INGINERIE FINANCIARĂ

CUPRINS

Prefaţă…………………………………………………………………...………………….2

Capitolul 1. CAPITALIZAREA1.1. Dobânda simplă...............................................................................................................6 1.1.1. Determinarea sumei fructificate în regim de dobândă simplă...................................7 1.2.1. Mărimi specifice calculelor financiare legate de dobândă.........................................91.2. Dobânda compusă .........................................................................................................12 1.2.1. Suma fructificată în regim de dobândă compusă când perioada de plasament este

un număr întreg de unităţi etalon timp ..........................................................................................12 1.2.2. Suma fructificată în regim de dobândă compusă când perioada de plasament este un număr fracţionar de unităţi etalon timp ....................................................................................13

1.3. Ecuaţia pieţei monetare...............................................................................................151.4. Probleme rezolvate ....................................................................................................19

Capitolul 2. DIMENSIONAREA OPTIMĂ A FONDURILOR BĂNEŞTI LICHIDE2.1. Modele deterministe ..................................................................................................28 2.1.1. Cazul în care nu există posibilitatea apariţiei penuriei de fonduri băneşti

lichide…………………………………………………………………………………………….28 2.1.2. Cazul în care există posibilitatea apariţiei penuriei .............................................302.2. Modele probabiliste....................................................................................................33 2.2.1. Modele discrete ....................................................................................................33 2.2.2. Modele continue ..................................................................................................352.3. Probleme rezolvate ....................................................................................................37

Capitolul 3. PLĂŢI EŞALONATE (RENTE)……………………….……………….433.1. Anuităţi constante posticipate………………………………………….……………433.2. Anuităţi constante anticipate ………………………………………………………. 46

Capitolul 4. RAMBURSAREA ÎMPRUMUTURILOR ……………………………47 4.1. Amortizarea unui împrumut prin anuităţi constante posticipate…………………….474.2 Suma rambursată după plata a anuităţi…………………………………………...494.3 Legea urmată de diferenţe succesive a dobânzilor: în cazul

anuităţilor constante………………………………………...……………………………………504.4. Împrumuturi cu anuităţi constante şi dobândă plătită la începutul anului ………….504.5 Probleme rezolvate ………………………………………………………………….52

Capitolul 5. Elemente de calcul stochastic……………………………………...……..595.1. Legea distribuţiei normale (distribuţia Gauss sau Gauss-Laplace) ………………...595.2 Procesul Wiener……………………………………………………………………...63

BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………………. 66Anexe ……………………………………………………………………………………67

2

Prefaţă

Ingineria financiară este un domeniu interdisciplinar, care se ocupă de analiza cantitativă

a pieţelor financiare, utilizând modele matematice, statistice şi computaţionale. Inginerii

financiari aplică teoria financiară, metode matematice avansate, tehnologia informaţiei şi tehnici

de inteligenţă artificială în probleme privind pieţele financiare şi managementul financiar.

Principalele probleme abordate de ingineria financiară sunt:

- stabilirea preţului valorilor mobiliare (acţiuni, obligaţii) şi - în special - a produselor

financiare derivate (contracte forward, contracte futures, opţiuni, swap-uri);

- managementul riscului în operaţiile financiare;

- optimizarea portofoliului.

Ca ştiinţă, ingineria financiară (în engleză: financial engineering sau computational

finance) este strâns legată de matematicile financiare (engleză: financial mathematics sau

mathematical finance) şi de informatică (engleză: computer science, franceză informatique).

Ingineria financiară a devenit o profesie (în engleză: financial engineer, în franceză:

ingénieur financier) pentru care se face pregătire la nivel de masterat sau doctorat. Inginerul

financiar utilizează diferite metode de finanţare pentru a oferi un pachet de plan financiar

complet. El are capacitatea de a crea şi combina diferite instrumente financiare cu scopul

îndeplinirii unor obiective financiare licite, cu grad sporit de profit. În acest scop, el aplică

metode matematice avansate şi produse software specifice.

În mod regretabil, în România termenul inginerie financiară a căpătat şi o conotaţie

peiorativă, în prezent larg utilizată în presă, care înseamnă efectuarea de combinări financiare în

scop de evaziune fiscală sau în alte scopuri ilicite şi/sau imorale. Este evident că astfel de

operaţii nu necesită aplicarea de metode ştiinţifice şi nu au nici o legătură cu veritabila inginerie

financiară. Este, însă, adevărat şi faptul că orice realizări ştiinţifice şi tehnice pot fi aplicate nu

numai pentru binele oamenilor, ci şi pentru a le face rău; nu numai în acord cu legile în vigoare

și cu normele morale, ci și încălcându-le. Aceasta se referă, desigur, şi la ingineria financiară.

Cel care cunoaşte metodele şi tehnicile dezvoltate de ingineria financiară şi le aplică în scopuri

ilicite, poate aduce mult mai multe daune decât cel care nu le cunoaşte. Aceasta nu mai este,

însă, vina ingineriei financiare în sine, ci a persoanei care o aplică în scopuri dăunătoare.

3

Capitolul 1

CAPITALIZAREA

Termenul de dobândă în sensul accepţiunii actuale datează din secolul XVIII odată cu

apariţia primelor bănci şi a instituţiilor financiare specializate.

Noţiunea de dobândă se interpretează ca o remunerare a persoanelor care au acordat

împrumut (pornind de la ideea că această persoană a fost ea însăşi privată de anumite avantaje

materiale prin plasarea unei sume băneşti unei persoane fizice sau domeniu de activitate).

De-a lungul timpului au fost realizate numeroase teorii legate de dobândă, în principal

acestea clasificându-se astfel:

- teorii clasice (teorii monetariste, teoriile capitalului real etc.);

- teorii moderne asupra dobânzilor (teoria fondului de împrumut, teoria preferinţei pentru

lichiditate) .

Presupunem că de-a lungul perioadei se plasează suma (valoarea iniţială a

capitalului). Se notează cu valoarea capitalului la sfârşitul perioadei şi cu dobânda

obţinută de-a lungul perioadei , .

Avem relaţia: , unde reprezintă valoarea capitalizată.

Definiţia 1.1. Se numeşte dobândă (funcţie dobândă) corespunzătoare sumei şi

perioadei de plasament t, o funcţie care îndeplineşte următoarele

condiţii:

1. ;

2. .

Condiţia 1. precizează faptul că dobânda este strict crescătoare atât în raport cu suma

plasată, cât şi cu perioada de plasament.

Egalitatea 2. arată că dobânda obţinută este 0 atât în cazul în care suma plasată este nulă,

cât şi în cazul în care perioada de plasament este de asemenea nulă.

Observaţia 1.1. Deoarece există practic o infinitate de funcţii cu proprietăţile 1. şi 2.,

alegerea funcţiei dobândă în probleme concrete trebuie făcută cu mult discernământ. De

exemplu o funcţie dobândă poate să fie următoarea :

Într-adevăr:

4

Există mai multe accepţiuni ale noţiunii dobândă utilizate în teoria şi practica financiară:

dobândă unitară reală, dobânda unitară nominală, dobânda produsă de-a lungul unei perioade,

dobânda instantanee, dobânda aparentă.

În afara acestor accepţiuni există şi altele colaterale, cele mai importante fiind factorul de

capitalizare (fructificare), factorul de actualizare, scontul.

Se porneşte de la o sumă iniţială care de-a lungul perioadei este capitalizată

(fructificată) şi la momentul devine .

Dacă se notează funcţia dobândă de-a lungul perioadei vom avea imediat

egalitatea următoare:

Este evident că suma capitalizată depinde de suma iniţială şi de expresia analitică a funcţiei

dobândă.

Se impune introducerea a două noţiuni financiare importante.

Definiţia 1.2. a) Se numeşte procent dobânda corespunzătoare sumei = 100 u.m. şi

perioadei de plasament egală cu o unitate etalon timp (în mod obişnuit 1 an).

Procentul se notează şi prin urmare .

b) Se numeşte dobândă unitară reală mărimea notată corespunzătoare sumei plasate

u.m. şi an. Prin urmare .

Observaţia 1.2. Legăturile dintre procent şi dobânda unitară reală sunt date de următoarele

egalităţi:

Principalele mărimi specifice calculelor financiare în regim de dobândă sunt următoarele:

Dobânda relativă la perioada (scontul corespunzător perioadei )

Dobânda unitară efectivă relativ la perioada (rata dobânzii, taxa dobânzii); se notează cu

şi se defineşte prin egalitatea

5

Scontul relativ la perioada se notează uzual cu şi se defineşte prin egalitatea:

Observaţia 1.3. În urma unui calcul imediat, între scont şi dobânda unitară efectivă la

perioada există legătura :

.

Factorul de capitalizare (fructificare); se notează cu şi se defineşte prin egalitatea:

, de unde .

Factorul de actualizare; se notează cu şi se defineşte prin egalitatea:

, de unde .

Observaţia 1.4. În baza acestor relaţii se pot stabili efectiv mărimile sumelor capitalizate şi

actualizate:

.

Observaţia 1.5. Practic exprimă suma de care vom dispune la momentul prin plasarea

sumei cu dobânda .

Valoarea actuală este de fapt suma de care trebuie să dispunem iniţial astfel încât la

momentul să obţinem suma capitalizată lucrând cu dobânda .

1.1. Dobânda simplă

Este un instrument financiar specific calculelor pe termen scurt sau mediu.

Definiţia 1.3. Spunem că suma este plasată în regim de dobândă simplă de-a lungul

perioadei dacă dobânda unitară efectivă relativ la perioada este proporţională cu perioada ,

factorul de proporţionalitate fiind (dobânda unitară reală).

Prin urmare, în regim de dobândă simplă avem

.

În consecinţă, în regim de dobândă simplă, dobânda obţinută prin plasarea sumei de-a

lungul perioadei este

, deci

6

1.1.1. Determinarea sumei fructificate în regim de dobândă simplă

Vor fi analizate situaţiile în care perioada de plasament este un număr întreg de unităţi

etalon timp (an) şi cazul în care perioada de plasament este un număr fracţionar de perioade

etalon timp.

- Cazul în care este un număr întreg de unităţi etalon timp

a) Situaţia în care ;

În acest caz dobânda obţinută în regim de dobândă simplă prin plasarea sumei este

. Suma fructificată se notează cu şi se obţine adunând suma plasată şi dobânda

obţinută:

(1.1)

b) Cazul în care perioada de plasament este un număr întreg de unităţi etalon timp

În această situaţie dobânda obţinută este şi prin urmare suma fructificată la

sfârşitul perioadei este:

(1.2)

- Cazul în care este fracţionat

a) Situaţia în care , unde:

- reprezintă fracţiunea unităţii etalon timp

- reprezintă numărul de fracţiuni

Dobânda obţinută în condiţiile plasării sumei cu dobânda unitară este dată de

egalitatea:

Prin urmare suma fructificată la sfârşitul perioadei t este:

(1.3)

b) Situaţia în care unde:

= reprezintă număr întreg unităţi etalon timp,

= reprezintă fracţiune unitate etalon timp,

= reprezintă număr de fracţiuni.

Dobânda obţinută în regim de dobândă simplă este:

7

Suma fructificată în acest caz este:

(1.4)

1.1.2. Mărimi specifice calculelor financiare în regim de dobândă simplă

În cadrul calculelor financiare în regim de dobândă simplă se pot determina următoarele

mărimi:

1. Scadenţa comună

Se porneşte de la următoarele elemente:

- perioadele de plasament sunt ,

- Sumele plasate sunt ,

- Dobânda unitară anuală este .

Se pune problema de a înlocui sumele plasate şi perioadele de plasament

printr-o singură sumă şi o singură perioadă de plasament , care să aducă aceeaşi

dobândă simplă (cu aceeaşi dobândă unitară ) ca şi sumele de-a lungul perioadelor

.

Deoarece se pune problema de a obţine aceeaşi dobândă simplă, suntem conduşi la

egalitatea

,

de unde se poate determina relaţia următoare:

S2

S3

Sn

S

t1

t2

t3

tn

t

S1

8

(1.5)

Mărimea dată de (1.5) se numeşte scadenţă comună.

Observaţia 1.6. Scadenţa comună este unică doar în cazul în care suma este fixată, în

general existând o infinitate de perechi care verifică egalitatea (1.5). Graficul lui (ca

funcţie) este în raport cu o hiperbolă echilateră raportată la axă.

2. Scadenţa medie

Scadenţa medie este un caz particular de scadenţă comună, mai precis este cazul când

Prin urmare scadenţa medie este dată de egalitatea:

(1.6)

Practic, scadenţa medie corespunzătoare situaţiei în care suma plasată S este dată de suma

sumelor plasate de-a lungul perioadei (o situaţie foarte des întâlnită în practica

economică).

3. Procent mediu de depunere

Se porneşte de la următoarele elemente:

- Perioadele de plasament sunt ,

- Sumele plasate sunt ,

- Procentele (dobânzile practicate) sunt .

S

t

9

Se pune problema de a înlocui aceste procente printr-un procent unic care să ducă la

aceeaşi dobândă simplă în raport cu aceste sume. Avem:

(1.7)

4. Procente proporţionale

Definiţia 1.4. Procentele şi corespunzătoare perioadelor de plasament şi se

numesc proporţionale dacă

De exemplu, un procent de 80% anual este proporţional cu un procent de 20% trimestrial.

O caracteristică a procentelor proporţionale este faptul că aduc aceeaşi dobândă simplă în

decursul unei perioade fixate pentru orice sumă plasată .

Vom arăta acest lucru utilizând dobânda unitară anuală şi dobânda proporţională

corespunzătoare fracţiunii a anului (a unităţii etalon timp). Dobânzile şi fiind

proporţionale, avem:

(1.8)

Pentru comoditatea calculelor şi fără a influenţa rezultatul final vom analiza doar cazul în

care perioada de plasament este număr întreg de unităţi etalon timp. Se ştie că suma fructificată

în regim de dobândă simplă este:

(1.9)

în cazul în care se lucrează cu dobânda unitară .

Dacă lucrăm cu dobândă proporţionată , suma fructificată în regim de dobândă simplă

de-a lungul perioadei este

, deci (1.10)

Egalităţile (1.8) şi (1.9) arată că suma fructificată (şi implicit, dobânda simplă obţinută)

este aceeaşi, indiferent dacă utilizăm dobânda unitară anuală sau dobânda care este

proporţională cu .

10

1.2. Dobânda compusă

Este un concept economic ce caracterizează calculele financiare pe termen lung.

Caracteristic pentru regimul de lucru în dobânda compusă este faptul că perioadele de

plasament sunt mari, iar pentru unităţile etalon timp cea mai des întâlnită este anul. Spre

deosebire de regimul de lucru în dobânda simplă, dobânda obţinută în regim de dobândă

compusă este în general mai mare şi de aici rezultă aplicabilitatea mai mare a regimului de

dobândă compusă.

1.2.1. Suma fructificată în regim de dobândă compusă în situaţia în care perioada

este un număr întreg de unităţi etalon timp

În situaţia în care perioada de plasament t este un număr întreg de ani se porneşte de la

tabelul următor şi de la faptul că plasamentul în regim de dobândă compusă presupune ca până la

sfârşitul perioadei , suma plasată rămâne neschimbată pentru a aduce în continuare dobânda

simplă.

Perioada de

plasamentSuma plasată Dobânda simplă Suma fructificată

Prin urmare formula de fructificare în regim de dobândă compusă este:

(1.11)

Pornind de la egalitatea (1.5) se poate calcula efectiv şi dobânda obţinută în regim de

dobândă compusă:

(1.12)

Se pune probleme de a compara dobânda obţinută în regim de dobândă compusă şi

dobânda obţinută în regim de dobândă simplă ( ).

Utilizând inegalitatea lui Bernoulli, avem:

11

(1.13)

Observaţia 1.7. Legat de dobânzile obţinute în regim de dobândă simplă şi dobândă

compusă ,

avem următoarele reprezentări grafice:

(1,0)

Este evident că în orice perioadă mai mică decât cea unitate etalon timp dobânda simplă

este mai mare decât dobânda compusă; pentru orice altă perioadă mai mare decât unitatea etalon

timp relaţia se inversează.

1.2.2. Suma fructificată în regim de dobândă compusă în situaţia în care perioada

este un număr fracţionar de unităţi etalon timp

Presupunem că unde:

- reprezintă numărul întreg de unităţi etalon timp (an),

- reprezintă fracţiunea unităţii etalon timp,

- reprezintă numărul de fracţiuni.

Există două modalităţi de a calcula suma fructificată, acestea fiind cunoscute sub

denumirea de soluţia comercială şi soluţia raţională.

a) Soluţia raţională

12

În acest caz suma fructificată se determină adunând suma fructificată în regim de dobândă

compusă pentru partea întreagă de ani ( ) şi dobânda simplă obţinută pentru partea fracţionată

corespunzătoare sumei de plasare .

Prin urmare avem:

(1.14)

b) Soluţia comercială

Această modalitate de determinare a sumei fructificate se bazează pe noţiunea de procente

echivalente.

Definiţia 1.4. Două procente , corespunzătoare fracţiunilor , ale unităţii

etalon timp se zic echivalente dacă aduc aceeaşi dobândă compusă pentru o unitate monetară,

adică:

(1.15)

Dacă suma plasată este atunci egalitatea (1.14) se schimbă corespunzător

(1.16)

Observaţia 1.8. Procentele echivalente au fost introduse din considerentul că în regim de

dobândă compusă procentele proporţionale conduc la câştiguri diferite .

Vom considera dobânda unitară anuală i echivalentă cu dobânda corespunzătoare

fracţiunii a anului. Avem

(1.17)

Suma fructificată dată de soluţia comercială este:

(1.18)

Observaţia 1.9. Dacă se compară soluţia raţională (1.14) şi soluţia comercială (1.18) se

constată că soluţia comercială este mai mare.

0 T t

Suma fructificată în regim de dobândă compusă pe perioada

Suma fructificată în regim de dobândă

simplă

13

Observaţia 1.10. Legat de dobânzile obţinute în regim de dobândă simplă şi dobândă

compusă , avem următoarele reprezentări grafice:

Este evident că în orice perioadă mai mică decât cea unitate etalon timp dobânda simplă

este mai mare decât dobânda compusă; pentru orice altă perioadă mai mare decât unitatea etalon

timp relaţia se inversează.

Dacă ne raportăm la sumele fructificate în regim de dobândă simplă şi compusă,

, suntem conduşi la următoarele reprezentări grafice:

Este evident că se pot stabili următoarele relaţii:

, dacă ,

t

SD

CD

,S CD D

Si)

(1,0)

StS

CtS

,S Ct tS S

t

(0,S0)

(1,0)

14

, dacă .

1.3. Ecuaţia pieţei monetare

Ecuaţia pieţei monetare este practic, o ecuaţie de gradul întâi determinată de veniturile

maximale.

Considerăm, pentru început, situaţia în care la momentele şi veniturile sunt ,

respectiv , iar dobânda unitară practicată în intervalul este .

Venitul maxim la momentul corespunde situaţiei în care la momentul nu se

consumă nimic, prin urmare:

Evident, mărimea reprezintă valoarea actualizată la momentul a venitului

.

Analog, venitul maxim la momentul corespunde situaţiei în care la momentul

nu se consumă nimic, deci:

.

Mărimea reprezintă valoarea capitalizată la momentul a venitului .

În consecinţă, la momentele şi punctele din plan corespunzătoare veniturilor

maximale sunt şi .

Ecuaţia pieţei monetare în acest caz este de fapt ecuaţia unei drepte ce trece prin aceste

puncte:

de unde, după efectuarea calculelor rezultă imediat

.

0t 1t

i 1V0V

15

Se observă că pe această dreaptă se găseşte punctul , adică punctul ale cărui

coordonate sunt tocmai veniturile la momentele 0 şi 1.

În continuare, vom determina ecuaţia pieţei monetare corespunzătoare momentelor ,

şi . La aceste momente veniturile sunt şi , iar dobânzile unitare pe intervalele

, se notează , respectiv .

Veniturile maxime şi corespunzătoare acestor momente sunt următoarele (după un

raţionament asemănător cazului precedent):

Ecuaţia pieţei monetare în acest caz este de fapt ecuaţia unui plan care trece prin punctele

şi :

După efectuarea calculelor obţinem imediat ecuaţia căutată:

.

Se constată imediat că veniturile şi verifică ecuaţia pieţei monetare, deci punctul

se găseşte în planul (P). De asemenea, în cazul în care dobânzile unitare practicate

sunt egale, , ecuaţia pieţei monetare devine:

În cazul general ne vom raporta la momentele . Veniturile la aceste

momente se notează , iar reprezintă dobânzile unitare practicate în

intervalele de timp .

0t 1t 2t

0Vi2i1

1V 2V

16

Veniturile maxime corespunzătoare acestor momente sunt următoarele:

Ecuaţia pieţei monetare în acest caz este de fapt ecuaţia unui hiperplan care se poate

deduce relativ comod:

Concentrat, această ecuaţie poate fi scrisă sub forma următoare:

Ca şi în cazurile precedente se poate verifica că veniturile verifică ecuaţia

pieţei monetare, adică punctul se găseşte în hiperplanul (H).

Exemplu: Să se scrie ecuaţia pieţei monetare corespunzătoare momentelor şi , în

următoarele condiţii:

a) veniturile propuse sunt u.m., u.m.

b) rata dobânzii pe piaţa monetară este u.m..

Rezolvare: Ecuaţia pieţei monetare este practic, o ecuaţie de gradul întâi determinată de

veniturile maximale la momentele alese şi , deci ne situăm în primul caz.

0t 1t t n0V 2i1i 1V nV2V 1nV 1ni ni

2t 1t n

0t 1t

i 1V0V

17

Ecuaţia pieţei monetare se poate determina şi ţinând cont de următoarele.

- Valoarea capitalizată a sumei la momentul cu dobânda în regim de dobândă

compusă este:

- Valoarea actuală a sumei la momentul şi cu dobânda este:

În cazul nostru venitul maxim la momentul este dat de la care se adaugă valoarea

actuală a lui , adică

,

iar venitul maxim la momentul este dat de la care se adaugă valoarea capitalizată a lui

:

Ecuaţia pieţei monetare este de fapt ecuaţia unei drepte ce trece prin punctele de

coordonate şi unde:

Ecuaţia dreptei determinată de 2 puncte este:

Se observă că pe această dreaptă se găseşte şi punctul de coordonate .

Prin urmare ecuaţia pieţei monetare este dată de relaţia de mai jos:

18

Vom obţine punctele de coordonate A(7166,6;0); B(0,8600) şi C(3000,5000). Graficul acestei drepte este prezentat în figura de mai jos:

y

B(0,8600) C(3000,5000)

A(7166,6;0) x

1.4. Probleme rezolvate

Aplicaţia 1. Determinaţi astfel încât următoarele funcţii să fie funcţii dobândă

Rezolvare. Condiţiile care trebuie îndeplinite pentru ca cele două funcţii să fie funcţii

dobândă sunt următoarele:

1.

2.

Deci, de unde rezultă soluţia .

, adică .

Se observă că cele două condiţii sunt îndeplinite, deci funcţia este

funcţie dobândă.

19

de unde pentru .

, adică ecuaţie ce are soluţiile şi

.

Prin urmare cele două condiţii sunt îndeplinite, deci funcţia

este funcţie dobândă.

Aplicaţia 2. Precizaţi condiţiile în care următoarea funcţie este o funcţie dobândă:

.

Rezolvare. Pentru ca o funcţie să fie funcţie dobândă trebuie să satisfacă următoarele

condiţii:

.

Din cea de-a doua condiţie avem:

adică

,

ecuaţie ale cărei soluţii sunt , şi din care singura soluţie acceptată este .

de unde la fel ca în cazul precedent ecuaţia următoare

are soluţiile şi pentru care soluţia acceptată este .

De asemenea prima condiţie se scrie sub forma următoare:

.

Împărţind această ecuaţie cu 3 şi înlocuind pe t = 1 vom obţine:

,

de unde , adică , prin urmare

20

Aplicaţia 3. Să se calculeze suma capitalizată în regim de dobândă simplă, precum şi

dobânda simplă ştiind că suma plasată este de 10.000 u.m., perioada de plasament este de 5 ani şi

6 luni, iar dobânda unitară anuală este de 20%.

Rezolvare. Suma capitalizată pentru acest caz se calculează cu ajutorul formulei:

u.m.,

iar dobânda simplă este dată de relaţia u.m.

Aplicaţia 4. Determinaţi suma fructificată în regim de dobândă simplă ştiind că:

- Suma plasată este cea mai mare soluţie a ecuaţiei

- Dobânda unitară

- T = 4 ani şi 7 luni

Rezolvare. Se porneşte de la formula sumei fructificate:

unde

Pentru a determina suma plasată trebuie să rezolvăm ecuaţia:

.

Împărţim această ecuaţie prin şi vom obţine

Notând şi atunci ecuaţia de mai sus se poate scrie sub

următoarea formă

, ecuaţie ale cărei soluţii sunt şi .

Prin urmare revenind la notaţiile făcute avem

, de unde , adică .

.

Se observă cu uşurinţă că această ecuaţie nu are soluţii reale, ci doar complexe.

Deoarece pe noi ne interesează cea mai mare soluţie, evident aceasta este u.m.

21

Prin urmare suma fructificată în regim de dobândă simplă este:

u.m.

Aplicaţia 5. La momentele se plasează sumele . Să se determine

valoarea în jurul căreia se stabilizează scadenţa comună, cunoscând că , a > 1.

Rezolvare. Se porneşte de la următoarele elemente:

Pentru determinarea scadenţei comune vom utiliza următoarele formule matematice:

şi .

Scadenţa comună se calculează cu ajutorul relaţiei următoare:

.

Dacă notăm cu suma :

Observăm că această sumă este o progresie geometrică de raţie .

Derivăm relaţia de mai sus în raport cu , şi vom avea:

.

Înlocuind această sumă în limită vom avea:

22

Deci scadenţa comună se stabilizează în jurul valorii .

Aplicaţia 6. Determinaţi suma fructificată în regim de dobândă simplă ştiind că:

- u.m.,

- Dobânda unitară i este soluţia ecuaţiei ,

- Perioada de plasament este valoarea în jurul căreia se stabilizează scadenţa medie potrivit

datelor: şi sumele cu a =7/8.

Rezolvare. Scadenţa medie se calculează cu ajutorul relaţiei următoare:

Derivăm în raport cu a numărătorul relaţiei de mai sus:

Suma fructificată în regim de dobândă simplă se calculează cu ajutorul relaţiei:

Pentru a determina dobânda unitară i trebuie să rezolvăm ecuaţia:

.

Observăm că este una dintre soluţiile acestei ecuaţii, prin urmare acesta se poate

descompune astfel:

Soluţiile ecuaţiei sunt

Prin urmare dobânda unitară este dată de unica soluţie posibilă, adică i =0,85;

Suma fructificată, ţinând cont de toate acestea este dată de relaţia de mai jos:

23

Aplicaţia 7. Să se determine suma capitalizată pe o perioadă de 6 ani ştiind că suma plasată

este de 60.000 u.m. în următoarele condiţii: în primii doi ani capitalizarea se face în regim de

dobândă simplă, dobânda unitară anuală fiind de 0,15. În următorii patru ani capitalizarea se face

în regim de dobândă compusă, dobânda unitară anuală fiind de 0,1.

Rezolvare. În regim de dobândă simplă suma capitalizată se calculează după cum urmează:

u.m.

În regim de dobândă compusă, suma capitalizată se calculează astfel:

u.m.

Aplicaţia 8. Să se determine suma capitalizată pe o perioadă de 5 ani şi jumătate, ştiind că

suma plasată este de 10.000 u.m. în următoarele condiţii: în primii doi ani şi jumătate

capitalizarea se face în regim de dobândă simplă, cu o dobândă unitară de 0,09, iar în următorii

trei ani capitalizarea se face în regim de dobândă compusă, cu o dobândă unitară de 0,12.

Rezolvare. În regim de dobândă simplă suma capitalizată se calculează după cum urmează:

u.m.

În regim de dobândă compusă, suma capitalizată se calculează astfel:

u.m.

Aplicaţia 9. Să se determine dobânda pe o perioadă de 6 ani şi 5 luni, ştiind că suma

plasată este de 5.000 u.m. în următoarele condiţii: în primii trei ani şi cinci luni capitalizarea se

face în regim de dobândă simplă, cu o dobândă unitară de 0,14, iar în următorii trei ani

capitalizarea se face în regim de dobândă compusă, cu o dobândă unitară de 0,15.

Rezolvare. Dobânda simplă se calculează cu ajutorul relaţiei:

u.m.

Suma capitalizată în regim de dobândă simplă se poate calcula după relaţia următoare:

u.m.

Dobânda compusă se calculează pornind de la relaţia următoare:

u.m.

24

Aplicaţia 10. O sumă de 100.000 u.m. este plasată în regim de dobândă simplă, în perioada

de plasament t cu dobânda unitară anuală i, şi a condus la o dobândă simplă de 27.000 u.m..

Aceeaşi sumă este plasată în regim de dobândă compusă , pe aceeaşi perioadă, cu o dobândă

unitară anuală de 0,04 şi care a condus la o dobândă compusă de 4233,2 u.m. Să se determine

durata plasamentului celor două operaţiuni, precum şi dobânda unitară anuală a primei

operaţiuni.

Rezolvare. Pornind de la relaţia de calcul a dobânzii simple vom avea:

,

de unde , adică .

Ştiind că se plasează aceeaşi sumă, dobânda compusă este:

,

de unde , adică , deci an.

Deoarece an, dobânda unitară anuală a primei operaţiuni este de .

Aplicaţia 11. Cunoscând că suma veniturilor realizate la momentele şi au valoarea de 500 u.m., iar ecuaţia pieţei monetare este , să se determine consumurile maxime ce pot fi realizate la momentele şi .

Rezolvare. Din enunţul problemei reiese că u.m.

Trebuie să calculăm

Teoretic ecuaţia pieţei monetare este , iar în cazul nostru este

.Se constată că , iar

Se formează sistemul

În acest moment putem calcula veniturile maximale

25

Aplicaţia 12. Să se determine veniturile maxime ce pot fi realizate la momentele şi cunoscând că diferenţa veniturilor la aceste momente este 200 u.m., iar ecuaţia pieţei

monetare este .Rezolvare. Din enunţul problemei ştim că

u.m.

Trebuie să determinăm veniturile maxime la momentele şi

Teoretic ecuaţia pieţei monetare este , iar în cazul nostru este

.Se constată că , iar

Se formează sistemul

Aşadar veniturile maximale pot fi calculate:

26

Capitolul 2

DIMENSIONAREA OPTIMĂ A FONDURILOR BĂNEŞTI LICHIDE

În principal, fondurile băneşti ale unei unităţi economice se compun din următoarele

elemente:

- fondurile băneşti lichide;

- depozitele bancare la vedere;

Ponderea cea mai mare o reprezintă depozitele bancare.

Fondul bănesc lichid este necesar într-o unitate economică, atât pentru a rezolva anumite

probleme curente cât şi pentru a aduce dobândă, dacă este depus în bancă.

Prin urmare, este necesar ca fondul bănesc lichid să fie dimensionat optim. În acest fel,

instituţia îşi poate plăti toate obligaţiile, iar restul de bani este depus în bancă pentru a aduce

dobândă.

Motivele importante pentru care o unitate economică trebuie să dispună de un fond bănesc

lichid, sunt următoarele:

Efectuarea diferitelor plăţi (impozite, salarii, dividende etc.);

necesitatea efectuării unor operaţiuni financiare speculative (atunci când se poate profita de

anumite situaţii avantajoase);

Efectuarea unor operaţiuni financiare de precauţie (de exemplu, este posibil ca valoarea

vânzărilor să scadă şi deci, unitatea va trebui să adopte măsurile în consecinţă);

Modelele de dimensionare a fondurilor băneşti lichide îşi au originea în metodele optimale

de gestionare a stocurilor materiale. Primul model a fost elaborat de Baumol, în 1952.

Modelele de dimensionare a fondurilor băneşti lichide se clasifică astfel:

Modele deterministe se disting următoarele situaţii:

- cazul în care nu există posibilitatea apariţiei penuriei;

- cazul în care există posibilitatea apariţiei penuriei;

Modele aleatoare (probabiliste);

- modele discrete;

- modele continue;

Modele deterministe se caracterizează prin lipsa factorilor aleatori. Mai precis, aceste

modele nu conţin parametri ce trebuie determinaţi statistic.

27

Modelele probabiliste se caracterizează în principal pe faptul că cererea de fonduri băneşti

este descrisă de o variabilă aleatoare. În funcţie de tipul acestei variabile aleatoare (discretă sau

continuă) modelele sunt la rândul lor discrete sau continue.

2.1. Modele deterministe

2.1.1. Cazul în care nu există posibilitatea apariţiei penuriei de fonduri băneşti

Acest model este cunoscut sub denumirea de modelul lui Wilson şi se caracterizează, în

principal, pe faptul că de-a lungul întregii perioade analizate se poate evita apariţia penuriei

băneşti.

Se adoptă următoarele notaţii:

reprezintă valoarea de fond bănesc solicitat în ; Mărimile şi se consideră

cunoscute;

reprezintă valoarea comenzii/tranzacţiei ( este mărime cunoscută);

reprezintă intervalul dintre două comenzi consecutive;

reprezintă numărul de comenzi;

reprezintă costul unitar al comenzii;

reprezintă costul unitar de penalizare, în cazul imobilizării fondurilor.

Se adoptă următoarele ipoteze:

- Comenzile se efectuează la intervale egale de timp;

- Valoarea comenzilor este aceeaşi.

Observaţia 2.1. Aceste ipoteze au caracter simplificator din punct de vedere al calculelor,

dar nu influenţează rezultatele finale.

Observaţia 2.2. Aceste ipoteze conduce la egalitatea următoare:

(2.1)

(2.2)

Schematic, aceste ipoteze conduc la imaginea următoare:

Funcţia de eficienţă adoptată în acest caz este costul total de gestionare al fondului bănesc

x x x

0 1t 2t 3t

T

nT

28

lichid. Fiind vorba despre o problemă de cost, va trebui să determinăm valoarea comenzii şi

timpul optim între două comenzi consecutive, astfel încât costul total să fie minim.

Se notează cu reprezintă costul total de gestionare a fondului bănesc utilizat. are

următoarele componente:

- reprezintă costul propriu zis şi se consideră a fi proporţional cu nivelul fondului

mediu:

- reprezintă costul comenzii şi este dat de produsul dintre costul unitar al comenzii şi

numărul de comenzi:

Observaţia 2.3. Costurile parţiale şi au fost considerate doar în variabila şi nu în

variabile şi . În baza egalităţilor (2.41) şi (2.42) care arată că aceste variabile nu sunt

independente.

(2.3)

Soluţiile optime şi se determină rezolvând problema şi ţinând seama de (2.1)

şi (2.2) .

- este soluţia care minimizează funcţia şi prin urmare se impun condiţiile:

Deoarece înseamnă că soluţia optimă căutată se determină ca soluţie a ecuaţiei

.

Şi deci:

(2.4)

29

Singura soluţie acceptată este:

Cunoscând volumul optim al comenzii se pot determina imediat următoarele elemente:

1. Costul minim de gestionare a fondului bănesc

2. Timpul optim între două comenzi consecutive

(2.5)

2.1.2. Cazul în care există posibilitatea apariţiei penuriei

Spre deosebire de modelul precedent, se va presupune că în intervalul este posibilă

apariţia penuriei de fond bănesc .

Pentru comoditatea calculelor şi fără a influenţa rezultatele finale vom presupune că

această penurie apare o singură dată.

Se păstrează aceeaşi semnificaţie din modelul precedent pentru variabilele şi .

Se notează:

= momentul apariţiei penuriei

= momentul în care după apariţia penuriei nivelul fondului bănesc redevine max.

= nivelul fondului maxim

= nivelul cererii maxime.

Fond bănesc pozitiv

30

Fond bănesc negativ

Observaţia 2.4. Din această schemă rezultă imediat că reprezintă intervalul de timp

scurs de la momentul apariţiei penuriei până la momentul în care fondul bănesc a redevenit

maxim.

În mod obişnuit am putea considera şi variabile curente, dar în baza egalităţii

, adică vom considera variabile pe şi , adică nivelul fondului maxim

şi suma dintre fondul maxim şi cererea maximă.

Factorul de eficienţă în acest caz se notează cu şi reprezintă costul total de gestionare a

fondului bănesc.

Costul are următoarele componente:

- reprezintă costul propriu zis al fondului; se consideră a fi proporţional cu nivelul

fondului mediu.

,

unde reprezintă un factor de proporţionalitate;

- reprezintă costul de penurie; se notează cu costul unitar de penurie şi se presupune

că este proporţional cu nivelul cererii medii.

- reprezintă costul comenzii. ca şi în cazul precedent este dat de numărul de comenzi

cu costul unitar comenzii.

, adică

Prin urmare costul total de gestionare are următoarea reprezentare analitică:

(2.6)

Observaţia 2.5. Pentru comoditatea calculelor, dar fără a influenţa rezultatele finale, se

presupun în plus, următoarele ipoteze:

(2.7)

(2.8)

31

Din relaţiile (2.6),(2.7) şi (2.8) rezultă următoarea exprimare:

Fiind vorba de o problemă de cost, trebuie rezolvată problema

Dacă sunt soluţiile optime care minimizează costul total , înseamnă că şi

verifică condiţiile:

1.

2.

unde

şi

Prin calcul direct, asemănător cazului precedent se poate arăta că: şi .

Prin urmare, valoarea optimă căutată se determină rezolvând sistemul:

(2.9)

Soluţiile sistemului (2.9) (adică soluţiile optime căutate) rezultă imediat după un calcul

relativ comod:

(2.10)

După determinarea soluţiilor optime date de formula (2.10), se pot calcula imediat

următoarele elemente:

Costul total de gestionare a fondului bănesc lichid: )

Timpul optim între două comenzi consecutive:

32

2.2. Modele probabiliste

Aceste modele sunt utilizate în situaţia concretă, când cererea de fonduri băneşti este

descrisă de o variabilă aleatorie.

2.2.1. Modele discrete

Modelele discrete corespund situaţiei în care cererea de fonduri băneşti e descrisă de o

variabilă aleatoare de tip discret.

Presupunem că distribuţia variabilei aleatoare este următoarea:

unde este finit/infinit.

În practica financiară curentă n are valoarea 7, de 10 sau 30 ceea ce înseamnă că cererea de

fonduri băneşti este analizată săptămânal, pe decade sau lunar.

Observaţia 2.6. Concentrat, variabila aleatoare se poate scrie în forma:

unde este număr natural.

Condiţiile ca să fie variabilă aleatoare discretă sunt următoarele:

Cunoaşterea efectivă a cererii de fonduri băneşti nu este suficientă pentru a determina

valoarea optimă a fondului bănesc necesar unei unităţi economice. Din acest motiv, se

construieşte o nouă variabilă aleatoare, pornind de la o valoare oarecare a fondului bănesc.

Această variabilă o vom nota cu şi se construieşte cu ajutorul variabilei aleatoare (ce

descrie cererea de fonduri băneşti) şi cu ajutorul a doi coeficienţi şi a căror semnificaţie

este următoarea:

- reprezintă costul unitar de penalizare, în cazul imobilizării fondurilor,

- reprezintă costul unitar de penalizare datorită imposibilităţii efectuării plăţilor.

33

Variabila aleatoare este egală cu variabila costului de formare a fondurilor băneşti

sau cu variabila de cost, care are următoarea distribuţie:

Se notează cu valoarea medie a variabilei costului; nivelul optim al fondului

şi se consideră a fi acela pentru care se realizează minimul valorii medii a variabilei costului .

Altfel spus este nivelul optim căutat al fondului bănesc, dacă este soluţia problemei:

(2.11)

Observaţia 2.7. O funcţie se zice discretă dacă domeniul de definiţie este o mulţime de

elemente ,... . Punctul este punct de minim pentru o funcţie discretă dacă este

îndeplinită funcţia următoare:

În baza acestor observaţii este soluţia problemei (2.11), dacă sunt îndeplinite

următoarele condiţii:

(2.12)

Determinarea lui din condiţia (2.12) este dificilă şi din acest motiv vom formula doar

rezultatul final:

Teorema 2.1. Nivelul optim al fondului bănesc, verifică următoarea dublă inegalitate:

(2.13)

Determinarea lui verificând inegalitatea (2.13) este mai comodă decât în cazul

inegalităţilor (2.12) pentru că variabila aleatoare admite o reprezentare mai simplă decât

variabila .

f

n0-1 n0 n0+1

x

34

Observaţia 2.8. Între nivelul optim şi coeficienţii de penalizare şi se pot stabili

următoarele inegalităţi:

(2.14)

Inegalităţile (2.14) sunt utile în calculele financiare în situaţia în care cunoscând nivelul

optim şi doar unul din coeficienţii de penalizare se poate determina şi celălalt coeficient de

determinare.

Nivelul optim poate fi cunoscut fie în baza unor rezultate similare, fie în baza unor

studii de prognoză (rezultate similare trebuie înţelese în sensul comparării) cu unităţile

economice cu profil asemănător şi care utilizează aceeaşi indicaţie financiară.

2.2.2. Modele continue

În acest caz cererea de fonduri băneşti este descrisă de o variabilă aleatoare de tip

continuu. Dacă este densitatea de probabilitate asociată acestei variabile aleatoare vom avea şi

pentru variabila următoarea reprezentare:

Intervalul este cunoscut, capătul fiind infinit sau finit, iar capătul . Păstrând

semnificaţia coeficienţilor şi se introduce asemănător cazului precedent variabila costului

.

Nivelul optim este cel care minimizează valoarea medie a variabilei aleatoare

atunci . Pentru ca să fie soluţie a acestei probleme de minimizare

trebuie îndeplinite condiţiile:

(2.15)

35

(2.16)

Efectuând calculele, obţinem că derivata de ordin 1 şi 2 ale variabilei medii a variabilei

costului, calculele în punctul sunt următoarele:

(2.17)

(2.18)

Din egalitatea (2.17) rezultă imediat că derivata de ordin 2 a valorii medii calculate în

punctul optim este tot timpul pozitivă (pentru că membrul drept din relaţie este produsul a

două numere pozitive) . Prin urmare inegalitatea (2.16) este tot timpul verificată. În consecinţă

nivelul optim căutat se determină rezolvând ecuaţia (2.15).

În baza egalităţii (2.16) rezultă că căutat este soluţia ecuaţiei:

(2.19)

Observaţia 2.9. Între coeficientul de penalizare şi şi nivelul optim se poate

stabili imediat egalitatea:

(2.20)

Observaţia 2.10. După determinarea nivelului optim al fondului bănesc se poate

calcula efectiv costul formării acestui fond. Costul de formare al fondului bănesc este

valoarea medie a variabilei , mărimea acesteia fiind:

- în cazul discret

- în cazul continuu

2.3. Probleme rezolvate

36

Aplicaţia 1. Necesarul de fond bănesc în decurs de un an pentru o întreprindere oarecare

este estimat la 20.000 u.m. Costul unitar de stocare este 0,10 u.m., iar costul comenzii este

valoarea medie a unei variabile aleatoare continue a cărei densitate de probabilitate este

.

Să se determine nivelul comenzii optime şi timpul optim între două comenzi consecutive în

situaţiile:

- nu există penurie de fond bănesc

- există posibilitatea apariţiei penuriei de fond bănesc, şi costul unitar de penalizare în acest

caz este 10 u.m.

Rezolvare. Plecând de la datele problemei:

an

u.m.

u.m.

u.m.

se porneşte de la formula valorii medii pentru cazul continuu:

.

Pentru rezolvarea acestei integrele se folosesc următoarele formule de calcul:

.

Deci .

Costul comenzii este dat de relaţia următoare:

Calculăm nivelul comenzi optime şi timpul optim în cazul în care nu există penurie de fond

bănesc.

37

.

Cazul în care există posibilitatea apariţiei penurie de fond bănesc:

.

Aplicaţia 2. Necesarul de fond bănesc în decurs de un an este estimat pentru o

întreprindere a fi de 10.000 u.m. Costul comenzii este 200 u.m., iar costul unitar de stocare este

mediana variabilei aleatoare continue de densitate .

Să se determine nivelul comenzii optime şi timpul optim între două comenzi consecutive în

situaţiile:

- nu există posibilitatea apariţiei penuriei de fond bănesc

- există posibilitatea apariţiei penuriei de fond bănesc şi costul unitar de penalizare în acest

caz este 20 u.m.

Rezolvare. Se porneşte de la datele problemei

zile

u.m.

u.m.

.

Ştim că mediana variabilei aleatoare continue este dată de relaţia:

Prin urmare costul unitar de stocare este h = Me = 60.

Calculăm nivelul comenzii optime şi timpul optim în cazul în care nu există penurie:

38

Calculăm nivelul comenzii optime şi timpul optim în cazul în care există posibilitatea

apariţiei penuriei de fonduri băneşti:

Aplicaţia 3. Necesarul de fond bănesc lichid este descris de variabila aleatoare discretă:

.

Să se determine nivelul fondului optim şi costul realizării acestui fond ştiind că se percep

penalizările unitare = 30 u.m. şi u.m. în cazul imobilizării fondului, respectiv

imposibilitatea efectuării plăţilor.

Rezolvare. Ştim că nivelul optim al fondului bănesc verifică următoarea dublă inegalitate:

.

Prin urmare putem calcula raportul următor:

.

Deci nivelul fondului optim are valoarea u.m.

Costul de formare al fondului bănesc optim se calculează cu ajutorul următoarei relaţii:

.

Prin urmare costul de realizare al fondului bănesc lichid este u.m.

Aplicaţia 4. Necesarul de fond bănesc lichid este descris de variabila aleatoare discretă:

39

.

Cunoscând nivelul u.m. al fondului bănesc optim şi u.m. costul unitar de

penalizare în cazul imobilizării fondului să se determine costul realizării fondului bănesc optim.

Rezolvare. Plecăm de la faptul că:

Din relaţia de mai sus putem calcula

.

Prin urmare coeficientul de penalizare .

Costul de formare al fondului bănesc optim este:

adică are valoarea u.m.

Aplicaţia 5. Necesarul de fond bănesc lichid este descris de o variabilă aleatoare continuă a

cărei densitate este Să se determine nivelul fondului optim şi

costul realizării acestui fond ştiind că se percep penalizările unitare u.m. şi u.m.

în cazul imobilizării fondurilor, respectiv imposibilităţii efectuării plăţilor.

Rezolvare. Nivelul optim al fondului bănesc este:

Raportul coeficienţilor de penalizare are valoarea de mai jos:

40

În urma rezolvării integralei se obţine ecuaţia:

, adică ,

ecuaţie care are soluţiile

Prin urmare nivelul optim are valoarea: u.m.

Calculăm costul realizării fondului bănesc cu ajutorul formulei:

u.m.

Aplicaţia 6. Pentru a face faţă diferitelor angajamente financiare, o unitate economică are

nevoie de un anumit fond bănesc lichid. S-a constatat că cererea de fond bănesc lichid este

descrisă de o variabilă aleatoare continuă a cărei densitate este ,

iar nivelul optim este u.m.

Să se determine costul realizării acestui fond bănesc cunoscând costul unitar

u.m. în cazul imposibilităţii efectuării plăţilor.

Rezolvare. Trebuie să calculăm pe cu ajutorul formulei

, unde .

Deci, .

Prin urmare costul

Costul realizării de fond bănesc este:

41

u.m.

42

Capitolul 3PLĂŢI EŞALONATE (RENTE)

Definiţia 3.1. Se numesc plăţi eşalonate (rente), sumele de bani plătite la intervale de timp egale.

Se numeşte perioadă intervalul de timp care separă plata a două sume.Dacă perioada este anul, plăţile eşalonate se numesc anuităţi. (semestrul – semestrialităţi,

trimestrul – trimestrialităţi, luna - mensualităţi).

Plăţile eşalonate pot fi:1. plăţi eşalonate de plasament (sau de fructificare), făcute pentru constituirea unei sume

de bani2. plăţi eşalonate de amortizare (sau de rambursare), în vederea rambursării unei datorii.

Plăţile eşalonate pot fi:- anticipate (la începutul perioadei),- posticipate (la sfârşitul perioadei).

Plăţile eşalonate pot fi:- temporare (numărul de plăţi este finit şi fixat prin contract),- perpetue (numărul plăţilor este nelimitat),- viagere (numărul plăţilor depinde de viaţa unei persoane).

Plăţile eşalonate pot fi:- constante (sumele depuse sunt constante),- variabile (sumele depuse sunt variabile).

3.1. Anuităţi constante posticipate

a) Valoarea finală a unui şir de anuităţi constante, imediate, temporare Notăm:T = valoarea anuităţii constante,n = numărul de ani,i = dobânda unitară anuală,

= valoarea sau suma finală a şirului de anuităţi în momentul n (momentul plăţii ultimei anuităţi).

T T T | | | ………… | | 0 1 2 n-1 n

T

- factor de fructificare

43

Deci .

Observaţia 3.1. Pentru (o unitate monetară) suma finală a unui şir de n anuităţi constante posticipate este:

şi deci

b) Valoarea finală (suma finală) a unui şir de anuităţi posticipate, constante, temporare, amânate,

Anuităţile sunt amânate r ani, .Prima plată se face posticipat, după r ani (prima plată făcându-se deci la momentul )

timp de ani.

T T T T | | | …….. | | | …… | | 0 1 2 …….. r r+1 r+2 ….. n-1 n

n-r termeni

r Sn = sau

Observaţia 3.2. Valoarea finală a şirului de anuităţi posticipate egale cu calculate pe ani, dar amânate ani, este egală cu valoarea finală a acestor plăţi, imediate, dar calculate numai

pe ani.

Exemplu Să se calculeze valoarea finală a unui şir de 10 anuităţi egale cu 1000 u.m. , plătibile la sfârşitul fiecărui an (dar amânate 5 ani) cu procentul .

Rezolvare: , ,

u.m.

c) Valoarea actuală a unui şir de anuităţi constante, posticipate, temporare, imediate,

44

Definiţia 3.2. Se numeşte valoarea actuală a unui şir de anuităţi (constante, posticipate, temporare, imediate) suma necesară şi suficientă în momentul iniţial pentru a se putea plăti

scadenţele fixate la scadenţele (constante în valoare de T unităţi monetare).

T T T T | | | ………… | | 0 1 2 … n-1 n An

Observaţia 3.2. este egală cu suma valorilor actuale a fiecărei anuităţi.

Observaţia 3.3 Pentru (o unitate monetară) notăm şi deci .

Exemplu Ce sumă unică depusă imediat poate să înlocuiască plata a 12 anuităţi constante ( u.m.) posticipate, cu procentul de 5% ?

d) Valoarea actuală a unui şir de anuităţi (constante, posticipate, perpetue, imediate)

Anuităţile sunt perpetue, deci plata se efectuează nelimitat.

Pentru , avem şi dacă .

e) Valoarea actuală a unui şir de anuităţi (constante, posticipate, temoprare, amânate)

Plata se face după r ani, posticipat, timp de (n-r) ani.

T T T T | | | …….. | | | …… | | 0 1 2 …….. r r+1 r+2 ….. n-1 n

Deci: .

Exemplu Care este suma unică pe care urmează să o plătească o persoană pentru a înlocui plata a 12 anuităţi posticipate de 3000 u.m. fiecare, amânate 3 ani, cu procentul ?

Rezolvare: , , u.m.

3.2. Anuităţi constante anticipate

45

a) Valoarea finală a unui şir de anuităţi constante, anticipate, temporare, imediate

T T T T | | | …….. | | 0 1 2 …….. n-1 n

este egală cu suma valorilor finale a fiecărei anuităţi, la momentul n.

Deci .

Pentru obţinem valoarea finală a unui şir de anuităţi anticipate a 1 u.m.; notăm .

şi deci .

b) Valoarea finală a unui şir de anuităţi anticipate, constante, temporare, amânate

T T T T | | | …….. | | | …… | | 0 1 2 …….. r r+1 r+2 ….. n-1 n

Deci: , adică .

c) Valoarea actuală a unui şir de anuităţi constante, anticipate, imediate, temporare

Definiţia 3.3. Se numeşte valoarea actuală a unui şir de anuităţi anticipate, suma necesară şi suficientă în momentul iniţial pentru a se putea plăti la fiecare din scadenţele fixate

suma egală cu T. Notăm cu această sumă.

T T T T | | | …….. | | 0 1 2 …….. n-1 n

.

.

46

Capitolul 4RAMBURSAREA ÎMPRUMUTURILOR

Definiţia 4.1. În sens general, se numeşte împrumut, o operaţiune financiară prin care un partener (individual sau un grup) plasează o sumă de bani, pe o perioadă de timp dată şi în anumite condiţii, unui alt partener .

se numeşte creditor. se numeşte debitor.

Definiţia 4.2. Operaţiunea prin care restituie partenerului suma de care a beneficiat (suma împrumutată) se numeşte rambursarea (sau amortizarea) împrumutului.

Prin urmare, împrumutul este o operaţiune ce conţine două părţi distincte şi anume creditarea şi rambursarea.

Fiecare componentă reprezintă o operaţiune de plăţi eşalonate.În general cele două operaţiuni nu au loc simultan şi deci valoarea lor finală nu este

aceeaşi. Ele au în comun valoarea actuală a rambursării, adică valoarea împrumutată.Împrumutul se constituie prin anuităţi constante formate din:- rambursarea unei părţi a datoriei;- dobânda asupra părţii din datoria rămasă la începutul perioadei în care se efectuează plata.

Aceste sume rambursate anual şi care au rolul de a amortiza treptat suma împrumutată, se numesc amortismente.

4.1. Amortizarea unui împrumut prin anuităţi constante posticipate

Fie suma împrumutată la momentul iniţial.Fie anuităţile succesive, astfel:- prima anuitate ( ) se plăteşte la un an de la acordarea împrumuturilor;- a doua se plăteşte un an mai târziu, ş.a.m.d.

Fie amortismentele succesive conţinute în prima, a doua,…, a n-a anuitate.Fie i dobânda unitară nominală a împrumutului.Fie n numărul de ani în care se face rambursarea.

Momentul

Suma rambursată Suma rămasă

0

1

2

… … …p

… … …n

Deoarece şi deci .

47

a) Relaţia dintre suma împrumutată şi amortismente

b) Relaţia între anuităţi şi amortismente

.

(4.1)

Observaţia 4.1. Formula (4.1) este adevărată oricum am alege anuităţile.

Cazuri particulare:

1) Anuităţile sunt egale între ele:

Atunci din (4.1), obţinem: , adică :

(4.2)şi se arată uşor prin inducţie că:

(4.3)

Prin urmare, în cazul anuităţilor egale când amortismentele succesive formează o progresie geometrică crescătoare cu raţia .

2) Amortismentele sunt constante (egale între ele):

Atunci din (1), obţinem: , deci:

(4.4)Prin urmare, în cazul amortismentelor egale, anuităţile succesive formează o progresie

aritmetică de raţie , deci o progresie aritmetică descrescătoare.

Observaţia 4.2. În cazul 1) al anuităţilor egale între ele, amortismentele formează o progresie geometrică de raţie . Avem:

Notăm:

48

(4.5)Deci:

(4.6)

Relaţiile (4.5) şi (4.6) pot fi scrise sub formă echivalente, notând .

; (4.7)

Observaţia 4.3. Formulele (4.5) – (4.7) ne dau relaţiile între sumele împrumutate şi primul amortisment.

3) Relaţiile dintre anuităţile constante şi suma împrumutată

Ţinând seama de echivalenţa dintre suma împrumutată şi anuităţile actualizate pe baza dobânzii unitare nominale i, rezultă:

sau:

(4.8)

Relaţia de mai sus evidenţiază legătura dintre anuităţile posticipate constante şi suma împrumutată.

4.2 Suma rambursată după plata a anuităţi

.

În cazul anuităţilor constante:

.

sau:

(4.9)Relaţia (4.9) evidenţiază legătura dintre suma rambursată în primii p ani şi primul

amortisment.Ţinând cont de (4.7), obţinem:

(4.10)

49

Această relaţie evidenţiază legătura dintre suma rambursată în primii p ani şi suma împrumutată.

După plata anuităţii de rangul p, rămâne de plătit suma :

sau

(4.11)

4.3 Legea urmată de diferenţe succesive a dobânzilor: în cazul anuităţilor constante

, , .

deci:

, .

Prin urmare:

………………………

Observaţia 4.4. Diferenţele , , formează o progresie geometrică de raţie şi cu primul termen .

Tabel de rambursare:

Anii

Suma datorată la începutul anului

Dobânda Amortismentul

Anuitatea Suma datorată la sfârşitul anului

1

2

3

… … … … … …n-1

n

4.4. Împrumuturi cu anuităţi constante şi dobândă plătită la începutul anului

La semnarea contractului se plăteşte dobânda pentru primul an, , deci suma reală ridicată este , iar pentru fiecare din anii următori se plăteşte amortismentul şi împreună cu el dobânda asupra sumei rămase de plată la începutul anului.

Anul 0 Suma efectiv primită

50

Anul1

Anul 2

… … …Anul p

Anul p+1

… … …Anul n-1

Anul n

Calculând diferenţa dintre două anuităţi consecutive, obţinem:

Deci:

(4.12)

Dacă presupunem că anuităţile sunt egale , vom obţine:

sau, notând

(4.13)

Prin inducţie după p rezultă că în sistemul de împrumut cu dobânzile plătite la începutul anului şi anuităţi constante, amortismentele formează o progresie geometrică de raţie .

(4.14)

Exemplu.O persoană împrumută o sumă de bani pe care urmează să o ramburseze în 6 ani prin anuităţi constante posticipate. Suma primelor două amortismente este 9226630 lei, iar suma dintre al doilea şi al treilea amortisment este 9559690 lei.

Să se calculeze:procentul p al împrumutuluiprimul amortisment ( )ultimul amortisment ( )anuitatea (T)valoarea împrumutului ( )Rezolvare.

u.m.

51

u.m.

u.m.

u.m.

4.5 Probleme rezolvate

Aplicaţia 1. Se împrumută o sumă ce trebuie rambursată în 6 ani prin anuităţi constante

posticipate. Suma primelor două amortismente este de 10.000 u.m., iar suma dintre al doilea şi al

treilea amortisment este de 10.500 u.m. Să se determine valoarea împrumutului.

Rezolvare. Din datele problemei reiese că

Ştim de asemenea că dacă anuităţile sunt constante (egale) atunci amortismentele sunt în

progresie geometrică :

Trebuie să calculăm valoarea împrumutului pe o perioadă de 6 ani:

Pornim de la următorul sistem:

.

Deci rezultă că: .

Atunci

u.m.

52

Valoarea împrumutului este: .

Cum rezultă că .

Aplicaţia 2. Să se determine valoarea unui împrumut pe o perioadă de 7 ani, ştiind că după

3 ani au mai rămas de plată 1.500 u.m., iar după 5 ani au mai rămas de plată 1.000 u.m.,

rambursarea făcându-se în condiţii de anuităţi egale.

Rezolvare. Pornim de la faptul că valoarea împrumutului este

.

iar suma rămasă de plată

.

Vom rezolva sistemul:

ecuaţia: .

Împărţim această ecuaţie prin şi obţinem: .

Dacă notăm atunci vom avea ecuaţia: care are soluţiile şi .

Vom avea două situaţii:

1. Când adică . Dar cu u=1+i rezultă că .

2. Când adică imposibil.

Calculăm primul amortisment, adică u.m.

Deci valoarea împrumutului este

u.m.

Aplicaţia 3. Să se determine valoarea unui împrumut corespunzător unei perioade de 5 ani,

ştiind că anuităţile sunt egale, iar diferenţele succesive ale dobânzilor corespunzătoare primilor

ani sunt de 550 u.m. şi de 605 u.m.

53

Rezolvare. Se porneşte de la faptul că : .

De aici rezultă sistemul

.

Cum rezultă că u =1,1.

Calculăm primul amortisment din prima ecuaţie a sistemului :

u.m.

Valoarea împrumutului este u.m.

Aplicaţia 4. Să se determine nivelul dobânzii practicate în cadrul unui împrumut pe o

perioadă de 8 ani, ştiind că după 2,3 şi 4 ani au mai rămas de plată sumele 6.000 u.m., 4.500 u.m.

şi 4.000 u.m. Să se calculeze valoarea împrumutului dacă anuităţile sunt egale.

Rezolvare. Se porneşte de la formula de calcul a valorii împrumutului:

.

Se ştie din datele problemei că:

Vom avea sistemul: .

Rezultă:

Se împarte această ecuaţie prin şi obţinem ecuaţia:

cu soluţiile şi .

Dacă atunci – imposibil

54

Dacă atunci – imposibil.

Aplicaţia 5. Să se determine ultimul amortisment şi anuitatea corespunzătoare unui

împrumut pe 5 ani, ştiind că anuităţile sunt egale şi diferenţele succesive ale dobânzilor

corespunzătoare primilor 3 ani sunt 500 u.m. şi 600 u.m.

Rezolvare. Plecăm de la faptul că: .

Rezultă sistemul: .

Deci

Calculăm primul amortisment şi anume .

Ştim că anuităţile sunt egale, amortismentele vor fi în progresie geometrică şi atunci

ultimul amortisment se calculează astfel: u.m.

Anuitatea corespunzătoare unui împrumut pe 5 ani este:

u.m.

Aplicaţia 6. Să se determine valoarea unui împrumut pe o perioadă de 8 ani prin anuităţi

egale ştiind că după 4 ani au mai rămas de plată 2000 u.m., iar după 6 ani au rămas 1000 u.m.

Rezolvare. Pornim de la relaţia valorii împrumutului:

.

Din datele problemei reiese că:

Rezultă sistemul:

Deci, ecuaţia .

Dacă notăm atunci vom avea ecuaţia: cu soluţia: .

Cum - imposibil.

Aplicaţia 7. Să se alcătuiască planul de rambursare a unui împrumut în valoare de 1000

u.m., corespunzător unei perioade de 5 ani şi cu procentul de 12 % ştiind că:

55

a) amortismentele sunt egale

b) anuităţile sunt egale

Rezolvare. a) Plecând de la faptul că valoarea împrumutului , n =5 ani, şi

dobânda unitară anuală este i = 0,12 şi ştiind că amortismentele sunt egale, adică

, putem întocmi planul de rambursare a unui împrumut

pe o perioadă de 5 ani:

An Dobânzile Amortismentele Anuităţile Suma rămasă de plată

0

1

2

3

4

5

b) În cazul anuităţilor egale amortismentele succesive formează o progresie

geometrică crescătoare cu raţia şi valoarea împrumutului este .

Atunci

Anuităţile şi vor fi calculate astfel:

. Se observă că din ultima linie a unui tabel

de rambursare

Aşadar

An Dobânzile Amortismentele Anuităţile

T

Suma rămasă de plată

0

1

56

2

3

4

5

Aplicaţia 8. Să se determine ultimul amortisment şi valoarea unui împrumut ştiind că

urmează să fie rambursat în 6 ani, anuităţile fiind egale. Sumele dintre amortismentele

corespunzătoare anilor 1 şi 3 este 5.000 u.m., iar suma dintre amortismentele corespunzătoare

anilor 2 şi 4 este de 5.500 u.m.

Rezolvare. Anuităţile sunt egale, deci amortismentele sunt în progresie geometrică.

Din datele problemei reiese că:

Trebuie să calculăm ultimul amortisment şi valoarea împrumutului . Sistemul se poate scrie sub forma:

Făcând raportul celor două ecuaţii ale sistemului obţinem: .

Deci u.m.

Ultimul amortisment are valoarea: u.m.

Valoarea împrumutului este: u.m.

Aplicaţia 9. Să se determine valoare unui împrumut corespunzător unei perioade de 5 ani,

comportând anuităţi egale, ştiind că primele două amortismente sunt egale cu numerele 2 şi 3, iar

diferenţa primelor două amortismente este 500 u.m.

Rezolvare. Se porneşte de la următoarele date:

.

De aici rezultă:

.

Calculăm primul amortisment: u.m. Factorul de fructificare este:

.

Trebuie să calculăm valoarea împrumutului:

u.m.

57

Capitolul 5

Elemente de calcul stochastic

5.1. Legea distribuţiei normale (distribuţia Gauss sau Gauss-Laplace)

Este cea mai importantă lege de repartiţie fiind cunoscută sub denumirea de legea lui

Gauss. Repartiţia Gauss, a fost prima repartiţie studiată, fiind caracterizată de parametrii şi

.

Expresia analitică a legii lui Gauss, reprezentând funcţia densitate de probabilitate este:

58

(5.1)

Integrala unei curbe de repartiţie între anumite valori se numeşte funcţia de repartiţie

normală:

(5.2)

Fig. 4.1 Funcţia de Fig. 4.2 Curbele densităţii Fig. 4.3 Curbele densităţii

de repartiţie Gauss de probabilitate cu aceeaşi de probabilitate cu aceeaşi

abatere, dar medii diferite medie, dar abateri diferite

Graficul repartiţiei are formă de clopot, (fig. 4.1) şi prezintă următoarele particularităţi:

- admite un maxim unic pentru x=μ;

- are o simetrie în raport cu dreapta x=μ;

- îşi modifică convexitatea în punctele μ - σ şi μ + σ;

- modificarea parametrului μ translatează curba de-a lungul axei x, (fig.4.2);

- modificarea parametrului σ modifică ascuţirea curbei, (fig.4.3).

Valoarea funcţiei de repartiţie este reprezentată în figura 4.1 prin aria haşurată, asimetria şi

aplatizarea pentru repartiţia Gauss fiind egale cu zero.

Funcţia de repartiţie numită şi probabilitatea cumulată cuantifică probabilitatea ca variabila

aleatoare care descrie legea normală să aibă o mărime mai mică decât d, respective

(5.3)

Vom nota cu o variabilă aleatoare ce are media şi varianţa .

O variabilă aleatoare X are o repartiţie normală standard dacă densitatea sa de

repartiţie este

(5.4)

59

Funcţia de repartiţie corespunzătoare distribuţiei normale standard va fi notată cu N şi este

dată de expresia:

(5.5)

Se observă că din punct de vedere geometric, funcţia de repartiţie măsoară aria

cuprinsă între graficul funcţiei (curba lui Gauss), axa orizontală şi dreapta de ecuaţie

(fig.1).

Funcţia are următoarele proprietăţi:

1.

2.

3.

Cunoscând parametrii μ, , pe baza relaţiei (5.2) se poate determina analitic valoarea

probabilităţii . Se observă din păcate căci calculaţia este foarte greoaie, astfel

că în practică s-a recurs la utilizarea tabelelor.

Din astfel de tabele se poate vedea, de exemplu că . Cu alte cuvinte

probabilitatea ca o variabilă distribuită după legea normală standard ( şi ) este de

89,25%.

Probabilitatea ca o variabilă distribuită după legea normală standard să ia valori în

intervalul este:

, respective

60

(5.6)

În cazul particular în care avem:

De obicei în formula se dă probabilitatea cumulată şi nu

valoarea variabilei d.

Dacă ne uităm în tabel observăm că probabilitatea cumulată la distribuţia normală standard

are următoarele valori pentru parametrul d, corespunzătoare probabilităţilor egale cu 99%,

97,5%, 95% şi 90%.

Probabilitatea

(P)

Pragul d

(X<d)

99% 2,33

97,5% 1,96

95% 1,65

90% 1,29

Din tabelul de mai sus rezultă că probabilitatea ca variabila X distribuită după repartiţia

normală standard să ia o valoare mai mică decât 2,33 este de 99%, iar dacă ia o valoare mai mică

decât 1,29 probabilitatea este de 90%.

Dacă se vrea valoarea lui X astfel încât să se afle cu o probabilitate P în intervalul ,

prin utilizarea formulei (g) avem:

rezultă:

Probabilitatea

(P)

Pragul b

( )

99% 2,58

97,5% 2,24

95% 1,96

90% 1,65

Pe baza tabelului de mai sus putem scrie că:

În cazul în care avem o distribuţie normală , atunci din formula:

61

făcând substituţia

rezultă

(5.7)

S-a notat cu Z variabila aleatoare a cărei lege de distribuţie este .

Dacă avem o variabilă normal distribuită cu media 150 şi abaterea medie pătratică

, cu o probabilitate de 97,5% ea se va afla în intervalul

,

respectiv:

S-a ţinut cont că pentru o probabilitate de 97,5%, b=2,24.

O variabilă aleatoare Z pozitivă are o distribuţie log-normală dacă logaritmul său este

normal distribuit, respectiv

(5.8)

Pentru variabilele aleatoare ce urmează o distribuţie log-normală, formula () va deveni:

respectiv:

(5.9)

De exemplu, dacă , respectiv variabila este normal distribuită cu

şi , atunci cu o probabilitate de 95%, variabila se va afla în intervalul:

respective

S-a notat cu log logaritmul natural.

5.2 Procesul Wiener

Se consideră o variabilă care evoluează în timp într-un mod aleatoriu numită variabilă

aleatoare. Dacă variabila aleatoare poate lua numai anumite valori precizate, ea se numeşte

variabilă aleatoare discretă. Dacă variabila aleatoare poate lua orice valoare din , ea se

numeşte continuă.

62

Rezultă că pentru variabilele aleatoare discrete avem: , iar pentru variabilele

aleatoare continue avem: .

Mai sus, mulţimea , este precizată pentru fiecare moment t.

În cazul în care pentru fiecare moment cunoaştem şi legea de distribuţie a variabilei

vom spune că avem un proces stochastic.

Procesul stochastic se numeşte proces discret dacă variabila temporală poate lua valori

numai într-o anumită mulţime de puncte, bine precizată. Dacă sau lui , procesul

stochastic se numeşte proces continuu.

Vom spune că procesul stochastic este un proces Markov (are proprietatea lui

Markov) dacă pentru a face o predicţie privind evoluţia sa viitoare este suficient să cunoaştem

numai starea sa actuală şi nu întreaga sa istorie, respectiv pe ce traiectorie a ajuns starea

actuală .

Procesul Wiener poartă numele matematicianului american Norbert Wiener, unul dintre cei

mai celebri specialişti în domeniul teoriei predicţiei din secolul al XX -lea, fondator al

ciberneticii.

Spunem că variabila descrie un proces Wiener, dacă variaţia sa într-un interval

mic de timp este:

(5.10)

unde:

- constante cunoscute

- variabilă aleatoare având o distribuţie normală standard.

Vom nota cu M operatorul de medie, rezultă că:

şi

Media, respectiv varianta lui sunt:

(5.11)

În cazul în care considerăm că intervalul de timp este egal cu unitatea (1 an) atunci

avem:

(5.12)

63

Din formula (5.12) rezultă cu claritate semnificaţia parametrilor şi , şi anume:

- este media anuală a variabilei ;

- este abaterea medie standard (volatilitatea anuală) a variabilei .

Folosind notaţiile consacrate, expresia (5.10) se poate scrie:

(5.13)

În cazul în care avem:

şi (legea normală standard) (5.14)

şi vom schimba litera cu , obţinem:

(5.15)

Pentru avem:

(5.16)

Procesul Wiener particular dat de formula (5.15) se numeşte mişcare browniană, fiind pus

în evidenţă în secolul al XEX-lea de botanistul Brown.

Mişcarea browniană se caracterizează prin faptul că o particulă care descrie acest proces, se

mişcă la întâmplare, având media zero şi varianţa egală cu .

Întrucât abaterea medie pătratică măsoară gradul de incertitudine (volatilitatea) rezultă că

aceasta creşte odată cu timpul (cu ).

Folosind (5.15), formula (5.13) a procesului Wiener se mai poate scrie:

(5.17)

Trebuie menţionat că uneori procesul (5.15) se mai numeşte proces Wiener fundamental,

iar procesul (5.17) proces Wiener generalizat..

În cazul în care intervalul de timp este foarte mic , acesta va fi notat cu

expresia consacrată în calculul diferenţial, respectiv cu .

Rezultă că pentru cazul continuu ecuaţia (5.17) care descrie procesul Wiener se va scrie

astfel:

(5.18)

Ecuaţia (5.18) este o ecuaţie diferenţială stochastică.

64

BIBLIOGRAFIE

[1] Altar, M. , Inginerie financiară, Academia de studii Economice, Bucureşti, 2002

[2] Forsyth, P., An introduction to computational Finance, University of Waterloo,

Canada, 2008

[3] Haugh, M. , Financial Engeneering, Discrete Time Asset Pricing, Columbia

University, New York, 2004

[4] Iancu, C., Pop, V., Pop, M., Probabilităţi şi statistică matematică, Ed. Servoset, Arad,

1996

65

[5] Iosifescu, M., Mihoc, Gh., Teodorescu, R., Teoria probabilităţilor şi statistică

matematică, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1966

[6] Ingerson, I.,E.,Theory of financial decision making, London, McGrowhill, 1993

[7] Kaufmann, A., Metode şi modele ale cercetării operaţionale,vol.,I,II,Ed. Ştiinţifică ,

1967

[8] Loye, R., G., Instruction to financial modelling sistems, London,198

[9] Longo, G., Batlaglio, C., Matematica par la Applicationi Finanziarie, Milano, Etas

Libri, 1995

[10] Mitran, I., Matematici aplicate în economie, vol. I,II, Lito., Universitatea din

Petroşani, 1996

[11] Moriconi, F., Matematica finanziaria, Bologna Il Milano, 1995

[12] Paris,F., M., Zuanon, Purcaru, I., Matematici financiare, Ed., Economică, Bucureşti,

1996

[13] Piermay, M., Mereil, O., Lasimi, A., Mathematique financieres, Paris, Economia,

1992

[14] Popescu, O., Matematici aplicate în economie, vol. I,II, E.D.P. Bucureşti, 1993

[15] Raţiu – Suciu, C., Modelarea şi simularea proceselor economice, E.D.P. Bucureşti,

1995

[16] Schatteles, T., Metode economice moderne, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1971

[17] Şerban, R., Optimizarea cu aplicaţii în economie, matrix Rom, Bucureşti, 1999

[18] Timberger, I.,Modeles mathematiques de croissance economique, Paris, Gauthie –

Villars, 1969

[19] Vîrsan, C., Cruceanu, S., Elemente de control optimal şi aplicaţii în economie, Ed.

Tehnică, Bucureşti, 1978

[20] Stovre, P., Matematici aplicate în economie, Ed. Serinul Românesc, Craiova, 1982

Anexa 1

Valorile funcţiei lui Laplace

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

66

0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01,11,21,31,41,51,61,71,81,92,02,12,22,32,42,52,62,72,82,93,03,13,23,33,4

0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,53590,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5598 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,65170,6534 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,68790,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,72240,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,75490,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,78520,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,81330,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,83890,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,86210,8043 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88300,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90150,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,91770,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,93190,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,94420,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,95450,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9825 0,96330,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9878 0,9686 0,9693 0,9699 0,97060,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,97670,9772 0,9773 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,98170,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9650 0,9854 0,98570,9861 0,9364 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,98900,9893 0,9896 0,9398 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,99180,9913 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,99360,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,99520,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,99640,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,99740,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,99810,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,99860,9987 0,9987 0,9937 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,99900,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,99930,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,99950,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,99970,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

67