Nicolae Sanda

Adeta Cotut Valer Pop

Matematici- exerci[ii 9i probleme -

pentru clasa a Vl-a

4Booklet

CUPRINS

Teste iniliale................ ......................7

ALGEBRA

Capitolul I. Numere naturale

1. Operafii cu numere naturale ............ 11

2. Reguli de calcul cu puteri.... ............143. *Pdtrate perfecte. Cuburi perfecte (Extindere) .......................174. Ultima cifrl a unei puteri ................ 18

Teste de evaluare ..........205. Divizor. Multiplu ..........216. Criterii de divizibilitate........... ........237. Numere prime. Numere compuse ......................268. Descompunerea numerelor naturale in produs de puteri de

numere prime......... .......289. ProprietSli ale relaliei de divizibilitate in N............... ...........3010. Divizori comuni. Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c).....................3211. Multipli comuni a doud sau a mai multor numere naturale

Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) ... ... . .. ...........3412. Probleme care se rezolvd folosind divi2ibilitatea.....................................3713. Probleme cu caracter practic. Numere naturale...... ...............39

Teste de evaluare ..........40

Capitolul II. Mul{imea numerelor ra{ionale pozitive

l. Fracfii echivalente. Frac{ie ireductibilS ..............412. Forme de scriere a unui numdr ralional ............443. *M6rirea

sau micqorarea unei fraclii de un numir de ori (Extindere) ......474. *Compararea fracliilor (Extindere) .....................475. Adunarea numerelor ralionale pozitive ..............496. Sclderea numerelor ralionale pozitive ...............527 . inmullirea numerelor ralionale pozitive .............548. Aflarea unei fraclii dintr-un numdr........ .............569. Ridicarea la putere. Reguli de calcul cu puteri .....................5710. impirfirea numerelor ralionale pozitive .............61il. *Aflarea

unui numir cdnd se cunoaqte o fracfie din el (Extindere) ..........6412. Ordinea efectuirii operaliilor cu numere ralionale pozitive. ....................6613. Media aritmeticS ponderati a unor numere ralionale pozitive ................. 6811. Ecualii in mulfimea numerelor ralionale pozitive .................7215. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecualiilor ....................75

Matematicd pentru clasa a VI-a. Exercilii qi probleme s&

16. Probleme cu caracter practic

Mullimea numerelor ralionale pozitive ..............78

Teste de evaluare ......-...79

Capitolul III. Rapoarte Ei propor{ii

1. Raport ..'.....81

2. Procente .....84

3. Proporlii. Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporlie....................87

4. Proporlii derivate..... ..... 89

5. Mdrimi proporfionale. Regula de trei simpld .....92

6. *Regula de trei compusd (Extindere) '.........'.....'.96

7. $ir de rapoarte ega1e..,....... .......".....98

8. *Alte rapoarte folosite in practicd (Extindere). '..'.'.............' 101

9. Elemente de organizare a datelor .......'..'.......'.. 102

10. Probabiiita1i................. ............'..... 106

11. Probleme cu caracter practic. Rapoarte qi proporlii ...'.'...... 108

Teste de evaluare .......' 110

Capitolul IV. Numere intregi

1. Mullimea numerelor intregi. Opusul unui numdr intreg

Reprezentarea pe axi a numerelor intregi ........112

2. Modulul sau valoarea absoluti a unui numSr intreg

Compararea qi ordonarea numerelor intregi ..'.. 115

3. *Reprezentarea unui punct avAnd coordonate numere intregi,

intr-un sistem de axe perpendiculare (Extindere).'.......... .... 118

4. Adunarea numerelor intregi. Proprietdli '..'.'.....1205. Sumd a1gebric6............ ....'............. 123

6. Sc6derea numerelor intregi........ ....125

7. inmullirea numerelor intregi. Mullimea multiplilor unui numir intreg.. 128

8. impdrlirea numerelor intregi. Mullimea divizorilor unui numdr intreg..l329. Puterea unui numir intreg cu exponent numdr natural

Reguli de calcul cu puteri.... ..'....... 136

10. Ordinea efectu6rii operaliilor qi folosirea parante2elor...................."'... 138

11. Ecua{ii in mullimea numerelor intregi........ '.....14012. Inecuafii in mullimea numerelor intregi ...........142

13. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecualiilor Ei al inecua[iilot..........144Teste de evaluare ........146

.&.III cuprins!r

GEOMETRIE

Capitolul I. Dreapta

1. Punct. DreaptS. P1an........... ........... 1502. Semidreapt6. Segment. Semiplan .....................1553. Poziliile relative a doud drepte........ .................1574. Distanla dintre doud puncte. Lungimea unui segment........................... 159

5. Segmente congruente. Mijlocul unui segment

Simetricul unui punct fa\d de un punct ............1626. Probleme cu caracter practic. Dreapta...... ........166

Teste de evaluare ........167

Capitolul II. Unghiuri

1. Unghiul. Mdsurarea unghiurilor. Clasificare. Unghiuri congruente........1692. Calcule cu misuri de unghiuri .......1753. Unghiuri suplementare. Unghiuri complementare.......... .....1774. Unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghi. ....1795. Unghiuri opuse la v4rf............ ....... 181

6. Unghiuri formate in jurul unui punct ............... 183

7. Probleme cu caracter practic. Unghiuri ............ 186

Teste de evaluare ........187

Capitolul III. Congruen{a triunghiurilor

1. Triunghiul. Clasificarea triunghiurilor. Perimetrul triunghiului..............1892. Construclia triunghiurilor............... ..................1923. Congruenla triunghiurilor oarecare. ..................1944. Metoda triunghiurilor congruente............... ......1995. Probleme cu caracter practic. Congruenla triunghiurilor.......................202

Teste de evaluare ........203

Capitolul IV. Perpendicularitate

l. Drepte perpendiculare. Distan{a de la un punct la o dreapt[. Oblice.....2042. indllimea in triunghi. Aria unui triunghi ..........2073. Congruenla triunghiurilor dreptunghice ........... ...................2114. Mediatoarea unui segment. Construclia mediatoarei unui segment cu

rigla qi compasul. Proprietatea punctelor de pe mediatoarea

unui segment. Concurenla mediatoarelor laturilor unui triunghi............2145. Simetria fa!5 de o dreapt6.... ..........2166. Proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi

Construclia bisectoarei unui unghi cu rigla qi compasulConcurenta bisectoarelor unghiurilor unui triunghi...... .......218Teste de evaluare ........220

Matematicd pentru clasa a VI-a. Exercilii Ei probleme &

Capitolul V. Paralelism

l. Unghiuri determinate de dou6 drepte cu o secant5.........'...'..................222

2. Drepte paralele. Axioma paralelelor

Construclia unei drepte paralele cu o dreaptd datd.-....... .....225

3. Criterii de para1e1ism............... ......229

4. *Paralele intersectate de alte paralele

Linia mijlocie a triunghiului (Extindere).......... ...................231

Teste de evaluare '.......234

Capitolul VI. Proprietl(i ale triunghiurilor

l. Suma mdsurilor unghiurilor unui triunghiUnghi exterior unui triunghi................. ............236

2. Medianele unui triunghi................. ..................240

3. Proprietdlile triunghiului isoscel........ ...'...........242

4. ProprietSlile triunghiului echilateral.. ...............245

5. ProprietSlile triunghiutui dreptunghic ...............248

6. -Relafii intre laturile qi unghiurile unui triunghi (Extindere) .................251

7 . Probleme cu caracter practic. Propriet6li ale triunghiurilor "....... ..........253

Teste de evaluare ........257

Subiecte pentru tez6. Semestrul I.......... ...........259

Subiecte pentru tez6. Semestrul a1 Il-lea.......... ................-..261

Probleme pentru pregltirea concursurilorAlgebrd ....263

Geometrie ...................264

Rdspunsuri ...............'.270

Ccop,i*.cp

ALGEBRA

Capitolul f. Numere naturale

1. Opera(ii cu numere naturale

\ota{ii: Se noteaz[ cu N : {0, 1,2, ..., n, ...) mul}imea numerelor naturale,iar cu N- : {1, 2, ..., fr,...} mullimea numerelor naturale nenule.

observa{ia 1: Pe N operafiile de adunare qi inmullire sunt intotcleauna definite,adicS:

(Y) a, beN = a+DeN gi aDeN.

observa(ia 2: Scdderea qi impl(irea nu sunt intotdeauna definite pe N, adicd:(Y) a, beN = a-beN e a> b qi

a:beN e b * 0 qi restul imp[(irii lui ala 6 este 0.

.{flim: Ridicarea la putere este o operalie derivatl pe N.

Clasificare: Operaliile se clasificd astfel:1. Adunarea qi sc6derea sunt operafii de ordinul I.2. inmullirea qi impdrlirea sunt operalii de ordinul IL3. Ridicarea la putere este operalie de ordinul III.

Reguls: Ordinea efectudrii operaliilor: mai intdi se efectueazd operaliile deordinul III, apoi cele de ordinul II qi apoi cele de ordinul I.

observa{ia 3: Dacd un exerciliu con{ine numai operalii de acelagi ordin, ele se

efeciteazd in ordinea scrierii lor (de la stdnga spre dreapta)

Observatia 4: DacE un exerciliu confine pi paranteze, int6i se efeciteazdparantezelerotunde (mici), apoi parantezele drepte (mari) qi, in final, parantezeleacolade.

Teorema impir(irii cu rest(Y) o, be N; 6 + 0, existd numerele naturale unice q qi r (c6t si rest),astfel inc6t a: bq-rr, r < b.

Matematicd pentru clasa a VI-a. Exercitii ;i nrobleme &

I. Calculafi, respect6nd ordinea operaliilor:

a) 240' 15 -1240c) 13500:25-28'10

e) 275:52+35'22-122

2. Efectuali:a) 7 + 15'1362+ 15'(24+ 48:4)l;

b) 37 '42+231:ll

d) 52.23 +236:22-132

t) 360720:3:23 +2580-43 '52

b) 132s+ {250 : 5 + 15 :3' [265 -(144 :72+2)' 6s]' 150];

c) {t(7' 3-s)+ 3' 4) :22 +5}' l0- l(4 + 32)' 5 -601;d) 1 + 17' {25 :B -142+ 8' (200 : 5 -72 :2))' 0} - 67 ;

e) (3 + 6 + 9 + ... + 369) - (2 + 4 + 6 + ... + 246).

!r. Aflali numdrul natural cel mai apropiat de numdrul 5362, carc la impdrfirea cu

37 dd restul 5.

4. Afla1i cel mai mare num6r natural, care la imparlirea cu 47 dd ca"J.u] 376.

li. Verifi cali egal italile:a) 172-n?: 07 + 13X17-13);b) 1 53 -123 : (15- 12X152 + 122 + 15' l2);c) (162- 16' 9+ 9)(16+9) : 163 +93;

d) 242 +24.(19 + 13) + 19' 13 : (24+ 19)Qa+ 13);

e) (12 +21)2 : 122+2'12'21+212;

D 272 -2.27 . 16+ t62 : (27 -1q2.6. Determinali num6rul natural x, care verific[ relalia:

a) [(x - 5)'2 + 14]:2+70 : 2t; b) {[(x+3):a]+8]'5 - 12 : 38;

c)20:{[3'(x-6)+20]:8]+5:10;d)10-{29+l(3'x+4)-sl:s-8}:11:8'7. Suma a doud numere naturale nenule este 53. imp64ind numdrul mai mare la

numarul mai mic, oblinem c6tul 9 qi restul 3. Aflafi cele douS numere.

t. Diferenla a doud numere naturale nenule este 65. impdrlind numdrul mai mare

la numarul mai mic, oblinem catul 8 qi restul 2. Aflali cele dou6 numere.

9. Suma a doud numere naturale nenule este 15. Aflali cea mai micd qi cea mai

mare valoare a produsului 1or.

10. Produsul a doui numere naturale distincte este egal cu 36. Aflali cea mai mic[qi cea mai mare valoare a sumei dintre cele doud numere'

lI. Media aritmeticd a dou[ numere naturale este egalS cu 14. Aflali cele doud

numere, qtiind c5 unul dintre ele este triplul celuilalt num[r'

& canltorul I. Numere naturale

h

!2.Dacd a, b, ceN gi a+Zb-3c:23 iar 2a+b+6c: 61, calculali valoareaexpresiei a'l b -t c .

13. Calculati 3a+5b+4ctl, dacd a+b : 12 $i b+Zc:7.l4.Dacd a*b*c: 15 qi m:8, calculali valoarea expresiei ma*mb*mc.I!f. Diferenla a doud numere naturale este egalS ct 72, iar unul dintre numere

este triplul celuilalt. Calculali produsul celor doud numere.

16. Numdrul elevilor unei clase este 27 . Ardtali cd existd cel pulin trei elevi,dintre cei27, ndsculi in aceeaqi lun6.

IJ. Calculali suma cifrelor num5rului 10r20-120.

IE. Calculafi suma cifrelor numirului 7 . 536 .23e * l.19. Aflali numdrul natural x, d,acd 3'+ 63 : 122.

20. Cristian qi tatdl sf,u au suma vdrstelor egald cu 28 de ani. Peste 16 ani, tatdlva avea vdrsta egal6 cu dublul vArstei fiului sdu. Aflafi v6rsta lui Cristian.

2I. Teodora are 5 ani, iar mama ei are 24 de ani. Peste cAti ani vdrsta mamei vafl egald cu dublul vArstei Teodorei?

22. Afla[i suma tuturor numerelor naturale de doud cifre care au proprietatea cd:

a) Cifra zecilor este cu 2 mai mare dec6t cifra unitdlilor;b) Cifra unit[lilor este triplul cifrei zecilor;

c) Suma cifrelor care formeazd numdrul este egalf, cu 12.

23. Fie N: 1 '2 '3'...'n+2017 cu n 2 5. Aflali restul impdr.tirii numdrului N la 120.

24. Afl4i restul impdr{irii numdrului:

a) A : 2'+7 '2'*3 la ll;b) B:3'+20.3"+2La25c) C : 7n+2 + l0'7"*1 la 17 .

25. Determinali numIrul r care veriflcd relaliile:

a) 2* +2r' t + ...+2'*s : 252;

b) 3'+3'*r+... +3r+J : 364.

***26. Determinali numerele de forma ab. a + D. gtiind c1t ab ba: frr, te N.

27. Restul impdrlirii a dou6 numere este 95, iar imp[rlitorul, avand dou6 cifre,este dublul c6tului. Sd se determine cele doud numere.

2E. Care este cifra unitdlilor numdrului a, dacd re N, zz 2 4 qia: n(n-3)(n-2)(n- 1)(r+ l) +2013?

Matematicd pentru clasa a VI-a. Exercitii Si Orobleme &

Proprietifi:

Exemple:

2. Reguli de calcul cu Puteri

f . inmullirea puterilor care au aceeaqibazl

a^'a': a**n; 4€N*, lz, ne N'

2. tmpir{irea puterilor care au aceeaqi bazd

a^:a'-at-', a€N*, rnrn€N, m)-n'

3. Puterea unei puteri (smln - ,m'n' 4€N*, rn, re N'

4. Puterea unui produs (a'b'c)' : an'bn'cn; a, b, c,€N* ' reN'

5. Puterea unui c6t (a:b)" : a';b"; 4, b,€N*, n e N"

6. pentru compararea a dou6 puteri cl baze diferite qi exponen[i

diferili,r"udrr"puterilefielaaceeaqibazd,fielaacelaqiexponent'

i) Comparali numerele 4tr qi 8rr.' R: 4ie :(21'e =232 iar 8rr = (23)11 :233. Cum 232 <233,

rezuJtl 416 < 811.

lz) Demonstrafi c5 num6ru1 n: f +28+31+...+91 nu este patrat

perfect.-R: Se aratd cd ultima cifri a lui n este 7 qi, deci' n nu poate fi

pdtrat Perfect.iiz) ifla1i restul impnrfirii num6rului a: (2''3n)' 5n+2n+t '7 '15"+2'39,

la 17.R: Avem: a : (2 . 3n1. 5" * 2"+ r . 7' 15" + 2' 30n : 30'' (1 + 14 + 2)

:17'30".Seobserv[ciasedividecltlT,rez:ultdcSrestuleste 0.

f. Ce proprietate aplicali pentru a calcula?

a) 23'24;

c) 4''42; neN;e) ao.ao'ao'ao, aeN*;

g) 44'42'40'41 '4;

1)7''7'+ l'7'*2; n eN;

k) 9e . 9e .9e .9e .9e;

m) (rz+ l)2'(n+ 1)3'(r+ 1)7; reN;

b) 5r.53'50;

d) 2.21 .22'23'2a'2s;

0 3.3.3.3'3'3'3'3h) 6''6e '613'

j) 10. lt . 12. .... 12014'

D 2'22'23 ' ...'22014'

n) (a+b)"'(a+b)b; a, be N*.

& "urno'ul I' Numere naturale

2. Scrieli ca o singurl putere:

a) (24)'; b) (126)0;

d) (320)?; e) (523;s'

g) (112) s'7123;

3. Ce regul5 aplicali pentru

a) (2.5)6;

d) (zo ' 32;o'

g) (22'23 '27)3'

4. Efectuali, folosind

a) 28:23;

d) 92s:90;

g) 312:92

5. Sd se calculeze:

a) (27)3:(22),0;

d) 3z'3e:(32)8;

6. Efectuafi:

a) (23)8 -(2a)6;

d) 2t2:12tY'

7. Calculali:

a) 4tt .317 - 1217.

d\ 3,-z .2n '2. 6n,2.

h) (3,)s.(3\n.3*.

a calcula mai uqor?

b) (sr.3 .8)o;

e) (24.3a)6:68;

h) (422 ' 4+7s.

propriet6file invlfate:

b) lg2zors ' 1022014'

e) 1242: l22s :126;_1

h) 25-:2t;

b) (3t)':(3'7)2;

e) 2s '2t'2:(26)2;

b) 1Sslo-15t2;+'

e) 324 13+2'

516.316_ 1512. l5a;

l5not :5n+1 . 3n.

b)25s qi32tt;

e) 233 qi 322;

h) 27e qi 9'7;

c) (1u) 20;

0 [(8')']';i) 1Zta1z.

c) (2s '7s1+'

f) (2. .33.53)2.

c) 421:421;

f) 53 :125;

i) 8e:4a.

c) (54)e: (53)'1;

f) 74'73:7'7s:(721s

c) (3+)t*9to'

D 7rr':(7tz1to.

c) 724.326 *(2113)2.

D 45,*, ' 9n+3 . 5n+t.

c) 3ta qi 221;

0 4t6 $i glr.

i) l6s qi 87.

b)

e)

t. Calcula{i, scriind rezultatul

a) 64e' 87 : (4s1:' 2 : l6a;

c) 25e . (S+1t . 6252 : (7253)2;

t. Comparali numerele:

a) 2e2 si Jss'

d) 2r5 si lto'g) 9t5 qi 818;

sub form[ de putere:

b) 9s. 276. (3rs :817 :(92)3;

d) (7')' '49s '3432 :O6)s.

Matematici pentru clasa a VI-a. Exercitii li nrobleme I

lO. Efectuali:

a) 7o + {lQ" ' 321)3 ' (ztt' 3 ")tl -2 ' 7'} ;

b) 1 1 - {5 + [(4s . 3t1a' 12s18' 9 -3101 -20] ;

c) 23 -112+' 3s' 5e;a:(9' 125' q8+ 9l: 10;

d) 30 + 2 . lQ" . 3t6)2' (211. 3 i0)3 - 421 - 15+16 : 1S:18.

11. Ordonali crescStor numerele:

a)4a1;83r.1623; b)9a;312;272; c)273;9t;3t';

d) 83; 4a;210; e) 211:'4t;80-

12. Comparali numerele: 466, g+t,6422.

13.DeterminalinumErulnaturalx, astfelincdt:x+(x+1)+(x+2)+"'+(x+10):110'

14. se dau numerele a:243-242-241 $i b : 32a. Cate dintre ele este mai mare?

***

[5. SA se calculeze:

a) [(32)0.(l:;:r, :32a .3; b) t(5''53'56) :(52'52'56)fs :252;

-- 8#"rt- -. 63d"I-*'""1(,, Pitagora" - Rdmnicu Vdlcea 2000)

16. SA se determine a, b, c, d, e,f, astfel inc6t: aooo : bcdef'

I'J. Determinafi xeN, astfel incdt f'+*'* : 26244'

lf. Determ ina[i a, b, c cifte zecimale, astfel inc6t Ab" : "(c+\)c

'

20. Determinali restul impa(irii numarului 3200s+32006+32001 la244.

.) [(" +23+ "' +23) + (26+26+...+26)11

.zta.

& carltorul I. Numere naturale