Lucian Dragomir

Adriana Dragomir Ovidiu Bddescu

Simularea examenului de bacalaureatMatematicd

Clasa a Xl-a, profil tehnologic

30 de teste, dupd modelul M.E.N.

Editura Paralela 45

il1tffiffi

illtilillil

Cuprins

Teste preg5titoare pentru simulareaexamenului de bacalaureat

Testul 1

Subiectul !

1. Determina{i numerele intregi a qi b, gtiind c[ numerele l, a, b, 10, sunt, in aceastii

ordine, in progresie aritmeticS.

2. Rezolvali in mullimea numerelor reale ecua(ia JtO-?.;- =2.3. Determinafi'num[ru] real I pentru carc 2. log2 (1 + /) = lsgr 11* 5r, .

4. Stabiliti care dintre numerele o = CZ qi b = Cl este mai mic.

5. Determinafi numdrul intreg fr, gtiind ci punctul M(3,I) este mijlocul segmentului

care are extremitAfl punctele A(k,O) qi B(4,k) .

6. Pentru orice unghi cu m6sura egal6 cu xo se noteaz| E@)=sin3r+4.cos2x.

Ardta\i ce f (:O) este un numdr intreg.

Subiectul al ll-lea

1. Se noteaz d cu D(x,y) determinantul matrice i l1x,y1=( x /l

, ,,y= R. .[-v x)

a) Ardta[i cd D(3,-1) = lQ .

b) Determinafi numerele reale x pentru care D(x,-l) = 5 .

c) Ar[tali cd, 2. D(x +1,x + 2) > 1 , pentru orice numir real x .

2. in reperul cartezian xOy se considerd punctele A(0,3),8(l,l),C(2,k), fte lR. .

a) Ardtali ci ecuatia dreptei AB este 2x + y -3 = 0 .

b) Determinafi numSrul intreg /r, gtiind cd punctele A,B,C sunt coliniare.

c) Demonstrali c5 existi un singur numdr natural k, astfel incdt aria triunghiuluiABC este egal6 cu 5.

ililililililIilfl ffi tiltilflilililfl ilililililililtil

ilililtilffiiltffitilffiItililtffi

Enunluri o Teste pregdtitoare pentru simularea examenului de bacalaureat

b) Ardtali cdA' B: B ' .'

c) Determinali numdrul r

2. Senoteazdcu D(x,y) d'

A(r

a) Ardtali cd D(2,0)=1b) Determinali numarul i

c) Calculali suma elemet

Subiectul a! lll-lea

1. Se considerd func1ia ,l : t

a) Determinali ecualiile

b) Ardtali.u ]*#c) calculali.=l5a

2. Se consider[ func1iile .r-

a) Ardtati cd numarul .{

b) calculalt u=lT#_ 5"

c) Rezolvali inecuagia

Subiectul !

1. Determinati suma pnmr.

cd at=3 Si aa--9.

2. Determina(i numdrul re

funcliei /:R --+ ].. r r .'"

Sublectul al lll-lea

1. Se considera funcfia / : (0,+-) + IR.,/(x) - x2 - 5:x + 4

x

a) Determina{i numirul intreg l=WoI-@-.- x-+l x-lb) Determina{i ecuafia asimptotei verticale la graficul funcfieilc) Ardtali c[ dreapta de ecua{ie y=x-5 este asimptot[ spre *- la graficul

fi:r;Lclieif.

2. Se considera tunctia /:[0,+-) + R.,/(x) ={J'.*o' -:1,:']*'-

lz*-so xe(7,+-)'a) Ar6ta{i ci fincliaf este continul in punctul x =7 .

b) Calculali .B = lim f Q'+-t) .

x-+6 f (x)

c) Demonstrafi"6 Y^l'@):7 =1.x-+4 x-4 8

Testul 2

Sublectul I1. Determina{i al treilea termen al unei progresii aritmetice (or)n r, gtiind cd ar=3

qi ar=13.

2. Calcdali p = f (-l). f (O)./(1) pentru tunc{ia / : IR. -+ lR,,f(x) = x2 -3x + 2 .

3. Rezolvali in mulfimea numerelor reale ecuafia 2 + logr(x + 1) = logz (x + 4) .

4. Calculafi probabilitatea ca, alegdnd la intdmplare un numlr de doud cifre, acesta slfie divizibil cu 5.

5. Determina(i numirul real a pentru care, in reperul cartezian xOy, pwctele

A(0, -2), B (l,l) qi C (2, a) sunt coliniare.

6. Calcula{i aria triungh iuhri ABC,qtiind c[ m(<n,eC)= 90o , tg A =! Si AB = 6 .

Subiectul al llJea

1''Se considerr matricel "

o=(; l) tt '= [: l) ' *u' a qi b sunt numere reale'

a) Aritati cd,dacl a*b=0, atunci detA+detB=det(A+B).

I

Testul 3

b) Ar[tati cdA'B:B'A dacdqinumai dacd b=a.

c) Determinafinumlrulrealapentru carc A n=(: ?][0 t)2. Se noteazd w D(x,y) determinantul matricei

(t I r)A1x,y1=lt x y l,r,y.R.

[r x+2 y+z)a) Arltafi cd D(2,0)=4.b) Determinafi numErul intreg ftpentru care D(4,k)=). .

c) Calculali suma elementelor matricei B: A(0,0) 'l(0, 0).

Subiectul al lllJea

l. Se considera'funcfia / : (0,+*) + R,.f(-'' -Zx -l^'- *2a) Determina[i ecua(iile asimptotelor la graficul func(iei considerate.

b) tuetati "a

tnffi=z.

c) Calculati t=:\LP:2. Se consider[ funcfiile /:JR -+IR,/(x) =x-x2,g:(*,2]+IR,g(x) =J,-x -I.

a) Ar[ta{i cI num[ru] l=ti^l =r*?

este intreg.x-+t f(x)

b) Calculalt ,=1T#c) Rezolvafi inecua[ia f (x).9(x)<0.

Testul 3

Subiectul I1 . Determina(i suma primilor cinci termeni ai unei progresii aritmetice (on) n . qtiind

cd ar=3 qi ao=) .

2. Determina{i numirul real m, qtiind c[ punctul A(3,m) este situat pe graficul

func(iei /:R.-+]R,,/(r) =x2 -4x+3.

So lulii

Testull

Subiectul l. 1. Dac[ r este rafia progresiei, atunci l0 : 1 * 3r, de unde 3r :9 + r:3.Aqadar, a: | * 3:4, b:4 * 3:7.2.10 -Zx:4 > 2x:6 = x:3, numlr care

verific[, evident, ecuafia propus[.3. Logaritmii au sens dacl l+t>0,1+5f >0 =(l ) f 1 )not'+ re(-t,+.")^[-;,*J :

[-i,*"" )= o; folosind proprietEfile logaritmilor,

ecuafia se poate scrie: log2(!+t)z =log2(1+51), de unde avem l+2t+t2 : 1+5r $i

astfel t2 -3t=t(t-3)=0. Se oblin acum solufiile /, = 0e D,t2=3e D.(Observalie:

in cazul in care nu impuneli condiliile initiale, este absolut necesar s[ face{i la final

verificarea solufiilor!) 4. Cum o=CZ=#=15 qi b=Cl=C? =#=10, dedu-

cem cE b<a.5. Din x.=U:!L reniltd Z=k!4=6=k+4>k=2; analog,tvr22

W =Uf = t=, = k=2;in concluzie, k=2.6.8(30): sin90o+4cos60o :

: r+4.1 =r+z--3e2.2

subiecrut at ll-lea. r. "l rO,-,1=lf r'l

:, . 3 -(-1) . 1 :e+ 1 : l0;b)D(x,-l):

: l' -'l :r'+ l: 5>*- 4>xe {-2,2};c)Mrcaracumestemomentuls6ll -rl

calcu16m, dacl nu am fbcut-o de la inceput, determinantul matricei A(x, y): D(x, y) :: * * f ;avem astfel: 2-D(x+1,.r+ 2) -- 2'((x+r)2 +(x+ D') : z'(zx2 +6x+5).

Inegalitatea propusl este echivalenti cu 4x2 +l2x+9=(2x+3)2 )0, care e adevdl:rti-

Solutii r Teste pregititoare pentru simularea examenului de bacalaureat

lzktlnumai Oaca lO 3 ll= 0, de unde k+4-3=0 <+ k =-l; c) Aria triunghiului IBC

l, 1 il

""r" *=il4,., ^=li l|=-.

r; llr,*rl=5 = lr+rl=10 = (fr+ r) e

lx v llpentru orice numhr real x. 2. a) Ecw[ia dreptei AB este ,aA:lO : tl = 0, adic6

lr r il3x+y+0-3-x-0=0 sau y+2x-3=0. Exist6 insi gi alte variante de rezolvare,

de exemplu AB: y-!A=m,qB.(x-*n); b) Punctele A,B,C sunt coliniare dac6 gi

e {-10, 10} = ft e {-11, 9}.

subiectul al lll-lea. t. a\ A: ,t-"/(') - ,t*(r-1)(r-4) - ,' x-+lx-l x-+r x-! im(x-4) : -3 e z;

b) Deoarece /(0 + 0) = lim f (x)= f +l = h, rczrltdcd ecuatia asimptotei verticalei# \-0l

(la dreapta) la graficul functiei/estex: 0; c) Cum m: lim fy) : r'^ x2 -4x+5 -"r_+6 x -r_+@ x-

ri*[r-+.+l : r qi ,, : tim(f(x)-mx),,*[l-Ztf-,1 :.r-+-\ X X" ) x-r6 ,--( X )

: lim -5x+4: tml,-.1] :-5+0:-5, reztltdcldreaptadeecuatie y:x-5x-+6 x x+-\. x)esteasimptotlspre +- lagraficulfunclieil 2.a) f(7-0): J2t+4 : J25:5 qi

f(7 + 0) : 14 - 9 : 5 : l(7) > fanc[iafeste continu din x : 7; b) B: lim fQ +.t) -.r-+6 f (x)

- 1:* 3x+4-16 - ,:.-- 39-q _ 3:r:r:

-------------:-

!ilu- - -,-->+(x-4) (J:,++++) ;; b4 (..6,++++) 8'

50

Testul 2

Subiectul l. 1. Daca /' es:. :::astfel termenul cerut eSi3 i:deducem cir P -- ll I r

: log2(x*4) sau log- : - -verificare imediata: I -'- = l...,99;dintre acestea. dr', -z::- ,

adicd 1 8 numere. Prr-rbab --.-:::'.

1: ' . 5. Vom folosi .r:: . ,5

AB Si AC sunt rr-; - ::,: -

dac6 qi numai dacd ',: .. ='

poate fi de mare ajutt': C *

examcn calculele com: 3::.

aria triunghiului drePt'-:-:: '

Subiectul al ll-lea. l. : S= -:

/,lLl*D

apoiA+B=l = '\U

:0+b--0:2.0:i;-: {

ab:ba,atunci.4'B=3 :/ i -\{a' a+l\ I :It

[o I ] (t

un calcul total inilial to::l :

sa arata[i cd Dt2.0] - l: .:-.,

1- _1: lrmx-+* 2x -9

Testul 2

Testul2

Subiectul I. 1. Daci r este rafia progresiei, atunci 18 : 3 + 3r = 3r=15 = r=5 $i

astfel termenul cerut este a3 - a1*2r =3+10 =13. 2. Deoarece "f (l)=t-3+2=0,

deducem cdt p : fl-l)' 0'11) : 0. 3. Ecua(ia se poate scrie log, 4+logr(x+l) :: log2(x+4) sau log24'(x+1) : log2@+4) = 4x*4=x*4 > 3x=0 = x:a;verificare imediatS: 2 + O :2. 4. Existi 90 de numere naturale de doui cifre: 10, ll,12,...,99;dintreacestea,divizibilecu5 sunt 10:5 '2,15:5'3,20:5'4,"',95:5'19,

adic6 18 numere. Probabilitate a ceratieste, aqadar,, - nr' cazurilor favorabile - 18 -nr. cazurilor posibile 90

:l5

AB

. 5. Vom folosi aici altl metod[ decdt cea de la testul anterior. Pantele dreptelor

qi AC xtrfi m76-ls-!,a -3, respectiv nAC=!12; punctele sunt coliniareXB -xA a

daci 9i numai dacd m6=ffiAC*+=3€? a*2=6aa=4' 6' Un mic desen

poate fi de mare ajutor! Cum tg B=+=1=AC=+=8. (Faceti pe foaia de" AB3 3

examen calculele complete, chiar dac[ noi, aici, nu le facem intotdeauna!) Revenim:

aria triunghiului dreptun ghic ABCeste astfel egal[ cu dtnc =fi =AC

=24 .

2

Subiectul al lt-lea. 1. a) Se calqtleazdimediat: aa d:li :l :, 1 -0 : a, det B : b,l0 1l

( a+b 2\apoi A + B =1

"'^ " I I = det(A + B) = 2(a + b) ; dacd a * b : 0, atunci det A + det B :' \.0 2)

: a* b : O :2' 0 : de(l +B); b) A'B--('! a

Ioab : ba, atunci A' B = B' A daca qi numai dacd a +

(o' ,+t) (r 2') . I a2 =r| - r - I + I - =..' = a=l-2.a)Preferdm sdincepemcu

[o | ) \o t) la+r=Zun calcul total inilial (dacd nu,,merge", e in regull daci reuqili s[ inlocuili valorile 9i

s5 ar[tali cd D(2,0: a; inseamn6 5 puncte din totalul celor 100!). Revenim la D(x, y):

+l\ (ba b+l),)'u r=[o r )l=b+leb=a;c)A'.

= cum

A:A2:

51

Solutii . Teste pregEtitoare pentru simularea examenului de bacalaureat

ll,,lsc[dem linia a doua din a treia (linie) 9i ajungem la: D(x, ): l1 x yl : ...:2x - 2y;

loz2levident: D(2, 0) : 2 ' 2 - 0 : 4; b) Aici, pe oricare dintre c[i, ar trebui s[ ajungefi larezultatul: D(4, k) : 8 - 2k qi astfel, num[rul cerut se obfine din 8 - 2k : 2 *rr*

J U

r?) k:3; c) in mod cert primifi puncte dac[ scriefi matricea ,l(O,O)=lt O O l;

[r z2)

?,,)urmeazd sI inmullili, cu mare aten{ie, doud matrice de ordinul hei: B=l I t t

l;[s s s)

in acest moment frnalizarca e chiar banal[... dar, trebuie dat r[spunsul la ce se cere:agadar, suma elementelor matricei B este 27 .

Subiectul al lll-lea. l. a) Deoarece /(0+0)=f+l=--, deducem c[ dreapta de' [*o/ecuajie x : 0 este asimptot[ verticall, la dreapta,la graficul functiei; cum 1im /(x) :

spro *o la graficul tuncfiei considerate; b) n^ [l!), : ti^2*;l . !/ - ,.x-)6 -f (2x) *-* ,f 4x -l

c\L:ti*2'-1-l :ti^ 24 - 2 :r.z.a\A:r'^9s*1(t+-*) -x-+l x" -l x-+1 p;s7) (x+ l) I + I ' x-st x!A)

:2e Z;b)B: flm#Lx_+t"t2_x_l r*>1 2-x-l

x(1- i(J2- x +t) : 2; c) "f(x) =O <+ .re {0,t}

continue, se obline tabelul

: lim

qi g(x) = 0 <+ x = 1 ; folosind semnul celor doui func{iiurmdtor:

x -€ 0 1 2

"f (x) 0 +++ 0 ------

s@) +++++ ++++ 0 ------

f @)'s@) 0 +++ 0 +++

52

Testul3

Subiectul l. 1. Ilaci rcrtsr

suma cerutii este ,S: (Q

9-12+3-m an =Ot4. Existii 90 de numc rcare au suma cifrrelc qjcerut[ este astfel p: 9

-Iffir=-;, iar dreapta d2 r

2

mt'/tl2=-1 <=, A:La\

=i:64=x:8.Subiectul al ll-lea f. elI

(o 2\_tl- [-z -4)

=xA+yB:x-Y:2>

j -

i-.+ Ll - ->,

( .r- . ,iIt..\-.( -(.t..rt- -:

Mul[imea solu]iilor inecuaf ieieste astfel S = (--,0] .

inlocuim m: -l li obtir

calcul[m, in general det

1) calcnl doar conform &I: mt +l+l-m-m-m '

propriet[lile determin:rntrl

lm+2 1 llD(m):l**z m ll

lm+z t "43) putem folosi forma ofudar m[car vom primi pnm

cale de rezolvare deja v.