Inspectoratul Județean Dâmbovița SSMR Filiala Dâmbovița

Colegiul Național ,,Ienăchiță Văcărescu’’, Târgoviște

Concursul de Matematică ’’CĂLIN BURDUȘEL’’

Ediția a VII-a, Târgoviște, 25 mai 2018

__________________________________________

Problema 1. Numerele naturale , ,x a b îndeplinesc simultan condițiile : restul împărțirii lui x la

a este 2 5b ; restul împărțirii lui x la b este 4 8a . Determinați restul împărțirii lui x la 6 .

Călin Burdușel

Problema 2. Determinați numerele prime , ,a b c știind că au loc simultan condițiile:

(i)Numerele , ,ab c bc a ca b sunt prime;

(ii) Cel puțin două din numerele 2 2 2, ,ab c bc a ca b sunt prime.

Problema 3. Fie ABCD un romb, având lungimea laturii 1 . Pe laturile BC și CD considerăm

punctele M și N respectiv , astfel încât 2MC CN MN și 2 m MAN m BAD .

Calculați m ABC .

Problema 4. Determinați numerele reale x pentru care are loc egalitatea

7 6 5 1989 1990 1991

1989 1990 1991 7 6 5

x x x x x x

Călin Burdușel

Notă: Timp de lucru 2 ore. Fiecare problemă este notată cu 10 puncte, 1 p fiind din oficiu.

Inspectoratul Județean Dâmbovița SSMR Filiala Dâmbovița

Colegiul Național ,,Ienăchiță Văcărescu’’, Târgoviște

Concursul de Matematică ’’CĂLIN BURDUȘEL’’

Ediția a VII-a, Târgoviște, 25 mai 2018

Barem de corectare

Problema 1.

Oficiu.............................................................................................................................................1p

2 5x ac b , cu 2 5b a ...................................................................................................1p

4 8x bk a , cu 4 8a b ....................................................................................................1p

7 21 1,2a a ......................................................................................................................2p

4 8 0 2a a ........................................................................................................................1p

0 2 5 2 3b b ..................................................................................................................2p

2 1, 3 3 2 6 3 3x c x k x x x c k r .................................................................2p

Problema 2.

Oficiu.............................................................................................................................................1p

Cel puțin unul din numerele , ,a b c este par. Presupunem că 2c ............................................1p

Arătăm că cel puțin unul din numerele a sau b este 3 .

Dacă a și 3 1b M , atunci 2 3ab , 2 3ab , contradicție..................................................1p

Dacă a și 3 2b M , atunci 2 3ab , 2 3ab , contradicție.................................................1p

Dacă 3 1a M și 3 2b M (sau invers) , atunci 4ab și 2 2b a (sau 4ab și 2 2a b ) nu

sunt prime, contradicție. Presupunem că 3b ...........................................................................1p

Arătăm că 5a

Pentru 5 1a M , obținem că 3 2a nu este prim, contradicție...............................................1p

Pentru 5 2a M , obținem că 3 4a și 2 6a nu sunt prime,contradicție...............................1p

Pentru 5 3a M , obținem că 2 9a și 2 6a nu sunt prime,contradicție...............................1p

Pentru 5 4a M , obținem că 6a nu este prim, contradicție................................................1p

În final, , , 2,3,5 ; 2,5,3 ; 3,2,5 ; 3,5,2 ; 5,2,3 ; 5,3,2a b c ........................................1p

Problema 3.

Oficiu.............................................................................................................................................1p

Fie S simetricul punctului C față de AD , iar P SD , BM DP ........................................1p

,ABM ADP AM AP BAM DAP ..........................................................................2p

BAD MAP ...........................................................................................................................1p

AN bisectoarea unghiului MAP .................................................................................................1p

MAN PAN MN ŃP ......................................................................................................1p

2MC CN MN MN BM ND DP DN NP .........................................................2p

, ,N P D coliniare, ABCD pătrat, deci 90m ABC .............................................................1p

Problema 4.

Oficiu.............................................................................................................................................1p

1991x ........................................................................................................................................1p

7 1989 6 1990 5 19910

1989 7 1990 6 1991 5

x x x x x x

...............................2p

1982 1996 1984 1996

7 1989 6 19907 1989 1990 6

1989 7 1990 6

x x

x x x x

1986 19960

5 19911991 5

1991 5

x

x x

..............................................................................................3p

Dacă1991 1996x , atunci membrul stâng al ecuației este strict pozitiv.................................1p

Dacă 1996x , atunci membrul stâng al ecuației este strict negativ...........................................1p

1996x ....................................................................................................................................................1p