1

FACULTATEA DE FINANE, BNCI I CONTABILITATE BRAOV CERCUL TIINIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A

PROCESELOR ECONOMICE

TEMA 6

INDICI STATISTICI

Conf. univ. dr. Nicolae BRSAN-PIPU

Facultatea de Finane, Bnci i Contabilitate Braov Universitatea Cretin Dimitrie Cantemir

Obiective

Cunoaterea conceptelor referitoare la indicii statistici

Analiza principalelor categorii de indici statistici

Cuprins

6.1 Concepte referitoare la indicii statistici 2

6.2 Indici statistici simpli 3

6.3 Indici statistici compui 5

6.4 Indici statistici oficiali 10

6.5 Ali indici statistici 12

6.5.1 Indicele de concentrare 12

6.5.2 Indicii de capabilitate 16

6.6 Bibliografie selectiv 21

2 CERCUL TIINIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE

6.1 Concepte referitoare la indicii statistici

Indicii i indicatorii statistici reprezint o modalitate sistematic de comparare n timp a evoluiei sau dinamicii variabilelor economice.

Printre variabilele economice care sunt analizate cel mai des cu ajutorul

indicilor i indicatorilor statistici se pot enumera: preurile i cantitile de produse, productivitatea muncii, rata inflaiei .a. Prin metoda indicilor i indicatorilor statistici se pot sintetiza informaiile referitoare la seriile de timp pentru variabilele statistice economice.

Indicii i indicatorii statistici sunt utilizai de organizaiile economice publice sau private pentru deciziile de analiz i prognoz economic.

Indicii i indicatorii statistici sunt definii de Anuarul Statistic al Romniei1 dup cum urmeaz:

Indicele statistic este un raport ntre valori ale aceleiai variabile nregistrate n uniti de timp sau teritoriale diferite.

Indicatorul statistic este expresia numeric a unor fenomene, procese, activiti sau categorii economice sau sociale, manifestate n timp, spaiu i structuri.

Vom analiza n aceast tem numai indicii statistici. Principalele categorii de indici statistici pe care i vom analiza sunt:

Indicii statistici simpli;

Indicii statistici compui;

Indicii statistici oficiali;

Ali indici statistici.

Indicii statistici simpli reprezint cea mai simpl form de reprezentare a indicilor statistici. Din aceast categorie vom analiza indicii procentuali relativi.

Indicii statistici compui sau compozii rezult din compunerea sau combinarea informaiilor referitoare la mai multe variabile economice de acelai tip, denumite componente, i msoar variaia relativ medie a fenomenului economic analizat pe baza elementelor componente.

Indicii i indicatorii statistici oficiali sunt definii de organizaiile internaionale ca Banca Mondial, Fondul Monetar Internaional, Eurostat, sau de organizaiile naionale ca Insitutul Naional de Statistic, Banca Naional, ministere, agenii naionale, bnci, burse, societi financiare etc.

n alte categorii de indici statistici vom include o serie de indici

statistici utilizai n analiza fenomenelor economice, dintre care vom analiza:

Indici statistici ai concentrrii, care concentarea unor caracteristici al evariabilelor economice;

Indici statistici ai capabilitii proceselor de fabricaie, utilizai n tehnicile de managementul calitii.

Ne vom limita n cadrul acestei teme numai la indicii statistici menionai, dar problematica indicilor i indicatorilor statistici este deosebit de ampl.

1 Anuarul Statistic al Romniei 2012, Institutul Naional de Statistic, 2013

TEMA 14: INDICI STATISTICI 3

6.2 Indici statistici simpli

O definiie general a unui indice statistic, respectiv indice numeric (n englez index number) este aceea c indicele este un numr ce exprim schimbarea relativ referitoare la pre, cantitate sau alt valoare a unei variabile economice, fa de o perioad de baz. Indicele nu are unitate de msur.

Indicele procentual relativ este un indice statistic simplu care msoar variaia procentual a unei variabile economice, exprimat prin valorile unei serii de timp, ncepnd de la o anumit perioad de referin sau de baz t0,

i pn la o anumit perioad de analiz sau actual tn.

S considerm seriile de timp care descriu preurile i cantitile pentru un anumit produs n perioadele t0, i tn, pentru care avem notaiile:

p0 = preul n perioada t0 sau 0;

pn = preul n perioada tn sau n;

q0 = cantitatea n perioada t0 sau 0;

qn = cantitatea n perioada tn sau n.

Atunci indicele de pre relativ la perioada n (actual) fa de perioada 0 (de baz) este:

(%)1000

0/ p

pI npn ,

iar indicele cantitativ relativ la perioada n (actual) fa de perioada 0 (de baz) este:

(%)1000

0/ q

qI nqn .

Exemplul 6.1: Preurile i cantitile pentru dou produse P1 i P2 nregistrate n anii 2012 i 2013 au fost:

Anul 2012 2013

Produsul Pre (p0) Cantitate (q0) Pre (pn) Cantitate (qn)

P1 120 1500 125 2000

P2 300 3000 250 3500

S se determine indicii procentuali relativi de pre i cantitativ n anul 2013 fa de anul 2012, considerat perioada de baz (100%) pentru cele dou produse.

Rezolvare: Pentru produsul P1 avem 12020120 pp , 1252013 ppn i

12020120 qq , 1252013 qqn . Atunci indicii procentuali relativi pentru P1 sunt:

104,17%(%)100120

125(%)100

0

0/ p

pI npn ,

133,33%(%)1001500

2000(%)100

0

0/ q

qI nqn .

Rezult deci o cretere relativ de 104,14% 100% = 4,17% a preului i de 133,33% 100% = 33,33% a cantitii produsului P1 n anul 2013 fa de 2012.

4 CERCUL TIINIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE

Indicii procentuali relativi pentru P2 sunt:

83,33%(%)100300

250(%)100

0

0/ p

pI npn ,

133,33%(%)1003000

3500(%)100

0

0/ q

qI nqn .

Rezult deci o scdere relativ de 100% 83,33 = 16,17% a preului i o cretere relativ de 116,17% 100% = 16,17% a cantitii produsului P2 n anul 2013 fa de 2012.

Vom discuta n continuare seriile de timp de indici relativi, care

urmresc modificarea n timp a unui indice relativ, calculat din seria de timp a variabilei economice analizate. Seriile de timp de indici relativi pot fi calculate n

dou modaliti: (a) Indici relativi cu baz fix: fiecare indice se calculeaz folosind ca baz

aceeai perioad de timp (referin fix); (b) Indici relativi cu baz nlnuit (mobil): fiecare indice se calculeaz

n raport cu perioad de timp anterioar imediat (referin mobil).

Exemplul 6.2: Producia (n buci) n primul semestru al unui an este nregistrat n tabelul urmtor:

Luna Ian Feb Mar Apr Mai Iun

Producia 2570 2480 2630 2950 3120 3250

S se determine indicii relativi cantitativi cu baz fix i cu baz mobil fa de producia lunii ianuarie.

Rezolvare: Vom nota perioadele celor ase luni dup cum urmeaz:

0 = Ian, 1 = Feb, 2 = Mar; 3 = Apr, 4 = Mai, 5 = Iun.

Pentru indicii relativi cantitativi cu baz fix i baza luna ianuarie (luna 0) avem pentru lunile 1, 2, 3, 4 i 5:

%00,001(%)1002570

2570(%)100

0

00/0

q

qI q ;

%50,96(%)1002570

2480(%)100

0

10/1

q

qI q ;

%33,102(%)1002570

2630(%)100

0

20/2

q

qI q ;

%79,114(%)1002570

2950(%)100

0

30/3

q

qI q ;

%40,121(%)1002570

3120(%)100

0

40/4

q

qI q ;

%46,126(%)1002570

3250(%)100

0

50/5

q

qI q .

Pentru indicii relativi cantitativi cu baz mobil i baza luna ianuarie (luna 0) avem:

TEMA 14: INDICI STATISTICI 5

%50,96(%)1002570

2480(%)100

0

10/1

q

qI q ;

%05,106(%)1002480

2630(%)100

0

20/2

q

qI q ;

%17,112(%)1002630

2950(%)100

0

30/3

q

qI q ;

105,76%(%)1002950

3120(%)100

0

40/4

q

qI q ;

104,17%(%)1003120

3250(%)100

0

50/5

q

qI q .

Rezultatele sunt sintetizate n tabelul de mai jos i n Figura 6.1. Se poate observa dinamica cresctoare fa de luna ianuarie a indicilor cantitativi cu baz fix (ncepnd cu luna martie) i apoi creterea procentual de la lun la lun.

Tip indice Ian Feb Mar Apr Mai Iun

Baz fix 100,00 96,50 102,33 114,79 121,40 126,46

Baz mobil 96,50 106,05 112,17 105,76 104,17

100,0096,50

102,33

114,79

121,40

126,46

96,50

106,05

112,17

105,76104,17

80

90

100

110

120

130

140

IAN FEB MAR APR MAI IUN

Baz fix

Baz mobil

Figura 6.1: Indicii relativi cantitativi cu baz fix i baz mobil (Exemplul 6.1)

6.3 Indici statistici compui

Indicii statistici compui reprezint variaia relativ medie a fenomenului analizat i se obin prin combinarea informaiilor referitoare la variabilele economice de acelai tip, numite componente. Un indice statistic compus se poate calcula numai dac fiecrei componente i se atribuie un factor de ponderare, care arat importana componentei respective.

n practic se utilizeaz dou metode pentru determinarea indicilor statistici compui:

Metoda indicelui medie ponderat;

Metoda indicelui agregat.

6 CERCUL TIINIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE

Considerm un produs cu k componente jC , kj 1 , cu ponderile fiecrei

componente jw . Pentru perioada i, ni 0 , se cunosc pentru fiecare component

jC preul ijp i cantitatea ijq .

Indicele medie ponderat este dat de relaia:

(%)100

1

1

k

j

j

k

j

jj

MP

w

Iw

I ,

unde jI este indicele relativ al componentei jC , iar jw sunt ponderile.

Exemplul 6.3: Se consider un produs cu 4k componente pentru care sunt cunoscute, n dou momente sau perioade, cantitile realizate precum i ponderile componentelor, reprezentate de consumurile specifice. Datele pentru

anii 2012 i 2013 sunt prezentate n tabelul de mai jos.

Componente Ponderi Producie

jC jw 2012 ( 0q ) 2013 ( 1q )

1C 45 700 900

2C 15 240 280

3C 30 1100 1200

4C 10 800 850

S se determine indicele compus cantitativ determinat pe baza metodei indicelui medie ponderat.

Rezolvare: Calculm mai nti indicii relativi jI pentru fiecare

component jC , 41 j , respectiv jjj qqI 01 , i apoi produsele jjIw . Valorile

sunt calculate n tabelul de mai jos, n care am introdus nc dou coloane pentru calculele necesare i o linie pentru totalurile necesare:

Componente Ponderi Producie jI jjIw

jC jw 2012 ( 0q ) 2013 ( 1q )

1C 45 700 900 1,286 57,857

2C 15 240 280 1,167 17,500

3C 30 1100 1200 1,091 32,727

4C 20 800 850 1,063 21,250

Total 110 129,334

Atunci indicele compus cantitativ determinat pe baza metodei indicelui

medie ponderat va fi:

117,6%(%)100110

129,3344

1

4

1

j

j

j

jj

q

w

Iw

IMP

.

TEMA 14: INDICI STATISTICI 7

Indicele agregat al preurilor este dat de relaia:

(%)100

1

0

1

k

j

jj

k

j

njj

p

pw

pw

IAG

,

unde njp este preul componentei jC la momentul n, jp0 este preul componentei

jC la momentul 0, iar jw sunt ponderile.

Indicele agregat al cantitilor este dat de relaia:

(%)100

1

0

1

k

j

jj

k

j

njj

q

qw

qw

IAG

,

unde njq este cantitatea din componenta jC la momentul n, jq0 este cantitatea

din componenta jC la momentul 0, iar jw sunt ponderile.

Exemplul 6.4: Se consider problema i datele din Exemplul 6.3. (a) S se determine indicele agregat al cantitilor; (b) S se compare rezultatul obinut cu indicele medie ponderat obinut n

exemplul anterior.

Rezolvare: (a) Valorile sunt calculate n tabelul de mai jos, n care am

introdus nc dou coloane pentru calculele necesare n relaia de mai sus i o linie pentru totalurile necesare:

Componente Ponderi Producie

jjqw 0 jjqw 1 jC jw 2012 ( 0q ) 2013 ( 1q )

1C 45 700 900 31500 40500

2C 15 240 280 3600 4200

3C 30 1100 1200 33000 36000

4C 20 800 850 16000 17000

Total 84100 97700

Atunci indicele agregat al cantitilor va fi:

116,2%(%)10084100

97700(%)100

4

1

0

4

1

1

j

jj

j

jj

q

qw

qw

IAG

.

(b) Am obinut n Exemplul 6.3 indicele medie ponderat 117,6%qMP

I , n timp ce

indicele agregat al cantitilor n Exemplul 6.4 este 116,2%qAG

I . Cele dou

valori, calculate cu metode diferite, sunt suficient de apropiate, fapt generat de

corespondena dintre creterile valorilor cantitative n anul 2013 pe componente. Dac diferenele cantitative ar fi fost semnificative, atunci diferena dintre cei doi indici compui ar fi fost mai mare.

8 CERCUL TIINIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE

Indicele Laspeyres reprezint un caz particular al indicilor agregat, care utilizeaz ponderile din momentul de baz pentru preuri, respectiv cantiti.

Indicele Laspeyres al preurilor este dat de relaia:

(%)100

1

00

1

0

k

j

jj

k

j

njj

p

pq

pq

IL

,

unde jq0 este cantitatea din componenta jC la momentul 0, njp este preul la

momentul n, iar jp0 este preul la momentul 0 al componentei jC .

Indicele Laspeyres al cantitilor este dat de relaia:

(%)100

1

00

1

0

k

j

jj

k

j

njj

q

qp

qp

IL

,

unde jp0 este preul componentei jC la momentul 0, njq este cantitatea la

momentul n, iar jq0 este cantitatea la momentul 0 din componenta jC .

Exemplul 6.5: Se consider un produs cu 4k componente pentru care sunt cunoscute, cantitile realizate precum i preurile componentelor. Datele pentru anii 2012 i 2013 sunt prezentate n tabelul de mai jos.

Componente 2012 2013

jC Pre ( 0p ) Cantitate ( 0q ) Pre ( 1p ) Cantitate ( 1q )

1C 40 700 60 900

2C 15 240 25 280

3C 50 1100 55 1200

4C 30 800 35 850

S se determine indicele Laspeyres al cantitilor;

Rezolvare: Valorile necesare sunt calculate n tabelul de mai jos.

Componente 2012 2013 jjqp 00 jjqp 10

jC 0p 0q 1p 1q

1C 40 700 60 900 28000 36000

2C 15 240 25 280 3600 4200

3C 50 1100 55 1200 55000 60000

4C 30 800 35 850 24000 25500

Total 110600 125700

Atunci indicele Laspeyres al cantitilor va fi:

113,7%(%)100110600

125700(%)100

4

1

00

4

1

10

j

jj

j

jj

q

qp

qp

IL

.

TEMA 14: INDICI STATISTICI 9

Indicele Paasche reprezint un caz particular al indicilor agregat, care utilizeaz ponderile din momentul actual pentru preuri, respectiv cantiti.

Indicele Paasche al preurilor este dat de relaia:

(%)100

1

0

1

k

j

jnj

k

j

njnj

p

pq

pq

IP

,

unde njq este cantitatea din componenta jC la momentul n, njp este preul la

momentul n, iar jp0 este preul la momentul 0 al componentei jC .

Indicele Paasche al cantitilor este dat de relaia:

(%)100

1

0

1

k

j

jnj

k

j

njnj

q

qp

qp

IP

,

unde jp0 este preul componentei jC la momentul 0, njq este cantitatea la

momentul n, iar jq0 este cantitatea la momentul 0 din componenta jC .

Exemplul 6.6: Se consider problema i datele din Exemplul 6.5. (a) S se determine indicele Paasche al cantitilor; (b) S se compare rezultatul obinut cu indicele Laspeyres obinut n

exemplul anterior.

Rezolvare: (a) Valorile necesare sunt calculate n tabelul de mai jos.

Componente 2012 2013 jjqp 01 jjqp 11

jC 0p 0q 1p 1q

1C 40 700 60 900 42000 54000

2C 15 240 25 280 6000 7000

3C 50 1100 55 1200 60500 66000

4C 30 800 35 850 28000 29750

Total 136500 156750

Atunci indicele Paasche al cantitilor va fi:

114,8%(%)100136500

156750(%)100

4

1

01

4

1

11

j

jj

j

jj

q

qp

qp

IL

.

(b) Am obinut n indicele Laspeyres al cantitilor 113,7%qL

I , n timp ce

indicele Paasche al cantitilor este 114,8%qL

I . Cele dou valori, calculate cu

metode diferite, sunt suficient de apropiate. Observm c n anul 2013 cantitile au crescut fa de 2012, iar n acest caz indicele Laspeyres tinde s supraevalueze creterea cantitilor, n timp ce indicele Paasche tinde s subevalueze creterea cantitilor.

10 CERCUL TIINIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE

6.4 Indici statistici oficiali

Din categoria indicilor statistici oficiali vom discuta aici indicii cu cea mai

mare rspndire i aplicabilitate la nivel naional i internaional, dintre care menionm2:

Indicele preurilor de consum;

Indicele preurilor produciei industriale.

Indicele preurilor de consum (IPC) msoar evoluia de ansamblu a preurilor mrfurilor cumprate i a tarifelor serviciilor utilizate de ctre populaie ntr-o anumit perioad (denumit perioad curent), fa de o perioad anterioar (denumit perioad de baz sau de referin). Indicele preurilor de consum se calculeaz numai pentru elementele care intr n consumul direct al populaiei, fiind excluse: consumul din resurse proprii, cheltuielile cu caracter de investiii i acumulare, dobnzile pltite la credite, ratele de asigurare, amenzile, impozitele etc., precum i cheltuielile aferente plii muncii pentru producia agricol a gospodriilor individuale. Preurile sunt colectate din circa 7100 de uniti aflate n 68 de centre de colectare selectate din 42 localiti urbane, n funcie de volumul vnzrilor i de numrul populaiei. Pentru cele aproximativ 1700 de sortimente selectate n eantionul de bunuri i servicii se nregistreaz periodic circa 94000 de preuri. Indicele se calculeaz prin agregarea indicilor individuali la nivel de post de cheltuieli, grup (alimentar, nealimentar i servicii) i total. Ponderile utilizate pentru agregarea indicilor de pre de consum sunt obinute din cercetarea statistic a bugetelor de familie i rezult din structura cheltuielilor medii lunare efectuate de o gospodrie pentru cumprarea bunurilor i plata serviciilor necesare satisfacerii nevoilor de trai. Ponderile se actualizeaz anual, lundu-se n considerare cea mai recent estimare a cheltuielilor populaiei.

109,0

106,6

104,8

107,9

105,6106,1106,1

103,8 103,9

109,2

103,3

102,3

111,3

108,5

105,0

106,4 106,2

109,8

110,5

108,2

106,6

108,6109,0

104,8

100

102

104

106

108

110

112

2005 2006 2007 2008 2009 2010

An

ul

pre

ce

de

nt

= 1

00

Indicii preurilor de consum2005-2010

Total

Mrfuri alimentareMrfuri nealimentareServicii

Figura 6.2: Indicii preurilor de consum n perioada 2005-2010

(Sursa: Anuarul Statistic al Romniei 2012)

2 Anuarul Statistic al Romniei 2012, Institutul Naional de Statistic, 2013

TEMA 14: INDICI STATISTICI 11

Indicele preurilor produciei industriale (IPPI) msoar evoluia n timp a preurilor produselor industriale fabricate de productori interni, livrate att pe piaa intern ct i pe piaa extern. Indicele preurilor produciei industriale este calculat conform cerinelor i standardelor internaionale cu privire la statisticile pe termen scurt i acoper aproape n totalitate sectoarele industriilor extractiv i prelucrtoare, precum i sectorul energetic. Preurile colectate sunt preuri de productor, adic includ accizele i alte impozite pe produs, dar nu includ TVA. Preurile sunt colectate de la aproximativ 2000 de operatori economici, selectai n funcie de cifra de afaceri raportat. Colectarea se realizeaz o dat pe lun i const n nregistrarea preurilor la nivel de sortiment, considerat reprezentativ de ctre fiecare operator economic inclus n eantion. Indicele se calculeaz prin agregarea indicilor individuali la nivel de produs/operator economic/clas/diviziune i total industrie. Ponderile utilizate pentru calcul sunt stabilite separat pe destinaii (piaa intern sau piaa extern). Valorile de ponderare pentru toate nivelurile de agregare se determin din Ancheta Statistic Anual (structural) n ntreprinderi (ASA) realizat n perioada aferent anului de baz (2005).

n Figura 6.3 este prezentat dinamica evoluiei preurilor produciei industriale n perioada 2005-2010 (anul 2005=100), pentru indicele total, precum

i pentru defalcarea acestuia pe dou componente, respectiv piaa intern i piaa extern. Se observ o cretere mai accentual a valorilor acestor trei indici de apropape 40% ncepnd cu anul 2008, anul n care a aprut actuala criz economic. n anul 2010 se poate observa o cretere de peste 50% a indicelui preurilor produciei industriale pentru piaa extern.

100

109,7

118,0

136,0138,6

147,3

100

110,3

119,6

134,9137,8

145,8

100,0

108,0

113,7

139,1140,7

151,6

90

100

110

120

130

140

150

160

2005 2006 2007 2008 2009 2010

An

ul

20

05

= 1

00

Indicii preurilor produciei industriale 2005-2010

Total

Piaa intern

Piaa extern

Figura 6.3: Indicii preurilor produciei industriale n perioada 2005-2010

(Sursa: Anuarul Statistic al Romniei 2012)

Principalele baze de date statistice elaborate de Institutul Naional de Statistic se refer la indicatori economici de dezvoltare durabil n profit naional i teritorial, indici de preuri, precum i o serie de 22 de indicatori economici i sociali, actualizai anual prin Anuarul Statistic al Romniei, ct i periodic prin buletine statistice pe domenii de specialitate, ct i alte publicaii.

12 CERCUL TIINIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE

6.5 Ali indici statistici

6.5.1 Indicele de concentrare

Problema msurrii fenomenului de concentrare a fost formulat de statisticianul Corrado Gini, n 1912, n legtur cu analiza distribuiei veniturilor unei populaii. Msurarea concentrrii este aplicat pentru:

analiza concentrrii ntreprinderilor n scopul stabilirii dimensiunilor acestora, n raport cu cifra de afaceri, valoarea produciei i numrul angajailor;

evidenierea inegalitilor dintre repartiiile de structur, dup o variabil dat, a indivizilor i veniturilor unei societi;

caracterizarea structurii pieelor, prin msurarea diversificrii. Prin concentrare se exprim aglomerarea unitilor unei populaii sau a

valorilor globale ale unei distribuii in jurul unei valori, (de exemplu, a valorii centrale) a caracteristicii de grupare. Aprecierea concentrrii implic studierea comparat a structurii efectivului unei populaii i a structuri valorice globale pe aceleai variante de variaie ale caracteristici de grupare. Concentrarea este aplicat oricrui fenomen care posed caracteristici susceptibile nsumrii. Caracterizarea statistic a concentrrii se poate realiza prin dou categorii de procedee:

procedee numerice (prin calcul); procedee grafice.

Msurarea gradului de concentrare prin procedee numerice const n calculul unor indicatori ai concentrrii, cum ar fi abaterea medial-median sau coeficieni ai gradului de concentrare. Msurarea concentrrii pe cale grafic const n construirea curbei de concentrare curba Lorenz i pe baza ei, aflarea gradului de concentrare, prin determinarea unui coeficient denumit indicele Gini.

Procedeul grafic de caracterizare a concentrrii a fost elaborat de italianul Corrado Gini i americanul Lorenz cu ocazia studierii disparitii veniturilor. Determinarea grafic a concentrrii presupune construirea curbei de concentrare (curba Lorenz-Gini), iar n legtur cu aceasta curb se calculeaz indicele de concentrare (indicele Gini).

Ca mijloc de apreciere a gradului de concentrare, curba Gini se bazeaz pe faptul c prin reprezentarea grafic a concordanei ponderilor cumulate ale efectivelor unei colectiviti cu ponderile cumulate ale valorilor globale ale unei caracteristici de distribuie se arat ct din valoarea global a caracteristicii se concentreaz n primele dou grupe, n primele trei grupe .a.m.d. Curba de concentrare are numeroase aplicaii n domeniul economic-social, i anume:

mijloc de apreciere a gradului de concentrare a unei distribuii; metoda de aproximare a valorilor centrale ale unei distribuii i a indicelui

de concentrare Gini;

metoda de depistare a tipurilor calitative dintr-o distribuie; mijloc de comparare calitativ a gradului de concentrare etc.

TEMA 14: INDICI STATISTICI 13

Curba de concentrare Lorenz se construiete ntr-un ptrat cu latura 1 sau 100% (cunoscut sub numele de ptratul lui Gini), n care se reprezint coordonatele valorilor analizate (Figura 6.2). Suprafaa definit de curba de concentrare i curba obinut prin unirea punctelor reprezentate (curba lui Lorenz) se numete suprafa de concentrare. Diagonala ptratului este de fapt dreapta de repartiie egal (echirepartiie). Dac curba se apropie de diagonal atunci concentrarea variabilei este slab (Figura 6.2a), iar dac curba se apropie de colul ptratului, concentrarea este puternic (Figura 6.2b).

Figura 6.2: Ptratul lui Gini i curba Lorenz

Indicele Gini sau coeficientul abaterii Gini (G) se calculeaz ca raport ntre suprafaa de concentrare, notat cu A n i aria de sub curba Lorenz, notat cu B n Figura 1:

BA

AG

.

innd cont c avem aria triunghiului de concentrare este 2

1

2

11

S

avem:

BGBGAGA

GBA 212

122

212

1

.

Vom determina curba de concentrare i indicele Gini pentru date grupate cu ajutorul histogramei frecvenei relative, aplicnd urmtorul algoritm:

[P1] Determinm intervalele de clas jlc , j=1, 2,..., nc i lungimea intervalului

de clas lc: lc = lcj+1 lcj.

[P2] Determinm mijloacele intervalelor de clas jm ,

2

1

jj

j

lclcm .

[P3] Determinm frecvena absolut jfa , frecvena relativ jfr i apoi:

Frecvena absolut cumulat jfac , j= 1,....,nc

jjj fafacfac 1

Frecvena relativ cumulat jfrc ,

jjj frfrcjfrc 1

a. concentrare slab b. concentrare puternic

A A

B B

14 CERCUL TIINIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE

[P4] Determinm ponderile jp ,

jjj famp

Ponderile cumulate jpc ,

jjj pcpcpc 1

Ponderile cumulate relative jpcr ,

nc

j

jjj pc/pcpcr1

[P5] n ptratul Gini cu latura 1, reprezentm prima bisectoare i apoi punctele de coordonate:

O( 0, 0)

P1 11 frc;pcr P2 22 frc;pcr ........................

Pj jj frc;pcr .......................

Pnc ncnc frc;pcr P (1, 1)

Unim punctele cu o linie continu i obinem curba concentrrii (Lorenz). [P6] Calculm suma ariilor trapezelor de sub curba de concentrare cu relaia:

211

/]fr)prcpcr[(B jjj

nc

j

[P7] Calculm indicele concentrrii (Gini) G cu relaia: BG 21 .

Pentru aplicarea algoritmului n programele de calcul tabelar, propunem

urmtoarea organizare a datelor: 1. n Tabelul 6.1 sunt determinate valorile pentru paii [P1] [P4]; 2. n Tabelul 6.2 sunt determinate valorile pentru paii [P4] [P7] ai

algoritmului.

Tabelul 6.1: Paii [P1] [P4] ai algoritmului

Clase Intervale de

clas

Mijloacele

intervalelor

de clas

Frecvena absolut

Frecvena absolut cumulat

Frecvena relativ

Frecvena relativ

cumulat

j jlc - 1jlc j

m jfa jfac jfr jfrc

1 21 lcxlc i

2

211

lclcm

1

fa 11 fafac

n

fafr 11

11 frfrc

2 32 lcxlc i

2

322

lclcm

2

fa 212 fafacfac

n

fafr 22

212 frfrcfrc

... ... ... ... ... ... ...

k 1 kik lcxlc

2

1 kkjlclc

m kfa kkk fafacfac 1

n

fafr kk

kkk frfrcfrc

... ... ... ... ... ... ...

nc 1 ncinc lcxlc

2

1 ncncnclclc

m ncfa ncncnc fafacfac 1

n

fafr ncnc

1 ncncnc frfrcfrc

TEMA 14: INDICI STATISTICI 15

Tabelul 6.2: Paii [P4] [P7] ai algoritmului

Clase Ponderi Ponderi

cumulate

Ponderi

cumulate

relative

Aria

j jjj famp jpc jpcr 21 /]fr)pcrpcr[(B jjjj

1 111 famp 11 ppc

jpc

pcpcr 11

2111 /]fr)pcr[(B

2 222 famp 212 ppcpc

jpc

pcpcr 22

22122 /]fr)pcrpcr[(B

... ... ... ... ...

k kkk fampc kkk ppcpc 1

jpc

pcpcr 33

21 /]fr)pcrpcr[(B kkkk

... ... ... ... ...

nc ncncnc fampc 11 ncncnc ppcpc

j

ncnc

pc

pcpcr 211 /]fr)pcrpcr[(B ncncnc

Exemplul 6.7: Se consider datele grupate din tabelul de mai jos.

Clase Intervale de clas Frecvena absolut

j jlc

1jlc jfa

1 100 300 50

2 300 500 25

3 500 700 75

4 700 900 25

(a) S se aplice algoritmul descris anterior pentru determinarea curbei Lorenz i a indicelui Gini;

(b) S se reprezinte grafic curba Lorenz.

Rezolvare: (a) Pentru aplicarea algoritmului, calulm mijloacele intervalelor de clas i frecvenele cumulate corespunztoare. Rezultatele sunt redate din tabelul de mai jos:

Clase Intervale

de clas

Mijloacele

intervalelor

de clas

Frecvena absolut

Frecvena absolut cumulat

Frecvena relativ

Frecvena relativ

cumulat

j jlc

1jlc jm jfa jfac jfr jfrc

1 100 300 200 50 50 0,2857 0,2857

2 300 500 400 25 75 0,1429 0,4286

3 500 700 600 75 150 0,4286 0,8571

4 700 900 800 25 175 0,1429 1,0000

2000 175 - 1,0000 -

n continuare determinm ponderile i ariile, rezultatele fiind calculate n tabelul urmtor:

Ponderi Ponderi

cumulate

Ponderi cumulate

relative

Aria

trapezului

jp jpc jpcr jB

10000 10000 0,1176 0,0168

10000 20000 0,2353 0,0252

45000 65000 0,7647 0,2143

20000 85000 1,0000 0,1261

85000 - - 0,3824

16 CERCUL TIINIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE

Indicele Gini rezultat este de:

G =1 2 0,3824 = 0,2353,

deci o concentrare relativ redus pentru datele analizate. (b) Curba Lorenz este reprezentat n Figura 6.3.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

pcr

j

frcj

Figura 6.3: Curba Lorenz (Exemplul 6.6)

6.5.2 Indicii de capabilitate

Indicii de capabilitate se numr printre metodele statistice de monitorizare a calitii proceselor de fabricaie. Obiectivul principal al acestor metode l constituie cuantificarea variabilitii procesului, prin analiza i monitorizarea dinamicii acestuia n legtur cu cerinele de performan specificate pentru procesul respectiv, n scopul eliminrii sau reducerii variabilitii.

Monitorizarea performanei unui proces de fabricaie se realizeaz cu ajutorul unor metrici de performan, metrici ce cuantific capabilitatea procesului, respectiv msura n care acesta i atinge performanele specificate n ceea ce privete, pe de o parte, nivelul de variaie, iar pe de alt parte, tendina sa central.

Monitorizarea performanelor proceselor de fabricaie se refer n principal la uniformitatea acestora. n mod evident, variabilitatea unui proces este o

msur a uniformitii sau ieirilor din proces, reprezentate de caracteristicile de calitate corespunztoare proceselor monitorizate.

Realiznd analiza procesului, n conexiune cu evoluia i stabilitatea sa statistic, determinat cu metoda fielor de control, va trebui s evalum n performana procesului care este n control i s o comparm cu un anumit nivel specificat de performan. n acest scop vom defini principalele metrici de performan a unui proces de fabricaie modelat de distribuia normal.

S considerm acum intervalul de toleran specificat, notat ITS, respectiv intervalul de toleran n care trebuie s se ncadreze valorile N , ixi

ale variabilei aleatoare X, generat de proces.

TEMA 14: INDICI STATISTICI 17

INT

ITSLSSLSI

LNI LNS

ITS va fi determinat de intervalul nchis LSS,LSI , unde LSI este limita specificat inferioar i LSS limita specificat superioar. Este evident c ITS se poate calcula numai atunci cnd tolerana specificat este bilateral. Rezult:

LSILSSITS .

Performana statistic a procesului este dat de variabilitatea sa inerent atunci cnd procesul este n stare de stabilitate statistic. Atunci intervalul natural de toleran, notat INT, va fi o msur pentru mprtierea procesului.

n scopul evalurii INT, fie i estimaiile pentru media i, respectiv,

pentru abaterea standard ale procesului modelat de distribuia )( ,xFX .

Intervalul natural de toleran va fi determinat de intervalul nchis LNS,LNI , unde:

LNI 3 ,

este limita natural inferioar i:

LNS 3 ,

este limita natural superioar a mprtierii procesului. Putem acum obine imediat intervalul natural de toleran:

LNILNSINT 6 .

Intervalul natural de toleran este o prim metric a nivelului de performan procesului. Acesta cuprinde cea mai mare parte a populaiei statistice reprezentate de procesul analizat i monitorizat (99,73% n cazul distribuiei normale, de exemplu), cuantificnd variabilitatea inerent a acestuia.

n Figura 6.4 sunt reprezentate intervalul de toleran specificat ITS i intervalul natural de toleran INT, care sunt utilizate pentru monitorizarea performanelor unui proces.

Figura 6.4: Intervalele ITS i INT

Metricele cu ajutorul crora se estimeaz i se monitorizeaz performanele unui proces sunt reprezentate de indicii de capabilitate.

18 CERCUL TIINIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE

Fie X variabila aleatoare pentru un proces tehnologic ce genereaz o caracteristic de calitate cu limitele de toleran specificate LSI i LSS i fie i

valorile estimate pentru media i abaterea standard ale procesului respectiv. Utiliznd notaiile de mai sus definim indicele de potenial al

procesului (Cp) ca fiind:

d

LSILSS

INT

ITSCp

36

,

unde distana d este jumtate din intervalul de toleran specificat, adic:

22

LSILSSITSd

.

Din relaiile de mai sus rezult c indicele de potenial pC este o metric ce

cuantific variaia procesului, fiind deci o msur a variabilitii sau mprtierii sale raportat la tolerana specificat, aa cum se observ i din Figura 6.4.

Indicele de potenial pC este pn la urm o msur a capacitii procesului de a

genera uniti de produs care s se ncadreze ntr-o zon ct mai mic a intervalului de toleran specificat.

Dar indicele de potenial pC nu ia n considerare localizarea mediei

procesului fa de limitele de toleran specificate, fiind o msur numai a variaiei, deci a mprtierii procesului, respectiv o variabil dependent numai de abaterea standard a procesului. Pentru a evalua tendina central a procesului, respectiv localizarea mediei acestuia fa de limitele de toleran specificate, vom utiliza indicele de capabilitate.

Indicele de capabilitate a procesului, pkC , cuantific tendina central

a procesului, i poate fi calculat astfel:

}, {suppkinfpkpk

C,CminC

unde:

d

LSIC

infpk 331

,

d

LSSC

suppk 332

,

n relaiile de mai sus, LSId 1 i LSSd 2 reprezint distanele de

la media procesului la limitele de toleran specificate. Avem )( ,CC pkpk

deoarece indicele de capabilitate pkC depinde att de media procesului ct i de

abaterea standard. Relaia dintre cei doi indici de performan este:

ppk CkC 1 , unde, considernd m ca fiind mijlocul intervalului de toleran specificat avem:

2

LSSLSIm

,

iar valoarea lui k rezult din:

LSILSS

mk

2.

TEMA 14: INDICI STATISTICI 19

De asemenea, indicele de capabilitate pkC poate fi scris sub forma:

md

d,dminCpk

33

21 .

Din relaia de mai sus, rezult de asemenea c ppk CC . ntr-adevr, dac

m , atunci avem 1k i ppk CC , iar dac m , atunci avem 1k i

ppk CC . Aceasta nseamn, de fapt, c pentru un proces perfect centrat, cu

media procesului egal cu mijlocul ITS, indicele de potenial i indicele de capabilitate sunt egali.

Dac specificarea toleranei este bilateral, atunci pentru o specificare cu limit inferioar LSI avem:

d

LSICC

infpkp 33

1

,

iar pentru o specificare cu limit superioar LSS avem:

d

LSSCC

suppkp 33

2

.

Tot n legtur cu performanele calitative ale unui proces de fabricaie, definim fraciunea defectiv, ca fiind estimarea, cu ajutorul distribuiei normale, a proporiei de produse defective, respectiv a produselor cu caracteristici de calitate situate n afara limitelor de toleran specificate.

Fraciunea defectiv inferioar, notat infp , este proporia de uniti de

produs mai mici dect limita de toleran specificat inferioar, LSI, respectiv:

dx,,xNLSIxpLSI

iinf Prob .

Fraciunea defectiv superioar, notat supp , este proporia de uniti

de produs mai mari dect limita de toleran specificat superioar, LSS, respectiv:

dx,,xNLSSxLSSxpLSS

iisup 1Prob1Prob . Fraciunea defectiv total este este proporia de uniti de produs mai

mici dect limita de toleran specificat inferioar, LSI, plus proporia de uniti de produs mai mari dect limita de toleran specificat superioar, LSS, respectiv:

totp = infp + supp .

Pentru determinarea fraciunii defective vom utiliza funcia statistic din Excel NORMDIST().

Exemplul 6.8: Se consider caracteristica de calitate Diametru exterior cu limitele de toleran specificate 20 0,025 mm, pentru care a fost msurat un eantion de 25 de valori, datele fiind nregistrate n aplicaia 2.5. n Aplicaia 3.1 a fost calculat media 9968,19x , iar n Aplicaia 3.2 a fost calculat abaterea

standard 0,0215484s . S se determine:

(a) Indicii de capabilitate;

(b) Fraciunea defectiv.

20 CERCUL TIINIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE

Rezolvare: (a) Pentru eantionul de 25n de valori, avem limitele de toleran

specificate 975,19025,020 LSI mm i 025,20025,020 LSS . Valorile

estimate pentru medie i abaterea standard sunt 9968,19 x i respectiv

0,0215484 s .

Atunci pentru intervalul de toleran specificat, avem:

.05,0975,19025,20 LSILSSITS

Limitele naturale de toleran sunt respectiv:

19,9321550,021548439968,193 LNI ,

20,0614450,021548439968,193 LNS ,

iar intervalul natural de toleran:

0,129290,021548466 LNILNSINT .

Atunci indicele de potenial al procesului (Cp) este:

0,38670,12929

05,0 INT

ITSCp .

Pentru indicele de capabilitate a procesului, pkC , avem mai nti:

0,33720,02154843

9968,19975,19

3

inf

LSICpk ,

0,43620,02154843

9968,19975,19

3

sup

LSSCpk ,

i obinem:

0,33720,4362 0,3372;min} , {minsupinf

pkpkpk CCC .

Se obsev c indicelel de potenial 0,3867 pC i indicele de capabilitate

0,3372 pkC nregistreaz valori necorespunztoare.

(b) Pentru fraciunea defectiv avem: Fraciunea defectiv inferioar:

975,19ProbProb inf ii xLSIxp

= NORMDIST(19,975; 9968,19 ; 0,0215484; 1) = 0,1558.

Fraciunea defectiv superioar:

025,20Prob1025,20ProbProbsup iii xxLSSxp

= 1 NORMDIST(20,025; 9968,19 ; 0,0215484; 1) =.

Fraciunea defectiv total:

totp = infp + supp = 0,1558 + 0,0953 = 0,2512.

Rezult deci c circa 25% din unitile de produs generate de acest proces de fabricaie vor fi defective, respectiv se vor situa n afara limitelor de toleran specificate.

TEMA 14: INDICI STATISTICI 21

6.6 Bibliografie selectiv

1. Anderson, David, Dennis Sweeney, i Thomas Williams. Statistics for Business and

Economics. Mason: South-Western Cengage Learning, 2011.

2. Brsan-Pipu, Nicolae. Modele pentru controlul i reglajul statistic al proceselor Tez de doctorat. Braov: Universitatea Transilvania, 2000.

3. Berenson, Mark, David Levine, i Timothy Krehbiel. Basic Business Statistics:

Concepts and Applications. Boston: Prentice Hall, 2012.

4. Biji, Mircea, Biji, Elena Maria, Lilea, Eugenia, i Anghelache, Constantin. Tratat de statistic. Bucureti: Editura Economic, 2002.

5. Francis, Andy. Statistic matematic pentru managementul afacerilor. Bucureti: Editura Tehnic, 2004.

6. Isaic-Maniu, Alexandru, Mitru Constantin, i Voineagu, Vergil. Statistica pentru managementul afacerilor. Bucureti: Editura Economic, 1999.

7. Jaba, Elisabeta. Statistica. Bucureti: Editura Economic, 2002.

8. Keller, Gerald. Statistics for Management and Economics. Mason: South-Western

Cengage Learning, 2012.

9. Mendenhall, William, i Sincich, Terry. Statistics for the Engineering and Computer Sciences. Santa Clara: Dellen Publishing, 1984.

10. Mihoc, Gheorghe, i Urseanu, V. Matematici aplicate n statistic. Bucureti: Editura Academiei, 1962.

11. Moore, David, William Notz, i Michael Fligner. The Basic Practice of Statistics. New

York: W. H. Freeman and Company, 2013.

12. Newbold, Paul, Carlson, William, i Thorne, Betty. Statistics for Business and Economics. New Jersey: Pearson Education, 2007.

13. Ott, Lyman, i Michael Longnecker. An introduction to statistical methods and data

analysis. Pacific Grove: Duxbury, 2001.

14. Ross, Sheldon. Introductory Statistics. Burlington: Elsevier, 2010.

15. Turdean, Marinella Sabina. Statistic. Bucureti: Editura Pro Universitaria, 2009.

16. Vod, Viorel Gh. Gndirea statistic - un mod de gndire al viitorului. Bucureti: Editura Albatros, 1977.

17. Waller, Derek. Statistics for Business. Burlington: Butterworth-Heinemann, 2008.

18. Institutul Naional de Statistic. Anuarul Statistic al Romniei 2012. Bucureti: 2013.