Matematica. M1 - Clasa 11 - Manual. M1... · 2017-09-05 · Capitolul 1. Permutåri DefiniÆie...

10
Capitolul 1. Permutåri DefiniÆie Capitolul §1. NoÆiunea de per §1. NoÆiunea de per §1. NoÆiunea de per §1. NoÆiunea de per §1. NoÆiunea de permutar mutar mutar mutar mutare, operaÆii, pr e, operaÆii, pr e, operaÆii, pr e, operaÆii, pr e, operaÆii, proprietåÆi oprietåÆi oprietåÆi oprietåÆi oprietåÆi Capitolul Exemplu Per Per Per Per Permut mut mut mut mutåri ri ri ri ri Per Per Per Per Permut mut mut mut mutåri ri ri ri ri

Transcript of Matematica. M1 - Clasa 11 - Manual. M1... · 2017-09-05 · Capitolul 1. Permutåri DefiniÆie...

Page 1: Matematica. M1 - Clasa 11 - Manual. M1... · 2017-09-05 · Capitolul 1. Permutåri DefiniÆie Capitolul §1. NoÆiunea de permutare, operaÆii, proprietåÆ i Exemplu PePerrmumuttåååååårriirirriiri

Capitolul 1. Permutåri

DefiniÆie

Capitolul

§1. NoÆiunea de per§1. NoÆiunea de per§1. NoÆiunea de per§1. NoÆiunea de per§1. NoÆiunea de permutarmutarmutarmutarmutare, operaÆii, pre, operaÆii, pre, operaÆii, pre, operaÆii, pre, operaÆii, proprietåÆioprietåÆioprietåÆioprietåÆioprietåÆi

Capitolul

Exemplu

PerPerPerPerPermutmutmutmutmutåååååriririririPerPerPerPerPermutmutmutmutmutåååååririririri

p 4_11.P65 06.08.2007, 15:244

Page 2: Matematica. M1 - Clasa 11 - Manual. M1... · 2017-09-05 · Capitolul 1. Permutåri DefiniÆie Capitolul §1. NoÆiunea de permutare, operaÆii, proprietåÆ i Exemplu PePerrmumuttåååååårriirirriiri

��

&���� �� ���

���� ������������ � � �������� ����� ��������� ����� $

� � � $!������������/"� �!������������/"��+ � � ,+�,� � + +�,,

�� ��������������������� �������)��������������������������������������'�(�� ������ ���

��������'�(�� �����5������� �������� � � ����'���������� �'������������������ �$

� � ��� ���

� � ��� ���

� �

� �

��

&���� �� ���

��

� � 0 1

0 1 � ���

� � 0 1

� � 1 0��� ����

� � � �

� � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � ��

&�����������

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

���

� � � �

� � � �

� � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �� � � �

Exemplu

*���������� ���� ���

���� ����������'�(�� �������������� �������������������$

��

$!�����������"� �!�����������"�

������ ������$��

+�,� ��� ��� � +�,�

8���'�����������

�� �� � ������ �������)������

-���+ � ���

,+�,� �+ +��

+�,,� � +�,� ������+��

� � ,+�,� �+��

+ +�,,� ���

+�,� ��������

� ���

� ���

� � � ���

&���� ��/

��

� � 0 1 �

1 � � 0 �

������� +�,� ���� +�,� ���� +�,� �/�� +�,� ���

+/,� �����������

+�,� ������

+�,� ������

+/,� ������

+�,� ��������

+�,� �/���������$

/

� � 0 1 /

/ � 1 � 0

� ����

� � 0 1 �

� � 0 1 �

�� � �

Exemplu

§1. NoÆiunea de permutare, operaÆii, proprietåÆi

p 4_11.P65 06.08.2007, 15:245

Page 3: Matematica. M1 - Clasa 11 - Manual. M1... · 2017-09-05 · Capitolul 1. Permutåri DefiniÆie Capitolul §1. NoÆiunea de permutare, operaÆii, proprietåÆ i Exemplu PePerrmumuttåååååårriirirriiri

Capitolul 1. Permutåri��

.������ ������������������������������������������������������)������������ ��

���������������������������� ��������� ��$

+�,��� �� �� ���

��+ � � , � � � � �+ � ,���+��������������,9

+�,��� � ���

�� � ��� ��� � � � ����+���� ���������������,9

+�,��� � ���

������

� ���

�� � ���

� ���

� � � �����+����������� ��������������,�

1234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234DefiniÆie

&���� � ���

��� �������'�������� ������������ �!�����������"��

���

� � � � �

�������� ����� ���������� ����� �

7����� �� � � � � � ���

Exemplu &���� � ��:

��

� � 0 1 � �

0 � � 1 � �

��� ������ � �!������/��:"�

1234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234

DefiniÆie*������ ���� � ��

���� ������������ �������� ������������4�� ��������������� �!�����������"�

�� ������� ������3 �� +�,� ���� +�,� ������ +�,� �������� �����!����"�

;����������� � ���

���� �������� +�,� ������ +�,� ��������� �������� � �+����,������ � �+����,�

<�����������

�������� ���������)��������� �����4�� ���

��

� �

� � �����������

8���� ������� ����������� � �+����,��� ��� � �!����"�

���.���� ������

���

���

� ���

���

� � 0

� 0

� 0 �

���

� � 0

� 0

0 � �

����

� � �

� �

� � �

���� ����)����� �����������������

���&���� � �+���/,� ��:

��� �����

� � 0 1 � �

� � 0 1 � �

Exemple

123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234

Lema 1&���� � �+����,� ��

��� ���� ������������� ����� � �������

� ���

DemonstraÆie.�-����� ������ +�,� �������� � ����-����

+�,� � + +�,,� � +�,� �����

+�,� � + +�,,�

� +�,� �������

+�,� � + +�,,� � +�,� ��������������������� ����������� ����$��

� ���

���� � ���

�� � ������ �� ������ � +�,������������ �����$

����� �� �

���&���� � �+����,���� � � � � ��� ������ � �� ��� � �� �

DemonstraÆie.����-����� �� ��������� � +�,� ����������������� +�,� ��� � +�,������ �

�� ����-�� ����������������� +�,� ����������� �� �

���&���� +�,� ����� ������� �������� ��������� +�,� � + +�,,� � +�,�� ����5��� ������ � �� �

������� �� �������� +�,� � + +�,,� � +�,� ��������� �������

�� ��������� ��� ����� �

123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345

Lema 2

p 4_11.P65 06.08.2007, 15:256

Page 4: Matematica. M1 - Clasa 11 - Manual. M1... · 2017-09-05 · Capitolul 1. Permutåri DefiniÆie Capitolul §1. NoÆiunea de permutare, operaÆii, proprietåÆ i Exemplu PePerrmumuttåååååårriirirriiri

��

*'������������ ����������� � �+����,� ���

��� ��������� ����������������������������������

�������������������������

���������������� ���� ����������������������������������=��'� ������ ��������$

��������������������������

;����������� ������ �'��� ����������������������� ������������� � ���

����������2

�������������������������������������+�� �2������� ��������,������������ ���������������

���� ���� �����������

���� � ��>

��

� � 0 1 � �

� � � 1 0 �

������ � �!������������/��:��>"��?������

� ��� �� �

5��� ����

� ������

� � +�,� �/����

� � +/,� ������

� � +�,� �>���/

� � +>,� ����&���

�������$ �� > /� � �� /

���

� � � ���+�,�

� ������'��������� ���� ��!���/�����>"� �!������:"�

������

� ����5��� �$���

� � +�,� � +�,� �:����

� � +:,� � +:,� ������

� � +�,� � +�,� �����

����������$� � � � �+:���,� �+���:,��� ������ ���� ��!������:"� � �

������� � ����������� � � �+:���,� �+���:,��<�������������� �����+���:,�����������

+:���,���'����� � �+���:,� �+:���,�

<�����������+�,���������������������������� �����+���/,��+/���,����+���>,���'����$

� �+���:,� �+:���,� �+���/,� �+/���,� �+���>,�

123456789012345678123456789012345678123456789012345678123456789012345678123456789012345678

Teorema 1*���������� ���� � ��

���� ���������� ���������� ������������������� ���� �����������

DemonstraÆie.�8���� ������� ������������� �������� ��@�������������������� �

&����� � �A��� ������ � � ��������� � ����&����� � �+����,������$��� � � � ��&����� � � �����

�� �� ���� � +�,��� � �+����,���� � � � � ��-���� � �� �������� �%�� ��-���������� �������

����������4�� �� �������������

���

�������

� ���

��� ������3 � � � � � � ��

� ��

� ����� �

<�������������� ����� ������3������ ���� � � � ��������'���� � ��

� ��

� ����� �

� �

ObservaÆie:���� � ��

�� � ���������

� �� ��B������

����

� � +��

,����

� � +��

,��������� ������������ �������� �

������ ���� �������� ������������� ����� ������������ ��� ���� ���-��� ��� �����������

��(�� ����������� ������������������ ���� ����

�������������������������������������� �����C��

� ���

-�����

� �� ������� +��

,� ���

��������� ���

���� � � � �+��� ��

����

,� �+��� ��

����� ��

,� ����� +��

����

,� �+��

����

,�

8����������������� ���$�� ���� ��!��

����

����������

"���� +�,� � +�,����������������� ���

����

����������

����$� � � � �+��

����

,� �+��

����

,� ������ �+��� ��

����

,�

&���� � �����)�� � ���������������������� ���������������������� �������������

������������&���� � ������������������ ����� � �� ���� ���������� ������ ���� � ��8�

��� ������3�������'��������� �������������������������� ����������������������������

������������� �����������

Exemplu

§1. NoÆiunea de permutare, operaÆii, proprietåÆi

p 4_11.P65 06.08.2007, 15:257

Page 5: Matematica. M1 - Clasa 11 - Manual. M1... · 2017-09-05 · Capitolul 1. Permutåri DefiniÆie Capitolul §1. NoÆiunea de permutare, operaÆii, proprietåÆ i Exemplu PePerrmumuttåååååårriirirriiri

Capitolul 1. Permutåri��

§2. Inversiuni. Semnul unei per§2. Inversiuni. Semnul unei per§2. Inversiuni. Semnul unei per§2. Inversiuni. Semnul unei per§2. Inversiuni. Semnul unei permutårimutårimutårimutårimutåri1234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234DefiniÆie

���� � ���

���� ����8�������������� ����� ������� ������������������ ��������=��

������ ��+����,������� ���%��� ��������� +�,�D� +�,���� ���������+ ,�������� � ����

������������� ����� ����� ��������� + ,�� � ���

������

� ��� ����� �

������������������������������� �

#����������������� ����� ��� �������������� �������������������������+ ,��� �

����������� ��������������������������� + ,� ���������� ��� + ,� � ��

8���'�������������� �������4� ��������������=����+����,������%��� ������� ��������

������ ���������������� ���)����������������� ���������������������� �'����$

� � ��� ���

� � ��� ���

� �

� �

��� ���������� ����� +�,�������������� +�,�

Exemple ������� � ��/

��

� � 0 1 �

0 � � � 1

<������� ����� +�,� ����4�� �����������������������3 ������������ ����� +�,� ��

�4�� ���������������������3 ������������ ����� +�,� �/��4�� ��������������

��������3 �/�������������� ����� +�,� �������4�� ���������������������3 ���

*'�������$����+ ,� ���C���C���C�A� �/���� + ,� �+ �,/

� � �������� ��� �������2

�����������

���&������ ���

���� ������ ������� ��������� ������ ��������+�,� �A���� +�,� �+ �,A

� ���

&���������� ��������� �������� �������

1234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234 Lema 3

���� �� � ���

���� ��������� � �+����,���� ���%��� �����������������$� + � � ,� � + ,�

�����������

-3������������������� ���� ������ ����������� ������� ����� �������=��'�������

+���� � ��,�

DemonstraÆie.����� � � � � ������� +�,� � + +�,,� � +�,�� +�,� � + +�,,� � +�,���

+�,� � + +�,,� � +�,������������������ �������������$

� � ��� ��� ��� � � ��� ��� ���

� � ��� ��� ��� � � ��� ��� ���

� � � �

� � � �

&����� ������������������������������� ��� ���

&������ ����� ����$�

� � ��� � ���

� � ��� � ���

� � �

� � �

p 4_11.P65 06.08.2007, 15:258

Page 6: Matematica. M1 - Clasa 11 - Manual. M1... · 2017-09-05 · Capitolul 1. Permutåri DefiniÆie Capitolul §1. NoÆiunea de permutare, operaÆii, proprietåÆ i Exemplu PePerrmumuttåååååårriirirriiri

��

������������ ����$�

�� � �� �� �

�� � �� �� �

�� � �

��

�� � �

����$�

� �

��� ���

� �

.���������������D������������������������������������� �����������'��������

��� ����������������� �����������$�+����,� �+����,� �+����,� �+����,������������ �����$

� �+����,� �+�����C��,� �+�����C��,�� �+��C�����,� �+�����C��,�

<����������� �������� ����� ��������������������� ������������� �����������

+�����C��,��+��C�����,������+�����C��,��-���������������� ��������� ����������������+�� �+��C��,�%

�,� �������=��'������ � ������ ��������������������� �$� + � � ,� � + ,�

&������ D� ��� �� ��������

�������� ����� ������ ����� ������

� ��� �����

�������

����� ��������������7����� ����

� ���

�����

����

�����

� � �

���� � �+����,��&���� � ���

���� ����� ������������������� ����� � � ���

����������

� ���

��� ����� � � ���

��.� ���������������������� $���

� ���

����+ ,� � � �

&������+�

,� ���+�

,��� ������

� � ��

� ������������������� ����� ���'������

� ��

����������� ������������(�� ����

&���� � ���

���� � � � �� ���

��� �������+ ,� � � � � � � � � ��� � ����������� �

������(�� ����

.������������ ���� ����������'�(�� �����5��� ����������������� ������������� �

���������������������� ������������������������6E��

*����� ����������� ��� ������� �����������

123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234

Corolar

DemonstraÆie.�-����� � � � ��������� � +�,� � + � � ,� � + ,�������������� �� + ,� � ��

ExerExerExerExerExerciciciciciÆÆÆÆÆii rii rii rii rii rezolvateezolvateezolvateezolvateezolvate

������� � ��:

��

� � 0 1 � �

0 � 1 � � �

�,�8������������������������+ ,���� + ,�

',�8������������� �� �������������� �����������

Rezolvare:�,�<������� ����� +�,���������������������� ���� ������������������������� +�,��3����� ���

�����3����� ����������3����� ����������3����� ���������3����� ���

������$����+ ,� ���C���C���C�A�C��� �F���� + ,� �+ �,F

� ���

',������� � �!������������/��:"��?������

� ��� �� �

����$���

� ������

� � +�,� ������

� � +�,� ������

� � +�,� ���

§2. Inversiuni. Semnul unei permutåri

������������� ��� ���

���

� � ��� ����$�� ���� ��!��������"� �!����/��:"�

������

� ��� �� ����

� � +�,� � +�,� �/����

� � +/,� � +/,� �:����

� � +:,� � +:,� ���

&���� � � � �+/��:,� �+���/,��� ������ ���� ��!����/��:"� � ������� � ���

����� � �+���/,� �+/��:,���� � �+���/,� �+/��:,� �+����,� �+����,�

p 4_11.P65 06.08.2007, 15:259

Page 7: Matematica. M1 - Clasa 11 - Manual. M1... · 2017-09-05 · Capitolul 1. Permutåri DefiniÆie Capitolul §1. NoÆiunea de permutare, operaÆii, proprietåÆ i Exemplu PePerrmumuttåååååårriirirriiri

Capitolul 1. Permutåri��

����,�&���� � ���

���� � ��

� ��

� ����� ��

��� ���������������������� �������������� �����������

� ����� + ,� �+ �,�

',�*������������� �� � ���

������� + � � ,� � + , + ,�

�,�.������������������� ������������������� � ��+������� ��������� �,��� ��������� ���

�����+������ ���������,�

Rezolvare:�,�&������ ��������� � �

������� + ,� � +�

,� � �� �+ �,�

&������D������ +�

� ��

� ����� �� �

,� ��+ �,� �

��� ����

+�

� ��

� ����� ��

,� � +�

� ��

� ����� �� �

,� � + �,� �

�� ��+ �,�

',����� � ��

� ��

� ����� ��

���� � ��

� ��

� ����� ��

�������������������� ���� �������������

������������-��� � � � ��

� ��

� ����� ��

� ��

� ��

� ����� ��

������$

+ � � ,� ��+ �,�C�

+ �,�

+ �,�

� + , + ,�

�,�5��� ���������� ��',�

ExerExerExerExerExerciciciciciÆÆÆÆÆii prii prii prii prii propuseopuseopuseopuseopuse

��������� �� � ���

��

� � 0 1

0 1 � �

��

� � 0 1

1 � � 0

-������ � � �� � � ��+ � � ,�

���

� ��

���&� �������� � ��/

���� ������3 $

�,�� � 0 1 � � � 0 1 �

0 � 1 � � � � 0 � 1

�� 9

',�

� � 0 1 � � � 0 1 �

� 1 0 � � 1 � � � 0

� � 9

�,�

� � 0 1 � � � 0 1 � � � 0 1 �

1 � � 0 � 1 � � 0 � � � 1 � 0

�� � �

��������� � ���

��

� � 0 1

0 � 1 �

�,�-�������

���

���

�����

',�������

� �������� �������������������������� ���� ���������

�����&������

�����

�����

���� � �������������� ��� ������!��������������"���� ������ ������+�!

���"

���#

,����2

�� ����� � ���

���� �������� +��

,� ���

�� +��

,� ���

�� +��

,� ���

���� +�,� �������� ���

����

����

��� �����$

�,��

� ��9

',� � �+�!

���"

���#

,� ��

� �+ +��

,�� +��

,�� +��

,,����� � ���

p 4_11.P65 06.08.2007, 15:2510

Page 8: Matematica. M1 - Clasa 11 - Manual. M1... · 2017-09-05 · Capitolul 1. Permutåri DefiniÆie Capitolul §1. NoÆiunea de permutare, operaÆii, proprietåÆ i Exemplu PePerrmumuttåååååårriirirriiri

����

������,�&���� �� � ���

������ ���� � � ��� ����� � � � � � � �

',�&���� �� � ���

���� �/��� � �+�������,���� � �+���/,��� �����+ � � ,:

� ���

��������� � ��/

��

� � 0 1 �

0 1 � � �

�,���� ������ � �+������/,� �+����,�

',���� ������ � � � ��

� ��+ +�,�� +�,�� +�,,� �+ +�,�� +�,,���������������� � ��/

�,�&� ������������� ����� � ��/

����������� � ��� � � � � � � � �

��&������������������������ ���������������� ������ � ��/

����� � ��>

� � 0 1 �

� 0 1 � ���

� � 0 1 � � �

1 � � � � 0 ��

�������������� ������ �� � ��/

��

� � 0 1 �

0 � � 1 �

��

� � 0 1 �

� � 1 0 �

�,�8������� ����������+ ,�������+ ,�

',�&� �������� + ,�� + ,�� + � � ,�� + � � ,�� + � � ,���� + � � ,�

�����8������� ����������� ������3 ������ �����

� �

� �

� �

���������������

������������������

����������

��$�

��������$�

��� ������3 �A�%���

�%���

�%�����%���

����A�%�$�

�%�$�

�%�����%�$�

8�������� ������������������� � ���

�������������$

��

$�

�C���

$�

�C������C���

$��

���

$+�,

�C���

$+�,

�C�����C���

$+�,

���������������������� � �

� � � �

����� �������������������� � ���

������$

� � �

� � �

� � � �

� � �

� � �

�������� ����������� � �+����,� ���

���� ���%��� �������������$�� � �! � ���

+�,�D� +�,"�

� � �! � ���

+�,�%� +�,"��8�������� ����$

�,���

� �� ���� ����� ���� � � �

',�&���� � �� ��� ����� � � � �� �

�,���������� $�� � �� ����+ ,� � � ���� ��'�(�� ����

§2. Inversiuni. Semnul unei permutåri

p 4_11.P65 06.08.2007, 15:2511

Page 9: Matematica. M1 - Clasa 11 - Manual. M1... · 2017-09-05 · Capitolul 1. Permutåri DefiniÆie Capitolul §1. NoÆiunea de permutare, operaÆii, proprietåÆ i Exemplu PePerrmumuttåååååårriirirriiri
Page 10: Matematica. M1 - Clasa 11 - Manual. M1... · 2017-09-05 · Capitolul 1. Permutåri DefiniÆie Capitolul §1. NoÆiunea de permutare, operaÆii, proprietåÆ i Exemplu PePerrmumuttåååååårriirirriiri