Matematici Aplicate in Economie

5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 1/38

UNIVERSITATEA “SPIRU HARET” CONSTANŢAFACULTATEA MANAGEMENT FINANCIAR CONTABILMATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - GRILESpecializările: CIG, FBLect. univ. drd. Antoneta Jeflea

1. Spaţiile vectoriale sunt cazuri particulare de:a) mulţimi de funcţii b) grupuri abelienec) mulţimi de izomorfisme

2. Spaţiile vectoriale au:a) aceeaşi dimensiune b) acelaşi număr de elementec) aceleaşi tipuri de subspaţii

3. Valorile proprii ale unui operator sunt soluţii:a) ale ecuaţiei 0)]det[( =− I A λ b) ale unei ecuaţii de gradul 2c) ale unei ecuaţii diferenţiale

4. La o PPL condiţiile de pozitivitate sunt valabile pentru:a) o parte din necunoscute b) nici o necunoscută c) toate necunoscutele

5. Un şir de numere este:a) o mulţime ordonată natural b) un spaţiu bidimensionalc) o funcţie

6. Limita unei funcţii într-un punct se calculează dacă punctul este:a) din afara domeniului de definiţie b) punct de acumulare al domeniului de definiţiec) punct aderent al domeniului de definiţie

7. În 3 R se consider ă o bază: { }.)3,2,1(),0,1,1(),0,1,1( 321 ==== eee B Scrieţi matricea de

trecere de la baza canonică a spaţiului 3 R la această bază B.

a)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ==

111

321

001

],[ B E M C



b)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ==

311

201

101

],[ B E M C

c)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

==300201

111

],[ B E M C

8. Precizaţi dacă următoarea definiţie: “Un sistem de vectori { } I ii

b B ∈= formează o bază

a spaţiului vectorial V dacă:i) B este sistem de vectori liniar dependenţiii) B este sistem de generatori pentru V” este:

a) corectă b) incorectă

c) incompletă

9. Să se determine vectorul normat din 4 R ortogonal vectorilor:)3,1,1,2(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 321 =−−== vvv

a) )0,2

1,

2

1,0( ±= μv

b) )0,2

1,

2

1,0(=v

c) )0,

2

1,

2

1,0( −−=v

10. Criteriul general al lui Cauchy “Seria ∑∞

=1n

na este convergentă dacă şi numai dacă

N n ∈∀>∃ ε ε )(0)( astfel încât N pnnaaa pnnn ∈∀≥∀>+++ +++ )()(...21 ε ε ” este:

a) corect b) incompletc) incorect

11. Seria ∑≥1

1

n nα este convergentă dacă şi numai dacă:

a) 1<α b) 1>α c) 1=α

12. Criteriul raportului al lui D’Alembert: “Fie seria 0;1

≥∑∞

=n

n

n aa şi fie1

lim+

∞→=

n

n

n a

al

Dacă ⇒< 1l seria este convergentă Dacă ⇒> 1l seria este divergentă



Dacă ⇒= 1l nu se poate stabili natura seriei pe baza acestui criteriu” este:

a) incorect b) corectc) incomplet

13. Operatorul Laplace este:a) operator de derivate par ţiale de ordin I b) operator de derivate par ţiale de ordin IIc) operator de derivate par ţiale de ordin III

14. Diferenţiala funcţiei y xe y x f += 2),( este:

a) dyedxedf y x y x ++ += 22

b) dyedxedf y x y x ++ += 222

c) dyedxedf y x y x ++ += 22 22

15. Care este valoarea integralei Euler – Poisson ∫ ∞

−

0

2

dxex ?

a) π =∫ ∞

−

0

2

dxex

b) π =∫ ∞

−

0

2

dxe x

c)

20

2 π =∫

∞− dxe x

16. Să se studieze natura seriei: ∑∞

=+

−

112

13

3

2

nn

n

a) Seria este divergentă b) Seria este convergentă c) Seria este absolut convergentă

17. Să se calculeze integrala: dx x x I ∫ −=1

0

2

a) 8

π

= I

b)4

π = I

c)2

π = I



18. Să se calculeze integrala dublă: ∫ ∫ =a

xa

ydydx I sin

2

0

π

a)2

a I

π =

b)2

3

a I π =

c)2

2a I

π =

19. Să se integreze ecuaţia diferenţială:

011 22

=+

++ x

dx

y

dy

a) C arctgxarctgy =+ b) C arctgxarctgy =+2

c) C arctgxarctgy =+ 2

20. Să se calculeze suma seriei de termen general:

1,)13)(23(

1≥

+−= n

nnu

n

a)3

5=S

b)3

1=S

c) 3

2

=S

21. Un sistem de vectori care conţine vectorul nul:a) este sistem de generatori b) este bază c) nu este liniar independent

22. Orice spaţiu metric este:a) spaţiu compact b) spaţiu normatc) spaţiu Euclidian

23. În metoda Gauss – Jordan pivotul se alege:a) un element pozitiv b) un element nenulc) un element negativ

24. Unei valori proprii îi corespunde:



a) un unic vector propriu b) exact trei vectori propriic) o infinitate de vectori proprii

25. Criteriul de convergenţă al funcţiilor raţionale se refer ă la:

a)

rapoarte de numere raţionale b) raport de polinoamec) raport de funcţii trigonometrice

26. În programul optim necunoscutele secundare se completează cu:a) elemente negative b) zerouric) elemente pozitive

27. În spaţiul Euclidian ),,,( 3 >< R unde ><, este produsul scalar usual, se consider ă

vectorii ).2,3,0(),3,2,1( 21 =−= vv Care din afirmaţiile de mai jos este adevărată?

a) vectorii sunt ortogonali b) vectorii nu sunt ortogonalic) vectorii sunt ortonormaţi

28. Fie operatorul liniar 33: R RT → ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++=

1

321

1

)(

x

x x x

x

xT . Să se calculeze )(uT unde

)3,2,1(=u

a) )1,0,1()( =uT b) )1,3,1()( =uT c) )1,6,1()( =uT

29.Un punct interior lui A, R R A f →⊂ 2: în care ),( y x f este diferenţiabilă, iar diferenţiala sa este nulă se numeşte:

a) punct de maxim local b) punct de extrem localc) punct staţionar

30. Stabiliţi care afirmaţie este adevărată:

a) O serie convergentă este întotdeauna absolut convergentă b) O serie convergentă nu este întotdeauna absolut convergentă c) O serie absolut convergentă nu este întotdeauna convergentă

31. Să se stabilească natura seriei de termen general: 1,1

3

2

≥

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

= n

n

nu

nn



a) Seria este divergentă b) Seria este convergentă c) Seria este absolut convergentă

32. Se consider ă operatorii:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−

+

=→

21

21

1

21

42

4

3

2

)(,:

x x

x x

x x x

xU R RU unde 2

2

1 R

x

x x ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+=→

21

22122 2

)(,: x x

x x xT R RT unde 2

2

1 R

x

x x ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

Care din următoarele afirmaţii este adevărată?a) U este operator liniar şi T nu este operator liniar b) ambii operatori sunt liniari

c) U nu este operator liniar şi T este operator liniar

33. Criteriul r ădăcinii al lui Cauchy “Fie seria 0;1

≥∑∞

=n

n

naa şi fie n

nn

al∞→

= lim

Dacă ⇒> 1l seria este convergentă Dacă ⇒< 1l seria este divergentă Dacă ⇒= 1l nu se poate stabili natura seriei pe baza acestui criteriu” este:

a) incomplet b) corectc) incorect

34. Matricea hessiană pentru o funcţie reală de n variabile reale conţine derivate par ţiale:a) de ordinul unu b) de ordinul doic) de ordinul n

35. Să se calculeze suma seriei de termen general 1,2

12≥

−= n

nu

nn

a) 4=S b) 3=S

c) 7=S

36. Să se integreze ecuaţia diferenţială 1)0(,' == y xy y

a) 13

1 3 += x y

b) 13

13 += x y



c) 13

1+= x y

37. Să se calculeze integrala ∫ −a

dx xa x0

222

a)16

4

aπ

b)16

3 4aπ

c)16

7 4aπ

38. Relaţia de recurenţă a funcţiei Γ este:

a) )()1( 22 p p p Γ⋅=+Γ

b) )()1( p p p Γ⋅=+Γ c) )()1( 22 p p p Γ⋅=+Γ

39. Diferenţiala de ordinul II pentru funcţia xyz z y x f =),,( este:

a) zdxdz ydydz xdxdy f d 2222 ++=

b) xdxdz zdydz ydxdy f d 2222 ++=

c) ydxdz xdydz zdxdy f d 2222 ++=

40. Să se calculeze: ∫∫ + D

dxdy y x )2( unde ]5,2[]4,1[ ×= D

a)2

171

b)2

91

c)2

47

41. În forma standard a unei PPL sistemul de restricţii este format:a) din ecuaţii b) din inecuaţiic) şi din ecuaţii şi din inecuaţii

42. În metoda Gauss – Jordan elementele de pe linia pivotului se:a) înmulţesc cu pivotul b) se impart la pivotc) se adună cu pivotul



43. Spectrul unui operator este:a) o mulţime de funcţii b) mulţimea valorilor proprii ale operatoruluic) mulţime de inegrale nedefinite

44. Criteriul lui Raabe – Duhamel este: “Fie seria 0;1

>∑∞

=n

n

n aa şi fie ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −= +

∞→1lim 1

n

n

n aanl

Dacă ⇒> 1l seria este convergentă Dacă ⇒< 1l seria este divergentă Dacă ⇒= 1l nu se poate stabili natura seriei pe baza acestui criteriu”


45. Duala problemei de programare liniar ă

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤+

≤+≤+

+=

0

34157

12931062

54(min)

2,1

21

21

21

21

x

x x

x x

x x

x x f

este:

a)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=≥

⎩⎨⎧

≤++

≤++

++=

3,1,0

51596

4341210

732(max)

321

321

321

i y

y y y

y y y

y y yg

i

b)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=≥

⎩⎨⎧

≤++

≤++

++=

3,1,0

5341210

4732

1596(max)

321

321

321

i y

y y y

y y y

y y yg

i

c)

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=≥⎩⎨⎧

≤++

≤++

++=

3,1,051596

4732

341210(max)

321

321

321

i y

y y y

y y y

y y yg

i

46. Criteriul de intrare în bază de la algoritmul Simplex este dat de:a) metoda Gauss – Jordan b) semnul diferenţelor jΔ

c) vectorul cu j z negative



47. Punctele lui A care nu sunt puncte de acumulare pentru mulţimea A se numesc:

a) punct aderent al mulţimii A b) punct interior mulţimii Ac) punct izolat al lui A

48. Operatorul 32: R RU → are matricea corespunzătoare bazelor unitare

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−=

130

612 A . Să se calculeze )(vU unde ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=4

5v

a)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=

26

17

10

)(vU

b)

⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜

⎝

⎛ −=

26

17

10

)(vU

c)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

−

=

26

17

10

)(vU

49. Fie { }21 ,vv B = bază în 2 R unde: .1

4,

1

521 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = vv Exprimaţi vectorul ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

2

1v în

această bază.

a) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = 9

7 Bv

b) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=9

7 Bv

c) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−=

9

7 B

v

50. Limita unei funcţii se calculează într-un punct care este:

a) din domeniul de definiţie

b) punct de acumulare al domeniului de definiţiec) punct aderent al domeniului de definiţie

51. Diferenţiala de ordinul I pentru funcţia )ln(),,( czbyax z y x f ++= este:

a) dzczbyax

cdy

czbyax

bdx

czbyax

adf

+++

+++

++=



b) dzczbyax

cdy

czbyax

bdx

czbyax

adf

+++

+++

++=

222

c) dzczbyax

czdy

czbyax

bydx

czbyax

axdf

+++

+++

++=

52. Să se studieze natura seriei ∑∞

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

+++

13

333

4

...21

n

n

n

n

n

a) Seria este absolut convergentă b) Seria este divergentă c) Seria este convergentă

53. În algoritmul Simplex, programul optim se află din:a) produsul scalar dintre coeficienţii bazici şi soluţia de bază b) împăr ţind coloanele la liniic) înmulţind coloanele cu liniile

54. Criteriul necesar de convergenţă: “Dacă ∑∞

=1n

na este o serie convergentă, atunci

∞=∞→ n

nalim ” este:

a) corect b) incorectc) incomplet

55. Formula complementelor este:

a) ( ) ( ))sin(

1π

π

⋅=−Γ⋅Γ

p p p

b) ( ) ( ))sin(

sin1

π

π

⋅=+Γ⋅Γ

p p p

c) ( ) ( ))sin(

12

π

π

⋅=−Γ⋅Γ

p p p

56. Criteriul lui Leibnitz: “Fie seria 0,)1(1

>−∑∞

=n

n

n

n aa . Dacă şirul )( na este şir

descrescător convergent către zero, atunci seia este convergentă” este:

a) corect b) incorectc) incomplet



57. Să se integreze ecuaţia diferenţială omogenă: 0)1(,22

' =+

= y xy

x y y

a) x x

yln2

2 2

2

=

b) x x y ln42 2

2

=

c) x x

yln

2 2

2

=

58. Să se studieze convergenţa integralei: ∫ ∞− −

1

3

2

8dx

x

x

a) Integrala este convergentă b) Integrala este divergentă c) Integrala este absolut convergentă

59. Forma generală a ecuaţiilor liniare de ordinul întâi este:

a) 0)()()( ' =++ xC y x B y x A

b) 0)()()( 2 =++ xC y x B y x A

c) 0)()()( '" =++ xC y x B y x A

60. Funcţia beta are proprietatea:

a) ),())(1(

)1,1( q p Bq pq p

pqq p B ⋅

−−+=++

b) ),())(1(

)1,1( q p Bq pq p

pqq p B ⋅

+−+=++

c) ),())(1(

)1,1( q p Bq pq p

pqq p B ⋅

+++=++

61. Metoda multiplicatorilor lui Lagrange se aplică funcţiilor reale de mai multe variabilereale pentru determinarea:

a) punctelor de extrem liber

b) punctelor de extrem condiţionatc) punctelor staţionare

62. Criteriul de ieşire din bază în algoritmul Simplex este dat de:a) minimul rapoartelor componentelor soluţiei de bază şi ale vectorului care

intr ă b) metoda Gauss-Jordanc) lema substituţiei



63. Spaţiile vectoriale au:

a) acelaşi număr de elemente b) aceleaşi tipuri de subspaţiic) aceeaşi dimensiune

64. Se numeşte funcţie gama integrala:

a) ∫ ∞

−−=Γ0

1)( dxe x p x p

b) ∫ ∞

−+=Γ0

1)( dxe x p x p

c) ∫ ∞

−=Γ0

1)( dxe x p x p

65. Vectorii x şi y se numesc ortogonali dacă:

a) 0, >≠< y x b) 0, >=< y x c) 1, >=< y x

66. O funcţie Y X T →: se numeşte operator liniar dacă:K X y x ∈∈∀ β α ,,,)( )()()( yT xT y xT ⋅+⋅=+ β α β α

a) Definiţia este corectă b) Definiţia este incorectă c) Definiţia este incompletă

67. Fie înn

R vectorii z y x ,, liniar independenţi. Care este natura sistemului de vectori{ }?,,23 y x y x z y x −+++

a) Vectorii sunt ortogonali b) Vectorii sunt liniar independenţic) Vectorii sunt liniar dependenţi


=

−

1

12

n p

n

n

a) Seria este convergentă b) Seria este absolut convergentă

c) Seria este divergentă

69. Fie .),,( 32122

21321 x x x x x x x x f ++= Să se calculeze:

321

;; x

f

x

f

x

f

∂∂

∂∂

∂∂

a) 213

3122

3211

;2;2 x x x

f x x x

x

f x x x

x

f =

∂∂

+=∂∂

+=∂∂



b) 313

212

3121

;;2 x x x

f x x

x

f x x x

x

f =

∂∂

=∂∂

+=∂∂

c) 3213

312

2131

2;;2 x x x x

f x x

x

f x x x

x

f +=

∂∂

=∂∂

+=∂∂

70. Funcţia RV V →×>< :, se numeşte produs scalar pe mulţimea V dacă:1) V y x x y y x ∈∀>>=<< ,)(,,

2) V y x y x y x y x x ∈∀><+>>=<+< ,)(,,, '' Definiţia este:

a) incorectă b) incompletă c) corectă

71. Să se determine valorile proprii associate aplicaţiei liniare 22: R RT → cu).2,2(),( 212121 vvvvvvT ++= Valorile proprii sunt:

a) 3;1 21 −=−= λ λ

b) 3;1 21 −== λ λ

c) 3;1 21 =−= λ λ

72. Dacă sistemul de vectori { }nvvS ,...,1= este liniar independent, atunci orice subsistem

al său este:a) liniar dependent b) liniar independent

c)

sistem de generatori73. Algoritmul de rezolvare a problemelor de transport are:

a) două etape b) trei etapec) patru etape

74. Ecuaţiile diferenţiale cu variabile separabile sunt de forma:a) )()('

yg x f y += cu 0)( ≠ yg

b))(

)('

yg

x f y = cu 0)( ≠ yg

c) )()(' yg x f y ⋅= cu 0)( ≠ yg

75. Unei variabile nenegative din modelul primal îi va corespunde în modelul dual:a) restricţie egalitate b) restricţie concordantă c) restricţie neconcordantă



76. Seria armonică alternată ∑∞

=

−1

1)1(

n

n

neste:

a) convergentă b) absolut convergentă c) divergentă

77. Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia: R xe x f x ∈= ,)(

a) ......21

1)(2

+++++=n

x x x x f

n

b) ...!

)1(...!2!1

1)(2

+−++−+=n

x x x x f

nn

c) ...!

...!2!1

1)(2

+++++=n

x x x x f

n

78. Diferenţiala de ordinul II pentru funcţia xyz x f =)( este:a) zdxdz ydydz xdxdy f d 2222 ++=

b) ydxdz xdydz zdxdy f d 2222 ++=

c) xdxdz zdydz ydxdy f d 2222 ++=

79. Să se calculeze: ∫∫ D

xdxdy pentru ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤≤≤≤∈= 21,21/, 2

x

y xy R y x D

a)3

524 −

b)3

625 −

c)3

526 −

80. Să se integreze ecuaţia: dy xy y ydx y )cos1()1( 22 −+=+

a) C y y x =−+ sin1 2

b) C y y x =++ sin1 2

c) C y x y =−+ sin12

81. În forma canonică a unei probleme de maximizare restricţiile sunt:a) egalităţi b) inegalităţi cu semnul “ ≤ ”c) inegalităţi cu semnul “ ≥ ”



82. Stabiliţi care afirmaţie este falsă:a) Dacă într-o serie se schimbă ordinea unui număr finit de termeni atunci nu este

influenţată nici natura seriei şi nici suma seriei în caz de convergenţă b) Dacă într-o serie se înlătur ă un număr finit de termeni atunci natura seriei nu se

modifică, ci doar suma ei în caz de convergenţă

c)

Dacă într-o serie se înlătur ă un număr finit de termini atunci natura seriei nu semodifică şi nici suma ei în caz de convergenţă

83. Funcţia C.Cobb – P.Douglas se defineşte prin:a) ba K L AY ⋅⋅= b) ab K L AY ⋅⋅= c) ba K L AY

−− ⋅⋅=

84. Se numeşte spaţiu Euclidian un spaţiu pe care s-a definit:a) o distanţă

b) o normă

c) un produs scalar

85. Scalarii ijλ din procedeul de ortogonalizare Gramm – Schmidt se determină cu

formula:

a)><

><=

ii

j j

ijaa

ab

,

,λ

b)><

><=

j j

iiij

aa

ab

,

,λ

c)><

><=

j j

ji

ij

aa

ab

,

,λ

86. Modelarea unei probleme cu conţinut economic care implică optimizare liniar ă necesită parcurgerea a:

a) 5 etape b) 6 etapec) 3 etape

87. O bază B care verifică relaţia: 01 ≥⋅− b B se numeşte:a) bază primal admisibilă b) bază canonică c) bază ortogonală

88. Criteriul II al comparaţiei: “Fie ∑∞

=1n

na şi ∑∞

=1n

nb serii cu termini pozitivi şin

n

n b

al

∞→= lim .

Atunci: 1) Dacă ⇒∞<< l0 cele două serii au aceeaşi natur ă

2) Dacă 0=l şi ∑∞

=1n

nb este convergentă ⇒ ∑∞

=1n

na este convergentă” este:

a) incorect



b) incompletc) corect

89. Să se determine vectorul normat v din 4 R ortogonal vectorilor:

)3,1,1,2(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 321 =−−== vvv

a) )1,2

1,2

1,0( μ±=v

b) )0,2

1,

2

1,1( μ±=v

c) )0,2

1,

2

1,0( μ±=v

90. Să se studieze natura seriei:n

n nn

nn∑∞

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++++

12

2

952

576

a) Seria este absolut convergentă

b) Seria este divergentă c) Seria este convergentă

91. Se dau vectorii: 3321

1

1

0

,

1

0

1

,

0

1

1

Rvvv ∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ = . Calculaţi coordonatele vectorului

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

2

1

2

v în baza formată din 21 ,vv şi 3v .

a)

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

212

52

1

v

b)

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

21

252

1

v

c)

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

=

21

25

21v

92. Relaţia de legătur ă dintre funcţia beta şi gama este:



a))(

)()(),(

q p

q pq p B

+ΓΓ+Γ

=

b))()(

)()(),(

q p

q pq p B

Γ⋅ΓΓ+Γ

=

c) )(

)()(),( q p

q pq p B +Γ

Γ⋅Γ=

93. Determinaţi valorile proprii ale operatorului liniar reprezentat de matricea:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

011

101

110

A

a) Valorile proprii sunt: 3,2,1 321 =−== λ λ λ

b) Valorile proprii sunt: 1,1,2 321 −=−== λ λ λ

c)

Valorile proprii sunt: 1,1,3 321 −=== λ λ λ

94. Să se integreze ecuaţia diferenţială: y x y

+= 10'

a) C y x =+ −1010

b) C y x =+ −− 1010

c) C y x =+− 1010

95. Să se verifice care dintre următoarele aplicaţii sunt transformări liniare (operatoriliniari):

1) ∫ =→b

a

dt t f f T RbaC T )()(,],[:

2) Raa xa xa x xU R RU n

nn ∈+++=→ );,...,,()(,: 21

a) ambele aplicaţii sunt operatori liniari b) T este operator liniar c) U este operator liniar

96. Diferenţiala unei funcţii ),...,,()( 21 n x x x f x f = în punctul ),...,( 1 naaa = se va calcula

astfel:

a) nn xn xndx x x f dx x x f x xdf

n),...,(...),...,(),...,( 1

"11

"1 1

++=

b) nn xn xn dx x x f dx x x f x xdf n

),...,(...),...,(),...,( 12

112

1 1++=

c) nn xn xn dx x x f dx x x f x xdf n

),...,(...),...,(),...,( 1'

11'

1 1++=

97. Să se calculeze integrala: ∫ ∞

+02

4

)1(dx

x

x



a)4

2π

b)4

3π

c)4

5π

98. Soluţia generală a ecuaţiei liniare de ordinul întâi este:

a) ∫ ∫ ⋅−∫ = ))(()()(

dxe xQC e ydx xPdx xP

b) ∫ ∫ ⋅+∫ =−−

))(()()(


c) ∫ ∫ ⋅+∫ =−

))(()()(


99. Calculaţi derivatele par ţiale de ordinul I pentru funcţia: 0,),( >= x x y x f y

a) x x y x f yx y x f

y

y

y

x ln),(;),( '1' == −

b) x x y x f yx y x f y

y

y

x ln2),(;2),( '1' == −

c) y y y x f xy y x f x

y

y

x ln),(;),( '1' == −

100. Funcţia de n variabile reale ),...,( 1 n x x f are:

a) 22n derivate par ţiale de ordinul I b) n derivate par ţiale de ordinul Ic) 2n derivate par ţiale de ordinul I

101. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional peste corpul de scalari K şi V V T →: oaplicaţie liniar ă. Un scalar K ∈λ se numeşte valoare proprie pentru aplicaţia liniar ă Tdacă există cel puţin un vector nul V v ∈ astfel încât vTv λ ≠ . Definiţia este:

a) corectă b) incorectă c) incompletă

102. Baza ortonormală a unui spaţiu Euclidian se construieşte din baza ortogonală:

a) împăr ţind fiecare vector al bazei ortogonale la norma sa b) înmulţind fiecare vector al bazei ortogonale cu norma sac) adunând fiecare vector al bazei ortogonale cu norma sa

103. Fie F o funcţie definită pe un domeniu D din 2+n R cu valori reale continuă în acest

domeniu. O relaţie de forma: 0),...,,,( )(' =n y y y xF se numeşte:

a) ecuaţie cu variabile separabile b) ecuaţie omogenă



c) ecuaţie diferenţială de ordinul n

104. O problemă de programare liniar ă este în formă canonică dacă:a) toate restricţiile sunt egalităţi şi toate variabilele sunt nenegative b) toate restricţiile sunt concordante şi toate variabilele sunt nenegative

c)

toate restricţiile sunt concordante şi toate variabilele sunt negative105. Spectrul unui operator este:

a) o mulţime de funcţii b) mulţimea valorilor proprii ale operatoruluic) mulţime de integrale nedefinite

106. Un şir este mărginit dacă:a) elementele de rang par sunt într-un interval b) elementele sunt într-un intervalc) elementele de rang impar sunt într-un interval


=1

2

)!2(

)!(

n n

n

a) Seria este absolut convergentă b) Seria este divergentă c) Seria este convergentă

108. Să se calculeze produsul scalar al vectorilor: )2,1,2,4,1();4,3,0,2,1( 21 −=−= vv în 5 R .

a)4,

21>=< vv

b) 2, 21 >=< vv

c) 3, 21 >=< vv

109. Seria Riemann ∑∞

=1

1

n nα

este:

a) pentru 1>α serie convergentă şi pentru 1≤α serie divergentă b) pentru 1≤α serie convergentă şi pentru 1>α serie divergentă c) pentru 1>α serie convergentă şi pentru 1=α serie divergentă

110. Funcţia lui Lagrange este:

a) ),...,,(...),...,,(),...,,( 21211121 pqq p p x x x x x x x x x L ϕ λ ϕ λ ++= b) ),...,,(...),...,,(),...,,(),...,,( 2121112121 pqq p p p x x x x x x x x x f x x x L ϕ λ ϕ λ ++−=

c) ),...,,(...),...,,(),...,,(),...,,( 2121112121 pqq p p p x x x x x x x x x f x x x L ϕ λ ϕ λ +++=

111. Să se studieze convergenţa integralei ∫ +∞

∞−

− dx xe x2

a) Integrala este divergentă



b) Integrala este convergentă şi egală cu 0c) Integrala este absolut convergentă

112. Determinaţi valorile proprii ale operatorului liniar reprezentat de matricea:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−103012

325

a) Valorile proprii sunt: 2,2,0 321 =−== λ λ λ

b) Valorile proprii sunt: 0,2,0 321 =−== λ λ λ

c) Valorile proprii sunt: 7,2,0 321 =−== λ λ λ

113. Scrieţi primii cinci termini ai seriei cu termenul general:)!2(

)!( 2

n

nan =

a)2521,

1701,

201,

61,

21

54321 ===== aaaaa

b)231

1,

139

1,

17

1,

5

1,

3

154321 ===== aaaaa

c)275

1,

112

1,

32

1,

7

1,

4

154321 ===== aaaaa

114. Calculaţi derivata par ţială de ordinul I pentru funcţia: y x y x f sin),( 2=

a) y x y x f x2' sin4),( = ; y x y x f y

22' cos),( =

b) y x y x f x2' sin2),( = ; y x y x f y 2sin),( 2' =

c) y x y x f x2' cos),( = ; y x y x f

y 2sin2),( 2' =

115. Fie

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+

−=→

1

32

21

1

43

2

3

2

2

)(,:

x

x x

x x

x

xT R RT . Matricea ataşată operatorului este:

a)⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

002

310

012

002

A



b)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

002

311

012

002

A

c)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

002

310

012

002

A

116. Într-un sistem de n vectori liniari independenţi condiţia de a fi sistem de generatorieste înlocuită de relaţia:

a) X n dim2 =

b) X n dim= c) X n dim3 =

117. Să se integreze ecuaţia diferenţială: dy xy y ydx y )cos1()1( 22 −+=+

a) C y y x =++ sin1 2

b) C y y x =−+ cos1 2

c) C y y x =−+ sin1 2

118. Diferenţiala de ordinul I a funcţiei de producţie este:

a) YdK K

bYdL

L

adY +=

2

b) YdK K

bYdL

L

adY

22+=

c) YdK K

bYdL

L

adY +=

119. Să se calculeze integrala: dx xa x

a

∫ −

0

222

a)16

4aπ

b)16

2aπ

c)16

aπ



120. Precizaţi care dintre următoarele afirmaţii este adevărată:

a) Dacă vectorii { }nvvv ,...,, 21 sunt liniar independenţi, iar { }121 ,...,, +nvvv sunt liniar

dependenţi, atunci 1+nv este o combinaţie liniar ă a vectorilor { }nvvv ,...,, 21 .

b) Dacă vectorii { }nvvv ,...,, 21 sunt liniar dependenţi, iar { }121 ,...,, +nvvv sunt liniar independenţi, atunci 1+nv este o combinaţie liniar ă a vectorilor { }nvvv ,...,, 21 .

c) Dacă vectorii { }nvvv ,...,, 21 sunt liniar independenţi, iar { }121 ,...,, +nvvv sunt tot

liniar independenţi, atunci 1+nv este o combinaţie liniar ă a vectorilor { }nvvv ,...,, 21 .

121. Funcţia: RV →:. cu ><= x x x , se numeşte:

a) normă a spaţiului Euclidian b) produs scalar a spaţiului Euclidianc) distanţă a spaţiului Euclidian

122. Dacă seria convergentă ∑∞

=0n

n

n xa are suma )( xS şi seria derivatelor ∑∞

=

−

0

1

n

n

n xna are

suma )( xP , atunci:a) )()(2 xS xP = b) )(2)( xS xP = c) )()( xS xP =

123. Limita unei funcţii într-un punct există dacă:a) funcţia este continuă

b) funcţia este derivabilă c) limitele laterale sunt egale

124. Precizaţi relaţia adevărată:a) N nnn ∈+=+Γ ,)!1()1( b) N nnn ∈=+Γ ,!)1(c) N nnn ∈=+Γ ,)!2()1(

125. Norma are următoarea proprietate:a) V x R x x ∈∈∀⋅= ,)( α α α

b) V x R x x ∈∈∀⋅= ,)( α α α c) V x R x x ∈∈∀⋅= ,)( α α α

126. Limitak k k

nnk k k

a x x

a f

a x

aa f aa xaa f

k k ∂∂

=−

−+−

→

)(),...,(),...,,,,...,(lim 1111 se numeşte:

a) diferenţiala de ordinul I a funcţiei f în raport cu k x



b) diferenţiala de ordinul n a funcţiei f în raport cu k x

c) derivata par ţială a funcţiei f în raport cu k x

127. Să se calculeze produsul scalar al vectorilor : )3

1,2,

3

1(),2

1,1,2( 21 −== x x în 3 R

a) 615, 21 >=< x x

b)6

23, 21 >=< x x

c)6

19, 21 >=< x x

128. Din trei feluri de materie primă i M )3,1( =i disponibile în cantităţile de 28,21

respectiv 10 unităţi se preconizează a se realiza două tipuri de produse 21 , PP care

necesită consumuri specifice de 1,3 respectiv 1unitate pentru 1P şi 4,1 respectiv 1unitate

pentru 2P şi care aduc un beneficiu pe unitatea de produs de 3 respectiv 4 unităţi. Să se

determine planul de producţie care conduce la un beneficiu total maxim.Modelul matematic al problemei este:

a)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥

≥+

≥+

≥+

+

0,0

10

213

284

)43max(

21

21

21

21

21

x x

x x

x x

x x

x x

b)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥

≤+

≤+

≤++

0,0

10

213

284)43max(

21

21

21

21

21

x x

x x

x x

x x

x x

c)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥

=+

=+

=+

+

0,0

10

213

284

)43max(

21

21

21

21

21

x x

x x

x x

x x

x x


=0 !

1

n n

a) Seria este absolut convergentă



b) Seria este convergentă c) Seria este divergentă

130. Fie { }21 ,vv B = bază în 2 R unde ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

4

3,

2

121 vv . Să se exprime vectorii

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

11

,13

ba în această bază.

a) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −=

232

7,

25

29

B Bba

b) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−=

23

27

,2

52

9 B B ba

c) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

= 232

7

,252

9

B B ba

131. Să se calculeze derivatele par ţiale de ordinul I pentru funcţia byaxe y x f

+=),(

a) byax

y

byax

x bye f axe f ++ == '' ,

b) byax

y

byax

x ye f xe f ++ == '' ,

c) byax

y

byax

x be f ae f ++ == '' ,

132. Criteriul raportului al lui D’Alembert: “Fie seria 0;1

≥∑∞

=

n

n

n aa şi fie1

lim+∞→

=n

n

n a

al

Dacă ⇒< 1l seria este convergentă Dacă ⇒> 1l seria este divergentă Dacă ⇒= 1l nu se poate stabili natura seriei pe baza acestui criteriu” este:


133. Operatorul Laplace este:a) operator de derivate par ţiale de ordin I

b) operator de derivate par ţiale de ordin IIc) operator de derivate par ţiale de ordin III

134. Diferenţiala funcţiei y xe y x f

+= 2),( este:

a) dyedxedf y x y x ++ += 22

b) dyedxedf y x y x ++ += 222

c) dyedxedf y x y x ++ += 22 22



135. Care este valoarea integralei Euler – Poisson ∫ ∞

−

0

2

dxe x ?

a) π =

∫

∞−

0

2

dxe x

b) π =∫ ∞

−

0

2

dxe x

c)20

2 π =∫

∞− dxe x


=+

−

112

13

3

2

nn

n

a) Seria este divergentă b) Seria este convergentă

c) Seria este absolut convergentă

137. Să se calculeze integrala ∫ −a

dx xa x0

222

a)16

4aπ

b)16

3 4aπ

c)16

74

aπ

138. Relaţia de recurenţă a funcţiei Γ este:

a) )()1( 22 p p p Γ⋅=+Γ b) )()1( p p p Γ⋅=+Γ

c) )()1( 22 p p p Γ⋅=+Γ

139. Diferenţiala de ordinul II pentru funcţia xyz z y x f =),,( este:

a) zdxdz ydydz xdxdy f d 2222 ++= b) xdxdz zdydz ydxdy f d 2222 ++=

c) ydxdz xdydz zdxdy f d 2222 ++=



140. Să se calculeze: ∫∫ + D

dxdy y x )2( unde ]5,2[]4,1[ ×= D

a)2

171

b) 2

91

c)2

47

141.Fie R R A f n →⊆: şi Aaaa n ∈= ),...,( 1 . Punctul a este un punct de maxim local

dacă AV V xa f x f aa ∈∈∀≤ ,))(()( . Definiţia este:

a) corectă b) incorectă c) incompletă

142. Norma are următoarea proprietate:a) V y x y x y x ∈∀+≥+ ,)(

b) V y x y x y x ∈∀+≤+ ,)(

c) V y x y x y x ∈∀−≤− ,)(

143. O soluţie de bază a unei probleme de transport are un număr de componente nenuleegale cel mult cu:

a) 1+− nm b) 1++ nm

c) 1−+ nm

144. Fie seria ∑∞

=0n

n

n xa convergentă cu ),( ρ ρ −=C atunci seria integralelor termenilor

∑∞

=

+

+0

1

1n

nn xn

aeste o serie:

a) convergentă pe ),( ρ ρ −=C b) absolut convergentă pe ),( ρ ρ −=C c) divergentă pe ),( ρ ρ −=C

145. Stabiliţi care afirmaţie este adevărată:a) Orice punct staţionar este punct de extrem pentru funcţie b) Nu orice punct staţionar este punct de extrem pentru funcţiec) Orice punct staţionar este punct de minim pentru funcţie

146. Unei restricţii neconcordante din modelul primal îi corespunde în modelul dual:a) variabilă nenegativă b) variabilă nepozitivă



c) variabilă liber ă

147. Să se studieze natura seriein

n nn

nn∑

∞

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++++

12

2

952

576

a) Seria este divergentă

b)

Seria este absolut convergentă c) Seria este convergentă

148. Se consider ă funcţia: ).ln(),( 22 y x y x f += Se cere să se calculeze: y

f

x

f

∂∂

∂∂

;

a)22

2

22

2

; y x

y

y

f

y x

x

x

f

+=

∂∂

+=

∂∂

b)2222

2;

2

y x

y

y

f

y x

x

x

f

+=

∂∂

+=

∂∂

c) 2222 ; y x

y

y

f

y x

x

x

f

+=∂

∂

+=∂

∂

149. Fie 22: R RU → un operator liniar care are matricea corespunzătoare bazelor

canonice .30

12⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= A Să se determine valorile proprii ale lui U.

a) 3;2 21 == λ λ

b) 3;2 21 −=−= λ λ

c) 3;2 21 =−= λ λ

150. Orice problemă de transport are întotdeauna o soluţie admisibilă de forma:a) n jmi

T

ba x

ji

ij ,1,,1, ==+

= unde T ban

j

j

m

i

i == ∑∑== 11

b) n jmiT

ba x

ji

ij ,1,,1, ==−

= unde T ban

j

j

m

i

i == ∑∑== 11

c) n jmiT

ba x

ji

ij ,1,,1, === unde T ban

j

j

m

i

i == ∑∑== 11

151. O bază care conduce la un program optim se numeşte:

a) bază admisibilă b) bază ortogonală

c) bază ortonormală

152. Fie seria .0,1

>∑∞

=n

n

n aa Dacă şirul sumelor par ţiale N nnS ∈)( este:

a) un şir monoton b) un şir monoton şi mărginit



c) un şir mărginit

atunci seria este convergentă.

153. Să se determine punctele de extrem ale funcţiei: xy y x y x f 3),( 33 −+=

a) )0,0(1 M este punct de minim şi )1,1(2 M nu este punct de extrem b) )0,0(1 M este punct de minim şi )1,1(2 M este punct de maxim

c) )0,0(1 M nu este punct de extrem şi )1,1(2 M punct de minim


∞− +=

21 x

dx I

a) π = I b) 2π = I c) π 2= I

155. Produsul scalar este:a) o funcţională biliniar ă pozitiv definită b) o funcţională biliniar ă negativ definită c) o funcţională biliniar ă semipozitiv definită

156. În orice spaţiu Euclidian n - dimensional peste corpul K există cel puţin o bază ortogonală ce se poate determina:

a) cu procedeul Gramm – Schmidt b) cu procedeul Gauss – Jordanc) cu criteriul Raabe – Duhamel

157. Fie⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ − −=

2213

02111102

A şi fie 4,1, =iai vectorii coloană din A. Care afirmaţie este

adevărată?

a) { }4321 ,,, aaaa formează bază în 3 R

b) { }432 ,, aaa nu formează bază în 3 R

c) { }431 ,, aaa formează bază în 3 R

158. Să se studieze convergenţa integralei: ∫ ∞− −

1

3

2

8dx

x x

a) Integrala este convergentă b) Integrala este divergentă c) Integrala este absolut convergentă



159. Forma generală a ecuaţiilor liniare de ordinul întâi este:

a) 0)()()( ' =++ xC y x B y x A

b) 0)()()( 2 =++ xC y x B y x A

c) 0)()()( '" =++ xC y x B y x A

160. Funcţia beta are proprietatea:

a) ),())(1(

)1,1( q p Bq pq p

pqq p B ⋅

−−+=++

b) ),())(1(

)1,1( q p Bq pq p

pqq p B ⋅

+−+=++

c) ),())(1(

)1,1( q p Bq pq p

pqq p B ⋅

+++=++

161. În programul optim necunoscutele secundare se completează cu:a) elemente negative b) zerouric) elemente positive

162. Valorile proprii ale unui operator sunt soluţii:a) ale unei ecuaţii de gr.2 b) ale unei ecuaţii diferenţialec) ale ecuaţiei 0)]det[( =− I A λ

163. Criteriul II al comparaţiei este: “Fie ∑∞

=1n

na şi ∑∞

=1n

nb serii cu termeni pozitivi şi

n

n

n b

al

∞→= lim . Atunci:

I. Dacă ⇒∞<< l0 cele două serii au aceeaşi natur ă

II. Dacă ∞=l şi ∑∞

=1n

nb este divergentă ⇒ ∑∞

=1n

na este divergentă” este:

a) incorect b) incompletc) corect

164. În metoda Gauss – Jordan elementele se calculează cu:a) regula dreptunghiului b) regula lui Sarrusc) regula triunghiului

165. Teorema ecarturilor complementare este:



O condiţie necesar ă şi suficientă ca un cuplu de soluţii admisibile de bază 0 X şi 0U

să fie optim este ca soluţiile să verifice simultan relaţiile:

a)0)(

0)(0'

0'0

0'0

=−

=−

X AU C

b AX U

b)0)(

0)(

0'0

'0

0'0

=−

=−

U AU C

AX bU

c)0)(

0)(0'

0'0

0'0

=+

=+

X AU C

b AX U

166. Criteriul lui Raabe – Duhamel este: “Fie seria 0;1

>∑∞

=n

n

n aa şi fie

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−= +∞→ 1lim 1n

n

n a

a

nl .Dacă ⇒> 1l seria este divergentă Dacă ⇒< 1l seria este convergentă Dacă ⇒= 1l nu se poate stabili natura seriei pe baza acestui criteriu”

a) incorect b) incompletc) corect

167. Fie operatorii liniari:

.23

)(,

2

42)(,:,

321

21

32

31

32

32133

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

+−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

+− ++=→

x x x

x x x x

xV

x x

x x x x x

xU R RV U Dacă A,B,C sunt

matricile lui V U V U +,, corespunzătoare bazelor canonice, ce legătur ă există între A,B şiC?

a) B AC +=2 b) B AC += c) B AC

t +=

168. O întreprindere urmăreşte maximizarea beneficiului în întocmirea planului de producţie la 3 produse 321 ,, PPP din două materii prime 1 M şi 2 M cu un disponibil de 60

respectiv 50 unităţi. Coeficienţii tehnologici pentru aceste materii prime sunt daţi întabelul de mai jos:

1P 2P 3P

1 M 4 1 2



2 M 1 2 1

Planul de producţie la 2P şi 3P nu trebuie să fie mai mare de 40 u. Beneficiile unitare

aduse de 321 ,, PPP sunt de 18,20 şi respective 15 u. se cere să se construiască modelul

matematic.Modelul matematic este:

a)

( ) 33213,2,1

32

321

321

321

,,;0

40

502

6024

152018)([max]

R x x x X x

x x

x x x

x x x

x x x x f

t ∈=≥

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+

≤++

≤++

++=

b)

( ) 33213,2,1

32

321

321

321

,,;0

40

502

6024152018)([max]

R x x x X x

x x

x x x

x x x x x x x f

t ∈=≥

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=++

=++++=

c)

( ) 33213,2,1

32

321

321

321

,,;0

40 502

6024

152018)([max]

R x x x X x

x x x x x

x x x

x x x x f

t ∈=≥

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≥+ ≥++

≥++

++=

169. Diferenţiala de ordinul doi pentru funcţia: y x y x f ln),( = este:

a) 22

2 2dy

y

xdxdy

y f d −=

b) 222

2 2dy

y

xdxdy

y f d +=

c) 222

2 2 dy y xdxdy

y f d −=

170. Stabiliţi natura seriei de termen general: 1,1

3

2

≥

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

= n

n

na

nn

a) Seria este semiconvergentă



b) Seria este convergentă c) Seria este divergentă

171. Numărul ρ , raza de convergenţă a unei serii de puteri, se poate determina dacă există următoarele limite:

a) aa

a

n

n

n=+

∞→

1lim sau aann

n=

∞→lim

b) aa

a

n

n

n=

+∞→

1

lim sau aann

=∞→

lim

c) aa

a

n

n

n=+

∞→

1lim sau aann

n=+∞→ 1lim

172. Vectorii⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nn

n

n

n a

a

v

a

a

v ΜΜ1

1

11

1 ,..., din n R formează o bază în n

R dacă şi numai dacă

determinantul matricei⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =

nnn

n

aa

aa

A

Λ

ΛΛΛ

Λ

1

111

formată cu cei n vectori este:

a) nul b) nenul

c) pozitiv

173. Ecuaţia: 0)1(;22

' =+

= y xy

x y y este:

a) o ecuaţie diferenţială omogenă b) o ecuaţie diferenţială cu variabile separabilec) o ecuaţie diferenţială de ordinul I liniar ă

174. Se dau vectorii: .

2

1

0

,

1

0

1

,

0

1

1

321

⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜

⎝

⎛

= bbb Se cere să se construiască o bază

ortogonală a spaţiului Euclidian 3 R .



a)

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =

71

717

1

,

14

14

1

,

0

1

1

321 aaa

b)

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =

91

9191

,

15

151

,

0

11

321 aaa

c)

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =

31

313

1

,

12

12

1

,

0

1

1

321 aaa

175. Se consider ă funcţia: .sin),( 22 y x y x f = Se cere să se calculeze y

f

x

f

∂∂

∂∂

;

a) y x y

f y x

x

f 2sin;sin2 22 =

∂∂

=∂∂

b) y x y

f y x

x

f 2cos;cos2 22 =

∂∂

=∂∂

c) y x y

f y x

x

f 2cos;2sin2 2−=

∂∂

=∂∂

176. Metoda multiplicatorilor lui Lagrange se aplică funcţiilor reale de mai multevariabile reale pentru determinarea:

a) punctelor de extrem liber b) punctelor staţionarec) punctelor de extrem condiţionat

177. Să se integreze ecuaţia diferenţială: y xe y −='

a) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

2ln

2 x

C y

b) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

2ln

3 xC y

c) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

2ln

2 xC y



178. Utilizând funcţiile gama şi beta să se calculeze integrala: dxe x I x−

∞

∫ =0

2

7

a) π 16

105= I

b) π 16107= I

c) π 16

109= I

179. Să se stabilească natura următoarei integrale improprii: ∫ ∞

+021

dx x

arctgx

a) divergentă b) convergentă c) absolut convergentă

180. Să se determine extremele funcţiei: x y y x y x f −−+= 22),( , variabilele fiindlegate prin condiţia 1=+ y x

a) punctul ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ 2

1,

2

1este punct de minim condiţionat pentru ),( y x f

b) punctul ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ 2

3,

2


c) punctul ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ 2

5,2


181. Spectrul unui operator este:a) o mulţime de funcţii b) mulţimea valorilor proprii ale operatoruluic) mulţime de integrale nedefinite

182. Matricea hessiană pentru o funcţie reală de n variabile reale conţine derivate par ţiale:

a)

de ordinul unu b) de ordinul doic) de ordinul n

183. Se numeşte funcţie gama integrala:

a) dxe x p x p −∞

+∫ =Γ0

1)(



b) dxe x px p −

∞−∫ =Γ

0

12)(

c) dxe x p x p −∞

−∫ =Γ0

1)(

184. Criteriul de ieşire din bază în algoritmul Simplex este dat de:a) minimul rapoartelor componentelor soluţiei de bază şi ale vectorului care intr ă b) metoda Gauss – Jordanc) lema substituţiei

185. Fie seria .0,1

>∑∞

=n

n

n aa Dacă şirul sumelor par ţiale N nnS ∈)( este:

a) un şir nemărginit b) un şir monoton şi mărginitc) un şir strict crescător

atunci seria este convergentă

186. O bază a spaţiului Euclidian se numeşte ortonormală dacă:a) este o bază ortogonală şi norma fiecărui vector este 0> b) este o bază ortogonală şi norma fiecărui vector este 1> c) este o bază ortogonală şi norma fiecărui vector este 1

187. Fie operatorul

⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

++

=∈→

3

2

1

3

3

3213333 ,

2

)(),,(,:

x

x

x

x

x

x

x x x

xT R R LT R RT . Scrieţi ecuaţia

caracteristică a operatorului T.

a) 0

100

10

121

=

−−

−

−−

λ

λ

λ

b) 0

100

10

121

=

−−

−

−

λ

λ

λ

c) 0

100

10

121

=

−−

−−

−−

λ

λ

λ



188. Să se calculeze produsul scalar al vectorilor: ( )2,1,1,1,1,11 −−−=v şi

( )1,2,3,3,2,22 −−=v în 6 R .

a) 8, 21 >=< vv

b) 7, 21 >=< vv c) 10, 21 >=< vv


= −+⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅

1 )]1(53[...83

)]1(52[...72

n n

n. Seria este:

a) divergentă b) absolut convergentă c) convergentă

190. Limita unei funcţii într-un punct există dacă:

a) funcţia este continuă b) funcţia este derivabilă c) limitele laterale sunt egale

191. Fie următoarele sisteme de vectori:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =

5

1

3

,

0

2

1

,

2

4

1

321 aaa

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =

2

0

2

,

0

1

1

,

5

4

2

321 bbb . Fie { }321 ,, aaaF = şi { }.,, 321 bbbG = Care afirmaţie este

adevărată?

a) F este bază în 3 R şi G nu este bază în 3 R b) F şi G sunt baze în 3 R c) F nu este bază în 3

R şi G este bază în 3 R

192. Să se calculeze derivatele par ţiale de ordinul I pentru funcţia următoare:

)ln(),(2

y x y x f += a) 12'12' )(2;)( −− +=+= y x y f y x f y x

b) 12'12' )(;)(2 −− +=+= y x y f y x x f y x

c) 122'12' )(;)( −− +=+= y x y f y x x f y x



193. Ecuaţia diferenţială: y x

y x y

−+

=' este:

a) ecuaţie diferenţială cu variabile separabile b) ecuaţie diferenţială omogenă c) ecuaţie diferenţială de ordinul I liniar ă

194. Pentru a determina natura seriei: ∑∞

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

+++

13

333

4

...21

n

n

n

n

nvom aplica:

a) Criteriul r ădăcinii al lui Cauchy b) Criteriul raportului al lui D’Alembertc) Criteriul lui Raabe – Duhamel

195. Fie aplicaţia liniar ă ( ).,,2),(,: 211212132 x x x x x x x f R R f +−+=→ Să se scrie

matricea ataşată operatorului f.

a) Matricea ataşată este: ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

102

111 A

b) Matricea ataşată este:⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

11

11

21

A

c) Matricea ataşată este:⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

11

01

21

A

196. Derivata par ţială ' x f se calculează considerând:

a) pe y constant şi derivând ca o funcţie de o singur ă variabilă x b) pe x constant şi derivând ca o funcţie de o singur ă variabilă yc) x şi y constante şi folosind regula de derivare pentru produs

197. Operatorul Laplace pentru funcţia ),( y x f este:

a)2

2

2

2

y

f

x

f f

∂∂

⋅∂∂

=Δ

b)2

2

2

2

y

f

x

f f

∂∂+

∂∂=Δ

c)2

2

2

2

y

f

x

f f

∂∂

−∂∂

=Δ


∞− +=

21 x

dx I



a) π −= I b) π 2= I c) π = I

199. Să se integreze ecuaţia diferenţială: y

x y −=' . Soluţia generală este:

a) 222 C x y =+

b) 222 C x y =−

c) 222C y x =−

200. Să se calculeze )1,1(df pentru funcţia următoare:

7532),( 22 +−++−= y x y xy x y x f

a) dydxdf 24)1,1( +−= b) dydxdf 24)1,1( −= c) dydxdf 24)1,1( +=

Matematici Aplicate in Economie

Documents

Transcript of Matematici Aplicate in Economie