Instrumentaţia virtuală folosită în exemplificarea modulaţiei în frecvenţă

Teodorescu Rodica-Mihaela – Universitatea din Piteşti, mihteo@upit.ro

Abstract

Lucrarea este destinată activităţii didactice şi are ca scop exemplificarea modulaţiei în frecvenţă, prezentând panoul frontal şi diagrama bloc a instrumentul virtual, realizat în mediul de programare grafică LabVIEW. În acelaşi scop este folosit şi programul Matlab. Se compară rezultatele obţinute in cele două programe.

1. Introducere Lucrarea are ca scop exemplificarea modulaţiei în frecvenţă, realizând instrumentul virtual, în mediul

de programare grafică LabVIEW. Pe panoul frontal al instrumentului virtual se pot urmări semnalele modulator, purtător şi modulat în frecvenţă, atât în domeniul timp, cât şi în frecvenţă (spectrul), pentru o gamă largă de valori ale parametrilor semnalelor. Pentru aceleaşi valori ale parametrilor semnalelor, se prezintă programul în Matlab. Sunt comparate rezultatele obţinute în cele două programe.

2. Prezentarea modulaţiei în frecvenţă

În procesul de modulaţie intervin următoarele semnale: semnalul modulator ( )ts0 - cel care conţine informaţia; semnalul purtător ( )tsp - asupra căruia se transferă informaţia; semnalul modulat ( )tsM - semnalul rezultat prin acţiunea semnalului modulator asupra semnalului purtător. Modulaţia constă în modificarea unui parametru al purtătorului de către semnalul modulator ce

urmează a fi transmis, având ca rezultat deplasarea spectrului de frecvenţă al acestuia din urmă în domeniul frecvenţelor înalte.

După natura semnalului purtător ( )tsp pot exista: modulaţie cu purtător sinusoidal; modulaţie cu purtător în impulsuri.

În această lucrare se studiază cazul modulaţiei cu purtător sinusoidal. În acest caz putătorul ( )tsp are expresia:

( ) ( )pppp tcosAts ϕ+ω= (1) În cazul modulaţiei în frecvenţă, caracteristicile semnalului modulator se transferă asupra frecvenţei

semnalului purtător printr-o operaţie liniară: ( ) ( )tskt 0Fp0 ⋅+ω=ω→ω (2)

unde: Fk este constanta modulatorului, iar ( )tω este frecvenţa instantanee a semnalului modulat. Cum frecvenţa instantanee ( )tω este definită ca viteza de variaţie a fazei în timp, se obţine:

( ) ( )dt

tdt ϕ=ω (3)

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a V-a, 2007 1

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a V-a, 2007 1

de unde rezultă că:

( ) ( )∫ω=ϕ dttt (4)

Din (2) şi (4) se obţine:

( ) ( ) ( )∫ ∫ ϕ++ω=ω=ϕ p0Fp dttsktdttt (5)

şi deci: ( ) ( )[ ]

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϕ++ω⋅=

=ϕ⋅=

∫ p0Fpp

pMF

dttsktcosA

tcosAts (6)

Expresia (6) reprezintă forma generală de reprezentare a unui semnal MF în domeniul timp. Cum pϕ este o constantă arbitrară ea poate fi considerată şi egală cu zero. Dacă ( )ts0 este nul pentru

0t < , atunci limitele de integrare sunt 0 şi t. Notând:

( ) ( )∫=t

00F dttsktg (7)

expresia (6) devine: ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tgsintpsinpAtgcostpcospA

tgtpcospAtMFs

⋅ω⋅−⋅ω⋅=

=+ω⋅= (8)

Se observă că, evaluarea spectrului de frecvenţă a semnalului MF este complicată din punct de vedere matematic din cauză că ( )g t apare în argumentul funcţiilor trigonometrice.

Dacă este satisfăcută condiţia:

( )2maxtg π

<< (9)

atunci expresia (8) se simplifică mult, spectrul determinându-se cu uşurinţă. În cazul în care:

( )2maxtg π

> (10)

analiza spectrală pentru un ( )ts0 oarecare devine dificilă. Dacă se va considera că semnalul modulator este sinusoidal analiza se va simplifica, iar rezultatele vor fi concludente pentru proprietăţile modulaţiei în frecvenţă. 2.1. Modulaţia în frecvenţă (MF) de bandă îngustă

În acest caz este valabilă aproximaţia (9). Se observă că, se poate scrie:

( )[ ]( )[ [ ( )⎩

⎨⎧

≈≈

tgtgsin1tgcos

(11)

Din (8) şi (11) se obţine: ( ) ( ) ( ) ( )tpsintgpAtpcospAtMFs ω⋅⋅−ω⋅= (12)

Aplicând transformata Fourier în ambii membrii ai relaţiei (12) şi ţinând seama de expresia (7), rezultă:

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a V-a, 2007 2

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a V-a, 2007 2

( ) ( ) ( )[ ]( )

( )( )

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ω+ω

ω+ω−

ω−ω

ω−ω+

+ω−ωδ+ω+ωδπ=ω

p

p0

p

p0pF

pppMF

SS2Ak

AS

(13)

Se observă că, spectrul semnalului MF de bandă îngustă este similar cu cel al semnalului MA, obţinându-se şi în acest caz frecvenţa purtătorului şi cele două benzi laterale. Banda de frecvenţă ocupată

este aceeaşi 0MF 2B ω⋅= , dar există o opoziţie de fază între benzile laterale (factorul ( )p

1ω±ω

îşi

schimbă semnul la pω±=ω ).

2.2. Modulaţia în frecvenţă (MF) de bandă largă

În acest caz este valabilă relaţia (10). Dacă ( ) ( )tcosAts 000 ω= din (2) se obţine:

( ) ( ) ( )tcostcosAkt 0p00Fp ω⋅ωΔ+ω=ω⋅⋅+ω=ω (14)

unde: 0F Ak ⋅=ωΔ (15) se numeşte deviaţie de frecvenţă a semnalului MF, măsurând depărtarea maximă a frecvenţei instantanee ( )tω faţă de pω .

Din (5) se obţine expresia fazei instantanee:

( ) ( ) ( ) ( )tsinttsintdttt 0p00

p ωβ+ω=ωωωΔ

+ω=ω=ϕ ∫ (16)

şi din (6) expresia semnalului MF devine: ( ) ( )[ ]tsintcosAts 0ppMF ω⋅β+ω⋅= (17)

unde: 0ωωΔ

=β (18)

se numeşte indicele de modulaţie în frecvenţă (variază invers proporţional cu frecvenţa semnalului modulator).

Expresia (17) devine: ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]tsinsintsinA

tsincostcosAts

0pp

0ppMF

ω⋅β⋅ω⋅−

−ω⋅β⋅ω⋅= (19)

Funcţiile trigonometrice care au ca argument alte funcţii trigonometrice se pot exprima prin funcţii Bessel de speţa I:

( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )[ ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ω+⋅β=ω⋅β

ω⋅β+β=ω⋅β

∑

∑∞

=+

∞

=

t1k2sinJ2tsinsin

tk2cosJ2Jtsincos

00k

1k20

01k

k200

(20)

Membru drept al relaţiei (19) va conţine produse de forma: ( )[ ] ( )[ ]tk2costk2cos)tk2cos()tcos(2 0p0p0p ω−ω+ω+ω=ω⋅ω⋅ ]

( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )[ ]t1k2cost1k2cost1k2sin)tsin(2 0p0p0p ω+−ω−ω++ω=ω+⋅ω⋅ Drept urmare, relaţia (19) se rescrie sub forma:

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a V-a, 2007 3

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a V-a, 2007 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∞

=

ω−ωβ−+ω+ωβ+

+ωβ=

1k0pk

k0pkp

p0pMF

tkcosJ1tkcosJA

tcosJAts

(21)

Funcţiile Bessel pot fi şi de ordin negativ, caz în care este valabilă relaţia:

( ) ( )( )⎩

⎨⎧

β−β

=β− impark,Jpark,J

Jk

kk (22)

Dacă în relaţia (21), indicele k din sumă se extinde de la ∞− la ∞+ , atunci relaţia (22) permite scrierea expresiei (21) a semnalului MF într-o formă foarte compactă:

( ) ( ) ( )[ ]∑∞

−∞=

ω+ω⋅β⋅=k

0pkpMF tkcosJAts (23)

Din punct de vedere teoretic, banda semnalului MF este infinită. Practic, începând cu un anumit rang, amplitudinile componentelor laterale devin nesemnificativă,

banda efectivă a semnalului MF putându-se calcula cu una din relaţiile: ( ) 0MF 12B ωβ+= sau ( ) 0MF 12B ωβ+β+= (24)

2. 3. Exemplificarea semnalelor modulator, purtător şi modulat în frecvenţă, utilizând mediul de programare grafică LabVIEW

În figura 1 este prezentat panoul frontal al instrumentului virtual, pentru exemplificarea semnalului modulator, în domeniul timp şi în domeniul frecvenţă, parametrii având valorile: 5A0 = şi 10 =ω , iar diagrama sa bloc in figura 4.

Figura 1 - Panoul frontal pentru exemplificarea semnalului modulator

Se observă că spectrul semnalului modulator constă din câte o singură armonică aflată la frecvenţa 0ω, de amplitudine 0A .

În figura 2 este prezentat panoul frontal al instrumentului virtual, pentru exemplificarea semnalului purtător, în domeniul timp şi în domeniul frecvenţă, parametrii având valorile: 7Ap = şi 10p =ω , iar diagrama sa bloc in figura 4.

 

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a V-a, 2007 4

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a V-a, 2007 4

  

Figura 2 - Panoul frontal pentru exemplificarea semnalului purtător

Se observă că spectrul semnalului purtător constă din câte o singură armonică aflată la frecvenţa pω , de amplitudine pA .

În figura 3 este prezentat panoul frontal al instrumentului virtual, pentru exemplificarea semnalului modulat în frecvenţă (de bandă îngustă), în domeniul timp şi în domeniul frecvenţă, parametrii având valorile: 5A0 = , 10 =ω , 7Ap = , 10p =ω şi 5=β , iar diagrama sa bloc in figura 4.

 

Figura 3 - Panoul frontal pentru exemplificarea semnalului modulat în frecvenţă

Din analiza panoului frontal, figura 3, se observă că banda de frecvenţă ocupată de semnalul modulat în frecvenţă este: ( ) 0MF 12B ωβ+β+= , spectrul fiind simetric faţă de frecvenţa semnalului purtător.

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a V-a, 2007 5

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a V-a, 2007 5

 Figura 4 –

Diagrama bloc a instrumentului

virtual 2.2.

Exemplificarea semnalelor modulator,

purtător şi modulat în

frecvenţă, folosind

programul Matlab

  

Figura 6 – Programul Matlab pentru exemplificarea semnalului modulator

Figura 7 – Programul Matlab pentru exemplificarea semnalului purtator

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a V-a, 2007 6

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a V-a, 2007 6

  Figura 8 – Programul Matlab pentru exemplificarea semnalului modulat în frecvenţă Concluzie: Urmărind rezultatele obţinute în cele două programe, LabVIEW şi Matlab, la aceleaşi

valori date parametrilor, se constată că ele sunt identice. 3. Bibliografia

[1] Rodica-Mihaela Teodorescu, “Instrumentaţia virtuală în studiul semnalelor modulate”, Revista de instrumentaţie

virtuală, ISSN 1453-8059, Editura MEDIAMIRA S.R.L., Cluj-Napoca, 2002, pp 15-19. [2] E. Ceangă, I. Munteanu, A. Bratcu, M. Culea, “Semnale, Circuite şi Sisteme – Partea I: Analiza semnalelor”,

ISBN 973-8316-16-2, Editura Academica, Galaţi, 2001. [3] V. Maier, C. D. Maier, “LabVIEW în Calitatea Energiei Electrice”, ISBN 973-9443-57-5, Editura Albastră,

Cluj-Napoca, 2002.

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a V-a, 2007 7

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a V-a, 2007 7