Lectia I Spatiul liniar al vectorilor liberioanacon/depozit/Curs_I_vectori...Adunarea vectorilor...

De�nitia vectorilor liberiAdunarea vectorilor liberi

Inmultirea vectorilor cu scalariAplicatii

Bibliogra�e

Lectia I

Spatiul liniar al vectorilor liberi

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Lectia I

Bibliogra�e

Table of Contents

1 De�nitia vectorilor liberi

2 Adunarea vectorilor liberi

3 Inmultirea vectorilor cu scalari

4 Aplicatii

5 Bibliogra�e

Segmente orientate cu aceeasi directie

De�nition

Un segment orientat este o pereche ordonata de puncte

(A,B) ∈ S × S.Il notam prin AB.A se numeste originea iar B extremitatea.

Dreapta AB (daca A 6= B) se numeste dreapta suport a

segmentului orientat AB.

AA este segmentul orientat nul si dreapta lui suport este

nedeterminata.

Am notat cu S multimea punctelor spatiului.

De�nition

nedeterminata.

De�nition

nedeterminata.

De�nition

nedeterminata.

De�nition

nedeterminata.

Relatia �aceeasi directie�

De�nition

Doua segmente orientate au aceeasi directie daca se a�a intr-una

dintre urmatoarele situatii:

• unul dintre ele este segmentul nul;

• segmentele orientate au aceeasi dreapta suport sau drepte suport

paralele.

Doua segmente orientate cu aceeasi dreapta suport se numesc

coliniare.

Relatia au aceeasi �directie� este o relatie de echivalenta pe

multimea segmentelor orientate nenule, deoarece relatia de

paralelism in sens larg este o relatie de echivalenta pe

multimea dreptelor spatiului.

De�nition

paralele.

coliniare.

De�nition

paralele.

coliniare.

De�nition

paralele.

coliniare.

De�nition

paralele.

coliniare.

Relatia �acelasi sens�

De�nition

Doua segmente orientate cu aceeasi directie au acelasi sens daca

se a�a intr-una din situatiile:

• sunt amandoua nule;

• dreptele suport sunt distincte si extremitatile lor sunt situate in

acelasi semiplan determinat de dreapta ce uneste originile lor;

Acelasi sens

De�nition

• dreptele suport coincid si exista un segment orientat necoliniar cu

ele si de acelasi sens cu amandoua.

Relatia �au acelasi sens � este o relatie de echivalenta pe

multimea segmentelor orientate.

Observatie: in �gurile precedente am reprezentat segmentele

orientate prin sageti, punand varful sagetii in extremitatea

segmentului orientat.

Acelasi sens

De�nition

Acelasi sens

De�nition

Acelasi sens

De�nition

Acelasi sens

De�nition

Relatia �aceeasi marime�

De�nition

Doua segmete orientate AB si CD au aceeasi marime daca

d(A,B) = d(C ,D), unde d este distanta euclidiana a lui E 3.

Evident relatia �aceeasi marime � este o relatie de echivalenta

pe multimea segmentelor orientate.

De�nition

Relatia de echipolenta

De�nition

Doua segmente orientate sunt echipolente daca au acelasi sens si

au aceeasi marime.

Notam AB ∼ CD.

Relatia de echipolenta este o relatie de echivalenta pe

De�nition

au aceeasi marime.

Notam AB ∼ CD.

De�nition

au aceeasi marime.

Notam AB ∼ CD.

Vector liber

De�nition

Se numeste vector liber o clasa de echivalenta in raport cu relatia

de echipolenta pe multimea segmentelor orientate.

Notam−→AB. −→

AB = {−→CD | AB ∼ CD}

Deci doi vectori liberi sunt egali daca reprezentantii lor au

acelasi sens si aceeasi marime.

Notam cu V multimea vectorilor liberi si elementele ei cu

u, w ,−−→MN. Marimea vectorului u se noteaza cu |u|.

Vector liber

De�nition

AB = {−→CD | AB ∼ CD}

Vector liber

De�nition

AB = {−→CD | AB ∼ CD}

Vector liber

De�nition

AB = {−→CD | AB ∼ CD}

Vectori de pozitie

Theorem

Fie u ∈ V si O ∈ S. Atunci exista un singur punct P ∈ E 3 astfel

incat−→OP = u.

De�nition

Vectorul−→OP se numeste vectorul de pozitie al punctului P.

Spunem ca am aplicat vectorul u in punctul P.

Notam−→OP = rP .

Vectori de pozitie

Theorem

Fie u ∈ V si O ∈ S. Atunci exista un singur punct P ∈ E 3 astfel

incat−→OP = u.

De�nition

Vectorul−→OP se numeste vectorul de pozitie al punctului P.

Spunem ca am aplicat vectorul u in punctul P.

Notam−→OP = rP .

Bibliogra�e

Adunarea vectorilor liberi

a) AB ∼ CD ⇔ AC ∼ BD;b) AB ∼ A′B ′ si BC ∼ B ′C ′ ⇒ AC ∼ A′C ′.

Adunarea vectorilor

De�nition

Fie vectorii liberi u, v ∈ V si punctul A ∈ E 3. Fie B, respectiv C ,

punctele unice cu proprietatea u =−→AB, v =

−→BC .

De�nim suma vectorilor u + v =−→AC .

Observatie

De�nitia nu depinde de alegerea punctului A datorita lemei

anterioare.

Adunarea vectorilor

De�nition

−→BC .

Observatie

anterioare.

Adunarea vectorilor

De�nition

−→BC .

Observatie

anterioare.

Adunarea vectorilor

Relatia lui Chasles −→AB +

−→BC =

−→AC

Observatie

Regasim de�nitia cunoscuta din liceu data de regula

paralelogramului.

Adunarea vectorilor

Relatia lui Chasles −→AB +

−→BC =

−→AC

Observatie

Regasim de�nitia cunoscuta din liceu data de regula

paralelogramului.

Bibliogra�e

Inmultirea vectorilor cu scalari

De�nition

Fie scalarul α ∈ R si vectorul u ∈ V. Produsul dintre α si u este

vectorul notat αu, de�nit de urmatoarele proprietati:

• daca α = 0 sau u = 0 atunci αu = 0;• daca α 6= 0 si u 6= 0 atunci αu are aceeasi directie cu u, acelasisens cu u daca α > 0 si sens contrar lui u daca α < 0, iarmarimea lui αu este |αu| = |α||u|.

De�nitia anterioara nu depinde de reprezentantii alesi ai

vectorilor liberi.

Bibliogra�e

Inmultirea vectorilor cu scalari

De�nition

Fie scalarul α ∈ R si vectorul u ∈ V. Produsul dintre α si u este

vectorul notat αu, de�nit de urmatoarele proprietati:

• daca α = 0 sau u = 0 atunci αu = 0;• daca α 6= 0 si u 6= 0 atunci αu are aceeasi directie cu u, acelasisens cu u daca α > 0 si sens contrar lui u daca α < 0, iarmarimea lui αu este |αu| = |α||u|.

De�nitia anterioara nu depinde de reprezentantii alesi ai

vectorilor liberi.

Structura algebrica a multimii vectorilor liberi

Theorem

Multimea vectorilor liberi, impreuna cu adunarea vectorilor si

inmultirea vectorilor cu scalari reali este un spatiu liniar real, adica

(V,+, ·) veri�ca urmatoarele proprietati:

1) (V,+) este grup abelian:

i) (u + v) + w = u + (v + w), ∀u, v , w ∈ V; (asociativitatea)ii) ∃0 ∈ V a.i. ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u;

(existenta elementul neutru 0 =−→AA, A arbitrar)

iii) ∀u ∈ V, ∃ − u a.i. u + (−u) = (−u) + u = 0;

(�ecare vector admite un opus u =−→AB, −u =

−→BA)

iv) u + v = v + u, ∀u, v ∈ V, (comutativitatea);2) i) α(u + v) = αu + αv ;ii) (α+ β)u = αu + βu;iii) (αβ)u = α(βu);iv) 1u = u, ∀α, β ∈ R, u, v ∈ V.

Diferenta vectorilor

u − v = u + (−v), ∀u, v ∈ V,

−→AB =

−→OB −

−→OA, ∀O,A,B ∈ S,

−→AB = rB − rA, ∀A,B ∈ S.

Bibliogra�e

Aplicatii

Example

Asociativitatea adunarii vectorilor liberi ne permite de�nirea

sumelor �nite de vectori.

Veri�cati ca, pentru linia poligonala A1A2 · · ·An−1An, au loc

relatiille urmatoare:

1)−−−→A1A2 +

−−−→A2A3 + · · ·+

−−−−−→An−1An =

−−−→A1An;

2) in cazul unei linii poligonale inchise−−−→A1A2 +

−−−→A2A3 + · · ·+

−−−−→An−1A1 = 0.

Indicatie: se aplica succesiv regula lui Chasles.

Bibliogra�e

Aplicatii

Example

Asociativitatea adunarii vectorilor liberi ne permite de�nirea

sumelor �nite de vectori.

Veri�cati ca, pentru linia poligonala A1A2 · · ·An−1An, au loc

relatiille urmatoare:

1)−−−→A1A2 +

−−−→A2A3 + · · ·+

−−−−−→An−1An =

−−−→A1An;

2) in cazul unei linii poligonale inchise−−−→A1A2 +

−−−→A2A3 + · · ·+

−−−−→An−1A1 = 0.

Indicatie: se aplica succesiv regula lui Chasles.

Aplicatii

Example

Fie triunghiul ABC si M mijlocul laturii BC. Demonstrati ca

−→AB +

−→AC = 2

−−→AM ⇔ rM =

2(rB + rC ).

Indicatie:−−→AM =

−→AB +

−−→BM,

−−→AM =

−→AC +

−−→CM,

−−→BM = −

−−→CM.

Aplicatii

Example

−→AB +

−→AC = 2

−−→AM ⇔ rM =

2(rB + rC ).

−→AB +

−−→BM,

−−→AM =

−→AC +

−−→CM,

−−→BM = −

−−→CM.

Aplicatii

Example

−→AB +

−→AC = 2

−−→AM ⇔ rM =

2(rB + rC ).

−→AB +

−−→BM,

−−→AM =

−→AC +

−−→CM,

−−→BM = −

−−→CM.

Aplicatii

Example

Fie patrulaterul convex ABCD si E, N, F, M respectiv mijloacele

laturilor AB, BC, CD, DA.

Demonstrati ca

−→EF =

2(−→AD +

−→BC ),

−→AC =

−−→MN +

−→EF .

Aplicatii

Indicatie:−→EF =

−→EA +

−→AD +

−→DF ,

−→EF =

−→EB +

−→BC +

−→CF ,−→

EA = −−→EB,−→DF = −

−→CF .

Se aplica relatia deja demonstrata si pentru−−→MN :

2(−−→MN +

−→EF ) = (

−→DC +

−→AB) + (

−→AD +

−→BC )

= (−→AD +

−→DC ) + (

−→AB +

−→BC ) = 2

−→AC .

Aplicatii

Indicatie:−→EF =

−→EA +

−→AD +

−→DF ,

−→EF =

−→EB +

−→BC +

−→CF ,−→

EA = −−→EB,−→DF = −

−→CF .

Se aplica relatia deja demonstrata si pentru−−→MN :

2(−−→MN +

−→EF ) = (

−→DC +

−→AB) + (

−→AD +

−→BC )

= (−→AD +

−→DC ) + (

−→AB +

−→BC ) = 2

−→AC .

Aplicatii

Example

Veri�cati ca au loc urmatoarele relatii:

||u| − |v || ≤ |u + v | ≤ |u|+ |v |, ∀u, v ∈ V,

iar egalitatea are loc daca si numai daca vectorii sunt coliniari si de

acelasi sens.

Indicatie: Fie A, B, C a.i. u =−→AB, v =

−→BC . Se aplica

inegalitatile cunoscute pentru lungimile laturilor triunghiului

ABC. Egalitatea are loc daca si numai daca triunghiul este

degenerat.

Aplicatii

Example

||u| − |v || ≤ |u + v | ≤ |u|+ |v |, ∀u, v ∈ V,

acelasi sens.

degenerat.

Aplicatii

Example

||u| − |v || ≤ |u + v | ≤ |u|+ |v |, ∀u, v ∈ V,

acelasi sens.

degenerat.

Bibliogra�e

I. Pop , Ghe. Neagu, Algebra liniara si geometrie analitica, Ed.

Plumb, Bacau,

M. Ganga, Matematica, Geometrie, manual pentru clasa a

IX-a, Ed. Mathpress, Ploiesti, 2002.

I. Vaisman, Analytical Geometry, World Scienti�c, 1997.

M. Postnikov, Lecons de geometrie, geometrie analytique, Ed.

Mir, 1981.

C. Ionescu-Bujor, O. Sacter, Exercitii si probleme de geometrie

analitica si diferentiala, vol. 1, E.D.P., Bucuresti, 1963.

O.N. Tuberbiller, Probleme si exercitii de geometrie analitica,

Ed. Tehnica, Bucuresti, 1952.

Lectia I Spatiul liniar al vectorilor liberioanacon/depozit/Curs_I_vectori...Adunarea vectorilor...

Documents

Transcript of Lectia I Spatiul liniar al vectorilor liberioanacon/depozit/Curs_I_vectori...Adunarea vectorilor...