LUCRARE DE LICENŢĂ - ACSE Departmentacse.pub.ro/wp-content/uploads/2013/07/Licenta_final7.pdf ·...

LUCRARE DE LICENŢĂ

Reglarea de poziție într-un sistem de levitație

magnetică

Absolvent:

Alexandra Stoica

Coordonator:

Conf. dr. ing. Alexandru Ţiclea

Bucureşti 2013

Reglarea de poziţie într-un sistem de levitaţie magnetică 2013

1

Cuprins 1.Introducere........................................................................................................................................... 2

2. Sisteme de levitaţie magnetică ........................................................................................................... 4

2.1. Magnetism ................................................................................................................................... 4

2.2. Flux magnetic ............................................................................................................................... 5

2.3. Descrierea procesului şi a aparatului experimental ..................................................................... 7

2.3.1. Electromagnet ....................................................................................................................... 8

2.4.. Histerezis magnetic ................................................................................................................... 14

2.5. Senzori cu efect Hall ................................................................................................................... 17

2.6. Exemple de Sisteme de levitaţie magnetică .............................................................................. 21

3. Aparatul experimental ...................................................................................................................... 24

3.1. Aparatul experimental construit ................................................................................................ 24

3.1.1. Sistemul cu un senzor Hall amplasat sub magnet ............................................................... 25

3.1.2. Sistemul cu doi senzori Hall aplasați sub și desupra electromagnetului ............................ 31

3.2. Aparatul comercial ..................................................................................................................... 34

3.2.1. Schema electrică ................................................................................................................. 37

3.3. Modelul matematic al sistemului ........................................................................................... 39

4. Rezultate experimentale ................................................................................................................... 43

4.1. Alegerea regulatorului ............................................................................................................... 43

4.2. Identificarea standard a parametrilor ........................................................................................ 44

4.2.1. Identificarea parametrilor modelului Zeltom ..................................................................... 44

4.1.2. Identificarea parametrilor modelului construit .................................................................. 45

4.2. Testarea regulatorului ales ......................................................................................................... 47

5. Concluzii si perspective ..................................................................................................................... 54

6. Bibliografie ........................................................................................................................................ 56


2

1.Introducere

Levitaţia magnetică reprezintă o metodă folosită pentru a suspenda un obiect în aer,

fără nici un contact fizic. Sistemele de levitaţie magnetică au primit o atenţie crescută în

ultima vreme datorită importanţei practice în multe sisteme inginereşti. Ele au devenit

populare în numeroase aplicaţii cum ar fi: trenurile de mare viteză, rulmenţii magnetici,

frânele magnetice și mai ales turbinele eoliene.

Turbinele eoliene Maglev reprezintă cea mai nouă şi eficientă tehnologie din lume de

producere a energiei electrice eoliene. Acestea folosesc o tehnologie inventată de savantul

Nicholas Tesla şi perfecţionată de cercatorii americani, presupunând utilizarea magneţilor

permanenţi pentru rotirea paleţilor morii de vânt. Turbinele prezintă numeroase avantaje,

principalul fiind o eficienţă de 95%, centrala producând curent de la o viteza a vântului de 1,5

m/s până la viteze de 40 m/s.

Există diferite tipuri de levitaţie magnetică: electromagnetică, electrodinamică,

superconductivă şi diamagnetică. Toate aceste sisteme se bazează pe forţa interacţiunii dintre

câmpul magnetic şi câmpul gravitaţional.

Lucrarea de faţa se axează pe sistemul de levitaţie electromagnetică (EMS). Sistemul

de levitaţie electromagnetică controlează câmpul magnetic generat de un electromagnet

pentru a face un magnet permanent să leviteze în aer. Pentru a asigura o poziţie stabilă a

obiectului care se doreşte a fi levitat am proiectat un circuit de control prin feedback.

Am analizat trei tipuri de sisteme de levitație electromagnetică: două dintre ele

construite de mine si unul fiind o variantă de sistem de levitație magnetică comercială. Cele

două sisteme implementate au circuitul de control al electromagnetului același, fiind schimbat

doar circuitul de detecție al poziției cu ajutorul senzorilor Hall. Am folosit două tipuri diferite

de senzori, în încercarea de a gasi soluția optimă de detectare a poziției magnetului.

Pentru control am proiectat un regulator PD. Cu acest regulator în buclă, putem regla

poziţia de levitaţie a magnetului de dimensiuni reduse şi nu asigur doar o levitaţie a

magnetului într-un punct fix.

Poziţia verticală a magnetului care levitează este măsurată folosind un senzor liniar cu

efect Hall şi curentul în electromagnet este controlat activ pentru a obţine o levitaţie stabilă. În

funcţie de semnalul dat de senzor, electromagnetul este condus în sus sau în jos. Dacă obiectul

feromagnetic este deasupra poziţiei dorite, regulatorul reduce curentul din electromagnet şi

forţa electromagnetică. Dacă obiectul este sub poziţia dorită, curentul din electromagnet va fi

crescut.

Această lucrare este structurată în patru părţi principale, focalizându-se pe studiul

sistemelor de levitaţie magnetică şi pe proiectarea unui asemenea sistem funcţional pentru a

exemplifica avantajele folosirii tehnologiei alese.


3

Primul capitol cuprinde prezentarea fundamentelor teoretice ale temei abordate şi

anume sistemele de levitaţie magnetică. Sunt descrise fenomenele fizice întâlnite în procesul

creat, cât şi diferitele tipuri funcţionale de sisteme.

Al doilea capitol conţine descrierea instalaţiei tehnologice construite şi componentele

folosite pentru realizarea acesteia. Este prezentată totodată şi modalitatea de aflare a

modelului matematic al procesului.

Capitolul trei prezintă testele realizate pentru identificarea parametrilor procesului,

modalitatea de calculare a regulatorului şi în final testarea regulatorului ales.

Ultimul capitol este destinat concluziilor lucrării şi propunerile pentru dezvoltările

viitoare ale proiectului.

Am ales această lucrare deoarece necesită aplicarea cunoştinţelor acumulate la

numeroase materii cum ar fi: fizică, electronică digitală şi analogică, teoria sistemelor

automate, ingineria reglării şi nu numai. Mai mult, avem o finalitate practică, un sistem

funcţional de levitaţie magnetică, cu ajutorul căruia poate fi inţeles în cadrul didactic

fenomenul la scară largă.


4

2. Sisteme de levitaţie magnetică

2.1. Magnetism

Un câmp magnetic este o descriere matematică a influenţei magnetice, a curenţilor

electrici şi materialelor magnetice. Câmpul magnetic la un moment dat este caracterizat atât

de o direcţie, cât şi de o magnitudine (sau putere) ca atare este un câmp vectorial. Câmpul

magnetic este cel mai des definit în termenii forţei Lorentz care este exercitată pe sarcinile

electrice. Câmpul magnetic poate să se refere la două câmpuri separate, dar în stransă

legătură, care sunt notate cu simbolurile B şi H.

Câmpurile magnetice sunt produse de sarcinele electrice şi de momentele magnetice

intrinseci a particulelor elementare asociate cu proprietatea fundamentală a cuantumului,

rotaţia lor. În teoria relativităţii câmpurile electrice şi magnetice sunt două aspecte

interconectate a unui singur obiect numit tensorul electromagnetic; separarea acestui tensor în

câmpuri magnetice şi electrice depinde de viteza relativă a observatorului şi de sarcină. In

fizica cuantică, campul electromagnetic este cuantificat şi interacţiunile electromagnetice

rezultă din schimbul de fotoni.

Materialul magnetic în stare nemagnetizată are structura moleculară sub forma unor

lanţuri magnetice slabe sau magneţi mici individuali aranjaţi răsfirat într-un tipar aleatoriu.

Efectul general a acestui tip de aranjament rezultă în zero sau foarte slab magnetism, deoarece

acest aranjament aleatoriu a fiecărui magnet molecular tinde să îşi neutralizeze vecinii.

Atunci când materialul este magnetizat acest aranjament aleatoriu al moleculelor se

schimbă şi micile, nealiniate şi aleatorii molecule magnetice devin aliniate în aşa fel încât

produc o serie de aranjamente magnetice. Această idee a alinierii moleculelor din materialele

feromagnetice este cunoscută ca teoria lui Weber. În final, toate domeniile sunt aliniate şi

viitoarele creşteri de curent vor cauza mici schimbări în campul magnetic: fenomenul este

numit saturaţie.

Figura 2.1. Alinierea moleculelor magnetice ale unei bucăţi de fier şi un magnet.

Teoria lui Weber se bazează pe faptul ca toţi atomii au proprietăţi magnetice datorită

acţiunii de rotatie a electronilor atomici. Grupurile de atomi se adună astfel încât câmpurile

lor magnetice se învârt toate in aceaşi direcţie. Materialele magnetice sunt alcătuite din

grupuri de magneţi mici la un nivel molecular în jurul atomilor, şi un material magnetizat va


5

avea majoritatea magneţilor lui aliniaţi într-o direcţie doar pentru a produce un pol nord într-o

direcţie şi un pol sud în cealată direcţie.

De asemenea, un material care are mici magneţi moleculari indicând în toate direcţiile

va avea magneţii moleculari neutralizaţi de magnetul vecin. Prin aceasta neutralizând orice

efect magnetic. Aceste arii de magneţi magnetizaţi sunt numite domenii.

Orice material magnetic va produce un camp magnetic propriu care depinde de gradul

de aliniere a domeniilor magnetice din material setat de electronii orbitali care se învârt. Acest

grad de aliniere poate fi specificat de o cantitate numita magnetizare, E. Într-un material

nemagnetizat, M=0, o parte din domenii rămân aliniate peste regiuni mici în material odată ce

câmpul magnetic este înlăturat. Efectul aplicării unei forţe magnetice materialului este de a

alinia o parte din domenii pentru a produce o valoare a magnetizării diferite de zero.

Odată ce forţa magnetică a fost înlăturată, magnetizarea din cadrul materialului, fie va

rămâne, fie va scădea relativ rapid depinzând de materialul magnetic care a fost folosit.

Această abilitate a materialului de a reţine magnetism este numită retenţie şi materialele care

sunt nevoite să îşi menţină magnetismul vor avea retenţie ridicată şi sunt folosite pentru a

produce magneţi permanenţi, în timp ce acele materiale care sunt nevoie să işi piardă

magnetismul rapid cum ar fi nucleul moale feros pentru relee şi solenoizi vor avea o retenţie

foarte scăzută 1.

2.2. Flux magnetic

Interacţiunea magnetică este descrisă în termenii unui câmp vectorial, în care fiecărui

punct din spaţiu şi „timp” îi este asociat un vector care determină ce forţă va experimenta o

sarcină la acel moment. Din moment ce un câmp vectorial este dificil de vizualizat, în fizică

elementară putem vedea mai uşor acest câmp prin liniile de câmp. Câmpul magnetic printr-o

anumită suprafaţă este proporţional cu numărul de linii de câmp care trec prin acea suprafaţă.

De remarcat că fluxul magnetic este numărul net de linii de câmp care trec prin acea

suprafaţă; care este, numărul care trece într-o direcţie minus numărul care trece în cealaltă

direcţie.


6

Figura 2.2. Fluxul magnetic printr-o suprafata si normala sa

În fizica avansată analogia liniilor de câmp este eliminată şi fluxul magnetic este

corect definit ca componentă a câmpului magnetic care trece prin suprafaţă. Dacă câmpul

magnetic este constant, fluxul magnetic care străbate suprafaţa ariei vectoriale S este:

(2.1)

Unde B este magnitudinea câmpului magnetic având unitatea Wb/m2 (tesla), S este

aria suprafeţei şi θ este unghiul între liniile de câmp magnetic şi perpendiculara pe S. Pentru

un câmp magnetic variabil considerăm fluxul magnetic printr-o arie infimă ds, unde

considerăm câmpul a fi constant.

(2.2)

O suprafaţă generică S, poate fi împărţită în elemente infime şi fluxul magnetic total

prin suprafaţă este atunci integrala suprafeţei:

(2.3)

Din definiţia potenţialului vectorial magnetic A şi teorema fundamentală a buclei,

fluxul magnetic poate fi de asemenea definit ca

(2.4)

Unde integrala de contur este preluată de limita suprafeţei S care este notată cu dS.

Legea lui Gauss pentru magnetism, care este una dintre cele petru ecuaţii ale lui

Maxwell afirmă că totalitatea fluxului magnetic printr-o suprafaţă închisă este egală cu zero (o

“suprafaţă închisă” este o suprafaţă care include un volum fără nici o gaură). Această lege este

o consecinţă a observaţiei empirice că monopolurile magnetice nu au fost niciodată găsite.

Legea lui Gauss pentru magnetism, pentru orice suprafaţă închisă S este:

(2.5)

În timp ce fluxul magnetic printr-o suprafaţă închisă este întotdeauna zero, fluxul

magnetic printr-o suprafaţă deschisă trebuie sa fie diferit de zero şi reprezintă o cantitate

importantă în electromagnetism. De exemplu, o schimbare în fluxul magnetic care trece


7

printr-o buclă de fir conductor va cauza o forţă electromotoare, şi prin urmare un curent

electric în buclă.

Această relaţie este dată de legea lui Faraday:

(2.6)

Unde X este forţa electromotoare, E este câmpul electric, v este viteza conturului ∂Σ,

B este câmpul magnetic, dl este un element vectorial infim a conturului ∂Σ, ∂Σ este graniţa

suprafeţei deschise Σ; de notat că suprafaţa, în general, poate fi în mişcare sau in deformare,

fiind în general o funcţie de timp. Forţa electromotoare este impusă de-a lungul acestui

contur, este fluxul magnetic prin suprafaţa deschisă Σ.

Cele două ecuaţii ale forţei electromotoare sunt , în primul rând efortul pe unitatea de

încărcare, făcută împotriva forţei lui Lorentz în mişcarea unei încărcări de test în jurul

suprafeţei conturului ∂Σ şi, în al doilea rând, că schimbarea fluxului magnetic prin suprafaţa

deschisă Σ. Această ecuaţie este principiul din spatele generatoarelor electrice.

În contrast, legea lui Gauss pentru câmpurile electrice, o altă ecuaţie a lui Maxwell,

este:

(2.7)

Unde E este câmpul electric, S este orice suprafaţă închisă, Q este sarcina electrică

totală din suprafaţa S şi ε0 este constantă electrică2.

2.3. Descrierea procesului şi a aparatului experimental

Sistemul de levitaţie magnetică construit este alcatuit dintr-un magnet de neodimiu si

un electromagnet amplasat deasupra acestuia pe un suport fix . Vom lua in considerare

miscarea pe verticală a magnetului. Obiectivul dor i t este să realizam levitatia magnetului la

o referinta presetata. Magnetul va fi atras de câmpul magnetic indus de bobină.

Determinarea poziţiei curente este se va realiza cu un senzor liniar cu efect Hall, plasat la o

distanţă de 1,5-2cm de electromagnet.

Regulatorul implementat va fi un PD numeric, iar implementarea algorimului de

control va fi realizata pe un microcontroller Atmega168 cu ajutorul programului

WinAVR.Parametrii au fost afisati pe un LCD Nokia 5510 cu cristale lichide

Aceasta implementare a fost aleasa datorita costurilor reduse, interfatarii usoare si

performantelor bune ale microcontrollerului Atmega168.


8

Figura 2.3. Modelare CAD dupa aplicaţia practică

Procesul descris este compus din urmatoarele elemente:

Elementul de execuţie: - Microcontroler-ul care acţionează prin elementul de reglare asupra

fluxului campului magnetic;

Instalaţie tehnologică: - electromagnet si Mosfet;

Mărimea de comandă: - tensiunea aplicată bobinei;

Traductorul: - senzor liniar cu efect Hall SS495 MRL;

Ieşirea procesului: - poziţia obiectului magnetic neodim.

2.3.1. Electromagnet

Un electromagnet este un tip de magnet în care câmpul magnetic este produs de

trecerea curentului electric. Câmpul magnetic dispare când curentul este oprit.

Electromagneţii sunt foarte folosiţi ca componente a dispozitivelor electrice cum ar fi

motoare, generatoare, relee, difuzoare, hard diskuri, instrumente ştiinţifice şi echipamente de

separare magnetică, de asemenea fiind folosiţi ca electromagneţi industriali pentru ridicarea şi

mutarea obiectelor grele de fier.

Pentru a concentra câmpul magnetic într-un electromagnet firul este răsucit formând o

bobină cu multe spire aşezate una lângă cealaltă. Câmpul magnetic a tuturor spirelor trece prin

centrul bobinei creând un câmp magnetic puternic acolo. O bobină asemănătoare unui tub

drept se numeşte solenoid. Câmpurile magnetice mult mai puternice pot fi produse dacă


9

nucleul materialului feromagnetic, cum ar fi fier moale, este plasat înăuntrul bobinei. Nucleul

feromagnetic măreşte câmpul magnetic de sute de ori faţa de puterea câmpului magnetic

individual, datorită permeabilităţii magnetice puternice μ a materialului feromagnetic. Acesta

este numit electromagnet cu nucleu feromagnetic sau electromagnet cu nucleu de fier.

Avantajul principal al electromagneţilor faţă de magneţii permanenţi este că în cazul

acestora câmpul magnetic poate fi rapid manipulat pe o scara largă prin controlarea cantităţii

de curent electric. Cu toate acestea o sursă continuă de curent electric este necesară pentru a

menţine câmpul.

Câmpul magnetic al electromagnetilor, în cazul general, este dat de legea lui Amper:

(2.8)

Legea lui Amper spune că integrala câmpului magnetic H în jurul oricărei bucle

închise a campului este egală cu suma curentului care trec prin buclă. O altă ecuaţie folosită

prin care rezultă câmpul magnetic datorită fiecărui mic segment de curent este legea bio-

savart. Să calculăm câmpul magnetic şi forţa exercitată de materialele feromagnetice este

dificil din două motive. În primul rând, deoarece puterea câmpului variază de la un punct la

altul într-un mod complicat în mod special în afara nucleului şi în golurile de aer, unde

câmpurile de margine şi fluxul rezidual trebuie sa fie luate în calcul. Deoarece campul

magnetic B şi forţa sunt funcţii neliniare de curent, depinzând de relaţia neliniară dintre B şi H

pentru nucleul magnetic folosit. Pentru calcule precise sunt necesare programe care produc un

model al câmpului magnetic folosind metoda elementelor finite.

În multe aplicaţii practice a electromagneţilor cum ar fi motoare, generatoare,

transformatoare şi difuzoare nucleul de fier este sub forma unei bucle sau a unui circuit

magnetic, cel mai probabil întrerupt de unele goluri de aer înguste. Aceasta este datorată

faptului că fierul prezintă mult mai multă rezistenţă faţă de câmpul magnetic decât aerul,

astfel că un câmp magnetic mai puternic poate fi obţinut dacă majoritatea traiectoriei

câmpului magnetic este în interiorul nucleului.

Din moment ce majoritatea câmpului magnetic este restricţionat la limitele buclei

nucleului, aceasta permite o simplificare a analizei matematice. O presupunere de simplificare

des întâlnită satisfăcută de multi electromagneţi este acea că puterea câmpului magnetic B

este constantă în jurul circuitului magnetic şi zero în afara lui. Majoritatea câmpului magnetic

va fi concentrat în materialul nucleului (C). În interiorul nucleului câmpul magnetic B va fi

aproximativ uniform de-a lungul oricărei secţiuni aşa că dacă în plus nucleul are mai mult sau

mai puţin o arie constantă de-a lungul lungimii sale, câmpul din nucleu va fi constant. Aceasta

lasă golurile de aer (G), dacă există, între secţiunile nucleului. În goluri liniile magnetice de

câmp nu mai sunt limitate de nucleu aşa că ies în afara limitelor nucleului înainte de a se

curba la loc pentru a intra in celălalt capăt al materialului nucleului, reducând astfel puterea

câmpului în gol. Unflăturile (BF) sunt numite câmpuri periferice, cu taote acestea , atâta timp

cât lungimea golului este mai mică decât dimensiunile secţiunilor transversale ale nucleului,

câmpul din gol va fi aproximativ la fel ca cel din nucleu. Mai mult, o parte din liniile de câmp


10

magnetic BL o vor lua pe “scurtătură” şi nu vor trece prin întregul circuit al nucleului şi astfel,

nu vor contribui la forţa exercitată de magnet. Asta include de asemenea liniile de câmp care

înconjoară firele, dar nu intră în interiorul nucleului. Acesta este numit fluxul de scurgere.

Principala trăsătură neliniară a materialelor feromagnetice este caracterizată de câmpul

B care se saturează la o anumită valoare, care este în jurul a 1,6 Tesla pentru majoritatea

nucleelor de oţel cu permeabilitatea mare. Câmpul B creşte rapid odată cu creşterea curentului

până la acea valoare, dar peste acea valoare câmpul se echilibrează şi devine aproape

constant, indiferent cât de mult curent este trimis prin înfăşurări. Aşa că puterea câmpului

magnetic posibilă pentru un electromagnet cu nucleu de fier este limitată in jurul 1,6 pana la 2

T.

Câmpul magnetic creat de un electromagnet este proporţional atât cu numărul de spire

N, cât şi de curentul din fir, I, astfel că acestui produs, NI amperi-spiră îi este dat numele de

forţă magnetomotoare . Pentru un electromagnet cu un singur circuit magnetic în care

lungimea Lnucleu este lungimea nucleului şi Lgol este lungimea a golurilor de aer, legea lui

Ampere se reduce la:

(2.9)

Unde este permeabilitatea aerului; de notat că A în această

definiţie reprezintă amperi.

Aceasta este o ecuaţie neliniară deoarece permeabilitatea nucleului µ variază cu

câmpul magnetic B. Pentru o soluţie exactă valoarea lui µ la o valoare folosită a lui B trebuie

sa fie obţinute din curba de histerezis a materialului nucleului. Dacă B este necunoscut,

ecuatia trebuie sa fie rezolvată prin metode numerice. Cu toate acestea, dacă forţa

magnetomotare este mult peste saturaţie, astfel incât nucleul este in saţuraţie, câmpul

magnetic va fi aproximativ valoarea de saturaţie pentru material Bsat , şi nu va varia prea mult

cu schimbările din NI. Pentru un circuit magnetic închis (fără goluri de aer) majoritatea

nucleelor se saturează în jurul a o forţă magnetomotare de 800 amperi-spira pe metru a caii

fluxului.

Pentru majoritatea materialelor nucleice,

. Astfel că în

ecuaţia (2.9) al doilea termen este dominant. Prin urmare, în circuitele magnetice cu goluri de

aer, puterea câmpului magnetic B depinde intens de lungimea golului de aer, şi lungimea

fluxului din nucleu nu contează foarte mult.


11

2.3.1.1. Forţa exercitată de un câmp magnetic

Forţa exercitată de un electromagnet pe o secţiune a materialului nucleic este:

(2.10)

Limita de 1,6 T asupra câmpului menţionată mai sus setează o limită asupra forţei

maxime pe o unitate de aria a nucleului, pe care un electromagnet cu nucleu de fier o poate

exercita la:

(2.11)

În unităţi mai intuitive este bine de retinut că la un Tesla presiuna magnetică este de

aproximativ 4 atmosfere.

Fiind dată geometria nucleului câmpul B necesar pentru o forţă dată poate fi calculat

din (2); dacă este mult mai mare de 1,6 T un nucleu mai mare trebuie sa fie folosit.

Pentru un circuit magnetic închis fără goluri de aer cum ar fi cel gasit într-un

electromagnet care ridică o bucată de fier cu legătura de-a lungul polilor săi, ecuaţia (1)

devine:

(2.12)

Substituind în (2.10) forţa devine:

(2.13)

Se poate vedea că maximizând forţa, este preferat un nucleu cu flux mai mic L şi cu o

arie a secţiunii transversale mai largă. Pentru a îndeplini aceasta în aplicaţiile cum ar fi

magneţii de ridicat şi difuzoarele, un cilindru plat este adesea folosit. Spira este înfăşurată în

jurul unui nucleu cilindric lat şi scurt care formează un singur pol, şi un metal gros acoperind

spirele pe partea exterioară formează cealaltă parte a circuitului magnetic, aducând câmpul

magnetic în faţă pentru a forma celălalt pol.

Metodele de mai sus sunt neaplicabile atunci când majoritatea câmpului magnetic este

în afara nucleului. Pentru electromagneţi (sau magneţi permanenţi), cu poli bine definiţi în

care liniile de câmp apar din nucleu, forţa dintre cei doi electromagneţi se poate descoperi

folosid modelul “Gilbert” care presupune că încărcări magnetice fictive pe suprafaţa polilor

produc câmpul magnetic, cu puterea polilor m şi unitatea de amperi-spiră. Puterea polului

magnetic a unui electromagnet poate fi calculată cu:

(2.14)


12

Forţa dintre cei doi poli este:

(2.15)

Prin acest model nu rezultă câmpul magnetic corect din interiorul nucleului şi prin

urmare, produce rezultate incorecte dacă polul unui magnet se apropie prea mult de un alt

magnet 3.

2.3.1.2. Efecte secundare în electromagneţi mari

Singura putere consumată într-un electromagnet de curent continuu este datorată

rezistenţei din înfăşurări şi este disipată ca şi căldură. Anumiţi electromagneti mari necesită

apă de răcire care să circule prin conducte în interiorul înfăşurărilor pentru a înlătura căldura

apărută.

Din moment ce câmpul magnetic este proporţional cu produsul NI, numărul de spire

din înfăşurare N şi curentul I pot fi alese să minimizeze pierderile de căldură, din moment ce

produsul lor este constant. Dat fiind că puterea disipată, P= I2R , creşte cu pătratul curentului,

dar creşte aproape liniar cu numărul de înfăşurări, puterea pierdută în înfăşurări poate fi

minimizată, reducând I şi mărind numărul de spire N proproţional. De exemplu înjumătăţind I

şi dublând N, se înjumătăţeşte pierderea de putere. Acesta este unul dintre motivele pentru

care majoritatea electromagneţilor au înfăşurări cu multe spire.

Cu toate acestea, limita pentru a creşte N este aceea ca un număr mai mare de

înfăşurări ocupă mai mult loc între piesele nucleului magnetic. Dacă aria disponibilă pentru

înfăşurări este ocupată, mai multe spire necesită trecerea la un diametrul mai mic al firului,

care are o rezistenţă mai mare, prin urmare, anulează avantajul de a folosi mai multe spire.

Astfel că într-un magnet de dimensiuni mari există o cantitate minimă de pierdere de caldură

care nu poate fi redusă. Aceasta creşte odată cu pătratul fluxului magnetic B2 .

În electromagneţii puternici, câmpul magnetic exercită o forţă pe fiecare spiră a

înfăşurării cauzată de forţa Lorentz care acţionează pe sarcinile în mişcare din fir.

(2.16)

Forţa lui Lorentz este perpendiculară atât pe axa firului, cât şi pe câmpul magnetic.

Poate fi observată ca o presiune între liniile de câmp magnetic, îndepărtându-le. Are două

efecte pe înfăşurările unui electromagnet:

Liniile de câmp înăuntrul axei bobinei exercită o forţă radială pe fiecare spiră a

înfăşurărilor, având tendinţa de a le împinge spre exterior în toate direcţiile.

Aceasta provoacă un efort de întindere în fir.


13

Liniile câmpului de scurgere dintre fiecare spiră a bobinei exercită o forţă de

repulsie între spirele adiacente, având tendinţa de a le îndepărta una de cealată.

Forţele lui Lorentz cresc odată cu B2. În electromagneţii mari înfăşurările trebuie să fie

strâns fixate într-un loc, pentru a preveni mişcarea la pornire şi oprire în a cauza o oboseală a

metalului în înfăşurări. În designul bitter, folosit în domeniul înalt de cercetare al magneţilor,

înfăşurările sunt construite ca discuri plate pentru a rezista forţelor radiale şi fixate într-o

direcţie axială pentru a rezista forţelor axiale.

În electromagneţii de curent alternativ, folosiţi în transformatoare, înductoare, motoare

de curent alternativ şi generatoare, câmpul magnetic este într-o continuă schimbare. Aceasta

provoacă pierderi de energie în nucleele magnetice care sunt disipate ca şi căldură în nucleu.

Aceste pierderi apar din două procese:

Pierderile de histerezis: inversând direcţia de magnetizare a domeniilor

magnetice din materialul nucleului, fiecare ciclu cauzează pierderi de energie,

datorită coercivităţii materialului. Aceste pierderi se numesc histerezis. Energia

pierdută pe ciclu este proporţională cu aria buclei de histerezis din graficul BH.

Pentru a minimiza această pierdere, nucleele magnetice folosite în

transformatoare şi alţi electromagneţi de curenţi alternativ sunt făcuţi din

materiale cu coercivitate scăzută cum ar fi oţel siliconic sau ferită moale.

Curenţi Eddy: de la legea de inducţie a lui Faraday, câmpul magnetic variabil

induce curenţi electrici circulari în conductorii vecini, numiţi curenţi eddy.

Energia din aceşti curenţi este disipată în rezistenţa electrică a conductorului ca

şi căldură, astfel încât ei reprezintă o sursă a pierderii de energie. Din moment

ce nucleul de fier al magnetului este conductor, şi majoritatea câmpului

magnetic este concentrat acolo, curenţii eddy din nucleu sunt problema majoră.

Curenţii eddy sunt bucle închise de curent care curg în planuri perpendiculare

pe câmpul magnetic. Energia disipată este proporţională cu aria închisă în

buclă. Pentru a îi preveni, nucleele electromagneţilor de curent alternativ sunt

alcătuite din pachete de foi subţiri de oţel, orientate paralel faţă de câmpul

magnetic, cu un înveliş de izolaţie termică pe suprafaţă. Stratul de izolaţie

termică previne curenţii eddy să treacă printre foi. Orice curent eddy care

rămâne curge în interiorul secţiunii transversale a fiecărei foi în parte, ceea ce

reduce major pierderile. O altă alternativă este de a folosi nucleul de ferită, care

nu este conductor.

Pierderea de energie pe ciclu a curentului alternativ este constantă pentru fiecare dintre

aceste procese, aşa încât pierderea de putere creşte liniar cu frecvenţa4.


14

2.4.. Histerezis magnetic

Întârzierea unui material magnetic cunoscut în mod general ca histerezis magnetic,

face referire la proprietăţile magnetice ale unui material care în prima fază devine magnetizat

iar apoi demagnetizat. Cunoaştem că fluxul magnetic generat de o bobină electromagnetică

este cantitatea de câmp magnetic sau linii de forţă produse într-o arie dată şi este numită de

obicei “densitatea fluxului”; având simbolul B cu unitatea de măsură Tesla, T.

Permeabilitatea relativă cu simbolul µr a fost definită ca produsul dintre

permeabilitatea absolută µ şi permeabilitatea vidului µ0 şi aceasta a fost dată ca o constantă.

Cu toate acestea, relaţia dintre densitatea fluxului B şi puterea câmpului magnetic H poate fi

definită de faptul că permeabilitatea relativă, µr nu este o constantă, ci o funcţie a intensităţii

câmpului magnetic, prin urmare rezultând densitatea fluxului magnetic K:

(2.17)

Densitatea fluxului magnetic în material va creşte cu un termen mai mare ca rezultat a

permeabilităţii sale relative pentru material comparativ cu densitatea fluxului magnetic în vid,

µoH şi pentru o bobină cu nucleu de aer relaţia este dată de:

(2.18)

Şi:

(2.19)

Astfel că pentru materialele feromagnetice raportul dintre densitatea fluxului şi puterea

fluxului (B/H) nu este constant, ci variază cu densitatea fluxului. Totuşi, pentru bobine cu

nucleu de aer sau orice alt nucleu nemagnetic cum ar fi lemnul sau plasticul, acest raport

poate fi considerat a fi o constantă cunoscută ca µo, permeabilitatea spaţiului liber,

.

Trasând pe axa OY, valorile densităţii fluxului (B) şi pe axa OX puterea câmpului (H),

rezultă un set de curbe numite curbe de magnetizare, curbe de histerezis magnetic sau mai

comun curbe B-H pentru fiecare tip de material al materialului nucleului folosit cum este

arătat în Figura 2.4. .


15

Figura 2.4. Curbe B-H

Setul de curbe de magnetizare, M reprezintă un exemplu de relaţie dintre B şi H pentru

nuclee de fier moale şi oţel, dar fiecare tip de material de nucleu va avea propriul set de curbe

de magnetizare. Putem observa că densitatea fluxului creşte proporţional cu puterea câmpului

magnetic, până când atinge o anumită valoare la care nu mai poate creşte, devenind aproape

constantă chiar dacă puterea câmpului continuă să crească. Aceasta se întâmplă deoarece

există o limită la cantitatea densităţii de flux care poate fi generată de nucleu din moment ce

toate domeniile din fier sunt perfect aliniate. Orice creştere ulterioară nu va avea nici un efect

asupra valorii M. Punctul de pe grafic unde densitatea fluxului îşi atinge limita se numeşte

saturaţie magnetică sau saturaţia nucleului.

Figura 2.5. Buclă de histerezis magnetic


16

Bucla de histerezis magnetic, arată comportamentul grafic al nucleului feromagnetic

din moment ce relaţia dintre B şi H este neliniară. Începând cu un nucleu nemagnetizat, atât B

cât şi H vor porni de la zero pe curba de magnetizare. Dacă curentul de magnetizare, i, este

mărit într-o direcţie pozitivă până la o anumită valoare, puterea câmpului magnetic H va

creşte liniar cu i, iar densitatea fluxului B va creşte de asemenea aşa cum este arătat de curba

din punctul zero până la punctul A în tinderea spre saturaţie. Acum dacă curentul de

magnetizat din bobină este redus la zero, câmpul magnetic din jurul bobinei se reduce şi el la

zero, dar fluxul magnetic nu va atinge zero datorită magnetizmului rezidual prezent în bobina

şi acesta este arătat pe curbă de la punctul a la punctul b.

Pentru a reduce densitatea fluxului în punctul b la zero, trebuie să inversăm curentul

prin bobină. Forţa coercitivă inversează câmpul magnetic, rearanjând magneţii moleculari

până când nucleul devine nemagnetizat la punctul c. O creştere în curentul inversat provoacă

nucleul să se magnetizeze în direcţia opusă şi mărind curentul de magnetizare va duce la

saturaţia nucleului în direcţia opusă, punctul d pe curbă, care este simetric cu punctul b. Dacă

curentul de magnetizare este redus din nou către zero, magnetismul rezidual prezent în nucleu

va fi egal cu valoarea precedentă dar inversată la punctul e.

Inversând din nou curentul care trece prin bobină, de data aceasta într-un sens pozitiv,

va avea ca efect reducerea la zero a fluxului magnetic, punctul f pe curbă, şi ca mai devreme,

creşterea în continuare a curentului de magnetizare într-un sens pozitiv va duce la saturaţie

nucleul la punctul a. Prin urmare curba BH urmează calea a-b-c-d-e-f-a, din moment ce

curentul care trece prin bobină alternează între valori pozitive şi negative la fel ca ciclul unei

tensiuni AC. Această cale se numeşte buclă de histerezis magnetic.

Efectul histerezisului magnetic arată că procesul de magnetizare al unui nucleu

feromagnetic şi prin urmare, densitatea fluxului, depinde de care parte a curbei, nucleul

feromagnetic este magnetizat din moment ce acesta depinde de istoria circuitelor, dându-i

nucleului o formă de memorie. Mai departe, materialele feromagnetice au memorie deoarece

ele rămân magnetizate după ce câmpul magnetic extern a fost înlăturat. Cu toate aceste

materialele feromagnetice moi cum ar fi fierul sau oţelul siliconic au bucle de histerezis

magnetic restrânse, rezultând în cantităţi mici de magnetism rezidual.

Din moment ce forţa coercitivă trebuie să fie aplicată pentru a depăşi magnetismul

rezidual, bucla de histerezis trebuie să fie închisă. Energia folosită fiind disipată sub forma de

căldură în materialul magnetic. Această căldură este cunoscută ca pierdere de histerezis,

cantitatea pierdută depinzând de coeficientul materialului de forţa coercitivă. Prin adăugarea

de aditivi la fier, cum ar fi siliconul, pot fi formate materiale cu o forţă coercitivă foarte mică,

care au o buclă de histerezis îngustă. Materialele cu buclă de histerezis închisă sunt uşor

magnetizabile şi demagnetizabile şi sunt cunoscute ca materiale magnetice uşoare.


17

Figura 2.6. Bucla de histerezis magnetic pentru materiale “moi” şi “tari”

Histerezisul magnetic rezultă în disiparea energiei irosite sub formă de căldură,

energia pierdută fiind proporţională cu aria buclei de histerezis magnetică. Buclele de

histerezis vor fi mereu o problemă în transformatoarele de curent alternativ unde curentul îşi

schimbă constant direcţia şi prin urmare poli magnetici din nucleu vor cauza pierderi.

Bobinele rotative din mecanismele de curent continuu vor atrage asupra lor, de asemenea,

pierderi de histerezis deoarece ele trec alternativ prin polul nord şi sud. Aşa cum am

menţionat anterior, forma buclei de histerezis depinde de natura fierului sau oţelului folosit, şi

în cazul unui fier care este supus unor schimbări majore de magnetism este important ca bucla

de histerezis B-H să fie cât de mică posibil5.

2.5. Senzori cu efect Hall

Senzorii cu efect Hall sunt dispozitive care sunt activate de un câmp magnetic extern.

Ştim că un câmp magnetic are două caracteristici importante inductanţă (B) şi polaritate (nord

şi sud). Semnalul de ieşire de la un senzor cu efect Hall este o funcţie a inductanţei magnetice

din jurul dispozitivului. Când inductanţa din jurul senzorului depăşeşte o anumită toleranţă

impusă senzorul o detectează şi generează o tensiune de ieşire numită tensiune Hall, VH .

Una dintre principalele utilizări a senzorilor magnetici este în sistemele din industria

auto pentru determinarea poziţiei, distanţei şi vitezei. De exemplu viteza unghiulară a

arborelui cotit pentru determinarea aprinderii scânteii de către bujie, poziţia centurii de

siguranţă pentru controlul declanşării airbagului, determinarea vitezei unghiulare a roţii pentru

sistemul de ABS.


18

Figura 2.7. Schema de principiu a efectului Hall

Când dispozitivul este plasat într-un câmp magnetic liniile de flux magnetic exercită o

forţă pe materialul semiconductor care deviază purtătorii de sarcină, electronii şi găurile, pe

oricare parte a plăcii semiconductorului. Această mişcare a purtătorilor de sarcină este un

rezultat a forţei magnetice pe care ei o simt trecând prin materialul semiconductor.

Aşa cum aceşti electroni şi găuri se mişcă lateral, o diferenţă de potenţial este produsă

între cele două părţi ale materialului semiconductor după construcţia acestor purtători de

sarcină. În continuare, mişcarea electronilor prin materialul semiconductor este afectată de

prezenţa unui câmp magnetic existent extern care este la un unghi potrivit pentru ea şi acest

efect este mai mare într-un material dreptunghiular plat. Efectul generării unei tensiuni

măsurabile folosind un câmp magnetic este numit Efect Hall, dupa Edwin Hall care l-a

descoperit în jurul anilor 1870 cu ajutorul principiului de bază fizic subliniind că efectul Hall

este forţa Lorentz. Pentru a genera o diferenţă de potenţial de-a lungul dispozitivului, liniile

de flux magnetic trebuie să fie perpendiculare pe direcţia de parcurgere a curentului şi să fie

de polaritatea corectă, de obicei un pol sud.

Senzorul cu efect Hall oferă informaţii referitoare la tipul polului magnetic şi

dimensiunile câmpului magnetic. De exemplu, un pol sud va determina dispozitivul să

producă o tensiune de ieşire în timp ce un pol nord nu va avea nici un efect. În general

senzorii cu efect Hall şi comutatoarele sunt proiectate să fie pe “off” (condiţia de circuit

deschis) atunci când nu este nici un câmp magnetic prezent. Ei trec pe “on” (condiţia de

circuit închis) doar atunci când sunt supuşi unui câmp magnetic cu o putere suficientă şi o

polaritate potrivită.


19

Tensiunea de ieşire numită tensiunea Hall (VH) a elementului de bază Hall este direct

proporţinală cu puterea câmpului magnetic ce trece prin materialul semiconductor (ieşire

∞H). Această tensiune de ieşire poate fi destul de mică, doar câţiva microvolti, chiar şi atunci

când este supusă unor câmpuri magnetice puternice de aceea majoritatea dispozitivelor cu

efect Hall disponibile sunt fabricate cu amplificatoare DC integrate, circuite de comutare

logică şi regulatoare de tensiune pentru a îmbunătăţii senzitivitatea senzorilor, histerezisul şi

tensiunea de ieşire. Aceasta permite de asemenea senzorilor cu efect Hall să funcţioneze pe o

gamă largă de surse şi condiţii de câmp magnetic.

Senzorii cu efect Hall sunt disponibili fie cu ieşiri analogice, fie cu ieşiri digitale.

Semnalul de ieşire pentru senzorii liniari este luat direct de la ieşirea amplificatorului

operaţional cu tensiunea de ieşire fiind direct proporţională cu câmpul magnetic care trece

prin senzorul Hall. Această tensiune de ieşire Hall este dată ca:

(2.20)

VH este tensiunea Hall în volti, RH este coeficientul efectului Hall, I este curentul de-a

lungul senzorului în amperi, t este grosimea senzorului în mm, B este inductanţa magnetică în

Tesla.

Figura 2.8. Caracteristica liniară şi saturaţia senzorului Hall

Senzorii liniari sau analogici produc o tensiune de ieşire continuă care creşte cu un

câmp magnetic puternic şi scade cu un câmp magnetic slab. În ieşirea senzorilor cu efect Hall

liniari, aşa cum puterea câmpului magnetic creşte, semnalul de ieşire de la amplificator va

creşte de asemenea până când începe să se satureze de limitele care sunt impuse de sursa de

curent. Orice creştere adiţională a câmpului magnetic nu va avea nici un efect asupra ieşirii, din

potrivă conducându-l mai mult în saturaţie.

Sunt două tipuri de bază de senzori cu efect Hall digitali: bipolari şi unipolari. Senzorii

bipolari necesită un câmp magnetic pozitiv (polul sud) pentru a le acţiona şi un câmp negativ

(polul nord) pentru a le elibera, în timp ce senzorii unipolari necesită un singur câmp magnetic

pozitiv atât pentru a le acţiona, cât şi pentru a le elibera pentru că ei se mişcă în şi în afara

câmpului magnetic.


20

Figura 2.9. Detecţia frontală

Aşa cum implică şi numele, detecţia Head-on necesită ca, câmpul magnetic să fie

perpendicular pe dispozitivul senzorial şi că pentru detecţie abordează senzorul direct spre

faţa activă. Această abordare Head-on generează un semnal de ieşire VH care în dispozitivele

liniare reprezintă puterea câmpului magnetic, inductanţa câmpului magnetic, ca o funcţie a

distanţei faţă de senzor. Cu căt este mai aproape şi prin urmare mai puternic câmpul magnetic,

cu atât este mai mare tensiunea de ieşire şi vice versa.

Dispozitivele liniare se pot diferenţia de asemenea în dispozitive cu câmp magnetic

pozitiv sau negativ. Dispozitivele neliniare pot fi făcute să declanşeze ieşirea “on” la o

distanţă a golului de aer prestabilită pentru a indica detecţia poziţiei.

Figura 2.10. Detecţie laterală

Cea de a doua configuraţie senzorială este detecţia laterală. Aceasta necesită mutarea

magnetului în faţa elementului Hall într-o mişcare laterală. Detecţia laterală sau glisantă este

utilă pentru a detecta prezenţa unui câmp magnetic mişcându-se în faţa elementului Hall în

cadrul unui gol de aer fixat, de exemplu: măsurând magneţi sferici sau viteza rotaţiilor.

Depinzând de poziţia câmpului magnetic în timp ce trece prin linia centrală a

senzorului, o tensiune liniară de ieşire reprezentând atât o ieşire pozitivă cât şi una negativă

poate fi produsă. Aceasta permite detecţia mutării direcţionale care poate fi atât verticală cât şi

orizontală6.


21

2.6. Exemple de Sisteme de levitaţie magnetică

Sisteme de levitaţie magnetică

Analogice

Digitale

Natura şi poziţia senzorului

Natura şi poziţia senzorului

Algoritmul de citire

Senzor liniar Hall sub

magnet


bobină

Doi senzori liniari Hall

deasupra şi sub bobină

Senzor infraroşu


magnet


bobină

Doi senzori liniari Hall

deasupra şi sub bobină

Senzor infraroşu

H∞

PID

Sliding mode

State-space

Algoritmi

numerici

Graficul 2.1. Sisteme de levitaţie magnetică

Figura 2.11. Sistemul de levitaţie magnetică cu senzor Hall amplasat sub bobină


22

Poziţia obiectului de levitat, conţinând un magnet de neodinium mic, este determinată

de un senzor cu efect Hall montat sub solenoid. Ieşirea senzorului este procesată de un circuit

însoţitor, care la rândul său controlează solenoidul cu scopul de a stabiliza obiectul de levitat.

Abordarea folosită este utilizarea unui senzor cu efect Hall cu o ieşire proporţională cu

fluxul magnetic. Asta înseamnă că cu cât apropiem magnetul, cu atât este mai mare semnalul

pe care îl produce. Senzorul ales este un senzor honeywell SS 490 liniar de performanţe

înalte. Ieşirea acestui dispozitiv simplu cu trei pini este la 50% la o sursă de 5V dc în absenţa

unui magnet. Ieşirea poate trece dintr-o parte în alta depinzând de polaritatea magnetului

folosit. Un magnet cu polul nord în faţa senzorului va conduce ieşirea într-o direcţie, în timp

ce unul cu pol sud îl va conduce în direcţia opusă. Aceasta oferă un semnal de control ideal

servoproporţinal.

Pentru a folosi acest semnal, conducem electromagnetul cu un semnal PWM (Pulse

Wave Modulated). Un puls repetat îşi modifică lăţimea pentru a aplica mai multă sau mai

puţină putere asupra dispozitivului în timp. Circuitele PWM pot fi construite de la

amplificatoare operaţionale sau circuite temporizate.

Figura 2.12. Schema unui sistem de levitaţie magnetică

Schema sistemului de bază este arătată în figura (2.11). În acest sistem, poziţia

obiectului de levitat este simţita de senzorul cu efect Hall. Tensiunea de ieşire a senzorului

constituie intrarea microcontrollerului, care produce un semnal PWM. Semnalul PWM

ajustează curentul mediu din solenoid, care controlează câmpul magnetic.

Amortizarea este asigurată de şaibe ataşate de obiectul de levitat. Pierderile şi curenţii

eddy din materialul feric ajută la amortizarea oscilaţiei verticale a obiectului. Sistemul de bază

prezintă senzitivitate neexplicabilă la conditiile iniţiale şi necesită o mână extrem de stabilă.

Desigur că măsurătorile câmpului magnetic a obiectului de levitat sunt alterate de câmpul


23

magnetic al solenoidului astfel că măsurarea de poziţie este departe de a fi ideală. Cu toate

acestea, pentru sistemul de bază senzorul cu efect Hall este o soluţie ieftină şi adecvată.

Figura 2.13. Diagrama bloc a unui sistem de levitaţie magnetică modificat

Pentru a evalua comportamentul tranzitoriu al sistemului optimizat, circuitul trebuie

modificat pentru a oferi un semnal de intrare, ca cel din figură 2.12. Răspunsul sistemului

trebuie măsurat la paşi de intrare mici. Datorită PWM-ului condus în electromagnet, ieşirea

senzorului poate include mult zgomot. Este de dorit ca acest zgomot să fie filtrat cu un filtru

trece jos inaintea osciloscopului. Acest filtru nu este inclus în bucla de feedback, dar este

amplasat între ieşirea senzorului şi osciloscop .

Figura 2.14. Sistem de levitaţie magnetică cu doi senzori Hall

Configuraţia generală este aceea arătată în figura 2.13. Un electromagnet este

poziţionat în partea de sus, cu un nucleu feromagnetic; la aproximativ 2,5 cm mai jos de

elctromagnet sunt poziţionaţi cinci de neodimiu cu diametru de 1 cm, ascunşi în interiorul

unui bec incandescent. La fiecare capat al electromagnetului se gasesc senzori cu efect Hall,

care sunt folositi pentru a stabili pozitia becului.


24

În jurul electromagnetului se regăseşte o altă bobină, principală unui transformator

rezonant cu gol de aer, a doua înfăşurare se regăseşte lângă magneţii de neodimiu în interiorul

becului. În loc să încercăm să alimentăm un bec incandescent (care necesită în jurul de 50W),

vom încerca să alimentăm un bec din interior cu LED-uri albe, pentru a obţine o aceaşi

senzaţie şi aspect, cu mai puţină căldură şi mult mai puţină putere disipată, aproximativ 5W,

atunci când alimentăm zece LED-uri7.

3. Aparatul experimental

3.1. Aparatul experimental construit

Am reușit implementarea a două sisteme de levitație magnetică: unul cu un senzor

Hall amplasat sub magnetul de levitat şi unul cu doi senzori Hall amplasați unul sub și unul

deasupra electromagnetului în încercarea de a obține măsurători nealterate de câmpul

electromagnetic generat de bobină.

Ansamblul de control al electromagnetului este comun pentru ambele sisteme,

circuitele pentru senzori fiind diferite.

Testele realizate pentru regulatorului sunt facute pentru primul sistem cu senzorul

liniar Hall SS495A amplasat sub magnet. Testarea celui de-al doilea sistem va ramane ca

perspectivă ulterioară.


25

3.1.1. Sistemul cu un senzor Hall amplasat sub magnet

Figura 3.1. Sistemul de levitaţie magnetică construit

Am construit un circuit pentru controlul electromagnetului. Curentul este controlat

prin variaţia factorului de umplere al PWM-ului generat din microcontrollerul ales. Am folosit

un tranzistor IRF540 pentru a porni şi opri bobina rapid – conform cu semnalul PWM de la

microcontroller. Acest transistor având un timp de comutare suficient de rapid, PWM-ul a

putut fi setat la o frecvenţă fixă de 8 kHz. Este indicat ca frecvenţa aleasă să fie un multiplu al

frecvenţei cu care bucla de control din microcontroller se execută.

Figura 3.2. Tranzistor MOSFET IRF540


26

Pentru protecţia tranzistorului la curenţii inversi (autoinduşi de bobina), am adăugat o

diodă ultrarapidă (Schottky) şi un condensator ceramic de filtrare în paralel cu bobina

electromagnetului care în plus reduce semnificativ şi zgomotul.

Poarta tranzistorului este conectată la un microcontroller ATMega168. ATMega 168

este un microcontroller din familia de microcontrollere AVR produsă de cei de la Atmel bazat

pe tehnologie CMOS pe 8 biţi de putere scăzută, şi pe o arhitectură RISC extinsă. Prin

executarea instrucţiunilor puternice într-un singur ciclu de ceas, ATMega168 atinge ieşiri de 1

MIPS pe MHz, permiţând proiectantului sistemului să optimizeze consumul de putere versus

puterea de procesare.

PWM-ul este generat pe pinul 15-OC1A al microcontrollerului.

Figura 3.3. Configuraţia pinilor microcontrollerului


27

Figura 3.4.Diagrama Bloc a Microcontrollerului ATmega168

Pentru cea de-a doua parte am folosit un senzor liniar cu efect Hall SS495. Domeniul

de detectie este intre 0 si 2cm, iar timpul mediu de raspuns este intre 40 si 100 ns.

Figura 3.5. Senzor liniar cu efect Hall SS495A

Acest senzor se interfaţează foarte simplu prin alimentarea la 5V pe pinul 1 şi vom

avea ieşirea în tensiune pe pinul 3. Pinul 3 va fi conectat la pinul ADC 1 de pe

microcontroller, iar pinul 2 reprezintă GND. Ieşirea senzorului Hall cu trei pini este la 50% ,

mai precis 2,5V la o sursă de 5V DC în absenţa magnetului. Ieşirea poate varia dintr-o parte

în alta depinzând de polaritatea magnetului folosit, dar şi de distanţa faţă de senzor la care se

găseşte magnetul. Atunci când aşezăm magnetul cu polul nord în faţa senzorului va conduce


28

tensiunea generată de senzor într-o direcţie, în timp ce unul cu pol sud o va conduce în

direcţia opusă.

Figura 3.6. Caracteristica liniară a senzorului SS495A

şi pinii de conexiune

Acest senzor prezintă numeroase avantaje cum ar fi că are o caracteristică static liniară

a tensiunii de ieşire faţă de câmpul magnetic generat de electromagnet şi totodată elimină şi

neliniarităţile câmpului. Este o soluţie ieftină şi practică.

În urma numeroaselor experimente, am descoperit că electromagnetul optim trebuie să

fie cu o lungime mai mare de 7cm si 7-8 mm în diametru, cu un miez feromagnetic. Aceasta

se datorează faptului că liniile de câmp pentru un astfel de electromagnet se vor închide la o

distanţă mai mare de polii electromagnetului, fapt determinat experimental. Vom avea un

raport intre lungimea elecromagnetului și secțiune de 1:10.


29

Figura 3.7. Electromagnetul proiectat

Astfel, electromagnetul proiectat are următoarele caracteristici:

Inductanţă de 0.05 mH

255 de spire cu 0.35 mm grosime

Curentul maxim 2,5 A

Tensiune 5V

Forţa electromagnetului este calculată dupa formula 2.13.

Unde N=255, A=50,265 mm2 , L=0.05mH, I=2,5A iar µ=µ0*5000 A

-2.

(3.1)

Pentru afişarea parametrilor procesului, am folosit un LCD Nokia 5110 deoarece este

uşor de interfaţat cu microcontrollerul ales (logica merge tot pe 5V, consum redus şi menţine

afişaţi parametrii până la urmatoarele instrucţiunii, fără instrucţiuni suplimentare din partea


30

microcontrollerului). Este un LCD monocrom cu o rezoluție de 48x24 dpi care folosește un

microcontroller PCD8544.

Figura 3.8. Pinii LCD-ului Nokia 5510

Meniul interfeţei constă din afişarea constantelor procesului, precum şi unii parametrii

ai procesului cum ar fi comanda u si ieşirea y. Pentru a comuta între parametrii de configurat

am folosit patru butoane care:

Butonul 1 resetează microcontrolleru

Cu butonul 2 se alege parametrul care se doreşte a fi configurat

Butoanele 3 şi 4, incrementează respectiv decrementează parametrul ales anterior cu

butonul 2

Figura 3.9. Butoanele de control


31

3.1.2. Sistemul cu doi senzori Hall aplasați sub și desupra electromagnetului

Am încercat să implementez și varianta de sistem de levitație magnetică cu doi senzori

Hall amplasați sub și deasupra electromagnetului. Am construit un nou circuit de control

pentru cei doi senzori care detectează poziția magnetului. Am folosit semnalul diferențial de

la ambii senzori pentru a stabili poziția. Această soluție este utilă deoarece orice semnal

present in bobină(zgomotul generat de frecventa PWM etc) va fi anulat, lăsând doar

măsuratoarea pozițională prezentă in semnal.

Figura 3.10. Sistem de levitație cu doi senzori Hall

Amplificarea senzorului a fost scalată corespunzator sistemului nostru. Pentru

detectarea poziției am folosit un senzor diferit de cel folosit in sistemul precedent și anume

senzorul liniar cu efect Hall AD22151 care prezintă performanțe îmbunătățite.


32

Figura 3.11. Schema electrică a circuitului de control pentru cei doi senzori

Ieșirea senzorului este o tensiune proporțională cu câmpul magnetic aplicat

perpendicular suprafetei sale. Arhitectura maximizează avantajele implementării monolitice,

în același timp permițând suficientă versatilitate pentru a corespunde la o varietate largă de

aplicații cu un număr minim de componente. Principalele caracteristici sunt capacitatea de

anulare a offsetului și un senzor de temperatură integrat.Tensiunea de ieșire poate fi ajustată

de la operații complet bipolare pana la scanări complet unipolare.


33

Figura 3. 12. Configurația pinilor senzorului AD22151

Figura 3.13. Circuitul electric implementat

Amplificarea și rezistențele le-am calculat cu formula 3.1:

(3.2)

Din foaia tehnică a senzorului știm că . Vom calcula rezistența , cu un

offset=0 după formula:

(3.3)

Avem deci .


34

va rezulta a fi 4,7 kΩ înlocuind valorile calculate pentru celelalte rezistențe şi cu o

amplificare de 20.

(3.4)

Am folosit aceeași configurație pentru controlul electromagnetului și alimentarea

microcontrollerului ca în sistemul prezentat anterior.

3.2. Aparatul comercial

Figura 3.14. Modelului Zeltom


35

Figura 3.15. Schema de ansamblu a modelului Zeltom

Sistemul de levitaţie magnetică comercial, produs de cei de la Zeltom, prezintă în

mare aceleaşi componente hardware ca şi sistemul construit de mine. Schimbarea majoră

constă în alegerea unui alt microcontroller şi anume dsPIC30F2011, construit de cei de la

Microchip şi achiziţionarea semnalului de ieşire de pe pinul 1 al senzorului Hall.

Nucleul are instrucţiuni pe 24 biţi, Program Counterul (PC) are o lăţime de 23 biţi, cu

bitul cel mai putin semnificativ întotdeauna liber. Bitul cel mai semnificativ, este ignorat în

timpul executiei programului, mai puţin în cazul instrucţiunilor specializate. Prin urmare, PC

poate adresa pana la 4M din spaţiul programului utilizatorului.

Figura 3.16. Pinii Microcontrolerului

Pentru control, sistemul prezintă trei butoane care ajustează poziţia verticală a

magnetului de levitat şi aplică un semnal de referinţă sinusoidal, dreptunghiular, fierăstrau.


36

Cele trei butoane sunt denumite A, B şi C şi opereaza ăn 4 moduri diferite. Modurile sunt

descrise în Fig.2. ca şi cercuri. Ele sunt denumite “constant”,”sinusoidal”,”square”,

“sawtooth”. Tranziţia de la un mod la altul este realizată cu Butonul A. În modul “constant”,

magneţii levitează în aer fără perturbaţii. Poziţia verticală a magnetului poate fi controlată în

intervalul stabilit cu ajutorul Butoanelor B(sus) si C(jos). În modul “sinusoidal”, “square” sau

“sawtooth”, magnetul urcă şi coboară în interval influenţat de semnalul sinusoidal,

dreptunghiular şi fierăstrău.

Atât amplitudinea, cât şi frecvenţa semnalului de referinţă pot fi ajustate folosind unu

din butoane şi anume pentru amplitudine Butonul B şi pentru frecvenţă Butonul C. Sistemul

se iniţializează la pornire în modul “constant”8.

Figura 3.17. Diagrama operaţiilor din sistem


37

3.2.1. Schema electrică

Figura 3.18. Schema electrică a circuitului

Condiţiile de operare pentru controlul în tensiune sunt de la 7,5V curent continuu până

la 12V, iar temperatura ambientală pentru ca sistemul să funcţioneze trebuie să fie între 10° C

şi 60° C.

Distanţa optimă de levitaţie a magnetului este în jurul a 2 cm de la electromagnet.

Atunci când sunt folosiţi magneţi diferiţi de cei sferici, în cazul în care polaritatea nu este cea

potrivită pentru senzorul Hall, magnetul îşi va inversa polul întorcându-se pe cealaltă parte.

Componente:

-Electromagnet

-dsPIC30F2011 Microcontroller

-A1321 Senzor Hall

-NTD4858N Mosfet

-1N5817 Dioda Schottky

-1kΩ şi 10 kΩ Rezistenţă

-100nF, 1µF si 100µF Condensatori

-Butoane

-LED


38

Figura 3.19.Circuitul sistemului de levitatie Zeltom


39

3.3. Modelul matematic al sistemului

Fie SF un sistem fizic ce face obiectul unei funcţii de comandă/reglare automată şi

al cărui model matematic se cere a fi cunoscut. Există două posibilităţi de a obţine modelul

matematic, sub forma sistemului dinamic S:

1. Prin tehnici de modelare(identificare analitică)

2. Identificare experimentală

Cele două abordări nu se exclud, ci sunt complementare în sensul că:

Modelarea (identificarea analitică) este obligatorie când sistemul

fizic nu este disponibil pentru o investigare experimentală, ci doar sub formă de

proiect. Plecând de la o documentaţie detaliată a sistemului fizic, obţinerea modelului

analitic permite – în conjuncţie cu tehnici de simulare adecvate – studiul

previzional al sistemului, sub aspectul performanţelor sale. Modelarea analitică

permite definirea sistemului dinamic S în raport cu parametrii funcţionali şi

constructivi ai sistemului fizic . Ea este esenţială în domenii ca: aeronautica, nave,

conversia electromecanică a energiei etc. Identificarea analitică are ca rezultat un

model de stare;

Identificare experimentală presupune existenţa sistemului fizic şi

realizarea unui experiment cu acesta. Ea este mult mai precisă decât identificarea

analitică şi este reorientată, de regulă, spre obţinerea modelelor în reprezentări

adecvate necesităţilor de sinteză a legilor de reglare (practic, modele cu timp

discret)9.

Modelul sistemului de levitaţie electromagnetică este arătat în Figura 3.15. unde R este

rezistenţa bobinei, L este inductanţa bobinei, v voltajul de-a lungul electromagnetului, i este

curentul prin electromagnet, m este masa magnetului care levitează, g este acceleraţia

gravitaţionala, d este poziţia verticală a magnetului care levitează măsurat de la partea de jos a

bobinei, f este forţa magnetului care levitează generat de electromagnet şi e este voltajul de-a

lungul senzorului cu efect Hall.


40

Figura 3.20. Modelul sistemului de levitaţie electromagnetic

Forţa aplicată de electromagnet pe magnetul care levitează poate fi aproximată ca:

(3.5)

Unde k este constanta care depinde de geometria sistemului [1]. Voltajul de-a lungul

senzorului Hall indus de magnetul care levitează şi de bobină poate fi aproximat ca:

(3.6)

Unde α,β si γ sunt constantele care depind de senzorul cu efect Hall utilizat, dar şi de

geometria sistemului şi n este zgomotul procesului care perturbă măsurătorile [2]. Datorită

legii a doua a lui Newton ştim că:

(3.7)

Mai mult, ştim din legea lui Kirchhoff că:

(3.8)

Considerând a fi starea sistemului, să fie

ieşirea reglată, să fie ieşirea măsurată, să fie intrarea controlată şi să fie

intrarea perturbaţiilor/zgomotelor, descrierea ecuaţiei de stare standard a sistemului poate fi

scrisă ca:

(3.9)


41

(3.10)

(3.11)

Punctele de echilibrare ale sistemului sunt:

(3.12)

Unde este voltajul de echilibru necesar bobinei pentru a suspenda magnetul de

levitat la . Evident punctul de echilibru de interes este cel cu semnul pozitiv.

Liniarizarea Jacobiana a sistemului în jurul puncului de echilibru este:

(3.13)

(3.14)

(3.15)

Unde , , , , şi :

(3.16)

De reţinut că , si

.


42

Matricea de transfer a sistemului liniarizat este:

(3.17)

De reţinut că:

(3.18)

Unde şi sunt transformatele Laplace ale:

şi respectiv .

În această derivare forţa electromagnetică inversă indusă de mişcarea magnetului care

levitează este ignorată deoarece este foarte mică. Daca senzorul cu efect Hall este localizat

sub magnet atunci este de asemenea foarte mic şi poate fi neglijat.


43

4. Rezultate experimentale

4.1. Alegerea regulatorului

Am ales ca şi soluţie de reglare pentru sistemul construit de mine un regulator PID

incremental.

Proiectarea experimentală a regulatorului a fost făcută folosind metoda de acordare

Ziegler-Nichols. În urma testelor am observat că componenţa integrativă introduce întârzieri

şi am decis că nu este adecvată pentru sistemul ales. Cu componenta integrativă prezentă

răspunsul sistemului este mult prea lent şi am decis că poate fi neglijată, reducând PID-ul la

un regulator PD.

Metoda de acordare Ziegler Nichols este o metodă euristică de proiectare a unui

regulator PID. Se realizează prin setarea componentei integrative şi derivative la zero.

Componenta proporţională, Kp este crescută (de la zero) până cand se atinge valoarea Ku când

obținem o oscilație a ieșirii cu o amplitudine constantă a ieşirii. Când avem amplitudinea

constantă, vom determina Tu a acestei oscilaţii. Restul parametrilor vor fi determinaţi după

tabelul de mai jos.

Metoda Ziegler-Nichols

Tipul de control Kp Ki Kd

P Ku/2 - -

PI Ku /2.2 1.2 Kp/Tu -

Clasic PID 0.60 Ku 2 Kp/Tu KpTu/8

Regula Integrală a lui

Pessen 0.7 Ku 2.5 Kp/Tu 0.15 KpTu

Cu overshoot 0.33 Ku 2 Kp/Tu KpTu /3

Fără overshoot 0.2 Ku 2 Kp/Tu KpTu /3

Tabelul 4.1. Parametrii utilizaţi in metoda Ziegler-Nichols

În cazul sistemului de levitaţie magnetică construit am observat că magnetul începe să

oscileze de la valoarea Ku=5. Având amplitudinea constantă a ieşirii determinăm Tu=0.2.

Aplicând metoda fără suprareglaj vom avea Kp=1.


44

4.2. Identificarea standard a parametrilor

4.2.1. Identificarea parametrilor modelului Zeltom

Considerând dorit a fi m şi folosind măsurătorile, parametrii

sistemului de levitaţie electromagnetică sunt determinaţi ca:

(3.1)

Cu aceste valori ale parametrilor, înseamna că:

(4.1)

Şi:

(4.2)

Zgomotul procesului n poate fi modelat ca un zgomot alb cu înalţimea spectrală

.

Am renunţat la analiza ulterioară a sistemului, acesta prezentând performanţe foarte

scăzute, nefiind capabil să rejecteze nici cele mai mici perturbaţii aplicate magnetului.


45

4.1.2. Identificarea parametrilor modelului construit

În cazul sistemului construit de mine, aflarea unora dintre parametrii pentru a calcula

modelul fizic al sistemului s-a dovedit a fi fără succes. Sistemul fiind puternic neliniar, nu s-

au putut efectua poceduri de identificare matematica standard.

Am încercat o identificare a parametrilor cu ajutorul programului Matlab şi al plăcii de

achiziţie de la Naţional Instruments PCI6221.

Din cauza curenţilor Edy din jurul bobinei, aceasta influenţează senzorul cu efect Hall

în citirea poziţiei magnetului. Am observat că efectul bobinei asupra tensiunii citite de la

senzor în bucla deschisă este acela de a creşte tensiunea Hall. Cu cât dăm o comandă mai

mare, cu atât va creşte tensiunea Hall citită. Vom observa că este o creştere de 20 mV între

referinţele date. Referinţa a fost fixată succesiv la 2,4 V si 5 V.

Grafic.4.1. Ieşirea electromagnetului fără filtrare

Observăm apariţia intensă de zgomot din cauza folosirii sursei în comutaţie şi de

generarea frecvenţei PWM . În prima fază, am aplicat un filtru analogic RC cu C=100 µF şi

R=3,3 kΩ, generând o frecvenţă de tăiere de 482 kHz. Totodată, am adăugat un condesator de

100 µF pentru a stabiliza creşterea de tensiune datorată de câmpul electromagnetului. Se va

observa o diferenţă majoră în diminuarea zgomotului.

t [s]

U [V]


46

Grafic 4.2. Ieşire electromagnet cu filtru RC

O filtrare şi mai bună poate fi făcută prin adăugarea unui filtru numeric FIR cu răspuns

impulsionar cu o frecvenţă de taiere de 200 kHz. Rezultatul este considerabil îmbunătăţit.

Grafic 4.3. Ieşire electromagnet cu filtru RC şi filtru FIR

Efectul magnetului asupra tensiunii Hall este acela de a o scădea. Cu cât îndepărtăm

magnetul mai mult, cu atat tensiunea va scădea mai tare. Practic, cele două efecte sunt

t [s]

t [s]

U [V]

U [V]


47

inverse. Parametrii depinzând foarte mult unul de celalalt, este foarte dificilă găsirea unei

poziţii de echilibru cu ajutorul programului Matlab şi al plăcii de achiziţie.

Grafic 4.4. Ieşirea magnetului atunci când se aflâ pe radiator

Având un proces neliniar complex,nu am reuşit să identific într-o manieră standard

experimentală parametrii regulatorului. Aceştia au fost aleşi într-o manieră euristică, astfel

încât magnetul să ajungă la poziţia de levitaţie stabilă, fără oscilaţii vizibile, lăsând efectuarea

unor procedure de identificare ca perspectivă. Reglarea aleasă respectă cele două legi

fundamentale şi anume:

-urmărirea referinţei

-rejecţia perturbaţiilor

4.2. Testarea regulatorului ales

Testarea regulatorului a fost efectuată în Simulink cu placa de achiziţie a celor de la

National Instruments PCI6221. Testele au fost realizate pentru două tipuri de magneţi:

cilindric şi paralelipipedic. S-au făcut măsurători pentru magnetul cilindric în 3 poziţii:

Cu magnetul în poziţia de levitaţie

Cu perturbaţii asupra magnetului

Cu ridicarea magnetului de jos în urma unei perturbaţii puternice

t [s]

U [V]


48

În cazul magnetului paralelipipedic s-au făcut măsurători cu magnetul levitând şi cu

aplicarea de perturbaţii asupra magnetului.

Sistemul este adaptiv, funcţionând cu diverse forme şi greutăţi ale magneţilor. În cazul

magnetului cilindric, sistemul se comportă mai bine, reuşind să leviteze la o distanţă mai mare

de senzor decât cel paralelipipedic.

Datorită zgomotelor menţionate şi mai sus în lucrare, generate de sursa în comutaţie şi

frecvenţa PWM am aplicat atât filtrare analogica RC, cât şi filtrări digitale. Am observat că

filtrarea de medie alunecătoare nu aducea performanţe îmbunătăţite substanţial şi am adăugat

un filtru trece jos FIR generat în Matlab cu ajutorul FDATOOL cu următoarele caracteristici:

Figura 4.1. Filtru FIR

Rezultatele comenzii in funcţie de timp sunt prezentate în figurile următoare, unde

prima figură notată cu a) este reprezentată de valoarea comenzii, iar figura notată cu b)

reprezintă tensiunea Hall măsurată de senzorul liniar aflat sub magnet.

Se pot observa pe grafice oscilaţii de tensiune generate de magnet; aceste oscilaţii

nefiind vizibile cu ochiul liber.


49

Magnet cilindric:

1) Cu magnetul în poziţia de levitaţie:

a)

b)

t [s]

t [s]

U [V]

U [V]


50

2) Cu rejecţia perturbaţiilor:

a)

b)

t [s]

t [s]

U [V]

U [V]


51

3) Cu ridicarea magnetului de pe radiator în poziţia de levitaţie:

a)

b)

t [s]

t [s]

U [V]

U [V]


52

Pentru magnetul paralelipipedic:

1) Cu magnetul în poziţia de levitaţie:

a)

b)

t [s]

t [s]

U [V]

U [V]


53

2) Cu rejecţia perturbaţiilor:

a)

b)

t [s]

t [s]

U [V]

U [V]


54

5. Concluzii si perspective

Mi-am propus sa realizez un sistem de levitatie magnetica functional si am reusit

construirea unui asemenea sistem care realizează detectarea poziţiei cu ajutorul unui senzor

liniar cu efect Hall amplasat sub magnetul care se doreşte a fi levitat. Am folosit un radiator

de aluminiu pentru a diminua zgomotele generate de câmpul magnetic al bobinei.

Am implementat cu succes pe microcontrollerul AVR Atmega168 un algoritm de

reglare PD. Nici una din variantele modelului matematic nefiind fezabile pe sistemul

implementat am folosit o proiectare experimentala a regulatorului cu ajutorul metodei Ziegler-

Nichols. Am avut ca scop ulterior testarea regulatorului implementat.

Un lucru interesant observat în urma experimentelor a fost faptul că pentru magneții

de masă mai mica, energia consumată de electromagnet, efortul depus este mai mare. Aceasta

se datorează faptului că magneții mai mici având o intensitate mai mică, necesită o forță mai

mare pentru a fi atrași de bobină. Senzorul detectează mai greu magneții de dimensiuni reduse

și pentru că detecția este mai dificilă, algoritmul va lua decizii mai ineficiente în ceea ce

privește consumul si calitatea controlului.

Testele realizate cu ajutorul plăcii de achiziţie de la National Instruments au arătat că

regulatorul satisface obiectivele reglării şi anume urmărirea referinţei şi rejecţia perturbaţiilor.

Ca dezvoltări ulterioare ale aplicaţiei putem adăuga o acordare mai bine fundamentată

teoretic. O altă perspectivă de dezvoltare poate fi şi adăugarea senzorilor Hall deasupra şi sub

electromagnet pentru a anula efectul cauzat de bobină asupra tensiunii senzorului Hall.

O perspectivă interesantă o constituie şi extinderea sistemului pe mai multe grade de

libertate. (3DOF, 4DOF etc) O variantă a unui sistem de levitaţie magnetică pe 2 grade de

libertate este prezentată în Figura 5.2. .


55

Figura 5.1. Reprezentare CAD a unui sistem de levitaţie magnetică cu 2DOF

Cu acest sistem, s-ar putea regla poziţia şi translaţia pe verticală şi respectiv pe

orizontală a unui magnet permanent. Combinarea cu senzori diferiţi poate conduce la un

sistem de control hibrid în care sistemul multimodel al Maglevului cu 2 grade de liberatate sa

aiba performanţe îmbunătăţite.


56

6. Bibliografie

1. http://www.electronics-tutorials.ws/electromagnetism/magnetism.html

2. Magnetic Flux through a Loop of Wire by Ernest Lee, Wolfram Demonstrations

Project..

3. Millikin, Robert; Edwin Bishop (1917). Elements of Electricity. Chicago:

American Technical Society. p. 125.

4. Coyne, Kristin (2008). "Magnets: from Mini to Mighty". Magnet Lab U. National

High Magnetic Field Laboratory.

5. http://www.electronics-tutorials.ws/electromagnetism/magnetic-hysteresis.html

6. http://www.electronics-tutorials.ws/electromagnetism/hall-effect.html

7. http// www.bea.st

8. http://www.zeltom.com/

9. I. Dumitrache, Automatica Vol 1, 2009

http://www.electronics-tutorials.ws/

http://demonstrations.wolfram.com/MagneticFluxThroughALoopOfWire/

http://en.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Demonstrations_Project

http://en.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Demonstrations_Project

http://books.google.com/?id=dZM3AAAAMAAJ&pg=PA125

http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/magnetacademy/magnets/fullarticle.html

http://www.electronics-tutorials.ws/

http://www.electronics-tutorials.ws/electromagnetism/hall-effect.html

http://www.zeltom.com/

LUCRARE DE LICENŢĂ - ACSE Departmentacse.pub.ro/wp-content/uploads/2013/07/Licenta_final7.pdf ·...

Documents

Transcript of LUCRARE DE LICENŢĂ - ACSE Departmentacse.pub.ro/wp-content/uploads/2013/07/Licenta_final7.pdf ·...