Anton NEGRILAMaria NEGRILA

Solufllle testelor de autoevaluarepot fl consultate la adresa:

http://www.ed itu rapa ra lela45. roldown load/sol utii-teste-de-autoeval uare

-consolidare-clasaT-sem2 -201 7,rar

rlgrbrfrummfirl0

0lffirfiuFnmnoa a !l-aedifia a V-a, revizuittr

€upninr

ar,.epnniOnpifolul L CALEUI, AI,GEBBIC ,........",,,,,,....,..s

I . Adunarea gi sclderea numerelor reale reprezentate prin litere ,..............................,.,.,,,52, fnmullirea gi imp[r]irea numerelor reale reprezentate prin litere ...,,,,,,,.....,...,............103. Ridicuea la putere cu exponent numlr natural a numerelor

reale reprezentate prin litere .,,,,,..,.. ........,.......15Recapitularc Ai sistematizare prin teste.......,.... .,..........,,.........18Test de autoevaluare ,...........,,.,...,.,,214, Fonnule de caleulprcscurtat ,......235, Metode de descompunere in factori i..,,,..!!....-.... ,,.,..,..."..,..27

1.5.1. Metoda factorului comun,...,.,.. .....,.,,,.,",281.5.2. Descompunerea ln factori folosind formulele de calcul prescurtat.,.........,........31

1.5.3. Metode combinate de descompunere in factori ....,....34Recapitulare gi sistematizare prin teste ....,.....". .,..,,...........,"....38Probleme de matematicE aplieat6 in viala cotidian6.,... ........,,.40Test de autaevaluare .......................41

Fepifnlul II, REpOt Y'AB&A P€UATIPI I -= nr 0 E Q 43

Probleme de matematic6 aplicatb ln viala cotidian6..... ...,,,,,...47Reeapitulare qi sistematizare prin teste .""......,., .,,,..,....".....,.....48

Fepifolul IIL pcu TII 8I PBOAI,EMp CARS 8p R$&ApYA CU.{JUTOBpI,spuATIII,O8...........,.. ..,.........,.....,., s0l. Ecualii de gradul I cu o nceunoscut6....,..... ,....,,..,...............50

3. I . I . Bchivalenla ecualiilor .,...........,., .,,.........5 1

3.1.2. EcuaJii de gradul I cu o neeunoscutE. Ecuafii reductibile la ecualiide gradul I cu o necunoscut6 .."...,51

3.1.3. Relalia de egalitate ln mullimea numerelor reale. Propriet[fi.,...........,.,,...........512. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecuatiilor..... ,....,........58Probleme de matematicd aplicat[ tn viafa cotidian[..... ...........61Recapitulare gi sistematizare prin teste ,....,,,.,., ............,........,.62Test de autoevaluare .......................65

Capltolul IY, INPCUATII RP FORMAev+ h> 0 (<r $ ))' &l e Rqi* enfu*g),. ....,,.,67

Probleme de matematic6 aplicat[ in via]a cotidian[..,.. .....,.....73Recapitulare qi sistematizare prin teste ..,..,..,... ........,.,...,..."....73Test de autoevaluare ri,.,.,.......,.rii. ,,,.....,..,.,.,.......75

Cnpltnl*l V, ELEIIENTE nE OBGAXI&ABE A DATETOR ,..,,,.,.. ....,,11l. Prsdusul eartezian a dou4 mul{irni nevide. Reprezentarea punetelor in planeu ajutorul sistemului de axe ortogonale, Distanta dintre douE puncte din plan ,,,,.,..,".....172. Dependenla funefionalE. Reprezentarea pi interpretarea unordependenfe funefionale prin tabele, diagrame gi grafice ...,..,.,833, Probabilitbfi, Probabilitatea realizlrii unor evenimente .,.,..86

Recapitulare gi sisternatizare prin teste ............ .......................88

Probleme de matematicd aplicati in viala cotidian6..... ..'........90Test de autoevaluare ....................".91

CEOMETRIECAPitOIUI I. RELATII METRICE iU TruUUCHIUL DBEPTUNGUIC............ ......,,93

Probleme de matematici aplicat6 in viala cotidian5..... .........100

Recapitulare qi sistematizare prin teste ............ .........'........".101Test de autoevaluare .....................103

Capitolul II. NOTIUNI DE TRIGQNOMETRIE................. ...................105

Probleme de matematicd aplicat6 in viala cotidian6..... ......'..1 l0Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .....................111

Capitolul III. ARIA TRIUNGHIULUI .............113

Capitolul Iv. ARIA PATRULATPREIOR .....119

Probleme de matemati cd" aplicatd in viala cotidian6..... ..'..'...124Recapitulare qi sistematizare prin teste ............ .............'.......125

Test de autoevaluare ,....................127

Capitolul Y. CERCUL ....................1295.1. Poziliile relative ale unei drepte fa!6 de un cerc .........130

5.2. Lungimea cercului 9i aria discului................... ...........131

Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .....................137

Capitolul YI. POLIGQANE BEGUTATP .......138

6.1. Poligoane regulate .'..'.......'.1386.2.Lafrxa gi apotema unui poligon regulat lnscris in cerc ......"........'..1396.3. Aria unui poligon regulat......... ...............139

Test de autoevaluare .....................141

RECAPITULABE $I EVALUARP FINAPAExerpifii li prqhleme rppepitttlqtive Fpnfru pyeluerpe final[.......... ........150

ALGEBRA ............150

GEOMETRrE................. ...........156

Modele de teste pentfu evaluaree final{ .......... .....................160

TNDTCATII $I RASPUNSURI...... ........... 16s

&flgebr&

Capitolul Iffialsul algebrie

{-:l.

ffi T. Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentatelitere

*, Produsul dintre un num[r real gi o sumd algebric[ se efectueazb inmulfind acel numdr cu

fiecare termen al sumei, respectdnd regula semnelor la inmul{ire, dup5 care se adunS noiitermeni.

ci Produsul dintre doui sume algebrice se efectueaz5 inmullind fiecare termen al primei

sume cu fiecare termen at celei de-a doua qi insumdnd noii termeni astfel oblinuli.$:.!iqi1 iE]lu; (x - y)(a + b - c) = xq * xb - xc - ya * yb + yc.

e Termenii de forma cf,unde c, numit coeficientul termenului, reprezint[ un num5r, iarfpartea literald a termenului, este formati din numere reprezentate prin litere, eventual, cu

diverqi exponenli, ii numim termeni asemenea dacd p6rfile lor literale sunt identice, iar

adunarea lor se numeqte reducerea termenilor asemenea.

Efectuali: (8a - 5a) + (6a - 13a\ = 3a + (-7a) = -4a,

Efectuali reducerea termenilor asemeneal

-5s + 2a2- 8a + 7az + 18a - 5b - llaz + 9b =

= (2 + 7 - l1)a2 + (-5 - 8 + I 8)a + (-6 + 9)b - 2a2 + 5a + 3b.

Efectuali calculele gi reduceli termenii aselnenea:

3(2x - 5y) * 2(x - 3y) + 4(-3x + 2y) = 6x - lly - 2x + 6y - l2x + 8l = -8'x - /'

prin

:$

(,IHHoovto\)ti.9{-oEq).t-(,

=_-

ffi* {-nr*',;rr*f *n{r s;re* if ice

ldentificarea unor reguli de calcul numeric sau algebric pentru simplificarea

unor calcule

Utilizarea operatriilor cu numere reale 5i a propriettrlilor acestora in

rezolvarea unor ecualii gi a unor inecualii

Aplicarea regulilor de calcul gi folosirea parantezelor in efectuarea

operaliilor cu numere reale

Proprieti[ile adunirii:1. Asociativitatea: (x + y)t z=x+ O + z),oricarearfrx,y,z e IR.

2. Comutativitatea: x + y=y *x, oricare arfix,y e IR.

3. Element neutru - cifra zeroi x * 0 = 0 + x = x,oricare ar fi x e R..

4. Suma oricdror numere opuse.r qi -x este egald cu zero; x + (-r) = -x * x = 0, oricarear fix e IR.

O sumi algebrici este o sumS in care unele numere reale sunt reprezentate prin litere.Termenii asemenea ai unei sume algebrice sunt acei termeni in care apar aceleagi litereridicate la aceleagi puteri.

a O I octivitdti de ?nvdfore t t f

1. Precizali coeficienlii numerelor reale reprezentate prinalgebrice:

a) 4a + 8b:, b) 3ab * 5a + 5b;7Ar

d) -ix -1y *1*y; e) -2.,1-lx+a"fsy -tJ-zz.'49'22r Scrieli opusul fieciruia dintre urmdtorii termeni:

litere din urmitoarele sume

c) l5a - 9ob - 8l;

c) 5.r + llx - l2x + 7x;f) 242 - l3z - 7z + 92.

a)-&a; b)0,1?*r3; Q 4Jia2; d) $\ab; d 4J-2x:

f)-o'*: g)0,6abc; D -9*'y' ; D 1aF .5' ',83. Reduceli termenii asemenea:

a) 4a - 9a;d)7b-3b;

b) 6a + 4a - l2a;e) l4z - 16z + 2z;

oIH

1{

oovtc,Grd.9{-oEq)

o

=

6

4' Reduceti termenii asemenea:a)4a+5a-9a+l4a; b) l5x -4x+ (8x-5x)- lOx;c)(l1y+ l3y-6y)-(32y-23y); d)-8a + 6a-5a+ (l\a-3a+ 5a)*4a.

S. Efectuali calculele reduc6nd termenii asemenea:a) 0,7a + 0,9a- 0,8a * 2,8x -3,2x; b) 2,5x - l,1x + (4x -2x) - (0,2x-x) - 0,6x;c)4,2a+ (1,65a+ 4,35a)+ t,8a; d)0,7x- (1,5.r -0,7x+0,2x)+ 1,3x.

6, Efectuali:a) (l 8a - 13a) + (l6a -24a); b) (-l5a + 26a) + (-29a + tOa);c) (3x+ 7x- l2x)-(l5x -2tx); d)-5x2 + lgx2 -23x2 +3x2 -7x2;e) (Jx + 13x - 9x) + (-lbc + I 8x - 9x); D (a x + 2tx) + (-t 9x - 6x).

7. Ufectuali reducerea termenilor asemenea:

a) -l3x - l5y + 9x * (l9x + 3y - l}x) + 7y;b) (sx-- 8y) - (1 tx + 3y) - (-t3x - 5y);c) (4xz - 3y + 2x) - @x + 6y - sx21 - 1o* - 7y - 3x);d) (3a + 4b - 2c) + (-5a - 6b + 4c) - (4a _ 7 b _ 5c);e) (5-r - 3a + 2b) - (4x - 5a + 6b) - (7 a - 6x - 5b).

8. Efectuati:a\ 7x2 + llx2 - l3x2 - l6x2 + l8x2;bl 2x3 + 5x3 - I 2x3 + l5x3 + (19x3 _ 27x3)"

"i -gr' + l4a2 + (r2a2 + 5a2) - (-8o' + 2la2);d) (19x2 -7x2 - l5x2) - (24x2 _ gxz).

9. Efectuati:a) 0,4i -^0,3a2 + Q.,6a2 - 1^,8o' ! ,') - q4,7a2 -"3,9a21;b) *10,5x, + 9.75x' -2,45x" * (x" -0,4x" -0,8x':,.j ro.zsb' - 1.25b3 + +.5b3't - (12,8b3 + 3,2b3 - l9b3);diS it,l o' *' + 3,7 a2 x2) - (5 d a2 x2 - 2,1 a2 x2 - 0,7 az x2) - r' *' .

10, Efectuali:a\ 2a2b + 6abz - 4a2b + 9ab2 + 5a2b - l7ab2;uj 1sx2 + 6xy) + Qf - 4xy) - 1zi + sf - 6xy) + (tx2 - sf);ct 0a + 4b\ - Bb + 4a + 7\ - (8a - 5b - l2):oi ir sr' + 4ab - tu\ - @; + 6ab + 7 b\ - (tza2 + 5ab - l3b2).

{ l. Efectuati:

a; 8rf3a + D'[-3 a - t s^13 a + 3Ji a - 25.,11 a ;

g 9J-zx + fi J-2 x* I 8J_2r + sJ 2x - t0J-2x ;

g aJ-5 a - 7 J-s a + t 4.,[-5 a - g "[-s

a + 2J-5 a ;

d) 5Gx - AJ-6x + tgJ-6x - zlJ-ax+ 8Gx .

b) 16x -23x+ ...+ 6x = 18x;

d)4 - 5x2+...+18x2=0;

{ 3. Efectuali calculele qi reduceti termenii asemenea:

a) 2(3a - 4b) - 3(a - 2b) + 4(-2a + 3b);b) 4(3x + 2y) - s(21 * 3y) + 3(ax - sY); .c) -3(x' -2) + 6(x' - l) - 4(x' + 3) + 2(x' - 4);

d) 3(sx - 2y) - 5(2x + y) + 2(-3x - 4y) - 4(-x - 3y);

e) 3(4a+ 5b) * 5(2a + 3fi - aQa + 4b) + 2(-a * 2b).

{4. Calcula}i:a) 2(3a + 9b - 7 c) - 3(4a + 5b + 9c) - 5(a + 2b - 8c);

b) 3(5x - 2y + 5z) * 5(4x + 3y - 2z) - 6(2x - 4y + 6z).

{5. Calculali:

il aQf - 3x + 4) - 3(3xz - 4x - 2) + 2(x2 - 2x - l0);b) 5(3x2 - 5x + 6) - 4(5x2 - 6x + 7) - 3e* + 2x -2);c) 6(-xz - 3x + 5) - 7(.2x2 - 4x + 6) + 5(5x2 + 2x - l).

{ 6. Desfaceli parantezele gi reduce}i termenii asemenea:

a) 8x2 - 6x + g -3Qx2 *x - 7\ + 2(5xz -2x - l4);b) 3Q;1 - 3t- 4x + 5y) : aQt - 4y' - 2x + y) + 6l-x2 - r? - 2x - 2y);

c) 5(3xr +2v'-2x\-2k'+ 4v'-3x\+31-3*" -Ztf -4x):il tix' - try - zi)* o(-,] i xy + 4ll- 3(3x1 i 4xy + 2y2);

e) 6(2a' + 3ab + b') - 3(2a" + 2ab - 3b") + 51-r" - 2ab - 4b').

12. Scrie{i in spaliul punctat termenul corespunz[tor oblinerii unei propozi{ii adevdrate:

a) 18x - l6x +... + 5x = 24x)

c) 10a + 14a - ... + lZa = l5a;e) llxy * 1xy - ... - \xy = 2IxY.

oIHt{o(,uoUrd(,IoEq).Fo€

{7. Calcula}i:

U #.+ + t,(6)x -0,4x-x; b) str-+r-2,(3)a-t*r*#r,

") :, + 0,(3)a2 -l-ir +t,oa'); il z,GV - r,(4)*2 + 3,7* + l-0,ex2 + r,2xz).

10, Calculali:

,) [,. t')-e.,o).(+ - +),6 z1 ,' -(o.sr' - ' \ -' s" \ ' ' rit

)+lr'q" + o'(6)Y] -o'2Y' ;

c1 10, (t )a- o, 1o;a] + [0, 1o;a - 0, (s)6] - (;, - *t),a1 lz,1t1x - 1,(3)y]+ [0,1e;x - 0,(6)y] - (5x - 4y) .

19. Calculali:

,l (0..6 - +Ji) "

+ (t Ji - zJl), - (nJ, - tJz), + sJ-za ;

uy (0.6 - Jn). * (Jn - sS), - (rfr5 - +Jros), ;

.y (:Jx + Jaz)ou - J-noo+ (:..6 + Jn)oo - zJniat ;

a1 +J-a*' +(:Jiso -Jil)*' +(zJrm -zJts)*, +rrf:x, -3J-6*, .

80'Se consider6numerele: A=3x-2+ l, B =6* Sx-8a2 gi C= 13 - 1lx+J62.Calculali:

a)A+B-C; b)A-B+2C; c)A+B+C;d)zA+(28*3Q; e)-2A+(:.8-C); DQA*38)+(28-30+ gC-3A).

8'l q Dac[ 4x + 5y = 17 $i 5x + 4y = 15, calculali:a) 8x + 8y;

d) 8x + lOy;b) 4x -4y;e) 2x + 7y;

c) 10x+ 8y;

f) *lx -Zy.

?Hl{oC'v!ctU)ct.9ctEq)

el

=

83, Desfaceli parantezele gi reducefi termenii ascmenea:

a) 8.r2 - 3(2i.* x - 7) + 2(x *5x2+ 81 * 4e - 2x + 9);

b) 3(Zi - lf + 6xy) - 4(3x2 + 4y2 + Sxy) * z(2^* + xy * 3y2);

c; : (€x' - 2J 2x- +r) - s (1J5r' + 3,11 - 7 y) * z(2,[:t x, + t JT, x 4 y) ;

d) €x'-.fg*' +sJ-2x3 +4rl-3x2 -..fta"r' -Jfr,x, .

8Q' Calculali:

"t JI (,trs. - z,fz y + t Jl) - zJ z (s ^0,

x - 3 J'z y - s Jl) ;u) Jis ( z.f3 r' - 3 J-z *+ sO

) - J n (tJi *' - z,l3 * + +Jl) ;

.,*[,[+.,[+).{,8, W)24. Scriefi in spafiul punctat termenul corespunz6tor (sau termenii corespunzitori) ob!i-

nerii unei propozilii adevirate:a)l* -gi*iSf ... = l2a+5f; D7*v+9i -3x+ ..-!w-4* =2xz +5*v;

c)4x+ 18r- 13 + ...=-6x; 9)+x- 7xy'-9x^+5pt' * "' = 0'

25, Scrieli numdrul I = (* - ll + rh - Qi + 4f - 15) - $; + f) *sumi de doud pdtrate.

26i Efectuali:

/r;\_b) G,[dso .lri)-sxJ6 Jz,6):

c1 : (z$x - z.,ft y - a) - z(JTo.- Jroav - r o) .

2?. Calculali:

(o ea\ (t lo \(z+a 12a\") [5, - A )* [JF,

* 17,,-l.ffi -ffi.J'

ur (so -#),.(via.#), (# .h)u

, [,8 - E)..[,8 - ff}.[.FE).', (Ju . +)" - (.as . #), . ('m . #)" - p'tt, - lnso + JT-n") .

29. Calculati:a) -3a + 5a - 8a + l3a - lla + 4a;

b) (2a + 3\ - @a - 5b) - (-3a + 4b);

.l (-+.'6 +il2), -(sJl - zJi),*(-S + +Jl)o ;

a; (:.,6 -JO)-*(J* -Jn\.-(rJu -Jio8),;

d 4$2a - sJn, + zJ-qao -tJlo .

(,IHHoouo6

lqi.9FE'Eq){.o€

4 x'r(z-..6)28. Calculafi:

3O. Calculafi:

o,@1f -or@uf *,b),#-2l5f *r*r@-f ,

.) ,fr-l-rf *-rFrof --F-tl-ry -e-3tx;d) 7x -7y, dacl3x + 5y = l6 $i 5x + 3y =)!.

3{, a) Determina}i valoarea lui a pentru care numIrul I s6 fie natural, unde:

n=o@*,,ffiJ-,@ur

este un pfttrat perfect.

@[{tGE

35. Dac[ a 9i D sunt dou[ numere lntregi pentru "u, ;ftV-;|.*= 6-16, arlta]i cl

numdrul , =?o-?b- este un numdr natural.' 3a-2b

? @ 2. lnmultirea gi imptrrfirea numerelor realereprezentate prin litere

INMULTIREA. Pentru a efectua lnmulfirea a dou[ numere reprezentate prin literefolosim proprietfiile de comutativitate gi asociativitate ale opeialiei de inmulfire anumerelor reale gi, de la calculul cu puteri, fsrmula: e* , an = a^*n,

Exemple:

1. (8a) . (-6a3) * 48aai z. (2ax2 ) (in r). ?2a,c' y') = -sao xo yo I

l-{F{

t,Evtc,\J

:gElEot

CI

E

-t2r-J3)

b) se considerr numrrur , =(#, - *")- (#, - h,).6 , a *0, Determinaii a,

astfel lncdt n sdfie cel mai mic num[r nahrral posibil.

c) Fiea,6 e IR, astfellncat Jffi+"[ffi, = 0. Ar[tati edE =6a+3b-g

32, Determinali numerele ralionale a gi D, astfel lncdt Jla + 2a - zJlo * 2b = -l .

33. Fie a, b, c e lR, astfel lncdt 'fffiffi1 +JZo-A +Jtu-Zb+7c = 0. Calculativaloarea expresiei 5 = (3a + 5b + l4c)20r3.

34. se dd, E(x)=?-**: pentru x e lR - {-l}. Dac[ a gi b sunt dour numere ralionale5x+r L SJ

penfu careE(a)'(5a+T+ bJi =,,16, calculativaloarea fuin=(r6a+23b)2b1,undefr e N.

10

t. (-Aaxv) (-**)' (ail = *7 a' x2 v' .