Logica propoziţională

download Logica propoziţională

of 80

  • date post

    03-Mar-2016
  • Category

    Documents

  • view

    21
  • download

    4

Embed Size (px)

description

Curs - 2

Transcript of Logica propoziţională

  • Capitolul 2

    Logica propoziional

    (Calculul propoziional)

    Manualele de Logic i Algebr ([BIE], [DID]) pot fi privite ca

    o introducere (firav) n logica formal. i n alte manuale de

    matematic (i nu numai), sunt prezente frecvent noiuni ca afirmaie,

    axiom, teorem, raionament, demonstraie, etc. Aceste noiuni sunt

    ns descrise sau concepute/receptate/folosite la modul informal: o

    afirmaie este orice propoziie (fraz) care poate cpta o unic valoare

    de adevr (a adevrat, f fals); o axiom este o afirmaie care se

    accept a fi adevrat fr a se cere o demonstraie a ei; o teorem este

    o afirmaie (presupus a fi adevrat) care se obine (din axiome sau

    teoreme deja acceptate) printr-o demonstraie (formal), numit i

    raionament; o demonstraie (formal) este transpunerea ntr-o form

    (mai) exact a unui raionament; un raionament este o succesiune

    (finit) de aplicri ale unor inferene (reguli de deducie); o regul de

    deducie (inferen) are forma: premize/concluzii (att premizele ct i

    concluziile sunt afirmaii, ideea fiind aceea c regulile sunt astfel

    construite nct dac premizele sunt adevrate atunci i concluziile sunt

    adevrate; se mai spune c inferenele sunt n acest caz valide sau

    corecte), etc. De altfel, acesta este modul principal prin care se obin

    (constructiv) n tiinele exacte noiuni noi (utiliznd definiiile) i

    afirmaii (adevrate) noi (utiliznd raionamentele). Din punctul de

    vedere al logicii filozofice, o noiune este complet caracterizat de

  • 44 Cristian Masalagiu

    coninut (element din structura noiunii alctuit din mulimea

    proprietilor obiectelor care formeaz sfera noiunii) sau sfer

    (element din structura noiunii alctuit din mulimea obiectelor ale

    cror proprieti formeaz coninutul noiunii). O definiie ar avea

    astfel rolul de a delimita precis sfera (coninutul) noiunii. Definirea

    unei noiuni noi nseamn delimitarea unei noi sfere (sau a unui nou

    coninut), ceea ce se poate face de exemplu (exist i alte tipuri

    generale de definiii) prin precizarea unei sfere vechi (care

    caracterizeaz complet o noiune anterior definit, numit gen proxim)

    i a unei mulimi de proprieti suplimentare (care nu fac parte din

    coninutul vechii noiuni, dar care mpreun cu acesta vor alctui

    noul coninut), numit diferen specific: un paralelogram este un

    patrulater convex care are dou laturi paralele i egale; un romb este

    un paralelogram cu toate laturile egale; un ptrat este un romb avnd

    un unghi de 90, . a. m. d. n acest mod, mergnd invers, procesul de

    definire a unor noiuni ar deveni infinit dac nu am accepta existena

    unor noiuni primare (pentru o mai bun nelegere se poate recurge i

    la reprezentri grafice cum ar fi diagramele Venn-Euler [IP]).

    Noiunile primare nu mai sunt definite prin schema gen proxim i

    diferen specific ci sunt doar descrise cu ajutorul unor elemente

    considerate a fi suficiente pentru delimitarea exact a sferei curente de

    sfera altor noiuni (asemenea definiii sunt cunoscute i sub numele de

    definiii operaionale): o mulime este o colecie de obiecte distincte

    dou cte dou; un punct este ceea ce se obine prin apsarea unui vrf

    de creion pe o foaie de hrtie, etc. Un proces similar are loc i n cazul

    conceptelor de axiom (n rolul noiunilor primare), teorem (n

  • Fundamentele logice ale Informaticii 45

    rolul noiunilor noi), regul de inferen (n rolul diferenei

    specifice), acceptarea axiomelor ca fiind advrate fr demonstraie

    avnd desigur scopul de a evita raionamentele infinite. Aa cum n

    momentul definirii unei noiuni (noi) trebuie s fim ateni ca sfera

    acesteia s fie nevid i (n general) distinct de sferele unor noiuni

    deja existente (chiar definite operaional), n cazul raionamentelor este

    de dorit ca axiomele s reprezinte cu certitudine afirmaii

    adevrate, iar inferenele s fie valide (inferenele trebuie s fie valide

    pentru a avea raionamente corecte, adic formate numai din afirmaii

    adevrate). Din pcate, datorit lipsei unei sintaxe clare pentru

    conceptul de afirmaie (lipsei definiiilor formale n general), precum i

    datorit amalgamrii consideraiilor de natur sintactic i semantic,

    eafodajul anterior este destul de ubred putnd conduce la apariia

    unor paradoxuri de gndire sau la acceptarea unor adevruri hilare.

    Prima parte a capitolului este destinat unei scurte treceri n revist a

    unor asemenea anomalii i introducerii primelor elemente de logic

    (informatic) formal.

    1. Logica, parte a filozofiei

    Ambiguitile permise de limbajul natural, acceptarea utilizrii unor

    noiuni primare sau a unor axiome avnd coninut ambiguu n

    raionamente complexe, tratarea simultan a unor probleme de natur

    sintactic mpreun cu altele care implic semantica, au creat de-a

    lungul timpului numeroase confuzii i interpretri greite, bruind

    comunicarea inter-uman. Un prim tip de asemenea confuzii, cunoscute

  • 46 Cristian Masalagiu

    sub numele de paradoxuri logice, sunt deja clasificate, mprite pe

    categorii. Nu este simplu s dm o definiie unanim acceptat (de altfel,

    B. Russell a mprit paradoxurile n apte categorii, avnd definiii

    practic diferite). Pentru unii, un paradox este o afirmaie care pare s

    se autocontrazic, sau poate conduce la o situaie care contrazice

    bunul sim. Mai general, este orice afirmaie surprinztoare,

    alambicat, contrar intuiiei, sau, o argumentaie aparent solid,

    corect, dar care conduce la o contradicie. Pentru alii, este o

    propoziie care i afirm propria falsitate, sau, un argument care

    conduce la o concluzie contradictorie dei ncepe cu nite premize

    acceptabile i se folosete o deducie valid. Oricum, se accept faptul

    c un paradox nu nseamn acelai lucru cu o contradicie. Astfel,

    afirmaia Aceast cma este albastr i aceast cma nu este

    albastr este o contradicie, dar un paradox va apare atunci cnd o

    persoan face o anumit presupunere i apoi, urmnd o argumentaie

    logic, ajunge la contrariul presupunerii iniiale. Nu spun niciodat

    adevrul este considerat un paradox (al mincinosului), deoarece dac

    presupunem c propoziia este adevrat atunci rezult imediat c ea

    este fals si reciproc. Mai sus este vorba despre o clas mai simpl de

    paradoxuri (numite i semantice). Practic, ele ar putea fi rezolvate

    daca sunt eliminate complet din logica clasic, deoarece pot fi

    considerate ca afirmaii crora nu li poate ataa o unic valoare de

    adevr (contradiciilor nu li se poate practic ataa nici una!). Un

    paradox mai complicat este paradoxul lui B. Russell, legat de teoria

    mulimilor : Dac R este mulimea tuturor mulimilor care nu se

    conin pe ele nsele, atunci R se conine pe sine nsi ca element?.

  • Fundamentele logice ale Informaticii 47

    Imediat se obine c dac rspunsul este DA, atunci R nu se conine

    pe ea nsi i dac rspunsul este NU, atunci R se conine.

    Contradicia provine aici din acceptarea axiomei nelegerii: Dac P

    este o proprietate (relaie, predicat), atunci M = {x | P(x)} este o

    mulime (paradoxul precedent se obine lund P(x): x nu este

    element al lui x). Matematic vorbind, paradoxul dispare dac se

    renun la axioma nelegerii (mai exact, M de mai sus nu este o

    mulime, ci o clas). Un alt paradox, cunoscut nc din antichitate, este

    paradoxul lui Ahile i broasca estoas, atribuit lui Zenon: Ahile i o

    broasc estoas se iau la ntrecere ntr-o alergare de vitez, Ahile

    aflndu-se iniial ntr-un punct A i broasca n faa sa, la o distan a,

    ntr-un punct B, dar ncepnd s se deplaseze amndoi n acelai

    moment i n aceeai direcie. Afirmaie: Ahile nu va ajunge din urm

    broasca (chiar dac broasca ar avea...viteza 0). Putem demonstra

    afirmaia raionnd astfel: fie C mijlocul distanei dintre A i B; pentru

    a ajunge n B, Ahile trebuie s ajung nti n C; fie acum D mijlocul

    distanei dintre A i C, etc. Cum mulimea numerelor reale este dens,

    mereu mijlocul unui segment de lungime diferit de zero va genera alte

    dou segmente de lungime nenul, astfel nct Ahile nu va ajunge

    niciodat broasca. Acest tip de paradox se numete i aporie,

    contradicia provenind, n cazul nostru, din utilizarea unui raionament

    corect intr-un mediu necorespunztor (drumurile, n legtur cu

    deplasarea unor fiine, nu pot fi considerate drept reprezentri ale axei

    reale). Dei nu sunt ele nsele absurditi, silogismele reprezint o

    alt surs generoas de confuzii. Inferenele, adic paii elementari

    (considerai a fi indivizibili) ai unui raionament, reprezint forme

  • 48 Cristian Masalagiu

    logice complexe. Aceste raionamente elementare se mpart n

    deductive i inductive, iar cele mai simple inferene sunt cele imediate,

    cu propoziii categorice (fiind formate din dou asemenea propoziii: o

    premiz, i o concluzie). Silogismul este tipul fundamental de inferen

    deductiv mediat alctuit din exact trei propoziii categorice: dou

    premize, dintre care una major i alta minor, precum i o concluzie.

    Silogismele se pot de altfel mpri n ipotetice, categorice, disjunctive,

    etc. (nu insistm asupra altor detalii). Un exemplu de silogism

    (categoric, corect) este:

    Premiza major: Toate elementele transuranice sunt

    radioactive.

    Premiza minor: Plutoniul este element transuranic.

    Concluzia: Plutoniul este radioactiv.

    Pentru a folosi ns doar silogisme corecte (valide), este necesar un

    s