54

IV. CALCULUL PLĂCILOR CIRCULARE PLANE

IV.1. Ipotezele de lucru

Modelul mecanic al unor elemente de rezistenţă care au două dimensiuni de acelaşi ordin de

mărime, iar a treia (grosimea h – fig. IV.1) mult mai mică în comparaţie cu primele două, se

numeşte placă.

Fig. IV.1

Elementele de rezistenţă care pot fi considerate ca nişte plăci sunt numeroase: capacele plane ale

rezervoarelor, flanşele, diferite tipuri de diafragme şi dispozitive de etanşare, pistoanele pompelor

şi ale motoarelor cu ardere internă.

Din punct de vedere geometric o placă este caracterizată prin:

a). suprafaţa mediană - suprafaţa mediană reprezintă locul geometric al punctelor egal depărtate

de suprafeţele exterioare ale plăcii. Din acest punct de vedere plăcile se împart în:

plăci plane – dacă suprafaţa mediană este un plan, iar după forma conturului din plan al

plăcii se deosebesc plăci plane circulare, dreptunghiulare, triunghiulare, inelare;

plăci curbe – dacă suprafaţa mediană este o suprafaţă curbă (simetrică sau strîmbă).

b). grosimea plăcii (h), constantă sau variabilă, măsurată pe normala la suprafaţa mediană. După

grosime se disting:

plăci subţiri (cu deformaţii mici/de rigiditate mare sau cu deformaţii mari/de rigiditate

mică);

plăci groase.

Această prezentare se ocupă cu studiul plăcilor subţiri având deformaţii mici (de mare rigiditate).

Din punct de vedere mecanic o placă este caracterizată prin:

a). materialul din care este confecţionată placa, care se presupune că este omogen, izotrop şi ideal

elastic.

b). sarcinile aplicate plăcii, care se presupun că au o distribuţie axial-simetrică şi cel mai frecvent

pot fi:

presiune normală pe suprafaţa plăcii distribuită după o lege cunoscută p=p(r) [N/m2];

forţe perpendiculare pe planul plăcii, uniform distribuite pe contururi circulare cu centrele

pe axa de simetrie, pentru a păstra simetria axială a încărcării [N/m], sau forţe concentrate

acţionând în centrul de simetrie [N];

momente cu efect de încovoiere, uniform distribuite pe contururi circulare [Nm/m].

c). modul de fixare (rezemare) care este fundamental în determinarea constantelor de integrare.

d). eforturile secţionale (N, T, Mi) care în cazul plăcilor se măsoară pe unitatea de lungime

a secţiunii prin placă (N [N/m], T [N/m], Mi [Nm/m]).

55

Ipotezele de calcul se prezintă pentru o placă circulară de grosime constantă h, rezemată într-

un mod oarecare şi încărcată cu un sistem de sarcini axial-simetrice. Datorită simetriei, starea de

tensiune şi de deformaţie a plăcii va fi simetrică în raport cu axa ei centrală z-z şi cu suprafața

mediană care prin deformare va deveni o suprafaţă de rotaţie (revoluţie) numită suprafaţa elastică

a plăcii sau suprafaţa mediană deformată (fig. IV.2).

Fig. IV.2

Ipoteza I-a. Se acceptă că deplasările w ale punctelor suprafeţei mediane pe direcţia axei z sunt

cu mult mai mici decât grosimea h a plăcii, astfel încât

5

hw .

Această ipoteză permite să se considere că suprafaţa mediană a plăcii se deformează fără să

se întindă, respectiv că deplasările radiale ale punctelor ei se pot neglija.

Ipoteza a II-a. Este cunoscută sub numele de ipoteza lui Kirchhoff şi este o generalizare la

cazul corpurilor de tip placă a ipotezei secţiunilor plane a lui Bernoulli de la grinzi. Astfel,

punctele care se află înainte de deformarea plăcii pe o normală la planul median rămân după

deformare tot pe o dreaptă care este însă normală la suprafaţa elastică a plăcii. Cu alte cuvinte,

această ipoteza spune că secţiunile cilindrice coaxiale conturului, în starea neîncărcată a plăcii,

se transformă în suprafeţe conice în urma deformării. (fig. IV.3).

Ipoteza a III-a. Se referă la starea de tensiune a plăcii. Această ipoteză admite o lipsă de

interacţiune între straturile orizontale ale plăcii, astfel că tensiunile normale σz din secţiunile

paralele cu planul median sunt neglijabile. Ipoteza este aplicabilă numai pentru plăcile la care

raportul dintre grosimea h a plăcii şi diametru este mai mic decât 1/5 ( h5D ). Ipoteza simplifică

legea lui Hooke, neglijând termenii de forma νσz. O placă care nu satisface această condiţie se

consideră placă groasă.

56

Fig. IV.3

57

IV.2. Starea de deformaţie

În condiţiile ipotezelor admise se stabilesc expresiile pentru deformaţiile specifice, utilizând

un sistem de coordonate polare. Astfel, se izolează din placă un element de volum cu ajutorul a

două plane radiale care fac unghiul dθ şi a două suprafeţe cilindrice concentrice de raze r şi (r+dr)

(fig. IV.4). În continuare, se analizează modul în care se deformează segmentul MN, de lungime

iniţială dr, aflat la cota (distanţa) z de planul median:

punctele O şi P din planul median al plăcii rămân după deformaţie în suprafaţa mediană

deformată, la distanţele iniţiale r şi (r+dr) de axa z (deplasările radiale ale punctelor aparţinând

suprafeţei mediane se neglijează, după prima ipoteză);

segmentul AOB iniţial paralel cu axa z se roteşte cu un unghi φ faţă de axa z şi rămâne

normal la planul median deformat. Segmentul rectiliniu CPD, infinit apropiat de AOB, se va roti

cu unghiul φ+dφ.

Se introduce astfel funcţia φ(r) cu ajutorul căreia se va caracteriza starea de deformație a plăcii.

Se definesc:

deformaţia specifică radială εr reprezentând lungirea specifică în direcţia razei

a elementului de lungime MN, dispus radial

,dzzdz'MM'NN

N'MMNN'M'N'M

MN'N'Mdr

.dr

dz

dr

drr

(IV.1)

deformaţia specifică circumferenţială εt reprezentând lungirea specifică a unei fibre

inelare care trece prin punctul M (aflat iniţial pe

un cerc de rază r, iar după deformarea plăcii trece

în M’ pe un cerc de rază zr'MMr )

.r

zr2

r2zr2t

(IV.2)

Fig. IV.4

58

IV.3. Exprimarea tensiunilor cu ajutorul funcţiei φ(r)

Pe baza ipotezei a III-a tensiunile normale pe secţiunile paralele cu planul median (σz=0) sunt

absente, legea lui Hooke generalizată (I.52a) primind forma mai simplă:

,

dr

d

r1

zE

1

E

rdr

d

1

zE

1

E

E

1

E

1

2rt2t

2tr2r

rtt

trr

(IV.3)

unde deformaţiilor specifice εr şi εt le corespund tensiunile normale σr şi σt. Se observă din ecuaţiile

(IV.3) că tensiunile normale σr şi σt sunt nule în suprafaţa mediană, pentru 0z , şi variază

proporţional cu distanţa z de la planul median; ele sunt tensiuni de întindere sub planul median,

pentru 0z şi de compresiune de cealaltă parte a suprafeţei mediane. Această distribuţie de

tensiuni depinde în plus de modul de încărcare şi de rezemare a plăcii. Aceste tensiuni nu se pot

pentru moment calcula, deoarece funcţia φ(r) este necunoscută.

IV.4. Relaţiile de echivalenţă

Pentru studiul stării de tensiune se decupează din placă un element de volum ABCDEFHG cu

ajutorul a patru suprafeţe de secţionare: două plane radiale care fac între ele unghiul infinit mic dθ

şi două suprafeţe cilindrice concentrice coaxiale cu axa z, cu razele r şi (r+dr) (fig. V.5).

Pe feţele acestui element de volum apar tensiunile următoare:

pe secţiunile radiale (ABCD şi EFHG) datorită simetriei geometrice şi a încărcării

exterioare, nu este posibilă apariţia tensiunilor tangenţiale τtr şi τtz (deformarea plăcii se face astfel

încât nu apar deformaţii unghiulare, secţiunile radiale ABCD şi EFHG nu lunecă una în raport cu

cealaltă, nici în direcţia axei z nici în direcţia axei r). Pe aceste suprafeţe apar numai tensiunile

normale circumferenţiale σt, aceleaşi în toate secţiunile radiale aflate la distanţa r de axa z.

pe secţiunile periferice ABEF şi CDGH (care după deformarea plăcii urmează nişte

suprafeţe conice, lunecând una în raport cu cealaltă) pot să apară tensiuni tangenţiale de tipul τrz.

În plus, apar tensiunile normale radiale σr care au aceeaşi valoare în toate punctele situate la un

anumit nivel z de planul neutru, confirmând simetria axială acceptată. Pe aceste suprafeţe nu apar

tensiunile tangenţiale τrt, neexistând dualele lor din secţiunile radiale (τtr=0).

Eforturile secţionale care în fig. IV.5 acţionează asupra elementului de volum, reprezentând

rezultantele forţelor interioare ce lucrează pe feţele lui, sunt următoarele:

forţele tangenţiale elementare de forma τrzdA de pe secţiunea ABEF au ca rezultantă o forţă

tăietoare de intensitate T, dirijată paralel cu axa z şi distribuită pe unitatea de lungime a arcului rdθ

[N/m], egală cu (Trdθ). În secţiunea infinit apropiată CDGF forţa tăietoare capătă o creştere infinit

mică devenind [Trdθ+d(Trdθ)] (fig. IV.5). Forţele tăietoare reprezentate pe cele două suprafeţe

periferice sunt considerate ca fiind pozitive (pe suprafaţa periferică interioară forţa tăietoare

pozitivă este orientată în sensul pozitiv al axei z, iar pe cea exterioară forţa tăietoare pozitivă este

orientată spre partea negativă a axei z).

în secţiunile periferice ABEF şi CDGF mai acţionează, ca rezultante ale momentelor

forţelor interioare normale de forma σrdA, momentele încovoietoare radiale de intensitate Mr,

distribuite pe arcul rdθ [Nm/m]. Astfel, pe suprafaţa ABEF momentul încovoietor este (Mrrdθ),

iar pe suprafaţa CDGF infinit apropiată este [Mrrdθ+d(Mrrdθ)].

59

Fig. IV.5

Egalitatea dintre momentele forţelor elementare interioare, în raport cu urma suprafeţei neutre

în planul secţiunii, şi eforturile secţionale luate ca solicitări exterioare, conduce prin integrare pe

grosimea plăcii şi introducând expresiile (IV.3) ale tensiunilor la:

2h

2h

2

2

2h

2h

r

2h

2h

rr dzzrdr

d

1

ErdzdzdrzdAdrM

,

rdr

dD

rdr

d

112

EhM

2

3

r

(IV.4)

unde cu D s-a notat rigiditatea la încovoierea cilindrică a plăcii

60

.

112

EhD

2

3

(IV.5)

momentele încovoietoare circumferenţiale elementare de intensitate Mt ce acţionează pe

secţiunile radiale ABCD şi EFGH sunt rezultantele momentelor forţelor interioare de tipul (σtdA);

acestea sunt egale cu (Mtdr) şi sunt considerate pozitive dacă pe grosimea plăcii, în punctele cărora

le corespund valori pozitive ale coordonatei z, se produc tensiuni normale de întindere; prin

integrare pe grosimea plăcii se obţine:

2h

2h

2h

2h

2

2tt dzzdr

d

r1

EdrzdzdrdrM

.

dr

d

rD

dr

d

r112

EhM

2

3

t

(IV.6)

pe feţele elementului de volum, în condiţiile distribuţiilor de tensiuni date de expresiile

(IV.3), eforturile secţionale normale N sunt nule, ca rezultante ale reducerii forţelor elementare

normale (σrdA) şi (σtdA). Astfel pentru faţa ABCD a elementului de volum se obţine efortul N:

2h

2h

2h

2h

2h

2h

22tABCD 0dzzdr

d

r1

drEdzdr

dr

d

r1

EzdrdzN

şi analog se demonstrează că NABEF=0 şi pentru faţa ABEF.

Introducând relaţiile (IV.4) şi (IV.6) în (IV.3) se scriu relaţiile pentru tensiunile normale:

,zh

M12

D

M

1

Ez

dr

d

r1

Ez

zh

M12

D

M

1

Ez

rdr

d

1

Ez

3

tt

22t

3

rr

22r

(IV.7)

evidenţiind distribuţia simetrică a acestor tensiuni pe grosimea plăcii, cu valorile maxime obţinute

pentru 2hz , la suprafaţa plăcii:

.h

M6;

h

M6

2

tmaxt2

rmaxr (IV.8)

Din relaţiile (IV.4) şi (IV.6) se obţine şi expresia unghiului de rotaţie φ(r) a normalei în funcţie

de intensităţile momentelor încovoietoare:

.MM

Eh

r12

1D

rMMrt32

rt

(IV.9)

61

IV.5. Ecuaţiile de echilibru static

Asupra elementului de volum prezentat în fig. IV.5 se aplică forţele exterioare, provenite din

acţiunea unei presiuni normale pe suprafaţa exterioară a plăcii distribuită după o lege p=p(r), alături

de eforturile secţionale T, Mr, Mt. Pentru că elementul de volum este infinit mic se presupune că

presiunea p [N/mm2] este constantă, iar forţa concentrată rezultantă, echivalentă din punct de

vedere static cu aceasta, are valoarea pdA=pr dθdr (fig. IV.6).

Fig. IV.6

Ecuaţiile de echilibru ale elementului de volum sunt:

proiecţia tuturor forţelor după axa z (ţinând cont că mărimea dθ nu variază cu raza)

)10.IV(.pr

dr

Trd

,dprdr

dTrd0drrdpdTrddTrdTr

suma momentelor tuturor forţelor aplicate elementului în raport cu axa Δ

62

.02

drdrdprdrdTrddrdTr

2

dsindrM2drMd

02

drdrdprdrdTrddTr

2

dsindrM2drMddrMdrM

tr

trrr

Neglijând termenii ce reprezintă infiniţi mici de ordin superior şi acceptând că 2

d

2

dsin

se

obţine:

0ddr|:0drdTr2

ddrM2rMdd tr

.Trdr

rMdM r

t (IV.11)

Datorită condiţiilor de simetrie acceptate, celelalte ecuaţii de echilibru sunt satisfăcute în mod

identic.

Cele două ecuaţii de echilibru (IV.10) şi (IV.11) conţin trei funcţii necunoscute T(r), Mr(r),

Mt(r), problema fiind static nedeterminată. Soluţionarea problemei presupune apelul la celelalte

aspecte ale problemei (geometric şi fizic), obţinându-se o singură ecuaţie diferenţială cu o

necunoscută şi anume funcţia rezolvantă φ(r).

IV.6. Ecuaţia diferenţială a plăcilor circulare în funcţia φ(r)

Din ecuaţia (IV.10) prin integrare, în condiţiile în care se cunoaşte funcţia p = p(r), se poate

determina intensitatea forţei tăietoare ca funcţie de rază T = T(r). O altă modalitate de determinare

a funcţiei T(r) este reprezentată de examinarea echilibrului părţii centrale cilindrice (de rază

curentă r) a plăcii, exemplificată pentru o placă circulară încărcată cu o presiune distribuită uniform

p = const. şi o forţă concentrată F aplicată în centrul plăcii (fig. IV.7).

Fig. IV.7

Din ecuaţia de echilibru ce reprezintă suma proiecţiilor forţelor după axa z, rezultă:

2

0

r

0m

N2

pr

r2

FT0drdprFr2T . (IV.12)

63

Se observă că funcţia T(r) se poate determina în mod independent de celelalte două funcţii

necunoscute Mr(r), Mt(r), conţinute de ecuaţia diferenţială de echilibru (IV.11). Înlocuind în

aceasta din urmă expresiile (IV.4) şi (IV.6) ale celor două funcţii necunoscute se va obţine o

ecuaţie diferenţială cu o singură funcţie necunoscută φ(r), adică funcţia unghiului de rotire a

normalei la planul median. Funcţia φ(r) îndeplineşte rolul unei funcţii rezolvante, similară funcţiei

de tensiune a lui Airy, întrucât cu ajutorul ei se pot rezolva problemele privind stările de tensiune

şi deformaţie ale plăcii. Astfel, dacă grosimea plăcii h este constantă, din (IV.4) prin multiplicare

cu r rezultă:

dr

d

dr

dr

dr

dD

dr

rMd

dr

drDrM

2

2r

r ,

iar cu (IV.6) înlocuind în ecuaţia diferenţială de echilibru (IV.11) rezultă ecuaţia

,D

rT

rdr

d

r

1

dr

d

22

2

(IV.13)

denumită ecuaţia diferenţială a plăcilor circulare. Ecuaţia se integrează relativ uşor, observând că

se poate scrie sub forma următoare:

.D

rT

dr

rd

r

1

dr

d

(IV.14)

Din această ultimă relaţie se obţine expresia unghiului de rotire φ(r) prin dublă integrare:

1CdrD

rTr

dr

d

r

1

rCdrD

rTrr

dr

d1

2

21 C2

rCdrdr

D

rTrr

.r

C

2

rCdrdrrTr

Dr

1 21 (IV.15)

unde constantele de integrare C1 şi C2 se determină pentru fiecare caz particular punând condiţiile

la limită corespunzătoare.

64

IV.7. Ecuaţia diferenţială a plăcilor circulare în funcţia deplasare w(r)

De multe ori se preferă alegerea săgeţii w(r) drept necunoscută unică (drept funcţie rezolvantă)

a problemei, în locul unghiului de rotire a normalei φ(r) (fig. IV.8). Pentru plăcile de mare rigiditate

(cu deplasări mici), legătura analitică dintre w(r) şi φ(r) se stabileşte relativ simplu.

Fig. IV.8

Din fig. IV.8, notând cu w(r) deplasarea punctelor plăcii aflate pe un cerc de rază r, se scrie

,dr

dwtg (IV.16)

adică, la creşterea razei r unghiul φ creşte iar săgeata w scade; iar de aici:

,Cdrrrw 3 (IV.17)

unde constanta de integrare C3 se determină din condiţia la limită (de obicei deplasările pe conturul

de rezemare al plăcii sunt nule).

Dacă se lucrează cu această necunoscută w(r), ţinând cont că

,dr

wd

dr

dşi

dr

wd

dr

d

3

3

2

2

2

2

ecuaţia diferenţială a plăcilor circulare (IV.13) se transformă astfel:

,D

rT

dr

dw

r

1

dr

wd

r

1

dr

wd

22

2

3

3

(IV.18)

iar expresiile (IV.4) şi (IV.6) ale momentelor încovoietoare devin

.dr

wd

dr

dw

r

1DMşi

dr

dw

rdr

wdDM

2

2

t2

2

r

(IV.19)

Integrarea ecuaţiei (IV.18) se efectuează pentru fiecare din porţiunile plăcii cu forme diferite ale

funcţiei T(r), iar numărul constantelor de integrare crește.

65

IV.8. Condiţii la limită pentru calculul plăcilor

Rezolvarea unei probleme de placă circulară presupune determinarea unei funcţii φ(r) care să

satisfacă ecuaţia diferenţială (IV.13) şi anumite condiţii la limită (condiţii de rezemare) pe contur.

Se subliniază însă faptul că determinarea constantelor de integrare C1, C2 din (IV.15) este

independentă de calculul constantei C3 din (IV.17). Se disting două categorii de condiţii la limită:

A). Condiţii de rezemare

pe un contur încastrat al plăcii (fig. IV.9), unde φ=0 şi w=0, iar între intensităţile

momentelor încovoietoare există relaţia Mt=νMr (în baza IV.9).

Fig. IV.9

pe un contur articulat sau liber al plăcii, pe care nu sunt aplicate cupluri exterioare, se

acceptă că Mr=0. Pentru cazul în care pe acest contur se aplică un cuplu exterior uniform distribuit

de intensitate ±m [Nm/m], condiţia la limită va fi de forma Mr=±m (fig. IV.10).

Fig. IV.10

la plăcile care nu au un orificiu central, constanta C2 este nulă deoarece unghiul de rotaţie,

din condiţiile de simetrie, la r = 0 este nul; astfel, din (IV.15) se obţine C2 = 0.

B). Condiţii de continuitate

În cazul în care placa are mai multe porţiuni de rigiditate diferită, sau mai multe domenii

concentrice pe care funcţia T(r) are forme analitice diferite, se utilizează pentru determinarea

constantelor de integrare condiţiile de continuitate (numărul constantelor de integrare va fi egal cu

dublul numărului de domenii, deoarece expresia unghiului φ(r) conţine câte două constante de

integrare pe fiecare porţiune). Condiţiile de continuitate exprimă faptul că suprafaţa elastică a

plăcii este o suprafaţă continuă, fără zone de discontinuitate sau variaţii bruște ale parametrilor

geometrici. În formă analitică, această observaţie fizică, se scrie (fig. IV.11):

la contactul porţiunilor (i) şi (i+1), de rază comună ri+1, din condiţia de continuitate a

deplasărilor rezultă φi=φi+1, cu i=1,2,…,n;

din condiţia de egalitate a forţelor interioare se poate scrie că Mr(i)=Mr(i+1), această condiţie

fiind echivalentă cu egalitatea derivatelor unghiurilor de rotaţie pe conturul comun celor două

porţiuni φi’=φi+1’;

Fig. IV.11

pentru determinarea constantelor de integrare C3i se scrie condiţia de egalitate a săgeţilor

pe raza comună a porţiunilor considerate wi = wi+1.

66

IV.9. Soluționarea ecuațiilor diferențiale pentru plăci

În aplicaţiile practice, se disting frecvent următoarele situaţii:

Dacă intensitatea forţei tăietoare T(r) se poate deduce dintr-o ecuaţie de echilibru (aşa cum,

de exemplu, s-a obţinut relaţia (IV.12)), prin separarea unei porţiuni de placă printr-o secţiune

după un contur circular care nu conţine conturul de rezemare, atunci soluţionarea problemei

porneşte de la ecuaţia în φ (IV.14)

,D

rT

dr

rd

r

1

dr

d

care se integrează succesiv de două ori şi se obţine expresia rotirii φ. Constantele de integrare C1

şi C2 se determină din condiţiile la limită, care se pun însă, numai în rotirile φ şi momentele

încovoietoare Mr.

După determinarea completă a funcţiei φ, se calculează eforturile secţionale Mr, Mt cu relaţiile

(IV.4) şi (IV.6):

.dr

d

rDM;

rdr

dDM tr

Pentru calculul săgeţilor, se introduce funcţia φ în (IV.17)

,Cdrrrw 3

şi prin integrare se obţine expresia w, dependentă de o constantă de integrare C3, care se determină

dintr-o condiţie la limită exprimată în săgeţile w.

În cazul plăcilor cu două sau mai multe contururi de rezemare, soluţia se obţine pornind de

la ecuaţia (IV.10)

pdr

Trd

r

1pr

dr

Trd , în care se înlocuieşte T din (IV.14)

dr

rd

r

1

dr

dDrT , şi φ din (IV.16), rezultând ecuaţia diferenţială a săgeţii w

,D

p

dr

dwr

dr

d

r

1

dr

dr

dr

d

r

1

(IV.20)

a cărei formă dezvoltată este:

.D

p

dr

dw

r

1

dr

wd

r

1

dr

wd

r

2

dr

wd

32

2

3

3

4

4

(IV.21)

Prin integrarea ecuaţiei (IV.20) se obţine soluţia pentru w, în cazul sarcinilor uniform distribuite:

,R

rlnrC

R

rlnCrCC

D64

prw 2

432

21

4

(IV.22)

unde R este o rază cunoscută, iar constantele de integrare se determină din condiţiile la limită,

exprimate în săgeţi, rotiri, momente Mr şi forţe tăietoare.

67

Calculul tensiunilor. Din expresiile (IV.7), se obţin tensiunile normale în funcţie de

momentele secţionale:

,zh

M12;z

h

M12

3

tt3

rr

distribuţia acestor tensiuni pe grosimea plăcii fiind liniară. Pentru feţele inferioară şi superioară

ale plăcii se obţin valorile extreme (pentru z = ±h/2) din (IV.8):

.h

M6;

h

M6

2

tmaxt2

rmaxr

Tensiunile tangenţiale τrz (utilizând un raţionament similar cu cel de la stabilirea formulei lui

Juravski) se exprimă cu

,h

z41

h

T

2

3

2

2

zrrz

(IV.23)

adică, tensiunile tangenţiale sunt distribuite parabolic pe grosimea plăcii (fig. IV.12), sunt nule pe

suprafeţele superioară şi inferioară ale plăcii (z = ±h/2), respectiv maxime în suprafaţa mediană

(la z = 0):

.h

T

2

3maxrz (IV.24)

Fig. IV.12

Despre starea de tensiune într-o serie de puncte caracteristice pe grosimea plăcii se precizează:

în punctele situate pe suprafeţele exterioare neîncărcate ale plăcii starea de tensiune este

biaxială; cele trei tensiuni principale sunt:

.0;; 3t2r1

68

dacă pe suprafaţa plăcii acţionează o presiune exterioară p, atunci şi pe suprafaţa încărcată

a plăcii se produce o stare triaxială de tensiune, cu tensiunile principale:

.p;; 3t2r1

în punctele situate în suprafaţa mediană starea de tensiune este biaxială, şi anume de

forfecare pură;

în toate celelalte puncte ale plăcii, datorită tensiunilor tangenţiale din secţiunile cilindrice

coaxiale, se produce o stare de tensiune triaxială;

secţiunile radiale ale plăcii reprezintă una din suprafeţele principale, pentru că pe ele nu

acţionează tensiuni tangenţiale. De aceea tensiunea circumferenţială σt este întotdeauna o tensiune

normală principală (de exemplu σ1). Celelalte două tensiuni normale principale se calculează cu

relaţia:

.42

1

2

2rz

2r

r3,2

(IV.25)

În fibrele extreme ale plăcii, condiţia de rezistenţă după teoria tensiunilor tangenţiale maxime (Tτ)

este:

,;;max atrtr3ech (IV.26)

iar după teoria energiei potenţiale de deviaţie (TED):

.atr2t

2r5ech (IV.27)