Manual Algebra Clasa 12
142
Ministerul Educrtlel, Cercettrril sl'l lnor(tiulul MIRCEAGANGA |AA't[]AA'nC Manualpentru clasa a XII-a Ml Elemente de algebrl Ftllerr teoretictr, profil rerl, specirlizrrer mrtemrttcd-tnformrdctr (TC + CD) Flllcrr vocatiodsl!,protll mllltrr M.Ap.N.,spechll,rrer-mrt€mrtlcl (CD) EDITURAMATHPRESS
-
Upload
ciubotaru-razvan -
Category
Documents
-
view
817 -
download
172
description
Algebră clasa 12
Transcript of Manual Algebra Clasa 12
-
Ministerul Educrtlel, Cercettrril sl'l lnor(tiulul
MIRCEAGANGA
|AA't[]AA'nCAManual pentru clasa a XII-a Ml
Elemente de algebrl
Ftllerr teoretictr, profil rerl, specirlizrrer mrtemrttcd-tnformrdctr (TC + CD)Flllcrr vocatiodsl!, protll mllltrr M.Ap.N., spechll,rrer-mrtmrtlcl (CD)
EDITURA MATHPRESS
-
Munurlul cste aprobat prin Ordinul ministrului Educafiei, Ccrcetlrii $i'l'fnorotului ff. 1262/33 din 6.06.2007 $i este realizat in conformitatecu programa analitica aprobate prin Ordin al rninistrului Educaliei,('of'cotlrii $i Tineretuii N. 5959 dir, 22.12.2006.It! fFr'lrlii prolgr. I ION NEDELCU, Colegiul Nafional,,Mihai Viteazul", Ploie$ti
prof.gr. I RADU SIMION, Colgiul National ,,Mihai Viteazul", Ptoie$ti
I)o.crLrca CIP a Bibliotecii Nrllonrl r Romaniei(JANCA MIRCEAMatemstictr : mrdull pontru chs. r X[-r Ml /
N4lrc6s Ganga. -
Ploie$ti . Mathpless, 2007tsBN 97 8-97 3
-8222-26-7
s r(07J.15)
'foatc drepturile asupra acestei cdrti apa4h diturii MATHPRESS.
CopyriSht O 2007 MATHPRESSliditura MATHPRESS, PloiettiT cl. I !ax: 0244.592.1 18c-mail: [email protected]
comenzi lar[ Comenzi BucuestiTol; 0244.592.1 l8 Tel.i 02t.327.26.23
021.35r.01.11 021.351.01.110122.745,965 0721.679.3260723 .955 .444
ELEMENTEDE
ALGEBRA
-
r. GRUPURI
Nofur.r d6 grup.rt uDA tutd.m.ntrtl tn mrtehsdcl, .vlnd |pttcsg ft| dveB. domcn :hodr .cu|fllor dg.br.lcc i . ..u.dttor r t ilnd.tq torh r.ledvitlft, crtrtdogr.let, todahlbrrBd.l. eoc
Ca Srupurl rd!.r(|bll !8unar|: glupudlo d. brr.tc., 8rulurlc dc trrrrtorrltrt (c.rt ntFDud lD||!ft.), gropu d. p.nnuu4 fmput ct.sctor d!.!e.turl, gruput rrdftldlot & ordjn ,|i.u!n$l(c|I. !rBupudttdc).t.
8..d.6r.ta.-co_rc.Daul d.lronoltrntr d. grupud. Dout salil d. g purl ,. bucurt d. .c.LrdDfopr|.lld dg.h'|c.. P.oEu 8ruDudh n!ft. honnft bbt.t. lor runiL t t oltark.ta
nst. conc.ts hhodur bon ddut d. p$bhm. rcro|rlt. dtvrnc plrrurn ;t rte un rctcord.l.||t d. probhn propu.. (c.l! Ed nutt ttbd drt. t. b.r.burit lid rd|nh.r. h hcutt|db uldndl .d).
Istod.' Nodur.r d. grr! . lo.t utttkrit D.nhr prtnr darld. n a.m.id.nul ft[c.r Evrl r cdolr Otl1.1&t2)(norl tD du.l h vlflt. d. 2t .nl). ctr! sG iitevllrtulctrto .l la .t trupurlo!, Id.ll. t orld glupu lor,,sr.uh ..d' (crm .. htlrnplt id.r.| qr fthtt. I[rt nudc.n|lrdrDrd.L) bdrt. rL Crtotr, tt rlurdt. r.[sl|| rl.Lor{d gnrpudlor au lolrt dalnol|rtlrt rub o lofrnl ndvl dsL.Snre. 076r8f). Cod.|npo.drl lul Crtd! r.m ttod..I dd dd ryrrd.l lElrlL rib grrlda El nu !{u lDier..sid.dt d||,) (prlra componentd este ,t' iar0!r do.r doua esle )) cetd t,yeM , afuc6 M xM =l(t,f\lx,yeMl.
DGnr fle" Fic M o multime nevidtr. Se numegre operrEe rtgebrfclbhrrl (o8u lge de compodfo lnt n sau simplu leg de comDodtte)dofl[ttI pc M o rylrc'f f rM xM -a M, carc asociaztr fierlrei pelechi(r,rre M xM un unic eleme Jlx,r)eM.
Elcftlllul ,f(a y) so numcglc compurul lul r cu y.A|rd!t, le odce pcrcche (cuplu) (x,y)eMxM =M2, aoealti opr4ie face strco$8pundtr ln mod unic elementul /(r,)) dh 8catl multtne M. Uneori ln loc de.f(r,y) sc rcrle ,ft, dar cl mai dcs se desemneaztr operatis binarn pe M prinrr-un
2.ltrEul$r.t Fo N ort. rDtl..ll. . :N x N -+ N drtt d. corespondenF (r,y)-+.r.y.3 Adun.r.r p. ,i4(C) (tnultlmor nrrrlcelor prtrrttce de ordln ,l cu ete enle numr comDtexe).d. d3firf.t prln +:.!rtr(c)i,^4(c) _+ r6(c). (A,B)+ A+ R.q.bnutfrcr po 4(A) |esp[c!tt! detuirr prln. t^\(C\x]/'/'n|f)-+ M@), (A,Bl-+ AB.s.Reuduno. pe P(M) (nnline! prrltbr tut /; rprezinttr tort lubnulgdile lui Lt) $re dethttnpi||l| u : P(rrl x P(rrO
-+ p(Mr, (A,BI -+ Au B .o.Ina.n4cfh p. P(.rtt) clt defirin p r flr p(rf\xp(Mr +p(W (A,8.)-+ AllB,7. Conpurcrer pe .F(,V) (Euldr!r furcfflor defrite pe M cu vrtort tn M) ette apltcrttr. t f(Mrx t(Mt--+ F(Mt ( l .s)* I
"e.lre.lgor cl eleeplels pot corthus c! rtte legt de coEpozide tnrflrite tu rnlt pr.edetrtiTsbh opraliei (legti)Dsod multimea M este fllittr, ahmci operalia algebrictr .* pe M poate fi datd prh agalumita t bll a openfiet (sau trbla lut Coyleg. inh-adever, dac[ M :{ay a2,
-, a,) ,
atulci tabh operatiei alati astfel:dnbol special:*,.,
-1, -f, U, n, e,.,... .Urmlnd sccasttr cole vom numi .I ], (sau simplu ry, Etd sici ua semn lntre.r ti y)prudulul tl ,+J, surra elementclor r,)M.ln primul caz vom spunc c[ legea cste dattr Duldptcsdv, ia! fu al doilea aditiv.Se tntllcgc cd, ln najoritatea cazurilor. aceste denumiri 6unt conventionale.In gcncrsl, pe o multime M se trnt defini dai multe operalii diferite. Cand dorim sApuncm ln. evidenF utra dintre ele ydm utiliza parantezle (M,*) qi vom spune ctropcr4ia * conferE rDulfirdi M o siructurtr algebrlctr sau c, (M.+) est un sistemrliebrlc.Dc cxcmplu, pe mutimea 7, pe lfln& opelatiile +,. (adrnara ti inmultireanumcrclor lntregi) purem defid ti alte opemtii ,derivare,,:x"y=,+y-2ry,x*y=-,'+y,tIJ=-x-,+r) eic. car se obfin cu ajuto lolcr4iilor + (sau -) $i ., Rezulti asdel structuri iilgpbrice diferite:(2,
-\. (2..\. (2.. l.@.*).(2. r\ .Ata cu[r vom vedea in capitolele carc udneaztr, vom clasifica sfucturile algebricedup6:
. numtrrul dc lgl de compodflei
. proprletit c ace6tor operrfll.l.:xrmplo cunoscute de legi de compozitieL Adun$or pe N (multhred numlr.lor mt|frh) erae lpnc.ds +:NXN-+N c.r. sodrrlt.{Dlulul (r,}) dcmcntul r+) (rurn dtnrrc.y y' J). Vom norc. tcrrltr coEspord.ng prrn(r ,y)-+r+y,
ln acest tabel elementul 4j *4j este situat pe linia i9i coloanaj. Daca llotem di = 4i x dj, atunci putedg6ndi rabla operaliei ca o matrice ,4 = {a4 }.'_- .
A1*Ol Alt,Aza2*41 42* a2 d2* 4n
at i + Al ai*42
,,n*at An *a2
I. I
t
- tI
*i
i
I
i
Dacn lutun M={1,-1,i,*i} cu operalia de inmul;ire,atunci avem tabla legii prezentatl aldturat. Alcetuifitabla legii pe mullimea Min caztile:l) M : {1,2,3, 4, s, 6\, .r * y : min {r, /} .2) M = 11,2,3,4,5,61, r"-y: c.m.m.d.c.{r,y}.
-
|,2. t'AR'l'U STAU ,ADrof (M,*) cstc o structur[ algcbricl, iu Il cstc o $ubmulfirne levidl a lui M, atuncipsntru ,.y
Il clcmentul , * y poatc s! fic ln multirnea L sau s6 fie ln afala ei, adicd
' 'nM.H,
ln raport cu adunarea, N esto prr stabiltr a lui Z,Z GBtc paftc strbiu a lui Q etc.Ando!, ln lapolt cu adurEr!! I'l.fri(,',lor /\4n.n@,ort! parto stabih a lui ,^,l,r,,t (Q) ,t1nJt (Q) .str pqlte st8bill a hi I4.,(lR) erc.Dsc, X(M),5(M) sunt mullinea funcliilo!lqjoclivc dcfinitc pe M cu valori ln M li respecrivnul$nFa funcliilor surjeciivc de la M la M, aunclrcootca sunl p!4i stabile a]e lui .F(M) ln laport cu
3) Dscid H e$e pa4t $arlld r lul M ln raport cu *, {tunci ItxrtcMxM si dcciputcm vorbi dc rosEicl ! logll . la It x I/ . care esre ror o IcSc de compoziFe, penEucomoditate vom not8 tl rc0trlclls lot cu * .De-ci, dac[ H cstc partc stabild s lui M in raport cu *, atunci leges de compozilie*iH xH +H sc 8pu[c c[.ste industrde legea de compozilie de pe M. Se mai-spunecd lega de pe M inducepe Il o lege de compozitie.
PmbleDe rcolvater.Ih M=2, fe E =u,=Ixlker) (mdf's nmrdc br,esl w., d n=Z+r=gt+1ke4(nu4ln.t n||nll.lo! hlnsl lttrpal!) av|n ,', U, C Z .R. Pr Z co4sidrh legcs d. mmpozigc ldunar! nunertor tnr.gi. Se consrn ulor ca H esre paftcNt bi f ! a ful Z ln npon cu ldl lnara dcodccc din x, tel i , r=2k,r=2t,k, teL ;yenx+!=2(k+l)e2z ln tinp c
'''nu esr! part stabill s lui Z tu mpofi cu sdunsrca penru ct daci
' , r e2:2+1, x=2k +1. r = A +r, k, t eZ,a$Ki x+ y =2.(k + I + I t d 2Z +\.
2,P.''r,tr M = 2 coDltderlh Lscr de conpod$e .r * J = rrx(r, r) . Irtfl =(0'1' 2.3,41. Alr||d zcde o p$te ltrbllt r lul Z h rrport dr *,R.Intr-adevtr, acc$ lucru va rci.si din raDla leqii !c ru H.Obs$m cr rosF elenEorle (MriEre din codpun;) e fi8uttjz! tn iabli es4irlui fl. Prh unnarc Il c,e!c pad sbbill a I'ii Z tl rwrt cu lega * .3. nc M=l tl leger de compodle r.'=rJ-r-r+2. CofftitcrlmIn&rrdele H
-
(1,2), H'= (2,3) subnulfr de td n. Si probln crl'
01234
11234
L!e H + x*yeH
.!t4 prte lrrbtu r lul nh r.polt {n ;, h dnp c.I! |ru sr sct''tI 414 4 4 4 4pro! .bta,R. Intr-adev& fie ,,)fl. Atutrci trEluie prcbar 6 , + , < fl 1, | < xt - r - t + 2 < 2 1) l.6. CoI3lderlr{ M = Mt(A, lmpreu|rl cu oprlFr de tnmsrfrc a matrlcelor, Iff
opcr4ia dc compuner a funcliilor. fig. Il)l)\crv4ii. 1) Adjectivul .,stabil5" din Dotiuoea de .,parre stabil6.'penru o submullimeIl a lui M ln raport cu
'
vine s5 preci?zr ctr daci r,yfl (sunt dou6 elemenie$rhilrare din Il), atunci Si compusul lor ,* ) rllmgne ln t1.2\ Dscd H c M $i se considera o aplicalie + pentru It atunci aceasla nu este neaperato lcgc de compozilie. Acest luca! tsebuie dovedit. Deci enunlul nu poate fi de forma:
.,Fie '/
o multime $i legea de compozilie pe H, .t * ) - ....,.Excmplific[m acest lucru prin urmltoarea problemtr:Fic H =10,21$i aplicali. r*), = r)- x-r+2, (V\x,y, H .A!trtali c[ . este o lege de cornpozitie pe 1{.Dcci tebuie s[ artrtim cd (V ) x, y e E + x * y e H. Ori avem x x 1 : (.r - 1)(y -l) + l.Cum I,y e It + l.r- l l : i I, l), - { < t.Prin urmare faptul c[ .!
H
-
& rn,r.rdlvtu, .c ",,
= ll S l] , *, , il I :J * "l2ab o 2ab)
^v'm A(a)A('r=120,
f, ,L1- ^''^" ' d@'e 2"/IR ti matricea obdnuo aft
?. flo M=.F(R)=t/rR--rRl tnpreul cu operada,te compu|rer o tonctiito lH-l/dr:n-'R, ldbQ) =ar +bF,b en,a 10) (rransfonnrrtre dircale dEptd rE le).
R, Dln !o,b. f"d: fo",od+b, a.-0 rczuttn ci A esQ pane $abib atui 14to rapono ..t. Pr n se conslded lge, dc compozitie,, *...teflnttl sstfet: ,*J=rr+E(r+r)+qaR.Sl.6 d.tern ne a .!.fet .Dcrt r, = ( r&@) si fle p,rre srrbit, a lut R to rrlort co .. . ...& Flc d lR penm care H e$e pane $abitn s tur R . Fr !o . 8 fixar din H. Atruci. pentru orice r
tl lzulu J . )O 6 t / . De aici
, t inr8rr lo t6r_8/o+o.,> E.adicr d>56. Reciproc, d46 d>50.ltunci:r*)'=(r+8xy+8) 64+a >
-64+56 = -8, Vj,) fl, cees ntinn cn E ste lane sr&bij6o lul lR ln rapon cu lesea * .
io prrl steb na|ul M3(It) ln rapo( cu tumurdrea |hirricelor.R. Fic ,4r}r, A()rE H . Atunci:
t .l r r fv d. ' cn
_ at" _ bx t bt l.arr)Arr)=]0 r . , r | , t l_ l {a, r teH
loo r Jda ax2 + ct! + at2 + tx + br = aG + t2 + b(t + r) . De aja c = 20, a,b e E .lrobl{me pfrpu*1. Pe Nr se corulded te8a deconpodfe r*J = c.nl[.,r.c-(r,r).llle n={tervl, d!r&10}.Arltal cI r ed. psrte stibtln a hri N. iI ralDn o . , .onlaruitrd r.bta tegii.2. P. nulflmla Z dfinlm tl de conpozidq
re) = resrul lnptrftdt lul '
+ J prin S,rEr= rc51u1tmplrdrlt lul r.] pdns.
Arlt{f cI /t = t0, l, 2, 3, 4} 6te parre st b n a tu; Z tn leporr cu fic,Is dtn cde,rouI lest,rlcrlulDd atblele leg[o... r . rh Ir=l- I -r .o. l lcZ d r*)=Inln(x.y) o tege de conpodt ie p. Z, pmb.t i cI I ' csteplrlc ctrblll a lul Z ln rapon cu * , atcitutnd tebh teeii
") {, tkl> 4 rcorutderlm oFrrlir de compu!r r tr|trc6tor. Ft H =lfr,J2,fil,
,,,f,' *1, -
r- . ,r*t"g "r
a = lr,*) ese o parreC n pals dibile b rrport cu lnmuldrca
o {akl
-
A bl cl It..h o perr. ftbtu I h I4(C) tn rlDorl cu hnuldmr mrr.tcrto! lt dottd rrbl|oDaltfd ldu.. !. H.
f/- 'rf6. n. ,'
-ll' llp,t,c,aez,..t-"+Alc,t4tzl. xx"1t cr fl e!.e pc.r! ,rrbfl. s t,,tuc cr ' t -i{,tq(Z) lD nporr cu o[!!gr rte tornutfrc r rurr{cdor.
l ln. m r=]ee,u"rotl.r=[2' sr1.o,r-, " I
f , \r zx) ' '=I ' ' 'JQJ's! sc s|rt ' cr }r eltc part4
daull.lot I42(Q)ln nDortcuhmdlttr.r E trlc.loryI csrdlrr) = oo.f 0 r 0 l
Il.t corddldn.rtcer r=l o o -rl 1.'U."" r ={e" I, e,v.}c,urrrrr. *rtrp "rl - r o olf |t. D|n d.bfi r lut ,^/t3o) tn mport cu hmutdrt{ mladcetor, Alcttutd ,ablr opersldtarln Il10. P. I!. ddlna|t leges de cornpod$e . pdn r.J=r+r+ry.StsdetenDtne,Rastfdttt lt tntd{n r tr = [a,oo)sl tle Dorte srrb lrtd n h mport cu tcger *,10, P6tu ce vdorl .tc por.rmtfulut rct a, tDtervalut / 3te prlt lrabll . tut R ln rrpofl cr'n." trc$udta:ll x r t e xt -2r - 2r + n, I = \\@J i 2) r*, =r+r+rxJ, r =l_!oo)2t. .P. n ! ! d. f iDqtc leger de compodde r*J=ry-a(,+y)+t,c,Ain.Srsearaecr {a,oo)ri. FrtG.t blt !lut Rln r.port or * drcl,llurnri,trcLb-a2-a10.22.+A L! d pft$. tlDli4 d lul C ltdtre f4a,tehnl|urc sutr:{ol, u,,{oluu",'
N', u- = LF =n.- ( t t
r.3. pRopRrETATr GENERALE ArE LEGILORDE COMPOZITIE
ln cele ce ulmeazl vofi considera shuctura algebrici (M,*), pentnr legea notate xvom folosi denumirca de legea star (sau stea).Pt. Asoctsdr'ltsaea
ln membrul steng, (r * ))* z , sc cfectuear{ mai lntei calculul din paranteze, r + y $iapoi rezultatul acestuia sa ,pompune" cu
"
ln membrul drept efectulm operalia dinparanle?r, )r,z ti apoi calcubm r,*(y*z).Definilia spune ctr indiferent cum am efe.tua calculele algebric h cei doi dtembriobtinem acela{i rezultat.Din acest motiv dacd legea * este asociativtl, atunci se omit in scdere pamntezele 9i seScrie simplu x*)"2.Vom da acela$i nume sfiucturii algebrice (M,*)definitn prin ,., adic! vom spune cArste o sftucturtr algebricd asociativil, sau spunem sirplu cd legpa * este alociativd pe M.
o prrte dablu a lui M ln rapolt cuM, atunci * Itrmene asociativ! si De I '
qi dactr * e.steasochdvtr pe M, atunci * Itrmene asociativ! li pe I{.
ildet spus (4, *) devine o sbu.tur[ algcbrictr asociativtr.Spr oxcmplu adunqrea ti lnoul'jrea mahicclo( din n4(C) iunt operatii asociative.Dac[ tt estr o pafi srrbill a lui ,44 (C) ln raport cu ceb dou! opclrlii, atunci (IJ, +),(H,) sunt 8tsucnui algebrics alociativc.Pcnuu H={-l,UclR, lnmultirra eEt rsociativ! pe ;I, doarece erte asociativ!DalR.Observsfl, 1) O lcge * nu sre alocladv! dac! xlstl, y, z M pentru cafe(r*y)*z-**(y,rz) .2\ DrgA \, x2,,,,xneM gi,pc M lcga! * cstc asociativ6, atunci pri[ cornpunqea.lcmcdtclor datp (ln acca ordid.) lnf.lcgdn \* x2*.,.txn lcmnt din M oblinut Finrcurcnt!, PenEu'r = I cl estc 4.DacI am oblinut alanatul 4 *.r2 *,.. *41, uunci 4 r, x"*...* 4=\4*rr+..*41)*4,Drctr lcgc. dc codlpozi$e pe M eslc muldplicativr. atunci ft xt=xf2-:r,=j=1-(4r2^x,-)xn, iar llt notalia aditi\d ln loc de produsul elementelor \,r2,.,,,tnlvcm sumr lor .q + 12 +.,. + r, =
l4xomple cunoccuk d lgi osorlstivel. Adunrno y' bmdfna p. I{, Z, Q,I, C ernt Lgl e&drdy..2.R.u or.q lnr4n cfl! !. P(M) lurt LC.!odrdv...). Adub.Er tl conpureror n|lrcfnor pe t(M) luri legt .lodrdve.,t. Adumtla tl ftl|nrl0r'8 nat clor pe ,44(C) suri l.gl.rodrdv.
l ,
-
L l lc}1. {0, r ,2,3,4} g apncaf la r*, '=1. '*Jl , r ,Jn.Ar ef icr * esrel.to dc conpodde g sbbilltl dacl esre $octatlvi-l( tnbh aplicafii este dat6 alilurat 9i se consrad ce , { ) H, (V)r,)eIt.priiuflnM! aplicalia esre o lege de comlozige pe H lgea nu est alociati\d &oatece a\ista
l irrqt(.1. hgl trrlr\ori tr(r , r i . l . loroo De R.Ar dmci(rhu r,r , r( Rpotrrrucar (r_r)_", , , -(r r) . or=s,r=r,| - - . r .Ar nct ( ' - r ) .=(s r) ( r )=4+3=7rl t ( r_ i )=s-(r+3)=r.com ?*1,{edn(tD ctr scddere. p. ln nu crrr oso.tatvn.L lrllonnh de nultlhi pe ?2(R).r , r . / = R, 8=(0,-) ,c=(-6,0). Aruncr (a_r)_c=(_co,0l_(_6,0)={0} $^
(r - c)= R_ (0,-): (_-,01.Dd (,{
- r)-c + A -(, -c).
ll. Pcntu o slr, cI t/ carc Oulc Nrul'l|n tr lui.r(n) ln nFm ctr opcratir dc con)puncrc ftbuic vsincrr cd:ln)h,t"c ' f l+h"l , r t . rr t r ! (m h,. / r .R ,R $ . / { . /a{ f l - f r { ,a{ r ' t - / r( / ' / ( . ' j
-
r i t = t l ( ' ) , (v)r R.A9!de /r . t , = t t } l d@@@din 4tN* =]t*t l* .Sc $ie c! itrtotdouna compu@r fih4iilor pe .F(R) este dmiativd. A$rnci ea rlmare la fel 9i pe
s. Pe R-(-r,r) rklrllll lc8.a r*J = Arltrd cl ace.ltt lae ldue pe(l,qo)o lesp 8lociadvr.R. Airtltn rtrai li6i c! 0.6).stc pattc stabil[ a R - (-]"l)ln.sport o *. Fie 4 / > I $ sn alntim cn:
'.
y '
r o "FllFllli
>re ?y2 -
12 - y2 +z> t* (,, - r)(r, - r)> o, ."ia.'t a-**
A{!tu ((l,),*)estestrucrur|als.briclS[ PIoblE &um cl * esie o leg. asociativ!, adica s! demomdtn c!(r- r)* z = r*(r* d, (v)ar,:e (t,,:o)Avcm: (r . y), r = 1/ l ) ' - * ! - y ' +2t z=
,-= l \ " r ' - t ' - r '+2)z ' - \ i :y ' - x ' - y '+z)- z ' -2 == {('rz)- -t, '} '+,'r '+ ! 'z')+
"
+ r' + z' (2)
!222-!2-t2+2=
,-:;-;-;----:--- -----;------ ,= l r ' ly 'z ' - !" - z" +z)- x" - \y '2" - r ' - z '
-2)+2 =
t:--:;---7-;-;----;-;----:-;i-- ;---;={(ryr)--(r '} ' +r'z' + y"z' l+ x' + r' + z' . (3)
Dln (2) ei (3)r.zul6(l).6.Pe n il.ttdm l.Ses de comDodFe r.J=.r+ry,r,,R'.Iht rnl tlpGa,r3fifttclthSoo d ne .!.dtdrl.r. coodilir pc ru alocinivir|t a bsn c,te: (r* )) * z = r* () * z), {v)r,r,r e R sru(c+t/)* z
-r*(4y+r?), (V)r,),! R sru lncra\or + b!J+ b.= ar + b(rr + r.), (VI'J,? R) srutn fincazr+abt+bz- at+abt+,2r, (v)r ,y,r R, ( l )
Cum (l) @ ld pcnt! oricc vdori rslc de lui r, ), ., rtunci lr. loc.vidcnt t pntru r = I,'.
r -o
ctnd obtinem a'=a, (2).Dcoscmcne{( l )arloca- ipentru.r=z=0,r=|ctudab=ab,evideni lnf incpuntudrn( l )r r ) = 0, r= l.ezulu r= 4., ).
012340I23
01234101232tot232i0r4321Or i l, ) = 2, z = 4 ptrdu carc k* y)* z = 3 +'+(i, * z)= 1
,1. P6 nrddlnea nul[Idor rtlt R dd n tess de conpodde r * J = {/t , ArItoS c! .cts.i rseL. vr trlbui s! s&im kei numerc ,,),2 e R pentru care (,t*y)*1*r*(y* z). Alegem r=l.r=+z=3pnuu co". l .yr .z-Ff , r=f f i I * -11.4-r . { -=f f i=m.nvldcnr V3V-2 = V-5a +V-6 .J. Dcnnlm pe R lgea de conpozl l le r*J=rr- .r-J+2.Arltrf cl l3a * Indoce p (1,2) o tgc de cotnpoatde aroclrdvi,R. Am v&ur la prcblchs rczolvatr 3 din pangratul de la parte shbiu ca (l,2) .lt parte stabil! a rui RPcntru d proba asociativirsrea leeii rrebuie s6 demonstdm cU( r* r )*z=,,() ,*4, (v) , , ) .2 (1,3), ( r )Col.uun membrul sttng d egalirltiig aveml
k* ))N. = (a-x- ) + 2)* z=(q_t_ y+2).2_Gy _,- !+2)_.+2_= ryz-\4+ yz+ t2)+ r+ ! + z .
M.mbrul drcpr al egdn4ii(l) sc scrielr r (y * : )=. t r (yx
- y
- 2 a 2)= x(yz- y- z+2)- t - ( rz - y
- z +2)+2=
= "qz - (r1 + rz + yr) + r + y + z . (3)
Dln (2) 9l (3) sc deduce (l ). P.in unnare le8a $te asociatiw.L Fle H
- l /* ,R+R.tr{r)=.r ' l r N,}cr(R).r t )
Arlirtl cI lleste o pane stlbttt a lut t(R) ln ruport cu opmis de compunere . tuncdilor,llsorlr ope.atl. Induce pe It o lege ssodsttvl.
( l )
\2)
,2 !2 - rz - !2 +2.
l5
-
Dln (2) d (3). dnlnd conr c! d., * 0 ftduolm . r /' . I, ctr. v.rificl (l). A$d{r t6t!r r.y-r+} cstc
?i. A trd c! let.. * dcnrli| pdn: j r, = ry _d.t lrdnl pc t r, U o lege m_$et[ttvr,
t2 y2 - "2 - t2 +t, ,t el-t,t|,
|l. M|ll lnui a|Idm c! (t- I,l],*) care o strucrur ale.hcj, sltfl spB (V ),, , I_ l,1l +i+f .)t-l,ll. P.rru numte
',)l-l,ll, aris6 o,F to.,!l penEu caie.,=60, y=cGE. Cutc.. i .8.d.r i lesa * .re forna r* ' :cosocosp_lsinosinFl:cosacor9_sina. ing=.oor(q+F)t-L! . .D.nonrrrNm rnrDl cr lcs.a nu $t! alociativr do@ce ex *a ,:|, t = -), r=o Fnt!! cffe (dup,ur. l6 cdcurc) ( , ' / )*z=o,w ,-(y- r \= -9.*!d! ,ru pcntru or icc ar,zt-1,11 avm(t.y)*7-y.1y.r10. P. trNId|nce t r. codd.r! tcge6 de coDlndfh d.dnttl Ddr:
. r = qr - b (x + t)+ c,a,b,c.e nc. ddhtt hd. |I !ni. tltrle 4 4 d, p.oJru c. t.3.a d !e &odqdvt?R. lr8.t t c,t a!o.l.riv! d!.t al! loc.gatibrci (,,y)*z=n(y*z), (V)r,y,.
-
Un llt clc[iDnt imponod utiliarl lr) 0l)licrlii cstc urmtrtoruli
Dacd 1l ste o part dtl|blltr t lui M in mport cu legea * 9i duc6 ,tcste comutrtlvf De M rtunci * rdmene comutadva si De I/.
Altfol Bpus (tI,*) devine la randul ei o structurd algebrice comutative. De exernplulunorc0 $i lnmultirca pe lR sunt operafi comutative intotdeauna. Atonci aceste
opcftilii man h fel de exemplu pe Wl"lZ): {t + tJzl",t eQ} dace am adtat inprrllabil cd QIJZI este parte stabih a lui R in raport cu cele dou6 opemli()bacrvo$e. O lege * nu este comutadvtr dac6 exista x, y M asfel ircet t* ) t )*r.
Ilxcmple cuno6cute de legl conrutodval. Adunrra lnmulltreape N,Z,Q,R,C $ntlecl de.oBpuilie conutattve2. Raunluner, Interseclla pe P(M) sltrt lesi @nutrfte.r, Adunara il tn'nulfEa r'Dcliilor pe .r(R) sunt legi conut.tiE.{. Adunarer nrlrlcelor p+ ,rt-1d.u (Cr esre o lege comuiatlvL
Iixemple de legl necrmutr0vcl. Scldeler pe IR nu e3te conutstlvlLulmr
" 3,] =s rl avenx ,- ! =:2,lsrr -t =2, Aiem 2+-2.
2. Compumler ftrDc$llor p f(n) Du ette comuLtiyn. Lunm /(r)=t',s(r)=.t-1. AYem(,f.8)(')=('-rF p"
"a.d is..f)(') = 12 -1. Elrd'. tru pentu orra r en, (r-rf =l-1.
l)brerv.d.. Totutl.lscl se dl o submuttlne firitl E C J-lR, nl se ce m sl s{tim c{ (It.C eslerttucturtr dSebrlcl corutsdvI, atund se face tabla lgli c5rc trebuh 3i [ simetric! in raport cudl.8onah pdftlplta-3. Inrnultlreo Inltrlcelor p I4(C) nu 6te comutsdYn. Pdtru s =
A.BeM.tct.,l-,lo t].a=lt 11""",- ** ol={o ll ,, ro=[ll l 0J t0 u ' ( ru l l123456
I23
56
l ll2l3.l 25116
2. Fl. It r t r, 2J,4l tl D6 n brr do corrportttc: .I.r=i] -''Arllrl cr {H,.) sio.trucrurt n.conuirrht.
drcl . rS2 r l J>,
2l
123 4& Mulim.a fl nind fintrt vom fscc tabla lgii. Obtinem at&uar tabla.lh vc& cl pnt$ oriccr,)
H+r*y/J, ceea ce arat! cI allicalia * ese lege
lrlca;slc ;.6muhdva doaree t.bla legii nu are sinenic.d in mpon o dis8onelaFtncipl!. Dc erDplu p l (r- l ) ' { r- , >0
"deur.ar p.nt. "a* r> r .Dl rs.mcn.a r*/'.2.$l+1,-r;hff ,,2o1,-4t"6-r *1 adevrrar deorece r-l>0.,-t+r,
l8
^{t
l - l>0,)- l*1.
t9
-
l . t r i r , .*r . @dutat lvr drcd rr ! - r ,*x,(V), i , )H (+l+( ' -01" J) I * l I ( r ' ' l ) l "F(v) i , r ( r+r,-r / "Jt l 1u r)r"GT.1v1".rc n + In ! t :J rn{r-r)=-
h fi - | h() - r).(v),,, It .) ;r"() - r). In(r- r) = lr"('- r)rn(r r),(v)',] e ri,
r , t tb tuncf l l lo, : {1.2,J.41-1r.2,3.411 =l ,2.J,4def lnl tesdelrf ' , '=' l2,x=t I1'=1 l::,=l
r , f , )- ]2 ' '=2 ( f t rct i l i . teDrtcir r , , , , . l t ' '=: 12'x=2 " lLr=2, r , r , -13,r=3 ,r ' " ' ' 13.r _ I J3(r '=14.r_3 /a ' r r=la.r=Jla,' =a [q"=l l3,r=a [:,-=r.
Conddcllm /' = {-/1,12,.f!,/4} c /(l'2,3,4}) ti oprrda "
de coDPuner a tu|lcliilor' Arr'ati ci(f4,, c3te struclurl atsebdc! comutstivnt, Accst. tuncii se mai pot rePEz a sub forma unui tabt cu aloud linii
l t234l { r 2311 -
l l 234J -
f ln=11 z : +l / r=i2 r i aJ rs=lr : e : ] , r- lz
In pdns linie s trec elementele domeniului de defini$, iaf in a doua linivrlodlc tunctrild calculate in lunctel dollriuh.i de definitie. Acst tunclii
l. P. n||umcr fl -
{r, 2, 3, a, r} d6ndm .pncrsr : _L J = re!.d inpr4n |rt rJ prln 6. ArIlaFcl (It,-L) e.te o srructurr otsebrtcr comutrdvr.2, PG Eultl|ncr lt={r,X3,4}s coDdd.d spXcrge r*} E reshrl tnpl.frit lut r/ prin 5,D.momnra$ cr (It,*) ede 3Fircrurl .I8!bdcr ncollulr.tv|,3.Pol!ed.tuqtalege.d!cohfodtte.r.J=!x+J.tuItrSct,....rteoka6necomut{tivl.4. P. |n||fdn r Ir=(2,oo)!.corddcrrodtcrfsr*J= t,
-Z,-2! +6.tult Scr(E, r).3t ltrlcturl dgebrlcl conuhdvl.j. P. nulsnei It = (--.r1* ccnoat" rnlc.fl, ,.r =;ffi.Dfirorrtl.{ d (tt,*).3t o rtsucto dgebrlctr comutrdv!.6. P. nnrl$rD..nxn .e dciretre op.lalh rtgbdd k,y). (r,,rJ = (rr'+,,J,yJ,). Arfi,rd crr. r' .da leC. conutedyl.
n r) Io rl I-r ol to -rlt.H.n =Ur.h,4,{lc!r'r{R), und /r =l: :
"
,J '^,=lt oJ,4=[o _rJ, ' .=l_r olAdlrd d (tr,, edc o f||cturl.tglbrt4t comtrdr|, ude,,, ( .{reoperafs d.ftnr tjle arErdcdor.i. &"*ddd"={4 =[ri;!a ;)l, r"l. *o).D.cmxir4creoctu:rr$dcr (r.,.)ri. conolafvl, unde ,. t estc opr.fts de tnnulth i hlrdcdor.
' "" "
=fl'Jrl' ,1'*J1,,.*,,,-rr,=r|..1u,. *n s cr (,,,.)estc srrudu.r
xr. FIG', = t4./2,J'rl c.rrR - {0,1}L tr(rr = r. /2{r, =, -1, yyr = j. Derbo6lrag c{
(f,,").!t o structurl dsebrtcl comutdhn, u[de,,., este conpNalr tunqiilor.I r. Sc codd.rr t ={O@)-tl} d rpu-f" ,. y =,bii. turbd ci (rr,.} ede o shoctra aEeric{
t2. Po R . defln$t! le8r de compordfie deflrdtn prin .r *, = ry + 2dr + tJ, a,, R . Deterninsti., , pcnaru c.I. l.gea Glac ,sodadvl ri comutatvll.t. ne a,rn'. re m,,r6nea (Uoo)
'ldiDin opratis: ',=sor"*-rror,r,),>0, sn sed.t.mlne 4 , a!trel iDdt lgei sI fle comutodyl si esociadr{.14. P. n s constderl lsa de compoziFe x*y=(t-al"+w-a,x,JR. Lgls steqm
. t tv ldacl : . ) a=I ;b, a=-t :ct d=1 : i2
r t d =-- iet .=l t .
tt.P. R o.csr8ldedregeadeonpodtie I defirirlprin:r) r * J ='' +c' + lsJ + 3, v',)
r i b),' ",
= (2a +1), +(& +1)J _ 2, vr,)
R.fl .. dot rrtrlrca
n , $tfel hcla lc8a * sl ne comurrdva tr Ecrr crr.
23 4).143)
fz lt ftf\ Ja J3J+ fr JzJt lzt
IzhJaplnlcukE F nudes permudri d gradul paFu. Tabla legii este dd"6 aldirat. J I I / ID. dci r. vede cd lcgca . esre o lege de compozitie pe H 9i ii Plus esle /2 .f2comutativl dat! firnd simetria ablei ln l.pon cu diagonala principall.S. Ilo M ={r'r'c}. Ctte legl tle conpodtle se pot dcfint p M tt ctte J? | /adlntn acelter luna comutsdv!?R. Cum o lcg! dc compozilie asrc o aPlicalic /: n-' xlt 4 M , 4unci s $ie c! numkul acstor .Plicaliiooogrt cu (caro1vl)'d(MxM) undc card(ff xn )= catd(M) card(M) (csrd(M) = nunrrd d rlS.hdcl coErt{dya.!l.mGd. din M).lo carul nostd card(n4) = 3, iar cad(rt x M ) = 9 . Deci nwn&il d legi de clnpoziiie p M cstc cgar
Altfcl. Pcntfl cI M este o mullimc fflit! c poate mliom utilidtd tabla legii Pentru fie.are lcge decompotfi. av.n o sinerlrt tabl! ti Miproc.
. Am mafcat priD sLluF posibilele element rczulRte compunetd elemenlele mulimii MErie limpede c! necsrc loc marcat cu t poate 6 ocupal d. oricarc din lcme lemullimii M. Deci ffecare asdel de loc poate fi completlt ln trci noduri Nunllll lotal de
moduri h cnE se pot coqL6 todc laqnil mff.{te cu I ca egat cu 3x1i:.x3=3', 9i a.st
nun{r ftprezinu toare legile de conpozirie pe M.O tege de conpoziti deffnid pe o mulim finitl M est comutarvd dacn tabla l81i estesinnic! ln r.!on o diagonala Ehcipah.Deci ste suficient s! completIm locurilc marcaie cu * din abla przntrtt aLona!penEu c[ cslelalte locui m&lntE pdn . se conpLtazl Irin sitrtic ln lalon cu dngpnalaplincipab. ori locurile n,Itate prin * se pol ctmplelaln 3x3x3x3x3x3 = 3' Acestaete nu irul legilor de compozitie comutdive.
20 2l
-
I!
l ) r ry=a3a6y1" t 2)x{y r l r l2.r+2J+u; 3) xrJ=ry t l | . r t r }+6i10, Is n rc drjnDettc lege{ (l( (onrtr,rlllr
' {rlf(l:
n clcmcnt r" M se numegrdiiifriiiiEffita- pentru
legea * dact r*r=r,(V)xeA.
Un element e/
M se nudre$te lement neutnr la drapta penhu legea *
daci x*ed = x, (V)xeM .
Agadar un element eM este element neutru penhu legea * dacA $i numai dacd ecste element neutlu at6t la slanga cat si la drcapu.Dactr o lege de compoligje esti notari multipiicariv. elementul neutru. daca exista, senuttltte-elcme unitate $i se noleaz?i de obicei cu simbolul 1. Dacd legea este notat6editiy,-elementul neuhu, dactr existi, se numegte elernent nul qi se not!"ri d; ;i;;lcu slDbolul 0.Fie M o multime pe care am definit o lege de compozitie asociadva $i cu elemer{neutru eM. Pe o asdel de multime am definit codpusul a n elemente, n>1.Operalia data- avend $i element mutru. definim acst compus
,i lrntru /, = 0 ca fiind ?.Dacl operatia algebdce pe M esle scrise multiplicariv anmci defrnirn purerea a ,?_a alui .r
M prin ,' - {x x -rrn factorir' dace ,l > 0- le, daca n:0.
Avem evident pentru orice rM$io ce n,nN{.in _rn+n,({\ ' t _ xnn.
Dlcd M este inzesEate cu o lege de conpozitie scris, adjriv. asociarivd si cu elementncutru_o
M, arunci penFu orice .r( M Si orice|l N. definifi ru prin:,r - lr +t+ +'(n termeni)' dactr n>0
10, daca /, = 0.Au loc egalitttilelnx + N(: ln+ n)x, n(nx): (mn) x, (v) x
M, (v)lz, lr N.
||xcmple cunGcula tte tgt cu temnt neutrul. Adunsrt{ p N, Z, Q, R, C sre ca etement neutru n|mArul ze.o, cSnd evem:
+0= 0+, =, , (Y)r .2, Irnuldrr pe N, Z, Q, R, C are ca relnnr reutru ,uD.rtl Du, ceod avem: .
t . r=r. t=r, (v l r .J. Cornpunerea pe fln4 adiotte ca efement rcu.ru tundis idenncl de ta M r, M, rM. M -+ M,
{. Adun.rc! hatdcetor pe ,rt4 (C) e ca etenent neutru marricer nulI (cu roate elementele gale
6u r.m) notdl rlmptu Or .
a) rrJ=ry-3(r+.r)+zi 5) r {J, , . ! rJ-Lr(}+r)+r4 r) ' * r=zrr+.r+b+:.
ll ro dotormlne a,r,.
R , ss(tcl lN{l, h [c$re c!2, legca sI tle comutativl qi Boclatlvl.
Itl,lilcment neutru
Un element e
M se nume$te element neutru pentru legea *dactr pentru orice rMavem
lJncori se mai spune cb logea ']. admite pe e M ca element neutnt dacit re-e. t - : , . |v) 'eu.
Frtplul ctr o structurd algebricd (M,x) are elementul neufu e se noteazh uoeod prin(u,-."1D0c[ ln plus legea * este comutativd, atunci conditia ca e
M si fie elqment neutrupantru legea * se reduce la , * e : r, (V)r e M (sau e*.r: r, (V)rM ).Atmgem atentia cd elementul neufu e al unei legi * pe M trebuie si apar$ntr muuimiiM,D@] e e M . Nu orice lege de cornpozilie pe o multme admite element neutu.
compozFeo lege de compozte adTUte element neutru, aluno aceqtaeste unic.
DemoNtrotle. Vom arlta ctr dace ar exista doud elementelcgea * atunci acestea coincid. Avem:-r*et : q * . r : r , (V)rM, (1)x* e2 = e2 * x: r, (v)xe M 1 Q).ln ( l) punem t: e2$i rczl l t l e2*et:et+e2:e2, (3)iar in (2) facem .]r: q fi obFnem e1* e2: e2+ el: et (4).Din (3) $i (4) rezulti q : ez. rObderva$e. Dacl fl este o parte stabild a lui Min Iapon cu legea * $i dacd e M esteclment neutru pentm * , atunci alacd s 11, acesta este element neutru al legii indusede * pe mullimea 11.Astfel numtrrul 0 este element neutru pentru adunarca pe lR Cum 0
Z , acesta va fielement neutru qi pentru adunarea pe Z (A se vedea prcblema rem1va16 4).
neutre q,e2 M penftx
22
-,-
-
r. M{lrl$tr trtrlt'lte I,'^4(C) nt,tsrh'lr olc u|tt neuiru peniru op{nrth d. htmt\|ft en.lrl$l0r dln .{4(C).n }$ nn'lllmc! P(,rlt) a pl4llo. trn.l M'lthnl /lt ol.n.nlrl ncurru frtl de reunlunc Nte mulflmear\ l r , lua=anX=XJV)XP(M).hr$t ' !n{nh' l ncurru f r t l d interscl ie este nul t lmerr ,n. | | M. Mn.x=xnM=x,(v)xe P( l r l
I 1,0 tr'ulllmcq M = {e, 4 4 c} s conslderl lesc! do conpo'lllc t da$ pdn tsbhbrll{ilItNd).Hl e urote cI legor T dnlte eleme[f nuiru.| t t )hrcgAl id l i ls eT e =e, aa e=eI 4: . t ,bT e= eT h- b, cI e =ea. =t te(l.ducc c! . M cst elementul neulru pentd T ., . r ,o mult lnea M=(-6,4u(3,6) se coruldern adh{t ta r* I=ry-2( '+r)+6.Arr tat tcI(M,+) oete o liructurI slsebncllltrl elme mutn|,k.I,rprul cd r M e .r - 2l > I . Probdm cd (v,*) este structuo algettlcl' adicl * este o Iegedetu'npr i t ic F M ces ce Fvi te la t ardta cI (V)r . )n4+,*]M Avem ,*y' lc 1 -2A.custa aEt! cd din ,, ) lt + r *
'
e H , adic[ * este o lege de comPozilie pe Hl:ic
"
e H eleneDlul neuru- bgea fiind coNtadva trebuie se avemr* c = r,(v)I H {+ 3'+6(r+,)+ r0: r, (v)i s'{+ (r+2)(3.+5)= 0'(v) ' a.l)rcn r + -2, alDnci did ulrim ecalibte 3" + 5 = 0, adict.
-
-; I,
Accsr este elenenl neutru pentru * dac! vdncAm galilatea r*d:rC1pentru t=-2 On tvem:/( l / r l( 2r- l
_ l 4 z) l i l - " t : l - r0-r0 22 -r0- 2\ J] \ J] \
I l .Arllnll cI (fl, t .!.e o structurl rlgebficn Dearocladel, Dtomuratlv{ dar o elment Deutru.I P. mulflnea It
-
t5, 71 dnrim aplcala r * J = .tJ - 6r - 6t + 42 .Arll4l cI (Il,*)
6te o siructurn alsebricl avAnd elmeDrul Durru , = ?,J lh ,1=C-{j} os nnl|fnEstd C,I)t6ntnpe C leeadednpodde }rr=,J+i(r+J)-1r+i),Arll'rtl ci (Ir, T)
ste o tluch|rl slsebri.I asoclrtlva, conursfivn cu element neutru . =1 -i .t( "-
.-\ I. ( i 'Dldcrrm aJ=l l - ' - r l l4rn.ar4-0lc,v2rR, r i tesei de cohpo, ir ie p
-^22(R'l(4J d4I I6 o, l Ih b. l I a,h a,+d,b, ll . - - l+1. . - l= l ' . ' . "1. IxnoD.rrar i c i (H..) 6te o srrocrrr otsebr icdt.r d4l t,3 ,4, l4J+444 aaial
x lofvl, co elment neuinlIr^ n\ Ii rh u=ll: :lla,bezlc M2tzt -sr s. rnte cr (fi.relte sruclorr ar8brici almiativr cu\4 0) l
.lrnFnte neutre la .t!rga.rc|Iczinll elenenlncDlru.
25
-
6,Po n ro d.ttnette leger de tomfxlrlllo r.JErJ-2.}-2r+D,Dn,SIrodoi6rrdnvdor elul r pontru cffe fl=l2joo).eto o pnrto drbll! I tut R tr nport cu,,*(. tht nr n s rpotdcn.ntul neutru d leSll ,, . ., pe fl.
I I r - '0, ] , lrn. r=le(' '=l o o o I'er,'*|f c,v,,n'. e.rt d ci {rr,.} $ie stucturi[ [ - o r- ,J ' j.l:.brlcl .r{dsdvl, comutatiel! cu elemeDr neutnll.ll
.. dol4rnltre vdoile p$snetrulut rEil 4 $rfel lnctt tegi dB compodfle pe n deltrds prtrlI . J
-
d (; + J) - rJ sI fie $ochtivl rl comutadvl. Detrnlnrd elemoftor neutru,e. P. R|s ddtrc* leger de compoddel. ]=2rr-2x-2r+c,xen. Fr. I t=R-{1}.D.t nr r.d !. . peNrhr c.Ie (H,r) ste o srructurl rlgebrtcr ,soctritrd rt rpot plrclrsf ethenrtnautru.l0.Po mrtdl'rx R se coBtderl legea de colnpoztfe r.]=r,l+dr+rJ+.. SI se $ate ct
llxemple cunos{ure do l$tt cu otemnae stmerrtc.L Eler|entul muku ? e6r etemeni dmerrizabit. un 6inetric at s,u
lre et i nsuri, ? ,_ , .z. Fot! d{ rduD".ei nuneretor m'rlrat. singunl elmnr sirneriz.bit eslt 0 t?{ro), citnd _.0 = 0.J. rlrtr de 8dumrc pe Z (elerDetrtul neuFu
lre 01, orie temenr este sihttriz{bil (ortce etemenr
r
z !r utr opus+) dodece' + (-4= (_4+ J = 0.4' FsfI de lnnultlra pe Z (lelnoDrul nedru est r), stngurele etnente tnversrble surt I (evenddrn tltcol I ) g
-1 (avind silnetdcul -r) ctnd r-1=rri {*r)-l = _r.
s. FoS tls hrn ft p,14(C) (elemDtul Deuru e3ie ,r ) etnEnrere drEhizaHl suDt llnnlcete I cud(.q +0, drdoi nErtcd a ffrd mtdca tnrcnr A-r ,&n *A-r=/rr.e=4.6. FatI de conpunorea p
'F(M) (etemenr neutru lte lM ) elemeDrr stnor.izab e smt tuncfiilebllerdve, deoarecc o .pticad / sle inversabitd trac! numat d.c! e!.e biiecrtvr cjndy.1-r = 7-r .7 =r, ,l.$|', * " este $odativr drcl d nunrt dacl .dnjte lenert reutru.
I l.Po n !. definEtt lsoa ,, * ,, prtn: r *y = ry-(r +y)+z+,6, r,r en.l) tuItrtl cI lese. , I i' oite conutauvf tar lrE,oo) este pane s..bi[ a hi n tu raport cu r, . ,/.2) sr
'e't,ern ne r [!6,o)*aa rncat r*r = r, vr e lJl,oo).3) thtelmlrrs elcneDt'd De"m ,r r"9r ,,
-
" p. ["E,-) .
ll renm . e (Jz,*) n"ar sr se dcrerdne y q (Jt,o) o* "u"ino.er4i" o * y = r+,6.
u.Pe R s cotrstderl lcger de conp{dde * defiDit! pdn r*J=ry+srraJ+r, Si sd.i6rhlne a,,
n , sltfel hclt legex sI ldmftn ebnent neutru.
P4. Element simetrlc
Dettuttle. Fie (M,*) o smctu[ algebric! cu element neutru M $i
r
M . Spunem ce un elernent x'
M este un slmetfic al lui .r in raDon* dace x,r ' = r '* r : ,
Dacd existtr r' cu aceasta proprietate, spunem cil .x este element Bimedzabll, ln mportcu regea * .Str observlm ctr x' este simetricul lui t adice (.r')' = r.Fscem prccizarea gi in acest caz ch simetdcul lui .r elementul ,' trebuie sd apartintrmulflmll M. Deci odati glsit .r', scesta trebule si fie in M. Dacd legea. * estecomulativa.alunci.r 'C M esle simetl icul luixdac6, x+x -
"
truur'*,: i t .CAnd bgea este notatd multiplicativ, vom spune elernent inversabil ln loc de sinretrizabilfli element invers in loc de simetdc; inversul lui .t ." u" nota cu ,-l
"uo 1l
Dac! legea de compozitie este notattr adltiv, vom spune opusul lui.x in toc de$imctdcul hri ,ri oousul lui .r sc vA notl cu -r,
Demonstr4ie. Fie /, r,, doua ebmente simetrice pentru r Avemr*.r ' : r "Fx:, ( l ) $ ix* t " : t " t rx:e, (D.
(2) (1)Atunci:t '=.t '*e:x'x(r*r"):(; ,xr)*x":e*r ' : .r"qireoremaestedemonstrari.rNotolte. Dacd (M,*) este smctura algebricd asdciadvi $i cu elmelrt neutru, atuncinotdm U(M) submulfimea elemenrelor din M simetrizabile in mport cu * . Asadar
.r
M, defi nim pulerea negativa x -", a =. | . prioEnte clar cd x-' esle invers eentru I , (r, )-
t : ,-, .
Anrlog, daca legea de compozilie pe /t-t. e\re aditiridcfinirn(-n)-r,n ) l, pri"lr;tr,),;ei;l
gi x M are un opus -r anrnci
Btte clar cd n(-r) este un opus al luir?.r, - (nx1:n1 :t1.
26.- t 2l
-
II
Domorntmfe. 1) lrrbuie s! probtun cn (* *, y),*(y,*.r')= (y * x,)* (.r* y) = a. avem(folosird asociativirabea legii * ):(r+ y)* (y * x')= x+(y * , ')r,c'= x*e i x,= x *r.=,,i aralog(y'*.r') * (r * y) = y',* (.r \ t) * y = y' * e * y = y'* y = s .Docl .rr,,este siroeaizabil 9i,.).*r,este unicul s[u eitrptric (vezi tedena
TrorGmI. Fio (M,*)o rtmctur! Elgobrtcl alocls0vl ii cu GlGmant '|Gutru.Atunci:
l) Dactr gletnent lc r, ) M Bunt rimctrizabile, atunci compusul lui , cu y08!c simctdzabil Si mai mult (.r,r y),= y,*.r'.2) DacI elementul x.l!t este simerizabil, simetricul stru, .rl este. de88cmenea, simeFizabil ii (x)' = x.3) Dactr ,
M este Eimetrizabil, iar y
M nu este simetrizabil, atunqit,ty,t*xeM nu sunt simetrizabile.
p$c.dcntI),
(lo dre{ptr) h rsport cu ,N dactr
::",3d""" z s. ddtnede tegs de coDpo?itie x@J= rstul impr4i,fl tui r +r h 6. FieH r {0. t,2.3. 4, t cZ. AIi.!S c.(n,e)) .e o s.ructuri aleebrtc.. DeterEtMg erenenrete||m"H,rblle dh II tn raport cu (E .& Tsbla hcii e6re da.a ar,ruraL. * ol0 | 2 j 4 5
*:3;T,:ff9:"1,"1.,,e8ijes,e.=0 tlTr--r4-P.nt$ a d..emina si,'*nicur ""J.r.*"i, ",:r,
urv I z r 4 5u*: seurm'ftgepeodzolararui,eremmtur"i if j"=Tttr** r Jr z : c s oi: q'Td!.r coloane I F car s s.5.qre ? 4 rtpreand si,1*lri""ii;
- - 212 3 r50 r
i**["f"trJ,i$:T5':]d;;,';ffiilil;;ii,1t** ; l; ; ; I I ;D.ci _o=o . t -5._2=4,_l_1. .4_2,_5=
::_Ty:-|ne!.I:" rco|e n denrim resEa de coDpoziFe r _r =rr _3{rrr)_r2. ArltaF
2) Rczulgdin definilia elenentului simctric (observend c[ .} ,i ,' au rol simeric lnrccrrt! definitie) gi din unicitatea sa.3) Prcsupuncm prin reducer la absurd, cd elenpntul z=.t*) este simetrizabil.Atuoci ti elelllenftl .r'r z (de la punctul l)) e8te simenizabil.Dai avcmr\z=rl(r*y)=(r1.r)*y=e,ry =y, cee ce lnsar'nd ctr ) ar f isimatrizabil, Conhadictie.Prin uroare ** y nu este sirng&iz8bil. Analog se arate cd
'
*, rlu este sirhetlizabil. rObrorvaltl. 1) Alinnalia 1) din leorem! spune c 6 (u (M\,*\ este o stmctur[ algebrice,adictr
' este lege de compozitie indusn pe U(,f) de legea de compozi$e de pe M.2) Daci legea este noBttr multiplicativ. atunci aceasE afirmafie si transcrie
, . - |( fy l :y ' r ' .Dactr legea esre lor4ttr aditiv, atunci -(r + y): (-y)+ (_.t).
DefirdFe. Fie (M,*)o openlie algebEid avand 4 M elNnent neuuu lastenga (ed
M elemeft rcuru la dreapra) ii , M .Spunem cd r'rM (x'deM) este un rirnetric al lui.r la stanm Oadreapta) ln raport cu legea * d.ct
r 's* ta=es (t*x 'd =ed).
Sc mai spune ctr r
M este rlmedz,qbll ls itdqr.xirttr r'r
M (r'd M ) pcntru carg ,r'r*x=cs
il'f";"ff**g:t* comutrdvn' ad'"ite er.,nert neu*u. srrbirirr ermeDrr simetrizabrre
E Sc vdifica prin cdcul alociadvior! ti comu|ldviral3 legii. pennu delf,minars elemennrtui neuiru1
, R .udti:drn
defidt,! acesruia,.. = x.(vt, ( n * *_ :k "
* rz =1.]il;;^:'i r "{r-3)= 4(,_3). (v)x R.D&I r+3 rzutl!. = 4, ptrrru r = 3 se vedficratam.ntul ndtrv paru lcsea T ,
imediat egditaH 3 i 4 = 3 Atadsr P = 4 FPrezjndll da.nninaD acun elerndEle siltErizjb e. Fie r R 9i x. R 3im.lricut tui x tn rqon cu T A!rm:r*''=4
-
Avem de vaificat c! r'M. Evidor
D.i (V):! M este sinetriz.bil.
R. Drc! r > 0, i * l, ) > 0. y * I -| r I t > 0. x { ) a I , ce! @ tnseamnd cu ,, N,, orrc log de
Pnn calcul s6 vedficd aeciarivirarca tl comululrvrrstco t.gii. EtenenDl neuFu & M m pmpdellrea. tN'r =, , (v) . teM setnr ' rD! : , , (v)x M 0 ti r'+1 (&oarecedacn ,'=ta1"6i =1o l:u, tnO.lnt
s.ne muftime{ a=p+ ilal ea,a2 -sl? = r}c n qi op",{i" a" fi'lnutitre pe R. Arnrti
d (M,, este o shucturl algebrtc4 ssociativt conutlrtvr, cu eln|nt neutflL Detmtdali.l.q.Dtpie simeirlz3bile ditr M ln rapon o tDnulrir@R, Si lrnrim cd lbmuldres p ,tz este ri tege ce orp6aie.Fje r
-- a
-r\6, ) - c I dJ5. a,b,c,d ( e. a2 - sb2 - t,.2 sd2 - t.Lve]m ,y=ac+5bd+(dd +rc)!6, unde ac+sbd,ad+bc.e $i (ac+sbd)-s(an +bc)2 =' \a ' -sb') \x 5d'J- rs idai r r .M.Cum MclR, id lmDltirca pe IR este asociativn 9i comutativd se.leduce cn rnnane o aeleatipropriet4i ri pe subruIimen l"r.r ie r-d+P\6cM,c(pq.c2 Spz - reremorut neDtru. tebuie sea\em:xe: x,(v)x e M 4+ ar'+5'f+kp+,o).6:4+r\6, (v)z.D ea.
-
las+s,E:a . .D aicirezurtd ${emur: l"i ff_-|".o..t.O. ", sar - t.Punandd = l . r=0inpf i ro*uat ie Rzuld a- LDin a doua @ualie.ezuld @n d- 0, cand p:0.
oeci e - t+0.6. v. h'z -s.02 - r).Ob6ensfie. cum I esre elemnr neum penru 1mDlfta din R. ie t- | I 0.J3, rV , anjnci (amvdzrt la panes tortici penlf,r element neutn) cd I esie de demeder element neurru !i p mtlit@ M tn
S! dererminim elenenlele s i t r t r izabi le. Fie x=a+b. l \ ,o,bee.a2-st2=1_56snsim, 'M
pcnnu cm r, - l*. =I-, - --+-= ";! !s,
-.-615.De.i x -a-t-bt,[s| M,'
d '
] ) .Jr a, _\h.
dcoar@ a, -, Q 9i a2 - s(-r)'? : I . in final orice elenent din ,r ate simtriabil (invmab,l) tn
rapon cu inmuf l i rc& Din teM -x2.,J. . . . . ,n. . . . r . (v) , s ideciMqLe inf in j ra.
6.Ee E ={!rJz,h,felcf,(R-{0}) clr oFrafs de coquner a tunctiitor, nide /r(})=r,49=l.7.rrr--r ,7arrr-- 1.I "_.Arrt8F d (Ir,tste strudurn atgebricn ssoctativr, comtrtafv4 cu lement rcuftL Strbititii:ffiff;ff;315?'"{#J:*'' c'r operaria de conpune'e'nloldeilna @npunmr tuncTnbr esre Nciaovd. D.i
,i pe tf dnane Is fet. i*mutalvitaba bgn Ezdtn din t"tr+ *"*tn niro srtrrnca in rapon cudiagonala principau. Elemenh, reutru este i .Oh.nam ca pe fiecaE trnje . Bbtei apm eleoenrut neuEu lr.r toaleo|ctrnrete sunt simEiabite {tunciite sunl inveAabiter sr aven;
fa' : ^.
t;) = f2, t{t = h. Jit: fa.rne a =lA.- e
^a2&tli-= [l . -t],". o., I
I - - r ' lo I i -""-rOi sr se arate ci inn"l t i rea Datr i ( t lor de pe
,^4@) induce o lege de conpodli asoci{tivn, conetariyl ,i cu etelnnr neurru pe ll. Crre sontdemcnt le dmetrlzabile din d ?R. Si arntdm cd lnlnutirea este lege de corDpozirie pe ri Fie .4b , 4 e 1l g sn p$brm c , Aa . 4 e H ..-.-
-
. !. a-r\lb b t) (cb ab t\^"'" ' +'u--[o
' ] lo , l- lo , l- eH wo",,a o.o*o'ot+0.
lnnulFrea Mrricelor.sle 'nroktquna aociadrA. Deci dmrLne t, tet si pe H. Cxm inmutl,Ra mdricetor,h genrEl, nu-i comutarird rrebuie sr lrntnm cn ,4a.ts = 4 . A", lV) U. 4 e E .
Od awn Av 4 = A"b : Ars -
4 .ab (pentru a doua egalitale an utilizat conutativirstea innutiriil6n,ab = bo:1-Olsim ln condnude elemnnil neutru at legii. Fie acsl. & // .Trcbuie st avm ,.1a.,4b: d , (:r)A" H 1+ A", = A.,lv) A" e H .Cum ,a, = 4
-
[t. o "l Ii L.o'ddor. a=llo r ol;">ol ,r' r cI lnmulCltr nu.dcelor dln Mr(r) |nlucc Fre H
I t ' o. l Io h|. & d)m@Se osoctodvl. comutrtlvt, cu lement neutru'thr;flnhr el.meDtte sln trlztblle dn f, tn rapon cu ltrmuldrcr.|{. flo vonfic! imcdiat ct (v),4",4en +A! Ab:A2obeH la,b>0+a'>0) Imu{ira||||trlc!k'r ost! lntold.run aso.iadva, deci la fl rlrnene $ pe Hf '.dru comutstivitate AvBm: h.4 = hah
= 4 4.1v)An,4 e H .lifomonrul ncutru ,{H@ calitaL{ ce A" 4=A''(Y)AneH
-
I.4. STRUCTURI AI,(;}.]BRICEAm vlzut c[ dacf, pe mullimco novidl M definim o lege de compozilic *, atuncicuplul (,u,*) l-&m numit sistem algcbric.ln ianorrl, dacd M z o , ali.)nci numim structurtr algebrlc[ pe multimea
'.
oricelhlgtuttr dctcrminatd pe M de una sau mai multe legi de compoziFe. acestre ,egl lunqNDuro unor condidi (asociativitate, comutativirale, . ), sau fiind legare una de altaDrln rnumite relatii (distribulivitaEs unei legi de compoifie faF de alta).tondlfilc la cari sull supuse legile ce definesc o sEucturd algebricd ti rel4iile deLrltuiN cc cxis!tr tfi a;ste b! coastiruie axiomele s$uqurii respeclive. Numtrlulbab! dc compozi[e ti axiomele camcterizeaztr speci. de structurtr considerad. ,
-Tooduc sxiornatizate (numite si sis@me axiomahce) sunl teonl lPotelcNeoucove rncu! tlrocnii nedefnili (primitivi) 9i propoziiiile primitive (axiomele) sunt expuseorDllcit si comDlct de la lnceDu!.noincritete & se au ln vedcrc despre ansamblul de axiome feaali din Ferenliile;uDrs unci borii axiomatice, gl auume: non contradlc$o adomelor {Atunci cend ln
rtiun nu pot deriva siEulra! o propoziFe 9i negatia sa). hdep.ndent! rdom'lor(nlcl una din axiomete sistqlului rl nu poata fi dedusd ln inleriorul sistemulur'irdliz0ndu-te doar pc celelalt) fi complediudlnea axlomelor (pretinde ea tutreagataodo sl 8e Doaltr deduce ln cad$l sistlmului).h oae sruir'rrile algelricc pe care le vom studla vorn avea silualis de mai jos-: dat6 lirndo rrultirrM * O-lrEEstmg cu o 8tructr, alg{tr^ d' M'*A,M'CM
' ^tEncinumim rtructurl lDdur! pe M' de stuctura lui M, sruchra algebric[ determinatl debgllc induse p M ' de c6tse legile care dfinesc skucfira pe MSicpunco adcsoa c! stuctura dati pe M prelungggte structura ce o iaduce pe o pane a1ut M.
d.ardton gmnErdd dmr$t. Mlrde rurdrnddrtr Cermon Dsvtd Hlb.rr (I86jll943t ! Igrtr sInaolve (1E99) de o nnntrl $ttficrtosr d6dta problerDr c donudzad dorE rH nO d6;r.Anmrlr.Is orltrdtdl (1889) r fod l..ltirllt de Ert.|rlddlnut trrlar G|lE;Doe p![o OtS&r932)(l dlorE). Teorh mifmihr a fo.t.dmdrsfi d! n|rr.mrtdrlrut selltr.lr- -z,cndo ffitr_rgfi:liO orlorEJ, rdu!|| d Frdrata de nsttmettdnNt Cermm Fl'e['rd ([91.i965).u. lu|[|I de eremprr {ptrlie pe ptrn mondt.t. Ernrrr.r. tut Erdtd se sttuerrl F tocut dotiupl Btble.
1.4.1. Monolzl
Defrdde. Clplul (M,*), u.de M * a 9i * esre o legc de compozirie peM, se numegte Epnoid dtca hgea * satisface unntrtoarele dou6 axiome:
M) lrgea * este ssodadvtr.Dacd , in plus, legra + verificn 9i axiom*Ittlr) Legea * este comutrtlvl,atunci cuplul (M , *) s nurDgte monoll comutrdv,
MrtrdvcltclemrEuruadrc.frt\tendcnam ftjt X,tx, x --+X,tx@r=d,(vJae X,rMEIl|D r mtftelo. de ordtn ,t co elenE r. dtn O l4(Cl n ) 2, hpreonl cu oFrrdc de
3t ur mmld recoEutadv, ElnHrtul neuhu.st. rmirtcla udtst I,.1 D&I (r{,.) st nonotd rmrtsptrcidv rrrM, fixrr, rturct n,=p =},},,2,-,{,-.y arhntrltlrta G!& lubo|onold sl lul ltt nudt srbDonotdul cictic seneral dG .r.{onentetg_x-e-11 siEenizabile in raport cu legs. , le nultlim elemnte 6imet lzablle
;Drcd (M,r) este monoid, atunci M, c M , M,- s pennu care [M',*) este monoid ll;nu6im sttbmoEoldul $onoidului (M,*) .'rttemple cunoscute & monolzit!' MdttrF| rutnerelo,r nrtulaL N fl op.rath d aduar (I.sFcdv d. lDEuItr"
rte ,nonoldtrfoutr-dv cu cl.menrul neutlu 0 (rcm) (r.lpccdv t (unu)).;, MutthEr nimcrclor lntr.st Z cu opciattr de artural! (r!p.cdv d! thnn dr) clie nonottE4nur.!? co erem.ntul mutru rcm (rclDccfv I (untt)),UDbr|n ltl|r|.r tt Z tonnrfl
'In [url.tile hrrcgt Inpo!. (norota 22 + I ) cu opIott. d. tnllulfl!.tL un .ubmonotd al M (2,.)I n x*@. Atrhct (p(x),u), ("(x),o)!o
'mnotd comutad*,t, cu elen nt neuhu u ,lfP.cdv x.l. no x-ad A(x)=(/:x
-+x,/ bitcdvrl c r(x). q$h (B(x),deste monotd
PIONIERI AT MATEMATICIIEUCLTD (330?
-
!?s LC.) D.ild SILBERT (166?.1943)Mltell4dcbn g.nBn
CONTRI'UFI coNTx.IxuTtr
Noti lftd(I. I o.tc, problsllu rxloln|{ztrtl lncep cu lucrlrflo lul luclld h dom'nlul gGonttfll'M.r.m d.nllor |..o_luhl rl XIx{.r l rcvln lmrllul d. a elucld. r(er.ll proltl'ml Dlcclnd dc ls
U(M) * z, dcoarec-Elementul niifr-?Fiffiire lui U(M;.
t
^
3534..----rf l". ,--*.
-
t, [.nhu momtdul (N,+), lven U(N) ! t0] , l.r peniru (N,')avem u(D={rl.r.ht ru (2,+) rvetn U(z)=z,l.rpontru (2,, rvern u(z)={-r,l}..r, t nrll| (r(xt") avem t/(-r(,tt = 8(x).Aln vlzut ln pamgrafele precedenle (la element neutru 9i la elementr simetric),
lronru o lege mutt ipt icative pe M ce inse,anm, tn 9i x- ' :(r- l) ' .neN.Anrlog tn cazul legii aditive arn precizat ce lnsanmd ru ti rcspectiv (-nI) .Pon[u monoid arc loc
Tcorema. Fie [M..]moooid ti x M . Atunci:1) I xn: l+n,(V)n,neN.2) (r '1n = rM,(Y)71,,95.
Dactr r U(M), atunci egaftntih 1),2) au loc (v)n,nL.
fremonsr ratle. l) Avem / xn:!r 'x... xl (x r '.. x) (!!;71:'^'^ 'nl m
D4c[ r U(M ) , atunci se face discutia ln cazurib: um0 'tftlt !rh4=l 4 =qri+r=rr+re-r,*.*, *r={
l r 0 l ll0 0 01.u 02,:;p{"-**""'*"'""'"*"
,.o**"-,, =fli : :), *," =, *"."1.
rF- n r \rrrraoo,u={rt lre-}."*
^=l; ; ?l' (r' o rJ
Deftdpe. Fie c*a ei * o r"g"A;G;rititp"Z$i;i6i;nume9le grup dac! au loc urmEtoarele axiome:
ur) l,egea * este rsocistivd. adicA(x+ y) * z = x * (y * z), (V)r, y, z e C.
OJ I-egea * are element neutnl adicn (J)e e c astrel incar (V),
c sIAYefi t r* e:e * I : r
-C, Ojice element din c este simetrizabil tu rapoft cu * , adici pentrufiecarer G, existtr ,t, G astrel lncat
. r*r=)*x, (V)r ,ycatunci cuplu.l (C,*)se numette grup comut|tiv (obelian).
f4 o nr i l Ilo r o l*Nll4q o 4+l I
d apotcn (M,.) e{emomid.
l'lJ, Grupuril|ln lnicrmediul llof,unn de glup se pot aplica aceleari reorene ta mujlimi diferircIlllrtrarc cu legi de compozidt diferire.Mtllle matemadcian fradcez Heffi poincard {1g54_1912) spunea in legitur, cu acestluDloct: ,,La malhmatique est l.art de doruler le merne nom'ir Oes ctrosis a;d*enre.:.A3!at aforism subliDiazi un aspect eseDfial al (Iatema[icii secolului nosrru.
36,rI
-
$tlm cA elcmentul neulru drNil cxi,lil cslc unic. DeIiomono& simeticul unui elemcnl cstc unic.An$0mblul de conditii Cr, G2, Cr poftrtd numele derxlomelc Srupulul. Cet prive$te adjectivul abeliancl d6riv[ de la numele celebrului matematlcianroivorion Niels Abel (1802-1829)'l'oorli grupurilor coost?i in a degaja dio aceas6doflnltic toate consecintrle posibile. Se stabilesclitfol tcorcmele la carc se poate face referirc deflccsr. datd cand in cunul studiului se lntaheqte orlructurd de gup. Ilustdm rolul teoriei gupurilor inmltcmsticd pdn comparalia umitoare: boala M semlnifesttr sub fotma unei mul$mi de fenomeneF = lFt, F2,
-, F) . Printre acestea sunt unele cale
flunt determinante. adicl acelea ca@ srml $ficientepcnou a asigura existenla bolii Ml fie F':\F'r, F'2,...' F'r) multimea acestoriimptome, care este o submultime a lui F. Atunci card medicul a constatat prezentalor, el este in misurl sd afirme c5 celelalte manife$ari ale bolii (care aparFncomplementarei lui F'in I') vor apare $i in consecinli se stabileasch o medicamentalieadccvat[,Din defini$e se deduce cd un g p este un monoid ln care odce elerFnt esteoimetrizabii, altfel spus U(C) = G Reciproca nu este adevarati ((N'+) candU(N) = {0} ). Pentru uqurinF prezenttuii ptulii teoretice considerdm c5 legea * estelnlocuitl cu cea datai de lnmutlire (cand vorbim de grup multiplicativ) sau de adunare(cend grupul il nundm adltiv)llx0nplc cunoscute de gropuril. (;rupuri numcri.!- E emPle de 8ruPuri ablem:
. rruput li[itv al nmerelor rD.rgt {Z,f) ;
. rruput rdltlv rl Nnerelor ntional (Q,+) ;
. smpul !.ntia ar nwrelor rde (R,+) )t
. srupul rdlilv al Nmerelor conPlexe (4,+)i
. srupul multlplcrttv d ruD'erelo. nlionale nenule (4.,J I
. 8rupul multlpllcstlv d nunuelor reale nnde (R", )l
. 8rupul multlprl(stlv d nrmerelm tol'ehre DeDuk la',J.
. sruDurl nulllpltcorlvo (,r u" (t0mcri (U, ), ({0l,r l
. rn'pul nn'ltlDllorllv fl 'lot'Iol$|non$ ({*t,t}' )I
. truput nutrtplctrrtvcu rr.r o"*.e (tr.e,"rt,.) *a" e= -l+-i'6 .r.Gnpur adl.rv comurafv sr matdcelor d up (D,,'), (,,t,in/r (a),+).J. &0de ile grupud necoinurarive. rrupul apn.s$tlor bdcdrEto raporr cu oFrsli! de cortrprnerc {ftr4,4.Oluput (B(,lt),.)el iDsqt ri mat ats dteenet 6atc subsrupu.i trUn re srupuri de rrabformrrt!o[!Onte.un pomr- de plecaft pe ru ioat rplc.tiile prrctie pocibile ale teoriei eruDB or. EsL.r'c'e oc a InoForls iiprog.Mut de t! Edangd-, derertt ceteb.u, de Feli! Ktetn (is72l. csre ai:ffi!,:'d""*
de grup de r'D.tormrrr 6 t'r penru "t*G;;-n:;;;il; ;;,n ;
?_3I-t!4 {ltrlc4td pttrr.ie de ordiD "
o coefrcius re{li ,i cU derermtn nrul trcnut, tror.rlol,(r,t)..). Ac61 grup se bmEte Bruput tidar compter de ordin, IpR.. grupul cua&mionllor. Multii!a C={r,ij,r,_1,_i,_j,_kl cr opEFa de tmulire!.comutadrd {tst! * (-t)2
-
t, i2 = it = *2 = - r, ij = - ji = *, J* = -hj = i,ki = _tk = j,-,
= (-r'= "(-4, (v)" ec d ar6nd erementur neutru Pe r.
Defiulfie. Un grup G se nrr-"9te gr"p nntt a-i -otlimea?iGffi{i grup hfudl ln caz contrar.
Se nume$te ordinul grupului C, noar lcl, cardinalul lui c (numerul de
Orupurile de la exemplul I de mai sus sunt infnite (cu excepfia ultimelor t ei).Drctr M esre linittr. atunci grupurile de ta exemplul 2 de mai sus sunt finile.
l,Io rDulfima nunerlu ftrnsr Z s.rettnqre apttcrltn r*y=asy_2. SI se arlte cr(r,*) .rta u srup conurldv.l f .Drcl . f ,yZ, evident cf :+!=!+t-2eZ,.ee cE amtn d r esr.o l%e de conpozi l ieIE Z.V.df lcim axioEele gruputui comutativ.Ol) A$ciativnarea legii
' . Trbuic !rcbat ce (r* J)* r =,*
-
Oi) ( Lnnfirrilirr .f lrrii . . Avcm do domon|trut cU tr ) = )r r, (V)I,l e Z. llohlh do domonsht selnrcrli r+r-2=y+.r 2,(V\x,reL, coo0 cc este adevdmr deo@e odunqrc! pc Z estoomut0tlvl (r+,= )+r). Agadar (2,4 cst 8ruPsbclianr)lqcrutic. Alunci ctud ni se cre s! arlt[m c[ un grup este comutaiiv, dDpd aociaivilate sedomon r.ud omutativitatea legii doarec pcntru celelalte axiome scrim relaliile mi sitrplu. l)onm clcmcnt neunn r*. = x, (Y) x e7, (sN e*x=
'.(v)'.v'). D!nt! .lcm.trt simetric r*;':.(su r'*r = e ).l. Po multimee num@lor rcale R se considers aPlicalia ,T /- ry_5r-5, + 30. DtErmin! aceastil.g! po IR o strtlcturl de grup? Dar !e R - {5 I ?R. Evldcnl splicatia este o lege de compozilie P R Sa vedd dea se verific{ anomele grupului.Or) A$oiat iv i tarealesi iT.Avemdevenf icatcn (rTy)Tz=rT(1Tz),(V) ' , r , rRS6 colc'rlcarn cei doi membri qi glsim expresia rrz 5{.ry+tz+tz)+25(1+:v+z)-120.Ct Coiluradvitarea lesii I. ftebuie s! avem r I ) = ] T a, (V)r. y lR . Es.litatea se sne.ry-5(r+))+30=),r-5()+t)+30,(V)x,),R, cm est! adeviral! dacn inem sma decomutnivitate. prcdusului 9i sumi pe lR (ry:)ft,t+]=]+t).Or) ulcmenl ncuiru. SI deterninlm elRpentru car tTa=r,(V)rR Esalitate * mi scrie,r-5(.r+.) +30= r , (v) , Rsau'( : ! -5) = 6(r-5), (V), lR. Den r*s ' aturci a: 6. Maiddncsrvrifichripntux=5eCalitdq rTe=i,adic! 5T6:5,ceacesteinEdiatO4) Illcmcnte sinetrizabile. Sn vealem &cd orice rlR a{e un sibelric r' lR, pentru care iT r'= 6Rcsdi .m csal iHres sub torma s 5rr ' r ' -30-6 sau
'1r-5r=5' 2a De l ic i r ' - !+de,
.ti5. Atlde nu onc,R(r:5)@ simelric Prin trllMe legea T nu aetemina pe R o structurado 8rup. Dar pe R- {5} lega T delemini o sttudur, de SruP_dacn mi aratAm c[. t r15>r
-
\ +5({+r-5r -5) | 3o+5 c{x-sY} 5 '+0. evid. ) t i J-
-+5,45*
24+t-} '
.vldcno. Arada (R-{51.T) 6te giup.beli&. "-" #
.r. s. cotrctderr c =r- I,rr y' peG rplietia r*y -
4. A..ri!l (C.') ste on srup lblian.tl- Vdficim auomele Srupului abuan. Prcbdtn mi hdi cn ; esle o lege de conrrD/itie tE GFic I . leCi $ alnlnm ca r*JG. Avem 1O{+-1
-
6. &c.,dd."lmur m.'d.m 'rc.'
a-l[t-r . ' l i ' .u- []l.o""rrcr {o,1.,a8np[r r r_rn rz l ]
.ll.n,ll. ArlUm mol lntli ci lnmuli@ p. C csr.l.8c rtc compozlie.r , r r r '
^ , - [ ' -* ,
I ,J. , rJ. o*o 0, ,^, u c. ry. I . aurci
^ ^,-[' ,ti;?' ,!,i!r\,)-n-,-r"ec da.a r-y :a.] ua.,tur.a"o*""",
r / ' \ / r \r+y-14,=;-r l j rJ[ ,- i j
r r \ / , lc"',.U, r- j *,"rta {'-tJ[r-UJ.osa.r, "r-2r],*!.veriricamaiomeresrupurui.Or) Asociarivitatea inmuuni . IimDltira maEicclor ln M2(R) st aroci.tivd qi deai rnmane b f.l pe orubnullm. O a seO,('onrtativiltealnmulti.ii.Ft,4,,4G.Atunci 4.Ar=Ar+r-2,y=Ay+F2r,=Ar.A,,.eEa ce.t.tl cl lnmultir.a nsiricclor esoe comuhiird p C.Ot flcrMt neurru. Enst! ,4!
C altfl incer ,4r.4 =,4,, (V)4, e G sav A,+e-2xe = A,,(V),{,
C . Sc vdc cr dour manic. ,4r, ,! suot egale A, = A, a, r = y (deci dac.! iDdicii malicetorcolmld). Din r.lalia d! mai sus deducem i+e-2re=x,iede4ici e:0. Agdar elenenrd nonu
lr ol.n! ro=[0 rJ=12.O, Illcmente siDlctrizabile. Fic ,4rec. Sl ar66m c! xisd siDeti@l ,{r,c pentru care
4.A,'= l9r+ A,+,,-28, = rb. D. aici: '+.r,,2u'=0 ri d,i ' ,=;:*;. '*+. Dect orice
6l.rn nt ArG est. inv.Babil (p ru c!,40=/2) ln.apon cu operalia de inftltire obiinuit6 amltrlccloi ln tinal, (c,) .sG Srup ab.lie.
l0 I 0 l?. Il Imd.ea l=l o o -rl*-'rt*" o-{A,1,|f }. Ar af cr (c,.) ests.uplbdtltt,t*r o oJ
^{oor l -l(. CElcullm putcrilc lui A ri sEsiD ez:ll 0 0 ]ei Ar=1r.lo -r oJD.ci mullinE! G e doa.tli elcme distidcre c={r3,.4,,{z}.Toblt lcgii F G, {tad aEturat, aratl ci lhmultirca pe c sre tege deconpozllic. lnbtdclum lnmultira mnricclor pel,b(R) ) e$e asociativ[.D.cl rlnlnc h f.l i pc nultin a c c 1,6(R) .Elcmontul nculru .stc /3. Oricc lcmcm din c cstc irversabil ln rapon cu
, ,2
lnmultica: ,3*l = ,1, ,*' = 4,, (ot)-' = o ruo,a nrnd simetricr in nporr cu diagon.ta principald,lrupul .stc abclitu.l . sc conl lderr srsrenut dc ecuaFi l^ iare Is, .J2r-,-J2=0
-, " , .
'13'+lr-z=o l r r = l (a l .a2'ai) la i z)
nurFnea solutlllor l resi de sbrerDutuj rS), pr multhea s deffnln op{.sda de adunaft(.r'a2,qt +tq,b2,h) = tar r 4.a2 rr2.al _h ). Arnbtt ci (s._)ede grup rbeti*. --r, S. rcrolva sistnut9j E{riD soluliilc J = lt _I.I.l,4IZ|.Msr in6i sa obsenlm cA adsafta pc.,lj].:"_"
-**"tt". o*. q=(q,o2,ai, D=( ,b.Ds, srmci rr + 12 e s . se arat! cE q;s2
vfdfc! fiecare euatie. p.Dtru p.ina eruatie aea;te vrificare ffi nc \q+q-@aq'ayq1b)=OUt (2q-d2+3a3] +Qh -b2+3h) = 0, adi.,I 0 + 0 = 0. Asociadvira{q aduntrii pe S se ."*". io Ona lAtaodariviBra adunerii De Z.
lafiEntul ndlEu 6E dat dc sotulja bed! rO 0, 0) cm ulor s. \cnfic{ Ded r _ (41.4t.41I e S . aiunci-,
-
(-al, *a2,-d3)
,t , .um uqor se vcrificd.Adunarca pe S fiind comurativt, gnpul (J,+) esre abelian.Otupurl remarcabile
l) Grupurl de matrtcetlul tEcut aft vdzrt c! multimea manicelor de tip (zqn) cu elemente din R ,
-14^, tR) ,lO opralla de adunarE former?,tr grup abIar (48.A44n(R)+A+Be.t l1.l,rml);fhnentrl neufirr esre Om.,
- rnatricea rul6; _O:(-q) este opusut lui O=(r,,)),
ffotu.n : n are sens nrodusul oricercr rnaFice A.B e.tvhlR).
lb rubirba de maE ice pauatice de ordin n cu elemenle reale ,i cu deErminant nenul,Von nota aceasu muttirne prin cr{n,R): lA ,44{R};0", o, * O[i"""rii""*qLralta de fimutFre pe ,A4CR).At loc ufi!trtoarea:
Dmorslratie-. Sd obsendn mai tutai c6 innultirea derelminl pe Gr(r,lR) o lge deY,Mg". ry.e* din ,4,8Gr(r,R)sd ardtam ce A, cr(|,,tR), aail sa|t|$m cI det(AA) * 0, ceea ce este adevirat deoarcce aetfefl = j"
-
Ot) Amclrtlvltotea tnmultlrll rc krc pc CL(rl,R), deoarece arc h0 trloltloluna peM,(R).Or) u.mentul neutru este matricea unitate In 6'(n,lR) (arc det(I, ) = I :' 0)
Or) Orlce mltrlce AGr(tr'lR)oro o lnverstr (simetric) notatt A-r GL(t'lR)pontru carc AA ' = A -A: ln.
Alcl A- I cste chiar inversa matncei A. $tim cd A ar inve$l dacl de(A) * 0 (A este
o m0trice nesingulad). Evident A-l GL( n. lR ) cleoarece djn A A-l:/n si
oor(a. e- | ) = a"t1e1.6"1(e- I ) = r *-ra a"L(e-
I ) * o.
ln nnd (cL(n,R), ') esio gruP infinit.r
2) Gnrputt dc Pmuttrrl d ordln ',
Fb M multime frnitE cu n clemente Natura aceslor elemerte liind peotru noi far4lmDortsnt!, esle comod si bam M= { 1.2' ' t}Am vazui cl F(M)=lf tM +Ml lmpreuna cu opera$a de compunere a runcFrtoro0rc un monoial. considerlm o submul$me a lui f (M)'B(M) formate din spllca$tbucdvc (de fapt este destul s[ c6rm calsl lie injertivx (surjectivd) c6ci atunci/esteb{icclivl l)Un clcmcnt din B(M) fl numid Permutrre de gr'dul n'Elcmcntela lui B(M)le desemnlm prin litre mici 4le alfabtului grec o, p, Y' D" 'ln loc dc B(M) vom folosi not4ia s''Sub o forml dezvoltatf, 9i sugestivd perinutarEa aiM + M o reprezdntdm pnn( | 2 ,. n)+ domeniul de definilie",,,,^-, "-lo0) o(2) .., o(nr_ mulimes de valori,unda sc indictr ln extenro toatc imaginilei
t2. . .nor J t ,
o(1) o(2) ... o(n)a(kt, k =f,i sunt simbolulile 1,2, ... , & eventual ln altl ordinePc multimca Sn a permutErilor de $ad n am defmii' anul prcedent' operatia decompunere (sau produs) a pemutdrilor'ii"
-l"il,', J,i*r o ' t e s, so aefineqte lcompunerea obi$truia a tuncliilor) pdn:
o" t(/
-
l) (lrupul clarelor de reeturl modulo r, Z,
il! Z nullimca numerelor intrcgi gi r N' un numtu fixat. Pe mulfimea z dcfinimtttlrlkrnrla rclelie: pentru r, y Z spunem c[ r esto congruent cu ] modulo n dactrfl nun$l dscl r - y se divide prin r.Ago! [ rclalie se noleaztrprin: r=1(modr)
-
Saafvffc, SI ffrn stcni la scrlaror clrfolor modulo r,. De excmplu, te?a,6eV,3lU ttDndnal aceeatl mul$mo (dcsgrlott.lc). Fentru a ne feri de confuzll rc Dodier r 03e23 9i 65e25, sau 23=16, i , i1, iar Z5=qo,T.Z.r ,11. O ecr iereaf|Dadlolrf! pdate conduc e greqlt ta 23 c Zs Ih tultlmm Zn a claselor de resturi modulo n definim doui oDeratii:
+tZnxZn+Zn
ld,bl-a+b=a+b. numita adunaEa cl$elor (sUII)a claselor esreclsra sufiei). Cla6a a+, se obtine adunend a cu, si hand apoi clasarcstului de la lmp[dtuea lDi a + b Din n.
fl
, iZnxZn-V,n/^. \\4,01-a.b=a.b, numiti prodosal cbsdor {produsul claslor estprin defltritie clasa Fodusului).Clssa d., se obline lnraullind a cu D gi lu6nd apoi clasa restului de latnp[rtires tui a', prin ,.
Trobulc s[ lJ[ttrm ctr aplicatiile ,,{. qi ,,. ,, sunt corect defilrite,ln sensul cd fieciruiauplu (A,6)eZ,xz, ti corcspurde un unic elementa + b e V, n, gi rcsrf'4[,,t a, b ezn.Plo: d=,i ' t i d:t i 'Gig..tr. Arunci n+i:A,-i,,d!ocrlcedln 6 = 6' =r a =a'(mod n) + a
- a,in, 1t1
;t On ii=ii '=+A = a'(rnoa n)+b-b,tn,e\.Ac!m, adunend (1) cu (2) rezultd a+b-(a,+b)..n,&l(ia+b=a'+b'.Anrlog sc arat[ cd lildultirea claselo! este binedaflnit!.
\?.>
b,./
{"*\la*' ,
Contururilc lnchise=clase de resturif i&3
48
'.{
49
',t - 6 rabl6l. opon$llor d. rdutwr 9i inmulii.r! sunt
0i i3a30I23'4
5
000t i2?)24036642054
0063430243630423i i
loc unnltoareri
T.ortml a) (Zn,+) este un grup abeliaa:runit gupul rqdv sl clrsdorde rstud modulo
'rb) (2,t,.) est un monoid comutativ, lrl care grupul elenrentcloritrvrsabite esre U(zn)= tf eZnli*,n)=tl-
t) Sc verifrctr sxiomcle grupului abelian.Asdrdeter adruldl Avem ii(i+A =i+il=rTo +-;) =6;tTz =
i+ y+i=( i+i)+t , (v) i , j ,z ez, .linut scama ln a teia ega.litatc de asociativitatea adunlrii pe Z ).Elerne ul neutru. Clasa oeZoesrc ele4entul neutu ln raport cu adunata
, +6:0+t: r , (v)r2,.Dlemente opose. Odce clas, ieL.n are ca eleuent simetdc (opu$) olasa noa6
precis avem: -6:0-1=n- l-2=n-2
-k=n-k
-( t - l )=1.
(n- l+l=n-1+1=0)
-
0.)9d L'omutldv'|atlr tdunlrll. Adunurr clasclor orto comuhdvl dooarccr(V)f,rez, ovcm: l+9=ral-fi- j+i (an folosit tn a dour oialiialcComutrdvltst!| rdunlrll.
$nu||dvlt8tle adunlrii pc Z). ,l rolor am aretat cu (Zr,+) cstc g.up abcliarll Atomlnltor B velificl asociarivitatea, comurarivital inmu.ltirii cjaslor. ClasaI|Z, o c clstEntul neufu.|rm utor cI (u(2,),.) esre ur grup abelian.ll Sl|lm acum clcmcntele irv$abile din acest donoid, Mai Ee.is ar[t]m c[ avem:I ev (zr) + (t ,r'l =t .hn[u r . I avcm Zt = {0} = U(Zl), cend (0, l) = I ti erhivalnt! are loc.Flo rcum r>2.DanbnrE[n inplicolia ,, + ". PtEsupunem i
U(2,,) ti sI arE6m cI avem (& ,) = l.Dln teu@ r+(J)i,ezn aster tuet i. b=i+6=i++ rp =l(mddz)
-
Cuvlntele din trei blli sunr (2r : 8) .000 010 001 011t00 110 10t 11 1.
A$a cum am spur, tn tinpul transmiterii unui mesaj cottinAnd curihte dz k bili, unulxau mal mulli bili se pot recepliona incorect. Este important ca eroril.e sdle dc@ctate
pc cAt posibil corijate.Schena genetuld de trantutitere a unui nasaj codifcat ette:
Cele mai multe coilui nzcesitd addugarea urwr bili la fiecare cuvAft dil k biliobfinAndu-se cuvinte de n b$tEftmpl (controlul loriti$i). Fie un cuvAfi din 3 bili, abc. khzfia da codificareduce cuvdntul abc tn abcd mde d=a+b+c(rmd2),Dacd d = 0, cuvdntul abc ette par, iar da4d d =l , cuvantul abc este inwL
ttrtrci dupd dccodlflcsrc !. obline:l0l 100 t10 001.Aaast ultim exentplu ne $/gerea4d tntebarea: care este probdbilitatca ca o ercarc sdta producd tn uaul sau mai mulli bili al wui cwAfi de n bili?8a adnite cd: I) probobilitdtea ca un singur bit sd fe ttunsmis in orcct este p fi 2)Plobdbilitaha ca un singw bit sdle tlanrmis incorect sau corect este independentdh prcbabilbdtea ca un ah bit sd fe transmls incorect sou corect.CB oceste obsemalii suntefi tn cazul schemei lui Bemoulli. Deci probabilitatea ca untltgur bi, sdfre ,rcrumis incorect este Clnp(l- p)''l ,ln cele de nai jos vom cowidetu tt olte congtucnle diferite de 2 (cu etemenk din Zn,r i2 ) .Mulre companii utilizeazd c{ra .le control pe ru secuitatea itfomtaliilor sauhtccmrca erorilor, De exemplu, a jaseo ciftd se adaugd Ia n ntrul de idantilcoretbmat dih cinci cifrc Si se obliru un nuttdr ah tate cilte de fonta:qa7qe4a1c unde c se calculeazA dupdformula: a1a2a3a4a5 = c(modn),Dacd utilizdn congrlrenla modulo 7, atunci pentm numdrul de identtfrcarc 21346,#a da contrcl este 3, deoarcce 21346=3(mod?). Deci flwdrul complet este213463. Dacd tr bc dz nuntrul 21346 s-dr f tanstuir 22 , atun i qaft detectatd oatoare.le tronimitere, deoarece 22346 / 3(rtodi) ( 2na6 = z(rlLodi) ).Pmtr], deterlnirarea cifrei da control se utilizeazd sche e n^i complicate (atd cumtttt vdzut, anul trecut, lo codul de barc al produselor, fiumdrul pafaportului, codul deldotiftcare de pe cama dz identitate a uiei pe\oarc).Atf.l, ut fldrul asocid wui arti.ol 4x2,'Ln se scrie sub fotmd de vector ln,n*"r"),l t ttwubette scalar ctr un vector, nvmlt vector de porrderl (yt,yz_,.,yn), i",n&Iatul re ia nodulo tor numdr p tlst, Aceasra este cifra ile contrcl, cdre se adaugdltdcolului. Deci, tt'l+ t2y2+...+,n!n = c(mod p).0a .x.tfipla nr.wftb de id4ntifcfie pentru aawtite bdnci au opt cifte 4,x2_-,xg, iar attuucW ,t9 Gifude cMtol) este dafn dpnn(q,,2,...,q ) (i.s,s,r.:,9,7,3) = xe (mo
-
.ontta lfir-o d.colot. o olfa}{/lulul cu t'rl poatll) tl pdtr^tul htl Polybt llbodnlllLn I ta stoclq w nundr dc doud clfrc), Vom aborda accste prcblcm. lnt'"un cddtu)ml Aana'?,l, utlllzAnd congruatla
',odulo tL crlptogr&4 est. dife td d. t.orla
odrtllor, Wdfia s. oc@ dc dcucmtca gl areaarca ero lar din fiesdie, tn tlmp ceDtltltd tludldzd prolectar.a codurllor s^crete (ile ctscwtderc a tnesqielor fald da'larr.,{ld,h
ncoutor6dt.). Clfrul lui Cacsat estc r?pr%.ntal prin doul inzleaorcalrlc., fecare din eb conlinAnl lntreg dtrabetul (Ji8uru aldtufttd). Inelullshrlat, rcprczintd Em/l hteliSibil (cldr), .ste frxot. Cel efierior, rcprezintA, Ertulclftatt .tt nobll. Cele doud incle foftnedzd ru4t4 4falul' O pereche d. litere (tenctarhaxt ctrat) dcterrnirv toafi schena de deciptare. Ac.arta este cheid dcdrcodlfrcorc o oricdn l rncrqj, De aettpfu (a, D)D,{lcria|ra nat ndc, 4 clfralut Mucen. Asociern celor n litere
^le alfabetului
htltag 0, l, .,., n - 1. Notdm c! A= {0,1--,tr -ll Ei cottsiderdm f nclialtAaA,f(t)=x+k(modn), unde k.ste chei4 hwndfllui de puilie de la
owatul cl4r 14 alfabetul cifrar Pe MnSd literele lfabetiui de la a la z se dda gd Eiblanlul (=spaliul liber), Dcci:
Y z "blank"24 25 26
Alfab.M:A:
a .b c. d . . , t0123., ,23
Penttr. k = 5, text clq ,,alac fut ui" se taniontld fu tun cifrdt: FYFHENSEnW Mel:Se truduaeol^c br zori 0190226813 262514 178StA
/Gl=-dl$ne4p) 5 24 s 7 4 t3 18 4 3 ts22 lisa tradue#+FYFHE Ns EDTVN
Apttcatia f tAa A, f(r) = r+ t(modt) este bijectivd ti lwenL ei estcf-l:A-A,;-11,r1=r-t(modr). Aplicalia inversd se utilizeazl pentru a
d.sclfu rcnut ciftat.
Mal generul rc poate considera fihclio f I A a A, f (t) = @t + blttadnl ' unde a'btunt t:ntrcgl lxall (fr1ttqlh qflnd), Percchza otdonatd (a,b) este cheh acestai cif,tu'
Dacd a = 1, ae.m clfra trontlafc, iar dacd b = 0 t. oblht clfu mufulballv,Funclta f ore lnverso f-t:A-A, docd @n\=1, cdnd f-11x1:a'7-6'1o6"1'lnde aa' =l(r'odn) cu O < a' < n $i ,' = -a', (mod ll).
t, Pbntela Wne ti congfl.nlaPrln pbml lalin de onlin n se tnlelege un tabel pdtratic nx n, tn care fiecare din cele
tlnbolui apare o d4td tn liecare linie ti odatd tn frcare coloand.erentplu,ln agriNulturd se testeazl5 tipuri de lngrdldminte pe un tere th fotna,dicA, Se bnparte acest pdtrat tn 25 p&filele nai mki (u p rat cu 5 linii li 5
), Se dorelte, pentru a evidenlia mai bine efcienla tngrdrdminElor, ca pere coloanA ti pe fiecate linie un tngfitdnafi sd apard o singud dafi dlrpd(A, B, C, D, E sunt tipuile da ingrdjdnanr).
cd acesta cste un pdtrat latin de ordin 5,L pdttutul loti^ Atutlci L(i, j) reprezintd eknEntul de
linia i ti coloana j, In cele ce unne azd, i, j. Lt i, j\ Z n.itabilette utor cd Vn>z pdtratul nxn, definit pfini)=i + i, i, i ez'n, este un pdtrat latin AW spus, tabla
de adunare pentru Zn este un pAtat latin.aratd cd distd thtotdeaww cel pulin un P&rat
hlht dc o ce orditt, Se pot oblire pdtrale latine prin tncercdtlO problend rwi difcild este ile a gdsi perechi d.e pdtrute latine de acela{i ordin, carewt, futtf -un anune sens, cat nai dikite posibil.fiunen cd dod pdtmte lanne Ia, Ia ale ocew ordin sunt onogon6h dacd penlruOflce percche ordonatd dc sinbolui (k,k) eristd o sirquld pozilie (i, i) pentru care\( i , j) : k $i ta1, :k' .W ercmph\ pdtntele de nai jos:
tw$ ortoSonale dzoarece fiecare din ceb 16 perechit alizeazdtn na din cele 16 pozifL
A B c D EB c A E Dc D E BD E B C A
A D B C
B c DB A D Cc D BD B
A B c Dc D BD C BB A D c
-.r-.
))
(,4,A), (A,B),.. .(D,D) se
-
hoblama rrtolvelrl, ll r rdoh.ln z? .lrhn6lc
. f i r t t r = i . . [3r+r=it l t . " ^
Dr i^ ^ ^l l }+2J=a l2r+3r=6
h l, drt nd.:
[ '+r* .=i [ r+r+z=0ct ] i '+3y +z =i o l r '+v2+r2=i
[i ' +ir +iz =i [r! +r3 +.3 =i.& Lrolv.&q sist n lor fil cl.r. dc r!3$d Zr d! r.gru' ltilizcazl
"clcati fftodo & rezolvar'
l|||norcut! d. po C (rcducsrii, subslilutici, CmrEr .&.) dsr $nend se{Inl de openliil prmisc pe Z' (de
! dr c$lla lui cnmtr s scric :=A" A-l' )=Av A_l" undc a= detcrminantul shtllnuluii$d. .l flo cldu.nt invcn abil ln Zr ln rrpon c1l ttnulir.3)a) Di.r !&nrm .cu4iilc' mcrr$.u or m.mblu, ftzulg )
-
i (s-a rcdus t) Din pritu ecua$c 't = 0 'Dxt roMroc& (6,i).l) 86 ponc udltzs m.rods suhdn4ici scriind stutcmul succciv
f " : i+ i , [ r=i+A't : ^ " . st^l2 '+3(1+4r) = 6 l0.x=J
Ort uldmNc$atic csl iryosi.bi$- irtu urnare sitt dul dat.st inposibilAllftl. So lnhultsgt prima xuric cu i $ din mcmbrii drcPti ai clor dou! cualit rezuld 3 = 6 ' fals
l i idc) Dot.rminln$l sist tr lui esr. o: l: i il: i o.
",
*tie Propri'r'tile deErmimnfilor' da' inand
14431
rorlna d. ola&tiil !. Z5) Sr obwimc! A=A esle itrvcnabil ltr Z 5 (4,5) = 1) 9i 4- ' = 4
Dcd r. poaD aplic! rcg$la lui (}anEr ar rtuolle Glsitn A,=4'A'=3'Az=i' cand
. t=a,.A-1=4 i: i , y=a" t;-t =6.4:L z= d".t r=i i=3 epalf
-
v-l. l. rlrtomul formot dln ulltm.l6 doui.otr{lll dln (*) tl e! rczolvd prln Dori)da rnl0r.rll tnmulllndfi|lrlh r dou| cu3, obti nrt6lo1.mutl
l lY +82 -
J
l ' = /+oI
tlnrrrllr ir-6arc tn v.t2 sotufiile zt=3,.2=i,,,,,,',(i,i,i,d,i,o),
Am v[zut cA dsctr i cotc un vcctor dat, aturci translatla de vector i este functia\ tP
-P,\ lMl:M' ,M,M'eP ^. tet incgr f i f f ' - ; .Puncml M' se nulnetlc trrDdatul lul M de vector i .Am notat cu 7 mulftmea hansleffllor planulul p. Atunci ale loc umdtoarea:
Teorrml. Crrplul (7,o) esle un gup abetia1l, ;fint grup Atrarshdtlor planului P .
Drcd O estE un punct fix al planului ?, iar o are un unghi orientat dirl acelati plan,dunci ae numit rotrFe de ce ruO 9i urghl (t, aplicatia Spap defrrntn|'itnE(0 = l,', ol: Ol',;A': q, Am numit punctul o centrul rotlfel, (t unghiuldG rotrFe, iar A'est lmrgircr lul ,4 prin rota$e. Am notat cu RO rnultllne!lotrfllor de cetrhu O din planul P. ArE loc umfitorul rczultat:
Teoreml Cuplul (R4,o) este un gnrp abelian, numit grupulrbell-an*airotoflllor de centru O dln pl.nul P.
In fine, o ultird tansfqmare georFficd irportanttr in plalr a fost ornotetla de centru O(punct Ex) tf rrport keR*,hfi:p-p, t$teVe',4t'ee. O,dA,coliniare giOA':lkloA (sau in liJnbaj vectorial, OA : I. AI ). pun(ut O se numegre cntru deomotede, iar k este rrpoftrl de omotetiq punctul A,este omotedcul lul A. Am notatprtui 7fo mu$irnea omotetiilot de cenru O din planul P. Ai loc urmtrloarea:
Teorml. Cuplul (?b,") este glup abtan, numit grupul omotedllordo centru O ate pla[ulul ? .
O apficatie blfecfild gtP--+P *, nunErte tuometde da;6 d(q/..q,(i..ry)= d(A,B),unde d(A,B) inseamnd distanF dinue A $i.d. Mai simplu scris q(A\q@)
-
AB .Dactr trotim cu Izom( ? ) multimea izometdilot planului, atunci are loc unnatoarca:
Teortml. Cuplul (lzoti(P)f\ este gup, numit grupulplanulut ?.
U=7+62cgtd ) l= i t i
I,.li il"=11 llI t2 4t t3 2lL-.
- .
, ) " ^1 tn zs.l " l l 11."=l l l ll t23J l r oJ
x =[' 'l.v={' r] sise Gs.ric
',sromut sut t*,
lc d) 1. " j '
h, u | ! ' , 3, I i i i l [ t .+ j . r - t ] t i i ll l" d) li,-A" iy+.4,1 [j i] ll"-t, -az d-rr.a,) E ,)t , ^ ^ ^ ^.
sau j / "l [ , - ia L+3a]_1, 11_[0 i l l ("-t - ' a"-3r-,1_ [0 i l
[h+ia 1 '+3al l ' , l t ) 0] [ ' - rd- . 4.- ia+r. ] i i d l
y2=i. solutiile listemului dat
I EI |. nmlie sllimul matrlcdr
ll.Lulrn
lur dc aici se obline sistemul :
cu $olulia , = 0, )' = I,
Solutia sbtemului este:
o+32=i
"+2,+i"=i'd+2r+4u=2
Aa +3r + y =i
fu +ia +" =6
i l . . 16 1l
^t r =t . ^ lt?x:4)t Gntpurl de lransforrniri geomtrlceRea$intim ce P este mu{imea punctelor din plan, atllnci o tun4ie f tP
-P sa]d orcstrictie a unei asemenea firnciii se nunegte transformate geometdca. hinttrunsfonnldle geometrice studiat in anii Fecedenli au fo6l tmnsl4ia, rctalia 9i omotetia.Vom vcdea cd aceste tmrsformtrri lmpreunil cu oper4ia de compunerc pot fiorgdnizatc c[ Srupuri.
5ll 59
-
l. 1) Arltd cl lt.or. dln unltorr.l. ||t||lfln (r| 1.8.s d. coDpod$ datl iI. bbl.L & ttd lG.rb 3ruPr
3) { i ,qd},d+o+l=o1) l.,zl 2) l.d,bl
l) lhd (llt,) &nng p, M.lq b, c,dl,.turd edl|I ur lldgur mod de 3 conplelr trb.ftd!
b
tt2.P. Z r.d.6!qt .pLr$r r.r
-
r.|)-l. fult|f d (Za.) ..b 3rup.bdha3. n O = (-l,o) tl ellc.dr p.O, r., : r +, + rr. SI t. ftra cl (6't.!a. in p rb6llrn4. P. n da6.lD l!3aa & coroladta rit=t+J-ry,8l t urt cI f,l=n-{U..|! o prrt.trHll.ld lbr.lorlcuf4!| * d (Rl,,r).!t gll}rbdLn.5.P.d Sm.r lunordor !.!otrd! Q a. ddlnqb L8.. dt corD@d. rTJ=t+r-+.SI.e|rrad 02=Q-(ri..t p.rL drull.lul Q ltrr.port cu T rl (02,D;l3rup comutr{%6. sr r. d.moDrts r. c! F nr Sncr (0,oo)-O) .pllcrd. r T t = /h' dlt nnlrl o st ctudd. gnrp shltr|L
:h(e-ll7. srr! clrt! cr p. nuldE r c=(l,oo)-{2} sdlc4lr r+J=(r-r)l -- +1 delendd o,tlucturl d&bdcr & grup comulid%8. Sl r. d.brnhe d
Z $d.l hda Z @rd! cu splcila r.J=.r+J-ar} dn un gnrprbdhD.9..) Sl ,. d.t !E|r. c.r nd mlcl ydoor..ld ,,n penrru cr!! haffvslul (1') 8tG prt.bll iH trhlrpo cu Lgcr dc coeporllh d. pe R't*r=ry-r-ytl.
b) P.Dtn t tte h tunctul a), crldir$ rr=.r*r,i.-,r,.rd.rrirdcr (C,t) .st trup rbe[tn, unde
l(1. P. lrt rvotul (n,6) !G corrtrlcll gpltcrlh r*y=tr-n(x+r)+r!z+D. ArItrF cI((I',o)'rcat gup conutrur.I r. flr midd C={-LoC p. cir,. * conditerr aplc.Sr r r r =.(" *r')+zu+:("'l-l).+2J +,'
-I, o,,t n h.m I|S4 n lenhu c.re (G'T) e6la Srup sbelbn.
60
,-L
6t
!. corldcrr O =(-[r)p. c.r. dflDlln aplcrsr r.J=ff.,r"Ui"r (C,., elte grup
tr tnd$I||cr n !e ddrtette oDr.f s I r ) =.r +,J, r,, R. D.tennhrf.r,, pentm c.rrrta Srup
n O=(r,oo)tt p. n|3e{ rto conDodle ,.r=xr+s+br+cd,b,cR.Ihr$ndnrd
n dld (G,.) e!.e gmp.d [[|!atdr.r drlthr. rte nn ft c =(91,82,$,aa), rlde &:R-(0,+r)-+R-{q+D,
=',s19=I;],sr(,y=-j, rr'l=$, s'rpnurr co 0!.116. iL compuncn!aa{ Snrp comutadv,/l irf cl umlto.Ele mrl$ni dG tnrtrlc. pltrrdc. de odln dol lud gnrpud $nprturtr cu
tlelnmuuttl
t*
. 2trI|t-
. r*rl II
,r ' lF=o/'rl l-";J I
It"8) 117'I t ,
* "
=
{"" = 'i'Xll*
*.,
^'r" *.r, =']. * *
"*" * o *ie sr.'p rt r.port
hmdlt|tr mtrrcdor.tto ccuF r'+ai3+rri+d+d=0. Detrn{|lof rirD.rele rEale d, }, c, d r.t|et lncdt
toifrr drso|.of e cott|pLrc oL.cuaitet dfi.! 1) Smptn rrportcurdunrraauzulEiDup ln lrpori cu bDug!.. [lurll
,,ft:ll.,,.a,r.r'.],?)|,,,.o,.'*o"o]' n, {["I" -*o]lo. to,r'i,ttdDa coa JEI
"[a_:, ;-N1....],flrr". *,"', *o|, ut. I.l!ea."-t*=tlreuzrnl,,,.r=r);
''ft l,[ il,1: _]r; -il,t-i 1,t_l _l]ll r. .nb cl m dn o mlirlcelor Brup rn mport cu
I f r " r l I"=[1 ; ii''""I*"
lr|Elc.Ior
-
I I 'o" l Il i .zt. lt0. n o-lM(!)=l-d 1 -Tll,ul.8l $ 'rrt
d G .|tc rrup rb.ltln h rrpon cu[ [0 0 lJ I
hlu$raa mtrtc.lor. Crlcohf ,1J(.) .f [ r - ' 0 , 1, . . ,1!r.t)t co td.d m' im!., o=]rt'r=l o o o ll,en-lf[[.rrrtadcrctornnrzrI t r o l - t r ' - ' l
l D Jd.dv l. opcr.$ d.trnul$re. nrdcdor tl cdctt|-f .{'(r).I r - - o l
t) n. c muune. n$rlc.lor de tonni: Mb)=+l-a r 0 ld(-r.r).8I se{r - , ' to o. , [ :FJfiala car.) (Or) ette 8mp abIlqb) d.cl a
(-1,1) , rtud pcnhu ortce ,| N' edrtl ur udc lemni r'r (-1,1) c.lr FoprletlteaM(o,l=(M(a\lr;c) I|! z, = *, va (-r,1) -{o}.
[ { " ' - r l ]r)n. /t1=lA(i)=10 1 2: l irerl.slsdatecI,
I t00 'J I.) ,t(r)=A(J)
-
FF-
p'+r+i '=i [ '+ ir+&-6r l l r+1y+!r=3 tn 26t0 ] i r+J+r- i ln 26re)
Fr+3r+i"=i [' +3r +ir =![ir *ir+, = 3 li '-i!-Az=i
r0l l i : +ir +32 =i h 26 r rrt {r+3y+ir =i ln zlnt^^-^- t^"^^[6r+3r+k=2 [3r+dJ+2z=r[ r+t+"=2 ["+r+"=i
r!) lry+yu -s
= A h zs i ur ]r: +r2 +22 =i ln z5 ;[*=3 [ ' r+r ]+23=i
[ '+t+"=i ^ I ' ."={l ; l15)|ry+rz+Jr=. b!Zstrol ) , ^ i hZs.1,2s"+a2"+,y"2=i [, ."=[ ;l
tJ, 8l ..rMlv. .c!.llhrn, '=1;: i :1,"r=[ l : ; lJ .r , l ,ot .c
" .mrvc ecu' fa c="",*" .=t l : i : ; ]Reguli de calcul lntr-un grup
[ i '+ iy+3r- !l2r +^2, +^32
= 3 ln 26 rl.r+3)+4.=r
k+5!+72=10t - : ^trz) l3r+22=9 b Zt2it^^^[ r+7r+32=4
l1v11ur nenuu nFnoizi anumire posibihEfi de efectuare a unor calcule algebrice.IT_,".r.lce ry! este monoid. s inletepe cd toaLe regutite de catcul vatabiljpennu[Dnorzt sepesreazl $i pentru g puri. In plus pentru gnrpuri exisE reguli care L sunrtptcifice (ti tin dc exisrenp pentru fiecareilement a iDve$uluit.
r0. Arltoi cI mhtcd. (X,v) surt o solufc p[tm ficrr dh stuLnle:
l*ll ?l*"=ll i l,nl,^ti^,3J
,"t1,iJ," ",rrr, r=[| ;],"=[]l l? ll*."11 ?l=li l l 'Ltl 0, t0 u 13 {J
Teormt. (Regutt a" @arbihat. Au loc echivalenFle:1) ?, = ?
-
;t;F;.*;;;;"';--l
Urmitorul razulBt sirnplu pcntru clcmontclc unui grup poate st0blll dncll ncosta estecomutstiv. Mai Drecis arc loc
Teorerna. Dacd ln gupul (G,) avemeste sbellrn.
I)cmonstratie. Fie ,, ) G , arbit&rc. S[ probim c! O, = rr.Din r,]C rezultl ryctide{i } = s, y2 =
",1ry12 =
".
Scriem egalitatea 1ry12 = c succesiv asdel:(ry)@i: x2 y2 + x(yx)y = (xl.)y + yx: tf (dupt simplificare la stAnga cu, ti ladreapta cu )). r
r. n (O,.) un glop cu d.n nt |t.ok|r ,. tuItrd c! (d,) .!te gmp lb.Irr dad .3t rdevllrt! unNdr co&r$nc d. nd Jo8tr) t3 =c,YteG,?f =t212,v*,yc;2) 13 =.' Vr
c, (rr)' = (rr)2, V:,r ec r!).*LtlN'red.I hctt !e tu orlce r,tc ov.m: (ry)t = rtJ'n,(ry)t+l = r'+r)t+l tl(ry)o+2 = rn-'yo+r, vr,y ec.2. 8t cotdderl (G,, un il||p rb.ltr|| cu r elemenb. SI 3. .rate cI rt = !, Vr C , unde . erte
, ** o=f[1 *11".r].tt' Ul I
1) Arltofl c! (G,, er.e gup obIant,a"r",=ll 11.*-* A2tt), A!\-3,.AtdtA(b,. Anta), atar+ a2r.\+..+ Antdt.(oU1,4,3. Subgmpuri
hintre sutmultimile nevide ale unui glup C, exist[ ulele carc fonneaztr grup relariv laoperalia de p G. Asdel de submulfirne se numeqte subgrup a llli G.
Dellnge. Fie 6 un grup. O submultime nevidi7 a luiZ sJluGG$bgrup al grupului c dacd legea de cohpozilie din c induce pe I/ ode co pozitie lmDleuntr cu cale Il cste
Exemde. r) (2,+) 3ta rubsrup rl grupdut (Q,+),) (R,+) e.ts suber|rp al Sruptdd (C,+) .3) (t,,.) ste subrup ol $up'!tul (C',r.
Urm[toarea aJirmalie vine sd precizeze ln ce condilii o submultinE H unui grup C esteun dubgrup.
Dmonstrafi, hesupurcm ctr I1e3te subgmp al lui C. Atunci din dcfinili rezulttr ctrl.gca de compozide din G induce o lege dc compoziti. pc A adici sc vcrifici 1),lrgEa indus! posed! elernen! neuEu ,II, aldel lncet oricare ar firIt,I,x= xu = x . In panicular, x,l = r gi din uniciEres lui u rcatlti,u = uu-l =e. pinurnale H conline elementul nrum din G, Cum fl este 8ubgrup, orice elenEnt .r IIlrtc inversabil ln H li inve(sul lui , ln Il coitrcide cu invelsul lui .i lD Gi rleoarecc
aLnernrl n utru rl grofxlul,3.n (C,,)f ptl r,J
C, |'del lncit 1)
4. lt (G', ur grup cu dlE trt louuu . Ar ,rd cl (G,.) eNh irup .bellrn d.cl este o&vlril un.r r condllU. de nr! Jo!:l) , = r-r, Vr
C i 2) (rJ)-l= r-ry-l, vry eC i !) ry-l = yr-l,Vr,y eG -{c).5.ne (O,) grup t l .r,rO,isfclhctt 12=y2=13y)2.Slrcaratectr rd = r4 =..6. P. C = C
- {t} .c codd. rdlcrth }. r = r + r + bJ, Vr,r C .r)Arlt S cl (C,i) ortc grup cotnrtdv.,) Crfodrs (-r)3, (r + t2, r r ,, N' , n> 2 .7.Pe G=(3,@) !. codd.rl splcrlL r * , = rJ - 3r - 3J + 12, r,J d.l)Adtrd d (C,*) !d trup rhIrD.2)Arltr$ct s..*.. .*r=(a-3)'+3,VrC,nN,n>2,
x' = t4 =c ; 2, ry = yr3. lrltrfl cl: p = r2r d
Inver$i este unic, adictr xE +r-l H qi 2) are loc.
Rcciproc. presupumm verificare condi$iile 1) 9i 2). Dio I) rezultd legea lui G induce olcge pe It care esre asociadva. deoarece legea din G este asociativl:Dn 2) se dlducectr pentru fiecare ,eH=+x-leH deri *-l=eeH. Cu aclasfa II lmDreun[ culegea indusd esre grup. adjce subgup al luj C.r
t
Teoremtr. O Eubmuhime ll a unut grup fmuttficatigZiG suUffigrupului C dacd 9i nlmai dacd sunt lndeplinite condifiilo:
1) (V)x,) Il =+.rJ
' l ,2) (V)r ri +'t I n.
66 67
-
ol ' \ .r !^l i i . l ) D{cI lcgcl irr (; cstc tu] lr l l l l l rdi l iv, atunci condi{ i i lc | ) rt l . ,) r. r(x iu sub
1') (V)r , ) H +.r l r . , / ,2 ' ) (V)nH+--rH.
2) Str relinem cA un subgrup H al gfupului G este o submutlime a sa care odattr cudoutr elemente contine $i podusul 1or 0)), iar odala cu un elernent li conline $i inversul (2))'lcorema precedent[ se poate rcformula $i sub forrna:
Teorerntr. O submullime nevid' l{ a unui grup G este subgrup al lui G' daca$i nurnai daci este lndeplinitl condilia:
) r , ]H+ry-r11l)cl$rtstru{ie. Fie F1 subgrup al lui G Atunci, condifia este indeplinita conformteoremei precedente, deoarece din .:r, ) I1+ x, )-' 11$i deci ry-' H 'Reciproc. daca xH-xx- l :eeH. Din c.rH
-""
l - " - l er l adiLd seve fictr 2) alln teorcma prccedentd.Dactr r,)eH+x,)-1H 9i deci x(y-l)- l=r1'eri ' adicn ate loc ai 1) dinteorema precedent5.a()hscrva(ie,1) Dacd C este aditiv, atunci conditia din teoremd se scrie
{V) i , }G+t- }C2) Dac[ Ii este subgup al lui 6, atunci notxm H < 6 .
I He G un Srup d , G elemDtul neuiru. SubmDldrdle G tl {t} sle lul 6 sunt subgrupur|, numite. " l | l r f l , r ,udi ' , t r l ' ln iLOrlccsubglupHal lulG.dl tr l tdeG {. ,3enumc$"" j td }-olrr , '.1. Grupul (ll-r),le3tc aub8rup rl lul (fi.",.)\.N16 nL=lnklk eZl,t
-
Unnltoorco propozitic pt.{.iLcnzJ cA o rubmulfne llDlti a unul grrl C dcvineoubSrup cu opcralia industr d. pc C. Mai prccis arc loc
TcoEma. Fie (c,, un gup {i /j o 4|bmulfltne ftftI a lui C. Unndtoarelealinnatii sunt e.hivalcnic:
1) fl .ste subgrup al lui C;
f)(nronstrafi. Vom dcnDnstta dubla irnplicalie 1)+ 2) qi 2) +L)l)=+2)cst adevdratI droat re din It subgrup al lui G avem cI (V).{,),fi=)+ xt e H , crca cE d tA ctr fi este pafie stabili fati d9 operalia din C.2) + l) Prsupunem cE H este p&te stabiE fq! dc opeqia din C. adicl (v)x. y e H ++ryeH,Pic H = {4,x2,t3--xo}. Mai avem de verficat a doua condirie ca Il s! fie subgup,8dictr (V) x
fl '+ r-
t
t{.Fic .x
It un eloment arbirar lixat. Atunci elerpnlele (conform cu 2))xx1,xt2,,..,,n" e H . (l)Mai rnull ele sum distinqc dou! cele douA. Int-adevtu. dac! prin abeurd xxi : xx;,t* j, atudci sirnplificgnd h stAnga (lil G) rczultl ri =rj, fals deoa!ce elerneoteledin H sunt di6tinct! dorA cetr doutr. AFdar ll conlirc cele /' cldbente din (l). Cum 11arc cxact'r olc.rtlgntq rczulttr c[ elementd din (l) sunt chiar i.1,i42,.,.,xn eve nallnalt! otdine, Dcli cxisd 1
-
ccl mll i mic numdr natural Dc,rul ( l in /r, iuroSr $i are ca elcmente puterile lntregi ale lui x...,r-2,r-1,
"
=*0,r,12,... gi este numit grup clcllc generot de.r, A$rdor
Deflnl{e. Crupul G se nume$I clclic dacd este generat de un elemenl alstru. Acesl element se nufteste generator al sruDului.
( f bi |r r!ii. l) Dacd C este un grup odldv ii .r G, atirncii < r > : lkxlk e V,I .2) Orice grup ciclic este abelian penmr c[ orice dou[ puteri tnftgi ale unui elehentcomutt. Reciprcca este falsd (vezi gupul lui Kleil cals este abelian dar nu este ciclic).
I Elmentelc -r , tZ (ca grup rdidv r . Arunci ={*{- l r l l Ztr l t4 . ' lk czl=z,
< I >= {l.llt Z}= Z, cea .t arsttr cl grupul adltlv d nomerelor lntregl este un grup cidic8norat de elementul
-l sau l. Obssrvlm ct sccst grup este lnflnlt.' Gmpul (U,,t al rtdldnllor de ordlnul n rle unl$tll este
I Flo (C") snpul mulrlpllcrilr al nunerelo. complexe ncnule, o rddltnl r e.trnliel
h)Flc lt'= {l,a,r} subsrup cu trei elemDle al srupului 1C+,). Aven o2,.1(ce"i atr"t n = t, totr, i-r l rc l a=-1, arunci D2=lsau D2 =-1, Daca ,2=1, aNflc i , = +t l iH'= l - L l ) arE doar doudal.mGnt, iar pento b2:- l rezultd b=+i c6nd a ={+1,+i} aE pam elemente). Lafela2+d.lrmln. D=a2si ,3=l.D"" i t t =0,o,o21
r P. mulfner msaiclor lar@) se consldern opersfts de adumre snbmututnsf/r- rrr l
,t -
ll- :,lb,b,. d e zl. sr $ !'at cr tt sr subsrup rl gruputui r,^42(z),+,.ttk 5', )
tt Av.m de vnficat penrru H qi opeiatia de adunare cele dou! lrop.ierdli:t ) (v)A,BeH.+A+BeH irr (V)^ f l +-4a .,hrru s demonsra
' , ' .
, - [ I l I , ) " - f f ; ' * , ] " r , . " , .0,uu A,un., ,+/ , -Ir la, +a,l rla, +a.l l
- l . t i . ; ; ; r ( , -
r ' ; l ' r ' deodee ar rar '4-b2n-a'4+d2ezt i
/rt-,,I rt-a, t ln- [or- , , j t1-r , 'J-n penrrucd ' 4 t - ' \ez, r r mnrrcere r ,
- l r o l .o=lo
' l . r - [ - ' o i . In
-r)- {0 ri ir 0J tu -rl c=l
' ,
; l$murlrnea c- l/ '2 A'a'cl '| | Arltri cI G cu operafa de innultlre a matrlclor sie lubgrup al lui (,,!42( R),,
ABC
rl+r+1=0
