Mecanica Fluidelor Aplicata an III

download Mecanica Fluidelor Aplicata an III

of 177

Transcript of Mecanica Fluidelor Aplicata an III

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    1/177

    1

    C. L. Arghirescu, D-C. C. Arghirescu

    MECANICA FLUIDELOR APLICAT~

    Prof. dr. ing. Cristea L. ArghirescuAsist. ing. Diana-Cristina C. Arghirescu

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    2/177

    2

    MECANICA FLUIDELOR APLICAT~

    EDITURA FUNDA|IEI UNIVERSITARE

    DUN~REA DE JOS GALA|I2000

    Editor: prof. dr. Cosma TudoseCoperta de: Andrei Arsenie Constantinescu

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    3/177

    3

    Control tiin ific: prof. dr. ing. Viorel Andrei

    EDITURA FUNDA|IEI UNIVERSITAREDun rea de Jos, Gala i, 2000

    ISBN 973813916 - 3

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    4/177

    4

    CUPRINS

    METODE DE STUDIU11

    1 Metodele Analizei dimensionale 13

    1.1 Rela ie fizic , principiul omogenit ii dimensionale, rela ie matematic 131.2 Metoda Rayleigh 151.3 Metoda Buckingham (teorema ) 171.3.1 Principiul metodei 171.3.2 Procedee de aplicare a metodei Buckingham 18

    2 Metoda similitudinii 252.1 Similitudine geometric , cinematic i dinamic , similitudine total i par ial 25

    2.2 Rela ia ordinului de m rime al derivatei unei m rimi fizice 252.3 Sc ri, criterii de similitudine, ecua ie criterial , proprietatea fundamental aasem n rii 26

    2.4 Metode de stabilire a criteriilor de similitudine 292.4.1 Metoda Rayleigh 292.4.2 Metoda Buckingham 292.4.3 Metoda sc rilor for elor fenomenelor asemenea 302.4.4 Metoda invarian ei structurii ecua iei fenomenului cu scara acestuia 302.5 Analiza criteriilor de similitudine 332.5.1 Criteriul Froude, Fr 332.5.2 Criteriul Euler, Eu 34

    2.5.3 Criteriul Reynolds, Re 342.5.4 Criteriul Strouhal, S 352.5.5 Concluzii 362.6 Legea modelului 37

    REGIMURI DE CURGERE 41

    3 Definirea fizic i analitic a regimurilor de curgere 433.1 Experien a lui Reynolds 433.2 Diagrama lui Reynolds 45

    4 Studiul regimului laminar de curgere a fluidelor 474.1 Starea de tensiune ntr-un punct 474.1.1 Ecua ia tensiunilor i tensorul tensiunilor 474.1.2 Tensiuni principale i direc ii principale de tensiune 504.2 Ecua ia de mi care Cauchy 544.3 Ecua ia constitutiv a fluidelor sau legea generalizat a lui Newton 554.4 Ecua ia de mi care Navier-Stokes 584.5 Ecua ia lui Bernoulli pentru mi carea permanent 594.6 Ecua ia lui Bernoulli pentru mi carea permanent a fluidelor incompresibile n

    cmpul gravita ional. Pant hidraulic , piezometric i geometric 614.7 Curgerea laminar i permanent n vecin tatea unei frontiere plane 62

    4.7.1 Ecua iile de mi care 634.7.2 Legea vitezei 64

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    5/177

    5

    4.7.3 Calculul debitului i al vitezei medii pe sec iune 644.7.4 Distribu ia efortului de frecare vscoas 644.7.5 Calculul presiunii 644.8 Studiul curgerii laminare i permanente prin conducta cilindric dreapt

    (mi carea axialsimetric Hagen-Poiseuille) 65

    4.8.1 Ecua ia de mi care 654.8.2 Legea Hagen-Poiseuille de distribu ie a vitezei n sec iunea curentului 674.8.3 Calculul debitului i al vitezei medii pe sec iune 674.8.4 Legea pierderii de sarcin distribuit DarcyWeissbach 674.8.5 Distribu ia efortului de frecare vscoas 684.8.6 Liniile de curent i de vrtej 68

    5 Studiul regimului turbulent de curgere a fluidelor 705.1 Structura mi c rii turbulente. Valori instantanee, medii i de pulsa ie 705.2 Ecua ia de continuitate 735.2.1 Ecua ia de continuitate pentru fluidele incompresibile 73

    5.2.2 Ecua ia de continuitate pentru fluidele compresibile 735.3 Tensiuni aparente turbulente 745.3.1 Definire 745.3.2 Tensiunile aparente turbulente ale fluidelor incompresibile 755.3.3 Tensiunile aparente turbulente ale fluidelor compresibile 765.4 Ecua ia de mi care 785.4.1 Ecua ia de mi care a fluidelor incompresibile (Reynolds) 785.4.2 Ecua ia de mi care a fluidelor compresibile 815.5 Teoriile semiempirice ale turbulen ei 875.5.1 Teoria coeficientului de viscozitate turbulent a lui Boussinesq 875.5.2 Teoria lungimii de amestec a lui Prandtl 88

    5.5.3 Teoria transportului de vrtejuri a lui Taylor 905.5.4 Teoria similitudinii vitezei de pulsa ie a lui Krmn 905.6 Curgerea turbulent n vecin tatea unei frontiere plane 915.6.1 Ecua ii de mi care 915.6.2 Modelul curgerii turbulente 935.6.3 Legea de distribu ie a vitezei medii n substratul laminar 945.6.4 Legea universal de distribu ie a vitezei medii n miezul turbulent 955.7 Rugozitate hidraulic 965.8 Curgerea turbulent prin conducta cilindric hidraulic neted 975.8.1 Legea de distribu ie a vitezei medii n substratul laminar. Calculul grosimii

    substratului laminar 97

    5.8.2 Legea de distribu ie a vitezei medii n miezul turbulent 985.8.3 Viteza medie pe sec iunea conductei 995.8.4 Verific ri experimentale 1025.8.5 Legea exponen ial de interpolare a vitezei medii 1035.9 Curgerea turbulent prin conducta cilindric hidraulic rugoas 1055.9.1 Legea de distribu ie a vitezei medii n sec iunea conductei 1055.9.2 Viteza medie pe sec iunea conductei 1065.9.3 Verific ri experimentale 1075.10 Studiul coeficientului pierderii de sarcin hidraulic distribuit al lui Darcy,

    1105.10.1 Rela ia coeficientului pentru conducta hidraulic neted 110

    5.10.2 Rela ia coeficientului pentru conducta hidraulic rugoas 1115.10.3 Analiza rezultatelor experimentale ale coeficientului 111

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    6/177

    6

    5.11 Studiul pierderii de sarcin hidraulic local a curen ilor sub presiune 1165.11.1 Definire i rela ie general 1165.11.2 L rgirea brusc de sec iune (formula Borda-Carnot) 1175.11.3 ngustarea brusc de sec iune 1185.11.4 Ie irea dintr-o conduct i intrarea ntr-un rezervor de dimensiuni foarte mari

    119CURGEREA FLUIDELOR PRIN ELEMENTE SI SISTEME HIDRAULICE 121

    6 Curgerile efluente prin orificii, ajutaje i peste deversoare123

    6.1 Curgerea prin orificii 1236.1.1 Definire, clasificare, aspect fizic al curgerii 1236.1.2 Calculul hidraulic al orificiilor cu sarcin constant 1256.1.3 Calculul hidraulic al orificiilor cu sarcin variabil 1286.1.4 Pierderea de sarcin hidraulic local a orificiilor 131

    6.2 Curgerea prin ajutaje 1316.2.1 Definire, clasificare, aspect fizic al curgerii 1316.2.2 Calculul hidraulic al ajutajului cilindric cu sarcin constant 1326.2.3 Pierderea de sarcin hidraulic local a ajutajelor 1346.3 Curgerea peste deversoare 1356.3.1 Definire, elemente principale, clasificare 1356.3.2 Calculul debitului deversorului dreptunghiular cu prag sub ire 137

    7 Curgerea permanent prin conductele cilindrice sub presiune 1397.1 Definire, clasificare, aspect fizic al curgerii 1397.2 Calculul hidraulic al conductei simple, D = const. 140

    7.3 Linia de sarcin piezometric i sifonul 1427.3.1 Linia de sarcin piezometric 1427.3.2 Sifonul 1447.4 Calculul conductelor compuse n serie 1457.5 Calculul conductelor compuse n paralel 1467.6 Calculul conductelor cu debit continuu i terminal 147

    8 Curgerea nepermanent prin conductele cilindrice 1498.1 Definire, aspect fizic 1498.2 Calculul suprapresiunii la nchiderea brusc 1498.3 Calculul vitezei de propagare a undei de presiune 151

    9 No iuni de teorie a stratului limit 1539.1 Definire, aspect fizic 1539.2 Ecua iile diferen iale ale stratului limit (L.Prandtl) 1539.3 Ecua ia integro-diferen ial a stratului limit (Th. von Krmn) 1569.4 Grosimea stratului limit i rezisten a de frecare a unei pl ci plane n ipoteza

    stratului limit laminar 1589.5 Grosimea stratului limit i rezisten a de frecare a unei pl ci plane n ipoteza

    stratului limit turbulent 160

    10 Curgerea prin ma inile hidraulice centrifugale 163

    10.1 Sarcina hidraulic a turboma inilor 16310.2 Ecua ia fundamental a turboma inilor 165

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    7/177

    7

    10.3 Pierderile i randamentele turboma inilor 16610.4 Similitudinea turboma inilor 16810.4.1 Similitudinea m rimilor turboma inilor 16810.4.2 Definirea m rimilor dublu-unitare, calculul tura iei caracteristice i tura iei

    specifice 170

    10.5 Curbele caracteristice ale turboma inilor 17110.5.1 Curbele caracteristice ale turbopompelor 17110.5.2 Curbele caracteristice ale turbinelor 173

    ANALOGIE HIDRO-ELECTRIC~ 175

    11 Studiul varia iei presiunii pe elementele hidraulice 17711.1 Cauze, m rimi hidraulice i electrice analoage, ipoteza parametrilor concentra i

    17711.2 C derea de presiune la curgerea permanent 17811.2.1 Definirea rezisten ei la curgerea permanent ,R 178

    11.2.2 Liniarizarea caracteristicii c derii de presiune la curgerea turbulent 18011.2.3 Compunerea rezisten elor la curgerea permanent 18111.3 Varia ia presiunii la curgerea nepermanent 18311.3.1 Definirea coeficientului iner iei hidraulice,L 18311.3.2 Calculul coeficientului iner iei hidraulice a elementelor 18311.3.3 Compunerea iner iilor hidraulice 18511.4 Varia ia presiunii datorat compresibilit ii i elasticit ii 18611.4.1 Definirea capacit ii hidraulice, C 18611.4.2 Calculul capacit ii elementelor hidraulice 18711.4.3 Compunerea capacit ilor hidraulice 19011.5 C derea de presiune prin intersti ii 191

    11.5.1 Definirea coeficientului scurgerilor volumice, S 19111.5.2 Compunerea scurgerilor volumice 19311.6 Capacitatea de cedare static 19311.6.1 Elemente hidraulice n mi care de transla ie 19311.6.2 Elemente hidraulice n mi care de rota ie 194

    BIBLIOGRAFIE 195

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    8/177

    8

    1 METODELE ANALIZEI DIMENSIONALE

    1.1Rela ie fizic , principiul omogenit iii dimensionale, rela ie

    matematic

    Defini ie: Rela ie sau ecua ie fizic a unui fenomen este dependen a func ional dintre m rimile fizice care determin acel fenomen.Pentru un fenomen ce depinde de nm rimi, rela ia fizic are forma implicit :

    ,0,...,,,..., 11 nkk bbaaf (1.1.1)n care kaa,...,1 , n num r de k, sunt m rimile fundamentale ale fenomenului, iar nk bb ,...,1 ,n num r de (n-k), sunt m rimile derivate ale aceluia i fenomen, m rimi ce vor fi definiteulterior.

    Rela ia fenomenului curgerii fluidelor vscoase, spre exemplu, se scrie ca o ecua iediferen ial i vectorial ntre m rimile fizice proprii acestuia, numit ecua ia demi care Navier-Stokes :

    z

    v

    y

    v

    x

    vv=vv

    t

    vv

    pf z

    yx

    ,

    3 (1.1.2)

    sau scalar:

    k

    zj

    yi

    xkvjvivk

    z

    pj

    y

    pi

    x

    pkfjfif zyxzyx

    3

    11

    :kvjvivvkvjvivt

    zyxzyx

    ,3

    11x

    xxx vv

    t

    v

    xv

    x

    pf

    ,3

    11y

    y

    yy vvt

    v

    yv

    y

    pf

    ;3

    11z

    zzz vv

    t

    v

    zv

    z

    pf

    xz

    v

    xy

    v

    x

    v

    z

    v

    y

    v

    x

    v

    x

    pf z

    yxxxxx

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    3

    1

    3

    1

    3

    11

    ,z

    v

    vy

    v

    vx

    v

    vt

    v xz

    x

    y

    x

    x

    x

    yz

    v

    y

    v

    yx

    v

    z

    v

    y

    v

    x

    v

    y

    pf z

    yxyyy

    y

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    3

    1

    3

    1

    3

    11

    ,z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    t

    v yz

    y

    y

    y

    x

    y

    2

    222

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    3

    1

    3

    1

    3

    11

    z

    v

    zy

    v

    zx

    v

    z

    v

    y

    v

    x

    v

    z

    pf z

    yxzzzz

    .

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    t

    v zz

    zy

    zx

    z

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    9/177

    9

    Forma implicit (1.1.1) a ecua iei NavierStokes pentru mi carea in cmpul gravita ionalse scrie:

    .0,,,,,,: tpglvfgf (1.1.3)

    n fizic

    , o m

    rimexise scrie formal ca un produs ntre valoarea sa numeric

    (X

    i

    ,Xi

    ',...) i unitatea de m sur (Ui, Ui ',...):

    :505,...;'

    ',:...'' dmmlU

    xX

    U

    xXUXUXx

    i

    ii

    i

    iiiiiii

    ,...)50,5 dm

    l

    m

    l .

    (1.1.4)Principiul omogenit ii dimensionalese afl la baza studiului fenomenelor din Univers

    i a fost formulat n secolul trecut de c tre Fourier astfel:Rela ia fizic a unui fenomen are sens cnd este omogen dimensional, adic atunci cnd

    termenii ei au to i aceea i dimensiune.Ecua ia dimensional a unui fenomen, conform principiului omogenit ii dimensionale, sescrie:

    ...., 11

    n

    n

    i

    i xxxxx

    (1.1.5)

    Defini ie: Rela ie sau ecua ie matematic a unui fenomen este dependen afunc ional dintre valorile numerice ale m rimilor fenomenului.Pentru rela ia fizic implicit (1.1.1), rela ia matematic corespunz toare va fi:

    ,,...,;0,...,,,...,11111 kkknkk

    UAaUAaBBAAF

    .,...,111 nnnkkk UBbUBb

    (1.1.6)Propozi ie: Rela ia fizic a unui fenomen, omogen dimensional, se transform ntr-o

    rela ie matematic de aceea i structur , atunci cnd to i termenii ei se exprim formal cuaceea i unitate de m sur :

    n

    i

    ixx

    1

    , XU = in

    i

    iUX1

    ; Ui=U: XU =U

    n

    i

    iU

    1

    ,

    n

    i

    iXX

    1

    .

    Sau, n cazul general : .0,...,,,..., 11 nkk BBAAf

    (1.1.7)Principiul omogenit ii dimensionale are n vedere faptul c fenomenele fizice exist

    independent de con tiin a uman i ele nu depind de produsul gndirii omene ti, nspe ele nu depind de sistemele de unit i de m sur introduse de oameni.

    n analiza dimensional este necesar cunoa terea m rimilor fizice care determin unfenomen, adic cunoa terea func iei implicite (1.1.1).

    Obiectul analizei dimensionale este de a stabili structura rela iei fizice a fenomenului,cunoscnd m rimile care determin acel fenomen i efectund unele determin riexperimentale.

    Analiza dimensional dispune de dou metode de studiu: Rayleigh i Buckingham.

    Analiza dimensional i raporteaz ntotdeauna calculele sale la un sistem coerent deunit i de m sur .

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    10/177

    10

    Pentru exemplificarea celor dou metode ale Analizei dimensionale, se consider fenomenul curgerii fluidelor vscoase, descris de ecua ia de mi care Navier-Stokes i avndrela ia implicit (1.1.3).

    1.2 Metoda Rayleigh

    Conform metodei Rayleigh, rela ia fizic a unui fenomen se exprim echivalent cumonomul m rimilor fenomenului, numit i monomul lui Rayleigh:

    ,......0,...,,,..., 11 1111 Cbbaa:bbaaf nkk x

    nxk

    xk

    xnkk

    (1.2.1)

    unde C este constanta adimensional numit de individualizare a fenomenului, iarexponen ii(x1,...,xn)sunt necunoscu i i urmeaz s fie rezolva i.

    n aplicarea metodei se disting urm toarele etape:a) adoptarea sistemului de unit i de m sur pentru lucru, rezolvarea dimensiunilor

    m rimilor fenomenului i eviden ierea unit ilor i m rimilor fundamentale alesistemului de unit i ce apar n fenomenul studiat : ;0t,p,g,l,v,,f

    smskgmp,msgmlmsvkgm:IS ,,,,,.. 1221213

    ;t,l,msm,kg,;st (1.2.2)

    b) scrierea monomului lui Rayleigh:

    ;Ctpglv xxxxxxx 7654321

    (1.2.3)

    c) scrierea ecua iei dimensionale a fenomenului :

    ;07654321 Ctpglv xxxxxxx (1.2.4)

    d) aplicarea principiului omogenit ii dimensionale pentru scrierea sistemului liniar i omogen al exponen ilor (x1, ...,xn) i determinarea solu iei acestuia.n principiu, dac num rul m rimilor fundamentale ale sistemului de unit i n care seopereaz i care apar n fenomenul studiat este k, atunci num rul ecua iilor sistemuluiliniar i omogen al exponen ilor scrise cu ajutorul principiului omogenit ii dimensionaleeste egal cu k- cte o ecua ie pentru fiecare unitate de m sur fundamental ; cum num rulm rimilor fenomenului este kn , rezult c sistemul liniar i omogen al celor kecua ii cun necunoscute este nedeterminat, adic el poate rezolva cei k exponen i ai m rimilor

    fundamentale n func ie de restul (n-k) exponen i ai m rimilor derivate.Pentru fenomenul studiat rezult :

    ;01221213 7654321 Cssmskgmmsmmskgm xxxxxxx .kg 02223x 7654265432151 Csm xxxxxxxxxxxx

    Pentru ca membrul nti s fie adimensional, a a cum reclam membrul al doilea, estenecesarca exponen ii unit ilor de m sur fundamentale s fie nuli:

    ,051 xx:kg

    ,023: 654321 xxxxxxm (1.2.5)

    .022 76542 xxxxx:s

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    11/177

    11

    Evident, sistemul liniar i omogen al celor trei ecua ii cu apte necunoscute estenedeterminat; n afar de solu ia banal ,

    ,xxxxxxx 07654321

    care nu convine problemei fizice, sistemul poate admite i solu ii nenule, i anumenum rul necunoscutelor principale care pot fi rezolvate este egal cu rangul matricei

    coeficien ilor sistemului. Deci: v l g p t v l

    x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x1 x2 x3

    :1

    010

    113

    001

    ,

    1122010

    0211113

    0010001

    321 ,, xxx principale 7654 ,x,x,xx secundare;

    ;xxxx,xxxxx,xx 76437654251 22 (1.2.6)

    e) scrierea ecua iei fizice finale a fenomenului:

    C;tpglv xxxxxxxxxxxx 765476476545 22

    C;l

    vt

    vlv

    p

    v

    gl xxxx

    7654

    22

    ;,,,,2

    27654

    l

    vtS

    vlRe

    v

    pEu

    gl

    vFrCSReEuFr

    xxxx

    (1.2.7.)f) determinarea experimental a constantei adimensionale de indivizualizare i, eventual, a

    unor exponen i r ma i nerezolva i.Se realizeaz un sistem fizic prin care curge un fluid vscos n regim laminar (o conduct , ofrontier plan etc) i, cu ajutorul unei tehnici de m surare corespunz toare, se m soar m rimile fizice ale fenomenului, valorile numerice ale acestora exprimndu-se cu ajutorulunit ilor de m sur fundamentale ale unui sistem coerent de unit i de m sur : .,,,,,,: 1221213 sttsmskgmppmsggmllmsvvkgmSI

    Se scrie i ecua ia matematic cosespunz toare acestor prime m sur ri:

    .7654 CSeRuErF xxxx

    Prin logaritmare, se ob ine o ecua ie liniar n necunoscutele 7654 ,,, xxxx i :lgC

    .lglglglglg CSxRe'xuExrFx 7654

    Pentru rezolvarea celor cinci necunoscute sunt necesare minimum cinci determin ri:,lglglglglg 7654 CSxeRxuExrFx

    ,lglglglglg 7654 CSxeRxuExrFx

    ,lglglglglg 7654 CSxRexEuxFrx iviviviv

    .lglglglglg 7654 CSxRexEuxFrx vvvv

    Cu ajutorul celor cinci determin ri se poate ob ine o estima ie a celor cinci necunoscute.Pentru o estima ie ct mai apropiat de adev ratele valori ale necunoscutelor, este necesarun num r mare de determin ri, iar solu iile acestora se ob in prin metode statistice.

    1.3 Metoda Buckingham (teorema )

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    12/177

    12

    1.3.1 Principiul metodei

    Teorema : Rela ia fizic a unui fenomen, depinznd de n m rimi fizice i fiindomogen dimensional, este ntotdeauna echivalent cu o rela ie ntre (n-k) complec iadimensionali, corespunz tori celor (n-k) m rimi derivate, astfel:

    ).(,...,1,,0,...,0,...,,,...,1

    11 1knjab:bbaaf

    k

    i

    x

    ijkbbbnkkij

    j+knk

    (1.3.1)

    Propozi ie: Complexul adimensional corespunz tor unei m rimi fundamentale este egalcu unitatea.Prin extinderea rela iei complexului adimensional al unei m rimi derivate, se scrie expresiacomplexului adimensional al unei m rimi fundamentale ai, iar apoi se aplic acestuia

    principiul omogenit ii dimensionale. Rezult :

    aaaaaa kk

    i

    i

    i

    i

    i

    iii

    xxxxxa ;......

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    ;...... 11

    1

    1

    1

    11

    1 kk

    i

    i

    i

    i

    i

    i

    xxxxxa aaaaa

    .1,......0...1... 00 100

    101111 iii akiiakiii aaaaa:xxxxx

    (1.3.2)Alegerea m rimilor fundamentale pentru un fenomen fizic se poate face n dou moduri:

    a) m rimile fundamnetale ale fenomenului se aleg chiar m rimile fundamentaleale sistemului de unit i n care se opereaz i care apar n fenomenul studiat;

    b) m rimile fundamentale ale fenomenului se aleg independente de m rimile fundamentaleale sistemului de unit i n care se opereaz . Se men ioneaz c este suficient ca cel

    pu in o m rime aleas s fie derivat n acest sistem de unit i, pentru ca sistemulm rimilor adoptate s fie considerat independent.

    M rimile fundamentale independente adoptate trebuie s ndeplineasc urm toarele dou condi ii:

    ) s fie independente dimensional, adic dimensiunile celor k m rimifundamentale independente adoptate trebuie s se exprime cu k unit i de m sur fundamentale, iar dimensiunile oric ror dou m rimi fundamentale alese trebuie s difere

    prin cel pu in o unitate de m sur fundamental ;) num rul m rimilor fundamentale independente alese este astfel nct

    dimensiunile acestora s asigure exprimarea dimensiunilor m rimilor derivate ale aceluia ifenomen.

    n mecanica fluidelor, se aleg ca m rimi fundamentale independente o caracteristic fizic a fluidului (), precum i o m rime cinematic (v(g)) i una geometric (d(A)) alecurentului, astfel:

    (,v, d(A)) - pentru curen i n cazul general;(,g, d(A)) - pentru curen i n curgere n cmpul gravita ional;

    (,n, d(A)) - pentru curen i n curgere prin ma inile hidraulice centrifugale.

    1.3.2 Procedee de aplicare a metodei Buckingham

    Pentru fiecare din cele dou moduri de alegere a m rimilor fundamentale ale unui fenomen exist cte unprocedeu de aplicare a metodei Buckingham; n plus, mai exist i un al treilea procedeu numit matricial, avndla baz teoria sistemelor de ecua ii algebrice liniare i omogene.Cele trei procedee se exemplific pe acela i fenomen al curgerii fluidelor vscoase n regimul

    laminar.

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    13/177

    13

    1 Procedeul care adopt m rimile fundamentale ale fenomenului independente dem rimile fundamentale ale sistemului de unit i n care se opereaz

    Procedeul comport urm toarele etape :a) alegerea sistemului de unit i de m sur pentru lucru, rezolvarea dimensiunilor

    m rimilor fenomenului i eviden ierea unit ilor i m rimilor fundamentale alesistemului de unit i n care se opereaz ce intervin n fenomenul studiat. ,,,,,,.. 1221213 smskgmpmsgmlmsvkgm:IS

    ;,t,l,ms,m,kg;st

    b) adoptarea m rimilor fundamentale independente cu respectarea celor dou condi ii: ;,,,t,,p,gl,v, tpg

    (1.3.3)c) scrierea complec ilor adimensionali corespunz tori m rimilor derivate ale

    fenomenului:

    ;,,, 342414332313322212312111 xxx

    txxxxxx

    pxxx

    g lvtlvlvplvg (1.3.4)

    d) aplicarea metodei Rayleigh pentru rezolvarea complec ilor.Se scriu mai nti ecua iile dimensionale ale complec ilor adimensionali:

    ,,, 332313322212312111 000 xxxxxxpxxxg lvlvplvg

    ;3424140 xxxt lvt

    ,, 322212312111 132101320 xxxpxxx

    g mmskgmskgmmmskgmms

    ;, 342414332313 13013120 xxxtxxx

    mmskgmsmmskgmsm

    ,, 22322212122131211111 231102310 xxxxxpxxxxxg smkgsmkg

    ., 24342414142333231313 1301320 xxxxxtxxxxx smkgsmkg Rezult sistemele de ecua ii liniare i omogene:

    ;02,031,0 2131211111 xxxxx

    ;02,031,01 2232221212 xxxxx

    ;01,032,0 2333231313 xxxxx

    .01,03,0 2434241414 xxxxx

    Solu iile acestor sisteme sunt:;12131,2,0 2111312111 xxxxx

    ;023131,2,1 2212322212 xxxxx

    ;11232,1,0 2313332313 xxxxx (1.3.5)

    .13,1,0 2414342414 xxxxx

    Complec ii adimensionali ai fenomenului vor fi:,,,

    1110021120 RelvEulvpFrlvg pg

    .110 Slvtt

    (1.3.6)e) scrierea ecua iei complec ilor adimensionali i rezolvarea necunoscutelor problemei:

    ,0,,,' 11 SReEuFr .0,,, SReEuFr (1.3.7)

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    14/177

    14

    Comparat cu monomul lui Rayleigh, rezult :

    .0,,, 7654 CSReEuFrSReEuFr xxxx

    n sfr it, n func ie de datele i necunoscutele problemei, din ecua ia complec ilor adimensionali, serezolv , succesiv, complec ii fenomenului:

    .,,,,,,,,,,, ReEuFrSSEuFrReSReFrEuSReEuFr

    SREF

    (1.3.8)

    2 Procedeul care adopt ca m rimi fundamentale pentru fenomen chiar m rimilefundamentale ale sistemului de unit i n care se opereaz i apar n fenomen

    a) adoptarea sistemului de unit i de m sur pentru lucru, determinareadimensiunilor m rimilor fenomenului i eviden ierea unit ilor i m rimilorfundamentale ale sistemului de unit i ce apar n fenomenul studiat.

    ,smskgmpmsgm,lmsvkgm:IS -- 1221213 ,,,,..

    ;t,l,ms,m,kg:st

    b) adoptarea m rimilor fundamentale ale fenomenului:);m,t,l(

    c) scrierea ecua iei matematice a fenomenului cu valorile numericecorespunz toare unit ilor de m sur fundamentale:

    ;0),,,,,,( tpglvf

    ;,,,,,, 1221213 sttsmskgmppmsggmllmsvvkgm (1.3.9)

    d) schimbarea unit ilor de m sur fundamentale cu submultiplii sau multipliiacestora, determinarea noilor valori numerice ale m rimilor fenomenului, corespunz toarenoilor unit i, i rescrierea ecua iei matematice cu noile valori numerice.Pentru mas , lungime i timp se adopt noile unit i:

    ,'K

    kg'kg,

    T

    s=s,

    L

    mm

    (1.3.10)

    unde L , T i K sunt numerele care modific unit ile de m sur fundamentale nmultiplii sau submultiplii acestora, putnd lua valorile:

    .K',T'=,T'=,L'=

    ,,,,,,,, 32132121632110106010

    Se rezolv unit ile de m sur fundamentale cu rela iile precedente :.'kg'Kkg,s'T'=s,'m'Lm

    Valorile numerice ale m rimilor fenomenului corespunz toare noilor unit i vor fi:

    ;''':

    '''

    ''

    ;33333 LK

    mgk

    LK

    mgk

    mkg

    ;T

    Lv='v:

    s

    m

    T

    Lv

    s

    m'v

    s

    mvv

    ;Ll=l':mLlm'lmll

    ;T

    Lg=g':

    s

    m

    T

    Lg

    s

    mg'

    s

    mgg=

    22222

    (1.3.11)

    ;TL

    K'p=p':

    m's'

    kg'

    TL'

    K'p

    m's'

    kg'p'

    ms

    kgpp=

    22222

    ;22222

    TL=:

    sm

    TL

    sm

    sm

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    15/177

    15

    '.Tt't:'s'Tt's'tstt

    Se rescrie ecua ia matematic a fenomenului cu noile valori numerice:

    ;0,,,'

    ,,,,0,,,,,,2

    223

    Tt

    T

    L

    TL

    Kp

    T

    LgLl

    T

    Lv

    L

    Kftpglvf (1.3.12)

    e) eliminarea numerelor L, T i K din ultima ecua ie matematic a fenomenului,deoarece fenomenul fizic nu depinde de unit ile de m sur ; n consecin , pentru acestenumere trebuie g sit o solu ie n interiorul fenomenului, dependent deci de m rimilefenomenului. De asemenea, n scopul ob inerii complec ilor adimensionali n formaconsacrat , dat de primul procedeu, n noua rela ie matematic a fenomenului se egaleaz cu unitatea, cnd se ob ine o dezvoltare mai facil a calculelor, sau cu o constant oarecarenoile valori numerice ale m rimilor fizice care pot fi adoptate fundamentale independente

    pentru fenomen :

    ;1''

    '

    '

    ',1'''

    3 Ll

    T

    Lv

    L

    Klv

    (1.3.13)din acest sistem se rezolv numereleL,T, K:

    ;1'

    ','',1

    '3

    3

    l

    LK

    l

    vLvT

    lL

    (1.3.14)

    ,

    1,

    1,

    1 12

    2

    2

    2

    32

    1

    2

    2

    2 Re

    v

    l

    lT

    LEu

    v

    ll

    lp

    TL

    KpFr

    v

    l

    lg

    T

    Lg

    ;Sl

    vtTt

    f) scrierea ecua iei finale a fenomenului i rezolvarea necunoscutelor problemei:

    .SRe,Eu,Fr,,SReEuFrf 00,,,,1,1,1 11 (1.3.15)

    3 Procedeul matriceal

    n procedeul matriceal, complec ii adimensionali ai fenomenului se exprim printr-o formul unic , ianume prin monomul tuturor m rimilor fenomenului, similar monomului lui Rayleigh :

    :0),...,(0,,,,, 111 nk bbnkk bbaaf

    k),-(n,...,=jbbaa= njjkkjj

    jk

    xn

    x

    kx

    kx

    b 1,...... )1(1

    11

    (1.3.16)rela ie n care urmeaz s fie rezolva i exponen ii m rimilor pentru complec iifenomenului.

    Principiul procedeului const n faptul c , din aceast rela ie unic , se ob incomplec ii

    adimensionali ai fenomenului dac , succesiv, se egaleaz cu unitatea exponentul m rimiiderivate c reia i se scrie complexul i cu zero exponen ii restului m rimilor derivate:

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    16/177

    16

    ....1,0...

    ;...0...,11

    1

    111

    1

    111

    1111)2(1)1(

    nx

    kx

    bk-nnknnknk

    kx

    kx

    bnkk

    baa:xxx:knj

    baa=:xxx:=j

    knkkn

    n

    k

    k

    Se reia fenomenul curgerii fluidelor vscoase n regimul laminar.

    Se disting urm toarele etape n aplicarea procedeului matriceal :a) adoptarea sistemului de unit i de m sur , rezolvarea dimensiunilor m rimilor

    fenomenului i eviden ierea unit ilor i m rimilor fundamentale ale sistemului deunit i ce apar n fenomenul studiat.

    ;t,p,g,lv,,f 0

    ,,,,,,.. 1221213 smskgmpmsgmlmsvkgm:IS

    ;m,t,lkg,s,m:st

    b) scrierea monomului rela iei unice a complec ilor adimensionali :

    ;4,1,7654321 jtpglv jjjjjjj xxxxxxx

    (1.3.17)c) alc tuirea matricei dimensionale a variabilelor n urm toarele trei faze :) se nscriu n linie m rimile fizice ale fenomenului, scriind n primele pozi ii m rimile

    care pot fi adoptate fundamentale independente pentru fenomen;) la stnga liniei anterior formate, n coloan i ntr-o ordine indiferent , se nscriu

    unit ile de m sur fundamentale ale sistemului de unit i ce apar n fenomenul studiat;

    ) pe coloana fiec rei m rimi fizice din linie, se nscriu exponen ii dimensionali aiunit ii eide m sur :

    v l g p t

    jx1 jx2 jx3 jx4 jx5 jx6 jx7

    ;

    0010001

    1122010

    0211113

    A

    -

    kg

    s

    m

    (1.3.18)d) alc tuirea vectorului coloan al necunoscutelor reprezentate de exponen ii nxx,...,1 ai

    m rimilor din expresia unic a complec ilor :

    ;

    x

    x

    x

    x

    xx

    x

    X

    j

    j

    j

    j

    j

    j

    j

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    (1.3.19)e) scrierea sistemului omogen al necunoscutelor ca produs ntre matricea dimensional a

    variabilelor i vectorul coloan al necunoscutelor :

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    17/177

    17

    ;=

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    -

    AX

    j

    j

    j

    j

    j

    j

    j

    0

    0010001

    1122010

    0211113

    ,0

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    ,023 654321 jjjjjj xxxxxx

    ,022 76542 jjjjj xxxxx

    (1.3.20)

    .051 jj xx

    n continuare, se arat c acela i sistem se ob ine i prin aplicarea metodei Rayleigh expresiei unice acomplec ilor, ceea ce justific principiul i valabilitatea procedeului matriceal:

    ;76543210 jjjjjjjjk

    xxxxxxxb tpglv

    ;7654321 12212130 jjjjjjjjk

    xxxxxxx

    b ssmskgmmsmmskgm

    ;7654265432151 22230 jjjjjjjjjjjjjjk

    xxxxxxxxxxxxx

    b smkg

    ;022,023,0 7654265432151 jjjjjjjjjjjjj xxxxxxxxxxxxx

    f) pe baza analizei rangului matricei dimensionale a variabilelor, se stabilesc necunoscuteleprincipale i secundare, respectiv m rimile fundamentale i derivate, cunoscnd c necunoscutelor principale din sistemul necunoscutelor le corespund n fenomenul fizicm rimile fundamentale c rora aceste necunoscute le sunt exponen i n expresia unic acomplec ilor, iar necunoscutelor secundare le corespund m rimile derivate.

    Pentru fenomenul analizat rezult :

    .k,

    -

    xxx

    lv

    jjj

    31

    001

    010

    113

    321

    (1.3.21)Necunoscutele principale sunt deci ,,x,xx jjj 321 corespunz toare coloanelor cu care s-a format

    determinantul ; aceste necunoscute sunt exponen ii m rimilor l,v, care vor fi pentru

    fenomenul fizic m rimi fundamentale independente : .lv,,-,x,xx jjj 321

    Necunoscutele r mase ,x,x,xx jjjj 7654 vor fi secundare, iar m rimile t,p,g, vor fi derivate

    i, conform teoremei , acestora le corespund complec ii adimensionali :,,, tpg

    .,,,,7654 tpgjjjj tp,g,-,x,x,xx

    De aici recomandarea de a nscrie n primele pozi ii ale liniei matricei dimensionale m rimilefizice care pot fi adoptate fundamentale independente, n scopul facilit rii analizei ranguluimatricei;

    g) scrierea sistemului necunoscutelor principale i determinarea solu iei acestuia ::22,23,

    7654265432151 jjjjjjjjjjjjj

    xxxxxxxxxxxxx

    jjjjjjjjjjjjj xxxxxxxxxxxxx 6542137654251 23,22, (1.3.22)

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    18/177

    18

    ;xxxx2xxxxx2x2x3 j7j6j4j6j5j4j7j6j5j4j5

    h) alc tuirea matricei solu iei exponen ilor complec ilor adimensionali aifenomenului i scrierea expresiilor acestora, astfel:) se rescrie linia m rimilor fenomenului;) la stnga acestei linii, se nscriu, n coloan i ntr-o ordine indiferent ,

    complec ii adimensionali ai fenomenului;) pe linia unui complex adimensional oarecare, se nscriu valorile necunoscutelor astfel:

    necunoscuta secundar corespunz toare m rimii derivate la care se refer complexul se iaunitatea, iar restul necunoscutelor secundare se iau zero; valorile necunoscutelor principale sedetermin cu solu ia sistemului acestor necunoscute, folosind valorile necunoscutelorsecundare adoptate pentru acest complex:

    ;

    1000110

    0100110

    0010021

    0001120

    7654321

    t

    p

    g

    jjjjjjj xxxxxxx

    tpglv

    ;,,, 11112112

    StvlRelvEupvFrglv tpg (1.3.23)

    i) scrierea ecua iei complec ilor adimensionali i rezolvarea necunoscutelor problemei:

    .0,,,,0,,,,0,,, 11 SReEuFrSReEuFrtpg (1.3.24)

    2 METODA SIMILITUDINII

    2.1 Similitudine geometric , cinematic i dinamic , similitudinetotal i par ial

    n tiin , fenomenele fizice pot fi studiate att prin metode teoretice ct i prin metodeexperimentale. De i Newton abordeaz problema similitudinii nc din 1687, numai n 1869Froude i n 1883 Reynolds folosesc similitudinea ca metod de cercetare a fenomenelorfizice.

    Prin similitudine se studiaz dou fenomene fizice din aceea i clas , descrise deci deacelea i rela ii fizice, ns evolund la sc ri diferite.

    Cercet rile experimentale se realizeaz att pe fenomene la scara lor din natur , numite i prototipuri, precum i pe fenomene modificate la scar , numite modele.

    Defini ie: Modelul este obiectul modificat la scar pe baza asem n rii sau similitudiniigeometrice cu prototipul.Conform similitudinii geometrice, fiec rui punct de pe prototip i corespunde un singur punct

    pe model i reciproc (coresponden biunivoc ), numite puncte corespondente sauomoloage. Punctele corespondente determin linii, suprafe e sau volume corespondente sauomoloage (elemente corespondente).Similitudinea geometric este caracterizat de raportul de asem nare constant, precum i deegalitatea unghiurilor n elementele corespondente.

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    19/177

    19

    Pentru fenomenele variabile n timp se define te i no iunea de timpi omogeni.Defini ie: Timpi omogeni sunt timpii n care pe prototip i pe model au loc frac iuni

    similare din evolu ia fenomenelor asemenea variabile n timp.Pentru realizarea similitudinii totale sau complete este necesar ca, pe lng similitudinea

    geometric dintre prototip i model, s se realizeze i similitudinea cinematic i

    dinamic a tuturor m rimilor cinematice i dinamice care apar n dou fenomene asemenea.

    2.2 Rela ia ordinului de m rime al derivatei unei m rimi fizice

    Se consider rela ia unui fenomen fizic exprimat prin derivata:

    ,,d

    dxfy

    x

    yz

    n

    n

    n care x, y i z sunt trei m rimi fizice ale unui aceluia i fenomen, i s se determinerela ia direct , primar , dintre aceste m rimi, echivalent cu cea diferen ial . Sedemonstrez c aceast rela ie nu depinde de tipul dependen eiy =f(x) i c deci, pentruexemplificare, ea poate fi considerat un monom de gradul n:

    .x

    ya,axy

    n

    n

    (2.2.1)Fie acum derivatele acesteia:

    .!,,11,,1, 21 anyaxinnnyaxnnynaxy nininn

    Cu acestea, rela ia fenomenului devine:

    ,x

    y!na!nz

    n

    iar pentru o dependen oarecare,y =f(x), rezult n general:

    .x

    ykz

    nn

    M rimea fizic zvariaz deci direct propor ional cu puterea nti a m rimii y i inverspropor ional cu puterea a n-a a m rimiix, scriindu-se simbolic:

    znx

    y .

    2.3 Sc ri, criterii de similitudine, ecua ie criterial , proprietateafundamental a asem n rii

    Defini ie:Scar a unei m rimi fizice din dou fenomene asemenea este raportul constantal valorilor ei numerice din elementele corespondente.

    n raport cu un sistem coerent de unit i de m sur , sc rile m rimilor fundamentalese numesc sc ri fundamentale, iar sc rile m rimilor derivate se numesc sc ri derivate.

    n SI sunt ase sc ri fundamentale, corespunz toare celor ase m rimi fundamentale,astfel:

    - scara lungimilor:

    ;z

    z

    y

    y

    x

    x,

    h

    h

    b

    b

    l

    l

    m

    n

    m

    n

    m

    n

    m

    n

    m

    n

    m

    n

    (2.3.1)- scara timpilor:

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    20/177

    20

    ;t

    t

    m

    n

    (2.3.2)- scara maselor:

    ;m

    m

    m

    n

    (2.3.3)- scara temperaturilor termodinamice:

    ;T

    T

    m

    n

    (2.3.4)- scara intensit ii curen ilor electrici:

    ;I

    I

    m

    n

    (2.3.5)- scara intensit ii luminoase:

    .I

    I

    vm

    vn

    (2.3.6)Sc rile m rimilor derivate se definesc cu ajutorul rela iilor de defini ie ale acestor

    m rimi i se noteaz cu majusculaK, avnd ca indice simbolul m rimii derivate la care serefer .Sc rile unor m rimi geometrice:

    - scara ariilor:

    ;; 2mm

    nn

    m

    nA

    bl

    bl

    A

    AKlbA

    (2.3.7)- scara volumelor:

    .; 3

    mmm

    nnn

    m

    nV

    hbl

    hbl

    V

    VKlbhV

    (2.3.8)Sc rile unor m rimi cinematice:

    - scara vitezelor:

    ;l

    t

    t

    l

    v

    vK;

    t

    lv

    m

    m

    n

    n

    m

    nv

    (2.3.9)- scara accelera iilor:

    .;2

    v

    m

    m

    n

    n

    m

    na

    K

    v

    t

    t

    v

    a

    aK

    t

    va

    (2.3.10)Sc rile unor m rimi dinamice:

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    21/177

    21

    - scara for elor:

    ;;2

    a

    mm

    nn

    m

    nF K

    am

    am

    F

    FKmaF

    (2.3.11)- scara lucrurilor mecanice:

    ;;2

    2

    F

    mm

    nn

    m

    nL K

    lF

    lF

    L

    LKFlL

    (2.3.12)- scara puterilor mecanice:

    .;3

    2

    L

    m

    m

    n

    n

    m

    nP

    K

    L

    t

    t

    L

    P

    PK

    t

    LP

    (2.3.13)Sc rile unor m rimi fizice din mecanica fluidelor:

    - scara densit ilor:

    ;,; 33

    K

    KmV

    VmK

    Vm

    Vm

    m

    n

    n

    m

    n

    (2.3.14)- scara greut ilor specifice:

    ;;2223

    g

    mm

    nn

    m

    n KKg

    gKg

    V

    mg

    V

    G

    (2.3.15)- scara viscozit ilor dinamice:

    ;,1

    1

    Avk

    lF

    l

    vAk

    F

    l

    vy

    vxyx

    ;122

    1

    1

    vA

    F

    mm

    mm

    nn

    nn

    m

    n

    KK

    K

    lF

    vAk

    vAk

    lFK

    (2.3.16)

    - scara viscozit ii cinematice:

    ;;23

    K

    KK

    mn

    n

    m

    n m

    (2.3.17)- scara debitelor volumice:

    ;;3

    V

    m

    m

    n

    n

    m

    nQ

    K

    V

    t

    t

    V

    Q

    QK

    t

    VQ

    (2.3.18)- scara presiunilor:

    .1

    ;222

    A

    P

    m

    m

    n

    n

    m

    np

    K

    K

    P

    A

    A

    P

    p

    pK

    A

    Pp

    (2.3.19)Regul :Scara unei m rimi derivate are structura similar rela iei fizice de defini ie a

    m rimii derivate la care se refer , n care ns m rimile fizice sunt nlocuite cu sc rile

    acestora.

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    22/177

    22

    Defini ie: Criterii sau invarian i de similitudine ai unui fenomen sunt complec iiadimensionali ai acelui fenomen, defini i conform teoremei a Analizei dimensionale.Criteriile de similitudine poart numele fizicienilor care le-au definit. n mecanica fluidelorclasic (ce studiaz curgerile vitezelor subsonice, v

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    23/177

    23

    .0,,,,,,: tpglvfgf

    2.4.1 Metoda Rayleigh

    Se scrie monomul lui Rayleigh:

    .7654321 Ctpglv xxxxxxx

    Rezolvat acest monom, se ob ine ecua ia criterial :

    .7654

    22 C

    l

    vt

    vlv

    p

    v

    gl xxxx

    Din aceasta, se definesc cele patru criterii de similitudine astfel:

    ,,,,2

    2

    Sl

    vtRe

    vlEu

    v

    pFr

    gl

    v

    cu care ecua ia criterial devine:

    .7654 CSReEuFr xxxx

    (2.4.1)

    2.4.2 Metoda Buckingham

    Se aleg ca m rimi fundamentale independente l,v, , restul t,,p,g sunt m rimilederivate ale fenomenului i, conform teoremei , criteriile de similitudine sunt tpg ,,, ,

    corespunz tor rela iilor:

    ,,2

    1

    2322212312111 Eu

    v

    plvpFr

    v

    gllvg

    xxxp

    xxxg

    ., 342414332313 1 Sl

    vtlvtRe

    vllv

    xxxt

    xxx

    Ecua ia criterial corespunz toare se scrie: .0,,,,0,,,,0,,, 11 SReEuFrSReEuFrtpg

    (2.4.2)

    2.4.3 Metoda sc rilor for elor fenomenelor asemenea

    For ele fenomenelor de curgere i fac echilibrul dinamic, conform principiului lui

    D'Alembert:.0 iFFPF

    a) Pentru for ele exterioare masice corespunz toare curgerii n cmpul gravita ionalrezult :

    .1,,,,;,22

    2

    2

    2

    g

    vg

    vgggF

    K

    KK

    KKKKKmgGFgf

    nlocuind apoi sc rile cu m rimile fizice corespunz toare, conform rela iilor dedefini ie ale acestora, rezult :

    ;,;222

    mn

    mm

    m

    nn

    n FrFrFrgl

    v

    lg

    v

    lg

    v

    (2.4.3)

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    24/177

    24

    b) For ele de presiune:

    ,,,,,; 22

    332

    2

    ppApP KKKVmKKKKpAP

    ;,,;1,2222

    2mn

    mm

    m

    nn

    n

    v

    ppv EuEuEu

    v

    p

    v

    p

    v

    p

    KK

    KKKK

    (2.4.4)c) Similar pentru for ele de frecare vscoas :

    ,,; 2

    2

    31

    vA

    vF

    KKKKK

    KKKKA

    l

    vkA

    l

    vAF

    ;,,,1,,2 mnm

    mm

    n

    nnvvvv ReReRe

    vllvlv

    K

    KKKKKK

    (2.4.5)d) n sfr it, pentru for ele de iner ie:

    ;1,;;2

    vvvFiKKK

    K

    t

    vmmaF

    i

    .SS,Sl

    vt,

    l

    tv

    l

    tvmn

    m

    mm

    n

    nn

    (2.4.6)

    2.4.4 Metoda invarian ei structurii ecua iei fenomenului cu scara acestuia

    Se scrie ecua ia matematic a fenomenului pe model:

    ,1

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    t

    v

    z

    v

    y

    v

    x

    v

    x

    pf xz

    xy

    xx

    xxxxx

    ,1

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    t

    v

    z

    v

    y

    v

    x

    v

    y

    pf

    yz

    yy

    yx

    yyyyy

    (2.4.7)

    .1

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    t

    v

    z

    v

    y

    v

    x

    v

    z

    pf zz

    zy

    zx

    zzzzz

    Se scrie de asemenea i ecua ia matematic a fenomenului pe prototip:

    ,1

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    t

    v

    z

    v

    y

    v

    x

    v

    x

    pf xz

    xy

    xx

    xxxxx

    ,12

    2

    2

    2

    2

    2

    zvv

    yvv

    xvv

    tv

    z

    v

    y

    v

    x

    vypf

    yz

    yy

    yx

    yyyyy

    (2.4.8)

    .1

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    t

    v

    z

    v

    y

    v

    x

    v

    z

    pf zz

    zy

    zx

    zzzzz

    Dar, valorile numerice ale m rimilor celor dou fenomene asemenea se afl n rela iilesc rilor acestor m rimi, astfel:

    ,K,z

    z

    y

    y

    x

    x,K

    p

    p,K,K

    f

    f

    f

    f

    f

    fpf

    z

    z

    y

    y

    x

    x

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    25/177

    25

    ;t

    t,K

    v

    v

    v

    v

    v

    vv

    z

    z

    y

    y

    x

    x

    ;1

    1

    1

    1

    ,1

    1

    1

    1

    1

    1

    K

    K

    z

    p

    z

    p

    y

    p

    y

    p

    K

    K

    x

    p

    k

    x

    pk

    x

    p

    x

    p

    pp

    ,111

    111

    2

    2222

    2222

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    v

    x

    x

    xxx

    xxx

    KK

    zyxvk

    zyxvk

    z

    v

    y

    v

    x

    v

    z

    v

    y

    v

    x

    v

    ;2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    v

    zzz

    zzz

    yyy

    yyy

    KK

    z

    v

    y

    v

    x

    v

    z

    v

    y

    v

    x

    v

    z

    v

    y

    v

    x

    v

    z

    v

    y

    v

    x

    v

    (2.4.9)

    ;,

    1

    1

    v

    z

    z

    y

    y

    v

    x

    x

    x

    x

    K

    t

    vt

    v

    t

    vt

    v

    K

    t

    vk

    t

    vk

    t

    vt

    v

    ,2

    1

    1

    v

    zyxx

    zyxx

    xz

    xy

    xx

    xz

    xy

    xx

    K

    z

    v

    y

    v

    x

    vvk

    z

    v

    y

    v

    x

    vvk

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    .2

    v

    zz

    zy

    zx

    zz

    zy

    zx

    y

    z

    y

    y

    y

    x

    y

    z

    y

    y

    y

    xK

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    Rela ia matematic a fenomenului pe prototip se scrie acum:

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    1

    z

    v

    y

    v

    x

    vKK

    x

    p

    K

    KfK xxxv

    pxf

    ,2

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    K

    t

    vK xz

    xy

    xx

    vxv

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    1

    z

    v

    y

    v

    x

    vKK

    y

    p

    K

    KfK

    yyyvpyf

    ,2

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    K

    t

    vK yz

    yy

    yx

    vyv

    (2.4.10)

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    1

    z

    v

    y

    v

    x

    vKK

    z

    p

    K

    KfK zzzv

    pzf

    .

    2

    z

    v

    vy

    v

    vx

    v

    v

    K

    t

    vK zz

    zy

    zx

    vzv

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    26/177

    26

    Deoarece fenomenul fizic nu depinde de scara acestuia, ecua ia sa trebuind s fieaceea i pe prototip i pe model, este necesar s se admit urm torul ir de rapoarte(factori) egale:

    54321

    .2

    2

    vvvp

    f

    KKKK

    K

    KK

    (2.4.11)n consecin , ecua iile prototipului se simplific cu ace ti factori i rezult ecua iile modelului; lund apoi cte dou din irul de rapoarte egale i prelucrndu-lecorespunz tor, se ob in rela iile criteriilor de similitudine i proprietateafundamental a acestora, astfel:

    :gf

    ;,,;1,:)51(22222

    mnmm

    m

    nn

    n

    g

    vvg FrFrFr

    gl

    v

    lg

    v

    lg

    v

    K

    KKK

    ;,,;1,:)52(2222

    2

    mn

    mm

    m

    nn

    n

    v

    pvp EuEuEuv

    p

    v

    p

    v

    p

    KK

    KK

    K

    K

    (2.4.12)

    ;,,;1,:)53(2

    2 mnm

    mm

    n

    nnvvv ReReRevllvlv

    K

    KKKK

    .,,;1,:)54(2

    mnm

    mm

    n

    nnvvv SSSl

    vt

    l

    tv

    l

    tvKKK

    2.5 Analiza criteriilor de similitudine

    Se studiaz propriet ile celor patru criterii de similitudine ale fenomenelor asemeneade curgere a fluidelor vscoase descrise de ecua iile Navier-Stokes.

    2.5.1 Criteriul Froude, Fr

    Criteriul modeleaz for ele masice din fenomenele asemenea de curgere i arerela ia de defini ie:

    .2

    gl

    vFr

    (2.5.1)

    Propriet i:a) Proprietatea fundamental :

    ;;22

    mm

    m

    nn

    nmn

    lg

    v

    lg

    vFrFr

    (2.5.2)

    b) n ipoteza c cele dou fenomene asemenea au loc n acela i punct geografic sau n locuri diferite ns avnd aceea i accelera ie gravita ional (pe o aceea i paralel ), rezult :

    .,,:2

    2

    2

    222

    m

    n

    m

    n

    m

    n

    m

    m

    n

    nmn

    v

    v

    l

    l

    v

    v

    l

    v

    l

    vgg

    (2.5.3)

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    27/177

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    28/177

    28

    c) Scara for elor de iner ie local este egal cu scara for elor de presiune:

    .,,,1

    ,1

    11ilFP

    ilm

    iln

    m

    n

    ilm

    m

    nil

    nm

    ilm

    mn

    iln

    n KKF

    F

    P

    P

    F

    P

    F

    PEu

    kF

    PEu

    kF

    P

    (2.5.12)

    2.5.3 Criteriul Reynolds

    Criteriul modeleaz for ele de frecare vscoas din fenomenele asemenea de curgere ieste definit de rela ia:

    .vl

    Re

    (2.5.13)

    Propriet i:a) Proprietatea fundamental :

    ;lvlv

    ,ReRem

    mm

    n

    nnmn

    (2.5.14)

    b) n ipoteza c fluidele din cele dou fenomene asemenea au aceea I viscozitate cinematic rezult :

    .v

    v,

    l

    l

    v

    v,lvlv:

    n

    m

    m

    n

    n

    mmmnnmn

    (2.5.15)

    Pentru fenomenele pe modele reduse la scar se ob ine:

    .,1,1, nmn

    m

    m

    nnm vv

    v

    v

    l

    lll

    (2.5.16)

    Pentru fenomenele pe modele m rite la scar rezult :

    .,1,1, nmn

    m

    m

    nnm vv

    v

    v

    l

    lll

    (2.5.17)

    Criteriul Re este deci avantajos pentru cercetarea experimental n cazul fenomenelor pe modele m rite lascar i este dezavantajos la fenomenele pe modele reduse.

    c) n aceea i ipotez c fluidele din fenomenele asemenea de pe prototip i de pe model au aceea iviscozitate cinematic , rezult i legea de similitudine Reynolds:

    .,,1

    : 2

    vmn

    K

    (2.5.18)

    d) Criteriul Re este direct propor ional cu for ele de iner ie local i este invers propor ional cufor ele de frecare vscoas .

    ,:, 111

    221

    12

    122

    1 Rekvl

    kvlk

    vlk

    F

    Fvlkl

    l

    vkA

    l

    vAFvlkF ilil

    .1

    1 F

    F

    kRe il

    (2.5.19)

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    29/177

    29

    e) Scara for elor de iner ie local este egal cu scara for elor de frecare vscoas :

    .,,:, 11

    FF

    m

    n

    ilm

    nil

    m

    ilm

    n

    ilnm

    m

    ilmn

    n

    iln KKF

    F

    F

    F

    F

    F

    F

    FRek

    F

    FRek

    F

    Fil

    (2.5.20)

    2.5.4 Criteriul Strouhal

    Acest criteriu modeleaz for ele de iner ie din fenomenele asemenea de curgerevariabile n timp, avnd rela ia de defini ie:

    .l

    vtS

    (2.5.21)

    Deoarece n tehnic fenomenele variabile n timp sunt de regul periodice, acest criteriu se mai nume te icriteriul de periodicitate:

    .nl

    vS,nf;

    fl

    vS,

    f

    1T;

    l

    vTS,Tt

    (2.5.22)

    Propriet i:a) Proprietatea fundamental :

    ;l

    tv

    l

    tv,SS

    m

    mm

    n

    nnmn

    (2.5.23)

    b) Criteriul Seste invers propor ional cu for a de iner ie local i este direct propor ional cu for a deiner ie convectiv .

    :,

    2

    111l

    vmklvkmv

    lvmvmaF

    tvkm

    tvmmaF cicilil

    .1

    ,1

    11

    1

    2

    1

    il

    ic

    il

    ic

    F

    F

    kSSk

    l

    vtk

    t

    vmk

    l

    vmk

    F

    F

    (2.5.24)

    c) Scara for elor de iner ie local este egal cu scara for elor de iner ieconvectiv :

    .,,,, 11 icil FFilm

    iln

    icm

    icn

    ilm

    icm

    iln

    icnm

    ilm

    icmn

    iln

    icn KKF

    F

    F

    F

    F

    F

    F

    FSk

    F

    FSk

    F

    F

    (2.5.25)

    2.5.5 Concluzii

    ) Din analiza criteriilorFr iRea rezultat:

    Criteriul IpotezaModelul

    Redus, 1 M rit, 1 Fr mn gg vmvn

    Re mn vm>vn vm

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    30/177

    30

    ,KKKK:KK,KK,KK,KKiicilililil FFPFFFFFPFFF

    .F

    F

    F

    F

    P

    P

    F

    F

    im

    in

    m

    n

    m

    n

    m

    n

    (2.5.26)

    Dar, conform principiului lui D'Alembert, cele patru for e nu sunt independente, ele i fac echilibrul dinamic:.0 in FFPF

    n fenomenele de curgere total asemenea, datorit similitudinii geometrice, cinematice i dinamice, poligoanelefor elor sunt deci asemenea.

    ) n principiu, din condi iile de unicitate ale unui fenomen dat, se rezolv for ele masice, de frecarevscoas i de iner ie, cunoscndu-se accelera iacmpului poten ial masic, viscozitatea i viteza sauaccelera ia fluidului:

    .d

    d;;

    t

    vmamFA

    n

    vFgmF i

    (2.5.28)

    Considernd aceste for e ca independente, conform principiului lui D'Alembert, rezult for ele de presiune ca for e de nchidere a poligoanelor: .FFFP i

    (2.5.29)

    Criteriul Eu care modeleaz for ele de presiune din fenomenele asemenea de curgere este deci criteriulnedeterminant sau de nchidere, a a cum rezult i din ecua ia criterial a fenomenelor asemenea decurgere:

    .,,:0,,, SReFrEuSReEuFr E (2.5.30)

    2.6 Legea modelului

    Defini ie: Legea modelului pentru dou fenomene asemenea depinznd de n m rimi fizice este sistemulnedeterminat al celor (n-k) rela ii ntre sc ri, corespunz toare celor (n-k) criterii de similitudine din ecua iacriterial a fenomenelor, rela ii definite pe seama propriet ii fundamentale a asem n rii.

    Fie ecua ia fizic implicit a fenomenelor asemenea: 0,,,,, 11 nkk bbaaf

    i ecua ia criterial corespunz toare:

    .,,1,,0,,1

    1knjab

    k

    i

    x

    ijkbbbij

    jknk

    Proprietatea fundamental a asem n rii se scrie:

    ,,,1,1 knjmjk

    njk

    b

    b

    (2.6.1)

    care reprezint legea modelului. Utiliznd i rela ia unui criteriu oarecare definit conform teoremei ,legea modelului devine:

    .,,1,1,11

    1

    1 knjKK

    ab

    abk

    i

    x

    abk

    i

    x

    immjk

    k

    i

    x

    innjk

    ij

    ijk

    ij

    ij

    (2.6.2)

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    31/177

    31

    Deoarece n fenomen sunt n sc ri, corespunz toare celor n m rimi fizice ale fenomenului, iar legeamodelului con ine numai (n-k) rela ii ntre sc ri, rezult c sistemul legii modelului este nedeterminat; nconsecin , trebuie s se adopte diferen a: n-(n-k)=ksc ri, numite secundare, care mpreun cu cele (n-k)rela ii ale legii modelului s formeze un sistem determinat de necua ii cu nnecunoscute, capabil s rezolvecele n sc ri ale fenomenului. Sc rile determinate cu sistemul ecua iilor legii modelului se numesc sc ri

    principale.Se exemplific legea modelului pe fenomenul curgerii fluidelor vscoase n regim

    laminar, descris de ecua ia de mi care Navier-Stokes:

    .:.2

    2

    2

    2

    2

    2

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    t

    v

    z

    v

    y

    v

    x

    vpfconst zyx

    Sau ecua ia matematic n forma implicit , pentru curgerea n cmpul gravita ional: ,0,,,,,,: tpglvfgf

    fenomenul fiind descris de n =7 m rimi fizice, din care k =3 l,v, sunt m rimi fundamentaleindependente, iar restul, n-k =7-3 = 4 tpg ,,, , sunt m rimile derivate ale aceluia i fenomen.

    Ecua ia criterial a fenomenelor asemenea de curgere se scrie: 0,,, SReEuFr

    i legea modelului corespunz toare:

    .1m

    n

    m

    n

    m

    n

    m

    n

    S

    S

    Re

    Re

    Eu

    Eu

    Fr

    Fr

    (2.6.3)

    Folosind i rela iile de defini ie ale sc rilor, se ob in rela iile ntre sc ri:

    ,12

    22

    2

    mm

    m

    n

    nn

    mm

    m

    n

    nn

    m

    mm

    nn

    n

    m

    mm

    nn

    n

    tv

    l

    l

    tv

    lv

    lv

    p

    v

    v

    p

    v

    lg

    lg

    v

    .12

    2

    vv

    v

    p

    g

    v K

    K

    K

    KK

    K

    K

    K

    (2.6.4)

    Deoarece n fenomen apar apte sc ri, iar legea modelului con ine doar patrurela ii ntre sc ri, rezult c este necesar s se mai adopte trei sc ri secundare;aceast alegere se face dup cum urmeaz :

    Kg=1, atunci cnd cele dou fenomene asemenea evolueaz n acela i loc geografic sau n locuri diferitedar cu aceea i accelera ie gravita ional (pe o aceea i paralel );

    K=1, cnd fluidele din cele dou fenomene asemenea au aceea i densitate;K=1, dac fluidele din fenomenele asemenea au aceea i viscozitate cinematic ;- atunci cnd, pe considerente economice i fizice, se adopt o scar a lungimilor.

    Cu cele patru sc ri secundare se realizeaz 43

    4 C variante de alegere a sc rilor secundare astfel:,1,,1:,,1:,1: gg KKIIIKKIIKKKI

    .1,: KKIV g

    (2.6.5)

    Cu ajutorul variantelorII iIVse formeaz dou legi de similitudine total sau complet : ,0,,,: SReEuFrII

    ),,,,(,12

    2

    pgv

    vv

    v

    p

    g

    v KKKK

    K

    K

    KK

    K

    K

    K

    (2.6.6)

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    32/177

    32

    ;,1 KK

    ,0,,,: SReEuFrIV

    ),,,,(,12

    2

    KKK

    K

    K

    K

    KK

    K

    K

    Kpv

    vv

    v

    p

    g

    v

    (2.6.7)

    .1, KKg

    Legea de modelare IImodeleaz fenomenele asemenea avnd acela i fluid, ns evolund n locuri diferite,iar legea IVmodeleaz fenomenele asemenea care folosesc fluide diferite, dar care evolueaz n acela i locsau n locuri diferite dar cu aceea i accelera ie gravita ional .

    VarianteleI i IIIconduc la incompatibilitatea criteriilor de similitudine Fr i Re, datorit existen eisimultane a condi iilorKg=K=1; n consecin , cele dou variante nu pot realiza legi de similitudine total

    ci doar legi de similitudine par ial , dac se neglijeaz , alternativ, unul din criteriile incompatibile, atuncicnd for ele pe care acel criteriu le modeleaz sunt mici, neglijabile:

    ;0:0,: ii FFPFFFPFI

    ,0,, SReEu

    ),,,(,12 pv

    vv

    v

    pKK

    K

    K

    K

    KK

    K

    (2.6.8)

    ;,1 KK

    ;0:0,: ii FPFFFPFFIII

    ,0,, SEuFr

    ),,,(,12

    2

    pvv

    v

    p

    g

    v KKK

    KK

    K

    K

    K

    (2.6.9)

    .1,1, KKg

    LegeaIeste legea de modelare par ial a fluidelor u oare, iar legeaIIIpentru fluidele perfecte.

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    33/177

    33

    3 DEFINIREA FIZIC~ }I ANALITIC~ AREGIMURILOR DE CURGERE

    3.1 Experien a lui Reynolds

    n anul 1883, fizicianul englez Osborne Reynolds a dovedit teoretic i experimentalexisten a a dou regimuri distincte de curgere a fluidelor reale: laminar i turbulent.Standul utilizat arat ca n figura 3.1.1 i realizeaz doi curen i:

    Fig. 3.1.1

    - curentul lichidului studiat, care curge din rezervorul Rprev zut cu preaplinul Pn scopulrealiz rii unei mi c ri permanente, precum i tubul transparent din sticl T, avnddiametrul D i fiind prev zut la cap tul exterior cu robinetul r pentru reglarea vitezei de

    curgere a lichidului n tub;- curentul lichidului colorat sau al lichidului martor, cu ajutorul c ruia se vizualizeaz mi carea lichidului studiat, care curge din rezervorul Rprev zut cu robinetul r, tubul flexibilt i acul de sering as instalat n axa tubului transparent.

    Se deschide robinetul rstabilindu-se un curent al lichidului studiat prin tubul transparent,avnd viteza medie pe sec iune:

    2

    4, DA

    A

    QV

    i se deschide robinetul r stabilindu-se un curent al lichidului colorat n axa tubuluitransparent.

    n func ie de viteza medie pe sec iune a lichidului studiat n tubul transparent, se disting urm toarele

    st ri cinematice ale curgerii:a) la viteze reduse, inferioare unei viteze critice, crVV , care va fi definit ulterior, firul delichid colorat curge rectiliniu n axa conductei; aceasta dovede te c viteza lichidului studiateste situat n totalitate dup axa conductei i nu exist o component transversal aacesteia, mi carea lichidului fiind deci uniform .

    Defini ie:Regimul laminar este ansamblul st rilor de curgere a fluidelor n fire de curentrectilinii i paralele, fire ce determin straturi de fluid rectilinii i paralele avnd grosimeaegal cu dimensiunea moleculelor i care se mi c relativ unele fa de altele, iar nsuprafe ele de mi care relativ dintre aceste straturi apar eforturi rezistente de frecarevscoas , conform legii lui Newton, care consum din energia curentului.Regimul laminar exist pn la apari ia unei st ri critice.

    a

    b

    c

    v

    T

    Dr

    astRPh=const.

    Q0

    pa

    R'

    r'

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    34/177

    34

    b)Defini ie:Stare critic este starea de curgere a fluidelor la care, la o anumit vitez io anumit distan de sec iunea de ie ire din acul de sering , firul de lichid colorat dinrectiliniu devine sinuos ().

    Curgerea fluidelor n starea critic are loc datorit apari iei componentei transversale a vitezei lichiduluistudiat.

    Defini ie:Viteza critic , crV , este viteza fluidului studiat corespunz toare st rii critice decurgere.n continuare, la cre terea vitezei lichidului studiat peste viteza critic , crVV , lungimeazonei n care firul de lichid colorat mai curge rectiliniu scade, se anuleaz chiar la o anumit vitez i curge sinuos pe toat lungimea tubului ().De asemenea, crescnd i mai mult viteza lichidului studiat, la o anumit vitez i la oanumit distan de sec iunea de ie ire din acul de sering , firul de lichid colorat sinuosse destram i difuzeaz n lichidul studiat ().

    Defini ie:Stare limit este starea de curgere la care lungimea zonei n care firul de lichidcolorat mai curge sinuos tinde s se anuleze i dup care fluidul va trece ntr-un nou regimde curgere numit turbulent.

    Defini ie: Zon a tranzi iei este ansamblul st rilor de curgere a lichidului studiat,ncepnd cu starea critic , de trecere de la curgerea n fire de curent rectilinii i paralele lacurgerea n fire de curent sinuoase, i terminnd cu starea limit , n care dispare curgerea nfire de curent sinuoase i apare curgerea dezordonat generalizat .

    Mi carea transversal a particulelor fluidului studiat determin pierderi suplimentare din energiacurentului.

    c) Defini ie: Regimul turbulent este ansamblul st rilor de curgere n care fluidul curgedezordonat.

    Reynolds a repetat aceast experien n nc dou variante i anume: a men inut aceea i vitez afluidului studiat precum i fluidul i a folosit ns tuburi de diametre diferite, ntr-o a doua variant , i a

    p strat aceea i vitez i acela i diametru de tub, folosind ns lichide diferite, n cea de a treia variant .Aceste experien e l-au condus pe Reynolds la stabilirea unui raport adimensional al celor

    trei m rimi ,D,V , cu ajutorul c ruia s se poat aprecia analitic regimul de curgere afluidului, raport care a fost denumit ulterior criteriul Reynolds, i care are expresia:

    .VDVD

    Re

    (3.1.1)Pentru starea critic de curgere se define te o valoare critic a criteriului Re, n

    conformitate cu cele trei variante ale experimentului:

    .VDVDDV

    Recr

    crcrcr

    (3.1.2)Valoarea critic a criteriului, crRe , a fost determinat la valori foarte diferite, dependente, nafara m rimilor fizice din compunerea acestuia, i de condi iile de perturba ie aledesf ur rii experimentului.

    n raport cu valoarea critic a criteriului crRe , curgerea fluidului este n regim laminarpentru:

    ,ReRe cr

    (3.1.3)

    iar curgerea este n tranzi ie sau n regimul turbulent atunci cnd:

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    35/177

    35

    .ReRe cr

    (3.1.4)n zona tranzi iei, exist att elemente de curgere laminar ct i germeni ai curgerii turbulente, cele

    dou regimuri, laminar i turbulent, suprapunndu-se n aceast zon .

    3.2 Diagrama lui Reynolds

    n curgerea unui fluid real, energia specific total a curentului scade ntotdeaunan sensul curgerii:

    ,,122121 r

    heeee

    (3.2.1)unde

    12rh este pierderea de energie specific total sau pierderea de sarcin hidraulic

    a curentului ntre dou sec iuni ale acestuia.

    n principiu, pierderea de sarcin hidraulic a unui curent se exprim cu ajutorula dou componente:

    ,ldr hhh

    (3.2.2)

    undedh este pierderea de sarcin hidraulic distribuit n lungul curentului sau

    liniar , fiind direct propor ional cu lungimea curentului, iar lh este pierderea de

    sarcin hidraulic local din diferitele sec iuni ale curentului n care exist instalatea a-zisele rezisten e locale.

    Reynolds a dovedit c n regimul laminar pierderea de sarcin distribuit estepropor ional cu puterea nti a vitezei, iar n regimul turbulent cu o putere cuprins ntre 1,75 i 2:

    ., 2...75,1VchVch tdtldl

    (3.2.3)Reynolds a exprimat pierderile de sarcin hidraulic distribuit printr-o rela ie unic

    pentru cele dou regimuri de curgere cu ajutorul monomului:,bVh

    md

    (3.2.4)unde constanta b depinde de natura fizic a fluidului, de dimensiunile curentului i de stareade rugozitate a frontierei acestuia, iar exponentul m este func ie de regimul curgerii; areprezentat apoi acest monom n coordonate carteziene la sc ri logaritmice, fiind ast zicunoscut ca diagrama lui Reynolds:

    ;lglglg Vmbhd

    ,:lg,lg,lg nmXXVnbhd (3.2.5)

    unde m este deci coeficientul unghiular al dreptei, iar n este ordonata la origine.Se disting dou zone ale diagramei, corespunz toare celor dou regimuri de curgere

    (fig.3.2.1):- zona ABcorespunde regimului laminar de curgere:

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    36/177

    36

    Fig.3.2.1

    ;45:1tg lllm

    - zona BCapar ine regimului turbulent de curgere:

    .40,63...25,60:2...75,1tg tttm

    Diagrama Reynolds are aceea i form pentru toate fluidele, constanta b fiind ns diferit de la un fluid la altul i de la un curent la altul.

    l

    nl

    nt

    t

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    37/177

    37

    4 STUDIUL REGIMULUI LAMINAR DE CURGERE AFLUIDELOR

    4.1 Starea de tensiune ntr-un punct

    4.1.1 Ecua ia i tensorul tensiunilor

    ntr-un fluid real sau vscos n mi care laminar , se consider sistemul de fluid (), nacesta punctulM r i planulPcare trece prin punctulM, sec ionnd sistemul de fluid dup ariaAn dou diviziuni,I iII, iar n aria A i n jurul luiMse construie te elementul dearie dA, avnd normala exterioar pozitiv n pentru diviziuneaI (fig. 4.1.1).

    Fig. 4.1.1

    Ac iunea fluidului diviziunii ndep rtate IIasupra diviziunii re inute pentrustudiu I, la nivelul ariei dA, este for a de tensiune Td care, n cazul fluidelor reale, faceunghiul nenul cu normala n .

    Defini ie: Tensiunea sau efortul unitar ntr-un punct al unui fluid real n mi care esteraportul:

    .d

    d

    A

    Tpn

    (4.1.1)

    Conform principiului egalit ii ac iunii i reac iunii, egal i direct opus tensiunii np

    este tensiunea nip , reprezentnd reac iunea diviziunii studiateIasupra diviziunii ndep rtate

    II, conform rela iilor: .:0,,0 nnnininii pppppnnnn

    n general, tensiunea ntr-un punct al unui fluid real n mi care depindede punct, de orientarea suprafe ei asupra c reia se exercit i de timp:

    .t,n,rpp nn

    (4.1.2)

    (P)

    dA

    (A)

    Td

    np

    r

    nni

    nni pp n

    x

    0

    z

    y

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    38/177

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    39/177

    39

    .pppp zyxn

    (4.1.6)

    n aceast a doua form a ecua iei tensiunilor, tensiunea np este tot ntindere, iar tensiunile

    yx p,p i zp sunt acum compresiuni.La limit , cnd ,0,, zyx PM, ecua ia tensiunilor define te tensiunea n punctul Mdup direc ia n , n func ie de tensiunile asupra trei suprafe e reciproc ortogonale nM.

    n continuare, se proiecteaz ecua ia tensiunilor dup axele reperului :

    kpjpipkpjpipkpjpipkpjpip zzzyzxyzyyyxxzxyxxnznynx

    i rezult :

    zzyzxznzzyyyxynyzxyxxxnx pppp,pppp,pppp .

    Tensiunile (pxx, pyy ,pzz) sunt evident tensiuni normale pe fe ele tetraedrului, iar tensiunile (pyx,pzx, pxy, pzy, pxz, pyz) sunt tensiuni tangen iale, ac ionnd n planele fe elor particulei fluide

    tetraedrice.Tensiunile tangen iale se noteaz uzual cu , astfel:,p,p,p,p,p,p yzyzxzxzzyzyxyxyzxzxyxyx

    iar componentele tensiunii np se scriu acum:

    .pp,pp,pp zzyzxznzzyyyxynyzxyxxxnx (4.1.7)

    Regul pentru indicii dubli ai tensiunii tangen iale: primul indice arat normalasuprafe ei n care ac ioneaz acea tensiune, iar al doilea indic direc ia dup careac ioneaz aceea i tensiune.

    n sfr it, modulul i direc ia tensiunii sunt:

    ,222 nznynxn pppp

    (4.1.8)

    .,cos,,cos,,cosn

    nzn

    n

    ny

    nn

    nxn

    p

    pMzp

    p

    pMyp

    p

    pMxp

    (4.1.9)Teorema dualit ii (parit ii) tensiunilor tangen iale: tensiunile tangen iale pe

    dou suprafe e reciproc ortogonale sunt egale, orientate simetric fa de muchia deintersec ie a celor dou suprafe e i normale pe aceast muchie.

    Se consider o particul fluid paralelipipedic c reia i se scrie

    principiul lui DAlembert pentru rota ia fa de axa proprie Oz (fig. 4.1.3).

    ,0d2

    22

    2;0dd:

    zz

    yxyx

    xyxy J

    yxzy

    y

    xzyx

    xMiMeOz

    zzzzz iizyximiJ ,ddd 222 .z,y,x

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    40/177

    40

    Fig. 4.1.3

    Se neglijeaz i aici infini ii mici de ordin superior:

    ,22d22zyx

    J

    y

    xzyy

    x

    zyxx yxxyzzyxxy

    ,02

    2:0d22

    zyxJ

    yxzy

    y

    xzyx

    x yxxyzz

    yxxy

    .yxxy

    (4.1.10)Similar rezult pentru rota ia proprie fa de axele Ox i Oy:

    .:Oy,:Ox xzzxzyyz

    n concluzie, starea de tensiune ntr-un punct al unui fluid real n mi care

    laminar este complet determinat de tensorul de ordinul al doilea simetric, numit tensorultensiunilor, avnd matricea ata at :

    .p

    p

    p

    T

    zzyzxz

    zyyyxy

    zxyxxx

    (4.1.11)Defini ie: Presiune ntr-un punct al unui fluid real n mi care este media aritmetic a

    tensiunilor normale pe trei suprafe e reciproc ortogonale n acel punct:

    ,03

    zzyyxx ppp

    p

    (4.1.12)unde semnul minus s-a adoptat pentru a da presiunii sensul unei compresiuni.n cele ce urmeaz , se va ar ta c presiunea ntr-un punct al unui fluid real n mi care esteun invariant al st rii de tensiune, adic presiunea are aceea i valoare dup orice direc ie n din acel punct.

    4.1.2 Tensiuni principale i direc ii principale de tensiune

    Se descompune tensiunea np asupra bazei ABC a particulei fluide tetraedrice

    ntr-o component normal p i o alta tangen ial n planul bazei (fig. 4.1.2).

    Componenta normal p se determin proiectnd tensiunea np pe direc ia normalei :

    z1

    y1

    x101

    xy

    yxx

    y

    z

    0

    y

    x

    dJz

    yy

    yx

    yx

    xx

    xy

    xy

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    41/177

    41

    .:ddd nznynxnznynxn ppppAkjikpjpipnApAp Folosind i rela iile componentelor tensiunii np (4.1.7), se ob ine:

    ;pppp zzyzxzzyyyxyzxyxxx

    .222,, 222 zxyzxyzzyyxx pppp

    (4.1.14)Defini ie: Cuadric a tensiunilor dintr-un punct al unui fluid n mi care este locul

    geometric al extremit ii componentei normale p a tensiunii, atunci cnd direc ia n variaz .Pentru a determina cuadrica tensiunilor, se consider vectorul MQv situat pe normala n ial c rui modul se exprim cu modulul componentei nomale a tensiunii prin rela ia:

    ,1

    pv

    de unde se rezolv aceast component :

    .1,122

    vp

    vp

    (4.1.15)Punctul Q(x,y,z)are coordonatele :

    vz,vy,vx

    i cu acestea se rezolv cosinu ii directori ai normalei n :

    .v

    z,

    v

    y,

    v

    x

    (4.1.16)Pentru a rezolva acum cuadrica tensiunilor, se elimin cosinu ii directori ntre ultimele treirela ii:

    ;1

    ;222,,2

    222

    vppppp zxyzxyzzyyxx

    .v

    z,

    v

    y,

    v

    x

    Rezult :

    ;2221

    2222

    2

    2

    2

    2

    2

    2v

    zx

    v

    yz

    v

    xy

    v

    zp

    v

    yp

    v

    xp

    v zxyzxyzzyyxx

    ,1222,, 222 zxyzxyzpypxpzyxp zxyzxyzzyyxx (4.1.17)rela ia ce reprezint cuadrica tensiunilor.n forma canonic , fa de axele propriiMXYZ(fig. 4.1.4), ecua ia cuadricii se scrie:

    ,12

    32

    22

    1 ZYX (4.1.18)

    unde 1, 2,3, a a cum va rezulta, sunt tensiunile principale, iar MXYZeste reperul axelorprincipale de tensiune.

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    42/177

    42

    Fig. 4.1.4

    Pentru a determina tensiunile principale i direc iile principale de tensiune, serezolv extremele func ieip(,,), reprezentnd componenta normal a tensiunii, avnd nvedere c variabilele acesteia (,, ) nu sunt independente, acestea respectnd

    proprietatea fundamental a cosinu ilor directori.Pentru aceasta se utilizeaz metoda multiplicatorilor a lui Lagrange, rezolvnd extremelenecondi ionate ale func iei auxiliare echivalente:

    ;1,,,,, 222 p zxyzxyzzyyxx ppp 222,,,

    222

    .1222 (4.1.19)

    Condi iile necesare de extrem se scriu:

    ;0

    ,0,0,0 zzyzxzzyyyxyzxyxxx ppp

    .01222

    (4.1.20)

    Sistemul omogen al primelor trei ecua ii (4.1.20) admite pentru (,, ) i solu ii nenule,dac este ndeplinit condi ia:

    .0

    zzyzxz

    zyyyxy

    zxyxxx

    p

    p

    p

    (4.1.21)Ultima condi ie se nume te ecua ie caracteristic i ea rezolv multiplicatorii luiLagrange.Conform teoremei lui Kronecker, ecua ia caracteristic admite trei r d cini reale idistincte (1, 2, 3). Ecua ia caracteristic dezvoltat are expresia:

    ,0322

    13 III

    (4.1.22)unde coeficien iiI1, I2 iI3sunt da i de rela iile:

    ,1 zzyyxx pppI

    x

    X

    y

    1

    3

    2

    M

    Z

    Y

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    43/177

    43

    ,2222 zxyzxyxxzzzzyyyyxx ppppppI (4.1.23)

    .3

    zzyzxz

    zyyyxy

    zxyxxx

    p

    p

    p

    I

    Coeficien ii (I1, I2 i I3) ai ecua iei caracteristice sunt invarian ii st rii de tensiune dinpunctul curentM, deoarece, conform teoremei lui Kronecker, (1, 2, 3) reprezentnd solu iaunic a ecua iei caracteristice, rezult c ecua ia cuadricii tensiunilor punctului M esteunic n spa iu i deci coeficien ii ei (I1, I2, I3) trebuie s fie unici (adic constan i sauinvarian i).

    Se nmul e te acum sistemul omogen al primelor trei ecua ii ale sistemuluicondi iilor necesare de extrem (4.1.20) cu (, , ) i se adun :

    ,0222 222222 zxyzxyzzyyxx ppp .,,:,0,, 332211 ppppp

    (4.1.24)Acest rezultat atest faptul c r d cinile ecua iei caracteristice (1,2,3) sunt chiartensiunile principale.Se ordoneaz aceste tensiuni:

    .321

    (4.1.25)Pentru determinarea direc iilor principale, se reconsider sistemul condi iilor

    necesare de extrem (4.1.20) din care se rezolv cosinu ii directori (,,) astfel:

    :1,, 222 zyyyxyzxyxxx pp (4.1.26)

    .,

    yyxy

    yxxx

    xyzy

    xxzx

    yyxy

    yxxx

    zyxy

    zxxx

    yyxy

    yxxx

    zyyy

    zxyx

    yyxy

    yxxx

    yyzy

    yxzx

    p

    p

    p

    p

    p

    p

    p

    p

    p

    p

    p

    p

    Sau nc :

    .1, 222

    yyxy

    yxxx

    xyzy

    xxzx

    zyyy

    zxyx

    p

    pp

    p

    (4.1.27)

    n continuare, pentru determinarea direc iilor principale se introduc n aceste rela ii valorilemultiplicatorilor:

    :, 1MX

    ;1, 2

    12

    121

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    yyxy

    yxxx

    xyzy

    xxzx

    zyyy

    zxyx

    p

    pp

    p

    (4.1.28)

    :, 2MY

    ;1, 2222

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    yyxy

    yxxx

    xyzy

    xxzx

    zyyy

    zxyx

    p

    pp

    p

    (4.1.29)

    :, 3MZ

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    44/177

    44

    .1, 2

    323

    23

    3

    3

    3

    3

    3

    3

    3

    yyxy

    yxxx

    xyzy

    xxzx

    zyyy

    zxyx

    p

    pp

    p

    (4.1.30)

    4.2 Ecua

    ia de mi

    care Cauchy

    n cazul general, asupra unui sistem de fluid real n mi care laminar ac ioneaz for a exterioar masic F, for a de tensiune T la nivelul suprafe ei decontrol a sistemului, ca for exterioar de leg tur , i for a de iner ie iF (fig. 4.2.1),cele trei for e f cndu- i echilibrul dinamic, conform principiului DAlembert:

    Fig. 4.2.1

    .0dd

    dd,0

    t

    vTdfFTF i

    (4.2.1)

    Utiliznd rela ia de defini ie a tensiunii (4.1.1) i ecua ia tensiunilor (4.1.6), se rezolv for a de tensiune T:

    .dd,dd,,d

    d

    zyxnnzyxnn ppppTpTpppp

    Tp Dar:

    ,,, knjnikjiin iar for a de tensiune devine:

    .d

    kpjpipnT zyx

    Utiliznd formula integral a gradientului, for a de tensiune ia forma:

    dd

    kpjpipk

    zj

    yi

    xkpjpipT zyxzyx

    :d

    kkpjpip

    zjkpjpip

    yikpjpip

    x zyxzyxzyx

    .d

    z

    p

    y

    p

    x

    pT z

    yx

    (4.2.2)Ecua ia principiului lui DAlembert se scrie acum:

    0

    r

    iFd

    x

    y

    z

    Fd

    v

    a d

    d

    n

    Td n

    p

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    45/177

    45

    ,0dd

    ddd

    t

    v

    z

    p

    y

    p

    x

    pf z

    yx

    ,0d

    d:,0d

    d

    d

    t

    v

    z

    p

    y

    p

    x

    pf

    t

    v

    z

    p

    y

    p

    x

    pf z

    yxzyx

    ,1 vvt

    v

    z

    p

    y

    p

    x

    pf z

    yx

    (4.2.3)ultima ecua ie reprezentnd ecua ia de mi care Cauchy.n continuare, se proiecteaz ecua ia de mi care pe axele reperului:

    kjpi

    ykjip

    xkfjfif yzyyyxxzxyxxzyx

    1

    :kvjvivz

    v

    y

    v

    x

    vkvjviv

    t

    kpji

    z

    zyxzyxzyxzzzyzx

    ,1

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    t

    v

    zyx

    pf xz

    xy

    xx

    xzxyxxxx

    ,1

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    t

    v

    zy

    p

    xf

    yz

    yy

    yx

    yzyyyxyy

    (4.2.4)

    .1

    z

    vv

    y

    vv

    x

    vv

    t

    v

    z

    p

    yxf zz

    zy

    zx

    zzzyzxzz

    4.3Ecua ia constitutiv a fluidelor sau legea generalizat a lui Newton

    Ac iunea for elor exterioare asupra unui fluid n mi care estecaracterizat de c tre tensorul tensiunilor, iar r spunsul fluidului la aceast ac iuneconst n inducerea n interiorul acestuia a unor valori corespunz toare ale m rimilorcinematice i dinamice ale fluidului.

    Defini ie: Ecua ia constitutiv a unui fluid este dependen a func ional dintretensorul tensiunilor i tensorul vitezelor de deforma ie ai fluidului dintr-un acela i punct.

    1 La fluidele reale, omogene i izotrope n mi care laminar , cea mai simpl ecua ie constitutiv este dependen a liniar dintre tensorul tensiunilor i tensorulvitezelor de deforma

    ie dintr-un acela

    i punct:

    ,EbSaT

    (4.3.1)unde tensorii au expresiile:

    ,100

    010

    001

    ,,

    E

    sss

    sss

    sss

    S

    p

    p

    p

    T

    zzyzxz

    zyyyxy

    zxyxxx

    zzyzxz

    zyyyxy

    zxyxxx

    iar a i bsunt constante scalare ce urmeaz a fi determinate.Pentru dependen a liniar ntre tensorii T i S, scalarul a trebuie s fie

    independent de ace ti tensori, urmnd ca el s reprezinte o caracteristic fizic a fluidului.

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    46/177

    46

    Pentru calculul scalarului a, se consider mi carea uniform i permanent a unui lichidvscos, pe seama c reia s-a definit legea simpl a lui Newton (fig. 4.3.1). Rezult :

    Fig. 4.3.1

    .;0,z

    vvvzvv xzxzyxx

    Tensorul tensiunilor:

    00

    000

    00

    xz

    zx

    T

    .

    Tensorul vitezelor de deforma ie:

    ,2

    1

    2

    1

    ,02

    1

    ,0 z

    v

    sx

    v

    z

    v

    ssx

    v

    y

    v

    sx

    v

    s x

    xz

    zx

    zxxy

    yx

    yx

    x

    xx

    .00

    000

    00

    :0,02

    1,0

    xz

    zx

    zzzyz

    zyzy

    yyy

    s

    s

    Sz

    vss

    y

    v

    z

    vs

    y

    vs

    Ecua ia constitutiv va fi:

    ,

    100

    000

    001

    00

    000

    00

    00

    000

    00

    b

    s

    s

    a

    xz

    zx

    xz

    zx

    iar de aici rezult tensiunea:

    .2 z

    vaas xzxzx

    Folosind i expresia acestei tensiuni dat de legea simpl a lui Newton, se rezolv scalarula:

    .2:2

    a

    z

    va

    z

    v xx

    (4.3.2)Deoarece dependen a liniar ntre tensorii T i Seste realizat prin scalarul

    a, scalarul bpoate fi o func ie liniar de cel mult componentele tensorilor T, S iEsau de

    combina ii liniare ale acestor componente, iar n ipoteza fluidului omogen i izotrop scalarulb trebuie s fie i independent de st rile de tensiune i de deforma ie; n consecin ,

    z

    v zx

    dz

    z

    F

    zx

    -zx

    x

    g

    F

    O

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    47/177

    47

    ecua ia constitutiv liniar se mai poate ob ine nlocuid tensorii T, S iEcu invarian iiprincipali ai acestora, astfel:

    ,bIaII EST

    (4.3.3)

    unde invarian ii principali au expresiile:

    ,,3

    v

    z

    v

    y

    v

    x

    vsssIppppI z

    yxzzyyxxSzzyyxxT

    ,3111 EI

    (4.3.4)

    unde este viteza de deforma ie volumic .Ecua ia constitutiv scris cu invarian ii principali va rezolva acum scalarul b:

    .3

    2:323

    pbbp

    (4.3.5)Cu acestea, ecua ia constitutiv liniar se scrie acum:

    ,3

    22 EpST

    (4.3.6)

    ,

    100

    010

    001

    3

    22

    p

    sss

    sss

    sss

    p

    p

    p

    zzyzxz

    zyyyxy

    zxyxxx

    zzyzxz

    zyyyxy

    zxyxxx

    iar din aceast ecua ie rezult tensiunile:

    ;3

    22,

    3

    22,

    3

    22

    p

    z

    vpp

    y

    vpp

    x

    vp zzz

    yyy

    xxx

    .y

    v

    z

    v,

    x

    v

    z

    v,

    x

    v

    y

    vyz

    zy

    zyxzzx

    zxxy

    yxyx

    (4.3.7)

    Presiunea va fi:

    .2323

    1ppp

    (4.3.8)Presiunea ntr-un punct al unui fluid real este deci independent de viscozitatea fluidului.De asemenea, rezultatul ob inut justific introducerea semnului minus n rela ia de

    defini ie a presiunii (4.1.12).2 Pentru fluidele incompresibile i vscoase se ob ine:

    ;2,0,0:. EpSTvconst (4.3.9)

    ;pz

    v2p,p

    y

    v2p,p

    x

    v2p zzz

    y

    yyx

    xx

    .y

    v

    z

    v,

    x

    v

    z

    v,

    x

    v

    y

    vyz

    zy

    zyxzzx

    zxxy

    yxyx

    (4.3.10)

    3 Pentru fluidele ideale rezult similar:

  • 7/21/2019 Mecanica Fluidelor Aplicata an III

    48/177

    48

    ,:0 EpT

    (4.3.11).0, zyzxyxzzyyxx pppp

    (4.3.12)

    4.4 Ecua ia de mi care Navier-Stokes

    Pentru a determina aceast ecua ie, se folose te ecua ia de mi care Cauchyn care se introduc tensiunile date de ecua ia constitutiv .

    1 n cazul fluidelor reale, omogene i izotrope rezult :

    ,3

    22

    1x

    xzxyxxx vv

    t

    v

    x