Inginerie Financiara

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE BUCUREŞTI

CATEDRA DE MONEDĂ

INGINERIE FINANCIARĂ

SUPORT PENTRU SEMINARII

Bucureşti 2009

2

CUPRINS

Seminar 1: Opţiuni şi strategii pe bază de opţiuni ................................................... 3

Seminar 2: Noţiuni elementare ................................................................................ 6

Seminar 3: Modelul Binomial.................................................................................. 9

Seminar 4: Procese Stohastice ............................................................................... 16

Seminar 5: Martingale şi Integrala stohastică ........................................................ 19

Seminar 6: Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes ................. 22

Seminar 7: Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită ..... 25

Seminar 8: Operaţiuni de hedging utilizând opţiuni PUT-protective .................... 28

Seminar 9: Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton

pentru riscul de credit) ........................................................................................... 30

Seminar 10: Evaluarea instrumentelor financiare derivate.................................... 32

Seminar 11: Obligaţiuni zero-cupon – cazul stocastic. Preţul de piaţă al riscului 33

Seminar 1: Opţiuni şi strategii pe bază de opţiuni


Notaţii: cursul activului suport la momentul t ; tS

preţul de exercitare al opţiunii (CALL sau PUT); , ,E K X

prima unei opţiuni CALL (respectiv PUT) de tip european; ( )t tC P

prima unei opţiuni CALL (respectiv PUT) de tip american; ( )t tc p

Diferenţele între o opţiune de tip european şi una de tip american ... Valoarea opţiunii (preţul sau prima), valoarea intrinsecă şi valoarea timp:

Valoarea (preţul sau prima) opţiunii variază pe piaţă pe baza cererii şi ofertei şi poate fi calculată, teoretic, pe baza unor modele analitice (ex. Black – Scholes) sau numerice (ex. modelul Binomial).

Valoarea intrinsecă este: şi în funcţie de semnul expresiei

pt. CALL şi respectiv

,

,

max{( ),0}

max{( ),0}Call t t

Put t t

VI S E

VI E S

tE StS E pt. PUT se poate stabili dacă opţiunea este în bani

(dacă diferenţa este pozitivă), la bani (dacă diferenţa este 0) şi în afara banilor (dacă diferenţa este negativă).

Obs. Valoarea opţiunii va fi întotdeauna mai mare sau egală cu valoarea intrinsecă a opţiunii. Valoarea timp = Valoarea opţiunii – Valoarea intrinsecă.

Obs. Cu cât perioada de timp până la scadenţa opţiunii este mai îndepărtată cu atât valoarea timp este mai mare. De asemenea, la un anumit moment de timp, valoarea timp diferă ca magnitudine în funcţie de poziţionarea lui faţă de tS E . Valoarea timp a opţiunii este 0 la maturitate.

Profitul şi payoff-ul unei opţiuni:

Valoarea opţiunii la scadenţă se numeşte payoff iar câştigul investitorul din investiţia în opţiune poartă numele de profit.

în bani (in the money)

Valoarea opţiunii (înainte de expirare)

E

Valoarea intrinsecă

,t tC c

tS

la bani (at the money)

în afara banilor (out of the money)

3


.

0 0 – (not

T TProfit opţiune payoff prima iniţială C C respectiv P P ) ..... .....

Panta=Panta=Profit

S

.

Panta: (0;1) Panta: (0;-1)

Panta: (-1;0) Panta: (1;0)

Strategii pe bază de opţiuni:

Reverse Covered CALL

E

TS

Short SLong CALL

Profit

0

Long PUT sintetic

Covered CALL

Long S

ETSShort

CALL

Profit

0

Short PUT sintetic

+prima PUT

ETS

payoff

profit

Valoarea opţiunii

0PPR E P= - 0

Short PUT

profit

0

PPR

E P= - E -prima

PUT TS

payoff

Valoarea opţiunii

0

Long PUT

+prima CALL

ETS

payoff

profit

Valoarea opţiunii

0CPR E C= +

0

Short CALL

450

0CPR E C= + E -prima

CALL TS

payoff

profit

Valoarea opţiunii

Long CALL

0 0C+

0C-

0P+

0P-

4


5

Aplicaţie: 1. Funcţia profitului ( ) la scadenţă pentru o combinaţie de mai multe opţiuni având

aceeaşi scadenţă , în funcţie de preţul la scadenţă al activului-suport şi de patru

preţuri de exercitare

tG

t tS

,iE i 1, 4 , este dată în tabelul următor:

tS 1E 2E 3E 4E

Panta: t

t

G

S

0 5 -2 5 0

Determinaţi două combinaţii diferite de opţiuni CALL şi PUT ce permit obţinerea profilului rezultatului dat în tabel. Reprezentaţi grafic profilul rezultatului şi determinaţi punctele moarte.

Reverse Protective PUT

ETS

Short S

Short PUT

Profit

Short CALL sintetic

Protective PUT

Long PUT

E

TS0

Long S

Profit

Long CALL sintetic

0

Seminar 3: Modelul Binomial

Seminar 2: Noţiuni elementare

1. Rata dobânzii cu capitalizare în timp continuu. 2. Arbitraj. Lipsa oportunităţilor de arbitraj. 3. Limite de variaţie a preţurilor opţiunilor. 4. Teorema de paritate CALL – PUT. 5. Preţul Forward.

1. Rata dobânzii cu capitalizare în timp continuu Ex. Un investitor depune o sumă într-un depozit bancar cu capitalizare, care plăteşte o

dobândă la rata , în procente pe an. Determinaţi suma finală de care va dispune investitorul după t ani, dacă capitalizarea se face:

0S

r

a) anual; b) semestrial; c) trimestrial; d) lunar; e) zilnic; f) în timp continuu. 2. Arbitraj. Lipsa oportunităţilor de arbitraj

a) spaţial – se obţin profituri sigure utilizându-se dezechilibrele de pe două sau mai multe pieţe în acelaşi moment de timp;

b) temporal – se obţin profituri sigure utilizându-se dezechilibrele de pe pieţele unor instrumente financiare, în momente de timp diferite.

Arbitrajul poate fi:

Arbitraj: posibilitatea obţinerii unui câştig sigur fără a se investi capital iniţial şi fără a se asuma nici un risc.

a) Ex. O acţiune Coca Cola este cotată simultan pe piaţele bursiere NYSE la preţul de 10$ pe o acţiune şi LSE la preţul de 9£ pe o acţiune, în condiţiile în care pe piaţa valutară cursul de schimb între cele două monede este de 1£ 1.45$ . Propuneţi o strategie de arbitraj şi explicaţi mecanismele prin care preţurile pe cele trei pieţe se vor corecta. b) Ex. Presupunem că ratele de schimb spot şi forward pentru cursul de schimb £/$ sunt: spot , forward peste 90 zile şi forward peste 180 zile

. Ce oportunităţi are un arbitrajor în următoarele situaţii: 0 1,6080S

0,180zile)=1,

F(0,90zile)=1,6056

F( 6018i) pe piaţă mai există o opţiune europeană CALL cu maturitatea peste 180 zile, cu preţul de exercitare 1,57$ / £ şi care costă E 0 0,02$c ;

ii) pe piaţă mai există o opţiune europeană PUT cu maturitatea peste 90 zile, cu preţul de exercitare 1,64$ / £ şi care costă E 0 0,02$c .

Presupunem că valoarea timp a banilor este 0.

6


3. Limite de variaţie a preţurilor opţiunilor

Aplicaţii ale ipotezei absenţei oportunităţilor de arbitraj (notaţie AOA):

i) Valoarea unei opţiuni CALL de tip european ( ) va fi întotdeauna mai mică decât

valoarea activului suport ( ) şi mai mare decât valoarea activului suport mai puţin preţul

de exercitare

tC

tS

E actualizat: ( )tr Tt t tS C S E e .

ii) Valoarea unei opţiuni PUT de tip european ( ) va fi întotdeauna mai mică decât

preţul de exercitare actualizat şi mai mare decât preţul de exercitare actualizat mai puţin valoarea activului suport ( ):

tP

PE E

tS ( ) ( )r T t r T tt tE e E e S .

4. Teorema de paritate CALL – PUT

Aplicaţie a ipotezei absenţei oportunităţilor de arbitraj (notaţie AOA):

Demonstraţi următoarea relaţie care are loc între preţurile opţiunilor CALL şi PUT de tip european, care au aceleaşi caracteristici (acelaşi activ suport, acelaşi preţ de exercitare, aceeaşi scadenţă şi aceeaşi piaţă de tranzacţionare):

( ) , .r T tt t tC E e P S t T

Generalizare pentru cazul cu dividend: ( ) ( ) ,r T t q T t

t t tC E e P S e t T unde q

reprezintă rata continuă a dividendului.

Ex. Primele call, respectiv put, având aceleaşi caracteristici sunt: şi

. Se ştie că , iar

17,2808C

12,9118P 105S E 6 luniT t . Să se calculeze rata dobânzii r .

7


5. Preţul Forward

1 01

1

1 0

0 1

( )

( )( )1 0 1 0 0

( )1 0 1 0

( , )

: ( , , ) [ ( , ) ( , )]

: ( , , ) ( , , )

r T tt

r t tr T tL t

r t tS L t t

F t T S e

long f t t T F t T F t T e S S e

short f t t T f t t T S e S

unde:

( , )F t T reprezintă preţul forward al contractului emis la momentul t cu scadenţa la momentul T ;

tS reprezintă preţul la momentul al activului suport; t

1( , , )Lf t t T reprezintă valoarea la momentul t a contractului forward poziţie long,

emis la momentul cu scadenţa la momentul T , unde 1

t 1t t T ;

1( , , )Sf t t T reprezintă valoarea la momentul t a contractului forward poziţie short. 1

Obs. Preţul forward este identic cu preţul futures atât timp cât rata dobânzii este deterministă.

Ex. Se ia o poziţie long pe un contract forward cu suport o acţiune ex-dividend (fără dividend) la momentul . Cursul spot al acţiunii la momentul este iar

rata dobânzii în timp continuu 0 0t 0t 0 40S $

10%r . a) Determinaţi preţul forward al contractului emis la momentul 0t cu scadenţa la

1T an şi valoarea iniţială a acestui contract.

b) După 6 luni ( 1 6 ): 1

45tt luni S $ , 10%r . Determinaţi preţul forward al

contractului emis la momentul 1t cu scadenţa la 1T an şi valoarea contractului

forward emis la 0t .

8



Ipoteze:

Cursul activului suport urmează o distribuţie binomială a.î. în fiecare moment de timp evoluţia sa poate fi descrisă astfel:

0S u

cu 0S1 tu ed

(vezi curs)

0S d

p

1-p

0 1t tt

unde şi reprezintă factori de creştere respectiv scădere constanţi în timp, u d t intervalul de timp între două momente succesive în care se face evaluarea, volatilitatea cursului activului suport iar p şi 1 p reprezintă probabilitatea de creştere, respectiv scădere a cursului activului suport în fiecare moment de timp considerat.

Evaluarea se face într-un mediu neutru la risc a.î. valoarea aşteptată la momentul 1t a

cursului activului suport poate fi scrisă:

1 0

*0[ / ] r t

t tE S S e

dar media unei variabile aleatoare care urmează o distribuţie binomială este:

1 0 0[ ] (1 )tE S p S u p S d

de unde: r te

pu d

d

]d

, denumită probabilitate neutră la risc (evaluarea s-a făcut într-un

mediu neutru la risc).

În mod similar, folosind metoda evaluării neutre la risc, valoarea unui CALL cu suport activul S , la momentul 0t poate fi scrisă:

0 1 0

*[ / ] [ (1 )r t r tt t t uC e E C e p C p C (identic pt. PUT)

unde este valoarea CALL la dacă cursul creşte (devenind ) iar este

valoarea CALL la dacă cursul scade (devenind uC 1t 0S u dC

1t 0S d ).

Formulele generale pentru un model binomial cu n perioade, valabile doar pentru evaluarea opţiunilor de tip european (vezi curs):

( )

0

( )

0

(1 ) max( ,0)( )

(1 ) max( ,0)( )

nr T t i n i i n i

t ti

nr T t i n i i n i

t ti

nC e p p S u d E

i n i

nP e p p E S u d

i n i

!

! !

!

! !

9


Obs: Fie nr. minim de paşi crescători pe care cursul acţiunii suport trebuie să îi facă a.î. opţiunea CALL să expire în bani:

ln( ) ln( )

( ) 1ln( ) ln( )

n nn t t

t nt

E ES d S du E

S u d Eu ud S dd d

partea întreagă

în mod similar pt. PUT, parametrul reprezintă nr. maxim de paşi crescători pe care cursul acţiunii suport poate să îi facă a.î. opţiunea PUT să expire în bani. Astfel în aplicaţii cele două formule generalizate se pot scrie:

( )

1( )

0

(1 ) ( )( )

(1 ) ( )( )

nr T t i n i i n i

t ti

r T t i n i i n it t

i

nC e p p S u d E

i n i

nP e p p E S u d

i n i

!

! !

!

! !

.

Aplicaţii: 1. Fie o acţiune suport care are cursul spot la momentul curent m ,

20%0 50 . .S u

şi pentru care se emit opţiuni cu preţul de exercitare 50 . . Rata dobânzii fără risc este 10%r .

E u m

a) Să se evalueze opţiuni CALL şi PUT europene, americane cu şi fără dividend folosind modelul binomial pe 5 perioade ştiind că durata unei perioade este de 3 luni. În cazurile în care acţiunea suport plăteşte dividende, presupunem că acestea sunt plătite în perioada 4 şi reprezintă 10% din valoarea cursului din acel moment. b) Verificaţi relaţia de paritate PUT-CALL în cazul opţiunilor europene ex-dividend. c) Explicaţi de ce preţurile opţiunilor americane la emisiune sunt mai mari decât preţurile opţiunilor europene corespunzătoare. d) Demonstraţi că un CALL american cu suport o acţiune ex-dividend se exercită întotdeauna doar la scadenţă (fiind astfel echivalent cu un CALL european cu suport o acţiune ex-dividend). Rezolvare1: a) Preţul de exercitare (Strike price): 50E

Factorul de actualizare (Discount factor per step): 0,9753r te

1La adresa web: http://www.rotman.utoronto.ca/~hull/software/ puteti descarca programul DerivaGem for Excel cu ajutorul căruia se pot verifica calculele din cadrul modelelor aplicate pentru evaluarea instrumentelor financiare derivate.

10

http://www.rotman.utoronto.ca/%7Ehull/software/


Factorul de fructificare (Growth factor per step): 1,0253r te

Perioada de timp dintre 2 noduri (Time step): 3

0,25 ani12

t

Probabilitatea neutră la risc (Probability of up move): p= 0,6014 r te d

u d

Factorul de creştere (Up step size): 0.2 0.25 1,1052tu e e

Factorul de scădere (Down step size): 0.2 0.2510,9048td e e

u .

Evaluarea opţiunii CALL de tip european este identică cu cea a opţiunii CALL de tip american în cazul în care acţiunea suport nu plăteşte dividende (vezi demonstraţia de la pct. d). Binomial European CallAt each node: Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option PriceValues in red are a result of early exercise.

Strike price = 50Discount factor per step = 0.9753 82.43606Time step, dt = 0.2500 years, 91.25 days 32.43606

17.49294

5.258546

Growth factor per step, a = 1.0253 74.59123Probability of up move, p = 0.6014 25.82574Up step size, u = 1.1052 67.49294 67.49294Down step size, d = 0.9048 19.93147

61.07014 61.0701414.96255 12.30464

55.2585459 55.25855 55.2585510.96868087 8.416238

50 50 507.879951 5.639758 3.084334

45.2418709 45.24187 45.241873.720452328 1.809077 0

40.93654 40.936541.061092 0

37.04091 37.040910 0

33.5160

30.326530

Node Time: 0.0000 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500

11


Pe ultima coloană payoff-ul opţiunii (marcat în chenar cu roşu) se obţine calculând . De exemplu pentru 5 creşteri consecutive ale cursului valoarea

opţiunii CALL la scadenţă va fi .

( , ) max( ,0)TC T S S E

5

5 82, 436 50 32, 436 . .u

C S u E u m

Pentru chenarele din perioadele anterioare aplicăm expresia dedusă pe baza metodei evaluării neutre la risc. De exemplu valoarea din primul chenar din perioada (după 4

creşteri consecutive de curs) este: 4t

4 5 4

0,1 0,25[ (1 ) ] [32,436 0,6013 17,4929 0,398] 25,825r t

u u u dC e p C p C e

0 7,88 . .C uContinuând raţionamentul obţinem valoarea opţiunii la momentul iniţial: m

Binomial European PutAt each node: Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option PriceValues in red are a result of early exercise.

Strike price = 50Discount factor per step = 0.9753 82.43606Time step, dt = 0.2500 years, 91.25 days 0Growth factor per step, a = 1.0253 74.59123Probability of up move, p = 0.6014 0Up step size, u = 1.1052 67.49294 67.49294Down step size, d = 0.9048 0 0

61.07014 61.070140.279591 0

55.25855 55.25855 55.258550.952006 0.719163 0

50 50 502.004797 2.026932 1.84983

45.24187 45.24187 45.241873.720452 4.128678 4.758129

12.95909

19.67347

40.93654 40.936546.511728 7.828958

37.04091 37.0409110.52056

33.51615.24949

30.32653

Node Time: 0.0000 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500

12


Pentru opţiunea PUT se raţionează similar dar pornind de la payoff-ul unei opţiuni PUT: . De exemplu valoarea PUT-ului după 4 scăderi consecutive de

curs va fi:

( , ) max( ,0)TP T S E S

4 4 5

0,1 0,25[ (1 ) ] [12,959 0,6013 19,6734 0,398] 25,825r t

d d u dP e p P p P e

Continuând raţionamentul obţinem valoarea opţiunii PUT la momentul iniţial: . 0 2.0048 . .P u m

Binomial American PutAt each node: Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option PriceValues in red are a result of early exercise.

Strike price = 50Discount factor per step = 0.9753 82.43606Time step, dt = 0.2500 years, 91.25 days 0Growth factor per step, a = 1.0253 74.59123Probability of up move, p = 0.6014 0Up step size, u = 1.1052 67.49294 0 67.49294Down step size, d = 0.9048 0 0

61.07014 0 61.070140.279591 0

55.25855 0 55.25855 0 55.258551.047144 0.719163 0

50 0 50 0 502.50208 2.271646 1.84983

45.24187 0 45.24187 0 45.241874.85603 4.75813 4.75813

40.93654 4.608619 40.936544.758139.06346 9.06346

7.828958 37.04091 7.828958 37.0409112.9591 12.9591

11.72458 33.51616.484

15.24949 30.3265319.6735

Node Time: 0.0000 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500

13


Pentru evaluarea unei opţiuni americane trebuie să ţinem cont că de fiecare dată valoarea opţiunii (cea redată în chenar sub cursul activului suport) va fi maximul dintre valoarea care s-ar obţine prin exercitare (în figura de mai sus valoarea subliniată) şi valoarea obţinută prin actualizare (valoarea nesubliniată, redată sub curs). Valorile îngroşate, marcate cu roşu, sunt valori de exercitare ale opţiunii, mai mari decât cele obţinute prin actualizare.

American CALL with dividend

14


15

American PUT with dividend

Valoarea unui PUT cu activ suport plătitor de dividend are o valoare mai mare decât a unui PUT ex-dividend întrucât în primul caz cresc şansele de exercitare datorită scăderii valorii activului suport ca urmare a plăţii dividendului. b) Teorema de paritate CALL-PUT valabilă pentru opţiuni europene:

0.11.250 0 0 7,879951 50 2,004797 50 52,0048 52,0048.r TC E e P S e

c) Opţiunile americane au mai multe şanse să se exercite.

d) . ( )

. . .

r T tt t t t

val CALL american val CALLeuropean val deexercitareCALLamerican

c C S E e S E

2. Să se calculeze utilizând modelul binomial, valoarea unei opţiuni PUT pe baza următoarelor date: 100; 200; 1 ; 40; 12%; 8%S E T an n r (PUT).

Seminar 4: Procese Stohastice


1. Procesul Wiener fundamental (mişcarea browniană standard) :

.

, (0,not

z B t N 1) , valorile variabilei z în două intervale oarecare de timp

şi fiind independente. 1t 2t

media: ( ) 0E z

varianţa: de unde deviaţia standard: var( )z t ( )devs z t . 2. Procesul Wiener generalizat (mişcarea browniană generalizată):

x t z cu şi driftul şi difuzia constante. media: ( )E x t

varianţa: 2var( )x t de unde deviaţia standard: ( )devs z t . Obs. dacă 1 atunci t a n ( )E x reprezentând media anuală a variabilei x iar

( )devs z reprezentând deviaţia standard anuală a variabilei x . 3. Procesul Ito (mişcarea browniană geometrică):

( , ) ( , )x x t t x t z cu ( , ) ( , )x t şi x t parametri neconstanţi.

Exemplu: Rentabilitatea cursului unei acţiuni urmează un proces de tip Wiener

generalizat: S

S

t z

S S z

şi în consecinţă cursul unei acţiuni urmează un proces de

tip Ito: t S . Consecinţă: ( ,S

N tS

)t

.

Obs. în timp continuu notaţia este înlocuită cu . t dt 4. Lema Ito:

Fie o funcţie care depinde de variabila aleatoare ( , )D x t x ce urmează un proces de tip Ito şi de timp. va fi o variabilă aleatoare care urmează tot un proces de tip Ito de

forma:

( , )D x t2

22

1( (x , ) ( , ) ) )

2

D D D Dt x t dt dz

t x x x

( ,x tdD .

5. „Tabla înmulţirii” pentru mişcarea browniană standard:

2

2

1 21 2

1 2

0

0

0, mişcări browniene standard independente;

, mişcări browniene standard .

t

t

t tt t

t t

dt

dt dB

dB dt

dacă B şi BdB dB

dt dacă B şi B corelate

16


17

Aplicaţii 1. Fie preţul unui instrument financiar derivat şi cursul activului suport. Să se scrie ecuaţia de dinamică pentru preţul derivativului ştiind că urmează un proces de tip Ito.

D SD S

2. Fie dinamica preţului unei acţiuni: S S t S z . Fie preţul forward al acestei acţiuni. Care este dinamica preţului forward? Reprezentaţi această dinamică într-un mediu neutru la risc.

( )r T tF S e -= ⋅

3. Fie y randamentul la maturitate cu compunere continuă (yield to maturity) pentru o obligaţiune 0-cupon ce plăteşte o unitate monetară la scadenţă. Presupunem că y urmează procesul stohastic:

0( )dy a y y dt c y dz , unde sunt constante pozitive. Care este procesul

urmat de preţul obligaţiunii? 0, ,a y c

4. Preţul valutei din ţara A exprimat în funcţie de preţul valutei din ţara B (1 ) urmează un proces de forma: A S B ( )B AdS r r S dt S dz unde ,A Br r

reprezintă ratele dobânzilor în cele două ţări. Care este procesul urmat de preţul valutei din ţara B exprimat în funcţie de preţul valutei din ţara A? 5. Aplicaţi lema Ito funcţiei şi demonstraţi că această variabilă urmează o distribuţie normală (

ln SS S t S z ).

6. Cursul unei acţiuni la momentul actual este 100. Cursul acţiunii urmează un

proces Ito de forma: 0,1 0,2dS

dt dzS

.

a) Care este rentabilitatea medie anuală a cursului acestei acţiuni? Dar volatilitatea corespunzătoare? b) Determinaţi intervalul de variaţie a cursului pe un orizont de 3 luni cu o probabilitate de i) 90%; ii) 95%; iii) 99%. 7. Cursul unei acţiuni este , volatilitatea 0S şi rentabilitatea .

a) Să se deducă formula care cu probabilitatea s , dă intervalul închis în care se va afla cursul la momentul T: [ , ].p q

b) 0 100, 15%, 45%, 3 , 99%.S T luni s

c) Să se deducă următorii indicatori de senzitivitate privind mărimea intervalului

în care se va afla cursul: [ ] [ ] [ ] [ ]

; ; ;q p q p q p q p

T s

.

Formulele deduse la punctul c) vor fi aplicate pe exemplul de la punctul b).

ANEXĂ

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

3.5 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998

Tabel pentru când 0

0,6278 0,62 0,78 0,63 0,62

0,7324 0,78 0,7357 0,7324

0,7350

N x x

N N N N

Tabel pentru când 0

0,1234 0,12 0,34 0,12 0,13

0,4522 0,34 0,4522 0,4834

0,4509

N x x

N N N N

18

Seminar 5: Martingale şi Integrala stohastică


I. Martingale:

Fie ( un process stohastic, care este martingal dacă: , 0)tX t i) ( este (, 0)tX t t măsurabilă tX este adaptat filtrării ); 0{ }t t

ii) tX este integrabilă (0

( )T

X s ds );

iii) (valoarea aşteptată a variabilei [ / ] ,T t tE X X t T X , având disponibilă

informaţia la momentul curent t este egală cu valoarea prezentă a acestei variabile). Lemă: Un proces stohastic este martingal ( , 0)tX t ecuaţia de dinamică stohastică

pt. acest proces are forma (acest proces nu prezintă drift). t tdX b dz t

II. Integrala stohastică:

Fie o mişcare Browniană standard. ( , 0)tB t ( ) ( )T

s

t

I s dB

2[ ( )]T

t

E s ds

se numeşte integrală

stohastică având următoarea condiţie de integrare .

Obs. poate fi o funcţie deterministă sau un proces stohastic. Proprietăţi:

i) E[ ( )] [ ( ) / ] 0.T

Bs t

t

I E s dB

ii) 2 2var[ ( )] [( ( ) ) ] [ ( )]T T

s

t t

I E s dB E s ds ( 2var[ ( )] ( )I T t dacă e constantă)

iii) ( )T

s

t

s dB este , .T măsurabilă T t B

B

Corolar: Orice integrală stohastică este martingal:

0 0

0 0

[ ( ) / ] [ ( ) / ] [ ( ) / ]

( ) [ ( ) / ] ( )

T t TB B

s t s t s t

t

t T tB

s s t s

t

E s dB E s dB E s dB

s dB E s dB s dB

Propoziţie: Dacă Y şi Z sunt variabile stohastice iar Z este t măsurabilă atunci:

]tY . [ / ] [ /E Z Y Z t t t E Dacă Y este o variabila stohastica iar s t atunci: [ / ]sY . [ [ / ] / ]t sE E Y E

19


Aplicaţii: 1. tB este o martingală.

2. 2

tB t este o martingală.

3.

2

2tB te

este o martingală.

Lemă: dacă atunci (0,1)g N2

2[ ]gE e e

unde este un parametru real. (vezi ANEXA)

4. Calculaţi . 4[ ]tE B

5. Calculaţi integrala stocastică: 0

.t

s sB dB

6. Procesul Ornstein-Uhlenbeck:

0, ; ,t t tdx kx dt dB x y k cons.

Determinaţi , ,t t tx E x Var x şi valoarea mediei pe termen lung a variabilei x .

7. Particularizare a procesului Ornstein-Uhlenbeck – modelul Vasicek pentru dinamica ratei dobânzii:

0( ) , , , , constantetdr k r dt dB cu r k .

Determinaţi: şi valoarea mediei pe termen lung a variabilei . , ,t tr E r Var rt r

20


21

Anexă Lema: Dacă X este o variabilă aleatoare distribuită normal de medie m şi deviaţie

standard atunci: s 2

1

2m

x sE e e

.

2

2

22

2 2

( )

2

222

2 2 2

1

2 2

1

2

( ) 1

2 2 2

1

2

x mx x s

x m sm

x s s

E e e e dxs

x m sx mx m

s s s

E e e e dxs

Făcând schimbarea de variabilă: 2( )x m s dx

u ds s

u de unde:

2

2 2

1 1

2 221

2

um mx s sE e e e du e

c.c.t.d.

Seminar 6: Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes

Seminar 6: Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes Ecuaţia Black-Merton-Scholes. Dacă este preţul unui instrument financiar derivat la

momentul , ce are ca suport activul , atunci verifică următoarea ecuaţie de

dinamică (ecuaţia Black-Merton-Scholes) :

tD

St tD

22 2

2

1

2t t t

t t

D D Dr S S r D

t S S

t

Modelul Black-Scholes. Dacă derivativul este un CALL de tip european (respectiv o opţiune PUT de tip european) cu suport acţiunea neplătitoare de dividend, atunci soluţia ecuaţiei Black-Merton-Scholes este:

DS

( )

1 2

( )2 1

2

1

2 1

( ) ( )

( ) ( ) :

ln ( ) ( )2

( )

( )

r T tt t

r T tt t

t

C S N d E e N d şi respectiv

P E e N d S N d unde

Sr T t

EdT t

d d T t

Generalizare. Dacă activul suport a opţiunilor europene generează venit, formulele aferente ecuaţiei şi modelului Black-Scholes devin:

22 2

2

1( )

2t t t

t t

D D Dr q S S r D

t S S

t

( ) ( )1 2

( ) ( )2 1

2

1

2 1

( ) ( )

( ) ( ) :

ln ( ) ( )2

( )

( )

q T t r T tt t

r T t q T tt t

t

C S e N d E e N d şi respectiv

P E e N d S e N d unde

Sr q T t

EdT t

d d T t

În funcţie de tipul activului suport, avem următoarele posibilităţi: i) dacă activul suport este o acţiune plătitoare de dividende q este rata continuă a dividendului (în procente pe an); ii) dacă activul suport este un indice bursier, q reprezintă rata continuă medie a dividendelor generate de acţiunile care intră în componenţa indicelui;

22


iii) dacă activul suport este o valută, q reprezintă rata de dobândă la valuta suport în

contract (rata de dobândă străină .not

fq r );

iv) dacă activul suport este un contract futures, q r iar ecuaţia şi modelul (denumit în acest caz modelul Black) devin:

2

2 22

1

2t t

t t

D DF r D

t F

şi respectiv

( )

1 2

( )2 1

2

1

2 1

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( )]

ln ( )2( )

( )

r T tt t

r T tt t

t

C e F N d E N d

P e E N d F N d unde

FT t

EdT t

d d T t

:

Obs. 1.Paritatea PUT-CALL: ( ) ( ) ,r T t q T t

t t tC E e P S e t T valabilă pentru

opţiuni europene cu aceleaşi caracteristici poate fi demonstrată şi cu ajutorul formulelor Black-Scholes2. 2. Paritatea PUT-CALL în cazul în care activul suport este un contract futures se scrie: . ( ) ( ) ,r T t r T t

t t tC E e P F e t T Aplicaţii: 1. Un contract forward cu suport o acţiune ex-dividend este un instrument financiar derivat a cărui valoare depinde de valoarea activului suport. Verificaţi această afirmaţie folosind ecuaţia Black-Merton-Scholes. 2. Cursul curent al unei acţiuni este 100 . .tS u m , volatilitatea sa este 20% , rata

dobânzii fără risc pe piaţă este 10%r . Se emit opţiuni CALL şi PUT de tip european, cu scadenţa peste 6 luni şi care au un preţ de exercitare Determinaţi valuarea curentă a opţiunilor CALL şi PUT emise.

100 . .E u m

3. Determinaţi valoarea unei opţiuni de tip european care dă dreptul la cumpărarea peste 9 luni a unui dolar canadian la preţul de 0,75 USD. Cursul spot este 1CAD = 0,75USD iar volatilitatea cursului de schimb CAD/USD este 4% pe an. Ratele de dobândă în procente pe an în Canada şi SUA sunt 9% şi respectiv 7%.

2 Vezi suportul de curs.

23


24

4. Un activ are un curs de piaţă 0 100 . .S u m Pentru acest activ se emit contracte

futures cu scadenţa peste T Rata dobânzii pe piaţă este Pentru contractele futures se emit opţiuni CALL şi PUT cu scadenţa tot peste 9 luni, preţul de exercitare fiind egal cu preţul la termen pentru ambele tipuri de opţiuni. Volatilitatea preţului futures este

9 .uni

20%.

l 10%.r

Determinaţi prima opţiunilor emise. 5. Un investitor dispune de o sumă de bani cu care poate cumpăra exact 100 acţiuni ale firmei M&N. În cazul în care suma este depusă la bancă cu dobândă continuă, după 9 luni ea devine

A

B . Cu suma investitorul poate cumpăra exact 1000 opţiuni CALL cu scadenţa peste 9 luni, având preţul de exercitare şi având ca suport această acţiune. Să se calculeze volatilitatea

A0,01E B

a acţiunii (volatilitatea implicită).

Seminar 7: Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită

Seminar 7: Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită Indicatorii de senzitivitate cuantifică variaţia primei opţiunii la o modificare cu o unitate a factorilor care influenţează valoarea opţiunii respective: ( , , , , , )D S E r T t q . D = CALL D = PUT

Delta:D

S

( )1 0q T t

C e N d ( )1 0q T t

P e N d

Nabla: D

E

2 0r T t

C e N d 2 0r T tP e N d

Gamma: 2

2

D

S

21

2( ) 1

02

d

q T tC

ee

S T t

21

2( ) 1

02

d

q T tP

ee

S T t

Rho: D

r

2 0r T t

C T t E N d e 2 0r T t

P T t E N d e

Vega: D

21

2( ) 0

2

d

q T tC

ee S T t

21

2( ) 0

2

d

q T tP

ee S T t

Miu: D

q

( )

1( ) ( )q T tC S e T t N d 0 0( )

1( ) ( )q T tP S e T t N d

Theta: 1 ( )C C

C C

t T t

1 ( )P P

P P

t T t

Dacă dezvoltăm în serie Taylor funcţia în jurul unei valori curente obţinem

aproximarea modificării valorii derivativului (CALL sau PUT) la o modificare mică a valorii cursului activului suport:

( )D S 0S

1 0 1( ) ( ) ( )CC S C S S S 0 pt. modificări mici ale cursului 1 0 1 . .S S u m

21 0 1 0 1

1( ) ( ) ( ) (

2C CC S C S S S S S 0 ) pt. modificări relativ mai mari ale

cursului 1 0 1 . .S S u m

25


Aplicaţii:

1. O acţiune are în prezent un curs de piaţă 0 180S , volatilitatea estimată este de

32% iar rata dobânzii fără risc pe piaţă este 9,r 5% . Se emit opţiuni CALL şi PUT având ca suport această acţiune, preţul de exercitare 190E şi scadenţa peste 9 luni. Determinaţi:

a. Prima opţiunilor put şi call la momentul curent.

b. Pentru cele două opţiuni să se determine indicatorii de senzitivitate:

(Delta); (Gamma); (Nabla); şi (Vega).

S

S

N

c. Determinaţi noua valoare a opţiunii call dacă valoarea acţiunii suport devine

1 181.

d. Determinaţi noua valoare a opţiunii put în situaţia în care valoarea acţiunii suport devine 2 177.

e. Ştiind că un investitor are un portofoliu format din 2.5001 opţiuni call,

poziţie long şi 3.200 opţiuni put, poziţie short, să se calculeze suma investită,

precum şi indicatorii 2N

(Delta); (Gamma); (Nabla); şi (Vega)

ai portofoliului.

f. Cu cât se modifică valoarea acestui portofoliu dacă cursul acţiunii suport scade cu o unitate?

g. Să se precizeze numărul de acţiuni care trebuie cumpărate sau vândute, astfel încât portofoliul să devină neutral .

h. Ce poziţii trebuie să ia acest investitor pe cele două opţiuni existente pe piaţă şi pe activul suport a.î. portofoliul său să devină neutral

q

.

2. Pentru acţiunile firmei M&N se cunosc: 87, 28%, 0S iar rata dobânzii pe piaţă este . Pentru o opţiune de tip CALL cu suport acţiunea M&N şi scadenţa peste 9 luni se cunosc următorii indicatori de senzitivitate:

10%r

10,5199, 0,016846, 9,4486.

Determinaţi prima opţiunii CALL.

26


27

3. Calculaţi volatilitatea implicită pentru preţul futures ştiind că preţul pe piaţă al unei opţiuni PUT cu suport contractul futures este 20 u.m. Preţul curent al contractului futures este iar preţul de exercitare al opţiunii este

Scadenţa opţiunii este peste 5 luni iar rata dobânzii pe piaţă este 6%. 525 . .F u m

m525 . .E u

Obs. Volatilitatea implicită reprezintă acea valoare a volatilităţii care egalizează preţul opţiunii obţinut din model cu preţul opţiunii observabil pe piaţă.

4. Determinaţi volatilitatea implicită pentru o acţiune al cărei curs prezent este , ştiind că preţul unei opţiuni CALL cu suport această acţiune, cu preţ de

exercitare şi scadenţa peste 6 luni este 29,2514. 0 500S

500E 10%.r

Algoritmul Newton – Raphson:

.

( ) ( ) 0not

piaţăf C C

Alegem aleator o valoare 0 de preferat undeva între 10% şi 30%. Calculăm:

01 0 '

0

12 1 '

1

11 '

1

1

( )

( )

( )

( )

...........................

( )

( )

1 . .

nn n

n

n n

f

f

f

f

f

f

STOP dacă p p

Volatilitatea implicită: *n .

( )f

0 1

0( )f

1( )f

2( )f *

.............n

Seminar 8: Operaţiuni de hedging utilizând opţiuni PUT-protective Seminar 8: Operaţiuni de hedging utilizând opţiuni PUT-protective PROTECTIVE PUT = LONG PUT + LONG SUPORT

_ max( ,0) max( , )T T T T T Tpayoff PP S P S E S E S E

Aplicaţii: 1. Un investitor dispune de o sumă 0 10 .W mil u.m. pe care doreşte să o investească

pentru o perioadă într-un portofoliu diversificat conţinând obligaţiuni

zero cupon în sumă de

2T aniB u.m. şi portofolii protective – put în valoare de W a.î.

la scadenţă valoarea portofoliului său să fie cel puţin egală cu valoarea u.m. Rata dobânzii fără risc pe piaţă este

0 B

11,5 .TA mil 10%r iar acţiunile din

portofoliile protective – put au un curs 0 1000S u.m. şi o volatilitate 15%.

a) Determinaţi costul de cumpărare al unui portofoli protective – put ( ) şi

numărul de portofolii cumpărate. 0PP

b) Valoarea la scadenţă a investiţiei, dacă valoarea acţiunilor la scadenţă este de 1200 u.m.

TPP

0S E

E

payoff

TS

28

Seminar 8: Operaţiuni de hedging utilizând opţiuni PUT-protective

29

2. Un investitor doreşte să investească A = 1 milion u.m. în acţiuni având următoarele caracteristici: S0=76, 16% , 28% pe o perioadă de T = 9 luni. Pentru fiecare acţiune cumpără o opţiune PUT cu preţul de exerciţiu E, formând un număr de portofolii protective put. Fie V(E) nivelul minim, cert al acestei investiţii după 9 luni. Rata dobânzii este r= 10%. Să se deducă o condiţie de maxim pentru V(E) şi să se precizeze dacă punctul de maxim e atins. 3. Un investitor deţine un portofoliu format din 100 acţiuni X şi 100 acţiuni Y ce au cursurile curente iar volatilităţile 0 04 u.m. şi Y 5 u.m.X 15%X Y . Pentru

conservarea valoarii portofoliului pe un orizont de 1 an (astfel încât valoarea portofoliului să fie cel puţin la nivelul celei curente), investitorul cumpără 100 opţiuni put cu suport acţiunea X şi 100 opţiuni put cu suport acţiunea Y, cu scadenţele peste 1 an. Determinaţi preţurile de exercitare ale acestor opţiuni astfel încât costul lor (şi deci al protecţiei) să fie minim. Investitorul se putea proteja utilizând contracte forward? Comentaţi diferenţele dintre cele două tipuri de protecţie prin prisma valorii finale a portofoliului.

Seminar 9: Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit)

Seminar 9: Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) Ipoteze: i) Bilanţul simplificat al firmei este reprezentat astfel:

Capitaluri proprii ( ) t tE sau CPActive ( ) t tA sau V

Datoria ( ) t tD sau P

ii) Datoria firmei este contractată sub forma unei obligaţiuni zero-cupon cu valoarea nominală ( sau VN ) şi cu scadenţa la momentul T . F L

iii) Activele firmei urmează o ecuaţie de dinamică de tip Ito: t A t A tdA A dt A dz .

iv) Capitalurile firmei au valoare reziduală

( ) ( , )r T tD F e P F A

( , )t t

t t tE C F At unde

2

1

2 1

ln ( ) ( )2

t A

A

A

Ar T

FdT t

d d T t

t

Obs.

tP se mai numeşte put to default şi se „exercită” în situaţia în care firma intră în faliment

(sau echivalent, atunci când ). t tA DProbabilitatea de nerambursare a creditului de către firmă (aceeaşi cu probabilitatea ca firma să intre în faliment, deci cu probabilitatea ca să se exercite) este . tP 2( )N d

Valoarea medie de recuperare a creditului în caz de faliment este: ( ) 1

2

( )

( )r T t

t

N dA e

N d

.

v) Cazul creditului junior: datoria firmei este formată din două tipuri de credite – unul senior şi unul junior: . În acest caz: ,t s tD D D ,j t

).

tt tA E D

( ),

( ), ,

( , )

( , )

( , ) ( ( , ))

( , ) ( ( , ) ) ( , ) ( ,

t t s j t

r T ts t s t s t

r T tj t t t s t t t s j t s t s t

t t s j t t s t t t s t t s j t

E C F F A

D F e P F A

D A E D A C F F A F e P F A

A C F F A C F A A C F A C F F A

30

Seminar 9: Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit)

31

Aplicaţii: 1. a) Valoarea activelor unei firme este A0, iar volatilitatea A . Firma are luat un împrumut sub formă de bond zero cupon cu valoarea nominală F şi scadenţa T. Să se determine volatilitatea datoriei, a acţiunilor firmei şi coeficientul de corelaţie între acţiuni şi debit. b) A0 = 110.000, F = 90.000, 78%A , T = 6 ani, r = 12%. Să se calculeze D , E şi

DE , precum şi prima de risc aplicată creditului. c) Determinaţi valoarea medie de recuperare a creditului în caz de faliment. Care este probabilitatea de nerambursare a creditului? d) Presupunem că (datoria firmei este formată dintr-un

credit senior şi unul junior). Să se calculeze prima aplicată creditului senior, creditului junior, precum şi prima medie corespunzătoare întregului credit.

S JF 60.000, F 30.000

e) Să se deducă pentru cazul general (A0 , FS , FJ, A , r şi T se dau) formula de calcul a volatilităţii debitului junior DJ . Aplicaţie: să se calculeze volatilitatea creditului junior de la punctul d). f) Să se demonstreze pentru cazul general că valoarea medie a primei plătite precum şi valoarea capitalului propriu, în cazul unui credit junior FJ şi a unui credit senior

FS, nu depind de structura creditului, respectiv de raportul J

S

F

F.

2. Valoarea activelor unei firme este 100.000 u.m. iar volatilitatea acestora este

65%A . Firma a beneficiat de un credit luat sub forma unei obligaţiuni zero

cupon cu valoarea nominală 80.000 u.m. şi scadenţa peste 6 ani. Rata dobânzii pe piaţă este r = 10% . Determinaţi: a) Valoarea iniţială a datoriei firmei şi volatilităţile datoriei respectiv acţiunilor firmei. b) La sfârşitul anului 3, firma decide să-şi refinanţeze creditul, în situaţia în care activele sale în acest moment valorau 125.000 u.m. Calculaţi ce primă de risc va fi aplicată firmei de către noii creditori. 3. Valoarea de piaţă a activelor unei firme este 89.000A , ea având un credit (obligaţiune 0-cupon) cu valoarea nominală 70.000, 5F T , 60%, 12%.ani r

a) Să se calculeze valoarea debitului 0D , precum şi prima de risc aplicată.

b) Să se calculeze următorii indicatori de senzitivitate: 0 0 0 0; ; ;A

D D D D

A F T,

menţionându-se monotonia funcţiei 0 0 ( , , , ).AD D A F T

Seminar 10: Evaluarea instrumentelor financiare derivate

Seminar 10: Evaluarea instrumentelor financiare derivate Într-un mediu neutru la risc preţul activelor financiare nu depind de preferinţele pentru risc ale investitorilor. Într-un mediu neutru la risc preţul la momentul al unui instrument financiar derivat ce plăteşte la scadenţa payoff-ul va fi: ,

unde operatorul de speranţă matematică este aplicat în raportul cu probabilitatea neutră la risc, notată cu .

tD eT TD ( ) [ /r T t

t Q TE D F ]t

Q Aplicaţii 1. Să se evalueze un activ financiar derivat al cărui payoff este:

, ( )( )

0, ( )

c dacă Y T cX T

dacă Y T c

unde este soluţia ecuaţiei: ( )Y t t tdY dt dB iar

, , (0)c şi Y sunt nişte constante. 2. Se consideră procesele stocastice ( )X t şi ale căror ecuaţii de dinamică sunt: ( )Y t

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

dX t X t dt Y t dB t

dY t Y t dt X t dB t

aa

= ⋅ ⋅ - ⋅= ⋅ ⋅ + ⋅

Se cere: a. Demonstraţi că procesul 2 2( ) ( )X t Y t+ este determinist. b. Determinaţi procesul ( )X t şi calculaţi [ ( )]E X t .

3. Se consideră o acţiune care nu plăteşte dividende având ecuaţia de dinamică a cursului: . t t tdS S dt S dBm s= + t

Fie un derivativ al acestei acţiuni care are la scadenţa T un payoff egal cu 2T TS S⋅ .

Determinaţi preţul la momentul al derivativului şi volatilitatea acestuia. t T< 4. Se consideră o acţiune care nu distribuie dividende având ecuaţia de dinamică a cursului . Fie un derivativ al acestei acţiuni care la scadenţa

are un payoff egal cu [ ] .

t t tdS S dt S dBm s= +2

ln TS

t T

a) Determinaţi preţul la momentul t T< al derivativului. b) Determinaţi volatilitatea acestuia.

32

Seminar 11: Obligaţiuni zero-cupon – cazul stocastic. Preţul de piaţă al riscului

Seminar 11: Obligaţiuni zero-cupon – cazul stocastic. Preţul de piaţă al riscului 1. a) Ecuaţia de dinamică a ratei dobânzii este: dr dt dz . Să se deducă ecuaţia de dinamică care modelează preţul unei obligaţiuni zero-cupon.

b) Să se verifice că preţul obligaţiunii zero-cupon este dat de următoarea formulă:

2 21 1( ) ( ) ( ) ( )

2 6( , )r T t T t T t

P t T e

3

. Verificaţi că această formulă satisface ecuaţia de dinamică.

c) Să se calculeze pentru cazul considerat rentabilitatea la scadenţă şi preţul forward.

d) Să se identifice preţul riscului de piaţă şi să se demonstreze că joacă rolul preţului riscului de piaţă.

2. Se consideră acţiunea A având ecuaţia de dinamică: dS

dt dzS

m s= + , precum şi

mulţimea de opţiuni de tip CALL: { având ca suport acţiunea

A şi preţul de exerciţiu . Formând un portofoliu de opţiuni fără risc, să se

demonstreze că există un indicator , invariant în raport cu , care

caracterizează fiecare opţiune a familiei descrise. Notând cu

( , ); 1, 2,..., }kC S E k p=

( , )t SgkE

kE

( , )t S

s ⋅( , )

St S

S

g m+ ⋅=

s

l

preţul de piaţă al riscului, să se exprime l în funcţie de . Să se formuleze interpretarea financiară a formulei deduse.

, r şim

3. Un număr de trei derivative au ca sursă de risc aceeşi variabilă . Se cunosc următoarele ecuaţii:

ii i

i

dmdt sdz

dfdt dz

f

cu i = 1,2,3 iar ( , ); ( , ).i it t

a) Să se deducă expresia pentru preţul riscului de piaţă al factorului .

b) Se ştie că: 1 1

2 2

14%, 20%

16%, 25%

. Să se calculeze mărimea ratei dobânzii r .

33

Inginerie Financiara

Documents

Transcript of Inginerie Financiara