Matematica fizica-chimia

DECEMBRIE, 2011

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial

Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013

INVESTEŞTE ÎN

OAMENI!

MATEMATICĂ – FIZICĂ – CHIMIE

Revistă pentru elevi şi profesori

1

Decembrie, 2011 – Nr. 3

Revistă pentru elevi şi profesori

2


ISSN 2069 – 4393

COLECTIVUL DE REDACŢIE

Prof. Tatiana MĂRĂNDICI – Manager de proiect

Prof. Larisa SCÎRLEA – articole fizică şi chimie

Prof. Marius MAZILU – articole matematică

Prof. Emil PĂDUREŢU – copertă, tehnoredactare computerizată şi design

Prof. Ştefania Alina MŰLLER - corectură

REDACŢIA ŞI ADMINISTRAŢIA EDITURII NOVA DIDACT

Director/Redactor Şef: Prof. Cornelia PAPUZU

Administrator financiar: Varinia DUMITRANA

3


INTRODUCERE ................................................................................................................................. 6

Profesor Mărăndici Tatiana - manager de proiect

MATEMATICĂ ……………………………………………………………………………………………………………………………...7

Principiul invariantului și probleme de colorări la nivelul clasei a V-a ……………………….…… 8

Profesor Mazilu Marin ................................................................................................................... 8

Rebusuri matematice ......................................................................................................................... 13

Profesor Diaconu Marta .............................................................................................................. 13

Congruenţe modulo n. Indicatorul lui Euler ...................................................................................... 15

Aplicaţii ............................................................................................................................................. 15

Profesor Dinu Gigi-Daniel ............................................................................................................ 15

Profesor Dinu Maria ..................................................................................................................... 15

Un rezultat pentru numere prime ....................................................................................................... 18

Profesor Dinu Gigi-Daniel ............................................................................................................ 18

Rezolvarea unor ecuaţii în mulţimea numerelor prime ..………………………………………..2020

Profesor Genoiu Leon ................................................................................................................... 20

Probleme propuse pentru gimnaziu ................................................................................................... 23

Profesor Ion Marcel Neferu .......................................................................................................... 23

Probleme rezolvate pentru gimnaziu ................................................................................................. 25

Profesor Diaconu Marta .............................................................................................................. 25

Descoperiri matematice care au marcat omenirea ............................................................................. 29

Profesor Pădureţu Emil ............................................................................................................... 29

4


Amuzamente matematice …………………………………...………………………...………………….. 32

Profesor Dobre Dumitru

FIZICĂ ………………………………………………………………………………………………………………………………………..35

Ideile faimoase ale lui Arhimede ....................................................................................................... 36

Elev Toşu Tiberiu, clasa a VI-a A ................................................................................................. 36

Coroana de Aur .......................................................................................................................... 36

Șurubul lui Arhimede ................................................................................................................. 36

Gheara lui Arhimede .................................................................................................................. 37

20 de lucruri pe care nu le ştiai despre… magnetism ........................................................................ 37

Profesor Stan Anişoara ................................................................................................................. 37

Fenomene acustice ............................................................................................................................. 38

Eleva Preda Daria ......................................................................................................................... 38

Fluidele lui Bingham ......................................................................................................................... 40

Profesor Manuela Maria ............................................................................................................... 40

Magnetism şi electromagnetism ........................................................................................................ 42

Eleva Teodorescu Maria ............................................................................................................... 42

Pasiunea mea… ................................................................................................................................. 44

Eleva Teodora Bunea ................................................................................................................... 44

Un pahar cu apa poate fi golit cu ajutorul unei sticle pline ............................................................... 45

Profesor Ionescu Katarina ............................................................................................................ 45

Determinarea tensiunii dintr-un fir ................................................................................................. 47

Profesor Gheorghe Colţan ........................................................................................................... 47

Test iniţial pentru clasa a VI-a ........................................................................................................... 50

Profesor Barbu Liliana ................................................................................................................. 50

Fişă de lucru „Mişcare şi repaus”, clasa a VI-a ................................................................................. 53

Profesor Barbu Liliana ................................................................................................................. 53

5


Rătăcire .............................................................................................................................................. 58

Eleva Popa Elena Daciana ........................................................................................................... 58

Teoria relativităţii aplicată în literatură ............................................................................................. 59

Profesor Niţoiu Ana ..................................................................................................................... 59

CHIMIE …………………………………………………………………………………………………………………………………..…….62

Pionieri ai şcolii româneşti de chimie ................................................................................................ 63

Profesor Diana Mazilu .................................................................................................................. 63

Pasiune şi perseverenţă .................................................................................................................... 65

Eleva Munteanu Andreea Mihaela ............................................................................................ 65

Probleme propuse .............................................................................................................................. 67

Profesor Ciurduc Ludmila ........................................................................................................... 67

Construiți-va singuri hârtie indicatoare! ............................................................................................ 69

Profesor Daria Petcu ..................................................................................................................... 69

Test de verificare – Laborator ............................................................................................................ 70

Profesor Ciurduc Ludmila ........................................................................................................... 70

6


INTRODUCERE

Schimbările recente din Europa contemporană, care se confruntă cu problema lărgirii și cu

cea a afirmării globale a Uniunii Europene în lume, conferă educației în general și în mod particular

educației în domeniul științei și tehnicii o importanță majoră.

În contextul accelerării revoluției digitale, a adaptării intr-o societate a cunoașterii și a

facilitării inserției pe piața muncii, Inspectoratul Școlar Județean Vâlcea implementează proiectul

POS DRU/17/1.1/G/20765, cu titlul „Şcoala viitorului!” – Împreună pentru o societate bazată

pe cunoaştere” proiect cofinanțat din Fondul Social European prin Programul Operațional

Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013.

Perioada de implementare a proiectului este: 01.04.2010 – 31.03.2012.

Bugetul proiectului: 1.811.595 lei.

Obiectivul general al proiectului:

Îmbunătățirea nivelului de educație din județul Vâlcea, în perspectiva pregătirii elevilor

pentru o societate și o economie bazată pe cunoaștere, prin ameliorarea decalajului existent între

elevii proveniți din medii sociale diferite.

Obiectivele specifice :

1. Facilitarea accesului la informație și la mijloacele moderne de învățare în domeniul

matematicii și științelor exacte, a unui număr de 500 de elevi din județul Vâlcea, în perspectiva

pregătirii pentru o societate şi pentru o economie bazate pe cunoaştere;

2. Dezvoltarea serviciilor de orientare și consiliere școlară pentru un număr de 500 de elevi

proveniţi din judeţul Vâlcea, în vederea accesului la o carieră cu nivel înalt de calificare, oferind

premizele afirmării acestora și prevenind marginalizarea;

3. Dezvoltarea de programe de pregătire și de instrumente de evaluare a elevilor în

domeniile matematică, fizică și chimie, la nivel performant;

4. Îmbunătățirea capacităţii de a lucra în echipa a grupului țintă, prin dezvoltarea unor

produse software atractive de predare în domeniul matematicii și științelor, în vederea creșterii

utilizării mijloacelor IT în procesul instructiv.

Proiectul asigura oportunități egale pentru elevii capabili de performanță, având aptitudini în

matematică, fizică sau chimie, indiferent de mediul de proveniență, în vederea facilitării accesului

acestora la studii superioare și la profesii cu grad înalt de calificare.

De asemenea, prin sprijinirea grupului țintă în accesarea mijloacelor moderne de pregătire,

proiectul contribuie la ameliorarea decalajului existent între elevii proveniți din medii sociale

diferite, la creșterea abilității de a lucra în echipă și la combaterea marginalizării.

Într-o lume în care progresul tehnologic rapid cere înalte competenţe, mereu actualizate,

proiectul vizează formarea tinerilor ca participanţi activi în economia bazată pe cunoaştere şi

stimularea dezvoltării abilităţilor acestora pentru știință și economia digitală având ca efect

creşterea ratei de participare a acestora pe piaţa muncii. Pe termen scurt acest proiect poate

identifica și perfecţiona resurse umane pentru dezvoltarea sectoarelor ce necesită înaltă

competitivitate pe piața globală.

Pe termen mediu și lung, generaţiile de copii crescuți și educați la maximul capacitații lor

vor contribui la nașterea unei societăți cu adevărat avansate, ridicând mintea umana la nivelul

complexității naturii, nu coborând natura la nivelul minții umane.

Profesor Tatiana Mărăndici – manager de proiect

7


8


Principiul parității. Principiul invariantului

Profesor Mazilu Marius

Principiul invariantului

Există probleme în care se dă un anumit obiect asupra căruia se efectuează anumite

transformări. În general se cere să se arate că, în urma acestor transformări obiectul nu poate fi adus

la o anumită formă. Acest lucru se face alegând o caracteristică a obiectului care nu se schimbă în

urma transformărilor. Această caracteristică, dacă există, se numește invariant. Dacă obiectul final

nu posedă caracteristica atunci el nu poate fi obținut în urma transformărilor respective.

Principiul parității

Foarte multe probleme elementare folosesc în rezolvarea lor noțiunea de paritate.

Principiul parității constă în separarea cazurilor pare și impare dintr-o anumită situație.

Reamintim regulile parității:

- Suma a două numere pare este număr par

- Suma a două numere impare este număr impar

- Suma dintre un număr par și unul impar este număr impar

- Produsul a două numere este par dacă cel puțin unul dintre numere este par.

- Produsul a două numere impare este număr impar.

Exemplu 1: Pe tablă sunt scrise 11 cifre: șase cifre de 0 și cinci cifre de 1. Se șterg două

numere de pe tablă și în locul lor, dacă numerele șterse sunt egale se scrie 0 iar în rest se scrie 1. Se

repetă operația până rămâne scrisă pe tablă o singură cifră. Aflați ultima cifră rămasă pe tablă.

Soluție: Ultima cifră va fi 1. Suma cifrelor scrise inițial pe tablă este 5(număr impar) iar la

fiecare pas suma scade cu 2 sau rămâne constantă. Deci mereu suma cifrelor de pe tablă va fi un

număr impar.

Exemplul 2: Un cerc este împărțit în șase sectoare. În fiecare sector se plasează câte un

pion. Este permis să alegem 2 pioni și să plasăm pe fiecare din ei într-un sector vecin. Este posibil

să strângem toți pionii în același sector?

Soluție: Numerotăm sectoarele cu numere de la unu la șase. Pentru orice așezare a pionilor

în cerc calculăm suma S a numerelor scrise în sectoarele ocupate de către pioni. Când se mută un

pion dintr-un sector în altul se schimbă paritatea sumei S. Dar dacă mutăm câte doi atunci paritatea

rămâne neschimbată. Cum S = 21 inițial însemnă că după orice mutare(de câte 2 pioni) S rămâne

impară. Dar dacă toți cei șase pioni sunt în același sector suma S este egală cu 6x adică pară! Deci

răspunsul este NU.

Exemplul 3: Numerele 1, 2, 3, … 19, 20 sunt scrise pe tablă. Se permite să ștergem oricare

două numere a și b și în locul lor pe tablă să scriem numărul a + b – 1. Ce număr rămâne pe tablă

după 19 operații?

Soluție: S = 1 + 2 + 3 + … + 20 = 210. Fie X = S – n unde n este numărul numerelor de pe

tablă. Inițial X = 210 – 20 = 190. Se observă că X rămâne mereu invariant. Deci ultimul număr de

pe tablă este X + 1 = 191.

Exemplul 4: Avem patru numere: 32, 46, 52, 66. La fiecare pas avem voie să înlocuim

fiecare număr cu media aritmetică a celorlalte trei numere rămase. Putem obține după câțiva pași

numerele: 36, 45, 50, 56?

9


Soluție: Suma celor patru numere rămâne mereu aceeași(invariantul). Dar 32 + 46 + 52 + 66

36 + 45 + 50 + 56.

Exemplul 5: Avem o tablă m x n și în fiecare pătrățel al ei este scris câte un număr întreg,

astfel încât suma numerelor din fiecare linie și din fiecare coloană este egală cu 1. Demonstrați că

m = n.

Soluție: Suma sumelor numerelor din cele m linii este m. Suma sumelor numerelor din cele

n coloane este n. Dar suma trebuie să fie aceeaşi deci m = n.

Exemplul 6: Avem pe o masă 7 pahare toate cu fundul în sus. La fiecare pas putem întoarce

oricare 4 pahare dintre ele. Este posibil să întoarcem toate cele 7 pahare cu fundul în jos?

Soluție: Asociem numărul -1 fiecărui pahar cu fundul în jos și numărul l fiecărui pahar cu

fundul în sus. Produsul celor 7 numere este invariant egal cu -1(cât a fost inițial). Dar dacă toate

paharele ar fi cu fundul în jos produsul ar fi egal cu 1.

Exemplul 7: Șapte zerouri și un unu sunt scrise în vârfurile unui cub. La fiecare pas este

permis să adunăm unu la numerele din vârfurile oricărei muchii. Este posibil să facem toate

numerele egale?

Soluție: Suma inițială a numerelor este 7(număr impar). După fiecare pas ea crește cu 2

adică rămâne mereu impară. Dacă toate numerele ar fi egale cu x atunci S = 8x care este număr par.

Deci răspunsul este NU!

Exemplul 8: Pe fiecare planetă a unui sistem de planete se află câte un astronom, care

observă planeta cea mai apropiată. Distanțele între planete sunt diferite două câte două. Arătați că

dacă numărul de planete este impar, atunci una din planete nu este observată de nici un astronom.

Soluție: Dintre toate perechile de două planete diferite există una pentru care distanța între

ele este minimă. Înseamnă că cei 2 astronomi de pe aceste 2 planete se observă între ei. Dacă un alt

astronom observă una din aceste planete atunci problema este rezolvată deoarece una din planete

rămâne fără un astronom care să o urmărească. Dacă nu, putem să nu luăm în calcul această pereche

și să repetăm operația precedentă. Continuăm această operație până rămâne o singură planetă.

Astronomul de pe aceasta nu poate să o observe(!!!) dar nici alţi astronomi nu o observă. Concluzia

este demonstrată.

Exemplul 9: Suma unui număr par de numere consecutive impare este 7984. Să se găsească

aceste numere.

Soluție: Fie k si p numere naturale cu p număr impar și fie 2k+1, 2k+3, 2k+5, …, 2k+2p+1

numere impare consecutive astfel încât suma lor să fie 7984.

S = 2k(p+1) + p+1 + p(p+1)= 7984 deci (p + 1)(2k+p+1)= 7984. Dar cum p+1 este par

atunci si 2k + p+1 este par atunci avem cazurile:

1. p+1 = 2 si 2k + p + 1 = 3992 de unde p = 1 și k = 1995 deci numerele sunt 3991și 3993.

2. p+1 = 4 si 2k + p + 1 = 1996 de unde p = 3 și k = 996 deci numerele sunt 1993,

1995,1997 si 1999

3. p + 1 = 8 si 2k + p + 1 = 998 de unde p = 7 și k = 495 deci numerele sunt 991, 993, …,

1005.

Exemplul 10: Un elev rupe la întâmplare 13 foi dintr-o carte, a adunat numerele paginilor

rupte și a spus că rezultatul se divide cu 4. Spune elevul adevărul? Justificați.

Soluție: Suma numerelor scrise pe cele două pagini ale unei foi este un număr impar. Suma

a 13 numere impare este tot un număr impar. Deci nu are cum să se dividă cu 4.

Exemplul 11: Dacă m N, cercetați dacă fracția este ireductibilă.

Soluție: Și numărătorul și numitorul sunt numere pare deci fracția nu este ireductibilă

Exemplul 12: Fie șirul 91, 9

2, 9

3, …, 9

1998. Se aleg la întâmplare 2 termeni din acest șir, se

împarte cel mai mare din acești doi termeni la cel mai mic, iar în șir în locul lor se scrie câtul acestei

10


împărțiri Se continuă până pe tablă rămâne un singur termen. Aflați paritatea acestuia și ultima sa

cifră.

Soluție: Suma exponenților lui 9 din acest șir este 999 1999 = număr impar. Se taie

termenii 9m

și 9n și în locul lor scriem numărul 9

m-n (dacă m n). Atunci paritatea sumei

exponenților lui 9 rămâne aceeași. Deci ultimul termen este 9 la exponent impar adică are ultima

cifră pe 9.

Exemplul 13: Fiecare dintre numerele naturale de la 1 la 1000000 se înlocuiește în mod

repetat prin suma cifrelor sale până la obținerea unui număr de o singură cifră. În final vor fi mai

mulți de 1 sau de 2?

Soluție: Pe tablă vor fi scrise cifrele 1, 2, 3, …, 9, 1, 2, 3,

… 9, … , 9, 1. Deci va fi un 1 mai mult.

Exemplul 14: Un cerc este împărțit în 6 sectoare. Numerele

1,0,1,0,0,0 sunt scrise, în această ordine, în sectoare. La fiecare pas

se pot mări două numere din sectoare vecine cu 1. Este posibil ca

după câțiva pași să obținem șase numere egale?

Soluție: S = a1 – a2 + a3 – a4 + a5 –a6 = 2 Dacă toate numerele din sectoare ar fi egale atunci S = 0 Imposibil!

Exemplul 15: Pe o tablă sunt scrise toate numerele naturale

de la 1 la 99. La fiecare operație înlocuim două numere de pe tablă

cu diferența lor. Poate să rămână la sfârșit un număr par? Dar un număr impar?

Soluție: La început pe tablă sunt 49 numere pare și 50 numere impare. Dacă se înlocuiesc 2

numere impare cu diferența lor (care este pară) numărul numerelor impare scade cu 2. Dacă din cele

2 numere unul este impar și celălalt par atunci ele se înlocuiesc cu diferența lor care este impară

deci numărul numerelor impare rămâne același. Dacă ambele numere sunt pare atunci și diferența

lor este tot pară deci scade numărul numerelor pare cu 1 dar numărul numerelor impare rămâne

același. Deci invariantul în acest caz este numărul numerelor impare care întotdeauna este un număr

par. Deci în final nu poate rămâne un singur număr impar.

Exemplul 16: Pe o tablă sunt scrise numerele naturale de la 1 la 2000. La fiecare pas se

șterg două numere și se scrie în loc suma lor micșorată cu 2. Aflați ultimul număr rămas scris pe

tablă.

Soluție: Fie S suma inițială a numerelor scrise pe tablă. Suma numerelor de pe tablă scade

cu 2 la fiecare pas. Sunt necesari 1999 pași pentru ca pe tablă să rămână un singur număr. Deci

avem ultimul număr egal cu S – 2x1999.

Exemplul 17: Pe o tablă sunt scrise numerele naturale de la 1 la 1987. La fiecare pas se

șterg câteva numere și se scrie în loc restul dat de suma numerelor șterse la împărțirea cu 7. La un

moment dat pe tablă au rămas două numere dintre care unul este 987. Aflați care este celălalt număr

rămas pe tablă.

Soluție: În acest caz invariantul este restul împărțirii la 7 al sumei 1 + 2 + 3 + … + 1987

adică 0.

Dacă x este al doilea număr rămas pe tablă atunci x + 987 se divide cu 7, deci x este multiplu de 7.

Dar unul din ultimele 2 numere rămase pe tablă trebuie să fie restul împărțirii la 7 și cum 987 ”este

cam mare” atunci x este acela. Obținem imediat x = 0.

Exemplul 18: Pe o tablă sunt desenate 14 cerculeţe albe, 17 roşii şi 18 verzi. Se şterg două

cerculeţe de culori diferite şi se desenează în loc un cerculeţ de a treia culoare. Se repetă operaţia

până rămâne un singur cerculeţ. Precizaţi culoarea lui.

Soluție: Sunt în total 49 de cerculeţe, deci pentru a ajunge în final la un cerculeţ sunt

necesari 48 de paşi. La fiecare pas, numărul cerculeţelor de fiecare culoare îşi schimbă

paritatea,deci după un număr par de paşi (48) paritatea numărului de cerculeţe de fiecare culoare

11


rămâne aceeaşi cu cea iniţială. Deducem că în final va rămâne un cerculeţ roşu.(unu fiind impar ca

şi 17).

Exemplul 19: Un balaur are 2011 capete. Un cavaler poate să taie cu o lovitură a sabiei 11,

14 sau 15 capete. În fiecare caz îi cresc la loc 8, 17 sau 12 capete. Este posibil ca balaurul să fie

omorât?

Soluție: Numărul capetelor balaurului după fiecare lovitură prin împărțirea la 3 dă de

fiecare dată același rest(acesta e invariantul!!). Cum 2011 dă restul 1 la împărțirea cu 3 atunci

mereu balaurul va avea un număr de capete de forma 3k + 1.

Exemplul 20: În pomul minune grădinarul a făcut să crească 25 banane și 30 portocale. În

fiecare zi el rupe două fructe și în același timp în pom mai crește un fruct. Dacă rupe două fructe de

același fel atunci crește o portocală, iar dacă rupe două fructe diferite atunci crește o banană. Care

este ultimul fruct din acest pom minune și de ce ?

Soluție: În acest caz invariantul transformării este numărul impar de banane. Deci ultimul

fruct este o banană. Concret, dacă rupe o banană și o portocală atunci crește la loc o banană. Dacă

rupe două banane sau două portocale atunci numărul bananelor rămâne impar.

Exemplul 21: Pe o tablă sunt scrise semne de “+”şi “─”. Ştergem două semne şi le înlocuim

cu un semn “+” sau “─” după următoarea regulă: dacă cele două semne şterse sunt identice le

înlocuim cu “+”, iar de sunt semne diferite, le înlocuim cu “─”. Arătaţi că ultimul semn care rămâne

pe tablă nu depinde de ordinea alegerii perechilor ce le ştergem.

Soluție: Se observă că paritatea numărului de semne “─” nu se schimbă, pentru că ori

dispar câte două semne “─”(dacă semnele şterse sunt amândouă “─”) sau numărul de”minusuri”

rămâne acelaşi dacă se şterge un”+” şi un “─”. Deducem că dacă la început a fost un număr par de

semne “─”ultimul semn rămas va fi “+”, iar dacă la început era un număr impar de semne

“─”,ultimul semn rămas este un “─” (pentru că unu este impar, ca şi numărul “minuşilor”, paritatea

lor fiind neschimbată).

Exemplul 22: Se consideră un număr natural căruia îi schimbăm în mod arbitrar ordinea

cifrelor. Este posibil ca diferența dintre numărul inițial și cel final să fie 2011?

Soluție: Numărul inițial și numărul obținut prin schimbarea arbitrară a cifrelor dau prin

împărțirea la 9 același rest. Deci diferența lor este multiplu de 9. Dar 2011 nu este multiplu de 9.

Exemplul 23: Pe o tablă sunt desenate 20 cerculețe albe, 21 roșii și 22 verzi. Se șterg 2

cercuri de culori diferite și se desenează în loc un cerculeț de a treia culoare. Se repetă operația până

pe tablă rămâne un singur steguleț. Precizați culoarea acestuia.

Exemplul 24: În fiecare pătrățel al unei table 7x7 se află câte o furnică. La un anumit

moment fiecare furnică se mută într-un pătrățel vecin(pe orizontală sau verticală). Să se arate că cel

puțin un pătrățel rămâne gol.

Soluție: Dacă considerăm colorate alternativ în alb și negru pătrățelele tablei din cele 49 de

pătrățele 25 sunt albe și 24 negre (sau simetric). Deci 25 de furnici de pe pătrățelele albe se mută în

cele 24 pătrățele negre iar cele 24 furnici de pe pătrățelele negre se mută pe cele 25 pătrățele albe și

deci, conform principiului lui Dirichlet, cel puțin un pătrățel alb rămâne gol.

Exemplul 25: O tablă de șah 8x8 este colorată în mod obișnuit. Se pot schimba culorile din

toate pătrățelele unei linii sau unei coloane. Se poate ajunge să avem un singur pătrățel negru?

Soluție: Din cele 64 pătrățele 32 sunt albe și 32 negre. Paritatea pătrățelelor ori negre ori

albe nu se schimbă. Deci nu putem obține un singur pătrățel negru.

Exemplul 26: Un elev scrie pe tablă numerele naturale de la 1 la 2012. Un alt elev vine la

tablă și șterge câteva numere și scrie în locul lor restul împărțirii la 11 a sumei acestora(numerelor

șterse). Se continuă acest ”joc” până când pe tablă rămân scrise doar două numere dintre care unul

este 1001. Aflați care este celălalt număr rămas scris pe tablă.

12


Exemplul 27: Un cal este situat inițial într-un colț al unei table de șah(8x8 pătrate). Calul

pleacă ”la plimbare” și efectuează 2011 sărituri. Justificați dacă după cele 2011 sărituri calul poate

să se regăsească în colțul tablei de unde a plecat.

Exemplul 28: Un cerc se împarte în 10 sectoare și în fiecare sector se pune câte o monedă.

Un pas constă în mutarea a două monede (oarecare) în sectoarele vecine. Să se arate că în urma unui

număr finit de pași nu putem aduna toate monedele într-un sector.

Exemplul 29: În Insula Culorilor există 13 cameleoni albaștri, 15 cameleoni galbeni și 17

cameleoni albaștri. Când se întâlnesc doi cameleoni de culori diferite ei își schimbă culorile lor în

cea de-a treia culoare. Este posibil ca la un moment dat toți cameleonii să aibă aceeași culoare?

Exemplul 30: O cameră are dimensiunile podelei de 7m și 9m. În cele patru colțuri ale

camerei se așază câte un dulap având baza pătrat cu latura de 1m. Să se arate că suprafața podelei

rămase nu se poate acoperi cu plăci dreptunghiulare de dimensiuni 3m x 1m.

Soluție: Se vopsesc toate pătrățelele podelei în trei culori(roșu, portocaliu, verde) alternativ.

La început avem 24 roșii, 23 portocalii și 23 verzi. Eliminând colțurile ne rămân 20 roșii, 23

portocalii și 23 verzi. O placă 3m x 1m acoperă în orice așezare 1 pătrat roșu, 1 pătrat portocaliu și 1

verde. Dacă am putea acoperi podeaua cu dreptunghiuri 3m x 1m ar trebui deci să avem același

număr de pătrate vopsite cu aceeași culoare.

Exemplul 31: Într-unul din pătratele unei table de șah(8x8) este scris semnul ”+” iar în

celelalte este scris semnul ”─”. Înțelegem prin ”mutare” schimbarea tuturor semnelor dintr-o linie

sau dintr-o coloană oarecare. Să se arate că oricâte ”mutări” am efectua nu putem obține semnul ”+”

în toate pătratele tablei.

Soluție:La început avem 63 de semne de ”-”. În urma oricărei ”mutări” numărul de semne

de ”+” rămâne tot impar. Deci nu putem avea 64 semne de ”+”.

Exemplul 32: Pe o tablă 3 x 3 avem un singur pătrățel negru într-un colț, iar celelalte sunt

albe. Vom numi mutare operația prin care vom schimba culoarea tuturor pătrățelelor unei linii sau

coloane. Demonstrați că, în urma unui număr finit de mutări, tabla nu poate fi transformată într-o

tablă complet albă.

BIBLIOGRAFIE

- V. Pop, V. Lupşor - Matematică pentru grupele de performanță, clasa a VI-a, Editura

Dacia Educațional, Cluj Napoca, 2004;

- V. Pop, V. Lupşor - Matematică pentru grupele de performanță, clasa a VII-a, Editura

Dacia Educațional, Cluj Napoca, 2004;

- I. Boreico, M. Teleucă – Invarianți și jocuri, Editura Gil, 2007

13


Rebusuri matematice

Profesor Diaconu Marta

Şcoala cu clasele I-VIII Budeşti – Vâlcea

Orizontal

1. Latură a unui triunghi dreptunghic

2. Figură geometrică

3. Matematician grec

4. Materie de studiu în şcoală

5. Ramură a matematicii

6. Câtul neefectuat a două numere

7. Tip de triunghi

8. Altă latură a unui triunghi dreptunghic

Vertical A-B: Numele unui matematician grec cunoscut şi pentru teorema care-i

poartă numele

A

1

2

3

4

5

6

7

8

B

14


Orizontal

1. Trei sau mai multe puncte situate pe aceeaşi dreaptă se numesc puncte...........

2. Unghiul ale cărui laturi coincid se numeşte unghi.............

3. Două unghiuri opuse la vârf sunt .................

4. Perpendiculara dusă pe un segment prin mijlocul segmentului se numeşte.........

5. Unghiul care are măsura mai mare de 900 se numeşte unghi ........

6. Distanţa de la centru cercului la un punct de pe cerc se numeşte..............

7. Transversală sau ....................

Vertical A-B: O ramură a matematicii

A

1

2

3

4

5

6

7

B

15


Congruenţe modulo n. Indicatorul lui Euler Aplicaţii

Profesor Dinu Gigi-Daniel, G.S. Brătianu-Drăgăşani

Profesor Dinu Maria, C.N. Gib Mihăescu-Drăgăşani

1. Câteva definiţii şi teoreme:

Definiţia 1. Fie .1 ,, NnZba Spunem că ba (mod n ) dacă restul

împărţirii lui a la n este egal cu restul împărţirii lui b la n .

Teorema 1. (Euler). Fie Nnn ,2 si Zx astfel încât .1, nx Atunci,

nx 1 (mod n ).

Definiţia 2. Aplicaţia NN: , dată prin n numărul de numere naturale cel

mult egale cu n, relative prime cu n, se numeşte indicatorul lui Euler.

Teorema 2. (Fermat).

Fie pp ,0 prim, Zx , p nu divide x . Atunci 1px 1 (mod n ).

Observaţie. Înmulţind cu x congruenţa din teorema lui Fermat, obţinem relaţia px x (mod

p ) şi teorema lui Fermat se poate enunţa şi astfel: Dacă 0p este un număr prim, iar Zx

este arbitrar, atunci px x (mod p ).

Teorema 3. (Wilson).

Fie . ,2 Npp Atunci p este prim 01!1 p (mod p ).

2. Aplicaţii:

1) Daca pp ,0 prim şi ,Zx p divide x , să se arate că

)1( ppx 1 (mod 2p ).

Rezolvare:

Rezultă uşor din teorema lui Euler luând .2pn

16


2) Demonstraţi că dacă , 0 ,0 qp qp , sunt numere prime astfel încât

pxpy (mod p ) şi

qxqy (mod q ), atunci yx (mod pq ).

Rezolvare:

Din teorema lui Fermat avempx x (mod p ) şi yy p (mod p )

yxyxp

xyyxp

pp

pp

|

|(mod p ).

Analog, yx (mod q )

. mod

1,

mod x

mod x

pqyx

qp

qy

py

3) Să se arate că dacă 0p este un număr prim, atunci restul împărţirii produsului

1...321 p la 1...321 p este .1 p

Rezolvare:

Din teorema lui Wilson

p

p

mod 0p

mod 01!1-p

ppp mod 01!1 . )1(mod01!1 pppp

4) Fie .2, ,;...;3;2;1 nNnnA Să se arate că:

a) nu există AB astfel încât .

BAxBx

xx

b) există AB astfel încât

BAxBX

xx 4mod 0 n

sau

.4mod 3n

Rezolvare:

a) Presupunem că există AB astfel încât .

BAxBx

xx

17


Avem !nxAx

!

2

nxBAx

!n este pătrat perfect.

Din postulatul lui Bertrand p prim astfel încât

; !| ,12

npnpn

2p nu divide !n !n nu este pătrat perfect.

b) Presupunem că există AB astfel încât

BAxBX

xx . Din

2

1nnx

AX

4

1nnx

BX

4mod 0n sau 3n . 4mod

Reciproc, dacă 4mod 0n , 4mod 3 nsau atunci trebuie să demonstrăm că

există B astfel încât

BAxBX

xx .

Demonstrăm prin inducţie .

3n partiţia .32;13;2;1

4n partiţia .3;24;14;3;2;1

Presupunem afirmaţia adevărată pentru n şi o demonstrăm pentru n+1.

Pentru aceasta observăm că . 3n2n4n1n

4;1Cnot

nnB },3;2{C-A nnBA iar din observaţia

anterioară .

CAXCx

xx

5) Fie 2p un număr prim de forma N,k 2,3k cba ,, trei numere întregi

astfel încât .|p 222 bcacabcba

Să se arate că ).(mod pcba

Demonstraţie. Dacă 23kp si yx, sunt prime cu p, atunci este adevarată

implicaţia 33 yx (mod p ) yx (mod p ).

18


Într-adevăr, din teorema lui Fermat 11313 kk yx (mod p ) şi cum

)(mod33 pyx yx (mod p ).

Din ipoteză 222)()(|p accbba , x|p 22 yxy unde

c,-by b,-ax )(mod x|p 3333 pyxy )(mod pyx

cba 2|p şi analoagele.

cba (mod p ).

Un rezultat pentru numere prime

Profesor Dinu Gigi-Daniel, G.S. Brătianu-Drăgăşani

Fie numărul ,2 skkkf unde ,||, ksZs .Nk

Propoziţie. kf este număr prim si nfkf | kkmfn

sau kmfn ,12 sk NmNk , .

Demonstraţie. Din

kfkf

nfkf

|

| )(| kfnfkf

)(| 22 skksnnkf 1)(| knknkf .

Cum kf este număr prim )(| knkf sau 1| knkf .

Dacă )(| knkf kpfknNp , kkpfn .

Dacă )1(| knkf kmfknNm 1 ,

1kkmfn 11 kkfkfmn

11 2 kskkkfmn 12 skkmfn .

19


Dacă kkmfn

)()( kkmffnf kfm22 skkmfkkfkm 2 2

122 mkmkfmkf ./ nfkf

Dacă 12 skkmfn

1)1()( 2 kkfkmffskkmffnf kfm22)1(

skkfmkkkfmk 1)1(12)1)(1(2 2

1)1)(1(2)1( 2 kfmkkfmkf nfkf |

Exemplul 1.

,1113 2 ,13 f unde s=1.

,11010111 2 ,10111 f

111/3 adică 10/1 ff ,

11310 f

Exemplul 2.

,1227 2 ,23 f unde s=1

,11111133 2 ,11133 f

133/7 adică 11/2 ff ,

.22111 2 f

Exemplul 3.

,56647 2 ,647 f unde s=5

,518118132947 2 ,18132947 f

32947/47 adică 181/6 ff ,

.15663181 2 f

20


Rezolvarea unor ecuaţii în mulţimea numerelor prime

Profesor Genoiu Leon

Şcoala cu clasele I-VIII “Anton Pann”, Rm. Vâlcea

În materialul de faţă vom prezenta câteva tipuri de ecuaţii în mulţimea numerelor prime şi

rezolvarea lor. Pentru găsirea soluţiilor ecuaţiilor de acest tip, vom avea în vedere câteva observaţii.

Obs 1. Deoarece singurul număr prim şi par este2, vom analiza paritatea sumei sau diferenţei ce

apare în ecuaţie, de unde vom deduce paritatea termenilor.

Obs 2. Pătratele numerelor prime diferite de 2 şi 5 au ultima cifră 1 sau 9.

Obs 3. Puterea a patra a numerelor prime diferite de 2 şi 5 se termină în cifra 1.

Obs 4. Dacă n este număr prim diferit de 2, atunci u(5∙n)=5.

Obs 5. Dacă ştim suma şi numărul termenilor sumei,putem afla media lor aritmetică, ştiind că ea

este situată între termenii cu valori extreme (utilă mai ales dacă termenii sunt numere prime

consecutive).

Obs 6. Orice produs de două numere naturale consecutive are ultima cifră 0, 2 sau 6.

Obs 7. Suma şi diferenţa a două numere naturale au aceeaşi paritate.

Aceste observaţii au fost utile în rezolvarea următoarelor probleme:

Problema 1 Să se afle soluţiile ecuaţiei a+b+c+d+e=90, ştiind că a, b, c, d, e sunt numere prime

distincte, iar patru dintre ele sunt consecutive în şirul numerelor prime.

Rezolvare Fiind numere distincte, putem considera că a<b<c<d<e. Cum patru dintre ele sunt

consecutive în şirul numerelor prime, este evident că ele pot fi a, b, c şi d sau b, c, d şi e. Se

observă că suma celor cinci termeni este pară, de unde deducem că un termen este par, iar restul

sunt impari.

Rezultă că a=2.

În cazul că a, b, c şi d sunt prime consecutive, atunci b=3, c=5 şi d=7. Atunci d

=90─(2+3+5+7)=73.

În cazul că b, c, d şi e sunt numere prime consecutive, putem afla suma lor care este 90─2=88.

Conform Obs 5, aflăm media lor aritmetică, aM =88:4=22 şi avem cazurile: (I) b<22<c<d<e sau

(II) b<c<22<d<e sau (III) b<c<d<22<e.

Din cazul (I) deducem că b=19, c=23, d=29 şi e=31, dar suma lor nu este 88.

21


Din cazul (II) deducem că b=17, c=19,d=23 şi e=29 care verifică suma şi în consecinţă cazul (III)

nu mai are soluţie.

Deci, (a, b, c, d, e) { (2,3,5,7,73);(2,17,19,23,29)}.

Problema 2. Să se afle numerele prime n, m, respectiv x şi y, din:

(1) 384222 mn ; (2) 170622 yx .

Rezolvare Pornind de la Obs 2, deducem că u( 2n ) }9;1{ dacă n }5;2{ şi analog, u( }9;1{)2 m

dacă m }5;2{ . Deoarece u( )( 22 mn =2, deducem că u( 1)() 22 mun . Cum n şi m sunt

numere prime, deducem că u( )n }9;1{ şi la fel pentru m. Dacă u(n)=1 ;.......}61;41;31;11{ n iar

dacă u(n)=9 ;....}79;59;29;19{ n .

Verificând pentru n=11 2n =121 2m =3721= 261 m=61.

Dacă n=31, 9612 n ,de unde rezultă că 2m =2881, dar 2881 nu este pătrat perfect.

Analog, dacă n=41 m .

Evident, dacă n =61, atunci m=11. Analizând cazul n 19{ ;29;59;79;.......}, observăm că dacă n=19,

atunci 2n =361 şi 2m =3481= m259 =59.

Dacă n=29,atunci m şi evident, dacă n=59, atunci m=19.

Deci, (n;m) )}11,61();19,59();59,19();61,11{( .

În cazul egalităţii (2) cum u( )22 yx =6 şi cu Obs 2, deducem că un termen are ultima cifră 1 iar

celălalt are ultima cifră 5. Dacă u( 2x )=5 şi x este număr prim, deducem că x=5

170625 22 yx ─25=1681= 241 .

Deducem că y=41. Deci,(x;y) { (5;41);(41;5)}.

Problema 3. Rezolvaţi ecuaţia 5a+7b=384, unde a şi b sunt numere prime.

Rezolvare Cum u(5a+7b)=4, deducem că 5a şi 7b au aceeaşi paritate şi anume impari, pentru că

a=b=2 nu verifică. Cum a este număr prim diferit de 2, cu Obs 4 avem că u(5a)=5 şi cum

u(5a+7b)=4u(7b)=9u(b)=7 şi cum b este număr primb ........}47;37;17;7{ .

Dacă b=7 3355493845 aa a=67;

Dacă b=175a=384─1195a=265a=53;

Dacă b=37a=25,dar nu este prim;

Dacă b=475a=384─3295a=55a=11;

Dacă b=67 3847 b .

22


Deci, soluţiile ecuaţiei în mulţimea numerelor prime sunt (a,b) )}47;11();17;53();7;67{( .

Problema 4. Rezolvaţi ecuaţia 302644 yx ştiind că x şi y sunt numere naturale prime.

Rezolvare Ţinând cont de Obs 3,deducem că u( 4x )=1 şi u( 4y )=5 sau invers. Cum y este număr

prim, deducem că y=5 şi 4x =3026─625=2401= 47 x=7 Deci, (x;y) )}5;7();7;5{( .

Problema 5. Aflaţi numerele naturale prime n şi p ştiind că verifică egalitatea 200522 npn .

Rezolvare Pentru n, p }5,2{ se observă uşor că nu verifică.

22222 )1(20052005 pnnpnnnpn =2005. Cu Obs 6 deducem că

u[n(n─1)] }6,2,0{ , iar cu Obs 2, avem că u( }9;1{)2 p şi cum u( )2 pnn =5 deducem

u[n(n─1)]=6

şi u( )2p =9. Cum n este număr prim, deducem că u(n)=3 şi u(n─1)=2 n {3;13;23;43….}

Pentru n=3 2p =1999 405040 222 p <p<50. Dar p=43 sau p=47 nu verifică.

Pentru n=13 22 431849p p=43. Pentru n=23 sau n=43 nu se mai obţin soluţii.

Deci, (n;p)=(13;43).

Problema 6 Determinaţi numerele prime a,b,c ştiind că: a+b=108 şi a─b─c=32.

Rezolvare Cu Obs 7 deducem că cifra unităţilor a numărului a−b este pară ca şi a numărului a+b.

Cum u(a−b−c)=2, deducem că numărul c este număr par,dar este şi prim şi atunci c=2.

Deducem că a−b=34 Cum a+b=1082a=142a=71 Din a+b=108 şi a=71, deducem că b=37.

Deci, a=71, b=37 şi c=2.

Problema 7 Să se rezolve ecuaţia : 1079543211 zyx , unde indicii reprezintă baza de

numeraţie

şi sunt numere prime.

Rezolvare Deoarece x, y, z reprezintă baze de numeraţie,deducem că x≥2, y≥4 şi z≥6. Ecuaţia

dată este echivalentă cu ecuaţia x+3y +5z=72. Cum suma este pară, iar doi termeni în condiţiile

date sunt sigur impari (3y şi 5z), atunci x este par şi fiind număr prim, deducem că x=2. Atunci

3y+5z=70 3y=5(14−z)5│3y. Cum 5ɬ3, deducem că y este multiplu de 5, dar fiind prim y=5.

Atunci 5z=55 11 z .

În încheiere, propunem spre rezolvare, următoarele probleme:

1) Să se determine numerele prime a,b,c ştiind că 4a +5b+15c=75;

23


2) Să se afle numerele prime m şi n ştiind că nmn 79227 2 ;

3) Să se afle numerele a, b, c, d ştiind că a2 +3b+2c+6d=56;

4) Determinaţi numerele prime a, b, c, ştiind că 3a+7b+14c=112;

5) Determinaţi numerele prime x şi y ştiind că 2x +7x+19y=2006;

6) Determinaţi numerele prime a, b, c, d ştiind că a3 +4b+6c+9d=114;

7) Determinaţi numerele prime a, b şi p ştiind că: a−b= npn , şi a+b=54;

8) Determinaţi numere naturale prime a, b, c ştiind că 5a+7b+11c=406.

Probleme propuse pentru gimnaziu

Profesor Ion Marcel Neferu, Drăgăşani

Clasa a V- a

1) Fie A=1∙2∙3∙….∙n+2011, unde n≥24

a) Calculaţi restul împărţirii lui A la 53;

b) Arătaţi că A nu este pătrat perfect.

2) Arătaţi că mulţimea A={x€N/ 3x+3

x+1 e pătrat perfect}, este infinită.

3) Determinaţi numărul de patru cifre, ştiind că dacă-i adăugăm (pe rând) în stânga şi în

dreapta cifra 5, obţinem două numere, a căror diferenţă este 31896

4) Dacă A={x€N/ x are 4 cifre şi suma cifrelor lui este 4}, se cere:

a) Cardinalul mulțimii A

b) Scriind elementele lui A în ordine crescătoare, ce loc ocupă 2011?

Clasa a VI- a

1) Aflaţi câţi divizori naturali are numărul x+y, unde fracţia ireductibila x/y se transformă în

fracţia zecimală )(52,4 abc , în care a 2010-a zecimală este 9, a 2011-a zecimală este 2, iar

abc e divizibil cu 9.

24


2) Fie A={ ab / 12

ab=

21

ba}. Care este probabilitatea ca alegând un element al lui A, acesta să

fie divizibil cu 9?

3) Fie D mijlocul bazei [BC], a triunghiului isoscel ABC. În punctele B şi C, ducem BE┴BC,

CF┴BC, (E şi A de aceeaşi parte a lui BC, F în semiplanul opus), astfel încât

[BE]≡[CF]≡[AD]

a) Arătaţi că F e simetricul lui E faţă de D.

b) Dacă EC∩AD={M}, arătaţi că triunghiul BME este isoscel.

Clasa a VII- a

1) Arătaţi că A= !2011!2012 este iraţional ( n!=1∙2∙3∙…∙n )

2) Determinaţi cardinalul mulţimii A={ n€N/ 600…004, e pătrat perfect (cifra 0 apare de n

ori)}

Clasa a VIII- a

1) În cubul ABCDEFGH, notăm cu M,N,P mijloacele segmentelor [BC], [BM], respectiv

[EH]. Calculaţi cosinusul unghiului dreptelor PN şi AM.

25


Probleme rezolvate pentru gimnaziu

Profesor Diaconu Marta

Școala cu clasele I-VIII Budeşti - Vâlcea

Clasa a V-a

Problema 1.

Produsul a două numere naturale este 96. Dacă primul dintre numere se micşorează cu 9, iar

al doilea număr se măreşte de patru ori, atunci produsul lor rămâne neschimbat. Aflaţi cele două

numere.

Soluţie : ,9649

96

ba

ba

sau 249 ba , rezultă , 249 bba adică 729 b

deci, 8b şi 12a .

Problema 2.

Se consideră mulţimea 542735 4;81;7A şi

numărul 36422772164812 7:493:92:16125:255 x

a) Arătaţi că x este element al mulţimii A.

b) Stabiliţi dacă cel mai mare element din mulțimea de mai sus este pătrat şi cub perfect.

Soluţie :

a) Din :

422

28142

1644

2483

24122

749749

3939

216216

51255125

525525

26


se calculează 3644272816162424 7:73:32:25:55 x

Se obţine 10836 28 x sau 544 , care este din mulțimea A

b) Comparăm elementele din mulţimea A

3610854

10827

824

381

sau

rezultă că 2754 814 ( 1 )

pe de altă parte 3635 87 deci cel mai mare element din mulţime este 2781

Stabilim dacă este pătrat perfect : 25410827427 33381 este deci pătrat perfect

Stabilim dacă este cub perfect : 33627427 3381 este deci cub perfect.

Problema 3.

Se dă numărul 20066420 2.......2222 a

a) Stabiliţi dacă a este divizibil cu 2.

b) Stabiliţi dacă a este divizibil cu 5.

c) Câţi termeni are suma ?

Soluţie :

a) 200553 2.........22221 deci a se poate scrie ;21 n deci a este număr impar,

adică numărul a nu se divide cu 2.

b) Se grupează termenii respectivi câte doi.

200620041086420 22........222222 a

2200428242 212..........21221221 a

200484 2.........2215 a sau ma 5 , deci se divide cu 5.

c) În funcţie de exponenţii lui 2 se stabileşte suma formată din 1004 termeni.

27


Clasa a VI-a

Problema 1.

În triunghiul dreptunghic ABC 090Am se duce înălţimea AD. Se uneşte D cu mijloacele E şi

F ale laturilor AB şi AC. Să se arate că .900FDEm

Soluţie:

Ipoteza :

;;900 BCADAm AF FC ; AE BE

Concluzia: 090FDEm

Triunghiul ADB dreptunghic 090ADBm , iar DE este

mediana corespunzătoare ipotenuzei AB, atunci DE AE EB rezultă că ADE isoscel,

rezultă DAEm = ADEm

Analog, pentru ADC dreptunghic ,CDAD iar DF este mediana corespunzătoare ipotenuzei

AC; rezultă DF AF , rezultă ADF isoscel; rezultă FADmFDAm

Cum EAD + DAF = BAC , rezultă 090 BACmADEmFDAmFDEm , rezultă

DEFD

Problema 2.

Fie un triunghi dreptunghic ABC cu 030Cm şi AD înălţime.

a) Notând cu x lungimea catetei AB să se calculeze în funcţie de x lungimile segmentelor BD şi

DC

b) Arătaţi că 3

1

DC

BD

28


Soluţie: a) În triunghiul ABD cu Dm =90 0 şi 060 Bm rezultă 030Am , rezultă

122

xABBD

În triunghiul ABC, aplicând teorema referitoare la cateta opusă unghiului de 30 0 rezultă 2

BCAB ,

rezultă xBC 2 , iar 2

3 xBDBCCD

(2)

b) Din relaţiile (1) ţi (2) rezultă 3

1

DC

BD

Clasa a VIII-a

Problema 1.

Fie E1

1.....

32

1

21

1

nn

Determinaţi ,n astfel încât E=10

Soluţie:

Se raţionalizează toţi numitorii :

1

1........

1

32

1

21

nnE

sau E= nn 1.....2312

După reducerea termenilor asemenea se obţine:

E= 11n şi ţinând cont de faptul că E=10 se obţine 120n

Problema 2.

Fie 32a şi 32b

Arătaţi că

2ab

a

Soluţie:

Din

22

2

32

32

3232

3232

32

32

32

32

b

a

29


22

2

32321

32a

Problema 3.

Calculaţi :

2011

22

3123

Soluţie:

3223232

133131

2

Se obţine :

Descoperiri matematice care au marcat omenirea

Profesor Pădureţu Emil

Colegiul Naţional “Mircea cel Bătrân”, Râmnicu Vâlcea

1. În anul 1100 Jia Xien stabileşte o metodă de construcţie a triunghiului de numere numit mai

târziu triunghiul lui Pascal.

2. În anul 1200 Leonardo Pisano cunoscut sub numele de Fibonacci scrie lucrarea "Liber

abaci", considerată timp de două secole cea mai competentă sursă de cunoştinţe în teoria

numerelor.

Sunt prezentate criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5 şi 9.

3. În anul 1491

în lucrările de aritmetică ale lui Filippo Calandri se introduce algoritmul de

împărţire cu un împărţitor mai mare decât 12.

Leonardo da Vinci (15.04.1452 - 2.05.1519) anticipează construirea ceasului cu

pendul, al cărui mecanism utilizează principii de divizibilitate.

4. În anul 1536 într-o lucrare de aritmetică a matematicianului Regius apare al cincilea număr

perfect cunoscut: 33 350 336. (Numărul perfect este un număr întreg egal cu suma divizorilor

săi, din care se exclude numărul însuși.) Primele patru numere perfecte sunt: 6, 28, 496, 8128.

5. În anul 1575 într-o lucrare de aritmetică este inclus primul rezultat cunoscut obţinut prin

inducţie matematica: suma primelor n numere impare este egala cu n2.

113322011

30


6. În anul 1603 sunt găsite al şaselea şi al şaptelea număr perfect. Acestea sunt numere de ordinul

miliardelor şi, respectiv, sutelor de miliarde.

7. În anul 1621 apariţia în ediţie bilingvă greacă - latină a "Aritmeticii lui Diofante", reînvie

studiul teoriei numerelor.

8. În anul 1623 Wilhelm Schickardt construieşte prima maşină de calculat capabilă să facă

adunări şi scăderi, iar ajutată de operator - înmulţiri şi împărţiri. Visul matematicienilor de a

putea utiliza o maşină pentru efectuarea calculelor se apropie de realitate.

9. În anul 1635 Rene Descartes (31.05.1596 - 11.02.1650) descoperă teorema, numita de urmaşi

a lui Euler, conform căreia între numărul vârfurilor, muchiilor şi feţelor unui poliedru convex

trebuie să existe relaţia:

V - M + F = 2,

unde V = numărul vârfurilor

M = numărul muchiilor

F = numărul feţelor

Aceasta relaţie leagă proprietăţile unui corp de o relaţie numerică.

10. În anul 1636 Pierre Fermat (17.01.1601 - 12.01.1665) descoperă o a doua pereche de numere

prietene după cele cunoscute de lumea antică ( 220 si 284). Numerele prietene sunt perechile de

numere în care fiecare număr în parte este suma divizorilor celuilalt număr. Alte perechi de

numere prietene sunt: (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368).

11. În anul 1640 Fermat formulează "mica teoremă" a numerelor:

"Daca p este un număr prim, atunci pentru orice număr întreg a numărul ap – a se divide cu p".

12. În anul 1642 pe o manşetă a unei lucrări de Diofante (325 - 409), Fermat afirma că:

"Pentru toţi întregii n mai mari decât 2, nu putem găsi trei întregi x, y, z astfel încât

xn + y

n = z

n".

Continua Fermat:

"Am descoperit o demonstraţie remarcabilă a acestei propoziţii, dar nu-mi ajunge o singură

pagină".

Problema este cunoscută sub numele de marea teoremă a lui Fermat şi avea să frământe

cele mai strălucite mintii ale matematicii, timp de mai multe secole. Demonstrația completă a

fost găsită de-abia 357 de ani mai târziu de către matematicianul englez Andrew Wiles.

13. În anul 1656 studiile lui Hugens asupra cicloidei duc la crearea unui ceas precis şi a unui

cronometru.

14. În anul 1665

Apare lucrarea lui Blaise Pascal (19.06.1623 - 19.08.1662) "Tratat despre triunghiul

aritmetic" urmare a căreia triunghiul cu proprietăţile cunoscute de mulţi înaintaşi va

purta numele lui Pascal.

Isaac Newton (25.12.1643 - 31.11.1727) descoperă teorema generală a dezvoltării

binomului.

15. În anul 1671 Wilhelm Gottfried Leibnitz (1.07.1696 - 14.11.1716) concepe o maşină de

calcul care poate efectua operaţii de înmulţire şi împărţire.

16. În anul 1676 este dată o soluţie la marea teorema al lui Fermat, pentru n=4.

17. În anul 1760 Leonhard Euler (15.04.1707 - 18.09.1783) utilizează funcţia Euler sau

indicatorul lui Euler, notată cu φ(n) (unde n este un număr natural nenul) și φ(n) reprezintă

numărul de numere mai mici sau egale cu n și prime cu acesta. Recent, această teoremă a

devenit fundamentală pentru codurile moderne "open-key".

18. În anul 1766 prin legea lui Johann Bode, "distanţele la care se află planetele faţă de Soare sunt

proporţionale cu termenii şirului 3, 6, 12, 24, 48, 96", se încearcă legarea astronomiei de teoria

numerelor.

Descoperirea, în anul 1836, a planetei Neptun va dovedi că legea e greşită.

http://ro.wikipedia.org/wiki/Divizor

http://ro.wikipedia.org/wiki/Anglia

http://ro.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles

http://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_natural

http://ro.wikipedia.org/wiki/Numere_prime_%C3%AEntre_ele

31


19. În anul 1772

Christian Goldbach (8.03.1690 - 20.11.1764) emite ipoteza că orice număr par mai

mare decât 2 este suma a două numere prime. Ipoteza nu a fost nici confirmată, nici

infirmată până în prezent.

Adrien Marie Legendre (18.09.1752 - 10.01.1833) afirmă că nu există expresii

raţionale care să furnizeze numai numere prime.

20. În anul 1790 ecuaţiile de gradul al doilea cu coeficienţi numere întregi şi cu soluţii în mulţimea

numerelor întregi de forma x2 - dy

2 = 1, d – număr natural, ( ecuaţii Pell (John Pell (1.03.1610 -

12.12.1685))) capătă o importanta deosebita în teoria numerelor.

21. În anul 1796 după ce studiază numerele prime, Karl Gauss (30.04.1777 - 23.02.1855) enunţă

legea reciprocităţii resturilor pătratice. Tot Gauss construieşte cu rigla şi compasul un poligon

regulat cu 17 laturi.

22. În anul 1800 Gauss rezolvă problema găsirii poligoanelor regulate construibile cu rigla şi

compasul.

23. În anul 1801 Gauss demonstrează ca fiecare număr natural este egal cu suma a cel mult trei

numere triunghiulare.

Tot Gauss introduce noţiunea de congruenţă modulo p.

24. În anul 1830 într-un tratat de algebră, George Peacock (9.04.1791 - 8.11.1858) face una dintre

primele încercări cunoscute de formulare a legii fundamentale a aritmeticii.

25. În anul 1839 Gabriel Lame (22.07.1795 - 1.05.1870) dovedeşte valabilitatea teoremei lui

Fermat pentru n = 7.

26. În anul 1847 Ernest Kummel (29.01.1810 - 14.05.1893) introduce în teoria numerelor

noţiunea de ideal - o generalizare a numerelor prime care face posibil ca teorema fundamentală

a aritmeticii să fie aplicată şi numerelor complexe.

27. În anul 1850 matematicianul rus Pafnutie Lvovivici Cebâşev (26.05.1821 - 12.08.1894)

demonstrează afirmaţia lui Bertrand: "Pentru orice n număr natural, n > 2, avem cel puţin un

număr prim cuprins intre n si 2n - n."

28. În anul 1860 sunt folosite cutia de viteză şi capul divizor al strungului, invenţii bazate pe

rezultate ale divizibilităţii numerelor naturale.

29. În anul 1909

S-au editat tabele cu numere prime mai mici decât 10 000 000 şi cu cei mai mici

divizori ai numerelor compuse mai mici decât 1000 000.

Începe utilizarea în coduri numerice a proprietăţilor numerelor prime.

30. În anul 1946 se naşte calculatorul electronic. Încă de la început, puterea sa de calcul va fi

utilizată în căutarea numerelor prime.

31. În anul 1959 W. Sierpinski (1882 - 1970) demonstrează că pentru n > 5, între numerele

naturale n şi 2n avem cel puţin două numere prime.

32. În anul 1980 L. Adleman si R. Rumelig dezvoltă o metodă nouă şi îmbunătăţită de testare a

numerelor în vederea descoperii numerelor prime.

33. În anul 1985 Hugh C. Wiliams şi Harvey Dumbar ajung la concluzia că numărul format din

1031 de cifre de 1 este prim.

34. În anul 1996 cea mai celebră conjectura a istoriei este demonstrată! Andrew Wiles de la

Institutul Isaac Newton din Cambridge dă demonstraţia completă a marii teoreme a lui Fermat.

35. În anul 2008 o echipă de matematicieni de la Universitatea din California – Los Angeles (USA)

a descoperit cel mai mare număr prim de până acum, ce are nu mai puţin de 13 milioane de

cifre. Acest lucru a fost posibil prin folosirea a numai puţin de 75 de calculatoare simultan

pentru a realiza un număr impresionant de mare de calcule.

32


Amuzamente matematice

Prof. Dumitru DOBRE

C.N.I. “Matei Basarab“, Râmnicu Vâlcea

"Obiectul matematicii este atât de serios, încât este util să nu pierdem ocazia

pentru a-l face puţin mai distractiv.” Blaise PASCAL

Matematica este cea mai exactă dintre științe. A descoperi inexactități, contradicții sau

concluzii neologice în acest domeniu ține mai mult de matematica distractivă. O “demonstrație” a

unei absurdități conține, fără îndoială, măcar o greșeală. A o căuta și a o găsi reprezintă un exercițiu

plăcut și în aceeași măsură util, reprezentând un bun test al cunoștințelor matematice și un

antrenament al spiritului de observație și analiză.

Clasa a V-a

Trei persoane se cazează la un hotel; după câteva zile, deşi mai aveau de stat, se decid să

plătească cazarea; li se spune că au de plătit 300 lei. Fiecare dă câte 100 lei. A doua zi vine

recepţionerul şi le spune că s-a făcut o greşeală şi că de fapt aveau de plătit doar 250 lei şi le

restituie 50lei. Fiindcă nu puteau să împartă 50 lei în trei (nu existau decât bancnote de 10 lei şi 100

lei) se decid să-i dea bacşiş recepţionerului 20 lei. Evident ei rămân cu 50 – 20 = 30 lei pe care îi

împart în mod egal. Deci, fiecare a primit câte 10 lei înapoi. Dacă la început au dat fiecare câte 100

lei şi au primit înapoi câte 10 lei înseamnă că fiecare a dat 90 lei. Fiecare dând câte 90 lei înseamnă

că în total au dat 3 x 90 = 270 lei. Adunând la această sumă cei 20 lei daţi ca bacşiş, în total obţinem

270 + 20 = 290 lei.

Întrebare: unde sunt 10 lei ?

“Geometria este arta de a raționa corect pe figuri incorecte”

Clasa a VI-a

(Henri POINCARE)

Fie triunghiul ABC. Notăm cu P punctul de intersecţie dintre mediatoarea laturii BC şi

bisectoarea A , ABCIntP şi cu E, respectiv F proiecţiile punctului P pe laturile AB şi AC ale

triunghiului ABC.

Din congruenţa triunghiurilor APE şi APF obţinem AFAE (1) şi PFPE , ceea ce

conduce la PFCPEB . Deci CFBE (2).

Din (1) şi (2) obţinem că ACAB , adică orice triunghi este isoscel.

Unde este greșeala ?

Clasa a VII-a

Cele trei figuri

geometrice sunt formate

din aceleaşi 6 piese,

aşezarea acestora fiind

diferită.

Primul triunghi are

aria de 60 pătrăţele, al

doilea are 2 pătrăţele

lipsă, a treia figură având

aria de 59.

33


Clasa a VII-a

Între măsurile a, b, c ale laturilor unui triunghi ABC există relațiile: a > b – c și b > a – c.

Scăzând aceste inegalități membru cu membru se obține:

a – b > b – c – a + c a – b > b – a a + a > b + b a > b.

Deci nu există triunghiuri echilaterale !!!

Unde este greșeala ?

Clasa a VII-a

Egalitatea 0, 25 lei = 25 bani este adevărată.

Extrăgând rădăcina pătrată membru cu membru, ar trebui să rezulte tot o egalitate.

Dar, observăm că: 0, 25 lei = 25 bani.

lei = bani 0, 5 lei = 5 bani, deci un leu are numai 10 bani, nu 100 !!!

Unde este greșeala?

34


Pentru toți

Într-o noapte, pe furtună,

La un han, nerăbdători,

Au cerut în cor să doarmă

Zece vajnici călători.

Scărpinându-se în creștet,

Agerul stăpân de han

Le-a cerut un bob zăbavă

Și-a grăit plin de elan:

E, F, G au paturi bune

Pentru 6, 7, 8,

Iar în H va fi culcușul

Lui nea 9, că-i mai copt.

Nouă camere cu pat am,

Hangiul le-a spus greoi.

Opt din voi vor dormi singuri

Și-ntr-un pat vor dormi doi.

Cum vreți voi, așa voi face,

Oricât va fi de bizar,

În odaia A să intre

Primii doi inși, temporar.

Zece-i unul din cei doi

Care-au stat până aci

În odaia A. Să-l scoatem

Și să-i dam odaia I!

Auzind aceste vorbe

Oaspeții s-au-nfuriat,

Fiindcă fiecare-n parte

Voia singur într-un pat.

În odaia B primește

Pat pe-o noapte insul 3,

Iar în C și D să intre

4 și cu 5, că-s grei.

(Martin Gardner - "Amuzamente matematice")

35


36


Ideile faimoase ale lui Arhimede

Elev Toşu Tiberiu, clasa a VI-a A Profesor îndrumător: Ionescu Gabriela

Colegiul Naţional de Informatică “Matei Basarab”, Râmnicu Vâlcea

Coroana de Aur

Cea mai cunoscută anecdotă despre Arhimede ne spune cum a inventat metoda de a

determina volumul unui obiect de formă neregulată. Conform cu cele spuse de Vitruvius, o coroană

votivă din aur a fost executată pentru un templu al regelui Hiero II. Dar la urechile regelui a ajuns

zvonul că, aurarul a furat o parte din aur, înlocuindu-l cu argint. Regele i-a cerut lui Arhimede să

stabilească cu certitudine dacă a fost înșelat sau nu. Arhimede trebuia să rezolve problema fără a

distruge coroana, adică topind-o și dându-i o formă regulată pentru a-i calcula densitatea. În timp ce

făcea baie, a observat că intrând din ce în ce mai mult în cadă, mai multă apă se revărsa în afara ei,

moment în care și-a dat seama că datorită acestui efect poate calcula volumul coroanei, iar prin

împărțirea masei coroanei la volumul ei îi putea afla densitatea. Dacă erau folosite metale cu

densitate mai mică decât a aurului, atunci și densitatea coroanei ar fi mai mică decât a aurului.

Excitat de descoperirea pe care a făcut-o și uitând că era dezbrăcat, a luat-o la fugă pe străzi

strigând "Evrika!" (în greacă: "εὕρηκα!," ceea ce înseamnă "Am găsit!"). Testul pe care l-a făcut

ulterior cu coroana, a dovedit că într-adevăr aurarul folosise o anumită cantitate de argint la

fabricarea ei. Acest lucru a fost posibil deoarece apa este incompresibilă în condiții normale, deci

scufundând coroana, aceasta va dislocui o cantitate de apă egală cu propriul volum.

Arhimede a folosit principiul flotabilităţii pentru a determina dacă acea coroana de

aur are o densitate mai mică decât aurul solid.

Șurubul lui Arhimede

O mare parte a lucrărilor de ingineria ale lui Arhimede au izvorât din satisfacerea nevoilor

orașului Siracuza. Scriitorul grec Athenaeus din Naucratis descrie cum regele Hieron II i-a

comandat lui Arhimede proiectarea unei corăbii uriașe, numită Syracusia, care putea fi folosită

pentru călătorii de lux, pentru transportul proviziilor, sau ca navă de război. Se spune că Syracusia a

fost cea mai mare corabie construită în antichitatea clasică. Conform cu cele spuse de Athenaeus,

corabia era capabilă să transporte 600 de soldați inclusiv decorațiuni florale, un gimnaziu și un

templu dedicat zeiței Afrodita cu toate facilitățile. Deoarece de pe o astfel de corabie se scurgea o

cantitate foarte mare de apă prin carenă, șurubul lui Arhimede a fost dezvoltat cu preponderență

pentru a scoate apa din santină. Acest șurub era un dispozitiv cu o lamă în formă de șurub rotativ în

interiorul unui cilindru. Era acționat cu mâna și putea fi de asemenea folosit pentru a ridica apa din

puțuri în canalele de irigație. Șurubul lui Arhimede este folosit și azi pentru pomparea lichidelor sau

solidelor granulate, precum cărbunele și semințele. Șurubul lui Arhimede descris de Vitruvius poate

a fost o îmbunătățire a pompei folosite la irigarea grădinilor suspendate ale Semiramidei.

Şurubul lui Arhimede poate ridica eficient apa.

37


Gheara lui Arhimede

Gheara lui Arhimede este o armă care se spune că a fost proiectată pentru apărarea orașului

Siracuza. Cunoscută și sub denumirea de mașina de scuturat corăbii, gheara semăna cu un braț de

macara de care erau suspendate cârlige cu care putea înșfăca navele din apropiere zdruncinându-le

puternic sau chiar scufundându-le. S-au efectuat și experiențe moderne pentru a demonstra

fezabilitatea ghearei, iar în 2005, într-un documentar intitulat Superweapons of the Ancient World, a

fost reconstituită versiunea ghearei, concluzionându-se că aceasta este un dispozitiv care

funcționează.

20 de lucruri pe care nu le ştiai despre… magnetism

Profesor Stan Anişoara, traducere şi adaptare

Colegiul Naţional “Gib Mihăescu”

Sursa: http://discovermagazine.com, autor: Rebecca Coffey

1. Magnetismul este familiar oricărui elev de clasa a cincea, dar descrierea sa poate ridica

probleme chiar şi celui mai strălucit fizician.

2. Avem drept exemplu pe Richard Feynman. Când i s-a cerut sa explice magnetismul, el i-a

solicitat reprezentantului BBC care-l intervieva sa-l creadă pe cuvânt. După șapte minute de

blocaj, in final el a spus: „Cu adevărat, nu pot sa explic forțele magnetice in termenii cu care

dumneavoastră sunteți familiarizat, pentru ca eu însumi nu le înțeleg in oricare din termenii

cu care sunteți obișnuit”.

3. El a făcut apoi o pauza si a mai continuat câteva secunde înainte de a abandona subiectul. În

aceste secunde a spus: „Toți electronii dintr-un magnet se rotesc in același sens”.

4. Dar cine ar fi știut mai bine decât Feynman ca nu toți electronii se rotesc în același sens?

5. Si, de fapt, ei nici nu se rotesc. Spinul este doar un termen al fizicienilor introdus pentru a

explica micii poli magnetici sud si nord asociați fiecărui electron. Orientarea acestor poli

definește direcția de rotație, oarecum imaginară, a rotației electronilor.

6. De ce fiecare electron poseda acești poli? Când vom afla, va vom tine la curent.

7. Iată ce știm deocamdată. In interiorul unui atom, fiecare electron este, de obicei, însoțit de

un altul orientat in sens contrar, astfel încât pulsurile lor magnetice se anulează reciproc.

8. Dar, dacă există electroni care nu au această pereche, li se poate induce o mișcare astfel

încât polii lor sa se alinieze si astfel apare un câmp magnetic net. Aranjamentul electronilor

în metale îi face în mod special deschiși unei presiuni magnetice de grup.

9. Magnet prin refrigerare: Aplicați un câmp magnetic unui metal fierbinte. Răciți-l apoi astfel

încât electronii aliniați să înghețe în locurile lor.

Lipiți-l pe cardul dumneavoastră ... şi veți vedea!

http://discovermagazine.com/

38


10. Yin căuta Yang în interacțiunile magnetice. Orice magnet are un pol nord si unul sud, iar

polii diferiți se atrag: polul nord atrage sudul, care atrage nordul, care atrage sudul.

11. Stai pe un magnet chiar acum. Câmpul magnetic al Pământului este creat de curenții

electrici din oceanul de fier topit din interiorul său. De aceea, polul nord magnetic al busolei

indica nord...de ce nord? Deoarece nordul magnetic este atras de sudul magnetic, nordul

geografic indică sudul magnetic.

12. Polul sud magnetic este chiar mai precis decât polul nord geografic. În acest moment, el se

află în Oceanul Arctic, în vecinătatea nordului Canadei.

13. El este însă în mod constant în derivă, ca efect al curenților din miezul Pământului. Se

deplasează spre Siberia, cu o viteza de 35 mile/an, conform măsurătorilor Institutului

Geologic din SUA.

14. Vechii marinari navigau folosindu-se de roci magnetice naturale pentru orientare.

15. Cum se formează rocile magnetice este iarăși un mister. Unii geologi presupun ca ele apar

atunci când fulgerele lovesc roci bogate în fier.

16. Microbii, păsările și chiar unele animale au cristale magnetice în corp care le permit să se

orienteze în spațiu.

17. Acest lucru poate explica de ce țestoasele marine pot migra 8000 mile în ape necunoscute, în

timp ce o persoana se poate rătăci și într-un parc.

18. Aparatele de imagistică prin rezonanță magnetică creează un câmp magnetic de 60 000 ori

mai intens decât cel al Pământului în scopul de a face sa vibreze atomii de hidrogen din

corp; ca urmare, aceștia emit unde care sunt analizate și prelucrate pentru a crea o hartă a

interiorului corpului.

19. Folosind un senzor de mărimea unui cub de zahăr, cercetătorii de la Institutul pentru

Standarde și Tehnologie din SUA pot urmări modelul magnetic al unei inimi umane.

20. Semnalul este slab, dar vestea bună este că știința a dovedit că atracția este cuantificabilă.

Fenomene acustice

Eleva Preda Daria Profesor îndrumător: Maria Manuela

Școala ”Tudor Vladimirescu” Drăgășani

1. Ecolația

Ecolația descrie modul prin care animalele utilizează ecoul pentru găsirea prăzii sau pentru

evitarea obstacolelor în întuneric. Liliecii folosesc sunetul pentru ”a vedea”. Ei emit ultrasunete pe o

anumită direcție, care sunt reflectate de lucrurile din jur sub formă de ecou. Cu cât timpul scurs

între emiterea sunetului și ecou este mai scurt, cu atât este mai aproape de pradă.

De multe ori auzim că liliecii s-au încurcat în părul unor oameni. De aceea, multor oameni le

este teamă ca nu cumva noaptea, când liliecii ies din adăposturile lor, să nu se trezească cu vreun

liliac prins în păr. Adevărul este că liliecii preferă să prindă insecte, decât să se încurce în păr. De

39


ce se întâmplă acest lucru? Anumite coafuri ”mai înfoiate” conțin aer. Dacă liliacul își

trimite”țipătul” pe direcția capului nostru, ultrasunetul nu este reflectat de acesta trecând prin păr.

Neprimind ecoul țipătului său,liliacul crede că nu este niciun obstacol pe acea direcție și zboară

direct în păr.

2. Sonarul

Navele maritime folosesc un dispozitiv numit sonar pentru a

măsura adâncimea apei, a detecta bancurile de pești și pentru a

explora fundul oceanic (mai ales pentru găsirea epavelor). Cu

ajutorul computerului, din ecourilor ultrasunetelor se pot obține

imagini pe un monitor.

3. Ecografia

Ultrasunetele se folosesc și la ecografie. Oasele,

grăsimea și mușchii reflectă diferit undele sonore. Undele

reflectate (ecoul) ultrasunetului se transformă în semnale

electrice, care alcătuiesc o imagine pe ecran.

4. Ciudățenii din lumea animalelor

Greierii ”aud” cu picioarele, pe care le țin în aer pentru a-și da seama de unde vine sunetul.

Șerpii nu au urechi, recepționând sunetele joase din pământ.

5. Efectul Doppler – Fizeau

Constă în schimbarea frecvenței sunetului auzit când ascultătorul sau sursa se deplasează.

Dacă distanța dintre aceștia este în scădere, se aude un sunet de frecvență mai mare decât cea

produsă în realitate. Dacă distanța crește, se aude un sunet de frecvență joasă. De exemplu,dacă

suntem pe stradă ( pe trotuar), când o ambulanță se apropie de noi , sunetul sirenei îl percepem mai

înalt, iar când începe să se depărteze de noi, sunetul sirenei îl auzim mai grav (cu frecvență mai

mică).

6. Reverberația

Este fenomenul de persistență a unui sunet într-un spațiu închis. Când sunetul se reflectă pe

mai multe suprafețe apropiate de sursă nu auzim ecoul ci, îl percepem ca o continuare a sunetului.

40


Sălile de concerte sunt astfel construite încât să se evite reverberația și ecoul sunetelor. De aceea,

sunetul ajunge aproape nemodificat de pe scenă la public.

Fluidele lui Bingham

Profesor Manuela Maria

Școala ”Tudor Vladimirescu” Drăgășani

Vâscozitatea unui fluid măsoară rezistența sa la deformare sau curgere. Apa și substanțele

alcoolice curg și se întind cu ușurință, întrucât sunt lichide cu grad de vâscozitate redus. Mierea

lichidă posedă o vâscozitate accentuată,fiind greu de întins(deformat) și curgând foarte încet. Pentru

a regla gradul de vâscozitate al vopselelor,zugravii din domeniul construcțiilor măsoară vâscozitatea

cu o așa numită ”pâlnie Ford”, recipient de mici dimensiuni, cu forma și capacitate fixe și găurit la

bază.

Vâscozitatea este estimată în funcție de timpul necesar amestecului lichid pentru a se scurge

din pâlnie. Această tehnică este utilizată pentru a compara vâscozitatea amestecului realizat pentru

șantier cu un eșantion luat ca model. Pentru a măsura vâscozitatea, fizicienii introduc o anumită

cantitate de fluid între două plăci,după care deplasează placa superioară, menținând însă constantă

grosimea stratului de fluid. Deformarea pe care fluidul o suportă în aceste condiții poartă numele de

„forfecare”.Fenomenul este similar deformării unui joc de cărți care este etalat pe masă: în timp ce

o mână deplasează cartea de deasupra, cartea de la baza pachetului rămâne pe loc. Toate aflate în

poziții intermediare se pun în mișcare, fiecare fiind antrenată de cartea de deasupra și reținută de

cartea de dedesubt. În cazul unui fluid supus unei deformări prin forfecare se întâmplă același lucru:

în timp ce stratul de lichid aflat în contact cu placa în mișcare este antrenat, stratul aflat în contact

cu suportul rămâne imobil. Viteza de deplasare a straturilor intermediare este direct proporțională

cu grosimea stratului de fluid. Odată măsurată forța necesară mișcării plăcii superioare, fizicienii

deduc de aici valoarea vâscozității.

În cazul anumitor fluide, precum apa, uleiul, siropurile sau mierea, această forță este direct

proporțională cu viteza plăcii superioare. Vopselele de acest tip se numesc”newtoniene”,întrucât

Newton a fost primul care le-a cercetat comportamentul. Ele sunt greu de utilizat deoarece au

tendința să curgă.

41


În 1920, americanul Eugene Bingham, care se declara mirat de faptul că anumite vopsele nu

curg asemenea mierii, a studiat comportamentul acestora, descriind cu acest prilej un fenomen de-a

dreptul straniu. Utilizatorii ”pâlniei Ford”,sunt confruntați cu acest fenomen atunci când testează

unele vopsele grase și pigmentate. Ei constată că amestecul din interior își încetează curgerea

înainte ca pâlnia să se golească. Totuși fluidul care se găsește la nivelul orificiului suportă greutatea

întregii coloane de vopsea de deasupra. Ce constatăm dacă umplem din nou pâlnia? Vopseaua

începe să curgă din nou până când nivelul parțial de umplere atinge nivelul anterior, când curgerea

stagnase. Aceste lichide care curg, dar care își opresc brusc curgerea poartă numele de ” fluidele lui

Bingham”.

În cadrul acestor amestecuri, forțele care generează curgerea ating mai întâi un anumit

prag,moment în care fluidul este ” zdruncinat”. Cât timp acest prag nu este atins, fluidul se

deformează fără să curgă, asemenea unui solid. Astfel de fluide sunt mai comune decât s-ar putea

crede: de pildă, pasta de dinți sau untul.

Cum poate fi explicată existența unui asemenea prag? Aceste fluide sunt compuse,în cea mai

mare parte, din particule cvasisferice aflate în suspensie într-un solvent. Respectivele particule au

diverse mărimi, de la câțiva nanometri până la câteva miimi de macrometri .Atunci când aceste

particule au o slabă concentrație în cadrul fluidului, ca în cazul acuarelei sau al guașei diluate,

singurul efect al prezenței lor este acela de a crește vâscozitatea proporțional cu concentrația în

particule fine. Dacă mărim încontinuu concentrația, particulele fine ajung să se atingă intre ele.

Lichidul devine atunci păstos, din cauza forțelor care se manifestă între particulele aflate în contact.

Pentru a le face să curgă, trebuie învinse toate aceste forțe, fapt ce explică existența unui prag. Fără

vopsele de tip Bingham, zugravii din domeniul construcțiilor nu ar putea lucra eficient. Utilizarea

pensulei degajă o forță ce face ca vopseaua să se întindă. In schimb, aceasta se încheagă imediat ce

este lăsată în repaus, întrucât propria-i greutate nu este suficient pentru a o face să se prelingă.

Prețioasă pentru zugravi, această calitate a vopselelor este însă insuficientă pentru artiști. Un

pictor dorește adesea să repicteze o parte a unui tablou deja terminat. El trebuie să acopere vechiul

strat cu unul nou. Cum va reuși să evite amestecarea lor? Aceasta problemă i-a preocupat multă

vreme pe pictori,iar în secolul XVII-lea, ei au inventat un aditiv care să rezolve problema cu care se

confruntau. Fizicienii denumesc aceste vopsele „amestecuri tixotrope”. Acestea se fluidizează

imediat ce sunt agitate, dar revin treptat la starea inițială imediat ce sunt lăsate în repaus. Care sunt

proprietățile unei astfel de vopsea? În primul rând, aceasta se comportă asemenea unui fluid

Bingham: pentru a putea fi întinsă, trebuie ca prin mișcarea pensulei să i se aplice o forță

42


minimală,iar în al doilea rând, dacă o lăsăm nemișcată, ea se încheagă în numai câteva minute, fără

a se usca. Se va putea în continuare întinde, dar forța necesară crește direct proporțional cu timpul.

Magnetism şi electromagnetism

Eleva Teodorescu Maria - Alexandra, clasa a VII –a B

Colegiul Naţional de Informatică “Matei Basarab” , Râmnicu Vâlcea

Profesori îndrumători: Petcu Mariana şi Raşcu Rodica

Magneţii au fost descoperiţi încă din Antichitate, în regiunea

Magnesia din Asia Mică.

Câmpul magnetic este o mărime fizică ce caracterizează spaţiul din

vecinătatea unui magnet, electromagnet sau a unei sarcini electrice in

mişcare.

Materialele puternic magnetizate reţin magnetismul lor în perioade lungi de timp, pe când

materialele uşor magnetizate revin adesea la starea lor originală nemagnetizate.

În secolul XX, oamenii au descoperit că pot utiliza magneţii naturali pentru a magnetiza o bucată de

fier, creând o busolă. Frecând repetat magnetul natural de un cui

de fier într-o direcţie, cuiul se va magnetiza. Apoi, prin

suspendare, el se va alinia pe linia nord-sud geografică. În cele

din urmă, cercetătorul Wiliam Gilbert a explicat că această

orientare a cuiului pe direcţia nord-sud se întâmplă datorită

faptului că Pământul se comportă ca un magnet uriaş. Pentru a

face un magnet, tot ce trebuie să faceţi este să încurajaţi domeniile magnetice dintr-o bucată de

metal să se îndrepte în aceeaşi direcţie. Acest lucru se întâmplă atunci

când frecaţi un ac de un magnet – expunerea la un câmp magnetic

încurajează alinierea domeniilor magnetice.

Alte căi de a alinia domeniile magnetice dintr-o bucată de metal sunt:

Aşezându-l într-un câmp magnetic puternic pe direcţia nord-

sud a acestuia

43


Ţinându-l pe direcţia nord-sud şi lovindu-l repetat cu un ciocan, vibraţiile forţând domeniile

magnetice să capete un aliniament slab;

Trecând prin el un curent electric.

Două dintre aceste metode sunt printre teoriile ştiinţifice despre cum s-au format magneţii

naturali. Unii cercetători au speculat că magnetita, devine magnetică după ce este lovită de un

fulger.

Putem reduce puterea unui magnet sau să îl demagnetizăm total expunându-l la un câmp

magnetic in direcţie opusă cu aliniamentul domeniilor magnetice.

Putem să îl demagnetizăm încălzindu-l. Căldura distruge aliniamentul.

Când curentul electric traversează un conductor, generează în

jurul său un câmp magnetic. Acest efect se numeşte efect magnetic.

Câmpul magnetic al bucăţii de sârmă poate fi mai puternic dacă

aceasta este bobinată. Când curentul traversează o bobină, aceasta se

comportă ca un magnet bară şi se numeşte solenoid.

Dacă un solenoid are înăuntru un fir de feromagnet moale,de exemplu de fier, acesta este

repede magnetizat şi îşi adaugă propriul câmp magnetic la cel al solenoidului. Împreună, solenoidul

şi miezul feromagnetic formează un electromagnet.

Magneţii sunt utilizaţi în multe domenii: calculatoare ( la monitoare, la hard-disk –uri),

televiziune (televizoare cu tub catodic, CRT) , medicină (în Scanarea cu Rezonanţă Magnetică), etc.

De asemenea, numeroase trenuri din ziua de azi folosesc principiul levitaţiei.

Utilizarea de magneţi pentru scopuri terapeutice sau magnetoterapia există încă din

antichitate. În evul mediu, magnetoterapia era recomandată pentru

dezinfectarea plăgilor şi tratarea tulburărilor de sănătate.

Când apăsăm un buton al unei sonerii electrice, curentul

traversează bobina unui electromagnet şi atrage un braţ de metal.

Busola sau acul magnetic a fost deja cunoscut în timpul împăraţilor din China. Pe atunci

busola consta dintr-o piatră magnetică legată de un fir de aţă pentru a se putea roti liber.

Un tren cu levitaţie magnetică, sau Maglev, este un tren care spre deosebire de trenurile

clasice, nu are contact cu şina, ceea ce reduce forţele de frecare şi permite atingerea unor viteze

foarte mari (anumite sisteme ajung la 550 km/h)

44


Pasiunea mea…

Eleva Teodora Bunea , clasa a XI-a

Colegiul Naţional “Alexandru Lahovari”, Râmnicu Vâlcea

Motto: “Un elefant pe un plan orizontal: tropa-tropa;

un elefant pe un plan înclinat: tropa-tropa cos α.”

Pasiunea mea pentru fizica a început foarte târziu, deoarece am neglijat aceasta materie în

gimnaziu şi nu am înţeles important ei. Din fericire, în liceu am început să privesc această materie

dintr-o altă perspectivă. Deşi nu mă gândisem să particip la olimpiadă, sub îndrumarea doamnei

profesoare Daniela Cârstea am avut ocazia să intru în acest proiect, “Şcoala Viitorului”, care se

adresează şi celor care doresc performanţa în acest domeniu . Aşadar această pregătire nu a

reprezentat numai un ajutor din punct de vedere al fixării unor noţiuni, dar şi o încurajare către

participarea la olimpiadă. Sunt de părere că pentru a te pregăti serios într-un anumit domeniu nu

este suficientă numai pregătirea individuală, drept urmare acest proiect reprezintă o adevărată

oportunitate. În cadrul acestei activităţi am avut şansa de a învăţa fizica cu ajutorul doamnei

profesoare Anca Udrea, care s-a implicat foarte mult şi ne-a arătat o mulţime de lucruri interesante,

ceea ce m-a motivat să mă pregătesc mai serios. În cele din urmă am reuşit să obţin o menţiune la

olimpiada naţionala de fizică, rezultat pe care nu l-aş fi putut obţine fără această pregătire.

În cadrul acestui proiect au existat o serie de concursuri care ne-au ajutat sa ne însuşim

anumite cunoştinţe, oferindu-ne, de asemenea, posibilitatea de a câştiga un loc într-o tabără. Pentru

mine tabăra a fost un mijloc de a afla lucruri noi pentru că mi-a oferit şansa sş particip la o pregătire

de fizică, deşi acest proiect este realizat doar pentru clasele a IX-a şi a X-a.

Aşadar, “Şcoala Viitorului” m-a ajutat să descopăr ce am pierdut în toţi aceşti ani în care nu

am tratat fizica cu seriozitate, dar şi cât de interesantă este experienţa unei olimpiade.

45


Un pahar cu apa poate fi golit cu ajutorul unei sticle pline

Profesor Ionescu Katarina

Şcoala cu clsasele I-VIII Orleşti

Avem un pahar plin cu apă şi, de asemenea, o sticlă plină cu apă. Se pune problema golirii

paharului cu ajutorul sticlei, fără însă a goli sticla. S-ar părea ca acest lucru este imposibil. Totuşi

lucrul este posibil şi încă deosebit de simplu.

Procedeul folosit pentru golirea paharului constă în următoarea operaţie: într-un dop care ne

va servi să astupăm sticla cu apă facem două găuri. Printr-una din găuri introducem un tub subţire

de sticlă sau un pai a cărui lungime să fie egală cu adâncimea paharului. Prin cealaltă gaură

introducem, de asemenea, un tub de sticlă sau un pai a cărui lungime să fie de două ori mai mare

decât a primului. Cu miez de pâine sau cu ceară închidem orificiul tubului mic. Introducem dopul în

gura sticlei pline cu apă, până când prin capătul tubului mai lung ţâşneşte apa din sticlă.

Pentru a goli paharul este suficient să răsturnăm sticla, astfel încât tubul mic să ajungă cu

capătul la fundul paharului. Dezlipim miezul de pâine sau ceară de la capătul tubului sau tăiem cu

foarfecele capătul paiului şi îndată din pahar va începe să curgă apa prin tubul mai lung, până când

paharul se goleşte complet, în timp ce sticla rămâne tot plină.

Explicaţie

Cele două tuburi formează ramurile unui sifon care nu trebuie amorsat, deoarece ramurile

sale sunt pline cu lichid. În timp ce o cantitate de apă se scurge din sticla prin tubul mai lung, altă

cantitate de apă egala cu aceea care se scurge intră din pahar în sticlă prin tubul mic. Apa este

împinsă prin tubul mic de către presiunea atmosferică, care se exercită asupra apei din pahar,

transmiţându-se la gura tubului mic

46


După cum s-a mai arătat, şi la gura tubului lung se exercita presiunea atmosferică, însă,

deoarece coloana de lichid are în acest tub o lungime mai mare decât în tubul care comunica cu

paharul, înseamnă că şi greutatea acestei coloane de apă este mai mare decât a celeilalte coloane; în

consecinţă, la gura tubului mare se exercita o presiune mai mică decât la gura tubului mic şi de

aceea apa curge în sensul menţionat.

47


Determinarea tensiunii dintr-un fir

Profesor Gheorghe Colţan

Colegiul Naţional “Mircea cel Bătrân“, Râmnicu Vâlcea

Probă de verificare experimentală

Lucrare de laborator

Clasa a VII –a

1. Materiale puse la dispoziţie: stativ, 2 tije, mufă, corp cu densitate cunoscută

= 7800 kg / m3, fir de aţă, vas cu apă, mensură, riglă.

2. Mod de lucru: Folosind materialele puse la dispoziţie, determinaţi tensiunea din firul de aţă,

atunci când corpul este suspendat de fir iar acesta se află :

a) În poziţie verticală, cu un capăt fixat iar de celălalt capăt se agaţă corpul

b) În poziţie verticală cu ambele capete A, B suspendate pe aceeaşi orizontală la distanţa l0 = AB

= 10 cm, firul având lungimea l = 30 cm, iar corpul plasându-se la mijloc firului.

3. Cerinţe : Vă rugăm să redactaţi un referat care să cuprindă :

- descrierea modului ( metodei ) de lucru şi argumentarea fizică corespunzătoare

- scheme, figuri şi relaţii utilizate

- tabel de valori, completat cu valorile mărimilor măsurate, valorile pentru tensiunea din fir ( T ),

valoarea medie a tensiunii ( T ), eroarea absolută ( T ) şi eroarea medie absolută ( T ).

- estimarea T T T

Observaţie : a) Firul se consideră inextensibil

b) Se va utiliza g = 10 m / s2 iar calculele se vor opri la prima zecimală după virgulă.

48


BAREM

POZIŢIA a ( 40 p )

a Descrierea şi argumentarea metodei folosite 10 p

b Scheme, figuri 5p

c Relaţii, formule 5p

d Tabel de valori completat 10p

e Estimarea T T T 5p

f Surse de erori 5p

POZITIA b ( 50 p )

a Descrierea şi argumentarea metodei folosite 10 p

b Scheme, figuri 10p

c Relaţii, formule 15p

d Tabel de valori completat 5p

e Estimarea T T T 5p

f Surse de erori 5p

Oficiu 10 p

Total 100p

REZOLVARE

Poziţia a

1 Se face montajul şi se pun forţele pe desen, apoi calculăm T= mg = Vc g ( 1 )

Determinăm Vcorp = Vapă cu corp - Vapă,iniţială ( 2 )

49


2. Tabel de valori

Nr. det. VC mc T T T T

1

2

3

4

1 2 3 4

4

T T T TT

, ( 3 ) T T T , ( 4 ) 1 2 3 4

4

T T T TT

, ( 5 )

Estimarea T T T ( 6 )

Surse de erori : erori de citire pe mensură, la determinarea volumului corpului

Poziţia b

1. Se face montajul şi se pun forţele pe desen, apoi calculăm 2cos

mgT

( 7 ) , unde 2 este

unghiul format de cele doua porţiuni de fir, iar 2

0

2cos 1

l

l

2. Tabel de valori

Nr. det. mc T T T T

1

2

50


3

4

1 2 3 4

4

T T T TT

, T T T , 1 2 3 4

4

T T T TT

,

Estimarea T T T

Surse de erori : erori de citire pe mensură, la determinarea volumului corpului

erori de citire a lungimilor pentru fir şi a distanţei dintre punctele de fixare a

firului

Observaţie : se va lua în considerare, orice altă soluţie corectă.

Test iniţial pentru clasa a VI-a

Profesor Barbu Liliana

Colegiul Tehnic Forestier, Rm. Vâlcea

1. Completează tabelul precizând cum se numeşte fiecare instrument de măsură din

imaginile alăturate şi care este mărimea fizică pe care o putem măsura folosind aceste

instrumente de măsură. (2p)

a. b. c. d.

Instrumentul de

măsură

Mărimea

măsurată

2. Efectuează următoarele transformări: (1,5p)

a) 15 mm= ....……cm b) 150 cm=..………m c) 0,25 l=..………ml

d) 3 min=…..….......s e ) 2 m2 = ...……………..cm

2 f) 3 l=..…….…dm

3

51


3. Se dau numerele: a=3, b=4, c=5. Efectuează operaţiile cerute şi completează tabelul

următor: (1p)

a+2b 7c-2(a+b) a2+b

2

4. Consideră că fiecare pătrăţel din desenul următor are latura de 1cm.

a. Aria fiecărui pătrăţel este de ...........cm2.

b. Figura colorată cu negru este formată din .......... pătrăţele.

c. Aria totală a figurii colorate cu negru este de ................... cm2.(1p)

5. Uneşte printr-o săgeată denumirea corpului din coloana A şi proprietăţile sale din

coloana B (0,75p):

A B

aerul - corp solid, culoare brun-închis, permeabil, fertil, compus din

substanţe organice şi minerale

solul - corp lichid, incolor, fără miros, fără gust, bun dizolvant, răspândit

în natură

apa - amestec de gaze, fără gust, fără miros, foarte răspândit în natură

6. Completaţi propoziţiile cu cuvintele din coloana din stânga pe baza desenului care

ilustrează circuitul apei în natură. (2p)

52


râu

izvor

pârâu

zǎpadǎ

curent electric

mare

impermeabil

raze de soare

grindina

ploaie

Plouă. Apa de ploaie pǎtrunde în pǎmânt pânǎ dǎ de un strat ________.

Aici se adunǎ mai multǎ apǎ şi cautǎ sǎ iasǎ la suprafaţǎ: un nou

___________ se formeazǎ. El devine p________, apoi r________ şi se varsǎ

în final în ____________. ___________ fierbinţi fac ca apa sǎ se evapore.

Prin rǎcire, vaporii de apa se transformǎ din nou în picǎturi şi vin pe pamânt

sub formǎ de p_________ , z_________ sau g_________. Precipiţatiile

pǎtrund în pǎmânt...

7. În fiecare dimineaţă, la ora 7 şi 45 de minute, Alexandru pleacă spre şcoală. Distanţa

dintre casa lui Alexandru şi şcoala este de 50 m. Alexandru ajunge la şcoală la ora 7 şi 50

de minute. Calculează: (0,75p)

a. Câte minute durează drumul lui Alexandru de acasă până la şcoală.

b. Cu ce viteză se deplasează Alexandru spre şcoală. Exprimă această viteză în unităţi de

măsură convenabile.

53


Fişă de lucru „Mişcare şi repaus”, clasa a VI-a

Profesor Barbu Liliana

Colegiul Tehnic Forestier, Rm. Vâlcea

Aminteşte-ţi ce ai învăţat şi precizează dacă următoarele enunţuri sunt adevărate sau

false. Scrie în pătrăţelul din dreapta fiecărui enunţ litera A pentru enunţ adevărat sau

litera F pentru enunţ fals.

1. Proprietăţilor fizice măsurabile li se asociază mărimi fizice.

2. Măsurarea unei mărimi fizice se face prin compararea cantitativă a acesteia cu unitatea de

măsură aleasă.

3. Unitatea de măsură pentru lungime este secunda.

4. 1 m = 60 cm

Completează spaţiile punctate cu termenii corespunzători pentru a formula enunţuri

corecte din punct de vedere ştiinţific.

1. Corpul faţă de care se determină poziţia unui alt corp se numeşte

.............................................

2. Un corp se află în .................................................. într-un interval de timp oarecare dacă, în

orice moment din acest interval de timp, corpul ocupă aceeaşi poziţie faţă de corpul de

referinţă.

3. Un corp se află în .................................................. într-un interval de timp oarecare dacă, în

orice moment din acest interval de timp, corpul ocupă poziţii diferite faţă de corpul de

referinţă.

4. Curba descrisă de un mobil în timpul mişcării se numeşte .................................................

1. Distanţa parcursă este lungimea drumului străbătut de corp (între poziţia iniţială şi poziţia

finală).

2. Durata mişcării este mărimea intervalului de timp în care se realizează mişcarea (între

momentul iniţial şi momentul final).

3. Viteza medie se defineşte prin relaţia: , unde d este distanţa parcursă iar este

intervalul de timp în care a fost parcursă distanţa d.

4. 1m/s este viteza unui corp care parcurge în timp de o secundă o distanţă de un metru.

Definiţie

54


Citeşte cu atenţie următorul text şi analizează desenul. Colaborează cu

colegii din echipă pentru a rezolva sarcinile de lucru.

„ La ora 7.25 Denis iese în faţa casei şi se urcă în microbuzul care îl duce spre şcoală. La ora 7.35

microbuzul ajunge în staţie, lângă o benzinărie, unde staţionează timp de 5 minute pentru a lua şi

alţi colegi spre şcoală. După 10 minute de la plecarea din staţia de lângă benzinărie, microbuzul

ajunge la şcoală. Denis şi colegii săi urmăresc cu atenţie traseul microbuzului şi realizează harta

următoare.”

Şcoala

152023

PrimărieCasa lui DenisBenzinărie

0

Completează tabelul:

Momentul de referinţă Ora...........................................................

Reperul Borna kilometrică.................................

Momentul la care microbuzul se află la casa

lui Denis Ora...........................................................

Poziţia casei lui Denis Borna kilometrică.................................

Momentul la care microbuzul ajunge la

benzinărie Ora...........................................................

Poziţia benzinăriei faţă de reper Borna kilometrică.................................

Momentul la care microbuzul plecă de la

benzinărie Ora...........................................................

Perioada de staţionare la benzinărie

Poziţia finală faţă de reper Borna kilometrică.................................

55


Momentul final Ora...........................................................

În coloana din dreapta stabiliţi împreună notaţiile pe care le veţi utiliza în continuare.

Exemplu: t0, t1, t2, ....., x0, x1, x2, ..... Utilizaţi notaţiile pentru a completa tabelul următor.

Scrieţi în tabel formulele utilizate şi efectuaţi calculele.

Calculăm Notaţia Formula Valoarea

mărimii

Distanţa dintre casa lui Denis şi

benzinărie

Durata deplasării microbuzului de la

casa lui Denis la benzinărie

Durata staţionării la benzinărie

Distanţa dintre benzinărie şi şcoală

Durata deplasării microbuzului între

benzinărie şi şcoală

Distanţa dintre casa lui Denis şi şcoală

Durata deplasării microbuzului de la

casa lui Denis la şcoală

Viteza medie a deplasării

microbuzului între casa lui Denis şi

benzinărie


microbuzului între benzinărie şi

şcoală


microbuzului între casa lui Denis şi

şcoală

Cum explicaţi valorile diferite ale vitezelor medii calculate?

56


Probleme pentru toţi copiii isteţi!

1. Din doua localităţi A şi B, situate la distanţa d = 150 km, pleacă, unul spre celălalt, un ciclist şi

un motociclist. Motociclistul parcurge, până în momentul întâlnirii, o distanţă dublă faţă de

ciclist. Ce distanţă a parcurs fiecare?

2. Doi şoricei intră într-un labirint.

Pentru a ieşi din labirint sunt posibile

numai cele două căi. Valorile sunt

exprimate în metri. Care este

diferenţa dintre distanţele parcurse de

cei doi şoricei?

3. Trei mobile se deplasează cu vitezele v1 = 5 m/s, v2 = 300 m/min şi respectiv v3 = 18 km/h.

Care dintre ele se deplasează mai repede?

4. Un automobilist parcurge distanţa de 57 km pe o autostradă în timp de 45 minute. La ieşirea de

pe autostradă un poliţist înmânează automobilistului un proces verbal… „Aţi depăşit viteza

admisă!” argumentează el. Care este viteza medie a automobilului? Depăşeşte aceasta viteza

maximă admisă de 80 km/h? De ce a fost amendat automobilistul?

5. Un mobil se deplasează pe jumătate din distanţa de parcurs cu viteza v1 = 54 km/h, iar pe

cealaltă jumătate din distanţă cu viteza v2 = 25m/s. Care este viteza medie pe tot parcursul?

6. Un camion pleacă din Bucureşti la ora 7 şi ajunge la Craiova la ora 12, staţionează 45 minute şi

apoi se întoarce , ajungând la Piteşti la ora 15 şi 45 minute. Distanţa dintre Bucureşti şi Craiova

este de 235 km, iar oraşul Piteşti se află la 115 km de Bucureşti.

a. Alegând ca reper oraşul Bucureşti reprezintă pe o axă poziţiile camionului la

momentele precizate.

b. Ce distanţă are trecută şoferul pe foaia de parcurs?

c. Pe ce porţiune de drum şoferul a avut o viteză medie mai mare?

57


Ştiaţi că?

Viteza de creştere a firului de păr 0,1 – 0,4 mm/zi

Viteza unui atlet într-o cursă de 100 m 10,1 m/s (36,5 km/h)

Viteza unei maşini de formula 1 83 m/s (300 km/h)

Viteza sunetului în aer la 150C 330 m/s (1200 km/h)

Viteza Pământului în mişcarea sa de rotaţie în jurul

Soarelui 30 km/s

Viteza luminii în vid 300.000 km/s

58


Rătăcire

Eleva Popa Elena Daciana, clasa a XI-a C

Colegiul Naţional “Gib Mihăescu”, Drăgăşani

Profesor îndrumător: Stan Anişoara

Dacă vă spun că merg în cap, nu mă veți crede…!

M-am așezat într-o zi în fața oglinzii…

Și nu știu cum, o rază de soare

S-a reflectat pe suprafața lucitoare,

Și, dintr-o dată, o lume neștiută mi s-a arătat

Soarele coborâse pe pământ,

Sau cerul era pământul… și invers,

Căci picioarele-mi erau suspendate în aer,

Iar capul mi se afunda într-o mare de albastru.

Încercam să zăresc un suflet omenesc,

Dar imaginile fugeau sub ochii mei bolnavi…

Parcă eram un miop ce se chinuia cu lentile convergente,

Fasciculele de lumină treceau prin ochii mei

fără să focalizeze imaginea.

Mă simțeam ca un motor termic care s-a îmbolnăvit.

Un motor Diesel alimentat cu benzină,

Care așteaptă o scânteie să se aprindă…

Dar în uitarea asta, scânteia s-a rătăcit…

Sau ar trebui să fiu un motor Otto ca să mă aprind?!

Speriat de această fizică ciudată,

Întind o mână tremurândă

spre imaginea din oglindă.

În pumnu-mi se zbate acel univers

Cu o frecvență de mii de Hertzi.

Se zbate atât de tare,

Încât căușul palmei mă doare.

Tremur, suspin din greu,

Căci aceea este imaginea sufletului meu…

59


Teoria relativităţii aplicată în literatură

Profesor Niţoiu Ana

Colegiul Naţional “Gib Mihăescu”, Drăgăşani

De milenii, cei mai străluciţi savanţi şi oameni de ştiinţă au încercat să rezolve una dintre

cele mai mari enigme ale umanităţii: natura timpului. Are timpul un început? Va ajunge vreodată la

un sfârşit? De ce se mişcă doar într-o direcţie? Şi ce este de fapt timpul? Albert Einstein a răsturnat

toate teoriile existente când, la începutul secolului XX, a demonstrat că timpul este relativ şi că

depinde de mişcare şi de gravitaţie. Teoria sa revoluţionară a deschis calea către studiul găurilor

negre, al găurilor de vierme şi asupra călătoriilor în timp.

Astăzi, la început de secol XXI, majoritatea fizicienilor sunt convinşi că accepţia comună a

timpului care se scurge ireversibil, zi de zi, este complet greşită şi că, în curând, vom avea

instrumentele teoretice şi practice necesare descoperirii adevăratei naturi a timpului, o natură mult

mai subtilă şi mai complexă decât cea pe care o bănuiam. Timpul este anonimul care ne alunecă

printre degete, luând cu el întreaga noastră existenţă. Fiecare ştie ce este timpul deoarece îl simte

cum trece – acesta este, probabil, cel dintâi aspect al experienţei umane.

60


La fel de adevărat este însă că această trecere este percepută diferit de către fiecare

individ. Albert Einstein spunea că „o oră petrecuta în compania unei fete drăguţe trece mult mai

repede decât o oră petrecută pe scaunul unui dentist“.

Acum câteva sute de ani, oamenii presupuneau că timpul şi spaţiul sunt pur şi simplu date de

Dumnezeu. Sf. Augustin din Hippo a remarcat faptul că „încercarea de a defini timpul se manifestă

prin înşiruirea unor cuvinte ce se vor pierde fără a reuşi, însă, să contureze un portret al acestuia…”

Teoria lui Albert Einstein conform căreia timpul este relativ a fost un adevărat şoc şi pentru

comunitatea ştiinţifică, şi pentru cea religioasă. Pe scurt şi pe înţelesul tuturor, esenţa teoriei este

că „timpul meu nu este acelaşi cu timpul tău, dacă ne mişcăm diferit.“

Dacă iei, de exemplu, un avion de la Bucureşti la Cape Town, vei fi în contratimp cu câteva

nanosecunde (nanosecunda este a miliarda parte dintr-o secundă) faţă de cei rămaşi pe loc. Mai

precis, durata călătoriei va fi un pic diferită dacă o masori tu în avion, faţă de cea indicată de ceasul

Aeroportului Otopeni.

Deci durata unui eveniment este relativă, depinde de sistemul de referinţă în care este

măsurată. Dilatarea duratelor , poate fi demonstrată folosind ceasuri atomice. Într-un faimos

experiment din 1971, doi fizicieni au instalat într-un satelit care urma să se învârtă în jurul

Pământului două ceasuri atomice. Ele au înregistrat o diferenţă de 59 de nanosecunde faţă de

ceasurile de pe Pământ – exact cum prezicea teoria lui Einstein.

Einstein a demonstrat că cel mai rapid lucru din Univers este lumina (aprox. 298.000 km/s).

Apoi a demonstrat ca lumina Soarelui ajunge pe suprafaţa planetei noastre în aprox. 8 minute, iar

lumina reflectata de Lună în aprox. 30 de secunde. Deci ceea ce vedem noi pe cer când ne uităm la

Soare este soarele în urmă cu 8 minute sau Luna în urmă cu 30 de secunde.

În aceeaşi teorie spune că dacă Soarele ar dispărea brusc, noi abia peste 8 minute am

observa acest lucru, deci anumite stele de pe cer care se afla la distante foarte mari (ex: 10 milioane

de ani lumină), deşi ele ar putea sa fie de mult stinse, noi încă le percepem lumina şi abia peste

câteva milioane de ani or să dispară sclipirea lor de pe cerul nostru.

După primul război mondial, teoria relativităţii a devenit brusc – în urma observării devierii

razelor unor stele de către masa Soarelui cu prilejul observării unei eclipse solare - din

controversată confirmată şi, practic, general acceptată, iar Max Planck l-a numit pe Einstein

“Copernicul secolului XX”.

În România apar primele articole care observă înrudirea dintre Eminescu si Einstein, iar în

“Adevărul literar şi artistic” din 21 mai 1922, Doctorul Ygrec (I. Glicsman) semnează articolul “De

la Eminescu la Einstein, ştiinţă şi poezie”, iar în “Orizontul” din 20 septembrie 1923 ing. N.

61


Hoisescu publică articolul ”Einstein şi Eminescu”. Ambele relevă apropierea dintre unele idei

einsteiniene şi imaginile de dilatare şi comprimare a timpului din Sărmanul Dionis. Dacă studiem

caietele manuscrise, constatăm că Eminescu a pornit de fapt de la unele aspecte elementare ale

relativităţii mişcării. În căutarea a ceea ce numim sistem de referinţă, poetul se întreabă : “Pentru a

constata mişcarea, trebuie ceva nemişcat. (Absoluta nemişcare)”. Treptat, ideea se clarifică:

“Judecăm repaosul sau mişcarea unui corp, comparând poziţia sa cu aceea a obiectelor care-l

înconjoară, despre care admitem că sunt în repaos...” (ms. 2267, pag. 34). Apoi: “Unde-i mişcarea

când spaţiul e nemărginit?” (ms. 2269, fila 33).

Ceea ce Einstein a expus într-un limbaj de fizică, Eminescu a expus într-un limbaj poetic:

“La steaua care-a răsărit

E-o cale – atât de lungă,

Că mii de ani i-au trebuit

Luminii să ne-ajungă.

Poate de mult s-a stins în drum

În depărtări albastre,

Iar raza ei abia acum

Luci vederii noastre.” (La steaua)

Sărmanul Dionis

“ ...şi tot astfel dacă închid un ochi văd mâna mea mai mică decât cu amândoi. De-aş avé trei

ochi aş vedé'-o şi mai mare, şi cu cât mai mulţi ochi aş avé, cu atâta lucrurile toate dimprejurul meu

ar păré mai mari”.

„...în faptă lumea-i visul sufletului nostru. Nu există nici timp, nici spaţiu - ele sunt numai în

sufletul nostru. Trecut şi viitor e în sufletul meu, ca pădurea într-un sâmbure de ghindă, şi infinitul

asemenea, ca reflectarea cerului înstelat într-un strop de rouă”.

„Visăm călătorii prin univers: nu-i oare universul în noi? Adâncimile spiritului nostru nu le

cunoaştem. Drumul cel tainic duce înăuntru. În noi sau nicăieri este veşnicia cu lumile ei, cu

trecutul şi viitorul”.

Sunt doar câteva exemple de aplicare a consecinţelor postulatelor lui Einstein în operele

literare.

62


63


Pionieri ai şcolii româneşti de chimie

Profesor Diana Mazilu,

Grup Şcolar “G-ral Magheru”, Râmnicu Vâlcea

Moto: "Cercetarea alcătuirii lumii este una dintre cele mai măreţe şi mai nobile

probleme puse de natură"

Galileo Galilei

Constantin I. Istrati a văzut lumina zilei în oraşul Roman la 5

septembrie 1850. Ion Istrati, tatăl său, s-a născut la Şerbeşti în ţinutul

Romanului. A fost copist la o cancelarie din Iaşi, apoi paharnic şi spătar. În

1848, se căsătoreşte cu Maria Capşa, mama lui Constantin I. Istrati, o

femeie de o rară distincţie sufletească. A învăţat la un pension din Iaşi şi

vorbea bine franceza şi germana. Ea a avut un rol important în formarea

copiilor săi. În notele sale autobiografice, doctorul Istrati afirma că a avut o

copilărie fericită. Împreună cu fratele său Vasile cutreiera împrejurimile

satului, deprinzându-se să iubească natura.

Constantin I. Istrati a urmat cursul primar la Şcoala Publică din Roman. A fost înscris la

Pensionul Meltzer, unde a învăţat germana şi franceza. După ciclul primar, a fost dus la Iaşi, fiind

primit ca elev intern la Academia Mihăileană, în urma unui examen. Încă din clasele elementare,

Istrati avea înclinaţie către studiul ştiinţelor naturale. Aceasta pasiune a fost întreţinută de lectura

revistelor de popularizare "Isis sau Natura", editata de doctorul Iuliu Barasch în 1862 la Bucureşti,

sau "Icoana Lumei" publicata la Iaşi de Gheorghe Asachi în 1865-1866.

În 1869, doctorul Carol Davila, directorul Şcolii Naţionale de Medicină şi Farmacie din

Bucureşti, face o vizită la Iaşi, inclusiv la Academia Mihăileană. Renumitul medic bucureştean a

intuit calităţile deosebite ale tânărului Istrati. Părăsind Iaşul, Davila i-a înmânat lui Istrati o foaie de

drum, cu care acesta a pornit spre Bucureşti la scurt timp.

În 1870, C.I. Istrati a fost admis la Facultatea de medicină pe baza unui examen. Şcoala

Naţionala de Medicină şi Farmacie, al cărei elev fusese şi care şi-a încetat activitatea în acelaşi an,

64


avusese un caracter militar. Devenind student, Istrati a rămas în cadrul serviciului militar al armatei,

ceea ce-i asigura anumite avantaje materiale.

În 1871, obţine gradul de subchirurg militar. În aprilie 1872, în primii ani de studenţie, devine

asistent bugetar al laboratorului de chimie al facultăţii, condus de Alfred Bernath-Lendway, om de

ştiinţă cu temeinică pregătire de specialitate. Activitatea desfăşurata în acest laborator a fost

hotărâtoare pentru formarea omului de ştiinţă Constantin I. Istrati. Muncind ca asistent chimist, el

nu şi-a neglijat nici studiile medicale. În 1873, a trecut cu bine examenul de Bacalaureat. În

decembrie 1875, după ce, cu câteva luni în urmă încetase să lucreze ca asistent la Laboratorul de

chimie, Istrati s-a prezentat la concursul de intern al spitalelor.

Constantin I. Istrati şi-a susţinut teza de doctorat în medicină la 20 iunie 1877, în faţa unui juriu

prezidat de I. Felix şi compus din P. Protici, A.S. Marcovici, C. Davila şi Şt. Capsa.

La 28 martie 1885, Istrati îşi susţine teza de doctorat în chimie, la Paris, după trei ani de

cercetări îndrumate de profesorii Adolphe Wurtz şi Charles Friedel. A întemeiat şcoala de chimie

organică de la Universitatea din Bucureşti, unde a fost profesor. A fost membru de onoare al mai

multor societăţi ştiinţifice străine.

A făcut cercetări asupra bogăţiilor naturale ale României (sare, petrol, chihlimbar, ozocherită,

etc.). Studiind derivaţii halogenaţi ai benzenului, a descoperit o nouă clasă de coloranţi, pe care i-a

numit franceine. Pentru această invenţie i s-a acordat Medalia de aur la Expoziţia Internaţională de

la Paris, în 1889.

Este autorul unui „Curs elementar de chimie", pentru elevii de liceu şi candidaţii la bacalaureat,

apărut în 1891 şi tradus în limbile franceză şi spaniolă. Prin lucrarea „Studiul relativ la o

nomenclatură generală în chimia organică" (1913) a adus contribuţii valoroase la fixarea

nomenclaturii ştiinţifice.

Ca reprezentant al materialismului ştiinţific-naturalist, Constantin I. Istrati a apărat concepţia

despre unitatea materiei. El a combătut energitismul şi, în genere, idealismul fizic şi agnosticismul,

generate de criza din fizică. Spre sfârşitul vieţii, concepţiile sale filozofice au suferit o schimbare

majoră, trecând de la ateism la fideism. Istrati a desfăşurat o intensă activitate socială în domeniul

medical, cultural şi ştiinţific. El a întemeiat „Societatea română de ştiinţe" (1890) şi „Asociaţia

română pentru înaintarea şi răspândirea ştiinţelor" (1902).

În anul 1889, Constantin I. Istrati şi-a construit o casă de vară la Câmpina, "locuinţă modestă,

dar primitoare, înconjurată de o mulţime de brazi pe care-i sădise singur[...]. Viaţa la Câmpina era

simplă, dar plină de farmec", ne spun autorii biografiei lui C.I. Istrati, prof.dr. Ion Jianu şi prof.

univ. George Vasiliu. "În casa primitoare a doctorului Istrati se întâlneau cei mai de seamă oameni

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Energitism&action=edit&redlink=1

65


ai vieţii culturale şi ştiinţifice din ţara noastră : Petru Poni, G. Asachi, G. Ţiţeica, Dimitrie

Grecescu, Mina Minovici, Mrazec, Hepites, A. Saligny, Lazăr Edeleanu, Delavrancea, N. Gane, N.

Pătraşcu, Duiliu Zamfirescu şi mulţi alţii", aflăm de la aceeaşi autori.

O veche prietenie îl lega pe doctorul Istrati de Nicolae Grigorescu si B.P. Haşdeu, personalităţi

care de asemenea au trăit la Câmpina.

Primul război mondial a dat un alt curs vieţii doctorului Istrati, desfăşurând în această perioadă

o intensă activitate publicistică şi oratorică, alături de Barbu Ştefănescu Delavrancea, Nicolae Iorga

şi alţii. În decembrie 1916, devine Ministru de Industrie şi Comerţ. A ieşit din guvern în iulie 1917,

după care pleacă în Franţa împreună cu un grup de profesori universitari, pentru a întreprinde acolo

o campanie de propagandă în favoarea ţării noastre. La Paris, starea sănătăţii sale s-a înrăutăţit, iar

la 30 ianuarie 1918 s-a stins din viaţă, vegheat de membrii familiei.

BIBLIOGRAFIE

1. Vasiliu George, Eugen Angelescu - Viaţa şi opera, Editura Academiei Române, 1998

2. Jianu, Ion; Vasiliu, George, Dr. C. I. Istrati, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1964.

3. Cristofor I. Simionescu, Magda Petrovanu, „Figuri de chimişti români”, Ed. Ştiinţifică,

Bucureşti, 1964

4. Drimus I.,Lucia Zaharescu-Boerescu, „Nicolae Teclu, un mare chimist român”, Revista de

chimie, nr.7,1956, pp. 388 – 391

Pasiune şi perseverenţă

Eleva Munteanu Andreea Mihaela, clasa a IX-a

CNI „Matei Basarab”, Râmnicu Vâlcea

CHIMIA….Ce este chimia?…..

Teoretic, chimia este ştiinţa fundamentala ce studiază substanţele cu structura şi proprietăţile

lor, urmărind în acelaşi timp modificările produse asupra acestora de reacţiile chimice.

Dar practic, chimia înseamnă PASIUNE…..pentru mine şi toţi participanţii la acest proiect.

Atât eu , colegii mei dar şi doamnele profesoare am pus suflet, mult suflet……

66


Pentru mine acest proiect a însemnat o şansă de a face performanţă,de a-mi face noi prieteni

şi de a-mi evalua cunoştinţele.

Cât despre beneficii……deoarece am luat premiul I la concursul organizat la sfârşitul

proiectului, am primit un loc în tabăra organizată de domnii profesori pentru cei mai buni copii din

fiecare grupă, primind astfel o noua şansă de a-mi face noi prieteni şi de a cunoaşte mai bine ţara.

Şi chiar dacă ar fi obţinut premiul unul dintre colegii mei, tot m-aş fi simţit mandră şi mulţumită de

faptul că am acceptat să particip la acest proiect.

Văd chimia altfel încă din prima oră, când doamna profesoară a intrat în clasă şi ne-a predat

prima lecţie: „Introducere în chimie”.De atunci, încă de la primele cuvinte ce descriau chimia ca

ştiinţă fundamentală, am fost fermecată şi am ştiut că aceasta va fi pentru mine mult mai mult decât

o materie. Şi aşa a fost…chimia reprezintă în viaţa mea baza viitorului meu dar şi una dintre

pasiunile mele.

Ce m-a fascinat la această ştiinţă?...TOTUL! Cu timpul am descoperit ce rol important a

avut şi îl are chimia în viaţa noastră…Dacă privim în trecut vom realiza cât de diferită era viaţa

oamenilor care nu ştiau tot ce ne descoperă, dar şi ce ne oferă chimia, faţă de cea din zilele noastre

când totul este mult mai simplu.

Atomi, molecule, izotopi, protoni, electroni, nucleoni, toate particulele din care suntem

alcătuiţi noi şi tot ce ne înconjoară ne sunt revelate de această ştiinţă,oferindu-ne oportunităţi de a

afla mai multe despre lumea din jurul nostru, dar şi de a ne face viaţa mult mai uşoară.

Aşa cum am spus şi până acum, chimia ca pasiune este minunată, dar pentru a face

performanţă în acest domeniu îţi trebuie multă determinare, ambiţie, răbdare şi perseverenţă. Fără

aceşti patru factori nu se poate ajunge sus în niciun domeniu.

Deşi este extrem de greu să „cucereşti”, cu adevărat, locuri pe podiumurile concursurilor de

chimie, recomand din toată inima copiilor ce vor să reuşească în viaţă să persevereze şi să nu se lase

învinşi de obstacolele ce le vor apărea în cale, deoarece pentru a fi cu adevărat bun trebuie să lupţi

pentru a te autodepăşi.

Da…este greu să pierzi, mai ales când ştii că ai muncit din greu pentru ceva, dar un bun

luptător ştie să piardă cu capul sus şi să vadă partea bună a înfrângerii, căci aceasta există cu

adevărat şi este un stimulent excelent pentru cei care o pot vedea. Această parte bună este

experienţa câştigată în urma fiecărui concurs, care te va ajuta , dacă ştii să o foloseşti,să faci un pas

uriaş din coada listei cu rezultate direct pe treapta cea mai înaltă a podiumului şi atunci satisfacţia

este mult mai mare şi vei putea spune că ai meritat într-adevăr să câştigi, deoarece nu te-ai dat bătut.

În concluzie, acest proiect a fost o încercare , reuşită, de a ne stimula şi de a ne determina să

nu ne dăm bătuţi şi tot ce ne-a oferit acesta ne va ajuta să luptăm pentru visele şi idealurile noastre.

Sfatul meu este:

„ PERSEVERAŢI şi IUBIŢI CHIMIA!”

67


Probleme propuse

Profesor Ciurduc Ludmila

Şcoala cu clasele I – VIII “Nicolae Bălcescu”, Drăgăşani

1. Un amestec echimolecular de CuO şi CuCO3 conţine 38,4% Cu. Calculaţi procentul de

impurităţi din amestec.

R: 38,8% imp.

2. Uraniul se găseşte sub forma a trei izotopi naturali radioactivi: 234

92 U, 235

92 U, 238

92 U. Calculaţi

numărul de protoni şi numărul de neutroni dintr-un amestec ce conţine 0,1 moli din fiecare

izotop.

R: 27,6 N p+; 43,1 N n

o

3. 11,7g Al reacţionează cu 100g soluţie H2SO4 49%. Se cere: a) ce substanţă este luată în

exces şi cu cât?; b) ce masă şi ce volum de gaz se degajă?; c) ce cantitate de fier se obţine

prin reducerea aluminotermică a Fe2O3 cu excesul de substanţă calculat la punctul ,,a’’?

R: a) Al este în exces; b) m = 1g H2, V = 11,2 L H2; c) m = 5,6g Fe

4. Se efectuează un experiment folosind o bucată de sulf 30% impur şi 200 grame soluţie acid

sulfuric 98%. Scrieţi ecuaţia reacţiei chimice şi egalaţi coeficienţii prin metoda redox. Care

este masa sulfului luat în lucru? Ce volum de gaz se degajă?

R: 91,42g; 67,2 l

5. Se dă următoarea schema de reacţii:

1. a b + c↑

2. c + H2O d

3. b + H2O e

4. f + g h

5. h + H2O i

Dacă ,,a” are denumirea de calcar, ,,g” este nemetalul cu cea mai mică densitate,

,,h” = gazul cu caracter bazic care are 82,35% N si 17,64% H, aflaţi substanţele corespunzătoare

literelor, indicaţi tipul de reacţie chimică şi importanţa reacţiilor chimice scrise în schemă.

68


Răspuns: a = CaCO3, b = CaO, c = CO2, d = H2CO3, e = Ca(OH)2, f = N, g = H, h = NH3, i =

NH4OH

Clasa a VIII-a, Elev: Tudor George Mihai

6. 60g de soluţie NaOH de c = 20% reacţionează cu HCl de c = 7,3%. Calculaţi concentraţia

soluţiei finale.

Răspuns: c = 21,16%

Clasa a VIII-a, Elev: Mitruţ Ana Maria

7. Determinaţi formulele moleculare ale substanţelor care au următoarele compoziţii

procentuale: A : 63,63% Fe si 36,36% S; B : 39,31% Na şi 60,68% Cl; C : 3,06% H, 31,63%

P şi 65,30% O. Scrieţi reacţiile chimice posibile între substanţele A, B şi C. Ce tip de

legătură chimică există între elementele componente ale substanţei B.

Răspuns; A = FeS, B = NaCl, C = H3PO4

Clasa a VIII-a, Elev: Stancu Corina

8. Se dă schema de reacţii:

1. a + b c + d

2. d + CO2 e

3. f + a g + h

4. d + i j

Daca a = acidul prezent în sucul gastric, b = varul stins, f = salpetru de cile, j = are 5,88% H si

94,11% O, aflaţi substanţele corespunzătoare literelor, indicaţi tipul de reacţie chimică şi importanţa

reacţiilor chimice scrise în schemă.

Răspuns: a = HCl, b = Ca(OH)2, c = CaCl2, d = H2O, e = H2CO3, f = NaNO3, g = NaCl, h =

HNO3, i = O2, J = H2O2

Clasa a VIII-a, Elev: Tudor George Mihai

9. Aflaţi cantitatea de metal în Kg care se găseşte în 3 tone pirită cu 35% impurităţi.

Răspuns: 16,25 Kmoli de Fe

Clasa a VIII-a: Elev Stancu Corina

69


10. Ce volum de aer (20%O2) este necesar pentru arderea completă a 15kg cărbune 70% pur. Ce

volum de gaz se degajă?

Răspuns: 98 m3 aer ; 19,6 m

3 CO2

Clasa a VIII-a, Elev: Nica Ştefan

Construiți-va singuri hârtie indicatoare!

Profesor Daria Petcu, Colegiul Naţional Gib Mihăescu Drăgăşani

Varza roșie conține un pigment numit flavina (o antocianina).

El se găsește și în coaja merelor roșii, a prunelor, a strugurilor negri.

Acesta este solubil în apa.

Soluțiile acide virează

culoarea pigmentului în roșu,

iar cele alcaline în galben-verzui. Din acest motiv, antocianina

din varza roşie poate fi utilizată pentru a determina valorile

pH-ului anumitor soluții.

Pentru a extrage sucul de varza roșie puteți utiliza un

blender sau puteţi toca varza foarte fin cu ajutorul unui cuțit

bine ascuțit. Sunt necesare cam doua cești de varză bine mărunțită. Introduceți apoi varza bine

tocată într-un vas mai mare pentru a turna peste ea apa fierbinte până la acoperirea totală.

Amestecați bine, apoi filtrați pentru a

obține o soluție de culoare violacee fără

impurități (resturi de varză). pH-ul său

este aproximativ 7.

Pentru a confecționa hârtie indicatoare,

tăiaţi fâșii de hârtie de filtru, așezați-le

70


într-un vas cu soluția de varză roșie obținută, apoi așteptați câteva ore să se impregneze. După aceea

puneți-le la uscat și veți obține astfel o veritabilă hârtie indicatoare.

Puteți observa virarea culorii sale în mediu acid – oțet, respectiv bazic – soluție de bicarbonat de

sodiu.

Test de verificare – Laborator

Profesor Ciurduc Ludmila

Şcoala cu clasele I – VIII “Nicolae Bălcescu”, Drăgăşani

Tema: Identificarea anionilor

Moto:“Pentru cei mai mulţi dintre noi, marele pericol nu este că ţintim

prea sus şi nu reuşim, ci că ţintim prea jos şi reuşim” – Michelangelo

Completaţi spaţiile libere:

1.Avem în 2 eprubete soluţie de K2SO4 şi H2SO4

Reactivul necesar recunoaşterii anionului ……………………………………….......................

este…………………………………………..………..

Ce se observă după ce adăugăm reactivul de recunoaştere?

……………………………………………………………………………............................................

.............................................................................................................................................................

Scrieţi ecuaţiile reacţiilor chimice:

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

71


2. Avem în 2 eprubete soluţii de Na2CO3 şi CaCO3

Reactivii necesari recunoaşterii anionului …………………………………………...................

sunt………………………………….……………….…..

Ce se observă după ce adăugăm reactivi de recunoaştere?

……………………………………………………………………………............................................

.............................................................................................................................................................

Scrieţi ecuaţiile reacţiilor chimice.

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

Dacă adăugaţi soluţia unui acid diluat, ce se va observa?

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………..………

Cum se numeşte acest fenomen?

…………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

Explicaţi fenomenul observat:

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………….……

3. Avem în 3 eprubete soluţii de NaCl, NaBr, NaI.

Reactivul necesar recunoaşterii anionului ........................................................................................

este………….………………….…..

Ce se observă după ce adăugăm reactivul de recunoaştere?

……………………………………………………………………………............................................

................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

72


ISSN 2069 - 4393

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN VÂLCEA Râmnicu Vâlcea

B-dul Nicolae Bălcescu, nr. 30 Tel. +40.350.431.575 Fax +40.350.431.576

Investeşte în oameni!

Fondul Social European

Titlul programului: Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013

Titlul proiectului: “Şcoala Viitorului – Împreună pentru o societate bazată pe cunoaştere”

Beneficiar: Inspectoratul Şcolar Judeţean Vâlcea

Conţinutul acestui material nu reprezintă în mod obligatoriu poziţia oficială a

Uniunii Europene sau a Guvernului României

Matematica fizica-chimia

Education

Transcript of Matematica fizica-chimia