Intrebari Raspunsuri Licenta IFDR

of 90

  • date post

    14-Oct-2015
  • Category

    Documents

  • view

    80
  • download

    1

Embed Size (px)

description

Documentatie pentru examenul de licenta

Transcript of Intrebari Raspunsuri Licenta IFDR

  • UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMIOARA FACULTATEA DE HIDROTEHNIC

    Strada George Enescu nr.1 A

    300022 TIMIOARA - ROMNIA Tel. 0040-0256-404091 Fax.404093

    NTREBRI PENTRU EXAMENUL TEORETIC SCRIS LICEN PROMOIA 2012 (sesiunea iunie - iulie)

    MATEMATIC

    1. Prezentai Formula lui Taylor pentru funcii de o variabil i modul cum se utilizeaz n aproximarea funciilor prin polinoame.

    Rspuns:

    Fie f : I R R i x0 I, f 1n

    IC . Are loc formula lui Taylor

    f(x) = Tn(x) + Rn(x)

    unde Tn este polinomul lui Taylor de ordin n, iar Rn este restul

    )x(f!n

    )xx(...)x(f

    !

    xx)x(f)x(T )n(

    n

    n 00

    00

    01

    ,

    ))((!)1(

    )()( 00

    )1(1

    0 xxxfn

    xxxR n

    n

    n

    , 0 1.

    Rezult formula de aproximare pentru f(x) ntr-o vecintate V a lui x0:

    f(x) Tn(x) ,

    cu eroarea )(sup xRnVx

    n

    .

    2. Coordonate polare, cilindrice i sferice.

    Rspuns: a). Trecerea la coordonate polare:

    sin

    cos

    y

    x

    unde

    [0, ); [0, 2),

    stabilete legtura ntre coordonatele carteziene (x, y) ale unui punct din plan i coordonatele

    polare (, ) ale aceluiai punct.

    b). Trecerea la coordonate cilindrice:

  • zz

    y

    x

    sin

    cos

    unde

    [0, ); [0, 2); z R,

    stabilete legtura ntre coordonatele carteziene (x, y, z) ale unui punct din spaiu i coordonatele

    cilindrice (, , z) ale aceluiai punct.

    c). Trecerea la coordonatele sferice:

    cos

    sinsin

    sincos

    z

    y

    x

    unde

    [0, ); [0, 2); [0, ],

    stabilete legtura ntre coordonatele carteziene (x, y, z) ale unui punct din spaiu i coordonatele

    sferice (, , ) ale aceluiai punct.

    3. Mrimi geometrice sau fizice care se calculeaz cu ajutorul integralelor.

    Rspuns: Aria unui domeniu plan, volumul unui corp, masa, centrul de greutate, momentele de

    inerie, lucrul mecanic.

    4. Care sunt unitile de msur ale unui unghi i ce legtur exist ntre ele?

    Rspuns:

    Gradul sexagesimal ( o1 ) este egal cu a 90-a parte dintr-un unghi drept .

    Gradul centesimal ( g1 ) este egal cu a 100-a parte dintr-un unghi drept.

    Atunci go 10090 , adic g

    g

    o

    o

    10090

    cs .

    O alt unitate de msur este radianul, un unghi drept fiind egal cu 2

    radiani.

    Atunci o90 rad, adic rad

    rad

    180o

    o

    us .

    5. Ce reprezint derivata unei funcii RR If : ntr-un punct a din intervalul I?

    Rspuns:

    )(' af este panta tangentei la graficul funciei f n punctul )(, afa .

  • 6. Ce reprezint numrul b

    a

    dxxfI |)(| ?

    Rspuns:

    I este aria domeniului plan mrginit de axa Ox, dreptele byax , i de graficul

    funciei f.

    7. Ce rol are derivata ntia n studiul variaiei unei funcii RR If : ?

    Rspuns:

    'f ajut la determinarea intervalelor de monotonie i a valorilor extreme ale funciei f.

    8. Definii noiunile de valori i vectori proprii ai unui operator liniar. Rspuns:

    Fie V un spaiu vectorial peste corpul K i f : V V un operator liniar. Un vector nenul

    v V se numete vector propriu al operatorului f dac exist un scalar din K a.. f(v) = v. Scalarul se numete valoare proprie.

    9. Definii urmtoarele noiuni: media aritmetic, media aritmetic ponderat i media geometric.

    Rspuns: Fie {x1, x2, , xn} o mulime nevid de date (numere reale) cu ponderile nenegative {p1, p2, , pn}.

    Media ponderat este n

    nnp

    ppp

    xpxpxpM

    21

    2211 , (elementele care au ponderi mai mari

    contribuie mai mult la medie). Formula poate fi simplificat cnd ponderile sunt normalizate,

    adic: 11

    i

    n

    i

    p . n acest caz ii

    n

    ip xpM

    1

    .

    Media aritmetic Ma este un caz particular al mediei ponderate Mp n care toate ponderile

    sunt egale n

    pn1

    .

    Avem n

    xxxx

    nM ni

    n

    ia

    21

    1

    1 (Ma indic tendina central a unui set de numere).

    Media geometric n ng xxxM ,, 21 dac xi 0, i = n,1 . Media geometric are

    urmtoarea interpretare geometric. Media geometric baM g , a dou numere a, b R+ este

    egal cu latura unui ptrat cu aceeai suprafa ca i un dreptunghi cu laturile a i b.

    10. Definii noiunea de procent.

    Rspuns: Procentul este parte raportat la o sut de pri dintr-un ntreg i este reprezentat prin %

    (procent).

  • Fie a o mrime cu care se compar numit valoare de baz i fie b o mrime care se compar numit valoare procentual. Mrimea p obinut din proporia

    baz de valoarea

    procentual valoarea

    100

    procent

    100

    p

    a

    b

    adic a

    bp

    100 se numete procent. n scriere se nsoete p cu semnul % (procent).

    Aplicaii: a). Se caut procentul: ntr-o ntreprindere cu 1500 de lucrtori lucreaz 300 femei. Care

    este procentul femeilor din totalul lucrtorilor ?

    b). Se caut valoarea procentual: Cte kilograme de titan sunt n 275 kg de aliaj dac coninutul de titan este 4% ?

    c). Se caut valoarea de baz: Printr-o mai bun planificare, pe un antier cheltuielile de transport pentru crmizi pot fi reduse cu 48.999 lei sau 12%. La ci lei s-au ridicat aceste cheltuieli nainte ?

    11. Definii derivatele pariale pentru funcii de 2 variabile. Scriei formula de aproximare a unei funcii cu ajutorul diferenialei.

    Rspuns:

    Fie f : A R2 R de variabile x i y i (x0, y0) A, unde A este deschis. Derivatele pariale ale lui f n raport cu x, respectiv y, n punctul (x0, y0) se definesc prin:

    ,),(),(

    lim),(0

    00000

    0 xx

    yxfyxfyx

    x

    f

    xx

    0

    00000

    ),(),(lim),(

    0 yy

    yxfyxfyx

    y

    f

    yy

    ,

    dac limitele sunt finite. Formula de aproximare a funciei f, pentru orice pereche (x, y) dintr-o vecintate a lui

    (x0, y0), este

    ),()(),(),( 00),(0000

    yyxxdfyxfyxf yx ,

    unde

    ))(,())(,(),()( 00000000),(00

    yyyxy

    fxxyx

    x

    fyyxxdf yx

    este difereniala funciei f n punctul (x0, y0).

    12. Cum se definete compunerea a 2 funcii reale de o variabil real i care este formula de derivare a funciei compuse ?

    Rspuns:

    Dac u : I R J R i f : J R R atunci exist funcia compus ufh , h : I

    R R definit prin )]([)()( )( xufufxh x .

  • Dac f i u sunt derivabile rezult c i h este derivabil i avem xd

    ud

    ud

    fd

    xd

    hd . Se pune

    n eviden operatorul de derivare care se folosete pentru derivatele de ordin superior:

    xd

    ud

    ud

    d

    xd

    od

    2

    2

    2

    2

    ,,

    ,,

    ud

    fd

    ud

    fdf

    xd

    hd

    xd

    hdho

    13. Ce reprezint logaritmul n baza dat a 0, a 1 a numrului N 0.

    Rspuns: x

    a aNxN log . Deci Nalog este puterea la care trebuie ridicat baza pentru a obine

    numrul.

    14. Ce reprezint partea ntreag a unui numr real x ? Definii funcia parte ntreag i funcia parte zecimal.

    Rspuns: Partea ntreag a numrului real x, notat [x], este cel mai mare numr ntreg mai mic sau egal cu x:

    kxkkk,x ][Z[ ),1 .

    Funcia f : R Z, f(x) = [x], se numete funcie parte ntreag.

    Funcia g : R [0, 1), g(x) = x - [x] se numete funcie parte zecimal.

    15. Definii pentru o variabil aleatoare discret urmtoarele caracteristici numerice: valoarea medie, dispersia i abaterea medie ptratic.

    Rspuns:

    Fie o variabil aleatoare discret cu distribuia

    n

    iiii

    n

    nxPpp

    ppp

    xxx

    121

    21,1,

    ,,,

    ,,,:

    Valoarea medie

    n

    i

    ii pxM1

    . Valoarea medie reprezint o valoare n jurul creia se constat

    o grupare a valorilor variabilelor aleatoare.

    Dispersia 222 MMD Abaterea medie ptratic )(2 DD . Dispersia i abaterea medie ptratic sunt indicatori care caracterizeaz mprtierea valorilor unei variabile aleatoare dnd o indicaie asupra gradului de concentare a valorilor variabilei n jurul valorii sale medii.

  • UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMIOARA FACULTATEA DE HIDROTEHNIC

    Strada George Enescu nr.1 A

    300022 TIMIOARA - ROMNIA Tel. 0040-0256-404091 Fax.404093

    NTREBRI PENTRU EXAMENUL TEORETIC SCRIS LICEN PROMOIA 2012 (sesiunea iunie - iulie)

    FIZIC

    1. Enunai principiul al doilea al dinamicii.

    Rspuns Acceleraia imprimat unui corp de mas dat este direct proporional cu fora care acioneaz asupra corpului.

    amF

    unde mrimile au urmtoarea semnificaie: m - masa corpului, a acceleraia corpului, F rezultanta forelor ce acioneaz asupra corpului.

    n cazul micrii circulare uniforme modulul vitezei tangeniale se pstreaz constant, iar acceleraia modific direcia vitezei. Principiul al doilea al dinamicii se exprim prin relaia,

    r

    vmamF

    2

    unde F reprezint modulul forei, a modulul acceleraiei, v modulul vitezei tangeniale, r cercului pe care se deplaseaz corpul. Vectorul for i vectorul acceleraie au direia razei de rotaie i sensul spre centrul de rotaie.

    2. Enunai legea conservrii energiei mecanice.

    Rspuns Energia mecanic total a unui sistem izolat, asupra cruia acioneaz numai fore conservative, rmne constant n tot timpul micrii.

    constantEEE Pc

    unde Ec reprezint energia cinetic a sistemului izolat, iar Ep reprezint energia potenial a sistemului izolat.

    Sistem izolat este cel care nu poate schimba cu mediul nconjurtor (exterior) energie nici su