Nicolae Sanda

Nastasia Chiciudean Monica Liana Berende

Matematici- exercifii gi probleme -

pentru clasa a V-a

@Booklet

CUPRINSTeste inifiale ............... .........................7

Capitolul I. Numere naturalel. Scrierea ;i citirea numerelor naturale ..................102. Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor.

Compararea gi ordonarea numerelor naturale. Aproximdri .....143. Adunarea numerelor naturale. Proprietdli ............194. Sc6derea numerelor naturale .............235. inmullirea numerelor naturale. Proprietdli. Factor comun ......2j6. impdrlirea cu rest zero a numerelor naturale .......33'7. impS4irea cu rest a numerelor naturale ...............368. Ridicarea la putere a numerelor naturale.

Reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor ...................399. PStratul unui numdr natural ..............4510. Scrierea irrbaza 10. Scrierea inbaza2 ............... ....................4911. Ordinea efectuSrii operafiilor.

Utilizareaparuntezelor: rofunde, pdtrate qi acolade ................5012. Metode aritmetice de rezolvare a problemelor .......... .............5313. Divizor. Multiplu. Divizori comuni. Multipli comuni.

Numere prime. Numere compuse ......6014. Criterii de divizibilitate cu 2,5,10",3 gi 9......... ....................6315.

-Ecuafii qi inecualii cu numere naturale (Extindere) ................66

16. -Probleme

care se rezolvd cuajutorul ecualiilor qi inecualiilor (Extindere) .....69

Capitolul II. Fracfii ordinarel. Frac{ii ordinare. Noliuni introductive ..................j22. Fraclii subunitare, echiunitare qi supraunitare .......................753. Fraclii echivalente ..........7g4. Reprezentarea fracliilor ordinare pe axa numerelor.

Introducereaqiscoatereaintregilordintr-ofraclie ..................g15. Compararea fracfiilor ........................836. Cel mai mare divizor comun a doul numere naturale .............857. Amplificareaqisimpliflcareafracliilor ............ .......................968. Cel mai mic multiplu comun a dou[ numere naturale..... ........919. Aducerea fracfiilor la un numitor comun... ...........9210. Adunarea qi sclderea fracliilor ..........9311. inmul{ireafrac{iilor.Puteri.impdrlireafracliilor.... .................9612. Aflare,aunei fraclii dintr-un numf,r natural sau frac{ie ordinarS. Procent ..99

Recapitularefracfiiordinare.Testedeevaluare..... ................103

Matematicl pentru clasa a V-a. Exercilii ;i frobleme &

5.

6.

7.

8.

Capitolul III. Fracfii zecimale

l. Scrierea fracliilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub formi de

fraclii zecimale. Transformarea unei fraclii zecimale cu un numir finitde zecimale nenule intr-o fraclie ordinarl ........109

2. Aproximarea fracliilor zecimale ...114

3. Compararea, ordonarea qi reprezentarea pe axa numerelor

a unor frac{ii zecimale cu un num[r finit de zecimale .....'.. 116

4. Adunarea gi sclderea fracliilor zecimale cu un numir finitde zecimale nenule .'.'. 119

inmullirea fracfiilor zecimale cu un num[r finit de zecimale nenule .....126

impbrlirea a dou[ numere naturale crt rez:ultat fraclie zecimald.

Transformarea unei fraclii ordinare intr-o frac(ie zecimald'.

Periodicitate................ ...................129

Media aritmeticS a doud sau a mai multor numere naturale ........'..'.....132

impSrlirea unei fraclii zecimale cu un num6r finit de zecimale

nenule la un numir natural nenul. 1mp6(irea a dou6 fracliizecimale cu un num[r finit de zecimale nenule ........'.....'..135

9. Transformarea unei fracfii zecimale periodice in fracfie ordinarl ........139

10. Numdr ralional pozitiv. Ordinea efectulrii operaliilor .......-142

11. Metode aritmetice pentru rezolvarca problemelor cu fraclii '...'.............14812. Probleme de organizare a datelor. Frecvenld.

Date statistice organizate in tabele Ei grafice.

Media unui set de date statistice ...149

13. .Ecualii Ei inecualii. Probleme care se rezolvd cu ajutorul

ecualiilor Ei inecualiilor (Extindere).............. ... 155

Capitolul IV. Elemente de geometrie. Unitlli de misurl1. Punct. Dreapt6. Plan. Semiplan. Semidreaptd. Segment ....161

2. Poziliile relative ale unui punct fa!6 de o dreapti. Puncte coliniare.

Poziliile relative a doud drepte .....166

3. Distanla dintre doud puncte. Lungimea unui segment.

Segmente congruente. Mijlocul unui segment.

Simetricul unui punct fa!6 de un punct ...........170

4. Unghi. Interiorul unui unghi. Exteriorul unui unghi ..........175

5. MSsura unui unghi. Unghiuri congruente. Clasificdri de unghiuri ........178

6. Calcule cu mdsuri de unghiuri exprimate in grade qi

minute sexagesimale............... '......1817. Figuri congruente. Axa de simetrie ................'.183

8. Cub. Paralelipiped dreptunghic ....187

9. Unitili de m6suri pentru lungime. Perimetre. Transformlri.................' 193

&c,,n,r,,

10. Unitdfi de mSsurd pentru arie.Aria pdtratului qi a dreptunghiului.Transformiri........... ......Ig7

I l. UnitSli de mdsurd pentru volum. Volumul cubului qi alparalelipipedului dreptunghic. Transformlri ............... ........201

12. UnitAI de mdsurl pentru capacitate. Transformdri................ .................20413. Uniteli de mdsurd pentru mas6. Transformlri .....................20714. Unitdli de m6sur6 pentru timp. Transformdri ......................21115. Unitd{i monetare. Transformdri............... .........2I4

Variante de subiecte pentru evaluirile finale......... ..,...........220

Rlspunsuri ............... ..................233

Matematicd pentru clasa a V-a. Exercilii Ei probleme &

Capitolul I. Numere naturale

1. Scrierea qi citirea numerelor naturale

Noliuni de teorie

Numerele naturale se reprezintd folosind simboluri. in sistemul

zecinral de scriere a numerelor naturale sunt folosite simbolurile

numitc cifre arabe. Acestea sunt: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9'Numilrrahrral: Un numlr natural este un numdr din girul: 0, 1,2,3, 4,5,6, "'Observa(ia l: Primul element al Eirului numerelor naturale este 0 (zeto),

insd lirul numerelor naturale nu are un ultim element. Dinacest motiv spllnem cd qirul numerelor naturale este infinit.

Unitate: Numim unitate numdrul natural 1.

Succesor: Fie n un nulrf,r natural. Numdrul cu o unitate mai mare decdt n se

(adica n+l) se nutneqte succesorul s[u.

Exemplu: Numdrul natural t este succesorul lui 0.

in .eprerentarea zecimal[ sau scrierea inbaza 10 a unui numir,

liecare cifr6 care intr6 in compunerea numarului reprezinti, inlunc{ie de pozilia pe care o ocupd, un anumit ordin de m6rime. Dinacest motiv, aceastb scriere se mai numeqte qi scriere pozi(ional5.

Cum citim un numir natural?Procedtrl Pentru citirea unui numdr natural, grupim cifrele sale cAte trei, de

la dreapta la st0nga. Astf'el impdrlim numdrul in clase. Fiecare clasd

conline cdte trei ordine: u - unitalil z: zec|' s : sute.

@ oco ooo @@@n rrtr Hrymlntr

clasamiliardelor

clasa clasamilioanelor miilor

clasaunitdlilor

Exemptu: La scrierea numdrului 58307, s-au folosit cifrele: 0; 3, 5;7 gi 8.

Cifrele, considerate de la stAnga la dreapta, in ordine descrescdtoare a

urritdlilor, reprezintd dupd cum urmeazd: 5 zeci de mii (5 x 10000);

8 mii (B x 1000);3 sute (3 x 100):0 zeci (0 x 10); 7 unitali simple

(7 x 1). Vom citi a$adar: cincizeci 5i opt de mii trei sute qapte.

Obserraria 2: Cilia corespunzittrare unur ordin oarecare reprezintd un ordin de l0ori mai mare decit ordinul citiei cu care se invecineazd cdtre dreapta

qi, respectiv, un ordin de l0 ori mai mic decdt ordinul cifrei cu care

se invecineazd la stdneal

,.,nlrtttnrler3l*$Ii r:apitotul L Nunrer

*

1. Citili numerele: 4 375;27 003; 400 145;4 575 343.

2. Scrieli in baza zece, crt cifre arabe, numerele:a) douizeci qi sapte; f) patru milioane nouS;b) patru sute cincizeci Ei qapte; g) patru mii;c) trei mii trei;d) gapte mii opt;e) opt mii trei sute sase;

h) nouS sute patru;i) cinci mii opt sute doi;j) doud sute noudzeci gi qapte de mii.

3. Scrieli:a) cu cifre romane numerele: 7,9,13,27,48,112,303,900, 1343, 1359.b) cu cifie arabe numerele: X; XI; XXV; XL; MMIII.

4. cititi urmdtoarele lungimi: 420 km 3209 m;82466 dam; 12002 hm; 4999 cm;3945918 mm; 60606060 m; 828291hm;6459 km;21345 cm; 12345 dam.

5. citili urmdtoarele cantitdli de produse: 840 kg de varzd; 4356 I de benzind;57945 dal de vin;2359 t de porumb;956235 kg p6ine; 10g2593 kl de apd.

6. Scrieji cu litere urm[toarele numere:

a) 6; 13;325;4002; b) 345890; 1000001; 404040404.

l. Scrieli cu cifre arabe:a) patru mii doud sute treizeci gi cinci;b) trei mii opt;c) dou[zeci si patru de mii nouS;d) patru sute optzeci qi cinci de mii trei sute;e) gase sute de mii qase sute;

Q noui milioane opt sute noudzeci de mii opt sute patntzeci Ei noud;g) doud sute de milioane trei mii;h) doul miliarde un milion o mie.

E. Scrieli in cifre qi litere anul in care: a) v-a!i nlscut; b) vi gdsili.

9. a) Ce deosebire este intre un numdr qi o cifrl?b) Este corecte aflrmafia: cifra 200 este mai mare dec6t cifra 50?

IO. Spuneli ce reprezintd cifra 5 din urmitoarele numere:

a) l5; 52; 542;2450; 55672; b) 250007;9500000; 50000000.

II. Un numdr natural de doud cifre este scris sub forma ab. Scrieli numdrul carese formeazd dac6:

a) 5 este cifra zecilor gi 4 este cifra unitdlilor;

b) 0 este cifra unitdlilor qi 8 este cifra zecilor

d) 7 este cifra unitSlilor.c) 7 este cif'ra zecilor;

Matematicl pentru clasa a V-a. Exercilii Si Orobleme &

f2. Un numdr natural de trei cifre este scris sub forma abc. Scrieti num[ru] care

se formeazd dacd:

a) 3 este cifra unitdlilor, 2 este cifra sutelor 9i 4 este cifra zecllor;

b) 6 este cifra zecilor, 4 este cifra sutelor qi zero este cifra unitdlilor;

c) 8 este cifra sutelor qi 4 este cifra zecilor;

d) 4 este cifra zecilor qi 9 este cifra unit6lilor;

e) 8 este cifra sutelor;

f) zero este cifra unitdlilor;

g) zero este cifra zecilor.

I'3. Scrieli numdrul de trei cifre:

a) care are cifra 9 la ordinul zecllor Ei sutelor, iar la ordinul unitdlilor are

cifra zero;

b) cifra 2 la ordinul sutelor qi cifra zero la ordinul unitalilor qi zecilor;

c) cifra 5 la ordinul sutelor, cifra zero la ordinul zecilor qi cifra 1 la ordinul

unit5lilor.

14. Folosind cifrele 2 Ei 3 o singur6 datd, scrieli numerele naturale de patru cifre la

care ordinul miilor este indicat de cifra 9, iar ordinul sutelor de cifra 5'

Ig.Scrieli toate numerele naturale, de trei cifre, folosind doar cifrele 0 qi 1.

16.Num6ru1245 se scrie: 2'100+4'10+5, iarnumSrul 13 475 se scrie:

1 . 10000+3. 1000+4. 100+7. l0+5. Folosind modelele, scrieli numerele:

a)79,47,58; b) 196,102,831;c) 4659, 8967, 18321, 97343, d) 105279, 998738.

IJ. Scrieli: a) 6 numere pare, avAnd suma cifrelor 5;

b) 2 numere impare de doud cifre, avAnd diferenla cifrelor, 3.

It. Completali:

a) Numdrul cu o unitate mai mare decdt 7 este -

Ei se numeEte

-;

b) Primul element al qirului numerelor naturale este .-;c) in sistemul zecimal de scriere a numerelor naturale sunt folosite simbolurile

numite

**

19.a)Determinafinum[ruldeforma abcd,qtiindca:abcd:4'1000+3'100+2'10+1;b) Determinali cifrele a, b, c qtiind c[ 829:a'100+b'10+c.

20. Aflali cel mai mic qi cel mai mare numir natural de &.ry,a) abcde, care are cifre distincte: b) aal; c) 23aa; d) aa2b qi a*b.

21. Aflari toate numerele naturale pentru care avem:

a) a38:3b8; b) a2b3:b2a3; c) xyz:zyx.-{&,ffi Capitolul L Numere naturaleU

-

22' Determinati numerele naturale de forma a2l care au produsul cifrelor egalcu suma acestora.

21. a) c6te numere naturale de cinci cifre incep w cifuere 2r4?b) cdte numere naturare de cinci cifre se termin[ cu cifrele 35r?c) cdte numere naturale de cinci cifre conlin secvenfa 123?d) Cdte numere de patru cifre distincte confin secvenla 35?

24. Scrie{i cel mai mic qi cel mai mare numrr natural de trei cifre care:a) au cifre distincte;b) nu conlin cifrele 3 qi 9;c) nu conlin cifre pare;

d) au produsul cifrelor egal at 6;e) au doui cifre impare qi una pard;f) au doul cifre pare gi una imparl.

25' De cdte ori folosim cifra 5 pentru a scrie toate numerele naturale de trei cifre?26' Scrieli cu cifrele 1,2 qi 3 toate numerele naturale de trei cifre, la care cifrele

nu se repet5.

2J. Numdrul natural ba se numegte ,,risturnatul,' numdrului natural ab.Poate fi cifra b cifra zero? Argumentafi.

2t' Scrieli toate numerele naturale care nu se schimbd c6nd li se schimbi toatecifrele intre ele dacd acestea au: a) 2 cifre; b) 3 cifre; c) 4 cifre; d) 5 cifre.

19. a) Cdte zeci sunt intr-o sut6? b) c6te sute sunt intr-o mie?c) cdte mii sunt in 500000? d) cate sute sunt intr-un milion?e) C6te sute de mii sunt in zece milioane?

***30. Scrieli numdrul natural de opt cifre pentru care avem: dour cifre de l, doud

cifre de 2, doud cifre de 3, doud cifre de 4,intre cele doud cifre de I este osingur[ cifr6, intre cele doud cifre de 2 sunt doub cifre, intre cele dou6 cifrede 3 sunt 3 cifre, intre cele doud cifre de 4 sunt 4 cifre, ia. primu cifrd este 4.

3r. Determinali numerele naturale de forma la2b. astfel incitt:a) suma cifrelor si fie l0; b) produsul cifrelor sa fie 12.

12. a) Determinali toate numerele naturale de forma abc, Etiind cd b:2.(a+c);b) Determinali toate numerele naturale de forma ,Ora i"cifie diferite. stiindcd q+ j:Sa.:5.

33' a) Determinali toate numerele naturale formate din cifre identice care ausuma cifrelor 6;b) Determinali toate numerele naturale de forma ia\b av|rndsuma cifrelor 10.

34. a) cate numere consecutive sunt de forma obz.Dar de forma c3a?b) Determina[i cdte numere de forma abc sunt qtiind ca b + s:5.

Matematici pentru clasa a V-a. Exercilii li nrobleme &

2. Repre zentarea numerelor naturale pe axa numerelor

compararea qi ordonarea numerelor naturale. Aproxim5ri

Axi:

Explica{ii:

Exemplu:

Procedeu:

Observa{ia l:

Nota{ii:

Procedeu:

Reprezentarea numerelor naturale cu ajutorul unei axe

O dreaptd pe care considerdm un punct fix (O)' numit origine' un sens

d" pu."ur, (de regul6, pozitiv, indicat de o s[geatd) qi un segment

(unitate de mdsur[) se numeqte ax['Fie o dreapti qi un punct O (origine), situat pe dreapt[' Plecdnd din

O, putem si stabilim doui sensuri:

r) sensul pozitiv (spre dreapta), indicat de s6geat6'

;;,) ..rr.,l negativ (spre stAnga), opus sensului pozitiv'

Punctului O (originii) ii punem in corespondenld numdrul natural 0

(zero), iar punctului A ii punem in corespondenld numirul natural 1'

q q?PE{ ,-0 I 2 3 4 5 6

llUNITATf, DE MASURA

Compararea numerelor naturale1. Daci numerele nu au acelaqi num6r de cifre' atunci numdrul care

are mai multe cifre este mai mare'

2.Dacdnumerele au acelaqi numdr de cifre, atunci comparim cifrele

corespunzStoare ordinului mai mare'

3. DacA toate cifrele care reptezintd acelaEi ordin sunt respectiv'

egale, atunci numerele sunt egale'

4, Dacd cifrele corespunz6toare, considerate in sensul descrescdtor

al ordinelor, sunt identice, p0ni la un anumit ordin' atunci numdrul

mai mare este acela care conline cifra corespunzdtoate acelui ordin'

mai mare.

Dacd a gi 6 sunt doud numere naturale, atunci ele pot fi in una qt

numai una din urm[toarele situalii (relafii):

saua>b sau a:b sau a<b1. DacI x < a sa:u x : a,scriem x ( a

2. Dacd x > a sao x : a,scriem x ) a

Ordonarea numerelor naturalePutem aranja(scrie) numerele dintr-o mullime de numere naturale

in ordine:l. crescdtoare a<b <c<d< "',2. descresc6toare ...> d> c> b> a

W turno'ul I' Numere naturale

observafia 2: Putem realiza ordonarea acelorasi numere reprezentdnd nnmerelepe ax5. Cu cdt punctul corespunzdtor unui numdr este situat maideparte de origine ,,spre dreapta", cu at6t numirul este mai mare siviceversa.

Aproximarea numerelor naturale

-{proximiri: 1. Aproximarea prin lipsr la zeci a numdrului natural n estetrunchierea la zeci alui n.2. Aproximarea prin adaos la zeci a numdrului natural n este sumadintre trunchierea la zeci a lui n qi 10.

Exemplu: - Aproximarea prin lips6 la zeci a 1ui 267g este 2670.(se pune 0 dupd cifra zecilor);- Aproximarea prin adaos la zeci a lui 26i g este 2670 + l0:2680.

-{proximiri: 1. Aproximarea prin lipsi la sute a numdrului natural r estetrunchierea la sute a ld n.2. Aproximarea prin adaos la sute a numlrului natural n este sumadintre trunchierea la sute alui n qi 100.

Exempfu: - Aproximarea prin lipsl la sute a lui 2678 este 2600(se pune 0 dupi cifra sutelor);- Aproximarea prin adaos ra sute a lfi 2678 este 2600+ 100:2700.

-{proximiri: 1. Aproximarea prin lipsi la mii a numirului natural fi estetrunchierea la mii alui n.2. Aproximarea prin adaos ta mii a numdrului natural n este sumadintre trunchierea la mii alui n qi 1000.

Exemplu: - Aproximarea prin lipsi la mii a lui 2678 este 2000(se pune 0 dupi cifra miilor);- Aproximarea prin adaos la mii a lui 2678 este 2000+ 1000:3000.

Procedeu:

Rotunjirea numerelor naturaleRotunjirea la un anume ordin de mdrime ain a inlocui numdrul respectiv cu una dinsale, respectdnd urmdtoarele reguli:

unui numdr natural constdcele doud aproximdri ale

Reguli: 1. Dac[ cifra din dreapta ordinului respectiv este mai micldec6t 5, atunci rotunjirea numarului este chiar aproximarea aceluinum[r, prin lipsd. prin urmare, rotunjirea se obline neglijancl cifrelesituate in dreapta ordinului respectiv qi inlocuirea lor cu un numdrcorespunzdtor de zerouri.

2. DacE cifra din dreapta ordinului respectiv este 5, sau mai maredec6t 5, atunci rotunjirea numirului este chiar aproximarea aceruinumdr prin adaos. in aceastr situalie rotunjirea se obtine mdrind

Matematici pentru clasa a V=a. Exercilii qi probleme ffi

Exemplu:

cifra corespwzdtoare ordinului respectiv cu o unitate, restul cifrelor

situate in dreapta ordinului respectiv flind inlocuite de zerouri'

Fie numdrul483752:Rotunjirea la zeci: 483750 (48375 zeci);

Rotunjirea la sute: 483800 (4838 sute);

Rotunjirea la mii: 484000 (484 mii);Rotunjirea la zeci de mii: 480000 (48 zeci de mii).

I. Ordonali cresc[tor numerele: 304,75, 420000, 11, 102, 10001, 0, 85, 10000, 2'

2. Ordonali descrescitor numerele: 25,1039,8901, 102, 63,77 , 10027 , 1025,135'

3. Folosind unul din semnele I ,: , > comparali urmitoarele perechi de numere:

a) 501 cu 51 b) 32 at32 c) 24 w 42 d) 1000 cu 10000 e) 46 cu 48'

4. Scrieli toate numerele naturale nenule mai mici decdtT, in ordine descrescdtoare.

S. Care este cel mai mic numlr natural de trei cifre, qtiind c[ una din cifrele sale

este 9?

6. Desenali in chenarul de mai jos o axd a numerelor qi reprezentali apoi pe aceasti

ax6 punctele A de coordonatS 2,8 de coordonatS 4, c de coordonat[ 5, D de

coordonata 7.

J. Completa{i urmdtorul tabel:

Numlrul

Aproximiri Rotunjiri la

zecl sute ml1 zeci sute

Lipsi Adaos LipsI Adaos Lipsa Adaos

267882

1 1 357s8

73421

6689

2345855

t134345189

S cunitorul I. Numere naturale