Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

63
4. MECANISME CU ROŢI DINŢATE În funcţie de gradul de complexitate, se deosebesc trei tipuri principale de mecanisme sau transmisii cu roţi dinţate: 1) elementare, 2) simple şi 3) complexe. 1) Un mecanism elementar cu roţi dinţate, denumit simplu şi angrenaj, este format din două roţi, în angrenare, şi un element suport-axe H, care materializează axele roţilor şi menţine constantă distanţa dintre acestea. Roţile unui angrenaj pot fi de formă circulară sau necirculară (eliptică, ovală, poligonală etc); deoarece au cea mai largă utilizare tehnică, în continuare sunt considerate numai angrenajele cu roţi circulare. În tabelul 4.1 sunt sistematizate reprezentările simplificate ale principalelor tipuri de angrenaje, cu roţi circulare, folosite în tehnică. În funcţie de starea elementului H, un angrenaj poate fi: a) angrenaj cu axe fixe,

Transcript of Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

Page 1: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. MECANISME CU ROŢI DINŢATE

În funcţie de gradul de complexitate, se deosebesc trei tipuri principale de mecanisme sau transmisii cu roţi dinţate: 1) elementare, 2) simple şi 3) complexe.1) Un mecanism elementar cu roţi dinţate, denumit simplu şi

angrenaj, este format din două roţi, în angrenare, şi un element suport-axe H, care materializează axele roţilor şi menţine constantă distanţa dintre acestea. Roţile unui angrenaj pot fi de formă circulară sau necirculară (eliptică, ovală, poligonală etc); deoarece au cea mai largă utilizare tehnică, în continuare sunt considerate numai angrenajele cu roţi circulare. În tabelul 4.1 sunt sistematizate reprezentările simplificate ale principalelor tipuri de angrenaje, cu roţi circulare, folosite în tehnică. În funcţie de starea elementului H, un angrenaj poate fi: a) angrenaj cu axe fixe, dacă elementul H este fix şi b) angrenaj planetar, dacă elementul H este mobil.

2) Un mecanism simplu cu roţi dinţate conţine cel puţin două angrenaje şi are un element suport-axe H unic; poate fi mecanism cu axe fixe, dacă H este fix (v. fig. 4.1 şi 4.7 ), sau mecanism planetar, dacă H este mobil (v. tabelul 4.2 ).

3) Un mecanism complex cu roţi dinţate conţine cel puţin două angrenaje şi are cel puţin două elemente suport-axe Hj; j = 1,2,...

În acest capitol sunt abordate, în interpretare inginerească, următoarele două probleme:

Page 2: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

130 Mecanisme

a) modelarea structurală, cinematică şi statică a mecanismelor cu axe fixe (subcap.4.2), şi

b) modelarea structurală, cinematică şi statică a mecanismelor planetare simple, cu două roţi centrale (subcap. 4.3).Pentru intuitivitate, rezolvarea problemelor enunţate se bazează pe

utilizarea unor exemple aplicative reprezentative.

4.1. OBIECTIVE

Principalele obiective urmărite în acest capitol se referă la: 1°. Identificarea mărimilor de stare structurală, cinematică şi statică

ale mecanismelor cu axe fixe, de tip serie, paralel şi mixt, şi stabilirea proprietăţilor caracteristice acestor mecanisme;

2°. Definirea noţiunii de unitate planetară şi identificarea situaţiilor structurale de funcţionare ale unei unităţi planetare;

3°. Identificarea mărimilor de stare structurală, cinematică şi statică ale unităţii planetare diferenţiale şi stabilirea proprietăţilor caracteristice mecanismelor diferenţiale.

4.2. MODELAREA STRUCTURALĂ, CINEMATICĂ ŞI STATICĂ A MECANISMELOR CU AXE FIXE

Ţinând seama că un angrenaj cu axe fixe este un mecanism monomobil (M = 1) cu o intrare şi o ieşire (L = 2), în continuare se propun două aplicaţii intuitive. Cu ajutorul acestor aplicaţii se modelează, d.p.d.v. structural, cinematic şi static, mecanismele cu axe fixe, de tip serie şi, respectiv, paralel; pe baza interpretării rezultatelor obţinute, se stabilesc apoi proprietăţile cinematice şi statice specifice acestor mecanisme.

Page 3: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 131

TABELUL 4.1. Reprezentarea angrenajelor uzuale cu roţi circulare

Ang

rena

j cil

indr

ic

exte

rior

×

×

1

2

1

2

Ang

rena

j cil

indr

ic

inte

rior

×

1

2

1

2

Ang

rena

j con

ic

(ext

erio

r)

2

×

×

1

2

1

Ang

rena

j mel

cat

(mel

c–ro

ată

mel

cată

) 1

2

×

1(dr)

2

1(dr)

2

a1

a2

b

c

Page 4: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

132 Mecanisme

4.2.1. Modelarea mecanismelor de tip serie

Pentru modelarea mecanismelor cu axe fixe, de tip serie, se propune următoarea aplicaţie:Se dau:

Patru angrenaje cu axe fixe: un angrenaj cilindric exterior (v. tab.4.1,a1), cu numerele de

dinţi z1 = 20, z2 = 40 şi randamentul 1,2 = 0,97, un angrenaj cilindric interior (v. tab.4.1,a2), cu numerele de

dinţi z3 = 20, z4 = 100 şi randamentul 3,4 = 0,97, un angrenaj conic (v. tab.4.1,b1), cu numerele de dinţi z5 = 30,

z6 = 30 şi randamentul 5,6 = 0,97, un angrenaj melcat (v. tab.4.1,c1), cu numerele de dinţi z7 = 2

(înclinare: dreapta), z8 = 100 şi randamentul 7,8 = 0,7.Se cer:

1°. Să se reprezinte schema structurală şi schema bloc a mecanismului generat prin cuplarea în serie a angrenajelor cu axe fixe date; să se efectueze caracterizarea structurală a mecanismului realizat.

2°. Să se determine funcţia de transmitere a vitezelor realizată de mecanismul obţinut.

3°. Să se stabilească funcţia de transmitere a momentelor, realizată de mecanismul obţinut, în următoarele premise:a) se neglijează frecarea (1,2 = 3,4 = 5,6 = 7,8 = 1) şi efectele

inerţiale ale maselor;b) se consideră frecarea (1,2 = 3,4 = 5,6 = 0,97; 7,8 = 0,7) şi

se neglijează efectele inerţiale ale maselor.4°. Să se determine, pentru fiecare din premisele anterioare,

parametrii de funcţionare ai maşinii rezultate, din mecanismul realizat, prin cuplarea arborelui de intrare la un motor de

Page 5: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 133

curent continuu (m.c.c.) şi a arborelui de ieşire la un efector de tip troliu; se cunosc caracteristicile mecanice:

T1 = – 0,5·1 + 200 [Nm], pentru motor şi

–T8 = 50 000 [Nm] constant, pentru efector.

1°. Caracterizarea structurală a mecanismului rezultat prin cuplarea în serie a angrenajelor cu axe fixe

În fig. 4.1,a este ilustrată schema structurală a mecanismului rezultat prin înserierea celor patru angrenaje, iar alăturat sunt reprezentate sensurile pozitive ale direcţiilor descrise de axele roţilor. Dedesubt, în fig. 4.1,b, este ilustrată schema bloc corespunzătoare acestei înserieri. Mecanismul astfel obţinut este un mecanism simplu, cu axe fixe, deoarece are un element suport-axe unic (H  H1  H2   H3  H4), care este fix (H  0).

Conform schemei bloc (fig. 4.1,b), prin înseriere, între cele patru angrenaje, intervin Lc = 3 cuplări:

2  3 2 = 3; 4  5 4 = 5; 6  7 6 = 7;

ca urmare, sistemul format din cele patru angrenaje, necuplate între ele, are gradul de mobilitate Mj = M1 + M2 + M3 + M4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4, iar mecanismul, rezultat în urma cuplării angrenajelor (fig. 4.1), are gradul de mobilitate:

M = Mj – Lc = 4 – 3 = 1.

Aceasta înseamnă că mecanismul cu axe fixe generat (fig. 4.1,b) are o mişcare exterioară independentă (de exemplu, 1) şi un moment exterior dependent (de exemplu, T1 = T1( )); ca urmare, mişcarea exterioară rămasă este dependentă (L – M = 2 – 1 = 1 =>8 = 8(1)), iar momentul exterior rămas este independent (L – M = 2 – 1 = 1 => T8 este independent).

Page 6: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

134 Mecanisme

×

× ×

×

+

+

+

1=1H

1

1 (z1=20)

2 (z2=40) H10

H20 H4

0

H30

HH1H2

H3H4

0

8=8H

8

8 (z8=100) 6 (z6=30)

5 (z5=30)

7 (z7=2)

4 (z4=100)

3 (z3=20) ×

a

M1=1 M2=1 M3=1 M4=1

1=1H

1=?

8=8H=?

8

IND

IND

1 2 3 4 5 6 7 8

HH1H2

H3H4

0

H10 H2

0 H30 H4

0

b

FIG. 4.1. Mecanism simplu cu roţi dinţate, generat prin înserierea a patru angrenaje cu axe fixe: a) schema structurală; b) schema bloc cu parametrii

exteriori independenţi şi dependenţi.

În concluzie, d.p.d.v. calitativ, mecanismul din fig. 4.1 poate realiza o funcţie de transmitere pentru mişcări:

8 = 8(1)

Page 7: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 135

şi o funcţie de transmitere pentru momente:

T1 = T1(T8).

Determinările cantitative ale acestor funcţii constituie obiective principale pentru modelarea cinematică şi, respectiv, statică a mecanismului realizat (fig. 4.1).

2°. Determinarea funcţiei de transmitere a vitezelor: 8 = 8(1)

Determinarea funcţiei de transmitere a vitezelor 8 = 8(1), se reduce la stabilirea raportului de transmitere i1,8, care prin definiţie are expresia (v. fig.4.1):

, (4.1)

în care, prin s-a notat raportul de transmitere de la roata 1 la

roata 8, când elementul H este fix. Ţinând seama de cuplările dintre angrenaje (2H = 3H; 4H = 5H; 6H = 7H), raportul căutat poate fi scris sub următoarea formă (fig.4.1):

; (4.2)

conform relaţiei obţinute, raportul de transmitere al oricărui mecanism, rezultat prin înseriere, este egal cu produsul rapoartelor de transmitere ale mecanismelor înseriate.

Ştiind că raportul de transmitere al oricărui angrenaj cu axe fixe este egal cu raportul invers al numerelor de dinţi, în urma înlocuirilor se obţine:

; (4.3)

Page 8: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

136 Mecanisme

aceasta înseamnă că la 500 de rotaţii ale roţii 1, într-un anumit sens (al axei sale), roata melcată 8 efectuează o singură rotaţie, în acelaşi sens (al axei sale).

Din expresia raportului de transmitere calculat, rezultă funcţia de transmitere căutată:

(4.4)

; (4.5)

funcţia de transmitere obţinută arată că mecanismul din fig. 4.1 este un reductor de turaţie, care realizează la ieşire o turaţie de 500 de ori mai mică decât cea de la intrare.

Precizări privind stabilirea semnelor pentru rapoartele de transmitere ale angrenajelor cu axe fixe

În subcapitolul 2.3 s-a demonstrat că raportul de transmitere al unui angrenaj cilindric cu axe fixe este egal cu raportul invers al numerelor de dinţi: iH1,2 = 1H/2H = z2/z1; semnul plus se referă la angrenajul interior (deoarece roţile conjugate se rotesc în acelaşi sens), iar semnul minus, la angrenajul exterior (deoarece roţile conjugate se rotesc în sensuri inverse). În cazul angrenajelor cilindrice, stabilirea semnului este simplă, deoarece axele roţilor sunt paralele şi, implicit, sensurile de rotaţie ale roţilor pot fi comparate direct între ele.

Proprietatea de mai sus rămâne valabilă şi pentru angrenajele cu axe fixe neparalele, cu excepţia semnelor; în aceste cazuri, pentru stabilirea semnelor se propune următorul procedeu:a) Se asociază fiecărei direcţii distincte câte un sens pozitiv, după dorinţă. O

direcţie distinctă poate fi definită de două sau mai multe axe paralele între ele sau de o axă unică; astfel, în fig. 4.1 se disting trei direcţii distincte: o direcţie definită de axele paralele ale roţilor 1, 23 şi 45, o direcţie descrisă de axa roţilor 67 şi o direcţie definită de axa roţii melcate 8. Odată alese, sensurile pozitive nu mai pot fi schimbate!

b) Se roteşte una dintre roţile angrenajului în sensul pozitiv al axei sale şi se stabileşte intuitiv sensul de rotaţie al roţii conjugate. Dacă roata conjugată se roteşte, de asemenea, în sensul pozitiv al axei proprii, raportul de transmitere

Page 9: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 137

are semnul plus; în caz contrar, are semnul minus (v. angrenajul conic 5–6 din fig. 4.1,a). În cazul angrenajului melcat (v. angrenajul 7–8 din fig. 4.1,a), aplicarea

procedeului impune rotirea melcului; pentru stabilirea intuitivă a sensului de rotaţie a roţii melcate, melcul se asimilează cu un şurub cu axă fixă, iar zona de contact a roţii, cu o piuliţă de translaţie. În cazul în care melcul are dinţi înclinaţi spre stânga, pentru simplitate, se determină semnul raportului în premiza că melcul are înclinarea spre dreapta şi apoi se schimbă semnul.

3°. Stabilirea funcţiei de transmitere a momentelor T1 = T1(T8)

a) Se stabileşte mai întâi funcţia de transmitere a momentelor, în premisa neglijării frecării (1,2 = 3,4 = 5,6 = 7,8 = 1) şi a efectelor inerţiale ale maselor; conform fig. 4.1, în această premisă, din ecuaţia de echilibru a puterilor rezultă următoarea expresie a funcţiei de transmitere:

(4.6)

(4.7)

. (4.8)

Funcţia de transmitere obţinută arată că reductorul de turaţie din fig. 4.1 este, în acelaşi timp, un amplificator de moment, care realizează la ieşire un moment de 500 de ori mai mare decât momentul de intrare. Ca urmare, în premisa precizată, raportul de reducere a turaţiei coincide cu raportul de amplificare a momentului!

b) În condiţiile considerării frecării (1,2 = 3,4 = 5,6 = 0,97; 7,8 = 0,7) şi neglijării efectelor inerţiale ale maselor, funcţia de transmitere a momentelor se obţine din randamentul mecanismului-serie (fig. 4.1). Ţinând seama că în fig. 4.1:

Page 10: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

138 Mecanisme

2·T2 + 3·T3 = 0, 4·T4 + 5·T5 = 0, 6·T6 + 7·T7 = 0, (4.9)

rezultă că randamentul mecanismului-serie este egal cu produsul dintre randamentele angrenajelor înseriate:

. (4.10)

În conformitate cu relaţia (4.10), în premisa considerării frecării, se obţine următoarea funcţie de transmitere a momentelor:

(4.11)

. (4.12)

Aşadar, spre deosebire de cazul precedent (în care turaţia se reducea de 500 de ori şi momentul se amplifica de tot atâtea ori), în acest caz, turaţia se reduce de 500 de ori şi momentul se amplifică de numai 319,4 ori, datorită pierderilor prin frecare !

Concluzie

Frecarea modifică funcţia de transmitere a momentelor, lăsând nemodificată funcţia de transmitere a mişcărilor.

4°. Parametrii de funcţionare ai maşinii de tip motor-reductor-efector

Prin cuplarea arborelui de intrare al reductorului (fig. 4.1) la un motor de curent continuu (m.c.c.) şi a arborelui de ieşire la un efector

Page 11: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 139

de tip troliu, se obţine maşina din fig. 4.2. Parametrii de funcţionare ai acestei maşini, în faza de regim staţionar (1 = ?, T1 = ?, 8 = ? şi T8 = ?), se obţin prin rezolvarea sistemului de ecuaţii, format din funcţiile de transmitere ale reductorului şi din ecuaţiile care descriu caracteristicile mecanice ale motorului şi efectorului; aceşti parametri descriu punctul de funcţionare al maşinii în regim staţionar.

a) În premisa neglijării frecării şi a efectelor inerţiale ale maselor, se obţine următorul sistem de ecuaţii:

(4.13)

implicit, punctul de funcţionare are următorii parametri:

(4.14)

Conform fig. 4,3, aceleaşi valori pot fi obţinute grafic, intersectând caracteristica mecanică a motorului cu cea a efectorului redusă la arborele de intrare (exprimată în funcţie de T1):

–T8 = 50.000 [Nm] –T8 = 500·T1 = 50.000 [Nm] T1 = 100 [Nm];

(4.15)caracteristica efectorului, redusă la arborele de intrare, este descrisă prin relaţia (4.15) şi este reprezentată în fig. 4.3 cu linie continuă.

Page 12: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

140 Mecanisme

Motor

1

T1

Efector (troliu)

Mecanism M = 1, L = 2

–T8

8

1, T1

8, T8

FIG. 4.2. Vedere de sus a maşinii formate prin cuplarea arborelui de intrare al mecanismului (v. fig. 4.1) la un motor şi

a arborelui de ieşire la un efector.

1 [s

-1]

T1 [Nm]

e1 (fără frecare)

200

156,5

100

86,9 200 400

A2

A1

e2 (cu frecare) m

FIG. 4.3. Punctele de funcţionare A1 şi A2 ale maşinii din fig. 4.2, în regim staţionar, determinate ca intersecţie a caracteristicii mecanice a motorului (m) cu cea a efectorului, redusă la arborele de intrare: fără frecare (e1) şi

cu frecare (e2).

Page 13: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 141

b) În premisa considerării frecării, sistemul de ecuaţii (4.13) devine:

(4.16)

şi, implicit, parametrii punctului de funcţionare se modifică astfel:

(4.17)

Conform fig. 4,3, aceleaşi valori se obţin grafic, intersectând caracteristica mecanică a motorului cu cea a efectorului redusă la arborele de intrare (reprezentată cu linie întreruptă):

–T8 = 50.000 [Nm] –T8 = 319,4·T1 = 50.000 [Nm]

T1 = 156,543 [Nm]. (4.18)

Din analiza comparativă a rezultatelor obţinute în cele două cazuri (v. şi fig.4.3) reiese că frecarea influenţează semnificativ parametrii punctului de funcţionare; conform fig.4.3, în prezenţa frecării, momentul motorului creşte şi, implicit, turaţia acestuia scade.

Exemple de mecanisme cu axe fixe, de tip serie, aplicate în tehnică

În fig. 4.4, 4.5 şi 4.6 sunt ilustrate, pentru exemplificare, trei soluţii constructive de reductoare, cu axe fixe, în două trepte (obţinute prin înserierea a două angrenaje): varianta din fig. 4.4 reprezintă un reductor cilindric (obţinut prin înserierea a două angrenaje cilindrice), soluţia din fig. 4.5 reprezintă un reductor conico-cilindric (format prin înserierea unui angrenaj conic cu un angrenaj cilindric),

Page 14: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

142 Mecanisme

iar aplicaţia din fig. 4.6, se referă la un reductor cilindro-melcat (obţinut prin înserierea unui angrenaj cilindric cu un angrenaj melcat). Reprezentarea schemelor şi determinarea funcţiilor de transmitere, ale acestor reductoare de turaţie, se propun ca temă de casă; pentru rezolvare, se va utiliza, ca model, aplicaţia precedentă.

FIG. 4.4.Reductor cilindric în două trepte.

FIG. 4.5.Reductor conico-cilindric.

Page 15: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 143

FIG. 4.6.Reductor cilindro-melcat.

Temă de casă

Se dau: 1°. Soluţiile constructive a trei reductoare de turaţie, cu axe fixe (fig. 4.4, 4.5 şi 4.6), la care se cunosc numerele de dinţi şi randamentele angrenajelor componente:a) z1 = 20, z2 = 60, z2‘ = 25, z3 = 75, 1,2 = 3,4 = 0,97, pentru reductorul din

fig. 4.4;b) z1 = 20, z2 = 50, z2‘ = 20, z3 = 80, 1,2 = 3,4 = 0,97, pentru reductorul din fig. 4.5

şic) z1 = 30, z2 = 60, z2‘ = 3, z3 = 120, 1,2 = 0,97 şi 3,4 = 0,7, pentru reductorul din

fig. 4.6;2°. Ecuaţiile caracteristicilor mecanice ale motorului (care antrenează fiecare reductor) şi efectorului (antrenat de fiecare reductor): T1 = –0,5·1 + 150 [Nm] şi –T3 = 1,2·3.

Se cer: 1°. Reprezentarea schemei structurale şi a schemei bloc; caracterizarea structurală a fiecărui reductor.2°. Determinarea funcţiei de transmitere a vitezelor, pentru fiecare reductor.

Page 16: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

144 Mecanisme

3°. Determinarea funcţiei de transmitere a momentelor, pentru fiecare reductor (în regim staţionar de funcţionare), în următoarele premise:

a) se neglijează frecarea (1,2 = 3,4 = 1);b) se consideră frecarea din angrenaje, prin intermediul randamentelor (1,2 <

1; 3,4 < 1).4°. Stabilirea parametrilor de funcţionare, în regim staţionar, ai fiecărei maşini de tip motor-reductor-efector, în premisele a) şi b); analiza comparativă şi interpretarea rezultatelor obţinute.

4.2.2. Modelarea mecanismelor de tip paralel

Pentru modelarea mecanismelor cu axe fixe, de tip paralel, se propune următoarea aplicaţie:Se dau:

Două angrenaje cilindrice exterioare 1–2 şi 1'–2' (v. tab. 4.1,a1), cu axe fixe, care au numerele de dinţi z1 = z1' = 20, z2 = 40, z2' = 80 şi randamentul 1,2 = 1',2' = 0,95.Se cer:

1°. Să se reprezinte schema structurală şi schema bloc a mecanismului generat prin cuplarea în paralel a angrenajelor date; să se efectueze caracterizarea structurală a mecanismului realizat.

2°. Să se determine funcţiile de transmitere, realizate de mecanismul obţinut, pentru viteze şi momente şi să se interpreteze rezultatele obţinute.

3°. Să se determine parametrii de funcţionare ai maşinii rezultate, din mecanismul realizat, prin cuplarea arborilor de intrare (1 şi 1') la câte un motor de curent continuu (m.c.c.) şi a arborelui de ieşire (2  2' q) la un efector de tip troliu; se cunosc caracteristicile mecanice:

T1 = – 0,5·1 + 100 [Nm] şi

T1' = – 0,5·1' + 100 [Nm], pentru motoare şi

Tq = 400 [Nm] constant, pentru efector.

Page 17: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 145

1°. Caracterizarea structurală a mecanismului rezultat prin cuplarea în paralel a angrenajelor date

În fig. 4.7,a este ilustrată schema structurală a mecanismului rezultat prin conexiunea în paralel a celor două angrenaje; alăturat, în fig. 4.7,b1 şi b2, sunt ilustrate schemele bloc corespunzătoare acestei conexiuni, pentru cele două cazuri posibile de funcţionare: cu două intrări şi o ieşire (b1); cu o intrare şi două ieşiri (b2). Mecanismul astfel obţinut este un mecanism simplu, cu axe fixe, deoarece are un element suport-axe unic (H  H1  H2), care este fix (H  0).

Conform schemei bloc (fig.4.7,b1 sau b2), conexiunea realizată, introduce, între cele două angrenaje, o singură cuplare:

Lc = 1: 2 2' q 2 = 2' = q;

ca urmare, sistemul format din cele două angrenaje, necuplate între ele, are gradul de mobilitate Mj = M1 + M2 = 1 + 1 = 2, iar mecanismul, rezultat în urma cuplării angrenajelor (fig. 4.7), are gradul de mobilitate:

M = Mj – Lc = 2 – 1 = 1. (4.19)

Aceasta înseamnă că mecanismul generat (fig. 4.7,b1 şi b2) are o mişcare exterioară independentă (de exemplu, q) şi un moment exterior dependent (de exemplu, Tq = Tq( )); ca urmare, mişcările exterioare rămase sunt dependente (L–M = 3–1 = 2 => 1 = 1(q) şi 1' = 1'(q)), iar momentele exterioare rămase sunt independente (L–M = 3–1 = 2 => T1 şi T1' sunt independente).

În concluzie, d.p.d.v. calitativ, mecanismul din fig. 4.7 poate realiza două funcţii de transmitere pentru mişcări:

1= 1(q) şi 1' = 1'(q)

şi o funcţie de transmitere pentru momente:

Tq = Tq(T1, T1').

Page 18: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

146 Mecanisme

q

q

2 (40)

H10

HH1H2

0

×

×

×

×

1 (20)

1' (20)

2' (80)

H20

1'

1'

1

1

a

M1=1

M2=1

q

q=?

IND

q

1 1=?

1 IND

1' 1' =?

1' IND

HH1H2

0

2

2'

M1=1

M2=1

q

q=?

IND

q

1 1=?

1 IND

1' 1' =?

1' IND

HH1H2

0

2

2'

b1 b2

FIG. 4.7.Mecanism simplu cu roţi dinţate, generat prin legarea în paralel a două angrenaje cilindrice cu axe fixe: a) schema structurală; b1) şi b2)

schemele bloc, cu parametrii exteriori INDEPENDENŢI şi DEPENDENŢI, în cele două cazuri de circulaţie ale fluxurilor energetice: cu două intrări şi

o ieşire (b1); cu o intrare şi două ieşiri (b2).

Determinările cantitative ale acestor funcţii constituie obiective principale pentru modelarea cinematică şi, respectiv, statică a mecanismului-paralel realizat (fig. 4.7).

Page 19: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 147

2°. Determinarea funcţiilor de transmitere pentru viteze

Determinarea funcţiilor de transmitere pentru viteze, 1 = 1(q) şi 1' = 1'(q), se reduce la stabilirea rapoartelor de transmitere i1,q şi i1'q (v. fig. 4.7):

.

Ca urmare, transmiterea mişcărilor prin mecanismul-paralel din fig. 4.7 se realizează pe baza următoarelor funcţii de transmitere:

(4.20)

(4.21)

Interpretare

Mecanismul monomobil (M = 1) cu trei legături exterioare (L = 3), din fig. 4.7, are o mişcare exterioară independentă (q) pe care o distribuie în mod determinat pe celelalte legături exterioare (1 şi 1‘).

3°. Determinarea funcţiei de transmitere pentru momente.

a) Se stabileşte mai întâi funcţia de transmitere a momentelor, în premisa neglijării frecării (1,2 = 1',2' = 1) şi a efectelor inerţiale ale maselor; conform fig. 4.7, în această premisă, din relaţiile (4.20) şi (4.21) şi din ecuaţia de echilibru a puterilor rezultă următoarea expresie a funcţiei de transmitere:

Page 20: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

148 Mecanisme

. (4.22)

b) În condiţiile considerării frecării (1,2 = 1',2' = 0,95) şi neglijării efectelor inerţiale ale maselor, din fig. 4.7,b1 şi b2 rezultă:

;

;

; (4.23)

ca urmare, se obţine următoarea funcţie de transmitere a momentelor:

. (4.24)

Interpretări

1°. Din comparaţia relaţiilor (4.22) şi (4.24) rezultă că diferenţele 2·T1 – 1,9·T1

= 0,1·T1 şi 4·T1' – 3,8·T1' = 0,2·T1‘ reprezintă momentele, date de cele două motoare, pentru învingerea frecării.

2°. În conformitate cu relaţia (4.24), mecanismul monomobil (M = 1) cu trei legături exterioare (L = 3) are următoarele proprietăţi statice:

a) poate însuma (v. fig. 4.7,b1) două momente exterioare independente (T1 şi T1‘), conform funcţiei de transmitere (4.24), oferind un moment exterior „sumă“ (Tq) sau

b) poate distribui (v. fig. 4.7,b2) un moment exterior (Tq), în mod nedeterminat, pe celelalte legături exterioare ale mecanismului (T1 şi T1‘).

Proprietatea a) este folosită în cazul acţionării unui efector cu două motoare (fig. 4.7,b1); astfel de aplicaţii se regăsesc în tehnică la acţionarea unei elice de vapor cu două motoare (v. fig. 4.8), precum şi la acţionarea elicei principale a unui elicopter cu două turbine. Proprietatea b) s-a utilizat frecvent în tehnica primelor decenii de industrializare, la acţionarea a două sau mai multe maşini unelte de la un motor unic cu abur (fig. 4.7,b2).

Page 21: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 149

FIG. 4.8.Exemplu de mecanism simplu cu roţi dinţate, generat prin legarea în paralel a două angrenaje cilindrice cu axe fixe, utilizat la antrenarea cu

două motoare a elicei unui vapor.

4°. Punctul de funcţionare al maşinii formate din 2 motoare, mecanism şi efector

Prin cuplarea arborilor de intrare 1 şi 1', ai mecanismului-paralel (fig. 4.7,a şi b1), la câte un motor şi a arborelui de ieşire q la un efector, se formează o maşină (fig. 4.9). Parametrii de funcţionare ai acestei maşini, în faza de regim staţionar (1 = ?, T1 = ?, 1' = ?, T1'

= ?, q = ? şi Tq = ?), se obţin prin rezolvarea sistemului de ecuaţii, alcătuit din funcţiile de transmitere ale mecanismului-paralel şi din ecuaţiile care descriu caracteristicile mecanice ale motoarelor şi efectorului; aceşti parametrii descriu punctul de funcţionare al maşinii în regim staţionar.

Page 22: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

150 Mecanisme

Motoare

Efector

1, T1

1', T1'

MECANISM PARALEL

M = 1 L = 3

q, Tq

q

–Tq

1 (1')

T1, (T1')

FIG. 4.9. Vedere de sus a maşinii formate prin cuplarea a două motoare şi a unui efector la mecanismul-paralel din fig. 4.7,a şi b1.

a) În premisa neglijării frecării şi a efectelor inerţiale ale maselor, se obţine următorul sistem de ecuaţii:

(4.25)

implicit, punctul de funcţionare are următorii parametri:

Page 23: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 151

(4.26)

Conform fig. 4.10, aceleaşi valori pot fi obţinute grafic, intersectând caracteristica mecanică a efectorului cu caracteristica mecanică sumă a celor două motoarelor, redusă la arborele de ieşire (exprimate în funcţie de Tq):

; (4.27)

Caracteristica-sumă a celor două motoare, redusă la arborele de ieşire, este descrisă prin relaţia (4.27) şi este reprezentată în fig. 4.10 cu linie continuă.

b) În premisa considerării frecării, sistemul de ecuaţii (4.25) devine:

(4.28)

şi, implicit, parametrii punctului de funcţionare se modifică astfel:

Page 24: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

152 Mecanisme

q [s

-1]

Tq [Nm]

–60 0

m1

e

600

400 A1

A2

–20 –17,9

m2 570

FIG. 4.10. Punctele de funcţionare A1 şi A2 ale maşinii din fig. 4.9 (v. şi fig. 4.7,a şi b1), în regim staţionar, determinate ca intersecţie a

caracteristicii efectorului (e) cu caracteristica-sumă a motoarelor, redusă la arborele de ieşire: fără frecare (m1) şi cu frecare (m2).

(4.29)

Conform fig. 4.10, aceleaşi valori pot fi obţinute grafic, intersectând caracteristica mecanică a efectorului (Tq = 400 [Nm] = const.) cu suma celor două caracteristici mecanice ale motoarelor, redusă la arborele de ieşire (exprimată în funcţie de Tq):

Page 25: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 153

; (4.30)

caracteristica-sumă a celor două motoare, redusă la arborele de ieşire, este descrisă prin relaţia (4.30) şi este reprezentată în fig. 4.10 cu linie întreruptă.

Din analiza comparativă a rezultatelor obţinute în cele două cazuri (v. şi fig. 4.10) reiese că frecarea influenţează semnificativ parametrii punctului de funcţionare; conform fig. 4.10 şi a relaţiilor (4.26) şi (4.29), în prezenţa frecării, momentele de acţionare ale motoarelor cresc.

Precizare

În mecanismele de tip paralel, fiecare ramură energetică străbate câte un angrenaj distinct. Spre deosebire de acestea, în mecanismele de tip mixt, cel puţin o ramură energetică străbate douã sau mai multe angrenaje; aşa de exemplu, dacã în mecanismul-paralel din fig. 4.7,a se introduce un angrenaj suplimentar, pentru antrenarea arborelui roţii 1, se obţine un mecanism-mixt. Modelarea mecanismelor de tip mixt rămâne însă aceeaşi cu cea a mecanismelor de tip paralel.

Temă de casă

Se dau:a) Varianta constructivă a unei maşini, cu două motoare, pentru antrenarea

elicei unui vapor (fig. 4.8);b) Numerele de dinţi şi randamentele angrenajelor: z1 = z1' = 30, z2 = z2' = 120,

1,2 = 1',2' = 0,96;c) Caracteristicile mecanice ale motoarelor cu ardere internă: T1 = 30 [Nm] =

const.; T1' = 30 [Nm] = const.;d) Caracteristica mecanică a efectorului (propulsorului cu elice):

–Te = 10·e ; e = 2 = 2'.Se cer:

Page 26: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

154 Mecanisme

1°. Schema structurală şi schema bloc a mecanismului cu roţi dinţate, cu precizarea legăturilor exterioare şi a parametrilor exteriori independenţi şi dependenţi; tipul mecanismului şi funcţiile de transmitere, în exprimare calitativă.

2°. Determinarea funcţiilor de transmitere a vitezelor şi interpretarea acestora, în condiţiile maşinii din fig. 4.8.

3°. Stabilirea funcţiei de transmitere a momentelor, în regim staţionar de funcţionare, şi interpretarea acesteia, în condiţiile maşinii din fig. 4.8.

4°. Stabilirea grafică şi analitică a punctului de funcţionare al maşinii, în regim staţionar.

4.3. MODELAREA STRUCTURALĂ, CINEMATICĂ ŞI STATICĂ A MECANISMELOR PLANETARE SIMPLE

Generic, prin mecanisme planetare se înţeleg mecanisme cu roţi dinţate, în care mişcarea dintre roţi este similară cu cea a planetelor faţă de soare; ca urmare, un mecanism planetar are atât roţi solare (sau centrale), ale căror axe sunt fixe, cât şi roţi-satelit, ale căror axe sunt mobile.

Cele mai simple mecanisme planetare sunt denumite unităţi planetare şi constituie module de sinteză, în conceperea de mecanisme planetare, cu diverse grade de complexitate.

Prin unitate planetară se înţelege un mecanism, cu roţi dinţate, care îndeplineşte următoarele trei condiţii:

1) are un element suport-axe unic H (suport pentru axele tuturor roţilor), denumit uneori şi braţ port-sateliţi;

Precizare

Axa fixă de rotaţie a braţului H desemnează axa centrală a unităţii planetare; implicit, roţile ale căror axe coincid cu axa centrală sunt denumite roţi centrale (sau solare), iar celelalte roţi sunt denumite sateliţi.

Page 27: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 155

2) are una sau maxim două roţi centrale (dacă intervin trei sau mai multe roţi centrale, atunci sunt două sau mai multe unităţi, ale căror braţe Hj sunt solidarizate între ele, j = 1, 2, 3,…);

3) prin unitatea cu axe fixe, rezultată din unitatea planetară prin inversiunea mişcării faţă de H, puterea circulă neramificat (pe o singură ramură);

Precizări

a) Inversiunea mişcării, faţă de H, înseamnă aplicarea unei mişcări, egale şi de sens invers cu mişcarea braţului H, tuturor elementelor unei unităţii planetare; în acest fel, braţul H devine fix şi, implicit, unitatea planetară devine unitate cu axe fixe. Deci, expresia planetar înseamnă H-mobil, iar expresia cu axe fixe înseamnă cu H-fix.

b) Dacă prin unitatea cu axe fixe, obţinută prin inversiunea mişcării, puterea circulă ramificat (prin S 2 ramuri), atunci există S unităţi identice legate în paralel.

În tabelul 4.2 sunt sistematizate principalele unităţi planetare cu două roţi centrale, utilizate frecvent în tehnică; pentru fiecare unitate, în tabel sunt ilustrate situaţiile structurale de funcţionare. Conform tab. 4.2, o unitate planetară are trei situaţii structurale posibile de funcţionare:a) unitate planetară bimobilă (sau diferenţială), care are M = 2 şi

L = 3 şi se recunoaşte prin aceea că are braţul H şi cele două roţi centrale mobile (v. tab. 4.2, schemele a1,…,e1);

b) unitate planetară monomobilă, care are M = 1 şi L = 2 şi se recunoaşte prin aceea că are o roată centrală fixă (v. tab. 4.2, schemele a2,…,e2);

c) unitate cu axe fixe, care are M = 1 şi L = 2 şi se recunoaşte prin aceea că are elementul H fix (v. tab. 4.2, schemele a3,…,e3).

Comentarii

1°. Dintr-o unitate planetară diferenţială (bimobilă) pot fi obţinute:a) o unitate cu axe fixe, prin inversiunea mişcării faţă de braţul H şib) o unitate planetară monomobilă, prin inversiunea mişcării faţă de o roată centrală;

Page 28: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

156 Mecanisme

ca urmare, în cele trei unităţi, vitezele absolute sunt diferite, în timp ce vitezele relative şi momentele rămân neschimbate.

2°. Dintre cele trei situaţii structurale de funcţionare ale unei unităţi planetare (v. tabelul 4.2), numai unitatea cu axe fixe are o modelare cinematică simplă, de tipul celei prezentate în subcapitolul anterior (4.1).

În continuare, se prezintă principalele particularităţi cinematice şi statice ale unităţilor planetare, cu două roţi centrale, cu ajutorul următoarei aplicaţii:

Se dau: a) unitatea planetară diferenţială (bimobilă), ilustrată în schema b

din tab. 4.2; b) numerele de dinţi ale roţilor dinţate: z1 = z3 = 60, z2 = 30.

Se cer:1°. Schema structurală şi schema bloc, cu precizarea calitativă a

funcţiilor de transmitere realizate de unitatea planetară bimobilă.

2°. Schema structurală şi schema bloc, corespunzătoare unităţii cu axe fixe (rezultată din unitatea planetară diferenţială prin inversiunea mişcării faţă de braţul H); calculul raportului de

transmitere al unităţii cu axe fixe .

3°. Determinarea ecuaţiei de viteze a unităţii planetare bimobile; explicitarea funcţiei de transmitere a vitezelor şi interpretarea acesteia.

4°. Schema structurală şi schema bloc, corespunzătoare unităţii planetare monomobile, rezultate din unitatea bimobilă prin blocarea roţii centrale 3; calculul funcţiei de transmitere a

vitezelor şi a raportului de transmitere .

5°. Determinarea funcţiilor de transmitere a momentelor, realizate de unitatea planetară diferenţială, şi interpretarea acestora.

Page 29: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 157

TABELUL 4.2. Unităţi planetare şi situaţii structurale de funcţionare ale acestora

Page 30: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

158 Mecanisme

6°. Parametrii punctului de funcţionare, în regim staţionar, al maşinii obţinute prin cuplarea unităţii planetare diferenţiale cu două motoare de curent continuu şi cu un efector de tip troliu; motoarele, de caracteristici mecanice: T1 = –0,5·1 + 35 [Nm] şi T3 = –0,5·3 + 40 [Nm], sunt cuplate la arborii roţilor centrale 1 şi respectiv 4, iar tamburul troliului este materializat prin elementul H şi are caracteristica mecanică: TH –60 [Nm] constant.

1°. Schema structurală şi schema bloc, cu precizarea calitativă a funcţiilor de transmitere realizate de unitatea planetară bimobilă

În fig. 4.11,a s-a ilustrat schema structurală a unităţii planetare bimobile, iar alăturat, în fig.4.11,b, s-a reprezentat schema bloc, cu legăturile exterioare şi parametrii exteriori ai acestora; deoarece are gradul de mobilitate M = 2, unitatea planetară are două mişcări exterioare independente (de exemplu, cele încadrate în fig. 4.11,b) şi, implicit, două momente exterioare dependente (de exemplu, cele notate în fig. 4.11,b cu semne de întrebare). Ca urmare, unitatea planetară diferenţială realizează, calitativ, următoarele funcţii de transmitere:

H = H(1, 4) = ?, (4.31)

T1 = T1(TH) = ?, (4.32)

T3 = T3(TH) = ?. (4.33)

2°. Unitatea cu axe fixe, rezultată din unitatea planetară prin inversiunea mişcării faţă de braţul H, şi calculul raportului de

transmitere i0 =

Page 31: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 159

În fig. 4.11,c s-a ilustrat schema structurală a unităţii cu axe fixe, rezultată din unitatea planetară bimobilă (fig. 4.11,a) prin inversiunea

×

H

H

3

3

1

1

1

2

3

H

M = 2 L = 3

3

3 = ?

IND

3 1

H

H = ?

H

1

1 = ?

IND

a b

× H0 (TH)

3–H = = 3H

3

1

1

2

3

H0

1–H = = 1H

+

+

+

M=1 L=2

3

3 1

H0

1

(TH)

3–H = = 3H

1–H = = 1H

c d

×

H3

H

3)

13

1

1

2

30

H

M=1 L=2

3 )

30 1

H

H3 = ?

H

13

1 = ?

IND

IND

e f

FIG. 4.11. Schemele structurale şi schemele bloc ale situaţiilor structurale de funcţionare derivate din unitatea planetară cu roţi conice: a,b) unitatea

planetară diferenţială (bimobilă); c,d) unitatea cu axe fixe obţinută din unitatea planetară diferenţială prin inversiunea mişcării faţă de H;

Page 32: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

160 Mecanisme

e,f) unitatea planetară monomobilă, rezultată din unitatea planetară diferenţială prin blocarea roţii centrale 3.

mişcării faţă de H (imprimând întregii unităţi planetare bimobile o mişcare egală şi de sens invers cu cea a elementului H, se obţine mecanismul cu axe fixe din fig. 4.11,c); alăturat, în fig. 4.11,d, s-a reprezentat schema bloc a unităţii cu axe fixe şi s-au precizat parametrii exteriori independenţi şi dependenţi. Prin inversiunea mişcării s-au modificat numai vitezele absolute, în timp ce momentele şi vitezele relative au rămas aceleaşi!

Pentru mecanismul cu axe fixe, astfel obţinut (fig. 4.11,c), se poate scrie următorul raport de transmitere:

; (4.34)

aceasta înseamnă că, în mecanismul cu axe fixe (fig. 4.11,c), roţile 1 şi 3 au turaţii egale, dar de sensuri contrare.

Raportul i0 = este denumit uzual raport cinematic interior al

unităţii planetare, iar unităţile planetare cu raportul interior i0 = –1 sunt denumite unităţi planetare simetrice; celelalte unităţi planetare (care au i0 –1) sunt denumite unităţi asimetrice.

3°. Ecuaţia de viteze a unităţii planetare bimobile şi funcţia de transmitere a vitezelor

Pe baza relaţiei de calcul a vitezelor relative (x,y = x – y) şi în conformitate cu fig. 4.11,a şi c, raportul interior poate fi exprimat în funcţie de vitezele unghiulare ale unităţii bimobile:

; (4.35)

Page 33: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 161

în urma calculelor, s-a obţinut ecuaţia de viteze a unităţii planetare bimobile (4.35). Din această ecuaţie se explicitează funcţia de transmitere a vitezelor, realizată de unitatea planetară bimobilă (v. fig. 4.11,a şi b):

. (4.36)

Din interpretarea funcţiei de transmitere obţinute, decurg următoarele două proprietăţi cinematice:

1) Unitatea planetară diferenţială (cu M = 2 şi L = 3) poate „însuma“ două mişcări exterioare independente (1 şi 3), după regula descrisă de funcţia de transmitere, rezultând o mişcare exterioară „sumă“ (H); această proprietate este folosită uzual în maşinile unelte de danturat, cu freză-melc, la prelucrarea roţilor cilindrice cu dinţi înclinaţi (fig. 4.12 şi 4.13).

2) Unitatea planetară diferenţială (cu M = 2 şi L = 3) poate „distribui“ o mişcare exterioară (H), în mod nedeterminat, în alte două mişcări exterioare (1 şi 3); această proprietate este folosită în punţile motoare ale automobilelor (fig. 4.14 şi 4.15), pentru eliminarea alunecării dintre pneuri şi drum, la deplasarea în curbe .

Exemple

Exemplul nr. 1: Se explicitează proprietatea 1), pe baza fig. 4.12 şi 4.13, considerând următorul exemplu: pe roata semifabricat urmează să se dantureze z1

= 20 dinţi înclinaţi, cu pasul elicei pz = 1000 mm; pentru aceasta, maşina unealtă foloseşte o freză-melc, cu z2 = 1 dinte, pe care o antrenează cu o turaţie n2h = 100 rot/min (fig. 4.13,a şi c) şi îi imprimă un avans vertical v20 = 10 mm/min (fig. 4.13,b şi c).

Pe de o parte, conform fig. 4.13,a, maşina unealtă trebuie să antreneze roata semifabricat cu o turaţie:

n‘10 = n2h·(z2/z1) = 100·(1/20) = 5 rot/min,

pentru ca freza să taie în roată cei 20 de dinţi; pe de altă parte, conform fig. 4.13,b, maşina unealtă trebuie să antreneze roata semifabricat cu o turaţie:

n“10 = v20/pz = 10/1000 = 0,01 rot/min,

Page 34: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

162 Mecanisme

pentru ca un dinte al frezei să taie în roată un gol după o elice cu pasul pz = 1000 mm.

a

a1

Page 35: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 163

FIG. 4.12. Schema structurală (a) şi schema bloc (a1) ale unei maşini de danturat cu freză melc, echipată cu mecanism diferenţial de însumare a

mişcărilor.

FIG. 4.13. Exemple de utilizare a mecanismelor diferenţiale, ca „sumator“ de mişcări, pe maşinile de danturat, cu freză melc, la prelucrarea roţilor

cilindrice cu dinţi înclinaţi: a, a1) ilustrarea turaţiei semifabricatului , care

a

a1

b

b1

c

c1

Page 36: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

164 Mecanisme

asigură realizarea numărului de dinţi; b, b1) ilustrarea turaţiei semifabricatului , care asigură realizarea elicei de pas pz; c, c1) ilustrarea

„însumării“ turaţiilor şi cu ajutorul unităţii planetare diferenţiale.Ca urmare, pe maşina unealtă, roata semifabricat trebuie să efectueze

simultan ambele mişcări: n10 = n‘

10+ n“10;

conform fig.4.13,a1,b1 şi c1, însumarea acestor mişcări poate fi realizată cu ajutorul unităţii planetare diferenţiale 4-5-6-H (fig. 4.13,c1).

Exemplul nr. 2: Se explicitează proprietatea 2), pe baza fig. 4.14, considerând următorul exemplu: la deplasarea unui autocamion într-o curbă (de rază R), puntea motoare (fig. 4.14,a) efectuează, împreună cu şasiul camionului, o mişcare de rotaţie, în jurul axei verticale care trece prin punctul O, cu o viteză unghiulară ; ca urmare, centrele roţilor motoare A şi C au viteze diferite (fig. 4.14,a):

vA = (R–0,5·b)· = ‘·r vC = (R+0,5·b)· = “·r.În aceste condiţii, rularea fără patinare, a pneurilor pe drum, este posibilă dacă

vitezele unghiulare ale roţilor realizează raportul:‘/“ = vA / vC = (R–0,5·b) / (R+0,5·b).

Page 37: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 165

FIG. 4.14. Scheme pentru justificarea utilizării mecanismelor diferenţiale inter-roţi, din punţile motoare ale automobilelor: a) cinematica roţilor motoare

la deplasarea în curbe; b) exemplu de mecanism diferenţial inter-roţi.

Deoarece curbele pot avea diverse raze R, raportul ‘/“ poate lua orice valoare. Cu alte cuvinte, viteza unghiulară H, cu care este antrenată puntea motoare (fig. 4.14,b), trebuie distribuită pe roţile motoare (‘ şi “) în mod nedeterminat (după cum cer curbele); această distribuţie nedeterminată se realizează, conform fig. 4.14,b, cu ajutorul unui mecanism diferenţial simetric inter-roţi.

În mod analog se justifică necesitatea utilizării mecanismului diferenţial asimetric inter-punţi (fig. 4.15), în cazul automobilelor cu două punţi motoare.

Page 38: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

166 Mecanisme

FIG. 4.15. Exemplu de utilizare a mecanismelor diferenţiale inter-roţi (DI şi DII), într-un camion cu două punţi motoare (4×4).

4°. Funcţia şi raportul de transmitere realizate prin blocarea unei roţi centrale

Conform fig. 4.11,a, b şi e, f, prin blocarea roţii centrale 3 (3 = 0), unitatea planetară bimobilă devine unitate planetară monomobilă (cu M = 1 şi L = 2). Ca urmare, funcţia de transmitere a vitezelor, realizată de unitatea planetară monomobilă (fig. 4.11,e şi f),

Page 39: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 167

poate fi obţinută din funcţia de transmitere a unităţii planetare diferenţiale, prin particularizarea 3 = 0:

=>

; (4.37)

deoarece roata 3 a devenit bază, vitezele 1 şi H au devenit 13 şi respectiv H3.

Din funcţia de transmitere a vitezelor (4.37), se obţine raportul de transmitere (fig. 4.11,e şi f):

; (4.38)

aceasta înseamnă că la două rotaţii ale roţii 1, faţă de roata fixă 3, braţul H efectuează o singură rotaţie, în acelaşi sens.

5°. Funcţiile realizate de unitatea planetară diferenţială pentru transmiterea momentelor

În premisa că unitatea planetară diferenţială funcţionează în regim staţionar fără frecare, conform fig. 4.11,b, poate fi scrisă următoarea ecuaţie de echilibru a puterilor :

. (4.39)

Ţinând seama că H = 1/(1– i0) – 3·i0/(1–i0), din ecuaţia (4.39) se obţine următoarea egalitate:

. (4.40)

Deoarece vitezele unghiulare 1 şi 3 sunt independente (v. fig. 4.11,b), egalitatea (4.40) este adevărată numai dacă parantezele, care descriu coeficienţii acestor viteze, sunt nule; prin

Page 40: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

168 Mecanisme

explicitarea acestora, se obţin următoarele funcţii de transmitere a momentelor:

; (4.41)

. (4.42)

Din interpretarea relaţiilor (4.41) şi (4.42), decurge următoarea proprietate referitoare la momente exterioare:

unitatea planetară diferenţială (v. fig. 4.11,a şi b), cu trei intrări şi ieşiri (L = 3), are un moment exterior independent (TH) pe care îl distribuie, în mod determinat, pe celelalte două legături exterioare (T1 şi T3).

Comentarii

1°. În premisa precizată, funcţiile de transmitere a momentelor, realizate de unitatea planetară diferenţială (fig. 4.11,a şi b), rămân valabile şi pentru mecanismele generate din această unitate prin inversiunea mişcării:

a) unitatea cu axe fixe (fig. 4.11,c şi d), rezultată prin inversiunea mişcării faţă de H şi

b) unitatea planetară monomobilă (fig. 4.11,e şi f), rezultată prin inversiunea mişcării faţă de roata centrală 3.

Pentru verificare, se propune următoarea temă de casă: să se determine funcţia de transmitere a momentelor pentru unitatea cu axe fixe din fig.  4.11,c şi d şi, de asemenea, pentru unitatea planetară monomobilă din fig. 4.11,e şi f, în premisa funcţionării în regim staţionar fără frecare.

2°. Comparând proprietăţile cinematice şi statice ale mecanismului cu M = 1 şi L = 3 (fig. 4.7) cu cele ale mecanismului cu M = 2 şi L = 3 (fig. 4.11,a şi b), se observă că acestea sunt „simetrice“ între ele: proprietăţile statice ale unui mecanism se regăsesc la celălalt ca proprietăţi cinematice şi reciproc.

Page 41: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 169

Concluzie: Însumarea a k mişcări poate fi realizată cu un mecanism care are M = k şi L = k+1, iar însumarea a k momente poate fi realizată cu un mecanism care are M = 1 şi L = k+1.

6°. Punctul de funcţionare al maşinii formate prin cuplarea unităţii planetare diferenţiale cu două motoare şi un efector

În conformitate cu fig. 4.16, se cere să se determine punctul de funcţionare (în regim staţionar, fără frecare) al maşinii obţinute prin cuplarea unităţii planetare diferenţiale (din fig. 4.11,a şi b) cu două motoare de curent continuu şi cu un efector de tip troliu; conform fig. 4.16, motoarele, de caracteristici mecanice: T1 = –0,5·1+ 50 [Nm] şi T3 = –0,5·3 + 50 [Nm], sunt cuplate la arborii roţilor centrale 1 şi respectiv 3, iar tamburul troliului este materializat prin elementul H şi are caracteristica mecanică: TH –60 [Nm] constant.

Ca şi în cazurile precedente (prezentate în subcapitolul 4.2), parametrii punctului de funcţionare, al maşinii din fig. 4.16, se stabilesc cu ajutorul sistemului de ecuaţii format din:

a) funcţiile de transmitere ale unităţii planetare diferenţiale şi

b) caracteristicile mecanice ale motoarelor şi efectorului:

Page 42: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

170 Mecanisme

1, T1

H

1

2

Motor 1 Motor 2

3

3, T3

H, TH

Efector

1

T1

3

T3

-TH

H

FIG. 4.16. Exemplu de maşină formată prin cuplarea unităţii planetare diferenţiale (tab. 4.2,b,b1) cu două motoare şi un efector de tip troliu.

(4.43)

prin rezolvare, din sistemul (4.43) se obţin următoarele valori ale parametrilor care descriu punctul de funcţionare în regim staţionar, fără frecare (v. fig. 4.16):

Pentru verificare, se recalculează suma puterilor de intrare şi ieşire, ale unităţii planetare diferenţiale, care, în premisa considerată, trebuie să fie nulă:

1·T1 + 3·T3 + H ·TH = = (+10)·(+30) + (+20)·(+30) + (+15)·(-60) = 0 (se verifică!).

Page 43: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

4. Mecanisme cu roţi dinţate 171

Teme de casă

1) Se dau: a) Unitatea planetară diferenţială, ilustrată în schema c a tabelului 4.2, şi

numerele de dinţi ale roţilor: z1 = z4 = 60 şi z2 = z3 = 30.b) Caracteristicile mecanice ale motoarelor cuplate cu roţile centrale 1 şi 4:

T1 = –0,5·1 + 35 [Nm] şi T4 = –0,5·4 + 40 [Nm];c) Caracteristica mecanică a troliului, a cărui tobă este solidară cu elementul H:

TH –60 [Nm] constant.Se cer:

1°. Schema structurală şi schema bloc, cu precizarea calitativă a funcţiilor de transmitere realizate de unitatea planetară bimobilă.

2°. Schema structurală şi schema bloc, corespunzătoare unităţii cu axe fixe (rezultată din unitatea planetară diferenţială prin inversiunea mişcării faţă de

braţul H); calculul raportului de transmitere al unităţii cu axe fixe i0 = .

3°. Determinarea ecuaţiei de viteze a unităţii planetare bimobile; explicitarea funcţiei de transmitere a vitezelor şi interpretarea acesteia.

4°. Schema structurală şi schema bloc, corespunzătoare unităţii planetare monomobile, rezultate din unitatea bimobilă prin blocarea roţii centrale 4;

calculul funcţiei de transmitere a vitezelor şi a raportului de transmitere .

5°. Determinarea funcţiilor de transmitere a momentelor, realizate de unitatea planetară diferenţială, şi interpretarea acestora.

6°. Punctul de funcţionare, în regim staţionar fără frecare, al maşinii formate prin cuplarea unităţii planetare diferenţiale cu cele două motoare şi cu efectorul de tip troliu.

2) Se dau: a) Varianta constructivă a unui reductor planetar (fig. 4.17), ale cărui roţi

centrale au 30 şi respectiv 90 de dinţi; b) Caracteristica mecanică a motorului de antrenare: T1 = –0,5·1 + 60 [Nm] şi

caracteristica mecanică a troliului pe care reductorul îl antrenează: TH = – 120 [Nm].

Page 44: Mecanisme ID Cap. 4-Mecanisme Cu Roti Dintate

172 Mecanisme

FIG. 4.17. Exemplu constructiv de reductor planetar într-o treaptă.

Se cer:1°. Identificarea, pe baza tabelului 4.2, a tipului de unitate planetară

monomobilă folosită în reductorul din fig. 4.17. 2°. Schema structurală şi schema bloc, cu precizarea calitativă a funcţiilor de

transmitere realizate de reductor.3°. Ecuaţia de viteze a unităţii planetare diferenţiale (rezultată prin deblocarea

roţii centrale cu dantură interioară). Funcţia de transmitere a vitezelor şi raportul de transmitere realizate de reductorul planetar dat.

4°. Funcţia de transmitere a momentelor, realizată de reductor, în premisa funcţionării în regim staţionar fără frecare.

5°. Punctul de funcţionare al maşinii formată prin cuplarea reductorului cu motorul de antrenare şi cu efectorul de tip troliu.