Indrumar proiectare

43
GHID DE PROIECTARE Şl EXEMPLE DE CALCUL PENTRU STRUCTURI DIN BETON ARMAT CU ARMĂTURĂ RIGIDĂ Indicativ GP 042-99 1 GHID DE PROIECTARE PENTRU ELEMENTE DIN BETON ARMAT CU ARMĂTURĂ RIGIDĂ Ghidul de proiectare este realizat sub forma unor scheme logice care cuprind principalele etape de proiectare ale elementelor din BAR: grinzi. stâlpi, noduri, pereţi, solicitate la: compresiune, încovoiere, forţa tăietoare. Relaţiile de calcul şi notaţiile din acest ghid se regăsesc şi în "Codul de proiectare pentru structuri din beton armat cu armătura rigidă". 1. GRINZI DIN BAR SOLICITATE LA INCOVOIERE (Verificarea secţiunii M < M cap ) 1.1. METODA SUPERPOZIŢIEI (SECŢIUNI SIMETRICE)

description

indrumar

Transcript of Indrumar proiectare

Page 1: Indrumar proiectare

GHID DE PROIECTARE Şl EXEMPLE DE CALCUL PENTRU STRUCTURI DIN BETON ARMAT CU

ARMĂTURĂ RIGIDĂ

Indicativ GP 042-991 GHID DE PROIECTARE PENTRU ELEMENTE

DIN BETON ARMAT CU ARMĂTURĂ RIGIDĂ

Ghidul de proiectare este realizat sub forma unor scheme logice care cuprind principalele etape de proiectare ale elementelor din BAR: grinzi. stâlpi, noduri, pereţi, solicitate la: compresiune, încovoiere, forţa tăietoare. Relaţiile de calcul şi notaţiile din acest ghid se regăsesc şi în "Codul de proiectare pentru structuri din beton armat cu armătura rigidă".

1. GRINZI DIN BAR SOLICITATE LA INCOVOIERE

(Verificarea secţiunii M < Mcap )

1.1. METODA SUPERPOZIŢIEI (SECŢIUNI SIMETRICE)

Page 2: Indrumar proiectare

1.2. METODA SIMPLIFICATĂ - pentru secţiuni simetrice

Page 3: Indrumar proiectare

1.3. METODA SIMPLIFICATĂ (DETERMINAREA POZIŢIEI AXEI NEUTRE PRIN ITERAŢII)

Page 4: Indrumar proiectare

2. STÂLPI DIN BAR 2.1. STÎLPI BAR SOUCITAŢI LA COMPRESIUNE CENTRICĂ

Page 5: Indrumar proiectare
Page 6: Indrumar proiectare
Page 7: Indrumar proiectare
Page 8: Indrumar proiectare

2.3. STÎLPI DIN BAR SOLICITAŢI LA ÎNCOVOIERE CU FORŢAAXIALĂ - METODA SUPERPOZIŢIEI

Valorile momentului capabil pentru componenta din beton armat Mbcap se

calculează cu schema logică de mai jos:

Page 9: Indrumar proiectare
Page 10: Indrumar proiectare

Valorile momentului capabil al componentei din oţel Mrcap se calculează cu schema logică de mai jos:

Page 11: Indrumar proiectare

2.4. STÎLPI CU SECŢIUNEA ARMĂTURII RIGIDE DIN ŢEAVĂ

SOLICITAŢI LA ÎNCOVOIERE CU FORŢA AXIALĂ METODA SUPERPOZIŢIEI

Page 12: Indrumar proiectare

Pentru componenta din beton simplu din interiorul ţevii:

Mbc = 0,85 pentru betonul din tub

Pentru componenta din beton armat de acoperire a ţevii există relaţiile:

Page 13: Indrumar proiectare
Page 14: Indrumar proiectare

Pentru componenta armăturii rigide

Page 15: Indrumar proiectare
Page 16: Indrumar proiectare

2.6. CALCULUL LA FORŢA TĂIETOARE AL STÎLPILORCU SECŢIUNEA ARMĂTURII RIGIDE DIN ŢEAVĂ

Page 17: Indrumar proiectare
Page 18: Indrumar proiectare

5.1. PEREŢI DIN BAR SOLICITAŢI LA ÎNCOVOIERE CU FORŢA AXIALĂ

Page 19: Indrumar proiectare

5.2. CALCULUL LA FORŢA TÂIETOARE AL PEREŢILOR BAR

Page 20: Indrumar proiectare

EXEMPLE DE PROIECTARE PENTRU ELEMENTE DIN BAR

1. Grinzi din beton armat cu armătura rigidă

1.1.EXEMPLUL1Determinarea momentului capabil al unei grinzi din BAR prin metoda simplificată

Page 21: Indrumar proiectare

tt = 10 mm

bt = 150 mm

tt = 20 mm

Ar = 8600 mmp

Mcapo =MB =MD - MB

în care MD - momentul capabil corespunzător punctului de balans;

Mb - momentul corespunzător secţiunii delimitate de cele două axe situate la:

MD=W rp Rr+W bp Rc/2+W ap Ra

W rp=2S0=2 (150 x20 x140+130 x10 x 130/2 )=2 x504500=1009000 mmc=10009 cmcW ap=2 x 314 x270=169560 mmc=169 ,56 cmc

W bp=(6002 x 300 )/4−W rP−W aP=27000000−1009000−169560=25821440 mmc=25821 ,44MD=1009000 x220+25821440 x15 ,3+169560 x210=6 ,527 x 108 N /mm=652 ,7 kNmDeterminarea poziţiei axei neutre hb

Ab Rc=N bB+2 N rBundeN bB şiN rB sunt rezultatele forţelor axiale din betonul şi armătura rigidă cuprinsă

în zona dintre – hB şi hB

Considerăm ca axa neutră trece prin talpa

300 x 600 x15 , 3=300 x 2 hb x15 , 3+2 (2600 x 220+2 (hb−130 ) x150 x 220 )150 mm≻hB=133 mm≻130mmΔM B=W rp

B xRr+W bpB xRc/2+W ap

B xRa

W rpB =2 (150 x 3 x131 ,5+130 x 10 x130 /2 )=28735 mmc

W bpB =(300 x 2662 )/4=5306700 mmp

ΔM B=287350 x220+5306700 x 15 ,3 /2=1, 038 x108 N /mm=103 ,81kNmM capo=M B=652 ,7−103 ,81=548 , 89 kNm

1.2. EXEMPLUL 2

Determinarea momentului capabil al unei grinzi din BAR prin metoda simplificată (determinarea prin iteraţii a axei neutre)

Materiale: Beton Rc * = 18 N/mmp (Bc30)

Armătură Ra = 300 N/mmp (Pc52)Profil Rr = 220 N/mmp (OL37)

Caracteristici geometrice:

Beton - b = 300 mmh = 600 mmb' =75 mmh' =120 mm

Page 22: Indrumar proiectare

Reazem:

Prin câteva iteraţii succesive se află domeniul în care este poziţionată axa neutră (taie inima profilului de oţel)

Aai Ra+ A ri Rr=Aac Ra+ A rc R r+bxRc

x=x1+h ,+t t=x1+120+15=x1+1354⋅254 ,5⋅300+150⋅15⋅220+ (290− x1 )10⋅220=x1 10⋅220+150⋅15⋅220+2⋅254 ,5⋅300+(135+x1)300⋅15 ,3x1=19mm→x=154 mm(2 ) ΣM=0 ( faţădefibraextremăcomprimată )M cap= Aai Ra h0 i+ A ri Rr hri−Aac Ra h0 c−Arc Rr hrc−bxRc x /2M cap=4⋅254 ,5⋅300⋅520+(150⋅15⋅220⋅432,5+271⋅10⋅220⋅289 , 5 )−−(19⋅10⋅220⋅144 ,5+150⋅15⋅200⋅127 ,5 )−2254 , 5⋅300⋅40−300⋅154⋅15 ,3⋅154/2=4 ,16⋅108 Nmm=416kNm

Câmp:

(1) ΣN = 0Prin câteva iteraţii succesive se află domeniul în care se află (în grosimea plăcii)

Page 23: Indrumar proiectare

Aac Rc+Rc b p 1 x2=Ari Ra+ A r Rr

2⋅254 ,5⋅300+930⋅x⋅15 , 3=2⋅254 ,5⋅300+7400⋅220x2 =115 mm - axa neutră trece aproximativ prin al doilea rând de armături de la partea de sus.

(2) Σ M = 0

M cap=Aai Ra hai+ Ar Rr hrc−Aac Ra hac−Rc bx2 x2 /2→

M cap=2⋅254 ,5⋅300⋅560+7400⋅220⋅320−2⋅254 , 5⋅300⋅40−15 ,3⋅930⋅115⋅115 /2=5 , 06⋅108 Nmm¿506 kNm

s-a considerat nul aportul celui de al doilea rând de armături deoarece axa neutră trece aproximativ prin dreptul

acestora.

1.3. EXEMPLUL 3Determinarea cu rezistenţe medii a momentului şi a forţei tăietoare capabile a unei grinzi din BAR prin metoda

superpoziţiei

Materiale:

Beton- Rc = 15 N/mmp Rc = 1,75 Rc = 1,75 15 = 26 N/mmp (Bc25)

Armătura

- Ra = 300 N/mmp Ra = 1,35 Ra = 1,35 300 = 405 N/mmp (Pc52)

Armătura rigidă

- Rr 220 N/mmp Rr = 1,35 Rr =1,35 220 300 N/mmp (OL37)

Etrieri

- Rae = 210 N/mmp Rae = 1,35 Rae = 1,35 210 = 285 N/mmp (OB37)

Caracteristici geometrice

Armătura rigidă: hi = 390 mm; ti = 15 mm; bt = 150 mm; tt = 30mm

Etrieri: 10/10

Beton:b= 300mm, h = 600mm; b' = 275= 150 mm; h' = 75 mm

Armătura: sus 4 20; jos 4 20

i) Determinarea momentului capabil

- Mcap = Mbcap + Mrcap

- beton armat

Page 24: Indrumar proiectare

M bcap=Aa R̄a zb . . zb=7 /8⋅ha=7 /8⋅500=437 ,5 mm→

→ M bcap=804⋅405⋅437 , 5=1,425⋅108 Nmm=142 ,5 kNm- armătura rigidăMrcap=W rp⋅Rr

Sor=150⋅30⋅202 ,5+195⋅15⋅195 , 5=1196437 , 5 mmcW rp=2Sor=2392875mm3→→M rcap=2392875⋅300=7 , 178⋅108 Nmm=717 , 8 kNm¿M cap=M bcap+M rcap=142 ,5+717 ,8=860 kNm

ii) Determinarea forţei tăietoare capabile

¿Qcap=Qbcap+Qrcap

- beton armatQbcap=min (Qbcap 1 ,Qbcap 2 )Qbcap=b⋅ha (0,5 α⋅R̄bf +0,5 μe⋅R̄ae )R̄bf =0 ,15⋅R̄c ; R̄c →N /mmp¿0 .15⋅26=3,9 N /mmpα b=4 / (M /Qho+1 )=4 / (0,5⋅2900 /500+1 )=1 ,17μe=(nAae ) / (b⋅ae )=(2⋅78 ,5 ) / (300⋅100 )=0 , 0052Qbcap 1=300⋅500⋅(0 .5⋅1,17⋅3,9+0,5⋅0 , 0052⋅285 )=453375 N=453 , 4 kN

Qbcap 2=b⋅ha⋅[( b, /b ) R̄bf +μe R̄ae ]=¿300⋅500⋅[ (150/300 )3,9+0 ,0052⋅285 ]=514800 N=514 ,8 kNQbcap=min (Qbcap 1 ;Qbcap 2)=453 , 4 kN

Forţa tăietoare de calcul preluată de componenta din beton armat (se neglijează încărcarea de lungă durată).

Qb=( M bcapst +M bcap

dr ) / lap=(142 , 5+142, 5 ) /29=98 , 27kN

Verificarea la forţa tăietoare a componentei din beton armat:

Qbcap=453 , 2kN≻Qb=98 , 27kN- armătura rigidă

Qrcap≻Qr

Qrcap=Ari⋅R̄rf=A ri⋅( R̄r /√3 )= (450⋅15 ) (300/√3 )=1169134 N=1169 ,13 kN Forţa tăietoare de calcul preluată de componenta armăturii rigide

Page 25: Indrumar proiectare

Qr=( M rcapst +M rcap

dr ) / lap=(717 ,8+717 , 8 ) /29=495 , 03 kN

Verificarea la forţa tăietoare a componentei din armătura rigidă

Qrcap=1169kN≻Qr=495 , 03 kN1.4. EXEMPLUL 4

Determinarea momentului capabil şi a forţei tăietoare capabile pentru o grindă parţial înglobată prin metoda simplificată (determinarea axei neutre prin iteraţii).

Materiale:Beton Rc * = 18 N/mmp; Rc = 0,85 Rc * = 15,3 N/mmp (Bc30)

Armătură - Ra = 300 N/mmp (Pc52)

Armătură rigidă – Rr = 220 Nmmp (OL37)

Caracteristici geometrice Beton si tabla cutată din placă:

Page 26: Indrumar proiectare

bpl = 900 mm

hpl = 90 m

htc = 50 mm

hpl =hbpl +htc =140

Armătura rigidă:

bt = 200 mmtt = 20 mm

hi = 360 mm

ti = 15 mm

i) Determinarea momentelor capabile

Câmp:Determinarea axei neutre

Nb=Rc Ab=15 ,3 (900⋅90 )=1239300 N=1239 kNN r=A r Rr=(2 bt t t +hi t i ) Rr=(2⋅200⋅20+360⋅15 )⋅220=13400⋅220=2948000 N=2949 kN

Deci: Nb≺N r→ x≻hpl axa neutră se află sub placa din beton

Considerăm axa neutră în talpă şi notăm x distanţa de la axa neutră la exteriorul tălpii.

Rc Ab+x1 b1 Rr−((t t−x1)b t+bt tt+hi t i ) Rr

1239300+x1⋅200⋅220=( (20−x1)200+200⋅20+360⋅15)220x1=19 , 4 mmM cap=Σt t b t R r zt+t i hi Rr zi+bpl hpl Rc z pl=¿200⋅20⋅220⋅370 ,6+200⋅20⋅220⋅9,4+360⋅15⋅220⋅180 , 6+900⋅90⋅15 ,3⋅94 , 4=¿6 .66⋅103 Nmm=666 kN

zi zt zp - distanţa dintre centrul de greutate al inimii, al tălpii de oţel, respectiv al plâcii de beton şi axa neutrâ.OBS.: S-a neglijat aportul betonului dintre tălpile profilului de oţel şi inima acestuia. De asemenea s-a neglijat

aportul armăturii aflate în acest beton. Această armătură împreună cu etrierii au rolul de fretare a betonului şi de reducere a pericolului de flambaj local. S-a neglijat de asemenea betonul dintre cutele tablei.

Reazem:În reazem betonul din placă fiind fisurat, Mcap se calculează considerând numai contribuţia profilului de oţel

neglijându-se aportul betonului întins al tablei cutate şi al armăturii din placă. În acest fel, axa neutră a secţiunii coincide cu axa de simetrie y-y a profilului de oţel.

Page 27: Indrumar proiectare

M cap=W rp Rr=(2⋅Sor ) Rr=2006000⋅200=4 , 41⋅108 Nmm=441 kNSor=200⋅20⋅190+180⋅15⋅180 /2=2006000 mmcOBS: Se observă o diferenţă foarte mare între momentele capabile în câmp şi pe reazem.Acest lucru impune o limitare a utitizări acestor tipuri de grinzi în zonele cu seismicitate ridicată (zonele

A, B, C, D) fiind indicate doar în zonele cu seismicitate redusă (zonele E, F).ii) Forta tăietoare capabilăLa acest tip de grinzi forţa tăietoare de calcul este preluată de inima profilului.Forţa tăietoare capabilă:Qcap=Qrcap

Qrcap=Ari R rf=A ri Rr /√3=hi ti Rt /√3=¿665892 N=665 kN

Forţa tăietoare de calcul

Qr=( M rcapst +M rcap

dr ) / lap=( 441. 3+441 .3 ) /56=158 kN

Verificarea la forţa tăietoare

Qcap=665 kN≻Qr=158 kNm

2. STÂLPI DIN BETON ARMAT CU ARMĂTURĂ RIGIDĂ

2.1. EXEMPLUL 1Determinarea forţei axiale capabile la compresiune centrică a unui stîlp din BAR cu secţiunea armăturii rigide

în formă de T.

Materiale:Oţel: Rrk = 345 N/mmp Rr = 300 N/mmp (OL52)

Er =210000N/mmpBeton: Rck =20.5N/mmp Rc*=15N/mm Rc =0,8515 = 12,75 N/mmp

Page 28: Indrumar proiectare

Eb = 30000 N/mmp (Bc25)

Secţiunea de armătură rigidă:

Ar =20.18 250+10 224 =11240 mm2

Lrz =2 (l83 25o)/12+2182501212+(l0+2243)/12= 1,4138108mm4

/ry =2 (18 2503)/12+(224103)/12=46893667 mm4

Wrpy =2Soy =2(l8250121+11210112/2)=121440mm3

Wrpz =2Soz =2(218125125/252245/2)=568100mm3

Secţiunea de beton:Ab = 400 400- Ar = 400 400 -11240 = 148760 mm2

Iby = 4004/12- Iry = 4004 /12-1,4138 108 = 1,99210m4

Ibz = 4004 /12 - Irz = 4004 /12 - 46893667 = 2,0864 109 mm4

Npc =Ab Rc+Ar Rr =14876012,75+11240.300= 5268690 N = 5269 kN

Npk = AbRck +ArRrk = 148760 20,5 +11240 345 = 6469943 N = 6470 kN

OBS: Cu toate că procentul de annare longitudinal >0,3% contribuţia armăturii este redusă şi pentru simplificare se va neglija.

Faţă de axa y-y:

( El )cy=0,8 Eb⋅I by+Er⋅I ry=0,8⋅30000⋅1 . 992⋅109+210000⋅108=¿7 .75⋅1013 Nmm2=77498 kNmpNcr , y=π2 ( El )cy /l fy

2 =π277498 /72=15594 kNλ̄=√ N p , k/ N cr=√6470/15594=0 .644

Pe curba

→ x0=1 /(φ+√φ2− λ̄2)φ=0 . 5 (1+α ( λ̄−0 .2 )+ λ̄3 ); α=0 .34 pentru curba b

φ=0 . 5 (1+0. 34 (0 . 644−0 . 2 )+0.6442)=0 .7828→

x y=1/ (0 . 783+√0.7832−0 . 644)=0 . 814N capc=x y 0 N pc=0 . 814⋅5269=4289 kNVerificarea la compresiune centrică

N = 3000 kN < xy Npc = 4289 kN Acceptând ca stâlpul este liber să se încovoaie şi după axa minoră (z-z) a sa, calculând similar vom obţine o

altă valoare a lui λ̄z pe această direcţie.

Page 29: Indrumar proiectare

λ̄=√ N pk / Ncr , z

Ncr , z=π2⋅( EI )c . z / lf , z2 =π2⋅56980/72=11480kN

( EI )c , z=0. 8⋅30000⋅2 .0864⋅109+210000⋅46893667=5 .698⋅1013 Nmmp→ λ̄z=√6470/11480=0 .75≺0 . 8

2.2. EXEMPLUL 2Determinarea forţei axiale capabile la compresiune centrică pentru un stâlp din ţeava rectangulară umplută

cu beton.Profil din ţeava pătrată 200x200x6 (OLT45) Caracteristici:Ar = 45.45 cmp

Rr = 240 N/mmp

Er =210000N/mmp

Ir =2814104 mm4

Beton de umplutură (BC60) Caracteristici:AB = 352.92 cmp

RC * =31.5N/mmp=Rc

Eb = 40000 N/mmp

/b = 10410 104 mm4

Armăturile nu se iau în considerare fiind utilizate pentru protecţia la focLungimi de flambaj: 3m, 6m şi 9m

Npc =Ar Rr+Ab Rc = 45,45102 240 + 352,92102 31,5= 2157048

N= 2247 kN

= Ar Rr /Npc = 1045350/2157048 = 0,48 (0,2;0,9)

(EI)c =Er Ir +0,8(EbIb )= 210000 2814104 +0,8 4000010410104 = 9,241 1012Nmmp

= 9241 kNmp

i) 1=3mNcr,3 =π2 ( EI )c/ lf2=π2⋅9241/32=10124 .2 kN

ii) 1= 6 m Ncr,3 =π2 ( EI )c/ lf2=π2⋅9241 /62=2531 kN

iii) 1=9m Ncr,3 =π2 ( EI )c/ lf2=π2⋅9241/92=1125 kN

Np,k =Ar Rrk+Ab Rck = 45,45102 260 + 356,92102 4,5= 2157048

i) 1 = 3 m → λ̄3=√N pk / Ncr , 3−√2770 /10124=0 . 52

ii)1 = 6m → λ̄6=√N pk / Ncr , 6−√2770/2531=1. 046

iii)1 = 9m → λ̄9=√N pk / Ncr ,9−√2770/1125=1 .57

Page 30: Indrumar proiectare

Calculul zvelteţei λ̄ lim se face pentru a se vedea dacă se ţine seama şi de influenţa încărcării de lungă durată.

Dacă structura se consideră contravântuită

λ̄ lim=0 .8/ (1−δ )=1/ (1−0. 48 )=1 .92

λ̄3 , λ̄6 , λ̄9≺ λ̄lim→nu este necesar să luăm în considerare influenţa încărcării de lungă durată.

λ3 , λ6 , λ9 > 0,5 nu se ia în considerare mărirea rezistenţei betonului datorită fretării.Calculul lui Ncapc pentru:

i) 1=3m λ3=0. 52→ x0 =0,9010Ncapc3 =0,9010 2247 = 2025 kN

ii) 1 = 6 m λ6=1. 05→ x0 =0,5623Ncapc6 =0,5623 2247 = 1263 kN

iii) 1=9m λ9=1. 57→ x0 =0,2933

Ncapc9 =0,2933 2247 = 659 kN

2.3. EXEMPLUL 3Determinarea forţei axiale capabile la compresiune centrică a unui stâlp din ţeava circulară umplută cu

betonProfil metalic din teava rotundă D 273x6 Caracteristici: OLT45 Ar = 5033 cmp/r = 44870000 mm4

Er =210000N/mmp

Rr = 240 N/mm4

BetonCaracteristici: Bc60Ab = 53500 mmp

Rc = 31.5 N/mmp

I b=π⋅D4 /64=π⋅(27 . 3−12 )4 /84 = 227790000 mm4

Eb = 40000 Nmmp

Lungimea de flambaj: 3mNpc = Ar Rr + Ab Rc = 5033 240 + 53500 31,5 = 2842840 N = 2842 kN = Ar Rf /Npc = 5033 240/2842840 = 0,41 [0,2;0,9]

(El)c = Erlr +0,8EbIb =210000 4487-104 +0,8 4000022779 104 = 1,671198 1013Nmmp= 16711 kNmp

Npk =Ar Rrk+ Ab Rbc,k = 5033 260 + 53500 45 = 3716080 N = 3716 KN

Ncr=2 (El)c /lf2

= 216711/32 =18307 kN

λ̄=√3716/18307=0. 49≈0 .5→ nu se ia în considerare efectul fretării

λ̄ lim = 0,8 /(1 - ) = 0,8 /(1 - 0,41) = 1,35

Page 31: Indrumar proiectare

λ̄≺ λ̄lim nu este necesar să luăm în considerare efectul cucgerii lente a betonului şi a încărcărilor de

lungă durată.

λ̄ = 0,5 x0 = 0,9243 (curba a)

Ncapc = x0 Npc = 0,9243 2842 = 2626 kN

Page 32: Indrumar proiectare

2.4. EXEMPLUL 4

Determinarea forţei axiale capabile ta compresiune centrică pentru un stâlp din ţeava circulară umplulă cu beton evidenţiind efectul fretării asupra rezistenţei betonului.

Teava rotundă D 406.4 x 8 (OLT34) Caracteristici:Ar = 10110cmp

/r =198700000 N/mm4

Er =210000N/mmp

Rr =240mmp Beton (Bc60) Caracteristici:

Ab = 119700mmp

Rc =31.5 N/mmp

/b = D4 / 64 = 1140270000 cm4

Eb = 40000 N/mmp N= 5000 kN

Lungimea de flambaj: 2,5 m

(E/)c =Er Ir +0,8Eb/b =210000 19870 l04 + 0,8 40000 114027 104= 8,733 l013 Nmmp

= 87338 kNmp

Npk = Ar Rrk +Ab Rbc,k =100,1 102 260+1197 102 45= 789100 N= 7989 kN

Ncr = 2 (EI)c / lf2

=2 87338 /2,52 =137779 kN

λ̄=√N pk / Ncr=√7989 /137779=0 . 24 ∈ [0,2,0,9 ]

λ̄≺0 .5→ există efect de fretare al ţevii asupra betonului. Datorită faptului că e =M/N = 0

h1=h1 . 0=4 .9−18.5 λ̄+17 { λ̄2=4 .9−18 .5⋅0. 24+17⋅0 .242=1 .44 ¿h2=h2. 0=0 . 25 (3+2 λ̄ )=0.25 (3+2⋅0 .24 )=0 .87 ¿ N pc=A r η2 Rr+ Ab Rc [1+η1 (t / D ) (Rrk /Rck ) ]=10110⋅0 . 87⋅+1197⋅102⋅¿⋅31.5 [1+1.44⋅(8 /4 . 06 . 4 )⋅(260/45 ) ]=6391090 N=6400 kN ¿δ=η2 Ar Rr /N pc=(10110⋅0 .87⋅240) / (9400⋅103 )=0 .36 ¿ λ̄=0 .8/ (1−δ )=0.8 /(1−0 .36 )=1. 25 ¿ λ̄≺ λ̄ lim→¿¿se neglijează efectul curgerii lente a betonului

λ̄=0 .24→ x 1 . 04≻1(curba α=0 .21Ncapc=x0 N pc=1⋅6400=6400 kN

2.5. EXEMPLUL 5Determinarea forţei axiale capabile la compresiune centrică a unui stâlp cu armătura rigidă parţial înglobată.

Page 33: Indrumar proiectare

Lungime de flambaj: 4m

Profil metalic - table sudate OL52

Caracteristici: oţel

Ar = 12380 mmpRr =315N/mmp

/rz = 72020000 mm4

Armătura 4020 PC52 Caracteristici:

Aa = 1256mmp

Ra = 300 N/mmpacoperire: 50 mm Beton (Bc25) Caracteristici:

Ab =310 300- Ar –Aa =310 300-12300-1256 = 79364 mmp

Rc¿

= 15 N/mmp Rc = 12,75 N/mmp

Ibz =(310 3003)/12- Irz - Iaz =612920000 cm4

Npk = Ar Rck + Ab Rck + Aa Rak = 12380 360 + 79364 0,85 20,5 +1256 350 = 6279318 N = 6279 kNNpc = Ar Rr + Ab Rc + Aa Ra = 12380 315+79364 12,75 +1256 300 = 5102691 N = 5103 kN

= Ar Rr /Npc = (12380 315)/(5102691) = 0,73 [02;0,9

(E/)c,z =ErIr+0,8EbIb +Ea Ia = 2100007202 104 +0,8 30000 61292 104+210000 1256 104

= 3,2472 1013 Nmmp = 32472 kNmp

Ncrz = π2 ( EI )cz/ lf

2=π2⋅¿ ¿32472 /16 = 20030 kN

λ̄zo=√N pk / Ncrz=√6279/20030=0. 5→ x0 = 0,8566 (curba b)

Ncapc = x0 Npc = 0,8566 5103 = 4371 kN

Comparaţie între secţiunea compozită şi o secţiune metalică formată doare dintr-un profil din table sudate:

irz=√ Irz / Arz=√7202/123 .8=7 . 63 cmλz=I z / iz=400/763=52 .42λ iz=π⋅√E r /R rk=π √210000/ (1.1⋅260 )=84 .32λ̄z=I z / I iz=52 . 42/84 .32=0 .62→ x0=0 .782 (curbac )Ncapc=x0 A r Rr=0 . 782⋅12380⋅315=2226667 N=2227 kN

Page 34: Indrumar proiectare

CONCLUZIE:Forţa axială capabilă la compresiune este net superioară în cazul elementului parţial înglobat în comparaţie cu elementul din oţel.

STÂLPI SOLICITAŢI LA ÎNCOVOIERE CU FORŢA AXIALĂ Şl LA FORŢA TĂIETOARE

2.6. EXEMPLUL 6

Trasarea curbei de interacţiune M - N şi verificarea la încovoiere cu forţa axială a unui stâlp din ţeava rectangulară umplut prin metoda simplificată.

F1 =1000kN

F2 = 300 kNFmax = F1 +F2= 1300 kN

M=0.18 300=54kNm

H = 4m

Profil metalic 150 x250 x 6 (OLT45)Caracteristici:Ar = 4545 mp

Rr = 240 N/mmpArmătura 4 20 (Pc52) Caracteristici:Aa = 1256 mmp

Ra = 300 N/mmpBeton (BC50)Caracteristici:Rc * = 26.5 N/mmp

Eb = 38000 N/mmp Ab =138 238-1256=315788 mmp

Momente de inerţie pentru axa "majoră" y - y:/ry = 38570000 mm4

lay = 4 314 852 = 9070000 mm4

lby = (138 2383)/12 - 9070000 = 145960000 cm4

Momente de inerţie după axa "minoră" z - z:/rz =17580000 mm4

/az = 4 314352 =1540000 mm4

/bz = (238 1383)/12 -1540000 = 50580000 mm4

h/t = 250/6= 41,7 < 52

Npc =Ar Rr +Aa Ra +Ab Rc = 4545 240 4 1256 300 + 31588 26,5 = 2259232 N = 2259 kN

= Ar Rr / Nc = 4545 240 / 225932 = 0,46 [0,2; 0,9] Calculul rigidităţii elastice după axa z -z:

(El)c = Er It + Ea/a + 0,8Eb lbz = 210000 1758 104 + 210000 154 10 + 0,8 38000 5058 104 = 5,5528 1012 Nmm2 = 5553 kNm2

Npk =Ar Rrk +Aa Rak + Ab Rck = 45,45 102 260 + 12,56 102 345 + 31588 38,5 = 281158 N = 2831 kN

Ncr = 2 (El)c /lf2

= 2 5553 /42 = 3428 kN

Page 35: Indrumar proiectare

λ̄=√ N pk / Ncr=√2831/3428=0 .825λ̄ lim=0 . 8/ (1−δ )=0 . 8/ (1−0. 46 )=1 .48

λ̄≺ λ̄lim→ nu trebuie să luăm în considerare influenţa încărcării de lungă durată.

= 0,825 x0 = 0,6396 (curba a)

Forţa axială la compresiune centrică

Ncapc = x0 Npc = 0,6396 2259 = 1445 kN

Verificarea la compresiune centrică

N = 1300kN < Ncapc = 1445 kN

Calculul rigidităţii elastice după axa y - y:(E/)c = Er Ir +Ea Ia +0.8Eb Iby = 210000 3857 104 +210000 907 104 +0,8 38000 14596 104 = 1,444158 1013 mmp = 14442 kNm2

Ncr= 2 (El)c /lf2 4442/42 =8899 KN

λ̄=√N pk / Ncr=√2831/8899=0 .56→ x0=0. 8823 (curba a)

• Calculul modulului de rezistenţă plastic al armăturii totale:Wap.y-y = 1263 850 = 107100 mmc

• Calculul modulului de rezistenţă plastic al secţiunii de beton:

W bp . y− y=13 .8⋅23 .82/4−(2 /3 )⋅rint3 −rint

2 ⋅(4−π ) [ (25/2 )−0 . 6−0 .8 ]=1841 cmc

r int = raza interioară a racordurilor de la colţurile profilului tip ţeavă = 7.8 mm

• Calculul modulului de rezistenţă plastic al profilului tip ţeavă dreptunghiulară:rext = raza exterioară a racordurilor de la colţurile profilului tip ţeavă = 13.8 mm

W rp . y− y=15⋅252 /4−(2/3 ) rext3 −rext

2 (4−π ) [ (25 /2 )−rext ]−W bp . y− y

W ap. y− y=2343 .75−(2/3 )⋅1 .382−13 . 82 ( 4−π ) [ (25/2 )−13. 8 ]−1841−107 .1=375 .7 cmc• Determinarea curbei de interacţiune poligonale M - N

Punct A → N A=N pc=2259kNMA =0

PunctD. →ND=(1/2 ) N c=837 . 18/2=418 .541 kN unde:

Nc=Ab Rc=31588⋅26 .5=837182 N=837 . 2 kNMD=W rp Rr+W ap Ra+W bp Rc /2=375 .7⋅103⋅240+107 .1⋅103⋅300+1841⋅103⋅26 .5 /2=1. 43⋅108 Nmm=143 kNm

Punct B. hb=[ N c−AaB (2 Ra−Rc )]/ [2 bRc+4 t (2 Rr−Rc )]

unde: AaB

= aria armăturilor situate pe regiunea de înălţime 2hb

In cazul nostru AaB

= 0

Page 36: Indrumar proiectare

hB=(837 . 2⋅103 )/ [2⋅150⋅26 . 5+4 (2⋅240⋅26 .5 ) ]=45 .6 mmMB−M D−ΔMB

ΔM B=W rpB Rr+W ap

B Ra+(W bpa Rc/2)

W bpB =(150−6−6 )hB

2=138⋅45 .62=286952mmcW rp

B =150⋅45 . 62−W bPn=24952 mmc

W apB

= 0 - nu avem armătură în zona 2

ΔM B−¿143−11.5=131.5kNmΔM B=24952 .5⋅240+286952⋅26 .5/2=11459242 Nmm=11.5 kNmMB=143−11.5=131 .5 kNm

Punct C.

→Nc=837 .2 kNM c=MB=M capo=131. 5kN

Punct E.

N E=(N A+N c ) /2=(2259+837 . 2 ) /2=1548 kN

hE=hB+[N A−Nc−AaE (2 Ra−Rc ) ]/ [2 bRc+4 t (2Rr−Rc ) ]

unde: AaE

= suma ariilor armăturilor în regiunea cuprinsă între hE şi hB.

În cazul de faţă, AaE

= 6,28 cmp pentru 2 20.

Determinarea hE

hE=46 .5+ [2259000−837200−628⋅(2⋅30026 .5 ) ] / [2⋅150⋅26 .5+4⋅6⋅(2⋅240−26 .5 ) ]hE=1032 mmW ap

E =4⋅3 .14⋅8 .5=107 cmcW bp

E =13.8⋅10. 32−107=1357cmcW rp

E =15⋅10 .32−107−1357=128cmcΔM E=WR+WR+ (WR/2 )=128

Coordonatele punctelor de pe curba adimensională

N A /N pc=1M A=0N B /N pc=0M B / M capo=1N c /N pc=837 .2/2259=0 .37=xcM c/ M capo=131 .5 /131. 5=1=ηcN E /N pc=1548/2259=0 . 68=x EM E /M capo=63.5/131 .5=0 . 48=ηEN D / N pc=418 .6/2259=0 .18=xDM D /M capo=143/131. 5=1 . 08=ηD

h..

Page 37: Indrumar proiectare

Efectele ordinului II

k=β / [1−( N /N cr ) ]=0 .66/ [1− (1300 /8899 ) ]=0 .77β=0 . 66+0 .44 r=0 . 66under=M min / M max=0k 1 şi deci nu se iau în considerare efectele de ordinul 2 Verificarea la încovoiere a stîlpuluix0=0 . 8823xn=0 .25 x0=0 . 22xc=N /N pc=1300/2259=0 . 58xc≻xC

μ=μc−μ0 ( xc−xn )/ (x0−xn )=0 . 67 Verificare:M≤0 .9 μM capo=0 . 9⋅0 . 67⋅131 .5=79 .3 kNmM=54 kNn≤79 kNm

2.7. EXEMPLUL 7

Trasarea curbei de interacţiune M N şi verificarea la încovoiere cu forţa axială a unui stâlp din BAR cu armătura rigidă cu secţiune în formă de I.

Valori dimensionale:

N=850kNM y=100 kNmCaracteristici BetonRc

¿=12.5 N /mmp

Page 38: Indrumar proiectare

Rc=0 .8⋅12 .5=10 .6 N /mmpEb=27000 N /mmpAb=300⋅300−A r=84830 mmpI by=3004 /12−I ry=629730000 mm4

I bz=3004/12−I rz−I az=655690000mm4

Armătura 4 12 ( Pc52) Caracteristici:Ra=300 N /mmpEa=210000 N /mmpAa=452. 4 mmpI ay=I az=452 .4⋅1152=5980000 mm4

Armătura rigidă - (OL52)

Caracteristici:

Rr=315 N /mmpEr=210000 N /mmpAr=5170mmpI ry=39292333mm4

I rz=13337453 mm4

Lungimea de flambaj a stâlpului este de 4 m.

• Calculul forţei axiale plastice la compresiune centrică:N pc=A r Rr+ Ab Rc+ Aa Ra=5170⋅315+84830⋅10. 6+452. 4⋅300¿2588038 .8 N=2588 kN• Calculul rigidităţii la încovoiere a secţiunii - pentru încărcări de scurtă durată:( EI )c=E r I r+0.8 Eb I b+Ea I adupă y - y:

( EI )cy− y=Er I ry+0 .8 Eb I by+Ea I ay=210000⋅104⋅(3929+598 )+0. 8⋅27000⋅¿ ¿⋅62973⋅104=2 .31088⋅1013 Nmmp=23109 kNmpdupă z-z:

( EI )cz− z=E r I rz+0 .8 Eb I bz+Ea I az=210000⋅104 (1333+598 )+0.8¿27000⋅65569⋅104=1 .8218⋅1013 Nmmp=18218 kNmp• Pentru încărcări de lungă durată:e=M max / N=100 /850=0 . 117me y=0 . 117e z=0e /b=0 .117=0 . 39≺2 unde b este lăţimea secţiunii în planul de încovoiere considerat.Zvelteţea adimensională:

N pk=Ar Rrk + Ab Rck+ AaRak=5170⋅360+84830⋅0 .85⋅16 .6+452.4⋅355=3218753.3 N=3219 kNNcry=π2 ( EI )cy /I fy

2 =π2⋅23190/42=14290 .3 kNNcrz=π2 ( EI )cy /I z

2=π2⋅18218 /42=11226 . 4kNλ̄ y=√N pk /N cr=√3219 /14290 .3=0 .47λ̄z=√ N pk / Ncrz=√3219/11226=0 .535

Coeficientul de contribuţie al armăturii rigide

δ=A r Rr / N pc=(5170⋅315 /2588038. 8=0 .6∈ [ 0. 2 ;0 .9 ] )

Page 39: Indrumar proiectare

Zvelteţea maximă adimensională λ̄max= λ̄z = 0,535

Procentul minim de armare este Pmin = 0,3%

Pef =442.4 / (300⋅300−5170 )⋅100=0. 53 %≻Pmin

Procentul maxim de armare este Pmax = 4%

Pef Pmax

• Verificarea la compresiune centrică:

φ=0 .5 ( 1+α ( λ̄−. 0. 2 )+ λ̄3)=0 .5 (1+0 .49 (0 . 535−0 . 2 )+0 .5352=0 . 84 )x0=1/ (φ+√φ2− λ̄2 )=1/ (0. 84+√0. 842−0 .5352 )=0. 672N=850 kN≺x y 0 N pc=0 . 672⋅2588=1739 kN

• Verificarea secţiunii la compresiune cu încovoiere:Nc=Ab Rc=84830⋅10 .6=901318 N=901 kN

Armătura:

W ap=4⋅(122⋅π /4 )⋅115=52025mmc=W ap

Aa=4⋅(113 )=452 .4 mmpArmătura rigidă:

W rp=2 Sro=2 (200⋅10⋅95+90⋅6 .5⋅45 )=2⋅216325=432650 mm3

Beton:

W bp=3003 /4−W rp−W ap=6481650 mmchb=[ Nc−Aa

B (2 Ra−Rc )]/ [2bRc+2 ti (2 Rr−Rc )]=901⋅103 / [2⋅300⋅10 . 6+2⋅6 .5 (2⋅315−10 . 6 ) ]¿901000 /14036 .9=64 .18mmW rp

B =ti hB2 =6 . 5⋅642=26624mmc

W bpB =bhB

2−W apB −W rp

B =300⋅642−0−26624=1202176 mmcΔM B=W bp

a Rc /2+W apB Ra+W rp

B Rr=1202176⋅10 .6 /2+26624⋅31=20760320 Nmm=20 .76kNmM D=(W bp Rc/2 )+W ap Ra+W rp Rr=(6481650⋅10 .6/2 )+52025⋅300+432650⋅315=1.79836⋅108 Nmm=¿180 kNmM B=M D−ΔMB=180−20 .8=159 .2kNm

Procentul minim de armare este Pmin = 0.3%

Pef =442.4 / (300⋅300−5170 )⋅100=0. 53 %≻Pmin

Procentul maxim de armare este Pmax = 4%

Pef < Pmax

Page 40: Indrumar proiectare

• Trasarea curbei adimensionale:

x0=0 .672xC=Nc /N pc=901/2588=0 .348xc=N /N pc=850/2588=0.328xn=x0 (1−r ) /4⇒ pentrur=1 ; xn=0

xc≺xC→μ=1−{[ (1−x0) xc ] [ x0 ( 1−xC )]}=¿1− {[ (1−0 . 672 )⋅0 .328 ] [0 .672⋅(1−0 .348 ) ] }=0 .754Relaţia de verificare la încovoiere cu forţa axială este:

Mm=100 kNm≤M cap=0 .9 μM capo=0 . 9⋅0 .754⋅159 .2=108kNm