Lucrarea 7 Sinteza Filtrelor Fir

PNS Lucrarea 7Sinteza Filtrelor cu Rspuns Finit la Impuls

Lucrarea 7

Sinteza Filtrelor cu Rspuns Finit la Impuls

Un filtru digital sau numeric este un sistem discret care scaleaz i/sau defazeaz n mod selectiv componentele spectrale ale semnalului discret de intrare, oferind la ieire un semnal discret optim pentru scopul dorit. Scopul filtrrii este de a mbunti calitatea semnalului (de a reduce sau nltura zgomotul), de a extrage informaii sau de a separa dou sau mai multe semnale combinate.

Filtrarea numeric este preferat celei analogice datorit unuia sau mai multor avantaje, dintre care enumerm:

Filtrele numerice pot avea caracteristici imposibil de realizat cu filtrele analogice, (de exemplu, faz perfect liniar, n cazul filtrelor FIR). Spre deosebire de filtrele analogice, performanele celor digitale nu variaz cu variabilele mediului, de exemplu, temperatura. Aceasta elimin necesitatea calibrrii periodice.

Diferite semnale de intrare pot fi filtrate de un singur filtru digital, fr modificarea structurii hard, prin multiplexare. Att datele filtrate ct i cele nefiltrate pot fi stocate pentru o prelucrare ulterioar. Folosind avantajele tehnologiei VLSI, aceste filtre pot fi realizate la dimensiuni mici, putere mic, pre sczut.

Elaborarea specificaiilor filtrului

Proiectarea unui filtru discret presupune trei etape importante:Elaborarea specificaiilor filtrului; Determinarea parametrilor filtrului pentru a satisface specificaiile; Realizarea filtrului numeric printr-o structur specific.

Primul pas este specificarea caracteristicilor filtrului. Pentru exemplificare se prezint n figura 1 caracteristica de amplitudine a unui Filtru Trece Band (FTB). Pentruspecificarea rspunsului n amplitudine, H ( ) , se utilizeaz urmtorii parametri - eroarea permis n B.T.

p - deviaia din B.T. s - deviaia din B.O. f p1 ,f p 2- frecvenele de margine din B.T.fs1 ,fs 2- frecvenele de margine din B.O.Deviaiile din B.T. i B.O. pot fi exprimate direct n unit i de msur corespunztoare semnalului (V, A, etc) sau n dB, cnd sunt definite astfel:

1p

(7)

AP 20log10

20log101,

1

AS

p

20log10 s ,(8)

Pasul urmtor este cel al calculului coeficienilor filtrului i va fi prezentat pe larg n seciunile urmtoare din lucrarea de laborator.

57PNS Lucrarea 7Sinteza Filtrelor cu Rspuns Finit la Impuls

H f

banda de trecere (BT)

1+ p

1- p

banda de tranziie (BTr)

BO

banda de oprire (BO)

S

fS 1fP 1fP2fS21/2f

Figura 1. Caracteristica de frecven a unui FTB

2. Noiuni teoretice

2.1. Caracterizarea filtrelor FIRUn filtru cu rspuns finit la impuls (FIR de la acronimul n englez Finite Impulse Response) poate fi caracterizat, n mod echivalent, prin una din ecuaiile:M 1

(1)

y nh k x n k,

k 0

(2)

M 1

H zh k z k ,

k 0

sau

(3)

M 1

Hh k e j n ,

k 0

unde: - h k sunt coeficienii rspunsului la impuls al filtrului; - H z funcia de transfer a filtrului;

M-1 ordinul filtrului;

pulsaia normalizat cu frecvena de eantionare FS T2 (T - perioada de

eantionare).

Filtrele FIR sunt specifice domeniului discret i nu pot fi obinute prin transformarea filtrelor analogice.

Rspunsul n frecven, H( ), poate fi exprimat sub forma:

H

H

e j,(4)

Dac h n este o funcie real, atunci H( ) este o funcie par, iar ( ) impar.


Unul din cele mai simple filtre FIR este cel cu faz liniar. Numai filtrele FIR pot fi proiectate a avea faz liniar. Se demonstreaz c un filtru FIR are faz liniar, dac i numai

dac rspunsul la impuls, h n , satisface condiia:

h[ n ] h[ M 1 n ] ,n 0, M 1,(5)

relaie cunoscut i sub numele de condiia de liniaritate a lui Gibbs.

Filtrele pentru care este ndeplinit condiia de simetrie ( h[ n ] h[ M 1 n] )sunt utilizate, n general, pentru filtrare propriu-zis, pe cnd cele pentru care este ndeplinit condiia de asimetrie ( h[ n ] h[ M 1 n]) sunt utilizate n aplicaii cu defazare (integrator, difereniator, transformator Hilbert).

2.2. Metode de aproximare a filtrelor FIR

Metodele de aproximare ale funciei de transfer cel mai frecvent folosite n cazul filtrelor FIR sunt:metoda ferestrelor de timp; metoda eantionrii n frecven; metoda optimal.

2.2.1. Metoda ferestrelor

Etapele de proiectare n cazul metodei ferestrelor sunt:10 Specificarea rspunsului n frecven dorit, notat Hd , atenuarea n banda de

oprire, atenuarea n banda de trecere i frecvenele capetelor de band. De obicei rspunsul dorit se consider a fi rspunsul filtrului ideal de acel tip;

20 Obinerea rspunsului la impuls hd n prin calcularea transformatei Fourier inverse:

hd n1

Hd e j nd ,

(6)

2

Pentru filtrele selective de frecven expresia pentru hd n este dat n tabelul 1.

Tabelul 1. Rspunsurile ideale la impuls pentru filtre uzuale

Tipul filtrului

Rspunsul la impuls ideal

hd 0

hd n, n 0

FTJ

2 fc sin n c n c

2 fc

FTS

2 fc sin n c n c

1 2 fc

FTB

2 f2 sin n 2n 2

2 f2f1

2 f1 sin n 1n 1

FOB

2 f1 sin n 1n 1

1 2 f2f1

2 f2 sin n 2n 2

n general,rspunsul laimpuls hd neste de duratinfinit i,pentru a se

obine un filtru FIR, acesta trebuie trunchiat. Pentru un filtru FIR de lungime M trunchierea se face

59PNS Lucrarea 7Sinteza Filtrelor cu Rspuns Finit la Impulsla n = M 1, ceea ceeste echivalent cu multiplicarea lui hd n cu o funcie fereastr delungime M, notat w n , avnd transformata Fourier W .

30 Se selecteaz funcia fereastr prin a crei folosire se satisfac specificaiile filtrului, apoi se determin numrul de coeficieni ai filtrului folosind relaiile aproximative specificaten tabelul 2 (relaiile dintre limea benzii de tranziie i lungimea filtrului).40 Se obin valorile lui wM n pentru funcia fereastr aleas i valorile coeficienilorfiltrului FIR, h n dup relaia:

h n hd n wM n ,(7)

Efectele trunchierii n timp se manifest n domeniul frecven prin apariia unor ripluri n banda de trecere i n banda de oprire, precum i o band de tranziie de lime nenul. n tabelul 2 sunt prezentai diveri parametri ai ferestrelor utilizate n proiectare.

Tabelul 2. Parametrii ferestrelor de timp utilizate pentru proiectarea filtrelor FIR

Tipul ferestreiLimea benzii deRiplul nAtenuareaAtenuare n

tranziiebanda delob principal/ lobbanda de

(normalizat)treceresecundaroprire

(dB)(dB)(dB)Rectangular0,9/M0,76141321

Hanning3,1/M0,05463144

Hamming3,3/M0,01944153

Blackman5,5/M0,00175774

Kaiser2,93/M( =4,54)0,0276

50

4,32/M( =4,76)0,00275

70

5,71/M( =8,96)0,000275

90

2.2.2. Metoda eantionrii n frecven

Aceast metod permite proiectarea filtrelor FIR nerecursive pentru filtre standard (FTJ, FTS, FTB, FOB) i filtre cu rspuns n frecven arbitrar. De asemenea poate fi folosit i pentru proiectarea filtrelor FIR recursive.

Se poate specifica urmtorul set de frecvene, egal spaiate, n care se specific rspunsul n frecven2 k,k0, M 1

pentru M impar

kM

2

(8)

M

k 0,

1pentru M par

2

=0, pentru filtre de tipul I sau =1/2, pentru filtre de tipul II.

Se determin coeficienii rspunsului la impuls h n al filtrului FIR pornind de la

aceste specificaii n frecven, egal decalate. Este de dorit s se optimizeze cerinele n frecven n banda de tranziie a filtrului.

Rspunsul n frecven al unui filtru FIR este dat de relaia:


M 1Hh n e j n(9)n 0

Se presupune c rspunsul filtrului este dat la frecvenele specificate de relaia (8). Se

obine:

2k

H kHM

(10)

M 1

H kh[ n ] e j 2 k n / M

n 0

h n , n funcie de

Din aceast relaie, prin inversare, se obine rspunsul la impuls

H k. Rezult deci:

j2 kn

h n1 M 1

H ke

Mn 0, M 1(11)

M

k 0

Funcia de faz zero a filtrului proiectat va fi:

M 1

, k

H R ( )H d[ k ] P

k 0

(12)

M 1

1

2

2 k

H d [ k]

Sa

M

M

M

k 0

unde

M

2

sin

2

2 k

2

M

Sa

1

2

2

M

M

sin

k

2

M

M

Figura 2. Rspunsul de faz zero al filtrului dorit i al celui real

Dac h n este real, se observ ca eantioanele n frecven H ksatisfac

proprietatea de simetrie:H kH M k(13)

Aceast condiie mpreun cu cea pentru h n face ca numrul de puncte n care se precizeaz H s se reduc la ( M 1) / 2 dac M este impar i la M / 2 dac M este par.Exist patru situaii posibile:h n simetric, =0

h n simetric, =1/2


h n antisimetric, =0

h n antisimetric, =1/2.

Pentru fiecare situaie se stabilete relaia pentru rspunsul la impuls h n .

Avantajul metodei eantionrii n frecven const n structura de eantionare eficient atunci cnd multe din e antioanele rspunsului de modul n frecven sunt zero. n scopul minimizrii erorii se pot utiliza 1-3 eantioane suplimentare situate n banda de tranziie.

2.2.3. Metoda optimal

Aproximarea de tip Cebev este vzut ca un criteriu de proiectare optim, n sensul c eroarea de aproximare ponderat dintre rspunsul n frecven dorit i cel obinut este ntins uniform peste banda de trecere i cea de oprire i apoi se minimizeaz eroarea maxim. Aceast aproximare poate utiliza metoda de schimb Remez sau metoda celor mai mici ptrate.

Implementarea n MATLAB a filtrelor FIR

A. Pentru proiectarea filtrelor FIR cu ajutorul metodei ferestrelor i a eantionrii n frecven se folosesc urmtoarele funcii: fir1 implementeaz metoda clasic a proiectrii filtrelor FIR cu faz liniar prin

metoda ferestrelor. Se pot proiecta filtre FTJ, FTS, FTB i FOB.b=fir1(n,wn) returneaz un vector b ce conine n+1 coeficieni ai unui filtru FIR, de tipul FTJ de ordin n, aproximat prin metoda ferestrei Hamming, cu frecvena de tiere wn. Coeficienii sunt ordonai n ordine descresctoare a puterilor lui z. wn este un numr ntre 0 i 1, cu 1 corespunznd la Fs / 2 . Cnd wn

este un vector cu dou elemente wn=[w1 w2], fir1 returneaz un filtru FTB cu banda de trecere cuprins ntre w1 i w2 .

b=fir1(n,wn,type) are aceeai semnificaie ca cea anterioar. n plus specific tipul filtrului, unde:high este pentru un filtru FTS cu frecvena de tiere wn;

stop este pentru un filtru FOB, dac wn=[w1 w2]. fir1 utilizeaz ntotdeauna un ordin n par pentru filtrele FTS i FOB, datorit faptului c pentru ordin impar rspunsul n frecven la frecvena Nyquist ( Fs / 2 )este 0.

b=fir1(n,wn,window) utilizeaz fereastra specificat1 n vectorul coloan al ferestrei corespunztoare.Vectorul coloan trebuie s fie de lungime n+1. Dac nu este specificat nici o fereastr, atunci implicit fir1 utilizeaz fereastra Hamming. b=fir1(n, wn,type,window) accept drept parametri att type ct i window .

Exemplu 1. S se proiecteze un filtru TJ FIR de lungime 61, cu frecvena de tiere (normalizat la 1 pentru la Fs 2 ) de 0,3, utiliznd fereastra Kaiser (cu 4,533514 ) i s se

reprezinte modulul rspunsului n frecven.

1 boxcar- pentru fereastra rectangulara; triang- pentru fereastra triunghiulara; blackman- pentru fereastra Blackman; bartlett- pentru fereastra Bartlett; hamming- pentru fereastra Hamming; hanning pentru fereastra Hanning; kaiser- pentru fereastra Kaiser


%Program P7_1%Proiectarea unui filtru TJ FIR prin metoda ferestrelor %Length = 61, Beta = 4.533514

format long clf; beta=4.533514;kw=kaiser(61,beta);b=fir1(60,0.3,kw);[h,omega]=freqz(b,1,512);mag=20*log10(abs(h));plot(omega/pi,mag); axis([0 1 -80 5]);grid xlabel('\omega/\pi');ylabel('Cistig, dB');title('Proiectarea unui filtru TJ, FIR, cu fereastra Kaiser');

fir2 reprezint o combinie dintre metoda ferestrelor i cea de eantionare n frecven, fereastra aleas implicit fiind fereastra Hamming.

b=fir2(n,f,m) returneaz un vector linie b coninnd n+1 coeficieni ai unui filtru FIR de ordinul n. Caracteristica amplitudine-frecven a filtrului este cea dat de vectorii f i m:

f este un vector ce conine eantioane ale rspunsului n frecven din domeniul 0 la 1, unde 1 corespunde la FS/2. Primul punct a lui f trebuie s fie 0 i ultimul 1. Punctele trebuie s fie n ordine cresctoare.

m este un vector ce conine amplitudinile dorite la frecvenele specificate n f. f i m trebuie s aib aceeai lungime. (vezi help fir2)

Coeficienii din b sunt ordonai n ordine descresctoare a puterilor lui z. b=fir2(n,f,m,window) utilizeaz fereastra specificat n vectorul coloan al ferestrei corespunz toare. Vectorul coloan trebuie s fie de lungime n+1. Dac nu este specificat nici o fereastr, atunci implicit fir2 utilizeaz fereastra Hamming.

b=fir2(n,f,m,npt,window) sau b=fir2(n,f,m,npt) specific numrul de puncte, npt, ale gridului n care fir2 interpoleaz rspunsul n frecven, cu sau fr specificaia de fereastr.


Exemplul 2. S se proiecteze un filtru FIR, avnd ordinul 100, prin metoda eantionrii n frecven cu ajutorul comenzii fir2. Caracteristica amplitudine-frecven a filtrului este cea

dat de vectorii fpts i mval.

%Program P7_2

%Proiectarea unui filtru FIR prin metoda esantionarii in frecventa clf;

fpts=[0 0.28 0.3 0.5 0.52 1]; mval=[0.3 0.3 1.0 1.0 0.7 0.7]; b=fir2(100,fpts,mval); [h,omega]=freqz(b,1,512); plot(omega/pi,abs(h)); grid; axis([0 1 0 1.2]);xlabel('\omega/\pi');ylabel('Amplitudine');

title('Proiectarea filtrului FIR prin metoda esantionarii in frec');

filter filtreaz secvenele cu un filtru FIR sau un filtru IIR y=filter(b,a,x) filtreaz datele din vectorul x cu filtrul descris prin coeficienii din vectorii b i a i obine datele filtrate n vectorul y. filter poate avea date de intrare att reale ct i complexe.

Exemplul 3 S se proiecteze un filtru TB, FIR, prin metoda ferestrelor, utiliznd fereastra Hamming, avnd ordinul 64, cu banda de trecere 0.3

Lucrarea 7 Sinteza Filtrelor Fir

Documents

Transcript of Lucrarea 7 Sinteza Filtrelor Fir