IP-TXT_SAvMC_Cap.2 [Comp de TE] - PARTS=I...!V [Mr-2015]_ALL_!

DATA [prn!]: 03/09/10...9:24 Cap.2 – Compendiu de TE... Pag. SAvMC ... 2 - 1

[! HERE ... IP-BEG: Sa-06-Fe-10 ... GSD !]

Capitolul 2 COMPENDIU DE TEORIA ELASTICITĂŢII

2.1. ECUAŢIILE GENERALE ale TEORIEI ELASTICITĂŢII

Paragraful de faţă cuprinde o expunere sintetică a principalelor concepte şi reprezentări din Mecanica solidului deformabil. Dezvoltările sunt cele clasice. Pentru claritate, conceptele primare sunt prezentate în detaliu şi sunt însoţite de demonstraţii complete. În sensul unei anumite generalităţi se va face uz în mod sistematic de notaţia matriceală.

2.1.1. Problema generală a teoriei elasticităţii statice – Se consideră un corp elastic în spaţiul tridimensional (Fig. 2.1); acest corp este mărginit de suprafaţa exterioară S şi conţine un volum material V. Presupunem corpul rezemat într-un mod oarecare, astfel încât toate gradele de libertate de rigid să fie suprimate (problema corpului "liber în spaţiu" poate fi formulată fără dificultate!). – Pentru reprezentări analitice ataşăm corpului un sistem de referinţă (convenţional), de pildă un sistem cartezian, fie acesta Oxyz. – Se presupune corpul supus unui sistem de sarcini general constând din (notaţie vectorială!): forţe şi momente concentrate, [N]iF respectiv m][N jM , având puncte de aplicaţie şi

direcţii bine precizate, precum şi forţe de volum ][N/m3X definite pe V respectiv forţe de

suprafaţă ][N/m2 definite pe S sau pe porţiuni ale acesteia; cu sistemul de referinţă ales,

forţele repartizate pot fi reprezentate prin componente: ),,( ZYXX respectiv ),,( zyx ppp .

– Cu titlu general putem admite existenţa unui câmp termic ),,( zyxT definit pe volumul V. Putem acum formula problema – Se cer starea de solicitare şi starea de deformaţie a corpului, respectiv tensiunile, deformaţiile specifice şi deplasările ca funcţii de punct în tot corpul. Observaţii:

- Sarcinile, ca şi câmpul termic, se înţeleg ca încărcări peste starea "iniţială" în care corpul este nesolicitat; mai departe, se admite că aplicarea sarcinilor se face printr-un proces cvasistatic. - Corpul în ansamblu trebuie să fie în echilibru; cu această condiţie subînţeleasă, sarcinile enumerate cuprind atât forţe exterioare efectiv aplicate cât şi reacţiuni.

2.1.2. Starea de tensiune. Tensorul tensiune Pentru cele ce urmează recurgem la reprezentări cunoscute. Pentru a defini tensiunea într-un punct oarecare al corpului, fie acesta , secţionăm corpul cu o suprafaţă de secţiune - de exemplu un plan - trecând prin P. Considerăm un element de suprafaţă

),,( zyxPA care conţine punctul P şi

notăm F , cu orientare oarecare, forţa care "acţionează" asupra elementului A (figura 2.1,b); aceasta poate fi interpretată ca fiind acţiunea exercitată asupra elementului de arie A de către partea din corp îndepărtată prin secţionare. Tensiunea în P este reprezentă prin vectorul tensiune definit - după cum se ştie - prin limita (se presupune că aceasta există!)

A

Fzyxt

A

def

0lim),,(

(2.1)

Mai departe, prin descompunere vectorială - în raport cu normala exterioară la suprafaţa de secţiune aleasă - rezultă componentele normală respectiv tangenţială t (2.2)

Ducând prin punctul analizat o altă suprafaţă de secţiune, de pildă planul , obţinem - în general - un alt vector tensiune, de pildă

'

' 't ' (2.2-bis)

IP-SAvMC-2010 [V1.0-Fe10] STRUCTURI DE AVIATIE – MODELE DE CALCUL Pag. SAvMC > 2 - 2

De aici se pune imediat întrebarea: Câte plane de secţiune trebuie să ducem prin punctul P pentru a putea preciza starea de tensiune în acest punct? Deoarece suntem în "3D" răspunsul natural este: Pentru a defini complet starea de tensiune în P este necesar să ducem prin acest punct trei plane de secţiune (independente); le alegem în mod natural paralele cu planele de coordonate. Componentele corespunzătoare se "organizează" în tabloul binecunoscut (tensorul tensiune):

(2.3,a)

zxyzx

yzyyx

xzxyx

T

Convenţia de semne este dată în figura 2.2 prin reprezentarea uzuală, anume "paralelipipedul tensiunilor", determinat de seturile de câte trei plane duse prin punctul considerat P şi printr-un punct imediat vecin cu acesta, Q. Starea de tensiune în 3D este determinată aşadar de un set de 9 funcţii de punct.

b

X

A

Fn

Mm

P

– F

t

F

σ

F1

M1

AP

τ

a

F1

Fn

Mm

M1

P(x,y,z)

'

(S) (V )

O x

y

z

uv

w

P '

X

Fig.2.1: Elastostatica. Definiţia tensiunii (Corp 3D)


Notă. Dimensiunile paralelipipedului sunt - prin definiţie! - mici; pe feţele acestuia tensiunile nu pot să varieze prea mult ("salturile" bruşte sunt excluse din raţiuni fizice). Prin urmare, putem reda tensiunile pe feţele paralelipipedului prin valorile lor medii în centrele de greutate ale feţelor. Dualitatea tensiunilor tangenţiale. Tensiunile tangenţiale nu sunt toate independente. Acest fapt se probează imediat scriind condiţiile de echilibru de momente faţă de cele trei axe; calcule elementare conduc la binecunoscutele relaţii de dualitate a eforturilor tangenţiale (vezi mai jos!): xzzxzyyzyxxy ;; (2.3,b)

Prin urmare, tensorul tensiune este simetric; starea de tensiune în corpul 3D este complet descrisă de 6 funcţii de punct independente. Notă. Din figură se deduce imediat "regula": pe feţe vecine tensiunile tangenţiale corespunzătoare sunt egale; mai departe, pe două feţe alăturate tensiunile tangenţiale intră sau ies ambele într-o (dinspre o) muchie.

x

Fig. 2.2: Tensorul tensiune în 3D. Convenţii de semne

M

Q

x

y

y

yx

yz z

x

P

z

y

yz

zy

zx

x

xy

yx

zy

zx xz

xz x

xydy

dz

dx

z

* Convenţie generală de semne În figura 2.2 toate tensiunile sunt pozitive! Pentru claritate reamintim convenţia generală de "+":

Tensiunile se definesc în suprafeţe (plane) de secţiune. Semnul unei suprafeţe este dat de sensul normalei exterioare… O suprafaţă a cărei normală exterioară este orientată în sensul plus al axei este pozitivă şi invers…

(în figură s-a exemplificat pentru secţiunile reciproce perpendiculare pe axa x) Regula:

În secţiunile pozitive tensiunile pozitive sunt orientate în sensul plus al axelor În secţiunile negative tensiunile pozitive sunt orientate în sensul minus al axelor

** Convenţia este valabilă în orice sistem de axe şi se aplică tuturor mărimilor "secţionale" (de pildă forţa axială, etc…)

*** Convenţie generală de notaţii pentru tensiuni

Tensiunile se notează cu doi indici, de pildă (generic) ij: Primul indice desemnează secţiunea în care este definită componenta ij; al doilea direcţia acestei componente…

, componentele tensiunii se pot scrie astfel: (xx , xy , xz ) De exemplu, pentru secţiunea x

În inginerie se notează uzual tensiunea normală/tangenţială cu respectiv , prin urmare scriem (xx , xy , xz ) Deoarece nu există risc de confuzie, al doilea indice de la se poate suprima şi se notează simplu (x , xy , xz )


Observaţie. În figura 2.2 tensiunile în punctele vecine P şi Q (puncte absolut oarecare!) sunt identice. O stare de tensiune în care componentele sunt invariante în tot corpul se zice omogenă; condiţiile în care aceasta este posibilă vor fi elucidate mai jos! 2.1.3. Ecuaţiile de echilibru (Cauchy*)) Într-un corp supus unei stări de solicitare absolut generală, tensiunile se modifică de la un punct la altul (fig. 2.3). Asociem punctului P starea de tensiune descrisă prin componentele lui ;

atunci, starea de tensiune în punctul vecin Q se poate reprezenta în raport de aceasta adăugând "creşterile" corespunzătoare. Formal, "construcţia" tensiunilor în Q se face elementar dacă privim componentele lui ca funcţii de punct continue şi derivabile (prin ipoteză!) şi recurgem la o

reprezentare a acestora printr-o serie Taylor ca mai jos (exemplificăm pentru o singură componentă; extinderea este imediată!):

T

T

(2.4,a)

2

,,,,!Taylor

dzz

dyy

dxx

zyxdzzdyydxx xxxPxxQx

în care reţinem ca relevanţi termenii care corespund variaţiei de ordinul I. Mai departe, ţinând seama de definiţii, trecerea de la o faţă dusă prin P la faţa reciprocă dusă prin Q înseamnă modificarea doar a unei singure coordonate; în exemplificarea de mai sus punem aşadar ! şi dezvoltarea se reduce la 0 dzdy

2

,, dxx

zyx xPxQx

(2.4,b)

Celelalte componente se construiesc analog; rezultă situaţia din figura 2.3.

*) Augustin-Louis CAUCHY (1789-1857) - Matematician francez

dzzzx

zx

x M

Q

x

y

dyyyz

yz

P

y

yz

zx

dyyyx

yx

dy

yy

y

dxxxy

xy

z

x

yx

zy

xy

z

dx

dz

dy

xz x

dxxx

x

dxxxz

xz

dzzzy

zy

dz

zz

z

YdV

XdVZdV

Fig. 2.3: Tensorul tensiune în 3D. Convenţie de notaţii. Ecuaţii de echilibru


În afara tensiunilor de pe feţe, asupra elementului de volum " mai acţionează şi forţele volumice "proprii"; în conformitate cu nota de mai sus, le considerăm reprezentate prin valorile lor medii în centrul de greutate al paralelipipedului.

dzdydxdV "

Elementul detaşat din corp trebuie să fie în echilibru ; deducem: – Condiţiile de momente. Exemplificăm pentru direcţia "z"; în virtutea celor spuse mai sus vom explicita doar contribuţiile relevante (neidentic nule!):

[ ` z - z ]: (2.5)

yxxyyx

yxyxxy

xyxydy

dxdzdyy

dxdydzdx

x

0

22

În expresia de mai sus termenii corespunzători "creşterilor" sunt de ordin de mărime inferior şi pot fi suprimaţi. Repetând procedura pentru celelalte axe rezultă xzzxzyyzyxxy ;; (2.6)

Se regăseşte proprietatea de dualitate a eforturilor tangenţiale dedusă mai înainte pentru cazul special al unei stări de tensiune invariante! – Condiţiile de forţe. Exemplificăm pentru direcţia "x"; la fel ca mai sus vom scrie explicit doar contribuţiile relevante (neidentic nule!):

[ Yx ]: (2.7,a)

0

dVXdxdydzz

dxdzdyy

dydzdxx

zxzxzx

yxyxyx

xxx

Reducem termenii asemenea şi simplificăm cu produsul dzdydxdV "" ; rezultă

0

Xzyxzxyxx (2.7,b)

Putem obţine o formă "mai uşor de memorat" dacă punem în locul componentelor tangenţiale dualele lor conform cu (2.6); mai departe, celelalte două ecuaţii se scriu imediat prin permutări circulare de variabile. Rezultă sistemul de ecuaţii de echilibru în forma "standard":

0

0

0

Zzyx

Yzyx

Xzyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

(2.8)

[Sub această formă se recunoaşte imediat "regula" de scriere: ecuaţiile conţin - în ordine - derivatele succesive ale componentelor corespunzătoare din expresia tensorului , etc!]. T

Observaţie. Mai sus s-a făcut vorbire despre cazul particular al stării de tensiune omogene (o stare în care, prin definiţie, tensiunile sunt constante în tot corpul); din (2.8) se deduce imediat că o asemenea stare nu poate avea loc decât în cazul forţelor volumice nule. Notă. Condiţiile de echilibru reprezintă un sistem de 3 ecuaţii pentru cele 6 funcţii de tensiune distincte; rezultă că starea de tensiune într-un corp nu poate fi dedusă doar din condiţii de echilibru! (Cu accepţiunea cunoscută din Rezistenţa materialelor, "problema teoriei elasticităţii" este aşadar "static nedeterminată"; ecuaţiile suplimentare necesare vor fi obţinute din studiul deformaţiilor, ţinând seama de proprietăţile elastice ale corpului studiat).


2.1.4. Condiţiile la limită în tensiuni Starea descrisă prin trebuie să fie consistentă cu sarcinile exterioare aplicate; echivalent,

condiţiile de echilibru trebuie să fie satisfăcute în orice punct din interiorul şi de pe frontiera corpului. Ecuaţiile diferenţiale (2.8) reprezintă condiţiile de echilibru într-un punct aflat în interiorul corpului; rămâne să stabilim acum condiţiile de echilibru pentru puncte situate pe suprafaţa sa.

T

Considerăm - figura 2.4 -un punct P aflat în imediata vecinătate a suprafeţei (la limită acest

punct ajunge chiar pe suprafaţă!); admitem că pe suprafaţa corpului există o încărcare generală prin

forţele de suprafaţă ][N/m2 . Prin plane de secţiune duse prin P detaşăm un element de volum mic

de forma unui tetraedru "cvasicurbiliniu". Notăm A aria suprafeţei marginale a acestuia şi

fie normala exterioară la suprafaţa A în centrul său de greutate; direcţia normalei o vom preciza

prin unghiurile sale cu axele triedrului xyz.

Pe feţele "interioare" ale triedrului elementar introducem acum tensiunile conform cu convenţiile generale de semn; pe faţa exterioară punem forţele de suprafaţă prin componentele corespunzătoare (În sensul precizat mai sus, forţele pe feţe se introduc prin valorile lor medii şi se reprezintă desigur în centrele de greutate ale feţelor!). Condiţiile de echilibru se scriu acum fără nici o dificultate; exemplificăm pentru direcţia x:

[ Yx ]: 0 ApAAA xzzxyyxxx (2.9,a)

Suprafeţele elementare "interioare" ,xA reprezintă evident proiecţiile pe planele de

coordonate ale suprafeţei marginale A ; scriem aşadar ,cos xx AA .

Introducem în (2.9,a) şi simplificăm; rezultă: xzxzyxyxx p coscoscos (2.9,b)

Fig. 2.4: Condiţii la limită în tensiuni

y

z

O

x

z

),,(A nml

y

x

xy

xz

y

yx

yz

z

zy

zx

y Az

x

z

x

AAx

py

Ay

Ppx

pz

G


La fel ca mai înainte, putem aduce această expresie la o formă "uşor de memorat" dacă punem în locul componentelor tangenţiale "dualele" lor; mai departe, în expresia (2.9,b) identificăm imediat parametrii directori ai normalei la suprafaţa exterioară (notaţii uzuale!):

(2.10) nml zyx

!not!not!notcos;cos;cos

Cu acestea, condiţiile de echilibru pe suprafaţa de margine se aduc la forma "standard":

(2.11)

zzzyzx

yyzyyx

xxzxyx

pnml

pnml

pnml

Expresiile (2.11) reprezintă condiţiile la limită în tensiuni ("regula" de scriere este evidentă!). Observaţie. Pentru o problemă dată, condiţiile de margine în tensiuni trebuie să fie satisfăcute în oricare punct al suprafeţei exterioare a corpului. Dacă pe o anume porţiune a suprafeţei corpului nu există forţe exterioare (repartizate), aceasta se zice liberă de sarcini.

[ !Here...Sa-06/Lu-08-Fe-10...NEW-TXT! ]

Notă asupra forţelor în elastostatică După cum se ştie, singurele forţe care există în natură - ca acţiuni din partea corpurilor vecine şi prin urmare şi ca reacţiuni - sunt cele repartizate pe suprafaţă (de exemplu presiunea...) respectiv - ca acţiuni din partea câmpurilor exterioare – cele repartizate pe volum (de exemplu greutatea proprie...). De fapt se vede că doar aceste forţe apar explicit în ecuaţii! Forţele concentrate nu au sens fizic. Într-adevăr, o forţă concentrată se reprezintă printr-un vector care, "acţionând" într-un punct fără dimensiuni, ar da local o presiune infinită!... Forţele şi momentele concentrate, ca şi cele repartizate pe o linie..., reprezintă concepte matematice utilizate îndeosebi în Rezistenţa materialelor pentru analiza "primară" a problemelor inginereşti de bază. Probleme inginereşti la fel de importante care implică forţe concentrate (cum ar fi de pildă problemele de contact) - probleme "de ordinul 2" - sunt rezolvate tot de Teoria elasticităţii utilizând un aparat matematic mai avansat, şi anume metodele teoriei distribuţiilor.


[ !Here...Lu-08-Fe-10...WEITER-TXT! ] 2.1.5. Starea de deformare. Tensorul deformaţie specifică

Deplasări şi deformaţii Sub acţiunea forţelor exterioare aplicate corpul se deformează. "Efectul" aparent este că un punct oarecare al corpului - P de pildă în figura 2.1,a - ajunge după deformare într-o altă poziţie 'P .

Numim ),,(' wvuPP vector deplasare; componentele sale pe direcţiile axelor se zic încă deplasări. Sub aspect matematic, starea corpului după deformare este complet determinată dacă se cunosc deplasările u, v, w ca funcţii de punct: ),,(;),,(;),,( zyxwwzyxvvzyxuu (2.12) Pe de altă parte deformaţiile aparente rezultă ca efect cumulat al solicitărilor la care este supus corpul, cu alte cuvinte ca efect al tensiunilor existente în corp. Pentru a putea stabili în mod concret dependenţa deformaţiilor de tensiunile aplicate este necesar să dispunem de un set de mărimi geometrice adecvate prin care să precizăm, pe lângă starea aparentă de deformaţie, şi "procesul" cinematic prin care această stare de deformaţie a fost atinsă. Suntem conduşi astfel în mod natural la studiul cinematicii deformaţiei; funcţiile nou introduse sunt deformaţiile specifice.

* Deformaţii specifice

Definirea deformaţiilor specifice poate fi făcută în mod sistematic pe o cale "pur analitică"; pentru expunerea de faţă vom recurge la un procedeu mai degrabă intuitiv care are avantajul că prezervă foarte bine aspectul "geometric" al problemei. Considerăm prin urmare un element de volum dzdydx şi admitem, pentru simplificare, că acesta suferă deformaţii doar în planul xy şi în plane paralele cu acesta; pentru redarea acestei situaţii este suficientă o reprezentare plană (figura 2.5).

Cu sens general, noţiunea de "cinematică a deformaţiei" înseamnă a caracteriza modul în care se transformă - prin deformare - o figură oarecare situată în planul xy. După cum se ştie, modul de deformare este complet precizat dacă indicăm în ce fel se transformă distanţele respectiv unghiurile; mai departe, într-un sistem cartezian este logic să ne intereseze modul în care se modifică segmentele paralele cu axele respectiv unghiul dintre axe.

Fig 2.5: Deplasări şi deformaţii...

x

y

z P Q

S

O

R

dz

dy

dx dxx

v

q

y

dxx

uu

O x

u

v

P(x,y) Q

R S

dyy

u

dyy

uu

S '

R '

dxx

vv

P '

Q '

dx

dy

dyy

vv

[xq] [xP ']

xy

2

p

r


Obţinem aşadar o imagine completă asupra "cinematicii deformaţiei" dacă studiem deformarea dreptunghiului iniţial paralel cu axele, PQRS. Considerăm aşadar punctul arbitrar şi fie ),( yxP ),( ydxxQ respectiv ),( dyyxR două

puncte vecine cu acesta (segmentele PQ respectiv PR astfel definite sunt evident paralele cu axele de coordonate x respectiv y). Prin deformarea de ansamblu a corpului, punctul P suferă deplasările u respectiv v şi ajunge astfel într-o nouă poziţie 'P . Deplasările unui punct vecin cu P - de exemplu ),( dyydxxS - pot fi reprezentate analitic în funcţie de deplasările lui P dacă se face uz de o dezvoltare a funcţiilor u şi v în serie Taylor după formulele binecunoscute:

2

2

,,,

,,,

!Taylor

!Taylor

dyy

vdx

x

vzyxvdyydxxvv

dyy

udx

x

uzyxudyydxxuu

PS

PS

(2.13)

în care reţinem ca relevanţi termenii care corespund variaţiei de ordinul I. Pentru punctele Q respectiv R dezvoltările corespunzătoare se simplifică substanţial deoarece acestea, aflându-se pe paralele la axe, au ordonata respectiv abscisa constante! Cu acestea, deplasările efective ale punctelor Q şi R vor fi (s-au reţinut doar termenii relevanţi!):

dxx

vvv

dxx

uuu

Q

PQ

PQ:

dyy

vvv

dyy

uuu

R

PR

PR: (2.14)

(Construcţia grafică a punctelor respective după deformaţie este indicată clar pe figură!) Alungiri specifice – Definim alungirea specifică în direcţia axei x - în sensul obişnuit! - drept raportul între

variaţia de lungime a unui segment PQ iniţial paralel cu axa x şi lungimea sa iniţială dxPQ ; cu notaţiile din figură scriem aşadar:

PQ

PQQPx

''!def (2.15)

Pentru a evalua lungimea segmentului ''QP ne folosim de teorema lui Pitagora; conform

figurii scriem succesiv: 22'''' qQqPQP (2.16,a,b,c)

dxx

uuxdx

x

uudxxxxqP Pq

1' ' respectiv dxx

vqQ

'

2222

211''x

v

x

u

x

udx

x

v

x

udxQP

Vom introduce acum ipoteza micilor deformaţii. Este clar că o ipoteză realistă asupra deformaţiilor corpurilor elastice "tehnice" poate fi formulată nu în legătură cu valoarea absolută a acestora - care, în raport de dimensiunile de ansamblu ale corpului, ar putea avea orice scară! - ci cel mult în legătură cu anumite valori raportate care derivă din deplasări. Expresia matematică a ipotezei micilor deformaţii este următoarea: deşi deformaţiile absolute pot fi oricât de mari, derivatele parţiale ale acestora sunt mult mai mici în raport cu unitatea; adică

1 ; 1 ; samd!...u v

x x

(2.17)


Cu aceste valori, sub radicalul din expresia lui ''QP apare un termen mic faţă de "1"; mai departe, cu formula cunoscută din analiză, radicalul se poate dezvolta; rezultă: (2.16,d)

2222

2

112

2

11''

x

v

x

u

x

udx

x

v

x

u

x

udxQP

Introducem în definiţia (2.15) şi obţinem expresia lui x sub forma definitivă

22

2

1

x

v

x

u

x

ux (2.18,a)

Pentru starea de deformare spaţială expresia lui x va fi (se intuieşte uşor!):

222

2

1

x

w

x

v

x

u

x

ux (2.18,b)

Alungirile y şi z se obţin pe o cale analoagă şi nu mai insistăm!

– Să studiem acum deformaţiile unghiulare. Lunecarea specifică în planul xy, notată xy ,

este - prin definiţie - numeric egală cu valoarea cu care se modifică unghiul a două direcţii iniţial paralele cu axele de coordonate: conform figurii, unghiul iniţial drept al direcţiilor "x" şi "y"

şi anume 2RPQ , devine, după deformaţie, xyQPR

2

!not''' .

Putem evalua lunecarea xy pe o cale "geometrică" după cum urmează:

Scriem teorema lui Pitagora generalizată ("teorema cosinusului") în triunghiul

''' QPR

'''cos''''2''''''222

QPRQPRPQPRPQR (a)

şi extragem de aici unghiul xyQPR 2

!not''' :

''''2

'''''')sin(cos'''cos

222!

2 QPRP

QRQPRPQPR xyxyxy

(b)

în care, deoarece lunecările sunt presupuse (la fel ca şi alungirile de altfel!) foarte mici putem aproxima sinusul cu argumentul însuşi!

La evaluarea acestei ultime expresii avem nevoie de segmentele specificate. Segmentul ''QP

este dat de (2.16,c); prin analogie scriem şi expresia lui '' RP (formăm direct pătratele acesora!):

222

21'' dx

x

v

x

uQP

; 222

21'' dy

y

u

y

vRP

(c)

Segmentul ''QR poate fi uşor calculat din triunghiul dreptunghic "auxiliar" '' pQR prin

teorema lui Pitagora: 22'''' pQpRQR sau, încă:

222'''' pQpRQR (d)

În triunghiul '' pQR catetele se scriu imediat ca diferenţe de segmente:

dxx

vdy

y

vqQrPpR

1''' (e1)

dyy

udx

x

urRqPpQ

1''' (e2)

Aşadar 22

22211''''

dyy

udx

x

udx

x

vdy

y

vpQpRQR (f)


Efectuăm operaţiile şi scriem compact (g)

dxdyx

v

y

v

y

u

x

udy

y

u

y

vdx

x

v

x

uQR

11211'' 222

222

2

În evaluarea expresiei lunecării (b), ţinând seama de "jocul operaţiilor", la numitorul fracţiei vom putea reţine doar termenii relevanţi. Astfel, din (2.16,d) scriem simplificat

qPdxx

u

x

v

x

u

x

udxQP '1

2

11''

!!22

(h1)

În mod analog se stabileşte formula de calcul

rPdyy

v

y

v

y

u

y

vdyRP '1

2

11''

!!22

(h2)

(În cele de mai sus este cuprinsă - vezi figura - aproximarea că lungimea ipotenuzei nu diferă prea mult de aceea a catetei mari, ceea ce de fapt este în spiritul ipotezei micilor deformaţii!)

* Cu acestea, putem trece la evaluarea lunecării (formula (b)). Pentru aceasta introducem în (b) expresiile termenilor de la numărător conform (c) şi (g) iar la numitor recurgem - pentru simplificarea scrierii! - la formulele "reduse" (h); după reduceri de termeni evidente se obţine (i)

2

1

11

112

112!)(

x

v

y

v

y

u

x

u

dxdyy

v

x

u

dxdyx

v

y

v

y

u

x

ub

xy

în care termenii "suplimentari" din efectuarea împărţirii sunt infiniţi mici de ordin superior! Reţinem expresia

y

v

x

v

y

u

x

u

x

v

y

uxy

(2.19,a)

Pentru cazul deformaţiei spaţiale expresia se intuieşte imediat

y

w

x

w

y

v

x

v

y

u

x

u

x

v

y

uxy

(2.19,b)

Celelalte lunecări în 3D se pot de asemenea "construi" din xy prin permutări circulare!

Discuţie. Liniaritate geometrică Formulele (2.18) şi (2.19) - precum şi analoagele lor! - dau alungirile respectiv lunecările pentru cazul unei deformaţii oarecare. Sunt "combinaţii" neliniare ale derivatelor parţiale ale deplasărilor wvu ,, . Atragem atenţia că în deducerea acestora s-a făcut uz de ipoteza micilor deformaţii (2.17). Teoria liniară a deformaţiei reprezintă o aproximaţie "avansată" care - pe lângă ipotezele (2.17) - adaugă în plus condiţia că produsul oricăror două derivate este neglijabil faţă de puterea I-a a oricăreia dintre ele. Formulele de calcul se deduc din cele anterioare prin suprimarea termenilor neliniari; pentru funcţiile deja calculate expresiile sunt

;x

ux

respectiv ;xy x

v

y

u

(2.20)

Aproximaţia liniară este corectă pentru cea mai mare parte din problemele practice la care teoria elasticităţii caută soluţii. Există însă situaţii în care teoria liniară este insuficientă; pentru acest caz este necesar să se recurgă la expresiile mai generale, neliniare. [Cu titlu generic, problemele în speţă se denumesc "probleme de deformaţii mari". Ca exemplu putem cita problemele de cabluri de suspensie!]


Demonstraţie "alternativă" Putem găsi expresiile de bază ale deformaţiilor specifice liniare din aceleaşi reprezentări geometrice din figura 2.5, dacă facem simplificările de rigoare încă de la început (este demonstraţia obişnuită în manualele de Rezistenţa materialelor). Astfel, din figură deducem succesiv - în ipoteza micilor deformaţii - următoarele: – Alungirile specifice x şi y

Avem conform figurii:

dxx

uqPQP

1''' ; respectiv dyy

vrPRP

1''' (j)

x

u

dx

dxdxx

u

PQ

PQQPx

1''!def

(2.21,a)

respectiv y

v

dy

dydyy

v

PR

PRRPy

1''!def

(2.21,b)

– Lunecarea xy

Valoarea cu care se modifică unghiul iniţial drept rezultă din suma celor două unghiuri notate pe figură şi ; din relaţii trigonometrice uzuale avem succesiv:

x

v

dxx

u

dxx

v

qP

qQ

1'

'tan ;

y

u

dyy

v

dyy

u

rP

rR

1

'

'tan (k)

x

v

y

uxy

(2.22)

Tensorul deformaţie specifică Procedând în acest fel se obţin toate componentele deformaţiei specifice în 3D; pentru claritate rezumăm aici expresiile. La fel ca în cazul tensiunilor, organizăm aceste componente într-o tabelă, tensorul deformaţie specifică (în aproximaţia liniară!):

(2.23)

zxyzx

yzyyx

xzxyx

T

în care, după definiţii:

z

w

y

vx

u

z

y

x

;

z

u

x

w

y

w

z

v

x

v

y

u

zx

yz

xy

(2.24)

Tensorul T este desigur (necondiţionat!) simetric:

xzzxzyyzyxxy ;; (2.23,bis)

Concluzie: Starea de deformaţie a unui corp 3D este complet descrisă de 6 funcţii de punct independente.

[!Here...Lu-08-Fe-10...GSD!]


2.1.6. Condiţii de compatibilitate (Saint-Venant*))

Justificare matematică... – Să admitem că, printr-o metodă oarecare, reuşim să determinăm câmpul deplasărilor, adică setul de trei funcţii de punct (2.12) ),,(;),,(;),,( zyxwwzyxvvzyxuu (2.24) Atunci deformaţiile specifice, adică setul de şase funcţii (2.24), rezultă din acestea prin operaţii simple de "derivare", adică, formal

not!

, ,, ,

x

y

zx

Du v w

D x y z

(2.25)

– Invers, să presupunem că, în cursul soluţionării problemei, printr-un procedeu anume, ajungem să cunoaştem deformaţiile specifice. Atunci câmpul deplasărilor rezultă din acestea prin "integrare", adică, formal

" "def !

( , , )

( , , )

( , , )

x

y

z

xy

yz

zx

u x y z

v x y z

w x y z

(2.26)

Cu alte cuvinte, din cele şase componente ale lui T (în fond şase ecuaţii diferenţiale pentru

u, v şi w) trebuie să obţinem, prin integrare, cele trei componente ale câmpului deplasărilor... – Deoarece soluţia problemei trebuie să fie unică, deducem că cele şase funcţii din T nu pot

fi independente; cu alte cuvinte, între acestea trebuie să existe anumite relaţii "de legătură"... – Aceste relaţii reprezintă aşa numitele condiţii de compatibilitate ale deformaţiilor specifice. Formal - cf. [V-1] - condiţiile se obţin din definiţiile (2.24) prin eliminarea deplasărilor u, v şi w; rezultă două blocuri de relaţii după cum urmează (a se observa "regula" de scriere!) :

2 22

2 2

2 2 2

2

2 22

2 2

2

xy yx

yz y z

zx xz

x y y x

y z z y

z x x z

(2.27,a)

2

2

2

2

2

2

yz xyx z

y yz zx

yz xyzxz

x

xy

y z x x y z

z x y x y z

x y z x y z

(2.27,b)

*) Adhemar Barré de SAINT-VENANT (1797-1886) - Matematician francez


Justificare fizică... – Denumim în sens larg corpul deformabil drept continuu elastic. Aceasta înseamnă că după aplicarea solicitării exterioare, corpul continuu trebuie să rămână continuu (fără "goluri" sau "suprapuneri"...). – Expresia matematică a acestei condiţii fizice este că deplasările (u,v,w) sunt funcţii continue univalente de punct. – Interpretări geometrice elementare conduc la concluzia că relaţiile (2.27) de mai sus reprezintă în fond expresia matematică a condiţiei de continuitate a mediului elastic... 2.1.7. Legea de material (legea "constitutivă")

Generalităţi... – Consideraţiile de mai sus referitoare la "aspectul static" (tensiuni) respectiv "aspectul geometric şi cinematic" (deplasări şi deformaţii specifice) ale problemei generale a teoriei elasticităţii sunt valabile indiferent de materialul din care este făcut corpul. Pe de altă parte, este evident că "răspunsul" unui corp deformabil la o solicitare exterioară este determinat de proprietăţile mecanice ale corpului. Prin urmare, pentru soluţionarea problemei trebuie incluse în analiză şi caracteristicile "elastice" ale acestuia... – Caracteristicile "elastice" ale materialelor se determină pe cale experimentală prin încercări de laborator pe epruvete "macroscopice". De la Rezistenţa materialelor este cunoscut experimentul "încercarea la tracţiune a metalelor"... Din acest experiment rezultă în modul cunoscut diagrame de tip forţă-deformaţie; pentru a elimina din discuţie aspectele dimensionale şi a stabili astfel caracteristicile elastice efectiv pentru materialul în cauză, rezultatele se exprimă prin dependenţe între mărimi "raportate": tensiuni respectiv deformaţii specifice - vezi figura 2.6,a (curba pentru oţel).

a 0A

Fσ

L

F

L 0

d 0 A 0

F σp

0L

LΔε "E "

O

x

b c σx

y x y xy

xy

z z

σx

Figura 2.6 - Legea lui Hooke…


– Datele experimentale arată că cele mai multe materiale de interes practic (în particular metalele) prezintă o caracteristică liniară pe un domeniu destul de larg mărginit de limita de

proporţionalitate (figura 2.6,a) în care deformaţiile sunt desigur reversibile. Dincolo de aceasta materialul intră în domeniul neliniar/plastic; deoarece în structurile practice deformaţiile permanente sunt excluse, este importantă în primul rând caracterizarea materialelor în domeniul lor de liniaritate. – Din experimentul menţionat se reţine legea lui Hooke*) (materialul presupus omogen,

izotrop, liniar-elastic...): ... sau ...EE

(2.28,a)

unde 2N mmE este modulul de elasticitate (longitudinal) precum şi constanta de contracţie

transversală (Poisson**)) [adimensională!] (2.28,b)

Legea lui Hooke a fost formulată în 1660 - cu referire la comportarea unui arc supus la întindere - printr-o şaradă ("ceiiinosssttuv") dezlegată ulterior în 1678 tot de acesta în binecunoscuta formulare în latină "ut tensio, sic vis", însemnând "pe cât de mare este extensia, pe atât de mare trebuie să fie forţa aplicată"...

Constanta de contracţie transversală este denumită şi constanta lui Poisson în onoarea acestuia...

– Un experiment complementar conduce la legea

... sau ...GG

(2.28,c)

unde 2N mmG este modulul de forfecare (modulul de elasticitate transversal...)

– Se reţine că un material omogen, izotrop, liniar-elastic este caracterizat prin trei constante de material: E, G şi . Mai departe, pe cale teoretică se arată că între acestea există o relaţie de

legătură, dată de pildă sub forma 2(1 )

EG

(2.28,d)

astfel că, de fapt, două constante sunt suficiente pentru a defini complet un asemenea material. – Valorile măsurate ale lui E, G şi sunt tabelate; relaţia ultimă este destul de bine confirmată de experimente...

□ Extindere... Pentru construirea riguroasă a unei legi de material reluăm mental experimentul simplu de mai înainte introducând însă coordonatele 3D (ne menţinem în clasa materialelor izotrope...). Experimentul "încercarea la tracţiune a barelor" este echivalent cu a aplica unui corp o stare de tensiune uniaxială x (figura 2.6,b). Din aceasta rezultă în primul rând o alungire x

- proporţională prin " cu tensiunea aplicată "E x - respectiv contracţii transversale proporţionale

prin " " cu alungirea x şi deci scriem

; ;xx x y x zE x

sau, explicit ; ;x xx x y xE E

x

E

(2.29,a)

Similar, sub starea de forfecare pură xy rezultă lunecarea xy , anume

xyxy G

(2.29,b)

– Se reţine că la un material izotrop nu există "cuplaje" sau : tensiunile normale produc doar

alungiri (variaţii de distanţe), tensiunile tangenţiale provoacă doar lunecări (variaţii de unghiuri). Materiale anizotrope de mare actualitate - compozitele armate cu fibre - prezintă, din acest punct de vedere, proprietăţi absolut spectaculoase...

*) Robert HOOKE (1635 – 1703) - Fizician englez **) Siméon-Denis POISSON (1781 – 1840) - Matematician francez


Efecte "termice"... – Un corp supus unei variaţii de temperatură, se dilată (liber!); pentru cazul unidimensional dependenţa este T T T (2.30)

unde o

1

CT

este coeficientul de dilatare termică...

– Se reţine faptul că variaţia de temperatură nu produce variaţii de unghiuri...

Legea lui Hooke generalizată... – Ne limităm la cazul materialelor omogene, izotrope şi liniar-elastice... – Pentru acestea, legea de material în 3D - adică pentru cazul în care corpul este supus unei stări de tensiune generală - se "construieşte" din formulele (2.29) de mai înainte prin simpla "suprapunere de efecte"; o numim legea lui Hooke generalizată rezolvată în deformaţii specifice:

1

1

1

x x y

y y z

z z x

E

E

E

z

x

y

xyxy

yzyz

zxzx

G

G

G

(2.31)

– Dacă există o variaţie de temperatură, relaţiile devin

1

1

1

x x y z T

y y z x T

z z x y T

TE

TE

TE

xyxy

yzyz

zxzx

G

G

G

(2.32)

– Relaţiile de mai sus sunt inversabile; astfel, din (2.31) rezultă imediat legea lui Hooke rezolvată în tensiuni. Pentru ilustrare dăm în detaliu calculul cu formalismul matricial... Astfel, se observă că relaţiile (2.31) se pot scrie ca două sisteme liniare independente pentru componentele normale respectiv tangenţiale, anume (2.33,a)

not!

11

1

1

x x x

y y E y

zz z

E

φ

şi

not!1 0 0

10 1 0

0 0 1

xy xy xy

yz yz

zx zx zx

G G yz

φ

Prin inversare rezultă (calcule elementare!):

not!1

11 1 2

1

x x x

y y

z z

EE y

z

κ

(2.33,b)

not!

1 0 0

0 1 0

0 0 1

xy xy xy

yz yz

zx zx zx

G

κ

G yz

(2.33,b)

Mai sus, "tablourile" formate din constantele de material au semnificaţia de matrice de flexibilitate φ respectiv rigiditate κ (motivul este evident!); matricele corespondente sunt

desigur inverse una celeilalte...


Reprezentări matriciale... Pentru cele ce urmează sunt utile reprezentări compacte în formalismul matricial. Construim, cu convenţiile uzuale de notaţie cu "aldine", vectorii tensiune/deformaţie specifică, respectiv

not! def !

not! def !

=

=

ij x x x xy yz zx

ij x x x xy yz zx

σ σ

ε ε

(2.34)

Mai departe, cu 2 1

EG

din (2.28,d), legea de material în cazul general (2.32) se scrie

sub următoarea formă compactă în care, pentru materialul izotrop avut în vedere, matricea de flexibilitate este desigur "bloc-diagonală"... (2.35)

not!

2 1

2 1

2 1

1 0 0 0 1

1 0 0 0 1

1 0 0 0 110 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

x x x

y y

z zT

xy xy

yz yz

zx zx

TE

φ

1

1

1

0

0

0

y

zT

xy

yz

zx

T

Sau, simbolic T ε φ σ ε (2.36)

unde reprezintă vectorul deformaţiilor specifice termice ("dilatări")... Tε

not! def !

= 1 1 1 0 0 0T T ij TTT ε ε (2.37)

Legea lui Hooke rezolvată în tensiuni se construieşte în mod analog, pornind de la (2.33,b) prin "combinarea" celor două blocuri... Pentru a include şi efectele variaţiei de temperatură putem însă porni direct cu legea "completă" (2.35) de mai înainte pe care o inversăm pur şi simplu; rezultă (2.38)

1 2

1 221 1 21 2

2

1 2

2

1 0 0 011 0 0 011 0 0 01

0 0 0 0 00

0 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0

x x

y y

z z T

xy xy

yz yz

zx zx

E TE

not!

1 2

1

1

1

0

0

0

x

y

z T

xy

yz

zx

E T

κ

Sau, simbolic T σ κ ε σ (2.39)

unde reprezintă vectorul "tensiunilor termice" (asociate cu variaţia de temperatură!")... Tσ

not! def !

= 1 1 1 0 0 01 2

TT T ij T

E T

σ σ σ (2.40)

Alternativ, ecuaţia (2.37,b) se poate scrie separând factorul "variabil" T T astfel

T T T σ κ ε κ (2.41)

în care not!

= 1 1 1 0 0 01 2T T

E

κ κ (2.42)


Observaţii – Matricele coeficienţilor κ respectiv φ (matrice de rigiditate/flexibilitate "globale")

sunt evident inverse una alteia (se probează fără dificultate prin calcul...):

1 1 φ κ κ φ (2.43) – Legea lui Hooke "propriu-zisă" este (2.35) sau (2.36), adică T ε φ σ ε ; (2.36)

aceasta exprimă deformaţiile specifice în funcţie de tensiunile aplicate respectiv variaţia de temperatură; este "valabilă necondiţionat" pentru orice corp supus unei stări generale de solicitare... În schimb, inversa acesteia, adică (2.38) sau (2.39), aşadar T σ κ ε σ (2.39)

deşi formal corectă, trebuie folosită cu precauţie: astfel, tensiunile "termice" sunt acele valori

"necesare" spre a anula deformaţiile din dilatare, adică Tσ

!

0

T

T

σ κ ε σσ σ

ε (2.40)

– Pentru claritate exemplificăm pe problema "clasică" a barei de întindere/compresiune în două ipostaze tipice: sistem static determinat respectiv sistem static nedeterminat (figura 2.x) Legea lui Hooke în cazul unidimensional se scrie evident

1

x x T x x TT E EE

T (2.41)

Rezultatele sunt cele cunoscute: într-un sistem static determinat, dilatările se produc liber; dimpotrivă, într-un sistem static nedeterminat, apar întotdeauna tensiuni "termice"...

!

1

0

x x T

x T

x

TE T

!

1

0

x x T

x T

x

TE E T

Fig. 2.7 … Bara de întindere/compresiune sub efectul unei variaţii de temperatură

x

E,TT

l

E,TT

x

l


Deformaţia specifică volumică. Implicaţii... Presupunem un corp elastic într-o stare de solicitare/deformare generală; ne propunem să calculăm variaţia de volum a unui element infinitezimal iniţial paralelipipedic dV . dxdydz În figura 2.8 am dat o reprezentare parţială a elementului în planul xy .

→

x

y

dx

dy

(1+x)dx

(1+y)dy = +

xy

Figura 2.8 - Deformaţia volumică…

Într-o primă aproximaţie, variaţia de volum se datorează doar variaţiei distanţelor, aşadar putem scrie pentru elementul de volum deformat

' ' ' ' 1 1 1x ydV dx dy dz dx dy dz z

Operăm şi neglijăm infiniţii mici de ordin superior; obţinem

' 1 1x y z x y zdV dxdydz dxdydz (2.42,a)

sau, compact, cu dV dxdydz

' 1 x y zdV dV (2.42,b

Definim deformaţia specifică volumică în sensul obişnuit; rezultă

def ! '

vdV dV

dV x y z (2.43)

Introducem aici legea lui Hooke (2.31) (în absenţa vreunei variaţii de temperatură!...)

1 12v x y z x y z x y zE E

2 (2.44)

Observaţie. Din raţiuni fizice evidente, deformaţia specifică volumică v nu trebuie să

depindă de sistemul de axe în care se exprimă; din (2.43) se regăseşte în acest fel un rezultat

cunoscut: suma deformaţiilor specifice liniare x y z este un invariant faţă de o schimbare

de axe de coordonate. Mai departe, din (2.44) rezultă că şi suma tensiunilor normale x y z

este un invariant!... Să considerăm acum o stare de tensiune particulară: compresia hidrostatică (reprezintă de pildă starea de solicitare într-un corp impermeabil scufundat în lichid - de aici şi numele...) x y z p 0!p (2.45)

Introducând în (2.44) rezultă 1 2

v pE

(2.46)

Cu acest rezultat să definim constanta de contracţie volumică

def !1 2

;v K p KE

(2.47)

De aici se deduce o implicaţie importantă; astfel, din definiţia lui K rezultă în mod necesar faptul că această constantă trebuie să fie pozitivă (corpul nu se poate dilata ca efect al unei presiuni exterioare uniforme!...). Implicit

! !1 2

0 ; 0.5E

(2.48,a)


Pe de altă parte, din "experimentul" descris în figura anterioară 2.6 (vezi relaţiile (2.29,a)), anume corpul supus unei stări de tensiune uniaxiale pozitive rezultă natural

!

0 0x y z E

(deoarece corpul nu se poate "umfla" atunci când este întins!...) şi, prin urmare

(2.48,b) !

0 Relaţiile (2.48, a şi b) stabilesc astfel un domeniu de valori teoretic posibile pentru coeficientul de contracţie transversală (materiale izotrope!) 0 0.5 (2.49)

Observaţii. a) Cele de mai sus sunt bine verificate de valorile experimentale pentru majoritatea materialelor izotrope... b) Cele spuse sunt valabile în domeniul de liniaritate al curbei de material, adică pentru p ...

c) Pentru metale se situează - ca regulă - în domeniul 0.25 0.33 cu o valoare de referinţă 0.3 ... d) Dincolo de limita de elasticitate ( p ) creşte către valoarea teoretică 0.5 corespunzătoare domeniului

total plastic... 2.1.8. Reluare - sintetic...

Problema... 10. Se dă corpul - figura 2.6 – Se presupun deplasări impuse ("reazeme" ) - de pildă pe anumite porţiuni de suprafaţă ... uS

– Încărcarea este dată prin sarcinile de volum , ,X Y ZX pe (V) respectiv de suprafaţă

, , x y zp p pΦ pe (S) sau pe porţiuni ale acesteia (S); un sistem de forţe şi momente concentrate -

notate, generic P - poate fi de asemenea prezent (sarcinile sunt mărimi vectoriale reprezentate prin componente într-un sistem de axe ales!)... Un câmp termic , ,T x y z este de asemenea posibil; în

sensul teoriei elasticităţii acesta reprezintă de asemenea o încărcare...

P1

Pi

Pj

Pn

P(x,y,z)

'

(S) (V )

O x

y

z

uv

w

P '

X

Fig.2.1: Elastostatica - Corp 3D - Reluare...

Su

S


20. Funcţii: Starea de solicitare/deformare este descrisă de setul de 15 funcţii de punct – Tensiunile din T , anume (vezi mai sus...)

not! def !

= ij x x x xy yz zx σ σ (2-A)

– Deplasările, notate

not! def !

= u v wu u (2-B)

– Deformaţiile specifice din T , anume (vezi mai sus...)

not! def !

= ij x x x xy yz zx ε ε (2-C)

30. Ecuaţii: Pentru aceste funcţii există următorul set de 15 ecuaţii (diferenţiale): – Ecuaţiile de echilibru (Cauchy)

0

0

0

Zzyx

Yzyx

Xzyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

(2-D)

– Relaţiile de definiţie pentru deformaţiile specifice (aproximaţia liniară)

z

w

y

vx

u

z

y

x

;

z

u

x

w

y

w

z

v

x

v

y

u

zx

yz

xy

(2-E)

– Legea de material (Hooke - material izotrop...) - vezi mai sus...

not!

2 1

2 1

2 1

1 0 0 0 1

1 0 0 0 1

1 0 0 0 110 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

x x

y y

z zT

xy xy

yz yz

zx zx

TE

φ

1

1

1

0

0

0

y

zT

xy

yz

zx

T

x

Sau, simbolic T ε φ σ ε (2-F)

40. Concluzii şi observaţii: – Dispunem aşadar de 15 ecuaţii diferenţiale pentru cele 15 funcţii de punct; din p.v. formal, problema are întotdeauna soluţie... – Condiţiile de compatibilitate (vezi mai sus!...)

2 22

2 2

2 2 2

2 2

2 22

2 2

xy yx

yz y z

zx xz

x y y x

y z z y

z x x z

2

2

2

2

2

2

yz xyx z

y yz zx

yz xyzxz

y z x x y z

z x y x y z

x

xy

x y z x y z

(2-G)


pot fi interpretate ca "identităţi" în virtutea condiţiei fizice de continuitate a mediului şi de aceea nu au fost numărate printre ecuaţii. În funcţie de metoda de rezolvare, acestea pot fi însă privite şi ca ecuaţii propriu-zise "suplimentare"... – Soluţia "definitivă" trebuie să verifice condiţiile la limită ale problemei, respectiv: a) Condiţiile în deplasări pe : uS , , impus!

uSu v w (2-H)

b) Condiţiile în tensiuni pe S (vezi mai sus...)

zzzyzx

yyzyyx

xxzxyx

pnml

pnml

pnml

(2-I)

Soluţia... – Pentru rezolvarea problemei se are în vedere în principiu "simplificarea" acesteia prin aducerea la o formă mai simplă. Procedeul natural, ca în cazul oricărui sistem liniar, este acela al "eliminării"; în raport de funcţiile "finale" reţinute în analiză, se identifică două tipuri de soluţii cărora le corespund - în metoda elementului finit două procedee alternative - după cum urmează: a) Soluţii în deplasări respectiv metoda deplasărilor... a) Soluţii în tensiuni respectiv metoda forţelor... – Existenţa soluţiei în teoria elasticităţii este tratată în monografii de specialitate; mai mult, se arată că, dacă exisă o soluţie, aceasta este şi unică... 2.1.9. Noţiuni... Pentru cele ce urmează introducem următoarele definiţii: 10. Se numeşte câmp de tensiuni static admisibile orice câmp de eforturi unitare ijσ ...

care satisface ecuaţiile de echilibru (2-D) precum şi condiţiile "statice" pe suprafaţa S (2-I).

20. Se numeşte câmp de deplasări/deformaţii specifice geometric admisibile orice câmp

, ,u v wu respectiv ijε ... care respectă condiţiile "în deplasări" pe suprafaţa S (2-H)

respectiv condiţiile de compatibilitate (2-G). Observaţie: Soluţia problemei generale a teoriei elasticităţii - soluţie exactă! - verifică, prin definiţie, aceste două proprietăţi...

[!HERE ... Lu-15-Ok-07 ... GSD!]


[!HERE ... NewTXT: Du-21-Fe-10 ... GSD!]

2.1.10. Soluţii în deplasări... Ne referim la problema convenţională de elastostatică (excludem variaţiile de temperatură!...)

Ecuaţiile Lamé Aşa după cum am spus, se are în vedere eliminarea tensiunilor din sistemul de mai sus. Demonstraţia este foarte simplă (se recomandă ca exerciţiu...); pentru claritate indicăm paşii: 1) Se porneşte cu legea lui Hooke rezolvată în tensiuni - vezi mai înainte ecuaţiile (2.38); prin urmare pornim cu expresiile care dau cele şase tensiuni în funcţie de cele şase deformaţii specifice

1 1 2

1 0

0

1 20 0

2

x x

zx zx

E

(a)

2) Se exprimă cele şase deformaţii specifice în funcţie de cele trei deplasări , ,u v w (vezi relaţiile diferenţiale

de definiţie (2-E)); acestea se introduc apoi în sistemul (a) şi se obţine astfel setul de relaţii

1 1 2

1 0

0

1 20 0

2

x

zx

u

xE

w u

x z

(b)

3) Cele şase tensiuni astfel exprimate se introduc în cele trei ecuaţii de echilibru Cauchy (vezi (2-D)); rezultă un sistem de trei ecuaţii diferenţiale de gradul 2 în cele trei deplasări , ,u v w ...

Sistemul explicit este (se numesc ecuaţiile Lamé...)

10

1 21

01 2

10

1 2

v

v

v

Xu

x GY

vy G

Zw

z G

(2.50)

în care este operatorul Laplace, v deformaţia specifică volumică iar G modulul de elasticitate

transversal (definiţii cunoscute...)

2 2 2

2 2 2

2 1

v x y z

x y z

u u u

x x xE

G

(2.51)

O exprimare alternativă se dă sub forma... (în care apar G şi λ denumite coeficienţi Lamé...):

02 1

1 2 2 1

v EG u G X Gx

E

(2.52)

Notă. Condiţiile de compatibilitate "au rămas nefolosite". O soluţie a

sistemului (2.50) va trebui să verifice identic aceste condiţii în virtutea continuităţii mediului...

, , ( , , )u v w x y z f


Caz particular: forţe volumice nule (sau constante) După cum se poate arăta, prezenţa în sistemul de ecuaţii a forţelor volumice rezidă în complicaţii matematice considerabile. Pe cale de consecinţă, absenţa acestora sau neglijarea lor (atunci când acest lucru este posibil!...) conduce la simplificări importante. Pentru problemele convenţionale de elasticitate statică aplicată în cazul construcţiilor mecanice - în particular al structurilor de avion, forţele volumice provin în principal din greutatea proprie. Încărcările date de forţele masice sunt, lucru bine-ştiut, foarte importante. Realizăm totuşi o simplificare majoră a analizei dacă reprezentăm efectele acestora nu direct prin componentele lor, aşa cum apar în ecuaţiile Cauchy, ci indirect printr-un echivalent static (principiul Saint-Venant...). Vom presupune aşadar forţe volumice nule, adică 0X Y Z (2.53)

Pentru claritate re-scriem sistemul particular

10

1 21

01 2

10

1 2

v

v

v

ux

vy

wz

(2.54)

În sistemul Lamé (2.54) derivăm prima ecuaţie cu x, a doua cu y şi a treia cu z şi facem uz

de proprietatea că operatorii x

, ... şi comută, adică putem scrie

, etc...u

ux x

(2.55)

Obţinem setul de relaţii

2

2

2

2

2

2

10

1 2

10

1 2

10

1 2

v

v

v

u

x x

v

y y

w

z z

În final adunăm relaţiile astfel obţinute; rezultă, compact

2 2 2

2 2 2

10

1 2v v vu v w

x y z x y z

Aici recunoaştem în paranteze pe v respectiv v ; prin urmare expresia se poate restrânge

2 1

0v1

Ţinând sama de o proprietate demonstrată anterior - vezi mai sus (2.49) - fracţia este neidentic nulă; rezultă în mod necesar că 0v (2.54)

adică deformaţia volumică este o funcţie armonică. Aplicăm încă o dată operatorul Laplace în (2.54) şi utilizăm şi acest ultim rezultat; aşadar

10 0

1 2 vu ux

, etc...


Cumulăm aceste rezultate individuale, prin urmare scriem

0

0

0

u

v

w

(2.55)

cu 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2x y z x y z

(2.56)

adică funcţiile deplasări , ,u x y z , , ,v x y z , , ,w x y z sunt biarmonice ( este operatorul

biarmonic)...

Observaţie. Rezultatul ultim descrie în primul rând o proprietate a deplasărilor; pe de altă parte, această proprietate se constituie într-o informaţie utilă pentru construirea soluţiei într-un caz practic dat: deplasările vor trebui "căutate" în clasa funcţiilor biarmonice, fapt care restrânge totuşi substanţial "zona de căutare" (unele exemple se vor da mai jos)... 2.1.11. Soluţii în tensiuni... Ne referim din nou la problema convenţională de elastostatică...

Ecuaţiile Beltrámi-Mitchell Aşa după cum am spus, se are în vedere eliminarea deplasărilor din sistemul general. Demonstraţia este foarte simplă (se recomandă ca exerciţiu...); pentru claritate indicăm paşii: 1) Se porneşte cu legea lui Hooke rezolvată în deformaţii specifice - vezi mai înainte ecuaţiile (2.38) sau (2-F); prin urmare pornim cu expresiile care dau cele şase deformaţii specifice în funcţie de cele şase tensiuni

1 0

1 01

0 0 2 1

x x

y y

E

zx zx

(c)

2) Aceste expresii se înlocuiesc în cele şase condiţii de compatibilitate (2-G); rezultă astfel un sistem diferenţial de şase ecuaţii de gradul 2 în cele şase tensiuni...

3) Acesta din urmă poate fi simplificat făcând uz de ecuaţiile de echilibru Cauchy (2-D); în final rezultă un sistem de şase ecuaţii diferenţiale de gradul 2 în cele şase tensiuni , ,x zx ...

Sistemul explicit este (se numesc ecuaţiile Beltrámi-Mitchell...)

2

2

2

2

2

2

2

2

12

1 1

12

1 1

12

1 1

1

1

1

1

x

y

z

xy

yz

X Y Z X

x y zx x

X Y Z Y

x y zy y

X Y Z Z

x y zz

X Y

x y y x

Y Z

y z z y

z

21

1zxZ X

z x x z

(2.57)

în care apare , adică suma tensiunilor normale (după cum se ştie, un invariant, la fel ca şi v ...)

x y z (2.58)


Notă. Sistemul de mai sus reprezintă de fapt o "transpunere" în tensiuni a condiţiilor de compatibilitate; prin aceasta continuitatea mediului elastic este implicită...

Caz particular: forţe volumice nule (sau constante) La fel ca mai înainte presupunem forţe volumice nule, adică

0X Y Z (2.59)

Sistemul se simplifică în mod corespunzător:

22

2

2 2

2

22

2

1100

11

1 10 0

1 1

11 0011

xyx

y yz

zxz

x yx

y zy

z xz

(2.60)

La fel ca mai înainte, sistemul poate fi prelucrat... Adunăm primele trei ecuaţii şi obţinem

2 2 2

2 2 2

10

1x y zx y z

, respectiv:

20

1

Aşadar 0 (2.61)

adică suma tensiunilor normale este o funcţie armonică. (Acest rezultat se putea intui direct din expresia deformaţiei volumice v dată de (2.44) şi

faptul că aceasta din urmă este de asemenea armonică - fapt demonstrat în (2.54)...) O verificare. Rezultatul acesta poate fi obţinut şi direct din sistemul Beltrami-Mitchell general (2.57). Astfel, să adunăm acolo primele trei ecuaţii; obţinem expresia

1

1

X Y Z

x y z

(2.62)

În cazul forţelor volumice nule sau constante se regăseşte într-adevăr rezultatul de mai sus... Aplicăm încă o dată operatorul Laplace în (2.60) şi utilizăm şi ultimul rezultat; aşadar

2

2

10 0

1x xx

0yz

x

, etc...

Cumulăm aceste rezultate individuale, prin urmare scriem

00

0

0 0

xyx

y

z z

(2.63)

cu 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2x y z x y z

(2.56)

adică funcţiile tensiuni , ,x x y z , , , ,zx x y z sunt biarmonice...

Observaţie. Concluzia practică (la fel ca în metoda anterioară...) este că tensiunile trebuie "căutate" în clasa funcţiilor biarmonice, fapt care restrânge substanţial "zona de căutare" (unele exemple se vor da mai jos)...


2.1.12. Discuţie... Dispunem aşadar de două căi oarecum alternative în elastostatică: soluţii în deplasări respectiv în tensiuni; se poate încerca acum o evaluare a acestora...

Soluţia în deplasări pare, sub aspect matematic, mai simplă: sunt numai trei funcţii necunoscute... Pe de altă parte, determinarea "definitivă" a soluţiei unei probleme practice implică fixarea unor condiţii la limită corespunzătoare. Pentru soluţia "în deplasări", odată ştiute funcţiile , ,u x y z , , ,v x y z , , ,w x y z , impunerea unor

condiţii în deplasări (adică deplasări fixate "pe reazeme") este foarte naturală. Problema majoră o reprezintă însă impunerea condiţiilor la limită în tensiuni, în acord cu încărcarea exterioară dată; acestea trebuie, evident, transpuse în deplasări spre a putea fi asociate funcţiilor (u,v,w) - fapt de o oarecare dificultate...

Soluţia în tensiuni pare, sub aspect matematic, mai complicată: sunt şase funcţii necunoscute, etc... Avantajul acestei metode decurge însă din faptul că impunerea condiţiilor la limită în tensiuni este foarte naturală; acest lucru apare cu atât mai important cu cât, în mod obişnuit, în problemele practice se caută tocmai starea de tensiune sub o anume încărcare exterioară dată. Pentru condiţiile la limită în deplasări problema este aceeaşi cu cea menţionată anterior (adică se impune traspunerea lor în tensiuni, etc...)

În problemele "clasice" ale teoriei elasticităţii aplicate - inclusiv ale rezistenţei materialelor -, ceea ce interesează în primul rând este starea de tensiune; în aceste probleme, se recurge practic exclusiv la soluţii în tensiuni ("metoda forţelor")... În schimb, metodele "moderne" de calcul structural - metoda elementului finit - sunt practic exclusiv centrate pe soluţiile în deplasări ("metoda deplasărilor") - fapt atât de uzual încât tratatele de element finit nici măcar nu mai menţionează soluţia alternativă prin metoda forţelor!


2.1.13. Stări de solicitare particulare... Din ecuaţiile generale în 3D se construiesc - prin particularizare - stări de solicitare speciale de mare interes teoretic şi practic...

□ Starea plană de tensiuni Se defineşte matematic prin condiţia: toate tensiunile precum şi forţele exterioare care conţin ca indice o axă anume - de pildă "z" - sunt identic nule:

0

0

z zx zy

Z

(2.57)

Tensorul tensiune se reduce la o formă "plană"; o notăm astfel

def ! not!

0

0

0 0 0

x xyx xy

yx yyx y

T

(2.58)

Se pune întrebarea dacă o asemenea stare are sens fizic. Răspunsul este afirmativ: sunt multe situaţii de interes care pot fi reprezentate printr-un asemenea tensor particular.

Figura 2.9 - Starea de tensiune plană… x

y

z Exemplul "clasic" - sugerat de însăşi denumire - este cel al unui corp 2D: "placă" plană (sau curbă!...) subţire solicitată doar prin forţe situate în planul plăcii - vezi figura 2.9 - adică forţele exterioare nu au vreo componentă orientată în lungul normalei la suprafaţa plăcii...

Notă. În mod riguros, noţiunea de "placă" în accepţiunea uzuală semnifică un corp 2D care

este solicitat în principal prin forţe transversale (adică Z !

0 şi, pe cale de consecinţă, z !

0 !).

Pentru claritate, starea plană propriu-zisă descrisă prin (2.58) se mai zice stare de membrană... Sistemul de ecuaţii se simplifică în mod corespunzător; de pildă condiţiile de echilibru se reduc la două ecuaţii

0

0

xyx

yx y

Xx y

Yx y

(2.59)

Mai departe, din legea lui Hooke (2-F), excluzând termenii identic nuli, se reţine

1 01

1 0

0 0 2 1

x x

y y

xy x

Ey

(2.60,a)

respectiv 0 /z z xE y (2.60,b)

Cu acestea, condiţiile de compatibilitate (2-G) se reduc la o singură ecuaţie relevantă

2 22

2 2

xy x

x y y xy

(2.61)

Celelalte ecuaţii (Beltrámi-Mitchell...) se simplifică analog (aplicaţii se dau mai jos...).


Observaţie. În sensul definiţiei matematice se remarcă faptul că tensorul deformaţie T corespunzător conţine o

componentă "neplană" şi anume pe z ("subţierea" plăcii din figura 2.9). Prin urmare starea plană de tensiuni nu este şi o

stare plană de deformaţie. Totuşi, din ultima ecuaţie din (2.60) se vede că z se exprimă univoc în funcţie de tensiunile

normale din T şi prin urmare putem reţine drept necunoscute doar componentele "plane" ale lui T ...

□ Starea plană de deformaţii specifice La fel ca în cazul anterior, se defineşte matematic prin condiţia: toate deplasările, deformaţiile specifice precum şi forţele exterioare care conţin ca indice o axă anume - de pildă "z" - sunt identic nule:

(2.62)

0

0

0

z zx zy

w

Z

Tensorul deformaţie se reduce la o formă "plană"; o notăm astfel

def ! not!

0

0

0 0 0

x xyx xy

yx yyx y

T

(2.63)

Un exemplu tipic de corp 2D este dat în figura 2.10: "placă" plană subţire plasată între pereţi rigizi (pereţii se presupun a fi cu acţiune "bilaterală"!) şi solicitată doar prin forţe situate în planul plăcii (problema penei elastice...).

Sistemul de ecuaţii se simplifică la fel ca mai sus...; astfel scriem succesiv:

Figura 2.10 - Starea plană de deformaţii specifice…

y

x

z

y

0

0

xyx

yx y

Xx y

Yx y

(2.64)

respectiv 2 22

2 2

xy yx

x y y x

(2.65)

Mai departe, din legea lui Hooke rezolvată în tensiuni, excluzând termenii identic nuli, se reţin ecuaţiile

1 0

1 01 1

1 20 0

2

x x

y y

xy x

E

y

(2.66,a)

respectiv 0z z x y (2.66,b)

Condiţiile de compatibilitate (2-G) se reduc, de asemenea, la o singură ecuaţie relevantă

2 22

2 2

xy x

x y y xy

(2.67)

Observaţia de mai sus se extinde şi la acest caz: starea plană de deformaţii nu este şi o stare plană de tensiuni... Notă importantă. Se poate arăta*) că cele două stări descrise mai sus reprezintă probleme matematic echivalente; prin urmare se poate vorbi simplu de problema plană a teoriei elasticităţii...

[!HERE-END of TXT ... Mi-03-Mr-2010 ... GSD!]

*) Radu VOINEA,... Introducere în Mecanica Solidului cu Aplicaţii în Inginerie - Bucureşti, EA 1989 - pag. 420


□ Starea tensiune uniaxială... ...


[[ !! HHEERREE--WWEEIITTEERR--22001100 ...... IIPP--BBEEGG:: VVii--1199--MMrr--1100 ...... GGSSDD !! ]]

2.1.13. Aplicaţii... [Starea plană de tensiuni] Pentru ilustrarea metodelor teoriei elasticităţii se vor prezenta în cele ce urmează unele probleme clasice. Expunerea se limitează la problema plană. Deşi tratează o situaţie în fond particulară, studiul care urmează conduce la soluţii analitice de mare utilitate pentru corecta formulare şi rezolvare a problemelor mai generale ale structurilor de aviaţie cu pereţi subţiri...

A. Ecuaţiile... Reamintim definiţiile şi ecuaţiile stării plane de tensiuni (vezi figura 2.10...)

1) Problema (figura 2.10): z Definiţii: Corp 2D, etc...

Starea de tensiune...

0

0

z zx zy

Z

(2.70)

def ! not!0

0

0 0 0

x xyx xy

yx yyx y

T

(2.71)

Ecuaţiile de echilibru

0

0

xyx

yx y

Xx y

Yx y

(2.71)

Legea lui Hooke

1 01

1 0

0 0 2 1

x x

y y

xy x

Ey

(2.71,a)

respectiv (ecuaţie "derivată")... 0 /z z xE y (2.71,b)

Condiţiile de compatibilitate se reduc la o singură ecuaţie relevantă

2 22

2 2

xy x

x y y xy

(2.72)

2) Soluţii în tensiuni (Procedeul standard) La fel ca în cazul general 3D, vom proceda la eliminarea deformaţiilor specifice...

Înlocuim setul de funcţii ; ;x y xy din legea lui Hooke în ecuaţia de compatibilitate

2 1

E

21xy

x y E

2 2

2 2x y yy x

x

(a)

Derivăm ecuaţiile de echilibru în raport cu x respectiv y şi extragem expresiile lui 2

xy

x y

:

2 2

2

2 2

2

... 0

... 0

xy xyx x

yx y yx y

XXx x y x y xx

YYy x y x y yy

(b)

Figura 2.10 - Starea de tensiune plană…

y

x


Adunăm ultimele două ecuaţii membru cu membru !...xy yx şi obţinem

2 22

2 22 xy yx X Y

x y xx y

y

(c)

Acest ultim rezultat se înlocuieşte în (a); prin calcule simple se ajunge la o expresie în care apar doar tensiunile normale şi anume

2 2

2 21x y

X Y

x yx y

(d)

sau, cu notaţiile obişnuite pentru operatorul Laplace şi suma tensiunilor normale

2 2

2 2

1

respectiv ( )x y

X Y

x y

x y

(2.74)

Ecuaţia (2.74) este similară cu cea dedusă anterior pentru cazul 3D - vezi (2.62) (factorul dependent de " " este desigur altul!). Se numeşte uneori ecuaţia Beltrámi-Mitchell...

Observaţie. Se atrage atenţia că ecuaţiile pentru starea plană nu se pot construi direct din ecuaţiile 3D prin simpla suprimare a componentelor identic nule; acest fapt se explică prin modul în care "acţionează" chiar !...

3) Sistemul "extins" Cu rezultatul de mai sus, prin calcule simple se poate construi un sistem Beltrámi-Mitchell "veritabil", similar cu cel din cazul 3D - vezi (2.57). Astfel, să luăm din nou ecuaţiile de echilibru pe care le derivăm pe rând cu x respectiv y ca mai înainte; pentru claritate rescriem rezultatul (b)

2 2

2

2 2

2

... 0

... 0

xy xyx x

yx y yx y

XXx x y x y x

YYy x y

x

x y yy

(b)

De data asta, să scădem cele două ecuaţii (sau să le egalăm membru cu membru...); rezultă

22

2 2yx X Y

x yx y

(e)

Din aceasta, prin adăugări şi scăderi de termeni, să încercăm să formăm un Laplaceian:

22 2 2 2

2 2 2 2 2yx x x

x x yX Y X Y

x y xx y y y y

y

sau, cu notaţia x y : 2

2xX Y

x yy

(f)

Din expresia lui din (d) "extragem" imediat

2 2 2 2

2 2 2 21 1

X Y X Y

x y xx y y x

y (g)

pe care o înlocuim în (f); rezultă succesiv

2 2

2 21 2x x 2

X Y X Y X Y X

x y x y x yx x

x


sau, în final

2

22x 2

X Y X

x y xx

(h1)

Pentru y se poate obţine o expresie similară (prin "simetrie"...)

Mai departe, plecăm din nou cu ecuaţiile de echilibru pe care, de data asta, le vom deriva "în cruce" (cu y respectiv x) pentru a forma pe xy , adică

2 2

2

2 2

2

... 0

... 0

xy xyx x

yx y yx y

XXy x y x yy

YYx x y

y

x y xx

(i)

şi sumăm ecuaţiile rezultate membru cu membru; deducem direct

2 2 2

2 2 xy x yX Y

x y yx y

x

sau, compact

2

xyX Y

x y y

x

(h2)

Pentru claritate rescriem ecuaţiile (h1), (...) şi (h2) grupat:

2

2

2

2

2

2 2

2

x

y

xy

2

X Y X

x y xx

X Y Y

x y yy

X Y

x y x y

(2.75,a)

1X Y

x y

(2.75,b)

Am obţinut ecuaţiile Beltrámi-Mitchell în 2D într-o formă absolut similară cu cea din 3d!... 4) Cazul forţelor volumice nule Pentru forţe volumice nule sau constante ecuaţiile se simplifică substanţial. Astfel, (2.75,b) se reduce la 0 (2.76,a) adică funcţia x y este armonică. Mai departe, aplicând încă o dată în (2.75,a), rezultă

0

0

0

x

y

xy

(2.76,b)

Se regăseşte o proprietate demonstrată anterior pentru cazul 3D: tensiunile sunt funcţii biarmonice...

*

Prin urmare, rezolvarea problemei se reduce la a căuta trei funcţii de punct ; ;x y xy

biarmonice şi care în plus au proprietatea că suma tensiunilor normale este o funcţie armonică...

HERE ... [29-Mr-10]


[ ! HERE-WEITER-2014 ... IP-BEG: Lu-24-Fe-14 ... GSD ! ]

IP-SAvMC-2010+[2014] STRUCTURI DE AVIATIE – MODELE DE CALCUL Pag. SAvMC > 2 - 34

EEqquuaattiioonn CChhaapptteerr 22 SSeeccttiioonn 1144

2.1.14. Transformarea componentelor tensorului tensiune... Punerea problemei

După cum s-a arătat, starea de tensiune într-un punct al corpului este asociată sistemului de referinţă adoptat, adică este definită în secţiuni perpendiculare pe axele de coordonate astfel fixate. Pe de altă parte, sistemul de referinţă fiind ales în mod oarecum convenţional - de regulă în conformitate cu geometria corpului sau cu problema însăşi - tensorul tensiune astfel rezultat oferă doar o imagine - să zicem - parţială asupra stării de tensiune într-un punct al corpului. Pentru a dispune de o imagine completă asupra stării de solicitare în material în punctul considerat, este necesar să se poată cerceta tensiunile în secţiuni orientate arbitrar în raport cu cele de plecare, spre a se putea astfel identifica valori reprezentative ale tensiunilor, ca de pildă maximele sau minimele, etc. În această formulare se recunoaşte o problemă elementară de schimbări de axe de coordonate (de fapt de rotaţii de axe). Este o problemă elementară a teoriei elasticităţii; relaţiile de transformare se deduc foarte uşor exclusiv prin condiţii de echilibru. Procedeul va fi demonstrat pe cazul simplu al stării de tensiune plane şi poate fi extins imediat, prin generalizare, la cazul 3D...

10. Ecuaţii de transformare – Considerăm un corp 2D ("placă") în stare plană de tensiuni (Figura 2.11) şi un sistem de referinţă cartezian xy. Starea de tensiune într-un punct P în sistemul xy este dată de tensorul tensiune T binecunoscut; se cer tensiunile în direcţiile care rezultă din xy printr-o rotaţie pozitivă (adică

în sens antiorar) de unghi φ...

Tensiunile în noul sistem se introduc în conformitate cu regula generală...; notăm 'T

tensorul tensiune corespunzător. Problema este acum de a stabili corespondenţa între componentele acestor tensori în axele iniţiale şi cele rotite, adică ("g " indică transformarea...)

'( )x xy

yx yT T

g (2.14.1)

– În elementul infinitesimal asociat punctului P ducem o secţiune oblică perpendiculară pe axa (Figura 2.11,a) şi definim astfel un element (mic) triunghiular pe ale cărui laturi "acţionează" exact tensiunile în cele două sisteme de referinţă...

Fig. 2.11 - Tensorul tensiune - Schimbare de axe...

b

P

y

x

ξ

η

yx x

y

xy

ξη σξ

φ

dA

φ

a y

P x

η

ση ηξ

ξη ξ

σξ ξηx σξ yx φ

xy

y


Extras din placă, elementul trebuie să stea în echilibru. Fiind vorba de o problemă plană, trebuie scrise două ecuaţii de forţe; drept direcţii de proiecţie luăm chiar axa şi perpendiculara pe aceasta; în acest fel componentele în noile axe se separă (Figura 2.11,b)... – Întrucât - după regula binecunoscută! - echilibrul trebuie scris în forţe, tensiunile trebuie înmulţite cu ariile secţiunilor pe care acţionează. Notăm "dA" aria secţiunii oblice; atunci pe celelalte două laturi ale triunghiului ariile vor fi cos dAdAx respectiv sin dAdAy ; rezultă

F : cos)sin(sin)cos(sin)sin(cos)cos( dAdAdAdAdA xyyxyx

F : sin)sin(cos)cos(cos)sin(sin)cos( dAdAdAdAdA xyyxyx

de unde, după simplificări şi prin înlocuirea (pentru "simetrie") a lui yx cu xy , rezultă

(a) )sin(coscossincossin

cossin2sincos22

22

xyyx

xyyx

– Componenta poate fi calculată în mod asemănător; pentru aceasta ar trebui definit un

nou element triunghiular printr-o secţiune perpendiculară pe axa ... (nefigurat!). Tot acest calcul poate fi însă evitat dacă se observă că, întrucât este definit într-o secţiune

asociată axei care este perpendiculară pe axa , atunci tensiunea se deduce simplu din însăşi

introducând în formula de calcul unghiul direcţiei în raport cu axa "de plecare" x; formal,

aceasta revine la a înlocui în (a) unghiul "φ" cu "φ+/2", adică

cossin2cossin)( 222 xyyx (b)

– Mai departe, cu relaţiile trigonometrice binecunoscute 2 21 1

2 2sin (1 cos 2 ) ; cos (1 cos 2 ) ; 2sin cos sin 2

relaţiile (a) şi (b) se scriu în formă compactă după cum urmează

cos 2 sin 22 2

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

x y x yxy

x y x yxy

x yxy

(2.14.2)

Acestea sunt relaţiile de transformare ale tensorului tensiune g (φ)... *

Invarianţi. Cu ),,( xyyx date, prin (2.14.2) se pot aşadar calcula tensiunile ),,( în axe

rotite cu unghiul φ... În relaţiile de transformare de mai sus se pot identifica uşor doi invarianţi (adică funcţii care nu se modifică prin schimbarea de axe): – Un prim invariant este suma celor două tensiuni normale (verificare imediată prin simpla "inspecţie"):

!

1 x yI const (2.14.3)

Acest rezultat vrea să spună că prin rotaţia axelor componentele tensorului tensiune se modifică în conformitate cu relaţiile date dar suma "elementelor" de pe diagonala principală (aşadar suma tensiunilor normale!) este invariantă. – Un al doilea invariant este reprezentat de determinantul matricei corespunzătoare tensorului T (verificare prin calcul elementar!):

def ! !

2 22 x y xyI const

(2.14.4)

Observaţie. Existenţa acestor doi invarianţi este importantă pentru construcţia ecuaţiilor teoriei elasticităţii precum şi pentru soluţionarea acestora...


20. Direcţii principale - Tensiuni principale Cu relaţiile de transformare (2.14.2) tensiunile din punctul curent P pot fi reprezentate ca funcţii continue de orientarea a planului de secţiune dus prin P. Apare atunci ca absolut naturală problema determinării acelor direcţii în care tensiunile iau anumite valori "speciale", cum ar fi de pildă valorile extreme (maxime sau minime), valoarea zero şamd...

Se numesc direcţii principale direcţiile în care tensiunile normale iau valori extreme

(maxime sau minime). Direcţiile respective se deduc din condiţiile 0

d

d respectiv 0

d

d

(se poate uşor proba că ambele conduc la acelaşi rezultat...). Mai departe, diferenţierea se poate face chiar după (2); rezultă

!

0 sin 2 cos 2(2 ) 2

x yxy

d

d

0 (2.14.5)

Aceasta este o ecuaţie trigonometrică în . Notăm * soluţia căutată; avem deci

* 2tan 2 xy

x y

(2.14.6)

Funcţia "tangentă" este periodică (cu perioada ). Există aşadar două valori care verifică (2.14.6), şi anume (2

*) şi (2 *+ ) şi, mai departe, două direcţii care corespund definiţiei, respectiv

( *) şi (

*+ /2) Cu alte cuvinte, există două direcţii în care tensiunile normale sunt extremale (se zic direcţii principale) şi acestea sunt perpendiculare una pe cealaltă... – Tensiunile normale corespunzătoare direcţiilor principale se zic tensiuni principale; valorile acestora se deduc din relaţiile de transformare generale (2.14.2) în care se introduc valorile lui

*. Pentru calcule se face uz de identităţile trigonometrice binecunoscute *def !

*

2 * 2 2

2tan 2sin 2

1 tan 2 ( ) 4

xy

x y xy

; def !

*

2 * 2 2

1cos2

1 tan 2 ( ) 4

x y

x y x

y

în care semnele corespund celor două unghiuri ( *) respectiv (

*+ /2)! Cu acestea valorile extremale devin (calcule elementare...):

2not! def !

2/ 1,2 1;

2 2x y x y

MAX min xy

2 ! (2.14.7)

(Valoarea maximă respectiv minimă corespund evident semnului "+" respectiv "–"). Se obişnuieşte să se noteze tensiunile principale cu indicii 1 respectiv 2 cu, prin convenţie,

21 ; direcţiile principale corespunzătoare se notează prin urmare respectiv . O reprezentare calitativă a direcţiilor şi tensiunilor principale este dată în Figura 2.12 (tensiunile nu sunt redate la scară!...). – Tensiunile tangenţiale în direcţiile principale şi se calculează simplu prin înlocuirea celor două valori (

*) şi ( *+ /2) în formula generală a lui din (2.14.2); mai direct, se poate

însă observa că ecuaţia de definiţie a direcţiilor principale (2.14.5) conţine chiar expresia lui din

(2.14.2)! Cu aceasta se stabileşte un rezultat foarte important: în direcţiile principale tensiunea tangenţială dispare, adică 012 !. – Reciproca este de asemenea adevărată: dacă într-o secţiune tensiunea tangenţială este nulă, atunci tensiunea normală din acea secţiune este principală. – Cu alte cuvinte, există două definiţii echivalente pentru direcţiile principale:

adica 0 respectiv 0d

extremald

(2.14.8)

– Un sistem cu axele paralele cu direcţiile principale se zice sistem de axe principal...


Problema determinării valorilor extreme se poate formula, în mod analog, pentru tensiunile

tangenţiale; condiţia diferenţială de extrem în acest caz conduce la

0 cos 2 sin 2(2 ) 2

x yxy

d

d

0 (2.14.9)

Direcţiile corespunzătoare - desemnate prin ** - sunt date de

**tan 22x y

xy

(2.14.10)

Prin urmare există din nou două soluţii ale problemei anume (2**) şi (2 **+ ) şi, mai

departe, două direcţii perpendiculare una pe cealaltă care corespund definiţiei (

**) şi ( **+ /2)

– O comparaţie între (2.14.6) şi (2.14.10) arată că între cele două definiţii există o relaţie de legătură şi anume

** *tan 2 tan 2 1 (2.14.11) Conform unei identităţi trigonometrice binecunoscute (...), argumentele în relaţia din urmă diferă prin 2 ; echivalent, unghiurile ** şi * diferă prin 4 . Cu această observaţie s-a stabilit un

rezultat remarcabil: direcţiile în care " " este extremal sunt înclinate cu 450 ( 4 ) faţă de cele în

care " " este extremal (vezi Fig. 2.12), adică

** * / 4 (2.14.12)

– Valorile extreme ale lui " " (numite, uneori, încă tensiuni tangenţiale principale) se determină din relaţia de transformare generală din (2.14.2) prin înlocuirea lui cu ** din (2.14.10); rezultă direct

2

2/

1(

2 2x y

MAX min xy

1 2 )

(2.14.13)

Semnul arată că ia cu adevărat o valoare maximă respectiv minimă; scrierea alternativă din ultima formulă rezultă imediat din expresiile tensiunilor normale principale (2.14.7).

Fig. 2.12 - Tensiuni principale…

ξ

η

φ

y

P

x

y

xy

σx

MAX/min

σM

σM

φ** 45

0

σ212 = 0 σ1

φ*


– Tensiunile normale în direcţiile ** se deduc din nou din relaţiile generale (2.14.2) prin

înlocuirea lui (2 **) de mai sus...; deducem

not!

**1 2

1= (

2 2x y

M

)

(2.14.14)

adică cele două tensiuni normale sunt egale între ele şi egale la rândul lor cu tensiunea normală medie (se reaminteşte că în virtutea (2.14.3) tensiunea normală medie este un invariant la rotaţia axelor!)

Observaţii finale 10. În studiul de mai sus s-au identificat două seturi de direcţii şi valori caracteristice pentru tensorul tensiune: direcţiile în care tensiunile normale sunt extreme (sau, echivalent, tensiunea tangenţială este nulă), respectiv cele în care tensiunile tangenţiale sunt extreme; le rescriem compact cu indici potriviţi...

not!* * * *

1,2

****** ** **

1 2** *

2tan 2 / min 0

( )/ mintan 2

2 1( )

2/ 4

xy

x y

x y

xy M

MAX

MAX

(2.14.15)

20. În limbajul curent, prin direcţii principale se înţeleg acelea în care tensiunile normale sunt extremale, adică / minMAX (şi/sau implicit 0 )... 30. Cercul tensiunilor al lui Mohr

Cercul tensiunilor... Toate rezultatele din paragraful precedent pot fi încorporate într-o construcţie grafică sugestivă şi anume cercul tensiunilor al lui Mohr... – Plecăm de la relaţiile de transformare (2.14.2) din care reţinem numai expresiile pentru

şi ; mai departe, rescriem aceste relaţii separând în membrul drept termenii în

cos 2 sin 2

2 2

sin 2 cos 22

x y x yxy

x yxy

(2.14.16)

Din acestea putem elimina imediat unghiul ; pentru aceasta ridicăm relaţiile la pătrat şi le adunăm apoi membru cu membru. Rezultă

2 2

2

2 2x y x y 2

xy

(2.14.17)

Dacă în calculul de mai sus în locul componentei se introduce se obţine un rezultat complet analog, dar cu înlocuit cu ; din acest motiv putem renunţa complet la indicii şi şi scrie ultima egalitate într-o formă generică, anume

2 2

2

2 2x y x y 2

xy

(2.14.18)

Cu notaţiile

def !

2not! 22 2

2

14

2 4

x yM

x y 2xy x y x y xr

y

(2.14.19)


egalitatea (2.14.18) se scrie compact

2 2M r 2 (2.14.20)

În aceasta din urmă se recunoaşte ecuaţia unui cerc în coordonatele () având centrul în punctul (M , 0) şi raza r; este aşa-numitul cerc al tensiunilor al lui Mohr - Figura 2.13. – Interpretarea este următoarea: pentru o stare de tensiune dată prin tripletul (x,y,xy), tensiunile în oricare altă secţiune având o orientare arbitrară sunt reprezentate printr-un punct de coordonate (,) pe cercul lui Mohr. A se remarca faptul că "parametrii" cercului - abscisa centrului şi raza - sunt combinaţii ale invarianţilor transformării tensiunilor (vezi mai înainte (2.14.3) şi (2.14.4)); rezultă că, pentru una şi aceeaşi stare de tensiune dată, cercul tensiunilor corespunzător este de asemenea invariant! – Cercul lui Mohr poate fi văzut ca o construcţie grafo-analitică din care, dacă este realizată la scară, toate valorile caracteristice ale transformării pot fi direct "citite" pur şi simplu...

Principiul de construcţie a cercului este indicat în Figura 2.13 (am presupus, convenţional, tensiuni normale pozitive şi yx ):

– Pe abscisă se "măsoară" pentru început tensiunile normale x şi y conform semnelor

acestora (punctele A respectiv B). – În aceste puncte se construiesc două perpendiculare pe axa pe care se "măsoară" tensiunea tangenţială xy cu semnul adevărat al acesteia "peste" x şi cu semn contrar "sub" y ;

prin această operaţie se obţin punctele ),( xyxP şi '( ,yP )xy care, după convenţia de semne

obişnuită, indică tensiunile în secţiuni perpendiculare pe axele x respectiv y. – Intersecţia dreptei cu abscisa determină centrul M al cercului; cercul însuşi se

construieşte cu segmentul

'PP'PP ca diametru...

* Cercul lui Mohr reprezintă în definitiv o transpunere grafică a relaţiilor generale de

transformare a tensiunilor (2.14.2). Pentru corecta interpretare a construcţiei este necesar să stabilim corespondenţa între "planul fizic" (xy) şi "planul tensiunilor" (). Raţionamentul este următorul:

Fig. 2.13 - Cercul lui Mohr…

σx - σy

2

r

O

min

MAX

σ1σ2

B

Q( ,)

P '

Q '

S' σy Sσx A

P( =0)

σ

2φ*

2φ**

T '

–xy

xy

T

M

σM

2φ

x

y

P


– Conform definiţiilor, tensiunile ( , )x xy

( ,

într-o secţiune perpendiculară pe axa x

(Fig. 2.13,a) sunt reprezentate prin punctul )x xyP de pe cerc (Fig. 2.13,b). În aceeaşi logică,

tensiunile într-o secţiune perpendiculară pe axa care rezultă din direcţia x printr-o rotaţie pozitivă de unghi - fie acestea ),( - vor fi reprezentate printr-un alt punct pe cerc ( ,Q ) .

– Cu notaţiile introduse mai sus M şi r, putem exprima imediat coordonatele punctului P în

planul tensiunilor (), anume

def !

def !

cos( )

sin( )

P M

P P

r

r

P

(a)

unde prin P am notat unghiul faţă de axa al vectorului de poziţie MP al lui P relativ la centrul

cercului M. – Coordonatele încă necunoscute ale punctului Q se pot exprima prin relaţii similare făcând uz de transformarea (2.14.2) în care extragem forţat factorul r, după cum urmează

not! not!2

not! not!2

cos2 sin 2 cos cos2 sin sin 22

sin 2 cos2 cos sin 2 sin cos2

x y

x y

x y xyQ M

xyQ P P

r rr r

r rr r

P P

Q

Q

Acestea se mai pot scrie (cu formule trigonometrice cunoscute...) astfel

def !

def !

cos( 2 ) cos( )

sin( 2 ) sin( )

Q M P M

Q P

r r

r r

(b)

de unde, în sfârşit 2Q P (2.14.21)

– Rezultatul redă corespondenţa căutată: la o rotaţie pozitivă de unghi « » în planul fizic

(xy) corespunde o rotaţie negativă de unghi dublu, adică « 2 », în planul tensiunilor (). Notă. Tensiunile într-o secţiune perpendiculară pe axa sunt reprezentate pe cerc prin punctul diametral opus lui Q!... 'Q

Valorile caracteristice ale tensorului tensiune dat pot fi uşor identificate sau verificate pe cercul lui Mohr, după cum urmează: – Tensiunile principale, adică valorile extreme ale tensiunii "sigma", pot fi citite direct de pe figură; acestea corespund celor două puncte de intersecţie a cercului cu abscisa, S şi S ' (în aceste puncte tensiunea tangenţială este zero!). Direcţiile principale se deduc din unghiurile prin care, plecând din P, se ajunge în S şi S '; astfel, de pildă, punctul

S( 1 ) se obţine printr-o rotaţie în sensul acelor de ceas cu unghiul 2*

2

2 arctan arctan xy

x y x

xy

y

(în planul "fizic"

acesta corespunde unei rotaţii în sens pozitiv - adică invers acelor de ceas - de valoare , ceea de altfel este conform cu

regula stabilită mai sus). Trebuie observat că direcţiile ca şi tensiunile principale se deduc din cercul lui Mohr în mod univoc (adică inclusiv cu semnele lor...)

*

– Tensiunile tangenţiale extreme corespund evident celor două puncte T şi de pe diametrul vertical. Mai departe, plecând din S sau S ', se ajunge în punctele T şi printr-o rotaţie în sens negativ de unghi

'T'T 2 ; aceasta

înseamnă că direcţiile respective sunt înclinate cu 4 faţă de direcţiile principale, ceea ce este desigur corect...

În sfârşit, semnele tensiunilor tangenţiale extremale rezultă de asemenea în mod univoc din cerc!


40. Sistem de axe principal Direcţiile principale şi definesc un sistem de referinţă remarcabil; relaţiile de transformare a tensiunilor pot fi prin exprimate alternativ chiar în raport cu acesta. Corespondenţa între sistemul "geometric" (xy) şi sistemul "principal" () este arătată pe Figura 2.14 pe care o secţiune arbitrară prin corp ( ) este identificată prin unghiul faţă de direcţia principală .

Tensiunile în această secţiune se deduc din formulele generale (2.14.2) prin înlocuirile corespunzătoare (se reaminteşte că în direcţiile principale avem 12 0 !...):

1 2 1 2

1 2 1 2

cos 22 2

cos 22 2

sin 22

x y

(2.14.22)

Toate celelalte consideraţii se transpun imediat la această nouă reprezentare.

40. Stări de tensiune particulare Utilitatea cercului lui Mohr constă în aceea că unei stări de tensiune date - în esenţă o "combinaţie de numere" - i se asociază o reprezentare grafică simplă, ceea ce permite o caracterizare a sa "dintr-o singură privire"... În această ordine de idei este instructiv să examinăm unele stări de tensiune particulare (caracteristicile acestora sunt sintetizate în figura alăturată): a) Starea de tracţiune uniaxială: 0;0;00 xyyx (Figura 2.15,a).

Tensiunea tangenţială este nulă; atunci tensiunile normale date sunt şi principale: 0;0 201 ; cercul este tangent la axa în origine.

Tensiunea 2

0 MAX se produce într-o secţiune care face unghiul de 450 cu axa .

Cazul "compresie uniaxială" [ 0;0;00 xyyx ] este analog celui figurat;

cercul este situat în semiplanul stâng... b) Starea de tracţiune biaxială "uniformă" 0;00 xyyx (Fig. 2.15,b)

Cercul se reduce la un punct... Urmează că în orice direcţie avem 0 , ceea ce înseamnă că toate direcţiile sunt principale!

Fig. 2.14: Starea plană -Sistem de axe principal

η

φ*

σ

σ

σ1

x

ξy

y xy

σx

σ2

Q(,)

P( =0)

M

2

σσ1σ2

σ1+σ2 2

MAX

min


c

b

a

Fig. 2.15: Starea plană - Stări de solicitare particulare

σ0 σ0

450

σM =σ0/2

MAX =σ0/2

x

y

σ1=σ0

σ

MAX =σ0/2

σ2=0 σM =σ0/2

σ0 σ0

σ0

σ0

x

y σ0

σ0

σ

σ1=σ2=σ0

0 450

σ1 =0

x

y σ2 = – 0 0

σ

σ1 =0 σ2 = – 0

Situaţia [ 0;)0(; xyyx pp ] - "compresie uniformă biaxială" - se numeşte

stare de tensiune hidrostatică (tensiunile indicate sunt într-adevăr cele care domnesc într-un corp scufundat într-un fluid în repaus!). Cazul este complet analog tracţiunii biaxiale uniforme; cercul se reduce la un punct pe semiaxa negativă. Mai departe, tensiunile sunt invariante în orice direcţie; acest fapt reflectă de altfel o proprietate binecunoscută din hidrostatică: într-un fluid în repaus, presiunea este aceeaşi în orice direcţie... c) Forfecare pură: 0;0 xyyx (Fig. 2.15,c).

Deoarece în sistemul "geometric" (xy) nu există tensiuni normale, centrul cercului coincide cu originea sistemului (). Tensiunile principale sunt egale şi de semne contrare ( 0201 ; );

acestea apar în secţiuni sub unghiuri de 450 faţă de axa x. ...END... [10-Mr-14]


BEISPIEL 3.1 Zur Illustrierung der oben vorgeführten Spannungsanalyse wollen wir nun ein numerisches Beispiel betrachten. In einem Blech wirkt ein homogener Spannungszustand mit den Komponenten x = 100 N/mm2, y = 20 N/mm2, xy = 30 N/mm2 (Bild 3.7). Gesucht sind:

a) die Spannungen in einem Schnitt welcher unter einem Winkel von (-60) im Bezug auf die x-Achse liegt;

b) die Hauptrichtungen und die Hauptspannungen; c) die Hauptschubspannungen und die zugehörigen Richtungen.

Lösung: a) Die Normale zu der zu untersuchenden Schnittfläche ist um = 30 gegenüber der x-Achse geneigt. Wir wählen diese Normale als -Richtung ( liegt senkrecht dazu); damit ist ein "konventionelles" -System erstellt. Die Spannungen ergeben sich aus (3.12) zu

2

2

2

N/mm6,19)302sin(30)302sin(2

20100

N/mm14)302sin(30)302cos(2

20100

2

20100

N/mm106)302sin(30)302cos(2

20100

2

20100

(a)

(Die Spannungen sind im Bild mit dem reellen Sinn angezeigt!) b) Die Hauptrichtungen werden aus (3.20) ermittelt

75,020100

30222tan *

yx

xy

(b)

Daraus berechnet man ; die Hauptrichtungen sind dann

)18087,36()2(bzw.87,36)2( **

(c) 43,1089043,18bzw.43,18 ** Die Hauptnormalspannungen ergeben sich aus (3.17) zu

2

22

2

2,1/N/mm10

N/mm110506030

2

20100

2

20100not

minMAX (d)

Nun, man muß die Korrespondenz zwischen diesen und den entsprechenden Richtungen erstellen; mit anderen Worten man muß entscheiden welche von den beiden Spannungen zu welcher Richtung gehört. Die Entscheidung erfolgt am einfachsten durch Prüfen; dazu setzt man einen von den beiden Winkeln in die allgemeinen Transformationsgleichungen (3.12) ein und identifiziert man das Ergebnis mit der entsprechenden Hauptspannung. Z.B. der erste Winkel aus (c) gibt:

43,18* 12N/mm110)43,182sin(30)43,182cos(

2

20100

2

20100

;

damit gehört die maximale Normalspannung 1 zu der Richtung usw. 43,18* Die Hauptrichtungen und -spannungen sind im Bild 3.7 angezeigt.

c) Die Hauptschubspannung ergibt sich aus (3,23)

)(2

1N/mm5030

2

2010021

222

/

minMAX (e)


Bild 3.6: Ebener Spannungszustand (zu Beispiel)

50

50

19,6

ξ

y

P

x

106

φ*=18,43

σx=100

σy=20

xy=30

φ =30

14

60

11010

[ ξ ] 50 50 φ**

= 63,43

50

φ**

= – 26,57 50

[ ξ ] Die zugehörigen Schnittrichtungen werden aus der Bedingung (3.20) ermittelt oder direkt - durch (3.23) - aufgestellt: sie sind zu den Hauptrichtungen um 45 geneigt, d.i.

(f) 57,26bzw.43,634543,1845 ******* Die Korrespondenz zu den extremalen Werten (e) wird noch einmal durch Probieren erstellt:

43,63** min2N/mm50)43,632cos(30)43,632sin(

2

20100

;

In den Richtungen wo "tau" extremal ist sind die beiden "sigma" gleich dem mittleren Wert der Normalspannungen (Invariante!):

2N/mm502

20100

M (g)

Die Werte sind auch im Bild 3.7 mit deren wirklichen Richtungen angezeigt. *


Note. Man muß beachten daß, wenn man den Spannungszustand ( ),, als Funktion

von "" darstellt, dann sind deren Vorzeichen systematisch zu der Vorzeichenkonvention für die ""-Richtung zugeordnet; das Maximum bzw. das Minimum jeder Spannungskomponente soll im Zusammenhang mit dieser Konvention interpretiert werden! (siehe Bild 3.7).

2φ**

MAX

O

min

σ1σ2

σ

P

P '

2φ*=36,86

σM

20 N/mm2

r

Bild 3.9: (Zu Übung)

ÜBUNG 3.2: Als Anwendung wollen wir den Mohr'schen Kreis erstellen für den im Beispiel 3.1 betrachteten Spannungszustand: 30;20;100 xyyx [N/mm2]

Der Kreis is auf dem naheliegenden Bild 3.9 aufgetragen; darunter gilt:

;60M N/mm2 50 r

86,362 * 10;110 21 [N/mm2]

2*** 22

50min/ rMAX [N/mm2]

IP-TXT_SAvMC_Cap.2 [Comp de TE] - PARTS=I...!V [Mr-2015]_ALL_!

Documents

Transcript of IP-TXT_SAvMC_Cap.2 [Comp de TE] - PARTS=I...!V [Mr-2015]_ALL_!