Met. de Rez. Circuite

26
Metode de rezolvare a reţelelor electrice II. 5. METODE DE REZOLVARE A REŢELELOR ELECTRICE 5. a. Teoremele lui Kirchhoff. 5. b. Metoda curenţilor ciclici. 5. c. Metoda potenţialelor de noduri. 5. d. Suprapunerea regimurilor permanente. 5. e. Teorema sursei echivalente de tensiune (Thevenin) 5. f. Teorema sursei echivalente de curent (Norton) 5. g. Aplicaţii. 5. a. Teoremele lui Kirchhoff Rezistorii şi sursele se numesc elemente electrice. Un ansamblu de elemente electrice asociate într-un mod arbitrar se numeşte reţea electrică. Reţelele electrice sunt alcătuite din: noduri de reţea, laturi de reţea şi ochiuri de reţea. Se numeşte nod de reţea punctul de întâlnire a cel puţin trei curenţi. 205

description

FIZICA

Transcript of Met. de Rez. Circuite

Page 1: Met. de Rez. Circuite

Metode de rezolvare a reţelelor electrice

II. 5. METODE DE REZOLVARE A REŢELELOR ELECTRICE

5. a. Teoremele lui Kirchhoff.

5. b. Metoda curenţilor ciclici.

5. c. Metoda potenţialelor de noduri.

5. d. Suprapunerea regimurilor permanente.

5. e. Teorema sursei echivalente de tensiune (Thevenin)

5. f. Teorema sursei echivalente de curent (Norton)

5. g. Aplicaţii.

5. a. Teoremele lui Kirchhoff

Rezistorii şi sursele se numesc elemente electrice. Un ansamblu de

elemente electrice asociate într-un mod arbitrar se numeşte reţea electrică.

Reţelele electrice sunt alcătuite din: noduri de reţea, laturi de reţea şi ochiuri

de reţea.

Se numeşte nod de reţea punctul de întâlnire a cel puţin trei curenţi.

Se numeşte ramură de reţea sau latură de reţea, porţiunea de reţea

cuprinsă între două noduri succesive.

Se numeşte ochi de reţea, linia poligonală închisă alcătuită din linii

de reţea.

205

Page 2: Met. de Rez. Circuite

Bazele fizice ale electromagnetismului

Un exemplu de reţea electrică este cel din figura 120.

Fig. 120- Reţea electrică.

Kirchhoff a arătat, în anul 1848, că, pe baza legilor lui Ohm, se pot

formula anumite teoreme ce permit aflarea curenţilor electrici prin ramurile

reţelei atunci când se cunosc caracteristicile elementelor electrice. Deoarece

teoremele lui Kirchhoff sunt deduse din legile lui Ohm, ele nu aduc

informaţii de natură fizică noi.

Prima teoremă a lui Kirchhoff se referă la nodurile de reţea.

Deoarece regimul de curent este staţionar, în conformitate cu legea

conservării sarcinii electrice, în orice punct al circuitului electric sarcina

electrică trebuie să rămână constantă. Aceasta înseamnă că suma sarcinilor

electrice care intră într-un nod într-un anumit interval de timp, trebuie să

fie egală cu sarcina ce iese din nod în acelaşi interval de timp. Aceasta

poate fi exprimată matematic folosind următoarea convenţie de semn: se

consideră pozitivi curenţii care intră într-un nod de reţea şi negativi curenţii

care ies din nodul de reţea. Adică:

(II. 43)

Formula (II. 43) reprezintă expresia matematică a primei teoreme a

lui Kirchhoff.

R3

R2

R1E1

E2

206

Page 3: Met. de Rez. Circuite

Metode de rezolvare a reţelelor electrice

Fie ramura de reţea din figura 121

Fig. 121- Referitor la demonstrarea teoremei II a lui Kirchhoff.

În conformitate cu legea lui Ohm, rezultă:

(II. 44)

Dacă curentul circulă în sens invers prin ramura din figura 121

putem scrie:

(II. 45)

În primul caz diferenţa de potenţial este pozitivă iar în cel de al

doilea caz negativă.

Pot exista ramuri ca cea din figura 122.

Fig. 122- Referitor la demonstrarea teoremei II a lui Kirchhoff.

În conformitate cu legea lui Ohm, rezultă:

(II. 46)

În acest caz diferenţa de potenţial este pozitivă.

Pentru a sintetiza aceste relaţii într-una singură se fac convenţiile:

- se alege un sens de parcurs al laturii ce ne fixează sensul diferenţei

de potenţial;

A Ii Emi Ri B

A Ii Emi Ri B

207

Page 4: Met. de Rez. Circuite

Bazele fizice ale electromagnetismului

- se consideră pozitivi curenţii care au acelaşi sens cu sensul pozitiv

ales şi negativi ceilalţi;

- se consideră pozitive tensiunile electromotoare care au acelaşi sens

cu sensul pozitiv ales (sursa este parcursă de la borna negativă la cea

pozitivă).

Cu aceste convenţii, relaţiile (II. 44), (II. 45) şi (II. 46) se scriu, în

mod unitar, astfel:

VA-VB=RiIi-Ei (II. 47)

Pentru un ochi de reţea, putem alege sensurile pozitive ale laturilor

astfel încât să determine un sens unic pe conturul ochiului. Parcurgând orice

ochi, pentru care am ales un sens pozitiv de parcurgere, vom reveni în

punctul de plecare astfel încât diferenţa dintre punctul de plecare şi punctul

de sosire este 0. Adunând relaţiile (II. 47) şi ţinând cont de ceea ce am spus

mai sus rezultă:

sau:

(II. 48)

Formula (II. 48) reprezintă expresia matematică a celei de a doua

teorema a lui Kirchhoff. În cuvinte aceasta se poate enunţa astfel: Suma

tensiunilor electromotoare de pe un ochi de reţea este egală cu suma

căderilor de tensiune de pe laturile ochiului de reţea.

Ecuaţiile (II. 43) şi (II. 48) aplicate unei reţele electrice permit

determinarea curenţilor prin ramuri. Deoarece în stabilirea regimului reţelei

contează de fapt diferenţele de potenţial - potenţialul unuia dintre noduri

poate fi luat ca reper - numărul de ecuaţii furnizat de prima teoremă este

egal cu n-1, dacă n este numărul total de noduri din reţea.

208

Page 5: Met. de Rez. Circuite

Metode de rezolvare a reţelelor electrice

Şi cea de a doua teoremă a lui Kirchhoff conduce la un sistem de

ecuaţii mai mare decât numărul de ecuaţii independente. Pentru a alege

ecuaţiile independente se stabilesc ochiurile de reţea independente. Se

numesc ochiuri de reţea independente ochiurile de reţea ce conţin fiecare

câte o ramură pe care nu o conţine un alt ochi. Euler a demonstrat că

numărul ochiurilor independente este dat de relaţia:

p=l-(n-1) (II. 49)

unde: p este numărul ochiurilor independente, l numărul laturilor reţelei, iar

n numărul de noduri.

Teoremele lui Kirchhoff permit aflarea rezistenţei echivalente pentru

o porţiune de reţea aflată între două noduri. Spre exemplu, fie reţeaua

electrică din figura 123.

Fig. 123- Sistem de rezistori legaţi în serie.

Rezistorii din figura 123 sunt legaţi în serie. Diferenţa de potenţial

pe fiecare rezistor este:

VA-VM=R1I şi VM-VB=R2I.

Diferenţa de potenţial de la capetele porţiunii de reţea este:

VA-VB= R!I +R2I = (R1+R2)I=RI

Notând cu R rezistenţa echivalentă am obţinut, deci:

R=R1 + R2

Prin generalizare rezultă:

(II. 50)

A R1 R2M B

209

Page 6: Met. de Rez. Circuite

Bazele fizice ale electromagnetismului

Dacă rezistorii sunt legaţi în paralel, ca în figura 124, în nodul A

putem aplica prima teoremă a lui Kirchhoff.

Fig. 124 - Gruparea paralelă a rezistorilor.

Obţinem:

I=I1+I2+..... +IK

Diferenţa de potenţial dintre punctele A şi B este:

VA- VB=R1I1=... =RKIK=RI

Aflând din ultima ecuaţie curenţii electrici şi înlocuindu-i în prima ecuaţie,

rezultă:

(II. 51)

5. b. Metoda curenţilor ciclici

Se poate înlocui prima teoremă a lui Kirchhoff cu un sistem de

curenţi ciclici care acţionează pe fiecare ochi de reţea. Cu ajutorul curenţilor

ciclici curentul pe fiecare ramură devine egal cu suma algebrică a curenţilor

ciclici care trec prin acea ramură. Aplicând cea de a doua teoremă a lui

A I B

I1

I2

I3

Ik

R1

R2

Rk

210

Page 7: Met. de Rez. Circuite

Metode de rezolvare a reţelelor electrice

Kirchhoff pe ochiurile independente se pot afla curenţii ciclici şi de aici

curenţii prin ramuri.

Metoda curenţilor ciclici este avantajoasă în cazul reţelelor cu multe

ochiuri.

Să aplicăm metoda curenţilor ciclici pentru a afla sursa echivalentă a

unei baterii de m surse grupate în paralel, ca în figura 125.

Fig. 125 - Baterie de elemente legate în paralel.

Presupunem că toate sursele au aceeaşi rezistenţă internă R0. Alegem

ochiurile independente formate din rezistorul R şi una din surse. Alegând pe

fiecare un curent ciclic de valoare I1, I2,..., Im şi aplicând a doua teoremă a

lui Kirchhoff, obţinem:

E1= (I1+I2+... +Im)R+I1R0

E2= (I1+I2+... +Im)R+I2R0

......................................

Em= (I1+I2+... +Im)R+ImR0

Adunând toate ecuaţiile din sistemul de mai sus, rezultă:

E1+E2+... Em=m (I1+I2+... Im)R+(I1+I2+... +Im)R0

Curentul electric prin rezistorul R este:

I= I1+I2+... +Im

Şi are valoarea:

R

E2,R0

E1,R0

Em,R0

211

Page 8: Met. de Rez. Circuite

Bazele fizice ale electromagnetismului

Dacă înlocuim ansamblul de surse cu o sursă de tensiune

electromotoare E şi rezistenţa internă R0/m (deoarece rezistenţele interne

sunt grupate în paralel), curentul electric prin rezistorul R va fi:

Din egalitatea ultimelor ecuaţii, rezultă:

(II. 52)

Dacă toate sursele au aceeaşi tensiune electromotoare, relaţia (II. 52)

arată că tensiunea electromotoare echivalentă este egală cu una din

tensiunile electromotoare ale elementelor.

5. c. Metoda potenţialelor de noduri

În metoda potenţialelor de noduri se aleg ca necunoscute auxiliare

potenţialele nodurilor. Aceasta se bazează pe aplicarea legii lui Ohm

generalizată pentru fiecare ramură. Pentru aplicarea acestei metode se aleg

perechile de noduri independente.

Dacă numărul de noduri este n numărul de perechi de noduri

independente este: u=n-1

După stabilirea perechilor de noduri independente, se aplică legea lui

Ohm generalizată pentru fiecare pereche de noduri independente. Sistemul

212

Page 9: Met. de Rez. Circuite

Metode de rezolvare a reţelelor electrice

de ecuaţii astfel obţinut se completează cu sistemul de ecuaţii obţinut prin

aplicarea primei teorema a lui Kirchhoff.

5. d. Suprapunerea regimurilor permanente.

Analizând sistemul de ecuaţii (II. 43) şi (II. 48) constatăm că el este

un sistem de ecuaţii liniare. Cu alte cuvinte intensităţile curenţilor electrici

prin laturi sunt funcţii liniare de tensiunile electromotoare ale surselor.

Fie K una din laturile reţelei şi E1, E2,..., Em tensiunile

electromotoare ale surselor din reţea. Intensitate curentului electric prin

această latură va fi:

Dacă în locul surselor iniţiale punem sursele de tensiune

electromotoare E1’,E2’,..., En’ rezultă:

Făcând ca sistemul să conţină simultan ambele sisteme de surse,

rezultă:

Din compararea expresiilor curenţilor IK, I’K şi I’’K se obţine:

IK”=IK+IK’ (II. 53)

Ecuaţia (II. 53) poate fi uşor generalizată la suprapunerea unui

număr oarecare de sisteme de surse. Pe baza acestei observaţii, metoda

suprapunerii regimurilor permanente constă în menţinerea pe rând în circuit

a unei singure surse şi înlocuirea celorlalte cu rezistenţele lor interne.

Curentul final printr-o ramură fiind suma curenţilor astfel calculaţi.

213

Page 10: Met. de Rez. Circuite

Bazele fizice ale electromagnetismului

Pentru a vedea modul de aplicare al acestei metode să considerăm

bateria de elemente din figura 126.

Fig. 126 - Baterie de elemente grupate în serie.

Păstrând doar prima sursă şi înlocuindu-le pe celelalte cu rezistenţa

lor internă, curentul prin rezistorul de sarcină este:

Procedând în mod analog, prin păstrarea elementului K şi înlocuirea

celorlalte cu rezistenţele lor interne, se obţine curentul:

Aplicând relaţia (II. 53) generalizată rezultă:

Dacă înlocuim bateria de surse cu o sursă de tensiune electromotoare

E=E1+E2+... +En şi rezistenţa internă Ri=nR0, prin circuit va trece acelaşi

214

Page 11: Met. de Rez. Circuite

Metode de rezolvare a reţelelor electrice

curent. În cazul în care sursele au aceeaşi tensiune electromotoare E0,

tensiunea electromotoare echivalentă este:

E=nE0 (II. 54)

Formula (II. 54) ne arată că pentru a obţine o sursă cu tensiune

electromotoare mai mare trebuie să grupăm mai multe elemente în serie. În

aceste condiţii rezistenţa internă se măreşte.

5. e. Teorema sursei echivalente de tensiune (Thevenin)

Când este necesar să se cunoască numai intensitatea curentului care

parcurge o anumită ramură a unei reţele, sau intensitatea curentului care

trece printr-o derivaţie nouă care se conectează la două puncte oarecare ale

reţelei, este inutil să se aplice teoremele lui Kirchhoff pentru întreaga reţea.

Un ansamblu de generatoare şi consumatoare ce se conectează prin

mai multe puncte la restul reţelei se numeşte porţiune de reţea sau reţea

neizolată.

O reţea neizolată poate fi înlocuită cu o alta fără ca intensităţile prin

punctele de acces şi potenţialele acestor puncte să se modifice. Reţeaua ce

înlocuieşte reţeaua neizolată se numeşte schemă echivalentă.

O reţea neizolată care are doar două borne de acces se numeşte reţea

dipolară activă.

Teorema sursei de tensiune echivalente afirmă că intensitatea

curentului care traversează o ramură suplimentară, constituită dintr-un

rezistor de rezistenţă R, conectat între două puncte A şi B ale unei reţele,

este aceeaşi cu cea datorată unei surse de tensiune electromotoare E0 egală

cu diferenţa de potenţial care există între punctele A şi B înainte de

215

Page 12: Met. de Rez. Circuite

Bazele fizice ale electromagnetismului

conectarea noii derivaţii şi de rezistenţă interioară Ri egală cu rezistenţa

echivalentă a reţelei pasivate între punctele A şi B.

Se numeşte reţea pasivată, reţeaua în care sursele se înlocuiesc cu

rezistenţele lor interne.

Pentru demonstrarea acestei teoreme se foloseşte metoda

suprapunerii regimurilor permanente

Fie o reţea, reprezentată simbolic în figura 127.

Fig. 127- Reţea dipolară activă.

Dacă între punctele A şi B se aşează un rezistor de rezistenţă R, se

obţine schema din figura 128.

Fig. 128- Rezistor aşezat le bornele unei reţele dipolare active.

A + - B

A + - B

RI

216

Page 13: Met. de Rez. Circuite

Metode de rezolvare a reţelelor electrice

Într-o primă etapă se înlocuiesc sursele cu rezistenţele lor interne iar

în noua ramură se pune o sursă cu tensiunea electromotoare

E0=VA-VB

legată cu polul negativ în punctul A. În aceste condiţii se obţine schema din

figura 129.

Curentul electric ce trece prin noua ramură este:

Dacă se reintroduc sursele, deoarece E0 este egală şi de sens contrar

tensiunii VA-VB rezultă că prin circuit va trece curentul:

I”=0

Fig. 129- Referitor la teorema sursei de tensiune echivalentă.

În conformitate cu metoda suprapunerii regimurilor permanente,

rezultă că prin noua ramură va trece un curent de intensitate:

(II. 55)

Formula (II. 55) reprezintă forma matematică a teoremei sursei de

tensiune echivalente.

A + - B

I’R

E0

- +

217

Page 14: Met. de Rez. Circuite

Bazele fizice ale electromagnetismului

5. f. Teorema sursei echivalente de curent (Norton)

Teorema sursei echivalente de curent afirmă că diferenţa de

potenţial de la capetele unei ramuri suplimentare, constituită dintr-un

rezistor de rezistenţă R, conectat între punctele A şi B ale unei reţele active

este egal cu raportul dintre curentul de scurtcircuit IS care parcurge reţeaua

când este scurtcircuitată între aceste puncte şi suma conductanţelor

exterioare G şi interioară Gi egală cu conductanţa reţelei pasive între

punctele A şi B.

În conformitate cu teorema lui Thevenin, curentul prin noua ramură

este:

Dacă rezistenţa externă este zero, curentul este:

Folosind expresia curentului de scurtcircuit, curentul prin noua

ramură poate fi exprimat şi astfel:

Definind conductanţele prin relaţia:

rezultă:

218

Page 15: Met. de Rez. Circuite

Metode de rezolvare a reţelelor electrice

Deoarece:

rezultă:

(II. 56)

Relaţia (II. 56) reprezintă expresia matematică a legii lui Norton.

5. g. Aplicaţii

Problema 5. 1.

Fie reţeaua electrică din figura 130. Să se determine intensitatea

curentului din latura de rezistenţă R3 prin metodele: teoremele lui Kirchhoff,

Thevenin, Norton, metoda curenţilor ciclici, metoda superpoziţiei şi metoda

potenţialelor de noduri.

Fig. 130- Referitor la problema 5. 1.

Soluţia 1.

219

Page 16: Met. de Rez. Circuite

Bazele fizice ale electromagnetismului

Aplicând teoremele lui Kirchhoff se obţine sistemul de ecuaţii:

I1-I2-I3=0

R1I1+R3I3=Ue1

R2I2-R3I3=Ue2

din care rezultă:

Soluţia 2.

Aplicând teorema lui Thevenin, curentul prin rezistenţa R3 este dat

de relaţia:

în care

şi

Înlocuind în prima formulă se obţine:

Soluţia 3.

Aplicând teorema lui Norton, curentul din rezistenţa R3 se poate

calcula cu ajutorul curentului de scurtcircuit care se formează la

scurtcircuitarea bornelor A şi B, din relaţia:

220

Page 17: Met. de Rez. Circuite

Metode de rezolvare a reţelelor electrice

în care:

Înlocuind în expresia lui I3 se obţine acelaşi rezultat.

Soluţia 4.

Se aplică teorema curenţilor ciclici celor două ochiuri independente.

Sistemul de ecuaţii ce se obţine este:

(R1+R3)I’-R3I”=Ue1

R3I’+(R2+R3)I”=Ue2

Curentul prin latura de rezistenţă R3 se calculează cu relaţia:

I3=I’-I”

Soluţia 5.

Folosind teorema superpoziţiei, presupunând că acţionează numai

pila de tensiune electromotoare Ue1, avem:

şi

În mod asemănător se obţine curentul I3” în ipoteza că acţionează

numai pila de tensiune electromotoare Ue2. Conform teoremei superpoziţiei,

rezultă:

I3=I3”-I3”

Soluţia 6. 7

221

Page 18: Met. de Rez. Circuite

Bazele fizice ale electromagnetismului

Dacă se aplică teorema potenţialelor de noduri se obţine o singură

ecuaţie cu o singură necunoscută V1. Avem:

(G1+G2+G3)V1=Ue1G1+(-Ue2)G2

Curentul prin rezistorul R3 se calculează cu formula:

222