INTRODUCERE TEORETICAPentru a putea extrapola n timp valorile indicatorilor de fiabilitate este necesar s se identifice legea de distribuie a timpului de buna funcionare. Metodele de estimare care implic aceast identificare se numesc metode parametrice. Estimarea parametric a indicatorilor de fiabilitate cuprinde 3 etape: a. Identificarea legii de distribuie a timpului de buna funcionare. b. Estimarea parametrilor legii de distribuie. c. Calculul indicatorilor de fiabilitate.

n continuare etapele estimrii vor fi descrise n cazul particular al distribuiei Weibull. Algoritmul prezentat se aplic neschimbat pentru orice alt lege de distribuie.

Identificarea legii de distribuie se efectueaz prin metoda verificrii ipotezelor statistice. Se consider ipoteza H0, care const n faptul c distribuia timpului de bun funcionare este de tip Weibull. Aceast ipotez trebuie verificat contra ipotezei alternative H1, care const n faptul c legea de distribuie este de oricare tip n afar de Weibull. Verificarea ipotezei se face cu ajutorul rezultatelor experimentale. n procesul de verificare exist 2 posibiliti de eroare datorate caracterului statistic al experimentului: - eroarea de ordinul 1, care reprezint probabilitatea respingerii ipotezei H0 n condiiile n care ea este adevrat; - eroarea de ordinul II, care reprezint probabilitatea acceptrii ipotezei H0 n condiiile n care ea este fals. O modalitate de verificare a ipotezei este testul Kolmogorov - Smirnov. Pentru aplicarea testului este necesar s se reprezinte rezultatele experimentale pe o hrtie probabilistic (reea probabilistic) adecvat, n cazul de fa hrtia probabilistic de tip Weibull. Unitile de msur de pe axele de coordonate ale hrtiei probabilistice sunt astfel alese nct n condiiile n care legea de distribuie este de tip Weibull, rezultatele experimentale s se nscrie aproximativ pe o linie dreapt. Alegerea convenabil a scrii rezult din scrierea funciei de repartiie Weibull de forma:

unde: t iar - < < +; = parametru de locaie. > 0; = parametru de form. > 0; = parametru de scal.

Notm :

Rezultatele experimentale transpuse pe reeaua probabilistic sunt estimaiile punctuale neparametrice ale funciei de repartiie F(t) pentru diferite momente de timp. Dac se cunosc momentele de defectare ti, i=1,2...r, atunci se calculeaz conform relaiei:

Dac nu se cunosc momentele de msur tj, j=1,2...k, atunci F(t) se estimeaz n conformitate cu relaia:

Dup nscrierea n grafic a punctelor [t, F(t)] se traseaz dreapta ce aproximeaz cel mai bine aceste puncte, folosind una dintre metodele specifice, cum ar fi metoda celor mai mici ptrate. Decizia asupra verificrii ipotezei se ia pe baza teoremei Kolmogorov - Smirnov. Dac ipoteza este adevrat, ecartul maxim emax ntre punctele nscrise i dreapta trasat este o variabil aleatoare avnd aceeai distribuie, independent de legea care este verificat (fig 1):

Conform teoremei enunate se poate stabili o valoare limita e0 astfel nct probabilitatea ca ecartul maxim s depeasc aceast valoare dac ipoteza H0 este adevrat s fie egal cu , riscul de ordinul 1 impus.

Valoarea limit e0 depinde de numrul de defectri i de riscul de ordinul I () i se alege din tabelul 1.

Tabelul nr. 1 Valoarea mrimii e0Nr. de defectri 0,20 0,15 0,10 0,05 0,01

2 0,900 0,925 0,950 0,975 0,995

3 0,684 0,726 0,776 0,842 0,929

4 0,565 0,597 0,642 0,708 0,828

5 0,494 0,525 0,564 0,624 0,733

6 0,446 0,474 0,510 0,565 0,669

7 0,410 0,436 0,470 0,521 0,618

8 0,381 0,405 0,438 0,486 0,577

9 0,358 0,381 0,411 0,457 0,543

10 0,339 0,360 0,388 0,432 0,514

11 0,322 0,342 0,368 0,410 0,490

12 0,307 0,326 0,352 0,391 0,468

13 0,295 0,313 0,338 0,375 0,450

14 0,284 0,302 0,325 0,361 0,433

15 0,274 0,292 0,314 0,349 0,418

16 0,266 0,283 0,304 0,388 0,404

17 0,258 0,274 0,295 0,328 0,392

18 0,250 0,265 0,286 0,318 0,381

19 0,244 0,259 0,278 0,309 0,371

20 0,237 0,252 0,272 0,301 0,363

21 0,231 0,246 0,364 0,294 0,356

25 0,21 0,22 0,24 0,27 0,32

30 0,19 0,20 0,22 0,25 0,29

35 0,18 0,19 0,21 0,23 0,27

peste 35 1,07 1,14 1,22 1,36 1,63

Metoda de verificare descris se aplic pentru orice lege de distribuie folosind hrtia probabilistic adecvat. Dezavantajul metodei const n faptul c nu precizeaz riscul de ordinul II () de a accepta o ipoteza fals. Pentru identificarea unei legi este necesar s se fac mai multe ipoteze, rezultatele experimentale nscriindu-se pe mai multe tipuri de hrtie probabilistic i eliminnd ipotezele respinse de test. Dac se accept mai multe, atunci decizia final se ia din alte considerente dect cele statistice. b) Pentru verificarea complet a legii de distribuie este necesar s se estimeze parametrii acesteia: , n cazul distribuiei Weibull. Din ecuaia (1) rezult c parametrii se estimeaz ca panta, respectiv ordonata la origine ale unei drepte. Se procedeaz sistematic astfel : - Prin punctul de coordonate (1,0) se traseaz o dreapt paralel la dreapta trasat iniial. Dreapta ajuttoare intersecteaz verticala lnt=0 n punctul de coordonat . - Dreapta trasat iniial intersecteaz verticala ln t=0 n punctul ln1Dac scara (ln t) a fost multiplicat cu 10k atunci parametrul se calculeaz cu:

c) Legea de distribuie fiind complet specificat, indicatorii de fiabilitate pot fi calculai pentru orice interval de timp innd seama de relaiile dintre acetia. Funcia de fiabilitate este:

Rata (intensitatea) de defectare are expresia :

Media timpului de funcionare se calculeaz cu ajutorul relaiei :

Desfasurarea lucrarii:

Efectuand o incercare exhaustiva asupra a 24 de fotodiode s-a obtinut urmatoarele momente de defectare exprimate in ore:

115 232 328 368 393 404 421 457 483 511 527 540 560 572 598 605 619 633 660 681 736 791 942 1000Sa se identifice legea de distributie a timpului de functionare utilizand hartiile probabilistice : Weibull,normal,exponential.

Reprezentarea rezultatelor experimentale pe o hartie probabilistica de tip exponential:a. P=0.01

b. P=0.2

c. P= 0.5

d. P= 0.995

Reprezentarea rezultatelor experimentale pe o hartie probabilistica de tip Weibulla. P=0.01

b. P=0.2

c. P= 0.5

Reprezentarea rezultatelor experimentale pe o hartie probabilistica de tip normala. P= 0.01

b. P= 0.2

c. P= 0.5

Nivel de incredereLegea e exponentiala.Legea e Weibull.Legea e normala.

0.99 Ipoteza nu poate fi acceptata cu aceasta probabilitate. Ipoteza poate fi acceptata cu probabilitatea p=0.01 Ipoteza poate fi acceptata cu probabilitatea p=0.01

0.80 Ipoteza nu poate fi acceptata cu aceasta probabilitate. Ipoteza poate fi acceptata cu probabilitatea p=0.20 Ipoteza poate fi acceptata cu probabilitatea p=0.20

0.50 Ipoteza nu poate fi acceptata cu aceasta probabilitate. Ipoteza poate fi acceptata cu probabilitatea p=0.50 Ipoteza poate fi acceptata cu probabilitatea p=0.50

Se calculeaza parametrii legii. Legea exponentiala: F(t)=Parametrul este =1.7455980571* Legea Weibull: F(t)=1-Parametrii: Estimatorul de maxim veros a lui =1.955875* Estimatorul de minima veros a lui =2.974 Legea normala F(t)=() Parametrii: media =5.49* Dispersia 4.1143130435* Abaterea standard =2.0507906334*

Se calculeaza valorile estimate ale indicatorilor de fiabilitate, aplicnd formulele de calcul:

- funcia de repartiie

- funcia de fiabilitate

- densitatea funciei de repartiie

- rata defectrilor

Reprezentati pe acelasi grafiic functia de repartitie si functia de fiabilitate:

Reprezentai pe acelai grafic densitatea de probabilitate a timpului de funcionare i rata defectrilor.

S se calculeze cuantilele de ordinul 0,1, 0,5 i 0,9 ale timpului de funcionareCuantila de ordinul 0.1: t0.1=232Cuantila de ordinul 0.5: t0.5=540Cuantila de ordinul 0.8: t0.9=791

S se calculeze media timpului de funcionare (), dispersia () i abaterea medie ptratic ().

=549 ore

=3.94E+04

=1.9857E+02Rezultate experimentale: Media timpului de functionare: m=549oreDispersia: D=4.11E+04Abaterea:=2.0273E+02

Intrebari

Care sunt cele dou metode de evaluare a indicatorilor de fiabilitate pe baza datelor experimentale ?

Cele dou metode de evaluare a indicatorilor de fiabilitate pe baza datelor experimentale sunt metoda parametrica si metoda neparametrica.

Avantaje i dezavantaje.

Metoda neparametrica se foloseste atunci cand nu se poate identifica o lege de repartitie a timpului de functionare dar are dezavantajul ca rezultatele nu se pot extrapola in timp. Prin metoda parametrica se identifica o lege de distributie a timpului de functionare iar indicatorii se pot calcula la orice moment de timp insa procesul este mai laborios intrucat trebuie validata ipoteza initiala printr-un test statistic de concordanta.

Avnd un set de valori obinute pe intervale de timp de lungime t (numr de defecte n acest interval), s se specifice care este metoda care permite calculul indicatorilor de fiabilitate i ci indicatori se pot obine? Metoda potrivita pentru calculul indicatorilor de fiabilitate este cea neparametrica si se pot obtine 4 indicatori de fiabilitate: functia de repartitie a timpului de functionare F(t), functia de fiabilitate R(t), densitatea functiei de repartitie f(t,t+t) si rata defectarilor r(t,t+ t) (valori estimate).

De ce este necesar un test statistic de concordan ? n ce const un astfel de test ?

Testul de concordanta este necesar pentru a confirma ipoteza initiala asupra legii de distributie.Pentru aplicarea testului este necesar s se reprezinte rezultatele experimentale pe o hrtie probabilistic (reea probabilistic) adecvat. Dup nscrierea n grafic a punctelor [t, F(t)] se traseaz dreapta ce aproximeaz cel mai bine aceste puncte, folosind una dintre metodele specifice, cum ar fi metoda celor mai mici ptrate. Decizia asupra verificrii ipotezei se ia pe baza teoremei Kolmogorov - Smirnov. Dac ipoteza este adevrat, ecartul maxim emax ntre punctele nscrise i dreapta trasat este o variabil aleatoare avnd aceeai distribuie, independent de legea care este verificat Conform teoremei enunate se poate stabili o valoare limita e0 astfel nct probabilitatea ca ecartul maxim s depeasc aceast valoare dac ipoteza H0 este adevrat s fie egal cu , riscul de ordinul 1 impus.