MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

299
UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU Dumitru Acu Petrică Dicu Mugur Acu Ana Maria Acu MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS – - PENTRU – - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ-

Transcript of MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Page 1: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU

Dumitru Acu Petrică Dicu

Mugur Acu Ana Maria Acu

MATEMATICI APLICATE

ÎN

ECONOMIE

- NOTE DE CURS – - PENTRU –

- ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ-

Page 2: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Cuprins

1 Introducere 61.1 Necesitatea utilizarii matematicii ın stiintele economice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Modelarea matematico-economica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Cateva exemple de modele matematico–economice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Optimizarea productiei unei ıntreprinderi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Modele de gospodarire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.3 Problema dietei (nutritiei) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Spatii vectoriale 122.1 Definitia spatiului vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Subspatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Independenta si dependenta liniara a vectorilor. Baza si dimensiune . . . . . . . . . . . . 162.4 Produs scalar. Spatii normate. Spatii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Multimi convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Testul Nr. 1 de verificare a cunostintelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Matrice. Determinanti. Sisteme de ecuatii liniare 283.1 Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Sisteme de ecuatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Testul Nr. 2 de verificare a cunostintelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Operatori liniari. Forme biliniare si forme patratice 534.1 Operatori liniari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Forme biliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Testul Nr. 3 de verificare a cunostintelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5 Elemente de programare liniara 725.1 Obiectul programarii matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2 Notiuni generale relative la o problema de programare liniara . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3 Algoritmul simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.4 Cazuri speciale ıntr-o problema de P.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.4.1 Solutii multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.4.2 Solutie infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.4.3 Degenerare ın problemele de programare liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.5 Rezolvarea problemei generale de programare liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.6 Dualitatea ın problemele de programare liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.7 Testul Nr. 4 de verificare a cunostintelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3

Page 3: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

6 Elemente de teoria grafurilor 976.1 Notiuni fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2 Algoritmi pentru rezolvarea unor probleme relative la grafuri . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.2.1 Algoritmul lui Yu Chen pentru aflarea matricei drumurilor . . . . . . . . . . . . . 1036.2.2 Algoritmi pentru precizarea existentei circuitelor ıntr-un graf . . . . . . . . . . . . 1036.2.3 Algoritmi pentru aflarea componentelor tare conexe ale unui graf . . . . . . . . . . 1046.2.4 Algoritmi pentru aflarea drumurilor hamiltoniene ale unui graf . . . . . . . . . . . 1086.2.5 Algoritmi pentru determinarea drumurilor de lungime optima . . . . . . . . . . . . 1106.2.6 Metoda drumului critic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.3 Problema fluxului optim ın retele de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.3.1 Retele de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.3.2 Algoritmul lui Ford–Fulkerson pentru determinarea fluxului maxim ıntr-un graf de

retea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.4 Testul Nr. 5 de verificare a cunostintelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7 Probleme de transport 1307.1 Modelul matematic pentru o problema de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.2 Determinarea unei solutii initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.2.1 Metoda coltului Nord–Vest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2.2 Metoda elementului minim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.2.3 Metoda diferentelor maxime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.3 Ameliorarea (ımbunatatirea) unei solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.4 Aflarea unei solutii optime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.5 Degenerarea ın problemele de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.6 Probleme de transport cu capacitati limitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.7 Testul Nr. 6 de verificare a cunostintelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8 Siruri 1498.1 Siruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.2 Siruri ın spatii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.3 Test de verificare a cunostintelor nr. 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

9 Serii numerice 1699.1 Notiuni preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1699.2 Criterii de convergenta pentru serii numerice cu termeni oarecare . . . . . . . . . . . . . . 1739.3 Serii absolut convergente. Serii semiconvergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769.4 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799.5 Problema economica. Fluxul de venit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1859.6 Test de verificare a cunostintelor nr. 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

10 Functii ıntre spatii metrice 19010.1 Vecinatatea unui punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19010.2 Functii ıntre spatii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20110.3 Limita unei functii ıntr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20410.4 Continuitatea functiilor ıntre spatii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20610.5 Test de verificare a cunostintelor nr. 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

11 Derivarea functiilor reale 22011.1 Definitia derivatei si proprietatile ei de baza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22011.2 Proprietati de baza ale functiilor derivabile pe un interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22411.3 Diferentiala unei functii reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23111.4 Aplicatiile derivatei ın economie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23311.5 Test de verificare a cunostintelor nr. 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

4

Page 4: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

12 Derivarea functiilor de mai multe variabile 23812.1 Derivate partiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23812.2 Interpretari geometrice si economice ale derivatelor partiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 24112.3 Derivarea functiilor compuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24312.4 Diferentiala functiilor de mai multe variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25012.5 Extremele functiilor de mai multe variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25412.6 Extreme conditionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25712.7 Ajustarea unor date . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26212.8 Interpolarea functiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26412.9 Test de verificare a cunostintelor nr. 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

13 Generalizari ale notiunii de integrala 27013.1 Integrale improprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27013.2 Integrale cu parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27713.3 Integrale euleriene. Functia Gamma. Functia Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28213.4 Integrale duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28713.5 Test de verificare a cunostintelor nr. 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

5

Page 5: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Capitolul 1

Introducere

Obiective: In acest capitol introductiv se pune ın evidenta importanta cunoasterii matematiciipentru un viitor economist.

Rezumat: In acest capitol sunt prezentate principiile modelarii matematico-economice cuprezentarea catorva modele precise, cum ar fi optimizarea productiei unei ıntreprinderi, modele de gos-podarie si problema dietei (nutritiei).

Continutul capitolului:1. Necesitatea utilizarii matematicii ın stiintele economice2. Modelarea matematico-economica3. Cateva exemple de modele matematico-economice4. Bibliografia aferenta capitolului

Cuvinte cheie: metode matematice, model matematic, optim economic, optimizareaproductiei, modele de gospodarie, problema dietei.

1.1 Necesitatea utilizarii matematicii ın stiintele economice

In prezent si ın viitor este clar pentru oricine ca o simpla observatie a unui fenomen economic,fara un studiu matematic si statistic aprofundat, nu mai este satisfacatoare si nu poate fi acceptata faraurmari dintre cele mai grave. Folosirea metodelor matematicii ın practica economica, de orice nivel,constituie o preocupare cu efecte benefice ın rezolvarea problemelor economice actuale.

Cel care este interesat de studiul fenomenelor economice trebuie sa aiba o pregatire interdisci-plinara.

Studierea globala a aspectelor calitative si cantitative a unui fenomen economic necesita un anu-mit volum de notiuni; concepte si metode matematice care considerate ca un ansamblu dau un asanumit model matematic atasat fenomenului studiat. Modelarea este un atribut al activitatii umane,ıntalnit ın procesul de cunoastere a lumii, prin care omul reuseste sa surprinda esentialul si sa descoperelegile dupa care se guverneaza fenomenele naturale, sociale si psihice.

Utilizarea matematicii ın problemele economice, prin utilizarea modelelor matematice, nu este ochestiune simpla. Istoric, ele cocheteaza de mult timp, dar rezolvarea problemelor ridicate de studiulunui fenomen economic, numarul mare de date cu care lucreaza si volumul mare de calcule necesare,pretindea o tehnica de calcul puternica. Aparitia informaticii si calculatoarelor rapide au facut saapara capitole noi ın matematica, care sa se preocupe de modelarea proceselor economice, ca de ex-emplu cercetarile operationale. Asa cum sublinia profesorul Andre Brunet ”cercetarea operationala estepregatirea stiintifica a deciziilor” ([3]).

In conditiile actuale este necesar ca la orice nivel de decizie sa prelucram un numar mare deinformatii si date care sa permita un rationament logic ın alegerea variantei celei mai potrivite.

Un alt motiv care pledeaza pentru utilizarea matematicii ın studiul proceselor economice este sidorinta omului de a atinge un anumit optim.

Problema alegerii dintr-o multime de rezultate posibile pe cel optim, ın concordanta cu un anu-mit scop, este de o importanta majora pentru orice economist, teoretician sau practician. Notiunea de

6

Page 6: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

optim, destul de veche ın gandirea economica legata direct de practica, apare ıntr-o noua lumina prinposibilitatile oferite de matematica contemporana.

Daca ın trecut continutul optimului economic functiona, cel mai adesea, dupa principiul ”cu catmai mult, cu atat mai bine”, ın prezent optimul economic lucreaza dupa principiul ”profit maximın conditii date”.

Utilizarea calculului diferential si integral ın economia politica, ıncepand cu sfarsitul secolului alXIX-lea si ınceputul secolului al XX-lea, era o necesitate. Asa s-a nascut economia matematica, care,treptat s-a impus ın cercetarile economice.

In conformitate cu aceste preocupari, ın economia matematica s-a creat conceptul de ”optim pare-tian”, introdus de Vilfredo Pareto. S-au creat noi metode precise de optimizare a activitatii economice,apelandu-se la ramurile existente ın matematica, dar si cerand imperios gasirea de noi concepte matema-tice, care sa permita gasirea solutiilor optime cat mai rapid si cat mai exact. Asa au aparut metodelede programare matematica ın rezolvarea unor probleme de optimizare a activitatii unor ıntreprinderi,a unor societati de comert, turism sau cu preocupari agricole. Problemele puse de practica economicastimuleaza continuu descoperirea de noi metode matematice. Fara sa gresim putem afirma ca exista oconlucrare benefica, atat pentru economisti, cat si pentru matematicieni.

Legatura concreta dintre matematica si economie se stabileste printr-o traducere ın limbaj matem-atic a notiunilor si a relatiilor ce intervin ın fenomenele economice, fapt ce se realizeaza prin procesul demodelare matematica. Folosirea limbajului matematic ın stiintele economice ofera posibilitatea formulariinecontradictorii a fenomenelor economice si introducerii rigorii ın studiul lor.

1.2 Modelarea matematico-economica

Aplicarea matematicii ın economie are doua directii principale. Prima, care foloseste metodelematematicii ca instrument menit sa sprijine studiul calitativ al fenomenelor economice si a doua, ıncare matematica este utilizata la analiza aspectelor cantitative din practica economica (planificare,prognoza, etc.). Utilitatea matematicii ca instrument ajutator economistului se evidentiaza ın plan:logic, empiric si euristic. Traducand o situatie economica ıntr-o problema matematica, ıi putem verificaconsistenta, planul empiric si, ın fine, dezvaluirea de relatii noi. Insa, o astfel de metoda de lucru impuneprecizarea conceptului de model.

Esenta metodei modelarii consta ın ınlocuirea obiectului sau fenomenului real care ne intereseazacu un alt obiect sau fenomen, mai convenabil pentru cercetare. Dupa o astfel de substituire nu se maistudiaza obiectul primar ci modelul, iar apoi rezultatul cercetarilor se extinde asupra obiectului saufenomenului initial, cu anumite precautii.

Termenul de model vine de la diminutivul lui modus (masura ın limba latina), care este modulus.In limba germana a devenit model, iar ın secolul al XVI-lea ın Franta se folosea deja termenul modele,provenit din italienescul modello. Acelasi cuvant a dat ın limba engleza termenul model. Inca de laınceput sensul cuvantului model oscila ıntre concret si abstract. Se pare ca primul care a folosit conceptulde model ın sensul actual a fost matematicianul italian Beltrami, ın anul 1868, cand a construit un modeleuclidian pentru o geometrie neeuclidiana.

In stiinta se ıntalnesc diferite modele: modelul atomic, modelul cosmologic, modele de crestereeconomica etc.

Astazi, metoda modelarii este o metoda generala de cercetare si studiere a unor procese reale cuajutorul cercetarii si studierii altor procese, care pot fi mai apropiate sau mai departate de cele initiale.Modelul trebuie sa reflecte ıntr-o cat mai mare masura proprietatile originalului care sunt legate de scopulcercetarii. Atragem ınsa atentia ca modelul nu este la fel cu originalul.

Modelele ne servesc ın viata de toate zilele, ın stiinta, ın ınvatamant, industrie, proiectare, arta, etc.Multe din modele, cum ar fi hartile mulajele, machetele, desenele etc., constituie o reproducere materialaa unor aspecte ale originalului cercetat. Asemenea modele materiale au posibilitati limitate, multe dinele servind mai mult ıntelegerii si mai putin cunoasterii originalelor. Pentru cunoasterea stiintifica s-atrecut la modele simbolice, care sunt modele matematice. Utilizarea limbajului matematic ındescrierea unor modele, permit acestora sa aiba un ınalt grad de abstractizare si de generalizare, unulsi acelasi model (ecuatie, functie, sistem, etc.) poate descrie cu mult succes obiecte sau situatii totaldiferite. Intr-un model matematic se folosesc pentru descriere numai mijloace matematice si logice, ceea

7

Page 7: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

ce conduce la ınlaturarea tratarilor subiective. In plus reprezentarile matematice nu sunt ıngradite delimite materiale si nici de traducerea dintr-o disciplina ın alta.

In elaborarea unui model matematic atasat unui proces trebuiesc respectate etapele:

1. Obtinerea modelului descriptiv al procesului, care are subetapele:

1.1. formularea problemei propuse;

1.2. analiza structurii informationale a fenomenului abordat;

1.3. discutarea criteriilor posibile care reflecta obiectivele urmarite;

1.4. stabilirea factorilor esentiali si factorilor secundari;

2. Formularea matematica a modelului descriptiv, etapa ın care se elaboreaza modelul matematic;

3. Studierea (cercetarea) modelului, adica rezolvarea practica a problemei pe model. Astazi, ın aceastaetapa de mare folos este calculatorul.

Modelul realizat si testat trebuie sa reflecteze originalul cu destula precizie. S-ar putea ca modelulsa fie bine construit dar sa nu dea rezultate sa- tisfacatoare. El trebuie ımbunatatit sau abandonat.

Fidelitatea unui model se poate realiza nu numai avand grija sa nu pierdem din vedere anumiteaspecte ale fenomenului studiat, ci si prin aparatul matematic folosit.

Fidelitatea fata de original creste odata cu perfectionarea aparatului matematic utilizat. In functiede aparatul matematic folosit au aparut modele foarte variate, uneori chiar pentru aceeasi problema.

Dupa modelul matematic utilizat se poate da urmatoarea clasificare a modelelor:

1) modele aritmetice (utilizate pana ın secolul al XVIII-lea)– folosesc numai concepte aritmetice;

2) modele bazate pe analiza matematica (utilizate ıncepand cu secolul al XVIII-lea)– folosescconcepte de analiza matematica;

3) modele liniare – utilizeaza concepte de algebra liniara (de exemplu, programarea liniara);

4) modele de joc – care iau ın considerare si variabile necontrolabile;

5) modele de optimizare – urmaresc optimizarea unei functii (numita functia obiectiv) supusaunor restrictii;

6) modele neliniare – utilizeaza restrictii de optim sau functii obiectiv neliniare;

7) modele diferentiale – care descriu prin ecuatii diferentiale fenomenul (de exemplu, modelul caredescrie variatia productiei);

8) modele de tip catrastofic – utilizate de studiul fenomenelor cu variatii bruste;

9) modele deterministe – marimile care intervin sunt perfect determinate;

10) modele stohastice – marimile care intervin sunt aleatorii;

11) modele de tip statistico-matematice – marimile care intervin sunt date statistic;

12) modele vagi – marimile care intervin nu sunt date cu precizie, ci doar vag;

13) modele discrete – marimile care intervin variaza discret;

14) modele continue – marimile care intervin variaza continuu.

Cu toata diversitatea conceptelor si rezultatelor matematice, exista numeroase fenomene economicepentru care nu s-au elaborat modele pe deplin satisfacatoare.

1.3 Cateva exemple de modele matematico–economice

In acest paragraf prezentam cateva din cele mai cunoscute modele matematico–economice.

8

Page 8: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

1.3.1 Optimizarea productiei unei ıntreprinderi

Sa consideram o ıntreprindere care ısi desfasoara activitatea de productie ın urmatoarele conditii:

i) ın ıntreprindere se desfasoara n activitati Ai, i = 1, n;

ii) exista m factori disponibili Fj , j = 1,m;

iii) se cunosc coeficientii tehnici de utilizare a celor m factori ın cele n activitati.

Vom ıncerca sa obtinem descrierea matematica a activitatii de productie.Pentru realizarea modelarii acestui program de productie sa notam cu xi nivelul activitatii Ai,

i = 1, n, si cu bi volumul (cantitatea) disponibil de factorul Fj , j = 1,m si aij factorul de proportionalitateal consumului Fi pentru activitatea Aj .

Acum putem scrie restrictiile:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn ≤ b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn ≤ b2...am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn ≤ bm

(1.1)

Restrictiile (1.1) reprezinta conditiile ın care ıntreprinderea poate sa-si desfasoare activitatea. Elese pot scrie si sub forma matriciala. In acest scop facem notatiile: A = (aij) – matricea coeficientilortehnici; x = t(x1, x2, . . . , xn) (t – transpus) – vectorul coloana al nivelului productiei; C1, C2, . . . , Cn –vectorii coloana din matricea A; C0 – vectorul coloana al volumelor disponibile. Acum conditiile (1.1) sepot scrie sub forma

C1x1 + C2x2 + . . .+ Cnxn ≤ C0

sauAx ≤ C0.

Pana aici am urmarit descrierea tehnologiei productiei. Dar orice proces de productie maiurmareste si o motivatie economica, de exemplu sa se realizeze o eficienta maxima. Un astfel decriteriu de eficienta este dat de maximizarea profitului. Practic, finalul acestui proces este optimizareaunei anumite functii, care de fapt realizeaza optimizarea functionarii unui proces economic.

1.3.2 Modele de gospodarire

Orice firma doreste fie sa-si maximizeze veniturile, fie sa-si minimizeze cheltuielile, iar consumatoriisa-si distribuie salariile asa ıncat sa-si satisfaca la maximum nevoile vietii. De fapt, orice situatie degospodarire impune o repartizare optima a unor resurse disponibile limitate ıntre diferite activitati carese desfasoara pentru realizarea unui anumit scop.

Acest tip de procese economice poarta numele de probleme de gospodarire.Un model pentru o problema de gospodarire se compune din doua parti: prima referitoare la

restrictii si o a doua care descrie criteriul sau obiectivul activitatii de derulat. Intr-un astfel de model secere gasirea valorilor unor variabile x1, x2, . . . , xn pentru care o functie f(x1, x2, . . . , xn) este optima sicare sunt supuse unor restrictii de forma:

F1(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0,F2(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Fm(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0,

unde semnul ”≤” poate fi si ”≥”.Cum orice model de gospodarire are menirea de a stabili un program de actiune, el a capatat

denumirea de model de programare. Domeniile de aplicare a modelelor de programare se refera laun numar mare de probleme de planificare din industrie, transporturi, agricultura, s.a. Unele din ele auo foarte mare circulatie si numeroase aplicatii fapt ce le-au facut celebre. Dam un astfel de exemplu ınsubparagraful urmator.

9

Page 9: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

1.3.3 Problema dietei (nutritiei)

Una dintre problemele celebre de gospodarire este problema alimentarii cat mai ieftine si realizareaunor cerinte de alimentatie conform unui scop propus.

O alimentatie se considera buna daca se ofera anumite substante ın cantitati minimale precizate.Evident ca aceste substante se gasesc ın diferite alimente cu preturi cunoscute. Se cere sa se stabileascao dieta (ratie) care sa fie corespunzatoare si totodata cat mai ieftina. Substantele care intra ıntr-o dietase numesc substante nutritive sau principii nutritive.

Vom obtine, ın continuare, modelul matematico-economic pentru problema dietei. FieS1, S2, . . . , Sm substantele nutritive care trebuie sa intre ın compunerea dietei ın cantitatile mini-male b1, b2, . . . , bm si A1, A2, . . . , An alimentele de care dispunem cu pretul corespunzator pe unitatec1, c2, . . . , cn. Notam cu aij numarul de unitati din substanta Si, i = 1,m, se gasesc ıntr-o unitate dinalimentul Aj , j = 1, n. Se cere sa se afle x1, x2, . . . , xn numarul de unitati din alimentele A1, A2, . . . , Anasa ıncat sa se obtina o ratie acceptabila la un pret cat de mic. De obicei datele problemei se prezintaıntr-un tabel de forma:

AlimenteSubstanta A1 A2 . . . Aj . . . An

Minimnecesardin Si

S1 a11 a12 . . . a1j . . . a1n b1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Si ai1 ai2 . . . aij . . . ain bi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Sm am1 am2 . . . amj . . . amn bm

Pret alimente c1 c2 . . . cj . . . cnUnitati de consum x1 x2 . . . xj . . . xn

Cantitatea din substanta Si care se realizeaza este ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn, care din cerintaproblemei trebuie sa fie ≥ bi, i = 1,m. Ajungem astfel la conditiile (restrictiile):⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn ≥ b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn ≥ b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn ≥ bm

(1.2)

Natura datelor cu care lucram impun si conditiile de nenegativitate:

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0.(1.3)

Functia obiectiv care exprima costul unei ratii este data de:

f = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn.(1.4)

Problema dietei cere sa determinam x1, x2, . . . , xn asa ıncat f sa fie minima. O astfel de dieta senumeste optima. Orice dieta care satisface restrictiile (1.2) si (1.3) se numeste admisibila.

Modelul dietei poate fi folosit si ın alte situatii, ca de exemplu: problema furajarii rationale (ınzootehnie), chestiunea amestecului optim (ın amestecuri de benzina sau uleiuri auto, ın realizarea unorsortimente de bauturi sau ınghetata), s.a.

Pentru alte modele matematico-economice se pot consulta lucrarile [2], [3], [4], [5].

10

Page 10: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Bibliografia aferenta capitolului:[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate ın economie - Volumul I, Editura ULB,

Sibiu, 2001.[2] Izvercian, P.N.,Cretu, V., Izvercian, M., Resiga, R., Introducere ın teoria grafurilor. Metoda

drumului critic, Editura de Vest, Timisoara, 1994.[3] Popescu, O., Raischi, C., Matematici aplicate ın economie, vol.I, II, Editura Didactica si Peda-

gogica, Bucuresti, 1993.[4] Ratiu-Raicu, C., Modelare si simularea proceselor economice, Editura Didactica si Pedagogica,

R.A., Bucuresti, 1995.[5] Stavre, P., Matematici speciale cu aplicatii ın economie, Editura Scrisul Romanesc, Craiova, 1982.

11

Page 11: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Capitolul 2

Spatii vectoriale

Obiective: In acest capitol studentul va lua contact cu notiunile teoretice fundamentale (cumar fi spatiile vectoriale, prehilbertiene, normate si metrice) necesare ıntelegerii metodelor / aplicatiilorprezentate ın capitolele urmatoare.

Rezumat: In acest capitol sunt prezentate notiunile de spatiu vectorial, subspatiu vectorial,sistem de vectori, combinatie liniara, liniar independenta si liniar dependenta, baza, dimensiune, produsscalar si spatii prehilbertiene, norma si spatii normate, metrica si spatii metrice, multimi convexe, etc.

Continutul capitolului:1. Definitia spatiului vectorial2. Subspatiu vectorial3. Independenta si dependenta liniara a vectorilor. Baza si dimensiune4. Produs scalar. Spatii normate. Spatii metrice5. Multimi convexe6. Test de verificare a cunostintelor7. Bibliografia aferenta capitolului

Cuvinte cheie: spatiu vectorial, baza, dimensiune, produs scalar, norma, metrica, multimiconvexe.

2.1 Definitia spatiului vectorial

In acest paragraf vom trata notiunea de spatiu vectorial si principalele ei proprietati.

Definitia 2.1.1 Se numeste lege de compozitie (operatie) externa pe multimea M fata de multimea K,o functie f : K ×M →M .

Multimea K se numeste domeniul operatorilor sau scalarilor

Exemplul 2.1.1. Aplicatia f : R × C → C definita prin formula f(a, z) = az, a ∈ R, z ∈ C, este ooperatie externa pe C avand pe R ca domeniu de operatori.

Acum, fie V o multime nevida de elemente oarecare si K un camp de elemente α, β, γ, . . ., cu 0elementul neutru (nul) si 1 elementul unitate. Suma respectiv produsul elementelor α si β din K va finotata cu α+ β, respectiv α · β sau simplu αβ.

Definitia 2.1.2 Se spune ca pe multimea V s-a definit o structura de spatiu vectorial (liniar) pestecamplul K, daca pe V s-a definit o lege de compozitie interna (x, y) → x+ y, x, y ∈ V , numita adunare,si o lege de compozitie externa fata de campul K, (α, x) → αx, α ∈ K, x ∈ V , numita ınmultire cuscalari, astfel ca pentru orice x, y, z ∈ V si orice a, b ∈ K sa avem

1. x+ y = y + x (comutativitatea adunarii);2. (x+ y) + z = x+ (y + z) (asociativitatea adunarii);3. Exista elementul θ ∈ V , astfel ca x+ θ = θ + x = x;

12

Page 12: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

4. Oricarui x ∈ V ıi corespunde −x ∈ V astfel cu x+ (−x) = (−x) + x = θ (−x se numeste opusullui x);(Prin urmare (V , +) este un grup comutativ);

5. 1 · x = x;6. (a+ b)x = ax+ bx;7. (ab)x = a(bx);8. a(x+ y) = ax+ ay.

Multimea V ımpreuna cu structura de spatiu vectorial peste campul K se numeste spatiu vec-torial (liniar) peste K, iar elementele sale le vom numi vectori.

Se observa ca operatia de adunare a vectorilor din V a fost notata tot cu semnul ”+” ca si adunareadin K, iar operatia de ınmultire cu scalari a fost notata cu ”·” ca si ınmultirea din K, acest lucru nuproduce confuzie deoarece ın context orice ambiguitate este ınlaturata.

Daca K este corpul R al numerelor reale, atunci V se numeste spatiu vectorial real, iar dacaK este corpul C al numerelor complexe, atunci V se numeste spatiu vectorial complex.

Elementul θ ∈ V se numeste vectorul nul al spatiului vectorial V .

Propozitia 2.1.1 Daca V este un spatiu vectorial peste K, atunci

1. 0 · x = θ, pentru orice x ∈ V ;

2. a · θ = θ, pentru orice a ∈ K;

3. (−1)x = −x, pentru orice x ∈ V .

Demonstratie. 1. Utilizand conditiile 5) si 6) din Definitia 2.1.2, avem

x = 1 · x = (0 + 1)x = 0 · x+ 1 · x = 0 · x+ x,

de unde, folosind conditia 3) din aceeasi definitie, rezulta 0 · x = θ.2. Din conditia 6) a Definitiei 2.1.2 avem ax+ aθ = a(x+ θ) = ax si tinand seama de conditia 3)

din aceeasi definitie, rezulta a · θ = θ.3. Din conditia 6) avem x + (−1)x = (1 + (−1))x = 0x = θ, de unde folosind 4), obtinem

(−1)x = −x.Exemple. 2.1.2. Multimea R a numerelor reale cu operatia de adunare si cu operatia de ınmultire cunumere rationale este un spatiu vectorial peste campul Q al numerelor rationale.

2.1.3. Multimea C a numerelor complexe cu operatia de adunare si cu operatia externa de ınmultirecu numere reale este un spatiu vectorial peste campul Q al numerelor rationale.

2.1.4. Multimea C a numerelor complexe cu operatia de adunare si cu operatia externa de ınmultirecu numere reale este un spatiu vectorial peste campul R al numerelor reale.

2.1.5. Fie Hom(R,R) = {f |f : R → R, functie} ın care definim operatiile de adunare a douafunctii si de ınmultire a unei functii cu un numar real astfel:

f + g : R → R, (f + g)(x) = f(x) + g(x), (∀)f, y ∈ Hom(f, g) si (∀)x ∈ R

siαf : R → R, (αf)(x) = αf(x), (∀)f ∈ Hom(f, g) si (∀)r ∈ R.

Aceste operatii determina pe Hom(R,R) o structura de spatiu vectorial.2.1.6. Fie K un camp oarecare si n un numar natural nenul. Consideram produsul cartezian

Kn = K ×K × . . .×K︸ ︷︷ ︸n ori

, adica multimea sistemelor ordonate x = (x1, x2, . . . , xn) de cate n elemente din

K. Definim pe Kn operatiile:

x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),

ax = (ax1, ax2, . . . , axn),

pentru orice x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Kn, y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Kn si a ∈ K.Inzestrata cu cele doua operatii definite mai sus, multimea Kn devine un spatiu vectorial, numit

13

Page 13: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

spatiul vectorial aritmetic cu n dimensiuni peste K. Pentru K = R se obtin spatiile euclidiene,iar pentru K = C se obtin spatiile unitare sau hermitice. In cazul unui vector x = (x1, x2, . . . , xn)din Kn, x1, x2, . . . , xn se numesc componentele sau coordonatele vectorului x. De aceea, cand vomnota vectorii cu indici vom folosi scrierea cu exponenti ın paranteza, pentru a se deosebi de componentelesale.Comentariul 2.1.1. Spatiile vectoriale Rn si Cn sunt instrumente matematice de baza ın studiulmodelelor matematico-economice. Spatiile R2 si R3 conduc la vectorii utilizati ın fizica.

2.2 Subspatii vectoriale

O submultime W a unui spatiu vectorial V peste un camp K se numeste subspatiu vectorial allui V , daca cele doua operatii date pe V induc pe W o structura de spatiu vectorial peste K. Vom notafaptul ca W este un subspatiu al lui V prin W � V .

Teorema 2.2.1 Submultimea W a unui spatiu vectorial V peste campul K este subspatiu vectorial pestecampul K, daca si numai daca sunt ındeplinite conditiile:

1. pentru orice x, y ∈W avem x+ y ∈W ;

2. pentru orice x ∈W si orice a ∈ K avem ax ∈W .

Demonstratie. Daca W � V , atunci conditiile 1) si 2) rezulta din faptul ca operatiile din V trebuie safie interne si pe W .

Reciproc, daca presupunem ca 1) si 2) au loc si luand x ∈W , din 2) rezulta ca si −x = (−1)(x) ∈W , iar de aici, folosind 1), rezulta ca θ = x+ (−x) se gaseste ın W . Celelalte conditii din definitia unuispatiu vectorial avand loc pe V au loc si pe W . Teorema precedenta este echivalenta cu:

Teorema 2.2.2 Submultimea W a spatiului vectorial V peste K este subspatiu vectorial pentru V pesteK, daca si numai daca, pentru orice a, b ∈ K si orice x, y ∈W avem ax+ by ∈W .

Observatia 2.2.1 Orice subspatiu vectorial W al unui spatiu vectorial V contine vectorul nul.

Exemple. 2.2.1. Daca V este un spatiu vectorial, atunci submultimea {θ}, formata numai din vectorulnul, este un subspatiu vectorial numit subspatiul nul.

2.2.2. Pentru spatiul vectorial R2 si numarul real a fixat, submultimea W = {x ∈ R2|x = (x1, y1)cu y1 = ax1} formeaza un subspatiu vectorial.

Intr-adevar, daca x, y ∈ W , x = (x1, y1), y1 = ax2, y = (x2, y2), y2 = ax2, atunci: x + y =(x1 + y1, x2 + y2) cu y1 + y2 = ax1 + ax2 = a(x1 + x2) si deci x + y ∈ W . Pentru a ∈ R avemαx = (αx1, αy1), cu αy1 = α(ax1) = a(αxn) si deci αx ∈W .

Cele demonstrate ne arata ca, ın spatiul vectorial R2 (ın plan) dreptele ce trec prin origine formeazasubspatii vectoriale pentru R2.

2.2.3. Daca K este un camp, atunci multimea vectorilorx = (x1, x2, . . . , xn) din Kn cu xn = 0 formeaza un subspatiu vectorial al spatiului vectorial Kn.

Usor se verifica faptul ca intersectia a doua subspatii vectoriale ale unui spatiu vectorial V este totun subspatiu vectorial al lui V . Prin urmare, daca A este o submultime a spatiului vectorial V , atunciexista un cel mai mic subspatiu al lui V care contine pe A, anume intersectia tuturor subspatiilor lui Vce contin pe A, numit subspatiu generat de A sau acoperirea (ınfasuratoarea) liniara a lui A.

Doua subspatii W1 si W2 ale unui spatiu vectorial se zic independente daca W1 ∩W2 = {0}.Fie S = {x(1), x(2), . . . , x(n)} un sistem de n vectori, n ∈ N∗, din spatiul vectorial V peste campul

K.

Definitia 2.2.1 Se spune ca vectorul x ∈ V este o combinatie liniara de vectorii sistemului S dacaexista n scalari a1, a2, . . . , an ∈ K astfel ca sa avem

x =n∑k=1

akx(k).

14

Page 14: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Teorema 2.2.3 Multimea vectorilor din spatiu vectorial V care se pot scrie ca si combinatii liniare devectorii sistemului S formeaza un subspatiu vectorial al lui V . Acest subspatiu se noteaza prin [S] si senumeste subspatiul lui V generat de sistemul de vectori S.

Demonstratie. Intr-adevar, daca x =n∑k=1

akx(k) si y =

n∑k=1

bkx(k), atunci, pentru orice α, β ∈ K, avem

αx+ βy =n∑k=1

αakx(k) +

n∑k=1

βbkx(k) =

n∑k=1

(αak + βbk)x(k),

adica αx+ βy este o combinatie liniara de vectori a sistemului S.

Teorema 2.2.4 Subspatiul [S] generat de sistemul de vectori S coincide cu acoperirea liniara a lui S.

Demonstratie. Fie S∗ acoperirea liniara a lui S. Avem S ⊆ [S] si din definitia lui S∗ rezulta S∗ ⊆ [S].

Reciproc, daca x ∈ [S], atunci rezulta ca x =n∑k=1

akx(k), a1, a2, . . . , an ∈ K. Prin urmare, x ∈ S∗, adica

[S] ⊆ S∗. Rezulta ca S∗ = [S].

Definitia 2.2.2 Un sistem de vectori S ⊂ V se numeste sistem de generatori pentru subspatiul W � Vdaca W = [S].

Exemplul 2.2.4. In spatiul Rn un sistem de generatori pentru Rn este format din vectorii: e(1) =(1, 0, 0, . . . , 0), e(2) = (0, 1, 0, . . . , 0), . . ., e(n) = (0, 0, . . . , 0, 1). In adevar, orice x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn

se scrie sub forma x = x1e(1) + x2e

(2) + . . .+ xne(n).

Definitia 2.2.3 Daca W1 si W2 sunt subspatii ale spatiului vectorial V , atunci subspatiul generat deS = W1 ∪W2 se numeste suma celor doua subspatii. Notam [S] = W1 +W2.

Teorema 2.2.5 Suma W1 + W2 a doua subspatii vectoriale ale lui V coincide cu multimea vectorilorx ∈ V care se scrie sub forma x = x(1) + x(2), cu x(1) ∈W1, x(2) ∈W2.

Demonstratie. Fie W = {x ∈ V |x = x(1) + x(2), x(1) ∈ W1, x(2) ∈ W2}. Evident ca W ⊆ W1 + W2.

Daca x ∈W1 +W2, atunci x = a1y(1) + . . .+ ary

(r)+ ar+1y(r+1) + . . .+ apy

(p), unde y(1), . . . , y(r) ∈W1,iar y(r+1), . . . , y(p) ∈ W2. Punand x(1) = a1y

(1) + . . . + ary(r) si x(2) = ar+1y

(r+1) + . . . + apy(p), gasim

x = x(1) + x(2), deci W1 +W2 ⊆W . Rezulta W = W1 +W2.Exemplul 2.2.5. In R2 consideram W1 = {(x, 0)|x ∈ R} siW2 = {(0, y)|y ∈ R}. Atunci avem R2 = W1 +W2.

Definitia 2.2.4 Suma S a doua subspatii vectoriale W1 si W2 ale spatiului vectorial V se numeste directa,daca W1 ∩W2 = {θ}. In acest caz scriem S = W1 ⊕W2, iar despre W1 si W2 se zic ca sunt subspatiivectoriale independente.

Teorema 2.2.6 Suma a doua subspatii vectoriale W1 si W2 ale spatiului vectorial V este directa, dacasi numai daca orice vector x din S = W1 +W2 se scrie ın mod unic sub forma x = x(1) +x(2), x(1) ∈W1,x(2) ∈W2.

Demonstratie. Sa admitem ca S = W1⊕W2 si sa presupunem ca exista x ∈ S asa ıncat x = x(1) +x(2),x(1) ∈ W1, x(2) ∈ W2 si x = y(1) + y(2), y(1) ∈ W1, y(2) ∈ W2. Atunci x(1) + x(2) = y(1) + y(2), de undex(1) − y(1) = x(2) − y(2) ∈ W1 ∩W2 = {θ} si deci x(1) = y(1) si x(2) = y(2). Rezulta ca scrierea lui x casuma de elemente din W1 si W2 este unica.

Reciproc, sa admitem ca orice x ∈ S = W1 + W2, are o scriere unica de forma x = x(1) + x(2),x(1) ∈W1, x(2) ∈W2. Daca ar exista t ∈W1∩W2, t �= θ, atunci x = (x(1)−t)+(x(2)−t), cu x(1)−t ∈W1

si x(2) − t ∈W2, ceea ce ar fi o contradictie. Prin urmare W1 ∩W2 = {θ}, adica S = W1 ⊕W2.

Definitia 2.2.5 Doua subspatii W1 si W2 ale spatiului vectorial V se numesc suplimentare daca W1 ∩W2 = {θ} si V = W1 ⊕W2.

15

Page 15: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Exemplul 2.2.6. Spatiul vectorialHom(R,R) al functiilor f : R → R este suma directa a subspatiilorW1

si W2 ale functiilor pare si respectiv impare deoarece W1∩W2 = {θ}. Cum, pentru orice f ∈ Hom(R,R),avem

f(x) =f(x) + f(−x)

2+f(x) − f(−x)

2, (∀)x ∈ R,

adica suma dintre o functie para si una impara, deducem ca W1 si W2 sunt subspatii vectoriale supli-mentare pentru Hom(R,R).

2.3 Independenta si dependenta liniara a vectorilor. Baza sidimensiune

Definitia 2.3.1 Sistemul de vectori S = {x(1), x(2), . . . , x(n)} din spatiul vectorial V peste campul Kse zice ca este liniar independent daca o combinatie liniara a lor a1x

(1) + a2x(2) + . . . + anx

(n),a1, a2, . . . , an ∈ K, da vectorul nul numai daca a1 = a2 = . . . = an = 0.

In caz contrar, adica daca exista cel putin o multime de scalari a1, a2, . . . , an ∈ K, nu toti nuli,

astfel can∑i=1

aix(i) = θ, atunci se zice ca sistemul S de vectori este liniar dependent.

Daca sistemul S de vectori este liniar independent (liniar dependent), se mai zice ca vectoriix(1), . . . , x(n) sunt liniar independenti (liniar dependenti).Exemple. 2.3.1. Vectorii e(1), e(2), . . . , e(n) (v.exemplul 2.2.4) sunt liniar independenti ın Rn. In adevar,

daca a1, a2, . . . , an ∈ R astfel can∑i=1

aie(i) = θ, atunci rezulta (a1, a2, . . . , an) = θ, de unde obtinem ca

a1 = a2 = . . . = an = 0.2.3.2. Vectorii x(1) = (1, 2,−1), x(2) = (2, 1, 1) si x(3) = (4,−1, 5) sunt liniar dependenti ın R3

deoarece avem 2x(1) − 3x(2) + x(3) = θ.

Teorema 2.3.1 Sistemul S = {x(1), x(2), . . . , x(n)} de vectori este liniar dependent, daca si numai dacacel putin unul din vectorii lui S se poate exprima ca o combinatie liniara de ceilalti vectori ai sistemului.

Demonstratie. Daca sistemul S este liniar dependent, atunci exista scalarii a1, a2, . . . , an ∈ K, nutoti nuli, astfel ca a1x

(1) + . . . + anx(n) = θ. Presupunem ca a1 �= 0, atunci x(1) = −a2a

−11 x(2) −

a3a−11 x(3) − . . . − ana

−11 x(n), ceea ce ne arata ca vectorul x(1) se exprima ca o combinatie liniara de

vectorii x(2), . . . , x(n).Reciproc, daca cel putin un vector, de exemplu x(1), se exprima ca o combinatie liniara de ceilalti,

atunci putem scrie x(1) = −a2x(2) − . . .− anx

(n), de unde x(1) + a2x(2) + . . .+ anx

(n) = θ, cu coeficientullui x(1) nenul, ceea ce ne arata ca vectorii x(1), . . . , x(n) sunt liniar dependenti.

Propozitia 2.3.1 Intr-un spatiu vectorial V peste campul K sunt valabile afirmatiile:

i) vectorul nul θ formeaza un sistem liniar dependent;

ii) orice vector x �= θ formeaza un sistem liniar independent;

iii) orice sistem de vectori din care se poate extrage un sistem liniar dependent este de asemenea liniardependent.

Demonstratie. i) Valabilitatea acestei afirmatii rezulta din 1 · θ = θ.ii) Pentru x �= θ din ax = θ, a ∈ K, rezulta a = 0.iii) Daca pentru sistemul de vectori S = {x(1), x(2), . . . , x(n)}, n > 1, exista subsistemul

{x(1), . . . , x(m)}, m < n, liniar dependent, atunci exista scalarii a1, . . . , an ∈ K astfel cu a1x(1) +a2x

(2) +. . .+ amx

(m) = θ. De aici, avem a1x(1) + a2x

(2) + . . .+ amx(m) + 0 · x(m+1) + 0 · x(n) = θ si deci sistemul

S este liniar dependent.

Corolarul 2.3.1 Sunt valabile afirmatiile:

16

Page 16: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

i) Orice sistem de vectori care contine vectorul nul este liniar dependent;

ii) Orice subsistem al unui sistem liniar independent de vectori este, de asemenea, liniar independent.

Definitia 2.3.2 Un sistem infinit de vectori din spatiul vectorial V se numeste liniar independent dacaorice subsistem finit al sau este liniar independent. In caz contrar se zice ca sistemul este liniar dependent.

Exemplul 2.3.3. In spatiul vectorial Hom(R,R) sistemul {1, x, x2, . . . , xn, . . . este liniar independent.Intr-adevar, orice relatie de forma

ai1xi1 + ai2x

i2 + . . .+ aikxik = θ, (∀)x ∈ R,

unde i1 < i2 < < ik, are loc numai daca ai1 = ai2 = . . . = aik = 0, adica orice subsistem finit este liniarindependent.

Definitia 2.3.3 Un sistem B, finit sau infinit, de vectori din spatiul vectorial V se numeste baza pentruspatiul vectorial V , daca B este liniar independent si B este un sistem de generatori pentru V .

Exemple. 2.3.4. In spatiul Rn sistemul B = {e(1), e(2), . . . , e(n)}, e(1) = (1, 0, . . . , 0), . . . , e(n) =(0, 0, . . . , 1) formeaza o baza. S-a aratat ca B este liniar independent (v.exemplul 2.3.1) si constituieun sistem de generatori pentru Rn (v.exemplul 2.2.4).

Aceasta baza a lui Rn se numeste baza canonica sau naturala.2.3.5. In spatiul vectorial Pn al polinoamelor de grad cel mult n, n ≥ 1, peste campul R, o baza

este data de sistemul B = {1, x, x2, . . . , xn}.Teorema 2.3.2 Sistemul de vectori B = {e(1), e(2), . . . , e(n)} constituie o baza pentru spatiul vectorial Vpeste campul K, daca si numai daca orice vector din V se exprima ın mod unic ca o combinatie liniarade vectorii lui B.

Demonstratie. Daca B este baza a spatiului vectorial V , atunci orice x ∈ V se scrie sub forma

x =n∑k=1

, ake(k), a1, a2, . . . , an ∈ K. Daca mai avem si x =n∑k=1

bke(k), b1, . . . , bn ∈ K, atunci obtinem

n∑k=1

(ak−bk)e(k) = θ, de unde, folosind faptul ca B este liniar independent, rezulta ak = bk, k = 1, 2, . . . , n,

adica scrierea lui x ın baza B este unica.Reciproc, daca orice vector din spatiul V se exprima ın mod unic ca o combinatie liniara de vectorii

lui B, atunci si vectorul nul are aceasta proprietate, adica din θ =n∑k=1

ake(k) rezulta ak = 0, k = 1, n (se

foloseste unicitatea scrierii), ceea ce ne arata ca B este liniar independent.

Definitia 2.3.4 Daca B = {e(1), e(2), . . . , e(n)} este o baza a spatiului vectorial V peste campul K, atunci

scalarii a1, a2, . . . , an ∈ K din scrierea x =n∑k=1

akek se numesc componentele sau coordonatele

vectorului x ın baza B.

Teorema 2.3.3 (teorema ınlocuirii a lui Steinitz.) Daca B = {e(1), e(2), . . . , e(n)} este o baza ın

spatiul vectorial V peste campul K si x =n∑k=1

ake(k) este un vector din V ce satisface conditia at �= 0,

atunci sistemul B1 = {e(1), e(2), . . . , e(t−1), x, e(t+1), . . . , e(n)} este, de asemenea, o baza pentru V .

Demonstratie. Sa aratam mai ıntai ca B1 este liniar independent. Daca b1e(1) + . . .+ bt−1e(t−1) + btx+

bt+1e(t+1) + . . .+ bne

(n) = θ, atunci ınlocuind pe x cu expresia lui, gasim:

(b1 + bta1)e(1) + . . .+ (bt−1 + btat−1)e(t−1) + btate(t)+

+(bt+1 + btat+1)e(t+1) + . . .+ (bn + btan)e(n) = θ.

17

Page 17: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Cum B este baza ın spatiul vectorial V , din egalitatea precedenta rezulta:

b1 + bta1 = 0, . . . , bt−1 + btat−1 = 0, btat = 0, bt+1 + btat+1 =

= 0, . . . , bn + btan = 0.

Deoarece at �= 0, deducem bt = 0 si deci b1 = b2 = . . . = bn = 0, ceea ce ne arata ca B1 este liniarindependent.

Sa aratam acum ca B1 este un sistem de generatori pentru V . Fie y un vector din V , care ın baza

B are scrierea y =n∑k=1

cke(k). Cum at �= 0, din scrierea lui x avem

e(t) = a−1t (x− a1e

(1) − . . .− at−1e(t−1) − at+1e

(t+1) − . . .− ane(n)),

ınlocuind pe e(t) ın y, obtinem

y = (c1 − a−1t a1ct)e(1) + . . .+ (ct−1 − a−1

t at−1ct)e(t−1) + a−1t ctx+(2.1)

+(ct+1 − a−1t at+1ct)e(t+1) + . . .+ (cn − a−1

t anct)e(n),

ceea ce ne arata ca B1 este un sistem de generatori pentru V .

Observatia 2.3.1 Prin inductie matematica se poate demonstra urmatorul rezultat (teorema generalaa ınlocuirii): daca B = {e(1), e(2), . . . , e(n)} este o baza ın spatiul vectorial V peste campul K si S ={x(1), x(2), . . . , x(p)} este un sistem de vectori liniar independent din V , atunci p ≤ n si putem ınlocui pvectori din B prin vectorii lui S, astfel ca, renumerotand vectorii, B1 = {x(1), . . . , x(p), e(p+1), . . . , e(n)}sa fie, de asemenea, baza pentru V .

Comentariul 2.3.1 Demonstratia Teoremei 10.3.3 ne da si procedeul practic de ınlocuire a unui vectordintr-o baza cu un alt vector, cat si formulele de calcul al coordonatelor unui vector ın noua baza. Intr-

adevar, pentru coordonatele vectorului y =n∑k=1

cke(k) ın noua baza B1 din formula (2.1) rezulta formulele

yk = ck − a−1t akct =

ckat − akctat

, pentru k �= t(2.2)

siyt = a−1

t ct =ctat, pentru k = t.(2.3)

Formulele (2.2) si (2.3) ne dau regulile de aflare a componentelor lui y ın baza B1, ın care ınlocul vectorului e(t) s-a introdus vectorul x. Formula (2.3) arata ca noua componenta a vectorului ycorespunzatoare vectorului x ce intra ın locul lui e(t), se obtine prin ımpartirea componentei sale ct (depe linia ”t”) la componenta at a lui x de pe coloana t, iar formula (2.2) indica regula: componenta nouayk a lui y, de pe o linie arbitrara k, se obtine din vechea componenta ak dupa regula

at ctak ck

echivalenta cuatck − akct

at= yk,

numita si regula dreptunghiului. Elementul at �= 0 se numeste si pivot, ceea ce face ca regula drep-tunghiului sa se mai numeasca si regula pivotului. De obicei calculele se fac ın tabele succesive de

18

Page 18: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

formaBaza e(1) e(2) . . . e(t) . . . e(n) . . . x y

e(1) 1 0 . . . 0 . . .... . . . a1 c1

e(2) 0 1 . . . 0 . . .... . . . a2 c2

......

... . . .... . . .

... . . ....

...x� e(t) 0 0 . . . 1 . . .

... . . . at ct...

...... . . .

... . . .... . . .

......

e(k)...

... . . .... . . .

... . . . ak ck...

...... . . .

... . . .... . . .

......

e(n) 0 0 . . . 0 . . . 1 . . . an cn

Exemplul 2.3.6. Fie vectorii x = (2, 3, 1) si y = (3, 4, 5) scrisi ın baza canonica din R3. Scriemcomponentele lui y ın baza (e(1), x, e(3)).

AvemBaza e(1) e(2) e(3) x y

e(1) 1 0 0 2 3x

� e(2) 0 1 0 3 4e(3) 0 0 1 1 5e(1) 1 − 2

3 0 0 13

x 0 13 0 1 4

3

e(2) 0 − 13 1 0 11

3

unde elementele de pe linia lui e(2) s-au ımpartit cu elementul pivot 3, iar celelalte s-au calculat cu reguladreptunghiului. Pe coloana elementului pivot se pune 1 ın locul elementului pivot si ın rest 0.

De retinut ca, utilizand aceasta cale de lucru, se poate ınlocui o baza a unui spatiu vectorial cu oalta.Exemplul 2.3.7. In R2 sa se ınlocuiasca baza canonica cu baza data de vectorii x(1) = (2, 3) si x(2) =(4, 2) si ın noua baza sa se scrie componentele vectorului v = (3, 4).

AvemBaza e(1) e(2) x(1) x(2) v

x(1)

� e(1) 1 0 2 4 3e(2) 0 1 3 2 4x(1) 1

2 0 1 2 32

x(2)

� e(2) − 32 1 0 −4 − 1

2

x(1) − 14

12 1 0 5

4

x(2) 38 − 1

4 0 1 18

Observatia 2.3.2 Metoda elementului pivot este utilizata ın rezolvarea multor probleme de matematicacu aplicarea ın modelele matematico-economice.

Corolarul 2.3.2 Daca o baza a unui spatiu vectorial este formata din n vectori, atunci orice baza a saare tot n vectori.

Definitia 2.3.5 Daca o baza a unui spatiu vectorial V este formata din n vectori, atunci spunem caspatiul V are dimensiune finita egala cu n. Scriem dim V = n. Spunem ca un spatiu vectorial are odimensiune infinita daca exista ın el o baza infinita.

De exemplu, avem dim Rn = n si dim Hom(R,R) = ∞.

Definitia 2.3.6 Un spatiu vectorial V cu dim V = 1 se numeste dreapta vectoriala ; un spatiu Vcu dim V = 2 se numeste plan vectorial .

19

Page 19: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Un subspatiu W , cu dim W = n − 1. a unui spatiu vectorial V , cu dim V = n, se numestehiperplan vectorial. Altfel spus, un subspatiu vectorial W este un hiperplan vectorial daca el estesuplimentar unei drepte vectoriale.

Definitia 2.3.7 Se numeste rangul unui sistem S de vectori din spatiu vectorial V , dimensiuneaspatiului vectorial generat de S. Notam rangul lui S prin rang S.

Propozitia 2.3.2 Rangul unui sistem de vectori din spatiul vectorial V nu se modifica daca:

i) se schimba ordinea vectorilor;

ii) se ınmulteste un vector al sistemului cu un scalar nenul;

iii) se aduna la un vector al sistemului un alt vector din sistem, ınmultit cu un scalar.

Pentru demonstratie se observa ca sistemele de vectori obtinute prin transformarile i)–iii) dinpropozitie genereaza acelasi subspatiu vectorial si deci are acelasi rang. Transformarile i), ii), iii) senumesc transformari elementare.

Teorema 2.3.4 Rangul unui sistem finit de vectori este egal cu numarul maxim de vectori liniarindependenti ai sistemului.

Demonstratie. Fie S = {x(1), x(2), . . . , x(m)} un sistem de vectori ın spatiul vectorial V si k ≤ mnumarul maxim de vectori liniar independenti ai lui. Pentru comoditatea scrierii consideram ca vectoriix(1), x(2), . . . , x(k) sunt liniar independenti, ceea ce implica ca ceilalti vectori ai sistemului se vor exprimaca si combinatii liniare de acestia, adica

x(k+i) = ai1x(1) + ai2x

(2) + . . .+ aikx(k), i = 1, 2, . . . ,m− k

Acum, adunam ın sistemul S la fiecare din vectorii x(k+i), i = 1, 2, . . . ,m − k, respectiv vectorulai1x

(1) +ai2x(2) + . . .+aikx

(k) si obtinem sistemul S1 = {x(1), x(2), . . . , x(k), θ, θ, . . . , θ}. Dupa Propozitia2.3.2 sistemul S1 are acelasi rang cu sistemul S.

Dar ın sistemul S1 sistemul de vectori {x(1), . . . , x(k)} este o baza, ceea ce ne arata ca dimensiunealui este k. Prin urmare, rangul lui S1 si deci si al lui S este k.

Definitia 2.3.8 Doua spatii vectoriale V si W peste acelasi camp K se numesc izomorfe daca existao aplicatie f : V →W care sa fie izomorfism fata de operatiile ce definesc pe V si W structura de spatiuvectorial.

Teorema 2.3.5 Printr-un izomorfism de doua spatii vectoriale se pastreaza rangul unui sistem finit devectori

Demonstratie. Fie f : V → W un izomorfism ıntre spatiile vectoriale V si W si S ={x(1), x(2), . . . , x(m)} un sistem de vectori de rang k, k ≤ m, din spatiul vectorial V . Prin f se obtinesistemul de vectori S1 = {y(1), y(2), . . . , y(m)}, unde y(i) = f(x(i)), i = 1,m, din W . Pentru comod-itatea scrierii consideram ca vectorii x(1), x(2), . . . , x(k) sunt liniar independenti. Atunci din relatiaa1y

(1)+a2y(2)+ . . .+aky(k) = θ, a1, a2, . . . , ak ∈ K, rezulta a1f(x(1))+a2f(x(2))+ . . .+akf(x(k)) = θ, iar

de aici f(a1x(1)+a2x

(2)+. . .+akx(k)) = θ. Cum f este injectiva deducem ca a1x(1)+a2x

(2)+. . .+akx(k) =θ si de aici a1 = a2 = . . . = ak = 0, ceea ce ne arata ca vectorii y(1), y(2), . . . , y(k) sunt liniar independenti.

Acum considerand relatiile

x(k+i) = ai1x(1) + ai2x

(2) + . . .+ aikx(k), i = 1, 2, . . . ,m− r

si aplicand functia f , obtinem

y(k+i) = ai1y(1) + ai2y

(2) + . . .+ aiky(k), i = 1, 2, . . . ,m− r.

Prin urmare, sistemul de vectori y(1), . . . , y(k) este un sistem de generatori pentru S1 si decirang S1 = rang S.

20

Page 20: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Teorema 2.3.6 Conditia necesara si suficienta ca doua spatii vectoriale V si W peste campul K, dedimensiune finita, sa fie izomorfe este ca ele sa aiba aceeasi dimensiune.

Demonstratie. Necesitatea rezulta imediat aplicand Teorema 2.3.5.Pentru suficienta sa consideram spatiile vectoriale V si W cu dim V = dim W = n. Fie B =

{e(1), e(2), . . . , e(n)} si B1 = {f (1), f (2), . . . , f (n)} cate o baza ın V si respectiv W . Definim, aplicatia

h : V → W dupa regula: pentru orice x ∈ B, x =n∑i=1

aix(i), h(x) =

n∑i=1

aif(i). Se verifica imediat ca h

este un izomorfism si deci spatiile V si W sunt izomorfe.

Corolarul 2.3.3 Printr-un izomorfism ıntre doua spatii vectoriale V si W de dimensiune finita o bazadin V este dusa ıntr-o baza din W .

Corolarul 2.3.4 Exista un izomorfism si numai unul ıntre doua spatii vectoriale V si W de dimeniunefinita care sa duca o baza B din V ıntr-o baza data B1 din W .

Corolarul 2.3.5 Orice spatiu vectorial V peste campul K de dimensiune n este izomorf cu spatiul Kn.

Corolarul 2.3.6 Pentru orice subspatiu W al unui spatiu vectorial V avem dim W ≤ dim V .

2.4 Produs scalar. Spatii normate. Spatii metrice

Fie V un spatiu vectorial peste corpul K, unde K = R sau K = C.

Definitia 2.4.1 Se numeste produs scalar pe V , orice aplicatie < · , · >: V ×V → K, cu proprietatile:

P1. < x, x >≥ 0, oricare ar fi x, y ∈ V si < x, x >= 0, daca si numai daca x = θ;

P2. < x, y >= < y, x >, (z este conjugatul lui z ın C), oricare ar fi x, y ∈ V ;

P3. < λx, y >= λ < x, y >, oricare ar fi λ ∈ K si x, y ∈ V ;

P4. < x+ y, z >=< x, z > + < y, z >, oricare ar fi x, y, z ∈ V .

Daca K = R, cum un numar real este egal cu conjugatul sau rezulta ca P2 devine < x, y >=<y, x >, adica produsul scalar este comutativ.

Definitia 2.4.2 Un spatiu vectorial peste campul K = R ∨ C ınzestrat cu un produs scalar se numestespatiu prehilbertian. Daca K = R, atunci spatiul se numeste euclidian, iar daca K = C atunci spatiulvectorial ınzestrat cu un produs scalar se numeste unitar .

Exemple. 2.4.1. Daca ın Rn consideram vectorii x = (x1, . . . , xn) si y = (y1, y2, . . . , yn) si definim

< x, y >=n∑i=1

xiyi, atunci Rn devine un spatiu euclidian. Prin simple calcule se verifica proprietatile

P1 − P4.2.4.2. In Cn produsul scalar al vectorilor x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) se defineste prin

< x, y >=n∑i=1

xiyi,

devenind astfel un spatiu unitar.

2.4.3. Pe spatiul vectorial C[a, b] al functiilor reale continue, expresia < f, g >=

b∫a

f(x)g(x)dx

este un produs scalar.

Definitia 2.4.3 Se numeste norma peste spatiul vectorial V peste K = R∨C orice aplicatie ‖ · ‖ : V → R

cu urmatoarele proprietati:

21

Page 21: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

N1. ‖x‖ = 0, daca si numai daca x = θ;

N2. ‖λx‖ = |λ| ‖x‖, oricare ar fi λ ∈ K si x ∈ V ;

N3. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (inegalitatea triunghiurilor), oricare ar fi x, y ∈ V .

Daca ın N3 punem y = −x, atunci rezulta ‖x‖ ≥ 0, pentru orice x ∈ V .

Definitia 2.4.4 Un spatiu vectorial V peste K este normat daca pe el s-a definit o norma. Scriem(V, ‖ · ‖).

Teorema 2.4.1 Daca (V,< · , · >) este un spatiu euclidian, atunci pentru orice x, y ∈ V are locinegalitatea

| < x, y > | ≤ √< x, x > · < y, y >.

numita inegalitatea lui Cauchy–Schwarz–Buniakowscki.

Demonstratie. Pentru orice x, y ∈ V si orice λ ∈ R, avem < x + λy, x + λy >≥ 0. De aici, folosindP2 − P4 obtinem

< y, y > λ2 + 2λ < x, y > + < x, x >≥ 0(2.4)

pentru orice λ ∈ R.Daca y = θ inegalitatea (10.8) devine

2λ < x, θ > + < x, x >≥ 0.(2.5)

Dar < x, θ >=< x, x− x >=< x, x > + < x,−x >=< x, x > + < −x, x >=< x, x > − < x, x >=0. Cum < x, x >≥ 0, rezulta ca (10.8) are loc pentru y = θ si oricare ar fi x ∈ V .

Deci, putem presupune y �= θ, adica < y, y >> 0. Atunci trinomul de gradul doi ın λ din (10.8) vafi ≥ 0, oricare ar fi λ ∈ R, daca si numai daca Δλ =< x, y >2 − < y, y > · < x, x >≤ 0, de unde rezulta| < x, y > | ≤ √

< x, x > · < y, y > ceea ce trebuia demonstrat.Egalitate ın inegalitatea lui Cauchy–Schwarz–Buniakowski se obtine numai daca x = −λy, adica

vectorii x si y sunt coliniari.

Observatia 2.4.1 Pentru x = (x1, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) vectori din Rn inegalitatea Cauchy–Schwarz–Buniakowski ia forma (

n∑i=1

xiyi

)2

≤(

n∑i=1

x2i

)(n∑i=1

y2i

),

cu egalitate numai daca x1/y1 = x2/y2 = . . . = xn/yn = λ ∈ R.

Teorema 2.4.2 Daca (V,< · , · >) este un spatiu euclidian, aplicatia ‖ · ‖ : V → R, definita prin‖x‖ =

√< x, x > este o norma pe V , numita norma generata de produsul scalar.

Altfel spus, un spatiu prehilbertian este un spatiu normat.

Demonstratie. Trebuiesc verificate proprietatile normei. Din ‖x‖ = 0 avem < x, x >= 0, de unde, pebaza lui P1, deducem x = θ, ceea ce ne demonstraza N1.

Pentru N2 avem ‖λx‖ =√< λx, λx > =

√λ2 < x, x > = |λ| ‖x‖, pentru orice λ ∈ R si orice

x ∈ V .Pentru a demonstra N3 putem scrie ‖x+ y‖2 =< x+ y, x+ y >=

< x, x > +2 < x, y > + < y, y >≤ ‖x‖2 + 2‖x‖ · ‖y‖ + ‖y‖2 = (‖x‖ + ‖y‖)2 (s-a folosit inegalitatea luiCauchy–Schwarz–Buniakowski), de unde rezulta ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖, oricare ar fi x, y ∈ V .

Observatia 2.4.2 Teoremele 10.4.1 si 10.4.2 raman adevarate si pentru spatiile vectoriale unitare.

22

Page 22: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Definitia 2.4.5 Fie (V,< · , · >) un spatiu vectorial euclidian. Oricare ar fi vectorii x, y ∈ V , diferitide vectorul nul, numarul real ϕ ∈ [0, π] definit prin

cosϕ =< x, y >

‖x‖ · ‖y‖ ,

se numeste unghiul dintre x si y. Unghiul ϕ se noteaza si prin (x, y).Daca < x, y >= 0, atunci ϕ = π/2, iar vectorii x si y se numesc ortogonali.Un vector v se numeste versor daca ‖v‖ = 1.

Definitia 2.4.6 Fie A o multime nevida. Se numeste metrica (distanta) pe A, orice aplicatie d :A×A→ R cu urmatoarele proprietati:

M1. d(x, y) = 0, daca si numai daca x = y (separare);

M2. d(x, y) = d(y, x), pentru orice x, y ∈ A (simetrie);

M3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), pentru orice x, y, z ∈ A (inegalitatea triunghiului).

Definitia 2.4.7 Se numeste spatiu metric orice multime nevida A ınzestrata cu o metrica. Notam cu(A, d) multimea A ınzestrata cu metrica d.

Observatia 2.4.3 Pentru orice x, y ∈ (A, d) avem d(x, y) ≥ 0.

Intr-adevar, din M3, punand z = x, rezulta

0 ≤ d(x, y) + d(y, x) = 2d(x, y),

de unde d(x, y) ≥ 0.

Exemple. 2.4.4. Aplicatia d : A × A → R prin d(x, y) ={

1, x �= y0, x = y

este o metrica pe A, numita

metrica grosiera.2.4.5. Aplicatia d : R×R→ R, d(x, y) = |x− y| este o metrica pe R.

Teorema 2.4.3 Daca (V, ‖ · ‖) este un spatiu vectorial normat, atunci aplicatia d : V ×V → R definitaprin d(x, y) = ‖x− y‖ este o metrica pe V , numita metrica generata de norma.

Demonstratie. Trebuie sa aratam ca d verifica proprietatile M1−M3. Pentru M1 din d(x, y) = 0, avem‖x− y‖ = 0, de unde, pe baza lui N1, obtinem x = y. Proprietatea de simetrie M2 rezulta astfel:

d(x, y) = ‖x− y‖ = ‖(−1)(y − x)‖ = |(−1)| ‖y − x‖ = d(y, x),

pentru orice x, y ∈ V .Inegalitatea triunghiului pentru d rezulta astfel:

d(x, y) = ‖x− z‖ = ‖x− y + (y − z)‖ ≤ ‖x− y‖ + ‖y − z‖ = d(x, y) + d(y, z),

pentru orice x, y, z ∈ V .

Observatia 2.4.4 Pentru spatiile euclidiene Rn metrica generata de norma data de produsul scalarconduce la

d(x, y) =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2

oricare ar fi x = (x1, . . . , xn) ∈ R si y = (y1, . . . , yn) ∈ R. numita si metrica euclidiana.

23

Page 23: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

2.5 Multimi convexe

In acest paragraf vom introduce notiunea de multime convexa si proprietatile ei. Ea are oimportanta deosebita ın rezolvarea modelelor matematico–economice de programare liniara.

Definitia 2.5.1 Fie x = (x1, . . . , xn) si y = (y1, . . . , yn) doi vectori din Rn. Vectorul z = ax+ (1− a)y,cu a ∈ [0, 1] se numeste combinatia liniara convexa a vectorilor x si y.

Definitia 2.5.2 Daca x, y ∈ Rn multimea {z ∈ Rn|z = ax+ (1− a)y, a ∈ [0, 1]} se numeste segmentulde dreapta de extremitati x si y. El se noteaza cu [x, y]. Daca a ∈ (0, 1), atunci segmentul deschisdat de x si y se noteaza cu (x, y).

Pe R segmentul [x, y] si segmentul deschis (x, y) coincid cu intervalul ınchis [x, y] respectiv inter-valul deschis (x, y)

Definitia 2.5.3 O multime A ⊆ Rn se numeste multime convexa, daca oricare ar fi x, y ∈ A avem[x, y] ⊆ A. Altfel spus, oricare ar fi doua puncte din A, segmentul [x, y] este o multime din A.

Exemple. 2.5.1. Fie a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn un vector fixat din Rn si b un numar real dat. MultimeaH = {x ∈ Rn| < a, x >= b} este convexa.

Fie λ ∈ [0, 1]. Pentru orice x, y ∈ H avem

< a, λx+ (1 − λ)y >= λ < a, x > +(1 − λ) < a, y >= λb+ (1 − λ)b = b

ceea ce ne arata ca [x, y] ⊆ H.MultimeaH este un hiperplan ın Rn de ecuatie a1x1+a2x2+. . .+anxn = b, daca x = (x1, . . . , xn) ∈

Rn.2.5.2. In ipotezele de la 2.5.1, multimile S1 = {x ∈ Rn| < a, x >≤ b} si S2 = {x ∈ Rn| < a, x >≥

b}, numite si semispatiile determinate de hiperplanul H, sunt multimi convexe.2.5.3. Multimile

Ma,b = {z ∈ Rn|z = ax+ by, x, y ∈ Rn, a, b ≥ 0}sunt convexe. Ele sunt numite si conuri convexe.

2.5.4. Multimea S0 = {x ∈ Rn|ax ≤ 0, a ∈ Rn, fixat } este un con convex, ın timp ce S1 si S2, cub �= 0, din exemplul 2.5.2 nu sunt conuri convexe.

Propozitia 2.5.1 Intersectia a doua multimi convexe este o multime convexa.

Demonstratie. Fie A si B doua multimi convexe din Rn. Pentru orice λ ∈ [0, 1] si x, y ∈ A ∩ B avemλx+ (1 − λ)y ∈ A ∩B .

Propozitia 2.5.1 ramane valabila pentru orice familie numarabila de multimi convexe.

Definitia 2.5.4 Multimea A ⊆ Rn se numeste con poliedral convex, daca oricare ar fi x ∈ A se poatescrie ca o combinatie liniara nenegativa de un numar finit de elemente x(i) ∈ A, adica

x =k∑i=1

aix(i), ai ≥ 0, i = 1, k

Orice subspatiu a lui Rn este un con poliedral convex.

Definitia 2.5.5 Fie A ⊆ Rn o multime. Multimea tuturor combinatiilor liniare convexe de elemente dinA se numeste acoperirea convexa a lui A. Ea se noteaza prin Co(A).

Propozitia 2.5.2 Co(A) este convexa si A ⊆ Co(A). Daca A este convexa, atunci Co(A) = A.

Demonstratia propozitiei este imediata.

Definitia 2.5.6 Daca A ⊆ Rn este o multime convexa, atunci elementulx(0) ∈ A se numeste punct extremal pentru A daca nu exista x, y ∈ A,a ∈ (0, 1) asa ıncat sa avem x(0) = ax+(1−a)y, adica x(0) nu poate fi interior segmentului [x, y], oricarear fi x, y ∈ A.

Exemplu. 2.5.5. Varfurile unui triunghi sunt punctele sale extremale.

24

Page 24: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

2.6 Testul Nr. 1 de verificare a cunostintelor

1. Definiti urmatoarele notiuni:

a) Spatiu vectorial;

b) Acoperirea liniara;

c) Baza a a unui spatiu vectorial;

d) Produs scalar;

e) Norma;

f) Metrica;

g) Combinatie liniara convexa;

h) Multime convexa.

2. Aratati ca daca (K,+, ·) este corp comutativ si n ∈ N, iarKn = {x = (x1, ..., xn) | xi ∈ K, i = 1, n},pentru n ≥ 1, atunci multimea Kn ınzestrata cu operatiile

x+ y def (x1 + y1, ..., xn + yn)α · x def (αx1, ..., αxn) , α ∈ K

este un spatiu vectorial peste K.

3. Aratati ca B = {v, u, w}, v = (2, 1,−1), u = (1,−1, 1) si w = (1, 2,−1) este o baza ın R3 si sa seafle coordonatele vectorului t = (3, 6, 1) ın aceasta baza.

4. Fie ın R4 baza B = {x1, x2, x3, x4} cu x1 = (1, 1, 2, 1), x2 = (1,−1, 0, 1), x3 = (0, 0,−1, 1), six4 = (1, 2, 2, 0). Vectorul v are coordonatele (1, 2, 2, 1) ın aceasta baza. Gasiti coordonatele lui v ınbaza B′ = {y1, y2, y3, y4} cu y1 = x1, y2 = x2, y3 = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 si y4 = x4.

5. Fie ın R3 baza B = {x1, x2, x3} cu x1 = (1, 0, 0), x2 = (2, 1, 0), x3 = (−3, 2, 1) si vectorul v =−8x1 + 4x2 − x3. Gasiti coordonatele vectorului v ın baza B′ = {y1, y2, y3}, cu y1 = x1 + x2 + x3,y2 = x1 + x2 − x3 si y3 = x1 − x2 + x3.

6. Aratti ca (Rn, d) unde d : Rn × Rn → R, d(x, y) =n∑k=1

|xk − yk|, x = (x1, ..., xn) si y = (y1, ..., yn)

este spatiu metric.

7. Aratati ca aplicatia < ·, · > : R2 × R2 → R definita prin < x, y >= 3x1y1 − x1y2 − x2y1 + 2x2y2,x = (x1, x2) si y = (y1, y2), este un produs scalar.

8. Sa se arate ca ıntr-un spatiu prehilbertian real oarecare are loc pentru orice vectori x si y egalitatea:‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2).

9. Demonstrati ca orice spatiu prehilbertian real X este si spatiu normat.

10. Fie a, b ∈ R cu a < b. Aratati ca [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} este o multime convexa.

25

Page 25: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Indicatii si raspunsuri

Testul 1

2. Se verifica conditiile prezentate ın definitia notiunii de spatiu vectorial.

3. Se verifica conditiile de liniar independenta si sistem de generatori ale sistemului devectori B. Folosind relatiile gasite la verificarea conditiei de sistem de generatori alesistemului de vectori B se gaseste tB = (−4, 4, 7).

4. Se obtine tabelulv(xi) 1 2 2 1y3(xi) 2 2 2 2v(yi) -1 0 1 -1

Deci v(yi) = (−1, 0, 1,−1).

5. Se foloseste matricea de trecere si se obtine v(yi) =(

32,92, 2).

6. Se verifica conditiile impuse asupra aplicatiei d ın definitiea notiunii de metrica.

7. Se verifica conditiile din definitia notiunii de produs scalar.

8. Se foloseste definitia normei induse de produsul scalar si proprietatile produsului scalar(‖x‖ =

√< x, x >).

9. Se foloseste definitia normei induse de produsul scalar (‖x‖ =√< x, x >) si se verifica

conditiile din definitia notiunii de norma. Remarcam ca folosim si inegalitatea Cauchy-Baniakowski-Schwarz: < x, y >≤ √

< x, x > · √< y, y >.

10. Se arata ca oricare ar fi x, y din [a, b] segmentul cu extremitatea initiala ın x si cea finalaın y apartine tot lui [a, b].

26

Page 26: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Bibliografia aferenta capitolului:[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate ın economie - Volumul I,

Editura ULB, Sibiu, 2001.

27

Page 27: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Capitolul 3

Matrice. Determinanti. Sisteme deecuatii liniare

Obiective: Scopul acestui capitol este de a oferi studentilor metode rapide desolutionare a problemelor legate de matrici, determinanti si sisteme de ecuatii liniare.

Rezumat: In prezentul capitol sunt prezentate atat metodele cunoscute din liceu,precum si metode avansate, de aflare a inversei unei matrici, de calcul a valorii unui deter-minant si de rezolvare a unui sistem de ecuatii liniare, metode care se vor aplica ın capitoleleulterioare.

Continutul capitolului:1. Matrice2. Determinanti3. Sisteme de ecuatii liniare4. Test de verificare a cunostintelor5. Bibliografia aferenta capitolului

Cuvinte cheie: matrice, determinant, sistem de ecuatii libiare, Gauss, Gauss-Jordan, metoda lui Chio.

3.1 Matrice

Definitia 3.1.1 Se numeste matrice de tipul m×n peste un camp K un tablou dreptunghiularA format din m× n elemente din K situate pe m linii si n coloane.

Scriem

A =

⎛⎜⎜⎜⎝a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

......

am1 am2 am3 amn

⎞⎟⎟⎟⎠sau condensat

A = (aij) i=1,mj=1,n

,

unde aij reprezinta elementul matricei situat pe linia i si coloana j.

Elementele a11, a22, . . . formeaza diagonala principala a matricei, iar elementelea1n, a2,n−1, . . . diagonala secundara.

Notam cu Mm×n(K) multimea matricelor de tipul m×n peste campul K, iar cu M(K)multimea tuturor matricelor peste campul K. Daca m = n, matricele se numesc patraticede ordin n.

Daca m = 1, matricea se numeste matrice sau vector linie. Daca n = 1, matricea senumeste matrice sau matrice coloana.

28

Page 28: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Unei matrice A de tip m × n i se poate ataa sistemul ordonat de m vectori linie dinKn dat de

Li = (ai1, ai2, . . . , ain), i = 1,m

si sistemul ordonat de n vectori coloana

Cj = t(a1j , a2j , . . . , amj), j = 1, n.

Definitia 3.1.2 Doua matrice de acelasi tip sunt egale daca elementele corespunzatoare suntegale.

Definitia 3.1.3 Se numeste suma matricelor A = (aij) si B = (bij), ambele de tipul m × npeste K, matricea notata cu A+B data de regula A+B = (aij + bij). Operatia care realizeazaaceasta regula se numeste adunarea matricelor.

Matricea O ∈ Mm×n(K) cu toate elementele nule se numeste matricea nula. Fiinddata matricea A = (aij) ∈ Mm×n(K), matricea −A = (−aij) ∈ Mm×n(K) se numeste opusa luiA.

Se verifica imediat ca (Mm×n(K),+) este un grup comutativ.

Definitia 3.1.4 Se numeste produsul matricei A = (aij) ∈ Mm×n(K) cu scalarul α ∈ K, ma-tricea notata αA, obtinuta prin regula αA = (αaij) ∈ Mm×n(K). Operatia data de aceastaregula se numeste ınmultirea cu un scalar a matricelor.

Inmultirea cu un scalar a matricelor verifica proprietatile evidente

1 ·A = A,α(A+B) = αA+ αB, (α+ β)A = αA+ βA,α(βA) = (αβ)A,

oricare ar fi α, β ∈ K si A,B ∈ Mm×n(K).

Rezulta ca are loc propozitia:

Propozitia 3.1.1 Multimea matricelor Mm×n(K) ın raport cu operatiile de adunare si deınmultire cu un scalar are o structura de spatiu vectorial peste K.

Dimensiunea spatiului vectorial Mm×n(K) este mn. Intr-adevar se observa ca oriceA = (aij) ∈ Mm×n(K) se scrie ın mod unic sub forma

A =m∑i=1

n∑j=1

aijE(ij),

unde E(ij) sunt matricele de tipul m× n, care au toate elementele egale cu 0, ın afara de celde pe linia i si coloana j care este egal cu 1.

Definitia 3.1.5 Se numeste transpunere ın multimea M(K) a matricelor peste K, aplicatiat : M(K) → M(K), definita prin t(A) = tA, unde A = (aij) ∈ Mm×n(K), iar tA = (aji) ∈Mn×m(K). Matricea tA se numeste transpusa lui A.

Se observa usor ca transpusa este o functie bijectiva, care verifica proprietatile: 1)t(tA) = A; 2) t(A + B) = tA + tB si 3) t(αA) = αtA, oricare ar fi A,B ∈ Mm×n(K) si α ∈ K.De aici rezulta ca transpunerea este un izomorfism ıntre spatiile vectoriale Mm×n(K) siMn×m(K).

Definitia 3.1.6 O matrice patratica A = (aij) ∈ Mn×n(K) se numeste simetrica daca A = tA,adica elementele simetrice fata de diagonala principala sunt egale aij = aji, i, j = 1, n.

Definitia 3.1.7 O matrice patratica A = (aij) ∈ Mm×n(K) e numeste antisimetrica daca A =−tA, adica elementele simetrice fata de diagonala principala sunt opuse aij = −aji i, j = 1, n.

Definitia 3.1.8 O matrice patratica se numeste triunghiulara superioara respectiv inferioaradaca toate elementele situate dedesuptul, respectiv deasupra diagonalei principale sunt nule.

29

Page 29: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Definitia 3.1.9 O matrice patratica se numeste diagonala daca toate elementele ei sunt nulecu exceptia celor de pe diagonala principala.

Teorema 3.1.1 Teorema rangului. Pentru o matrice rangul sistemului de vectori linie esteegal cu rangul sistemului de vectori coloana.

Demonstratie. Fie A = (aij) ∈ Mm×n(K) si r si p rangurile sistemelor de vectori linieLi = (ai1, ai2, . . . , ain), i = 1,m si coloana Cj = (a1j , a2j , . . . , amj), j = 1, n. Nu restrangemgeneralitatea, daca presupunem ca primele r linii sunt liniare independente, deoarece oschimbare a ordinii liniilor pastreaza rangul sistemului vectorilor linie. O astfel de schimbaremodifica vectorii coloana. Fiecare vector coloana se scrie

Cj =m∑i=1

aije(i),

unde B = {e(1), e(2), . . . , e(m)} este baza canonica din Km, este dus ın vectorul

C ′j =m∑i=1

aijf(i),

unde B1 = {f (1), f (2), . . . , f (m)} este noua baza din Km, obtinuta din B prin schimbarea ordiniivectorilor ei, corespunzatoare schimbarii liniilor matricei A. Consideram, acum, automor-fismul spatiului Km, care duce baza B ın baza B1, acesta ducand vectorii Cj ın vectorii C ′j sideci pastreaza rangul sistemului format de ei. Celelalte linii ale matricei A se vor exprimaca si combinatii liniare de primele r, adica putem scrie

Lr+s = αr+s,1L1 + αr+s,2L2 + . . .+ αr+s,rLr, s = 1, 2, . . . ,m− r,

de unde, folosind egalitatea vectorilor ın Kn, rezulta

ar+s,j = αr+s,1a1j + αr+s,2a2j + . . .+ αr+n,rarj , j = 1, . . . , n.

Inlocuind ın expresiile coloanelor Cj, obtinem

Cj =r∑i=1

aije(i) +

m−r∑s=1

ar+s,je(r+s) =

=r∑i=1

aije(i) +

m−r∑s=1

(αr+s,1a1j + αr+s,2a2j + . . .+ αr+s,rarj)e(r+s), j = 1, n.

Cum coeficientii αr+s,j, j = 1, n sunt independenti de ordinea liniilor, grupand termeniicare contin pe aij, obtinem

Cj =r∑i=1

aij

(e(i) +

m−r∑s=1

αr+s,ie(r+s)

), j = 1, n.

Punand g(i) = e(i) +∑m−rs=1 αr+s,ie

(r+s), i = 1, r, rezulta

Cj =r∑i=1

aijg(i), j = 1, n.

Am dedus ca cei n vectori coloana se exprima ca si combinatii liniare de r vectori g(i)

din Km, iar rangul p al sistemului format de ei este cel mult egal cu numarul generatorilorg(i), deci p ≤ r.

Daca acum schimbam rolul coloanelor si liniilor si facem acelasi rationament, obtinemr ≤ p. Din p ≤ r si r ≤ p rezulta r = p, ceea ce trebuia demonstrat.

30

Page 30: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Definitia 3.1.10 Rangul comun al sistemelor de vectori linii sau coloane a unei matrice senumeste rangul ei.

Altfel spus, rangul unei matrice este egal cu numarul maxim de linii sau coloane liniarindependent, ıntre ele.

Propozitia 3.1.2 Rangul unei matrici este egal cu rangul transpusei sale.

Demonstratie. Deoarece prin transpunere sistemul de vectori linie al unei matrici devinesistemul de vectori coloana al transpusei matricei, din teorema rangului rezulta ca matriceasi transpusa ei au acelasi rang.

Observatia 3.1.1 Prin transformari elementare aplicate sistemului de vectori linie saucoloane, rangul unei matrice nu se modifica.

Valabilitatea acestei observatii rezulta din teorema rangului si din faptul ca prin efec-tuarea unor transformari elementare rangul unui sistem de vectori nu se modifica (v.3.3).

Propozitia 3.1.3 Prin transformari elementare asupra liniilor si coloanelor, orice matriceA poate fi transformata ıntr-o matrice B, avand toate elementele nule cu exceptia primelorr elemente de pe diagonala principala, care sa fie egale cu 1. Matricea A are atunci rangulr.

Demonstratie. Consideram matricea

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1j . . . a1n

......

......

......

ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

......

...am1 am2 . . . amj . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠Daca A este matricea nula, atunci afirmatia propozitiei este dovedita. Daca nu, atunci

putem presupune ca a11 �= 0 (ın caz ca a11 = 0 se fac schimbari ale ordinii liniilor saucoloanelor). Pentru a obtine 1 pe pozitia lui a11 ınmultim prima linie cu a−1

11 . Pentru a avea0 pe pozitia ai1, i = 2,m, ınmultim acum linia ıntai cu −ai1. Elementul aij se ınlocuieste cu

aij − a−111 a1jai1 =

a11aij − a1jai1an

, i = 2,m, j = 2, n,

ın care se recunoaste regula de calcul a dreptunghiului sau elementului pivot.Aplicand repetat acest procedeu, dupa un numar finit de pasi, ajungem ca A este

echivalenta (∼) din punctul de vedere al rangului cu matricea

B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 . . . 0 0 . . . 00 1 . . . 0 0 . . . 0...

......

......

......

0 0 . . . 1 0 . . . 00 0 . . . 0 0 . . . 0...

......

......

......

0 0 . . . 0 0 . . . 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠linia r

si deci rangul lui A este r, dat de numarul de cifre 1 din B.Demonstratia acestei propozitii ne da si procedeul practic de aflare a rangului unei

matrice, calculele facandu-se cu cunoscuta regula a dreptunghiului.Exemplul 3.1.1. Sa se afle rangul matricei

A =

⎛⎜⎜⎝0 2 1 1 32 −1 4 −5 −61 1 2 −1 01 −2 2 −4 −6

⎞⎟⎟⎠ .

31

Page 31: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Schimband coloana 1 cu coloana 2 si ınmultind coloana 5 cu 1/3 obtinem

A ∼

⎛⎜⎜⎝2 0 1 1 1−1 2 4 −5 −21 1 2 −1 0−2 1 2 −4 −2

⎞⎟⎟⎠ .

Inmultim prima linie cu 1/2, apoi pe linia ıntai si coloana ıntai completam cu 0, iarrestul elementelor le calculam cu regula dreptunghiului, obtinand

A ∼

⎛⎜⎜⎝1 0 0 0 00 2 9

2 − 92 − 3

20 1 3

2 − 32 − 1

20 1 3 −3 −1

⎞⎟⎟⎠ .

Aplicand succesiv acelasi procedeu avem:

A ∼

⎛⎜⎜⎝1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 − 3

434

14

0 0 34 − 3

4 − 14

⎞⎟⎟⎠ ∼

⎛⎜⎜⎝1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 −3 3 10 0 3 −3 −1

⎞⎟⎟⎠ ∼

⎛⎜⎜⎝1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 −3 3 10 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎠ ∼

⎛⎜⎜⎝1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎠ ,

si deci rang A = 3.

Definitia 3.1.11 O matrice patratica de ordin n se numeste nesingulara sau regulata dacarangul ei este egal cu n. In caz contrar, adica daca rangul ei este mai mic ca n, atuncimatricea se numeste singulara.

Definitia 3.1.12 Se numeste matrice extrasa dintr-o matrice A orice matrice B obtinuta dinA ınlaturand anumite linii si coloane, pastrand ordinea liniilor si coloanelor ramase.

Teorema 3.1.2 Rangul unei matrice este egal cu ordinul maxim al matricelor patraticenesingulare extrase din ea.

Demonstratie. Fie A o matrice, r rangul ei si B o matrice patratica nesingurala extrasa dinA si de rang maxim p. Cele p linii ale matricei A care intervin ın B sunt liniar independente,deoarece dependenta liniara a acestor linii ın A ar atrage dependenta lor liniara si ın B, ceeace ar face ca B sa fie singulara. Prin urmare p ≤ r. Acum sa aratam ca oricare p+1 linii din Asunt liniar independente. Sa admitem ca exista ın A (p+1) linii liniar independente, atunci,extragand din A matricea formata din ele, am obtine o matrice C de rang (p+ 1). Pe bazateoremei rangului, matricea C are si p+1 coloane liniar independente. Acum extragand dinC (deci si din A) matricea D formata din cele p+ 1 coloane liniar independente, obtinem omatrice nesingulara de ordin p+ 1, ceea ce ar contrazice alegerea lui p. Rezulta ca r < p+ 1si cum am aratat ca p ≤ r, deducem ca r = p.

Sa introducem acum pe multimea M(K) a matricelor operatia de ınmultire.

Definitia 3.1.13 Se numeste produsul matricei A = (aij) ∈ Mm×n(K) cu matricea B = (bij) ∈Mn×p(K), matricea C = (cij) ∈ Mm×p(K), unde

cij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ ainbnj , i = 1,m, j = 1, p.

Scriem C = A · B. Operatia care realizeaza acest proces se numeste ınmultirea ma-tricelor.

32

Page 32: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Propozitia 3.1.4 Inmultirea matricelor, cand are sens, este asociativa.

Demonstratie. Fie A = (aij) ∈ Mm×n(K), B = (bij) ∈ Mn×p(K), C = (cij) ∈ Mp×q(K). Avem

A(BC) =

(n∑k=1

aik

[p∑l=1

bklclj

])=

(n∑k=1

p∑l=1

aikbklclj

)=

=

(p∑l=1

[n∑k=1

aikbkl

]clj

)= (AB)C.

Propozitia 3.1.5 Inmultirea matricelor este distributiva fata de adunarea lor.

Demonstratie. Fie A = (aij) ∈ Mm×n(K), B = (bij) ∈ Mn×p(K) si C = (cij) ∈ Mn×p(K). Avem

A[B + C] =

(n∑k=1

aik[bkj + ckj ]

)=

(n∑k=1

aikbkj +n∑k=1

aikckj

)=

=

(n∑k=1

aikbkj

)+

(n∑k=1

aikckj

)= AB +AC,

adica ınmultirea este distributiva la stanga fata de adunare. In mod analog, se demonstreazasi distributivitatea la dreapta.

Definitia 3.1.14 Matricea patratica In = (δij), i, j = 1, n, unde

δij ={

1, i = j0, i �= j i, j = 1, n

este simbolul lui Kronecker, se numeste matricea unitate de ordinul n.

Altfel spus, matricea In este o matrice diagonala cu toate elementele de pe diagonalaprincipala egale cu 1. Cand nu dorim sa precizam ordinul matricei unitate o vom nota prinI.

Observatia 3.1.2 Pentru orice matrice A ∈ Mm×n(K) avem

ImA = A si AIn = A.

Observatia 3.1.3 Inmultirea matricelor, ın general. nu este comutativa.

Din proprietatile adunarii si ınmultirii rezulta:

Propozitia 3.1.6 Multimea Mn2(K) a matricelor patratice de acelasi ordin n ınzestrata cuoperatiile de adunare si ınmultire are o structura de inel cu divizori ai lui zero.

Propozitia 3.1.7 Transpusa unui produs de doua matrice este egala cu produsul transpuselorın ordine inversa.

Demonstratie. Fie A = (aij) ∈ Mm×n(K) si B = (bij) ∈ Mn×p(K). Avem

t(AB) = t

(n∑k=1

aikbkj

)=

(n∑k=1

ajkbki

)=

(n∑k=1

bkiajk

)= tBtA.

Rezultatul obtinut se poate extinde prin inductie matematica la un produs cu unnumar finit de factori.

Definitia 3.1.15 Se numeste inversa matricei patratice A, matricea notata cu A−1, care sat-isface conditiile A ·A−1 = A−1 ·A = I.

33

Page 33: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Teorema 3.1.3 Conditia necesara si suficienta ca o matrice patratica sa aiba inversa esteca ea sa fie nesingulara.

Demonstratie. Necesitatea. Presupunem ca matricea A = (aij) ∈ Mn2(K) are o inversa peA−1 = (bij) ∈ Mn2(K). Din A−1A = I rezulta

n∑k=1

bikakj = δij , i, j = 1, n.

de unde, pentru vectorii e(i), i = 1, n ai bazei canonice obtinem exprimarea

e(i) =n∑k=1

bikLk,(3.1)

Lk, k = 1, n, fiind vectorii linie ai matricei A. Cum pentru orice x ∈ Kn avem x =n∑i=1

xie(i),

ınlocuind e(i) din relatiile (3.1) deducem ca orice vector x ∈ Kn se exprima ca o combinatieliniara de vectori linie Lk, k = 1, n. Rezulta ca sistemul de vectori linie Lk, k = 1, n, genereazaspatiul Kn, ceea ce ınseamna ca are rangul n si deci matricea A este nesingulara.

Suficienta. Din faptul ca A este nesingulara, rezulta ca vectorii linie Lk, k = 1, n, suntliniar independenti si deci formeaza o baza ın Kn. Exprimam vectorii e(i), i = 1, n, ai bazeicanonice ın baza data de vectorii linie si avem

e(i) =n∑k=1

bikLk, i = 1, n,

de unde, punand B = (bik), obtinem BA = I.Matricea A fiind nesingulara are si vectorii coloana liniar independenti, formand si ei

o baza ın Kn, si deci putem scrie AC = I. Acum obtinem

C = IC = (BA)C = B(AC) = BI = B,

de unde C = B = A−1 si prin urmare matricea A are inversa.Usor se arata ca inversa unei matrice este unica si ca ea este nesingulara.

Propozitia 3.1.8 Produsul a doua matrice nesingulare este o matrice nesingulara si inversaei este egala cu produsul inverselor luate ın ordine schimbata

(AB)−1 = B−1 ·A−1

Demonstratie. Avem

(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AA−1 = I

si(B−1A−1)(AB) = B−1(A−1A)B = B−1B = I,

relatii ce demonstreaza afirmatiile din enunt.Rezultatul se extinde prin inductie matematica la un produs de matrice nesingulare

cu un numar finit de factori.Pentru aflarea inversei unei matrice se foloseste transformarea ei ın matrice unitate,

aplicand regula dreptunghiului, dupa schema

(A|I) =⇒ (A−1A|A−1I) =⇒ (I|A−1).

Exemplul 3.1.2. Pentru a afla inversa matricei

A =

⎛⎝ 2 1 33 2 32 1 2

⎞⎠34

Page 34: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

procedam astfel

(A|I3) =⇒⎛⎝ 2 1 3

3 2 32 1 2

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

⎞⎠ =⇒⎛⎝ 1 1

232

0 12 − 3

20 0 −1

∣∣∣∣∣∣12 0 0

− 32 1 0

−1 0 1

⎞⎠ =⇒

=⇒⎛⎝ 1 0 3

0 1 −30 0 −1

∣∣∣∣∣∣2 −1 0−3 2 0−1 0 1

⎞⎠ =⇒⎛⎝ 1 0 0

0 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣−1 −1 30 2 −31 0 −1

⎞⎠Prin urmare, avem

A−1 =

⎛⎝ −1 −1 30 2 −31 0 −1

⎞⎠ .

Se poate lucra utilizand regula dreptunghiului fara a ımparti la pivot si transformandmatricea (A|I) extinsa asa ıncat sa ajungem la situatia (D|C), unde D este matricea diagonala

D =

⎛⎜⎜⎜⎝a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...

......

...0 0 . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎠ iar C = (cij), i, j = 1, n.

Pentru a afla inversa A−1 ımpartim liniile L1, L2, . . . , Ln ale matricei C respectiv la:a11a22 . . . ann, a22 . . . ann, . . . , ann.Exemplul 3.1.3. Pentru a afla inversa matricei

A =

⎛⎝ 2 1 33 3 21 2 1

⎞⎠procedam astfel

(A|I3) =⇒⎛⎝ 2 1 3

3 3 21 2 1

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

⎞⎠ =⇒⎛⎝ 2 1 3

0 3 −50 3 1

∣∣∣∣∣∣1 0 0−3 2 0−1 0 2

⎞⎠ =⇒

=⇒⎛⎝ 2 0 14

0 3 −50 0 12

∣∣∣∣∣∣6 −2 0−3 2 06 −6 6

⎞⎠ =⇒⎛⎝ 2 0 0

0 3 00 0 12

∣∣∣∣∣∣−12 60 −84−6 −6 306 −6 6

⎞⎠de unde

A−1 =

⎛⎝ − 122·3·12

602·3·12

−842·3·12−6

3·12−63·12

303·12

612 − 6

12612

⎞⎠ =

⎛⎝ − 16

56 − 7

6− 16 − 1

656

12 − 1

212

⎞⎠ .

Definitia 3.1.16 O matrice patratica A se numeste ortogonala dacatA ·A = I.

Propozitia 3.1.9 Conditia necesara si suficienta ca o matrice patratica sa fie ortogonalaeste ca ea sa fie nesingulara, iar transpusa si inversa ei sa fie egale.

Demonstratie. Necesitatea. Din tA ·A = I rezulta ca A este nesingulara si, ınmultind aceastaegalitate la dreapta cu A−1, obtinem tA = A−1.

Suficienta. Daca A este nesingulara si verifica tA = A−1, atunci, prin ınmultire ladreapta cu A, gasim tA ·A = I, ceea ce ne arata ca A este ortogonala.

Teorema 3.1.4 Rangul unui produs de matrice nu depaseste rangul fiecaruia din factoriisai.

35

Page 35: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Demonstratie. Fie A = (aij) ∈ Mm×n(K), B = (bij) ∈ Mn×p si C = A ·B = (cij) ∈ Mm×p, unde

cij =n∑k=1

aikbkj , i = 1,m, j = 1, p.

Ultimele relatii ne arata ca liniile matricei C se exprima ca si combinatii liniare deliniile matricei B si deci subspatiul generat de liniile matricei C sunt incluse ın subspatiulgenerat de liniile matricei B. Asadar, avem rang C ≤ rang B In mod analog, rationand cuvectorii coloana, obtinem rang C ≤ rang A.

Daca unul din factorii produsului este o matrice nesingulara, atunci avem un rezultatmai precis.

Teorema 3.1.5 Rangul produsului dintre o matrice A si o matrice nesingulara B este egalcu rangul lui A.

Demonstratie. Fie C = AB. Din Teorema 3.1.4 avem rang C ≤ rang A. Tinand seamaca B este nesingulara, exista B−1 si ınmultind la dreapta cu B−1 ın C = AB, obtinemA = CB−1. Aplicand din nou Teorema 3.1.4, rezulta rang A ≤ rang C. Din rang C ≤ rang Asi rang A ≤ rang C obtinem rang C = rang A.

Observatia 3.1.4 Pentru simplificarea calculelor cu matrice se lucreaza, deseori, cu matriceımpartita (partitionata) ın submatrice sau blocuri, obtinute ducand paralele la liniile sicoloanele ei. De exemplu, matricea A ∈ Mn2(K) se poate scrie

A =(

B CD E

)unde B ∈ Mp2(K), E ∈ M(n−p)2(K), C ∈ Mp,(n−p), iar D ∈ Mn−p,p.

Cu matricele formate din blocuri se pot face operatii ca si cu matrice obisnuite,reducand calculele la matrice de ordine mai mici.

O importanta aplicatie a partitionarii ın blocuri o constituie inversarea unei matrice.Sa presupunem ca B este inversa matricei A. Atunci

AB = I

sau prin partitionare (A11 A12

A21 A22

)(B11 B12

B21 B22

)=(

I OO I

)Efectuand ınmultirile si identificand matricele din cei doi membrii, vom obtine

(1) A11B11 +A12B21 = I,

(2) A11B12 +A12B22 = 0,

(3) A21B11 +A22B21 = 0,

(4) A21B12 +A22B22 = I.

Din (2) avemB12 = −A−1

11 ·A12 ·B22,

care ınlocuita ın (4) ne conduce la

B22 = (A22 −A21A−111 A12)−1

Deoarece BA = I, vom avea

B21A11 +B22A21 = 0,

36

Page 36: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

de undeB21 = −B22A21A

−111

iar din (2)B11 = A−1

11 −A−111 A12B21.

Ordinea de calculare a blocurilor matricei B este: B22, B12, B21 si B11.Exemplul 3.1.4. Sa se afle inversa matricei

A =

⎛⎝ 2 3 44 2 13 2 −1

⎞⎠Partitionam luand

A11 = 2, A12 = (3 4), A21 =(

43

)si A22 =

(2 12 −1

)Calculam B22 = P−1, unde

P = A22 −A21A−111 A12 =

( −4 −7− 5

2 −7

)Pentru a afla P−1 procedam prin acelasi algoritm, considerand A = P si facand

partitionarea

A11 = −4, A12 = −7, A21 = −52, A22 = −7.

Avem calculele

B22 =(−7 +

52

(−1

4

)(−7)

)−1

= − 821

B12 =14(−7)

(− 8

21

)=

23

B21 =821

(−5

2

)(−1

4

)=

521

B11 = −14

+14(−7)

(521

)= −2

3

si

P−1 =( − 2

323

521 − 8

21

).

Acum revenim la calculul inversei matricei A initiala. Avem

B22 = P−1,

B12 = −A−111 A12B22 = −1

2(3 4)

( − 23

23

521 − 8

21

)=(

1121

− 521

),

B21 = −B22A21A−111 =

( 13221

),

B11 = A−111 −A−1

11 A12B21 =12− 1

2(3 4)

( 13221

)=(− 4

21

),

rezultand

A−1 =(

B11 B12

B21 B22

)

37

Page 37: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

In ıncheierea acestui paragraf sa prezentam o aplicatie a matricelor la schimbareabazei unui spatiu vectorial.

Fie V un spatiu vectorial peste campul K cu dim V = n si B = {e(1), e()2, . . . , e(n)} o bazaa lui. Fata de aceasta baza un vector x ∈ V se scrie ın mod unic sub forma

x =n∑i=1

xie(i),

ceea ce ınseamna ca vectorului x ıi corespunde vectorul linie x = (x1, . . . , xn) din Kn. De aicirezulta daca avem ın V sistemul de vectori

x(i) = (xi1, xi2, . . . xin), i = 1, 2, . . . , p,

atunci rangul sistemului de vectori {x(1), x(2), . . . , x(p)} este egal cu rangul matricei coordo-natelor

A =

⎛⎜⎜⎝x11 x12 . . . x1n

x21 x22 . . . x2n

. . . . . . . . . . . .xp1 xp2 . . . xpn

⎞⎟⎟⎠ .

Rezulta ca daca consideram ın V sistemul de vectori B1 = {f (1), f (2), . . . , f (n)}, dat fatade B prin formulele

fj =n∑i=1

aije(i), j = 1, n,

atunci B1 formeaza o baza ın V daca si numai daca matricea A = (aij) ∈ Mn2(K) estenesingulara.

In acest caz, A se numeste matricea schimbarii de baza sau matricea de trecere de labaza B la baza B1.

Punand fata de B1

x =n∑j=1

yjf(j)

si ınlocuind pe fj, avem

x =n∑j=1

yj

(n∑i=1

aije(i)

)=

n∑i=1

⎛⎝ n∑j=1

aijyi

⎞⎠ e(i)

de unde, identificand cu x =n∑i=1

xie(i), rezulta

xi =n∑j=1

aijyj , i = 1, n,

care constituie formulele de schimbare a sistemului de coordonate, cores- punzatoareschimbarii de baza B ın B1. Sub forma matriciala formulele de schimbare se scriu ast-fel

tx = Aty.

3.2 Determinanti

Consideram matricea patratica A = (aij) ∈ Mn2(K) cu elemente din campul K.Formam produse de forma a1i1 , a2i2 . . . anin , obtinute luand cate un element si numai unul

38

Page 38: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

din fiecare linie si coloana a matricei A. Unui astfel de produs ıi asociem permutarea(substitutia)

G =(

1 2 . . . ni1 i2 . . . in

)numita permutarea indicilor sai. Notam cu Sn multimea tuturor celor n! permutari alemultimii {1, 2, . . . , n}.

In permutarea σ ∈ Sn avem o inversiune daca i < j si σ(i) > σ(j).De exemplu, ın permutarea

σ =(

1 2 3 44 2 1 2

)elementele 4 si 2 prezinta o inversiune.

Prin Inv(G) notam numarul inversiunilor permutarii G, iar prin ε(σ) = (−1)Inv(σ) sig-natura permutarilor σ. Daca ε(σ) = 1, avem o permutare para, iar daca ε(σ) = −1 avem opermutare impara.

Definitia 3.2.1 Numim determinantul matricei patratice A = (aij) ∈ Mn2(K), elementuldet A ∈ K dat de formula

det A =∑σ∈Sn

ε(σ)a1i1a2i2 . . . anin ,

unde suma se extinde la toate cele n! permutari din Sn.

Altfel spus, determinantul matricei A este elementul det A din K egal cu suma a n!produse, unde ın fiecare produs intra ca factor cate un element de pe fiecare linie si coloanaa matricei A, produsul avand semnul + sau − dupa cum permutarea indicilor sai este parasau impara. Determinantul det A se zice de ordinul n daca matricea A are ordinul n. Pentrudet A folosim notatia

det A =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣sau det A = |A| = |aij |.

Vom prezenta acum proprietatile determinantilor.

Propozitia 3.2.1 Determinantul unei matrice este egal cu determinantul transpusei sale.

Demonstratie. Valabilitatea Propozitiei rezulta din faptul ca o permutare σ si inversa eiσ−1 au aceeasi paritate.

Din aceasta propozitie rezulta ca daca pentru liniile unui determinant avem opropozitie adevarata, atunci aceasta este adevarata si pentru coloanele determinantului.De aceea, ın continuare, vom formula si justifica proprietatile numai pentru liniile unuideterminant.

Propozitia 3.2.2 Daca linia Li a matricei patratice A = (aij) ∈ Mn2(K) este suma a p vectori,atunci determinantul ei este egal cu suma a p determinanti corespunzatori matricelor careau aceleasi linii cu A, cu exceptia liniei Li unde are cate unul din cei p vectori.

Demonstratie. Daca linia Li este suma a p vectori atunci

aij =p∑k=1

b(k)ij , i = 1, n

si putem scrie

det A =∑σ∈Sn

ε(σ)a1j1 . . . aiji =∑σ∈Sn

ε(σ)a1j1

p∑k=1

b(k)iji. . . anjn =

39

Page 39: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

=p∑k=1

∑σ∈Sn

ε(σ)a1j1b(k)iji. . . anjn ,

ceea ce trebuia demonstrat.

Propozitia 3.2.3 Daca ıntr-un determinant ınmultim o linie cu un factor k ∈ K, atuncivaloarea determinantului se ınmulteste cu k.

Demonstratie. Fie A = (aij) ∈ Mn2(K) si B matricea obtinuta din A, ın care elementele linieii sunt ınmultite cu k. Atunci

det (B) =∑σ∈Sn

ε(σ)a1j1 . . . (kaiji) . . . anjn =

= k∑σ∈Sn

ε(σ)a1i1 . . . ajianjn = k det A.

Propozitia 3.2.4 Daca ıntr-un determinant se schimba doua linii ıntre ele, atunci valoarealui ısi schimba semnul.

Demonstratie. Se observa ca prin schimbarea celor doua linii permutarea indicilor ısischimba paritatea.

Propozitia 3.2.5 Daca ıntr-un determinant doua linii sunt identice, atunci valoarea lui estezero.

Demonstratie. Daca ın det A schimbam ıntre ele cele doua linii identice, atunci, folosindpropozitia 3.2.4 putem scrie det A = −det A, de unde det A = 0.

Propozitia 3.2.6 Daca ıntr-un determinant avem doua linii proportionale, atunci valoarealui este zero.

Demonstratie. Valabilitatea propozitiei rezulta din Propozitiile 3.2.3 si 3.2.5.

Propozitia 3.2.7 Daca ıntr-un determinant la o linie adaugam o combinatie liniara de cele-lalte linii, atunci valoarea lui ramane neschimbata.

Demosntratıe. Se aplica Propozitiile 3.2.2 si 3.2.6.

Propozitia 3.2.8 Daca liniile matricei care defineste determinantul sunt liniar dependente(matricea este singulara), atunci valoarea determinantului este zero.

Demonstratie. Se aplica Propozitiile 3.2.2 si 3.2.6.In particular, daca pe o linie a unui determinant avem numai zero, atunci valoarea

determinantului este zero.

Definitia 3.2.2 Numim minorul complementar al elementului aij din matricea patratica A =(aij) ∈ Mn2(K), determinantul asociat matricei extrase din A prin eliminarea liniei i sicoloanei j.

Notam Mij minorul complementar al elementului aij.

Definitia 3.2.3 Numim complementul algebric al elementului aij din matricea patratica A =(aj) ∈ Mn2(K) elementul Aij ∈ K dat de relatia

Aij = (−1)i+jMij .

Propozitia 3.2.9 Determinantul matricei A = (aij) ∈ Mn2(K) este egal cu suma produselorelementelor liniei Li (i = 1, n) prin complementii lor algebrici, adica

det (A) = ai1Ai1 + . . .+ aijAij + . . .+ ainAin.

40

Page 40: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Demosntratie. Se arata ca efectuand produsele aijAij, j = 1, n obtinem toate produsele dindefinitia lui det A luate cu acelasi semn.

Corolarul 3.2.1 Daca ın dezvoltarea determinantului det (A) dupa elementele liniei Liınlocuim aceste elemente prin elementele α1, . . . , αn din K, atunci suma obtinuta reprezintadeterminantul matricei obtinuta din A prin ınlocuirea liniei Li cu vectorul (α1, α2, . . . , αn).

Corolarul 3.2.2 Suma produselor elementelor unei linii Li ai matricei A = (aij) ∈ Mn2(K)prin complementii algebrici ai elementelor altei linii Lj este egala cu zero.

De fapt, din Propozitia 3.2.9 si Corolarul 3.2.2 putem scrie

n∑j=1

aijAkj = δikdet A, i, k = 1, n.

Observatia 3.2.1 Propozitia 3.2.9 se poate generaliza prin asa numita regula a lui Laplace.In acest scop se introduce notiunea de minor de ordinul k al matricei A = (aij) ∈ Mn2(K),notat prin

M j1,j2,...,jki1,i2,...,ik

si fiind determinatul asociat matricei de ordin k formata cu elementele ce se gasesc laintersectia liniilor i1, . . . , ik cu coloanele j1, . . . , jk (i1 < . . . < ik, j1 < . . . < jk). Minorul com-

plementar al minorului M j1,j2,...,jki1,i2,...,ik

, notat prin Mj1,j2,...,jki1,i2,...,ik

este determinatul asociat matriceiextrase din A prin ınlaturarea liniilor i1, . . . , in si coloanelor j1, . . . , jk. Se numeste comple-mentul algebric al minorului M j1,j2,...,jk

i1,i2,...,ikelementul Aj1,j2,...,jki1,i2,...,ik

∈ K dat de relatia

Aj1,...,jki1,...,ik= (−1)i1+...+ik+j1+...+jkM

j1,...,jki1,...,ik

.

Regula lui Laplace ne spune ca determinantul unei matrice patratice este egal cu sumaproduselor minorilor de pe k linii fixate ale matricei prin complementii lor algebrici.

Observatia 3.2.2 Calculul unui determinant de ordin n se poate face calculand numaideterminanti de ordinul doi (de fapt, aplicand regula dreptunghiului fara ımpartirea laelemntul pivot). Fie de calculat

det A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1j . . . a1n

. . . . . . . . . . . . . . . . . .ai1 ai2 . . . aij . . . ain. . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Presupunem ca a11 �= 0. Impartim linia ıntai cu a11 (ın fata determinantului se va

ınmulti cu a11). Apoi facem 0 pe prima coloana, ceea ce va face ca elementul aij sa fieınlocuit prin

aij − a1j

a11ai1 =

aija11 − a1jai1a11

=bija1j

, i, j = 2, n.

Dezvoltand acum determinantul dupa prima coloana si scotand ın noul determinantfactorul 1/a11 de pe fiecare linie, obtinem formula lui Chio:

det A =1

an−211

∣∣∣∣∣∣∣∣b22 b23 . . . b2nb32 b33 . . . b3n. . . . . . . . . . . .bn2 bn3 . . . bnn

∣∣∣∣∣∣∣∣ .

41

Page 41: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Practic se aplica repetat aceasta formula, ın care elementele bij, i, j = 2, n, se obtinprin ”regula dreptunghiului” fara ımpartirea la elementul pivot.Exemplu. Avem

det A =

∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 3 24 2 1 33 2 1 4−2 3 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ =122

∣∣∣∣∣∣0 −10 −21 −7 28 8 8

∣∣∣∣∣∣ =

=122

· 8 · 2∣∣∣∣∣∣

1 1 11 −7 20 5 1

∣∣∣∣∣∣ = 4 · 11

∣∣∣∣ −8 15 1

∣∣∣∣ = 4 · (−13) = −52.

Utilizand regula lui Laplace se demonstreaza:

Propozitia 3.2.10 Determinantul produsului a doua matrice A si B de ordin n este egal cuprodusul determinantilor acestor matrice.

Propozitia 3.2.11 Conditia necesara si suficienta ca o matrice sa fie nesingulara este cadeterminantul ei sa fie diferit de zero.

Demonstratie. Necesitatea. Daca A este o matrice patratica nesingulara, atunci admiteinversa si din relatia A−1A = I avem det (A−1) det (A) = 1 si deci det (A) �= 0.

Suficienta. Daca det (A) �= 0, matricea A nu poate fi singulara deoarece dupa consecinta3.2.8 ar rezulta det (A) = 0.

Corolarul 3.2.3 Rangul unei matrice este egal cu ordinul maxim al minorilor diferiti dezero.

Acest corolar ne da un alt procedeu pentru aflarea rangului unei matrice.

Definitia 3.2.4 Se numeste matrice adjuncta a matricei A = (aij) ∈ Mn2(K) matricea notataprin A∗ si data prin A∗ = (Aji), unde Aij este complementul algebric al elementului aij dinA.

Altfel spus, A∗ este transpusa matricei formata cu complementii algebrici ai ele-mentelor matricei A.

Propozitia 3.2.12 Inversa unei matrice nesingulare A de ordin n este data de formula

A−1 =1

det (A)·A∗.

Demonstratie. Folosind corolarul 3.2.2, avem

A · 1det A

·A∗ =

⎛⎝ n∑j=1

aij · Akjdet (A)

⎞⎠ =(δijdet (A)det (A)

)= (δij) = In,

ceea ce trebuia demonstrat.Formula din Propozitia 3.2.12 da un alt procedeu pentru calcularea inversei unei

matrice.

3.3 Sisteme de ecuatii liniare

In acest paragraf vom aplica matricele si determinantii la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare, ıntalnite ın mod curent ın aplicatiile economice.

42

Page 42: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Definitia 3.3.1 Se numeste sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute peste campul K, unansamblu de relatii de forma⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1,a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm,

(3.2)

unde aij ∈ K, i = 1,m, j = 1, n sunt coeficientii sistemului, b1, . . . , bn ∈ K termenii liberi aisistemului, iar x1, . . . , xn ∈ K sunt necunoscutele sistemului.

Daca cel putin un termen liber este diferit de zero atunci vom spune ca sistemuleste neomogen, iar daca toti termenii liberi sunt nuli, atunci vom zice ca sistemul esteneomogen.

Definitia 3.3.2 Numim solutie a sistemului (11.8) orice ansamblu format din n elementeα1, α2, . . . , αn din K cu proprietatea ca ınlocuind ın membrii stangi ai ecuatiilor sistemuluixi = αi, i = 1, n, si facand calculele, se obtin elementele corespunzatoare din membrii drepti.

Definitia 3.3.3 Un sistem de ecuatii liniare se zice ca este compatibil daca are cel putin osolutie si incompatibil ın caz contrar.

Matricea

A =

⎛⎜⎜⎝a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . amn

⎞⎟⎟⎠se numeste matricea sistemului, iar matricea

A =

⎛⎜⎜⎝a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2. . . . . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . amn bm

⎞⎟⎟⎠se numeste matricea extinsa (completa) a sistemului (11.8)

Notand cu X = t(x1, x2, . . . , xn) vectorul coloana al necunoscutelor si cu B =t(b1, b2, . . . , bm) vectorul termenilor liberi, sistemul (11.8) se poate scrie sub forma matriceala

AX = B.

Definitia 3.3.4 Numim sistem Cramer un sistem de n ecuatii liniare cu n necunoscute pen-tru care matricea A a sistemului este nesingulara, adica det A �= 0.

Pentru astfel de sisteme are loc:

Teorema 3.3.1 (Cramer). Orice sistem Cramer este compatibil determinat (are solutieunica) si

xi =Δi

det A, i = 1, n,

unde Δi este determinantul matricei obtinuta din matricea A a sistemului prin ınlocuireacoloanei Ci cu coloana B a termenilor liberi.

Demonstratie. Tinand seama ca A este nesingulara, din forma matriceala a sistemuluiobtinem X = A−1B, care ne arata ca sistemul este compatibil. Cum A−1 = (det A)−1A∗,unde A∗ este matricea adjuncta a matricei A (v. Propozitia 3.2.12), ınlocuind ın X = A−1B,

43

Page 43: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

obtinem

X =1

det (A)A∗B =

1det (A)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

n∑k=1

Ak1bk

n∑k=1

Ak2bk

...n∑k=1

Akibk

...n∑k=1

Akmbk

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=1

det A

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

Δ1

Δ2

. . .Δi

...Δn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠,

de undexi =

Δi

det (A), i = 1, n.

Prezentam acum metoda eliminarii totale (Gauss–Jordan) pentru aflarea solutiilorpentru sistemele Cramer.

In acest scop, scriem matricea extinsa a sistemului si avem succesiv

(A|B) =⇒ (A−1 ·A|A−1 ·B) =⇒ (In|X).(3.3)

unde I este matricea unitate de ordinul n.Practic se lucreaza cu metoda dreptunghiului, prin care pe pozitia lui A facem sa

apara In, iar pe pozitia lui B va aparea solutia sistemului.Exemplul 3.3.1. Sa se rezolve sistemul

2x1 + 3x2 + x3 = 63x1 − x2 − 2x3 = 7x1 − 2x2 + 3x3 = −3.

Avem succesiv ⎛⎝ 2 3 1 63 -1 -2 71 -2 3 -3

⎞⎠⇒⎛⎝ 1 3

212 3

0 − 112 − 7

2 −20 − 7

252 −6

⎞⎠⇒

⇒⎛⎝ 1 0 − 5

112711

0 1 711

411

0 0 5211 − 52

11

⎞⎠⇒⎛⎝ 1 0 0 2

0 1 0 10 0 1 -1

⎞⎠ ,

de unde xi = 2, x2 = 2, x3 = −1.

Observatia 3.3.1 Daca ın transformarile (11.9) facem ca ın locul lui In sa apara o matricetriunghiulara superioara avand elementele de pe diagonala principala egale cu 1, atunci sezice ca se rezolva sistemul prin metoda eliminarii partiale.

De exemplu, pentru sistemul din exemplul 3.3.1, lucrand prin metoda eliminariipartiale, avem: ⎛⎝ 2 3 1 6

3 -1 -2 71 -2 3 -3

⎞⎠⇒⎛⎝ 1 3

212 3

0 − 112 − 7

2 −20 − 7

252 −6

⎞⎠⇒

⇒⎛⎝ 1 3

212 3

0 1 711

411

0 0 521 − 52

11

⎞⎠⇒⎛⎝ 1 3

212 3

0 1 711

411

0 0 1 −1

⎞⎠ ,

44

Page 44: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

iar de aicix3 = −1 : x2 +

71x3 =

411, de unde x2 =

411

+711

= 1 :

x1 +32x2 +

12x3 = 3, de unde x1 = 3 − 3

2+

12

= 2.

Sa revenim acum la cazul general al sistemelor de m ecuatii liniare cu n necunoscute.Mai ıntai sa prezentam doua criterii de compatibilitate date de teorema lui Kronecker–Capelli si Rouche–Frobenius.

Teorema 3.3.2 Kronecker–Capelli. Conditia necesara si suficienta ca un sistem de ecuatiiliniare sa fie compatibil este ca rangul matricei sistemului sa fie egal cu rangul matriceiextinse.

Demonstratie. Fie A = {C1, C2, . . . , Cn} sistemul de vectori coloane ai matricei A a sistemului(11.8); sistemul (11.8) poate fi scris sub forma

x1C1 + x2C2 + . . .+ xnCn = B,

de unde rezulta ca el este compatibil daca si numai daca rangul sistemului de vectoricoloane {C1, C2, . . . , Cn} ai matricei A este egal cu rangul sistemului de vectori coloane{C1, C2, . . . , Cn, B} ai matricei extinse A, ceea ce este echivalent cu faptul ca matricele Asi A au acelasi rang.

Definitia 3.3.5 Numim determinantul principal pentru sistemul de ecuatii liniare (11.8)orice minor de ordin maxim diferit de zero al matricei sistemului.

Este evident ca ordinul unui determinant principal este egal cu rangul matricei sis-temului.

Definitia 3.3.6 Numim determinant caracteristic asociat unui determinant principal fixat,orice minor principal al matricei extinse obtinut prin completarea (bordarea) determi-nantului principal cu o linie formata din elementele corespunzatoare de pe una din liniileramase si cu coloana termenilor liberi corespunzatori.

Daca rangul matricei sistemului este egal cu numarul m al ecuatiilor, atunci nu avemdeterminanti caracteristici, sistemuul fiind totdeauna compatibil deoarece rangul matriceiextinse este tot m.

Teorema 3.3.3 (Rouche–Frobenius). Conditia necesara si suficienta ca un sistem de ecuatiiliniare sa fie compatibil este ca toti determinantii caracteristici asociati unui determinantprincipal al sistemului sa fie nuli.

Demonstratie. Necesitatea. Fie r rangul matricei A a sistemului (11.8). Daca sistemul estecompatibil, atunci dupa teorema lui Kronecker–Capelli, rangul matricei extinse A este egalcu r si deci toti determinantii caracteristici sunt nuli deoarece sunt minori de ordinul r + 1pentru A.

Suficienta. Fara a restrange generalizarea sa presupunem ca

Δp =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1r

a21 a22 . . . a2r

. . . . . . . . . . . .ar1 ar2 . . . arr

∣∣∣∣∣∣∣∣(3.4)

este un determinant principal pentru care toti determinantii caracteristici sunt nuli. Con-siderand matricele ⎛⎜⎜⎜⎜⎝

a11 . . . a1n b1a21 . . . a2n b2. . . . . . . . . . . .ar1 . . . arn brar+s,1 . . . ar+s,n br+s

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , s = 1, 2, . . . ,m− r(3.5)

45

Page 45: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

extrase din matricea extinsa A, constatam ca ele au toate rangul r. Intr-adevar, primeleC1, C2, . . . , Cr coloane sunt liniar independente deoarece Δp �= 0, coloanele Cr+1, Cr+2, . . . , Cnsunt combinatii liniare de C1, C2, . . . , Cr pentru ca matricea A are rangul r, iar coloanaCn+1 este combinatie liniara de C1, . . . , Cr deoarece determinantii caracteristici sunt nuli.Atunci rang A = rang A si, pe baza teoremei lui Kronecker–Capelli, rezulta ca sistemul estecompatibil.

Definitia 3.3.7 Subsistemul sitemului (11.8) de ecuatii liniare format din ecuatiile core-spunzatoare liniilor unui determinant principal se numeste subsistem principal, si ecuatiilelui se numesc ecuatii principale. Celelalte ecuatii ale sistemului (11.8) se numesc ecuatii se-cundare. Necunoscutele corespunzatoare coloanelor unui determinant principal se numescnecunoscute principale, iar celelalte se numesc necunoscute secundare (libere).

Definitia 3.3.8 Doua sisteme de ecuatii liniare se numesc echivalente daca orice solutie aunuia este solutie si pentru celelalt.

Usor se verifica ca aceasta relatie este ıntr-adevar o relatie de echivalenta.

Teorema 3.3.4 Un sistem liniar compatibil este echivalent cu orice subsistem principal alsau.

Demonstratie. Este evident ca orice solutie a sistemului (11.8) este solutie pentru oricesubsistem al sau deoarece ea verifica fiecare ecuatie a sistemului. Reciproc, sa consideramsubsistemul principal cu determinantul principal (11.9). Cum matricele (11.10) au toaterangul r, ultima linie este o combinatie liniara de celelalte si deci avem:

Lr+s = λ1L1 + λ2L2 + . . .+ λrLr, s = 1, 2, . . . ,m− r,

de undear+s,j = λ1aj1 + λ2aj2 + . . .+ λrajr, j = 1, n(3.6)

sibr+s = λ1b1 + λ2b2 + . . .+ λrbr.(3.7)

Daca punemEi = a11x1 + . . .+ a1nxn − bi, i = 1, n,

atunci ınmultind egalitatile (11.11) corespunzator cu xj, j = 1, n, egalitatea (3.7) cu −1 siadunandu-le obtinem

Er+s = λ1E1 + λ2E2 + . . .+ λrEr, s = 1, 2, . . . ,m− r(3.8)

Acum, daca consideram o solutie a subsistemului principal atunci E1 = 0, . . . , Er = 0,iar din (3.9) rezulta ca si Er+s = 0, s = 1, 2, . . . ,m − r. Deci, sistemul (11.8) este echivalentcu subsistemul principal considerat.

Practic, rezolvarea unui sistem compatibil de ecuatii liniare se reduce la rezolvareaunui subsistem principal al sau, ın care termenii cu necunoscutele secundare au fost trecuteın membrul doi, acestea devenind parametrii.

Subsistemul principal este un sistem Cramer si se poate rezolva cu oricare dinmetodele date mai sus.

Observatia 3.3.2 Metodele eliminarii totale sau partiale se pot aplica si la studierea com-patibilitatii unui sistem de ecuatii liniare. Si anume, daca nu se mai pot face cifre de 1pe diagonala ce pleaca din a11 si pe liniile care nu avem cifre de 1 gasim numai zerouri,atat ın matricea sistemului cat si la termenii liberi, atunci sistemul este compatibil. In cazcontrar, sistemul este incompatibil.

46

Page 46: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Exemplul 3.3.2. Sa consideram sistemul

x1 − x2 + 2x3 + x4 + x5 = 1

2x1 + x2 + x3 − x4 + 3x5 = 5

x1 − 4x2 + 5x3 + 4x4 = 2.

Utilizand metoda eliminarii totale, avem succesiv:⎛⎝ 1 -1 2 1 1 12 1 1 -1 3 52 -4 5 4 0 2

⎞⎠⇒⎛⎝ 1 -1 2 1 1 1

0 3 -3 -3 1 30 -3 3 3 -1 -3

⎞⎠⇒

⇒⎛⎝ 1 0 1 0 4

3 20 1 −1 −1 1

3 10 0 0 0 0 0

⎞⎠ .

Rezulta ca rangul matricei sistemului este 2 si cum pe linia a treia avem numai zero,deducem ca avem un sistem compatibil nedeterminat. Solutiile sistemului sunt

x1 = 2 − a− 43c; x2 = 1 + a+ b− c

3; x3 = a; x4 = b; x5 = c, a, b, c ∈ R.

Exemplul 3.3.3. Sa se rezolve sistemul

x1 − 3x2 + x3 + x4 = 1x1 − 3x2 + x3 − 2x4 = −1x1 − 3x2 + x3 + 5x4 = 6

Folosim metoda eliminarii totale si avem:⎛⎝ 1 -3 1 1 11 -3 1 -2 -11 -3 1 5 6

⎞⎠⇒⎛⎝ 1 -3 1 1 1

0 0 0 -3 20 0 0 4 5

⎞⎠⇒

⇒⎛⎝ 1 −3 1 0 − 1

30 0 0 1 2

30 0 0 0 7

⎞⎠Cum pe linia a treia avem o situatie imposibila, rezulta ca sistemul este incompatibil.In ıncheierea acestui paragraf sa facem cateva observatii cu privire la sistemele omo-

gene de ecuatii liniare.Cum la orice sistem omogen rang A = rang A, rezulta ca el este compatibil, avand

evident solutia x1 = x2 = . . . = xn = 0, numita solutie nula sau banala.Un sistem omogen va avea solutii diferite de solutia banala numai daca rangul sau va

fi mai mic decat numarul necunoscutelor.

Teorema 3.3.5 Multimea solutiilor unui sistem omogen de ecuatii liniare peste campul K,cu n necunoscute si rang r, r < n, formeaza un subspatiu vectorial V , cu dim V = n− r, alspatiului Kn.

Demonstratie. Consideram ca subsistemul principal asociat are determinantul principal Δp

dat de (11.9) si notam necunoscutele secundare xr+1, . . . , xn−r respectiv prin λ1, λ2, . . . , λn−r.Solutia generala a sistemului omogen este:

xi = αi1λ1 + αi2λ2 + . . .+ αi,n−rλr, i = 1, rxr+k = λk, k = 1, n− r,

care sub forma vectoriala (matriceala) se scrie

X = λ1Y1 + λ2Y2 + . . .+ λrYn−r,(3.9)

47

Page 47: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

unde

Y1 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

α11

α21

...αr11...0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠, Y2 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

α12

α22

...αr201...0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠, . . . , Yn−r =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

α1,n−rα2,n−r

...αr,n−r

0...1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠,

sunt solutii particulare ale sistemului omogen.Se observa ca Y1, Y2, . . . , Yn−r sunt vectori liniari independenti ın Kn, deoarece con-

siderand matricea formata cu componentele lor, submatricea ei compusa din ultimele n− rlinii este matricea unitate de ordinul n− r. Cu aceasta teorema este demonstrata.

Din teorema 3.3.5 si (3.9) rezulta

Corolarul 3.3.1 Suma a doua solutii a unui sistem omogen este, de asemenea, o solutie alui.

Corolarul 3.3.2 Produsul dintre o solutie a unui sistem omogen peste un camp K cu unelement din K este tot o solutie a sistemului.

48

Page 48: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

3.4 Testul Nr. 2 de verificare a cunostintelor

1. Definiti urmatoarele notiuni:

a) Matrice patratica simetrica;

b) Matrice patratica singulara;

c) Inversa unei matrice patratice;

d) Determinant al unei matrice patratice;

e) Sistem Cramer.

Enuntati urmatoarele teoreme:

a) Teorema rangului;

b) Teorema lui Kronecker - Capelli;

c) Teorema lui Rouche - Frobenius.

2. Aflati cu ajutorul transformarilor elementare rangul matricei:

A =

⎛⎜⎜⎝2 2 3 −11 −1 0 1

−1 2 1 02 −2 0 2

⎞⎟⎟⎠3. Calculati determinantul de ordinul n, n > 2:

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣x1 − y1 x1 − y2 . . . x1 − ynx2 − y1 x2 − y2 . . . x2 − yn. . . . . . . . .

xn − y1 xn − y2 . . . xn − yn

∣∣∣∣∣∣∣∣4. Sa se discute dupa parametrul real m sistemul:{

mx+ 4y = 3m− 2x+my = m2 − 2

5. Folosind metoda eliminarii partiale sa se rezolve sistemul:

Ax = B , cu A =

⎛⎝ 2 1 21 0 11 1 0

⎞⎠ ; B =

⎛⎝ 121

⎞⎠6. Folosind metoda eliminarii totale sa se rezolve sistemul

Ax = B , cu A =

⎛⎝ 0 1 21 2 11 1 0

⎞⎠ ; B =

⎛⎝ 1−1

2

⎞⎠7. Folosind metoda eliminarii totale sa se rezolve sistemul:

Ax = B , cu A =

⎛⎝ 2 1 21 0 11 1 0

⎞⎠ ; B =

⎛⎝ 121

⎞⎠

49

Page 49: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

8. Folosind metoda lui Laplace sa se calculeze determinantul

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 0 20 1 0 0 3x 0 1 0 4x x 0 1 5x x x 0 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣9. Folosind metoda lui Laplace sa se calculeze determinantul

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 2 10 1 0 22 0 1 10 2 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣10. Folosind formula lui Chio sa se calculeze determinantul

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 2 10 1 0 22 0 1 10 2 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

50

Page 50: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Indicatii si raspunsuri

Testul 2

2. rangA = 3

3. Δ = 0

4. Daca m = −2 atunci sistemul este incompatibil.

Daca m = 2 atunci sistemul este compatibil nedeterminat cu solutia x = 2−2a , y = a ∈ R.

Daca m �= ±2 atunci sistemul este compatibil determinat cu solutia x = −m+ 4m+ 2

,

y =m2 + 2m− 1

m+ 2.

5. Se obtine solutia x1 = 4, x2 = −3, x3 = −2.

6. Se obtine solutia x1 = 4, x2 = 1, x3 = −1.

7. Se obtine solutia x1 = 4, x2 = −3, x3 = −2.

8. Δ = 2x2 − 9x+ 6.

9. Δ = 9.

10. Δ = 9.

51

Page 51: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Bibliografia aferenta capitolului:[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate ın economie - Volumul I,

Editura ULB, Sibiu, 2001.

52

Page 52: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Capitolul 4

Operatori liniari. Forme biliniare siforme patratice

Obiective: In modelarea matematica a fenomenelor din realitatea ınconjuratoare, ınparticular cea economica, unul dintre cele mai des folosite concepte este cel de liniaritate.Acesta se datoreaza, atat simplitatii conceptului de liniaritate, cat si faptului ca aproximareaunor situatii neliniare prin situatii liniare, asa numitul ”principiu al liniaritatii”, constituieuna din metodele de baza ın studiul realitatii.

Rezumat: In prezentul capitol se vor prezenta notiunile deaplicatie/transformare/operator liniar(a), forma biliniara, forma patratica, forma canonicaa unei forme patratice, precum si metode de determinare a formei canonice a unei formepatratice.

Continutul capitolului:1. Operatori liniari2. Forme biliniare3. Forme patratice4. Test de verificare a cunostintelor5. Bibliografia aferenta capitolului

Cuvinte cheie: operator liniar, transformare liniara, forma biliniara, formapatratica, forma canonica, metoda lui Gauss, Metoda lui Jacobi.

4.1 Operatori liniari

Fie X si Y doua spatii vectoriale peste acelasi camp K.

Definitia 4.1.1 Numim operator liniar sau transformare liniara sau omomorfism de spatiivectoriale, o aplicatie T : X → Y care satisface conditiile:

1o. T (x(1) + x(2)) = T (x(1)) + T (x(2)), (∀)x(1) ∈ X, (∀)x(2) ∈ X (aditivitate),

2o. T (λx(1)) = λT (x(1)), (∀)λ ∈ K, (∀)x(1) ∈ X (omogenitate).

Teorema 4.1.1 Operatorul T : X → Y este liniar daca si numai daca pentru orice x(1), x(2) ∈X si orice λ1, λ2 ∈ K, avem

T (λ1x(1) + λ2x

(2)) = λ1T (x(1)) + λ2T (x(2)).(4.1)

Demonstratie. Sa admitem ca T este operator liniar, atunci, folosind conditiile 1o si 2o dinDefinitia 4.1.1, avem:

T (λ1x(1) + λ2x

(2)) = T (λ1x(1)) + T (λ2x

(2)) = λ1T (x(1)) + λ2T (x(2)),

53

Page 53: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

ceea ce trebuia demonstrat.Reciproc, daca ın (4.1) punem λ1 = λ2 = 1, obtinem conditia 1o din Definitia 4.1.1, iar

daca punem λ2 = 0. obtinem conditia 2o din aceeasi definitie.Daca X = Y un operator liniar se numeste endomorfism. Daca transformarea liniara

T este bijectiva, atunci ea se numeste izomorfism de spatii vectoriale. Un endomorfismbijectiv se numeste automorfism al lui X.

Cum orice camp K este un spatiu vectorial peste el ınsusi, atunci putem considera unoperator liniar T : X → K, numit si forma liniara sau functionala liniara.

In continuare vom nota cu L(X,Y ) multimea operatorilor liniari definiti pe X cu valoriın Y .Exemple. 4.1.1. Fie Pn spatiu vectorial al polinoamelor de grad cel mult n peste campul K.Aplicatia T : Pn → Pn−1, T (f) = f ′, adica derivata lui f , oricare ar fi f ∈ Pn, este un operatorliniar.

Intr-adevar, oricare ar fi f1, f2 ∈ Pn si oricare ar fi λ1, λ2 ∈ K avem

T (λ1f1 + λ2f2) = (λ1f1 + λ2f2)′ = λ1f′1 + λ2f

′2 = λ1T (f1) + λ2T (f2).

4.1.2. Fie X un spatiu vectorial n–dimensional peste campul K si B = {e(1), e(2), . . . , e(n)}o baza ın el si a1, a2, . . . , an ∈ K scalari fixati. Aplicatia f : X → K, f(x) =

n∑i=1

aixi, unde

x =n∑i=1

xie(i), este o functionala liniara.

4.1.3. Fie X un spatiu vectorial peste campul K si a un element fixat din K. AplicatiaTa : X → X definita prin Ta(x) = ax, pentru orice x ∈ X, este un operator liniar. AplicatiaTa se numeste omotetia spatiului X de raport a ∈ K.

Propozitia 4.1.1 Daca T ∈ L(X,Y ), atunci avem

1o. T (θx) = θy, unde θx si θy sunt vectorii nuli ai spatiilor X si Y ;

2o. T (−x) = −T (x), oricare ar fi x ∈ X.

Demonstratia propozitiei rezulta din faptul ca T este un omomorfism ıntre grupurilecomutative (X,+) si (Y,+).

Propozitia 4.1.2 Daca T ∈ L(X,Y ) si X1 este un subspatiu al lui X, atunci T (X1) este unsubspatiu ın Y .

Demonstratie. Pentru orice vectori y1, y2 ∈ T (x1) exista x(1), x(2) ∈ X, astfel ca y1 = T (x(1)),y2 = T (x(2)). Considerand λ1, λ2 ∈ K si folosind Teorema 4.1.1, avem

λ1y1 + λ2y2 = λ1T (x(1)) + λ2T (x(2)) = T (λ1x(1) + λ2x

(2)).

Cum λ1x(1) + λ2x

(2) ∈ X1, rezulta ca λ1y1 + λ2y2 ∈ T (X1), ceea ce ne arata ca T (x1) esteun subspatiu vectorial al lui Y .

In particular, T (X) este un subspatiu al lui Y si se noteaza cu ImT . Dimensiunea luiImT se numeste rangul transformarii T .

Observatia 4.1.1 Orice transformare liniara pastreaza liniar dependenta unui sistem devectori, iar daca este injectiva, atunci pastreaza si liniar independenta.

In particular, daca B = {e(1), . . . , e(n)} este o baza ın X si transformarea T ∈ L(X,Y )este injectiva, atunci B1 = {T (e(1), . . . , T (e(n)))} este o baza ın Y .

Propozitia 4.1.3 Daca T ∈ L(X,Y ) si Y1 este un subspatiu al lui Y , atunci contraimagineaT−1(Y1) este un subspatiu al lui X.

54

Page 54: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Demonstratie. Fie x(1), x(2) ∈ T−1(Y1); atunci T (x(1)), T (x(2)) ∈ Y1 si deci pentru orice λ1, λ2 ∈ Kavem λ1T (x(1)) + λ2T (x(2)) = T (λ1x

(1) + λ2x(2)) ∈ Y1. Prin urmare, λ1x

(1) + λ2x(2) ∈ T−1(Y1) si

deciT−1(Y1) este subspatiu al lui X.In particular, T−1({θy}), unde θy este vectorul nul din Y , este un subspatiu al lui X,

care se numeste nucleul operatorului liniar T si se noteaza cu kerT .Se verifica imediat ca operatorul T ∈ L(X,Y ) este injectiv daca si numai daca

kerT = {θx}, θx fiind vectorul nul din X.Dimesiunea nucleului kerT se numeste defectul transformarii liniare T . Se demon-

streaza cadim(kerT ) + dim(Im T ) = dimX (v. [2])

Deoarece operatorii liniari sunt functii, operatiile cu functii vor conduce la operatiicu transformari liniare. Astfel, daca T1, T2 ∈ L(X,Y ), atunci T1 + T2 : X → Y , (T1 + T2)(x) =T1(x) + T2(x), (∀)x ∈ K, defineste adunarea lor; kT1 : X → Y , (kT1)(x) = kT1(x), k ∈ K, (∀)x ∈ Xdefineste multimea operatorului liniar T1 cu un scalar k ∈ K.

De asemenea, daca T1 ∈ L(X,Y ) si T2 ∈ L(Y,Z), atunci T2 ◦ T1 : X → Z, (T2 ◦ T1)(x) =T2(T1(x)), (∀)x ∈ X, defineste compunerea a doua transformari liniare. T2 ◦ T1 se noteaza,uneori, si cu T2T1 si se numeste produsul transformarilor T2 si T1.

Se verifica imediat ca suma a doua transformari liniare este tot o transformare liniarasi, de asemenea, produsul unei transformari liniare cu un scalar este tot o transformareliniara, adica L(X,Y ) este un subspatiu vectorial al spatiului vectorial Hom(X,Y ) peste K altuturor functiilor definite pe X cu valori ın Y .

In particular multimea L(X,K) a functionalelor liniare definite pe spatiul vectorial Xcu valori ın campul K este un spatiu vectorial numit dualul algebric al spatiului vectorialX si este notat prin X∗.

Se arata ca produsul a doua transformari liniare este tot o transformare liniara, iardaca T ∈ L(X,Y ) este bijectiva, atunci T−1 ∈ L(Y,X), adica este tot o transformare liniara.Rezulta ca L(X,X) ın raport cu operatiile de adunare si compunere este un inel cu elementunitate.

In continuare vom arata ca un operator liniar ıntre doua spatii vectorial finit dimen-sionale peste campul K este complet determinat de o matrice cu elemente din K.

Fie X si Y doua spatii vectoriale peste acelasi camp K de dimensiuni finite, res-pectiv n si m; T ∈ L(X,Y ) un operator liniar, B = {e(1), e(2), . . . , e(n)} o baza ın X si

B1 = {f (1), f (2), . . . , f (m)} o baza ın Y . Deoarece oricare ar fi x ∈ X, x =n∑j=1

xje(j), avem

T (x) =n∑j=1

xjT (e(j)), iar vectorii T (e(j)) ∈ Y , j = 1, n, se exprima, unic ın functie de coordo-

natele lor ın baza B1:

T (e(j)) =m∑i=1

aijf(i), j = 1, n,(4.2)

avem

T (x) =n∑j=1

xj

m∑i=1

aijf(i) =

m∑i=1

⎛⎝ n∑j=1

aijxj

⎞⎠ f (i).(4.3)

Daca y = T (x) = t(y1, y2, . . . , yn) ın baza B1, atunci comparand cu (4.3) gasim

yi =n∑j=1

aijxj , i = 1,m,(4.4)

relatii ce pot fi scrise matriceal sub forma

y = Ax,(4.5)

55

Page 55: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

unde tx = (x1, . . . , xn) xi, i = 1, n fiind coordonatele lui x ın baza B1, iar matriceaA = (aij) ∈ Mm×n(K) are pe coloane coordonatele imaginilor vectorilor din baza B ın bazaB1. Matricea A se numeste matricea asociata (asociata) transformarii T fata de cele douabaze B si B1 alese ın spatiile X si Y . Ea este unic determinata de relatiile (4.2). Relatiile(4.4) sau (4.5) se numesc ecuatiile operatorului liniar ın bazele B si B1.

Se arata ca rangul transformarii liniare este egal cu rangul matricei asociate ei fatade doua baze.

In adevar, rangul transformarii T fiind, conform definitiei, dimensiunea spatiului imag-ine, este egal cu rangul sistemului de vectori {T (e(j))}j=1,n, care ıl genereaza pe aceasta. Cumvectorii T (ej)j=1,n, sunt vectori coloana ai matricei A, rezulta ca rang A = rang T .Exemplul 4.1.4. Daca T ∈ L(R3,R2), (x) = (x1 − 3x2,−4x1 + 2x2 + x3), x = (x1, x2, x3) siB = {e(1), e(2), e(3)}, e(1) = (1, 0, 0), e(2) = (0, 1, 0), e(3) = (0, 0, 1), respectiv B1 = {f (1), f (2)},f (1) = (1, 0), f (2) = (0, 1) sunt bazele canonice, atunci matricea atasata lui T este

A =(

1 −3 0−4 2 1

),

deoarece T (e(1)) = (1,−4), T (e(2)) = (−3, 2), T (e(3)) = (0, 1).Fie acum T1, T2 ∈ L(X,Y ) si T = T1 + T2 suma lor. Avem

T (e(j)) = T1(e(j)) + T2(e(j)), j = 1, n

de unde notand cu A1 matricea atasata lui T1, A2 matricea atasata lui T2 si cu C matriceaatasata lui T , deducem ca C = A1 + A2, adica matricea transformarii sumei este suma ma-tricelor transformarilor termeni.

Analog, se arata ca matricea produs dintre un scalar si o transformare liniara esteprodusul scalarului cu matricea acelei transformari, iar matricea transformarii liniare pro-dus este egala cu produsul matricelor transformarilor liniare factori.

De aici, rezulta

Propozitia 4.1.4 i) Functia care asociaza fiecarui operator liniar T ∈ L(X,Y ), dimX = n,dimY = m, matricea corespunzatoare ei fata de doua baze fixate, este un izomorfismıntre spatiul vectorial L(X,Y ) si spatiul vectorial Mm×n(K) al matricelor de tipul m×npeste K.

ii) Functia care asociaza fiecarui operator T ∈ L(X,X), dimX = n, matricea core-spunzatoare ei ıntr-o baza fixata ın X, este un izomorfism ıntre inelul L(X,X) si inelulmatricelor patratice de ordin n peste K.

Acum sa cercetam cum se schimba matricea atasata unei transformari liniare la schim-barea bazelor.

Teorema 4.1.2 Fie B si B′ baze ın spatiul vectorial n–dimensional X peste K, iar B1 si B′1baze ın spatiul vectorial m–dimensional Y peste acelasi camp K. Daca T ∈ L(X,Y ), A estematricea transformarii T fata de bazele B si B1, iar A1 este matricea transformarii T fatade bazele B′ si B′1, atunci A1 = D−1AC, unde C si D sunt matricele de trecere de la baza Bla B′ respectiv de la B1 la B′1.

Demonstratie. Conform celor demnstrate ın Capitolul IV, daca (x1, . . . , xn) = tx sunt coor-donatele unui vector x ∈ X ın baza B si (x′1, . . . , x

′n) = tx′ sunt coordonatele aceluiasi vector x

ın baza B′, atunci x = Cx′, unde C este matricea trecerii de la baza B la baza B′, avand pecoloane coordonatele vectorilor bazei B′ ın raport cu B. Analog, daca avem (y1, . . . , ym) = tycoordonatele imaginii y = T (x) ın B1 si (y′1, . . . , y

′m) = ty′ coordonatele lui y ın baza B′1, atunci

y = Dy′.Tinand seama ca T este un operator liniar, cu notatiile din enunt, avem y = Ax res-

pectiv y′ = A1x′, de unde ınlocuind x′ = C−1x, y′ = D−1y si y = Ax ın y′ = A1x

′, gasimD−1Ax = A1C

−1x, de unde D−1A = A1C−1, care este echivalenta cu D−1AC = A1.

56

Page 56: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Observatia 4.1.2 Daca T ∈ L(X,X), dimX = n, A matricea atasata lui T ın raport cu bazaB, iar A1 este matricea atasata lui T ın raport cu baza B1, atunci A1 = C−1AC, unde C estematricea de trecere de la B la B′.

Definitia 4.1.2 Matricele A,B ∈ Mn2(K) se numesc asemenea, notam aceasta prin A ∼ B,daca exista matricea nesingulara C ∈ Mn2(K) asa ıncat B = C−1AC.

Se verifica imediat ca asemanarea matricelor este o relatie de echivalenta pe Mn2(K).Exemplul 4.1.5. Fie T ∈ L(R3,R4), x = (x1, x2, x3) ∈ R3,

T (x) = (2x1 − x2 + x3, x2 − 2x3, x1 + x2 + x3, x1 − x2).

Aflati matricea asociata lui T ın raport cu perechea de baze B′ = {e(1)1 , e(2)1 , e

(3)1 }, e(1)1 =

(0, 1, 1), e(2)1 = (1, 0, 1), e(3)1 = (1, 1, 0) ın R3 si B′1 = {e(1)2 , e(2)2 , e

(3)2 , e

(4)2 }, e(1)2 = (1, 1, 1, 1), e(2)2 =

(0, 1, 1, 1), e(3)2 = (0, 0, 1, 1), e(4)2 = (0, 0, 0, 1), ın R4. Se cere matricea A1 a transformarii T fatade bazele B′ si B′1.

Deoarece

T (x) =

⎛⎜⎜⎝2 −1 10 1 −21 1 11 −1 0

⎞⎟⎟⎠⎛⎝ x1

x2

x3

⎞⎠deducem ca matricea transformarii liniare T ın raport cu bazele canonice B si B1 din R3

respectiv R4 este

A =

⎛⎜⎜⎝2 −1 10 1 −21 1 11 −1 0

⎞⎟⎟⎠Matricea C de trecere de la baza B la B1 este

C =

⎛⎝ 0 1 11 0 11 1 0

⎞⎠iar matricea D de trecere de la baza B′ la baza B′1 este

D =

⎛⎜⎜⎝1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 1 1

⎞⎟⎟⎠Se gaseste

D−1 =

⎛⎜⎜⎝1 0 0 0−1 1 0 00 −1 1 00 0 −1 1

⎞⎟⎟⎠si deci avem

A1 = D−1AC =

⎛⎜⎜⎝0 3 1−1 −3 03 4 1−3 −1 −2

⎞⎟⎟⎠Am vazut ın Observatia 4.1.2 ca matricea unei transformari liniare T ∈ L(X,X),

dimX = n, depinde de alegerea bazei ın X. In continuare ne punem problema de a gasio baza fata de care aceasta matrice sa aiba o forma diagonala

A1 =

⎛⎜⎜⎝λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . λn

⎞⎟⎟⎠(4.6)

57

Page 57: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Tinand seama de expresiile (4.5) care definesc matricea A1 a transformarii liniare Tın baza B1 = {f (1), . . . , f (n)} obtinem:

Teorema 4.1.3 Conditia necesara si suficienta ca matricea transformarii liniare T ∈L(X,X), dimX = n, sa poata fi adusa la forma diagonala (4.6) este sa existe o bazaB1 = {f (1), f (2), . . . , f (n)} ın X si n elemente λ1, λ2, . . . , λn ∈ K astfel ıncat sa avem

T (f (i)) = λif(i), i = 1, n.(4.7)

Definitia 4.1.3 Se spune ca vectorul x �= θ, x ∈ X, este un vector caracteristic sau propriupentru operatorul liniar T ∈ L(X,X) daca exista un element λ ∈ K astfel ıncat sa avem

T (x) = λx.(4.8)

Elementul λ corespunzator vectorului propriu x se numeste atunci valoare caracteris-tica sau proprie pentru transformarea liniara T .

In conformitate cu aceasta definitie, matricea unei transformari liniare poate fiadusa la o forma diagonala daca si numai daca transformarea are n vectori proprii liniarindependenti. In acest caz, elementele de pe diagonala principala din matricea diagonalasunt atunci valorile proprii corespunzatoare.

In cele ce urmeaza ne vom ocupa cu determinarea valorilor proprii si vectorilor propriipentru un operator liniar T din L(X,X), cu dimX = n.

Fie B = {e(1), e(2), . . . , e(n)} o baza ın X, A = (aij) ∈ Mn2(K) matricea asociata lui T , Imatricea unitate de ordin n si tx = (x1, . . . , xn) coordonatele unui vector x ∈ V ın baza B;atunci ecuatia (4.8) se poate scrie sub forma matriceala

(A− λI)x = 0.(4.9)

Aceasta ecuatie este echivalenta cu sistemul

(a11 − λ)x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = 0a21x1 + (a22 − λ)x2 + . . .+ a2nxn = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + . . .+ (ann − λ)xn = 0

(4.10)

Sistemul (4.10) fiind liniar si omogen, admite solutii diferite de solutia banala daca sinumai daca determinantul matricei sistemului este egal cu zero.

Acest determinant se noteaza cu PA(λ) si are forma

PA(λ) = det(A− λI) =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 . . . a1n

a21 a22 − λ . . . a2n

. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣numit polinomul caracteristic atasat transformarii liniare T sau matricei A.

Prin urmare valorile caracteristice ale matricei A sau transformari liniare T se gasescprintre radacinile ecuatiei

PA(λ) = 0,(4.11)

numita ecuatia caracteristica corespunzatoare matricei A sau transformarii liniare T . Sirulλ1, λ2, . . . , λn al tuturor radacinilor ecuatiei caracteristice, unde fiecare este socotita de atateaori cat indica ordinul sau de multiplicitate, constituie spectrul matricei A sau a operatoruluiliniar T .

Polinomul caracteristic are gradul n si se poate scrie dezvoltat sub forma:

PA(λ) = (−1)nλn + (−1)n−1δ1λn−1 + (−1)n−2δ2λn−2 + . . .+ (−1)δn−1λ+ δn,

58

Page 58: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

unde δi, i = 1, n, este suma minorilor diagonali de ordin i ai matricei asociate operatoruluiliniar T ıntr-o anumita baza, adica:

δi =

∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1i

. . . . . . . . .ai1 . . . aii

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣

a22 . . . a2,i+1

. . . . . . . . .ai+1,2 . . . ai+1,i+1

∣∣∣∣∣∣+ . . .+

+

∣∣∣∣∣∣an−i+1,n−i+1 . . . an−i+1,n

. . . . . . . . .an,n−i+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣ ,suma avand Cin termeni, i = 1, n. Prin minor diagonal al matricei A ıntelegem un minorcare are pe diagonala principala numai elemente de pe diagonala principala a matricei A.Se observa ca δ1 = a11 + a22 + . . .+ ann = tr(A) este urma matricei A, iar δn = detA.

Propozitia 4.1.5 Doua matrice asemenea au acelasi polinom caracteristic.

Demonstratie. Intr-adevar, daca matricea A este asemenea cu B, adica are loc Definitia4.1.2, atunci

PB(λ) = det(B − λI) = det(C−1AC − λI) = det(C−1(A− λI)C) =

= detC−1 · det(A− λI) detC = det(A− λI) = PA(λ).

Corolarul 4.1.1 Polinomul caracteristic al unui operator liniar T ∈ L(X,X) este invariantla schimbarea bazei.

Valabilitatea acestui corolar rezulta din Observatia 4.1.2 si Propozitia 4.1.5.Prin urmare, ca sa gasim valorile caracteristice (spectrul) si vectorii caracteristici

pentru operatorul liniar T ∈ L(X,X), dimX = n, alegem o baza B = {e(1), . . . , e(n)} ın X,rezolvam ecuatia caracteristica PA(λ) = 0 si, introducand pe rand fiecare radacina λi, i = 1, n,a acesteia ın sistemul (4.10), gasim vectori caracteristici corespunzatori.

Propozitia 4.1.6 Vectorii caracteristici corespunzatori unei valori caracteristice λi, i = 1, nformeaza ımpreuna cu vectorul nul al spatiului vectorial X un subspatiu Vi al lui X, numitsubspatiu caracteristic sau propriu, de dimensiune cel mult egala cu ordinul de multiplici-tate al lui λi, i = 1, n.

Demonstratie. Se observa ca Vi este multimea solutiilor ecuatiei(T −λiI)(x) = θ, adica nucleul transformarii liniare T −λiI ∈ L(X,X) si dupa Propozitia 4.1.3acesta este un subspatiu al lui X. Fie acum ki = dimVi si mi ordinul de multiplicitate pentruλi. Presupunem ca am ales baza B = {e(1), . . . , e(n)} ın X asa ca e(1), . . . , e(ki) sa se gaseasca ınVi. Atunci avem T (e(s)) = λie

(s), s = 1, 2, . . . , ki si deci matricea A are, fata de aceasta baza,forma

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

λi 0 . . . 0 a1,ki+1 . . . a1n

0 λi . . . 0 a2,ki+1 . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . λi aki,ki+1 . . . aki,n

0 0 . . . 0 aki+1,ki+1 . . . aki+1,n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0 an,ki+1 . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠de unde rezulta

PA(λ) = (λ− λi)kiQ(λ)

si cum ordinul de multiplicitate al lui λi este mi, rezulta ki ≤ mi.

Corolarul 4.1.2 Unei valori caracteristice simple ıi corespunde un subspatiu propriu de di-mensiune egala cu unu.

59

Page 59: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Teorema 4.1.4 Daca vectorii caracteristici x(1), x(2), . . . , x(m) corespund la valori caracteris-tice distincte λ1, λ2, . . . , λm, atunci ei sunt liniar independenti.

Demonstratie. Procedam prin inductie matematica. Pentru m = 1, teorema este evidentadevarata. Presupunem ca este adevarata pentru k si sa o demonstram pentru k+1. Presu-punem ca x(1), x(2), . . . , x(k+1) ar fi liniar dependenti, adica ar exista scalari α1, α2, . . . , αk+1 ∈ K,nu toti nuli, asa ıncat

α1x(1) + α2x

(2) + . . .+ αk+1x(k+1) = θ.(4.12)

Aplicand ın (4.12) operatorul liniar T si folosind ipoteza teoremei, obtinem

α1λ1x(1) + α2λ2x

(2) + +αk+1λk+1x(k+1) = θ.(4.13)

Eliminand pe x(k+1) ıntre relatiile (4.12) si (4.13) gasim

α1(λ1 − λk+1)x(1) + α2(λ2 − λk+1)x(2) + . . .++αk(λk − λk+1)x(k) = θ

(4.14)

Fara sa restrangem generalitatea, sa admitem cu α1 �= 0, atunci, tinand seama cax(1), . . . , x(k) sunt liniar independenti, deducem λ1 = λk+1 ceea ce constituie o contradictie.Rezulta ca vectorii x(1), x(2), . . . x(m) sunt liniar independenti.

Corolarul 4.1.3 Daca operatorul liniar T are n valori caracteristice distincte atunci el poatefi adus la forma diagonala.

Intr-adevam, ın aceasta situatie alegand cate un vector propriu corespunzator fiecareivalori caracteristice obtinem n vectori caracteristici liniar independenti si deci o baza ın X.Fata de aceasta baza, dupa Teorema 4.1.3, operatorul liniar T are forma diagonala.

Pentru cazul general se demonstreaza (v. [2]):

Teorema 4.1.5 Conditia necesara si suficienta ca matricea operatorului liniar T ∈ L(X,X),dimX = n, sa aiba forma diagonala este ca toate valorile caracteristice sa fie din campul K sisubspatiile proprii corespunzatoare sa aiba dimensiunile egale cu ordinele de multiplicitatecorespunzatoare.

Exemplul 4.1.6. Sa consideram transformarea liniara T ∈ L(R3,R3) definita prin

T (x) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2), x = (x1, x2, x4) ∈ R3.

Sa aratam ca T poate fi adusa la o forma diagonala si sa se precizeze o baza fata decare matricea ei are forma diagonala.

Matricea transformarii ın baza canonica a lui R3 este

A =

⎛⎝ 0 1 11 0 11 1 0

⎞⎠ ,

iar ecuatia caracteristica are forma ∣∣∣∣∣∣−λ 1 11 −λ 11 1 −λ

∣∣∣∣∣∣ = 0

de unde λ3 − 3λ− 2 = 0. De aici gasim valorile caracteristice λ1 = 2, λ2 = λ3 = −1.Vectorii caracteristici sunt solutiile sistemului liniar omogen

−λx1 + x2 + x3 = 0x1 − λx2 + x3 = 0x1 + x2 − λx3 = 0

(4.15)

60

Page 60: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

unde λ se ınlocuieste pe rand cu una din valorile caracteristice,Pentru λ1 = 2 sistemul (4.15) are solutia x(1) = (1, 1, 1), iar dimensiunea subspatiului

propriu V1 este unu si o baza ın V1 este data de x(1).Pentru λ1 = λ3 = −1, sistemul (4.15) se reduce la ecuatia

x1 + x2 + x3 = 0

si subspatiul propriu V2 care este multimea solutiilor acestei ecuatii, are dimensiunea 2, cabaza putand fi luati vectorii caracteristici x(2) = (−1, 1, 0), x(3) = (−1, 0, 1). Cum dimV2 = 2,adica egala cu ordinul de multiplicitate al va- lorii caracteristice λ = −1, deducem ca matriceatranformarii poate fi adusa la forma diagonala

A1 =

⎛⎝ 2 0 00 −1 00 0 −1

⎞⎠iar B1 = {x(1), x(2), x(3)}, unde x(1), x(2), x(3) sunt vectorii caracteristici determinati, este obaza ın R3 fata de care matricea transformarii are forma diagonala A1.

In ıncheierea acestui paragraf, da fara demonstratie urmatorul rezultat (v. [2]):

Teorema 4.1.6 Cayley-Hamilton. Pentru orice operator liniar T ∈ L(X,X), dimX = n, ma-tricea transformarii A verifica ecuatia caracteristica PA(λ) = 0.

4.2 Forme biliniare

Definitia 4.2.1 Fie X un spatiu vectorial peste campul K. Numim forma biliniara pestecampul K o aplicatie f : X ×X → K, care este liniara ın raport cu fiecare variabila, adicasatisface conditiile:

1o. f(αx+ βy, z) = αf(x, z) + βf(y, z).

2o. f(x, αy + βz) = αf(x, y) + βf(x, z),

oricare ar fi x, y, z ∈ X si α, β ∈ K.

Definitia 4.2.2 O forma biliniara f se numeste simetrica daca

f(x, y) = f(y, x), (∀)x, y ∈ X

si antisimetrica dacaf(x, y) = −f(y, x), (∀)x, y ∈ X.

Exemple. 4.2.1. Produsul scalar definit ıntr-un spatiu vectorial real este o forma biliniara.Sa nota, cu B(X) multimea formelor biliniare definite pe X. Daca f, g ∈ B(X) si

k ∈ K atunci aplicatiile kf, f + g : X × X → K definite natural prin (kf)(x, y) = kf(x, y) si(f + g)(x, y) = f(x, y) + g(x, y), oricare ar fi x, y ∈ X, sunt forme biliniare, numite ınmultireacu un scalar a unei forme biliniare si respectiv adunarea a doua forme biliniare.

Se constata imediat ca operatiile de adunare a doua forme biliniare si de ınmultire aunei forme biliniare cu un scalar din K definesc pe multimea B(X) o structura de spatiuvectorial peste K.

Multimea formelor biliniare simetrice formeaza un subspatiu vectorial al lui B(X).Sa consideram acum spatiul vectorial X de dimensiune finita n. Fie B = {e(1), . . . , e(n)}

o baza ın X; punand x, y ∈ X

x =n∑i=1

xie(i) si y =

n∑j=1

yje(j),

61

Page 61: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

pentru forma biliniara f avem

f(x, y) = f

⎛⎝ n∑i=1

xie(i),

n∑j=1

yje(j)

⎞⎠ =

=n∑i=1

n∑j=1

xiyjf(e(i), e(j)).

Rezulta ca forma biliniara este determinata de valorile ei pe vectorii bazei. Elementele

aij = f(e(i), e(j)), i, j = 1, n

se numesc coeficientii formei biliniare, iar expresia

f(x, y) =n∑i=1

n∑j=1

aijxiyi

se numeste expresia analitica a formei biliniare.Daca punem

x = t(x1, x2, . . . , xn), y = t(y1, . . . , yn), A = (aij)i,j=1,n ∈ Mn2(K),

atunci putem scrief(x, y) = txAy,

care reprezinta forma matriceala a formei biliniare, iar A se numeste matricea atasata formeibiliniare ın baza B.

Rangul matricei atasate ıntr-o baza data unei forme biliniare se numeste rangul formeibiliniare. Daca rangul formei coincide cu dimensiunea spatiului vectorial, atunci formabiliniara se numeste nedependenta. Se numeste discriminantul unei forme biliniare ıntr-obaza data, determinantul matricei asociate formei ın baza data.

4.3 Forme patratice

In studiul unor probleme de analiza economica un rol deosebit ıl au formele patratice.

Definitia 4.3.1 Fie X un spatiu vectorial peste campul K si f o forma biliniara simetricape X. Numim forma patratica asociata lui f aplicatia g : X → K, g(x) = f(x, x), oricare arfi x din X.

Forma biliniara f care genereaza forma patratica g se numeste forma polara a lui g.

Daca ın campul K avem a+ a �= 0, pentru orice a ∈ K, a �= 0, atunci avem

g(x+ y) = f(x+ y, x+ y) = f(x, x) + f(x, y) + f(y, x) + f(y, y) =

= g(x) + 2f(x, y) + g(y),

de undef(x, y) =

12[g(x+ y) − g(x) − g(y)].

Acest rezultat ne arata ca forma polara este determinata ın mod unic de formasa patratica. Altfel spus, ıntre multimea formelor biliniare simetrice si multimea celorpatratice definite pe X exista un izomorfism. Daca presupunem ca dimX = n si consideramo baza B = {e(1), . . . , e(n)} ın el, atunci din expresia analitica a formei biliniare f (§5.2) gasimurmatoarea expresie analitica pentru forma patratica g

g(x) =n∑i=1

n∑j=1

aijxixj .(4.16)

62

Page 62: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Daca punem A = (aij) ∈ Mn2(K), care pentru formele patratice este o matrice simet-rica, obtinem expresia matriceala pentru forma patratica:

g(x) = txAx,

unde x = t(x1, . . . , xn) ∈ X.

Definitia 4.3.2 Daca ın expresia analitica (4.16) a formei patratice g, toti coeficientii aij cui �= j sunt nuli, atunci se spune ca reprezentarea formei patratice este sub forma canonica .

Teorema 4.3.1 (Gauss). Expresia analitica a oricarei forme patratice pe un spatiu vectorialX peste K, dimX = n, poate fi adusa printr-o schimbare de baza, la forma canonica.

Demonstratie. Vom demonstra aceasta teorema prin inductie matematica dupa numarul kal variabilelor ce apar ın expresia analitica a formei patratice.

Evident ca pentru k = 1 avem g(x) = a11x21, care este scrisa sub forma canonica.

Presupunem teorema valabila pentru k − 1 variabile si o demonstram pentru k. Fara arestrange generalitatea presupunem ca a11 �= 0 (ın caz contrar renumerotam variabilele, iardaca toti a11 = 0, i = 1, n, atunci ıntr-un produs xixj facem schimbarea de variabile xi = yi−yj,xj = yi + yj). Acum, scriem expresia analitica (4.16) a formei patratice astfel

g(x) =1a11

⎡⎣a211x

21 + 2

n∑j=2

a11a1jx1xj

⎤⎦+n∑

i,j=2

aijxixj =

=1a11

(n∑i=1

a1jxj

)2

+n∑

i,j=2

bijxixj ,

noii coeficienti bij rezulta din reducerea termenilor asemenea dupa formarea patratuluiperfect.

Facand schimbarea de variabile

y1 =n∑j=1

a1jxj , yk = xk, k = 2, n

obtinem

g(x) =1a11

y21 + h(y),

unde

h(y) =n∑i=1

n∑j=2

bijyiyj

nu depinde de x1, deci ın expresia ei analitica avem doar k − 1 variabile. Folosind ipotezainductiei, exista o baza (o schimbare de coordonate) a spatiului X ın care

h(y) = λ2y22 + . . .+ λmy

2m.

Atuncig(x) = λ1y

21 + . . .+ λmy

2m, λ1 = 1/a11.

Teorema este demonstrata. Demonstratia teoremei ne ofera si un procedeu practicde a scrie o forma patratica sub forma canonica numita metoda lui Gauss. Astfel, mai ıntaise formeaza un patrat perfect cu termeni care contin pe x1, apoi cu termenii ce contin pex2 s.a.m.d.Exemplul 4.3.1. Sa reducem la forma canonica forma patratica g : R3 → R, g(x) = 2x2

1 +x1x2 +

63

Page 63: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

x22 + 4x1x3 + 4x2

3.Utilizand metoda lui Gauss avem

g(x) =12(4x2

1 + 2x1x2 + 8x1x3) + x22 + 4x2

3 =12

(2x1 +

x2

2+ 2x3

)2

+

+1516x2

2 + 3x23 −

12x2x3 =

12

(2x1 +

x2

2+ 2x3

)2

+

+1615

[(1516

)2

x22 −

815x2x3

]+ 3x3 =

12

(2x1 +

x2

2+ 2x3

)2

+

+1615

(1616x2 − 1

4x3

)2

+4415x2

3.

Punandy1 = 2x1 +

x2

2+ 2x3, y2 =

1516x2 − x3

4, y3 = x3(4.17)

obtinem forma canonica pentru g:

g(x) =12y21 +

1615y22 +

4415y23 .(4.18)

Din (4.17) avem:

x1 =12y1 − 4

15y2 −16

15y3

x2 =1615y2 +

415y3

x3 = y3

sau matriceal x = Cy, unde x = t(x1, x2, x3), y = t(y1, y2, y3), x, y ∈ R3 si

C =

⎛⎝ 12 − 4

15 − 1615

0 1615

415

0 0 1

⎞⎠Cum C este nesingulara si are rangul 3 deducem ca forma patratica este nedegenerata,

iar vectorii coloana din C, f (1) =(

12, 0, 0

), f (2) =

(− 4

15,1015, 0), f (3) =

(−16

15,

415, 1)

constituie

noua baza fata de care g are forma canonica (4.18).Exemplul 4.3.2. Sa aducem la forma canonica forma patratica g : R4 → R, g(x) = x1x2 +x1x3 − 2x2x3 + x3x4.

Deoarece nu avem termeni ın x21, i = 1, 2, 3, 4, facem schimbare de variabile

x1 = y1 − y2, x2 = y1 + y2, x3 = y3, x4 = y4(4.19)

si obtinemg(x) = y2

1 − y22 − y1y3 − 3y2y3 + y3y4.(4.20)

Acum aplicand metoda lui Gauss avem succesiv,

g(x) =(y1 − y3

2

)2

− y22 − 1

4y23 − 3y2y3 + y3y4 =

=(y1 − y3

2

)2

−(y2 +

32y3

)2

+ 2y23 + y3y4 =

=(y1 − y3

2

)2

−(y2 +

32y3

)2

+12

(2y3 +

12y4

)2

− 18y24 .

64

Page 64: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Daca punem

z1 = y1 − y32, z2 = y2 +

32y3, z3 = 2y3 +

12y4, z4 = y4,(4.21)

obtinem

g(x) = z21 − z2

2 +12z23 − 1

8z24 .(4.22)

Din (4.21) gasim

x1 = z1− 12z2+

38z3− 3

32z4

x2 = z1+32z2− 9

8z3+

932z4

x3 =12z3− 1

8z4

x4 z4

care constituie schimbarea de variabile prin care g(x) se scrie sub forma canonica (4.22).O alta metoda de aducere la forma canonica a unei forme patratice a fost data de

Jacobi.

Teorema 4.3.2 Jacobi. Fie g : X → K o forma patratica pe spatiul vectorial n–dimensionalX peste K si A = (aij) ∈ Mn2(K) matricea formei ın baza B = {e(1), . . . , e(n)} a spatiului X.Daca determinantii

Δ1 = a11,Δ2 =∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ , . . . ,Δi =

∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1i

. . . . . . . . .ai1 . . . aii

∣∣∣∣∣∣ , . . . ,Δn = detA(4.23)

sunt toti nenuli, atunci exista o baza B1 = {h(1), . . . , h(n)} a spatiului X asa ıncat g are formacanonica

g(x) =n∑i=1

Δi−1

Δiy2i , Δ0 = 1,(4.24)

unde (y1, y2, . . . , yn) sunt coordonatele vectorului x ın baza B1.

Demonstratie. Pentru gasirea bazei B, vom considera vectori h(i), i = 1, n de forma

h(1) = b11e(1)

h(2) = b21e(1) + b22e

(2)

...h(n) = bn1e

(1) + bn2e(2) + . . .+ bnne

(n)

(4.25)

si vom impune conditiile

f(h(i), e(j)) = 0, pentru 1 ≤ j < i ≤ n,f(h(i), e(i)) = 1, pentru 1 ≤ i ≤ n,

(4.26)

unde f este forma polara a formei patratice g.Conditiile (4.26) determina ın mod unic vectorii h(i), i = 1, n. Astfel, ca sa determinam

vectorul h(i) = hi1e(1) +hi2e

(2) + . . .+ biie(i), i = 1, n, ın conditiile (4.26) obtinem sistemul liniar

a11αi1 + a21αi2 + . . .+ a1iαii = 0a21αi1 + a22αi2 + . . .+ a2iαii = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ai−1,1αi1 + ai−1,2αi2 + . . .+ ai−1,iαii = 0ai1αi1 + ai2αi2 + . . .+ aiiαii = 1

65

Page 65: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

care are o solutie unica deoarece determinantul sau este Δi �= 0.Se arata usor ca vectorii h(1), . . . , h(n) astfel construiti sunt liniar independenti. Acum

sa aratam ca B1 = {h(1), . . . , h(n)} esste baza ın care matricea formei patratice g este C =(cij) = Mn2(K), cu aij = 0, i �= j si cij = Δi−1/Δi, i = 1, n.

Avemcij = f(h(i), h(j)) = f(h(i), bj1e

(1) + bj2e(2) + . . .+ bjje

(j)) =

= bj1f(h(i), e(1)) + bj2(h(i), e(2)) + . . .+ bjjf(h(i), e(j)),

de unde folosind conditiile (4.25), gasim

cij = 0, daca i �= j si cii = bii = Δi−1/Δi, i = 1, n.

Teorema este astfel demonstrata.Exemplul 4.3.3. Utilizand metoda lui Jacobi sa aflam formele canonice pentru formelepatratice din Exemplele 4.3.1 si 4.3.2.

Matricea formei patratice din Exemplul 4.3.1 este

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝2

12

2

12

1 0

2 0 4

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠cu

Δ0 = 1, Δ1 = 2, Δ2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣2

12

12

1

∣∣∣∣∣∣∣∣ =74

si Δ3 = detA = 3,

iar din (4.23) obtinem

g(x) =12y21 +

87y22 +

712y23 .

Pentru forma patratica din exemplul 4.3.2 utilizam forma (4.20) si avem

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 −12

0

0 −2 −32

0

−12

−32

012

0 012

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠cu

Δ0 = 1, Δ1 = 1, Δ2 = −1, Δ3 = −12

si Δ4 = detA =14

de unde, folosind (4.23), gasim

g(x) = z21 − z2

2 + 2z23 − 2z2

4 .

Observatia 4.3.1 Pentru determinarea formei canonice a unei forme patratice g se potutiliza si valorile caracteristice (proprii) ale matricei A atasatei ei ıntr-o baza. Dacaλ1, λ2, . . . , λn sunt valorile caracteristice corespunzatoare lui A, atunci forma canonica este

g(x) = λ1y21 + λ2y

22 + . . .+ λny

2n (v. [2]).

In studiul punctelor de extrem avem nevoie de semnul unei forme patratice.

66

Page 66: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Vom considera acum o forma patratica peste un spatiu vectorial peste R.

Definitia 4.3.3 Fie g : X → R o forma patratica reala adusa la o forma canonica ıntr-o baza.Daca ın aceasta forma canonica p coeficientii sunt strict pozitivi, q sunt strict negativi iarr = n− (p+ q) sunt nuli, atunci tripletul (p, q, r) se numeste signatura formei patratice.

Se demonstreaza (v. [2]) urmatorul rezultat:

Teorema 4.3.3 (inertiei). Signatura unei forme patratice este invarianta la schimbareabazei.

Definitia 4.3.4 O forma patratica reala g : X → R se numeste pozitiv definita respectivnegativ definita daca g(x) > 0 respectiv g(x) < 0, pentru orice x ∈ X, x �= θ.

Forma g se numeste semidefinita pozitiv sau semidefinita negativ dupa cum g(x) ≥ 0sau g(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ X. Forma g se numeste nedefinita daca exista vectorii x(1) ∈ Xsi x(2) ∈ X astfel ıncat g(x(1)) > 0 si g(x(2)) < 0.

Teorema 4.3.4 (Sylvester). In conditiile Teoremei lui Jacobi, forma patratica g : X → R

este pozitiv definita daca si numai daca Δi ≥ 0, i = 1, n si negativ definita daca si numaidaca (−1)iΔi > 0, i = 1, n.

Demonstratie. Sa consideram ca g este pozitiv definita. Aratam mai ıntai ca Δi �= 0,i = 1, n. Sa presupunem prin obsurd ca exista k ∈ {1, 2, . . . , n} pentru care Δk = 0. Atunciın determinantul Δk una din linii este o combinatie liniara a celorlalte, adica exista scalariiα1, α2, . . . , αk astfel ıncat

α1a1j + α2a2j + . . .+ αkakj = 0, j = 1, k.(4.27)

Daca f este polara formei patratice g, tinand seama ca aij = f(e(i), e(j)), i, j = 1, n, din(4.27) avem

0 = α1f(e(1), e(j)) + α2f(e(2), e(j)) + . . .+ αkf(e(k), e(j)) =

= f(α1e(1) + α2e

(2) + . . .+ αke(k), e(j)), j = 1, k

Inmultind corespunzator cu αj, i = 1, k, egalitatile precedente si ınsumandu-le,obtinem

f(α1e(1) + α2e

(2) + . . .+ αke(k), α1e

(1) + α2e(2) + . . .+ αke

(k)) = 0,

adicag(α1e

(1) + α2e(2) + . . . αke

(k)) = 0.(4.28)

Cum g este pozitiv definita deducem ca (4.28) este posibila numai daca α1e(1) +

α2e(2) + . . . + αke

(k) = θ, ceea ce contrazice liniar independenta vectoriala a bazei B ={e(1), e(2), . . . , e(n)}. Prin urmare, presupunerea ca ar exista un Δk = 0 este falsa si deciΔi �= 0, i = 1, n.

Acum, folosind Teorema lui Jacobi, exista o baza B1 = {h(1), h(2), . . . , h(n)} fata de care

g(x) =n∑i=1

Δi−1

Δiy2i .

Cum g(x) > 0, pentru orice x nenul. ın particular pentru (y1, . . . , yi, . . . , yn) =(0, . . . , 1, . . . , 0), obtinem Δi−1/Δi > 0, i = 1, n. Deoarece Δ0 = 1 si Δ0/Δ1 > 0, avem Δ1 > 0 sidin aproape ın aproape obtinem Δi > 0, i = 1, n.

Reciproc, daca Δi > 0, i = 1, n, atunci Δi−1/Δi > 0, i = 1, n, si

g(x) =n∑i=1

Δi−1

Δiy21 ≥ 0

cu egalitate numai daca y1 = y2 = . . . = yn = 0, adica x = θ, ceea ce ne arata ca g este pozitivdefinita.

Daca g este negativ definita atunci forma patratica −g : X → R este pozitiv definita,matricea ei fiind −A = (−aij) cu minorii diagonali Δ′i = (−1)iΔi. Deoarece −g este pozitivdefinita numai daca Δ′i > 0 rezulta ca g este negativ definita numai daca (−1)iΔi > 0, i = 1, n.

67

Page 67: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Corolarul 4.3.1 O forma patratica reala pe un spatiu n–dimensional este pozitiv respectivnegativ definita daca si numai daca una din conditiile de mai jos este ındeplinita:

1o. signatura ei este (n, 0, 0) respectiv (0, n, 0);

2o. toate valorile caracteristice ale matricei A atasate formei ıntr-o baza sunt strict pozi-tive (strict negative).

Forma patratica din Exemplul 4.3.1 este pozitiv definita deoarece signatura ei este(3, 0, 0).

68

Page 68: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

4.4 Testul Nr. 3 de verificare a cunostintelor

1. Definiti urmatoarele notiuni:

a) Transformare liniara;b) Forma liniara;c) Nucleul unui operator liniar;d) Vector caracteristic;e) Forma biliniara;f) Forma patratica;g) Forma canonica a unei forme patratice;h) Signatura formei patratice.

2. Aratati ca urmatoarea aplicatie este o transformare liniara: f : R3 → R2, f(x1, x2, x3) =(2x1 + x2, 4x3).

3. Fie aplicatiile f : R2 → R2, f(x1, x2) = (2x1−x2, 3x2) si g : R2 → R2, g(x1, x2) = (x2−x1, 4x1).Aratati ca f si g sunt operatori liniari, apoi determinati f ◦ g si g ◦f si verificati ca suntoperatori liniari.

4. Fie transformarea liniara f : R3 → R3care ın baza canonica este data de matricea

A =

⎛⎝ 5 −3 26 −4 44 −4 5

⎞⎠ .

Gasiti valorile si vectorii caracteristici atasati transformarii.

5. Fie transformarea liniara T : R3 → R3cu exprimarea ın baza B data de matricea

A =

⎛⎝ 7 −12 610 −19 1012 −24 13

⎞⎠ .

Aratati ca exista o baza B′ ın R3 fata de care matricea transformarii T are formadiagonala.

6. Diagonalizati matricea

A =

⎛⎝ 4 −2 2−5 7 −5−6 6 −4

⎞⎠ .

7. Sa se aduca la forma canonica, cu ajutorul metodei lui Gauss, forma patratica:

f(x) = x21 + x2

2 + x23 − 2x2

4 − 2x1x2 + 2x1x3 − 2x1x4 + 2x2x3 − 4x2x4.

8. Sa se aduca la forma canonica, cu ajutorul metodei lui Gauss, forma patratica:

f(x) = x1x2 + 3x1x3 + 5x2x3.

9. Sa se aduca la forma canonica, cu ajutorul metodei lui Jacobi, forma patratica:

f(x) = x21 + 2x2

2 + 3x23 + 3x2

4 − 2x2x3 − 2x1x3 + 2x1x4 + 6x2x4.

10. Sa se aduca la forma canonica, cu ajutorul metodei lui Jacobi, forma patratica:

f(x) = x21 + 4x1x2 + 2x1x4 + 3x2

2 − 2x2x3 + 2x2x4 + 2x23 − 4x3x4 − x2

4.

69

Page 69: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Indicatii si raspunsuri

Testul 3

2. Se verifica conditia f(αx+ βy) = α · f(x) + β · f(y) (∀) α, β ∈ R si (∀) x, y ∈ R3.

3. Se solutioneaza analog cu problema precedenta.

4. Se obtin valorile caracteristici λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3 si vectorii caracteristice v′1 =(a, 2a, a), a ∈ R cu reprezentatul v1 = (1, 2, 1); v′2 = (a, a, 0), a ∈ R cu reprezentantulv2 = (1, 1, 0); v′3 = (a, 2a, 3a), a ∈ R cu reprezentantul v3 = (1, 2, 2).

5. Se obtin valorile caracteristice λ1 = −1, λ2 = λ3 = 1 si vectorii caracteristici v1 = (3, 5, 6),v2 = (2, 1, 0) si v3 = (−1, 0, 1). Apoi se arata ca v1, v2, v3 sunt liniar independenti. Deoarece

din R3 = 3 se obtine {v1, v2, v3} baza cautata iar matricea atasata este

⎛⎝ −1 0 00 1 00 0 1

⎞⎠.

6. Se determina valorile caracteristice λ1 = 3, λ2 = λ3 = 2, vectorii caracteristici v1 =(2,−5,−6), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 1, 0) care se arata ca sunt liniar indepedenti. Deci

{v1, v2, v3} baza ın R3 si matricea transformarii are forma diagonala

⎛⎝ 3 0 00 2 00 0 2

⎞⎠.

7. Forma canonica este f(y) = y21 − 3y2

2 + 3y23.

8. Folosim transformarea: y1 =x1 + x2

2, y2 =

x1 − x2

2, y3 = x3 si obtinem f(y) = y2

1 − y22 +

8y1y3 − 2y2y3. Apoi aplicand metoda lui Gauss obtinem forma canonica:

f(z) = z21 − z2

2 − 15z23 .

9. Avem Δ0 = 1, Δ1 = 1, Δ2 = 2, Δ3 = 3, Δ4 = −20, deci forma canonica:

f(y) = y21 +

12y22 +

23y23 − 3

20y24 .

10. Analog cu solutia problemei precedente se obtine forma canonica:

f(y) = y21 − y2

2 +13y23 − 1

4y24 .

70

Page 70: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Bibliografia aferenta capitolului:[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate ın economie - Volumul I,

Editura ULB, Sibiu, 2001.[2] Cruceanu, V., Elemente de algebra liniara si geometrie, Editura Didactica si peda-

gogica, Bucuresti, 1973.

71

Page 71: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Capitolul 5

Elemente de programare liniara

Obiective: Scopul acestui capitol este de a pune la dispozitia studentilor (viitoriieconomisti) a unuia dintre cele mai utile modelari matematice cu aplicatii economice,ımpreuna cu algoritmul de rezolvare al acestui model.

Rezumat: In acest capitol se vor prezenta notiunile fundamentale legate de pro-gramarea matematica cu accent pe programarea liniara si ın special a algoritmului simplexpentru rezolvarea problemelor de programare liniara.

Continutul capitolului:1. Obiectul programarii matematice2. Notiuni generale relative la o problema de programare liniara3. Algoritmul simplex4. Cazuri speciale ıntr-o problema de programare liniara5. Rezolvarea problemei generale de programare liniara6. Dualitatea ın problemele de programare liniara7. Test de verificare a cunostintelor8. Bibliografia aferenta capitolului

Cuvinte cheie: programare matematica, programare liniara, solutie posibila,solutie de baza, solutie optima, algoritmul simplex, problema duala.

5.1 Obiectul programarii matematice

Am vazut ın Capitolul I ca aplicarea conceptelor matematice ın studiul proceseloreconomice a capatat o dezvoltare deosebita, prin rezolvarea unui numar tot mai mare deprobleme. Astazi, problemele de productie, de planificare sau de proiectare se cer rezolvatenu la ıntamplare, ci asa fel ıncat solutiile obtinute sa fie corespunzatoare unui anumit scop.De exemplu, realizarea unui proces de productie sa se faca cu cheltuieli cat mai mici si cuvenit cat mai mare.

Organizarea stiintifica a proceselor economice, ın scopul luarii unei decizii constiente,ın raport cu telurile urmarite si ın urma unei analize a corelatiilor dintre diferitii factori ceintervin, constituie obiectul a ceea ce se numeste programare matematica.

In general, problema programarii desfasurarii unor fenomene economice este o prob-lema complexa si vasta, pentru rezolvarea carora matematica ofera diverse metode dinmultitudinea de ramuri, ca: aritmetica, algebra, geometria, analiza matematica, calcululprobabilitatilor, analiza functionala, ecuatii diferentiale, ecuatii integrale, etc.

Forma generala a unei probleme de programare matematica (v. cap.I, §1.2 si §1.3)cere sa se determine valorile variabilelor xj, j = 1, n, astfel ıncat ele sa satisfaca restrictiile

gk(x1, . . . , xn) ≥ 0, k = 1,m,(5.1)

iar functia z = f(x1, x2, . . . , xn), numita functia obiectiv (scop, eficienta), sa ia valoarea optima(maxima, respectiv minima).

72

Page 72: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Deseori, pe langa restrictiile (5.1), se mai adauga si conditiile de nenegativitate xj ≥ 0,j = 1, n. Astfel ca modelul matematic al unei probleme de programare arata astfel:

(optim)z = f(x1, . . . , xn)gk(x1, x2, . . . , xn) ≥ 0, k = 1,mxj ≥ 0, j = 1, n.

(5.2)

Clasificarea problemelor de programare matematica se face dupa forma functiilor f sigk, natura necunoscutelor xj, j = 1, n si respectiv, natura coeficientilor necunoscutelor ın fsi gk, k = 1,m.

Daca functiile f si gk, k = 1,m, sunt forme liniare, atunci problema de programare aredenumirea consacrata de problema de programare liniara, prescurtat (P.L).

Cand functia z, sau unele restrictii, sunt functii neliniare, problema poarta denumireade problema de programare neliniara. De exemplu, daca f este o forma patratica, atuncispunem ca avem o problema de programare patratica.

Daca necunoscutele x1, . . . , xm se cauta ın numere ıntregi, spunem ca avem programareıntreaga (ın numere ıntregi).

Daca toti coeficientii necunoscutelor xj, j = 1, n, ın f si gk, k = 1,m, sunt constanti,atunci se zice ca avem o problema de programare determinista. In caz ca cel putin unul dinacesti coeficienti este variabil (depinzand de parametrii), avem programare parametrica.Daca cel putin unul din acesti coeficienti este o variabila aleatoare, atunci spunem ca avemprogramare aleatoare sau stochastica.

In acest capitol ne vom ocupa de problema programarii liniare (P.L.). Programarealiniara este o ramura unitara a matematicilor aplicate ın economie, avand metode propriisi generale de rezolvare a problemelor respective.

Constituirea obiectului de programare liniara s-a datorat faptului ca ın viata social–economica exista multe aplicatii care conduc la probleme liniare de programare (v. §1.3).

Rezolvarea problemelor de programare liniara poate fi facuta folosind diferite metode,unele particulare (metoda repartizarii, metoda grafica), altele generale (metoda simplex).

Primele probleme de programare liniara au fost formulate de L.V.Kantorovici (1939)si de F.L.Hitchcock (1941). Programarea liniara se naste ınsa ın anii de dupa cel de-aldoilea razboi mondial, o data cu formularea ei generala ın 1947, de catre G.B.Dantzig, carea propus, totodata si un procedeu eficient de rezolvare metoda simplex.

Astazi, se poate vorbi despre un mod unitar de abordare al tuturor problemelor deprogramare liniara. Diversele metode de rezolvare existente au ca tel sporirea rapiditatiiın calcule, avand ın vedere ın special utilizarea calculatoarelor.

5.2 Notiuni generale relative la o problema de programareliniara

Problema de P.L., sub forma cea mai simpla pe care o vom numi forma standard sauforma algebrica, este data prin modelul matematic

(optim)f(x) = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn(5.3) ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

(5.4)

xj ≥ 0, j = 1, n,(5.5)

unde (5.3) este functia de scop, (5.4) sunt restrictiile, iar (5.5) conditiile de nenegativitate.Sistemul de restrictii (5.4) reprezinta concordanta interna a unui proces economic.

Coeficientii aij, i = 1,m, j = 1, n, sunt coeficienti tehnici constanti, planificati sau determinati

73

Page 73: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

ın mod statistic. Necunoscutele xj, j = 1, n, sunt marimi care trebuie gasite, iar termeniiliberi bi, i = 1,m, sunt marimi constante date, determinate de conditiile locale ale procesuluieconomic. numiti coeficienti de restrictie ai programului dat.

Daca sistemul liniar (5.4) de ecuatii de conditii (restrictii) este compatibil determinat,atunci din punct de vedere economic avem un proces economic cu concordanta internarigida. In acest caz nu mai are rost sa se puna problema determinarii valorii optime pentrufunctia scop deoarece ea are o valoare unica bine determinata, corespunzatoare solutieisistemului (5.4).

Cand sistemul liniar (5.4) de ecuatii de restrictii este compatibil nedeterminat, atunciconcordanta interna a procesului economic este elastica, deoarece ofera posibilitatea alegeriidintr-o infinitate de solutii ale sitemului numai pe acelea care fac functia de scop optima.

Utilizand puternicul aparat al matematicii, problema de programare liniara (5.3)–(5.5) poate fi prezentata si ın alte moduri.

Fie matricele

A =

⎛⎜⎜⎝a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

⎞⎟⎟⎠ , B =

⎛⎜⎜⎜⎝b1b2...bm

⎞⎟⎟⎟⎠ , x =

⎛⎜⎜⎜⎝x1

x2

...xn

⎞⎟⎟⎟⎠ ,

c = (c1, . . . , cn), θ =

⎛⎜⎝ 0...0

⎞⎟⎠Cu aceste notatii, problema de programare liniara (5.3)–(5.5) ia forma matriceala:⎧⎨⎩ (optim)f(x) = cx

Ax = bx ≥ θ

Daca notam cu Pj, j = 1, n, vectorii ale caror componente sunt elemente core-spunzatoare coloanelor matricei A, atunci problema de programare liniara (5.3)–(5.5) iaforma ⎧⎨⎩ (optim)f(x) = cx

x1P1 + x2P2 + . . .+ xnPn = bx ≥ θ

numita forma vectoriala a problemei de programare liniara.

Definitia 5.2.1 Se numeste solutie posibila a problemei de programare liniara standard oricevector coloana x(0) ≥ θ, care verifica sistemul de restrictii, adica Ax(0) = b.

Pe baza celor demonstrate ın §3.5, rezulta ca multimea tuturor solutiilor posibilepentru o problema de programare liniara este convexa.

Definitia 5.2.2 Se numeste solutie de baza pentru o problema de programare liniara oricesolutie posibila, care are cel mult m componente strict pozitive. Ea se obtine dintr-o solutieposibila, cand necunoscutelor secundare se atribuie valoarea zero.

Definitia 5.2.3 O solutie de baza este numita nedegenerata, daca are exact m componentestrict pozitive. In caz contrar ea este numita solutia de baza degenerata.

Definitia 5.2.4 Solutia posibila x(1) este numita mai buna decat solutia posibila x(2), dacaf(x(1)) ≤ f(x(2)) cand pentru f se cere minimul, respectiv f(x(1)) ≥ f(x(2)), cand pentru f secere maximul.

Definitia 5.2.5 O solutie de baza x(0) este solutie optima daca f(x(0)) este valoarea optimapentru f .

74

Page 74: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Definitia 5.2.6 Daca avem k solutii optime x(1), . . . , x(k), atunci solutia generala estecombinatia liniara convexa a solutiilor optime, adica

x =k∑i=1

αix(i),

cuk∑i=1

αi = 1, αi ∈ [0,∞), i = 1, k.

Observatia 5.2.1 Intr-o problema de programare liniara putem lucra considerand optimuldrept minim deoarece daca se cere maximul, atunci din relatia max f = −min(−f) se deduceca este suficient sa se determine min(−f), iar apoi, cu semn schimbat, vom avea maximullui f .

Observatia 5.2.2 Intr-o problema economica concreta, de obicei, restrictiile problemei deprogramare liniara sunt inecuatii, caz ın care spunem ca avem o problema generala deprogramare liniara. Modelul matematic al acesteia, sub forma matriciala, arata astfel:

(optim)f(x) = cx⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩A1x = b(1)

A2x ≥ b(2)

A3x ≤ b(3)

x ≥ θ.

5.3 Algoritmul simplex

Metoda generala de rezolvare a problemelor de programare liniara este cunoscuta ınliteratura de specialitate sub numele de metoda simplex sau algoritmul simplex. Ea estedatorata lui G.B.Dantzig, care a publicat primele lucrari ın 1947. Ulterior s-au dat diversevariante ımbunatatite ale metodei. Ea are la baza metoda eliminarii complete de rezolvarea unui sistem de ecuatii liniare, desigur adaptata scopului urmarit: aflarea solutiilor cucomponente nenegative, respectiv a solutiei (sau solutiilor) pentru care functia liniara descop f are valoarea optima.

Pe baza Observatiei 5.2.1 este suficient sa consideram problema de P.L. standard.

minf =n∑j=1

cjxj

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

xj ≥ 0, j = 1, n.

Ideea metodei simplex consta ın a gasirea mai ıntai a unei solutii de baza, apoi de unprocedeu prin care din aceasta se obtin solutii de baza mai bune, pana la aflarea solutiiloroptime.

Pentru determinarea unei solutii de baza vom utiliza metoda eliminarii complete(Gauss–Jordan).

Utilizand metoda elementului pivot si presupunand ca am lucrat pe primele m coloane

75

Page 75: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

cu m ≤ n, obtinem

(A|b) ∼

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 0 . . . 0 α1,m+1 . . . α1n β1

0 1 . . . 0 α2,m+1 . . . α2n β2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0 αi,m+1 . . . αin βi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 αm,m+1 . . . αmn βm

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠In ipoteza ca βi ≥ 0, i = 1,m (ın caz contrar se aleg alte necunoscute principale), vom

putea considera solutia de baza

x1 = β1, . . . , xm = βm, xm+1 = 0, . . . , xn = 0

adicatx(1) = (β1, β2, . . . , βm, 0, . . . , 0).

Pentru aceasta solutie x(1) avem

f(x(1)) =m∑j=1

cjβj .

Acum vrem sa trecem de la solutia de baza x(1) la o noua solutie de baza x(2) care safie mai buna. Sa admitem ca αi,m+1 �= 0, adica poate fi considerat ca element pivot. Atunciputem ınlocui necunoscuta principala xi prin xm+1. Aplicand metoda elementului pivot,obtinem

(A|b) ∼

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 . . . −α1,m+1αi,m+1

. . . 0 0 γ1,m+2 . . . γ1,n β1 − βiα1,m+1αi,m+1

0 1 . . . −α2,m+1αi,m+1

. . . 0 0 γ2,m+2 . . . γ2,n β2 - βiα2,m+1αi,m+1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . − 1

αi,m+1. . . 0 1 αi,m+2

αi,m+1. . . αi,n

αi,m+1

βi

αi,m+1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . −αm,m+1

αi,m+1. . . 1 0 γm,m+2 . . . γm,n βm − βiαm,m+1

αi,m+1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠Noua solutie x(2) are componentele

x11 = β1 − βiα1,m+1

αi,m+1, . . . , xi−1 = βi−1 − βiαi−1,m+1

αi,m+1, xi = 0,

xi+1 = βi+1 − βiαi+1,m+1

αi,m+1, . . . , xm = βm − βiαm,m+1

αi,m+1,

xm+1 =βi

αi,m+1, xm+2 = 0, . . . , xn = 0.

Pentru ca x(2) sa fie solutie de baza trebuie ca

βiαi,m+1

≥ 0(5.6)

si respectiv:

βj − βiαj,m+1

αi,m+1≥ 0, j = 1,m, j �= i,(5.7)

Cum βi ≥ 0, din (5.6) gasimαi,m+1 > 0.(5.8)

76

Page 76: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Inegalitatile (5.7) pentru care αj,m+1 ≤ 0 sunt evidente. Pentru αj,m+1 > 0, din (5.7)gasim

βjαj,m+1

≥ βiαi,m+1

,

care ne arata caλ =

βiαi,m+1

(5.9)

este minimul rapoartelorβj

αi,m+1, cu αj,m+1 > 0. Asadar, vom obtine prin trecerea de la

x(1) la x(2) o noua solutie de baza daca elementul pivot este pozitiv, iar pivotul va fi acelacare furnizeaza cel mai mic raport λ, cand termenii liberi se ımpart la elementele pozitivecorespunzatoare de pe coloana pe care lucram. In limbaj vectorial, se mai spune ca amgasit conditia prin care precizam vectorul care iese din baza.

Acum sa vedem ın ce conditii x(2) este o solutie de baza mai buna ca x(1).Avem

f(x(2)) = c1

(β1 − βiα1,m+1

αi,m+1

)+ . . .+ ci−1

(βi−1 − βiαi−1,m+1

αi,m+1

)+

+ci+1

(βi+1 − βiαi+1

αi,m+1

)+ . . .+ cm

(βm − βiαm,m+1

αi,m+1

)+ cm+1

βiαi,m+1

=

= f(x(1)) +βi

αi,m+1[cm+2 − (c1α1,m+1 + c2α2,m+1 + . . .+ ciαi,m+1 + . . .+

cmαm,m+1)] .

Daca notam

zm+1 = c1α1,m+1 + c2α2,m+1 + . . .+ ciαi,m+1 + . . .+ cmαm,m+1

atunci putem scrief(x(2)) − f(x(1)) = λ(cm+1 − zm+1)

Cum λ > 0, rezulta ca f(x(2)) < f(x(1)) daca Δm+1 = cm+1 − zm+1 < 0.Prin urmare, vom trece de la o solutie de baza x(1) la una x(2) mai buna, daca diferenta

Δm+1 = cm+1−zm+1, corespunzatoare vectorului Pm+1, corespunzator necunoscutei xm+1 careva deveni principala, este mai mica decat 0.

Practic, trebuie sa calculam marimile

zj = c1α1j + c2α2j + . . .+ cmαmj = 〈CB , Pj〉, j = 1, n,

adica produsul scalar dintre vectorii CB = (c1, c2, . . . , cm) al coeficientilor necunoscutelor debaza si tPj = (α1j , α2j , . . . , αmj) al componentelor coloanei j; apoi diferentele Δj = cj − zj,j = 1, n. Cum f(x(2)) − f(x(1)) = λΔj, rezulta ca x(2) va fi o solutie mai buna daca Δj < 0.Aceasta ınseamna ca daca toate diferentele Δj ≥ 0, j = 1, n, atunci nu se poate obtine oımbunatatire a solutiei, si ın consecinta, solutia x(1) de baza este optima. Din cele de maisus, rezulta pentru algoritmul simplex urmatorii pasi:Pasul 1. Se determina o solutie de baza a problemei de P.L., prin aplicarea metodei ele-mentului pivot care respecta conditiile (5.8) si (5.9);Pasul 2. Se calculeaza toate valorile zj, j = 1, n, obtinute prin produsul scalar al vectorilorCB si Pj;Pasul 3. Daca exista diferente Δj = cj − zj < 0 se trece la gasirea unei alte solutii de bazaprin introducerea ın baza a vectorului pentru care Δj < 0 este cea mai mare ın valoareabsoluta. Daca toate diferentele Δj ≥ 0, atunci se trece la Pasul 5;Pasul 4. Se repeta pasii 2 si 3 pana cand nu mai exista diferente Δj < 0. Acum s-a ajuns lasolutia optima.

77

Page 77: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Pasul 5. Se scrie solutia optima: variabilele principale (ale caror vectori coloana contin nu-mai o cifra de 1 restul fiind zero) au valorile corespunzatoare din coloana termenilor liberi,variabilele secundare au toate valoarea zero, iar min f = 〈CB , SB〉, unde SB este solutia debaza.

De obicei, pentru lucrul manual, pasii algoritmului simplex se efectueaza ıntr-un tabel.Acest tabel reprezinta, de fapt, transformarile de la metoda eliminarii complete aplicata larezolvarea sistemului de restrictii, dar completate cu o prima linie formata din coeficientiifunctiei scop f si cu ınca doua coloane: CB – a coeficientilor bazei, respectiv cu baza B.

In momentul ın care s-a ajuns la o solutie de baza tabelul se completeaza cu doua liniipentru calcularea valorilor lui zj, respectiv Δj. Un astfel de tabel are forma

c c1 c2 c3 . . . cnCB B b P1 P2 P3 . . . Pn

e1 b1 a11 a12 a13 . . . a1n

e2 b2 a21 a22 a23 . . . a2n

Pj−→←−ei

......

......

... aij...

em bm am1 am2 am3 . . . amn

zj fΔj -

Pj−→←−ei

semnifica faptul ca vectorul ei pleaca din baza, ın locul lui intrand vectorul Pj. Sa

ilustram acestea printr-un exemplu.Exemplul 5.3.1. Sa se rezolve problema de P.L.

(min)f(x) = x1 + 2x2 + x3 + 3x4

cu restrictiile ⎧⎨⎩ 2x1 + x2 − x3 + 2x4 = 6x1 + x2 + 2x3 = 5

−x1 + 2x2 + x3 + x4 = 8

xj ≥ 0, j = 1, 4.

Avemc 1 2 1 3

CB B b P1 P2 P3 P4P1−→←−e1

e1 6 2 1 -1 2

e2 5 1 1 2 0e3 8 -1 2 1 1

1 P1 3 1 12 − 1

2 1P2−→←−e2

e2 2 0 12

52 -1

e3 11 0 52

12 2

1 P1 1 1 0 -3 22 P2 4 0 1 5 -2

P4−→←−e3

e3 1 0 0 -12 7

P3−→←−P1

1 P157 1 0 3

7 0

2 P2307 0 1 11

2 0 Prima3 P4

17 0 0 − 12

7 1 solutiezj

687 1 2 − 11

7 3 de bazaΔj – 0 0 13

7 0

78

Page 78: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Cum Δj ≥ 0, j = 1, 4, rezulta ca solutia de baza gasita este si optima: txmin =(

57 ,

307 , 0,

17

)si min f = 68

7 .

Observatia 5.3.1 Daca printre vectorii Pj avem vectori unitari din baza canonica, atunciacestia pot fi luati direct ın baza B.

Exemplul 5.3.2. Sa se rezolve problema de P.L.

(max)f(x) = −3x1 + 7x2 − 12x3 − 5x4 − 3x5⎧⎨⎩ 2x1 + x2 + x3 − x4 + x6 = 2

−x1 + 2x2 − 2x3 − 2x4 + x7 = 33x1 − x2 + x3 + x5 = 9

xj ≥ 0, j = 1, 7

Cerinta de maxim poate fi ınlocuita prin cea de minim (vezi Observatia 5.2.1), con-siderand

(min)(−f(x)) = 3x1 − 7x2 +12x3 + 5x4 + 3x5

Se mai observa ca vectorii P5, P6 si P7 sunt din baza canonica, deci, pot fi consideratidirect ın baza B.

Avem

c 3 -7 12 5 3 0 0

CB B b P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7P1−→←−P6

0 P6 2 2 1 1 -1 0 1 0

0 P7 3 -1 2 -2 -2 0 0 1Primasolutiede baza

3 P5 9 3 -1 1 0 1 0 0zj 27 9 -3 3 0 3 0 0Δj – -6 -4 − 5

2 5 0 0 0

3 P1 1 1 12

12 − 1

2 0 12 0

P2−→←−P7

0 P7 4 0 52 − 3

2 − 52 0 1

2 1A douasolutiede baza

3 P5 6 0 − 52 − 1

232 1 − 3

2 0zj 21 3 − 13

2 0 3 3 -3 0Δj – 0 − 1

212 2 0 3 0

P3−→←−P1

3 P115 1 0 4

5 0 0 25 − 1

5

-7 P285 0 1 − 3

5 -1 0 15

25

A treiasolutiede baza

3 P5 10 0 0 -2 -1 1 -1 1zj

975 3 -7 3

5 4 3 − 165 − 2

5Δj – 0 0 − 1

10 1 0 165

25

12 P3

14

54 0 1 0 0 1

2 − 14

-7 P274

34 1 0 -1 0 1

214

3 P5212

52 0 0 -1 1 0 1

2

zj1558

238 -7 1

2 4 3 − 134 − 3

8

A patrasolutiede baza

Δj – 18 0 0 1 0 13

438

79

Page 79: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Cum toti Δj ≥ 0. j = 1, 7, rezulta ca am gasit solutia optima, data de tx =(0, 7

4 ,14 , 0,

212 , 0, 0

), iat min(−f(x)) = 155/8. Rezulta ca problema de P.L. data are aceeasi

solutie de optim, iar (max)f(x) = −min(−f(x)) = −155/8.

Observatia 5.3.2 O problema de P.L. de maxim se poate rezolva si direct, fara a o maireduce la una de minim, numai ca atunci vom avea solutia optima cand Δj ≤ 0, j = 1, n.Daca avem si Δj > 0, atunci vom alege pe cea mai mare Δj > 0, aceasta determinandvectorul care intra ın baza. Vectorul care iese din baza se stabileste ca si la problema deP.L. de minim.

Observatia 5.3.3 Daca ın unele ecuatii de restrictii avem termeni liberi negativi, respectiveleecuatii pot fi ınmultite cu −1.

5.4 Cazuri speciale ıntr-o problema de P.L.

In acest paragraf vom analiza cateva situatii speciale care pot aparea ıntr-o problemade P.L.

5.4.1 Solutii multiple

In orice tabel simplex toate diferentele Δj corespunzatoare vectorilor bazei (necunos-cutelor principale) sunt nuli. Daca ın tabelul simplex, care contine solutia optima, numarulzerourilor din linia diferentelor Δj este mai mare ca m (numarul vectorilor unitari), atunciproblema de P.L. poate avea mai multe solutii optime. Pentru a gasi celelalte solutii op-time se introduc ın baza, daca este posibil, vectorii Pj pentru care Δj = 0. Numarul maximde solutii optime este Cmk , unde k este numarul de zerouri din linia diferentelor Δj. Dupaobtinerea tuturor solutiilor optime se scrie solutia optima generala ca si o combinatie liniaraconvexa (vezi Definitia 5.2.6).Exemplul 5.4.1. Sa se rezolve problema de P.L.

(min)f(x) = 3x1 + 2x2 + 2x3 + x4⎧⎨⎩ x1 +x2 +x3 +x4 = 100−x1 −x2 +x3 +x4 = 0

x2 +x4 = 10

xj ≥ 0, i = 1, 4.

Rezolvarea problemei de P.L. cu algoritmul simplex este data ın tabelul urmator

c 3 2 2 1CB B b P1 P2 P3 P4

e1 100 1 1 1 1e2 0 -1 -1 1 1

P2−→←−e3

e3 10 0 1 0 1

e1 90 1 0 1 0P3−→←−e2

e2 10 -1 0 1 2

2 P2 10 0 1 0 1P1−→←−e1

e1 80 2 0 0 -2

2 P3 10 -1 0 1 22 P2 10 0 1 0 13 P1 40 1 0 0 -12 P3 50 0 0 1 1 Prima solutie de baza2 P2 10 0 1 0 1

zj 240 3 2 2 1Δj – 0 0 0 0

80

Page 80: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Cum toate diferentele Δj ≥ 0 rezulta ca avem solutia optima

x(1) = (40, 10, 50, 0), cu (min)f(x) = 240.

Cum avem patru zerouri pe linia lui Δj este posibil sa obtinem si o alta solutie optima,introducand pe P4 ın baza. Cum λminim se obtine pentru P2, vectorul P4 va intra ın locullui P2. Tabelul simplex pentru problema P.L. se continua astfel:

c 3 2 2 1CB B b P1 P2 P3 P4

3 P1 50 1 1 0 02 P3 40 0 -1 1 01 P4 10 0 1 0 1

zj 240 3 2 2 1Δj – 0 0 0 0

Se obtine a doua solutie optima

x(2) = (50, 0, 40, 10), cu (min)f(x) = 240.

Se observa ca alte solutii optime nu mai exista.Solutia generala a problemei va fi:

x = αx(1) + βx(2), unde α, β ≥ 0, α+ β = 1,

adicax = (40α+ 50β, 10α, 50α+ 40β, 10β), (min)f(x) = 240.

Observatia 5.4.1 In general, solutia optima generala nu este si solutie de baza, numarulcomponentelor sale nenule fiind mai mare decat m.

5.4.2 Solutie infinita

Fie o problema de P.L. de minim. Exista situatii ın care avem o diferenta Δj < 0,dar componentele vectorului Pj sunt toate negative sau 0, ceea ce face imposibila alegereaelementului pivot. Vom arata ca ın aceasta situatie functia de eficienta are un minim infinit,adica valoarea ei poate fi facuta oricat de mica.

Consideram tabelul simplex

c c1 c2 . . . cm . . . cj . . . cnCB B b P1 P2 . . . Pm . . . Pj . . . Pnc1 P1 β1 1 0 . . . 0 . . . α1j . . . α1n

c2 P2 β2 0 1 . . . 0 . . . α2j . . . α2n

......

......

......

......

......

...cm Pm βm 0 0 . . . 1 . . . αmj . . . αmn

zj zb c1 c2 . . . cm . . . zj . . . znΔj – 0 0 . . . 0 . . . Δj . . . Δn

cu solutia de baza x(1) = (β1, . . . , βm, 0, . . . , 0), Δj < 0 si αij < 0, i = 1,m.Atribuim necunoscutei xj valoare M > 0 (oricat de mare ), adica xj = M , iar celorlalte

necunoscute secundare le atribuim valoare 0, adica xm+1 = 0, . . . , xj−1 = 0, xj+1 = 0, . . . , xn = 0.Obtinem astfel solutia posibila

x(2) = (β1 − α1jM,βx − α2jM, . . . , βm − αmjM, 0, . . . ,M, 0, . . . , 0)

Valoarea functiei de scop f pentru x(2) este:

f(x(2)) = c1(β1 − α1jM) + c2(β2 − α2jM) + . . .+ cm(βm − αmjM) + cjM =

81

Page 81: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

= f(x(1)) +M [cj − (c1α1j + c2α2j + . . .+ cmαmj)] = f(x(1)) +MΔj .

Cum Δj < 0 si M → ∞, rezulta ca f(x(2)) → −∞, ceea ce trebuia demonstrat.Pentru o astfel de problema de P.L. sse spune ca ea are solutie (optima) infinita.

Exemplul 5.4.2. Sa se rezolve problema de P.L.:

(min)f(x) = −2x1 + x2 − 2x3 − 3x4⎧⎨⎩ 4x1 +x2 −3x4 = 102x1 −x2 +x3 = 62x1 −x2 +3x4 = 6

xj ≥ 0, j = 1, 4.

Utilizand algoritmul simplex obtinem tabelul:

c -2 1 -2 -3CB B b P1 P2 P3 P4

e1 10 4 1 0 -3-2 P3 6 2 -1 1 0

P4−→←−e3

e3 6 2 -1 0 3P1−→←−e1

e1 16 6 0 0 0-2 P3 6 2 -1 1 0-3 P4 4 2

3 − 13 0 1

-2 P183 1 0 0 0

-2 P323 0 -1 1 0

-3 P4223 0 − 1

3 0 1zj − 86

3 -2 3 -2 -3Δj – 0 -2 0 0

Deoarece Δ2 = −2 < 0, iar α12 = 0, α22 = −1 < 0, α32 = − 13 < 0, rezulta ca (min)f = −∞.

Intr-adevar, luand x2 = M > 0, x1 = 83 , x3 = 2

3 +M , x4 = 223 +M , avem

f(x) = −863

− 2M

si astfel cand M → ∞, obtinem f → −∞.

5.4.3 Degenerare ın problemele de programare liniara

Consideram problema de P.L. standard

(min)f(x) = cx

Ax = b

x ≥ θ.

Aceasta, conform Definitiei 5.2.3, va avea o solutie degenerata daca numarul compo-nentelor sale strict pozitive este mai mic decat m, adica cel putin o necunoscuta principalaare valoarea zero (ın vectorul coloana b exista zerouri). Situatia de degenerare ıntr-o prob-lema de P.L., apare, fie la ınceput, fie pe parcurs, cand la introducerea ın baza a unui vectorexista mai multe elemente pozitive care furnizeaza acelasi raport minim. In aceasta ultimasituatie apare asa numitul fenomen de ciclare. Pentru a evita acest fapt, elementul pivot, sedemonstreaza, va fi ales acela care furnizeaza cea mai mica linie ın ordonarea lexicografica.

Definitia 5.4.1 Linia (b1;x1, x2, . . . , xn) este mai mica ın ordine lexicografica decat linia(b2; y1, y2, . . . , yn) daca b1 < b2, sau b1 = b2 si x1 < y1, sau b1 = b2, x1 = y1 si x2 < y2, sausi asa mai departe b1 = b2, x1 = y1, . . . , xn−1 = yn−1 si xn < yn.

82

Page 82: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Exemplul 5.4.3. Sa se rezolve problema de P.L. standard:

(max)f(x) = x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4⎧⎨⎩ 3x1 +x2 +x3 +x4 = 6x1 +2x2 +x3 +x4 = 62x1 +x2 +3x3 = 7

xj ≥ 0, j = 1, 4.

Inlocuim cerinta de maxim prin

(min)(−f(x)) = −x1 − 4x2 − 5x3 − 2x4.

Acum, utilizand algoritmul simplex, avem:

c -1 -4 -5 -2CB B b P1 P2 P3 P4

e1 6 3 1 1 1P2−→←−e2

e2 6 1 2 1 1

e3 7 2 1 3 0P1−→←−e1

e1 3 52 0 1

212

-4 P2 3 12 1 1

212

e3 4 32 0 5

2 − 12

-1 P165 1 0 1

515

-4 P2125 0 1 2

525

P3−→←−e2

e3115 0 0 11

5 − 45

-1 P1 1 1 0 0 311

-4 P2 2 0 1 0 611 Prima solutie de baza

-5 P3 1 0 0 1 − 411

zj -14 -1 -4 -5 − 711

Δj – 0 0 0 − 1511

-2 P4113

113 0 0 1

-4 P2 0 -2 1 0 0-5 P3

73

43 0 1 0

zj -19 -4 -4 -5 -2Δj – 3 0 0 0

La tabelul care a dat prima solutie de baza avem Δ4 = − 1511 < 0,iar raportul minim

λ = 113 este obtinut si pe linia lui P1 si pe linia lui P2. Cum b2 = 1 < b2 = 2, rezulta ca ın

ordinea lexicografica linia lui P1 este mai mica decat linia lui P2. Asa ca la acest pas s-a aleselementul pivot 3

11 din linia lui P1.Solutia optima obtinuta este degenerata

x(1) =(

0, 0,73,113

), pentru care (min)(−f) = −19.

Solutia x(1)1 este solutie optima si pentru problema de P.L. de maxim, cand (max)f =

−min((−f) = 19.

5.5 Rezolvarea problemei generale de programare liniara

Intr-o problema generala, de programare liniara unele restrictii apar si sub forma deinecuatii (vezi Observatia 5.2.2). Rezolvarea unei astfel de probleme se face prin transfor-marea ei ıntr-una standard, prin introducerea necunoscutelor de compensare.

83

Page 83: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Astfel, pentru o restrictie de forma

ai1x1 + ai2x2 + . . .+ ainxn ≤ bi

consideram necunoscuta de compensare xn+1 ≥ 0 si transformam inecuatia ın ecuatie astfel

ai1x1 + ai2x2 + . . .+ ainxn + xn+1 = bi

Pentru o restrictie de forma

ak1x1 + ak2x2 + . . .+ aknxn ≥ bk

consideram necunoscuta de compensare xn+2 ≥ 0 si transformam inecuatia ın ecuatie, astfel

ak1x1 + ak2x2 + . . .+ aknxn − xn+2 = bk

Cate restrictii de tip inecuatie avem, atatea necunoscute de compensare vom intro-duce.In functia de eficienta necunoscutele de compensare se introduc cu coeficientii egali cu zero.

In solutia optima din tabelul simplex s-ar putea sa apara si unele necunoscute de com-pensare, dar ın solutia obtinuta a problemei de P.L. generala acestea nu se considera.Exemplul 5.5.1. Sa se rezolve problema generala de P.L.:

(min)f(x) = 3x1 − 2x2 + 4x3 − x4⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2x1 +3x2 −x3 +x4 = 75x1 +2x2 +x3 −x4 ≥ 5x1 +x2 +2x3 +2x4 ≤ 102x1 +2x2 +x3 +x4 ≤ 9

xj ≥ 0, j = 1, 4.

Transformam problema generala ın una standard, introducand variabile de compen-sare x5, x6, x7:

(min)f(x) = 3x1 − 2x2 + 4x3 − x4⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2x1 +3x2 −x3 +x4 = 75x1 +2x2 +x3 −x4 −x5 = 5x1 +x2 +2x3 +2x4 +x6 = 102x1 +2x2 +x3 +x4 +x7 = 9

xj ≥ 0, j = 1, 7.

Acum, aplicam algoritmul simplex si avem:

c 3 -2 4 -1 0 0 0CB B b P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7

e1 7 2 3 -1 1 0 0 0P2−→←−e2

e2 5 5 2 1 -1 -1 0 0

0 P6 10 1 1 2 2 0 1 00 P7 9 2 2 1 1 0 0 1

P2−→←−e2

e1 5 0 115 − 7

575

25 0 0

3 P1 1 1 25

15 − 1

5 − 15 0 0

0 P6 9 0 35

95

115

15 1 0

0 P7 7 0 65

35

75

25 0 1

-2 P22511 0 1 −7

11711

211 0 0

3 P1111 1 0 5

11 − 511 − 3

11 0 00 P6

8411 0 0 24

112011

111 1 0

0 P74711 0 0 15

11511

211 0 1

zj − 4711 3 -2 29

11 − 2911 − 13

11 0 0Δj – 0 0 15

111811

1311 0 0

84

Page 84: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Cum toti Δj ≥ 0, j = 1, 7. rezulta ca solutia problemei de P.L. standard este

x(1) =(

111,2511, 0, 0, 0,

8411,4711

), (min)f(x) = −47

11,

iar a problemei generale

x(1) =(

111,2511, 0, 0

), (min)f(x) = −47

11,

caz ın care nu am mai luat ın seama valorile necunoscutelor de compensare.

5.6 Dualitatea ın problemele de programare liniara

Plecand de la o problema de P.L., totdeauna se poate formula o noua problema deP.L., folosind aceleasi date numerice ale problemei date, care ınsa sa ceara determinareavalorii optime contrare. Intre solutiile celor doua probleme de P.L. exista stranse legaturi.

Perechea de probleme de P.L. astfel construite respecta un principiu general dinstiinta, ın particular din matematica, numit principiul dualitatii, iar problemele respectivesunt numite probleme duale (se mai ıntalneste si termenul de probleme conjugate) unaalteia. De obicei problema de P.L. initiala se numeste primala, iar cea obtinuta prin dualitatese numeste duala.

Notiunea de dualitate ın problemele de P.L. are, pe langa ınsemnatatea teoretica, sio mare importanta practica, deoarece, fiind date doua probleme duale, exista posiblitateaalegerii pentru rezolvare a problemei mai convenabile din punct de vedere calculatoriu.

Mai exact, tabelul simplex, ce contine solutia optima a unei probleme, cuprinde solutiaoptima a problemei duale, componentele acestei solutii se afla pe linia diferentelor Δj aleacestui tabel, ın dreptul vectorilor (necunoscutelor) de compensare corespunzator problemeiduale. In caz ca avem mai putin de m vectori (necunoscute de compensare) se adauga vectoriunitari ej ın completare (numiti vectori ajutatori sau artificiali), cu coeficienti zero pe linialui c.

Definitia 5.6.1 Spunem ca ıntr-o problema de P.L. avem o restrictie concordanta daca eacontine semnul ”≥” ıntr-o problema de minim si, respectiv, semnul ”≤” ıntr-o problemade maxim.

Definitia 5.6.2 Spunem ca ıntr-o problema P.L. avem o restrictie neconcordanta daca eacontine semnul ”≤” ıntr-o problema de minim si, respectiv, semnul ”≥” ıntr-o problemade maxim.

Prin urmare, ıntr-o problema de P.L. avem urmatoarele categorii de restrictii: con-cordante, neconcordante si egalitati.

Pentru a cuprinde toate situatiile posibile vom considera ca si pentru necunoscute(variabile) putem avea urmatoarele categorii: nenegative, (xj ≥ 0), nepozitive (xj ≤ 0) silibere (xj ∈ R).

85

Page 85: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Acum, putem da regulile de corespondenta ın formarea problemelor de P.L.

P.L. primal P.L. dualminim maximmaxim minim

necunoscuta nenegativa restrictie concordantanecunoscuta nepozitiva restrictie neconcordanta

variabila libera restrictie egalitaterestrictie concordanta variabila nenegativa

restrictie neconcordanta variabila nepozitivarestrictie egalitate variabila libera

numar de necunoscute(variabile) numar de restrictii

numar de restrictiinumar de necunoscute

(variabile)

termenii liberi ai restrictiilor coeficientii functiei obiectivcoeficientii functiei obiectiv termenii liberi ai restrictiilor

coloanele matricei restrictiilor liniile matricei restrictiilornecunoscute principale necunoscute de compensare

necunoscute de compensare necunoscute principale

coloana ”b” din tabelul simplexlinia ”Δj” din tabelul simplex(eventual cu semn schimbat)

linie ”Δj” din tabelul simplexcoloana ”b” din tabelul simplex

(eventual cu semn schimbat)

Exemplul 5.6.1. Se da problema primala de P.L.

(min)f(x) = x1 + x2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩4x1 +3x2 ≥ 245x1 +9x2 ≥ 453x1 −4x2 ≥ −44−x1 ≥ −8

x1 ≥ 0, x2 > 0.

Sa se scrie duala acestei probleme.Avand patru restrictii si, respectiv, doua necunoscute din programul primal, vom avea

patru necunoscute si, respectiv, doua restrictii. Asadar, programul dual va avea forma:

(max)g(y) = 24y1 + 45y2 − 44y3 − 8y4

(termenii liberi ai restrictiilor au devenit coeficientii functiei obiectiv),{4y1 +5y2 +3y3 −y4 ≤ 13y1 +9y2 −4y3 ≤ 1

yj ≥ 0, j = 1, 4.

Exemplul 5.6.2. Fie data problema principala de P.L.:

(max)f(x) = 2x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4,⎧⎨⎩ x1 +x2 +x3 +x4 ≤ 57x1 +5x2 +3x3 +x4 ≤ 13x1 +5x2 +10x3 +15x4 ≤ 1

xj ≥ 0, j = 1, 4,

86

Page 86: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

duala ei are forma:(min)g(y) = 5y1 + y2 + y3⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩y1 +7y2 +3y3 ≥ 2y1 +5y2 +5y3 ≥ 1y1 +3y2 +10y3 ≥ 3y1 +y2 +15y3 ≥ 3

yj ≥ 0, j = 1, 3.

Exemplul 5.6.3. Pentru problema primala de P.L.

(min)f(x) = 2x1 + x2 − 3x3⎧⎨⎩ x1 +2x2 +x3 ≥ 6x1 −2x2 +3x3 ≤ 82x1 −x3 = 5

xj ≥ 0, j = 1, 3,

duala are forma(max)g(y) = 6y1 + 8y2 + 5y3⎧⎨⎩ y1 +y2 +2y3 ≤ 6

2y1 −2y2 ≤ 8y1 +3y2 −y3 ≤ 5

y1 ≥ 0, y2 ≤ 0, y3 libera (oarecare).

Am vazut pana acum o prima legatura ıntre problemele duale de programare, ınsensul ca una se obtine din cealalta prin mijloacele mentionate mai sus.

In continuare vom prezenta o alta legatura, sub aspectul unor relatii dintre solutii sifunctiile de eficienta.

Sa consideram problemele duale, scrise matricial:

P.L. primala P.L. duala

(1)

⎧⎨⎩ (min)f(x) = cxAx = bx ≥ θ

(2)

⎧⎨⎩ (max)g(y) = tbytAy ≤ tcy arbitrar

unde ty = (y1, . . . , ym).

Teorema 5.6.1 Daca x(0) si y(0) sunt solutii posibile oarecare ale problemelor (1) si (2),atunci

g(y(0)) = tby(0) ≤ cx(0) = f(x(0)).

Demonstratie. Din faptul ca x(0) si y(0) sunt solutii posibile ale problemelor (1) si (2)respectiv, avem:

tAy(0) ≤ tc, cu y(0) arbitrar,

respectivAx(0) = b, cu x(0) ≥ 0.

Astfel putem scrie

g(y(0)) = tby(0) = t(Ax(0))y(0) = (tx(0)tA)y(0) = tx(0)(tAy(0)) ≤ tx(0)tc =

= t(cx(0)) = tf(x(0)) = f(x(0)),

ceea ce trebuia demonstrat.

Teorema 5.6.2 Pentru problemele duale (1) si (2) de programare liniara au loc una si numaiuna din urmatoarele situatii:

87

Page 87: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

a) ambele probleme au solutii optime finite si atunci (min)f = (max)g;

b) una din probleme are solutie infinita, iar cealalta este incompatibila (nu are solutie);

c) una dintre probleme are solutie degenerata, iar cealalta problema poate avea solutiimultiple.

Demonstratie. a) Fie x(1) o solutie optima a problemei (1) si y(1) o solutie optima a problemei(2).

Din Teorema 5.6.1 avem

min f(x) = f(x(1)) ≥ g(y(1)) = max g(y).

Acum, din obtinerea tabelului simplex rezulta ca daca notam cu Γ matricea de tipulm×m din A, data de vectorii principali Pj care dau solutia optima x(1), atunci x(1) = Γ−1b.Analog avem ty(1) = cBΓ−1.

Atunci rezultaf(x(1)) = cBx

(1) = cBΓ−1b = ty(1)b = g(y(0)),

adica min f(x) = max g(y).In mod analog se stabilesc acum, fara mare greutate si punctele b) si c) ale teoremei.

Observatia 5.6.1 Teoremele 5.6.1 si 5.6.2 poarta numele de teoreme ale dualitatii.Ele ne justifica cele afirmate la ınceputul paragrafului: prin rezolvarea uneia dintre

problemele duale avem si solutia celeilalte. De aceea, practic putem alege pe cea ın carecalculele sunt mai simple.

Exemplul 5.6.4. Sa consideram problema de P.L. din exemplul 5.6.1. Aici se observa caeste mai convenabil sa rezolvam problema duala deoarece ea contine numai doua restrictii.O aducem la forma standard, introducand variabilele de compensare y5 si y6

(max)g(y) = 24y1 + 45y2 − 44y3 − 8y4{4y1 +5y2 +3y3 −y4 +y5 = 13y1 +9y2 −4y3 +y6 = 1

yi ≥ 0, i = 1, 6

Aplicand algoritmul simplex, obtinem:

c 24 45 -44 -8 0 0CB B b P1 P2 P3 P4 P5 P6

0 P5 1 4 5 3 -1 1 0P2−→←−P6

0 P6 1 3 9 -4 0 0 1

zj 0 0 0 0 0 0 0Δj – 24 45 -44 -8 0 0

P1−→←−P5

0 P549

73 0 47

9 -1 1 − 59

45 P219

13 1 − 4

9 0 0 19

zj 5 15 45 -20 0 0 5Δj – 9 0 -24 -8 0 -5

24 P1421 1 0 47

21 − 37

37 − 5

2145 P2

121 0 1 − 25

2117 − 1

7421

zj477 24 45 1

7 − 257

277

207

Δj – 0 0 − 3097 − 29

7 − 277 − 20

7

Cum toate Δj ≤ 0, rezulta ca y(1) =(

421 ,

121 , 0, 0

)este solutie optima pentru problema duala,

cu min g(y) = 477 . De pe linia lui Δj, ın dreptul vectorilor de compensare P5 si P6, gasim

solutia problemei primale:

x(1) =(

277,207, 0, 0

), cu max f(x) =

477.

88

Page 88: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Observatia 5.6.2 Exista situatii ın care rezolvarea unei probleme de P.L. se lungeste princalculele care conduc la determinarea unei baze formata din vectorii Pj ai problemei. Estepreferabil ca ıntr-o astfel de situatie sa lucram cu b ın care avem si componente bi < 0,folosind un algoritm simplex modificat, aplicat asupra problemei duale, numit algoritmul(metoda) simplex modificat (dual).

Pasii de lucru sunt aceeasi, deosebindu-se de metoda simplex primala numai prinurmatoarele:

1) Criteriul de iesire din baza. Pe coloana lui b se alege

bi0 = minbi<0

{bi}.

2) Criteriul de intrare ın baza. Daca pe linia lui bi0 toate elementele αi0j sunt nenegative,atunci problema este imposibila. Daca exista αi0j < 0, atunci determinam

αi0j0 = minαi0j<0

∣∣∣∣ Δj

αi0j

∣∣∣∣ ,urmand ca vectorul corespunzator lui αi0j0 sa intre ın noua baza.

Se aplica repetat acesti pasi pana cand b ≥ θ si Δj verifica conditiile din simplex primal,situatie ın care b da solutia optima.Exemplul 5.6.5. Sa se rezolve problema de P.L.:

(min)f(x) = 4x1 + 5x2 + 3x3⎧⎨⎩ 3x1 +2x2 +x3 ≥ 7x1 −x2 +2x3 ≥ 62x1 +x2 −x3 ≥ 8

xj ≥ 0, j = 1, 3.

Se observa ca daca am lucra cu problema primala necunoscutele de compensare arfi introduse cu coeficientii −1 deci vectorii de compensare nu ar putea fi folositi ın bazainitiala.

Inmultind cu −1 restrictiile, obtinem problema de P.L.:

(min)f(x) = 4x1 + 5x2 + 3x3⎧⎨⎩ −3x1 −2x2 −x3 ≤ −7−x1 +x2 −2x3 ≤ −6−2x1 −x2 +x3 ≤ −8

xj ≥ 0, j = 1, 3.

Acum introducem variabilele de compensare x4, x5 si x6 si problema ia forma:

(min)f(x) = 4x1 + 5x2 + 3x3⎧⎨⎩ −3x1 −2x2 −x3 +x4 = −7−x1 +x2 −2x3 +x5 = −6−2x1 −x2 +x3 +x6 = −8

xj ≥ 0, j = 1, 6.

89

Page 89: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Cum b ≤ θ este mai convenabil sa aplicam algoritmul simplex dual.Avem:

c 4 5 3 0 0 0CB B b P1 P2 P3 P4 P5 P6

0 P4 -7 -3 -2 -1 1 0 00 P5 -6 -1 1 -2 0 1 0

P1−→←−P6

0 P6 -8 -2 -1 1 0 0 1

zj 0 0 0 0 0 0 0Δj – 4 5 3 0 0 0

0 P4 5 0 − 12 − 5

2 1 0 − 32

P3−→←−P5

0 P5 -2 0 32 −5

2 0 1 − 12

4 P1 4 1 12 − 1

2 0 0 − 12

zj 16 4 2 -2 0 0 -2Δj – 0 3 5 0 0 2

0 P4 7 0 -2 0 1 -1 -13 P3

45 0 − 3

5 1 0 − 25

15

4 P1225 1 1

5 0 0 − 15 − 2

5zj 20 4 -1 3 0 -2 -1Δj – 0 6 0 0 2 1

Cum b ≥ θ si Δj ≥ 0, j = 1, 6, rezulta ca avem solutia optima:

x(1) =(

225, 0,

45

),min f(x) = 20

Observatia 5.6.3 Dualitatea ın problemele de P.L. se poate interpreta si economic. Astfel,problema primala ⎧⎨⎩ (max)f(x) = cx

Ax ≤ bx ≥ θ

reprezinta modelul unui proces economic ın care se realizeaza n produse, folosind m resurse,aij reprezentand unitatea din resursa i utilizata la produsul j, i = 1,m, j = 1, n, bi–cantitateadisponibila din resursa i, i = 1,m; cj venitul pentru o unitate din produsul j si xj numarulde unitati realizate din produsul j, j = 1, n (vezi §1.3). Functia obiectiv reprezinta venitultotal realizat. In problema primala se cere sa se determine numarul de unitati din fiecareprodus asa ıncat venitul sa fie maxim.

Acum, sa urmarim procesul economic dupa criteriul cheltuieli–venit. Fie yi pretul fixatpentru unitatea din resurse i, i = 1,m. Costul resursei i ın cantitate de bi unitati, consumatapentru fabricarea produselor, este biyi. Cheltuielile necesare pentru toate resursele folositesunt

g(y) = b1y1 + b2y2 + . . .+ bmym.

Cum consumul din resursa i pentru realizarea unitatii de produs j este aij, costulacestei cote care realizeaza unitatea de produs j este aij · yi. Costul total al cotelor din

resursele i, i = 1,m, care participa la crearea unitatii de produs j, estem∑i=1

aijyi, care trebuie

sa satisfaca conditiilem∑i=1

aijyi ≥ cj , j = 1, n.

Cum dorim ca sa avem cheltuieli minime, obtinem problema de P.L.:

(min)g(y) = b1y1 + b2y2 + . . .+ bmym

90

Page 90: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

m∑i=1

aijyi ≥ cj , j = 1, n

yj ≥ 0, j = 1, n,

care constituie duala problemei primale de maxim.

91

Page 91: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

5.7 Testul Nr. 4 de verificare a cunostintelor

1. Definiti urmatoarele notiuni:

a) Solutie posibila a problemei de programare liniara standard;

b) Solutie de baza a problemei de programare liniara;

c) Solutie nedegenerata a problemei de programare liniara;

d) Solutie degenerata a problemei de programare liniara;

e) Restrictie concordanta ıntr-o problema P.L.;

f) Restrictie neconcordanta ıntr-o problema P.L.

2. Rezolvati problema de programare liniara (min)f(x) = 2x1 + x2 + 3x3 + 5x4 − x5⎧⎨⎩ 2x1 + x2 + x3 = 4x1 + 2x3 + x5 = 73x1 + 2x2 + x4 = 10

xi ≥ 0 , i = 1, 5.

3. Rezolvati problema de programare liniara (max)f(x) = 4x1 + 3x2 + 4x3⎧⎨⎩ x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = 7−2x1 + 4x3 + x4 = 12−4x2 + 3x3 + 8x5 + x6 = 10

xi ≥ 0 , i = 1, 6.

4. Rezolvati problema deseurilor minime: Se dispune de baze de fier de 14 m lungimedin care trebuie taiate 500 bucati de 8 m, 800 bucati de 5,25 m si 450 bucati de 2,5 m.Se cere sa se stabileasca modul de taiere care asigura cantitatea minima de deseuri.

5. Rezolvati problema de programare liniara (max)f(x) = 4x1 − x2 + 2x3 + 4x4⎧⎨⎩ 6x1 + x2 − 3x4 = 114x1 − x2 + 2x3 = 84x1 − x2 + 3x4 = 8

xi ≥ 0 , i = 1, 4.

6. Rezolvati problema de programare liniara (max)f(x) = 4x1 + 5x2 + 8x3 + 2x4 + 3x5⎧⎨⎩ 2x1 + 3x2 + 3x3 + x4 + 2x5 = 10x1 − x2 + 2x3 − 6x4 + 3x5 = 5x1 + x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 4

xi ≥ 0 , i = 1, 5.

7. Rezolvati problema generala de programare liniara (min)f(x) = 4x1 + 8x2 − 2x3 + x4⎧⎨⎩ x1 + x2 + x4 = 2x1 + 2x2 + x3 ≤ 5x2 + x3 ≥ 3

xi ≥ 0 , i = 1, 4.

92

Page 92: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

8. Aduceti urmatoarea problema generala de programare liniara la forma canonica:(max)f(y) = 3y1 − 4y2 {

y1 + y2 ≤ 8y1 − y2 ≥ 1

y1 ∈ R , y2 ≤ 0.

9. Gasiti valoarea optimului urmatoarei probleme de programare liniara folosind dualaei: (max)f(x) = −x1 + x2 ⎧⎨⎩ x1 + x2 ≤ 4

−2x1 + x2 ≤ 33x1 − x2 ≤ 5

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0.

10. Gasiti valoarea optimului urmatoarei probleme de programare liniara folosind dualaei: (max)g(y) = 6y1 + 8y2 ⎧⎨⎩ 2y1 + y2 ≤ 4

y1 + 2y2 ≤ 2y1 − 2y2 ≤ 1

y1, y2 ∈ R.

93

Page 93: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Indicatii si raspunsuri

Testul 4

2. Se palica algoritmul Simplex si se obtine optimul finit tx = (0, 4, 0, 2, 7) si min(f) = 7.

3. Se aplica algoritmul simplex si se obtine solutia optima finita tx =(

8612,2913,8213, 0, 0, 0

)si

min g = −75913

(de unde g = −f) si astfel max f =75918

.

4. Se observa ca exista cinci solutii de taiere pentru o bara: 1) se taie o bucata de 8 m

si alta de 5,25 m obtinandu-se deseu 0, 75 =34

m; 2) se taie o bucata de 8 m si doua

bucati de 2,5 m obtinandu-se deseu 1 m; 3) se taie doua bucati de 5,25 m si una de 2,5m obtinandu-se deseu 1 m; 4) se taie o bucata de 5,25 si trei de 2,5 m obtinandu-se

deseu 1, 25 =54

m; 5) se taie cinci bucati de 2,5 m obtinandu-se deseu de 1, 5 =64

m.

Notand cu xi, i = 1, 5 numarul de bare planificate a se taia ın modul ”i” obtinemproblema de programare liniara

(min)f =14(3x1 + 4x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5)

x1 + x2 = 500x1 + 2x3 + x4 = 8002x2 + x3 + 3x4 + 5x5 = 450xi ≥ 0 , i = 1, 5.

Pentru a usura calculele se va folosi functia obiectiv f1 = 3x1 + 4x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5.Se aplica algoritmul Simplex si se obtin solutiile optime tx1 = (500, 0, 150, 0, 60), tx2 =(500, 0, 90, 120, 0), tx3 = (380, 120, 210, 0, 0), deci ın final min(f1) = 2460(m) ⇒ min(f) =615(m) cu t(x) = α ·t x1 + β ·t x2 + γ ·t x3 cu α, β, γ ∈ [0, 1], α+ β + γ = 1.

5. Se aplica algoritmul Simplex pentru functia obiectiv g = −f si se obtine optim infinit:

x2 = M > 0 (foarte mare), x1 =1910

, x3 =15

+12·M , x4 =

215

+13·M , min(g) = −128

15− 4

3M ,

de unde max(f) =12815

+43M .

6. Se plica algoritmul Simplex si se obtin solutii multiple si anume:

tx1 =(

2,13,53, 0, 0

), tx2 =

(0,

56,136, 0,

12

)⇒t x = α ·t x1 + β ·t x2

cu α, β ∈ [0, 1], α+ β = 1 si min(g) = −23, deci max(f) = 23.

7 Se introduc variabilele ecart x5 si x6 obtinem forma canonica

(min)f(x) = 4x1 + 8x2 − 2x3 + x4

x1 + x2 + x4 = 2x1 + 2x2 + x3 + x5 = 5x2 + x3 − x6 = 3xi ≥ 0 , i = 1, 6.

Se aplica algoritmul Simplex si se obtine optimul finit tx = (0, 0, 5, 2, 0, 0), adica x1 = 0,x2 = 0, x3 = 5, x4 = 2 si min(f) = −8.

94

Page 94: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

8. Se obtine forma canonica: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(min)g(x) = −3x1 + 3x2 − 4x3

x1 − x2 − x3 + x4 = 8x1 − x2 + x3 − x5 = 1xi ≥ 0 , i = 1, 5.

9. Avem duala:(min)g(y) = 4y1 + 3y2 + 5y3y1 − 2y2 + 3y3 ≥ −1y1 + y2 − y3 ≥ 1yi ≥ 0 , i = 1, 3.

Forma canonica a acestei probleme de programare liniara este:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(min)g(y) = 4y1 + 3y2 + 5y3y1 − 2y2 + 3y3 − y4 = −1y1 + y2 − y3 − y5 = 1yi ≥ 0 , i = 1, 5.

Se aplica algoritmul Simplex si se obtine solutia optima finita ty =(

13,23, 0)

si

min(g) =103

⇒ maxf =103

. Se poate obtine si solutia problemei initiale: tx =(

13,113

).

10. Duala problemei considerate este:

(min)f(x) = 4x1 + 2x2 + x3⎧⎨⎩ 2x1 + x2 + x3 = 6x1 + 2x2 − 2x3 = 8xi ≥ 0 , i = 1, 3.

Se aplica algoritmul simplex si se obtine solutia optima finita tx = (0, 5, 1) si min(f) =11 ⇒ max(g) = 11.

95

Page 95: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Bibliografia aferenta capitolului:[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate ın economie - Volumul I,

Editura ULB, Sibiu, 2001.

96

Page 96: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Capitolul 6

Elemente de teoria grafurilor

Obiective: Scopul acestui capitol este de familiariza studentii cu notiunea de graf siaplicatiile acesteia ın economie. Termenul de ”graf” are cu totul alta semnificatie decatcel de grafic. Prima lucrare de teoria grafurilor a fost scrisa de renumitul matematicianelvetian Euler, ın 1736, ın scopul rezolvarii unor jocuri si amuzamente matematice. Dez-voltarea ulterioara a matematicii si ın special a aplicatiilor ei ın diferite domenii stiintificea dat un impuls puternic dezvoltarii teoriei grafurilor. Utilizarea ei ın domenii variate,teoretice sau practice, de la probleme economice la fundamentarea deciziilor politice, de lastudiul retelelor electrice la critica textelor, etc., ıi confera ın zilele noastre o importantaaparte.

Folosirea grafurilor ın elaborarea programelor de productie, investitii, transport, des-facere etc. ale unitatilor economice a devenit o necesitate de prim ordin.

Rezumat: In acest capitol se vor aborda cateva din conceptele fundamentale aleteoriei grafurilor, precum si cativa algoritmi utili ın rezolvarea unor probleme economice.

Continutul capitolului:1. Notiuni fundamentale2. Algoritmi pentru rezolvarea unor probleme relative la grafuri3. Problema fluxului optim ın retele de transport4. Test de verificare a cunostintelor5. Bibliografia aferenta capitolului

Cuvinte cheie: graf, matricea drumurilor, componente tare conexe ale unui graf,drumuri hamiltoniene, drum de lungime optima, metoda drumului critic, rele de trasport.

6.1 Notiuni fundamentale

Fie X o multime nevida si cel putin numarabila de elemente numite noduri sau varfuri.

Definitia 6.1.1 Numim graf perechea (X,Γ), unde Γ ⊆ X × X, adica o multime de perechiordonate sau nu de elemente din X.

Daca X este o multime finita, atunci graful (X,Γ) se numeste graf finit, In caz contrarse zice ca avem un graf infinit.

Putem da pentru graf si urmatoarea definitie echivalenta:

Definitia 6.1.2 Numim graf perechea (X, f), unde f este o functie definita pe X cu valori ınmultimea P(X) a partilor (submultimilor) lui X.

Definitia 6.1.3 Daca toate perechile distincte din Γ sunt ordonate, graful se numeste orien-tat. In cazul contrar, graful se numeste neorientat.

Pentru un graf orientat (X,Γ) perechea ordonata (x, y) ∈ Γ, x, y ∈ X, se numeste arc, xfiind extremitatea initiala, iar y extremitatea finala a arcului. In cazul unui graf neorientat

97

Page 97: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

o pereche neordonata (x, y) ∈ Γ, x, y ∈ X se numeste muchie.In continuare noi o sa lucram numai cu grafuri orientate si finite, fara a mai specifica

acest lucru, mentionand totusi ın cateva locuri si denumirea notiunilor corepsunzatoare dela grafurile neorientate.

Un graf orientat si finit va fi notat prin (X,Γ), unde X = {x1, x2, . . . , xn} va reprezentamultimea varfurilor, iar Γ multimea arcelor.

Un graf (X,Γ) se reprezinta geometric ın modul urmator: a) fiecare varf estereprezentat printr-un punct din plan; b) fiecare arc (xi, xj) ∈ Γ se reprezinta printr-o linie(dreapta sau curba) care uneste cele doua extremitati si pe care se afla o sageata cu sensulde la xi la xj (vezi fig.1). Daca xi coincide cu xj, zicem ca avem o bucla.

Fig.1

Intr-un graf neorientat muchia se reprezinta printr-un arc fara sageata.Intr-un arc (xi, xj) varful xi se numeste predecesorul lui xj, iar xj succesorul lui xi.

Exemplul 6.1.1. Graful (X,Γ) dat prin X = {x1, x2, x3, x4, x5}, Γ ={(x1, x2), (x1, x3), (x1, x4), (x2, x3), (x3, x2), (x2, x4), (x3, x4), (x3, x5), (x4, x5)} este reprezentat ınfigura 2. In aceeasi figura este reprezentat si graful neorientat corespunzator lui.

Fig.2

Definitia 6.1.4 Doua arce ale grafului (X,Γ) se numesc adiacente daca au cel putin o ex-tremitate comuna.

Definitia 6.1.5 Intr-un graf (X,Γ) multimea arcelor cu extremitatea initiala xi se numestemultimea arcelor incidente spre exterior si se noteaza cu Γ+

xi. Multimea arcelor incidente

spre interior varfului xi se va nota cu Γ−xi. Atunci Γxi

= Γ+xi

∪ Γ−xieste multimea arcelor

incidente varfului xi.

Definitia 6.1.6 Un graf (X,Γ) se numeste simetric daca oricare ar fi arcul (xi, xj) ∈ Γ avemsi (xj , xi) ∈ Γ.

Graful (X,Γ) se numeste antisimetric, daca exista un arc (xi, xj) ∈ Γ astfel ıncat arcul(xj , xi) �∈ Γ.

Definitia 6.1.7 Un graf (X,Γ) se numeste complet daca pentru orice xi, xj ∈ X din (xi, xj) �∈ Γrezulta (xj , xi) ∈ Γ.

Exemplul 6.1.2. Graful din figura 3 este simetric, cel din figura 4 este antisimetric, iar celdin figura 5 este complet.

98

Page 98: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Fig.3 Fig.4 Fig.5

Definitia 6.1.8 Fie (X,Γ) un graf. Numim graf partial al grafului dat, un graf (X,Γ1), undeΓ1 ⊂ Γ, adica el se obtine din graful (X,Γ) prin suprimarea unor arce.

Definitia 6.1.9 Fie (X,Γ) un graf dat. Numim subgraf al grafului dat, un graf (X1,Γ1), undeX ⊂ X1 si Γ1 ⊂ Γ.

Subgraful (X1,Γ1) se obtine din graful (X,Γ) prin suprimare a unuia sau a mai multorvarfuri si a arcelor aferente lor.

Exemplul 6.1.3. Graful din figura 7 este un graf partial al celui din figura 6, iar graful dinfigura 7′ un subgraf.

Fig.6 Fig.7 Fig.7′

Definitia 6.1.10 Numim drum ıntr-un graf o succesiune de arce, adiacente doua cate doua,la fel orientate, la care extremitatea finala a unui arc coincide cu extremitatea initiala aarcului precedent.

Un drum ın care extremitatea finala a ultimului arc coincide cu extremitatea initialaa primului arc se numeste circuit.

Un drum se da prin scrierea ıntre acolade (sau alte tipuri de paranteze) a succesiuniivarfurilor prin care trec arcele care constituie drumul sau mentionand arcele din care secompune.

Exemplul 6.1.4. In graful din figura 6 putem considera drumurile:

d1 = {x1, x2, x4, x3}, d2 = {x1, x2, x4, x2, x4, x5}d3 = {x2, x4, x2}, care este un circuit.

Definitia 6.1.11 Numarul de arce dintr-un drum se numeste lungimea lui.

99

Page 99: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Definitia 6.1.12 Un drum al unui graf se numeste elementar daca fiecare varf al sau esteutilizat o singura data. In caz contrar, drumul este numit neelementar.

Un drum elementar care trece prin toate varfurile grafului se numeste hamiltonian,iar unul neelementar care are aceeasi proprietate se numeste drum nehamiltonian (pre-hamiltonian).

Definitia 6.1.13 Un drum al unui graf se numeste simplu daca utilizeaza fiecare arc al sauo singura data. In caz contrar, drumul se numeste compus.

Un drum simplu care foloseste arcele grafului se numeste eulerian, iar unul compuscare are aceeasi proprietate se numste drum neeulerian (preeulerian).

Exemplul 6.1.5. In graful din figura 6 drumul d1 = {x1, x2, x4, x3, x5} este hamiltonian, darnu este eulerian. Drumul d2 = {x1, x2, x4, x2, x4, x3, x5} este nehamiltonian. Drumul d3 ={x1, x2, x4, x5} este simplu, iar d4 = {x1, x2, x4, x2, x4, x5} este compus.

Observatia 6.1.1 Intr-un graf neorientat notiunea de drum este ınlocuita cu cea de lant,iar cea de circuit cu cea de ciclu.

Definitia 6.1.14 Un graf (X,Γ) se numeste conex daca ıntre oricare doua varfuri ale saleexista un lant. Daca ıntre oricare doua varfuri ale grafului exista un drum, atunci el senumeste tare conex.

Definitia 6.1.15 Un subgraf conex al unui graf conex se numeste componenta conexa agrafului, iar un subgraf tare conex al unui graf tare conex se numeste componenta tareconexa.

Se observa ca un graf este conex, respectiv tare conex, daca si numai daca el are osingura componenta conexa, respectiv tare conexa.Exemplul 6.1.6. In figurile 8 si respectiv 9 avem reprezentate un graf conex si respectivunul tare conex. In figurile 10 si 11 avem reprezentate un graf neconex si respectiv unulcare nu este tare conex.

Fig.8 Fig.9

Fig.10 Fig.11

Graful din figura 10 are doua componente conexe, iar cel din figura 11 are douacomponente tare conexe.

100

Page 100: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Definitia 6.1.16 Numim arbore un graf conex si fara cicluri. Numim padure un grafneconex si fara cicluri.

Exemplul 6.1.7. In figura 12 avem un arbore, iar ın figura 13 o padure cu 3 arbori:

Fig.12 Fig.13

Definitia 6.1.17 Numim arborescenta un graf fara circuite, ın care: a) un varf si numaiunul (numit radacina) nu este precedat de nici un altul; b) orice alt varf este precedat deun singur carf. Varfurile care nu au succesori se numesc frunze sau varfuri suspendate(terminale).

Cel mai cunoscut exemplu de arborescenta este ”arborele genealogic”.Exemplul 6.1.8. In figura 14 avem o arborescenta cu radacina x1 si cu 6 frunze.

Fig.14

Daca numarul de varfuri ale unui graf este mare, atunci reprezentarea geometricadevine greoaie. De aceea, s-au cautat alte modalitati de reprezentare. Cea mai convenabilas-a dovedit a fi cea cu ajutorul matricelor.

Fie (X,Γ) un graf orientat cu X = {x1, x2, . . . , xn}.Definitia 6.1.18 Matricea patratica B = (bij), i, j = 1, n, definita astfel

bij ={

1 , daca (xi, xj) ∈ Γ0 , daca (xi, xj) �∈ Γ

se numeste booleana (asociata) atasata grafului (X,Γ)

Exemplul 6.1.9. Fie (X,Γ) graful din figura 15.

101

Page 101: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Fig.15

Matricea booleana atasata grafului este

B =

x1 x2 x3 x4 x5

x1 0 1 1 0 0x2 0 0 0 1 0x3 0 1 0 0 1x4 0 1 0 0 1x5 0 0 0 0 0

Definitia 6.1.19 Matricea patratica D = (dij), i, j = 1, n, definita astfel

dij ={

1 , exista drum de la xi la xj0 , nu exista drum de la xi la xj ,

se numeste matricea drumurilor atasata grafului (X,Γ).

Exemplul 6.1.10. Pentru graful din figura 15 matricea drumurilor este

D =

x1 x2 x3 x4 x5

x1 0 1 1 1 1x2 0 1 0 1 1x3 0 1 0 1 1x4 0 1 0 1 1x5 0 0 0 0 0

Definitia 6.1.20 Matricea patratica L = (lij), i, j = 1, n, definita astfel

lij ={xixj , daca (xi, xj) ∈ Γ

0 , daca (xi, xj) �∈ Γ

se numeste matricea latina atasata grafului (X,Γ).

Exemplul 6.1.11. Pentru graful din figura 15 matricea latina este

L =

x1 x2 x3 x4 x5

x1 0 x1x2 x1x3 0 0x2 0 0 0 x2x4 0x3 0 x3x2 0 0 x3x5

x4 0 x4x2 0 0 x4x5

x5 0 0 0 0 0

In rezolvarea unor probleme teoretice sau practice se introduc si alte tipuri de matriceatasate unui graf, care se difineste ın cadrul respectiv.

6.2 Algoritmi pentru rezolvarea unor probleme relative la gra-furi

In acest paragraf vom prezenta cativa algoritmi pentru rezolvarea unor problemerelative la grafuri.

102

Page 102: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

6.2.1 Algoritmul lui Yu Chen pentru aflarea matricei drumurilor

In asigurarea unor algoritmi relativi la probleme de teoria grafurilor avem nevoie de

operatiile de adunare booleana (�+) si ınmultire booleana (

�×), definite dupa cum urmeaza

�+ 0 10 0 11 1 1

�× 0 10 0 01 1 1

Algoritmul lui Yu Chen are urmatorii pasi:Pasul 1. Se scrie matricea booleana B a grafului (X,Γ);Pasul 2. Se aduna boolean la prima linie toate liniile corespunzatoare la varfurile care aucifra 1 pe prima linie. Noile cifre de 1 care apar se marcheaza cu o ∗.Pasul 3. Se aduna boolean la linia ıntai toate liniile corespunzatoare varfurilor care au cifra1∗ pe prima linie. Noile cifre de 1 care apar se marcheaza cu ∗∗. Acest pas se continua panacand nu mai apar cifre noi de 1 pe linia ıntai.Pasul 4. Se aplica pasii 2 si 3 la fiecare din liniile matricei booleene.

In final, obtine matricea D a drumurilor.Justificarea algoritmilor este imediata.

Exemplul 6.2.1. Pentru graful din figura 15 sa aflam matricea drumurilor, folosind algorit-mul lui Yu Chen.

Scriem matricea booleana atasata grafului

B =

x1 x2 x3 x4 x5

x1 0 1 1 0 0x2 0 0 0 1 0x3 0 1 0 0 1x4 0 1 0 0 1x5 0 0 0 0 0

Aplicand pasii algoritmului obtinem

D =

x1 x2 x3 x4 x5

x1 0 1 1 1∗ 1∗

x2 0 1∗ 0 1 1∗

x3 0 1 0 1∗ 1x4 0 1 0 1∗ 1x5 0 0 0 0 0

care este tocmai matricea gasita la Exemplul 6.1.10.

6.2.2 Algoritmi pentru precizarea existentei circuitelor ıntr-un graf

Vom prezenta doi algoritmi.Algoritmul marcarii cu ”∗”. Pasii acestui algoritm sunt:

Pasul 1. Se marcheaza cu ”∗” toate varfurile fara succesori;Pasul 2. Marcam cu ”∗” toate varfurile ale caror succesori au fost marcati;Pasul 3. Se continua procesul de la Pasul 2 pana cand nu mai putem face marcari.

Daca toate varfurile au fost marcate, atunci graful este fara circuite. In caz ca aramas cel putin un varf nemarcat, graful este un circuit.Exemplul 6.2.2. Sa cercetam daca graful din figura 16 are circuite.

103

Page 103: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Fig.16

La pasul ıntai putem marca doar varful x7, fiind singurul fara succesori. La pasul2 putem marca varful x6 deoarece succesorul sau x7 a fost marcat. Nu mai putem facemarcare de varfuri deoarece varfurile ramase au succesori nemarcati. Asadar, graful datare circuite.

Algoritmul matricei drumurilor. Cum un circuit este un drum ce ıncepe si se terminaın acelasi varf, rezulta ca un graf va avea circuite daca ın matricea drumurilor apare cifra 1pe diagonala principala. Rezulta ca, pentru a cerceta daca un graf are sau nu circuite, estesuficient sa gasim matricea drumurilor.Exemplul 6.2.3. Sa aplicam acest algoritm la graful din figura 16. Scriem matricea booleanaB:

B =

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

x1 0 1 0 1 0 0 0x2 0 0 1 0 1 0 0x3 0 0 0 1 0 0 0x4 0 0 0 0 1 0 1x5 0 0 1 0 0 1 1x6 0 0 0 0 0 0 1x7 0 0 0 0 0 0 0

Aplicand algoritmul Yu Chen pentru aflarea matricei drumurilor, obtinem:

D =

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

x1 0 1 1∗ 1 1∗ 1∗∗ 1∗

x2 0 0 1 1∗ 1 1∗ 1∗

x3 0 0 1∗∗ 1 1∗ 1∗∗ 1∗

x4 0 0 0 0 1 1∗ 1x5 0 0 0 0 0 1 1x6 0 0 0 0 0 0 1x7 0 0 0 0 0 0 0

Avand ın D o cifra de 1 pe diagonala principala, conchidem ca graful are circuite.

6.2.3 Algoritmi pentru aflarea componentelor tare conexe ale unui graf

Aflarea componentelor tare conexe ale unui graf este importanta pentru practicadeoarece se obtine o partitie a grafului ın subgrafele tare conexe.Algoritmul marcarii cu ”±”. Pasul 1. Se marcheaza cu ”±” un varf ın care intra si iese celputin cate un arc.Pasul 2. Se marcheaza cu ”±” varfurile care sunt extremitati finale pentru arce care pleacadintr-un varf marcat cu ”±” si se marcheaza cu ”–” varfurile initiale pentru arce ale carorvarfuri finale sunt marcate cu ”–”.Pasul 3. Se aplica repetat pasul 2, pana nu se mai pot face marcari. Daca toate varfurileau fost marcate cu ”±”, atunci graful este tare conex, avand o sigura componenta tareconexa.

Daca exista varfuri care nu au fost marcate cu ”±”, atunci se considera multimea C1

formata din toate varfurile marcate cu ”±”. C1 formeaza o prima componenta tare conexa.Pasul 4. In graful dat se elimina varfurile din componenta C1 si toate arcele aferenteacestora. Noului graf (de fapt, subgraf al grafului initial) i se aplica Pasii 2–3 pana segasesc toate componentele tare conexe ale grafului.

Pentru a evidentia geometric (intuitiv) descompunerea grafului dat ın componentetare conexe se aranjeaza varfurile pe componente si se traseaza arcele din graful initial.Exemplul 6.2.4. Sa consideram graful din figura 17.

104

Page 104: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Fig.17

Deoarece ın varful x1 iese si intra cel putin cate un arc ıl marcam cu ”±”. Apoimarcam cu ”+” varfurile x2 si x5 si cu ”–” varful x3. Acum marcam cu ”–” varful x2 si cu”+” varfurile x4 si x6. Procesul de marcare nu mai poate continua, ramanand varfuri carenu sunt marcate cu ”±”.

Prima componenta tare conexa a grafului este C1 = {x1, x2, x3}.Suprimam varfurile x1, x2, x3 si arcele adiacente lor si obtinem graful din figura 18.

Fig.18

Imediat se marcheaza cu ”±” numai varfurile x4 si x5, obtinand cea de-a douacomponenta tare conexa C2 = {x4, x5}. Varful x6 formeaza cea de-a treia componenta tareconexa C3.

In figura 19 prezentam graful cu varfurile sale ımpartite ın componente tare conexe.

105

Page 105: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Fig.19

Algoritmul lui Yu Chen. Acest algoritm pentru aflarea componentelor tare conexe folosesteideea de lucru de la algoritmul lui Chen pentru determinarea matricei drumurilor.Pasul 1. Se scrie matricea booleana B a grafului (X,Γ).Pasul 2. Se determina toate drumurile care pleaca din x1 spre alte varfuri, procedand cala pasii 2 si 3 de la algoritmul Yu Chen pentru determinarea matricei drumurilor, adicase introduc prin adunare booleana toate cifrele de pe linia ıntai. Notam cu V1 multimeavarfurilor care au cifra 1 pe linia ıntai astfel obtinuta.Pasul 3. Ca la pasul 2 procedam pe coloana ıntai, determinand toate varfurile care suntlegate prin drumuri cu x1. Notam cu V2 multimea varfurilor care au cifra 1 pe coloanaıntai astfel obtinuta.Pasul 4. Determinam prima componenta tare conexa, luand C1 = (V1 ∩ V2) ∪ {x1}.Pasul 5. In matricea B se elimina liniile si coloanele care au varfurile ın C1. La matriceaobtinuta se aplica, din nou pasii 2–5. Se aplica algoritmul pana se epuizeaza varfurilegrafului.Exemplul 6.2.5. Sa consideram graful din figura 20. Sa-i aflam componentele tare conexe.

Fig.20

Scriem matricea booleana atasata grafului:

B =

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

x1 0 1 1 0 0 0 0 0x2 0 0 0 0 0 0 0 0x3 0 1 0 1 0 0 0 1x4 0 1 0 0 1 0 0 0x5 0 1 0 0 0 1 0 0x6 0 1 0 0 1 0 0 0x7 0 0 0 1 0 1 0 1x8 1 0 0 1 0 0 1 0

Determinam toate legaturile prin drumuri ce pleaca din x1 spre alte vrfuri:

� x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

x1 1∗∗ 1 1 1∗ 1∗∗ 1∗∗∗ 1∗∗ 1∗

de unde V1 = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8}.Procedam la fel pe coloana ıntai, scriind tabelul, pentru economie de spatiu, tot pe

orizontalax1 1∗∗ 1∗ 1∗ 1

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

106

Page 106: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

De aici V2 = {x1, x3, x7, x8}.Acum gasim prima componenta tare conexa C1 = (V1 ∩ V2) ∪ {x1} = {x1, x3, x7, x8}.Eliminam ın matricea B liniile si coloanele corespunzatoare varfurilor din C1 si obtinem

matricea

B =

� x2 x4 x5 x6

x2 0 0 0 0x4 1 0 1 0x5 1 0 0 1x6 1 0 1 0

Cum pe linia lui x2 ın B1 avem numai cifra 0, deducem ca urmatoarea componentatare conexa este C2 = {x2}.

Eliminand linia si coloana corespunzatoare varfului x2 din B1, obtinem

B2 =

x4 x5 x6

x4 0 1 0x5 0 0 1x6 0 1 0

Imediat rezulta si componenta tare conexa C3 = {x4}, ramanand matricea

B3 =x5 x6

x5 0 1x6 1 0

pentru care avem:x5 x6

x5 1∗ 1∗, V1 = {x5, x6}

x5 1∗ 1x5 x6

, V2 = {x5, x6}

deci mai avem componenta tare conexa C4 = {x5, x6}.Observatia 6.2.1 Deoarece oricare doua varfuri dintr-o componenta tare conexa sunt legateıntre ele prin drumuri, rezulta ca un graf poate fi reprezentat prin unul care are ca varfuricomponentele tare conexe, arcele de legatura, ıntre ele stabilindu-se dupa arcele din grafuldat. In cazul exemplului nostru obtinem graful din figura 21. Graful astfel obtinut senumeste graful condensat atasat grafului dat.

Fig.21

Graful condensat este important ın rezolvarea multor probleme practice deoarecereduce dimensiunea sistemelor complexe.

107

Page 107: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

6.2.4 Algoritmi pentru aflarea drumurilor hamiltoniene ale unui graf

In multe aplicatii practice avem de stabilit succesiunea unui numar de operatii, curespectarea unei anumite oridini. Din punctul de vedere a teoriei grafurilor aceasta revinela gasirea unui drum hamiltonian ın graful asociat aplicatiei respective.Algoritmul Yu Chen pentru grafe fara circuite.Pasul 1. Se determina matricea D a drumurilor atasata grafului.Pasul 2. La matricea D se mai adauga o coloana ”a”, pe care se trec numarul de cifre 1de pe fiecare linie din D. Aceste numere se numesc puterile de atingere corespunzatoarevarfurilor grafului (ele reprezinta numarul de varfuri, care sunt legate prin drumuri plecanddin varful respectiv).Pasul 3. Daca pe coloana ”a” avem puteri de atingere diferite doua cate doua, atunci grafulare drum hamiltonian. Succesiuna varfurilor ın drumul hamiltonian se obtine ın ordineadescrescatoare a puterilor de atingere (n− 1, n− 2, . . . , 2, 1, 0).

Daca cel putin doua puteri de atingere sunt egale, atunci graful nu are drumurihamiltoniene.

Observatia 6.2.2 Daca un graf fara cricuite are drum hamiltonian, atunci el este unic.

Exem,plul 6.2.6. Fie graful din figura 22. Sa cercetam daca are drum hamiltonian.

Fig.22

Matricea booleana atasata grafului este

B =

x1 x2 x3 x4 x5 x6

x1 0 0 0 0 0 0x2 0 0 0 0 0 1x3 0 1 0 0 0 1x4 1 1 1 0 1 0x5 1 0 1 0 0 0x6 1 0 0 0 0 0

iar matricea drumurilor

D =

x1 x2 x3 x4 x5 x6 ax1 0 0 0 0 0 0 0x2 1∗ 0 0 0 0 1 2x3 1∗ 1 0 0 0 1 3x4 1 1 1 0 1 1∗ 5x5 1 1∗ 1 0 0 1∗ 4x6 1 0 0 0 0 0 1

Cum pe coloana a avem puteri de atingere diferite doua cate doua, rezulta ca grafuladmite un drum hamiltonian. Acesta este dH = {x4, x5, x3, x2, x6, x1}.

108

Page 108: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Algoritmul Yu Chen pentru grafuri cu circuite.Acest algoritm are urmatorii pasi:

Pasul 1. Se determina componentele tare conexe ale grafului (X,Γ), notate cu C1, C2, . . ..Pasul 2. Se determina graful condensat asociat grafului (X,Γ), care este un graf fara circuite.Pasul 3. Se determina drumul hamiltonian ın graful condensat, cand exista.Pasul 4. Se aranjeaza componentele tare conexe ın ordinea data de drumul hamiltoniandeterminat la Pasul 3.Pasul 5. Se scriu toate drumurile hamiltoniene din fiecare componenta tare conexa.Pasul 7. Stabilim legaturile de la o componenta la alta ın functie de arcele de incidenta(legatura) din graful dat, citind apoi toate drumurile hamiltoniene.

Observatia 6.2.3 Daca ın graful condensat nu exista drum hamiltonian sau ıntre doua com-ponente nu exista legatura, atunci graful nu are drumuri hamiltoniene.

Exemplul 6.2.7. Sa aflam drumurile hamiltoniene ale grafului din figura 20.La exemplul 6.2.5 am gasit componentele tare conexe

C1 = {x1, x3, x7, x8}, C2 = {x2}, C3 = {x4}, C4 = {x5, x6}si graful condensat din figura 21.

Se observa ca ın graful condensat avem drumul hamiltonian

dCH = {C1, C3, C4, C2}.Acum, scriem componentele tare conexe ın ordinea din drumul dCH si sub ele scriem

toate drumurile hamiltoniene din fiecare componenta:

C1 C3 C4 C2

x1x3x8x7 ↘x7x8x1x3 ↗ x4 ↗ x5x6 ↘

x6x7x2

Apoi stabilim legaturile ıntre ultimele elemente din drumurile dintr-o componenta siprimele varfuri din componenta urmatoare (le indicam prin sageti).

Obtinem drumurile hamiltoniene:

d1H = {x1, x3, x8, x7, x4, x5, x6, x2}d2H = {x7, x8, x1, x3, x4, x5, x6, x2}

Algoritmul matricilor latine. Vom prezenta un procedeu prin care se pot gasi toate dru-murile elementare, deci si cele hamiltoniene, precum si circuitele hamiltoniene. Fie (X,Γ)un graf.

Vom utiliza matricea latina (Definitia 6.1.20) L = (lij), unde

lij ={xixj , daca (xi, xj) ∈ Γ

0 , daca (xi, xj) �∈ Γ, i, j = 1, n.

Construim matricea L, obtinuta din L prin ınlaturarea lui xi din succesiunea xixj,cand acasta exista.

Acum, definim o ınmultire speciala de matrice, numita ınmultirea latina si notataprin ”∗”, dupa cum urmeaza: a) ınmultirea se face linii prin coloane; b) ın locul ınmultiriiobisnuite se face o alaturare de elemente, daca acestea nu se repeta, sau se scrie 0 ın cazcontrar; c) ın locul adunarii obisnuite se iau grupele obtinute la b, cand avem astfel degrupe. Prescurtat, vom scrie L ∗ L = L2. Analog, calculam L2 ∗ L = L3, . . . , Lk−1 ∗ L = Lk. Seobserva ca Lk contine toate drumurile elementare de lungime k.

Prin urmare, ın matricea Ln−1 figureaza toate drumurile hamiltoniene. Daca dorimsa obtinem circuitele hamiltoniene se va calcula Ln, dar admitem, ca exceptie, situatia derepetare a primului si a ultimului varf (cel care ınchide circuitul).Exemplul 6.2.8. Pentru graful din figura 23 sa se determine drumurile hamiltoniene.

109

Page 109: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Fig.23

Scriem matricea latina L, iar apoi din ea gasim L prin suprimarea primei litere:

L =

a b c d ea 0 ab ac 0 0b 0 0 bc 0 bec 0 0 0 cd 0d da db 0 0 0e 0 0 ec 0 0

, L =

a b c d ea 0 b c 0 0b 0 0 c 0 ec 0 0 0 d 0d a b 0 0 0e 0 0 c 0 0

Acum calculam

L2 = L ∗ L =

a b c d ea 0 0 abc acd abeb 0 0 bec bcd 0c cda cdb 0 0 0d 0 dab dac

dbc 0 dbee 0 0 0 ecd 0

Apoi avem:

L3 = L2 ∗ L =

a b c d ea 0 acdb abec abcd 0b bcda 0 0 becd 0c 0 cdab 0 0 cdbed 0 0 dabc

dbec 0 dabee ecda ecdb 0 0 0

si

L4 = L3 ∗ L =

a b c d ea 0 0 0 abecd acdbeb becda 0 0 0 0c 0 0 0 0 cdabed 0 0 dabec 0 0e 0 ecdab 0 0 0

In concluzie, graful dat are 6 drumuri hamiltoniene: d1H = {a, b, e, c, d}, d2H ={a, x, d, b, e}, d3H = {b, e, c, d, a}, d4H = {c, d, a, b, e}, d5H = {d, a, b, e, c} si d6H = {e, c, d, a, b}.Pentru a obtine circuitele hamiltoniene se va calcula L5 = L4 ∗ L, dar acum se admite caprimul si ultimul varf sa se repete.

6.2.5 Algoritmi pentru determinarea drumurilor de lungime optima

In multe probleme practice suntem pusi ın situatia de a atasa fiecarui arc din grafulasociat problemelor respective un numar (timp de deplasare de-a lungul arcului, cost de

110

Page 110: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

transport de-a lungul arcului, beneficiu etc.) care, ıntr-o astfel de situatie, se interpreteazaca lungimea sau capacitatea arcului. De obicei, ıntr-o astfel de problema practica se ceredrumul de lungime optima (maxima sau minima).

Vom mai considera ca graful asociat problemei nu are circuite, dar are un varf deintrare x1 si un varf de iesire xn.Algoritmul elementar (Bellman). El are la baza principiul de optimalitate al lui Bellman:orice politica optimala este formata din subpolitici optimale.

Prin acest algoritm fiecui varf xi i se ataseaza un numar di, reprezentand lungimeaminima a drumurilor de la x1 la xi.

Consideram d1 = 0. Acum, sa presupunem ca dorim sa gasim pe dl, unde varful xl estesuccesorul varfurilor xi, xj si xk, la care au fost deja calculate numerele di, dj si dk. Atuncilungimea minima dl de la x1 la xl se determina prin formula

dl = min(di + cil, dj + cjl, dk + ckl)

unde cil, cjl si ckl sunt capacitatile corespunzatoare arcelor (xi, xl), (xj , xl) si (xk, xl).In formula lui dl subliniem ın paranteze valoarea pentru care minimul este atins.

Dupa determinarea tuturor numerelor d1, d2, . . . , dn, valoarea lui dn este lungimea minima adrumului de la x1 la xn, iar pornind de la xn spre x1 si citind varfurile subliniate, obtinemdrumul de lungime minima.

Pentru un drum de lungime maxima se lucreaza ın mod analog, ınlocuind minimulcu maximul.Exemplul 6.2.9. Pentru graful din figura 24 sa se afle drumul de lungime minima.

Fig.24

Avem succesiv:

d1 = 0,d3 = min{d1 + 7} = 7,d2 = min{d1 + 2, d3 + 4} = min{2, 10} = 2,d4 = min{d2 + 3, d3 + 9} = min{5, 16} = 5,d5 = min{d2 + 4, d4 + 8} = min{6, 13} = 6,d6 = min{d5 + 3, d4 + 2} = min{9, 7} = 7,d7 = min{d5 + 9, d6 + 7} = min{15, 14} = 14.

Prin urmare, lungimea minima este 14, iar drumul care are aceasta lungime este:dmin = {x1, x2, x4, x6, x7}. In figura 24 arcele drumului minim sunt dublate cu linie ıntrerupta.Algoritmul Bellman–Kalaba. Ideea de lucru este aceeasi cu cea de la algoritmul elementar:succesiv,pentru fiecare varf, se calculeaza cate o cota (un numar). Cautam tot drumuri delungime minima. Introducem matricea patratica C = (cij)i,j=1,n, definita astfel

cij =

⎧⎨⎩ l(xi, xj) , daca exista arcul (xi, xj)0 , daca i = j∞ , daca nu exista arcul (xi, xj)

111

Page 111: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

unde l(xi, xj) este lungimea arcului (xi, xj).Notam cu lik, i = 1, n, cota atasata varfului xi la pasul k, unde de obicei, luam li,1 = cin,

cand se cauta drumul de lungime minima ıntre x1 si xn.Determinam valorile lik, pas cu pas, prin rezolvarea sistemului

li,k = minj=1,n

(cij + lj,k−1), k = 2, 3, . . . , i = 1, n.

Algoritmul se ıncheie cand li,k = li,k+1 situatie ın care l1,k reprezinta lungimea minimaa drumului de la x1 la xn.

Stabilirea drumului de lungime minima se face astfel: pornind de la xn, pentru fiecarearc (xi, xj) se decide apartenenta sa la drumul minim daca

lj,k − li,k = cij = l(xi, xj).

Practic, algoritmul lucreaza dupa urmatorii pasi:Pasul 1. Se scrie matricea C.Pasul 2. Se calculeaza cotele li,1, i = 1, n. Pentru aceasta matricei C i se adauga ultimacoloana, pe care o notam cu li,1. Apoi, se ınmulteste C cu aceasta coloana li,1 dupa regula:inmultirea se ınlocuieste cu adunare, iar adunarea cu operatia de luare a minimului. Rezultaastfel valorile de pe coloana li,2.Pasul 3. Procesul de la pasul 2 se repeta cu coloana li,2 s.a.m.d. pana se obtin doua coloaneidentice li,k si li,k+1.Exemplul 6.2.10. Sa gasim drumul de lungime minima din graful dat ın figura 24 utilizandalgoritmul Bellman–Kalaba.

Avem sucesiv

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 li,1 li,2 li,3 li,4 li,5x1 0 2 7 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 15 14 14x2 ∞ 0 ∞ 3 4 ∞ ∞ ∞ 13 12 12 12x3 ∞ 4 0 9 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 17 16 16x4 ∞ ∞ ∞ 0 8 2 ∞ ∞ 9 9 9 9x5 ∞ ∞ ∞ ∞ 0 3 9 9 9 9 9 9x6 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 7 7 7 7 7 7x7 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0 0 0 0 0

Cum li,4 coincide cu li,5, algoritmul s-a ıncheiat. Avem

lmin(x1, x7) = l1,4 = 14,

iar drumul de lungime minima se afla prin selectarea arcelor (xi, xj) pentru care lj,k−li,k = cij.Aceste arce sunt: (x1, x3), (x2, x4), (x4, x6), (x6, x7), de unde rezulta ca drumul de lungimeminima este dmin = {x1, x2, x4, x6, x7}.Observatia 6.2.4 Pentru drumul de lungime maxima matricea C este analoaga numai ca ınloc de +∞ se ia −∞.

Teoria grafurilor, ca instrument matematic utilizat ın rezolvarea problemelor dindiferite domenii, este foarte bogata ın algoritmi. Pentru cei care doresc sa aprofundezeaceasta minunata colectie, poate apela la lucrarile [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8].

6.2.6 Metoda drumului critic

Metoda drumului critic (Critical Path Method – C.P.M.) este un instrument matem-atic util specialistilor ın rezolvarea programelor complexe de planificare, investitii, productieetc. Principiul metodei consta ın descompunerea unui program complex ın parti compo-nente, numite activitati sau operatii, la un nivel care sa permita corelarea functionala aacestora, adica sa faca posibila stabilirea interconditionarilor ıntre partile componente. La

112

Page 112: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

stabilirea listei (retelei) de activitati xi, specialistii care participa la aceasta operatie trebuiesa precizeze activitatile care conditioneaza sau preced ın mod necesar activitatea xi. Astfel,se formeaza o lista de aterioritati obligatorii. Cu ajutorul acestor date se construieste ungraf G – graful asociat sau graful program – ın felul urmator:

a) fiecarei activitati i se asociaza un arc (xi, xj), unde varful (evenimentul) xi reprezintaınceputul operatiei, iar xj sfarsitul ei;

b) varful x1 este numai varful de ınceput (intrare) ın graf, varful xn este numai varf desfarsit (iesire), iar celelalte varfuri sunt si de intrare si de iesire ın graf;

c) conditionarea (anterioritatea) a doua activitati se reprezinta prin succesiunea arcelorcorespunztoare;

d) fiecarui arc (xi, xj) i se asociaza un numar nenegativ tij, semnificand durata activitatiirespective;

e) nici o activitate nu poate ıncepe ınaintea terminarii tuturor activitatilor precedente sinu se poate finaliza dupa ınceperea activitatilor urmatoare.

Graful astfel atasat unei retele de activitati este un graf conex orientat, fara circuite,cu un singur varf x1 de intrare ın graf si un singur varf xn de iesire din graf. Acest graf–program evidentiaza legaturile functionale (tehnologie, economie s.a.) dintre activitati.Mentionam ca un astfel de graf, asociat unui program complex, poarta numele de retea deplanificare.

Este evident ca ıntr-o retea de planificare exista cel putin o succesiune de activitatide la intrare la iesire. O astfel de succesiune reprezinta un drum de la intrare la iesire,avand o anumita lungime.

In C.P.M. esential este de remarcat faptul ca cea mai ”lunga” succesiune de activitatide la intrare la iesire determina durata minima posibila de executie integrala a programu-lui.

Aceasta succesiune de activitati poarta numele de drum critic (drumul de lungimemaxima). Arcele lui reprezinta operatiile critice, adica acele activitati pentru care efectu-area lor nu poate ıntarzia, fara ca sa fie afectat termenul de finalizare a ıntregii lucrari.

Intr-o retea de activitati pot apare operatii care se desfasoara ın serie (una dupa alta),care ın graf se reprezinta ca o succesiune de arce, si operatii care se desfasoara ın paralel(simultan), care ın graf se reprezinta astfel

Aceasta reprezentare poate crea confuzia ca un arc (xi, xj) reprezinta doua actiunidiferite. Pentru a ınlatura acest neajuns, uneori, se introduc asa numitele operatii fictivede durata zero, asa cum se arata ın figura

Activitatile fictive se deseneaza punctat si au durata zero pentru ca nu consuma nicitimp si nici resurse.

Avand graful unei retele de activitati, se trece la determinarea parametrilor progra-mului. Acestia sunt:

113

Page 113: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

a) durata drumului critic ıntre doua varfuri xi si xj, notat prin tc(xi, xj) si obtinut prinvaloarea maxima a duratei drumurilor dintre varfurile xi si xj;

b) durata drumului critic al programului este data de tc(x1, xn). In realizarea unui programretea de activitati ne intereseaza daca o operatie necritica poate fi amanta cu un anumitinterval de timp astfel ıncat nici una din operatiile care o succed sa nu fie stanjenita ınprivinta duratei ce i-a fost programata. Asta ınseamna ca durata ıntregului programtrebuie sa ramana tc(x1, xn);

c) ti – timpul cel mai devreme (scurt) de realizare a evenimentului xi. Avem ti = tc(x1, xi);

d) t∗i – timpul cel mai tarziu (lung) de realizare a evenimentului xi. Avem

t∗i = tc(1, n) − tc(i, n)

Se observa ca ti se calculeaza ca durata drumurilor de lungime maxima par-curgand reteaua ın sens direct, iar t∗i ca durata drumurilor de lungime maxima obtinuteprin parcurgerea retelei ın sens invers.

e) R(xi) – rezerva de timp a evenimentului xi data prin formula

R(xi) = t∗i − ti.

Intervalul [ti, t∗i ] se numeste intervalul de fluctuatie al evenimentului xi adica intervalulın care se va putea realiza evenimentul xi fara a produce modificari la timpul totalde realizae a programului. Pentru evenimentul critic avem R(xi) = 0, iar pentru celenecritice avem R(xi) > 0;

f) R(xi, xj) – rezerva (marja) totala de timp pentru operatia (activitatea)(xi, xj) reprezintatimpul maxim cu care se poate mari durata activitatii fara sa se afecteze durata totalaa programului. Avem formula de calcul

R(xi, xj) = t∗i − ti − t(xi, xj)

unde t(xi, xj) reprezinta timpul necesar realizarii operatiei (xi, xj);

g) r(xi, xj) – rezerva de timp libera (marja libera) a operatiei (xi, xj) reprezinta partea dinrezerva totala cu care se poate dilata durata de realizare a activitatii (xi, xj) fara sa fieafectat termenul cel mai devreme de realizare a evenimentului xi. Avem

r(xi, xj) = tj − ti − t(xi, xj).

h) rs(xi, xj) – rezerva de timp sigura (marja sigura)a activitatii (xi, xj) se defineste prinformula

rs(xi, xj) = tj − t∗i − tij

Daca rs(xi, xj) < 0, atunci se spune ca activitatea (xi, xj) nu are marja sigura.

Intervalele de fluctuatie si marjele libere masoara elasticitatea unui program. Cu catacestea sunt mai mici, cu atat programul este mai rigid.

Determinarea tuturor acestor parametrii atasati unei retele de planificare se poaterealiza prin ıntocmirea unui tabel de forma:

i j tij ti tj t∗i t∗j R(xi) R(xi, xj) r(xi, xj) rs(xi, xj)

In prealabil se vor calcula duratele tc(x1, xi), respectiv tc(xi, xn) ale drumurilor critice,folosind algoritmii pentru determinarea drumurilor de lungime maxima. Valorile aflate sepot scrie langa varfurile grafului astfel

[tc(xi, xj), tc(xi, xn)]

114

Page 114: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Exemplul 6.2.10. Sa analizam programul unei investitii pentru care dorim sa studiem duratasi modul de executie. In urma analizei programului, specialistii au stabilit urmatorul tabelde operatii (activitati), lista de anterioritati obligatorii si durata de executie ın luni:

Nr. Denumire activitatii Anterioritati Duratacrt. (Notatia prescurtata) obligatorii (luni)1. Proiectarea (P ) – 82. Eliberarea terenului (E) P 33. Comenzi utilaje (C,U) P 44. Organizare santier – etapa 1 (OS1) P 25. Formare cadre calificate (F ) D 116. Executie drumuri interioare – etapa 1 (D1) E;OS1 37. Executii retele tehnice – etapa 1 (R1) E;OS1 68. Livrari, receptie utilaje (L,U) C,U 79. Lucrari constructii montaj – etapa 1 (C1) E;OS1 510. Organizare santier – etapa 2 (OS2) OS1 311. Executii drumuri interioare – etapa 2 (D2) D1;OS2;R1 412. Executii retele tehnice – etapa 2 (R2) R1 613. Lucrari constructii montaj – etapa 2 (C2) L,U,C1, Rj 11

Tinand seama de informatiile din tabelul precedent, obtinem urmatorul graf pentrureteaua de planificare.

Acum, folosind algoritmul lui Bellman, determinam numerele ti si t∗i , trecandu-le pegraf ıntre paranteze drepte.

115

Page 115: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

116

Page 116: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Cu ajutorul parametrilor ti si t∗i ıntocmim tabelul de mai jos pentru a calcularezervele (marjele) R(xi), R(xi, xj), r(xi, xj) si rs(xi, xj).

i j tij ti tj t∗i t∗j R(xi) R(xi, xj) r(xi, xj) rs(xi, xj)1 2 8 0 8 0 8 0 0 0 02 3 4 8 12 8 12 0 0 0 02 4 2 8 10 8 23 0 13 0 02 5 3 8 11 8 14 0 3 0 02 9 11 8 30 8 30 0 11 11 113 7 7 12 19 12 19 0 0 0 04 8 3 10 14 23 26 13 13 1 -125 6 6 11 17 14 24 3 7 0 -35 7 5 11 19 14 19 3 2 3 05 8 3 11 14 14 26 3 12 0 -36 9 5 17 30 25 30 8 8 8 07 9 11 19 30 19 30 0 0 0 08 9 4 14 30 26 30 12 12 12 0

Drumul critic este dcr = {x1x2, x3, x7, x9}, fiind marcat ın ultimul graf prin sagetileduble. Operatiile critice se recunosc ın tabelul de mai sus dupa R(xi, xj) = 0. Timpul celmai devreme de ıncheiere a ıntregului program este 30 (de luni), adica durata (lungimeamaxima) drumului critic.

Examinarea rezervelor de timp permite cunoasterea posibilitatilor pe care le are ladispozitie cel care coordoneaza programul ın vederea unei interventii optime pentru ex-ecutarea ın termen a proiectului. De exemplu, pentru activitatea D2([x8, x9]), cu duratade executie 4 luni, deducem ca nu poate ıncepe mai devreme de trecerea a 14 luni de laınceputul executiei programului (t8 = 14). Asadar, activitatea D2 poate ıncepe a fi executataın intervalul de fluctuatie [14, 26], fara a modifica ıntr-un fel timpul minim necesar executieiprogramului de investitie.

Observatia 6.2.5 Atunci cand numarul operatiilor dintr-un program nu este prea mare, pen-tru analiza grafului, cat si pentru urmarirea realizarii lui, se paote folosi diagrama Gantt.Pentru descrierea ei se procedeza astfel:

a) se ordoneaza activitatile (xi, xj) dupa j crescator, cele cu acelasi j succedandu-se ınordinea crescatoare data de i,

b) se reprezinta prin bare orizontale duratele activitatilor, marcandu-le extremitatile lorcu numerele de ordine ale evenimentelor;

c) se reprezinta punctat drumul critic.

Pentru graful programului studiat ın exemplul 6.2.10, diagrama Gantt este data ınfigura de mai jos.

117

Page 117: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Diagrama Gantt ne descrie ın mod intuitiv fluctuatiile evenimentelor si rezervele(marjele) activitatilor din programul studiat.

De exemplu, cu evenimentul 6 se termina activitatea (5, 6) si ıncepe activitatea (6, 9);rezulta ca operatia (5, 6) s-ar putea amana cu cel mult 7 unitati de timp deoarece, ın cazcontrar, operatia (6, 9) s-ar deplasa spre dreapta, peste durata ıntregului program. Rezultaca fluctuatia evenimentului 6 este de 7 unitati.

6.3 Problema fluxului optim ın retele de transport

Notiunea de flux joaca un rol important ın domenii de importanta pentru economie,cum sunt: teoria informatiei, cibernetica, transport, planificare etc.

In acest paragraf vom studia problema determinarii fluxului optim ıntr-o retea detransport.

6.3.1 Retele de transport

Fie (X,Γ) un graf orientat.

Definitia 6.3.1 Graful orientat (X,Γ) se numeste retea de transport daca este fara circuite,are un singur varf de intrare x1 (Γ−x1

= ∅), un singur varf de iesire xn (Γ+xn

= ∅) si oricarearc a ∈ Γ are o capacitate pozitiva c(a).

Definitia 6.3.2 Se numeste flux ıntr-o retea de transport o functie ϕ : Γ → R+, care satisfaceconditile:

i) ϕ(a) ≤ c(a), pentru orice arc a ∈ Γ;

ii) ın orice varf xi ∈ X avem satisfacuta egalitatea∑a∈Γ+

xi

ϕ(a) =∑a∈Γ−xi

ϕ(a),

numita proprietate de conservare.

Numarul ϕ(a) se mai numeste si fluxul asociat arcului a si reprezinta, din punct devedere practic, cantitatea de materie ce trece prin arcul a, ca de exemplu: cantitate deinformatie, numar de produse etc.

Conditia ii) din Definitia 6.3.2 exprima faptul ca suma fluxurilor ce intra ıntr-un varf

118

Page 118: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

este egala cu suma fluxurilor ce ies din acel varf (”legea lui Kirchoff”).Din aceeasi conditie ii) rezulta ca∑

a∈Γ+x1

ϕ(a) =∑a∈Γ−xn

ϕ(a).

Definitia 6.3.3 Numarul real pozitiv Φ, definit prin egalitatea

Φ =∑a∈Γ+

x1

ϕ(a)

se numeste valoarea fluxului ϕ ın retea.

Exemplul 6.3.1. In graful din fig 6.3.1. sa se defineasca un flux si sa se calculeze valoareafluxului ın retea. In paranteze drepte sunt trecute capacitatile arcelor.

Fig.6.3.1.

Pentru a defini un flux ın reteaua data de graful 6.3.1. folosim Definitia 6.3.2.Functia ϕ definita prin tabelul

Γ (x1, x2) (x1, x3) (x1, x4) (x2, x3) (x2, x5) (x3, x5) (x4, x3)ϕ(a) 5 1 7 1 4 2 0

(x4, x5) (x4, x6) (x5, x7) (x6, x5) (x6, x7)1 6 10 3 3

este un flux ın retea. Valoarea fluxului ın retea este Φ = 5 + 1 + 7 = 10 + 3 = 13. Si aplicatiaϕ1 : Γ → R+ data prin tabelul

Γ (x1, x2) (x1, x3) (x1, x4) (x2, x3) (x2, x5) (x3, x5) (x4, x3)ϕ1(a) 5 2 6 1 4 5 2

(x4, x5) (x4, x6) (x5, x7) (x6, x5) (x6, x7)1 3 10 0 3

este un flux ın reteaua din fig.6.3.1, iar valoarea fluxului ın retea este

Φ1 = 5 + 2 + 6 = 10 + 3 = 13

Definitia 6.3.4 Intr-o retea de transport ınzestrata cu fluxul ϕ arcul a se numeste saturatdaca ϕ(a) = c(a). Un drum ın retea se zice ca este saturat daca contine cel putin un arcsaturat.

Definitia 6.3.5 Un flux ϕ pentru care toate drumurile de la x1 la xn sunt saturate se numesteflux complet.

119

Page 119: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Exemplul 6.3.2. Pentru fluxul ϕ asociat grafului din fig.6.3.1. drumul d = (x1, x2, x5, x7) estesaturat deoarece arcele (x2, x5) si (x5, x7) sunt saturate. Se verifica imediat ca fluxul ϕ estecomplet. Intr-adevar, se observa ca singurul drum de la x1 la x7 care nu trece prin arcul(x5, x7) este d1 = (x1, x4, x6, x7), care are ınsa arcul saturat (x1, x4).

Fluxul ϕ1 nu este complet deoarece drumul d1 = (x1, x4, x6, x7) nu este saturat.

Observatia 6.3.1 Orice flux se paote transforma ıntr-unul complet. In acest scop pe fiecaredrum nesaturat d de la x1 la xn se maresc fluxurile arcelor cu cantitatea k = min

a∈d(c(a)−ϕ(a)).

Exemplul 6.3.3. Sa consideram graful din fig.6.3.1. cu fluxul incomplet ϕ1. Se observaca singurul drum nesaturat este d1 = (x1, x4, x6, x7). Marim fluxul pe arcele sale cu k =min(7 − 6, 6 − 3, 14 − 3) = 1 si obtinem arcul saturat (x1, x4). Astfel fluxul ϕ1 s-a transformatın fluxul complet ϕ2 dat prin tabelul:

Γ (x1, x2) (x1, x3) (x1, x4) (x2, x3) (x2, x5) (x3, x5) (x4, x3)ϕ2(a) 5 2 7 1 4 5 2

(x4, x5) (x4, x6) (x5, x7) (x6, x5) (x6, x7)1 4 10 0 4

Fluxul ın retea este Φ2 = 14.

6.3.2 Algoritmul lui Ford–Fulkerson pentru determinarea fluxului maximıntr-un graf de retea

In acest paragraf vom descrie un algoritm de marcare iterativa cu + si − a varfurilorgrafului retelei de transport. Daca prin acest proces se va ajunge la marcarea varfului xn,atunci fluxul nu este maxim, ın caz contrar fluxul complet va fi maxim.

Algoritmul de marcare cu + si − (Ford–Fulkerson) are urmatorii pasi:

1) se marcheaza x1 cu +;

2) daca xi este un varf marcat si exista arcul nesaturat (xi, xj) ∈ Γ, atunci xj se marcheazacu +;

3) daca varful xi este marcat si exista arcul (xj , xi) ∈ Γ cu flux pozitiv, atunci xj semarcheaza cu −;

4) se repeta pasii 2) si 3) atat timp cat este posibil;

5) daca prin procedeul de marcare nu s-a ajuns la varful xn, atunci fluxul este maxim;daca prin procesul de marcare s-a ajuns la xn, atunci fluxul complet nu este maxim sise trece la pasul urmator;

6) se majoreza fluxul cu cantitatea

m = mina,a1∈L

{c(a) − ϕ(a), ϕ(a1)}.

Aici, am notat cu L lantul care trece prin toate varfurile marcate de la x1 la xn,a tipul de arc din L precizat la pasul 2), iar a1 tipul de arc din L precizat la pasul 3).Majorarea fluxului se face astfel: cantitatea m se aduna la fluxul de pe arcele a si sescade la fluxul de pe arcele a1;

7) se reia procesul de marcare a varfurilor.

Pentru justificarea mai comoda a algoritmuui Ford–Fulkerson introducem notiuneaade taietura ıntr-un graf.

120

Page 120: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Definitia 6.3.6 Numim taietura ın graful F = (X,Γ) o partitionare a varfurilor X ın douasubmultimi Y si C(Y ), astfel ıncat x1 ∈ Y si xn ∈ C(Y ). Notam prin Y/X taietura deter-minata de Y ın graful G. Valoarea taieturii, notata prin v(Y/X) este, prin definitie, sumacapacitatilor arcelor cu varful initial ın Y si varful final ın C(Y ), adica

v(Y/X) =∑a∈Γ+

Y

c(a), unde Γ+Y =

⋃xi∈Y

Γ+xi.

Propozitia 6.3.1 Fie ın graful retea G = (X,Γ) o taietura Y/X. Pentru orice flux ϕ are locinegalitatea

Φ ≤ v(Y/X).

Demonstratie. Avand ın vedere ca suma fluxurilor ce intra ın Y este egala cu sumafluxurilor ce ies din Y , putem scrie

Φ +∑i�=1

aij∈Γ−Y

ϕ(aij) =∑

aij∈Γ+Y

ϕ(aij),

de undeΦ =

∑aij∈Γ+

Y

ϕ(aij) −∑i�=1

aij∈Γ−Y

ϕ(aij) ≤∑

aij∈Γ+Y

c(aij) = v(Y/X).

Propozitia 6.3.2 Daca utilizand algoritmul lui Ford–Fulkerson nu se poate marca varful xn,atunci valoarea fluxului Φ corespunzator este maxima.

Demonstratie. Fie Y multimea varfurilor marcate prin algoritmul lui Ford–Fulkerson.Avem x1 ∈ Y si xn �∈ Y . Cum nu se mai poate marca nici un varf, un arc aij = (xi, xj) cuxi ∈ Y si xj ∈ Y verifica ϕ(aij) = c(aij), iar un arc aji = (xj , xi) cu xi ∈ X si xj �∈ Y verificaϕ(aji) = 0. Deci:

Φ =∑

aij∈Γ+Y

ϕ(aij) −∑i�=1

aij∈Γ−Y

=∑

aij∈Γ+Y

c(aij) = v(Y/X).

Folosind propozitia 6.3.1, rezulta ca Φ are valoarea maxima.

Teorema 6.3.1 (Ford–Fulkerson). Intr-un graf G = (X,Γ) valoarea maxima a unui flux Φeste

maxϕ

Φ = minY/X

v(Y/X).

Demonstratie. Veridicitatea teoremei rezulta din propozitiile 6.3.1 si 6.3.2.Exemplul 6.3.4. Sa se determine fluxul maxim ın graful retea de transport dat ın fig.6.3.1.

Plecam de la fluxul complet obtinut ın Exemplul 6.3.3. si ıncepem procesul de marcarea varfurilor cum este ilustrat ın fig.6.3.2.

121

Page 121: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Fig.6.3.2.

Marcam mai ıntai varful x1 cu +. Apoi marcam cu + varfurile x2 si x3 deoarece arcele(x1, x2) si (x1, x3) sunt nesaturate.

Varful x4 se marcheaza cu − pentru ca arcul (x4, x3) are fluxul pozitiv. Se marcheazacu + varful x5 si x6 deoarece arcele (x4, x5) si (x4, x6) sunt nesaturate. In fine, se marcheazacu + varful x7 deoarece arcul (x6, x7) este nesaturat.

Intrucat s-a marcat x7 deducem ca fluxul nu este maxim. El poate fi majorat cucantitatea m = min{3−2, 2, 6−4, 13−4} = 1, minimul fiind luat pe lantul L = {x1, x3, x4, x6, x7}.

Rezulta fluxul complet

Γ (x1, x2) (x1, x3) (x1, x4) (x2, x3) (x2, x5) (x3, x5) (x4, x3)ϕ3(a) 5 3 7 1 4 5 1

(x4, x5) (x4, x6) (x5, x7) (x6, x5) (x6, x7)1 5 10 0 5

cu valoare Φ3 = 15.Incercam o noua marcare (al doilea semn + sau −). Se poate marca din nou varfurile

lantului L = (x1, x2, x3, x4, x6, x7). Rezulta ca fluxul ϕ3 nu este maxim. El poate fi majoratcu cantitatea

m = min{6 − 5, 2 − 1, 1, 6 − 5, 13 − 5} = 1.

Rezuta fluxul complet

Γ (x1, x2) (x1, x3) (x1, x4) (x2, x3) (x2, x5) (x3, x5) (x4, x3)ϕ4(a) 6 3 7 2 4 5 0

(x4, x5) (x4, x6) (x5, x7) (x6, x5) (x6, x7)1 6 10 0 6

cu valoarea Φ4 = 6 + 3 + 7 = 10 + 6 = 16.Deoarece s-a marcat x7 deducem ca trebuie continuat algoritmul Ford–Fulkerson.Marcam cu + varful x1 (al treilea +) si se observa ca nu se mai pot marca alte varfuri

deoarece arcele (x1, x2), (x2, x3) si (x1, x4) sunt saturate. Rezulta ca fluxul Φ4 = 16 este maxim.Taietura cu valoare minima este data de multimea Y = {x1} cu v(Y/X) = 6 + 3 + 7 = 16.Exemplul 6.3.5. Trei depozite D1, D2, D3 dispun de 11, 10, 13 tone dintr-un produs din carepatru consumatori C1, C2, C3, C4 au nevoie de 9, 8, 9 si 11 tone. Posibilitatile de transportlimitate de capacitatile mijloacelor de transport sunt date ın tabelul:

Di \ Cj C1 C2 C3 C4

D1 5 3 0 6D2 3 0 9 0D3 0 6 1 5

Existenta numarului 0 ne indica ca de la depozitele D respective nu se face nici untransport la consumatorii corespunzatori.

Sa se determine un plan optim de transport astfel ıncat sa poata fi asigurata integralcererea consumatorilor C2 si C3, iar cererea consumatorilor C1 si C4 ın cea mai maremasura.

Transformam problema ıntr-un graf de retea de transport, considerand varful deintrare x1, varfurile x2, x3, x4 corespunzatoare depozitelor D1, D2, D3, varfurile x5, x6, x7,x8 corespunzatoare celor patru consumatori si x9 varful de iesire. Problemei noastre ıicorespunde graful din figura 6.3.3.

122

Page 122: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

5

4 11

10

Fig.6.3.3.

Rezolvarea problemei revine la determinarea unui flux maxim ın reteaua de transport dinfig.6.3.3.

Vom utiliza algoritmul lui Ford–Fulkerson.Mai ıntai trebuie sa determinam un flux ϕ pentru retea. Prin ıncercari, respectand

conditiile din Definitia 6.3.2, construim fluxul

Γ (x1, x2) (x1, x3) (x1, x4) (x2, x5) (x2, x6) (x2, x8) (x3, x5)ϕ 7 8 6 4 2 1 0

(x3, x7) (x4, x6) (x4, x7) (x4, x8) (x5, x9) (x6, x9) (x7, x9) (x8, x9)8 5 1 0 4 7 9 1

cu valoarea Φ = 21.Se observa ca fluxul ϕ este incomplet deoarece drumurile d1 = (x1, x2, x5, x9), d2 =

(x1, x2, x6, x9), d3 = (x1, x2, x8, x9), d4 = (x1, x3, x5, x9), d5 = (x1, x4, x6, x9), d6 = (x1, x4, x8, x9) suntnesaturate.

Pe fiecare din aceste drumuri fluxul poate fi majorat corespunzator cu k1 = min(11 −7, 5 − 4, 9 − 4) = 1, k2 = min(11 − 7, 3 − 2, 8 − 7) = 1, k3 = min(11 − 7, 6 − 1, 11 − 1) = 4, k4 =min(10 − 8, 3 − 0, 9 − 4) = 2, k5 = min(13 − 6, 6 − 5, 8 − 7) = 1, k6 = min(13 − 6, 5 − 0, 11 − 1) = 5.Obtinem noul flux ϕ1:

Γ (x1, x2) (x1, x3) (x1, x4) (x2, x5) (x2, x6) (x2, x8) (x3, x5)ϕ1 11 10 12 4 2 5 2

(x3, x7) (x4, x6) (x4, x7) (x4, x8) (x5, x9) (x6, x9) (x7, x9) (x8, x9)8 6 1 5 6 8 9 10

cu Φ1 = 11 + 10 + 22 = 6 + 8 + 9 + 10 = 33.Deoarece prin majorare cu k3 arcul (x1, x2) s-a saturat, drumurile d1 si d2 au devenit

saturate prin urmare nu s-au mai putut majora fluxurile pe d1 si d2.Este evident ca fluxul ϕ1 este complet deoarece pe fiecare din drumurile de la x1 la x9

se afla cel putin un arc saturat.Acum trecem la ımbunatatirea fluxului prin folosirea algoritmului Ford–Fulkerson.Marcam x1 cu +. Cum arcul (x1, x4) este nesaturat, marcam x4 cu +. Deoarece arcele

(x4, x6), (x4, x7), (x4, x8) sunt saturate, rezulta ca marcarea nu mai poate fi continuata. Prinurmare, varful x9 nu poate fi marcat. Deducem ca valoarea fluxului maxim este 33. Taieturade capacitate minima este Y = {x1, x4} cu

v(Y/X) = 11 + 10 + 6 + 1 + 5 = 33.

Programul optimal dat de fluxul ϕ1 se poate reprezenta si prin tabelul

Cj x5 x6 x7 x8 Cantitati din produse CantitatiDj C1 C2 C3 C4 disponibile ın depozite consumatex2 D1 4 2 0 5 11 11x3 D2 2 0 8 0 10 10x4 D4 0 6 1 5 13 13

Cererileconsumatorilor 9 8 9 11

Cererisatisfacute 6 8 9 10

123

Page 123: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Valorile (xi, xj) din tabel au fost citite din fluxul optimal ϕ1 si reprezinta cantitateade produs luata din depozitul xi si transportata la consumatorul xj.

Observatia 6.3.2 Algoritmul Ford–Fulkerson se poate utiliza si la rezolvarea problemei de-terminarii numarului maxim de cuplaje (legaturi independente) ıntr-un graf bipartit. Ungraf G = (X,Γ) se numeste bipartit daca exista o partitie a multimii X = X1∪X2, X1∩X2 = ∅

astfel ıncat fiecare arc a lui G are o extremitate ın X1 si cealalta ın X2.

124

Page 124: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

6.4 Testul Nr. 5 de verificare a cunostintelor

1. Definiti notiunile urmatoare:

a) Graf;

b) Graf simetric;

c) Drum ıntr-un graf;

d) Drum hamiltonian;

e) Graf tare conex.

2. Definiti notiunile urmatoare

a) Arbore;

b) Matricea booleana atasata unui graf;

c) Retea de transport;

d) Flux complet ıntr-o retea de transport.

3. Sa se gaseasca cu ajutorul algoritmului lui Bellman drumul minim x1 → x5 dinurmatorul graf:

2

2

1

1

5

5

3

X1X1

X2X2

X3X3

X4X4

X5X53

4. Gasiti drumurile, fara circuite, de lungime 1, 2 si 3 din graful urmator

X1X1

X2X2

X3X3

X4X4

X5X5

5. Determinati cu ajutorul algoritmului lui Bellman drumul de lungime maxima x1 → x14

din graful urmator, precizand si lungimea acesteia:

X14X14

2

7

7

0

9

9

6

9

8

8

4

5

5

5

2 10

103

3X1X1 X2X2

X3X3

X4X4 X5X5

X6X6 X7X7

X8X8

X9X9

X10X10

X11X11

X12X12

X13X13

125

Page 125: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

6. Gasiti cu ajutorul algoritmului Bellman - Kalaba drumul minim x1 → x7 si lungimeaacestuia din urmatorul graf:

2

1

8

5

5 9

7

10

64

4

X1X1

X2X2

X3X3

X4X4

X5X5

X6X6

X7X7

3

7. Gasiti cu ajutorul algoritmului Bellman - Kalaba drumul maxim x1 → x7 si lungimeaacestuia din graful de la problema precedenta.

8. Folosind metoda drumului critic sa se determine elementele caracteritice aleurmatoarei retele de activitati:

X14X14

2

7

7

0

9

9

6

9

8

8

4

5

5

5

2 10

103

3X1X1 X2X2

X3X3

X4X4 X5X5

X6X6 X7X7

X8X8

X9X9

X10X10

X11X11

X12X12

X13X13

9. Stabiliti folosind algoritmul marcarii daca urmatorul graf are circuite:

X1X1

X2X2

X3X3

X4X4

X5X5

10. Scrieti matricea booleana asociata grafului

X1X1

X2X2

X3X3

X4X4

X6X6

X5X5

126

Page 126: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Indicatii si raspunsuri

Testul 5

3. Drumul minim este [x1, x2, x4, x5] si are lungimea 6.

4. Se obtin matricile:L x1 x2 x3 x4 x5

x1 0 x1x2 0 x1x4 x1x5

x2 0 0 x2x3 0 x2x5

x3 x3x1 0 0 0 0x4 0 0 x4x3 0 x4x5

x5 0 0 0 0 0

L∗ x1 x2 x3 x4 x5

x1 0 x1 0 x1 x1

x2 0 0 x2 0 x2

x3 x3 0 0 0 0x4 0 0 x4 0 x4

x5 0 0 0 0 0

L2 = L∗ · L x1 x2 x3 x4 x5

x1 0 0 x1x2x3 0 x1x2x5

x1x4x3 x1x4x5

x2 x2x3x1 0 0 0 0x3 0 x3x1x2 0 x3x1x4 x3x1x5

x4 x4x3x1 0 0 0 0x5 0 0 0 0 0

L3 = L∗ · L2 x1 x2 x3 x4 x5

x1 0 0 0 0 0x2 0 0 0 x2x3x1x4 x2x3x1x5

x3 0 0 0 0 x3x1x2x5

x3x1x4x5

x4 0 x4x3x1x2 0 0 x4x3x1x5

x5 0 0 0 0 0

5. Drumul de lungime maxima este [x1, x2, x4, x5, x3, x7, x8, x11, x13, x14] si lmax = 48.

6. Se obtine lmin(x1 → x7) = 17 si drumul minim [x1, x3, x6, x7].

7. Se obtine lmax(x1 → x7) = 28 si dmax(x1 → x7) = [x1, x4, x3, x5, x6, x7].

127

Page 127: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

8. Se obtine tabelul final:

i j lij ti tj sj mij Mij

1 2 2 0 2 2 0 02 3 9 2 16 16 5 52 4 5 2 7 7 0 02 6 3 2 5 12 0 73 7 4 16 20 20 0 04 5 7 7 14 14 0 05 3 2 14 16 16 0 05 8 5 14 30 30 11 116 7 8 5 20 20 7 77 8 10 20 30 30 0 07 9 9 20 29 35 0 57 10 9 20 29 34 0 58 11 8 30 38 38 0 09 13 10 29 45 45 6 610 12 5 29 38 39 4 511 13 7 38 45 45 0 012 13 6 38 45 45 1 113 14 3 45 48 48 0 0

9. Se vor marca ın ordine x3, x4, x5, x2, x1 si astfel se deduce ca avem un graf fara circuite.

10. matricea booleana asociata este:⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0 1 1 0 1 00 0 0 0 1 01 0 0 1 0 00 1 0 0 1 10 0 1 0 0 10 0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

128

Page 128: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Bibliografia aferenta capitolului:[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate ın economie - Volumul I,

Editura ULB, Sibiu, 2001.[2] Blaga, P., Muresan, A., Matematici aplicate ın economie, vol.I, II, Transilvania Press,

Cluj–Napoca, 1996.[3] Ionescu, T., Grafuri. Aplicatii, vol.I, vol.II, Editura Didactica si Pedagogica, Bu-

curesti, 1973, 1974.[4] Izvercian, P.N.,Cretu, V., Izvercian, M., Resiga, R., Introducere ın teoria grafurilor.

Metoda drumului critic, Editura de Vest, Timisoara, 1994.[5] Popescu, O., Raischi, C., Matematici aplicate ın economie, vol.I, II, Editura Didactica si

Pedagogica, Bucuresti, 1993.[6] Rosu, A., Teoria grafurilor, algoritmi, aplicatii, Editura Militara, Bucuresti, 1974.[7] Tamas, V. (coord.), Branzei, D., Smadici, C., Moicovici, T., Modele matematice ın

economie, Editura Graphix, Iasi, 1995.[8] Vaduva, I., Dinescu, C., Savulescu, B., Metode matematice de organizare si condu-

cerea productiei, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1974.

129

Page 129: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Capitolul 7

Probleme de transport

Obiective: In acest capitol se doreste familiarizarea studentilor cu problemele detransport, probleme cu o imporatnta deosebita ın optimizarea a numeroase procese eco-nomice. O problema de transport consta ın aflarea unui plan de transport a unui produs, dela anumite centre producatoare (depozite), ın scopul satisfacerii cerintelor unor consuma-tori si minimizarii cheltuielilor de transport.

Problemele de tip transport se ıntalnesc ın multe procese economice, ca de exem-plu: transporturi de bunuri; proiectarea de canale de energie (informatii, electricitate), decanale ın agricultura; proiectarea de depozite ın acelasi spatiu productiv; repartitia optimaa sarcinilor de productie pe masini, sectii, ıntreprinderi, optimizarea unor probleme deproductie si stocaj etc.

Rezumat: Modelul matematic al problemelor de transport se ıncadreaza ın mo-delul problemelor de programare liniara. Avand ın vedere numarul mare de variabile, re-zolvarea unei probleme de transport prin algoritmul simplex este ın general putin eficienta.De aceea, pentru rezolvarea problemelor de tip transport se folosesc tehnici speciale. Acestcapitol este dedicat prezentarii, sub o forma simpla, a acestor tehnici.

Continutul capitolului:1. Modelul matematic pentru o problema de transport2. Determinarea unei solutii initiale3. Ameliorarea (ımbunatatirea) unei solutii4. Aflarea unei solutii optime5. Degenerarea ın problemele de transport6. Probleme de transport cu capacitati limitate7. Test de verificare a cunostintelor8. Bibliografia aferenta capitolului

Cuvinte cheie: probleme de transport, solutie initiala a unei probleme de trasport,solutie optima a unei probleme de transport, probleme de trasport cu capacitati limitate.

7.1 Modelul matematic pentru o problema de transport

O problema de transport a fost formulata la Capitolul 1, problema 2. Sa o formulamdin nou. Un produs (marfa) se afla ın depozitele D1, D2, . . ., Dm cu capacitatile a1, a2,. . ., am si trebuie transportat(a) la centrele de consum C1, C2, . . ., Cn ın cantitatile b1, b2,. . ., bn. Cunoscand costul transportului pe unitate de produs de la depozitul Di, i = 1,m lacentrul de consum Cj, j = 1, n, notat cu cij, se cere sa se ıntocmeasca un astfel de plan derepartitie a produsului ıncat costul total al transportului sa fie minim.

Daca notam cu xij cantitatea de produs ce se va transporta de la depozitul Di, i = 1,m,la centrul de consum Cj, j = 1, n, atunci modelul matematic pentru probleme de transport

130

Page 130: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

se scrie astfel: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

n∑j=1

xij = ai, i = 1,m

m∑i=1

xij = bi, i = 1, n

xij ≥ 0, i = 1,m, j = 1, n

(min)f =m∑i=1

n∑j=1

cijxij .

(7.1)

Intuitiv, modelul matematic (7.1) al problemei de transport se poate reprezenta prinTabelul 7.1.

Di \ Cj C1 C2 . . . Cn Disponibil

D1c11

x11

c12x12

. . .c1n

x1na1

D2c21

x21

c22x22

. . .c2n

x2na2

......

......

......

Dmcm1

xm1

cm2

xm2. . .

cmnxmn

am

Necesar b1 b2 . . . bn T

Cuplulcij

xijpoarta numele de casuta.

Algoritmul de rezolvare a unui model de transport cere ca acest model sa fie echilibrat,adica sa fie ındeplinita conditia de echilibru

m∑i=1

ai =n∑j=1

bj ,

adica totalul disponibilului sa fie egal cu totalul necesarului. Valoarea comuna T a acestuitotal se trece ın casuta (m+ 1, n+ 1).

In caz contrar, modelul se echilibreaza prin considerarea, fie a unui depozit fictivDm+1, fie a unui centru de consum fictiv Cn+1, care ofera, sau cere, diferenta dintre celedoua sume. Deoarece cantitatile transportate de la un depozit arbitrar, respectiv la acestcentru fictiv, nu exista ın realitate, costurile de transport corespunzatoare le consideramnule.

Se observa ca ıntr-o problema de transport cu m depozite si n centre de consum mode-lul matematic contine m ·n variabile necunoscute si cel mult m+n−1 restrictii independente(nu s-au inclus conditiile de nenegativitate). Numarul variabilelor necunoscute fiind evi-dent mai mare ca cel al restrictiilor, rezulta ca valorile variabilelor ce verifica sistemul derestrictii nu sunt unic determinate.

O solutie realizabila a problemei, care contine cel mult (m+ n− 1) componente strictpozitive, se numeste solutie de baza. Solutia de baza cu exact (m+ n− 1) componente poz-itive se numeste solutie de baza nedegenerata, iar ın caz contrar, degenerata.

Se constata ca modelul matematic reprezinta o problema de programare liniara de oforma speciala. Cu toate ca ın restrictii coeficientii necunoscutelor sunt 0 sau 1, rezolvareaprin metoda simplex cere un volum de calcule foarte mare. De aceea, se prefera pentrurezolvarea unei probleme de transport o cale cu tehnica specifica.

In general, pentru rezolvarea unei probleme de transport se parcurg etapele:

a) Determinarea (aflarea) unei solutii initiale (de baza, nedegerata);

b) Ameliorarea (ımbunatatirea) unei solutii;

c) Aflarea (determinarea) solutiei optime.

131

Page 131: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

7.2 Determinarea unei solutii initiale

Pentru aflarea unei solutii initiale ıntr-o problema de transport se cunosc mai multemetode. In cele ce urmeaza vom prezenta trei metode.

7.2.1 Metoda coltului Nord–Vest

Aceasta metoda consta ın a atribui, pe rand, valori variabilelor necunoscute ıncepandcu cea din coltul Nord–Vest al tabelului. Astfel, mai ıntai luam x11 = min(a1, b1). Dacamin(a1, b1) = a1, atunci x12 = . . . = x1n = 0, iar daca min(a1, b1) = b1, atunci x21 = x31 = . . . =xm1 = 0. Metoda continua apoi cu x21 = min(a2, b1 − a1) ın prima situatie, respectiv cux12 = min(a1 − b1, b2) ın cealalta situatie. Procesul se repeta pana cand este repartizata siultima cantitate disponibila.Exemplul 7.2.1. Se considera trei furnizori D1, D2 si D3 care au disponibile corespunzatorcantitatile de un anumit produs a1 = 50, a2 = 30 si a3 = 40. Acestea sunt solicitate de patruconsumatori C1, C2, C3 si C4 ın cantitatile b1 = 45, b2 = 15, b3 = 25 si b4 = 35. Cunoscandcosturile unitare de transport 3, 2, 1, 1; 2, 3, 2, 1 si 4, 2, 3, 2 unitati monetare de la D1, D2 si D3,sa se scrie modelul matematic al problemei de transport, cand se urmareste minimizareacostului total.

Utilizand metoda coltului Nord–Vest sa se gaseasca o solutie initiala.Daca notam cu xij cantitatea de produs ce se va transporta de la furnizorul Di, i = 1, 2, 3

la beneficiarul Cj, j = 1, 2, 3, 4, atunci obtinem urmatorul model matematic:

x11 +x12 +x13 +x14 = 50x21 +x22 +x23 +x24 = 30x31 +x32 +x33 +x34 = 40x11 +x21 +x31 = 45x12 +x22 +x32 = 15x13 +x23 +x33 = 25x14 +x24 +x34 = 35

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4.

(min)f = 3x11 + 2x12 + x13 + x14 + 2x21 + 3x22+

+2x23 + x24 + 4x31 + 2x32 + 3x33 + 2x34

Sub forma tabelara modelul matematic este

Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil

D13

x11

2x12

1x13

1x14

50

D22

x21

3x22

2x23

1x24

30

D34

x31

2x32

3x33

2x34

40

Necesar 45 15 25 35 120

Pentru aflarea solutiei initiale cu metoda coltului Nord–Vest procedam astfel: alegemx11 = min(45, 50) = 45; atunci x21 = x31 = 0; apoi x12 = min(15, 5) = 5 si x13 = x14 = 0; ıncontinuare x22 = min(10, 30) = 10 si x32 = 0; mai departe x23 = min(20, 25) = 20 si x24 = 0 si ınfinal x33 = 5 si x34 = 35.

De obicei, se determina solutia initiala ın tabel, micsorandu-se de fiecare data disponi-

132

Page 132: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

bilul si necesarul respectiv si scriind alaturat cel ramas. Astfel avem

Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil

D13

452

51

01

050; 5; 0

D22

03

102

201

030; 20; 0

D34

02

03

52

3540; 35; 0

Necesar 450

15100

2550

350

120

Tabelul 7.2.1.

Valoarea functiei cost total pentru solutia initiala gasita este

f = 3 · 45 + 2 · 5 + 3 · 10 + 2 · 20 + 3 · 5 + 2 · 35 = 300

Aceasta metoda este foarte simpla dar putin eficienta deoarece nu tine cont de valorilecosturilor cij.

7.2.2 Metoda elementului minim

Metoda consta ın a atribui, pe rand, valori variabilelor necunoscute, ıncepand cu aceeala care costul unitar cij este minim.

Apoi din cele ramase se lucreaza tot cu aceea care corespunde costului minim. Dacasunt mai multe costuri minime egale, atunci se va considera mai ıntai acea variabila carepoate lua valoarea mai mare. Valoarea variabilei se va afla ca si la metoda Nord–Vest,considerand minimul dintre disponibil si necesar.Exemplul 7.2.2. Utilizand metoda elementului minim sa aflam o solutie initiala pentruproblema de transport de la Exemplul 7.2.1.

Deoarece c13 = c14 = c24 = 1 este costul minim, mai ıntai vor determina valoareavariabilei x14 ıntrucat vom obtine valoarea maxima (x13 = 25; x14 = 35; x24 = 30). Asadar,luam x14 = 35, ceea ce implica c24 = 0, x34 = 0. Apoi alegem x13 = 15 deoarece c13 = 1 estecostul minim din cele ramase. Avem x11 = x12 = 0. Considerand costurile egale cu 2 alegemx21 = 30 si x22 = x23 = 0. Acum luam x32 = 15, x33 = 10 si x31 = 15.

Ilustrarea intuitiva prin tabel este data ın Tabelul 7.2.2.Valoarea lui f pentru aceasta solutie este

f = 1 · 15 + 1 · 35 + 2 · 30 + 4 · 15 + 2 · 15 + 3 · 10 =

= 50 + 60 + 60 + 60 = 230.

Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil

D13

02

01

151

3550; 15; 0

D22

303

02

01

030; 0

D34

152

153

102

040; 0

Necesar 45150

150

25100

350

120

Tabelul 7.2.2.

133

Page 133: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

7.2.3 Metoda diferentelor maxime

Valorile variabilelor se atribuie ca si ın cazul metodelor precedente, dar ordinea deatribuire se face dupa o alta regula. Pentru stabilirea ordinii de urmat se calculeaza, pentrufiecare linie, respectiv pentru fiecare coloana, diferenta dintre cele mai mici doua elemente(costuri). Apoi pe linia sau coloana cu diferenta maxima se determina variabilele din casutacu cost minim. Apoi procedeul se repeta. La diferente maxime egale se considera mai ıntaicostul minim.

La lucrul cu tabel diferentele pe linii se trec ın stanga tabelului, iar cele pe coloanedeasupra tabelului.Exemplul 7.2.3. Sa se afle o solutie initiala cu metoda diferentelor maxime pentru problemade transport din Exemplul 7.2.1.

Calculam diferentele pe linii si coloane. Avem urmatorul tabel cu diferente

3 2 1 1 12 3 2 1 14 2 3 2 11 1 1 1

calculate astfel: 2− 1 = 1 pentru linia ıntai, 2− 1 = 1 pe linia a doua, 3− 2 = 1 pentru linia atreia, 3−2 = 1 pentru coloana ıntai, 3−2 = 1 pentru coloana a doua, 2−1 = 1 pentru coloanaa treia si 2 − 1 = 1 pentru coloana a patra.

Se observa ca avem toate diferentele egale cu 1. Alegem x14 = 35 deoarece da cea maimare repartizare pentru preturile minime. Atunci x24 = x35 = 0.

Recalculam diferentele pe liniile si coloanele ramase, obtinem tabelul

3 2 1 12 3 2 14 2 3 11 1 1

Toate diferentele sunt egale. Tinand seama de costul minim alegem x13 = 15 si x11 =x12 = 0.

Pentru liniile si coloanele necompletate recalculam diferentele si obtinem tabelul

2 3 2 14 2 3 12 1 1

Diferenta maxima este 2 si corespunde coloanei ıntai. Alegem x21 = 30 si x22 = x23 = 0.Acum, pe linia a treia luam x31 = 15, x32 = 15 si x33 = 10.Sub forma de tabel calculele arata astfel:

Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil

D13

02

01

151

3550; 15; 0

D22

303

02

01

030; 0

D34

152

153

102

040

Necesar 4515

15 2510

350

120

Valoarea lui f pe aceasta solutie initiala este

f = 1 · 15 + 1 · 35 + 2 · 30 + 4 · 15 + 2 · 15 + 3 · 10 = 230

Se observa ca s-a obtinut aceeasi solutie initiala ca si la utilizarea metodei elementuluiminim.

134

Page 134: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Observatia 7.2.1 Toate cele trei solutii initiale gasite pentru problema de transport din Ex-emplul 7.2.1. sunt solutii de baza nedegenerate, avand 4 + 3 − 1 = 6 componente pozitive.

7.3 Ameliorarea (ımbunatatirea) unei solutii

Pentru a elabora un mod de ameliorare a unei solutii corespunzatoare unei problemede transport, adica de a trece de la o solutie de baza la una mai buna, vom recurge laproblema duala.

Problema de transport are modelul matematic dat de (7.1), §7.1. Pentru a scrie dualatrebuie sa introducem variabilele duale u1, u2, . . . , um, corespunzatoare primelor m restrictii,si v1, v2, . . . , vn corespunzatoare urmatoarelor n restrictii. Obtinem⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

u1 + v1 ≤ c11, u1 + v2 ≤ c12, . . . , u1 + vn ≤ c1n,u2 + v1 ≤ c21, u2 + v2 ≤ c22 . . . , u2 + vn ≤ c2n,. . . . . . . . . . . .um + v1 ≤ cm1, um + v2 ≤ cm2 . . . , um + vn ≤ cmn,ui, i = 1,m, vj , j = 1, n, arbitrare

(7.2)

(max)g = a1u1 + a2u2 + . . .+ amum + b1v1 + b2v2 + . . .+ bnvn.

Teoremele de dualitate (v. Teoremele 5.6.1 si 5.6.2) ne asigura ca o solutie X(0) =(x(0)ij ) i=1,m

j=1,n

este optima daca variabilele duale verifica restrictiile

ui + vj = cij , daca x(0)ij �= 0 (x(0)

ij este necunoscuta principala)(7.3)

ui + vj ≤ cij , daca x(0)ij = 0 (x(0)

ij este necunoscuta secundara)(7.4)

numite conditii de optimalitate pentru solutia unei probleme de transport.Fie X = (xij) i=1,m

j=1,n

o solutie initiala a problemei de transport.

Casutele din tabelul solutiei cu xij �= 0 le numim casute ocupate, iar cele cu xij = 0 lenumim casute libere.

Relatiile (7.3) formeaza un sistem liniar de m+n−1 ecuatii (corespunzatoare casutelorocupate) cu m + n necunoscute. Se observa ca acest sistem este compatibil nedeterminat.Pentru aflarea unei solutii putem lua o necunoscuta secundara egala cu 0, de obicei vomalege u1 = 0.

Valorile gasite pentru u1, u2, . . . , um si v1, v2, . . . , vn se trec pe marginea tabelului solutieın mod corespunzator (de aceea se mai numesc si valori marginale), iar sumele ui + vj sescriu ın coltul din dreapta sus al casutelor ocupate, alaturi de coeficientii cij, adica structuraunei astfel de casute ocupate arata astfel

cij ui + vjxij

Acum verificam conditiile de optimalitate (7.4) pentru casutele libere. Daca toateconditiile (7.4) sunt ındeplinite, atunci solutia initiala este optima. Daca cel putin oconditie (7.4) nu este verificata, atunci se trece la procesul de ameliorare (ımbunatatire) asolutiei.

Definitia 7.3.1 Numim ciclu corespunzator unei casute libere o succesiune de casute ocu-pate, doua cate doua alaturate pe aceeasi linie, sau respectiv pe aceeasi coloana, cu tre-ceri alternative pe linii si coloane, succesiunea ıncepand imediat dupa casuta libera si ter-minandu-se ın vecinatatea aceleiasi casute libere.

Intr-un ciclu marcam alternativ cu + si − casutele, ıncepand cu casuta libera. Sem-nele se trec ın coltul din stanga jos al casutei.

135

Page 135: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Pentru ımbunatatirea solutiei se determina valoarea minima θ a valorii xij din casutelemarcate cu −. Apoi, valoarea minima θ se aduna la valorile xij din casutele marcate cu +si se scade din valorile xij din casutele marcate cu −.

Ciclul se alege pentru casuta libera corespunzatoare diferentei Δij = cij − (ui + vj) ceamai mare ın valoare absoluta dintre diferentele Δij < 0.Prin acest proces se obtine o noua solutie a problemei de transport, mai buna decat cea dela care am plecat.

Exemplul 7.3.1. Sa consideram problema de transport din Exemplul 7.2.1 cu solutia initialadin Tabelul 7.2.1, obtinuta prin metoda coltului Nord–Vest.

Consideram variabilele marginale u1, u2, u3 si v1, v2, v3, v4. Sistemul (7.3) corespunzatorcasutelor ocupate din Tabelul 7.2.1 este:

u1 + v1 = 3, u1 + v2 = 2, u2 + v2 = 3, u2 + v3 = 2u3 + v3 = 3, u3 + v4 = 2.(7.5)

Alegand u1 = 0, gasim v1 = 3, v2 = 2, u2 = 1, v3 = 1, u3 = 2, v4 = 0.Acum verificam conditiile de optimalitate (7.4) pentru casutele libere. Avem:

u1 + v3 = 1 = c13 ≥ 1; u1 + v4 = 0 ≤ c14 = 1; u2 + v1 = 4 > 2,u2 + v4 = c24 ≤ 1; u3 + v1 = 5 > 4,u3 + v2 = 4 > 2,

de unde observam ca pentru casutele libere (2, 1), (3, 1) si (3, 2) nu sunt verificate conditiilede optimalitate. Prin urmare, solutia initiala din Tabelul 7.2.1 nu este optima.

Calculele de mai sus se pot reprezenta ca ın Tabelul 7.3.1.

vj v1 = 3 v2 = 2 v3 = 1 v4 = 0ui Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil

u1 = 0 D13 3- 45

2 2+ 5

1 10

1 00

50

u2 = 1 D22 4+ 0

3 3- 10

2 220

1 10

30

u3 = 2 D34 5

02 4

03 3

52 2

3540

Necesar 45 15 25 35

Tabelul 7.3.1.

Sistemul (7.5) se poate rezolva direct pe Tabelul 7.3.1, plecand de la u1 + v1 = 3 siu1 = 0.

Acum stabilim casuta libera pentru care consideram ciclul. In acest scop calculamdiferentele Δij pentru casutele libere ın care nu au fost ındeplinite conditiile de optimalitate:

Δ21 = −2, Δ31 = −1 si Δ22 = −2.

Cum max(| − 2|, | − 1|, | − 2|) = 2 este atins pentru doua casute libere (2, 1) si (2, 2), vomalege unul din ciclurile determinate de ele. De exemplu, sa ne fixam pe cel determinat decasuta (2, 1).

Acesta este dat de casutele (2, 1), (1, 1), (1, 2) si (2, 2). Marcam alternativ casuteleciclului cu + si −, ıncepand cu cea libera. Numarul θ este dat de

θ = min{45, 10} = 10.

136

Page 136: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Adunam θ la xij din casutele cu + si scadem acelasi numar la cele marcate cu −.Obtinem noua solutie data de Tabelul 7.3.2.

Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil

D13

352

151

01

050

D22

103

02

201

030

D34

02

03

52

3540

Necesar 45 15 25 25

Tabelul 7.3.2

Valoarea functiei cost total pentru noua solutie (din Tabelul 7.3.2) este

f = 3 · 35 + 2 · 15 + 2 · 10 + 2 · 20 + 3 · 5 + 2 · 35 = 280

7.4 Aflarea unei solutii optime

In paragrafele precedente am vazut cum se afla o solutie initiala si cum poate eafi ameliorata (ımbunatatita). Acum putem prezenta un algoritm pentru aflarea solutieioptime pentru o problema de transport. Acesta poarta numele de algoritmul distributivsau algoritmul potentialelor.

Pasii algoritmului sunt:Pasul 1. Se determina o solutie initiala a problemei de transport;Pasul 2. Se gasesc valorile marginale ui, i = 1,m si vj, j = 1, n, ca solutii ale sistemului deecuatii ui + vj = cij, unde i si j sunt indicii casutelor ocupate;Pasul 3. Se verifica conditiile de optimalitate a solutiei gasite, adica daca au loc inegalitatileui + vj ≤ cij pentru toti indicii (i, j) de casute libere;Pasul 4. Daca solutia nu este optima, adica cel putin o conditie de optimalitate nu esteındeplinita, atunci se calculeaza diferentele Δij = cij− (ui+vj) < 0 corespunzatoare casutelorlibere pentru care conditia de optimalitate nu este verificata. Cea mai mare diferenta Δij ınvaloare absoluta determina casuta libera (i, j) pentru care alegem ciclul folosit ın ameliorareasolutiei.Pasul 5. Se marcheaza alternativ cu + si − casutele ciclului, ıncepand cu casuta libera.Pasul 6. Se determina valoarea minima θ a valorilor xij din casutele ciclului marcate cu −.Pasul 7. Valoarea minima θ se aduna la valorile xij din casutele marcate cu + si se scadedin valorile xij din casutele marcate cu −. Se obtine astfel o noua solutie pentru problemade transport.Pasul 8. Se reiau pasii 2–7 cu noua solutie si se continua repetarea lor pana cand toateconditiile de optimalitate sunt ındeplinite, adica s-a obtinut o solutie optima.Pasul 9. Se scrie solutia optima si se calculeaza valoarea minima a functiei obiectiv (scop).Exemplul 7.4.1. Sa rezolvam problema de transport din Exemplul 7.2.1.

Vom porni de la solutia initiala obtinuta prin metoda elementului minim (vezi Tabelul7.2.2). Vom parcurge calculele algoritmului direct pe tabel.

137

Page 137: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Avem

vj v1 = 2 v2 = 0 v3 = 1 v4 = 1ui Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil

u1 = 0 D13 2

02 0

01+ 15

1- 35

50

u2 = 0 D22

303 0

02 1

01 1

030

u3 = 2 D34

152

153- 10

2 3+ 0

40

Necesar 45 15 25 35

Tabelul 7.4.1.

si ıntrucat u3 + v4 = 3 > 2 = c34, deducem ca solutia nu este optima. Avem o singura casutalibera cu Δij < 0 si anume casuta (3, 4). Formam ciclul determinat de ea prin casutele (3, 4),(3, 3), (1, 3) si (1, 4). Marcam alternativ cu + si − casutele ciclului. Valoarea minima θ estedata de θ = min{10, 35} = 10. Se obtine astfel o noua solutie reprezentata ın Tabelul 7.4.2

vj v1 = 3 v2 = 1 v3 = 1 v4 = 1ui Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil

u1 = 0 D13 3+ 0

2 10

125

1- 25

50

u2 = −1 D22

303 0

02 0

01 0

030

u3 = 1 D34- 15

215

3 20

2+ 10

40

Necesar 45 15 25 35

Tabelul 7.4.2.

Reluam calculul valorilor marginale si verificarea conditiilor de optimalitate pentrunoua solutie. Lucram pe Tabelul 7.4.2.

Se observa ca solutia obtinuta ın tabelul 7.4.2. este optima deoarece ui + vj ≤ cijpentru toate casutele libere.

Deci, o solutie optima a problemei de transport 7.2.1 este

X1 =

⎛⎝ 0 0 25 2530 0 0 015 15 0 10

⎞⎠iar min f = 1 · 25 + 1 · 25 + 2 · 30 + 4 · 15 + 2 · 15 + 2 · 10 = 220.

Observatia 7.4.1 Este posibil ca solutia optima a uni probleme de transport sa nu fie unica,adica sa aiba solutii multiple. Vom avea solutii multiple atunci cand exista mai multecasute la care ui + vj = cij, adica conditia de optimalitate este ındeplinita cu egalitate.

Celelalte solutii optime, cand exista, se obtin aplicand procedeul ameliorarii solutiilorpentru casutele la care ui + vj = cij. Solutia generala se va scrie ca o combinatie liniaraconvexa a solutiilor optime gasite.

In cazul exemplului nostru, se observa ca ın tabelul 7.4.2 avem casuta (1, 1) pentrucare u1 +v1 = 3 = c11 = 3. Formam ciclul (1, 1), (1, 4), (3, 4) si (3, 3). Marcam cu + si − casuteleciclului.

Valoarea minima θ este data de

θ = min{15, 25} = 15

138

Page 138: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Obtinem o noua solutie optima data prin

X2 =

⎛⎝ 15 0 25 1030 0 0 00 15 0 25

⎞⎠Solutia generala este

X = αX1 + βX2 =

⎛⎝ 15β 0 25α+ 25β 25α+ 10β30α+ 30β 0 0 0

15α 15α+ 15β 0 10α+ 25β

⎞⎠unde α ≥ 0, β ≥ 0, α+ β = 1.

7.5 Degenerarea ın problemele de transport

Am vazut (§7.1) ca solutia unei probleme de transport este degenerata daca are maiputin de m+ n− 1 valori nenule (casute ocupate). Degenerarea ın problemele de transportapare ın urmatoarele situatii: a) cand solutia initiala este degenerata, situatie posibila dacavaloarea disponibilului este egala cu valoarea necesarului, pentru o anumita linie si coloana;b) la ımbunatatirea unei solutii, cand valoarea minima din casutele ciclului marcate cu −este atinsa ın cel putin doua cazuri.

In ambele situatii se obtin mai putine casute ocupate, avand mai putine ecuatii decatm+ n− 1. Rezulta ca variabilele duale (marginale) nu pot fi determinate.

Pentru ınlaturarea acestui inconvenient se foloseste metoda zerourilor esentiale.Acesta consta ın tranformarea unor casute libere ın casute ocupate cu un 0∗, numit zeroesential. Acest 0∗ se pune ın casutele libere cu costuri minime, care nu formeaza cicluri cucasutele deja ocupate. In final, trebuie ca numarul total al casutelor ocupate sa fie m+n−1.

In situatia b) zerourile esentiale se ınscriu ın casute care se elibereaza si ın care cos-turile sunt mai mici.Exemplul 7.5.1. Trei ıntreprinderi I1, I2 si I3 produc patru tipuri de produse P1, P2, P3 siP4 cu cheltuielile unitare de productie diferite. Cheltuielile pentru producerea unei unitatidin fiecare tip de produs, de catre fiecare ıntreprindere, sunt date ın tabelul 7.5.1.

Ii \ Pi P1 P2 P3 P4

I1 4 3 2 3I2 2 4 5 2I3 2 4 4 5

Tabelul 7.5.1.

Cele trei ıntreprinderi au capacitati egale de productie, fiecare putand produce celmult 40 de unitati din cele patru produse luate la un loc. Cantitatile necesare din celepatru produse sunt egale cu 40, 30, 50 si 40 unitati.

i) Sa se determine un plan de productie comun pentru cele trei ıntreprinderi astfel ıncatsa se asigurea ıntr-o masura cat mai mare cantitatile necesare din cele patru produse,cu cheltuieli totale de productie minime.

ii) Sa se interpreteze din punct de vedere economic solutia optima obtinuta.

iii) Este unica solutia optima?

i) Se observa ca avem o problema de transport deoarece putem considera cele patrutipuri de produse ca patru centre consumatoare, iar cele trei ıntreprinderi ca trei centre de

139

Page 139: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

depozitare. Obtinem astfel problema de transport din Tabelul 7.5.2.

Ii \ Pj P1 P2 P3 P4 Disponibil

I14 3 2 3

40

I22 4 5 2

40

I32 4 4 5

40

Necesar 40 30 50 40120

160

Tabelul 7.5.2

Deoarece modelul este neechilibrat, totalul de necesar este mai mare decat totalul dedisponibil, vom introduce un centru fictiv de productie I4, care sa ”produca” diferenta de40 unitati. Pentru acest centru fictiv costurile unitare sunt nule. Modelul problemei derezolvat ia forma din Tabelul 7.5.3.

Ii \ Pj P1 P2 P3 P4 Disponibil

I14 3 2 3

40

I22 4 5 2

40

I32 4 4 5

40

I40 0 0 0

40

Necesar 40 30 50 40 160

Tabelul 7.5.3.

Aplicam metoda elementului minim si gasim solutia initiala din Tabelul 7.5.4.

vj v1 = 0 v2 = 2 v3 = 2 v4 = 0ui Ii \ Pj P1 P2 P3 P4 Disponibil

u1 = 0 I14 0

03 2

02

403 0

040; 0

u2 = 2 I22

0∗4 2

05 4

02

4040

u3 = 2 I32+ 0∗

4- 30

410

5 20

40

u4 = 0 I40- 40

0 2+ 0

0 20

0 00

40; 0

Necesar 40 30 50 40 160

Tabelul 7.5.4.

Solutia determinata este degenerata. Introducem 0∗ (esential) la casutele (2, 1) si (3, 1).Determinam valorile duale (marginale) trecute pe marginea Tabelului 7.5.4. Formam ciclul(4, 2), (4, 1), (3, 1) si (3, 2) care se marcheaza cu + si − ca ın Tabelul 7.5.4.

140

Page 140: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Cu θ = min{30, 40} = 30, obtinem solutia ımbunatatita din Tabelul 7.5.5.

vj v1 = 0 v2 = 2 v3 = 2 v4 = 0ui Ii \ Pj P1 P2 P3 P4 Disponibil

u1 = 0 I14 0

03 0

02

403 0

040

u2 = 2 I22

0∗4 2

05 4

02

4040

u3 = 2 I32+ 30

4 20

4- 10

5 20

40

u4 = 0 I40- 10

030

0 2+ 0

0 00

40

Necesar 40 30 50 40

Tabelul 7.5.5.

Pentru solutia din Tabelul 7.5.5 determinam valorile marginale. Consideram ciclul(4, 3), (4, 1), (3, 1) si (3, 3), marcat cu + si − ca ın Tabelul 7.5.5. Cu θ = min{10, 10} = 10, gasimsolutia din Tabelul 7.5.6.

vj v1 = 2 v2 = 2 v3 = 2 v4 = 2ui Ii \ Pj P1 P2 P3 P4 Disponibil

u1 = 0 I14 0

03 2

02

403 0

040

u2 = 0 I22

0∗4 2

05 2

02

4040

u3 = 0 I32

404 2

04 2

05 2

040

u4 = −2 I40 0

00

300

100 0

040

Necesar 40 30 50 40

Tabelul 7.5.6.

Reluand procesul de ameliorare a unei solutii pentru cea din Tabelul 7.5.6. se constataca sunt ındeplinite toate conditiile de optimizare. Prin urmare, solutia gasita

X =

⎛⎝ 0 0 40 00 0 0 4040 0 0 0

⎞⎠este optima, iar min f = 2 · 40 + 2 · 40 + 2 · 40 = 240.

ii) Solutia optima gasita ne arata ca fiecare ıntreprindere trebuie sa produca numaiun tip de produs: ıntreprinderea I1 sa produca P3, ıntreprinderea I2 sa produca P4, iarıntreprinderea I3 sa produca P1. Cele trei ıntreprinderi ısi folosesc la maxim capacitatile deproductie. Cu toate acestea, necesarul de produs P2 nu este satisfacut complet (mai trebuie30 de unitati), precum si 10 unitati din produsul P3. Cheltuielile minime de productie totalesunt egale cu 240 unitati monetare.

iii) In Tabelul 7.5.6 pentru casutele (4, 1) si (4, 4) avem u1 + v1 = 0 = c41 si respectivu4 + v4 = 0 = c44. Deoarece nu avem cicluri plecand de la aceste casute libere, rezulta ca numai obtinem o noua solutie optima. Rezulta ca problema are o singura solutie optima, ceagasita mai sus.

7.6 Probleme de transport cu capacitati limitate

Sunt situatii ın care ıntr-o problema de transport pe unele rute avem capacitati limi-tate. Notam cu dij capacitatea maxima ce poate fi transportata pe ruta ce leaga depozitul

141

Page 141: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Di de centrul de consum Cj.Daca pastram notatiile din §7.1., atunci modelul matematic al acestei probleme, nu-

mita problema de transport cu capacitati limitate, este⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

n∑j=1

xij = ai, i = 1,m

m∑i=1

xij = bj , j = 1, n

0 ≤ xij ≤ dij , i = 1,m, j = 1, n

(min)f =m∑i=1

n∑j=1

cijxij

sau sub forma de tabel

Di \ Cj C1 C2 . . . Cn Disponibil

D1c11d11 x11

c12d12 x12

. . .c1nd1n x1n

a1

D2c21d21 x21

c22d22 x22

. . .c2nd2n x2n

a2

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dncm1

dm1 xm1

cm2

dm2 xm2. . .

cmndmn xmn

am

Necesar b1 b2 . . . bn

m∑i=1

ai

n∑i=1

bi

Tabelul 7.6.1.

Observatia 7.6.1 Din conditiile de limitare a capacitatilor rezulta ca este necesar ca pefiecare linie, respectiv coloana, sa fie verificate inegalitatile:

n∑j=1

dij ≥ ai, i = 1,m

respectivm∑i=1

dij ≥ bj , j = 1, n

Metoda de rezolvare a unei probleme de transport cu capacitati limitate este aproapeidentica cu cea a unei probleme de transport fara limite de capacitate.

La determinarea unei solutii initiale valoarea variabilei din casuta ce se ocupa seafla acum ca minimul dintre disponibilul necesar si capacitatea corespunzatoare varabileirespective. Cand acest minim este egal cu capacitatea respectiva, valoarea se va sublinia,ceea ce ınseamna ca pe linia, respectiv coloana casutei restul variabilelor nu se vor luaautomat egale cu zero. Aceasta ınseamna ca, ın general, vor fi ocupate mai mult decatm+ n− 1 casute. Se vor considera un numar de m+ n− 1 variabile nebarate.

Trecand la problema duala, se gasesc urmatoarele conditii, de optimalitate pentruprobleme de transport cu capacitati limitate:

1) ui + vj ≤ cij, pentru casutele libere (i, j);

2) ui + vj ≥ cij, pentru casutele (i, j) cu valori subliniate;

142

Page 142: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

unde ui, i = 1,m si vj, j = 1, n sunt variabilele duale ui si vj, date de sistemul

ui + vj = cij

unde (i, j) este indice de casuta ocupata (corespunzatoare la variabila de baza).La determinarea unei solutii initiale, din cauza capacitatilor limitate, sunt situatii ın

care nu se pot repartiza ın casute tot disponibilul si tot necesarul.Pentru a nu ajunge la o astfel de situatie, se recomanda urmatorul procedeu de

ocupare a casutelor: a) pe linia (sau coloana) costului minim se ocupa casutele ın ordinecrescatoare a costurilor; b) se procedeaza analog pe coloana (linia) ultimei casute ocupatedin linia (coloana) de la a); c) se continua ın mod analog, alternativ, pana la epuizareadisponibilului si necesarului.Exemplul 7.6.1. Sa se rezolve problema de transport cu capacitati limitate:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x11 + x12 + x13 + x14 = 150x21 + x22 + x23 + x24 = 250x31 + x32 + x33 + x34 = 210x11 + x21 + x31 = 100x11 + x21 + x32 = 160x11 + x23 + x33 = 190x11 + x24 + x34 = 160xij ≥ 0, i = 1, 2, 3 si j = 1, 2, 3, 4x12 ≤ 80, x23 ≤ 170, x31 ≤ 80, x32 ≤ 120(min)f = 3x11 + 12x12 + 5x13 + 9x14 + 2x21 + 13x22+

+5x23 + 6x24 + x31 + 7x32 + 8x33 + 18x34.

Vom determina o solutie initiala folosind metoda elementului minim. Obtinem astfelTabelul 7.6.2.

v1 = 2 v2 = 13 v3 = 5 v4 = 6 Disponibil

u1 = 03 2

012 1380 0

5150

9 60

150; 0

u2 = 02

2013

405

306

160250; 220; 200; 40; 0

u3 = 31 80

807

120 1208

1018 9

0210; 120; 10

Necesar 100200

160400

190180300

1600

610

Tabelul 7.6.2.

Se observa ca pentru solutia initiala avem 3 + 4 − 1 = 6 variabile de baza (core-spunzatoare la casute ocupate cu valori nesubliniate).

Asadar, putem trece la verificarea optimalitatii. Calculam valorile duale (marginale)si observam ca solutia nu este optima deoarece pentru casuta libera (1, 2) avem u1 + v2 =13 > c12 = 12. Ciclul corespunzator acestei casute este (1, 2), (1, 3), (2, 3) si (2, 2).

Marcam cu + si −. Valoarea minima θ = min{40, 150} = 40 ne permite sa scriem solutiaımbunatatita data ın Tabelul 7.6.3.

v1 = 2 v2 = 12 v3 = 5 v4 = 6 Disponibil

u1 = 03 2

01280 40

5110

9 60

150

u2 = 02

2013 12

05

170 706

160250

u3 = 31 580 80

7 15120 120

810

18 90

210

Necesar 100 160 190 160 610

143

Page 143: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Tabelul 7.6.3.

Se observa ca noua solutie gasita este optimala deoarece pentru toate casutele libereavem ui + vj ≤ cij, iar pentru casutele ocupate cu valori subliniate avem ui + vj ≥ cij. Avem

X =

⎛⎝ 0 40 110 020 0 70 16080 120 10 0

⎞⎠cu

min f = 12 · 40 + 5 · 110 + 2 · 20 + 5 · 70 + 6 · 160 + 1 · 180 + 7 · 120 + 8 · 10 = 3380

Observatia 7.6.2 In procesul de ımbunatatire a unei solutii putem avea situatia ın careui+vj ≤ cij pentru toate casutele libere si sa existe o casuta ocupata (r, s) cu valoare subliniata

pentru care ur + vs < crs. In acest caz se continua procesul de ımbunatatire formand unciclu cu varf negativ ın casuta (r, s) (ocupata cu valoarea subliniata).

144

Page 144: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

7.7 Testul Nr. 6 de verificare a cunostintelor

1. Precizati notiunea de problema de transport.

2. Precizati etapele generale ale rezolvarii unei probleme de transport.

3. a) Precizati metoda coltiului Nord-Vest pentru determinarea unei solutii initiale aunei probleme de transport;

b) Precizati metoda elementului maxim pentru determinarea unei solutii initiale aunei probleme de transport;

c) Prezentati metoda diferentelor maxime pentru determinarea unei solutii initialea unei probleme de transport.

4. a) In ce consta ımbunatatirea unei solutii a unei probleme de transport?

b) precizati algoritmul distributiv (algoritmul potentialelor) pentru determinareasolutiei optime a unei probleme de transport.

5. Se considera doi furnizori F1 si F2, care au cantitatile disponibile a1 = 40 unitati si res-pectiv a2 = 25 unitati. Acestea sunt solicitate de trei beneficiari B1, B2, B3 ın cantitatileb1 = 10 unitati, b2 = 35 unitati si b3 = 20 unitati. Cunoscand costurile unitare de trans-port c11 = 4, c12 = 2, c13 = 1, respectiv c21 = 2, c22 = 1, c23 = 3 unitati monetare, sa sescrie modelul matematic si sa se determine o solutie initiala a problemei de transportconsiderate.

6. Considerand problema de transport prezentata ın enuntul problemei precedente (in-clusiv solutia initiala determinata) sa se gaseasca valorile marginale si sa se verificeconditiile de optimalitate.

7. Considerand probleme de transport prezentate ın enuntul problemei 8, sa se determineo solutie initiala folosind metoda coltului nord-vest, iar apoi sa se utilizeze algoritmuldistributiv pentru ımbunatatirea acesteia si rezolvarea completa a problemei respec-tive.

8. Sa se rezolve problema de transport:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x11 + x12 + x13 = 10x21 + x22 + x23 = 20x31 + x32 + x33 = 30x11 + x21 + x31 = 50x12 + x22 + x32 = 5x13 + x23 + x33 = 5xij ≥ 0 , i = 1, 3 , j = 1, 3f = 4x11 + 3x12 + x13 + 2x21 + 4x22 + 5x23 + x31 + 2x32 + 6x33 → minim

9. Presupunand ca la un moment dat ın timpul rezolvarii unei probleme de transport s-aajuns la tabelul (situatie):

4 410

2 220

1 40

2 30

1 12

3 320

Sa se analizeze situatia data, apoi sa se ıncerce formarea ciclului casutei (1, 3). Sa serezolve situatia de degenerare aparuta.

145

Page 145: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

10. Sa se rezolve problema de transport:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x11 + x12 + x13 = 11x21 + x22 + x23 + x24 = 17x31 + x32 + x33 + x34 = 14x11 + x21 + x31 = 5x12 + x22 + x32 = 15x13 + x23 + x33 = 7x14 + x24 + x34 = 15xij ≥ 0 , i = 1, 3 , j = 1, 4f = 4x11 + 2x12 + 5x13 + x14 + 6x21 + 5x22 + 4x23 + 4x24 + 6x31 + 8x32 + x33 + 5x34 → minim

146

Page 146: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Indicatii si raspunsuri

Testul 6

5. Notand cu xij cantitatea ce se va transporta de la furnizorul Fi (i = 1, 2) la beneficiarulBj (j = 1, 3) se obtine modelul matematic:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x12 + x12 + x13 = 40x21 + x22 + x23 = 25x11 + x21 = 10x12 + x22 = 35x13 + x23 = 20xij ≥ 0 , i = 1, 2 , j = 1, 3f = 4x11 + 2x12 + x13 + 2x21 + x22 + 3x23 → min

Apoi folosind metoda diferentelor maxime obtinem solutia initiala: x11 = 0, x12 = 20,x13 = 20, x21 = 10, x22 = 15, x23 = 0 si f = 95.

6. Se obtine:v1 = 3 v2 = 2 v3 = 1

u1 = 04 3

02 2

201 1

20

u2 = −12 2

101 1

153 0

0

deci toate conditiile de optimizare sunt verificate si astfel solutia X =(

0 20 2010 15 0

)cu f = 95 este optima.

7. Se obtine solutia initiala:

410

230

10

20

15

320

Folosind valorile marginale se deduce ca solutia nu este optima. Aplicand mai departe

algoritmul distributiv se obtine solutia optima X =(

0 20 2010 15 0

)cu fmin = 95.

8. Folosind metoda diferentelor maxime se obtine solutia initiala X =

⎛⎝ 0 5 520 0 030 0 0

⎞⎠. La

aplicarea algoritmului distributiv se ajunge la degenerare si se va introduce un zeroesential. In final se deduce ca solutia initiala va fi optima si se calculeaza lmin = 90.

9. Se rezolva situatia de degenerare prin introducerea unui zero esential ın casuta (1, 2).

10. Folosind metoda diferentelor maxime se obtine solutia initiala X0 =

⎛⎝ 0 0 0 110 15 0 25 0 7 2

⎞⎠cu f = 141. Aceasta va fi optima, dar ın casuta libera (1, 2) avem conditia de optima-litate verificata cu egalitate. Formand ciclul casutei respective si verificand si conditia

de optimalitate se deduce o noua solutie optima: X1 =

⎛⎝ 0 11 0 00 4 0 135 0 7 2

⎞⎠ cu fmin = 141.

Deci avem solutia generala X = α ·X0 + β ·X1 cu α, β ∈ [0, 1] si α+ β = 1.

147

Page 147: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Bibliografia aferenta capitolului:[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate ın economie - Volumul I,

Editura ULB, Sibiu, 2001.

148

Page 148: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Capitolul 8

Siruri

Obiective: Recapitularea si completarea notiunilor despre siruri de numere reale,cunoscute din ınvatamantul preuniversitar, urmate de introducerea si studiul sirurilor ınspatii metrice.

Rezumat: Prezentul capitol ıncepe cu reluarea cunostintelor esentiale despre siruride numere reale. Se continua cu studiul sirurilor pe spatii metrice, cu particularizari ınspatiile Rm, m ≥ 1 si principiul contractiei.

Continutul capitolului:1. Siruri de numere reale2. Siruri ın spatii metrice3. Test de verificare a cunostintelor4. Bibliografia aferenta capitolului

Cuvinte cheie: sir de numere reale, sir monoton, sir marginit, limita, sir fun-damental, dobanda compusa, sir de puncte ıntr-un spatiu metric, spatiu metric complet,contractie, principiul contractiei.

8.1 Siruri de numere reale

Acest paragraf este consacrat recapitularii notiunilor principale despre siruri de nu-mere reale si completarii lor cu cateva notiuni si rezultate necesare ın expunerile ulterioare.

Definitia 8.1.1 Se numeste sir de numere reale sau sir numeric o functie f : Np → R, undeNp = {p, p+ 1, p+ 2, . . .}, p fiind un numar natural.

Scriind f(n) = an, sirul se noteaza prin (an)n≥p sau {an}n≥p. In mod uzual se ia p = 1sau, uneori, p = 0. Pentru comoditate, fara a restrange generalitatea, vom considera sirurile(an)n≥1, scriind simplu (an); an se va numi termenul general al sirului.

Un sir poate fi dat prin termenul general, enumerand termenii sirului sau printr-oformula de recurenta.

Definitia 8.1.2 Un sir de numere reale (an) este marginit superior (majorat) daca multimeatermenilor sai este majorata.

Altfel spus, sirul numeric (an) este majorat daca exista numarul real β asa ıncat an ≤ β,n = 1, 2, 3, . . ..

Definitia 8.1.3 Un sir de numere reale (an) este marginit inferior (minorat) daca multimeatermenilor sai este minorata.

Cu alte cuvinte, sirul numeric (an) este minorat daca exista numarul real asa ıncatα ≤ an, n = 1, 2, 3, . . ..

149

Page 149: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Definitia 8.1.4 Spunem ca sirul numeric (an) este marginit daca simultan este majorat siminorat, adica daca exista numerele reale α si β asa ıncat α ≤ an ≤ β, n = 1, 2, 3, . . ..

Deoarece orice interval [α, β] este inclus ıntr-un interval simetric fata de 0 de forma[−M,M ], cu M > 0, putem afirma ca sirul (an) este marginit daca si numai daca exista unnumar real M > 0 asa ıncat sa avem

|an| ≤M, n = 1, 2, 3, . . . .

Definitia 8.1.5 Sirul numerelor (an) este nemarginit daca nu este marginit, adica daca ınafara oricarui interval marginit exista cel putin un termen al sirului.

Exemple:

8.1.1 Sirul an = 2 + (−1)n este marginit deoarece |an| ≤ 3, (∀)n ∈ N.

8.1.2 Sirul an = 3n nu este marginit superior dar este marginit inferior (an ≥ 1, (∀)n ∈ N).

8.1.3 Sirul an = −3n nu este minorat, dar este majorat (an < 0, (∀)n ∈ N).

8.1.4 Sirul an = (−1)n · 2n nu este nici minorat si nici majorat.

Definitia 8.1.6 Sirul (an) este crescator (strict crescator) daca an ≤ an+1, (respectiv an <an+1) pentru orice n ∈ N∗.

Definitia 8.1.7 Sirul (an) este descrescator (strict descrescator) daca an+1 ≤ an (respectivan+1 < an) pentru orice n ∈ N∗.

Un sir crescator sau descrescator se numeste sir monoton, iar un sir strict crescatorsau strict descrescator se numeste sir strict monoton.

Exemple:

8.1.5 Sirul an =2n− 1n

este strict crescator.

8.1.6 Sirul an =2n+ 1n

este strict descrescator.

8.1.7 Sirul an = 2 + (−1)n nu este monoton.

Definitia 8.1.8 Fie (an) un sir de numere reale, iar (nk) un sir strict crescator de numerenaturale. Sirul yk = ank

, k ∈ N, se numeste subsir al sirului (an).

Definitia 8.1.9 Sirul numeric (an) are limita l ∈ R daca pentru orice numar real ε > 0, existaun numar natural nε astfel ıncat sa avem |an − l| < ε, pentru orice n natural, n > nε.

Daca sirul (an) are limita l se scrie limn→∞ an = l sau an → l pentru n→ ∞ si se mai spune

ca (an) este convergent la l.Geometric, faptul ca (an) converge la l ınseamna ca ın afara intervalului

V (l, ε) = (l − ε, l + ε) (numit vecinatate de centru l si raza ε) se afla un numar finitde termeni, a1, a2, . . . , anε

, iar interiorul lui V (l, ε) se afla o infinitate de termeni ai sirului(fig.8.1.1).

Fig.8.1.1.

150

Page 150: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Rezulta ca orice sir numeric convergent este marginit.

Definitia 8.1.10 Sirul numeric (an) are limita +∞ daca pentru orice numar real pozitiv E,exista nE ∈ N asa ıncat an > E, pentru orrice n natural, n > nE.

Daca sirul (an) are limita +∞ ınseamna ca ın afara intervalului V (∞) = (E,∞) (numitvecinatate a lui +∞) se afla un numar finit de termeni a1, a2, . . . , anE

(fig.8.1.2).

Fig.8.1.2.

Definitia 8.1.11 Sirul numeric (an) are limita −∞ daca pentru orice numar real negativ E,exista nE ∈ N asa ıncat an < E, pentru orice n natural, n > nE.

Daca sirul an are limita −∞ se scrie limn→∞ an = −∞ sau an → −∞ pentru n→ ∞.

Geometric, faptul ca sirul (an) are limita −∞ ınseamna ca ın afara intervaluluiV (−∞) = (−∞, E) (numit vecinatate a lui −∞) se afla un numar finit de termeni ai sirului:a1, a2, . . . , anE

(fig.8.1.3).

Fig.8.1.3.

Daca un sir de numere reale are limita +∞ sau −∞ se mai zice ca are limita infinita.Un sir de numere reale care are limita infinita sau nu are limita se spune ca este divergent.

Propozitia 8.1.1 Daca un sir de numere reale are limita, finita sau infinita, atunci ea esteunica.

Veridicitatea acestei propozitii rezulta prin reducere la absurd si folosind definitialimitei unui sir.

Teorema 8.1.1 Daca (an) si (bn) sunt siruri de numere reale astfel ıncat limn→∞ an = l1,

limn→∞ bn = l2, l1 si l2 finite sau infinite, iar an ≤ bn pentru n natural, n ≥ n0, atunci l1 ≤ l2.

Demonstratie. Vom demonstra numai ın cazul l1 si l2 finite. In celelalte situatii demonstratiaeste analoaga.

Presupunem ca l1 > l2. Putem alege ε > 0 asa ıncat l1 − ε > l2 + ε > l2. Atunciexista n1ε ∈ N asa ıncat daca n > n1ε sa avem |an − l1| < ε adica ε < an − l1 < ε, de undean > l1 − ε > l2 + ε. Din lim

n→∞ bn = l2 rezulta ca exista n2ε sa avem |bn − l2| < ε, de unde

bn < l2 + ε. Acum, deducem ca pentru n > max{n0, n1ε, n2ε} are loc inegalitatea an > bn, ceeace contrazice ipoteza. Asadar, l1 ≤ l2.

Utilizand aceasta teorema, se deduce valabilitatea urmatoarelor criterii de comparatie,utile ın aflarea limitelor de siruri.

Propozitia 8.1.2 (Criteriul majorarii pentru limita finita). Daca pentru sirul de numerereale (an) exista un numar real l si un sir numeric (bn), cu lim

n→∞ bn = 0, astfel ıncat |an−l| ≤ bn,

atunci limn→∞ an = l.

151

Page 151: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Observatia 8.1.1 In practica, cea mai ıntalnita situatie este an = xnyn, cu (xn) sir marginitsi (yn) un sir convergent la zero.

Exemplul 8.1.8. Sirul an =1n

sin1n, n ∈ N∗ are limita 0 deoarece lim

n→∞1n

= 0 si∣∣∣∣sin 1

n

∣∣∣∣ ≤ 1.

Propozitia 8.1.3 (Criteriul minorarii pentru limita +∞). Daca pentru sirul de numere reale(an) exista sirul numeric (bn), cu lim

n→∞ bn = +∞, si numarul natural n0 asa ıncat an ≥ bn,

pentru orice n ≥ n0, atunci limn→∞ an = +∞.

Exemplul 8.1.9. Sirul an = n√

1 + 22 + 33 + . . .+ nn, n ∈ N∗, are limita +∞ deoarece an ≥ n√nn =

n, pentru orice n ∈ N∗, si limn→∞ an = +∞.

Propozitia 8.1.4 (Criteriul majorarii pentru limita −∞). Daca pentru sirul numeric (an)exista sirul de numere reale (bn), cu lim

n→∞ bn = −∞, si numarul natural n0, asa ıncat an ≤ bn,

pentru orice n ≥ n0, atunci limn→∞ an = −∞.

Propozitia 8.1.5 (Criteriul ıncadrarii unui sir ıntre doua siruri care au aceeasi limita saucriteriul clestelui).

Daca pentru sirul numeric (an) exista sirurile (bn) si (cn) de numere reale asa ıncatbn ≤ an ≤ cn pentru n ≥ n0, n0 ∈ N, cu lim

n→∞ bn = limn→∞ cn = l, atunci sirul (an) are limita si

limn→∞ an = l.

Exemplul 8.1.10. Pentru sirul

an =1

3√

8n3 + n+ 1+

13√

8n3 + 2n+ 2+ . . .+

13√

8n3 + n2 + n,

n ∈ N∗, avemn

3√

8n3 + n3 + n< an <

n3√

8n3 + n+ 1, pentru orice n ∈ N∗.

Cumlimn→∞

n3√

8n3 + n2 + n= limn→∞

n3√

8n3 + n+ 1=

12,

deducem calimn→∞ an =

12.

Propozitia 8.1.6 Fie (an) si (bn) siruri de numere reale cu limn→∞ an = l1 si lim

n→∞ bn = l2, l1 si l2

finite sau infinite. Daca l1 + l2 are sens, atunci limn→∞(an + bn) = lim

n→∞ an + limn→∞ bn = l1 + l2.

Demonstratie. Sa consideram cazul l1 si l2 finite. Pentru orice ε > 0 exista numerele naturalen1ε si n2ε asa ıncat

|an − l1| < ε

2, pentru orice n natural n > n1ε

si|bn − l2| < ε

2, pentru orice n natural n > n2ε

Fie nε = max{n1ε, n2ε}. Atunci, pentru orice n natural n > nε, avem, ın conformitatecu cele doua inegalitati:

|(an + bn) − (l1 + l2)| ≤ |an − l1| + |bn − l2| < ε

2+ε

2= ε,

ceea ce ne arata calimn→∞(an + bn) = l1 + l2.

In mod analog se demonstreaza ca: daca l1 = +∞ si l2 finit, atunci l1 + l2 = +∞; dacal1 = +∞ si l2 = +∞, atunci l1 + l2 = +∞, iar daca l1 = −∞ si l2 = −∞, atunci l1 + l2 = −∞.

152

Page 152: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Observatia 8.1.2 Pentru l1 = +∞ si l2 = −∞ operatia l1 + l2 este fara sens (numit si caz deexceptie sau caz de nedeterminare) deoarece ın acest caz nu se poate preciza de la ınceputvaloarea lui l1 + l2, aceasta putand sa fie orice numar real, +∞, −∞ sau sa nu existe, ınfunctie de (an) si (bn).

Observatia 8.1.3 Afirmatiile din Propozitia 8.1.6 raman valabile si pentru un numar finitde termeni independent de n.

Astfel, putem scrie

limn→∞

(1n

+2n

+ · · · + k

n

)= 0 (k independent de n)

dar nu putem scrie

limn→∞

(1n

+2n

+ . . .+n

n

)= 0 + . . .+ 0︸ ︷︷ ︸

∞·0= 0

Corect, avem

limn→∞

(1n

+2n

+ . . .+n

n

)= limn→∞

1 + 2 + . . .+ n

n=

= limn→∞

n(n+ 1)2n

= limn→∞

n+ 12

= ∞.

Propozitia 8.1.7 Fie (an) si (bn) doua siruri de numere reale cu limn→∞ an = l1 si lim

n→∞ bn = l2.

Daca l1 · l2 are sens, atunci limn→∞(anbn) = lim

n→∞ an · limn→∞ bn = l1 · l2.

Demonstratie. Sa consideram l1 si l2 finite. Daca l2 = 0, atunci tinand seama ca an estemarginit, pe baza Observatiei 8.1.1, gasim lim

n→∞ anbn = 0.

Sa presupunem ca l2 �= 0. Cum (an) este convergent, pe de o parte este marginit, adicaexista M > 0 asa ıncat |an| < M , pentru orice n ∈ N∗, iar pe de alta parte, pentru orice ε > 0exista n1ε ∈ N asa ıncat

|an − l1| < ε

2|l2| , pentru orice n > n1ε

Din limn→∞ bn = l2 rezulta ca pentru orice ε > 0 exista n2ε ∈ N asa ca

|bn − l2| < ε

2M, pentru orice n > n2ε.

Considerand nε = max{n1ε, n2ε}, avem

|anbn − l1l2| = |anbn − anl2 + anl2 − l1l2| = |an(bn − l2) + l2(an − l1)| ≤

≤ |an| |bn − l2| + |l2| |an − l1| < M · ε

2M+ |l2| ε

2|l2| = ε,

pentru orice n > nε, adica limn→∞(anbn) = l1l2.

Analog se arata ca: daca l1 finit si l2 = +∞, atunci l1 · l2 = +∞, daca l1 > 0 si l1l2 = −∞,daca l1 < 0, daca l1 finit si l2 = −∞, atunci l1l2 = −∞, daca l1 > 0 si l1l2 = +∞, daca l1 < 0;daca l1 = +∞ si l2 = −∞, atunci l1l2 = −∞, daca l1 = +∞ si l2 = +∞, atunci l1l2 = +∞ iardaca l1 = −∞ si l2 = −∞, atunci l1l2 = +∞.

Observatia 8.1.4 Pentru l1 = 0 si l2 = ±∞, operatia l1l2 este fara sens.

Observatia 8.1.5 Cele afirmate la Observatia 8.1.3 raman valabile si la produsul de siruri.

Propozitia 8.1.8 Fie (an) un sir de numere reale cu limn→∞ an = l.

153

Page 153: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

i) Daca l ∈ R∗, atunci limn→∞

1an

=1l;

ii) Daca l = +∞ sau l = −∞, atunci limn→∞

1an

= 0;

iii) Daca l = 0 si an > 0 pentru toti n ≥ n0, atunci limn→∞

1an

= +∞, iar daca an < 0 pentru

toti n ≥ n0, atunci limn→∞

1an

= −∞.

Demonstratie. i) Cum l �= 0 rezulta ca 1/an este definit cu exceptia eventual, a unui numarfinit de termeni.

Cum | |an| − |l| | ≤ |an − l|, Deducem ca limn→∞ |an| = |l|. Acum exista n1 ∈ N asa ıncat

| |an| − |l| | < |l|2

, de unde |an| > |l|2

, pentru orice n ≥ n1.Pentru orice ε > 0 exista n2/ε ∈ N asa ca

|an − l| < |l|22ε, pentru orice n > n2ε.

Fie nε = max{n1, n2ε}; atunci∣∣∣∣ 1an

− 1l

∣∣∣∣ =|an − l||an| |l| <

|l|2ε2

· 1|l| ·

2|l| = ε,

pentru orice n > nε. Prin urmare, limn→∞

1an

=1l.

In mod analog se demonstreaza punctele ii) si iii) din enuntul Propozitiei 8.1.8.

Observatia 8.1.6 Folosind Propozitiile 8.1.7 si 8.1.8, acum, putem preciza limita catului adoua siruri. Daca lim

n→∞ an = l1, limn→∞ bn = l2 si l1/l2 are sens (cazuri de exceptie sunt 0/0 si

±∞/±∞), atunci limn→∞ an/bn = l1/l2.

Propozitia 8.1.9 Fie (an) si (bn) doua siruri de numere reale, an > 0, pentru orice n ∈ N∗,limn→∞ an = a si lim

n→∞ bn = b.

i) Daca a ∈ (0,∞) si b ∈ R, atunci limn→∞ a

bnn = ab;

ii) Daca a = 0 si b ∈ R − {0}, atunci

limn→∞ a

bnn =

{0 , pentru b > 0

+∞ , pentru b < 0;

iii) Daca a ∈ (0,+∞) si b = +∞, atunci

limn→∞ a

bnn =

{ ∞ , pentru a > 10 , pentru a ∈ (0, 1);

iv) Daca a ∈ (0,+∞) si b = −∞, atunci

limn→∞ a

bnn =

{0 , pentru a > 1∞ , pentru a ∈ (0, 1);

v) Daca a = +∞ si b ∈ (0,∞), atunci

limn→∞ a

bnn =

{+∞ , pentru b > 00 , pentru b < 0.

154

Page 154: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

In cazul ridicarii la putere avem cazurile de exceptii, situatiile 00, ∞0 si 1∞.Pentru demonstratie acestei propozitii se poate consulta cartea [4].

Propozitia 8.1.10 Sunt adevarate afirmatiile:

i) Orice sir de numere reale monoton si marginit este convergent;

ii) Orice sir numeric crescator si nemarginit are limita +∞;

iii) Orice sir numeric descrescator si nemarginit are limita −∞.

Demonstratie.

i) Fie (an) un sir crescator si marginit. Punem α = sup{an | n ∈ N∗}. Avem an ≤ α, pentruorice n ∈ N∗. Deoarece α este majorant, pentru orice ε > 0, exista nε ∈ N∗ asa ıncatα − ε < anε

≤ α. Cum sirul (an) este crescator, pentru orice n ∈ N, n ≥ nε va rezultaan ≥ anε

. Deci, α− ε < anε≤ an ≤ α, de unde |an −α| < ε pentru n > nε, ceea ce ne arata

ca limn→∞ an = α.

ii) Fie (an) un sir numeric monoton crescator si nemarginit. Atunci multimea termenilorsirului este marginita inferior de a1, dar nu este majorata. Rezulta ca, pentru oriceE > 0, exista un nE ∈ N asa ıncat anE

> E. Acum, pentru n ∈ N, n > nε, putem scriean ≥ anε

> E, ceea ce ne arata ca limn→∞ an = +∞.

iii) Se demonstreaza la fel ca ii).

Observatia 8.1.7 Propozitia 8.1.10 se poate enunta scurt: orice sir monoton de numerereale are o limita ın R = R ∪ {−∞,+∞}.

Exemplul 8.1.11. Fie sirul en = (1 + 1/n)n, n ∈ N∗. Sa aratam ca (en) este convergent.Sa pornim de la identitatea

bk − ak = (b− a)(bk−1 + bk−2a+ · · · + bak−2 + ak−1),(8.1)

care este valabila pentru orice a, b ∈ R si orice k natural. Din (8.1), pentru 0 < a < b, obtineminegalitatea

bk < ak + k(b− a)bk−1.(8.2)

Luand ın (8.2) a = 1 + 1/(n+ 1), b = 1 + 1/n si k = n+ 1, gasim(1 +

1n

)en = bn+1 < an+1 +

n+ 1n(n+ 1)

bn = en+1 +1nen,

de unde rezulta en < en+1, ceea ce ne arata ca sirul (en) este strict crescator. Sa aratam casirul (en) este marginit superior. Luam ın (8.2) a = 1, b = 1 + 1/(2n) si k = n si obtinem(

1 +12n

)n< 1 + n · 1

2n

(1 +

12n

)n−1

< 1 +12

(1 +

12n

)n,

de unde gasim (1 +

12n

)n< 2,

care conduce la e2n < 4. Deoarece (en) este un sir strict crescator, urmeaza ca en < 4 pentruorice n ∈ N∗. Din punctul i) al Propozitiei 8.1.10 deducem ca sirul (en) este convergent.Limita sirului (en) se noteaza cu e, care este un numar des ıntalnit ın matematica si stiinta.valoarea lui este 2, 71828 . . ..

155

Page 155: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Propozitia 8.1.11 (Lema lui Cesaro). Orice sir marginit de numere reale contine cel putinun subsir convergent.

Demonstratie. Fie (an) un sir marginit de numere reale. Consideram submultimileAk = {ak, ak+1, . . .}, k ∈ N∗ si notam cu bk marginile lor superioare (acestea exista deoarecemultimea A1 = {a1, a2, . . .} este marginita). Din Ak ⊃ Ak+1, rezulta bk ≥ bk+1 k ∈ N∗, si decisirul (bn) este descrescator. Cum Ak ⊂ A1, pentru orice k ∈ N∗ si A1 marginita rezulta casirul (bk) este marginit inferior. Rezulta ca sirul (bk) este convergent.

Daca pentru orice k ∈ N∗ avem bk ∈ Ak, atunci putem lua bk = ankcu nk ≥ k. Din nk ≥ k

obtinem limn→∞nk = ∞, ceea ce ne arata ca putem extrage un subsir (nk) strict crescator de

numere naturale, iar subsirul (ank) va fi un subsir al sirului (an), care are limita.

Acum, sa presupunem ca exista un indice i ∈ N asa ıncat bi �∈ Ai. Din faptul ca bieste marginea superioara a multimii Ai, deducem ca pentru orice n ∈ N∗ exista kn asa ıncat

bi − 1n< ai+kn

≤ bi, adica putem scrie |ai+kn− bi| < 1

n. De aici, pe baza criteriului majorarii

pentru limita finita, obtinem limn→∞ ai+kn

= bi. Sa aratam ca sirul (kn) de numere naturale

este nemarginit. Intr-adevar, daca ar exista un n0 astfel ca kn = kn0 , pentru toti n ≥ n0,

atunci am avea |ai+kn0 −bi| ≤1n

pentru toti n > n0, ceea ce ar ınsemna ca ai+kn0= bi si bi ∈ Ai,

ceea ce ar constitui o contradictie. Prin urmare, subsirul (ai+kn) este un subsir convergent

pentru sirul (an).

Definitia 8.1.12 Un sir (an) de numere reale se numeste sir fundamental sau sir Cauchydaca pentru orice ε > 0, exista un numar natural nε, astfel ıncat pentru orice n,m ∈ N∗,n > nε, m > nε sa avem |am − an| < ε.

Daca n = m, atunci conditia din definitia precedenta este evident satisfacuta. Deaceea, putem considera, fara a restrange generalitatea, ca m > n, adica m = n + p, undep ∈ N∗. Atunci Definitia 8.1.12 se poate scrie sub forma echivalenta.

Definitia 8.1.13 Un sir (an) numeric se numeste sir fundamental sau sir Cauchy daca,pentru orice ε > 0, exista un numar natural nε asa ıncat pentru orice n ∈ N, n > nε si oricep ∈ N sa avem |an+p − an| < ε.

Propozitia 8.1.12 Orice sir fundamental de numere reale este marginit

Demonstratie. Aplicam Definitia 8.1.12 pentru ε = 1. Atunci exista n1 ∈ N asa ıncat pentruorice n,m ∈ N, n > n1, m > n1, sa avem |an − am| < 1. Acum, putem scrie

|an| = |an − an1+1 + an1+1| ≤ |an − an1+1| + |an1+1| < 1 + |an1+1|pentru orice n > n1. Daca punem α = max{|a1|, |a2|, . . . , |an1 |, |1 + |an1+1|}. atunci |an| ≤ α,pentru orice n ∈ N∗, adica sirul (an) este marginit.

Teorema 8.1.2 (Criteriul lui Cauchy). Un sir de numere reale este convergent daca sinumai daca este sir fundamental.

Demonstratie. Necesitatea. Fie (an) un sir de numere convergent la l. Sa aratam ca estefundamental. Din lim

n→∞ an = l, rezulta ca pentru orice ε > 0 exista nε ∈ N asa ıncat |an−l| < ε/2pentru orice n ∈ N, n > nε. Atunci, pentru orice n,m ∈ N, m > nε, n > nε avem

|an − am| = |an − l + l − am| ≤ |an − l| + |am − l| < ε

2+ε

2= ε

ceea ce ne dovedeste ca (an) este un sir fundamental.Suficienta. Sa admitem ca (an) este un sir fundamental si sa aratam ca exista l ∈ R asa

ıncat limn→∞ an = l. Sirul (an) fiind fundamental, rezulta ca este marginit (Propozitia 8.1.12).

Atunci conform Lemei lui Cesaro (Propozitia 8.1.11), sirul (an) va contine un subsir (ank)

156

Page 156: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

convergent; fie l limita sa. Deoarece ank→ l, pentru k → ∞, rezulta ca pentru orice ε > 0

exista kε ∈ N asa ıncat

|ank− l| < ε

2, pentru orice k ∈ N, k > kε.(8.3)

Din faptul ca (an) este sir fundamental avem ca exista n1ε ∈ N asa ıncat

|an − am| < ε

2, pentru orice n,m ∈ N, n > n1ε, m > n1ε.

Fie acum nε = max{kε, n1ε} si luand k > nε ın (8.3), obtinem:

|an − l| = |an − ank+ ank

− l| ≤ |an − ank| + |ank

− l| < ε

2+ε

2= ε,

pentru orice n ∈ N, n > nε.Prin urmare, sirul (an) are limita l ∈ R, adica este convergent.

Observatia 8.1.8 Criteriul lui Cauchy permite studierea convergentei unui sir fara sacunoastem limita lui. Pentru aceasta este suficient sa cercetam daca sirul este funda-mental.

Exemplul 8.1.12. Sa aratam ca sirul

an =cosx

3+

cos 2x32

+ . . .+cosnx

2n, n ∈ R,

este sir Cauchy, deci convergent.Avem

an+p =cosx

3+

cos 2x32

+ . . .+cosnx

3n+

cos(n+ 1)x3n+1

+ . . .+cos(n+ p)x

3n+p,

cu p ∈ N∗.Atunci

|an+p − an| =∣∣∣∣cos(n+ 1)x

3n+1+ . . .+

cos(n+ p)x3n+p

∣∣∣∣ ≤≤ 1

3n+1+ . . .+

13n+p

=1

3n+1· 1 − 1

3p

1 − 13

+1

2 · 3n(

1 − 13p

)<

12 · 3n .

Cum 1/2 · 3n → 0, rezulta ca pentru orice ε > 0 exista nε ∈ N asa ıncat 1/2 · 3n < ε,pentru orice n ∈ N, n > nε. Atunci, pentru orice n > nε si orice p ∈ N∗, avem |an+p − an| < ε,ceea ce ne asigura ca (an) este sir Cauchy.Exemplul 8.1.13. Sa aratam ca sirul

an = 1 +12

+ . . .+1n

nu este fundamental, deci nu este sir convergent.Se observa ca avem

a2n − an =1

n+ 1+

1n+ 2

+ . . .+12n

>12n

+ . . .+12n︸ ︷︷ ︸

de n ori

= n · 12n

=12,

ceea ce ne arata ca (an) nu poate fi sir Cauchy.Aplicatie economica. Dobanda compusa. Se investeste o suma S, data ıntr-o anumita

unitate monetara, care acumuleaza o dobanda compusa de r% anual.Daca dobanda se adauga anual, atunci la sfarsirul primului an vom avea suma

S1 = S + rS = S(1 + r).

157

Page 157: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Dupa doi ani, vom avea suma

S2 = S(1 + r)2,

iar dupa trecerea a k ani, suma acumulata va fi

Sk = S(1 + r)k.

Daca dobanda s-ar adauga de n ori pe an, atunci la trecereea a k ani am avea suma

Sn,k = S(1 +

r

n

)kn.

Se observa ca sirul (Sn,k) este crescator ın raport cu n. Apare ıntrebarea: daca n arcreste, adica adaugarea dobanzii s-ar face cat mai des, valoarea sumei acumulate ın cei kani, ar creste foarte mult?

Pentru a raspunde la ıntrebare sa calculam limita sirului (Sn,k) cand n→ ∞. Avem

limn→∞Sn,k = lim

n→∞S(1 +

r

n

)nk= S lim

n→∞

[(1 +

r

n

)nr

] rn ·nk

= Serk,

ceea ce ne arata ca, practic, valoarea sumei finale depinde de suma initiala S, dobandaanuala r si de numarul de ani k, influenta desimii adaugarii dobanzii fiind de mai micaimportanta.

De exemplu, daca am depune o suma S = 1$ cu dobanda compusa anuala de 1% pe operioada de 1 an, oricat de des am adauga dobanda, valoarea sumei acumulate la sfarsirulanului ar oscila ın jurul lui e = 2, 71828 . . . $. (v. [2], [3], [5]).

8.2 Siruri ın spatii metrice

Definitia 8.2.1 Se numeste sir de puncte ın spatiul metric (X, d) o aplicatie a multimii N∗ ={1, 2, . . . , n, . . .} ın X.

Pentru un astfel de sir folosim notatia (xn)n≥1 sau simplu (xn) ca si ın cazul sirurilorde numere reale.

Definitia 8.2.2 Sirul de puncte (xn) din spatiul metric (X, d) este convergent la x ∈ X dacasirul de numere reale pozitive (d(xn, x)) are limita zero.

Ca si la sirurile reale folosim notatia limn→∞xn = x sau xn → x (n→ ∞).

Altfel spus, sirul xn → x (n→ ∞) ın spatiul metric (X, d) daca pentru orice ε > 0, existanε ∈ N, astfel ıncat d(xn, x) < ε daca n > nε.

Propozitia 8.2.1 Daca sirul de puncte ((xn) din (X, d) este convergent ın spatiul metric(X, d), atunci limita lui este unica.

Demonstratie. Fie limn→∞xn = x si lim

n→∞xn = y. Din Definitia 8.2.2 avem limn→∞ d(xn, x) =

0 si limn→∞ d(xn, y) = 0. Atunci din d(x, y) ≤ d(x, xn) + d(xn, y) avem d(x, y) ≤ lim

n→∞ d(xn, x) +

limn→∞ d(xn, y) = 0, de unde deducem ca d(x, y) = 0. Deci avem x = y.

Definitia 8.2.3 Sirul de puncte (xn) din spatiul metric (X, d) este marginit daca exista x0 ∈ Xsi M > 0 asa ıncat d(xn, x0) ≤M , pentru orice n ∈ N∗.

Propozitia 8.2.2 Orice sir convergent de puncte din spatiul metric (X, d) este marginit.

158

Page 158: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Demonstratie. Fie limn→∞xn = x; pentru ε = 1 exista n1 ∈ N asa ıncat d(xn, x) < 1, oricare ar

fi n > n1. Punand M = max{d(x1, x), d(x2, x), . . . , d(xn1 , x), 1}, avem d(xn, x) ≤ M , pentru oricen ∈ N∗, ceea ce ne arata ca sirul de puncte (xn) este marginit ın (X, d).

Definitia 8.2.4 Sirul de puncte (yn) din spatiul (X, d) este subsir al sirului de puncte (xn) din(X, d) daca exista un sir (kn)n≥1 de numere naturale, strict crescator, asa ıncat yn = xkn

.

Propozitia 8.2.3 Daca sirul de puncte (xn) este convergent la x ın (X, d), atunci orice subsiral sau are de asemenea limita x.

Demonstratie. Valabilitatea propozitiei rezulta din Propozitia 8.1.11, de la siruri denumere reale deoarece daca (yn) este un subsir al sirului de puncte (xn), atunci sirul real(d(yn, x)) este subsir al sirului numeric (d(xn, x)).

Propozitia 8.2.4 (Criteriul majorarii). Daca pentru sirul de puncte (xn) din (X, d) existax ∈ X si sirul (an) de numere reale asa ca d(xn, x) ≤ |an| si lim

n→∞ an = 0, atunci (xn) este

convergent si limn→∞xn = x.

Demonstratia se obtine folosind criteriul majorarii de la siruri de numere reale siDefinitia 8.2.2.

Definitia 8.2.5 Sirul de puncte (xn) din (X, d) se numeste sir fundamental sau sir Cauchydaca pentru orice ε > 0 exista nε ∈ N asa ıncat pentru orice n,m ∈ N, n > nε, m > nε, saavem d(xm, xn) < ε.

Daca ın Definitia 8.2.5 luam m = n+ p, p ∈ N∗, atunci obtinem formularea echivalenta:sirul (xn) din (X, d) este fundamental daca, pentru orice ε > 0 si orice p ∈ N∗ exista nε ∈ N

astfel ıncat, pentru orice n ∈ N, n > nε, avem d(xn+p, xn) < ε.

Propozitia 8.2.5 Orice sir fundamental ın spatiul metric (X, d) este marginit.

Demonstratie. Fie (xn) un sir Cauchy ın (X, d). Pentru ε = 1 exista n1 ∈ N asa ıncat,pentru orice n,m ∈ N, n > n1, m > n1, sa avem d(xn, xm) < 1. Daca punem

M = max{1, d(x1, xn1+1), d(x2, xn1+1), . . . , d(xn1 , xn1+1)}atunci d(xn, xn1+1) ≤M , pentru orice n ∈ N∗. Prin urmare, sirul (xn) este marginit ın (X, d).

Teorema 8.2.1 Orice sir convergent de puncte din (X, d) este sir Cauchy ın (X, d).

Demonstratie. Fie (xn) un sir convergent de puncte din (X, d). Daca limn→∞xn = x, x ∈ X,

atunci pentru orice ε > 0 exista nε asa ıncat, oricare ar fi n ∈ N, n > nε, sa avem d(xn, x) < ε/2.Cum pentru orice p ∈ N∗ si orice n ∈ N , n > nε, avem si d(xn+p, x) < ε/2, putem scrie

d(xn+p, xn) ≤ d(xn+p, x) + d(x, xn) < ε/2 + ε/2 = ε,

pentru orice n > nε. De aici, rezulta ca sirul (xn) este sir fundamental.Reciproca Teoremei 8.2.1 nu este adevarata ın orice spatiu metric.

Exemplul 8.2.1. In spatiul metric (R, | |), inzestrat cu metrica data de modul, sirul en =(1 + 1

n

)n, n ∈ N∗ este convergent (deci si fundamental) si are limita e.

Spatiul metric (Q, | |) este un subspatiu al lui (R, | |). Proprietatea sirului (en) de afi fundamental se pastreaza si ın (Q, | |), dar el nu mai este convergent ın (Q, | |) deoarecenumarul e �∈ Q (e este numar irational).

Definitia 8.2.6 Spatiul metric (X, d) se numeste complet daca orice sir fundamental din(X, d) este convergent ın (X, d).

Exemplul 8.2.2. Spatiul metric (R, | |) este complet pe baza criteriului lui Cauchy (v.Teorema 8.1.2).

159

Page 159: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Definitia 8.2.7 Un spatiu vectorial normat si complet se numeste spatiu Banach, iar unspatiu prehilbertian si complet se numeste spatiu Hilbert.

Fie (X, d1), (Y, d2) doua spatii metrice si Z = X × Y produsul cartezian al celor douaspatii metrice. Daca z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) sunt doua puncte din Z, atunci definim

d(z1, z2) =√d21(x1, x2) + d2

2(y1, y2).

Propozitia 8.2.6 (Z, d) este un spatiu metric.

Demonstratie. Trebuie sa verificam pentru d axiomele metricii.1. Evident d(z1, z2) ≥ 0, oricare ar fi (z1, z2) ∈ Z. Daca d(z1, z2) = 0, atunci d1(x1, x2) = 0 sid2(y1, y2) = 0, de unde rezulta x1 = x2, y1 = y2, adica z1 = z2.2. d(z1, z2) =

√d21(x1, x2) + d2

2(y1, y2) =√d21(x2, x1) + d2

2(y2, y1) = d(z2, z1), oricare ar fi z1, z2 ∈ Z.3. Fie z3 = (x3, y3) ınca un punct arbitrar din Z. Avem

d(z1, z2) =√d21(x1, x2) + d2

2(y1, y2) ≤

≤√

(d1(x1, x3) + d1(x3, x2))2 + (d2(y1, y3) + d2(y3, y2))2 ≤

≤√d21(x1, x3) + d2

2(y1, y3) +√d21(x3, x2) + d2

2(y3, y2) =

= d(z1, z3) + d(z3, z2),

adica d verifica inegalitatea triunghiului.Prin urmare (Z, d) este spatiu metric.

Observatia 8.2.1 Valabilitatea Propozitiei 8.2.6 se poate extinde la produsul cartezian alunui numar finit de spatii metrice.

Teorema 8.2.2 Sirul zn = (xn, yn), n ∈ N, din spatiul metric (Z, d) este convergent catrez = (x, y) ∈ Z daca si numai daca, lim

n→∞xn = x si limn→∞ yn = y.

Demonstratie. Fie limn→∞ zn = z, atunci, pentru orice ε > 0, exista nε ∈ N, asa ıncat, pentru

orice n > nε, sa avem d(zn, z) < ε. Cum

d1(xn, x) ≤√d21(xn, x) + d2

2(yn, y) = d(zn, z) < ε

si

d2(yn, y) ≤√d21(xn, x) + d2

2(yn, y) = d(zn, z) < ε,

pentru orice n ∈ N, n > nε, deducem ca limn→∞xn = x si lim

n→∞ yn = y, ceea ce trebuie demonstrat.

Reciproc, daca limn→∞xn = x si lim

n→∞ yn = y, atunci pentru orice ε > 0 exista n1ε asa ıncat,

pentru orice n > n1ε, sa avem d1(xn, x) < ε/√

2 si exista n2ε astfel ıncat, pentru orice n > n2ε,sa avem d2(yn, y) < ε/

√2.

Cum, pentru orice n > nε, nε = max{n1ε, n2ε} avem

d(zn, z) =√d21(xn, x) + d2

2(yn, y) <

√ε2

2+ε2

2= ε,

rezulta limn→∞ zn = z.

Din Teorema 8.2.2 rezulta ca putem scrie

limn→∞(xn, yn) =

(limn→∞xn, lim

n→∞ yn).

160

Page 160: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Observatia 8.2.2 Rezultatul Teoremei 8.2.2 ramane valabil si la produsul cartezian al unuinumar finit de spatii metrice.

Corolarul 8.2.1 Un sir din spatiul Rm este convergent, daca si numai daca, sirurile realecomponente sunt convergente.

Valabilitatea corolarului rezulta din Teorema 8.2.1 si faptul ca Rm este produsulcartezian al spatiului metric R, repetat de m ori.Exemplul 8.2.3. Sa calculam limita sirului din R3

zn =(

n√n,

(1 +

1n

)n,

3n2 − n+ 14n2 + n+ 1

), n ≥ 2.

Avem

limn→∞ zn =

(limn→∞

n√n, limn→∞

(1 +

1n

)n, limn→∞

3n2 − n+ 14n2 + n+ 1

)=

=(

1, e,34

).

Teorema 8.2.3 Sirul de puncte zn = (xn, yn), n ∈ N∗, din spatiul metric (Z, d) este sir fun-damental, daca si numai daca, (xn) si respectiv (yn) sunt siruri fundamentale ın (X, d1) sirespectiv (Y, d2).

Demonstratie. Sa consideram, mai ıntai, ca sirul (zn) este fundamental ın (Z, d), adica,pentru orice ε > 0 si orice p ∈ N∗, exista nε ∈ N asa ıncat, pentru orice n > nε, sa avemd(zn+p, zn) < ε. Deoarece

d1(xn+p, xn) ≤√d21(xn+p, xn) + d2

2(yn+p, yn) = d(zn+p, zn) < ε

si

d2(yn+p, yn) ≤√d21(xn+p, xn) + d2

2(yn+p, yn) = d(zn+p, zn) < ε

pentru orice p ∈ N si orice n ∈ N, n > nε, rezulta ca sirul (xn) si respectiv (yn) sunt funda-mentale ın (X, d1) si respectiv (Y, d2).

Reciproc, fie (xn) si respctive (yn) siruri fundamentale ın (X, d1) si respectiv (Y, d2). Saaratam ca zn = (xn, yn), n ∈ N∗ este sir fundamental ın (Z, d).

Pentru orice ε > 0 si orice p ∈ N∗ exista nε ∈ N asa ıncat, pentru orice n > n1ε sa avem

d1(xn+p, xn) <ε√2

si exista n2ε ∈ N asa ıncat pentru orice n > n2ε sa avem

d2(yn+p, yn) <ε√2.

Deoarece, pentru orice n ∈ N, n > nε, nε = max{n1ε, n2ε} avem

d(zn+p, zn) =√d21(xn+p, xn) + d2

2(yn+p, yn) <

√ε2

2+ε2

2= ε,

deducem ca sirul (zn) este fundamental ın (Z, d).Din Teorema 8.2.3 rezulta ca sirul zn = (xn, yn), n ∈ N∗, din (Z, d) este fundamental,

daca si numai daca, componentele sale (xn), respectiv (yn) sunt siruri fundamentale ın (X, d1)si respectiv (Y, d2). Prin urmare, spatiul (Z, d) este complet, daca si numai daca, (X, d1) si(Y, d2) sunt complete.

Observatia 8.2.3 Rezultatul Teoremei 8.2.3 ramane valabil si la produsul cartezian al unuinumar finit de spatii metrice.

161

Page 161: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Corolarul 8.2.2 Spatiile Rm sunt complete.

Valabilitatea corolarului rezulta din Observatia 8.2.3 si din faptul ca spatiul R estecomplet (Exemplul 8.2.2).

Definitia 8.2.8 In spatiul metric (X, d), o functie f : X → X se numeste contractie, dacaexista α ∈ [0, 1) asa ıncat, oricare ar fi x, y ∈ X avem

d(f(x), f(y)) ≤ αd(x, y).(8.4)

Exemplul 8.2.4. Fie X = Rm cu metrica euclidiana

d(x, y) =

√√√√ m∑i=1

(xi − yi)2,

unde x = (x1, x2, . . . , xm) ∈ X, y = (y1, y2, . . . , ym) ∈ X. Consideram aplicatia f : X → X dfinitaprin f(x) = (αx1, αx2, . . . , αxm), α ∈ [0, 1). Avem

d(f(x), f(y)) =

√√√√ m∑i=1

(αxi − αyi)2 = α

√√√√ m∑i=1

(xi − yi)2 = αd(x, y),

pentru orice x, y ∈ X, adica (8.4) este verificata pentru α ∈ [0, 1), ceea ce ne arata ca f esteo contractie.Exemplul 8.2.5. Functia f : R → R, definita prin

f(x) =a

x2 + b, a > 0, b > 0, a < b

√b

este o contractie a spatiului metric (R, | |).In adevar, pentru orice x, y ∈ R, avem

d(f(x), f(y)) = |f(x) − f(y) =∣∣∣∣ a

x2 + b− a

y2 + b

∣∣∣∣ =

a|x+ y|(x2 + b)(y2 + b)

d(x, y).

Cum |t| ≤ (t2 + b)/2√b, pentru orice t ∈ R, putem scrie

|x+ y| ≤ |x| + |y| ≤ x2 + b

2√b

+y2 + b

2√b

=1

2√b(x2 + y2 + 2b) ≤

≤ 12√b

2b(x2 + b)(y2 + b) =

1b√b(x2 + b)(y2 + b)

Atuncid(f(x), f(y)) ≤ a

b√bd(x, y),

cu α = a/b√b ∈ [0, 1), ceea ce ne arata ca f este o contractie a spatiului metric R.

Numeroase probleme practice conduc la rezolvarea unei relatii de forma f(x) = x,unde f este o aplicatie a unui spatiu metric X ın el ınsasi. Un astfel de punct x ∈ X pentrucare f(x) = x se numeste punct fix al functiei f .

Astfel, daca f este aplicatia identica a unui spatiu metric ın el ınsusi, adica f(x) = x,pentru orice x ∈ X, atunci toate punctele lui X sunt puncte fixe.

In continuare vom prezenta un rezultat fundamental al Analizei Matematice, cu multeaplicatii ın matematica si stiintele practice, numit principiul contractiei sau teorema depunct fix a lui Banach care asigura, ın anumite conditii, existenta si unicitatea unui punctfix.

162

Page 162: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Teorema 8.2.4 (Principiul contractiei). Orice contractie a unui spatiu metric complet ın elınsusi admite un singur punct fix.

Demonstratie. Fie (X, d) un spatiu metric si f : X → X o contractie a sa.Unicitatea punctului fix. Sa admitem ca ar exista doua puncte fixe x si y din X, cu

x �= y, asa ıncat f(x) = x si f(y) = y. Atunci

d(x, y) = d(f(x), f(y)) ≤ αd((x, y), α ∈ [0, 1),

de unde(1 − α)d(x, y) ≤ 0.

Cum d(x, y) > 0 si (1−α) > 0, avem o contradictie. Prin urmare, presupunerea noastraeste falsa, deci exista un singur punct fix.

Existenta punctului fix. Sa consideram x0 ∈ X un punct arbitrar si sa definim recurentsirul (xn) prin x1 = f(x0), x2 = f(x1), . . ., xn+1 = f(xn), . . ..

Vom arata ca sirul (xn) este un sir fundamental.Avem

d(x2, x1) = d(f(x1), f(x0)) ≤ αd(x1, x0),

d(x3, x2) = d(f(x2), f(x1)) ≤ αd(x2, x1) ≤ α2d(x1, x0).

Prin inductie matematica deducem ca

d(xn+1, xn) ≤ αnd(x1, x0), pentru orice n ∈ N.(8.5)

Pentru n, p numere naturale, p �= 0, conform cu (8.5), putem scrie

d(xn+p, xn) ≤ d(xn+p, xn+p−1) + d(xn+p−1, xn+p−2) + . . .+(8.6)

+d(xn+1, xn) ≤ (αn+p−1 + αn+p−2 + . . .+ αn)d(x1, x0) =

= αn1 − αp

1 − αd(x1, x0) ≤ αn

1 − αd(x1, x0).

Sa luam d(x1, x0) > 0 (ın caz contrar, punctul fix este x0 si demonstratia existenteieste terminata). Deoarece α ∈ [0, 1), rezulta lim

n→∞αn = 0, de unde pentru orice ε > 0, exista

nε ∈ N asa ıncat, pentru orice n > nε, avem

αn <ε(1 − α)d(x1, x0)

.(8.7)

Din (8.6) si (8.7) rezulta ca, pentru orice ε > 0 si pentru orice p ∈ N∗, exista nε ∈ N,asa ıncat d(xn+p, xn) < ε, pentru orice n ∈ N, n > nε, adica sirul (xn) este fundamental.

Cum (X, d) este spatiul metric complet, exista x ∈ X asa ıncat limn→∞xn = x. Mai trebuie

aratat ca x este punct fix.Intr–adevar, putem scrie

d(f(x), x) ≤ d(f(x), xn+1) + d(xn+1, x) = d(f(x), f(xn))+

+d(xn+1, x) ≤ αd(x, xn) + d(xn+1, x).

De aici, folosind ca limn→∞ d(x, xn) = 0, lim

n→∞ d(xn+1, x) = 0 si tinand cont de criteriul ma-

jorarii pentru siruri reale, deducem ca d(f(x), x) = 0, adica f(x) = x.Demonstratia teoremei lui Banach de punct fix ne arata nu numai existenta si unic-

itatea punctului fix, ci si o metoda de aflare a punctului fix x si de asemenea, punereaın evidenta a unei formule pentru evaloarea erorii ce se comite considerand respectivaaproximatie.

Intr–adevar, deoarece

d(xn, x) ≤ d(xn, xn+p) + d(xn+p, x) ≤ αn

1 − αd(x1, x0) + d(xn+p, x),

163

Page 163: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

rezulta, pentru p→ ∞ ca

d(xn, x0) ≤ αn

1 − αd(x1, x0),

inegalitatea ce ne arata cu ce eroare aproximeaza xn punctul fix x.In acest fel, pornind de la x0 ∈ X arbitrar, punctele xn = f(xn−1), n = 1, 2, . . ., apar

drept aproximatii succesive ale punctului fix x, ceea ce face ca metoda de aproximare sapoarte numele de metoda aproximatiilor succesive.

In aplicarea efectiva a metodei aproximatiilor succesive partea dificila consta ın de-terminarea convenabila a spatiului metric complet (X, d) si a contractiei f . Cu toata aceastadificultate, metoda aproximatiilor succesive este una dintre cele mai puternice procedee deaproximare numerica a multor probleme puse de matematica si stiintele practice (inclusivcele economice).Exemplul 8.2.6. Fie ecuatia x3 +4x−1 = 0 si sa ne propunem sa-i gasim aproximativ singuraradacina reala pe care o are (demonstrati acest fapt !).

Scriem ecuatia sub forma

x =1

x2 + 4

si consideram functia f : R → R, f(x) = 1/(x2 + 4).Din Exemplul 8.2.5, pentru a = 1 si b = 4, gasim ca f este o contractie a spatiului

metric (R, | |), cu α = 1/8. Pe baza principiilor contractiei f are un singur punct fix x sideci ecuatia data va avea o singura radacina reala. Folosind sirul aproximatiilor succesive,considerand x0 = 0, gasim:

x1 = f(x0) =14

= 0, 25

x2 = f(x1) = 0, 2461x3 = f(x2) = 0, 2463,. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iar xn va aproxima pe x cu o eroare d(xn, x) ≤ 27 · 8n .

164

Page 164: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

8.3 Test de verificare a cunostintelor nr. 7

1. Definiti urmatoarele notiuni:

a) Sir de numere reale convergent;

b) Sir de numere reale fundamental;

c) Sir ıntr-un spatiu metric;

d) Spatiu metric complet.

2. Enuntati:

a) Criteriul lui Cauchy pentru siruri de numere reale;

b) Principiul contractiei.

3) Utilizand criteriul lui Cauchy sa se arata ca urmatoarele siruri sunt convergente:

a) an =2n+ 15n+ 2

;

b) bn = 1 +12

+122

+ ...+12n

;

c) cn = a0 + a1q + a2q2 + ...+ anq

n cu |ak| < M (∀)k ∈ N si |q| < 1;

d) dn =cosx

3+

cos 2x32

+ ...+cosnx

3n;

e) en =cos a1

1 · 2 +cos a2

2 · 3 + ...+cos ann(n+ 1)

cu ai ∈ R (∀) i ∈ N.

4. Sa se calculeze limn→∞ zn, unde zn = xn + iyn cu

xn =n∏k=1

ak

(k+1)! , a > 1 si yn =1p + 2p + ...+ np

np+1.

5. Sa se calculeze limn→∞un, un = (u′n, u

′′n, u′′′n ), cu

u′n =√n+ 1 − 2

√n+

√n− 1,

u′′n = n(2

1n − 1

),

u′′′n =1

9√

9n9 + 5n2 + 1+

19√

9n9 + 5n2 + 2+ ...+

19√

9n9 + 5n2 + n.

6. Sa se calculeze limn→∞, un = (u′n, u

′′n, u′′′n ), cu

u′n =12 + 22 + ...+ n2

nn,

u′′n =

(n√a+ n

√2

b

)ncu a, b ∈ R∗+,

u′′′n = 33n(3 +

1n

)3n .

7. Sa se calculeze limn→∞un, un = (u′n, u

′′n, u′′′n ) cu

u′n =

n∑k=1

k! · k

(n+ 1)!,

165

Page 165: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

u′′n = sin(nπ

3√n3 + 3n2 + 4n− 5

),

u′′′n = n+ 1 −n∑k=2

(12!

+23!

+ ...+k − 1k!

).

8. Intr-o progresie aritmetica, ın care al n-lea termen este an si suma primilor n termeni

Sn, avemSmSn

=m2

n2. Sa se arate ca

aman

=2m− 12n− 1

.

9. Sa se determine limita inferioara si limita superioara pentru sirul (an) cu

an = a(−1)n+1+

1n, a > 0.

10. Folosind principiul contractiei gasiti cu o eroare de 10−2 solutia ecuatiei 10x− 1 = sinx.

166

Page 166: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Indicatii si raspunsuri Testul nr. 7

3. Se impune |an+p − an| < ε si se gaseste nε astfel ıncat (an) sa fie sir Cauchy.

4. zn → a+ i · 1p+ 1

.

5. un →(

0, ln 2,19√

9

).

6. un →(

1,√ab,

1e

).

7. un →(

1,√

32, e

).

8. Se foloseste faptul ca suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice a1, an, ..., an, ...

cu ratia r este Sn =n[2a1 + (n− 1)r]

2.

9. Pentru a < 1 avem lim an =1a

si lim an = a.

Pentru a > 1 avem lim an = a si lim an =1a.

Pentru a = 1 avem lim an = lim an = limn→∞ an = 1.

10. Se scrie ecuatia sub forma x =sinx+ 1

10. Notam f(x) =

sinx+ 110

. Se arata ca

|f ′(x)| ≤ 110

< 1 deci f este o contractie. Apoi folosind principiul contractiei se gaseste

solutia aproximativa cautata x∗ =sin

110

+ 1

10.

167

Page 167: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Bibliografia aferenta capitolului:[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate ın economie - Volumul II,

Editura ULB, Sibiu, 2002.[2] Allen, R.G.D., Analiza matematica pentru economisti, Editura Stiintifica (traducere),

Bucuresti, 1971.[3] Lancaster, K., Analiza economica matematica, Editura Stiintifica, Bucuresti, 1973.[4] Nicolescu, M., Dinculeanu, N., Marcus, S., Manual de analiza matematica, Vol.I,

1962, Vol.II, 1964, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti.[5] Vasiliu, D.P., Matematici economice, Editura Eficient, Bucuresti, 1996.

168

Page 168: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Capitolul 9

Serii numerice

Obiective: Prezentarea notiunilor generale legate de seriile numerice si aplicatiileeconomice ale acestora (de exemplu fluxul de venit).

Rezumat: In acest capitol sunt introduse si studiate notiunile de serie numerica,convergenta seriilor numerice, serii cu termeni pozitivi si criteriile de convergenta pentruacest tip de serii.

Continutul capitolului:1. Notiuni preliminare2. Criterii de convergenta pentru serii numerice cu termeni oarecare3. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente4. Serii cu termeni pozitivi5. Problema economica. Fluxul de venit6. Test de verificare a cunostintelor7. Bibliografia aferenta capitolului

Cuvinte cheie: serie numerica, serie convergenta, criterii de convergenta, serieabsolut convergenta, serie semiconvergenta, serie cu termeni pozitivi, fluxul de venit.

9.1 Notiuni preliminare

Se cunoaste ca pentru orice numar finit de numere reale a1, a2, . . . , an, putem efectuasuma lor, utilizand proprietatea de asociativitate a adunarii de numere reale. Astfel, maiıntai calculam a1 + a2, apoi se efectueaza

a1 + a2 + a3 = (a1 + a2) + a3, a1 + a2 + a3 + a4 = (a1 + a2 + a3) + a4

si, ın generala1 + a2 + . . .+ an−1 + an = (a1 + a2 + . . .+ an−1) + an.

Acum, este firesc sa ne punem problema efectuarii sumei termenilor unui sir (an)n≥1

de numere reale, adica a unei sume cu un numar infinit de termeni.

Definitia 9.1.1 Fiind dat sirul de numere reale (an), se numeste serie de numere reale sauserie numerica problema adunarii termenilor sirului (an), adica problema efectuarii sumei

a1 + a2 + . . .+ an + . . . .(9.1)

In locul sumei (9.1) scriem prescurtat∞∑n=1

an sau∑n≥1

an sau simplu∑

an, an fiind

numit termenul general al seriei numerice.Prin urmare, observam ca seriile numerice constituie problema adunarii unei in-

finitatii numarabile de numere reale.

169

Page 169: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Cum stim efectua adunari de numere reale ın care numarul termenilor este finit, dar

oricat de mare, este natural ca pentru efectuarea sumei∞∑n=1

an sa utilizam sume finite de

tipul Sn = a1 + a2 + . . .+ an, ın care sa facem pe n sa tinda la infinit.

Definitia 9.1.2 Numin suma partiala a seriei numerice∑

an, suma

Sn =n∑i=1

ai = a1 + a2 + . . .+ an,

iar sirul de numere reale (Sn) se numeste sirul sumelor partiale.

Observatia 9.1.1 In literatura matematica, deseori, se defineste seria numerica∑

an prin

cuplul de siruri (an) si (Sn) ([2], [4]).

Definitia 9.1.3 Spunem ca seria∑

an este convergenta daca sirul sumelor partiale (Sn) esteconvergent.

In acest caz, daca limn→∞Sn = S, atunci S se numeste suma seriei

∑an si scriem

S =∑

an = a1 + a2 + . . .+ an + . . . .

Definitia 9.1.4 Spunem ca seria∑

an este divergenta, daca sirul sumelor partiale (Sn) este

divergent.

Exemplul 9.1 Seria numerica∞∑n=0

aqn, unde a, q ∈ R, se numeste serie geometrica . Daca

a = 0, avem Sn = 0 pentru orice q ∈ R, de unde rezulta ca seria este convergenta, avandsuma 0. Sa consideram a �= 0. Atunci, pentru q �= 1, avem

Sn = a+ aq + . . .+ aqn = a1 − qn+1

1 − q,

iar pentru q = 1Sn = a(n+ 1).

Pentru q ∈ (−1, 1), deoarece limn→∞ q

n+1 = 0, avem limn→∞Sn =

a

1 − q. Prin urmare, pentru

|q| < 1, seria geometrica este convergenta, avand suma S = a/(1 − q).Daca q ≥ 1, atunci sirul (Sn) are limita +∞ sau −∞ dupa cum a > 0 sau, a < 0,

iar pentru q ≤ −1 limita sirului (Sn) nu exista. Deci, pentru |q| ≥ 1 seria geometrica este

divergenta. In concluzie, seria geometrica∞∑n=0

aqn cenverge pentru a = 0, oricare q ∈ R si

pentru a �= 0 si q ∈ (−1, 1). Prin urmare, pentru |q| < 1, putem scrie

∞∑n=0

aqn = a+ aq + . . .+ aqn + . . . =a

1 − q.

Exemplul 9.1.2. Seria∞∑n=1

1(2n− 1)(2n+ 1)

este convergenta. Intr-adevar, avem

Sn =n∑h=1

1(2h− 1)(2h+ 1)

=n∑h=1

12

(1

2h− 1− 1

2h+ 1

)=

170

Page 170: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

=12

(1 − 1

3+

13− 1

5+

15− 1

7+ . . .+

+1

2n− 3− 1

2n− 1+

12n− 1

− 12n+ 1

)=

=12

(1 − 1

2n+ 1

).

Prin urmare, limn→∞Sn =

12, ceea ce arata ca seria data este convergenta, avand suma

1/2.

Observatia 9.1.2 O serie∑

an ın care termenul general se poate pune sub forma an =bn − bn+1 poarta numele de serie telescopica.

Exemplul 9.1.3. Seria∞∑n=1

(−1)n−1 este divergenta deoarece S2k−1 = 1 si S2k = 0, pentru

orice k ∈ N∗, sirul sumelor partiale (Sn) fiind divergent.

Exemplul 9.1.4. Seria∞∑n=1

1n, numita seria armonica, este divergenta.

In adevar, sirul sumelor partiale Sn = 1 +12

+ . . . +1n

este divergent deoarece nu este

sir Cauchy (v. Exemplul 8.1.13).

Observatia 9.1.3 Seria∑ 1

neste numita serie armonica deoarece an = 1/n este media ar-

monica a numerelor an−1, an+1, adica 2/an = 1/an−1 + 1/an+1.

Propozitia 9.1.1 Daca seria∑

an converge, atunci limn→∞ an = 0.

Demonstratie. Seria∑

an fiind convergenta , avem limn→∞Sn = S. Dar an = Sn − Sn−1, de

unde limn→∞ an = lim

n→∞Sn − limn→∞Sn−1 = S − S = 0.

Corolarul 9.1.1 Daca pentru seria∑

an sirul (an) nu converge la 0, atunci seria este di-

vergenta.

Observatia 9.1.4 Conditia limn→∞ an = 0 este necesara dar nu si suficienta pentru convergenta

seriei∑

an.

De exemplu, seria armonica∑ 1

neste divergenta, desi lim

n→∞ 1/n = 0.

Exemplul 9.1.5. Seria∑n≥2

n√n este divergenta deoarece lim

n→∞n√n = 1 �= 0.

Definitia 9.1.5 Fiind data seria∞∑n=1

an, numim rest de ordinul k al ei, notat cu rk seria

∞∑n=k+1

an = ak+1 + ak+2 + . . .

Propozitia 9.1.2 Seria∞∑n=1

an, seria rest∞∑

n=k+1

an au aceeasi natura, adica sunt ambele con-

vergente sau ambele divergente.

171

Page 171: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Demonstratie. Fie n > k; notam cu Sn si respectiv Tn sumele partiale corespunzatoare

termenului an din seria∑

an si respectiv∞∑

n=k+1

an. Avem

Tn = Sn − (a1 + a2 + . . .+ ak).

Daca∑

an este convergenta, adica limn→∞Sn = S, atunci lim

n→∞Tn = S − (a1 + a2 + . . . +

ak), ceea ce ne arata ca seria∑

n=k+1

an este tot convergenta. Reciproc, daca∑

n=k+1

an este

convergenta, adica limn→∞Tn = T , atunci lim

n→∞Sn = T + (a1 + . . . + ak), ceea ce arata ca seria∑an este convergenta.

Evident ca, daca unul din sirurile (Sn) si (Tn) este divergent atunci si celalalt este

divergent. Prin urmare, daca una din seriile∞∑n=1

an si∞∑

n=k+1

an este divergenta, atunci si

cealalta este divergenta.

Corolarul 9.1.2 Daca unei serii numerice i se suprima sau i se adauga un numa finit determeni, atunci natura ei nu se schimba.

Propozitia 9.1.3 Daca seria∑

an converge atunci sirul resturilor (rk)k≥1 este convergent

la zero.

Demonstratie. Daca seria∑

an este convergenta, atunci limn→∞Sn = S. Cum, pentru orice

k ∈ N∗, avem rk = S − Sk, de unde limk→∞

rk = S − S = 0.

Definitia 9.1.6 Daca consideram seriile∞∑n=1

an si∞∑n=1

bn se numeste seria suma seria nu-

merica ∞∑n=1

(an + bn) = (a1 + b1) + (a2 + b2) + . . .+ (an + bn) + . . .

si serie produs cu scalarul λ ∈ R seria numerica

∞∑n=1

(λan) = λa1 + λa2 + . . .+ λan + . . . .

Teorema 9.1.1 Daca seria∑

an converge, avand suma A, iar seria∑

bn converge, avand

suma B atunci seria∑

(an + bn) converge si are suma A+B.

Demonstratie. Fie An =n∑k=1

ak si B =n∑k=1

bk. Cum limn→∞An = A, iar lim

n→∞Bn = B, rezulta ca

An +Bn =n∑k=1

(ak + bk) converge la A+B, ceea ce ne permite sa scriem∑

(an + bn) = A+B.

Teorema 9.1.2 Daca λ ∈ R − {0},atunci seriile∑

an si∑

λan au aceeasi natura.

Demonstratie. Fie Sn =n∑h=1

ak. Daca∑

an converge, atunci limn→∞

n∑h=1

ak = S, ceea ce

implica si limn→∞λSn = λS. Cum λa1 + . . . + λan = Tn = λSn, rezulta ca si seria

∑λan este

convergenta si are suma λS. Daca∞∑n=1

an este divergenta, atunci sirul (Sn) diverge, ceea ce

172

Page 172: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

atrage dupa sine ca sirul Tn = λSn diverge, adica seria∑

λan este divergenta. Reciprocrezulta prin ınlocuirea lui λ cu 1/λ.

Teorema 9.1.3 Daca ıntr-o serie convergenta se asociaza termenii seriei ın grupe cu unnumar finit de elemente, pastrand ordinea, atunci se obtine tot o serie covnergenta cuaceeasi suma.

Demonstratie. Fie seria∑

an convergenta, Sn = a1 + a2 + . . . + an si limn→∞Sn = S. Sa

aranjam termenii seriei∑

an ın grupe cu un numar finit de termeni astfel

(a1 + a2 + . . .+ an1) + (an1+1an2+2 + . . .+ an2) + . . .+(9.2)

+(ank−1+1 + ank−1+2 + . . .+ ank) + . . .

pastrand ordinea termenilor. Notand bi = ani−1+1 + ann−1+2 + . . . + ani, i = 1, 2, 3, . . . si Tk =

b1 + b2 + . . .+ bk, k = 1, 2, . . . scriem Tk = Snk, k = 1, 2, . . . ceea ce ne arata ca (Tk) este un subsir

al sirului (Sn). Deoarece limn→∞Sn = S, deducem ca lim

k→∞Tk = lim

k→∞Snk

= S, ceea ce ne arata ca

seria (9.2) este convergenta, iar suma ei este S.

Observatia 9.1.5 Reciproca teoremei nu are loc, adica daca ıntr-o serie∑

an convergenta

ın care termenii sunt grupe cu un numar finit de termeni, atunci prin desfasurarea grupelor(ınlaturarea parantezelor), pastrand ordinea termenilor, se poate obtine o serie divergenta.

De exemplu, seria(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . .(9.3)

este convergenta, ın imp ce seria

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . =∞∑n=1

(−1)n−1(9.4)

este divergenta.

Observatia 9.1.6 Intr-o serie divergenta se pot aranja termenii ın grupe cu un numar finitde elemente, pastrand ordinea, asa ıncat seria obtinuta sa fie convergenta. Astfel, seria(9.4) este divergenta iar seria (9.3) este convergenta.

9.2 Criterii de convergenta pentru serii numerice cu termenioarecare

Daca ın seria∑

an nu facem nici o precizare asupra semnului termenilor, atunci se

mai spune ca avem o serie numerica cu termeni oarecare. In acest paragraf ne intereseazasa gasim criterii prin care sa putem preciza convergenta unei serii de numere reale. Esteimportant sa cunoastem convergenta unei serii deoarece, cunoscand acest fapt, chiar dacanu-i cunoastem suma, o putem evalua luand sume partiale cu un numar cat mai mare determeni.

Teorema 9.2.1 (Criteriul lui Cauchy). Seria∑

an este convergenta daca si numai daca

pentru orice ε > 0 exista un numar natural nε astfel ıncat, pentru orice n natural, n > nε siorice p ∈ N∗ sa avem

|an+1 + an+2 + . . .+ an+p| < ε

Demonstratie. Fie (Sn) sirul sumelor partiale, Sn = a1 + a2 + . . . + an. Cum seria an esteconvergenta daca si numai daca sirul (Sn) este convergent, iar sirul (Sn) este covnergentdaca si numai daca este sir fundamental , rezulta ca serie

∑an este convergenta daca si

numai daca, pentru orice ε > 0 si orice p ∈ N∗, exista nε ∈ N asa ıncat, petru orice n ∈ N,n > nε sa avem |Sn+p − Sn| < ε. De aici, prin ınlocuirea corespunzatoare a sumelor Sn+p siSn, obtinem valabilitatea criteriului lui Cauchy pentru serii numerice.

173

Page 173: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Teorema 9.2.2 (Criteriul Dirichlet). Seria∑

anbn este convergenta daca sirul sumelor

partiale al seriei∑

an este marginit, iar sirul (bn) este descrescator si convergent la 0.

Demonstratie. Fie (Sn) sirul sumelor partiale al seriei∑

an, fiind marginit, exista unM > 0 asa ıncat |Sn| ≤M , pentru orice n natural.

Utilizand faptul ca sirul (bn) este descrescator putem scrie succesiv:

|an+1bn+1 + an+2bn+2 + an+3bn+3 + . . .+ an+pbn+p| =(9.5)

= |bn+1(Sn+1 − Sn) + bn+2(Sn+2 − Sn+1) + bn+3(Sn+3 + Sn+2) + . . .+

+bn+p(Sn+p + Sn+p−1)| =

= | − bn+1Sn + (bn+1 − bn+2)Sn+1 + (bn+2 − bn+3)Sn+2 + . . .+

+(bn+p−1 − bn+p)Sn+p−1 + bn+pSn+p| ≤≤ |Sn| |bn+1| + |bn+1 − bn+2| |Sn+1| + |bn+2 − bn+2| |Sn+2| + . . .+

+|bn+p−1 − bn+p| Sn+p−1| + |bn+p| Sn+p| ≤≤M(bn+1 + bn+1 − bn+2 + bn+2 − bn+3 + . . .+ bn+p−1 − bn+p + bn+p) =

= 2Mbn+1

Deoarece bn+1 → 0 pentru n → ∞, pentru orice ε > 0 exista nε ∈ N asa ıncat, pentruorice n ∈ N, n > nε, sa avem bn+1 < ε/2M . Acum, din (9.5) rezulta

|an+1bn+1 + an+2bn+2 + . . .+ an+pbn+p| < ε

pentru orice n ∈ N, n > nε. Prin urmare, sunt ındeplinite conditiile din criteriul lui Cauchy(Teorema 9.2.1), rezultand ca seria

∑anbn este convergenta.

Exemplul 9.2.1. Fie seria∞∑n=1

sinnx√n

, unde x ∈ R. Se observa ca seria∞∑n=1

sinnx are sirul

sumelor partiale (Sn(x)) marginit. Intr-adevar daca x �= 2kπ, k ∈ Z, ınmultind Sn(x) cu2 sin x

2 , gasim

Sn(x) =cos x2 − cos

(n+ 1

2

)x

2 sin x2

,

de unde

|Sn(x)| = | sinx+ . . .+ sinnx| =

∣∣cos x2 − cos(n+ 1

2

)x∣∣

2∣∣sin x

2

∣∣ ≤

≤ 22∣∣sin x

2

∣∣ =1∣∣sin x

2

∣∣ , pentru orice n ∈ N.

Daca x = 2kπ, k ∈ Z, atunci Sn(x) = 0. Deci, ın ambele situatii exista M > 0 asa ıncat|Sn(x)| ≤M , pentru orice n ∈ N∗.

Pe de alta parte, sirul bn = 1/√n tinde descrescator la 0. Prin urmare, fiind ındeplinite

conditiile criteriului lui Dirichlet rezulta ca seria∞∑n=1

sinnx√n

este convergenta pentru orice

x ∈ R.

Teorema 9.2.3 (Criteriul lui Abel). Daca seria∑

an este convergenta si (bn) este un sir

monoton si marginit, atunci seria∑

anbn este convergenta.

174

Page 174: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Demonstratie. Cum sirul (bn) este monoton si marginit rezulta ca el este convergent; fielimn→∞ bn = b. Fara a restrange generalitatea demonstratiei putem considera ca sirul (bn) este

crescator. Atunci sirul (b − bn) va fi un sir descrescator si cu limita 0. Din faptul ca serie∑an este convergenta rezulta ca sirul sumelor partiale este marginit. Aplicand criteriul

lui Dirichlet, deducem ca serie∑

an(b− bn) este convergenta. Dar∑

an fiind convergenta

rezulta ca si∑

ban este convergenta. Acum, utilizand teorema 9.1.1, obtinem ca seria∑anbn este convergenta deoarece anbn = −an(b− bn) + ban, pentru orice n ∈ N∗. Cu aceasta

teorema este demonstrata.

Exemplul 9.2.2. Fie seria∞∑n=1

12n

(1 +

1n

)n. Observam ca seria

∑ 12n

este convergenta, fiind

serie geometrica cu ratia12∈ (−1, 1), iar sirul bn =

(1 + 1

n

)n, n ∈ N∗, este strict crescator si

marginit (Exemplul 8.1.1). Cum sunt ındeplinite conditiile criteriului lui Abel, deducem caseria data este convergenta.

Definitia 9.2.1 O serie∞∑n=1

an se numeste serie alternanta (sau alternata) daca anan+1 < 0,

pentru orice n ∈ N∗, adica daca termenii sai alterneaza ca semn.

Este evident ca orice serie alternanta poate fi scrisa ın una din formele:∞∑n=1

(−1)n−1an

sau∞∑n=1

(−1)nan, unde an ≥ 0, pentru orice n ∈ N∗.

Exemplul 9.2.3. Seriile∑

(−1)n−1 1n

= 1− 12+

13− 1

4+. . . si

∞∑n=1

(−1)n1

2n− 1= −1+

13− 1

5+

17−. . .

sunt serii alternate.

Teorema 9.2.4 (Criteriul lui Leibniz). Daca ın serie alternanta∞∑n=1

(−1)n−1an sirul (an) este

descrescator si convergent la zero, atunci seria este convergenta.

Demonstratie. Cum seria∞∑n=1

(−1)n−1 are sirul sumelor partiale marginit (|Sn| ≤ 1, oricare

ar fi n ∈ N∗), iar sirul (an) este descrescator si convergent la 0 rezulta, conform criteriuluilui Dirichlet ca seria alternanta este convergenta.

Exemplul 9.2.4. Seria∞∑n=1

(−1)n−1 12n− 1

este convergenta deoarece sunt ındeplinite

conditiile criteriului lui Leibniz, adica sirul(

12n−1

)n≥1

este descrescator si convergent lazero.

Corolarul 9.2.1 Daca seria∞∑n=1

(−1)n−1an ındeplineste conditiile din Criteriul lui Leibniz

(Teorema 9.2.4) si S este suma ei, atunci

|S − Sn| ≤ an+1, pentru orice n ∈ N∗,

unde Sn =n∑k=1

(−1)k−1ak suma partiala de rang n.

Demonstratie. Intr-adevar, cum ak − ak+1 ≥ 0, k ∈ N∗, atunci

|S − Sn| =

∣∣∣∣∣∞∑n=1

(−1)n−1an −n∑k=1

(−1)k−1ak

∣∣∣∣∣ =

175

Page 175: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

|(−1)nan+1 + (−1)n+1an+2 + (−1)n+2an+3 + . . . | =

= |(−1)n[(an+1 − an+2) + (an+3 − an+4) + . . .]| =

= (an+1 − an+2) + (an+3 − an+4) + . . . =

= an+1 − (an+2 − an+3) − (an+4 − an+5) − . . . ≤ an+1.

Exemplul 9.2.5. Seria∞∑n=1

(−1)n−1 1n

(numita seria armonica alternanta) este convergenta

deoarece sirul(

1n

)este descrescator si convergent la 0. Fie (Sn) sirul sumelor partiale al

seriei. Cum sirul

xn = 1 +1n

+ . . .+1n− lnn, n ∈ N∗,

este convergent la γ–constanta lui Euler, avem

S2n+1 =2n+1∑k=1

(−1)k−1 1k

= x2n+1 + ln(2n+ 1) − (γn + lnn) =

= x2n+1 − xn + ln2n+ 1n

,

de undelimn→∞S2n+1 = γ − γ + ln 2 = ln 2.

Deoarece sirul (Sn) este convergent si subsirul (S2n+1) are limita ln 2, rezulta ca si sirul(Sn) are limita S = ln 2. Atunci, pe baza Corolarului 9.2.1, putem scrie

|Sn − ln 2| ≤ 1n+ 1

, n ∈ N∗,

adica eroarea absoluta prin care sirul (Sn) aproximeaza pe ln 2 nu depaseste pe 1/(n+ 1).

9.3 Serii absolut convergente. Serii semiconvergente

Am vazut ın Exemplul 9.2.5. ca seria armonica alternanta∞∑n=1

(−1)n−1 1n

este conver-

genta ın timp ce seria∞∑n=1

∣∣∣∣(−1)n−1 1n

∣∣∣∣ =∞∑n=1

1n, adica seria armonica, este divergenta (Exemplul

9.1.1). Acest exemplu ne permite sa consideram definitiile de mai jos, care ne permit oclasificare a seriilor convergente.

Definitia 9.3.1 Seria∑

an se numeste absolut convergenta, daca seria∑

|an| este conver-

genta.

Exemplul 9.3.1. Seria∞∑n=1

(−1)n−1

2neste absolut convergenta.

Propozitia 9.3.1 Daca seria∑

an este absolut convergenta, atunci seria∑

an este conver-

genta.

Demonstratie. Deoarece∑

an este absolut convergenta rezulta ca∑

|an| este conver-genta. Atunci, conform cu criteriul lui Cauchy, pentru orice ε > 0, exista nε ∈ N∗ asa ıncat,pentru orice n ∈ N, n > nε si orice n ∈ N∗, sa avem

|an+1| + |an+2| + . . .+ |an+p| < ε.

176

Page 176: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Cum|an+1 + an+2 + . . .+ an+p| ≤ |an+1| + |an+2| + . . .+ |an+p|,

obtinem ca, pentru orice ε > 0, exista nε ∈ N∗, astfel ıncat, pentru orice n ∈ N, n > nε si oricep ∈ N∗, are loc

|an+1 + an+2 + . . .+ an+p| < ε,

adica seria∑

an satisface criteriul lui Cauchy, ceea ce ne arata ca ea este o serie convergenta.

Observatia 9.3.1 Reciproca Propozitiei 9.3.1 nu are loc. Exista serii convergente pentrucare seria valorilor absolute este divergenta; de exemplu, seria armonica alternanta.

Definitia 9.3.2 Seria∑

an se numeste serie semiconvergenta sau conditionat convergenta

daca seria∑

an este convergenta dar seria∑

|an| este divergenta.

Exemplul 9.3.2. Seria∞∑n=1

(−1)n−1 este semiconvergenta.

Observatia 9.3.2 (Riemann). Daca∑

an este o serie semiconvergenta, atunci exista o

permutare a termenilor sai astfel ıncat sa se obtina: i) o serie convergenta cu suma unnumar real dat; ii) o serie divergenta cu suma +∞ sau −∞; iii) o serie divergenta cu sirulsumelor partiale fara limita (divergent, oscilant) (v. [3]).

Aceasta observatie ne avertizeaza ca ın seriile semiconvergente trebuie sa fim atentila schimbarea ordinii termenilor, deoarece putem obtine serii cu naturi diferite.

Definitia 9.3.3 Fiind date seriile∞∑n=1

an si∞∑n=1

bn se numeste produs Cauchy sau de convolutie

al celor doua serii, serie∞∑n=1

cn ın care cn =n∑k=1

akbn−k+1.

Exemplul 9.3.3. Pentru seria∞∑n=1

(−1)n−1

√n

produsul de convolutie cu ea ınsasi este seria

∞∑n=1

cn, unde

cn =n∑k=1

(−1)k−1

√n

· (−1)n−k√n− k + 1

= (−1)n−1n∑n=1

1√k(n− k + 1)

,

n = 1, 2, . . ..

Se observa ın exemplul precedent ca seria∞∑n=1

(−1)n−1

√n

este convergenta, conform cri-

teriului lui Leibniz, ınsa seria∑

cn a produsului de convolutie este divergenta deoarece

|cn| =n∑k=1

1√k(n− k + 1)

≥n∑k=1

1√n√n

= 1,

pentru orice n ∈ N∗, adica limn→∞ cn �= 0.

Teorema 9.3.1 (Mertens). Daca doua serii sunt convergente si cel putin una este absolutconvergenta, atunci seria produs Cauchy al celor doua serii este convergenta, iar suma saeste egala cu produsul sumelor celor doua serii.

177

Page 177: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Demonstratie. Fie seria∞∑n=1

an = A si∞∑n=1

bn = B, cu (An) si (Bn) sirurile corespunzatoare ale

sumelor partiale, iar∞∑n=1

cn seria produs de convolutie, cu (Cn) sirul sumelor partiale. Sa

presupunem ca∞∑n=1

an este absolut convergenta. Avem

Cn = c1 + c2 + . . .+ cn = a1b1 + (a1b2 + a2b1) + . . .+

+(a1bn + a2bn−1 + . . .+ anb1) =

= a1(b1 + b2 + . . .+ bn) + a2(b1 + . . .+ bn−1) + . . .+ an−1(b1 + b2) + anb1 =

= a1Bn + a2Bn−1 + . . .+ an−1B2 + anB1.

Deoarece seria∞∑n=1

bn este convergenta si are suma B, sirul dn = Bn − B, n = 1, 2, . . .,

este convergent. Acum putem scrie

Cn = a1(dn +B) + a2(dn−1 +B) + . . .+ an(d1 +B) =

B(a1 + a2 + . . .+ an) + a1dn + a2dn−1 = . . .+ and1 =

= BAn + a1dn + a2dn−1 + . . .+ and1,

de undeCn −AnB = a1dn + a2dn−1 + . . .+ and1.(9.6)

Cum seria∞∑n=1

|an| este convergenta rezulta ca sirul sumelor ei partiale este marginit,

adica exista un M > 0 asa ıncatn∑k=1

|ak| < M, pentru orice n ∈ N∗.(9.7)

Din faptul ca sirul (dn) este convergent la 0, deducem ca, pentru orice ε > 0, existan1ε ∈ N∗ asa ıncat, pentru orice n > n1 sa avem

|dn| < ε

2M.(9.8)

Pe de alta parte, deoarece seria∑

an este convergenta avem ca an → 0. Atunci,pentru orice ε > 0 exista n2 ∈ N∗ asa ıncat, pentru orice n ∈ N, n > n2, sa avem

|an| < ε

2(|d1| + |d2| + . . .+ |dn2 |).

Acum, din (9.6), (9.7) si (9.8), pentru orice n natural, n > n1 + n2 − 1, avem

|Cn −AnB| ≤ (|a1| |dn| + |a2| |dn−1 + . . .+ |an−n1 | |dn1+1)+

+(|an−n1+1| |dn1 | + . . .+ |an| |d1|) <<

ε

2M(|a1| + |a2| + . . . ||an−n1 |)+

2(|d1| + . . .+ |dn1 |)(|dn1 | + . . .+ |d1|) <

2M·M +

ε

2= ε

Ceea ce ne arata ca limn→∞(Cn − AnB) = 0. De aici, obtinem lim

n→∞Cn = limn→∞AnB = A · B,

ceea ce trebuia demonstrat.

178

Page 178: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

9.4 Serii cu termeni pozitivi

In paragraful precedent am vazut ca o serie∑

an absolut convergenta este si conver-

genta. Cum ın seria∑

|an| avem |an| ≥ 0, n = 1, 2, . . ., rezulta ca prezinta interes sa obtinem

criterii de convergenta pentru serii∑

an, cu an > 0, n = 1, 2, 3, . . ..

Definitia 9.4.1 O serie∞∑n−1

an cu an > 0, n = 1, 2, 3, . . ., se numeste serie cu termeni pozitivi.

Teorema 9.4.1 (Criteriul marginirii sirului sumelor partiale). Seria cu termeni pozitivi∑an este convergenta daca si numai daca sirul sumelor partiale este marginit.

Demonstratie. Daca seria∑

an este convergenta, atunci sirul sumelor partiale (Sn) esteconvergent si, prin urmare, marginit.

Reciproc daca sirul sumelor partiale (Sn) este marginit, observand ca el este strictcrescator (Sn+1 − Sn = an+1 > 0, n = 1, 2, . . .), deducem ca el este convergent, ceea ce nedemonstreaza ca seria

∑an este convergenta.

Criteriul marginirii sirului sumelor partiale ne va permite sa obtinem conditii sufi-ciente pentru convergenta seriilor cu termeni pozitivi.

Teorema 9.4.2 (Criteriul de comparatie a termenilor generali). Fie seriile cu termenii poz-

itivi∞∑n=1

an si∞∑n=1

bn astfel ca an ≤ bn, pentru orice n ∈ N∗. i) Daca∞∑n=1

bn este convergenta,

atunci si∞∑n=1

an este convergenta; ii) Daca∞∑n=1

an este divergenta, atunci si∞∑n=1

bn este di-

vergenta.

Demonstratie. Fie An = a1 +a2 + . . .+an si Bn = b1 + b2 + . . .+ bn pentru n ∈ N∗. Din an ≤ bnrezulta

An ≤ Bn, pentru orice n ∈ N∗(9.9)

i) Daca∞∑n=1

bn este convergenta, atunci sirul (Bn) este marginit si din (9.9) deducem ca

sirul (An) este marginit, deci, conform criteriului marginirii sirului sumelor partiale,

seria∞∑n=1

an este convergenta.

ii) Daca seria∞∑n=1

an este divergenta, atunci sirul (An) este divergent si crescator; deci,

sirul (Bn) este divergent si crescator. Prin urmare, seria∞∑n=1

bn este divergenta.

Observatia 9.4.1 Criteriul de comparatie al termenilor generali se pastreaza si daca an ≤ bnpentru orice n > n0, n0 ∈ N.

Exemplul 9.4.1. Seria∞∑n=1

1nα

, α ∈ R se numeste seria armonica generalizata.

Pentru α = 1 seria este divergenta (Exemplul 9.1.4.).

Daca α < 1, atunci 1/nα > 1/n, pentru orice n ∈ N∗. Cum seria∞∑n=1

1n

este divergenta,

179

Page 179: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

conform criteriului de comparatie a termenilor generali obtinem ca seria∞∑n=1

1nα

este diver-

genta pentru α < 1.Fie α ∈ R, α > 1. Avem

1 ≤ 112α

+13α

≤ 2 · 12α

=1

2α−1

14α

+15α

+16α

+17α

< 4 · 14α

<

(1

2α−1

)2

1(2t−1)α

+1

(2t−1 + 1)α+ . . .+

1(2t1)α

< 2 · 1(2n−1)α

=(

12α−1

α)t−1

,

de unde

S2t−1 =2t−1∑k=1

1kα

<t∑

k=1

1(2α−1)k−1

=1 − 1

(2α−1)t

1 − 12α−1

<2α − 1

2α−1 − 1,

adica subsirul (S2t−1) al sirului sumelor partiale (Sn) este marginit.Cum sirul (Sn) este crescator si pentru orice n ∈ N exista un t ∈ N asa ıncat n < 2t − 1,

deducem ca sirul (Sn) este marginit. Prin urmare, conform criteriului marginirii sumelor

partiale rezulta ca seria∞∑n=1

1nα

este convergenta pentru orice α ∈ R, α > 1.

Este bine de retinut ca seria armonica generalizata∞∑n=1

1nα

este convergenta pentru

α > 1 si divergenta pentru α ≤ 1.

Exemplul 9.4.2. Seria∞∑n=1

1√n(n+ 1)(n+ 2)

este convergenta deoarece

1√n(n+ 1)(n+ 2)

<1√n3,

iar seria∑ 1

n3/2este convergenta fiind o serie armonica generalizata cu α = 3/2 > 1.

Teorema 9.4.3 (Criteriul de comparatie al limitei raportului termenilor generali). Fie seri-

ile∑

an si∑

bn cu termenii pozitivi.

i) Daca exista limn→∞

anbn

= λ si λ ∈ (0,∞), atunci cele doua serii au aceeasi natura.

ii) Daca limn→∞

anbn

= 0, atunci daca∑

bn este convergenta rezulta ca si∑

an este conver-

genta, iar daca∑

an este divergenta rezulta ca si∑

bn este divergenta.

iii) Daca limn→∞

anbn

= ∞, atunci daca∑

an este convergenta rezulta ca si∑

bn este conver-

genta, iar daca∑

bn este divergenta rezulta ca si∑

an este divergenta.

Demonstratie. i) Din limn→∞

anbn

= λ rezulta ca, pentru orice ε > 0, exista nε ∈ N, asa ıncat,

pentru orice n > nε, sa avem∣∣∣∣anbn − λ

∣∣∣∣ < ε, de unde

λ− ε <anbn

< λ+ ε.

180

Page 180: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

De aici, luand ε = λ/2, gasim

λ

2bn < an <

32λ · bn,(9.10)

pentru orice n > nλ/2.Din (9.10), aplicand teorema 9.4.2, rezulta afirmatia de la i).ii) Daca λ = 0, atunci pentru orice ε > 0, exista nε ∈ N, astfel ıncat sa avem −ε <

an/bn < ε, pentru orice n > n0, de unde obtinem

an < εbn, pentru orice n > n0.(9.11)

Aplicand criteriul de comparatie a termenilor generali, din (9.11) rezulta afirmatia dela ii).

iii) Daca limn→∞ an/bn = ∞, atunci rezulta ca lim

n→∞ bn/an = 0, de unde, conform cu ii) al

teoremei, obtinem afirmatiile de la iii).

Exemplul 9.4.3. Seria∞∑n=2

( n√

2 − 1) este divergenta deoarece, considerand seria∑ 1

n,

cum

limn→∞

n√

2 − 11n

= limn→∞

21n − 1

1n

= ln 2 > 0,

rezulta conform teoremei 9.4.3i), ca seria data are aceeasi natura ca si seria armonica∑ 1

n,

adica divergenta.

Teorema 9.4.4 (Criteriul raportului – D′Alembert). Fie seria numerica∞∑n=1

an cu termeni

pozitivi. Dacaan+1

an≤ λ < 1, pentru orice n ∈ N∗, atunci seria este convergenta, iar daca

an+1

an≥ 1, pentru orice n ∈ N∗, atunci seria este divergenta.

Demonstratie. Dacaan+1

an≤ q < 1. atunci putem scrie

an = a1 · a2

a1· a2

a2· . . . · an

an−1≤ a1 · q · q . . . q︸ ︷︷ ︸

(n−1) ori

= a1qn−1,

de unde an ≤ a1qn−1. Cum q < 1, rezulta ca seria geometrica

∞∑n=1

aqn−1 este convergenta, iar

de aici, folosind criteriul de comparatie, a termenilor generali, deducem ca seria∑

an esteconvergenta, ın acest caz.

Dacaan+1

an≥ 1, rezulta ca sirul de numere pozitive (an) este crescator, deci lim

n→∞ an = 0.

Utilizand Corolarul 9.1.1, rezulta ca seria∑

an este divergenta.

Corolarul 9.4.1 Fie seria∑

an cu termeni pozitivi. Daca exita limn→∞

an+1

an= l, atunci:

i) daca l < 1, seria∑

an este covnergenta;

ii) daca l > 1, seria∑

an este divergenta.

Demonstratie. i) Daca limn→∞

an+1

an= l < 1, atunci pentru orice ε, cu 0 < ε < 1− l, exista nε ∈ N

astfel ca, pentru orice n > ε, sa avem ∣∣∣∣an+1

an− l

∣∣∣∣ < ε,

181

Page 181: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

de undean+1

an< l + ε < 1, pentru orice n > nε.

Acum, folosind prima parte a Teoremei 9.4.4, obtinem ca seria∑

an este convergenta.

ii) In situatia l > 1, procedand ın mod analog, gasim

an+1

an> l − ε > 1, pentru n > nε

De aici, utilizand a doua parte a Teoremei 9.4.4, deducem ca seria∑

an este diver-genta.

Observatia 9.4.2 Corolarul 9.4.1 nu este aplicabil ın situatia l = 1. In acest caz, trebuieapelat la alte metode pentru a preciza natura seriei de studiat.

Exemplul 9.4.4. Seria de numere reale

∞∑n=1

3nn!nn

,

este cu termeni pozitivi. Vom studia natura ei utilizand criteriul raportului cu limita. Avemsuccesiv:

limn→∞

an+1

an= limn→∞

3n+1·(n+1)!(n+1)n+1

3n·n!nn

= limn→∞ 3

(n

n+ 1

)n=

= 3 limn→∞

1(n+1n

)n =3e

Cum 3/e > 1, rezulta ca seria este divergenta.

Teorema 9.4.5 (Criteriul radacinii – Cauchy). Fie seria∑

an cu termeni pozitivi. Dacan√an ≤ λ < 1. pentru n ≥ 1, atunci seria este convergenta, iar daca n

√an ≥ 1, pentru n ≥ 1,

atunci seria este divergenta.

Demonstratie. Daca n√an ≤ λ < 1, atunci avem

an = ( n√an)n ≤ λn, pentru orice n ≥ 1.

Cum seria geometrica∑

λn este convergenta deoarece λ < 1, conform criteriului de

comparatie a termenilor generali, rezulta ca si seria∑

an este convergenta.Daca n

√an ≥ 1, atunci an ≥ 1, deci lim

n→∞ �= 0 si deci, pe baza Corolarului 9.1.1, rezulta

ca seria∑

an este divergenta.

Corolarul 9.4.2 (Criteriul radacinii cu limita). Fie seria∑

an cu termeni pozitivi. Daca

exista limn→∞

n√an = l, atunci seria este convergenta pentru l < 1 si este divergenta pentru

l > 1.

Demonstratie. Daca limn→∞

n√an = l < 1, atunci pentru orice ε, cu 0 < ε < 1 − l, exista un

numar natural nε, asa ıncat

| n√an − l| < ε, pentru n > nε,

de unden√an < l + ε < 1, pentru n > nε,

adicaan < (l + ε)n, pentru n > nε.

182

Page 182: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Cum seria geometrica∑

(l + ε)n este convergenta, conform criteriului de comparatie

a termenilor generali, rezulta ca seria∑

an este convergenta.Daca l > 1, procedand ın mod analog, gasim

an > (l − ε)n, cu l − ε > 1, pentru n > nε,

de unde obtinem ca seria∑

an este divergenta.Exemplul 9.4.5. Seria numerica

∞∑n=1

(2a · n+ 1n+ 1

)n, cu a > 0,

este cu termeni pozitivi.Utilizand criteriul radacinii cu limita, avem

limn→∞

n

√(2a · n+ 1n+ 1

)n= limn→∞

2a · n+ 1n+ 1

= 2a.

Daca 2a < 1, adica a < 1/2, atunci seria numerica data este convergenta, iar daca2a > 1, adica a > 1/2, atunci seria data este divergenta.

Daca a = 1/2 atunci termenul general al seriei este 1, ceea ce implica ca seria estedivergenta.

Teorema 9.4.6 (Criteriul Raabe–Duhamel cu limita). Fie seria∑

an cu termeni pozitivi.

Daca

limn→∞n

(anan+1

− 1)

= l,

atunci seria este convergenta cand l > 1 si este divergenta cand l < 1.

Demonstratie. Daca l > 1, atunci pentru orice ε ∈ (0, l − 1) exista nε ∈ N asa ıncat

n

(anan+1

− 1)> l − ε, pentru n > nε,

de unde(l − ε)an+1 < nan − nan+1, pentru n > nε.(9.12)

Fara a restrange generalitatea, putem considera ca (9.12) are loc pentru orice n ∈ N∗.Dand succesiv valorile 1, 2, . . . , n− 1 ın (9.12) obtinem

(l − ε)a2 < a1 − a2

(l − ε)a3 < 2a2 − 3a3

...

(l − ε)an < (n− 1)an−1 − (n− 1)an,

care adunate membru cu membru conduc la

(l − ε)(a2 + a3 + . . .+ an) << a1 + a− 2 + . . .+ an−1 − (n− 1)an.

(9.13)

Punand Sn = a1 + a2 + . . .+ an, n ∈ N∗, din (9.13) obtinem

(l − ε)(Sn − a1) < Sn − nan < Sn, pentru orice n ∈ N∗,

183

Page 183: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

de unde gasim

Sn <a1(l − ε)l − ε− 1

, pentru orice n ∈ N∗,

ceea ce ne arata ca sirul sumelor partiale este marginit. Prin urmare conform cu criteriulmarginirii sirului sumelor partiale, deducem ca seria

∑an este convergenta.

Daca l < 1, atunci pentru orice ε ∈ (0, 1 − l) exista nε ∈ N astfel ıncat

n

(anan+1

− 1)< l + ε < 1, pentru orice n > nε,

de undenan − nan+1 < an+1, n > nε

adicanan < (n+ 1)an+1, n > nε.(9.14)

Fara a micsora generalitatea, putem presupune ca (9.14) are loc pentru orice n ∈ N∗.Luand succesiv ın (9.14) pentru n valorile 1, 2, . . . , n− 1, obtinem

a1 < 2a2, 2a2 < 3a3, . . . , (n− 1)an−1 < nan,

care ınmultite membru cu membru conduc la a1 < nan, de unde

an >1na1.

Cum seria armonica∑ 1

neste divergenta, conform criteriului de comparatie a terme-

nilor generali, deducem ca si seria an este divergenta.Exemplul 9.4.6. Fie seria numerica

∞∑n=1

2 · 4 · 6 . . . 2n1 · 3 · 5 . . . (2n− 1)

· 12n+ 1

.

Sa cercetam natura acestei serii de termeni pozitivi. Notand cu an termenul generalal seriei, avem

an+1

an=

2 · 4 · 6 . . . 2n(2n+ 2)1 · 3 · 5 . . . (2n+ 1)

· 12n+ 3

/2 · 4 . . . 2n

1 · 3 . . . (2n− 1)· 12n+ 1

=

=2n+ 22n+ 3

.

Cum limn→∞

an+1

an= 1, rezulta ca nu putem preciza natura seriei cu ajutorul criteriului

raportului. Aplicam criteriul Raabe–Duhamel:

limn→∞n

(anan+1

− 1)

= limn→∞n

(2n+ 32n+ 2

− 1)

=

= limn→∞

n

2n+ 2=

12< 1,

de unde rezulta ca seria data este divergenta.

184

Page 184: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

9.5 Problema economica. Fluxul de venit

In problemele de capitalizare se pune problema: ce suma trebuie investita ca dupa xani sa se obtina o suma egala cu a, daca se cunoaste dobanda r% si frecventa capitalizariiei.

Sa notam cu S suma investita (ce trebuie aflata). Ea se numeste valoarea prezenta siscontata a sumei a, disponibila peste x ani.

Daca dobanda r% se capitalizeaza o data pe an, atunci din aplicatia economica din1.1, rezulta ca suma disponibila peste x ani este S(1 + r)x. Atunci, din

S(1 + r)x = a,

rezultaS =

a

(1 + r)x.

Daca dobanda s-ar capitaliza de n ori pe an, cu r%, atunci

S =a(

1 + rn

)nx .In fine, daca, dobanda s-ar adauga continuu, cu r%, atunci

S = ae−rx.

Parametrii de care depinde S sunt r si n, care reprezinta dobanda si frecventa cap-italizarii. Se observa ca suma prezenta S este cu atat mai mica cu cat dobanda este maimare si cu cat se capitalizeaza mai des.

Problema pusa se poate extinde astfel: daca dorim sa variem veniturile de la an la ancu valorile a0, a1, . . . , am, adaugandu-se ın fiecare an dobanda r%,a tunci valoarea variatieivenitului, numita flux de venituri, ar fi

a0 +a1

1 + r+

a2

(1 + r)2+ . . .+

am(1 + r)m

.(9.15)

Suma (9.15) se numeste valoarea de capital a fluxului de venit. Ea este suma S cetrebuie investita pentru a obtine veniturile a0, a1, . . . , am ın anii urmatori.

Se observa ca daca numarul anilor de capitalizare ar creste indefinit, atunci suma(9.15) reprezinta o serie de tip geometric.

Sa consideram acum un flux de venit ın valoare a care ıncepe ın anul urmator sicontinua timp de n ani cu dobanda anuala r%. Atunci valoarea prezenta a fluxului va fi

S =a

1 + r+

a

(1 + r)2+ . . .+

a

(1 + r)n=

a

1 + r·1 − 1

(1+r)n

1 − 11+r

=a

r

[1 −

(1

1 + r

)n].

Daca fluxul de venit continua indefinit, atunci valoarea prezenta se obtine prin

trecere la limita, facand n → ∞, adica suma seriei geometrice convergente∞∑n=1

a/(1 + r)n.

Prin urmare, valoarea prezenta S a sumei a, care va fi capitalizata la nesfarsit, cu ratadobanzii r% anual, este a/r.

185

Page 185: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

9.6 Test de verificare a cunostintelor nr. 8

1. Definiti urmatoarele notiuni:

a) Serie numerica;

b) Serie numerica convergenta;

c) Suma unei serii numerice;

d) Serie numerica semiconvergenta.

2. Enuntati:

a) Criteriul lui d′Alembert (raportului) pentru serii cu termeni pozitivi;

b) Criteriul lui Cauchy (radicalului) pentru serii cu termeni pozitivi;

c) Criteriul lui Raabe - Duhamel pentru serii cu termeni pozitivi;

d) Criteriul lui Leibniz pentru serii alternante;

e) Primul criteriu de comparatie pentru serii cu termeni pozitivi.

3. Aflati suma seriei∑n≥1

un cu un =1

n(n+ 1).

4. Aflati suma seriei∑n≥2

un cu un =n2 + n− 3

n!.

5. cercetati natura seriilor∑n≥1

un cu:

a) un =nn

n!,

b) un =an · n!nn

cu a > 0, a �= e,

c) un =n2

2n.

6. Sa se studieze natura seriilor∑n≥1

un cu:

a) un =(

2n+ 13n+ 2

)n,

b) un =[√

(n+ 1)(n+ a) − n]n

cu a > 0,

c) un =1(

1 +1n

)n2 ,

d) un =(

13 + 23 + ...+ n3

n3− n

4

)n.

7. Sa se studieze natura seriei∑n≥1

un, unde

un =n!

(λ+ 1)(λ+ 2)...(λ+ n)cu λ ∈ R.

8. Sa se studieze natura seriilor

186

Page 186: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

a)∑n≥1

un cu un =[1 · 3 · 5 · ... · (2n− 1)

2 · 4 · 6 · ... · (2n)

]a· 1nn

cu a ∈ R3.

b)∑n≥1

un, cu un =1

3√n4 + 1

, folosind primul criteriu de comparatie pentru serii cu

termeni pozitivi.

c)∑n≥1

un cu:

i) un =1nα

, α ≤ 1,

ii) un =1nα

, α ≥ 2.

folosind criteriul general al lui Cauchy.

9. Sa se studieze absolut convergenta si semiconvergenta seriei numerice∑n≥1

un cu:

a) un =(−1)n−1√n(n+ 1)

,

b) un =sinna

2n, a ∈ R.

10. Sa se studieze natura seriei∑n≥1

un cu:

a) un = (−1)n · 13n

,

b) un = (−1)n · n

n2 − 1.

187

Page 187: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Indicatii si raspunsuri Testul nr. 8

3. S = 1.

4. S = 4.

5. a) Serie divergenta;

b) Serie divergenta pentru a > e, respectiv convergenta pentru a < e;

c) Serie convergenta.

6. a) Pentru a < 1 seria converge. Pentru a ≥ 1 seria diverge;

b) Serie convergenta;

c) Serie convergenta;

d) Serie convergenta.

7. Pentru λ > 1 seria converge. Pentru λ ≤ 1 seria diverge.

8. a) Pentru a ≤ −2 seria diverge. Pentru a > −2 seria converge;

b) Se compara cu seria∑n≥1

1n

43care converge, deci si seria data converge.

c) La (i) seria diverge iar la (ii) seria converge.

9. a) Serie semiconvergenta;

b) Serie absolut convergenta, deci si convergenta.

10. a) Serie absolut convergenta, deci si convergenta;

b) Serie convergenta.

188

Page 188: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Bibliografia aferenta capitolului:[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate ın economie - Volumul II,

Editura ULB, Sibiu, 2002.[2] Donciu, N., Flondor, D., Algebra si analiza matematica. Culegere de probleme,

Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1979.[3] Nicolescu, M., Dinculeanu, N., Marcus, S., Manual de analiza matematica, Vol.I,

1962, Vol.II, 1964, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti.[4] Olaru, V., Halanay, A., Turbatu, S., Analiza matematica, Editura Didactica si Ped-

agogica, Bucuresti, 1983.

189

Page 189: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Capitolul 10

Functii ıntre spatii metrice

Obiective: Prezentarea notiunilor generale legate de functiile ıntre spatii metrice (ınspecial cazurilor Rn si R).

Rezumat: In acest capitol sunt introduse si studiate notiunile de vecinatate a unuipunct ıntr-un spatiu metric, functie ıntre spatii metrice, limita a unei functii ıntr-un punct,continuitatea functiilor ıntre spatii metrice.

Continutul capitolului:1. Vecinatate a unui punct2. Functii ıntre spatii metrice3. Limita unei functii ıntr-un punct4. Continuitatea functiilor ıntre spatii metrice5. Test de verificare a cunostintelor6. Bibliografia aferenta capitolului

Cuvinte cheie: functie ıntre spatii metrice, vecinatate, limita, continuitate.

10.1 Vecinatatea unui punct

Notiunea de vecinatate a unui punct ıntr-un spatiu metric este fundamentala ın setareanotiunilor de limita si de continuitate.

Definitia 10.1.1 Fie (X, d) un spatiu metric si a un punct arbitrar din X si r un numar realpozitiv.

MultimeaS(a, r) = {x ∈ X|d(a, x) < r}

se numeste sfera (bila) deschisa sau de centru a si raza r, iar multimea

S(a, r) = {x ∈ X|d(a, x) ≤ r}se numeste sfera (bila) ınchisa de centru a si raza r.

Exemplul 10.1.1. Pentru X = R si d(x, y) = |x− y|, pentru orice x, y ∈ R. sfera deschisa

S(a, r) = {x ∈ R⊥ : |x− a| < r} = (a− r, a+ r)

este intervalul deschis, centrat ın a, iar sfera ınchisa

S(a, r) = {x ∈ R⊥ : |x− a| ≤ r}este intervalul ınchis [a− r, a+ r].

Exemplul 10.1.2. Pentru X = R2, sfera ınchisa, si respectiv deschisa, de centru (a, b)si de raza r ın raport cu metrica euclidiana

d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2, unde x = (x1, x2) si

190

Page 190: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

y = (y1, y2 ∈ R2),sunt date, repectiv, ın figurile 10.1.1. si 10.1.2.

Fig.10.1.1. Fig.10.1.2.

Exemplul 10.1.3. Pentru X = R2 si d(x, y) = max{|x1 − y1|, |x2 − y2|}, daca x = (x1, x2),y = (y1, y2), sfera deschisa de raza r si centru x0 = (a, b) ∈ R2 este trasata ın figura 10.1.4.,iar sfera ınchisa de aceeasi raza si acelasi centru este trasata ın figura 10.1.3.

Fig.10.1.3. Fig.10.1.4.

Exemplul 10.1.4. Daca X = R3 si d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2, unde x =(x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), atunci sfera deschisa S(x0, r) coincide cu interiorul sferei cu centrulın x0 = (a, b, c) si de raza r, iar sfera ınchisa S(x0, r) coincide cu multimea punctelor din R3

aflate ın interiorul sferei sau pe sfera de raza r si centru x0.

Definitia 10.1.2 Fie spatiul metric (X, d) si x0 un punct arbitrar din X. Numim vecinatatea punctului x0 o multime V (x0) a spatiului X pentru care exista o sfera deschisa centrataın x0, continuta ın V .

Altfel spus, V (x0) este vecinatate a lui x0 daca exista r > 0 asa ıncat S(x0, r) ⊂ V (x0).

Propozitia 10.1.1 Fie (X, d) un spatiu metric si x0 un punct arbitrar din X. Sunt valabileurmatoarele proprietati:

1) daca V (x0) este o vecinatate a punctului x0, atunci orice supramultime a sa, V , este,de asemenea vecinatate a punctului x0;

2) daca V1(x0) si V2(x0) sunt doua vecinatati ale punctului x0, atunci V1(x0) ∩ V2(x0) estevecinatate a punctului x0;

3) daca V (x1) este o vecinatate a punctului x0 atunci x0 ∈ V (x0);

4) daca V (x0) este o vecinatate a punctului x0, atunci exista o vecinatate W (x0) a punc-tului x0 astfel ca pentru orice y ∈ W (x0) multimea V (x0) sa fie vecinatate a punctuluiy.

191

Page 191: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Demonstratie. 1) Cum V (x0) este vecinatate a lui x0 rezulta ca exista r > 0 asa ıncatS(x0, r) ⊂ V (x0). Dar atunci S(x0, r) ⊂ U , adica U este o vecinatate a lui x0.2) Din faptul ca V1(x0) si V2(x0) sunt vecinatati ale lui x0 rezulta ca exista r1 > 0 si r2 > 0,asa ıncat S(x0, r1) ⊂ V1(x0) si S(x0, r2) ⊂ V2(x0). Considerand r = min(r1, r2) se observa caS(x0, r) ⊂ Vi(x0), i = 1, 2; deci S(x0, r) ⊂ V1(x0) ∩ V2(x0). Prin urmare, V1(x0) ∩ V2(x0) este ovecinatate a lui x0.3) Aceasta proprietate rezulta din definitia vecinatatii lui x0.4) Cum V (x0) este vecinatate a lui x0 rezulta ca exista r > 0 asa ca S(x0, r) ⊂ V (x0).Consideram W (x0) = S(x0, r). Daca y ∈ W (x0), ıntrucat d(y, x0) < r, luand r1 asa ıncat0 < r1 < r − d(y, x0), avem S(y, r1) ⊂ S(x0, r) ⊂ V (x0). Intr-adevar, daca z ∈ S(y, r), atuncid(y, z) < r1 si tinand seama de alegerea lui r1, avem d(z, x0) ≤ d(z, y)+d(y, x0) < r1 +d(x0, y) < r,ceea ce ne arata ca z ∈ S(x0, r). Prin urmare, S(y, r1) ⊂ V (x0), adica V (x0) este vecinatatepentru y ∈W (x0).

Din demonstratia proprietatii 4) a Propozitiei 10.1.1, rezulta:

Corolarul 10.1.1 Orice sfera deschisa dintr-un spatiu metric este vecinatate pentru oricepunct al sau.

Teorema 10.1.1 (Proprietatea de separatie Hausdorff). Daca a si b sunt doua puncte dis-tincte ale spatiului metric (X, d),a tunci exista o vecinatate V (a) a punctului a si o vecinatateU(b) a punctului b astfel ca V (a) ∩ U(b) = ∅.

Demonstratie. Cum a �= b, rezulta d(a, b) = k > 0. Consideram V (a) = S

(a,k

3

)si U(b) =

S

(b,k

3

). Evident ca V (a) si U(b) sunt vecinatati respectiv ale punctelor a si b. Vom arata ca

V (a)∩U(b) = Φ. Presupunem contrariul, adica exista z ∈ V (a)∩U(b). Atunci avem d(a, z) <k

3si d(b, y) <

k

3. Dar putem scrie k = d(a, b) ≤ d(a, z) + d(z, b) <

k

3+k

3=

2k3

, de unde 1 <23, ceea

ce evident este absurd. In concluzie, V (a) ∩ U(b) = Φ.

Definitia 10.1.3 O submultime D a spatiului metric (X, d) se numeste multime deschisa ınX fie daca D = Φ, fie daca D este o vecinatate pentru orice punct al sau, adica daca pentruorice x ∈ D exista r > 0 astfel ca S(x, r) ⊂ D.

Exemplu 10.1.5. Orice sfera deschisa S(x0, r) dintr-un spatiu metric este o multime deschisa.Valabilitatea acestei afirmatii rezulta din Corolarul 10.1.1. In particular, daca luam X = R

cu metrica euclidiana, atunci orice interval de forma (x0 − r, x0 + r), cu r > 0, este o multimedeschisa.Exemplu 10.1.6. In X = R cu metrica euclidiana, orice interval de forma (a, b), a < b, sau(a,+∞) sau (−∞, b), cu a, b ∈ R, este o multime deschisa.Exemplul 10.1.7. Multimile D1 = {(x, y) ∈ R2|2 < x < 4,−3 < y < 2} si D2 = {(x, y) ∈ R2|x2+y2 �=4} sunt deschise.Exemplul 10.1.8. Multimea {x ∈ R|3 < x ≤ 4} nu este deschisa ıntr-ucat (3, 4] nu estevecinatate pentru 4 (nici o sfera cu centrul ın 4 nu este continuta ın (3, 4]).

Propozitia 10.1.2 Fie (X, d) un spatiu metric. Sunt valabile urmatoarele afirmatii:

1) Orice reuniune (finita sau infinita) de multimi deschise este o multime deschisa;

2) Intersectia a doua multimi deschise este o multime deschisa;

3) X este o multime deschisa;

4) Orice multime deschisa nevida se poate reprezenta ca o reuniune de sfere deschise.

192

Page 192: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Demonstratie. 1) Fie (Di)i∈I o familie oarecare de multimi deschise ale lui X si fie D =⋃i∈I

Di.

Daca D = Φ, atunci D este deschisa pe baza Definitiei 10.1.3. Daca D �= Φ, sa consideramun x ∈ D arbitrar. Atunci rezulta ca exista Di0 asa ıncat x ∈ Di0 . Cum Di0 este multimedeschisa rezulta ca Di0 este vecinatate pentru x. Dar Di0 ⊂ D si atunci ın conformitate cuproprietatea 1) din Propozitia 10.1.1, obtinem ca D este vecinatate a punctului x. Deoarecex a fost ales arbitrar rezulta ca D este o multime deschisa.2) Fie D1 si D2 doua multimi deschise si D = D1 ∩D2. Daca D = Φ, atunci proprietatea esteevidenta. Daca D �= Φ, atunci fie x ∈ D arbitrar. Atunci x ∈ D1 si x ∈ D2. Cum D1 si D2

sunt deschise, rezulta ca D1 si D2 sunt vecinatati ale punctului x. Folosim proprietatea 2)din Propozitia 10.1.1, rezulta ca si D este vecinatate pentru punctul x. Cum x a fost alesarbitrar rezulta ca D este o multime deschisa.3) Este evidenta.4) Fie D �= Φ o multime deschisa; atunci pentru orice x ∈ D exista rx > 0 asa ıncat S(x1, rx) ⊂D. Dar D =

⋃x∈D

{x} ⊂⋃x∈D

S(x, rx) ⊂ D, de unde rezulta D =⋃x∈X

S(x, rx), ceea ce trebuie

demonstrat.

Corolarul 10.1.2 Intersectia unui numar finit de multimi deschise este o multime deschisa.

Justificarea acestui corolar rezulta din afirmatia 2) de la Propozitia 10.1.2.O intersectie infinita de multimi deschise poate sa nu mai fie o multime deschisa. Se

poate vedea acest fapt din exemplul urmator.

Exemplul 10.1.9. In spatiu metric X = R cu metrica euclidiana multimea Dk =(−1k,1k

)este

deschisa, pentru orice k ∈ N∗. Se observa ca∞⋂k=1

Dk = {0} care nu este o multime deschisa

deoarece pentru orice r > 0, intervalul (−r, r) �⊂ {0}.Definitia 10.1.4 O submultime H a spatiului metric (X, d) se numeste ınchisa daca comple-mentara C(X) = X −H este deschisa.

Exemplul 10.1.10. Multimile X si Φ sunt ınchise deoarece C(x) = Φ si C(Φ) = X sunt deschise.Exemplul 10.1.11. Orice sfera ınchisa dintr-un spatiu metric (X, d) este o multime ınchisa.

Intr-adevar, fie S(x0, r) = {x ∈ X|d(x, x0) ≤ r} si fie y ∈ C(S(x0, r)) ales arbitrar. Dacaluam 0 < r1 < d(y, x0) − r, atunci se observa ca S(y, r1) ⊂ C(S(x0, r)), adica C(S(x0, r)) estevecinatate pentru punctul y.

In particular, pentru X = R intervalul ınchis [a, b], a, b ∈ R, a ⊂ b este o multime ınchisa.Utilizand Propozitia 10.1.2 si formulale lui Morgan rezulta valabilitatea urmatoarei

propozitii:

Propozitia 10.1.3 Daca (X, d) este un spatiu metric, atunci:

1) Orice intersectie de multimi ınchise ale lui X este o multime ınchisa;

2) Orice reuniune finita de multimi ınchise ale lui X este o multime ınchisa.

Observatia 10.1.1 Un spatiu metric contine si submultimi care nu sunt nici deschise niciınchise. De exemplu, daca X = R cu metrica euclidiana, atunci un interval de forma [a, b)cu a, b ∈ R, a < b, nu este nici multime deschisa nici ınchisa. Nu este deschisa deoarecemultimea [a, b) nu este vecinatate pentru punctul a si nu este ınchisa deoarece complementaraC([a, b)) = R − [a, b) = (−∞, a) ∪ [b,∞) nu este multime deschisa, nefiind vecinatate pentrupunctul b.

Definitia 10.1.5 Daca A este o submultime nevida a spatiului metric (X, d), numim di-ametrul multimii A, notat δ(A), elementul din R+ = (0,∞) ∪ (+∞) definit prin

δ(A) = sup{d(x, y)|x ∈ A, y ∈ A}.

193

Page 193: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Exemplul 10.1.13. Daca X = R2 este ınzestrat cu metrica euclidiana si A = {(x, y) ∈ R2|1 ≤x ≤ 2, 1 ≤ y < 3}, atunci δ(A) =

√(2 − 1)2 + (3 − 1)2 =

√5.

Definitia 10.1.6 Fie A o submultime nevida a spatiului metric (X, d). Spunem ca A este omultime marginita daca δ(A) < +∞. Daca δ(A) = +∞, atunci spunem ca multimea A estenemarginita. Practic, pentru a arata ca o multime A este marginita este suficient sa ratamca multimea {d(x, y)|x, y ∈ A} este majorata.

Propozitia 10.1.4 O multime nevida A ⊂ (X, d) este marginita daca si numai daca exista osfera deschisa S(x0, r). asa ıncat A ⊂ S(x0, r).

Demonstratie. Fie A �= Φ si marginita. Daca A contine un singur punct, atunci proprietateaeste evidenta. Sa presupunem ca A contine cel putin doua puncte. Consideram x0 si x1

doua puncte arbitrare diferite din A. Fie r ∈ R, r > d(x0, x1) + δ(A); evident r > 0. Pentrusfera S(x0, r) avem A ⊂ S(x0, r) deoarece, pentru orice y ∈ A, avem d(y, y0) < δ(A) < r.

Reciproc, daca exista o sfera deschisa S(x0, r) asa ıncat A ⊂ S(x0, r), atunci δ(A) ≤δ(S(x0, r)) ≤ 2r, adica A este o multime marginita.

Definitia 10.1.7 Fie A o submultime nevida a spatiului metric (X, d). Un punct x0 ∈ A estenumit punct interior al multimii A daca A este o vecinatate pentru x0, daca exista r > 0asa ıncat S(x0, r) ⊂ A.

Definitia 10.1.8 Multimea tuturor punctelor interioare multimii A se numeste interiorul luiA si se noteaza cu A sau int A.

Exemplul 10.1.14. Fie X = R spatiul metric ınzestrat cu metrica euclidiana, iar A1 = [a, b],A2 = [a, b), A3 = (a, b], A4 = (a, b) submultimi ale lui X. Se observa ca: A1 = A2 = A3 = A4 =(a, b). Punctul a nu este interior lui A1 deoarece A1 nu este vecinatate pentru a.

Teorema 10.1.2 Multimea A nevida din spatiul metric (X, d) este deschisa daca si numaidaca A = A.

Demonstratie. Sa presupunem ca A este deschisa; atunci pentru orice x ∈ A avem ca A esteo vecinatate a lui x, adica x ∈ A. Cum totdeauna A ⊂ A, obtinem A = A.

Reciproc, daca A = A, atunci orice x ∈ A este punct interior lui A si deci A este ovecinatate a lui x, ceea ce ne arata ca A este deschisa.

Definitia 10.1.9 Fie A o submultime nevida a spatiului metric (X, d). Un punct interiorcomplementarei lui A se numeste punct exterior multimii A, iar int C(A) se numeste exte-riorul lui A, notat prin Ext A.

Definitia 10.1.10 Fie A o submultime a spatiului metric (X, d) un element x0 ∈ X se numestepunct aderent multimii A daca pentru orice vecinatate V (x0) a lui x0 avem V ∩A �= Φ.

Definitia 10.1.11 Daca A ⊂ (X, d), multimea tuturor punctelor aderente multimii se numesteaderenta sau ınchiderea multimii A, notata cu A.

Exemplul 10.1.15. Orice punct al multimii A din Definitia 10.1.10 este punct aderent almultimii A. Evident ca avem A ⊆ A.Exemplul 10.1.16. Pentru multimea A = (a, b) ⊂ R, a, b ∈ R, a < b, punctele a, b sunt puncteaderente deoarece orice vecinatate a lor are puncte comune cu A. Avem A = [a, b].

Teorema 10.1.3 Multimea A din spatiul metric (X, d) este ınchisa daca si numai daca A = A.

Demonstratie. Sa admitem ca A este o multime ınchisa. Atunci conform Definitiei 10.1.4,deducem ca multimea C(A) este deschisa. Cum A ⊆ A trebuie sa aratam ca A ⊆ A. DarA ⊆ A este echivalent cu C(A) ⊆ C(A). Fie x ∈ C(A) arbitrar, cu C(A) deschisa. Atunciconform Definitiei 10.1.3 rezulta ca C(A) este vecinatate a lui X. Insa C(A)∩A = Φ, ceea ceimplica x �∈ A, deci x ∈ C(A).

194

Page 194: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Reciproc, sa presupunem ca A = A. Fie x ∈ C(A) = C(A); atunci x �∈ A, deci exista ovecinatate V (x) a punctului x, cu proprietatea V (x) ∩ A = Φ. Rezulta ca V (x) ⊂ C(A); deunde, pe baza proprietatii 1) din Propozitia 10.1.1, obtinem ca C(A) este o vecinatate apunctului x. Cum x a fost ales arbitrar din C(A), deducem ca C(A) este o multime deschisa,adica A este ınchisa.

Definitia 10.1.12 Fie A o submultime a spatiului metric (X, d). Numim frontiera multimiiA, notata cu ∂A sau Fr A, multimea A∩C(A). Punctele multimii Fr A se numesc punctelefrontiera ale multimii A.

Este evident ca Fr A = A− A.

Exemplul 10.1.17. Daca A = [a, b], atunci Fr A = {a, b}.Exemplul 10.1.18. Daca A = Q, atunci A = Q = R, C(Q) = R si Fr A = R.Exemplul 10.1.19. Daca A = R2, atunci Fr A = Φ.

Definitia 10.1.13 O submultime A a unui spatiu metric X, d) se numeste densa ın X dacaX = A.

Exemplul 10.1.20. Multimea Q este densa ın R (ınzestrat cu metrica euclidiana) deoareceQ = R. La fel multimea numerelor irationale R −Q este densa ın R.Exemplul 10.1.21. Multimea Qn = Q×Q× . . .×Q (de n ori) este densa ın R.

Definitia 10.1.14 Un spatiu metric (X, d) se numeste separabil daca contine o submultimeA numarabila si densa ın X.

Exemplul 10.1.22. Spatiul metric R ınzestrat cu metrica euclidiana este separabil deoareceQ este multime numarabila si densa ın R.Exemplul 10.1.23. Spatiu metric Rn, n ≥ 1, ınzestrat cu metrica euclidiana este separabildeoarece multimea Qn este numarabila si densa ın Rn.

Definitia 10.1.15 Fie A o submultime a spatiului metric (X, d). Un punct x ∈ X se numestepunct de acumulare pentru multimea A daca pentru orice vecinatate V (x) a lui x are loc(V (x) − {x}) ∩ A �= Φ, adica ın orice vecinatate V (x) a punctului x se gasesc puncte din A,diferite de x.

Multiema punctelor de acumulare ale multimii A se numeste multimea derivata si senoteaza cu A′.

Observatia 10.1.2 Orice punct de acumulare este un punct aderent.

Observatia 10.1.3 In orice vecinatate a unui punct de acumulare x0 se gaseste o infinitatede puncte din A. Intr-adevar, daca propunem ca exista o vecinatate V (x0) a punctului x0

care sa contina numai un numar finit de puncte x1, x2, . . . , xn, diferite de x0 si apartinandlui A, atunci alegand r asa ıncat 0 < r < min

i=1,nλd(x0, xi)}, sfera S(x0, r) nu mai contine nici

un punct din A diferit de x0, ceea ce contrazice definitia punctului de acumulare.

Din aceasta observatie rezulta ca o multime finita nu are puncte de acumulare.

Definitia 10.1.16 Fie A o submultime a spatiului metric (X, d). Un punct x ∈ A care nu estepunct e acumulare pentru A se numeste punct izolat.

Altfel spus, un punct x ∈ A este izolat daca exista o vecinatate V (x) a sa astfel ıncatV (x) ∩A = {x}.Exemplul 10.1.24. Pentru multimea A = (0, 1)∪ {2, 3} din R avem A′ = [0, 1], iar punctele 2 si3 sunt izolate.

Teorema 10.1.4 (de caracterizare a punctelor aderente si a punctelor de acumulare). FieA o submultime a spatiului metric X, d).

195

Page 195: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

1) un punct x ∈ X este aderent multimii A daca si numai daca exista un sir (xn) depuncte din A astfel ca lim

n→∞xn = x (ın X).

2) Un punct x ∈ X este punct de acumulare al multimii A daca si numai daca exista unsir (xn) de puncte din A astfel ıncat xn �= x, pentru orice n ∈ N, si lim

n→∞xn = x (ın X).

Demonstratie. 1) Sa presupunem ca x ∈ A, adica este punct aderent pentru A. Atunci,

pentru orice n ∈ N∗, sfera deschisa S(x,

1n

)are puncte comune cu A. Alegem cate un punct

xr ∈ A ∩ S

(x,

1n

), pentru orice n ∈ N∗. Obtinem, astfel, sirul de puncte (xn) din A cu

d (xn, x) <1n, pentru orice n ∈ N∗. Din d(xn, x) <

1n

rezulta limn→∞ d(xn, x) = 0, ceea ce ne arata

ca limn→∞xn = x (ın X).

Reciproc, daca (xn) este un sir de puncte din A, astfel ıncat limn→∞xn = x (ın X), atunci,

pentru orice ε > 0, exista un nε ∈ N astfel ıncat xn ∈ S(x, ε) de ındata ce n > nε. Rezulta capentru orice ε > 0 avem S(x, ε) ∩A �= Φ, ceea ce ne asigura ca x ∈ A.

2) Demonstratia se face ın acelasi mod ca la punctul 1), utilizand definitia punctuluide acumulare.

Definitia 10.1.17 Spatiul metric (X, d) se numeste compact, daca orice sir din X contine unsubsir convergent.

Definitia 10.1.18 Multimea A din spatiul metric (X, d) este compacta, daca orice sir (an)din A contine un subsir convergent catre un punct x0 din A.

Altfel spus, multimea A din (X, d) este compacta daca si numai daca spatiul metric(A, d) este compact.

Exemplul 10.1.25. Multimea A = [a, b] ⊂ R, a < b, este compacta ıntrucat, conform Lemei luiCesaro (vezi Propozitia (8.1.11), orice sir de puncte din [a, b] contine un subsir convergentsi cum [a, b] este ınchis, limita acestui subsir apartine lui A.

Exemplul 10.1.26. Multimea A = (a, b] ⊂ R, a < b, nu este compacta deoarece sirul xn = a+1n

nu contine nici un subsir convergent la un punct din (a, b) (toate subsirurile lui xn convergla a care nu apartine multimii A).

Definitia 10.1.19 Fie (X, d) un spatiu metric arbitrar si A o submultime a sa. O familieD = {Di|Di ⊂ X, i ∈ I} de parti ale lui X se numeste acoperire a multimii A daca

A ⊂⋃i∈I

Di.

Daca D1 ⊂ D si A ⊂⋃Di∈D

Di, spunem ca D1 este o subacoperire a lui D.

O acoperire D a multimii A se va numi deschisa daca elementele lui D sunt multimideschise.

Exemplul 10.1.27. Fie A = (1, 2) ⊂ R. Familia D formata din intervalele Di =(

1 +1i, 2),

i = 2, 3, . . . formeaza o acoperire deschisa pentru A deoarece pentru orice x ∈ A exista un

i0 ∈ N∗ asa ıncat 1 +1i0< x, adica orice x ∈ A se afla ın cel putin un interval Di.

Propozitia 10.1.5 (Lebesgue). Daca A este o multime compacta ın spatiul metric (X, d) iarD = {Di|i ∈ I} este o acoperire deschisa a lui A, atunci exista un ε > 0 asa ıncat pentruorice x din A sa existe un i ∈ I asa ca S(x, ε) ⊂ Di.

196

Page 196: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Demonstratie. Vom proceda prin reducere la absurd.Sa presupunem ca A este compacta dar pentru orice ε > 0 exista un xε ∈ A asa ıncat

pentru orice i ∈ I, S(xε, ε) �⊂ Di. In particular, pentru ε = 1/n exista xn ∈ A astfel ıncatpentru orice i ∈ I are loc

S

(xn,

1n

)�⊂ Di.(10.1)

Deoarece A este compacta, sirul (xn) contine un sub sir (xnk) convergent la un punct

x ∈ A. Cum D constituie o acoperire pentru A, exista o multime Di0 ∈ D asa ıncat x ∈ Di0 .Multimea Di0 fiind deschisa exista o sfera deschisa S(x, r) asa ca

S(x, r) ⊂ Dio(10.2)

Din limk→∞

xnk= x ∈ A rezulta ca exista un numar natural k0 depinzand de r/2 asa ca

pentru orice k ≥ k0 sa avem xnk∈ S

(x,r

2

), adica

d (xnk, x) <

r

2.(10.3)

Cum limk→∞

1nk

= 0, exista un k1(r) ∈ N asa ıncat pentru orice k > k1 sa rezulte

1nk

<r

2.(10.4)

Fie k2 = max{k0, k1}. Pentru orice k > k0, din relatiile (10.2), (10.3) si (10.4) obtinem

S

(xnk

,1nk

)⊂ S(x, r) ⊂ Di0 ,

incluziune ce contrazice (10.1). Cu aceasta teorema este demonstrata.

Propozitia 10.1.6 Daca A este o multime ın spatiul metric (X, d), atunci pentru orice ε > 0exista o familie finita de sfere deschise cu raza ε care constituie o acoperire deschisa amultimii A.

Demonstratie. Vom rationa tot prin reducere la absurd. Presupunem ca A este o multimecompacta in (X, d) asa ıncat exista un ε > 0 pentru care nu exista o acoperire finita cu sferedeschise de raza ε.

Fie x1 ∈ A; atunci sfera S(x1, ε) �⊃ A. Alegem x2 ∈ A asa ıncat x2 �∈ S(x1, ε).Acum consideram sferele S(x1, ε) si S(x2, ε), pentru care A �⊂ S(x1, ε) ∪ S(x2, ε). Prin

urmare, exista x3 ∈ A asa ca x3 ∈ A si x3 �∈ S(x1, ε), x3 �∈ S(x2, ε).Din aproape ın aproape, construim sirul (xn) de puncte din A asa ıncat

xn ∈ A, xn �∈ S(xi, ε), i = 1, n− 1.

De aici rezulta ca avem d(xn, xi) ≥ ε, i = 1, n− 1, pentru orice n ∈ N∗. Prin urmare,sirul (xn) astfel construit cere proprietatea ca xn ∈ A pentru orice n ∈ N∗, dar

d(xn, xm) ≥ ε, pentru orice n,m ∈ N∗,(10.5)

cu n �= m.Acum, se observa ca sirul (xn) nu poate contine nici un subsir convergent, ıntrucat,

daca ar exista un asemenea subsir acesta ar trebui sa fie sir Cauchy, ceea ce ar contrazice(10.5) .

Asadar, sirul (xn) nu poate contine nici un subsir convergent, ceea ce contrazice faptulca A este o multime compacta. In concluzie enuntul teoremei este adevarat.

197

Page 197: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Teorema 10.1.5 O multime A dintr-un spatiu metric (X, d) este compacta daca si numaidaca din orice acoperire deschisa a sa se poate extrage o subacoperire finita.

Demonstratie. Sa consideram ca A este o multime compacta. Fie D = {Di|i ∈ I} o acoperiredeschisa a multimii compacte A. Conform Propozitiei 10.1.5 exista ε > 0 asa ıncat pentruorice x ∈ A sa existe i ∈ I asa ca

S(x, ε) ⊂ Di.(10.6)

Din Propozitia 10.1.6, pentru acest ε > 0 exista un numar finit de sfere cu raza ε caresa acopere multimea A, adica

A ⊂n⋃k=1

S(xk, ε).

Din (10.6) rezulta ca S(xk, ε) ⊂ Di,k, pentru orice k = 1, 2, . . . , n. Atunci

A ⊂n⋃k=1

Di,k,

adica din acoperirea D a lui A am extras o subacoperire finita D1 = {Di,k|k = 1, n} a sa, ceeace trebuia demonstrat.

Reciproc, sa admitem ca din orice acoperire deschisa a multimii A se poate extrage osubacoperire finita. Vom rationa prin reducere la absurd. Sa presupunem ca A nu este omultime compacta. Atunci, exista un sir (xn) ⊂ A care nu contine nici un subsir convergent,ceea ce ınseamna ca multimea termenilor sai nu are nici un punct de acumulare. De aici,rezulta ca pentru orice x ∈ A exista o sfera S(x, εx) care contine cel mult un numar finitde termeni ai sirului (xn) deoarece, ın caz contrar, ar exista un subsir al lui (xn) care saconvearga la x.

Familia D = {S(y, εy)|y ∈ A} constituie o acoperire deschisa pentru A. Deci, din D sepoate extrage o subacoperire finita

D1 = {S(yi, εyi)|i = 1,m}.

Cum (xn) ⊂ A ⊂ D1 iar fiecare din sferele S(yi, εyi) contine cel mult un numar finit de

termeni ai sirului (xn) rezulta ca sirul (xn) are un numar finit de termeni, ceea ce constituieo contradictie. Prin urmare, multimea A este compacta.

Teorema 10.1.6 Orice submultime compacta a unui spatiu metric este marginita si ınchisa.

Demonstratie. Sa consideram A o submultime compacta a spatiului metric (X, d).Mai ıntai, sa aratam ca A este marginita. Sa observam ca familia sferelor deschise

D = {S(x, 1)|x ∈ A} formeaza o acoperire deschisa pentru A. Conform cu Teorema 10.1.5,cum A este compacta, se poate extrage o subacoperire finita D1 = {S(xi, 1)|xi ∈ A, i = 1, n}.Fie B = {xi|i = 1, n}, care este finita si diametrul sau δ(B) <∞.

Sa consideram acum x si y doua puncte arbitrare din A. Atunci exista o sfera deschisaS(xi, 1) ∈ D1, care contine pe x si, de asemenea, exista sfera deschisa S(xj , 1) asa ca y ∈ S(xj , 1).Utilizand inegalitatea triunghiului, obtinem

d(x, y) ≤ d(x, xi) + d(xi, xj) + d(xj , y) < 2 + d(xi, xj) < 2 + δ(B),

pentru orice x, y din A. Asadar, δ(A) ≤ 2 + δ(B) < +∞, ceea ce ne arata ca A este marginita.Acum, sa aratam ca A este ınchisa, ceea ce este echivalent cu C(A) = x−A este deschisa.

Fie x un punct arbitrar din C(A) si fie y ∈ A. Cum x �= y, utilizand proprietatea de separatieHausdorff (Teorema 10.1.1) a spatiului metric (X, d) rezulta ca exista sferele deschise S(y, ry)si S(x, rx,y) asa ıncat

S(y, ry) ∩ S(x, rx,y) = Φ.(10.7)

Familia D = {S(y, ry)|y ∈ A} este o acoperire deschisa pentru A si cum A este compactaexista o subacoperire finita a sa D1 = {S(yi, ryi

)|i = 1, n} (Teorema 10.1.5).

198

Page 198: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Fiecarei sfere S(yi, ryi) ıi corespunde, pe baza lui (10.7), o sfera deschisa S(x, rx,yi

).

Fie r = mini=1,n

{rx, yi}; atunci S(x, r) =n⋂i=1

S(x, rx,yi) iar S(x, r) ∩ A = Φ deoarece A ⊂

n⋃i=1

S(yi, ryi) si, din (10.7), avem S(x, r) ∩ S(yi, ryi

) = Φ. Asadar, S(x, r) ⊂ C(A), adica C(A)

este vecinatate pentru x. Cum x a fost ales arbitrar ın C(A) rezulta ca multimea C(A) estedeschisa deoarece ea este vecinatate pentru orice punct al ei.

Conditiile ca multimea A sa fie margnita si ınchisa sunt necesare pentru ca A sa fiecompacta. Aceste doua conditii nu sunt, ın general, suficiente pentru compactitatea uneimultimii ıntr-un spatiu metric.

Vom arata ca ın spatiile Rn, n ≥ 1, ınzestrate cu metrica euclidiana, aceste conditiisunt si suficiente.

Mai ıntai vom demonstra urmatorul rezultat general.

Teorema 10.1.7 Daca (X, d1) si (Y, d2) sunt doua spatii metrice compacte, atunci si spatiulZ = X × Y , ınzestrat cu metrica din Propozitia 8.2.6, este compact

Demonstratie. Fie (zn) un sir arbitrar din Z, cu zn = (xn, yn), xn ∈ X, yn ∈ Y , n = 1, 2, . . .. Cum(X, d1) este compact, sirul (xn) contine un subsir (xnk

)k∈N convergent la x ∈ X. Considerandsubsirul (ynk

)k∈N al sirului (yn) si tinand seama ca si (Y, d2) este compact, rezulta ca existaun subsir (ynkt

)t∈N al sau, convergent la un punct y ∈ Y .Tinand seama de Teorema 8.2.2 rezulta ca

limt→∞ znkt

= limt→∞(xnkt

, ynkt) = (x, y),

ceea ce ne arata ca spatiul Z este compact.

Propozitia 10.1.7 Intervalul [a, b] din R, a < b, este o multime compacta.

Demonstratie. Daca (xn) este un sir arbitrar din [a, b], rezulta ca (xn) este marginit. Atunci,conform lemei lui Cesaro (Propozitia 8.1.11) el contine un subsir (xnk

) convergent la unpunct din R. Cum [a, b] este multime ınchisa rezulta ca x ∈ [a, b]. Deci, [a, b] este o multimecompacta ın R.

Definitia 10.1.20 Fie [ai, bi], i = 1, n, n ≥ 1, n intervale ale lui R. Multimea P ⊂ Rn, unde

P = [a1, b1] × [a2, b2] × . . .× [an, bn],

se numeste paralelipiped ınchis ın Rn.

Propozitia 10.1.8 Orice paralelipiped ınchis din Rn, n ≥ 1, este o multime compacta.

Demonstratie. Valabilitatea propozotiei rezulta imediat, utilizand Teorema 10.1.7 siPropozitia 10.1.7.

Acum putem demonstra:

Teorema 10.1.8 O submultime A a lui Rn (n ≥ 1) este compacta daca si numai daca estemarginita si ınchisa.

Demonstratie. Daca A este compacta, atunci pe baza Teoremei 10.1.6, deducem ca ea estemarginita si ınchisa.

Reciproc, sa admitem ca submultimea A a lui Rn este marginita si ınchisa si sa aratamca este compacta.

Cum A este marginita, exista un paralelipiped ınchis P asa ıncat A ⊆ P .Fie (xn) un sir abritrar ın A; atunci el este si ın P si cum P este o multime compacta

rezulta ca exista un subsir (xnk) convergent la un punct x ∈ P . Dar x este punct aderent

multimii A si cum A este ınchisa rezulta ca A = A (Teorema 10.1.3). Deducem ca x ∈ A si

199

Page 199: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

deci A este compacta.In finalul acestui paragraf vom introduce notiunea de conexitate, care, intuitiv, descrie

faptul ca o multime este formata ”dintr-o bucata”, adica nu poate fi descompusa ın douasau mai multe parti separate.

Definitia 10.1.21 Spatiul metric (X, d) se numeste conex daca nu exista doua multimi D1,D2 deschise, nevide si disjuncte astfel ca X = D1 ∪ D2. In caz contrar spatiul (X, d) senumeste neconex sau disconex.

Deoarece D1 = C(D2) si D2 = C(D1), rezulta ca multimile D1 si D2 sunt, ın acelasi timp,si inchise, rezultand imediat urmatorul rezultat:

Propozitia 10.1.9 Intr-un spatiu metric (X, d) urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1) (X, d) exte conex;

2) Nu exista doua multimi ınchise F1 si F2, nevide si disjuncte, asa ıncat X = F1 ∪ F2;

3) Singura multime nevida din X simultan deschisa si ınchisa este ıntreg spatiul X.

Definitia 10.1.22 O submultime A a spatiului metric (X.d) este conexa daca (A, d) este unspatiu metric conex.

Altfel spus, A este conexa daca nu exista doua multimi deschise ın X, cu proprietatile:

1) D1 ∩A �= Φ, D2 ∩A �= Φ

2) A ⊂ D1 ∪D2

3) D1 ∩D2 ∩A = Φ.

Exemplul 10.1.28. Orice interval al lui R este o multime conexa.Sa demonstram acest fapt. Presupunem contrariul; adica exista un interval A ⊂ R

care este o multime neconexa. Conform Definitiei 10.1.22, exista doua multimi deschise,nevide, D1 si D2 ın R asa ıncat

D1 ∪D2 = A; D1 ∩D2 = Φ.

Exista punctele a ∈ D1 si b ∈ D2, a �= b (putem presupune ca a < b). Cum A este intervalrezulta ca si [a, b] este interval si [a, b] ⊂ A. Notam c = sup(D1 ∩ [a, b]). Cum D1 este, ın acelasitimp, ınchisa ın A rezulta ca c ∈ D1. Insa b ∈ D2 si deci c ∈ D1∩ [a, b), adica c �= b, deoarece, ıncaz contrar, c = b ∈ D2, ceea ce ar conduce la c ∈ D1 ∩D2, lucru absurd. Asadar, c ∈ D1 ∩ [a, b)si D1 fiind deschisa ın A exista ε > 0 astfel ıncat c+ ε ∈ D1 ∩ [a, b), ceea ce contrazice faptul casup(D1 ∩ [a, b)) = c. Prin urmare, presupunerea facuta este falsa, rezultand ca A este conexa.

Observatia 10.1.4 Are loc si reciproca pentru afirmatia din exemplul 10.1.28: oricesubmultime nevida si conexa a lui R este un interval.

Vom rationa prin reducere la absurd. Sa admitem ca exista o multime A ⊂ R conexa,care nu este interval. Atunci exista trei puncte x1, x2, x3 din R asa ıncat x1, x3 ∈ A, x1 <x2 < x3, iar x2 �∈ A. Consideram multimile D1 = (−∞, x2) ∩ A si D2 = A ∩ (x2,+∞). Evidentca D1 si D2 sunt ınchise ın A, D1 ∪D2 = A si D1 ∩D2 = Φ. Prin urmare, A este o multimeneconexa, ceea ce constituie o contradictie. Asadar, A este un interval.Exemplul 10.1.29. In spatiul metric R multimea A = (1, 2) ∪ (3, 4) este neconexa. Intr-adevar, multimile D1 = (1, 2) si D2 = (3, 4) sunt deschise, A = D1 ∪ D2, iar D1 ∩ D2 ∩ A = Φ,D1 ∩A = (1, 2) �= Φ, D2 ∩A = (3, 4) �= Φ.

Definitia 10.1.23 O multime deschisa si conexa se numeste domeniu. O multime ınchisa siconexa se numeste continuu.

Exemplul 10.1.30. O sfera deschisa din Rm este un domeniu, iar una ınchisa este un continuu.

200

Page 200: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

10.2 Functii ıntre spatii metrice

Definitia 10.2.1 Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice. O apliactie f : A → B, A ⊆ X siB ⊆ Y , se numeste functie definita ıntre doua spatii metrice.

Definitia 10.2.2 Daca X = Rm, m ∈ N, m ≥ 1 si Y = R, atunci functia f : A→ R, A ⊆ Rm, senumeste functie reala de o variabila vectoriala x = (x1, x2, . . . , xm) ∈ A sau functie reala de mvariabile reale si se noteaza prin y = f(x) sau y = f(x1, x2, . . . , xm).

Este evident ca valorile y ale functiei y = f(x1, x2, . . . , xm) depind de cele m variabile.Din punct de vedere sistemic variabilele independente x1, x2, . . . , xm reprezinta marimi cepot fi controlate sau precizate, numite date de intrare, iar variabila dependenta y precizeazavaloarea rezultata prin actiunea lui f asupra datelor de intrare si se numeste data de iesire(v.fig.10.2.1).

Fig.10.2.1

Observatia 10.2.1 Functiile reale de mai multe variabile se mai numesc si functii scalaresau campuri scalare.

Graficul unei functii reale de m variabile reale, definita pe o multime A ⊆ Rm, esteo multime de puncte din Rm+1, ceea ce face sa avem o imagine geometrica numai pentrum ≤ 2. Astfel, daca m = 1 atunci functia y = f(x), x ∈ A ⊂ R are ca si grafic o curba plana,iar daca m = 2 functia reala f : A ⊆ R2 → R, y = f(x1, x2) are ca si grafic o suprafata (Σ) ınspatiul R3 (v.fig.10.2.2).

Fig.10.2.2

Definitia 10.2.3 Daca X = Rm si Y = Rp, o functie f : A → B, A ⊆ X, B ⊆ Y , se numestefunctie vectoriala de variabila vectoriala.

201

Page 201: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Daca x = (x1, . . . , xm) ∈ A iar y = (y1, . . . , yp) ∈ B, atunci functia vectoriala poate fi scrisa

y = f(x),

iar desfasurat:

(y1, . . . , yp) = (f1(x1, . . . , xm), f(x1, . . . , xm), . . . , fp(x1, . . . , xm))

unde fi, i = 1, p, sunt functii de m variabile reale definite pe A cu valori ın R.Functiile yi = fi(x1, x2, . . . , xm), i = 1, p se numesc componentele functiei vectoriale f .Rezulta ca studiul unei functii vectoriale se reduce la studiul unor functii reale de mai

multe variabile reale.Cazuri particulare. 10.2.1. Daca p = 1, atunci functia vectoriala de variabila vectoriala

se reduce la o functie reala de mai multe variabile reale.10.2.2. Daca p = 2 si m = 1, atunci functia vectoriala are forma

(y1, y2) = (x, y) =−−→f(t) = (f1(t), f2(t)), t ∈ A ⊆ R,

de undex = f1(t), y = f2(t), t ∈ A,

care constituie reprezentarea parametrica a unei curbe plane Γ (v.fig.10.2.3).

Fig.10.2.3

10.2.3. Daca p = 3 si m = 1, atunci functia vectoriala are forma

(y1, y2, y3) = (x, y, z) =−−→f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)), t ∈ A ⊆ R,

de undex = f1(t), y = f2(t), z = f3(t), t ∈ A,

care constituie reprezentarea parametrica a unei curbe ın spatiu.10.2.4. Daca p = 3 si m = 2, atunci functia vectoriala are forma

(y1, y2, y3) = (x, y, z) = −→f (u, v) =

= (f1(u, v), f2(u, v), f3(u, v)), (u, v) ∈ A ⊆ R2,

de undex = f1(u, v), y = f2(u, v), z = f3(u, v), (u, v) ∈ A,

care constituie reprezentarea parametrica a unei suprafete∑

ın spatiu (v.fig.10.2.4).

202

Page 202: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Fig.10.2.4

10.2.5. Daca p = 3 si m = 3, atunci o astfel de functie vectoriala se numeste camp vectorial.De obicei, modelele matematice utilizate ın descrierea fenomenelor economice se de-

scriu prin functii reale de mai multe variabile reale.Exemplul 10.2.1. Functia de productie. O problema des ıntalnita ın practica economicase refera la conditiile de combinare a factorilor pentru producerea unui produs Y de catreo ıntreprindere: Daca conditiile tehnice ale productiei sunt date, cantitatea y din pro-dusul Y realizata depinde numai de factorii variabili ai productiei folositi X1,X2, . . . , Xm.Daca x1, x2, . . . , xm sunt cantitatile folosite din acesti factori, atunci putem scrie functia deproductie

y = f(x1, x2, . . . , xm),

care este o functie de m variabile reale.Exemplul 10.2.2. Functia cererii. Sa presupunem ca n marfuri de consum Y1, Y2, . . . , Yn sevand la preturi invariabile x1, x2, . . . , xn pe o piata cu concurenta, care consta dintr-un numarde consumatori, cu gusturi si venituri date. In aceasta situatie cantitatea yk de marfa Yk,k = 1, n, ceruta pe piata depinde numai de preturile tuturor marfurilor de pe piata. Aceastaınseamna ca functia cererii pentru marfa Yk este

yk = fk(x1, x2, . . . , xn),

care este o functie de n variabile. Functia cerere pentru toate cele n marfuri va fi o functievectoriala

(y1, y2, . . . , yn) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fn(x1, . . . , xn)).

In practica, ıntre functiile cerere yk = fk(x1, . . . , xn), k = 1, n, se studiaza anumitecorelatii.Exemplul 10.2.3. Functia costurilor de productie. Sa admitem ca o ıntreprindere producemarfurile X1,X2, . . . , Xn ın conditii tehnice de productie si conditii de aprovizionare date.Atunci functia costurilor de productie este

y = f(x1, . . . , xn),

unde x1, x2, . . . , xn sunt cantitatile de marfuri λ1, λ2, . . . , λn produse, iar y este costul total.Pentru comoditate, ın cazul a doua marfuri X si Y functia costurilor se poate lua de formaparticulara

z = ax2 + by2 + cxy + dx+ ey + f.

203

Page 203: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

10.3 Limita unei functii ıntr-un punct

Fie (X, d1) si (X, d2) doua spatii metrice, F : A→ Y , A ⊆ X, o functie si x0 un punct deacumulare al multimii A (x0 ∈ A′).

Definitia 10.3.1 (cu vecinatati.) Spunem ca functia f are limita ın punctul x0, daca existaun punct l ∈ Y astfel ıncat, pentru orice vecinatate U(l) a lui l, exista o vecinatate V (x0)asa ıncat, pentru orice x ∈ V (x0) ∩A− {x0}, sa avem f(x) ∈ U(l), adica

f(V (x0) ∩A− {x0}) ⊂ U(l).

Scriem limx→x0

f(x) = l.

Intuitiv notiunea de limita a functiei f ın punctul x0 exprima faptul ca daca neapropiem de x0 prin puncte din multimea A, atunci valorile functiei ın aceste puncte seapropie oricat de mult de punctul l din Y .

Teorema 10.3.1 (de caracterizare a notiunii de limita.) Fie f : A → (Y, d2), unde A ⊆ (X, d1)si x0 ∈ A′. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1) l este limita functiei f ın punctul x0 (definitia cu vecinatati);

2) pentru orice sfera deschisa SY (l, ε) din spatiul metric Y exista o sfera deschisaSX(x0, δε) din spatiul metric X astfel ıncat, pentru orice x ∈ SX(x0, δε) ∩ A − {x0} saavem f(x) ∈ SY (l, ε) (definitia cu sfere);

3) pentru orice ε > 0 exista δε > 0 astfel ıncat pentru orice x ∈ A−{x0} cu d1(x, x0) < δε saavem d2(f(x), l) < ε (definitia cu ε si δ);

4) pentru orice sir convergent de puncte din A−{x0} cu limn→∞xn

X= x0 sa rezulte limn→∞ f(xn)

Y=

l (definitia cu siruri sau definitia lui Heine)

Demonstratie. Sa aratam mai ıntai ca din 1) rezulta 2). Luam U(l) = SY (l, ε), unde ε > 0este arbitrar. Conform cu 1), exista o vecinatate V (x0) asa ıncat, pentru orice x ∈ V (x0) ∩A− {x0} sa avem f(x) ∈ U(l). Cum V (x0) este o vecinatate pentru x0, exista o sfera deschisaSX(x0, δε) ⊂ V (x0). Atunci pentru orice x ∈ SX(x0, δε) ∩ A − {x0} avem f(x) ∈ U(l) = SY (l, ε),adica 2) este ındeplinita.

Acum sa aratam ca din 2) rezulta 3). Pentru aceasta este suficient sa exprimam sferelesi conditiile de la 2) prin inegalitati.

Sa demonstram acum ca din 3) rezulta 4). Fie (xn) un sir de puncte din A{x0} cu

limn→∞xn

X= x0. Din 3) rezulta ca, pentru orice ε > 0, exista δε > 0 asa ıncat, pentru orice

x ∈ A− {x0} cu d1(x, x0) < δε sa avem d2(f(x), l) < ε. Cum limn→∞xn

X= x0, exista un nδε∈ N asa

ca pentru orice n ∈ N, n > nδεsa rezulte d1(xn, x0) < δε. Atunci d2(f(x), l) < ε pentru orice

n ∈ N, n > nδε= nε. Asadar, pentru orice ε > 0 exista nε ∈ N asa ıncat pentru orice n ∈ N,

n > nε sa avem d2(f(xn), l) < ε, adica limn→∞ f(xn) = l, ceea ce trebuia demonstrat.

Demonstratia teoremei este ıncheiata daca aratam ca din 4) rezulta 1). Vom rationaprin reducere la absurd. Sa presupunem ca exista o vecinatate U(l) a lui R astfel ca, oricarear fi V (x0) o vecinatate a lui x0, sa existe x ∈ V (x0) ∩A− {x0} pentru care f(x) �∈ U(l).

Pentru orice n ∈ N∗ luam V (x) = S

(x0,

1n

). Atunci exista xn ∈ V (x0) ∩ A − {x0} cu

xn �= x0 asa ıncat f(xn) �∈ U(l). Cum xn ∈ S

(x0,

1n

), avem dX(xn, x0) <

1n, oricare ar fi

n ∈ N∗. De aici rezulta ca limn→∞xn = x0. Conform cu 4), deducem ca lim

n→∞ f(xn) = l; atunci

exista n1 ∈ N asa ıncat pentru orice n ∈ N, n > n1 sa avem f(xn) ∈ U(l), ceea ce contrazicef(xn) �∈ U(l). Prin urmare, presupunerea facuta este falsa si deci din 4) rezulta 1).

204

Page 204: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Observatia 10.3.1 Afirmatiile 1) – 4) din teorema 10.3.1 fiind echivalente logic, rezulta caoricare din ele poate fi luata ca definitie a limitei unei functii ıntr-un punct. In contin-uare, noi vom folosi mai mult definitia cu siruri deoarece ne va permite ca sa obtinemproprietatile limitelor de functii din proprietatile limitelor de siruri.

Observatia 10.3.2 Definitia limitei cu siruri a limtiei unei functii ıntr-un punct se utilizeazala a dovedi ca o functie nu are limita ıntr-un punct. Pentru aceasta este suficient sa gasimun sir (xn), (xn) ⊂ A − {x0}, cu lim

n→∞xn = x0 asa ıncat limn→∞ f(xn) sa nu existe sau sa aflam

doua siruri (x(1)n ) si (x(2)

n ) din A−{x0}, ambele convergente la x0, pentru care sirurile (f(x(1)n ))

si (f(x(2)n )) sa aiba limite diferite ın Y .

Teorema 10.3.2 Fie spatiile metrice (X, d1) si (Y, d2), A ⊆ X, x0 ∈ A′ si f : A → Y o functie.Daca f are limita ın x0, atunci aceasta limita este unica.

Demonstratie. Valabilitatea afirmatiei rezulta aplicand definitia cu siruri a limitei uneifunctii ıntr-un punct si tinand seama ca limita unui sir de puncte dintr-un spatiu metriceste unica.

Teorema 10.3.3 Fie−→f : A→ Rp, A ⊆ Rm, m ≥ 1, p ≥ 2, functia vectoriala

−→f = (f1, f2, . . . , fp),

unde fi : A → R, i = 1, p si x0 ∈ A′. Atunci−→f are limita l = (l1, l2, . . . , lp) ın punctul x0 daca

si numai daca exista limx→x0

fi(x) = li, i = 1, p.

Demonstratie. Afirmatia rezulta imediat folosind definitia limtiei unei functii cu sirurisi faptul ca ın Rn convergenta unui sir de elemente este echivalenta cu convergenta pecoordonate (v.Teorema 8.2.2).

Observatia 10.3.3 Din Teorema 10.3.3 rezulta ca studiul limitei functiilor vectoriale se re-duce la studiul functiilor reale de mai multe variabile reale f : A→ R, A ⊆ Rm.

Daca x0 = (a1, a2, . . . , am) ∈ A′ se obisnuieste a nota limx→x0

f(x), x = (x1, x2, . . . , xm) ∈ Rm,

prinlim

x1→a1x2→a2

...xm→am

f(x1, x2, . . . , xm)

Utilizand cele demonstrate la siruri pentru functiile care iau valori reale rezulta:

Teorema 10.3.4 Fie f, g : A → R, unde A ⊆ (X, d) si x0 ∈ A′. Daca exista limx→x0

f(x) = l1 si

limx→x0

f(x) = l2, cu l1, l2 ∈ R, atunci exista

1) limx→x0

(f + g)(x) si valoarea ei este l1 + l2;

2) limx→x0

(f + g)(x) si valoarea ei este l1l2;

3) limx→x0

f(x) si valoarea ei estel1l2

, daca l2 �= 0 si g(x) �= 0 pentru x ∈ A.

Observatia 10.3.4 Daca l1, l2 ∈ R, atunci pot sa apara asa numitele ”operatii fara sens”,care se elimina prin diferite metode.

Observatia 10.3.5 Fie f : A → (Y, d), cu A ⊆ R, o functie si x0 ∈ A′. Daca exista limx→x0x<x0

f(x) =

ls (respectiv limx→x0x>x0

f(x) = ld), atunci spunem ca f are limita la stanga (respectiv limita la

dreapta) ın punctul x0. Limitele la stanga si la dreapta ıntr-un punct poarta numele delimita laterala.

205

Page 205: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Se arata ca f are limita ın punctul x0 daca si numai daca exista atat limita la stangals cat si limita la dreapta ld ın punctul x0 pentru f si lim

x→x0f(x) = ls = ld.

Exemple. 10.3.1. Sa calculam

a) l1 = limx→0

(x2 + x3

2x, (1 + x)

22x , x2 + x+ 1

)

b) l2 = limx→0y→0

(x2y2 + 1, (1 + xy)

1xy ,

x2 + 1x2 + y2

)a) Avem

limx→0

x2 + x3

2x= limx→0

x+ x2

2= 0;

limx→0

(1 + x)22x = lim

x→0[(1 + x)

1x ]2 = e2;

de unde l1 = (0, e2, 1).b) Pentru l2 avem

limx→0y→0

(x2 + y2 + 1) = 1; limx→0y→0

(1 + xy)1

xy = e

si

limx→0y→0

x2y

x2 + y2= 0, deoarece

∣∣∣∣ x2y

x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ x2|y|x2

= |y|,

de unde l2 = (1, e, 0).10.3.2. Sa se arate ca f(x, y) =

xy

x2 + y2nu are limita ın punctul (0, 0) = θ. Consideram sirul

de puncte zn =(

1n,α

n

), α ∈ R si convergent la θ = (0, 0). Avem

f

(1n,α

n

)=

αn2

1n2 + α

n2

1 + α2,

adica limita sirului(f

(1n,α

n

))depinde de α, de unde rezulta ca functia f nu are limita ın

(0, 0).

10.4 Continuitatea functiilor ıntre spatii metrice

In acest paragraf vom adanci studiul ideii intuitive de ”apropiere” a valorilor uneifunctii de valoarea ei ıntr–un punct dat x0 de ındata ce valorile argumentului sunt suficientde aproape de x0.

Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice si f : A → Y o functie, unde A ⊆ X este osubmultime a lui X.

Definitia 10.4.1 (cu vecinatati.) Spunem ca functia f este continua ın punctul x0 ∈ A dacapentru orice vecinatate U(f(x0)) a lui f(x0) exista o vecinatate V (x0) a lui x0 asa ıncat pentruorice x ∈ V (x) ∩A sa avem f(x) ∈ U(f(x0)).

Daca functia f nu este continua ın punctul x0 ∈ A, atunci spunem ca functia f estediscontinua ın punctul x0 sau ca x0 este punct de discontinuitate a functiei f .

Teorema 10.4.1 Functia f : A → Y , A ⊆ X, este continua ın punctul x0 ∈ A daca si numaidaca are loc una din situatiile:

i) sau x0 este punct izolat;

206

Page 206: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

ii) sau x0 este punct de acumulare pentru A si

limx→x0

f(x) = f(x0).

Demonstratie.

i) Intr-adevar, ın orice punct izolat al domeniului de definitie o functie este continua. Fiex0 un punct izolat pentru multimea A; atunci exista o vecinatate V (x0) a sa, asa ıncatV (x0)∩A = {x0}. Acum, rezulta ca pentru orice vecinatate U(f(x0)) exista o vecinatateV (x0) astfel ıncat, pentru orice x ∈ V (x0) ∩A, sa avem f(x) ∈ U(f(x0)).

ii) Sa admitea ca f este continua ın punctul x0. Atunci pentru orice vecinatate U(f(x0))exista o vecinatate V (x0) a lui x0 asa ıncat pentru orice x ∈ V (x0) ∩ A sa avemf(x) ∈ U(f(x0)). Evident ca aceasta afirmatie are loc si pentru x �= x0, ceea ce implicalimx→x0

f(x) = f(x0).

Reciproc, daca presupunem ca limx→x0

f(x0) = f(x0), atunci pentru orice U(x0), exista o

vecinatate V (x0) asa ıncat, pentru orice x ∈ V (x0) ∩ (A− {x0}) sa avem f(x) ∈ U(f(x0)). Cumpentru x = x0 ∈ A avem evident f(x0) ∈ U(f(x0), rezulta ca pentru orice x ∈ V (x0) ∩ A avemf(x) ∈ U(f(x0))), ceea ce ne arata ca f este continua ın x0.

Observatia 10.4.1 Daca x0 este punct de acumulare din A si functia f este continua ın x0,atunci putem scrie

limx→x0

f(x) = f

(limx→x0

x

),

ceea ce ne spune ca operatia de trecere la limita este permutabila cu functia f .

Teorema 10.4.2 (de caracterizare a continuitatii ın punct). Fie f : A → (Y, d2) o functie,unde A ⊆ (X, d1) si x0 ∈ A. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1) f este continua ın punctul x0 (definitia cu vecinatati 10.4.1)

2) pentru orice sfera deschisa SY (f(x0), ε) din spatiul metric Y , exista o sfera deschisaSλ(x0, δε) din spatiul metric X astfel ıncat, pentru orice x ∈ SX(x0, δε) ∩ A sa avemf(x) ∈ SY (f(x0), ε) (definitia cu sfere);

3) pentru orice ε > 0 exista δε > 0 astfel ıncat pentru orice x ∈ A cu d1(x, x0) < δε, sa avemd2(f(x), f(x0)) < ε(definitia cu ε si δ);

4) pentru orice si convergent de puncte din A cu limn→∞xn

X= x0 sa rezulte limn→∞ f(xn)

Y= f(x0)

(definitie cu siruri).

Demonstratie. Valabilitatea teoremei rezulta imediat din Teorema 10.3.1 de caracterizarea notiunii de limita.

Teorema 10.4.3 Fie f : A → Rp, A ⊆ Rm, m ≥ 1, p ≥ 2, functia vectoriala f = (f1, f2, . . . , fp),unde fi : A → R, i = 1, p si x0 ∈ A. Atunci f este continua ın punctul x0 ∈ A, daca si numaidaca functiile fi sunt continue ın x0, i = 1, p.

Demonstratie. Utilizand Teoremele 10.4.1 si 10.3.4, rezulta imediat valabilitatea celor afir-mate ın enuntul teoremei.

Definitia 10.4.2 Fie f : A → (Y, d2), unde A ⊂ (X, d1), o functie. Zicem ca functia f estecontinua pe D daca f este continua ın orice punct din D.

207

Page 207: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Exemple. 10.4.1. Fie (X, d) un spatiu metric si k un element fixat din X. Functia f : X → X,

f(x) = k, oricare ar fi x ∈ X, este continua pe X deoarece daca x0 ∈ X si xnX−→ x0, atunci

f(xn)X−→ k = f(x0), adica este satisfacuta definitia cu siruri a continuitatii ın x0.

10.4.2. Fie 1X : (X, d) → (X, d) aplicatia identica, adica 1X(x) = x, oricare ar fi x ∈ X. Atunci1X este continua pe X. Intr-adevar, sa consideram un x0 ∈ X arbitrar; atunci pentru oricesir (xn) ⊂ X cu lim

n→∞xnX= x0 avem lim

n→∞ 1x(xn)X= limn→∞xn

X= x0 = 1X(x0), ceea ce ne arata ca 1Xeste continua ın x0.10.4.3. (Continuitatea functiilor compuse.) Fie (X, d1), (Y, d2 si (Z, d3) trei spatii metrice sifie functiile f : X → Y , y : Y → Z. Daca f este continua ın x0 ∈ X si g este continua ınf(x0) ∈ Y , atunci g ◦ f este continua ın x0.

Folosim definitia cu siruri a continuitatii. Fie (xn) un sir arbitrar din X cu limn→∞xn

X= x0.

Din continuitatea lui f ın x0 rezulta limn→∞ f(xn)

Y= f(x0). Acum, tinand seama de continuitatea

lui g ın f(x0), obtinem ca limn→∞ g(f(xn))

Z= g(f(x0)), adica limn→∞(g ◦ f)(xn)

Z= (g ◦ f)(x0), ceea cene arata ca g ◦ f este continua ın x0 ∈ X.10.4.4. (Prelungirea prin continuitate). Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice, A ⊂ X six0 un punct de acumulare din A. Daca f : A− {x0} → Y este o functie definita pe A− {x0},atunci am putea prelungi functia f la multimea A ın diferite moduri atribuindu-i lui f ovaloarea arbitrara ın x0. Daca exista lim

x→x0f(x) Y= l ∈ Y , am putea considera functia

f : A→ Y, f(x) ={f(x) ,daca x ∈ A− {x0},l ,daca x = x0,

care este, evident, o prelungire a lui f pe A.Deoarece lim

x→x0f(x) = l = f(x0), rezulta ca f este continua ın x0. Functia f atasata

functiei f poarta numele de prelungirea functiei f prin continuitatea ın punctul x0.10.4.5. (Functii continue cu valori reale). Fie f, g : (X, d) → R functii continue si λ ∈ R.Atunci:

1) f + g, λf si fg sunt continue pe X;

2)f

g: X − {x ∈ X|g(x) = 0} → R este continua pe X − {x ∈ X|g(x) = 0};

3) |f | este continua pe X.

Pentru a demonstra aceste afirmatii sa observam mai ıntai ca daca x0 este punct izolat,atunci valabilitatea celor trei afirmatii rezulta din teorema 10.4.1, punctul i). Daca x0 estepunct de acumulare atunci afirmatiile 1) si 2) rezulta din teorema 10.3.4, utilizand definitiacu siruri a continuitatii.

Pentru a demonstra 3) este suficient sa aratam ca daca limn→∞xn

X= x0,atunci limn→∞ |f(xn)| =

|f(x0)|. Cum| |f(xn)| − |f(x0)| | ≤ |f(xn) − f(x0)|,

pentru orice n ∈ N, si din f continua ın x0, obtinem ca limn→∞ |f(xn)| = |f(x0)|, adica |f | este

continua ın x0.10.4.6. (Continuitate laterala). Fie f : A→ R, unde A ⊂ R, si fie x0 ∈ A un punct acumularepentru D. Daca exista limita la stanga ın x0, f(x0 − 0) = fs(x0) = lim

x→x0x<x0

f(x), iar fs(x0) = f(x0),

atunci spunem ca f este continua la stanga ın x0. Daca exista limita la dreapta ın x0,f(x0 + 0) = fd(x0) = lim

x→x0x>x0

f(x), iar fd(x0) = f(x0)atunci spunem ca f este continua la dreapta ın

x0.Tinand seama de Observatie 10.3.5, deducem ca o functie f este continua ın x0 daca

si numai daca f este continua atat la stanga cat si la dreapta ın punctul x0.

208

Page 208: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Punctul de acumulare x0 ∈ A se numeste punct de discontinuitate de speta (specia)ıntaia daca f nu este continua ın x0, fs(x0) si fd(x0) exista, sunt finite si diferite. Punctulx0 ∈ A se numeste de discontinuitate de speta a II-a daca este punct de discontinuitate sinu este de speta ıntaia.

Daca x0 ∈ A este un punct de discontinuitate de speta ıntaia pentru functie f , atunciexpresiile

sf (x0) = |fd(x0) − fs(x0)|si

osc (f ;x0) = max{|fd(x0) − fs(x0)|, |f(x0) − fs(x0)|,, |f(x0) − fd(x0)|}

se numesc saltul lui f ın x0 si respectiv oscilatia lui f ın x0.10.4.7. (Discontinuitatile functiilor monotone). O functie monotona f , definita pe intervalul(a, b),

−∞ ≤ a < b ≤ +∞, poate avea puncte de discontinuitate numai de speta ıntaia.Sa presupunem ca functia f este crescatoare si sa alegem un punct x0 arbitrar din

(a, b). Exista punctele x1, x2 ∈ (a, b) astfel ıncat x1 < x0 < x2. Pentru orice x ∈ (x1, x0) avemf(x1) ≤ f(x) ≤ f(x0), de unde prin trecere la limita rezulta f(x1) ≤ lim

x→ x0

x < x0

f(x) ≤ f(x0),

ceea ce ne arata ca f(x0 − 0) este finita. In mod analog, considerand x ∈ (x0, x2), obtinem caf(x0 + 0) este finita. Prin urmare, daca x0 este punct de discontinuitate, atunci el este despeta ıntaia.

Din demonstratie rezulta ca pentru orice x0 ∈ (a, b) au loc inegalitatile

f(x0 − 0) ≤ f(x0) ≤ f(x0 + 0).

Definitia 10.4.3 Fie X si Y doua spatii liniare normate. Spunem ca operatorul liniar T :X → Y este marginit daca exista un numar M > 0 asa ıncat

‖T (x)‖ ≤M‖x‖,(10.8)

pentru orice x ∈ X.

Vom arata ca ın cazul operatorilor liniari, marginirea este echivalenta cu continuitatealor.

Teorema 10.4.4 Daca T este un operator liniar ıntre spatiile liniare normate X si Y , atunciurmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1) T este continuu pe X;

2) T este continuu ın originea θx a spatiului X;

3) T este marginit.

Demonstratie. Din 1) rezulta imediat deoarece T fiind continuu pe X este continuu ın oricepunct al lui X, deci si ın θx. Acum, sa aratam ca din 2) rezulta 3). Din faptul ca operatorulT este continuu ın θx rezulta ca pentru orice ε > 0 exista δε asa ıncat, pentru orice x ∈ Xcu ‖x‖ < δε, sa avem ‖T (x) − T (θx)‖ = ‖T (x)‖ < ε. In particular, luand ε = 1 exista δ1 > 0 asaıncat din ||x|| < δ1 sa rezulte ||T (x)|| < 1.

Se observa ca (10.8) este verificata pentru x = θx. Fie acum x �= θx. Sa consideram

y =δ12

x

‖x‖ . Atunci ‖y‖ =∥∥∥∥δ12 · x

‖x‖∥∥∥∥ =

δ12< δ1, ceea ce conduce la ‖T (y)‖ ≤ 1. De aici obtinem

∥∥∥∥T (δ12 x

‖x‖)∥∥∥∥ =

∥∥∥∥ δ12‖x‖T (x)

∥∥∥∥ ≤ 1,

209

Page 209: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

de undeδ1

2‖x‖‖T (x)‖ ≤ 1,

adica‖T (x0)‖ ≤ 2

δ1‖x‖,

pentru orice x ∈ X. Prin urmare, operatorul T este marginit.Sa aratam ca 3) implica 1). Din faptul ca T este marginit rezulta ca exista M > 0 asa

ıncat (10.8) sa aiba loc.Fie xo ∈ X arbitrar. Pentru orice ε > 0 si orice x ∈ X, asa ıncat ‖x− x0‖ < ε

M, avem

‖T (x) − T (x0)‖ = ‖T (x− x0)‖ ≤M‖x− x0‖ < M · εM

= ε,

ceea ce exprima continuitatea operatorului T .

Corolarul 10.4.1 Daca T : Rn → Rp este un operator liniar, atunci el este continuu.

Demonstratie. Fie T = (T1, T2, . . . , Tp), undeTi : Rn → R, i = 1, p. Daca T este operator liniar, atunci rezulta ca si aplicatiile Tisunt liniare.

Conform Teoremei 10.4.3, a arata ca T este un oeprator liniar continuu revine la aarata ca Ti, i = 1, p, sunt functii continue. Prin urmare, este suficient sa aratam ca unoperator liniar T : Rn → R este continuu.

Fie B = {e1, e2, . . . , en} baza canonica a lui Rn. Daca x ∈ Rn atunci x = (x1, x2, . . . , xn) si

deci x =n∑i=1

xiei. Atunci

T (x) = T

(n∑i=1

xiei

)=

n∑r=1

xiT (ei),

de unde, utilizand inegalitatea lui Cauchy–Schwartz–Buniakowski, avem

|T (x)| =

∣∣∣∣∣n∑i=1

xiT (ei)

∣∣∣∣∣ ≤(

n∑i=1

T 2(ei)

) 12(

n∑i=1

x2i

) 12

= M‖x‖,

pentru orice x ∈ Rn, care ne arata ca T este un operator liniar marginit. Asadar, conformTeoremei 10.4.4, rezulta ca T este operator continuu.

In continuare vom prezenta cateva proprietati cu privire la transformarea multimilordeschise, respectiv ınchise, compacte si conexe printr-o aplicatie continua.

Teorema 10.4.5 Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice si f : X → Y o functie. Atunciurmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1) f este continua pe X;

2) pentru orice multime deschisa D din Y , imaginea inversa f−1(D) este multime deschisaın X;

3) pentru orice multime ınchisa B din Y , imaginea inversa f−1(B) este multime ınchisaın X;

4) pentru orice submultime A a lui X, avem f(A) ⊂ f(A).

Demonstratie. Sa aratam ca din 1 rezulta 4). Fie x ∈ A asa ca y = f(x). Cum x ∈ A rezulta

ca exista un sir de puncte (xn) din multimea A asa ıncat limn→∞xn

X= x. Din continuitatea

lui f rezulta limn→∞ f(xn)

Y= f(x) = y,adica am aratat ca ın multimea f(A) exista un sir de

210

Page 210: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

puncte (f(xn)) asa ca limn→∞ f(xn)

Y= y. Prin urmare, y ∈ f(A), ceea ce ne arata ca am dovedit

incluziunea f(A) ⊂ f(A).Acum, sa aratam ca 4) implica 3). Fie B o multime ınchisa ın Y , adica B = B ın Y .

Notam f−1(B) cu A. Conform ipotezei 4) avem

f(A) ⊂ f(A) = f(f−1(B)) ⊂ B = B,

de undeA ⊂ f−1(f(A)) ⊂ f−1(B) = A.

Cum A ⊂ A, rezulta ca A = A, ceea ce ne arata ca A = f−1(B) este ınchisa ın X.Sa aratam ca 3) implica 2). Fie D o multime deschisa ın Y . Atunci B = Y − D este

ınchisa ın Y . Conform ipotezei 3) multimea f−1(B) = f−1(Y −D) este ınchisa ın X. De aicirezulta ca

X − f−1(B) = X − [f−1(Y ) − f−1(D)] = f−1(D)

este deschisa ın X.Mai avem de demonstrat ca din 2) rezulta 1). Fie x0 un punct arbitrar din X si

D = SY (f(x0), ε) o sfera deschisa din Y . Conform ipotezei 2), multimea f−1(D) este multimedeschisa ın X. Rezulta ca f−1(D) este o vecinatate pentru x0 ∈ X.

Atunci exista o sfera SX(x0, δε) ⊂ f−1(D) asa ıncat pentru orice x ∈ SX(x0, δε) sa avemf(x) ∈ SY (f(x0), ε) = D, ceea ce ne arata ca f este continua ın x0 (vezi Teorema 10.4.2).

Observatia 10.4.2 Multimea functiilor continue pe X cu valori ın Y se noteaza prin C(X,Y ).

Definitia 10.4.4 Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice si f : A ⊂ X → Y o functie. Spunemca f este uniform continua pe A, daca oricare ar fi ε > 0 exista δε > 0 (acelasi pentru toatepunctele x ∈ A) astfel ıncat, oricare ar fi x1, x2 ∈ A cu proprietatea d1(x1, x2) < δε are locd2(f(x1), f(x2)) < ε.

Propozitia 10.4.1 Daca f : A ⊂ X → Y este o functie uniform continua pe A, atunci f estecontinua pe A.

Demonstratie. Sa consideram x0 un punct arbitrar din A. Din faptul ca f este uniformcontinua pe A rezulta ca, pentru orice ε > 0, exista δε > 0 astfel ıncat, pentru orice x1, x2 ∈ Acu d1(x1, x2) < δε, are loc d2(f(x1), f(x2)) < ε. Atunci, oricare ar fi x ∈ A asa ıncat d1(x, x0) < δε,are loc d(f(x), f(x0)) < ε, adica f este continua ın x0. Cum x0 a fost ales arbitrar din A, rezultaca f este continua pe A.

Observatia 10.4.3 Reciproca Propozitiei 10.4.1 este falsa, adica exista functii continue peo multime, care nu sunt uniform continue.

Exemplul 10.4.8. Fie f : (0, 1] → R definita prin f(x) = 1/x, x ∈ (0, 1]. Se observa ca f estecontinua pe (0, 1].

Sa presupunem ca f este uniform continua pe (0, 1], adica pentru orice ε > 0 existaun δε > 0, acelasi pentru toate punctele x ∈ (0, 1], asa ıncat pentru orice x1, x2 ∈ (0, 1] cuproprietatea |x1 − x2| < δε sa aiba loc |f(x1) − f(x2)| < ε. Sa luam, ın particular, ε = 1/2,cand obtinem ca exista δ 1

2> 0 astfel ıncat pentru orice x1, x2 ∈ (0, 1] cu |x1 − x2| < δ 1

2, avem∣∣∣∣ 1

x1− 1x2

∣∣∣∣ < 12.

Fie x1 = 1/n si x2 = 1/(n+ 1) cu n ∈ N∗ ales asa ıncat2n< δ1/2. Atunci, cum |x1 − x2| =

1n(n+ 1)

<2n< δ 1

2, ar trebui ca

∣∣∣∣ 1x1

− 1x2

∣∣∣∣ = |n − (n + 1)| = 1 <12, ceea ce constituie o

contradictie. Prin urmare, presupunerea facuta este falsa deci f nu este uniform continuape (0, 1].

211

Page 211: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Observatia 10.4.4 Uniform continuitatea este o proprietate globala pentru o functie,referindu-se la ıntreg domeniul de definitie, al functiei, ın timp ce, continuitatea uneifunctii ıntr-un punct este o proprietate locala.

Definitia 10.4.5 Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice. Spunem ca aplicatia f : A ⊂ X → Yeste lipschitziana pe A, daca exista un numar α ≥ 0 astfel ıncat oricare ar fi x1, x2 ∈ A,are loc d2(f(x1), f(x2)) ≤ αd1(x1, x2). Se mai zice ca f este lipschitziana ın raport cu α, sauα–lipschitziana.

Propozitia 10.4.2 Orice contractie a unui spatiu metric (X, d) este o functie lipschitziana.

Demonstratie. Fie f o contractie a lui X. Atunci, conform Definitiei 8.2.8, exista α ∈ [0, 1)asa ca pentru orice x1, x2 ∈ X, avem d(f(x1), f(x2)) ≤ αd(x1, x2), care ne arata ca f estelipschitziana.

Propozitia 10.4.3 Orice functie lipschitziana este uniform continua.

Demonstratie. Fie f : A ⊂ (X, d1) → (Y, d2) o functie α–lipschitziana pe A, adica pentru oricex1, x2 ∈ A, are loc d2(f(x1), f(x2)) ≤ αd1(x1, x2). Fie ε > 0. Daca α = 0,a tunci d2(f(x1), f(x2)) ≤0, pentru orice x1, x2 ∈ A. Rezulta ca f(x1) = f(x2) oricare ar fi x1, x2 ∈ A, deci f esteconstanta pe A si prin urmare este uniform continua pe A.

Daca α > 0, luand δε = ε/α, atunci pentru orice x1, x2 ∈ A cu d1(x1, x2) < δε, are locd2(f(x1), f(x2)) ≤ αd1(x1, x2) < α · ε

α= ε, ceea ce ne arata ca f este uniform continua pe A.

Acum, sa facem cateva precizari asupra functiilor continue pe multimi compacte.

Teorema 10.4.6 Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice si f : X → Y o functie continua.Daca A este o submultime compacta a lui X, atunci f(A) este o submultime compacta a luiY .

Demonstratie. Fie (yn) un sir din f(A). Atunci, pentru orice n ∈ N, exista xn ∈ K, asa ıncatf(xn) = yn. Multimea K fiind compacta, conform cu Definitia 10.1.18, sirul (xn) contineun subsir (xnk

) convergent. Din continuitatea lui f rezulta ca sirul (f(xnk)) este un subsir

convergent al sirului (yn) si prin urmare, f(A) este o multime compacta din Y .

Definitia 10.4.6 Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice. Spunem ca o functie f : A ⊆ X → Yeste marginita daca multimea f(A) este marginita ın Y .

Acum, din Teorema 10.4.6 obtinem urmatorul rezultat.

Corolarul 10.4.2 Orice functie continua pe un compact dintr-un spatiu metric estemarginita.

Demonstratie. Fie f : A ⊂ (X, d1) → (Y, d2) o functie continua si A o submultime compactaa lui X; conform Teoremei 10.4.6 rezulta ca f(A) este compacta ın Y . Atunci f(A) estemarginita ın Y si deci functia f este marginita pe A.

In caz particular, din Corolarul 10.4.2 obtinem urmatorul rezultat cunoscut din liceu:

Corolarul 10.4.3 Daca functia f : [a, b] → R este continua, atunci f este marginita.

Observatia 10.4.5 Daca multimea A, pe care functia f este continua, nu este compacta,atunci rezultatul Corolarului 10.4.2 nu se mai pastreaza.

Intr-adevar, daca consideram functia f : (0, 2) → R definita prin f(x) = 1/x; pentru oricex ∈ (0, 2), aceasta este continua pe (0, 2), dar f(0, 2) = (1/2,∞) si deci f nu este marginita.

Definitia 10.4.7 Fie (X, d) un spatiu metric, f : X → R o functie, M = supx∈X

f(x) – marginea

superioara a lui f pe X si, respectiv, m = infx∈X

f(x) – marginea inferioara a lui f pe X.

Spunem, ca f ısi atinge marginea superioara, respectiv marginea inferioara pe

212

Page 212: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

multimea X daca exista un punct x1 ∈ X, respectiv un punct x2 ∈ X, asa ca M = f(x1), respectiv f(x2) = m.

Spunem ca f ısi atinge marginile pe X daca f ısi atinge atat marginea superioara catsi marginea inferioara pe X.

Teorema 10.4.7 (Weierstrass). Daca A este o submultime compacta a spatiului metric (X, d)si f : X → R este continua, atunci f ısi atinge marginile pe multimea A.

Demonstratie. Pe baza Corolarului 10.4.2 rezulta ca f(A) este marginita ın R. FieM = sup

x∈Af(x) si m = inf

x∈Af(x). Deoarece M si m sunt puncte aderente pentru multimea

f(A) rezulta ca M ∈ f(A) si m ∈ f(A). Din f(A) este compacta rezulta ca este multimeınchisa si atunci M ∈ f(A) si m ∈ f(A).

Deci, rezulta ca exista x1 ∈ A asa ıncat f(x1) = M si exista x2 ∈ A asa ca f(x2) = m,ceea ce ne arata ca f ısi atinge marginile pe A.

In particular, din Teorema 10.4.7 obtinem cunoscuta teorema a lui Weierstrass stu-diata ın liceu.

Corolarul 10.4.4 Functia f : [a, b] → R continua pe [a, b] este marginita si ısi atinge marginilepe [a, b].

Dam acum o reciproca pentru Propozitia 10.4.1.

Teorema 10.4.8 (Cantor.) Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice. Daca f : A ⊆ X → Yeste o functie continua pe A, iar A este o multime compacta ın X, atunci f este uniformcontinua pe A.

Demonstratie. Presupunem ca f nu este uniform continua. Atunci, exista un ε0 > 0 asa ıncatpentru orice δ > 0 exista x1,δ, x2,δ ∈ A cu proprietatea ca d1(x1,δ, x2,δ) < δ si d2(f(x1,δ), f(x2,δ)) ≥ε0.

In particular, daca δ = 1/n cu n ∈ N∗ si notam x1,δ = xn, x2,δ = yn obtinem sirurile (xn),(yn) din A cu proprietatea ca d1(xn, yn) < δ si d2(f(xn), f(yn)) ≥ ε0.

Din faptul ca multimea A este compacta rezulta ca sirul (xn) contine un subsir (xnk)

convergent la punctul x0 ∈ A. Consideram subsirul (ynk) a sirului (yn). Cum

d1(ynk, x0) ≤ d1(ynk

, xnk) + d1(xnk

, x0) ≤ 1nk

+ d1(xnk, x0)

si

limk→∞

(1nk

+ d1(xnk, x0) =

)= 0,

rezulta ca limn→∞ d1(ynk

, x0) = 0, adica limn→∞ ynk

Y= x0.

Functia f fiind continua, rezulta ca

limk→∞

f(xnk) Y= f(x0) si lim

k→∞f(ynk

) Y= f(x0),

de undelimk→∞

d2(f(xnk), f(ynk

)) = 0,

care este ın contradictie cu d2(f(xn), f(yn)) ≥ ε0.Asadar, f este uniform continua pe A.In ıncheierea acestui paragraf sa abordam cateva proprietati ale functiilor continue

pe multimi conexe.

Teorema 10.4.9 Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice si f : A ⊆ X → Y o functie continuape A. Daca A este conexa ın X, atunci f(A) este conexa ın Y .

213

Page 213: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Demonstratie. Vom proceda prin reducere la absurd. Sa presupunem contrariul. Atunciexista doua multimi nevide. D1, D2, deschise ın Y , asa ca

D1 ∩D2 ∩ f(A) = ∅, D1 ∩ f(A) �= ∅, D2 ∩ f(A) �= ∅(10.9)

f(A) ⊂ D1 ∪D2.

Din faptul ca f este continua, pe baza Teoremei 10.4.5, rezulta ca multimile Δ1 =f−1(D1) si Δ2 = f−1(D2) sunt deschise ın X. In plus, Δ1 �= ∅, Δ2 �= ∅, Δ1 ∩ Δ2 ∩ A = f−1(D1) ∩f−1(D2) ∩A = f−1(D1 ∩D2) ∩ A = ∅, Δ1 ∩A �= ∅, Δ2 ∩A �= ∅ si A ⊂ Δ1 ∪ Δ2. De aici, rezulta caA este neconexa, ceea ce este o contradictie. Prin urmare, f(A) este conexa ın Y .

Corolarul 10.4.5 (Proprietatea valorilor intermediare). Fie (X, d) un spatiu metric si A osubmultime conexa a sa. Daca functia f : A → R este continua pe A, a, b ∈ A si f(a) < f(b),atunci pentru orice λ ∈ (f(a), f(b)) exista cλ ∈ A asa ca f(cλ) = λ.

Demonstratie. Din Teorema 10.4.9 rezulta ca f(A) este conexa. De aici, pe baza Observatiei10.1.4, deducem ca f(A) este interval. Prin urmare, daca f(a), f(b) ∈ f(A),atunci intervalul(f(a), f(b)) este ınclus ın f(A), de unde rezulta afirmatia din Corolar.

Din Corolarul 10.4.5 obtinem rezultatul cunoscut:

Corolarul 10.4.6 Daca I este un interval al lui R si f : I → R este o functie continua pe I,atunci multimea f(I) este un interval.

Definitia 10.4.8 Fie (X, d1) si (Y, d2 doua spatii metrice. Spunem ca functia f : X → Yare proprietatea lui Darboux daca transforma orice submultime conexa a lui X ıntr-osubmultime conexa a lui Y .

Observatia 10.4.6 Teorema 10.4.9 ne spune ca orice functie continua are proprietatea luiDarboux.

Observatia 10.4.7 In particular, o functie reala f : I → R, I interval din R, are proprietateaDarboux daca pentru orice a, b ∈ I cu a < b si pentru orice λ ∈ (f(a), f(b)) sau λ ∈ (f(b), f(a)),exista un element cλ ∈ (a, b) asa ca f(cλ) = λ

Propozitia 10.4.4 Fie f : I → R o functie, unde I este un interval al lui R. Daca f areproprietatea lui Darboux, atunci f poate avea numai discontinuitati de speta a doua.

Demonstratie. Vom folosi metoda reducerii la absurd. Presupunem ca functia f are unpunct x0 ∈ I de discontinuitate de speta ıntaia. Atunci, exista limitele laterale fs(x0) si fd(x0)finite si ori f(x0) �= fs(x0), ori f(x0) �= fd(x0). Sa presupunem ca f(x0) < fd(x0). Consideramλ ∈ R asa ıncat f(x0) < λ < fd(x0); de aici, avem fd(x0) − λ > 0. Din definitia limitei rezultaca pentru ε = fd(x0) − λ > 0 exista δε > 0 asa ca, pentru orice x ∈ (x0, x0 + δε), sa avem

|f(x) − fd(x0)| < ε = fd(x0) − λ,

de unde f(x) > λ, pentru orice x ∈ (x0, x0 + δε).Cum x0 + δε/2 ∈ (x0, x0 + δε), avem f(x + δε/2) > λ > f(x0), adica λ este valoare

intermediara. Atunci, din faptul ca f are proprietatea lui Darboux rezulta ca existacλ ∈ (x0, x0 + δε) asa ca f(cλ) = λ, ceea ce contrazice f(x) > λ, pentru orice x ∈ (x0, x0 + δε).Presupunerea facuta este falsa, rezultand ca f nu poate avea decat puncte de discontinuitatede speta a doua.

Corolarul 10.4.7 Fie f : I → R o functie, unde I este un interval al lui R. Daca f estemonotona si are proprietatea lui Darboux, atunci f este continua pe I.

Demonstratie. Conform Exemplului 10.4.3 functia f fiind monotona ar putea avea numaidiscontinuitati de speta ıntaia, iar, conform Propozitiei 10.4.4, posedand proprietatea Dar-boux, poate avea numai discontinuitati de speta a doua. Prin urmare, f trebuie sa fiecontinua.

214

Page 214: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Teorema 10.4.10 Fie I un interval al lui R, f : I → R o functie continua si J = f(I). Atuncif este o bijectie de la I la J daca si numai daca f este strict monotona. In acest caz inversaf−1 : J → I este, de asemenea, strict monotona (de acelasi sens) si continua.

Demonstratie. Sa consideram ca f nu este strict monotona. Atunci exista trei punctex1, x2, x3 ın I asa ca x1 < x2 < x3 dar f(x1) > f(x2) si f(x2) < f(x3) (sau f(x1) < f(x2) sif(x2) > f(x3)). Fie λ = min(f(x1), f(x2)) si μ = (λ + f(x2))/2. Fara a influenta rigurozitateademonstratiei, putem alege λ = f(x1). Atunci

f(x2) < μ =λ+ f(x2)

2=f(x1) + f(x2)

2< f(x1)

si cum f , fiind continua, are proprietatea lui Darboux, rezulta ca exista c ∈ (x1, x2) asa caμ = f(c). Dar avem si

f(x2) < μ =λ+ f(x2)

2< f(x3),

rezulta de aici ca exista d ∈ (x2, x3) asa ca f(d) = μ. Rezulta ca f(c) = f(d) si fum f estebijectiva obtinem c = d, ceea ce este imposibil deoarece x1 < c < x2 < d < x3.

Asadar, presupunerea facuta este falsa. Rezulta ca f este strict monotona.Reciproc, sa consideram ca f : I → J este strict monotona si continua. De aici, rezulta

ca f este injectiva (strict monotona) si surjectiva (J = f(I)), deci f este bijectiva.Fara a restrange generalitatea, sa presupunem ca f este strict crescatoare si sa aratam

ca si f−1 : J → I are aceeasi proprietate.Fie y1, y2 din J cu y1 < y2. Notam cu x1 = f−1(y1) si cu x2 = f−1(y2). Atunci f(x1) = y1 si

f(x2) = y2. Cum f−1 este injectiva, avem f−1(y1) �= f−1(y2). Daca am avea f−1(y1) > f−1(y2),atunci, cum f este strict crescatoare, rezulta f(f−1(y1)) > f(f−1(y2)), de unde y1 > y2, ceeace este ın contradictie cu y1 < y2. Ramane ca f−1(y1) < f−1(y2), ceea ce arata ca f−1 estestrict crescatoare. Cum f−1 este strict monotona si poseda proprietatea lui Darboux, deunde, pe baza Corolarului 10.4.7, rezulta ca f−1 este continua.

Observatia 10.4.8 Utilizand aceasta teorema, se arata cu usurinta ca functiile inverse aleprincipalelor functii elementare sunt continue.

215

Page 215: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

10.5 Test de verificare a cunostintelor nr. 9

1. Definiti urmatoarele notiuni:

a) Functie ıntre doua spatii metrice;

b) Limita unei functii ıntre doua spatii metrice (definitia cu siruri);

c) Functie continua ıntr-un punct (f : (X, d1) → (Y, d2) cu (X, d1) si (Y, d2) spatii me-trice);

d) Functie vectoriala;

e) Functie uniform continua.

2. Sa se demonstreze ca o functie f : R → R periodica si care nu este constanta nu arelimita la +∞ si −∞.

3. Calculati L = limx→∞(2x + x)

1x .

4. a) Fie functia f :[0,π

2

]→ R,

f(x) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2 sin

1x

sinx, x �= 0

1 , x = 0.

Sa se studieze continuitatea functiei f .

b) Se da functia f : [a, b] → [a, b] continua pe [a, b]. Sa se arate ca (∃) c ∈ [a, b] astfelıncat f(c) = c.

5. a) Folosind definitia sa se arate ca:

lim(x,y)→(1,3)

(x2 + xy) = 4

b) Aratati cu ajutorul definitiei cu siruri ca functia f(x, y) =2xy

x2 + y2, (x, y) �= (0, 0) nu

are limita ın origine.

6. Aratati cu ajutorul definitiei cu siruri ca functia f(x, y) =y2 + 2xy2 − 2x

, y2 − 2x �= 0 nu are

limita ın origine.

7. Cercetati limitele iterate si limita globala (daca este cazul) ın origine pentru functia:

a) f(x, y) =x− y + x2 + y2

x+ y, x+ y �= 0,

b) f(x, y) = x sin1y, y �= 0.

8. Calculati:

a) L = lim(x,y)→(0,0)

xy√xy + 1 − 1

,

b) L = lim(x,y)→(0,0)

sin(xy)x

.

9. Studiati uniform continuitatea functiei:

f(x) = arctg1 + x

1 − x, x ∈ (1,∞).

216

Page 216: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

10. Studiati uniform continuitatea functiei:

f : (1, 2) × (1, 2) → R , f(x, y) =x

y.

217

Page 217: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Indicatii si raspunsuri Testul nr. 9

2. Se foloseste definitia cu siruri.

3. L = 2.

4. a) f continua pe(0,π

2

];

b) Se foloseste consecinta lui Darboux: Daca

f : [a, b] → [a, b]

continua pe [a, b] si f(a) · f(b) ≤ 0 atunci (∃)c ∈ [a, b] astfel ıncat f(c) = c.

5. b) Se considera sirurile(

1n,3n

)si(

1n,1n

).

6. Se considera sirurile(

1n2,1n

)si(

1n2,2n

).

7. a) limx→0

limy→0

f(x, y) = 1 si limy→0

limx→0

f(x, y) = −1, deci nu exista limita globala ın (0, 0).

b) Avem limy→0

limx→0

f(x, y) = 0 dar nu exista limx→0

limy→0

f(x, y). Avem limita globala

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0.

8. a) L = 2;

b) L = 2.

9. f este uniform continua pe (1,∞). Se foloseste identitatea:

arctg α− arctg β = arctgα− β

1 + αβsi inegalitatea arctg x ≤ x.

10. f este uniform continua pe (1, 2) × (1, 2).

218

Page 218: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Bibliografia aferenta capitolului:[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate ın economie - Volumul II,

Editura ULB, Sibiu, 2002.

219

Page 219: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Capitolul 11

Derivarea functiilor reale

Obiective: Recapitularea notiunilor legate de derivarea functiilor reale de o vari-abila reala cunoscute din ınvatamantul preuniversitar si completarea acestora cu acelenotiuni, legate de subiectul prezentului capitol, strict necesare pentru parcurgerea capi-tolelor urmatoare.

Rezumat: In acest capitol sunt recapitulate si completate notiunile legate dederivata unei functii reale de o variabila reala si proprietatile acesteia, proprietatile de bazaale functiilor reale derivabile pe un interval real (teoremele lui Fermat, Rolle, Cauchy, La-grange, Darboux, Taylor), diferentiala unei functii reale de o variabila reala si proprietatileacesteia. Capitolul se ıncheie cu prezentarea unor aplicatii imediate ale notiuni de derivataın economie.

Continutul capitolului:1. Definitia derivatei si proprietatile ei de baza2. Proprietati de baza ale functiilor derivabile pe un interval3. Diferentiala unei functii reale4. Aplicatiile derivatei ın economie5. Test de verificare a cunostintelor6. Bibliografia aferenta capitolului

Cuvinte cheie: derivata a unei functii reale de o variabila reala, derivabilitate,teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange, teorema lui Darboux, teoremalui Taylor, diferentiala unei functii reale de o variabila reala, productie medie, ritm mediu,elasticitate medie.

11.1 Definitia derivatei si proprietatile ei de baza

Fie functia f : A → R, unde A este o submultime a lui R si fie x0 ∈ A un punct deacumulare pentru A.

Definitia 11.1.1 Spunem ca functia f are derivata ın punctul x0 daca exista ın R limita

limx→x0

f(x) − f(x0)x− x0

,

notata, de obicei, cu f ′(x0).Daca derivata f ′(x0) exista si este finita zicem ca functia f este derivabila ın punctul

x0. Daca f ′(x0) = +∞ sau f ′(x) = −∞, atunci vom spune ca f are derivata infinita ınpunctul x0.

Propozitia 11.1.1 Daca functia f : A → R este derivabila ın x0 ∈ A ∩ A′, atunci f estecontinua ın x0.

220

Page 220: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Demonstratie. Din ipoteza avem ca exista si este finita

limx→x0

f(x) − f(x0)x− x0

= f ′(x0).

Se observa ca pentru orice x ∈ A− {x0}, avem

f(x) = (x− x0)f(x) − f(x0)

x− x0+ f(x0),

de unde prin trecere la limita obtinem limx→x0

f(x) = f(x0), ceea ce ne arata ca f este continua

ın x0.

Observatia 11.1.1 Reciproca Propozitiei 11.1.1 este falsa deoarece exista functii continueıntr-un punct care nu sunt derivabile ın acel punct. Pentru aceasta, este suficient saconsideram functia f(x) = |x|, x ∈ R, care este continua pe R dar nu este derivabila ın 0.

Definitia 11.1.2 Daca functia f : A → R, A ⊆ R, este derivabila ın orice punct al uneisubmultimi B a lui A, atunci spunem ca f este derivabila pe B.

Daca B este formata din toate punctele lui A ın care functia f este derivabila, atunciB se numeste domeniul de derivabilitate a lui f .

In acest caz, functia definita pe B cu valori reale care asociaza fiecarui punct x ∈ Bderivata f ′(x) ın punctul x se numeste derivata lui f pe multimea B si notam prin f ′.

Operatia prin care din functia f obtinem functia f ′ se numeste operatie de derivare.

Definitia 11.1.3 Fie f : A ⊂ R → R si x0 ∈ A un punct de acumulare pentru A ∩ (−∞, x0).Daca exista limita

f ′s(x0) = limx→x0x<x0

f(x) − f(x0)x− x0

atunci numim aceasta limita derivata la stanga a functiei f ın punctul x0.Daca x0 ∈ A este punct de acumulare pentru A ∩ (x0,+∞) si exista limita

f ′d(x0) = limx→x0x>x0

f(x) − f(x0)x− x0

,

atunci numim aceasta limita derivata la dreapta a functiei f ın punctul x0.Daca f ′s(x0), respectiv f ′d(x0), este finita, atunci spunem ca f este derivabila la stanga,

respectiv la dreapta, ın punctul x0.

Observatia 11.1.2 Daca functia f este definita pe un interval [a, b] si are derivata la dreaptaın punctul a, respectiv la stanga ın punctul b, atunci convenim sa spunem ca f are derivataın a, respectiv ın b.

Din legatura ıntre limita unei functii ıntr-un punct si limitele laterale ın acel punct,obtinem:

Propozitia 11.1.2 O functie f : A ⊂ R → R are derivata ın punctul x ∈ A ∩A′ daca si numai daca f are derivata la dreapta si la stanga ın punctul x0, iarf ′s(x0) = f ′d(x0) = f ′(x0).

Teorema 11.1.1 Fie f, g : A → R doua functii derivabile ın x0 ∈ A ∩ A′ si λ ∈ R. Atunci suntvariabile afirmatiile:

1) Suma f + g este derivabila ın x0 si

(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0);

221

Page 221: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

2) Produsul λf este derivabila si

(λf)′(x0) = λf ′(x0);

3) Produsul fg este derivabila ın x0 si

(fg)′(x0) = f ′(x0)g′(x0) + f(x0)g′(x0).

4) Daca g(x0) �= 0, atunci functia cat f/g este derivabila ın x0 si(f

g

)′(x0) =

f ′(x0)g(x0) − f(x0)g′(x0)(g(x0))2

.

Demonstratia teoremei se face utilizand definitia derivatei. De exemplu, sa demon-stram afirmatia de la 3). Avem

limx→x0

(fg)(x) − (fg)(x0)x− x0

= limx→x0

f(x)g(x) − f(x0)g(x0)x− x0

=

= limx→x0

g(x)[f(x) − f(x0)] + f(x0)[g(x) − g(x0)]x− x0

=

= limx→x0

g(x)f(x) − f(x0)

x− x0+ limx→x0

f(x0)[g(x) − g(x0)]x− x0

=

= g(x0)f ′(x0) + f(x0)g′(x0),

ceea ce trebuia demonstrat.

Teorema 11.1.2 (Derivarea functiilor compuse sau regula lantului) Fie f : I ⊂ R → J ⊂ R,g : J → R, I si J fiind intervale. Daca f este derivabila ın punctul x0 ∈ I si g este derivabilaın punctul f(x0), atunci functia h : I → R, h(x) = g(f(x0)) (h = g◦f) este derivabila ın punctulx0 si h′(x0) = g′(f(x0))f ′(x0) adica (g ◦ f)′ = (g′ ◦ f)f ′.

Demonstratie. Consideram functia ajutatoare u : J → R, definita prin

u(y) =

⎧⎨⎩g(y) − g(y0)y − y0

, daca y �= y0

g′(y0) , daca y = y0 = f(x0)(11.1)

Cum limy→y0

u(y) = g′(y0) rezulta ca u este continua ın punctul y0 = f(x0). Din (11.1)

obtinem:g(y) − g(y0) = u(y) · (y − y0), pentru orice y ∈ J

Deci avemg(f(x)) − g(f(x0)) = u(f(x0))(f(x) − f(x0)),

pentru orice x ∈ I.Rezulta ca, pentru orice x ∈ I − {x0} avem

g(f(x)) − g(f(x0))x− x0

= u(f(x))f(x) − f(x0)

x− x0(11.2)

Cum f este derivabila ın x0 rezulta ca f este continua ın x0, de unde, tinand seamade continuitatea lui u ın y0 = f(x0), deducem ca functia compusa u ◦ f este continua ın x0.

Acum, utilizand derivabilitatea lui f ın punctul x0 obtinem din (11.2) ca exista limita

limx→x0

g(f(x)) − g(f(x0))x− x0

= u(f(x))f ′(x0)(11.3)

Dar din (11.1), avem u(y0) = u(f(x0)) = g′(y0) == g′(f(x0)) si atunci din (11.3) obtinem

(g ◦ f)′(x0) = g′(f(x0))f ′(x0),

ceea ce trebuia demonstrat.

222

Page 222: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Teorema 11.1.3 Fie f : I → J, I, J intervale ale lui R, o functie continua si bijectiva. Dacaf este dervabila ın punctul x0 ∈ I si f ′(x0) �= 0, atunci functia inversa f−1 este derivabila ınpunctul f(x0) = y0 si are loc formula

(f−1)′(y0) =1

f ′(x0),

adica

(f−1)′ =1

f ′ ◦ f−1

Demonstratie. Tinand seama de Teorema 10.4.10 rezulta ca f este strict monotona. Inaceasta situatie deducem ca functia inversa f−1 este strict monotona si continua. Fiey ∈ I − {y0} si x = f−1(y). Deoarece y �= y0, tinand seama de strict monotonia lui f−1,rezulta ca si x �= x0. Acum, putem scrie

f−1(y) − f−1(y0)y − y0

=f−1(f(x)) − f−1(f(x0))

f(x) − f(x0)=

x− x0

f(x) − f(x0)=

1f(x)−f(x0)

x−x0

,

de unde prin trecere la limita rezulta

limy→y0

f−1(y) − f−1(y0)y − y0

=1

limx→x0

f(x) − f(x0)x− x0

=1

f ′(x0).

In finalul acestui paragraf sa introducem notiunea de derivata de ordin superior.Fie f : D → R o functie derivabila pe multimea D. In acest caz, exista functia derivata

f ′ : D → R.

Definitia 11.1.4 Spunem ca functia f : D → R2 este de doua ori derivabila ıntr-un punctx0 ∈ D, daca f este derivabila ıntr-o vecinatate a punctului x0 si f ′ este derivabila ınpunctul x0. In acest caz derivata lui f ′ ın punctul x0 se numeste derivata a doua a lui f ınx0 si o notam cu f ′′(x0).

Daca f ′ este derivabila pe D, atunci derivata lui f ′ se numeste derivata a doua (saude ordinul doi) a lui f si se noteaza cu f ′′.

In general, spunem ca f este derivabila de n (n ≥ 2, n ∈ N) ori ın x0 ∈ D daca f estede (n− 1) ori derivabila pe o vecinatate V a lui x0 si daca derivata de ordin (n− 1), notataprin f (n−1), este derivabila ın punctul x0.

Spunem ca f este derivabila de n ori pe D daca f este derivabila de n ori ın oricepunct x ∈ D.

Derivatele succesive ale lui f se noteaza prin f (1) = f ′, f (2) = f ′′, f (3) = f ′′′, . . ., f (n)

pentru orice n ∈ N∗. Convenim, de asemenea, sa notam prin f (0) = f .In general, aflarea derivatei de ordinul n a functiei f se face prin inductie matematica.

Exemplul 11.1.1. Se considera functia f : E → R, f(x) = (ax + b)α, α ∈ R, iar E domeniulmaxim de definitie al lui f . Sa se calculeze f (n). Avem

f ′(x) = αa(ax+ b)α−1

f ′′ = α(α− 1)a2(ax+ b)α−2 . . .

Presupunem ca f (n)(x) = α(α−1) . . . (α−n+1)an(ax+b)α−n si sa demonstram ca f (n+1)(x) =α(α− 1) . . . (α− n+ 1)(α− n)(ax+ b)α−n−1.

Avem

f (n+1)(x) = (f (n)(x))′ = (α(α− 1) . . . (α− n+ 1)an(ax+ b)α−n)′ =

223

Page 223: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

= α(α− 1) . . . (α− n+ 1)(α− n)an+1(a+ b)α−n−1

Asadar, avem

((ax+ b)α)(n) = α(α− 1) . . . (α− n+ 1)an(ax+ b)α−n(11.4)

Cazuri particulare. 1. Daca α = n, atunci din (11.4) gasim ((ax + b)n)(n) = n!an, de undepentru a = 1 si b = 0 obtinem (xn)(n) = n!.

2. Daca α = −1, atunci din (11.4) obtinem(1

ax+ b

)(n)

=(−1)n · n!an

(ax+ b)n+1.

3. Daca α = 12 , atunci din (11.4) obtinem

(√ax+ b)(n) = (−1)n−1 1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 3)

2n

√ax+ b

(ax+ b)n, n ≥ 2.

Exemplul 11.1.2. (Formula lui Leibniz.) Fie f, g : D ⊆ R → R doua functii de n ori derivabilepe D. Atunci are loc egalitatea

(fg)(n)(x) =n∑k=0

Cknf(n−k)(x)g(k)(x),

pentru orice x ∈ D, numita formula lui Leibniz.Avem (f · g)′(x) = f ′(x)g(0)(x) + f (0)(x)g′(x), pentru orice x ∈ D, deci egalitatea este

adevarata pentru n = 1.Presupunem egalitatea adevarata pentru n = k si sa demonstram ca este adevarata si

pentru n = k + 1.Putem scrie

(fg)(k+1)(x) = ((fg)(k))′(x) =

(k∑i=0

Cikf(k−i)(x)g(i)(x)

)′=

=k∑i=0

Cik

[f (k−i+1)(x)g(i)(x) + f (k−i)(x)g(i+1)(x)

]=

= C0kf

(k+1)(x)g(0)(x) + [C0k + C1

k ]f(k)(x)g(1)(x)+

+[C1k + C2

k ]f(k−1)(x)g(2)(x) + . . .+ [Ck−1

k + Ckk ]f (1)(x)g(k)(x)+

+Ckkf(0)(x)g(k+1)(x).

Deoarece C0k = C0

k+1 = 1, Ckk = Ck+1k+1 = 1 si Ci−1

k +Cik = Cik+1, i ≤ k, egalitatea precedentaconduce la

(fg)k+1(x) =k+1∑i=0

Cik+1f(k+1−i)(x) · g(i)

(x),

ceea ce trebuia demonstrat. Asadar, formula lui Leibniz este adevarata.

11.2 Proprietati de baza ale functiilor derivabile pe un interval

Definitia 11.2.1 Fie f : A ⊆ R → R o functie. Un punct x0 ∈ A se numeste punct de maximlocal (sau relativ) al functiei f daca exista o vecinatate V (x0) a lui x0 asa ıncat f(x) ≤ f(x0),pentru orice x ∈ V (x0) ∩A.

Un punct x0 ∈ A se numeste punct de minim local (sau relativ) daca exista o vecinatateV (x0) a lui x0 asa ıncat f(x) ≥ f(x0), pentru orice x ∈ V (x0) ∩A.

Punctele de maxim sau minim local ale functiei f se numesc puncte de extrem relativ(sau local) ale functiei f, iar valorile functiei ın punctele sale de extrem se numesc extremeale functiei f .

224

Page 224: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Teorema 11.2.1 (Teorema lui Fermat). Fie I un interval al lui R si fie functia f : I → R.Daca x0 este un punct de extrem local interior al intervalului I si f este derivabila ın x0,atunci f ′(x0) = 0.

Demonstratie. Sa presupunem ca x0 este un punct de maxim local pentru f , adica existao vecinatate V (x0) a punctului x0 astfel ca f(x) ≤ f(x0), pentru orice x ∈ V (x0) ∩ I. Atunci,pentru x ∈ V (x0) ∩ I cu x < x0 putem scrie

f(x) − f(x0)x− x0

≤ 0,(11.5)

iar pentru x ∈ V (x0) ∩ I cu x > x0 avem

f(x) − f(x0)x− x0

≥ 0.(11.6)

Cum f este derivabila ın punctul interior x0 ∈ I, deducem ca exista f ′s(x0), f ′d(x0) sif ′(x0) = f ′s(x0) = f ′d(x0) ∈ R. Tinand seama de aceasta si trecand la limita ın (11.5) si (11.6),obtinem, pe de o parte ca f ′(x0) = f ′s(x0) ≤ 0, iar, pe de alta parte, ca f ′(x0) = f ′d(x0) ≥ 0. Deaici, rezulta ca f ′(x0) = 0, ceea ce trebuia demonstrat.

Observatia 11.2.1 Teorema lui Fermat da numai o conditie necesara dar nu si suficientapentru existenta punctelor de extrem. Se poate ıntampla ca ıntr-un punct derivata sa seanuleze fara ca punctul respectiv sa fie punct de extrem local. Radacinile derivatei uneifunctii se numesc puncte critice sau puncte stationare pentru functia respectiva.

Observatia 11.2.2 Geometric, teorema lui Fermat afirma ca graficul unei functii derivabileare tangenta paralela cu axa Ox ın punctele de extrem interioare intervalului de definitie afunctiei.

Teorema 11.2.2 (Teorema lui Rolle). Fie functia f : [a, b] → R, unde a, b ∈ R si a < b. Dacasunt ındeplinite conditiile:

i) f este continua pe [a, b],

ii) f este derivabila pe (a, b),

iii) f(a) = f(b),

atunci exista un punct c ∈ (a, b) asa ıncat f ′(c) = 0.

Demonstratie. Daca f este constanta pe [a, b], atunci f ′ = 0 pe (a, b) si deci orice punctc ∈ (a, b) satisface cerinta f ′(c) = 0.

Sa admitem acum ca f nu este constanta pe [a, b]. Cum f este continua pe intervalulcompact [a, b], conform Corolarului 10.4.3. rezulta ca f este marginita si ısi atinge marginile.Daca m = inf

x∈[a,b]f(x) si M = sup

x∈[a,b]

f(x), atunci exista x1 ∈ [a, b] si x2 ∈ [ a, b] asa ıncat f(x1) = m

si f(x2) = M . Cum f nu este constanta pe [a, b] deducem ca m < M . Se observa ca x1 si x2

nu pot fi ambele situate ın extremitatile intervalului [a, b]. Intr-adevar, daca am presupuneca x1 = a sau x1 = b, cum f(a) = f(b), din f(x1) = f(a) = m < M = f(x2) rezulta ca x2 nu poatecoincide nici cu a si nici cu b, deci x2 ∈ (a, b). Atunci, conform Teoremei lui Fermat, avemf ′(x2) = 0 si deci exista c = x2 ∈ (a, b) asa ca f ′(c) = 0.

Observatia 11.2.3 Geometric, teorema lui Rolle afirma ca ın conditiile din enuntul teoremeiexista cel putin un punct al graficului functiei f , care nu coincide cu extremitatile, ın caretangenta este paralela cu axa Ox.

Observatia 11.2.4 Daca ın teorema lui Rolle f(a) = f(b) = 0, atunci rezulta ca ıntre douaradacini a, b ale functiei f exista cel putin o radacina c a derivatei.

225

Page 225: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Observatia 11.2.5 Intre doua radacini reale consecutive ale derivatei unei functii pe uninterval se afla cel mult o radacina reala a functiei.

Intr-adevar, fie c1 < c2 doua radacini consecutive ale derivatei. Sa presupunem caexista doua racini reale diferite x1 si x2 ale functiei, f(x1) = f(x2) = 0, c1 < x1 < x2 < c2.Dupa teorema lui Rolle ıntre x! si x2 trebuie sa existe o radacina a derivatei, ceea ce nu sepoate, c1 si c2 fiind radacini consecutive ale derivatei.

Aceasta observatie permite sa separam radacinile reale ale ecuatiei f(x) = 0, daca secunosct radacinile ecuatiei f ′(x) = 0. Fie c1 < c2 < c3 < . . . < ck radacinile ecuatiei f ′(x) = 0asezate ın ordine crescatoare pe intervalul [a, b]. Formam sirul lui Rolle

f(a), f(c1), f(c2), . . . , f(ck), f(b).

Conform observatiei 11.2.5, ın fiecare interval (a, c1), (c1, c2), . . . , (ck, b) exista cel mult oradacina a functiei. Exista o radacina pe unul din aceste intervale numai daca functia iavalori de semne contrare la capetele intervalului respectiv. Prin urmare, ecuatia f(x) = 0are atate radacini reale ın [a, b] cate variatii de semn are sirul lui Rolle.

Teorema 11.2.3 (Teorema lui Cauchy; a doua teorema de medie a calculului diferential).Fie f, g : [a, b] → R doua functii care verifica conditiile:

i) f, g sunt continue pe [a, b].

ii) f, g sunt derivabile pe (a, b).

iii) g′(x) �= 0 pentru orice x ∈ (a, b).

Atunci exista un punct c ∈ (a, b) astfel ca

f(b) − f(a)g(b) − g(a)

=f ′(c)g′(c)

.

Demonstratie. Observam ca g(b) �= g(a) deoarece ın caz contrar, conform Teoremei lui Rolle,aplicata functiei g, ar exista ξ ∈ (a, b) cu g′(ξ) = 0, ceea ce este ın contradictie cu conditia(iii) din enunt.

Acum, consideram functia auxiliara

h(x) = f(x) − f(b) − f(a)g(b) − g(a)

g(x), x ∈ [a, b],

care este continua pe [a, b], derivabila pe (a, b), cu

h′(x) = f ′(x) − f(b) − f(a)g(b) − g(a)

g′(x), x ∈ (a, b)

si h(a) = h(b). Deci, Teorema lui Rolle este aplicabila functiei h, ceea ce implica existentaunui punct c ∈ (a, b) asa ca h′(c) = 0, echivalenta cu

f(b) − f(a)g(b) − g(a)

=f ′(c)g′(c)

.

Observatia 11.2.6 Teorema lui Cauchy ne permite sa deducem asa numitele ”Reguli ale luil′Hospital” de aflare a limitelor de functii ın cazul nedeterminarilor 0

0 si ∞∞ .

Prima regula a lui l′Hospital.Fie I un interval din R, x0 ∈ I si f, g : I → R. Daca suntındeplinite conditiile:

i) functiile f si g sunt derivabile pe I − {x0};ii) exista lim

x→x0f(x) = lim

x→x0g(x) = 0;

226

Page 226: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

iii) g′(x) �= 0, oricare ar fi x ∈ I − {x0};

iv) exista limx→x0

f ′(x)g′(x)

= l ∈ R,

atunci are loc

limx→x0

f(x)g(x)

= limx→x0

f ′(x)g′(x)

= l.

Pentru demonstratie consideram functiile

F (x) ={f(x) , daca x ∈ I − {x0}

0 , daca x = x0

si

G(x) ={g(x) , daca x ∈ I − {x0}

0 , daca x = x0

Aceste functii sunt continue pe I derivabile pe I − {x0} si G′(x) �= 0, oricare ar fix ∈ I−{x0}. Aplicam teorema lui Cauchy functiilor F (x) si G(x) pe intervalul compact [x0, x]si avem

F (x) − F (x0)G(x) −G(x0)

=F ′(c)G′(c)

=f ′(c)g′(c)

, x0 < c < x.

De aici, utilizand conditia iv), prin trecere la limita obtinem:

limx→x0

f(x)g(x)

= limx→x0

f ′(x)g′(x)

= l.

A doua regula a lui l′Hospital.Fie a > 0 si f, g : (a,+∞) → R doua functii. Daca suntındeplinite conditiile:

i) functiile f si g sunt derivabile pe (a,+∞);

ii) limx→∞ f(x) = lim

x→∞ g(x) = 0;

iii) g′(x) �= 0 pentru orice x > a;

iv) exista limx→∞

f ′(x)g′(x)

= l ∈ R, atunci are loc egalitatea

limx→∞

f(x)g(x)

= limx→∞

f ′(x)g′(x)

.

Pentru demonstratie se face schimbarea de variabila x = 1/t si se aplica prima regula a lui l′Hospitalpe intervalul

(0, 1

a

)pentru x→ 0.

Observatia 11.2.7 Daca avem limx→x0

f(x) = limx→x0

y(x) = +∞, atunci scriem

limx→x0

f(x)g(x)

= limx→x0

1f(x)

1g(x)

si se aplica prima regula a lui l′Hospital.

Observatia 11.2.8 Cazurile de nedeterminare ∞−∞, 00, 1∞, ∞0 se reduc prin transformari(operatii) algebrice la situatiile 0

0 sau ∞∞ .

Teorema 11.2.4 (Teorema lui Lagrange – teorema cresterilor finite – prima formula de mediea calculului diferential). Fie f : [a, b] → R o functie care satisface conditiile:

227

Page 227: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

i) f este continua pe [a, b];

ii) f este derivabila pe (a, b),

atunci exista un punct c ∈ (a, b) asa ca

f(b) − f(a)b− a

= f ′(c).

Demonstratie. Luam ın Teorema lui Cauchy functia g(x) = x, x ∈ [a, b].

Observatia 11.2.9 Daca functia f are derivata nula pe un interval I, atunci f este constantape I.

Demonstratie. Fie x0 un punct fixat din I si x ∈ I un punct arbitrar. Aplicam teoremalui Lagrange pe intervalul [x0, x] (sau [x, x0]) si rezulta ca exista c ∈ (x0, x) (sau (x, x0)) asaıncat

f(x) − f(x0) = f ′(c)(x− x0).

Cum f ′(x) = 0, oricare ar fi x ∈ I, rezulta ca f(x) = f(x0), oricare ar fi x ∈ I, si deci feste cosntanta pe intervalul I.

Observatia 11.2.10 Daca doua functii sunt derivabile pe un interval I si derivatele suntegale pe acest interval, atunci diferenta lor este o constanta.

Demonstratie. Daca f ′(x) = g′(x) pentru orice x ∈ I, atunci rezulta ca (f − g)′(x) = 0,oricare ar fi x ∈ I. Atunci, pe baza Observatiei 11.2.9, rezulta, (f − g)(x) = k, oricare ar fix ∈ I, adica f(x) − g(x) = k, pentru orice x ∈ I.

Observatia 11.2.11 Fie f o functie derivabila pe intervalul I.

i) Daca f ′(x) ≥ 0, oricare ar fi x ∈ I, atunci f este crescatoare pe I;

ii) Daca f ′(x) ≤ 0, oricare ar fi x ∈ I, atunci f este descrescatoare pe I;

iii) Daca f ′(x) > 0, oricare ar fi x ∈ I, atunci f este strict crescatoare pe I;

iv) Daca f ′(x) < 0, oricare ar fi x ∈ I, atunci f este scrict descrescatoare pe I.

Demonstratie. Vom justifica numai punctul i), celelalte cazuri demonstrandu-se ınmod analog.

Fie x1, x2 doua puncte arbitrare din I asa ıncat x1 < x2. Aplicam teorema lui Lagrangepe intervalul [x1, x2] si rezulta ca exista c ∈ (x1, x2) asa ıncat f(x2) − f(x1) = f ′(c)(x2 − x1).

Cum f ′(x) ≥ 0, oricare ar fi x ∈ I, rezulta ca f(x2) − f(x1) ≥ 0, adica f(x2) ≥ f(x1).Asadar, f este crescatoare pe I.Afirmatiile de la punctele i) si ii) ale Observatiei admit si reciproce, ın timp ce

afirmatiile de la punctele iii) si iv) nu mai admit reciproce.

Observatia 11.2.12 Fie f o functie continua pe un interval I si x0 ∈ I. Daca f este dervabilape I − {x0} iar derivata sa f ′ are limita (finita sau infinita) ın punctul x0, atunci existaderivata functiei f si ın punctul x0 si ın plus

f ′(x0) = limx→x0

f ′(x).

Pentru demonstratie se aplica teorema lui Lagrange pe intervalele [x, x0] si [x0, x] si seface x→ x0.

Observatia 11.2.13 Daca functia f are derivata marginita pe I, atunci f este functia lips-chitziana pe I.

228

Page 228: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Demonstratie. Fie x1, x2 doua puncte arbitrare diferite din I. Aplicam teorema luiLagrange pe intervalul [x1, x2] (sau [x2, x1]) si exista c ∈ (x1, x2) asa ıncat f(x1) − f(x2) =f ′(c)(x1 − x2). Cum |f ′(x)| ≤M , M > 0, oricare ar fi x ∈ I, avem

|f(x1) − f(x2)| = |f ′(c)(x1 − x2)| = |f ′(c)| |x1 − x2| ≤M |x1 − x2|,

ceea ce ne arata ca f este lipschitziana pe I.

Teorema 11.2.5 (Teorema lui Darboux). Daca f : I → R este o functie derivabila pe I,atunci derivata sa f ′ are proprietatea lui Darboux pe acel interval.

Demonstratie. Fie x1, x2 ∈ I cu x1 < x2. Sa presupunem ca f ′(x1) < f ′(x2) siλ ∈ (f ′(x1), f ′(x2)). Consideram functia auxiliara g : I → R, g(x) = f(x) − λx, care verificainegalitatile: g′(x1) < 0 si g′(x2) > 0.

Deoarece g este derivabila pe [x1, x2] ∈ I rezulta ca g este continua pe compactul [x1, x2]deci ısi atinge marginile. Atunci exista c ∈ [x1, x2] asa ıncat g(c) = min

x∈[x1,x2]g(x). Sa aratam

ca c �= x1 si c �= x2. Din g′(x1) < 0 rezulta ca exista ε > 0 asa ıncat g(x)−g(x1)x−x1

< 0, pentruorice x ∈ (x1, x1 + ε), de unde obtinem ca g(x) < g(x1), pentru orice x ∈ (x1, x1 + ε). Aceastaultima inegalitate ne arata ca g ısi atinge marginea inferioara ıntr-un punct diferit de x1;deci c �= x1. In mod analog, demonstram ca c �= x2. Acum, aplicand teorema lui Fermatfunctiei g pe intervalul [x1, x2] rezulta ca g′(c) = 0, adica f ′(c) = λ.

Teorema 11.2.6 (Teorema lui Taylor). Fie I un interval deschis al lui R. Daca functiaf : I → R este derivabila de n + 1 ori pe I, atunci pentru orice doua puncte x, x0 ∈ I, cux �= x0, exista un punct c ∈ (x, x0) (sau (x0, x)) asa ıncat

f(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f ′′(x0)2!

(x− x0)2 + . . .+

+f (n)(x0)

n!(x− x0)n +

f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x− x0)(n+1),

numita formula lui Taylor.

Demonstratie. Ne propunem sa scriem pe f sub forma:

f(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f ′′(x0)2!

(x− x0)2 + . . .+

+f (n)(x0)

n!(x− x0)n +K(x− x0)(n+1), (∀)x ∈ I,

(11.7)

unde K este un numar real. Consideram functia auxiliara

g(t) = f(t) +f ′(t)1!

(x− t) +f ′′(t)

2!(x− t)2 + . . .+

+f (n)(t)n!

(x− t)n +K(x− t)(n+1), (∀)t ∈ I.

Observam ca g este derivabila pe I, g(x) = f(x), g(x0) = f(x0). Asadar, functia gsatisface conditiile teoremei lui Rolle pe [x, x0] (sau [x0, x]). Atunci exista un punct c ∈ (x, x0)(sau (x0, x)) asa ıncat g′(c) = 0.

Dar

g′(t) = f ′(t) +f ′′(t)

1!(x− t) − f ′(t)

1!+f ′′′(t)

2!(x− t)2 − f ′′(t)

1!(x− t)+

+ . . .+f (n+1)(t)

n!(x− t)n − f (n)(t)

(n− 1)!(x− t)n−1 −K(n+ 1)(x− t)n,

229

Page 229: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

(∀)t ∈ I, de unde

g′(t) =f (n+1)(t)

n!(x− t)n −K(n+ 1)(x− t)n, (∀)t ∈ I.

De aici obtinem g′(c) = 0, adica

f (n+1)(c)n!

(x− c)n = K(n+ 1)(x− c)n,

de unde gasim

K =f (n+1)(c)(n+ 1)!

,

care ınlocuita ın (11.7) conduce la formula lui Taylor.

Observatia 11.2.14 Formula lui Taylor este o formula de aproximare a functiei f prin poli-nomul

(Tnf)(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f ′′(x0)2!

(x− x0)2 + . . .+

+f (n)(x0)

n!(x− x0)n,

numit polinomul lui Taylor de grad n asociat functiei f . Expresia

(vnt)(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x− x0)n+1,

se numeste restul sub forma Lagrange al formulei lui Taylor.Proprietatea esentiala a polinomului lui Taylor este data de relatiile:

(Tnf)(x0) = f(x0); (Tnf)′(x0) = f ′(x0);

(Tnf)(2)(x0) = f (2)(x0); . . . ; (Tnf)(n)(x0) = f (n)(x0).

Observatia 11.2.15 Daca ın formula lui Taylor consideram x0 = 0,atunci obtinem Formulalui MacLaurin, adica

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(0)2!

x2 + . . .+f (n)(0)n!

+f (n+1)(c)(n+ 1)!

xn+1.

Observatia 11.2.16 Daca ın formula lui Taylor consideram n = 0, atunci obtinem formulacresterilor finite a lui Lagrange (v.Teorema 11.2.4).

Observatia 11.2.17 Punctul c din intervalul deschis determinat de punctele x si x0 depindede x, x0 si n. Punctul c se poate scrie si sub forma c = x0 + θ(x− x0), unde θ ∈ (0, 1).

Exemple. 11.2.1. Functia f(x) = ex, x ∈ R, este de clasa C∞ pe R iar f (k)(x) = ex, oricarear fi k ∈ N si oricare ar fi x ∈ R. Cum f (k)(0) = 1, k ∈ N∗, formula MacLaurin pentru ex areforma:

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ . . .+

xn

n!+

xn+1

(n+ 1)!eθx, (∀)x ∈ R.

11.2.2. Functia f(x) = ln(1 + x), x ∈ (−1,∞), este indefinit derivabila pe (−1,∞). Cum

f (k)(x) = (−1)k−1 (k − 1)!(1 + x)k

, k ∈ N∗, (∀)x ∈ (−1,∞)

(vezi Exemplul 11.1.1), avem f(0) = 1, f (k)(0) = (−1)k−1 ·(k − 1)!, k ∈ N∗ si formula de tip MacLaurin

ln(1 + x) =x

1− x2

2!+x3

3!− x4

4!+ . . .+ (−1)n−1 x

n

n!+

+(−1)nxn+1

n+ 1· 1(1 + θx)n+1

(∀)x ∈ (−1,∞), θ ∈ (0, 1).

230

Page 230: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

11.3 Diferentiala unei functii reale

In acest paragraf introducem notiunea de diferentiala relativa la o functie reala de ovariabila reala.

Definitia 11.3.1 Fie f : I → R o functie definita pe intervalul deschis I.Spunem ca f este diferentiabila ın punctul x0 ∈ I daca exista numarul real A, care

depinde de f si x0, si o functie α : I → R cu limx→x0

α(x) = α(x0) = 0 astfel ıncat

f(x) − f(x0) = A(x− x0) + α(x)(x− x0),(11.8)

pentru orice x ∈ I.

Teorema 11.3.1 Functia f : I → R, interval deschis, este diferentiabila ın punctul x0 ∈ Idaca si numai daca f este derivabila ın x0.

Demonstratie. Sa admite ca f este diferentiabila ın punctul x0 ∈ I. Atunci existaA ∈ R si o functie α : I → R cu lim

x→x0α(x) = α(x0) = 0 astfel ıncat sa aiba loc (11.8).

Considerand x �= x0 si ımpartind ın (11.8) ambii membrii prin x− x0 obtinem

f(x) − f(x0)x− x0

A+ α(x), (∀)x ∈ I − {x0}.

Cum limx→x0

α(x) = 0, rezulta ca exista limx→x0

f(x) − f(x0)x− x0

= A, adica f este derivabila ın

punctul x0 si A = f ′(x0).Reciproc, sa presupnem ca f este derivabila ın punctul x0. Din definitia derivatei lui

f ın punctul x0 avem

limx→x0

f(x) − f(x0)x− x0

= f ′(x0).

Consideram functia α : I → R,

α(x) =

⎧⎨⎩f(x) − f(x0)

x− x0− f ′(x0) , pentru x ∈ I − {x0}

0 , pentru x = x0.

Se observa ca limx→x0

α(x) = α(x0) = 0, adica α este continua ın x0. Din definitia lui α

pentru x �= x0 avemf(x) − f(x0) = f ′(x0)(x− x0) + α(x)(x− x0),

egalitate evident verificata si pentru x ≡ x0. Rezulta ca f este diferentiabila ın x0 si A =f ′(x0).

Observatia 11.3.1 Teorema 11.3.1 exprima faptul ca pentru functiile reale de o variabilareala notiunile de diferentiabilitate si derivabilitate ıntr-un punct sunt echivalente.

Observatia 11.3.2 Daca f este diferentiabila ın punctul x0, atunci pentru valori mici ale luih = x− x0 diferenta

f(x) − f(x0) se poate aproxima cu f ′(x0)h, adica

f(x0 + h) − f(x0) ≈ f ′(x0)h(11.9)

Definitia 11.3.2 Fie f : I → R, I interval deschis din R, derivabila ın punctul x0 ∈ I. Functialiniara si omogena

g : R → R, g(h) = f ′(x0)h, h ∈ R,

se numeste diferentiala functiei f ın punctul x0 si se noteaza prin df(x0), adica

df(x0)(h) = f ′(x0)h.(11.10)

231

Page 231: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Acum, relatia (11.9) se mai poate scrie

f(x0 + h) − f(x0) ≈ df(x0)(h).

Diferentiala lui f ıntr-un punct oarecare x ∈ I o notam prin df(x).Daca ın (11.10) alegem, ın particular, ca f aplicatia identica, atunci diferentiala lui

f ıntr-un punct x ∈ I este df(x)(h) = h, (∀)h ∈ R, adica h = d(x)(h). Folosind notatia simplad(x) = dx, avem dx(h) = h. Revenind cu acest rezultat ın (11.10), obtinem

df(x)(h) = f ′(x)dx(h), (∀)h ∈ R,

de unde gasimdf(x) = f ′(x)dx.(11.11)

Din (11.11) rezulta si scrierea

f ′(x) =df(x)dx

,

care constituie exprimarea derivatei lui f ın limbajul diferentialelor.Tinand seama de (11.11), obtinem imediat din regulile de derivare urmatoarele reguli

de diferentiere: daca f, g : I → R sunt functii derivabile pe intervalul deschis I ⊂ R, atunci

d(f + g) = df + dg; d(λt) = λdf, d(fg) = gdf + fdg,

iar daca, ın plus g �= 0, atunci

d

(f

g

)=gdf − fdg

g2.

Teorema 11.3.2 (diferentiala unei functii compuse). Fie I si J doua intervale deschise alelui R si fie u : I → J si f : J → R doua functii derivabile respectiv pe I si J. Atunci

df(u) = f ′(u)du.

Demonstratie. Avem

df(u(x)) = (f(u(x)))′dx = f ′(u(x)) · u′(x)dx = f ′(u(x)) · du(x),

oricare ar fi x ∈ I.

Definitia 11.3.3 Numim diferentiala de ordinul doi a functiei f ın punctul x, notata prind2f(x), expresia d(df(x)), adica avem

d2f(x) = d(df(x)).

In general, dnf(x) = d(dn−1f(x)). Avem:

d2f(x) = d(f ′(x)dx) = d(f ′(x)) · dx+ f ′(x)d(dx) =

= f ′′(x)dx · dx = f ′′(x)dx2,

deoarece d(dx) = 0 (derivata de ordinul doi a functiei identice este egala cu 0).Prin inductie matematica obtinem ca dnf(x) = f (n)(x)dxn. Se mai zice ca diferentialele

de ordin superior sunt invariante fata de ordinul de derivare.Aceasta proprietate nu se mai pastreaza pentru diferentiala functiilor compuse.

232

Page 232: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

11.4 Aplicatiile derivatei ın economie

Economia este considerata cea mai ”exacta” dintre stiintele sociale, [?], deoarece, ıngeneral, procesele economicce sunt studiate prin modele matematice. In §3.2 am vazutca relatiile dintre diferite marimi economice se pot exprima prin functii. Pentru a studiavariatia unei astfel de functii si a trasa graficul ei se folosesc derivatele functiei de ordinulıntai si doi.

In domeniul economic ın descrierea variatiei marimii y ın raport cu o alta marimex, data prin functia y = f(x), x ∈ I, I interval din R, se utilizeaza conceptul de medie siconceptul de marginal. (vezi partea introductiva la capitolul 4).

Definitia 11.4.1 Numim valoarea medie a lui f pe intervalul [x, x + h] ⊂ I,h > 0, notata cuf(x), raportul

ΔfΔx

=f(x+ h) − f(x)

h.

Exemple: 11.4.1. Fie P (t) numarul de unitati produse ıntr-un flux tehnologic dupa t ore dela ınceperea proccesului. Valoarea medie a lui P (t) ıntr-un interval de h ore este

P (t+ h) − P (t)h

= P (t)

si se numeste productie medie.11.4.2. Daca functia de cost total pentru realizarea a x unitati dintr-un produs este

C(x) = x2

9 + x + 100, x ≥ 1 sa stabilim cate unitati trebuie realizate pentru a avea cel maiscazut pret mediu pe unitate de produs.

Trebuie sa studiem variatia functiei pret mediu

C(x) =C(x)x

=x

9+

100x, x ≥ 1.

Cum C(x)′= 1

9 − 100x2 are radacina x = 30, din tabelul de variatie

x 1 30 ∞C′(x) − − − 0 + + +

C(x) 9109 ↘ 23

3 ↗ ∞rezulta ca vom avea cel mai scazut pret mediu daca se produc 30 unitati de produs.

Definitia 11.4.2 Numim valoare marginala a functiei f : I → R, ın punctul x ∈ I

limh→0

f(x+ h) − f(x)h

= f ′(x) =df(x)dx

Exemplul 11.4.3. In cazul Exemplului 11.4.1, valoarea marginala a productiei P (t) esteproductivitatea

P ′(t) = limh→0

P (t+ h) − P (t)h

.

Definitia 11.4.3 Numim variatia relativa a functieif : I → R ın punctul x ∈ I raportul

Δf(x)f(x)

=f(x+ h) − f(x)

f(x), h > 0.

Definitia 11.4.4 Numim ritmul mediu de variatie a functiei f : I → R ın punctul x ∈ I

raportul Δf(x)f(x)

/h si se noteaza cu Rf,m.

233

Page 233: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Definitia 11.4.5 Numim ritmul local (marginal) a functiei f : I → R ın punctul x limitalimh→0

Rf,m, adica

limh→0

Δf(x)f(x)

/h = lim

h→0

Δf(x)h

· 1f(x)

=f ′

f= (ln f)′,

care este derivata logaritmica a lui f . Ritmul local a lui f ın x se noteaza prin Rf,x.

Definitia 11.4.6 Numim elasticitatea medie a functiei f : I → R ın punctul x, notata prinEm, raportul variatiilor relative ale lui f(x) si x, adica

Ef,m =Δf(x)f(x)

/h

x=

Δf(x)h

· x

f(x).

Definitia 11.4.7 Numim elasticitatea locala (marginala) a functiei f : I → R, ın punctul xlimita elasticitatii medii cand h→ 0. Ea se noteaza prin Ef,m.

Avem

Ef,m = limh→0

x

f(x)· Δf(x)

h=x

f· f ′ = x(ln f)′ =

(ln f)′

(lnx)′.

Proprietatea importanta a elasticitatii unei functii este aceea ca ea este ca marimeindependenta de unitatile de masura ın care au fost masurate variabilele f(x) si x.Exemplul 11.4.4. Fie x = ap + b, a > 0, b > 0 o functie cerere pentru o marfa de pret p.Elasticitatea marginala a cererii ın p este

Eap+b,p = p(ln(ap+ b))′ =ap

ap+ b.

Cum Eap+b,p < 1, rezulta ca la o cerere de tip liniar la o crestere relativa a pretuluicorespunde o crestere relativa mai mica pentru cerere.

Observatia 11.4.1 Notiunile introduse ın acest paragraf se transpun usor la notiunile dindomeniul economic. Astfel, avem cost mediu, cost marginal, elasticitatea costului, cereremedie, cerere marginala, elasticitatea cererii etc.

234

Page 234: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

11.5 Test de verificare a cunostintelor nr. 10

1. Definiti urmatoarele notiuni:

a) Derivata unei functii reale de o variabila reala;

b) Diferentiala unei functii reale de o variabila reala.

2. Enuntati:

a) Teorema lui Fermat;

b) Teorema lui Rolle;

c) Teorema lui Lagrange;

d) Teorema (formula) lui Taylor;

c) Teorema lui Cauchy.

3. Studiati derivabilitatea functiei:

a) f : R → R, f(x) = 3√x3 − 3x+ 2;

b) f : R → R, f(x) = (x− 1) · arcsin

√x2

x2 + 1ın punctul x = 0.

4. Numerele a0, a1, ..., an verifica conditiaa0

1+

2a1

2+

22a2

3+ ...+

2nann+ 1

= 0. Sa se arate ca

functia f : [1, e2] → R, f(x) = a0 + a1 lnx + a2 ln2 x + ... + an lnn x are cel putin un zero ınintervalul (1, e2).

5. a) Se considera finctia f : (−1,∞) → R, f(t) = ln(1+ t). Aplicand teorema lui Lagrangefunctiei f pe intervalul [0, x], x > 0, sa se arate ca oricare ar fi x > 0 are loc relatia:x− (1 + x) · ln(1 + x) < 0;

b) Sa se arate ca functia g : (0,∞) → R, g(x) = (1 + x)1x este monoton descrescatoare.

6. Utilizand teorema lui Cauchy sa se demonstreze inegalitatea:

ln(1 + x) >arctgx1 + x

, x > 0.

7. a) Precizati punctele de extrem local ale functiei:

f : R → R , f(x) = |x2 − 1|.

b) Determinati derivata de ordinul n, n ∈ N, pentru functia f(x) = sinx.

c) calculati derivata de ordinul 20 a functiei

h(x) = x3 · sinx.

8. Sa se dezvolte dupa puterile lui x functia

f : (−1,∞) → R , f(x) = ln(1 + x).

9. Sa se dezvolte f(x) = ex, x ∈ R, dupa puterile lui x+ 1.

10. Sa se determine n ∈ N astfel ıncat polinomul lui Taylor Tn(x) ın punctul x0 = 0 asociat

functiei f(x) =√

1 + x, x ∈ [−1,∞] sa difere de functie cu mai putin de116

ın intervalul

[0, 1].

235

Page 235: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Indicatii si raspunsuriTest nr. 10

3. a) f este derivabila pe R\{−2, 1}, iar (−2, 0) este punct de inflexiune si (1, 0) este punctde ıntoarcere.

b) f este derivabila ın x = 0, iar (0, 0) este punct unghiular.

4. Se considera functia g : [1, e2] → R,

g(x) =a0 lnx

1+a1 ln2 x

2+ ...+

an lnn+1 x

n+ 1

si se aplica teorema lui Rolle.

5. b) Se calculeaza g′(x) si se foloseste punctul (a).

6. Se aplica teorema lui Cauchy functiilor f, g : [0, x] → R, cu x > 0, f(t) = (1 + t) ln(1 + t),g(t) = arctg (t).

7. a) (−1, 0) si (1, 0) sunt puncte de minim local, iar (0, 1) este punct de maxim local;

b) f (n)(x) = sin(x+ n

π

2

), (∀)n ∈ N.

c) h(20)(x) =(6 · �3

20 − 3x2 · �120

) · cosx+(x3 − 6x · �20

20

) · sinx.8. Se aplica formula lui Mac Laurin si se obtine:

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3+ ...+ (−1)n · x

n+1

n+ 1+

+(−1)n+1 · xn+2

n+ 2· 1(1 + θx)n+2

cu θ ∈ (0, 1).

9. Se aplica formula lui Taylor cu x0 = −1 si se obtine:

ex =1e·[1 +

x+ 11!

+(x+ 1)2

2!+ ...+

(x+ 1)n

n!

]+

+(x+ 1)n+1

(n+ 1)!· e−1+θ(x+1).

10. Se impune ca restul formulei lui Mac Laurin sa aiba valoarea absoluta mai mica sau

egala cu116

si se obtine n ≥ 2.

236

Page 236: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Bibliografia aferenta capitolului:[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate ın economie - Volumul II,

Editura ULB, Sibiu, 2002.

237

Page 237: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Capitolul 12

Derivarea functiilor de mai multevariabile

Obiective: Introducerea notiunilor de derivata partiala, diferentiala functiilor de maimulte variabile, extremele functiilor de mai multe variabile, ajustarea datelor si interpolareafunctiilor.

Rezumat: Capitolul ıncepe cu definirea conceptului de derivata partiala siaplicatiile economice imediate ale acestuia. Se continua cu generalizarea notiunii dediferentiala pentru functiile reale de mai multe variabile reale, notiuni necesare ın studiulextremelor conditionate ale functiilor de mai multe variabile. Capitolul continua cu studiulmetodelor de aflare a extremelor (simple si conditionate) ale functiilor de mai multe vari-abile, metoda celor mai mici patrate pentru ajustarea datelor si cateva notiuni legate deinterpolarea functiilor.

Continutul capitolului:1. Derivate partiale2. Interpretari geometrice si economice ale derivatelor partiale3. Derivarea functiilor compuse4. Diferentiala functiilor de mai multe variabile5. Extremele functiilor de mai multe variabile6. Extreme conditionate7. Ajustarea unor date8. Interpolarea functiilor9. Test de verificare a cunostintelor10. Bibliografia aferenta capitolului

Cuvinte cheie: derivata partiala, diferentiala, extremele functiilor reale de maimulte variabile reale, ajustare, interpolare.

12.1 Derivate partiale

Sa consideram o functie de doua variabile f : D ⊆ R2 → R, z = f(x, y) si M(a1, a2) unpunct din D.

Definitia 12.1.1 Daca exista limitele

limx→a1

f(x, a2) − f(a1, a2)x− a1

si limx→a2

f(a1, y) − f(a1, a2)y − a2

si sunt finite, atunci spunem ca functia f este derivabila partial ın punctul M , ın cazulprimei limite, ın raport cu x si ın cazul al doilea, ın raport cu y.

238

Page 238: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Aceste limite se numesc respectiv derivata partiala a functiei f ın raport cu x siderivata partiala a functiei f ın raport cu y, ın punctul M(a1, a2). Ele se noteaza prin

f ′x(a1, a2) =∂f(a1, a2)

∂xsi respectiv f ′y(a1, a2) =

∂f(a1, a2)∂y

.

Este evident ca daca functia f este derivabila ın raport cu x si respectiv cu y, atuncif este continua ın raport cu x si respectiv ın raport cu y.

Daca functia f este derivabila partial ın orice punct din domeniul D, atunci derivatelepartiale resprezinta noi functii de doua variabile, definite pe D si asociate functiei f .

Practic, pentru a calcula derivata partiala ın raport cu x a functiei z = f(x, y) seconsidera f ca functie de x, considerandu-se y constanta, si se aplica formulele de derivarecunoscute, pentru aceasta functie de variabila x.

Pentru a calcula derivata partiala ın raport cu y se considera x constanta.Exemplul 12.1.1. Sa calculam derivatele partiale pentru functia

f(x, y) =x+ y

x2 + y2 + 1, (x, y) ∈ R2.

Avem

f ′x(x, y) =∂f(x, y)∂x

=1(x2 + y2 + 1) − 2x(x+ y)

(x2 + y2 + 1)2=

=y2 − x2 − 2xy + 1

(x2 + y2 + 1)2,

f ′y(x, y) =∂f(x, y)∂y

=1(x2 + y2 + 1) − 2y(x+ y)

(x2 + y2 + 1)2=

=x2 − y2 − 2xy + 1

(x2 + y2 + 1)2,

oricare ar fi (x, y) ∈ R2.Exemplul 12.1.2. Pentru functia f(x, y) = x2y definita pe D = {(x, y) ∈ R2|x > 0, y ∈ R}derivatele partiale sunt

f ′x(x, y) =∂f(x, y)∂x

= 2y · x2y−1

si

f ′y(x, y) =∂f(x, y)∂y

= x2y2 lnx.

Observatia 12.1.1 Derivatele partiale ale unei functii de n variabile, n ≥ 3, se definesc ınmod analog. Fie functia f : D ⊆ Rn → R, z = f(x1, x2, . . . , xn) si punctul M(a1, a2, . . . , an) ∈ D.Spunem ca functia f este derivabila partial ın punctul M ın raport cu variabila xk, daca

limxk→ak

f(a1, . . . , ak−1, xk, ak+1, . . . , an) − f(a1, a2, . . . , an)x− ak

exista si este finita. Aceasta limita o numim derivata partiala a functiei f ın raport cuvariabila xk ın punctul M si o notam prin

f ′xk(M) = f ′xk

(a1, a2, . . . , an) sau∂f(M)∂xk

=∂f(a1, a2, . . . , an)

∂xk

O functie de n variabile derivabila ın fiecare punct al domeniului D este derivabilapartial ın acel domeniu si derivatele partiale sunt functii de n variabile definite ın aceldomeniu. Calculul lor se face pe aceleasi principii ca la functiile de doua variabile.

239

Page 239: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Exemplul 12.1.3. Pentru functia u = ln(x2 + y2 + z2) definita pe R − {(0, 0, 0)} = D, avemderivatele partiale:

u′x =∂u

∂x=

2xx2 + y2 + z2

, u′y =∂u

∂y=

2yx2 + y2 + z2

,

u′z =∂u

∂z=

2zx2 + y2 + z2

.

Exemplul 12.1.4. Pentru functia u = xy3z

definita pe D = {(x, y, z) ∈ R3|x > 0, y > 0, z ∈ R},derivatele partiale sunt:

∂u

∂x= y3zxy

3z−1,∂u

∂y= xy

3z

3z · y3z−1 lnx,

∂u

∂z= xy

3z

y3z ln y lnx.

Acum sa introducem derivatele partiale de ordin superior.Derivatele partiale pentru functia f : D ⊆ R2 → R, z = f(x, y) sunt noi functii de doua

variabile. Daca derivatele partiale f ′x(x, y), f′y(x, y) sunt la randul lor derivabile partial ın

raport cu x si y, atunci derivatele lor partiale se numesc derivate partiale de ordinul doi alefunctiei f . Ele se noteaza prin

(f ′x)′x = f ′′x2 sau

∂f

∂x

(∂f

∂x

)=∂2f

∂x2;

(f ′x)′y = f ′′xy sau

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x;

(f ′y)′x = f ′′yx sau

∂f

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x;

(f ′y)′y = f ′′y2 sau

∂y

(∂f

∂y

)=∂2f

∂x2.

Exemplul 12.1.5. Pentru functia f(x, y) = ln(x2 + y2 + 3), (x, y) ∈ R2, avem

f ′x =2x

x2 + y2 + 3, f ′y =

2yx2 + y2 + 3

,

f ′′x2 =(

2xx2 + y2 + 3

)′x

=2(x2 + y2 + 3) − 2x · 2x

(x2 + y2 + 3)2=

2(y2 − x2 + 3)(x2 + y2 + 3)2

,

f ′′xy =(

2xx2 + y2 + 3

)′y

= − 4xy(x2 + y2 + 3)2

,

f ′′yx =(

2yx2 + y2 + 3

)′x

=−4xy

(x2 + y2 + 3)2,

f ′′y2 =(

2yx2 + y2 + 3

)′y

=2(x2 + y2 + 3) − 4y2

(x2 + y2 + 3)2=

2(x2 − y2 + 3)(x2 + y2 + 3)2

.

Se observa ca derivatele f ′′xy si ′′yx, numite si derivate partiale mixte, sunt egale. Ingeneral ele nu sunt egale. Urmatoarea teorema da conditii suficiente ca derivatele partialemixte sa fie egale.

Teorema 12.1.1 (A.Schwarz). Daca functia f : D ⊆ R2 → R, z = f(x, y) are derivate partialede ordinul doi ıntr-o vecinatate V a lui (x, y) ∈ D si daca f ′′xy este continua ın punctul (x, y),atunci f ′′xy(x, y) = f ′′yx(yx).

240

Page 240: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Nu prezentam demonstratia acestei teoreme.

Observatia 12.1.2 In mod analog se definesc derivatele partiale de ordin n, n ≥ 3.

Rezultatul Teoremei lui Schwarz se pastreaza.

Observatia 12.1.3 Derivatele partiale de ordin superior se definesc si pentru functiile de nvariabile, n ≥ 3. Pentru derivatele lor mixte se pastreaza afirmatia din Teorema 12.1.1.

Exemplul 12.1.6. Sa calculam derivatele partiale de ordinul doi pentru functia

f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2, (x, y, z) ∈ R3.

Avem:f ′x =

x√x2 + y2 + z2

, f ′y =y√

x2 + y2 + z2,

f ′z =z√

x2 + y2 + z2

f ′′x2 =

√x2 + y2 + z2 − x2√

x2+y2+z2

x2 + y2 + z2=

y2 + z2

(x2 + y2 + z2)3/2,

f ′′xy = f ′′yx = − yx

(x2 + y2 + z2)3/2,

f ′′xz = f ′′zx = − xz

(x2 + y2 + z2)3/2,

f ′′yz = f ′′zy = − yz

(x2 + y2 + z2)3/2,

f ′′y2 =x2 + z2

(x2 + y2 + z2)3/2,

f ′′z2 =x2 + z2

(x2 + y2 + z2)3/2, (x, y, z) ∈ R3 − {(0, 0, 0)}.

Exemplul 12.1.7. Sa calculam∂3u

∂x∂y∂zdaca u = exyz, (x, y, z) ∈ R3.

Avem∂u

∂z= xyexyz,

∂2u

∂y∂z= xexyz + xy · xzexyz = (x+ x2yz)exyz,

∂3u

∂x∂y∂z= (1 + 2xyz)exyz + (x+ x2yz)yzexyz =

= (1 + 3xyz + x2y2z2)exyz, oricare ar fi (x, y, z) ∈ R3.

12.2 Interpretari geometrice si economice ale derivatelorpartiale

Semnificatia geometrica a derivatelor partiale rezulta limpede daca le interpretamcu ajutorul reprezentarilor geometrice. In figura 12.2.1. fie M(a, b, f(a, b)) un punct depe suprafata z = f(x, y), (x, y) ∈ D ⊆ R2. Prin M pot fi duse doua sectiuni verticale, unaperpendiculara pe Oy (y = b) si cealalta perpendiculara pe Ox (x = a).

241

Page 241: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Fig.12.2.1.

Prima este o curba de pe suprafata, care trece prin M ın directia lui Ox si aratavariatia lui z cand x variaza. In aceasta sectiune valoarea lui y este b. Panta tangentei MTxla sectiune ın M este masurata de derivata lui z ca functie de x, adica de derivata partiala∂z∂x (a, b) = ∂f(a,b)

∂x .La fel, valoarea ∂z(a,b)

∂y = ∂f(a,b)∂y masoara panta lui MTy, tangenta ın M(a, b) la sectiunea

verticala a suprafetei perpendiculara pe Ox ın x = a.In concluzie, derivatele partiale ∂f

∂x (a, b) si ∂f∂y (a, b) masoara pantele suprafetei z = f(x, y)ın doua directii perpendiculare duse ın punctul M(a, b), una perpendiculara pe Oy, iarcealalta pe Ox.

Utilizand interpretarea geometrica a derivatelor partiale ale functiei z = f(x, y) ınpunctul M(a, b, f(a, b)) putem scrie ecuatia planului tangent la suprafata z = f(x, y) ın punctulM(a, b, f(a, b)). Acesta are forma

(x− a)∂f(a, b)∂x

+ (y − b)∂f(a, b)∂y

= z − f(a, b).

Exemplul 12.2.1. Sa scriem ecuatia planului tangent la suprafata z = xy + 2x − 3y + 1 ınpunctul M(1, 1, 1).

Avemz′x = y + 2, z′x(1, 1) = 3,

z′y = x− 3, z′x(1, 1) = −2,

z(1, 1) = 1,

iar ecuatia planului tangent este:

(x− 1)3 + (y − 1)(−2) = z − 1

242

Page 242: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

adica3x− 2y − z = 0.

Din punct de vedere economic derivatele partiale au interpretari analoage cu cele dela derivata functiilor reale de o variabila reala.

De exemplu, daca cererea pietei pentru o marfa X este o functie de toate preturilepietei

x = f(p1, p2, . . . , pn), (p1, p2, . . . , pn) ∈ Rn+,

atunci derivatele partiale ale acestei functii arata variatiile cereri cand unul din preturivariaza, celelalte ramanand constante.

Elasticitatea partiala a cererii pentru X ın raport cu pretul sau px este

nk = − ∂(lnx)∂(ln pk)

= −pkx

· ∂x∂pk

,

care este o expresie independenta de unitatile de masura ale cererii sau pretului. Ea daviteza descresterii relative a cererii pentru o crestere relativa a pretului.

Raportul x/pk poate fi numit cerere medie, iar derivata partiala ∂x∂pk

, cererea marginaladata de pretul pk ın combinatia de preturi (p1, p2, . . . , pn).

12.3 Derivarea functiilor compuse

Fie z = f(u, v) o functie de doua variabile definita ıntr-un domeniu D ⊂ R2, cu derivatepartiale continue pe D. Daca u = u(x) si v = v(x), sunt doua functii de variabila x, definitesi derivabile ın intervalul I ⊆ R,a tunci functia compusa z(x) = f(u(x), v(x)) este derivabilape I si avem formula

z′(x) =∂f

∂u· u′(x) +

∂f

∂v· v′(x).(12.1)

Demonstratia formulei rezulta din egalitatea

z(x) − z(x0)x− x0

=f(u(x), v(x)) − f(u(x0), v(x))

u(x) − u(x0)· u(x) − u(x0)

x− x0+

+f(u(x0), v(x)) − f(u(x0), v(x0))

v(x) − v(x0)· v(x) − v(x0)

x− x0

prin trecere la limita cand x→ x0, x0 fiind un punct arbitrar din I.Derivatele de ordin superior ale acestor functii compuse se scriu tinand seama de

formula (12.1) si de regulile de derivare.Exemplul 12.3.1. Sa calculam z(n)(x) daca

z = f(u, v), u = ax+ b, v = cx+ d, x ∈ R.

Avemz′(x) =

∂f

∂u· u′(x) +

∂f

∂vv′(x) = a

∂f

∂u+ c

∂f

∂v,

z′′(x) = (z′(x))′x =(a∂f

∂u+ c

∂f

∂v

)′x

=

= a

(∂f

∂u

)′x

+ c

(∂f

∂v

)′x

= a

[∂

∂u

(∂f

∂u

)u′(x) +

∂v

(∂f

∂u

)v′(x)

]+

+c[∂

∂u

(∂f

∂v

)u′(x) +

∂v

(∂f

∂v

)v′(x)

]=

+a[a∂2f

∂u2+

∂2f

∂u∂vc

]+ c

[a∂2f

∂u∂v+ c

∂2f

∂v2

]=

243

Page 243: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

= a2 ∂2f

∂u2+ 2ac

∂2f

∂y∂v+ c2

∂2f

∂v2.

Simbolic acest rezultat se scrie sub forma

y′′(x) =(a∂

∂u+ c

∂v

)(2)

f(u, v),

cu semnificatia ca se ridica binomul la patrat si exponentii puterilor pentru ∂∂u si ∂

∂v se iauca ordine de derivare pentru f(u, v) ın raport cu u si v.

Prin inductie matematica se arata ca

z(n)(x) =(a∂

∂u+ c

∂v

)(n)

f(u, v)(12.2)

Pentru n = 3 avem

z(3)(x) = a3 ∂3f

∂u3+ 3a2c

∂3f

∂u2∂v+ 3ac2

∂3f

∂u∂v2+ c3

∂3f

∂v3.

Functiile compuse considerate mai sus sunt functii compuse de o singura variabila. Sepot considera functii din mai multe variabile. Astfel putem forma functia compusa de douavariabile

z(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)), (x, y) ∈ D ⊆ R2.(12.3)

Presupunem ca functia f(u, v) admite derivate partiale de ordinul ıntai continue sifunctiile u(x, y), v(x, y) au, de asemenea, derivate partiale de ordinul ıntai.

Utilizand (12.1) ın raport cu x si y, din (12.3) gasim:

∂z

∂x= z′x =

∂f

∂u· ∂u∂x

+∂f

∂v· ∂v∂x

∂z

∂y= z′y =

∂f

∂u· ∂u∂y

+∂f

∂v· ∂v∂y.

Derivatele partiale de ordin superior ale acestor functii se calculeaza ın mod analog,tinandu-se seama ca si derivatele partiale obtinute sunt functii compuse.Aplicatia 12.3.1. Functii omogene. Un polinom P de doua sau mai multe variabile esteomogen de gradul k, k ∈ N, daca toti termenii polinomului sunt de gradul k. Aceste poli-noame au proprietatea evidenta

P (tx1, tx2, . . . , txn) = tkP (x1, x2, . . . , xn)

pentru orice t real.Extindem aceasta definitie pentru functii de mai multe variabile.

Definitia 12.3.1 Functia f(x1, x2, . . . , xn) de n variabile, definita ıntr-un domeniu D ⊆ Rn,este omogena de gradul k, k ∈ R, daca este ındeplinita conditia

f(tx1, tx2, . . . , txn) = tkf(x1, x2, . . . , xn),(12.4)

oricare ar fi t ∈ R.De exemplu, functia

f(x, y) =

√x4 + x2y2 + y4

x4 + y4, (x, y) ∈ R2 − {(0, 0)}

este omogena de gradul −2 deoarece

f(tx, ty) =t2√x4 + x2y2 + y4

t4(x4 + y4)= t−2f(x, y),

oricare ar fi t ∈ R − {0}.

244

Page 244: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Pentru functiile omogene este valabil urmatorul rezultat:

Teorema 12.3.1 Pentru ca functia f(x1, x2, . . . , xn) sa fie omogena de gradul k este necesarsi suficient sa avem identitatea

x1f′x1

(x1, x2, . . . , xn) + x2f′x2

(x1, . . . , xn) + . . .+

+xnf ′xn(x1, . . . , xn) = kf(x1, x2, . . . , xn),

numita identitatea lui Euler.

Demonstratie. Necesitatea. Functia f fiind omogena de gradul k satisface (12.4). Membrulıntai al acestei relatii este o functie compusa de t. Derivand ambii membrii ın raport cu t,avem egalitatea

n∑i=1

xif′txi

(tx1, . . . , txn) = ktk−1f(x1, . . . , xn)

care este adevarata si pentru t = 1, adican∑i=1

xif′xi

(x1, . . . , xn) = kf(x1, . . . , xn),

care este tocmai indetitatea lui Euler.Suficienta. Consideram functia auxiliara

F (t) =f(tx1, . . . , txn)

tk, t �= 0

si sa presupunem ca f satisface identitatea lui Euler.Avem

F ′(t) =

tkn∑i=1

xif′xi

(tx1, . . . , txn) − ktk−1f(tx1, . . . , txn)

t2k=

=

t

n∑i=1

xif′xi

(tx1, . . . , txn) − kf(tx1, . . . , txn))

tk+1= 0

pentru orice t �= 0.Rezulta ca F (t) este o functie constanta. Valoarea constantei este data de F (1) =

f(x1, . . . , xn). Atunci

F (t) =f(tx1, . . . , txn)

tk= f(x1, . . . , xn),

de undef(tx1, . . . , txn) = tkf(x1, . . . , xn),

adica functia f este omogena de gradul k.Aplicatia 12.3.2. Formula lui Taylor. O alta aplicatie a derivarii functiilor compuse esteextinderea formulei lui Taylor la functiile de mai multe varaibile reale.

Teorema 12.3.2 (Taylor.) Fie functia f : D ⊂ R2 → R si punctul interior M(a1, a2) ∈ D.Daca functia f are derivate partiale pana la ordinul n+ 1, n ∈ N, ıntr-o vecinatate V (M) alui M , atunci exista punctul P (ξ, η) ∈ V (M) asa ıncat sa aiba loc formula

f(x, y) =n∑k=0

1k!

[(x− a1)

∂x+ (y − a2)

∂y

](k)

f(a1, a2)+

+1

(n+ 1)!

[(x− a1)

∂x+ (y − a2)

∂y

](n+1)

f(ξ, η),

oricare ar fi (x, y) ∈ V (M), numita formula lui Taylor

245

Page 245: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Demonstratie. Consideram functia compusa

F (t) = f(a1 + t(x− a1), a2 + t(y − a2)), (x, y) ∈ V (M)

si t ∈ [0, 1]. Pentru t = 0 avem F (0) = f(a1, a2), iar pentru t = 1 avem F (1) = f(x, y).Functia de o singura variabila F (t) este definita si poseda derivate pe variabila pana

la ordinul (n + 1) continue ın origine si deci se poate dezvolta dupa formula lui Maclaurinın jurul originii:

F (t) = F (0) +t

1!F ′(0) + . . .+

tn

n!F (n)(0) +

tn+1

(n+ 1)!F (n+1)(θt),

θ ∈ (0, 1). Pentru t = 1 obtinem:

F (1) = f(x, y) = F (0) +11!F ′(0) + ...+

1n!F

(n)(0) +

1(n+ 1)!

F(n+1)(θ)(12.5)

Utilizand formula (12.2) de la exemplul 12.3.1, obtinem

F k(t) =[(x− a1)

∂x+ (y − a2)

∂y

](k)

f(a1 + t(x− a1), a2 + t(y − a2))

k= 0, 1, ..., n+ 1; de unde

F k(0) =[(x− a1)

∂x+ (y − a2)

∂y

](k)

f(a1, a2), k = 0, n.

Acum din (12.5) rezulta formula lui Taylor, cu ξ = a1 + θ(x − a1),η = a2 + θ(y − a2), θ ∈ (0, 1).

Pentru n= 0 formula lui Taylor conduce la formula cresterilor finite sauformula lui Lagrange pentru functiile de doua variabile:

f(x, y) = f(a1, a2) + (x− a1)f ′x(ξ, η) + (y − a2)f ′y(ξ, η),

cu ξ = a1 + θ(x− a1), η = a2 + θ(y − a2), θ ∈ (0, 1)

Observatia 12.3.1 Formula lui Taylor pentru doua variabile se poate generaliza pentrufunctiile cu m variabile, ın conditii analoage. Pentru functia z = f(x1, x2, ..., xm), definitaıntr-o vecinatate a unui punct M(a1, a2, ..., am) si care are derivate partiale pana la ordinul(n+ 1), continue, este valabila formula lui Taylor:

f(x1, x2, ..., xm) =n∑k=0

1k!

[(x1 − a1)

∂x1+ ...+ (xm − am)

∂xm

]kf(M)+

+1

(n+ 1)!

[(x1 − a1)

∂x1+ ...+ (xm − am)

∂xm

](n+1)

f(ξ1, ξ2, ..., ξm)

ξ1 = a1 + θ(x1 − a1), ξ2 = a2 + θ(x2 − a2), ξm = am + θ(xm − am),θ ∈ (0, 1).

Aplicatia 12.3.3. Derivata dupa o directie. Fie functia f : D ⊆ Rn → R, M(a1, a2, ..., an)

un punct interior din D si vectorul l = (l1, l2, ..., ln) ∈ Rn, pentru care ||l||2 =n∑k=1

l2k = 1.

Definitia 12.3.2 Numim derivata functiei f dupa directia l ın punctul M, notata prin ∂f(M)∂l ,

numarul real definit prin∂f(M)∂l

= limx→M

f(x) − f(M)d(x,M)

,

246

Page 246: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

unde X = (x1, x2, ..., xn) ∈ D iar d(X, M) este distanta dintre punctele X si M.Considerand l = ek = (0, ..., 1, 0, ..., 0), obtinem

∂f(M)∂ek

=∂f(M)∂xk

, k = 1, n

adica derivatele partiale ale lui f ın punctul M.

Teorema 12.3.3 Daca functia f : D ⊆ Rn → R are derivate partiale de ordinul ıntai ın raportcu fiecare din argumentele xk, k = 1, n, ın punctul M(a1, a2, ..., an) ∈ D, atunci derivata dupadirectia vectorului l = (l1, ..., ln), cu ||l|| = 1, este

∂f(M)∂l

=∂f(M)∂x1

· l1 +∂f(M)∂x2

· l2 + ...+∂f(M)∂xn

· ln

Demonstratie. Tinand seama ca X = (x1, ..., xn) ∈ D situat pe directia l se scrie sub formaM(a1 + tl1, ..., an + tln), t ∈ [0, 1], avem

∂f(M)∂l

= limt→0

f(a1 + tl1, an + tln) − f(a1, ..., an)t

=

=∂f(a1 + tl1, ..., an + tln)

∂t|t=0

Folosind formula de derivare a functiilor compuse, putem scrie

∂f(M)∂l

=∂f(M)∂x1

· ∂(a1 + tl1)∂t

+∂f(M)∂x2

· ∂(a2 + tl2)∂t

+ ...+

+∂f(M)∂xn

· ∂(an + tln)∂t

=

=∂f(M)∂x1

· l1 +∂f(M)∂x2

· l2 + ...+∂f(M)∂xn

· ln,

ceea ce trebuia demonstrat.Exemplul 12.3.2. Sa calculam derivata ∂f

∂l pentru functia f(x, y, z) = xyz+x+y+z+1, (x, y, z) ∈R3, ın punctul M(3, 2, 1), dupa directia l data de dreapta MX, unde X(1, 3, 2).

AvemMX = (1, 3, 2) − (3, 2, 1) = (−2, 1, 1),

||MX|| =√

4 + 1 + 1 =√

6, l =(−2√

6,

1√6,

1√6

),

f ′x(M) = 3, f ′y(M) = 4, f ′z(M) = 7

si∂f

∂l(M) = − 6√

6+

4√6

+7√6

=5√6

Aplicatia 12.3.3. Fie F : D ⊆ R2 → R o functie de doua variabile. O functie f : A → B cuA× B ⊆ D astfel ıncat F (x, f(x)) = 0 pentru orice x ∈ A se numeste functie definita implicitsau pe scurt functie implicita.

Cu alte cuvinte, functiile y= f(x) definite cu ajutorul ecuatiilor F(x, y)= 0 se numescfunctii implicite. O astfel de ecuatie poate sa aiba pe A una, mai multe solutii sau niciuna. Se pune problema studierii proprietatilor (de continuitate, de derivabilitate, etc.) alefunctiilor implicite direct de pe ecuatia de definitie, fara a face explicitarea lor. Teoremelecare stabilesc astfel de proprietati se numesc teoreme de existenta

Teorema 12.3.4 Fie F o functie reala de doua variabile definita pe A× B, A ⊆ R, B ⊆ R si(a1, a2) un punct interior lui A×B (a1 punct interior lui A, a2 punct interior lui B). Daca

247

Page 247: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

i) F (a1, a2) = 0

ii) F, F ′x, F ′y sunt continue pe o vecinatate U × V a lui (a1, a2),U × V ⊂ A×B;

iii) F ′y(a1, a2) �= 0, atunci

1) exista o vecinatate U0 ⊆ U a lui a1, o vecinatate V0 ⊆ V a lui a2 si o functie unicaf : U0 → V0, y = f(x), astfel ıncat f(a1) = a2 si F (x, f(x)) = 0 pentru x ∈ U0;

2) functia f are derivata continua pe U0 data de formula

f ′(x) = −F′x(x, y)F ′y(x, y)

;

3) daca F are derivate partiale de ordinul k continue pe U × V , atunci f are derivate deordinul k continua pe U0.

Nu prezenta demonstratia riguroasa a acestei teoreme de existenta. Insa dam modalitateapractica de obtinere a derivatei f ′. In acest scop , consideram ın ecuatia F (x, y) = 0 pey = f(x) si derivam ın raport cu x utilizand regula de derivare a functiilor compuse. Avem

F ′x + F ′y · y′(x) = 0,

de unde

y′(x) = f ′(x) = −F′x

F ′y.

Pentru calculul derivatelor de ordin superior ale functiei f se procedeaza ın mod analog.Exemplul 12.3.3. Ecuatia x3+3xy+y3 = 1 defineste pe y ca functie de x, pentru (x, y) ∈ D ⊂ R2.Sa se calculeze y′, y′′, y′(1) si y′′(1).

Derivam ın raport cu x ın ecuatia care defineste pe y ca functie de x si avem

x2 + y + xy′ + y2y′ = 0.

De aici, pentru x+ y2 �= 0, obtinem

y′ = −x2 + y

x+ y2.(12.6)

Pentru a calcula pe y′′ procedam astfel:

y′′ = − (2x+ y′)(x+ y2) − (x2 + y)(1 + 2yy′)(x+ y2)2

=

= −x2 − y + xy′ − 2x2yy′ − y2y′ + 2xy2

(x+ y2)2.

Acum, ınlocuim cu y′ cu expresia din (12.6) si obtinem

y′′ = −6x2y2 − 2xy + 2xy4 + 2x4y

(x+ y2)2.(12.7)

Pentru x= 1 din ecuatia data avem

1 + 3y(1) + (y(1))3 = 1,

de unde y(1)= 0. Atunci, din (12.6) si (12.7) obtinem y′(1) = −1 si y′′(1) = 0

248

Page 248: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Observatia 12.3.2 Se pot considera functii implicite z = f(x1, x2, ..., xn) de variabile definiteprintr-o ecuatie F (x1, x2, ..., xn, z) = 0. Calculul derivatelor partiale ale lui z se obtin printr-un procedeu analog cu cel de la derivarea functiilor implicite de o variabila reala.

Exemplul 12.3.4. Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul ıntai ale functiei z(x, y)definita implicit de ecuatia

2x+ y + xyz = ez

Derivam ın raport cu x si y tinand seama ca z este functie de x si y. Avem

2 + yz + xy∂z

∂x= ez · ∂z

∂x,

1 + xz + xy∂z

∂y= ez · ∂z

∂y,

de unde∂z

∂x=

2 + yz

ez − xy,∂z

∂y=

1 + xz

ez − xy,

daca ez − xy �= 0.

Observatia 12.3.3 Exista situatii practice sau teoretice ın care intervin functii definite im-plicit de sisteme de ecuatii. Sa consideram cazul simplu a doua ecuatii cu patru variabile:

F1(x, y, u, v) = 0,

F2(x, y, u, v) = 0.

In anumite conditii, acest sistem defineste implicit doua functii u = f(x, y) si v = g(x, y)Pentru calculul derivatelor partiale de ordinul ıntai ale functiilor u si v se deriveaza

ecuatiile sistemului ın raport cu x si y, tinand cont ca u si v sunt functii de x si y. Avem:

∂F1

∂x+∂F1

∂u· ∂u∂x

+∂F1

∂v· ∂v∂x

= 0,

∂F2

∂x+∂F2

∂u· ∂u∂x

+∂F2

∂v· ∂v∂x

= 0,

∂F1

∂y+∂F1

∂u· ∂u∂y

+∂F1

∂v· ∂v∂y

= 0,

∂F2

∂y+∂F2

∂u· ∂u∂y

+∂F2

∂v· ∂v∂y

= 0.

Se observa ca primele doua ecuatii formeaza un sistem liniar ın necunoscutele ∂u∂x si ∂v

∂x .Ambele sisteme au ca determinant pe

D(F1, F2)D(u, v)

=∣∣∣∣ ∂F1

∂u∂F1∂v

∂F2∂u

∂F2∂v

∣∣∣∣,numit determinantul functional sau iacobianul functiilor F1, F2 ın raport cu u, v. DacaD(F1, F2)D(u, v)

�= 0, atunci din sistemele de mai sus se afla∂u

∂x,∂v

∂x,∂u

∂y,∂v

∂y.

Exemplul 12.3.5. Sistemul x+ 2y+ u2 + v2 = 6, x2 + xy+ 2u3 − v3 = 7 defineste pe u si v ca

functii de x si y, cu u(2, 1)= 1 si v(2, 1)= 1. Sa calculam derivatele partiale∂u

∂x,∂v

∂x,∂u

∂y,∂v

∂yın punctul (2, 1).

Pentru a calcula∂u

∂xsi∂v

∂xderivam ecuatiile sistemului ın raport cu x, tinand seama ca

u si v sunt functii de x. Avem

1 + 2u∂u

∂x+ 2v

∂v

∂x= 0

249

Page 249: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

2x+ 6u2 ∂u

∂x− 3v2 ∂v

∂x= 0,

care este un sistem liniar ın necunoscutele ∂u∂x si ∂v

∂x , cu determinantul∣∣∣∣ 2u 2v6u2 −3v2

∣∣∣∣ = −6uv(v + 2u).

Daca (x, y) ∈ R2 asa ıncat 6uv(v + 2u) �= 0, atunci

∂u

∂x=

∣∣∣∣ 1 2v2x −3v2

∣∣∣∣6uv(v + 2u)

= − 3v + 4x6u(v + 2u)

,

∂v

∂x=

∣∣∣∣ 2u 16u2 2x

∣∣∣∣6uv(v + 2u)

=2x− 3u

3v(v + 2u)

In mod analog, derivand ecuatiile sistemului ın raport cu y, obtinem

2 + 2u∂u

∂y+ 2v

∂v

∂y= 0

x+ 6u2 ∂u

∂y− 3v2 ∂v

∂y= 0

si daca 6uv(v + 2u) �= 0, avem

∂u

∂y=

3v + x

3u(v + 2u),∂v

∂y=

x− 6u3v(v + 2u)

.

Daca x= 2, y= 1, atunci sistemul dat ia forma

u2(2, 1) + v2(2, 1) = 2

2u3u(2, 1) − v3(2, 1) = 1

care are solutia u(2, 1)= 1 si v(2, 1)= 1.Acum, utilizand expresiile derivatelor partiale ale functiilor u si v, gasim

∂u

∂x(2, 1) = −11

18,∂v

∂x(2, 1) =

19,

∂u

∂y(2, 1) = −5

9,∂v

∂y(2, 1) = −4

9.

12.4 Diferentiala functiilor de mai multe variabile

Fie f : D ⊆ R2 → R o functie de doua variabile si M(a1, a2) un punct interior lui D.

Teorema 12.4.1 Daca functia f admite derivate partiale de ordinul ıntai ıntr-o vecinatateV(M) a punctului M si daca aceste derivate partiale sunt continue ın M, atunci exista douafunctii α1, α2 : V (M) → R, continue ın M si avand proprietatea

limx→a1, y→a2

α1(x, y) = limx→a1, y→a2

α2(x, y) = 0

astfel ıncatf(x, y) − f(a1, a2) = f ′x(a1, a2)(x− a1) + f ′y(a1, a2)(y − a2)+(12.8)

+α1(x, y)(x− a1) + α2(x, y)(y − a2).

250

Page 250: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Demonstratie. Avem

f(x, y) − f(a1, a2) = [f(x, y) − f(a1, y)] + [f(a1, y) − f(a1, a2)] .

Aplicam fiecarei paranteze drepte formula cresterilor finite si avem:

f(x, y) − f(a1, a2) = f ′x(ξ, y)(x− a1) + f ′y(a1, η)(y − a2),

unde ξ este cuprins ıntre a1 si x, iar η este cuprins ıntre a2 si y. Acum putem scrie

f(x, y) − f(a1, a2) = f ′x(a1, a2)(x− a1) + f ′y(a1, a2)(y − a1)+

+ [f ′x(ξ, y) − f ′x(a1, a2)] (x− a1) +[f ′y(a1, a2) − f ′y(a1, a2)

](y − a2)

In continuare, notam:α1(x, y) = f ′x(ξ, y) − f ′x(a1, a2)

α2(x, y) = f ′y(a1, η) − f ′y(a1, a2).

Cum din (x, y) → (a1, a2) rezulta (ξ, y) → (a1, a2) si (a1, η) → (a1, a2) si deoarece f ′x si f ′y suntcontinue ın M(a1, a2) avem

lim(x,y)→(a1,a2)

α1(x, y) = lim(x,y)→(a1,a2)

[f ′x(ξ, η) − f ′x(a1, a2)] = 0

silim

(x,y)→(a1,a2)α2(x, y) = lim

(x,y)→(a1,a2)[f ′y(a1, η) − f ′y(a1, a2)] = 0

In final obtinem

f(x, y) − f(a1, a2) = f ′x(a1, a2)(x− a1) + f ′y(a1, a2)(y − a2)+

+α1(x, y)(x− a1) + α2(x, y)(y − a2),

unde functiile α1 si α2 sunt continue ın M si

lim(x,y)→(a1,a2)

α1(x, y) = lim(x,y)→(a1,a2)

α2(x, y) = 0.

Teorema este demonstrata.Pentru (x, y) suficient de aproape de (a1, a2) din (12.1) avem

f(x, y) − f(a1, a2) = f ′x(a1, a2)(x− a1) + f ′y(a1, a2)(y − a2),

iar daca notam x− a1 = h si y − a1 = k, atunci obtinem

f(x, y) − f(a1, a2) = f ′x(a1, a2)h+ f ′y(a1, a2)k.

Definitia 12.4.1 Functia liniara g : R2 → R,

g(h, k) = f ′x(a1, a2)h+ f ′y(a1, a2)k

se numeste diferentiala functiei ın punctul M(a1, a2).

Notam g prin df(a1, a2). Daca consideram f(x, y) = x si f(x, y) = y, (x, y) ∈ R2 gasim h = dx sik = dy. Acum diferentiala lui f ın (a1, b1) ia forma

df(a1, a2) = f ′x(a1, a2)dx+ f ′y(a1, a2)dy.

Diferentiala functiei f ıntr-un punct arbitrar (x, y) ∈ D se scrie

df(x, y) = f ′x(x, y)dx+ f ′y(x, y)dy =

251

Page 251: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

=∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy.

In unele situatii este avantajos sa folosim scrierea

df =(∂

∂xdx+

∂ydy

)f,

unde produsul din dreapta este un produs ıntre operatorul

d =∂

∂xdx+

∂ydy,

numit operator de diferentiere si functia f.Exemplul 12.4.1.Fie f(x, y) = y2xe3x+y, (x, y) ∈ R2. Avem

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy = y2(1 + 3x)e3x+ydx+ xy(2 + y)e3x+ydy

Observatia 12.4.1 Pentru o functie de n variabile f(x1, x2, ..., xn) diferentiala se definesteprin

df =∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2 + ...+

∂f

∂xndxn

iar operatorul de diferentiere este

d =∂

∂x1dx1 +

∂x2dx2 + ...+

∂xndxn.

Uneori df se numeste diferentiala totala a functiei f, iar ∂f∂xi

dxi, i = 1, n, se numescdiferentialele partiale.

Se observa imediat ca operatorul de diferentiere este liniar

Observatia 12.4.2 Metoda directa de a diferentia o functie este de a folosi formula funda-mentala

df =n∑k=1

∂f

∂xk· dxk.

Uneori este mai convenabil sa se foloseasca regulile de diferentiere, care sunt analoage curegulile de derivare.

Exemplul 12.4.2. Sa calculam diferentiala functiei u =√x2 + y2 + z2, (x, y, z) ∈ R3

Avem

du =d(x2 + y2 + z2)

2√x2 + y2 + z2

=d(x2) + d(y2) + d(z2)

2√x2 + y2 + z2

=

=x√

x2 + y2 + z2dx+

y√x2 + y2 + z2

dy +z√

x2 + y2 + z2dz,

(x, y, z) ∈ R3 − {(0, 0, 0)}.In aplicatii sunt utile proprietatile diferentialei date ın urmatoarele doua teoreme.

Teorema 12.4.2 Conditia necesara si suficienta ca diferentiala unei functii f : D ⊆ R2 →R, z = f(x, y), sa fie identic nula pe D este ca f sa fie constanta pe D.

Demonstratie. Daca f(x, y) = k, k constanta, pentru orice (x, y) ∈ D, atunci alegand pe randx constant si y constant, obtinem ∂f

∂x = 0, ∂f∂y = 0, deci df = 0 pe domeniul D. Reciproc, daca

df = ∂f∂xdx+ ∂f

∂y dy = 0, pentru orice (x, y) ∈ D, atunci alegand pe rand x constant si constant,

obtinem ∂f∂x = 0 si ∂f

∂y = 0.

252

Page 252: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Teorema 12.4.3 Daca o expresie diferentiala E = P (x, y)dx + Q(x, y)dy, cu functiile P si Qcontinue pe domeniul D ⊆ R2, este diferentiala unei functii f : D → R, pentru orice (x, y) ∈ D,atunci P = ∂f

∂x si Q = ∂f∂y , pentru orice (x, y) ∈ D

Demonstratie: Pentru orice (x, y) ∈ D avem df = ∂f∂xdx+ ∂f

∂y dy = Pdx+Qdy, de unde(∂f

∂x− P

)dx+

(∂f

∂y−Q

)dy = 0,

pentru orice ((x, y) ∈ D.De aici, utilizand Teorema 12.4.2., obtinem ∂f

∂x = P si ∂f∂y = Q, oricare ar fi (x, y) ∈ D.

Observatia 12.4.3 Proprietatile diferentialei din Teoremele 12.4.2. si 12.4.3. se mentin sipentru functiile de n variabile, n ≥ 3.

Ca si la functiile de o variabila se pot introduce diferentialele de ordin superior.

Definitia 12.4.2 Numim diferentiala de ordinul doi a unei functii de mai multe variabile,diferentiala diferentialei de ordinul ıntai.

In general, diferentiala de ordinul n, n ∈ N∗, este diferentiala diferentialei de ordinul (n-1).

Daca f : D ⊆ R2 → R este o functie derivabila partial de doua ori pe D, cu toate derivatelepartiale de ordinul doi continue, atunci avem

d2f = d(df) = d

(∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy

)=

= d

(∂f

∂x

)dx+

∂f

∂xd(dx) + d

(∂f

∂y

)dy + d(dy)

Cum d(dx) = 0 si d(dy) = 0, putem scrie

d2f =[∂

∂x

(∂f

∂x

)dx+

∂y

(∂f

∂x

)dy

]dx+

+[∂

∂x

(∂f

∂y

)dx+

∂y

(∂f

∂y

)dy

]dy =

=∂2f

∂x2dx2 + 2

∂2f

∂x∂ydxdy +

∂2f

∂y2dy2.

Operatorul

d2 =∂2

∂x2dx2 + 2

∂2

∂x2ydxdy +

∂2

∂y2dy2 =

=[∂

∂xdx+

∂ydy

](2)

se numeste operatorul de diferentiere de ordinul doi. Cu ajutorul acestui operator avem

d2f =[∂

∂xdx+

∂ydy

](2)

f.

Prin inductie matematica se arata ca

dnf = d(dn−1f) =[∂

∂xdx+

∂ydy

](n)

f(x, y).

253

Page 253: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Pentru o functie de n variabile, diferentiala de ordinul m are forma

dmf =[∂

∂x1dx1 +

∂x2dx2 + ...+

∂xndxn

](m)

f(x1, x2, ..., xn)

In caz particular, pentru m= 2 avem:

d2f =[∂

∂x1dx1 +

∂x2dx2 + ...+

∂xndxn

](2)

f(x1, ..., xn) =

=∂2f

∂x21

dx21 +

∂2f

∂x22

dx22 + ...+

∂2f

∂x2n

dx2n+

+2∂2f

∂x1∂x2dx1dx2 + 2

∂2f

∂x1∂x3dx1dx3 + ...+ 2

∂2f

∂x1∂xndx1dxn+

+2∂2f

∂x2∂xndx2dxn + ...+ 2

∂2f

∂xn−1∂xndxn−1dxn.

Se observa ca d2f pentru o functie de n variabile este o forma patratica ın variabileledx1, dx2, ..., dxn, care are matricea

H = (hij)i,j=1,n,

unde hij = ∂2f∂xi∂xj

, i, j = 1, n, numita matricea hessiana sau matricea lui Hess.

Observatia 12.4.4 In cazul functiilor compuse de mai multe variabile formula diferentialeide ordinul ıntai se pastreaza, spunandu-se ca ”diferentiala de ordinul ıntai este invariantafata de operatia de compunere a functiilor”. Formula pentru diferentialele de ordin superiornu se mai pastreaza pentru functiile compuse de mai multe variabile, adaugandu-se cativatermeni suplimentari.

12.5 Extremele functiilor de mai multe variabile

Aflarea extremelor functiilor de mai multe variabile este una din cele mai importante prob-leme de matematica deoarece multe chestiuni practice (stiintifice, tehnice, economice etc.)conduc la optimizarea unor modele descrise prin functii de mai multe variabile.

Fie f : D ⊆ R2 → R, z = f(x, y) o functie de doua variabile.

Definitia 12.5.1 Un punct M(a1, a2), (a1, a2) ∈ D, se numeste punct de minim local (relativ)respectiv maxim local (relativ) al lui f daca exista o vecinatate V(M) a lui M asa ıncatpentru orice (x, y) ∈ V (M) ∩D sa avem f(x, y) ≥ f(a1, a2) respectiv f(x, y) ≤ f(a1, a2).

Cel mai mare dintre toate maximele locale se numeste maxim absolut, iar cel mai micdintre toate minimele locale, minim absolut. Maximele si minimele unei functii se numescextremele functiei.

Teorema 12.5.1 Fie (a1, a2) ∈ D, D ⊆ R2, punct de extrem local pentru functia f : D → R.Daca exista derivatele partiale f ′x si f ′y, atunci f ′x(a1, a2) = 0 si f ′y(a1, a2) = 0.

Demonstratie. Pentru y = a2, functia f(x, a2)are ın punctul x = a1, un punct de extrem sieste derivabila ın acest punct deci, conform teoremei lui Fermat avem f ′x(a1, a2) = 0.

In mod analog, pentru x = a1, functia f(a1, y) are ın punctul y = a2 un punct de extremsi deci f ′y(a1, a2) = 0.

Reciproca teoremei nu are loc, adica daca f ′x(a1, a2) = 0, f ′y(a1, a2) = 0 nu rezulta ca (a1, a2)este punct de extrem. Punctele (a1, a2) pentru care f ′x(a1, a2) = 0, f ′y(a1, a2) = 0 se numescpuncte stationare. Asadar, punctele de extrem ale functiei f se gasesc printre solutiilesistemului f ′x = 0, f ′y = 0, ınsa nu toate solutiile acestui sistem sunt puncte de extrem.

254

Page 254: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Observatia 12.5.1 Intr-un punct de extrem avem f ′x(a1, a2) = 0, f ′y(a1, a2) = 0, deci df(a1, a2) =0.

Ne intereseaza o conditie suficienta ca un punct stationar sa fie punct de extrem.

Teorema 12.5.2 Fie punctul (a1, a2) interior domeniului D ⊆ R2, punct stationar al functieif : D → R. Presupunem ca functia f are derivate partiale de ordinul doi continue ıntr-ovecinatate V (a1, a2) a punctului (a1, a2). Se considera matricea Hess

H =

(∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂x∂y

∂2f∂y2

)cu minorii principali

�1 =∂2f(a1, a2)

∂x2, �2 = det H(a1, a2)

Cu aceste notatii au loc afirmatiile:

i) daca �1 > 0 si �2 > 0, atunci punctul (a1, a2) este punct de minim local pentru f ;

ii) daca �1 < 0 si �2 > 0, atunci punctul (a1, a2) este punct de maxim local pentru f ;

iii) daca �2 < 0, atunci punctul (a1, a2) nu este punct de extrem.

Demonstratie. Natura punctului stationar (a1, a2) este datade semnul diferentei f(x, y) − f(a1, a2). Tinand seama caf ′x(a1, a2) = 0, f ′y(a1, a2) = 0, din formula lui Taylor pentru n= 2 (Teorema 12.3.2)avem f(x, y) = f(a1, a2)+

+12!

[(x− a1)

∂x+ (y − a2)

∂y

](2)

f(a1, a2) +R2(f, x, y)

pentru (x, y) ∈ D∩V ((a1, a2)). Daca (x, y) este suficient de aproape de punctul (a1, a2), atuncisemnul diferentei f(x, y)−f(a1, a2) nu este influentat de restul R2(f, x, y) al formulei. Asadar,avem

f(x, y) − f(a1, a2) =12

[(x− a1)2

∂2f

∂x2(a1, a2)+

+2(x− a1)(y − a2)∂2f(a1, a2)∂x∂y

+ (y − a2)2∂2f(a1, a2)

∂y2

],

care este o forma patratica ın variabilele x − a1 si y − a2, avand matricea chiar hessiana.Conform rezultatelor cunoscute de la formele patratice, avem ca:

i) daca �1 > 0 si �2 > 0, atunci forma patratica este pozitiv definita, adica diferentaf(x, y) − f(a1, a2) > 0 pentru (x, y) �= (a1, a2), deci f(x, y) > f(a1, a2) si, prin urmare,punctul (a1, a2) este punct de minim;

ii) daca �1 < 0 si �2 > 0, atunci forma patratica este negativ definita, adica diferentaf(x, y) − f(a1, a2) < 0 pentru (x, y) �= (a1, a2), deci f(x, y) < f(a1, a2) si, prin urmare,punctul (a1, a2) este punct de maxim local;

iii) daca �2 < 0, atunci forma patratica este nedefinita, deci (a1, a2) nu este punct deextrem local

Exemplul 12.5.1. Sa determinam punctele de extrem local pentru functia

f(x, y) = x5 + y5 − 5xy, (x, y) ∈ R2.

Mai ıntai determinam punctele stationare. Pentru aceasta calculam derivatele partiale deordinul ıntai:

∂f

∂x= 5x4 − 5y,

∂f

∂y= 5y4 − 5x.

255

Page 255: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Egalandu-le cu zero, avem sistemul

x4 = y, y4 = x,

care are solutile (0, 0) si (1, 1). Acestea sunt punctele stationare ale functiei f. Printreacestea se vor afla punctele de extrem ale functiei f. Calculam derivatele partiale de ordinuldoi ale lui f:

∂2f

∂x2= 20x3,

∂2f

∂x∂y= −5,

∂2f

∂y2= 20y3.

Prin urmare, matricea hessiana este (20x3 −5−5 20y3

).

Pentru punctul stationar (0, 0) se obtine

H(0,0) =(

0 −5−5 0

), �1 = 0, �2 = −25 < 0

deci punctul (0, 0) nu este punct de extrem local.Pentru punctul stationar (1, 1) se obtine(

20 −5−5 20

), �1 = 20 > 0, �2 = 375 > 0,

deci (1, 1) este punct de minim local si avem fmin = f(1, 1) = −3.

Observatia 12.5.2 In cazul unei functii f : D ⊆ Rn → R,z = f(x1, x2, ..., xn), n ≥ 3, se procedeaza ın mod analog.

Punctele ei stationare se afla printre solutiile sistemului

f ′x1= 0, f ′x2

= 0, ..., f ′xn= 0

Daca A(a1, a2, ..., an) este un punct stationar al functiei f, atunci pentru precizarea naturiilui se considera matricea Hess

H = (hij)i,j = 1, n,

unde hij = f ′′xixj(A), i, j = 1, n. Notam minorii ei principali cu �k, adica

�k =

∣∣∣∣∣∣∣∣h11 h12 ... h1k

h21 h22 ... h2k

... ... ... ...hk1 hk2 ... hkk

∣∣∣∣∣∣∣∣ , k = 1, n

Cu aceste notatii, conform cu cele cunoscute de la formele patratice avem:

i) daca �k > 0, k = 1, n, atunci punctul A este punct de minim local pentru functia f,(conditie echivalenta cu d2f(A) > 0 );

ii) daca �1 < 0,�2 > 0,�3 < 0, ..., (−1)n�n > 0, atunci punctul A este punct de maxim localpentru functia f (conditie echivalenta cu d2f(A) < 0);

iii) daca �2 < 0, atunci punctul A nu este punct de extrem local (conditie echivalenta cud2f(A) nu este definita).

Exemplul 12.5.2. O firma produce trei sortimente de produse, ın cantitatile x, y, si z.Daca functia profitului este data de

f(x, y, z) = 170x+ 110y + 120z − 3x2 − 2y2 − 32z2 − 2xy − xz − yz − 50,

256

Page 256: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0,

atunci sa se determine volumele celor trei produse astfel ıncat profitul sa fie maxim.Mai ıntai aflam punctele stationare ale lui f, prin rezolvarea sistemului de ecuatii⎧⎨⎩

f ′x(x, y, z) = 170 − 6x− 2y − z = 0f ′y(x, y, z) = 110 − 4y − 2x− z = 0f ′z(x, y, z) = 120 − 3z − x− y = 0

Solutia acestui sistem este x= 20, y= 10 si z= 30. Asadar, functia f are un singur punctstationar A(20, 10, 30).

Pentru a stabili natura punctului A calculam derivatele partiale de ordinul doi ale lui f.

f ′′x2 = −6, f ′′y2 = −4, f ′′z2 = −3

f ′′xy = f ′′yz = −2, f ′′xz = f ′′zx = −1, f ′′yz = f ′′zy = −1

si scriem hessiana

H =

⎛⎝ −6 −2 −1−2 −4 −1−1 −1 −3

⎞⎠ .

Minorii principali ai lui H ın punctul A au valorile

�1 = −6 < 0, �2 =∣∣∣∣ −6 −2−2 −4

∣∣∣∣ = 20 > 0

�3 = det H = −54 < 0.

Rezulta ca punctul A este un punct de maxim. Valoarea maxima a profitului este fmax =f(20, 10, 30) = 4000.

12.6 Extreme conditionate

Multe probleme practice conduc la aflarea punctelor de extrem supuse unor conditii(legaturi).

Fie f : D ⊆ R2 → R, z = f(x, y) o functie de doua variabile si fie F (x, y) = 0 o ecuatie, undeF : D → R. Notam cu A multimea solutilor ecuatiei F (x, y) = 0.

Definitia 12.6.1 Un punct (a1, a2) ∈ A este punct de extrem conditionat (cu legaturi) alfunctiei f daca exista o vecinatate V a punctului (a1, a2) astfel ıncat pentru orice (x, y) ∈ Ase verifica una din inegalitatile:

f(x, y) ≤ f(a1, a2), pentru maxim local conditionat;f(x, y) ≥ f(a1, a2), pentru minim local conditionat.

Geometric, problema punctelor de extrem conditionate cere sa determinam punctele curbeidata de ecuatia F(x, y)= 0, ın care ia valori extreme, ın comparatie cu celelalte valori alesale ın punctele de pe aceasta curba.

Acum sa presupunem ca functia F ındeplineste conditiile nece-sare existentei unei functii implicite. Fie y = ϕ(x) functia implicitadefinita de F (x, y) = 0. Atunci problema gasiri punctelor de extremconditionate ale functiei f revine la aflarea punctelor de extrem ale functieiz(x) = f(x, ϕ(x)), pe un anumit interval precizat.

Punctele stationare, printre care se gasesc si posibile puncte de extrem conditionate suntsolutiile reale ale ecuatiei

z′(x) = f ′x + f ′yy′ = 0,(12.9)

257

Page 257: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

unde y′ este derivata functiei implicite definita de ecuatia F (x, y) = 0

F ′x + F ′yy′ = 0(12.10)

Solutiile sistemului dat de ecuatiile (12.9) si (12.10) gasim

f ′xf ′y

=F ′xF ′y

In concluzie, punctele stationare ale functiei f sunt punctele ale caror coordonate verificaecuaiile

f ′xF ′x

=f ′yF ′y

; F (x, y) = 0.

Pentru rezolvarea acestui sistem notam cu −λ valoarea celor doua rapoarte si obtinemsistemul: ⎧⎨⎩

f ′x + λF ′x = 0f ′y + λF ′y = 0F (x, y) = 0

.(12.11)

La sistemul (12.11) putem ajunge si pe cale formala. Consideram functie auxiliara

L(x, y) = f(x, y) + λF (x, y),

numita functia lui Lagrange, unde λ este un parametru auxiliar, numit multiplicatorul luiLagrange. Cautam punctele stationare ale functiei L(x, y) cu legatura F (x, y) = 0, obtinandsistemul ⎧⎨⎩

L′x = f ′x + λF ′x = 0L′y = f ′y + λF ′y = 0F (x, y) = 0 ,

adica tocmai sistemul (12.6.3).Din cele de mai sus deducem ca daca (a1, a2, λ1) este un punct stationar conditionat al

functiei auxiliare L, atunci (a1, a2) este punct stationar conditionat al functiei date f.Pentru precizarea naturii punctelor de extrem conditionat se cerceteaza semnul

diferentei f(x, y) − f(a1, a2) ın vecinatatea punctului (a1, a2), tinand seama de legatura data.Aceasta revine la studierea semnului diferentialei a doua a functiei lui Lagrange, d2L(x, y),tinand cont de dF= 0.

Aceasta metoda de aflare a punctelor de extrem conditionate se numeste metoda multi-plicatorilor lui Lagrange.Exemplul 12.6.1. Sa se ınscrie ıntr-un cerc un dreptunghi de arie maxima.

Fie cercul de raza a, a > 0, cu centrul ın origine (fig. 12.6.1)

258

Page 258: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Fig.12.6.1.

x2 + y2 = a2.

Notand cu x, y coordonatele unui varf al dreptunghiului, tinand seama de simetria figurii,aria dreptunghiului ınscris este z = 4xy

Problema propusa se formuleaza astfel: sa se afle extremele functiei z = 4xy, x > 0, y > 0,cu conditia x2 + y2 = a2.

Utilizam metoda multiplicatorilor lui Lagrange.Consideram functia auxiliara

L(x, y) = 4xy + λ(x2 + y2 − a2)

si formam sistemul ⎧⎨⎩L′x = 4y + 2λx = 0L′y = 4x+ 2λy = 0x2 + y2 = a2

Sistemul are solutia

λ = −2, x = y =a√

22

Pentru a preciza natura punctului stationar conditionat(a√

22 , a

√2

2

)cercetam semnul

diferentialei a doua a functiei auxiliare.Avem

d2L = L′′x2dx2 + 2L′′xydxdy + L′′y2dy2 =

= 2λdx2 + 8dxdy + 2λdy2

si

d2L

(a√

22,a√

22

)= −4(dx2 − 2dxdy + dy2)

Diferentiind relatia de legatura avem

2xdx+ 2ydy = 0,

259

Page 259: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

de unde dy = −xy dx. Pentru x = y = a

√2

2 gasim dy= -dx. Atunci, ınlocuind ın d2L, gasim

d2L

(a√

22,a√

22

)= −8dx2 < 0,

ceea ce ne arata ca punctul(a√

22 , a

√2

2

)este un maxim conditionat.

Am gasit ca dreptunghiul de arie maxima ınscris ın cerculx2 + y2 = a2 este patratul de latura 2x = a

√2 si arie zmax = 2a2.

Sa consideram acum cazul general al aflari extremelor functiei

f : D ⊆ Rn → R, z = f(x1, x2, ..., xn)

cu m,m < n, conditii de legatura ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩F1(x1, ..., xn) = 0F2(x1, ..., xn) = 0...Fm(x1, ..., xn) = 0

Metoda directa de aflare a extremelor conditionate consta ın a exprima m argumente ınfunctie de celelalte n- m si a le ınlocui ın f. Obtinem o functie de n-m variabile ale careipuncte de extrem local vor fi puncte de extrem conditionate pentru f.

Metoda multiplicatorilor lui Lagrange consta ın considerarea functiei auxiliare

L(x1, x2, ..., xn) = f(x1, ..., xn) + λ1F1(x1, ..., xn)+

+λ2F2(x1, ..., xn) + ...+ λmFm(x1, ..., xn),

unde parametrii λ1, λ2, ..., λn se numesc multiplicatorii lui Lagrange.Apoi, se determina punctele stationare ale functiei L din conditiile⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

∂L∂x1

= ∂f∂x1

+ λ1∂F1∂x1

+ ...+ λm∂Fm

∂x1= 0

∂L∂x2

= ∂f∂x2

+ λ1∂F1∂x2

+ ...+ λm∂Fm

∂x2= 0

...∂L∂xn

= ∂f∂xn

+ λ1∂F1∂xn

+ ...+ λm∂Fm

∂xn= 0

la care se aduna legaturile ⎧⎪⎨⎪⎩F1(x1, ..., xn) = 0...Fm(x1, ..., xn) = 0

Avem un sistem de n+m ecuatii cu n+m necunoscute: x1, x2, ..., xn, λ1, ..., xm.Daca xi = ai, i = 1, n si λj = λ∗j , i = 1, n, este o solutie a sistemului, atunci punctul

A(a1, a2, ..., an) este punct stationar conditionat pentru functia f.Pentru precizarea naturii lui A, ın diferentiala de ordinul doi

d2L(A) =n∑i=1

n∑j=1

∂2L(A)∂xi∂xj

dxidxj

se introduc legaturile date prin diferentialele legaturilor

dFk(A) =n∑i=1

∂Fk(A)∂xi

dxn = 0, k = 1,m

260

Page 260: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Forma patratica d2L(A) astfel obtinuta se aduce la forma canonica. Daca d2L(A) > 0,atunci punctul A este punct de minim local conditionat pentru functia f, iar daca d2L(A) < 0,atunci A este punct de maxim local conditionat pentru functia f.Exemplul 12.6.2.Sa se afle punctele de extrem legate pentru functia

f(x, y, z) = xyz, (x, y, z) ∈ R3

cu legaturilex+ y − z = 3, x− y − z = 8.

Metoda directa Din sistemul {y − z = 3 − xy + z = x− 8

gasim y = − 52 si z = 2x−11

2 .Inlocuind ın f gasim functia

h(x) = x(−52)2x− 11

2=

−10x2 + 55x4

, x ∈ R

Aflam punctele de extrem local pentru functia h. Din h′(x) = 0, obtinem x = 114 . Cum

h′′ = − 52 < 0, deducem ca x = 11

4 este punct de maxim pentru h.Atunci punctul x = 11

4 , y = − 52 , z = − 11

4 este punct de maxim conditionat pentru f, cufmin = 605

32Metoda multiplicatorilor lui Lagrange.Consideram functia Lagrange auxiliara

L(x, y, z) = xyz + λ1(x+ y − z − 3) + λ2(x− y − z − 8)

Determinam punctele stationare ale lui L din ecuatiile⎧⎨⎩∂L∂x = yz + λ1 + λ2 = 0∂L∂y = xz + λ1 − λ2 = 0∂L∂z = xy − λ1 − λ2 = 0

la care se adauga legaturile {x+ y − z = 3x− y − z = 8

Solutia acestui sistem este:

x =114, y = −5

2, z = −11

4, λ1 =

1132, λ2 = −231

32.

Punctul stationar conditionat pentru f este A(

114 , − 5

2 , − 114

).

Pentru a decide natura lui A calculam d2L. Avem

d2L =∂2L

∂x2dx2 +

∂2L

∂y2dy2 +

∂2L

∂z2+

+2∂2L

∂x∂ydxdy + 2

∂2L

∂x∂zdxdz + 2

∂2L

∂y∂zdydz =

= 2zdxdy + 2ydxdz + 2xdydz;

care ın punctul A este:

d2L(A) = −112dxdy − 5dxdz +

112dydz.

Prin diferentierea celor doua legaturi rezulta relatiile:

dx+ dy − dz = 0

261

Page 261: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

dx− dy − dz = 0,

de unde gasim dz = dx, dy = 0, care substituite ın d2L = −5dx2 < 0. Rezulta ca punctul Aeste punct de maxim conditionat pentru functia f. Se observa ca am obtinut acelasi rezultatca si la metoda directa.Exemplul 12.6.3.Sa consideram functia de productie data prin

f(x, y) = x0,2y0,7,

x reprezentand capitalul, iar y forta de munca. Ne propunem sa determinam productiamaxima cu restrictia 2x+ 5y = 360

Utilizam metoda multiplicatorilor lui LagrangeFunctia auxiliara a lui Lagrange este

L(x, y) = x0,2y0,7 + λ(2x+ 5y − 360).

Pentru determinarea punctelor stationare conditionate avem sistemul:⎧⎨⎩L′x = 0, 2 · x−0,8 · y0,7 + 2λ = 0L′y = 0, 7 · x0,2 · y−0,3 + 5λ = 02x+ 5y = 360

Daca se exprima λ din fiecare din primele doua expresii, atunci se obtine ca y = 75x. Acum

din ecuatia de legatura se obtine x = 40, y = 56. Pentru λ gasim valoarea − 11040−0,8 · 500,7.

Diferentiala de ordinul doi al functiei L este D2L =

= −0, 16 · x−1,8y0,7dx2 + 2 · 0, 14x−0,8y−0,3dxdy − 0, 21x0,2y−1,3dy2

Prin diferentierea relatiei de legatura avem 2dx+ 5dy = 0, de unde dy = − 25dx. Inlocuind pe

x = 40, y = 56 si dy = − 25dx ın d2L, obtinem

d2L(40, 56) = −(40−1,8560,7 + 0, 28 · 40−0,856−0,3+

+0, 21 · 400,2 · 56−1,3)dx2 < 0

ceea ce ne arata ca punctul x = 40, y=56 este un punct de maxim local conditionat. Valoareamaxima pentru f este

fmax = f(40, 56) = 400,2 · 560,7

.

12.7 Ajustarea unor date

Adesea ın urma unor experimente obtinem pentru doua marimi x si y urmatorul tabel devalori

x x1 x2 ... xny y1 y2 ... yn

Incercam sa exprimam legatura dintre variabilele x si y printr-o functie continua y =f(x, a1, ..., am), unde a1, a2, ..., am sunt parametrii care urmeaza sa fie determinati asa ıncatf(xi, a1, ..., am) sa aproximeze cat mai bine valorile yi, i = 1, n. In acest scop se folosestemetoda celor mai mici patrate. Aceasta consta ın a determina parametrii a1, a2, ..., am asaıncat suma patratelor erorilor comise sa fie minima, adica

n∑i=1

(yi − f(xi, a1, ..., an))2 = min.

Detreminarea valorilor yi = f(xi, a1, ..., am) asa ıncat ele sa aproximeze cat mai bine valo-rile yi, i = 1, n, se numeste ajustare. Functia y − f(x, a1, ..., am) e functie de ajustare. De

262

Page 262: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

obicei, forma functiei de ajustare se alege din reprezentarea grafica a perechilor de puncte(xi, yi), i = 1, n, obtinute experimental.

Problema determinarii parametrilor a1, a2, ..., am este o aplicatie a problemei aflari ex-tremelor functiei de m variabile

S(a1, a2, ..., am) =n∑i=1

(yi − f(xi, a1, ..., am))2.

Se constata imediat ca punctele de stationare sunt puncte de minim, iar ecuatiile care dauaceste puncte numite ecuatii normale, sunt⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

∂S∂a1

= −2n∑i=1

(yi − f(xi, a1, ..., am)) ∂f∂a1= 0

...∂S∂am

= −2n∑i=1

(yi − f(xi, a1, ..., am)) ∂f∂am

= 0

Sa consideram cazul cel mai simplu, ın care functia de ajustare este de gradul ıntai, adicay = ax+ b.

Trebuie sa determinam a si b asa ıncat

S(a, b) =n∑i=1

(yi − axi − b)2

sa fie minima. Conditiile de minim

∂S

∂a= −2

n∑i=1

(yi − axi − b)xi = 0

∂S

∂b= −2

n∑i=1

(yi − axi − b) = 0,

conduc la sistemul liniar ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a

n∑i=1

x2i + b

n∑i=1

xi =n∑i=1

xiyi

an∑i=1

xi + bn =n∑i=1

yi

,

cu necunoscutele a si b.Daca ımpartim ambele ecuatii cu n si notam

x =

n∑i=1

xi

n, y =

n∑i=1

yi

n,

x2 =

n∑i=1

x2i

n, xy =

n∑i=1

xiyi

n,

atunci sistemul liniar ia forma {x2a+ xb = xyxa+ b = y.

Prin eliminarea lui b, gasim(x2 − x2)a = xy − x y.

Daca notam σ2x = x2 − x2, numita dispersia lui x, si cxy = xy − x y, marime numita corelatia

variabilelor x si y, atunci avem

a =cxyσ2x

=σyσx

· cxyσxσy

=σyσx

· rxy

263

Page 263: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Raportul rxy = cxy

σxσyse numeste coeficient de corelatie a variabilelor x, y si masoara intensi-

tatea dependentei liniare dintre variabilele x si y.Obervam ca b = y − ax si avem y = a(n− x) + y, de unde

y =σyσxrxy(x− x),

care este dreapta care ajusteaza cel mai bine datele initiale. Dreapta gasita este numitadreapta de regresie.Exemplul 12.7.1. Sa se ajusteze cu o dreapta datele ce reprezinta numarul de piese produseın cele cinci zile de lucru dintr-o saptamama, date trecute ın tabelul

zilele 1 2 3 4 5numarul de piese 4 5 7 6 6

Notam cu y numarul de piese si cu x zilele saptamanii. Avem n = 5, x1 = 1, x2 = 2, x3 =3, x4 = 4, x5 = 5, si y1 = 4, y2 = 5, y3 = 7, y4 = 6, y5 = 6.

x =1 + 2 + 3 + 4 + 5

5= 3; y =

4 + 5 + 7 + 6 + 65

=285

xy =4 + 10 + 21 + 24 + 30

5=

895

x2 =12 + 22 + 32 + 42 + 52

5=

555

= 11

σ2x = x2 − x2 = 11 − 9 = 2

cxy =895

− 3 · 285

=89 − 84

5= 1

a =cxyσ2x

=12; b = y − ax =

285

− 32

=4110

si y =x

2+

4110.

Observatia 12.7.1 Ajustarea datelor se poate folosi si ın rezolvarea problemelor de prognoza.Avand gasita functia de ajustare, putem evalua marimea valorii y si ın alte puncte.

Astfel, ın exemplul 12.7.1 putem prognoza care sa fie numarul de piese ın ziua a sasea.Avem y = 6

2 + 4110 = 3 + 4 + 1

10 = 7 + 110 , de unde rezulta ca ın ziua a sasea atrebui sa se

produca 7 piese.

12.8 Interpolarea functiilor

Ca si ın cazul ajustarilor, sa presupunem ca pentru marimea y, care variaza continuu ınraport cu marimea x, cunoastem tabelul de valori

x x0 x1 ... xny y0 y1 ... yn

, n ≥ 1,

cu xi ∈ [a, b], i = 0, n, distincte doua cate doua.Prin interpolare ıntelegem procesul de alegere a unei functii

I : [a, b] → R, dintr-o anumita clasa de functii, asa ıncat I(xi) = yi, i = 0, n se numeste functiede interpolare.

Tinand seama ca cele mai simple si convenabile functii sunt polinoamele vom alegefunctie de interpolare un polinom P. O vom numi ın continuare polinom de interpolare.

264

Page 264: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Avand ın vedere ca avem n+ 1 conditii P (xi) = yi, i = 0, n, alegem

P (x) = a0xn + a1x

n−1 + ...+ an−1x+ an

Cele n+ 1 conditii conduc la sistemul liniar⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a0x

n0 + a1x

n−10 + ...+ an−1x0 + an = y0

a0xn1 + a1x

n−11 + ...+ an−1x1 + an = y1

.... .... .... ....a0x

nn + a1x

n−1n + ...+ an−1xn + an = yn

ın necunoscutele a0, a1, ..., an.Determinantul sistemului este determinantul Vandermond

V (x0, x1, ..., xn) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣xn0 xn−1

0 ... x0 1xn1 xn−1

1 ... x1 1...

......

...xnn xn−1

n ... xn 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

=∏

0≤j<i≤n(xi − xj) �= 0

Rezulta ca sistemul determina coeficientii ai, i = 0, n, ai polinomului P ın mod unic.Pentru polinomului P de interpolare exista mai multe forme. O forma simpla si usor de

aplicat ın cazurile practice a fost data de Lagrange.El a introdus polinoamele fundamentale li, i = 0, n, de grad n date prin expresiile

li(x) =(x− x0)(x− x1)...(x− xi−1)(x− xi+1)...(x− xn)

(xi − x0)(xi − x1)...(xi − xi−1)(xi − xi+1)...(xi − xn), i = 0, n

Se observa imediat ca

li(xj) = δij ={

0, j �= i1, j = i

Utilizand polinoamele fundamentale polinomul de interpolare Lagrange are forma

P (x) =n∑i=0

li(x)yi

Intradevar, avem

P (xj) =n∑i=0

li(xj)yi = yj , j = 0, n

Exemplul 12.8.1. Sa determinam polinomul de interpolare pentru datele din tabelul

x 1 2 3 4y 3 2 4 5

si apoi calculati valoarea lui y pentru x = 32

Avem n = 3, x0 = 1, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4, si y0 = 3,y1 = 2, y2 = 4, y3 = 5.

Polinoamele fundamentale sunt:

l0(x) =(x− 2)(x− 3)(x− 4)(1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)

=(x2 − 5x+ 6)(x− 4)

−6=

= −16(x3 − 9x2 + 26x− 24),

265

Page 265: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

l1(x) =(x− 1)(x− 3)(x− 4)(2 − 1)(2 − 3)(2 − 4)

=(x2 − 4x+ 3)(x− 4)

2=

=12(x3 − 8x2 + 19x− 12),

l2(x) =(x− 1)(x− 2)(x− 4)(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)

=(x2 − 3x+ 2)(x− 4)

−2=

= −12(x3 − 7x2 + 14x− 8),

l3(x) =(x− 1)(x− 2)(x− 3)(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)

=(x2 − 3x+ 2)(x− 3)

6=

=16(x3 − 6x2 + 11x− 6)

Atunci polinomul de interpolare are expresia

P (x) = −16(x3 − 9x2 + 26x− 24) · 3 +

12· (x3 − 8x2 + 19x− 12) · 2−

−12(x3 − 7x2 + 14x− 8) · 4 +

16(x3 − 6x2 + 11x− 6) · 5 =

= −23x3 +

112x2 − 27

2x+ 11

Acum, avem

P

(32

)=

78

= y.

Observatia 12.8.1 Daca pentru valorile y ın functie de valorile lui x, date la ınceputul aces-tui paragraf, exista o functie continua y = f(x), cu f(xi) = yi, i = 0, n, atunci polinomul deinterpolare este o aproximare a functiei f care satisface conditiile P (xi) = f(xi), i = 0, n.

266

Page 266: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

12.9 Test de verificare a cunostintelor nr. 11

1. Definiti urmatoarele notiuni:

a) Derivata partiala a unei functii de mai multe variabile;

b) Diferentiala unei functii de mai multe variabile;

c) Punct de extrem local pentru o functie de mai multe variabile;

d) Integrarea functiilor.

2. a) Gasiti extremele locale ale functiei

f : R2 → R , f(x, y) = x3 + y3 + 3xy.

b) Gasiti extremele locale ale functie:

f : R2 → R , f(x, y) = x2 + y4.

3. Gasiti extremele locale ale functiei

f : Δ × Δ → R , Δ = (−∞,−1] ∪ [1,∞), cu

f(x, y) = x4 + y4 − 4x2 + 8xy − 4y2 − 5.

4. Gasiti extremele locale ale functiei f : R2 → R, f(x, y) = x2 + y3.

5. O firma produce doua sortimente de bunuri, ın cantitatile x si y. Daca functia profituluieste data prin f : [0,∞) × [0,∞) → R, f(x, y) = 160x − 3x2 − 2xy − 2y2 + 120y − 18, sa sedetermine volumele celor doua bunuri astfel ıncat profitul sa fie maxim.

6. Gasiti extremele locale ale functiei f : R2 → R, f = 6 − 4x − 3y conditionate de ecuatiax2 + y2 = 1.

7. Gasiti extremele locale ale functiei f(x, y, z) = xy + xz + yz conditionate de ecuatiaxyz = 1, ın domeniul x > 0, y > 0, z > 0.

8. Sa se determine dreptunghiul de arie maxima ınscris ıntr-o elipsa

x2

a2+y2

b2− 1 = 0.

9. Gasiti punctele de extrem local ale functiei f : R4 → R, f(x, y, z, t) = xy + xz − 3xt+ y2 +z2 + t2 + 10x+ 6y conditionate de ecuatiile

ϕ1(x, y, z, t) = x+ 2y + 3z + 2t = 0 si

ϕ2(x, y, z, t) = −x+ y + z + t = 0.

10. Fie functia de productie f : [0,∞)× [0,∞) → R cu f(x, y) = x0,3 ·y0,5, unde x este capitaluliar y este forta de munca. Sa se determine productia maxima cu restrictia 6x+2y = 384.

267

Page 267: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Indicatii si raspunsuri Test nr. 11

2. a) (−1,−1) este punct de maxim cu f(−1,−1) = 1.

b) (0, 0) este punct de minim.

3. (2,−2) este punct de minim cu f(2,−2) = −37; (−2, 2) este punct de minim cu f(−2, 2) =−37.

4. Nu are nici un punct de extrem local.

5. x = 20, y = 20 cu profilul f(20, 20) = 2782.

6.(

45,35

)punct de minim conditionat cu f

(45,35

)= 1, iar

(−4

5,−3

5

)punct de maxim

conditionat cu(−4

5,−3

5

)= 11.

7. (1, 1, 1) este punct de minim conditionat cu f(1, 1, 1) = 3.

8. Pentru x =a√2

si y =b√2

se obtine dreptunghiul de arie maxima (Amax = 2ab).

9.(−1,−5

2, 3,−3

2

)este punct de minim conditionat cu f

(−1,−5

2, 3,−3

2

)= −25

2.

10. (24, 120) este punct de maxim conditionat iar productia maxima este 240,3 · 1200,5.

268

Page 268: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Bibliografia aferenta capitolului:[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate ın economie - Volumul II,

Editura ULB, Sibiu, 2002.

269

Page 269: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Capitolul 13

Generalizari ale notiunii de integrala

Obiective: Stim ca

b∫a

f(x)dx reprezinta o integrala Riemann, daca sunt ındeplinite

conditiile: a �= −∞ si b �= ∞; f functie marginita pe [a, b] si f functie reala de o singura

variabila reala. Daca una din aceste conditii nu este ındeplinita, atunci expresia∫ b

a

f(x)dx

constituie o extindere a notiunii de integrala. Scopul acestui capitol este de a prezentacateva astfel de extinderi ale notiunii de integrala.

Rezumat: In acest capitol sunt prezentate extinderi ale notiunii de integrala sianume inegralele improprii, integralele ce depind de unul sau mai multi parametri, inte-gralele euleriene (Functiile Gamma si Beta ale lui Euler), inegralele duble (inclusiv metodede calcul ale acestora).

Continutul capitolului:1. Integrale improprii2. Integrale cu parametri3. Integrale euleriene. Functia Gamma. Functia Beta4. Integrale duble5. Test de verificare a cunostintelor6. Bibliografia aferenta capitolului

Cuvinte cheie: integrala improprie, integrala ce depinde de parametri, functiaGamma, functia Beta, inegrale duble, coordonate polare.

13.1 Integrale improprii

In multe situatii practice apar integrale care au intervalul de integrare de lungime infinitasi integrale pentru care functia de integrat nu este marginita.

Astfel de integrale se numesc improprii sau generalizate. Daca lungimea intervaluluieste infinita, adica avem una din situatiile

I =

+∞∫a

f(x)dx , I =

b∫−∞

f(x)dx , I =

+∞∫−∞

f(x)dx =∫R

f(x)dx,

atunci spunem ca avem integrale improprii de speta ınai. Daca functia de integrat estenemarginita pe [a, b], atunci spunem ca avem integrale improprii de speta a doua. Daca atatintervalul de integrare este de lungime infinita, cat si f este nemarginita ın acest interval,atunci spunem ca avem integrale improprii mixte.

270

Page 270: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Definitia 13.1.1 Fie f : [a,∞) → R o functie integrabila pe orice interval [a, b], b ∈ R, b > a.

Daca exista limb→∞

b∫a

f(x)dx, atunci prin definitie

∞∫a

f(x)dx = limb→∞

b∫a

f(x)dx;

cand limita este finita spunem ca integrala este convergenta iar ın caz contrar, adica dacalimita nu exista sau este infinita, spunem ca integrala improprie este divergenta.

In mod analog definimb∫

−∞f(x)dx = lim

a→−∞ f(x)dx

si∞∫−∞

f(x)dx = lima→−∞b→∞

b∫a

f(x)dx.

Imediat se observa ca avem relatiile

b∫−∞

f(x)dx =

∞∫−b

f(−t)dt

si+∞∫−∞

f(x)dx =∫ C

−∞f(x)dx+

+∞∫C

f(x)dx , C ∈ R,

care ne arata ca este suficient sa studiem cazul intervalului [a,∞].Exemplul 13.1.1. Sa consideram integrala

∞∫a

dx

xλ; a > 0 si λ ∈ R.

Pentru b > a si λ �= 1 avemb∫a

dx

xλ=

11 − λ

(b1−λ − a1−λ).

Limitalimb→∞

11 − λ

(b1−λ − a1−λ)

este finita, fiind egala cua1−λ

λ− 1, pentru 1 − λ < 0, adica λ > 1.

In cazul λ = 1 avem

∞∫a

dx

x= limb→∞

b∫a

dx

x= limb→∞

(ln b− ln a) = ∞,

integrala fiind divergenta.

271

Page 271: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

In concluzie, avem ca

∞∫a

dx

xλ=a1−λ

λ− 1pentru λ > 1, adica este convergenta, iar pentru λ ≤ 1

integrala improprie este divergenta.Exemplul 13.1.2. Fie de calculat integrala improprie

+∞∫−∞

dx

x2 + 4.

Avem+∞∫−∞

dx

x2 + 4= lim

a→−∞b→∞

b∫a

dx

x2 + 4=

= lima→−∞b→∞

12

(arctg

b

2− arctg

a

2

)=

12

(π2−(−π

2

))=π

2.

Observatia 13.1.1 Putem scrie

∞∫a

f(x)dx =

k∫a

f(x)dx+

k+1∫k

f(x)dx+ ...+

k+n∫k+n−1

f(x)dx+ ...,

k ∈ N, k > a.

Daca notam un =

k+n∫k+n−1

f(x)dx, n = 1, 2, ..., u0 =

k∫a

f(x)dx, atunci

∞∫k

f(x)dx =∞∑n=0

un,

adica integralei

∞∫a

f(x)dx ıi corespunde seria numerica∞∑n=0

un. Integrala improprie si seria

asociata au aceeasi natura.Aceasta observatie ne permite sa adaptam criteriile de convergenta de la seriile numerice

la integralele improprii de speta ıntai.

Teorema 13.1.1 (Criteriul lui Cauchy) Integrala improprie

∞∫a

f(x)dx, este convergenta daca

si numai daca pentru orice ε > 0 exista M(ε) ∈ R+ asa ıncat pentru orice α, β ∈ R, β > α >M(ε) sa avem ∣∣∣∣∣∣

β∫α

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣ < ε.

Demonstratia rezulta imediat din Criteriul lui Cauchy scris pentru seria numerica∑n≥0

un.

Definitia 13.1.2 Integrala improprie

∫ ∞a

f(x)dx se numeste absolut convergenta daca inte-

grala improprie

∞∫a

|f(x)|dx este convergenta.

272

Page 272: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Teorema 13.1.2 Daca

∞∫a

f(x)dx este absolut convergenta, atunci ea este convergenta.

Pentru demonstratie se foloseste Teorema 13.1.2 si inegalitatea∣∣∣∣∣∣b∫a

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣ ≤b∫a

|f(x)|dx.

Si criteriile de comparatie de la serii cu termeni pozitivi se extind imediat la integraleimproprii.

Teorema 13.1.3 (primul criteriu de comparatie) Fie f, g functii definite si integrabile pentrux ≥ a. Daca 0 ≤ f(x) ≤ g(x) pentru x ≥ a, atunci:

1) daca

∞∫a

g(x)dx este convergenta, atunci si

∞∫a

f(x)dx este convergenta;

2) daca

∞∫a

f(x)dx este divergenta, atunci si

∞∫a

g(x)dx este divergenta.

Teorema 13.1.4 (Al doilea criteriu de comparatie) Fie functiile f, g : [a,∞) → (0,∞). daca

limx→∞

f(x)g(x)

= k, k ∈ (0,∞), atunci integralele improprii

∞∫a

f(x)dx si

∞∫a

g(x)dx su aceeasi natura,

adica ambele sunt convergente sau ambele sunt divergente. Daca k = 0, atunci convergenta

integralei

∞∫a

g(x)dx implica convergenta integralei

∞∫a

f(x)dx.

Corolarul 13.1.1 Fie f : [a,∞) → (0,∞), a > 0. Daca exista limx→∞x

λf(x) = k, k constanta reala

finita, pentru λ > 1, atunci integrala

∞∫a

f(x)dx este convergenta. Daca λ ≤ 1 si k > 0, atunci

integrala este divergenta.

Valabilitatea Corolarului rezulta din Teorema 13.1.3.

Exemplul 13.1.3. Integralele improprii

∞∫a

xαe−xdx, a > 0, sunt convergente pentru orice α

real.Intr-adevar, pentru x > 0 putem scrie

ex = 1 +x

1!+ ...+

xn

n!+ ... >

xn

n!, n ∈ N.

De aici, avem 0 < e−x <n!xn

, adica 0 < xαe−x <n!

xn−α. Alegand n ∈ N asa ıncat n−α = λ > 1

si aplicand primul criteriu de comparatie pentru f(x) = xαe−x, g(x) =n!xλ

, λ > 1, obtinemafirmatia din enuntul exemplului.

Exemplul 13.1.4. Integralele improprii

∞∫a

Pm(x)Qn(x)

dx, Pm si Qn fiind functii polinomiale cu

coeficienti reali, cu gradele m si respectiv n, Qn �= 0 pentru x ≥ a, sunt convergente pentrun−m ≥ 2.

273

Page 273: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Avem

limx→∞x

λPm(x)Qn(x)

= limx→∞x

λ amxm + am−1x

m−1 + ...+ a0

bnxn + bn−1xn−1 + ...+ b0=

= limx→∞x

λ+m−n ·am +

am−1

x+ ...+

a0

xm

bn +bn−1

x+ ...+

b0xn

=ambn

daca λ = n−m. Conform Corolarului 13.1.1, integrala data este convergenta daca n−m ≥ 2.In mod analog se studiaza si integralele improprii de speta a doua.

Definitia 13.1.3 Fie functia f : [a, b) → R, nemarginita ın b, dar marginita si integrabila pe

orice subinterval ınchis [a, β] ⊂ [a, b). daca exista limβ→bβ<b

β∫a

f(x)dx, atunci prin definitie

b∫a

f(x)dx = limβ→bβ<b

β∫a

f(x)dx.

Daca limita este finita, atunci spunem ca integrala improprie este convergenta iar ın cazcontrar spunem ca integrala este divergenta.

Daca f este nemarginita ın a atunci

b∫a

f(x)dx = limα→aα>a

b∫α

f(x)dx,

iar daca f este nemarginita ıntr-un punct c, a < c < b, atunci

b∫a

f(x)dx =

c∫a

f(x)dx+

b∫c

f(x)dx.

Pe baza acestor considerente, ne putem limita numai la cazul

b∫a

f(x)dx, cu limx→bx<b

|f(x)| = ∞.

Exemplul 13.1.5. Integrala

b∫a

dx

(b− x)λeste convergenta pentru λ < 1 si divergenta pentru

λ ≥ 1.Avem

β∫a

dx

(b− x)λ=

1λ− 1

1(b− x)λ−1

∣∣∣∣βa

=

=1

λ− 1

[1

(b− β)λ−1− 1

(b− a)λ−1

],

cu

limβ→bβ<b

1λ− 1

[1

(b− β)λ−1− 1

(b− a)λ−1

]=

11 − λ

· 1(b− a)λ−1

pentru λ < 1 si +∞ pentru λ > 1. Deci λ = 1 valoarea integralei este − ln |b− x| |βa→ ∞ candβ → b, β < b, deci este divergenta.

274

Page 274: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Daca b− a > 1, atunci putem scrie

b∫a

f(x)dx =

b−1∫a

f(x)dx+

b− 12∫

b−1

f(x)dx+

b− 13∫

b− 12

f(x)dx+ ...+

+

b− 1n+1∫

b− 1n

f(x)dx+ ...,

iar daca punem u0 =

b−1∫a

f(x)dx si un =

b− 1n+1∫

b− 1n

f(x)dx, n = 1, 2, ..., atunci obtinem

b∫a

f(x)dx =∞∑n=0

un,

care exprima integrala improprie de speta a doua printr-o serie numerica.Ca si la integralele improprii de speta ıntai, putem transforma criteriile de convergenta

de la seriile de numere reale ın criterii de convergenta pentru integrale improprii de spetaa doua.

Teorema 13.1.5 (Criteriul lui Cauchy). Integrala improprie

b∫a

f(x)dx, cu limx→bx<b

|f(x)| = ∞, este

convergenta daca si numai daca pentru orice ε > 0 exista un numar M(ε) > 0 asa ıncat

pentru orice α si β cu b−M(ε) < α < β < b sa avem

∣∣∣∣∣∣b∫a

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣ < ε.

Definitia 13.1.2 si Teoremele 13.1.2 si 13.1.3 se pastreaza fara modificari si pentru inte-gralele improprii de speta a doua.

Teorema 13.1.6 (Al doilea criteriu de comparatie). Fie functiile f, g : [a, b) → (0,∞). Daca

limx→bx<b

f(x)g(x)

= k, k ∈ (0,∞), atunci integralele improprii

b∫a

f(x)dx si

b∫a

g(x)dx au aceeasi natura.

Daca k = 0, atunci convergenta integralei improprii

b∫a

g(x)dx implica convergenta integralei

improprii

b∫a

f(x)dx.

Corolarul 13.1.2 Fie f : [a, b) → (0,∞) cu limx→bx<b

f(x) = ∞. Daca limx→bx<b

(b− x)λf(x)dx = k, k con-

stanta reala finita, pentru λ < 1, atunci integrala improprie

b∫a

f(x)dx este convergenta. Daca

λ ≥ 1 si k �= 0, atunci integrala este divergenta.

Exemplul 13.1.6. Sa studiem convergenta integralei

1∫0

dx6√

1 − x6.

275

Page 275: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Functia f : [0, 1) → (0,∞), f(x) =1

6√

1 − x6divine infinita cand x → 1, x < 1, deci avem o

integrala improprie de speta a doua. Cum

f(x) =1

6√

1 − x · √1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5≤ 1

6√

1 − x,

x ∈ [0, 1) si∫

16√

1 − xdx =

∫1

(1 − x)1/6dx este convergent (v. Exemplul ??, λ = 1/6 < 1),

deducem ca integrala data este convergeta.Exemplul 13.1.7. Sa studiem natura integralei

b∫a

dx√(x− a)(b− x)

.

Se observa ca functia f : (a, b) → (0,∞), f(x) =1√

(x− a)(b− x)devine +∞ atat ın a cat si

ın b.Pentru studierea naturii integralei utilizam Corolarul 13.1.2.Avem

limx→bx<b

(b− x)λf(x) = limx→bx<b

(b− x)λ−12 · 1√

x− a=

1√b− a

pentru λ =12< 1 si

limx→ax>a

(x− a)λf(x) = limx→ax>a

(x− a)λ−12 · 1√

b− x=

1√b− a

pentru λ =12< 1, deci integrala data este convergenta.

Observatia 13.1.2 Din consideratiile anterioare, deducem ca proprietatile principale ale in-tegralei Riemann se pastreaza si ın cazul integralelor improprii convergente. Astfel, deexemplu, pentru o integrala improprie de speta ıntai are loc formula lui Leibniz - Newton.

Teorema 13.1.7 Fie f : [a,∞) → R, integrabila si fie F o primitiva a functiei f pe intervalul

[a,∞). Atunci integrala improprie

∞∫a

f(x)dx este convergenta daca si numai daca exista

limx→∞F (x) si ın plus este valabila formula Leibniz - Newton

∞∫a

f(x)dx = F (∞) − F (a) , F (∞) = limx→∞F (x).

Demonstratie. Pentru orice b > a avemb∫a

f(x)dx = F (b) − F (a) si prin trecere la limita se

obtin afirmatiile din enunt.In mod analog se extind schimbarea de variabila si integrarea prin parti.

Exemplul 13.1.8. Sa calculam∞∫0

(x− 1)e−xdx.

Avem∞∫0

(x− 1)e−xdx = −xe−x∣∣∣∣∣∣∞

0

= 0.

276

Page 276: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Observatia 13.1.3 In cazul unor integrale improprii divergente se ataseaza o valoare printr-un procedeu datorat lui Cauchy.

Acesta este aplicabil integralelor improprii de speta ıntai de forma

+∞∫−∞

f(x)dx

si integralelor improprii de speta a doua

b∫a

f(x)dx

ın care f devine infinita ıntr-un punct c, a < c < b.

Definitia 13.1.4 Integrala improprie

+∞∫−∞

f(x)dx se numeste convergenta ın sensul valorii prin-

cipale Cauchy, daca limita

lima→∞

a∫−a

f(x)dx = v · p · C+∞∫−∞

f(x)dx

exista si este finita.

Exemplul 13.1.9. Pentru integrala improprie divergenta

2∫−1

dx

xavem

v · p · C2∫−1

dx

x= limε→0

⎡⎣ ε∫−1

dx

x+

2∫ε

dx

x

⎤⎦ = ln 2.

13.2 Integrale cu parametri

Sa trecem la extinderea notiunii de integrala ın cazul functiilor de mai multe variabile.Daca functia de integrat este de mai multe variabile si ea este integrata Riemann ın raportcu una din variabile, atunci spunem ca avem o integrala cu paramentri. Acestea au formagenerala

I(λ1, λ2, ..., λp) =

b∫a

f(x, λ1, λ2, ..., λp)dx,

unde λ1, λ2, ..., λp sunt parametrii reali cu valori din anumite multimi de numere. Se observaimediat ca o integrala de acest fel definiste o functie de p variabile λ1, λ2, ..., λp.

In legatura cu astfel de functii se pune problema studierii proprietatilor de baza (trecereala limita, continuitatea, derivabilitatea si integrabilitatea) fara a calcula efectiv integralacare defineste functia.

In continuare, ne vom limita numai la cazul p = 1, adica la functiile de forma:

I(λ) =

b∫a

f(x, λ)dx , λ ∈ Y ⊆ R.(13.1)

277

Page 277: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Teorema 13.2.1 (Teorema trecerii la limita) Fie f : [a, b]×Y → R o functie de doua variabile,integrabila ın raport cu x pe [a, b] si λ0 un punct de acumulare pentru Y . Daca existalimλ→λ0

f(x, λ), atunci

limλ→λ0

I(λ) = limλ→λ0

b∫a

f(x, λ)dx =

b∫a

(limλ→λ0

f(x, λ))dx.

Demonstratie. Fie ε > 0 si notam limλ→λ0

f(x, λ) = g(λ); atunci exista δ(ε) > 0 astfel ca pentru

|λ− λ0| < δ(ε) sa avem |f(x, λ) − g(λ)| < ε/(b− a). Atunci putem scrie:∣∣∣∣∣∣b∫a

f(x, λ)dx−b∫a

g(λ)dx

∣∣∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∣∣b∫a

(f(x, λ) − g(λ)dx)

∣∣∣∣∣∣ ≤b∫a

∣∣f(x, λ) − g(λ)∣∣badx < ε,

ceea ce demonstreaza Teorema 13.2.1.

Observatia 13.2.1 Teorema 13.2.1 ne arata ca ıntr-o integrala cu parametru putem inter-venti operatia de integrare cu operatia de trecere la limita.

Pentru a putea aprofunda studiul proprietatilor functiei I(λ) vom considera Y = [c, d].

Teorema 13.2.2 Daca functia f : [a, b] × [c, d] → R este continua ın raport cu ansamblulvariabilelor pe dreptunghiul [a, b]× [c, d], atunci functia I definita de (13.1) este continua peintervalul [c, d].

Demonstratie Fie λ0 un punct din intervalul [c, d]. Formam diferenta

I(λ) − I(λ0) =

b∫a

[f(x, λ) − f(c, λ0)]dx.

Functia de doua variabile f , fiind continua ın dreptunghiul [a, b] × [c, d], este si uniformcontinua ın acest domeniu. Atunci, pentru orice ε > 0, exista un δ(ε) > 0, asa ıncat sa avem

|f(x, λ) − f(x, λ0)| < ε

b− a

daca |λ− λ0| < δ(ε).Acum, putem scrie

|I(λ) − I(λ0)| ≤b∫a

|f(x, λ) − f(x, λ0)|dx < ε

b− a(b− a) = ε,

daca |λ− λ0| < δ(ε).Deci, avem lim

λ→λ0I(λ) = I(λ0), ceea ce ne arata ca functia I este continua ın λ0. Cum λ0 a

fost ales arbitrar din intervalul [c, d], rezulta ca functia I este continua pe [c, d].

Teorema 13.2.3 (De derivare sub semnul integrala) Daca f : [a, b] × [c, d] → R este continuaın dreptunghiul [a, b] × [c, d] si exista derivata partiala f ′λ continua ın raport cu ansamblul

278

Page 278: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

variabilelor ın acelasi dreptunghi, atunci functia I(λ) =

b∫a

f(x, λ)dx este derivabila pe [c, d] si

are loc formula

I ′(λ) =

b∫a

f ′λ(x, λ)dx.

Demonstratie Fie λ0 un punct fixat din [c, d]. Din egalitatea

I(λ) − I(λ0)λ− λ0

=

b∫a

f(x, λ) − f(x, λ0)λ− λ0

dx,

prin trecere la limita sub integrala, avem

limx→x0

I(λ) − I(λ0)λ− λ0

=

b∫a

f ′λ(x, λ0)dx,

care ne arata ca functia I este derivabila ın λ0 si are loc formula din enuntul teoremei.Exemplul 13.2.1. Sa calculam derivata functiei I definita prin

I(λ) =

1∫0

sinλxx

dx , λ ∈ R.

Integrala nu este improprie deoarece limx→0

sinλxx

= λ.

Avem

I ′(λ) =

1∫0

x · cosλxx

dx =

1∫0

cosλxdx =

=sinλxλ

∣∣∣∣10

=sinλλ

.

Observatia 13.2.2 In unele situatii se considera integrale cu parametru ın care si limitelede integrare depind de parametru, adica avem

I(λ) =

b(λ)∫a(λ)

f(x, λ)dx , λ ∈ [c, d].

Daca, pe langa conditiile din Teorema 13.2.3, mai adaugam faptul ca functiile a si b suntderivabile ın raport cu λ pe [c, d], atunci are loc formula

I ′(λ) =

b(λ)∫a(λ)

f ′λ(x, λ)dx+ b′(λ)f(b(λ), λ) − a′(λ)f(a(λ), λ).

Teorema 13.2.4 (de integrare) Daca functia f : [a, b] × [c, d] → R este continua ın raport cuansamblul variabilelor ın dreptunghiul [a, b]× [c, d], atunci oricare ar fi intervalul [α, β] ⊆ [c, d]are loc egalitatea

β∫α

I(λ)dλ =

β∫α

⎛⎝ b∫a

f(x, λ)dx

⎞⎠ dx =

b∫a

⎛⎝ β∫α

f(x, λ)dx

⎞⎠ dx.

279

Page 279: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Cu alte cuvinte, ın conditiile teoremei se poate integra sub semnul integralei, sau sepoate schimba ordinea de integrare.

Demonstratie Fie z ∈ [c, d]; vom demonstra egalitatea mai generala

z∫α

⎛⎝ b∫a

f(x, λ)dx

⎞⎠ dλ =

b∫a

⎛⎝ z∫α

f(x, λ)dλ

⎞⎠ dx.

Facem notatiile

ϕ(z) =

z∫α

⎛⎝ b∫a

f(x, λ)dx

⎞⎠ dλ

si

ψ(z) =

b∫a

⎛⎝ z∫α

f(x, λ)dλ

⎞⎠ dx.

Avem

ϕ′(z) =

b∫a

f(x, λ)dx,

si

ψ′(z) =

b∫a

f(x, λ)dx,

oricare ar fi z ∈ [c, d]. De aici, rezulta ca ϕ(z) − ψ(z) = C - constanta. Cum ϕ(α) − ψ(α) = 0,obtinem C = 0, ceea ce ne arata ca ϕ(z) = ψ(z), oricare ar fi z ∈ [c, d]. Teorema estedemonstrata.Exemplul 13.2.2. Sa consideram integrala cu parametru

I(λ) =

1∫0

xλdx.

Integram functia I pe intervalul [a, b], 0 < a < b, si avem

b∫a

I(λ)dλ =

b∫a

⎛⎝ 1∫0

xλdx

⎞⎠ dλ =

1∫0

⎛⎝ b∫a

xλdλ

⎞⎠ dx

de undeb∫a

xλ+1

λ+ 1

∣∣∣∣∣∣1

0

dλ =

1∫0

lnx

∣∣∣∣ba

dx

saub∫a

λ+ 1=

1∫0

xb − xa

lnxdx,

ceea ce conduce la1∫

0

xb − xa

lnxdx = ln(λ+ 1)|ba = ln

b+ 1a+ 1

.

Se observa ca, utilizand proprietatea de intervertire a ordinii de integrare ıntr-o integralacu parametru, am reusit sa calculam o integrala greu de calculat pe alta cale.

280

Page 280: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

De fapt, aceasta este una dintre aplicatiile importante ale integralelor cu parametrii:calculul unor integrale greu de evaluat pe alta cale.

Deseori, integrale fara parametru sunt transformate ın integrale cu parametru la care,apoi, se aplica derivarea sau integrarea sub semnul integralei si se obtine o valoare maigenerala pentru integrala data. Prin particularizarea parametrului se obtine valoarea inte-gralei date.Exemplul 13.2.3. Sa calculam integrala

I =

1∫0

arctgxx√

1 − x2dx.

Se observa ca integrala nu este improprie deoarece limx→0

arctgxx√

1 − x2= 1. Consideram inte-

grala mai generala

I(λ) =

1∫0

arctgλxx√

1 − x2dx , λ ∈ [0,∞).

Derivam ın raport cu parametrul λ si avem

I ′(λ) =

1∫0

x

1 + λ2x2· 1x√

1 − x2dx =

1∫0

dx

(1 + λ2x2)√

1 − x2.

Facand schimbarea de variabila x = cos t, gasim

I ′(λ) =

π2∫

0

dt

1 + λ2 cos2 t=

1√1 + λ2

arctgtgt√1 + λ2

∣∣∣∣∣∣∣π2

0

=

2· 1√

1 + λ2.

De aici, integrand ın raport cu λ, gasim

I(λ) =π

2ln(λ+

√1 + λ2) + C.

Cum I(0) = 0, rezulta C = 0 si

I(λ) =π

2ln(λ+

√1 + λ2).

Pentru λ = 1 avemI(1) = I =

π

2ln(1 +

√2).

Observatia 13.2.3 In cazul cand integrala ce depinde de un parametru este improprie, celeexpuse ın acest paragraf raman valabile cu conditia ca integralele improprii cu care selucreaza sa fie convergente.

Exemplul 13.2.4. Sa consideram integrala

I(α) =

∞∫0

e−αxsinxx

dx , α ∈ (0,∞).

Scriem

I(λ) =

1∫0

e−αxsinxx

dx+

∞∫1

e−αxsinxx

dx.

281

Page 281: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Cum limx→0x>0

e−αxsinxx

= 1, rezulta ca prima integrala este convergenta.

Deoarece, pentru x ≥ 1 avem ∣∣∣∣e−αx sinxx

∣∣∣∣ ≤ e−αx

si∞∫1

e−αxdx = −e−αx

α

∣∣∣∣∣∣∞

1

=e−α

α,

deducem ca

∞∫1

e−αxsinxx

dx este convergenta. Prin urmare, I(α) este bine definita.

Aplicand teorema de derivare a integralelor cu parametru, avem:

I ′(α) =

∞∫0

e−αx(−x) sinxx

dx = −∞∫0

e−αx sinxdx,

care este o integrala improprie convergenta. Integrand prin parti, obtinem

I ′(α) = −1 − α2I ′(α),

de undeI ′(α) = − 1

1 + α2,

din care rezultaI(α) = −arctgα+ C.

Pentru determinarea constantei C calculam

limα→∞ I(α) = −π

2+ C,

pe de o parte, si din

|I(α)| ≤∞∫0

∣∣∣∣e−αx sinxx

∣∣∣∣ dx ≤∞∫0

e−αxdx =1α

limα→∞ I(α) = 0.

Avem deci C − π

2= 0, de unde C =

π

2. Rezulta ca I(α) =

π

2− arctgα. din acest rezultat,

prin trecere la limita cand α→ 0, α > 0, gasim

∞∫0

sinxx

dx =π

2.

13.3 Integrale euleriene. Functia Gamma. Functia Beta

In orice activitate exista anumite rezultate care trebuiesc studiate mai aprofundat si chiarretinute. Aceasta situatie se ıntalneste si ın clasa integralelor cu parametri si improprii.Exista anumite functii, numite uneori si functii speciale, definite prin integrale cu parametriila care apelam deseori ın calculele matematice.

Doua dintre aceste functii speciale sunt functiile Gamma si Beta, numite sub un genericcomun integrale euleriene.

282

Page 282: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Definitia 13.3.1 Functia Γ : (0,∞) → R definita prin

Γ(p) =

∞∫0

e−xxp−1dx

se numeste functia Gamma sau functia lui Euler de speta a doua, iar functia B : (0,∞) ×(0,∞) → R definita prin

B(p, q) =

1∫0

xp−1(1 − x)q−1dx

se numeste functia Beta sau functia lui Euler de speta ıntai.

Teorema 13.3.1 Functiile Γ si B sunt bine definite, adica integralele improprii care le de-finesc sunt convergente.

Demonstratie Sa aratam ca functia Γ este bine definita. Scriem Γ ca suma de douaintegrale, anume:

Γ(p) =

1∫0

e−xxp−1dx+

∞∫1

e−xxp−1dx.

Prima integrala I1 =

1∫0

e−xxp−1dx pentru p ≥ 1 nu este improprie. pentru p ∈ (0, 1) avem

limx→0x>0

xλe−xxp−1 = limx→0x>0

xλ+p−1e−x = 1

daca λ = 1 − p < 1, de unde, conform cu Corolarul 13.1.2, deducem ca integrala I1 esteconvergenta.

Convergenta integralei I2 =

∞∫1

e−xxp−1dx rezulta din Exemplul ??.

Din I1 si I2 convergente si faptul ca Γ(p) = I1 + I2, rezulta ca integrala improprie cedefineste functia Gamma este convergenta.

Utilizand acelasi Corolar 13.1.2 se arata imediat ca si functia B este bine definita.In continuare, vom prezenta cateva din proprietatile mai uzuale ale functiilor Γ si B.

Teorema 13.3.2 Pentru functia Γ sunt adevarate urmatoarele afirmatii:

1) Γ(1) = 1;

2) Γ(p+ 1) = pΓ(p);

3) Γ(n+ 1) = n! , n ∈ N;

4) Γ(p) = 2

∞∫0

e−t2 · t2p−1dt;

5) Γ(p)Γ(1 − p) =π

sin pπ, p ∈ (0, 1) (numita formula complementelor).

6) Γ(

12

)=

√π.

Demonstratie

283

Page 283: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

1) Γ(1) =

∞∫0

e−xdx = −e−x|∞0 = 1

2) Aplicam integrarea prin parti succesiv si avem

Γ(p+ 1) =

∞∫0

e−xxpdx = −(e−xxp)|∞0 +

+p

∞∫0

e−xxp−1dx = pΓ(p).

3) Se aplica ın mod repetat formula se recurenta de la 2):

Γ(n+ 1) = nΓ(n) = n(n− 1)Γ(n− 1) = ... =

= n(n− 1)...2 · 1 · Γ(1) = n!.

4) Efectuam schimbarea de variabila x = t2 si avem

Γ(p) = 2

∞∫0

e−t2(t2)p−1tdt = 2

∞∫0

e−t2t2p−1dt,

ceea ce trebuia demonstrat.

5) Demonstratia formulei complementelor este mai complicata si de aceea renuntam laprezentarea ei.

6) Daca luam ın formula complementelor p =12, atunci avem

Γ(

12

)· Γ(

12

)= π,

de unde Γ(

12

)=

√π.

Teorema 13.3.3 Pentru functia B sunt adevarate urmatoarele relatii:

1) B(p, q) =

∞∫0

yp−1

(1 + y)p+qdy;

2) B(p, q) =

1∫0

tp−1 + tq−1

(1 + t)p+qdt;

3) B(p, q) =Γ(p) · Γ(q)Γ(p+ q)

(formula de legatura dintre functiile B si Γ sau formula lui Dirich-

let);

4) B(p, q) = B(q, p) (proprietatea de simetrie);

5) B(p, q) =p− 1

p+ q − 1B(p− 1, q); p > 1, q > 0;

B(p, q) =q − 1

p+ q − 1B(p, q − 1), p > 0, q > 1.

284

Page 284: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Demonstratie

1) Facem schimbarea de variabila x =y

y + 1si avem

B(p, q) =

∞∫0

(y

y + 1

)p−1(1 − y

y + 1

)q−1dy

(y + 1)2=

=

∞∫0

yp−1

(1 + y)p+qdy.

2) Utilizand formula de la 1), putem scrie

B(p, q) =

1∫0

yp−1

(1 + y)p+qdy +

∞∫1

yp−1

(1 + y)p+qdy.

In integrala a doua facem schimbarea de variabila y = 1/t si obtinem formula de la 2).

3) In Γ(p) =

∞∫0

e−xxp−1dx facem schimbarea de variabila x = ty, t parametru real pozitiv si

obtinem

Γ(p) = tp∞∫0

e−tyyp−1dy.(13.2)

In acest rezultat ınlocuim pe t prin 1 + t si p prin p+ q si obtinem

Γ(p+ q)(1 + t)p+q

=

∞∫0

e−(1+t)yyp+q−1dy

Multiplicam ambii membri ai formulei precedente cu tp−1 si egalitatea obtinuta o in-tegram ın raport cu t de la 0 la ∞ si avem:

Γ(p+ q)

∞∫0

tp−1

(1 + t)p+qdt =

∞∫0

⎛⎝tp−1

∞∫0

e−(1+t)yyp+q−1dy

⎞⎠ dt =

=

∞∫0

e−yyq−1

⎛⎝yp ∞∫0

e−yttp−1dt

⎞⎠ dy.

Acum, conform cu 1) si cu (13.2), ın care schimbam pe t cu y, obtinem:

Γ(p+ q) ·B(p, q) =

∞∫0

e−yyq−1Γ(p)dy =

= Γ(p)

∞∫0

e−yyq−1dy = Γ(p) · Γ(q),

de unde gasim

B(p, q) =Γ(p) · Γ(q)Γ(p+ q)

,

adica ceea ce trebuia demonstrat.

285

Page 285: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

4) Rezulta imediat din 3).

5) Aceste formule rezulta din formula de legatura de la 3) si utilizand formula de recurentapentru Γ.

Observatia 13.3.1 Integralele euleriene sunt utile ın studiul multor functii neelementare.De aceea, valorile lor au fost tabelate.

Calculul multor integrale se reduce prin diferite transformari, la evaluarea functiilor Bsi Γ.

Exemplul 13.3.1. Sa aratam ca

∞∫0

e−x2dx =

√π

2(integrala lui Poisson).

Facem schimbarea de variabila x2 = t si avem∞∫0

e−x2dx =

12

∞∫0

e−tt−12 dt.

In integrala din membrul doi se recunoaste expresia functiei Γ pentru p− 1 = −12, adica

p =12. Atunci, putem scrie

∞∫0

e−x2dx =

12Γ(

12

)=

√π

2.

Exemplul 13.3.2. Sa calculam

I =

∞∫0

4√x

(1 + x)2dx.

Putem scrie

I =

∞∫0

x14

(1 + x)2dx,

care comparata cu exprimarea lui B data de 1) din Teorema 13.3.3, conduce la p− 1 =14

si

p+ q = 2, de unde p =54

si q =34.

Rezulta ca

I = B

(54,34

),

de unde, utilizand formula de legatura dintre B si Γ, obtinem

I =Γ(

54

)Γ(

34

)Γ(

54

+34

) =

14Γ(

14

)Γ(

34

)Γ(2)

=

=14Γ(

14

)Γ(

34

).

Acum, utilizand formula complementelor avem

I =14· π

sinπ

4

=π√

24

.

286

Page 286: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

In general, integralele de forma

I =

∞∫0

xm

(1 + xn)pdx , np > m+ 1

se calculeaza prin functiile B si Γ, facand schimbarea de variabila xn = t.Exemplul 13.3.3. Sa se reduca la functiile B si Γ calculul integralelor de forma

Im,n =

b∫a

(x− a)m(b− x)ndx,

m si n numere reale asa alese ıncat integrala sa fie convergenta.Facem schimbarea de variabila

x = (1 − t)a+ bt , t ∈ [0, 1]

si avem

Im,n = (b− a)m+n+1

1∫0

tm(1 − t)ndt =

= (b− a)m+n+1B(m+ 1, n+ 1) =

= (b− a)m+n+1 Γ(m+ 1)Γ(n+ 1)Γ(m+ n+ 2)

.

Exemplul 13.3.4. Sa calculam I =

1∫0

lnp(

1x

)dx, p ∈ R, p > −1

Facem schimbarea de variabila x = e−t si avem

I =

∞∫0

tpe−tdt = Γ(p+ 1).

13.4 Integrale duble

La integralele cu parametrii functia de integrat era de mai multe variabile, ınsa calcululintegralei se aplica numai la una din variabile, celelalte le consideram parametrii. Nepropunem sa extindem notiunea de integrala pentru functiile de mai multe variabile asaıncat ın evaluarea lor sa utilizam toate variabilele. Astfel de integrale le vom numi multiple.Daca f : D ⊆ Rn → R z = f(x1, ..., xn), atunci o integrala m-multipla o notam prin∫

...

∫D

f(x1, ..., xn)dx1dx2...dxn.

Daca n = 2, atunci spunem ca avem o integrala dubla, iar daca n = 3, atunci spunem caavem o integrala tripla.

Pentru comoditatea tratarii consideram numai cazul integralelor duble.Fie f : D ⊂ R2 → R, z = f(x, y) o functie de doua variabile. Mai presupunem ca D este un

domeniu marginit.Sa consideram o partitie (descompunere) arbitrara a domeniului D ın n subdomenii

D1,D2, ...,Dn cu Di �= ∅, i = 1, n si Di ∩Dj = ∅, i �= j, i, j = 1, n. O astfel de partitie a lui Dse numeste diviziune a lui D si o notam prin (Δn). Notam cu ai aria sub domeniului Di,i = 1, n si cu di diametrul lui Di (cea mai mare dintre distantele dintre doua puncte din Di),i = 1, n. Numarul ‖Δn‖ = max

i=1,ndi se numeste norma diviziunii (partitia) Δn.

287

Page 287: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

In fiecare subdomeniu Di al diviziunii (Δn) alegem un punct arbitrar de coordonate(ξi, ηi), i = 1, n, numite puncte intermediare.

Cu aceste precizari, introducem suma integrala

σ(Δn, ξ, η, f) =n∑i=1

f(ξi, ηi)ai.

Evident ca suma σ(Δn, ξ, η, t) depinde de diviziunea Δn, de punctele intermediare (ξi, ηi)si de functia f .

Definitia 13.4.1 Spunem ca functia f este integrabila pe domeniul D daca oricare ar fisirul de diviziuni (Δn)n≥1 cu sirul normelor (‖Δn‖)n≥2 tinde la zero si oricare ar fi puncteleintermediare (ξi, ηi) ∈ Di, i = 1, 2, ..., n sirul sumelor integrale (σ(Dn, ξ, η, f))n≥1 are o limitafinita.

Notam aceasta limita prin∫∫D

f(x, y)dxdy sau

∫∫D

f(x, y)da.

si o numim integrala duba a functiei f pe domeniul D.Asadar, putem scrie ∫∫

Df(x, y)dxdy = lim

n→∞‖Δn‖→0

n∑k=1

f(ξk, ηk)ak.

Ca si la functiile de o variabila reala se arata ca orice functie continua pe domeniul Deste integrabila.

Si proprietatile integralei duble sunt analoage cu cele ale integralei Riemann.

Teorema 13.4.1 (de liniaritate) Daca f, g : D ⊂ R2 → R sunt functii integrabile pe D, atuncioricare ar fi α, β ∈ R functia αf + βg este integrabila pe D si avem∫∫

D(αf(x, y) + βg(x, y))dxdy =

= α

∫∫D

f(x, y)dxdy + β

∫∫D

g(x, y)dxdy.

Aceasta proprietate ne spune ca integrala dubla pe domeniul D este o functionala liniara.Demonstratia teoremei este imediata.

Teorema 13.4.2 (de aditivitate fata de domeniu) Daca functia f : D ⊂ R2 → R este inte-grabila pe D, iar D = D1 ∪ D2, D1 ∩ D2 = ∅, atunci f este integrabila pe D1 si pe D2 siavem ∫∫

Df(x, y)dxdy =

∫∫D1

f(x, y)dxdy +

∫∫D2

f(x, y)dxdy.

Afirmatia din aceasta teorema se demonstreaza cu ajutorul definitiei.

Teorema 13.4.3 (de interpretare geometrica) Daca f : D ⊂ R2 → (0,∞) este integrabila,atunci avem ∫∫

Df(x, y)dxdy = V (f),

unde V (f) este volumul barei cilindrice marginita de domeniul D si suprafata data de z =f(x, y), avand generatoarele paralele cu axa Oz.

288

Page 288: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Pentru cazul particular f ≡ 1, avem∫∫D

dy = aria(D).

Teorema 13.4.4 (de semn) Daca f : D ⊂ R2 → (0,∞), atunci∫∫D

f(x, y)dxdy ≥ 0.

Proprietatea din enunt rezulta imediat din nenegativitatea sumelor integrale.

Teorema 13.4.5 (de monotonie) Daca f, g : D ⊂ R2 → R sunt integrabile pe D si f ≤ g pe D,atunci ∫∫

Df(x, y)dxdy ≤

∫∫D

g(x, y)dxdy.

Pentru demonstratie se aplica functiei g − f ≥ 0 proprietatea de semn.

Teorema 13.4.6 (modulului) Daca functia f : D ⊂ R2 → R este integrabila pe D si atunci |f |este integrabila pe D si avem∣∣∣∣∣∣

∫∫D

f(x, y)dxdy

∣∣∣∣∣∣ ≤∫∫D

|f(x, y)|dxdy.

Formula din teorema rezulta imediat din inegalitatea −|f | ≤ f ≤ |f |.

Teorema 13.4.7 (de medie) Daca f, g : D ⊂ R2 → R sunt integrabile pe D, m = inf(x,y)∈D

f(x, y),

M = sup(x,y)∈D

f(x, y) si g are semn constant pe D, atunci exista un numar real μ ∈ [m,M ] asa

ıncat ∫∫D

f(x, y)d(x, y)dxdy = μ

∫∫D

g(x, y)dxdy,

numita formula de medie generalizata pentru integrala dubla.

Demonstratie Consideram g ≥ 0 pe D. Atunci din m ≤ f(x, y) ≤ M rezulta mg(x, y) ≤f(x, y)g(x, y) ≤ Mg(x, y). Utilizand proprietatea de monotonie a integralei duble, putemscrie:

m

∫∫D

g(x, y)dxdy ≤∫∫D

f(x, y)g(x, y)dxdy ≤

≤M

∫∫D

g(x, y)dxdy = 0.

(13.3)

Daca

∫∫D

g(x, y)dxdy = 0, atunci

∫∫D

f(x, y)g(x, y)dxdy = 0 si putem alege orice μ ∈ [m,M ]

ca sa avem formula din Teorema de medie.

289

Page 289: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Daca

∫∫D

g(x, y)dxdy �= 0, atunci prin ımpartire cu acest numar ın (13.3) avem

m ≤

∫∫D

f(x, y)g(x, y)dxdy∫∫D

g(x, y)dxdy

≤M,

de unde rezulta ca putem lua

μ =

∫∫D

f(x, y)g(x, y)dxdy∫∫D

g(x, y)dxdy

.

Cazuri particulare13.4.1 Daca f este continua pe D, atunci exista un punct (ξ, η) ∈ D asa ıncat μ = f(ξ, η).13.4.2 Daca g ≡ 1 pe D, atunci formula de medie ia forma∫∫

Df(x, y)dxdy = μ aria(D),

numita formula de medie pentru integrala dubla.Calculul integralelor duble se reduce la calculul a doua integrale definite (Riemann),

succesive. pentru ınceput sa consideram cazul unui domeniu dreptunghiular.

Teorema 13.4.8 Daca f : [a, b] × [c, d] → R este integrabila pe dreptunghiul D = [a, b] × [c, d] sidaca pentru orice x constant din intervalul [a, b], functia f este integrabila ın raport cu y,adica exista

F (x) =

d∫c

f(x, y)dy , x ∈ [a, b],

atunci avem ∫∫D

f(x, y)dxdy =

b∫a

dx

d∫c

f(x, y)dy.

Demonstratie Vom considera diviziunile Dx si Dy, respectiv pentru intervalele [a, b] si[c, d], definite prin

Dx : a = x0 < x1 < ... < xm = bDy : c = y0 < y1 < ... < yn = d

si avand normele‖Dx‖ = max

i=i,m(xi − xi−1)

respectiv‖Dy‖ = max

j=1,n(yj − yj−1).

Cele doua diviziuni Dx si Dy determina pe D diviziunea D data de subdreptunghiurile

Di,j = {(x, y) ∈ D| xi−1 ≤ x ≤ xi, yj−1 ≤ y ≤ yj} ,

290

Page 290: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

i = 1,m, j = 1, n si avand norma ‖D‖ data de maxi=1,mj=a,n

di,j, de unde dij este diametrul dreptun-

ghiului Dij.Se observa imediat ca daca ‖Dx‖ → 0 si ‖Dy‖ → 0, atunci ‖D‖ → 0 si reciproc.Alegem punctele intermediare (ξi, ηj) ∈ Dij, ξi ∈ [xi−1, xi], ηj ∈ [yj−1, yj ], i = 1,m, j = 1, n.Deoarece f este integrabila pe D, iar functia F exista si este integrabila pe [a, b], avem

succesiv ∫∫D

f(x, y)dxdy = lim‖D‖→0

m∑i=1

n∑j=1

f(ξi, ηj)ariaDij =

= lim‖Dx‖→0‖Dy‖→0

m∑i=1

n∑j=1

f(ξi, ηj)(xi − xi−1)(yj − yj−1) =

= lim‖Dx‖→0

m∑i=1

(xi − xi−1)

⎛⎝ lim‖Dy‖→0

n∑j=1

f(ξi, ηj)(yj − yj−1)

⎞⎠ =

= lim‖Dx‖→0

m∑i=1

(xi − xi−1)

d∫c

f(ξi, y)dy =

= lim‖Dx‖→0

m∑i=1

F (ξi)(xi − xi−1) =∫ b

a

F (x)dx =

=

b∫a

dx

d∫c

f(x, y)dy,

ceea ce trebuia demonstrat.Deseori, integrala pe dreptunghiul D = [a, b] × [c, d] se noteaza prin

b∫a

d∫c

f(x, y)dxdy.

Asadar, formula din enuntul Teoremei ia forma

b∫a

d∫c

f(x, y)dxdy =

b∫a

dx

d∫c

f(x, y)dy.

In mod analog, se arata ca avem si formula

b∫a

d∫c

f(x, y) =

d∫c

dy

b∫a

f(x, y)dx.

Exemplul 13.4.1. Sa calculam

I =

1∫0

2∫1

dxdy

(x+ y + 1)2.

Avem

I =

1∫0

dx

2∫1

dy

(x+ y + 1)2=

1∫0

dx

(− 1x+ y + 1

)∣∣∣∣∣∣2

1

=

291

Page 291: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

=

1∫0

(− 1x+ 3

+1

x+ 2

)dx =

= − ln(x+ 3)|10 + ln(x+ 2)|10 =

= − ln 4 + ln 3 + ln 3 − ln 2 = ln98.

Sa trecem acum la calculul integralelor duble pe un domeniu D regulat ın raport cu unadin axele de coordonate .

Definitia 13.4.2 Spunem ca un domeniu D este regulat ın raport cu una din axele de coor-donate daca orice paralela la una din axele de coordonate ıntalneste curba care marginestedomeniul ın cel mult doua puncte.

Sa consideram ca domeniul D este regulat ın raport cu axa Oy (fig 13.4.1). Un astfel dedomeniu se descrie astfel:

D = {(x, y)| a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}.

d

c

a

y= (x)�

y= (x)�

0 b x

y

Fig. 13.4.1

Teorema 13.4.9 Daca functia f este definita si integrabila pe domeniul D = {(x, y)| a ≤ x ≤b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} si pentru fiecare x ∈ [a, b] exista integrala

F (x) =

ψ(x)∫ϕ(x)

f(x, y)dy,

atunci are loc formula ∫∫D

f(x, y)dxdy =

b∫a

dx

ψ(x)∫ϕ(x)

f(x, y)dy.

Demonstratie Folosim Teorema 13.4.8. Consideram dreptele paralele cu Ox, y = c siy = d, astfel ca c ≤ ϕ(x) si d ≥ ψ(x), x ∈ [a, b] (Fig. 13.4.1) si notam cu Δ dreptunghiul[a, b] × [c, d]. Introducem functia auxiliara

g : Δ → R , g(x, y) ={f(x, y) ,daca (x, y) ∈ D0 ,daca (x, y) ∈ Δ −D.

Functia g este integrabila pe dreptunghiul Δ fiind integrabila atat pe D, cat si pe domeniulΔ −D, unde este nula.

292

Page 292: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Folosind proprietatea de aditivitate a integralei duble fata de domeniu (Teorema 13.4.2),putem scrie ∫∫

Dg(x, y)dxdy =∫∫

Dg(x, y)dxdy +

∫∫Δ −D

g(x, y)dxdy =

=

∫∫D

f(x, y)dxdy,

(13.4)

deoarece

∫∫Δ −D

g(x, y)dxdy = 0.

Dar, integrala

∫∫D

g(x, y)dxdy se poate calcula folosind si formula din Teorema 13.4.8.

Avem ∫∫D

g(x, y)dxdy =b∫a

d∫c

g(x, y)dxdy =

=

b∫a

dx

d∫c

g(x, y)dy =

b∫a

dx

⎛⎜⎝ ϕ(x)∫c

g(x, y)dy+

+

ψ(x)∫ϕ(x)

g(x, y) +

d∫ψ(x)

g(x, y)dy

⎞⎟⎠ =

=

b∫a

dx

ψ(x)∫ϕ(x)

f(x, y)dy

(13.5)

deoareceϕ(x)∫c

g(x, y)dy = 0 si

d∫ψ(x)

g(x, y)dy = 0.

Din (13.4) si (13.5) rezulta formula din enuntul Teoremei 13.4.9.Daca domeniul D este regulat ın raport cu axa Ox, adica el are forma D =

{(x, y)‖ c ≤ y ≤ d, ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y)} atunci avem formula∫∫D

f(x, y)dxdy =

d∫c

dy

ψ(y)∫ϕ(y)

f(x, y)dx.

Exemplul 13.4.2. Sa calculam integrala dubla

I =

∫∫D

(3x− y + 2)dxdy

daca D este domeniul marginit de curbele y = x si y = x2.Examinam domeniul D (Fig. 13.4.2) si observam ca el este situat ıntre dreapta y = x si

parabola y = x2 si punctele O(◦, ◦) si A(1, 1).

293

Page 293: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

1

1 A(1, 1)

y=x

y=x

2

0 x

y

Fig. 13.4.2

D este regulat ın raport cu axa Oy si avem

D = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x}.

Atunci putem scrie succesiv:

I =

1∫0

dx

x∫x2

(3x− y + 2)dy =

=

1∫0

(3xy − y2

2+ 2y

)∣∣∣∣∣∣x

x2

dx =

=

1∫0

(3x2 − x2

2+ 2x− 3x3 +

x4

2− 2x2

)dx =

=

1∫0

(x4

2− 3x3 +

x2

2+ 2x

)dx =

3160.

Observatia 13.4.1 Daca avem de calculat o integrala dubla pe un domeniu arbitrar, atunciıncercam sa gasim o partitie a sa ın domenii regulate si apoi aplicam proprietatea deaditivitate fata de domeniu.

Ca si ın cazul integralelor Riemann, calculul unor integrale duble se poate face cu oschimbare de variabile.

Se demonstreaza ([2], [3]) ca are loc urmatoarea teorema de schimbare de variabile:

Teorema 13.4.10 Fie f : D ⊂ R2 → R o functie integrabila pe D si fie transformare x =ϕ(u, v), y = ψ(u, v) a domeniului Δ ⊂ R2 ın domeniul D. Daca functiile ϕ si ψ au derivatepartiale de ordinul ıntai continue pe domeniul Δ, iar determinantul functional (jacobianultransformarii)

J =D(x, y)D(u, v)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ(u, v)∂u

∂ϕ(u, v)∂v

∂ψ(u, v)∂u

∂ψ(u, v)∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣ �= 0,

atunci are loc formula de schimbare de variabile ın integrala dubla∫∫D

f(x, y)dxdy =

∫∫Δ

f(ϕ(u, v), ψ(u, v))|J |dudv.

294

Page 294: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

O schimbare de variabile des utilizata este cea polara:

x = r cos θ , y = r sin θ,

prin care se trece de la coordonatele carteziene (x, y) la cele polare (r, θ).Geometric (Fig. 13.4.3), daca avem punctul A(x, y) din planul xOy, atunci coordonatele

polare ale lui A sunt date de distanta de la origine la A, adica r =√x2 + y2, si de unghiul

pe care ıl face axa Ox cu directia OA, adica tgθ =y

x.

A(x, y)

0 x

y

r

Fig. 13.4.3

Jacobianul transformarii polare este

J =D(x, y)D(r, θ)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂r

∂x

∂θ

∂y

∂r

∂y

∂θ

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ cos θ −r sin θ

sin θ r cos θ

∣∣∣∣∣ = r.

Exemplul 13.4.3. Sa calculam integrala dubla

I =

∫∫D

dxdy√1 + x2 + y2

,

unde D = {(x, y) ∈ R| x2 + y2 ≤ a2, a > 0, x ≥ 0, y ≥ 0}.Se observa ca D este marginit de sfertul de cerc x2 +y2 = r2 din primul cadran si de axele

Ox si Oy (Fig. 13.4.4).

0 xa�

y

r

Fig. 13.4.4

Utilizam coordonatele polare, prin care domeniul D este transformat ın dreptunghiul

Δ ={

(r, θ)| 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ π

2

},

295

Page 295: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

si avem

I =

∫∫Δ

1√1 + r2

rdrdθ =

a∫0

π2∫

0

rdrdθ√1 + r2

=

=

a∫0

rdr√1 + r2

dr

π2∫

0

dθ =π

2

√1 + r2

∣∣∣∣∣∣∣a

0

=

2(√

1 + a2 − 1).

Observatia 13.4.2 Prin analogie cu integralele improprii din functiile de o variabila reala,se pot introduce si integrale duble (ın general, multiple ) improprii.

Observatia 13.4.3 In domeniul economic integralele duble apar deseori ın studiul modelelormatematico - economice descrise prin variabile aleatoare bidimensionale.

296

Page 296: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

13.5 Test de verificare a cunostintelor nr. 12

1. Definiti urmatoarele notiuni:

a) Integrala improprie de prima speta;

b) Functiile Beta si Gamma ale lui Euler;

c) Integrala dubla.

2. a) Studiati convergenta integralei

12∫

0

dx

x · ln2 x,

b) Studiati convergenta integralei

∞∫1

dx

1 + x4,

c) Studiati convergenta integralei I =

1∫0

dx3√

1 − x4,

d) Studiati convergenta integralei

I=

∞∫1

| sinx|xw

dx , w>1.

3. Sa se calculeze integrala I(a) =

∞∫0

1 − e−ax

x · ex dx care depinde de parametrul real a > −1.

4. Calculati integrala

I(b) =

π2∫

0

1sinx

ln1 + b sinx1 − b sinx

dx cu b ∈ R.

5. a) Calculati integrala:

I(b) =

π2∫

0

ln(cos2 x+ b2 sin2 x)dx

care depinde de parametrul real 0 < b <∞.

b) Calculati I(y, k) =

∞∫0

1 − cos yxx

· e−kxdx cu y ≥ 0, k > 0.

6. Calculati cu ajutorul integralelor euleriene:

a) I =

1∫0

√x− x2dx;

b) I =

∞∫0

x14

(1 + x)2dx;

c) I =

∞∫0

x

1 + x3dx;

297

Page 297: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

d) I =

∞∫0

x2

(1 + x4)2.

7. Calculati:

a) I =

∫∫D

dxdy

(x+ y)2, unde D este dreptunghiul [3, 4] × [1, 2];

b) I =

1∫0

1∫0

ydxdy

(1 + x2 + y2)32;

c) I =

1∫0

0∫−1

x exydxdy.

8. a) Calculati I =

∫∫D

(x2 + y)dxdy unde D este domeniul marginit de parabolele y = x2

si y2 = x.

b) Calculati I =

∫∫D

x2

y2dxdy unde D este marginit de dreptele x = 2, y = x si hiperbola

xy = 1.

9. Calculati I =

∫∫D

xydxdy, unde D este sfertul de cerc x2 + y2 ≤ R2 situat ın primul

cadran.

10. Calculati I =

∫∫D

x2 sin(xy)y

dxdy, unde D este domeniul marginit de parabolele x2 = y,

x2 = 2y, y2 =π

2x, y2 = πx.

298

Page 298: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Indicatii si raspunsuri Test nr. 12

2. a) integrala este convergenta.

b) Din limx→∞x

w · 11 + x4

= 1 pentru w = 4 > 1 se deduce convergenta integralei.

c) Din limx→1x<1

[(1 − x)w · 1

3√

1 − x4

] w = 13 < 1

======= 2−23 se deduce convergenta integralei.

d) Folosind| sinx|xw

≤ 1xw

si

∞∫1

dx

xwconverge pentru w > 1 se deduce convergenta inte-

gralei.

3. I(a) = ln(a+ 1).

4. I(b) = π · arcsin (b).

5. a) I(b) = π ln(b+ 1

2

).

b) I(y, k) =12

ln(

1 +y2

π2

).

6. a) I = β

(32,32

)=π

8.

b) I = β

(54,34

)=π√

24

.

c) I =13β

(23,13

)=

2π3√

3.

d) I =14β

(34,54

)=π√

216

.

7. a) I =

2∫1

dx

4∫3

dx

(x+ y)2= ln

2524

.

b) I =

1∫0

dx

1∫0

ydx

(1 + x2 + y2)32

= ln

[(1 +

√2)√

21 +

√3

].

8. a) I =

1∫0

⎛⎜⎝√x∫

x2

(x2 + y)dy

⎞⎟⎠ dx =33100

.

b) I =

2∫1

⎛⎜⎝ x∫1x

x2

y2dy

⎞⎟⎠ dx =94.

9. Folosind coordonatele polare se obtine:

I =

π2∫

0

R∫0

ρ3 cos θ · sin θ · dρdθ =R4

8.

10. I =13

2∫1

π∫π2

u · sin(uv) · dudv = − 23π

unde x2 = u · y cu 1 ≤ u ≤ 2 si y2 = vx cuπ

2≤ v ≤ π.

299

Page 299: MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS ...

Bibliografia aferenta capitolului:[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate ın economie - Volumul II,

Editura ULB, Sibiu, 2002.[2] Nicolescu, M., Dinculeanu, N., Marcus, S., Manual de analiza matematica, Vol.I,

1962, Vol.II, 1964, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti.[3] Stanasila, O., Analiza matematica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucresti, 1981.

300