Noţiuni introductive

2.1.1.1 Obiectul mecanicii fluidelor

Mecanica fluidelor poate fi definită ca fiind ramura mecanicii mediilor continue care studiază

legile de echilibru şi de mişcare ale fluidelor, precum şi interacţiunea lor mecanică cu corpurile

solide cu care vin în contact.

2.1.1.2 Diviziunile mecanicii fluidelor

• - statica fluidelor, care studiază echilibrul fluidelor, precum şi acţiunea acestora asupra

suprafeţelor solide cu care acestea vin în contact;

• - cinematica fluidelor, care se ocupă de mişcarea fluidelor, fără a lua în considerare forţele

care o determină, sau starea de mişcare;

• - dinamica fluidelor, care studiază mişcarea, luând în considerare forţele care determină sau

modifică starea de mişcare, precum şi transformările energetice care se produc în timpul

mişcării.

• Hidraulica, ramură cu caracter aplicativ a dinamicii lichidelor, se ocupă de studiul condiţiilor

de echilibru şi de mişcare a apei.

2.1.1.3 Starea lichidă

Starea lichidă este o stare de agregare intermediară între starea solidă şi cea gazoasă.

Lichidele au unele proprietăţi fizice ale solidelor (îşi păstrează volumul la presiune constantă,

au o anumită rigiditate la rupere şi au o suprafaţă de separare) şi ale gazelor (iau forma

vasului în care se află, pot trece continuu în stare gazoasă etc.). Starea gazoasă este o stare

de agregare a materiei în care moleculele interacţionează slab, se mişcă, practic, liber şi

ocupă tot volumul incintei pus la dispoziţie.

• Mediul fluid este considerat continuu, omogen, izotrop, lipsit de formă proprie. Fluidele -

lichidele şi gazele, sunt corpuri materiale caracterizate, în primul rând, prin fluiditate.

• Lichidele au structura moleculară caracterizată printr-un ordin determinat de dispunere a

moleculelor vecine. Acest ordin este perturbat în sensul că distanţele care separă moleculele

cresc. Moleculele oscilează în jurul poziţiei lor de echilibru astfel încât centrul de masă îşi

schimbă brusc poziţia în spaţiu. Lichidele se caracterizează prin următoarele proprietăţi:

• forţele de atracţie moleculară sunt mari, ordinul de mărime al schimbării volumului este mic,

lichidele fiind puţin compresibile;

• formează suprafaţă liberă, de-a lungul căreia acţionează forţe de tensiune superficială.

• Gazele se caracterizează prin faptul că moleculele se deplasează liber unele în raport cu

altele. O parte dintre proprietăţile gazelor sunt:

• forţele moleculare de atracţie sunt aproape inexistente, particulele tinzând să ocupe uniform

tot volumul aflat la dispoziţie;

• nu au suprafaţă liberă;

• distanţa medie dintre molecule este mult superioară dimensiunii lor.

2.1.1.4 Relaţii fundamentale în mecanica fluidelor

• conservarea masei (continuitate), conform căreia masa unui volum material rămâne

constantă;

• legea cantităţii de mişcare (impulsului) care afirmă că variaţia în timp a impulsului unei

particule fluide este egală cu suma forţelor care acţionează asupra acesteia: forţe de

suprafaţă şi forţe exterioare;

• legea conservării energiei (prima lege a termodinamicii), după care variaţia în timp a energiei

unei particule materiale (internă şi cinetică) este egală cu lucrul mecanic în unitatea de timp

al forţelor de suprafaţă, la care se adaugă transferul de energie (căldură) prin suprafaţa care

limitează particula;

-ireversibilitatea unor procese în gaze (crearea de entropie, legea a doua a termodinamicii), care

exprimă faptul că energia haotică a mişcării de agitaţie moleculară nu poate fi integral transformată

în energie dirijată, iar într-un sistem închis procentul de energie irecuperabilă (exprimată

macroscopic prin noţiunea de entropie) nu poate decât să crească sau, cel mult, să rămână constantă

(pentru gazele perfecte);

• ecuaţia de stare, ecuaţie care descrie starea unui sistem, stabilind legătura între presiune,

densitate, temperatură.

2.1.1.5 Modele simplificate de fluid

Cele mai mult folosite modele de fluid sunt:

• fluid uşor, fluid fără greutate;

• fluid ideal (nevâscos, perfect, fluid Euler) - model de fluid lipsit de viscozitate;

• fluid vâscos newtonian, fluid la care se admite că între efortul tangenţial şi acceleraţia

particulei fluide se aplică legea lui Newton pentru frecarea fluidelor, adică:

• dy

dv

• unde tau este forţa tangenţială pe unitatea de suprafaţă, v - viteza particulei, iar miu un

coeficient, legat de viscozitatea fluidului. Relaţia reprezintă relaţia constitutivă pentru

fluidele newtoniene.

• fluidul incompresibil (modelul Pascal), pentru care volumul unei mase determinate de fluid

nu se schimbă odată cu variaţia de presiune.

2.1.1.6 Mărimi fizice care caracterizează fluidele 1) Fluiditatea

O primă proprietate este fluiditatea, care este o proprietate caracteristică fluidelor, constând în

faptul că acestea nu pot dezvolta, în momentul în care se află în repaus, eforturi interioare

tangenţiale, din care cauză ele îşi schimbă forma atâta timp cât asupra lor acţionează forţe exterioare

care au componente tangenţiale.

2) Densitatea

Se consideră o particulă fluidă de masă m şi de volum V şi un punct material M, aparţinând

particulei fluide. Densitatea (masă volumică sau masă specifică) a fluidului în punctul M este

mărimea definită prin:

0

limv

m

V

dm

dV

V

m

3) Volumul specific

Volumul specific (volumul masic) este volumul ocupat de unitatea de masă a unui fluid. Se notează cu

sau v şi este inversul densităţii:

1dm

dV

4) Greutatea specifică

Dacă particula fluidă are greutatea G , se defineşte greutatea specifică într-un punct M al particulei

fluide prin:

dV

dG

V

G

v

0lim

Pentru fluidul omogen,

gV

G

5) Compresibilitatea izotermă

Mărimea exprimă proprietatea fluidului de a-şi modifica volumul, sub influenţa variaţiei de presiune

la temperatură constantă. Dacă presiunea p se măreşte cu p , volumul V se micşorează cu V .

Variaţia relativă a volumului este, într-o primă aproximaţie, proporţională cu variaţia de presiune:

V

pV

Semnul minus se datorează faptului că variaţiile dV şi dp sunt de semne contrare, pentru că o

creştere de presiune determină o scădere a volumului (masa fiind constantă) şi invers.

Făcându-l pe V să tindă la zero, se obţine:

dp

dV

V

1

Modulul de elasticitate

1 .

Viteza de propagare a oscilaţiilor longitudinale (inclusiv a sunetului - celeritatea), c, într-un

mediu omogen de densitate şi modulul de elasticitate , se calculează cu formula lui Laplace:

1c

În aer, c este de aproximativ 340 m/s, iar în apă de 1400 m/s (1388 la 40C şi 1422 la 200C).

Mişcările fluidelor compresibile pot fi clasificate în funcţie de viteză, prin introducerea

numărului lui Mach local:

VMa

c

unde V este viteza fluidului, iar c este celeritatea.

Dacă V c , mişcarea este mişcare subsonică, numărul lui Mach fiind subunitar, iar pentru

mişcările supersonice, Ma este supraunitar. Pentru Ma = 1 mişcarea se numeşte mişcare sonică.

6) Viscozitatea

Viscozitatea este proprietatea particulelor fluide de a opune rezistenţă la curgere, datorită eforturilor

tangenţiale dezvoltate în timpul mişcării. Cu cât corpul are o viscozitate mai mare, cu atât are o

fluiditate mai mică şi invers.

dy

dv

Coeficientul se numeşte coeficient de viscozitate dinamică. Pentru el se foloseşte şi notaţia .

Unitatea de măsură din sistemul CGS este numită poise.

În aplicaţii, se utilizează coeficientul de viscozitate cinematică:

Unitatea de măsură în CGS este stokes.

7) Turbulenţa

Mişcările lente ale fluidelor se efectuează, în general, în straturi paralele, de unde şi denumirea,

pentru astfel de mişcări, de mişcări laminare. Când vitezele sunt însă mai mari, apar fenomene de

instabilitate în masa fluidului care fac ca vitezele să se modifice, apărând fluctuaţii ale acestora. Din

acest motiv, se face un schimb de cantitate de mişcare între straturile vecine cu viteze diferite. Astfel

de mişcări se numesc mişcări turbulente, iar tensiunile suplimentare care apar se numesc tensiuni

turbulente.

8) Temperatura

Temperatura este o mărime fizică scalară, asociată cantităţii de căldură pe care o posedă fluidul la un

moment dat. Aceasta se determină în raport cu o temperatură de referinţă, corespunzătoare lui zero

absolut. Temperatura se măsoară în kelvini (K). 1 kelvin reprezentând 1/273,16 din temperatura

punctului triplu al apei (temperatura la care cele trei stări de agregare solidă, lichidă şi gazoasă,

coexistă în stare de echilibru).

Se utilitează, pe scară largă, şi gradul Celsius (0C) care reprezintă 1/100 din temperatura de

topire a gheţii. Temperatura măsurată în kelvini se numeşte temperatură absolută, notată cu T. Cea

exprimată în grade Celsius se numeşte temperatură relativă şi se notează cu .

Statica fluidelor

2.2.1.1 Generalitati

Statica fluidelor studiază, în primul rând, echilibrul mecanic al unui fluid care se găseşte într-

un câmp de forţe exterioare. În cele mai multe cazuri, acest câmp se reduce la câmpul forţelor

gravitaţionale. Statica fluidelor se ocupă, de asemenea, de acţiunile pe care le exercită fluidele

asupra corpurilor solide cu care vin în contact.

Asupra fluidului în repaus acţionează două categorii de forţe:

- forţele masice

- forţele de suprafaţă.

2.2.1.2 Echilibrul fluidelor

- echilibrul absolut al unui fluid, când singura forţă exterioară care acţionează asupra fluidului

este greutatea

- echilibrul relativ, când, în afară de greutate, apar şi forţe de inerţie.

Forţele de suprafaţă joacă rolul forţelor de legătură din statica corpurilor solide.

Pentru echilibru, este necesar ca forţele masice exterioare, care acţionează asupra masei

fluide, să aibă rezultanta nulă, deoarece forţele interioare se anulează reciproc.

2.2.1.3 Presiunea hidrostatică

Presiuneahidrostatica se dfineste prin

pdFp

d

unde pF este forţa elementară de presiune (forţa elementară de suprafaţă) care se exercită pe

elementul de arie d , care înconjoară punctul considerat.

Presiunea în fluid este o mărime scalară care exprimă gradul de comprimare datorată stării de

tensiune. Unitatea de măsură, în LMT, este ML-1T-2. În SI unitatea de măsură este

2 1 21 1 . 1 .Pa N m kg m s

Se mai utilizează şi

1 bar = 105 Pa,

1 kgf/m2 = 9,81 Pa

2.2.1.4 Ecuaţiile hidrostaticii

Forţele care acţionează asupra elementului de volum sunt

-forţele de suprafaţă, care se datorează presiunii exercitate de particulele de fluid exterioare

volumului considerat

- forţele masice exterioare unitare, care acţionează în centrul de masă al fiecărei particule

fluide.

Pentru fluidul nevâscos,

ij ijp p , i, j = 1, 2, 3

şi, în aceste condiţii, ecuaţiile de mişcare ale lui Cauchy pentru fluidul nevâscos devin:

1ma f gradp

Din faptul că fluidul se găseşte în echilibru, se deduce că acceleraţia este nulă, deci,

1mf gradp

care este ecuaţia vectorială de repaus a fluidelor.

Pentru o forţă masică mf , de componente ,,x y zf f f , din relaţia de mai sus, se obţin

ecuaţiile scalare de echilibru:

1 1 1, ,x y z

p p pf f f

x y z

2.2.1.5 Teorema fundamentală a staticii fluidelor În cazul general al fluidului compresibil, dacă forţele exterioare au un caracter conservativ, adică derivă dintr-un potenţial U,

mf gradU

se scrie:

gradp gradU

Suprafeţele cu U(x,y,z) = const

s. n. suprafeţe echipotenţiale. Rezulta p(x,y,z)=const.

Suprafeţele cu p(x,y,z)=const.

se numesc suprafeţe izobare. Deci, într-un fluid în echilibru, suprafeţele echipotenţiale sunt suprafeţe izobare (de egală presiune) şi reciproc. Din gradp gradU , se obtine

0dp

dU

şi reprezintă relaţia fundamentală a staticii fluidelor sub formă diferenţială. Sub formă integrală, se scrie:

.dp

U const

relaţia fundamentală a staticii fluidelor sub formă integrală.

Legea hidrostaticii pentru fluidul incompresibil În cazul fluidelor incompresibile, se obţine:

pU C

unde constanta C nu depinde de coordonate. Relaţia se numeşte legea hidrostaticii pentru fluidul incompresibil. Dacă pentru punctul de coordonate x0, y0, z0 se cunoaşte valoarea lui U şi p, notate respectiv cu U0 şi p0,

0 0 0p p U U

În cazul câmpului gravitaţional U g z şi, înlocuind în legea hidrostatică, se obţine:

p z C

Considerând două puncte, unul în planul Oxy, în care presiunea este egală cu p 0 şi

celălalt, cu cota z şi presiunea p, se găseşte:

0 0( )p p z z

relaţie fundamentală a hidrostaticii fluidului incompresibil în câmp gravitaţional.

2.2.1.6 Legea de repartiţie hidrostatică pentru fluidul compresibil Pentru fluidul compresibil, se considera ecuatia de stare

pp

2.2.1.6.1 Cazul echilibrului izoterm În acest caz, când temperatura rămâne constantă, legătura dintre presiunea p şi

densitatea a fluidului este dată de ecuaţia de stare:

0

0

pp

unde p0 şi 0 sunt valori de referinţă ale presiunii şi densităţii luate, de exemplu, la

nivelul z = 0. În cazul câmpului gravitaţional, pentru care ,U gz se obţine:

z

p

gpp

0

0

0 exp

dacă valorile de referinţă 0 0,p sunt cele de la cota z =0.

Repausul izoterm se obţine pentru presiuni mici.

2.2.1.6.2 Cazul repausului adiabatic

În cazul transformărilor adiabatice când, pentru fluidul în repaus, nu se face schimb de căldură cu mediul exterior, între presiune şi densitate există relaţia dată de ecuaţia de stare:

kk

pp

0

0

unde k este exponentul adiabatic (raportul căldurilor specifice la presiune constantă respectiv la volum constant). Se obtine

1

0

0 01

k

kpk pU const

k p

În cazul fluidelor în câmp gravitaţional, se obţine:

1

0

0

0

11

k

k

zp

g

k

kpp

Repausul adiabatic se realizează pentru un gaz perfect izolat, fără schimb de căldură cu exteriorul.

2.2.1.6.3 Cazul repausului politropic Transformările politropice au loc cu variaţia simultană a presiunii şi volumului, iar ecuaţia de stare este aceeaşi ca şi pentru repausul adiabatic, cu singura diferenţă că coeficientul k este înlocuit cu exponentul politropic n. Modelul politropic este considerat ca fiind cel mai potrivit pentru atmosfera reală. În cazul repausului politropic

0

0

n n

pp

unde n este exponentul politropic. 1

0

0 01

n

pnU const

n

2.2.1.7 Consecinţe ale relaţiei fundamentale a staticii fluidelor 1) Într-un fluid în repaus suprafeţele echipotenţiale, deci suprafeţele pentru care

.,, constzyxU , sunt şi suprafeţe izobare constzyxp ,, . şi reciproc.

2) Într-un fluid în repaus, suprafeţele echipotenţiale distincte nu au nici un punct comun. 3) Principiul lui Pascal Într-un fluid în repaus, în care forţele masice sunt neglijabile în raport cu cele de presiune, presiunea este aceeaşi în toată masa fluidului (se regăseşte în orice punct din masa fluidului cu aceeaşi valoare). Principiul se aplică, de exemplu, fluidelor care sunt mărginite, peste tot, de pereţi solizi.

mf gradU ,

rezultă că grad U = 0, deci U=const., de unde p=constant. 4) Suprafaţa de contact dintre două fluide imiscibile în repaus este o suprafaţă echipotenţială.

Principiul fundamental al hidrostaticii. Consecinţe ale relaţiei fundamentale pentru lichide în repaus, în câmp gravitaţional

Pentru un fluid incompresibil, daca A şi B sunt doua puncte din fluidul în repaus,

puncte aflate la cote diferite ,A Bz z :

B A B Ap p z z .

Diferenţa de presiune dintre două puncte ale fluidului în repaus este egală cu greutatea unui cilindru de fluid având ca arie a secţiunii sale ortogonale unitatea de suprafaţă şi ca înălţime diferenţa de nivel dintre cele două puncte. Acest enunţ a fost numit principiul fundamental al hidrostaticii. În cazul fluidului incompresibil, consecinte: 1) Într-un lichid în repaus planele orizontale sunt suprafeţe izobare şi reciproc. Acest rezultat este cunoscut sub numele de lema fundamentală a hidrostaticii. De aici rezultă şi faptul că suprafaţa liberă a unui lichid în repaus este plană şi orizontală, enunţ care se numeşte şi principiul suprafeţei libere. 2) Dacă un lichid în repaus se găseşte în două sau mai multe vase comunicante, suprafeţele libere se află în acelaşi plan orizontal, dacă asupra lor se exercită aceeaşi presiune (principiul vaselor comunicante) 3) Principiul lui Pascal. Într-un lichid incompresibil în repaus, în care forţele masice sunt neglijabile în raport cu cele de presiune, presiunea este aceeaşi în toată masa lichidului. Principiul poate fi reformulat sub următoarea formă: într-un lichid în repaus, o variaţie de presiune se transmite integral. 4) Suprafaţa de contact dintre două fluide imiscibile în repaus este un plan orizontal.

2.2.2 Repausul absolut si relativ al

fluidelor

2.2.2.1 Repausul absolut al lichidelor în câmp gravitaţional

2.2.2.1.1 Relaţia fundamentală a hidrostaticii lichidelor în câmp

gravitaţional

In camp gravitational, ecuatia staticii lichidelor este

*p z p C

unde *p se numeşte suprasarcină.

Se poate scrie sub forma

abs

pz h C

valoarea constantei fiind aceeaşi în toate punctele fluidului.

Valoarea constantei, notată cu absh , se numeşte sarcină hidrostatică

corespunzătoare presiunii absolute (sau sarcină barometrică, notată şi cu bh ).

Primul termen se numeşte înălţime piezometrică, corespunzătoare presiunii absolute p, iar cel de-al doilea este cota geometrică, numită şi înălţime de poziţie.

22

11 z

pz

p

2.2.2.1.2 Măsurarea presiunii prin înălţimea unei coloane de lichid În funcţie de lichidul considerat, apar:

- pentru apă, presiunea exercitată de o coloană de apă, - pentru mercur, înălţimea coloanei de mercur.

2

21 9,81 9,81

1 133,3 1

mm H O N m Pa

mm Hg Pa torr

2

5 2

2 4

2

1 760 10,332

1,01325 10 1,0331 / 101325

1 1 9,81 10 735 10 ,

At mm Hg m H O

Pa kgf cm Pa

at kgf cm Pa mm Hg m H O

unde s-a notat cu At - atmosfera fizică, reprezentând presiunea medie normală la nivelul mării şi cu at cea atmosfera tehnică. Se mai folosesc 1 cm Hg, 1 m H2O, 1 cm H2O etc. Presiunea manometrică (sau de suprasarcină) şi presiunea vacuumetrică, corespunzătoare presiunii relative pozitive respectiv negative.

atmm ppp

v atmp p p

S-a notat cu atmp presiunea atmosferică. Presiunea atmosferică normală este de

101 325 Pa, adică de 1 atmosferă fizică. Pentru măsurarea presiunii se folosesc manometre cu lichid, manometre mecanice sau combinate. Manometrele cu lichid se bazează pe legea hidrostatică. Aparatele cu care se măsoară presiunea absolută se numesc barometre, iar cele care măsoară presiunea relativă sunt manometre, dacă măsoară suprapresiuni, vacuumetre dacă măsoară depresiuni şi mano-vacuumetre dacă măsoară ambele tipuri de presiuni.

2.2.2.2 Repausul relativ al fluidelor 2.2.2.2.1 Ecuaţiile repausului relativ

In cazul echilibrului relativ, viteza relativă este nulă, acceleraţia relativă şi cea

Coriolis vor fi şi ele nule, deci

a ta a ,

0,m p i i tF F F F m a

ecuaţia vectorială a repausului relativ pentru lichide. Ţinând cont de exprimarea forţelor de presiune, în cazul fluidului în repaus,

ecuaţia repausului relativ se poate scrie sub forma:

1m igrad p f f

ecuaţia fundamentală a repausului relativ. Dacă

i if gradU

Dacă U este potenţialul forţelor masice şi se notează UUU it

numit potenţial total, se poate scrie:

0tp U

cunoscută sub numele de ecuaţia fundamentală a repausului relativ pentru fluidul incompresibil.

2.2.2.2.2 Repausul relativ al unui lichid dintr-un rezervor paralelipipedic aflat în mişcare de traslaţie uniform accelerată

Se consideră cazul lichidului aflat în echilibru într-un vas care se deplasează pe un plan orizontal, cu acceleraţie constantă a

0f grad p ,

unde

f a g .

Figura 1

Rezervor prismatic care se deplasează: a) pe un plan orizontal, uniform accelerat, cu acceleraţia constantă; b) rezervor prismatic, plasat pe un plan înclinat, lăsat să alunece liber de-a lungul planului.

0, 0p p

a gx z

,

dp adx g dz

p a x g z C

.constxg

az

ecuaţiile unor drepte, care reprezintă proiecţia pe planul Oxz a suprafeţelor izobare, de unde concluzia că suprafeţele izobare sunt plane înclinate, având panta egală cu

ga / , unde a este modulul acceleraţiei. Cum suprafaţa liberă este o suprafaţă

izobară, ea va avea aceeaşi proprietate.

2.2.2.2.3 Repausul relativ al unui lichid dintr-un rezervor cilindric circular aflat în mişcare de rotaţie uniformă

21rgrad p r i g z k

2 0, 0p p

r gr z

2 2

2

rp g z C

2

2 2

2p x y g z C

.2

22

constr

gz

care reprezintă ecuaţiile unor paraboloizi de revoluţie. Suprafaţa liberă va avea şi ea, formă de paraboloid de revoluţie.

2.2.3 Teoremele acţiunii fluidelor în

repaus asupra pereţilor plani 2.2.3.1 Teoremele actiunii fluidelor asupra peretilor solizi

Se consideră cazul fluidului în repaus absolut, în câmp gravitaţional şi când acesta este în contact cu o

suprafaţă solidă, care poate fi un perete, un corp cufundat total sau parţial în fluid.

Torsorul forţelor de presiune, care acţionează asupra întregii suprafeţe S a porţiunii din

peretele solid cu care fluidul vine în contact, este dat de forţa rezultantă:

p

S

F p n d

şi de momentul forţelor de presiune în raport cu un punct, de regulă originea O a sistemului de axe

de coordonate, dat de formula:

0

S

M r p n d

2.2.3.2 Teoremele acţiunii fluidului în repaus pe pereţi plani

2.2.3.2.1 Generalitati

O suprafaţa S este conţinută într-un perete plan, axele de coordonate Ox şi Oy se aleg

convenabil, în planul peretelui.

Forţele elementare de presiune sunt paralele, de rezultanta:

p

S

F n p d ,

0

S

M r p d n .

Se calculează şi momentul rezultantei în raport cu O. Se găseşte:

o C p C

S

M r F r pd n

Din

O OM M

se determină vectorul de poziţie al centrului de presiune:

SC

S

r p d

rp d

Presiunea care apare în formula este dată de legea fundamentală a staticii fluidelor în câmp

gravitaţional şi este presiunea relativă, faţă de presiunea mediului exterior rezervorului.

2.2.3.2.2 Acţiunea gazelor în repaus asupra unui perete plan

Se consideră un prim caz particular al fluidului uşor, deci al gazelor. Presiunea din rezervor

este constantă în toată masa de fluid, deci are aceeaşi valoare şi pe perete. Presiunea pe partea

exterioară a peretelui este considerată a fi cea atmosferică.

SC

S

r d

rd

valoare ce reprezintă vectorul de poziţie al centrului de greutate al plăcii plane omogene cu suprafaţa

S.

Deci

C Gr r ,

de unde rezultă că C = G.

Teorema

Acţiunea unui fluid uşor, în repaus, pe un perete plan, este echivalentă cu o forţă cu modulul egal cu

produsul dintre presiunea constantă din fluid şi aria suprafeţei peretelui, direcţia normală la

suprafaţă, sensul de la fluid spre perete, iar punctul de aplicaţie în centrul de greutate al suprafeţei.

2.2.3.2.3 Acţiunea lichidelor în repaus asupra unui perete plan

Pentru un lichid de densitatea .

ap p h

unde s-a notat cu ap presiunea atmosferică, care acţionează pe suprafaţa liberă a lichidului, iar cu

h adâncimea la care se calculează presiunea.

p a a

S S S S

F pd p h d p d hd

p a G a pF p h A S p A S F

unde

p GF h A S

şi s-a notat cu Gh adâncimea la care se găseşte centrul de greutate al suprafeţei.

Teorema

Acţiunea unui fluid greu (lichid), de densitate , asupra unei suprafeţe de arie A(S), aparţinând unui

perete plan, este dată de o forţă cu mărimea egală cu produsul dintre aria suprafeţei şi presiunea

hidrostatică în centrul de greutate al acestei suprafeţe, direcţia normală la suprafaţă, sensul dinspre

lichid către suprafaţă.

Termenul SApa se datorează presiunii atmosferice, exercitate de atmosferă asupra

lichidului, deci implicit asupra suprafeţei considerate. Cum pe exteriorul peretelui se exercită tot

presiunea atmosferică, forţa de presiune datorată lichidului, este p GF h A S , numită şi

suprapresiune sau forţă de împingere,

Teorema

Acţiunea unui lichid asupra unui perete plan este dată de o forţă de mărime egală cu greutatea unui

cilindru de lichid, care are ca bază suprafaţa peretelui considerat şi ca înălţime distanţa de la centrul

de greutate al acestei suprafeţe la planul suprafeţei libere. Direcţia forţei este normală la suprafaţă şi

sensul dinspre lichid spre suprafaţă.

2

xySC

G G

s xC

G G

x y dI

xA S y A S y

y dI

yA S y A S y

unde xyI este momentul de inerţie geometric centrifugal al suprafeţei S în raport cu sistemul xOy,

xI este momentul de inerţie geometric al suprafeţei S faţă de axa Ox.

1 1

1

x y

C G

G

xC G

G

Ix x

A S y

Iy y

A S y

Cazul suprafeţei plane orizontale

Fie S o suprafaţă orizontală aflată într-un lichid în repaus, suprafaţa fiind situată la adâncimea

h faţă de suprafaţa liberă a lichidului. Mărimea forţei nu depinde de forma vasului ci numai de aria

suprafeţei orizontale.

Această concluzie stă la baza principiului, cunoscut sub numele de paradoxul hidrostatic.

Forţa hidrostatică rezultantă care acţionează pe fundul unui vas nu depinde de cantitatea de

lichid din vas, fiind funcţie numai de înălţimea lichidului din vas şi de aria suprafeţei fundului vasului.

In cazul suprafeţei verticale

p GF n h A S

2

xzC

G

s xC

G G

Ix

A S z

z dI

zA S z A S z

2.2.4 Acţiunea fluidelor în repaus

asupra suprafeţelor curbe

2.2.4.1 Acţiunea fluidului în repaus pe pereţi curbi deschişi

În general, reducerea sistemelor de forţe conduce, după cum se ştie, la o forţă rezultantă, dar şi la un

cuplu de forţe care are momentul funcţie de punctul de reducere.

Se poate folosi următorul procedeu: se înlocuieşte torsorul forţelor elementare de presiune

cu un sistem echivalent de trei forţe, în general neconcurente, paralele cu cele trei axe de

coordonate ale unui sistem ortogonal convenabil ales.

Se consideră

- un lichid de greutate specifică , aflat în repaus şi

- o suprafaţă curbă deschisă S pe unul dintre pereţii solizi asupra căruia acţionează lichidul.

Se presupune că pe suprafaţa liberă a lichidului se exercită presiunea atmosferică.

Sistemul de axe de coordonate se alege cu planul xOy în planul suprafeţei libere, iar axa Oz

verticală, orientată în jos.

Se notează cu , ,x y zS S S proiecţiile algebrice ale suprafeţei curbe considerate pe cele

trei plane de coordonate Oyz, Oxz, Oxy. Se notează cu , ,px py pzF F F rezultantele forţelor de presiune

care acţionează asupra celor trei proiecţii ale suprafeţei S pe cele trei plane de coordonate. Dacă

sistemul forţelor de presiune se reduce la o rezultantă unică, modulul forţei de presiune, pentru

suprafaţa curbă S, cu care acţionează lichidul asupra peretelui curb, în cazul general, este dat de

formula:

222

pzpypxp FFFF

Pentru forţele orizontale de presiune ,px pyF F , se aplică teoremele acţiunii lichidului asupra

pereţilor plani verticali, pentru proiecţiile ,x yS S ale suprafeţei S pe planele de coordonate yOz

respectiv xOz.

Se studiazã, în continuare, cazul forţei verticale.

cos ,

z

pz z

S S

F z d z n z d

Se notează cu Slat reuniunea suprafeţelor verticale şi cu Ss.l proiecţia suprafeţei din planul

suprafeţei libere.

Conform formulei lui Gauss, această integrală se transformă într-o integrală de volum

cpV

pz dz

zF

unde s-a notat cu Vcp domeniul ocupat de corpul, mărginit de suprafaţa descrisă mai sus, numit corp

de presiune. Rezultă, atunci:

pz cpF V

iar punctul său de aplicaţie coincide cu centrul de greutate al corpului de presiune. Forţa verticală

este numită forţă arhimedică sau forţă de împingere. Punctul său de aplicaţie se numeşte centru de

carenă sau centru de împingere.

Teorema

Torsorul sistemului de forţe cu care un lichid în repaus acţionează asupra unei suprafeţe curbe

deschise, situată pe peretele curb al unui rezervor, se reduce, în cazul general, la trei forţe

neconcurente piF , paralele cu axele de coordonate. Primele două forţe au mărimile

ipi G iF g z A S , direcţiile paralele cu iOx , i = 1,2, sensul dinspre lichid spre perete. Suportul

lor trece prin centrul de presiune al proiecţiei Si a suprafeţei pe planul de coordonate perpendicular

pe axa iOx cu coordonatele:

- centrul de presiune C1:

1

1

1

1

1

1

,yz

C

G

y

C

G

Iy

A S z

Iz

A S z

iar centrul de presiune C2:

2

2

1

2

2

2

,xzC

G

xC

G

Ix

A S z

Iz

A S z

unde 1 2,G G sunt respectiv centrele de greutate ale suprafeţelor S1 şi S2.

Forţa 3p pzF F are mărimea egală cu greutatea corpului de presiune, mărginit de peretele

curb S şi proiecţia acesteia pe planul suprafeţei libere, de volum Vc:

3p cF g V

direcţia verticală şi sensul de la lichid spre perete. Suportul său trece centrul de greutate 3G al

corpului de presiune şi are coordonatele:

3 3

3 3

3 3

1 1,G G

c cS S

x x z d y y z dV V

2.2.4.2 Acţiunea lichidelor în repaus asupra suprafeţelor curbe închise Fie un corp de o formă oarecare, de volum V, cufundat într-un fluid presupus greu. Rezultanta

forţelor verticale de presiune pe care lichidul o exercită asupra corpului cufundat, ca rezultantă a

celor două forţe descrise mai sus, are modulul egal cu diferenţa greutăţilor celor două corpuri de

presiune, ceea ce înseamnă chiar greutatea lichidului dezlocuit de corp şi are sens ascendent,

întrucât volumul corpului de presiune mărginit de APB este mai mare decât cel mărginit de AQB.

Figura 1

Forţa de presiune pe care fluidul o exercită asupra corpului cufundat este dată de expresia:

pF V k

Teorema

Un corp cufundat într-un lichid este supus, din partea acestuia, acţiunii unei forţe verticale, egală în

modul cu mărimea greutăţii volumului de lichid dezlocuit de corp, dirijată de jos în sus. Suportul

forţei trece prin centrul de masă al volumului dezlocuit.

Această teoremă constituie teorema sau principiul lui Arhimede.

Forţa arhimedică este o forţă portantă, asigurând sustentaţia (menţinerea la un anumit nivel,

într-un fluid, a unui corp mai greu sau egal cu greutatea volumului de fluid dezlocuit) corpului solid,

deşi se exprimă ca şi forţele masice, prin produsul dintre volum şi greutate specifică. Forţa

arhimedică nu este o forţă masică, ci este o forţă de suprafaţă.

Principiul lui Arhimede este valabil şi în cazul corpurilor cufundate parţial în lichid. El se

aplică, de asemenea, şi gazelor numai că, în acest caz, datorită faptului că greutatea specifică este

mică, modulul forţei portante este sesizabil doar în cazul volumelor mari de gaz. Principiul se aplică la

construirea baloanelor, dirijabilelor etc.

2.2.4.3 Plutirea corpurilor

2.2.4.3.1 Generalitati

Asupra unui corp cufundat total sau partial [ntr-un lichid acţionează cele două forţe:

gF , greutatea proprie a corpului şi aF forţa portantă (arhimedică). Modulele celor două forţe au

valorile date de:

g mF V

unde m este greutatea specifică medie a corpului, iar V volumul acestuia, iar

a cF V

unde este greutatea specifică a lichidului în care este cufundat plutitorul, iar cV este volumul

carenei. Forţa arhimedică ia valoarea maximă dacă volumul carenei este acelaşi cu volumul corpului:

maxaF V

Sunt posibile următoarele cazuri:

1) Dacă

maxg aF F

ceea ce revine la condiţia ca m , caz în care corpul se cufundă.

2)Dacă

maxg aF F

deci dacă .m , corpul rămâne în echilibru indiferent, ceea ce corespunde plutirii în

imersie, care se numeşte şi plutire “submarină”.

3) Dacă maxg aF F , se găseşte condiţia de plutire a unui corp, cazul cel mai important

dintre cele trei. În acest caz m , iar corpul pluteşte la suprafaţa lichidului,

creându-şi un volum de carenă cV , evident, mai mic decât volumul corpului. În

condiţii de echilibru, are loc egalitatea celor două forţe verticale:

g m c aF V V F

2.2.4.3.2 Stabilitatea corpurilor imerse

Un corp omogen cufundat complet într-un lichid este în echilibru stabil, dacă centrul său de masă

coincide cu centrul de masă al volumului de lichid dezlocuit de corp şi are aceeaşi densitate cu

lichidul. Pentru un corp neomogen cufundat complet într-un lichid de asemenea neomogen, condiţia

de echilibru este ca densitatea medie a corpului să fie egală cu densitatea medie a volumului de lichid

dezlocuit, iar centrele de masă să fie pe aceeaşi verticală. După cum centrul de masă al corpului se

află sub centrul de masă al volumului de lichid dezlocuit sau nu, avem de-a face cu un echilibru stabil

sau instabil.

Un corp solid de o formă arbitrară, în echilibru, care este cufundat total sau parţial într-un

lichid greu în repaus se numeşte plutitor. După cum este total cufundat sau numai parţial, plutirea

este în imersie sau plutire la suprafaţă. Consideraţiile următoare se referă la plutirea de suprafaţă.

2.2.4.3.3 Teoremele plutirii Teorema 1 (a lui Euler) Axa instantanee de înclinare trece prin centrul de plutire corespunzător poziţiei de repaus considerate. Teorema 2 (teorema lui Dupin) Planul tangent într-un punct oarecare al suprafeţei centrelor de carenă este paralel cu planul de plutire corespunzător. Consecinţă Forţa arhimedică este normală în centrul de carenă la suprafaţa de carenă. Se considerã, mai jos, cazul navelor, care admit două plane de simetrie, cel longitudinal şi cel transversal. Se alege un sistem de axe de coordonate cu Ox axa transversală a navei, Oy axa longitudinală, iar Oz axa de plutire. Axa Oz este solidar legată de plutitor, iar axa Ox rămîne tot timpul în planul orizontal de plutire. Se consideră, de asemenea, poziţii izocarene datorate unor mişcări de ruliu, mişcări pentru care axa de înclinare este axa longitudinală. Datorită simetriei plutitorului, centrul de carenă al poziţiei înclinate rămâne în planul transversal. În acelaşi plan se găseşte şi suportul forţei arhimedice pentru poziţia înclinată. Locul geometric al centrelor de carenă va fi o curbă plană, numită curbă de carenă de ruliu. Înfăşurătoarea normalelor la curba de carenă de ruliu se numeşte curbă metacentrică de ruliu şi admite un punct de întoarcere M, pe axa de simetrie. Punctul M se numeşte metacentrul de ruliu sau primul metacentru. Pentru poziţiile izocarene pentru care axa de înclinaţie este axa transversală sau o axă paralelă cu aceasta, datorate mişcărilor de tangaj, se poate defini, ca mai sus, o curbă plană, situată în planul longitudinal. Această curbă se numeşte curbă metacentrică de tangaj. La rândul ei, această curbă admite un punct de întoarcere, numit metacentru de tangaj sau al doilea metacentru. Metacentrul se poate introduce pornind de la punctul 'M

în care o dreaptă verticală

care trece prin centrul de carenă al poziţiei înclinate intersectează axa de plutire. Când plutitorul tinde către poziţia normală, punctul M’ tinde către o poziţie fixă, M, care este metacentrul de ruliu. Pentru poziţii izocarene de ruliu infinit vecine, se admite că M’ coincide cu M. Analog pentru poziţiile de tangaj. Teorema (teorema metacentrului de ruliu) În cazul înclinărilor mici ale unui plutitor, faţă de poziţia normală de plutire, raza metacentrică are expresia:

0 0 0

yIr C M

V

unde Iy este momentul de inerţie al suprafeţei de plutire în raport cu axa de înclinare Oy, iar V este volumul de carenă.

2.3.1 Noţiuni specifice cinematicii

fluidelor. Calculul mărimilor

cinematice

2.3.1.1. Reprezentarea mişcării unui fluid

2.3.1.1.1 Metoda lui Lagrange

Particula fluidă este urmărită cu începere din momentul iniţial 0t . Fie 0000 ,, zyxP şi 0r vectorul

său de poziţie la momentul iniţial al mişcării. La un moment t, poziţia particulei este dată de:

0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , , , , , , ,x x x y z t y y x y z t z z x y z t

Coordonatele particulei fluide sunt funcţii de variabilele independente t şi de 0, 0 0,x y z (notate şi

cu a, b, c), care se numesc variabilele lui Lagrange sau coordonate materiale.

, ,x y z

u v wt t t

Acceleraţia aceleeaşi particule este:

, ,x y za a a a cu

2 2 2

2 2 2, ,x y z

x y za a a

t t t

toate funcţii de timp şi de coordonatele particulei fluide la momentul iniţial al mişcării.

Ecuaţiile traiectoriei sunt:

w

dz

v

dy

u

dx .

2.3.1.1.2 Metoda lui Euler

Metoda lui Euler constă nu în urmărirea individuală a fiecărei particule, ci în studierea mişcării diferitelor particule de fluid care trec, în momente succesive de timp, prin fiecare punct al domeniului ocupat de fluid. În aceste condiţii, toate mărimile care caracterizează mişcarea sunt funcţii de timp şi de cele trei coordonate ale punctelor în spaţiu x, y, z. Variabilele independente x ,y, z şi t se numesc variabilele lui Euler. Fie P(x,y,z) un punct din interiorul unui fluid. Atunci:

a) poziţia punctului se defineşte, ca şi mecanica teoretică, prin vectorul de poziţie

r x i y j z k

b) viteza se defineşte ca fiind viteza cu care trec succesiv, prin punctul P din spaţiu, particulele fluide, fiind funcţie de punct şi de timp:

, , ,v v x y z t

Curbele definite prin

w

dz

v

dy

u

dx

se numesc linii de curent. În cazul particular al mişcării staţionare sau permanente, când mişcarea nu

depinde explicit de timp, este avantajos să se folosească sistemul lui Euler

dv v

a v vdt t

Operatorul de mai sus se mai notează şi cu Dt

D şi se numeşte derivata totală sau derivata

substanţială, iar V

t

derivata locală a vectorului V .

2.3.1.2 Noţiuni specifice cinematicii fluidelor

Curentul de fluid este o masă de fluid în mişcare.

Linia de curent este curba tangentă la vectorii viteză ai particulelor care, la un moment dat, se găsesc

în punctele de pe această curbă . Este posibil ca liniile de curent să fie invariabile şi să se confunde cu

traiectoriile, fără ca mişcarea să fie permanentă, cu condiţia ca viteza într-un punct să aibă o direcţie

fixă în spaţiu, dar intensitatea ei să fie variabilă în timp. O astfel de mişcare se numeşte mişcare semi-

permanentă.

Traiectoria unei particule de fluid este locul geometric al poziţiilor succesive ocupate de particula de

fluid în mişcarea sa. Deci, traiectoria este drumul pe care-l parcurge o particulă fluidă dată, în spaţiu,

într-un anumit interval de timp. Traiectoriile particulelor pot fi vizualizate, introducând în fluidul în

mişcare un jet foarte fin dintr-un lichid colorat sau un jet de particule vizibile foarte fine.

Ecuaţia diferenţială vectorială a traiectoriei unei particule fluide,

dt

tzyxw

dz

tzyxv

dy

tzyxu

dx

,,,,,,,,,

ecuaţiile parametrice ale traiectoriei descrise de particula fluidă.

Suprafaţa de curent este suprafaţa formată din liniile de curent care se sprijină pe o curbă

deschisă oarecare , care nu este linie de curent.

Tubul de curent este o suprafaţă formată din linii de curent, care, la un moment dat, trec prin toate

punctele unei curbe simplu închise care nu este linie de curent. Se mai foloseşte şi termenul de vână

de fluid.

Suprafaţa normală tuturor liniilor de curent care o traversează şi este limitată de tubul de curent se

numeşte secţiune normală, secţiune dreaptă, secţiune fluidă sau secţiune vie. Lungimea conturului

secţiunii transversale se numeşte perimetrul udat. Considerând un curent de fluid, mărginit de pereţi

solizi, raportul dintre aria A a secţiunii curentului şi lungimea P a perimetrului udat se numeşte rază

hidraulică:

AR

P

Debitul unui curent de fluid printr-o suprafaţă S este fluxul vectorului v prin această

suprafaţă. Debitul se notează, în general, cu Q şi este:

0limt

S

VQ v n d

t

unde V este volumul care străbate suprafaţa S într-un interval de timp t .

Vârtejul unei particule de fluid este vectorul definit prin:

1 1

2 2rot v v

Circulaţia vitezei de-a lungul unei curbe oarecare AB, definită prin expresia dată de:

AB

AB AB

v dr u dx vdy wdz

Linia de vârtej este curba tangentă la vectorii vârtej ai particulelor fluide, care, la un moment dat, se

găsesc în punctele de pe această curbă.

tzyx

dz

tzyx

dy

tzyx

dx

zyx ,,,,,,,,,

Aici dx, dy, dz sunt cele trei componente ale vectorului elementar al liniei de vârtej.

Intensitatea tubului de vârtej, definită ca fiind dublul fluxului vectorilor vârtej printr-o secţiune

oarecare S a tubului:

2S S

I n d rot v n d

I

2.3.2 Clasificarea mişcărilor fluide.

Analiza mişcării unei particule fluide2.3.2.1

Clasificarea mişcării fluidelor

2.3.2.1.1 Clasificarea după diferite criterii

1) după criteriul desfăşurării în spaţiu apar: - mişcări spaţiale (tridimensionale), mişcări pentru care există deplasări ale particulelor fluide

cu proiecţii nenule pe trei direcţii necoplanare; - mişcări plane (bidimensionale), mişcări pentru care există deplasări ale particulelor fluide cu

proiecţii nenule pe două direcţii necoliniare; - mişcări liniare, pe direcţia unei singure axe. 2) După criteriul variaţiei în timp a parametrilor mişcării, se disting:

- mişcări permanente (staţionare), caz în care mărimea şi direcţia vitezei, mărimea presiunii, eventual densitatea fluidului, sunt constante în timp. - Mişcări nepermanente (nestaţionare) sunt acele mişcări pentru care parametrii mişcării sunt funcţii de timp (mişcarea unui fluid într-o conductă de aspiraţie a unei pompe al cărei piston are o mişcare alternativă rectilinie, mişcarea apelor oceanice sub influenţa vântului în regiunile de coastă, golirea unui rezervor printr-un orificiu sub sarcină variabilă). Mişcările periodice sunt mişcări nepermanente. Când vectorii viteză au direcţii fixe în orice punct al spaţiului, dar mărimea lor variază în timp mişcarea se numeşte semipermanentă (mişcarea de oscilaţie a apei într-un tub U).

3) După natura conturului tubului de curent, s-au definit: - curenţi cu suprafaţă liberă;

- curenţi sub presiune, când întregul contur al secţiunii transversale este mărginit de pereţi solizi; - jeturi sau vine de fluid, când fluidul, pe conturul secţiunii transversale, este în contact cu un alt fluid.

4) După criteriul tipului câmpului de viteze, mişcările sunt: - mişcări potenţiale (cu potenţial de viteză), dacă există o funcţie - funcţie de coordonate ale

spaţiului, numită funcţie de potenţial, astfel încât v grad : Exemple de astfel de mişcări sunt:

mişcarea de translaţie uniformă, sursa punctiformă (izvor sau puţ), vârtejul punctiform etc.

Mişcările potenţiale sunt mişcări cu 0rot v şi, din acest motiv, se numesc şi mişcări

irotaţionale. Dacă 0rot v mişcarea se numeşte rotaţională sau turbionară.

5) După criteriul structurii fizice a curgerii unui fluid real, există:

- mişcări laminare, când diferitele straturi din fluid se mişcă paralel unele faţă de altele, fără ca

particulele din straturi să se amestece. Straturile alunecă unele peste altele, ceea ce se întâmplă

pentru viteze relativ mici, fără ca particulele fluide ale diferitelor straturi să se amestece;

- mişcările turbulente sunt mişcări în care viteza poate varia imprevizibil ca mărime şi direcţie,

mişcarea având un aspect neuniform, particulele diferitelor straturi se amestecă între ele şi se

deplasează după traiectorii variabile în timp. Apare o difuziune turbulentă, rapidă, datorită faptului

că apar deplasări transversale şi mişcări rotaţionale ale unor volume de fluid. Apar variaţii ale

vitezelor şi presiunilor.

6) După criteriul poziţiei relative fluid-corp solid, se deosebesc curgeri externe (de exemplu curgerea

unor fluide în jurul unor corpuri solide) şi curgeri interne (curgeri în conducte, în canale).

7) După criteriul modalităţii de desfăşurare a mişcării, se disting:

- curgeri uniforme, pentru care viteza, aria şi forma secţiunii nu variază în timp (mişcarea sub

presiune a unui luchid într-o conductă de secţiune constantă) şi

- curgeri neuniforme, caracterizate prin faptul că viteza, ariile secţiunilor normale în lungul

curentului variază în timp (curgerea apei unui râu, curgerea printr-un robinet deschis parţial).

2.3.2.1.2 Clasificarea cinematică a mişcării fluidelor

Din punct de vedere cinematic şi geometric, s-au definit următoarele tipuri de mişcări:

- mişcarea de translaţie rectilinie şi uniformă, care este cea mai simplă formă de mişcare a fluidelor. În această mişcare toate particulele fluide se mişcă cu viteză constantă:

, .v r t const

- mişcarea plană sau plan-paralelă este mişcarea în care toate particulele fluide, care se găsesc pe orice perpendiculară pe un plan fix, numit plan director, au viteze egale şi dirijate paralel cu planul director. Mişcarea se face identic în plane paralele cu planul director şi, de aceea, se studiază într-un singur plan, de unde şi denumirea de mişcare plană. - Un exemplu de o astfel de mişcare este mişcarea unui fluid în jurul unui corp cilindric infinit de lung, atacat de fluid perpendicular pe generatoarele sale.

- mişcarea unidimensională rectilinie este mişcarea în care toţi parametrii: viteză, acceleraţie, presiune, se repartizează uniform în plane perpendiculare pe Ox, viteza fiind, peste tot şi la orice moment de timp, paralelă cu axa Ox. În aceste condiţii, parametrii mişcării depind doar de x. Ca exemplu, se poate considera mişcarea fluidului incompresibil din tuburi şi conducte cu axă rectilinie. - mişcarea axial simetrică (mişcare cu simetrie axială) este mişcarea care se face identic în plane care trec prin aceeaşi axă, de exemplu Ox. Mişcarea se studiază într-un singur plan, Oxy, cu Oy perpendiculară pe axa de simetrie Ox. Dacă se lucrează în coordonate cilindrice, mişcarea nu depinde de cota z, putând fi considerată, de asemenea, o mişcare în două dimensiuni. Un exemplu îl constituie mişcarea în jurul unei sfere, în general, mişcarea fluidelor în jurul corpurilor de revoluţie.

Dacă se face referire la mişcarea provocată de un corp care se deplasează într-un fluid, se obţine,

în general, o mişcare nepermanentă. Faţă de un sistem de coordonate mobil, legat de corpul care

provoacă mişcarea, mişcarea fluidului este permanentă. Este însă dificil să se studieze mişcarea

fluidului în raport cu un sistem de coordonate mobil. De aceea, în mecanica fluidelor, se utilizează

metoda similitudinii dinamice. Aceasta constă în a considera mişcarea fluidului în jurul corpului, ca şi

cum corpul ar sta pe loc şi fluidul s-ar deplasa în sens contrar vitezei de deplasare a corpului. Corpul

şi sistemul de coordonate rămân, astfel, imobile. Mişcarea astfel obţinută se numeşte mişcare

inversă sau relativă. Din punct de vedere cinematic, mişcarea iniţială, numită mişcare absolută, şi

mişcarea inversă sunt diferite.

2.3.2.2 Analiza mişcării unei particule fluide

Se consideră două particule fluide, notate cu P şi P , cu distanţa dintre ele dată de vectorul r . Se

notează cu ,v v vitezele celor două particule de fluid. Dezvoltând viteza din punctul P1 în serie

Taylor, se obţine:

...v v v

v v x y zx y z

.

Relaţia de mai sus poate fi scrisă sub forma:

u u u

u u x y zx y z

v v v

v v x y zx y z

w w w

w w x y zx y z

Adunând şi scăzând 1

2

v wy z

x x

şi regrupând termenii, se obţine:

1 1

2 2

1 1

2 2

u u v u wu u x y z

x y x z x

u w v uz y

z x x y

,

Analog se procedează pentru celelalte componente. Se introduc următoarele notaţii:

11 23 32

1,

2x yz

u w va a a a

x y z

22 31 13

1,

2y zx

v u wa a a a

y z x

33 12 21

1,

2z xy

w v ua a a a

z x y

şi

1

;2

x

w v

y z

1;

2y

u w

z x

1

2z

v u

x y

Pentru exemplificare, se examinează mişcarea plană a unui fluid.

Descompunerea vitezei unei particule fluide.

Pentru aceasta, se consideră o particulă fluidă a cărei secţiune transversală este un pătrat de

latură a. Mărimile notate cu , ,x y z reprezintă viteza cu care are loc alungirea particulei fluide pe

direcţiile axelor de coordonate, motiv pentru care se numesc viteze relative de alungire. Termenii

notaţi cu , ,x y z măsoară viteza de deformare a unghiurilor, deci viteza unghiulară de rotaţie a

întregii particule. În sfârşit, termenii notaţi cu , ,yz zy x xz zx y xy xy za a a a a a sunt

componentele simetrice ale tensorului de deformare:

x xy xz

yx y yz

zx zy z

a a

D a a

a a

Cele trei componente notate cu zyx ,, , acestea reprezintă componentele vectorului , egal cu

jumătate din rotorul vitezei:

1 1

2 2rot v v

Tensorului viteză de deformare i se asociază o formă pătratică:

2 2 212 2 2

2x y z z y xx y z x y x z y z

y zu u z y

x

z xv v x z

y

x yw w y x

z

Atunci, viteza v din punctul P1, are expresia:

v v r grad

cu precizarea că gradientul funcţiei se calculează în raport cu , ,x y z . Relaţia (6.31)

reprezintă formularea matematică a teoremei de mai jos.

Teorema Cauchy-Helmholtz

Viteza unui punct oarecare, aparţinând unei particule de fluid, se compune din viteza polului P, viteza

de rotaţie în jurul unei axe instantanee, care trece prin pol şi viteza mişcării de deformare, dată de

grad .

2.4.1 Ecuatiile mişcării laminare a

fluidelor 2.4.1.1 Lema fundamentală

Dinamica fluidelor este diviziunea mecanicii fluidelor care studiază mişcarea fluidelor şi interacţiunea

acestora cu corpurile solide cu care vin în contact, ţinând seama de forţele care determină sau

modifică starea de mişcare şi de transformările energetice care se produc.

Dinamica fluidelor are la bază principiile mecanicii şi termodinamicii, care permit obţinerea

ecuaţiilor de mişcare, atât pentru fluidul nevâscos, cât şi pentru cel vâscos.

Lemă

Dacă o funcţie scalară sau vectorială f r , definită şi continuă într-un domeniu D, verifică condiţia

1

10,D

f r dx D D

atunci

0f r

în D.

Mediu continuu deformabil

Un sistem material care, la un moment dat, umple o regiune D a spaţiului euclidian se

numeşte sistem (mediu) continuu. Deci, mediul continuu este o varietate tridimensională.

Mediul continuu se numeşte deformabil dacă distanţa dintre particulele sale se schimbă la

solicitări exterioare, în timpul mişcării.

În mecanica mediilor continue, spaţiul şi timpul sunt aceleaşi ca şi în mecanica newtoniană.

Spaţiul se consideră ca fiind spaţiul euclidian 3E . Timpul se consideră ca aparţinând unui interval

mărginit 10 ,ttI . Se va considera un sistem ortogonal de axe de coordonate Oxyz, de versori

, ,i j k .

2.4.1.2 Forţe care acţionează asupra particulelor fluide Se consideră un fluid în mişcare, fluid care, la un moment dat t, ocupă volumul V, limitat de

suprafaţa S. Asupra acestui volum material acţionează mai multe categorii de forţe:

1) Forţe masice exterioare, datorate prezenţei unor câmpuri de forţe exterioare,

cum ar fi câmpul gravitaţional, magnetic, electric etc., care acţionează asupra

fiecărei particule fluide din V, cu forţe proporţionale cu masa dm a particulei.

Forţa masică unitară (care acţionează asupra unităţii de masă), depinde de vectorul de poziţie al

particulei fluide, de viteza acesteia şi de timp:

, ,m mf f r v t

Asupra întregii mase de fluid va acţiona forţa

m m m

V V

F f dm f d

Dacă mf nu depinde de timp, câmpul de forţe se numeşte câmp de forţe staţionar, dacă nu depinde

nici de r se numeşte câmp de forţe omogen.

2) Forţele masice interioare sunt forţele datorate atracţiei newtoniene dintre particulele de fluid din

interiorul volumului considerat. Conform legii acţiunii şi reacţiunii, aceste forţe se anulează două câte

două, ceea ce va face ca forţele masice interioare să formeze un sistem echivalent cu zero.

Figura 1

Forţe masice şi forţe de suprafaţă.

3) Forţele de suprafaţă exterioare provin din contactul fluidului cu alte corpuri. Ele reprezintă

acţiunea particulelor materiale exterioare asupra particulelor fluide din suprafaţa S de contact.

Conform principiului lui Cauchy, apar forţe de contact proporţionale cu suprafaţa pe care se exercită.

Dacă se notează cu nt forţa unitară de suprafaţă (care se exercită pe unitatea de suprafaţă d ),

numită şi tensiune de suprafaţă sau tensiune superficială şi cu n versorul la suprafaţa d , dirijat

către exterior, rezultanta forţelor datorate acestor tensiuni este dată de formula:

p n

S

F t d

4) Forţele de suprafaţă interioare sunt forţele care rezultă din acţiunea de suprafaţă a particulelor de

fluid vecine cu particula dată la un moment oarecare de timp t. Particulele sunt în contact în lungul

unui element de suprafaţă. Experienţele au condus la concluzia că există un câmp de forţe, definit pe

suprafaţa de contact, câmp care are o densitate superficială de forţe, notată cu nt , care depinde, la

un moment de timp t, de vectorul de poziţie al particulei fluide, de vectorul normalei, dar nu depinde

de suprafaţa însăşi. Vectorul densitate superficială reprezintă tensiunea în punctul M, de vector de

poziţie r , pentru direcţia dată de vectorul n , la momentul t. Existenţa acestei distribuţii de forţe

este descrisă de principiul lui Cauchy, tratat în paragraful precedent. Proiecţia pe normală a tensiunii

se numeşte tensiune normală. Tensiunea tangenţială este diferenţa dintre tensiune şi tensiunea

normală şi se numeşte tensiune de alunecare sau tensiune de forfecare.

5) Forţele de inerţie sunt introduse pe baza principiului lui Newton şi au expresia:

i

V

dvF d

dt

2.4.1.3 Tensorul tensiune al lui Cauchy. Presiunea hidrodinamică.

Vectorul nt , introdus în paragrafele precedente, care a fost numit vector tensiune, nu poate

caracteriza starea de tensiune în punctul cu vectorul de poziţie r , pentru că depinde de normala de

versor n . Dacă nt şi n sunt de aceeaşi parte a frontierei, tensiunea se numeşte tracţiune, altfel se

numeşte compresiune. În cazul fluidelor, avem de-a face numai cu compresiune, deoarece eforturile

de tracţiune, datorită proprietăţii de fluiditate, nu există.

Pentru a caracteriza starea de tensiune într-un punct oarecare, se consideră un sistem

ortonormat de axe de coordonate Oxyz şi 1 2 3M x x x - sistemul obţinut ducând prin M paralele la

axele sistemului dat Oxyz. Se va considera, de asemenea, un element de volum de formă tetraedrică

MABC, cu muchiile de-a lungul celor trei axe de coordonate (figura 2). Se notează cu it tensiunea

totală unitară care acţionează pe faţa normală la axa M ix .

Componentele lui it pe cele trei axe sunt ijt , j =1, 2, 3. Apar, astfel, nouă componente ijt , i =

1 ,2, 3; j = 1, 2, 3, care caracterizează tensiunea pe feţele perpendiculare ale tetraedrului.

Componentele având indici diferiţi sunt componente de forfecare sau componente tangenţiale,

componentele cu cei doi indici egali sunt componentele normale. Cele nouă mărimi definesc un

tensor numit tensorul tensiunilor al lui Cauchy. Din faptul că momentul rezultant al tensiunilor este

nul, se demonstreză că tensorul este simetric şi are, deci, doar şase elemente independente.

Figura 2

Tensiunile lui Cauchy care acţionează asupra unui element de volum sub formă tetraedrică.

Se va nota cu T matricea asociată tensorului lui Cauchy:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

t t t

T t t t

t t t

Aplicând principiul cantităţii de mişcare tetraedrului presupus infinitezimal, asupra căruia acţionează

forţele masice exterioare mf , a căror rezultantă se consideră că acţionează în centrul de masă al

particulei şi tensiunile de suprafaţă, a căror rezultantă acţionează în centrul de masă al feţelor

corespunzătoare, se obţine:

1 1 2 2 3 3m na dm f dm t d t d t d t d

unde id sunt perpendiculare pe Mxi.,

i id n d

ni fiind cosinuşii directori ai normalei.

În general, suma tensiunilor normale este un invariant cu ajutorul căruia se defineşte

presiunea hidrodinamică (presiunea mecanică) în punctul M:

11 22 33

1

3p t t t

Considerând tensiunile care acţionează pe feţele unui paralelipiped dreptunghic şi folosind

teorema momentelor în raport cu originea O a axelor de coordonate, se obţine:

ij jit t

ceea ce corespunde proprietăţii de dualitate a tensiunilor tangenţiale şi arată că matricea tensiunilor

este simetrică.

In cazul staticii, componentele pe cele trei axe de coordonate sunt egale si se găseşte:

11 22 33 nt t t t p

unde scalarul p se numeşte presiune hidrostatică sau, pe scurt, presiune. Pentru fluidul ideal,

tensiunile nu depind de orientarea suprafeţei pe care acţionează.

Teorema tensiunilor normale

Dacă în fluid tensiunile tangenţiale sunt absente, atunci tensiunea normală într-un punct nu depinde

de orientarea suprafeţei.

2.4.1.4 Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor Se consideră, în interiorul unui fluid un domeniu de volum V, limitat de o suprafaţă S (volum

material) şi se presupune că acest volum este format dintr-un număr infinit de elemente de volume

şi mase m . Fie M un punct al volumului, eventual centrul său de masă, în jurul căruia este

distribuită masa volumului material. Volumul se va deplasa, ca şi celelalte elemente din volumul

V, în interiorul fluidului. Se vor determina ecuaţiile de mişcare ale acestei mişcări interioare. Asupra

elementului de volum vor acţiona forţe de masă interioare şi exterioare, cu rezultanta aplicată în M,

mf dm şi reacţiunile datorate particulelor vecine, de rezultantă de mărime dp , unde d este

elementul de suprafaţă care înconjoară volumul .

m na m f dm t

unde a este acceleraţia elementului de masă. Se integrează pentru toate elementului V . Se obtine:

3

1

1 km

k k

ta f

x

corespunzătoare la trei ecuaţii scalare, numite ecuaţiile de mişcare ale lui Cauchy.

Dacă forţa masică unitară are componentele , ,x y zf f f , atunci:

1

1

1

yxx zxx

xy y zy

y

yzxz zz

duf

dt x y z

dvf

dt x y z

dwf

dt x y z

Pentru fluidul nevâscos,

ij ijp p , i, j = 1, 2, 3

şi, în aceste condiţii, ecuaţiile de mişcare ale lui Cauchy pentru fluidul nevâscos devin:

1

ma f gradp

ecuaţiile de mişcare ale fluidului nevâscos, ecuaţiile lui Euler şi sunt ecuaţii fundamentale în mecanica

fluidelor.

2.4.1.5 Ecuaţia de continuitate

Fiecare volum de fluid se caracterizează prin masa sa. Conform principiului conservării masei, masa

unui volum material de fluid, compus din aceleaşi particule fluide, rămâne constantă în timp.

Se consideră un volum V în spaţiu, volum de control, considerat în repaus la momentul t. În

absenţa surselor pozitive sau negative, variaţia, în unitatea de timp, a masei de fluid conţinute în

volumul V este egală cu fluxul de masă care trece în unitatea de timp prin suprafaţa închisă S, care

delimitează volumul V.

Dacă n este normala exterioară la suprafaţă, atunci cantitatea de fluid care traversează

acest element de suprafaţă în unitatea de timp, este egală cu v n d . Acest produs este pozitiv

dacă fluidul iese din volum şi negativ dacă intră în volum. În aceste condiţii, cantitatea totală de fluid

care iese în unitatea de timp din volumul V este egală cu S

v n d .

Pe de altă parte, diminuarea cantităţii de fluid din volumul V se poate scrie sub forma:

V

dt

Se egalează cele două cantităţi si se obtine:

0div vt

ecuaţie fundamentală în mecanica fluidelor, numită ecuaţia de continuitate a fluidelor.

Pentru fluidul incompresibil, primul termen din ecuaţie dispare şi se obţine ecuaţia de continuitate pentru fluidul incompresibil: 0divv

2.4.1.6 Ecuaţiile mişcării laminare a fluidelor

Ecuaţiile lui Cauchy

zyxf

dt

dw

zyxf

dt

dv

zyxf

dt

du

zyzxz

z

zyyxy

y

zxyxx

x

1

1

1

1) Pentru un fluid real (vâscos) compresibil în mişcare laminară, se obţine ecuaţia vectorială:

3m

dvf grad p v grad

dt

unde s-a folosit notaţia: divv .

2) Pentru fluidul vâscos incompresibil, ecuaţia de continuitate se scrie sub forma:

0divv ,

iar coeficientul de vâscozitate se consideră constant.

m

dvf grad p v

dt

ecuaţie cunoscută sub numele de ecuaţia Navier-Stokes.

3)Pentru fluidul ideal compresibil, cu = 0 şi - variabil, ecuaţia vectorială de mişcare este:

m

dvf grad p

dt

cunoscută sub numele de ecuaţia lui Euler.

4) pentru fluidul ideal incompresibil cu =0 şi 0 - constant, ecuaţia vectorială de mişcare

are forma:

0 0 m

dvf grad p

dt

2.4.1.7 Condiţii iniţiale şi condiţii la limită Variabilele independente sunt x ,y, z, t;

- necunoscutele u, v, w - cele trei componente ale vitezei şi presiunea hidrodinamică p;

- componentele forţei unitare masice se consideră cunoscute; - densitatea fluidului este dată, fie de ecuaţia de stare a fluidului compresibil, fie

prin valoarea ei constantă, în cazul fluidului incompresibil; - in cazul fluidului vâscos, coeficientul de vâscozitate este considerat cunoscut.

Integrarea sistemului impune cunoaşterea condiţiilor iniţiale şi a condiţiilor la limită.

Condiţiile iniţiale sunt condiţiile care se impun câmpului vitezelor şi presiunilor, la momentul

iniţial t0 al mişcării:

0 0

0 0

0 0

0 0

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

u x y z t u

v x y z t v

w x y z t w

p x y z t p

unde funcţiile 0000 ,,, pwvu sunt funcţii de variabilele spaţiale x, y, z.

Condiţii la limită

- cinematice, care se referă la câmpul vitezelor ; - dinamice, cele care se referă la câmpul de presiune.

- 2.4.2 Ecuatiile de mişcare sub

formă finită. Ecuaţia lui Bernoulli 2.4.2.1 Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor vâscoase sub forma lui

Helmholtz

Dacă se foloseşte formula

2

22

dv v Vgrad v

dt t

.

ecuaţiile de mişcare pentru mişcarea laminară a fluidelor newtoniene se scriu sub forma:

2

22

v Vgrad v

t

3

mf grad p v grad

care se numeşte forma Helmholtz a ecuaţiilor de mişcare.

- termenul v

t

reprezintă forţa unitară locală de inerţie;

- termenul

2

2

Vgrad – forţa unitară de inerţie datorată variaţiei energiei cinetice;

- termenul 2 v - forţa unitară de inerţie datorată variaţiei vârtejului;

- termenul f - forţa unitară masică;

- termenul grad p - forţa unitară de presiune;

- termenul v - forţa unitară de vâscozitate;

- termenul 3

grad

- forţa unitară de compresibilitate.

Din ecuaţia lui Euler, ecuaţia vectorială a mişcării fluidului ideal, se obţine ecuaţia vectorială a

mişcării sub forma lui Helmholtz :

2 12

2m

v Vgrad v f gradp

t

2.4.2.2 Ecuaţiile de mişcare sub formă finită

Este posibil ca forţele masice, sub acţiunea cărora se găseşte fluidul, să derive dintr-un potenţial,

adică să existe U astfel încât:

mf gradU

Se face, în plus, ipoteza că ecuaţia de stare are forma:

0),( pf

2

22 3

v V dpgrad U v v grad divv

t

forma lui Lamb-Gromeka a ecuaţiilor de mişcare.

Se notează

2

2

1V

dpUB

funcţie care se numeşte funcţia lui Bernoulli.

23

vv grad B v grad divv

t

2.4.2.3 Relaţia lui Bernoulli pentru fluidul ideal

Pentru fluidul ideal, termenii care conţin coeficientul de vâscozitate din ecuaţie dispar şi ei şi

se obţine:

2

2 02

v V dpgrad U v

t

1) Cazul mişcării irotaţionale

0rot v , există un potenţial ,r t astfel încât v grad

21

2

dpV U C t

t

integrala lui Bernoulli pentru mişcarea irotaţională, cunoscută şi sub numele de integrala lui

Lagrange.

2) Cazul mişcării irotaţionale permanente

21

2

dpV U C

se numeşte integrala Bernoulli-Euler.

3) Cazul mişcării permanente, pe o linie de curent

CUdp

V

2

2

1

valabilă de-a lungul unei linii de curent, se numeşte integrala lui Bernoulli.

2.4.2.4 Relaţia lui Bernoulli pentru lichide

21

2V z p C t

t

pentru mişcarea nepermanentă şi

21

2V z p C

pentru mişcarea permanentă. În cazul unei linii de curent, într-un fluid aflat în mişcare permanentă,

se obţine:

21

2V z p C

numită ecuaţia lui Bernoulli, ecuaţie în care C nu este constantă decât de-a lungul liniei de curent

date. Ecuaţiile se numesc şi ecuaţii ale presiunii.

Sub forma:

2

2

V pz h

g

ecuaţia este utilizată, în mod deosebit, în hidraulică.

Dimensiunea fiecărui termen din relaţia lui Bernoulli are dimensiunea unei presiuni.

Impartind prin , toţi termenii au dimensiunea unei lungimi.

Primul termen a fost numit înălţime cinetică, cel de-al doilea, ca şi la statica fluidelor, este înălţimea

piezometrică, iar cel de-al treilea este înălţimea geometrică (de poziţie). Valoarea constantă H, a fost

numită sarcină totală sau hidraulică.

Înmulţind cu produsul mg, greutatea unei particule fluide care se deplasează de-a lungul unei

linii de curent, toţi termenii astfel obţinuţi vor avea dimensiunile unei energii pe unitatea de masă:

HmgzpmmV

2

2

Valoarea sumei acestor trei forme de energie se numeşte energie mecanică (hidraulică).

Interpretarea energetică a relaţiei lui Bernoulli: în lungul unei linii de curent dintr-un fluid

nevâscos incompresibil, aflat în mişcare permanentă, energia mecanică totală, egală cu suma dintre

energia cinetică, energia potenţială de presiune şi energia potenţială de poziţie, rămâne constantă.

Legea conservării energiei mecanice pentru un fluid perfect: în timpul mişcării fluidului

perfect una dintre formele de energie se poate transforma într-o altă formă de energie dar, conform

relaţiei lui Bernoulli, această transformare trebuie să se efectueze în aşa fel încât energia mecanică

totală rămână constantă.

2.4.2.5 Relaţia lui Bernoulli pentru gaze

În cazul gazelor în mişcare în câmp gravitaţional, se admite ca ecuaţie de stare ecuaţia pentru

fluide barotrope,

p

gazul fiind considerat fluid compresibil uşor. În cazul mişcării permanente a unui gaz, de-a lungul unei

linii de curent, pentru U =const, se obţine:

21

2

dpV C

Se vor lua în studiu următoarele situaţii:

1) Cazul în care gazul este supus variaţiilor mici de presiune, caz în care acesta poate fi considerat ca

incompresibil şi relaţia lui Bernoulli este aceeaşi ca şi în cazul lichidelor:

21

2V p C

deci suma dintre presiunea dinamică şi presiunea statică este constantă în lungul unei linii de curent.

2) Dacă transformarea gazului este izotermă, deci pentru

pConst

rezultă

21ln

2

pV const

.

3) Dacă evoluţia gazului este adiabatică, atunci k

pConst

, de unde

21

2 1

k pV const

k

2.4.2.6 Aplicaţii ale relaţiei lui Bernoulli

Curgerea fluidelor prin orificii mici. Relaţia lui Toricelli

Relaţia lui Toricelli:

ghV 2

Tubul Venturi

Tubul Venturi se foloseşte pentru măsurarea debitului unui lichid. Ca instrument de măsurare a

debitului, el a fost numit debitmetru Venturi sau venturimetru. El constă dintr-un ajutaj care

realizează gradual o contracţie rapidă a conductei în care curge fluidul al cărui debit trebuie măsurat,

urmată de o expansiune lentă. Între secţiunea de intrare şi secţiunea de gâtuire se montează un tub.

Se notează aria secţiunii de intrare cu şi aria secţiunii în zona de gătuire cu 1 .

1

12

21

1

p pV

m

unde s-a notat 1m

.

2.4.3 Teoremele fumdamentale ale

dinamicii fluidelor 2.4.3.1 Principiul variaţiei impulsului (al cantităţii de mişcare)

Impulsul fluidului dintr-un domeniu D, sescrie sub forma de integrala de volum

D

H v d

Pentru orice fluid, aflat într-un domeniu oarecare D, derivata impulsului în raport cu timpul este

egală cu rezultanta forţelor care acţionează asupra domeniului de fluid, forţe masice şi forţe de

presiune.

2.4.3.2 Principiul variaţiei momentului cinetic

Momentul cinetic al fluidelui din domeniul D se scrie

O

D

K r v d

Pentru orice fluid, aflat într-un domeniu oarecare D, derivata momentului cinetic, calculat în raport

cu un punct O, este egală cu momentul rezultant al forţelor care acţionează asupra fluidului aflat în

domeniul D (forte masice si forte de presiune), moment calculat în raport cu acelaşi punct O.

2.4.3.3 Teorema impulsului

În mişcarea unui fluid ideal, rezultanta forţelor exterioare care acţionează asupra fluidului conţinut în

volumul de control corespunzător este egală cu variaţia locală a cantităţii de mişcare datorate

mişcării nestaţionare, la care se adaugă fluxul de impuls prin suprafaţa de control S.

e

D S

vF d v v n d

t

Teorema de mai sus este cunoscută sub numele de teorema impulsului sau teorema cantităţii

de mişcare (teorema lui Euler).

Pentru iS suprafata de intrare si eS suprafata de iesire

e i

e

S S

F v dQ v dQ

2.4.3.4 Teorema momentului cinetic (a momentului impulsului)

În mişcarea unui fluid ideal, suma dintre momentul cinetic care trece printr-o suprafaţă de control în

unitatea de timp şi variaţia în timp a momentului cinetic al fluidului delimitat de suprafaţa de control

este egală cu suma momentelor forţelor exterioare aplicate fluidului conţinut în volumul de control

corespunzător, toate momentele fiind calculate în raport cu acelaşi pol.

D S

r vd r v v n d

t

= n m

D D

r t d r f d

2.4.3.5 Ecuaţia de continuitate şi teoremele fundamentale în cazul

mişcării permanente a fluidelor în tuburi de curent

2.4.3.5.1 Ecuaţia de continuitate pentru mişcarea permanentă într-un tub

de curent

constV

formă sub care se foloseşte ecuaţia de continuitate, pentru fluidul incompresibil, mai ales pentru

mişcarea apei în conducte.

În cazul mişcării permanente într-un tub de curent, pentru fluidul compresibil, se obţine:

V const

2.4.3.5.2 Teorema impulsului pentru un tub de curent

Pentru miscarea permanenta a unui lichid, intr-un tub de curent, se scrie

2 1 m pQ v v F F

Forţa masică este, în general, forţa de greutate a fluidului, iar forţele de presiune sunt cele

care se exercită pe suprafeţele de intrare şi de ieşire şi pe suprafaţa laterală a tubului de curent, deci

teorema se mai scrie

2 1 1 2p p l gQ v v F F F F

În mişcarea permanentă a unui fluid incompresibil într-un tub de curent diferenţa dintre debitul

impulsului care iese din domeniul D prin suprafaţa de ieşire 2S şi debitul impulsului care intră în

domeniu prin suprafaţa de intrare 1S , este egală cu suma forţelor care se exercită asupra fluidului

conţinut în domeniul fluid considerat.

2.4.3.5.3 Teorema momentului impulsului pentru un tub de curent

În mişcarea permanentă a unui fluid incompresibil într-un tub de curent, diferenţa dintre debitul

momentului cinetic care iese din domeniul D prin suprafaţa de ieşire 2S şi debitul momentului

cinetic care intră în domeniu prin suprafaţa de intrare este egală cu suma momentelor forţelor

exterioare care se exercită asupra fluidului conţinut în domeniul fluid considerat.

2 2 1 1 1 1 2p p l l G gQ r v r v r F r F r F r F

2.4.3.6 Aplicatii ale teoremelor fundamentale

1. Să se determine mărimea şi direcţia forţei rezultante pe o duză ca în fig. pr. 10.12a. Se

consideră că jeturile de apă rezultante sunt aruncate în vid, cu viteza de 12 /m s . Axele

tuburilor şi duza se găsesc în plan orizontal.

1. Ecuaţia de continuitate conduce la egalitatea

1 2 3Q Q Q ,

unde 1Q este debitul din jetul iniţial, iar 2Q , 3Q debitele jeturilor după bifurcare. Relaţia de mai sus

permite scrierea egalităţii

22 2

31 21 2 3

4 4 4

dd dv v v

,

de unde rezultă

2 22 2

2 31 2 22

1

0,100 0,07512 8,33 /

0,150

d dv v m s

d

.

Se pot calcula cele trei debite, prin

2

231

1 1

0,1508,33 0,147 /

4 4

dQ v m s

,

2

232

2 2

0,10012 0,094 /

4 4

dQ v m s

,

2

233

3 3

0,07512 0,053 /

4 4

dQ v m s

.

a b

Figura 1

Ecuaţia lui Bernoulli, scrisă pentru secţiunile 1 şi 2, este

2 2

1 1 2

2 2

v p v

g g ,

unde s-a folosit faptul că jetul este orizontal, deci 1 2z z , şi este aruncat în vid.

Rezultă

3

2 2 2 2

1 2 1

1012 8,33 37,3

2 2p v v kPa

.

Din teorema de variaţie a impulsului

2 2 3 3 1 1 1x p xxQ v Q v Q v F F ,

sau

0 0

2 2 3 3 1 1 1 1cos15 cos30 xQ v Q v Q v p A F

,

relaţii în care ,x yF F reprezintă componentele forţei cu care acţionează duza asupra jetului.

De aici, se obţine

0 0

1 1 2 2 3 3 1 1cos15 cos30xF p A Q v Q v Q v

,

adică

2

0 00,150

37,3 0,094 12 cos15 0,053 12 cos30 0,147 8,33 0,2434

xF kN

.

Proiecţia relaţiei date de teorema de variaţie a impulsului pe axa Oy este

2 2 3 3 1 1y yyQ v Q v Q v F

,

sau

0 0

2 2 3 3sin15 sin30 yQ v Q v F .

Se obţine

0 00,094 12 sin15 0,053 12 sin30 0,026yF kN .

xF , yF reprezintă componentele forţei cu care duza acţionează asupra jetului. Forţa cu care jetul

acţionează asupra duzei are componentele egale în mărime absolută, dar se semn contrar celor cu

care duza acţionează asupra jetului, deci:

243 , 26x yR N R N

Mărimea forţei este

2 2 2 2243 26 244,39x yR R R N ,

forţa care trebuie să acţioneze sub un unghi dat de

0266,1

243

y

x

Ftg

F

.

2. Să se găsească mărimea şi direcţia forţei rezultante asupra cotului din fig. 2. Gazul (aer) intră

prin secţiunea A, unde aria este de 28 cm , cu viteza de 4 /m s şi iese prin secţiunea B, cu aria

de 26 cm , viteza de 5 /m s şi cu densitatea 3

2 1,02 /kg m

Se foloseşte teorema impulsului

2 2 1 1F Q v v

şi ecuaţia de continuitate pentru un fluid compresibil, într-un tub de curent,

1 1 1 2 2 2mQ A v A v ,

de unde se calculează densitatea în secţiunea A:

432 2 2

1 4

1 1

1,02 6 10 50,956 /

8 10 4

A vkg m

A v

.

Figura 2

Se proiectează relaţia vectorială dată de teorema variaţiei impulsului pe axele de coordonate. Pentru

axa Ox, se scrie:

0 0 2 2 22 2 1 1 2 2 1

1 1

cos30 cos30x x

v AF Q v v Q v v

v A

.

Numeric,

40 42 2 2

2 2 2 2 2 4

1

1,02 5 6 10cos30 1,02 5 6 10 1,02 5 0,866

8 10x

v AF v A v

A

418,10 10 N .

Componenta pe axa Oy este:

0 2 2 0 2 2 4 4

2 2 2 2 2sin30 sin30 1,02 5 8 10 0,5 104,04 10yF Q v v A N .

Mărimea forţei rezultante se calculează prin:

2 2 4 418,10 104,04 10 105,6 10F N ,

iar direcţia ei este dată de unghiul

40

4

104,04 1080,13

18,10 10

y

x

Farctg arctg

F

.

3. Un furtun, care are la capăt o duză, aruncă un jet de apă asupra unui perete vertical, ca în

fig. pr. 10.20. Debitul de apă este 30,034 /Q m s şi diametrul duzei este 50d mm . Să

se găsească forţa necesară pentru a menţine peretele pe loc.

Figura 3

Din teorema impulsului pentru un tub de curent, forţa cu care jetul acţionează asupra plăcii este

2 1F Q v v .

Cele două viteze sunt

1 22

1

4 4 0,04321,9 /

0,05

Q Qv m s

A d

, 2 0v .

Forţa necesară menţinerii peretelui este

2 1R F Q v v

şi are mărimea

1000 0,043 0 21,9 941,7R F N .

2.4.4 Dinamica fluidelor vascoase.

Solutii analitice ale ecuatiei Navier-

Stokes 2.4.4.1 Dinamica fluidelor vascoase

Din forma finita a aecuatiilor de miscare, in cazul fluidului vascos, se scrie

22 2

1 1 2 21 2

12 2

V p V pU U v dr

relaţia lui Bernoiulli pentru fluidul vâscos incompresibil în mişcare laminară permanentă.

În cazul particular al forţelor masice datorate doar câmpului gravitaţional,

22 2

1 1 2 21 2

12 2

V p V pg z g z v dr

termenul 2

1

v drg

reprezintă, la rândul lui, energia mecanică consumată de către particula fluidă

pentru învingerea forţelor de viscozitate.

d hI

d L

panta hidraulică.

2.4.4.2 Soluţii analitice ale ecuaţiei Navier-Stokes

2.4.4.2.1 Soluţia Hagen-Poiseuille pentru mişcarea laminară în conducte

circulare

Mişcarea laminara permanenta a unui fluid incompresibil vâscos printr-o conductă circulară

orizontală. O astfel de mişcare este axial-simetrică. Curgerea laminară a fluidelor vâscoase în tuburi

cilindrice, în mişcare lentă şi neglijând forţele de masă se numeşte curgere Poiseuille sau curgere

Hagen-Poiseuille.

Se calculeaza 1,2h , prin

2 2

1,2

1 1

h v dr u dx C Lg g g

Soluţia acestei ecuaţii este:

1p I x C .

care reprezintă, ca funcţie de x, o funcţie liniară, având grafic o dreaptă, de pantă I . Se justifică,

în acest mod, folosirea, pentru I, a termenului de pantă hidraulică.

Din caracterul axial-simetric al mişcării, cum derivatele parţiale în raport cu sunt nule,

rezultă că singura componentă nenulă a vitezei este funcţie numai de r:

u u r

2.4.4.2.2 Soluţia Hagen-Poiseuille pentru mişcarea laminară între doua

conducte circulare

In interiorul fluidului marginit de doua conducte de raze r respectiv R, prin

integrarea ecuatiei Navier-Stokes, se obtine

2

2 2

4

I Ru r r R

Distribuţia parabolică a vitezelor.

2.4.4.3 Introducere in studiul miscarii turbulente

2.4.4.3.1 Numarul lui Reynods Numarul lui Reynods s-a definit ca fiind raportul intre termenul care măsoară influenţa

turbulenţei şi termenul corespunzător, care măsoară influenţa viscozităţii:

2

22

Re

u Uu UULx L

Uu

Lx

unde U este viteza tipică a mişcării şi L este lungimea tipică descriind mişcarea.

2.4.4.3.2 Tensiunile lui Reynolds

În mişcarea turbulentă, presiunea şi componentele instantanee ale vitezei u, v, w au fluctuaţii

în jurul unor valori medii , , ,p u v w . Valorile acestor fluctuaţii (pulsaţii) se notează cu

wvup ,,, .

Au loc egalităţile:

wwwvvvuuuppp ;;;

unde valorile , , ,p u v w sunt calculate ca valori medii în funcţie de timp sau de spaţiu. De

exemplu, ca funcţie de timp, ele se definesc prin:

0

1T

u u u t dtT

iar ca funcţie de spaţiu:

0

1X

u u x dxX

0

x

uu

x

uu

x

uu etc.

2.4.4.3.3 Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în mişcarea turbulentă

Folosind tensiunile lui Reynolds, ecuaţiile de mişcare Navier-Stokes, pentru fluidul

real incompresibil, au forma:

1

1

x

xyxx xz

u u u u pu v w f

t x y z x

ux y z

1

1

y

yx yy yz

v v v v pu v w f

t x y z y

vx y z

1

1

z

zyzx zz

w w w w pu v w f

t x y z z

wx y z

ecuaţiile lui Reynolds pentru mişcarea turbulentă a fluidelor reale incompresibile.

Relaţia lui Bernoulli pentru mişcarea turbulentă

2 1

2 .2

zyzx zzx y

w V d pU v u w

t z x y z

care reprezintă forma Lamb-Gromeka a ecuaţiilor de mişcare în cazul mişcării turbulente. Mai

sus, s-au notat cu x , y , z valorile medii ale vectorului vârtej şi cu U potenţialul forţei

masice.

Pentru fluidul incompresibil, în prezenţa câmpului gravitaţional, pentru care

.U g z const

se obţine relaţia lui Bernoulli pentru fluide grele incompresibile în mişcare turbulentă: 2 2

1 1 2 21 2 12

2 2r

V p V pz z h

unde s-a notat :

12

12

1r v th l l

g

reprezentând pierderea de sarcină între punctele 1 şi 2.

2.5.1 Analiză dimensională şi teoria

similitudinii 2.5.1.1 Elemente de analiză dimensională

2.5.1.1.1 Principiul omogenităţii dimensionale

Funcţiile prin care se stabilesc relaţii între mărimile fizice care caracterizează fenomenele,

trebuie să fie funcţii omogene din punct de vedere dimensional.

2.5.1.1.2 Metoda lui Rayleigh

Conform metodei lui Rayleigh, mărimea fizică care caracterizează fenomenul studiat trebuie să fie

proporţională cu un produs de puteri ale mărimilor fizice care intervin.

2.5.1.1.3 Teorema (Buckingham)

Se consideră un fenomen fizic, a o mărime dimensională, care depinde de alte n mărimi fizice

independente între ele:

1 2 3 1, , ,..., , ,...,k k na f a a a a a a

Se presupune că primele k mărimi au dimensiuni independente şi se aleg ca fiind mărimi

fundamentale. Aceasta va însemna că celelalte n k mărimi se vor exprima în funcţie de primele k.

Se obţin produsele:

1 2

1 2 ... kmm m

k

a

a a a ,

1 2

11

1 2 ... k

k

pp p

k

a

a a a , ...,

1 2

1 2 ... k

nn k qq q

k

a

a a a

Produsele astfel introduse sunt adimensionale.

1 2 1 1 21,1,..., , ,..., , ,...,n k n kf f

Pentru că relaţia dintre cele 1n mărimi dimensionale 1 2 3, , ,..., na a a a , este independentă

de alegerea sistemului de unităţi de măsură, ea se poate scrie, în funcţie de 1n k mărimi

adimensionale. Rezultatul astfel obţinut se numeşte teorema .

2.5.1.2 Elemente de teoria similitudinii

2.5.1.2.1 Tipuri de similitudine

Teoria similitudinii studiază regulile după care se pot modela fenomenele reale în laborator, pe baza

aşa numitelor criterii de similitudine.

Similitudinea geometrică

- egalitatea unghiurilor şi proporţionalitatea dimensiunilor omoloage pentru model şi

prototip.

Similitudinea cinematică presupune asemănarea geometrică a liniilor de curent,

- proporţionalitatea vitezelor ca mărime şi paralelismul vectorilor viteză pentru punctele care se corespund.

- Liniile de curent trebuie să fie curbe omoloage şi particulele omoloage trec prin puncte omoloage la timpi omologi.

Similitudinea dinamică impune proporţionalitatea tuturor forţelor care acţionează asupra

unor particule omoloage, pentru model şi prototip, în puncte omoloage, precum şi realizarea

asemănării geometrice a liniilor de câmp.

- Doi curenţi de fluid sunt dinamic asemenea dacă masele omoloage de fluid sunt supuse unor

sisteme de forţe omoloage proporţionale, de acelaşi tip şi la fel orientate.

Raportul dintre valori se numeşte scara mărimii fizice sau raport de similitudine (coeficient de

trecere). Scările corespunzătoare mărimilor fundamentale se numesc scări fundamentale, cele ale

mărimilor derivate sunt scări derivate. Se notează cu lk raportul mărimilor geometrice caracteristice

pentru prototip şi model, cu vk raportul mărimilor vitezelor caracteristice şi cu pk raportul

presiunilor în puncte omoloage de referinţă. Ca scări fundamentale, se mai folosesc şi scara maselor

şi a timpilor omologi.

2.5.1.2.2 Criterii de similitudine

Criteriile de similitudine sunt mărimi adimensionale complexe, formate din mărimi fizice care

intervin în diferitele fenomene şi care au proprietatea că păstrează aceeaşi valoare numerică pe

model şi pe prototip, în fenomene asemenea.

1 1 1

, ,l v p

l v pk k k

l v p

Rapoartele adimensionale astfel apărute se notează după cum urmează:

2

pEu

V , numărul lui Euler

ReV L

, numărul lui Reynolds

2VFr

g L , numărul lui Froude

V TSh

L , numărul lui Strouhal

şi

VMa

c , numărul lui Mach

Similitudinea mecanică cere, pentru identitatea ecuaţiilor dinamice, egalitatea numerelor Eu, Re şi Fr

pe prototip şi pe model. Calcule simple arată că, din egalitatea ultimelor două numere, rezultă şi

egalitatea şi cu primul. De aici se ajunge la concluzia că similitudinea completă are loc în condiţiile

egalităţii numerelor Reynolds şi Froude. - similitudine hidraulică parţială.

1) Criteriul Froude constă în impunerea condiţiei ca numerele Froude, pentru prototip şi model să fie

egale. Acest criteriu serveşte la modelarea fenomenelor în care forţele de greutate şi cele de inerţie

au un rol predominant în raport cu cele de viscozitate. Astfel de fenomene sunt mişcările

permanente cu suprafaţă liberă în canale şi albii naturale, plutirea navelor, curgerea apei peste

deversoare etc.

2) Criteriul Reynolds constă în egalitatea numerelor Reynolds pe prototip şi pe model. Se

aplică în cazul în care preponderente sunt forţele de inerţie şi cele de viscozitate. Fenomenele cărora

li se aplică acest criteriu sunt: mişcarea în conducte, studiul pe model al maşinilor şi dispozitivelor

hidraulice, curgerea în stratul limită, fenomene de lubrificaţie, aerodinamică etc.

3) Criteriul Euler, egalitatea numerelor Euler, se utilizează la studiul fenomenelor de curgere,

pentru care sunt preponderente forţele de inerţie şi cele de presiune. Se aplică la studiul

fenomenelor de cavitaţie, curgerea nepermanentă în conducte sub presiune etc.

4) Criteriul Mach, dat de egalitatea numerelor Mach, se foloseşte pentru cazul în care este

mai mare influenţa forţelor de inerţie şi de presiune. Cum, pentru un fluid compresibil, variaţia

densităţii depinde de variaţia presiunii, fenomenele studiate cu ajutorul criteriului Mach sunt cele în

care compresibilitatea fluidului are un rol foarte important: în aerodinamică, în sonicitate etc.

5) Criteriul Strouhal impune egalitatea numerelor Strouchal,

1 1

1

V TV T

L L

unde T şi 1T sunt intervale de timp caracteristice ale desfăşurării unor faze similare unei perechi de

procese nestaţionare similare, de pe prototip şi model. Se aplică fenomenelor periodice şi variabile în

timp – mişcarea elicei, oscilaţiile fluidului, desprinderea vârtejurilor etc.

2.6.1 Mişcări potenţiale plane ale

fluidelor incompresibile 2.6.1.1 Mişcarea potenţială a fluidelor incompresibile

2.6.1.1.1 Generalităţi Se consideră cazul fluidului ideal incompresibil, aflat în mişcare potenţială. În această situaţie, viteza v se exprimă prin intermediul potenţialului de viteze , cu ajutorul

relaţiei:

0v grad i j kx y z

Dacă se cunoaşte potenţialul de viteze, cu relaţia lui Lagrange, se poate calcula presiunea. Cum fluidul este incompresibil, ecuaţia de continuitate are forma:

0divv

Înlocuind cele trei componente ale vitezei, din relaţia (9.1), se obţine: 0divv div grad

unde este laplacianul, care, în sistemul cartezian de coordonate, se scrie:

2

2

2

2

2

2

zyx

Teorema Potenţialul de viteze satisface ecuaţia lui Laplace, deci este o funcţie armonică.

2.6.1.2.2 Proprietăţi ale mişcărilor potenţiale Pentru un potenţial al vitezei univoc, circulaţia vitezei de-a lungul oricărui contur închis este nulă. Circulaţia vitezei pe un arc de curbă delimitat de punctele A şi B, se calculează,

ABAB

deci nu depinde de arcul de curbă respectiv ci doar de valorile potenţialului în capetele conturului.

2.6.1.2 Mişcări potenţiale plane Se poate formula următoarea problemă fundamentală: se dă mişcarea corpului şi se cere să se determine mişcarea fluidului provocată de deplasarea corpului. Trebuie să fie determine forţele cu care fluidul acţionează asupra corpului (rezultanta generală a presiunilor elementare sau rezistenţa hidrodinamică).

Funcţia de curent Din ecuaţia de continuitate

0

y

v

x

u

rezultă că există o funcţie tyx ,, , care verifică condiţiile:

xv

yu

,

Funcţia astfel introdusă se numeşte funcţie de curent. De-a lungul liniilor de curent, funcţia de curent păstrează o valoare constantă. Teorema În mişcarea plană potenţială a fluidului incompresibil, funcţia de curent satisface ecuaţia lui Laplace.

Metoda funcţiilor de variabilă complexă

Potenţialul complex al mişcării potenţiale plane a fluidului incompresibil

Pentru introducerea funcţiilor de variabilă complexă, se foloseşte variabila:

iyxz

care face legătura dintre mulţimea punctelor din planul mişcării şi mulţimea numerelor complexe. De asemenea, se introduce funcţia de variabilă complexă:

tyxityxtzf ,,,,,

numită potenţialul complex al mişcării. Teorema Oricărei mişcări potenţiale plane a unui fluid incompresibil i se poate asocia o funcţie complexă analitică, potenţialul complex al mişcării. Invers, unei funcţii complexe analitice f(z) îi corespunde o mişcare plană potenţială a unui fluid incompresibil. Se numeşte viteză complexă:

ivuw . Modulul V al vitezei complexe este egal cu mărimea vectorului viteză:

2 2 dfV u v v

dz

2.6.1.3 Mişcări plane potenţiale studiate cu ajutorul funcţiilor de

variabilă complexă

2.6.1.3.1 Mişcarea de translaţie uniformă

Cea mai simplă formă de mişcarea de translaţie uniformă, cea pentru care v const.

0v V u

cos sinV x V y

La fel se determină şi funcţia de curent:

cos sinV y V x

Potenţialul complex al mişcării se calculează cu ajutorul expresiilor obţinute mai sus:

f ziV e z

2.6.1.3.2 Mişcarea produsă de o sursă punctiformă

În mecanica fluidelor, prin sursă se înţelege un punct al spaţiului sau al planului care emite

sau absoarbe fluid. Dacă sursa emite fluid ea se numeşte sursă pozitivă (izvor) şi are debitul pozitiv,

iar dacă absoarbe fluid este o sursă negativă (puţ) şi are debitul negativ.

ln2

Qr

2

Q

Potenţialul complex al sursei, sub forma:

zQ

zf ln2

Dacă sursa se găseşte într-un punct oarecare al planului complex 000 iyxz , atunci

potenţialul complex corespunzător va avea expresia:

0ln2

Qf z z z

2.6.1.3.3 Mişcarea produsă de un dipol (dublet)

Dipolul este o combinaţie a două surse: o sursă pozitivă (un izvor), de debit Q, şi o sursă

negativă (un puţ), de debit –Q, ambele surse fiind situate pe axa Ox, simetric în raport cu axa Oy,

distanţa dintre cele două surse fiind infinit mică, egală cu 2a.

, 0k

f z zz

2.6.1.3.4 Mişcarea produsă de un vârtej (mişcarea plană cu circulaţie)

De această dată se foloseşte metoda inversă, pornind de la potenţialul complex, dat de

expresia:

lnf z i C z

cu 0, .z C

Circulaţia vitezei, de-a lungul unui contur închis care înconjoară punctul singular, nu este

nulă. Aceste mişcări se numesc mişcări cu potenţial de viteze multiform.

2.6.2 Mişcarea în jurul unor obstacole 2.6.2.1 Mişcarea în jurul cilindrului circular fix, fără circulaţie

Un cilindru circular fix este atacat de un curent uniform, care are viteza la infinit:

V u iv

Secţiunea transversală în cilindru, prin planul în care se studiază mişcarea este un cerc cu raza R şi

centrul O, care se consideră originea sistemului de axe de coordonate. În planul complex, ecuaţia

cercului este iz Re .

Se consideră cazul mişcării plane, potenţiale, staţionare. Potenţialul complex al mişcării fluidului

presupus ideal, incompresibil, trebuie să satisfacă condiţiile:

- să fie funcţie analitică şi olomorfă în exteriorul cercului, cu excepţia punctului de la infinit;

- constzf Im pe conturul C (cercul trebuie să fie linie de curent);

- 0

limz

dfV

dz

, adică, la infinit, prezenţa cilindrului nu se face simţită..

Mişcarea în jurul unui cilindru circular

z

RzVzf

2

pe domeniul fluid care verifică condiţia z R , adică în exteriorul cilindrului.

Se prelucrează expresia potenţialului complex al mişcării dat de formula

sincossincosRe22

ir

RirVe

r

RVzf ii

Separând partea reală şi pe cea imaginară a funcţiei de mai sus, se obţin: potenţialul vitezelor

şi funcţia de curent corespunzătoare mişcării studiate:

sin,

cos,

2

2

r

RrVr

r

RrVr

Liniile de curent şi cele echipotenţiale, obţinute din condiţiile constconst , , se

trasează prin puncte. Pentru a studia repartiţia de viteze, se porneşte de la expresia potenţialului

vitezelor:

cos,2

r

RrVr

care permite calculul repartiţiei vitezelor pe cerc.

Componentele vitezei într-un punct oarecare al domeniului fluid se calculează din:

2

21 cosr

Rv V

r r

Componenta tangenţială a vitezei se calculează din:

2

2

11 sin

Rv V

r r

de unde, pe cercul r R ,

2

0, sin 2 sinr

V Rv v R V

R R

2.6.2.2 Mişcarea în jurul cilindrului circular fix cu circulaţie

Se consideră un cilindru circular de rază R, plasat într-un fluid vâscos. Se imprimă cilindrului o mişcare

de rotaţie uniformă în jurul axei sale. Datorită proprietăţilor de adeziune şi viscozitate ale fluidului,

mişcarea acestuia se transmite din aproape în aproape, cuprinzând straturile vecine cilindrului, până

se ajunge la un regim de echilibru. Pe măsură ce ne îndepărtăm de cilindru, viteza particulelor fluide

scade. Se poate asimila mişcarea fluidului vâscos cu mişcarea unui fluid ideal datorată unui vârtej

situat în originea axelor de coordonate, pentru z R , deci în exteriorul cilindrului.

2

ln2

R i zf z V z

z R

Folosind rezultatele obţinute în cazul cilindrului fără circulaţie, se obţine:

2

2

, cos2

, sin ln2

Rr V r

r

R rr V r

r R

pentru r R . Se poate observa că frontiera cilindrului, deci, în plan, cercul de rază R, cu centrul în

origine, este o linie de curent a mişcării, pentru , 0r .

Componentele vitezei sunt:

2

2

2

2

1 cos

11 sin

2

r

Rv V

r r

Rv V

r r r

2.6.2.3 Forţele hidrodinamice de presiune exercitate asupra unui

contur cilindric. Formulele lui Blasius-Ciaplâghin

Mişcarea în jurul unui obstacol.

C

yx dzdz

dfiiRR

2

2

rezultanta complexă a presiunilor.

2

Re2

O

C

dfM z dz

dz

relaţiile lui Blasius-Ciaplâghin, pentru determinarea rezultantei complexe şi a momentului rezultant

al forţelor de presiune exercitate pe conturul C datorită mişcării fluidului cu potenţialul complex

f z .