Licenta Matematica _Simon Georgiana-Veronica

UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica

2

Curpins

Curpins ................................................................................................................................. 2 Introducere ........................................................................................................................... 3 Capitolul 1 .Noţiunea de măsură în geometria euclidiană ................................................... 4

1.1 Axiomatica spaţiului Euclidian .................................................................................. 4 1.2 Sistemul axiomatic al lui Birkhoff ............................................................................. 8

Capitolul 2. Lungime şi arie plană .................................................................................... 11 2.1 Definiţia lungimii unui arc ....................................................................................... 11 2.2 Existenţa lui .......................................................................................................... 13 2.3 Limita când norma tinde la zero .............................................................................. 16 2.4 Teorema de adunare pentru lungimea arcelor ......................................................... 18 2.5 Aproximarea din interior a ariei unui sector circular ............................................... 20 2.7 Aria unui sector ........................................................................................................ 23

Capitolul 3. Măsura Jordan1 în plan ................................................................................ 25 3.1 Definiţia fundamentală ............................................................................................ 25 3.2 Clasa mulţimilor măsurabile .................................................................................... 27 3.3 Arii de sub graficele funţiilor continue ................................................................... 33 3.4 Măsurarea volumelor: Teoria elementară ................................................................ 36

Bibliografie ........................................................................................................................ 52


3

Introducere

Geometria (din grecescul γεωμετρία; geo = pământ, metria = măsură) s-a născut

ca fiind ramura de studiu a matematicii care se ocupă cu relaţiile spaţiale. Este una dintre

cele două ramuri ale matematicii moderne, cealaltă fiind studiul numerelor. În ziua de

azi, conceptele geometriei au fost generalizate către un nivel mai înalt de abstractizare şi

complexitate, şi a fost făcută obiect de studiu pentru metode de calcul şi algebră

abstractă, aşa că multe ramuri moderne ale geometriei mai pot fi recunoscute ca fiind

descendente ale geometriei de la începuturile ei.

Geometria euclidiană este cea mai veche formalizare a geometriei, şi în acelaşi

timp cea mai familiară şi mai folosită în viaţa de zi cu zi. Aşa după cum indică şi

adjectivul euclidiană, aceasta a fost enunţată prima dată de către gânditorul Euclid, din

Grecia antică, în secolul al IV-lea î.Hr.

Lucrarea de faţă expune noţiuni, definiţii, teoreme şi demonstraţii pentru noţiunea

de măsură în planul şi spaţiul Euclidian şi este compusă din trei capitole.

Capitolul 1 prezintă axiomatica lui Hilbert cu cele 5 grupe de axiome, precum

şiaxiomatica lui Birkoff.

În capitolul 2 sunt adăugate informaţii ce ţin de lungimea şi aria plană, în care este

enunţată şi demonstrată teorema de adunare pentru lungimea arcelor.

Capitolul al III-lea ţine de teoria măsurii, unde se defineşte şi se exemplifică noţiunile

măsurii Jordan în plan.

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Formalizare&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/wiki/Geometrie

http://ro.wikipedia.org/wiki/Euclid

http://ro.wikipedia.org/wiki/Grecia_antic%C4%83


4

Capitolul 1 .Noţiunea de măsură în geometria

euclidiană

1.1 Axiomatica spaţiului Euclidian

Numim sistem axiomatic (pe scurt s.a.) un ansamblu S =< N;R;A > unde N este

mulţimea noţiunilor primare, R cea a relaţiilor primare, iar A cea a axiomelor unde:

noţiunile şi relaţiile primare sunt simboluri (cuvinte şi semne) abstracte;

axiomele sunt propoziţii construite pe baza noţiunilor şi relaţiilor primare şi

adevărul lor nu se justifică ;

Numim teorie axiomatică a s.a. S ansamblul T(S) =< S;Consec(S) > format din S şi

toate consecinţele sale adică:

noţiuni şi relaţii derivate definite cu ajutorul elementelor lui S,

propoziţii derivate, numite teoreme, obţinute prin aplicarea regulilor de

deducţie logică noţiunilor şi relaţiilor primare şi derivate, axiomelor şi teoremelor.

Datorită evoluţiilor din toate ştiinţele de-a lungul timpului geometria lui Euclid nu mai

corespundea, era necesară o reformulare care a fost realizată de David Hilbert în lucrarea

“Fundamentele geometriei“ în anul 1899. În constucţia logică realizată, David Hilbert nu

face apel la nici un fel de descrieri intuitive ale elementelor cu care operează. El

consideră trei sisteme diferite de obiecte: obiectele primului sistem le numim puncte şi le

notăm cu litere A, B, C,..; obiectele sistemului al doilea le numim drepte şi le notam cu

a, b, c,..; obiectele sistemului al treilea le numim plane şi le notam cu literele α, β, γ, …

punctele sunt numite elementele geometrice pe dreaptă; punctele şi dreptele sunt numite

elementele geometrice în plan; iar punctele, dreptele şi planele sunt numite elementele

geometrice în spaţii.


5

Definiţie . Sistemul axiomatic: SH se numeşte sistemul axiomatic Hilbert. T(SH) se

numeşte geometria euclidiană a spaţiului iar structura matematică [SH] se numeşte

spaţiul euclidian(3-dimensional).

David Hilbert îşi construieşte sistemul din cinci grupe de axiome corespunzător

celor cinci tipuri de relaţii dintre elementele considerate şi anume:

a) axiome de incidenţă,

b) patru axiome de ordonare,

c) cinci axiome de congruenţă,

d) o axiomă a paralelelor,

e) două axiome de continuitate.

I. Axiome de incidenţă.

I1. Fiind date punctele A şi B există cel puţin o dreaptă incidentă lor.

I2. Pentru orice două puncte există cel mult o dreaptă care le conţine .

I3. Orice dreaptă conţine cel puţin două puncte distincte. Există trei puncte necoliniare.

I4. Pentru punctele A, B, C există cel puţin un plan incident lor. Orice plan este

incident măcar unui punct.

I5. Fiind date trei puncte necoliniare, există cel mult un plan incident lor.

I6. Dacă două puncte distincte ale unei drepte sunt incidente unui plan, atunci

dreapta este inclusă în plan.

Aceste trei axiome sunt acceptate doar în plan, pentru spaţiu mai sunt necesare

urmatoarele:.

I7. Dacă două plane au un punct comun, atunci ele mai au cel puţin un punct comun.

I8. Există patru puncte necoplanare.


6

II. Axiomele de ordine

II.1 Dacă are loc A-B-C atunci A; B; C sunt distincte, coliniare şi avem şi C-B-A.

II.2 A; B cu A ≠ B C; D; E a.î. avem: C -A-B; A-D-B; A-B -E. Rezultă (AB) ≠Ø.

II.3 Fie A;B;C distincte şi coliniare. Existăuna şi doar una din situaţiile:

A - B - C; C - A - B; A - C - B.

II.4 (Axioma lui Pasch) Fie A; B; C necoliniare şi d ½ (ABC) ce nu conţine vârfurile Δ-

ului ABC. Dacă d separă B şi C atunci d separă C şi A sau d separă A şi B.

III. Axiomele de congruenţă

Se numeşte măsură a segmentelor, o aplicaţie m:SR+

cu proprietăţile:

1) m(AA)=0 (măsura segmentului nul este zero),

2) există un system nenul AB, pentru care m( AB )=1,

3) dacă AB CD , atunci m( AB )m( CD ),

4) dacă A-B-C, atunci m( AB + BC )=m( AB )+m( BC )m( AB )=1, AB -

unitate de măsură.

III.1 Dat segmentul [AB] şi semidreapta (A’ X, !B’ (A’X a. î. [AB] [A’B’]

III.2 Congruenţa segmentelor este o relaţie de echivalenţă i.e. satisface:

a) reflexivitatea: [AB] [AB],

b) simetria: [AB] [CD] [CD] [AB],

c) tranzitivitatea: [AB] [CD] şi [CD] [EF] [AB] [EF] .

III.3 (adunarea segmentelor) Dacă avem A - B -C şi A’-B’- C’a.î. [AB] [A’B’] şi

[BC] [B’C’] atunci [AC] [A’C’] .

III.4 Fie unghiul AOB, dreapta d, semiplanul π' delimitat de d în planul π

şi semidreapta (O'X pe d. Atunci ! semidreapta (O'Y în π' a.î. AOB XO'Y.

III.5 Fie ΔABC; ΔA'B'C' a.î. [AB] [A'B'] ; [AC] [A'C'] ; A = A'.

Atunci B B'.


7

IV.1 (axioma lui Arhimede) Pentru orice A;B;C;D cu A ≠ B n Є N* a.î.

n [AB] > [CD].

IV.2 (axioma lui Cantor) Fie dreapta d şi pentru orice n Є N segmental

sn = [AnBn] d. Dacă: i) s0 s1 . . . sn . . . ,

ii) nu există un segment nenul [CD] inclus în toţi sn, atunci !M interior tuturor

segmentelor sn.

V. Axioma paralelelor

V. Dacă două drepte d şi d’ sunt intersectate de o secantă s în punctele A şi B, în aceste

puncte unghiurile formate se vor grupa câte două şi se vor numi:

alterne interne ( 1, 2); ( 3 , 4 );

alterne externe ( 5, 6); ( 7, 8);

corespondente ( 1, 6 ); ( 3, 8 ); ( 2, 5 ); ( 4, 7).


8

● Afirmaţii echivalente cu axioma paralelelor ●

1) (Varianta clasică) Fie A exterior dreptei d. Atunci există o unică paralelă¸ prin A la d.

2) (Farkas Bolyai) O perpendiculară şi o oblică pe acceaşi dreaptă sunt concurente.

3) (Farkas Bolyai) Orice triunghi admite cerc circumscris.

4) Punctele situate în acelaşi semiplan determinat de dreapta d şi situate la distanţe egale

faţă de d sunt coliniare.

5) Relaţia de paralelism este tranzitivă.

6) Teorema lui Pitagora a triunghiurilor dreptunghice.

1.2 Sistemul axiomatic al lui Birkhoff

Avantaje:

- număr mai mic de axiome

- practic din punct de vedere didactic

Notam cu S – spaţiul pe care îl organizăm

B1 – Două puncte distincte determină o singură dreaptă puncte coliniare.

B2 – Trei puncte necoliniare determină un singur plan puncte coplanare.

B3 – Dacă două puncte distincte ale unei drepte aparţin unui plan, atunci dreapta este

conţinută în acel plan.

B4 - Dacă două plane distincte se intersectează, atunci intersecţia acestora este o dreaptă.

B5 – Orice dreaptă coţine cel puţin două puncte distincte.

Orice plan conţine cel puţin trei puncte necoliniare.

S conţine cel puţin patru puncte necoplanare

Obs. Axiomele B1-B5 sunt echivalente cu I1-I8 din sistemul aziomatic SH.

Definitia 1. Se numeşte sistem de coordonate pe dreaptă a o aplicaţie bijectivă f : a R

cu proprietatea P, Q a, (P,Q) = | f(P) – f(Q) | .


9

Teorema 1. Funcţia distanţă are proprietăţile:

a) (P,Q) 0, (P,Q) = 0 P=Q

b) (P,Q) = (Q,P) , P, Q S .

B6 – (Axioma riglei) Orice dreaptă a poate fi înzestrată cu cel puţin un sistem de

coordonate.

Teorema 2. (de aşezare a riglei) Dacă O si A sunt două puncte ale dreptei a, atunci există

un singur sistem de coordonate f : a → R, aşa încât f(O) = 0 si f(A) 0.

” a fi între” , A – B – C (A,B) + (B,C) = (A,C) , segment punct interior unui

segment

semidreaptă deschisă de origine O

d+

= { X a | f(X) 0 }

d- = { X a | f(X) 0 }

masura unui segment m(|AB|) = (A,B)

xP = f(P) – coordonata punctului P in sistemul de coordinate f

Teorema 3. Orice segment nenul are un unic mijloc.

B7 – (Axioma de separare a planului) Pentru orice plan şi orice dreaptă a ,

mulţimea { - a} se descompune în două submulţimi nevide şi disjuncte astfel încât,

P si Q aparţin la submulţimi mdisjuncte dacă si numai dacă există pe a un punct

X între P si Q.

Obs. În baza axiomelor B1 – B6 , axioma B7 este echivalentă cu axioma lui Pash

( SHI-II SB1-7).

Definitia 1. Se numeşte unghi o pereche de semidrepte cu aceeaşi origine.

Unghiuri : propriu, nul, alungit

Triunghi

B8 – m(AOB) = 0 AOB este unghiul nul

m(AOB) =180 AOB este unghiul alungit

B9 – (axioma de construcţie a unghiului propriu) Pentru orice dreaptă a, h o semidreaptă

a sa şi u(0, 180), într-un semiplan determinat de dreapta a există o semidreaptă unică


10

k aşa încât m (h,k) = u.

B10 – (axioma adunării unghiurilor) Daca B este un punct interior unghiului

AOC, atunci m(AOC) = m(AOB) + m(BOC) .

B11 – (axioma suplementului) Daca O este între A si C atunci pentru orice punct B

|AC| avem: m(AOB) + m(BOC) = 180.

B12 – (axioma LUL) În triunghiurile ABC si A’B’C’ dacă avem:

|AB| |A’B’|, |AC| |A’C’|, m(BAC) = m(B’A’C’)

|BC| |B’C’|, m(ABC) = m(A’B’C’) , m(ACB) = m(A’C’B’)

Teorema 3. Într-un triunghi ABC avem |AB| |AC| ACB ABC.

Teorema 4. Într-un triunghi o latura este mai mică decât suma celorlalte două

(A,C) (A,B) + (B,C)

Obs. Axiomele grupelor III si IV din SH sunt consecinţe ale axiomelor B1- B12 T

({ N, R , B1 – B12}) – geometria absolută.

B13 – Fiind dată o dreaptă a şi un punct exterior A, în planul determinat de dreaptă şi

punct, exista cel mult o dreaptă prin punctul A la dreapta a.

SB = {N, R , B1 – B13} se numeşte sistemul axiomatic al lui Birkhoff

Metateorema 1. SB SH

Metateorema 2. SB este necontradictoriu, independent, complet si categoric

- Considerăm cunoscute necontradicţia aritmeticii şi construcţia numerelor reale

- Construim un model G:

Numim punct din G terna ordonată de numere reale A=: (x1,x

2,x

3) = (x

i)

Notam cu M = { (a1,a2,a3,a4)=(ah) | rang║a1a2a3║=1, ai R, i=1,2,3,4 }

(ah) ~ (bh) R a.i. ah = bh , h=1,2,3,4

P = M/~ = { = [ah] } – mulţimea planelor modelului G.


11

Capitolul 2. Lungime şi arie plană

2.1 Definiţia lungimii unui arc

Fie dat un arc pe un cerc C:

Figura 1

Să luăm un şir de puncte

În ordine, de la A la B, pe un arc pentru fiecare pereche succesivă de puncte şi ,

să trasăm segmentul , ca în figură. Reuniunea acestor segmente se numeşte o linie

frântă închisă; suma lungimilor lor se noteaza cu .

Astfel spus, = + +… = .

Sunt mai multe moduri de a define lungimea arcului . Dacă dorim doar să enunţam o

definiţie, fără a avea intenţia de a o utiliza, problema e simplă. Convenim să utilizăm

puncte egal depărtate . Lungimea a liniei frânte este determinată de n

şi deci putem defini lungimea prin .

Pentru a justifica aceasta, trebuie să explicăm ce înţelegem prin şi trebuie să arătăm

că limita de mai sus există, pentru orice arc circular.

Următoarea definiţie este totuşi mai convenabilă. Fie P mulţimea tuturor

numerelor care sunt lungimile liniilor frânte înscrise în .

Atunci:

Fie Pentru a justifica aceasta, trebuie să demonstrăm următoarea

propoziţie.


12

Teorema 1. P are un majorant.

Va rezulta ca P are o margine superioară sup. Demonstraţia este uşoara, pe baza

următorului rezultat preliminar. Fie un triunghi isoscel cu .

Figura 2

Afirmăm că dacă şi , atunci ST>QR.

Să presupunem că ca în figură, şi să luăm U între R şi T cu .

Atunci . Aşadar .

Vom arăta că Evident este ascuţit, deoarece este un unghi de la baza unui

triunghi isoscel. Aşadar este obtuz şi deci este ascuţit. Deci . Rezultă

că .

Să ne întoarcem la arcul nostru de cerc. Construiţi un pătrat care să conţină cercul în

interiorul său (fig. 3). Să proiectăm fiecare punct pe un pătrat, ca în figură.

Altfel spus, este punctul unde intersectează pătratul. Aşadar

. Rezultă că este întodeauna mai mic decât . Deci este

întodeauna mai mic decât perimetrul pătratului.Perimetrul pătratului este majorantul pe

care-l căutam.

Type

equation

here.


13

Figura 3

Aceasta justifică definiţia

Evident, un cerc nu este un arc. Putem defini însă lungimea unui cerc într-un mod analog,

construind un poligon înscris cu vârfurile .

Vom nota:

cu perimetrul

cu mulţimea tuturor perimetrelor ;

vom defini apoi lungimea cercului prin

2.2 Existenţa lui

Dorim să demonstrăm acum existenţa numărului . Pentru aceasta, trebuie să

arătăm că raportul dintre circumferinţa şi diametru este acelaşi pentru orice cerc. Aceasta

este o afirmaţie despre margini superioare şi pentru a o demonstra, avem nevoie de un

rezultat preliminar.

Fie o mulţime mărginită de numere pozitive şi fie un număr pozitiv. Atunci

este mulţimea tuturor numerelor de forma , unde aparţine lui .

De exemplu,

dacă şi ,


14

atunci

dacă .

Această “înmulţire” este asociativă. Adică deoarece

De exemplu, aveam întodeauna

Lema 1. Dacă este un majorant al lui , atunci este un majorant al lui Justificare

dacă

Lema 2. Dacă este un majorant al lui , atunci este un majorant al lui .

Demonstraţie. Deoarece aceasta rezultă din Lema 1.

Aceste leme ne dau următoarea teoremă:

Teorema 1.

Demonstraţie. Fie Atunci este un majorant al lui . Din Lema 1,

este un majorant al lui Să presupunem că mulţimea ar avea un majorant

Atunci este un majorant pentru , din Lema 2. Aceasta este însă imposibil, deoarece

este marginea superioară a lui .

Putem demonstra acum teorema ce stabileşte existenţa lui . Avem nevoie de

teorema următoare.

Teorema 2. Fie doua cercuri cu razele şi circumferinţele .

Atunci . Altfel spus, raportul dintre lungimea cercului şi diametrul său este

acelaşi pentru orice cerc. Acest raport comun este notat cu .

Denonstraţie. Putem presupune, fără a restrânge generalitatea, că am ales două

cercuri concentrice. Pe figură am indicat a i-a latură a unui poligon înscris în


15

Figura 4

Fiecărui poligon de acest fel îi corespunde un poligon înscris în , obţinut prin

proiecţia spre exterior (sau spre interior) din centrul comun

Avem deci . Aşadar

Dacă perimetrele poligoanelor noastre sunt , atunci avem

Fie unde ca de obicei.

Atunci . Conform teoremei precedente pentru

avem :

Împărţind ambele părţi cu 2, obţinem egalitatea cerută de teoremă.

O teorema analoagă are loc pentru arce de cerc.

Teorema 3. Fie arce cu aceaşi masură în grade, în cercuri cu raze r şi

r’, respectiv. Fie p şi p’ lungimile lui . Atunci

Figura 5

Acest raport se numeşte masură în radiani a arcului dacă este un arc mic,


16

atunci este măsura în radiani a unghiului . Teorema ne spune ca măsura în

radiani depinde doar de unghiul său de măsura în grade a arcului şi este independent de

raza cercului.

Demonstraţia este identică în esenţă cu cea a teoremei precedente.

2.3 Limita când norma tinde la zero

Deoarece ştim că putem găsi un număr în mulţimea P, oricât de

apropiat de P. Mai precis, dacă este un număr pozitiv, există atunci , astfel încât

.

Trebuie însă să putem face o afirmaţie mai tare decât aceasta despre numerele

şi supremul lor. Pentru a obţine pe cât mai aproape de p, nu trebuie să fie necesar să

alegem linia frântă înscrisă într-un anume mod special. Trebuie să fie adevărat că este

aproape de p ori de câte ori laturile liniei frânte închise sunt suficient de scurte. Vom

preciza această idee în teorema următoare.

Fie vârfurile liniei frânte , înscrise în arcul Prin

norma liniei frânte , înţelegem cel mai mare dintre numerele . Altfel spus,

norma unei linii frânte este lungimea celui mai lung segment al său. În acest limbaj,

afirmaţia pe care vrem s-o demonstrăm poate fi enunţată aşa:

Teorema 1. Fie un arc de lungime , unde P este mulţimea

lungimilor a liniilor frânte înscris e . Pentru orice număr pozitiv e , există un număr

pozitiv d, astfel încât dacă are norma mai mică decât d, atunci .

Deoarece întodeauna avem inegalitatea înseamnă că

, altfel spus are distanţa la p mai mică decât e.

Demonstrţie: Fie o linie frântă înscrisă, cu lungimea astfel că (Ştim

că există aşa ceva, deoarece ).


17

(1) Fie acum o linie frântă înscrisă arbitrară, de lungime . Fie linia frântă

obţinută utilizând toate vârfurile lui şi toate vârfurile lui ; notăm cu

lungimea lui . Punctele marcate cu x sunt vârfurile lui ; cele marcate cu o

sunt vârfurile lui . Capetele A şi B sunt marcate în ambele feluri deoarece

ele trebuie să fie vârfuri la ambele. Toate punctele marcate cumva sunt

vărfurile lui .

Figura 6

Prin aplicări repetate ale inegalităţii triunghiului, avem:

=>

(atunci când se intercalează un nou vârf, lungimea liniei frânte creşte).

Nu putem afirma că Se poate foarte bine intâmpla ca să fie mai scurtă

decât , deoarece poate “scurta” peste vârfurile lui (vezi fig. 6), aici

. Lungimea lui este mai mică decât suma lungimilor laturilor

corespunzătoare şi din .

Problema este de câte ori se poate “scurta” şi cât se câştigă de fiecare dată.

Numărul de scurtări care poate apărea este sigur mai mic decât n, deoarece nu sunt decât

cel mult n-1 posibilităţi pentru fiecare Q.

La fiecare scurtare se câştigă .

Aceasta nu este mai mare decât PR, deoarece este cea mai lungă latură a lui .

Dacă are norma k, atunci . Aşadar sunt cel mult n-1 scurtări, iar la distanţa

câştigată de fiecare dată .Câştigul total este .


18

Figura 7

Ştim că . Ceea ce dorim să obţinem este că sau

. Problema noastră este rezolvată: fie .

Dacă are norma k mai mică decât d, atunci este mai mică decât e, ceea

ce şi doream.

Teorema 1: Spunem că tinde către p, atunci când norma lui tinde la zero.

2.4 Teorema de adunare pentru lungimea arcelor

Una din axiomele noastre pentru măsura unghiurilor a fost axioma aditivităţii. Aceasta

spune că dacă punctul C este în interiorul lui atunci rezultă că

.

Figura 8

Teoremă: . O teoremă corespunzătoare are loc pentru lungimea

arcelor.


19

Figura 9

Teorema 1. Fie şi arce pe acelaşi cerc, care au în comun doar punctual B.

Fie lungimile arcelor şi şi fie s lungimea lui . Atunci .

Demonstraţia este un exerciţiu uşor referitor la utilitatea marginii superioare şi

limitei când norma tinde la 0.

Să presupunem că astfel că . Fie

Fie o linie frântă înscrisă în , de lungime , astfel că . Fie o linie

frântă înscrisă în , de lungime , astfel că . Punând aceste două linii

frânte cap la cap, obţinem o linie frântă de lungime => .

Deoarece este înscrisă în , rezultă că Pe de altă parte, prin

adunare obţinem .

Aşadar şi , ceea ce este contradictoriu.

Să presupunem că , astfel că Fie astfel

încât . Fie d un număr pozitiv astfel încât dacă este înscrisă în şi

are lungimea , iar norma este mai mică decât d, atunci .

Altfel spus, este oricât de aproape dorim de s, dacă are norma suficient de mică.

Fie acum o linie frântă înscrisă în , de normă mai mică decât d, astfel ca B

să fie un vârf al lui . Fie lungimea lui . Atunci poate fi împărţită în două

linii frânte , una înscrisă în şi alta în . Dacă lungimile

acestor linii frânte sunt , avem:


20

Aşadar, , dar => ceea ce contrazice alegerea

făcută.

2.5 Aproximarea din interior a ariei unui sector circular

Până acum, în acest capitol, matematica a fost exactă şi completă. Am definit

lungimea unui arc de cerc şi am demonstrat apoi teorema pe baya acestei definţii.

Vom ataca problema ariilor plane, în particular pentru sectoare circulare, într-un mod

ceva mai direct. Vom calcula mai întâi numeric ariile unor astfel de figuri, printr-o

metodă care, fără îndoială, este familiară cititorului, într-o formă sau alta. Vom vedea

exact ce trebuie să presupunem pentru a justifica tot calculul făcut. Apoi, în capitolul

următor, vom dezvolta teoria ariilor plane, suficient de general pentru a o aplica la

figurile plane elementare şi vom arăta că, în această teorie, formulele ariilor din acest

capitol devin adevărate teoreme. Acest tratament indirect nu va implica prea multă

pierdere de timp. În schimb, are avantajul că în capitolul următor teoria va fi mai uşor

de înţeles, având mai întâi analizată situaţia într-un caz particular şi posedând o idee

generală asupra felului cum ar trebui să funcţioneze teoria.

Figura 10

Printr-un sector circular înţelegem o figură ca mai sus. Mai exact, dacă este un

arc al cercului cu centrul în C şi rază r, iar K este reuniunea tuturor razelor , unde

P este în , atunci K este un sector; r se numeşte raza sa, iar arcul de frontieră.


21

Dacă utilizăm tot cercul (îm locul unu arc ), atunci reuniunea razelor este

cercul plus interiorul său. O astfel de figură se numeşte disc. Vom începe studiul

nostru cu demonstraţia următoarei teoreme.

Teorema 1. Fie K un sector circular de rază r şi arcul de frontieră de lungime s.

Există un şir de regiuni poligonale regulate K1, K2, … , Kn. Toate conţinute in K, astfel

încât , unde , aria lui .

Demonstraţie: Vom începe prin a înscrie o linie frântă cu toate laturile

congruente, de lungime :

Figura 11

În figură, r este raza cercului. Evident că toate triunghiurile sunt

congruente. Aşadar ele au toate aceeiaşi înalţime (măsurată din C pe latura opusă

). Această înalţime comună se numeşte apotemă şi se notează cu . Aşadar

aria fiecărui triunghi va fi . Fie regiunea poligonală care este reuniunea

acestor triunghiuri. Atunci .

Fie s lungimea arcului . Vrem să vedem ce se întâmplă cu şi , când

. Numărul este lungimea liniei frânte înscrise,adică => .

Deoarece rezultă din principiul cleştelui că

.

Norma liniei frânte înscrise este şi , rezultă că .

Am utilizat aici faptul că lungimea unei linii frânte înscrise tinde la s, când norma ei

tinde la 0.


22

Examinând triunghiul tipic , vedem că şi .

Deoarece , rezultă că .

Oţinem .

Teorema este complet demonstrată.

2.6 Aproximarea din exterior a ariei unui sector circular

Există un şir de regiuni poligonale, fiecare conţinând sectorul K, astfel încât

.

Teorema 1. Fie K un sector circular cu raza r şi cu arcul de frontiera de lungime

s; fie, de asemenea, e un numar pozitiv arbitrar. Există atunci o regiune poligonala L,

care conţine pe K, astfel încât .

Pentru a găsi o astfel de regiune poligonala, trasăm un sector circular cu

acelaşi centru şi cu raza

Figura 12

În figură, linia frântă înscrisă în cercul mai mic este aceeaşi ca mai înainte; am

indicat de asemenea şi linia frântă corespunzătoare, înscrisă în cercul mai mare. Pentru a

doua linie frântă, norma este , iar apotema . Fie L regiunea poligonală înscrisă în

sectorul mai mare, atunci .


23

Fie lungimea lui . Avem , de unde şi .

Prin asemănare avem şi ,

deci:

Tot raţionamentul precedent este adevărat pentru orice şi pentru orice n.

Trebuie acum să alegem pe astfel ca şi apoi să alegem pe n astfel ca să

avem .

(1) Dorim ca , aceasta va fi adevărat dacă

.

Luăm care să satisfacă această condiţie.

(2) Deoarece pentru un anume n. un astfel de n dă o

regiune L ce conţine pe K.

2.7 Aria unui sector

Putem arăta acum că dacă există p teorie acceptabilă a ariilor, atunci aria unui

sector trebuie să fie dată de formula .

Ideea de acceptabilitate se exprimă prin presupunerile următoare.

Presupunerea 1. Exista o functie – arie , definită pe o clasa de figuri. Clasa

conţine cel puţin toate regiunile poligonale, toate sectoarele circulare şi toate discurile.

Presupunerea 2. Dacă se dă o regiune poligonală K, atunci este aria lui K în

sens elementar.

Presupunerea 3. (Monotonia). Dacă L şi K sunt în şi , atunci


24

Cu aceste trei presupuneri, putem demonstra formula noastră. Fie Atunci

pentru orice n. Deci

Nu se poate ca Dacă ar fi aşa, fie şi fie L .

Atunci Ar rezulta , ceea ce este imposibil.

Nu există o teorie acceptabilă a ariilor în care formula să nu fie

adevărată.


25

Capitolul 3. Măsura Jordan1 în plan

3.1 Definiţia fundamentală

Este destul de uşor să definim o funcţie-arie pentru care cele trei presupuneri pe care le-

am făcut în secţiunea precedentă să fie îndeplinite.

Definiţia este următoarea: Mai întâi, fie α aria obişnuită pentru regiuni poligonale. Fie

acum K o mulţime de puncte în plan; să notăm cu PI mulţimea tuturor regiunilor

poligonale P care sunt incluse în K şi fie NI mulţimea tuturor numerelor αP, unde P este

în PI. Să punem K= sup .

Numărul mI K1

(se numeşte măsura interioară a lui K. Dacă se întâmplă ca să nu

existe regiuni poligonale conţinute în K, atunci convenim ca mI K = 0. Astfel măsura

interioară a unui punct sau a unui segment este întotdeauna = 0.

Să presupunem acum că mulţimea K este conţinută cel puţin într-o regiune

poligonală. Fie PE mulţimea tuturor regiunilor poligonale care conţin pe K şi NE

mulţimea tuturor numerelor αP, cu P în PE. Să punem K = inf .

Am notat cu infNE marginea inferioară a mulţimii NE. Numărul infNE se numeşte

măsura exterioară a lui K.

Dacă P ∈ PI şi P' ∈ PE, atunci P ⊂ K ⊂ P' şi P ⊂ P' , deci αP ≤ αP'2.

Rezultă că orice element din NI este mai mic sau egal decât orice element din NE. Cele

două mulţimi de numere arată deci ca în figurile de mai jos. Figurile sugerează că trebuie

să avem: K ≤ K

1 Se presupune că mulţimea este majorată (sau că mulţimea K este inclusă într-o regiune poligonală; vezi mai

jos).


26

Figura 13

Într-adevăr, aceasta este întotdeana adevărat. Dacă am avea mEK < mI K, ar exista

o regiune poligonală P, inclusă în K, astfel încât mEK < αP ≤ mI K.

Pe de altă parte αP este un minorant al lui NE, deoarece αP ≤ α P' pentru orice P'

în PE. Aşadar mEK nu ar fi marginea inferioară a lui NE, ceea ce ar fi contradictoriu.

Aşadar mI K ≤ mEK.

Dacă are loc egalitatea, spunem că mulţimea K este măsurabilă în sensul lui Jordan

şi vom defini măsura lui K prin mK = mI K = mEK.

Deoarece în această carte vom vorbi doar de un singur fel de teorie a măsurii,

vom spune pe scurt că mulţimea k este măsurabilă dacă mI K = mEK.

Avem următoarele teoreme:

Teorema 1.Orice regiune poligonală P este măsurabilă şi mP = αP.

Demonstraţie. P aparţine lui PI., deoarece P ⊂ P; dacă P' ⊂ P, atunci α P' ≤ α P.

Aşadar mI P = α P

Analog, P aparţine lui PE, deoarece P ⊃ P; dacă P'⊃ P, atunci α P' ≥ α P.

Aşadar mEK= α P. Deci mP = mEP = mI P = α P,ceea ce trebuia demonstrat.

Teorema 2.Măsura exterioară este monotonă. Altfel spus, dacă A ⊂ B, atunci

mEA ≤ mEB

Teorema 3. Măsura este monotonă. Altfel spus, dacă A şi B sunt măsurabile şi A

⊂B, atunci mA ≤ mB.

Teorema 4. Orice sector circular K este măsurabil. Dacă el are raza r şi lungimea

arcului de frontieră s, atunci mK = rs.

Demonstraţie. Rezultatele secţiumii precedente ne spun că


27

mI K ≥ rs şi mEK ≤ rs. Deoarece mI K ≤ mEK, rezultă că mI K = mEK = rs,

ceea ce trebuia demonstrat.

Teorema 5. Orice disc K este măsurabil şi mK = πr 2,unde r este raza lui K.

3.2 Clasa mulţimilor măsurabile

Fie M clasa tuturor mulţimilor măsurabile din plan. ( Am utilizat aici, ca de obicei,

cuvântul clasă ca un sinonim pentru cuvântul mulţime.) Vom arăta că această clasă are

următoarele proprietăţi simple:

Teorema 1. Dacă M1 şi M2 aparţin lui M , atunci M1 ∪ M2 aparţine lui M.

Teorema 2. Aditivitatea finită. Dacă fiecare din mulţimile M1, M2,… Mn aparţine lui M ,

atunci reuniunea lor este de asemenea în M.

Teorema 3. Dacă M1 şi M2 aparţin lui M, atunci M1 - M2 aparţine lui M.

Teorema 4. Dacă M1 şi M2 aparţin lui M, atunci M1 ∩ M2 aparţine lui M.

Teorema 5. Dacă M1 şi M2 aparţin lui M şi M1 ∩ M2 = ,

atunci: m(M1 ∪ M2) = m M1 + m M2.

Teorema 6. Dacă M1 şi M2 aparţin lui M şi M1 ⊂ M2, atunci m(M1 - M2) = m M1 - m M2.

Teorema 7. Dacă M1 şi M2 aparţin lui M şi m(M1 ∩ M2) = 0 ,

atunci: m(M1 ∪ M2) = m M1 + m M2.

Lema 1. Fie M o mulţime măsurabilă în plan. Atunci pentru orice număr pozitiv e există

două regiuni poligonale P şi P', astfel ca

P ⊂ M ⊂ P' (1)

şi

α P' - α P < e (2)

Demonstraţie. Fie P, astfel încât P ⊂ M şi


28

α P > mI M -

Luăm apoi P', astfel încât M ⊂ P' şi

α P' < mEM +

Atunci - α P < - mI M + ;

prin adunare, obţinem: α P'- α P < e .

Reciproca este de asemenea adevărată.

Lema 2. Fie M o mulţime de puncte în plan. Să presupunem că pentru orice număr

pozitiv e există două regiuni poligonale P şi P', astfel ca

P ⊂ M ⊂ P' (1)

şi

α P'- α P < e. (2)

Atunci M este măsurabilă.

Demonstraţie.Fie date două astfel de regiuni P şi P'; avem

mEM ≤ α P', α P ≤ mI M.

Aşadar - mI M ≤ - α P,

şi mEM - mI M ≤ α P'- α P < e.

Deoarece mEM - mI M < e pentru oice număr pozitiv e şi mEM - mI M ≥ 0, rezultă că

mEM - mI M trebuie să fie = 0.

Aşadar M este măsurabilă, ceea ce trebuia demonstrat.

Vom demonstra acum Teorema 1. Fie M1 şi M2 două mulţimi măsurabile. Fie

e un număr pozitiv arbitrar.


29

Figura 14

Să luăm P1 şi P'1 pentru M1, ca în Lema 1, astfel ca

P1 ⊂ M1 ⊂ P'1

şi α P'1 - α P1 <

Să luăm apoi P2 şi P'2 pentru M2, astfel ca

P2 ⊂ M2 ⊂ P'2

şi α P'2 - α P2 <

Fie P= P1 ∪ P şi P' = P'1∪ P'2 , atunci α P' - α P ≤ (α P'1 - α P1) +( α P'2 - α P2).

Pentru a vedea de ce se întâmplă aşa, să considerăm o figură mai simplă:

Figura 15

Figura 16


30

Aici α P' - α P este aria dintre linia întreruptă şi linia plină din figura de mai sus. Aceasta

este ≤ decât suma diferenţelor

α P'1 - α P1 , α P'2 - α P2

Acelaşi principiu se aplică şi în cazul general. Într-adevăr, pentru o

triangulare convenabilă a lui P'1∪ P'2 fiecare dintre diferenţele.

α P' - α P , α P'1 - α P1 , α P'2 - α P2

este suma ariilor unei colecţii de regiuni triunghiulare şi fiecare triunghi care contribuie

la α P' - α P trebuie să contribuie cel puţin odată ( şi uneori de două ori) la

(α P'1 - α P1) +( α P'2 - α P2).

Aşadar α P' - α P < + = e ,şi deci M1∪ M2 este măsurabilă, ceea ce trebuia

demonstrat.

Teorema 2 rezultă din Teorema 1, aşa cum am arătat mai înainte.

Pentru Teorema 3 folosim aceleaşi figuri. Pentru a arăta că M1- M2 este măsurabilă,

să formăm o triangulare a lui P'1∪ P'2 în care fiecare din regiunile P1, P’1, P2, P'2 este

reuniunea unor regiuni triunghiulare, care se intersectează doar în vârfuri şi laturi. Fie P'

reuniunea tuturor regiunilor triunghiulare care sunt în P'1, dar nu sunt în P2, iar P

reuniunea tuturor regiunilor triunghiulare care sunt în P1 dar nu sunt în P'2. Atunci P şi P'

arată cam aşa:

Figura 17

Frontierele lui P şi P' sunt desenate cu linie plină, iar restul este punctat

pentru a ne reaminti cum erau definite P şi P'. Reamintim că e a fost un număr pozitiv

arbitrar, cu α P'1 - α P1 < şi α P'2 - α P2 < .


31

Evident, α P' - α P ≤ (α P'1 - α P1) +( α P'2 - α P2) şi α P' - α P < + = e ;deci M1-

M2 este măsurabilă, ceea ce trebuia demonstrat.

Pentru a demonstra că M1 ∩ M2 este măsurabilă, vom lucra doar cu mulţimi, fără a

folosi geometria sau algebra. Figura de mai jos va face să fie mai uşor de urmărit ceea ce

se întâmplă.

Figura 18

Fie M1∈ M, M2∈ M. Din Teorema 1, avem că M1 ∪ M2∈ M

Din Teorema 3 rezultă că M2 – M1 ∈ M, M1 - M2 ∈ M.

Aşadar, din Teorema 1, avem (M1 - M2 ) ∪ (M2 – M1 ) ∈ M.

Aplicând din nou Teorema 3, avem (M1 ∪ M2 ) – ((M1 - M2 ) ∪ (M2 – M1 )) ∈ M.

Aceasta demonstrează Teorema 4, deoarece mulţimea de mai sus este chiar

M1 ∩ M2.

Pentru Teorema 5, care spune că dacă M1 şi M2 nu se intersectează, atunci:

m (M1 ∪ M2 )= m M1 + m M2 .

Să observăm mai întâi că dacă P este o regiune poligonală din M1 ∪ M2,

atunci :

P= P1 ∪ P2, unde P1 ⊂ M1 şi P2 ⊂ M2.


32

Figura 19

Aşadar α P = α P1+ α P2 ≤ m1 M1 + m1 M2.

Atunci m1(M1 ∪ M2) ≤ m1 M1 + m1 M2,deoarece m1(M1 ∪ M2)este marginea inferioară a

mulţimii de numere α P.

Pe de altă parte, fiind dat un e > 0, putem găsi P1 ⊂ M1 şi P2 ⊂ M2 , astfel încât

α P1 > m1 M1 - , α P2 > m1 M2 -

Avem atunci α P > m1 M1 + m1 M2 - e

Şi m1(M1 ∪ M2) ≥ m1 M1 + m1 M2 - e, pentru orice e > 0.

Aşadar m1(M1 ∪ M2) ≥ m1 M1 + m1 M2 .

Toate cele trei mulţimi sunt măsurabile. Aşadar m1(M1 ∪ M2) = m1 M1 + m1 M2 ceea ce

trebuia demonstrat.

Demonstraţia Teoremei 6. Fie M1 ⊂ M2; avem M2 =(M2 – M1 ) ∪ M1 şi cele două

mulţimi din dreapta nu se intersectează.

Aşadar m M2 = m (M2 – M1 )+ m M1

astfel că m (M2 – M1 )= m M2 - m M1, ceea ce trebuia demonstrat.

Demonstraţia Teoremei 7. Fie m(M1 ∩ M2)= 0;

dorim să arătăm că m (M1 ∪ M2) = m M1 + m M2.

Să observăm mai întâi (figura următoare) că M1 – M2= M1 - (M1 ∩ M2)

şi M2 – M1 = M2 - (M1 ∩ M2).


33

Figura 20

Aşadar

m (M1 - M2)= m M1 - 0 şi m (M2 – M1 )= m M2 -0.

Cum

M1 ∪ M2= (M1 - M2) ∪ (M1 ∩ M2) ∪ (M2 – M1 )

Avem că

m (M1 ∪ M2) = m M1 + m M2 + 0

ceea ce trebuia demonstrat.

3.3 Arii de sub graficele funţiilor continue

Măsura Jordan este teoria necesară pentru a completa studiul unei probleme din

analiza matematică elementară. Să presupunem că avem o regiune R, cuprinsă între

graficele a două funcţii continue.

Figura 21

Am presupus că f(x) ≤ g(x), a ≤ x ≤ b şi că R ={ (x,y) | a ≤ x ≤ b şi f(x) ≤ y ≤ g(x) }.

Calculăm de obicei aria lui R cu formula: mR = dx.


34

Deducerile obişnuite ale acestei formule nu sunt demonstraţii în nici un sens, deoarece

ele nu folosesc nici o definiţie corectă a ariei. Aceste deduceri sunt însă convingătoare.

Acum când ştim câte ceva despre măsura Jordan, este uşor de văzut că acestea arată că

integrala definită dă măsura Jordan acestei regiuni. Situaţia de aici este asemănătoare cu

cea de la cerc.

Tratarea elementară devine corectă, în momentul în care dăm definiţia pe care o

utilizează în mod tacit.

Figura 22

Pentru a vedea aceasta, să considerăm mai întâi cazul când R este regiunea de sub o

singură funcţie continuă pozitivă f(x), aşa cum este cazul în figura de mai sus.

Avem f(x) ≥ 0, a ≤ x ≤ b şi R ={ (x,y) | a ≤ x ≤ b şi 0 ≤ y ≤ f(x) }

Ca în definiţia integralei definite, să luăm un şir crescător de puncte

a = x0 < x1 < ….< xn = b din intervalul (a,b). Fie Δ xi lungimea celui de al i -lea

interval. Fie mi minimul lui f(x) pe acest interval şi Mi, maximul lui f(x) pe acest

interval.(În figură am indicat m1 şi M1). Atunci este suma ariilor

dreptunghiurilor înscrise ( cu baza se sus linie întreruptă, în figură), iar este

suma ariilor dreptunghiurilor circumscrise (desenate cu linie plină în figură).

Sunt mai multe feluri de a defini integrala definită; nu vom reface aici toată teoria.


35

În orice caz, rezultă că ≤ ≤ .

Pentru o funcţie continuă putem face diferenţa - , oricât de mică vrem,

cu condiţia ca numerele Δ xi să fie toate suficient de mici.

Aşadar, pentru orice e > 0, există un şir a = x0 < x1 < ….< xn = b, pentru care

- .

Prima sumă este aria α P a unei regiuni poligonale din R, iar cea de a doua este aria

unei regiuni poligonale P', care conţine pe R. R este măsurabilă: m1R = mER. Deoarece

integrala este un majorant pentru numerele α P, avem m1R ≤ .

Analog, integrala este un minorant pentru numerele α P' şi deci ≤ mER.

Deoarece m1R = mER = mR , rezultă că mR = , ceea ce trebuia demonstrat.

Aria unei regiuni trebuie să depindă doar de mărimea şi de forma ei şi nu de modul în

care este plasată relativ pe axe. Altfel spus, aria unei regiuni trebuie să fie invariantă la

deplasări rigide. Aceasta nu este clar dacă folosim integrale definite pentru a defini aria.

Complicaţia este că aceeaşi regiune poate fi descrisă într-un număr infinit de moduri ca

regiunea dintre graficele a două funcţii continue.

Figura 23

Aici R1 şi R2 sunt izometrice. Putem spune că :

dx = dx

Motivul este că ambele integrale dau răspunsul exact la aceeaşi întrebare. Dacă însă

definiţia măsurii este enunţată astfel încât să depindă de sistemul de coordonate, rămâne

problema de a demonstra prin analiză matematică faptul că integralele au aceeaşi

valoare; acesta nu este un procedeu practic.


36

Teoria măsurii a fost generalizată de Henri Lebesgue, astfel încât să se poată

define aria unei clase şi mai largi de figure. Măsura Jordan este însă suficientă pentru

matematica elementară.

3.4 Măsurarea volumelor: Teoria elementară

3.4.1 Axiomele fundamentale ale teoriei volumelor

Teoria volumelor, construită în spiritul capitolului precedent, este dificilă din

punct de vedere tehnic. O astfel de muncă nu este justificată, deoarece oricine urmăreşte

o teorie atât de elaborată poate studia direct măsura Lebsgue şi nu măsura Jordan, prima

fiind mult mai utilă matematicii avansate.

Să presupunem deci că avem dată o clasă de muţimi de puncte în spaţiu, numite

mulţimi măsurabile. Să presupunem că avem dată şi o funcţie de la în

mulţimea numerelor reale negative. Daca , atunci se va numi volumul lui M.

Primele două axiome sunt necesare pentru a şti că toate corpurile elementare, al

căror volum ne propunem să-l calculăm, au într-adevar volum.

V-1. Orice mulţime convexă este în .

V-2. Dacă M şi N sunt în , atunci sunt în 3

Celălalte axiome privesc funcţia volum v.

V-3. v este monotonă. Altfel spus, dacă .

V-4. Dacă atunci .

Dacă v este o funcţie volum care satisface aceste condiţii, atunci putem obţine mai multe

funcţii de acest tip, înmulţind pe v cu o constantă pozitivă. Pentru a “determina unitatea

de volum”, enunţăm următoarea axiomă:

V-5. Volumul unui paralelipiped este produsul înălţimii sale cu aria bazei.


37

Figura 24

Figura şi formula ne reamintesc că orice faţă a unui paralelipiped poate fi privată

ca bază.

Reamintim că regiunile triunghiulare cu aceeiaşi bază şi înălţime au mereu aceeaşi

arie. Presupunerea noastră finală pentru volum este analogul acestui fapt:

V-6. Principiul lui Cavalieri 3. Fie figuri în spaţiu. Fie un plan. Dacă

atunci se vor numi secţiunile transversale corespunzătoare prin

, respectiv.

Să presupunem că:

(1) ;

(2) ;

(3) Orice secţiune transversală prin K este măsurabilă în planul său;

(4) Orice secţiune transversală prin K’ este măsurabilă în planul său;

(5) Secţiunile transversale corespunzătoare D şi D’ ale lui K şi K’ au aceiaşi măsură în

planul lor. Atunci .

Figura 25

3 Bonaventura Cavalieri (1958-1647), mathematician Italian, considerat (datorită teoriei “indiviyibilităţilor”) ca un

profesor al teoriei calcului integral. (N.T.)


38

Ipoteza (5) este hotărâtoare; fără ea, principiul lui Cavalieri nu ar putea fi

adevărat. Sunt necesare însă şi celălalte patru ipoteze. De fapt, dacă avem

, nu rezultă că orice secţiune transversală a lui K este măsurabilă în planul ei.

De asemenea, dacă toate secţiunile transversale prin K sunt măsurabile în planurile

lor, nu rezultă că şi K ar fi măsurabilă; analog pentru K’.

3.5 Secţiuni transversale prin conuri şi piramide

Fie D un disc (circular) într-un plan E şi V un punct care nu este în E. Conul

cu baza D şi varful V este reuniunea tuturor segmentelor , unde P aparţine lui D.

Înălţimea conului este distanţa perpendiculară h de la V la E.

Figura 26

Fie acum un plan paralel cu E , de aceeaşi parte a lui E ca şi V, la distanţa

perpendiculară faţă de E. Fie C centrul lui D şi r raza sa. Pentru fiecare punct B

din D, fie punctul în care intersectează . Fie mulţimea tuturor punctelor de

felul lui B’. Vom numi secţiunea transversală prin con la înălţimea k.


39

Figura 27

Teorema 1. este un disc de rază .

Demonstrţie. Fie ca în figura dinainte. Fie B un punct din D şi fie B’

punctual corespunzător din D’. Deoarece , orice plan care intersectează , le

intersectează după drepte paralele. Aşadar .

Prin urmare şi şi ,

rezultă următoarea: .

Dacă rezultă că şi reciproc. Prin urmare este discul de rază

, ceea ce trebuia demonstrat.

Folosind formula , obţinem următoarea:

Teorema 2. Fie K un con cu aria bazei a şi înălţimea h. Fie secţiunea prin K la

înălţimea k. Atunci .

Demonstrţie. Ştim că , unde r este raza bazei, iar r’ este

raza lui . Aşadar , ceea ce trebuia demonstrat.


40

Dacă folosim o regiune triunghiulară ca bază, în locul discului, putem face o

discuţie similară ce conduce la o teoremă similară.

Figura 28

Fie T o regiune triunghiulară în planul E şi fie V un punct care nu este în E.

Piramida cu baza T şi vârful V este reuniunea tuturor segmentelor , unde P este în T.

Înălţimea piramidei este distanţa perpendiculară h de la V la E.

Fie planul paralel la E, de aceeaşi parte a lui E ca şi V, astfel încât distanţa

perpendiculară între E şi să fie .

Figura 29

Fie frontiera lui T şi fie A’, B’ şi C’ punctele unde intersectează pe

. Fie regiunea triunghiulară corespunzătoare lui . Avem atunci:


41

Motivul este că dacă un plan intersectează două plane paralele, intersecţiile sunt două

drepte paralele.

Aşadar:

,

, .

Din aceste paralelisme, rezultă asemănările dorite:

Deci din teorema de asemănare L.L.L. Ariile regiunilor

corespunzătoare T şi sunt legate prin formula

Avem teorema următoare:

Teorema 3. Fie o piramida cu aria bazei a şi înălţimea h. Fie secţiunea la

înălţimea k, atunci

3.5.1 Prisme şi cilindri

Să considerăm o pereche de planuri paralele , o mulţime şi o

dreaptă L care intersectează pe într-un singur punct:


42

Figura 30

Prin fiecare punct P din să construim un segment , paralel cu L, cu P’ în .

Reuniunea K a tuturor acestor segmente se numeşte cilindru; este numită bază

inferioară, iar L directoarea sa. Intersecţia a cilindrului cu se numeşte bază

superioară. ( este mulţimea tuturor punctelor P’.). Distanţa perpendiculară între

se numeşte înălţimea cilindrului.

Dacă este un disc, atunci K se numeşte cilindru circular. Dacă este o

regiune poligonală, atunci K se numeşte o prismă. Dacă L este perpendicular pe ,

atunci K se numeşte cilindru drept. Dacă baza unui cilindru este o regiune

paralelogramică, atunci el se numeşte paralelipiped. Dacă P şi Q sunt puncte din , iar

P’ şi Q’ sunt punctele corespunzătoare din , atunci nu este greu de văzut că

este parallelogram.

Demonstraţie. Dreptele sunt paralele, deoarece ambele sunt paralele cu L

(în afară de cazul când una este =L, când rezultă aceeaşi concluzie). Aşadar

sunt coplanare; să notăm cu E planul lor. Planul E intersectează fiecare din planele

; aceste intersecţii sunt două drepte paralele, , Rezultă că este

un paralelogram. Avem deci următoarea teoremă:

Teorema 1. În orice cilindru, baza inferioară şi cea superioară sunt izometrice.

Demonstraţie. În definiţia cilindrului, am utilizat corespondenţa între baza

inferioară şi cea superioară. Deoarece laturile opuse într-un paralelogram sunt

congruente, avem întodeauna


43

Prin urmare, corespondenţa noastră este o izometrie.

În particular:

Dacă cilindrul este circular, cele două baze sunt întodeauna discuri cu aceeaşi

rază.

Dacă cilindrul este o prismă cu baza triunghiulară, atunci cele două baze sunt

congruente.

Dacă cilindrul este o prismă a cărei bază este o regiune poligonală oarecare, atunci

cele doua baze, fiind izometrice, au întodeauna aceeaşi arie.

Toate acestea rezultă din Teorema 1; ideea de bază nu are nimic de-a face cu forma

bazei.

Printr-o secţiune transversală orizontală într-un cilindru, înţelegem intersecţia

cilindrului cu un plan paralel cu baza.

Figura 31

Teorema 2. Toate secţiunile transversale orizontale într-un cilindru sunt

izometrice.

Aceasta rezultă imediat din Teorema 1. Pentru a vedea aceasta, trebuie doar să

observăm că orice secşiune transversală orizontală B este baza superioară a unui cilindru

cu baza .

Din Teorema 2 obţinem acelaşi gen de conluzii speciale pe care le-am obţinut din

Teorema 1, adică dacă baza este un disc, atunci toate secţiunile orizontale sunt discuri de

aceeaşi rază; dacă baza este un triunghi, atunci toate secşiunile orizontale sunt


44

congruente; dacă baza este o regiune poligonală atunci toate secţiunile orizontale sunt

regiuni poligonale cu aceeaşi arie.

3.5.2 Volumele prismelor şi cilindrilor

Pentru a putea utiliza axioma de aditivitate V-4, avem nevoie de teorema

urmatoare:

Teorema 1. Daca şi M este o mulţime mărginită într-un plan, atunci

.

Demonstraţi:M-fiind mărginită, este inclusă într-o regiune dreptunghiulară R din planul

său. Fie Atunci pentru orice număr pozitiv h, M este inclus într-un plan

paralelipiped K, cu

Evident ca vK este oricât de mic vrem, dacă h este destul de mic. Mai precis,

pentru orice e > 0, avem , dacă , atunci

Pentru orice e > 0. Rezultă că vM = 0.

Teorema 2. Fie K o prismă dreaptă, de înălţime h, cu baza de regiune

treiunghiulară T.

Figura 32

Atunci

Demonstraţie. Să construim dreapta K’ cu baza T’, astfel ca să fie un

paralelogram, iar să fie un paralelipiped. Daca atunci

Din principiul lui Cavalieri rezultă că


45

Aşadar

Deci ceea ce trebuia demonstrat.

Mai general, avem teorema următoare:

Teorema 3. Fie K o prismă dreaptă, cu baza inferioară B şi înălţimea h.

Atunci

Figura 33

Demonstraţie: B este regiunea unei colecţii finite de regiuni triunghiulare

Aşadar K este reuniunea unei colecţii finite de prisme , care au baze. Ştim din

Teorema 2 că pentru fiecare i. În plus

deoarece fiecare intersectează pe celelalte după o mulţime de volum = 0.

Aşadar

Teorema 4. Fie K o prismă arbitrară (dreaptă sau nu). Atunci vK este produsul

dintre înălţimea sa şi aria bazei sale.

Demonstraţie. Fie K’ o prismă dreaptă, cu aceeaşi arie a bazei ca şi K şi cu

aceeaşi înălţime. Din Teorema 3,


46

Figura 34

Din principiul lui Cavalieri

Aşadar ceea ce trebuia demonstrate.

Pentru cilindri cu baze circulare, formula volumului şi demonstraţia acesteia sunt

aceleaşi.

Teorema 5. Fie K un cilindru cu înălţimea h şi cu baza un disc de rază r.

Atunci

Pentru a demonstra aceasta, să luăm o prismă dreaptă L, cu aria bazei şi cu

înălţimea h. Atunci

Conform Teoremei 2 toate secţiunile orizontale ale lui K şi L au aceeaşi arie.

Aşadar, din principiul lui Cavalieri, avem ceea ce trebuia demonstrat.

3.5.3 Volumele piramidelor şi ale conurilor

Teorema 1. Să considerăm două piramide cu bazele în acelaşi plan şi cu vârfurile

de aceeaşi parte a acestui plan. Dacă ele au aceeaşi arie a bezelor şi aceeaşi înălţime,

atunci au şi acelaşi volum.


47

Figura 35

Demonstraţie. Fie aria comuna a bazelor egala cu a şi înălţimea egala cu h.

Secţiunile transversale de înălţime k au aceeaşi arie şi anume

Din principiul lui Cavalieri, cele două piramide au acelaşi volum.

Figura 36

Putem calcula acum volumul unei piramide, folosind următorul procedeu

ingenios. Să considerăm mai întâi o prismă dreaptă K cu baza triunghiulară, ca în figura

de mai sus. Figura de mai jos arată cum se poate exprima prisma ca reuniunea a trei

piramide triunghiulare:

Figura 37


48

Avem că Dacă privim pe ca piramide cu “vârful” A,

atunci ele au bazele de aceeaşi arie; ele au şi aceeaşi înălţime deoarece înălţimea

fiecaruia din ele este distanţa perpendiculară din A pe planul ce conţine pe B, C, E, şi F.

Dacă din teorema precedentă, avem

Să privim pe ca piramidele cu “vârful” F. Atunci au bazele de

aceeaşi arie, deoarece şi au aceeaşi înălţime, deoarece înălţimea fiecareia

este distanţa perpendiculară de la F la planul ce conţine pe A, B, D şi E. Din teorema

precedentă, avem

Deoarece se intersectează între ele doar după mulţimi plane, cu

volumul =0, avem

Figura 38

Să presupunem că am pornit cu o piramida L, cu baza triunghiulară. Fie

piramida cu aceeaşi bază şi aceeaşi înălţime, dar cu muchia perpendiculară pe planul

bazei (ca în fig.23.14). Fie K prisma dreaptă cu aceeaşi bază şi aceeaşi înălţime ca şi .

Atunci

Aşadar unde a şi h sunt aria bazei şi înălţimea lui L. Avem

deci următoarea teoremă:

Teorema 2. Volumul piramidei este o treime din produsul ariei bazei sale cu

înălţimea sa.


49

Figura 39

Dacă folosim din plin principiul lui Cavalieri, formula corespunzătoare pentru

conuri devine banală. Fie dat un con cu aria bazei şi înălţimea h (fig. 23,17).

Să luăm o piramidă arbitrară cu baza în acelaşi plan, cu aceeaşi arie a bazei a şi

aceeaşi înălţime h. În desenele din figura 23.17, secţiunile transversale la aceeaşi înălţime

au aceeaşi arie; secţiunile transversale de înălţime k au aria

Din principiul lui Cavalieri, conul şi piramida au acelaşi volum. Deoarece ştim că

volumul piramidei este avem urmatoarea teoremă:

Figura 40

Teorema 3. Volumul conului este o treime din produsul ariei bazei sale cu

înălţimea sa.

3.5.4 Volumul sferei

Pentru a afla volumul sferei, mai întâi îi circumscriem un cilindru, astfel:


50

Figura 41

Fie K o sferă cu interiorul ei; fie C cilindrul circumscris şi fie astfel încât

Ştim cum să aflăm pe vC:

Aşadar, dacă putem afla pe vL, vom putea calcula vK prin scădere .

Pentru a calcula pe vL, vom utiliza principiul lui Cavalieri la fel ca şi în ultimele două

secţiuni, adică vom găsi o figură al cărei volum îl ştim şi care are aria secţiunilor

transversal aceeaşi cu cea a lui L.

Aria unei secţiuni transversal în L este uşor de calculate. Figura 41 arată o

secţiune transversală vertical în sferă şi cilindrul circumscris. Aşadar cilindrul apare ca

un dreptunghi, iar sfera ca un cerc. Secţiunile transversal prin L la înălţimea h sunt figuri

de tipul:

Figura 42

Raza exterioara este r, iar cea interioară este din teorema lui Pitagora.

Aşadar aria secţiunii lui L la înălţimea k este:

πK2.


51

Să considerăm acum figura de mai jos. În dreapta este desenată o secţiune transversală

verticală a lui .

Figura 43

Secţiunea transversală a lui la înălţimea k este un disc de rază k. Aşadar aria

secţiunii transversale la înălţimea k este

Deci , dar

Aşadar , deci

Pentru referinţă, enunţăm aceasta ca o teoremă:

Terema 1. Volumul sferei de rază r este


52

Bibliografie

1. Ionescu Rodica, „Poziţiile relative ale dreptelor şi planelor în spaţiul Euclidian”,

Editura Sfântul Ierarh Nicolae;

2. Edwin E. Moise, „Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior”,

Bucureşti, Editura didactică şi pedagogică, 1980;

3. Răducanu Dorina, „Introducere în teoria măsurii şi integrării”, Editura Albastră,

2008;

4. Crâşmăreanu Mircea, „Axiomatica Hilbert a spaţiului Euclidian”, Iaşi,

Universitatea „Alezandru Ioan Cuza”, Facultatea de Matematică;

5. Robin Hartshorne, „Geometry: Euclid and Beyond”.

Licenta Matematica _Simon Georgiana-Veronica

Documents

Transcript of Licenta Matematica _Simon Georgiana-Veronica