Mef Introducao

INTRODUO AO MTODO

DE ELEMENTOS FINITOS

O Mtodo de Elementos Finitos (MEF) uma teoria puramente matemtica para resoluo

aproximada de equaes diferenciais parciais.

Pode ser aplicado, portanto, a problemas de engenharia.

Mtodo de aproximao. O contnuo (infinitos graus de liberdade) aproximado por vrias funes

definidas em regies menores (elementos) conectadas por ns (finitos graus de liberdade).

Procedimento numrico. A discretizao produz um conjunto de equaes algbricas

COMPUTADOR

INTRODUO

Quando usar o MEF?

Limitaes dos mtodos analticos (geometrias complexas)

Diminuio dos custos em prottipos

Facilidade na montagem de cenrios possveis

Simulao de modelos onde a utilizao de prottipos no adequada. Ex.: implantes cirrgicos

Facilidade de integrao com ferramentas de CAD e otimizao

Proporciona consequentemente uma economia de tempo e dinheiro no processo produtivo.

Porm, mtodos analticos, ou outros procedimentos j consagrados de clculo NO devem ser

abandonados!

INTRODUO

O MEF pode ser utilizado para a soluo de diversas aplicaes de engenharia.

Historicamente, largamente empregado para anlises mecnicas estruturais,

tanto em comportamento esttico como dinmico.

Tambm bastante usado para anlises trmicas em regime permanente e

transiente de meios slidos.

INTRODUO

So usadas para determinar o nvel de deslocamentos, tenses, deformaes,

foras de reao, etc.

Anlise Esttica

No considera efeitos de tempo, avaliando equilbrio de foras.

INTRODUO ANLISES ESTRUTURAIS

Anlises Dinmicas

Modal: frequncias naturais e

modo de vibrao da estrutura

Harmnica: resposta devido a

uma excitao senoidal de

amplitude e intervalo de

frequncias conhecida.

Transiente: avaliao da

resposta da estrutura ao longo

do tempo, em funo de

carregamentos diversos

disc42a.avidisc42a.avi

Anlises Dinmicas

Tambm podem ser analisadas com base em uma metodologia explcita (ANSYS LS-Dyna e

ANSYS Autodyn).

Direcionadas para anlises de impacto, conformao mecnica e outros casos com elevado

nvel de deformaes.


So usadas para determinar a distribuio de temperaturas e fluxos trmicos,

tipicamente em meios slidos.

Podem avaliar a condio de equilbrio trmico (regime permanente) ou a

evoluo ao longo de um intervalo de tempo (regime transiente).

Pode-se representar transformao

de fase (lquido-slido) de forma idealizada.

INTRODUO ANLISES TRMICAS

Avaliam escoamentos de fluido externos e internos estrutura.

Permitem avaliar distribuies de presso, velocidade e temperatura no fluido.

Podem contemplar fenmenos complexos, como escoamentos multifsicos,

reaes qumicas, etc.

INTRODUO ANLISE DE DINMICA DE FLUIDOS

Permitem avaliar campos magnticos, correntes alternadas e contnuas,

integridade de sinais, interferncias, etc.

Aplicaes de alta (ex.: antenas) e baixa frequncia (ex.: motores eltricos).

INTRODUO ANLISE ELETROMAGNTICA

Diversos equipamentos e estruturas esto submetidas aos efeitos de diversos

fenmenos fsicos simultaneamente.

Muitas vezes, esses fenmenos podem exercer influncia entre si, afetando o

comportamento fsico.

Considerando um modelo numrico, essa influncia pode ser representada

atravs do acoplamento multifsico.

Esse acoplamento pode ser de 1 ou 2 vias, de acordo com a influncia entre os

fenmenos.

INTRODUO ACOPLAMENTO MULTIFSICO

INTRODUO ACOPLAMENTO MULTIFSICO

Analiticamente

Muito rpido para resolver, mas limitado para casos muito

especficos, e muitas vezes para casos geometricamente

muito simples

Exemplos : determinao terica, normas...

Experimentalmente

Resultados excelentes, mas em geral so

muito caros e demorados

Exemplos : crash-test, experimentos em tneis de vento...

Numericamente

Modelagem de casos complexos, com resultados

bons com tempos razoveis

Exemplos : Mtodo de Elementos Finitos,

Mtodo de Diferenas Finitas

COMO RESOLVER UM PROBLEMA DE ENGENHARIA?

Problema

Fsico

Modelo

Matemtico

MODELAGEM NUMRICA

IDEALIZAO

A idealizao corresponde a uma etapa intermediria, onde o problema

fsico simplificado, de forma a permitir a modelagem numrica.

O problema fsico corresponde a uma pergunta de engenharia.

MODELAGEM NUMRICA

O projeto de uma ponte capaz de

suportar os carregamentos

ambientais?

Caso um parafuso quebre, como a

junta flangeada de um equipamento

X vai se comportar?

Uma vez identificada essa pergunta, cabe ao analista definir:

Informaes que so conhecidas:

Geometria do equipamento / estrutura

Pontos de fixao e apoios

Carregamentos aplicados

Propriedades de material

...

Informaes desconhecidas que so necessrias:

Configurao deformada

Distribuio de tenses e deformaes

Evoluo de reaes ao longo do tempo

...

MODELAGEM NUMRICA

Identificada a pergunta de engenharia,

os resultados que so necessrios para

respond-la e as informaes que so

conhecidas, inicia-se o processo de

modelagem numrica.

MODELAGEM NUMRICA

Decises Preliminares

Pr-Processamento

Soluo

Ps-Processamento

Interpretao de Resultados

Erros podem ocorrer!

Nesse caso, deve-se retornar para as etapas anteriores, avaliando as possveis causas desse

erro.

MODELAGEM NUMRICA ERROS

Decises Preliminares

Pr-Processamento

SoluoPs-

ProcessamentoInterpretao de Resultados

Causa do erro provavelmente est na etapa de

pr-processamento ou mesmo nas decises

preliminares

Existem erros que so associados prpria modelagem numrica, que jamais

ser 100% igual ao cenrio real. Esses erros podem estar associados a:

Propriedades de material: normalmente o material no totalmente homogneo,

especialmente aps processos de fabricao, assim como suas propriedades podem

apresentar pequenos desvios em relao aos valores obtidos em literatura ou datasheet;

Geometria: a geometria real pode apresentar imperfeies devido a processos de fabricao,

que podem afetar a distribuio de tenso;

Carregamentos: a verdadeira magnitude, orientao e posio de um carregamento pode ser

levemente diferente daquelas aplicadas no modelo numrico;

Erros numricos: como qualquer outro procedimento numrico, na modelagem por elementos

finitos ocorrem erros inerentes caracterstica soluo (por exemplo, erro de arredondamento).


Existem erros, normalmente que ocorrem na etapa de soluo, que impossibilitam

o clculo. Tipicamente so identificados e solucionados facilmente.

Ausncia de condies de contorno suficientes, provocando movimento de corpo rgido;

Propriedades de material insuficientes;

...


Por fim, existem os chamados erros conceituais, associados a consideraes e

hipteses invlidas para a representao do problema fsico.

Grandezas com unidades e/ou magnitudes inconsistentes;

Comportamento de material no-representativo;

Singularidade numrica resultante de simplificao geomtrica;

...

Esses erros no impedem o clculo! So identificados no ps-processamento aps

interpretao crtica do analista!


Cabe ao analista tomar decises iniciais, de forma a construir o modelo numrico adequado.

Tpicas decises preliminares:

Qual a fsica da anlise?

Que tipo de simulao deve ser feita?

Existe dependncia de tempo no fenmeno observado?

Qual abordagem geomtrica necessria?

O que deve ser modelado: todo o conjunto ou parte dele?

Que tipo de elemento deve ser usado?

A no-linearidade deve ser considerada?

Esta etapa feita antes de abrir o software!

Ela inclusive pode definir qual software deve ser usado.

PLANEJANDO A ANLISE

Qual a fsica da anlise?

PLANEJANDO A ANLISE

Estrutural

Trmica

Fluidodinmica

Eletromagnetismo

Acstica

Que tipo de anlise deve ser feita?

PLANEJANDO A ANLISE

Estrutural

Esttica Dinmica

Implcita

Modal Harmnica Espectro Transiente

Explcita

Flambagem

Fadiga

Existe dependncia do tempo?

PLANEJANDO A ANLISE

Qual abordagem geomtrica necessria?

Elementos de viga (modelagem 1D)?

Elementos de casca (modelagem 2D)?

Elementos planos (modelagem slida 2D)?

Elementos tridimensionais (modelagem slida 3D)?

PLANEJANDO A ANLISE

O que deve ser modelado?

PLANEJANDO A ANLISE

necessrio modelar todo o

conjunto, para capturar o

comportamento fsico desejado?

possvel modelar apenas a parte

de interesse, representando sua

interao com as demais de outra

forma?

Que tipo de elemento deve ser usado?

Elemento de 1 ou 2 ordem?

Elemento com caractersticas especiais?

PLANEJANDO A ANLISE

A no-linearidade deve ser considerada?

No-linearidade dependncia do comportamento do sistema com o

grau de liberdade calculado.

No caso estrutural:

Material

Grandes deformaes e deslocamento

Contato

PLANEJANDO A ANLISE

FxxK

Tomadas as decises iniciais, tipicamente realizada uma

anlise preliminar, com modelos numricos mais simples.

Validao das hipteses, identificao de erros conceituais, ...

Se disponveis, resultados experimentais podem ser usados

para calibrar o modelo e ganhar sensibilidade fsica do

problema.

Caso no sejam obtidos resultados satisfatrios, revisar as

hipteses adotadas e selecionar uma abordagem

hierarquicamente superior.

PLANEJANDO A ANLISE

Definida a abordagem e com as decises iniciais tomadas,

inicia-se o desenvolvimento da anlise, que tipicamente se

divide em trs etapas:

Pr-processamento

Etapa de construo do modelo numrico, com a criao da

geometria, definio de propriedades de material, discretizao da

malha de elementos finitos e aplicao das condies de contorno.

Soluo

Etapa em que o modelo numrico resolvido.

Ps-processamento

Etapa de gerao de resultados.

DESENVOLVENDO A ANLISE

DESENVOLVENDO A ANLISE

O analista quem executa esta

etapa. a maior fonte de erros

conceituais!

Etapa de maior esforo

computacional, mas onde

o acompanhamento do

analista fundamental.

Resultados so gerados de

acordo com o problema fsico

em estudo.

Terminada a anlise, cabe ao analista fazer a interpretao

dos resultados, com base nas hipteses simplificadoras,

levando em conta o objetivo da anlise.

INTERPRETANDO OS RESULTADOS

O programa no faz a interpretao dos resultados!

Essa tarefa cabe ao engenheiro responsvel pela anlise!

Tpicos questionamentos:

Foram obtidos bons resultados?

A resposta fisicamente coerente?

A comparao com resultados experimentais satisfatria?

A comparao com resultados analticos satisfatria?

As hipteses simplificadoras so vlidas?

Foi obtida convergncia de malha?

Onde ocorrem as maiores tenses? uma regio de singularidade

numrica?


A boa prtica de simulao recomenda que os primeiros

modelos sejam numericamente mais simples.

Malhas mais grosseiras;

Uso de geometrias e elementos idealizados;

Simplificao de no-linearidades.

Com base na interpretao dos resultados, pode ser

necessrio desenvolver modelos mais complexos.


A pergunta : quando parar?

Observar a diferena entre o modelo confivel e eficiente.


Modelo Confivel

Modelo que fornece a resposta para

a pergunta de engenharia com a

preciso necessria.

Modelo Eficiente

Modelo com a menor complexidade

numrica possvel que fornece a

resposta para a pergunta de

engenharia com preciso suficiente.

A comparao com modelos analticos e/ou experimentais

tambm de grande valia.

Dificilmente os valores sero exatamente os mesmos!

Cabe ao engenheiro avaliar o porqu.


Como que as hipteses simplificadoras

afetam a resposta? E o quanto isso

crtico?

Deve-se ter um cuidado com a avaliao da tenso mxima!

O local de mxima tenso corresponde ao previsto?

uma regio de singularidade?

na regio de interesse?

uma regio onde a geometria foi simplificada?

O modelo leva em considerao a plasticidade?


MTODO DE ELEMENTOS

FINITOSRaphael Bacchi, M.Sc.

O MEF tem suas origens na anlise estrutural, se aproveitando de conceitos e

teorias clssicas de mecnica dos slidos.

Para uma melhor compreenso do mtodo, feita a seguir uma breve reviso

desses conceitos.

CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MECNICA DOS SLIDOS

Deslocamentos esto associados ao movimento sofrido por um dado ponto da

estrutura.

Por exemplo, na figura abaixo, o deslocamento dos pontos imaginrios A, B e P pode ser

definido pelos vetores (A.A), (B.B) e (P.P).


Fonte: Astley

Deformaes correspondem a uma medida normalizada dos deslocamentos

relativos de pontos em um corpo.

Devem respeitar os seguintes critrios:

A deformao nula quando no h deslocamento relativo entre pontos desse corpo

movimento de corpo rgido.

A deformao ser no-nula quando ocorrer deslocamento relativo entre pontos do corpo.

A deformao deve se relacionar com a tenso por meio de uma equao constitutiva.

Como a matria contnua, diferentes componentes de deformao devem

obedecer equaes de compatibilidade, que as relaciona.


Formalmente, as deformaes podem ser caracterizadas em componentes

normais e cisalhantes, associadas translaes e rotaes respectivamente.


x

ux

x

v

y

u

y

u

vy

utan

x

v

ux

vtan

xy

Relaes anlogas para as

demais direes e planos

As tenses representam as foras internas atuantes em um corpo, em uma rea

infinitesimal A. Tambm apresenta componentes normais e cisalhantes.


FN

FS

F

A

A

Flim

A

Flim

S

0A

N

0A

Tenso Normal :

Tenso Cisalhante :

Tipicamente, o estado geral de deformaes e tenses em um ponto qualquer,

com base em uma orientao cartesiana, podem ser descritos por tensores, como

mostrado abaixo:


zzyzx

yzyyx

xzxyx

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

E

zzyzx

yzyyx

xzxyx

T

O estado geral de tenses pode ser calculado segundo uma nova orientao, de

forma a caracterizar um estado com tenses normais somente. Essas trs

componentes 0 so estimadas pelo determinante abaixo.

O mesmo vlido para as deformaes.

Nessa condio, tem-se as tenses principais,

sendo que:


0

0zzyzx

yz0yyx

xzxy0x

321

Para a avaliao de estruturas, comum representar o estado geral de tenses

por um valor equivalente.

A tenso equivalente de von Mises corresponde a uma tenso de trao uniaxial,

que cria a mesma energia de deformao associada ao estado de tenses geral.

Essa componente equivalente tipicamente comparada com o limite de escoamento do

material, obtido em ensaio uniaxial de trao.


213232221eqv

2

xz

2

yz

2

xy

2

xz

2

zy

2

yxeqv

2

1

62

1

Como mencionado acima, uma equao constitutiva faz a relao entre os

tensores de deformao e tenso.

Este tensor de quarta ordem e apresenta a princpio 81 coeficientes, que em funo da

simetria se reduzem para 36 coeficientes.

Para o caso de relao linear, corresponde Lei de Hooke.


ECT

yxzz

zxyy

zyxx

E

1

E

1

E

1

G

G

G

yz

yz

xzxz

xy

xy

Cabe ressaltar que existem diversas formas de medir tenses e deformaes.

Para um caso simplificado de barra em trao:

Deformaes e tenses de engenharia (pequenas deformaes)

Deformao real e tenso real (Cauchy)


inicial

eng

inicial

inicialfinaleng

A

F,

L

LL

finalinicial

final

A

F,

L

Lln

Pode-se estabelecer relaes entre essas medidas de

tenso e deformao.


http://www.thefullwiki.org/Tensile_strength

1 - Tenso ltima (Ultimate)

2 - Tenso de Escoamento (Yield)

3 - Tenso de Ruptura (Rupture)

At aproximadamente 2x a

deformao de escoamento

At o ponto de estrico (regio 4)

eng eng

engeng 1

eng 1ln

Curva de Engenharia

Curva Real

Anlise MatricialRaphael Bacchi, M.Sc.

Para uma melhor compreenso do Mtodo de Elementos Finitos, possvel avaliar

o mtodo de Anlise Matricial.

Esta metodologia antecessora ao MEF e apresenta diversos pontos em comum,

como:

Conceito de discretizao da estrutura

Modelo matemtico empregado

Formulao matricial das equaes diretas

Mtodos de soluo numrica

ANLISE MATRICIAL

Idia principal do mtodo:

Discretizar o contnuo em pequenas regies, chamadas de elementos, e descrever o

comportamento de todo o sistema com a superposio dos comportamentos individuais de cada

elemento.

ANLISE MATRICIAL

Por exemplo, essa estrutura formada por diversas barras, atuantes como vigas,

trelias ou colunas.

ANLISE MATRICIAL

Os sistemas estruturais passam a ser representados por elementos lineares

(trelias, vigas) conectados atravs de pontos discretos chamados ns.

Sob carregamento, os ns sofrero deslocamentos sob a forma de translaes e

rotaes.

Os deslocamentos nos ns sero conhecidos quando constiturem as restries

impostas estrutura (condies de contorno).

Os deslocamentos restantes sero obtidos aps uma anlise completa da

estrutura. Esses deslocamentos nodais so os graus de liberdade e representam

a indeterminao cinemtica da estrutura.

ANLISE MATRICIAL

Rigidez:

a relao entre um esforo aplicado e o deslocamento ocorrido devido a esse esforo.

ANLISE MATRICIAL CONCEITOS ESSENCIAIS

2121

22

11

xx k k :Se

xkF

xkF

Grau de liberdade:

o nmero de coordenadas necessrias para descrever com exatido uma posio de um

sistema mecnico.

A estrutura acima possui 3 graus de liberdade, e portanto pode ser descrita de maneira unvoca

atravs de 3 coordenadas


Coeficiente de influncia de rigidez:

Kij = esforo que surge no i-simo grau de liberdade para deslocamento unitrio segundo o j-

simo grau de liberdade, mantidos nulos todos os demais deslocamentos


Exemplos:

K11 esforo que surge em 1, quando ocorre deslocamento unitrio em

1

K12 esforo que surge em 1, quando ocorre deslocamento unitrio em

2

Considerando a barra de trelia abaixo.

ANLISE MATRICIAL EXEMPLO DE BARRA DE TRELIA

Aplicando uma fora axial F na barra,

distribuda de maneira uniforme na

seo transversal de rea A, tem-se:

A

FTenso axial :

00

0

L

L

L

LL

Deformao axial :

Adotando a hiptese de material linear elstico (Lei de Hooke)

0L

LE

A

F

E

L

L

EAF

0

LkF axial

Considerando a barra somente com translaes axiais, entende-se que ela possui

2 graus de liberdade.

Considerando a relao vista no slide anterior, pode-se escrever um sistema matricial para

caracterizar o elemento de barra.

Onde:


2221

1211

2

1

2

1

kk

kkK

x

xx

f

ff

11

11

L

EAK

L

EAkaxial

A matriz K ao lado chamada de

matriz rigidez do elemento de

trelia

O elemento de trelia visto acima pode ser usado para a anlise de estruturas

mais complexas, com vrios elementos conectados.

Para isso, deve-se construir uma matriz rigidez global, combinando as matrizes de

elementos.

O mesmo vlido para as foras e graus de liberdade.

feita ento uma equivalncia entre graus de liberdade do elemento e graus de

liberdade globais.

Essa equivalncia pode ser feita considerando ou no as condies de contorno aplicadas nos

graus de liberdade globais.

Exemplo:


Elemento A:

Elemento B:


Elemento A Elemento B

GL Local 1 = ...

GL Local 2 = GL Global 1



Considerando condies de contorno

Com base na equivalncia entre os graus de liberdade local e global, constri-se a

matriz rigidez global.


122121

112111

1kk

kkK

222221

212211

2kk

kkK

222221

212211122121

112111

kk0

kkkk

0kk

K

GL 1 GL 2

GL 1

GL 2

11

12

L

EAK

Considerando trelias com

mesmo material e geometria

Matriz

Rigidez

Global

Com a matriz rigidez global definida, pode-se construir o sistema global (f = Kx).

Neste sistema, normalmente as foras so conhecidas, enquanto que os deslocamentos so as

incgnitas.

Para a soluo, uma forma consiste em inverter a matriz K e multiplicar pelo vetor f, para assim

encontrar os deslocamentos


2

1

2

1

x

x

11

12

L

EA

f

f

O procedimento acima pode ser replicado para diversas situaes mais

complexas, com uma quantidade maior de graus de liberdade por n.

Exemplo: trelia no plano, trelia no espao tridimensional

Se necessrio, matrizes de rotao podem ser usadas para ajustar graus de

liberdade locais.

Usado quando estes no esto alinhados com as direes globais.

Pode-se aplicar a mesma metodologia para vigas.

Possuem rigidez flexo e toro, alm da rigidez axial.

ANLISE MATRICIAL

O mtodo de montagem de matriz mostrado anteriormente baseado em modelos

analticos para elementos de viga.

Para sistemas mais complexos, no possvel utilizar este recurso, de forma que

se utiliza outros mtodos para resoluo de sistemas matemticos contnuos.

Entretanto, como mencionado acima, muitos conceitos so aproveitados nestas

metodologias.

Alm disso, no MEF so tipicamente usados elementos com geometrias simples,

muitas vezes com representao semelhante vista acima para trelias e vigas.

SISTEMAS MATEMTICOS CONTNUOS

Alguns mtodos contnuos comuns:

Mtodo Diferencial (forma forte de equilbrio)

Mtodo Variacional: Mtodo de Ritz (forma variacional de equilbrio)

Mtodo de Resduos Ponderados: Mtodo de Galerkin (forma fraca de equilbrio)

Mtodo Direto (utiliza-se do Princpio dos Trabalhos Virtuais)

SISTEMAS MATEMTICOS CONTNUOS

1. Escrever, para cada elemento, o campo de deslocamentos atravs de funes de forma

2. Expressar o campo de deslocamentos do elemento em funo dos deslocamentos

nodais

3. Atravs de uma integral no volume no elemento, obter a matriz de rigidez do mesmo (j

definida uma relao constitutiva)

4. Montar um sistema global de equaes, atravs da superposio dos efeitos de cada

elemento baseando-se em uma numerao global de graus de liberdade

5. Com a relao deslocamento-deformao (baseada nas equaes de compatibilidade),

calcular a deformao dentro de cada elemento

6. partir das deformaes, obter a distribuio de tenses em cada elemento

MTODO DIRETO

Considerando o elemento de trelia abaixo.

Elemento composto por dois ns, i e j.

Cada n possui 1 grau de liberdade de deslocamento (i e j).

Elemento possui rea de seo transversal A e comprimento L conhecidos.

O elemento de trelia pode ser representado por uma equao de reta.

As variveis a0 e a1 so os coeficientes da reta.

MTODO DIRETO ELEMENTO DE TRELIA

i j

i jx

y

xaau 10

L

A

A funo de forma pode ser reescrita de forma matricial:

Considerando que o elemento isoparamtrico (a funo de forma tambm

descreve os graus de liberdade), pode-se estimar os coeficientes com base nos

deslocamentos nodais.


1

0

a

ax1u

LaaLuLu

0aa0u0u

10j

10i

La

a

ij

1

i0

possvel organizar os coeficientes tambm de forma matricial.

Substituindo os coeficientes na funo de forma, pode-se definir o campo de

deslocamentos do elemento em funo dos deslocamentos nodais.


j

i

1

0

L

1

L

1

01

x1ua

ax1u

j

i

1

0

L

1

L

1

01

a

a

j

i

L

x

L

x1u

O primeiro termo da expresso acima corresponde funo de forma do elemento [N].

Assumindo pequenas deformaes:

O primeiro termo da equao acima a matriz de relao deslocamentos-deformaes [B].


N

L

x

L

x1u

j

i

dx

du

j

i

L

1

L

1

B

Calculadas as deformaes, pode-se aplicar a relao constitutiva para estimar as

tenses.

Considerando trelia com tenso axial somente em comportamento linear elstico, a lei

constitutiva se resume ao mdulo de elasticidade:


BC

C

E

As matrizes que definem o comportamento estrutural podem ser derivadas a partir

do Princpio de Trabalhos Virtuais.

Princpio de Trabalhos Virtuais:

Para a condio de equilbrio, o incremento de trabalho virtual das foras externas We deve ser

igual ao incremento do trabalho virtual das tenses Wi, para qualquer campo de

deslocamentos virtuais u que satisfaa as condies de contorno do sistema.

PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

ei WW

Considerando um domnio genrico abaixo:


j

ii

N

S

SB

ei

uFdSuFdVuFdV

WW

i

FB = Foras inerciais

FS = Foras Superficiais

FN = Foras Nodais

Carregamentos ExternosEnergia Interna de Deformao

O termo de energia interna est associado rigidez do domnio (que pode ser um elemento).

Conhecidas as relaes abaixo:

Pode-se definir a rigidez do domnio como:

Para o caso de trelia (Lei de Hooke):


V

T

e dVBCBk

V

T

e dVBEBk

C;uB

Substituindo a matriz [B] para o exemplo da trelia:

Conhecida a rea A e o comprimento L do elemento, pode-se fazer a integrao ao

longo de seu volume.

Matriz j conhecida da modelagem matricial.


dv

L

E

L

EL

E

L

E

dVL

1

L

1E

L

1

L

1k

V22

22T

V

e

L

EA

L

EAL

EA

L

EA

ke

Seguindo a mesma metodologia vista na Anlise Matricial, uma matriz rigidez

global construda, atravs da composio das matrizes de elemento.

Observando a equivalncia entre grau de liberdade de cada elemento e grau de liberdade

global.


N

1i

i

eKK

Uma questo fundamental na anlise pelo MEF a seleo do tipo de elemento

finito e sua correspondente funo de forma.

As funes de forma mais comuns so polinmios.

FUNES DE FORMA

j k l

lkj

jkli

j k

kj

jki

j

j

ji

zyxz,y,x

yxy,x

xx

Em anlises de elementos finitos, as funes de forma so tipicamente polinmios

de baixa ordem (lineares ou quadrticos).

Geometricamente, estes elementos possuem formas relativamente simples.

Linhas, tringulos, quadrados, tetraedros, hexaedros...

FUNES DE FORMA

Caracterstica dos

elementosRaphael Bacchi, M.Sc.

Para a discretizao do problema, o analista deve escolher determinados

elementos para representar numericamente seu sistema.

A escolha de um elemento j est associada definio da funo de forma [N], e

consequentemente da matriz de associao de deformaes e deslocamentos [B] e da matriz

rigidez [K].

Os elementos podem ser classificados de acordo com as seguintes informaes:

Geometria

Graus de liberdade

Nmero de ns

Formulao

Integrao

ELEMENTOS FINITOS

Os elementos tipicamente podem ser:

Unidimensionais (trelias, vigas ...)

Bidimensionais (membrana, casca, placa ...)

Tridimensionais (slidos)

Existem tambm elementos especiais / auxiliares

Elementos rgidos

Elementos infinitos

Molas e amortecedores

Massas concentradas

Elementos superficiais (carregamentos, contatos ...)

Acsticos

Gaxeta

User-defined elements

ELEMENTOS FINITOS GEOMETRIA


Especiais: molas,

amortecedores e

massas

Contnuos (elementos

slidos)

Elementos de Casca

Elementos de VigaElementos Rgidos Elementos de

Membrana

Elementos de

Trelia

Em termos de geometria, tipicamente eles assumem formatos simplificados.

Bidimensionais: quadrados e tringulos

Tridimensionais: hexaedros, tetraedros, prismas e pirmides


Tambm pode-se classificar as geometrias de acordo com os esforos presentes.

Esforos no plano: trelias e membranas

Esforos laterais devido a momentos fletores: vigas e placas

Ambos esforos: vigas e cascas


Elementos de Casca

Elementos de Viga

Elementos de Membrana

Elementos de Trelia

So as variveis fundamentais calculadas durante as anlises, localizados nos

ns.

Para as simulaes envolvendo tenso deformao, os graus de liberdade

dependem do tipo de geometria:

Elementos tridimensionais: translaes

Elementos unidimensionais e bidimensionais: translaes e rotaes

Para transferncia de calor os graus de liberdade so as temperaturas em cada

n.

ELEMENTOS FINITOS GRAUS DE LIBERDADE

A dimenso dos polinmios que caracterizam a geometria do elemento definem a

sua ordem, diretamente associada quantidade de ns.

Os elementos podem ser:

Elementos de 1 ordem: somente ns nos vrtices

Elementos de 2 ordem: incluem tambm ns intermedirios

ELEMENTOS FINITOS NMERO DE NS

Hexaedro de 1 ordem (8 ns) Hexaedro de 2 ordem (20 ns)

Formulao:

A formulao matemtica define o comportamento do elemento. Todos os elementos utilizados

em anlise estrutural so baseados na descrio Lagrangeana. Mais recentemente esto sendo

disponibilizados elementos ALE (Arbitrarian Lagrangian Eulerian Formulation).

Integrao:

Os programas normalmente utilizam a quadratura de Gauss para avaliar a resposta material em

cada ponto de integrao de cada elemento. possvel escolher o nmero de pontos de Gauss

para determinar a preciso da integrao numrica.

ELEMENTOS FINITOS FORMULAO E INTEGRAO

Configurao da integrao gaussiana nos elementos, podendo ser completa ou

reduzida.

A ordem do elemento contribui para a quantidade de pontos de integrao.

ELEMENTOS FINITOS FORMULAO E INTEGRAO

Primeira

Ordem

Integrao

Completa

Segunda

Ordem

Integrao

Reduzida

Em geral os elementos slidos so usados para representao de volumes,

podendo assumir formatos hexadricos, tetradricos, etc.

Tambm podem ser usados para modelos planos idealizados, com

comportamentos especficos:

Estado Plano de Tenses

Estado Plano de Deformaes

Axissimtrico

Possuem 3 graus de liberdade por n.

Translaes.

Elementos planos possuem 2 graus de liberdade.

ELEMENTOS SLIDOS

Estado Plano de Tenses

Tenso fora do plano nula. Aplicvel para estruturas com espessura muito pequena com

carregamento no plano.

Estado Plano de Deformaes

Deformao fora do plano nula. Aplicvel para estruturas com um comprimento muito grande,

com carregamento no plano.

ELEMENTOS SLIDOS

Axissimtrico

Modela-se somente a seo de revoluo

da geometria, aplicvel quando os

carregamentos e restries tambm so

axissimtricos.

Permite o levantamento de componentes de

tenso axial, radial e circunferencial.

ELEMENTOS SLIDOS

So usados para geometrias tridimensionais, onde uma das dimenses muito

menor que as demais.

Embora o elemento no tenha espessura, esta definida internamente como

propriedade do elemento, caracterizando assim sua rigidez.

Possuem 6 graus de liberdade por n

Translaes e rotaes

ELEMENTOS DE CASCA

Elementos de casca so usados para geometrias com chapas metlicas e paredes

finas, onde o uso de uma malha tridimensional resultaria em malhas muito grandes

ou muito distorcidas.

Tipicamente em condies com espessura at 1/10 das dimenses caractersticas do modelo.

ELEMENTOS DE CASCA

Elemento baseado na espessura

Malha muito grande

Elemento baseado na superfcie

Malha muito distorcida

Embora o elemento seja uma superfcie, tipicamente realizada uma integrao

ao longo da espessura.

ELEMENTOS DE CASCA

Resultado no lado Top Resultado no lado Bottom

So usados em geometrias onde duas dimenses so muito menores em relao

ao comprimento.

Podem apresentar rigidez somente axial (trelia) ou tambm flexo e toro

(viga).

Possuem at 6 graus de liberdade por n

Translaes e rotaes (somente vigas)

ELEMENTOS DE VIGA / TRELIA

Estes elementos so muito comuns para estruturas metlicas de grande porte,

construdas com vigas e barras.

As propriedades de seo (rea, momentos de inrcia, etc) podem ser definidas

manualmente ou calculadas com base na geometria da seo transversal.


Elementos lineares tipicamente apresentam resultados uniformes na seo, que se

comporta de forma rgida.

Alguns recursos de extrapolao podem ser usados para visualizar resultados ao

longo da seo.

Certos elementos de viga avanados fazem uso de termos de Fourier, o que

permite distoro da seo transversal.


A escolha do elemento deve ser feita com base nas caractersticas da geometria,

assim como no tipo de resposta esperado.

Na prtica qualquer geometria tridimensional; logo elementos slidos so

tipicamente os mais indicados, sendo os mais completos em termos de resultados.

Elementos idealizados (cascas e vigas) normalmente tm limitaes em termos de

resultados, porm apresentam melhor desempenho em termos de tempo de

anlise para determinadas geometrias.

ESCOLHA DO ELEMENTO

Exemplo: estrutura metlica composta por perfis retangulares, fixada nas

extremidades e submetida a um carregamento de 2000 kg distribudo na superfcie

superior.

Avaliar a resposta considerando elementos slidos, cascas e vigas.

EXEMPLO DE SELEO DE ELEMENTO

Modelo com elementos slidos (malha com 25 mm)


Modelo com elementos de casca (malha com 33 mm)


Modelo com elementos de viga (malha com 80 mm)


Comparao de resultados


Slido Casca Viga

Nmero de Ns 91045 3190 152

Nmero de Elementos 45435 3138 76

Graus de Liberdade 269679 18708 888

Tamanho arquivo (Mb) 41 4,2 0,576

Tempo de soluo (s) 26 5 3

Deflexo (mm) 0,098 0,098 0,09

Tenso de von Mises (MPa) 18,104 12,547 11,603*

* - Tenso combinada (componente axial + componente de flexo)

Modelo slido

Fornece bons resultados, porm devido s pequenas dimenses foi necessrio o uso de uma

malha muito refinada, consequentemente resultando em maior tempo de soluo.

Modelo de casca

Traz bons resultados, com uma malha no muito pesada. Permite a avaliao ao longo da

espessura, com a correta identificao das superfcies Top e Bottom.

Modelo de viga

Malha bem reduzida e tempo de soluo extremamente rpido. Permite uma avaliao global

da resposta, porm com ps-processamento limitado.


Qualidade da MalhaRaphael Bacchi, M.Sc.

A definio da malha de elementos finitos uma etapa de grande importncia na

modelagem.

Determina a qualidade dos resultados obtidos.

Fisicamente, o modelo contnuo; a diviso proposta em um modelo de

Elementos Finitos uma abordagem para viabilizar a soluo numericamente.

De uma forma geral, quanto mais refinada for a malha (elementos menores),

melhores sero os resultados.

Em uma anlise de MEF, o refino est relacionado com o tamanho do elemento e at mesmo

com sua ordem.

AVALIAO DA QUALIDADE DE MALHA

Por outro lado, malhas muito refinadas resultam em uma quantidade maior de ns

e elementos.

Consequentemente, gerando mais equaes para o sistema e um maior tempo de anlise.

Isso ainda mais crtico em anlises no-lineares e/ou transientes, que so por definio mais

demoradas.

Dessa forma, necessrio buscar um equilbrio entre tempo de simulao e

preciso de resultados.


Tempo de simulao Preciso de resultados

Considerando as questes acima, possvel pensar:

O ideal usar uma malha bem refinada, pois a preciso de resultados indispensvel. No

adianta nada ter uma resposta mais rpida e errada com uma malha grosseira.

Entretanto, sob uma tica prtica o tempo de resposta tambm uma varivel

importante.

Associado a custos de fabricao, prazos de manuteno, etc.

Com uma malha demasiadamente refinada, os resultados da anlise podem no ser

economicamente viveis ou no ficar disponveis em tempo hbil de ser implementados.

H casos que mesmo uma malha grosseira pode ser adequada para resolver o

problema.


Analisando essas consideraes, pode-se definir que:

A pergunta : qual essa malha ideal?


A malha ideal aquela que fornece

resultados com preciso suficiente para o

objetivo do estudo dentro de um prazo

admissvel.

Muitas vezes ser necessria uma avaliao da qualidade da malha com base nos

resultados.

Estudo de convergncia de malha.

Boas prticas de modelagem e experincia permitem a criao de uma malha

mais prxima do ideal.


Na convergncia de malha, inicia-se com uma malha mais grosseira.

Em seguida, aplica-se um refino na malha.

Preferencialmente em regies mais crticas, onde foram observados maiores gradientes de

tenso e deformao.

Os resultados so avaliados e comparados com a malha anterior.

Observando-se que os resultados no variaram muito, entende-se que a

convergncia de malha foi alcanada; caso contrrio, uma nova iterao

realizada, refinando mais a malha.


Considerando o exemplo de chapa com furo abaixo.


Model Element Size (mm) Nodes Elements Max. Displacement (mm) Displacement Variation von Mises Stress (MPa) Stress Variation Time (s)

1 10 995 120 4.3406E-02 - 155.04 - 2

2 8 1415 175 4.3414E-02 0.02% 169.98 9.64% 2

3 6 2476 318 4.3418E-02 0.01% 173.19 1.89% 2

4 4 5188 689 4.3421E-02 0.01% 168.69 -2.60% 3

5 2 30923 5410 4.3421E-02 0.00% 171.76 1.82% 10

6 1 164732 32304 4.3421E-02 0.00% 172.04 0.16% 31

Valor da tenso

converge

Elementos mais refinados proporcionam respostas mais precisas, porm com um

tempo de soluo maior.

Deve-se evitar malhas que sejam demasiadamente refinadas para a aplicao necessria.

Elementos de 2 ordem, devido ao formato parablico, so mais adequados para

geometrias complexas e com muitas curvaturas.

So necessrios elementos de 1 ordem mais refinados para representar essas geometrias.

Elementos de segunda ordem tambm tendem a representar melhor as

deformaes, principalmente se for observada flexo.


Exemplo: estimativa de constante elstica de mola:


3,0 mm 1,0 mm 5,0 mm 2,5 mm

Elementos de 1 ordem Elementos de 2 ordem

Pode-se observar que os elementos de 1 ordem tornam a mola mais rgida, para

malhas grosseiras. Resultados convergem mais facilmente para malhas de

segunda ordem do mesmo tamanho.


0

10

20

30

40

50

60

5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.75 0.5

Element size [mm]

Sp

rin

g s

tiff

ne

ss [

N/m

m]

1. Order

2. Order

Entretanto, deve-se observar que os elementos de 1 ordem podem ser teis, e

mesmo mais indicados, para determinadas situaes, tais como:

Anlises trmicas

Anlises dinmicas no-lineares e/ou explcitas (impacto)

Conformao com grande distoro de malha

Alm disso, pela menor quantidade de ns, os elementos de 1 ordem so

recomendados para anlises preliminares para validao do modelo.


De uma forma geral, ao preparar um modelo numrico, as malhas criadas so

no-estruturadas.

No seguem nenhum padro geomtrico.

Caso a geometria seja relativamente regular, recomenda-se a construo de uma

malha estruturada.

Segue um padro regular de distribuio de elementos

Utiliza tipicamente elementos quadrados ou hexadricos

Fornece resultados de melhor qualidade


Exemplo: chapa com furo


Malha No-estruturada Malha Estruturada

Para avaliar a qualidade da malha, existem diversos critrios geomtricos,

aplicados para determinadas geometrias de elementos.

Qualidade de Elemento

Razo de Aspecto

Razo de Jacobiano

Fator de Distoro (warping)

Desvio Paralelo

Mximo ngulo dos Vrtices

Skewness

Qualidade Ortogonal

CRITRIOS DE QUALIDADE DE MALHA

Qualidade do elemento

Indicativo global de qualidade, com base na rea/volume do elemento

Razo de Aspecto

Relao entre base e altura do elemento


10

MelhorPior

N1

Razo de Jacobiano

Associado posio dos ns intermedirios

Fator de Distoro (warping)

Associado toro do elemento


N1

N0

Desvio Paralelo

Avalia o paralelismo de elementos retangulares e hexadricos

Mximo ngulo Entre Vrtices

Indica o maior ngulo entre arestas do elemento


N0

N60

N90 Quadrilteros

Tringulos

Skewness

Indica o quanto o elemento equilateral ou equiangular

Qualidade Ortogonal

Associado aos vetores das faces ou arestas do elemento


10

10

MelhorPior

Mesmo com elementos de qualidade relativamente razovel, deve-se avaliar a

ocorrncia de determinados erros numricos.

Esto associados tipicamente com o tipo de integrao e ordem do elemento.

Alguns erros comuns:

Shear Locking

Hourglassing

Volumetric Locking

ERROS NUMRICOS EM ELEMENTOS

Shear Locking

Ocorre com elementos contnuos lineares, sujeitos flexo.

O campo de deslocamentos no consegue representar a cinemtica da flexo.

As arestas dos elementos permanecem retas, com ngulo entre as mesmas diferente de 90

aps a deformao.

Surgem tenses cisalhantes artificiais, com comportamento rgido flexo.


Soluo:

Elementos de modos incompatveis

Elementos quadrticos

Elementos de integrao reduzida

Elementos de Modos Incompatveis

Nestes elementos so introduzidos graus de liberdade adicionais.

Modos so calculados diretamente a partir do gradiente de deformao, que passa a ser linear.

Esses graus de liberdade adicionais no influenciam no deslocamento dos ns, somente nos

clculos internos dos elementos.

So comparveis a elementos quadrticos, porm com custo computacional mais baixo.

Porm so suscetveis distores.


Hourglassing

Ocorre com elementos contnuos lineares de integrao reduzida.

Embora o elemento apresente trao e compresso, como s h um ponto de integrao, o

elemento apresenta um valor nico de tenso.


Soluo:

Elementos com integrao completa

Malhas uniformes

No aplicar carregamentos em

pontos singulares

Volumetric Locking

Ocorre com materiais incompressveis ( = 0,5) ou quase incompressveis ( > 0,475).

A resposta de um material incompressvel no pode ser modelada com elementos regulares

porque a tenso devido presso no elemento indeterminada.

Volumetric Locking est associado a uma rigidez excessiva nos campos cinemticos

admissveis.

Campo de tenses no pode ser computado a partir dos deslocamentos.


Soluo:

Elementos hbridos de formulao u-P, que incluem um grau

de liberdade de presso no elemento.

Deslocamentos so usados somente para calcular as tenses

e deformaes desviatrias.

Tipicamente, espera-se que a medida que a malha refinada, os resultados

convergem para uma resposta mais precisa.

Entretanto, podem haver situaes onde o resultado diverge, quando a malha

refinada.

Ocorre com grandezas derivadas dos graus de liberdade, como deformaes, tenses e fluxos

de calor.

Nessas situaes, tem-se uma singularidade numrica.

SINGULARIDADE NUMRICA

Considerando uma anlise estrutural, pode-se afirmar de forma simplificada que:

Se a rea tende a zero, a tenso tende a infinito!


rea

Fora

Exemplo: avaliar na geometria em L abaixo a convergncia de malha.

Dimenses de 40 x 40 x 5 mm, com largura de 20 mm, fixa na extremidade superior e com

carga de 500 N na outra.


A resposta no converge, com a tenso aumentando a cada refino de malha.



1 5 518 60 0.86149 - 246.07 - 2

2 2.5 2949 480 0.87696 1.80% 250.46 1.78% 2

3 1.25 19313 3840 0.88128 0.49% 290.22 15.87% 4

4 1 36126 7500 0.88203 0.09% 326.94 12.65% 6

5 0.8 76400 16625 0.88291 0.10% 368.13 12.60% 14

6 0.625 138369 30720 0.88310 0.02% 414.52 12.60% 26

7 0.5 264101 60000 0.88345 0.04% 462.01 11.46% 57

8 0.25 2015601 480000 0.88411 0.07% 640.91 38.72% 673

Normalmente essas situaes ocorrem devido presena de simplificaes no

modelo numrico, provocando estas tenses artificiais.

Nessas situaes, o refino de malha leva a tenses infinitas.


Se a singularidade ocorre longe da regio de interesse e no afeta seu

comportamento, ela pode ser ignorada.

Caso contrrio, deve-se minimizar as simplificaes, aproximando mais o modelo

numrico da condio real.

Incluir detalhes geomtricos que possam distribuir melhor as tenses, como arredondamentos e

chanfros.

Aplicar carregamentos e restries em reas, evitando a concentrao em pontos ou arestas.

Se as tenses forem superiores ao limite de escoamento, considerar tambm a plasticidade do

material.


Exemplo: considerando o mesmo caso da geometria em L, porm adotando um

raio de adoamento de 1 mm na transio.


O resultado de tenso converge.



1 5 646 84 0.86611 - 259.21 - 3

2 2.5 3010 488 0.87062 0.52% 318.86 23.01% 4

3 1.25 19698 3920 0.87173 0.13% 481.32 50.95% 11

4 1 36043 7480 0.87181 0.01% 437.66 -9.07% 12

5 0.8 75396 16400 0.87189 0.01% 467.42 6.80% 29

6 0.625 139810 31072 0.87198 0.01% 437.62 -6.38% 48

7 0.5 264101 60000 0.87202 0.00% 457.76 4.60% 108

8 0.25 2015682 480080 0.87209 0.01% 447.54 -2.23% 1227

Nesta Aula foram vistos diversos aspectos relativos a:

Mecnica dos slidos

Conceitos numricos fundamentais do MEF

Caractersticas da gerao da malha de elementos finitos

RESUMO

Mef Introducao

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Transcript of Mef Introducao