CUPR'A'S

ELEMENTE DE CALCTJL MATRICEAL $I SISTEME DEECUATII LINIARE

Capitolul I. Matrice

I.2. Adunarea matricelor ................ ............ 9I.3. inmullirea matricelor cu scalari ........... IzI.4. Produsul a douE matrice ..................... 16

I.5. Ridicarea la putere a matricelor pifratice ............... Zl

Capitolul II. Determinan{i

II.2. Determinanfi de ordinul 3 ................ .................... 31

II.3. Proprietdfile determinanlilor ............... 36

Capitolul III. Sisteme de ecuafii liniare

III.1. Matrice inversabile ................ ..,........ 44

III.2. Ecualii matriceale ................ ............. 47

III.4. Metoda Gauss de rezolvare a sistemelor de ecuafii liniare................................ 55

III.5. Aplicalii ale calcului matriceal qi sistemelor de ecuafii liniare.......................... 58

IIL6. Probe de evaluare .......... 66

263

ELEMENTE DE AN.ALIZA M.{TEMATICA

Capitolul IV'. Limite de funclii

IV.l. Mu\imi. Intervale. Veciniti{i ...:'.............. """""" 69

IV.2. $iruri mdrginite. $iruri monotone ........... """"""" 75

IV.3. Limita unui gir. $iruri convergente "" 80

IV.4. Operafii cu giruri convergente. Criteriul ,,cleqtelui" """""""""' 87

IV.5. Monotonie gi convergenfi. Opera{ii cu *o $i --"o '.......'. """"""' 92

IV.6. Calculul unor limite de giruri in cazurile de nedeterminare ............................. 99

IV.7. Limita unei funcfii intr-un punct....'.... """"""""' 103

IV.8. Limite laterale '.."..'.""" 110

1V.9. Trecerea la limitii in inegalitili "...'........... """""' 113

IV.ll. Asimptotele graficului unei func1ii """"""""""' 124

Capitolul \''. Continuitatea funcfiilor

V.l. Funclii continue. Criterii de continuitate .....-.'..... """""""""" 130

V.2. Opera{ii cu func[ii continue """""""' 136

V.3. Proprietatea lui Darboux. Semhul unei funclii contjnue pe un interval '......... 141

Capitolut Vt" Func(ii derivabile

VI.1. Derivata unei func{ii intr-un punct ...'..... ....."""""""""""""' 146

VI.2. Derivate laterale """"" 152

vI.3. Derivatele func{iilor elementare. opera{ii cu func1ii derivabile ...................'. 159

vI.4. Derivarea funcfiior compuse. Derivarea inversei unei funcfii .... 165

VI.5. Derivata a doua a unei funclii """"" 170

VI.6. Regulile lui I'HosPital "' 172

Yt.l. Carun de nedeterminare pentru limite de funclii """"""""""' 176

Capitolul VIl. Studiul functiiior cu ajutorul derivatelor

V[.1. Puncte de extrem. Teorema lui Fermat """"""" 179

VII.2. Teorema lui Rolle ......1............ """" 183

VIL3. $irul lui Rolle ......... "" 189

VII.4. Teorema lui Lagrange ...........'.... ""' 192

V[.5. Consecinfe ale teoremei lui Lagrange ..."."........ """""""""" 197

VII.6. Inegaliti$. Probleme de maxim 9i minim """"" 203

VII.7. Intervale de concavitate. Intervale de convexitate """"""""" """":"""""" 207

VII.S. Reprezentdn grafice ""' 2llVII.9. Probe de evaluare """" 224

Capitolul VIII. Probleme recapitulative

\/III.1. Probleme recapitulative ...............' """"""""""' 227

VIII.2. Probleme tip ,,gril6" "" 232

VIII.3. Probleme pentru concursuri """"' 238

Indica{ii qi rispunsuri................. .............. 243

264

trLEMIENT E DE CALCU L MATNIGEAE9' STSTEMIE DE ECUAT|| LINtAfrtr

Capitolul IMATRICE

I.1. Nofiunea de matrice. Mu{imi de matrice

O societate comercial5 doreqte sd analizeze daci un anumit produs

al ei, comercializatprin 3 magazine proprii (notate cu A, B, C), are

,,eficien1i" economicd. tn acest sens, igi propune sI alcituiascd un

tabel cu numirul de produse vdndute prin cele 3 magazine in zilele de

luni, marfi, miercuri, joi, vineri qi s6mbdt6. Notind zilele cu 1,2,3,4,5,6, acest tabel poate fi scris in dou6 moduri:

Pentru magazinul A, tabelul se poate scrie qi el in doud moduri:

345630 28 27 15

Daci presupunem cunoscuti semnifica{ia in tabel a numerelor 1,

2,3,4,5, 6, atunci pentru magazinul A avem reprezentirile:

(zo zs 30 zB 27 ts)

ln prima reprezentare, numdrul produselor v6ndute in fiecare zi

sunt scrise astfel incdt locul ocupat sd corespundd numirului zileiincare s-a efectuat vdnzarea. O astfel de reprezentare printr-un gir finitpoarti numele de matrice-linie. Adouareprezentare poartd numele de

matrice-coloand.

4

I2

3

4

5

6

t220 25

20

25

30

28

27

15

20

25

30

28

27

15

1 2 3 4 5 6

A 20 25 30 28 27 15

B 15 t8 l9 24 16 14

C 40 35 26 32 34 29

A B C

I 20 l5 40

2 25 18 35

3 30 t9 26

4 28 24 32

5 27 t6 34

6 15 t4 29

L)r€t.?Lv

vDacd se cunosc semnificaliile pentruA, B, C, respectiv pentru 1,2,3,

4,5,6 gi se respect6 ordinea acestora, atunci primele doui tabele

,,centralizatoare" se pot scrie sub una din formele:

Aceste doui tablouri poartl numele de matrice. Prima matrice are 3 linii qi 6 coloane, iara doua matrice are 6 linii qi 3 coloane. Intuitiv deci, cele doud matrice considerate reprezintd

un tablou ordonat de 3 '6 numere reale (in cazul nostru naturale), dispuse pe 3 linii qi 6

coloane sau pe 6 linii gi 3 coloane. Cele 18 numere poarte numele de elementele matricei.Fiecare element este precizat cu ajutorul a doi indici. Primul indice este indicele de linie, iaral doilea este indicele de coloan6. De exemplu, elementul 19 in prima matrice poate fi notat

ay , iar in a doua matice arr.

Verifici daci ai infeles! Precizafi prin indici elementele 28 qi 34 din cele doui matrice.

Scrie matriceaJinie ;i matricea-coloanS corespunz[toare pentru num[ru] de

produse vdndute prinmagazinele B gi C.

(zo zs 30 28 27 ls)I rs rt te 24 t6 t4l

20 t5 40

2s 18 3s

30 L9 26

28 24 32

27 t6 34

ts 14 29

Definifia l.Fie M ={1,2,3,...,m} qi N= {1,2,3,...,n}mullimile primelor z, respectiv

n numere naturale (nenule). Se nume;te matrice de fip (m,n) o func{ie A: M x N -+ C.

NotAnd e((i,i))=ai €C, V i = tm, i =1--n, matriceaAse scrie sub forma:

( o, o'tz ar, )ttI 4., A"^ Cl^- I

A =l '" | , unde m reprezintd, numdrul de linii, iar n reprezintd num6ru1 dett

['., Qm2 o*)

coloane. Notdm O = ("u)y;, 1^

Dacd m= I avemmatricea-linie A=(on an ...av).Dacd n = I avemmatricea-coloani

(o,, )ltO=l::'t l. Ou"a m = n = I avsrn matricea A=(orr). Daci ffi: n,matricea se numeste

lt\,^, )

matrice pdtraticd de ordinul n-

Sistemul ordonat de elemente (a11,a22,......,a*) senumeqte diagonala principald a

matricei pitratice l, iar sistemul ordonat de numere (as,......,an1) se numegte diagonala

secundard amahicei pdfratice A.

Nota{ii. Mul,timea tuturor matricelor de tip (m,z) cu elemente din C, R, Q, respectiv

Z, se noteazd cu "/tvl,n ( A), M,^ (R), M,,( Q ), respec tiv M,( Z) .

Mulgimea tuturor matricelor pifatice de ordinul n cu elemente din C, lR, Q, respectiv

Z, se noteazd cu ./vl(A), M(R), 14 (Q), respectiv Me).

C3 Me). /v(, (o). /v1, (R) . Jvt,(c) (incluziunile sunt stricte).

RrYarr

ni" aora matrice, , =(or)1i,g * r =(ar\=ig .o elemente din C. Deoare ce A qiB

sunt func(ii rczulti cd A= B dacd qi numai daci sunt egale ca funcfii.

Teoria matricelor s-a dezvoltat in principal datoritd lui Augustine Cauchy ( I 789 - I 857)

qi Arthur Cayley ( I 821- 1895) .

Defini{ie. Fie A=("0),a=(Uu),A,BeM*@). Avem A=B dacd a,i=bii,

Yi=l,m,Vj=1,".

Matrice particulare

l.Fie A=("u)e M,,(C). naca ej =0,Y i=6.,V j =ln, matricea I se numeqte

matricea nuld. Notdm A = O ^,n.

2. Fie A=lo,r). M@). Dacd % =0,V i+ i,i=I,n, i =l,n gi exist6 cel pulin un

element qi +O,i =G, maf;iceaA se numeqte matrice diagonald.

lJn caz particular de matrice diagonali este matricea unitate (notatd 1n) pentru care

avem: q, =l,Vi =G,or=0,Vi =l,n,V j =L,n,t* j .

3. Daci q = aiitY i =1,n, Y j =G, matriceal se numeqte matrice simetricd,

4. Dacd * - -aii,Y i = l,n, V i = 1, ", maaicea Ase numegte matrice antisimetricd.

5. Fie n=(ou). M,,(C) . tvtatric ea B =(b*). Jrl^,,(A) pentru care aii = bii,

Y i =1,m, V j =l,n se nume$te transpusa matricei l. Notdm B = At .

6

i lrlsce

ea) Ce fel de matrice sunt urm[toarele:

t

^=l; ? ;.l, ,=1" ? :.l, "=l: ? ;.l, o=l!, ; ,'l ,[oot) [ooo.,l [rs4) [,-30)

b) Sd se scrie pentru fiecare dintre aceste matrice transpusa ei.

Exerci{iul rezokat 1. Si se determine a,beR astfel inc6t sd avem A=8, lurlrde

( t z.b-r\ (2.a+t 5\o=lo, o, -z ),

u =[ t 7).

Solulie. Rezolvdnd sistemul 2a + 1 = 3, 2b - | = 5, a2 = l, b2 - 2 = 7,ob1inem a = l, b = 3 .

Exercifiul rezolvat 2. Sb se determine:

a) mullimea matricelor ,4 simetrice, gtiind ci ,a e M2(R);

b) mul,timea matricelor,B antisimetrice qtiind cd B e Mr(R);c) intersecfia celor dou6 mul,timi de matrice.

(a b\sotuvie."; .," , = [" ))t n

"rr"simetric6 dacd b- " ,r " = {(l

uo)l,,u,o ."}(m n\

b) Fie A =l l; B este antisimetricd dacd rn=-nt,x=-n,y=-y. Oblinem\x y)

m=0, /=0 $i deci mulgimea "rte

r = Ir0 ]l lr.oI' l\, orl )l(o o\lc) xor=ll: I ll={q}

l.(0 0)) \ z'

Exercifiul rezolvat 3. Un autocamion parcurge distanla dintre douS localitIli astfel: inprimele trei ore, viteza medie este de 40 kmlh, consumul este de 20 lll0Dl$n, in urmdtoarele

doud ore, viteza medie este 45 kmlh, iar consumul este de 24 lll00 km, iar in ultimele 4 ore,

viteza medie este de 50 km/h, iar consumul de 30 //100 km. Sd se determine o matrice cutrei linii in care sd apari timpul r (in ore exprimate prin numere naturale), distanla parcursd

dup6 l ore gi cantitatea de combustibil consumat dupi t ore.

Solulie.

(t 2 3 4 s 6 7 8 e )e=l +o 80 t2o l6s 2to 260' 310 360 410

l.

I t 16 24 34,8 4s,6 60,6 75,6 90,6 105,6 )

'ry' l' SE se determine numerele reale x li/ stiind cd:

,m,, [';' *r**',)=(,1,

-i); b)(,:r';,)=(l :),

"r Ir ,\=(*, y, * y)."'[, r,J-[r I )

2. 56 se scrie matricite A = ("r) . M ,.r(R) date de:

a) aij =(-r)'*, ,y i=v3 i =rJ; b) ,, ={:)'!'.' ,rr=t2,v i =t3.' lc!'i>j'3.Fie .A.M@) matrice antisimetrici. Si se determine ,4 qtiind ci suma pdtratelor

tuturor elementelor sale este 12.

4.Fie A.M@)matricesimetrics.Sdsedeterminelgtiindcisumapdtratelortuturor

elementelor sale este 10.

5. Sd se determine matricele pitratice de ordinul 3 caresunt simultan simetrice $i

antisimetrice.

6. a)Fie AeM-,,(C). eutem avea A=At?

b) Sd se determine matricele pitratice de ordinul 2 pentru care A= At .

c) Sd se determine matricele pdtratice de ordinul 3 pentru care A = At .

d) Si se arate cd, Y Ae lvl,,(C), avem (n')' = n.

7. Fie A. Me) astfel incdt A = A' .

a) Dacd n:2, sdsedeterminel astfel incdt sumaputerilorde ordinul3 ale elementelor

sale sd fie 182.

b)Dacdn:3,sdsedeterminel astfelincdtsumapdtratelorelementelorsalesifie18.

8. Determinali x e [0, 2r] astfel incdt matrice a A sd fieantisimetricd, unde:

( 0 sinx -4) fsinx -l 2 )t\ A=l -sinx cosn : l; b) l=l I -sinx -3 l.

[ + -3 o) [-z 3 o)

' 9. S[ se determine x eR gtiind c[ matricea I este simetricS:

(. 2x +3 4l (-3 tog, x 4 ')

a,)A=ls 2x ,l' b)A=| 2 , -ll.[4 3 r.,l (4 -1 s)

8