Matematicas 1 - JOSÉ MIGUEL CUBILLOS MUNCA

MMMMMatemática 1atemática 1atemática 1atemática 1atemática 1

JJJJJOSÉOSÉOSÉOSÉOSÉ M M M M MIGUELIGUELIGUELIGUELIGUEL C C C C CUBILLUBILLUBILLUBILLUBILLOSOSOSOSOS M M M M MUNCAUNCAUNCAUNCAUNCA

RRRRREVISIÓNEVISIÓNEVISIÓNEVISIÓNEVISIÓN P P P P PEDAGÓGICAEDAGÓGICAEDAGÓGICAEDAGÓGICAEDAGÓGICA

MMMMMARTHAARTHAARTHAARTHAARTHA N N N N NUBIAUBIAUBIAUBIAUBIA C C C C CARDONAARDONAARDONAARDONAARDONA P P P P PRIETORIETORIETORIETORIETO

Escuela Superior de Administración PúblicaPrograma Administración

Pública Territorial N ú c l e oN ú c l e oN ú c l e oN ú c l e oN ú c l e o

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DirectorLUIS FRANCISCO JORDÁN PEÑARANDA

Subdirector AcadémicoTOMÁS ERNESTO CONCHA SANZ

Decano Facultad de Ciencias Políticas y AdministrativasJOSÉ ELÍAS YÁÑEZ PÁEZ

Jefe Departamento de PregradoMARÍA EUGENIA SERRANO DE ROMERO

Coordinador de A.P.T.CARLOS MORENO OSPINA

Coordinación EditorialHelena Gardeazábal Garzón

Concepto Gráfico

Marcela Otero Morales

DiagramaciónSandra Patricia Sánchez D.

Fotomecánica e ImpresiónGrupo de Artes Gráficas e Impresos, ESAP

© Escuela Superior de Administración Pública© José Miguel Cubillos Munca

ISBN:

Bogotá D.C., Agosto de 2002

Impreso en Colombia

Printed in Colombia

Escuela Superior de Administración Pública

P P P P P resentaciónresentaciónresentaciónresentaciónresentación

Este documento forma parte integral del conjunto de módulos prepara-dos por la Escuela Superior de Administración Pública con el fin de desa-rrollar su Programa de Administración Pública Territorial en la modalidada distancia.

De acuerdo con los criterios orientadores de la metodología y del Pro-grama, este módulo busca convertirse en la herramienta fundamental ybásica mediante la cual el estudiante a distancia adquiere de maneraautónoma los conocimientos y habilidades exigidas dentro de los están-dares de calidad establecidos para la educación superior.

En todo proceso educativo el estudiante es el actor principal. En la edu-cación a distancia, además, el estudiante es el responsable fundamentaldel proceso, es quien despliega su energía, capacidad y disciplina en eldesarrollo de las actividades tendientes a la adquisición del conocimien-to. La institución educativa, por su parte, ofrece y pone a su disposiciónlos instrumentos que acompañan el proceso de autoaprendizaje, así comolos tutores que orientan el proceso y el andamiaje académico-adminis-trativo que soporta el Programa en su conjunto.

Como institución educativa que desarrolla programas bajo la metodolo-gía de educación a distancia, la ESAP presenta estos módulos a sus es-tudiantes y tutores para que de una manera coordinada, armónica ycreativa los utilicen en su interacción académica hacia el logro de losobjetivos de formación del Programa, y para que de forma constructivarealicen sus aportes para el mejoramiento de los mismos. Cada módulodebe ser asumido como un actor más del proceso educativo y, por ende,como sujeto activo del permanente proceso de autoevaluación que im-plica la búsqueda continua de la calidad académica.

NNNNNúcleoúcleoúcleoúcleoúcleoFFFFFundamentaciónundamentaciónundamentaciónundamentaciónundamentación

D D D D Del Núcleoel Núcleoel Núcleoel Núcleoel NúcleoFFFFFundamentaciónundamentaciónundamentaciónundamentaciónundamentación

El Programa de Administración Pública Territorial está confor-mado por nueve núcleos temáticos, uno de los cuales es el deFundamentación. Su intencionalidad es que el estudiante ad-quiera formación y aprendizaje en algunas de las disciplinas re-lacionadas con la administración pública, que permitirán aladministrador público territorial contar con herramientas detrabajo tanto para el desarrollo de la gestión administrativa,como para adelantar labores investigativas dentro de la admi-nistración pública.

El núcleo temático de Fundamentación está integrado por lossiguientes módulos:

• Matemática I.• Informática I.• Matemática II.• Informática II.• Informática III.• Estadística I.• Estadística II.• Matemática Financiera.

MMMMMatemática 1atemática 1atemática 1atemática 1atemática 1

TTTTTABLABLABLABLABLA DE CONTENIDOA DE CONTENIDOA DE CONTENIDOA DE CONTENIDOA DE CONTENIDO

MA MA MA MA MATEMÁTICA 1TEMÁTICA 1TEMÁTICA 1TEMÁTICA 1TEMÁTICA 1

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 1515151515

CAPÍTULO 1CAPÍTULO 1CAPÍTULO 1CAPÍTULO 1CAPÍTULO 1 ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 1919191919

1.1.1.1.1. LÓGICA Y PROPOSICIONESLÓGICA Y PROPOSICIONESLÓGICA Y PROPOSICIONESLÓGICA Y PROPOSICIONESLÓGICA Y PROPOSICIONES ............................................................................................................................................................................................................................................................................................. 22222222222.2.2.2.2. CONECTORES LÓGICOSCONECTORES LÓGICOSCONECTORES LÓGICOSCONECTORES LÓGICOSCONECTORES LÓGICOS ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 28282828283.3.3.3.3. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICAOTROS CONCEPTOS EN LÓGICAOTROS CONCEPTOS EN LÓGICAOTROS CONCEPTOS EN LÓGICAOTROS CONCEPTOS EN LÓGICA .......................................................................................................................................................................................................................................................... 3434343434

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2 ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4141414141

1.1.1.1.1. NOCIONES GENERALESNOCIONES GENERALESNOCIONES GENERALESNOCIONES GENERALESNOCIONES GENERALES ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 44444444442.2.2.2.2. CLASES DE CONJUNTOSCLASES DE CONJUNTOSCLASES DE CONJUNTOSCLASES DE CONJUNTOSCLASES DE CONJUNTOS ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 48484848483.3.3.3.3. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOS ................................................................................................................................................................................................................................. 54545454544.4.4.4.4. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONESPROPIEDADES DE LAS OPERACIONESPROPIEDADES DE LAS OPERACIONESPROPIEDADES DE LAS OPERACIONESPROPIEDADES DE LAS OPERACIONES

CON CONJUNTOSCON CONJUNTOSCON CONJUNTOSCON CONJUNTOSCON CONJUNTOS ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 60606060605.5.5.5.5. TRABAJO CON DIAGRAMAS DE VENN-EULERTRABAJO CON DIAGRAMAS DE VENN-EULERTRABAJO CON DIAGRAMAS DE VENN-EULERTRABAJO CON DIAGRAMAS DE VENN-EULERTRABAJO CON DIAGRAMAS DE VENN-EULER ........................................................................................................................................................... 64646464646.6.6.6.6. CONJUNTO DE NÚMEROSCONJUNTO DE NÚMEROSCONJUNTO DE NÚMEROSCONJUNTO DE NÚMEROSCONJUNTO DE NÚMEROS ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 68686868687.7.7.7.7. PRÁCTICA REFLEXIVAPRÁCTICA REFLEXIVAPRÁCTICA REFLEXIVAPRÁCTICA REFLEXIVAPRÁCTICA REFLEXIVA ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7474747474


1.1.1.1.1. FUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONES ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 82828282822.2.2.2.2. EVALUACIÓNEVALUACIÓNEVALUACIÓNEVALUACIÓNEVALUACIÓN ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 1021021021021023.3.3.3.3. PRÁCTICA DE ENTRENAMIENTOPRÁCTICA DE ENTRENAMIENTOPRÁCTICA DE ENTRENAMIENTOPRÁCTICA DE ENTRENAMIENTOPRÁCTICA DE ENTRENAMIENTO ............................................................................................................................................................................................................................................................... 1021021021021024.4.4.4.4. PRÁCTICA DE APLICACIÓNPRÁCTICA DE APLICACIÓNPRÁCTICA DE APLICACIÓNPRÁCTICA DE APLICACIÓNPRÁCTICA DE APLICACIÓN .................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 103103103103103


1.1.1.1.1. FUNCIONES CÓNICASFUNCIONES CÓNICASFUNCIONES CÓNICASFUNCIONES CÓNICASFUNCIONES CÓNICAS .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 1101101101101102.2.2.2.2. FUNCIONES EXPONENCIALESFUNCIONES EXPONENCIALESFUNCIONES EXPONENCIALESFUNCIONES EXPONENCIALESFUNCIONES EXPONENCIALES .............................................................................................................................................................................................................................................................................. 1201201201201203.3.3.3.3. EVALUACIÓNEVALUACIÓNEVALUACIÓNEVALUACIÓNEVALUACIÓN ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 127127127127127


1.1.1.1.1. REPREPREPREPREPASO DE CONCEPTOSASO DE CONCEPTOSASO DE CONCEPTOSASO DE CONCEPTOSASO DE CONCEPTOS ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 1341341341341342.2.2.2.2. NOCIÓN DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓNNOCIÓN DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓNNOCIÓN DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓNNOCIÓN DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓNNOCIÓN DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓN ........................................................................................................................................................................................................ 1361361361361363.3.3.3.3. CÁLCULO DE LOS LÍMITESCÁLCULO DE LOS LÍMITESCÁLCULO DE LOS LÍMITESCÁLCULO DE LOS LÍMITESCÁLCULO DE LOS LÍMITES ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 1481481481481484.4.4.4.4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓNCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓNCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓNCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓNCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN ..................................................................................................................................................................................................................................................... 1581581581581585.5.5.5.5. EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTOEJERCICIOS DE ENTRENAMIENTOEJERCICIOS DE ENTRENAMIENTOEJERCICIOS DE ENTRENAMIENTOEJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO ................................................................................................................................................................................................................................................ 171171171171171


1.1.1.1.1. DIFERENCIACIÓNDIFERENCIACIÓNDIFERENCIACIÓNDIFERENCIACIÓNDIFERENCIACIÓN ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 1781781781781782.2.2.2.2. REGLAS DE DERIVACIÓNREGLAS DE DERIVACIÓNREGLAS DE DERIVACIÓNREGLAS DE DERIVACIÓNREGLAS DE DERIVACIÓN ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 1801801801801803.3.3.3.3. APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOSAPLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOSAPLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOSAPLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOSAPLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS .................................................................................................................................................................................... 1861861861861864.4.4.4.4. PRÁCTICA DE APLICACIÓNPRÁCTICA DE APLICACIÓNPRÁCTICA DE APLICACIÓNPRÁCTICA DE APLICACIÓNPRÁCTICA DE APLICACIÓN .................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 209209209209209

OBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALES

• Desarrollar las competencias lógico matemáticas delfuturo administrador público territorial, base funda-mental para la toma de decisiones, la comunicacióny planificación.

• Adquirir herramientas de análisis que permitan apo-yar la comprensión de algunas de las temáticas es-tudiadas en la carrera.

• Estudiar algunas aplicaciones de la matemática en laadministración y la economía, especialmente las quese refieren a la maximización de los beneficios, la efi-ciencia de los procesos, lo mismo que a la minimiza-ción de los costos.

I I I I Introducciónntroducciónntroducciónntroducciónntroducción

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Lógica11111 Introducción

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MMMMMatemática Iatemática Iatemática Iatemática Iatemática I

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

El módulo Matemática I, hace parte del núcleo de Fundamenta-ción. Busca el desarrollo del razonamiento matemático algorítmiconecesario para la planificación y toma de decisiones, lo mismo quela apropiación de herramientas matemáticas necesarias para losprocesos de formación y aprendizaje del programa.

Para el estudio del módulo con un nivel de aprovechamiento ópti-mo, es necesario el apoyo de un software educativo de libre uso, elcual puede ser copiado e instalado en el computador de que dis-ponga el estudiante en su casa o trabajo, lo mismo que en la ESAPy que se encuentra en el CD-ROM de apoyo. Otro software es elDERIVE el cual sólo puede ser utilizado en los equipos de la escue-la, dadas las limitaciones de licenciamiento del programa.

El contenido básico del módulo abarca los elementos principalesdel cálculo infinitesimal o diferencial, sin embargo no se centra enel desarrollo de los conceptos meramente matemáticos, sino enlas aplicaciones a las áreas pertenecientes al campo de la adminis-tración pública; por ello, se presentan las ideas y definiciones bá-sicas sin ahondar en demostraciones, centrándose principalmenteen los ejemplos de aplicación. Por esta razón también se omitenalgunas funciones como las trigonométricas, por su escasa aplica-bilidad en este campo.

La estructura de cada capítulo del módulo corresponde a una bre-ve introducción, objetivos y plan de contenido presentados en laprimera página doble. Luego las lecciones conformadas por un tí-tulo, un texto introductorio, un desarrollo de los temas que hacenreferencia luego a unos ejemplos, explicaciones, gráficos, notas ydefiniciones que apoyan tal desarrollo. Con cada lección, unos ejer-cicios y preguntas que sirven como estrategia de aprendizaje per-mitiendo reflexionar o clarificar aspectos básicos del tema que seestudia. Al final de capítulo se presenta una autoevaluación que lepermite al estudiante asegurar que ha asimilado los contenidos yque está en capacidad de presentar sus evaluaciones.

CCCCCapítulo 1apítulo 1apítulo 1apítulo 1apítulo 1LógicaLógicaLógicaLógicaLógica

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Lógica11111

LÓGICALÓGICALÓGICALÓGICALÓGICA

1¿Qué es la lógica?: “La lógica es el estudio de los métodos¿Qué es la lógica?: “La lógica es el estudio de los métodos¿Qué es la lógica?: “La lógica es el estudio de los métodos¿Qué es la lógica?: “La lógica es el estudio de los métodos¿Qué es la lógica?: “La lógica es el estudio de los métodosy principios que se usan para distinguir el razonamientoy principios que se usan para distinguir el razonamientoy principios que se usan para distinguir el razonamientoy principios que se usan para distinguir el razonamientoy principios que se usan para distinguir el razonamientobueno (correcto) del malo (incorrecto). Esta definición nobueno (correcto) del malo (incorrecto). Esta definición nobueno (correcto) del malo (incorrecto). Esta definición nobueno (correcto) del malo (incorrecto). Esta definición nobueno (correcto) del malo (incorrecto). Esta definición noimplica que sólo el estudiante de lógica pueda razonarimplica que sólo el estudiante de lógica pueda razonarimplica que sólo el estudiante de lógica pueda razonarimplica que sólo el estudiante de lógica pueda razonarimplica que sólo el estudiante de lógica pueda razonarbien o correctamente. Pensar así es tan erróneo como creerbien o correctamente. Pensar así es tan erróneo como creerbien o correctamente. Pensar así es tan erróneo como creerbien o correctamente. Pensar así es tan erróneo como creerbien o correctamente. Pensar así es tan erróneo como creerque para correr bien se requiere estudiar la física y la fisio-que para correr bien se requiere estudiar la física y la fisio-que para correr bien se requiere estudiar la física y la fisio-que para correr bien se requiere estudiar la física y la fisio-que para correr bien se requiere estudiar la física y la fisio-logía asociadas con esa actividad. Algunos atletas exce-logía asociadas con esa actividad. Algunos atletas exce-logía asociadas con esa actividad. Algunos atletas exce-logía asociadas con esa actividad. Algunos atletas exce-logía asociadas con esa actividad. Algunos atletas exce-lentes ignoran por completo los procesos complejos quelentes ignoran por completo los procesos complejos quelentes ignoran por completo los procesos complejos quelentes ignoran por completo los procesos complejos quelentes ignoran por completo los procesos complejos quetienen lugar en el interior de su cuerpo cuando están com-tienen lugar en el interior de su cuerpo cuando están com-tienen lugar en el interior de su cuerpo cuando están com-tienen lugar en el interior de su cuerpo cuando están com-tienen lugar en el interior de su cuerpo cuando están com-pitiendo. Sobra decir que los viejos profesores que sabenpitiendo. Sobra decir que los viejos profesores que sabenpitiendo. Sobra decir que los viejos profesores que sabenpitiendo. Sobra decir que los viejos profesores que sabenpitiendo. Sobra decir que los viejos profesores que sabenmucho al respecto no se atreverían a incursionar en elmucho al respecto no se atreverían a incursionar en elmucho al respecto no se atreverían a incursionar en elmucho al respecto no se atreverían a incursionar en elmucho al respecto no se atreverían a incursionar en elterreno atlético. Aun con el mismo aparato nervioso y mus-terreno atlético. Aun con el mismo aparato nervioso y mus-terreno atlético. Aun con el mismo aparato nervioso y mus-terreno atlético. Aun con el mismo aparato nervioso y mus-terreno atlético. Aun con el mismo aparato nervioso y mus-cular básico, la persona que posee tales conocimientoscular básico, la persona que posee tales conocimientoscular básico, la persona que posee tales conocimientoscular básico, la persona que posee tales conocimientoscular básico, la persona que posee tales conocimientosno puede sobrepasar al ‘atleta natural’.”no puede sobrepasar al ‘atleta natural’.”no puede sobrepasar al ‘atleta natural’.”no puede sobrepasar al ‘atleta natural’.”no puede sobrepasar al ‘atleta natural’.”

Irving M. Copi y H Cohen, Irving M. Copi y H Cohen, Irving M. Copi y H Cohen, Irving M. Copi y H Cohen, Irving M. Copi y H Cohen, Introducción a la lógicaIntroducción a la lógicaIntroducción a la lógicaIntroducción a la lógicaIntroducción a la lógica. Edi-. Edi-. Edi-. Edi-. Edi-torial Limusa. México, 1972. p5torial Limusa. México, 1972. p5torial Limusa. México, 1972. p5torial Limusa. México, 1972. p5torial Limusa. México, 1972. p5.....

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PLPLPLPLPLAN DEL CAPÍTULAN DEL CAPÍTULAN DEL CAPÍTULAN DEL CAPÍTULAN DEL CAPÍTULOOOOO

1.1.1.1.1. LÓGICA Y PROPOSICIONESLÓGICA Y PROPOSICIONESLÓGICA Y PROPOSICIONESLÓGICA Y PROPOSICIONESLÓGICA Y PROPOSICIONES

2.2.2.2.2. CONECTORES LÓGICOSCONECTORES LÓGICOSCONECTORES LÓGICOSCONECTORES LÓGICOSCONECTORES LÓGICOS

3.3.3.3.3. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICAOTROS CONCEPTOS EN LÓGICAOTROS CONCEPTOS EN LÓGICAOTROS CONCEPTOS EN LÓGICAOTROS CONCEPTOS EN LÓGICA

OBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALES

• A partir de ejemplos relacionados con la administra-ción pública, apoyar la presentación de los conteni-dos relativos a la lógica matemática para dar al estu-diante elementos que le permitan argumentar cohe-rentemente e interpretar adecuadamente los enuncia-dos presentados por otros.

• Con el estudio de esta unidad el estudiante adquirirálos conocimientos básicos para luego poder definiradecuadamente los conjuntos, dentro de los cualesse cumplen las funciones.

• Mediante la elaboración de un escrito sobre un ensa-yo acerca del entendimiento reflexivo en Hegel, el es-tudiante extrapola la lógica eminentemente matemá-tica hacia el abordaje de la lógica en la filosofía de lasciencias.

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Lógica11111

Doc. 1 Introducción a la LógicaDoc. 1 Introducción a la LógicaDoc. 1 Introducción a la LógicaDoc. 1 Introducción a la LógicaDoc. 1 Introducción a la LógicaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemática

Se ha dicho y escrito con frecuencia frasessimilares a ésta: ‘Este Gobierno tiene buenasintenciones, pero los elementos entorpecen eldespliegue de su buena voluntad’. Y de estamanera se justifica al soberano el que se rom-pan las reglas del juego establecidas en laConstitución y se improvisen leyes ad hoc deacuerdo con la máxima: mejor es ir haciendomientras vamos viendo. En general, se ha he-cho común la percepción de que los gobier-nos y gobernantes que elegimos eran buenosen el papel, pero el país que les tocó manejarinmanejable, y si de algo ha servido el pasadoes para justificar la inmovilidad del presente.

Desde un punto de vista teórico el problema detrasfondo es sobre la existencia de una correla-ción entre sintaxis y semántica. Para fijar ideas,denominemos por El Plan a un conjunto finito deproposiciones y reglas de inferencia; la naturale-za específica de las mismas no nos interesa.Entonces la cuestión a resolver es cuán factiblees que todo lo que en teoría se puede deducir deEl Plan del gobieno de turno es realizable y, recí-procamente, si todos los beneficios posibles detener, dentro de los límites establecidos por nues-tro modo de gobierno, son deducibles a partir deEl Plan. Más precisamente, lo que nos interesadeterminar es si El Plan es correcto y, a la vez,semánticamente suficiente o completo. å

1. LÓGICA Y PROPOSICIONES1. LÓGICA Y PROPOSICIONES1. LÓGICA Y PROPOSICIONES1. LÓGICA Y PROPOSICIONES1. LÓGICA Y PROPOSICIONES

La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógicaproporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico seemplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o nocorrectos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en lasciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en formaconstante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad, como por ejemplo expresar una idea, locual hacemos en todo momento. Al comunicarnos, lo hacemos expresando proposiciones. Una proposicióno enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es unelemento fundamental de la lógica matemática.

1.1 Conocimiento previo de la lógica1.1 Conocimiento previo de la lógica1.1 Conocimiento previo de la lógica1.1 Conocimiento previo de la lógica1.1 Conocimiento previo de la lógica

• Siguiendo la teoría constructivista, antes de seguir con elcontenido, revise el conocimiento previo que tiene acercade la lógica con el ejercicio 1, basado en el Doc 1.

1.2 Definición de lógica1.2 Definición de lógica1.2 Definición de lógica1.2 Definición de lógica1.2 Definición de lógica

• Se entiende por lógica aquel procedimiento intelectual, quetodo ser pensante ejercita claro, exacto y ordenado, apli-cando el tratado de las leyes del pensamiento y dedicado,en su mayor parte, a estudiar las maneras como el enten-dimiento avanza o fracasa en su avance.

• Por desgracia en las épocas en que la ciencia progresa rápi-damente, y con amplitud, frecuentemente se descuida lareflexión acerca de los fundamentos científicos mismos. Talcosa ocurrió con la matemática en el siglo XVIII, y con labiología en el siglo XIX. Y en nuestros días el significadofilosófico de la nueva lógica, el carácter de sus supuestos ylas perspectivas de sus aplicaciones posibles sólo despiertanun interés muy menguado para la meditación reflexiva.

1.3 T1.3 T1.3 T1.3 T1.3 También es una Cienciaambién es una Cienciaambién es una Cienciaambién es una Cienciaambién es una Ciencia

• La lógica es también la disciplina que estudia la estructura,fundamento y uso de las expresiones del conocimiento hu-mano. Cuenta con una serie coherente de ideas y razona-mientos que permiten de cierta manera afirmar que es laciencia del pensamiento. En el Doc. 2 podemos ver que lalógica puede ser abordada dividiéndola en dos tipos.

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Existe un plan, en el sentido definido anteriormente, para la Matemática que es correcto y completo, por lo que, a riesgo deparecer sofistas, si asumimos que nuestro universo es matematizable, concluimos que un plan correcto y completo debe serposible para nuestra nación. Siguiendo este curso de ideas, usted puede que se sienta tentado a estudiar un curso de Fundamen-tos de la Matemática y, por traslación del razonamiento matemático al problema social que nos incumbe, halle una explicaciónsatisfactoria al por qué no hemos tenido un gobierno con un plan correcto y completo. El utilizar el discurso científico paraexplicar eventos sociales no debe incomodar a nadie, puesto que este modo de retórica lo pusieron de moda los mismossociólogos. Así que procedamos sin temores.

El elemento esencial para garantizar la correctitud de El Plan, cualquiera sea éste, es que sea conservativo respecto a la validezde sus premisas; esto es, si las hipótesis son ciertas, entonces lo que se deduce a partir de ellas, siguiendo los principios deinferencia establecidos, debe también ser cierto. Esto no es difícil de lograr y no se necesita elaborar proposiciones y reglas muysofisticadas. En general, basta legislar los derechos fundamentales del hombre y establecer unos cuantos silogismos, comoaquel famoso de Aristóteles: si se tiene que la proposición A implica proposición B y se tiene A, entonces necesariamente setiene B. Aunque no todas las leyes del pensamiento son silogismos, éstos pueden llevarnos un largo trecho a través de un granconjunto de propuestas válidas que se deducen a partir de nuestro conjunto inicial de ideas válidas. Suponiendo entonces quelos principios de inferencia en El Plan son conservadores del valor de verdad, como expliqué antes, ante una proposición falsaque quienes gobiernan afirman haber derivado de acuerdo con El Plan, usted puede concluir con certeza que este plan esincorrecto o nuestros gobernantes nos engañan.

Un poco más difícil es demostrar la suficiencia semántica. Lo que debe usted hacer es comenzando desde cero, agregar al universotodos los individuos posibles a los cuales las leyes en El Plan hacen referencia, hasta que inductivamente usted rellena el mundode todos los beneficios posibles de obtener. Así, de una manera constructiva, usted determina las limitaciones del Gobierno.

La conclusión final de esta lección de Lógica es que, para su tranquilidad, si los planes futuros y bien intencionados de unpresidente y su equipo no se materializan, no crea que es sólo por insuficiencia semántica que usted y yo compartimos, comoherederos del desastroso país que fuimos, sino también, y más probablemente, por incorrectitud del conjunto de ideas econó-micas, sociales y políticas que diseñan quienes nos gobiernan.

Argimiro Arratia. Artículo publicado en El Universal,Sección de Opinión, cuerpo 1, p.6, Caracas,miércoles 30 de agosto, 2000.

Doc. 1 ContinuaciónDoc. 1 ContinuaciónDoc. 1 ContinuaciónDoc. 1 ContinuaciónDoc. 1 Continuación

EJERCICIO 1EJERCICIO 1EJERCICIO 1EJERCICIO 1EJERCICIO 1

••••• Describa en un parrafo de tres a cinco renglones lo que significa para usted la lógica.

••••• ¿Que elementos de la lectura anterior encuentra relacionados con la lógica matemática?

••••• Justifique si la idea central de la lectura corresponde a un problema objeto de la lógica o no.

••••• Discuta a cerca del valor de verdad del enunciado “Suponiendo entonces que los principios deinferencia en El Plan son conservadores del valor de verdad, como expliqué antes, ante una proposi-ción falsa que quienes gobiernan afirman haber derivado de acuerdo con El Plan, usted puede con-cluir con certeza que este plan es incorrecto o nuestros gobernantes nos engañan.” No se preocupe,inténtelo con los conocimientos que tiene en este momento.

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Lógica11111

1.41.41.41.41.4 ProposicionesProposicionesProposicionesProposicionesProposiciones

• Enunciado (o declaracion verbal) suceptible de ser verda-dero o falso, este se denotará por las letras

p, q, r

con o sin subíndices. El carácter fundamental de un enun-ciado es que o bien es verdadero, o bien es falso, pero noambas cosas. La verdad o falsedad de un enunciado sellama su valor de verdad. Algunos enunciados son compuestos,es decir están formados por enunciados simples y varias co-nectivas. Ejemplo 1.

• La propiedad fundamental de los enunciados compuestoses que su valor de verdad está determinado por completopor el valor de verdad de cada uno de los enunciados sim-ples y por el modo como se les reúne para formar el enun-ciado compuesto.

• Los razonamientos a que se hace referencia en este apartedel módulo son relativamente simples, como los mostra-dos en el ejemplo 2.

“La primera es conocida como el conjunto de leyes que rigen nuestro pensamiento cuando pensamos correctamente. En rigor,el pensar correctamente se da cuando existen determinadas condiciones fisiológicas, educativas y morales. Pero no se puedeesperar que ningún tratado de lógica se ocupe de las condiciones fisiológicas y morales que son necesarias para tener unamente sana; La lógica formal consiste entonces en el estudio de las inferencias. La segunda es conocida como la teoría científicadel razonamiento, con exclusión de los procesos sicológicos que intervienen en él, y que se divide en cálculo de enunciados ycálculo de predicados. Su desarrollo ha permitido efectuar la formalización de las matemáticas. Las palabras o locucionesutilizadas en el lenguaje corriente son sustituidas por símbolos. La lengua así formada es un sistema de símbolos en el cual lasformas lógicas ocupan el lugar de las formas gramaticales.”

Rodríguez Yolanda. Cálculo Infinitesimal. Documento interno de compilación de contenido para el programa deAdministración Pública Municipal y Regional de la ESAP,p.67.

Doc. 2 La lógica puede ser formal o lógica matemáticaDoc. 2 La lógica puede ser formal o lógica matemáticaDoc. 2 La lógica puede ser formal o lógica matemáticaDoc. 2 La lógica puede ser formal o lógica matemáticaDoc. 2 La lógica puede ser formal o lógica matemática

EJEMPLO 1EJEMPLO 1EJEMPLO 1EJEMPLO 1EJEMPLO 1

“En el sistema político español hay unamonarquía parlamentaria estable y enel francés un gobierno democráticodirigido por un presidente” es unamuestra de un enunciado compuestopor dos enunciados simples: “En elsistema político español hay una mo-narquía parlamentaria estable” el pri-mero y el segundo “En el sistema po-lítico francés hay un gobierno demo-crático dirigido por un presidente”.

“¿Quien será el próximo presidente deColombia?” no se considera un enun-ciado, por que no se puede definir sies falso o verdadero.

“Los países toman dinero prestado enlos mercados de capitales o piden ainstituciones financieras internaciona-les para pagar infraestructuras” estaproposición está formada por dosenunciados simples “Los países to-man dinero prestado en los mercadosde capitales para pagar infraestructu-ras” y “Los países piden a institucio-nes financieras internacionales parapagar infraestructuras”

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1. En 1993 Perú tenía un gobierno democrático o tenia unrégimen dictatorial.

2. En 1993 Perú no tenía un gobierno democrático

3. Luego Perú tenía un régimen dictatorial.

El señor Diaz es el vecino del concejal que vive en la casade al lado, entonces el señor Diaz vive a la mitad del cami-no entre Bogotá y Tunja. El señor Diaz no vive a mitad decamino entre Bogotá y Tunja

Luego, el señor Díaz no es el vecino del concejal que viveen la casa de al lado.

Todo razonamiento de este tipo general contiene al menosun enunciado compuesto. Al estudiar tales razonamientos,se acostumbra dividir todos los enunciados en dos cate-gorías generales: los simples y los compuestos. Un enun-ciado simple es aquel que no contiene ningún otro enun-ciado como parte constituyente de sí mismo. Un enucia-do compuesto es aquel que contiene otro enunciado comoparte constituyente de sí mismo.


••••• ¿Cual es la idea principal que se in-tenta expresar en la lectura 3?.

••••• Según la misma lectura, ¿Cuál es elproblema lógico que se presenta alcomunicar ideas por medio del len-guaje?

••••• Subraye los términos que aún no co-noce para la comprensión total deltexto. Remítase a los libros de filoso-fía que tenga a su alcance para acla-rarlos, de no tenerlos consulte a sututor.


••••• De las lecturas que le han asignadoen los otros módulos, tome 5 ejem-plos de enunciados simples y 5 deenunciados compuestos.

••••• ¿Cuales ejemplos de enunciado fue-ron más fáciles de conseguir?. Esto,¿Qué le permite suponer?

26

Lógica11111

å

El sistema ciencia comunica en el particular código de la verdad objetiva y sistemática. La ciencia fáctica presupone una lógicabivalente –verdad / falsedad–, aunque algunas teorías presuponen lógicas no ordinarias.

Cuando definimos la función de la lógica en el proceso del conocer científico, de acuerdo a la dialéctica, ésta consiste en“adaptarse a la realidad”. Es la definición débil, representacionista. Sin embargo, al proceder de este modo, confundimos lalógica con la estructura de la realidad y con algunos otros conceptos, tales como el de modelo. La función de la lógica no esadaptarse a la realidad, sino más bien en hacer ésta comunicable en términos de conjunto de proposiciones verdaderasvinculadas sistemáticamente. Más precisamente, la función de la lógica es el cálculo de proposiciones, en un sentido inductivoo deductivo, que permita validar la conexión entre proposiciones. Los resultados de estos cálculos son multiformes, y van desdeel desprendimiento de nuevas proposiciones (generación de hipótesis) hasta la evaluación de teorías (control).

Pero no hay que olvidar que la pretensión hegeliana es dar cuenta de la transformación, y es por ello que incorpora la categoríade contradicción. La hipótesis general es simple: la transformación es cambio, y el cambio es obra de la oposición de entidadescontrarias, que explica la transformación de los estados de las entidades que se oponen. Hegel plantea que la dialéctica es unarepresentación de lo real viviente, que en cuanto y en tanto unidad, contiene los términos de identidad y de contradicción.

El problema se plantea cuando comunicamos esta idea a través del lenguaje. Supongamos el siguiente ejercicio: Es cierto queuna entidad es A y ~ A.

Pero la mera inclusión de “y” en la sintaxis de la proposición nos demuestra que:

A ~ A A ∧∧∧∧∧ ~ AV F FF V F

La refutación pueril a esta conclusión es que la lógica proposicional no encaja con la realidad. Pues bien, úsese el lenguajeordinario, lo que tenemos es la siguiente oración: “las cosas son no son al mismo tiempo”. ¿Y por qué no está en la oración el“y”? Porque el “y” es la lectura del ∧∧∧∧∧ , que es la conjunción o producto lógico. Sin embargo, más de uno insistirá: Si tomamos unperíodo, encontraremos A y ~ A como estados. Pero, como es obvio, ya no estamos comunicando lo que originalmentequeríamos comunicar: esta nueva comunicación es la de un proceso o “secuencia temporalmente ordenada de acontecimien-tos, tal que cada miembro de la secuencia toma parte en la determinación del miembro siguiente”, como por ejemplo el procesovital (vida–muerte).

La única manera de comunicar la idea original es mediante una “paradoja”, y las paradojas son problematizaciones (no sondescripciones o explicaciones) de la realidad, que se resuelven adicionando en la formulación lingüística una tercera entidad. Enel caso de la dialéctica, el problema se resuelve sólo si la tercera entidad es de un nivel de realidad distinto al nivel de los dostérminos antitéticos (o aparentemente antitéticos) que incluye. Lo veremos en la siguiente parte y final.

Por otra parte, algunos han confundido el problema de la lógica y la representación de otro modo. Es lo denominado “lógicaborrosa”.

Doc. 3 Lógica como representación y lógica como lenguajeDoc. 3 Lógica como representación y lógica como lenguajeDoc. 3 Lógica como representación y lógica como lenguajeDoc. 3 Lógica como representación y lógica como lenguajeDoc. 3 Lógica como representación y lógica como lenguaje

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A modo de ejemplo, expongamos la siguiente idea: “la lógica formal tradicional no encaja con nuestro objeto de estudio, por dosrazones al menos. La primera... porque se requiere un modo de pensar no lineal, sino reticular y, mejor todavía, sistémico... Lasegunda razón es todavía más obvia. La lógica formal en que hemos sido entrenados se basa en el empleo cualitativo deinclusión y exclusión...para caracterizar los fenómenos sociales y encajarlos en los esquemas tipológicos que, explícita oimplícitamente, utilizamos como referencia”. En suma, supone la tesis que la lógica debe “adaptarse a la realidad”. Pero escuestionable también por otras razones.

El primer argumento se rebate con dos ejemplos simples: i) El estudio general de la continuidad lo emprende la topología, quees una creación matemática de Poincaré; y, ii) los códigos de los sistemas Luhmannianos son binarios. Tanto la teoría delcontinuum como el pensamiento sistémico, matemática y sociología, no sólo no son incompatibles con la lógica formal, sinoque la requieren.

El segundo argumento, confunde un caso particular de agrupaciones científicas, el más simple, la clasificación divisoria, contoda la amplia gama de clasificaciones posibles. Si la división es correcta (el dominio del discurso es igual a la unión de A y ~Ay que la intersección de A y ~A es ~ ), un elemento pertinente podrá ser incluido en el subconjunto de uno de los términos.

Si un elemento es excluido de ambos subconjuntos, está mal definido el elemento (vaguedad) o existe independencia entre elcriterio de división y el elemento (el agua no puede ser incluida en la dicotomía comestible/ no–comestible; sino en la dicotomíabebible/ no–bebible).

Además, concibe la tipología como un instrumento “anterior”, más elemental, respecto de la clasificación; cuando no lo es. Unatipología es el resultado de un sistema de coordenadas, un espacio de atributos. Teórica y metodológicamente, una tipologíaimplica una correlación que un agregado social posee entre dos conceptos de clase, con niveles de medición variados, como lapropuesta de Fromm, grado de autoridad de los padres y grado de aceptación (de dicha autoridad) por los hijos; y que le produjocuatro tipos de relaciones de autoridad: autoridad absoluta, autoridad normal, falta de autoridad y rebelión. Por lo tanto, latipología es un subproducto del juego teórico y metodológico entre dos clasificaciones, en el ejemplo anterior, la clasificaciónentre autoridad de los padres (que en realidad es de un tipo especial, la ordenación, puesto que establece relaciones asimétricasy transitivas entre dos miembros, por ejemplo, un miembro con autoridad débil y otro con autoridad fuerte) y la clasificación degrados de aceptación de los hijos (también ordenada: baja, media, fuerte).

Esta refutación no impide estar de acuerdo en que “definir exactamente lo que es y lo que no es el objeto examinado” es muydifícil, pues “A veces, la vaguedad conceptual refleja una nebulosidad o indeterminación objetiva, no en el sentido de que loshechos sean confusos, pero sí en el de que entre los géneros naturales hay a menudo formas de transición. Estas formas detransición impiden una demarcación tajante, dan lugar a vaguedad conceptual y pueden arruinar incluso clasificaciones”. Peroeste problema no lo resuelve un continuum donde el fenómeno se ubica entre dos tipos ideales, a lo Weber, puesto que volvemosal mismo argumento anterior.”

Gilbert Galassi, Jorge. “Lógica y Epistemología de la Ciencia Social. Ensayo sobre el entendimiento reflexivo en Hegel”. EnCinta de Moebio No.5. Abril de 1999. http://rehue.csociales.uchile.cl/publicaciones/moebio/05/frames13.htm,

Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile

Doc. 3 ContinuaciónDoc. 3 ContinuaciónDoc. 3 ContinuaciónDoc. 3 ContinuaciónDoc. 3 Continuación

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Lógica111112. CONECTORES LÓGICOS2. CONECTORES LÓGICOS2. CONECTORES LÓGICOS2. CONECTORES LÓGICOS2. CONECTORES LÓGICOS

Los conectores lógicos son enlaces que permiten formar enunciados compuestos por más de una proposi-ción. Estos conectores son la parte fundamental de la llamada lógica booleana, muy de moda actualmente porsu importancia en los sistemas computacionales.

2.1 La Conjunción2.1 La Conjunción2.1 La Conjunción2.1 La Conjunción2.1 La Conjunción

• El primer tipo de enunciado compuesto que se estudiaráes la CONJUNCION. Cuando dos enunciados se combi-nan mediante la palabra “y”, el enunciado compuesto re-sultante es una conjunción y los dos enunciados que secombinan son llamados “conjuntivos”. Ejemplo 3.

• Para determinar el valor de verdad de los enunciados com-puestos se debe tener en cuenta que existe una conexiónnecesaria entre el valor de verdad de una conjunción y losvalores de verdad de sus componentes, el cual puede es-tudiarse en la explicación 1.

2.2 La negación de un enunciado2.2 La negación de un enunciado2.2 La negación de un enunciado2.2 La negación de un enunciado2.2 La negación de un enunciado

• Se forma generalmente agregando un “no” en el enuncia-do original. También es posible expresar la negación de unenunciado anteponiéndole la frase “ es falso que” o “nose da el caso que”. Se acostumbra a usar el símbolo “~”para expresar la negación de un enunciado. Revise la ex-plicación 2 aplicada al ejemplo 4.

2.3 La Disyunción2.3 La Disyunción2.3 La Disyunción2.3 La Disyunción2.3 La Disyunción

• Conocida también como la alteración de dos enunciadosse forma insertando la palabra “o” entre ellos. Estos sonconocidos como los disyuntivos (o alternativos). Vea la ex-plicación 3 aplicada al ejemplo 5.


“La participación ciudadana es un de-recho y un deber” es una conjuncióncuyo primer conjuntivo es “La partici-pación ciudadana es un derecho” ycuyo segundo conjuntivo es “La parti-cipación ciudadana es un deber”. Paratener un símbolo cuya única función seaconectar los enunciados conjuntiva-mente se introduce el símbolo “Ù” . Laconjunción anterior puede escribirseasí: “La participación ciudadana es underecho” Ù “La participación ciudada-na es un deber”. Con mayor generali-dad, si p y q son dos enuciados cua-lesquiera, su conjunción puede excri-birse p Ù q .


••••• Como representamos el enun-ciado escrito así “La participa-ción ciudadana es un derechoy un deber de obligatorio cum-plimiento”.

••••• Representa tambien “El plande desarrollo debe ser com-pleto y correcto”.

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EXPLICACIÓN 2EXPLICACIÓN 2EXPLICACIÓN 2EXPLICACIÓN 2EXPLICACIÓN 2

La negación de todo enunciado verdadero esfalsa y la negación de todo enunciado falso esverdadera. Lo anterior se representa median-te una tabla así:

PPPPP ~ ppppp ExplicaciónExplicaciónExplicaciónExplicaciónExplicación

V F Si negamos un enunciado que es ver-

dadero hemos construido un enun

ciado falso.

F V Si negamos un enunciado que es fal-

so hemos construido un enunciado

verdadero.

La tabla de verdad puede considerarse comola definición del símbolo de negación “~”.


UNA CONJUNCION ES VERDADERA SIAMBOS COMPONENTES SON VERDADE-ROS Y FALSA EN CASO CONTRARIO.

Dados dos enunciados, p y q , hay solamen-te cuatro conjuntos posibles de valores deverdad que se les pueden asignar, donde elvalor de verdad de un enunciado es p y qverdad y el valor de verdad de un enunciadofalso es falsedad. Expresando los valoresde verdad con mayúsculas V y F , estos sepueden plantear por medio de una tabla deverdad de la siguiente manera:

p p p p p q pq pq pq pq p ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ qqqqq ExplicaciónExplicaciónExplicaciónExplicaciónExplicación

V V V Si p es verdadero y q

es verdadero, p ∧ q

es verdadero

V F F Si p es verdadero y

q es falso, p ∧ q es

falso

F V F Si p es falso y q es

verdadero, p ∧ q es

falso

F F F Si p es falso y q es

falso, p ∧ q es falso

Como lo muestra la tabla de verdad quedefine el símbolo “∧ ” , una conjunción esverdadera si, y sólo si, ambos compues-tos son verdaderos.


Si P representa el enunciado “Todos losgobernantes son justos”, los enunciados“ No todos los gobernantes son justos”,“Algunos gobernantes no son justos”, “Es falso que todos los gobernantes sonjustos”, pueden simbolizarse indistintamen-te como ~ M.

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Lógica11111


La palabra “ó” tiene dos significados:

“Se otorgarán primas en caso de enfermedad o desempleo”;la intención, es afirmar que se aprobarán las primas no sola-mente a personas enfermas o a personas sin empleo, sinotambién a las que al mismo tiempo estén enfermas y sin em-pleo. En este sentido la palabra “o” es llamada en sentidoinclusivo.

La palabra “o” también se usa en un sentido fuerte o exclusi-vo, cuyo significado no es “al menos uno”, sino “al menosuno y a lo sumo uno”.

Si en el menú de precio fijo de un restaurante se indica “ensa-lada o postre”, lo que se quiere decir es que, por el precio dela comida, el comensal puede elegir uno u otro, pero no am-bos .


UNA DISYUNCIÓN INCLUSIVA ES VERDADERA SI UNO DE LOS DISYUNTI-VOS O AMBOS SON VERDADEROS. SOLAMENTE EN EL CASO EN QUEAMBAS SEAN FALSAS ES FALSA LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA.

De acuerdo al ejemplo 5ejemplo 5ejemplo 5ejemplo 5ejemplo 5 se interpreta la disyunción inclusiva de dosenunciados en el sentido que afirma la verdad de al menos uno de los dosenunciados y su disyunción exclusiva como si afirmara que al menos unode los dos enunciados es verdadero. Este significado común parcial,según el cual al menos uno de los disyuntivos es verdadero constituyetodo el significado de “o” inclusivo y una parte del significado del “o”exclusivo. El “o” se representa con el símbolo “ ∨ ” y queda simbolizadapor la siguiente tabla

p q p ∨ q La disyunción es

V V V Verdadera si alguno de sus enunciados es ver-dadero

V F VF V VF F F Falsa si todos sus enunciadosson falsos.

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2.42.42.42.42.4 El CondicionalEl CondicionalEl CondicionalEl CondicionalEl Condicional

• Si se combinan dos enunciados utilizando laexpresión “si” antes del primero y luego seescribe entre ellos la palabra “entonces” elenunciado compuesto resultante es un con-dicional (también llamado enunciado hipotéti-co, una implicación o un enunciado implicativo).En un condicional, el componente que sehalla entre el “si” y el “entonces” es llamadoantecedente o premisa y el componente quesigue a la palabra “entonces” es el consecuen-te, ó conclusión. Véanse los ejemplos 6y 7.


“Si el plan de gobierno es realizable, entonces nuestrogobernante ha actuado honestamente”. En este enun-ciado “el plan de gobierno es realizable” es el antece-dente, y “nuestro gobernante ha actuado honestamen-te” es el consecuente.

Un enunciado condicional afirma que su antecedenteimplica su consecuente. No afirma que su antecedentesea verdadero, sino solamente que si el antecedente esverdadero, entonces su consecuente también es verda-dero. Tampoco afirma que el consecuente sea verda-dero, sino solamente que su consecuente es verdaderosi el antecedente lo es.

Se sabe que en un enunciado condicional “Si p enton-ces q” es falso, en caso de que la conjunción ( p ∧ ~ p)sea verdadera, es decir, en el caso de que su antece-dente sea verdadero y su consecuente falso. Para quesea verdadero un condicional, pues debe ser falsa laconjunción indicada, esto es, debe ser verdadera su ne-gación ~(p ∧ ~ q). Expresado de otro modo, para queun condicional “Si p entonces q ” sea verdadero, debeser verdadera también ~(p ∧ ~ q), la negación de laconjunción de su antecedente con la negación de suconsecuente. El símbolo usado comúnmente para re-presentar la expresión “si-entonces” es “→” . La tablade verdad correspondiente es:

Aquí las dos primeras columnas sirven de guía, la terce-

p q ~ q p ∧ ~ q ~(p ∧ ~ q) (p→q) El condicional es

V F V V F F Falso, sólo en el caso en elque de una verdad se llega auna falsedad

F V F F V V Es consistente que de unaF F V F V V falsedad se llegue a una ver--V V F F V V dad, de una falsedad a otra, o

de una verdad a otra.

ra se llena tomando como punto de referencia la segun-da, la cuarta tomando como referencia la primera y latercera, la quinta tomando como referencia la cuarta yla sexta es idéntica a la quinta por definición.


(p→q) : “Si Pedro ha hecho un trabajocomunitario notable, puede salir elec-to como concejal”

Si P es falsa, es decir, “Pedro no hahecho un trabajo comunitario notable”y es cierto que “Pedro sale electocomo concejal”, el razonamiento(p→q) sigue siendo cierto, aún si noes electo. Pero si “Pedro ha hecho untrabajo comunitario notable” y “Pedrono es elegido concejal” tendremos queel enunciado (p→q) es falso.

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Lógica11111


UNA PROPOSICIÓN BICONDICIONAL ES VER-DADERA CUANDO LAS DOS PROPOSICIONESQUE LA FORMAN TIENEN EL MISMO VALORDE VERDAD.

Lo anterior se puede representar mediante unatabla así:

P q p ↔q La proposición bicondi-

cional es

V V V verdadera sí los dos

enunciados que la con -

forman tienen el mismo

F F V valor de verdad, entién

dase, ambas verdaderas

o ambas falsas.

V F F Falsa si los enunciados

F V F tienen distinto valor de

verdad, es decir uno ver

dadero y otro falso o vi

ceversa.

2.52.52.52.52.5 Doble condicionalDoble condicionalDoble condicionalDoble condicionalDoble condicional

• Al unir dos enunciados utilizando la expresión “si y solosí” en el enunciado compuesto, el resultante es un doblecondicional. Aquí se incluyen los conceptos de condiciónnecesaria y condición suficiente (Doc. 4), existen circuns-tancias que deben ser necesarias para que se produz-can. Se simboliza cualquiera de estas oraciones por elsímbolo “ ↔” y en general, “q es una condición necesariade p” y “p sólo si q”. Cada uno de los enunciados sim-ples es consecuencia del otro, como se ve en el ejemplo8. Para mejor comprensión vaya a la explicación 4 don-de se sintetiza esto en una tabla de valores de verdad.


“Se efectúa una licitación pública si ysolamente si el monto de la adquisi-ción excede la mayor cuantía”.

Utilizando el condicional para unir es-tos enunciados se tiene que

“Si se efectúa una licitación pública en-tonces el monto de la adquisición ex-cede la mayor cuantía”, aquí se sim-boliza q → p

“Si el monto de la adquisición excedela mayor cuantía entonces se efectúauna licitación pública”. (p → q)

La primera implicación es necesariapara que se de la segunda, la segun-da es suficiente para que se de la pri-mera .

Luego se puede escribir “Se efectúauna licitación pública si y solamente siel monto de la adquisición excede lamayor cuantía” lo que simbólicamen-te se representa: (p ↔ q)

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“Hay conceptos que empleamos frecuentemente en nuestros razona-mientos y que, en tanto se manifiesten en el marco del lenguaje ordi-nario, no suelen crear ningún problema de ambigüedad, entre otrosmotivos porque normalmente el propio contexto extralingüístico queproporciona la vida cotidiana es suficiente para solucionar dichosproblemas. Pero la cosa se complica cuando necesitamos hacer unuso científico de los mismos. Evidentemente, por ejemplo, no pode-mos decir que según Einstein todo es relativo, con el significado queestamos acostumbrados a dar a dicha expresión en el lenguaje natu-ral. Habrá que ser rigurosos con su significado científico.

Pues bien, lo mismo que con los conceptos ocurre con determinadasrelaciones de tipo lógico. Aquí vamos a tratar fundamentalmente deaclarar y diferenciar el uso lógico de lo que se ha venido llamandoCONDICIÓN NECESARIA y CONDICIÓN SUFICIENTE, cuyo empleo enel lenguaje se lleva a cabo a través de oraciones condicionales y otrasequivalentes, así como de analizar la presencia de tales estructurasrelacionales, así definidas, en el lenguaje natural y el modo en quepueden descubrirse.

Se entiende equivalentes desde el punto de vista del significado, de loque se quiere decir. Por ejemplo:

a) Si llueve, crecen las plantasb) Al llover, crecen las plantasc) Cuando llueve, crecen las plantas.d) El crecimiento de las plantas se debe a la lluvia..

Zaldivar Soriano, Santiago.“ Estructura Lógica de las OracionesCondicionales”. En: Eúphoros Nº 2 Centro Asociado de la UNED

Algeciras. pp. 67-96.

Doc. 4 Estructura lógica de las oraciones condicionalesDoc. 4 Estructura lógica de las oraciones condicionalesDoc. 4 Estructura lógica de las oraciones condicionalesDoc. 4 Estructura lógica de las oraciones condicionalesDoc. 4 Estructura lógica de las oraciones condicionales

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Lógica111113. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICA3. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICA3. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICA3. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICA3. OTROS CONCEPTOS EN LÓGICA


“bien suba o baje el dólar, nuestra moneda seguirá siendodébil”. La representación de esta tautología se observa enla siguiente tabla de verdad:

ppppp qqqqq ~ ppppp ppppp ∧∧∧∧∧ ~ppppp (((((ppppp ∧∧∧∧∧ ~ppppp) ) ) ) ) →→→→→ qqqqq

V V F F V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

••••• Elabore dos enunciados y represente con ellos la tauto-logía de la tabla anterior.

De una forma de enunciado que solamente tiene ejemplosde sustitución falsos se dice que es contradictoria o que esuna contradicción, y es lógicamente falsa.

Cuando en las formas de enunciados que se tienen entrelos ejemplos de sustitución hay tanto verdaderos comofalsos, son llamados formas de enunciados indetermina-das o que son una indeterminación.

ppppp q q q q q ~ppppp ppppp →→→→→ qqqqq qqqqq →→→→→ ~ppppp ( ( ( ( (ppppp →→→→→ qqqqq) ) ) ) ) ↔↔↔↔↔ ( ( ( ( (qqqqq →→→→→ ~ppppp)))))

V V F V F FV F F F V F

F V V V V V

F F V V V V

••••• Elabore dos enunciados y represente con ellos la con-tradicción de la tabla anterior.

3.1 Formas de Enunciados3.1 Formas de Enunciados3.1 Formas de Enunciados3.1 Formas de Enunciados3.1 Formas de Enunciados

Una forma de enunciado que sólo tiene ejemplos de sustitución verdaderos es una forma tautológica de enun-ciado o una tautología. Esta resulta de hallar el valor de verdad de la combinación de varias proposicionescompuestas.

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En el razonamiento “Ningún atleta esvegetariano”. “Todos los jugadores defútbol son atletas”. Luego, “Ningún ju-gador de fútbol es vegetariano”, tantola premisa como la conclusión son pro-posiciones categóricas. Aquí las pre-misas y la conclusión del razonamien-to son aserciones acerca de la clasede todos los atletas. La clase de todoslos vegetarianos y la clase de todos lojugadores de fútbol.

Las clases pueden estar relacionadasentre sí de diversas maneras. Si todomiembro de una clase es miembro deotra clase, se dice que la primera estáincluida o contenida en la segunda.Si solamente algunos miembros de unaclase son también miembros de otra,se dice que la primera está contenidaparcialmente en la segunda.


También pares de clases que no tie-nen ningún miembro en común. Comola clase de todos los triángulos y laclase de todos los círculos. Las pro-posiciones categóricas afirman o nie-gan estas diversas relaciones entreclases.

3.2 Proposiciones Categóricas3.2 Proposiciones Categóricas3.2 Proposiciones Categóricas3.2 Proposiciones Categóricas3.2 Proposiciones Categóricas

Las proposiciones de este tipo pueden ser con-sideradas como aserciones acerca de clases, queafirman o niegan que una clase esté incluidaen otra, total o parcialmente.


Hay cuatro formas típicas de proposiciones ca-tegóricas que son:

Todos los políticos son mentirosos

Ningún político es mentiroso

Algunos políticos son mentirosos

Algunos políticos no son mentirosos

La primera es una proposición universal afir-mativa. Es una aserción de dos clases, la detodos los políticos y la de los mentirosos, yafirma que la primera clase está incluida o con-tenida en la segunda; esto significa que todomiembro de la primera clase es también de lasegunda. En este ejemplo, el término sujeto“políticos” designa la clase de todos los políti-cos, y el término predicado “mentiroso” de-signa la clase de todos los mentirosos. Todaproposición universal afirmativa puede escri-birse así:

Todo S es P.

La segunda “Ningún político es mentiroso” esuna proposición universal negativa. Niega uni-versalmente de los políticos que sean mentiro-sos. Hace una aserción acerca de dos clases,dice que la primera clase está excluida de lasegunda, - totalmente excluida-, lo que equi-vale a decir que no hay ningún miembro de laprimera que sea también miembro de la se-gunda. Toda proposición universal negativapuede escribirse así:

Ningún S es P

La tercera “Algunos políticos son mentirosos”es una proposición particular afirmativa. Comoes obvio, lo que se afirma en este caso es quealgunos miembros de la clase de todos lospolíticos son también miembros de la clasede todos los mentirosos. Esta proposición noafirma ni niega que todos los políticos seanmentirosos; no se pronuncia sobre la cuestión.No afirma literalmente que algunos políticosno sean mentirosos

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Lógica11111

Figura 1. ¿Qué expresan los cuantificadores?

3.3 Cuantificadores3.3 Cuantificadores3.3 Cuantificadores3.3 Cuantificadores3.3 Cuantificadores

Los cuantificadores se utilizan para precisar el lenguaje mate-mático, cuando una proposición se cuantifica, se sabe cuán-tos elementos la satisfacen. En la figura se muestran las posibi-lidades que se deben describir con los cuantificadores:Cuantificador universal, cuantificador existencial, la negacióndel cuantificador universal y la del existencial.

La expresión “para todo” se denomina cuantificador universaly se simboliza por ∀ .


••••• Sea m un municipio,

∀

m tiene un plan de desarrollo.

La expresión “existe algún” se denomina cuantificadorexistencial y se simboliza ∃

Las expresiones para indicar el cuantificador existencialson: para algún x algunos x..., hay un x tal que...,algúnx..., existe un x tal que...,...


· Sea x un número,∃ x : x + 10 = 5,significa que existe algún x tal quehace valida la ecuación x + 10 = 5

· Sea m un municipio, ∃ m: m no tie-ne un plan de desarrollo. Nos ha-bla de la existencia de por lo me-nos un municipio que no tiene plande desarrollo.

Negar una proposición que utiliza elcuantificador universal, significa que secambia éste por el existencial y se nie-ga la proposición.

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· El que sea cierto que “exista un municipio que no tiene plan de desarrollo”, vuelve falsa la proposición“Todo municipio tiene un plan de desarrollo”.

Negar una proposición que maneja el cuantificador existencial, significa que el cuantificador existenciales reemplazado por el universal y se niega la proposición.

E jemplo

· Si se niega que “exista un municipio que no tiene plan de desarrollo”, se afirma la proposición “Todomunicipio tiene un plan de desarrollo”.

EVEVEVEVEVALALALALALUUUUUACIÓNACIÓNACIÓNACIÓNACIÓN

Desarrolle con su grupo de estudio, los siguien-tes ejercicios. Si tiene dificultades, repase la uni-dad cuidadosamente y consulte a sus compañe-ros de equipo, si aún perseveran las dificultadesanótelas y preséntelas al tutor en la próxima se-sión presencial.

1. Sean “p” “Hay movimientos al margen de laley” y “q “ “Hay redistribución del ingreso“.Describir con un verbalmente los siguientesenunciados:

a) ~p

b) p ∧ q

c) p ∧ q

d) p ↔ q

e) p → ~ q

f) p ∧ ~ q

g) ~p ∧ ~ q

h) p ↔ ~ q

i) ~~ q

j) (p ∧ ~ q) → p

2. Escribir los siguientes enunciados en forma sim-bólica, utilizando “p” y “q” para representar

a) Diana tiene un buen abogado

b) Carlos no presenta una queja

c) No es cierto que Diana tiene un buen aboga-d o

d) Diana tiene un buen abogado y Carlos pre-senta una queja

e) Carlos presenta una queja entonces Diana tie-ne un buen abogado

f) Diana no tiene un buen abogado si y solo si,Carlos presenta una queja

g) Diana no tiene un buen abogado si y solo si,Carlos no presenta una queja

3. Escribir los siguientes enunciados en formasimbólica, utilizando “p” , “q, “r”, etc., pararepresentar. Resalte las inconsistencias que sepresenten en la redacción, si existen.

a) Como una característica general, desde losdenominados estadios prehistóricos cultura-les como son el salvajismo y la barbarie has-ta llegar a la denominada civilización y laseras modernas y postmodernas, ha existidoun común denominador y es la lucha del hom-bre contra la naturaleza.

b) Se arrasa la biodiversidad y empiezan a trans-formarse los niveles permisibles para la vidahumana y animal por la contaminación atmos-férica. å

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Lógica11111

c) Con la globalización se ha venido abajo unade las premisas fundamentales de la moder-nidad como es la idea de vivir y actuar enespacios cerrados y recíprocamente delimita-dos de los Estados nacionales y de sus res-pectivas sociedades nacionales.

d) La incertidumbre del presente y la angustia delfuturo inmediato unidos al agotamiento de lasformas tradicionales de interpretar organizar ysolucionar los problemas aumenta la sensa-ción de orfandad y pérdida de sentido.

e) Además de las contaminaciones por densidadde población y erosión por el proceso urbani-zador, se presenta en los centros pobladosun tipo especial de contaminación del suelopor la inadecuada disposición de los residuossólidos, provenientes de tales concentracio-nes humanas.

4. Determinar el valor de verdad de cada uno delos siguientes enunciados compuestos

a) Si 5 + 4 = 9, entonces 4+ 2 = 8

b) No es cierto que España está en Inglaterra,entonces Portugal está en Alemania.

c) No es verdad que 8 – 3 = 6 si, y solo si,45 / 9 = 8

d) “Perú ha tenido guerra con todos sus vecinoso Bolivia no tiene salida al mar”

e) “Perú ha tenido guerra con todos sus vecinosy Bolivia no tiene salida al mar”

f) Hay una democracia participativa si y solo sial-gunos pueden votar.

g ) El gobierno es legítimo si y solo si hay unademocracia representativa.

5. Elabore las tablas de verdad de cada propo-sición.

a) ~ (p → ~q)

b) ~ p ∧ q

c) ~ (p ∧ q) ∧ ~ (p ↔ q)

d) (p ∧ q) → (p v q)

e) p → (p ∧ q)

f) p → (p ∧ q)

6. Sea A = { 1, 2, 3, 4 ,5}, hallar el valor deverdad de los siguientes enunciados y demos-trarlo.

a) (∃ x∈ A) (x + 3 < 5)

b) (

∀

x ∈ A) (x + 3 < 10)

c) (

∀

x ∈ A) (x + 3 ≤ 10)

d) (∃ x∈ A) (x + 3 = 10)

7. Ahora que ha estudiado el capítulo, discutanuevamente acerca del valor de verdad delenunciado “Suponiendo entonces que los prin-cipios de inferencia en El Plan son conserva-dores del valor de verdad, como expliqué an-tes, ante una proposición falsa que quienesgobiernan afirman haber derivado de acuerdocon El Plan, usted puede concluir con certezaque este plan es incorrecto o nuestros gober-nantes nos engañan.”

8. Para resolver este ejercicio se le sugiere inves-tigar en textos de derecho administrativo so-bre la jerarquía de los actos administrativos.

Represente y establezca el valor de verdadde los siguientes enunciados:

a) Existe una norma de mayor jerarquía que laLey del Plan de Desarrollo.

b) Todas las normas internas son de menor jerar-quía que los tratados internacionales suscri-tos por Colombia.

c) La única norma que guarda un vínculo jerár-quico con todas las restantes es la Constitu-ción, superior a todas las demás, cualquierasea su tipo, contenido o naturaleza


å

39


d) En el ordenamiento constitucional colombia-no, todas las leyes, cualquiera sea su tipo odenominación, son jerárquicamente igualesentre sí.

e) Las Leyes reglamentarias que son de mayorjerarquía que las leyes comunes.

f) Existe por lo menos una norma de menor je-rarquía que las leyes marco.

g) No existen normas de inferior jerarquía que losdecretos.

h) Todos los decretos son de inferior jerarquíaque las leyes.

i) El decreto legislativo es de mayor jerarquíaque la ley.

9. Elabore un cuadro sinóptico con los conteni-dos básicos estudiados en esta unidad.

10.Presente tres ejemplos relacionados con laadministración pública en los cuales se nie-guen enunciados falsos y tres en que se nie-guen enunciados verdaderos. Establezca encada caso el valor de verdad de la negación.

11.Analice y escriba lo que sucede en los siguien-tes textos, (provenientes de un grupo de discu-sión en Internet) con respecto a la doble nega-ción. ¿Se presenta esta con frecuencia en el dis-curso público?. Si conoce ejemplos, cítelos.

1. “Juan le impide que voltee.

2. Juan le impide voltear.

3. El doctor le prohibió que tome esas pasti-llas.

4. El doctor le prohibió tomar esas pastillas.

••••• Las oraciones anteriores, que pertenecenal español actual, tienen un significado cla-ro y evidente. Pero también existen las si-guientes oraciones en el español actual:

5. Juan le impide que no voltee.

6. Juan le impide no voltear.

7. El doctor le prohibió que no tome esas pas-tillas.

8. El doctor le prohibió no tomar esas pasti-llas.

••••• Luego de constatar que la oración (5) equi-vale interpretativamente a la oración (1); la(6), a la (2); la (7), a la (3) y la (8), a la (4),cabe hacer la siguiente pregunta: ¿se pue-den considerar a las oraciones de la (5) ala (8) como casos de doble negación,como lo son, por ejemplo, las siguientesoraciones:

9. No hay nadie en el salón.

10. No llegó nadie a la cita.

11. Juan no estudia nunca sus cursos.

12. Pedro no ha venido todavía a la casa.”

Mauricio Aguirre Villanueva


å

“El único ejemplo que se me ocurre por el mo-mento proviene de la nunca bien ponderadatecnocumbia. En efecto, una de las (no muyelaboradas) letras de este género dice algocomo esto (s.e. u o.):

“Le he prohibido a mis ojosque NO te busquen más,le he prohibido a mis labiosque NO te llamen más” (etc.)

En todo caso, es notable que mucha gentebaile y cante esto sin notar (?) la doble nega-ción. ¿Tendrá algo que ver Forma Lógica oes, simplemente, eso a lo que los puristas alu-den cuando se quejan de que «cada vez sehabla peor»? ¿O es que en el arte vale todo?”

Héctor H.G. Velázquez

40

Lógica11111

1. Hay movimientos al margen de la ley” y “q “ “Hayredistribución del ingreso”

a ) No hay movimientos al margen de la ley

b ) Hay movimientos al margen de la ley y hay redistri-bución del ingreso

c) Hay movimientos al margen de la ley o hay redistri-bución del ingreso

d ) Hay movimientos al margen de la ley si solo si hayredistribución del ingreso

e ) Si hay movimientos al margen de la ley entonces nohay redistribución del ingreso

f) Hay movimientos al margen de la ley o no hay redis-tribución del ingreso

g ) No hay movimientos al margen de la ley y no hayredistribución del ingreso

h ) Hay movimientos al margen de la ley, si solo si, nohay redistribución del ingreso

i) Es falso que no hay redistribución del ingreso

PRÁCTICA REFLEXIVAPRÁCTICA REFLEXIVAPRÁCTICA REFLEXIVAPRÁCTICA REFLEXIVAPRÁCTICA REFLEXIVA

Haga un escrito de 20 a 30 renglones (en forma individual) sobre la aplicabilidad de la lógica en el desempeñodel Administrador Público.

Ahora descanse y diviértase un poco leyendo esto:

MÉTODO CIENTÍFICO:

Van Dumholtz tiene dos grandes frascos delante de sí, uno con muchas pulgas y el otro vacío. Saca cuidadosamente una pulgadel frasco, la pone ante el frasco vacío, da un paso atrás y dice “salta”, tras lo cual la pulga salta al frasco. Metódicamente,saca otra pulga, la pone en la mesa, dice “salta” y la pulga salta al frasco que estaba vacío al principio. Cuando haterminado de cambiarlas de frasco de este modo, saca una del frasco que ahora está lleno, le quita cuidadosamente las patasde atrás y la coloca en la mesa frente al primer frasco. Ordena “salta”, pero la pulga no se mueve. Saca otra pulga del frasco,le quita cuidadosamente las patas de atrás y la coloca en la mesa frente al primer frasco. Vuelve a ordenar “salta”, pero lapulga no se mueve. Van Dumholtz continúa metódicamente el mismo procedimiento con las pulgas restantes y obtiene losmismos resultados. Entusiasmado, Van Dumholtz anota en su cuaderno: “Cuando se le quitan las patas traseras a unapulga, deja de oír.”

ALGUNAS RESPUESTALGUNAS RESPUESTALGUNAS RESPUESTALGUNAS RESPUESTALGUNAS RESPUESTASASASASAS

j) Si hay movimientos al margen de la ley y nohay redistribución del ingreso, entonces haymovimientos al margen de la ley

2. Se define primero “p” como Diana tieneun buen abogado y “q” como Carlos pre-senta una queja.

a) p b) ~q c) ~p

d) p ∧ q e) q → p f) ~ p↔ q

g) ~ p ↔ ~q

4. a) F b) F c) Vd) V e) F f) F

6. a) V b) V c) V d) F

Capítulo 2Conjuntos

42

Conjuntos2

CONJUNTOS

2El concepto de conjunto es de fundamental importan-cia en las matemáticas modernas. Muchos matemáti-cos creen que es posible expresar todas las matemá-ticas con un lenguaje de teoría de conjuntos. Otraaplicación de la teoría de conjuntos la encontramoscon el modelado e investigación de operaciones enlas ciencias computacionales. Sin embargo es unerror, pensar que el alcance de los conjuntos quedaen ese ámbito nada más. En el ámbito de las cienciassociales al que pertenece la administración pública,se encuentra una infinita aplicabilidad de los conjun-tos: los grupos sociales, los gobernantes, los Esta-dos, etc., representan conjuntos que deben ser estu-diados desde la teoría matemática de los conjuntos.

Los conjuntos fueron por primera vez formalmente es-tudiados por G. Cantor. Después de esto la teoría deconjuntos se ha convertido en un área muy bien esta-blecida de matemáticas, contradicciones o paradojasque encontramos en dicha teoría. Eventualmente, losmás sofisticados acercamientos al trabajo original deCantor hicieron que dichas paradojas desaparecie-ran. Trabajos introductorios de la teoría de conjuntosusualmente mostraban una “cándida” teoría de con-juntos, la cual era bastante similar al trabajo originalde Cantor, mejor dicho, se desarrollaban en el mismomarco teórico necesario para no caer en paradojas.

En este capítulo se estudiarán primero los conjuntosen general y luego los conjuntos numéricos sobrelos cuales se cumplen una serie de relaciones llama-das funciones y que serán objeto de los próximos ca-pítulos.

43

Matemática I

PLAN DEL CAPÍTULO

1. NOCIONES GENERALES

2. CLASES DE CONJUNTOS

3. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

4. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS

5. TRABAJO CON DIAGRAMAS DE VENN-EULER

6. CONJUNTO DE NÚMEROS

7. EVALUACIÓN Y PRÁCTICA REFLEXIVA

OBJETIVOS GENERALES

• Listar y explicar las propiedades que cumple elconjunto de los números reales.

• Ilustrar con ejemplos las propiedades de los númerosreales.

• Aplicar los conceptos básicos de la teoría deconjuntos: relación de pertenencia, subconjuntos,complemento, formas de expresar un conjunto,conjunto universal, conjunto vacío.

• Efectuar operaciones de unión, intersección ydiferencia de conjuntos.

• Reconocer las distintas formas de representar unintervalo.

• Efectuar operaciones de unión, intersección ydiferencia con intervalos.

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Conjuntos21. NOCIONES GENERALES

Para abordar el trabajo con los conjuntos es importante ponernos de acuerdo en tres aspectos: la definiciónde conjunto, la notación empleada y la relación de pertenenciaentre un elemento y un conjunto.

1.1 Motivación

• Comencemos con inquietar el cerebro, revisando la para-doja de Russell y luego el conocimiento previo sobre elconcepto de conjunto.

1.2 Definición

• Hace referencia a la idea de colección o listado de objetosque pertenecen a una clase, definida por una serie de ca-racterísticas específicas y determinantes, que permiten es-tablecer fácilmente cuales son los entes que están dentrode ésta. Así mismo cada uno de estos objetos recibe elnombre de elemento del conjunto.

• Ejemplos de lo anterior pueden ser: el grupo conformadopor los estudiantes del Primer Semestre de AdministraciónPública; las revistas especializadas en análisis de temas eco-nómicos, o de salud pública; los habitantes de la ciudadcapital; las capitales de Colombia; los países de Europa; lasorganizaciones mundiales de ayuda; los planetas del siste-ma solar etc.

1.3 Notación de Conjuntos

• Al referirse a un conjunto este debe estar perfectamentedeterminado y por ello utilizamos sistemas de representa-ción, de modo que para nombrarlo se usan las letras ma-yúsculas, agrupando entre llaves {} el listado de los ele-mentos que lo conforman, separados por una coma, si seusan letras éstas deben escribirse en minúscula.

• El símbolo elemento ∈ significa (es elemento de). Análoga-mente, ∉ significa (no es elemento de).

“Sea Z el conjunto de todos los conjuntosque no son elementos de sí mismos. Sepregunta ¿Z es o no elemento de sí mismo?Si Z no pertenece a Z, entonces, por la defi-nición de Z, Z pertenece a sí mismo. Pero siZ pertenece a Z, entonces por la definiciónde Z, Z no pertenece a sí mismo. En cual-quiera de los dos casos hay contradicción.

Esta paradoja es análoga a la paradoja delbarbero: En una aldea hay un barbero queafeita solamente a los hombres que no seafeitan ellos mismos.

Se pregunta ¿Al barbero quién lo afeita?”

Bertrand Russell, My Philosophy Develo-pement, George Allen & Unwin Ltd., Lon-

dres, 1959, pág. 76. citado por DunhamWilliam. El Universo de las Matemáticas,

Ediciones Pirámide, S. A. - Madrid

PARADOJA DE RUSSELL

45

Matemática I

• Existen dos formas para referirse a un mis-mo conjunto: extensión y comprensión.ejemplos 2 y 3.

RECORDEMOS

A = { x : x es una norma de aplicación na-cional} que se lee: equis “ tales que” equises una norma de aplicación nacional. En don-de los dos puntos “ : ” significan “tales que”.En algunos textos puede encontrar “/” a cam-bio de “:”.

EJEMPLO 2

Si se hace el listado de cada uno de los elementos que loconforma, se dice que el conjunto ha sido determinadopor extensión (forma explícita) o en forma tabular.

P = { Ana, Jaime, Carlos, Emperatriz...}

A = { a, e, i, o, u}

C = { Bogotá, Medellín, Cali, Pasto, etc.}

E = { Colombia, Venezuela, Ecuador, Perú, Bolivia, Chile,Uruguay, Paraguay, Brasil, Argentina}

El conjunto de enteros mayores que 10 se especifica por{x: x∈I ∧ x >10}

El conjunto de enteros pares se especifica como { x : ∃y [y ∈ I ∧ x = 2y ] }

El conjunto { 1, 2, 3, 4, 5 } se especifica como { x : x ∈ I∧ 1 ≤ x ≤ 5 }

EJEMPLO 1

Sea S la letra que designa el conjun-to descrito precisamente como{a,b,c,d}. Por tanto, S es el conjun-to cuyos elementos son las primerascuatro letras minúsculas del alfabe-to. Podemos entonces escribir a ∈S,b ∈S, c ∈S y d ∈S. Similarmente f∉S, 3 ∉ S, etc.

EJERCICIO 1

• Varias veces ha estudiado los con-juntos. ¿Qué es un conjunto?. Pre-sente tres ejemplos de conjuntos re-lacionados con la estructura delEstado colombiano.

• Describa con sus palabras en queconsiste la unión, la intersección,el complemento y la diferencia deconjuntos. Si no conoce una ope-ración de éstas, tranquilo no la res-ponda ya que con seguridad alterminar el capítulo no tendrá dudaalguna.

46

Conjuntos2

EJEMPLO 3

Si el conjunto se define enunciando sus caracte-rísticas principales, en donde se utiliza por logeneral la letra x, representando de este modoun elemento cualquiera, se dice que el conjuntoha sido determinado por comprensión o cons-tructiva (forma implícita) de un conjunto. Así:

P = { x : x es estudiante de primer semestre y xes de la ESAP}

R = { x : x es una revista especializada en eco- nomía}

S = { x : x es una revista especializada en salud}

H = { x : x es un habitante y x es de la ciudad capital}

O = { x : x es una organización mundial de ayuda}

El conjunto de enteros múltiplos de 3 puede serespecificado por

{ 3x : x ∈ I } en lugar de { x : ∃y [ y ∈ I ∧ x = 3y ] }.

El conjunto de números racionales puede ser es-pecificado por

{ x / y : x, y ∈ I ∧ y ≠ 0 }.

Si un conjunto es finito pero muy largo comopara listarse fácilmente o si es un conjunto infini-to, los puntos suspensivos suelen ser usados paraespecificar implícitamente un conjunto. Así:

El conjunto de enteros del 1 al 50 es especifica-do por { 1, 2, 3, …, 50 }

El conjunto de enteros pares no negativos seespecifica por { 0, 2, 4, 6,…}

EJERCICIO 2

Tomando como referencia la explicación, pien-se como se expresarían los siguientes conjun-tos por extensión y por comprensión:

El conjunto P, formado por los estudiantes dePrimer Semestre de Administración Pública Te-rritorial.

El conjunto R, compuesto por las revistas espe-cializadas en análisis de temas económicos.

El conjunto S, conformado por las revistas es-pecializadas en temas de salud.

El conjunto H, formado por los habitantes delDistrito Capital.

El conjunto C, conformado por las ciudadescapitales de Colombia

El conjunto E, compuesto por los países deAmérica

El conjunto O, compuesto por las organizacio-nes mundiales de ayuda.

47

Matemática I

1.4 Relación de Pertenencia

• Si un objeto x es un elemento del conjunto A, porque éstetiene las características pedidas en dicho conjunto, es decirsi A contiene a x como uno de sus elementos, esta relaciónse expresa como “x pertenece a” o “x está en”, lo que sepuede escribir como: x ∈ A en donde el símbolo ∈ indica“pertenece a”

• Ahora si el caso es contrario, es decir que el elemento x noesta en el conjunto A, esta situación se expresa como “xno pertenece al conjunto A” y es representado por ∉ quesignifica “no pertenece a”: x ∉ A

EJERCICIO 3

• Escriba 3 ejemplos de relacionesde pertenencia, relacionados conlos sistemas políticos o con la or-ganización del Estado.

• Compile los ejemplos de su gru-po de estudio relativos a este ítem.

EJEMPLO 4

A = { x : x sea un municipio fronterizo}luego “Leticia” ∈ A; “Villavicencio” ∉A; “Puerto Asís” ∈ A; Villeta ∉ A

B = { x : x sea un modelo de merca-do} = {competencia perfecta, mono-polio, oligopolio, monopsonio, oligop-sonio}, luego “monopolio” ∈ B; “dic-tadura” ∉ B; “oligopolio” ∈ B; “true-que” ∉ B

48

Conjuntos22. CLASES DE CONJUNTOS

2.1 Conjuntos Iguales

Se dice que dos conjuntos S y T son iguales si cada elemento de S es elemento de T y viceversa. (Usamos elsigno de igualdad para indicar que dos símbolos representan al mismo conjunto, escribiendo S=T.) Se puedeconcluir entonces, que dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si y solo si, A ⊂ B y B ⊂ A.

2.2 Conjuntos Vacíos

EJEMPLO 6

A = {x : x es un dinosaurio viviente}

B = { x : x es un ser humano vivo y xes mayor de 300 años}

C = { x : x es un país sin algún conflic-to social interno}

EJEMPLO 5

Sea A = { x : x Es un departamento de Colombia}

B = { x : x es un departamento que tie-ne deuda con una entidad financiera}

Si se tiene el caso de que todos losdepartamentos del país se encuentranendeudados, entonces tendremos que“A contiene a B y B contiene a A”, porlo tanto son conjuntos iguales A = B.

RECORDEMOS

El conjunto vacío ∅, se considera subconjuntode todo conjunto.Si B no es subconjunto de A, en otras palabras,si B ⊄ A, se puede afirmar que hay por lo me-nos un elemento del conjunto B que no es ele-mento del conjunto A.

• Es útil tener el concepto de un conjunto sin elemento. Unconjunto sin elementos recibe el nombre de conjunto vacío oconjunto nulo y se representa por {} o por ∅. Ejemplo: con-sidérese el conjunto S de todos los elementos que lo sontanto {a,b,c} como de {d,e,f}. El conjunto S no tiene ele-mentos, luego, S = {}.

2.3 Subconjuntos

• Definición: se dice que un conjunto S es subconjunto T, sitodos los elementos de S los son T. El símbolo ⊆ se lee (essubconjunto de o está contenido en). En este caso se diceque hay una relación de contenencia.

• Así, (S⊆ T ) se lee (S es subconjunto de T). Decir que S noes subconjunto de T significa que algún elemento de S nolo es T en el caso escribimos S ⊄ Τ.

2.4 Subconjunto Propio

• Se dice que S es un subconjunto propio de T, si S ⊆ T, yademás existe algún elemento de T que no esta en S. Estolo escribimos S ⊂ T.

• Sabiendo que todo conjunto A es un subconjunto de símismo, se puede llegar a afirmar que B es subconjunto propiode A, si B es subconjunto de A y B no es igual a A.

• En conclusión B es “un subconjunto propio” de A si: B ⊂ Ay B ≠ A

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Matemática I

EJEMPLO 7

Sean S = {a,b,c,d} y T={a,b,c,d,e}. Vemos que S ⊆ T.Sin embargo si H={a,b,c,f}, notamos que f ∉ T, de modoque H⊄ T.

A = {x : x es un bloque económico}

B = {x : x es un continente}

C = {Comunidad Económica Europea CEE, Tratado deLibre Comercio TLC}

Por lo tanto se puede establecer:

C ⊂ A, ya que todos los elementos de C pertenecen tam-bién a A.

B ⊄ A, porque no todos los elementos de B están en A.

A = {x : x es un grupo monopolista en Colombia}

B = { Grupo Santodomingo, Sindicato Antioqueño, Gru-po Ardila, Grupo Sarmiento Angulo}

C = {Grupo de Capital del Valle, Coca-cola, Grupo Ardila,Conglomerado Puyana }

Por lo tanto se puede establecer:

B ⊂ A, ya que todos los elementos de B pertenecen tam-bién a A.

C ⊄ A, porque no todos los elementos de C están en A.

EJEMPLO 8

A = {x : x fue presidente de Colom-bia}

B = {x : x fue presidente de Colombiadurante la república conservadora}

Luego B ⊂ A y B ≠ A.

EJERCICIO 5

• Presente tres ejemplos de subcon-juntos propios, relacionados conla Administración Pública.

• Compile los ejemplos de su grupode estudio relativos a este ítem.

EJERCICIO 4

• Indique cuales son los elementos que en los dosejemplos anteriores no cumplen las relaciones decontenencia.

• ¿Tiene este tema relación con el sentimiento depertenencia nacional? Haga un escrito de 15 a20 renglones sobre el sentido de pertenencia delos colombianos.Tranquilo!, tome el enfoque quequiera.

Nota

Entenderemos que el conjunto vacío, Æ, siem-pre es subconjunto de cualquier conjunto T. Sino fuese así ello significaría que algún elementode Æ, no sería miembro de T, pero como Æ, notiene elementos esto resultaría imposible.

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Conjuntos22.5 Conjuntos Equivalentes

• Cuando los elementos de un conjunto se corresponden con los de un segundo conjunto de modo quecada elemento de cada conjunto tenga uno, y solo uno, asociado en el otro conjunto, decimos que hayuna correspondencia uno a uno entre ambos conjuntos. Si A es equivalente a B, se escribe A~B.

2.6 Cardinalidad de un Conjunto

• Cuando un conjunto S se equipara con un subconjuntoestándar de N, el ultimo elemento de N usado se llamacardinalidad del conjunto S y se denota por n (S).

• En las explicaciones adjuntas vemos qué es un subconjun-to estándar, qué pasa con el cardinal del conjunto vacío ycon el de conjuntos equivalentes.

Subconjunto estándar

• Recordemos el conjunto ordenado de los números natu-rales, N = {1,2,3,4..} y el conjunto ordenado de los nú-mero enteros no negativos W = {0,1,2,3,4...}.

• Contar es el proceso por el cual hacemos corresponder loselementos de un conjunto con algún subconjunto propiode N, comenzando con 1 y usando los elementos de N enorden y sin saltar ninguno. Un subconjunto así se llamasubconjunto estándar de N. Ejemplo: es decir, el subcon-junto estándar de N, {1,2,3,4} es equivalente a{a,b,c,d}decimos entonces que S tiene cuatro elementos.En el ejemplo anterior, n(S)= 4.

Cardinal de vacío

• La cardinalidad ∅, el conjunto vacío es cero.

• Tenemos que construir esta definición por separado, pues-to que 0∉N y, por tanto, no tiene sentido hablar de equi-parar elementos que no existen. La claridad del conjunto{3} es 1, ya que {3} se puede equiparar con {1}. Es decirque el conjunto {3} tiene un miembro. Similarmente, laclaridad del conjunto {0} es 1. Hay que estar seguro deque entendemos la diferencia entre {} y {0}

EJEMPLO 9

Sean S = {a,b,c,d} y T = {∧,?,0,+}.Estos dos conjuntos son equivalentespuesto que podemos hacer correspon-der en forma uno a uno los elementosde un conjunto con los del otro.

EJEMPLO 10

Sean, S = {a,b,c} y T ={d,e,f,g,h}.Vemos que hay una correspondenciauno a uno entre S y el subconjunto pro-pio de T, {d,e,f}. Por tanto, n (S) < n(T), o bien puesto que n (S) =3 y n(T)=5, ponemos 3 < 5.

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Matemática I

Cardinal de Equivalentes

• Dos números enteros no negativos m y n, son iguales siambos son la cardinalidad del mismo conjunto o de con-juntos equivalentes. En tal caso, escribimos m=n

• Así también, m y n son números enteros no negativos,decir que m es menor que n significa que n es la cardinali-dad de un conjunto que se puede equipar con un subcon-junto propio de un conjunto de cardinalidad n. Escribire-mos entonces m < n. Si m < n podemos decir tambiénque n > m.

2.7 Conjuntos Finitos e Infinitos

• Los conjuntos pueden ser infinitos o finitos. Un conjuntoinfinito es aquel con consta de un incontable número deelementos, luego el proceso de contar sus elementos notermina. Y es conjunto finito cuando el conjunto consta decierto número de elementos distintos, y el proceso de con-tarlos termina.

2.8 Conjunto de Conjuntos

• Se presentan algunas veces situaciones en los que los ele-mentos de un conjunto son también conjuntos, caso comoel conjunto R que reune todos los subconjuntos de M. Parano expresar “conjunto de conjuntos” se prefiere decir “fa-milia de conjuntos” o “clase de conjuntos”, utilizando para estasfamilias letras inglesas A, B, C, etc. Para designar las fami-lias o clases de conjuntos, debido a que sus elementos sedenotan con mayúsculas.

EJEMPLO 11

N ={ x : x es un número par y x esnatural} por lo tanto el conjunto N esinfinito

P = { x : x es un ser del planeta tierra},el conjunto P es finito aunque un pocodemorado de terminar el conteo.

A = { x : x es un número racional}, Aes infinito.

S = { x : x es un día de la semana}, Ses finito.

EJEMPLO 12

1. D = {{A, B},{D},{M, N}}, el con-junto D, es una familia de conjun-tos, sus elementos son pues{A,B},{D},{M, N}.

2. Otra situación semejante se presen-ta en geometría analítica, específi-camente se acostumbra hablar dela “familia de rectas” o la “familia decurvas” y éstas a su vez son conjun-tos de puntos.

3. El conjunto M = {{A,B},c,{D}, r, s,{M, N}}, no se puede considerar unafamilia de conjuntos, teniendo encuenta que todos sus elementos noson conjuntos. Teóricamente esta si-tuación se presenta muy rara vez.

4. Los grupos de presión en un país,pueden considerarse como una fa-milia de conjuntos de personas uorganizaciones.

EJERCICIO 6• Diga cuales de los siguientes corresponden o no a familias de conjuntos: Los

comités de participación comunitaria (COPACO), la Red de Solidaridad Ciu-dadana, la Federación Nacional de Cafeteros, la Central Unitaria de Trabaja-dores, los grupos armados.

• Presente tres ejemplos más de familias de conjuntos que correspondan alámbito de la administración pública.

• Compile los ejemplos de su grupo de estudio relativos a este ítem.

52

Conjuntos22.9 Conjunto Universal

• Para todas las aplicaciones de la teoría de conjuntos, seconsideran generalmente subconjuntos de un mismo con-junto dado, este conjunto recibe el nombre de conjunto uni-versal. Se identifica siempre por U.

EJEMPLO 13

El conjunto de los seres humanos detodo el mundo es el conjunto univer-sal, así mismo el conjunto de los estu-diantes de todo el mundo es el con-junto universal. El conjunto de todoslos puntos del plano es el conjuntouniversal para el caso de la geometríaplana.

EJERCICIO 7

“Roberto Torres. Cantante. Güines, 10 de febrero de 1940.Comenzó como vocalista en la orquesta Swing Casino, desu pueblo natal. Luego canto en el conjunto Universal. En1959 se radicó en Nueva York, y estuvo con las orquestasFajardo y Broadway. Más tarde entró a la Sonora Matance-ra. Hace años que se presenta como solista. Ha grabadodiversos LP con música cubana y caribeña.” [Tomado dewww.soncubano.com]

• A que se refieren en el recuadro anterior cuando dicen“Luego cantó en el conjunto Universal”

Con el análisis de componentes, los lingüistas esperan po-der identificar el conjunto universal de los rasgos semánti-cos que existen, a partir de los cuales cada lengua constru-ye el suyo propio que la hace distinta de otra. El antropólo-go estructuralista francés Claude Lévi-Strauss ha aplicadola hipótesis de los rasgos semánticos universales para ana-lizar los sistemas de mito y parentesco de varias culturas.Demostró que los pueblos organizan sus sociedades e in-terpretan sus jerarquías en ellas de acuerdo con ciertas re-glas, a pesar de las aparentes diferencias que muestran.

Tomado del documento “¿Qué es la Semántica?” de Ser-gio Zamora Guadalajara, México 2002 que se encuentra enla página Web: www.geocities.com/sergiozamorab/semantic.htm.

• ¿Que ejemplo de conjunto universal podemos encon-trar en el anterior texto?

53

Matemática I

2.10 Conjuntos Disjuntos

• Cuando encontramos dos conjuntos A y B que no tienenelementos comunes, es decir que ningún elemento de Apertenece a B y ningún elemento de B pertenece a, se diceque A y B son disjuntos.

EJEMPLO 14

A = {x : x es número impar y x < 10}

A = {1,3,5,7,9}

B = {x : x es número par y x < 10}

B = {2,4,6,8}

Como se puede observar A y B son disjuntos, porque notienen ningún elemento en común, pues ningún númeroimpar puede ser par y ningún par puede ser impar. Mire-mos un ejemplo más común a nosotros:

A = {x : x Pertenece al estrato socioeconómico uno}

B = {x : x posee un BMW último modelo}

EJERCICIO 8

• Presente tres ejemplos de conjun-tos disjuntos, dentro del campo delos grupos sociales.

• Diga si los grupos pequeños perte-necen a la categoría de los conjun-tos disjuntos.


54

Conjuntos23. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Existen operaciones en aritmética conocidas por todos como la suma, la resta y la multiplicación, entre otras,de modo que a cada par de números x e y se le asigna un número y se realiza x + y conocido como suma; asímismo se realiza x – y llamada diferencia (resta); y (x)(y) denominada producto (multiplicación); estos procesosson conocidos como la suma, resta y multiplicación de números. En este apartado se van a conceptualizar lasoperaciones de unión, intersección y diferencia de conjuntos, que nos permiten crear nuevos conjuntos apartir de otros conocidos.

3.1 Unión

• Definimos la unión A ∪ B de dos con-juntos A y B como el proceso medianteel cual se forma un conjunto al cual per-tenecen todos los elementos del con-junto A o del conjunto B o a ambos.Así, para que un elemento pertenezcaa la unión, basta que él, pertenezca auno de los conjuntos que participan enla operación. Esto se simboliza:A ∪ B = { x : x ∈ A o x ∈ B o ambas }

• Añadimos “o ambas” para dar énfasis yclaridad a la definición de A ∪ B. En es-pañol la palabra o tiene dos significados.A veces es el o inclusivo que significa louno, lo otro o ambos. Ésta es la interpretación cuan-do un programa de estudios dice: se deben incluir dosaños de ciencias o dos años de matemáticas. Otrasveces o es el o exclusivo y significa lo uno o lo otro perono ambas. Es el o que se utiliza en un menú que ofre-ce sopa o ensalada. En matemáticas siempre utiliza-mos o como el o inclusivo mientras que no se especifi-que lo contrario.

• Esta operación se representa también mediante el usode los diagramas de Venn, en donde se realiza un achu-rado tanto en el área de A como la de B. La figura No.2 muestra la unión entre conjuntos no disjuntos, eldiagrama para el caso de conjuntos disjuntos y el diagra-ma para el caso de un conjunto y un subconjunto.

Figura 1. Representación de las posibilidades de unión de dos conjuntos.

• A ∩ B = ∅.

• A ∩ B = ∅.

• B ⊂ A

55

Matemática I

EJEMPLO 15

1. Sea A = {1,2,3}; B = {2,4} Hallar A ∪ B

A ∪ B = {1,2,3,4}

Su diagrama correspondiente es

B

Figura 2. Representación de la Unión ente A Y B

2. Sean C = {a, b, c, d} y D = { b, d, f, g} Halle C ∪ D.

C ∪ D = {a, b, c, d, f, g} ¿Como lo diagramaría?

Nota

De la unión de dos conjuntos se puede concluir que A ∪ B = B ∪ A siendoel mismo conjunto. Igualmente se puede afirmar que ambos conjuntos sonsubconjuntos de A ∪ B, esto se representa así:

A ⊂ (A ∪ B) y B ⊂ (A ∪ B)

EJERCICIO 9

• Si A = { x : x es un departamento fronterizo}y B = { x : x es un departamento productorde café}. Represente en un diagrama de VennA ∪ B.

• Presente dos ejemplos relacionados con lageopolítica en que se aplique la unión deconjuntos.

56

Conjuntos23.2 Intersección

• La intersección de dos conjuntos C y D, es el conjuntoformado por los elementos que pertenecen a C y que per-tenecen a D. Es decir, es el conjunto por los elementosque son comunes a C y D. El símbolo utilizado en la inter-sección es “∩” En conclusión la intersección de dos con-juntos es:

{x : x ∈ C y x ∈ D}.

• La operación se representa con el diagrama de Venn, endonde se realiza un sombreado en el área común de A y B.La figura No. 3 muestra la intersección entre conjuntos nodisjuntos, el diagrama correspondiente a la intersecciónde dos conjuntos cuando uno es subconjunto de otro y eldiagrama correspondiente a conjuntos disjuntos.

EJEMPLO 16

1. Sean C = {a,b,c,d} y D = { b,d,f,g}

Luego el conjunto solución es: C ∩ D= {b,d}

Figura 4 Representación de la intersección en C yD

1. Sea W = {x : x sea número par y x < 20}

T = {x : x sea múltiplo de tres y x < 30}

Hallar W ∩ T

Luego W = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}

T = {3,6,9,12,15,18,21,24,27}

Entonces W ∩ T = {6,12,18}

Notas

En la intersección de conjuntos se pue-de concluir que A ∩ B = B ∩ A

Cada uno de los conjuntos A y B con-tiene al subconjunto A ∩ B, es decir(A ∩ B) ⊂ A y (A ∩ B) ⊂ B

Si dos conjuntos A y B no tienen ele-mentos en común, quiere significar estoque son disjuntos, se considera la in-tersección de A y B como un conjuntovacío, es decir A ∩ B = ∅.Figura 3. Representación de las posibilidades de intersección de dos conjuntos.

• A ∩ B = ∅.

• A ∩ B = ∅.

• B ⊂ A

EJERCICIO 10

• Represente el anterior ejemplo 16.2 usando undiagrama de Venn Euler.

• Si A = { x : x es un departamento fronterizo} y B= { x : x es un departamento productor de café}.Represente en un diagrama de Venn A ∩ B.

57

Matemática I

3.3 Diferencia

• Cuando se habla de la diferencia de los conjuntos A y B, seentiende ésta como el conjunto de elementos que perte-necen a A, pero no pertenecen a B. Se denomina como A– B y se lee “A diferencia de B” o “A menos B”, expresadaésta también como A – B = {x : x ∈ A, x ∉B}

• En el diagrama de Venn de la figura No. 5 se ha sombreadola parte correspondiente a A – B. es decir el área de A queno hace parte de B

Figura 5.

EJEMPLO 17

1. Sea R el conjunto de los númerosreales y Q el conjunto de los nú-meros racionales. Entonces B – Qes el conjunto de los números irra-cionales. Si no le ha quedado cla-ro este ejemplo, tome nota paraque lo revise una vez haya estudia-do los conjuntos numéricos al finalde esta unidad.

2. Sean los conjuntos E de los minis-terios que hicieron recorte de per-sonal y F los ministerios que tie-nen déficit presupuestal. E = { Sa-lud, Educación, Transporte, Minas,Agricultura, Interior, Relaciones Ex-teriores} y F = {Justicia, Hacien-da, Defensa, Educación, Cultura,Medio Ambiente, Comunicaciones,Salud, Interior}. Hallar E – F y F - E

Luego E – F = { Transporte, Minas,Agricultura, Interior, Relaciones Exte-riores}

Ahora F – E = {Justicia, Hacienda,Defensa, Cultura, Medio Ambiente, Co-municaciones, Interior }

EJERCICIO 11

• Como conclusión se puede decir que el conjunto A con-tiene a A – B, o sea (A – B) ⊂ A; además los conjuntos(A- B), A ∩ B y (B – A) son disjuntos entre sí. Quiere estodecir que la intersección de dos cualquiera de ellos doses vacía. Demuestre esto elaborando un diagrama deVen para el último ejemplo.

• Presente 3 ejemplos relacionados con cualquier núcleotemático de la carrera de Administración Pública Terri-torial, en el que se represente claramente la diferenciade conjuntos. Utilice además los diagramas de Vennpara representarlos.

• Consolide los ejemplos con los de su grupo de estu-dio.

58

Conjuntos23.4 Complemento

• Al hablar de complemento se incluye inmediatamente elconcepto de conjunto universal, que es el referente. Demodo que el conjunto de elementos que no pertenecen aA pero que pertenecen al universal es el complemento deA, en otras palabras la diferencia entre el conjunto univer-sal y el conjunto A se denomina complemento de A, nomi-nado por la expresión A´

• De tal modo que el complemento de A de manera concre-ta es:A´= { x : x ∈ U y x ∉ A} o A´= {x : x ∉ A}

• El diagrama de Venn que representa el complemento deun conjunto se muestra en la figura 6.

Figura 6.

59

Matemática I

EJEMPLO 18

1. Si U = {x : x sea un departamento administrativodel Estado colombiano}

A = {DANE, DAS, DNP}

Hallar A´.

Entonces A´ = { DAPR, DAFP, DAES}

2. U = { x : x sea una entidad territorial}

D = { Municipio, Nación, Resguardo indígena}

Hallar D´.

Luego el complemento de es D´ = { Departamento}

Conclusiones

De lo anterior se puede llegar a concluir que: La uniónde un conjunto cualquiera A con su complemento for-man el conjunto universal. O sea que

A ∪ A´ = U

Además también se puede afirmar que el conjunto A ysu complemento A´ son conjuntos disjuntos, es decirque:

A ∩ A´ = ∅

El complemento de un conjunto U es el conjunto vacío∅, e inversamente el complemento del conjunto vacío∅ es el conjunto U, es decir que:

U´ = ∅ y ∅´ = U

Además el complemento del complemento de un con-junto A, es el mismo conjunto A, dicho de otra manerase tiene que:

(A´)´ = A

Lo anterior muestra cómo la diferencia de dos conjun-tos podría ser definida por el complemento de un con-junto y la intersección de dos conjuntos. Justamente sise tiene la siguiente relación fundamental: “La diferen-cia de A y B es igual a la intersección de A y el comple-mento de B”, es decir:

A – B = A ∩ B´

Por lo anterior se puede demostrar que :

A – B ={ x : x ∈ A, x ∉ B}={x : x ∈ A, x ∈ B´}= A ∩ B´

EJERCICIO 12

• Presente 3 ejemplos relacionadoscon cualquier núcleo temático dela carrera de Administración Públi-ca Territorial, en el que se repre-sente claramente el complementode un conjunto. Utilice además losdiagramas de Venn para represen-tarlos.

• Consolide los ejemplos con los desu grupo de estudio.

60

Conjuntos24. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS

El álgebra de conjuntos provee una forma de evaluar los conjuntos. Las reglas son bastante simples. El conjun-to de axiomas presentados en esta sección provee todas la relaciones de mayor interés en el álgebra booleanaincluidas las expresiones discutidas anteriormente.

4.1 Comparabilidad

• Dos conjuntos A y B son comparables si A ⊂ B o B ⊂ A, esto es, si uno de los conjuntos es subconjunto delotro. En cambio, dos conjuntos A y B no son comparables si A ⊄ B y B ⊄ A.

• De lo anterior se concluye que si A no es comparable con B, entonces hay un elemento en A, que no estáen B y hay también en B un elemento que no está en A.

EXPLICACIÓN

Los diagramas de Venn Euler nos sirven para mostrar la contenencia y la comparabilidad. Teniendo losconjuntos A y B, en donde B ⊂ A, y B ≠ A, el diagrama con que se representa ésta relación es la mostradaen la siguiente figura:

Si los conjuntos que se van a representar en el diagrama, no son comparables, su representación gráfica escomo se ve en la figura:

En el caso en que los conjuntos sean disjuntos el diagrama correspondiente es: A = {2,4,6,8}; B = {1,3,5,7,9}

61

Matemática I

EJEMPLO 19

A = { Municipios categoría tres}, B ={Municipios sin los requisitos paracategoría especial} Entonces A escomparable con B, porque A essubconjunto de B.

C = {Los presidentes del Frente Na-cional}, D = { Los presidentes dela república liberal} Luego C no escomparable con D.

• Indague cuales fueron los presiden-tes del Frente Nacional, de la lla-mada república conservadora y dela liberal.

EJERCICIO 13

• Presente tres ejemplos de conjun-to comparables. Deben ser relacio-nados con su carrera.


4.2 Teorema No. 1 (Transitividad)

• Si A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de C,entonces A es un subconjunto de C, es decir: A ⊂ B ⊂ Centonces A ⊂ C

• DEMOSTRACIÓN: Se tiene que demostrar que todo ele-mento de A es también elemento de C. Bien, sí x es unelemento de A, quiere decir que x ∈A. Sabiendo que A esun subconjunto de B, se puede afirmar que x ∈ B. Pero porhipótesis B ⊂ C; por tanto todo elemento como es x queesté en B también está en C; demostrando así que todoelemento x que esté en A, es decir, que para todo x ∈ Aimplica que todo x ∈ C. Por deducción entonces de puedeafirmar que A ⊂ C.

• La unión, intersección, diferencia y complemento tienenpropiedades elementales cuando los conjuntos de que setrata son comparables. Esto se hace evidente con los teo-remas 1 al 4 y demás leyes del álgebra de conjuntos.

4.3 Teorema No. 2

• Sea A un subconjunto de B. Entonces la intersección entreA y B es necesariamente A, o sea:

EJEMPLO 20

El grupo del G-3 (Colombia, México, Venezuela) es un sub-conjunto del conjunto de países de América latina. Por lotanto, el conjunto de países que a la vez pertenecen al G-3 y pertenecen a América Latina, es el mismo conjunto delG-3.

62

Conjuntos2A ⊂ B implica que A ∩ B = A

4.4 Teorema No. 3

• Si A es un subconjunto de B, entonces la unión de A y B esexactamente el conjunto B, o sea:A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B

4.5 Teorema No. 4

• Si A es un subconjunto de B, entonces B´ es un subcon-junto de A´, o seaA ⊂ B ⇒ B´⊂ A´

4.6 Teorema No. 5

• Si A es un subconjunto de B, entonces la unión de A y (B –A) es B. O sea:A ⊂ B ⇒ A ∪ (B- A) = B

4.7 Leyes de álgebra de conjuntos

Gracias a las leyes asociativas podemos escribir los conjuntos

63

Matemática I

Leyes de álgebra de conjuntos

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A Leyes conmutativas

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Leyes asociativas

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Leyes distributivas

A ∪ A = A

A ∩ A = A Leyes de la idempotencia

A ∪ ∅ = A

A ∪ U = U

A ∩ ∅ = ∅

A ∩ U = A Leyes de Identidad

(A’ )’ = A

A ∪ A’ = U

A ∩ A’ = ∅

U’ = ∅

∅’ = U Complementación

A ∩(AUB)=A

AU(A∩B)=A Ley de absorción

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ Leyes de de Morgan

64

Conjuntos2A ∪ B ∪ C y A ∩ B ∩ C sin paréntesis y no causar confusión.5. TRABAJO CON DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Las pruebas que utilizan diagramas de Venn parecen mucho más fáciles que las pruebas en las que analizamoslas inclusiones mediante elementos. Los diagramas de Venn para A, B, C tiene 8 regiones y comprenden todaslas posibilidades lógicas por lo que las demostraciones que utilizan diagramas de Venn son de hecho válidas.El diagrama es una forma sencilla de ilustrar las relaciones entre conjuntos, utilizando los diagramas de Venn-Euler o diagramas de Venn simplemente, representando un conjunto en forma plana y mediante una superfi-

EJEMPLO 22

La Federación Nacional de Cafeteros, interesada en abrir nuevosmercados para el grano y aplicar nuevas estrategias de merca-deo, ha elaborado un estudio del consumo de bebidas cafeíni-cas en Europa. En el diagrama que colocamos a continuación,se han volcado los datos obtenidos en la encuesta, realizada a12.000 personas, donde se les preguntó si tomaban té o café.Los números que aparecen se refieren a las cantidades en milesde personas que respondieron a la pregunta en las diversas for-mas posibles: solamente té, té y café, ninguna de las dos bebi-das, etc.

A partir de estos datos responderemos a las siguientes preguntas:¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 6.000 personas.1. ¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 9.000 personas.2. ¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4.000 personas.3. ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas?

Rta. 1.000 personas.4. ¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 6.000 personas.5. ¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 3.000 personas.6. ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos

bebidas? Rta. 11.000 personas.7. ¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas?

Rta. 7.000 personas.8. ¿Cuántas personas tomaban sólo café? Rta. 5.000 personas.9. ¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas? Rta.

11.000 personas.

EJEMPLO 21

Cuando decimos, por ejemplo“¿cuántas personas no tomaban:ni té, ni café?” debe interpretar-se el lenguaje corriente en quehablamos los colombianos y nouna doble negación lógica.

65

Matemática I

EJEMPLO 24

En el diagrama que aparece a continuación, se han volcado losdatos obtenidos en una encuesta, realizada a una muestra de 30personas, donde se les preguntó si tomaban té, café o chocolate.Los números que aparecen se refieren a las cantidades de perso-nas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posi-bles: las tres bebidas, sólo té, té y chocolate pero no café, etc.A partir de estos datos responderemos a las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? Rta. 30 personas.2. ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas tres

bebidas? Rta. 28 personas.3. ¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 13 personas.4. ¿Cuántas personas tomaban sólo dos de esas tres bebidas?

Rta. 9 personas.5. ¿Cuántas personas tomaban exactamente dos de esas tres

bebidas? Rta. 9 personas.6. ¿Cuántas personas tomaban menos de dos de esas tres bebi-

das? Rta. 20 personas.7. ¿Cuántas personas tomaban exactamente una de esas dos

bebidas? Rta. 18 personas.8. ¿Cuántas personas tomaban sólo chocolate? Rta. 7 personas.9. ¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 12 personas.10.¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 17 personas.11.¿Cuántas personas tomaban las tres bebidas? Rta. 1 persona.12.¿Cuántas personas no tomaban las tres bebidas? Rta. 29 personas.13.¿Cuántas personas no tomaban ninguna de esas tres bebi-

das? Rta. 2 personas.14.¿Cuántas personas no tomaban ni té ni café? Rta. 9 personas.15.¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 18 personas.16.¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas. ¿Cuán-

tas personas tomaban té y café pero no chocolate? Rta. 3personas.

17.¿Cuántas personas tomaban chocolate y café? Rta. 3 personas.18.¿Cuántas personas tomaban chocolate y café pero no té? Rta.

2 personas.

EJEMPLO 23

Durante el mes de abril, una em-presa comunitaria apoyada porun municipio (dentro de un pro-grama de generación de empleo),ha fabricado diariamente produc-tos escobas o cepillos (o ambos),excepto 4 domingos durante loscuales no ha fabricado nada. Sa-biendo que 15 días del mes hafabricado escobas, y 20 días hafabricado cepillos, a) ¿cuántosdías del mes ha fabricado ambosproductos? b) ¿cuántos días delmes ha fabricado sólo escobas?c) ¿cuántos días del mes ha fa-bricado sólo productos del tipocepillos?

El dato de los 4 domingos pue-de volcarse directamente en eldiagrama. Obviamente existierondías en que se fabricaron ambosproductos, pues de lo contrarioabril tendría 39 días. Luego, dadoque abril sólo tiene 30 días de-bieron haber 9 días en que se fa-bricaron ambos productos. Pordiferencia de este número con 15y con 20 se obtuvieron 6 y 11 res-pectivamente. Rtas. a) 9 días; b)6 días; c) 11 días.

66

Conjuntos2

EJEMPLO 25

Dentro de un programa de subsidio al trasporte de estudiantes y desestímulo aluso del vehículo, un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferen-cias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Losdatos de la encuesta fueron los siguientes:

I) Motocicleta solamente: 5

II) Motocicleta: 38

III) No gustan del automóvil: 9

IV) Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3

V) Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20

VI) No gustan de la bicicleta: 72

VII) Ninguna de las tres cosas: 1

VIII)No gustan de la motocicleta: 61

1. ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?

2. ¿A cuántos les gustaba la bicicleta solamente?

3. ¿A cuántos les gustaba el automóvil solamente?

4. ¿A cuántos les gustaban las tres cosas?

5. ¿A cuántos les gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?

Tratemos de volcar los datos en un diagrama de Venn para tres conjuntos.

Nos encontraremos con que sólo cuatro de ellos (los números I), IV), V) y VII) sepueden volcar directamente:

Ahora con el dato II) se puede completar la única zona que falta en el conjuntoMOTO, haciendo la diferencia 38 - (20+5+3) = 10:

➥

67

Matemática I

Luego utilizaremos el dato VI), pues si consideramos todas las zonas, exceptolas cuatro correspondientes al conjunto BICI, deberán sumar 72, luego 72 -(20+5+1) = 46:

Después de ello, podremos usar el dato III), pues si consideramos todas laszonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto AUTO, deberán sumar 9,luego 9 - (5+3+1) = 0:

Por último utilizaremos el dato VIII) pues si consideramos todas las zonas, ex-cepto las cuatro correspondientes al conjunto MOTO, deberán sumar 61, luego61 - (46+0+1) = 14:

Con lo que estamos en condiciones de responder a todas las preguntas:

a. A 99 personas.

b. A ninguna.

c. A 46 personas.

d. A 10 personas.

e. A 14 personas.

68

Conjuntos2cie limitada por un círculo.6. CONJUNTO DE NÚMEROS

“Si por un momento analizamos las miles de actividades, pequeñas y grandes, que cada día de nuestra vidaempezamos o concluimos, nos damos cuenta que todo, o casi todo, está unido a la ciencia de los números, acálculos matemáticos. Por otra parte, todos los bienes que nos circundan, desde la cama en la que dormimosy la casa en la que vivimos hasta los vestidos que nos ponemos; desde el cepillo de dientes hasta el dentífrico;desde el auto o el autobús que nos transporta, hasta el puente que cruza la calle; del tren al tranvía, al avión,a los mísiles; todas las cosas, todos los bienes de la época moderna son el fruto de los conocimientos cientí-ficos y de las utilizaciones tecnológicas desarrolladas por la inteligencia del hombre. En última instancia puededecirse que cada una de nuestras acciones está condicionada por los números, por las medidas y por susrelaciones recíprocas...

Estas siempre surgen luego. Para convencernos bastara considerar durante un momento qué valores tienenlos números en sí mismos. Cuando decimos dos – cinco – dieciséis – cien, no indicamos nada concreto: allado de todos esos números podemos poner lo que queremos, tantas manzanas, tantos huevos; tantosautomóviles, tantos trenes; tantos hombres o tantas mujeres. En este caso el número (abstracción matemá-tica) adquiere el significado físico que le hemos puesto al lado...Pero el hombre, ¿cúando empezó a hacer talesdistinciones? O, mejor aun, ¿cuando surgió en la cabeza del hombre la idea del número y como pudo descu-brir toda la serie asombrosa –a veces simple, a veces difícil y compleja – de los procedimientos matemáticos?

...Para volver a encontrar estos orígenes hay que retroceder en la historia de la evolución, o sea llegar a losanimales que en las vicisitudes de nuestro planeta precedieron al nacimiento del homo sapiens. Con esto noquiero decir que los números hayan nacido antes que el hombre y que no constituyan una de las más hermo-sas creaciones de la inteligencia de la especie humana, quiero decir que el sentido del número – innato en lanaturaleza misma- puede ser identificado también, por ejemplo, en el comportamiento de muchos animales.Si el nido de un pájaro contiene cuatro huevos y nos llevamos uno, el animal no se da cuenta. Si en cambionos llevamos dos huevos, el pájaro se da cuenta y desde ese momento abandona el nido. Esto significa que almenos hasta dos un pájaro sabe contar y que –más allá de ese número- se confunde entre tres y cuatro.”

Masini Giancarlo. El romance de los números. Círculo deLectores.,Lisboa, 1979,pag.11

6.1 Números naturales(N)

• Este fue el primer sistema de números que se formó, sufunción básica y primordial es la del conteo, es decir sonlos únicos que se utilizan para contar.

• Son cerrados respecto de las operaciones de adición y mul-

69

Matemática I

tiplicación solamente. La diferencia y el cociente de dos nú-meros naturales no es necesariamente un número natural.

Representación de los Naturales

• El conjunto de los números naturales se denomina con laletra N, así :N = {1,2,3,4,5.... ∞}

• Los números naturales se pueden representar por pun-tos de una línea recta. Se toma un punto al cual se lellama el punto de origen para representar el cero, otropunto a la derecha para representar el 1 y así sucesiva-mente con los otros números. Observe sobre la rectacómo se establece una relación en donde un único pun-to representa un número natural (N) y un número natu-ral representa un punto.

Nota:Recuerde que los números primos son los naturales p, exclui-do el 1, que sólo son divisibles por 1 y por p mismo.

6.2 Números Enteros(Z)

• Cuando el hombre a través de sus estudios notó que conlos números naturales no era posible encontrar solucionesa problemas como 5-8 , creó el conjunto de los númerosenteros. Utilizando el cero como punto de partida que di-vide en dos grandes subconjuntos los enteros, aquellosque se encuentran a la derecha del cero son los enterospositivos (los mismos naturales) y los que se encuentran ala izquierda se identifican como los enteros negativos. Estenuevo conjunto lo nomina con la letra Z. Cuando se espe-cifica únicamente uno de los dos, se hace la aclaración

Figura recta de los números naturales

REPRESENTACIÓN DELOS ENTEROS

• En notación de conjuntos, los en-teros de definen así:

Z = { - ∞ ...-2,-1,0,1,2...∞}

o también Z = Z- ∪ {0} ∪ Z+

El grillo

Un grillo está en el fondo de un pozode 5m de altura. Si por el día sube 3metros y por la noche baja 2 metros,¿en cuánto tiempo saldrá del pozo?

0 1 2 4 5 ∞

70

Conjuntos2con un signo más (+) o un signo menos (-) como superíndice de la letra. Es decirZ+ o Z- según sea el caso.

Los números enteros son representados al igual que los naturales ver figura 12 conuna recta en la que se observa la misma relación: un único punto representa unnúmero entero (Z) y un número entero representa un punto. Se elige un punto llama-do origen y se definen los lugares geométricos para los enteros positivos y los enterosnegativos.

De lo anterior se puede concluir que el conjunto de los números naturales es unsubconjunto de los números enteros, lo que se representa así:

N ⊂⊂⊂⊂⊂ Z

Una propiedad de los número reales es que son cerrados con respecto a las operacio-nes de suma, resta y multiplicación, lo que implica que la suma, la diferencia y pro-ducto de números enteros es a su vez un número entero, pero no son cerradosrespecto a la división.

6.3 Números Racionales (Q)

• Son todos aquellos enteros que se pueden expresar como la razón de dos deellos. Es importante concluir que todo entero es también un racional.

• Los números racionales se crearon para indicar la parte de algo, pueden ser negativoso positivos con excepción del cero.

Representación de los Racionales

Se representan por la letra Q y se definen así:

Q = {x : x = qp

donde p∈ Ζ, q∈ Ζ y q ≠ 0 }

Figura 12 Recta de los números enteros

Figura 13

∞ -5/2 -2 –1 -½ 0 1

610 2 ∞

• • • • • • • •

-∞ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ∞

71

Matemática I

Al igual que los conjuntos de números anteriores, la figura 13 muestra la representacióngeométrica de los números racionales,

Un número racional se puede expresar de varias formas, veamos:

1020,

48,

24 , etc, corresponden al 2. De esta manera se puede definir la relación de

equivalencia (igualdad) entre racionales.

Concluyendo lo anterior se puede decir que dos racionales

ba

y dc son

EQUIVALENTES (escrito ba

= dc

) si a.d = c.d

50250,

1680,

420 corresponde a diversas formas de escribir 5, to-

dos ellos son equivalentes entre sí.

Con frecuencia es conveniente usar los números decimales para representar los nú-meros racionales, por ejemplo:

36

= 2.0 43

= 0.75 =38

2,6666666...

21−

= -0.5 31−

= - 0.3333... =119

0,818181...

Al realizar el cociente qp

, se observa que el racional se puede escribir como un entero

o un decimal finito o infinito periódico. Así mismo si encontramos un número quecumpla con las condiciones anteriores se puede clasificar como un racional.

Cuando se tiene un decimal infinito periódico existe un algoritmo para determinar acual racional corresponde este, veamos el siguiente procedimiento:Número decimal 2.666666

1. Definimos el número racional con la incógnita X2. Igualamos el racional con el decimal x = 2.6666663. Multiplicando por 100 se obtiene 100x = 266.6666

restando dos de tres 99x = 264

Despejando la incógnita X = 99264

haciendo las simplificaciones correspon-

72

Conjuntos2

dientes se llega a X = 38

Se puede concluir entonces que el conjunto de los números Enteros es un subconjun-to de los números racionales, representándose así:

Z ⊂ Q

Los números racionales son cerrados no solo respecto de las operaciones de adición,multiplicación y sustracción, sino también respecto de la división exceptuando el cero,lo que significa que en la suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos númerosracionales se obtienen nuevamente un racional.

6.4 Números Irracionales (I)

• Cuando al hacer la representación decimal de algunos números, se encuentra queésta es infinita no periódica, no se clasifican en el grupo de los racionales, razónpor la cual se les llama irracionales, surgiendo así un nuevo conjunto de númerosnominados generalmente como I, algunos autores los nominan también con la

letra Q', ejemplos de este conjunto de números son: 3 , 2 , etc. Existen núme-

ros irracionales con un origen elemental, como lo son las raíces cuadradas noexactas de enteros positivos. El número π (pi), "no algebráico", es irracional.

• El conjunto de los números irracionales I no es cerrado con respecto a las opera-ciones de suma y producto.

6.5 Números Reales (R)

• Los conjuntos de los números naturales (N), los enteros (Z)y los racionales (Q)forman una cadena y se expresa así:N ⊂ Z ⊂ Q

• Si al conjunto de los números racionales (Q) se le une el conjunto de los númerosirracionales (Q´ ) disjuntos entre si, se genera un conjunto conocido como elconjunto de los números reales, nominado con la letra R.

Representación de los Reales

-π 2 e ∞ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ∞

• • •

• Una de las propiedades más importantes de los números reales es el poderlos re-presentar por puntos de una línea recta. Resultando una correspondencia entre lospuntos de la recta y los números reales. Esta recta es conocida como la recta real.

73

Matemática I

• Los números a la derecha del cero (0) son l os números positivos y los de la izquierdadel cero son los números negativos, el cero no es ni positivo ni negativo.

6.6 Resumen de los Conjuntos de Números

• Resumamos viendo la secuencia necesidad y conjunto numérico generado por esta:• Necesidad de contar.

N: Números Naturales: {0, 1, 2, 3, ...}Necesidad de ampliación: para resolver ecuaciones como x + 12 = 5

• Z: Números Enteros= N+ negativos{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}Necesidad de ampliación: para resolver ecuaciones como 4x = 34

• Q: Números Racionales = Z + fraccionarios

{ }...,,2,1,,0,,,1,2,,3,..., 25

31

97

52

37

223 −−−−−−−

Necesidad de ampliación: para resolver ecuaciones como x2-2=0• R: Números Reales = Q + irracionales

{ }...,,,2,2,1,,0,,,1,2,,10,3,2,..., 25

31

97

52

37

223 e−−−−−−−−− π

Necesidad de ampliación: para resolver ecuaciones como x2+1=0• C: Números Complejos = R + imaginarios

{ }...,,32,,,2,2,1,,0,,,1,2,,10,3,2,..., 21

25

31

97

52

37

223 iie −+−−−−−−−−− π

74

Conjuntos2

Desarrolle con su grupo de estudio, el siguientegrupo de ejercicios. Si tiene dificultades, repaseel capítulo cuidadosamente y consulte a sus com-pañeros de equipo, si aún perseveran las dificul-tades anótelas y preséntelas al tutor en la próxi-ma sesión.

1. Si A = {x : 2x = 6} y b = 3, ¿es b = A?

2. Sea M = {r, s, t} Es decir, M consta de loselementos r, s, t. Dígase cuáles de las afirma-ciones son correctas o incorrectas. Si existeuna incorrecta explicar ¿por qué?

a) r ∈ M b) r ⊂ M

c) {r} ∈ M d) {r} ⊂ M

3. ¿Cuáles de estos conjuntos son iguales: {r, t,s}, {s, t, r, s},{t, s, t, r}, {s, r, s, t}?

4. ¿Cuál de estas palabras es distinta de las otrasy por qué? : vacío, cero, nulo

5. Dado que A = {x, y, z}, ¿cuántos subconjun-tos hay en A y cuáles son?

6. Definir los siguientes conjuntos de figuras delplano euclidiano.

Q = {x : x es un cuadrilátero}

R = { x : x es un rectángulo}

H = { x : x es un rombo}

S = { x : x es un cuadrado}

7. Dado A = {2,{4,5},4} ¿qué afirmaciones sonincorrectas y por qué?

a) 5 ∈ A b) {5} ∈ A

c) {5} ⊂ A

8. Del siguiente listado de palabras, hay algunasque se definen en un desarrollo axiomático dela teoría de conjuntos, selecciónelas.

a) Particiona b) Conjuntoc) Fracciona d) Pertenece ae) Disjunto f) Teoremag) Elemento h) Es igual ai) Subconjunto j) Bisecak) Superconjunto l) Ícono

9. Demostrar que A = {2,3,4,5} no es subcon-junto de B = {x : x es par}

10.Sea V = {b}, Q = {a,c}, W = {a,b,c}, R ={a,b} Establecer el valor de verdad de las si-guientes afirmaciones.

a) V ⊂ Q b) W ⊃ Rc) R ≠ Q d) W ⊄ Ve) Q = W f) V ⊂ R

g) R ⊃ W h) R ≠ Vi) Q ⊂ R

11.En los diagramas de Venn, mostrar sombrean-do A ∪ B.

12.Sean S= {1,2,3,4,}, T = {2,4,6,8}y V = { 3,4,5,6}

Hallar:

a) S ∪ T b) T ∪ V c) V ∪ S

13.Con base en los conjuntos anteriores hallar:

a) (S ∪ T) ∪ V b) (V ∪ S) ∪ T

Demuestre que los conjuntos solución de los lite-rales a) y b) son iguales.

14.Si P = {p, q, t, y}, Q = {o, r, s, u, v},

EVALUACIÓN

➥

75

Matemática I

R = {h, k, l, t} S = { o, p, q, r, s, t}

Hallar

a) P ∪ Q b) R ∪ S c)Q ∪ S

d) (P ∪ S) ∩ Q e) R ∩ Q f) R ∩ S

g) (P ∩ Q) ∪ S h) Q ∪ (R ∩ P)

15.Realice los diagramas de Venn Euler corres-pondientes a los conjuntos solución del ejer-cicio anterior.

16.Sea U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i},

A = {a, c, d, e, i},

B = {b, d, e, f, h}, C = {a, b, e, f, i}

Hallar:

a) (A ∩ A´)´ b) C´∩ A c) B´∪ Cd) B´ e) A´- B f) C - Ag) (A - C)´ h) B ∩ A i) (A - B´)´j) A ∪ C

17.Organice un diagrama de Venn compuesto portres conjuntos no vacíos R, S, T que poseanlas siguientes características:

a) R ⊂ S, T ⊂ S, R ∩ T = ∅

b) R ⊂ S, T ⊂ S, R ∩ T = ∅

c) R ⊂ T, R ≠ T, R ∩ T = ∅

d) R ⊂ (S ∩ T), S ⊂ T, T ≠ S, R ≠ T

18. La fórmula A - B = A ∩ B´ puede definir ladiferencia de dos conjuntos mediante las so-las operaciones de intersección y complemen-to. Encontrar una fórmula que defina la uniónde dos conjuntos, A ∪ B, mediante estas dosoperaciones de intersección y complemento.

19.Determine y diligencie cada una de las siguien-tes afirmaciones, colocando ⊂, ⊃ o (no com-parables) entre cada par de conjuntos. Tengaen cuenta que los conjuntos denominados conP y Q son arbitrarios.

a) P____P - Q b) P´____Q-P

c) P´___P - Q d) P ____P ∩ Q

e) P____P ∪ Q f) P_____Q - P

20.Consolide con el trabajo de sus compañerosde grupo de estudio los ejemplos que propu-sieron para cada tema de la unidad.

Elaborar los diagramas de Venn respectivosen los siguientes ejemplos.

21.Una encuesta de la Secretaría de Salud refe-rente a los medicamentos de venta libre parael dolor AINES (Analgésicos no esteroides),sobre 500 personas reveló los siguientes da-tos acerca del consumo de dos productos:acetaminofén e ibuprofeno

138 personas consumían acetaminofén perono ibuprofeno.

206 personas consumían acetaminofén e ibu-profeno.

44 personas no consumían ni acetaminofén niibuprofeno.

a. ¿Cuántas personas consumían acetaminofén?.

b. ¿Cuántas personas consumían ibuprofeno?.

c. ¿Cuántas personas consumían ibuprofeno perono acetaminofén?.

d. ¿Cuántas personas consumían por lo menosuno de los dos productos?.

22.Una encuesta sobre 500 personas reveló lossiguientes datos acerca de la inscripción enplanes de atención en salud. Se esperaba quetodos estuvieran inscritos en el POS (Plan Obli-gatorio de Salud) pero algunos pertenecían aotros regímenes especiales. Sin embargo loque interesaba al estudio eran los Planes Com-plementarios (PC) y el POS.

410 personas estaban inscritas en por lo me-nos uno de los dos planes.

294 personas estaban inscritas en POS.

78 personas estaban inscritas en POS pero no

EVALUACIÓN

➥

76

Conjuntos2

PC.

a. ¿Qué porcentaje de personas estaban inscri-tas en PC?

b. ¿Qué porcentaje de personas estaban inscri-tas en sólo PC

c. c) ¿Qué porcentaje de personas estaban ins-critas en los dos planes?

d. d) ¿Qué porcentaje de personas no estabaninscritas en ninguno de los dos planes?

23.En el municipio de Duitama se contrató unaencuesta para determinar cual era la necesi-dad más sentida entre la dotación de centrosescolares o la construcción de nuevas escue-las, a fin de dar prioridad en la inversión deunos recursos que estaban disponibles. Laencuesta se aplicó sobre 500 personas y reve-ló los siguientes datos acerca de la preferen-cia de las dos destinaciones de la inversión :310 personas preferían por lo menos una delas dos opciones.

270 personas preferían la dotación de cen-tros escolares.

205 personas preferían la construcción de nue-vas escuelas pero no la dotación de centrosescolares.

Demostrar que los resultados de la encuestano son atendibles.

24.Una encuesta sobre 200 personas en la ciu-dad de Bogotá reveló los siguientes datosacerca del consumo de llamadas de larga dis-tancia a través de los tres operadores (Tele-com, Orbitel y OO7Mundo). Para este efectodiremos que el usuario del servicio de teleco-municaciones consumía X operador para re-ferirnos a que usaba los servicios de interco-municación de X :

5 personas consumían sólo Telecom

25 personas consumían sólo Orbitel.

10 personas consumían sólo OO7Mundo

15 personas consumían Telecom y Orbitel,pero no OO7Mundo.

80 personas consumían Orbitel y OO7Mundo,pero no Telecom.

8 personas consumían OO7Mundo y Telecom,pero no Orbitel.

17 personas no consumían ninguno de los tresproductos.

a. ¿Cuántas personas consumían Telecom?

b. ¿Cuántas personas consumían Orbitel?

c. ¿Cuántas personas consumían OO7Mundo?

d. ¿Cuántas personas consumían Telecom, Or-bitel y OO7Mundo?

e. ¿Cuántas personas consumían por lo menosuno de los tres productos?

EVALUACIÓN

77

Matemática I

f. ¿Cuántas personas consumían Telecom u Or-bitel?

g. ¿Cuántas personas no consumían OO7 Mundo?

1. A es un conjunto que consta del único ele-mento 3, es decir, A = {3}. El número 3 eselemento de A, pero no es igual a A. Hay unafundamental diferencia entre un elemento x yel conjunto {x}.

2. a) correcta; b) el símbolo ⊂ debe estar entredos conjuntos, pues indica que un conjuntoes subconjunto del otro. Así que r ⊂ M es in-correcta por ser r un elemento de M, no unsubconjunto; c) incorrecta. El símbolo ∈ vin-cula un objeto a un conjunto, pues indica queel objeto es elemento del conjunto. Así que{r} ∈ M es incorrecta, ya que {r} es subcon-junto de M, no un elemento de M; d) correcta

3. Son todos iguales entre sí, por que la repeti-ción o el orden no cambia un conjunto.

4. La primera y la tercera se refieren al conjuntosin elementos; la palabra cero se refiere a unnúmero particular y es, por tanto la palabradiferente.

5. Hay 8 subconjuntos y son:{x,y,z}, {x,y}, {x,z},{y,z}, {x}, {y}, {z} y {∅}

6. Como un cuadrado tiene cuatro ángulos rec-tos es un rectángulo; y como tiene cuatro la-dos iguales es un rombo; y puesto que tienecuatro lados es un cuadrilátero. Según eso S⊂ Q, S ⊂ R, S ⊂ H, es decir, S es un subcon-junto de los otros tres. Y, además, cómo hayrectángulos, rombos y cuadriláteros que noson cuadrados, resulta ser S un subconjuntopropio de los otros tres. De manera semejan-te se ve que R es un subconjunto propio deQ, y que es un subconjunto propio de Q.

7. Todas son incorrectas. Los elementos de A son2,4 y el conjunto {4,5} Además hay ocho sub-conjuntos de A y {5} no están entre ellos.

8. Los literales e, h, i, k

9. Hay que demostrar que hay al menos un ele-mento de A que no está en B.

10. a) Falsa, b)Verdadera, c)Verdadera, d) Ver-dadera, e) Falsa, f)Verdadera, g) Falsa,h)Verdadera, i)Falsa

11.

12.a) S ∪ T= {1,2,3,4,6,8} b) T ∪ V ={2,3,4,5,6,8}

c) V ∪ S = {3,4,5,6,1,2}

13.a) (S ∪ T) ∪ V = {1,2,3,4,6,8}

14.a) P ∪ Q = {o,p,q,r,s,t,u,v,y}

b) R ∪ S = {h,k,l,o,p,q,r,s,t}

c) Q ∪ S = {o,p,q,r,s,t,u,v}

d) (P ∪ S) ∩ Q = {o,r,s}

e) R ∩ Q = ∅

f) R ∩ S = {t}

g) (P ∩ Q) ∪ S = {o,p,q,r,s,t}

h) Q ∪ (R ∩ P) = {o,r,s,t,u,v}

15.a) (A ∩ A´)´= ∅

b) C´∩ A = {c,d}

c) B´∪ C ={a,b,c,e,f,i}

d) B´= {a,c,i,g}

e) C - A = {f,b}

f) A´- B = {g}

g) (A - C)´= {a,c,d,e,g,h,i}

h)B ∩ A ={d,c}

i) (A - B´)´= {a,b,c,f,g,h,i}

j) A ∪ C= {a,b,c,d,e,f,i}

16.(a) ⊃, (b) ⊃, (c) NC, (d) ⊃, (e) ⊂, (f) NC

17.(a) 344, (b) 318, (c) 112 y (d) 456 personas.

18.(a) 66.4%, (b) 23.2%, (c) 43.2%, (d) 18%

19. Cuando se trata de volcar los datos se ve que

ALGUNAS RESPUESTAS

78

Conjuntos2

Kleiman, Ariel. Conjuntos: Aplicaciones Matemáti-cas a la Administración. Editorial Limu-sa, México,1994

Fregoso, Arturo. Los elementos del lenguaje de lamatemática: Lógica y Teoría de Conjuntos.Editorial Trillas, México ,1977

Rubio Segovia. Logica y teoria de conjuntos. Edi-torial Alhambra, Madrid, 1974.

BIBLIOGRAFÍAdonde dice que debe haber 270, sólo cabrían 105.

18.(a) 68, (b) 160, (c) 138, (d) 40, (e) 183, (f) 173 y (g) 62personas.

PRÁCTICA REFLEXIVA

Haga un escrito de 15 a 20 páginas sobre la importancia yaplicabilidad de la teoría de conjuntos a las ciencias sociales.

Capítulo 3Funciones

80

Funciones3

FUNCIONES

3En el capítulo anterior se estudiaron los conjuntos yaque sobre ellos se cumplen y aplican las funciones.Se espera que al iniciar el curso, el estudiante yatiene unos conocimientos básicos de matemática queadquirió en su bachillerato, y que de no recordarloses necesario que se remita a sus textos de entoncesy repase lo que vaya necesitando. Para abordar estaunidad usted ya debe:

• A partir de una ecuación que represente una fun-ción y= f(x), debe poder hacer una tabla de valo-res de y para cada valor de x.

• A partir de una tabla de valores debe poder dibu-jar una gráfica en un plano cartesiano usandopara ello papel cuadriculado o milimetrado.

• Sumar y restar polinomios algebráicos de cual-quier tipo.

• Multiplicar polinomios algebráicos.• Realizar factorizaciones por el método de factor

común y agrupación.• Factorizar trinomios.• Trasponer términos en una igualdad.

En este capítulo se reforzará el concepto de repre-sentación gráfica de funciones usando el software“Function Visualizer (FV)” o el “Graficador de Ecua-ciones Polinomiales” durante el trabajo en casa y conel Software “Derive” en las tutorías presenciales, elcual también permite reforzar los demás conceptosde prerrequisito. También se profundizará en la apli-cación a la administración, economía y ciencia políti-ca de las funciones lineales.

81

Matemática I

PLAN DEL CAPÍTULO

1. FUNCIONES

2. EVALUACIÓN

3. PRÁCTICA DE ENTRENAMIENTO

4. PRÁCTICA DE APLICACIÓN

OBJETIVOS GENERALES

• Con la práctica de la graficación de ecuaciones y laayuda del software de apoyo, el estudiante secapacitará para interpretar y analizar funcioneslineales, lo mismo que algunas características de lasno lineales.

• A partir de la solución de casos de aplicación a lasáreas relacionadas con la administración pública, elestudiante encontrará significativo el conocimiento quese está abordando.

82

Funciones31. FUNCIONES

“Las relaciones entre variados conjuntos de objetos son comunes en la vida cotidiana. Por ejemplo:En un supermercado a cada artículo le corresponde un precio.A cada casa le corresponde una dirección.A cada persona le corresponde una edad.A cada día le corresponde una fecha.En variados campos de la ciencia es muy importante lograr establecer la relación entre dos sucesos y transcri-birlo en el lenguaje preciso de las matemáticas ya que esto puede repercutir en la posibilidad de hacer predic-ciones de los mismos y contribuir en algún grado al buen desarrollo de la sociedad.”

Aponte Rodríguez, Mónica. Matemáticas I, Documento Interno ESAP. Bogotá, 2001.p.26. Algunas explicacio-nes de carácter general y ejemplos de este capítulo fueron tomados del mismo documento.

1.1 Relación

Es un proceso que indica una correspondencia entre un primerconjunto de elementos denominado dominio, y un segundo con-junto de elementos denominado rango, tal que a cada elementodel dominio le corresponde uno o más elementos del rango.

Una relación entre dos números, dos variables o dos objetos.Una relación se puede escribir como un grupo de pares orde-nados o bien mediante una regla que describe cómo se relacio-nan los objetos. Esta regla puede estar dada por una ecuación,una desigualdad o un sistema de ecuaciones o desigualdades.Véase ejemplo 1.

Seleccionar el conjunto y la relación (determinar que datospertenecen a la relación) es algo que se hace por métodosempíricos. En análisis sociológicos se pueden estudiar diferen-tes relaciones entre las variables (por ejemplo: causa, covaríacon, es útil para, determina) y diferentes relaciones sociales(por ejemplo, explota, influye económicamente sobre, contro-la, domina). Tales relaciones son sustantivamente diferentes ypueden ser también formalmente diferentes si cumplen o nOpropiedades como la reflexividad, simetría y transitividad.

2.2 Dominio y rango

En una relación, el conjunto de todos los valores posibles delprimer componente se llama dominio y el conjunto de todos losvalores del segundo componente que pueden resultar del usode los valores en el dominio se llama rango. Ejemplos 2 al 5.

NOTARecordemos que el costo de producir un bieno servicio depende de los costos fijos (servi-cios, gastos de personal, arrendamientos, etc.)y de los gastos variables (que dependen ex-clusivamente del número de unidades produ-cidas, como materias primas).

83

Matemática I

EJERCICIO 2

Instale en su computador (o en el quedispongan para trabajo en equipo) elsoftware de apoyo "Visualizador deFunciones" (FV)1 ó el "Graficador deEcuaciones Polinomiales"2 (o su grafi-cador de funciones favorito). Genere enél la función y=3*X+2 y verifique lasobservaciones anteriores. Si tiene difi-cultades en la manipulación del pro-grama, lea las instrucciones del pro-grama (diccionario de inglés en mano).

1 The Function Visualizer (FV) es un software de gra-ficación, con características muy amigables. FV fuecreado por Mark Bridger (Northeastern University) yHubert Hohn (Massachusetts College of Art), conapoyo de la National Science Foundation. FV puedeser copiado y distribuido para propósitos no comer-ciales, el registro de propiedad es de NortheasternUniversity. Se encuentra en el CD-ROM de funda-mentación.

2 El Graficador de Ecuaciones Polinoniales es un soft-ware desarrollado por el profesor Victor Hugo Me-néndez Rodríguez de la Facultad de Matemáticas -Universidad Autónoma de Yucatán. México, 2002.Este programa se distribuye en forma gratuita y seautoriza su reproducción o inclusión en cualquiersistema de archivos, siempre que la distribución nosea con fines comerciales, ni se altere su contenidoparcial o totalmente. Así mismo, deberá citarse lafuente y reconocer los créditos autorales sin excep-ción alguna. Se encuentra en el CD-ROM de funda-mentación.

EJERCICIO 1

En economía política encontramos las relacioneseconómicas de dominación - sujeción. Haga lalectura de uno de los siguientes textos y describausando entre 10 y 15 renglones, las relacionesentre clases sociales que se dan según la lectura:Opción 1: primer título de El Manifiesto Comunis-ta: Burgueses y Proletarios de Carlos Marx y Fe-derico Engels. Opción 2: El componente Socialen el enfoque ecosistémico de la salud humanade Maria Cecilia de Souza Minayo. Ambos docu-mentes se encuentran en el CD-ROM de Funda-mentación.

EJEMPLO 1

Supongamos que la relación entre x y y, en que xrepresenta las unidades de servicio producidos y yrepresenta el costo total de producción, con unoscostos fijos de 2, dada por la siguiente ecuación:

y = 3x + 2

Si damos a x un valor de 1, entoncesa = 3(1) + 2 = 5

Si damos a x un valor de 4, entoncesa = 3(4) + 2 = 14

Si damos a x un valor de -3, entonces a = 3(-3) + 2= -7. Sin embargo ¿tiene sentido el valor -3 dentrodel ejemplo?

Así, algunos pares ordenados que definen la rela-ción entre p y q son: (1 , 5), (4 , 14) y (-3 , -7). Comose puede observar, los pares ordenados son de laforma (x , y).

En varios casos estos pares ordenados se puedenubicar en una tabla así:

En la relación y = 3x + 2,x se denomina variableindependiente y y es la variable dependiente porqueel valor de y depende del valor elegido para x.

X 1 4 -3

Y 5 14 -7

84

Funciones3

EJEMPLO 4

En la ecuación y = 21−x

El único valor que no puede asignarle a x es 2 porque enese caso el denominador sería igual a cero y recuerdeque la división entre cero no está definida. Teniendo encuenta esto, el dominio sería todos los números realesexcepto el 2.

Dominio = {x : x∈ R ∧ x ≠ 2}

Ahora bien como y nunca es igual a cero porque para queuna fracción sea igual a cero es necesario que el denomi-nador sea igual a cero y en este caso el numerador siem-pre es 1. Por lo tanto el rango son todos los números rea-les excepto el 0.

Rango = {y : y∈ R ∧ y ≠ 0}

EJEMPLO 2

En el conjunto de pares ordenados:{(1 , 3), (2 , 6), (5 , 9), (-2 , - 4)}

El dominio corresponde a los primeros compo-nentes {1 , 2 , 5 , -2}

El rango corresponde a los segundos compo-nentes {3 , 6 , 9 , -4}

EJEMPLO 3RECTA

En la ecuación y = x + 3.

Imagine todos los valores que podríaasignarle a x. Así el dominio es el con-junto de los números reales.

Ahora imagine todos los valores quele son asignados a y. Así el rango co-rresponde al conjunto de los númerosreales.

Figura 1. Gráfica de la función y = 1/(x-2)

EJEMPLO 5PARÁBOLA

En la relación y =

Debido a que sólo es posible extraerla raíz cuadrada de números reales nonegativos, tenemos que x - 9 debe sermayor o igual a cero así que:

x - 9 ≥ 0, trasponiendo 9 tenemos:x ≥ 9

Por lo tanto,Dominio = {x: x∈ R+ ∧ x ≥ 9}

Como la raíz cuadrada de un númerono negativo es no negativa, se tieneque: Rango = {y: y∈ R+ ∧ y ≥ 0}

EJERCICIO 3

Verifique el ejemplo 3 usando el soft-ware graficador de funciones. Grafi-que en éste también, los ejemplos 4y 5.

85

Matemática I

1.3 Funciones

Una función es una relación tal que a cada elemento del domi-nio le corresponde uno y sólo un elemento del rango.Toda la función es una relación pero existen relaciones que noson funciones. Véase ejemplo 6.

1.4 Notación funcional

Usualmente una función se define mediante una letra o grupode letras como f, g, h, F, G, H, sen, cos, ln,... entre otros. Si x esla variable independiente y y es la variable dependiente, enton-ces el número que pertenece a y se puede designar como ƒ(x),g(x), h(x), ƒ(x), G(x), dependiendo de cómo se identifique lafunción.

La notación ƒ(x) se lee "ƒ de x".

EJEMPLO 6

Supongamos una relación en donde elconjunto de pares ordenados estádado por:

{(1 , 4), (1 , 7), (2 , 5), (3 , - 2)}

Esta relación no es función porque elelemento 1 que pertenece al dominiotiene dos imágenes diferentes 4 y 7.

EJEMPLO 9 (PARÁBOLA)

Si y=ƒ(x) = x 2 - 3x , calcular f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

52

.

Véase figura 2.

Solución

f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

523

52

52 2

56

254−= = 25

26−

NOTAEn algunos casos se utiliza la notación f: A →B que significa que A es el dominio de la fun-ción y B es el conjunto en donde están conte-nidos los elementos del rango.

EJEMPLO 8PARÁBOLA

Si y= ƒ (x) = 3x 2 - 4x + 7 , calcular ƒ(- 4). Véase figura 2.

Solución

ƒ(-4) = 3(-4) 2 - 4x + 7

= 3 (16) - 4(16) + 7

= 48 - 64 + 7

= -9

EJEMPLO 7

Sea la función: y = 3x + 5 se puede escribir comoƒ(x) = 3x + 5

Esta notación es muy útil cuando deseamos conocer elvalor de una función en un punto específico, así si se deseaconocer el valor de f cuando x = -2, tenemos que:

ƒ(-2) = 3(-2) + 5

= - 6 + 5

= - 1

El valor de f(-2) es -1. Así obtenemos el par ordenado(-2 , -1)

Existen funciones en donde se utilizan las variable diferen-

tes de x y y. Como por ejemplo h( t) = 72

t2 + t - 8 es una

función de t.

86

Funciones3

1.5 Gráfica de una función

Para realizar la gráfica de una relación, podemos elaborar unatabla (tal como se hizo en el ejemplo 1 de este capítulo endonde se muestran algunos valores de las respectivas varia-bles. Para llenar la tabla asignamos valores del dominio a lavariable independiente y encontramos el correspondiente va-lor para la variable dependiente. A continuación ubicamos enel plano cartesiano las parejas de la forma ( x , y ); y según eldominio de la función, dichos puntos se podrán unir medianteun trazo continuo o simplemente se dejaran los puntos ubica-dos. Véanse los ejemplos 11 al 14.

EJEMPLO 10PARÁBOLA

Si y=g(x) = 2x2 - 5x + 7 calcular g ( 3 + t ). Véase la figura2.

Solución

g(3 + t ) = 2 (3 + t ) 2 - 5 (3 + t ) + 7

= 2 (9 + 6 t+ t2 ) - 5 (3 + t ) + 7

= 18 + 12 t + t2 -15 - 5t +7

= t2 +7t +10

Por lo tanto g( 3 + t )= t2 +7t +10

Figura 2. Gráfica de recta y parábolas de los ejemplos 7 al 10

EJEMPLO 11PARÁBOLA

Si h : R→R, tal que y=h(x) = x2 - 1

Figura 3. Gráfica de y=h(x) = x2 - 1

x -3 -2 23−

-1 0 1 2 3

F(x) 8 3 45

0 -1 43−

0 3 8

87

Matemática I

EJEMPLO 14

Y=ƒ(x) =

21+x

x 1 2 3 4 5

ƒ(x) 5 5 5 5 5

EJEMPLO 12FUNCIÓN CONSTANTE

Si ƒ : R→ R, tal que y=ƒ(x) = 5

Figura 4. Gráfica de y=f(x) = 5

EJEMPLO 13PARÁBOLA HORIZONTAL

Y=ƒ(x) =

1+x

x -1 0 3 8 15

ƒ(x) 0 1 2 3 4

Figura 5. Gráfica de y=ƒ(x) = 1+x

x -10 -8 -6 -4 -3 -1 0 1 2 3 6

f(x) -1 -4/3 -2 -4 -8 8 4 8/3 2 8/5 1

Figura 6. Gráfica de f(x) = 21+x

EJEMPLO 15RECTA

Si ƒ : R→R, tal que y=ƒ(x)= y = x - 4

Figura 7. Gráfica de la recta. y= f(x)= x - 4

x -2 0 2 3 4

f(x) -6 4 -2 -1 0

88

Funciones31.6 Función Lineal

El ejemplo 15 corresponde a una recta. Revise que la forma dela ecuación que genera la recta es de la forma y=ƒ(x) = ax+b,en la que a representa el grado de inclinación o pendiente de larecta (véase el ejemplo 16) y b representa el punto de cortecon el eje vertical y, como se vé en el ejemplo 17.

NOTARecuerde que la ecuación de la recta a partirde dos puntos se puede obtener reemplazan-do en

EJERCICIO 4

Señale sobre la figura 9, la ecuación que co-rresponde a cada recta.

Dé tres ejemplos de ecuaciones de rectas pa-ralelas con pendiente negativa. Grafíquelas su-perponiéndolas y escriba una conclusión res-pecto de la pendiente y la apariencia de larecta.

Figura 9. Rectas con diferente pendiente e igual punto de corte en y.

EJEMPLO 17PUNTO DE CORTE CON Y

las rectasƒx) = y = 3x - 3; g(x) = y = 3x - 1;h(x) = y =3 x + 2; p(x) = y =3 x + 4

son todas paralelas y tienen la pendiente posi-tiva 3. Véase la figura 9.

EJEMPLO 16PENDIENTE DE LA RECTA

las rectas

ƒ(x) = y= 3x - 4;

g(x) = y= -2x - 4;

h(x) = y= 2/3 x - 4;

p(x) = y= -3/5 x - 4

Se espera que todas corten al eje y en el valor - 4. Véase la figura 8.

Señale sobre la figura 8 la ecuación que corres-ponde a cada recta.

Escriba la ecuación de tres rectas que corten aleje y en el valor 3 y haga la gráfica donde lassuperpone.

Figura 8. Gráfica de rectas de diferente pendiente que cortan en elmismo punto con y.

89

Matemática I

1.7 Funciones Lineales de Costo3

A las empresas industriales y comerciales del Estado les intere-san los costos porque reflejan el dinero que gastan. Estos flujosde dinero suelen destinarse al pago de sueldos, materias pri-mas, suministros, alquiler, calefacción, servicios públicos y otrosgastos. Según se señaló con anterioridad, los contadores, eco-nomistas y administradores públicos definen el costo total entérminos de dos componentes: costo total variable y costo totalfijo. Ambos componentes deben sumarse para determinar elcosto total.

Si para un puesto de salud local se pretende comprar una am-bulancia, y se ha estimado que el costo del carro totalmenteequipado es de US$18.000 y el costo promedio de operaciónes de US$0.40 dólares. La función de costo de compra y ope-ración del caro de ambulancia es un ejemplo de función linealde costo. La función de costo: C(q)= 0.40q + 18.000 teníacostos variables que cambian con el número de millas recorri-das y costos fijos de US$18.000. Véase figura 10.

Los costos totales variables cambian con el nivel de produc-ción y se calculan como el producto del costo variable porunidad y nivel de producción. En un ambiente de producción,el costo variable por unidad suele estar constituido por los cos-tos de materias primas y mano de obra. En el ejemplo del carroambulancia, el costo variable por milla se compone de los cos-tos de operación por milla como gasolina, aceite, gastos demantenimiento y depreciación. Véase el ejemplo 18.

Figura 10. Gráfica de la función lineal de costo.

EJEMPLO 18

FUNCIÓN LINEAL DE COSTO

Una empresa que elabora un solo pro-ducto quiere determinar la función queexpresa el costo total anual C(q) en fun-ción de la cantidad de unidades pro-ducidas q. En contabilidad indican quelos gastos fijos cada año son de 50.000dólares. También han estimado que lasmaterias primas por cada unidad pro-ducida ascienden a $5,50 y que los demano de obra son de $1,50 en el de-partamento de montaje, $0,75 en elcuarto de acabado y $1,25 en el de-partamento de empaque y embarque.

Costo Costo total variable Costo total fijo totalC(q)= De materias De mano de obra Costo total fijo

primas Dpto. de montaje(5,50) (1,50) (50.000)

Sala de acabado(0,75)Dpto. de embarque(1,25)

C(q)= 5,50 q + (1,50 q + 0,75 q + 1,25 q) + 50.000

C(q)=9 q + 50.000

El 9 representa el costo variable combinado por unidad producidade $ 9,00.

3 Budnick S. Frank. Matemáticas Aplicadas para la AdministraciónEconomía y Ciencias Sociales. 3ª Edición. McGrawHill. México,1990 [pág. 85 a 119]

90

Funciones31.8 Depreciación Lineal

Cuando las entidades compran equipo, vehículos, edificios yotros tipos de "bienes de capital", en contabilidad se le asignael costo del bien a lo largo del periodo de uso. En el caso de uncamión que cueste US$10.000 dólares y que tenga una vidaútil de 5 años, se le asignará US$2.000 anuales por el costo deposeer el camión. El costo asignado a un periodo determinadode tiempo se llama depreciación. Por ejemplo, el valor del ca-mión aparecerá en los estados contables como US$10.000 enel momento de su compra, US$10.000 - US$2.000 = US$8.000un año después de su adquisición y así sucesivamente. La de-preciación puede considerarse así mismo como el monto queha disminuido el valor en libros de un activo.

Uno de los métodos más sencillos para calcular la depreciaciónes el de la línea recta, en el cual es constante la tasa de depre-ciación y corresponde a la pendiente de dicha recta. Si V es elvalor en libros de un activo y t indica el tiempo medido a partirde la fecha de compra para el camión antes mencionado,

V = ƒ(t) = costo de compra - depreciaciónV = 10.000 - 2.000 t .Véase la figura 11.

Figura 11. Gráfica de depreciación lineal.

EJEMPLO 19

DEPRECIACIÓN LINEAL CONVALOR DE SALVAMENTO

Muchos activos tienen un valor de re-venta o de salvamento, aún despuésde haber cumplido con el propósitopara el cual fueron adquiridos inicial-mente. El tales casos el costo asigna-do durante la vida del activo es la dife-rencia entre el costo de compra y elde reventa. El costo asignado en cadaperiodo es el que se obtiene al dividir-lo entre la vida útil. Suponga que elcamión del caso anterior tiene una vidaútil de 5 años y que transcurrido eselapso, puede venderse en US$1.000.El costo total que puede asignarse alo largo de la vida del bien es deUS$10.000 - US$1.000 = US$9.000. Siel camión debe depreciarse con estemétodo, la depreciación anual será de

=−

)(Re

añosVidaUtilventaValordepraCostodeCom

800.1$5000.9$

5000.1$000.10$

==−

La función que expresa el valor en li-bros V en función del tiempo t es

V =ƒ(t) = 10.000-1.800 t

91

Matemática I

1.9 Oferta y Demanda Lineal4

En la práctica, algunas ecuaciones de oferta y demanda sonaproximadamente lineales en el intervalo que importa; otrasson no lineales. Aún en estos últimos casos, las ecuacioneslineales proporcionan representaciones razonablemente preci-sas de la oferta y la demanda en un intervalo limitado. Véasela figura 12.

Para el análisis económico sólo es pertinente la parte de la gráfi-ca que aparece en el primer cuadrante, por que la oferta, precioy cantidad son, en general cero o positivas. Por tal razón, hemosdejado sólo punteada la curva en los demás cuadrantes.

Una oferta negativa, implica que los bienes no se pueden obte-ner en el mercado, sea porque no se producen o porque seretienen hasta que se ofrezca un precio satisfactorio.

Un precio negativo, implica que se paga a los compradorespara que se lleven los bienes del mercado.

Una capacidad de demanda negativa, implica que los preciosson tan altos como para impedir la actividad del mercado has-ta que se ofrezcan cantidades a precio satisfactorio.

La curva de demanda lineal, en el caso más común, tiene pen-diente negativa, es decir, a medida que el precio aumenta, lacantidad demanda decrece y viceversa. En algunos casos lapendiente de una curva de demanda puede ser cero (precioconstante sin considerar la demanda). En otros casos la pen-diente puede no estar definida (demanda constante sin impor-tar el precio). Véanse los ejemplos 20 al 22.

En el caso más común, la pendiente de la curva de oferta espositiva, es decir, que al aumentar el precio aumenta el abaste-cimiento y decrece al decrecer el precio. En ciertos casos lapendiente de una curva de oferta puede ser cero lo que indicaun precio constante e independiente de la oferta. En otros ca-sos la pendiente de la curva de oferta puede no estar definida(oferta constante e independiente del precio). Véanse losejemplos 23 y 24.

Figura 12. Modelación gráfica de la oferta y la demanda.

4 Draper Jean E., Klingman Jane S. Matemáticas para Adminis-tración y Economía. Editorial Harla. México, 1972. Pág. 40 a53.

92

Funciones3

EJEMPLO 21 DEMANDA CON PENDIENTE CERO

Por ser la leche un artículo de primera necesidady cuyo consumo produce un impacto en la cali-dad de vida de los grupos de población conmenores recursos, el alcalde ordena a los pro-ductores que el precio de la leche durante un añoserá de $1.200 el litro, sin importar la cantidaddemandada. ¿Cuál es la ecuación de la deman-da?

Y=1200

Figura 14. Gráfica de la demanda con pendiente cero.

EJEMPLO 20DEMANDA CON PENDIENTE

NEGATIVA

En una empresa de telefonía TPBC (TelefoníaPública Básica Conmutada) se determinó quecuando el precio del impulso (impulso: tres mi-nutos o fracción de comunicación efectiva conti-nua) era de $80, el consumo promedio diario porsuscriptor era de 10 impulsos y se consumían 20cuando el precio era de $60. ¿Cuál es la ecua-ción de demanda?.

q1=10 q2=20

p1=80 p2=60

( )101020806080 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=− qp

20280 +−=− qp

Figura 13. Gráfica de la demanda en el ejemplo 20.

93

Matemática I

EJEMPLO 24OFERTA LINEAL CONSTANTE

De acuerdo con el contrato entre la compañía Ay la de teléfonos, la compañía A pagará US$500 al mes por las llamadas de larga distanciasin límite de tiempo. ¿Cuál es la ecuación de laoferta?

Y=500

Imagine y escriba acerca de un caso de ofertacon pendiente no definida.

Figura 17. Gráfica de la oferta en el ejemplo 24.

EJEMPLO 23OFERTA DEPENDIENTE DEL PRECIO

Cuando el precio es US$ 50, hay disponibles 50cámaras de un tipo dado para el mercado, cuan-do el precio es US$ 75 hay disponibles 100 cá-maras. ¿Cuál es la ecuación de la oferta?

Figura 16. Gráfica de la oferta en el ejemplo 23.

( )112

121 qq

qqpp

pp −−−

=− 75,100,50,50 2211 ==== pqpq

( ) ( )502150

50100507550 −=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=− qqp

0502 =+− pq

EJEMPLO 22DEMANDA CON PENDIENTE NO DEFINIDA

Por considerarse necesarios para la seguridad na-cional, se compran anualmente 50 grandes genera-dores, sin importar el precio. ¿Cuál es la ecuaciónde la demanda?

q=50

Figura 15. Gráfica de la demanda con pendiente no definida.

94

Funciones31.10 Equilibrio del Mercado

Se dice que existe equilibrio en el mercado en el punto (precio)en que la cantidad de un artículo demandado es igual a la can-tidad en oferta. Así pues, si se usan las mismas unidades paraprecio p y cantidad en ambas ecuaciones (de oferta y deman-da), la cantidad de equilibrio y el precio de equilibrio corres-ponden a las coordenadas del punto de intersección de talescurvas. Algebráicamente la cantidad y el precio de equilibrio sehallan resolviendo simultáneamente las ecuaciones de oferta ydemanda.

Para que los puntos de equilibrio tengan sentido deben serpositivos o cero, es decir que las curvas de oferta y demandase han de intersectar en el primer cuadrante. En otros casos elpunto de equilibrio no tiene sentido para fines económicos,como se nota en la figura18.

Figura 18. Modelación gráfica del punto de equilibrio.

95

Matemática I

1.11 Análisis IS - LM5

Los puntos de la recta IS representan todas las combinacio-nes distintas de tasas de interés y niveles de ingresos con-gruentes con el equilibrio del mercado de bienes y servicios.Los puntos de la recta LM representan todas las combinacio-nes de diferentes tasas de interés y niveles de ingreso con-gruentes con el mercado monetario. El análisis IS-LM trata dedeterminar el nivel de ingresos y la tasa de interés a los queestarán en equilibrio tanto el mercado de bienes como elmonetario. Véase ejemplo 26.

5 Dowling Edward T. Teoría y Problemas de Matemáticas paraEconomístas. Editorial Shaum McGraw-Hill. México, 1990.pp. 17 - 26.

EJEMPLO 25EQUILIBRIO DEL MERCADO -

MODELO LINEAL

Hallar el punto de equilibrio para las siguien-tes ecuaciones de oferta y demanda:

Oferta q 2 -10 p =

Demanda

123

+= qp

Resolviendo las ecuaciones simultánea-mente por igualación:

123210 +=− qq 7

18927

=⇒= qq

734

718210 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=p

Respuesta: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

734,

718

Figura 19. Gráfica para el ejemplo 25.

96

Funciones3

EJEMPLO 26ANÁLISIS IS-LM

El mercado de bienes para una economía simple de dos sectores está en equilibrio cuando Y=C+I (Ingreso= Consumo + Inversión). El mercado monetario está en equilibrio cuando la oferta de dinero (Ms) es iguala la demanda (Md) que, a su vez, se compone de la demanda de dinero por motivos de transacción yprecaución (Mt) y la demanda por especulación de dinero (Mz). Sea una economía de dos sectores en la queC=48+0,8Y, I=98-75i, Mt=0,3Y, y Mz=52-150i.

Existe equilibrio en el mercado de bienes (IS) cuando Y = C + I. Al sustituir en la ecuación se tiene

Y = C + I.

Y = (48+0,8Y) + (98-75i) por sustitución

Y-0,8 Y = 146 - 75i trasponiendo términos con Y a la izquierda.

0,2Y + 75i - 146 = 0

Existe equilibrio monetario (LM) cuando Ms = Mt + Mz

Ms = Mt + Mz

250 = (0,3 Y) + (52 - 150i) por sustitución

0,3 Y - 150i - 198 = 0

0,2Y + 75i - 146 = 0 (1)

0,3 Y - 150i - 198 = 0 (2)

Multiplicando (1) por 2 y sumándola a (2), aplicando el método de eliminación o sumas y restas, tenemos:

0,4Y + 150i - 292 = 0

0,3 Y - 150i - 198 = 0

0,7 Y - 0 i - 490 = 0

0,7 Y = 490

Y = 700

Sustituimos Y = 700 en (1) o en (2) para determinar el valor de i.

0,2 Y + 75 i - 146 = 0

0.2 (700) + 75 i -146 = 0

140 + 75i - 146 = 0

75 i = 6

i = 0,08

El Mercado de bienes y el monetario estarán simultáneamente en equilibrio cuando Y = 700 e i = 0.08. Enese punto,

C = 48+0,8 (700) = 608

I = 98-75 (0,08) = 92

Mt = 0,3 (700) = 210

Mz = 52-150 (0,08) = 40

Ms = Mt + Mz = 210 + 40 = 250

97

Matemática I

1.12 Prueba de la recta vertical para una función

Una relación es una función si ninguna recta vertical trazada enel sistema de coordenadas interseca a la gráfica en más de unpunto. ( Si la recta corta en dos puntos o más decimos que larelación no es función).

1.13 Operaciones básicas con funciones

Recuerde que dos o más funciones pueden operarse para ob-tener nuevas funciones así:

Suma de funciones: ( ƒ + g ) (x) = ƒ ( x ) + g ( x )Diferencia de funciones: ( ƒ - g ) (x) = ƒ ( x ) - g ( x )Producto de funciones: ( ƒ × g ) (x) = ƒ ( x ) × g ( x )Cociente de funciones: ( ƒ / g ) (x) = ƒ ( x ) / g ( x )Véase el ejemplo 27.

1.14 Producción con varios Insumos Variables

Cuando una empresa puede cambiar el uso de un insumo ac-túa a corto plazo, mientras que a largo plazo puede cambiartodos los insumos. Simplificando, si sólo hay 2 insumos varia-bles, la función de producción es del tipo : Q = ƒ (K,L)Gráficamente : Se representa como una "colina de producción".Véase la figura 20.

EJEMPLO 27OPERACIONES CON FUNCIONES

Sea ƒ(x) = x2 + 3 y g(x) = x - 7, hallar

1) ( ƒ + g ) ( x)

2) (g - ƒ) ( x)

3) (ƒ × g) (x)

4) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛gf

( x)

Solución

( ƒ + g ) ( x) = ƒ( x ) + g ( x )

= ( x2 + 3 ) + ( x - 7)

= x2 + x - 4

(g - ƒ ) ( x) = g( x ) - ƒ( x )

= ( x - 7 ) - ( x2 + 3 )

= x - 7 - x2 - 3

= x2 + x - 10

(ƒ × g) (x) = ƒ ( x )× g( x )

= ( x2 + 3 )× ( x - 7 )

= x3 - 7x2 + 3x - 21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛gf

( x) = )()(

xgxf

732

−+

=xx

Verifique las soluciones con el software“FINDPOLY”, desarrollado por Brian Di-vine y David Lovelok del Departamen-to de Matemáticas, Universidad de Ari-zona. Puede ser distribuido sin ánimode lucro para fines educativos.

Figura 20. Gráfica de colina de producción.

98

Funciones3

Figura 21. Curvas de isoproducción.

Figura 22. Algunos tipos de isocuantas

Función de producción homogénea de grado a escala constan-te. Las isocuantas están separadas proporcionalmente. Véasela figura 22a.

Función de producción homogénea de rendimiento a escaladecreciente. El distanciamiento de las isocuantas será cada vezmenor. Véase la figura 22b.

Función de producción de rendimientos a escala creciente. Lasisocuantas están cada vez más distantes. Véase la figura 22c.

Isocuantas

Muestran todas las combinaciones de insumos y factores quellevan al mismo nivel de producción (Curvas de Iso-Produc-ción).

• Son análogas a las curvas de indiferencia (Teoría del con-sumidor)

• Escala cardinal (en curvas de indiferencia es "ordinal")

Muestran todas las combinaciones de los insumos K y L queproducen una cantidad dada de producto.

99

Matemática I

Isocostos

Muestra todas las combinaciones de dos insumos que se pueden em-plear con un egreso total dado para insumos.

Figura 23. Gráfica de isocostos.

(Condición de Optimiza-ción en la producción)

Siguiendo con el supuesto : Q = ƒ(K,L)Suponga : w, es el precio del factor mano de obra (L)R, es el precio del factor capital(K)Recta de Isocosto : w L + r K = CTPendiente de la recta de Isocosto : - W/rPunto óptimo (minimización de costos): BEl punto A no minimiza el costo. Los recursos no son asignados eficien-tementeEn A y B los costos son iguales; pero en B se produce másEl punto C implica un costo menor pero también menor producción. Elpunto D es inalcanzable.En el punto B :La pendiente de la recta de Isocosto = Tasa técnica de Sustitución

O sea : LK

rW

∆∆

−=−

O también :

rPMgK

WPMgL

PMgKPMgL

rw

=⇒=

La unión de los puntos de tangencia formados por un desplazamientoparalelo de la recta de isocosto da lugar a la llamada "Senda de Expan-sión o Ruta de Expansión de la Escala"

100

Funciones31.15 Análisis Gráfico Aplicado

Tipos de Líneas de Tendencia

La tendencia se puede clasificar de 2 for-mas : En función de su dirección, alcista -bajista - lateral, y en función de su dura-ción, primaria - secundaria y terciaria.

A) Una tendencia alcista - bajista - lateral:1. Tendencia alcista: La marcan la unión

de sucesivos mínimos ascendentes.2. Tendencia bajista: Consiste en unir

distintos máximos bajistas.3. Tendencia lateral: Los precios no si-

guen una tendencia definida.

B) En función de su duración, tendríamos tendencia primaria- secundaria - terciaria. Figura 24.1. La tendencia primaria abarca varios meses a varios años.2. La tendencia secundaria para periodos superiores a dos

meses.3. La terciaria puede durar de dos a tres semanas hasta 2

meses.

Soportes y Resistencias

Es aquel nivel de precios donde la presiónvendedora supera la compradora, provo-cando la caída en el precio cuando se al-canza dicho nivel. Refleja en gran medidala sicología de la masa. La resistencia ac-túa y frena el ascenso de los precios. Lapresión vendedora es mayor que la com-pradora no permitiendo sobrepasar el pun-to crítico (resistencia). Cuando una resis-tencia actúa en más de una ocasiónfrenando el ascenso de los precios, se pro-duce un Doble Techo. Los Dobles Techos son síntoma de debi-lidad de la tendencia alcista, mostrando un nivel crítico que lacotización es incapaz de superar.

Figura 25. Resistencia (La presión vendedora supera la compradora)

Figura 24. Intervalos de tendencia.

101

Matemática I

Soporte es un nivel de precios en el cual elinterés de los compradores supera el de losvendedores lo que provoca que la cotiza-ción rebote y suba de nuevo. Con el siguien-te ejemplo podemos comprobar cómo fun-cionan los soportes en un periodo largo detiempo. En A el precio toca dos veces sinperforarlo. La cotización sube hasta que lle-ga a B donde vuelve a rebotar.

Gaps

Es un nivel de precios en el que no se cruzaninguna operación. Los gaps en tendenciaalcista se producen cuando el intervalo deprecios de un día está por encima del máxi-mo anterior. Los huecos casi siempre se re-llenan, si no lo hacen actúan como soportesy resistencias. Los gaps no se consideran unaformación de precios, ya que se producende forma aislada. Lo realmente importantees el significado que tienen en cada caso.Vamos a pasar a estudiarlos en profundidad.

Gap Común: Se producen en el interior de unaformación de precios. Es síntoma de falta de interés por par-te de los inversores en el valor. Se da en intervalos pequeñode precio. Suelen delimitar los inicios y finales de las figuras,y determinan la consolidación de figuras de continuación al-cistas o bajistas. Los gaps a veces se producen al inicio deuna sesión (con el primer precio de apertura) o por la apari-ción de noticias sobre la acción.

Gap de Ruptura: Señala el comienzo de un movimiento demercado significativo. Tiene lugar después de una figura deprecios importante y que ya ha sido completada. Es una se-ñal muy fiable que viene acompañada por fuertes volúmenesde contratación. Los huecos hacia arriba actúan como áreasde soporte en las correcciones posteriores del mercado. Losgaps en su caída van a formar resistencias para el futuro,lugares donde se va a concentrar mucha oferta.

Figura 26. Soporte (El interés del comprador supera el del vendedor)

Figura 27. Gap Común.

Figura 28. Gap de ruptura

102

Funciones3

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

ƒ(x) 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16

En este momento usted debe lograr hacer consolvencia las siguientes tareas, de lo contrariodebe practicar más, volver a leer y de ser nece-sario investigar en otros textos y consultar a sututor.

• Graficar funciones

• Identificar si una relación es o no una función.

• Identificar el dominio y el rango de una fun-ción.

• Calcular una función en un punto.

• Encontrar una función compuesta.

• Analizar una gráfica.

• Hallar un punto de equilibrio gráficamente

• Hallar un punto de equilibrio algebráicamente

• Interpretar el comportamiento de un mercadoa partir de sus funciones de oferta y demanda

• Interpretar una línea de tendencia

PRÁCTICA DE ENTRENAMIENTO

En cada una de las siguientes relaciones, esta-blezca su dominio y rango e indique cuáles sonfunciones.

ƒ = {(1 , 1), (2 , 3), (5 , 4), (2 , 0)}

g = {(-1 , 2), (-2 , 4), (-3 , 2), (- 4 , 4)}

h = {(-4 , -12), (-3 , -9), (-2 , -6), (-4 , -6)}

Q = { ( ½ , 3), (- ½ , 4), (0 , 0) }

Obtenga el dominio y el rango de la función de-finida por los valores de la tabla siguiente.

Determine el dominio y rango de cada función:

y = x +8 y= 3−x

y = x - 32

y= X2

y = 54−x y= -

y = 7+xx

Determine el dominio de cada función:

)3)(2(10

+−=

xxy

)7)(4(1−+

+=

xxxy

)5()1(2

2 −−−

=xx

xy

Dada la función ƒ(x) = 5x - 2 determine:

ƒ (o) ƒ ( a+ 3 )

ƒ (- 2) ƒ( x + h )

ƒ (3/5)

Dada la función g(x) = x 2 - 3x determine:

g( - 2) g(1/4)

g( 0,6 ) g( x+ h) - g( x )

g( 3m2)

➥

EVALUACIÓN

103

Matemática I

Dada la función h(x) = x 2 - 3x determine:

h(0) h( x -1)

h( -3) )()2(

xhxh

h(1/2)

sean : ƒ(x) = 3x - 1 y g(x) = x2 + x determine:

(ƒ + g) (x) (ƒ × g) (x) (ƒ o g) (x)

(ƒ + g) ( 2 ) (ƒ × g) ( -1) (ƒ o g) (3)

(ƒ - g) (x) ( g / ƒ ) (x) (ƒ o g) (x)

(ƒ - g) ( -3) ( g / ƒ ) ( -2) (ƒ o g) (1)

En cada caso: Escriba una tabla de valores, gra-fique las funciones dadas y determine el dominioy rango de la función.

y = - x y = x 2 +1 y = x1

y = 21

x - 3 y = x 2 - 3

y = x2 - 6x +9 y = x 3

Genere las gráficas de las funciones de esta prác-tica usando el software de graficación.

PRÁCTICA DE APLICACIÓN

1) Ecuación de la demanda. Suponga que losclientes demandarán 40 unidades de un pro-ducto cuando el precio es de $12 por unidad,y 25 unidades cuando el precio es de $18 porcada una. Encontrar la ecuación de la deman-da, suponiendo que es lineal, y el precio porunidad cuando 30 unidades son requeridas.

EVALUACIÓN

2) Ecuación de la Oferta. Suponga que un fabri-cante de zapatos coloca en el mercado 50(miles de pares) cuando el precio es de $35(dólares por par) y 35 pares cuando cuestan$30. Determinar la ecuación de oferta, supo-niendo que el precio p y la cantidad q estánrelacionados linealmente.

3) Ecuación de costo. Suponga que el costopara producir 10 unidades de un producto esde $40 y el de 20 unidades es $70. Si el cos-to c está relacionado linealmente con el pro-ducto q, determine una ecuación lineal querelacione c con q. Encuentre el costo de pro-ducir 35 unidades.

4) Depreciación. Suponga que el valor de unapieza de maquinaria disminuye cada año enun 10% de su valor original. Si el valor origi-nal es $8.000, encuentre una ecuación queexprese el valor v de la maquinaria despuésde t años de la compra, donde 0<t<10. Bos-queje la ecuación, seleccione t como el ejehorizontal y v como el vertical. ¿Cuál es lapendiente de la recta resultante? Este méto-do de considerar el valor del equipo es lla-mado depreciación lineal.

5) Línea de isocostos. En análisis de produc-ción, una línea de isocostos es una línea cu-yos puntos presentan todas las combinacio-nes de dos factores de producción que pue-den ser comparados por la misma cantidad.Suponga que una cooperativa agrícola tieneasignados $20.000 para compra de x tonela-das de fertilizante (con un costo de $200 portonelada) y y acres de terreno (con un costode $2.000 por acre). Determine una ecuaciónde la línea de isocosto que describa las dis-tintas combinaciones que pueden ser com-pradas con $20.000. Observe que ni x ni ypueden ser negativas.

6) Línea de isoutilidad. Una empresa de servi-cios públicos produce los servicios X y Y paralos cuales las ganancias por unidad son de$4 y $6, respectivamente. Si x unidades de X,y y unidades de Y son vendidas, la gananciatotal p esta dada por p=4x+6y, donde x,y<0.

➥

104

Funciones3

(a) bosqueje la gráfica de esta ecuación paraP=240. El resultado es llamado línea deisoutilidad y sus puntos representan todaslas combinaciones de ventas que producenuna utilidad de $240. (b) Determine la pen-diente para P=240. (c) Si P=600 determinela pendiente. (d) ¿Las rectas de isoutilidadpara los productos X y Y son paralelas?

7) Escala de calificaciones. Por razones de com-paración, un profesor quiere cambiar la es-cala de calificaciones de un conjunto de exá-menes escritos, de modo que la calificaciónmáxima siga siendo 100 pero la media (pro-medio) sea 80 en lugar de 56. (a) Determineuna ecuación lineal que haga esto. [Suge-rencia: Quiere que 56 se convierta en 80 y100 permanezca como 100. Considere quelos puntos (56 , 80) y (100 , 100) y, de mane-ra más general, (x,y), donde x es la califica-ción anterior y y la nueva. Encuentre la pen-diente y utilice la forma punto-pendiente.Exprese y en términos de x.] (b) Si 60 en lanueva escala es la calificación más baja paraacreditar, ¿Cuál fue la calificación más bajapara acreditar en la escala anterior?

8) Punto de equilibrio. Las ecuaciones de ofer-ta y demanda para cierto producto son 3q-200p+1.800=0, y 3q+100p-180=0, respec-tivamente, donde p representa el precio porunidad en dólares y q el número de unida-des por periodo. (a) Algebráicamente en-cuentre el precio de equilibrio y dedúzcalográficamente. (b) Encuentre el precio de equi-librio cuando se fija un impuesto de 27 cen-tavos por unidad al proveedor.

9) Punto de equilibrio. Un fabricante vende todolo que produce. Su ingreso total está dadopor Y(q)=7q, y el costo total es C(q)= 6q+800, donde q representa el número de uni-dades producidas y vendidas. (a) Encuentreel nivel de producción en el punto de equili-brio y dibuje el diagrama de equilibrio. (b)Encuentre el nivel de producción en el puntode equilibrio si el costo total es incrementa-do en 5%.

10) Negocios. Un fabricante vende un pro-ducto a $8,35 por unidad, vendiendotodo lo producido. El costo fijo es de$2.116 y el costo variable es de $7,20por unidad. ¿A que nivel de producciónexistirán utilidades de $4.600? ¿A quenivel de producción existirá perdida de$1.150? ¿A que nivel de producción ocu-rre el punto de equilibrio?

11) Oferta y demanda. El punto de equili-brio del mercado para un producto ocu-rre cuando 13.500 unidades son produ-cidas a un precio de $4,50 por unidad.El productor no proveerá unidades a $1y el consumidor no demandará unida-des a $20. Encuentre las ecuaciones deoferta y demanda si ambas son lineales.

12) Costo variable. Un fabricante alcanzaráel punto de equilibrio en un volumen deventas de $200.000. Los costos fijos sonde $40.000 y cada unidad se vende a$5. Determine el costo variable por uni-dad.

13) Política de descuento. Un museo de his-toria natural local cobra por la entradade grupos de acuerdo con la siguientepolítica. A los grupos menores de 50personas se les cobra una tarifa deU$1,50 por persona, mientras que a losgrupos de 50 personas o más se les co-bra una tarifa reducida de U$1 por per-sona. (a) Exprese la suma que ha de co-brar a un grupo por su entrada al museocomo una función del tamaño del gru-po. (b) Represente gráficamente esta fun-ción. (c) ¿Para cuales valores de la varia-ble independiente tiene esta función unainterpretación práctica? (d) ¿Cuánto di-nero ahorrará un grupo de 49 personasen los costos de entrada si se puede con-seguir un miembro adicional?.

14) Análisis gráfico. Investigue los valores dela tasa representativa del mercado deldólar durante un mes, haga el gráfico co-rrespondiente y elabore un análisis de la

EVALUACIÓN

➥

105

Matemática I

tendencia del dólar durante dicho periodo.Para ello una buena fuente es la revista delBanco de la República, lo mismo que lasestadísticas del DANE. Si no logra accesoa las revistas y boletines estadísticos, pue-de consultar los diarios o las páginas webwww.banrep.gov.co;www.dane.gov.co;www.bolsadebogota.com.co.

15) Oferta y demanda. ¿Cuáles de las siguien-tes ecuaciones representan curvas de de-manda, cuáles representan curvas de ofer-ta, y cuáles no representan ninguna deellas? (a) q - 2 p = 0, (b) 3 q + 4 y - 10 = 0,(c) p - 4 = 0, (d) q - 3 = 0, (e) 2 q - 3 p + 1= 0, (ƒ) 2 q + 5 p + 4 = 0, (g) 3 q + 4 p -12 = 0, (h) 5 q - p - 10 = 0, (i) 2 p + 3 q +2 = 0, (j) q - 3 p = 0.

16) Oferta lineal. La curva de oferta de un artí-culo es q=1,1p-0,1. (a) Hallar la cantidaddemandada para precios de 4, 16, 25. (b)Hallar el precio si la cantidad demandadaes de 9, 7, 2. (c) ¿Cuál es el mayor precioque se pagaría por dicho artículo? (d) ¿Quécantidad se demandaría si el artículo fueragratis? (e) Graficar la curva.

17) Oferta lineal. La ecuación de oferta de unartículo es q=ap-b, en donde a y b sonconstantes positivas, p representa el pre-cio y q la cantidad en oferta. (a) Hallar elprecio si la cantidad en oferta es (i) 5a-b,(ii) a+2b. (b) Hallar la cantidad en oferta siel precio es (i) 3b/a, (ii) 5b/a. (c) ¿Cuál es elmenor precio al que se ofrecería este artí-culo?

18) Ingreso - Costo lineales. Un manufacturerovende sus artículos a $5 por unidad. (a)¿Cuál es el ingreso total por ventas de 5.000unidades del producto? ¿Cuál es la ecua-ción para esta función de ingresos? Grafi-car la función. (b) Los costos fijos son cons-tantes con valor de $3.000 sin importar elnúmero de unidades producidas. (c) El cos-to total es igual a la suma de los costosfijos y los costos variables. En esta compa-ñía se estima que los costos variables sonde un 40% del ingreso total. ¿Cuál es el

costo total cuando se venden 5.000 unida-des del producto? Graficar superpuestasobre la de (a). (d) ¿Cuál es el punto deequilibrio? Indicar dicho punto en la gráfi-ca y resolver para la correspondiente canti-dad vendida. Indicar en la gráfica la canti-dad con que el fabricante cubre sus costosfijos.

19) Equilibrio del mercado. Identificar cuál delas siguientes ecuaciones representa unacurva de oferta y cuál una curva de deman-da; determinar el punto de equilibrio y gra-ficar las curvas (i) q+p=5, (ii) 2q-p=5,5.

20) Costo Lineal. La gerencia de una empresacomercial de producción de herramientasagrícolas del municipio X (empresa creadacon el objetivo principal de generar empleo),tiene costos fijos (a salida cero) de $300diarios y costos totales de $4.300 diarioscuando hay una salida de 100 pares depatines por día. Suponga que el costo Cestá linealmente relacionado con la salida.(a) Determine la pendiente de la recta queune los puntos asociados con las salidasde cero y 100; es decir, la recta que pasapor (0 , 300) y (100 , 4.300). (b) Encuentrela ecuación de la recta que relaciona la sa-lida con el costo. Escriba la respuesta finalen la forma C=mq+b. (c) Construya la grá-fica de la ecuación del costo tomado de laparte B para 0<q<200.

21) Análisis IS-LM. Dados Y=C+I+G,C=25+0,75Y, I=Io=50 y G=Go=25. (a) Tra-ce la gráfica de la función de la demandaagregada y muestre sus componentes in-dividuales. (b) Determine el nivel de equili-brio de ingresos. (c) ¿Cómo se puede tra-zar directamente la gráfica de la funciónde demanda agregada, sin tener que trazarcada una de sus partes componentes?

22) Análisis IS-LM. Dados: C=102+0,7Y, I=150-100i, Ms=300, Mt=0,25Y y Mm=124-200i.Determínese (a) el nivel de equilibrio de in-gresos y la tasa de interés de equilibrio, y(b) el nivel de C, I, Mm y Mz, cuando la eco-nomía está en equilibrio.

EVALUACIÓN

106

Funciones3

1. 2852

+−= qp , p=$16.

3. c=3q+10, p=$115.

4. v=-800t+8.000, pendiente = -800.

5. x-18y=100.

7. (a) 11600

115

+= xy , (b) 12.

8. (a) $12, (b) $12.18

10. 5.840 unidades; 840 unidades; 1.840 unidades.

12. $4.

15. (a) oferta, (b) demanda, (c) oferta, demanda, (d) ofer-ta, demanda, (e) oferta, (ƒ) ninguna, (g) demanda, (h)oferta, (i) ninguna, (j) oferta.

16. (a) (i) 1, (ii) 0,818, (iii) 0,545; (b) (i) 8,7 (ii) 6,5 (iii) 4,41;(c) 0,091

17. (a) (i) 5, (ii) (a+3b)/a, (b) (i) 2b, (ii) 4b, (c) b/a.

18. (a) $25.000, TR=5q, (c) $13.000, (d) Punto de equili-brio en q=1.000; recuperación de costos fijos a q=600.

19. (3,5 , 1,5)

20. (a) 40, (b) C=40q+300.

21. (b) Ingreso de equilibrio = 400, (c) Para trazar directa-mente la función de la demanda agregada, se sumanlos componentes individuales, Da= C+I+G =25+0,75Y+50+25= 100+0,75Y. El trazado coincideexactamente con la gráfica de la adición de las gráfi-cas individuales anteriores de C, I y G.

22. (a) Y=800, i=0,12 (b) C=662, I=138, Mt=200,Mm=100.

ALGUNAS RESPUESTAS

GLOSARIO

Oferta. Es la cantidad ofrecidad de un bien.Es la cantidad que los productoresestán dispuestos a vender en un perio-do dado a un precio en particular.

Demanda. Cantidad de productos que exis-ten en el mercado y que los consumi-dores están dispuestos a comprar enun momento dado.

Costo. Es todo egreso en que incurre el pro-ductor para elaborar y colocar en elmercado su producto.

Ingreso. Es lo que recibe el productor comocompensación por entregar en el mer-cado un producto.

Isocuanta. Se llama isocuanta a una línea quereúne en sí (es el lugar geométrico de)todos las combinaciones de factoresK y L que pueden generar un mismonivel de producción qo.

Isocosto. Línea isocuanta que representa to-das las combinaciones de dos insu-mos que se pueden emplear para ge-nerar un producto.

Economía. Es la ciencia que se dedica a laproducción, distribución y consumopara el bienestar de la sociedad huma-na.

Toda economía debe responder:Quées lo que va a producir, como pro-ducir, dónde, cuánto, para quién ycuánto producir.

Existen dos variables que marcan lapauta de la economía: La disponibili-dad de materias primas y el mercado.

Samuelson, Nordhaus, Dieck, SalazarMacroeconomía Ed. McGraw HillInteramericana. Madrid, 1996.

Capítulo 4Funciones no lineales

108

Funciones no lineales4

FUNCIONES NO LINEALES

4Función no lineal es aquella, cuya representación grá-fica en el intervalo correspondiente al dominio res-tringido, no es una recta. En el capítulo anterior estu-diamos algunas de las funciones conocidas comocónicas, entre ellas graficamos la cuadrática que co-rresponde a una parábola. Por eso en este capítulo,solamente presentaremos más detalladamente las fun-ciones exponencial y logarítmica. El capítulo no secentrará en el estudio de las características de estasfunciones, sino en las aplicaciones que tienen quever con los campos pertenecientes al ámbito de laadministración pública como son la administración,la economía, la política, entre otras.

M.C

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her.

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rale

s. X

ilogr

afía

.

109

Matemática I

PLAN DEL CAPÍTULO

1. FUNCIONES CÓNICAS

2. FUNCIONES EXPONENCIALES

3. EVALUACIÓN

OBJETIVOS GENERALES

• Alcanzar un aprendizaje significativo de la utilizaciónde funciones no lineales, mediante la aplicación deéstas en algunos casos típicos en la administración,la economía y las ciencias sociales.

• Brindar al administrador público territorial elementospara el posterior estudio de temas económicos yeconométricos.

110

Funciones no lineales41. FUNCIONES CÓNICAS

Las funciones cónicas son aquellas que se pueden obtener como cortes que hace un plano a un cono. Depen-diendo de la forma del cono y de la inclinación del plano la figura resultante en esa intersección puede ser unacircunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola. En este capítulo también consideraremos comopertenecientes a esta familia otras curvas no incluidas en esta taxonomía, que se pueden originar en conosparticulares no simétricos y algebráicamente como combinación de funciones.

1.1 Función Cuadrática de Ingreso

La función del ingreso en economía nos muestra el compor-tamiento de las cantidades recibidas por vender en el merca-do un producto, las cuales dependen de la cantidad deman-dada en el mercado. Esta función es fácilmente modelablecon una función cuadrática. A menudo la demanda del pro-ducto de una empresa puede describirse en función del pre-cio que se le fija.

1.2 Curvas de Oferta y Demanda

Las porciones de gráfica que quedan en el primer cuadrante,de distintos tipos de parábola, frecuentemente son adecuadaspara representar funciones de oferta y demanda. La porcióndel primer cuadrante de una hipérbola equilátera con frecuen-cia se usa para representar una función de demanda. Estasecuaciones se obtienen a partir de graficar observaciones re-colectadas bien sea a partir de encuestas o de resultados deoperaciones efectivas. Si se verifica que el comportamiento dela función se asemeja a una parábola, entonces se crea unsistema de ecuaciones simultáneas a partir del cual se generala respectiva ecuación. Este procedimiento se estudiará en elpróximo curso de matemática. Por ahora concentrémonos enlas ecuaciones de oferta y demanda ya obtenidas.

Hipérbola. Es el lugar geométrico de los pun-tos tales que la diferencia de sus dis-tancias a dos puntos fijos, llamadosfocos, es constante.

Elipse. Es el lugar geométrico de los puntostales que la suma de sus distancias ados puntos fijos, llamados focos, esconstante.

Parábola. Es el lugar geométrico de los pun-tos tales que sus distancias a un pun-to fijo, llamado foco y a una recta fija,llamada directriz, son iguales.

GLOSARIO

111

Matemática I

EJEMPLO 2FUNCIÓN CUADRÁTICA

DE LA OFERTA

La función que determina la oferta de

un producto es: 2005,0 2 −= pq ypretendemos determinar la cantidadofrecida cuando el precio del merca-do para el artículo es de $50.

1050200)500.2(5,02005,0 2 =−=−= pq

unidades en miles.

Figura 2. Gráfica de la función cuadrática de la oferta

✓ ¿Cuál es el dominio restringido dela función de la oferta? En la gráfi-ca, interprete el significado de la in-tersección sobre el eje x. Interpretetambién el significado de la inter-sección con el eje y.

EJEMPLO 1INGRESO POR VENTAS

Supóngase que la empresa ha descubierto que la canti-dad de demanda de uno de sus productos depende delprecio. La función que describe esta relación es:

pqpf 50500.1)( −==

donde q es la cantidad demandada en miles de unidadesy p indica el precio en dólares.

El ingreso total Y logrado con la venta de q unidades seformula como el producto de p y q, es decir,

Y=pq

Puesto que q se expresa en función de p, el ingreso totalse formulará en función del precio, así:

Y(q)=Y : estamos diciendo que Y es una función que de-

pende de q.

).50500.1(. ppqpY −==

reemplazando q

250500.1 ppY −=

Ésta corresponde a una función cuadrática. La función delingreso total está en la representada en la gráfica. Observeque el dominio restringido de la función consta de los valo-res no negativos de p. ¿tiene esto sentido? El ingreso totalesperado al cobrar determinado precio se calculará sustitu-yendo el valor de p en la función del ingreso total. Por ejem-plo, el ingreso total correspondiente al precio de $10 es:

000.10000.5000.15)10(50)10(500.1)10( 2 =−=−=Y

✓ Dadas las intersecciones con el eje X en la gráfica, ¿quévalor de p produce el valor máximo de Y? ¿Cuál es elmáximo ingreso total esperado? ¿Qué cantidad se de-manda a ese precio? ¿Qué sucederá si p>30?

Figura 1. Gráfica de la función cuadrática del ingreso

112

Funciones no lineales41.3 Equilibrio de Mercado

El precio y la cantidad de equilibrio en el mer-cado2 se pueden hallar geométricamente comolas coordenadas del punto de intersección delas curvas de oferta y demanda en cualquierforma adecuada. Sin embargo, en ciertos ca-sos, la solución algebráica simultánea de cur-vas de oferta y demanda de segundo grado in-volucra la solución de una ecuación de tercer ocuarto grado, para las cuales no se estudiaránlos métodos. En cualquier caso, se puede de-terminar una solución aproximada geométrica-mente. Por otra parte, en otros casos sólo serequiere la solución de ecuaciones de segundogrado. Esto sucede por ejemplo, si una de lasecuaciones es lineal y la otra es parabólica ohiperbólica, o bien si ambas ecuaciones sonparabólicas y son cuadráticas respecto a la mis-ma variable.

EJEMPLO 31

FUNCIÓN CUADRÁTICA DE LA DEMANDA

En relación con el ejemplo anterior, se llevó a cabo unaencuesta entre los consumidores con el fin de determi-nar la función de la demanda del mismo producto. Losinvestigadores preguntaron a los consumidores si com-prarían el producto a diversos precios y con sus res-puestas prepararon estimaciones de la demanda demercado a varios precios. Luego de graficar los puntosde datos de la muestra se llegó a la conclusión de quela relación de la demanda estaba representada en for-ma óptima por una función cuadrática. También encon-traron que la representación cuadrática, sólo era válidaentre los precios $5 y $45. Al sustituir los puntos grafica-dos en la ecuación general de la función cuadrática yresolver simultáneamente se obtiene la función de de-manda:

25001002 +−= ppq

donde p es el precio de venta en dólares y q denota lademanda expresada en miles de unidades.

La cantidad demandada a cualquier precio se calcularáal sustituir el precio en la función de demanda. Por ejem-plo, a un precio de $30, la cantidad demandada será:

( ) ( ) 400500.2000.390025003010030)30( 2 =+−=+−=q

unidades (en miles).

Figura 3. Gráfica de la función cuadrática de la demanda

1 Budnick S. Frank. Matemáticas Aplicadas para la Administración Economía y CienciasSociales. 3ª Edición. McGrawHill. México, 1990 pp.537-539.

2 Draper Jean E., Klingman Jane S. Matemáticas para Administración y Economía.Editorial Harla. México, 1986. pp.94-107

RECUERDE

A menos que una ecuación cuadrática pueda serfactorizada fácilmente, su solución se obtienecon menor dificultad utilizando la fórmula cuadrá-tica. Las raíces de la ecuación cuadrática del

tipo: 02 =++ cbxax están dadas por:

aacbbx

242 −±−

=

El número de raíces reales de una ecuación cua-drática está determinado por el valor de :

acb 42 −Sí acb 42 − <0, (es decir negativo), no hay

raíces reales.

Sí acb 42 − =0, hay una raíz real (doble)

Sí acb 42 − >0, hay dos raíces reales diferen-

tes.

113

Matemática I

EJEMPLO 4EQUILIBRIO ENTRE OFERTA Y DEMANDA

El equilibrio del mercado entre la oferta y la demanda puede estimarse para las funciones de oferta ydemanda en los dos últimos ejemplos, con sólo determinar el precio de mercado que iguale la cantidadofrecida y la cantidad demandada. Esta condición se expresa con la ecuación:

25001002005,0 22 +−=− ppp ecuación que puede arreglarse de modo que:

027001005,0 2 =+− pp Ahora emplearemos la fórmula cuadrática para determinar las raíces de la ecua-ción:

=−−±−−

=)5,0(2

)700.2)(5,0(4)100()100( 2

p

Los dos valores que satisfacen la ecuación cuadrática obtenida son p1=$32,18 y p2=$167.82. La segundaraíz se encuentra fuera del dominio relevante (dominio restringido) de la función de demanda y por lo tanto,carece de significado.

Al sustituir p = 32,18 en las funciones de oferta y demanda, se produce la cantidad de equilibrio delmercado.

=−= 2005,0 2pq 77.317200)18.32(5,0 2 =−

En conclusión, se alcanza el equilibrio del mercado cuando el precio del mercado es igual a $32,18 y lacantidad ofrecida y demandada es de 317.770 unidades. Revisemos esto en la gráfica.

Figura 4. Gráfica de la función cuadrática de la demanda en el ejemplo 4

82,671001

600.4100±=

±

114


EJEMPLO 5DEMANDA LINEAL Y OFERTA NO LINEAL

Hallar el precio y la cantidad de equilibrio para las ecuaciones de oferta y demanda siguientes, donde prepresenta el precio y q la cantidad.

0102 =−+ pq 0482 =−− qp

Resolviendo las ecuaciones simultáneamente,

102 +−= pq , de la primera ecuación y

48 2 −= pq de la segunda.

Luego , multiplicamos la tercera por 4 para poder igualar con la cuarta así:

4404 2 −=+− pp 04442 =−+ pp

Figura 5. Gráfica del equilibrio del mercado para el ejemplo 5

Ahora, usando la fórmula de la cuadrática,

=±−

=−−±−

=2

19242

)44(4164 2

p 6.923422

3842

3644±−=±−=

±−=

⋅±−

Hay entonces dos valores para p, p=4,9 y p=8,9, veamos a que cantidades corresponden:Si entonces

( ) ( ) ( ) 5,369,6122

110)9,62(

2

110

2

1±=±=+±−−=+−= pq

De modo que las soluciones aproximadas son ( 2.5,4.9) y (9.5,-8.9) y el punto de equilibrio es (2.5,4.9),aproximadamente, teniendo en cuenta que el otro punto de la solución carece de sentido en términoseconómicos.

115

Matemática I

EJEMPLO 6DEMANDA HIPERBÓLICA Y

OFERTA LINEAL

Hallar la cantidad y el precio de equilibrio del mercado para lasecuaciones de oferta y demanda siguientes (en donde q represen-ta la cantidad y p el precio)

( )( ) 169612 =+− pq

06 =+− pq

Resolviendo simultáneamente, 6+= qp , de la segunda ecua-

ción ( ) ( )( ) 1696612 =++− qq

entonces, ( )( ) 1691212 =+− qq ,de donde, 1312 ±=+q ya quelas únicas posibilidades de que al multiplicar una cantidad por simisma de 169 es que sea o bien 13 o -13.

Entonces deducimos que q=1 en un caso y q=25 en el otro.

Las soluciones son entonces (1,7) y (-25,-19) y el punto de equili-brio es (1,7), ya que el otro punto no se encuentra dentro deldominio restringido.

Figura 6. Gráfica del equilibrio del mercado para el ejemplo 6

116

Funciones no lineales41.4 Curvas de Transformación de Producto

Algunos procesos de producción brindan más de un productofinal3. La cría de ovejas es un ejemplo clásico de este tipo deprocesos. Dos productos finales, lana y carne de oveja, se pue-den obtener en proporciones variables mediante un solo pro-ceso de producción. Muchos procesos industriales de produc-ción pueden brindar más de un producto final; por ejemplo,artículos que sean similares pero de tipo o calidad diferentes.Las curvas de producción o de transformación de productosexpresan las relaciones entre las cantidades de dos artículosdiferentes, producidos por la misma compañía, utilizando lamisma mano de obra y materia prima. Cabe anotar que el casode productos conexos se distingue sobre una base técnica perono de organización, las cantidades de dos o más productosson técnicamente independientes, quedan fuera del análisis me-diante curvas de transformación de producto.

Una curva de transformación de producto se define como ellugar geométrico de las combinaciones de cantidades del pro-ducto final que se pueden obtener de un material inicial dado.Una curva de transformación de producto usualmente es unade una familia de posibles curvas de transformación de pro-ducto, donde las curvas de la familia corresponden a variosmateriales iniciales. En la figura 7, se muestran curvas de trans-formación de producto representadas por las partes que que-dan en el primer cuadrante, de cuatro miembros de una familiade círculos concéntricos; mientras más lejos del origen quedeuna curva, mayor será la cantidad de material inicial a que co-rresponda.

Si dos cantidades de producto final son x y y, la curva de trans-formación de producto que las relaciona debe ser tal que cuan-do una cantidad aumente la otra disminuya. Para satisfacerciertas hipótesis razonables en economía, que no necesitamosanalizar aquí, las curvas de transformación de producto sonusualmente cóncavas hacia abajo.

Figura 7. Gráfica de la familia de curvas de transformación

3 Adaptado de Draper Jean E., Klingman Jane S. Ob. Cit. [Pág. 101a 107]

117

Matemática I

EJEMPLO 7CURVA DE TRANSFORMACIÓN PARABÓLICA

Una empresa de economía mixta de acerías, produce cantidades x y y dedos clases diferentes de acero utilizando el mismo proceso de producción.La curva de transformación de producto para la materia prima utilizada está

dada por . 02042 =−++ yxy (a) ¿Cuáles son las mayores cantidades de

x y y que se pueden producir? (b) ¿Qué cantidades x y y se deben producirpara que la producción de x sea 4 veces la de y?

(a) x es tan grande como se pueda si y=0, por lo que la mayor cantidad dex es 20. Ahora, y es tan grande como se pueda si x=0, por lo que la mayorcantidad y es

6222

644

2

964

2

)20(4164±−=

±−=

±−=

−−±−=y

luego y = 2,9, y = - 6,9 son los valores que solucionan la ecuación. Conclui-mos que la mayor cantidad de y es 2,9.

(b) Sustituyendo x=4y en 02042 =−++ yxy

020442 =−++ yyy

02082 =−+ yy

( )( ) 0210 =−+ yy

Como no puede haber cantidades de producto negativo, entonces tenemosque el valor válido para y es 2. Luego las cantidades producidas son x=8,y=2.

Figura 8. Gráfica curva de transformación parabólica

118


EJEMPLO 8CURVA DE TRANSFORMACIÓN ELÍPTICA

Una cooperativa de economía solidaria produce para su sostenimientox y y cantidades de dos clases diferentes de dulces utilizando el mismoproceso de producción. La curva de transformación de producto parala materia prima utilizada está dada por:

9825 22 =+ yx

(a) ¿Cuáles son las mayores cantidades x y y que se pueden producir?

(b) ¿Qué cantidades x y y se deben producir para que y=(3/4)x?

(a) Si y=0, 985 2 =x

5982 =x

4,4598

±=±=x , luego la mayor cantidad x es (aproximadamente) 4,4

Si x=0, entonces 982 2 =y 49

2982 ==y

7±=y , luego la mayor cantidad de y es 7.

(b) Sustituyendo y=(3/4)x en , 9825 22 =+ yx

982

4

3225 =+ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ xx 982

16

9225 =+ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ xx 982

8

49=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ x

162 =x , de donde x=4, luego

3)4(43

43

=== xy , obteniendo que las cantidades producidas son

x=4, y=3.

Figura 9. Grágica curva de transformación elíptica

119

Matemática I

EJEMPLO 9CURVA DE TRANSFORMACIÓN HIPERBÓLICA

Una compañía produce cantidades x y y de dos sustancias petroquímicasmediante el mismo proceso de producción. La curva de transformación deproducto para la materia prima está dada por:

( )( )352,2403624 <=−− xyx

(a) ¿Cuáles son las mayores cantidades x y y que se pueden producir?

(b) ¿Qué cantidades x y y se deben producir para que y=(2/3)x?

(a) Si y=0

35224

320

=+−=x

Luego, la mayor cantidad y es 26.

(b) Sustituyendo x=(2/3)y en ( )( ) 2403624 =−− yx ,

( ) 24036243

2=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − yy

, multiplicando a ambos lados de la igualdad por (3/

2) tenemos:

( )( ) 3603636 =−− yy

( ) 1936036 ==−y ; luego 1936 ±=y , de donde Y=55, y=17 pero el pri-mer valor se sale del rango que nos interesa. Por tanto, las cantidades produ-cidas son x=34/3, y=17.

Figura 10. Gráfica curva de transformación hiperbólica

120

Funciones no lineales42. FUNCIONES EXPONENCIALES

Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma ƒ(x) = ax o y = ax, donde la base de lapotencia "a" es constante (un número) y el exponente la variable x. Se usan predominantemente en biologíapara determinar la propagación de bacterias; en psicología para estudiar el incremento en el aprendizaje; enadministración para estudiar los incrementos en el personal; en matemática financiera para el estudio de lascapitalizaciones y amortizaciones; en sociología y demografía para estudiar el crecimiento de la población,entre otros campos.

2.1 Función exponencial

Una función exponencial es una función de la forma ƒ(x) = ax,con a>0 y x en los reales.

El dominio de esta función es el conjunto de los números rea-les y su rango el conjunto de los reales positivos.

2.2 Función logaritmo

La inversa de la función exponencial ƒ(x) = ax, a > 0, a≠ 1, sedenomina función logarítmica. La función logarítmica se sim-boliza: loga x se lee “logaritmo en base a de x”

Si a> 0, a≠ 1, entonces, loga x = y si, y solamente si, a y = x

2.3 Función de Producción Cobb-Douglas

Fue bosquejada por Cobb y perfeccionada luego por Douglass.Tiene la siguiente forma Q = A C∝ Tß y se usa para mostrar elcomportamiento de dos insumos en un producto.A: Crecimiento autónomo.T: Factor mano de obra.C: Factor capital.α : Participación relativa del capital en la producciónß : Participación relativa de la mano de obra en la producción.Si α + β = 1 : Función de producción de retornos a escalaconstantesSi α + β > 1 : Función de producción de retornos a escalacrecientesSi α + β < 1 : Función de producción de retornos a escaladecrecientes.

EJEMPLO 10FUNCIÓN EXPONENCIAL

Veamos el caso en el que a= 2 , tene-mos así la función f(x) = 2x que generala siguiente tabla de valores.

Figura 11. Gráfica de la Función exponencialpara el ejemplo 10

Recuerde que

a -x = xa1

, así, 2 -5 = 521

≈ 0,0312

ax/y = y xa , así, 21/2 = 2 ≈ 1,414

Función y = 2x

x -5 -3 -2 -1 0 ½ 1 2 3

f(x) 0,0312 0,125 0,25 0,5 1 1,414 2 4 8

121

Matemática I

Una empresa tiene la siguiente función de pro-

ducción

41

43

8 TCQ =

, con un presupuesto de M= $280, un precio de C de $4 y un precio de Tde $6, la relación de intercambio es de C =9/2T. El presupuesto se agota cuando:

(precio de T) x T + (precio de C) x C = M

6T + 4C = 280

6T + 4(9/2T) = 280

6T + 18T =280

24T = 280

T=11,67

El nivel de producción en que la empresa alcan-za su eficiencia física es de 288,4 toneladas. Di-bujar la respectiva curva de isocuanta. Dibujartambién la curva de presupuesto que se rige por

la ecuación: 4/)6280( TC −=

Vemos que la forma más eficiente de agotar elpresupuesto con la máxima producción es invir-tiendo 52.5 en capital y 11.67 en mano de obra.

La expresión exponencial del logaritmo es unanotación que nos facilita realizar la gráfica de lafunción. Así en el caso de a = 2 , tenemos lafunción log2 x = y si, y solamente si, 2y = x quegenera la siguiente tabla de valores.

Cuando la base del logaritmo es el número e, sedenomina logaritmo natural y se simboliza ln. Elgráfico de la función f(x) = ln x

Fugura 12. Gráfica de la función logaritmo natural f(x) = In x

x 0,0312 0,125 0,25 0,5 1 1,414 2 4 8

f(x) -5 -3 -2 -1 0 ½ 1 2 3

EJEMPLO 11INVERSA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Figura 13. Gráfica de la función producción de Cobb-Douglas

EJEMPLO 12ANÁLISIS PARA DOS FACTORES VARIABLES

122

Funciones no lineales42.4 Interés Compuesto

Las funciones exponenciales4 están implicadas en el caso delinterés compuesto en el cual el interés generado por una can-tidad de dinero invertida (Capital inicial) es reinvertida de ma-nera que también genere interés. Así el interés es compuestopor que se suma a la cantidad invertida y entonces hay "interéssobre interés". Véanse ejemplos 13 y 14.

EJEMPLO 13INTERÉS COMPUESTO

Suponga que $100 son invertidos a una tasa del 5% com-puesto anualmente. Al final del primer año, el valor del montoacumulado es el capital inicial ($100) más el interés sobreel principal (100 x 0.05), así:

100 + 100 (0.05) = $ 105

Ésta es la cantidad sobre la cual el interés es generadopara el segundo año. Al final del segundo año, el valor delmonto acumulado es el monto acumulado al final del pri-mer año ($105) más el interés sobre esa cantidad (105 x0.05), así:

105 + 105 (0.05) = $ 110.25

Así, cada año el monto acumulado se incrementa en 5%.Los $110.25 representan el capital original más el todo elinterés acumulado; esta cantidad es llamada también montocompuesto. La diferencia entre el monto acumulado y elcapital inicial es el interés compuesto. El interés compues-to aquí es 110.25 - 100 = $ 10.25. Generalizando median-te una ecuación tenemos:

Donde M es el monto total final, P es el capital inicial inver-tido, ahorrado o prestado, e i representa la tasa de interésefectiva por periodo de capitalización.

Este patrón continúa. Después de tres años el monto total

es ( )31 iPM += . En general, el monto compuesto M delcapital P al final de n años a una tasa de i compuesta porperiodo, estaría dada por:

( )niPM += 1

Esta ecuación puede ser aplicada tanto a las inversionescomo a los préstamos y ahorros.

4 Haeussler Ernest, Paul Richard. Matemáticas para la Admi-nistración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. Oc-tava edición. Editorial Prentice Hall. México, 1997. p.184.

EJEMPLO 14INVERSIONES

Suponga que $1000 son invertidosdurante 10 años al 6% compuestoanualmente,

a) Encontrar el monto compuesto.

Tenemos que P = 1.000, i = 0.06,n = 10

. ( ) ( ) 85.179010

06.110001 ==+=n

iPM .

b) Encontrar el interés compuesto.

Interés compuesto = Monto com-puesto - Monto inicial = M - P

= 1.790.85 - 1000 = $ 790.85

123

Matemática I

EJEMPLO 15CRECIMIENTO POBLACIONAL

La población de una ciudad de 10.000 habitantes crece arazón del 2% anual. Calcular la población dentro de tresaños.

( ) ( ) 612.103

)02,1(000.103

02,01000.101)( ==+=+=t

rPtM

Figura 14. Gráfica de la función crecimiento poblacional exponencial

2.5 Crecimiento Poblacional

La ecuación de interés compuesto5 puede ser aplicada no sóloal crecimiento del dinero sino también a otros tipos de creci-miento, tal como el de la población. Por ejemplo suponga quela población P de una ciudad de 10.000 habitantes crece arazón del 2% por año. Entonces P es una función del tiempo t,donde t está en años, así:

( ) ( ) tttrPtM )02,1(000.1002,01000.101)( =+=+=

Véase ejemplo 15.

5 Haeussler Ernest, Paul Richard ob. Cit. p.186

124

Funciones no lineales42.6 Ley de Pareto de la Distribución del Ingreso

(Función Potencia)

El economista Wilfredo Pareto6 propuso la siguiente ley de dis-tribución del ingreso: el número de individuos N, de una pobla-

ción dada de tamaño a cuyo ingreso excede a x es bxaN = en

donde b es un parámetro de la población, usualmente alrede-dor de 1,5. Cabe anotar que la función representa una hipér-bola equilátera generalizada y que sólo es apropiada para valo-res de 0<N≤ a y 0 < x < ingreso máximo en la población.

Para ingresos superiores a los de subsistencia, los datos indi-can que la ley de Pareto es, en general, bastante precisa. Pare-to sugirió que el valor de b era aproximadamente 1,5 es, gene-ralmente, una buena aproximación.Véanse ejemplos 16 y17.

Figura 15. Gráfica ley de Pareto de la distribución del ingreso

EJEMPLO 16DISTRIBUCIÓN DEL INGRESO

La ley de Pareto para la distribuciónde ingresos de cierto grupo es:

123

1010216

xN ×=

(a) ¿Cuántas personas son millonarias?

(b) ¿Cuántas personas tienen ingresosentre 3.600 y 10.000?

(c) ¿Cuál es el ingreso menor de las 80personas con mayores ingresos?

(a) ( )160.2

1236

10

1010216

=×

=N millonarios.

(b) El número de personas con ingre-sos mayores de 3.600 es:

7103

103

6

1010216

123

600.3

1010216

=×

×=

×=N

El número de personas con ingresosmayores de 10.000

es: ( )000.160.2

1234

10

1010216

=×

=N por tanto, el

número de personas con ingresos en-tre 3.600 y 10.000 es 100.000.000 -2.160.000 = 7.840.000

(c)

123

101021680x

×=

910

23

102780

10216×=

×=x

( ) 6329 1091027 ×=×=x

x= 9.000.000 es el menor ingreso delas 80 personas con mayores ingresos.

6 Adaptado de Draper Jean E., Klingman Jane S. Ob. Cit.pp.111-115.

125

Matemática I

EJEMPLO 17

FUNCIÓN POTENCIA

La ley de Pareto para la distribución de ingresos de una poblacióndada es:

35

121016

xN ×=

(a) ¿Cuántas personas tienen ingresos por debajo de 8.000?

(b) ¿Cuántas personas tienen ingresos arriba de 125.000 pero debajode 1.000.000?

(c) ¿Cuál es el menor ingreso de las 50 personas con mayores ingre-sos?

(a) ( )6

55

12

353

12

1051021016

108

1016×=

××

=×

×=N Luego 5.000.000 de perso-

nas tienen ingresos arriba de 8.000 y

000.000.995.999.151051016 612 =×−× tienen ingresos menores de8.000.

(b) El número de personas con ingresos arriba de 125.000 es:

( )200.51

1051016

105

101655

12

3533

12

=××

=×

×=N

El número de personas con ingresos arriba de 1.000.000 es

( )600.1

10

10163

56

12

=×

=N , luego el número de personas con ingresos

arriba de 125.000 pero por debajo de 1.000.000 es 51.200 - 1.600 =49.600

(c)

3

5

121016

50

x

×= 10

103250

1210163

5×=

×=x ( ) 6

1085

310

1032 ×=×=x

o sea, 8.000.000 es el menor ingreso de las 50 personas con mayoresingresos.

126


EJEMPLO 18CRECIMIENTO DE LA

ORGANIZACIÓN

A partir de las ventas esperadas y losdatos para compañías semejantes, eldirector de personal de una empresaindustrial del Estado predice que elnúmero de empleados se puede escri-bir mediante la siguiente ecuación:

t

N 5,0)04.0(200= en donde N es el

número de empleados después de taños. Suponiendo que esto es correc-to. ¿cuántos empleados tendrá la em-presa después de tres años?¿Cuántosempleados tenía la empresainicialmente?¿Cuántos empleará cuan-do alcance su máximo desarrollo?

La compañía emplea (200)(0,04)=8personas inicialmente y 200 en su máxi-mo desarrollo. Después de tres añosemplea

75.133)04.0(20035,0 ==N

aproximadamente 134 personas.Figura 16. Gráfica Curva de Gompertz para el crecimiento de la organzación

2.7 Curvas de Gompertz (Funciones deCrecimiento)

Las curvas de Gompertz7, así denominadas por su inventor, serepresentan según la ecuación:

tRcaN =

en donde N es el número de individuos en la población en eltiempo t y R(0<R<1) es la rata de crecimiento, a es la pro-porción del crecimiento inicial y c es el crecimiento al venci-miento (es decir la asíntota superior). Observe que cuandot=0, N=ca, lo cual corresponde a No de la función de creci-miento biológico.

Las curvas de Gompertz se han utilizado a gran escala por lospsicólogos para describir diferentes aspectos del crecimientohumano y su desarrollo, que incluyen algunos tipos de apren-dizaje. Los teóricos de la organización han encontrado las cur-vas de Gompertz apropiadas para describir el crecimiento demuchos tipos de organizaciones. Véase ejemplo 18. Tam-bién son apropiadas para muchas otras funciones en la admi-nistración y la economía, por ejemplo, las funciones ingresototal y producción.

127

Matemática I

PRÁCTICA DE ENTRENAMIENTO

Use el software para graficación de ecuacionescomo apoyo y grafique e indique el dominio delas siguientes funciones:

a) y = 3x

b) Log3 x = y

c)375,0)17.0(280=N

d) xy 30,04050 −−= l

e) ( )( ) 2564932 =−− yx

f) 13001402 +−= ppq

g) 8001802 ++−= ppq

h) y=5x-3, y=-5x+12, y=x/5+4

i) 3 23xY =

j) 12392

++−

=xxY


1. Población. La población proyectada P de unaciudad está dada por P = 125.000 (1.12)t/20,donde t es el número de años a partir de 1995.¿Cuál es la población estimada para el año2015?

2. Inversiones. Suponga que $1.000 son coloca-dos en la cuenta de ahorros que gana intere-ses a una tasa del 5% compuesto semestral-mente. (a) ¿cual es el valor de la cuenta al finalde 4 años? (b) Si la cuenta hubiera generadointereses a una tasa del 5% compuesto anual-mente, ¿Cuál sería su valor después de 4 años?

3. Inversión. Un certificado de $6.000 de depósi-to es comprado en $6.000 y es conservado

durante 7 años. Si el certificado gana un 8%compuesto cada trimestre, ¿cuál es su valoral cabo de 7 años?

4. Crecimiento poblacional. La población de unaciudad de 5.000 habitantes, crece a razón del3% anual. (a) Determine la ecuación de po-blación P después de t años a partir de ahora.(b) Determine la población dentro de tres años.

5. Crecimiento poblacional. Las ciudades A y Bactualmente tienen poblaciones de 70.000 y60.000 habitantes, respectivamente. La ciudadA crece a razón de 4% anual y la B crece arazón de 5% anual. Determine la diferencia entrelas poblaciones al final de 5 años.

6. Población. A causa de una baja económica,la población de cierta área urbana disminuyea razón del 1% anual. En el inicio la poblaciónera de 100.000 habitantes. ¿Cuál es la pobla-ción después de 3 años?

7. Fuerza de trabajo. En un esfuerzo para dismi-nuir costos, una compañía reducirá su fuerzade trabajo a razón del 2% mensual durante 12meses. Si actualmente emplea a 500 trabaja-dores, ¿cuántos trabajadores tendrá dentro de12 meses?

8. Función de producción de Cobb-Douglas. Siuna empresa productora de x posee una fun-ción de producción del tipo Cobb-Douglas conelasticidades de producción para cada uno delos insumos, C y T, igual a 0,5, siendo el pará-metro constante igual a 8, a la vez que enfrentaprecios de los insumos C y T iguales a $10 y $20 respectivamente, (Relación de intercambio:T=2C) encuentre: (a) La proporción óptima mí-nima de factores para 400 unidades del pro-ducto. (b) El costo unitario mínimo de cadaunidad de x en el supuesto anterior. (Ayuda:Grafique sobre el mismo plano la función deproducción y la función de costo)

9. Punto de equilibrio. Hallar el precio y la canti-dad de equilibrio para las ecuaciones de ofer-

ta y demanda siguientes: 0152 =+−+ pqq ,

092 2 =−+ pq , mostrarlo además gráfica-mente.

EVALUACIÓN

➥

128


10.Punto de Equilibrio. De las siguientes ecua-ciones diga cual representa la oferta y cuál ala demanda. Luego obtenga la gráfica y cal-cule la cantidad y el precio de equilibrio:

0202 =−++ qpp , 0432 2 =−−− pqp .

11. Curva de transformación de producto. Una cooperativa demujeres campesinas produce cantidades x y y de dos tejidosdiferentes mediante el mismo proceso de producción. La cur-va de transformación del producto para la materia prima

utilizada está dada por 5

202xy −= . Trazar la

gráfica y determinar (a) ¿Cuáles son las ma-yores cantidades de x y y que se pueden pro-ducir? (b) ¿Qué cantidades x y y se debenproducir para tener x=y?

12. Preferencia de liquidez. En el análisis del ingreso nacional,la relación entre la oferta de dinero y la cantidad de dinerodemandada como una reserva a "conservar" es muy importan-te. La demanda para una reserva de dinero a conservar o"preferencia de liquidez", como la llamó Keynes, a menudose considera como dependiente de tres motivos: (1) el motivode transacción, (2) el motivo precautorio y (3) el motivoespeculativo. En este problema, a un nivel dado de ingresonacional, se supone que (1) y (2) son constantes; se conside-ra que (3) es una función de la tasa de interés como quedaexpresada en la ecuación: (x-1)y=4, en donde x es la tasa deinterés (%) y y es la demanda de dinero expresada en miles demillones de pesos. (a) ¿Qué tipo de curva expresa la ecua-ción? Graficarla. (b) construir una tabla de valores de y, lacantidad de dinero demandada a conservar (en millones depesos), para valores de x desde 2 hasta 7%. ¿Cuál es el valorde y cuando x=100 (en billones de pesos)? (c) Observar ydescribir el segmento de la curva que representa la "trampa deliquidez", es decir, el segmento en que la tasa de interés pareceperder su fuerza como un factor efectivo para influir en lademanda de dinero.

13. Trampa de liquidez. De acuerdo con lo convenido en elanálisis económico estudiado en el ejercicio anterior, la varia-ble dependiente (la demanda de dinero a conservar) a menudose representa sobre el eje x en lugar de sobre el eje y. Unaecuación utilizada para expresar las ideas de Keynes, con-cernientes a la relación entre la tasa de interés y el dinerodemandado a conservar, es x(y-1)=4. (a) ¿Qué tipo decurva representa esta ecuación? Graficarla. (b) Construiruna tabla de valores de la tasa de interés y para los valores dex desde 1 hasta 7 (en miles de millones de pesos) ¿Cuál es

el valor de y cuando x=100 (en miles de mi-llones de pesos)?. (c) Observar y describir elsegmento de la curva que representa la "tram-pa de liquidez".

14.Ley de Pareto. La ley de Pareto de la distribu-ción de ingresos (de cierto grupo)

es 2

000.100x

N = , (a) ¿Cuántas personas tienen

ingresos mayores de 15? (b) ¿Cuántas perso-nas tienen ingresos entre 50 y 75? (c) ¿Cuáles el menor ingreso de los 5 con mayoresingresos? Genere la gráfica y sobre ella tracecon colores las fronteras de los ítem (a),(b) y(c).

15.Ley de Pareto. La ley de Pareto de la distribu-ción de ingresos (de cierto grupo)

es2

3

910625

xN ×= , (a) ¿Cuántas personas tie-

nen ingresos entre 2.500 y 10.000? (b) ¿Cuáles el menor ingreso de los 5.000 con mayo-res ingresos?

16.La ley de Pareto de la distribución de ingre-

sos (de cierto grupo) es2

3

9106

xN ×= , (a)

¿Cuántas personas tienen ingresos superio-res a 2.500? (b)¿Cuántas personas tienen in-gresos entre 2.500 y 10.000? (c) ¿Cuál es elmenor ingreso de los 6 con mayores ingre-sos?

17. Curvas de Gompertz. Según un estudio realizado por elInstituto de Fomento Industrial IFI, el número de em-presas dedicadas a una industria particular se describe me-

diante la ecuación: t

N 75,0)5,0(5= donde t es el número

de años desde que se inició la industria. ¿Cuántas empresasexistían en la industria después de 5 años? ¿Cuántas em-presas existían inicialmente en la industria? ¿Cuántas em-presas existirán cuando la industria alcance su máximo de-sarrollo?

18. Curvas de Gompertz. Los ingresos totales cada mes (endólares) para determinada compañía pueden describirse me-

diante la ecuación: ( ) p

R 8,010,0000.1= en la cual p

EVALUACIÓN

➥

129

Matemática I

EVALUACIÓN

es la cantidad gastada en promoción y pro-paganda. (a) ¿Cuál sería el ingreso total cuan-do no se gaste nada en promoción y propa-ganda? (b) ¿Cuáles serían los ingresos máxi-mos que se podrían lograr? (c) ¿Cuál sería elingreso total si se gastan $20 en promoción ypropaganda? Obtenga la gráfica y representeen ella los puntos.

19.Política. El porcentaje de asientos ganadospor cierto partido en una elección bipartitadepende del porcentaje de votos x recibidospor ese partido. El porcentaje de asientos sepuede aproximar por 0,4=x=0,6 multiplican-do x por 2.5 y restando 0,7 del producto. Es-criba la ecuación y grafíquela.

20. Investigación de mercados. El departamento deinvestigación de mercados de una empresa re-comendó a la gerencia que la compañía fabri-que y venda un nuevo producto prometedor.Después de amplias investigaciones, el depar-tamento apoyó la recomendación con la ecua-

ción de demanda ppfq 30000.6)( −== dondeq es el número de unidades que los distribuido-res comprarán probablemente cada mes a $ppor unidad. Observe que a medida que el pre-cio sube, el número de unidades disminuye. Deldepartamento de finanzas se obtuvo la siguien-

te ecuación de costo:

qqgC 60000.72)( +==

don-de $72.000 es el costo fijo (manufactura y gas-tos generales) y $60 es el costo variable porunidad (materia prima, ventas, transportes, al-macenamiento, etc.). La ecuación de ingresos(cantidad de dinero, R, que recibe la compañíapor vender q unidades a $p por unidad) es R=pq,y la ecuación de utilidad es U=R-C. (a) Halle lasecuaciones de costo, ingreso y utilidad en fun-ción de la cantidad q. (b) Halle el precio o pre-cios de equilibrio. (c) ¿A que precio se presen-tará la máxima utilidad? (d) Genere las gráficassobre el mismo plano de coordenadas y a partirde él diga a que precio se obtiene el ingresomáximo.

21.Contaminación del aire. Según una investiga-ción del Ministerio del Medio Ambiente, en undía promedio soleado Bogotá D.C., el índicede contaminación a las 8:00 a.m es 20 partes

por millón, y aumenta en forma lineal 15 partespor millón cada hora hasta las 3:00 p.m. SeaP(x) la cantidad de contaminantes en el aire xhoras después de las 8:00 a.m. (a) Exprese P(x)como una función lineal de x. (b) Calcule el ín-dice de contaminación del aire a la 1:00 p.m.(c) Construya la gráfica de la función P para0=x=7. (d) ¿Cuál es la pendiente de la gráfi-ca? (La pendiente es el incremento en la con-taminación por cada hora que transcurre)

RESPUESTAS

1) 140.000; 3) 10.446; 6) 97.030; 8) (a) Laproporción mínima de factores para 400 uni-dades de x es 35,35 unidades de T y 70,71unidades de C. (b) El costo por unidad es deC=$ 3,53; 9) (1,7); 10) (6,7 , 3,2); 11) (a) x=10sí y=0, y=20 xi x=0, (b) x=y=7,8.; 12) (a)hipérbola equilátera, eje transverso paralelo aleje y, centro (1,0) queda en el primero y tercercuadrante de sus asíntotas. Asíntotas: x=1,y=0, intersección: (0 , - 4). (c) segmento enque x<2; 14) (a) 444, (b) 22, (c) 141; 15) (a)4.375.000, (a) 250.000; 17) (a) 3,45 (aproxi-madamente tres) empresas después de 6años, (b) 3 firmas inicialmente y (c) seis firmasen el máximo desarrollo. 20) (a)

pC 800.1000.432 −=

,

230000.6 ppR −=

000.432800.730 2 −−−= ppU , (b) Al precio de$80 o bien $180 por unidad, la empresa seencontrará en el punto de equilibrio. (c) Lautilidad máxima se obtiene en p=$130. (d) Elingreso máximo se obtiene en p=$100. 21)(a) P(x)=15x+20, (b) 95 (d) 15.

Capítulo 5Límites y Continuidad

132

Límites y Continuidad5

LÍMITES Y CONTINUIDAD

5El concepto matemático de límite es fundamental para la compren-sión del cálculo diferencial. La idea de aproximarse a un punto o aun valor, tan cerca como se especifique y aún así, nunca alcanzarlo,no es aparentemente atractiva desde el punto de vista intuitivo. Sinembargo, de hecho, conceptos del tipo de límite se utilizan frecuen-temente en razonamientos y conversaciones ajenas a la matemáti-ca. Por ejemplo, la producción máxima teórica de una máquina o deuna fábrica es un límite, la ejecución ideal o limitante en la prácticanunca se alcanza pero a la cual es posible acercarse arbitrariamen-te. Esta misma idea se aplica a ganancias bajo condiciones ideales,kilometraje por litro de gasolina bajo operación y condiciones idea-les, límites inferiores de costo, desgaste, desperdicio, etc. Para abor-dar este capítulo es indispensable dominar el tema de las funcionesestudiado en el capítulo anterior y, además, los casos de factoriza-ción y productos notables estudiados en su bachillerato, por lo quese le recomienda repasar estos temas.

M.C

. Esc

her.

Límite

Cua

drad

o. G

raba

do e

n m

ader

a.

133

Matemática I

PLAN DEL CAPÍTULO

1. REPASO DE CONCEPTOS

2. NOCIÓN DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

3. CÁLCULO DE LOS LÍMITES

4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

5. EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO

OBJETIVOS

• Comprender los concepto de límite y continuidad, los cualesson fundamentales para la comprensión de la definición dederivada

134

Límites y Continuidad51. REPASO DE CONCEPTOS

Refresquemos los conocimientos previos que usted adquirió durante su bachillerato, y que son imprescin-dibles para el estudio adecuado de los límites.

1.1 Orden de los reales

Los números reales forman un conjunto ordenado. En R sedefine una relación de orden ≤, que verifica unas propiedadespara todos x, y, z.

1.2 Intervalos y entornos

La relación de orden ≤ permite definir algunos subconjuntos delos números reales que se utilizan con mucha frecuencia. Estossubconjuntos pueden clasificarse como intervalos abiertos, ce-rrados y semiabiertos o semicerrados. Una forma de definir unaclase especial de intervalos es el entorno.Véase ejemplo 1.

Reflexiva x≤x. Todo real es menor o igual a si mismo.

Transitiva x≤y e y≤z ⇒ x≤z. Por que y se encuentra entre x y z.

Antisimétrica x≤y e y≤x ⇒ x=y. Porque puede a la vez ser mayor y menor.

Orden total x<y o x=y o y<x. Como es usual, x<y significa que x≤y y x≠y.

Tabla 1Propiedades de ordenación en los reales

EJEMPLO 1INTERVALOS Y ENTORNOS

[a,b] = {x∈R : a ≤ x ≤ b} Intervalo cerrado, porque contiene sus puntos extremos.

(a,b) = {x∈R : a < x < b} Intervalo abierto, porque no contiene a sus extremos.

(a,b] = {x∈R : a < x ≤ b} Intervalo semiabierto, contiene a b pero no a a.

[a,b) = {x∈R : a ≤ x < b} Intervalo semiabierto, contiene a a pero no a b.

E(a,r) = (a-r,a+r) Entorno o vecindad de a con radio r, también es un intervalo abierto.

E*(a,r) = E(a,r)-{a} Entorno o vecindad de a que no la incluye.

[a,∞) = {x∈R : x ≥ a} Intervalo semiabierto.

(a,∞) = {x∈R : a < x} Intervalo abierto.

(-∞,a] = {x∈R : x≤ a} Intervalo semiabierto.

(-∞,a) = {x∈R : x < a} Intervalo abierto.

135

Matemática I

1.3 Axioma de continuidad (Cantor)

Sean I1 = [a

1 , b

1], I

2 = [a

2 , b

2], I

3 = [a

3 , b

3], una

sucesión de intervalos cerrados encajados cada unoen el anterior, es decir, I

1 ⊃ I

2 ⊃ I

3⊃...⊃I

n, tales que la

sucesión de sus longitudes bn-a

n tiende a cero. En-

tonces, existe un único punto c, común a todos ellos.

Es decir: I = c n N n

∩∈

1.4 Acotamiento de subconjuntos de R

Los subconjuntos de los reales pueden estar delimita-dos por cotas, las cuales pueden estar o no conteni-das en el conjunto. Véanse las definiciones y con ellasel ejemplo 2.

Definiciones

1) Un número real c es cota superior de un conjun-to A de R si c≥a para cualquiera a∈A.

2) Un conjunto está acotado superiormente si tienecota superior.

3) Un número real c es cota inferior de un conjuntoA de R si c≤a para cualquier a∈A.

4) Un conjunto está acotado inferiormente si tienecota inferior.

5) Un conjunto está acotado si lo está superiormentee inferiormente. Un conjunto de números realespuede estar o no acotado. Si lo está tiene infini-tas cotas superiores. ¿Habrá alguna que sea lamenor de todas?

6) Extremo superior o supremo de un conjunto A, esla menor de sus cotas superiores.

7) Si el extremo superior pertenece al propio con-junto, se le llama máximo.

8) Extremo inferior o ínfimo de un conjunto A, es lamayor de sus cotas inferiores.

9) Si el extremo inferior pertenece al propio conjun-to, se le llama mínimo.

1.5 Axioma del extremo

En R se verifica que: a) Todo conjunto acotado supe-riormente tiene supremo. b) Todo conjunto acotadoinferiormente tiene ínfimo. c) Todo conjunto acotadotiene supremo e ínfimo.

EJEMPLO 2ACOTAMIENTO

1. Dados los siguientes conjuntos:

A=N, B=Q, C=(0,7),D={1,2,3,4},

E={ n1

;n∈N}, F={ n1 n+

; n∈N},

G={ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

n1 +1

n

; n∈N}, H={x2; −1<x<1},

I={x; x2+x+1>0}, J= { 1n+n L ; n∈N y n≠0}

K={x; x2−3x+2>0 y x>0}.

a) ¿Cuáles están acotados superiormente?b) Da varias cotas superiores de los que estén

acotados superiormente.c) Localiza el supremo, si lo hay, de cada uno de

ellos.d) Determina el máximo, si existe, de cada uno

de ellos.e) ¿Cuáles están acotados inferiormente?f) Da varias cotas inferiores de los que estén aco-

tados inferiormente.g) Localiza el ínfimo, si lo hay, de cada uno de ellos.h) Determina el mínimo, si existe, de cada uno

de ellos.i) ¿Alguno de los conjuntos está acotado?Solución.Superior(E)=1=máximo(E); inferior(E)=0.Superior(F)=2=máximo(F); inferior(F)=1.Superior(G) =e;inferior(G)= 2=mínimo(G);Superior(H)=1; inferior(H)=0= mínimo(H). I no estáacotado ni superior ni inferiormente; Inferior(K)=0;no está acotado superiormente

En Q hay conjuntos acotados superiormente queno tienen extremo superior: {x : x2<2} tiene infini-tas cotas superiores pero ninguna de ellas es lamenor de todas.

Sin embargo, esto no ocurre en R. Ésta es preci-samente la propiedad fundamental que caracteri-za a R yque se enuncia en el axioma del extremo.

136

Límites y Continuidad52. NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Puede resultar importante para un estudiante de matemáticas el llegar a la definición de límite, por ello seestudia la definición de Cauchi. Pero para los efectos de estudiar las ciencias sociales, nos es suficiente con lacomprensión del concepto, ya que la definición nos implica representaciones simbólicas suficientemente com-plejas para quien no está familiarizado con el estudio de sucesiones, entornos o vecindades y desigualdades.

2.1 Notación

La notación Lfa

= (x) lim x →

se lee: "el límite de la función efe

de equis cuando equis tiende al valor a es L". En este caso seconsidera que la tendencia es tanto por la izquierda como porla derecha.

La notación Lf = (x) lim x ∝−→


de equis cuando equis tiende al valor menos infinito es L"

La notación Lfa

= (x) lim x −→


de equis cuando equis tiende al valor a por la izquierda es L".Es decir x se acerca mucho al valor a, tomando valores meno-res que a.

La notación Lfa

= (x) lim x +→

se lee: "el límite de la función efe de

equis cuando equis tiende al valor a por la derecha es L". Es decir xse acerca mucho al valor a, tomando valores mayores que a.

2.2 Concepto intuitivo de límite de unafunción

Un aterrizaje de un avión proporciona una visión in-tuitiva del concepto de límite de una función. El aviónsobrevuela a lo largo de la pista (variable x), mien-tras que su altura (variable y) va disminuyendo has-ta hacerse 0. La pista es en este caso asíntota hori-zontal de la trayectoria del avión. Véase la figura 1.

Dada una función ƒ, la pregunta que hacemos es: Silos valores de x se aproximan hacia un número a, ¿aqué número se aproximan los valores de ƒ(x)?. Véaseel ejemplo 3. Figura 1. Representación gráfica de un aterrizaje.

137

Matemática I

EJEMPLO 4

En la parte visible de la gráfica se puede intuir que:

0 = f(x) lim0 x →

4 = f(x) lim x ∞→

4 = f(x) lim- x ∞→

EJEMPLO 3

Observando las gráficas siguientes se puede con-testar intuitivamente a preguntas de ese tipo:

0 = (x) lim x

f∞→

: Cuando x se hace muy

grande, la función decrece acercándose a cero.Véase el primer cuadrante de la figura 2.

0 = (x) lim- x

f∞→

: Cuando x se hace muy ne-

gativo la función crece acercándose a cero. Véa-se el tercer cuadrante de la figura 2.

∞→

= (x) lim0 x +

f: Cuando el valor de x es

muy próximo y mayor que x entonces la funciónse hace infinitamente grande. Véase el cuadranteuno de la figura 2.

∞→

- = (x) lim0- x

f: Cuando el valor de x es muy

cercano a o y a la vez menor que cero, entoncesla función se hace muy negativa, acercándose amenos infinito. Véase el cuadrante tres de la figu-ra 2.

Figura 2. Gráfica para el ejemplo 3.

Figura 3. Gráfica para el ejemplo 4

EJEMPLO 5

De la gráfica podemos inferir que:

5 = f(x) lim3 x →

∞∞→

= f(x) lim x

∞∞→

- = f(x) lim- x

Figura 4. Gráfica de recta para el ejemplo 5.

138


EJERCICIO 2

Observe la gráfica de la figura 6 y a partir deella diga cuales son los siguientes límites:

Figura 6. Gráfica para el ejercicio 2.

EJERCICIO 3

Observe la gráfica de la figura 7 y a partir deello diga cuales son los siguientes límites:

• ¿Qué ocurre con f(x) en las proximidades del3?

• ƒ(3+δ) = -3-δ+2 = -1-δ. Siendo δ≠0 peromuy cercano a cero.

• Si δ → 0, 3+δ → 3, ƒ(3+δ) → -1.

1- = (x) lim3 x

f→

EJERCICIO 4


¿Qué ocurre con g(x) en las proximidades del 1?

g(1+δ) = (1+δ)²+1 = δ²+2δ+2. Siendo δ≠0.Si δ → 0, 1+δ → 1, g(1+δ) → 2.

2 = g(x) lim1 x →

Figura 8. Gráfica de ƒ(x) para el ejercicio 4.

⎩⎨⎧ ≠

1= xsi 3

1 xsi 1+x = g(x)2

EJERCICIO 1


= ) x ( f lim x ∞→

= ) x ( f lim2 x +→

= ) x ( f lim2 x -→

= ) x ( f lim0 x →


= ) x ( f lim4 x +→

= ) x ( f lim4 x -→

= ) x ( f lim0 x →


139

Matemática I

2.3 Límites laterales

Algunas veces, como en los ejemplos estudiados, en-contramos funciones que no están definidas en unpunto a o lo están pero generando una ruptura en lacontinuidad de la función como de su gráfica. En es-tos casos decimos que la función cuando se acerca adicho punto tiende a vislumbrarnos el valor que to-maría en a si la función no perdiera continuidad. Sinembargo, en algunas funciones no se ve la misma ten-dencia si nos acercamos por la derecha o por la iz-quierda en la gráfica, esdecir tomando valores de xmenores pero cercanos a a o mayores e igualmentecercanos a a. Véanse los ejemplos 6 y 7.

EJEMPLO 6LÍMITES LATERALES

Consideremos la función T que asocia a cadaperíodo de tiempo de duración de una llamadatelefónica su importe; si suponemos que cada 3minutos o fracción importa 50 pesos, la gráficade T es la de la figura 9.

¿Cómo se comporta T en el punto x=3?

Si nos aproximamos a 3 tomando valores mayo-res que 3, los valores de la función son 100; perosi nos aproximamos a 3 con valores menores que3, los valores de la función son 50.

Esta situación se puede resumir diciendo que el lí-mite de T por la derecha en el punto 3 es 100 y queel límite de T por la izquierda en el punto 3 es 50.

Simbólicamente:

010 = T(x) lim3 x +→

, 05 = T(x) lim3 x -→

.

Figura 9. Gráfica de función escalonada.

EJEMPLO 7

Consideremos la función: ⎩⎨⎧ ≥+

1< xsix -1 1 xsi 1 x

= (x)2

f

cuya gráfica es la de la figura 10. ¿Cómo se com-porta ƒ en el punto x=1?

Si nos aproximamos a 1 tomando valores mayo-res que 1, los valores de la función se aproximana 2; pero si nos aproximamos a 1 con valoresmenores que 1, los valores de la función se aproxi-man a 0.

Esta situación se puede resumir diciendo que ellímite de ƒ por la derecha en el punto 1 es 2 yque el límite de ƒ por la izquierda en el punto 1es 0.

Simbólicamente:

2 = (x) lim1 x +

f→

, 0 = (x) lim1 x -

f→

.

Figura 10. Gráfica de función para el ejemplo 7.

140


EJERCICIO 5

Ingrese al software "Limits"1 y sin perder de vista el ejemplo 7 siga las instrucciones:

1 En el menú "Function Operations" seleccione la opción "Create function" , digite X^2+1 y pulse"Enter".

2 En el menú "Limits" seleccione la opción "Point", cambie el valor del recuadro que aparece por 1 ypulse "Enter"

3 En el menú "Limits" seleccione la opción "Limite From Above (Right)" y pulse "Enter" repetidas veceshasta obtener una tabla de valores como la siguiente.

2 5

1.5 3.25

1.25 2.5625

1.0625 2.12890325

1.03125 2.0634765625

1.015625 2.0314941406

1.0078125 2.0156860352

1.001953125 2.0039100647

1.0004882813 2.0009768009

X ƒ(x)

4 Analice hacia que punto se va acercando la función dependiendo del acercamiento de la variableal punto que usted digitó en la opción "Point".

5 En el menú "Function Operations" seleccione la opción "Create function", digite 1-X y pulse "En-ter".

6 En el menú "Limits" seleccione la opción "Limite From Below (Left)". Ahora le aparecerá un recua-dro con las dos funciones que ha digitado, seleccione la última que digitó y pulse "Enter" repeti-das veces hasta obtener una tabla de valores como la siguiente.

0 1

0.5 0.5

0.75 0.25

0.9375 0.0625

0.984375 0.015625

0.99609375 0.003906025

0.9990234375 0.0009765625

0.9997558594 0.0002441406

0.9999923706 0.0000076249

X ƒ(x)

7 Escriba una conclusión acerca del límite de la función del ejemplo 7 y los límites laterales.

1 “Limits” es un courseware del Departamento de Matemáticas de la Universidad deArizona. Se puede copiar y distribuir libremente con fines educativos y sin animode lucro. Se encuentra en el CD-ROM de fundamentación.

141

Matemática I

Definiciones

Los ejemplos 6 y 7 están soportados en las siguientes definicio-nes, que surgen a partir de las vecindades de a y de L:

Límite por la derecha de ƒ cuando x → a

L = (x) lima x +

f→

⇒ ∀ ε>0, ∃ δ>0 ⁄ a−δ<x<a ⇒ |ƒ(x)−L|<ε

Límite por la izquierda de ƒ cuando x → a

L = (x) lima x -

f→

⇒ ∀ ε>0, ∃ δ>0 ⁄ 0<|x-a|<δ ⇒ |ƒ(x)−L|<ε

Límite de ƒ cuando x → a

L = (x) lima x

f→

⇒ ∀ ε>0, ∃ δ>0 ⁄ 0<|x-a|<δ ⇒ |ƒ(x)−L|<ε

Las anteriores definiciones, son netamente simbólicas y tal vezdifíciles de entender si no se tiene un dominio en la interpreta-ción y manejo de la notación. Sin embargo, el intentar desci-frarlas es un buen ejercicio, cuando ya se tiene la noción delímite que se presentó en el subtema anterior.

Teorema. A partir de los ejemplos y las definiciones que se

presentan aquí, podemos verificar que el (x) lima x

f→

existe

⇔ existen (x) lima x +

f→

y (x) lim

a- x

f→

y se verifica que

(x) lima x +

f→

= (x) lima x -

f→

. (Es decir: Para que exista

(x) lima x

f→

, deben existir los límites laterales y además ser

iguales)

142

Límites y Continuidad52.4 Límites infinitos. Asíntotas verticales.

Si ∞±→

= (x) lima x

f , es imposible fijar el entorno o ve-

cindad de L. Por ello, damos las siguientes definiciones:

Esto significa que, dado cualquier número real positivo M, po-demos encontrar un entorno o vecindad de a de radio δ en elque los valores de la función son mayores que M. Véase elejemplo 8a.

Límite a infinito negativo:

Gráficamente, esto significa que, en un entorno convenientede a, los valores de la función son tan pequeños como quera-mos. Véase el ejemplo 8b.

a. Limite en más infinito. Si el denominador sehace pequeño, es decir cercano a cero, en-tonces la expresión se hace mayor.

• ∞→

+ = x1

20 x

lim

• ∞→

+ = )1(x-

1 21 x

lim

b. Límite en menos infinito

• ∞→

- = x1- 4

0 x lim

• ∞→

- = )3(x-

1- 23 x

lim

Si ∞→

+ = (x) lima x

f

o ∞→

- = (x) lima x

f ,

EJEMPLO 8

➥

Límite a infinito positivo: ∞→

+ = (x) lima x

f ⇒ ∀ M >0, ∃ δ>0 tal que

0<|x-a|<δ ⇒ ƒ(x)>M

Límite a infinito negativo: ∞→

+ = (x) lima x

f ⇒ ∀ M >0, ∃ δ>0 tal que

0<|x-a|<δ ⇒ ƒ(x)<- M

143

Matemática I

se dice que la función ƒ tiene en x=a una asíntota vertical de ramas convergentes. La gráfica de la función ƒse aproxima tanto como se quiera a la recta x=a cuando x se aproxima a a. La recta x=a es una asíntotavertical de ƒ de ramas convergentes.

Si ∞

→

+ = (x) lima x +

f y

∞→

- = (x) lima x -

f,

o si ∞

→

- = f(x) lima x + y

∞→

+ = (x) lima x -

f,

entonces la recta x=a se dice que es una asíntota vertical de ƒde ramas divergentes.

EJEMPLO 9

Se debe graficar cada caso en el software "Limits" y mirar muy detenidamente la solución.

1. Calcule1x-1x+2 lim

1 x →. Solución. ∞

→

= 1x-1x+2 lim

1 x +

y ∞→

- = 1x-1x+2 lim

1 x -

,

luego: 1x-1x+2 lim

1 x → no existe. La recta x=1 es una asíntota vertical de ramas divergentes.

2. Calcule )1(x-1x+2 2

1 x lim

→. Solución. ∞

→

+ = )1(x-1x+2 2

1 x lim

+y, ∞

→

+ = )1(x-1x+2 2

1 x lim

-

luego:

∞→

= )1(x-1x+2 2

1 x lim

. La recta x=1 es una asíntota vertical de ramas convergentes.

Figura 11a. Asíntotas verticales en x=a

Figura 11b. Asíntotas verticales en x=a Figura 11c. Asíntotas verticales en x=a

144

Límites y Continuidad52.5 Límites en el infinito. Asíntotas horizontales

Cuando x → ∞ es imposible fijar el entorno de radio δ del pun-to a; puesto que a es ∞. Es decir, no es fácil precisar que tantonos estamos acercando a infinito. Ver figura 12. Por ello, da-mos las siguientes definiciones:

L = (x) lim x

f∞→

⇒ ∀ ε>0, ∃ Μ tal que x>Μ ⇒ |ƒ (x)−L|<ε

Intuitivamente, esto significa que, a medida que los valores dex aumentan, los valores de ƒ se aproximan a L.

L = (x) lim - x

f∞→

⇒ ∀ ε>0, ∃ Μ tal que x<Μ ⇒ |ƒ(x)−L|<ε

Intuitivamente, esto significa que, a medida que los valores dex disminuyen, los valores de ƒ se aproximan a L.

Si L = f(x) lim x ∞→

o L = f(x) lim - x ∞→

, la recta y=L es

una asíntota horizontal de ƒ..

145

Matemática I

EJEMPLO 10 LÍMITE SOBRE ASÍNTOTA HORIZONTAL

a. Límite a menos infinito.

• 0 = 2x-

1 lim - x ∞→

• 1 = x

1x- lim - x ∞→

b. Límite a más infinito. Si el denominador se hace infinitamente grande, la expresión se irá haciendoentonces infinitamente pequeña.

• 0 = 2x-

1 lim x ∞→

• 21 =

3x+2x lim

x ∞→

Figura 12. Funciones que se aproximan a una asíntota horizontal

146


NOTAS

1. Una función tiene como máximo dos asín-totas horizontales, correspondientes acada uno de los límites +∞ y −∞.

2. La gráfica de una función puede cortar a laasíntota horizontal en uno o varios puntos.No obstante, en la mayoría de las funcio-nes elementales la gráfica permanece porencima o por debajo de la asíntota consi-derada a partir de un punto.

3. El conocimiento de la situación de la gráfi-ca con relación a las asíntotas es esencialpara la representación de funciones. En elcaso de la asíntota horizontal y=L es con-veniente estudiar si la función se aproxi-ma a la asíntota por encima o por debajo.

EJEMPLO 11

Se debe mirar muy detenidamente la solución.

1. Comprueba que 21 =

1x-6x3 lim

x ∞→ .

Solución. Dividiendo tanto numerador como denominadorpor x, tenemos:

21

63

063

16

3 1 - 6

3

limlim x x

==−

=−

=∞→∞→

xxxxxx

2. Demuestra que 32 =

1x-3x2 lim

x ∞→.

Solución. Dividiendo tanto numerador como denominadorpor x, tenemos:

32

032

13

21 - x3

2

limlim x x

=−

=−

=∞→∞→

xxx

xx

3. Calcule las asíntotas verticales y horizontales de

4-x1+x = (x)

2

2

f .

Solución. Verticales: x=±2, por que x no puede tomar losvalores 2 y -2 ya que se configura una indeterminación.Horizontales: y=1, ya que la función por ley de signos,siempre tomará valores positivos.

147

Matemática I

2.6 Límites infinitos en el infinito. Ramas parabólicas

Si ∞±∞±→

= (x) lim x

f , es imposible fijar el entorno de L ni

el entorno de radio δ del punto a. Es decir, x se hace muygrande como queramos pero no podemos delimitar cuanto yla función igualmente se hace grande. Véase el ejemplo 12.

NOTAS1. Una función tiene como máximo dos asín-

totas oblicuas.2. La gráfica de la función puede cortar a la

asíntota oblicua en uno o varios puntos.3. Para la representación de funciones es

conveniente estudiar si la función seaproxima a la asíntota por encima o pordebajo.

4. Para que una función racional tenga asín-totas oblicuas, el grado del numerador debeser una unidad superior al grado de deno-minador.

EJEMPLO 12

Si ∞∞→

= (x) lim x

f y ∞∞→

= x(x) lim

x

f , se

dice que ƒ tiene una rama parabólica en la dirección deleje OY.

Sea ƒ(x)=x². ∞∞→

= x 2

x lim y

∞∞→

= xx

2

x lim

, lue-

go la función ƒ tiene una rama parabólica en la direccióndel eje OY.

Sea ƒ(x)=x+4, ∞∞→

- = (x) lim- x

f . Dado que x se hace

muy grande el valor 4 resulta poco significativo a su lado,aunque también ayuda a hacer el valor de la función másgrande.

Sea ƒ(x)=-2x+8, ∞∞→

- = (x) lim x

f . Dado que x se

hace infinitamente grande y positivo, -2x se hace infinita-mente negativo, de tal forma que 8 se hace insignificante.

148

Límites y Continuidad53. CÁLCULO DE LOS LÍMITES

Los límites pueden ser calculados por distintos medios: aproximaciones laterales sucesivas, método gráfico yoperaciones algebráicas. En este apartado nos dedicaremos especialmente al cálculo algebráico de los límites,sin embargo en la medida de lo posible nos apoyaremos en los otros dos métodos.

3.1 Propiedades de los límites

1. El límite de una función constante es la misma constante:

c = c lima x →

2. a = x lima x →

3. Si P(x) y R(x) son dos funciones polinómicas tales queP(x)=(x-a).ƒ(x) y R(x)=(x-a).g(x) entonces si

L = (x)(x) lim

a x fg

→ se tiene que L =

Q(x)P(x) lim

a x → .

Véase el ejemplo 13a.

4. Si L = (x) lima x

f→

, entonces 0 = L] -(x)[ lima x

f→

6 = x3 lim2 x →

. ⇒ 0 = 6] x-[3 lim2 x →

.

5. El límite de una función ƒ, si existe, es único.

6. Si L = (x) lima x

f→

, la función ƒ está acotada en un cierto

entorno de a. Véase el ejemplo 13b.

7. Si 0 > L = (x) lima x

f→

, entonces existe un entorno de

a en el que la función ƒ toma valores positivos, exceptoquizá en el propio punto a. Véase el ejemplo 13c.

8. Si dos funciones ƒ y g toman los mismos valores en todoslos puntos de un intervalo reducido (a+δ , a-δ), tienen elmismo límite.

9. Si una función h está comprendida entre ƒ y g para todos

los puntos de un entorno del punto a y (x) lima x

f→

=

g(x) lima x →

, entonces L =h(x) lima x →

.

EJEMPLO 13

a. 10x+7-x6x+5-x 2

2

2 x lim

→ =

5)2)(x-(x-3)2)(x-(x- lim

2 x →

= 31 =

3-1- =

5x-3x- lim

2 x →

b. 6 = x2 lim3 x →

, la función ƒ(x)=2x

está acotada, por ejemplo, en (1 , 5).

c. 6 = x2 lim3 x →

, la función ƒ(x)=2x

toma valores positivos, por ejemplo,en (2 , 4).

149

Matemática I

3.2 Límites y operaciones con funciones

Sean ƒ y g dos funciones tales que L = (x) lima x

f→

yL = g(x) lim

a x

′→

Se verifican las siguientes propiedades:

1. El Límite de una suma es la suma de los límites :L + L = g(x)] + (x)[ lim

a x

′→

f . Análogamente, se tienen las

mismas propiedades cuando x → ∞, x → −∞. Asimismocuando los límites L y L' son ±∞.Véase el ejemplo 14a.

2. El Límite de una diferencia es la diferencia de los límites .

L - L = g(x)] - (x)[ lima x

′→

f Análogamente, cuando x

→ ∞, x → −∞. Así mismo cuando los límites L y L' son±∞. Véase el ejemplo 14b.

3. El límite del producto de dos funciones es igual al produc-to de los límites de las funciones.

L L = g(x)] (x)[ lima x

′••→

f . Análogamente, cuando x

→ ∞, x → -∞. Así mismo cuando los límites L y L' son ±.Véase el ejemplo 14c.

4. Si c∈R, Lc = (x)][c lima x

••→

f . Análogamente, cuando

x → ∞, x → −∞. Así mismo cuando los límites L y L' son±∞. Véase el ejemplo 14d.

5. Si L'≠0, LL =

g(x)(x) lim

a x ′→

f . Análogamente, cuando x →

∞, x → −∞. Así mismo cuando los límites L y L' son ±∞.Véase el ejemplo 14e.

6. L = ](x)[ nn

a x lim f

→. Véase el ejemplo 14f.

7.nn

a x L = (x) lim f

→. Véase el ejemplo 14g.

8. (L)A = ](x) A[ = ](x)A[ limlima x a x

ff→→

. Siendo A: ex-

ponencial, logarítmica, trigonométrica, etc. Véase el ejem-plo 14h.

9. 0 = x1 n

x lim

∞→. Este límite es de mucha aplicación para el

cálculo algebráico de límites.

150


a. x]5 +x [3 lim2 x →

= x][3 lim2 x →

x][5 lim2 x →

= 6 + 10 = 16.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∞→ 7x-x5 +

1x+x3 lim

x = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∞→ 1x+x3 lim

x +

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∞→ 7x-x5 lim

x = 3 + 5 = 8.

b. x]4 -x [7 lim3 x →

= x][7 lim3 x →

-

x][4 lim3 x →

= 21 - 12 = 9.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∞→ 9x+x2 -

3x-x7 lim

x = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∞→ 3x-x7 lim

x -

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∞→ 9x+x2 lim

x = 7 - 2 = 5.

c. x]3 x [2 lim4 x

•→

= x][2 lim4 x →

. x][3 lim4 x →

= 8 ⋅ 12 = 96.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •

∞→ 7x-x5

1x+x3 lim

x =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∞→ 1x+x3 lim

x ⋅ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∞→ 7x-x5 lim

x

= 3 ⋅ 5 = 15.

d. x][2 lim5 x →

= [x] 2 lim5 x →

• = 2 ⋅ 5 = 10.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∞→ 1x+x3 lim

x = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡•

∞→ 1x+x 3 lim

x = 3 ⋅ 1 = 3.

e. 5x+2x3 lim

7 x →= 5]x+[2

x][3

limlim

7 x

7 x

→

→= 19

21 .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∞→ 9 + 7x-x4

5 + 1x+

x8

lim x =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∞→

∞→

9 + 7x-x4

5 + 1x+

x8

lim

lim

x

x

= 48

=2.

f. ]x[3 4

2 x lim

→= ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

→

x][3 lim2 x

4

= 64 = 1.296.

g. 4

2 x x3 lim

→= 4

2 x x][3 lim

→= 4 6 .

h. 2 x3

1 x lim

→= 2 x3 lim

1 x

→ = 23 = 8.

]x[20 log lim5 x →

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

→

x20 log lim5 x

= ] [100 log = 2.

EJEMPLO 14

151

Matemática I

3.3 Regla para el cálculo de límites

Las propiedades anteriores nos permiten enunciar la siguienteregla: Para calcular el límite de una función en un punto x=a,se sustituye la variable independiente x por a y se realizan lasoperaciones indicadas. En apariencia se reduciría a calcular unvalor numérico. Pero pueden ocurrir al realizar este cálculocasos extremos, llamados de indeterminación.Véase ejem-plo 15.

3.4 Límites de algunas funciones elementales

Función Potencia: ƒ(x)=xn. (n∈Z)

Si n>0, ∞∞→

= x n

x lim .Si n<0,

0 = x n

x lim

∞→

.

Función Exponencial: ƒ(x)=ax.

Si a>1, ∞∞→

= a x

x lim ; 0 = a x

- x lim

∞→.

Si 0<a<1, 0 = a x

x lim

∞→ ; ∞

∞→

= a x

- x lim .

Función Logarítmica: ƒ(x)=logax.

Si a>1, ∞∞→

=x log a x

lim ;

∞→

- =x log a0 x

lim+

.

Si 0<a<1, ∞∞→

- =x log a x

lim ;

∞→

=x log a0 x

lim+

.

EJEMPLO 15

5 = 1-23+2

1x-3x+ lim

2 x =

→

1- = x3+x7-x3 2

2

1 x lim

→

8 2 2= 2 39x

9 x lim ==

→

. . . = 00

4-28-2 =

4-x8-x

2

3

2

3

2 x lim =

→

152


3.5 Resumen de operaciones y límites

153

Matemática I

3.6 Indeterminaciones

Los casos de indeterminación son los siguientes:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0k

, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∞∞

, (∞-∞), (0⋅∞), (1∞), (00), (∞0)

Si al calcular un límite se presenta alguno de estos casos, con-viene transformar la expresión de la función en otra equivalen-te (que tome los mismos valores en un entorno de x=a) a laque si pueden aplicarse las propiedades de los límites.

No podemos dar una regla general que permita hallar el límiteen todos los casos. La regla de L'Hopital es el procedimientomás general pero requiere conocimientos sobre integrales.Consideraremos los casos más usuales de indeterminación.

Indeterminación: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0k

con k≠0. No suele tomarse como inde-

terminación ya que el límite, si existe, es siempre +∞ ó -∞.Luego, sólo hay que calcular (si es posible) los límites laterales;si son iguales, la función tiene límite +∞ ó -∞; en caso contra-rio, no existe límite. Tampoco suele considerarse como inde-

terminación ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞

0 ya que el límite, si existe, es siempre +∞ ó -∞.

Luego, sólo hay que calcular (si es posible) los límites laterales;si son iguales, la función tiene límite +∞ ó -∞; en caso contra-rio, no existe límite. Véase el ejemplo 16a.

Límite de funciones racionales: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

00

. 00 =

Q(x)P(x) lim

a x →. Según la

regla de Ruffini el numerador y el denominador son divisiblespor (x-a). Simplificando la fracción por x-a, desaparece la inde-terminación. A veces es preciso reiterar la división. Véase elejemplo 16b.

Límite de funciones racionales: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∞∞

. La indeterminación

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∞∞

engloba los cuatro casos: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∞∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∞∞- ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∞∞-

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∞∞

--

. Es preci-

so que x tienda a ±∞. Desaparece la indeterminación dividien-do numerador y denominador por xn.

154


Consideremos el caso: ∞∞

∞→

= Q(x)P(x) lim

x . Pueden presentarse

tres casos:

Caso A:Si grado P(x) > grado Q(x) ⇒ ∞±∞→

= Q(x)P(x) lim

x , se-

gún el signo de an y bn, coeficientes de los términos de mayor

grado de P(x) y Q(x) respectivamente.

Caso B:Si grado P(x) < grado Q(x) ⇒ 0 = Q(x)P(x) lim

x ∞→.

Caso C:Si grado P(x) = grado Q(x) ⇒ .ba =

Q(x)P(x)

n

n

x lim

∞→ . Sien-

do an y bn los coeficientes de los términos de mayor grado de

P(x) y Q(x) respectivamente.

En los restantes casos es todo muy similar. Sin embargo, cuan-do x → -∞, hay que tener en cuenta el grado par o impar de lospolinomios P(x) y Q(x) al calcular límites del apartado a). Véa-se el ejemplo 16c.

Límites con radicales irregulares: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

00

. Suele desaparecer la

indeterminación, multiplicando numerador y denominador por

el conjugado del que tiene la raíz. Véase el ejemplo 16d.

Límites con radicales irregulares: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∞∞

. Suele desaparecer la in-

determinación dividiendo el numerador y el denominador por

la potencia máxima de x. Véase el ejemplo 16e. Hay que

tener cuidado al introducir un número negativo dentro de la

raíz: 4 - = 2 -4 6

.

Límites de la forma: (∞-∞). Se transforman en ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

00

o en ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∞∞

mediante operaciones convenientes. Generalmente multiplican-

do y dividiendo por el conjugado. Véase el ejemplo 16f.

Límites de la forma: (0×∞). Se transforman en ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

00

o en ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∞∞

mediante operaciones convenientes. Véase el ejemplo 16g.

155

Matemática I

a. Indeterminación: Si reemplazáramos directa-

mente tendríamos algo de la forma ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0k

con

k≠0.

∞→

= )1(x-

2 21 x

lim , ∞→

- = )1(x-

2- 21 x

lim , existe No =

1x-2 lim

1 x →

b. Límite de funciones racionales: Si reemplazá-

ramos directamente nos daría: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∞∞

, por lo

que se tienen que aplicar factorizaciones.

( )( )( )( ) =

35393

15x+8-x27-x

2

3 x 2

3

3 x limlim −−

−++=

→→ xxxxx

simplificamos y aplicamos el límite:

( )( )

( )( ) 2

27 - 53

9333 = 5

93 22

3 x lim =

−+⋅+

−++

→ xxx

( )( ) 1-x

1-x1x = 1-x1-x

2

22

1 x 2

4

1 x limlim =

+

→→


( ) 2 11 1x 22

1 x lim =+=+

→

( )( ) 1-

11 = 1-1-

2

1 x

3

1 x limlim =

−++

→→ xxxx

xx


( ) 31111 22

1 x lim =++=++

→

xx

c. Límite de funciones racionales: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∞∞

➥

EJEMPLO 16

Caso A: ∞∞→

= 4x+7-x5+x8-x 2

23

x lim ,

−∞∞→

= 1x+6

x2+x3- 5

- x lim , ∞

∞→

-= x4+x1-x6

2

5

- x lim ,

∞∞→

-= 5x+6

1+x3- 2

- x lim , ∞

∞→

-= 7+xx4+x-

3

25

- x lim

∞∞→

= x7+23+x4 4

5

x lim

Caso B: , 0 = x+71x-3 2

x lim

∞→ 0=

x7+23+x4 3

2

- x lim

∞→

Caso C: 25 =

4x+7-x25+x8-x5 3

23

x lim

∞→

23 =

1x-22x+3 lim

x ∞→5 - =

1+xx5-x6 4

43

x lim

∞→

32 =

7+x6x3+x4 6

26

x lim

∞→,

4 = x2+x-5x3-x8+1 42

4

x lim

∞→ , 5

3= x5+71-x3

2

2

- x lim

∞→ ,

d. Límites con radicales irregulares: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

00

( )( )( ) x-1 1x-1 - 1

x-1 1x x-1 - 1

x limlim0 x 0 x +

+=

→→

aplicando diferencia de cuadrados llegamos a:

( )( )( )

( )x

x-1 1x = x-1 - 1

x-1 1x limlim0 x

220 x =

++

→→

( ) 2 x-1 1lim0 x

=+=→

➥

156


( )( )( )( )2 1x+3x-

2 1x+2 - 1x+ 3x-

2 - 1x+ limlim3 x 3 x +

+=

→→

aplicando diferencia de cuadrados llegamos a:

( )

( )( )2 1x+3x-2 - 1x+ lim

22

3 x =

+→

( )( )( ) 4

12 1x+3x-

3 lim3 x

=+

−→

x

e. Límites con radicales irregulares: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∞∞

5 +

+ =

5 + + limlim

22

2

x

2

x ∞→∞→

xxx

xx

xx

xxx

,

1 5 +1

1 +1 lim

x =

∞→

x

x recuerde que 0 =

x1 n

x lim

∞→ ,

por lo que 1/x y 5/x tienden a cero.

xxx

xx

xx

xx

xxxx

5 + 3

4 + +

5 + 3 4 + +

22

2

x

2

x limlim

∞→∞→

=

simplificando tenemos que:

35

5 + 3

4 + 1 +1 lim

x =

∞→

x

x

teniendo en cuenta que 1/x y 5/x tienden a cero.

f. Límites de la forma: (∞−∞).

x]- x2+x[ 2

x lim

∞→=

x]+ x2+x[ x]+ x2+x[ x)- x2+x(

2

22

x lim

∞→

x+ x2+xx - x2+x

2

22

x lim

∞→

xx+x2 lim

x ∞→= 1.

El multiplicar por la conjugada parece un procesolargo, pero nos simplifica el trabajo.

g. Límites de la forma: (0−∞).

5x-7+xx2 x3 2

x lim •

∞→= 5x-7+x

x6 2

2

x lim

∞→ =

6, 1-x7+x4+x2 x5 32

2

x lim •

∞→= 7

10.

➥

157

Matemática I

EJEMPLO 17

Cuando x → 0, son infinitésimos: x, 3x², 8x3.

Cuando x → 2, son infinitésimos: x-2, x²-5x+6, x3-8.

Cuando x → ∞, son infinitésimos:

x1

, 6 + x 5 - x1

2 , 8 - x1

3 .

3.7 Infinitésimos

Se dice que ƒ(x) es un infinitésimo cuando x→a, también para

x→±∞, si: 0 = (x) lima x

f→

158

Límites y Continuidad54. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

La gráfica adjunta representa el crecimiento de un persona en función del tiempo. Midiendo su estatura cadaaño, se obtiene una gráfica con pequeños saltos entre un punto y el siguiente.

Si la gráfica se realiza midiendo la estatura cada cinco años, el incremento entre cada punto y el siguiente (y) serámayor, como lo es también el incremento del tiempo (x).

Finalmente, si se considera el crecimiento en cada instante, la gráfica que mide las alturas no sufre ningún saltobrusco. Se dice en este caso que la función es continua.

4.1 Continuidad de una función en un punto

Consideremos las funciones cuyas gráficas están dibujadas enla figura 14.

Aunque son muy semejantes, de inmediato se observa que enx=0 presentan un comportamiento muy distinto.

Mientras que la gráfica a) puede dibujarse sin levantar el lápizdel papel, no ocurre así en b), c) y d), al llegar a x=0 la gráficase interrumpe. Veamos el motivo de estas interrupciones:

Figura 13. Función continua.

159

Matemática I

En b) se verifica que ƒ(0)=2 y 0 = f(x) lim0 x →

.

En c) no existe ƒ(0).

En d) ocurre que 0 = f(x) lim0 x -→

, 1 = f(x) lim0 x +→

.

Si queremos establecer un concepto de continuidad que res-ponda a la idea de trazado sin levantar el lápiz del papel,debemos evitar en la definición los tres casos anteriores. Estoconduce a la siguiente definición:

Es decir: Una función ƒ es continua en x=a ⇔

f(a) = f(x) lima x →

.

Una función ƒ es continua en x=a si se verifican las tres condiciones siguientes:

a) Existe ƒ(a). Es decir, a∈Dom(ƒ). b) Existe f(x) lima x →

. c) f(a) = f(x) lima x →

.

Figura 14. Continuidad en un punto.

160


• Sea ⎩⎨⎧ ≤

1> xsix 2

1 xsi 1x+ = f(x) . Veamos que ƒ

es continua en x=1. Hay que comprobar lastres condiciones:

a) Existe ƒ(1), pues ƒ(1)=2.

b) Existe f(x) lim1 x →

, pues 2 = f(x) lim1 x →

.

c) 2 = f(x) lim1 x →

= ƒ(1).

• Consideremos ahora 1x-1-x = f(x)

2

. Esta fun-

ción no es continua en x=1, pues no se verifi-ca la condición a) ya que no existe ƒ(1).

• Sea ⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≠

1= xsi 2

1 xsi 1x-1-x

= f(x)

2

. Esta función

es continua en x=1.

a) ƒ(1)=2.

b) 2 = f(x) lim1 x →

.

c) 2 = f(x) lim1 x →

= f(1).

• Sea ⎩⎨⎧ ≠

0= xsi 1

0 xsi x = f(x)2

. Esta función no

es continua en x=0, pues ƒ(0)=1 y

0 = f(x) lim0 x →

≠ 1 = ƒ(0).

EJEMPLO 18

Figura 15. Gráfica del ejemplo 18

161

Matemática I

4.2 Continuidad lateral

Una función ƒ es continua por la derecha en x=a ⇔

f(a) = f(x) lima x +→

.

Una función ƒ es continua por la izquierda en x=a ⇔

f(a) = f(x) lima x -→

.

Es evidente que si una función es continua por la derecha ypor la izquierda en un punto, es continua en ese punto.

4.3 Continuidad en un intervalo

Una función ƒ es continua en un intervalo abierto (a,b) cuandolo es en cada punto de dicho intervalo.

Una función ƒ es continua en un intervalo cerrado [a,b] cuan-do lo es en todos los puntos de (a,b) y además es continua porla derecha en a y por la izquierda en b.

• ƒ(x)=x2 es continua en cualquier intervalo abierto o cerra-do de R.

• ƒ(x)= x1

no es continua en [-1,1] ya que no esta definida

en x=0.

4.4 Criterios de continuidad

Recordando la definición de límite de una función ƒ en un pun-to x=a, se pueden establecer ciertos criterios de continuidadsi a∈Dom(ƒ):

Teorema 1. Una función ƒ es continua en x=a∈Dom(ƒ) ⇔ ∀ε>0, ∃ δ>0 : 0<|x−a|<δ ⇒ |ƒ(x)-ƒ(a)|<ε.

Gráficamente esto significa que, dado un entorno simétrico deƒ(a) de radio ε, Eε, podemos encontrar un entorno de a deradio δ, Eδ, tal que las imágenes por ƒ de los puntos de Eδpertenecen a Eε; es decir, que para valores suficientemente próxi-mos a a, los valores de ƒ se aproximan tanto como queramosa ƒ(a).Véase ejemplo 19.

162


EJEMPLO 19

• En la primera gráfica, se ve que ƒ es continua en x=a, pues dado Eε de ƒ(a) podemosencontrar el entorno Eδ de a tal que ∀ x∈Eδ, ƒ(x)∈Eε, es decir:0<|x−a|<δ ⇒ |ƒ(x)-ƒ(a)<ε.

• En la segunda gráfica, la función ƒ no es continua en x=a, pues dado Eε es inmediatover que tomando cualquier entorno Eδ de a existen puntos de este entorno x∈Eδ, talesque ƒ(x)∉Eε, es decir, existen x tales que: 0<|x-a|<δ, pero |ƒ(x)-ƒ(a)|>ε.

Teorema 2. Una función ƒ es continua en x=a∈Dom(f) ⇔ Para todo entorno E de f(a), f-1(E) es un entorno de a.

Teorema 3. Una función ƒ es continua en x=a∈Dom(f) ⇔ Para toda sucesión (xn) cuyos

elementos xn∈Dom(f) y tal que a = )x( n n

lim∞→

se verifica: (a) f = ))x( (f n n

lim∞→

.

Observe que no basta que para una cierta sucesión (xn) tal que a = )x( n n

lim∞→

sea

f(a) = ))x(f( n n

lim∞→

, sino que esto debe verificarse para toda sucesión (xn) tal que

a = )x( n n

lim∞→

. ➥

163

Matemática I

• La función ⎩⎨⎧ ≥

0< xsi 0

0 xsi 1 = f(x)

no es continua en x=0, pues

no existe f(x) lim0 x →

ya que 0 = f(x) lim0 x -→

y 1 = f(x) lim0 x +→

. Consideremos ahora

la sucesión (-1, - 21

, - 31

, ., - n1

) cuyo límite es 0; la sucesión de imágenes es

(0,0,0,.,0) cuyo límite es 0. ¿Contradice esto el teorema? No, porque el teoremadice que para que ƒ sea continua es necesario que para toda sucesión con

0 = )x( n n

lim∞→

se verifique que 0 = ))x( (f n n

lim∞→

y, sin embargo

))x( (f n n

lim∞→

= ,1)(1,1,1,... lim n ∞→

=1; luego ƒ no es continua como ya vi-

mos.

• ¿Es la función⎩⎨⎧

≤1 xsi x3

1> xsi 0 = f(x)

2 continua en x=1?

Solución. Sea la sucesión (2, 23

, 34

,., n1n+

).

1 = )1n+

n( lim n ∞→

y 0 = )1n+

n( f lim n ∞→

, f(1)=3≠0 y, por el teorema, ƒ no es con-

tinua en x=1.

• ¿Es la función ⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≠

2= xsi 0

2 xsi 2x-4 -x

= f(x)

2

continua en x=2?

Solución. Estudia el comportamiento de la sucesión ( 1n+n2

) y el de las imágenes y

deduce que ƒ no es continua en x=2.

164

Límites y Continuidad54.5 Continuidad y operaciones con funciones

1. Si ƒ y g son continuas en x=a, entonces ƒ+g es continuaen x=a.Dem. Si ƒ es continua en x=a, a∈Dom(ƒ). Si g es continuaen x=a, a∈Dom(g).Luego a∈Dom(ƒ)∩Dom(g)=Dom(ƒ+g). Por tanto ƒ+g estádefinida en x=a.

Además: g)(x)(f+ lima x →

= f(x) lima x →

+ g(x) lima x →

=

ƒ(a) + g(a) = (ƒ+g)(a), luego ƒ+g es continua en x=a.2. Si ƒ es continua en x=a, -ƒ es continua en x=a.3. Si ƒ y g son continuas en x=a, entonces ƒ-g es continua

en x=a.4. Si c∈R y ƒ es continua en x=a, entonces c-ƒ es continua

en x=a.5. Si ƒ y g son continuas en x=a, entonces ƒ-g es continua

en x=a.

6. Si ƒ es continua en x=a y si g(a)≠0, entonces g1

es conti-

nua en x=a.

7. Si ƒ y g son continuas en x=a y si g(a)≠0, entonces gf

está definida en un entorno de a y es continua en x=a. 8. Si ƒ es continua en x=a y g es continua en ƒ(a), entonces

la composición g_f es continua en x=a.9. Si ƒ es inyectiva y continua en x=a, entonces ƒ-1 es con-

tinua en x=ƒ(a).

165

Matemática I

4.6 Algunos casos importantes de funciones continuas

A. Toda función constante ƒ(x)=c es continua en cualquierpunto.

B. La función identidad ƒ(x)=x es continua en todo R.C. La función afín ƒ(x)=ax+b es continua en todo punto. La

suma y el producto de funciones continuas es otra fun-ción continua.

D. Las funciones ƒ(x)=x², ƒ(x)=x3, ., ƒ(x)=xn son continuasen cualquier punto. El producto de funciones continuas esotra función continua.

E. Toda función polinómica ƒ(x)=a0+a1x+a2x2+.+anx

n escontinua en cualquier punto. La suma y el producto defunciones continuas es otra función continua.

ƒ. Todas las funciones racionales, exponenciales, logarítmi-cas y trigonométricas son continuas en todos los puntosdonde están definidas. Véase ejemplo 20.

4.7 Discontinuidades de una función. Tipos

Una función ƒ es discontinua en x=a (o presenta una disconti-nuidad en x=a) si no es continua en el punto x=a.

Si una función ƒ es discontinua en x=a, su gráfica presenta enel punto a una "ruptura". Trataremos de ilustrar los casos mássencillos de discontinuidades según dicha "ruptura". Véaseejemplo 21.

EJEMPLO 20

• 1-xx=f(x) 2 es continua en todo

R excepto en x=-1 y x=1 que noestá definida.

• 1x-1-x = f(x)

2

es continua en R-{1}.

En x=1 no está definida.

• 3 = f(x) xes continua en todo R.

• (x)log = f(x) 2 es continua en (0,∞).

Figura 20a. Discontinudad de primera especie

Figura 20b. Discontinudad con salto finitoFigura 20c. Discontinudad con salto infinito

166


EJEMPLO 21

1. La función ƒ(x)=2 si x≠1, no es continua en x=1. No existe ƒ(1), sin embargo existe

2 = f(x) lim1 x →

. La función ƒ presenta en x=1 una discontinuidad evitable. El

valor que deberíamos dar a ƒ en x=1 para que fuera continua en él se llama verda-

dero valor de la función. ƒ(1)=2

• 2x-4-x = f(x)

2

No es continua en x=2. Presenta discontinuidad evitable.

2. La función ⎩⎨⎧ ≠

1= xsi 3

1 xsi 2 = f(x) , no es continua en x=1. Aunque existe ƒ(1)=3,

sin embargo f(1) 2 = f(x) lim1 x

≠→

. La función ƒ presenta en x=1 una disconti-

nuidad de 1ª especie.Véase figura 20a.

• ⎩⎨⎧

≠ 0 xsix

0= xsi 1 = f(x) no es continua en x=0. Presenta una discontinuidad de 1ª

especie.

3. La función ⎩⎨⎧

≥1 xsi 3

1< xsi 2 = f(x) , no es continua en x=1. Aunque existeƒ(1)=3, sin

embargo no existe f(x) lim1 x →

ya que 2 = f(x) lim1 x -→

y 3 = f(x) lim1 x +→

. En

este caso la función ƒ presenta en x=1 una discontinuidad de 2ª especie con salto

finito.Véase figura 20b.

Se define el salto de ƒ en x=1 como s=| f(x) lim1 x +→

- f(x) lim1 x -→

|.

• ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤1 xsi 5

2x

= f(x) no es continua en x=1. Presenta una discontinuidad de 2ª

especie con salto finito.

4. La función x-11 = f(x) , no es continua en x=1. No existe ƒ(1), ni f(x) lim

1 x → ya

que ∞→

= f(x) lim1 x - y ∞

→

- = f(x) lim1 x + . En este caso la función ƒ presenta en

x=1 una discontinuidad de 2ª especie con salto infinito.

• 1x-2 = f(x) no es continua en x=1. Presenta una discontinuidad de 2ª especie con

salto infinito.Véase figura 20c.

167

Matemática I

ƒ continua en x=a Existe ƒ(a). Existe (x) lima x

f→

. (a) = (x) lima x

ff→

.

ƒ discontinua en x=a No existe ƒ(a), existe (x) lima x

f→

Discontinuidad evitable

Existe ƒ(a), existe (x) lima x

f→

y Discontinuidad de 1ª es-

(x) lima x

f→

¹ ƒ(a) pecie

Existe (x) lima x -

f→

, existe Discontinuidad de 2ª es-

(x) lima x +

f→

(x) lima x -

f→

¹ pecie con salto finito

f(x) lima x +

f→

∞±→

= (x) lima x -

f Discontinuidad de 2ª es-

∞±→

= (x) lima x +

f pecie con salto infinito

RESUMEN DE CONTINUIDAD

4.8 Aplicaciones de límites

Un gran número de funciones en administración y economíason funciones de tipo discreto o tienen discontinuidades fini-tas del tipo de la función escalón. Por ejemplo las funciones deprecio y de costo son frecuentemente discretas debido a lanaturaleza de los bienes que ellas involucran y/o tienen discon-tinuidades debido a que costos y precios unitarios disminuyen(oaumentan) bruscamente para cantidades específicas.

Funciones de oferta y de demanda y muchas otras funcioneseconómicas son también frecuentemente discretas debido a lanaturaleza de los bienes involucrados.

Debe notarse que hay funciones que siendo de hecho discre-tas, se pueden representar frecuentemente como continuaspor conveniencia; esto se aplica, por ejemplo, a las funcionesde oferta y funciones de demanda de bienes vendidos por uni-

168

Límites y Continuidad5dades - tales como refrigeradores, huevos bombillas eléctricas,sillas, máquinas cortadoras de césped, automóviles, etc.

Representar como continua a una función que es discreta pornaturaleza, hace posible el uso de un gran número de herra-mientas de análisis que de otra forma no sería posible aplicar.Sin embargo al interpretar los resultados de tales análisis, debetenerse presente la naturaleza discreta básica por ejemplo, noes apropiado referirse al precio de 1.632 refrigeradores o alsalario de 29,2 trabajadores. Véanse ejemplos 22 a 25.

EJEMPLO 22

Un mayorista en abarrotes vende latas de tamaño numero2 de cierto vegetal en lotes de cajas de acuerdo con lasiguiente lista de precios:

• $2.50 por caja en la compra de 20 cajas o menos

• $2.00 por caja en la compra de más de 20 cajas peromenos de 50

• $1.75por caja para órdenes que incluyen mas de 50pero menos de 100 cajas

• $1.50 por caja para ordenes de más de 100 cajas

Si Y es el precio total y X es la cantidad de cajas, lafunción de precio se puede representar algebraicamentecomo sigue:

100100505020200

50,175,100,250,2

>≤≤≤≤≤≤

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

xxxx

xxxx

y

y geométricamente como se muestra en la figura 5.21

Figura 21.

EJEMPLO 23

Una compañía vende papelería comer-cial impresa en cajas de 200 hojas aun precio de $2,25 por caja. Si Y es elprecio total y X es el número de cajas,la función de precio se puede repre-sentar algebraicamente mediante ecua-ción

Y=2.25x para x=1, 2, 3,.....

Y geométricamente mediante la gráfi-ca de la figura 5.22. Esta función es dis-creta, ya que está definida solamentepara valores enteros de X.

Figura 22.

169

Matemática I

Una refinería de petróleo tiene 5 torres de destila-ción de las cuales operan solo las necesarias paraprocesar la materia prima de que se dispone. ( Elcosto total en que se incurre al operar cada torrede destilación (operador, mantenimiento y algu-nos otros) es de $100 por semana; además el costode la materia prima es de $0.40 por galón de pe-tróleo refinado. Cada torre de destilación puedeprocesar materia prima capaz de producir 10.000galones de petróleo refinado por

semana. Si Y es el costo total de operación yX es la cantidad de petróleo refinado (en galo-nes), la función de costo se puede representaralgebraicamente mediante la ecuación

xxxf 4.0)1000.10

(100)( ++⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

en la cual ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

000.10x denota el mayor entero

contenido en .000.10x

Obsérvase que a la cantidad ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

000.10x

, se le

ha sumado 1 debido a que ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

000.10x

torres de

destilación producen un máximo de 10.000 x ga-lones. En consecuencia para cualquier produc-ción adicional es necesario poner en operaciónotra torre de destilación, en la figura 5.23 se mues-tra la gráfica de esta función, la cual presenta dis-continuidades finitas en x= 10.000, 20.000, 30.000y 40.000.

Si el porte en el servicio de correo de pri-mera clase en los Estados Unidos es de 8centavos por onza o fracción de onza, y siY representa el porte requerido y X el pesode la carta (en onzas), la función de costose puede representar mediante la ecuación

[ ] )1(08.0 += xY

en la cual denota el mayor entero conte-nido en x. La figura 5.24 muestra la gráficade esta función la cual presenta disconti-nuidad finitas en todos los valores enterosde x.

Figura 23.

EJEMPLO 24

Figura 24.

EJEMPLO 25

170


1. Indique, de cada una de las siguientes funcio-nes, si está acotada superior o inferiormentedando una cota. Diga si alcanza su máximo omínimo.

a) ƒ(x)=x2−1 en [-1,1], b) g(x)=x2 en [-3,4],c) h(x)=Lx en [0,e].

2. La fun-

c i ó n :⎪⎩

⎪⎨⎧ ≠

1 = x si 0

1 x si 1 -x 1 +x

= ) x ( f

¿está acotada en el intervalo [0,3]?

¿Contradice este caso el teorema sobre la aco-tación de funciones en un intervalo cerrado?

3. Dada la función ƒ(x)= 1 +x x

. a) Demuestre

que es continua en [0,1]. b) Halle una cota

inferior y otra superior en [0,1]. c) Halle su

máximo y su mínimo en [0,1].

4. Calcule, razonadamente: 1 - x1 - x

2

1 x lim

→.

5. Calcule los siguientes límites y compruebe lassoluciones:

a) ]x8-x5x+[3 32

2 x lim

→ b) 6x+

3x+2 lim1 x →

c) 2x+)1(x-

2

0 x lim

→

d) 3)(x+)9(x-2)(x+)9(x- 2

3

9 x lim

→

e) 4x-16x+8-x

2

4 x lim

→

ƒ) 9x+6-x27x-27+x9-x 2

23

3 x lim

→

6. El límite de una función se calcula en el punto

x=a, ¿es necesario que este punto pertenez-ca al dominio de definición? ¿Por qué?

7. Si una función toma siempre valores positivosy otra toma solo valores negativos, ¿puedentener el mismo límite en un punto? Si es asídiga cuál es el límite.

8. Una función tiene límite en un punto y en cual-quier entorno suyo la función toma valores po-sitivos y negativos, ¿cuánto vale en este casoel límite?

9. Escriba una función cuyo límite en x=0 es 1 yque tome sólo valores mayores que 1. Si es po-sible, dibuje la gráfica para aclarar la respuesta.

10.Escriba una función cuyo límite en x=0 es 1 yque todos los valores que tome sean meno-res que 1. Dibuje la gráfica de la función paraaclarar la respuesta.

11.Una función definida en toda la recta real esestrictamente creciente. ¿Puede deducirse deesto que su límite en +∞ es +∞? Si la respues-ta es negativa, de un ejemplo que lo aclare.

12.¿Puede tener una función más de dos asínto-tas horizontales? Razona la respuesta gráfica-mente.

13.¿Qué condición tienen que cumplir los gra-dos del numerador y denominador de una fun-ción racional para que tenga asíntotas hori-zontales? Ponga un ejemplo particular.

14.Calcule los límites laterales de4+3

2 = f(x)x1

en x=0.

15.Calcule en x=0, x=2 y x=3 el límite de la fun-

ción:⎩⎨⎧

≤

∞≤

3<x0 six 2

<x3 si 7x+ = f(x)

16.Calcule los siguientes límites de funciones ra-cionales y verifique la respuesta:

a) 12x--x4x- 2

5 x lim

→,

EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO

➥

171

Matemática I

b) 12x--x4x- 2

4 x lim

→,

c) 9-x27-x 2

3

3 x lim

→,

d) 8-x8x-12+x6-x 3

23

2 x lim

→

e) 9x-14+x57-x3 2

2

x lim

∞→,

ƒ)a-xax-x 22

2

a x lim

→ ,

g) 1x-1x++x

2

1 x lim

→,

h) 21 =

x2+x3x+x2-x4 2

23

0 x lim

→

i) 81 =

20x+12-x6x+5-x 2

2

2 x lim

→

j) 1 = 2x-5-x3

10x-3+x 2

2

2 x lim

→

k) 52- =

6x--xx2+x3+x 2

23

2- x lim→

l) 0 = 3)2)(x-(x+

x4+x4+x 23

2- x lim→

m) 1- = x-1

3 - x-1

1 31 x

lim ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

→

EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO

➥

17.Calcule ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

→ 9 - x12 -

3 -x 2 2

3 x lim .

18.Sean ƒ(x)=x2-1, g(x)=x-1.

2 = ) x ( g) x ( f lim

1 x → ¿Por qué?

19.Estudie la continuidad de la función

ƒ(x)= x

3 -x .

20.Estudie la continuidad de

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≤

0 > x si x + 1

0 x si e + 1

e = ) x ( f

2

x

x

21.¿Para qué valores de x tiene sentido la expre-

sión ƒ(x)= x+ 4 + x- 4 - 8 ¿Es con-

tinua la función ƒ?

22 Sea ƒ una función de la que se sabe que,

f( 21

)= 41

, f( 31

)= 91

y, en general

f( n1

)=n1

2 para todo n∈N. Si ƒ es conti-

nua en el origen, ¿qué se puede asegurar delvalor de ƒ en el origen, ƒ(0)?

23.Estudie los puntos de discontinuidad (y el tipo)de las siguientes funciones:

a) ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤1 xsi 0

2x

= f(x),

172


b)⎩⎨⎧

≠ 0 xsix

1 = f(x) .,

c) 1x-2 = f(x) .

d) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

≤

2 xsix

2<x0 si 0

0< xsi 1x+

= f(x),

e)⎩⎨⎧

1> xsix 3

1< xsi 0 = f(x) ,

ƒ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

≤

5 xsi 4

5<x3 si 1x+2

3< xsix

= f(x).

g) ⎩⎨⎧

≥ 0 xsi 2

0< xsi 2x+ = f(x) ,

h) 3 x-9-x3 = f(x)

2

,

i) 8 - x 7 + x1 - x = (x) f 3

2

.

24.Para calcular el límite de una función ƒ en unpunto x=a no es necesario que el punto per-tenezca al Dom(ƒ). ¿Es necesario, sin embar-go, que x=a pertenezca al Dom(ƒ) para quela función ƒ sea continua en dicho punto?Razona la respuesta.

25.Estudie la continuidad de las siguientes fun-ciones:

a) 4x-2x5 = f(x) ,

b) 3x+11-x-x7x- = f(x) 23 ,

c) 5x+6 -x12x-5 = f(x) 2 ,

d) 36+x13 -x8+x7 = f(x) 24

2

,

e) 12 x-4 -x3 +xx5 x-2 = f(x) 23

2

.

26.Calcule el valor de a para que las siguientesfunciones sean continuas en los puntos quese indican:

a) ⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤

1> xsi ax-3

1 xsi 1x+ = f(x)

2

en x=1,

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧≠

0= xsi 1-

0 xsi x3+x7x3-ax

= f(x) 35

34

en x=0.

c)⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧ ≠

0= xsi 52

0 xsi x3+x7x3-ax

= f(x)35

34

en x=0.

27.Calcule el valor de a y el valor que hay queasignar a ƒ(1) para que la función

1x-ax++x+x = f(x)

23

sea continua en x=1.

28.Calcule el valor de a y b para que la función

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

≤

1 xsi 2

1<x0 si bax+

0< xsi 1x-2+x

= f(x)

2

sea continua en todos sus puntos.

173

Matemática I

RESPUESTAS

1. a) Sí, sí, 0, -1, sí, sí. b) Sí, sí, 16, 0, sí, sí. c) Sí, no.

2. No. No ya que no es continua en x=1.

3. a) Continua en R-{-1}. b) 3, 2 por ejemplo. c) 21

, 0.

4. 4.

5. a) -38, b) 5/7, c) ½, d) 0, e) 0, ƒ) 0

14. 2/3, 0.

15.a) 1/8, b) 1/7, c)9/2, d) 0,e) 3/5, ƒ) ½, g) No ∃, h)1/2, i) 1/8, j) 1,k) -2/5, l) 0, m) -1.

16.1/3.

18. No es continua en x=0.

19.Si x → 0- ƒ(x) → 21

. Si x → 0+ ƒ(x) → 1. La función no es

continua en x=0.

21.Está definida y es continua en el intervalo [-4,4].

22.ƒ(0)=0.

23.a. En x=1. Discontinuidad de 2ª especie con salto fini-to, b. En x=0. Discontinuidad de 1ª especie, c. En x=1.Discontinuidad de 2ª especie con salto infinito, d. En

x]+ x2+x[ x]+ x2+x[ x)- x2+x(

2

22

x lim

∞→

x=0, x=2.

Discontinuidad de 2ª especie con salto finito, e. En x=1.Discontinuidad de 2ª especie con salto finito, ƒ. En x=3y x=5. Discontinuidad de 2ª especie con salto finito, q.

Continua, h. En x= 3 . Discontinuidad evitable, i. En

x=1 no es continua.

25.a. En x=2. Discontinuidad de 2ª especie con salto infini-

to, b. En x=-3 y x=2± 3 . Discontinuidad de 2ª espe-

cie con salto infinito, c. En x=1 y x=5. Discontinuidad de2ª especie con salto infinito, d. En x=±2 y x=±3. Dis-continuidad de 2ª especie con salto infinito, e. En x=±2y x=-3. Discontinuidad de 2ª especie con salto infinito.

26.a. a=1, b. a = cualquier número real, c. Nunca serácontinua para cualquier a εR.

27.a=-3. ƒ(1)=6.

28.Para serlo en x=0, b=-1. Para serlo en x=1, a+b=2,luego a=3.

R. E. Larson, R. P. Hostetler Y B. H. Edwards,Cálculo, vol. 1 y vol. 2, McGraw-Hill.Bogotá, 1996.

R. G. Bartle Y D. R. Sherbert, Introducción alanálisis matemático de una variable, Limu-sa. 1995

Haeussler Ernest, Paul S. Richard. Matemáticaspara la Administración, Economía, CienciasSociales y de la Vida. 3ra Edición.

BIBLIOGRAFÍA

Capítulo 6La Derivada

176

La Derivada6

LA DERIVADA

6A muchos de los análisis económicos conciernen lasmedidas de cambios. La aplicación de cálculo a lasrelaciones económicas permite una medida precisade los ritmos de cambios en las variables económi-cas. Por medio del entendimiento de los ritmos decambio es posible aplicar reglas de decisiones paraoptimizar los diversos fenómenos económicos,entreotras: maximización de ganancias y minimización decostos.La derivada de una función en un punto dado repre-senta la razón de cambio de la función en ese punto.La derivada puede interpretarse geométricamentecomo la pendiente de la recta tangente a la curva dela función que se está derivando.

M.C

. Esc

her.

Nudo

s. G

raba

do e

n m

ader

a.

177

Matemática I

PLAN DEL CAPÍTULO

1. DIFERENCIACIÓN

2. REGLAS DE DERIVACIÓN

3. APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

4. PRÁCTICA DE APLICACIÓN

OBJETIVOS GENERALES

• Repasar el concepto de derivada y los métodos dederivación de funciones aplicables al campo de laadministración pública.

• Aplicar la derivada a problemas económicos demaximización de utilidades, producción e ingresos yminimización de costos y desutilidades.

178

La Derivada61. DIFERENCIACIÓN

Cinco conceptos básicos en cálculo proveen la base para el análisis de problemas de optimización económi-ca: límites, reglas de derivación, derivadas parciales, derivadas múltiples y reglas de máxima y mínima.

1.1 Derivada como un límite

La derivada nos indica la forma como cambia otra función.Matemáticamente se calcula como un límite especial que sepresenta en la explicación siguiente. No siempre se calculan lasderivadas a través del límite de su definición, por lo que se hallegado a unas reglas nemotécnicas que abrevian el proceso dederivación y se conocen como reglas de derivación.

Explicación de la noción de derivada

En la figura 1, la magnitud del cambio en la función Y= ƒ(x) depende delcambio de x en x0 y x0 + Dx. Ese cambio de x es Dx, lo que causa que ƒ(x)cambie en la magnitud de ƒ(x0 + Dx) - ƒ(x0) ó Dy.

Por razones que pronto parecerán obvias, el economista está interesado enque Dx sea un punto. Pero si Dx es un punto, eso implicaría que Dx=0, y no seespera que cero cambio en x cause un cambio en y diferente a cero. Estedilema se resuelve por medio de la aplicación del concepto de límites. En lafigura 1 el punto de interés está en la pendiente de la curva que es el cambio enel rango de la función con respecto a la magnitud del cambio en el dominio dela función, o

xxfxXf

xy

∆−∆+=

∆∆ )()(

Si se presume que el cambio en el dominio es muy pequeño o aproximado acero , el cociente anterior se podría modificar así

dxdyxf

xxfxxflim

xYlimxlimf

Xxx==

∆−∆+=

∆∆=

→∆→∆→∆)(')()()(

000

lo que indica que mientras Dx se aproxima a cero, el límite de la función ƒ(x) es

dxdy

, una derivada. Y=ƒ(x) es una función primaria y dxdy

es una función que

➥

179

Matemática I

se deriva de ella. El cociente dxdy

es una función común-

mente llamada primera derivada y se escribe ƒ '(x).

Una derivada es el límite del cociente dxdy

y por lo tanto

debe ser una medida del ritmo de cambio, o, dicho másespecíficamente, un ritmo de cambio instantáneo. Mien-tras ∆x → 0, ∆y→ al valor que es la pendiente de la curvaen la figura 1.

El dilema expuesto por la medida de dxdy

cuando x es un

Figura 1. Incremento de una función.

punto discreto, ∆x = 0 es evitado considerando solo algu-nos cambios infinitesimales en x que induce a algunoscambios en y. Por lo tanto es común hablar de cambiosrelativos en y cuando ∆x se aproxima a cero. Si ∆x seacerca o alcanza a cero, y ∆y es algun número arbitrario,

la ración dxdy

se aproximaría al infinito.

Como esto sería un problema para medir la pendiente de lafunción de la curva en algún punto, esto se resolvería me-jor considerando solo casos en donde ∆x se aproximepero no alcance cero. Estos casos conllevan a límites defunciones que pueden ser derivadas usando ciertas reglasespeciales.

180

La Derivada62. REGLAS DE DERIVACIÓN

El procedimiento para derivar consiste en determinar primero en que casos la función total que va a serderivada es una suma o una diferencia de funciones; un producto o un cociente de funciones; una funciónlogarítmica, exponencial, o una función trigonométrica (las cuales no se estudian en este módulo por suescasa aplicabilidad a las ciencias económicas y administrativas); una potencia de una función; una funcióncompuesta o alguna combinación de estas. Luego utilizando la regla apropiada para la función total y las reglasapropiadas para las diferentes partes de la función.

2.1 Regla de función exponencial

Para la función nxy = , 1−= nnx

dxdy

. Véase el ejemplo 1a.

a) Regla constante. Si la regla anterior es aplicada a la fun-

ción y = a, entonces 0=dxdy

.

La primera derivada de esta función es cero porque y = atambién se puede escribir y = ax0. Como x0 = 1, y = a*1.Entonces, la primera derivada de y = ax0 es 0ax0-1, o cero.

b) Función de exponente generalizado. Para la función y

= y = axn , 1−= nnaxdxdy

.

2.2 Regla de Suma - Diferencia

La derivada de la suma o de la diferencia de dos o más funcio-nes es la suma o la diferencia de sus derivadas individuales, ó

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )xhxgxf

dxxhxgxfd ''' ±±=±±

.

Véase el ejemplo 2.

EJEMPLO 1DERIVADA DE LA EXPONENCIAL

a. Si y = x2,

b. Si y = 15 + 5x - 4x2 + 0.5x3,

dxdy

=5 - 8x + 1.5x2

c. Si y = 2x3, 26xdxdy = .

EJEMPLO 2 DERIVADA DE UNA SUMA

Si Y = 24x2 , 48x =dxdy

. Pero si y =

ƒ(x) = 6x2 y Y = g(x) = 18x2, entonces

ƒ '(x) = 12x y g'(x) = 36x

y ƒ '(x) + g'(x) = 48x.

181

Matemática I

2.3 Regla de producto

La derivada del producto de dos funciones es igual al productode la primera función por la derivada de la segunda función,más el producto de la derivada de la primera función por lasegunda función, ó

( ) ( )[ ] (x)g(x)' ƒ (x)ƒ(x)g' +=dx

xgxfd

Véase ejemplo 3.

2.4 Regla del cociente

La derivada del cociente de dos funciones, ƒ(x)/g(x) es el pro-ducto del denominador por la derivada del numerador, menosel producto del numerador por la derivada del denominador,todo esto dividido por el cuadrado del denominador, ó

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2

''xg

xfxgxgxfdx

xgxfd −=

Véase ejemplo 4.

2.5 Regla de función de cadena

Si y = ƒ(x), y x= h(z), la derivada de y con respecto a z, es iguala la derivada de y con respecto a x, por la derivada x con rela-ción a Z, llamada también derivada interna ó

dzdx

dxdy

dzdy ⋅= . Véase ejemplo 5.

EJEMPLO 5REGLA DE CADENA

Si y = 10 - 2x2 y x = -2 + z2,

( ) ( ) xzzxdzdy 824 −=•−=

Si ambas funciones son lineales como y = 10 - 2x, y x = -2 + z, la derivada de y con relación a z es una constante:

( ) ( ) 212 −=⋅−=dzdy

Si , asuma que y = z4x, z = 2x2 - 3x +7

Entonces dzdx

dxdy

dzdy ⋅= ( )[ ]( )347324 32 −+− xxx

EJEMPLO 4DERIVADA DE UN COCIENTE

Si 232xxy = , 4

2

4

22

96

9126

xx

xxx

dxdy −=−=

Si la derivada es encontrada por me-dio de la regla del producto,

( )( ) 122 32

32 −== xxxxy ,y

( )( )( ) ( ) ( ) 1222 326312 −− +−= xxxxdxdy

= ( ) ( )22

22

222

2

3612

32

312

xxx

xxx +−=+−

= 24

2

32

96

xxx −=−

EJEMPLO 3DERIVADA DE UN PRODUCTO

Si y = (x+2) (2x2 - 4) sea ƒ(x) = (x+2) yg(x) = (2x2 - 4),

entonces = ( ) ( )( )42142 2 −++= xxxdxdy

= (4x2 + 8x) + (2x2 - 4)

= 6x2 + 8x - 4

Este resultado puede ser verificado ob-teniendo la derivada del producto deƒ(x) y g(x):

Y = (x+2)(2x2 - 4)

= 2x3 + 4x2 - 4x - 8

y 4 -8x 6x 2 +=dxdy

182

La Derivada62.6 Regla de función inversa

Si la función y = ƒ(x) es monótona, f tendrá una función inversa

x=ƒ -1(y). Sin embargo ƒ-1 no es lo mismo que f1

. Una función

está aumentando monótonamente si altos valores sucesivos dex producen sucesivamente altos valores de (y). Si altos valoresde x están sucesivamente produciendo pequeños valores de y,entonces la función está disminuyendo monótonamente. En-

tonces la derivada de y con relación a x es dxdy

, y si la función es

monótona, x = ƒ -1(y) y dx

dydydx 1= . Véase ejemplo 6.

EJEMPLO 6 REGLA DE FUNCIÓN INVERSA

Supongamos que la función de demanda es presentada en una gráfica y es definida p = 10 - 2q. La primera

derivada es 2−=dqdp

, pero para el economista es de mayor interés la derivada inversa. ¿Por qué? Recorde-

mos que la elasticidad de la demanda es igual al % de cambio en la cantidad demandada dividido por el % de

cambio en el precio, o sea, dpdq

qp

EpEq

pdpqdq

x

x ⋅==2

1, que puede ser simplificado así dp

dqqp

EpEq ⋅= . Así que la

función de demanda anterior también puede ser escrita como q= 5 - 0.5p y 5.0−=dpdq

, la cual es la inversa

de 2−=dqdp

. Por lo tanto, un punto particular en la curva de demanda (p0, q0) tiene un punto de elasticidad de

demanda de ( )5.0−⋅=o

o

o

o

qp

EpEq

.

183

Matemática I

2.7 Regla de Función Logarítmica

Los logaritmos son una herramienta importante para analizarlos ritmos exponenciales de crecimiento. Una función como y= ax es lo mismo que loga y = x. Ya que manejar logaritmosbase a puede parecer poco manejable, frecuentemente es másconveniente usar logaritmos naturales (ln), o logaritmos basee, en donde e es el número irracional 2.71828 y ln 1 = 0.Entonces, y = ex o ln y = x ln (e), y ln y = x ya que ln (e) = 1.Sí y= ln x, x = ey, la derivada de la función logarítmica y = ƒ(x)

= ln x es x1 .Véase ejemplo 7.

2.8 Regla de Función Exponencial

Si uay = , donde u=ƒ(x) entonces dxduaa

dxdy u ln= . Para el

caso especial en que a=e, entonces y = eu, dxdue

dxdy u= . Véase

ejemplo 8.

EJEMPLO 7FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Un ejemplo común de una función de de-manda con elasticidad a través de todoes la hipérbola rectangular q = a/p, endonde a es una constante positiva. Laderivada de esta función expresa el ritmode cambio en q con relación a un cambiode unidad en p, como también la elastici-dad de precio de la demanda.

La derivada puede ser encontrada en dosreglas distintas. Primero, la función pue-de ser expuesta como una función de

poder: 1−= apq y,21 −⋅−= ap

dqdp

y

2pa

dqdp −−= . La función 1−= apq pue-

de ser expuesta en logaritmos como

papaq lnlnlnln

; derivando

a ambos lados tenemos:

y dqpd

dqad

dqqd )(ln)(ln)(ln −=

pdpdq

q101 −=

reemplazando el valor de

q: pdpdq

ap 1−= 2p

adpdq −= la cual es

el ritmo instantáneo de cambio propor-cional en la función o la elasticidad delprecio de la demanda.

EJEMPLO 8DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

a. y = ex, xe

dxdy = .

b. y = e5x+3, )35()35( 55 ++ =⋅= xx ee

dxdy

.

184

La Derivada6

EJEMPLO 9DEPENDENCIA DE CAPITAL Y MANO

DE OBRA

La cantidad de un producto básico deman-dado (q) es una función de precio (p) y varios"tergiversadores" de demanda, incluyendo elprecio de un producto estrechamente rela-cionado (PCRG) y de ingreso descartable (Y).Esta función puede ser declarada formalmen-te como

DYCpBpAq CRG +++= , en donde q

es una función de tres variable independien-tes. En el análisis comparativo - estático fre-cuentemente es necesario analizar el ritmode cambio de una variable independiente (q)con respecto al cambio en una variable inde-pendiente (tal como p) mientras que todas lasotras variables se mantienen constantes. Estetipo particular del cociente de diferencia esuna derivada parcial.

La derivación parcial es una función con va-riables independientes n (n > 2) trata n-1 deesas variables como constantes. Los térmi-nos que incluyen esas constantes son rete-nidas en la derivación si son multiplicativaspero no si son aditivas.

En la función de demanda de arriba la deriva-da de q con respecto a p es ahora una deriva-da parcial, denotada como: , porque todaslas otras variable independientes o "constan-tes" n-1 aparecen sólo como términos aditi-vos.

En la función de producción:

,

en donde q es producto, K es capital y L esmano de obra

GLCkBdkdq ++= 2 , y

GKELDdLdq ++= 2 .

El término, GLK, es comúnmente descrito comotérmino de interacción. Describe la dependen-cia mutual de capital y mano de obra en la de-terminación del producto. Debería ser aparen-te que el producto físico marginal para uno delos insumos depende en el nivel de uso delotro insumo.

2.9 Derivadas Parciales

Las reglas de derivación fueron presentadas arriba en el casode dos variables en donde una variable particular es la funciónde una sola variable. El mundo económico está compuestoprincipalmente de relaciones en donde una variable es una fun-ción de otras variables. Véase el ejemplo 9.

2.10 Derivadas múltiples

Toda la discusión anterior sobre derivadas fue restringida a las"primeras" derivadas o al ritmo simple de cambio en una fun-ción. Las derivadas múltiples permiten la interpretación de lasformas de las funciones sin un total apoyo en las técnicas grá-ficas y además permiten el desarrollo de criterio para determi-nar los puntos extremos de una función. Por lo tanto, la aplica-ción de las derivadas múltiples permite al economista resolvernumerosos problemas de optimización, tales como encontrar:(1) el punto de producto máximo con respecto a uno o másproductos; (2) el punto de utilidad máxima con respecto alnivel de producción; y (3) el nivel de producción en donde elcosto promedio de producción es minimizado.

La "segunda" derivada de una función simplemente mide el rit-mo de crecimiento de un ritmo de cambio de la función.

La primera derivada indica que la inclinación de esta función espositiva para todos los valores positivos de X y la segunda deri-vada indica que la inclinación de la función incrementa al incre-mentar los valores positivos de X. Por lo tanto, la función incre-menta a un ritmo de incremento sobre todos los valores de X.

185

Matemática I

2.11 Reglas de Máxima y Mínima

Para poder encontrar los extremos relativos de una función, esnecesario evaluar las primeras y segundas derivadas en los ve-cindarios del dominio de la función en donde la función es ca-racterizada por cumbres y hondonadas. La importancia prácti-ca de esta afirmación puede ser más fácilmente comprendidaal analizar una función clásica de producción de tres etapas.

La regla para encontrar el mínimo es la misma que para encon-trar el máximo, excepto que la segunda derivada sería positivacuando la función está al mínimo.

186

La Derivada63. APLICACIONES DE MAXIMOS Y MINIMOS

En la práctica surgen muchas situaciones en que deseamos maximizar o minimizar cierta cantidad. A veces sepiensa que la cantidad de un producto se puede incrementar indefinidamente con la única restricción de sucosto, sin embargo el aumentar la producción no siempre implica aumentos en el ingreso. La Ley de RetornosDecrecientes es representada a partir de un punto de inflexión en donde incrementos adicionales en X condu-cen a incrementos en TPP a un ritmo decreciente en lugar de crecientes.

Un ecólogo cultiva peces en un lago. Entre máspeces introduzca, habrá más competencia por elalimento disponible y el pez ganara peso en for-ma más lenta, De hecho, se sabe por experimen-tos previos que cuando hay n peces por unidadde área del lago, la cantidad promedio en pesoque cada pez gana durante una temporada estádada por w = 600 - 30n gramos. ¿Qué valor de nconduce a la producción total máxima en el pesode los peces?

Solución

La ganancia en peso de cada pez es de w= 600- 30 n. Puesto que hay n peces por unidad deárea, la producción total por unidad de área, P,es igual a NW. Por consiguiente.

P= n(600-30n) 230600 nn −=La gráfica de p contra n aparece en la figura 2. pes cero cuando n es cero dado que en ese mo-mento no hay peces. A medida que n aumenta,p se incrementa hasta un valor máximo, luegodecrece hasta cero otra vez cuando n = 20. Si nsigue creciendo p decrece porque para valoresgrandes de n los peces ganaran muy poco pesoy algunos de ellos morirán, de modo que la pro-ducción total será pequeña.

Con el objeto de encontrar el valor de n para pmáxima, derivamos y hacemos igual a cero laderivada dp / dn.

y dp/dn = 0 cuando 600 - 60 n = 0, esto es, si n= 10. Así que la densidad de 10 peces por uni-dad de área de la producción total máxima. Elvalor máximo de p es

000.3)10(30)10(600 2 =−=P , es decir 3.000

gramos por unidad. Es obvio que a partir de lagráfica de p como una función de n que el valor n= 10 corresponde al máximo de p. Sin embargopodemos verificarlo usando la regla de la segun-da derivada.

602

2

−=dn

Pd

La segunda derivada es negativa (de hecho paratodos los valores de n) por lo que el valor críticon= 10 corresponde al máximo de p.

EJEMPLO 10CONSERVACIÓN ÓPTIMA

Figura 2. Modelo de conservación optima.

187

Matemática I

EJEMPLO 11

Este ejemplo es de naturaleza pura-mente matemática. Determine dos nú-meros cuya suma sea 16 de tal formaque su producto sea tan grande comosea posible.

Solución

Sean los dos números X Y, de modoque X + Y = 16. Si P= xy denota suproducto, entonces necesitamos deter-minar los valores de X y Y que produz-can que p sea máximo. No podemosderivar p de inmediato, puesto que esuna función de dos variables, X y Y.Sin embargo, estas dos variables noson independientes sino que están re-lacionadas por la condición X + Y =16. Debemos usar esta condición a finde eliminar una de las variables de P,dejando a p como función de una solavariable. Tenemos que Y = 16 - X y así

216)16( xxxxyP −=−==

Debemos encontrar el valor de x quehaga a p máximo.

xdxdP 216 −=

Así que, dp/dx=0 cuando 16 - 2x = 0,esto es, sí x = 8. La segunda derivada

,00/ 22 <== dxdxPd Y x=8 co-

rresponde a un máximo de P.

Cuando x = 8, también y = 8, de modoque el valor máximo de p es igual a64.

3.1 Planteamiento de los problemas

La solución de problemas de optimización como en los ejem-plos 10 y 11, con frecuencia se encuentra que es una de lasáreas más difíciles del cálculo diferencial. La principal difi-cultad surge cuando es necesario escribir el problema dadoen palabras en ecuaciones. Una vez que las ecuaciones sehan construido, por lo regular es rutinario completar la so-lución usando un poco de cálculo. Esta tarea de expresarproblemas en palabras en términos de ecuaciones matemá-ticas ocurre a menudo en todas las ramas de las matemáti-cas aplicadas y es algo que el estudiante interesado en lasaplicaciones deberá dominar en sus cursos de cálculo a finde que sean de utilidad.

Infortunadamente, no es posible dar rápidas y contundentesreglas por medio de las cuales cualquier problema verbal pue-de reescribirse en ecuaciones. Sin embargo, existen algunosprincipios directores que contiene tener en mente.

Paso 1. Identifique todas las variables involucradas en el pro-blema y denote cada una de ellas mediante un símbolo.En el ejemplo 10, las variables eran n, el número de peces porunidad de área; w, la ganancia promedio en peso por pez, y P, laproducción total de peso de los peces o por unidad de área. Enel ejemplo 11, las variables eran los dos números X y Y, y p suproducto.

Paso 2. Destaque la variable que ha de ser maximizada ominimizada y exprésela en términos de las otras variables delproblema.Volviendo al ejemplo 10, la producción total p se maximizó, yescribimosP = nw, que expresa a p en términos de n y w. En el ejemplo11, el producto p de x y y se maximizó y por supuesto P=xy

Paso 3. Determine todas las relaciones entre las variables. Ex-prese estas relaciones matemáticamente.En el primer ejemplo, se daba la relación w =600-3n. En el segun-do, la relación entre x y y es que su suma debía ser igual a 16, demodo que escribimos la ecuación matemática x + y = 16.

188

La Derivada6Paso 4. Exprese la cantidad por maximizar o minimizar en tér-minos de las otras variables. Con objeto de hacer esto, se utili-zan las relaciones obtenidas en el paso 3 a fin de eliminar todasexcepto una de las variables.

Recurriendo de nuevo al ejemplo 10, teníamos que p = nw y w= 600 - 3n, de modo que, eliminado w, se obtiene p en términosde n; P= n(600 - 3n). En el ejemplo 11, tenemos que p = xy yx + y = 16, por lo que eliminando y, obtenemos p = x(16 - x).

Paso 5. Una vez que se ha expresado la cantidad requeridacomo una función de una variable, determine sus puntos críti-cos e investigue si son máximos o mínimos locales.

EJEMPLO 12COSTO MÍNIMO

Se ha de construir un tanque con una base cuadrada hori-zontal y lados rectangulares verticales. No tendrá tapa. Eltanque debe tener una capacidad de 4 metros cúbicos deagua. El material con que se construirá el tanque tiene uncosto de $10 por metro cuadrado. ¿Qué dimensiones deltanque minimizan el costo del material?

Solución

Paso 1. Las variables en el problema son las dimensionesdel tanque y el costo de los materiales de construcción. Elcosto depende del área total de la base y de los lados loscuales determinan la cantidad de material usado en la cons-trucción. Denotemos con x la longitud de un lado de labase y con y la altura del tanque. ( véase la figura 3). Lacantidad que debe minimizarse es el costo total de mate-riales, que denotamos con C.

Paso 2. C es igual al área del tanque multiplicada por $10,que es el costo por unidad de área. La base es un cuadra-do con lado x, de modo que tiene un área igual a x. Cadalado es un rectángulo con dimensiones x y y, y tiene unárea xy. El área total de la base más los cuatro lados es por

tanto .42 xyx + En consecuencia, escribimos

( ).42 xyxC +=

Figura 3.

Paso 3. Observe que la cantidad porminimizar está expresada como una fun-ción de dos variables, de modo quenecesitamos una relación entre x y y afin de eliminar una de éstas. Esta rela-ción se obtiene del requerimiento es-tablecido en el problema de que el vo-lumen del tanque tiene 4 metros cúbi-cos. El volumen es igual al área de la

base por la altura, esto es, yx2 , y así

tenemos la condición 42 =yx

Paso 4. Por el paso 3,

2/4 xy = , y así

[ ] [ ]xxxxxC /1610)/4(410 222 +=+=

Paso 5. Podemos derivar la ultima ex-presión y determinar los puntos críti-cos de C.

0)162(10 2 x

xdxdC

; de donde:

0)8( 2 x

x

Así, 0/8 2 =− xx , y por tanto 83 =x ;es decir, x= 2.

La base del tanque debería tener enconsecuencia un lado de 2 metros delongitud. La altura del tanque es ahoradada por

.122 )2/(4/4 === xy

Es fácil verificar que 0/ 22 >dxCd cuan-do x = 2, de modo que este valor de xrepresenta un mínimo local de C.

➥

189

Matemática I

3.2 Maximización de Utilidades

Una de las aplicaciones más importantes de lateoría de máximos y mínimos se da en las ope-raciones de empresas comerciales. Esto ocurrepor una razón simple, es decir que una empre-sa selecciona su estrategia y nivel de operaciónen tal forma que maximice su utilidad. Así, puessi la administración de la empresa sabe comodepende la utilidad de alguna variable que pue-de ajustarse, elegirán el valor de tal variable demodo que produzca la máxima utilidad posi-ble.

Consideremos el caso en que la variable a ajus-tar es el nivel de producción, q (el número deunidades del producto de la empresa elabora-das por semana o por mes). Si cada unidad sevende a un precio p, el ingreso es R(q) = pq. Elcosto de producir q artículos depende de q, yse denota por C(q), la función de costo. Se si-gue que la utilidad es una función de x dadaporU(q) = R(q) - C(q) =pq - C(q).

Deseamos elegir el valor de q que haga a p máxi-ma.

En primer término abordemos el caso de unapequeña empresa que vende su producto enun mercado de libre competencia. En esta si-tuación, el volumen de ventas q de esta em-presa particular no afectara el precio del mer-cado para el artiículo en cuestión. Podemossuponer que el precio p es constante, indepen-diente de q, determinado por fuerzas económi-cas fuera de control de nuestra pequeña em-presa. Los ejemplos 13 y 14 ilustran problemasde esta clase.

EJEMPLO 13MAXIMIZACIÓN DE UTILIDADES

Una pequeña empresa manufacturera puede vender todoslos artículos que produce a un precio de $ 6 cada uno. Elcosto de producir q artículos a la semana (en dólares) es

362 10003.06000.1)( qqqqC −+−+=

¿Que valor de q debemos seleccionar con objeto de maxi-mizar las utilidades?

Solución. El ingreso producido por la venta de q artícu-los a $6 cada uno es R(q) = 6q dólares. Por consiguiente,la utilidad por semana es

U(q) = R(q) - C(q)

)10003.06000.1(6)( .362 qqqqqU −−−+−=

)10003.06000.1(6)( .362 qqqqqU −−−+−=

A fin de encontrar el valor máximo de P, buscamos lospuntos críticos en la forma usual y luego investigamos sunaturaleza. Derivando obtenemos

26 )103(006.0)(' qqqU −×−=

Y haciendo U'(q)=0, encontramos que q=0 o q= 2.000.Podemos aplicar a cada uno de estos valores el criteriode la segunda derivada:

009.0)000.2)(106(003.0)000.2('' 6 −=−= −xU

de modo que U''(0)= 0.006>0 y U''(2.000)=-0.006<0

Así que q= 0 es un mínimo local de U(q), mientras que q= 2.000 es un máximo local. Este último valor representael nivel de producción en que la utilidad es máxima. Estevalor esta dado por

332 )000.2(10)000.2(003.0000.1)000.2( −−+−=U =

3.000 o $ 3.000 por semana.

Se presenta una situación distinta en el caso de una granempresa que en esencia es el único proveedor de un pro-ducto particular. En tal caso, la empresa controla o mono-poliza el mercado y puede elegir el precio de venta quedesee para el producto. El volumen de ventas está deter-minado ahora por el precio a que se ofrece el producto (através de la ecuación de demanda). Si escribimos la ecua-ción de demanda en la forma p = ƒ(q), se sigue que lafunción de ingreso es R = qƒ (q). Luego, la función deutilidad es U(q) = Ingreso - Costo = qƒ(q) - C (q) y q debeelegirse de modo que maximice esta función.

190

La Derivada6

EJEMPLO 14DECISIONES SOBRE FIJACIÓN DE PRECIOS

El costo de producir q artículos por semana esEn el caso del artículo en cuestión, el precio en que q artículos pueden venderse por semana está dada porla ecuación de demandaP = 12 - 0,0015q.Determine el precio y el volumen de ventas en que la utilidad es máxima.

Solución

El ingreso por semana esR(q) = pq = (12 - 0.0051q)q.Luego, la utilidad esta dada porU(q) = R(q) - C (q)

)10003.0600.1(()0015.012( 3622 qqqqqU −+−+−−=

0)103(003.06)(' 26 =×−+= − qqqU

Con objeto de encontrar el valor máximo de U(q), hacemos U'(q) =0.Cambiando signos, dividiendo entre 3 y multiplicando por 106 la ecuación completa, obtenemos

.0102100 62 =×−− qq Podemos factorizar el lado izquierdo como

(q-2.000) (q + 1.000) = 0

y así las soluciones son q= 2.000 o - 1.000. (Estas soluciones pudieron obtenerse también por medio de laformula cuadrática.)

La raíz negativa no tiene importancia practica, de modo que solo se necesita considerar x= 2.000. Conobjeto de verificar que está en realidad representa un máximo local de la función de utilidad, podemoscomprobar que U'' (2.000)<0. Esto es fácil.

qxqU )106(003,0)('' 6−−=

( ) 009.0000.2)106(003.0)000.2('' 6 −=−= −xU

Por tanto, el volumen de ventas de 2.000 por semana nos da la utilidad máxima. El precio por articulo quecorresponde a este valor de q

es U= 12 -0,0015q = 12 - 0,0015(2.000) = 9Siempre la utilidad, es la diferencia entre el ingreso y los costos:U (q) = R(q) - C (q)En consecuencia, suponiendo que todas las funciones son diferenciables,U' (q) = R' (q) - C'(q).Cuando la utilidad es máxima, U' (q) =0 y se sigue que R' (q) = C'(q).Este resultado representa una importante conclusión general con respecto a la operación de cualquierempresa: en el nivel de producción en que la utilidad es máximo, el ingreso marginal es igual al costomarginal.

.100015.06000.1 .362 qqqU −−++−=

.10003.06000.1)( 362 qqqqC −+−+=

191

Matemática I

EJEMPLO 15PUBLICIDAD Y GANANCIAS

Una compañía obtiene una utilidad de $5 por cada artículo de su producto que vende. Si gasta A dólarespor semana en publicidad, el número de artículos que vende por semana está dado por

)1(000.2 kAeq −−= , en donde K = 0.001. Determine el valor de A que maximiza la utilidad neta.

Solución

La utilidad neta por la venta de x artículos es de 5x dólares, y de ésta restamos el costo de la publicidad.Esto nos deja una utilidad neta

U= 5q - A

.)1(000.10 AeU kA −−= −

Derivamos a fin de encontrar el valor máximo de P.

1101)(000.10 −=−= −− kAka ekedAdU

dado que K = 0.001. Haciendo esto igual a cero, obtenemos

110 =− KAe o bien 10=KAey tomando logaritmos naturales, resulta que

kA = 1n 10 = 2.30

con tres cifras significativas. En consecuencia

300.2001.030.230.2 ===

kA

La cantidad optima que debe gastarse en publicidad es en consecuencia de $2.300 por semana.

La utilidad máxima se encuentra sustituyendo este valor A en la ecuación de utilidad U. Dado que 101=−KAe ,

se sigue que la utilidad semanal máxima es dólaresUmax 700.6300.2)1(000.10 101 =−−=

3.3 Optimización del gasto en publicidad

En un mercado de libre competencia en que muchas empresaselaboran productos similares a casi el mismo precio, el volu-men de ventas puede incrementarse mediante la publicidad.Sin embargo, si se gasta demasiado dinero en publicidad, elgasto excederá la ganancia en el ingreso por el incremento delas ventas. De nuevo el criterio que debe usarse para decidircuanto emplear en publicidad es que la ganancia debería sermáxima. Véase el ejemplo 15.

192

La Derivada6

EJEMPLO 16MÁXIMA UTILIDAD E IMPUESTO SOBRE

LA RENTA

Las funciones de costo y de demanda de una empresa son C (q) = 5q y p= 25- 2q, respectivamente.

a) Encuentre el nivel de producción que maximizará las utilidades de la empre-sa. ¿Cuál es la máxima utilidad?

b) Si se impone impuesto de t por cada unidad y la empresa lo carga en sucosto, encuentre el nivel de producción que maximiza las utilidades de laempresa.

¿Cuál es la máxima utilidad?

C) Determine el impuesto por unidad t que debe imponerse para obtener unmáximo impuesto sobre la renta.

Solución

Tenemos :Ingreso = Precio x Cantidado

a) Si p denota la función de utilidad entonces22 2205225 qqqqqCRU −=−−=−=

qdqdU 420 −=

Para encontrar la utilidad máxima, dU/dq = 0, o 20 -4q = 0 o q = 5. También,dp/dq = -4 < 0. Así que las utilidades son máximas en el nivel de producciónde q= 5 unidades. p max = 20(5) - 2 (5) = 50.

b) Si se impone un impuesto t por cada unidad, la nueva función de costo será

tqqCN += 5y las ganancias estarían dadas por

.2)20()5(225 22 qqttqqqqCRU N −−=+→−=−= Derivando la utilidad tenemos

qtdqdU 420 −−= , la igualamos a cero para obtener el punto máximo.

tq −= 204 , de donde tq 25,05 −= . Su reto será resolver el literal C.

193

Matemática I

3.3 Aplicaciones a los ingresos

Las siguientes aplicaciones se centran en la maximización delos ingresos. Recuerde que el dinero que entra a una organiza-ción por la venta de productos o la prestación de serviciosrecibe el nombre de ingreso. Y la manera más fundamental decalcular el ingreso total conseguido con la venta de un produc-to o servicio es

Ingreso total R(q) = (precio p)(cantidad vendida q) = pq

En esta relación se supone que el precio de venta es igual paratodas las unidades vendidas.

máximo relativo ocurre cuando p = 5, verifique-mos formalmente esto por medio de la pruebade la segunda derivada:

( ) 100'' −=pf

y 0100)5´´( <−=f

Por consiguiente, un máximo relativo ocurre en ƒcuando p =5.

El valor máximo de R se calcula sustituyendo p= 5 en f, o sea

= -1.250 + 2.500 = 1.250

Así pues, se espera que el ingreso total anual semaximice en $1.250 (miles), es decir, $ 1,25 millonescuando la empresa cobre $ 5 por unidad. La figura6.4 muestra una gráfica de la función de ingreso.

La demanda del producto de una compañía va-ría según el precio que le fije al producto. La com-pañía ha descubierto que el ingreso total anual R(expresado en miles de dólares) es una funcióndel precio p (en dólares). En concreto,

pppfR 50050)( 2 +−==

Determine el precio que debería cobrarse conobjeto de maximizar el ingreso total.

¿Cuál es el valor máximo del ingreso total anual?

Solución

En el capítulo 4 se dijo que la función de ingresoes cuadrática y que su gráfica es una parábolacóncava hacia abajo. En consecuencia el valormáximo de R ocurrirá en el vértice. La primeraderivada de la función de ingreso es

500100)( +−=′ ppf

Si se hace ƒ igual a O,

-100p + 500 =O

-100p = -500

o un valor critico ocurre cuando p= 5

Existe un punto crítico en la gráfica de f, y sepresenta cuando p = 5. Aunque sabemos que un

Figura 4. Función cuadrática del ingreso

EJEMPLO 17

194

La Derivada6

EJEMPLO 18ADMINISTRACIÓN DEL TRANSPORTE PÚBLICO

Las autoridades de tránsito de una gran área metropoli-tana han aprobado la estructura de tarifas que rige elsistemas de automóviles públicos de la ciudad. Se aban-donó la estructura de tarifas por zona en la cual la tarifadepende del número de zonas por las cuales cruza elpasajero. El nuevo sistema tiene tarifas fijas: el pasajeropuede viajar por el mismo precio entre dos puntos de laciudad.

Las autoridades de tránsito han encuestado a los ciuda-danos a fin de determinar en número de personas queutilizarían el sistema de autobuses si la tarifa fija admi-tiera diferentes importes. Basándose en los resultadosde la encuesta, los analistas de sistemas han determi-nado una función aproximada de la demanda, la cualexpresa el número diario de pasajeros en función de latarifa. En concreto, la función de demanda es

q = 10.000 - 125 p

donde q representa el número de pasajeros por día y pla tarifa en centavos.

a) Determine la tarifa que se cobraría con objeto demaximizar el ingreso diario por la tarifa de los au-tobuses.

b) ¿Cuál es el ingreso máximo esperado?

¿Cuántos pasajeros por día se esperaban conesta tarifa?

Solución

a) El primer paso es determinar una función que ex-prese el ingreso diario según la tarifa p. Se esco-ge p como variable independiente porque se que-ría determinar la tarifa que produciría el ingresomáximo total. Por otra parte, la tarifa es una varia-ble de decisión, aquella cuyo valor puede fijar laadministración de las autoridades de tránsito.

La expresión general del ingreso total, es como se seña-ló antes,

R = pq

Pero en esta forma R se expresa en función de dos va-riables: p y q. En este momento no podemos tratar de laoptimización de funciones con más de una variable in-dependiente. Sin embargo, la función de demanda es-tablece una relación entre las variables p y q que permi-ten transformar dicha función en una en que R se expre-sa en función de la variable independiente p. El miem-bro derecho de la función de demanda es una expre-sión formulada en términos de p que equivale a q. Si conesta expresión se sustituye q en la función de ingreso,se obtiene

R= ƒ ( p )

R= p (10.000 - 125 p)

o bien 2125000.10 ppR −=

La primera derivada es

ppf 250000.10)´( −

Si la derivada se hace igual a 0,

10. 000 - 250 p = 0

10. 000 = 250 p

y un valor crítico ocurre cuando 40= p

La segunda derivada se obtiene y evalúa cuando p = 40para determinar la naturaleza del punto crítico:

ƒ'' (p) = -250

ƒ'' (40) = -250 < 0

Así pues, ocurre un máximo relativo para ƒ cuando p =40. La interpretación de este resultado es que el ingresodiario se maximizará cuando se cobre una tarifa fija de $0.40 (40 centavos de dólar)

b)

= 400.000 - 200.000 =200.000

Dado que la tarifa se expresa en centavos, el máximoingreso diario esperado será de 200.000 centavos o sea$2.000.

El número de pasajeros que se espera diariamente conesta tarifa se calcula sustituyendo la tarifa en la funciónde demanda, es decir,

q = 10.000 - 125 (40)

q = 10.000 - 5.000

5.000 pasajeros por día

La figura 5. contiene una gráfica de la función de ingresodiario.

Figura 5. Gráfica de la función cuadrática del ingreso

195

Matemática I

3.4 Aplicaciones a los costos

Los costos representan salidas de efectivo para la or-ganización. La mayor parte de las empresas buscan elmodo de reducirlas al mínimo. En la presente secciónse dan aplicaciones que se refieren a la minimizaciónde alguna medida de costo.

Administración de inventario Un problema comúnde las organizaciones es determinar que canti-dad de un artículo deberá conservarse en alma-cén. Para los minoristas, el problema se relacio-na a veces con el número de unidades de cadaproducto que ha de mantenerse en inventario.Para los productores consiste en decidir que can-tidad de materia prima debe estar disponible. Esteproblema se identifica con un área o especiali-dad denominada control o administración de in-ventario. Por lo que respecta a la pregunta decuánto inventario ha de conservarse se debe te-ner en cuenta el hecho de tener demasiado pocoo mucho inventario puede acarrear costos.

Un minorista de bicicletas motorizadas ha anali-zado loa datos referentes a los costos habiendodeterminado una función de costo que expresael costo anual de comprar, poseer y mantener elinventario en función del tamaño (número de uni-dades) de cada pedido de bicicletas que colo-ca. He aquí la función de costo:

000.75015860.4)( ++== qq

qfC

donde C es el costo anual del inventario, expre-sado en dólares y q, denota el número de bici-cletas ordenadas cada vez que el minorista repo-ne la oferta.

a) Determine el tamaño de pedido que minimiceel costo anual del inventario.

b) ¿Cuál se espera que sea el costo mínimo anualdel inventario?

Solución

a) la primera derivada es

si ƒ' se hace igual a 0,

015860.4 2 =+− q

cuando

15860.42 −=−

q

La multiplicación de ambos miembros por q² ysu división entre - 15 producen

2

15860.4 q= , de donde

y un valor crítico existe en 18=q

La naturaleza del punto critico se comprueba alobtener ƒ":

3720.9)(" −= qqf 39720q

=

Al evaluar el valor crítico se obtiene

3)18(720.9)18(" =f

=1.667>0

Los costos anuales del inventario se minimizaráncuando se pidan 18 bicicletas cada vez que elminorista reponga las existencias.

b) Los costos anuales mínimos del inventario sedeterminan calculando f(18), o sea

000.750)18(1518860.4)18( +=f

=270+270+750.000=$750.540

EJEMPLO 19

➥Figura 6. Gráfica de la función de costo de inventario.

196

La Derivada6

Figura 7. Gráfica de la función del costo promedio.

EJEMPLO 20MINIMIZACIÓN DEL COSTO PROMEDIO POR UNIDAD

El costo total de la producción de q unidades decierto producto se describe por medio de la fun-ción

22.0500.1000.100 qqc ++=

donde C es el costo total expresado en dólares.Determine cuántas unidades q deberían fabricar-se a fin de minimizar el costo promedio por uni-dad.

Solución

El costo promedio por unidad se calcula dividien-do el costo total entre el número de unidades pro-ducidas. Por ejemplo, si el costo total de la fabri-cación de 10 unidades de un producto es de $275, el costo promedio por unidad será 275/10 =$ 27.50. Así pues, la función que representa el costopromedio por unidad en este ejemplo es

qqq

cqfC 2,0500.1000.100)( ++===

La primera derivada de la función del costo pro-medio es

2.0000.100)(' 2 +−= qqf

Si ƒ' se hace igual a 0,

200.1002.0

q= , o bien

2.0000.1002 =q =500.000

Al obtener la raíz cuadrada de ambos miembros,se tiene un valor crítico de

q= 707,11 (unidades)

La naturaleza del punto crítico se determina pormedio de la prueba de la segunda derivada:

3000.200)('' −= qqf

3000.200

q=

= 0.00056>0

Por tanto, un mínimo relativo ocurre para ƒ cuan-do q = 707.11. Este costo promedio mínimopor unidad es

)11.707(2.0500.111.707

000.100)11.707( ++=f

= 141.42 + 1.500 + 141.42= $1782.84

La figura 7. es una gráfica de la función de cos-to promedio.

EJERCICIO 1

• En el ejemplo 20, ¿cuál es el costo total de fabricación en este nivel de producción? ¿Cuáles son lasdos formas en que puede calcularse esta cita?

(Respuesta: $1.260, 663,90)

197

Matemática I

Una importante compañía que vende cosméticos y productos de belleza y que se especializa en la ventadomiciliaria (casa por casa) descubrió que la respuesta de las ventas a la asignación de más representantes seajusta a la ley de los rendimientos decrecientes. En un distrito regional de ventas, la compañía ha averiguadoque la utilidad anual P, expresada en cientos de dólares, es una función del número de representantes xasignados a ese distrito. Específicamente, la función que relaciona esas dos variables es la siguiente:

EJEMPLO 21 ASIGNACIÓN DE LA FUERZA DE VENTAS

Figura 8. Gráfica de la función de utilidad.

500.1375.15.12)( 2 −+−== xxxfp

a) ¿Qué número de representantes producirá lautilidad máxima en el distrito?

b) ¿Cuál es la utilidad máxima esperada?

Solución

a) La derivada de la función de utilidad es

ƒ'(x) = - 25x + 1.375

Si ƒ' se hace igual a 0,

-25x = - 1.375

o bien, ocurre un valor crítico cuando x = 55

Al comprobar la naturaleza del punto crítico seobtiene

ƒ''(x) = -25 y ƒ''(55) = -25 <0

Así pues , un máximo relativo ocurre para ƒ cuan-do x = 55

b) La utilidad máxima esperada es ƒ(55) = -12.5 (55)² + 1.375 (55) - 1500

=37. 812.5 + 75.625 - 1.500 = 36.312.5

Podemos concluir que la utilidad anual serámaximizada en un valor de $36.312.5 (cientos),es decir $ 3'631.250 si se asignan 55 represen-tantes al distrito. La figura 8. ofrece una gráficade la función de utilidad.

EJERCICIO 2

• ¿Qué representan en la figura 14.29 las intersecciones con el eje x? Interprete el significado de laintersección con el eje Y. Explique la ley de rendimientos decrecientes en su aplicación a la forma deesta función de utilidad.

198

La Derivada6

Un fabricante ha ideado un nuevo diseño paralos paneles solares para las zonas de Clombiacon difícil acceso. Según los estudios de merca-dotecnia que se han realizado, la demanda anualde los paneles dependerá del precio al que sevenden. La función de su demanda ha sido esti-mada así:

q = 100.000 - 200p

donde q es el número de paneles demandadosal año y p representa el precio en dólares . Losestudios de ingeniería indican que el costo totalde la producción de q paneles está representa-do muy bien por la función

2003.0100000.150 qqC

Formule la función de utilidad U = ƒ (q) que ex-prese la utilidad anual U en función del númerode unidades q que se producen y venden.

Solución

Se nos ha pedido desarrollar una función que ex-prese la utilidad U en términos de q. A diferenciadel ejemplo 21, hay que construir la función deutilidad. Tenemos la ecuación de la función delcosto total formulado en términos de q; por tan-to, ese componente de la función de utilidad yaestá disponible. No obstante, se necesita formu-lar una función del ingreso total expresada en tér-

minos de q.

Una vez más debe recordarse la estructura bási-ca para calcular el ingreso total:

R = pq

Como queremos que R se exprese en términosde q, necesitamos reemplazar p en la ecuaciónpor una expresión equivalente que puede deri-varse de la función de demanda. Al despejar p enla ecuación de demanda, se obtiene

200p = 100.000 - q

o bien, p = 500 - 0.005q

Puede sustituirse el miembro derecho de estaecuación en la ecuación R= p-q para producir lafunción de ingreso R = (500 - 0.005q)q=

2005.0500 qq −

Ahora que las funciones de ingreso y de costohan sido expresadas en términos de q, es posi-ble definir la función de utilidad como

U= ƒ(q) = R - C

)003.0100000.150(005.0500 22 qqqq

22 003.0100000.150005.0500 qqqq −−−−

o bien 000.150400008.0 2 −+−= qqp

EJEMPLO 22ENERGÍA SOLAR

EJERCICIO 3

• En el ejemplo 22, determine 1) el número de unidades q que deberían producirse para maximizar lautilidad anual; 2) el precio que tendría que cobrarse por cada panel para generar una demanda igual ala respuesta de la parte 1), y 3) la máxima utilidad anual.

199

Matemática I

En el ejemplo 22 suponga que la capacidad deproducción anual del fabricante es de 20.000 uni-dades. Resuelva de nuevo el ejemplo 22 con estarestricción adicional.

Solución

Con la restricción adicional, el dominio de la fun-ción se define como. Recuerde que se debencomparar los valores de ƒ (q) en los puntos fina-les del dominio con los de f(q*) para cualquier

valor q* donde 000.200 * ≤≤ q .

El único punto crítico en la función de utilidadesocurre en q = 25.000, que se encuentra fuera deldominio. Por ello, la utilidad será maximizada enuno de los puntos finales. Al evaluar ƒ(q) en ellosse obtiene

Figura 9. Dominio restringido de la función de utilidad.

ƒ (0) = 150.000 y

( ) )000.20(008,0000.20 2 +−=f

000.150)000.20(400 −

= 3.200.000 + 8.000.000 - 150.000 = 4.650.000

La utilidad sé maximiza en un valor de $ 4.650.000cuando q = 20.000 o cuando el fabricante operaa toda su capacidad.

El precio que debería fijarse se calcula sustitu-yendo q = 20.000 en la ecuación P=500 - 0.005q,o sea

P= 500 - 0.005 (20.000) = 500 - 100 = $ 400

La figura 9. contiene una gráfica de la función deutilidad.

EJEMPLO 23DOMINIO RESTRINGIDO

200

La Derivada6

La función lineal de ingreso R = 10q, representa una situacióndonde cada unidad se vende a $10. El ingreso marginal logra-do con la venta de una unidad más es de $10 en cualquiernivel de producción q.

En el ejemplo 22 una función de demanda para los panelessolamente se expresó así:

q = 100.000 - 200 p

A partir de esta función de demanda se formuló la función nolineal de ingreso total

21 005.0500)( qqqfR −==

El ingreso marginal en este ejemplo no es constante. Esto semostró al calcular el ingreso total para distintos niveles deproducción. La tabla contiene estos cálculos para algunosvalores de q. La tercera columna representa el ingreso mar-ginal asociado al paso de un nivel de producción a otro.Nótese que, si bien las diferencias son ligeras, los valoresdel ingreso marginal están cambiando en cada nivel de pro-ducción.

Para una función del ingreso total R(q), la derivada R'(q) re-presenta la tasa instantánea de cambio en el ingreso totalcon un cambio del número de unidades vendidas. R tambiénrepresenta una expresión general de la pendiente de la grá-fica de la función del ingreso total. En el análisis marginal, laderivada se emplea para representar el ingreso marginal, esdecir, MR = R'(q)

EJEMPLO 24

La derivada, ofrece una aproximación a los cambios realesque se dan en el valor de una función. Por consiguiente, Rpuede emplearse para aproximar el ingreso marginal obte-nido con la venta de la siguiente unidad. Si se calcula elingreso marginal R' para la función del ingreso cuya ecua-ción es R=500q-o.oo5q2, se obtiene

R'(q) = 500 - 0.010q

Para aproximar el ingreso marginal logrado con la venta dela centésima primera unidad se evalúa R cuando q = 100, osea

R'(q) = (100) = 500 - 0.010 (100)

= 500 - 1 = 499

Y ésta es una aproximación muy cercana al valor real ($498.995) del ingreso marginal que aparece en la tabla.

Nivel de Costo totalƒ1(q) Costo marginalproducción q ∆C=ƒ1(q)-ƒ1(q-1)

100 $49.950.00

101 $50.448,995 $498,995

102 $50.947,98 $498,985

103 $51.446,955 $498.975

Cálculo del ingreso marginal

3.5 Aproximación marginal a lamaximización de utilidades

Otro método para calcular el punto de maximi-zación de utilidades es el análisis marginal. Estemétodo que goza de gran aceptación entre loseconomistas, examina los efectos incrementa-les en la rentabilidad. Si una firma está produ-ciendo determinado número de unidades al año,el análisis marginal se ocupa del efecto que serefleja en la utilidad si se produce y se vendeuna unidad más.

3.6 Condiciones para usar la aproximación marginal

Para que este método pueda aplicarse a la maxi-mización de utilidades, es preciso que se cum-plan las siguientes condiciones:

l Deberá ser posible identificar por separadolas funciones de ingreso total y de costototal.

ll. Las funciones de ingreso y costo habránde formularse en términos del nivel de pro-ducción o del número de unidades produ-cidas y vendidas.

3.7 Ingreso marginal

Uno de los dos conceptos más importantes delanálisis marginal es el del ingreso marginal. Elingreso marginal es el ingreso adicional que seconsigue al vender una unidad más de un pro-ducto o servicio. Si cada unidad de un produc-to se vende al mismo precio, el ingreso margi-nal será siempre igual al precio. Véaseejemplo 24.

201

Matemática I

EJEMPLO 25COSTO MARGINAL

Un ejemplo de ello es la función de costo:

C=150.000+3.5q

donde el costo variable por unidad es $3.50.

Una función no lineal de costo caracteriza por costos marginales variables. Esto se ejemplifica en la función de costo

22 003.0100000.150)( qqqfC ++==

que se utilizó en el ejemplo 22. Puede mostrarse que los costos marginales realmente fluctúan en distintos niveles deproducción si se calculan los valores de esos costos para algunos valores de q. Este cálculo se da en la tablasiguiente.

Nivel de Costo totalƒ2(q) Costo marginalproducción q ∆C=ƒ2(q)-ƒ2(q-1)

100 $160.030,00

101 $160.030,603 $100.603

102 $160.231,212 $100.609

103 $160.331,827 $100.615

Cálculo del costo marginal

3.8 Costo marginal

El otro concepto central del análisis marginal lo constituye elcosto marginal. El costo marginal es el costo adicional enque se incurre al producir y vender una unidad más de unproducto o servicio. Las funciones lineales del costo supo-nen que el costo variable por unidad sea constante; en ellasel costo marginal es el mismo en cualquier nivel de produc-ción. Véase ejemplo 25.

En una función de costo total c, la derivada C'(q) representa la tasa instantánea de cambio del costo total suponiendoque haya un cambio en el número de unidades producidas. C'(q) representa además una expresión general para lapendiente de la gráfica de la función del costo total. En el análisis marginal, la derivada se usa para representar el costomarginal, esto es

MC = C'(q)

Como en el caso de R', C' puede emplearse para aproximar el costo marginal asociado a la producción de lasiguiente unidad. La derivada de la función de costo es

C' (q) = 100 + 0.006q

Para aproximar el costo marginal debido a la producción de la centésima primera unidad, se evalúa C en q = 100, osea

C' (100) = 100 + 0.006 (100)

= $ 100.60

Si se compara este valor con el verdadero ($100.603) en la tabla, se advierten que ambos están muy cercanos entre sí.

202

La Derivada63.9 Análisis de la utilidad marginal

Este análisis se ocupa del efecto que se opera enlas utilidades si se produce y vende una unidadadicional. Mientras el ingreso adicional consegui-do con la venta de la siguiente unidad sea mayorque el costo de producirla y venderla, habrá unautilidad neta con su producción y venta, aumen-tando también la utilidad total. Pero si es menorque el costo de producir y vender la unidad adi-cional, habrá una pérdida neta en esa unidad ydisminuirá la utilidad total.

Regla práctica

A continuación se da una regla práctica parasaber si debe o no producirse una unidad adi-cional (suponiendo que la utilidad sea de capi-tal importancia)¿Debería producirse una unidad adicional?

I Si MR > MC, se producirá la siguiente uni-dad.

II Si MR < MC, no se producirá la siguienteunidad.

En muchas situaciones de producción, el ingre-so marginal rebasa al costo marginal en nivelesmás bajos de producción. A medida que au-menta el nivel de producción (cantidad produ-cida), disminuye la cantidad en que el ingresomarginal excede al costo marginal. Con el tiem-po se llega a un nivel en que MR = MC. Más alláde este punto MR < MC, y la utilidad total em-pieza a disminuir al incrementarse la produc-ción. Así pues, desde un punto de vista teóri-co, si puede identificarse el punto donde laúltima unidad producida y vendida MR = MC,la utilidad total será maximizada. Este nivel deproducción que maximiza la utilidad puede iden-tificarse por medio de la siguiente condición.

EJEMPLO 26APROXIMACIÓN MARGINAL

Resolver de nuevo el ejemplo 22 por medio de la aproxi-mación marginal.

Solución

En el ejemplo 22

2005.0500 qqR −=

2003.0100000.150 qqC ++=

Las funciones de ingreso y costo son distintas y ambasse expresan en términos del nivel de producción q, lasdos condiciones para efectuar el análisis marginal que-dan satisfechas. Ya se ha determinado que

R'(q) = 500 - 0.01q

y C'(q) = 100+ 0.006 q

Por tanto, R' (q) = C' (q)

Cuando 500 - 0.01q = 100 + 0.006 q

-0.016q = -400

q= 25.000

Puesto que R" (q) = -0.01 y C" (q)= 0.006

R" (q*) < C"(q*)

o, - 0.01<0.006

y hay un máximo relativo en la función de utilidad cuan-do q = 25.000. La figura 10. presenta las gráficas deR(q) y C(q).

Figura 10. Análisis marginal: maximización de utilidades.

203

Matemática I

3.10 Criterio de maximización de las utilidades

Se producirá hasta alcanzar el nivel de producción en queMR = MCExpresado en términos de las derivadas, el criterio anterior re-comienda producir hasta el punto dondeR (q) = C' (q)Esta ecuación es un resultado natural de la diferenciación de laecuación de utilidadU (q ) = R (q) - C (q)y de hacer la derivada igual a 0:U' (q) = R' (q) - C' (q)y U' (q) = 0cuando R' (q) - C' (q) =0 o bien R' (q) = C' (q)

3.11 Condición suficiente de la maximización de utilidades

Si se tiene un nivel de producción q* en que R' (q) = C'(q) (osea MR = MC), la producción de q* dará por resultados lamaximización de utilidades si R" (q*) < C"(q*)

Deducciones

Hagamos una pausa para examinar detenidamente la figura 10,ejemlplo 26. Vale la pena hacer las siguientes observaciones.

1. Los puntos C y D representan los puntos donde se interse-can las funciones de ingreso y de costo. Estas últimas re-presentan puntos de equilibrio.

2. Entre los puntos C y D, la función de ingreso se halla arribade la de costo, lo cual indica que el ingreso total es mayorque el costo total y que se lograrán utilidades dentro deeste intervalo. Para los niveles de producción a la derechade D, la función de costo se halla arriba de la de ingresos,lo cual indica que el costo total es mayor que el ingresototal, resultando de ello una utilidad negativa (pérdida).

3. La distancia vertical que separa las gráficas de las dos fun-ciones representa la utilidad o pérdida, según el nivel de laproducción.

EJEMPLO 27

En el ejemplo 23, se nos pidió determinarel número de representantes de ventas xque producirían una utilidad máxima p enuna empresa de cosméticos y artículosde belleza. La función de utilidades se for-muló así:

500.1375.15.12)( 2 −+−== xxfp

Con el método del análisis marginal, de-termine el número de representantes queproducirían la utilidad máxima para la em-presa.

Solución

No es posible aplicar el método del aná-lisis marginal en este ejemplo porque nopueden identificarse las funciones de in-greso y costo totales que se combinaronpara formar la unción de utilidad. No sesatisfizo la condición 1 del empleo delanálisis marginal.

204

La Derivada64. En el intervalo 0< q <25.000, la pen-

diente de la función de ingreso es positi-vo y mayor que la pendiente de la fun-ción de costo. Expresado en términos deMR y MC, MR < MC en este intervalo.

5. Por otra parte, en el intervalo 0 < q <25.000 la distancia vertical entre las doscurvas aumenta y esto indica que la uti-lidad está aumentando en el intervalo.

6. En q = 25.000 las pendientes en lospuntos A y B son iguales, lo cual indicaque MR = MC. Así mismo, en q =25.000, la distancia vertical que separalas dos curvas es mayor que en cual-quier otro punto de la región de utilida-des; por tanto, éste es el punto de lamaximización de utilidades.

7. Para q > 25.000, la pendiente de la fun-ción de ingreso es positiva pero es me-nos positiva para la función de costo. Asípues, MR < MC y disminuye para cadautilidad adicional por unidad, lo cual oca-siona una pérdida más allá del punto D.

3.12 Modelo de costo de inventarios

Consideremos un ejemplo particular. Supon-gamos que un fabricante produce 50.000unidades de cierto artículo durante un año.Puede elegir entre varios programas de pro-ducción diferentes. Todas las unidades re-queridas podrían fabricarse al inicio del añoen una sola serie de producción. Debido alas economías de producción masiva, estominimizaría el costo de producción. Sin em-bargo, significaría que grandes cantidades deartículos tendrían que mantenerse almace-nados hasta que tuvieran que venderse y loscostos de almacenamiento podrían ser al-tos y aun exceder las ventajas de los bajoscostos de producción. Véase ejemplo 29.

EJEMPLO 28

La figura 11 muestra una gráfica de la función lineal de ingresoy de la función no lineal de costo. A la izquierda de q* lapendiente de la función de ingreso excede la de la función decosto, lo cual indica que MR> MC. En q* las pendientes deambas funciones son iguales. Y la distancia vertical que lassepara es mayor que q* que en cualesquiera otro valor de qentre los puntos A y B. Estos dos son los puntos de equilibrio.

Figura 11. Funciones lineal de ingreso y cuadrática de costo.

205

Matemática I

EJEMPLO 29 COSTO DE INVENTARIOS

Figura 12. Costo de inventarios

Supongamos que tiene un costo de $400 prepa-rar la planta manufacturera en cada serie de pro-ducción, que cada artículo cuesta $4 fabricarlo yque tiene un costo de 40 por año mantener unartículo almacenado. Supongamos que en cadaserie de producción se produce el mismo númerode artículos, denotemos este número por x. Su-ponga también que después de producir un lote,las x unidades se almacenan y se venden en unatasa uniforme de modo que las unidades almace-nadas se agotan cuando ya está lista la próximaserie de producción. Así, el número de unidadesalmacenadas como una función del tiempo se ilus-tra en la figura 12. En cada serie de producción,el número salta de 0 a x, luego decrece progresi-vamente a una tasa constante hasta cero. Al al-canzar el cero, el próximo lote se produce y elnúmero almacenado es de nuevo igual a x.

A partir de la figura 12 es claro que el númeropromedio de unidades almacenadas es x/2.Puesto que cuesta $0,40 almacenar cada artí-culo por año, los costos de almacenamiento enel año serán de (0,4)(x/2) dólares o x/5 dólares.

Dado que los 50.000 artículos necesarios se pro-ducen en lotes de tamaño x, el número de seriesde producción por año debe ser 50.000/x. Porconsiguiente el costo de preparar la planta paraestas series de (400)(50.000/x) = (2x107/x) dóla-res. El costo de producir 50.000 artículos a $4cada uno es $200.000. En consecuencia, los cos-tos totales de fabricación y almacenamiento a lolargo de un año (en dólares) están dados por

.5

000.200102 7 xx

C ++×=

Deseamos encontrar el valor de x que haga a C

mínimo. Derivando resulta:

.51102

2

7

+=xx

dxdC

Haciendo esta derivada igual a cero, obtenemosel resultado siguiente.

51102

2

7

xx

872 10)5)(102( xx

000.10104 x

(La raíz negativa no tiene importancia práctica)

Más aún advertimos que

3

7

2

2 104xx

dxCd = es positiva cuando x= 10.000. De

modo que este valor de x representa un mínimolocal de C.

Por lo tanto, el costo mínimo se obtiene hacien-do 50.000/10.000= 5 series de producción poraño, cada una de ellas con una producción de10.000 unidades.

Este tipo de modelo de costo de inventarios tam-bién se aplica a negocios tales como bodegas omercados de venta al menudeo que mantienenexistencias de artículos que han de venderse alpúblico o a otras empresas. La pregunta es quetan grande debe ser cada vez la cantidad de al-gún artículo que se ordena con destino a ser real-macenado. Si se ordena una cantidad muy gran-de, la empresa se enfrentará con sustanciales cos-tos de almacenamiento, si bien no tendrá la des-ventaja de reordenar por un buen tiempo.

206

La Derivada6

EJERCICIO 4

• Realice la comprobación gráfica yla verificación algebráica de todoslos ejemplos del capítulo usando"Findpoly" o "Derive".

3.13 La Función de Producción Cobb-Douglas

Otra especificación de función de producción ampliamenteusada en empresas agrícolas fue primero estimada por dos eru-ditos de Illinois. El señor Cobb (matemático) y el señor Do-uglass (economista) decidieron estimar una función de produc-ción para la economía de los Estados Unidos. Ellos tenían lahipótesis de que el ingreso nacional (Y) era una función de ca-pital (K) y Mano de Obra (L). Entonces, en general, su teoríapodría ser expresada como: Y = ƒ(K, L). Sin embargo, la teoríatenía otras dos partes. Primero, ellos tenían la teoría de que lafunción de producción era no lineal. Además, ellos creían quela contribución marginal de capital dependía de la cantidad demano de obra empleada e inversamente, que la contribuciónde mano de obra era dependiente de la cantidad de capitalempleado.Para capturar esta relación entre en ingreso nacional (Y) y lascantidades de capital y mano de obra, ellos especificaron sufunción como:

Y a Kb 1 Lb2

en donde Y = ingreso nacional de Estados UnidosK = cantidad de capital empleado en dólares en los EstadosUnidosL = cantidad de mano de obra empleado en años - hombre enlos Estados Unidosa, b1, b2 = parámetros de la función

Note que la función de producción es multiplicativa en lugarde aditiva. Es decir no es lineal. También, si examinamos lasfunciones derivadas de esta función de producción, encontra-remos que la productividad marginal de capital (K) depende enla cantidad de mano de obra y viceversa. Para hacer esto, tomedos derivadas parciales, una con respecto a mano de obra y laotra respecto a capital. Véase ejemplo 30.

207

Matemática I

EJEMPLO 30

Usemos un ejemplo para demostrar esto:

4,05,010 LKY La productividad marginal de capital (MPPK) es,

5

4,04,05,0 55

KLLKMPP

KY

k

y la productividad marginal de mano de obra(MPPL) es

6,0

5,06,05,0 44

LKLK

LY

Entonces, no como otras especificaciones de fun-ción de producción, las funciones de productivi-dad marginal (y el producto marginal en cualquierpunto) depende en la cantidad de ambas varia-bles independientes (insumos) en la función. ¿Tie-ne esto sentido desde un punto de vista práctico?Esperaría usted una unidad agregada de manoobra sea más productiva si fuera combinada conniveles más altos de capital (maquinaria y equipo)en lugar de menos? Podemos demostrar esto conel uso de una tabla que muestra los distintos nive-les de insumos K y L. Examinemos la función de

productividad marginal, MPP K 5L.4 K.5 , L

= 10 y 20, y marque la función MPPK por K = 0,..., 5.

K MPPK MPPK

(L = 10) (L=20)

1 12.6 16.6

2 8.9 11.7

3 7.3 9.6

4 6.3 8.3

5 5.6 7.4

De la tabla, vemos que la contribución marginalo el producto marginal de capital (MPPK) de-pende de la cantidad de capital y la cantidad demano de obra. Por ejemplo a K = 3, MPPK es7.3 si la cantidad de mano de obra es 10, peroes 9.3 la mano de obra es 20. También, para cual-quier nivel dado de mano de obra, MPPK decli-na al aumentar K. ¿Existen otros ejemplos en em-presas agrícolas en donde la productividad mar-ginal de una factor de producción depende delnivel de otros factores? ¿Puede usted pensar enalgún ejemplo? Si es así, la función de produc-ción de Cobb-Douglass debe ser apropiada paraestimar la relación.

Una última palabra sobre la función de Cobb-Douglass. Las técnicas estadísticas convencio-nales no pueden ser usadas para estimar una fun-ción multiplicativa de este tipo. Para darle la vuel-ta a este problema, tenemos que hacer una trans-formación matemática de la función a logaritmosnaturales. La ecuación,

Y a Kb 1 Lb2

es transformada a

lnY = lna +b1 lnK + b2 lnL..

La función no es lineal en números naturales perosi es lineal en logaritmos. Como una función li-nar, podemos estimar los parámetros (a, b1, b2)con menos regresión ordinaria de cuadros.

208

La Derivada6 3.14 Propensión marginal al consumo y al ahorro

Una función que juega un papel importante en el análisis eco-nómico es la función de consumo. La función de consumo

)(YfC , expresa una relación entre el ingreso nacional to-

tal Y y el consumo nacional total C. Usualmente, tanto Y comoC se expresan en miles de millones e Y se restringe a ciertointervalo. La propensión marginal al consumo se define comola razón de cambio del consumo con respecto al ingreso; y esla derivada de C con respecto a Y

Propensión marginal al consumo: PMC =

Si suponemos que la diferencia entre el ingreso nacional Y y elconsumo C, es el ahorro S, entonces

CYS Al diferenciar ambos miembros de la ecuación con respecto aY obtenemos

Definimos dYdS

como la propensión marginal al ahorro PMS.

Así, la propensión marginal al ahorro indica qué tan rápido cam-bia el ahorro nacional con respecto a cambios en el ingresonacional:

propensión marginal al ahorro = 1 - propensión marginal al consumoPMC = 1 - PMSPMS = 1 - PMC

La propensíon marginal al ahorro significativa implica un pro-ceso de acumulación de capital, el cual se debe equilibrar conun valor de la propensión marginal al consumo que permita unmovimiento dinámico sde la economía. Enel Documento 1,se evidencia la importancia de estos conceptos en el análisiseconómico y social.

“La ciencia económica convencional de altadifusión y peso en América Latina, ha hipoteti-zado que la desigualdad constituye un rasgocaracterístico de los procesos de moderniza-ción y crecimiento, y en algunas de sus ver-siones, que los impulsa y favorece, al posibi-litar la acumulación de ahorro que se transfor-mará en inversión. Así mismo, ha sugeridoque las desigualdades, funcionales para el de-sarrollo, tenderían luego a corregirse. ParaKaldor (1978) es imprescindible para el creci-miento una acumulación importante previa deahorro. Si el ingreso se concentra en un seg-mento limitado de la población con alta pro-pensión a consumir, que serían los ricos, ellofavorecerá esta acumulación y el crecimien-to. Kaldor supone que las utilidades son unafuente importante de generación de ahorro ylos salarios, en cambio, una fuente muy limi-tada. Kuznets (1970) indica que habría unatendencia secular, en las sociedades desarro-lladas, a que la población emigre del sectoragrícola caracterizado por baja desigualdad ybajos ingresos promedios, hacia el sector in-dustrial donde el ingreso promedio es másalto, pero también la desigualdad. En los esta-dios iniciales del desarrollo ascenderían, portanto, el ingreso y la desigualdad. En estadiosposteriores seguiría ascendiendo el creci-miento, pero se reducirá la desigualdad 0148.

Kliksberg Bernando. Desigualdad y Desarro-llo en America Latina: El Debate Postergado,

Centro de Documentación en políticas so-ciales, Conferencia pronunciada en el marco

de Buenos Aires Sin Fronteras, Un espaciopara el diálogo. 26-27 de abril de 1999.

Doc. 1Cambio de rumbos en el análisis

de la inequidad

209

Matemática I

1. Ingresos. Una compañía ha descubierto queel ingreso total es una función del precio fija-do a su producto. En concreto, la función delingreso total es

, donde p esel precio en dólares.

a) Determine el precio p que produce el máximoingreso total.

b) ¿ Cuál es el valor máximo del ingreso total?

2. Ingresos. La función de demanda del produc-to de una firma es q = 300.000 - 75 p

donde q representa el número de unidadesdemandadas y p indica su precio en dólares.

a) Determine el precio que deberá cobrarse paramaximizar el ingreso total.

b) ¿Cuál es el valor máximo del ingreso total?

c) ¿Cuántas unidades se espera que se deman-den?

3. Utilidad máxima. La utilidad anual de una com-pañía depende del número de unidades pro-ducidas. Específicamente, la función que des-cribe la relación existente entre la utilidad U(expresada en dólares) y el número de unida-

des producidas q es

000.000.25000.612.0 2 −+−= qqU

a) Determine el número de unidades q que pro-ducirán la utilidad máxima.


4. Administración de playas. Una comunidad,situada en una zona vacacional, está tratandode escoger una tarifa de estacionamiento quefijará a la playa del pueblo. En la zona hayotras playas, y todas ellas compiten por atraera los bañistas. El municipio ha optado por lasiguiente función que expresa el número pro-medio de automóviles por día q en términosde la tarifa de estacionamiento p expresadaen centavos.

q= 10.000 - 20p

a) Determine la tarifa que debería cargarse paramaximizar los ingresos diarios de la playa.

b) ¿Cuál se espera que sea el máximo ingresodiario de la playa.

c) ¿Cuántos automóviles se esperan en un díapromedio?


GLOSARIO

Draper Jean E., Klingman Jane S., Matemáticaspara la Administración y la Economía. Edi-torial Harla. México, 1976.

Barnet A. Raymond. Matemáticas para Adminis-tración y Ciencias Sociales. 2ª Edición.Nueva Editorial Interamericana S.A.,México, 1983.

Budnick Frank S., Matemáticas Aplicadas para laAdministración Economía y Ciencias So-ciales. 3ª Edición. Editorial Mc GrawHill. México, 1990.

Emery E. David. Principios de Economía: Microeco-nomía. Traducido por Harcourt BraceJovanovich. Bogotá, 1989.

BIBLIOGRAFÍA

Ingreso marginal. Es el ingreso adicionalque se consigue al vender una uni-dad más de un producto o servicio.

Costo Marginal. Es el gasto adicional enque se incurre por producir y poneren el mercado una unidad adicionalde un producto o servicio.

Utilidad Marginal. Es la utilidad adicionalque se recibe por producir y poneren el mercado una unidad adicionalde un producto o servicio.

➥

pppfR 960.120)( 2 +−==

210

La Derivada6

5. Administración de los impuestos de impor-tación. El gobierno estadounidense está es-tudiando la estructura de los impuestos de im-portación para los televisores de color traídosde otros países. El gobierno está tratando dedeterminar el impuesto que impondrá a cadaaparato. Sabe bien que en la demanda de lostelevisores importados repercutirá ese impues-to. Estima que la demanda D, medida en cien-tos de televisores, guarda relación con el im-puesto de importación t, medido en centavos,de acuerdo con la función

D = 80.000 - 20 t

a) Determine el impuesto de importación que pro-duce los máximos ingresos fiscales en la im-portación de televisores.

b) ¿Cuál es el ingreso máximo?

c) ¿Cuál será la demanda de los televisores im-portados de color con este impuesto?

6. Costo de Inventario. Un fabricante ha calcu-lado una función de costo que expresa el cos-to anual de la compra, posesión y manteni-miento del inventario de sus materias primasen términos del tamaño de cada pedido. Heaquí la función de costo:

000.15010000.625 ++= qq

C , donde q es

el tamaño de cada pedido (en toneladas) y Canual del inventario.

a) Determine el tamaño de pedido q que minimi-ce el costo anual de inventario.

b) ¿Cuáles se esperan que sean los mínimos cos-tos de inventario?

7. Costos mínimos. En el ejercicio 6 supongaque la cantidad máxima de materias primasque puede aceptarse en un embarque cual-quiera es de 225 toneladas.

a) Con esta restricción, determine el tamaño depedido q que minimice el costo anual del in-ventario.

b) ¿Cuál son los mínimos costos anuales de in-ventarios?

c) ¿Qué relación tienen estos resultados con losdel ejercicio 4?

8. Costo de Inventario. Un gran distribuidor debalones de baloncesto está prosperando mu-cho porque en su país ese deporte se ha idoconvirtiendo en uno de los favoritos del pue-blo. Uno de los principales problemas del dis-tribuidor es mantener el ritmo de la demandade los balones. Los compra periódicamentea un fabricante de artículos deportivos. El costoanual de la compra, posesión y mantenimien-to del inventario de los balones se describepor medio de la función.

000.2005000.000.20 ++= qq

C

donde q es el tamaño de pedido (en doce-nas de balones) y C indica el costo anual deinventario.

a) Determine el tamaño de pedido q que mini-mice el costo anual de inventario.

b) ¿Cuáles se espera que sean los costos míni-mos de inventario?

9. Costos mínimos. El distribuidor del ejercicio8 cuenta con instalaciones de almacenamien-to para recibir un máximo de 1.500 docenasde balones en cada embarque.

a) Determine el tamaño de pedido q que mini-mice los costos anuales de inventario.

b) ¿Cuáles son los costos mínimos de inventa-rio?

c) ¿Qué relación guardan estos resultados conla obtenidos en el ejercicio 8?

10.Mínimo costo promedio. El costo total deproducir q unidades de cierto producto se des-cribe por medio de la función

201.0300000.000.4 qqC ++= , donde C

es el costo total expresado en dólares.


➥

211

Matemática I

a) ¿Cuántas unidades deberán producirse a finde minimizar el costo promedio por unidad?

b) ¿Cuál es el mínimo costo promedio por uni-dad?

c) ¿Cual es el costo total en este nivel de pro-ducción?

11.Minimizar costos. El costo total de fabricarq unidades de cierto producto se describe conla función

, don-de C es el costo expresado en dólares.

a) Determine cuantas unidades q deberían pro-ducirse con objeto de minimizar el costo pro-medio por unidad.

b) ¿Cuál es el mínimo costo promedio por uni-dad?

c) ¿Cuál es el costo total de producción en estenivel de producción?

12.Minimizar costos. Resuelva nuevamente elejercicio 11 si la capacidad máxima de pro-ducción es de 1.000 unidades.

13.Servicios Públicos. Una compañía de televi-sión por cable ha averiguado que su rentabili-dad depende de la tarifa mensual que cobra asus clientes. Específicamente, la relación quedescribe la utilidad anual p (en dólares) en fun-ción de la tarifa mensual de renta R (en dóla-res) es la siguiente:

000.000.5000.500.2000.50 2 −+−= rrPa) Determine la tarifa de renta mensual que de

por resultado la utilidad máxima.


14.Servicios Públicos. En el ejercicio 13 supon-ga que la comisión local de servicios públi-cos ha impuesto a la compañía la obligaciónde no cobrar una tarifa mayor a $ 20. a) ¿cuáltarifa produce la utilidad máxima a la compa-ñía?

b) ¿Cuál es el efecto que la decisión de la comi-sión tiene en la rentabilidad de la empresa?

15. Maximizar utilidades. Una compañía estima

que la demanda anual de su producto fluctúacon su precio. La función de demanda es

q= 180.000 - 250 p

donde q es el número de unidades demanda-das y p el precio en dólares. El costo total deproducir q unidades se estima con la función

2001.0300000.350 qqC ++=

a) Determine cuantas unidades q deberían pro-ducirse con objeto de maximizar la utilidadanual.

b) ¿Qué precio debería fijarse?

c) ¿Cuál se espera que sea la máxima utilidadanual?

16.Aproximación marginal. Resuelva el ejerci-cio anterior, usando la aproximación margi-nal para maximizar las utilidades.

17.Maximizar utilidades. Si en el ejercicio 15 lacapacidad anual es de 40.000 unidades,¿cuantas unidades darán por resultado la uni-dad máxima?

18.Maximizar ingresos. Una manera equivalen-te de resolver el ejemplo 18 consiste en ex-presar el ingreso total en función de q, el nú-mero de pasajeros por día. Formule la fun-ción R = g(q) y determine el número de pa-sajeros q que produzca el máximo ingresototal. Verifique que el valor máximo de R y elprecio que debería fijarse sean los mismos quelos que se obtuvieron en el ejemplo 18.

19.Aproximación marginal. Las funciones decosto e ingreso totales de un producto son

20001.020000.50)( qqqC ++= ,

y 2004.060)( qqqR −=a) Por medio de la aproximación marginal de-

termine el nivel de producción que maximicelas utilidades.

b) ¿Cuál es la utilidad máxima?.

20.Aproximación marginal. Una empresa ven-de cada unidad de un producto en $75. El


➥

225.0000.15000.000.1 qqC

212

La Derivada6

costo total de producir q (mil) unidades se describemediante la función

3220200.1)( qqxC +−=

donde C (q) se mide en miles de dólares.

a) Utilice la aproximación marginal para determinarel nivel de producción que maximice las utilida-des.

b) ¿Cuál es el ingreso total en este nivel de produc-ción? ¿el costo total? ¿las utilidades totales?

21.Aproximación marginal. La función de utilidadde una firma es

000.45000.3610)( 2 −+−= qqqU

a) con la aproximación marginal, determine el nivelde producción que maximice las utilidades

b) ¿Cuál es la utilidad máxima?

22. Aproximación marginal. Las funciones de costoe ingreso totales de un producto son

2005.030000.1)( qqqC ++=

2004.0000.2)( qqqR −=

a) Mediante la aproximación marginal determine elnivel de producción que maximice las utilidades.

b) ¿Cuál es utilidad máxima?

23.Aproximación marginal. Las funciones de costoe ingresos totales de un producto son

201.0100)( qqqR −= , y

2005.040000.25)( qqC ++

a) Con la aproximación marginal determine el nivelde producción que maximice las utilidades.

b) ¿Cuál es la utilidad máxima?

24.Función consumo. Para Estados Unidos (1922-1942), la función de consumo se estimó por laecuación

1.113672.0 += IC

Encuentre la propensión marginal al con-sumo.

25.Función consumo. Suponga que la fun-ción de consumo de un país está dada por

IIIIC 2.07.010 3 −+=

donde C e I están en miles de millones dedólares

a) Encuentre la propensión marginal al aho-rro cuando el ingreso es de 25.000 millo-nes de dólares.

b) Determine la razón de cambio relativa deC con respecto a I cuando el ingreso es de25.000 millones de dólares.

26.Propensiones marginales a consumir ya ahorrar. Suponga que la función de aho-

rro de un país es: 2

6+

−−=I

IIS , don-

de el ingreso nacional I y el ahorro nacio-nal S se miden en miles de millones de dó-lares. Encuentre la propensión marginal delpaís a consumir y su propensión marginalal ahorro cuando el ingreso nacional es de16.000 millones de dólares.

27.Costo marginal. Si la función de costototal de un fabricante está dada por:

50003

5 2

++

=q

qC , encuentre la función

de costo marginal.

28.Relación huésped - parásito. Para la rela-ción particular huésped - parásito, se deter-minó que cuando la densidad de los hués-pedes (número de huéspedes por unidadde área) es x, el número de huéspedes quetienen parásitos es y, donde


➥

213

Matemática I

xxy

4510900+

=

¿A qué razón está cambiando el número dehuéspedes que tienen parásitos con respec-to a la densidad de los huéspedes cuando x= 2?

29.Depredador - presa. En un experimento de-predador - presa, se determinó estadísticamen-te que el número de presas consumidas Y, porun depredador individual es una función de ladensidad X de presas (el número de presaspor unidad de área), donde

XXY

02744.017355.0

+=

Determine la razón de cambio de las presas con-sumidas con respecto a su densidad.

30.Estudios Políticos. En una ciudad interme-dia se estima que la población votante en mi-les, aumentará o disminuirá según la siguientefórmula:

321230 tttN ; donde: 80 t Siendo t el tiempo en años y N(t) la población

en función del número de años.

¿Cuándo será más rápido el aumento de lapoblación?

31. Ecuación de demanda. Suponga que

20100 2 +−= qp es una ecuación de

demanda para el producto de un fabricante.

a) Encuentre la razón de cambio de p con res-pecto a q

b) Calcule la razón de cambio relativa de p conrespecto a q

c) Determine la función de ingreso marginal

32.Producto de ingreso marginal. Si qkp = ,

donde k es una constante, es la ecuación de

demanda para el producto de un fabricante, ydefine una función que da el número total deunidades producidas al día por m empleados,demuestre que el producto del ingreso margi-nal es siempre igual a cero.

33.Función costo. El costo de producir q unida-des de un producto está dado por

21.0104000 qqC ++=

Si el precio de p unidades está dado por laecuación

pq 5.2800 −=

utilice la regla de la cadena para encontrar larazón de cambio del costo con respecto alprecio por unidad cuando p = 80.

34.Altas de hospital. En un centro de salud seexaminaron las altas de un grupo de indivi-duos que estuvieron hospitalizados con unaenfermedad específica. Se encontró que lacantidad total de personas que fueron dadasde alta al final de t días de hospitalización es-taba dada por

3

3003001)(

ttf

Encuentre e interprete su respuesta.

35.Costo marginal. Si la función de costo totalpara un fabricante está dada por

50003

52

2

++

=q

qC

Encuentre la función de costo marginal

36.Condición social/educación. Para cierta po-blación, si E es el número de años de educa-ción de una persona y S representa un valornumérico de su condición social basada enese nivel educativo, entonces

PRACTICA DE APLICACIÓN

➥

214

La Derivada6

2

14

4 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ES

a) ¿Qué tan rápido estará cambiando la condiciónsocial con respecto a la educación cuando E =16?

b) ¿A qué nivel de educación es igual a 8 la razónde cambio de la condición social?

37.Presión en tejido vivos. Bajo ciertas condicio-nes, la presión p desarrollada en tejidos vivos porla radiación ultrasónica está dada en función dela intensidad I:

( ) 2/12 IVp ρ=

donde ( letra griega "rho") es la densidad y V lavelocidad de propagación. Aquí ρ y V son cons-tantes.

a) Determine la razón de cambio de p con respectoa I

b) Encuentre la razón de cambio relativa.

38.Demografía. Suponga que para cierto grupo de20.000 nacimientos, el número N de gente quealcanza a vivir x años viene dada por

a) Encuentre la razón de cambio de N, con respec-to de x, y evalúe su respuesta para x = 36.

b) Encuentre la razón de cambio relativa de N, cuan-do x = 36

39.Contracción muscular. Un músculo tiene la ha-bilidad de acortarse al estar sometido a una car-ga. La ecuación

( )( ) kbVaP =++ )

se llama "ecuación fundamental de la contracciónmuscular". Aquí, P es la carga impuesta al mús-culo, V la velocidad del acortamiento de las fi-bras musculares y a, b y k son constantes positi-vas. Exprese V como función de P. Use su resulta-

do para encontrar dPdV


40.Encuentre la función de costo marginal si lafunción de costo medio es

2

100002q

qc +=

41.Costo marginal. La función del costo mediode un fabricante, en dólares, está dada por

( )5ln400

+=

qc

Encuentre el costo marginal (redondeando ados decimales) cuando q = 45.

42.Ahorro y consumo. El ahorro S de un país(en miles de millones de dólares) está relacio-nado con el ingreso I nacional (en miles demillones de dólares) por la ecuación

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

+= −Ie

S2

3ln

a) Demuestre que la propensión marginal al con-

sumo en función del ingreso es Ie−+22

b) Al millón más cercano. ¿Cuál es el ingreso na-cional cuando la propensión marginal al aho-rro es de 1/10?

43.Derivada implícita. Encuentre dxdy

por deri-

vación implícita

a) 3=+ yx b) 253 32 =+− yxyx

c) 933 =+ xyx

d) 200111 =+−+ xyyx

e) 52 223 =−+ yxyx

f) 4)ln( =+ + yxexy

➥

215

Matemática I

44.Propensión marginal del consumo. Los ahorrosS de un país se definen implícitamente en términosde su ingreso nacional I por medio de la ecuación

IISIS +=+ 22

41

donde S e I están en miles de millones de dólares.Encuentre la propensión marginal al consumo cuan-do I = 16 y S = 12

45. Para las ecuaciones de demanda dadas a conti-nuación, encuentre la razón de cambio de q conrespecto a p.

a) 2100 qp −= b) qp −= 400

c) ( )2520+

=q

p d) 5202 +

=q

p

46.Tamaño del lote económico. Un material se de-manda a una tasa de 10.000 unidades por año; elprecio al costo del material es de $2 por unidad yel costo de volver a llenar el almacén del materialpor orden sin importar el tamaño de la orden (x) dela orden es de $ 40 por orden; el costo de almace-nar el material por un año es del 10% del valor delas existencias (x/2). C es el costo anual de acomo-dar y tener almacenado el material.

a) demuestre que C = 20.000 +400.000 /x + x/10

b) encuentre el tamaño económico del lote.

47. Modelo de control de inventarios. Una fábricaha de producir 96.000 unidades de un artículo alaño. El costo del material es de $2 por unidad y elcosto de volver a surtir la existencia de materialpor orden sin importar el tamaño x de la orden esde $25 por orden. El costo de tener almacenado el

material es de 30% por artículo por año sobrelas existencias (x/2). Pruebe que el costo totalC está dado por

203000.400.2000.192 x

xC ++=

Determine también el tamaño del lote econó-mico (esto es, el valor de x para el que C esmínimo).

48. Máximo ingreso. Un restaurante especializa-do en carnes determina que el precio $5 porplatillo de carne tendrá en promedio 200 clien-tes por noche, mientras que si lo vende a $7el número promedio de clientes bajará a $100.Determine la relación de demanda suponien-do que es lineal. Encuentre el precio que maxi-miza el ingreso.

49.Utilidad y satisfacción del cliente. Un ban-co quiere recortar sus costos laborales redu-ciendo el número de cajeros pero espera unapérdida de negocios debido al descontentode los clientes por el tiempo de esperar. Su-pongamos que el salario de los cajeros es de$80 diarios y la pérdida de utilidad por tenerúnicamente n cajeros es de 5000/ (n+1) dóla-res diarios. Determine el valor de n que mini-miza la suma de sus pérdidas más el costodel salario.

50.Rendimiento máximo de impuestos sobrelas ventas. La cantidad q de un artículo quepuede venderse al mes a un precio p está dadapor q = 100 (5-p). La cantidad que los pro-veedores ofrecerán a un precio p1 es q1 =200(p1 -1). Si existe un impuesto por cada ar-tículo (de modo que p1 = p - t ), determine lacantidad q que se vende al mes si el merca-do está en equilibrio. Encuentre el valor de tque da el máximo impuesto total por mes algobierno.


216

La Derivada6

1. a) p=49, b) R=48.020

2. a) p=2.000 b) R=300.000.000 c) q=150.000

3. a) q=25.000 b) U=50.000.000

4. a) p=250 b) R=1.250.000 c) q=5.000

5. t=2.000 b) R=80.000.000 c) D=40.000

6. q=250 b) C=155.000

7. En el límite de la restricción se da el mínimo costo.En q=225 entonces C=155.027,78

8. a) q=2.000 C=220.000

9. b) C=220.833,33

10. a) q=20.000 b) c=700

11. a) 2.000 b)16.000 c) 32.000.000

12. q=1000, c=16.250 C=16.250.000

13. a) r=25, b) p=26.250.000

14. a) 25.000.000

15. a) q=42.000, b) p=552, c) U=8.470.000

16. a) q=42.000, b) p=552, c) U=8.470.000

17. q=40.000, U=8.450.000

18. q=10.000-125p, q=5.000, R=200.000

19. q=4.878, U=47.560,9

20. a) q=15, R=1.125, U=1.050

21. a) q=1.800, U=32.355.000

22. a) q=109.444, b) 107.801.777,8

23. a) q=2.000, b) U=35.000

24. PMC=0.672

25. a) PMS=0.3, r=0.000028

26. PMS=0.004, PMC=0.996

27. 2

2

)3(305

qqqMC

28. y’(2)=0.9

29. 2500.12343875.921.114

xdxdy

30. En dos años.

31. a) 202

qq

dqdp

; b) 24 20100 qqqR

32. kqqkpqR ; 0

dqdRMR

33. 325 dpdC

35. 32

2

)3()6(5

qqqMC

36. a) 10, b) q=12

37. a) IV

dIdP

2

; b) I21

38. a) -125, b) r=-0.0078

39. bap

kV

; 2apk

dpdV

40. 2

000.14q

qMC

41.MC(45)=78.73

42.a) Derivando S se calcula la PMS, luego secalcula la propensión marginal al consumousando:

PMC=1-PMS; b) I=1.5

43. a) xy

dxdy ; b) 22

3

9161

yxxy

dxdy

;

c) 23

32

331

yxyx

dxdy ; d)

011

112

dx

dyxxyy

dxdy

yx

e) xyyyx

dxdy

4223 22

;

RESPUESTAS

217

Matemática I

f) 011

dxdyey

dxdyx

xyyx

44. 4019 PMC

45. a) qdqdp 2 ; b) qdq

dp2

1 ; c) 3520 qp ;

d) 22 540

qq

dqdp

46. 1. b) x=2.000

47. x=4.000

48. 4,5

49. n=2 (por ser personas variable discreta, se aproxima aunidades enteras)

50. t = 1,5; q=177.

Matematicas 1 - JOSÉ MIGUEL CUBILLOS MUNCA

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