matematica farmacie craiova anul 1

189
1. Noţiuni introductive În acest prim capitol reamintim o serie de noţiuni fundamentale care au fost studiate în liceu şi introducem câteva noţiuni fundamentale, dând atât exemple clasice cât şi din domeniul medico-farmaceutic. Un grup comutativ se numeşte spaţiu liniar (vectorial) real dacă există o lege de compoziţie externă „ ”, care asociază fiecărei perechi R, elementul , lege ce verifică următoarele axiome: 1. R, (este distributivă faţă de adunarea din ); 2. R, (este distributivă faţă de adunarea din R); 3. R, (înmulţirea cu elemente din R este asociativă); 4. , unde 1 este elementul unitate din R Elementele spaţiului liniar se numesc vectori. Prezentăm în continuare câteva exemple de spaţii liniare reale, frecvent utilizate: Mulţimea R a numerelor reale este un spaţiu liniar real faţă de adunarea şi înmulţirea obişnuită. Spaţiul n-dimensional real este mulţimea R n = { R}. Definim adunarea a două elemente din R n astfel: , respectiv înmulţirea cu scalar a unui element din R n : , R. 7

Transcript of matematica farmacie craiova anul 1

Page 1: matematica farmacie craiova anul 1

1. Noţiuni introductive

În acest prim capitol reamintim o serie de noţiuni fundamentale care au fost studiate în liceu şi introducem câteva noţiuni fundamentale, dând atât exemple clasice cât şi din domeniul medico-farmaceutic.

Un grup comutativ se numeşte spaţiu liniar (vectorial) real dacă există o lege de

compoziţie externă „ ”, care asociază fiecărei perechi R, elementul

, lege ce verifică următoarele axiome:

1. R, (este distributivă faţă de adunarea din

);

2. R, (este distributivă faţă de adunarea din R);

3. R, (înmulţirea cu elemente din R este asociativă);

4. , unde 1 este elementul unitate din R

Elementele spaţiului liniar se numesc vectori.

Prezentăm în continuare câteva exemple de spaţii liniare reale, frecvent utilizate:

Mulţimea R a numerelor reale este un spaţiu liniar real faţă de adunarea şi înmulţirea obişnuită.

Spaţiul n-dimensional real este mulţimea Rn = { R}. Definim

adunarea a două elemente din Rn astfel:

,

respectiv înmulţirea cu scalar a unui element din Rn:

, R.

Elementul neutru faţa de adunare este . Rn înzestrat cu cele două operaţii este un spaţiu liniar real.

În modelarea matematică a situaţiilor din domeniul medico-farmaceutic, identificăm atributele (caracteristicile) unui obiect cu componentele unui vector. Acest obiect poate fi un medicament, un pacient etc.

1. Un comprimat de antinevralgic conţine: 250mg acid acetil salicilic, 150 mg paracetamol, 20 mg cafeină anhidră. Comprimatului de antinevralgic îi asociem vectorul

(250, 150, 20) din R3, reţinând că prima componentă corespunde acidului acetil salicilic, a doua paracetamolului şi a treia cafeinei anhidre;

2. Pentru a decide dacă un pacient infectat cu hepatita C prezintă un anume stadiu al fibrozei ficatului, studiile clinice arată că se iau în considerare atât anumiţi parametrii clinici (e.g. vârsta, indicele de masă corporală) cât şi parametrii biochimici (e.g. glicemie

7

Page 2: matematica farmacie craiova anul 1

bazală, trigliceride, colesterol, aspartat- aminotransferază (ASAT), alanin-aminotransferază (ALAT), glutamil-transferază (gGT), bilirubină totală, fosfatază alcalină, hematii, hemoglobină, hematocrite, trombocite, sideremie etc.). Tabelul următor prezintă valori reale ale acestor enzime în cazul a 3 pacienţi:

P1 P2 P3

1 vârstă 36 52 412 IMC 24.61 32.6 363 glicemie 123 135 904 trigliceride 94 126 1125 colesterol 165 176 1566 ASAT 31 143 667 ALAT 35 93 1048 gGT 55 456 509 bilirubină 0.34 1.49 0.8110 fosfatază 115 356 3.1911 hematii 5.05 3.19 5.0612 hemoglobină 14.8 11.3 14.713 hematocrite 44.2 30.3 43.314 trombocite 213 84 17415 sideremie 125 87 42

Astfel pacientului P1 i se asociază vectorul:

=(36, 24.61, 123, 94, 165, 31, 35, 55, 0.34, 115, 5.05, 14.8, 44.2, 213, 125),

pacientului P2 vectorul:

(52, 32.6, 135, 126, 176, 143, 93, 456, 1.49, 356, 3.19, 11.3, 30.3, 84, 87),

şi pacientului P3 vectorul:

(41, 36, 90, 112, 156, 66, 104, 50, 0.81, 3.19, 5.06, 14.7, 43.3, 174, 42)

Matricele cu m linii şi n coloane Mm,n (R) formează un spaţiu vectorial real.

În acelaşi context al modelării, considerând n obiecte cu p caracteristici, putem reprezenta

aceste date sub forma unei matrice X, cu n linii şi p coloane. Notaţia utilizată se referă

la a i-a caracteristică observată la obiectul numărul k din baza de date.

X .

8

Page 3: matematica farmacie craiova anul 1

Astfel, datele cu cei trei pacienţi de la secţia de gastroenterologie dintr-un spital sunt reprezentate de matricea:

Aşadar liniile corespund celor 3 pacienţi în timp ce coloanele corespund celor 15 caracteristici (parametrii clinici şi biochimici).

Un sistem de vectori B se numeşte bază a lui dacă:

1. orice vector este o combinaţie liniară de vectorii , adică există numerele

reale , astfel încât ;

2. sunt vectori liniar independenţi, ceea ce înseamnă că relaţia

R implică .

Ne reamintim că dacă B este o bază a lui , elementul se scrie în mod unic sub forma:

,

numerele reale numindu-se coordonatele vectorului în baza B. Să amintim în context că numărul de elemente ale bazei unui spaţiu vectorial reprezintă

dimensiunea acestui spaţiu.

În Rn, B , unde , …, , formează o bază, numită baza canonică. Astfel:

.

Să amintim că, uzual, un element din R2 se notează R, în timp ce un element

din R3 se notează R.Vom prezenta în continuare o interpretare practică a spaţiului Rn. În teoria economică se

interpretează spaţiul Rn, ca fiind spaţiul complexelor de bunuri de consum. Dacă fiecare bun de consum este caracterizat de un anumit indice , atunci un complex de bunuri este

un vector Rn, unde componenta înseamnă cantitatea în care se găseşte

bunul de consum k. Cantitatea unitate a bunului de consum k este . În

acest sens, putem extrapola exemplul farmaceutic, în sensul că în exemplul cu comprimatul de antinevralgic, comprimatul este un complex de substanţe, fiecare substanţă este caracterizată de

9

Page 4: matematica farmacie craiova anul 1

un anumit indice, , iar componentele vectorului a reprezintă cantitatea de substanţă k ce se găseşte în comprimat.

Fie E un spaţiu vectorial real. Se numeşte produs scalar pe E o aplicaţie R,

care satisface următoarele proprietăţi:

1. este biliniară, adică:

,

şi:

, R;

2. este pozitiv definită, adică:

şi ;

3. este simetrică, adică:

.

Pe R, considerat ca spaţiu vectorial real, produsul scalar va fi definit ca produsul uzual între două numere reale.

Pe Rn, considerând elementele oarecare , definim

produsul scalar euclidian prin: . Argumentăm faptul că această

aplicaţie este un produs scalar, verificând axiomele 1-3:

1. ,

1 1 1

, ( ) , ,n n n

k k k k k k kk k k

x y z x y z x y x z x y x z

,

Rn, R;

2. Rn şi ;

3. Rn.

În teoria economică, un sistem de preţuri este vectorul , unde este

preţul unitar al bunului de consum k. Pentru complexul de bunuri Rn, valoarea sa în raport cu sistemul de preţuri p, este dată de formula:

10

Page 5: matematica farmacie craiova anul 1

.

Revenind la exemplul farmaceutic, preţul comprimatului de antinevralgic, având sistemul de preţuri , unde este preţul pentru 1 mg acid acetil salicilic, preţul

pentru 1mg paracetamol, preţul pentru 1 mg cafeină anhidră este dat de:

.

Inegalitatea Cauchy – Schwarz în Rn este un rezultat cunoscut din liceu:

, Rn.

Această inegalitate are loc în cazul general al spaţiilor liniare reale, înzestrate cu produs scalar. Astfel, într-un spaţiu liniar real E înzestrat cu produs scalar avem:

(inegalitatea Cauchy – Schwarz)

Aplicaţia definită pe un spaţiu liniar real E se numeşte normă pe E dacă verifică următoarele axiome:

1. , ; dacă şi numai dacă ;

2. , R;

3. , .

Perechea (E, ) este un spaţiu liniar normat.

Norma definită pe R este dată de: R; Pe Rn se pot defini mai multe norme, şi anume:

, unde (norma euclidiană);

, ;

.

11

Page 6: matematica farmacie craiova anul 1

În continuare vom argumenta afirmaţia că este o normă pe Rn,

verificând axiomele normei:

1. , Rn; dacă şi numai dacă ;

2. , Rn , R;

3.

,

Rn,

ultima fiind inegalitatea Cauchy- Schwarz. Lăsăm cititorului să argumenteze că şi celelalte aplicaţii prezentate sunt norme.

Un spaţiu liniar real cu produs scalar este un spaţiu liniar normat deoarece dacă este un

produs scalar pe spaţiul liniar real E, atunci expresia defineşte o normă pe E. În Rn, norma corespunzătoare produsului scalar euclidian este dată de:

, unde .

Spaţiul metric este o pereche formată dintr-o mulţime oarecare, nevidă, X şi o aplicaţie R+ numită metrică sau distanţă, aplicaţie ce verifică următoarele axiome:

1. avem ; dacă şi numai dacă ;

2. avem ;

3. avem inegalitatea triunghiului: .

Considerând o mulţime oarecare, nevidă, X , definim aplicaţia .

Se poate verifica imediat că perechea este un spaţiu metric.

Spaţiile liniare normate sunt un caz particular de spaţii metrice:

12

Page 7: matematica farmacie craiova anul 1

Un spaţiu liniar normat (E, ) este un spaţiu metric deoarece aplicaţia

R+ definită prin este o metrică.

Justificăm afirmaţia de mai sus verificând axiomele metricii şi folosind axiomele normei:

, ;

;

, ;

, .

Folosind acest rezultat se pot defini următoarele metrici pe Rn:

(distanţa euclidiană);

(distanţa Manhattan);

(distanţa Cebâşev).

Distanţa euclidiană este familiară din liceu pentru :

, R2;

, R3.

Într-un spaţiu metric bila deschisă de centru şi rază r este mulţimea:

.

În spaţiul , prezentat anterior, avem:

.

În (R, d) bila deschisă este dată de:

R, ,

în timp ce în (R2, d) avem: 13

Page 8: matematica farmacie craiova anul 1

R2, = R2,

,

adică discul deschis de centru şi rază r.

Într-un spaţiu liniar normat , bila deschisă de centru şi rază r este

mulţimea:

.

În Data Mining clusterizarea este un proces de organizarea a obiectelor (segmentarea unei mulţimi de obiecte), care sunt asemănătoare (similare) dintr-un anumit punct de vedere. Cluster-ul este o mulţime de obiecte asemănătoare între ele şi diferite de obiectele aparţinând altui cluster. Simplificând, în cazul datelor de gastroenterologie putem spune că vectorii corespunzători pacienţilor cu cancer hepatic se afla în bila deschisă de centru , în timp ce vectorii corespunzători pacienţilor ce nu au cancer hepatic sunt în bila deschisă de centru

. Remarcaţi că nu se specifică raza bilelor! Studii aprofundate pot estima şi aceste raze pentru a avea o segmentare clară a pacienţilor, fără suprapuneri excesive.Pentru a decide ce diagnostic au cei doi pacienţi prezentaţi anterior calculăm

:

Deoarece , pacientul va aparţine bilei de centru

, deci un diagnostic mai probabil în cazul său va fi pozitiv (adică nu are cancer hepatic).

14

Page 9: matematica farmacie craiova anul 1

2. Elemente de calcul diferenţial

Vom aborda în acest al doilea capitol al cărții de faţă câteva noţiuni de bază ale calcului diferenţial, una din ramurile definitorii ale Analizei Matematice.

2.1 Şiruri

Într-un spatiu metric , numim şir de elemente în o funcţie N ; termenul

general al şirului este notat .

Putem vizualiza şiruri din R, desenând graficele funcţiilor corespunzătoare N R:

Prezentăm primii 25 de termeni ai şirului:

:

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

f(n)

graficul sirului f(n)=1/n2

Primii 100 de termeni ai şirului:

15

Page 10: matematica farmacie craiova anul 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1002

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

n

f(n)

graficul sirului f(n)=(1+1/n)n

În spaţiul metric , un şir este convergent dacă există cu proprietatea că

înafara oricărei bile deschise cu centru în există un număr finit de termeni ai şirului, adică:

N, astfel încât avem .

Reamintim că dacă şi numai dacă .

Particularizând în cazul unui şir de numere reale, un şir este convergent dacă există

R, astfel încât: N, astfel încât avem ,

noţiune învăţată în liceu.

Dacă şirul converge către limita , atunci aceasta este unică şi scriem

.

Să calculăm câţi termeni ai şirului R2 , , se află în afara bilei cu centru

în origine şi de rază .

16

Page 11: matematica farmacie craiova anul 1

Deoarece (vom justifica ulterior de ce calculul limitei unui şir din R2

se reduce la calculul limitelor componentelor sale), determinăm rangul începând de la

care termenii şirului se află în interiorul bilei cu centru în şi de rază .

Rezolvăm inegalitatea şi obţinem , ceea ce

înseamnă că începând cu al 8-lea termen toţi termenii şirului se află în bila cu centru în

origine şi de rază , în afară aflându-se 7 termeni.

Să calculăm câţi termeni ai şirului , se află înafara intervalului (0.95,

1.05).Acest interval poate fi privit ca fiind o bilă centrată în 1 cu raza . Ținând seama

că şirul considerat este convergent şi că , utilizăm definiţia şirului

convergent.Rezolvăm inecuaţia:

,

şi obţinem că înafara intervalului considerat avem 153 termeni.

Considerăm că este necesar să reamintim câteva limite de şiruri mai des întâlnite:

;

, pentru ;

, pentru ;

, pentru ;

pentru ;

17

Page 12: matematica farmacie craiova anul 1

;

, pentru ;

.

Un şir în Rp, este o aplicaţie N Rp, , şi astfel şirul va fi de forma:

Rp.

Considerăm spaţiul Rp, , cu metrica euclidiană:

Un şir Rp este convergent dacă şi numai dacă cele

şiruri componente convergente.

Demonstraţia acestei afirmaţii se bazează pe inegalitatea:

R, .

În concluzie, în Rp, limita unui şir (convergent) se calculează pe componente.

;

;

Să calculăm distanţa de la la .

Avem: , şi astfel:

.

18

Page 13: matematica farmacie craiova anul 1

În finalul acestui paragraf prezentăm o aplicaţie practică ce se referă la spălarea unui precipitat. Aplicaţia se poate generaliza la orice proces cu extracţie repetată: eliminarea unui medicament din sânge, extracţie în cadrul separărilor cromatografice etc.

Solventul rămas în precipitat după decantare conţine impuritatea în concentraţie şi

astfel considerând că volumul de solvent rămas este v, cantitatea de impuritate este .

Spălând precipitatul cu un volum de solvent pur, concentraţia de impuritate în solvent

va deveni . Făcând bilanţul de materiale, în ipoteza că echilibrul între solventul adăugat şi cel remanent se stabileşte imediat, vom avea:

,

rezultând:

.

O a doua spălare, utilizând un volum de solvent va duce la scăderea concentraţiei la

, şi vom obţine:

.

Dacă volum de solvent total folosit pentru n spălări este egal cu V şi este

acelaşi la fiecare spălare, adică , vom obţine concentraţia de impuritate

în solvent, după n spălări , ca fiind:

.

19

Page 14: matematica farmacie craiova anul 1

Se demonstrează că şirul este descrescător. Fiind un şir de termeni pozitivi,

el este convergent şi

obţinem că impuritatea nu poate fi complet îndepărtată prin utilizarea

unui volum dat de solvent.

.

Această valoare limită depinde de volumul rezidual v de solvent în

precipitat şi de volum total de solvent utilizat pentru spălare. Concentraţia de

impuritate nu poate scădea sub valoarea . Deoarece această exponenţială

scade rapid, pentru un număr n de spălări nu prea mare, concentraţia de

impuritate se apropie foarte mult de valoarea . .

20

Page 15: matematica farmacie craiova anul 1

2.2.Limite de funcţii

Într-un spaţiu metric considerăm o mulţime arbitrară . Punctul (ce

poate să aparţină sau nu lui ) se numeşte punct de acumulare al mulţimii , dacă există un

şir convergent la . Vom nota . Intuitiv, putem spune că punctele

mulţimii se ‚îngrămădesc’ (se acumulează) în jurul lui .

Să determinăm mulţimea punctelor de acumulare în următoarele cazuri:

;

Q R;

N } .

Să considerăm două spaţii metrice şi , o funcţie , unde

, şi un punct de acumulare al mulţimii ( ). Spunem că există (f are

limita l în punctul ) dacă oricare ar fi există , astfel încât

cu să avem . Cu alte cuvinte, dacă este suficient

de apropiat de , este oricât de apropiat de .

Dacă R, există dacă oricare ar fi există astfel

încât cu să avem , definiţie cunoscută din liceu.

Vom reaminti câteva limite importante, însoţindu-le de un tabel al valorilor funcţiei pentru variabile x suficient de apropiate de şi de un grafic al funcţiei, în scopul unei mai bune înţelegeri a noţiunii.

x

-0.1 0.9983-0.01 1.0000-0.001 1.00000.001 1.00000.01 1.00000.1 0.9983

21

Page 16: matematica farmacie craiova anul 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

Ox

Oy

graficul functiei f(x)=sinx/x

x

-0.1 2.8680-0.01 2.7320-0.001 2.7196-0.0001 2.7184-0.00001 2.71830.00001 2.71830.0001 2.71810.001 2.71690.01 2.70480.1 2.5937

Reamintim, în context, că

22

Page 17: matematica farmacie craiova anul 1

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.52.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4

Ox

Oy

graficul functiei f(x)=(1+x)1/x

; vom considera

x

-0.1 0.6697-0.01 0.6908-0.001 0.6929-0.0001 0.69310.0001 0.69310.001 0.69340.01 0.69560.1 0.7177

Să reţinem că 0.6931

23

Page 18: matematica farmacie craiova anul 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Ox

Oy

graficul functiei f(x)=(2x-1)/x

Nu există .

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ox

Oy

graficul functiei f(x)=sin(1/x)

24

Page 19: matematica farmacie craiova anul 1

x

-0.1 0.5440-0.01 0.5064-0.001 -0.8269-0.0001 0.3056-0.00001 -0.30570.00001 0.30570.0001 -0.30560.001 0.82690.01 -0.50640.1 -0.5440

Se observă variaţia valorilor lui pentru valori ale lui în vecinătatea lui zero.

Criteriul lui Heine are o importanţă practică imediată, în sensul că este instrumentul principal pentru a argumenta că o funcţie nu are limită.

Considerând două spaţii metrice şi , o funcţie , unde

şi , următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. ;

2. oricare ar fi şirul convergent la , avem

(criteriul lui Heine).

Revenim la exemplul anterior, când am încercat să ilustrăm că nu există limită:

Nu există , deoarece considerând şirurile convergente la zero: şi

, N avem:

;

şi

.

Nu există deoarece considerând şirurile:

25

Page 20: matematica farmacie craiova anul 1

- avem şi ;

- avem şi ,

pe baza criteriului lui Heine nu există limită.

Vom calcula limitele unor funcţii reale de mai multe variabile reale R, Rn ,

în punctul :

, deoarece ;

,

deoarece

.

Fie funcţia R, R3 şi ; dacă , atunci

următorul criteriu este foarte util:

Pentru funcţiile R, R3, ce au următoarele proprietăţi:

1. ,

2. ,

avem .

Criteriul rămâne valabil şi în cazul funcţiilor de două variabile reale.

, deoarece:

şi:

26

Page 21: matematica farmacie craiova anul 1

;

, deoarece folosind inegalitatea avem:

şi ;

,

, deoarece

( şi .

2.3. Funcţii continue

Să considerăm două spaţii metrice şi , o funcţie , unde

, şi un punct . Spunem că este continuă în dacă există şi este egală

cu

Dacă funcţia este continuă în fiecare punct din , spunem că este continuă pe

.

Funcţia R R definită prin :

- este continuă pe , respectiv pe (este compusă din funcţii elementare);

- în plus, şi .

În concluzie este continuă pe R.

27

Page 22: matematica farmacie craiova anul 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

Ox

Oy

graficul functiei f

Funcţia este continuă pe R2, deoarece:

( şi

).

-4-2

02

4

-3

-2

-1

00

1

2

3

4

5

Ox

graficul functiei f(x,y)=(x2 *y2)/(x2+y2)

Oy

Oz

28

Page 23: matematica farmacie craiova anul 1

Funcţia nu este continuă în origine fiindcă nu există

.

-4-2

02

4

-4

-2

0

2

4-0.5

0

0.5

Ox

graficul functiei f(x,y)=x*y/(x2+y2)

Oy

Oz

Conform criteriului lui Heine, continuitatea unei funcţii într-un punct poate fi şi ea caracterizată cu ajutorul şirurilor convergente:

Considerând două spaţii metrice şi , o funcţie unde

şi , următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. este continuă în ;

2. oricare ar fi şirul , convergent la , avem .

Vom introduce acum o noţiune nouă şi importantă referitoare la funcţiile continue: uniform

continuitatea. Considerând două spaţii metrice şi , spunem că o funcţie

este uniform continuă pe dacă oricare ar fi există , astfel încât:

29

Page 24: matematica farmacie craiova anul 1

cu să avem ,

ceea ce înseamnă că la variaţii suficient de mici ale argumentului avem variaţii oricât de mici ale funcţiei.

O funcţie R, R, continuă pe şi care admite

asimptotă verticală sau nu este uniform continuă pe .

Funcţia nu este uniform continuă pe , deoarece este

asimptotă verticală ( ).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ox

Oy

functia f(x)=1/(x-1) nu este uniform continua, admite x=1 asimptota verticala

Se observă că o funcţie uniform continuă pe este continuă în orice punct din , reciproca nefiind adevărată.

Considerând două spaţii metrice şi , spunem că o funcţie ,

este funcţie lipschitziană dacă există , astfel încât

, . Se demonstrează utilizând doar definiţiile că:

O funcţie lipschitziană este uniform continuă.

30

Page 25: matematica farmacie craiova anul 1

Rezultatul următor este deosebit de util, precizând o clasă de funcţii reale, de variabilă reală, care sunt lipschitziene.

O funcţie R R derivabilă, cu derivata mărginită pe R, este lipschitziană pe .

Justificarea acestei afirmaţii este un exerciţiu simplu, în care folosim teorema creşterilor finite, teoremă studiată în liceu. Din ipoteză, având derivata mărginită, rezultă existenţa unui număr real astfel încât . Alegem arbitrar şi evaluăm

utilizând teorema lui Lagrange:

„există , astfel încât ”,

şi astfel am arătat că funcţia este lipschitziană şi respectiv uniform continuă.

Funcţia R definită de este uniform continuă deoarece

, ceea ce înseamnă că derivata este mărginită pe R, adică este

lipschitziană.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Ox

Oy

functia f1(x)=arctgx este uniform continua pe R

Funcţia R definită de este uniform continuă deoarece

31

Page 26: matematica farmacie craiova anul 1

, şi astfel funcţia este lipschitziană, deci uniform

continuă.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Ox

Oy

graficul functiei f(x)=2x-cosx

2.4. Funcţii diferenţiabile

În acest paragraf vom trata pentru început diferenţiabilitatea funcţiilor reale de o variabilă reală, recapitulând o serie de noţiuni studiate în liceu.

Într-un spaţiu metric un punct este punct interior mulţimii , dacă există

astfel încât . În particular, dacă R avem dacă există

, astfel încât

Spunem că funcţia R, R este derivabilă în punctul dacă există

limita:

R.

32

Page 27: matematica farmacie craiova anul 1

Valoarea acestei limite se notează şi se numeşte derivata lui în . Dacă este

derivabilă în fiecare punct din , vom spune că este derivabilă pe , iar

funcţia R, definită prin , se numeşte derivata lui pe .

Funcţia R definită prin este derivabilă în deoarece:

,

deci .

Ne vom opri acum asupra unor aplicaţii în economie ale derivatei funcţiei reale de variabilă reală.

Rata de schimb instantanee a funcţiei în raport cu este dată de:

.

De exemplu, expresia , cu şi , dă o bună aproximare

a populaţiei (în milioane) a SUA în perioada 1950-2000, unde corespunde anului 1950. Rata de schimb (de creştere) instantanee pentru un timp oarecare este

; , ceea ce înseamnă că în 1989 populaţia SUA a

crescut cu aproximativ 1.9 milioane persoane.

Analiza marginală (Marginal Analysis) este o teorie economică care se ocupă cu estimarea efectelor produse de mici variaţii ale unor cantităţi ce apar în fenomene economice, cum ar fi costul, venitul, profitul.

Am definit în primul capitol costul ca funcţie de volumul producţiei. Dacă

reprezintă costul producerii a unităţi, costul producerii al celei de-a unităţi este

În analiza marginală se defineşte costul marginal ca fiind

.

În Farmacologie putem calcula cu ajutorul derivatei rata de schimbare în timp a concentraţiilor unui medicament în sânge. Notând cu c concentraţia unui medicament într-un fluid de dizolvare, la timpul t putem avea, de exemplu:

33

Page 28: matematica farmacie craiova anul 1

.

Rata dizolvării la timpul t este:

.

Reamintim un rezultat studiat în liceu:

Dacă funcţia R, R este derivabilă în punctul , atunci ea este

şi continuă în . Reamintim că reciproca nu este adevărată (exemplul următor).

Funcţia :

- este continuă în , deoarece (| | şi

);

- avem , limita ce nu există, aşadar funcţia nu este

derivabilă în punctul .

34

Page 29: matematica farmacie craiova anul 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ox

Oy

graficul functiei f(x)=x*sin(1/x)

Prezentăm, pentru aducere aminte, derivatele unor funcţii elementare:

;

;

;

;

;

.

Să reamintim câteva operaţii cu funcţii derivabile:

Dacă funcţiile R, R sunt derivabile în punctul , atunci

funcţiile R, , sunt derivabile în punctul şi

avem:

35

Page 30: matematica farmacie craiova anul 1

;

;

;

.

Dacă:

- funcţia , unde R, este derivabilă în punctul şi

- funcţia R este derivabilă în ,

atunci este derivabilă în punctul şi avem:

.

Dacă funcţia R, R, este derivabilă în orice punct al unui interval

, , şi în plus R este derivabilă în ,

spunem că este de două ori derivabilă în şi scriem .

Dacă R, , este derivabilă pe , vom

defini funcţia:

R, prin ,

funcţie numită derivata de ordinul II a funcţiei .

În general, dacă R este derivabilă în , spunem că

este de n ori derivabilă în şi scriem:

.

Analog, putem defini:

R,

funcţia numindu-se derivata de ordin n a funcţiei .

Să calculăm derivata de ordin a funcţiei :

36

Page 31: matematica farmacie craiova anul 1

.

Presupunând că , calculăm:

,

şi astfel, conform principiului inducţiei matematice, avem .

Folosind rezultatul obţinut anterior, să calculăm derivata de ordin a funcţiei:

.

Avem:

şi astfel:

.

Vom spune că este de clasă Cn şi vom scrie Cn , unde R este o mulţime

deschisă, dacă există şi este continuă pe A. Vom spune că este de

clasă C sau indefinit derivabilă şi vom scrie C , dacă există , N.

Reamintim o teoremă de bază a calculului diferenţial, teorema creşterilor

finite (teorema lui Lagrange), teoremă studiată în liceu:

37

Page 32: matematica farmacie craiova anul 1

Dacă funcţia R, unde R, , are următoarele proprietăţi:

1. este continuă pe ,

2. este derivabilă pe ,

atunci există astfel încât .

Formula lui Taylor este generalizarea naturală a teoremei creşterilor finite în cazul în care

este de clasă Cn+1, permiţând aproximarea acestei funcţii printr-un polinom.

Astfel, pentru R, unde R este un interval deschis, o funcţie de clasă Cn şi , polinomul:

,

se numeşte polinomul lui Taylor de grad n asociat funcţiei în .

Să scriem polinomul Taylor de grad n asociat funcţiei în .

Pentru aceasta să calculăm derivata de ordinul n:

, , ..., , şi astfel:

R.

38

Page 33: matematica farmacie craiova anul 1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

50

100

150graficul functiei exponentiale si graficul polinomului Taylor atasat functiei, in x=1

Ox

Oy

Pentru a scrie polinomul lui Taylor de grad n asociat funcţiei în

utilizăm următoarea formulă: . Avem:

R.

39

Page 34: matematica farmacie craiova anul 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-15

-10

-5

0

5

10

15

Ox

Oy

graficul functiei g(x)=sinx si graficul polinomului Taylor atasat, in x=0

Enunţăm mai jos formula Taylor, formulă ce generalizează formula creşterilor finite:

Pentru o funcţie R de clasă Cn+1, unde R este un interval deschis, şi

avem:

, cu

cuprins între şi .

Termenul din formula de mai sus se numeşte restul de ordin

n al formulei Taylor (restul Lagrange).

Dacă în formula Taylor facem , vom obţine formula creşterilor finite.

Vom scrie formula lui Taylor pentru funcţia R, în punctul , pentru

:

40

Page 35: matematica farmacie craiova anul 1

+ ,

cu cuprins între şi 1.

Vom scriem formula lui Taylor pentru funcţia R, în punctul , pentru :

,

cu cuprins între şi 0.

În continuare vom studia diferenţiabilitatea funcţiilor de mai multe variabile reale, mai concret cazurile a două, respectiv trei variabile.

Pentru funcţia R, R2, , raportul:

,

nu are sens, deoarece împărţirea printr-un element din R2 nu este definită, afirmaţie ce rămâne valabilă şi în cazul a n variabile. În acest caz se introduc noţiunile de derivate parţiale ale lui

în raport cu x, respectiv cu y, în punctul . Astfel, spunem că f este derivabilă parţial în

raport cu x în , dacă există limita:

,

limită ce se numeşte derivata lui f în raport cu x în şi care se notează .

Analog definim .

Să calculăm, utilizând definiţia, , pentru :

,

41

Page 36: matematica farmacie craiova anul 1

această limită fiind derivata în a funcţiei .

Calculăm , şi astfel .

Să calculăm derivatele parţiale în origine ale funcţiei .

(întâi se face împărţirea, apoi se trece

la limită);

.

Să observăm că funcţia este discontinuă în origine cu toate că admite derivate parţiale în acest punct, ceea ce înseamnă că derivatele parţiale ale funcţiilor de mai multe variabile reale nu constituie extinderea satisfăcătoare a derivatei funcţiilor de o variabilă reală.

Pentru funcţia R, R3, , definim cele trei derivate parţiale în acest punct:

,

,

.

Să calculăm derivatele parţiale în origine ale funcţiei:

.

.

.

42

Page 37: matematica farmacie craiova anul 1

.

Se observă că derivata parţială a funcţiei de două variabile reale în raport cu în este de fapt derivata în a unei funcţii de o singură variabilă:

,

şi astfel calculul derivatei parţiale se reduce la calculul derivatei unei funcţii de o singură

variabilă. Pentru a calcula , calculăm pentru început (derivata parţială în

punctul curent) considerând ca variabilă, iar fiind constantă.

Pentru a calcula pentru , calculăm:

şi astfel .

Analog, pentru a calcula , unde este o funcţie reală de trei variabile reale,

calculăm , considerând z ca variabilă, x şi y fiind constante.

Pentru a calcula pentru , calculăm:

.

Reamintim că o aplicaţie Rn R este liniară dacă:

, Rn, R.

Funcţia R, R2, este diferenţiabilă în dacă există o aplicaţie liniară

R2 R, astfel încât:

43

Page 38: matematica farmacie craiova anul 1

, şi:

.

Formula de mai sus poate fi detaliată astfel:

.

Dacă funcţia R, R2, este diferenţiabilă în , atunci aplicaţia liniară

R2 R este unică, se notează şi se numeşte diferenţiala lui f în .

Analog, funcţia R, R3, este diferenţiabilă în dacă există o aplicaţie liniară

R3 R, astfel încât:

şi:

.

Diferenţiala lui f în se notează .

Utilizând definiţia de mai sus şi criteriul lui Heine, se demonstrează următorul rezultat important:

Dacă R, R2, este diferenţiabilă în , atunci este şi

continuă în .

Rezultatul este valabil şi în cazul unei funcţii reale de trei variabile reale.

Definiţia diferenţiabilităţii se extinde imediat la funcţii reale de n variabile reale şi funcţia diferenţiabilă într-un punct este continuă în acel punct. Rezultă, astfel, că dacă funcţia nu este continuă într-un punct, nu este nici diferenţiabilă în punctul respectiv.

Funcţia R2 R, definită prin este discontinuă în

, deci nu este diferenţiabilă în .

Considerăm că următorul rezultat merită reţinut:

Dacă R, R2, este diferenţiabilă în , atunci există derivate parţiale de ordinul întâi:

44

Page 39: matematica farmacie craiova anul 1

unde şi .

Lăsăm ca exerciţiu cititorului să enunţe această teoremă în cazul unei funcţii reale de trei variabile reale.Rezultă că dacă o funcţie R, Rn, nu admite derivate parţiale într-un punct nu este diferenţiabilă în acest punct.

Să calculăm pentru :

, limită ce nu există, deoarece şi

.

Astfel nu este diferenţiabilă în (0,0).

Pentru R, R2, definim vectorul gradient al lui în ca fiind vectorul ce

are drept componente derivatele parţiale ale funcţiei în , adică:

.

În cazul R, R3, avem:

.

Să calculam vectorul gradient pentru funcţia în punctul (2,10):

,

,

avem .

45

Page 40: matematica farmacie craiova anul 1

Să calculam vectorul gradient pentru funcţia în punctul

(-2,1,3):

,

,

,

astfel .

Diferenţiala poate fi scrisă ca o combinaţie liniară de şi , unde este

notaţia consacrată pentru aplicaţia liniară R2 R definită prin , şi este

notaţia pentru aplicaţia liniară R2 R definită prin , adică:

.

Formula de calcul a diferenţialei se verifică arătând că şi

.

;

.

Prezentăm formula de calcul a diferenţialei , cu menţiunea că R3 R,

este notată , R3 R, cu şi R3 R,

cu :

Repetăm că şi sunt aplicaţii liniare definite pe R2, respectiv R3, deoarece deseori se ignoră acest fapt.

Vom calcula pentru funcţia :

46

Page 41: matematica farmacie craiova anul 1

,

,

,

astfel că:

.

Dacă dorim să calculăm , avem:

.

Vom calcula pentru funcţia :

,

,

,

,

şi astfel .

Un rezultat ce merită reţinut este următorul:

Dacă funcţia R, Rn este de clasă C1 (adică este continuă, cu derivate parţiale de ordin I continue) pe , atunci ea este diferenţiabilă pe .

Am definit anterior derivata de ordin a unei funcţii de variabilă reală. Procedeul se poate adapta şi în cazul derivatelor parţiale ale unei funcţii R unde Rn.Pentru început considerăm cazul funcţiei reale de două variabile reale R unde R2 ,

. Dacă funcţia de o variabilă este definită pe R,

47

Page 42: matematica farmacie craiova anul 1

şi dacă această funcţie este derivabilă în b, atunci putem spune că este de două ori derivabilă în raport cu variabilele y şi x şi scriem:

.

Analog, se definesc derivatele parţiale .

Pentru funcţia reală de trei variabile reale R unde R3 , definim:

Ordinea în care se efectuează derivarea parţială este importantă. Criteriul lui Schwarz ne spune că dacă funcţia R, Rn şi derivatele sale parţiale de ordinul I şi II sunt continue, putem permuta ordinea de derivare, adică derivatele parţiale mixte sunt egale (

).

Analog, se pot defini derivate parţiale de ordinul 3, 4,..., n.

Spunem că funcţia Rm, , Rn este de clasă Ck pe , dacă funcţia şi derivatele sale parţiale până la ordinul inclusiv, sunt continue pe A. Spunem că este de

clasă C pe A dacă are derivate parţiale de orice ordin, continue pe A.

Pentru funcţia R, R2, ce admite derivate parţiale de ordinul doi în , se poate defini matricea:

,

numită hessiana lui în .

Pentru funcţia R, R3, ce admite derivate parţiale de ordinul doi în

, matricea hessiană în acest punct este:

48

Page 43: matematica farmacie craiova anul 1

.

Conform criteriului lui Schwarz, dacă funcţia R, Rn este de clasă C 2, atunci hessiana sa este o matrice simetrică.

Să calculăm hessiana funcţiei în punctul (2,1):

; ,

; ; .

Funcţia este de clasă C 2 şi astfel derivatele parţiale mixte sunt egale.

Hessiana în punctul (2,1) este deci .

Să calculăm hessiana funcţiei în punctul (-1,1,-1):

; ; ;

; ; ;

; ;

.

Derivatele parţiale mixte sunt egale deoarece funcţia este de clasă C 2.

Hessiana în punctul (-1,1,-1 ) este: .

49

Page 44: matematica farmacie craiova anul 1

Pentru funcţia R, Rn , punctul este punct de minim local al lui pe

dacă există o bilă , astfel încât:

.

Punctul este de minim global dacă . Analog, definim punctele de maxim local şi global. Punctele de minim şi de maxim se numesc puncte de extrem. Rezultatul următor este important în studiul extremelor unei funcţii reale de mai multe variabile reale.

Dacă funcţia R, R2, admite derivate parţiale în , punct

de extrem local, atunci , rezultând că

.

Dacă funcţia R, R3, admite derivate parţiale în ,

punct de extrem local, atunci ,

rezultând că .

Punctul în care este diferenţiabilă şi (

) se numeşte punct critic. Analog, punctul în care este

diferenţiabilă şi se numeşte punct critic.

Un punct de extrem local, în care este diferenţiabilă este un punct critic, reciproca nefiind adevărată. Vom prezenta condiţiile suficiente pentru ca un punct critic să fie punct de extrem local. Rezultatele următoare stabilesc în ce condiţii un punct critic este punct de extrem local:

Fie funcţia R, R2, de clasă C 2 şi . Dacă este punct critic şi:

- şi , atunci este punct de minim local;

- şi , atunci este punct de maxim local;

- în rest nu este punct de extrem.

Pentru a găsi extremele funcţiei , calculăm pentru început punctele critice ale funcţiei prin rezolvarea sistemului:

50

Page 45: matematica farmacie craiova anul 1

.

Punctul critic (soluţia sistemului) este .Calculăm derivatele de ordinul II:

.

Matricea hessiană este .

Având şi , rezultă că punctul va fi un punct de

minim.

Să calculăm extremele funcţiei .

Calculăm punctele critice ale funcţiei prin rezolvarea sistemului:

.

Punctele critice (soluţiile sistemului) sunt: , .

Calculăm hessiana funcţiei :

,

,

,

.

51

Page 46: matematica farmacie craiova anul 1

Deoarece şi , punctul este

punct de maxim.

.

Deoarece şi punctul este

punct de minim.

Prezentăm acum rezultatul ce permite aflarea extremelor unei funcţii reale de trei variabile reale.

Fie funcţia R, R3, de clasă C 2 şi . Dacă este

punct critic şi:

- dacă , şi ,

atunci este punct de minim local;

- dacă , şi ,

atunci este punct de maxim local;

- în rest nu este punct de extrem.

Pentru a găsi extremele funcţiei , calculăm pentru început punctele critice care sunt soluţii ale sistemului:

.

52

Page 47: matematica farmacie craiova anul 1

Punctul critic este .

Calculam derivatele parţiale de ordinul II:

.

Matricea hessiană este şi avem:

, şi , ceea ce

înseamnă că punctul este un punct de minim.

În finalul acestui paragraf vom prezenta o aplicaţie în farmaco-cinetică, şi anume vom calcula timpul până la obţinerea concentraţiei maxime a unei substanţe active într-un ţesut.

În cazul administrării extravasculare a unui medicament ce nu părăseşte patul vascular, evoluţia concentraţiei acestuia în sânge este descrisă de următoarea funcţie:

,

unde este constanta de absorbţie şi este constanta de eliminare.Pentru a afla valoarea maximă a concentraţiei, calculăm derivata funcţiei şi rezolvăm ecuaţia .

,

.

53

Page 48: matematica farmacie craiova anul 1

Deoarece funcţia este strict crescătoare, avem . Tabelul de

variaţie al funcţiei f în funcţie de timpul t este prezentat mai jos.

t0

+ + + 0 - - - -

Astfel, concentraţia maximă va fi .

2.5 Exerciţii propuse

1.

1. Câţi termeni ai şirului , se află înafara intervalului ?

2. Câţi termeni ai şirului se află înafara bilei deschise cu centrul

în origine şi de raza 0.001?

3. Calculaţi distanţa de la la

.

2.1. Calculaţi următoarele limite de funcţii:

;

;

54

Page 49: matematica farmacie craiova anul 1

;

2. Argumentaţi afirmaţia: nu există .

3. Calculaţi :

;

;

;

;

.

3.1. Studiaţi continuitatea următoarelor funcţii în punctele indicate:

- R R, în ;

- R R, în ;

- R2 R, ;

- R2 R, .

2. Este funcţia R R definită prin uniform continuă pe R ?

55

Page 50: matematica farmacie craiova anul 1

3. Este funcţia R definită prin uniform continuă pe

?

4.

1. Calculaţi pentru funcţia .

2. Este funcţia derivabilă în ?

3. Calculaţi derivata de ordin n a funcţiilor:

- R\{-3,3};

- .

4. Scrieţi formula Taylor de gradul n pentru funcţiile următoare în punctele indicate:

- , ( indicaţie );

- , .

5. Calculaţi derivatele parţiale în origine ale funcţiilor:

- ;

- .

6. Calculaţi derivatele parţiale ale următoarelor funcţii în punctele indicate:

56

Page 51: matematica farmacie craiova anul 1

- , în (2,-1);

- , în (-1,3);

- în (2,1,-1);

- în (1,-3,2).

7. Calculaţi vectorii gradient pentru funcţiile următoare în punctele indicate:

- , în (-1,2);

- , în (3,1);

- , în (-2,1,3).

8. Calculaţi diferenţialele următoarelor funcţii în punctele indicate:

- în (-1,1);

- în (3,3,-1).

9. Calculaţi matricele hessiene pentru următoarele funcţii în punctele indicate:

- ;

- .

10. Calculaţi extremele următoarelor funcţii:

- ;

- ;

- .

3. Elemente de calcul integral

57

Page 52: matematica farmacie craiova anul 1

Vom aborda în al treilea capitol noţiunile de bază ale calcului integral, completând astfel partea de Calcul diferenţial, aceşti doi piloni ai Analizei Matematice.

3.1 Primitive

Calculul diferenţial se referă la calculul matematic ce studiază variaţia unei funcţii relativ la variabilele sale. În cazul unei funcţii R, este vorba de procesul de găsire a derivatei

a unei funcţiei. Dacă funcţia f modelează un anumit proces dinamic (în timp), atunci calculul diferenţial studiază viteza de transformare ilustrată de acest proces. Un exemplu în acest sens ar fi viteza de absorbţie în timp a unei substanţe active conţinută într-un medicament.Uneori cunoaştem rata de schimbare şi avem nevoie de funcţia iniţială , ceea ce este un proces invers diferenţierii numit integrare (găsirea primitivei). Plecând de la exemplul anterior, cunoscând viteza de absorbţie a substanţei active în timp, putem găsi funcţia originală ce cuantifică cantitatea de substanţă în fiecare moment, şi apoi, plecând de aici, putem calcula timpul de înjumătățire.

Fiind dată o funcţie R, ne propunem să determinăm o funcţie derivabilă

R care să aibă proprietatea că în fiecare punct din (a,b) derivata sa este , adică:

.

Funcţia F se numeşte primitiva funcţiei f. Următorul rezultat este studiat şi în liceu:

Dacă există o primitivă R, atunci există o infinitate de primitive, care diferă de F printr-o constantă:

, R.

Soluţia generală, dacă există, este formată dintr-o familie de curbe paralele, numite astfel deoarece tangentele la curbele din familie în punctele de intersecţie cu o paralelă la axa ,

sunt paralelele.

Ex.

58

Page 53: matematica farmacie craiova anul 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Ox

Oy

familie de curbe paralele

Prezentăm mai jos tabloul primitivele curente şi alăturat rezultatele corespunzătoare din calculul diferenţial:

Calcul integral - Primitive Calcul diferenţial - Derivate

, R unde R

R\{1}, R , R

, R

, R

,

R

, R

, R

,

R

R

CR

59

Page 54: matematica farmacie craiova anul 1

Să calculăm primitivele următoarelor funcţii:

:

, R;

:

, R;

:

, R;

R:

, R.

Reamintim o proprietatea importantă a primitivelor – liniaritatea:

Dacă R sunt funcţii ce admit primitive, atunci:

R.

Să calculăm primitiva următoarei funcţii:

R:

, R

Clasa cea mai des întâlnită de funcţii ce admit primitive este clasa funcţiilor continue:

Dacă R este o funcţie continuă, atunci ea admite primitive pe .

60

Page 55: matematica farmacie craiova anul 1

În farmacologia modernă, rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale este absolut necesară, şi cum pentru aceasta este nevoie de calculul primitivelor, considerăm util să reamintim câteva metode studiate în liceu, însoţite de exemple ilustrative.

Pentru calculul primitivelor, următoarea formulă este utilă:

Dacă R este o funcţie continuă şi este o funcţie derivabilă, atunci:

,

unde .

Să calculăm primitivele următoarelor funcţii:

R:

, R.

R:

, R.

:

, R.

R:

, R.

R:

, R.

Integrarea funcţiilor raţionale se bazează pe descompunerea în fracţii simple a funcţiei. Dacă gradul numărătorului este mai mare sau egal cu gradul numitorului se face mai întâi împărţirea şi apoi ne vom regăsi în una din următoarele situaţii:

61

Page 56: matematica farmacie craiova anul 1

1. .

Să calculăm primitivele următoarelor funcţii:

:

.

Avem de rezolvat sistemul: , ale cărui soluţii sunt . Astfel:

,

R.

:

,

,

,

R.

2.

Să calculăm primitiva următoarei funcţii:

:

62

Page 57: matematica farmacie craiova anul 1

,

,

, sistem ale cărui soluţii sunt ,

,

R.

3. Dacă ecuaţia are rădăcini complexe, atunci descompunerea în fracţii simple a următoarei funcţii raţionale este:

Să calculăm primitivele următoarelor funcţii:

:

,

,

63

Page 58: matematica farmacie craiova anul 1

R.

:

,

, R.

În continuare, reamintim formula de integrare prin părţi:

Dacă şi sunt două funcţii care au derivate continue pe [a,b], atunci:

.

Să calculăm primitivele următoarelor funcţii:

:

, R.

R:

, R.

R:

64

Page 59: matematica farmacie craiova anul 1

, R.

3.2. Integrala Riemann

Reluăm, pentru început, o serie de noţiuni studiate deja în liceu.

Dacă R, , o diviziune a intervalului este mulţimea punctelor

, şi anume:

.

Notăm cu D mulţimea tuturor diviziunilor intervalului . Norma diviziunii D este numărul:

.

Dacă R, , şi D , , mulţimea:

,

este mulţimea punctelor intermediare asociate diviziunii .

Pentru funcţia R, construim suma:

.

numită suma Riemann. Aceasta reprezintă suma ariilor dreptunghiurilor de laturi ( )

şi , .

Un exemplu clasic este calculul distanţei parcurse într-un timp dat:

65

Page 60: matematica farmacie craiova anul 1

Distanţa = Timp Viteză.

Dacă viteza este constant se aplică formula, dar în cazul real viteza este variabilă şi este nevoie de o metodă mai complicată pentru calculul distanţei. Aceasta constă în aproximarea distanţei prin împărţirea intervalului de timp în subintervale mai mici şi însumarea produselor lungimii acestor subintervale cu o viteză din subintervalul de timp corespunzător, Această sumă, care este de fapt o suma Riemann, aproximează distanţa parcursă. Ideea este ca subintervalul de timp să fie cât mai mic, astfel încât viteza să rămână constantă pe acest subinterval. Dacă vom considera limita acestor sume, când lungimea subintervalelor de timp tinde la zero, vom găsi cu exactitate distanţa parcursă.

Dacă R al cărei grafic este prezentat în figura următoare reprezintă viteza care este funcţie de timp, atunci distanţa parcursă între timpii a şi b este egală cu aria figurii situate deasupra axei Ox, limitată de dreptele şi , axa Ox şi de graficul funcţiei.

Funcţia este integrabilă Riemann pe dacă există un număr real , cu proprietatea că:

, D , pentru orice alegere a punctelor intermediare .

Numărul se numeşte integrala Riemann a lui pe , este unic determinat şi se notează

.

66

Page 61: matematica farmacie craiova anul 1

Pentru funcţia R+, integrabilă Riemann pe , numărul

reprezintă aria mulţimii mărginite de axa , dreptele şi graficul funcţiei

Reamintim că, în general, aria mulţimii limitată de axa , dreptele şi graficul

funcţiei , unde funcţia R este integrabilă Riemann pe , este

.

Prezentăm câteva clase de funcţii integrabile, fără a intra în detalii tehnice:

O funcţie R, continuă, este integrabilă Riemann pe .

O funcţie R, monotonă, este integrabilă Riemann pe .

Reamintim că o funcţie R este strict crescătoare pe [a,b] dacă oricare ar fi

, cu , avem . Funcţia f este crescătoare pe [a,b] dacă oricare

ar fi , cu , avem . Analog se defineşte funcţia strict descrescătoare, respectiv descrescătoare. O funcţie crescătoare sau descrescătoare pe [a,b] este şi monotonă pe [a,b].

O funcţie R, mărginită, care are o mulţime finită de puncte de discontinuitate este integrabilă Riemann pe .

Prezentăm, în continuare, câteva proprietăţi ale integralei Riemann, subliniind

că pentru R, , definim:

.

Dacă funcţiile R sunt integrabile Riemann pe , atunci este integrabilă pe ; dacă R, funcţia este integrabilă pe şi:

;

67

Page 62: matematica farmacie craiova anul 1

.

(liniaritatea integralei Riemann).

Dacă funcţia R+ este integrabilă Riemann pe , atunci

.

Din această proprietate rezultă monotonia integralei Riemann, în sensul că dacă

funcţiile R sunt integrabile Riemann pe , cu proprietatea că

, atunci .

Dacă R este o funcţie integrabilă Riemann pe , atunci f este integrabilă Riemann pe orice mulţime

(ereditate).

Dacă funcţia R este integrabilă Riemann pe ,atunci oricare ar fi

avem:

(aditivitatea integralei ca funcţie de interval).

Teorema de medie este un rezultat ce merită reţinut.

Dacă funcţia R este integrabilă Riemann pe ,atunci:

,

unde şi .

68

Page 63: matematica farmacie craiova anul 1

Dacă este continuă pe , atunci există , astfel încât

.

(teorema de medie ).

Pentru a demonstra inegalitatea , observăm că funcţia

este descrescătoare pe deoarece .

x 0 1

- - - - - - - - -

1 1/e

şi astfel avem , deci conform teoremei de medie:

.

69

Page 64: matematica farmacie craiova anul 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ox

Oy

imaginea grafica a inegalitatii: 1/e<exp(-x2)<1

Pe de altă parte fiind continuă pe , există , astfel încât:

.

Se calculează folosind un soft specializat (Matlab), care nu face obiectul acestei cărţi, că:

- ;

- .

70

Page 65: matematica farmacie craiova anul 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ox

Oy

f(0.5043)=0.7468

Rezultatele următoare sunt deosebit de interesante, stabilind conexiuni între funcţii integrabile Riemann şi funcţii ce admit primitive:

Dacă R este o funcţie integrabilă Riemann pe , vom defini funcţia

R, prin . Funcţia este continuă pe .

Dacă funcţia R este continuă pe , atunci funcţia R,

definită prin este derivabilă pe şi .

Pentru a calcula derivata funcţiei , observăm că este o funcţie

continuă pe R. În aceste condiţii, este derivabilă şi .

71

Page 66: matematica farmacie craiova anul 1

Pentru a arăta că funcţia este strict crescătoare pe R,

calculăm, aplicând teorema precedentă, , lucru posibil deoarece

este o funcţie continuă pe R. Din pe R, rezultă

faptul că F este strict crescătoare.

În final reamintim formula Leibniz-Newton, formulă studiată în liceu.

Dacă funcţia R este continuă pe şi F este o primitivă a sa, atunci:

.

Să calculăm câteva integrale Riemann:

.

.

Descompunem în fracţii simple:

2

1, { 2,2} 1 ( ) 2 2 , { 2,2}

2 24

A Bx x A B A B x

x xx

.

Rezolvând sistemul obţinem .

72

Page 67: matematica farmacie craiova anul 1

.

Prezentăm în continuare două exemple ce se adresează în special studentului farmacist, exemple în care cunoştinţele despre integrala Riemann sunt absolut necesare:

Introducerea unui nou medicament pe piaţă, în condiţiile în care există deja în uz acelaşi tip de medicament, dar produs de o altă firmă sau într-o altă formă medicamentoasă, impune verificarea echivalenţei noului medicament cu cele deja existente, pentru a afla dacă este într-adevăr mai eficient.Pentru acceptarea noului medicament, se compară curbele de concentraţie plasmatică ale substanţeiactive administrată în cele două forme, prin următorul calcul:

,

unde , , este funcţia ce defineşte concentraţia plasmatică a substanţei

active în intervalul de timp .

Se spune că astfel am definit o metrică de bioechivalenţă, distanţă ce este sensibilă la diferenţele în ceea ce priveşte concentraţia maximă şi timpul de atingere al ei.

Se consideră că fluxul unui medicament ce se eliberează dintr-o formă farmaceutică se supune legii lui Higuchi, dacă verifică formula:

.

Cantitatea de medicament eliberată dupa un timp t este:

.

În studiul integralei Riemann, am considerat atât domeniul de integrare cât şi funcţia de integrat ca fiind mărginite. Integralele improprii constituie o extindere naturală a integralei Riemann, în sensul că vom considera cazurile în care fie domeniul de integrare fie funcţia de integrat sunt nemărginite, bazându-ne pe teoria trecerii la limită. Integralele pe intervale nemărginite sunt integralele în care cel puţin una din limitele de integrare este infinită, adică de forma:

, sau .

73

Page 68: matematica farmacie craiova anul 1

Dacă pentru funcţia R, integrabilă pe orice interval cu , există

R, vom spune că este convergentă şi vom nota

. În caz contrar, integrala este divergentă.

;

;

Integrala este divergentă deoarece şi

nu există .

Am amintit mai sus alte două cazuri de integrale improprii, cu domeniul de integrare nemărginit, cazuri care se reduc imediat la situaţia prezentată anterior. Astfel, avem:

,

,

dacă există.

În studiul problemelor de convergenţă ale integralelor improprii folosim de cele mai multe ori rezultatul următor:

Pentru funcţia R+ , integrabilă pe orice interval

- dacă (finit), pentru , atunci este

convergentă;

- dacă , pentru şi , integrala este

divergentă.

74

Page 69: matematica farmacie craiova anul 1

este o integrală convergentă deoarece ,

.

este o integrală convergentă deoarece ,

,

.

.

Vom studia în continuare cazul în care funcţia R , integrabilă pe orice interval

, îşi schimbă semnul de o infinitate de ori pe , caz în care este necesară introducerea noţiunii de absolut convergenţă a integralei. Astfel, spunem că integrala

este absolut convergentă dacă integrala este convergentă. O integrala

absolut convergentă este şi convergentă.

Un alt caz de integrale improprii sunt cele din funcţii nemărginite. Fie R, continuă

pe , cu excepţia unui punct , , punct în care funcţia are o discontinuitate

de speţa a doua (i.e. ). Să presupunem că , în caz contrar putând scrie:

75

Page 70: matematica farmacie craiova anul 1

.

Integrala este convergentă daca există şi este finită. În caz

contrar, integrala este divergentă.

;

.

3.3. Integrale duble

Integralele multiple sunt o extindere naturală a integralei Riemann pentru cazul

funcţiilor de mai multe variabile. În continuare, vom studia integralele duble,

notate , unde considerăm că funcţia R, R2 este

continuă.

Pentru a intui semnificaţia integralei duble , studiem pentru început cazul

.Considerând diviziunile:

D , ,

D , ,

obţinem o diviziune D , ale cărei elemente sunt dreptunghiurile:

,

de normă:

76

Page 71: matematica farmacie craiova anul 1

.

Familia punctelor intermediare , corespunzătoare diviziunii , are ca elemente

perechile , unde , .

Construim suma Riemann corespunzătoare funcţiei şi diviziunii şi punctelor intermediare

:

,

ce reprezintă suma volumelor paralelipipedelor cu baza şi înălţimea

.

Funcţia R+ este integrabilă pe , dacă există un număr real , cu proprietatea că:

, D ,

pentru orice alegere a punctelor intermediare .

Numărul se numeşte integrala dublă a lui pe , este unic determinat, se

notează şi reprezintă volumul corpului situat deasupra planului şi

sub graficul funcţiei , unde R+ este o funcţie continuă.

Pentru a calcula efectiv o asemenea integrala dublă, vom folosi o tehnică de reducere la calculul unei integrale Riemann:

Dacă funcţia R este continuă, atunci:

.

Pentru a calcula , folosim teorema anterioară:

.

În calculul integralei , considerăm variabilă şi constantă, aşa că:

77

Page 72: matematica farmacie craiova anul 1

,

şi astfel:

.

.

Într-un caz mai general, funcţia este definită pe o mulţime R2 , , de forma:

,

unde R sunt funcţii continue, sau de forma:

,

unde R sunt funcţii continue. De exemplu:

Pentru a defini cu ajutorul inegalităţilor mulţimea , limitată de

parabola şi de dreapta , desenăm cele două curbe:

78

Page 73: matematica farmacie craiova anul 1

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Ox

Oy

parabola y=x2+1 si dreapta y=6*x-4

Calculând abscisele intersecţiilor: , obţinem că , în timp ce

ordonata este cuprinsă între parabolă şi dreaptă, adică

. Astfel putem spune că:

În cazul mulţimii , limitată de parabola şi dreapta avem:

79

Page 74: matematica farmacie craiova anul 1

-1 0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Ox

Oy

parabola x=y2-1 si dreapta y=x-1

Calculăm ordonatele intersecţiilor: şi astfel

, în timp ce variază între parabolă şi dreaptă. Suntem în

măsura să caracterizăm mulţimea prin inegalităţi:

.

Dacă funcţiile R, sunt continue definim:

,

.

Să calculăm , dacă mulţimea este limitată de parabolele şi

.

80

Page 75: matematica farmacie craiova anul 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Ox

Oy

parabolele y=x2 si x=y2

Calculăm abscisele punctelor de intersecţie: ; aşadar , în

timp ce variază între parabola şi parabola , adică . Avem:

.

Să calculăm , dacă mulţimea este limitată de hiperbola şi dreapta

.

Calculăm punctele de intersecţie:

Să desenăm mulţimea :

81

Page 76: matematica farmacie craiova anul 1

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Ox

Oy

hiperbola y=1/x si dreapta x+3y=4

Se vede că şi şi avem:

Prezentăm câteva proprietăți ale integralei duble, proprietăți ce sunt generalizări ale proprietăților integralei Riemann:

Dacă funcţiile R, sunt continue, atunci:

,

82

Page 77: matematica farmacie craiova anul 1

, unde R.

(liniaritatea integralei duble)

Pentru funcția continuă R, , unde , avem:

Această proprietate, cunoscută sub numele de aditivitatea integralei duble, este utilă în calculul efectiv al integralelor. Cu puțin exerciţiu, vom învăţa să descompunem mulţimea în

submulţimi de tipul sau . Ideea este că, de exemplu, ordonata trebuie să se afle între două

curbe; dacă intervine şi a treia curbă, împărțim mulţimea , ducând o paralelă la axa , în acest caz, prin punctul de intersecţie. De exemplu:

Să calculăm , dacă mulţimea A este situată deasupra axei Ox şi limitată

de parabola şi de dreptele şi (prima şi a doua bisectoare).

Calculăm punctele de intersecţie ale bisectoarelor cu parabola:

,

,

.

83

Page 78: matematica farmacie craiova anul 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Ox

Oy

ramura pozitiva a parabolei x=y2-2, prima bisectoare si a doua bisectoare

Axa Oy va împărţi mulţimea în două mulţimi de tipul , pe care le definim prin următoarele inegalităţi:

,

.

Aplicăm aditivitatea integralei duble:

84

Page 79: matematica farmacie craiova anul 1

.

Numărul reprezintă volumul corpului situat deasupra mulţimii din planul

şi sub porţiunea de suprafaţă .

Să calculăm volumul corpului ce este situat sub suprafaţa şi deasupra

mulţimii din planul , mărginită de parabolele şi .

.

Desenăm porţiunea de suprafaţă:

-4-2

02

4

0

2

4

6

8-80

-60

-40

-20

0

20

Ox

multimea situata deasupra planului xOy, limitata de z=x2-y2

Oy

Oz

85

Page 80: matematica farmacie craiova anul 1

Abscisele punctelor de intersecţie ale parabolelor ce mărginesc mulţimea din planul

sunt soluţiile ecuaţiei , adică .

Vom desena mulţimea , pentru a putea stabili inegalitățile ce o definesc:

-3 -2 -1 0 1 2 3-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ox

Oy

multimea A din planul xOy limitata de parabolele y=x2 si y=8-x2

aşadar:

; ,

şi astfel:

.

86

Page 81: matematica farmacie craiova anul 1

A doua interpretare geometrică a integralei duble ne spune că reprezintă aria mulţimii

,.

Să calculăm aria mulţimii , care este limitată de parabola şi de dreapta

.

Determinăm punctele de intersecţie rezolvând ecuaţia

:

-2 -1 0 1 2 3 4 5-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Ox

Oy

parabola y=x2-4 sidreapta y=3*x

Mulţimea A este definită de inegalităţile: şi şi astfel:

87

Page 82: matematica farmacie craiova anul 1

Să calculăm aria mulţimii limitată de dreptele: , şi .

Pentru început calculăm punctele de intersecţie ale dreptelor:

,

,

.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Ox

Oy

multimea limitata de dreptele y=2*x+1, y=2-x si y=x

Mulţimea A va fi împărţită prin paralela la Oy în două submulţimi de tip :

,

,

88

Page 83: matematica farmacie craiova anul 1

.

Trebuie menţionat că tehnica învăţată de calcul al integralelor duble prin iterare nu este singura. Schimbarea de variabile în integrala dublă rezolvă în întregime problemele dar nu face obiectul acestei cărţi, necesitând cunoştinţe suplimentare de calcul diferenţial.

3.4 Exerciţii propuse

1.1. Calculaţi primitivele următoarelor funcţii:

- R;

- R;

- R (indicaţie );

- R;

- R.

2. Calculaţi primitivele următoarelor funcţii raţionale:

- ;

- ;

- ;

- .

89

Page 84: matematica farmacie craiova anul 1

3. Calculaţi primitivele următoarelor funcţii:

- ;

- R;

- .

2.

1. Fără a calcula integrala să se demonstreze că .

2. Calculaţi derivata funcţiei , în punctul .

3. Calculaţi următoarele integrale:

- ;

- ;

- ;

- ;

- .

4. Calculaţi următoarele integrale improprii:

- ;

- ;

-

90

Page 85: matematica farmacie craiova anul 1

- ;

3.1. Calculaţi următoarele integrale duble:

- ;

- unde A este limitată de parabola şi prima bisectoare;

- unde A este limitată de parabola şi dreapta .

2. Calculaţi volumul corpului ce este situat sub suprafaţa şi deasupra

mulţimii din planul , mărginită de parabola şi dreapta .

3. Calculaţi aria mulțimii A dacă:

- A situată în primul cadran ( este limitată de hiperbola echilateră

şi dreptele

- A situată la dreapta axei Oy ( este limitata de parabola si de

prima şi a doua bisectoare .

3. Elemente de calcul integral

Vom aborda în al treilea capitol noţiunile de bază ale calcului integral, completând astfel partea de Calcul diferenţial, aceşti doi piloni ai Analizei Matematice.

3.1 Primitive

Calculul diferenţial se referă la calculul matematic ce studiază variaţia unei funcţii relativ la variabilele sale. În cazul unei funcţii R, este vorba de procesul de găsire a derivatei

91

Page 86: matematica farmacie craiova anul 1

a unei funcţiei. Dacă funcţia f modelează un anumit proces dinamic (în timp), atunci calculul diferenţial studiază viteza de transformare ilustrată de acest proces. Un exemplu în acest sens ar fi viteza de absorbţie în timp a unei substanţe active conţinută într-un medicament.Uneori cunoaştem rata de schimbare şi avem nevoie de funcţia iniţială , ceea ce este un proces invers diferenţierii numit integrare (găsirea primitivei). Plecând de la exemplul anterior, cunoscând viteza de absorbţie a substanţei active în timp, putem găsi funcţia originală ce cuantifică cantitatea de substanţă în fiecare moment, şi apoi, plecând de aici, putem calcula timpul de înjumătățire.

Fiind dată o funcţie R, ne propunem să determinăm o funcţie derivabilă

R care să aibă proprietatea că în fiecare punct din (a,b) derivata sa este , adică:

.

Funcţia F se numeşte primitiva funcţiei f. Următorul rezultat este studiat şi în liceu:

Dacă există o primitivă R, atunci există o infinitate de primitive, care diferă de F printr-o constantă:

, R.

Soluţia generală, dacă există, este formată dintr-o familie de curbe paralele, numite astfel deoarece tangentele la curbele din familie în punctele de intersecţie cu o paralelă la axa ,

sunt paralelele.

Ex.

92

Page 87: matematica farmacie craiova anul 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Ox

Oy

familie de curbe paralele

Prezentăm mai jos tabloul primitivele curente şi alăturat rezultatele corespunzătoare din calculul diferenţial:

Calcul integral - Primitive Calcul diferenţial - Derivate

, R unde R

R\{1}, R , R

, R

, R

,

R

, R

, R

,

R

R

CR

93

Page 88: matematica farmacie craiova anul 1

Să calculăm primitivele următoarelor funcţii:

:

, R;

:

, R;

:

, R;

R:

, R.

Reamintim o proprietatea importantă a primitivelor – liniaritatea:

Dacă R sunt funcţii ce admit primitive, atunci:

R.

Să calculăm primitiva următoarei funcţii:

R:

, R

Clasa cea mai des întâlnită de funcţii ce admit primitive este clasa funcţiilor continue:

Dacă R este o funcţie continuă, atunci ea admite primitive pe .

94

Page 89: matematica farmacie craiova anul 1

În farmacologia modernă, rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale este absolut necesară, şi cum pentru aceasta este nevoie de calculul primitivelor, considerăm util să reamintim câteva metode studiate în liceu, însoţite de exemple ilustrative.

Pentru calculul primitivelor, următoarea formulă este utilă:

Dacă R este o funcţie continuă şi este o funcţie derivabilă, atunci:

,

unde .

Să calculăm primitivele următoarelor funcţii:

R:

, R.

R:

, R.

:

, R.

R:

, R.

R:

, R.

Integrarea funcţiilor raţionale se bazează pe descompunerea în fracţii simple a funcţiei. Dacă gradul numărătorului este mai mare sau egal cu gradul numitorului se face mai întâi împărţirea şi apoi ne vom regăsi în una din următoarele situaţii:

95

Page 90: matematica farmacie craiova anul 1

1. .

Să calculăm primitivele următoarelor funcţii:

:

.

Avem de rezolvat sistemul: , ale cărui soluţii sunt . Astfel:

,

R.

:

,

,

,

R.

2.

Să calculăm primitiva următoarei funcţii:

:

96

Page 91: matematica farmacie craiova anul 1

,

,

, sistem ale cărui soluţii sunt ,

,

R.

3. Dacă ecuaţia are rădăcini complexe, atunci descompunerea în fracţii simple a următoarei funcţii raţionale este:

Să calculăm primitivele următoarelor funcţii:

:

,

,

97

Page 92: matematica farmacie craiova anul 1

R.

:

,

, R.

În continuare, reamintim formula de integrare prin părţi:

Dacă şi sunt două funcţii care au derivate continue pe [a,b], atunci:

.

Să calculăm primitivele următoarelor funcţii:

:

, R.

R:

, R.

R:

98

Page 93: matematica farmacie craiova anul 1

, R.

3.2. Integrala Riemann

Reluăm, pentru început, o serie de noţiuni studiate deja în liceu.

Dacă R, , o diviziune a intervalului este mulţimea punctelor

, şi anume:

.

Notăm cu D mulţimea tuturor diviziunilor intervalului . Norma diviziunii D este numărul:

.

Dacă R, , şi D , , mulţimea:

,

este mulţimea punctelor intermediare asociate diviziunii .

Pentru funcţia R, construim suma:

.

numită suma Riemann. Aceasta reprezintă suma ariilor dreptunghiurilor de laturi ( )

şi , .

Un exemplu clasic este calculul distanţei parcurse într-un timp dat:

99

Page 94: matematica farmacie craiova anul 1

Distanţa = Timp Viteză.

Dacă viteza este constant se aplică formula, dar în cazul real viteza este variabilă şi este nevoie de o metodă mai complicată pentru calculul distanţei. Aceasta constă în aproximarea distanţei prin împărţirea intervalului de timp în subintervale mai mici şi însumarea produselor lungimii acestor subintervale cu o viteză din subintervalul de timp corespunzător, Această sumă, care este de fapt o suma Riemann, aproximează distanţa parcursă. Ideea este ca subintervalul de timp să fie cât mai mic, astfel încât viteza să rămână constantă pe acest subinterval. Dacă vom considera limita acestor sume, când lungimea subintervalelor de timp tinde la zero, vom găsi cu exactitate distanţa parcursă.

Dacă R al cărei grafic este prezentat în figura următoare reprezintă viteza care este funcţie de timp, atunci distanţa parcursă între timpii a şi b este egală cu aria figurii situate deasupra axei Ox, limitată de dreptele şi , axa Ox şi de graficul funcţiei.

Funcţia este integrabilă Riemann pe dacă există un număr real , cu proprietatea că:

, D , pentru orice alegere a punctelor intermediare .

Numărul se numeşte integrala Riemann a lui pe , este unic determinat şi se notează

.

100

Page 95: matematica farmacie craiova anul 1

Pentru funcţia R+, integrabilă Riemann pe , numărul

reprezintă aria mulţimii mărginite de axa , dreptele şi graficul funcţiei

Reamintim că, în general, aria mulţimii limitată de axa , dreptele şi graficul

funcţiei , unde funcţia R este integrabilă Riemann pe , este

.

Prezentăm câteva clase de funcţii integrabile, fără a intra în detalii tehnice:

O funcţie R, continuă, este integrabilă Riemann pe .

O funcţie R, monotonă, este integrabilă Riemann pe .

Reamintim că o funcţie R este strict crescătoare pe [a,b] dacă oricare ar fi

, cu , avem . Funcţia f este crescătoare pe [a,b] dacă oricare

ar fi , cu , avem . Analog se defineşte funcţia strict descrescătoare, respectiv descrescătoare. O funcţie crescătoare sau descrescătoare pe [a,b] este şi monotonă pe [a,b].

O funcţie R, mărginită, care are o mulţime finită de puncte de discontinuitate este integrabilă Riemann pe .

Prezentăm, în continuare, câteva proprietăţi ale integralei Riemann, subliniind

că pentru R, , definim:

.

Dacă funcţiile R sunt integrabile Riemann pe , atunci este integrabilă pe ; dacă R, funcţia este integrabilă pe şi:

;

101

Page 96: matematica farmacie craiova anul 1

.

(liniaritatea integralei Riemann).

Dacă funcţia R+ este integrabilă Riemann pe , atunci

.

Din această proprietate rezultă monotonia integralei Riemann, în sensul că dacă

funcţiile R sunt integrabile Riemann pe , cu proprietatea că

, atunci .

Dacă R este o funcţie integrabilă Riemann pe , atunci f este integrabilă Riemann pe orice mulţime

(ereditate).

Dacă funcţia R este integrabilă Riemann pe ,atunci oricare ar fi

avem:

(aditivitatea integralei ca funcţie de interval).

Teorema de medie este un rezultat ce merită reţinut.

Dacă funcţia R este integrabilă Riemann pe ,atunci:

,

unde şi .

102

Page 97: matematica farmacie craiova anul 1

Dacă este continuă pe , atunci există , astfel încât

.

(teorema de medie ).

Pentru a demonstra inegalitatea , observăm că funcţia

este descrescătoare pe deoarece .

x 0 1

- - - - - - - - -

1 1/e

şi astfel avem , deci conform teoremei de medie:

.

103

Page 98: matematica farmacie craiova anul 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ox

Oy

imaginea grafica a inegalitatii: 1/e<exp(-x2)<1

Pe de altă parte fiind continuă pe , există , astfel încât:

.

Se calculează folosind un soft specializat (Matlab), care nu face obiectul acestei cărţi, că:

- ;

- .

104

Page 99: matematica farmacie craiova anul 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ox

Oy

f(0.5043)=0.7468

Rezultatele următoare sunt deosebit de interesante, stabilind conexiuni între funcţii integrabile Riemann şi funcţii ce admit primitive:

Dacă R este o funcţie integrabilă Riemann pe , vom defini funcţia

R, prin . Funcţia este continuă pe .

Dacă funcţia R este continuă pe , atunci funcţia R,

definită prin este derivabilă pe şi .

Pentru a calcula derivata funcţiei , observăm că este o funcţie

continuă pe R. În aceste condiţii, este derivabilă şi .

105

Page 100: matematica farmacie craiova anul 1

Pentru a arăta că funcţia este strict crescătoare pe R,

calculăm, aplicând teorema precedentă, , lucru posibil deoarece

este o funcţie continuă pe R. Din pe R, rezultă

faptul că F este strict crescătoare.

În final reamintim formula Leibniz-Newton, formulă studiată în liceu.

Dacă funcţia R este continuă pe şi F este o primitivă a sa, atunci:

.

Să calculăm câteva integrale Riemann:

.

.

Descompunem în fracţii simple:

2

1, { 2,2} 1 ( ) 2 2 , { 2,2}

2 24

A Bx x A B A B x

x xx

.

Rezolvând sistemul obţinem .

106

Page 101: matematica farmacie craiova anul 1

.

Prezentăm în continuare două exemple ce se adresează în special studentului farmacist, exemple în care cunoştinţele despre integrala Riemann sunt absolut necesare:

Introducerea unui nou medicament pe piaţă, în condiţiile în care există deja în uz acelaşi tip de medicament, dar produs de o altă firmă sau într-o altă formă medicamentoasă, impune verificarea echivalenţei noului medicament cu cele deja existente, pentru a afla dacă este într-adevăr mai eficient.Pentru acceptarea noului medicament, se compară curbele de concentraţie plasmatică ale substanţeiactive administrată în cele două forme, prin următorul calcul:

,

unde , , este funcţia ce defineşte concentraţia plasmatică a substanţei

active în intervalul de timp .

Se spune că astfel am definit o metrică de bioechivalenţă, distanţă ce este sensibilă la diferenţele în ceea ce priveşte concentraţia maximă şi timpul de atingere al ei.

Se consideră că fluxul unui medicament ce se eliberează dintr-o formă farmaceutică se supune legii lui Higuchi, dacă verifică formula:

.

Cantitatea de medicament eliberată dupa un timp t este:

.

În studiul integralei Riemann, am considerat atât domeniul de integrare cât şi funcţia de integrat ca fiind mărginite. Integralele improprii constituie o extindere naturală a integralei Riemann, în sensul că vom considera cazurile în care fie domeniul de integrare fie funcţia de integrat sunt nemărginite, bazându-ne pe teoria trecerii la limită. Integralele pe intervale nemărginite sunt integralele în care cel puţin una din limitele de integrare este infinită, adică de forma:

, sau .

107

Page 102: matematica farmacie craiova anul 1

Dacă pentru funcţia R, integrabilă pe orice interval cu , există

R, vom spune că este convergentă şi vom nota

. În caz contrar, integrala este divergentă.

;

;

Integrala este divergentă deoarece şi

nu există .

Am amintit mai sus alte două cazuri de integrale improprii, cu domeniul de integrare nemărginit, cazuri care se reduc imediat la situaţia prezentată anterior. Astfel, avem:

,

,

dacă există.

În studiul problemelor de convergenţă ale integralelor improprii folosim de cele mai multe ori rezultatul următor:

Pentru funcţia R+ , integrabilă pe orice interval

- dacă (finit), pentru , atunci este

convergentă;

- dacă , pentru şi , integrala este

divergentă.

108

Page 103: matematica farmacie craiova anul 1

este o integrală convergentă deoarece ,

.

este o integrală convergentă deoarece ,

,

.

.

Vom studia în continuare cazul în care funcţia R , integrabilă pe orice interval

, îşi schimbă semnul de o infinitate de ori pe , caz în care este necesară introducerea noţiunii de absolut convergenţă a integralei. Astfel, spunem că integrala

este absolut convergentă dacă integrala este convergentă. O integrala

absolut convergentă este şi convergentă.

Un alt caz de integrale improprii sunt cele din funcţii nemărginite. Fie R, continuă

pe , cu excepţia unui punct , , punct în care funcţia are o discontinuitate

de speţa a doua (i.e. ). Să presupunem că , în caz contrar putând scrie:

109

Page 104: matematica farmacie craiova anul 1

.

Integrala este convergentă daca există şi este finită. În caz

contrar, integrala este divergentă.

;

.

3.3. Integrale duble

Integralele multiple sunt o extindere naturală a integralei Riemann pentru cazul

funcţiilor de mai multe variabile. În continuare, vom studia integralele duble,

notate , unde considerăm că funcţia R, R2 este

continuă.

Pentru a intui semnificaţia integralei duble , studiem pentru început cazul

.Considerând diviziunile:

D , ,

D , ,

obţinem o diviziune D , ale cărei elemente sunt dreptunghiurile:

,

de normă:

110

Page 105: matematica farmacie craiova anul 1

.

Familia punctelor intermediare , corespunzătoare diviziunii , are ca elemente

perechile , unde , .

Construim suma Riemann corespunzătoare funcţiei şi diviziunii şi punctelor intermediare

:

,

ce reprezintă suma volumelor paralelipipedelor cu baza şi înălţimea

.

Funcţia R+ este integrabilă pe , dacă există un număr real , cu proprietatea că:

, D ,

pentru orice alegere a punctelor intermediare .

Numărul se numeşte integrala dublă a lui pe , este unic determinat, se

notează şi reprezintă volumul corpului situat deasupra planului şi

sub graficul funcţiei , unde R+ este o funcţie continuă.

Pentru a calcula efectiv o asemenea integrala dublă, vom folosi o tehnică de reducere la calculul unei integrale Riemann:

Dacă funcţia R este continuă, atunci:

.

Pentru a calcula , folosim teorema anterioară:

.

În calculul integralei , considerăm variabilă şi constantă, aşa că:

111

Page 106: matematica farmacie craiova anul 1

,

şi astfel:

.

.

Într-un caz mai general, funcţia este definită pe o mulţime R2 , , de forma:

,

unde R sunt funcţii continue, sau de forma:

,

unde R sunt funcţii continue. De exemplu:

Pentru a defini cu ajutorul inegalităţilor mulţimea , limitată de

parabola şi de dreapta , desenăm cele două curbe:

112

Page 107: matematica farmacie craiova anul 1

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Ox

Oy

parabola y=x2+1 si dreapta y=6*x-4

Calculând abscisele intersecţiilor: , obţinem că , în timp ce

ordonata este cuprinsă între parabolă şi dreaptă, adică

. Astfel putem spune că:

În cazul mulţimii , limitată de parabola şi dreapta avem:

113

Page 108: matematica farmacie craiova anul 1

-1 0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Ox

Oy

parabola x=y2-1 si dreapta y=x-1

Calculăm ordonatele intersecţiilor: şi astfel

, în timp ce variază între parabolă şi dreaptă. Suntem în

măsura să caracterizăm mulţimea prin inegalităţi:

.

Dacă funcţiile R, sunt continue definim:

,

.

Să calculăm , dacă mulţimea este limitată de parabolele şi

.

114

Page 109: matematica farmacie craiova anul 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Ox

Oy

parabolele y=x2 si x=y2

Calculăm abscisele punctelor de intersecţie: ; aşadar , în

timp ce variază între parabola şi parabola , adică . Avem:

.

Să calculăm , dacă mulţimea este limitată de hiperbola şi dreapta

.

Calculăm punctele de intersecţie:

Să desenăm mulţimea :

115

Page 110: matematica farmacie craiova anul 1

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Ox

Oy

hiperbola y=1/x si dreapta x+3y=4

Se vede că şi şi avem:

Prezentăm câteva proprietăți ale integralei duble, proprietăți ce sunt generalizări ale proprietăților integralei Riemann:

Dacă funcţiile R, sunt continue, atunci:

,

116

Page 111: matematica farmacie craiova anul 1

, unde R.

(liniaritatea integralei duble)

Pentru funcția continuă R, , unde , avem:

Această proprietate, cunoscută sub numele de aditivitatea integralei duble, este utilă în calculul efectiv al integralelor. Cu puțin exerciţiu, vom învăţa să descompunem mulţimea în

submulţimi de tipul sau . Ideea este că, de exemplu, ordonata trebuie să se afle între două

curbe; dacă intervine şi a treia curbă, împărțim mulţimea , ducând o paralelă la axa , în acest caz, prin punctul de intersecţie. De exemplu:

Să calculăm , dacă mulţimea A este situată deasupra axei Ox şi limitată

de parabola şi de dreptele şi (prima şi a doua bisectoare).

Calculăm punctele de intersecţie ale bisectoarelor cu parabola:

,

,

.

117

Page 112: matematica farmacie craiova anul 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Ox

Oy

ramura pozitiva a parabolei x=y2-2, prima bisectoare si a doua bisectoare

Axa Oy va împărţi mulţimea în două mulţimi de tipul , pe care le definim prin următoarele inegalităţi:

,

.

Aplicăm aditivitatea integralei duble:

118

Page 113: matematica farmacie craiova anul 1

.

Numărul reprezintă volumul corpului situat deasupra mulţimii din planul

şi sub porţiunea de suprafaţă .

Să calculăm volumul corpului ce este situat sub suprafaţa şi deasupra

mulţimii din planul , mărginită de parabolele şi .

.

Desenăm porţiunea de suprafaţă:

-4-2

02

4

0

2

4

6

8-80

-60

-40

-20

0

20

Ox

multimea situata deasupra planului xOy, limitata de z=x2-y2

Oy

Oz

119

Page 114: matematica farmacie craiova anul 1

Abscisele punctelor de intersecţie ale parabolelor ce mărginesc mulţimea din planul

sunt soluţiile ecuaţiei , adică .

Vom desena mulţimea , pentru a putea stabili inegalitățile ce o definesc:

-3 -2 -1 0 1 2 3-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ox

Oy

multimea A din planul xOy limitata de parabolele y=x2 si y=8-x2

aşadar:

; ,

şi astfel:

.

120

Page 115: matematica farmacie craiova anul 1

A doua interpretare geometrică a integralei duble ne spune că reprezintă aria mulţimii

,.

Să calculăm aria mulţimii , care este limitată de parabola şi de dreapta

.

Determinăm punctele de intersecţie rezolvând ecuaţia

:

-2 -1 0 1 2 3 4 5-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Ox

Oy

parabola y=x2-4 sidreapta y=3*x

Mulţimea A este definită de inegalităţile: şi şi astfel:

121

Page 116: matematica farmacie craiova anul 1

Să calculăm aria mulţimii limitată de dreptele: , şi .

Pentru început calculăm punctele de intersecţie ale dreptelor:

,

,

.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Ox

Oy

multimea limitata de dreptele y=2*x+1, y=2-x si y=x

Mulţimea A va fi împărţită prin paralela la Oy în două submulţimi de tip :

,

,

122

Page 117: matematica farmacie craiova anul 1

.

Trebuie menţionat că tehnica învăţată de calcul al integralelor duble prin iterare nu este singura. Schimbarea de variabile în integrala dublă rezolvă în întregime problemele dar nu face obiectul acestei cărţi, necesitând cunoştinţe suplimentare de calcul diferenţial.

3.4 Exerciţii propuse

1.4. Calculaţi primitivele următoarelor funcţii:

- R;

- R;

- R (indicaţie );

- R;

- R.

5. Calculaţi primitivele următoarelor funcţii raţionale:

- ;

- ;

- ;

- .

123

Page 118: matematica farmacie craiova anul 1

6. Calculaţi primitivele următoarelor funcţii:

- ;

- R;

- .

2.

5. Fără a calcula integrala să se demonstreze că .

6. Calculaţi derivata funcţiei , în punctul .

7. Calculaţi următoarele integrale:

- ;

- ;

- ;

- ;

- .

8. Calculaţi următoarele integrale improprii:

- ;

- ;

-

124

Page 119: matematica farmacie craiova anul 1

- ;

3.4. Calculaţi următoarele integrale duble:

- ;

- unde A este limitată de parabola şi prima bisectoare;

- unde A este limitată de parabola şi dreapta .

5. Calculaţi volumul corpului ce este situat sub suprafaţa şi deasupra

mulţimii din planul , mărginită de parabola şi dreapta .

6. Calculaţi aria mulțimii A dacă:

- A situată în primul cadran ( este limitată de hiperbola echilateră

şi dreptele

- A situată la dreapta axei Oy ( este limitata de parabola si de

prima şi a doua bisectoare .

5. Programarea liniară

În Matematică, optimizarea înseamnă alegerea celui mai bun element dintr-o mulţime de variante posibile. În cazul cel mai simplu, aceasta înseamnă minimizarea sau maximizarea unei funcţii reale prin alegerea valorilor corespunzătoare din domeniul de definiţie. În general, înseamnă găsirea celei mai bune valori disponibile a unei funcţii obiectiv, fiind definit un domeniu de căutare.

Problemele de programare liniară sunt probleme de optimizare în care funcţia obiectiv şi restricţiile date sunt liniare. Este de menţionat faptul că soluţiile ce urmează a fi găsite sunt

125

Page 120: matematica farmacie craiova anul 1

numere reale. Programarea liniară este utilizată în rezolvarea problemelor de optimizare pe termen mediu şi lung, aşa numitele probleme strategice şi tactice.

Domeniile de aplicaţie sunt variate, atât din punct de vedere al naturii problemelor abordate (planificarea şi controlul producţiei, distribuţia produselor în reţele etc.), cât şi din punctul de vedere al sectoarelor industriale abordate.

Pentru a formula matematic o problema de programare liniară, să presupunem pentru simplitate ca având două variabile de decizie, avem de parcurs următoarele patru etape:

1. Identificarea variabilelor de decizie (acele variabile a căror valoare urmează a fi determinată) şi notarea lor cu şi (în cazul de faţă).

2. Identificarea mulţimii restricţiilor şi exprimarea acestora prin inegalităţi ce au ca termeni variabilele de decizie. Aceste restricţii sunt condiţiile iniţiale date.

3. Identificarea funcţiei obiectiv ca o aplicaţie liniară de variabilele de decizie.

4. Adăugarea condiţiilor de non-negativitate în cazul în care valorile negative ale variabilelor de decizie nu au o interpretare valabilă în realitate.

Un agricultor are H hectare de pământ arabil pe care poate produce grâu sau porumb. El are o cantitate E de îngrăşăminte şi I de insecticide. Grâul necesită E1 îngrăşăminte la hectar şi I1 insecticide la hectar, în timp ce porumbul necesită E2 îngrăşăminte la hectar, respectiv I2 insecticide la hectar.

Fie P1 preţul de vânzare al grâului şi P2 preţul de vânzare al porumbului. Numărul optim de hectare plantate cu grâu şi porumb, pentru a obţine cel mai mare venit

net, va fi exprimat ca o problemă de programare liniară, astfel:

- Numărul de hectare plantate cu grâu, respectiv cu porumb, notate cu şi , sunt variabilele de decizie ale problemei.

- Funcţia obiectiv este profitul net , cu condiţia:

maximizaţi (maximizaţi venitul net) cu următoarelerestricţii:

;

;

;

.

Generalizând, în cazul a n variabile de decizie: , funcţia obiectiv este o aplicaţie

liniară de forma:

126

Page 121: matematica farmacie craiova anul 1

Dacă putem găsi valorile variabilelor de decizie ce optimizează funcţia obiectiv, vom spune că aceste valori ale lui , reprezintă soluţia optimală a problemei de programare liniară.

Considerăm necesară prezentarea generală a unor aplicaţii tipice de programare liniară:

- O firma manufacturieră doreşte să-şi planifice producţia şi să dezvolte o politică de inventariere care să satisfacă viitoarele cerinţe de piaţă. Obiectivul este de a minimiza producţia totală şi costurile de inventar, satisfăcând complet cererea pieţei. Restricţiile sunt date de cerere şi de capacitatea de producţie. În particular, în cazul farmaceutic, o astfel de firmă este reprezentată de o firmă ce colectează şi valorifică diverse plante medicinale şi/sau medicamente naturiste (tip Plafar).

- Un analist financiar are de ales un portofoliu de investiţii dintr-o varietate de stocuri şi alternative de investiţii corespunzătoare. Problema constă în stabilirea portofoliului ce maximizează câştigul investiţiei. Restricţiile sunt determinate de venitul total alocat acestor investiţii şi de plafonul maxim al investiţiei într-un anumit domeniu.

- Un manager de marketing doreşte să aloce bugetul destinat publicităţii în diferite mijloace media: radio, televiziune, ziare, reviste, internet. El doreşte să găsească soluţia ce maximizează eficienţa publicităţii. Restricţiile sunt date de valoarea bugetului alocat publicităţii şi de disponibilitatea mijloacelor media. În particular, în cazul farmaceutic, o astfel de situaţie se regăseşte în cazul unui producător important de medicamente, privind partea de marketing.

- O companie are magazine de desfacere în mai multe oraşe din ţară. Ţinând seama de cererile locale, se încearcă stabilirea cantităţilor de produse ce vor fi expediate fiecărui magazin, astfel încât costurile totale de transport să fie minimizate. Restricţiile sunt date de cantitatea de produse furnizate fiecărui magazin. În particular, în cazul farmaceutic, o astfel de situaţie se regăseşte în cazul unei reţele de farmacii cu ramificaţii în toată ţara.

5.1. Programare liniară. Metoda grafică

În rezolvarea problemelor de programare liniară cu două variabile de decizie şi se aplică metoda grafică.

Mulţimea valorilor variabilelor şi , ce îndeplinesc condiţiile restricţiilor se numeşte mulţimea soluţiilor admisibile. Primul pas al metodei constă în determinarea acestei mulţimi:

În ipoteza că şi , ne vom situa în primul cadran al planului.

Restricţiile sunt de forma: sau ,

Vom desena apoi dreapta , dreaptă ce împarte planul în două

regiuni, şi . Dacă originea satisface restricţia dată, regiunea ce conţine originea va fi cea căutată.Intersecţia acestor regiuni este mulţimea soluţiilor admisibile.

127

Page 122: matematica farmacie craiova anul 1

Metoda de aflare a soluţiei optimale se bazează pe următoarea propoziţie:

Soluţia optimală a unei probleme de programare liniară, dacă există, se află în vârfurile (colţurile) mulţimii soluţiilor admisibile.

În terminologia programării liniare, aceste vârfuri se numesc puncte extreme ale mulţimii soluţiilor admisibile. Pasul următor constă în următorul algoritm:

1. Se reprezintă grafic mulţimea soluţiilor admisibile;

2. Se calculează coordonatele punctelor extreme ale acestei regiuni;

3. Se calculează valoarea funcţiei obiectiv în aceste puncte extreme;

4. Se identifică punctul extrem în care valoarea funcţiei este maximă, respectiv minimă, în funcţie de problemă;

5. Coordonatele acestui punct sunt valorile optimale.

Prezentăm un exemplu de problemă de programare liniară, ce maximizează funcţia obiectiv:

Firma X este specializată în fabricarea a două produse chimice A şi B. Profitul estimat la vânzarea unei tone din produsul A este 25$, în timp ce la vânzarea unei tone din produsul B profitul este 30$. Timpul (numărul de ore) necesar pentru producerea unei tone din produsul A, respectiv produsul B, în cele trei departamente de producţie este prezentat în tabelul următor:

Departamentul de producţie

Produs A(ore)

Produs B(ore)

I 1.50 3.00

II 2.00 1.00

III 0.25 0.25

Directorii departamentelor au estimat numărul de ore disponibile în fiecare departament luna viitoare, astfel:

- departamentul I: 450 ore;

- departamentul II: 350 ore;

- departamentul I: 50 ore.

Obiectivul firmei constă în maximizarea profitului total.

Pentru a construi modelul matematic asociat acestei probleme, vom nota cu numărul

de tone din produsul A şi cu numărul de tone din produsul B. Profitul total, pe care îl notăm cu , va fi:

128

Page 123: matematica farmacie craiova anul 1

Problema constă în alegerea variabilelor şi pentru care obţinem cel mai mare profit , în condiţiile date. În terminologia specifică programării liniare, şi sunt variabilele de decizie şi , care este funcţie de variabilele de decizie, este funcţia obiectiv.Scopul firmei X este să maximizeze funcţia obiectiv, adică să găsească valoarea:

.

Orice combinaţie a numărului de tone din produsul A şi a numărului tone din produsul B este considerată o soluţie a problemei. Soluţiile admisibile sunt acele soluţii care satisfac toate restricţiile. Soluţia admisibilă care duce la cel mai mare profit este soluţie optimală.

Firma X dispune de 450 ore în departamentul I, 350 ore în departamentul II şi 50 ore în departamentul III, şi astfel obţinem restricţiile:

;

;

;

Pentru început vom desena mulţimea soluţiilor admisibile, ţinând seama că originea satisface restricţiile impuse.

129

Page 124: matematica farmacie craiova anul 1

130

Page 125: matematica farmacie craiova anul 1

Vom desena dreptele ce reprezintă graficul funcţiei obiectiv pentru diferite valori ale lui . Una din aceste drepte are un singur punct comun cu mulţimea soluţiilor admisibile,

punct ce va produce soluţia optimală a problemei.

Rezolvând, rezultă că ecuaţia dreptei ce reprezintă profitul este dată de:

,

şi vom desena drepte de coeficient unghiular - .

Utilizând metoda grafică, obţinem că punctul optimal se află la intersecţia dreptelor:

,

.

Şi, prin rezolvarea sistemului, obţinem , .Astfel, prin producerea a 100 tone din produsul A şi a 100 tone din produsul B, se obţine un profit maxim de 5500$.

Firma X este interesată şi de timpii de producţie (în ore), care în acest caz sunt:131

Page 126: matematica farmacie craiova anul 1

- departamentul I:

- departamentul II::

- departamentul III:

Aceste calcule arată managerului că în departamentul II rămân 50 ore nefolosite, ore ce sunt de fapt timpi morţi.Uneori în problema de programare liniară se adaugă noi variabile corespunzătoare acestor timpi morţi, cunoscute în terminologia specializată că variabile de reducere (slack variables). Să precizăm că funcţia obiectiv nu se schimbă, deoarece aceste variabile nu contribuie la valoarea profitului, deci au coeficientul zero.

După introducerea acestor variabile, avem următorul model matematic:

Un model de programare liniară, ale cărui restricţii sunt egalităţi, este scris în forma standard.

Pentru soluţia optimală , , valorile variabilelor „slack” sunt:

.

În problema prezentată mai sus, mulţimea soluţiilor admisibile are două puncte extreme (vârfuri), care se află printre soluţiile sistemelor:

,

,

.

Din desenele prezentate, se observă că punctul nu aparţine mulţimii soluţiilor admisibile.

132

Page 127: matematica farmacie craiova anul 1

Formal, putem observa că soluţia optimală a unei probleme de programare liniară poate fi găsită în punctele extreme ale mulţimii soluţiilor admisibile. Astfel este suficient să calculăm şi să comparăm profitul în aceste puncte extreme pentru a afla soluţia optimală.

Calculând:

,

,

obţinem soluţia optimală , .

Vom exemplifica rezolvarea unei probleme de minimizare, utilizând metoda grafică:

O fabrică de produse chimice vinde două dintre produsele sale, ca materii prime pentru două companii ce produc săpunuri de baie. Bazându-se pe analiza inventarului curent şi pe potenţialele cereri pentru luna următoare, managerii au estimat că producţia combinată a produselor 1 şi 2 trebuie să fie de 350 tone. Pe de alta parte, un client important a comandat 125 tone din produsul 1.Produsul 1 necesită două ore timp de procesare pentru o tonă, în timp ce pentru o tonă din produsul 2 timpul de procesare este de o oră. Pentru luna următoare este disponibil un timp de procesare de 600 ore.Producţia unei tone din produsul 1 costă 2 Euro, în timp ce producţia unei tone din produsul 2 costă 3 Euro.Obiectivul managerilor este să satisfacă cererile cu un cost total de producţie minim.Variabilele de decizie sunt:

= numărul de tone fabricate din produsul 1;

= numărul de tone fabricate din produsul 2.

Funcţia obiectiv este minimizarea costului producţiei totale, adică aflarea:

.

Din datele problemei, vom scrie restricţiile impuse:

- pentru satisfacerea cererii clientului important, trebuie să fie cel puţin 125 tone, adică:

;

- producţia combinată a celor doua sortimente este cel puţin 350 tone, adică:

;

133

Page 128: matematica farmacie craiova anul 1

- capacitatea de producţie este de cel mult 600 ore, adică:

;

- în final, adăugăm restricţiile de non-negativitate sunt:

Având doar două variabile de decizie, se poate aplica metoda grafică. Vom desena pentru început mulţimea soluţiilor admisibile. Punctele de extrem ale acestei regiuni sunt:

(250,100); (125,225); (125,350).

Prezentăm valorile funcţiei în aceste puncte:

, , .

În concluzie, minimul funcţiei este obţinut în punctul (250,100), valoarea sa fiind 800.

Analiza completă a soluţiei costului minim arată că producţia dorită de 350 tone a fost obţinută utilizând timpul de producţie disponibil de: .

134

Page 129: matematica farmacie craiova anul 1

Restricţia ce defineşte cererea produsului 1 a fost satisfăcută cu tone, ceea ce înseamnă că a depăşit nivelul minim impus cu 125 tone. Această producţie excedentară este considerată în limbajul uzual al programării liniare ca fiind un surplus. Pentru a obţine o problemă de programare liniară standard, variabilele de surplus apar în funcţia obiectiv având coeficientul zero.

Inegalităţile ce definesc restricţiile le vom transforma în egalităţi adăugând variabilele de surplus cu semnul minus, în timp ce variabilele de reducere se adaugă cu semnul plus:

În concluzie:

- Restricţie de tipul necesită o variabilă ‚de reducere’;

- O restricţie de tipul necesită o variabilă ‚de surplus’.

Pentru rezolvarea unei probleme de programare liniară cu metoda grafică nu este necesară scrierea problemei în forma standard.

Ne vom ocupa în continuare de trei situaţii speciale ce pot apărea în rezolvarea unei probleme de programare liniară.

1. Soluţii optimale alternative

Considerăm cazul particular când graficul funcţiei obiectiv coincide cu una din dreptele ce constituie frontiera mulţimii soluţiilor admisibile. În acest caz există mai multe soluţii pentru optimizarea funcţiei obiectiv, aşa numitele soluţii optimale alternative.

În problema de maximizare a funcţiei obiectiv prezentată anterior, dacă vom considera că s-ar obţine acelaşi profit, să zicem 25$ atât la tona din produsul A cât şi la tona din produsul B, funcţia obiectiv va fi:

.

Cele două puncte extreme ale mulţimii soluţiilor admisibile sunt (100,100) şi (50,150) şi valoarea funcţiei obiectiv în aceste puncte este aceeaşi .

135

Page 130: matematica farmacie craiova anul 1

În plus, orice punct de pe dreapta cuprins între punctele (100,100) şi (50,150) este o soluţie optimală pentru funcţia obiectiv.O problemă de programare liniară cu soluţii optimale alternative este situaţia ideală pentru cel desemnat să ia deciziile deoarece îi oferă o largă gamă de soluţii optime.

2. Soluţii inexistente

În practică, apar probleme cu soluţii nerealizabile deoarece managerul firmei are pretenţii prea mari sau sunt impuse prea multe restricţii.

În cazul în care într-o problemă de programare liniară mulţimea soluţiilor admisibile este vidă spunem că nu există soluţii ale respectivei probleme.

Reluăm exemplul cu produsele A şi B adăugând noi cerinţe:

Presupunem că managerul a cerut fabricarea a cel puţin 160 de tone din produsul A şi cel puţin 100 de tone din produsul B.

136

Page 131: matematica farmacie craiova anul 1

În termenii acestei probleme inexistenţa soluţiilor poate fi astfel explicată factorilor de decizie:

„Având în vedere resursele existente, nu este posibilă producerea a cel puţin 160 de tone din produsul A şi cel puţin 100 de tone din produsul B.”

Pe de altă parte putem indica ce modificări trebuie aduse pentru a face posibilă producerea celor 160 de tone din produsul A şi 100 de tone din produsul B.

Departamentul Resurse minime necesare (ore)

Resurse existente (ore)

Resurse adiţionale necesare (ore)

I 450 90II 350 70III 50 15

În continuare, managerul va lua deciziile corecte pentru rezolvarea problemei. Analiza problemei de programare liniară este utilă pentru a face modificările necesare în scopul punerii în aplicare a planurilor.De reţinut că nu este cazul de a face schimbări în funcţia obiectiv.

137

Page 132: matematica farmacie craiova anul 1

5.2. Aplicaţii ale programării liniare

Vom prezenta în continuare câteva aplicaţii ale programării liniare

În marketing alegerea tipului de publicitate este o asemenea aplicaţie. Managerii care se ocupa de marketing, având la dispoziţie o sumă totală fixă pentru publicitate, trebuie să decidă ce variante publicitare aleg şi în ce proporţie: ziare, reviste, radio, televiziune, mail-uri personalizate etc. Funcţia obiectiv este reprezentată de maximizarea audienţei. Restricţiile sunt date de politica companiei, cerinţele contractelor şi disponibilitatea mijloacelor media. Vom prezenta un exemplu în acest sens, rezolvabil cu tehnicile de programare liniară:

Compania Y are în vedere construirea unui cartier rezidenţial pe malul unui lac. Aceasta se adresează familiilor cu venit peste mediu şi care locuiesc în regiunea respectivă. Compania a angajat o firmă Z care să se ocupe de campania publicitară a acestui proiect.

În urma analizării mediilor publicitare şi a pieţei ce urmează a fi acoperită, firma a recomandat ca în prima lună să fie utilizate 5 moduri de a face publicitate. La sfârşitul acestei luni, pe baza rezultatelor obţinute, se va reevalua strategia. Datele se referă la numărul de familii interesate de proiect, costul fiecărui tip de publicitate, timpul maxim de utilizare a fiecărui tip de publicitate şi rating-ul acestora.Aceste măsurători au luat în considerare profilul audienţei (vârstă, venit, educaţie etc.), imaginile prezentate şi calitatea publicităţii.

Mediul de publicitate Număr de potenţiali cumpărători

Cost/pe reclamă Timp maxim disponibil/pe lună

Unităţi de prezentare

tv/ziua 1min 1.000 1.500 Euro 15 65tv/seara 30sec 2.000 3.000 Euro 10 90ziar (o pagină) 1.500 400 Euro 25 40revistă săptămânală (1/2 pag. color)

2.500 2.500 Euro 4 60

radio ştirile ora 16 30sec 300 300 Euro 30 20

Firma Y are un buget pentru campania publicitară din prima lună de 30.000 Euro. În plus cere ca să fie folosite cel puţin 10 posturi tv, să aibă cel puţin 50.000 de potenţial cumpărători şi să nu se cheltuiască mai mult de 18.000 Euro pentru reclama televizată.

În aceste condiţii, ce plan de campanie publicitară va recomanda firma Z?

Variabilele de decizie sunt:

- numărul de timpi în care este utilizat tv/zi;

- numărul de timpi în care este utilizat tv/seara;

- numărul de timpi în care este utilizat ziarul;

- numărul de timpi în care este utilizată revista săptămânală;

138

Page 133: matematica farmacie craiova anul 1

- numărul de timpi în care este utilizat radio-ul.

Funcţia obiectiv constă în maximizarea timpilor de publicitate, adică estimarea:

Max { }.

Restricţiile sunt date de constrângerile impuse:timpii disponibili

Bugetul este dat de restricţia:

.

Restricţiile pentru reclama tv are restricţiile:

Soluţiile acestei probleme sunt prezentate mai jos:

Media Frecvenţă BugetTv/zi 10 15.000Ziar 25 10.000Ziar săptămânal 2 2.000Radio 30 3.000

Total 30.000

şi astfel obţinem:

- Total audienţă 61.500

- Unităţi de expunere 2.370

Să remarcăm aici că, fără mari modificări, putem aplica aceeaşi metodologie şi în cazul în care firma Y reprezintă un lanţ farmaceutic care vrea să-şi dezvolte noi sucursale într-o nouă

139

Page 134: matematica farmacie craiova anul 1

regiune şi are nevoie de marketingul aferent, sau un mare distribuitor de medicamente care își face reclamă pentru produsele din portofoliu.În finanţe, programarea liniară este aplicată în cazul selecţiei de portofolii, strategiilor mixte

ce implică alegerea mijloacelor de finanţare ale companiilor şi nu numai.

Selecţia de portofolii este situaţia în care managerul trebuie să aleagă investiţii specifice din mai multe variante posibile. Funcţia obiectiv este de obicei dată de maximizarea rentabilităţii estimate sau minimizarea riscului. Prezentăm un exemplu în acest sens:

Considerăm cazul unei companii americane, de fonduri mutuale, care a obţinut 100.000$ din vânzarea unor acţiuni şi caută oportunităţi de investire a acestor bani. Analiştii financiari recomandă investiţii în industria petrolieră sau a oţelului şi în obligaţiuni guvernamentale. Investiţiile şi ratele de rentabilitate sunt prezentate în tabelul următor:

Investiţia Rate de rentabilitate prognozate (%)Atlantic Oil 7.3Pacific Oil 10.3Midwest Steel 6.4Huber Steel 7.5Obligaţiuni guvernamentale 4.5

Compania a impus următoarele linii directoare în investiţii:

- Nu se vor investi mai mult de 50.000$ în niciuna dintre industrii;

- Obligaţiunile guvernamentale trebuie să reprezinte cel puţin 25% din investiţiile în industria oţelului;

- Investiţiile în Pacific Oil care au cea mai bună rată de rentabilitate, dar prezintă risc înalt, să nu depăşească 60% din totalul investiţiilor în industria petrolieră.

Compania este interesată de maximizarea rentabilităţii estimate în condiţiile restrictive prezentate mai sus.

Modelul matematic în acest caz este de asemenea o problemă de programare liniară:Notăm:

- dolari investiţi în Atlantic Oil;

- dolari investiţi în Pacific Oil;

- dolari investiţi în Midwest Steel;

- dolari investiţi în Huber Steel;

- dolari investiţi în obligaţiuni guvernamentale.

Utilizând ratele de rentabilitate prezentate anterior funcţia obiectiv va fi dată de:

.

(fonduri disponibile);

140

Page 135: matematica farmacie craiova anul 1

(maximum în industria petrolieră);

(maximum în industria oţelului);

(minimum de obligaţiuni guvernamentale);

(restricţii pentru Pacific Oil);

.

Prin rezolvarea acestei probleme s-au obţinut următoarele rezultate:

Investiţia Valoare ($)

Rentabilitate estimată ($)

Atlantic Oil 20.000 1.460Pacific Oil 30.000 3.090Huber Steel 40.000 3.000Obligaţiuni guvernamentale 10.000 450

100.000 8.000

Repartizarea forţei de muncă este o problemă serioasă ce apare când managerul este obligat să facă modificări de personal, pentru o anume perioadă de timp. De cele mai multe ori personalul dovedeşte flexibilitate şi poate fi repartizat la alt departament al firmei, managerul fiind interesat de cea mai bună alocare a forţei de muncă în cadrul acesteia.

Compania X fabrică două produse cu un profit pe unitate de 10 $, respectiv 9 $. Cerinţele de forţa de muncă pe unitatea de produs şi numărul total de ore de lucru disponibile ale personalului din cele patru departamente sunt prezentate în următorul tabel:

Departament Nr. de ore necesare pe unitate de produs 1

Nr. de ore necesare pe unitate de produs 2

Număr total de ore disponibile

1 0.65 0.95 6.5002 0.45 0.85 6.0003 1.00 0.70 7.0004 0.15 0.30

Considerând următoarele variabile de decizie:

- numărul de unităţi din produsul 1,

- numărul de unităţi din produsul 2,

putem formula următoarea problemă de programare liniară:

141

Page 136: matematica farmacie craiova anul 1

Soluţia optimală este de 5.744 unităţi din primul produs, 1.795 unităţi din al doilea produs, ceea ce duce la un profit maxim de 73.590 $. În acest caz departamentele 3 şi 4 vor produce la capacitate maximă în timp ce departamentul 1 rămâne cu 1.062 ore de muncă nefolosite şi departamentul 2 cu 1.890 ore de muncă nefolosite. Estimăm că profitul total ar creşte daca forţa de muncă ar fi redistribuită şi orele de muncă neîntrebuinţate ar fi transferate la departamentele ce lucrează la întreaga capacitate.

Să presupunem că se pot face transferări ale angajaţilor între anumite departamente ţinând cont de competenţe şi specificul muncii, conform tabelului următor:

Din dept.

Posibil la dept1

Posibil la dept.2

Posibil la dept.3

Posibil la dept.4

Maximum de ore transferabile

1 - da da - 4002 - - da da 8003 - - - da 1004 da da - - 200

De exemplu, din linia 1 observăm că anumiţi angajaţi din departamentul 1 au competenţele necesare pentru a putea fi transferaţi în departamentele 2 şi 3. Ultima coloană arată maximum de ore ce por fi transferate din departamentul 1 (400).Când forţa de muncă, datorită competenţelor sale, este flexibilă, nu putem spune imediat câte ore de muncă pot fi atribuite sau transferate în fiecare departament. În acest scop, vom introduce următoarele variabile de decizie pentru modelul de programare liniară:

- este numărul de ore alocate fiecărui departament i pentru i=1, 2, 3, 4.

- este numărul de ore transferat de la departamentul i la departamentul j.

Restricţiile relative la capacitatea de lucru în departamente devin:

;

;

;

.

142

Page 137: matematica farmacie craiova anul 1

Deoarece sunt variabile de decizie, primele patru restricţii ale problemei de programare liniară sunt:

Pentru a determina forţa de muncă alocată, va trebui să ţinem seama de numărul orelor de muncă iniţial alocate fiecărui departament, plus numărul de ore transferate departamentului, minus numărul orelor ce vor fi transferate din departament altui departament. Spre exemplu:

numărul de ore iniţial existent în dept.1 + numărul de ore transferate în dept.1 -

- numărul de ore transferate din dept.1

Astfel, ţinând seama de numărul de ore iniţial disponibile şi de situaţia prezentată în ultimul tabel, putem scrie:

,

Adică:

.

Restricţii asemănătoare vom considera şi pentru următoarele departamente:

;

;

.

Numărul de ore de muncă transferabile este limitat, şi astfel este necesar impunerea unor restricţii referitoare la capacitatea de transfer:

;

;

;

143

Page 138: matematica farmacie craiova anul 1

.

Modelul acesta de programare liniară are două variabile referitoare la numărul de unităţi fabricate din fiecare produs: , patru variabile referitoare la numărul de ore de

muncă alocate fiecărui departament , şi şapte variabile de transfer:

. În total sunt 12 restricţii.Soluţiile problemei propuse sunt următoarele. Profitul firmei poate creşte la 84.011$ folosind transferul forţei de muncă. Soluţia optimală de 6.825 unităţi din produsul 1 şi 1.751 unităţi din produsul 2 se obţine dacă:

ore sunt transferate de la dept. 1 la dept. 3

ore sunt transferate de la dept. 2 la dept. 3

ore sunt transferate de la dept. 2 la dept. 4

ore sunt transferate de la dept. 3 la dept. 4

În felul acesta vom avea:

Departamentul Număr de ore de muncă efectuate1 6.1002 5.2003 8.0514 1.549

Acest model de programare liniară atribuie lucrătorii şi numărul de ore de muncă în cea mai profitabilă variantă.

5.3. Metoda simplex

Metoda grafică poate fi folosită doar în cazul a două variabile de decizie şi, în general, problemele de programare liniară au mai mult de două variabile de decizie. Alternativa este o procedură algebrică, aşa numita metodă simplex. Nu ne vom ocupa de aspectele teoretice legate de această metodă, ci doar de algoritmul său de aplicare.

Pentru început vom studia o problemă de maximizare ale cărei restricţii sunt de tipul „mai mic, egal” şi, pentru o mai bună înţelegere a metodei, vom lucra pe un caz concret.

Primul pas constă în formularea modelului de programare liniară şi adăugarea variabilelor de reducere (slack) pentru obţinerea formei standard.

Am ales problema prezentată în primul paragraf, rezolvată deja prin metoda grafică, al cărei model de programare liniară este următorul:

;

144

Page 139: matematica farmacie craiova anul 1

;

;

;

Forma standard a problemei se obţine prin adăugarea variabilelor de reducere:

Max:

Avem de rezolvat un sistem de 3 ecuaţii cu 5 necunoscute, ceea ce înseamnă de cele mai multe ori obţinerea unei infinităţi de soluţii. Metoda simplex este o metodă algebrică care găseşte cea mai bună soluţie în acest caz. Natural, soluţiile care sunt negative sunt eliminate.

În general, forma standard a problemei are n variabile (variabilele de decizie, variabilele de reducere, variabilele de surplus) şi m ecuaţii liniare, . Vom determina o soluţie de bază, egalând ( ) variabile cu zero şi rezolvând sistemul de m ecuaţii (restricţiile problemei) şi m necunoscute. Sistemul este unic determinat datorită introducerii variabilelor de reducere.

Este necesară construirea unui tablou simplex iniţial, pentru care vom adopta următoarele notaţii:

- coeficientul variabilei j în funcţia obiectiv;

- valoarea din membrul drept al celei de a i-a restricţii;

- coeficientul asociat variabilei j în a i-a restricţie.

145

Page 140: matematica farmacie craiova anul 1

Uzual, se notează şi .

Pentru problema de programare liniară din exemplul prezentat, tabloul simplex iniţial va fi:

Uneori punem în evidenţă şi variabilele ai căror coeficienţi apar în tabel, astfel:

Este uşor de identificat soluţia de bază admisibilă:

- Coloanele corespunzătoare variabilelor de bază au singura componentă nenulă egală cu unitatea. Aceste coloane poartă numele de coloane unitare sau vectori unitari.

- Linia din tabel care are 1 în coloana unitate corespunzătoare unei variabile de bază este asociată acestei variabile.

- Valoarea variabilei de bază este dată de , valoarea liniei asociată variabilei principală.

146

Page 141: matematica farmacie craiova anul 1

În exemplul ce-l studiem linia 3 din tabelul simplex este asociată cu variabila de bază , şi avem:

.

Linia 2 este asociată variabilei , şi avem:

.

Pentru îmbunătăţirea soluţiei iniţiale de bază admisibile vom genera o nouă soluţie admisibilă (punct de extrem), care va conduce la o valoare mai bună a funcţiei obiectiv. Astfel, vom modifica mulţimea variabilelor de bază în modul următor:

1. Vom adăuga două coloane noi tabloului simplex iniţial:

- coloana Baza ce are drept componente variabilele principale;- coloana care are drept componente coeficienţii variabilelor principale din funcţia obiectiv.

În exemplul nostru vom avea:

Baza

2. Vom adăuga tabelului obţinut două linii noi:

- reprezintă valoarea funcţiei obiectiv pentru ; este suma produselor elementelor din coloana cu elementele corespunzătoare din coloana j a matricei;

- este valoarea schimbării funcţiei obiectiv.

3. Vom alege dintre variabilele secundare pe aceea căreia îi corespunde cea mai mare valoare din linia , şi aceasta va constitui coloana pivot.

4. Vom alege ca linie pivot linia căreia îi corespunde cea mai mică valoare , unde

j este coloana pivot. Linia pivot corespunde variabilei principale care va fi înlocuită. Elementul aflat la intersecţia liniei pivot cu coloana pivot se numeşte elementul pivot.

În exemplul nostru vom avea:

147

Page 142: matematica farmacie craiova anul 1

şi

şi

şi

şi

şi

Baza

0profit

În ultima coloană, pe linia lui , am calculat profitul asociat valorii variabilelor principale:

.

Evaluând situaţia, observăm că o tonă din produsul A face să crească valoarea

profitului cu 25, în timp ce o tonă din produsul B creşte profitul cu 30. Deoarece

contribuţia variabilei la creşterea profitului este mai mare, vom introduce pe ca variabilă în bază.

Baza

0profit

A doua coloană a matricei A (cea corespunzătoare variabilei ) este coloana pivot,

prima linie este linia pivot şi este elementul pivot.

148

Page 143: matematica farmacie craiova anul 1

În general, se efectuează câteva calcule elementare pentru a transforma coloana variabilei ce intră în bază într-o coloană unitară ce are componenta 1 în locul elementului pivot. Tabloul simplex va fi astfel transformat încât să fie un sistem echivalent de ecuaţii cu cel iniţial:

- împărţim fiecare element din linia pivot prin elementul pivot;

- obţinem zerouri pentru toate celelalte componente ale coloanei pivot adunând sau scăzând un multiplu potrivit a noii linii pivot.

După efectuarea acestor operaţii, valoarea noii soluţii principale apare în coloana b a tabelului.

În exemplul nostru, înmulţim linia pivot cu şi astfel vom obţine ecuaţia echivalentă:

.

Coeficienţii acestei ecuaţii constituie noua linie pivot.Pentru a egala cu zero componenta lui de pe linia 2, vom scădea linia pivot din linia 2, obţinând astfel ecuaţia echivalentă:

.

Avem astfel un nou tablou simplex:

Baza

Tabloul este corespunzător următorului sistem de ecuaţii:

149

Page 144: matematica farmacie craiova anul 1

Presupunând că variabilele secundare şi sunt nule, vom avea

, profitul obţinut fiind:

.

În concluzie, iniţial soluţia de bază era: , cu profitul corespunzător egal cu zero.După o iteraţie a metodei simplex, avem o nouă soluţie de bază:

, profitul fiind 4500.

Vom continua cu o nouă iteraţie, având de calculat în acest scop şi .

Baza

4.500profit

Se observă că noua variabilă de bază va fi şi că va părăsi baza, elementul pivot

fiind . Vom face calculele necesare pentru a transforma pe într-un vector

unitar, cu a treia componentă egală cu unitatea:

- multiplicăm fiecare element al liniei pivot cu 8;

- multiplicăm noua linie pivot cu şi o scădem din linia 1 pentru a obţine

150

Page 145: matematica farmacie craiova anul 1

- multiplicăm noua linie pivot cu şi scădem rezultatul din linia 2 pentru a

obţine

Noul tablou simplex este următorul:

Baza

5.500profit

Soluţia optimală a unei probleme de programare liniară este atinsă dacă elementele liniei sunt nule sau negative.

În exemplul nostru am obţinut soluţia optimală: , caz în care se atinge profitul maxim de 5.500$.

O fabrică produce trei tipuri de parchet A, B, C, producere constând în trei operaţii de bază. Tabelul următor prezintă numărul orelor necesare fiecărei operaţii pe unitatea de produs, numărul orelor disponibile şi profitul pe unitatea de produs. Obiectivul fabricii constă în maximizarea profitului total.

Tipul de parchet Operaţia I(ore)

Operaţia II(ore)

Operaţia III(ore)

Profit/unitate

A 2 2 4 40$B 5 5 2 30$C 10 3 2 20$Timp disponibil 900 400 600

Avem în acest caz trei variabile de decizie:

- -numărul de unităţi de tip A

- -numărul de unităţi de tip B

- -numărul de unităţi de tip C.

Modelul matematic aferent este prezentat mai jos:

151

Page 146: matematica farmacie craiova anul 1

;

;

;

;

.

Forma standard a problemei se obţine prin adăugarea variabilelor de reducere:

Prezentăm tabloul simplex iniţial:

Baza

0profit

Se observă că va fi noua variabila de bază care va înlocui pe ; linia a 3-a este linia pivot şi prima coloană este coloana pivot.După prima iterare tabloul simplex va fi următorul:

Baza

6.000profit

152

Page 147: matematica farmacie craiova anul 1

va fi noua variabila de bază care va înlocui pe ; linia a 2-a este linia pivot şi a doua coloană este coloana pivot.După a doua iteraţie avem următorul tablou simplex:

Baza

6.250profit

Elementele liniei fiind nule sau negative este atinsă soluţia optimală a problemei, dată de:

; ; , profitul maxim fiind 6250.Am rezolvat un anumit tip de problemă de programare liniară, în care restricţiile sunt de

tipul:

.

În problemele reale apar atât acest tip de restricţii cât şi restricţii/inegalităţi de tipul mai mare, egal, adică:

.

Pentru restricţiile adăugăm o variabilă de reducere pentru a obţine o restricţie de tip egalitate. Coeficienţii variabilelor de reducere din funcţia obiectiv sunt zero.

Pentru restricţiile scădem variabilele surplus pentru a obţine o restricţie de tip egalitate, variabile de coeficient zero în funcţia obiectiv. Pentru a obţine forma tablou, se adaugă variabilele artificiale, al căror coeficient în funcţia obiectiv este (– ), unde este un număr pozitiv de valoare cât mai mare. Variabilele artificiale intră în soluţia iniţială de bază, admisibilă.

Vom prezenta două exemple de astfel de probleme, rezolvate în detaliu, cu comentariile teoretice necesare:

Firma X importă componente electronice pentru asamblarea a două modele diferite de computere: XT Deskpro Computer şi XT Portable Computer, fiind interesată în dezvoltarea unui program de producţie săptămânală a celor două modele. XT Deskpro generează un profit de 50$ pentru o unitate de produs în timp ce XT Portable generează un profit de 40$. Pentru săptămâna următoare sunt disponibile cel mult 150 ore pentru asamblare. Fiecare unitate de XT Deskpro necesită un timp de asamblare de 3 ore, în timp ce o unitate de XT Portable necesită 5 ore pentru asamblare.

153

Page 148: matematica farmacie craiova anul 1

Firma are în inventar display-uri doar pentru 20 de unităţi de XT Portable, ceea ce înseamnă că pot fi asamblate maxim 20 de computere de acest tip. În depozit sunt disponibili 300m2 pentru noua producţie, pentru producerea unui Deskpro fiind necesari 8m2 din depozit şi pentru un Portable doar 5m2.Managementul firmei doreşte ca producţia totală pentru ambele modele să fie de minim 25 de unităţi şi să se obţină profit maxim.

Primul pas constă în formularea modelului de programare liniară:

Avem două variabile de decizie:

- -numărul de unităţi de Deskpro

- -numărul de unităţi de Portable.

Modelul matematic este următorul:

Max: ;

(timpul de asamblare);

( display pentru Portable);

(capacitatea depozitului);

producţia totala minimă);

.

Forma standard a problemei se obţine prin adăugarea variabilelor de reducere şi a celei de surplus:

Max:

Avem un sistem de patru ecuaţii cu şase necunoscute. Dacă am presupune pentru început am obţine , ceea ce ar contrazice condiţiile de

pozitivitate a problemei.

154

Page 149: matematica farmacie craiova anul 1

Problema constă în faptul că în acest caz reprezentarea în forma standard şi reprezentarea în forma tablou nu sunt echivalente.

Vom folosi un artificiu matematic ce ne va permite să găsim soluţia de bază admisibilă formată din variabilele de reducere şi noi variabile artificiale . Aceste variabile se numesc artificiale deoarece nu au nicio legătură cu problema iniţială de programare liniară, fiind utilizate doar pentru a putea demara metoda simplex.

În exemplul pe care-l studiem, soluţia de bază admisibilă este formată din variabilele de reducere şinoua variabilă artificială , care este introdusă în a 4-a ecuaţie. Obţinem astfel reprezentarea sistemului de ecuaţii în forma tablou:

Putem găsi o soluţie de bază admisibilă considerând , şi astfel soluţia completă ar fi:

.

Să reţinem că această soluţie admisibilă pentru forma tablou a problemei de programare liniară nu este întotdeauna o soluţie admisibilă pentru problema reală. Situaţia nu este atât de complicată precum pare, deoarece avem nevoie de o soluţie admisibilă pentru problema reală doar în ultima iteraţie a algoritmului simplex. Aşadar, dacă reuşim să eliminăm variabilele artificiale din soluţia de bază, înainte de obţinerea soluţiei optimale, problema este rezolvată.

În acest scop, vom atribui fiecărei variabile artificiale un coeficient negativ foarte mare în valoare absolută, în funcţia obiectiv şi astfel prezenţa unei variabile artificiale în soluţia de bază duce la o valoare substanţial mai mică a funcţiei obiectiv, ceea ce determină eliminarea variabilei din soluţia de bază.

Revenind la aplicaţia studiată considerăm un număr foarte mare, notat M , şi funcţia obiectiv:

Max { }

Tabloul simplex iniţial va fi:

Baza

155

Page 150: matematica farmacie craiova anul 1

-25Mprofit

Deoarece este valoarea cea mai mare de pe linia , prima coloană

va fi coloana pivot. Calculând , obţinem că linia a 4-a este linia pivot şi astfel va

înlocui în soluţia de bază variabila artificială . Obţinem următorul tablou, după prima iteraţie:

Baza

1.250profit

Variabilele artificiale sunt necesare pentru stabilirea soluţiei de bază admisibile, şi după ce au fost eliminate din soluţia de bază pot fi scoase din tabloul simplex. Iteraţiile necesare pentru eliminarea variabilelor artificiale alcătuiesc prima fază a metodei simplex. Prima fază se încheie odată cu eliminarea tuturor variabilelor artificiale şi obţinerea unei soluţii de bază pentru problema reală.

În exemplul nostru, prin eliminarea coloanei corespunzătoare variabilei artificiale , obţinem următorul tablou simplex la încheierea primei faze:

Baza

1.250profit

156

Page 151: matematica farmacie craiova anul 1

Coloana corespunzătoare lui este coloana pivot şi linia corespunzătoare lui este

linia pivot, ceea ce înseamnă că va înlocui în soluţia de bază. Tabloul simplex devine:

Baza

1.875profit

Coloana pivot este coloana corespunzătoare lui în timp ce linia pivot este linia

corespunzătoare lui , variabila înlocuind în soluţia de baza variabila .

Baza

1.980profit

Criteriul de optimalitate fiind îndeplinit, , şi variabila artificială fiind

eliminată, am obţinut soluţia optimă: , profitul fiind de 1980.

Dacă una sau mai multe variabile artificiale rămân în soluţia de bază când este îndeplinit criteriul de optimalitate, atunci problema nu are soluţii admisibile.

Să modificam puţin problema studiată la începutul paragrafului, şi anume problema referitoare la fabrica ce produce trei tipuri de parchet. Managementul firmei impune producţia a cel puţin 20 de unităţi din parchetul de tip C, menţinând celelalte date şi cerinţe neschimbate.

Modelul matematic al problemei de programare liniară este:

;

;

157

Page 152: matematica farmacie craiova anul 1

;

;

;

,

unde este numărul de unităţi de tip A, numărul de unităţi de tip B şi numărul de unităţi de tip C.Forma standard a problemei se obţine prin adăugarea variabilelor de reducere şi a variabilei surplus:

Pentru a putea scrie forma tablou este necesară introducerea variabilei artificiale , al cărei coeficient în funcţia obiectiv este ( ), cu M număr strict pozitiv foarte mare, în a 4-a ecuaţie.

Putem găsi o soluţie de bază admisibilă considerând , şi astfel

soluţia completă ar fi: .

Avem următorul tablou simplex:

Baza

158

Page 153: matematica farmacie craiova anul 1

-20Mprofit

Deoarece am ales un număr foarte mare, putem afirma că cea mai mare valoare

de pe linia este şi astfel coloana corespunzătoare lui este coloana pivot.

Calculând , obţinem linia pivot ca fiind linia corespunzătoare variabilei artificiale

. Variabila va înlocui variabila artificială şi astfel am încheiat faza întâi a

metodei. În noul tablou simplex vom elimina coloana corespunzătoare lui .

Baza

400profit

Variabila va înlocui variabila de reducere în soluţia de bază, şi astfel obţinem următorul tablou:

Baza

6.000profit

Variabila va înlocui variabila de reducere în soluţia de bază, şi astfel obţinem următorul tablou:

159

Page 154: matematica farmacie craiova anul 1

Baza

6150profit

În concluzie, planificarea producerii a 137.5 unităţi de parchet de tipul A, a 15 unităţi de parchet de tipul B şi a 20 unităţi de parchet de tipul C va asigura obţinerea profitului maxim de 6.150$, cu respectarea tuturor restricţiilor impuse de situaţia reală.

În cazul unei restricţii sub forma unei egalităţi, adăugăm o variabilă artificială pentru obţinerea formei tablou, al cărei coeficient în funcţia obiectiv este (– ), unde este un număr pozitiv de valoare cât mai mare. Variabila artificială intră în soluţia iniţială de bază, admisibilă.

Problema minimizării unei funcţii obiectiv într-o problemă de programare liniară poate fi

transformată într-o problemă de maximizare prin înmulţirea funcţiei cu -1. Prin rezolvarea acestei noi probleme vom găsi soluţia optimă pentru problema de minimizare.

Reluăm problema de minimizare din primul paragraf şi prezentăm modelul matematic mai jos.

Funcţia obiectiv este minimizarea costului producţiei totale:

,

unde este numărul de tone fabricate din produsul 1 şi numărul de tone fabricate din produsul 2.

Din datele problemei, vom scrie restricţiile impuse:

(cererea pentru primul produs);

(producţia totală);

(capacitatea de producţie);

.

Această problemă se transformă în următoarea problemă de aflarea maximului unei funcţii obiectiv, problemă ce o vom rezolva cu algoritmul simplex:

;

;

160

Page 155: matematica farmacie craiova anul 1

;

;

.

Prezentăm forma tablou a problemei:

Baza

-475Mprofit

În prima iteraţie este adus în bază prin eliminarea variabilei artificiale . În

continuare, putem elimina coloana corespunzătoare lui .

Baza

-250-225Mprofit

va înlocui în bază pe şi avem următorul tabel simplex:

Baza

161

Page 156: matematica farmacie craiova anul 1

-600-50Mprofit

va înlocui în bază variabila artificială , ceea ce ne permite eliminarea coloanei

corespunzătoare variabilei :

Baza

-800profit

Prin fabricarea a 250 t din primul produsul 1 şi a 100 t din al doilea produs se va obţine un cost minim de 800$.

În final, vom discuta în câteva cuvinte despre soluţiile inexistente ale unei probleme de programare liniară. Este situaţia în care nu există soluţii care să satisfacă toate restricţiile problemei. La metoda grafică nu exista mulţimea soluţiilor admisibile.

În cazul problemelor de programare liniară în care toate restricţiile sunt de forma:

există întotdeauna soluţii.În rest, în cazul metodei simplex, dacă în soluţia finală au mai rămas variabile artificiale,

rezultă inexistenţa soluţiilor.În primul paragraf am amintit de soluţiile alternative optimale, care pot fi recunoscute la

metoda grafică deoarece funcţia obiectiv este paralelă cu o dreaptă ce este imaginea unei anumite restricţii.

În cazul în care lucrăm cu metoda simplex, apariţia valorii zero pe linia în dreptul cel puţin a uneia din variabilele ce nu fac parte din bază indică soluţii alternative optimale.

162