Elemente de modelare matematică. Soluţii de simulare.

Lecţia 1

Modelare

Modelul este un obiect material sau ideal, care înlocuieşte în procesul de cercetare obiectul original, păstrând unele caracteristici esenţiale, importante pentru procesul de cercetare.

Procesul de construire al modelului se numeşte modelare.

Tipuri de modele / modelareLa modelarea materială se atribuie metodele, la care cercetarea originalului se realizează prin reproducerea în model a caracte-risticilor geometrice, fizice, dinamice, funcţionale de bază.

Modelarea ideală poartă un caracter teoretic. În cazul când pentru modelare se folosesc anumite seturi de simboluri, modelarea este numită simbolică. În calitate de simboluri pot să apară scheme, grafice, formule.modelarea matematică presupune cercetarea obiectului prin intermediul unui model formulat în termeni şi noţiuni matematice, cu folosirea unor metode matematice

Modelare

Materială

…

Ideală

Intuitivă … Simbolică

Matematică

Informatică

…

Exemplul 1.

Întreprinderea A produce trei tipuri de încălţăminte: adidaşi, pantofi, cizme. La producţia fiecărui produs se folosesc trei tipuri de materie primă: piele, cauciuc, stofă sintetică. Cantităţile necesare pe tipuri de produse şi livrările zilnice sunt date în tabel :

Să se determine volumul zilnic al producţiei pentru fiecare tip de produs, în condiţiile consumului integral al resurselor.

Norma de consum zi

Adidaşi Pantofi Cizme

Piele 5 3 4 2700

Cauciuc 2 1 1 800

Stofă 3 2 2 1600

Producţia zilnică de adidaşi - x1 , de pantofi - x2

de cizme - x3

Se obţine sistemul:

Rezolvând, obţinem:

adidaşi - 200pantofi - 300cizme - 200

1 2 3

1 2 3

1 2 3

5 3 4 2700

2 900

3 2 2 1600

x x x

x x x

x x x

Exemplul 2

În condiţii de laborator, o populaţie de viruşi, formată iniţial din N unităţi şi plasată într-un mediu steril se micşorează în fiecare oră cu 50 de procente, dacă numărul viruşilor la începutul orei este par, sau creşte cu o unitate, dacă numărul viruşilor la începutul orei este impar. În momentul cînd numărul viruşilor devine mai mic decît cantitatea critică de supravieţuire C, populaţia dispare integral.

Cerinţă: să se determine timpul necesar, în ore, pentru distrugerea în laborator a unei populaţii din N viruşi, fiind dată cantitatea critică de supravieţuire C (1 < C < N).  Analiză:Populaţiile formate dintr-un număr par de viruşi, la o oră ea se micşorează de două ori. Populaţiile impare cresc cu o unitate şi se transformă în populaţii pare. Creşterea repetată este imposibilă, înjumătăţirea se repetă însă cel puţin o dată la două ore. Prin urmare valoarea C (C > 1) va fi atinsă într-un număr finit de ore. 

Model matematic:

Numărul populaţiei în momentul de timp t=0 este dat de numărul N0=N. Numărul populaţiei după t ore de sterilizare (t >0) este dat de formula recurentă:

11

1 1

,21,

tt

t

t t

Ndacă N este par

NN dacă N este impar

Algoritm:Pas 0. Iniţializare. Se introduc valorile N, C. t 0.Pas 1. A. Trecerea unei ore. t t+1. B. Remodelarea populaţiei: Dacă N mod 2 = 0, N N div 2,

altfel N N+1.Pas 2. Verificare condiţie supravieţuire: dacă N < C, sa afişează valoarea t, STOP,

altfel se revine la Pas 1.

Aici şi în continuare expresia a ⇐ b semnifică: a primeşte valoarea lui b.

Exerciţii:

Modelul Lotki - Volterr — modelul concurenţei speciilor.Se foloseşte pentru sisteme de tip prădător - pradă ; parazit – stăpîn, etc.

Fie x — cantitatea iniţială a jertfelory — cantitatea iniţială a prădătorilort  — intervalul de timpA, B, C, D — coeficienţii de interacţiune a populaţiilor

A - coeficientul de natalitate a populaţiei prăziiB - coeficientul de morbiditate a populaţiei de prădătoriÎntîlnirile prădătorilor cu parda ( aproximativ xy) generează naşterea noilor prădători cu un coeficient D şi decesul prăzii cu un coeficient C

Să se construiască modelul matematic al problemei

O ghiulea de tun e lansată de la suprafaţa pămîntului cu o viteză v0 = 30 m/s la un unghi a = 45°; se cere să se determine traiectoria de deplasare a giulelei şi distanţa pînă la punctul de cărdere.Ghiuleua se consideră un punct material. Punctul de tragere - originea sistemului de coordonate xOy,

Să se determine înălţimea H şi raza R a unui vas cilindric cu volumul V, care să aibă o suprafaţă a bazei S minimă

dxA Cy x

dtdy

B Dx ydt

Soluţie exerciţiu 1

Soluţie exerciţiu 2

2

2

2

1

3

0

2 ( )

2( ) 2

2( ) 4

( ) 0

2

V r h

S r r h

VS r r

rV

S r rr

S r

Vr

1

32

0

0 0

,2

2

VV r h r

h r

Soluţie exerciţiu 3

Soluţii analitice şi de simulare

Un bazin cu volumul 100 m3, care iniţial conţine 20 m3 de apă, se umple cu acelaşi lichid folosind pompa ce are capacitatea de pompare de 15 m3/oră. Totodată, din bazin în dispozitivul de filtrare se scurg 5 m3/oră. Se cere să se determine peste cîte ore va fi umplut bazinul.

Soluţia 1 – simularea tabelară a situaţiei

Soluţia 2

100 208

15 10t

Definiţii

Exerciţiu

Să se calculeaze suma primilor n termeni ai progresiei geometrice, avînd primul termen cu valoarea a1, (a1 > 0) şi raţia q, (q < 1).

Rezolvaţi problema folosind simularea şi metoda analitică

Probleme

1. Determinaţi o metodă de simulare pentru calcularea elementului cu numărul n din şirul de numere 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... . Există oare o metodă analitică pentru determinarea elementului cu numărul n?

2. Rezolvaţi problemele ce urmează prin metoda simulării:

a. În timpul zilei o buburuză urcă pe un stîlp 5 m, iar în timpul nopţii coboară 3 m. Ascensiunea începe dimineaţa. Înălţimea stîlpului este de 15 m. Peste cîte zile va ajunge buburuza în vîrful stîlpului?

b. În condiţiile punctului precedent ascensiunea începe dimineaţa de la înălţimea de 6 m.

c. În condiţiile punctului precedent ascensiunea începe odată cu căderea nopţii.

Etape de rezolvare a problemei la calculator

Analiza problemei. Este etapa de studiu al conţinutului problemei. Se stabileşte setul de date iniţiale, se determină care este rezultatul ce urmează să fie obţinut, care sînt relaţiile dintre datele iniţiale şi rezultat. Tot la această etapă sînt stabilite restricţiile suplimentare asupra datelor iniţiale şi a rezultatului.Elaborarea modelului matematic al problemei. La această etapă datele iniţiale sunt descrise prin structuri matematice. Folosind limbajul matematic, se descriu relaţiile care permit obţinerea rezultatului din datele iniţiale. În funcţie de problemă, aceste relaţii pot fi recurente (este creat un model de simulare) sau să permită calculul direct al rezultatului (model analitic). Tot aici are loc (dacă este necesar) divizarea problemei în subprobleme şi elaborarea separată a modelelor matematice pentru fiecare din ele.

Elaborarea algoritmului. În cazul rezolvării informatice a unei probleme, algoritmul conţine setul de instrucţiuni necesare pentru soluţionarea problemei, descrise într-o formă prestabilită (pseudocod, schemă logică etc.), precum şi ordinea executării acestora (paşii algoritmului). Dacă problema a fost divizată în subprobleme, algoritmul, suplimentar la descrierea subalgoritmilor, stabileşte modul şi condiţiile de apel al acestora.

Scrierea programului. Pentru rezolvarea automatizată a problemei, cu ajutorul calculatorului algoritmul trebuie transpus într-o formă înţeleasă de calculator – program, folosind un limbaj de programare. Paşii algoritmului sînt prezentaţi cu ajutorul instrucţiunilor limbajului de programare, iar ordinea executării lor – de consecutivitatea şi structura instrucţiunilor limbajului. Datele iniţiale şi intermediare sînt descrise folosind structurile de date, acceptate de limbajul de programare. În procesul de scriere a programului pot să apară erori sintactice şi/sau semantice.

Testarea programului. O compilare reuşită nu garantează rezolvarea corectă a problemei. Pentru verificarea corectitudinii programului se execută o serie de teste care stabilesc corectitudinea rezultatelor generate de program în funcţie de seturi de date iniţiale simple, medii şi extreme. Dacă pentru toate testele efectuate programul prezintă rezultate corecte, se poate presupune că problema a fost rezolvată corect. Dacă în procesul de testare se obţin rezultate care diferă de cele corecte, urmează ca rezolvarea problemei să fie reluată, începînd cu etapa de analiză a problemei.

Activităţi individuale

Elaboraţi programele pentru rezolvarea automată a problemelor cercetate în compartimentul curent.

Soluţiile pot fi trimise pe adresa

sergiu.corlat@gmail.com

Bibliografie:

1. Corlat S., Ivanov L., Calcul numeric. Curs de lecţii, Chişinău, CCRE Presa, 2004

2. John H. Mathews. NUMERICAL METHODS: for Mathematics, Science and Engineering., London, Prentice-Hall International, 1992