Maticiucmaticiuc/didactic/MSII_seminar I, II, III... · Capitolul I: Integrala deﬁnita. Primitive...

Capitolul I: Integrala definita. Primitive Conf. dr. Lucian Maticiuc

Facultatea de Hidrotehnica, Geodezie si Ingineria Mediului

Analiza Matematica II, Semestrul II

Conf. dr. Lucian MATICIUC

SEMINAR 1 – 3

Capitolul I: Integrala definita. Primitive

1. Sa se arate ca

∫ a

−af (x) dx =

2

∫ a

0f (x) dx , daca f este functie para,

0 , daca f este functie impara.

Rezolvare:

Astfel avem conform proprietatii de aditivitate ca∫ a

−af (x) dx =

∫ 0

−af (x) dx+

∫ a

0f (x) dx.

Acum daca f este para, adica

f (−x) = f (x) , ∀ x ∈ [−a, a] ,

atunci ın prima integrala fac schimbarea de variabila

x = −y ⇔ y = −x

De aici obtinem ca dx = −dy precum si noile limite de integrare: daca x = −a atunci y = asi daca x = 0 atunci y = 0.

Deci integrala devine, conform schimbarii de variabila,∫ 0

−af (x) dx =

∫ 0

af (−y) (−dy) =

∫ 0

af (y) (−dy) = −

∫ 0

af (y) dy

Dar, conform unei conventii ∫ b

af (x) dx = −

∫ a

bf (x) dx

deci ∫ 0

−af (x) dx =

∫ a

0f (y) dy =

∫ a

0f (x) dx

de unde obtinem ca∫ a

−af (x) dx =

∫ 0

−af (x) dx+

∫ a

0f (x) dx = 2

∫ a

0f (x) dx.

1

Lucia

n Mati

ciuc


Daca f este impara, adica

f (−x) = −f (x) , ∀ x ∈ [−a, a] ,

atunci ın prima integrala fac aceeasi schimbarea de variabila

x = −y ⇔ y = −x

De aici obtinem dx = −dy si limitele de integrare devin: daca x = −a atunci y = a si dacax = 0 atunci y = 0.

Deci integrala devine, conform schimbarii de variabila,∫ 0

−af (x) dx =

∫ 0

af (−y) (−dy) =

∫ 0

a−f (y) (−dy) =

∫ 0

af (y) dy = −

∫ a

0f (y) dy = −

∫ a

0f (x) dx

deci ∫ 0

−af (x) dx = −

∫ a

0f (y) dy = −

∫ a

0f (x) dx.

Obtinem deci ca ∫ a

−af (x) dx =

∫ 0

−af (x) dx+

∫ a

0f (x) dx = 0

2. Aratati, folosind paritatea functiei de sub integrala, ca

a)

∫ 1

−1

arctgx

ex + e−xdx = 0 , b)

∫ 1/2

−1/2(cosx) ln

1 + x

1− xdx = 0 ,

c)

∫ π/4

−π/4sinx·tg2x = 0 , d)

∫ 1

−1

x3

1 + x2dx = 0

Rezolvare:

Aplic exercitiul anterior. Astfel vom arata ca functiile care se integreaza sunt impare.Pentru aceasta folosim paritatea functiilor trigonometrice:

sin (−x) = − sinx , cos (−x) = cosx

tg (−x) = −tgx , arctg (−x) = −arctgx

a) Notam cu f : [−1, 1]→ R, f (x) = arctgxex+e−x .

f (−x) =arctg (−x)

e−x + e−(−x)=−arctgx

e−x + ex= −f (x)

b), c), d) Tema (se va folosi si faptul ca ln y−1 = − ln y , ∀ y > 0).

3. Fie f : R→ R, o functie continua si periodica de perioada T > 0. Sa se arate ca are loc∫ a+T

af (x) dx =

∫ T

0f (x) dx , ∀ a ∈ R

2

Lucia

n Mati

ciuc


4. Sa se calculeze urmatoarele integrale (folosind tabelul):

a)

∫dx√

8− x2, b)

∫ √2pxdx , c)

∫dx√

4 + x2, d)

∫dx

5 + x2, e)

∫dx√x

, f)

∫dx

x√x

,

g)

∫dx√

5x− 2, h)

∫dx

a− x, i)

∫dx

3x2 + 5, j)

∫dx

7x2 − 8, k)

∫ √2− 3xdx , l)

∫xdx√x2 + 1

,

m)

∫dx√

7− 5x2, n)

∫3

5x2 + 7dx.

5. Sa se calculeze urmatoarele integrale (folosind metoda de integrare prin parti):

a)

∫ (x2 + 5x

)e2xdx , b)

∫eax sin (bx) dx , c)

∫x2 sinx dx , d)

∫ln3 x dx , e)

∫x3 ln2 x dx

f)

∫ √x2 + adx , a ∈ R, g)

∫ √a2 − x2dx , h)

∫lnx

x3dx =

∫x−3 lnxdx =

∫ (x−2

−2

)′lnxdx =

. . .

Rezolvare:

Daca f si g sunt functii cu derivatele continue pe domeniul de definitie I atunci are locformula de integrare prin parti:∫

f (x) g′ (x) dx = f (x) g (x)−∫f ′ (x) g (x) dx.

a) Folosim e2x = 12

(e2x)′:∫ (

x2 + 5x)e2xdx =

∫ (x2 + 5x

) 1

2

(e2x)′dx =

(x2 + 5x

) 1

2e2x − 1

2

∫ (x2 + 5x

)′e2xdx =

=1

2

(x2 + 5x

)e2x − 1

2

∫(2x+ 5) e2xdx = aplicam ınca o data

=1

2

(x2 + 5x

)e2x − 1

2

∫(2x+ 5)

1

2

(e2x)′dx

=1

2

(x2 + 5x

)e2x − 1

2

((2x+ 5)

1

2e2x − 1

2

∫(2x+ 5)′ e2xdx

)=

=1

2

(x2 + 5x

)e2x − 1

2

(1

2(2x+ 5) e2x − 1

2

∫2e2xdx

)=

=1

2

(x2 + 5x

)e2x − 1

4(2x+ 5) e2x +

1

2· 1

2e2x + C , C ∈ R

4

Lucia

n Mati

ciuc


b) Folosim eax = 1a (eax)′:∫

eax sin (bx) dx =

∫1

a(eax)

′sin (bx) dx =

1

aeax sin (bx)−

∫1

aeax (sin (bx))

′dx =

=1

aeax sin (bx)− b

a

∫eax cos (bx) dx = aplicam ınca o data

=1

aeax sin (bx)− b

a

∫1

a(eax)

′cos (bx) dx =

1

aeax sin (bx)− b

a2

(eax cos (bx)−

∫eax (cos (bx))

′dx

)=

=1

aeax sin (bx)− b

a2

(eax cos (bx) +

∫beax sin (bx) dx

)=

=1

aeax sin (bx)− b

a2eax cos (bx)− b2

a2

∫eax sin (bx) dx

Deci∫eax sin (bx) dx+

b

a2

∫eax sin (bx) dx =

1

aeax sin (bx)− b

a2eax cos (bx) + C , C ∈ R⇔

⇔∫eax sin (bx) dx =

a2

a2 + b

(1

aeax sin (bx)− b

a2eax cos (bx)

)+ C, C ∈ R

Observatie: putem pleca si de la sin (bx) = −1b (cos (bx))

′

c) Tema (folosim sinx = − (cosx)′).d) ∫

ln3 x dx =

∫x′ln3 x dx = x ln3 x−

∫x(ln3 x

)′dx =

= x ln3 x− 3

∫x ln2 x

1

xdx = x ln3 x− 3

∫ln2 x dx = aplicam ınca o data

= x ln3 x− 3

∫x′ln2 x dx = x ln3 x− 3

(x ln2 x−

∫x(ln2 x

)′dx

)=

= x ln3 x− 3

(x ln2 x− 2

∫x lnx

1

xdx

)= x ln3 x− 3

(x ln2 x− 2

∫lnxdx

)=

= x ln3 x− 3

(x ln2 x− 2

(x lnx−

∫x (lnx)

′dx

))=

= x ln3 x− 3(x ln2 x− 2 (x lnx− x)

)+ C , C ∈ R

e) Tema (folosim x3 = 14

(x4)′)

f)

I =

∫ √x2 + adx = (rationalizare) =

∫x2 + a√x2 + a

dx =

=

∫x2√x2 + a

dx+

∫a√

x2 + adx =

∫x(√

x2 + a)′dx+ a ln

∣∣∣x+√x2 + a

∣∣∣ =

= a ln∣∣∣x+

√x2 + a

∣∣∣+

(x√x2 + a−

∫ √x2 + adx

)= a ln

∣∣∣x+√x2 + a

∣∣∣+ x√x2 + a− I

5

Lucia

n Mati

ciuc


DeciI =

∫ √x2 + adx =

1

2x√x2 + a+

a

2ln∣∣∣x+

√x2 + a

∣∣∣+ C , C ∈ R

g), h), i), j), k) Tema.

6. (Tema) Sa se calculeze urmatoarele integrale folosind metoda de integrare prin parti:

a)

∫ (x3 + 2x

)e5xdx , b)

∫eax sin (bx) dx , c)

∫eax cos (bx) dx , d)

∫e3x sin (4x) dx ,

e)

∫e4x cos (3x) dx , f)

∫x3 cosx dx , g)

∫x3 sin (5x) dx , h)

∫x3 cos (5x) dx ,

i)

∫lnxdx , j)

∫x2 ln3 x dx , k)

∫ √x2 + 5dx , l)

∫ √x2 − 5dx , m)

∫ √5− x2dx

n)

∫ln (lnx)

xdx, o)

∫ (x2 + 5x+ 6

)cos (2x) dx, p)

∫ (x2 − 2x+ 3

)lnxdx

7. Folosind prima metoda de schimbare de variabila sa se calculeze:

a)

∫x+ arccosx√

1− x2dx , b)

∫1

x ln2 xdx , c)

∫1

x ln5 xdx ,

d)

∫ π/2

0

cosx

1 + sin2 xdx , e)

∫ 3

2

√6x− x2 − 5 dx , f)

∫ √x2 + x+ 1dx

Rezolvare:

Aplic prima metoda de schimbare de variabila:∫f (u (x))u

′(x) dx = F (u (x)) + C, C ∈ R,

unde F este o primitiva a lui functiei f.De asemenea are loc si ın cazul integralei definite:∫ b

af (u (x))u

′(x) dx =

∫ u(b)

u(a)f (y) dy = F (y)|y=u(b)y=u(a) = F (u (b))− F (u (a)) .

a) Observ ca 1√1−x2 = (− arccosx)′ , deci∫

x+ arccosx√1− x2

dx =

∫x√

1− x2dx+

∫arccosx√

1− x2dx = −

∫ (√1− x2

)′dx+

∫arccosx (− arccosx)′ dx =

= −√

1− x2 −∫

arccosx (arccosx)′ dx = −√

1− x2 −∫

arccosx d (arccosx) .

Acum daca notamynot= arccosx⇒ dy = (arccosx)′ dx

6

Lucia

n Mati

ciuc


deci integrala devine∫x+ arccosx√

1− x2dx = −

√1− x2 −

∫ydy =

= −√

1− x2 − y2

2+ C = −

√1− x2 − (arccosx)2

2+ C , C ∈ R

b) Observ ca 1x = (lnx)

′si voi nota y not

= lnx⇒ dy = (lnx)′ dx∫1

x ln2 xdx =

∫1

ln2 x(lnx)

′dx =

∫1

y2dy =

∫y−2dy =

= y−3

−3 + C = (lnx)−3

−3 + C , C ∈ R

c) Tema

d) Observ ca cosx = (sinx)′ si voi nota ynot= sinx ⇒ dy = (sinx)′ dx si limitele de

integrare devin: daca x = 0 atunci y = sin 0 = 0 si daca x = π/2 atunci y = sinπ/2 = 1∫ π/2

0

cosx

1 + sin2 xdx =

∫ π/2

0

1

1 + sin2 x(sinx)′ dx =

∫ 1

0

1

1 + y2dy = arctgy|10 = arctg1−arctg0 = π/4−0

e) Folosim forma canonica a trinomului de gradul 2

ax2 + bx+ c = a

(x+

b

2a

)2

+−∆

4a

unde ∆ = b2 − 4ac.Deci

6x− x2 − 5 = −x2 + 6x− 5 = −(x+ 6

−2

)2+ −(36−20)

−4

= − (x− 3)2 + 4 = 4− (x− 3)2

si ∫ 3

2

√6x− x2 − 5dx =

∫ 3

2

√4− (x− 3)2dx =

∫ 3

2

√4− (x− 3)2 (x− 3)

′dx =

Notez y not= x− 3⇒ dy = (x− 3)

′dx si limitele de integrare devin: daca x = 2 atunci y = −1

si daca x = 3 atunci y = 0. ∫ 3

2

√6x− x2 − 5dx =

∫ 0

−1

√4− y2dy

Pentru a calcula ultima integrala vezi exercitiile precedente.

f) Tema.

8. (Tema) Folosind prima metoda de schimbare de variabila sa se calculeze:

a)

∫cosx

sinxdx , b)

∫sinx

cosxdx , c)

∫sinx√cosx

dx , d)

∫cosx

sin3 xdx

7

Lucia

n Mati

ciuc


e)

∫xdx√1 + x4

, f)

∫x2ex

3dx, g)

∫3− 2x

5x2 + 7dx.

9. (Tema)(i) Aduceti la forma canonica urmatoarele trinoame de gradul al doilea:

a) f (x) = 4x − x2 + 5 , b) f (x) = x2 + 3x − 5 , c) f (x) = x2 + 2x + 3, d) f (x) =2x2 − 3x+ 5

e) f (x) = 2x2−5x+3, f) f (x) = x2−x−1, g) f (x) = 2+3x−2x2, h) f (x) = x2+2x+2,

i) f (x) = x2+2x+5, j) f (x) = 3x2−x+1, k) f (x) = 2+3x−2x2, l) f (x) = x2−4x+5

(ii) Calculati diferentialele df (x) ale urmatoarelor functii de o variabila:

a) f (x) = sin2 x , b) f (x) = lnx , c) f (x) = ln2 x, d) f (x) = x3, e) f (x) =√x,

f) f (x) = cosx, g) f (x) = e3x, h) f (x) =√x2 + a2, i) f (x) =

√4− x2, j) f (x) =

tgx .

10. Folosind a doua metoda de schimbare de variabila sa se calculeze integralele:

a)

∫cos2√xdx , b)

∫ 1

0x2√

4− x2dx , c)∫ √

a2 − x2dx , d)

∫ √x2 + a2dx

Rezolvare:

Aplic a doua metoda de schimbare de variabila: Daca facem schimbarea de variabila

x = u (y)

atuncidx = u′ (y) dy , y = u−1 (x)

unde u−1 este inversa functiei u, si integrala devine∫ b

af (x) dx =

∫ u−1(b)

u−1(a)f (u (y))u′ (y) dy

a) Vom nota√x = y ⇔ x = y2 deci dx = 2ydy si integrala devine∫

cos2√xdx =

∫cos2 y 2ydy = 2

∫y cos2 y dy

Pentru calculul acestei integrale vezi metoda de integrare prin parti. La sfarsit se va ınlocuiy =√x.

b) Avem substitutiile trigonometrice:

1. Daca integrala contine termenul√a2 − x2 atunci este utila substitutia x = a sin y sau

x = a cos y

2. Daca integrala contine termenul√x2 − a2 atunci este utila substitutia x = a chy

3. Daca integrala contine termenul√x2 + a2 atunci este utila substitutia x = a shy

8

Lucia

n Mati

ciuc


unde

shxdef=

ex − e−x

2, chx

def=

ex + e−x

2

si evident avemch2x− sh2x = 1 , (shx)′ = chx , (chx)′ = shx.

In cazul nostru este utila substitutia x = 2 sin y (de asemenea e utila si substitutia x =2 cos y). Deci

dx = (2 sin y)′ dy = 2 cos ydy

six = 2 sin y ⇔ y = arcsinx/2.

Limitele de integrare devin: daca x = 0 atunci y = arcsin 0 = 0 si daca x = 1 atunci y =arcsin 1/2 = π/6. Atunci integrala devine∫ 1

0x2√

4− x2dx =

∫ π/6

04 sin2 y

√4− 4 sin2 y2 cos ydy =

= 16

∫ π/6

0sin2 y

√1− sin2 y cos ydy = 16

∫ π/6

0sin2 y cos2 ydy

Avem formulelesin2 y + cos2 y = 1

sin (2y) = 2 sin y cos y ⇒ sin y cos y = sin 2y2

cos (2y) = 2 cos2 y − 1⇒ cos2 y = 1+cos 2y2

cos (2y) = 1− 2 sin2 y ⇒ sin2 y = 1−cos 2y2

Deci∫ 1

0x2√

4− x2dx = 16

∫ π/6

0(sin y cos y)2 dy = 4

∫ π/6

0sin2 2ydy =

= 4

∫ π/6

0

1− cos 4y

2dy = 2

∫ π/6

0dy − 2

∫ π/6

0cos 4ydy =

(2y − 2

sin 4y

4

)∣∣∣∣π/60

=π

3−√

3

4

c) Tema.

d) In acest caz este utila substitutia x =ey − e−y

2. Deci

dx =

(aey − e−y

2

)′dy = a

ey + e−y

2dy

si

x2+a2 =

(aey − e−y

2

)2

+a2 = a2(e2y + e−2y − 2

4+ 1

)= a2

e2y + e−2y + 2

4=

(aey + e−y

2

)2

.

Deci∫ √x2 + a2dx =

∫aey + e−y

2aey + e−y

2dy =

a2

4

∫ (ey + e−y

)2dy =

a2

4

∫ (e2y + e−2y + 2

)dy

=a2

4

(e2y

2+e−2y

−2+ 2y

)+ C , C ∈ R

9

Lucia

n Mati

ciuc


11. Sa se calculeze urmatoarele integrale din functii ce contin un trinom de gradul al doilea:

a)

∫dx

2x2 − 5x+ 7, b)

∫dx√

2 + 3x− 2x2, c)

∫x+ 3√

x2 + 2x+ 3dx , d)

∫ √a2 − x2dx ,

e)

∫ √a+ x2dx , f)

∫ √1− 2x− x2dx , g)

∫dx

3x2 − x+ 1, h)

∫3x− 2

x2 − 4x+ 5dx.

12. (Tema) Sa se calculeze urmatoarele integrale din functii rationale:

a)

∫1

x− adx , b)

∫1

(x− a)αdx , α 6= 1, c)

∫1

ax− bdx , d)

∫1

(ax+ b)αdx,

e)

∫1

2x2 − 4x+ 8dx, f)

∫1

2x2 − 5x+ 3dx, g)

∫4x− 5

x2 − 2x+ 10dx,

h)

∫−x+ 5

x2 + x− 2dx , i)

∫x2 − 3x+ 3

x3 − 2x2 + xdx =

∫ (ax

+b

x− 1+

c

(x− 1)2)dx ,

j)

∫3x2 + x− 4

x3 + 5x2 + 9x+ 5dx =

∫ ( a

x+ 1+

bx+ c

x2 + 4x+ 5

)dx.

13. Sa se calculeze urmatoarele integrale din functii rationale:

a)

∫x4

x4 − 1dx , b)

∫1

x3 + 1dx , c)

∫1

x3 − 2x2 + xdx , d)

∫1

x3 + 6x2 + 11x+ 6dx

Rezolvare:

Daca integrala este dintr-o functie rationala atunci:Pasul I: daca gradul numaratorului este mai mare decat gradul numitorului atunci mai

ıntai se ımpart polinoamele pana se ajunge ca gradul numaratorului sa fie mai mic strictdecat gradul numitorului.

Pasul II: apoi se vor cauta divizorii numitorului si se va descompune fractia ın fractiisimple.

a)x4

x4−1 = x4−1+1x4−1 = x4−1

x4−1 + 1x4−1 = 1 + 1

(x2−1)(x2+1)=

= 1 + 1(x2−1)(x2+1)

= 1 + 1(x−1)(x+1)(x2+1)

Descompunerea ın fractii simple ınseamna sa cauta constantele a, b, c, d a.ı. sa aiba loc1

(x−1)(x+1)(x2+1)= a

x−1 + bx+1 + cx+d

x2+1

Aducand la acelasi numitor obtin

1(x−1)(x+1)(x2+1)

=a(x+1)(x2+1)+b(x−1)(x2+1)+(cx+d)(x−1)(x+1)

(x−1)(x+1)(x2+1)⇔

⇔ 1 = a (x+ 1)(x2 + 1

)+ b (x− 1)

(x2 + 1

)+ (cx+ d) (x− 1) (x+ 1)⇔

⇔ 1 = (a+ b+ c)x3 + (a− b+ d)x2 + (a+ b− c)x+ (a− b− d)⇔

⇔

a+ b+ c = 0a− b+ d = 0a+ b− c = 0a− b− d = 1

10

Lucia

n Mati

ciuc


Rezolvand sistemul obtin a = 1/4, b = −1/4, c = 0, d = −1/2 deci are loc

1(x−1)(x+1)(x2+1)

= 14

(1

x−1 −1

x+1 −2

x2+1

)adica∫

x4

x4 − 1dx =

∫dx+

∫1

(x− 1) (x+ 1) (x2 + 1)dx = x+

1

4

∫ (1

x− 1− 1

x+ 1− 2

x2 + 1

)dx =

= x+ 14 (ln (x− 1)− ln (x+ 1)− 2arctgx) + C

b)1

x3+1= 1

(x+1)(x2−x+1)= a

x+1 + bx+cx2−x+1

⇔

⇔ 1 = a(x2 − x+ 1

)+ (x+ 1) (bx+ c)⇔

⇔ 1 = (a+ b)x2 + (−a+ b+ c)x+ (a+ c)⇔

⇔

a+ b = 0−a+ b+ c = 0a+ c = 1

Rezolvand sistemul obtin a = 1/3, b = −1/3, c = 2/3 deci are loc

1

(x+ 1) (x2 − x+ 1)=

1/3

x+ 1+−1/3x+ 2/3

x2 − x+ 1

adica ∫1

x3 + 1dx =

∫1

3

(1

x+ 1− x− 2

x2 − x+ 1

)dx =

1

3ln (x+ 1)− 1

3

∫x− 2

x2 − x+ 1dx

Acum avem∫

x−2x2−x+1

dx =∫

xx2−x+1

dx−∫

2x2−x+1

dx. Pentru acestea doua se vor face calculestandard. Mai ıntai, pentru prima, se formeaza la numarator derivata numitorului adica∫

x

x2 − x+ 1dx =

1

2

∫2x

x2 − x+ 1dx =

∫1

2

2x− 1 + 1

x2 − x+ 1dx =

=1

2

∫2x− 1

x2 − x+ 1dx+

1

2

∫1

x2 − x+ 1dx =

1

2

∫ (x2 − x+ 1

)′x2 − x+ 1

dx+1

2

∫1

x2 − x+ 1dx =

=1

2ln(x2 − x+ 1

)+

1

2

∫1

(x− 1/2)2 + 3/4dx =

1

2ln(x2 − x+ 1

)+

1

2

∫1

(x− 1/2)2 +(√

3/2)2dx =

= 12 ln

(x2 − x+ 1

)+ 1

21√3/2

arctgx−1/2√3/2

+ C

c) Tema: 1x3−2x2+x = 1

x(x2−2x+1)= 1

x(x−1)2 = ax + b

x−1 + c(x−1)2 unde a, b, c trebuie

determinati...

d) Tema: Radacinile ıntregi ale lui x3 + 6x2 + 11x + 6 = 0 se gasesc printre divizoriitermenului liber...

14. (Tema) Sa se calculeze urmatoarele integrale din functii rationale:

11

Lucia

n Mati

ciuc


a)

∫1

(x3 − 1)2dx , b)

∫1

(x− 1)2 (x+ 1)3dx , c)

∫xdx

(x− 1) (x+ 1)2, d)

∫dx

x (x+ 1)2,

e)

∫dx

(x2 − 4x+ 3) (x2 + 4x+ 5), f)

∫5x2 + 6x+ 9

(x− 3)2 (x+ 1)2dx , g)

∫dx

(x+ 1) (x+ 2) (x+ 3)

15. Sa se calculeze urmatoarele integrale din functii irationale:

a)

∫ √x+ 1 + 2

(x+ 1)2 −√x+ 1

dx , b)

∫ √x− 1

3√x+ 1

dx , c)∫

1√x+ 1 + 3

√x+ 1

dx , d)

∫1

(2− x)√

1− xdx

Rezolvare:

Fie integralele de forma∫R

(x,(ax+bcx+d

) p1q1 ,(ax+bcx+d

) p2q2 , ...

)dx unde R este o expresie

rationala. Aceste integrale se reduc la integrale rationale cu ajutorul substitutiei

ax+ b

cx+ d= ts

unde s este cel mai mic multiplu comun al numitorilor q1, q2, ...

a) Apare termenul√x+ 1 = (x+ 1)1/2 deci este utila substitutia

x+ 1 = t2 ⇔ x = t2 − 1⇒ dx = 2tdt

deci integrala devine∫ √x+ 1 + 2

(x+ 1)2 −√x+ 1

dx =

∫t+ 2

(t2)2 − t2tdt =

= 2

∫t2 + 2t

t4 − tdt = 2

∫t+ 2

t3 − 1dt = 2

∫t+ 2

(t− 1) (t2 + t+ 1)dt

si am ajuns la integrala dintr-o functie rationala. Descompunem ın fractii simple

t+ 2

(t− 1) (t2 + t+ 1)=

a

t− 1+

bt+ c

t2 + t+ 1

cu a, b, c determinati aducand la acelasi numitor si identificand coeficientii. Obtin a = 1.b =−1, c = −1 si integrala se reduce la integrale simple.

I = 2∫

t+2(t−1)(t2+t+1)

dt = 2∫ (

1t−1 −

t+1t2+t+1

)dt =

= 2(

ln (t− 1)−∫

t+1t2+t+1

dt)

Mai ıntai ∫t+ 1

t2 + t+ 1dt =

∫t

t2 + t+ 1dt+

∫1

t2 + t+ 1dt

iar acestea se fac prin calcule standard. La sfarsit se va ınlocui t = (x+ 1)1/2 .

12

Lucia

n Mati

ciuc


b) Tema: Apare√x = x1/2 si 3

√x = x1/3 deci se va face substitutia x = t6 unde 6 este cel

mai mic multiplu comun al numitorilor 2 si 3.

c), d) Tema.

16. Sa se calculeze urmatoarele integrale din functii irationale (integrale binome):

a)

∫ √x(1 + 3√x)2dx , b)

∫(1 + 3

√x)

3

4√x5

dx , c)∫ 3√

1 + 4√x√

xdx , d)

∫1

x 3√

1 + x5dx ,

e)

∫x√

1 + 3√xdx , f)

∫dx

4√

1 + x4, g)

∫dx

x2 (2 + x3)5/3

Rezolvare:

Fie integralele de forma∫xm (a+ bxn)p dx unde m,n, p ∈ Q. Aceste integrale se reduc

la integrale rationale doar ın urmatoarele trei situatii (cu ajutorul substitutiilor respec-tive):

i) Daca p este numar ıntreg.

ii) Dacam+ 1

neste numar ıntreg si ın acest caz este utila substitutia a + bxn = ts unde s

este numitorul lui p.

iii) Dacam+ 1

n+ p este numar ıntreg si ın acest caz este utila substitutia

a+ bxn

xn= ts

unde s este numitorul lui p.

a)√x (1 + 3

√x)

2= x1/2

(1 + x1/3

)2deci m = 1/2, n = 1/3, p = 2 deci suntem ın prima

situatie si, evident, merge substitutia x = t6 ⇒ dx = 6t5dt deci integrala devine∫ √x(1 + 3√x)2dx =

∫ (t6)1/2 (

1 +(t6)1/3)2

6t5dt =

=

∫ (t6)1/2 (

1 +(t6)1/3)2

6t5dt =

∫t3(1 + t2

)26t5dt =

=

∫t3(1 + t2

)26t5dt

si obtin integrala dintr-o functie polinomiala...

b) Tema: (1+ 3√x)3

4√x5

= x−5/4(1 + x1/3

)3deci m = −5/4, n = 1/3, p = 3 deci suntem ın

prima situatie si merge substitutia x = ...⇒ dx = ...dt deci integrala devine...

c)3√

1+ 4√x√x

= x−1/2(1 + x1/4

)1/3deci m = −1/2, n = 1/4, p = 1/3 si

m+ 1

n=−1/2 + 1

1/4= 2 ∈ Z

deci suntem ın a doua situatie si merge substitutia

1 + x1/4 = t3 ⇔ x1/4 = t3 − 1⇔ x =(t3 − 1

)4 ⇒ dx = 4(t3 − 1

)33t2dt

13

Lucia

n Mati

ciuc


deci integrala devine∫ 3√

1 + 4√x√

xdx =

∫x−1/2

(1 + x1/4

)1/3dx =

=

∫ ((t3 − 1

)4)−1/2 (t3)1/3

12t2(t3 − 1

)3dt =

= 12

∫ (t3 − 1

)−2tt2(t3 − 1

)3dt = 12

∫ (t3 − 1

)t3dt =

= 12

∫ (t6 − t3

)dt = 12

(t7/7− t4/4

)+ C

si acum se ınlocuieste t cu(1 + x1/4

)1/3.

d), e) Tema, suntem ın situatia ii).

f), g) Tema, suntem ın situatia iii).

17. Sa se calculeze urmatoarele integrale din functii trigonometrice:

a)

∫sin2 x cos3 xdx , b)

∫sin3 x

cos4 xdx , c)

∫1

sinx+ tgxdx , d)

∫1

1 + sin2 xdx ,

e)

∫1

cos4 xdx , f)

∫1

1 + sinx+ cosxdx

Rezolvare:

Fie integralele de forma∫R (sinx, cosx) dx unde R (a, b) este o expresie rationala ın a

si b. Aceste integrale se reduc la integrale rationale cu ajutorul urmatoarelor substititutii:

i) Daca R (− sinx, cosx) = −R (sinx, cosx) atunci este utila substitutia cosx = t.

ii) Daca R (sinx,− cosx) = −R (sinx, cosx) atunci este utila substitutia sinx = t.

iii) Daca R (− sinx,− cosx) = R (sinx, cosx) atunci este utila substitutia tgx = t.

iv) Substitutia universala tgx2 = t.

In cazul integralelor din functii trigonometrice sunt utile urmatoarele formule trigono-metrice

sin2 x+ cos2 x = 1,

sinx cosx = sin 2x2 , sin2 x = 1−cos 2x

2 , cos2 x = 1+cos 2x2 ,

sinx = 2t1+t2

, cosx = 1−t21+t2

, unde t = tgx2 ,

sinx = t√1+t2

, cosx = 1√1+t2

, unde t = tgx .

a) Avem ca R (sinx, cosx) = sin2 x cos3 x deci

R (sinx,− cosx) = sin2 x (− cosx)3 = − sin2 x cos3 x = −R (sinx, cosx)

adica suntem ın cazul ii). Este utila substitutia sinx = t∫sin2 x cos3 xdx =

∫sin2 x cos2 x cosxdx =

=∫

sin2 x cos2 x (sinx)′dx =

∫sin2 x

(1− sin2 x

)d (sinx)

14

Lucia

n Mati

ciuc


deci sinx = t⇒ dt = d (sinx) = (sinx)′dx adica

I =

∫t2(1− t2

)dt =

∫ (t2 − t4

)dt = t3/3− t5/5

unde t trebuie ınlocuit cu sinxb) Tema: R (sinx, cosx) = sin3 x

cos4 xeste impara ın sinx, deci cazul i)

c) R (sinx, cosx) = 1sinx+tgx . In acest caz vom folosi substitutia universala (ın cazul inte-

gralelor trigonometrice):

tgx

2= t⇔ x

2= arctgt⇔ x = 2arctgt⇒ dx =

2

1 + t2dt

Deci, folosind si formulele trigonometrice respective, are loc∫1

sinx+ tgxdx =

∫1

sinx+ sinxcosx

dx =

∫1

2t1+t2

+2t

1+t2

1−t2

1+t2

2

1 + t2dt =

=

∫1

2t1+t2

+ 2t1−t2

2

1 + t2dt =

∫1

2t(

1−t2+1+t2

(1−t2)(1+t2)

) 2

1 + t2dt =

=

∫1

t 21−t2

dt =

∫1− t2

2tdt =

∫1

2tdt−

∫t

2dt =

1

2ln t− 1

4t2 + C =

= 12 ln

(tgx2)− 1

4

(tgx2)2

+ C

d) e) Tema: suntem ın cazul iii).

f) Tema: suntem ın cazul iv).

18. Sa se calculeze urmatoarele integrale folosind metoda de integrare prin parti:

a)

∫arctgx dx , b)

∫xarctgx dx , c)

∫x2arctgx dx

d)

∫arcsinx dx, e)

∫x arcsinx dx , f)

∫arcsin2 x dx.

19. Sa se calculeze urmatoarele integrale:

a)

∫dx

x2 + a2, b)

∫xdx

x2 + a2, c)

∫xdx

(x2 + a2)2, d)

∫dx

(x2 + a2)2,

e)

∫xdx

(x2 + a2)3, f)

∫1

(x2 + a2)3dx , g)

∫1

sinn xdx , n ∈ {1, 2, 3, 4, ...} .

Rezolvare:

15

Lucia

n Mati

ciuc


d)∫1

(x2 + a2)2dx =

1

a2

∫a2

(x2 + a2)2dx =

1

a2

∫x2 + a2 − x2

(x2 + a2)2dx =

=1

a2

∫x2 + a2

(x2 + a2)2dx− 1

a2

∫x2

(x2 + a2)2dx =

1

a2

∫1

x2 + a2dx− 1

a2

∫x

x

(x2 + a2)2dx =

=1

a21

aarctg

x

a− 1

a2−1

2

∫x

(1

x2 + a2

)′dx =

1

a3arctg

x

a+

1

2a2

(x

1

x2 + a2−∫

11

x2 + a2dx

)=

=1

a3arctg

x

a+

1

2a2

(x

1

x2 + a2−∫

11

x2 + a2dx

)=

1

a3arctg

x

a+

1

2a2

(x

1

x2 + a2− 1

aarctg

x

a

)+ C.

g) Pentru n = 1 :∫1

sinxdx =

∫sinx

sin2 xdx =

∫1

1− cos2 x(− cosx)′ dx = (subst. cosx = t) =

∫1

t2 − 1dt

=1

2ln

∣∣∣∣ t− 1

t+ 1

∣∣∣∣+ C =1

2ln

∣∣∣∣cosx− 1

cosx+ 1

∣∣∣∣+ C.

sau, folosind substitutia universala

tgx

2= t⇔ x

2= arctgt⇔ x = 2arctgt⇒ dx =

2

1 + t2dt

obtinem ∫1

sinxdx =

∫12t

1+t2

2

1 + t2dt =

∫1

tdt = ln |t|+ C = ln

∣∣∣tg(x2

)∣∣∣+ C.

Pentru n = 2, folosind tabelul obtinem:∫1

sin2 xdx = −ctgx+ C

sau, folosind substitutia universala, obtinem∫1

sin2 xdx =

∫1(2t

1+t2

)2 2

1 + t2dt =

1

2

∫1 + t2

t2dt =

1

2

(−1

t+ t

)+ C =

1

2

t2 − 1

t+ C

=1

2

(tgx2)2 − 1

tgx2+ C = · · · = −ctgx+ C.

Pentru n = 3 :∫1

sin3 xdx =

∫sinx

sin4 xdx =

∫1

(1− cos2 x)2(− cosx)′ dx = (subst. cosx = t) =

∫−1

(1− t2)2dt

= · · · = −∫ (

a

1− t+

b

1 + t+

c

(1− t)2+

d

(1 + t)2

)dt = · · · .

sau, folosind substitutia universala, obtinem∫1

sin3 xdx =

∫1(2t

1+t2

)3 2

1 + t2dt =

1

4

∫ (1 + t2

)2t3

dt = · · · .

16

Lucia

n Mati

ciuc


20. (Tema) Sa se calculeze urmatoarele integrale:

a)

∫2x+ 1

x2 + x+ 1dx , b)

∫2x+ 1

(x2 + x+ 1)2dx , c)

∫1

x2 + x+ 1dx ,

d)

∫1

(x2 + x+ 1)2dx , e)

∫x

(x2 + x+ 1)2dx .

21. Calculati aria figurii plane cuprinsa ıntre curbele (date explicit) y2 = 2px si x2 = 2py.Particularizati pentru p = 1/2.

Rezolvare: Daca suntem ın cazul ın care curbele care dau domeniul sunt date explicit iardomeniul este deci D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b , f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x)} atunci aria domeniului Deste data de

A (D) =

∫ b

a[f2 (x)− f1 (x)] dx

22. Calculati volumul sferei. Calculati volumul elipsoidului (acestea se obtin prin rotatiaunui semicerc si respectiv a unei semielipse ın jurul axei Ox).

Rezolvare: Daca volumul V ⊂ R3 este obtinut prin rotatia multimiiF = {(x, y) : a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ f (x)}atunci volumul este dat de

V (F ) = π

∫ b

af2 (x) dx

In cazul nostru sfera este data de rotatia domeniului (semidiscului)

F ={

(x, y) : −r ≤ x ≤ r, 0 ≤ y ≤√r2 − x2

}respectiv dat de rotatia domeniului (semielipsei)

F =

{(x, y) : −a ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b

a

√a2 − x2

}.

23. Determinati volumul corpului de rotatie dat de f : [0, 1/2]→ R , f (x) = arcsinx

24. Determinati lungimea graficului functiei f : [3, 8]→ R , f (x) = 23x√x

Rezolvare: Daca suntem ın cazul ın care curba este data explicit de (C) : y = f (x) , a ≤ x ≤ batunci lungimea curbei este data de

L (C) =

∫ b

a

√1 + (f ′ (x))2dx.

17

Lucia

n Mati

ciuc


25. Determinati lungimea graficului functiei f : [π/3, π/2]→ R , f (x) = ln (cosx).

26. Determinati lungimea curbei data parametric{x = a cos3 ty = a sin3 t

, t ∈ [0, π/2]

Rezolvare: Daca suntem ın cazul ın care curba este data curba este ın plan si este data para-

metric de (C) :

{x = x (t)y = y (t)

, a ≤ t ≤ b atunci lungimea curbei este data de

L (C) =

∫ b

a

√(x′ (t))2 + (y′ (t))2dt

27. Determinati lungimea curbei din spatiu data parametric

x = a cos t

y = a sin t

z = ct

, t ∈ [0, π] .

Rezolvare: In cazul ın care (C) :

x = x (t)

y = y (t)

z = z (t)

, a ≤ t ≤ b (adica ın cazul ın care curba este

data curba este ın spatiu si este data parametric) lungimea curbei este data de

L (C) =

∫ b

a

√(x′ (t))2 + (y′ (t))2 + (z′ (t))2dt.

28. Determinati aria discului.

29. Determinati lungimea cercului.

18

Lucia

n Mati

ciuc

Maticiucmaticiuc/didactic/MSII_seminar I, II, III... · Capitolul I: Integrala deﬁnita. Primitive...

Documents

Transcript of Maticiucmaticiuc/didactic/MSII_seminar I, II, III... · Capitolul I: Integrala deﬁnita. Primitive...