Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 1SUBIECTUL I (30p) Varianta 0015p1. S se reprezinte grafic funcia: , ( ) 3 f f x x = \ R . 5p2. S se determine msura unghiului lBa triunghiuluiABCtiind c msurile unghiurilor ll l, , AB Csunttermeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.5p3. S se determine punctul de extrem al funciei( )2: , 2 f f x x x = R R . 5p 4. S se calculeze probabilitatea ca, alegnd un element din mulimea{ }*| 3 4 14 A x x = < ` , acesta s fie ptrat perfect. 5p5. FiePpunctul de intersecie a dreptelor 1: 2 3 0 d x y + =i 2: 5 0 d x y + = . S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctul Pi este paralel cu prima bisectoare. 5p6. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia1 3 2 x x + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 1SUBIECTUL II (30p) Varianta 001 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie6 x y x y = + .5pa) S se demonstreze c legea este asociativ. 5pb) S se verifice c legea admite elementul neutru6 e = . 5pc) S se demonstreze c mulimea numerelor reale mpreun cu legea formeaz o structur de grup. 5p d) S se rezolve n\ ecuaia2 4 0x x = . 5pe) Pentrua\, s se calculeze 7 ...termenim a a a =

. 5pf) S se arate c numrul 1 12 3 2 3x = + este numr raional. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 1 SUBIECTUL III (30p) Varianta 001 Fie matricele2 12 14 2 2aA a = , 1 2 32 4 63 6 9B = , 31 0 00 1 00 0 1I = i 30 0 00 0 00 0 0O = ,a \. 5pa) Pentru1 a = , s se calculeze determinantul matriceiA. 5p b) S se rezolve ecuaia( ) det 0 A= . 5p c) S se determinea \, tiind c 23A A O + = . 5pd) Pentru1 a = s se calculezeB AB . 5pe) S se demonstreze c matricea 3B I este inversabil. 5p f) Pentru1 a = , s se determine 1A, unde 1A este inversa matricei A. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 2SUBIECTUL I (30p) Varianta 002 5p1. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia2 1 1 x = . 5p 2. S se arate c vectorulv a b c = + +G G G G, unde, 3 , 2 a i j b i j c i j = = + = +G G G G G G G G G este coliniar cu vectorul 4 6 d i j = +JG G G 5p3. S se calculeze dobnda simpl generat de un capital de 4000 lei pe o perioada de 5 ani tiind c rata dobnzii este de25% pe an. 5p 4. S se determine numrul natural n din egalitatea 11 2 4 8 ... 2 1023n++ + + + + = . 5p 5. S se determinea\, tiind c 1 1 2 22 5 2 0 x x x x + + = , unde 1 2, x xsunt soluiile ecuaiei 23 0 x x a + = . 5p 6. S se demonstreze relaia 2 2cos cos 1 B C + =n triunghiulABCdreptunghic n A. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 2SUBIECTUL II (30p) Varianta 002 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie3 3 12 x y xy x y = + .5p a) S se arate c( 3)( 3) 3 x y x y = + ,, xy \. 5pb) S se demonstreze c legea este asociativ. 5pc) S se verifice c legea admite elementul neutru4 e = . 5p d) S se demonstreze c mulimea{ } \ 3 \mpreun cu legea formeaz o structur de grup. 5pe) S se calculeze 5 5 5 ... 5termenim =

. 5pf) S se arate c numerele(5 5) 3 a = ,(5 5 5) 3 b = ,(5 5 5 5) 3 c = sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 2SUBIECTUL III (30p) Varianta 002 Fie mulimea de matrice( )00 0 00a aM Aa aa a | | |= = ` | |\ . )\ . 5pa) S se verifice dac matricea nul 30 0 00 0 00 0 0O| | |= | |\ . aparine mulimiiM . 5p b) S se calculeze( ) det A . 5p c) S se arate c dac( ) ( ) , Aa Ab M , atunci( ) Aa ( ) Ab M . 5p d) S se arate c( ) ( ) ( ) ( ) Aa Ab Ab Aa = , pentru oricare matrice( ) ( ) , Aa Ab M . 5p e) S se arate ca exist o matrice( ) Ae M , cu proprietatea c( ) ( ) ( ) ( ) , Aa Ae Aa Aa M = . 5p f) S se demonstreze c( ) ( ) ( ) 2 , Axy Ax Ay = pentru orice, xy \. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 3SUBIECTUL I (30p) Varianta 003 5p1. S se calculeze probabilitatea ca, alegnd un numr n din mulimea {1, 2, 4,8,16}, acesta s verifice inegalitatea 22 3 lognn + . 5p2. Fie punctele(3, 5), ( 1, 6) A B . S se determine coordonatele punctuluiMtiind c punctulA este mijlocul segmentuluiBM . 5p3. S se calculeze sumaS = 1+11+21+31+41++91. 5p 4. S se rezolve sistemul de ecuaii212 3x yx x y = + =,, xy \. 5p 5. S se calculeze sumacos1 cos 2 ... cos179 + + +D D D, tiindcos90 0 =D. 5p6. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia( )2 33 2 54, 422xx | |= |\ .. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 3SUBIECTUL II (30p) Varianta 003 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie 2 2x y x y = + . 5pa) S se rezolve n\ ecuaia( 1) 2 x x x + = + . 5pb) S se demonstreze c legea este asociativ. 5pc) S se arate c legea nu admite element neutru. 5p d) S se demonstreze c( ) 2 x y x y + , pentru orice, xy \. 5pe) S se arate c numerele 2(1 1) a = , 2(1 1 1) b = , 2(1 1 1 1) c = sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 5pf) S se arate c numrul(1 7) (1 7) + este ptratul unui numr natural. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 3SUBIECTUL III (30p) Varianta 003 Se consider matricele1 21 1 02 3aAa = , 5 2 21 1 20 6 7B = , 1 00 1 00 1aCa = i 31 0 00 1 00 0 1I = ,a \. 5pa) Pentru2 a = , s se determine matricea 233 5 A A I + . 5pb) S se determine valorile parametrului realapentru caredet( ) 3 A= . 5pc) S se determine valorile parametrului realapentru care matricea A este inversabil. 5p d) Pentru0 a =s se determine1A, unde 1A este inversa matriceiA. 5pe) Pentru0 a =s se rezolve ecuaia matricialAX B = . 5pf) S se determine valorile parametrului realapentru care are loc egalitateaAC CA = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 4SUBIECTUL I (30p) Varianta 004 5p 1. S se determine probabilitatea ca, alegnd un element din mulimea { }0 1 24 4 4, , C C C , acesta s fie ptrat perfect. 5p2. S se reprezinte grafic funcia: , ( ) 4 f f x x = \ \ . 5p3. S se arate c 2 21 2x x + ], tiind c 1xi 2xsunt soluiile ecuaiei 22 1 0 x x = . 5p4. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia2lg( 15 ) 2 x x = . 5p5. S se determine valoarea numrului real a tiind c punctul(4, ) C ase afl pe dreapta determinat de punctele( 5, 2) A i(3, 6) B . 5p6. S se calculeze2 (sin 45 sin135 ) +D D. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 4SUBIECTUL II (30p) Varianta 004 Pe mulimea( ) 1, G = se definete operaia 2 2 2 22 x y x y x y = + . 5pa) S se verifice c 2 2( 1)( 1) 1 x y x y = + ,, xy G . 5pb) S se arate cx y G , pentru oricare, xy G . 5pc) S se demonstreze c legea este asociativ peG . 5p d) S se verifice c legea admite elementul neutru2 e = . 5pe) S se demonstreze c mulimeaGmpreun cu legea formeaz o structur de grup. 5pf) S se rezolve ecuaia2 5 x = , undex G . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 4SUBIECTUL III (30p) Varianta 004 Se consider matricele 2 14 2M = ,21 00 1I = i 2A M aI = + ,a \. 5pa) S se determine matriceaA. 5pb) S se determine valorile parametrului realapentru caredet( ) 16 A= . 5pc) Pentru{} \ 0 a \ , s se determine1A, unde 1A este inversa matriceiA. 5pd) Pentru1 a = , s se rezolve ecuaia matricialAX M = . 5pe) S se arate c 2 222 A aA aI = , undea \. 5pf) S se determine matricea ( )3 223 A a M a I + , undea \. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 5SUBIECTUL I (30p) Varianta 005 5p1. S se reprezinte grafic funcia: , ( ) 2 1 f f x x = \ \ . 5p 2. S se calculeze 21! 20!19!+. 5p3. S se calculeze valoarea expresiei 2 21 2E x x = + , unde 1xi 2xsunt soluiile ecuaiei 22 3 3 0 x x = . 5p4. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 25log (2 1) 1 x x = . 5p 5. S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctele(3,1) Ai( 1, 2) B .5p6. TriunghiulABCare10 AB AC = =i l( ) 120 mA=D. S se calculeze lungimea laturiiBC . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 55SUBIECTUL II (30p) Varianta 005 Pe mulimea( ) 0, G = se consider legea de compoziie 2log yx y x = . 5pa) S se arate c ( ) ( )2 2log log2x yx y = , pentru oricare, xy G . 5pb) S se compare numerele 2 2 3(2 4 ) 2 a = i 2 3 2 2(2 2 ) (2 4 ) b = 5pc) S se arate c legea este asociativ peG . 5pd) S se verifice c legea admite elementul neutru 2 e = . 5p e) S se determine simetricul elementului 38 x =n raport cu legea . 5pf) S se rezolve ecuaia2 x x = , undex G . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 5SUBIECTUL III (30p) Varianta 005 Fie matricele2 13aAb = , 10 1aB = , 3 21 4C = , cu, a b\. 5pa) S se determine matriceaM AB BA = + . 5pb) Pentru2 a = , s se determine valorile parametrului realb , pentru caredet( ) 5 A= . 5pc) Pentru1 b = , s se determine valorile parametrului reala , pentru care matricea A este inversabil. 5p d) tiind c parametrii realiaibverific relaia6 b a , s se determine 1A, unde 1A este inversa matriceiA. 5pe) Pentru0 a =i1 b = , s se rezolve ecuaia matricialAXB C = . 5p f) Pentru0 a , s se determine perechile de numere reale( ) , a b , pentru care relaiaAB BA =este adevrat. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 6SUBIECTUL I (30p) Varianta 006 5p1. S se determine valoarea numrului real a tiind c vectorii 12 v ai j = +JG G G i 23 v i j = +JJG G G sunt coliniari. 5p2. S se rezolve n mulimea numerelor naturale inecuaia2 3 5 x < . 5p 3. S se arate c expresia ! ( 1)!( 1)!n nEn+ += este numr natural, oricare ar fin` . 5p4. S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctul(1, 1) A i este perpendicular pe dreapta de ecuaie1 0 x y + + = . 5p5. TriunghiulABCare3, 5 BC AC = =i( ) 120 m ACB =D) . S se calculeze lungimea laturiiAB.5p6. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 12 (0, 25)x x = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 6SUBIECTUL II (30p) Varianta 006 Pe mulimea( ) 0,1 G =se definete operaia 2 1xyx yxy x y =+ . 5p a) S se verifice c (1 )(1 )xyx yxy x y =+ , pentru oricare, xy G . 5pb) S se arate cx y G , pentru oricare, xy G . 5pc) S se demonstreze c legea este asociativ peG . 5p d) S se verifice c legea admite elementul neutru 12e = . 5pe) S se demonstreze c mulimeaGmpreun cu legea formeaz o structur de grup. 5p f) S se rezolve ecuaia 1 13 7x = , undex G . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 6SUBIECTUL III (30p) Varianta 006 Fie matricele 3 91 3M = , 21 00 1I = i 22 A M a I = + ,a \. 5pa) S se determine matriceaA. 5pb) S se determine valorile parametrului realapentru caredet( ) 16 A= . 5pc) Pentru{} \ 0 a \ , s se determine1A, unde 1A este inversa matriceiA. 5pd) Pentru 12a = , s se rezolve ecuaia matricealAX M = . 5pe) S se arate c 2 224 4 A aA aI = , cua \. 5pf) S se determine matricea ( )3 224 3 2 A a M a I + , cua \. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 7SUBIECTUL I (30p) Varianta 007 5p1. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia1 3 x + = .5p 2. S se determinea\, tiind c vectorii 1 2( 1) , 4 2 v a i j v i j = + = +JG G G JJG G G sunt coliniari. 5p3. S se calculeze suma1 5 9 13 ... 8029 S = + + + + + . 5p4. Triunghiul dreptunghicABCare l( ) 90 , 3 mA AC = =D i6 BC = . S se calculeze perimetrul triunghiului ABC. 5p5. Fie mulimile{ }*| 2 7 A x x = + `i{ }6\ 1 |1B xx = ` ` . S se determineA B . 5p6. S se arate c vrful parabolei asociate funciei 2: , ( ) 2( 1) 2 f f x mx m x m = + + + + \ \ , cu0 m se afl pe dreapta de ecuaie1 y x = + . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 7SUBIECTUL II (30p) Varianta 007 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie 3 3 3x y x y = + . 5pa) S se demonstreze c legea este asociativ. 5pb) S se verifice c legea admite elementul neutru0 e = . 5pc) S se demonstreze c\ mpreun cu legea formeaz o structur algebric de grup comutativ. 5pd) S se arate c nmulirea numerelor reale este distributiv fa de legea . 5pe) S se demonstreze c( ) ,, \este corp, unde" " este nmulirea pe\. 5pf) S se rezolve sistemul 11x yx y = + =,, xy \. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 7SUBIECTUL III (30p) Varianta 007 Fie mulimea de matrice( )00 1 00a aM Aa aa a | | |= = ` | |\ . )\ . 5p a) S se verifice dac matricea 0 0 00 1 00 0 0B| | |= | |\ . aparine mulimiiM . 5p b) S se calculeze( ) det A . 5p c) S se arate c dac( ) ( ) , Aa Ab M , atunci( ) Aa ( ) Ab M . 5p d) S se arate c dac( ) ( ) , Aa Ab M , atunci are loc egalitatea( ) ( ) ( ) ( ) Aa Ab Ab Aa = . 5p e) S se arate ca exist o matrice( ) Ae M , cu proprietatea c( ) ( ) ( ) ( ) , Aa Ae Aa Aa M = . 5pf) S se arate c( ) ( ) ( ) 2 , Axy Ax Ay = oricare ar fi, xy \. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 8SUBIECTUL I (30p) Varianta 008 5p1. S se calculeze 5 3 4 30 2 0(2 2 ) : 2 2 2 E = + . 5p 2. S se determine numerele reale x i y din progresia aritmetic ,1, , 5, 7, 9,11,.... x y . 5p 3. Fie punctele(1, 0) Ai( 1, 2) B . S se determine ecuaia mediatoarei segmentului AB. 5p4. Un capital de 15000 lei produce n 5 ani o dobnd simpl de 5250 lei. S se calculeze rata dobnzii.5p5. S se determine intervalele de monotonie ale funciei 2: , ( ) 3 4 f f x x x = + + \ \ . 5p6. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia1 3 2 x x + + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 8SUBIECTUL II (30p) Varianta 008 Pe mulimea numerelor raionale se definete legea de compoziie 1( 1)2x y xy x y = + + . Se noteaz cuH mulimea numerelor ntregi impare. 5pa) S se verifice c 1( 1)( 1) 12x y x y = + + , pentru oricare, xy _. 5pb) S se arate c legea este asociativ. 5pc) S se verifice c legea admite elementul neutru1 e = . 5pd) S se arate cx y H , pentru oricare, xy H . 5pe) S se determine elementelex H cu proprietatea c existx H , astfel nct1 x x x x = = . 5pf) S se arate c 11 xx , pentru orice( ) 0, x _. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 8SUBIECTUL III (30p) Varianta 008 Fie sistemul de ecuaii (S) 3 1113 12ax y zy azx y z+ + = = + + = unde, , xyz \ i matricea 1 30 11 3 1aA a| | |= | |\ ., cua \. 5p a) S se determine 2A . 5pb) S se calculeze determinantul matriceiA. 5p c) Pentru0 a =s se calculeze 23 A A . 5p d) S se determine valorile parametrului realapentru care tripletul( ) 1, 3, 2verific prima ecuaie a sistemului (S). 5pe) S se determine valorile parametrului reala , pentru care sistemul (S) admite soluie unic. 5pf) Pentru2 a = , s se determine soluia sistemului (S). Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 9SUBIECTUL I (30p) Varianta 009 5p 1. S se rezolve sistemul 01x yxy+ = = ,, xy \. 5p2. S se arate c3 13log 27 log 3 + este natural. 5p3. S se afle suma primilor 20 termeni ai unei progresii aritmetice 1( )n na, tiind c 13 a =i 511 a = . 5p 4. S se rezolve n mulimea numerelor reale inecuaia 24 3 1 0 x x . 5p 5. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia ( )242182xx + | |= |\ .. 5p6. S se calculeze lungimea laturii AC a triunghiuluiABC , tiind c l l12, ( ) 60 , ( ) 75 BC mA mB = = =D D. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 9SUBIECTUL II (30p) Varianta 009 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie( ) 2 x y xy x y m = + + ,m\. 5pa) S se verifice c( )( ) 2 2 4, , x y x y m xy = + \. 5p b) S se determine m astfel nct 22009 2009 2007 2 = + . 5pc) Pentru6 m = s se determinea\ astfel nct, x a a x a x = = \. 5pd) S se determine m tiind c elementul neutru al legii este3 e = . 5pe) Pentru6 m =s se calculeze1 2 ... 2009 , tiind c legea este asociativ. 5pf) S se determine cea mai mic valoare a numrului m astfel nct[ ) 2, x y , pentru orice[ ) , 2, xy . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 9SUBIECTUL III (30p) Varianta 009 Fie matricea 1 23 1 11 0aAb| | |= | |\ ., undea ibsunt parametri reali. 5pa) S se calculeze determinantul matriceiA.5pb) Pentru5 b = , s se determine valorile parametrului realapentru caredet( ) 17 A= . 5pc) Pentru2 a = , s se determine valorile parametrului realbpentru care matriceaA este inversabil. 5p d) Pentru2 a =i1 b = , s se determine1A, unde 1A este inversa matriceiA. 5pe) Fie ecuaia de gradul al doilea 25 0 x x =ale crei soluii sunt 1xi2x . Dac 1a x =i 2b x =s se calculeze determinantul matriceiA. 5pf) S se rezolve sistemul de ecuaii 2 83 102x y zx y zx+ + = + + ==, unde, , xyz \. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 10SUBIECTUL I (30p) Varianta 010 5p1. S se calculeze 25% din 2008. 5p 2. S se rezolve sistemul 32 3 1x yx y+ = =,, xy \. 5p3. S se determine ecuaia drepteiAB care trece prin punctele(1, 2) Ai( 1,1) B . 5p 4. S se calculezesin 45 cos135 +D D. 5p 5. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 22 6 2 8 0x x + = . 5p 6. S se calculeze valoarea expresiei 1 22 1,x xEx x= + unde 1 2, x xsunt soluiile ecuaiei 26 6 0 x x + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 10SUBIECTUL II (30p) Varianta 010 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie2 2 2 3 x y xy x y = + . 5p a) S se verifice c2( 1)( 1) 1 x y x y = + , pentru oricare, xy \. 5pb) S se demonstreze c legea este asociativ. 5p c) S se verifice c legea admite elementul neutru 32e = . 5pd) Se consider mulimea(1, ) G = . S se arate cx y G , pentru oricare, xy G . 5pe) S se arate c(1, ) G = mpreun cu legea formeaz o structur de grup comutativ. 5p f) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 32x x = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 10SUBIECTUL III (30p) Varianta 010 Fie matricele 1 11 1M = , 21 00 1I = , 23 A M aI = , cua \. 5pa) S se determine matriceaA. 5pb) S se determine valorile parametrului realapentru caredet( ) 36 A= . 5pc) Pentru{} \ 0 a \ , s se determine1A, unde 1A este inversa matriceiA. 5pd) Pentru 13a = , s se rezolve ecuaia matricialAX M = . 5pe) S se arate c 2 226 9 A aA aI = , cua \. 5pf) S se determine matricea ( )3 2227 A a M aI , undea \. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 11SUBIECTUL I (30p) Varianta 011 5p 1. S se calculeze probabilitatea ca, alegnd un numr n din mulimea{ } 1, 2, 3, 4, 5 , acesta s verifice relaia 2! n n < . 5p2. S se rezolve n mulimea numerelor reale inecuaia2 1 3 x .5p3. Triunghiul dreptunghicABCare ipotenuza10 BC =i catetaAC = 5 . S se calculeze aria triunghiului ABC. 5p4. S se determineai b tiind c punctele(4, 3) Ai( 2, 1) B aparin dreptei de ecuaie 1 0 ax by + + = . 5p5. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 25log (2 3 ) 1 x x = . 5p6. S se determine coordonatele punctului de minim al funciei: f \ \,2( ) 6 8 f x x x = + . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 11SUBIECTUL II (30p) Varianta 011 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie 3 3 31 x y x y = + + . 5pa) S se demonstreze c legea este asociativ pe\. 5pb) S se verifice c legea admite elementul neutru1 e = . 5pc) S se demonstreze c mulimea numerelor reale mpreun cu legea formeaz o structur de grup. 5pd) S se demonstreze c expresia( ) ( ) Ex x x = nu depinde dex . 5pe) S se arate c1y xy x , pentru orice, xy\ . 5p f) S se rezolve n\ ecuaia 32 4 3x x = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 11SUBIECTUL III (30p) Varianta 011 Fie matricele 1 32 1 01 1aAa = , 1 3 96 1 63 1 2B = ,31 0 00 1 00 0 1I = , cua \. 5pa) Pentru0 a = , s se determine matricea 232 4 A A I + . 5pb) Pentru0 a = , s se calculeze determinantul matriceiA. 5pc) Pentrua \, s se calculeze determinantul matriceiA. 5pd) S se determine valorile lui a pentru care matricea A este inversabil. 5p e) Pentru0 a = , s se determine1A, unde 1A este inversa matriceiA. 5p f) Pentru0 a = , s se rezolve ecuaia matricial 2A X B + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 12SUBIECTUL I (30p) Varianta 012 5p 1. S se determinem\ tiind c vectorii2 a i j = +G G G i( 2) 2 b m i j = +G G G verific egalitatea2a b =G G. 5p2. S se determine funcia: , ( ) f f x ax b = + \ \tiind c punctele(1, 2), ( 1, 6) A B aparin graficului funciei f.5p 3. S se calculeze 3nAtiind c2 64n= . 5p4. TriunghiulABCare laturile 5, 13, 12 AC BC AB = = = . S se calculezesin sin B C + .5p 5. S se rezolve n mulimea numerelor reale inecuaia 26 5 0 x x + . 5p6. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaialg( 1) 2lg( 1) 1 x x + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 12SUBIECTUL II (30p) Varianta 012 Pe mulimea numerelor raionale se definesc legile de compoziiex y x y a = + +i 2 2 2 x y xy x y = + + + D , cua_. 5pa) S se arate c legea D este asociativ. 5pb) S se verifice c legea D admite elementul neutru 1 e = . 5pc) S se determinea_ , astfel nct2 (3 1) (2 3) (2 1) = D D D . 5pd) S se arate c mulimea_ mpreun cu legea formeaz o structur de grup comutativ. 5p e) S se determinem_ pentru care are loc egalitatea 3( 2) , x x x x m = + + D Doricarex_ 5pf) Pentru2 a = , s se rezolve n mulimea_ ecuaiax x x x = D . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 12SUBIECTUL III (30p) Varianta 012 Fie matricea 1 20 12 3 2aA b| | |= | |\ ., undea ibsunt parametri reali. 5pa) S se calculeze determinantul matriceiA.5pb) Pentru3 b = , s se determine valorile parametrului realapentru caredet( ) 12 A= . 5pc) Pentru1 a = , s se determine valorile parametrului realbpentru care matriceaA este inversabil. 5p d) Pentru1 a =i0 b = , s se determine1A, unde 1A este inversa matriceiA. 5pe) Fie ecuaia de gradul al doilea 22 3 0 x x =ale crei soluii sunt 1xi2x . Dac 1a x =i 2b x =s se calculeze determinantul matriceiA. 5pf) S se rezolve sistemul de ecuaii 2 832 3 2 15x y zyx y z+ + = =+ + =, unde, , xyz \. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 13SUBIECTUL I (30p) Varianta 013 5p 1. S se rezolve sistemul 2 33 2x yx y+ = + =,, xy \. 5p2. S se determinea\ pentru care dreptele 1d :2 6 0 x y + =i 2: d 2 5 0 x ay + + =sunt perpendiculare. 5p3. S se calculeze perioada de timp n care a fost plasat un capital de 3 milioane de lei dac a generat o dobnd simpl de 300000 lei cu rata de 12% pe an. 5p4. TriunghiulABCare l( ) 90 mA=D,9 AB =i12 AC = . S se calculezecos cos B C + .5p 5. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia3 31 1 x x = . 5p6. S se determine valorile{ } \ 1 m\astfel nct ecuaia 2( 1) 1 0 m x mx m + + =s aib soluii reale. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 13SUBIECTUL II (30p) Varianta 013 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie4 x y x y = + + . 5pa) S se arate c pentru oricea\, are loc inegalitatea 2 2 6a a . 5p b) S se rezolve n\ ecuaia 12 2 16x x+ = . 5pc) S se arate c legea este asociativ. 5pd) S se verifice c legea admite elementul neutru 4 e = . 5pe) S se arate c mulimea\ mpreun cu legea formeaz o structur de grup comutativ. 5pf) S se rezolve ecuaia( )( )22 2log log 7 x x = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 13SUBIECTUL III (30p) Varianta 013 Fie matricele 1 30 2aAb = , 00 1aB = , 2 41 1C = , cu, a b\. 5pa) S se determine matriceaM AB BA = . 5pb) S se determine valorile parametrului realb , pentru caredet( ) 6 A= . 5pc) Pentru1 b = , s se arate c matricea A este inversabil,a \ . 5p d) Pentru0 b , s se determine 1A, unde 1A este inversa matriceiA. 5pe) Pentru1 a =i1 b = , s se rezolve ecuaia matricialAXB C = . 5pf) S se determine perechile de numere reale( ) , a bpentru care relaiaAB BA =este adevrat. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 14SUBIECTUL I (30p) Varianta 014 5p 1. S se determine( ) A B C tiind c{ } { } { } 1, 2, 3, 4 , 3, 4, 5, 6 , 6, 7,8 A B C = = = . 5p2. S se rezolve n mulimea numerelor reale inecuaia2 1 1 x . 5p 3. S se scrie ecuaia mediatoarei segmentului determinat de punctele( 6, 3) A i(2, 1) B . 5p 4. S se calculeze msurile unghiurilor lBi lCale triunghiuluiABCtiind c l l( ) 30 , ( ) 90 mA mB = , pentru oricex\. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 18SUBIECTUL II (30p) Varianta 018 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie3 6 6 10 x y xy x y = + + + . 5p a) S se verifice c3( 2)( 2) 2 x y x y = + + ,, xy \. 5pb) S se demonstreze c legea este asociativ. 5p c) S se verifice c legea admite elementul neutru53e = . 5pd) S se determine simetricul numrului 13x =n raport cu legea . 5p e) S se determinen` pentru care are loc egalitatea 33 ( 2)nx x x x n = + ,x \ . 5pf) S se arate c numerele( 1) ( 1) 2 a = + ,( 1) ( 1) ( 1) 2 b = + ,( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 c = +sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 18SUBIECTUL III (30p) Varianta 018 Fie sistemul (S)2 62 72 3 13x ay zx yax y z + = + =+ + = , unde, , xyz \ i matricea 1 22 1 02 1 3aAa | | |= | |\ ., cua \. 5p a) S se determine matricea 2A . 5pb) S se calculeze determinantul matriceiA. 5p c) Pentru0 a = , s se determine matricea( )3B \ Mcare verific relaia 22 B A A = . 5p d) S se determine valorile parametrului realapentru care tripletul( ) 3,1, 2verific prima ecuaie a sistemului (S). 5pe) S se determine valorile parametrului realapentru care sistemul (S) admite soluie unic. 5pf) Pentru1 a = , s se determine soluia sistemului (S). Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 19SUBIECTUL I (30p) Varianta 019 5p1. S se rezolve n mulimea numerelor naturale inecuaia3 2 13 x + < .5p2. S se determine \astfel nct vectorii 1 2( 3) (1 ) , 2 v i j v i j = + + + = +JG G G JJG G G s fie coliniari. 5p 3. S se determine primul termen al unei progresii geometrice 1( )n nb tiind c432b =i 534b = . 5p4. Fie triunghiul isoscelABCn care12 AB AC = =i l( ) 30 mB=D. S se calculeze aria triunghiuluiABC. 5p5. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 3 38 2 x x + = . 5p6. S se rezolve sistemul 235 12y xy x x= + = +,, xy \. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 19SUBIECTUL II (30p) Varianta 019 Pe mulimea( ) 2, 2 G = se definete operaia 4( )4x yx yxy+ =+. 5p a) S se arate cx y G , pentru oricare, xy G . 5pb) S se demonstreze c legea este asociativ. 5pc) S se verifice c legea admite elementul neutru0 e = . 5pd) S se demonstreze c mulimeaGmpreun cu legea formeaz o structur de grup. 5pe) S se arate c 2( 2)( 2) 2(2 )(2 )( 2)( 2) (2 )(2 )x y x yx yx y x y+ + =+ + + , pentru orice, xy G . 5pf) S se determinex G pentru care 1 1 1 1 x = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 19SUBIECTUL III (30p) Varianta 019 Fie mulimea de matrice( )1 01M Aa aa | | = = `| \ . )\ . 5pa) S se verifice dac matricea 21 00 1I| |=|\ . aparine mulimiiM . 5p b) S se arate c pentru oricarea\ matricea( ) Aa M este inversabil. 5p c) S se arate c dac( ), ( ) Aa A b M , atunci( ) Aa ( ) Ab M . 5p d) S se arate c dac( ), ( ) Aa A b M , atunci( ) ( ) ( ) ( ) Aa Ab Ab Aa = . 5p e) S se arate ca exist o matrice( ) Ae M , cu proprietatea c( ) ( ) ( ), Aa Ae Aa = pentru orice( ) Aa M . 5pf) S se arate c( ) ( ) ( ), Ax y Ax Ay + = oricare ar fi, xy \. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 20SUBIECTUL I (30p) Varianta 020 5p1. S se determine punctele de intersecie ale graficului funciei 2: , ( ) 6 5 f f x x x = + \ \cu axele de coordonate. 5p2. S se determine lungimea laturiiBCa triunghiuluiABCtiind c4 AB AC = =i l( ) 120 mA=D. 5p3. S se rezolve n mulimea numerelor naturale ecuaia 2 2 21 262x x xA A A+ ++ + = . 5p4. S se determine raia i primul termen al unei progresii aritmetice 1( )n na tiind c 1 2 32 3 42142a a aa a a+ + = + + =. 5p 5. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 1 1 13 (0, (3))x+ = . 5p6. Se consider punctele( 3,1), (2, 0), (1, 4) A B C . S se scrie ecuaia medianei duse din vrfulA al triunghiuluiABC . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 20SUBIECTUL II (30p) Varianta 020 Pe mulimea numerelor reale se definesc legile de compoziie1 x y x y = + i 1( 3)2x y xy x y = + D . 5pa) S se demonstreze c legea D este asociativ. 5pb) S se verifice c legea D admite element neutru3 e = . 5pc) S se demonstreze c legea D este distributiv fa de legea . 5pd) S se arate cmulimea\ mpreun cu legea formeaz o structur de grup comutativ. 5pe) S se determinea\ pentru carea x a = D ,x \ . 5pf) S se rezolve n mulimea\ ecuaia 3 1 x x x = D D D . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 20SUBIECTUL III (30p) Varianta 020 Fie sistemul (S) 3 2 273 10x y azax zx y z + + = + =+ + =, unde, , xyz \ i matricea 3 20 11 1 3aA a | | |= | |\ ., cua \. 5p a) S se determine matricea 2A . 5pb) S se calculeze determinantul matriceiA. 5pc) Pentru0 a = , s se determine matricea( )3B \ Mcare verific relaia 25A B A + = . 5pd) S se determine valorile parametrului reala , pentru caretripletul( ) 2, 1, 3 verific prima ecuaie a sistemului (S). 5pe) S se determine valorile parametrului realapentru care sistemul (S) admite soluie unic. 5pf)Pentru2 a = , s se determine soluia sistemului (S). Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 21SUBIECTUL I (30p) Varianta 021 5p 1. S se rezolve n mulimea numerelor naturale nenule ecuaia ( 2)!24( 1)!nn+=.5p 2. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 2110100x= . 5p3. S se calculeze aria triunghiului dreptunghicABC , tiind c l l( ) 90 , ( ) 30 , 12 mA m C BC = = =D D. 5p4. S se determine *, a b\ tiind c punctele(4, 3), ( 2, 1) A B aparin dreptei de ecuaie1 0 ax by + + =. 5p 5. S se determine( ) 0, x +tiind c numerele2 1, 2, 8 x x x + +sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.5p6. S se determinem\ tiind c ecuaia 2( 3) 1 0 x m x + =are dou soluii reale diferite.

Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 21SUBIECTUL II (30p) Varianta 021 Pe mulimea numerelor ntregi se definete legea de compoziie2 2 x y xy x y a = + + + , cuaZ. 5pa) S se determineaZ tiind c legea admite element neutru. 5pb) Pentru2 a =s se demonstreze c legea este asociativ. 5pc) Dac2 a =s se arate c( ) ( ) ( ) 2 2 x y z x z y z + + = + + , pentru orice, , xyz Z. 5pd) Pentru2 a =s se determine mulimea { }exist, astfel nct1 M x x x x = = Z Z . 5pe) Pentru2 a =s se determine, xyZ , astfel nct3 x y = . 5p f) Fie mulimea{ } 3, 1 H = . S se determineaZ astfel nct, pentru oricare, xy H , s rezulte cx y H . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 21SUBIECTUL III (30p) Varianta 021 Fie matricele 1 01 2 12 0 1aAa = , 3 1 11 4 10 2 2B = , 0 00 1 01 0 1aCa = ,31 0 00 1 00 0 1I = , cua \. 5pa) Pentru1 a = , s se determine matricea 232 3 A A I + . 5pb) S se determine valorile parametrului reala , pentru caredet( ) 3 A a = . 5pc) S se determine valorile parametrului reala , pentru care matricea A este inversabil. 5p d) Pentru0 a = , s se determine1A, unde 1A este inversa matriceiA. 5pe) Pentru0 a = , s se rezolve ecuaia matricialAX B = . 5pf) S se determine valorile parametruluiapentru care are loc egalitateaAC CA = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 22SUBIECTUL I (30p) Varianta 022 5p1. S se determinea\ astfel nct dreptele 1d :2 2 0 ax y + + =i 2: 3 1 0 d x y + =s fie paralele.5p 2. S se calculeze valoarea expresieiE =1 22 1x xx x+ , unde 1 2, x xsunt soluiile ecuaiei 25 5 0 x x + = . 5p3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 11124x+| |= |\ .. 5p 4. S se determine primul termen i raia unei progresii geometrice 1( )n nb, tiind c2 41 36020b bb b+ = + =. 5p5. S se rezolve n mulimea numerelor naturale inecuaia 2120xA+ . 5p6. TriunghiulABCare2, 4 AC AB = =i l( ) 60 mA=D. S se calculeze lungimea laturii BC. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 22SUBIECTUL II (30p) Varianta 022 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie 3 3 31 x y x y = + . 5pa) S se rezolve n\ ecuaia1 x x = . 5pb) S se demonstreze c legea este asociativ. 5pc) S se verifice c legea admite elementul neutru1 e = . 5p d) S se determine simetricul numrului 310 x =n raport cu legea . 5pe) S se arate c numerele 3(2 2) a = , 3(2 2 2) b = i 3(2 2 2 2) c = sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 5pf) S se arate c numrul 3 332 33 m = este ptratul unui numr natural. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 22SUBIECTUL III (30p) Varianta 022 Fie sistemul (S) 2 42 32 2 5ax y zx yx ay z+ + = + = + + =, cu, , xyz \ i matricele 2 1 12 1 02 2aAa| | |= | |\ ., 31 0 00 1 00 0 1I| | |= | |\ ., cua \. 5pa) S se calculeze determinantul matriceiA. 5p b) S se determine matricea 23( ) A I . 5p c) Pentru1 a = s se determine matricea( )3B \ M care verific relaia 23B A A I = + . 5pd) S se determine valorile parametrului realapentru care tripletul( ) 1, 1, 3 verific prima ecuaie a sistemului (S). 5pe) S se determine valorile parametrului realapentru care sistemul (S) admite soluie unic. 5pf) Pentru1 a = , s se determine soluia sistemului (S). Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 23SUBIECTUL I (30p) Varianta 023 5p 1. S se calculeze 4 3 832 3 32 (2 )(1, 5)(4 ) 6 . 5p2. S se calculeze perimetrul triunghiuluiABCn care l( ) 90 , 20 mA BC = =D i l( ) 30 m C=D. 5p3. Fie punctele(1,1) Ai(2, 2) B . S se determine coordonatele punctuluiB , tiind cA este mijlocul segmentuluiBB . 5p4. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 2log (1 1) 1 x + = . 5p5. S se determine numrul real x din relaia de egalitate2 5 8 11 ... 155 x + + + + + = . 5p6. S se determine funcia de gradul al doilea 2: , ( ) f f x ax bx a = + + \ \ ,0 a tiind c are valoarea maxim egal cu 12 , obinut n punctul de abscis2 . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 23SUBIECTUL II (30p) Varianta 023 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie2 6 6 15 x y xy x y = + + + . 5p a) S se arate c2( 3)( 3) 3 x y x y = + + ,, xy \. 5pb) S se demonstreze c legea este asociativ. 5pc) S se verifice c legea admite elementul neutru 52e = . 5p d) Se consider mulimea( ) 3, G = + . S se arate c pentru oricare, xy G , rezult cx y G . 5p e) S se arate c mulimea( ) 3, G = +mpreun cu legea formeaz o structur de grup. 5pf) S se determinen` pentru care are loc egalitatea 32 ( 3) 3nx x x x = + ,x \ . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 23SUBIECTUL III (30p) Varianta 023 Fie matricele 3 24 1b aA = , 00 1aB = , 2 41 3C = , cu, a b\. 5pa) S se determine matriceaM AB BA = . 5pb) Pentru3 a = , s se determine valorile parametrului realbpentru caredet( ) 6 A= . 5pc) Pentru8 b =s se determine valorile parametrului realapentru care matricea A este inversabil. 5pd) tiind c parametrii realia i bverific relaia3 8 b a , s se determine 1A, unde 1A este inversa matriceiA. 5pe) Pentru1 a =i3 b = , s se rezolve ecuaia matricialAXB C = . 5pf) S se determine perechile de numere reale( ) , a bpentru care are loc egalitateaAB BA = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 24SUBIECTUL I (30p) Varianta 024 5p1. S se determinea\, tiind c dreptele 1: 2 0 d x y + =i2: 2 1 0 d x ay + =sunt perpendiculare. 5p2. S se determine mulimea { }* 1| 3nA n A = < ` . 5p 3. S se rezolve sistemul de ecuaii 22 11y xy x x= = +,, xy \. 5p4. S se calculezeS =3 1sin120 cos1202 2+D D. 5p5. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaialg lg( 3) 1 x x + + = . 5p6. S se determinex\ din ecuaia 1 7 13 19 ... 280 x + + + + + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 24SUBIECTUL II (30p) Varianta 024 Pe mulimea( ) 2, G = +se definete operaia 2 2 2 24 4 20 x y x y x y = + . 5p a) S se arate c 2 2( 4)( 4) 4 x y x y = + ,, xy G . 5pb) S se arate cx y G , pentru oricare, xy G . 5pc) S se demonstreze c legea este asociativ peG . 5p d) S se verifice c legea admite elementul neutru5 e = . 5pe) S se demonstreze c mulimeaGmpreun cu legea formeaz o structur de grup. 5p f) S se determine numerele naturale, xy G pentru care8 x y = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 24SUBIECTUL III (30p) Varianta 024 Fie matricele 2 14 2M = , 21 00 1I = ,22 A M a I = + , cua \. 5pa) S se determine matriceaA. 5pb) S se determine valorile parametrului reala , pentru caredet( ) 36 A= . 5pc) Pentru{} \ 0 a \ , s se determine1A, unde 1A este inversa matriceiA. 5pd) Pentru 12a = , s se rezolve ecuaia matricealAX M = . 5pe) S se verifice c 2 224 4 A aA aI = , pentru oricea\. 5pf) S se arate c( )3 224 3 2 A a M aI = + , pentru oricea\. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 25SUBIECTUL I (30p) Varianta 025 5p1. S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctele(1, 0) Ai(0,1) B .5p2. Cheltuielile de transport ale unei firme reprezint 5 % din capitalul acesteia. tiind c pentru transport s-au folosit 22000 lei, s se determine capitalul firmei. 5p 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale inecuaia 23 2 0 x x + .5p4. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 3log ( 3) 1 x + = . 5p 5. S se determine termenul 10aal unei progresii aritmetice( )1nna tiind c 2 6 48 7 472a a aa a a + = =. 5p6. TriunghiulABCare l( ) 90 , 6, 12 mA AC BC = = =D. S se calculeze lungimea laturii AB. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 25SUBIECTUL II (30p) Varianta 025 Pe mulimea numerelor ntregi se definesc legile de compoziie5 x y x y = + i 5 5 30 x y xy x y = + D . 5pa) S se arate c legea D este asociativ. 5pb) S se verifice c legea D admite elementul neutru6 e = . 5pc) S se arate c legea D este distributiv fa de legea . 5pd) S se demonstreze cZ mpreun cu legea formeaz o structur de grup comutativ. 5p e) S se arate c( ) ,, D Zeste inel. 5pf) S se determine numrul ntreg x pentru care 2x x x = D . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 25SUBIECTUL III (30p) Varianta 025 Fie matricea 0 10 11 1 1aA b| | |= | |\ ., undea ibsunt parametri reali. 5pa) S se calculeze determinantul matriceiA.5pb) Pentru4 b = , s se determine valorile parametrului realapentru caredet( ) 5 A= . 5pc) Pentru2 a = , s se determine valorile parametrului realbpentru care matriceaA este inversabil. 5p d) Pentru2 a =i0 b = , s se determine1A, unde 1A este inversa matriceiA. 5pe) Fie ecuaia de gradul al doilea 24 7 0 x x =ale crei soluii sunt 1xi2x . Dac 1a x =i 2b x =s se calculeze determinantul matriceiA. 5p f) S se rezolve sistemul de ecuaii 2 514x zzx y z+ = = + + =, unde, , xyz \. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 26SUBIECTUL I (30p) 5p 1. Fie mulimile { 1 3} A x x = `i{ 1 4} B x x = < Z . S se determine A B . 5p 2.tiindcoprogresiearitmetic( )1nnaareprimultermen 15 a = iraia3, r = ssedetermine termenul 2009a .5p 3. S se determinex\ pentru care 22 1 0 x x + . 5p 4. S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctele( ) 1, 2 A i( ) 2, 1 B . 5p 5. S se rezolve n\ ecuaia9 4 3 3 0x x + = . 5p6. TriunghiulABCare( ) 90 m A=D) , 6 AB =i3 6 BC = . S se calculeze aria triunghiuluiABC . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 26SUBIECTUL II (30p) Varianta 026 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie( ) 2 2 2 x y xy x y = + + + . 5pa) S se arate c ( )( )2 2 2 x y x y = + , pentru orice, xy \. 5pb) S se calculeze2 x , undex\. 5pc) S se demonstreze c legea este asociativ. 5pd) S se determine elementul neutru al legii . 5pe) S se demonstreze c structura algebric( ) , \nu este grup.5pf) S se calculeze ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 0 1 2 3 . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 26SUBIECTUL III (30p) Varianta 026 Fie sistemul de ecuaii( ) S( )22 31 6 9x ya x y+ = + = i matricea 21 21 6Aa| |= | |\ ., a\. 5pa) S se calculeze( ) det , A pentru2. a =5p b) Pentru2 a = , s se verifice egalitatea 27 A A = . 5pc) S se determinea\ pentru care( ) det 0 A= . 5pd) S se determinea\, tiind c perechea 3 6,5 5| | |\ . este soluie a sistemului ( ) S . 5pe) S se rezolve sistemul( ) Spentru\ { 2,2} a \ . 5p f) S se determinea\ astfel nct sistemul s admit o soluie( )0 0, x ycu 0x ] i 0y ] Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 27SUBIECTUL I (30p) Varianta 027 5p 1. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 25 5x= . 5p 2. S se calculezesin120 .D 5p 3. S se calculeze distana dintre punctele( ) 1, 2 Ai( ) 2,1 . B5p 4.Ssecalculezeprobabilitateaca,alegndunelementdinmulimea{ } 0, 1, 2, 3, 4, 5 ,acestasfie soluie a ecuaiei 24 3 0 x x + = . 5p 5. S se determine primul termen 1aal unei progresii aritmetice( )1nna tiind c 1 51 3162 20a aa a+ = + =. 5p 6. S se rezolve n\ inecuaia 23 2 1 x x x + + > . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 27SUBIECTUL II (30p) Varianta 027 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie( )22009 2009 2009 x y xy x y = + + + D . 5pa) S se arate c( 2009)( 2009) 2009 x y x y = + D ,, xy \ 5pb) S se demonstreze c legea D este asociativ. 5pc) Folosind eventual a) s se calculeze2009 2009 2009 2009 D D D . 5pd) S se determine elementul neutru al legii D . 5pe) Se consider mulimea[ ) 2009, H = + . S se arate cx y H D , pentru oricare, xy H . 5pf) S se rezolve n mulimea\ ecuaia( )21 2009 x x = D . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 27SUBIECTUL III (30p) Varianta 027 Fie sistemul de ecuaii (S) ( )( )( )2222 12 12 1x y a zx a y za x y z+ + + =+ + + =+ + + = i matricea 2221 1 21 2 1 , .2 1 1aA a aa| |+ | | = + | |+\ .\5pa) Pentru0 a = , s se calculeze( ) det A . 5pb) S se rezolve sistemul( ) S , pentru0 a = . 5pc) S se determinea\, astfel nct 1 1 1, ,5 5 5| | |\ .s fie soluie a sistemului( ) S . 5pd) S se arate c( ) det 0 A< , pentru oricarea\. 5pe) tiind c( ) , , t uveste soluie a sistemului( ) S s se calculeze, t u v + +pentru. a\5p f) S se arate c dac( ) , , t t teste soluie a sistemului( ) S , atunci 10 , .4t|

\ Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 28SUBIECTUL I (30p) Varianta 028 5p 1. Se consider vectorii 13 4 v i j = +

i 24 3 v i j = +

. S se calculeze 1 2v v + . 5p 2. TriunghiulABCare( ) 30 , ( ) 45 m A m B = = i2 BC = . S se calculeze lungimea laturii. AC5p 3. S se calculeze suma 1 2 3 1001 2 2 2 2 . S = + + + + + 5p4. S se rezolve n ecuaia( )2log 2 1 0 x + = . 5p 5. tiind c 1 2, x xsunt soluiile ecuaiei 27 3 0, x x + + =s se calculeze 2 21 21 1.x x+5p 6. S se determine valorile parametrului realm astfel nct 22 5 0, x x m + >pentru orice. x Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 28SUBIECTUL II (30p) Varianta 028 Pe mulimea numerelor reale se definesc legile de compoziie ( )( ) 1 112x yx y+ + = i ( )( )* *1 11,sau 21,0x yx yx yx y + + = = =\ \D . 5pa) S se demonstreze c legea de compoziie este asociativ pe\. 5pb) S se arate c existe\, astfel nct, x e x =pentru oricex\. 5p c) S se arate c structura algebric( ) , \nu este grup. 5p d) S se calculeze( ) ( ) ( )2009 termeni1 0 1 1 0 1 ... 1 0 1

. 5pe) Se consider mulimea{ } 1, 0,1 H = . S se arate cx y H D , pentru oricare, xy H . 5pf) S se arate c legea D admite element neutru pe{ } 1, 0,1 H = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 28SUBIECTUL III (30p) Varianta 028 Fie matricele 0 1 00 0 11 0 0A = i 31 0 00 1 00 0 1I = . 5pa) S se calculeze( )3det . A I +5p b) S se calculeze tA A + , unde tA este transpusa matricei A. 5p c) S se calculeze 3A . 5p d) S se determine 1A, unde 1A este inversa matriceiA. 5pe) S se verifice egalitatea( )( )23 3 32 . A I A A I I + + =5pf) S se determinep\pentru care matricea 3A pI +nu este inversabil. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 29SUBIECTUL I (30p) Varianta 029 5p 1. S se rezolve n\ inecuaia 26 5 0. x x + 5p 2. S se rezolve n\ ecuaia( )3log 1 1 x + = . 5p 3. ntr-o progresie geometric( )1,nnacu termeni pozitivi, se tie c 13 a =i 327. a =S se calculeze raia progresiei geometrice. 5p 4. S se determine numrul elementelor din mulimea { }0 1 2 37 7 7 7, , , C C C Ccare sunt numere naturale impare. 5p 5. S se determinex\ pentru care vectorii4 a xi j = +G G G i2 b i j = G G G sunt coliniari. 5p6. TriunghiulABCare( ) 90 m A=D) ,( ) 60 m B =D)i9. AC =S se calculeze lungimea nlimiiAD a triunghiuluiABC . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 29SUBIECTUL II (30p) Varianta 029 Pe mulimea numerelor reale se definesc legile de compoziie 12xy x yx y+ + =i * *1,sau 21,0xy x yx yx yx y+ + = = =\ \D . 5pa) S se demonstreze c legea de compoziie este asociativ pe\. 5pb) S se calculeze( 1) x , undex\. 5pc) S se calculeze( ) ( ) ( ) 2009 20087 ... 1 0 1 ... 2008 2009 . 5pd) S se arate c legea admite element neutru. 5p e) Se consider mulimea{ } 1, 0,1 H = . S se arate cx y H D , pentru oricare, xy H . 5p f) S se arate c legea D admite element neutru pe H. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 29SUBIECTUL III (30p) Varianta 029 Fie matricele 15aAa = i 21 00 1I = , a]. 5pa) S se calculeze ( )dettA , unde tA este transpusa matricei A. 5pb) S se calculeze suma elementelor matricei 2. A aI 5pc) S se verifice egalitatea( )22 25 A aI I = . 5pd) S se arate c pentru oricea], matricea A este inversabil. 5pe) Pentru { }\ 5 a \s se determine1A, unde 1A este inversa matriceiA. 5pf) S se determinea], astfel nct( )12A ] M . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 30SUBIECTUL I (30p) Varianta 030 5p 1. S se calculezecos120 .

5p2. S se rezolve n ecuaialg 2 x = . 5p 3. S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctul( ) 1,1 Mi are panta egal cu2 . 5p 4. S se determine valoarea minim a funciei( )2: , 2 3. f f x x x = + 5p 5. Fie funcia( ) : , 5 1. f f x x = +S se calculeze() ( ) ( ) 1 2 30 . f f f + + + 5p 6. S se calculeze 1 1 1.1 2 2 3 99 100+ + ++ + + Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 30SUBIECTUL II (30p) Varianta 030 Pe intervalul[ ) 1, I = +se definete operaia 2 2 2 22 x y x y x y = + . 5pa) S se arate cx y I , pentru oricare, xy I . 5pb) S se arate c legea de compoziie este asociativ. 5pc) S se determine elementul neutru al legii . 5pd) S se arate c( )( )2221 1 x x x = , pentru oricex I . 5p e) S se alctuiasc tabla legii de compoziie definit pe mulimea { }0,1, 2 H = . 5pf) S se determine elementele simetrizabile ale mulimii { }0,1, 2 H =n raport cu legea definit peH . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 30SUBIECTUL III (30p) Varianta 030 Fie matricele 11aAa = i 2, B A aI a = \ . 5pa) S se calculeze produsul elementelor matricei B. 5pb) S se arate c A este matrice inversabil, pentru oricarea\. 5p c) S se verifice egalitatea 22 2B I O + = . 5p d) S se calculeze 1B B+ , unde 1B este inversa matriceiB . 5p e) S se calculeze2 3 4B B B B + + + . 5p f) S se arate c nu exista] pentru care( ) det 2009 A= . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 31SUBIECTUL I (30p) Varianta 031 5p 1. S se calculeze 2 23 3A C + . 5p2. TriunghiulABCare( ) 90 m A=D) , 10 BC =i( ) 30 m C =D) . S se calculeze aria triunghiului ABC . 5p 3. S se determine parametrul realm astfel nct ecuaia 22 2 0 x mx m + =s aib soluii egale. 5p4. S se rezolve n\ ecuaia 31 2 x + = . 5p 5. S se determine raia unei progresii aritmetice( )1nna tiind c2 53 92636a aa a+ = + =. 5p 6. S se calculeze perimetrul triunghiuluiABCcu vrfurile( ) ( ) ( ) 1,1 , 2,2 , 1,2 .A B C Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 31SUBIECTUL II (30p) Varianta 031 Pe mulimea numerelor ntregi se definesc legile de compoziie2 x y x y = + i2 2 6 x y xy x y = + D . 5pa) S se determine elementul neutru al legii . 5pb) S se demonstreze c legea este asociativ. 5pc) S se arate c legea D admite element neutru pe]. 5p d) Se consider mulimea{ } / 2 1, H x x k k = = + ] ] . S se arate cx y H D , pentru oricare, xy H . 5p e) S se demonstreze c are loc egalitatea( ) ( ) ( ) x y z x z y z = D D D , pentru orice, , xyz ]. 5p f) S se arate c( ) , , ] Deste inel. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 31SUBIECTUL III (30p) Varianta 031 Fie matricele 1 1 11 1 11 1 1A = i 1 1 12 2 21 1 1B = . 5p a) S se calculeze 23 B B . 5pb) S se verifice egalitatea3 BA B = . 5pc) S se arate cAB BA . 5pd) S se arate c toate elementele matricei( ) ( )2 2AB BA sunt egale. 5pe) S se determinep\astfel nct( ) ( )2A B p A B + = + . 5p f) S se calculeze( ) ( )( )2009 2009det AB BA + . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 32SUBIECTUL I (30p) Varianta 032 5p 1. S se determine0 A >tiind c 2 2 2 21log log 3 log 4 log3A = + + . 5p 2. S se calculeze al cincilea termen al unei progresii geometrice( )1nnb tiind c 113b=i raia3. q =5p3. S se rezolve n\ ecuaia3 7 5 0 x + = . 5p 4. S se determinea\ astfel nct punctul( ) 1, 2 As se afle pe dreapta de ecuaie1 0. ax y + =5p5. S se determine parametrul realmastfel nct reprezentarea grafic a funciei : f \ \, ( )2 =3 1 f x x mx + +s intersecteze axaOxn punctul( ) 1, 0 . A5p6. n triunghiulABCse tie c2, 4 AC AB = =i( ) 60 m A=D) . S se calculeze lungimea laturii.BC Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 32SUBIECTUL II (30p) Varianta 032 Seconsider{ } 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 M = ,mulimeatuturorresturilorobinuteprinmprireanumerelor naturalela8.PemulimeaM sedefinesclegiledecompoziiex y r = : ,under esterestulmpririi produsuluix y la 8 ix y p = , undepeste restul mpririi sumei( ) x y +la 8. Se admite c legile de compoziie" " : i" " sunt asociative. 5pa) S se alctuiasc tablele legilor de compoziie" " : i" " definite pe mulimeaM . 5p b) S se arate c( ) ( ) ( ) 5 6 7 5 7 6 7 = : : : . 5pc) S se calculeze 2010 cifre7 7 ... 7 : : :

. 5pd) S se determine elementele simetrizabile ale mulimiiMn raport cu legea" " : . 5p e) Se consider mulimea{ } 0, 2, 4, 6 H = . S se arate cx y H , pentru oricare, xy H .5pf) Fie mulimea{ } 1, 3, 5, 7 . G =S se demonstreze c mulimeaGmpreun cu legea de compoziie " " : formeaz o structur de grup comutativ. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 32SUBIECTUL III (30p) Varianta 032 Fie sistemul de ecuaii (S) ( )212 1 2x yax a y+ = + + = i matricele 21 12 1Aa a| |= | |+\ .20 0,0 0O| |= |\ .,a\ . 5pa) Pentru1 a = , s se verifice egalitatea( )2 23 AA I O = . 5p b) S se arate c( ) det 0 A , a \ . 5pc) S se determinea\ pentru care1, 2 x y = =este soluie a sistemului (S). 5pd) S se determinea\ pentru care matricea sistemului (S) este inversabil. 5p 5p e) S se determinea\ pentru care sistemul (S) admite o soluie( )0 0, x ycu 0 0, x y ` . f) S se rezolve sistemul( ) S pentru{ } \ 1 a\ . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 33SUBIECTUL I (30p) Varianta 033 5p 1. S se determine funcia ( ) : , f f x ax b = + \ \ , cu, a b\, al crei grafic trece prin punctele( ) 0,1 Ai( ) 1, 2 . B5p 2. S se rezolve n\ ecuaia 22 8 0 x x = . 5p 3. TriunghiulABCare2, BC = ( ) 45 m A=D)i( ) 60 . m B=D)S se calculeze lungimea laturii. AC5p4. Se consider vectorii3 a i j = +G G G ib i j = +G G G. S se calculeze 1 1.2 4a b +G G 5p 5. S se rezolve n\ ecuaia( )12log 2 3. x + = 5p 6. S se arate c numrul 221 3 3 53 3 5N = + este natural. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 69SUBIECTUL II (30p) Varianta 033 Pe mulimea( ) 1, G = +se definete legea de compoziie 3 31 log log x y x y = + + D . 5p a) S se arate cx y G D , pentru oricare, xy G . 5pb) S se compare numerele 2 3 4(3 3 ) 3 a = D Di 2 3 43 (3 3 ) b = D D . 5pc) S se demonstreze c legea D nueste asociativpeG . 5p d) S se demonstreze c 3 3 1m nm n = + + D , pentru oricare *, m n` . 5p e) S se rezolve ecuaia3 9 10x x= Dn mulimeaG . 5pf) S se calculeze1 2 3 4 5 6 11 12(3 3 ) (3 3 ) (3 3 ) ... (3 3 ) + + + + D D D D . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 33SUBIECTUL III (30p) Varianta 033 Fie matricele( )1 2,1 2A X x y = = i( ) 1 , B a a = \. 5pa) S se calculeze( ) det aA . 5pb) Pentru2 a =s se verifice egalitatea( ) XA x y B = + . 5p c) S se arate c 23 A A = . 5p d) S se determine, , ax y\pentru care are loc egalitatea ( )2 tB X A = , unde tBeste matricea transpus a matriceiB . 5pe) S se arate c matricea 2I pA +este inversabil pentru orice 13p . 5pf) S se determineb\astfel nct( )12 2I bA I A+ = + , unde( )12I A+ este inversa matricei 2I A + . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 34SUBIECTUL I (30p) Varianta 034 5p 1. Se consider vectorii2 a i j = G G G i2 b i j = +G G G. S se calculeze lungimea vectorului 2 . a b G G 5p2. S se arate c 32log 16este numr natural. 5p3. S se rezolve n\ ecuaia 22133x = . 5p 4. S se determinem\ pentru care ecuaia 25 0 x x m + =are soluii reale egale. 5p 5. S se calculeze suma primilor zece termeni ai unei progresii aritmetice( )1nna tiind c 33 a =i 69 a = . 5p 6. S se arate c n orice triunghiABCare loc relaia ( )2 2 21cos cos cos2ab C bc A ca B a b c + + = + + ,unde, ,a bc sunt lungimile laturilor, BC AC , respectiv. AB Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 34SUBIECTUL II (30p) Varianta 034 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziiex y x y m = + + , undem] . 5pa) S se arate c legea de compoziie" " este asociativ. 5pb) S se determine m astfel nct6 e = s fie elementul neutru al legii" " , 5p c) S se rezolve n\ ecuaia 2x x m = . 5p d) S se demonstreze c dac m este numr strict pozitiv, atunci ecuaia 20 x x =nu are soluii reale. 5p e) S se calculeze( ) ( ) x x y y . 5pf) S se determine m astfel nct ( ) ( )3 2 2 3 6 = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 34SUBIECTUL III (30p) Varianta 034 Se consider matricele( )21 1 11 21 4Aa aa = , 21X aa = , 100B = i 30 0 00 0 00 0 0O = ,a\. 5pa) S se calculeze( ) ( )det 0 A . 5pb) S se verifice egalitatea( ) Aa B X = . 5pc) S se determinea\ pentru care are loc egalitatea ( ) ( )3Aa A a O = . 5p d) S se calculeze( )tX B Aa , unde tBeste transpusa matriceiB . 5pe) S se arate c( ) ( )det Aaeste numr par pentru oricea]. 5p f) S se determinea\ pentru care are loc egalitatea( ) Aa X B = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 35SUBIECTUL I (30p) Varianta 035 5p1. Fie mulimile { }3 2 A x x = < Zi { }1 6 B x x = ` . S se determine mulimea. A B 5p 2. S se determine funcia ( ) : , f f x ax b = + \ \ , cu, a b\, astfel nct( ) 4 4 f =i( ) 2 6. f =5p 3. S se rezolve n\ ecuaia ( )2log 3 2 3 x + = . 5p4. S se calculeze valoarea expresiei 2 21 21 E x x = + , unde 1xi 2xsunt soluiile ecuaiei 25 1 0. x x + =5p 5. S se determine lungimea laturiiAB a triunghiuluiABCtiind c8, ( ) 45 BC m A = =D)i ( ) 105 . m B=D)5p6. Fie triunghiulABCoarecare iOun punct arbitrar din plan. S se demonstreze c . AB AC OB OC = JJJG JJJG JJJG JJJG Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 35SUBIECTUL II (30p) Varianta 035 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie( )( ) 2009 2009 2009 2009 x y x y = + . 5pa) S se demonstreze c legea" " este comutativ. 5pb) S se determiney \ , astfel nctx y x = , x \ . 5pc) S se determinez \ , astfel nctx z z = , x \ . 5pd) S se demonstreze c{ } \ 2009 x y \ , pentru orice{ } , \ 2009 xy \ . 5p e) S se arate c legea" " determin pe{ } \ 2009 \ o structur de grup comutativ. 5pf) S se determine dou numere, \ a b\ _ cu proprietatea ca b ]. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 35SUBIECTUL III (30p) Varianta 035 Se consider matricele 1 2 22 1 22 2 1A = , 31 0 00 1 00 0 1I = , xX yz = i aB aa=, cu, , , axyz \. 5pa) S se calculeze( )3det A I + . 5pb) S se calculeze 34 5 A I + . 5pc) S se arate c 234 5 A A I = + . 5pd) S se rezolve n mulimea\ ecuaia( ) det 40 zA= . 5p e) S se arate c dac tuv este soluie a ecuaiei matricialeAX B = , atuncit u v = = . 5pf) S se determine 1, A unde 1A este inversa matricei A. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 36SUBIECTUL I (30p) Varianta 036 5p 1. S se calculeze probabilitatea ca, alegnd un element al mulimii{ } 0,1, 2, 3, 4 , acesta s fie soluie a ecuaiei 25 6 0 x x + = . 5p2. Triunghiul ascuitunghicABCare2 2, 4 BC AC = =i( ) 30 . m A=D) S se determine( ) m B ) . 5p 3. Fie triunghiulABC . S se determinek Z astfel nct2 AB BC CA k AC + + = JJJG JJJG JJJG JJJG. 5p 4. S se determine funcia ( ) : , f f x ax b = + \ \ , cu, a b\, astfel nct graficul ei s treac prin punctele( ) 0,5 Ai( ) 5, 10 B . 5p5. S se rezolve n\ ecuaia 2lg 6lg 5 0. x x + =5p6. S se determinexZ pentru care ( )( )2 21 5 0. x x + Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 36SUBIECTUL II (30p) Varianta 036 Pe mulimea{ } 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 M =se definete legea de compoziiex y = ultima cifr a produsuluix y . Se admite c legea de compoziie" " este asociativ pe mulimea M. 5pa) S se arate c5 0, x =pentru oricexnumr par din mulimea M. 5pb) S se alctuiasc tabla legii de compoziie" " . 5pc) S se calculeze 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . 5pd) S se determine elementele simetrizabile mulimii M n raport cu legea" " . 5pe) Se consider mulimea{ } 0, 2, 4, 6,8 H = . S se arate cx y H , pentru orice, x y H . 5pf) S se rezolve ecuaia( ) 3 7 9 x = , undex M . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 36SUBIECTUL III (30p) Varianta 036 Fie sistemul de ecuaii (S)

x y z ax y z ax y z a + + = + =+ = i matricele 31 1 1 1 0 01 1 1 , 0 1 01 1 1 0 0 1A I | | | | ||= = || ||\ . \ ., cua\. 5pa) S se calculeze( )3det A I + . 5p b) S se determinea\, pentru care( ) 2, 2, 2 este soluie a sistemului (S). 5pc) S se rezolve sistemul (S) pentru0 a = . 5pd) S se verifice egalitatea 232 A A I + = . 5p e) S se determine 1A, unde 1A este inversa matriceiA.5p f) S se determine soluia( ) , , t uva sistemului (S) care verific relaia2 3 6 t u v + + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 37SUBIECTUL I (30p) Varianta 037 5p 1. S se determinex\ astfel nct vectorii2 a xi j = G G G i4 b i j = +G G G s fie coliniari. 5p 2. S se calculezecos135 .D 5p 3. S se rezolve n\ ecuaia25 6 5 5 0.x x + =5p 4. S se determine funcia ( ) ( ) : , 3 4 f f x m x = + \ \cu{ } 3 m \astfel nct punctul ( ) 1,2 A ms aparin graficului funciei f. 5p 5. S se rezolve ecuaia 3 22n nC C = , unde, 3. n n `5p 6. Ecuaia 23 0 x x =are soluiile 1 2, x x . S se calculeze 1 22 1x xx x+ . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 37SUBIECTUL II (30p) Varianta 037 Pe mulimea numerelor naturale se definete legea de compoziiex y r = , undereste restul mpririi produsuluix y la 10. Se admite c legea" " este asociativ pe`. Se consider mulimea{ } 1, 3, 5, 7, 9 . I =5pa) S se arate c 10 0, x x = ` . 5pb) S se calculeze5 5 5 5 5 . 5pc) S se arate cx y I , pentru oricare, xy I . 5pd) S se demonstreze c legea" " determin pe mulimea{ } \ 5 Io structur de grup comutativ. 5pe) S se calculeze2 4 6 ... 2008 2010 . 5pf) S se demonstreze c legea" " nu admite element neutru. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 37SUBIECTUL III (30p) Varianta 037 Se consider matricele 3 32 1 1 1 0 0 0 0 01 2 1 , 0 1 0 , 0 0 01 1 2 0 0 1 0 0 0A I O = = = . 5pa) S se calculeze( )3det A I . 5pb) S se calculeze 235 4 A A I + . 5pc) S se arate c 131 54 4A A I= + , unde 1A este inversa matriceiA. 5pd) S se verifice egalitatea ( )( )11detdetAA= . 5p e) S se determine, yz \ , pentru care 23 3A yA zI O + + = . 5p f) S se calculeze ( )dettaA A + , unde tA este transpusa matricei A ia\. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 38SUBIECTUL I (30p) Varianta 038 5p 1. S se calculeze5 6 5 6 . + 5p2. TriunghiulABCare( ) 90 m A=D) , 16 BC =i( ) 45 m B=D) . S se calculeze aria triunghiuluiABC . 5p3.Fiedreptele 1: 3 0 d x y + = i 2: 1 0 d mx y + = .Ssedeterminem\astfelnctdreptele 1 2id ds fie paralele. 5p 4. S se determine valorile parametrului realm pentru care 24 0, x x m + + >oricare ar fix\. 5p 5. S se determine funcia ( ) : , f f x ax b = + \ \ , cu, a b\, astfel nct punctele 1 1,2 2A i ( ) 0, 3 B s aparin graficului funciei. 5p 6. S se rezolve n\ ecuaia 16 4 5 4 .x x+ = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 SUBIECTUL II (30p) Varianta 038 n mulimea_ a numerelor raionale se consider submulimile { }2nM n = ]i { }2P n n = ] . 5pa) S se demonstreze c produsul oricror dou elemente din M este tot un element al mulimii M. 5pb) S se arate c nmulirea numerelor raionale determin pe mulimea M o structur de grup comutativ. 5p c) S se arate cx y P , pentru oricare, x y P . 5pd) S se determine mulimea( ) {U P x P x = este element inversabil al mulimiiPn raport cu nmulirea numerelor ntregi}.5pe) S se demonstreze c produsul a patru elemente din mulimea M care au exponeni naturali consecutivi este element al mulimii P. 5pf) S se arate cM P . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 38SUBIECTUL III (30p) Varianta 038 Fie matricele 2 21 3 1 0 0 0, ,1 2 0 1 0 0A I O = = = . 5p a) S se calculeze 2A . 5pb) S se arate c( )( )2det det A A = . 5p c) S se determine, xy \ pentru care are loc egalitatea 22 2A xA yI O + + = . 5p d) S se verifice egalitatea 2 32A A A O + + = . 5p e) Calculai 2 28... A A A + + + . 5pf) S se arate c pentru oricea\ matricea 2aI A +este inversabil. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 39SUBIECTUL I (30p) Varianta 039 5p 1. S se rezolve n\ ecuaia( ) lg 3 4 1. x + =5p 2. S se calculeze distana dintre punctele( ) ( ) 1, 7i0, 5 A B . 5p3. TriunghiulABCare( ) 90 m A=D) ,( ) 30 m C=D)i20. BC =S se calculeze lungimea laturiiAC .5p 4. S se arate c 22nnAC` , pentru orice,2. n n `5p5. S se rezolve n\ inecuaia 11.3xx+ , oricare ar fi. x\ Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 39SUBIECTUL II (30p) Varianta 039 Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie( )( ) 8 8 8 8 x y x y = + . Se consider mulimea[ ) 8, H = + .5pa) S se calculeze8 x , undex\. 5pb) S se demonstreze c legea" " este asociativ. 5pc) S se calculeze( ) ( ) 8 7 ... 0 ... 7 8 . 5p d) S se arate cx y H , pentru oricare, xy H . 5pe) S se arate c legea" " admite element neutru pe mulimea H. 5pf) S se arate c exist, \ a b_] cu proprietatea ca b ]. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 39SUBIECTUL III (30p) Varianta 039 Fie matricele 21 1 2 1 1 0 0, , , ,1 0 1 0 2 0 0 0aA B C O a = = = = \. 5pa) S se calculeze2 B C . 5p b) S se demonstreze ca \are loc egalitatea( ) det 0 A B C + + = . 5pc) S se determinea\ pentru care 2A B C O + + . 5pd) S se scrie sistemul de ecuaii cu necunoscutele, , x y zobinut din egalitatea 2xA yB zC O + + = . 5pe) Pentru0 a =s se determine, , xyz \ care verific egalitatea 2xA yB zC O + + = . 5pf) S se arate c dac, , xyz \ verific egalitatea 2xA yB zC O + + = , atunci, x y z a = = \. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 40SUBIECTUL I (30p) Varianta 040 5p 1. S se calculezesin135 .D 5p2. S se demonstreze c numrul7 3 3 7 2 3 7 + + este natural. 5p 3. Fie triunghiulABC . S se determinek Zastfel nct3 3 AB BC AC k AC + + = JJJG JJJG JJJG JJJG.5p4. S se rezolve n\ ecuaia2 4 4. x =5p5. S se determinem\ astfel nctgraficulfunciei( )2: , 3 1 f f x x mx = + + \ \s treac prin punctul( ) ,5 . Am5p6. S se rezolve n\ inecuaia 21.1xx+>+

Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 40SUBIECTUL II (30p) Varianta 040 Pe mulimea numerelor naturale se definete legea de compoziiex y r = , undereste restul mpririi produsuluix y la 10. Se admite c legea" " este asociativ pe`. Se consider mulimea{ } 2, 4, 6,8 P = . 5pa) S se arate c 10 0, x x = ` . 5pb) S se calculeze6 6 6 6 . 5p c) S se arate cx y P , pentru oricare, xy P . 5pd) S se demonstreze c legea" " determin pe mulimeaPo structur de grup comutativ. 5pe) S se rezolve ecuaia( ) 2 4 8 x =n mulimea P. 5pf) S se calculeze 1 2 3 ... 2008 2009 . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 40SUBIECTUL III (30p) Varianta 040 Fie matricele 21 1 1 0,1 1 0 1A I = = i 20 00 0O = . 5p a) S se calculeze 3A . 5pb) S se verifice egalitatea( ) ( )32 2 2I A I A I A + = + . 5pc) S se arate c( )2det 0 aI aA + pentru oricarea\. 5pd) S se arate c, pentru oricarea\, matricea 2I aA +este inversabil. 5p e) S se arate c, pentru oricarea\, existb\ , astfel nct( ) ( )2 2 2I aA I bA I + + = . 5pf) S se arate c dac matricele( )2x yXx y = \ Mau proprietatea c 2XA O = , atunci ( )22 2X I I = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 41SUBIECTUL I (30p) Varianta 041 5p1.4020 leireprezint25% dintr-o sum de bani. S se determine suma de bani. 5p2. Fie vectorii3 5 a i j = +G G G i2 b i j = +G G G. S se calculeze 1 1.3 2a b +G G 5p 3. n triunghiulABCse cunosc( ) 60 , =2 3, = 3. m A AC AB =D)S se calculeze lungimea laturii. BC5p 4. S se rezolve n\ ecuaia 242 32.x x +=5p5. S se rezolve n\ inecuaia 2 12.3xx< 5p6. Fie funcia( )2: , 2 1, . f f x x mx m = + + \ \ \S se determinem astfel nct soluiile 1 2, x xale ecuaiei( ) 0 f x =s verifice relaia 2 21 214 x x + > . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 41SUBIECTUL II (30p) Varianta 041 Fie mulimile { }{ }2 22 , , , 1, 2, 4, 6,8,9 M x x a b a b H = = + = ` ]i legea de compoziie definit pe mulimea{} \ 0 ` ,x y = ultima cifr a numrului yx . 5pa) S se demonstreze cH M . 5p b) S se determine, a b` pentru care 2 21 2 a b = + . 5pc) S se determine elementele inversabile din mulimeaMn raport cu operaia de nmulire a numerelor naturale. 5pd) S se verifice c9 2 2 9 . 5pe) S se arate cx y H , pentru oricare, xy H . 5pf) S se determine o submulime cu dou elemente a mulimii H pe care legea" " este comutativ. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC_Proba D, MT3, programa M4 41SUBIECTUL III (30p) Varianta 041 Fie matricea 0 1 21 2 0A += i mulimea( ) { }2,, G Ma b aI bA a b = = + ]5pa) S se determine suma elementelor matricei( ) 1,1 M . 5pb) S se verifice egalitatea 22 2A I O + = . 5p c) S se calculeze( ) ( )det , Ma b . 5pd) S se determine matricele neinversabile din mulimea G. 5p e) tiind c( ) , Ma beste matrice inversabil, s se arate c( )12 2 2 2, ,a bM a b Ma b a b = + + , unde ( )1, M a b este inversa matricei( ) , Ma b . 5pf) S se determinea], pentru care( )1,1 M a G . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATICProba D, MT3, programa M4 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC Proba D Filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-educatoare. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 42SUBIECTUL I (30p) Varianta 042 5p 1. S se calculeze aria triunghiuluiABC, tiind c( ) 90 m A=D) ,12 BC =i6 AC = .5p2. S se calculeze3 1 3 3 1. + 5p3. Preul de vnzare al unui televizor este de476 lei.Care este preul frTVAal televizorului tiind c procentulTVAeste de 19%?5p 4. S se determine funcia ( ) : , f f x ax b = + \ \ , cu, a b\, astfel nct graficulei s intersecteze axaOxn punctul( ) 2, 0 Ai axaOyn punctul( ) 0, 4 . B5p 5. S se rezolve n\ inecuaia 210.3 2 x x