MATRICELE ÎN MATRICELE ÎN MATEMATICĂ MATEMATICĂ

MATRICE. MATRICE. DETERMINANŢI. SISTEME DETERMINANŢI. SISTEME LINIARELINIARE

• Definiţie.Definiţie.• Tabloul bidimensional. Tabloul bidimensional. • Matrice pătratice.Matrice pătratice.• Tabel matriceal. Mulţimi de matrice.Tabel matriceal. Mulţimi de matrice. Operaţii cu matrice Operaţii cu matrice 1.1. Adunarea matricelorAdunarea matricelor2.2. Inmultirea matricelorInmultirea matricelor

DefiniţieDefiniţie Fie Fie m m şi şi nn două numere naturale, m≥1, n≥1. O aplicaţie M două numere naturale, m≥1, n≥1. O aplicaţie M: :

{1,2,…,m} X {1,2,…,n} —> C (m) X C (n) se nume{1,2,…,m} X {1,2,…,n} —> C (m) X C (n) se numeşte şte matrice de numere complexe de gen matrice de numere complexe de gen mmXXnn . Not . Notîînd nd m(i,j)m(i,j) prin prin aa , matricea se identifică cu o mulţime de vectori coloană, , matricea se identifică cu o mulţime de vectori coloană, avînd fiecare avînd fiecare mm componente şi se reprezintă în forma grafică componente şi se reprezintă în forma grafică::

Scrierea în această formă a unei Scrierea în această formă a unei matrice este justificată de utilitatea matrice este justificată de utilitatea matricelor în rezolvarea problemelormatricelor în rezolvarea problemelorde algebră liniară. de algebră liniară.

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a1m

…………….. am1 am2 … amn

Tabloul bidimensional Tabloul bidimensional

Un Un tabloutablou este o structură omogenă este o structură omogenă (formată din elemente (formată din elemente similaresimilare) cu un ) cu un număr bine determinat de componente. număr bine determinat de componente.

Tabloul se identifică printr-un singur Tabloul se identifică printr-un singur nume, iar componentele sale se indentifică nume, iar componentele sale se indentifică prin intermediul unui sistem de indici.prin intermediul unui sistem de indici.

Tablourile bidimensionale se numesc Tablourile bidimensionale se numesc MATRICEMATRICE..

MATRICIMATRICI Definiţie. Definiţie. Se numeşte Se numeşte

matrice cu matrice cu m m linii şi linii şi nn coloane coloane (sau de tip ) un (sau de tip ) un tablou cu tablou cu mm linii şi linii şi nn coloane coloane

ale ale cărui elemente sunt numere cărui elemente sunt numere complexecomplexe

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

... ... ... ... ...

... ...

21

22221

11211

•Fie n un numar natural impar(n≤ 100).Sa se construiasca o matrice patratica avand n linii si n coloane dupa modelul din exemplul urmator:

00 11 11 11 0022 00 11 00 4422 22 00 44 4422 00 33 00 4400 33 33 33 00

TABEL MATRICEALTABEL MATRICEAL Tabel de tip matriceal Tabel de tip matriceal În diverse activităţi practice legate de În diverse activităţi practice legate de

înregistrarea, gruparea, analiza şi interpretarea înregistrarea, gruparea, analiza şi interpretarea datelor referitoare la desfăşurarea unui anumit datelor referitoare la desfăşurarea unui anumit fenomen de natură tehnică sau economică apare fenomen de natură tehnică sau economică apare necesitatea organizării acestor date informative necesitatea organizării acestor date informative în diverse tablouri (tabele) care să servească într-în diverse tablouri (tabele) care să servească într-o manieră optimă scopului propus. o manieră optimă scopului propus.

Să considerăm următoarea situaţie practică: Să considerăm următoarea situaţie practică: Situaţia vânzărilor la 4 librării dintr-un oraş într-o Situaţia vânzărilor la 4 librării dintr-un oraş într-o

perioadă de timp este prezentată în tabelul de perioadă de timp este prezentată în tabelul de mai jos, în care se specifică librăria, tipul de carte mai jos, în care se specifică librăria, tipul de carte vândut şi numărul de exemplare vândute din vândut şi numărul de exemplare vândute din fiecare tip. fiecare tip.

ProdusulProdusul Cartea Cartea şcolarăşcolară

Literatură Literatură universalăuniversală

Cartea Cartea tehnicătehnică

BeletristicBeletristicăă

DicţionarDicţionaree

LibrăriaLibrăriaNr 1.Nr 1.

5555 1414 44 2020 22

LibrăriaLibrăriaNr 2.Nr 2.

3030 2424 00 5252 1010

Librăria Librăria Nr 3.Nr 3.

4545 1515 88 4040 77

Librăria Librăria Nr 4.Nr 4.

2828 1010 33 5050 99

Din acest tabel putem extrage cu uşurinţă Din acest tabel putem extrage cu uşurinţă informaţii despre vânzările unor librării citind datele informaţii despre vânzările unor librării citind datele situate pe linii, precum şi informaţii privind situate pe linii, precum şi informaţii privind vânzările unui anumit tip de carte, la cele 4 librării, vânzările unui anumit tip de carte, la cele 4 librării, extrăgând datele situate pe o anumită coloană. extrăgând datele situate pe o anumită coloană.

Exemple:Exemple: -La librăria nr.2 s-au vândut 30 de exemplare de -La librăria nr.2 s-au vândut 30 de exemplare de

carte şcolară, 24 de exemplare de literatură carte şcolară, 24 de exemplare de literatură universală, nicio carte de tehnică, 52 de cărţi de universală, nicio carte de tehnică, 52 de cărţi de beletristică şi 10 dicţionare. beletristică şi 10 dicţionare.

-Dicţionarele s-au vândut astfel: două dicţionare la -Dicţionarele s-au vândut astfel: două dicţionare la librăria nr.1, 10 la librăria nr.2, 7 la librăria nr.3 şi 9 librăria nr.1, 10 la librăria nr.2, 7 la librăria nr.3 şi 9 la ultima librărie. la ultima librărie.

Un tabel în care datele sunt scrise pe linii şi pe Un tabel în care datele sunt scrise pe linii şi pe coloane se numeşte tabel de tip matriceal.coloane se numeşte tabel de tip matriceal.

Adunarea matricilorAdunarea matricilor ObservaţiiObservaţii 1)1) Două matrici se pot aduna dacă Două matrici se pot aduna dacă sunt de acelaşi tipsunt de acelaşi tip, ,

adică dacă au acelaşi număr de linii şi acelaşi număr de adică dacă au acelaşi număr de linii şi acelaşi număr de coloane, deci coloane, deci AA, , BB . .

2)2) Explicit adunarea matricelor Explicit adunarea matricelor AA, , BB înseamnă: înseamnă:..

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

... ... ... ... ...

... ...

21

22221

11211

mnmm

n

n

bbb

bbbbbb

... ... ... ... ...

... ...

21

22221

11211

mnmnmmmm

nn

nn

bababa

babababababa

... ... ... ... ...

... ...

2211

2222222121

1112121111

+ ==

Exemple adunare matriciExemple adunare matrici Adunarea matricilorAdunarea matricilor Dacă Dacă A A si si B B sunt două matrici de tipul sunt două matrici de tipul

m m x x n, n, atunci atunci C = A C = A + + B, B, unde unde cci,ji,j = = aai,ji,j ++ b bi,ji,j este este sumasuma lor (unde lor (unde i<m+1, i<m+1, j<n+1j<n+1).).Exemplu: Exemplu:

Înmulțirea matricilor Înmulțirea matricilor Fie Fie A A o matrice de tip o matrice de tip m m x x nn si si BB o o

matrice de tip matrice de tip n n x x pp. Atunci, produsul . Atunci, produsul lor este lor este C = ABC = AB o matrice de tip o matrice de tip mm x x pp, cu, cu cci,ji,j = a = ai,1i,1bb1,j1,j + a + ai,2i,2bb2,j2,j + ... + + ... + aai,ni,nbb1,n1,n. .

De exempluDe exemplu::

Înmulțirea cu un scalarÎnmulțirea cu un scalar Dându-se matricea Dându-se matricea A A  şi scalarul şi scalarul

(constanta) (constanta) c, c, avem matricea avem matricea B = cA, B = cA, unde  unde  bbi,ji,j = ca = cai,ji,j care este produsul care este produsul dintre matricea dintre matricea AA si scalarul si scalarul cc.  . 

De exempluDe exemplu::

Proprietati ale inmultirii Proprietati ale inmultirii matricilormatricilor

Proprietatile înmulţirii matricilorProprietatile înmulţirii matricilor 1. - asociativitate1. - asociativitate

2. - element neutru, unde 2. - element neutru, unde IInn    este matricea unitate definita astfel este matricea unitate definita astfel                         3. . 3. . 4.4. d distributivitate.istributivitate.

Reprezentanti GrupaReprezentanti Grupa

• Cristea Maria RebeccaCristea Maria Rebecca• Dorobantu Vlad AlexandruDorobantu Vlad Alexandru• Gheorghe Carmen GabrielaGheorghe Carmen Gabriela• Ilie AlexandraIlie Alexandra• Ungureanu Mircea AndreiUngureanu Mircea Andrei

BIBLIOGRAFIEBIBLIOGRAFIE

1. Marius Burtea si Georgeta Burtea, Manual de 1. Marius Burtea si Georgeta Burtea, Manual de Matematica, clasa a XI-a, Editura Carminis.Matematica, clasa a XI-a, Editura Carminis.

2. C. Nita, C. Nastasescu, M. Brandiburu, D. Joita, 2. C. Nita, C. Nastasescu, M. Brandiburu, D. Joita, Culegere de probleme pentru liceu - algebra - Culegere de probleme pentru liceu - algebra - clasele IX - XII (editie noua revizuita si adaugita), clasele IX - XII (editie noua revizuita si adaugita), Editura Rotech Pro.Editura Rotech Pro.

3. Carmen Angelescu, Nicolae Baciu, Catalin 3. Carmen Angelescu, Nicolae Baciu, Catalin Zîrna, Ismet Omer, Nicolae Buzduga, Ghid de Zîrna, Ismet Omer, Nicolae Buzduga, Ghid de recapitulare pentru BACALAUREAT 2009 - recapitulare pentru BACALAUREAT 2009 - MATEMATICA M1+M2 , Editura Sigma.MATEMATICA M1+M2 , Editura Sigma.

4. Caietul de notite, dar si de teme acasa.4. Caietul de notite, dar si de teme acasa. 5. Internet: 5. Internet: http://www.scribd.com/doc/22313227/Matricehttp://www.scribd.com/doc/22313227/Matrice