Mecanica Fluidelor

248
Cristina HORA Mircea VEREŞ Hidraulică şi maşini hidraulice Vol. I Editura Universităţii din Oradea 2009

description

``

Transcript of Mecanica Fluidelor

Page 1: Mecanica Fluidelor

Cristina HORA Mircea VEREŞ

Hidraulică şi maşini hidraulice

Vol. I

Editura Universităţii din Oradea 2009

Page 2: Mecanica Fluidelor

CIP nr. 9495 / 14.05.2009 Referenţi: Prof.univ.dr.ing. Marcel Roşca Prof.univ.dr.ing. Dinu Mircea Fodor Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României HORA, CRISTINA

Hidraulică şi maşini hidraulice / Hora Cristina, Vereş Mircea - Oradea: Editura Universităţii din Oradea, 2009-

vol. ISBN 978-973-759-831-8 Vol.1.- 2009. – Bibliogr. – ISBN 978-973-759-832-5 I. Vereş, Mircea 532 621.22

Editura Universităţii din Oradea este acreditată de CNCSIS, cod 149.

Page 3: Mecanica Fluidelor

ISBN 978-973-759-832-5

Page 4: Mecanica Fluidelor

3

PREFAŢĂ

Hidraulica este o disciplină de specialitate cu multiple aplicaţii practice în toate ramurile inginereşti. Prin cartea elaborată, autorii îşi propun prezentarea şi tratarea principiilor fundamentale şi legilor Hidraulicii, cât şi modul de aplicare al acestora la rezolvarea problemelor tehnice.

Lucrarea de faţă a fost gândită pentru o prezentare în două volume: primul cuprinzând elemente de Hidraulică, iar cel de-al doilea elemente de teoria,construcţia şi exploatarea maşinilor hidraulice.

Cartea este astfel întocmită încât cititorul iniţiat, sau nu în domeniu, să parcurgă etapizat, capitolele sale de la simplu înspre complex, aceasta conferindu-i simplitate, unitate şi omogenitate. În majoritatea capitolelor cu un conţinut teoretic mai pronunţat au fost introduse demonstraţii relativ simple, evidenţiindu-se în acelaşi timp anumite dificultăţi teoretice şi precizându-se ipotezele şi aproximaţiile introduse în fiecare caz.

Lucrarea îşi propune, ca prin materialul prezentat să fie utilă specialiştilor care-şi desfăşoară activitatea de cercetare, proiectare sau exploatare în sfera sistemului hidroenergetic şi nu în ultimul rând studenţilor de la facultăţile tehnice.

Autorii aduc mulţumiri colegilor şi colaboratorilor care au sprijinit apariţia acestei lucrări şi se declară deschişi oricăror sugestii şi observaţii care să îmbunătăţească calitativ o ediţie viitoare. Autorii

Page 5: Mecanica Fluidelor

5

C U P R I N S

1. Introducere……………………………………………….. 9

1.1. Obiectul cursului.Domenii de aplicabilitate…………………....... 9 1.2. Scurt istoric…………………………………………………......... 11

2. Proprietăţile fluidelor……………………………………. 14 2.1. Proprietăţile lichidelor………………………………………....... 14

2.1.1. Fluiditatea……………………………………………………. 14 2.1.2. Masa specifică (densitatea)…………………………………… 13 2.1.3. Greutatea specifică (ponderitatea)……………………………. 15 2.1.4. Vâscozitatea………………………………………………….. 15 2.1.5. Compresibilitatea şi elasticitatea……………………………… 20 2.1.6. Capilaritatea………………………………………………….. 21 2.1.7. Absorbţia gazelor de către lichide……………………………. 25

2.2. Proprietăţile gazelor…………………………………………....... 26 3. Noţiuni de hidrostatică…………………………………... 29

3.1. Structuri şi modele………………………………………………. 29 3.1.1. Particula fluidă……………………………………………….. 29 3.1.2. Concepte simplificatoare despre fluid. Modele mecanice ale

fluidului……………………………………………………… 29 3.2. Condiţiile de echilibru ale fluidelor……………………………… 30

3.2.1. Noţiunea de presiune. Starea presiunilor în jurul unui punct… 30 3.2.2. Legea generală a hidrostaticii………………………………… 33

3.2.2.1.Integrarea ecuaţiilor lui Euler într-un câmp de forţe masice conservative…………………………………………......... 35

3.2.2.2.Consecinţe ale legii hidrostaticii………………………… 37 3.2.2.3.Echilibrul fluidelor sub acţiunea câmpului gravitaţional… 38

3.3. Echilibrul relativ………………………………………………… 40 3.3.1. Condiţii generale……………………………………………... 40 3.3.2. Exemple de probleme de echilibru relativ…………………… 41

4. Măsurarea presiunilor…………………………………... 48 4.1. Presiunea relativă şi absolută. Unităţi de măsură……………....... 48 4.2. Instrumente pentru măsurarea presiunilor……………………….. 51

4.2.1. Instrumente cu lichid (Piezometre)…………………………... 51 4.2.2. Manometre cu element elastic……………………………….. 56 4.2.3. Manometre pentru presiuni mari…………………………….. 58 4.2.4. Presiunea vaporilor………………………………………….. 59

Page 6: Mecanica Fluidelor

6

4.2.5. Presiunea atmosferică……………………………………….. 59 4.2.6. Instrumente electrice pentru măsurarea presiunii…………… 61

5. Forţe hidrostatice. Plutirea corpurilor…………………. 66 5.1. Forţa hidrostatică pe un perete plan…………………………….. 66 5.2. Forţa hidrostatică pe un perete cilindric………………………… 70 5.3. Legea lui Arhimede……………………………………………… 72 5.4. Noţiuni despre plutirea corpurilor……………………………….. 73

5.4.1. Teorema lui Euler……………………………………………. 74 5.4.2. Stabilitatea corpurilor plutitoare……………………………… 76

6. Cinematica fluidelor (Hidrocinematica)……………........ 79 6.1. Hidrocinematica………………………………………………… 79 6.2. Clasificarea mişcării fluidelor………………………………....... 81 6.3. Noţiuni de bază în hidrocinematică…………………………....... 83

6.3.1. Linia de curent…………………………………………......... 83 6.3.2. Tub de curent, fir fluid………………………………….......... 85 6.3.3. Flux. Debit. Viteză medie…………………………………… 85 6.3.4. Ecuaţia de continuitate……………………………………… 86

6.4. Rotorul vitezei………………………………………………........ 89 6.5. Analiza mişcării unui element de volum……………………........ 92 6.6. Integrala curbilinie a vitezei. Circulaţie…………………………. 99

6.7. Teorema lui Stokes……………………………………................. 100 6.8. Teorema lui Gaus-Ostrogradski…………………………………… 102

7. Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale 103 7.1. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării fluidelor ideale ………………... 103 7.2. Transformarea Gromeko-Lamb…………………………………... 105 7.3. Formula vectorială a ecuaţiei mişcării……………………………. 108 7.4. Ecuaţiile intrinseci ale mişcării…………………………………… 108 7.5. Ecuaţia lui Bernoulli…………………………………………….... 110

7.5.1. Interpretarea energetică a ecuaţiei lui Bernoulli………………. 111 7.5.2. Interpretarea geometricăa ecuaţiei lui Bernoulli………………. 112 7.5.3. Ecuaţia lui Bernoulli aplicată vânei de fluid în mişcare

permanentă……………………………………………………. 114 7.5.4. Coeficientul lui Coriolis………………………………………. 115 7.5.5. Pierderi hidraulice…………………………………………….. 116 7.5.6. Aplicaţii ale ecuaţiei lui Bernoulli…………………….………. 117

7.6. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării fluidelor vâscoase………........... 123 7.7. Teoremele impulsului…………………………………………….. 133 7.8. Consecinţe şi aplicaţii ale teoremelor impulsului………………..... 136

Page 7: Mecanica Fluidelor

7

8. Mişcări potenţiale………………………………………... 142 8.1. Generalităţi. Definiţii……………………………………………... 142 8.2. Exemple de mişcări potenţiale…………………………………… 144 8.3. Mişcări potenţiale plane………………………………………….. 146

8.3.1. Proprietăţi generale…………………………………………… 146 8.3.2. Funcţia de curent……………………………………………… 147 8.3.3. Studiul mişcării cu ajutorul funcţiilor analitice……………….. 148 8.3.4. Transformări conforme……………………………………….. 151

9. Similitudinea hidrodinamică……………………………. 160 9.1. Generalităţi……………………………………………………….. 160 9.2. Condiţii de similitudine…………………………………………... 161 9.3. Criterii de similitudine…………………………………………… 163

9.3.1. Criteriul Froude……………………………………………….. 163 9.3.2. Criteriul Reynolds…………………………………………….. 164 9.3.3. Criteriul Weber……………………………………………….. 165 9.3.4. Criteriul Cauchy……………………………………………… 166 9.3.5. Alte criterii de similitudine utilizate în hidrodinamică………... 167

10. Mişcarea laminară……………………………………... 169 10.1. Experienţele lui Reynolds……………………………………… 169 10.2. Studiul mişcării laminare în conducte circulare………………… 172

10.2.1. Calculul şi distribuţia vitezei………………………………... 172 10.2.2. Calculul debitului…………………………………………… 174 10.2.3. Calculul forţei specifice de frecare………………………….. 175 10.2.4. Calculul pierderilor hidraulice………………………………. 175

10.3. Studiul mişcării laminare între doi pereţi plani paraleli………… 176 10.3.1. Distribuţia vitezei…………………………………………… 177 10.3.2. Calculul debitului…………………………………………… 180

10.4. Stratul limită laminar…………………………………………… 181 10.4.1. Consideraţii fizice…………………………………………… 181 10.4.2. Stratul limită laminar pe o placă…………………………….. 184

11. Mişcarea turbulentă. Pierderi hidraulice……………... 186 11.1. Structura mişcării turbulente……………………………………. 186 11.2. Determinarea tensiunilor datorate turbulenţei………………....... 187 11.3. Legile mişcării turbulente………………………………………. 192

11.3.1. Legea frecării………………………………………………... 192 11.3.2. Distribuţia vitezei…………………………………………… 193 11.3.3. Pierderile de sarcină în lungul curenţilor turbulenţi de mişcare

permanentă…………………………………………………... 197

Page 8: Mecanica Fluidelor

8

11.4. Pierderi hidraulice locale……………………………………...... 203 11.4.1. Noţiuni generale…………………………………………….. 203 11.4.2. Pierderi hidraulice la variaţii de secţiune………………......... 205 11.4.3. Pierderi hidraulice la schimbarea direcţiei curentului……….. 211 11.4.4. Pierderi hidraulice în organe de închidere şi de reglare……... 214

12. Mişcarea permanentă în conducte sub presiune……... 215 12.1. Generalităţi……………………………………………………... 215 12.2. Calculul conductelor sub presiune în regim permanent………… 217

12.2.1. Calculul conductelor simple……………………………........ 217 12.2.2. Calculul conductelor lungi…………………………………... 219 12.2.3. Problemele conductelor sub presiune……………………….. 220 12.2.4. Metoda grafo-analitică de calcul a conductelor sub presiune.. 221

12.3. Calculul conductelor compuse din tronsoane…………………... 222 12.3.1. Relaţiile de calcul ale conductelor legate în serie…………… 222 12.3.2. Trasarea liniei piezometrice şi a liniei energetice…………… 225 12.3.3. Metoda grafo-analitică a problemelor de exploatare………… 227

12.4. Calculul conductelor legate în paralel………………………....... 227 12.4.1. Relaţii de calcul……………………………………………... 227 12.4.2. Metoda grafo-analitică a problemelor de exploatare………... 229

12.5. Calculul conductelor cu ramificaţii…………………………….. 229 12.5.1. Relaţii de calcul……………………………………………... 229 12.5.2. Metoda grafo-analitică a problemelor de exploatare……….... 231 12.5.3. Probleme de proiectare…………………………………….... 232

12.6. Conducta în sifon………………………………………………. 233 12.7. Calculul reţelelor de distribuţie…………………………………. 234 12.8. Şocul hidraulic………………………………………………….. 239

12.8.1. Calculul suprapresiunii la închiderea instantanee a vanei….... 242 12.8.2. Calculul vitezei de propagare………………………………. 244

13. Bibliografie…………………………………………….. 247

Page 9: Mecanica Fluidelor

Introducere

9

CAPITOLUL I

INTRODUCERE

1.1. Obiectul hidraulicii. Domenii de aplicabilitate

Hidraulica este ştiinţa care, la nivelul actual al tehnicii, studiază legile de echilibru şi de mişcare ale fluidelor (lichide şi gaze), utilizându-le în diferitele domenii ale practicii inginereşti. Ea poate fi considerată ca un capitol aplicativ al Mecanicii fluidelor, referindu-se la mişcarea fluidelor incompresibile(îndeosebi a apei) prin conducte, canale, ajutaje, orificii, elemente de maşini hidraulice etc.

La începutul dezvoltării hidraulicii ca ştiinţă, fluidul cel mai important pentru aplicaţiile tehnice fiind apa, denumirea de hidraulică a provenit din alăturarea a două cuvinte greceşti, hüdor – apă şi aulos – conductă; de altfel studiul mişcării apei în conducte a fost una din primele probleme practice care a prilejuit dezvoltarea cercetărilor referitoare la mişcarea fluidelor.

La ora actuală studiul mecanicii lichidelor şi gazelor poartă denumirea de Mecanica fluidelor, când studiul cuprinde proprietăţile lichidelor şi gazelor, chiar la viteze şi presiuni mari.

Noţiunea de mecanica fluidelor a apărut la începutul secolului XX, odată cu aprofundarea studiilor legate de zborul avioanelor, când s-au stabilit mai precis identitatea fenomenelor în diferite medii, lichide şi gazoase. Azi, mecanica fluidelor reprezintă o disciplină mai mult teoretică, dar mai cuprinzătoare decât hidraulica, deoarece studiază toate fluidele, atât lichide cât şi gaze.

Partea importantă a Hidraulicii o constituie Hidrodinamica, în care se studiază stările de mişcare ale fluidelor.

Hidrostatica şi Hidrocinematica, ca părţi mai puţin dezvoltate, tratează starea de repaus, respectiv de mişcare a fluidelor fără considerarea forţelor de interacţiune.

Studiul stărilor de mişcare se face în baza unor clasificări ale mişcărilor pe de o parte, şi considerând limitele spaţiului care conţine fluidul, pe de altă parte. Ecuaţiile mişcărilor se stabilesc cu ajutorul principiilor generale ale mecanicii mediilor continue, cu considerarea specială a proprietăţii fluidelor.

Page 10: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

10

Stăpânirea fenomenelor, principiilor şi legilor acestei discipline este necesară multor specialişti, putând contribui efectiv la progresul ştiinţei şi tehnicii.

Hidraulica are un domeniu vast de aplicabilitate. Apa fiind un element esenţial vieţii, primele aşezări omeneşti au fost condiţionate de prezenţa ei. Încă de la începutul existenţei sale, omul a fost pus în lupta împotriva forţelor apei, a fost nevoit să studieze nivelul şi curgerea acesteia, precum şi posibilitatea dominării şi utilizării apei în folosul său.

Ca urmare au apărut primele lucrări hidrotehnice: diguri, stăvilare, apeducte, sisteme de irigaţii, etc.

De asemenea, apa a fost utilizată ca o cale de transport, iar energia ei a fost captată în diferite instalaţii primitive pentru a fi pusă în folosul colectivităţii.

În zilele noastre, problema redistribuirii apelor în natură se rezolvă prin amenajări integrale ale cursurilor de apă. Rezervoarele de apă din lacurile de acumulare pot fi utilizate pentru producerea de energie electrică, navigaţie, irigaţii, scopuri industriale, agrement, etc.

La ora actuală, practic, nu există nici o ramură a tehnicii în care legile mecanicii fluidelor să nu-şi facă prezenţa, astfel:

în metalurgie şi siderurgie are o importanţă deosebită asigurarea apei de răcire la furnale, la laminoare, dispozitivele hidraulice de turnare a metalelor, echipamentele hidraulice ale forjelor şi preselor.

în industria construcţiilor de maşini, în industria mijloacelor de transport, aviaţiei şi transporturilor navale, în industria alimentară s-au extins sistemele hidraulice de comenzi, acţionări şi automatizări, cuplaje şi transmisii hidrodinamice, amortizoare şi suspensii hidraulice sau pneumatice, ungerea hidrodinamică, etc.

în industria chimică, unde procesele se desfăşoară în rezervoare şi circuite hidraulice deservite de pompe de transport, pompe de dozaj.

în transporturi, principiile de funcţionare ale celor mai multe mijloace de transport sunt bazate pe legile hidraulicii: vapoare şi submarine, avioane, elicoptere etc.. Totodată este cuprins transportul fluidelor prin conducte şi canale, sau transportul hidraulic şi pneumatic al diferitelor materiale în suspensie (pulberi, paste, etc.).

Maşinile hidraulice reprezintă un domeniu vast de aplicabilitate: turbine hidraulice, turbine eoliene, turbine de foraj, diverse tipuri de pompe, cuplaje, transmisii sau transformatoare hidraulice.

Page 11: Mecanica Fluidelor

Introducere

11

1.2. Scurt istoric

Se poate spune că hidraulica apare ca ştiinţă în secolul al XVIII-lea, bazele ei teoretice fiind stabilite de către Daniel Bernoulli şi Leonard Euler.

În continuare redăm pe scurt, în ordine cronologică, aportul câtorva dintre cei mai de seamă hidrulicieni.

Arhimede (287 – 212 î.e.n.) stabileşte principiile fundamentale ale plutirii şi forţei ascensionale.

Leonardo da Vinci (1452 – 1519) exprimă principiul fundamental al continuităţii, observă şi schiţează numeroase fenomene de curgere, dă sugestii în legătură cu proiectarea maşinilor hidraulice.

Galileo Galilei (1564 – 1642) stimulează indirect hidrulica experimentală; revizuieşte conceptul aristotelic asupra vacuumului.

Evangelista Toricelli (1608 – 1647) corelează înălţimea barometrică cu greutatea atmosferei şi forma jetului lichid cu traiectoria căderii libere.

Blaise Pascal (1623 – 1662) clarifică principiile care stau la baza barometrului, presei hidraulice şi transmisibilităţii presiunii.

Isaac Newton (1642 – 1727) explorează diferitele aspecte ale rezistenţei fluidelor şi a valurilor; descoperă contracţia jeturilor.

Daniel Bernoulli (1700-1782) cercetează experimental şi scrie despre majoritatea fenomenelor implicate în mişcarea fluidelor numind această ştiinţă: Hidrodinamica. Concepe tehnica măsurării presiunilor şi adaptează principiul conservării energiei pentru a explica transformarea vitezei în înălţime coloană de lichid; propune propulsia prin jet.

Leonard Euler (1707 – 1783) explică pentru prima dată rolul presiunii în curgerea fluidelor; formulează ecuaţiile fundamentale ale mişcării şi aşa - numita teoremă a lui Bernoulli; introduce conceptul de cavitaţie şi principiul maşinilor centrifuge.

Jean Leonard D'Alembert (1717 – 1783) introduce noţiunea de componente ale vitezelor şi acceleraţiilor, expresia diferenţială a ecuaţiei de continuitate şi paradoxul rezistenţei nule pentru mişcarea permanentă neuniformă.

Ludwig Hagen (1797 – 1884) efectuează studii originale asupra curgerii laminare şi turbulente precum şi în domeniul de tranziţie dintre cele două regimuri.

Jean Luis Poiseuille (1799 – 1869) efectuează cercetări meticuloase asupra rezistenţei curgerii prin tuburi capilare.

Page 12: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

12

Antoine Chezy (1718 – 1798) formulează parametrul de similitudine cu ajutorul căruia să se precizeze caracteristicile unui canal pe baza măsurătorilor efectuate asupra altuia.

Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) introduce în hidrodinamică potenţialul de viteză şi funcţia de curent; deduce ecuaţia vitezei de propagare a valurilor în canale deschise.

Giovanni Batista Venturi (1746 – 1822) efectuează încercări asupra diferitelor forme de ajutaje.

William Froude (1810 – 1879) dezvoltă tehnica măsurării performanţelor navelor pe modele ocupându-se cu stabilirea efectului de scară îndeosebi în ceea ce priveşte rezistenţa valurilor.

James Francis (1815 – 1892) efectuează primele cercetări în SUA asupra turbinelor şi difuzoarelor.

William Thomson (1824 – 1907) aduce contribuţii la analiza mişcării vârtejurilor şi valurilor, analiza instabilităţii curgerii laminare şi introduce cuvântul turbulenţă.

Lester Allen Pelton (1829 – 1908) contribuie substanţial la proiectarea cupelor pentru turbinele cu acţiune.

Henri Emile Bazin (1829 – 1917) completează şi amplifică cercetările experimentale asupra rezistenţei canalelor cu faţă liberă şi asupra mişcării valurilor; efectuează cercetări ample asupra deversoarelor.

Osborne Reynolds (1842 – 1912) descrie experienţele originale în diferite domenii – cavitaţie, similitudine la modelarea râurilor, rezistenţa conductelor- şi imaginează doi parametri pentru curgerea vâscoasă; adaptează ecuaţiile mişcării fluidelor vâscoase pentru condiţiile medii ale curgerii turbulente.

Nicolai Egorovici Jukavski (1847 – 1941) efectuează prima analiză corectă a fenomenului loviturii de berbec; contribuie la studiul hidrodinamicii profilelor de aripă.

Lorenzo Allievi (1856 – 1941) extinde cercetările lui Jukovski asupra loviturii de berbec, fundamentând tratarea analitică şi grafică a acestui fenomen.

Moritz Weber (1871 – 1951) stabileşte principiile similitudinii în forma utilizată în prezent, denumind diferite criterii ca: numărul Reynolds, Froude, Cauchy; formulează criteriul de similitudine pentru forţe capilare.

Ludwig Prandtl (1875 – 1953) introduce conceptul de strat limită în cercetarea curgerii fluidelor şi perfecţionează tehnica experimentală în acest domeniu.

Page 13: Mecanica Fluidelor

Introducere

13

Victor Kaplan (1876 – 1934) realizează turbinele hidraulice axiale cu palete reglabile.

Hermann Fottinger (1877 – 1945) efectuează cercetări de cavitaţie asupra turbinelor şi pompelor, realizează primul transformator hidraulic modern.

Printre oamenii de ştiinţă români care au contribuit la dezvoltarea hidraulicii şi a maşinilor hidraulice pot fi incluşi marii constructori de avioane Aurel Vlaicu (1882 – 1913) şi Traian Vuia (1872 – 1953), precum şi george Constantinescu (1881 – 1965) care apus bazele unei noi ştiinţe, sonicitatea.

Câteva teze de doctorat susţinute în străinătate marchează începutul unor preocupări în acest domeniu (N. Enache, 1908; V. Vîlcovici, 1913; D. Pavel, 1925; E. Carafoli, 1928; D. Dumitrescu, 1942.

După anul 1944 cercetarea ştiinţifică a luat un puternic avânt. Remarcăm în mod deosebit activitatea prof. A. Bărglăzan, acad. D. Dumitrescu, acad. C. Mateescu, acad. E. Carafoli, acad. C. Iacob, care şi-au orientat cercetarea spre probleme de mare actualitate, aducând contribuţii valoroase în hidraulică şi maşini hidraulice. Astăzi ne putem mândri cu şcoli de cercetare în domeniul maşinilor hidraulice, hidraulicii, mecanicii fluidelor, aerodinamicii, lubrificaţiei etc.,al căror renume a trecut degraniţele ţării.

În colectivul de maşini hidraulice din Timişoara, s-au obţinut rezultate în studiul cavitaţiei şi al profilelor de turbine de către A. Bărglăzan, I. Anton, E. Sişak, O. Popa, V. Anton, Fr. Gyulai, I. Preda. La Bucureşti a fost dezvoltată lovitura de berbec (M. Cazacu) şi mişcările elicoidale (Şt. Zarea), iar la Institutul de construcţii au fost rezolvate o serie de probleme referitoare la capacitatea deversoarelor, disiparea energiei în aval de baraje, sedimentarea aluviunilor şi mişcarea apelor prin diguri şi în pământ (C. Mateescu, C. Iamandi, E. Trofin).

Pe baza rezultatelor teoretice şi a cercetării ştiinţifice aplicative în domeniul mecanicii fluidelor s-a dezvoltat fabricaţia de turbine hidraulice la Uzinele constructoare de maşini Reşiţa, pompe la Uzina Aversa Bucureşti, pompe speciale pentru industria chimică la Făgăraş, transmisii hidrodinamice la Hidromecanica Braşov, turbine de foraj la Ploieşti, ventilatoare la Bucureşti, etc.

În domeniul energetic trebuiesc amintite realizările cele mai de seamă: Sistemul hidroenergetic şi de navigaţie Porţile de Fier, amenajările hidroenergetice de pe râurile Bistriţa, Argeş, Lotru, Someş, Sebeş, Olt, majoritatea hidrocentralelor fiind echipate cu turbine de concepţie şi fabricaţie românească.

Page 14: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

14

CAPITOLUL II

PROPRIETĂŢILE FLUIDELOR

2.1. Proprietăţile lichidelor

2.1.1. Fluiditatea

Lichidele se caracterizează prin uşurinţa de deplasare a particulelor componente (fluiditatea). Particulele alunecă unele faţă de altele, deformaţia continuând până când lichidul ia forma vasului în care este pus, volumul fiind delimitat de o suprafaţă liberă. În cazul mişcării particulelor fluide apare o rezistenţă la alunecare proporţională cu gradientul vitezei. Lichidele pot fi considerate ca lipsite de rigiditate, deosebindu-se astfel de solide. În schimb, lichidele se opun variaţiei de volum şi deci sunt practic incompresibile. Între particulele lichide se păstrează totuşi o legătură prin acţiunea unor atracţii reciproce între molecule care constituie forţele de coeziune.

Proprietăţile specifice ale lichidelor faţă de solide şi gaze sunt numai generale; printr-o examinare mai atentă a acestor proprietăţi s-a dovedit că aceeaşi proprietate o au într-o măsură mai mare sau mai mică toate corpurile, oricare ar fi starea lor fizică.

2.1.2. Masa specifică (densitatea) Masa volumică a unui lichid este caracteristica principală a acestuia.

Dacă aceasta variază în interiorul volumului de lichid, acesta este eterogen. Eterogenitatea unui lichid se datorează impurităţilor conţinute, gazelor absorbite, sau datorită variaţilor de presiune şi temperatură.

Masa specifică medie (densitatea medie) a unui lichid este definită ca raportul dintre masa de lichid conţinută într-un volum dat şi acest volum:

Vm

m . (2.1) Masa specifică (densitatea) se defineşte pentru un punct, ca fiind

limita către care tinde densitatea medie a unui volum de lichid care conţine punctul, când acest volum devine oricât de mic, rămânând totuşi mai mare decât volumul elementului de structură al lichidului:

Page 15: Mecanica Fluidelor

Proprietăţile fluidelor

15

Vmlimlim

oVoV

m

oV0V

. (2.2)

Formula de dimensiuni a masei specifice este 3LM . Practic se poate considera că densitatea lichidelor nu depinde de

presiune, numai de temperatură. Masa specifică a fluidelor compresibile depinde de temperatură şi presiune conform relaţiei:

)t273(p)t273(p

0

00

, (2.3)

unde: 0 este masa specifică la temperatura t0 şi presiunea p0; este masa specifică la temperatura t şi presiunea p. 2.1.3. Greutatea specifică (ponderitatea) Greutatea specifică este greutatea unităţi de volum, reprezentând

raportul dintre greutatea unui volum de lichid şi volumul respectiv.

VG

. (2.4)

Legătura între greutatea specifică şi masa specifică este dată de relaţia: g , (2.5)

unde g este acceleraţia gravitaţională (g = 9,81 m/s2). Formula de dimensiuni a greutăţii specifice este: [] = ML-2T-2. În sistemul internaţional (S.I.) greutatea specifică se măsoară în N/m3, iar masa specifică în kg/m3.

În cazul apei la temperatura de 0°C: γ = 9810 N/m3 şi ρ = 1000 kg/m3, iar pentru aer γ = 12,65 N/m3 şi ρ = 1,29 kg/m3

2.1.4. Vâscozitatea Dacă se consideră într-un volum oarecare de fluid în mişcare o

suprafaţă arbitrară care îl separă în două părţi, interacţiunile dintre particulele fluidului situate de o parte şi de alta a planului de separaţie se manifestă nu numai prin eforturi normale, ci şi prin eforturi tangenţiale, care caută să împiedice mişcarea (lunecarea). Iau naştere deci nişte forţe care pot fi considerate analoage forţelor de frecare întâlnite în mişcarea relativă a două suprafeţe solide în contact.

Page 16: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

16

Prin urmare, dacă fluidul este în mişcare, în diferitele plane de separaţie apar forţe sau eforturi tangenţiale (forţe raportate la aria suprafeţei) care se opun variaţiei formei volumului considerat, frânează mişcarea şi modifică repartiţia vitezelor. Apariţia acestor eforturi tangenţiale este atribuită unei proprietăţi a fluidelor reale numită vâscozitate.

Pentru a ilustra mai bine efectul vâscozităţii, se consideră un curent lichid în mişcare în care, în două plane P şi P paralele cu planul x0y, particulele fluide au vitezele v, respectiv dvv (fig. 2.1.). Planul P este situat la cota z faţă de planul xOy, iar planul P se află la distanţa dz faţa de planul P. Conform ipotezei lui Newton, între două suprafeţe egale, situate în planele P şi P se exercită o forţă tangenţială T, proporţională cu suprafaţa a,

cu viteza de alunecare dzdv şi cu un coeficient .

B B'' B'

x

y

z

0

A A'

z

dz

x

V+dV

V

a

a

(P ')

(P)

Fig. 2.1. - Experienţa lui Newton

dzdvaT . (2.6)

Trecând la limită şi introducând forţa tangenţială pe unitatea de suprafaţă, rezultă:

dzdv

aTlim , (2.7)

fiind coeficientul dinamic de vâscozitate. Dimensiunile coeficientului dinamic de vâscozitate sunt:

[] = ML-1T-1 = FL-2T-1.

Page 17: Mecanica Fluidelor

Proprietăţile fluidelor

17

Unitatea de măsură pentru în S.I. se numeşte Poiseuille:

smkg1

msN1Poiseuille1 2

.

În hidraulică se utilizează şi coeficientul cinematic de vâscozitate

, (2.8)

ale cărui dimensiuni sunt [] = L2T-1. Unitatea de măsură în S.I. este m2 / s. Ipoteza lui Newton îşi găseşte confirmarea în concordanţa dintre

rezultatele teoretice şi experimentale.

Gradientul de viteză dzdv reprezintă deformaţia în unitatea de timp a

unghiului drept xAB pe care-l face la timpul t faţa AB a unei particule, normală la planul P, cu direcţia vitezei. Într-adevăr, la timpul t + dt, punctele A şi B se află deplasate în A şi B astfel că dtdvBB (pe când

dtvBBAA ).

Deci: BABtgdz

dtdvBABB

. (2.9)

Pentru s1td , acest raport este dzdv care reprezintă viteza de

deformaţie a unghiului 2

BAx , datorită vâscozităţii. Dacă notăm cu

această viteză de distorsiune (sau de alunecare a forţelor paralele cu planul P) şi ţinem cont de formula lui Newton, (2.7) se obţine:

dzdv , (2.10)

analoagă cu formula alunecării corpurilor solide: G

. Deci, coeficientul

de vâscozitate este analogul modulului de elasticitate la tăiere G al solidelor.

Vâscozitatea variază cu temperatura lichidului. Această variaţie nu poate fi exprimată prin formule simple, de aceea se folosesc tabele cu valori experimentale sau formule empirice. În cazul apei, valorile coeficientului cinematic de vâscozitate sunt date suficient de exact de formula lui Poiseuille:

Page 18: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

18

2

6

t00022,0t0337,011078,1

[m2/s], (2.11)

t fiind temperatura apei, în C. În cazul uleiurilor utilizate la ungerea pieselor în mişcare şi în acţionări

hidraulice, variaţia vâscozităţii respectă cu mare aproximaţie legea: consttn , (2.12)

unde: t este temperatura uleiului exprimată în C, iar exponentul n = 1,75 2,5, în funcţie de natura uleiului.

În fig. 2.2 se reprezintă variaţia vâscozităţii diferitelor uleiuri cu temperatura.

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

020 40 60 80 100

Vâs

cozi

tate

a [N

s/m

2 ]

Temperatura [oC]

Ulei de ricin

Ulei de cilindri pentru abur

supraîncălzit

Glicerină

Ulei de măsline

Ulei gras

pentru

maşinimaşini

pentru

subţire

Ulei

fusuri

pentru

Ulei

Fig. 2.2. - Variaţia vâscozităţii dinamice funcţie de temperatură

Există mai multe metode pentru măsurarea vâscozităţii lichidelor. Uzual pentru uleiuri se foloseşte aparatul Engler, cu ajutorul căruia se măsoară vâscozitatea relativă, în raport cu vâscozitatea apei.

Vâscozimetrul Engler (fig. 2.3.) se bazează pe faptul că un volum de lichid dat se scurge dintr-un vas, printr-un ajutaj cilindric, într-un timp cu atât mai mare cu cât vâscozitatea lui este mai mare. Aparatul se compune dintr-un rezervor, a cărui capacitate între nivelele a şi b este de 200 cm3 şi al cărui fund este prevăzut cu un ajutaj cilindric de 2 cm lungime, care are la intrare

Page 19: Mecanica Fluidelor

Proprietăţile fluidelor

19

un diametru de 2,9 0,02 mm şi la ieşire 2,8 0,02 mm. Rezervorul este amplasat într-un vas cu apă a cărei temperatură se menţine constantă. Dacă timpul de scurgere a 200 cm3 de apă distilată la 20C este t0, iar cel necesar scurgerii aceleaşi cantităţi de lichid este t, numărul de grade Engler al vâscozităţii este:

0ttE , (2.13)

gradul 1 corespunzând lui = 110-6m2/s.

ÎnchizătorTeTi

a

2,0+0,015,

2+0,

05 c

m

2,5+0,1 cm10,6+0,01 cm

Fig. 2.3. - Vâscozimetrul Engler

Vâscozitatea cinematică se poate exprima în funcţie de numărul de grade Engler prin formula empirică a lui Ubbelohde:

E31,6E32,7106

[m2/s]. (2.14)

Toate fluidele reale sunt mai mult sau mai puţin vâscoase. Fluidele lipsite de vâscozitate sunt fluide ideale sau perfecte (ele nu

există în realitate).

Page 20: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

20

2.1.5. Compresibilitatea şi elasticitatea Compresibilitatea este proprietatea pe care o au fluidele de a opune

rezistenţă la schimbarea volumului. În comparaţie cu gazele, lichidele sunt practic incompresibile, iar în raport cu solidele, lichidele sunt foarte compresibile (apa este de 100 de ori mai compresibilă decât oţelul moale).

Dacă încetează acţiunea forţei care comprimă un lichid, acesta revine la volumul iniţial, fără a prezenta deformaţii remanente.

Fie un volum de lichid V, supus presiunii p. La o creştere a presiunii cu dp, volumul se reduce cu dV. Variaţia de volum este proporţională cu creşterea presiunii, conform relaţiei:

dpV

dV , (2.14)

unde este modulul de compresibilitate, având dimensiunea [] = LM-1T2 sau L2F-1.

Inversul modulului de compresibilitate este modulul de elasticitate:

1 , (2.15)

având dimensiunea [] = L-1MT-2 sau FL-2. Ca unitate de măsură în S.I. corespunde pentru :[m2/N] şi pentru

: [N/m2]. Ţinând seama de faptul că masa lichidului conţinută în volumul V,

este egală cu V, masă care rămâne constantă în urma comprimării, rezultă: 0VddV)V(d , (2.16)

d

VdV , (2.17)

de unde:

ddp

dVdpV1 . (2.18)

Valorile modulului de compresibilitate şi a modulului de elasticitate variază cu temperatura.

Deoarece lichidele sunt foarte puţin compresibile, în practică nu se ţine cont de compresibilitatea lor. Această ipoteză a incompresibilităţii lichidelor simplifică mult calculele analitice, rezultatele obţinute rămânând valabile.

În hidrodinamică există fenomene în care trebuie să se ţină cont de compresibilitate, cum ar fi propagarea la distanţă a variaţiilor de presiune.

Page 21: Mecanica Fluidelor

Proprietăţile fluidelor

21

De asemenea, în aerodinamică compresibilitatea nu poate fi neglijată în cazurile în care viteza curentului se apropie de viteza sunetului.

Pentru fluide compresibile, variaţia masei specifice cu presiunea este dată de relaţia:

00 pp1 , (2.19) unde 0 este masa specifică la presiunea p0.

2.1.6. Capilaritatea

Prin capilaritate se înţelege fenomenul de modificare a distribuţiei de presiuni într-un lichid, datorită acţiunii forţelor moleculare pe suprafeţele de contact cu pereţii solizi sau cu alte lichide.

Este ştiut faptul că, datorită forţelor de coeziune, moleculele sunt atrase între ele şi lichidul nu ocupă întregul spaţiu avut la dispoziţie. Aceste forţe scad cu distanţa dintre molecule, efectul lor făcându-se simţit în sfera de acţiune moleculară. Sub acţiunea forţelor moleculare, o moleculă M1 (fig. 2.4.) din interiorul volumului de lichid rămâne în echilibru, lichidul fiind un mediu izotrop. Nu acelaşi lucru se întâmplă cu o moleculă M2 de la suprafaţa liberă, pentru care sfera de acţiune a forţelor moleculare este tăiată de suprafaţa liberă a lichidului. Această moleculă va fi atrasă înspre interior de către moleculele învecinate, astfel că există tendinţa ca suprafaţa liberă să devină cât mai “subţire” (mai mică), exercitând o presiune asupra stratului din interior.

M2

M1

Fig. 2.4. - Explicaţia tensiunii superficiale

Prin urmare se poate înlocui acţiunea atracţiei moleculare a unui lichid la suprafaţa liberă prin forţe tangenţiale care acţionează asupra unei pelicule ce tinde să-şi micşoreze suprafaţa. Această forţă tangenţială raportată la unitatea de lungime, se numeşte coeficient de tensiune superficială.

Forţele tangenţiale nu se manifestă în cazul în care masa de lichid are dimensiuni mari, întrucât în acest caz predomină forţele gravitaţionale. Când

Page 22: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

22

însă una dintre dimensiunile masei de lichid este mică, tensiunea superficială modifică forma suprafeţei libere a lichidului (picătura de lichid, a cărei masă este foarte mică), ia forma sferică.

În cazul suprafeţelor curbate, tensiunea superficială dă naştere unei diferenţe de presiune pe cele două feţe ale suprafeţei.

Considerând un element de suprafaţă curbă (fig. 2.5.) de mărime ds1ds2, forţa datorită diferenţei de presiune este (p1-p2)ds1ds2, echilibrează forţele de tensiune superficială ce acţionează pe laturile dreptunghiului curbiliniu considerat.

Aceste forţe se exprimă prin produsul ds , unde este coeficientul de tensiune superficială, numit şi constantă capilară.

0

d

d ds

dR 1

R 2

P2ds1ds2

ds2 ds1

P 1ds 1ds 2

ds

ds

ds

ds

Fig. 2.5. - Calculul diferenţei de presiune într-un punct al unei suprafeţe curbe de contact dintre două fluide nemiscibile (formula lui Laplace)

Notând cu R1 şi R2 razele de curbură ale fibrelor mijlocii, rezultă:

1

1Rds

d şi 2

2Rds

d . (2.20)

Rezultanta perechii de forţe ds1 este dirijată după normală, având

mărimea: 2

21 R

dsds , respectiv a celeilalte perechi de forţe:

1

12 R

dsds .

Ecuaţia de echilibru este:

Page 23: Mecanica Fluidelor

Proprietăţile fluidelor

23

2

21

1

122121 R

dsds

Rds

dsdsdspp , (2.21)

de unde se obţine:

2121 R

1R1pp . (2.22)

Se observă din figură că rezultanta forţelor capilare este dirijată întotdeauna către partea concavă a suprafeţei.

Constanta capilară depinde de cele două medii care vin în contact. Unghiul de racordare. La contactul a trei lichide care nu se amestecă

între ele, echilibrul celor trei tensiuni superficiale impune ca cele trei suprafeţe limită să se întâlnească sub un unghi bine definit, care rezultă din triunghiul forţelor(fig. 2.6.).

Fig. 2.6. - Echilibrul tensiunilor superficiale la contactul a trei fluide nemiscibile

Dacă una dintre suprafeţe este formată dintr-un perete solid (fig.2.7.a), relaţia de echilibru se scrie:

132312 cos , (2.23) de unde:

12

2313cos

. (2.24)

Unghiul de racordare poate fi ascuţit (la lichidele care udă pereţii: apă – sticlă, fig. 2.7.a) sau obtuz (la lichide care nu udă pereţii: mercur–sticlă, fig. 2.7.b).

Page 24: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

24

b Fig. 2.7. – Unghiul de racordare a suprafeţei libere a unui lichid cu un perete solid

Tuburi capilare. Introducând în apă un tub de sticlă de diametru mic,

apa formează cu pereţii un unghi ascuţit. Suprafaţa liberă în interiorul tubului fiind foarte curbată, apare un menisc concav (fig. 2.8.a). Rezultanta forţelor capilare ridică apa în interiorul tubului până la o înălţime h, a cărei valoare se calculează din relaţia: h d = k = const. Pentru apă k = 30 mm2.

Introducând un tub de sticlă în mercur, acesta coboară în tub, deoarece reprezentanta forţelor capilare este dirijată înspre partea concavă (fig. 2.8.b). Pentru acest caz k = 10,15 mm2.

Aceste fenomene sunt cunoscute sub denumirea de fenomene capilare şi sunt întâlnite la măsurarea presiunii cu tuburi piezometrice.

Apă

h

R

r

d

Mercur

h

d

a b

Fig. 2.8. – Denivelarea suprafeţei libere în tuburile capilare

Page 25: Mecanica Fluidelor

Proprietăţile fluidelor

25

2.1.7. Absorbţia gazelor de către lichide

Lichidele absorb gazele cu care vin în contact şi conform legii lui Henry, greutatea gazului dizolvat creşte proporţional cu presiunea.

La temperatura obişnuită şi la presiunea atmosferică, apa conţine un volum de aer egal cu 2 din volumul său.

Dacă presiunea scade până la valoarea presiunii de vaporizare la temperatura dată, se produce vaporizarea lichidului însoţită de degajarea gazelor dizolvate. Apare fenomenul complex numit cavitaţie, foarte periculos pentru maşinile şi instalaţiile hidraulice (intrarea în rotoarele de turbopompe, ieşirea din rotoarele de turbine, îngustarea pronunţată a unui tub de curent).

Procesul de degajare a moleculelor de aer din apă este proporţional, ca intensitate, cu creşterea temperaturii.

În fig. 2.9. se prezintă variaţia conţinutului de aer saturat din apă, în funcţie de presiune, pentru diferitele valori constante ale temperaturii. Coeficientul s reprezintă raportul dintre soluţia de gaz dizolvat în apă şi

volumul de apă, V

Vgs .

3,02,82,62,42,21,81,61,41,21,00,80,60,40,2

00 100 200 300 400 500 600 700 800 900

p [mm mercur]

s [%

]

30 50

80 100

150

200

250300

350

400450

500 550

00C

Fig. 2.9. - Variaţia conţinutului de aer saturat în apă funcţie de presiune

Page 26: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

26

2.2. Proprietăţile gazelor Proprietăţile lichidelor prezentate mai sus sunt comune şi gazelor, cu

următoarele particularităţi: - datorită marii mobilităţi a moleculelor (forţele de coeziune sunt

practic inexistente), gazele ocupă, prin expansiune, tot spaţiul pus la dispoziţie şi totodată au o mare compresibilitate;

- volumul gazelor variază foarte mult cu temperatura, la presiune constantă. Vâscozitatea gazelor creşte cu temperatura.

Coeficientul de vâscozitate al aerului variază conform formulei: 20 t0008,01t003665,01 , (2.25)

unde: t este temperatura relativă, în C; 0 = 1,6873210-5 Ns / m2, independent de presiune. Pentru vâscozitatea gazelor, în general, se aplică formula lui

Southerland:

TC1

273C1

273T

0t

, (2.26)

în care indicele t se referă la temperatura în C, indicele 0 la 0C, iar C este o constantă care, pentru diferite gaze, are valorile (tabelul 2.1.):

Tabelul 2.1. - Valorile constantei C pentru diferite gaze Gaz C Gaz C

Aer Oxigen O2 Azot N Oxid de carbon CO Bioxid de carbon CO2

112 126 102 102 270

Hidrogen H2 Metan CH4 Etilen C2H4 Propilen C2H6

73 164 225 322

Ecuaţia caracteristică a gazelor

Pentru gazele perfecte se aplică legea lui Boyle-Mariotte şi Gay-Lussac:

273t1vpvp 00 , (2.27)

Page 27: Mecanica Fluidelor

Proprietăţile fluidelor

27

unde: v, v0 sunt volumele ocupate de 1kg de gaz la temperaturile tC, respectiv 0C. Între volumul specific astfel definit şi volumul real al gazului de greutate G există relaţia:

1GVv . (2.28)

La gazele reale se poate aplica formula (2.27) pentru presiuni obişnuite, însă la presiuni mari şi temperaturi joase, formula introduce abateri mari faţă de realitate.

Dacă transformarea gazului (variaţia de volum şi presiune) se face lent, astfel încât căldura produsă prin comprimare să poată fi cedată, temperatura rămâne constantă şi atunci se aplică legea lui Mariotte. O asemenea transformare se numeşte izotermă. Dacă transformarea se face repede, se aplică relaţia:

11 vpvp (2.29) unde este raportul dintre căldura specifică la presiune constantă şi căldura specifică la volum constant. O asemenea transformare se numeşte adiabatică.

Legea lui Boyle-Mariotte se exprimă şi sub forma:

pTRvp , (2.30)

în care: v este volumul specific unui kilogram de gaz, T este temperatura absolută, iar R o constantă caracteristică fiecărui gaz.

Valorile exponentului adiabatic pentru câteva gaze, se prezintă în tabelul 2.2:

Tabelul 2.2. - Valorile exponentului adiabatic pentru diferite gaze Gazul

1

Bioxid de carbon (CO2) Etilen (C2H4) Oxigen O2 Oxid de carbon (CO) Hidrogen (H2) Metan (CH4) Azot (N2) Aer

1,293 1,250 1,396 1,401 1,407 1,310 1,401 1,401

4,41 5,00 3,53 3,50 3,46 4,23 3,50 3,50

Page 28: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

28

Lucrul mecanic produs la expansiunea unui gaz se calculează cu relaţia:

1

1

2

1

1pp

1p

1L , (2.31)

sau folosind formula (2.30):

1

1

21 p

p1TR

1L . (2.32)

Fenomenul adiabatic intervine la curgerea gazului prin secţiuni strangulate, sau în conducte de abur cu circulaţie rapidă, bine izolate.

Pentru amestecuri de gaze se ia în calcul coeficientul

n

1iivii

n

1iipii

cn

cn, (2.33)

în care ni este cota volumetrică a fiecărui gaz din amestec. Expansiunea politropică se foloseşte la calculul maşinilor, la care

procesul de expansiune nu este finalizat adiabatic. În acest caz se ia, în loc de , un exponent n având valorile ,1n şi se folosesc relaţiile anterioare în care se înlocuieşte cu n.

Page 29: Mecanica Fluidelor

Noţiuni de hidrostatică

29

CAPITOLUL III

NOŢIUNI DE HIDROSTATICĂ

3.1. Structuri şi modele

3.1.1. Particula fluidă

Studiul mişcării unui fluid se face plecând de la ecuaţiile diferenţiale

ale mişcării, admiţând ipoteza că fluidul este format din particule infinit mici (molecule) care se menţin în contact prin acţiunea şi reacţiunea unor forţe. Fluidul este considerat un mediu continuu şi deformabil, putând fi divizat în particule infinit mici care păstrează aceleaşi proprietăţi cu ale unui volum de dimensiuni finite. Prin introducerea noţiunii de mediu continuu se poate considera că toate mărimile caracteristice care descriu proprietăţile şi particularităţile mişcării sunt funcţii continue de coordonatele spaţiului în care evoluează fluidul, ele pot fi exprimate prin diferite funcţii scalare, vectoriale sau tensoriale.

În vederea cunoaşterii comportării unui fluid, se detaşează din masa acestuia un element de formă arbitrară, numit particulă fluidă, care păstrează în totalitate proprietăţile modelului de fluid de care a aparţinut. Acesteia i se asociază într-un interval de timp t o viteză, o presiune, o temperatură şi o masă specifică, acţionând în centrul ei de inerţie.

Particula fluidă este considerată ca fiind formată dintr-un număr mare de molecule, această ipoteză având avantajul studierii mişcării fluidelor fără a ţine seama de anumite mişcări de agitaţie ale moleculelor, cum ar fi mişcările browniene.

Forma particulei fluide considerată în calcule şi demonstraţii este arbitrară, admiţându-se particule fluide în formă de paralelipiped, tetraedru, elemente de cilindru, elemente infinitezimale, etc.

3.1.2. Concepte simplificatoare despre fluid. Modele

mecanice ale fluidului

Datorită complexităţii fenomenelor, studiul mişcării unui fluid are la bază anumite ipoteze simplificatoare în privinţa proprietăţilor fluidului şi structura mişcării. Fluiditatea, greutatea, vâscozitatea şi compresibilitatea

Page 30: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

30

fluidului există şi acţionează în orice mişcare a unui fluid influenţând şi alte proprietăţi, ca adeziunea, capilaritatea însă în mai mică măsură. În alte cazuri de mişcare a fluidelor, fluiditatea apare ca proprietate caracteristică, celelalte pot lipsi total sau numai unele din ele.

În acest fel se creează diferite modele mecanice ale fluidului, după cum li se asociază unele dintre proprietăţi. Astfel, se obţine cel mai simplu model de fluid lipsit de greutate, de vâscozitate şi incompresibil, având ca singură proprietate fluiditatea, adică deformabilitatea. Un astfel de fluid este evident o ficţiune, dar sunt numeroase cazurile de mişcare, anume mişcările potenţiale definite prin existenţa unei funcţii de potenţial al vitezei, care pot fi studiate pe baza acestui model simplificat.

Alt model este cel al fluidului perfect, considerat fără vâscozitate şi incompresibil, dar având greutate. În general, fluidul perfect poate fi studiat cu ajutorul teoriei mişcărilor potenţiale. Pe parcursul studiului mişcării se introduc celelalte proprietăţi, vâscozitatea, compresibilitatea etc. De asemenea, noţiunea de fluid real este tot un model incomplet, simplificat doar într-o mică măsură, deoarece se ţine seama de toate proprietăţile principale, dar nu absolut de toate proprietăţile şi fenomenele secundare care însoţesc mişcarea.

Concepţia mecanică a fluidului este similară concepţiei corpului solid elastic şi deformabil, deosebindu-se totuşi în privinţa condiţiilor la limită, nu şi în ceea ce priveşte mişcarea unui element infinit mic, deoarece şi elementului solid real cât şi elementului fluid real li se atribuie aceleaşi proprietăţi: greutate, compresibilitate, rezistenţă la alunecare (echivalentul vâscozităţii) şi deformabilitate. Deosebirea mare se referă la deformabilitate, care este mult mai accentuată la corpul fluid. De aceea, în studiul mişcării şi a ecuaţiilor de mişcare ale fluidelor se acceptă noţiunea mai generală de mediu continuu şi deformabil.

3.2. Condiţiile de echilibru ale fluidelor

3.2.1. Noţiunea de presiune. Starea presiunilor în jurul unui punct

Considerăm un sistem de mase izolat în raport cu un alt sistem de mase. În sistem acţionează atât forţe interioare cât şi forţe exterioare, condiţia de echilibru a sistemului fiind:

Page 31: Mecanica Fluidelor

Noţiuni de hidrostatică

31

0FF extint

. (3.1) Deoarece forţele interioare sunt egale două câte două şi opuse,

condiţia de echilibru rezultă sub forma: 0Fext

. (3.2)

În general forţele interioare sunt fie forţe elastice de întindere sau compresiune (normale la suprafaţă), fie forţe de frecare (tangente la suprafaţă). Raportul dintre forţă şi suprafaţa corespunzătoare se numeşte tensiune sau efort.

Fie o masă m de fluid, izolată dintr-un fluid oarecare, în interiorul căreia forţele moleculare sunt egale două câte două şi opuse (fig. 3.1.).

mI mII

I II

S

F

Fig. 3.1. – Definiţia noţiunii de presiune

Secţionând masa m în două părţi, I şi II prin suprafaţa S, se constată că toate forţele interioare din II, vor acţiona pe suprafaţa S prin rezultanta F

, ele

devenind astfel forţe exterioare pentru partea I. Prin urmare, partea a II-a a masei fluide iniţiale m se poate neglija şi

înlocui cu rezultanta F

, care reprezintă acţiunea masei mII asupra masei mI. Această rezultantă F

, raportată la suprafaţa S, reprezintă tensiunea sau efortul

interior. Starea de tensiune din interiorul unui fluid în echilibru este caracterizată numai prin eforturi normale. Dacă forţa ar avea o altă orientare, ar introduce o componentă tangenţială care ar scoate fluidul din echilibru.

În cazul fluidelor, eforturile interioare sunt compresiuni şi se numesc presiuni.

Fie o particulă elementară de fluid de forma unui tetraedru având dimensiunile dx, dy şi dz, căreia i se asociază sistemul de axe cartezian.

Acţiunea fluidului din care a fost izolată particula se manifestă prin forţe superficiale, normale la feţele tetraedrului şi orientate în sensul compresiunilor (fig. 3.2.).

Page 32: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

32

x

y

z

M

C

A

Bdxdy

dz p dS

p dydz 2

p dxdz 2

p dxdy 2

y

x

z

Fig. 3.2. - Starea presiunilor în jurul unui punct

Considerând că presiunea p este o mărime vectorială zyx p,p,ppp

, px, py, pz fiind componentele după axele sistemului de referinţă, se pot scrie forţele superficiale reprezentate în figură astfel:

după direcţia Ox, normală la suprafaţa CMB: 2dxdypx

;

după direcţia Oy, normală la suprafaţa AMC: 2

dzdxpy

;

după direcţia Oz, normală la suprafaţa AMB: 2

dydxpz

;

după o direcţie normală la suprafaţa ABC: dSp . Asupra particulei acţionează şi forţele masice provenite dintr-un câmp

de forţe cum ar fi câmpul gravitaţional, un câmp magnetic, electric, etc. Forţele masice sunt proporţionale cu masa tetraedrului de fluid,

6dzdydx

. Fie f acceleraţia forţelor masice de componente fx, fy, fz. Se

pot scrie proiecţiile ecuaţiei de echilibru sub forma:

Page 33: Mecanica Fluidelor

Noţiuni de hidrostatică

33

06

dzdydxfcosdSp2

dydxp

06

dzdydxfcosdSp2

dzdxp

06

dzdydxfcosdSp2

dzdyp

zz

yy

xx

. (3.3)

unde , , sunt unghiurile pe care le face direcţia presiunii p cu axele de coordonate.

Din figura 3.2. se observă că:

2dzdycosdS

2dzdxcosdS

. (3.4)

2dydxcosdS

Înlocuind aceste relaţii în (3.3) şi făcând simplificările, se obţine:

03dzfpp

03

dyfpp

03

dxfpp

zz

yy

xx

. (3.5)

La limită, când dx = dy = dz 0, tetraedrul se reduce la punctul M, rezultând px = py = pz = p, adică presiunea, în jurul unui punct, are aceeaşi valoare după toate direcţiile, distribuţia ei în jurul punctului fiind sferică. Rezultă deci, că presiunea este o mărime scalară.

3.2.2. Legea generală a hidrostaticii (Ecuaţiile Euler

pentru statica fluidelor) În vederea determinării ecuaţiilor de echilibru ale fluidelor, se

consideră o particulă fluidă infinitezimală, detaşată din masa de fluid, particulă de dimensiuni dx, dy respectiv dz (fig. 3.3.).

Page 34: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

34

A

B

C

D

E

F

G

M

H

dxdy

dz(p - px

dx 2 dy dz

(p+ px

dx 2 dy dz

(p - pz

dz 2 dx dy

(p+ pz

dz 2 dx dy

(p -pydy

2dx dz

py(p+dy

2dx dz

Fig. 3.3. - Repausul unei mase de fluid

Acestui paralelipiped elementar i se asociază sistemul cartezian de referinţă.

Particula fluidă se găseşte în echilibru sub acţiunea forţelor superficiale şi a forţelor masice. Presiunea fiind o funcţie continuă de coordonatele punctului, se admite că în volumul infinitezimal ea variază liniar cu distanţa (deplasarea).

Dacă în centrul M al paralelipipedului presiunea este p, valorile ei înmulţite cu ariile feţelor laterale dau forţele superficiale reprezentate în fig. 3.3. Forţele masice se exprimă prin produsul dintre masă şi acceleraţia forţelor masice f

de componente fx, fy respectiv fz.

Ecuaţiile echilibrului hidrostatic proiectate după axele de coordonate, se scriu sub forma:

0dzdydxfdydx2dz

zppdydx

2dz

zpp

0dzdydxfdzdx2

dyyppdzdx

2dy

ypp

0dzdydxfdzdy2

dxxppdzdy

2dx

xpp

z

y

x

. (3.6)

După efectuarea calculelor, rezultă:

Page 35: Mecanica Fluidelor

Noţiuni de hidrostatică

35

0zp1f

0yp1f

0xp1f

z

y

x

. (3.7)

Acest sistem de ecuaţii exprimă echilibrul hidrostatic, fiind cunoscut sub denumirea de ecuaţiile lui Euler din hidrostatică.

Forma vectorială a acestui sistem este:

0pgrad1f

. (3.8)

3.2.2.1. Integrarea ecuaţiilor lui Euler într-un câmp de

forţe masice conservative

Înmulţind ecuaţiile sistemului (3.7) cu dx, dy respectiv dz, prin adunare se obţine:

dzzpdy

ypdx

xp1dzfdyfdxf zyx . (3.9)

Considerând fluidul incompresibil ( = const.) rezultă:

dpdzzpdy

ypdx

xp1 , (3.10)

dp fiind diferenţiala totală a funcţiei p. Se obţine:

dpdzfdyfdxf zyx , (3.11)

ecuaţie a cărei interpretare este: lucrul mecanic virtual elementar al forţei masice este egal cu lucrul forţelor elastice.

Această ecuaţie se poate integra numai dacă şi membrul stâng este o diferenţială totală. Această condiţie este realizată, numai dacă forţele masice derivă dintr-un potenţial - U (potenţialul câmpului forţelor masice).

Pe de altă parte, din (3.7) se obţine:

Page 36: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

36

zpf

ypf

xpf

z

y

x

. (3.12)

Din acest sistem se deduc prin derivări parţiale următoarele relaţii:

xf

yf yx

yf

zf zy

. (3.13)

zf

xf xz

Aceasta arată că forţele masice derivă într-adevăr din funcţia de potenţial – U, deci componentele forţei masice pe unitatea de masă sunt:

xUfx

; yUfy

; zUfz

, (3.14)

iar:

dUdzzUdy

yUdx

xUdzfdyfdxf zyx

, (3.15)

ecuaţia (3.11) devine:

0dUdp

. (3.16)

Prin integrare se obţine:

.constUp

, (3.17)

ce preprezintă ecuaţia fundamentală a hidrostaticii. Dacă se înmulţesc ecuaţiile (3.7) cu i

, j

respectiv k

, versorii axelor de coordonate, se obţine prin adunare:

zpk

ypj

xpifkfjfi zyx

,

sau: pgradf

, (3.18)

Page 37: Mecanica Fluidelor

Noţiuni de hidrostatică

37

intensitatea vectorului grad p fiind: 222

zp

yp

xppgrad

. (3.19)

Din cele de mai sus se observă că legea fundamentală a hidrostaticii se exprimă în mai multe moduri:

ecuaţiile (3.7), (3.11) şi (3.16) sunt exprimări sub formă diferenţială;

ecuaţiile (3.17) şi (3.18) sunt exprimări sub formă integrală.. 3.2.2.2. Consecinţe ale legii hidrostaticii a). Pentru fluide perfecte şi incompresibile ( = const.), în ecuaţia

(3.17) pentru U = const., rezultă p = const. Acest lucru înseamnă că o suprafaţă echipotenţială este şi izobară (p = const.).

b). Forţa aplicată masei este normală la suprafaţa echipotenţială care trece prin particula considerată.

Într-adevăr: ,0dUSd,fcosdSfdzfdyfdxf zyx

deoarece U = const.

Cum 0F , 0dS rezultă că, ,0Sd,fcos

deci f Sd

.

c). Sensul forţei f

este acela care corespunde descreşterii potenţialului, deoarece dUdL (L fiind lucrul mecanic elementar al forţei f

). d). Într-un fluid în echilibru, suprafeţele echipotenţiale sunt şi

izoterme; aceasta deoarece t,p . Cum const ., .constp , rezultă .constt

e). Suprafeţele echipotenţiale nu se pot intersecta. Ar însemna că în acelaşi punct să fie două presiuni diferite, ceea ce este imposibil.

f). O suprafaţă echipotenţială este izobară, totodată densitatea pe

suprafaţă este constantă, deci suprafaţa respectivă este şi izodensă. Într-adevăr, între două puncte situate pe două suprafeţe echipotenţiale vecine avem, conform ipotezei: p = const. şi U = const., rezultă că şi = const. conform ecuaţiei (3.17).

g). Suprafaţa de separaţie între două lichide nemiscibile (de densităţi diferite) este o suprafaţă echipotenţială, de asemenea şi între un lichid şi un

Page 38: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

38

gaz. Dacă 1 şi 2 sunt densităţile celor două fluide, între două puncte oarecare de pe suprafaţa de separaţie avem:

dUdUdp 21 , (3.20)

sau: .0dU21 Cum 21 , rezultă 0dU , respectiv .constU h). Dacă forţele masice sunt neglijabile, adică 0fff zyx ,

rezultă: 0zp

yp

xp

sau presiunea .constp în jurul unui punct şi se

propagă în orice punct din masa fluidului cu aceeaşi valoare (principiul lui Pascal). Un alt enunţ al acestui principiu poate fi: dacă se exercită din exterior într-un punct al unei mase de fluid în echilibru o presiune, această presiune se transmite în toată masa fluidă, adăugându-se presiunilor datorate forţelor masice.

Pe baza acestui principiu funcţionează unele maşini hidraulice simple ca: presa hidraulică, cricul hidraulic, acumulatorul hidraulic, etc.

3.2.2.3. Echilibrul fluidelor sub acţiunea câmpului

gravitaţional Studiul repausului absolut al lichidelor în câmpul gravitaţional,

important în numeroase aplicaţii tehnice utilizează proprietatea const . a fluidelor incompresibile şi expresia .constzgU a potenţialului forţelor masice unitare de greutate.

Considerând sistemul de axe Oxyz, cu axa Oz verticală în sus, (fig. 3.4.), forţa masică are o singură componentă –g, deci:

zUg

, sau .constzgU (3.21)

Fig. 3.4. - Forţa masică în câmp gravitaţional

x g

y

z

Page 39: Mecanica Fluidelor

Noţiuni de hidrostatică

39

Introducând această expresie a lui U în ecuaţia fundamentală a hidrostaticii se obţine:

.constzgp sau constzp

. (3.22)

Aceasta este ecuaţia de echilibru a fluidelor grele. Consecinţe: a). Considerând presiunile în două puncte la cote de înălţimi diferite z1

şi z2, rezultă: 1221 zzpp , (3.23)

adică diferenţa de presiune este egală cu greutatea unei coloane de lichid având ca înălţime diferenţa hzz 12 şi o secţiune dreaptă egală cu unitatea de suprafaţă.

b). Suprafaţa liberă a unui lichid este orizontală, deoarece dacă at21 ppp , rezultă 21 zz .

c). Suprafeţele izobare sunt orizontale şi se numesc plane de nivel. Aceste suprafeţe sunt şi echipotenţiale.

Din .constzgU , deducem, pentru .constU , că .constz Rezultă, de asemenea, că în vase comunicante lichidul se ridică la acelaşi nivel, oricare ar fi forma şi mărimea secţiunilor vasului (principiul vaselor comunicante).

d). Fie un rezervor ce conţine un lichid cu suprafaţa liberă la cota z0 faţă de un plan de referinţă şi presiunea p0 (fig. 3.5.).

fundplan de referinţă diagrama presiunii relative

plan de nivel

Plan de sarcină absolută

diadgramapresiuniiabsolute

vid

Z0

P0

A1B B'

C C'p0

0

Z

hH

P0

Hh

Fig. 3.5. - Repartiţia presiunilor în interiorul unui lichid în repaus

Page 40: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

40

Într-un punct A1 din interiorul lichidului, situat la cota z faţă de planul de referinţă, presiunea are valoarea p1. Rezultă:

hpzzpp 0001 , (3.24) sau:

hgpp 01 . (3.25) Se va numi p1 presiunea absolută, iar diferenţa (p1-p0) presiune

relativă sau suprapresiune. Se va face o reprezentare grafică, faţă de un plan de comparaţie

(referinţă), a presiunii şi nivelului unui lichid. Presiunea atmosferică se poate transforma în coloană de apă, cu ajutorul unui tub înfundat, plin cu apă, răsturnat în lichid cu gura în jos şi suficient de lung pentru ca să rămână vid în fundul tubului.

Astfel, planul suprafeţei lichidului din tub se numeşte plan de sarcină absolută, iar dreapta CO a presiunilor Hhpp 0 este diagrama presiunii absolute.

Planul CC (suprafaţa de contact cu atmosfera) se numeşte planul de apă sau luciul apei, sau plan de nivel, sau plan de sarcină hidrostatică, iar diagrama BC este diagrama presiunilor relative.

e). Dacă într-un vas se găsesc lichide de densităţi diferite, ele se vor separa după densităţi, cele mai grele la fund, deoarece altfel echilibrul ar fi instabil (trebuie ca centrul de greutate să aibă poziţia cea mai de jos, conform teoremei lui Toricelli). Suprafeţele de separaţie sunt echipotenţiale, deoarece pe aceste suprafeţe .const

În cazul lichidelor grele, aceste suprafeţe sunt orizontale. De asemenea, suprafaţa de separaţie dintre un lichid şi un gaz este

orizontală.

3.3. Echilibrul relativ

3.3.1. Condiţii generale

Dacă un fluid are o mişcare de antrenare faţă de un sistem de axe fix, acceleraţiile unei particule se compun după legea lui Coriolis:

rtra V2aaa

, (3.26) unde tr0 a,a,a

sunt, respectiv, acceleraţiile absolută, relativă şi de antrenare.

Page 41: Mecanica Fluidelor

Noţiuni de hidrostatică

41

Termenul rV2

, numit acceleraţia lui Coriolis, este produsul vectorial al vitezei relative rV

cu vectorul

, viteza instantanee de rotaţie a sistemului mobil faţă de sistemul de axe fix.

Fluidul este în echilibru relativ, dacă particulele sale sunt în repaus faţă de sistemul de axe mobil. În acest caz:

0Vr

, 0a r

, ta aa , (3.27)

respectiv, acceleraţia absolută este egală cu acceleraţia de antrenare. Dacă particula fluidă, de masă m, este supusă unei forţe F

, rezultantă

a forţelor date şi a forţelor de legătură, se poate scrie, conform principiului lui d’Alambert:

0amFamF ta

. (3.28) Astfel, orice problemă de echilibru relativ al unui fluid se reduce la o

problemă de echilibru între forţele aplicate particulei şi forţa de inerţie datorită mişcării de antrenare a sistemului mobil.

În cazul în care forţele masice derivă dintr-un potenţial U1 şi forţele de inerţie din potenţialul U2, ecuaţia diferenţială a echilibrului relativ al unui fluid se poate scrie, extinzând legea fundamentală a hidrostaticii, astfel:

21 UU ddp

, (3.29)

.constUUp 21 (3.30) 3.3.2. Exemple de probleme de echilibru relativ a). Vas cu lichid în mişcare de translaţie cu acceleraţie

constantă Fie un vas mobil care transportă lichid deplasându-se în plan orizontal

cu acceleraţie constantă .consta

. Forţele masice unitare sub acţiunea cărora o particulă fluidă M se

găseşte în echilibru sunt: acceleraţia gravitaţională g şi acceleraţia forţelor de inerţie, egale şi opuse acceleraţiei a (fig. 3.6.).

Page 42: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

42

a

x0

gf

a

h

z

M0

M

z z 0

p0 = ct.p = ct.

Fig. 3.6. - Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas mobil aflat în mişcare de translaţie cu a = const.

Condiţia de echilibru a lichidului rezultă din ecuaţia fundamentală a

hidrostaticii:

.constUp

, (3.30)

unde potenţialul U se determină cunoscând componentele acceleraţiei forţelor masice:

axUfx

; 0yUfy

; gzUfz

. (3.31)

Se obţine: dzgdxadU , sau

(3.32)

.constzgxaU (3.32) Astfel ecuaţia presiunii devine:

.constzgxap

(3.33)

Din (3.33) se obţine ecuaţia suprafeţelor izobare (p = const.) sub forma:

.constxgaz (3.34)

Toate izobarele sunt plane paralele cu axa Oy, suprafaţa liberă a lichidului este şi ea o suprafaţă izobară (p = p0 = const.).

Page 43: Mecanica Fluidelor

Noţiuni de hidrostatică

43

Pentru determinarea legii de distribuţie a presiunii pe verticală se aplică ecuaţia presiunii (3.33) între două puncte situate pe aceeaşi verticală. În punctul z,xM0 se obţine:

.constzgxap

00

, (3.35)

iar pentru punctul z,xM : hgpp 0 . (3.36)

b). Vas cu lichid aflat în mişcare de alunecare fără frecare, pe

un plan înclinat cu unghiul faţă de orizontală (fig. 3.7)

x x

z

z

g sin cos

g sin g sin2g c

os

g

Fig. 3.7. - Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas aflat în alunecare fără frecare pe un plan înclinat

Potenţialul forţelor masice specifice este:

.constzgU (3.37) Mişcarea sistemului are acceleraţia sing , iar forţa de inerţie

specifică a oricărui punct material este sing . Componentele acestei forţe după direcţiile Ox şi Oz fiind

cossing , respectiv 2sing , potenţialele din care ele derivă sunt

cossinxg , respectiv 2sinzg . Rezultă potenţialul total:

.constcossinxgsinzgzgU 2 (3.38)

Page 44: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

44

De unde: .consttgxzcosgU 2 (3.39)

Rezultă ecuaţia presiunii:

.consttgxzcosgp 2

(3.40)

Se observă faptul că suprafeţele echipotenţiale sunt paralele cu planul .consttgxz , (3.41)

deci şi cu planul înclinat dat.

c) Vas cu lichid în mişcare de rotaţie uniformă (n = const.)

Datorită mişcării de rotaţie a vasului, sunt antrenate mai întâi în mişcare particulele lichide aflate în contact cu peretele, apoi prin forţele de frecare internă sunt puse în mişcare de rotaţie, de la periferie spre centru, toate particulele masei de lichid.

A

r

z

z

z0

r dr

dzg1g

r

n

Fig. 3.8. - Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas în mişcare de rotaţie

Suprafaţa lichidului, iniţial orizontală, se modifică odată cu mişcarea, astfel că atunci când vasul ajunge la turaţie constantă, suprafaţa lichidului ia o

Page 45: Mecanica Fluidelor

Noţiuni de hidrostatică

45

formă curbată stabilă. O particulă fluidă este supusă gravitaţiei g, şi forţei de inerţie centrifuge specifice (pe unitatea de masă) 2r .

Suprafeţele echipotenţiale şi izobare trebuie să fie normale la rezultanta dintre g şi 2r , de unde relaţia:

gr

drdztg

2 , (3.42)

de unde, prin integrare se obţine:

gr

21zz

220

. (3.43)

Aceasta este ecuaţia unui paraboloid de rotaţie cu vârful în 0r,zzA 0 .

Prin urmare, suprafeţele echipotenţiale şi izobare sunt paraboloizi de rotaţie identici, printre aceştia aflându-se şi suprafaţa liberă a lichidului.

La acelaşi rezultat se ajunge utilizând legea fundamentală a hidrostaticii (3.29) sub formă integrală.

Astfel, potenţialul forţelor de gravitaţie este zgU1 , iar potenţialul

din care derivă forţa de inerţie centrifugă este: 222 r

21U .

Potenţialul total este:

.constr21zgUUU 22

21 , (3.44)

iar ecuaţia suprafeţelor echipotenţiale este:

.constrg2

1z 22 (3.45)

Valoarea constantei se obţine făcând 0r , 0zz , de unde se obţine ecuaţia (3.43).

Presiunea într-un punct de coordonate z,r este:

.constr21zg.constUp 22

, (3.46)

.constr2

zp 22

(3.47)

Pentru determinarea constantei, se consideră punctul de pe axă pe suprafaţa liberă a lichidului, care poate fi cunoscut prin condiţiile la limită.

Page 46: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

46

Aceste condiţii depind de volumul lichidului şi forma vasului, care sunt date.

Fie un vas cilindric de rază R şi h înălţimea dată a lichidului în stare de repaus, când suprafaţa lichidului este un plan orizontal (fig. 3.9).

R

h1

hh0

rz

n

Fig. 3.9. - Vas cilindric cu lichid în mişcare de rotaţie

Notând cu h1 nivelul maxim atins de lichidul în rotaţie, lângă perete, din condiţia de constanţă a volumului de lichid rezultă:

421

22 Rg4

hRhR

, (3.48)

de unde se obţine:

g4Rhh

221

. (3.49)

Pe de altă parte, ecuaţia paraboloidului care formează suprafaţa liberă este:

gr

21hz

220

, (3.50)

în care punând 1hz , Rr , conduce la:

g2Rhh

2201

. (3.51)

Din relaţiile (3.49) şi (3.50) rezultă: hh2hh 101 , sau h2hh 10 . (3.52)

Page 47: Mecanica Fluidelor

Noţiuni de hidrostatică

47

Din această relaţie şi (3.49), rezultă:

g4Rhh

220

. (3.53)

În punctul de la vârful paraboloidului, care formează suprafaţa liberă, de coordonate 0hz ,0r presiunea este cunoscută, 0pp .

Inlocuind în (3.47) se obţine: 00 p.consthp , (3.54)

sau: .consthp 00 , (3.55)

iar distribuţia presiunilor va fi:

zhr2

pp 022

0

. (3.56)

Page 48: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

48

CAPITOLUL IV

MĂSURAREA PRESIUNILOR

4.1. Presiunea relativă şi absolută. Unităţi de măsură

Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii stă la baza măsurării presiunii cu

ajutorul diferitelor instrumente şi aparate. Astfel, diferenţa de presiune dintre aerul conţinut într-un rezervor închis şi aerul atmosferic se poate măsura uşor cu ajutorul unui tub U umplut parţial cu lichid. Neglijând greutatea aerului se poate scrie (fig. 4.1.) relaţia: hgpp at1 , fiind masa specifică a lichidului din tubul U.

P1

A B

C

h

Pat

Fig. 4.1. - Manometru cu lichid

Coloana h a lichidului din instrumentul de măsură oferă indicaţii asupra diferenţei de presiune dintre cele două medii (rezervor şi atmosferă). Această diferenţă de presiune poartă numele de presiune relativă. Presiunea absolută se măsoară faţă de zero absolut. Presiunea relativă se măsoară faţă de presiunea atmosferică.

Noţiunea de presiune relativă se datorează imposibilităţii măsurării directe a presiunii absolute. Toate instrumentele de măsură determină presiuni relative, datorită prezenţei presiunii atmosferice.

În cazul presiunilor mai mici decât presiunea atmosferică, apare noţiunea de depresiune.

Page 49: Mecanica Fluidelor

Măsurarea presiunilor

49

Pentru cazul rezervorului A din fig. 4.2, ecuaţia presiunii este: hgpp 1at , de unde se obţine presiunea absolută din rezervor:

hgpp at1 , (4.1) sau depresiunea:

hgpp 1at . (4.2)

A

A erhP at

P 1

M erc urP at

p - 0

h - 7

60m

m

Fig. 4.2. - Măsurarea depresiunii

din rezervorul A Fig. 4.3. - Experienţa lui

Toricelli

Se pune problema determinării valorii maxime a coloanei h, respectiv a depresiunii maxime. Din relaţia (4.2) se observă că depresiunea maximă corespunde valorii 0p1 (presiunea absolută în rezervorul A), de unde

rezultă g

ph at

max . În aceste condiţii depresiunea maximă este egală cu

presiunea atmosferică. Experienţa lui Toricelli confirmă acest lucru, (fig. 4.3). Răsturnând un tub de sticlă plin cu mercur într-un recipient cu mercur,

se stabileşte în tub o coloană de mm 760 , coloană care echilibrează presiunea atmosferică. Toricelli a observat că această coloană de mercur îşi modifică înălţimea în timp, de unde concluzia că presiunea atmosferică prezintă unele fluctuaţii. Pascal a utilizat prima dată tubul lui Toricelli ca instrument de măsură a presiunii atmosferice, numindu-l barometru.

Page 50: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

50

În S.I. unitatea de măsură pentru presiune este newton pe metru pătrat 2m/N şi poartă denumirea de Pascal 2m/N1Pa1 .

În sistemul C.G.S., unitatea de măsură a presiunii se numeşte barye (dynă pe centimetru pătrat) 22 m/N1,0cm/dyn1 .

Bar-ul este definit ca fiind egal cu: 25226 m/N10cm/daN1cm/dyn10bar1

Atmosfera tehnică este utilizată ca unitate de măsură a presiunii, ca fiind: 242 m/N1080665,9cm/fkg1at1

Atmosfera fizică este presiunea care ridică în tubul barometric o coloană de 760 mm coloană de mercur la temperatura de 0C, într-un loc unde acceleraţia gravitaţională este 2s/m80665,9g (la 45 latitudine, la nivelul mării).

Deoarece instrumentele pentru măsurarea presiunii utilizează coloana de lichid, acest lucru a condus la exprimarea presiunii în unităţi de lungime:

2m/N80665,9apăcoloanămm1 . Această unitate este larg utilizată în tehnica zborului, tehnica

ventilatoarelor, etc. La diferenţe de presiune mai mari se utilizează ca lichid de măsură

mercurul: 1 mm col Hg = 133,322 N/m2 Onorând aportul lui Toricelli în studiul Mecanicii fluidelor, s-a propus

denumirea de Torr unităţii de 1 mm coloană de mercur: Hgcolmm1Torr1 . În tabelul 4.1. sunt prezentate corelaţiile unităţilor de presiune din

diferite sisteme.

Tabelul 4.1. - Convertirea diferitelor unităţi de măsură pentru presiune

N/m2 kgf/m2 kgf/cm2 dyn/cm2

N/m2 1 0,101972 0,000010197 10 kgf/m2 9,8066 1 0,000100 98,066 kgf/cm2=at 98066 10000 1 980665 dyn/cm2 0,1 0,010197 0,000001019 1 m.c.apă 9806,65 1000 0,1 98066 mm.c.apă 9,8066 1 0,0001 98,066 bar=1daN/cm 100000 10197 1,01972 1000000 mm.c.mercur=Torr 133,32 13,595 0,001359 1333

Page 51: Mecanica Fluidelor

Măsurarea presiunilor

51

m.c.apă mm.c.apă bar=daN/cm2 mm.c.

mercur=Torr

N/m2 0,000197 0,101972 0,00001 0,00750 kgf/m2 0,001 1 0,000098 0,07355 kgf/cm2=at 10 10000 0,980665 735,559 dyn/cm2 0,000010197 0,010197 0,000001 0,000750 m.c.apă 1 1000 0,098 73,556 mm.c.apă 0,001 1 0,000098 0,073556 bar=daN/cm2 10,197 10197 1 749 mm.c.mercur=Torr 0,013595 13,595 0,001332 1

4.2. Instrumente pentru măsurarea presiunilor

După principiul de funcţionare, instrumentele pentru măsurarea

presiunii pot fi: instrumente cu lichid; instrumente cu element elastic; instrumente cu piston; instrumente electrice; instrumente combinate. 4.2.1. Instrumente cu lichid (Piezometre)

Aceste instrumente au o construcţie relativ simplă, fiind formate

dintr-un tub de sticlă, drept sau în formă de U şi măsoară presiunea în coloană de lichid. Ele pot fi tuburi manometrice sau vacuummetrice, după cum măsoară presiuni mai mari sau mai mici decât presiunea atmosferică. Când măsoară presiunea relativă într-un punct, se numesc piezometre simple. Când măsoară presiunea dintre două puncte poartă numele de piezometre diferenţiale.

Când instrumentul de măsură foloseşte acelaşi lichid ca şi lichidul de lucru, se numeşte piezometru direct. Dacă instrumentul utilizează un alt lichid decât cel a cărui presiune se măsoară, se numeşte piezometru indirect.

a). Piezometrul constă dintr-un tub transparent de sticlă, racordat la vasul ce conţine lichidul a cărui presiune trebuie măsurată. Piezometrul este de două feluri: deschis (simplu), ca piezometrul (1) din fig. 4.4., în care caz măsoară presiunea relativă, sau închis, ca piezometrele (2) din fig. 4.4. (în acest caz tubul trebuie să fie suficient de lung pentru ca la partea superioară să rămână un spaţiu vidat). Piezometrul închis măsoară presiunea absolută.

Page 52: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

52

HA

hA

(1)

(2)

pa

(2)

(1)

M N

B

H

h

pa

a. b.

Fig. 4.4. - Piezometre

La montarea piezometrelor se au în vedere următoarele măsuri: Tubul transparent (de sticlă), prin care se citeşte la scară nivelul

lichidului, trebuie să fie calibrat uniform, având un diametru de minim 2 cm, pentru a se evita erorile datorate meniscului produs de tensiunea capilară;

Scara trebuie să aibă diviziuni trasate cu precizie, orizontale şi cât mai apropiate de tub;

Tubul să fie perfect curat; Linia vizuală să fie orizontală, tangentă la meniscul din tub, în axa

lui. Tubul piezometric închis nu se racordează la partea superioară a

vasului închis, unde se pot produce degajări şi acumulări de gaze şi vapori, care ar putea vicia rezultatele citirilor, ci la un perete lateral.

În fig. 4.4.a piezometrul măsoară o presiune mai mare ca presiunea atmosferică, în fig. 4.4.b. se măsoară o presiune inferioară presiunii atmosferice (vacuum parţial) fie cu ajutorul unui piezometru deschis (1) în care se constată o coloană de lichid de –h metri, fie cu un piezometru închis (2) în care se observă o coloană de H metri faţă de cota punctului B, astfel că:

hp )relativ(B ; HP )absolut(B şi Hp

h a

. (4.3)

Se observă că nivelul liber al lichidului se ridică în tubul deschis (fig. 4.4.b) până la cota MN pe baza principiului vaselor comunicante.

Page 53: Mecanica Fluidelor

Măsurarea presiunilor

53

b). Manometre cu mercur

APA

P0

hh'

B D

C

Fig. 4.5. - Manometru cu mercur

În vederea măsurării presiunii pA a unui lichid sau a unui gaz în punctul A se foloseşte manometrul reprezentat în fig. 4.5.

Între secţiunile B şi D pe aceeaşi suprafaţă de nivel, avem relaţia:

A'

0m phph , unde şi m sunt greutăţile specifice ale fluidului din recipient, respectiv a mercurului.

Se obţine:

0'

mA phhp . (4.4) Densitatea mercurului fiind de 13,6 ori mai mare decât cea a apei,

coloana de mercur, h, va fi de atâtea ori mai mică decât coloana unui piezometru cu apă.

Prin urmare, acest tip de piezometru poate fi folosit pentru presiuni mai mari.

Page 54: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

54

c). Tubul piezometric diferenţial

Fig. 4.6. - Piezometru diferenţial

În cazurile în care este necesară măsurarea diferenţei de presiune din două vase conţinând acelaşi lichid se foloseşte instrumentul din fig. 4.6. Acest instrument constă dintr-un tub de sticlă îndoit în formă de U răsturnat, având ambele capete racordate prin tuburi elastice, la cele două recipiente. La partea superioară a tubului se află o cantitate de aer care se poate regla prin robinetul R.

Dacă s-ar racorda la fiecare vas un piezometru închis, lichidul s-ar ridica în fiecare tub la înălţimile h1, respectiv h2.

Datorită presiunii p a aerului închis în partea curbată a tubului, aceste înălţimi vor fi mai mici cu p/, p fiind presiunea aerului închis, iar este greutatea specifică a lichidului.

Fie h şi h înălţimile reale la care se ridică lichidele în ramurile tubului. Rezultă relaţiile:

12'''

21 zzd)hh(pp ,

php '1 ; php ''

2 . (4.5)

R

p

p1

p2R2

R1

d

z1

z2

h''h'

Page 55: Mecanica Fluidelor

Măsurarea presiunilor

55

Dacă presiunea p este prea mare şi lichidul nu ajunge în ramurile tubului de sticlă, se deschide robinetul R pentru a alinia o parte din aer, presiunea p scăzând ca valoare.

d). Manometre pentru diferenţe mici de presiune Prezentăm aici manometrul diferenţial (fig. 4.7.) compus dintr-un

recipient conţinând un lichid (nevolatil).

p2 p1

1'

1 h1

1'

Fig. 4.7. - Micromanometru diferenţial

La partea superioară recipientul, este în legătură cu presiunea p2, iar la partea inferioară, prin intermediul unui tub de sticlă înclinat cu unghiul faţă de orizontală este în legătură cu presiunea p1. Fie p2 p1.

Lichidul se ridică în tubul înclinat de înălţimea h, deplasându-se cu

cantitatea

sin

hl , care se citeşte pe tubul înclinat, gradat.

Pentru precizia măsurării, instrumentul este prevăzut cu o nivelă cu bulă de aer şi un şurub de reglare a nivelului.

Diferenţa de presiune este: sinlhpp 12 . (4.6)

Un alt instrument de precizie este manometrul cu două lichide (fig. 4.8.), compus din două recipiente R şi R, având fiecare secţiunea mare egală cu S, unite între ele printr-un tub de secţiune mică s, cele două recipiente conţinând lichide nemiscibile, având densităţi puţin diferite între ele .

Page 56: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

56

M'M

N'N

h' h

A'A z

'

R' R

Fig. 4.8. - Micromanometru diferenţial cu două lichide

Înaintea racordării manometrului la cele două recipiente, suprafeţele MN şi M’N’ din vase, sunt supuse la aceeaşi presiune p, însă suprafaţa MN este sub nivelul suprafeţei M’N’ deoarece .

Notând cu h şi h nivelele acestor suprafeţe în raport cu suprafaţa de separaţie a celor două lichide, rezultă:

'h'php ; 'h'h . (4.7) Dacă presiunea creşte cu p în recipientul R, nivelul MN coboară cu

, iar nivelul MN urcă cu , astfel că putem scrie:

zsS , rezultă S

zs şi:

zhp'z'hpp , 'z''h'hp ,

z''Ssp

. (4.8)

4.2.2. Manometre cu element elastic Dintre aceste instrumente de măsurare a presiunii se folosesc mai mult

două tipuri: Manometre cu arc (Bourdon), formate dintr-un tub metalic elastic,

de secţiune transversală eliptică, sub forma unui arc, conectat la un capăt la recipientul a cărui presiune interioară urmează a fi măsurată (fig. 4.9.).

Page 57: Mecanica Fluidelor

Măsurarea presiunilor

57

Capătul opus al tubului este închis astfel că la o creştere a presiunii din tub, secţiunea eliptică a acestuia tinde să devină circulară, iar axa tubului tinde să devină rectilinie.

Capătul A al tubului, depărtându-se de centrul arcului, deplasează un sector dinţat, în jurul centrului C şi prin intermediul unei roţi dinţate O în angrenare cu sectorul, deplasează un ac indicator în faţa unei scări gradate. Acest manometru se etalonează cu ajutorul altui manometru de precizie (cu mercur).

P

A

1 2

0C

12

Fig. 4.9. - Manometru cu arc (Bourdon)

Manometrul cu membrană. La acest manometru (fig. 4.10.) se înlocuieşte tubul eliptic cu o membrană (placă) flexibilă care se deformează sub acţiunea presiunii, iar deformaţiile se transmit acului indicator printr-un dispozitiv cu angrenaje dinţate similar cu al manometrului Bourdon.

P

1

201

Fig. 4.10. - Manometrul cu membrană

Page 58: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

58

Manometrele metalice trebuiesc etalonate periodic, datorită eventualelor deformaţii remanente ale elementului elastic.

Când sunt utilizate pentru măsurarea presiunii atmosferice, manometrele se numesc barometre.

4.2.3. Manometre pentru presiuni mari

Manometrul cu piston, se compune dintr-o carcasă metalică cu pereţi groşi plină cu un lichid vâscos. Un piston de secţiune S, culisează într-un alezaj cilindric prevăzut la partea superioară a cutiei (fig. 4.11.).

F

p

Fig. 4.11. - Manometrul cu piston

Presiunea p tinde să ridice pistonul, care este adus la loc încărcând pistonul cu o greutate F.

Dacă p0 este presiunea atmosferică, se poate scrie:

SpSpF 0 şi SFpp a . (4.9)

Pentru presiuni foarte mari se utilizează proprietatea unui fir de manganin (aliaj de cupru cu 12 mangan şi 4 nichel) de a avea o rezistenţă electrică variabilă cu presiunea, conform legii: p102,21RR 6

0 unde R şi R0 sunt rezistenţele electrice la presiunea p, respectiv presiunea atmosferică.

Se introduce în lichidul, a cărui presiune se măsoară, o bobină de manganin protejată într-o capsulă plină cu benzină (care nu îngheaţă la temperaturi joase) şi se măsoară rezistenţa. Cu aceste manometre au fost studiate proprietăţile apei până la 20.000 at. presiune.

Page 59: Mecanica Fluidelor

Măsurarea presiunilor

59

4.2.4. Presiunea vaporilor

Dacă un tub piezometric închide o suprafaţă de apă, evaporarea apei în

tub se produce până la saturaţie, vaporii exercitând o presiune ce depinde de temperatură, indiferent de prezenţa vreunui gaz (sau aer) în spaţiul închis.

Dacă notăm cu p0 presiunea vaporilor saturaţi (fig. 4.12.), nivelul la

care se ridică apa într-un piezometru închis nu este ap deasupra suprafeţei

libere a apei, ci

va pp.

pv

papa-pv

Fig. 4.12. - Măsurarea presiunii vaporilor saturaţi

Pentru precizia citirilor înălţimilor piezometrice, în tabelul de mai jos, se dau valorile presiunii vaporilor saturaţi, în funcţie de temperatură, presiunea măsurată în milimetri coloană de mercur la 0C, care se adaugă înălţimii piezometrice citite (Tab. 4.2.).

4.2.5. Presiunea atmosferică

În tabela de mai jos se prezintă variaţia presiunii atmosferice cu altitudinea la temperatura de 0.

Pentru altitudini intermediare se poate interpola liniar. (Tabelul 4.3.)

Page 60: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

60

mm

mm

Hg

mm

Hg

Page 61: Mecanica Fluidelor

Măsurarea presiunilor

61

4.2.6. Instrumente electrice pentru măsurarea presiunii

La ora actuală, un loc tot mai important în tehnica măsurătorilor îl

ocupă instrumentele electrice de măsură. Domeniul lor de utilizare s-a extins la măsurarea mărimilor neelectrice, datorită avantajelor pe care le prezintă:

posibilitatea măsurării şi înregistrării continue a mărimilor măsurate; posibilitatea măsurării de la distanţă; precizie şi sensibilitate ridicată a măsurării; gama largă a limitelor de măsurare. Din punct de vedere tehnic, apar o serie de probleme specifice

utilizării instrumentelor electrice pentru măsurarea mărimilor neelectrice. Elementul care îndeplineşte funcţia de transformare a mărimii

neelectrice (presiunea) în mărime electrică (tensiune, intensitate, capacitate) se numeşte traductor. Traductoarele sunt transformatoare de energie mecanică în energie electrică. După natura parametrului electric care se modifică cu mărimea măsurată, traductoarele se clasifică:

traductoare piezoelectrice; traductoare capacitive; traductoare inductive; traductoare rezistive. Schema bloc a unui aparat electric de măsurare a presiunii este redată

în fig. 4.13., de unde se vede că traductorul este legat printr-un adaptor cu aparatul electric de măsură a cărui scală este gradată în unităţi de presiune.

Traductor Adaptor Aparat electric de măsură

Sursă deenergie electrică

Fig. 4.13. - Schema bloc a unui aparat electric de măsură a presiunii

a) Traductoare piezoelectrice

Page 62: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

62

Aceste instrumente au la bază proprietatea unor materiale dielectrice cristaline, care, supuse unor eforturi mecanice, se încarcă la suprafaţa lor cu sarcini electrice. Dacă acţiunea mecanică încetează, materialul dielectric revine la starea iniţială, neelectrizată.

Cristalul poate fi supus la întindere, compresiune, încovoiere, torsiune sau forfecare. Numărul sarcinilor electrice produse depinde de material şi este proporţional cu forţa; polarizarea se schimbă cu natura solicitării.

Cele mai utilizate cristale piezoelectrice sunt cuarţul (SiO2) şi turmalina, ambele având proprietăţi mecanice şi piezoelectrice foarte bune.

Axa

optic

ă

Axaelectrică

A

xam

ecan

ică

x x

y

y

z

z

abc

Px

Pz

Py

Fig. 4.14. - Celula structurală a cristalului de cuarţ

Cuarţul cristalizează în sistemul hexagonal, celula structurală elementară fiind prisma (fig. 4.14.). La cristalul de cuarţ se deosebesc următoarele axe principale:

axa optică (longitudinală); axele electrice, care unesc vârfurile hexagoanelor; axele mecanice (neutre), care unesc mijloacele laturilor hexagoanelor.

Dacă din acest cristal se decupează o plăcuţă de dimensiuni a, b, c având muchiile paralele cu cele trei axe, sub acţiunea unor forţe perpendiculare pe axa optică, cristalul se va electriza, vectorul de polarizare

Page 63: Mecanica Fluidelor

Măsurarea presiunilor

63

fiind orientat în lungul axei electrice (sarcinile electrice apar în plane perpendiculare pe axa electrică).

Construcţia unui traductor piezoelectric este prezentată în fig. 4.15.

1

2

3

45

67

Px

Fig. 4.15. - Traductor piezoelectric

Două plăcuţe de cuarţ 2 sunt prinse între şaibele metalice 3. Ele sunt supuse forţei de compresiune Px, prin intermediul membranei elastice 1. Capacul 6 este fixat de carcasa aparatului cu ajutorul unor şuruburi şi transmite plăcilor presiunea prin intermediul bilei 7. Sarcinile electrice dezvoltate pe plăcuţele de cuarţ, datorită compresiunii P, sunt colectate de şaiba metalică mijlocie legată de conductorul 4, izolat de manşonul 5. Cantitatea de electricitate încarcă feţele cuarţului şi conductoarele la o tensiune C/QU , Q fiind mărimea sarcinii, iar C este capacitatea dintre conductoare.

b) Traductoare capacitive Aceste traductoare au la bază un condensator plan a cărui capacitate C

este dată de relaţia:

SC , (4.10)

Page 64: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

64

unde: - este permeabilitatea mediului dintre armături; S - suprafaţa unei armături; - distanţa dintre armături.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x10-20

00,40,81,21,62,02,42,83,23,64,04,4

C[

F]

[cm]

x103

Fig. 4.16. - Principiul constructiv al unui traductor capacitiv

Din figura 4.16. rezultă principiul de funcţionare al unui traductor capacitiv. Armătura 1 este suspendată cu ajutorul unor arcuri şi are posibilitatea deplasării sub acţiunea rezultantei presiunii, P. Armătura 2 fiind fixă, rezultă că singura mărime care se modifică este distanţa dintre armături, o dată cu ea se modifică şi capacitatea condensatorului C. Alăturat se reprezintă grafic dependenţa fC pentru un condensator plan, de unde se observă că un traductor capacitiv este astfel proiectat încât să funcţioneze pe porţiunea iniţială a curbei, ramură aproximată cu o dreaptă. Dar, micşorarea distanţei dintre armături este limitată de pericolul străpungerii dielectricului. Evitarea acestui neajuns se face prin intercalarea între armături a unei plăcuţe subţiri de mică, care măreşte sensibilitatea aparatului.

c) Traductoare inductive Aceste instrumente se bazează pe principiul inducţiei

electromagnetice. În fig. 4.17.a se prezintă schema unui astfel de traductor, cu un întrefier foarte mic între cele două armături (fixă şi mobilă).

P1 2

Page 65: Mecanica Fluidelor

Măsurarea presiunilor

65

P

[mm]

z

a b

Fig. 4.17. - Traductoare inductive

Sub acţiunea rezultantei presiunii P, variază distanţa dintre armături, variază inductanţa bobinei aşezată pe miez şi conectată la un circuit de curent alternativ.

Variaţia reactanţei inductive a bobinei duce la o variaţie corespunzătoare a impedanţei Z a acesteia. Rezultă o dependenţă între presiunea P şi impedanţa bobinei Z:

PfZ ; PfZ . (4.11) Această dependenţă reprezentată grafic este o hiperbolă echilaterală. Dacă 0 este valoarea iniţială a întrefierului, variaţia se admite

015,01,0 pentru a se utiliza porţiunea liniară a caracteristicii. Porţiunea liniară a caracteristicii poate fi extinsă prin utilizarea unor

traductoare diferenţiale (fig. 4.17.b), ale căror bobine sunt legate la două ramuri vecine ale unei punţi echilibrate.

În acest montaj, erorile datorate unor factori externi ca variaţia tensiunii şi frecvenţei sursei de alimentare, variaţia temperaturii traductorului, sunt în mare parte eliminate.

Page 66: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

66

CAPITOLUL V

FORŢE HIDROSTATICE. PLUTIREA CORPURILOR

5.1. Forţa hidrostatică pe un perete plan

Forţa hidrostatică este dată de rezultanta forţelor de presiune ce acţionează asupra pereţilor rezervoarelor. Dacă în cazul gazelor presiunea se admite ca fiind constantă în toată masa, la lichide presiunea variază cu adâncimea, ceea ce complică calculul forţei rezultante.

y

x

P S

zi

y

zizi

x

x

G

0 0

S

Cds

G

C

P

x0

z oi

z i

dPzz 0

Fig. 5.1. - Forţa hidrostatică pe un perete plan

Fie o suprafaţă S, aparţinând unui perete plan, înclinat cu unghiul faţă de nivelul apei (fig. 5.1.). În planul xOzi, suprafaţa S apare în mărime adevărată. Pe elementul de suprafaţă dS, situat la adâncimea z faţă de nivelul apei acţionează forţa elementară dP, normală la suprafaţă şi orientată dinspre lichid spre perete: dSpdP , unde zgpp 0 . Acţiunea aerului din exterior asupra elementului de suprafaţă dS este egală cu p0dS şi echilibrează componenta p0 din valoarea presiunii p. Rezultă forţa hidrostatică elementară:

dSzgdP . (5.1) Pentru suprafeţe plane toate forţele elementare sunt paralele între ele,

rezultanta lor fiind:

Page 67: Mecanica Fluidelor

Forţe hidrostatice. Plutirea corpurilor

67

SS

dSzgdPP . (5.2)

Pentru integrare se transpun coordonatele în planul xOzi, unde sinzz i , rezultând:

S

i dSzsingP . (5.3)

Această integrală reprezintă momentul static al suprafeţei S faţă de axa Ox, egal cu zoi S ( zoi este distanţa măsurată în lungul axei Ozi de la centrul de greutate al suprafeţei S până la axa Ox). Se obţine:

SzsingP oi , (5.4) sau SzgP 0 . (5.5) z0 fiind distanţa pe verticală de la centrul de greutate G la nivelul lichidului.

Forţa P este perpendiculară pe suprafaţa S şi este orientată dinspre lichid înspre suprafaţă.

Pentru calculul coordonatelor punctului de aplicaţie C al rezultantei presiunilor, numit centru de presiune, se egalează momentul rezultantei P, faţă de axa Ox, cu suma momentelor forţelor elementare (Teorema lui Varignon):

S

ii dPzP , (5.6)

sau: S

2ii0i dSzsingSzsing , (5.7)

de unde se obţine:

Sz

dSz

i0S

2i

i

. (5.8)

Această relaţie (5.8) se poate transforma exprimând momentul de inerţie

Sx

2i IdSz , în funcţie de momentul de inerţie Ix0 faţă de axa

principală de inerţie (teorema lui Steiner): SzII 2

i0xx 0 . (5.9)

Rezultă: Sz

Iz

i0

xi0i

0

. (5.10)

Page 68: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

68

Cealaltă coordonată a centrului de presiune C, se obţine în mod identic, scriind momentele faţă de axa Ozi:

S

dPxP . (5.11)

Rezultă: Sz

I

i0

xz i

, (5.12)

sau Sz

Ix

i

i00

0

zx0 . (5.13)

Forţa hidrostatică ce acţionează asupra unui perete plan se poate determina şi pe cale grafo-analitică (fig. 5.2.).

0

A

S

GC

CB

dzi

dS

b

A'

P

Ariapresiunilor

B'dP

zdA=zdzi

x

Fig. 5.2. - Forţa hidrostatică pe un perete plan dreptunghiular

În cazul unei suprafeţe plane dreptunghiulare, elementul dS are dimensiunile din figură: idzbdS . Forţa elementară este:

idzbzgdP . (5.14) Rezultanta forţelor elementare este:

idzzbgdPP . (5.15)

Produsul idzz reprezintă aria elementară dA din fig. 5.2. Suma acestor arii elementare reprezintă aria presiunilor (AABB). Modulul forţei hidrostatice este:

AbgP . (5.16) Rezultă coordonata i a centrului de presiune:

A

dAzii

, (5.17)

Page 69: Mecanica Fluidelor

Forţe hidrostatice. Plutirea corpurilor

69

care este coordonata centrului de greutate al ariei A. În particular, când suprafaţa dreptunghiulară S se extinde până la

nivelul lichidului, aria presiunilor este triunghiulară (fig. 5.3). În acest caz:

sin2

hbgP

2i ; ii h

32 . (5.18)

P

h

h i

b

G

C

i=(2

/3)h

ih

Fig. 5.3. - Forţa hidrostatică pe o suprafaţă dreptunghiulară extinsă până la nivelul lichidului

a). Forţa hidrostatică pe un perete vertical

Acesta este un caz particular pentru 90 . Modulul forţei se calculează cu relaţia (5.5). Coordonatele centrului de presiune sunt:

Sz

Iz

0

x0

0

; Sz

Ix

0

zx0

00

. (5.19)

b). Forţa hidrostatică pe un perete plan orizontal

Se ştie că suprafeţele plane orizontale sunt suprafeţe izobare, pe care presiunea este distribuită uniform.

Forţa hidrostatică este produsul dintre presiune şi mărimea suprafeţei. Notând cu h (fig. 5.4.) distanţa de la nivelul lichidului la suprafaţa S,

forţa hidrostatică este: ShgP .

Page 70: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

70

P P P

S S S

h

Fig. 5.4. - Forţa hidrostatică pe un perete plan orizontal

Dacă se calculează forţa hidrostatică ce acţionează pe fundul unor vase de diferite forme care au aceeaşi suprafaţă S şi aceeaşi înălţime h, forţa hidrostatică este aceeaşi indiferent de volumul apei din vas (paradoxul hidrostatic).

Acest lucru se explică prin faptul că forţa hidrostatică este ShgP ; diferenţa dintre greutatea totală a lichidului G şi forţa

hidrostatică P este rezultanta presiunilor pe pereţii laterali.

5.2. Forţa hidrostatică pe un perete cilindric

Se consideră o suprafaţă cilindrică (fig. 5.5.a) a cărei intersecţie cu planul figurii este curba AB. Această curbă este parte a peretelui unui rezervor umplut cu lichid, nivelul lichidului fiind în planul xOy.

Faţă de cazul suprafeţelor plane, forţele elementare dSzgdP au orientări diferite datorită curburii suprafeţei, rezultanta lor, P, nu se poate determina prin simpla lor adunare.

x

x

z

0

dV dSz 0

PPz

Px

A'

B'

dSx

AdSz

V V

B

dP

dPzdPx

dPx

dPx

z

Cx Sx

x

Fig. 5.5. a - Forţa hidrostatică pe un perete cilindric

Page 71: Mecanica Fluidelor

Forţe hidrostatice. Plutirea corpurilor

71

Se pot determina componentele Px şi Pz ale forţei P (fig. 5.5.a), însumând toate componentele orizontale ale forţelor elementare:

cosdSzgcosdPdPx , (5.20) respectiv verticale:

sindSzgsindPdPz . (5.21) Cum xdScosdS reprezintă proiecţia suprafeţei dS pe un plan

vertical şi zdSsindS , reprezintă proiecţia suprafeţei dS pe un plan orizontal se pot calcula componentele corespunzătoare:

xoxS

xxx SzgdSzgdPPx

, (5.22)

zSzzz VgdVgdSzgdPP . (5.21)

Punctul de aplicaţie al forţei Pz se determină scriind că momentul forţei rezultante faţă de axa Oy, respectiv Ox este egal cu suma momentelor forţelor elementare:

zz PxP şi zz dPyP De unde, rezultă:

VdVz

şi V

dVy . (5.22)

deci Pz trece prin centrul de greutate al volumului V. Dacă Px şi Pz sunt situate în acelaşi plan, se poate determina rezultanta

lor: 2z

2x PPP , (5.23)

înclinată cu unghiul faţă de orizontală ( xz P/Ptg ). Sensul forţei hidrostatice este întotdeauna dinspre lichid înspre perete (fig. 5.5.b).

A

B

P

Px

Pz

VB'' A''

Fig. 5.5.b - Sensul forţei hidrostatice pe un perete cilindric

Page 72: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

72

5.3. Legea lui Arhimede

Presupunem un corp de greutate G şi volum V, scufundat în întregime într-un lichid de masă specifică (fig. 5.6.).

0

x

y

zV

S1S2

SxCx P1x P2x

S1

V1

x

z

y

S2

0

P2z

P1z

Sz

V2

Fig. 5.6. - Legea lui Arhimede (schemă)

Rezultanta forţelor masice este greutatea corpului, iar rezultanta presiunilor exercitate asupra corpului este verticală şi egală cu greutatea volumului de lichid dezlocuit de corp, Vg .

Forţa hidrostatică ce acţionează pe suprafaţa închisă S, ce limitează volumul V, se determină prin cele trei componente ale sale, paralele cu axele sistemului.

Pentru calculul componentei Px se proiectează suprafaţa S pe planul y0z. Locul punctelor de tangenţă ale dreptelor de proiecţie cu corpul considerat, este o curbă ce împarte suprafaţa închisă S în două suprafeţe S1 şi S2 care admit aceeaşi proiecţie S pe planul y0z. Forţele hidrostatice pe cele două suprafeţe S1 şi S2 sunt egale şi de semne contrare:

xoxx2x1 SzgPP . Rezultanta lor este nulă. Analog, se deduce că rezultanta forţelor după direcţia Oy este, de asemenea, nulă.

Pentru determinarea componentei verticale a forţei hidrostatice se proiectează suprafaţa S pe planul x0y. Locul geometric definit de punctele de tangenţă ale dreptelor de proiecţie este o curbă care limitează cele două suprafeţe deschise S1 şi S2 ale căror proiecţie unică este Sz.

Modulul componentei verticale a forţei hidrostatice pe suprafaţa S1 este 1z1 VgP , V1 fiind volumul cilindrului delimitat de suprafaţa S1 şi nivelul lichidului, Sz.

Page 73: Mecanica Fluidelor

Forţe hidrostatice. Plutirea corpurilor

73

Modulul forţei verticale pe suprafaţa S1 este 2z2 VgP , V2 fiind volumul cilindrului delimitat de suprafaţa S2 şi suprafaţa liberă.

Cele două forţe având sensuri opuse, rezultanta lor este o forţă ascensională, de modul:

VgVVgP 12z . (5.24) Această relaţie exprimă legea lui Arhimede: asupra unui corp cufundat

într-un lichid, acesta exercită o forţă ascensională egală cu greutatea volumului de lichid dezlocuit.

Forţa ascensională Pz trece prin centrul de greutate al volumului V.

5.4. Noţiuni despre plutirea corpurilor Un corp pluteşte într-un lichid când greutatea lui G0, este echilibrată

de forţa ascensională, Pz, calculată cu relaţia (5.24). Condiţia de echilibru impune, pe lângă egalitatea forţelor z0 PG

şi coliniaritatea acţiunii lor.

Pz Pz

PzPz

C C

CC

G G

GG

G0G0

G0G0

Fig. 5.7. - Cazuri de plutire de adâncime

În cazul lichidelor se poate stabili atât o plutire de adâncime (fig. 5.7.)

cât şi o plutire de suprafaţă (fig. 5.8.).

Page 74: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

74

Fig. 5.8. - Schema unei plutiri de suprafaţă

Partea imersată a corpului plutitor se numeşte carenă. Intersecţia

corpului plutitor cu planul nivelului lichidului reprezintă aria de plutire. Conturul ariei de plutire se numeşte linia de plutire.

Dacă corpul este omogen şi are o formă simetrică, în planul de simetrie se găseşte atât centrul de greutate G0 cât şi centrul de carenă C, punctul de aplicaţie al forţei ascensionale.

Linia care uneşte centrul de greutate cu centrul de carenă, în poziţia de echilibru se numeşte axă de plutire.

Corpul plutitor poate oscila în jurul axei de oscilaţie longitudinale O-O (mişcări de ruliu), sau în jurul axei de oscilaţie transversale O-O (mişcări de tangaj).

Axa de oscilaţie se defineşte ca fiind dreapta de intersecţie a ariilor de plutire.

Când volumul carenei nu se modifică, plutirea este izocarenă. 5.4.1. Teorema lui Euler În cazul plutirii izocarene, axa de oscilaţie trece prin centrul de

greutate al ariei de plutire.

Arie deplutire

Axa lo

ngitu

dinală

de os

cilaţi

e

Plan deplutire Axa

transversalăde oscilaţie

Carenă

Linie deplutire pe

scaj

h max

=

0 0'

0

Page 75: Mecanica Fluidelor

Forţe hidrostatice. Plutirea corpurilor

75

dS

AA'

B'

CG

0dSx

G0

Pz

x tg

v

Axa deplutire

B

Axa

long

itudi

nală

de

osci

laţie

Fig. 5.9. - Studiul echilibrului unui corp omogen de formă paralelipipedică

Fie corpul plutitor reprezentat în secţiune transversală în fig. 5.9.,

unde O este urma axei de oscilaţie longitudinale şi AB intersecţia ariei de plutire cu planul figurii.

Înclinând plutitorul cu unghiul , planul de plutire intersectează plutitorul după AB. Dacă plutirea este izocarenă, volumele AOA şi BOB sunt egale. Ele se pot exprima prin însumarea volumelor construite pe elementul dS din suprafaţa de plutire, având înălţimea tgx .

Deoarece volumele care ies din apă sunt opuse celor care intră în apă, se poate scrie:

SxtgdSxtgdStgxO 0)S()S(

, (5.25)

unde S este mărimea ariei de plutire, iar x0 este distanţa de la centrul ei de greutate la axa de oscilaţie. Cum 0 tg şi 0S , rezultă că 0x0 , adică axa de oscilaţie trece prin centrul de greutate al ariei de plutire.

Page 76: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

76

5.4.2. Stabilitatea corpurilor plutitoare Echilibrul corpurilor plutitoare poate fi stabil, labil sau indiferent. Echilibrul stabil se realizează în cazul când la deplasarea corpului din

poziţia de echilibru ia naştere un cuplu de redresare care tindă să-l readucă în poziţia iniţială.

În cazul plutirii de adâncime, condiţia de stabilitate cere ca centrul de greutate al corpului să fie plasat sub centrul carenei.

În cazul plutirii de suprafaţă, când condiţia de mai sus este îndeplinită, echilibrul este stabil. Echilibrul stabil se poate realiza şi în cazurile când centrul de greutate este situat deasupra centrului carenei.

a). Echilibrul stabil

Fie un corp omogen, de formă paralelipipedică în echilibru în poziţia I (fig. 5.10.).

Fig. 5.10. - Echilibrul stabil În poziţia II corpul a fost înclinat cu unghiul faţă de poziţia I. Cele

două forţe G0 şi 'zP , nemaifiind pe aceeaşi linie de acţiune, dau un moment de

redresare care tinde să restabilească echilibrul. Prelungind direcţia forţei ascensionale '

zP , ea întâlneşte axa de plutire în punctul M numit metacentru. La înclinaţii relativ mici ( 15) metacentrul se menţine în acelaşi punct,

G0

0 0 M

G0

G GC

I IIPz

Pz'

CC'

L

Page 77: Mecanica Fluidelor

Forţe hidrostatice. Plutirea corpurilor

77

cu o eroare sub 5 , iar centrul de carenă se deplasează după o linie, cu o rază de curbură numită rază metacentrică.

Se observă că în cazul echilibrului stabil metacentrul este situat deasupra centrului de greutate.

Distanţa L dintre metacentru şi centrul de greutate poartă numele de distanţă metacentrică, care în cazul echilibrului stabil L 0.

b). Echilibrul nestabil (labil) În fig. 5.11., cuplul format de forţele G0 şi '

zP răstoarnă corpul spre o nouă poziţie de echilibru.

Echilibrul corpului este nestabil, metacentrul găsindu-se sub centrul de greutate (L 0).

Fig. 5.11. - Echilibrul nestabil

c). Echilibrul indiferent

Acest echilibru se stabileşte când în orice poziţie plutitorul este în echilibru (fig. 5.12.).

I II

0 M

G0

C

Pz Pz'

C'

L

G0

G G0

C

Page 78: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

78

0G=M

G0

PzPz'

CC'

C

Fig. 5.12. - Echilibrul indiferent

Este cazul corpurilor de formă sferică sau cilindrică cu generatoarea paralelă cu nivelul lichidului. Se vede că în orice poziţie forma carenei este simetrică faţă de axa de plutire, deci G0 şi zP sunt situate pe aceeaşi linie de acţiune, iar metacentrul coincide cu centrul de greutate (L = 0).

Page 79: Mecanica Fluidelor

Cinematica fluidelor (hidrocinematica)

79

CAPITOLUL VI

CINEMATICA FLUIDELOR

(HIDROCINEMATICA)

6.1. Hidrocinematica

Hidrocinematica este acea parte a mecanicii fluidelor care studiază mişcarea fluidelor în curenţi sau vâne libere, fie prin conducte, canale, râuri sau diferite instalaţii tehnice; studiază, de asemenea şi problema inversă a mişcării unui corp într-un fluid.

Studiul mişcării unui fluid se poate face în două moduri diferite, după sistemul de variabile independente, sau de parametri care se adoptă.

a). Sistemul Lagrange

Se consideră mişcarea unei particule pe traiectoria ei raportată la un sistem de axe x0yz, fix. Poziţia particulei la momentul t depinde de timpul t şi de coordonatele iniţiale x0, y0, z0, adică:

)t,z,y,x(zz)t,z,y,x(yy)t,z,y,x(xx

000

000

000

. (6.1)

Componentele vitezei după axele sistemului se obţin prin derivarea parţială în raport cu t a coordonatelor:

)t,z,y,x(ft

Ftyv

)t,z,y,x(ft

Ftyv

)t,z,y,x(ft

Ftxv

00033

z

00022

y

00011

x

. (6.2)

În privinţa acceleraţiei, se observă că, întrucât viteza unui punct pe o traiectorie păstrează parametrii x0, y0, z0 constanţi pentru o deplasare infinitezimală, acceleraţia depinde numai de variaţia lui t, deci componentele după cele trei axe ale acceleraţiilor se pot exprima ca derivate parţiale ale vitezelor, în raport cu timpul, adică:

Page 80: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

80

;t

va xx

;

tv

a yy

tv

a zz

. (6.3)

Această metodă de studiu a mişcării unui fluid este identică cu metoda de studiu a mişcării unui sistem continuu de puncte materiale.

Odată cunoscute traiectoriile, vitezele şi acceleraţiile, se pot determina presiunile, densitatea şi temperatura în diferite puncte ale mişcării, ţinând seama şi de ecuaţiile fizice.

b). Sistemul Euler

Se consideră un punct fix în spaţiu, raportat prin coordonatele sale x, y, z la un sistem cartezian 0xyz, fix şi se studiază elementele mişcării tuturor particulelor care trec prin acel punct, când t variază. Astfel, viteza particulelor ce trec prin acelaşi punct fix din spaţiul ocupat de fluid este funcţie de coordonatele x, y, z şi de timpul t:

)t,z,y,x(fv 1x ; t,z,y,xfv 2y ; )t,z,y,x(fv 3z . (6.4) Dacă se consideră traiectoria unei particule, în sistemul Euler, trebuie

observat că vitezele se determină ca derivate totale ale funcţiilor x, y, z, întrucât creşterile lui x, y, z, reprezentând deplasarea particulei, sunt funcţii de timp, deci componentele vx, vy, vz ale vitezei se obţin din ecuaţiile:

;dtdxvx ;

dtdyvy

dtdzvz , (6.5)

şi nu prin derivate parţiale în raport cu t, cum se face în cazul sistemului Lagrange.

Prin urmare, componentele acceleraţiei în sistemul Euler se obţin astfel:

zz

yz

xzzz

z

zy

yy

xyyy

y

zx

yx

xxxx

x

vz

vvy

vvx

vt

vdt

dva

vz

vv

yv

vx

vt

vdt

dva

vz

vvy

vvx

vt

vdt

dva

. (6.6)

În general, nu se studiază traiectoriile în sistemul Euler, dar dacă se cere acest lucru, se integrează ecuaţiile:

dtvdz;dtvdy;dtvdx zyx , (6.7)

Page 81: Mecanica Fluidelor

Cinematica fluidelor (hidrocinematica)

81

iar constantele de integrare ce se obţin sunt evident coordonatele fluide sau variabilele independente x0, y0, z0 la momentul t0, ale lui Lagrange.

Astfel, se poate face trecerea de la sistemul Euler la sistemul Lagrange.

În notaţie vectorială se poate caracteriza sintetic deosebirea dintre cele două sisteme de reprezentare astfel:

în sistemul Euler viteza se poate exprima prin ecuaţia: )t,r(fv

, (6.8)

în sistemul Lagrange se exprimă prin ecuaţia: )t,r(Fv 0

. (6.9)

În aceste ecuaţii r

reprezintă razele vectoare ale unui punct oarecare din spaţiu considerat fix (sistemul Euler), pe când 0r

reprezintă razele

vectoare ale punctelor iniţiale prin care trec diferite traiectorii (sistemul Lagrange).

6.2. Clasificarea mişcării fluidelor

Mişcarea unui fluid are loc în general într-un spaţiu limitat (finit), sunt însă situaţii când studiul se face mai comod considerând că mişcarea se efectuează într-un spaţiu infinit. Spaţiul este limitat fie de pereţi solizi, fie de alt fluid, fie de acelaşi fluid, printr-o suprafaţă de discontinuitate. Spre exemplu se poate considera, un fluid într-un spaţiu infinit (aerul atmosferic) care are o mişcare generală, iar în acest fluid se mişcă un corp solid (un avion) care antrenează în jurul lui şi în spatele său o cantitate de aer separată de aerul atmosferic printr-o suprafaţă de discontinuitate, sediu al unor fenomene speciale.

Clasificarea mişcării fluidelor se poate face după mai multe criterii, astfel:

a). După forma generală a mişcării fluidului se deosebesc trei

tipuri distincte: curenţi care se transmit prin masa fluidă; mişcări de agitaţie; perturbări cauzate de un impuls local.

Curentul se defineşte ca o masă fluidă în care cea mai mare parte a particulelor elementare participă la o mişcare generală care are loc într-un

Page 82: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

82

spaţiu, de obicei, nelimitat. Individual, particulele pot avea şi mişcări după alte direcţii decât direcţia medie a mişcării sau, în anumite zone, se pot ivi perturbări sau regiuni de materie în repaus.

Curenţii nu sunt formaţi din mişcări paralele sau cvasiparalele ale particulelor fluide. Un curent poate fi convergent, divergent sau de rotaţie în jurul unei axe. Acest din urmă tip de curent se numeşte curent circulator sau de vârtej, axa vârtejului poate fi o curbă oarecare, închisă sau deschisă. De asemenea, un curent poate avea o mişcare compusă din mişcări elementare (mişcare elicoidală).

Mişcările de agitaţie se caracterizează prin oscilaţii ale particulelor sau grupurilor de particule în jurul unor poziţii medii (mişcarea valurilor, a mareelor, oscilaţiile apei în rezervoare şi castele de echilibru).

Perturbările produse prin impuls local aduc masei fluide modificări de formă şi de presiuni, tranzitorii, şi au în general caracterul de unde (denivelări care se deplasează la suprafaţa apei, unde de suprapresiune într-o conductă sub presiune).

b). După desfăşurarea în spaţiu a mişcării, se deosebesc:

Mişcări unidimensionale (liniare) la care predomină deplasările în lungul unei linii drepte sau curbe, al cărui model este mişcarea unui fluid într-o conductă având secţiunea transversală foarte mică. Cazul ideal al unei astfel de mişcări se numeşte fir de curent sau linie de curent.

Mişcări bidimensionale (plane) sunt mişcările la care predomină mişcările după două direcţii (mişcări plane). Exemplu: mişcarea unui fluid între două plăci plane paralele, la care se observă că, făcând secţiuni în fluid prin planuri paralele cu plăcile marginale, spectrul mişcării (viteză, acceleraţie, presiune) nu este acelaşi şi superpozabil în toate planele.

Mişcări tridimensionale (spaţiale) reprezintă cazul general de mişcare a fluidelor reale: vitezele, presiunile au în general componente după cele trei direcţii ale sistemului de axe de coordonate. Ca exemple de mişcări tridimensionale amintim mişcările axial simetrice şi mişcările elicoidale.

c). Din punct de vedere al limitelor domeniului, deosebim:

Curenţii sub presiune, când fluidul curge între pereţi la presiuni care nu sunt cunoscute, în general, prin datele problemei (conducte).

Page 83: Mecanica Fluidelor

Cinematica fluidelor (hidrocinematica)

83

Curenţii cu o suprafaţă liberă de scurgere, cum sunt cei din albiile râurilor şi din canale, la care o parte din limitele domeniului nu este cunoscută prin datele problemei, ci numai presiunea la limitele domeniului sunt cunoscute, iar secţiunea de scurgere trebuie să rezulte din calcul (nivelul variază).

Curenţi care se formează în jurul unui corp solid aflat într-un fluid, înăuntrul unor suprafeţe de discontinuitate necunoscute, dar la care viteza şi presiunea sunt cunoscute.

Curenţi de forma unor jeturi sau vâne în interiorul altui fluid la care limita domeniului este chiar suprafaţa vânei.

d). Din punct de vedere al desfăşurării în timp a mişcării,

deosebim:

Mişcarea permanentă sau staţionară, la care, într-un acelaşi punct, determinat în spaţiu, componentele vitezei fluidului sunt constante în timp, în acest caz rămân constante în timp şi acceleraţiile, presiunile, etc.

Mişcarea nepermanentă sau variabilă, când vitezele în acelaşi punct determinat din spaţiu variază de la un moment la altul. Totodată variază şi acceleraţiile şi presiunile în punctul considerat, de la un moment la altul. Totodată variază şi acceleraţiile şi presiunile în punctul considerat, de la un moment la altul, iar dacă curentul este cu suprafaţă liberă, variază în timp şi forma acestei suprafeţe.

Mişcarea semipermanentă la care vectorii vitezelor au direcţii fixe în

fiecare punct din spaţiu, însă intensităţile variabile cu timpul. Exemplu: mişcarea variabilă a unui fluid într-o conductă fixă.

Mişcarea uniformă care este un caz particular al mişcării permanente, vitezele fiind constante în timp şi egale ca intensitate în toate punctele omoloage.

6.3. Noţiuni de bază în hidrodinamică

6.3.1. Linia de curent

Linia de curent se defineşte ca fiind linia tangentă în fiecare punct la

vectorul viteză care la un moment dat coincid cu punctele de pe acea linie.

Page 84: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

84

Din această definiţie rezultă faptul că linia de curent nu coincide, în general, cu traiectoria particulei.

În fig. 6.1. se arată cum se construieşte linia de curent ce trece printr-un punct dat A0.

A0(m0)

A1(m1)

A2(m2)

A3

V1

V2 V3

Fig. 6.1. - Linia de curent

Particula m0 care la momentul t trece prin A0 parcurge în timpul elementar dt distanţa elementară A0A1. În acelaşi timp dt, particula m1 care se afla în A1 la momentul t, parcurge elementul de curbă A1A2, etc. Reprezentând vectorii viteză în punctele A0,A1,A2, … aceştia sunt tangenţi la curba A0 A1 A2 …, care este linia de curent. În general, linia de curent ce trece prin A0 îşi schimbă poziţia de la un moment la altul.

Dacă mişcarea fluidului este permanentă, vectorii viteză au poziţii fixe în fiecare punct din spaţiu, de aceea linia de curent coincide cu traiectoria particulei.

Ecuaţia liniei de curent se obţine exprimând analitic paralelismul vectorului viteză cu elementul linie: ,0sdv

sau:

zyx vdz

vdy

vdx

. (6.10)

Liniile de curent sunt analoage liniilor de forţă a unui câmp de forţe, pe această analogie se bazează şi vizualizarea liniilor de curent, folosind un câmp magnetic sau electric şi pilitură de fier.

Page 85: Mecanica Fluidelor

Cinematica fluidelor (hidrocinematica)

85

6.3.2. Tub de curent, fir fluid

Dacă se consideră o curbă închisă şi se trasează liniile de curent care

trec la un moment dat prin toate punctele acestei curbe, se formează un tub de lungime nedefinită numit tub de curent (fig. 6.2), prin care fluidul curge ca şi când tubul ar avea pereţi solizi, adică, fără schimb de masă prin pereţii tubului.

Aceasta se explică prin faptul că, la pereţii tubului formaţi din linii de curent viteza este tangentă în fiecare punct.

Fig. 6.2. - Tubul de curent

La limită, dacă secţiunea tubului se reduce la un element foarte mic, tubul se reduce la un fir fluid. Acesta se deosebeşte de linia de curent, care este o mărime geometrică abstractă, prin aceea că se percepe ca fiind materializat de lichidul din interior.

Firele de curent pot fi vizualizate introducând un lichid colorat prin injectoare foarte fine în masa fluidului în mişcare. Pentru aceasta, trebuie ca masa fluidului să fie în mişcare permanentă, pentru ca firele fluide să se identifice cu traiectoriile particulelor.

6.3.3. Flux. Debit. Viteză medie Dacă în masa unui fluid în mişcare se consideră o suprafaţă S, pe care

se trasează o curbă închisă C, se numeşte flux cantitatea de materie (măsurată volumetric) ce trece în unitatea de timp prin aria limitată de aceea curbă (fig. 6.3.).

Page 86: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

86

dS

C

S

nV

Fig. 6.3. - Definiţia fluxului

Dacă aria prin care trece fluxul este foarte mică şi constituie un element component al unei arii de dimensiuni finite, volumul care trece prin aria elementară în unitatea de timp se numeşte flux elementar.

Dacă se cunoaşte distribuţia vitezelor în spaţiul ocupat de fluid, fluxul care trece prin aria S se poate calcula astfel: se descompune suprafaţa S în suprafeţe elementare dS prin care trec curenţii elementari şi se ia elementul dS suficient de mic pentru ca vitezele fluidului care trec prin această suprafaţă să poată fi considerate constante ca mărime şi direcţie. Fie n direcţia normală la dS, cu sensul pozitiv socotit spre interior şi fie v viteza corespunzătoare. Fluxul elementar este volumul unui paralelipiped având baza dS şi înălţimea

v,n cosv trecând prin S în unitatea de timp. Fluxul total este:

dSv,n cosvQS

(6.11)

Dacă vx, vy şi vz sunt componentele vitezei şi x, y şi z sunt cosinusurile directoare ale normalei n, fluxul se poate calcula şi cu relaţia:

S S

zzyyxxzzyyxx dSvdSvdSvdSvvvQ (6.12)

În hidraulică fluxul se numeşte debit. Debitul are dimensiunile L3 T-1, se măsoară în m3 / s, l / s, l / min, etc.

Viteza medie este definită prin raportul dintre debit şi aria secţiunii drepte (normală pe axa curentului).

6.3.4. Ecuaţia de continuitate

Ecuaţia de continuitate exprimă principiul conservării materiei şi totodată al continuităţii mediului, adică al inexistenţei unor spaţii lipsite de materie într-o masă fluidă în mişcare.

Page 87: Mecanica Fluidelor

Cinematica fluidelor (hidrocinematica)

87

Definiţie: diferenţa dintre masa de fluid care intră într-un volum dat, într-un interval de timp şi masa care iese din acel volum în acelaşi interval de timp, este compensată de variaţia masei de fluid din interiorul volumului considerat.

Pentru a stabili ecuaţia de continuitate, se consideră o suprafaţă permeabilă închisă, fixă în spaţiu, de forma unui paralelipiped elementar, având laturile de lungimi dx, dy, respectiv dz (fig. 6.4), raportată unui sistem de referinţă.

x

y

z

dxdydz

vxdydz [vx+ dx]dydz(vx)

x

Fig. 6.4. - Ecuaţia de continuitate în cazul general

Un curent de fluid compresibil, traversează această suprafaţă închisă. Masa de fluid care intră în unitatea de timp după direcţia 0x este

dzdyvx , dzdy fiind suprafaţa normală pe componenta xv a vitezei. Masa de fluid care iese în unitatea de timp prin suprafaţa opusă este:

dzdydxvx

v xx

iar diferenţa lor este:

dzdydxxvdzdydxv

xvdzdyv x

xxx

Deoarece schimbul de masă are loc după cele trei direcţii ale sistemului, diferenţa totală dintre masa care intră şi cea care iese în unitatea de timp din interiorul suprafeţei considerate este:

dzdydx

zv

dzdydxyv

dzdydxxv zyx

Această diferenţă de masă este compensată de variaţia în unitate de

timp a masei din interiorul paralelipipedului: dzdydxt

.

Page 88: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

88

Rezultă forma generală a ecuaţiei de continuitate pentru cazul mişcării nepermanente a fluidelor incompresibile:

0

zv

yv

xv

tzyx

, (6.13)

sau, în notaţie vectorială:

0vdivt

. (6.14)

Pentru cazul mişcării permanente, ecuaţiile (6.13) şi (6.14) devin:

0zv

yv

xv zyx

; 0vdiv . (6.15)

Pentru fluide incompresibile ( .const ), ecuaţia de continuitate este:

0z

vy

vx

v zyx

, (6.16)

sau 0vdiv .

Ecuaţia de continuitate pentru firul fluid Se consideră un tub de curent delimitat de două secţiuni normale,

situate la distanţa dl (fig. 6.5.).

dlvS

(vS)l

[vS+ ]d

l

Fig. 6.5. - Ecuaţia de continuitate pentru firul fluid

Făcând diferenţa dintre masa de fluid care intră în unitatea de timp în

tubul de curent Sv şi masa care iese

dll

SvSv şi ţinând

Page 89: Mecanica Fluidelor

Cinematica fluidelor (hidrocinematica)

89

cont de faptul că această masă este compensată de variaţia în unitatea de timp

a masei din interior

dlSt

, rezultă:

0l

SvtS

, (6.17)

Pentru fluide incompresibile .const se obţine: 0

lSv

tS

. (6.18)

Dacă mişcarea fluidului este permanentă

0

tS , ecuaţia devine:

0lSv

, sau: Q.constSv . (6.19)

Adică debitul Q este constant în lungul firului fluid şi este egal cu produsul dintre viteză şi secţiune.

Pentru fluide compresibile, ecuaţia de continuitate în mişcare permanentă este:

.constSvM (6.20)

adică debitul masic este constant în lungul firului fluid. Dacă mişcarea fluidului este permanentă relaţia dintre două secţiuni

drepte şi vitezele lor medii vm conduc la:

2m1m SvSv.constQ 21 . (6.21)

Dacă secţiunea tubului este constantă (S1 = S2), se realizează mişcarea uniformă 21 mm vv , deci viteza medie rămâne egală în toate secţiunile, ceea ce nu înseamnă că şi distribuţia vitezelor în secţiune este uniformă.

6.4. Rotorul vitezei

Spre deosebire de rotaţia unui corp rigid, o particulă fluidă este în

general şi deformabilă, astfel că moleculele componente nu au aceeaşi viteză de rotaţie în jurul axei instantanee de rotaţie. De aceea se defineşte ca viteză de rotaţie media vitezelor de rotaţie ale moleculelor aflate în plane perpendiculare pe axa de rotaţie.

Page 90: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

90

Fig. 6.6. - Rotaţia particulei

Fie un paralelipiped elementar de dimensiuni dx, dy, respectiv dz, cu unul din vârfuri în punctul A (x,y,z), în care componentele vitezei sunt vx, vy respectiv vz (fig. 6.6). În intervalul dt, particula-paralelipiped are o mişcare de translaţie care poate fi considerată aceea a punctului A şi o mişcare de rotaţie a cărei axă trece prin A.

Această mişcare de rotaţie poate fi descompusă în trei rotaţii având axele Ax, Ay, şi Az şi ne propunem să determinăm mărimea acestor rotaţii pe care le vom nota cu x, y, z, iar rezultanta lor cu .

Pentru a elimina efectul translaţiei presupunem că printr-o translaţie inversă aducem punctul A în poziţia iniţială A, acest lucru neinfluenţând rotaţia. În punctul B la distanţa dy de punctul A, componenta vitezei paralelă

cu Az diferă de vz cu cantitatea dyy

vz , iar în punctul C, componenta vitezei

paralelă cu Ay diferă de vy cu cantitatea dzz

v y

.

Astfel, punctele B şi C sunt deplasate faţă de punctul A ca şi când ar fi

supuse unor viteze de rotaţie în jurul axei Ax, egale cu y

vz

la distanţa dy,

respectiv z

vy

la distanţa dz de axă.

A'

Ax

y

z

dx

dy

dz

C

B

vy

vx

vz

yy

dyvy

y

dzvz

z

Page 91: Mecanica Fluidelor

Cinematica fluidelor (hidrocinematica)

91

Conform observaţiilor anterioare, rotaţia particulei în jurul axei Ax este media rotaţiilor punctelor extreme B, C, adică:

z

vy

v21 yz

x . (6.22)

În mod identic se obţin rotaţiile în jurul axelor Ay şi Az:

x

vz

v21 zx

y ;

yv

xv

21 xy

z . (6.23)

Dublul vectorului viteză este cunoscut în teoria vectorilor sub denumirea de rotor:

kjivrot , (6.24) unde ,, sunt componentele vectorului vrot .

Se poate scrie: 2vrot . (6.25)

Dacă ,, sunt nuli, adică:

zv

yv yz

;

xv

zv zx

; y

vx

v xy

, (6.26)

mişcarea este irotaţională sau fără vârtejuri. Totodată:

drvdzvdyvdxv zyx , (6.27)

este diferenţiala exactă a unei funcţii z,y,x numită potenţial de viteză. Deci mişcarea este şi potenţială, iar componentele vitezei sunt

derivatele parţiale ale funcţiei potenţiale în raport cu coordonatele.

xvx

;

yvy

;

zvz

(6.28)

şi calculând ,, , găsim că acestea sunt identic nule:

0xyyxy

vx

v

0zxxzx

vz

v

0yzzyz

vy

v

22xy

22zx

22yz

, (6.29)

Page 92: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

92

adică mişcarea potenţială este şi irotaţională. Într-o mişcare irotaţională divergenţa rotorului vitezei este nulă.

Într-adevăr, dacă calculăm derivatele parţiale z

2,y

2,x

2 zyx

şi le

adunăm, se obţine:

0zyx

2divvrotdiv zyx

. (6.30)

Această relaţie exprimă continuitatea într-un câmp de viteze a fluxului rotorului vitezei. Într-adevăr, înmulţind ecuaţia (6.30) cu dzdydx , primul

termen dzdydxxx

reprezintă excesul fluxului rotoric pe feţele

perpendiculare pe axa x, iar ceilalţi doi termeni corespund fluxurilor rotorice după direcţiile y şi z.

Astfel, atât câmpul vitezei cât şi câmpul rotorului vitezei sunt solenoidale şi divergenţa lor este nulă în orice punct al câmpului.

6.5. Analiza mişcării unui element de volum Dacă în cinematica corpului solid se demonstrează că mişcarea unui

corp se compune, în general, dintr-o translaţie şi o rotaţie, mişcarea unei particule fluide este mult mai complexă. Particula în mişcare suferă o schimbare de poziţie, de orientare şi de formă.

Pentru a arăta acest lucru, se consideră la un moment dat t un element de volum de fluid (fig. 6.7) care cuprinde punctele M(x; y; z) şi M1(x+x1; y+y1; z+z1).

Fig. 6.7. - Analiza mişcării unui element de volum

xy

z V1

V

M(x,y,z)

M1(x+x1,y+y1,z+z1)

0

Page 93: Mecanica Fluidelor

Cinematica fluidelor (hidrocinematica)

93

Notând viteza punctului M cu zyx v;v;v v şi a punctului M1 cu

)v;v;v( v z1y1x11 , se poate scrie 1111 zz;yy;xx vv

. Adică, dacă viteza v este o funcţie continuă de spaţiu şi neglijăm infiniţii mici de ordin superior, componentele vitezei 1v după cele trei direcţii sunt:

1z

1z

1z

zz1

1y

1y

1y

yy1

1x

1x

1x

xx1

zz

vyy

vxx

vvv

zz

vy

yv

xx

vvv

zz

vyy

vxx

vvv

. (6.31)

Aceste ecuaţii pot fi transformate, adunând şi scăzând la prima ecuaţie

termenii: 1y y

xv

21

, respectiv 1

z zx

v21

etc. Rezultă:

1zx

1yx

1zx

1yx

xx1

zx

vz

v21y

xv

yv

21

zx

vz

v21y

xv

yv

21vv

1

xy1

zyyy1 z

yv

xv

21x

yv

zv

21vv

1xy

1zy z

yv

xv

21x

yv

zv

21

1yz

1xz

1yz

1xz

zz1

yz

vy

v21x

zv

xv

21

yz

vy

v21x

zv

xv

21vv

. (6.32)

Introducând notaţiile (6.22), (6.23) şi:

Page 94: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

94

z

vy

v21 yz

x

x

vz

v21 zx

y . (6.33)

yv

xv

21 xy

z

Se obţine:

1z

1x1y1y1xzz1

1x1y

1z1x1zyy1

1y1z1x

1z1yxx1

zz

vyxxyvv

zyy

vxzxvv

zyxx

vyzvv

. (6.34)

Din (6.34.) rezultă că viteza punctului M1 poate fi considerată ca rezultantă a trei vectori viteză:

o viteză a cărei proiecţii sunt vx, vy, vz, şi care corespunde unei mişcări de translaţie a particulei cu viteza v ;

termenii din paranteză corespund unei mişcări de rotaţie a particulei cu o viteză unghiulară zyx ,,

, a cărei valoare este:

zyx vvvzyx

kji

21vrot

21

; (6.35)

o viteză a cărei proiecţii conţin ultimii termeni şi care corespunde unei deformaţii a particulei. În exprimare vectorială, ecuaţia mişcării particulei se poate scrie:

DMMvv 11

. (6.36)

Page 95: Mecanica Fluidelor

Cinematica fluidelor (hidrocinematica)

95

Pentru explicitarea termenilor componenţi ai sistemului (6.34), se consideră particula fluidă din fig. 6.8. de forma unui paralelipiped de dimensiuni x1, y1 şi z1.

Fig. 6.8. - Componentele vitezelor în punctele M, A, B, C

Componentele vitezei în punctul z,y,xM sunt vx, vy respectiv vz. În punctele z,y,xxA 1 , z,yy,xB 1 şi 1zz,y,xC

componentele vitezelor sunt reprezentate în figură (fig. 6.8.).

a). Rotaţia particulei

Se analizează efectul diferenţelor de viteze asupra faţetei CMBD a paralelipipedului (fig. 6.9.).

C

M B

A

x 1

z 1

y1

z1

vy

zVy+z1

vx

zVx+

z1

vz

zVz+

y1

vy

yVy+

y1

vz

yVz+

y1

vx

yVx+

x1

vy

xVy+x1

vx

xVx+

x1

vz

xVz+ Vy

Vz

Vx

D

Page 96: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

96

Fig. 6.9. - Calculul rotaţiei particulei

Considerând particula nedeformabilă, diferenţele de viteză dintre punctele B şi M, respectiv C şi M, produc o rotaţie în jurul axei x. Diferenţa de viteze dintre punctele B şi M este:

1z

zB yy

vvv zM

(6.37)

Această viteză, în intervalul de timp dt roteşte muchia MB în jurul lui M (axa 0x) cu un unghi 1d :

dty

vy

tdyy

v

ddtg z1

1z

11

. (6.38)

Viteza unghiulară de rotaţie este:

yv

tdd z1

1

. (6.39)

În mod identic se calculează efectul diferenţei de viteză dintre punctele C şi M, care roteşte muchia CM în jurul axei 0x cu viteza unghiulară:

zvy

2

. (6.40)

Componenta după axa 0x a vitezei unghiulare de rotaţie a întregii particule se ia media aritmetică a vitezelor unghiulare 1 şi 2 :

y 1dt

v z y

C' CD

D'

B

B'

M

Vz

Vy

d

d

y

z

z1dtvyz

Rotaţie

Page 97: Mecanica Fluidelor

Cinematica fluidelor (hidrocinematica)

97

z

vy

v21 yz

x . (6.41)

În mod similar se determină celelalte două componente ale vitezei unghiulare de rotaţie y şi z .

b) Deformaţia particulei

Considerând faţeta MBDC deformabilă (fig. 6.10), diferenţele de

viteze dintre punctele B şi M, respectiv C şi M, modifică unghiul drept BMC.

y 1 d

tv z y

C C'D

D'

BB'

M

d2

d1

z1 dtvyz

Fig. 6.10. - Schema pentru calculul deformaţiei particulei

Componenta vitezei de deformaţie după axa x este

z

vy

v21 yz

x . Termenii din paranteză au semnul + deoarece

produc deformaţia în acelaşi sens (micşorarea unghiului drept). Analog se determină componentele y şi z ale vitezei unghiulare de deformaţie.

c). Deformaţia liniară a particulei se produce datorită diferenţelor de

viteză în lungul axelor sistemului (fig. 6.8.):

1x

xx xx

vvv A

1y

yy yy

vvv B

(6.42)

Page 98: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

98

1z

zz zz

vvv C

Introducând funcţia de deformaţie:

11z11y11x

21

z21

y21

x

yxxzzy

zz

vy

yv

xx

v21

(6.43)

se observă că gradD

. Cu această notaţie, ecuaţia (6.43) devine:

gradMMvv 11 (6.44)

ceea ce exprimă faptul că în mişcarea unui mediu mediu continuu, deformabil, viteza unei particule se compune dintr-o viteză de translaţie, o viteză de rotaţie şi o viteză de deformaţie.

Descompunerea mişcării particulei fluide (fig. 6.11.) a fost înfăţişată de fizicianul german Helmholtz în lucrarea sa fundamentală despre teoria vârtejurilor. Soluţia este unică, oricare ar fi sistemul de axe admis, deoarece direcţiile axelor deformaţiilor, mărimea deformaţiilor relative, mărimea vectorului vârtej etc., depind în fiecare punct al fluidului numai de starea de mişcare relativă din acel punct şi nu de poziţia axelor de referinţă.

A

A

A

A

(1)(2)

(3)

(4)

BB

B

BB1

B1

translaţie

translaţie şi deformaţiiliniare şi unghiulare

translaţie, deformaţiişi rotaţie

Fig. 6.11. – Descompunerea mişcării particulei fluide după Helmholtz

Page 99: Mecanica Fluidelor

Cinematica fluidelor (hidrocinematica)

99

6.6. Integrala curbilinie a vitezei. Circulaţie Fie v viteza în fiecare punct al unei mase fluide în mişcare,

determinată în funcţie de spaţiu şi un arc de curbă AB trasat arbitrar între două puncte situate în câmpul vitezei. Formând cu fiecare element sd

al curbei şi cu viteza v corespunzătoare, produsul scalar:

dzvdyvdxvsdv zyx (6.45)

Integrând acest produs scalar de-a lungul arcului de curbă AB se obţine:

B

A

B

AzyxAB dzvdyvdxvsdvI

(6.46)

Această relaţie reprezintă o integrală curbilinie a vitezei. Dacă curba este închisă (fig. 6.12), integrala curbilinie a vitezei se

numeşte circulaţie şi se notează: dS,v cosdSvdzvdyvdxvsdv zyx

(6.47)

n

A dS

v

Fig. 6.12. - Definiţia „circulaţiei”

Dacă mişcarea este potenţială, componentele vitezei sunt date de relaţiile (6.28) care prin înlocuire în (6.47) conduc la:

AAddzz

dyy

dxx

. (6.48)

Valoarea lui depinde doar de valoarea iniţială a funcţiei A , şi după închiderea circuitului în A, rezultând 0 . În aceste condiţii se poate formula teorema: Circulaţia pe o curbă închisă într-un câmp potenţial este nulă.

Page 100: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

100

6.7. Teorema lui Stokes

În cazul unei mişcări generale, deci în care rotorul vitezei nu este nul peste tot, se aplică următoarea teoremă a lui Stokes:

Într-un spaţiu ocupat de un fluid conex, circulaţia vitezei de-a lungul unei curbe închise, luată arbitrar, este egală cu fluxul rotorului vitezei care străbate suprafaţa închisă de acea curbă.

Orice suprafaţă poate fi împărţită într-o infinitate de suprafeţe elementare (fig. 6.13.).

Fig. 6.13. - Teorema lui Stokes (suma circulaţiilor)

Dacă se consideră circulaţia pe contururile elementelor de suprafaţă, se constată că la fiecare direcţie de parcurs a conturului unui element corespunde o direcţie contrară de parcurs a elementelor învecinate, astfel că circulaţiile se acumulează reciproc în afara celor de pe elementele periferice. Astfel, suma circulaţiilor elementare este egală cu circulaţia de-a lungul curbei periferice care închide suprafaţa dată.

Pe de altă parte, circulaţia elementară se poate exprima în funcţie de rotorul vitezei. Astfel, în fig. 6.14. rotind axele de coordonate astfel încât planul tangent într-un punct P să fie paralel cu x0y şi elementele de curbă ale reţelei suficient de mici pentru a se confunda cu dx şi dz, rezultă:

Page 101: Mecanica Fluidelor

Cinematica fluidelor (hidrocinematica)

101

z

x0

A D

CB w

u

P(x,y)

dx2

dz 2dz 2

dx2

Fig. 6.14. - Circulaţia elementară conform teoremei lui Stokes

ADBCDCAB

DACDBCABABCDAdddd

ddddd

, (6.49)

dx2

dzz

vvdx

2dz

zv

v

dz2

dxx

vvdz

2dx

xv

vd

xx

xx

zz

zxABCDA

, (6.50)

de unde:

dSnvrotdSdzdxx

vz

vd zx

. (6.51)

Se vede că valoarea circulaţiei elementare este un invariant, nedepinzând de orientarea axelor de coordonate astfel că, pentru întreaga suprafaţă, se obţine:

C S

dsnvrotsdv

, (6.52)

n

fiind direcţia normalei la suprafaţă, sau cu ajutorul proiecţiilor pe cele trei axe:

Page 102: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

102

dSy

vx

vx

vz

vz

vy

v

dzvdyvdxv

C

xyzxyz

Czyx

s

dS . (6.53)

,, fiind cosinusurile directoare ale normalei la suprafaţa dS. Dacă mişcarea este irotaţională, 0 , rezultă faptul că

circulaţia este nulă, 0 . Această teoremă are o mare importanţă putând fi aplicată în orice

domeniu în care există un câmp de vectori şi permite reducerea unei integrale de suprafaţă la o integrală curbilinie şi invers.

6.8. Teorema lui Gauss-Ostrogradski

Această teoremă, cunoscută de la calculul vectorial, se poate

demonstra uşor cu ajutorul conceptelor cinematicii fluidelor. Enunţul ei este: Integrala divergenţei vitezei calculată la volum închis de o suprafaţă

este egală cu fluxul ce trece prin suprafaţă. Fie dS un element de suprafaţă care mărgineşte spaţiul şi n vectorul

unitate, normal la suprafaţă. Fluxul ce trece prin dS este:

s szyx dSvvvdSnv (6.54)

,, fiind cosinusurile directoare ale normalei n cu axele de coordonate. Pe de altă parte, dacă .const , excesul de fluid care trece prin elementul de volum dzdydxdV , este:

dVvdivdzdydxz

vy

vx

v zyx

. (6.55)

Integrând în întreg spaţiul în interiorul suprafeţei date, rezultă:

sV

dSnvdVvdiv . (6.56)

Această formulă permite calcularea unei integrale de volum cu ajutorul unei integrale de suprafaţă.

Page 103: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

103

CAPITOLUL VII

DINAMICA FLUIDELOR PERFECTE. TEOREME ŞI ECUAŢII GENERALE

7.1. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării fluidelor ideale (Ecuaţiile lui Euler)

Aceste ecuaţii se stabilesc aplicând unei particule elementare de

fluid, legea fundamentală a dinamiciisistemelor dee puncte materiale: amFe

.

dx

dz

dy

Ap

V

xyz

(p+ ) dydzp dxx 2dydz(p- )p dx

x 2

Fig. 7.1. - Ansamblul forţelor superficiale ce acţionează asupra particulei de fluid

Pentru aceasta se consideră o particulă fluidă (fig. 7.1.) de forma

unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile dx, dy, dz, care se deplasează cu viteza v (vx; vy; vz) sub acţiunea forţelor exterioare, care sunt:

forţe proporţionale cu masa volumului de fluid, f

dx dy dz; forţe de presiune, normale la feţele paralelipipedului, reprezentate

pentru axa 0x; forţe de frecare tangente la suprafeţe şi care se neglijează fiind în

discuţie fluidele perfecte (ideale).

Page 104: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

104

Proiectând toate forţele după direcţia 0x, se obţine:

dzdydxdt

dv

dzdy2

dxxppdzdy

2dx

xppdzdydxf

x

x

, (7.1)

sau:

dtdv

xp1f x

x

, (7.2)

unde: dt

dvx este proiecţia acceleraţiei după direcţia 0x.

Procedând în mod identic, se obţin proiecţiile după direcţiile 0y şi 0z, de unde rezultă:

dtdv

zp1f

dtdv

yp1f

dtdv

xp1f

zz

yy

xx

. (7.3)

Prin dezvoltarea derivatei totale a vitezei după variabilele Euler, sistemul (7.3) se poate scrie şi sub forma:

zz

yz

xzzz

z

zy

yy

xyyy

y

zx

yx

xxxx

x

vz

vvy

vvx

vt

vdt

dvzp1f

vz

vv

yv

vx

vt

vdt

dvyp1f

vz

vvy

vvx

vt

vdt

dvxp1f

. (7.4)

Acesta este sistemul de ecuaţii a lui Euler din hidrodinamică sub formă scalară, iar sub formă vectorială devine:

dtvdp grad1f

. (7.5)

Din ecuaţiile anterioare se deduce că mişcarea unui fluid incompresibil .const este cunoscută dacă se cunoaşte în fiecare punct şi în fiecare moment viteza şi presiunea.

Page 105: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

105

Ecuaţiile dinamice (7.4) împreună cu ecuaţia de continuitate 0vdiv

, sunt în număr necesar şi suficient pentru rezolvarea oricărei probleme de mişcare a unui fluid perfect, dacă se dau condiţiile la limită. Necunoscutele sunt în general componentele vitezei vx, vy, vz şi presiunea p în fiecare punct din masa fluidului.

Condiţiile la limită care se dau de obicei sunt următoarele: la pereţii solizi care mărginesc fluidul, vitezele sunt tangente la

suprafaţa limitativă; la curenţii cu suprafaţă liberă, presiunea pe suprafaţă este

cunoscută.

7.2. Transformarea Gromeko-Lamb

Se consideră prima ecuaţie din (7.4):

zx

yx

xxxx

x vz

vv

yv

vx

vt

vdt

dvxp1f

. (7.6)

Se calculează derivata parţială, în raport cu x, a identităţii:

2z

2y

2x

2vvv

21

2v

, (7.7)

obţinându-se:

xv

vx

vv

xv

v2

vx

zz

yy

xx

2

. (7.8)

Această relaţie se scade din ecuaţia (7.6) şi grupând termenii, se obţine:

xv

zv

vx

vy

vv

tv

2v

xxp1f zx

zyx

yx

2x

. (7.9)

Admiţând că forţele masice derivă din potenţialul –U şi înlocuind parantezele care însoţesc pe vy şi pe vz cu z2 , respectiv y2 , (conform relaţiilor 6.23), ecuaţia devine:

zyyzx

2vv2

tv

2vpU

x

. (7.10)

Transformări analoage se aplică şi celorlalte ecuaţii ale sistemului (7.4).

Page 106: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

106

Considerând cazul mişcării permanente 0t

vt

vt

v zyx

,

înmulţind ecuaţiile obţinute cu dx, dy, respectiv dz, prin adunare rezultă:

0vvv

dzdydx2

2vpUd

zyx

zyx2

. (7.11)

Soluţia acestei ecuaţii pentru toate cazurile de anulare a determinantului este:

.const2

vpU2

(7.12)

sau, în câmpul gravitaţional constzgU :

.const2

vpzg2

(7.13)

Analizând cazurile de anulare a determinantului, rezultă următoarele situaţii:

a) Vectorul vârtej este nul, adică: 0;0;0 zyx , (7.14)

deci, este cazul mişcării irotaţionale sau fără vârtejuri. În acest caz, constanta din membrul al doilea al ecuaţiei (7.12) are

aceeaşi valoare pentru tot câmpul mişcării, iar viteza derivă din funcţia de potenţial :

zv;

yv;

xv zyx

(7.15)

Astfel:

zttv

yttv

xttv

z

y

x

(7.16)

Page 107: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

107

Transformarea Gromeko-Lamb se poate deci opera păstrând şi

termenii derivatei locale, care nu sunt decât gradientele funcţiei t , astfel

că, în locul ecuaţiei (7.12), se obţine ecuaţia mai generală a unei mişcări permanente:

tft2

vpU2

, (7.17)

în care constanta din membrul al doilea este constantă numai faţă de spaţiu, fiind totuşi o funcţie de timp f(t).

b) 0vvv zyx , corespunde cazului echilibrului hidrostatic, ecuaţia fundamentală a hidrostaticii în câmpul gravitaţional fiind:

.constpzg

(7.18)

c) Dacă mişcarea nu este potenţială, deci cel puţin una din componentele vectorului vârtej este nenulă, însă particula urmează o linie de curent, atunci componentele vx, vy, vz ale vitezei sunt proporţionale cu dx, dy, dz, adică viteza este tangentă la linia de curent.

Această condiţie se exprimă prin:

zyx vdz

vdy

vdx

. (7.19)

În acest caz, determinantul ecuaţiei (7.11) este nul, având două linii proporţionale şi ecuaţia (7.13) este valabilă numai pe liniile de curent, constanta luând valori diferite de la o linie la alta.

Sub această formă ecuaţia (7.12) poartă numele de ecuaţia lui Bernoulli.

d) Dacă vectorul vârtej satisface condiţia:

zyx

dzdydx

, (7.20)

determinantul ecuaţiei (7.11) este de asemenea nul, iar ecuaţia (7.12) se aplică şi după liniile reprezentate de ecuaţiile (7.20) care sunt înfăşurătoare ale axelor vectorului vârtej şi poartă numele de linii de vârtej.

Şi în acest caz constanta variază de la o linie de vârtej la alta.

Page 108: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

108

e) Dacă vectorul viteză al particulei este paralel cu vectorul vârtej, determinantul ecuaţiei (7.11) este de asemenea nul, deoarece:

zz

y

y

xx vvv

, (7.21)

elementele a două linii sunt proporţionale. O mişcare de acest gen este o mişcare elicoidală şi în acest caz liniile

de vârtej se confundă cu liniile de curent ale mişcării. Constanta din ecuaţia (7.12) are o valoare fixă pentru întregul spaţiu,

dacă şi ecuaţiile (7.21) sunt satisfăcute în întregul spaţiu ocupat de fluid.

7.3. Formula vectorială a ecuaţiei mişcării

În ecuaţiile (7.10), pentru cazul mişcării permanente, termenii t

vx

,

t

vy

, şi

tvz

se anulează, iar membrul stâng ia pe rând valorile

componentelor scalare ale gradientului funcţiei:

2vpUE

2

. (7.22)

Membrul al doilea al ecuaţiei (7.10) are valorile componentelor după cele trei axe ale produsului vectorial între vrot şi viteza v .

În locul ecuaţiei (7.11) se poate scrie formula vectorială sintetică:

vrotvvvrotEgrad2

vpUgrad2

. (7.23)

Din această ecuaţie rezultă imediat că 0Egrad , fie când 0vrot

(în mişcare potenţială), fie când vectorul viteză este paralel cu vectorul vrot ceea ce face ca produsul lor să fie nul.

7.4. Ecuaţiile intrinseci ale mişcării

Ecuaţia vectorială (7.5) poate fi proiectată după orice direcţie a

sistemului de referinţă. Considerând axele intrinseci, legate de traiectorie (fig. 7.2.), unde:

Page 109: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

109

Ms este tangentă la linia de curent în punctul M, orientată în acelaşi sens cu vectorul viteză v ;

Mn este normala la linia de curent dirijată spre centrul de curbură c;

Mb este binormala, perpendiculară pe planul definit de tangentă şi normală.

Tange

ntă

Binormală NormalăR

c

M

nb

s

Fig. 7.2. - Exprimarea componentelor acceleraţiei în coordonate intriseci

Proiecţiile ecuaţiei (7.5) după cele trei direcţii, sunt:

0bp1f

Rv

np1f

vsv

tv

dtdv

sp1f

b

2n

s

(7.24)

unde R reprezintă raza de curbură a firului fluid.

Page 110: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

110

7.5. Ecuaţia lui Bernoulli Pentru o linie de curent în mişcare permanentă, în cazul câmpului

gravitaţional, .constzgU , ecuaţia (7.17) devine:

.constg2

vpz2

(7.25)

Această ecuaţie a fost stabilită de Bernoulli în 1738, pe o cale directă, deci înainte ca Euler să descopere ecuaţiile generale de mişcare ale particulei fluide.

Fie un tub de curent a cărui secţiune transversală, variabilă în lungul său, este suficient de mică pentru a putea considera că în secţiunea sa transversală, atât viteza cât şi presiunea au o distribuţie uniformă (fig. 7.3.).

AA'

B B'

CC'

D D'

p1

p0

v0

z0

z1

v1

Fig. 7.3. - Reprezentarea grafică a ecuaţiei lui Bernoulli

Se consideră două puncte pe axa tubului, de cote z0 şi z1, unde secţiunile transversale sunt S0 şi S1 şi vitezele fluidului v0 şi v1. Volumul de fluid în tronsonul de tub delimitat de cele două secţiuni, fiind la momentul t, ABCD, se deplasează în intervalul de timp dt în poziţia ABCD.

Fie:

dtvsd'DD'BB

dtvsd'CC'AA

11

00

, (7.26)

şi ecuaţia de continuitate:

Page 111: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

111

1100 vSvS . (7.27) Aplicând masei de fluid conţinută în volumul ABCD în mişcare,

teorema echivalenţei lucrului mecanic consumat cu variaţia energiei cinetice, pe porţiunea DCBA nu au variat în timpul dt nici masele, nici vitezele, mişcarea fiind permanentă, însă masa:

00 dsS'CC'AAvolm , (7.28) care avea în momentul iniţial viteza v0, a apărut după timpul dt, ca

11 dsS'DD'BBvolm , însă cu viteza 1v . Variaţia energiei cinetice a întregului sistem este:

20

21 vvm

21

. (7.29)

Lucrul forţelor se compune din: lucrul greutăţii gm , care cade de la altitudinea z0 la z1, adică: 10 zzgm .

Lucrul presiunilor este:

gmppdsSpdsSp 10111000 . (7.30)

Lucrul mecanic datorat rezistenţelor hidrodinamice s-a neglijat. Conform principiului echivalenţei se poate scrie:

gmppzzgmvvm

21

101020

21 . (7.31)

Împărţind relaţia (7.31) cu gm şi regrupând termenii, rezultă:

g2vpz

g2

vpz

211

1

200

0

. (7.32)

7.5.1. Interpretarea energetică a ecuaţiei lui Bernoulli Se poate atribui ecuaţiei lui Bernoulli un sens energetic, deoarece

fiecare termen reprezintă o energie specifică (pe unitatea de masă) şi anume:

zg - reprezintă o energie potenţială de poziţie;

p - reprezintă o energie potenţială de presiune;

Page 112: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

112

2v2

- reprezintă o energie cinetică.

Suma 2

vpzg2

corespunde energiei mecanice totale a unităţii

de masă şi se poate afirma că ecuaţia lui Bernoulli reprezintă legea conservării energiei în cursul mişcării.

În literatura de specialitate ecuaţia lui Bernoulli apare şi sub forma:

.constg2

vpz2

(7.33)

unde fiecare termen reprezintă o energie specifică, astfel:

pz - reprezintă energia potenţială şi g2

v2 - energia cinetică.

Individual, termenii poartă numele de: z - înălţime geometrică sau de poziţie;

p - înălţime piezometrică;

g2v2

- înălţime cinetică.

7.5.2. Interpretarea geometrică a ecuaţiei lui Bernoulli

Ecuaţia (7.33) poate fi interpretată geometric, deoarece fiecare

termen are dimensiunea unei lungimi. Considerând un fir fluid de secţiune variabilă (fig. 7.4.), se

marchează două secţiuni transversale 1şi 2, în care vitezele au valorile v1, respectiv v2. Cele două secţiuni sunt situate la cotele z1, respectiv z2.

Page 113: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

113

Linie energetică

Linie piezometrică

Plan de referinţă

H1

z 1 1

v1

z

H2v22

z 2

v2 2g v2 2g2

1v2 2gp 1

p p 2

Fig. 7.4. - Interpretarea geometrică a ecuaţiei lui Bernoulli

Cu ajutorul a două tuburi piezometrice amplasate în secţiunile 1şi 2,

se pun în evidenţă înălţimile piezometrice 1p

, respectiv 2p

.

Înălţimile cinetice corespunzătoare celor două secţiuni sunt: g2

v21 ,

respectiv g2

v22 .

Din figura 7.4. se poate vedea că energia specifică totală se menţine constantă în lungul firului:

g2vp

zg2

vpz

222

2

211

1

. (7.34)

Pot să aibă loc transformări dintr-o formă de energie în alta, dar energia iniţială H1 rămâne constantă în lungul firului (H1 = H2).

Linia energetică uneşte nivelele energiei totale, este orizontală şi paralelă cu planul de referinţă. Linia piezometrică uneşte nivelele energiei potenţiale în lungul firului, este descendentă în cazul de faţă, când secţiunea tubului este descrescătoare şi energia cinetică creşte în lungul curentului.

Page 114: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

114

7.5.3. Ecuaţia lui Bernoulli aplicată vânei de fluid în mişcare permanentă

La trecerea de la firul de fluid perfect la o vână fluidă, adică la un curent de fluid vâscos limitat de pereţi solizi, trebuie avut în vedere distribuţia neuniformă a vitezelor pe secţiune precum şi pierderile de energie, ambele datorate vâscozităţii. La secţiuni mici ale vânei fluide presiunea este aceeaşi pe toată secţiunea curentului.

În cazul unor linii de curent rectilinii şi paralele (R = ; 0sv

),

ecuaţiile intrinseci (7.24) devin:

0bp1f

0np1f

0sp1f

b

n

s

, (7.35)

ceea ce arată o lege hidrostatică de distribuţie a presiunilor. Energia potenţială în diferite puncte ale secţiunii vânei rămâne constantă

.constpz .

S

R

C

Pext Pint

Pint

v

n

Fig. 7.5. - Exprimarea presiunilor pe o traiectorie curbă

În cazul traiectoriilor curbilinii (fig. 7.5.) plecând de la ecuaţia

mişcării proiectată după normală, în câmpul gravitaţional se poate scrie:

Page 115: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

115

Rv

np 2

, (7.36)

adică presiunea creşte spre partea exterioară a vânei fluide.

7.5.4. Coeficientul lui Coriolis

Se consideră o vână fluidă (fig. 7.6.) alcătuită dintr-o infinitate de fire elementare, paralele între ele şi uşor curbate.

S1

S2

v

Fig. 7.6. - Schemă pentru calculul coeficientului lui Coriolis Ne interesează în ce măsură distribuţia neuniformă a vitezelor pe

secţiune influenţează ecuaţia lui Bernoulli. Scriind puterea curentului de fluid într-o secţiune a firului se obţine:

dSvgg2

vpzHdQgdP2

.

S S S

32

dSv2

dS vpzgdS vg2

vpzgP .

S

3med dSv

Qg21pz

QgPH .

g2vpz

g2v

Sv

dSvpzH

22

3S

3

med

,

Sv

dSv3

3

.

Page 116: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

116

.constg2vpz

2

7.5.5. Pierderi hidraulice

În cazul fluidelor reale, ecuaţia lui Bernoulli nu se mai poate aplica

riguros nici chiar în lungul unei linii de curent, deoarece energia specifică nu se mai conservă.

În decursul mişcării, au loc frecări ale particulelor fluide cu pereţii solizi şi frecări interne, o parte din energie se transformă ireversibil în căldură.

Această energie nu mai poate fi recuperată devenind astfel, o energie pierdută care, raportată la greutate, se numeşte pierdere hidraulică (pierdere de sarcină).

Energia specifică totală scade în lungul curentului. Dacă pierderile hidraulice sunt mici, ele se pot neglija, iar dacă ele

au valori mari, ecuaţia (7.42) se corectează pe baza datelor experimentale, pentru a exprima bilanţul energetic în lungul firului.

Astfel, pentru două secţiuni 1şi 2 ale firului fluid, ecuaţia energiei devine:

21p

2222

2

2111

1 hg2

vpz

g2

vpz

, (7.43)

unde 21ph

reprezintă pierderea hidraulică între cele două secţiuni.

În fig. 7.7. se prezintă bilanţul energetic pentru o vână de fluid real:

21p21 hHH . Linia energetică are o alură descrescătoare, porţiunea haşurată

corespunzând energiei pierdute.

Page 117: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

117

Linie energeticăLinie piezometrică

H1

z 1 v1

z

H2v2

z 2

p 1

p p 2

1 v

2

2g

h p v

2

2g

v2

2g2

h p 1

-2

Fig. 7.7. - Schemă pentru determinarea pierderilor hidraulice (de sarcină)

7.5.6. Aplicaţii ale ecuaţiei lui Bernoulli

a) Scurgerea unui lichid dintr-un rezervor printr-un orificiu

v

Ap0

h

B

p0

zB

zA

Fig. 7.8. - Scurgerea unui lichid dintr-un rezervor printr-un orificiu Rezervorul din fig. 7.8. umplut cu lichid, are un orificiu lateral situat

la cota h sub nivelul suprafeţei libere. Aplicăm ecuaţia lui Bernoulli firului de curent AB, observând că

0BA ppp (presiunea atmosferică) şi că viteza punctului A este

Page 118: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

118

neglijabilă dacă rezervorul funcţionează în regim permanent 0vA se obţine:

g2vp

z0p

z2

BB

AA

. (7.44)

Cum hzz BA şi

A0B ppp, rezultă formula lui Toricelli:

hg2v . (7.45) În realitate, liniile de curent nu se întorc brusc din direcţia radială pe

care o au în rezervor, după axa orificiului şi vâna de lichid se contractă la ieşire (fig. 7.9.).

SS

S

Fig. 7.9. - Reprezentarea contracţiei vânei Din acest motiv se introduce un coeficient de contracţie c , relaţia

vitezei devenind: hg2v c (7.46)

Cu aceasta debitul de lichid care se scurge din rezervor prin orificiu este:

hg2SQ c . (7.47) Valorile coeficientului de contracţie sunt 64,061,0c , iar dacă

orificiul are muchii rotunjite, coeficientul de contracţie este aproape egal cu unitatea 1c .

b) Presiunea într-un punct de impact

Page 119: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

119

Dacă se interpune un obstacol imobil într-un curent de fluid în

mişcare permanentă (fig. 7.10.), viteza curentului în punctul M se anulează 0vM .

Punct deimpact

A M

Fig. 7.10. - Presiunea într-un punct de impact

Aplicând ecuaţia lui Bernoulli de-a lungul acestei linii între punctele A şi M, se poate scrie:

g2vp

zg2

vpz

2MM

M

2AA

A

. (7.48)

Cum: MA zz şi 0vM ,

rezultă:

M

2AA pg2

vp . (7.49)

În punctul M, numit punct de impact, toată energia curentului apare sub formă de presiune.

În punctul de impact presiunea se numeşte presiune totală (pt). Presiunea corespunzătoare punctului A se numeşte presiune statică

(pst). Se poate scrie:

2Astt

t2Ast v

2ppsau

pg2

vp

. (7.50)

Page 120: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

120

Termenul 2Av

2

se numeşte presiune de stagnare sau presiune de

impact sau impropriu în unele publicaţii, presiune dinamică. c) Fenomenul Venturi Dacă într-o conductă oarecare se produce o modificare a secţiunii,

aceasta conduce la modificarea vitezei de curgere a fluidului (conform ecuaţiei de continuitate).

z 1

z 3z 2S

1 S2 V

2

V1

V3

p 1

p 3

p 2 S

3

Fig. 7.11. - Principiul venturimetrului

Considerând conducta din fig. 7.11. cu secţiunea variabilă, prin

aplicarea ecuaţiei lui Bernoulli se obţine:

g2vp

zg2

vpz

222

2

211

1

, (7.51)

rezultă că energia potenţială

pz variază în acelaşi sens cu secţiunea.

Dacă conducta este orizontală 21 zz , rezultă:

g2vp

g2vp 2

22211

. (7.52)

Page 121: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

121

Tubul Venturi este un ajutaj convergent – divergent utilizat pentru măsurarea debitului.

Din (7.52) se poate scrie:

21

22

221

2221

S

1

S

1g2

Qg2vvpp . (7.53)

Rezultă expresia debitului funcţie de cele două secţiuni şi diferenţa de presiune măsurată cu cele două piezometre alăturate:

2121

22

21

21 ppkppg2SS

SSQ

. (7.54)

d) Presiunea într-o conductă

Dacă într-o secţiune dreaptă a unei conducte se montează două tuburi piezometrice A şi B (fig. 7.12.) situate la partea superioară, respectiv,

p A

p B

A

B

z A z B

Fig. 7.12. - Presiunea într-o conductă inferioară a conductei, nivelul lichidului este acelaşi în cele două tuburi piezometrice, deoarece aceeaşi lege de distribuţie a presiunii este valabilă atât în interiorul tubului de măsură cât şi în secţiunea dreaptă a conductei:

B

BA

Ap

zp

z . (7.55)

e) Oscilaţii în tub cotit

Page 122: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

122

Un exemplu de aplicare a ecuaţiei lui Bernoulli în mişcare variabilă

este oscilaţia unui lichid într-un tub cotit de secţiune constantă (fig. 7.13.).

z0z1

l

0

xx

Fig. 7.13. - Oscilaţia unui lichid într-un tub cotit

Neglijând frecarea, lichidul din tub a fost deplasat cu cantitatea x din poziţia de echilibru. Viteza variabilă cu timpul este aceeaşi pentru toate

particulele: 10 vvdtdxv .

Ecuaţia lui Bernoulli conduce la:

.dstv

g1

g2v

zg2

vz

1

0

21

1

20

0

(7.56)

Deoarece: 01 pp ,

sinsinxzz 01 ,

2

2

dt

xdtv

, (7.57)

2

21

0 dt

xd1dstv

,

se obţine prin înlocuire:

Page 123: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

123

0sinsinxdt

xdg1

2

2 , (7.58)

sau ecuaţia diferenţială:

sinsinlgcu , 0x

dt

xd 22

2, (7.59)

care are soluţia:

sinsing

122T ; tcosAx . (7.60)

Pentru un tub vertical, îndoit în formă de U, pentru care 2

,

1sinsin , durata unei oscilaţii complete este g2l2T ,identică

cu cea a unui pendul simplu de lungime 2l .

7.6. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării fluidelor vâscoase

Se consideră o particulă infinitezimală a unui sistem continuu de forma unui paralelipiped de dimensiuni dx, dy, dz, vârful A fiind animat de o viteză v ale cărei componente după axele de coordonate sunt vx, vy, vz şi de o acceleraţie a de componente ax, ay, az. (fig. 7.14.).

Page 124: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

124

A

B C

D

E F

G

x

y

z

dx

dy

dzVxVy

Vz

Py

yx

yz

yxyx)+ y dy

yz)yz + y dy

Py+ dyyPy

Fig. 7.14. - Ansamblul forţelor ce acţionează asupra particulei de fluid vâscos

Pe cele trei faţete care concură în A, se consideră tensiunile normale

px, py, pz, uniforme pe fiecare faţetă (aplicate în centrul de greutate), indicele arătând direcţia cu care efortul este paralel; de asemenea se consideră eforturi tangenţiale notate cu dublu indice, prima literă reprezintă direcţia normalei la suprafaţa în care se cuprinde , iar a doua literă se referă la direcţia lui . Cele şase mărimi ale lui se reduc însă numai la trei mărimi distincte, conform teoremei momentelor:

xzzxxyyzyxxy ;; . (7.61) Eforturile p au fost reprezentate către exteriorul elementului, sens la

care corespunde tensiunea de întindere. La fluide, eforturile p sunt presiuni, deci îndreptate spre interior şi în calcule se vor însoţi cu semnul minus (-).

Rezultanta forţelor masice specifice se notează cu F

şi este aplicată în centrul de greutate al elementului, iar componentele ei în raport cu axele sistemului sunt fx, fy şi fz.

Toate mărimile menţionate sunt funcţii de coordonatele x, y, z şi t. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării se vor scrie proiectând toate forţele

masice, superficiale şi de inerţie, pe axele de coordonate, ţinând seama că pe celelalte trei feţe ale elementelor, necomune cu vârful A, toate eforturile au creşteri diferenţiale în raport cu creşterile dx, dy, dz.

Astfel, efectuând proiecţiile pe axa Ox ale forţelor masice şi de inerţie, se obţine:

.dzdydxafdzdydxadzdydxf xxxx (7.62)

Page 125: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

125

Efectuând apoi proiecţiile pe axa Oy a forţelor de presiuni normale pe cele două feţe paralele cu y0z, se obţine:

dzdydxxf

dzdydxx

ppdzdyp xx

xx

. (7.63)

Forţele care nu mai dau componente paralele cu 0x rezultă din proiecţiile forţelor tangenţiale:

pe feţele paralele cu y0z, se obţine:

dzdydxz

dydxdzz

dydx zxzxzxzx

; (7.64)

pe feţele paralele cu x0z:

dzdydxy

dydxdyy

dzdx yxyxyxyx

;(7.65)

Reducând termenii comuni şi repetând procedeul pentru celelalte două axe, se obţine:

0yxz

pafp

0xzy

pafp

0zyx

pafp

zyzxzzz

yxyzyyy

xzxyxxx

. (7.66)

Sistemul (7.66) poartă numele de sistemul de ecuaţii Navier-Stokes. Rezolvarea lui ridică probleme foarte mari, soluţiile obţinute fiind valabile numai în anumite cazuri particulare. Pentru cazuri mai complexe există numai soluţii aproximative.

O altă variantă de determinare a ecuaţiilor de mişcare a fluidelor vâscoase are la bază forma vectorială (7.5) a ecuaţiilor lui Euler, a cărei structură se completează cu termenul vf

ce reprezintă ansamblul tensiunilor

de frecare acţionând pe unitatea de volum de fluid:

dtvdf

xp1fp v

. (7.67)

Teoria generală a frecării fluidelor arată că schimbarea formei diferitelor elemente de fluid dă naştere unor tensiuni de natura celor întâlnite

Page 126: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

126

la corpurile solide, aceste tensiuni fiind proporţionale cu viteza de deformaţie.

Pentru particula fluidă în mişcare, tensiunile de natură vâscoasă, câte trei pe fiecare faţetă, conform teoriei elasticităţii, sunt:

zv

xv

;z

v2p

yv

zv

;y

v2p

zv

yv

;x

v2p

xzyzzx

zz

zyzyyz

yy

yxyxxy

xx

. (7.68)

unde: px, py, pz sunt eforturile normale după cele trei direcţii, iar este efortul tangenţial (primul indice arată axa pe care este perpendiculară suprafaţa considerată şi care conţine forţa tangenţială respectivă, iar al doilea indice reprezintă direcţia forţei).

Admiţând ipoteza că forţele specifice de frecare variază proporţional cu deplasarea, pentru cele şase faţete ale particulei fluide în mişcare, ele se pot exprima astfel:

după direcţia 0x:

;z

vy

vx

vxz

vyv

xv

zyxpf zyx

2x

2

2x

2

2x

2zxyxx

vx

(7.69) după direcţia 0y:

zv

yv

xv

yz

v

y

v

x

vxzy

pf zyx

2y

2

2y

2

2y

2xyzyy

vy ;

(7.70) după direcţia 0z:

z

vy

vx

vzz

vyv

xv

yxzpf zyx

2z

2

2z

2

2z

2yzxzzvz

; (7.71)

Pentru fluide incompresibile 0z

vy

vx

vvdiv zyx

,

componentele tensiunilor tangenţiale devin:

Page 127: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

127

x2x

2

2x

2

2x

2vx v

zv

yv

xvf

;

analog: y2y

2

2y

2

2y

2

vy vz

v

y

v

x

vf

; (7.72)

z2z

2

2z

2

2z

2vz v

z

v

y

v

x

vf

.

Înlocuind aceste relaţii în (7.66), se obţine:

dtvdv gradf

; (7.73)

sau forma:

dtvdv grad1f

. (7.74)

Sub formă scalară rezultă:

dtdv

vzp1f

dtdv

vyp1f

dtdv

vxp1f

zzz

yyy

xxx

, (7.75)

sistemul de ecuaţii Navier-Stokes. Rezolvarea sistemului se face numai în cazuri cu totul particulare,

pentru cazuri mai complexe sistemul oferă numai soluţii aproximative.

7.6.1. Probleme rezolvate cu ecuaţiile Navier-Stokes

a) Mişcarea paralelă a unui fluid incompresibil sub presiune între doi pereţi plan paraleli (fig. 7.15.).

Câmpul de viteze are componenta 0vx , pe când 0vv zy .

Aplicând ecuaţia de continuitate 0vdiv , rezultă 0

xvx

, deci

vx nu depinde de x sau t,z,yfvx .

Page 128: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

128

hu

y

h

0x

Fig. 7.15. - Mişcarea paralelă a unui fluid vâscos între doi pereţi plani

Conform legii hidrostaticii presiunile variază după direcţia 0y şi 0z,

însă presiunile variază după direcţia 0x, conform ecuaţiei de mişcare după această direcţie:

zv

yv

xp

tv x

2x

2x , (7.76)

Această ecuaţie diferenţială liniară se rezolvă exact, în multe cazuri particulare.

b) Mişcarea plană permanentă într-un canal între doi pereţi

paraleli imobili situaţi la distanţa 2h Mişcarea este plană, componenta vx depinzând numai de y şi fiind

permanentă, termenul inerţial 0t

vx , ecuaţia (7.66) devenind:

2x

2

dy

vddxdp

. (7.77)

Cunoscând pierderea de sarcină:

.constJdxdp1

(7.78)

(se ia semnul minus (-) dacă panta coborâtoare a liniei de sarcină se consideră pozitivă), se obţine:

J

dy

vd2x

2, (7.79)

Page 129: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

129

de unde prin integrare succesivă se obţine:

212

x1x CyCyJ

2v;CyJ

dydv

. (7.80)

Constantele de integrare se determină prin condiţiile la limită: 0vx pentru hy .

Rezultă:

0Cşih2

JC 21

, (7.81)

deci:

22x yhJ

2v

. (7.82)

Distribuţia vitezei este parabolică (fig. 7.16).

U

1 23

Fig. 7.16. - Mişcarea plană permanentă între doi pereţi plani, dintre care unul este mobil

Viteza maximă are loc în axa canalului (y = 0):

2

hJg2

hJv22

max x . (7.83)

La pereţi, pentru hy , viteza este nulă, 0vx . Debitul pe metru liniar de lăţime, este:

3h

0

2h

0

2h

0x hJg

32dyydyhJdyv2Q

, (7.84)

iar viteza medie:

Page 130: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

130

max x2

med x v32

3hJg

h2Qv

, (7.85)

c) Mişcarea plană permanentă într-un canal între doi pereţi paraleli la distanţa h, un perete fiind fix şi celălalt în mişcare cu viteza u = const.

Ecuaţia diferenţială din cazul precedent este valabilă şi în acest caz, cu menţiunea că condiţiile la limită sunt: pentru 0y , 0vx şi pentru

hy , uvx . Rezultă:

hy1

hy

dxdp

2hu

hyv

2x , (7.86)

adică distribuţia vitezelor este parabolică.

În cazul particular 0dxdp

, se obţine o distribuţie liniară a vitezelor:

uhyvx . (7.87)

Acest tip de mişcare se numeşte mişcarea Couette simplă. Astfel mişcarea dată de (7.86) se poate privi ca o suprapunere a două mişcări:

mişcare în canal, ca şi în cazul descris la punctul b); mişcare Couette simplă, curba 1 din figura 7.16.

Se observă că dacă presiunea scade în direcţia lui u, vitezele se distribuie după o parabolă (2), iar dacă presiunea creşte în sensul lui U se realizează distribuţia vitezelor după parabola (3).

Această mişcare are aplicaţii în teoria hidrodinamică a ungerii.

d) Mişcarea permanentă într-o conductă dreaptă, de secţiune constantă (fig. 7.17.)

Dacă 0x este axa longitudinală a conductei şi mişcarea este laminară, atunci 0vx , iar 0vv zy .

Page 131: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

131

h1

h2

z

Z

u X

x

dxg

p1

p2

Jdx

dp

Fig. 7.17. Mişcarea permanentă într-o conductă rectilinie a unui fluid vâscos

Mişcarea fiind permanentă, 0t

vt

v

tv zyx

.

Cum 0vv zy şi derivatele lor parţiale în raport cu x, y, z sunt

nule, forţele masice specifice au valorile cosgf;singf zx . Prin proiectarea primei ecuaţii Navier-Stokes pe direcţia 0x se

obţine:

0z

v

y

vxpsing

2x

2

2x

2

. (7.88)

Introducând panta piezometrică:

xp1sinJ

, (7.89)

rezultă:

.constJgvx2

(7.90)

Aceasta este ecuaţia diferenţială a lui Poisson, ea a fost rezolvată exact, în cazul unor forme particulare ale conturului secţiunii.

Astfel, pentru secţiuni circulare, din cauza simetriei centrale, la

fiecare valoare a lui 2x

2

yv

corespunde o valoare identică 2

x2

zv

deci

ecuaţia (7.90) devine:

Page 132: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

132

Jgy

v2

2x

2, (7.91)

de unde, prin integrare rezultă:

1x Cy

2Jg

yv

, (7.92)

212

x CyCy4

Jgv

. (7.93)

Din condiţiile iniţiale se determină constantele de integrare:

pentru ;0Cdeci,0y

v,0y 1x

pentru ry , 0vx deci 22 r

4JgC

.

Cu aceste valori rezultă:

22x yr

4Jgv

. (7.94)

Se vede că legea de distribuţie a vitezelor este un paraboloid de rotaţie (fig. 7.18).

u

r

y

r r

Fig. 7.18. - Distribuţia vitezelor şi a eforturilor de frecare într-o conductă rectilinie de secţiune circulară

Viteza maximă se obţine pentru 0y :

2max x r

4Jgv

. (7.95)

Page 133: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

133

Debitul de fluid ce curge prin conductă este:

4422r

0x r

8Jg

0r

4y

2yr

2Jgdyvy2Q

. (7.96)

Viteza medie pe secţiune:

2v

r8

Jgr

Qv max x22med x

. (7.97)

Pierderea hidraulică (pierderea de sarcină) este:

42med x

rgQ8

rg

v8J

, (7.98)

adică pierderea de sarcină este proporţională cu viteza medie, ceea ce este caracteristic regimului laminar de mişcare.

7.7. Teoremele impulsului

Aceste teoreme îşi găsesc multiple aplicaţii în hidrodinamică, datorită faptului că ele conduc la stabilirea unor ecuaţii de mişcare integrate, proprii sistemelor continue.

Mai mult, ele permit obţinerea unor relaţii pe suprafaţa care limitează domeniul mişcării, fără a fi necesară cunoaşterea în detaliu a mişcărilor din interiorul domeniului.

Teorema întâi se exprimă prin relaţia:

eFvmdtd , (7.99)

şi spunem că derivata în raport cu timpul a impulsului unui sistem de puncte materiale este echivalentă rezultantei forţelor exterioare aplicate sistemului de mase punctiforme. Produsul vm se numeşte vector cantitate de mişcare sau impuls.

Teorema a doua a impulsului sau teorema momentului cinetic se

exprimă prin relaţia:

eFrvmrdtd

, (7.100)

Page 134: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

134

şi arată că derivata în raport cu timpul a momentului cinetic al unui sistem de puncte materiale este echivalentă cu suma momentelor forţelor exterioare care acţionează asupra sistemului.

În vederea transpunerii acestor teoreme în domeniul hidrodinamicii, se consideră un fir fluid în mişcare permanentă, în secţiunea căruia vitezele, presiunea şi masa specifică rămân constante în timp.

Delimitând printr-o suprafaţă de control un segment din acest fir (fig. 7.19.), masa fluidă conţinută în această suprafaţă de control ocupă în două momente succesive t şi t poziţiile ABCD, respectiv DCBA .

DD'

C C'

A

A'

B

B'

V 1

V2

V 1dt V2dt

r1

r 2

S1

S2

Fig. 7.19. – Reprezentarea teoremelor impulsului

Variaţia Id

a impulsului în intervalul de timp dt se poate exprima prin diferenţa impulsului masei de fluid conţinută în suprafaţa de control la cele două momente t şi t, adică t't IIId

Deoarece mişcarea este

permanentă impulsul masei de fluid conţinută între secţiunile BA şi CD rămâne constantă, nu intervine în variaţia de impuls.

Înseamnă că variaţia impulsului în intervalul de timp dt este dată de diferenţa dintre impulsul masei de fluid conţinută în volumul CDCD şi impulsul masei de fluid conţinută în volumul ABAB al firului fluid, adică:

111222 vdtvSvdtvSId , (7.101)

sau:

12111222 vvQvvSvvSdtId

. (7.102)

Page 135: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

135

Asociind această relaţie cu (7.99), rezultă: e12 FvvQ

. (7.102) Această relaţie (7.102) arată că în regimul de mişcare permanentă

suma forţelor exterioare care acţionează asupra unui segment de fir fluid delimitat de o suprafaţă de control este egală cu diferenţa dintre impulsul masei de fluid care trece (pe secundă) prin secţiunea de ieşire 2vQ

şi impulsul masei de fluid care trece prin secţiunea de intrare 1vQ

. Din categoria eF

, fac parte:

forţele de greutate; forţele de presiune, normale pe secţiunea curentului şi orientate

dinspre exterior spre interior; forţele de presiune exercitate de către pereţi înspre fluidul interior.

Pentru o suprafaţă de control oarecare S (fig. 7.20.), debitul masic care iese în unitatea de timp prin elementul dS este nn v,dSv fiind componenta vitezei v , normală la Sd

.

S

V

Vn

dS

Fig. 7.20. - Calculul debitului masic Cantitatea de mişcare prin acest element de suprafaţă este:

vdSvn .

Atribuind semnul (+) cantităţii de mişcare care iese din volumul considerat şi semnul (-) celei care intră, se poate scrie:

enS

FvvdS , (7.103)

adică rezultanta forţelor exterioare care acţionează asupra masei de fluid delimitată de suprafaţa de control S este echivalentă cu impulsul masei de fluid care trece în unitatea de timp prin această suprafaţă.

Teorema momentului cinetic pentru un segment de fir fluid se stabileşte în mod identic, pornind de la relaţia (7.100) exprimând momentul

Page 136: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

136

cinetic şi momentul rezultantei forţelor exterioare faţă de punctul O (fig. 7.15.). Se obţine relaţia:

e1122 FrvrvrQ

. (7.104) Relaţiile (7.102) şi (7.104) fiind vectoriale se pot proiecta după orice

direcţie. După cum s-a arătat la începutul acestui subcapitol, aplicarea

teoremelor impulsului nu necesită cunoaşterea fenomenelor care au loc în interiorul suprafeţei de control, ci numai a vitezelor şi presiunii pe suprafaţa de control respectivă.

De exemplu, pentru vâne fluide, notând cu v1, respectiv v2 vitezele medii pe secţiune, cele două teoreme devin:

e1122 FvvQ (7.105)

e111222 FrvrvrQ (7.106)

unde coeficienţii 21 şi ţin cont de distribuţia neuniformă a vitezelor pe secţiune. Pentru regimul de mişcare turbulentă se acceptă 121 .

7.8. Consecinţe şi aplicaţii ale teoremelor impulsului

b) Tub de curent în mişcare permanentă

În acest caz, se utilizează în ecuaţiile de mişcare, viteza medie pe secţiune însoţită de coeficientul lui Coriolis ce ţine seama de neuniformitatea distribuţiei vitezelor pe secţiunea tubului.

Forţele de inerţie la intrare şi ieşire se calculează cu relaţia:

S

2m

2 SnvdQnv

, (7.107)

unde Sv

dSv

3S

3 , n indică direcţia forţei de inerţie care este normală la

suprafaţa secţiunii S. Dacă tubul de curent are pereţi rigizi, reacţiunea fluidului asupra

pereţilor se va calcula cu relaţia:

Page 137: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

137

21222111 vQvQSpnSpnGR . (7.108)

Sensurile forţelor sunt următoarele: 111 vQşiSpn

înspre interior, deci impulsul în sensul lui

1v ; 2222 vQşiSpn

tot înspre interior, adică impulsul în sens contrar lui 2v .

Punctul de aplicaţie al forţei R

se va calcula luând momentele statice ale forţelor faţă de un punct oarecare.

b) Forţa hidrodinamică pe un perete plan

Forţa hidrodinamică este forţa pe care o vână liberă o exercită asupra corpurilor solide cu care vine în contact.

Fie o vână fluidă liberă de dimensiuni restrânse, având o viteză v (fig. 7.21.).

Ea întâlneşte în calea sa un perete plan care face un unghi cu direcţia curentului.

a

b

1

1

2

2V 2

V1

Fpf

Ffp = Qv

1 sin

Qv1Q

V 22

2

Fig. 7.21. - Forţa hidrodinamică pe un perete plan

Pentru calculul forţei hidrodinamice se aplică unui segment din această vână fluidă teoremele impulsului, suprafeţei de control 1-1 la intrare şi 2-2 la ieşire:

21lfpplf vvQFF . (7.109) Proiectând după o normală la perete la nivelul axei de curgere, se

obţine:

Page 138: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

138

sinvQF 1plf . (7.110)

Dacă peretele este perpendicular pe direcţia mişcării 90 , rezultă:

2plf vSvQF . (7.111)

Dacă peretele plan se deplasează cu o viteză u în direcţia curentului, viteza relativă dintre curent şi perete este:

uvw , (7.112)

forţa hidrodinamică în acest caz este: uvQF plf . (7.113)

c) Roata hidraulică cu acţiune

Se consideră peretele fix curbat cu unghiul (fig. 7.22.) care vine în

contact direct cu o vână fluidă de secţiune S, viteză v, având debitul SvQ , vâna fluidă fiind deviată de prezenţa peretelui cu unghiul .

0

1

1

2

2

u

V1

V 2

x

Fig. 7.22. - Forţa hidrodinamică pe un perete curbat

Acţiunea apei asupra peretelui fix este: 21flppfl vvQFF . (7.114)

Proiectând relaţia anterioară după direcţia 0x, se obţine: cosvvQF 21x0plf . (7.115)

Neglijând frecarea fluidului cu peretele vvv 21 , rezultă: cos1vQF x0plf . (7.116)

Page 139: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

139

Asimilând peretele cu paleta unui rotor de turbină Pelton care se deplasează cu viteza tangenţială u, viteza relativă este:

uvw . (7.117) Componenta forţei hidrodinamice după direcţia tangenţială, este:

cos1uvQpF x0lf . (7.118) Puterea transmisă de către curent paletei, este:

ucos1uvQupFP x0lf . (7.119) Puterea disponibilă a vânei fluide, de viteză v, este:

2vQP

2d . (7.120)

Rezultă randamentul roţii hidraulice:

22d v

ucos1uv2

2vQ

ucos1uvQPP

. (7.121)

Din relaţia (7.121) se observă că randamentul roţii hidraulice este determinat de turaţia acesteia (prin viteza tangenţială u) şi de construcţia paletei (prin unghiul ). Derivând randamentul în funcţie de viteza tangenţială u se obţine valoarea optimă a vitezei tangenţiale pentru care, la o soluţie constructivă ( dat) randamentul este maxim:

2vuundede,0uvu

du optim . (7.122)

Introducând această valoare în (7.121) rezultă:

cos121

max . (7.123)

Din această relaţie se observă că randamentul cel mai bun se obţine pentru 180 (când 1cos ).

Acest lucru înseamnă că paletele rotoarelor turbinelor Pelton trebuie astfel construite încât să realizeze întoarcerea curentului de apă cu aproximativ 180 (fig. 7.23.).

Page 140: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

140

V2

V2

V1

Fig. 7.23. – Acţiunea vânei lichide pe cupa

unei turbine Pelton d). Forţe de reacţiune

Dacă un curent de fluid sub presiune este obligat de frontiere solide

să-şi schimbe direcţia de mişcare, atunci el reacţionează exercitând o forţă asupra pereţilor, numită forţă de reacţiune.

Forţele de reacţiune se întâlnesc mai ales în coturile care leagă între ele tronsoane liniare de conducte, în coturi având loc schimbarea direcţiei de curgere a fluidului.

Fie o vână fluidă sub presiune care, sub acţiunea pereţilor înconjurători îşi schimbă direcţia de curgere (fig. 7.24.).

11

2

2

p2S2

p 1S1

V2

V 1

Ff-p

p2S2

p 1S1

Qv2

Qv 1

Fig. 7.24. - Forţa de reacţiune în coturi

Page 141: Mecanica Fluidelor

Dinamica fluidelor perfecte. Teoreme şi ecuaţii generale

141

În această situaţie, fluidul reacţionează, exercitând o forţă plfF asupra pereţilor.

Pentru calculul acestei forţe se alege un segment de vână fluidă delimitat de secţiunile 1-1 şi 2-2, căruia i se aplică teorema impulsului:

2211lfp12 SpSpFvvQ , (7.124)

unde, în categoria forţelor exterioare se consideră acţiunea pereţilor asupra fluidului lfpF

şi forţele de presiune din secţiunile 1-1 şi 2-2.

Reacţiunea fluidului în cot este: 221121lfpplf SpSpvvQFF

. (7.125)

Această reacţiune este rezultanta vectorilor hidrodinamici 1vQ

şi 2vQ şi a forţelor de presiune 11 Sp şi 22 Sp .

Page 142: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

142

CAPITOLUL VIII

MIŞCĂRI POTENŢIALE

8.1. Generalităţi. Definiţii

Mişcarea potenţială a unui fluid a fost definită prin existenţa unei funcţii scalare, , numită potenţial de viteze, din care proiecţiile vitezelor din orice punct al domeniului ocupat de fluid sunt derivate parţiale ale funcţiei :

xvx

,

y

yv , z

vz

(8.1)

astfel că întreg domeniul mişcării constituie un câmp de vectori-viteză de un tip special, câmpul potenţial.

Locul geometric al punctelor pentru care funcţia are aceeaşi valoare C (constantă) se numeşte suprafaţă echipotenţială.

Funcţia de potenţial se întâlneşte în numeroase forme fizice, ceea ce permite stabilirea unor analogii electrice, magnetice, termice, etc. şi crearea unei teorii matematice unitare.

Viteza v , în orice punct al domeniului mişcării, este normală la suprafaţa echipotenţială ce trece prin punctul considerat. Acest lucru rezultă din produsul scalar al vitezei v cu un segment arbitrar ds parcurs de particulă pe suprafaţa echipotenţială:

dzvdyvdxv)ds,v( cosdsvdsv zyx . (8.2)

Introducând expresiile componentelor vitezei în funcţie de potenţialul , rezultă:

0ddzz

dyy

xdx

)ds,v(cosdsv

, (8.3)

deoarece .const Cum v şi ds nu sunt identic nule, trebuie să se anuleze

)ds,v( cos , adică vectorul v este perpendicular pe ds . Cum ds este arbitrar pe suprafaţa C , rezultă că v este normal la această suprafaţă. De aici rezultă că liniile de curent, fiind tangente la viteza v , intersectează ortogonal suprafeţele echipotenţiale.

Page 143: Mecanica Fluidelor

Mişcări potenţiale

143

Dacă se derivează funcţia după direcţia normalei n la suprafaţă, deci după direcţia v , se obţine viteza ca gradient al funcţiei:

gradn

v . (8.4)

Dacă suprafeţele C sunt foarte apropiate, v poate creşte la infinit, ceea ce nu corespunde realităţii. Punctele în care v se numesc puncte singulare.

Dacă mişcarea este permanentă, liniile de curent coincid cu traiectoria particulelor, iar dacă mişcarea este nepermanentă liniile de curent variază cu timpul şi nu mai coincid cu traiectoriile.

Suprafeţele echipotenţiale nu se pot intersecta, deoarece într-un punct de intersecţie viteza ar avea două direcţii diferite corespunzând normalelor la cele două suprafeţe, ceea ce nu este posibil decât în puncte singulare.

Efectuând integrala curbilinie între două puncte A şi B ale unei curbe oarecare, se obţine:

, B

AABzy

B

A

B

Ax ddzvdyvdxvdsv (8.5)

ceea ce arată faptul că integrala nu depinde de drumul parcurs, ci numai de valorile potenţialului în punctele extreme. Dacă funcţia , este uniformă şi curba este închisă, circulaţia este nulă:

0dsv . (8.6) De aici rezultă că, într-un câmp potenţial uniform, liniile de curent

nu pot fi curbe închise, deoarece în acest caz circulaţia ar fi nenulă, vectorii v şi dS având aceeaşi direcţie şi acelaşi sens.

Introducând expresiile componentelor vitezei, date de relaţia (8.1), în ecuaţia de continuitate 0v div

,se obţine:

0zyx 2

2

2

2

2

2

(8.7)

Laplacianul fiind nul, înseamnă că potenţialul este o funcţie armonică.

Page 144: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

144

Ecuaţia de continuitate se poate exprima şi prin condiţia ca integrala de flux pe suprafaţa închisă S considerată trebuie să fie nulă, ceea ce, când viteza derivă din potenţialul , devine:

S SS

0dSn

dS)zn,(cosz

)yn,(cosy

)xn,(cosx

dSnv . (8.8)

Din (8.8) se vede că potenţialul nu poate avea în interiorul fluidului maxime sau minime, deoarece, dacă s-ar înconjura punctul cu o suprafaţă închisă suficient de mică şi ar admite un maxim sau minim,

n ar avea acelaşi semn în toate direcţiile şi

S dS

nar fi diferită de zero

S

0dS n

, ceea ce contravine ecuaţiei (8.8).

Mişcarea potenţială este şi irotaţională şi reciproc (vezi paragraful 6.4.).

8.2. Exemple de mişcări potenţiale

a). Izvorul este un punct 0 care emite un flux uniform în toate

direcţiile spaţiului (fig. 8.1.). Potenţialul său este:

rC

. (8.9)

0

r M

V

Fig. 8.1. – Reprezentarea izvorului spaţial

Constanta C poate fi pozitivă sau negativă, după cum izvorul pozitiv emite substanţa, iar cel negativ absoarbe substanţa.

Page 145: Mecanica Fluidelor

Mişcări potenţiale

145

Suprafeţele echipotenţiale sunt sfere concentrice, liniile de curent sunt razele ce trec prin punctul 0. Viteza fluidului în orice punct M pe sfera de rază r are valoarea:

2rC

rv

, (8.10)

direcţia fiind a razei iar sensul de la O spre M pentru izvorul pozitiv. Fluxul total pe o suprafaţă echipotenţială este:

C4rCr4-Q2

2 . (8.11)

b). Două izvoare de debite egale şi de semne contrare Q , în spaţiu (fig. 8.2.).

A(+Q) B(-Q)

r 1

r2

V

V 1

V2

M

Fig. 8.2. – Reprezentarea a două izvoare spaţiale

Potenţialul în punctul M este:

12 r1

r1C . (8.12)

Viteza în punctul M este rezultanta vitezelor care corespund la fiecare din cele două izvoare. Debitul C4Q emis de izvorul pozitiv A intră în izvorul negativ B. Linia de curent care trece prin M este tangentă în punctul M la viteza v şi trece prin punctele A şi B.

Page 146: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

146

8.3. Mişcări potenţiale plane

8.3.1. Proprietăţi generale

Dacă în mişcarea unui fluid câmpul vitezelor este paralel cu un plan director, iar parametrii mişcării nu variază pe direcţia normală în acest plan, mişcarea se numeşte plană.

Proprietăţile generale ale acestor mişcări derivă, în cea mai mare parte, din proprietăţile deja studiate pentru mişcările potenţiale în spaţiu:

a). Viteza într-un punct:

xvx

,

yvy

, 0vz ,

(8.13)

ngradv

, 2

y2x vvv .

b). Continuitatea:

0vdivvy

vx

v yx

, (8.14)

sau:

0yx

22

2

2

2

. (8.15)

c). Condiţia de irotaţionalitate:

0y

vx

v xy

. (8.16)

d). Circulaţia într-un domeniu simplu-conex: Spaţiul simplu-conex este acela în care o curbă închisă în jurul unui

punct poate fi redusă la un punct fără a ieşi din limitele domeniului (ex.: sfera).

0)dyvdxv(dsv yx . (8.17)

Page 147: Mecanica Fluidelor

Mişcări potenţiale

147

8.3.2. Funcţia de curent

În cazul mişcărilor plane potenţiale există o funcţie scalară )yx,( , numită funcţie de curent, definită prin relaţiile:

xvx

,

yvy

. (8.18)

Introducând aceste expresii ale lui vx şi vy în ecuaţia unei linii de

curent: yx vyd

vxd se obţine:

0dydy

xdx

, (8.19)

deci de-a lungul unei linii de curent, const. de aceea funcţia se numeşte funcţie de curent.

Această funcţie de curent verifică şi ecuaţiile de continuitate şi de irotaţionalitate, înlocuind vx şi vy din (8.18) în ecuaţia (8.14), se obţine:

0xyyx

, (8.20)

iar ecuaţia (8.15) devine:

0yyxx

. (8.21)

Funcţiile de curent şi de potenţial verifică ecuaţia lui Laplace

şi sunt funcţii armonice. Funcţiile şi , legate prin relaţiile (8.13) şi (8.18) se numesc funcţii armonic conjugate. Legătura dintre ele rezultând din aceste condiţii se exprimă prin relaţiile diferenţiale Cauchy-Riemann (condiţiile de monogenitate):

yx

;

xy

. (8.22)

Dacă se înmulţesc ecuaţiile de mai sus, între ele, se obţine condiţia

de ortogonalitate, adică liniile de curent şi cele echipotenţiale se taie ortogonal.

Page 148: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

148

Consecinţe

a). Dacă se consideră la un moment dat coordonatele intrinseci ca având direcţiile tangentei ds şi a normalei dn într-un punct P al liniei de curent (fig. 8.3.), ecuaţiile de mai sus devin:

nsv

; 0sn

, (8.23)

cum: dnvd , prin integrare se obţine:

k

i

kiik Qdnv , (8.24)

adică debitul care curge între liniile de curent i şi k este egal cu diferenţa dintre valorile funcţiei de curent k , respectiv i .

p

Vdn

ds

dd

Fig. 8.3. - Elementul de reţea potenţială

b). Dacă se aleg ca echiferenţe ale funcţiilor şi creşterile constante 1C şi 2C , viteza medie între două linii echipotenţiale sau două linii de curent succesive este invers proporţională cu distanţa s , respectiv n :

nsv

. (8.25)

8.3.3. Studiul mişcării cu ajutorul funcţiilor analitice

O funcţie f de o variabilă complexă yixz se numeşte analitică

sau monogenă dacă admite derivabile continue şi unice în orice punct,

Page 149: Mecanica Fluidelor

Mişcări potenţiale

149

independent de direcţia creşterii dz. Astfel, f(z) fiind exprimată prin if , pentru a fi derivabilă în condiţiile de mai sus trebuie să satisfacă

condiţiile Cauchy-Riemann (8.22). La aceste condiţii se ajunge scriind raportul creşterii funcţiei df la creşterea lui z, adică:

dyixd

dyy

dxx

idyy

dxx

zdfd

, (8.26)

sau:

ydixd

dyyy

ixdx

ix

zdfd

. (8.27)

Pentru ca derivata să fie independentă de dz (adică de raportul

dy/dx), trebuie ca termenii din parantezele numărătorului fracţiei să fie egali, adică:

yi1

yxi

x

, (8.28)

de unde:

yx

,

xy

, (8.29)

adică tocmai condiţiile (8.22). De aici rezultă faptul că, separând la o funcţie analitică de variabilă

complexă f, partea reală de partea imaginară , cele două funcţii şi , armonic conjugate, reprezintă o mişcare potenţială şi reciproc, orice mişcare potenţială poate fi reprezentată analitic printr-o funcţie analitică. Aşadar, cele două domenii, mecanic al mişcărilor potenţiale şi matematic al funcţiilor analitice se suprapun perfect.

În termeni ai mecanicii fluidelor, funcţia f se numeşte potenţialul complex al mişcării, este funcţia de potenţial al vitezelor, iar funcţia de curent.

Dacă se reprezintă grafic, într-un acelaşi sistem de axe xOy, familiile liniilor de potenţial şi de curent se obţine spectrul hidrodinamic al mişcării. Liniile de potenţial şi liniile de curent sunt curbe ortogonale.

Page 150: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

150

Consecinţe a) Prin înmulţirea lui f cu i se obţine o altă mişcare potenţială:

i-fif1 , (8.30) în care este funcţia de potenţial, iar este funcţia de curent.

b) Prin adunarea a două potenţiale complexe se obţine o nouă mişcare potenţială, întrucât şi funcţiile noi obţinute îndeplinesc condiţiile Cauchy-Riemann.

c) Prin derivarea lui f în raport cu z , se obţine derivata complexă:

yx vivy

ixx

ixzd

fd

(8.31)

Se observă că această derivată reprezintă un vector simetric faţă de viteza v în raport cu axa reală (fig. 8.4.).

Acest vector w se numeşte conjugata vitezei v a mişcării reprezentate de funcţia f(z).

iv

-iv

V

uu

dfdzW=

Fig. 8.4. - Viteza conjugată

d) Deoarece dzdf este independentă de

xz

, această derivată este

egală şi cu derivatele parţiale, adică:

yf

xf

zdfd

. (8.32)

Page 151: Mecanica Fluidelor

Mişcări potenţiale

151

8.3.4. Transformări conforme

S-a arătat mai sus că studiul mişcărilor potenţiale plane revine la studiul funcţiilor analitice de variabilă complexă. De aceea se impune aplicarea la studiul acestor mişcări a metodei transformărilor conforme, metoda ce permite, ca plecând de la o mişcare cunoscută, să se obţină mişcări noi.

Definiţie: Un domeniu D' este transformarea conformă a altui domeniu D, dacă la orice punct din D corespunde un punct în D' astfel ca unghiurile a două elemente curbilinii omoloage duse prin punctele omoloage sunt egale şi cu sensul de parcurgere acelaşi (fig. 8.5.).

0 0'

N2

N2'

C1

C1'N1'

N1

C2'C2

dS1dS

2

dS2 dS1

M(z0)M'(z0)x X

y Y

D D'

Fig. 8.5. - Reprezentarea metodei transformărilor conforme

Acest lucru se realizează dacă între cele două domenii plane D şi D', definite prin coordonatele complexe: iyxz respectiv IYXZ , există o legătură între punctele celor două domenii (inclusiv frontierele lor)

zZZ , Z fiind o funcţie analitică univalentă. Într-adevăr, dacă z0 şi Z0 sunt două puncte omoloage în cele două

domenii şi ds, respectiv dS - elemente a două arce omoloage a două unghiuri omoloage C şi C' trecând prin punctele considerate, există relaţiile:

iedssindsicosdsydixdzd , (8.33) iar în punctele M(z0), respectiv M(Z0):

11 i1

i11 edSZd , edszd , (8.34)

unde 11 MNsd ; 'N'MSd 1 .

Page 152: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

152

Din relaţiile de mai sus rezultă, pentru punctele omoloage (z0,Z0): )-(i

1

1

01

1 11esdSd

)(zzdZd . (8.35)

Deoarece Z este o funcţie analitică, admite o derivată în punctul z0,

notată cu: i

00

e)z()(zzd

Zd . (8.36)

Comparând cele două expresii ale derivatei în punctul z0, rezultă:

1101

1 ),z(sdSd , (8.37)

)z( 0 şi depind numai z0 şi nu de direcţiile punctelor C1 şi '1C ce trec

prin M şi M'. Acelaşi rezultat se obţine şi pentru alte elemente de curbe ds2,

respectiv dS2 care trec prin punctele omoloage M şi M', respectiv:

)z(sdSd

sdSd

02

2

1

1 ; 2211 , (8.38)

sau: 1212 , (8.39)

adică triunghiurile infinit mici MN1N2 şi '2

'1NN'M sunt asemenea, având

laturile proporţionale şi unghiurile egale. Este de observat faptul că raportul de similitudine )z( 0 variază cu

z, deci nu este constant pentru întregul domeniu, similitudinea triunghiurilor omoloage sau a altor figuri este valabilă numai la scara infiniţilor mici.

De asemenea, trebuie observat şi faptul că prin transformare figura suferă o rotaţie locală , care este funcţie de z.

Funcţia Z(z) care transformă conform domeniul D în D' se numeşte funcţie de transformare.

Această operaţie este reciprocă şi funcţiei Z îi corespunde funcţia z(Z), care transformă domeniul D' în D.

8.3.4.1. Transformarea profilurilor şi a vitezelor

Funcţia de transformare operează asupra întregului domeniu, transformând liniile de curent dintr-un domeniu în linii de curent omoloage în domeniul transformat.

Page 153: Mecanica Fluidelor

Mişcări potenţiale

153

Liniile echipotenţiale şi vitezele de asemenea sunt transformate, după cum şi anumite linii de curent formate de curbe închise, care pot fi folosite drept profiluri hidrodinamice (fig. 8.6.).

C C'

x

y

V V'

const.'const.

'const.

const.

Fig. 8.6. - Profiluri hidrodinamice

În privinţa transformării vitezelor, fie o mişcare reprezentată prin potenţialul complex, în planul zz: y)(x,ψiy)(x,f şi fie funcţia de transformare: )(πz se obţine:

πff(z) . (8.40) Viteza complexă:

ddπ

dzdf

ddf sau

ddπww z , (8.41)

adică viteza complexă în planul transformat este egală cu produsul dintre viteza complexă în planul z şi derivata funcţiei de transformare.

8.3.4.2 Mişcări reprezentate prin funcţii analitice date

a). Curent plan paralel (fig. 8.7.)

Fie o mişcare caracterizată de potenţialul complex:

zCf . (8.42)

Page 154: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

154

x

y

0V

W

Fig. 8.7. - Curent plan-paralel

Coeficientul C fiind un număr complex, iBAC , avem:

)Ay(BxiByAxy)ii)(xB(Aiψf , (8.43) de unde, prin separarea termenilor, se obţine:

AyBxψByAx

(8.44)

Liniile de curent constψ , fac unghiul cu axa reală, astfel că

ABtgβ .

Viteza complexă:

)vii)(vB(Adzdf

yx , (8.45)

este reprezentată prin vectorul w în cadranul I, deci viteza v a mişcării este simetrica vitezei conjugate faţă de axa reală, fiind situată în cadranul IV şi este paralelă cu liniile constψ . În cazul când 0B , liniile de curent şi vitezele sunt paralele cu axa reală şi vA . Lui B > 0 îi corespunde o viteză în sensul lui + x.

Page 155: Mecanica Fluidelor

Mişcări potenţiale

155

b). Mişcarea produsă de un izvor punctiform (fig. 8.8.)

Fig. 8.8. - Mişcarea plană produsă de un izvor

zlnCzf , cu ierz (8.46)

θCirlnCerlnCf θi . (8.47)

Cum viteza la distanţa r este radială şi are aceeaşi valoare v, debitul este:

vr2πQ . (8.48) Din (8.47) se obţine:

θCψ;rlnC ; (8.49)

rC

rv

. (8.50)

Din (8.48) şi (8.50) rezultă:

2πQC . (8.51)

Liniile echipotenţiale sunt cercuri concentrice cu centrul în origine, iar liniile de curent sunt razele pornind din origine.

Pentru C > 0 izvorul este pozitiv, adică fluxul iese din originea lui, iar dacă C < 0 izvorul este negativ, fluxul îndreptându-se spre originea sa.

Construcţia spectrului mişcării se face dând lui şi diferite valori constante, diferind între ele prin aceeaşi diferenţă ΔψΔ .

Q

3Q/4

Q/2

Q/43Q/16Q/8Q/16

C

3C

C

C

C

C

3C

C

x

y

e /8

e/2

e/4

e3/8

e0=1e /8

Q

Q16

Q8

3Q16

Q4

Page 156: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

156

În acest caz, liniile şi din planul f se transformă prin funcţia Clnz în liniile şi ale spectrului căutat în planul z.

Cum în planul f reţeaua liniilor şi este formată din pătrate, reţeaua liniilor omoloage în planul z va consta din pătrate curbilinii.

Dacă se ia de exemplu 16Q

2πQΔψΔ , în care caz

8Q ,

liniile de constψ sunt acelea notate în valori ale debitului Q. Liniile echipotenţiale, ortogonale cu liniile de curent, vor avea

valoarea rlnC de unde rezultă:

8πn

Cn eer

, (8.52) unde n0,n .

Astfel, se obţine: ,e,e,e1,r 8π3

8π2

n …

Cercurile cu raze subunitate vor avea razele: ,e,e,e 8π3-

8π2-

Spectrul mişcării este redat cu atât mai detaliat cu cât ochiurile reţelei sunt mai mici, iar aceasta depinde de .

c). Mişcarea produsă de un vârtej rectiliniu indefinit (fig. 8.9.)

Dacă axa vârtejului este perpendiculară în origine pe planul xOy,

mişcarea este reprezentată prin potenţialul complex:

rlnCiθCzlnCif(z) . (8.53)

Această mişcare se obţine înmulţind cu –i funcţia zlnCzf care reprezintă izvorul punctiform (cazul anterior).

Page 157: Mecanica Fluidelor

Mişcări potenţiale

157

y

x

V

0

const.

const.

Fig. 8.9. - Mişcarea plană produsă de un vârtej rectiliniu

În acest caz liniile echipotenţiale sunt razele, iar liniile de curent sunt cercurile cu centrul în origine.

Viteza fiind tangentă la cercuri, se obţine:

rC

θr1v

, (8.54)

iar circulaţia pe o linie de curent în sensul creşterii lui (considerând C > 0) este:

C2πvr2Γ , (8.55) de unde:

2πΓC , deci

r2πΓv

. (8.56)

Se vede că circulaţia joacă în această mişcare rolul lui Q din cazul anterior al izvorului punctiform. Viteza v se numeşte viteză indusă de vârtej.

Circulaţia este nenulă numai pentru curbe care înconjoară originea, pentru orice alte curbe închise, care lasă originea în exteriorul lor, circulaţia este nulă:

dSvΓ . (8.57) Dacă sensul de parcurgere a curbei C este sensul lui v, proiecţia lui

ds pe v este dr , pozitivă pe porţiunea ABC şi negativă pe COA a parcursului (fig. 8.10.), astfel că:

Page 158: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

158

.0)θ(θ2πΓ)θ(θ

2πΓdr

2ππΓθdr

2ππΓdSvΓ 21

ABC CDA12

C

(8.58) În mod identic se poate demonstra că pe orice altă curbă care se

închide în jurul lui O (nu numai pe liniile de curent) circulaţia este C2π .

Câmpul mişcării este irotaţional, în afara originii, de aceea această mişcare se numeşte mişcare de circulaţie într-un câmp potenţial.

d). Scurgerea printr-o fantă de deschidere 2a Potenţialul complex este:

azcosarcCif(z) , (8.59)

din care rezultă:

Cf(z)icosaZ , (8.60)

sau:

C

shCψsini

Cch

Cψcosayix , (8.61)

unde: C

chCψcosax ,

Csh

Cψsinay . (8.62)

Introducând relaţiile (8.62) în:

1Cψsin

Cψcos 22 ,

1C

shC

ch 22

, (8.63)

se obţine:

1

Csha

y

Ccha

x22

2

22

2

, 1

Cψsina

y

Cψcosa

x22

2

22

2

. (8.64)

Rezultă că liniile echipotenţiale k sunt elipse homofocale, focarele fiind punctele A, B, limitele fantei (fig. 8.10.).

Pe axa reală, elipsa se reduce la segmentul AB, iar hiperbola la segmentele Ax şi Bx .

Page 159: Mecanica Fluidelor

Mişcări potenţiale

159

y

xA B0

a a

Fig. 8.10. - Scurgerea printr-o fantă

Debitul care se scurge prin fantă se obţine cu relaţia (8.24), fiind:

BA ψψQ . (8.65) Din (8.62) rezultă că în punctul B, unde ax , 0y , 0ψ , iar în

punctul A, Cπψ , adică CπQ . Viteza complexă este:

yx viv

Cfisinia

czdfdw

. (8.66)

Page 160: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

160

CAPITOLUL IX

SIMILITUDINEA HIDRODINAMICĂ

9.1. Generalităţi

Ecuaţiile fundamentale de mişcare a fluidelor, stabilite pentru anumite cazuri particulare, nu pot ţine cont de complexitatea fenomenului. Din acest motiv se recurge la metode experimentale de studiu, care completează datele teoretice şi ajută la rezolvarea problemelor.

O metodă experimentală larg răspândită este aceea a modelării hidraulice. Ea se bazează pe studiul fenomenelor hidraulice pe modele reduse, în laborator.

Modelarea hidraulică, ca metodă de studiu, se utilizează ori de câte ori se realizează maşini noi sau lucrări de mare anvergură ce necesită investiţii mari.

În construcţia de maşini hidraulice de mare putere (turbine, pompe), soluţia definitivă se stabileşte numai în urma încercărilor din laborator.

În construcţia aparatelor de zbor, încercările pe modele reduse se fac în tunelul aerodinamic, unde se încearcă atât profilul de aripă cât şi întregul aparat.

Modelarea hidrodinamică se aplică şi în cazul construcţiilor hidrotehnice, unde toate studiile se fac pe machete, în laboratoare. Se modelează, la scara convenabil aleasă, baraje, ecluze, porturi, diguri, stăvilare, goliri de fund etc. studiindu-se diferite aspecte privind funcţionarea lor. Pe modele se pot face uşor modificări ale diferitelor elemente, până când se obţine soluţia optimă.

De asemenea, această metodă se aplică cu mare succes şi în construcţia autovehiculelor, care sunt studiate pe modele în tuneluri aerodinamice, pentru determinarea unor forme cât mai convenabile a caroseriei (rezistenţă minimă la înaintare, stabilitate, etc.).

În toate cazurile, încercările pe modele dau informaţii utile pentru verificarea modelelor de calcul, precum şi soluţii pe care teoria nu le poate furniza.

Pentru ca rezultatele obţinute în laborator pe modele să poată fi utilizate la instalaţia naturală, trebuiesc respectate condiţiile de similitudine.

Page 161: Mecanica Fluidelor

Similitudinea hidrodinamică

161

9.2. Condiţii de similitudine

Două mişcări sunt asemenea când traiectoriile lor sunt geometric asemenea şi când există raporturi bine determinate între mărimile cinematice şi dinamice ale celor două fenomene, în două puncte analoage.

Similitudinea geometrică se referă la constanţa raportului

dimensiunilor liniare ale prototipului (obiectul real) şi ale modelului şi se exprimă prin relaţia:

.constLL

m

p , (9.1)

unde s-au notat cu indicele p mărimile liniare ale prototipului şi cu indicele m mărimile liniare ale modelului.

Mărimea constantă se numeşte scara lungimilor sau scara geometrică. Imediat rezultă scara suprafeţelor, respectiv scara volumelor

2

m

pSS

,

3

m

pVV

. (9.2)

Similitudinea cinematică implică similitudinea geometrică a câmpului hidrodinamic şi necesită un raport constant al mărimilor cinematice (viteze, acceleraţii).

Rezultă un raport constant al timpului de desfăşurare a fenomenelor referitoare la prototip şi model:

.consttt

m

p , (9.3)

unde reprezintă scara timpului. Cu acestea se pot determina scările tuturor mărimilor cinematice în

funcţie de şi utilizând ecuaţia de dimensiuni. Exemplu:

scara vitezelor

1

m

pvv

, (9.4)

scara acceleraţiilor

2

m

paa

. (9.6)

Orientarea vectorilor viteză şi acceleraţie trebuie să fie aceleaşi pentru prototip şi pentru model (fig. 9.1.).

Page 162: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

162

lp

lm

Mm

Mp

Vm

Vp

Fig. 9.1. - Reprezentarea similitudinii hidrodinamice

Similitudinea dinamică impune egalitatea raportului forţelor ce acţionează asupra prototipului şi asupra modelului:

.constFF

m

p , (9.7)

unde este scara forţelor. Legea fundamentală a dinamicii arată faptul că rezultanta forţelor

exterioare ce acţionează asupra unei particule de fluid este egală cu produsul dintre masă şi acceleraţie: amFe

, unde eF

conţine:

Fg - forţe de natură gravitaţională; Ff - forţe de frecare; Fc - forţe capilare; Fe - forţe elastice.

Pentru o similitudine dinamică completă trebuie ca raportul forţelor ce acţionează asupra prototipului şi modelului să fie egal cu raportul forţelor de inerţie:

mecfg

pecfg

m

pFFFF

FFFF

am

am

. (9.8)

Page 163: Mecanica Fluidelor

Similitudinea hidrodinamică

163

În practică, în general, evoluţia fenomenelor de mişcare ale fluidelor depinde, în afara forţelor de inerţie, de o forţă dominantă în raport cu care celelalte se pot neglija.

Pe baza acestei observaţii, se pot stabili criterii particulare de modelare ale căror valabilitate se reduce la condiţiile particulare în care forţa exterioară este dominantă. Aceste criterii se pot exprima prin mărimi adimensionale numite numere caracteristice.

9.3. Criterii de similitudine

9.3.1. Criteriul Froude (Forţe gravitaţionale predominante)

Relaţia (9.8) devine:

mg

pg

m

pF

F

am

am

. (9.9)

Deoarece, VgVFg , relaţia (9.9) se poate scrie sub forma:

3

mm

pp24

m

p

gg

(9.10)

Rezultă:

p

m

gg

(9.11)

Deoarece practic ggg pm , rezultă:

. (9.12) Cu relaţia (9.12) se pot determina raportul sau scara celorlalte

mărimi:

Scara vitezelor: m

p

vv

; (9.13)

Scara debitelor: 2/5

m

p

m

p

m

p

SS

vv

QQ

; (9.14)

Scara forţelor: 3

m

p

FF

(pentru acelaşi fluid); (9.15)

Page 164: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

164

Scara presiunilor:

m

m

p

p

m

pFS

SF

pp

; (9.16)

Scara puterilor: 2/7

m

p

m

p

m

p

vv

FF

PP

. (9.17)

Numărul Froude se determină din relaţia (9.10) punând în evidenţă

scara vitezelor:

m

p21gg

, (9.18)

de unde, trecând la relaţia între mărimi se obţine:

m

p

m

p2

m

pll

gg

vv

, (9.19)

sau în final:

mm

m

pp

pr gl

vgl

vF

. (9.20)

Criteriul de similitudine Froude se aplică in cazul acelor mişcării unde nu se poate neglija greutatea proprie a lichidelor: mişcări in deversoare, canale, hidraulică fluvială, plutitoare.

9.3.2. Criteriul Reynolds (Forţe de frecare predominante)

Legea lui Newton exprimă forţele de frecare sub forma:

SdydvF rf . (9.21)

Scara forţelor de frecare este: 12

m

prf

. (9.22)

Egalând scara forţelor de frecare cu scara forţelor de inerţie (relaţia 9.8), rezultă:

12

m

p24

m

p

, (9.23)

de unde se poate stabili dependenţa dintre şi pentru mişcările în care dominante sunt forţele de vâscozitate:

Page 165: Mecanica Fluidelor

Similitudinea hidrodinamică

165

p

m2 (9.24)

unde:

- coeficientul cinematic de vâscozitate.

Numărul Reynolds se obţine din relaţia (9.23) de unde se exprimă scara vitezelor:

1

m

p1 . (9.25)

Trecând de la relaţia dintre scări la relaţia între mărimi, rezultă:

p

m

m

p

m

pLL

vv

, (9.26)

sau, prin separarea mărimilor:

m

mm

p

ppe

LvLvR

, (9.27)

relaţie ce reprezintă numărul Reynolds. Similitudinea Reynolds se aplică la curgerea lichidelor în conducte

sub presiune, în turbine şi pompe hidraulice, la curgerea în tunele aerodinamice cu viteze v < 150 m/s, pentru a se neglija compresibilitatea.

9.3.3. Criteriul Weber (Forţe capilare predominante)

S-a văzut că forţele capilare sunt de forma 1Fc , fiind coeficientul de tensiune superficială. Scara forţelor capilare este:

m

pc . (9.28)

Dacă în relaţia (9.8) se reţin numai forţele capilare, se obţine:

m

p24

m

p , (9.29)

de unde rezultă:

m

p

p

m3

. (9.30)

Numărul Weber are expresia:

Page 166: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

166

LvWe

2. (9.31)

Acest criteriu se aplică la fenomenele de pulverizare a lichidelor, la studiul curgerii lichidelor în tuburile capilare, în canalele de foarte mică adâncime, precum şi în situaţiile când forţele produse de tensiunile superficiale sunt comparabile forţele de inerţie.

9.3.4. Criteriul Cauchy (Forţe elastice predominante)

Scara forţelor elastice se exprimă prin relaţia: 2

m

pe

, (9.32)

fiind modulul de elasticitate al fluidului. Prin egalare cu raportul forţelor de inerţie, se obţine:

2

m

p24

m

p

, (9.33)

de unde:

p

m

m

p

.

(9.34)

Numărul Cauchy este de forma:

vCa

(9.35)

Expresia de la numitor reprezintă viteza sunetului în mediul respectiv.

La curgerea gazelor, criteriul de similitudine reprezentat de raportul dintre viteza curentului şi viteza sunetului este numărul Mach:

cvMa , (9.36)

unde:

Page 167: Mecanica Fluidelor

Similitudinea hidrodinamică

167

pc ;

v

pcc

. (9.37)

Pentru Ma > 1 curgerea este supersonică, iar pentru Ma < 1 curgerea este subsonică. Se admite că fluidul este incompresibil pentru Ma < 0,2.

9.3.5. Alte criterii de similitudine utilizate în hidrodinamică

a). Numărul Euler. Egalând forţele de inerţie cu cele de presiune SpFp , se obţine un număr adimensional de forma:

.constvp

2

(9.38)

Introducând la numărător presiunea relativă, se obţine numărul Euler:

221

vppEu

, (9.39)

care reprezintă un coeficient de presiune ca raport între presiunea relativă într-un punct şi presiunea dinamică.

Dacă pe parcursul curgerii apare fenomenul de cavitaţie, numărul Euler are forma:

2v

v2

ppEu

, (9.40)

unde vp reprezintă presiunea de vaporizare la temperatura ambiantă. b). Numărul Strouhal. Exprimă raportul dintre acceleraţia locală şi

acceleraţia convectivă, în mişcări nepermanente:

tvL.Str

. (9.41)

Numărul Strouhal se utilizează pentru caracterizarea condiţiilor de similitudine a fenomenelor periodice care apar în curgeri nepermanente.

Page 168: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

168

c). Numărul Newton. Se utilizează la modelarea fenomenelor hidrodinamice la care preponderente sunt forţele de inerţie. Scara forţelor de inerţie se exprimă sub forma:

21

m

p213

m

pi

. (9.42)

Prin trecerea de la relaţia dintre scări la relaţia între mărimi, rezultă condiţia de similitudine Newton:

2mmm

m2ppp

p

vSFi

vS

FiNe

. (9.43)

Acest criteriu de similitudine se utilizează la studiul pe model al curgerii în jurul corpurilor (studiul rezistenţei la înaintare, studiul acţiunii curentului asupra profilelor hidrodinamice).

Page 169: Mecanica Fluidelor

Mişcarea laminară

169

CAPITOLUL X

MIŞCAREA LAMINARĂ

10.1. Experienţele lui Reynolds După cum s-a arătat în capitolul VII, aplicarea ecuaţiei lui Bernoulli

în cazul fluidelor reale, la care efectul vâscozităţii nu poate fi neglijat, necesită un termen suplimentar (hp) care reprezintă energia pierdută prin frecare pe parcursul curgerii. Această energie pierdută este rezultatul comportamentului specific al particulelor fluide în timpul mişcării, particulele putându-se deplasa pe traiectorii paralele sau neparalele cu direcţia de curgere, după cum direcţia de curgere determină fiecare caz în parte.

Astfel, dacă straturile de fluid se deplasează independent unele faţă de altele fără să se amestece între ele, mişcarea se numeşte laminară. Dacă condiţiile de curgere diferă favorizând amestecul lor, mişcarea se numeşte turbulentă.

În anul 1882, Reynolds clarifică problema curgerii fluidelor prin tuburi de sticlă având diametre între 525 mm, prin experienţe sistematice pe baza instalaţiei din figura 10.1.

d1 2 3

45

6

Fig. 10.1. - Instalaţie pentru realizarea experienţelor lui Reynolds

Page 170: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

170

Rezervorul 1 conţine un lichid cu nivelul suprafeţei libere, constant, el alimentează conducta 2 de diametru d, debitul ce trece prin conductă putând fi reglat cu ajutorul robinetului 3.

Debitul se măsoară cu vasul etalonat 6. Conducta 2 are capătul din

rezervor racordat pentru ca mişcarea fluidului să nu fie perturbată. Din rezervorul 4 este condus un lichid colorat în axa conductei 2,

prin conducta 7, a cărui debit se reglează prin robinetul 5.

a

b

c

d

Mişcarelaminară

Mişcareturbulentă

Regimtranzitoriu

Fig. 10.2. – Principalele regimuri de mişcare

Experienţele cuprind următoarele etape: deschizând robinetul 3 se stabileşte în conducta 2 un regim de

curgere permanent cu viteză mică; deschizând robinetul 5, lichidul colorat nu se amestecă cu lichidul din conductă, el apărând ca un fir bine individualizat de la un capăt la altul al conductei (fig. 10.2.a.); mărind viteza de curgere în conducta 2 prin deschiderea

robinetului 3, la o anumită viteză firul de fluid colorat primeşte o mişcare ondulatorie longitudinală (fig. 10.2.b.); la viteze de curgere mai mari obţinute prin deschiderea

robinetului 3, apar desprinderi din firul de fluid colorat care încep să se amestece cu fluidul din conducta 2 (fig. 10.2.c.);

Page 171: Mecanica Fluidelor

Mişcarea laminară

171

la viteze de curgere şi mai mari, desprinderile din firul de fluid colorat se amplifică până la amestecul total al celor două lichide (fig. 10.2.d.). Regimul de mişcare obţinut în cazul prezentat în figura 10.2.a.

demonstrează faptul că lichidul se deplasează în fire paralele, care nu se amestecă între ele şi se numeşte regim laminar.

În cazul din figura 10.2.d., în care apariţia şi dezvoltarea oscilaţiilor şi desprinderilor fluidului colorat până la amestecul total al celor două lichide, se numeşte regim turbulent.

Din experienţele anterioare reiese faptul că aspectul mişcării

lichidului în conductă este condiţionat de valoarea vitezei de curgere. Repetarea experienţelor cu tuburi de diametre diferite, dovedesc influenţa directă a diametrului conductei asupra regimului de curgere. Experienţele repetate cu alte lichide (deci cu altă vâscozitate) au dovedit influenţa vâscozităţii lichidului asupra regimului de curgere.

Reynolds a reuşit să asocieze cele trei mărimi: viteza v, diametrul d şi vâscozitatea , într-o relaţie de forma:

νdvRe

, (10.1)

ce reprezintă un număr adimensional numit numărul Reynolds. Tot experimental s-a stabilit o valoare critică a numărului Re, ce

caracterizează trecerea de la regimul laminar la regimul turbulent de mişcare. Pentru conducte circulare această valoare este: 2320Recr . Pentru orice crRe Re este definită existenţa regimului laminar, iar pentru

crRe Re corespunde regimul turbulent. Între regimul laminar şi cel turbulent nu există o delimitare precisă;

există o zonă ce corespunde pentru 2320Re , unde regimul de curgere este instabil, mişcarea putând lua un aspect sau altul sub acţiunea diferiţilor factori. Această zonă corespunde regimului tranzitoriu de curgere.

Pentru albii deschise, valoarea lui Recr este:

058νRv

Re h

, (10.2)

unde Rh este raza hidraulică definită de raportul:

PSR h , (10.3)

în care S este secţiunea vie a curentului, iar P este perimetrul udat.

Page 172: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

172

10.2. Studiul mişcării laminare în conducte circulare

10.2.1. Calculul şi distribuţia vitezei

Se consideră un fluid incompresibil care curge printr-o conductă de

rază r0, în mişcare laminară (fig. 10.3.). Fie în această conductă o particulă fluidă de forma unui cilindru coaxial cu conducta, având raza r şi lungimea l. Particula se deplasează în lungul conductei cu viteză diferită de a fluidului din jur.

Se admite că presiunea fluidului este constantă pe secţiunea conductei, variind numai în lungul curentului. Viteza se menţine constantă în lungul curentului, dar admite o variaţie cu raza conductei.

r

l

r 0

r

xp2S2

p1S1 r

r 0

2rl

2rl

Fig. 10.3. - Calculul vitezei în mişcarea laminară în conducte circulare

Asupra particulei fluide acţionează rezultanta forţelor de presiune

221 rπ)p(p şi rezultanta forţelor de frecare, care este τlr2π .

Deoarece mişcarea este axial-simetrică, forţa specifică de frecare se exprimă

prin legea lui Newton: drdvητ . Mişcarea fluidului fiind uniformă,

forţele de inerţie sunt nule. Proiectând forţele pe direcţia de curgere, se obţine ecuaţia

echilibrului dinamic sub forma: 0τlr2πrπ)p(p 2

21 , (10.4) sau

0rdvdlr2rpp 2

21 . (10.5)

Page 173: Mecanica Fluidelor

Mişcarea laminară

173

de unde:

drrl2ηpp

dv 21

. (10.6)

Prin integrare între limitele 0v şi v ce impun limitele de integrare ale variabilelor între r şi r0. Rezultă:

)r(rl4ηppv 22

021

. (10.7)

Se vede din relaţia (10.7) că distribuţia vitezei după rază este parabolică, valoarea maximă corespunzând pentru 0r , adică:

20

21max r

l4ηpp

v

, (10.8)

de unde:

2

0max r

r1vv . (10.9)

r 0r

vm=vmax 2

vmax

v= p1-p2

4l (ro2-r2)

Fig. 10.4. - Distribuţia vitezei în mişcarea laminară în conducte circulare

Page 174: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

174

10.2.2. Calculul debitului

dr

r

r0

Fig. 10.5. - Calculul debitului în mişcarea laminară în conducte circulare

Considerând o secţiunea transversală prin conductă (fig. 10.5.) în care se ia o secţiune inelară la raza r şi grosime dr, se poate scrie, debitul elementar de fluid ce trece prin secţiune:

drvr2πdsvdQ , (10.10)

unde viteza v are valoarea dată de relaţia (10.9). Debitul total se obţine prin integrare pe intervalul 0 şi r0:

40

2120max

2

0

r

omax rπ

l8ηpp

2rvπ

drrr1v2πQ

0

. (10.11)

Se poate calcula viteza medie pe secţiunea conductei, pe baza

ecuaţiei de continuitate:

.2

vr

l8ηpp

rπl8ηpp

Qv max20

2120

40

21

20

m

(10.12)

Page 175: Mecanica Fluidelor

Mişcarea laminară

175

10.2.3. Calculul forţei specifice de frecare

Legea frecării în conducte circulare, în mişcarea laminară se obţine din relaţia lui Newton:

rl2pp

drdvητ 21

. (10.13)

Această forţă variază liniar cu raza între valoarea minimă 0τ

(pentru 0r ) şi valoarea maximă 021

max r2l

ppτ

(la perete,

fig. 10.6.).

r 0 r

pmax

p1-p2 2l

r

Fig. 10.6. - Distribuţia forţei specifice de frecare în mişcarea laminară în conducte circulare

Ţinând cont de (10.9) se obţine:

dηv8ττ maxp

, (10.14)

Adică, frecarea la perete depinde numai de vâscozitatea fluidului.

10.2.4. Calculul pierderilor hidraulice

Pentru o conductă orizontală de diametru constant, pierderea hidraulică a fost definită ca diferenţă a înălţimilor piezometrice,

γpp

h 21p

.

Page 176: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

176

Valoarea diferenţei de presiune p1 - p2 se obţine din relaţia (10.12), care ne dă:

220

pdg

vl32grvl8h

. (10.15)

Se vede că în cazul regimului laminar de curgere într-o conductă circulară, pierderea hidraulică este direct proporţională cu lungimea conductei, cu vâscozitatea fluidului şi cu viteza de curgere şi invers proporţională cu pătratul diametrului. Printr-un calcul simplu, în relaţia (10.15) se poate pune în evidenţă numărul Re, astfel:

2gv

dl

νdv

64h2

p

. (10.16)

Notând :

νdv

64λ

, (10.17)

se obţine:

2gv

dlλh

2p , (10.18)

unde: λ este coeficientul de pierdere hidraulică datorită frecării. Acest coeficient depinde numai de regimul de curgere din conductă.

Panta hidraulică este definită ca fiind egală cu pierderea hidraulică pe unitatea de lungime:

2gv

dlλ

lh

J2p . (10.19)

Pentru mişcarea laminară, Re64λ se obţine:

2dgv32J

. (10.20)

10.3. Studiul mişcării laminare între

doi pereţi plani paraleli

Se consideră doi pereţi plani paraleli situaţi la distanţa h (fig. 10.7.), în aşa fel încât mişcarea unui fluid în spaţiul dintre pereţi să poată fi

Page 177: Mecanica Fluidelor

Mişcarea laminară

177

asimilată cu o mişcare plană. Peretele inferior este fix, cel superior se deplasează cu o viteză constantă u.

y

h

u

V=00x

Fig. 10.7. - Mişcarea laminară între doi pereţi plani paraleli

10.3.1. Distribuţia vitezei

Mişcarea fluidului între cei doi pereţi este laminară şi studiul ei are la bază ecuaţiile Navier-Stokes. Viteza de deplasare a fluidului este paralelă cu direcţia 0x a sistemului de referinţă, mişcarea fluidului fiind plană,

0vz . Presupunând că în lungul axei 0x condiţiile mişcării nu se modifică

şi că vx variază în lungul axei 0y, se poate scrie:

2x

2

2x

2

yd

vd

y

v

. (10.21)

În ipoteza mişcării permanente, admiţând forţele de vâscozitate dominante faţă de forţele masice, prima ecuaţie a sistemului Navier-Stokes devine:

2x

2

y

xp

ρ1

. (10.22)

Cum creşterea de presiune are loc numai în lungul axei 0x,

independent de y )dxdp

xp( , se obţine:

Page 178: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

178

xdpd

η1

dy

vd2x

2 . (10.23)

Considerând const.xdpd , prin integrare se obţine:

1x Cy

xdpd

η1

yddv

. (10.24)

Printr-o nouă integrare, rezultă:

212

x CyC2

yxdpd

η1v

. (10.25)

Constantele C1 şi C2 se determină din condiţiile la limită:

pentru 0y , 0vx ; rezultă 0C2 ; (10.26)

pentru hy , uvx ; rezultă hxdpd

2η1

huC1

; (10.27)

care, introduse în (10.25) conduc la:

y)h-(yxdpd

2η1

hyuv 2

x

. (10.28)

Din (10.28) se vede că distribuţia vitezei între cei doi pereţi este parabolică, alura curbei depinzând de viteza peretelui u şi de gradientul de

presiune xdpd .

Pentru 0xdpd , adică presiunea este constantă în lungul curentului,

distribuţia vitezei este liniară: h

yuvx

, fluidul fiind antrenat în mişcare

de peretele superior (fig. 10.8.a.).

Page 179: Mecanica Fluidelor

Mişcarea laminară

179

Fig. 10.8. - Distribuţia vitezei în mişcarea laminară între

doi pereţi plani paraleli

Prezenţa gradientului de presiune xdpd influenţează mişcarea şi

modifică distribuţia vitezei, astfel:

a). Pentru 0xdpd , gradientul de presiune favorizează curgerea

deoarece presiunea scade în lungul curentului. Notând Rxdpd

, unde

RR , din (10.28) se obţine:

y)h(y2ηR

hyuv 2

x

. (10.29)

Distanţa y0 a vârfului parabolei, faţă de peretele fix, este dată de

valoarea lui y pentru care 0yd

vd x . Se obţine: hRuη

2hy0

, unde

a b c d

e f g

h

u u u u=vmax

uuu

v=0 v=0 v=0 v=0

y 0 h 2 h 2 h 2

h 2 y 0h 2y 0

u Rh

u Rh u Rh

u Rh

u Rh

vmax

dp 2udx h2

dp 2udx h2

dp 2udx h2=

dp 2udx h2=dp 2u

dx h2dp 2udx h2

Page 180: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

180

termenul Rh

uη poate fi mai mare sau mai mic decât 2h , în funcţie de aceasta

vârful parabolei putându-se situa între cei doi pereţi sau în afara lor (fig. 10.8.b şi 10.8.c.).

La limită 2h

hRuη

, vârful parabolei se situează pe peretele mobil,

uvmax şi 2hu2η

xdpd

(fig. 10.8.d).

b). Pentru 0xdpd , gradientul de presiune se opune curgerii

fluidului, parabola de distribuţie a vitezelor îşi schimbă concavitatea. În acest caz, se obţine:

hRuη

2hy0

. (10.30)

În funcţie de valoarea termenului hRuη , vârful parabolei este situat

în afara pereţilor (fig. 10.8.e), între pereţi (fig. 10.8.f) sau este situat la nivelul peretelui fix (fig. 10.8.g).

10.3.2. Calculul debitului

Considerând o secţiune elementară ldydS situată la distanţa y faţă de peretele fix, debitul elementar este: ydvdQ xx . Înlocuind valoarea vitezei vx din (10.28), debitul total este:

h

0

h

0

h

0

2xx dyy

huy)dyh(y

xdpd

2η1ydvQ , (10.31)

Sau, după efectuarea calculelor: 3

x hxdpd

12η1

2huQ

. (10.32)

Page 181: Mecanica Fluidelor

Mişcarea laminară

181

10.4. Stratul limită laminar

10.4.1 Consideraţii fizice

Fie un fluid mai puţin vâscos (apă, aer) care se mişcă în jurul unui corp solid având forma unui cilindru drept infinit lung şi a cărei secţiune dreaptă este un profil aero-hidrodinamic, corpul fiind în repaus, iar fluidul în amonte de corp are viteza v , uniform distribuită (fig. 10.9.a.).

Lichid perfectDâră

hidroaerodinamică

Strat limită

y

AP

S

VV(s)

0,99 V

V

Sy

P'

I

IIV s

S p

a b

Fig. 10.9. – Reprezentarea stratului limită laminar

Dacă fluidul ar fi ideal, viteza v ar fi tangentă la suprafaţa S a

corpului şi ar varia în jurul unei normale oarecare Py la S, după o lege de tipul celei prezentate de curba I din figura 10.9 b. În realitate, fluidul este vâscos şi aderă la corp, viteza variază după o lege reprezentată de curba II. Se demonstrează experimental că viteza v a fluidului real tinde asimptotic către viteza V

a fluidului ideal şi că v se confundă practic cu V

după o

distanţă δ foarte mică de la suprafaţa S. Cu alte cuvinte, viteza V

variază foarte repede şi practic numai în interiorul unui strat foarte subţire, limitat de o parte de S; acest strat se numeşte strat limită.

Fie xV şi vx respectiv proiecţiile lui V

şi v pe tangenta în P la S. Deoarece suprafaţa S şi liniile de curent au raze de curbură foarte mari în raport cu δ , se poate face aproximaţia că, într-un domeniu suficient de mic şi limitat parţial de S, liniile de curent sunt drepte paralele între ele, iar V vx şi xvv . Pe de altă parte v , respectiv vx, variază forte mult pe

Page 182: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

182

distanţa δ , adică pe această distanţă derivata y

vx are o valoare foarte

mare; ca urmare, chiar dacă vâscozitatea η este mică, valoarea efortului

tangenţial de frecare dyvdητ x este mare.

În schimb, pentru δy , rezultă 0yd

vd x , deci 0τ . Stratul limită

se caracterizează prin aceea că în interiorul său forţele de vâscozitate fiind prezente, nu pot fi neglijate în raport cu celelalte forţe care intervin, pe când în interiorul său forţele de vâscozitate pot fi neglijate, fluidul putând fi considerat ideal. În cele ce urmează se consideră că în stratul limită mişcarea este laminară (strat limită laminar).

Grosimea stratului limită nu poate fi definită în mod univoc, deoarece influenţa vâscozităţii se manifestă în tot domeniul ocupat de fluid. Se acceptă ca grosime a stratului limită distanţa δ la care valoarea vitezei fluidului vâscos diferă cu 1% de valoarea iniţială a fluidului ideal.

Deoarece într-un domeniu restrâns al stratului limită liniile de curent pot fi considerate paralele între ele şi greutatea fluidului din acest domeniu este neglijabilă, rezultă că presiunea nu variază în lungul segmentului PP. Deci, de-a lungul lui PP presiunea este egală cu cea din punctul P considerat ca aparţinând fluidului din exterior (ideal).

În avalul corpului, stratul limită se continuă printr-o dâră aero-hidrodinamică (numită şi siaj). În această zonă, în apropierea corpului se menţin caracteristicile stratului limită, dar înspre aval aceste caracteristici se atenuează, distribuţia de viteze tinde să se uniformizeze, iar viteza tinde către V

.

Când corpul are o formă aero-hidrodinamică alungită, iar viteza V

a fluidului este dirijată în lungul corpului şi este suficient de mică, fluidul din stratul limită trece în mod continuu în dâra aero-hidrodinamică. Când însă corpul nu are o formă aero-hidrodinamică, se produce desprinderea stratului limită: o parte din fluidul din stratul limită este antrenată în exteriorul acestuia şi este dusă spre aval sub formă de vârtejuri. Pentru aplicarea acestui fenomen, se consideră mişcarea în lungul peretelui S al unui corp (fig. 10.10).

Page 183: Mecanica Fluidelor

Mişcarea laminară

183

p

a pminb

S

s

y

A B

C

V(s)

V

D

Fig. 10.10. - Studiul mişcării unui corp în lungul peretelui S

Se presupune că, în fluidul considerat ideal, pe suprafaţa de contact a acestuia cu stratul limită, presiunea variază ca în diagrama din fig. 10.10, curba a. Începând cu secţiunea B, forţele de vâscozitate şi creşterea presiuni frânează particulele de fluid din stratul limită, astfel încât viteza acestora se poate anula în aval de B, în dreptul unui punct de desprindere C. Presupunând că fluidul este iniţial în repaus, iar la un moment dat este pus în mişcare, rezultă că, la un moment ulterior, în dreptul lui C se opresc primele particule de fluid. Particulele de fluid care le urmează se acumulează în amonte de C, rămânând şi ele în repaus. Cum presiunea creşte începând din B, ea imprimă particulele aflate în repaus o mişcare de sens contrar sensului mişcării generale. Datorită acestei mişcări inverse, fluidul care soseşte în continuare este îndepărtat, în dreptul punctului C, de peretele S, adică se "desprinde" de S. Pe de altă parte, datorită vâscozităţii, fluidul din mişcarea inversă antrenează din aproape în aproape fluidul învecinat, ceea ce dă naştere unui vârtej care de obicei este dus în aval.

Formarea şi mişcarea vârtejurilor rezultate prin desprinderea stratului limită sunt însoţite de disiparea, sub formă de căldură, a unei părţi importante a energiei mecanice a fluidului, precum şi de micşorarea presiunii pe partea aval a corpului (curba b) ceea ce măreşte considerabil rezistenţa la înaintare a corpului. De aceea se impune evitarea fenomenului

Page 184: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

184

de desprindere sau cel puţin atenuarea sa. În acest scop se pot folosi următoarele procedee (fig. 10.11).

a. b.

c.d.

Fig. 10.11. - Procedee folosite pentru evitarea sau atenuarea fenomenului de

desprindere a stratului limită

1). accelerarea stratului limită printr-un jet provenit din interiorul

corpului (fig. 10.11 a.) sau printr-o fantă creată cu ajutorul unui profil auxiliar (fig. 10.11 b.);

2). absorbţia stratului limită printr-o fantă pusă în legătură cu o cameră de depresiune (fig. 10.11 c şi 10.11 d).

10.4.2. Stratul limită laminar pe o placă plană

Fie o placă plană semiinfinită S, paralelă cu viteza de la infinit V

a

fluidului şi având o grosime infinită mică (fig. 10.12.). În această situaţie grosimea stratului limită se poate calcula cu

relaţia:

)v

(Re,Re5xδ x

xx

(x) . (10.33)

Notând cu 0 efortul unitar tangenţial dezvoltat pe o suprafaţă S de

arie AS şi aparţinând unui corp solid aflat într-un curent de fluid care are la infinit viteza V

.

Page 185: Mecanica Fluidelor

Mişcarea laminară

185

Fie S

S0t dAτF , (10.34)

valoarea forţei tangenţiale tF exercitate pe S.

y

x0

S

x

V V

Fig. 10.12. - Reprezentarea stratului limită laminar pe o placă plană

Se introduc formulele de definiţie a coeficientului de frecare local, respectiv coeficientul rezistenţei de frecare:

20

fVρ

21

τc

, (10.35)

AVρ21

FC2

tf

. (10.36)

Se poate demonstra că, pentru placa plană din fig. 10.10, la distanţa x de bordul de atac 0 al plăcii, coeficientul de frecare local fc este:

xf Re

0,664c . (10.37)

Pentru o placă plană de lungime l, lăţimea b şi situată într-un curent fluid, lb2AS , iar:

lf Re

1,328C , (10.38)

unde: 5ll 1010)(5

νv

eR . (10.39)

Page 186: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

186

CAPITOLUL XI

MIŞCAREA TURBULENTĂ. PIERDERI HIDRAULICE

11.1. Structura mişcării turbulente

Spre deosebire de mişcarea laminară caracterizată prin paralelismul liniilor de curent, în mişcarea turbulentă are loc un amestec al acestor linii, eşafodajul liniilor de curent îşi pierde stabilitatea, mişcarea particulelor fluide devenind dezordonată.

Structura mişcării turbulente este determinată de suprapunerea unor mişcări de agitaţie a particulelor peste o mişcare principală care ar fi guvernată de ecuaţiile lui Navier-Stokes. Este de remarcat faptul că mişcarea de agitaţie a particulelor nu este la nivelul moleculelor ci al grupurilor mari de molecule care participă împreună la mişcări oscilatorii. Aceste oscilaţii sunt foarte complicate, putându-se observa o suprapunere de mişcări de diferite frecvenţe şi amplitudini.

În figura 11.1. se reprezintă, spre exemplu, variaţia componentei vx în funcţie de timp. Oscilaţiile vitezei sunt foarte neregulate şi nu reprezintă nici o periodicitate.

vx

v xv x

'v x

T t

Fig. 11.1. - Variaţia componentei vx a vitezei în funcţie de timp

Page 187: Mecanica Fluidelor

Mişcarea turbulentă. Pierderi hidraulice

187

Se pot defini valorile medii ale componentelor vitezei: zyx v,v,v pe un interval de timp T prin relaţiile:

T

oxx dtv

T1v ;

T

0yy dtv

T1v ;

T

0zz dtv

T1v , (1)

unde: vx, vy, vz sunt vitezele instantanee, diferenţa dintre viteza instantanee şi viteza medie reprezintă viteza de pulsaţie. Aceasta are valori negative şi pozitive, iar media lor temporală este nulă:

T

0

'z

'z

T

0

'y

'y

T

0

'x

'x 0dtvv ; 0dtvv ; 0dtvv . (2)

Astfel, componentelor vitezelor după cele trei axe se pot exprima prin relaţiile:

'xxx vvv ; '

yyy vvv ; 'zzz vvv . (3)

O mişcare turbulentă este nepermanentă, deoarece atât viteza cât şi presiunea variază în timp.

Gradul de turbulenţă este determinat de viteza de pulsaţie v şi poate fi exprimată cu relaţia:

v3

vvv

T

2'z

2'y

2'x

u

. (4)

11.2. Determinarea tensiunilor datorate turbulenţei

11.2.1. Leme

Fie, şi , două mărimi care sunt funcţii de x, y, z şi t, variabile Euler şi fie şi mediile lor temporale. Este evidentă relaţia:

; (11.5) Dacă n este oricare din cele patru variabile menţionate:

nn

; dn dn (11.6)

Page 188: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

188

Dacă o mărime este suma unei mărimi medii şi a unei mărimi

fluctuante ' , astfel că 0' , avem: 2

''22'2 2)( . (11.7)

Media lui 2 este: 2'22''22 2 . (11.8)

Produsul a două mărimi şi , ambele variabile în timp, are media: '''''' )()( . (11.9)

Termenii din mijloc fiind nuli, rezultă: '' . (11.10)

11.2.2. Tensorul tensiunilor de vâscozitate aparentă.

Ecuaţiile lui Reynolds

În ecuaţiile Navier-Stokes se face înlocuirea următoare:

)v(z

)v(y

)v(xz

vv

y

vv

xv

v z2y2x2zz

yy

xx

. (11.11)

Acest lucru este posibil, deoarece dezvoltând termenii din membrul al doilea se obţin termenii din membrul întâi plus termenii componenţi ai ecuaţiei de continuitate, a căror sumă este nulă în cazul fluidelor incompresibile.

Scriem ecuaţiile Navier-Stokes, sub forma:

zzyzxz

2zz

yyzyxy

2yy

xxzxyx2

xx

vzp1f

y)vv(

x)vv(

z)v(

tv

vyp1f

z)vv(

x)vv(

y)v(

tv

vxp1f

z)vv(

y)vv(

x)v(

tv

(11.12)

Page 189: Mecanica Fluidelor

Mişcarea turbulentă. Pierderi hidraulice

189

Se adaugă ecuaţia de continuitate:

0z

vy

vx

v zyx

. (11.13)

În aceste ecuaţii se introduc valorile medii temporale ale tuturor mărimilor, luând un interval de timp T suficient de mare pentru ca zyx v,v,v , într-un punct dat să fie constante, adică se presupune o mişcare cvasipermanentă, în care se anulează şi derivatele parţiale în raport cu timpul.

Cum într-o astfel de mişcare mediile componentelor pulsatorii 'z

'y

'x v,v,v şi 'p , sunt nule, ecuaţiile (11.5) şi (11.6) se transformă astfel:

Ecuaţia de continuitate, deoarece: 0x

v'x

; 0

yv'

y

; 0

zv'

z

devine:

0z

vy

vx

v zyx

, (11.14)

adică, valorile instantanee vx , vy, vz se pot înlocui cu mediile temporale 'z

'y

'x v,v,v .

În sistemul (11.12) toţi termenii care conţin derivatele se transformă conform lemei (11.6), media derivatei fiind înlocuită cu derivata medie, astfel că:

)vvvv(x

)vv(x

)vv(x

'x

'xxxxxxx

, (11.15)

deoarece termenii liniari în 'y

'x v,v se anulează.

De asemenea:

)vvvv(x

)vv(x

)vv(x

'y

'xyxyxyx

, etc. (11.16)

xx vv . (11.17) Cu aceste precizări şi după efectuarea calculelor, sistemul (11.12)

devine:

Page 190: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

190

)xvv

y

vv

zv

(vzp1f

zvv

yvv

xvv

)z

vv

x

vv

y

v(v

xp1f

zv

vy

vv

xv

v

)zvv

y

vv

xv

(vxp1f

zvv

yvv

xvv

'z

'x

'z

'y

2'z

zzz

zz

yz

x

'z

'y

'y

'x

2'y

yyy

zy

yy

x

'z

'x

'y

'x

2'x

xxx

zx

yx

x

(11.18)

cunoscute sub numele de ecuaţiile lui Reynolds. Comparând acest sistem cu sistemul de ecuaţii Navier-Stokes al

fluidelor vâscoase, fără turbulenţă, se constată că există în fiecare ecuaţie, în membrul al doilea, trei termeni suplimentari depinzând de mărimile oscilante. Pentru a deduce căror tensiuni suplimentare le corespund aceşti termeni, se consideră un tensor suplimentar datorat turbulenţei, având nouă componente, notate prin indicele prim:

'z

'zy

'zx

'yz

'y

'yx

'xz

'xy

'x

. (11.19)

Rezultanta forţelor suplimentare superficiale (forţele de presiune şi forţele tangenţiale de frecare) raportate la unitatea de masă va avea, conform ecuaţiilor generale de mişcare ale mediilor deformabile, (7.75), următoarele componente, corespunzător axelor de coordonate:

)zyx

(1

)zyx

(1

)zyx

(1

'z

'yz'

xz

'yz

'y

'xy

'xz

'xy'

x

(11.20)

Comparând ecuaţiile (7.75) cu (11.18) se pot identifica componentele tensorului suplimentar cu termenii respectivi din ecuaţiile (11.18):

Page 191: Mecanica Fluidelor

Mişcarea turbulentă. Pierderi hidraulice

191

2'z

'z

'y

'z

'x

'z

'y

2'y

'y

'x

'z

'x

'y

'x

2'x

'z

'yz

'xz

'yz

'y

'xy

'xz

'xy

'x

vvvv

vvvvv

vvvvv

(11.21)

Aceste eforturi se numesc tensiunile de frecare aparentă ale mişcării turbulente. Tensiunile totale rezultă din însumarea tensiunilor din mişcarea unui fluid vâscos la care se adaugă tensiunile frecării aparente.

Astfel:

.vv)x

vy

v(

.vx

v2p

'y

'x

yxxy

2'x

xx

(11.22)

Experimental s-a constatat că tensiunile datorate vâscozităţii sunt importante numai într-un strat foarte subţire lângă perete, unde mişcarea este laminară (substratul laminar), pe când în masa fluidului predomină termenii datoraţi turbulenţei.

Ecuaţiile lui Reynolds (11.18) şi tensiunile determinate cu ecuaţiile (11.21) constituie o bază teoretică de cercetare, neputând fi utilizate în practică atâta timp cât nu se cunoaşte dependenţa mărimilor fluctuante

'z

'y

'x v,v,v de mărimile vx, vy, vz. Din acest motiv, pentru calcularea

elementelor mişcărilor turbulente, se folosesc în practică două căi distincte: Se studiază pe baza a numeroase măsurători, în diferite cazuri de

turbulenţă, mărimile fluctuante şi se stabilesc legile statistice ale variaţiilor lor. Aceste rezultate se prelucrează cu ajutorul statisticii matematice şi se interpretează din punct de vedere fizic-fenomenal, în scopul constituirii unei teorii statistice a turbulenţei;

Se fac ipoteze simplificatoare cu privire la dependenţa dintre diversele mărimi şi se constituie o serie de legi şi formule semiempirice, cu scopul aplicării lor în practică. Condiţiile la limită sunt pentru vitezele medii temporale aceleaşi ca şi

în cazul mişcării fluidelor vâscoase, iar vitezele oscilatorii sunt nule la perete. Acest lucru are drept rezultat faptul că şi eforturile de frecare aparentă se anulează la perete, rămânând în schimb acelea de vâscozitate din mişcarea laminară.

Page 192: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

192

11.3. Legile mişcării turbulente

Fenomenul de turbulenţă este extrem de complicat şi particulele în mişcare sunt supuse legilor statisticii matematice, ca orice fenomen stochastic.

Legile mişcării turbulente se referă la dependenţa mărimilor medii

temporale 'z

'y

'x v,v,v şi p de coordonatele spaţiului şi de timp.

11.3.1. Legea frecării

Sub acţiunea pulsaţiei vitezei are loc un schimb de particule între straturile învecinate de fluid. Din acest motiv, firele de fluid care îşi păstrau individualitatea în mişcarea laminară se amestecă între ele.

Fenomenul de amestec al firelor de fluid determină alte legi ale rezistenţelor hidraulice decât cele valabile în regimul de curgere laminar.

Fluctuaţia vitezei determină apariţia unor tensiuni tangenţiale suplimentare. Pentru a putea fi definite, se consideră un curent plan, cu axa 0x în direcţia mişcării iar 0y normală pe aceasta (fig. 11.2.). Fie un element dS de suprafaţă, perpendicular pe 0y. Prin acest element de suprafaţă are loc un schimb de impulsuri corespunzător vitezei de pulsaţie '

yv . Suprafaţa dS

este străbătută de debitul masic m'y QdSv .

Fig. 11.2. – Legea frecării în mişcarea turbulentă

y

x0

v'y

vx

dS

Page 193: Mecanica Fluidelor

Mişcarea turbulentă. Pierderi hidraulice

193

Sub acţiunea celeilalte componente a vitezei de pulsaţie, 'xv , ia

naştere o variaţie a cantităţii de mişcare 'x

'y vdSvdI . În consecinţă pe

elementul dS acţionează o forţă de aceeaşi valoare: 'x

'y vdSvdF . (5)

Tensiunea tangenţială rezultată din această forţă este: 'y

'xt vv

dSdF

. (6)

S-a introdus semnul (-) deoarece produsul 'y

'x vv este întotdeauna

negativ (la o dilatare a particulei într-un sens, 0 v'x , corespunde o

contracţie în celălalt sens, 0 v'y ), masa particulei rămânând constantă.

Valoarea medie în timp a efortului t este: 'y

'xt vv , (7)

media produsului 0vv 'y

'x .

Mărimea t constituie efortul tangenţial care poate fi asemănat cu cel de vâscozitate. Deoarece ia naştere din cauza agitaţiei particulelor, a fost numit efort de frecare aparentă. Se poate considera, într-un curent turbulent, că efortul tangenţial total este compus dintr-o tensiune principală datorită vâscozităţii fluidului şi o tensiune suplimentară, datorită mişcării de pulsaţie a particulelor, adică t0 , sau:

'y

'x

x vvdy

dv . (8)

11.3.2. Distribuţia vitezei

Tensiunile tangenţiale, datorită turbulenţei, joacă acelaşi rol ca şi

forţele de vâscozitate, având în general valori mult mai mari. S-a văzut că între vitezele de agitaţie '

xv şi 'yv ale particulelor fluide există o corelaţie,

astfel la pereţi toate vitezele sunt nule, atât viteza de transport cât şi vitezele de agitaţie; în alte puncte se păstrează anumite ordini de mărime, corelaţia este puternică între două puncte foarte apropiate şi slabă între punctele mai îndepărtate. Diferenţa între vitezele medii temporale în două puncte la

Page 194: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

194

distanţa l fiind: dyvdlv x

x , să presupunem că luăm pe l astfel ca xv să

fie egal cu media valorilor absolute ale lui 'xv , componenta vitezei de

agitaţie axială. Mărimea aceasta a lungimi l a fost numită de Prandtl lungime de amestec şi s-ar defini ca distanţa pe care ar trebui să o parcurgă o particulă cu vechea viteză, până ce diferenţa între acea viteză şi cea a punctului unde a ajuns particula să fie egală cu viteza de agitaţie din mişcarea

turbulentă. Este evident că şi 'yv trebuie să depindă în acelaşi mod de

dyvd x

ca şi 'xv , adică trebuie să avem (fig. 11.3.):

dyvdlv x'

x ; dyvdlv x'

y . (11.27)

Tensiunea tangenţială datorită turbulenţei, t , este:

2x2t )

dyvd(l (11.28)

y

x

ye

vx'

vy'vx(y)

vx(y+e)dvx=l dvx

dy

0

Fig. 11.3. - Distribuţia vitezei în mişcarea turbulentă

Comparând relaţia (11.28) cu legea frecării vâscoase a lui Newton, se

poate pune în evidenţă coeficientul )dyvd(lA x2 numit coeficient de

Page 195: Mecanica Fluidelor

Mişcarea turbulentă. Pierderi hidraulice

195

vâscozitate aparentă sau coeficient de vâscozitate dinamică de turbulenţă. Acesta are dimensiunile coeficientului dinamic de vâscozitate, , dar are valori mai mari; el variază de la un punct la altul, anulându-se în apropierea pereţilor.

Cu relaţia (11.28), legea frecării (11.26) devine: 2x2x )

dyvd(l

dyvd

. (11.29)

În apropierea pereţilor, primul termen este dominant. În această zonă, turbulenţa are importanţă mai mică, deoarece vitezele transversale de agitaţie trebuie să se anuleze datorită prezenţei peretelui; acest strat din vecinătatea peretelui este substratul laminar.

Legea frecării în substratul laminar este:

dyvd x . (11.30)

Grosimea substratului laminar este atât de mică, încât valoarea lui este practic constantă şi egală cu valoarea de la perete, p , rezultând:

px

dyvd , (11.31)

de unde, prin integrare, distribuţia vitezelor medii, xv , este liniară:

1p

x Cyv

. (11.32)

În afara substratului laminar, la numere Reynolds mari, este preponderent al doilea termen al relaţiei (11.29), adică:

2x2 )dyvd(l , (11.33)

sau:

dyvdl x . (11.34)

Pentru a stabili curba de distribuţie a vitezelor în această zonă, Prandtl presupune că lungimea de amestec l este proporţională cu distanţa y de la perete, adică ykl , unde k este o constantă universală. Pe de altă parte, considerând că stratul studiat este foarte aproape de perete, se poate face aproximarea p . Cu aceste ipoteze se poate scrie:

Page 196: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

196

ydvdKy xp

, (11.35)

de unde, prin integrare se obţine:

)CylnK1(v 2

px

, (11.36)

unde

p are dimensiunea unei viteze. Expresia se notează cu V* şi se

numeşte viteza tensiunii tangenţiale. Ca ordin de mărime V* corespunde

vitezelor de pulsaţie, 'y

'xvvV . Experienţele confirmă această lege şi

dau pentru K valoarea 417,0K . În nucleul turbulent mişcările de agitaţie sunt foarte pronunţate,

datorită lor, energia cinetică a diferitelor fire se uniformizează, curba de viteze fiind relativ plată.

Spre deosebire de mişcarea laminară, la care curba de distribuţie a vitezelor este mereu aceeaşi, în regim turbulent ea variază cu numărul Re. Pe măsură ce Re creşte, partea centrală se aplatizează şi viteza maximă se apropie de cea medie (fig. 11.4.).

V

Re=106

(Regimlaminar)

Re 2320

Re=104

Fig. 11.4. - Distribuţia vitezei în funcţie de regimul de mişcare

Page 197: Mecanica Fluidelor

Mişcarea turbulentă. Pierderi hidraulice

197

11.3.3. Pierderile de sarcină în lungul curenţilor turbulenţi de mişcare permanentă

1). Conducte netede

După 1911, H. Blasius, în urma unui studiu critic bazat pe similitudine, după criteriul Reynolds, a propus pentru prima oară o formulă specială pentru coeficientul al pierderilor de sarcină în conducte netede. Această formulă, stabilită empiric, este:

4/14/1 (Re)3164,0)DV(3164,0

, (11.37)

în care: este coeficientul pierderilor de sarcină pe metru liniar de conductă, V-viteza medie pe secţiune, D-diametrul conductei. Formula este valabilă până la numere 5

e 10R . Introducând pe din (11.37) în formula lui Darcy, rezultă:

45

47

411

4122

D

Va

D

Vg2

3164,0g2

VD

J

, (11.38)

a fiind o constantă, dacă vâscozitatea este constantă. O formulă mai corectă pentru s-a găsit în urma experienţelor lui

Nicuradze efectuate pentru o gamă întinsă de numere Re ( 63 102,3Re104 ), de forma:

)51,2

Re(lg28,0)(Relg21

, (11.39)

unde

DVRe .

O formulă la fel de bună, având şi avantajul de a fi exprimată explicit în funcţie de , este formula lui Konakov:

2)5,1Relg8,1(1

. (11.40)

Page 198: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

198

2). Conducte rugoase Coeficientul de pierdere de sarcină se obţine pentru conducte

rugoase din legea de distribuţie a vitezelor în secţiune, cu restricţia că coeficienţii sunt determinaţi pentru un singur tip de rugozitate, anume pentru "rugozitatea artificială nisipoasă" folosită în experimentele lui Nicuradze.

Ca formule uzuale se folosesc:

krlg274,11 0

, (11.41)

2)14,1kDlg2(

1

. (11.42)

Dacă în loc de raza geometrică r0 se foloseşte raza hidraulică 2rR 0

şi se aduce la numărător, ecuaţia (11.42) se poate pune sub forma:

2)kRlg2344,2(

1

. (11.43)

3). Experienţele lui Nicuradze Nicuradze a întreprins pentru prima dată un studiu sistematic asupra

coeficientului . În acest sens Nicuradze a realizat conducte cu asperităţi artificiale, lipind pe pereţii conductei nisip de diferite granulaţii. Ca parametru

de rugozitate s-a considerat raportul kr0 , unde ro este raza conductei şi k

diametru grăuntelui de nisip.

În cele şase conducte astfel realizate, având parametrul 15kr0 ; 30,

6; 60; 126; 252; 507, s-a determinat coeficientul în funcţie de Re. Rezultatele au fost organizate într-o diagramă ce are pe ordonată )100lg( , iar pe abscisă lgRe (fig. 11.5.).

Page 199: Mecanica Fluidelor

Mişcarea turbulentă. Pierderi hidraulice

199

Fig. 11.5. - Diagrama lui Nicuradze

Diagrama s-a completat cu două drepte, dreapta lui Poiseuille, care

reprezintă în sistemul de coordonate dat, relaţia Re64

, corespunzătoare

regimului laminar şi dreapta lui Blasius, corespunzătoare formulei lui Blasius:

4 Re316,0

. (11.44)

Analizând diagrama lui Nicuradze, se poate observa că pentru Re < 2320, (lgRe = 3,3) toate punctele măsurate se suprapun peste dreapta lui Poiseuille, dreapta regimului laminar (zona I).

Urmează o zonă de trecere de la regimul laminar la cel turbulent, unde mişcarea este foarte nestabilă (zona II).

Dacă valorile numărului Re cresc în continuare, mişcarea specific turbulentă imprimă legii rezistenţei hidraulice un caracter special, influenţa asperităţilor pereţilor făcându-se simţită tot mai mult.

III

II

I IV

23

Slg

(100

)

lg ReD

Laminar Turbulent

Poiseuille

Blasius

Recrit

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 6,05,2 5,4 5,6 5,8

r0

k =15r0k =30,6

r0k =60

r0k =126

r0k =252

r0k =507

V

d tRe

Page 200: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

200

În domeniul 2320 < Re < 105 se diferenţiază net legea conductelor netede, exprimată prin dreapta lui Blasius (zona III), unde (Re)f . Se numeşte conductă netedă acea conductă în care substratul laminar acoperă asperităţile pereţilor, ' > (fig. 11.6.), unde reprezintă înălţimea maximă a asperităţilor.

1000100101

3210

-1-2-3

1 3 2

1 -2

lgd k

1

=2lgRe -0,8

Re d/k

Rugozitateartificială

1

-2lg =1,14-2lg(1+9,35 )dk

d/kRe

Conducte industriale1

=2lg +1,14dk1 3 2

Fig. 11.6. – Alt mod de reprezentare a diagramei lui Nicuradze

Dacă înălţimea asperităţilor este mai mare decât grosimea substratului laminar, din punct de vedere hidraulic, conducta este rugoasă.

Urmărind diagrama lui Nicurandze, se poate observa că toate curbele

(Re)f se suprapun în parte peste dreapta lui Blasius, în domeniul în care conducta este netedă.

Zona a IV-a, pentru aceleaşi numere Re (2320 < Re < 105), este o zonă de trecere de la regimul laminar la cel turbulent, specifică conductelor rugoase, în care coeficientul de frecare depinde şi de Re şi de asperităţile conductei.

Pe măsură ce numărul Re creşte, devine independent de Re; curbele (Re)f devin drepte paralele cu axa absciselor, depinzând numai de asperitatea pereţilor conductei (zona a V-a).

Pe de altă parte, în afara domeniului laminar relaţia (11.39) se scrie şi sub forma:

Page 201: Mecanica Fluidelor

Mişcarea turbulentă. Pierderi hidraulice

201

kdlg28,0)(Relg2

kdlg21 , (11.45)

sau:

8,0

kd

Relg2kdlg21

. (11.46)

Relaţia (11.42) se poate scrie:

14,1kdlg21

. (11.47)

Într-un sistem de axe de coordonate în care în abscisă se trece

k/dRelg iar în ordonată

kdlg21 , rezultatele lui Nicuradze se

plasează pe o curbă mică. Aceasta se apropie de o dreaptă înclinată (1)

pentru valori mici ale raportului k/d

Re , iar pentru valori mai mari ale

acestui raport corespunde dreptei orizontale (2), fig. 11.6. Trecerea de la ramura (1) la (2) are loc după o curbă crescătoare, trasată cu linie întreruptă.

În practică, conductele industriale, spre deosebire de cele utilizate de Nicuradze, prezintă asperităţile neregulate, care sunt greu de exprimat printr-un parametru simplu. Prin măsurarea directă a pierderilor hidraulice, se poate arăta că pentru o conducta dată există o valoare a numărului Re până la care conducta se comportă ca o conductă neteda ( depinde numai de Re).

De asemenea, există o valoare a numărului Re peste care depinde exclusiv de asperităţi, fiind independent de Re. Pentru această valoare constanta a lui , determinată prin măsurători, se poate calcula cu ajutorul formulei (11.42) un parametru de rugozitate echivalentă, k, caracteristic naturii pereţilor conductei. În tabelul 11.1 sunt date rugozităţile echivalente, k, pentru conducte utilizate în practică.

Page 202: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

202

Tabel 11.1. Valori ale rugozităţii echivalente

Natura pereţilor

Rugozitatea uniformă

echivalentă, k [mm]

1. Conducte trase (sticlă, alamă) 2. Conducte industriale de alamă 3. Conducte laminate din oţel, noi 4. Conducte laminate din oţel, ruginite 5. Conducte laminate din oţel, cu încrustaţii 6. Conducte laminate din oţel, bitumate în interior 7. Conducte sudate din oţel, noi 8. Conducte sudate din oţel, ruginite 9. Conducte din fier galvanizat 10. Conducte turnate din fontă obişnuită, noi 11. Conducte turnate din fontă obişnuită, ruginite 12. Conducte turnate din fontă obişnuită, cu bitumen în interior 13. Conducte turnate din fontă obişnuită, cu încrustaţii 14. Conducte din ciment lustruit 15. Conducte din ciment brut 16. Conducte nituite din oţel 17. Conducte din piatră 18. Galerii

0,001 0,025 0,05

0,15…0,25 1,5…3 0,015

0,03…0,1 0,4

0,15…0,2 0,25

1…1,5 0,1 3

0,3…0,8 1…3

1…10 8…15

90…600

Dacă rezultatele măsurătorilor efectuate pe conducte industriale se trec în diagrama din fig. 11.6., punctele se analizează pe o curbă unică (3), confundându-se cu cele ale lui Nicuradze la valorile mici şi la valori mari ale

raportului k/d

Re .

Această curbă unică poate fi exprimată printr-o formulă empirică, cunoscută în literatură sub denumirea de formula lui Colebrook:

)Re

k/d35,91(lg214,1kdlg21

, (11.48)

cea ce se mai poate scrie:

Re

51,271,3k/dlg21 . (11.49)

Page 203: Mecanica Fluidelor

Mişcarea turbulentă. Pierderi hidraulice

203

Deoarece calculul cu această formulă este foarte laborios, în practica de proiectare se utilizează diferite abace sau diagrame, cum ar fi diagrama lui Moody (fig. 11.7.).

0,0080,0090,01

0,015

0,02

0,03

0,040,05

0,060,07

0,080,090,10

I

III

IV V

Re103 104 105 106 107 1083 4 5 6 82 4 5 6 82 3 4 5 6 82 3 4 5 6 82 3 4 5 6 82 3

Kd

0,050,040,030,020,015

0,003

0,01

0,0020,00150,001

0,00004

0,000010,00002

0,000010,00015

0,00030,0006

0,0040,0060,008

Fig. 11.7. - Diagrama lui Moody

11.4. Pierderi hidraulice locale

11.4.1. Noţiuni generale

Pierderile hidraulice hp se împart în două categorii: pierderi longitudinale şi pierderi locale.

Pierderile longitudinale hl sunt cauzate de frecarea fluidului cu

pereţii conductei, se pot calcula în regim laminar şi turbulent pentru conducte circulare, cu relaţia:

g2v

dlh

2l . (1)

Page 204: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

204

Pierderile locale hloc, sunt determinate de o serie de elemente montate în sistemele tehnice în care fluidul este obligat să-şi modifice viteza de curgere, direcţia sau secţiunea. Aceste elemente sunt reprezentate de către coturi, robineţi, racorduri etc. numite rezistente locale, iar energia consumată pentru a învinge aceste rezistenţe poartă numele de pierdere hidraulică locală.

Pierderile hidraulice locale se exprimă în funcţie de viteza medie v din secţiunea conductei, printr-o relaţie de forma:

g2vh

2loc , (2)

unde este coeficientul de pierdere hidraulică locală, care depinde de forma rezistenţei locale, de numărul Re, de rugozitatea pereţilor, iar în cazul robinetelor şi vanelor, de gradul de închidere al acestora.

În multe situaţii, secţiunile din amonte şi aval de rezistenţă sunt diferite, deci şi vitezele sunt diferite. Pierderile hidraulice se vor exprima fie în funcţie de viteza din amonte, fie de viteza din aval, coeficientul de pierdere va avea valori diferite într-un caz sau în celălalt.

Din cauza complexităţii fenomenului de trecere a fluidului printr-o rezistenţă locală, coeficientul se poate determina teoretic numai în cazul simplu al creşterii bruşte de secţiune. Pentru majoritatea rezistenţelor hidraulice locale, coeficientul se determină experimental, valorile lui fiind date în tabele şi diagrame.

De multe ori se obişnuieşte să se înlocuiască în calcule rezistenţa hidraulică locală cu o conductă dreaptă echivalentă, pe care pierderea hidraulică este aceeaşi, adică:

g2v

g2v

dl 22echivalent (3)

sau:

d

lechivalent (4)

Page 205: Mecanica Fluidelor

Mişcarea turbulentă. Pierderi hidraulice

205

Relaţia (11.53) permite o apreciere a ponderării pierderilor locale faţă de cele longitudinale, într-un sistem sub presiune.

În tabelul 1 se dau câteva lungimi echivalente rezistenţelor locale.

Tabelul 1. - Lungimea echivalentă rezistenţelor locale, în m

Diametrul [mm]

Denumirea piesei 50 100 150 200 250 300

Cot curb 90 Cot sudat 90 Cot 120 Teu Cruce Compensator în formă de liră îndoit Compensator în formă de liră sudat Filtru de sorb Robinet de trecere Vană

1,5 7,5 1

4,5 5

4

5 0,9 13 0,6

2,5 17,5 1,7 9

11,5

9,5

12 2,2 29 1,5

4 29 2,5

14,5 17,5

14,5

18,5

3 50 2

5 42 4

20 26

20

26 4,5 73 3

6 50 5

26 36

27

34 6

95 4

7,5 70 6

30 47

33

42 7,5 120 5

11.4.2. Pierderile hidraulice la variaţii de secţiune

1). Creşterea bruscă a secţiunii (fig. 11.8.) La trecerea bruscă de la o secţiune mică la una mare, curentul de fluid

se desprinde de pereţi şi în aceste zone se formează vârtejuri, care consumă energie.

Calculul pierderilor hidraulice se face cu ajutorul ecuaţiei lui Bernoulli, scrisă între secţiunile 1 şi 2:

Page 206: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

206

Linie energetică

Linie piezometrică

1

1

2

2V1

V2

p 1 p 2 h s

V

22

2g

V12

2g

Fig. 1 - Pierderile hidraulice la creşterea bruscă a secţiunii

s

2222

2

2111

1 hg2vp

zg2vp

z

. (5)

Cum 21 zz şi 121 , rezultă:

g2vvpp

h22

2121

s

. (6)

g2v

)1vv

(g2

vh

22

s2

21

22

s , (7)

Rezultă valoarea coeficientului s , sub forma: 2

12

2

21

22

ss 1

SS

1vv

g2v

h

. (8)

2). Creşterea continuă a secţiunii (difuzor) În cazul trecerii continue de la o conductă cu diametru mic la una cu

diametru mare prin intermediul unei piese numite difuzor (fig. 2.), au loc pierderi de energie mai mici decât în cazul creşterii bruşte a secţiunii.

Page 207: Mecanica Fluidelor

Mişcarea turbulentă. Pierderi hidraulice

207

Linie energetică

Linie piezometrică

V1 V2

p 1

h s

V

22

2gV

12

2g

2

Fig. 2. - Pierderile hidraulice la creşterea continuă a secţiunii

Aceste pierderi se exprimă prin relaţia:

g2v

h21

ss , (9)

unde coeficientul s depinde de raportul secţiunilor 1

2SS , de unghiul 2 al

difuzorului şi de numărul Re. Pentru un difuzor conic cu un raport 9S/S 12 şi constRe , valoarea minimă a coeficientului de pierdere s se

obţine pentru deschiderea totală 72 (fig. 3).

1501005000

0,2

0,4

0,6

0,8

s

2 0

S2S1

=9

7 0

Fig. 3 - Variaţia coeficientului de pierdere

Page 208: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

208

La unghiuri mai mari apar desprinderi ale curentului de pereţii difuzorului, ceea ce măreşte considerabil valoarea pierderilor de energie.

3). Îngustarea bruscă a secţiunii În acest caz, (fig. 4) pierderea hidraulică hs, localizată, în aval de

secţiunea minimă a vânei de lichid, S, se exprimă cu relaţia: 2

12

22

ss S

S1)6,0...5,0(

g2v

h

. (10)

Un caz particular îl constituie intrarea în conductă. Pierderea hidraulică este:

g2vh

2ii , (11)

unde:

5,0

g2v

h2i

i . (12)

Linie

LinieV1

V2

p 1 V

22

2g

V

12

2g

S

p 2

energetică

piezometrică

h s

Fig.4 - Pierderile hidraulice la îngustarea bruscă a secţiunii

Page 209: Mecanica Fluidelor

Mişcarea turbulentă. Pierderi hidraulice

209

Dacă intrarea în conductă este rotunjită (fig. 5) şi fin prelucrată,

pierderile hidraulice locale scad foarte mult: 06,0i

Fig. 5 - Conductă cu intrarea rotunjită

4). Scăderea treptată a secţiunii (confuzorul) Confuzorul duce la egalizarea vitezelor pe secţiune, pierderile

hidraulice fiind foarte mici (fig. 6). Dacă confuzorul are lungimea mare, pierderea locală se neglijează, luându-se în considerare numai pierderea longitudinală. Coeficientul de pierdere hidraulică este: 01,0s

v1

v2

p 1

h s

v 22

2g

v 1

2

2g

Linie energetică

Linie piezometrică

p 2

Fig. 6 - Pierderile hidraulice la scăderea treptată a secţiunii

Page 210: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

210

5). Diafragma (fig. 7) Se utilizează la măsurarea debitului. Pierderea hidraulică prin

diafragmă depinde de raportul secţiunilor şi de regimul de curgere. Pentru numere Re > 105, coeficientul de pierdere se poate calcula cu relaţia:

2

21

2

12

12

21

dd S

SSS

SS

1707,01g2/v

h

. (13)

Linie energetică

Linie

V1

p 1

h d

V

32

2g

V

12

2g

S1

piezometrică

S2 Smin

VmaxV3=V1

S3=S1

p 3

Fig. 13 - Pierderile hidraulice în cazul diafragmei

11.4.3. Pierderi hidraulice la schimbarea direcţiei curentului

Circuitele hidraulice întâlnite în practică, conţin elemente care obligă curentul de fluid să-şi schimbe direcţia de mişcare.

Aceste elemente sunt coturile, curbele, ramificaţiile, etc. La trecerea curentului printr-un cot cu o anumită rază de curbură,

presiunea fluidului creşte o dată cu raza, în punctul B presiunea va fi mai

Page 211: Mecanica Fluidelor

Mişcarea turbulentă. Pierderi hidraulice

211

mare decât în punctul A (fig. 14) ceea ce determină o curgere pe lângă pereţii de la B către A, curgere ce consumă o parte din energia curentului.

Această mişcare secundară, suprapusă peste mişcarea principală a curentului determină torsionarea acestuia în aval de cot, uniformizarea câmpului de viteze stabilindu-se după o distanţă d20l .

A

B

A

BVd

R

a

b

Desprindere

Fig. 14 – Pierderi hidraulice în cazul unui cot curb de secţiune circulară

De asemenea, în anumite situaţii apare şi desprinderea curentului de pereţi ceea ce constituie tot o pierdere hidraulică, a cărei valoare este direct determinată de unghiul de deviere a curentului (fig. 15).

Desprinderi

Fig. 15 - Pierderi hidraulice în cazul unui cot frânt

Page 212: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

212

Coeficientul c depinde de unghiul de deviere al cotului, de

construcţia sa, de asperitatea pereţilor şi de forma secţiunii.

1). Cot curb de secţiune circulară Formula de calcul a coeficientului c este:

90))

Rd(16,013,0(

o5,3

c . (14)

2). Cot curb de secţiune pătrată (fig. 16)

d

R

Fig. 16 - Cot curb de secţiune pătrată

Coeficientul de pierdere se calculează cu relaţia:

90))

Rd(27,012,0(

o5,3

c , (15)

unde d este latura pătratului. 3). Cot frânt de secţiune circulară Coeficientul de pierdere hidraulică a fost determinat pe bază

experimentală pentru diferite unghiuri de deviere a curentului (fig. 17)

4). Pierderi hidraulice în ramificaţii

Page 213: Mecanica Fluidelor

Mişcarea turbulentă. Pierderi hidraulice

213

Aceste pierderi depind de sensul de mişcare şi de unghiul de deviere

(fig. 11.18.):

0 2

V1

V1

V1

V1

4,1

V1 V2

15 30 45 60 90

0,1 0,3 0,5 0,7 1,3

dR0

1

1 V1

d

R0

V1

0,5 0,75 1,0 1,5 2,0

1,2 0,6 0,4

0,25 0,2

V1

V1

15 30 45 60 90

0,1 0,3 0,7 1,0 1,4

Fig. 11.18. - Coeficienţii de pierdere pentru diferite tipuri de ramificaţii

11.4.4. Pierderi hidraulice în organe de închidere şi de reglare

Pierderile hidraulice în organele de închidere depinde de forma constructivă a acestuia, de gradul de închidere şi de numărul Re.

Pentru un organ de închidere trebuie să se cunoască pierderile în poziţia complect deschis, precum şi pierderile la diferite grade de deschidere când acesta este folosit ca organ de reglare.

Pierderea hidraulică se exprimă prin relaţia:

g2vh

200 , (11.71)

unde: v este viteza medie în conducta nestrangulată.

Page 214: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

214

Page 215: Mecanica Fluidelor

Mişcarea permanentă în conducte sub presiune

215

CAPITOLUL XII

MIŞCAREA PERMANENTĂ ÎN CONDUCTE

SUB PRESIUNE

12.1. Generalităţi

Acest capitol dezvoltă calculul practic al conductelor care servesc la transportul lichidelor în mişcare permanentă.

Se presupune că temperatura se menţine practic constantă, astfel că proprietăţile fizice ale lichidului, în special densitatea şi coeficientul de vâscozitate, rămân constante şi că eventuale gaze în disoluţie sau în amestec cu particule solide fine în suspensie se află în cantităţi neglijabile.

Acest capitol se bazează pe mişcarea fluidelor reale, în curgere laminară sau turbulentă tratată în capitolele anterioare.

Problema cea mai importantă este determinarea pierderilor de sarcină. Acestea fiind cunoscute pe tot traseul conductei, în funcţie de debitul

transportat, se pot determina şi presiunile cu ajutorul ecuaţiei lui Bernoulli, în orice punct al traseului.

Calculul se face considerând, în mod schematic, că mişcarea are loc pe firul axial al conductei, cu viteze egale cu vitezele medii în secţiunile respective.

Schema geometrică a axei se obţine prin proiecţia axei din spaţiu desfăşurată pe planul vertical al elevaţiei.

Prin marcarea vârfurilor de unghi se obţine un profil poligonal, vârfurile de unghi păstrând cotele geodezice reale şi distanţele dintre vârfuri egale cu lungimile tronsoanelor măsurate sau calculate.

Page 216: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

216

Plan orizontal

proiecţia axei conducteiîn plan orizontal

2 34

56

d1 d1

d1

d2

d3d

3 n

N,0EPC d1

d1

d2

d3d3

An

Cn

Pn

En

Dn 2

3 45

6 n

axa conductei

desfăşuratăpe plan vertical

Liniaenergetică

pier

deri

tota

le

Liniapiezom etrică

z

p/v

g

hr

h'r

Fig. 12.1. - Reprezentarea energetică a ecuaţiei lui Bernoulli la o conductă, ţinând seama de pierderile de sarcină

Astfel în fig. 12.1. este reprezentată o conductă formată din tronsoane

de diametre şi pante diferite, având în plan două curbe. Punctele caracteristice ale axei sunt notate cu numere. Profilul

desfăşurat în elevaţie îl obţinem ducând mai întâi plane verticale prin segmentele axei 1-3, 3-6, 6-n şi desfăşurând apoi aceste plane pe planul elevaţiei.

Pe firul de curent 1-2-3-…-n se poate aplica ecuaţia lui Bernoulli între două puncte oarecare ţinând cont de coeficienţii lui Coriolis, (), pentru

termenii cinetici şi de pierderile de sarcină n

1ph .

Pierderile de sarcină între secţiunile 1 şi n sunt: lh - pierderi longitudinale de-a lungul conductei;

loch - pierderi locale În figura 12.1 se deosebesc următoarele: A1 – An - este orizontala de comparaţie (plan de referinţă); C1 – Cn - axa conductei; N1 – Nn - linia energiilor în punctul iniţial sau a energiilor în orice

punct, plus pierderile totale de energie;

Page 217: Mecanica Fluidelor

Mişcarea permanentă în conducte sub presiune

217

D1 – Dn - linia pierderilor de sarcină longitudinale, însumate; E1 – En - linia pierderilor de sarcină totale (linia energetică); P1 – Pn - linia piezometrică, obţinută scăzând din ordonatele liniei

E1 – En, înălţimile cinetice. Presiunea măsurată în coloană de lichid în axa conductei este

segmentul CP. Nivelul la care se ridică lichidul într-un tub piezometric montat pe

conductă în secţiunea respectivă este nivelul punctului P pe linia piezometrică.

Ecuaţia lui Bernoulli este reprezentată geometric prin egalitatea:

nnnnnnnn11111111 NEEPPCCANEEPPCCA . (12.1) Coeficienţii lui Coriolis se vor alege 10,105,1 , în mişcarea

turbulentă şi 2 în mişcarea laminară. Segmentul E1N1 reprezintă pierderea de sarcină la intrarea în

conductă.

Raportul L

ENJ , în care L este lungimea tronsonului de conductă

considerat, are caracterul unei pante, se numeşte panta hidraulică sau energetică şi este pierderea medie de energie specifică pe unitatea de lungime de conductă.

Dacă secţiunea conductei este constantă, linia E1En este paralelă cu P1Pn şi, în acest caz, pierderea de sarcină unitară este egală cu pierderea de presiune unitară.

12.2. Calculul conductelor sub presiune în regim

permanent 12.2.1. Calculul conductelor simple (d = const.) Conductele sub presiune servesc la transportul fluidelor, mi;carea fiind

generată de o diferenţă de presiune. La o diferenţă de presiune dată, viteza şi debitul depind de rezistenţele

hidraulice din circuit. Se consideră o conductă de diametru constant d care conţine pe traseu

diferite rezistenţe locale (robinete, coturi), alimentată în regim permanent de un rezervor sub presiune at0 p p , figura 12.2.

Page 218: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

218

0 0 p0 pat

1

1 d

l 2

2

V2

H

Fig. 12.2. - Calculul conductelor simple

Aplicând ecuaţia lui Bernoulli între secţiunile 0 şi 2, alegând planul de referinţă în axa conductei în secţiunea de ieşire, se obţine:

20p

2222

200 h

g2v

gp

g2

v

g

pH 0

. (12.2)

Pe de altă parte:

g2

vg2

vdlhhh

22locl20p . (12.2)

Cum rezistenţele locale se influenţează reciproc, în calcule se consideră fiecare rezistenţă independentă şi pierderile hidraulice se însumează fără a ţine seama de interacţiunea lor. Admit\nd c[ reyervorul func’ionea y[ ]n regim permanent, 0v0 , înlocuind , se obţine:

d

l1g2

vHgpp 2

at0 , (12.3)

de unde rezultă viteza în conductă:

dl1

gpp

Hg2v

at0

. (12.4)

Din ecuaţia de continuitate se obţine expresia debitului de fluid ce trece prin conductă:

Page 219: Mecanica Fluidelor

Mişcarea permanentă în conducte sub presiune

219

dl1

gpp

Hg2

4dv

4dQ

at022

. (12.5)

Dacă rezervorul de alimentare este deschis at0 pp relaţiile (12.4) şi (12.5) devin:

dl1

Hg2v

, (12.6)

dl1

Hg24dQ

2

. (12.7)

La calculul conductelor sub presiune se folosesc şi alte forme ale relaţiei (12.7):

5

2

2 d

Qld1g

8H

, (12.8)

sau pentru dimensionare:

H

Qld1g

8d2

25

. (12.9)

12.2.2. Calculul conductelor lungi

Conductele lungi sunt acele conducte la care pierderile hidraulice

longitudinale sunt dominante. În comparaţie cu acestea, pierderile locale şi înălţimea cinetică se pot

neglija 01 . Cu aceste precizări, relaţiile de calcul ale conductelor lungi devin:

ldHg2v

, (12.10)

ldHg2

4d

Q2

, (12.11)

Page 220: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

220

5

2

2 d

Qlg

8H

, (12.12)

HQl

g

8d2

25

. (12.13)

12.2.3. Problemele conductelor sub presiune Pentru orice sistem de conducte, parametrii hidrodinamici sunt:

diametrul, viteza, debitul şi diferenţa de nivel H. În toate cazurile se consideră cunoscut traseul (lungimea) şi materialul conductei (rugozitatea) indiferent de natura problemelor.

În general, problemele legate de calculul conductelor sub presiune se împart în:

probleme de exploatare; probleme de proiectare. În prima grupă de probleme, conducta este dată şi se cer parametrii ei

de exploatare. Spre exemplu, fiind dată conducta (diametru, lungime, material), se

cere să se determine: debitul şi viteza pentru o anumită diferenţă de nivelul H; diferenţa de nivel H şi viteza la care prin conductă trece un debit Q; diferenţa de nivel sub care se stabileşte în conductă o viteză v. În privinţa problemelor de proiectare, se cere să se dimensioneze o

conductă care să funcţioneze în anumite condiţii impuse: ■ să asigure debitul Q la viteza v; ■ să asigure debitul Q la diferenţa de nivel H; ■ să funcţioneze la diferenţa de nivel H cu viteza v. În cazurile prezentate mai sus apar două necunoscute, a căror

rezolvare necesită utilizarea relaţiilor anterioare. Dacă numărul necunoscutelor este mai mare, problema admite o infinitate de soluţii, alegându-se varianta cea mai convenabilă din punct de vedere economic.

Page 221: Mecanica Fluidelor

Mişcarea permanentă în conducte sub presiune

221

12.2.4. Metoda grafo-analitică de calcul a conductelor sub presiune

Metodele grafo-analitice sunt utilizate, în general, în rezolvarea

problemelor de exploatare, având avantajul că uşurează înţelegerea funcţionării sistemelor hidraulice.

Aceste metode au la bază faptul că pentru o conductă dată se poate reprezenta caracteristica de funcţionare sub forma unei curbe QfH .

Fie o conductă alimentată în regim permanent, la o diferenţă de nivel 'hhH , (fig. 12.3.).

pat

l

hh'

H

HN

0

H

QQN QM

N

M

H=kQ

2

Fig. 12.3. - Metoda grafo-analitică în calculul conductelor sub presiune

Dacă în relaţia:

5

2

2 d

Qld1g

8H

, (12.14)

se consideră coeficienţii şi independenţi de debit, aceasta se poate scrie sub forma:

2QKH , (12.15) unde: K este o constantă pentru o conductă dată şi depinde de diametru, lungime, asperităţi şi de rezistenţele locale de pe traseu. Parabola (12.15) se reprezintă grafic într-un sistem de coordonate corelat cu schiţa la scară a

Page 222: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

222

conductei, originea sa situându-se la nivelul secţiunii de ieşire din conductă, iar scara înălţimii H este aceeaşi pe schiţă şi grafic. Pe porţiunea iniţială a curbei, pentru numere Re mici, coeficienţii de pierdere şi depind de numărul Re, curba se abate de la parabolă. De fapt exploatarea se face la viteze de curgere mai mari, astfel că această zonă (linia întreruptă) a curbei nu se utilizează.

Din fig. 12.3. se poate determina debitul în funcţie de nivelul apei din rezervor, astfel:

se prelungeşte nivelul din rezervor şi la intersecţia acestuia cu parabola se obţine punctul de funcţionare M; ducând abscisa punctului M, se obţine debitul QM, care trece prin conductă. De asemenea, se poate rezolva şi problema inversă, aceea de a

determina diferenţa de nivel necesară pentru ca prin conductă să treacă un debit QN. În acest caz punctul de funcţionare este N, iar diferenţa de nivel necesară este HN.

12.3. Calculul conductelor compuse din tronsoane

(conducte în serie) 12.3.1. Relaţii de calcul al conductelor legate în serie În figura 12.4. se dă o conductă compusă din tronsoanele de diametru

d1, d2, d3 alimentate dintr-un rezervor în regim permanent, la o diferenţă de nivel H. Lungimea tronsoanelor s-a notat prin l1, l2, l3.

Page 223: Mecanica Fluidelor

Mişcarea permanentă în conducte sub presiune

223

H

A

B

C D E

0 0

V1

V2

V3

l1

l2l3

d 1

d 2 d 3

33

pat

Fig. 12.4. - Calculul conductelor legate în serie

Deoarece debitul Q parcurge întregul sistem, în cele trei tronsoane se stabilesc vitezele v1, v2, v3.

Aplicând ecuaţia lui Bernoulli între secţiunile 0 şi 3 rezultă:

30

23 hpg2

vH (12.16)

unde: 30hp reprezintă suma pierderilor hidraulice longitudinale şi locale pe cele trei tronsoane.

Prin explicitarea termenilor se obţine:

g2

v

dl

g2

v

dl

g2

v

dl

g2

vH

23

333

3

22

222

2

21

111

1

23

. (12.17)

Ţinând cont de ecuaţia de continuitate:

3

23

2

22

1

21 v

4

dv

4d

v4d

, (12.18)

se obţine:

3

3

33

4

2

32

2

22

4

1

31

1

11

23

dl

dd

dl

dd

dl1

g2v

H .(12.19)

Din această relaţie se obţine viteza v3 la ieşire:

Page 224: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

224

333

3

4

23

222

2

4

43

111

1

3

dl

dd

dl

dd

dl

1

Hg2v (12.20)

şi debitul de fluid care curge prin conductă:

3

23 v

4

dQ

. (12.21)

Prin generalizare pentru n tronsoane, rezultă:

4

in

iii

i

n

dd

dl

1

gH2v , (12.22)

unde n,...,2,1i ,

4

in

iii

i

2n

dd

dl

1

Hg24dQ . (12.23)

Pentru conducte formate din tronsoane lungi, la care se neglijează

rezistenţele locale, relaţiile (12.22) şi (12.23) devin:

4

in

ii

i

n

dd

dl

gH2v , (12.24)

4

in

ii

i

2n

dd

dl

gH24d

Q . (12.25)

Page 225: Mecanica Fluidelor

Mişcarea permanentă în conducte sub presiune

225

12.3.2. Trasarea liniei piezometrice şi a liniei energetice În vederea trasării liniei energetice pentru sistemul de conducte din

figura 12.4. se calculează toate pierderile hidraulice longitudinale şi locale şi se scad, în ordinea succesiunii lor, din nivelul energetic total.

Această scădere se face pe verticală, reprezentarea fiind făcută în elevaţie.

Analizând pierderile hidraulice pe tronsoane, se obţine:

1. Pierderi la intrare: g2

vh2i

ii ;

2. Pierderi longitudinale pe tronsonul de lungime l1: g2

vdlh

21

1

11l1 ;

3. Pierderi la creşterea bruscă a secţiunii în punctul B:

g2vvh

221

B

;

4. Pierderi longitudinale pe tronsonul de lungime l2: g2

vdlh

22

2

222l ;

5. Pierderi la îngustarea bruscă a secţiunii în punctul C:

g2vvh

223

C

;

6. Pierderi longitudinale pe tronsonul de lungime l3: g2

vdlh

23

3

33l3 ;

7. Pierderi locale în organul de închidere (robinet): g2

vh23

D .

Scăzând aceste pierderi în ordinea succesiunii lor, din nivelul energetic iniţial, se obţine linia energetică (fig. 12.5.).

Page 226: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

226

pat

Al1, d1

l3, d3

l2 , d2

V2

V3

V1

B

C D E

Z

z=0

H

V12

2g

V32

2gV

22

2g

h l1

h l2

h l +

h D3

h D

h i

h B

h C

V 32

2g

hp

Nivel energetic iniţial

Linia energetică

Linia pie-zometrică

hpA

-E

p

Fig. 12.5. - Linia energetică şi linia piezometrică pentru conducte legate în serie

Linia piezometrică este situată sub linia energetică şi se obţine

scăzând din aceasta, pe verticală, înălţimile cinetice. Linia piezometrică se suprapune cu axa conductei (în cazul ieşirii

libere) sau la nivelul rezervorului din aval, unde atpp . În ultima secţiune a conductei se poate scrie:

EAp

23 hg2

vH

. (12.26)

Dacă linia energetică are întotdeauna o alură descrescătoare, linia piezometrică poate avea şi creşteri ale energiei potenţiale în punctele în care viteza scade (exemplu în B).

În cazul conductelor lungi, unde se neglijează pierderile locale şi înălţimea cinetică, linia piezometrică este identică cu linia energetică, ea începe de la nivelul apei din rezervorul de alimentare şi sfârşeşte în axa conductei sau la nivelul rezervorului din aval.

Page 227: Mecanica Fluidelor

Mişcarea permanentă în conducte sub presiune

227

12.3.3. Metoda grafo-analitică a problemelor de exploatare

Sistemul hidraulic din fig. 12.4 se reprezintă la scară, iar în partea

dreaptă se reprezintă caracteristicile de funcţionare ale celor trei tronsoane legate în serie. Aplicând pentru fiecare tronson relaţia (12.15) se obţin curbele 1,2 şi 3 (fig. 12.6.). Caracteristica sistemului hidraulic format din cele trei tronsoane înseriate se obţine prin însumarea grafică a celor trei curbe, respectând principiul de calcul: la o valoare arbitrară a debitului care trece prin sistem se însumează pierderile: cdbdacde . În acest fel se trasează prin puncte caracteristica sistemului, curba OA.

Această curbă serveşte la rezolvarea oricărei probleme de exploatare. Astfel, pentru nivelul apei din rezervor, punctul de funcţionare este A, debitul ce trece prin sistem este QA, iar pierderile hidraulice pe cele trei tronsoane sunt 1lh , 2lh , 3lh . Cu ajutorul lor se poate trasa şi linia piezometrică.

l1,d1

l2 ,d2 l3,d3

h l 1

h l 2

h l 3

H=h

l 1+

h l 2+

h l 3

H

0

a

bc

d

e

A 13

2

QA

h l 3

h l 2

h l 1

Fig. 12.6. - Metoda grafo-analitică în cazul conductelor legate în serie

12.4. Calculul conductelor legate în paralel

12.4.1. Relaţii de calcul

Se consideră două conducte de diametre d1 şi d2 montate în paralel (fig. 12.7.).

Debitul Q se împarte pe cele două ramuri în debitele Q1 şi Q2, respectând relaţia:

Page 228: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

228

21 QQQ (12.27)

Qp A =h

A

p B h B

=

l1d1

l2d2

Q1

Q2B

Q

h AB

h

0

H

Q

Q1A Q2A QA

a b c d

1 2 A

Fig. 12.7. - Metoda grafo-analitică În cazul conductelor legate în paralel

Pierderea hidraulică trebuie să fie egală în cele două ramuri:

g2v

dl

g2v

dl

h22

22

2

21

11

1AB . (12.28)

Debitele Q1 şi Q2 se pot exprima în funcţie de diferenţa de nivel ABh , relaţia (12.27) devenind:

222AB

22

111AB

21

ldhg2

4d

ldhg2

4d

Q

, (12.29)

sau:

22

52

11

51

AB ld

ld

hg24

Q . (12.30)

Din relaţia de mai sus se poate exprima pierderea ABh în funcţie de debitul total Q:

2

22

52

11

51

2

2AB

ld

ld

Q

g

8h

. (12.31)

Page 229: Mecanica Fluidelor

Mişcarea permanentă în conducte sub presiune

229

12.4.2. Metoda grafo-analitică a problemelor de exploatare

În figura 12.7. se reprezintă caracteristicile de funcţionare a celor două ramuri (curbele 1 şi 2). Caracteristica sistemului format din cele două conducte legate în paralel se obţine prin însumarea debitelor pentru un h dat.

Astfel, pentru o diferenţă de nivel h, prin ramura 1 trece un debit egal

cu segmentul ab , iar prin ramura 2 un debit egal cu segmentul ac . Debitul total Q este dat de suma celor două debite: acabad . În acest fel, pentru diferite diferenţe de nivel se obţine curba 0A ce reprezintă caracteristica sistemului format de cele două conducte legate în paralel.

Această caracteristică permite determinarea debitul sistemului corespunzător unei diferenţe de nivel h dată sau invers, determinarea pierderii hidraulice între cele două noduri când prin sistem trece debitul Q. De asemenea, se poate determina distribuţia debitului pe cele două ramuri. Dacă punctul de funcţionare pe caracteristica sistemului este A, acestuia îi corespunde debitul QA al sistemului şi pierderea hidraulică este ABh . Intersecţiile orizontalei cu curbele 1 şi 2 dau debitele A1Q şi Q2A corespunzătoare celor două ramuri, cu menţiunea că există egalitatea:

A2A1A QQQ . (12.32)

12.5. Calculul conductelor cu ramificaţii

12.5.1. Relaţii de calcul

Fie o conductă de diametru d şi lungime l alimentată dintr-un rezervor. Conducta se ramifică în punctul B pentru a transporta fluidul în rezervoarele C şi D prin două conducte de diametre d1 şi d2, respectiv de lungimi l1 şi l2 (fig. 12.8.). regimul de mişcare fiind permanent, diferenţele de nivel H1 şi H2 se menţin constante în timp. Conductele BC şi BD sunt legate în paralel şi funcţionează în serie cu ramura principală AB.

Page 230: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

230

h

H1

H2

A

B

C

D

l,d

l1,d1

l2,d2

Q

Q1

Q2

Fig. 12.8. - Calcul conductelor cu ramificaţii Se pot scrie următoarele relaţii: conservarea masei: 21 QQQ ; (12.33) pierderea hidraulică pe ramura AB:

5

2

2 d

Qlg

8h

; (12.34)

pierderea hidraulică pe ramura BC:

51

21

1121dQl

g8hH

; (12.35)

sau:

5

1

21

115

2

21dQl

dQl

g8H ; (12.36)

pierderea hidraulică pe ramura BD:

52

22

2222dQl

g8hH

; (12.37)

sau:

5

2

52

225

2

22dQl

dQl

g8H . (12.38)

Page 231: Mecanica Fluidelor

Mişcarea permanentă în conducte sub presiune

231

De asemenea, pentru fiecare tronson se poate scrie ecuaţia de

continuitate: 4dvQ

2 .

12.5.2. Metoda grafo-analitică a problemelor de

exploatare

Caracteristica de funcţionare a sistemului hidraulic studiat (fig. 12.9.) se obţine astfel:

Se construieşte după metodica prezentată anterior, caracteristica celor două conducte 1şi 2 legate în paralel (curba cu linie întreruptă).

A

l,dB

l2,d2

l1,d 1

C

D

h M

H1

H2

H 1 2 M

M1 M2 M'

h M

0 QQM1QM2 QM

h M

Fig. 12.9 - Metoda grafo-analitică pentru calculul conductelor cu ramificaţii

Curbele caracteristice 1 şi 2 au originea decalată cu distanţa dintre cele

două rezervoare (conducta 1 fiind alimentată numai când înălţimea piezometrică din B este mai mare decât diferenţa H2 – H1). Din acest motiv, caracteristica sistemului format din conductele 1 şi 2 legate în paralel se suprapune peste curba 2 pe intervalul dintre cele două rezervoare. Caracteristica de funcţionare a conductei AB s-a reprezentat în cadranul IV. Caracteristica conductei AB se însumează cu caracteristica conductelor 1 şi 2 funcţionând în paralel, după legea conductelor legate în serie, obţinându-se curba caracteristică a sistemului. Cu ajutorul ei se rezolvă orice problemă de

Page 232: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

232

exploatare. Astfel, la un nivel dat al apei în rezervorul de alimentare, punctul de funcţionare este M, iar debitul total ce trece prin sistem este QM. Pierderea

hidraulică pe conducta principală este 'M MMh . Pentru a cunoaşte

distribuţia debitului QM pe cele două ramuri, se duce prin punctul M ce aparţine caracteristicii celor două conducte legate în paralel, o orizontală. La intersecţia acestei orizontale cu caracteristicile conductelor 1 şi 2, se obţin debitele căutate 1MQ şi 2MQ M2M1M QQQ . Se poate determina nivelul necesar în rezervorul de alimentare pentru ca prin sistem să treacă debitul QM, care determină pe curba caracteristică punctul de funcţionare M, care indică nivelul apei în rezervorul de alimentare.

12.5.3. Probleme de proiectare Pentru proiectarea unui sistem hidraulic sunt necesare următoarele

date: debitele Q1, Q2, Q3; lungimile conductelor l1, l2, l3; diferenţele de nivel H1, H2; materialul conductelor (rugozitatea). Se cere determinarea diametrelor d1, d2, d3 şi a pierderii hidraulice h. Pentru rezolvarea problemei există relaţiile (12.34), (12.35), (12.36)

care oferă o infinitate de soluţii pentru cele patru necunoscute. În astfel de situaţii se caută soluţia cea mai economică, punând

condiţia costului minim. Costul conductei se poate exprima în funcţie de lungime şi diametru,

prin relaţia: )dldldl(kC 2211 , (12.39)

unde: d este variabila independentă, iar d1 şi d2 în funcţie de d. Costul minim se obţine pentru acea valoare a lui d care anulează derivata funcţiei C:

0d

dl

dd

llkdC 2

21

1

. (12.40)

Din relaţiile (12.37) şi (12.38), se obţine:

61

2111

621

dQl

dQldd

; 62

2222

622

dQldQl

dd

. (12.41)

Page 233: Mecanica Fluidelor

Mişcarea permanentă în conducte sub presiune

233

Relaţia (12.40) devine:

0dQl

dQlldQl

dQlll 62

2222

6226

12111

621

(12.42)

sau: 222

62

211

61

2

6

Qd

Qd

Qd

, (12.43)

se vede, în final, că relaţiile (12.34), (12.35), (12.36) şi (12.43) constituie un sistem de patru ecuaţii care dau soluţii unice pentru d, d1, d2 şi h.

12.6. Conducta în sifon Fie o conductă de forma celei din figura 12.10., care leagă două

rezervoare A şi C. Porţiunea conductei situată deasupra liniei piezometrice funcţionează în sifon, presiunea din interior fiind mai mică decât presiunea atmosferică. Pentru măsurarea presiunii în această porţiune a conductei se utilizează tuburi vacuumetrice.

1-1

B

C

A

H

d

h sp a

tp B

Fig. 12.10. - Instalaţie pentru calculul conductei în sifon

Calculul hidraulic al conductei în sifon este identic cu calculul conductelor normale, mişcarea în conductă fiind generată de o diferenţă de nivel H.

Page 234: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

234

Pentru punerea în funcţionare, sifonul trebuie amorsat, creându-se depresiune în punctul B.

Presiunea minimă, care apare în punctul B, se poate calcula aplicând ecuaţia lui Bernoulli între suprafaţa lichidului din rezervorul A şi punctul B:

BApSB

2at

21 hh

gp

g2v

gp

g2v

, (12.44)

de unde, depresiunea în punctul B, neglijând v1, va fi:

BApS2

Bat hhg2

vgpp

. (12.45)

La conducta în sifon se pune problema evitării fenomenului de cavitaţie care apare atunci când presiunea din interior atinge valoarea presiunii de vaporizare la temperatura ambiantă.

Prin urmare, înălţimea hS este limitată de apariţia cavitaţiei şi se poate calcula din relaţia (12.45), punând condiţia vB pp :

BAp2

vatmaxS h

g2v

gpp

h

. (12.46)

12.7. Calculul reţelelor de distribuţie Distribuţia apei potabile şi a celei industriale, de la staţia de pompare

către consumatori se face prin reţele de conducte. În general, staţia de pompare alimentează un rezervor de compensaţie,

de unde, apa este preluată de reţeaua de distribuţie (fig. 12.11.). Reţelele de distribuţie pot să fie deschise (ramificate) sau închise

(buclate). Reţeaua deschisă este constituită dintr-o linie principală de la care se

ramifică ale linii secundare, la capătul cărora se găsesc consumatorii (fig. 12.11.).

Această reţea prezintă avantajul unui calcul simplu (cazul conductelor legate în serie), dar are o siguranţă în funcţionare redusă, deoarece în cazul unei avarii toţi consumatorii din aval nu mai pot fi alimentaţi.

Page 235: Mecanica Fluidelor

Mişcarea permanentă în conducte sub presiune

235

Rezervor

Staţie depompare

Q1 Q2

Q3M

N

Fig. 12.11. - Reţea de distribuţie ramificată (deschisă)

Reţeaua închisă are posibilitatea alimentării consumatorilor prin cel puţin două părţi, adică în bucle (fig. 12.12).

Q1

Q2

Q3

M

N

T S

0

Fig. 12.12. - Reţea de distribuţie buclată

Avantajul acestei reţele constă în aceea că orice punct poate fi alimentat prin două părţi, deci în cazul unei avarii se poate izola o parte din reţea, fără ca celorlalţi consumatori să le fie oprită alimentarea cu apă.

Calculul acestor reţele de conducte se face pe baza relaţiilor stabilite la funcţionarea conductelor în serie şi în paralel, având în vedere următoarele:

într-un nod oarecare, M (punct de ramificaţie), debitul care intră trebuie să fie egal cu suma debitelor care ies din nod:

321 QQQ ; (12.47) căderea de presiune între două noduri trebuie să fie aceeaşi pe orice

ramură:

MTOpMTSOpMNOp hhh . (12.48)

Page 236: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

236

Dimensionarea reţelelor de conducte ridică următoarele probleme: calculul unei reţele noi, când sunt daţi consumatorii şi trebuie

dimensionată atât reţeaua cât şi rezervorul de compensaţie;

extinderea unei reţele existente, când presiunea din rezervor este dată şi trebuie dimensionată reţeaua în aşa fel încât să asigure necesităţile consumatorilor (debit, presiune).

1). Calculul reţelei noi. Fie, de exemplu, cinci consumatori,

necesitând fiecare un debit Qi şi o presiune pi 5,4,3,2,1i . Cunoscând condiţiile geodezice ale terenului se trasează reţeaua de distribuţie (fig. 12.13.a.), formată dintr-o ramură principală ce leagă rezervorul de compensaţie R de ultimul consumator (R-1) şi ramificaţiile aferente. În figura 12.13.b., este reprezentată în profil, ramura principală R-1. După trasarea reţelei, se stabilesc direct pe figură debitele ce trec pe fiecare tronson Dimensionarea reţelei se face pentru fiecare tronson în parte. Pentru fiecare tronson se cunoaşte debitul care trebuie asigurat fiecărui consumator, urmând a se determina viteza, diametrul şi pierderea hidraulică.

(p3,Q3)

(p5,Q5)

(p1,Q1)

(p2,Q2)

P

R

A'

B

C 1

H

A

B'C'

P

R

Q1+Q2+Q3++Q4+Q5

Q1+Q2+Q3Q1+Q2

Q2 Q11

2Q4

3

4

5

Q5 Q3A B

C

a

h RA

h AB

h BC

h C-1

p 1 g

Fig. 12.13. - Schemă pentru calculul reţelei noi

Page 237: Mecanica Fluidelor

Mişcarea permanentă în conducte sub presiune

237

Pe baza experienţei practice îndelungate, s-au stabilit vitezele economice în reţelele de conducte. De exemplu, după Agroschin, valorile vitezei economice în funcţie de diametrul conductei şi debitul ce trece prin conductă sunt date în tabelul de mai jos:

Tabelul 12.1. Valorile vitezei economice în funcţie de diametrul conductei şi debit

D mm

v mm

Q s/l

60 0,7 2 100 0,75 6 150 0,8 14 200 0,9 28 250 1 49 300 1,1 78 400 1,25 157 500 1,40 275 600 1,60 453 800 1,80 905 1000 2,00 1571 1100 2,20 2093

Cu acest tabel se poate determina diametrul normalizat apropiat în funcţie de debitul Q care trece prin conductă, precum şi viteza cu ajutorul ecuaţiei de continuitate. În final, se calculează pierderea hidraulică pe tronsonul respectiv cu ajutorul relaţiei:

5

2

2ld

Qlg

8h

sau g2

vdlh

2l . (12.49)

Pentru determinarea nivelului apei în rezervorul de compensaţie R, se duce linia piezometrică a ramurii principale, pornind de la ultimul consumator

(consumatorul 1). Fie g

p1

înălţimea piezometrică care trebuie asigurată în

punctul 1. Pierderea hidraulică pe ramura C-1 este 1Ch , care cuprinde

pierderile longitudinale şi locale. Aceasta se adaugă nivelului energetic g

p1

Page 238: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

238

în punctul C, înălţimea CC fiind tocmai înălţimea piezometrică disponibilă în punctul C. Repetând procedura şi însumând pierderile hidraulice, se determină nivelul energetic în rezervorul R, care coincide practic cu nivelul apei din rezervor, adică:

1R1 hg

pH . (12.50)

2). Extinderea unei reţele existente (fig. 12.14.)

R AB 1

H

p 1 h

l

Fig. 12.14. - Schemă pentru extinderea unei reţele existente

În această situaţie, diferenţa dintre nivelul apei din rezervor şi cel mai îndepărtat consumator este H.

Energia disponibilă pentru curgerea apei prin ramura RAB1 este

gpH 1

.

Cunoscând lungimea reţelei se poate calcula panta medie cu formula:

1RAB

1

mediu lg

pH

I

. (12.51)

Cunoscând pentru fiecare tronson debitul şi panta, acesta se poate dimensiona.

Page 239: Mecanica Fluidelor

Mişcarea permanentă în conducte sub presiune

239

12.8. Şocul hidraulic

Fie un rezervor din care apa se scurge sub presiune printr-o conductă prevăzută la un capăt cu un organ de obturare O (fig. 12.15.).

h 0

B

ls

3

0Vp21

Fig. 12.15. – Evoluţia fenomenului loviturii de berbec (şocul hidraulic)

Se constată experimental că închiderea rapidă a vanei provoacă

variaţii mari ale presiunii, acestea propagându-se cu o viteză foarte mare în întreaga conductă. Acest fenomen, numit şoc hidraulic sau lovitură de berbec se deosebeşte de alte mişcări nepermanente, prin aceea că pentru explicarea sa trebuie avut în vedere compresibilitatea lichidului.

Dacă se consideră că lichidul din rezervor este ideal şi compresibil, conducta confecţionată dintr-un material perfect elastic şi înălţimea lichidului din rezervor constantă (h0 = const), fenomenul curgerii se analizează în următoarele etape:

Se consideră iniţial vana complet deschisă (fig. 12.16.a); Vana se închide brusc la momentul 0t (fig. 12.16.b) În acest caz, energia cinetică a particulelor fluide de lângă vană se

transformă în lucrul mecanic al forţelor de presiune, iar lichidul este puternic comprimat şi peretele conductei este deformat.

Presiunea, viteza şi densitatea lichidului, precum şi aria secţiunii drepte a conductei variază respectiv cu p , 0vv , şi A în raport cu valorile iniţiale p0, v0, 0 şi A0. Particulele de lichid aflate imediat în amonte de cele oprite, îşi continuă un timp mişcarea, apoi se opresc comprimându-se şi deformând peretele conductei.

Page 240: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

240

Astfel, fenomenul se propagă în amonte de vană (fig.12.16.c) sub formă de undă.

Viteza de propagare c a undei se numeşte celeritate şi este constantă dacă lichidul şi peretele conductei au proprietăţi constante de-a lungul axei conductei.

Unda care se propagă de la vană spre rezervor este o undă directă. Unda directă ajunge la extremitatea amonte B a conductei în

momentul clt (fig. 12.16.d). În acest moment pe faţa din stânga secţiunii

drepte B presiunea p0 este constantă consth0 , iar pe faţa din dreapta presiunea este pp0 . Prin urmare, lichidul curge din conductă spre rezervor, ceea ce micşorează presiunea şi densitatea lichidului, precum şi aria secţiunii drepte a conductei.

Secţiunea dreaptă în vecinătatea căreia au loc aceste variaţii se deplasează în aval (fig. 12.16.e), iar unda directă se transformă la rezervor într-o undă inversă. Presiunea şi viteza din stânga undei inverse au valorile p0 şi 0v , iar intensitatea celerităţii undei inverse este tot c.

În momentul c/l2t , unda inversă ajunge în 0, iar conducta (perfect elastică prin ipoteză) a revenit la forma sa iniţială (fig. 12.16.f).

Lichidul continuă să curgă spre rezervor datorită inerţiei, astfel încât lângă vană valorile presiunii, masei specifice a fluidului precum şi aria secţiunii conductei, scad. Secţiunea dreaptă în vecinătatea căreia au loc aceste variaţii se deplasează spre amonte, adică unda inversă se transformă la vană într-o undă directă (fig. 12.16.g), presiunea şi viteza din dreapta acestei unde au valorile pp0 , respectiv zero.

Noua undă ajunge în B în momentul c/l3t (fig. 12.16.h). În acest moment lichidul este destins şi se află în repaus în întreaga conductă iar peretele conductei este deformat (A A0). Cum în stânga secţiunii B este presiunea p0, iar în dreapta presiunea are valoarea pp0 , lichidul din rezervor începe să intre în conductă, ceea ce face ca valorile lui p, şi A să crească.

Pe măsură ce lichidul din rezervor curge în conductă, valorile lui p, şi A din vecinătatea lui B încep să crească (fig. 12.16.i).

În momentul c/l4t această undă ajunge în 0, iar în conductă există presiunea p0 şi viteza 0v , iar secţiunea A a revenit la valoarea iniţială A0 (fig. 12.16.j).

Page 241: Mecanica Fluidelor

Mişcarea permanentă în conducte sub presiune

241

Fig. 12.16. - Etapele de desfăşurare a fenomenului de curgere printr-o conductă

Se observă că la momentul c/l4t există situaţia de la momentul 0t iar fenomenul este periodic neamortizat, în condiţiile ipotezei. În

Page 242: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

242

realitate, datorită vâscozităţii fluidului şi faptului că materialul conductei nu este perfect elastic, fenomenul este periodic amortizat.

Transformarea undei directe în undă inversă (la capătul amonte al

conductei) şi transformarea undei inverse în undă directă (la capătul aval al conductei) pot fi considerate sub o formă unitară: o undă incidentă se reflectă la una dintre extremităţile conductei, producând o undă reflectată.

12.8.1. Calculul suprapresiunii la închiderea instantanee

a vanei În vederea dimensionării oricărei conductei, interesează în mod

deosebit valoarea suprapresiunii şi succesiunea în timp a undelor de suprapresiune şi depresiune. Acestea depind de regimul de alimentare al conductei, de pierderile hidraulice, de lungimea conductei, de legea de închidere şi deschidere a vanei, etc.

Se consideră conducta sub presiune din fig. 12.17., în care la diferenţa de nivel H se stabileşte viteza medie v0, iar pereţii conductei se presupun rigizi.

A

H

L

0

V0L

Fig. 12.17. - Calculul suprapresiunii la închiderea instantanee a vanei

La închiderea vanei, în secţiunea acesteia apare o creştere a presiunii cu p . În intervalul de timp t , suprapresiunea p se propagă în amonte cu o viteză a pe distanţa taL . Pentru calcularea suprapresiunii p , se aplică teorema impulsului masei de fluid conţinută într-un tronson de conductă de lungime L (fig. 12.18.).

Page 243: Mecanica Fluidelor

Mişcarea permanentă în conducte sub presiune

243

PS

0

0

d

(p+p)SL=at

Fig. 12.18. - Distribuţia forţelor exterioare pe un tronson de conductă Notând cu S secţiunea conductei, impulsul masei de fluid conţinute în

interiorul suprafeţei haşurate , la momentul t de închidere a vanei, rezultă: 00t vtaSvLSI . (12.51)

La momentul tt , masa de lichid conţinută în suprafaţa haşurată s-a oprit (v = 0), impulsul masei respective este nul: 0I tt .

Scriind variaţia impulsului în intervalul de timp t , se obţine:

0ttt vtaSIII , (12.52) sau:

0vaStI

. (12.53)

Această variaţie de impuls este echivalentă rezultantei forţelor exterioare care acţionează asupra volumului de lichid conţinut în suprafaţa haşurată, adică .Sp

Proiectând teorema impulsului pe direcţia mişcării, rezultă: SpvaS 0 , (12.54)

de unde: 0vap . (12.55)

Această relaţie se poate exprima în coloană de lichid:

gva

gpH 0

, (12.56)

de unde se vede că suprapresiunea maximă depinde de viteza iniţială v0 şi de viteza de propagare a.

Page 244: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

244

12.8.2. Calculul vitezei de propagare

Se consideră un rezervor cu nivel constant care alimentează o conductă rectilinie şi orizontală, de diametru constant d (fig. 12.19.).

A

A

dL

11

00

L

H=

p A

Fig. 12.19. - Calculul vitezei de propagare

Se va determina, în continuare, viteza de propagare a suprapresiunii în condiţii reale, având în vedere atât elasticitatea pereţilor cât şi compresibilitatea lichidului. În acest sens se consideră că închiderea vanei se face la timpul 0t . După un timp t , unda de suprapresiune a ajuns în secţiunea 1-1, conducta dilatându-se datorită suprapresiunii pe lungimea

taL . În acelaşi timp a crescut şi densitatea lichidului cu . Datorită acestui fapt, variaţia masei de lichid conţinută în elementul de

conductă de lungime L , în intervalul de timp t , se obţine făcând diferenţa dintre masa conţinută la timpul tt şi masa conţinută la timpul t:

ttt MMM , (12.57) respectiv:

.SSSSSL

LSLSSM

(12.58)

Neglijând produsul S , rezultă: LSSM . (12.59)

În intervalul de timp t , prin secţiunea 1-1 trece debitul masic 0vSQ , iar masa de fluid care intră în tronsonul de lungime L , în

intervalul de timp t , este: tvSM 0t şi este egală cu variaţia masei M calculată mai sus.

Page 245: Mecanica Fluidelor

Mişcarea permanentă în conducte sub presiune

245

Se poate, deci, scrie: atSStvS 0 . (12.60)

Rezultă:

SSav0 . (12.61)

Raportul SS se poate calcula în funcţie de suprapresiunea din

conductă, ţinând cont de formula de dimensionare. Pentru conducte circulare:

4dS

2 , iar td2

4S

, (12.62)

ca2

dd2

SS

, (12.63)

unde: a este rezistenţa admisibilă a materialului conductei, iar c este modulul de elasticitate al materialului conductei.

Forţa care solicită pereţii conductei pe lungimea L este Ldp . Secţiunea de rupere este L2 , unde este grosimea peretelui conductei. Rezultă:

cc

pdL2

Ldp2SS

. (12.64)

Variaţia relativă a masei specifice , se exprimă în funcţie de

suprapresiunea din conductă:

p1pvv

, (12.65)

unde este modulul de elasticitate al lichidului.

Înlocuind valorile lui SS şi

în (12.65) se obţine:

11dapvc

0 . (12.66)

Cum 0vap , se obţine viteza de propagare:

Page 246: Mecanica Fluidelor

Hidraulică şi maşini hidraulice

246

c

d1a

. (12.67)

Această viteză depinde de viteza de propagare a sunetului în apă, ,

de dimensiunile şi calitatea materialului conductei. Dacă peretele conductei ar

fi perfect rigid, c , rezultă

a , adică viteza de propagare a

suprapresiunii ar fi egală cu viteza sunetului în apă. În practică raportul

2001

501

d

, iar s/m1200...800a .

Page 247: Mecanica Fluidelor

247

B I B L I O G R A F I E

1. Ancuşa, V., Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice, Curs litografiat,

Institutul politehnic Traian Vuia Timişoara, 1980 2. Anton, I., Cavitaţia, vol.I, Ed. Academiei, Bucureşti, 1984 3. Anton, L., Baya, A., Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice, Ed.

Orizonturi universitare, Timişoara, 1998 4. Anton, V., Popoviciu, M., Fitero, I., Hidraulică şi maşini hidraulice, Ed.

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978 5. Batchelor, G.,K., An introduction to fluid dynamics, Cambridge

University Press, 1992 6. Carafoli, E., Constantinescu, V. N., Dinamica fluidelor incompresibile,

Ed. Academiei, Bucureşti, 1981 7. Carafoli, E., Constantinescu, V. N., Dinamica fluidelor compresibile,

Ed. Academiei, Bucureşti, 1984 8. Cioc, D., Mecanica fluidelor, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1967 9. Constantinescu, V. N., Dinamica fluidelor vâscoase în regim laminar,

Ed. Academiei, Bucureşti, 1984 10. Dumitrescu, D., Iamandi, C., Hidraulica, Manualul inginerului

hidrotehnician, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1969 11. Florea, J., Panaitescu, V., Mecanica Fluidelor, Ed. Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1979 12. Ghermani, D., Hidraulică teoretică şi aplicată, vol.I, Tip., Finanţe şi

Industrie, Bucureşti, 1942 13. Ghermani, D., Hidraulică teoretică şi aplicată, vol.II, Tip., Ideea,

Bucureşti, 1942 14. Hunter, S. C., Mechanics of continuous media, Ellis Herwood

Publication, New-York, 1976 15. Iacob, C., Introduction mathematique a la mecanique des fluides,

Gauthier-Villars, Paris, 1959 16. Iamandi, C., ş.a. Hidraulica instalaţiilor, vol. I, Ed. Tehnică, Bucureşti,

1994 17. Ionescu, D. Gh., Introducere în hidraulică, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1977

Page 248: Mecanica Fluidelor

248

18. Ionescu, D. Gh., ş.a., Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983

19. Ionescu, D. Gh., Lecţii de termomecanica fluidelor vâscoase, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1997

20. Isbăşoiu, E. C., Georgescu, S., Mecanica fluidelor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1995

21. Landau, L. D., Lifschitz, E. M., Mecanique des fluides, Ed. Mir, Moscou, 1971

22. Mateescu, C., Hidraulica, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1964 23. Oroveanu, T., Scurgerea fluidelor multifazate prin medii poroase, Ed.

Academiei, Bucureşti, 1966 24. Oroveanu, T., Mecanica fluidelor vâscoase, Ed. Academiei, Bucureşti,

1967 25. Oprean, V. ş.a. Acţionări hidraulice, Bucureşti, Ed. Tehnică, 1976 26. Popa, O., Mecanica fluidelor, Curs litografiat, Institutul Politehnic

Traian Vuia Timişoara, 1975 27. Popa, O., Mecanica fluidelor şi măsurări hidraulice, vol. I, II, Curs

litografiat, Institutul Politehnic Traian Vuia Timişoara, 1984 28. Reynolds, A. J., Curgeri turbulente în tehnică, Ed. Tehnică, Bucureşti,

1982 29. Roman, P., Isbăşoiu, E., Balan, C., Probleme speciale de

hidromecanică, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1987 30. Soare, Şt., Procese hidrodinamice, Ed. Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1979 31. Săvulescu, S. N., Tranziţia de la curgerea laminară la cea turbulentă,

Ed. Academiei, Bucureşti, 1981 32. Sedov, L. I., Mecanique des milieux continus, Ed. Mir, Moscou, 1975 33. Tarcea, D., Maşini hidraulice şi hidropneumatice, vol. I, II, Curs

litografiat, Institul Politehnic Cluj-Napoca, 1977 34. Todicescu, A., Mecanica fluidelor şi maşini pneumatice, Ed. Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1974 35. Vaida, L., Opruţa, D., Giurgea, C. Mecanica fluidelor – Elemente

teoretice- vol. I, Editura Universităţii din Oradea, 2000 36. Vereş, M., Hora, C. Hidraulică şi Maşini hidraulice, vol. I, Editura

Universităţii din Oradea, 2000 37. Vereş, M. Mecanica fluidelor, Editura Universităţii din Oradea, 2008