Mecanica pamanturilor

„Mecanica Pământurilor” – Manole-Stelian Şerbulea Cuprins

CUPRINS:

Cuprins:.....................................................................................................................................................1

1. Consideraţii generale. Stare de efort. Stare de deformaţii ................................................................2

2. Compresibilitate. Consolidare...........................................................................................................8

2.1 Compresibilitate ........................................................................................................................8

2.2 Teoria Consolidării Liniare Unidimensionale ........................................................................10

2.3 Calculul coeficientului de consolidare cu ajutorul încercării edometrice...............................14

3. Rezistenţă la forfecare. Drumuri de efort .......................................................................................15

4. Elemente de teoria stării critice.......................................................................................................19

4.1 Noţiunea de stare critică..........................................................................................................19

4.2 Suprafaţa Roscoe ....................................................................................................................20

4.3 Suprafaţa Hvroslev..................................................................................................................22

Bibliografie: ............................................................................................................................................24

„Mecanica Pământurilor” – Manole-Stelian Şerbulea Consideraţii generale. Stare de efort. Stare de deformaţii

1. CONSIDERATII GENERALE. STARE DE EFORT. STARE DE DEFORMATII

În lucrarea de faţă se va utiliza denumirea de „eforturi” (sau „eforturi unitare”) pentru noţiunea de forţă unitară. Trebuie menţionat aici că în general, marea majoritate a autorilor de tratate de Teoria Elasticităţii şi Plasticităţii utilizează pentru eforturi unitare denumirea de „tensiuni” considerându-se totodată întinderea ca fiind pozitivă, iar compresiunea negativă. Dat fiind faptul că în domeniul Ingineriei Geotehnice marea majoritate a eforturilor sunt de compresiune, aceasta se va considera pozitivă. Se va nota prin , „efortul normal”, raportul dintre forţa normală acţionând pe un plan şi aria pe care aceasta acţionează, iar prin , „efortul tangenţial”, raportul dintre forţa cuprinsă într-un plan şi aria din plan pe care aceasta acţionează. Deformaţia specifică sub încărcare se notează prin , iar deformaţia sub încărcare , prin (figura 1.1).

A

N

A

T

T

A

N

A

1

1

1

1

Figura 1.1: Eforturi normale şi eforturi tangenţiale Prin „combinaţie de eforturi” se va înţelege totalitatea eforturilor acţionând intr-un punct dintr-o masă de material (masiv de pământ) pe trei plane perpendiculare două câte două, ce se intersectează în punctul respectiv. Considerând punctul ca un volum unitar, combinaţia de eforturi se poate reprezenta ca în figura 1.2a. Totalitatea combinaţiilor de eforturi alcătuieşte starea de eforturi care acţionează în respectivul punct din masiv. Dintre toate combinaţiile de efort, va exista un în care eforturile tangenţiale care acţionează pe feţele volumului unitar sunt nule. În acest caz, eforturile normale poartă numele de „eforturi principale”, iar direcţiile acestora „direcţii principale” (figura 1.2b). În anumite situaţii se pot considera modele simplificate ale stării tridimensionale de eforturi şi deformaţii:

starea plană de eforturi (sau problema plană de eforturi - PP), în care se consideră z = 0; starea plană de deformaţii (sau problema plană de deformaţii – PP), în care se consideră z = 0

Alegerea modelului simplificat se face în general în funcţie de geometria solidului deformabil studiat: PP se foloseşte, în general, la modelarea elementelor structurale de grosime mică (pereţi, diafragme, şaibe, etc.), în timp ce PP este folosit în special la elemente structurale de lungime mare faţă de dimensiunile secţiunii transversale (ziduri de sprijin, diguri, drumuri, etc.).


O problemă aparte este cea a masivelor de pământ. Marea majoritate a modelelor formulate pentru masivele de pământ consideră ca ipoteză simplificatoare că eforturile în plan orizontal sunt egale, adică y = x sau y = z, depinzând de convenţia de axe. Avantajul major al acestei exprimări bi-axial simetrice, este acela ca starea tridimensionala de eforturi se poate trata precum o problemă plană.

x

y

z

xyxz

zx zy

yz

yx

Z

X

YO

1

2

3

O

3

2

1

a. Sistem de axe oarecare b. Sistem de axe principale

Figura 1.2: Distribuţia spaţială a combinaţiei de eforturi. Eforturi principale În cele ce urmează, vom folosi ca simplificare situaţia în care se consideră că y = z. În mod implicit, vom considera eforturile principale 2 = 3. Pentru simplificarea exprimării matematice, se poate defini o matrice care să conţină toate mărimile

scalare ale unei combinaţii de eforturilor unitare care acţionează într-un punct considerat, după cum urmează:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

(1.1)

Se poate observa că exprimarea matricială a combinaţiei de eforturi nu înglobează decât informaţii privind direcţiile pe care acţionează. Având, însă în vedere faptul ca eforturile sunt mărimi vectoriale, pentru a îngloba în exprimarea matematică şi informaţii privind referenţialul se utilizează noţiunea de „tensor”. Acesta, este un obiect matematic alcătuit dintr-o matrice pătrată de valori scalare brodată de reperul cartezian în care se lucrează. De exemplu, tensorul efort, notat ~ , se reprezintă astfel:

zxzyxzyxzzx

zyyzyxyxyyx

zxxzyxxyxxx

z

y

x

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zyxT

îîîîîî

îîîîîî

îîîîîî

i

i

i

iiiii~

(1.2)


unde

z

y

x

i

i

i

i

este matricea versorilor sistemului de coordonate.

Dacă se doreşte o reprezentare detaliată a stării de eforturi se poate utiliza reprezentarea Mohr (figura 1.3). Aceasta oferă avantajul cunoaşterii combinaţiei de eforturi care acţionează într-un punct dintr-un masiv pe o anumită direcţie, dacă se cunoaşte cel puţin o altă combinaţie de eforturi şi direcţiile pe care respectivele eforturi acţionează. Dezavantajul acestei reprezentări este acela că nu este posibilă punerea în evidenţă a evoluţia stărilor succesive de eforturi din punctul considerat până la o anumită situaţie dată. O astfel de succesiune de stări de eforturi poartă numele de „drum de efort”.

zx

xz

z

x

3

1

Legenda

a. reprezentarea Mohrb. distributia eforturilor

asupra masei unitare Figura 1.3: Reprezentarea Mohr a stării de efort Din acest punct de vedere este avantajos sa consideram alte reprezentări cum ar fi coordonatele de efort p q (dezvoltată la Cambridge), s t (propusă de colectivul de la Massachusetts Institute of

Technologies – M.I.T. sau 21 II , unde:

23312

311

31

31

31

3231

2I

2I

2t

2s

q

că consideră se dacă ,3

2p

(1.3)

Sistemele de coordonate p-q şi, respectiv s-t au fost dezvoltate în ideea analogiei cu încercarea de compresiune triaxială unde presiunea în celulă este un efort mediu, de tip hidrostatic, denumit de aceea şi efor „sferic”, iar „diferenţa” pe o anumită direcţie, aplicată de piston poartă numele de efort


„deviator”. Sistemul I1-I2 este mai puţin intuitiv şi este utilizat în special în modelarea matematică a drumurilor de efort atunci când este necesară exprimarea acestora independent de direcţia sistemului de coordonate spaţiale. Ţinând seama de faptul că stările de efort se figurează în aceste trei cazuri reprezentări, prin puncte, avantajul lor îl reprezintă posibilitatea punerii în evidenţă a drumurilor de efort sub forma unor curbe. Modelarea matematică a pământului nesaturat este o problemă deosebit de dificilă, astfel încât marea majoritate a modelelor consideră mediul granular fie nesaturat, fie saturat. În acest ultim caz comportarea pământului este influenţată de faptul ca o parte din efortul normal total aplicat este preluat de apa din pori sub formă de presiune hidrostatică, notată cu u, restul revenind scheletului solid. Efortul normal preluat de scheletul solid se numeşte efort efectiv şi se notează cu ’. Putem pune astfel în evidenţă legea efortului efectiv:

u' (1.4) În exprimare matricială ecuaţia 1.4 este echivalentă cu:

u00

0u0

00u

'

'

'

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

(1.5)

Din relaţiile 1.3 şi 1.4 putem exprima în termen de eforturi efective şi celelalte reprezentări ale eforturilor:

't2

''

2

)u'()u'(

2t

u's2

u2

2

''

2

)u'()u'(

2s

'q'')u'()u'(q

u'p3

u3

3

'2'

3

)u'(2)u'(

3

2p

313131

313131

313131

313131

(1.6)

Trebuie remarcat faptul că exprimarea în termeni invarianţi nu se poate transforma într-un mod analog formulelor 1.6. În general, când ne referim la „comportarea materialului sub sarcină”, înţelegem modul prin care materialul răspunde prin deformaţii la încărcările aplicate. Comportarea liniar-elastică este guvernată de legea lui Hooke:

E (1.7) În clipa în care trebuie să definim comportarea neliniară a unui material, modulul lui Young din legea lui Hooke trebuie sa devină o funcţie a cărei variaţie depinde de diverşi parametrii din care cel mai important este deformaţia. Totuşi, pe intervale mici acest modul se poate considera constant. În funcţie de modul în care este definit acest modul elastic poate fi secant sau tangent (figura 1.4). Matematic, aceşti doi moduli se pot defini ca:


sec

tg

E

d

dE

(1.8)

1

1

Esecant

Etangent

Figura 1.4: Modul elastic secant şi tangent Modulul E determină relaţia între efortul normal şi deformaţia normală . În cazul relaţiei între şi definim modulul de forfecare G ca fiind:

d

dG (1.9)

Din punct de vedere teoretic, marea majoritate a modelelor de comportare a materialelor folosesc principiul compatibilităţii care enunţă că orice deplasare sau modificare de formă trebuie să fie compatibilă, adică nu trebuie sa existe pierderi sau câştiguri de material. Dacă pământul saturat este modelat ca solid omogen, această proprietate este încălcată deoarece prin drenajul apei, o cantitate de material se pierde. Mai mult decât atât, dacă se consideră un model nesaturat al pământului, vor exista modificări de volum neînsoţite de modificări de masă. În prezenta lucrare va fi considerat doar cazul pământurilor saturate. Astfel, definim deformaţia volumică prin:

0v V

dV (1.10)

Pentru a exprima variaţia volumică sub efort sferic aplicat definim modulul volumic K:

vd

dpK

(1.11)

Starea triaxială de deformaţii într-un mediu ortotrop se poate determina utilizând legea lui Hooke generalizată:


z

z

y

y

x

xz

z

z

y

y

x

xy

z

z

y

y

x

xx

EEE

EEE

EEE

(1.12)

Pornind de la relaţiile 1.12 se poate defini o serie întreagă de cazuri particulare cum ar fi, de exemplu cel al materialului izotrop sau încărcat în diferite ipoteze simplificatoare. Cazul materialului izotrop supus unei stări de eforturi triaxiale:

)(E

1

)(E

1

)(E

1

zyxy

zyxy

zyxx

(1.13)

))(21(E

1zyxzyxv (1.14)

)21(3

EK

)1(2

EG

(1.15)

Cazul materialului izotrop supus unei stări bi-axial simetrice de eforturi (x = y = r şi z = r):

))1((E

1

)2(E

1

rar

raa

(1.13)

K

p

E

p)21(3)2(

E

212 rarav

(1.14)

„Mecanica Pământurilor” – Manole-Stelian Şerbulea Compresibilitate. Consolidare

2. COMPRESIBILITATE. CONSOLIDARE

2.1 Compresibilitate

Pământul ca material comportă o serie de particularităţi care fac dificilă abordarea simplificată a comportării sale sub încărcări. S-a arătat în capitolul anterior faptul că pământul nu poate fi considerat ca material omogen fără a fi încălcat principiul compatibilităţii. Mai mult decât atât, pământul este un „material cu memorie”. Ţinând seama de faptul că deformaţiile plastice nu reprezintă decât rearanjarea particulelor solide într-o configuraţie mai îndesată, capabilă de a prelua încărcarea, se poate explica faptul că în cazul descărcării această configuraţie se păstrează astfel încât se poate deduce care a fost sarcina maximă aplicată vreodată masivului de pământ respectiv. Un pământ care este supus pentru prima dată unui anumit nivel de efort de compresiune, după echilibrarea presiunii apei din pori, se numeşte „normal consolidat”. Considerând o probă de pământ încărcată izotrop, dacă se va reprezenta, utilizând o scară semilogaritmică variaţia volumului specific e1v cu sarcina aplicată se poate remarca faptul că această variaţie este aproximativ liniară în ipoteza consolidării normale (figura 2.1). Mai mult decât atât, liniaritatea se păstrează şi pentru curbele de descărcare – reîncărcare. Pentru situaţia în care considerăm compresiunea unidimensională, dreapta de consolidare normală va avea aceeaşi pantă ca şi în cazul compresiunii izotrope. În practica inginerească compresiunea unidimensională se mai poate reprezenta şi în coordonate e – lg v.

ln p

v

lg v

e

CS

CC

CS

Dreapta de consolidare normală

Dreapta de consolidare normală

Figura 2.1: Variaţia volumului specific şi indicelui porilor unei probe de pământ cu sarcina aplicată Panta dreptei de consolidare normală se notează prin în cazul reprezentării v - ln p şi prin CC în cazul reprezentării e - lg v. Notând prin N volumul specific iniţial şi prin e0 indicele porilor iniţial, putem exprima ecuaţia dreptei de consolidare normală ca fiind:

vC0 lg Cee

p ln Nv

(2.1)


Pentru cazul în care considerăm descărcarea sau reîncărcarea probei, panta dreptei de descărcare sau reîncărcare se va nota cu pentru sistemul v- ln p sau CS pentru sistemul e - lg v. Având în vedere faptul că dreapta de reîncărcare are o pantă mai mică decât cea de consolidare normală, încărcându-se progresiv, de la zero, o probă de pământ se poate determina valoarea maximă a sarcinii la care respectiva probă de pământ a fost vreodată supusă. Acest efort poartă numele de efort de preconsolidare şi se notează p (figura 2.2).

log v

e

p Figura 2.2: Efortul de preconsolidare În practica inginerească supraconsolidarea se cuantifică prin raportul de supraconsolidare – OCR (din engleza „Over-Consolidation Ratio”):

g

pOCR

(2.2)

unde g este efortul geologic la adâncimea de unde a fost extrasă proba de pământ. Datorită faptului că reprezentările anterioare (e - lg v şi v – ln p) prezintă dezavantajul că nu pot fi reprezentate în mod direct, utilizând măsurători din încercări, în practica inginerească se mai foloseşte şi modulul edometric M, definit ca modul secant al curbei - lg v (figura 2.3). Datorită faptului că, în conformitate cu standardul românesc, este calculat pe intervalul 200300kPa, modulul edometric se mai notează şi M2-3.

2332

v

v

[kPa] 200300M

d

dM

(2.3)

În literatura anglo-saxonă modulul edometric nu este utilizat, in locul său folosindu-se modulul de compresibilitate volumică, mv:

M

1

d

dm

v

vv

(2.4)


lg v200k

Pa

200

300

300k

Pa

v

M2-3

Figura 2.3: Modulul edometric

2.2 Teoria Consolidării Liniare Unidimensionale

Ipotezele teoriei consolidării liniare unidimensionale sunt:

1. Pământul este saturat şi omogen. 2. Principiul eforturilor efective este valabil. 3. Legea lui Darcy este valabilă. 4. Apa din pori şi particulele solide sunt incompresibile. 5. Curgerea lichidului şi toate deplasările particulelor solide se realizează unidimensional. 6. Coeficientul de permeabilitate k şi modulul de compresibilitate volumică mv sunt constante.

Având în vedere faptul că s-a presupus că mv este constant, teoria este valabilă pentru un increment relativ mic de efort. Să considerăm un strat de pământ de grosime 2H aflat între două straturi infinit permeabile (figura 2.4). În urma creşterii presiuni apei din pori, considerând că în straturile infinit permeabile presiunea apei în pori este nulă, se va crea un flux de apă dinspre pământ spre straturile permeabile. Cum gradientul hidrostatic este acelaşi pentru stratul permeabil superior ca şi pentru cel inferior, drenarea apei se va face în fiecare jumătate de strat de pământ către stratul permeabil cel mai apropiat. Mai mult decât atât problema curgerii între cele două straturi permeabile este simetrică faţă de jumătatea distanţei dintre ele (axă de simetrie). Vom considera un element de grosime dz, la o distanţă z de axa de simetrie. Efortul total cu care este încărcat stratul de pământ este notat cu . Acest efort este considerat constant. Sub efectul efortului efectiv d’ rezultat, stratul unitar se va deforma cu dl. Presiunea apei în pori va fi la partea superioară a stratului unitar egală cu u, iar la partea lui inferioară egală cu u + du.


z

z + dz

2H

q

q + dq

u '

A

u

u + dudl

Figura 2.4: Condiţiile de efort şi drenare într-un element infinitesimal supus consolidării unidimensionale Astfel, modulul de compresibilitate volumică îl putem defini ca:

'd

dm v

v

(2.5)

Dar,

dz

dld v (2.6)

Deci:

dz 'd mdl v (2.7) Cum particulele solide şi apa s-a presupus că sunt incompresibile, putem exprima ecuaţia de continuitate ca:

dt dqdl A (2.8) Din ecuaţiile 2.7 şi 2.8 rezultă:


dt

'd m A

dz

dqv

(2.9)

Ţinând cont că atât q cât şi sunt funcţii atât de z cât şi de t, ecuaţia 2.9 devine:

t

' m A

z

qv

(2.10)

Gradientul hidraulic sub care se face curgerea prin element este

z

u

i w

(2.11)

Debitul prin elementul de pământ, exprimat cu ajutorul legii lui Darcy, devine:

z

uAki k Aq

w

(2.12)

Sau:

2

2

w z

uAk

z

q

(2.13)

Din ecuaţiile 2.10 şi 2.13 obţinem:

dt

'

z

u

m

k2

2

wv

(2.14)

Exprimând legea eforturilor efective în formă diferenţială faţă de timp obţinem:

t

u

dtdt

'

(2.15)

În ipoteză am considerat că efortul total nu variază în timp, deci 0t

. Notând wv

v m

kc

, unde

cv poartă numele de coeficient de consolidare, obţinem ecuaţia diferenţială a consolidării unidimensionale:

dt

u

z

uc

2

2

v

(2.16)


Condiţiile la limită pentru consolidarea unidimensională sunt:

0t Hz0 'u t0 0z 0u t0 Hz

0z

u

t Hz0 0u La un moment oarecare t se pot defini factorul timp, Tv şi gradul de consolidare Ut după cum urmează:

2v

vH

tcT

(2.17)

s

sU t

t (2.18)

unde st este tasarea la momentul t pe înălţimea H a stratului de pământ în proces de consolidare, iar s este tasarea finală a pământului pe înălţimea H. Valorile limită ale gradului de consolidare sunt:

0t 0U0

t 1U Gradul consolidare locală la adâncimea z se exprimă ca:

)0,z(u

)t,z(u1)z(Ut (2.19)

Soluţia exactă a ecuaţiei 2.16, rezolvată prin dezvoltare în serii Fourier este:

0m

TM v2

eH

Mzsin

M

2)t,z(u (2.20)

unde: )1m2(2

M

Obţinem expresia gradului de consolidare:

0m

TMt

v2

eH

Mzsin

M

21)z(U (2.21)

şi:

0m

TM2t

v2

eM

21U (2.22)

Pentru valori Ut < 0.6, gradul de consolidare poate fi aproximat prin:

v

tT

2U (2.23)


2.3 Calculul coeficientului de consolidare cu ajutorul încercării edometrice

În urma încercării de consolidare edometrică pentru o anumită treaptă de efort se va cunoaşte evoluţia tasării în timp şi valoarea finală a tasării. Astfel se poate trasa cu uşurinţă curba Ut – t. Având în vedere că se poate exprima prin diverse metode curba Ut – Tv, rezultă că din faptul că cele două curbe sunt omoloage, putem deduce o relaţie t – Tv şi obţine valoarea lui cv. O metodă se bazează pe ideea că se poate obţine o precizie mai bună pentru stabilirea punctului de pe curba Ut – lg t pentru care Ut este 0.5 decât pentru Ut = 1. Astfel, se trasează curba Ut – lg t. Se construieşte o paralelă la asimptota Ut = 1 prin Ut = 0.5. Din punctul în care paralela intersectează curba se coboară o perpendiculară pe axa t şi se găseşte t50

(figura 2.5). Din ecuaţia 2.22, aflăm că pentru Ut = 0.5, Tv = 0.196. Deci:50

2

v t

H 196.0c , unde H este

jumătate din înălţimea probei din inelul edometrului.

0.5

1.0

Ut

lg tt50

Figura 2.5: Determinarea valorii t50

„Mecanica Pământurilor” – Manole-Stelian Şerbulea Rezistenţă la forfecare. Drumuri de efort

3. REZISTENTA LA FORFECARE. DRUMURI DE EFORT

În capitolul 1 au fost prezentate pe larg diferite tipuri de reprezentări ale stărilor de eforturi care pot să apară într-un punct într-un material granular ca urmare a încărcărilor aplicate. Coulomb a arătat că pământul cedează prin forfecare după un plan oarecare în momentul în care, ca urmare a încărcărilor aplicate efortul normal pe planul respectiv () se află cu efortul tangenţial în respectivul plan () într-o relaţie de tipul:

c tg (3.1) unde: poartă numele de unghi de frecare internă al materialului granular; c se numeşte coeziune. Parametrii şi c se mai numesc şi „parametrii de rezistenţă la forfecare”. Daca se reprezintă relaţia 3.1 în coordonate -, se obţine o linie care poartă numele de „dreaptă intrinsecă” şi este, teoretic, înfăşurătoarea tuturor stărilor de efort (reprezentate, după cum s-a arătat în capitolul 1 prin cercuri) care conduc la cedarea pământului prin forfecare (figura 3.1).

c

tg + c

Deşi în practica inginerească curentă aceşti doi parametri sunt consideraţi ca fiind constante de material, totuşi procedeul de încercare şi condiţiile de încercare care conduc la obţinerea acestor doi factori, influenţează în mod semnificativ valorile ce vor fi obţinute în urma încercărilor. În cele ce urmează nu se va vorbi de cazul pământului uscat sau parţial saturat ci numai de cel saturat. Au fost prezentate în capitolul 1 dezavantajele reprezentării Mohr-Coulomb din care cel mai important este acela că nu pot fi reprezentate într-un mod lizibil succesiunile de stări de efort prin care trece un masiv de material granular până la rupere. În figura 3.2 se poate remarca faptul că o reprezentare de tip M.I.T. (1.3) pune foarte bine în evidenţă înfăşurătoarea de cedare. Mai mult decât atât, încercări în domeniul eforturilor mici, în special, au pus în evidenţă faptul că înfăşurătoarea cercurilor care au condus la cedare, reprezentate în coordonate -, nu este liniară ci parabolică. Este foarte dificil, dacă nu chiar imposibil a se construi parabola tangentă comună a mai multor cercuri, însă având în vedere faptul că echivalenta acestei curbe în coordonate s-t (numită şi curbă „Kf”) trebuie să aibă aceeaşi alură se poate construi mult mai uşor o curbă de grad superior lui 1 interpolată printre punctele care au fost obţinute în urma încercării de laborator.


Totuşi, pentru aplicaţii inginereşti curente, în domeniul de eforturi 100-500kPa, curba de cedare poate fi aproximată cu o bună precizie printr-o dreaptă.

c

tg + c - dreapta intrinsecă t

s

a

t = s tg + a - dreapta K f

< = >

a. Reprezentarea Mohr-Coulomb b. Reprezentarea M.I.T. Figura 3.2: Reprezentarea unui drum de efort în sistem Mohr-Coulomb şi M.I.T. Parametrii rezistenţei la forfecare în coordonate s-t sunt „a” şi „tg ”. Pentru a realiza transformarea valorilor acestora în „c” şi „tg ”, plecăm ce la ecuaţia 1.3, deci:

2t

2s

31

31

(3.2)

OA

B

O'

C

3 1

c

2R 31

231

Figura 3.3 Din figura 3.3, se observă că ABO ~ AO’C, deci:

C'O

BO

'AO

AB (3.3)

adică:


2

c

2 tg

c sin

c

3131

(3.4)

De unde:

fsin

c cos st (3.5)

Dar:

a gt st (3.6) Din egalitatea relaţiilor 3.5 şi 3.6 rezultă că:

sin

ca

cos tg

(3.7)

După cum s-a afirmat anterior în acest capitol, modul de obţinere al parametrilor rezistenţei la forfecare se poate reflecta în valorile acestora. De exemplu (figura 3.4), în cazul unei încercări de compresiune triaxială de tip CU, dacă există posibilitatea înregistrării variaţiei presiunii apei din pori, vor putea fi calculate atât valorile parametrilor rezistenţei la forfecare corespunzând eforturilor totale cât şi celor efective. Pentru acest tip de încercarea din valorile totale măsurate a fost scăzută valoarea corespunzătoare a presiunii apei din pori (în figura 3.4 a fost dată exemplu prima probă încercată).

s, s'

t = t'

u1

sc1 = sc

1' sf1' sf

1

t f1 =

t f1'

a'a

'

linia "k f"

linia "k' f"

Figura 3.4: Reprezentarea în eforturi totale şi efective a unei încercări triaxiale de tip CU Se poate observa faptul ca parametrii rezistenţei la forfecare în ipoteza eforturilor totale conduc la nişte valori mai mari pentru (implicit ) şi mai mici pentru a (implicit c) decât în ipoteza eforturilor efective.


Dacă se reprezintă variaţia efortului deviator t cu deformaţia axială a a probei, se poate remarca

faptul că pământurile necoezive afânate sau cele coezive normal consolidate vor prezenta o alură a curbei t-a ca cea din figura 3.5a în timp ce pentru nisipurile îndesate sau pământurile coezive supraconsolidate curba va arăta ca cea din figura 3.5b.

t

trez tf = trez

a

t

aa. Nisipuri îndesate şi pământuri

coezive supraconsolidateb. Nisipuri afânate şi pământuri

coezive normal consolidate

tf

Figura 3.5: Variaţia efortului tangenţial cu deformaţia axială Dacă se realizează forfecarea unor probe de nisip, de exemplu, sub acelaşi efort sferic, iar probele au diferite grade de îndesare, valoarea efortului deviator maxim sub care se produce forfecarea va fi diferită pentru probele având diferite grade de supraconsolidare, însă, daca se continuă încercarea, valoarea efortului deviator preluat de probă se va stabiliza la o valoare comună trez. Se poate observa că pentru o probă de nisip afânat, valoarea maximă a efortului deviator pentru care se produce cedarea este egală cu valoarea reziduală obţinută pentru probele îndesate. În funcţie de lucrarea pentru care se efectuează încercările se pot folosi valorile de vârf (cazul fundaţiilor de construcţii, alunecări de teren noi) sau cele reziduale (alunecări de teren reactivate).

„Mecanica Pământurilor” – Manole-Stelian Şerbulea Elemente de teoria stării critice

4. ELEMENTE DE TEORIA STARII CRITICE

4.1 Noţiunea de stare critică

Prin prisma teoriei stării critice, o probă de pământ este considerată cedată prin forfecare în momentul în care aceasta prezintă deformaţii mari sub efortul de forfecare fără modificarea efortului şi a porozităţii. Presiunea apei în pori chiar şi în cazul unei încercări nedrenate devine zero. În general, dacă se obţine o diagramă q’-a similară celei din figura 3.5, pentru forfecarea unei probe de pământ, condiţiile de stare critică se îndeplinesc în vecinătatea valorii de vârf a efortului deviator, la un a>a qmax şi nu pentru valoarea de vârf. Datorită acestui motiv, pământurile analizate prin prisma teoriei stării critice nu mai prezintă doi parametrii ai rezistenţei la forfecare ci unul singur, M, unde:

'p

'qM (4.1)

unde p’ şi q’ sunt efortul sferic, respectiv deviator definite prin ecuaţiile 1.3. Teoria stării critice a fost dezvoltată în principal de şcoala engleză de geotehnică (în special colectivul de la Cambridge), acesta fiind un motiv principal pentru care pentru formularea ei se folosesc coordonatele de efort p’ şi q’. M este, aşadar panta proiecţiei curbei de stare critică pe planul p’-q’. Curba de stare critică este descrisă într-un spaţiu de coordonate p’-q’-v (figura 4.1).

q'

p'

v

Curba de consolidare normală

Curba de stare critică

Proiecţiile curbei destare criticăM

1

Figura 4.1: Curba de stare critică O remarcă deosebit de importantă este că proiecţia suprafeţei stării critice trece prin originea planului p-q atât pentru pământurile coezive cât şi pentru cele necoezive.


4.2 Suprafaţa Roscoe

Reprezentând în coordonate de efort p’-q’ două seturi de încercări pentru acelaşi pământ, un set consolidat izotrop şi forfecat nedrenat (figura 4.2.a), iar un altul consolidat izotrop şi forfecat în condiţii nedrenate (figura 4.2.b), se observă că se obţine aceeaşi înfăşurătoare de stare critică (proiecţia pe planul p’-q’ a curbei stării critice). Mai mult decât atât, se poate pune în evidenţă că pe drumul de forfecare, dacă se pleacă de la condiţii de consolidare normală, indiferent dacă forfecarea se face în condiţii drenate sau nedrenate, unui punct de pe drumul de forfecare p’-q’ îi va corespunde o singură valoare a volumului specific v (figura 4.3).

a. Încercări nedrenate pe trei probe normal consolidata

p'

q' v

p'

v1

v2

v3

v1

v2

v3

A1 A2 A3

B1

B2

B3

A1

A2

A3B3

B2

B1

vq'

p' p'

A3

A2

A1

B1

B2

B3

A1 A2 A3

B1

B2

B3

b. Încercări drenate pe trei probe normal consolidata

Linia de consolidare normală

Proiecţia curbei de stare critică

Proiecţia curbei de stare critică

Linia de consolidare normală

Figura 4.2: Suprafeţele în spaţiul p-q-v descrise de forfecarea unor probe drenate şi nedrenate


q'

p' Figura 4.3: Drumuri de efort drenat şi nedrenat în coordonate p-q Rezultă că fiecărui punct de pe drumurile de efort de forfecare, îi va corespunde o unică valoare a volumului specific. Toate punctele din spaţiul p’-q’-v care sunt caracterizate astfel alcătuiesc o suprafaţă ce poartă numele de „suprafaţă Roscoe” (figura 4.4)

q'

p'

v


Suprafaţa Roscoe


Figura 4.4: Suprafaţa Roscoe Realizând secţiuni prin suprafaţa Roscoe cu plane v = constant, se remarcă faptul ca alura acestor secţiuni este aproximativ aceeaşi (figura 4.2.a), ceea ce conduce la concluzia că prin normalizare se poate găsi o singură curbă care să păstreze proprietăţile suprafeţei Roscoe şi într-o reprezentare plană. Acest factor de normalizare este chiar efortul de consolidare izotropă de la care s-a pornit forfecarea. În figura 4.5 a fost reprezentată suprafaţa Roscoe normalizată cu acest efort, notat cu pc.


0.1

q'/p'c

p'/p'c0.2

0.3

0.4

0.0

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.00.10.20.30.40.5



Suprafaţa Roscoe

Figura 4.5: Normalizarea în raport cu efortul de consolidare, pc

4.3 Suprafaţa Hvroslev

În paragraful 4.2 s-a pornit de la ipoteza că pământul este normal consolidat. În cazul în care pământul este supraconsolidat, efortul deviator de forfecare pentru care se atinge starea critică va fi diferit pentru fiecare valoare a gradului de supraconsolidare în parte (figura 4.6).

0.1

q'/p'c

p'/p'c0.2

0.3

0.4

0.0

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.00.10.20.30.40.5

Puncte de stare critică


Suprafaţa Roscoe

Figura 4.6: Starea critică pentru diferite grade de supraconsolidare. Raportul q’/p’ este maxim atunci când 1 este maxim, iar 3 este minim. Valoarea minimă pentru care pământul lucrează în compresiune este atunci când 3 = 0. În acest caz avem:

3'p

'q

'3

1'p

''q

1

1

(4.2)

Astfel, în figura 4.7 este pusă în evidenţă limita pentru care pământul este supus la compresiune. Pe intervalul OA starea critică s-ar putea atinge doar prin eforturi de întindere. Locul geometric al punctelor de stare critică între limita cedării prin întindere şi suprafaţa Roscoe, poartă numele de suprafaţă Hvroslev. Parametrii suprafeţei Hvroslev în coordonate cc /p'q' - /p'p' sunt g şi h, constante de material, unde:

cc 'p

'phg

'p

'q (4.3)


q'/p'c

p'/p'c

Suprafaţa Roscoe

Limita de întindere

13

1 h

g

Suprafaţa Hvroslev

A

B

Figura 4.7: Suprafaţa Hvroslev Relaţia 2.1 leagă efortul de consolidare de volumul specific al pământului, astfel încât pentru diferite eforturi de consolidare curba AB din figura 4.7 se va transforma într-o suprafaţă în sistemul p’-q’-v (figura 4.8). Tot într-o suprafaţă tridimensională se transformă şi limita de întindere.

Suprafaţa Hvroslev

Suprafaţa Roscoe

Limita de întindere

q'

p'

v

Figura 4.8: Reprezentarea tridimensională a suprafeţei Hvroslev

„Mecanica Pământurilor” – Manole-Stelian Şerbulea Bibliografie

BIBLIOGRAFIE: „The Mechanics of Soils” – J. H. Atkinson, P.L. Bransby – McGraw - Hill, 1978 „Geotehnică şi Fundaţii” – S. Andrei, I. Antonescu – I.C.B., 1980 „Fundaţii şi Procedee de Fundare” – I. Manoliu – Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti, 1983 „Fundamentals of Soil Behavior” – J. K. Mitchell – John Wiley & Sons, 1993 „Basic Soil Mechanics” – R. Whitlow – Harlow: Longman, 1995

Mecanica pamanturilor

Documents

Transcript of Mecanica pamanturilor