere 90% pentru volumul mediu. Cat de mare trebuie sa fie volumulesantionului pentru a avea o marja de eroare de 0,01?
Rezolvare:
Avem n = 36, X = 2.25 si σ = 0.15.
102 CAPITOLUL 9. STATISTICA INFERENTIALA
Cum nivelul de ıncredere este 1−α = 0.9, gasim nivelul de semnificatieα = 0.1, de unde 1 − α
2 = 0.95.
Cuantila corespunzatoare acestei valori din repartitia normala standardeste z1−α
2= 1.645
Marja de eroare ∆X = z1−α2⋅ σ√
n= 0.0411
Intervalul de ıncredere 90% este (X −∆X, X +∆X) = (2.2089,2.2911)
Volumul esantionului necesar pentru a avea o marja de eroare de 0,01:
n = (z1−α
2⋅ σ
∆X)
2
= 608.7473 ≃ 609
9.3.2 Interval de ıncredere pentru proportie
Intervalul de ıncredere pentru media unei variabile aleatoareX avand repartitiaBernoulli de parametru necunoscut p este de forma
⎛⎝p − z1−α
2⋅√p(1 − p)√n
, p − z1−α2⋅√p(1 − p)√n
⎞⎠,
unde p = X1+X2+⋅⋅⋅+Xnn este media de selectie , α ∈ (0,1) este nivelul de
semnificatie iar z1−α2
este cuantila de ordin 1− α2 a repartitiei normale stan-
dard.Valoarea p poate fi interpretata ca fiind proportia de indivizi dintr-o
populatie care au o anumita caracteristica.
Variabila aleatoare Bernoulli X ∶⎛⎝
0 1
1 − p p
⎞⎠
, unde 1 ınseamna ca indi-
vidul are caracteristica respectiva, are media
E(X) = 0 ⋅ (1 − p) + 1 ⋅ p = p
iar p este un estimator pentru aceasta proportie.
Exemplu La un examen s-au prezentat 100 studenti si au promovat 70.Sa se determine un interval de ıncredere 95% pentru proportia studentilorpromovati.
Rezolvare:
Avem n = 100, p = 70100 = 0.7 si 1 − p = 0.3
9.3. INTERVALE DE INCREDERE 103
Cum nivelul de ıncredere este 1−α = 0.95, gasim nivelul de semnificatieα = 0.05, de unde 1 − α
2 = 0.975.
Cuantila corespunzatoare acestei valori din repartitia normala standardeste z1−α
2= 1.96
Marja de eroare
z1−α2⋅√p(1 − p)√n
= 0.0898
Intervalul de ıncredere 95% este (0.6102,0.7898).
9.3.3 Interval de ıncredere pentru medie (σ necunos-cut)
Intervalul de ıncredere pentru media unei variabile aleatoare X avand repartitiaN(m,σ2) cu m ∈ R necunoscut si σ2 > 0 necunoscut este de forma
(X − tn−1,1−α2⋅ s√
n, X + tn−1,1−α
2⋅ s√
n) ,
cu P (X − tn−1,1−α2⋅ s√
n<m < X + tn−1,1−α
2⋅ σ√
n) = 1 − α, unde X = X1+X2+⋅⋅⋅+Xn
n
este media de selectie , s2 = 1n−1 ∑
ni=1(Xi − X)2 este estimatia nedeplasata a lui σ2,
α ∈ (0,1) este nivelul de semnificatie iar tn−1,1−α2
este cuantila de ordin 1 − α2 a
repartitiei Student cu n − 1 grade de libertate:
tn−1,1−α2= F −1
n−1 (1 −α
2)
unde Fn−1 este functia de repartitie Student cu n − 1 grade de libertate.
Exemplu S-a efectuat un studiu privind cantitatea de apa minerala dintr-unnumar de 8 butelii si s-au obtinut urmatoarele rezultate (ın litri): 4.96, 4.90, 4.98,5, 4.94, 5, 5.02, 4.92. Sa se determine un interval de ıncredere 95% pentru volumulmediu al buteliilor de apa presupunand ca volumul are o distributie normala.
Rezolvare:
Avem n = 8, X = 4.96+4.90+4.98+5+4.94+5+5.02+4.928 = 4.965
Estimatia nedeplasata a dispersiei s2 = 1n−1 ∑
ni=1(Xi − X)2 = 0.0018
Cum nivelul de ıncredere este 1 − α = 0.95, gasim nivelul de semnificatieα = 0.05, de unde 1 − α
2 = 0.975.
104 CAPITOLUL 9. STATISTICA INFERENTIALA
Cuantila corespunzatoare acestei valori din repartitia Student cu n − 1 = 7grade de libertate este tn−1,1−α
2= 2.3646
Marja de eroare
tn−1,1−α2⋅ s√
n= 0.0355
Intervalul de ıncredere 95% este (4.9295,5.0005).
9.3.4 Interval de ıncredere pentru dispersie
Intervalul de ıncredere pentru dispersia unei variabile aleatoare X avand repartitiaN(m,σ2) cu m ∈ R necunoscut si σ2 > 0 necunoscut este de forma
⎛⎝(n − 1) ⋅ s2
χ2n−1,1−α
2
,(n − 1) ⋅ s2
χ2n−1,α
2
⎞⎠
unde s2 = 1n−1 ∑
ni=1(Xi − X)2 este estimatia nedeplasata a lui σ2 , α ∈ (0,1) este
nivelul de semnificatie , iar χ2n−1,1−α
2si χ2
n−1,α2
sunt cuantilele de ordin 1 − α2 si α
2
ale repartitiei χ2 cu n − 1 grade de libertate.
Exemplu Grosimea unui tip de sticla are o repartitie normala. S-a efectuat unstudiu pe 5 bucati si s-au obtinut urmatoarele rezultate (ın mm): 4.8, 5, 4.6, 4.4,5.2. Sa se determine un interval de ıncredere 90% pentru abaterea medie patraticade la grosimea medie. R: (0.2053,0.7502)
9.4 Verificarea ipotezelor statistice
9.4.1 Notiuni generale
Fie X o variabila aleatoare teoretica corespunzatoare unei caracteristici a uneipopulatii. Pentru a stabili tipul repartitiei, valorile parametrilor necunoscuti sauunele caracteristici numerice (media, dispersia) ale variabilei aleatoare X, se facanumite ipoteze care trebuie verificate pe baza datelor obtinute ın urma unorselectii.
Prin ipoteza statistica ıntelegem o afirmatie privind fie tipul repartitiei, fievalorile caracteristicilor numerice, fie valorile parametrilor necunoscuti ai repartitiei,afirmatie care poate fi acceptata sau respinsa.
Daca variabila aleatoare X are o repartitie cunoscuta, iar ipoteza se refera laparametrii acestei repartitii, se numeste ipoteza parametrica. Daca variabilaaleatoare X are o repartitie necunoscuta, iar ipoteza se refera la tipul acesteirepartitii, se numeste ipoteza neparametrica.
Ipotezele parametrice sunt numite parametrice simple atunci cand se refera latoti parametrii functiei de repartitie ai variabilei aleatoare X, atribuindu-i fiecaruia
9.4. VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE 105
anumite valori. Ipotezele parametrice sunt numite parametrice compuse cand serefera numai la unii dintre parametri sau presupune apartenenta a cel putin unuiadintre ei la o multime de valori.
Ipoteza care urmeaza sa fie testata se numeste ipoteza nula si se noteazacu H0. Orice alta ipoteza care se poate accepta cand se respinge H0 se numesteipoteza alternativa si se noteaza cu Ha.
Verificarea ipotezelor statistice se face prin teste statistice, care sunt metodedecizionale de acceptare sau respingere a ipotezelor (pe baza prelucrarii datelorobtinute ın urma unor selectii) si au la baza criterii de testare.
Definitia 9.4. O functie de selectie C(X,n) se numeste criteriu de testare alipotezei H0 daca ındeplineste conditiile:
1. repartitia variabilei aleatoare C(X,n) depinde de valoarea de adevar a ipo-tezei H0;
2. daca ipoteza H0 este adevarata, atunci variabila aleatoare C(X,n) are repartitiecomplet specificata.
Deoarece esantionul ales nu este ıntotdeauna reprezentativ pentru ıntreagapopulatie, pot aparea doua tipuri de erori:
eroare de tipul I : ipoteza H0 este respinsa (se accepta ipoteza Ha) desi ınrealitate este adevarata:
α = P (H0 este respinsa∣H0 este adevarata)
eroare de tipul II : ipoteza H0 este acceptata (se respinge ipoteza Ha) desiın realitate este falsa:
β = P (H0 este acceptata∣H0 este falsa)
Probabilitatea de a face o eroare de tipul II poate fi rescrisa astfel:
β = P (H0 este acceptata∣Ha este adevarata)
sau1 − β = P (H0 este respinsa∣Ha este adevarata).
Probabilitatea maxima acceptata pentru o eroare de tipul I se numeste nivelde semnificatie . Pentru un nivel de specificatie dat α se poate determinaun interval sau o reuniune de intervale W ⊂ R astfel ıncat :
1. P (C(X,n) ∈ W ∣H0 este adevarata) = α daca C(X,n) este variabilaaleatoare continua;
106 CAPITOLUL 9. STATISTICA INFERENTIALA
2. P (C(X,n) ∈ W ∣H0 este adevarata) ≤ α daca C(X,n) este variabilaaleatoare discreta;
Multimea W se numeste regiune de respingere (sau regiune critica)pentru ipoteza H0 , iar complementara W se numeste regiune de acceptarea ipotezei H0.
Pentru testarea unei ipoteze statistice se parcurg urmatoarele etape:
1. Se alege ipoteza nula H0 si ipoteza alternativa Ha
2. Se alege un criteriu de testare C(X,n)
3. Se alege un nivel de semnificatie α
4. Se determina regiunea de respingere W cu proprietatea ca
P (C(X,n) ∈W ∣H0 este adevarata) = α (sau ≤ α)
5. Se face o selectie de volum n, obtinandu-se valorile x1, x2, . . . , xn alevariabilelor aleatoare de selectie X1,X2, . . . ,Xn corespunzatoare carac-teristicii studiate
6. Se calculeaza C(x1, x2, . . . , xn):
Daca C(x1, x2, . . . , xn) ∈ W atunci H0 este acceptata
Daca C(x1, x2, . . . , xn) ∈ W atunci H0 este respinsa (Ha este ac-ceptata)
9.4.2 Teste pentru medie (σ cunoscut)
Test bilateral pentru medie (σ cunoscut)
Fie X o variabila aleatoare teoretica cu repartitie normala N(m,σ2) cu medianecunoscuta si m0 o estimatie a acestei medii. Se face o selectie de volum n,obtinandu-se variabilele aleatoare de selectie X1,X2, . . . ,Xn.
1. Dorim sa verificam ipoteza
H0 ∶ m =m0
fata de alternativa
Ha ∶ m ≠m0.
9.4. VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE 107
2. Alegem criteriul de testare
C(X,n) = X −m0σ√n
deoarece daca H0 este adevarata, atunci C(X,n) are repartitia completspecificata N(0,1).
3. Alegem un nivel de semnificatie α (de obicei 0.1, 0.05 sau 0.01).
4. Se determina z = cuantila de ordin 1− α2 a repartitiei normale standard,
corespunzatoare nivelului de semnificatie ales α . Avem
P (∣C(X,n)∣ > z∣m =m0) = α
deci regiunea de respingere este
W = (−∞,−z) ∪ (z,∞).
5. Se face o selectie de volum n, obtinandu-se valorile x1, x2, . . . , xn si secalculeaza
X = x1 + x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnn
.
6. DacaX −m0
σ√n
∈ [−z, z] atunci H0 este acceptata.
DacaX −m0
σ√n
∈ (−∞,−z)∪ (z,∞) atunci H0 este respinsa si se accepta
Ha.
Exemplu La o fabrica patronul asigura ca durata medie de functionare aunui produs este de 800 ore cu abaterea medie patratica de 50 ore. Pe unesantion de 20 bucati s-a obtinut ca durata medie de functionare este 790 ore.Presupunand ca durata de functionare este normal distribuita sa se verificecu nivelul de semnificatie de 4% daca afirmatia patronului este adevarata.
1. ipotezele H0 ∶ m = 800, Ha ∶m ≠ 800
2. criteriul de testare X−80050√20
3. nivelul de semnificatie α = 0.04
4. cuantila de ordin 1 − α2 = 0.98 este z = 2.05
5. pentru X = 790 avem X−80050√20
= −0.894
6. ipoteza H0 se accepta deoarece −0.894 ∈ [−2.05,2.05]
108 CAPITOLUL 9. STATISTICA INFERENTIALA
Teste unilaterale pentru medie (σ cunoscut)
Test unilateral dreapta:
H0 ∶ m =m0, Ha ∶ m >m0
criteriul de testare C(X,n) = X−m0σ√n
z = cuantila de ordin 1 − α a repartitiei normale standard, cores-punzatoare nivelului de semnificatie ales α.
regiunea de respingere este W = (z,∞).Test unilateral stanga:
H0 ∶ m =m0, Ha ∶ m <m0
criteriul de testare C(X,n) = X−m0σ√n
z = cuantila de ordin α a repartitiei normale standard, corespunzatoarenivelului de semnificatie ales α.
regiunea de respingere este W = (−∞, z).
9.4.3 Teste pentru proportie
Consideram problema testarii ipotezei ca proportia de indivizi dintr-o populatiecare au o anumita caracteristica are o valoare specificata. Consideram va-
riabila aleatoare teoretica Bernoulli X ∶⎛⎝
0 1
1 − p p
⎞⎠
, unde 1 ınseamna ca
individul are caracteristica respectiva. Media de selectie corespunzatoarep = X1+X2+⋅⋅⋅+Xn
n este un estimator nedeplasat pentru proportia p si pentru
valori mari ale lui n are repartitia N (p, pqn ) unde q = 1 − p.1. Se formuleaza ipotezele H0 ∶ p = p0, Ha ∶ p ≠ p0
2. Se alege criteriul de testare C(X,n) = p−p0√p0(1−p0)
n
3. Se alege un nivel de semnificatie α
4. Se determina z = cuantila de ordin 1− α2 a repartitiei normale standard,
corespunzatoare nivelului de semnificatie ales α
5. Se afla estimatia punctuala a proportiei p pe un esantion de volum n
6. Daca p−p0√p0(1−p0)
n
∈ [−z, z] atunci H0 este acceptata.
Daca p−p0√p0(1−p0)
n
∈ (−∞,−z) ∪ (z,∞) atunci H0 este respinsa.
9.4. VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE 109
Exemplu Se studiaza proportia produselor defecte dintr-un proces tehno-logic. Pe un esantion de 300 produse testate s-au obtinut 13 defecte. Acestedate ne permit sa afirmam cu un nivel de semnificatie α = 0.05 ca 5% dinproduse sunt defecte?
1. ipotezele H0 ∶ p = 0.05, Ha ∶ p ≠ 0.05
2. criteriul de testare p−0.05√
0.05⋅0.95300
3. nivelul de semnificatie α = 0.05
4. cuantila de ordin 1 − α2 = 0.975 este z = 1.96
5. pentru p = 13300 avem p−0.05
√0.05⋅0.95
13
= −0.5298
6. ipoteza H0 se accepta deoarece −0.5298 ∈ [−1.96,1.96]
Pentru test unilateral dreapta, se foloseste z = cuantila de ordin 1 − α arepartitiei normale standard, iar regiunea de respingere este W = (z,∞)
Pentru test unilateral stanga, se foloseste z = cuantila de ordin α arepartitiei normale standard, iar regiunea de respingere este W = (−∞, z)
9.4.4 Teste pentru medie (σ necunoscut)
Fie X o variabila aleatoare teoretica cu repartitie normala N(m,σ2) cu mediasi dispersia necunoscute si m0 o estimatie a mediei. Se face o selectie de volumn, obtinandu-se variabilele aleatoare de selectie X1,X2, . . . ,Xn.
1. Se formuleaza ipotezele H0 ∶ m =m0, Ha ∶ m ≠m0.
2. Se alege criteriul de testare C(X,n) = X −m0s√n
3. Se alege un nivel de semnificatie α
4. Se determina t = cuantila de ordin 1 − α2 a repartitiei Student cu n − 1
grade de libertate, corespunzatoare nivelului de semnificatie α
5. Se afla media de selectie X si dispersia de selectie modificata s pentruun esantion de volum n
6. Daca X−m0s√n
∈ [−t, t] atunci H0 este acceptata.
Daca X−m0s√n
∈ (−∞,−t) ∪ (t,∞) atunci H0 este respinsa.
110 CAPITOLUL 9. STATISTICA INFERENTIALA
Exemplu S-au luat aleator 12 bucati dintr-un aliaj. In urma analizei chi-mice s-au obtinut urmatoarele procente ale unei substante componente: 2.94,2.75, 2.75, 2.81, 2.90, 2.90, 2.82, 2.95, 3.00, 2.95, 3.00, 3.05 (cantitatea desubstanta este normal distribuita). Sa se testeze cu un nivel de semnificatieα = 0.05 daca procentul mediu este egal cu 2.95.
1. ipotezele H0 ∶ m = 2.95, Ha ∶m ≠ 2.95
2. criteriul de testare X−2.95s√12
3. nivelul de semnificatie α = 0.05
4. cuantila de ordin 1 − α2 = 0.975 cu 11 grade de libertate este t = 2.201
5. pentru X = 2.9017 si s = 0.0993 avem X−2.95s√12
= −1.6853
6. ipoteza H0 se accepta deoarece −1.6853 ∈ [−2.201,2.201]Pentru test unilateral dreapta, se foloseste t = cuantila de ordin 1 − α a
repartitiei Student cu n−1 grade de libertate, iar regiunea de respingere esteW = (t,∞)
Pentru test unilateral stanga, se foloseste t = cuantila de ordin α arepartitiei Student cu n − 1 grade de libertate, iar regiunea de respingereeste W = (−∞, t)
9.4.5 Test bilateral pentru dispersie
Fie X o variabila aleatoare teoretica cu repartitie normala N(m,σ2) cu mediasi dispersia necunoscute si σ0 o estimatie a dispersiei. Se face o selectie devolum n, obtinandu-se variabilele aleatoare de selectie X1,X2, . . . ,Xn.
1. Se formuleaza ipotezele H0 ∶ σ = σ0, Ha ∶ σ ≠ σ0.
2. Se alege criteriul de testare C(X,n) = (n − 1) ⋅ s2
σ20
3. Se alege un nivel de semnificatie α
4. Se determina χ1, χ2 = cuantilele de ordin α2 , respectiv 1−α2 ale repartitiei
χ2 cu n − 1 grade de libertate;
5. Se afla dispersia de selectie modificata s pentru un esantion de volumn;
6. Daca (n−1)⋅s2
σ20
∈ [χ1, χ2] atunci H0 este acceptata.
Daca (n−1)⋅s2
σ20
∈ [0, χ1) ∪ (χ2,∞) atunci H0 este respinsa.
9.5. EXERCITII 111
Exemplu Un numar de 10 containere au fost umplute cu urmatoarele can-titati de substanta: 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3, 9.8 litri(cantitatea de substanta este normal distribuita). Testati ipoteza ca dispersiaeste σ2 = 0.03 cu un nivel de semnificatie α = 0.05.
1. ipotezele H0 ∶ σ2 = 0.03, Ha ∶ σ2 ≠ 0.03
2. criteriul de testare C(X,n) = 9 ⋅ s2
0.03
3. nivelul de semnificatie α = 0.05
4. cuantila χ2 cu 9 grade de libertate de ordin α2 este χ1 = 2.7004, iar cea
de ordin 1 − α2 este χ2 = 19.0228
5. pentru s = 0.2459 avem 9⋅s2
0.03 = 18.1333
6. ipoteza H0 se accepta deoarece 18.1333 ∈ [2.7004,19.0228]
9.5 Exercitii
1. S-a efectuat un studiu asupra ınaltimii sportivilor pe un esantion de 50persoane, ın urma caruia a rezultat ca ınaltimea medie este 1.745 m,cu abaterea medie patratica de 0.069 m.
Sa se gaseasca un interval de ıncredere 98% pentru ınaltimea medie asportivilor. Cat de mare trebuie sa fie esantionul pentru a avea o marjade eroare de 0.01?R: (1.722,1.767) ; n = 258.
2. In urma unui studiu facut pe un esantion de 100 masini, s-a obtinut unnumar mediu de kilometri parcursi anual de 23500, cu abaterea mediepatratica de 3900 km.
Sa se afle un interval de ıncredere 99% pentru numarul mediu de kilo-metri parcursi anual de o masina. Cat de mare trebuie sa fie volumulesantionului pentru a aproxima acest numar mediu cu o marja de eroarede 100km?R: (22495.4266,24504.5734) ; n = 10092.
3. S-a facut un studiu pe un esantion de 200 de piese si s-a constatat ca 15sunt defecte. Sa se afle un interval de ıncredere 95% pentru proportiapieselor defecte. Sa se precizeze cat de mare trebuie sa fie volumulselectiei pentru a obtine o estimare a proportiei cu marja de eroare de
112 CAPITOLUL 9. STATISTICA INFERENTIALA
0.02.R: (0.038,0.111) ; n = 2401.
4. La un sondaj electoral, 40 din 100 de persoane chestionate s-au pronuntatın favoarea unui candidat. Sa se determine un interval de ıncredere 95%pentru procentul de alegatori favorabil acelui candidat. Sa se precizezecat de mare trebuie sa fie numarul persoanelor chestionate pentru aobtine o estimare a proportiei cu marja de eroare de 0.05.R: (0.304,0.496) ; n = 385.
5. S-a facut o analiza chimica a unei substante din 7 containere obtinandu-se urmatoarele cantitati (ın litri): 9.7, 9.8, 10, 10.1, 10.2, 10.4, 9.6. Sa seafle un interval de ıncredere 95% pentru continutul mediu de substanta,respectiv pentru abaterea medie patratica. Cat trebuie sa fie volumulesantionului pentru a avea o marja de eroare a continutului mediu de0.1?R: X = 9.9714, I = (9.706,10.237);s = 0.287, I = (0.185,0.632); N = 50
6. S-a efectuat un studiu asupra greutatii medii a 10 ciocolate si s-auobtinut urmatoarele rezultate (ın grame): 101, 104, 98, 105, 97, 96,102, 101, 99, 103. Sa se afle un interval de ıncredere 96% pentru gre-utatea medie si abaterea medie patratica, presupunand ca greutateaeste normal distribuita. Cat trebuie sa fie volumul esantionului pentrua avea o marja de eroare a greutatii medii de 1?R: X = 100.6, I = (98.305,102.895);s = 3.026, I = (2.046,5.704); N = 53
7. Procentul de grasime al laptelui este o variabila aleatoare normal distri-buita cu σ2 = 0.09. Se face un studiu statistic pe un esantion de volumn = 10 si se obtin rezultatele urmatoare (ın procente): 2.05, 2.1, 2.5, 3,3.5, 2.75, 2.25, 2.85, 2.9, 3.4. Sa se verifice cu un nivel de semnificatieα = 0.01 daca procentul mediu de grasime al laptelui este mai mic decat2.5.
8. Intr-o ıntreprindere consumul de timp pe unitatea de produs (ın mi-nute) este normal distribuit N(20,3). Determinarile facute pe unnumar de 25 muncitori dintr-o sectie au condus la un consum mediu detimp pe unitatea de produs de 21 minute. Cu un nivel de semnificatieα = 0.05, acest rezultat indica faptul ca muncitorii din sectia respectivaau un consum mediu de timp pe unitatea de produs mai mare decatmuncitorii din celelalte sectii?
9.5. EXERCITII 113
9. Consiliul de administratie al unei fabrici afirma ca 90% dintre produselesale sunt bune. Se face o cercetare selectiva pe 100 de produse obtinuteprintr-un nou proces de fabricatie si se gasesc 5 produse defecte. Cu unnivel de semnificatie α = 0.05 putem afirma ca noul proces de fabricatieeste mai bun decat precedentul?
10. Directorul unei firme de asigurari a fost informat ca 85% dintre clientisunt multumiti de serviciile oferite. Seful Departamentului de Relatiicu Publicul crede ca informatia este exagerata si cere efectuarea unuistudiu statistic. Pe un esantion de 180 clienti s-a stabilit ca 160 dintreei sunt satisfacuti de serviciile oferite. Ce concluzie rezulta daca testuls-a facut cu un nivel de semnificatie α = 0.05?
11. La un magazin s-a primit un lot de sticle de Pepsi. Lotul este admisdaca volumul mediu este de cel putin 2l. Se face o selectie de volumn = 31 sticle si se obtine X = 1.89 l, s = 0.142 l. Sa se testeze cu unnivel de semnificatie α = 0.05 daca lotul este admis (se presupune cavolumul sticlelor este o variabila aleatoare cu repartitie normala).
12. Directorul unei companii afirma ca numarul mediu al reclamatiilorsaptamanale este egal cu 20, ın timp ce membrii Consiliului de Ad-ministratie sustin ca acesta este mai mare. Se face un studiu timpde 9 saptamani asupra numarului reclamatiilor primite si se obtinurmatoarele rezultate: 20, 20, 22, 23, 21, 26, 23, 22, 21 (numarulreclamatiilor saptamanale este normal distribuit). Sa se testeze cu unnivel de semnificatie α = 0.01 daca afirmatia directorului este adevarata.