INDICATII matematica admitere politehnica

INDICAII Matematic , clasa a IX a

AL IX. 050 Se pun condiiile ( )a f ba

> 0 1 02

1, , . AL IX. 054 Se pun condiiile ca ecuaia obinut prin transformarea s x y= + 3 aib rdcinile reale negative. AL IX. 070 Se elimin z ntre cele dou ecuaii i se ine seama de faptul c o sum de ptrate de numere reale este zero dac i numai dac termenii ei sunt egali cu zero.

AL IX. 073 Se pun condiiile ( ) > i astfel se obine ecuaia de gradul doi n y, . 2 3 2 02y y =

354 Culegere de probleme

AL X. 003 Dac notm 1 2+ = u , atunci 3 2 2 12

=u

i n acest fel cu substi-

tuia u tx = > 0 se obine ecuaia t t3 22 1 0 + = .

AL X. 020 Se folosete inegalitatea evident: ( ) > + u uu

0 1 2 .

AL X. 043 Cu substituia , sistemul devine: , ( ) ( )x u yx ylog log,22

22= v= u v

uv

+ ==

258

29

care este un sistem simetric.

AL X. 052 Ecuaia dat se poate scrie: ( )

( ) ( )3 2

2 2 2 11

nn n

=

!! !

.

Notnd membrul stng cu deducem c aan 1 1= i pentru n , 2 este un ir strict descresctor. ( )an n2 n plus, a a a2 3 42

74

1= =, , = i an < 1 pentru n . 5 AL X. 074 n binomul lui Newton ( , n cazul nostru avem: )a b n+ ( )

TT

n kk

ba

kk

k

k

++= + =

+

2

1 1100

10 11 . Se constat apoi c pentru k 8

avem 11

2 ++k

k

TT

, iar pentru k 9 avem 11

2 ++k

k

TT

.

AL X. 119 Din identitatea: ( ) ( ) ( ) R+++=++++ xcbxaxxCxxxxx n ,1...1 222 , pentru obinem 0=x 1=c , iar pentru 1=x obinem . Derivnd identitatea considerat i apoi lund

nba =+1=x se obine

( )1212 +=+ nnba .

AL X. 129 Folosind condiia dat se deduce c: ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) const. cu 4321 == xTxTxxxxxP

Probleme model cu rezolvri i indicaii 355

0

AL X. 134 nu este rdcin a ecuaiei. Se observ c ecuaia ce are ca rdcini inversele rdcinilor ecuaiei date nu poate avea toate rdcinile reale.

=a b x, ,R 0

AL X. 163 Fie ; prin identificarea gradelor polinoamelor din cei doi membrii ai identitii se obine c

( )P x a x a x a x an n n n= + + + + 1 1 1... grad este 2. ( )xP AL X. 168 Se descompune membrul stng al ecuaiei ntr-un produs de dou polinoame de grad 2 n raport cu x i se cere ca fiecare s aib rdcini reale. AL X. 173 Deoarece a R * , fie rdcinile de modul 1 ale ecuaiei. Deoarece i

x t i1 2, cos sin= tatxx ==+ not21 cos2 x x1 2 1= , cerem ca

membrul stng al ecuaiei s se divid cu . 12 ++ axx AL X. 188 Se folosete inegalitatea z z z z1 2 1 2 . Matematic , clasa a XI a Algebr superioar AL XI. 026 Din proprietile enunate rezult comutativitatea nmulirii matricilor . Astfel se poate scrie: ( )A B C Mn, , C ( )AB BC B A C ABC+ = + = , etc. Folosind aceste identiti n relaia: ( )2 A B C AB BC CA+ + = + + , prin identificare rezult valoarea lui m. AL XI. 027 Folosind metoda induciei complete pentru determinarea lui , apoi prin identificare din

An

A r An n= 1 rezult valoarea lui r. AL XI. 029 Folosind metoda induciei complete pentru determinarea lui , apoi calculnd rezult i det

An

( )P A A= 100 I ( )P A . AL XI. 036 Se folosete metoda induciei complete pentru determinarea lui sau formula binomului lui Newton, observnd

An

( )A Bn n= +I ,

356 Culegere de probleme iar B 3 va fi matricea nul.

AL XI. 063 Folosind descompunerea A D X= + , unde i ,

se va calcula .

D =

2 00 1

X =

0 10 0

A A An2 3, , ... ,

n continuare se obin uor i det . Akk=

0

4

Akk=

0

4

AL XI. 079 Folosind definiia matricei A se obine uor urmtoarea form:

.Determinnd , se calculeaz ulterior det ( . A =

1 1 2 31 2 3 42 3 4 53 4 5 6

At )A At AL XI. 106 Primele patru ecuaii din sistemul dat formeaz un sistem liniar omogen n raport cu necunoscutele x, y i z. Acest sistem nu poate s admit soluie banal, fiindc sistemul enunat trebuie s admit soluii. Din condiia ca matricea de baz a sistemului liniar omogen s aib rang doi, rezult valorile parametrilor m i n. Pentru valorile parametrilor obinui se rezolv sistemul enunat. Geometrie analitic GA XI. 079 Se aplic relaia care d puterea punctului O fa de cerc. GA XI. 110 Punctul curent M ( ) , satisface ecuaia elipsei date , iar punctele P i N vor avea coordonatele P ( ),0 , N 2

323

, . Punctul Q fiind pe

axa mic a elipsei va avea coordonatele Q ( )0 2, , etc. GA XI. 113 Dreptele suport ale razelor focale trec prin M i prin cte unul dintre cele dou focare F i F ale elipsei .

Probleme model cu rezolvri i indicaii 357 GA XI. 140 ntr-un punct M0 ( )x y0 0, pe hiperbola dat se scrie ecuaia tangentei , apoi din condiia de paralelism dintre dou drepte se obin coordonatele punctelor de tangen. n cele dou puncte de tangen se scriu ecuaiile tangentelor la hiperbola dat. GA XI. 145 Se scrie ecuaia cercului cu centrul n C( ) i cu raz variabil. 0 2, Condiia de tangen (de contact) ntre cercul costruit i hiperbola dat este ca sistemul format de cele dou ecuaii de gradul doi s admit soluiile i cu ( , )x y1 1 ( , )x y2 2 x x1 2= i y y1 2= . GA XI. 166 Considernd punctele mobile M ( , )0 i N ( , )0 2 + , coeficienii unghiulari ai dreptelor (AM) i (AN) vor fi :mAM = i . mAN = 2 Scriind perpendicularele pe (AM) i (AN) , se gsesc uor coordonatele punctului de intersecie dintre perpendiculare n funcie de parametrul . Eliminnd parametrul ntre coordonatele punctului de intersecie, rezult ecuaia locului geometric. Elemente de analiz matematic

AM XI. 009 Dac a x xn n= cos cos ... cos2 2 22x , se calculeaz 2

2n

n nx asin .

AM XI. 011 Se folosete relaia lim lnn

x

n

n

x+ =2 1 2 , dac lim

n nx+ = 0 .

AM XI. 023 Folosim relaia ( )sin sin ,2 2 = n n , unde R Z .

AM XI. 030 Utilizm identitatea ( ) ( )2 1

1

1 1

12 2 2k

k k k k

++

= + 2

.

AM XI. 035 Se ine seama de relaia :

( ) ( )arctg arctg arctgx

k k xk x k

1 11

2+ + = + x .

358 Culegere de probleme AM XI. 038 Se utilizeaz teorema ,, cletelui . AM XI. 039 Se utilizeaz teorema ,, cletelui .

AM XI. 057 Se folosete formula limt

tet =

0

1 1.

Altfel: utilizm regula lui . L Hospital'

AM XI. 065 Se utilizeaz relaia lim sint

tt

=0

1 .

AM XI. 081 Folosim relaia ( )limt

tt e + =01

1 .

AM XI. 162 Se folosete definiia derivatei. AM XI. 170 Se utilizeaz regula lui . (Se poate folosi i teorema lui Lagrange.)

L Hospital'

AM XI. 171 Se utilizeaz regula lui . L Hospital' AM XI. 180 Se folosete inducia matematic. AM XI. 207 Se impune condiia: ( ) R xxf ,0' . AM XI. 211 Se calculeaz derivata lui f . AM XI. 212 Se arat c . f g' '= AM XI. 238 Se folosete irul lui Rolle sau metoda grafic. AM XI. 247 Se utilizeaz teorema lui Fermat. Matematic , clasa a XII a Algebr superioar AL XII. 065 Se va utiliza faptul c f este bijecie dac i numai dac A este matri- ce inversabil.

Probleme model cu rezolvri i indicaii 359 AL XII. 073 Se va utiliza faptul c 1 1 0+ = implic x x+ = 0 .

AL XII. 084 Fie i Y . Ecuaia

se reduce la un sistem omogen de ecuaii n necunoscutele i respectiv . Se va cere ca acesta s aib n raport cu a, b i respectiv soluii nenule.

Xa bkb a

Mk= k Mk=

XY =

0 00 0

a b, Z, Z,

AL XII. 086 Se va utiliza faptul c dac ar exista n n cu 11 2,

*N 1 2<

2

2

1 12

1 12

,

,.

AM XII. 016 n urma integrrii se obine o funcie raional i un logaritm. Se impune apoi condiia ca expresia de sub logaritm s fie egal cu 1. AM XII. 032 Se constat c polinomul P trebuie s fie de gradul I. AM XII. 036 Se provoac la numrtor derivata numitorului. AM XII. 037 Se provoac la numrtor derivata numitorului. AM XII. 054 Se observ c termenul general al irului este o sum integral

corespunztoare punctelor diviziunii x kn

k nk = 2

21, , .

360 Culegere de probleme AM XII. 061 Se folosete proprietatea de aditivitate

. ( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dxc

b

a

c

a

b = + AM XII. 070 Dac este o rdcin a ecuaiei x x2 1 0+ + = , atunci i . Se impune condiia ca polinomul de la 2 1 0+ + = 3 1= numrtor s se divid cu cel de la numitor.

AM XII. 074 Se face substituia xx

t =1 . AM XII. 078 Se face substituia x x t2 1+ + = . AM XII. 099 Derivata integrantului este zero.

AM XII. 100 sin cos cos ... cos sinx x x x xnn

n =2 2 2

2.

AM XII. 108 Se face schimbarea de variabil x t= 3

.

AM XII. 132 Se face schimbarea de variabil x b a t= + . AM XII. 137 146 Se folosete formula de derivare a funciei compuse

( ) ( )( )F x f t dta

u x= . AM XII. 186 Se utilizeaz procedeul folosit la deducerea volumului unui corp de

rotaie.


PROBLEME MODEL CU REZOLVRI I INDICAII

MATEMATIC, clasa a IX a (simbol AL IX) AL - IX. 001

Notm 5a -1

= K3

, deci K] . Avem 5a - 1=3K, 3K +1a =5

Adic 6K + 7

= K10

. Dar 6K + 7

K < K10

+1 deci 1 4a ,5 5

Rspuns corect b. AL - IX. 004 Avem: (1) [ ]x -1 < x x, x \ (2) . Se nmulete (1) cu -3 i (2) cu 5 i 2 2 2x -1 < x x , x \(3) [ ]-3x -3 x x + 2< -3 (4) ; adunnd (3) i (4) 2 25x - 5 < 5 x 5x 2(5) . Deoarece [ ]2 2 25x - 3x - 3 < 5 x - 3 x + 2 < 5x - 3x + 5

[ ]25 x - 3 x + 2 = 0 , (5) devine 2 25x - 3x - 3 < 0 < 5x - 3x + 5 3 - 69 3 + 69x ,

10 10

rezult: [ ]x = -1 sau [ ]x = 0 sau [ ]x = 1. Pentru primele 2 valori nu se verific ecuaia iniial. Deci [ ]x = 1 [ )x 1, 2 [ )2x 1, 4 Rezult 2x = 1 sau sau 2x = 2

2x = 3 Pentru nici una din aceste valori nu este verificat soluia. Rspuns corect e.

362 Culegere de probleme AL - IX. 009

2 15x k+ = i

22 1 1 2 1 15 2 5x m x x+ + < +

5 1

2kx = i 2 27 15 4 5 4xm m 1n acest caz se ridic inegalitatea la ptrat

1 7 1 72 24 1 2 ,2 2

x x x x + > +

Soluia 2 [ ] ( ) 1 7 1 7 1 72, 2 ,1 , ,12 2 2 + =

Soluia final = Sol (1) Sol (2) = [ ] 1 7 1 71, 2 ,1 , 22 2 =

Rspuns corect f. AL - IX. 085

Adugm n ambii membrii 21x

xx


22 2 1 2

1 1 1x x x

x x xx x x

+ + = +

22 2 2 221 2

1 1 1 1x x x x

xx x x x

+ = + =

1

Notm ( )2 1 22 2 1 0 1 21x yy y y yx = += = = ( )( )2 21 2 1 2 1 2 01x x x xx = + + + + =

( )( )2 21 2 1 2 1 2 01x x xx = + = ( )1 1 2 2 2 12x

Rspuns corect f. MATEMATIC , clasa a X - a (simbol AL - X) AL - X. 009

Se scrie ( ) ( ) ( )1 1 11 2 2x xx m x m x m = + + = 0

sau 1 1

11

2

xx mx m

=+ pentru 2 0x m+

de unde rezult 1 1 0x = deci 01x = 2 2x = i

11

2x mx m =+ , deci . Condiia cu 2 13x m= 1 0x m > conduce la


03 2m > deci 23

m < , iar 2 1 0m i 2 1 2m

2 3, \ , 013 2

m x = > 0m rezult m Rspuns corect a. AL - X. 031 Se pun condiiile 0, 1 log2x x y x> =

( ) ( ) ( ) { }2 21 1 1 1 ,E y y y y y= + + = + + \ \ 0 ( )[ ]( )

2 , , 1

2, 1,1

2 , 1,

y y

E y

y y

=

[ ] { } { }12 1,1 \ 0 , 22

E y x = \ 1

1 0=

Rspuns corect d. AL - X. 044 Not. l g , lg , lg ; , , 0x u y v z t x y z= = = >

1

3 2 3 21 01 2 31

uv ut vtuvt w s w s w s w w wu v t

+ + == + = +

+ + =

( )( )21 1 0w w + = Sistemul nu are soluii n \

Rspuns corect e. AL - X. 051

; , ,kC n k n kn `

2 210, 7 , 5 4, 3 4 ,x x x x x x + + + ` `


[ ][ ] [ ] { }

2 2 2,57 10 7 10 02, 4 2,3, 4

2 2 2, 45 4 3 4 2 8 0

xx x x xx

xx x x x x

+ + = + +

`

Rspuns corect b. AL - X. 058

Pentru avem 1n k + 1 11k kC C Cm mm k+ += ++ Dnd lui m valorile obinem: , 1, ..., 1n n k +

1 111 1

1 1............................

1 11 1 11 1...1 1 1 1

k k kC C Cn nnk k kC C Cn n n

k k kC C Ck k kk k k k kC C C C Cnn n k k

+ += +++ += +

+ += ++ + ++ += + + + ++ + +

Dar C deci 1 ,1k kCk k+ =+ 1...1 11k k k k kC C C C Cn n nk k ++ + + + = ++

Rspuns corect b. AL - X. 068 Se scrie termenul general

( )16 2 163 13 42 4

16 161

k k k kk kT C x x C xk

+= =+

( ) [ ]4 32 2 3 128 5 0,16 ,

12 12k k k

k k + = ` `

4; 16k k= = Doi termeni nu conin radicali

Rspuns corect b.

Probleme model cu rezolvri i indicaii 369 AL - X. 079

( ) ( ) ( )2 2 1kk ki i= = ;

( ) ( )1 2 cos sin 2 cos sin4 4 4 4n n n n nn ni i i + = + = + Avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 1 2 3 4 5 6 21 1 1 ...n kki C C i C C i C C i C C in n n n n n n n+ = + + + + + + + + =

( ) ( )0 2 4 6 2 1 3 5... 1 ...k kC C C C C i C C Cn n n n n n n n= + + + + + +

2 cos4nnE =

Rspuns corect c. AL - X. 087 ( ) ( )2 22; , 11 2

a nna S n an b nn+= = = + +

1

2

1

1

( )22 2 2 2 ,n na n an b nn+ = + +

( ) 22 1 2 21n n a n r n an b+ + = + + ( ) ( )2 22 2 2 2 ,1n r a r n n an b n+ + = + +

2 22 01

2 22 0 1

r ra a b

a a ab

= == =

= = ==

Rspuns corect c. AL X. 095

Fie 87

mq= i 98

nq=


Rezult 87

nm nqn+= i 9

8

mm nqm+=

Avem: 8 9

7 9 87 8

n mn m m n

n m+= =

Cu m 8 = 7 + 1 8m n+ nu poate fi divizibil cu 7 deci nu pot forma termenii unei progresii geometrice. Rspuns corect e. AL X. 098

11

1 1 1 1 1, ,1 1 2 1 111 11 1 111

n

n nn qq qS a S n nq a a qk a q q

q

= = = = 1 =

( )1

1 2 1 1 2 ... 1 2...1 1 1

n nn n n n nP a q q q a q a q

+ + + = = =

( )1

1 11 2 1 21 11 11 1 12 2

111

nq naS S n nq n na q a qnqS Sna q q

= = =

1

2

nS

PS

=

Rspuns corect c. AL - X. 106

1 ...0 1 1n nf a x a x a x ann

= + + + +


( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 115 7 15 7 15 7 ... 15 70 1 1n n n nf f a a an = + + + = 4 , absurd 8 ,k k= ]Rspuns corect b. AL - X. 114

( )1 2f = ( )2f = 1 ; Din identitatea mpririi

( ) ( ) ( )2 2 ;f X X X Q X mX= + + n1

+=

3

2/ 2

X X X X X X

X X X

X X

+ + + + +

+

0

deducem

( )( )

1 2

2 2

f m n

f m n

= + == + =

11

1m

Xn=

Rspuns corect a. AL - X. 126 Se face mprirea i se aplic Algoritmul lui Euclid

3 2 3 22 7 3 33 22 6 2 6 2

( ) 3

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

3 2 23 3 2 33 22 3 2 3

2/ 2 3 3 322 3 2 2 3 2 3 3

/ 2 2 3 3 12 3 6

X X X X X

X X X X

X X

X X

X

+ + + + +

+ +

+ + +

( )( )2 4 12 2 3 3 0 2

= = + = =

Rspuns corect d.


4AL - X. 130

( ) ( ) ( )3 21 4 6 4 1,P x P x x x x x grad P+ = + + + =\ , ( ) 4 3 2P x ax bx cx dx e = + + + + ;

( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 3 21 4 6 4 1 3 3P x P x a x x x x b x x x+ = + + + + + + + + +1 ( ) ( )2 4 32 1 1c x x d x e ax bx cx dx e+ + + + + + =2

1

( ) ( )3 2 3 24 6 3 4 3 2 4 6 4ax a b x a b c x a b c d x x x= + + + + + + + + + + + +

( )1 1

6 3 6 0 4 ,4 3 2 4 0

1 0

a aa b b

P x x k ka b c ca b c d d

= =+ = = = ++ + = =+ + + = =

\


( ) ( ) ( ) ( ), , , ,f a p f b p f c p f d p= = = = , , ,a b c d Z diferite.

( )( )( )( ) [ ],f X a X b X c X d g p g X = + Z Dac ( ) ( ): 20 0X f X p =Z () ( )( )( )( ) ( ) .0 0 0 0 0X a X b X c X d g X p prim = + = Egalitatea () este imposibil deoarece p este numr prim. Rezult c nu exist cu 0X ] ( ) 20f x p= Rspuns corect a. AL - X. 138 Notm rdcinile , ,1 2 3x x x cu: , ,u r u u r + ;


1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3

bx x x

ac

x x x x x xa

dx x x

a

+ + =

+ + =

=

( )3

2 2 3 23 2 27

2 2

bu

ac

u r b a d abca

du u r

a

=

= + =

=

elimin u i r

9 0

)

2 16 24


( ) ( ) ( )(( ) ( )( )

33 3 31 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

33 2 3 2 3 6 111 2 3

3

x x x m m

x x x x x x x x x x x x x x x

+ = = + + = + + + + + + +

( ) ( )4 3 221 1 1 14 3 4 4 4 22 2 6 11 4 2 22 2 2 2 1 2 34 323 3 3 3

x x mx x

x x mx x x x x m m m m m

x x mx x

= + = + + + = + + + = + += +

22 16 24 24 0, 8m m m m + + = = =

Rspuns corect d. AL - X. 180 ( )( )1 2 1 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2

2 21 2 1 2 1 2

z z z zz z z z z z z z z z

z z z z z z

+ + += =+ =


2 21 2 1 2 1 2

2 21 2 1 2

z z z z z z

z z z z

= +

0,1 2 1 2 1 2 1 2Z z z z z Z z z z z Z X Y X Y X Yi i= = = = = \ X Yi+ Z Yi iZ Y = = Rspuns corect d. AL - X. 189

( )( ) ( )( ) ( )2 22 22 2 2 22 .Re 2 .Re

z a z a z a z a z a z z a z z a

z a z a a b z a z b

= = = + + + = =

=

( )( )( )( )

( )( )

2

2b z b z b zz b z zb z

b z b z b z b b z z z z

+ = =+ + + + +=

( )22 22 Im Re Im

Re2 Re

b z ib z b a z ib z

z a ba b z

= = ++ =

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2 22 2 2 2Re Im Re

Re Re

b a z b z z a b a bz a b z a b a b

+ = = + + + Rspuns corect c. AL - X. 207

Se folosesc formulele 21 cos 2cos2+ = i sin 2sin cos

2 2 =

Probleme model cu rezolvri i indicaii 375 Avem:

22 cos 2sin cos 2cos cos sin2 2 2 2 2 2

2cos cos sin2 2 2

Z i i

i

= =

= +

=

Rspuns corect a. AL - X. 216 Avem n = i 1 .1 2 1.. 0n + + + + = nmulim relaia dat cu 1 . Avem

( ) ( )2 21 1 2 3 ... 1 n nS n 1n = + + + + + ( )2 12 ... 1 n nn n

nAvem ( ) 11 1 ... n nS n = + + + = ( )1 S n =

1n

S = Rspuns corect c. MATEMATIC , clasa a XI a ALGEBR SUPERIOAR (simbol AL - XI) AL - XI. 011 Identificnd matricele avem

( )

2 0 1 2 1 12 3 3 0 2 1 3 3

0 00 1 1 1 1

2 1 22 1 2 0

x y z tx y z t

ax y z t

a ax a y z at

+ = + = =+ + + =

+ + + =

=

Rspuns corect b.

376 Culegere de probleme AL - XI. 035

1 11 ;1 12 2n nA A A a a b bn nn n+ = = + = + ++ +

13

( ) ( )11 1 1, ; 1 2 ... 11 12 3 2 4 3 8n nn n

a b a b nn n= = = = + + + + = + 3

n

( )3 5

24n n

bn+= ntr-adevr

( )

11 2

1 1 12 12 4 3

1 2 13 2

...................... .........................1 1 1

1 12 4 31

1 2 ... 12 4 3

a i

a a b

a a b

nbn n

n na b nn n

=

= + = + +

= + = + +

= + + +

= = + + + +

b2 1

3 2 2 4 3b

a a bn n=

Rspuns corect d AL - XI. 042 Trebuie ca un determinant de ordinul doi format din A s fie diferit de zero i toi determinanii de ordinul 3 din A s fie nuli

Fie ( )2 4

2 42 0 1 2 3 2 1 02 12 3

1 2 4

= = = = =

( )1 2 4

11; 2 3 2 2 1 02 22 2 4

= = = = =

Probleme model cu rezolvri i indicaii 377 Pentru aceste valori:

1 4 1 21 3 0, 1 23 41 2 4 1 2 2

= = = = 0 Rspuns corect b. AL - XI. 048

Dac 1 2 2 4 1 2 4

1 2 0; 1 2 3 0; 2 3 01 2 2 1 2 4 2 2 4

= = =

( )( )

2 2 0

2 1 0

2 1 2 0

= =

=

Pentru

1,

2 1,= = matricea cu rangul 2

Deci rangul este 3 dac 12

nu 1 . Rspuns corect d. AL - XI. 057

221 1 22 20

2 2 2 2 20

yx xy yx y xy yyx xy xy x x xy y

xy xyy xy x x y y x y

= = + + +

=+

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 22 2 2 x yx xy y xy xy y x y x yx y y x y+ += = + + ++ + =

( )( )( )2 21 xy x y x y= + + Rspuns corect e.

378 Culegere de probleme AL - XI. 061

Fiindc: 2 2 2

bhah cha bS = = = c avem: 1

1

124 1

11

abc

S bac

cba

0= =

Rspuns corect b. AL - XI. 076

( )3 13 0

33 0 03 0 0

0 00

0

x a a a x a a a a a a aa x a a x a x a a x a

x aa a x a x a a x a x aa a a x x a a a x x a

++ = = ++ +

( )( )33 0 3 ,1 2 3 4x a x a x a x x x a+ = = = = = Rspuns corect e. AL - XI. 102

11

2 1 ; 1 2 02 1

3 1

mm

A mm

= = +

pentru

12

m

( )1 1 1 1 22 1 0 2 1 2 6 1 03 1 1 0 4 1 4

m mm m m mcar

m m m m

= = + + =

=

1, 1m m = =


Pentru 12

m = 2 1

3 03

2princ

= car e acelai

{ }1,1m Rspuns corect d. AL - XI. 110 Metoda 1. Sistem compatibil simplu nedeterminat necesar ca det A = 0

( ) ( )1

21 1 1 21

0= + =

x sau z necunoscut secundar, exclus 0 1

0 1 0 11 0

A

= =

1 11 1 1

1 1A

= =

rang A = 1, exclus

2 12 1 2 1

1 2A

= =

pentru 0p posibil ca x sau z s fie cunoscute

secundare

dac z= nec.sec. : 2 1

1 2 01 1

c

= =

0

2 2 0 2+ = =

dac x= nec.sec. : 1 1

2 1 0 2 1

c

= =


pentru (12 : , 12

x z y ) = = = = = + verific ecuaiile principale Metoda 2: nlocuim x,y,z n sistem i identificm \ Rspuns corect d. GEOMETRIE ANALITIC (simbol GA - XI) GA - XI. 006 Alegem axele Ox dreapta BC, iar Oy perpendiculara din A pe BC A(0,a) B(b,0) C(0,b)

Mijlocul A a lui BC are coordonatele , 02

' b cA + o dreapt arbitrar ce

trece prin B are ecuaia (d) ( )y x b= ( ) 2' x y aAA

b c a=+ ( ) { }'AA d K = obinem

( )( )( )2

b a b cxk a b c

+ += + + Dac s este raportul n care K mparte pe , avem 'AA

( )( )( )

( )( )

221 2 '

b cs b a b c b aKA

x sk s a b c KA c b

++ + += = = =+ + +

( ) x y aACc a

= ( ) { }AC d J = obinem ( )J

C b ax

C a+= + Dac s este raportul

AJJC

( )'1 '

C b as Cs C a

+= + + ( )

'' 2

b a AJ JC KAs

C b JC AJ KA

+= = = Rspuns corect d.

Probleme model cu rezolvri i indicaii 381 GA - XI. 012 Se consider A, B pe axa Ox i M pe axa Oy. Avem:

( )( )

1

12 2

yMA x y x

x yMB y x

+ = = +

+ = = +

2,1 2 21 1

y x dP Py

= + = + +

22 42 ,2 22 4 4

y xQ Qy x

= +

+ +=

( ) ( ) ( )2 2 21 1: 2 2x yPQ + + +=+

( ) ( )22 2 0 2,x y x + + = = = 0y Punctul fix este N(-2,0). Atunci

14

NAk

NB= =

Rspuns corect a. GA - XI. 031 Ecuaia fasciculului de drepte ce trec prin intersecia dreptelor d1 i d2 este ( ) ( ) ( )2 2 3 6 4 0x y + + + = 1 Ecuaia unei drepte ce trece prin P este ( )2 2y m x = Punem condiia ca aceast dreapt s treac prin punctul (4,0) respectiv (- 4,0). Gsim

respectiv 1m = 13

m = . Obinem dou drepte ( )2 4x y 0+ = i ( )3 4 0 3x y + = . Condiia ca dreapta (1) s fie perpendicular pe (2) respectiv pe

(3) este:


21

2 3

+ = respectiv

23

2 3

+ =

13

= respectiv 115

= . Obinem dou drepte ( ) ( )2 0 3 2 01 2x y x y + = + =

Rspuns corect f. GA - XI. 038

Avem: 1

2,1 2 3m m= =

1

20 03 1 45 , 135 45

11 2

3

tg

= = = =+

= 0

Rspuns corect c. GA - XI. 054 Fie y a ecuaia dreptei care se deplaseaz paralel cu ea nsi. Punctele

M i N aurespectiv coordonate:

x b= +(, 0 ; 0,b )M N b

a . Ecuaiile dreptelor duse prin

M i N cu direciile fixe m1 respectiv m2:

( )1 12

by m x

ay a m x

= + =

Ecuaia locului geometric se obine eliminnd parametrul b din ecuaiile (1) ( ) ( ) ( )0 21 2 1y a m x m a m + = (2) o dreapt ce trece prin origine Rspuns corect c.

Probleme model cu rezolvri i indicaii 383 GA - XI. 092 Determinm centrul i raza cercului ce trece prin cele 3 puncte:

( ) ( )2 2 2x a y b r + = ( ) ( )( )( ) ( )

2 2 21 113 7 502 2 22 ,6 6 6

2 2 23 2

a b r

a b r a b r

a b r

+ = + = = = = + =

,

Deci 13 7

,6 6

2 2 2 2 2O OT r OT O r = + = 2

169 49 50 168 142 236 36 36 36 3

OT OT= + = = Rspuns corect c. GA - XI. 101

( )2 2 2: ; cos , sin ,C x y r M r t r t t 0;+ = ( ) ( )2 2 2 2: cos sin sinx r t y r t r + = t

2 2 2 2 2: 2 cos 2 sin sin

2 2 2:

x y rx t ry t r t r

C x y r

+ = =

2 2coarda comun : 2 cos 2 sin sin 22 2 2: cos cos

rx t ry t r t r

MN x r t r t r

= = =

8

( )22 22 2 222 2 22 2 sin sin 12 2 22 42

cos

r xr x xx ry t x r t

ry r r yx

tr

+ = + = + + =

=

384 Culegere de probleme ( )( )2 2 2 24 0x y r x r + =

2 21 02 2

4

x y

r r+ = 0 ( )0;x r t = =

2 2

1 02 2

4

x y

r r+ =

Rspuns corect d. GA - XI. 102 Notm ( )cos , sinM r r , ( )cos , sinr rN Fie ( ),R x y punctul de intersecie dintre MP i NQ. El se obine din sistemul

( )( )MP

NQ

( )( )

sincos

sincos

ry x

r ar

y xr b

= = +

a

b

2 2 2 2 2 2sin ; cos sin cosa b a b ab

r y r x r ra b a b a b

+ += = + r =

( )( )

22 2 222 2 : 2

a ba b a b aby x r

a b a b a b a b

++ + + = +

( )( )

222 2 22

a babx y ra b a b

+ =+ +

Rspuns corect e.


2GA - XI. 104 ntr-un reper ortogonal ecuaia cercului este: 2 2x y R+ = , Tangentele perpendiculare la cerc au respectiv ecuaiile:

( )21

11 11 2

y mx R m

y x Rm m

= + +

= + +

Eliminnd parametrul m din cele dou ecuaii rezult ecuaia locului

geometric. Din (1) rezult: ( ) ( )( ) ( )

2 2 21

2 2 21

y mx R m

my x R m

= +

= + (2)

( )2 2 22x y R + = 3 este un cerc concentric cu cercul dat i de raz 2R (cercul lui Mnge) Rspuns corect d. GA - XI. 108

2 2 2 24 4 0 5 2 4x y x nx ny x n y x n

+ = + + == + = +

0

( )2 22 5 4 2 5 5, 51,2 1,25 5:n n nn nx y n = =

4 2 21 2 1 2: 12 5 2 5 5

x x y yn nV n

+ += = = 0 2

( ) ( )2 24 8 25 , 5,5 5 25n nx y n n+ + = 5 Rspuns corect b.

386 Culegere de probleme GA - XI. 115 Fie ( )1 1,M x y i ( )2 2,x yN de pe elips: avem

( ) ( )( )

2 221 0 02 2

21 22 2

1 2

x yx Sx p

a by y S m S c

y m x cy y P m p cs c

+ = + =

+ = = = = = +

1 1 MNE

FM FN FM FN= + =

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

22 4 24 12 2 2 21 41 2 1 2 22 2 2

2 22 211 1 1

2 22 212 2 2

a b mMN x x y y m S p

b a m

FM x c y m x c

FN x c y m x c

+= + = + =

+

= + = +

= + = +

( ) ( )4 212 21 2 2 2b mFM FN m P CS c b a m+ = + + = +

22a

Eb

= Rspuns corect a. GA - XI. 132

( ,U a ) , iar ( )0

ay a x a

Vx

= =


220, , 12

aV OVAU a =

= Punctul B se afl pe elips deci

9 4 3 4 21 0 1 0 162 2 24b

a a b+ = + = =

2 2

1 012 16x y + =

Rspuns corect d. GA - XI. 164 Fie ( ),M un punct al parabolei. Deci 2 2p = Tangenta n M are ecuaia: ( )y p x = + Paralela prin (' ,M ) are ecuaia y =

( )23 2

2 2

y p x

y y

p

= += + ==

elimin

, 0px ecuaia unei parabole

Rspuns corect c. GA - XI. 177 Dreptele trec prin punctul M0(7, 2, 13) deci sunt coplanare. Parametrii directori ai perpendicularei pe planul dreptelor sunt:

1 1 1 6 3 31 22 1 5

i j kd d i j k = = + +

Ecuaia dreptei perpendiculare pe planul lor sunt: 4 1

2 1 1x y z 6 = =

Rspuns corect d.

388 Culegere de probleme GA - XI. 188

( )( )

1 1 1, ,

3 3 31

OP x y zP

x y z= = + + =

( ) ' 1 ' 1 ' 1' ', ', ' ; ,2 3 2 3 2

O x O y O zO x y z

+ + +3

= = = 2 2 2

' , ,3 3 3

O

Rspuns corect d. GA - XI. 195

( ) ( ): ; , 1,1, 1,1,x yd O A d dz y

= ==

( ): 4 2 3 1 4, 2, 3

4 2 3 0 2

P x y z N

N d + = = = + = =

Rspuns corect a. GA - XI. 202 Ecuaia planului determinat de punctele A, B, C:

13 1 0 1

: 0 : 20 7 3 12 1 1 1

x y z

P y zABC ABCP

1 0= + +

=

2

0, 2,A B C = = = Parametrii directori al dreptei:

12 3 31 1 1

m n

3 35

2 3

lmn

= += = +

Condiia de paralelism: 0 4 4

1A l B m C n 0 + + = =

= Rspuns corect b.

Probleme model cu rezolvri i indicaii 389 GA - XI. 204

Din ecuaia dreptei rezult: ( )( )

1, 3, 201,8,8

M D

VD

=

6 30AM i j k = Distana de la punctul A la dreapta ( )D se calculeaz prin formula :

8930 2, 631129

AM VDdVD

= = =

fiindc: 1 6 3 24 1401 8 8

i j kAM V i n j kD = = +

893; 1290AM V VD D = = Rspuns corect c. ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC (simbol AM XI) AM - XI. 015 Avem

1 12 22 21 11 1 2

1 12 2

1 32 2

1 31 3 1 2 3 61 2

n nn nn n n nn n n nn nn n

ann n n n

n nn n n nnn

e e e en n

2

2

+ ++ + = + ++ +

+ + + =+

Rspuns corect b.

390 Culegere de probleme AM - XI. 020 Limita devine: ( ) ( ) ( )

( )lim 1 3 2 3 1 3

lim 1 3 0 1 0

a n n b n n a b nna b n a bn

+ + + + + + + + + == + + + = + + =

Rspuns corect b. AM - XI. 029 Limita devine:

1 1lim lim2 2 1 2 1 21 14 1

1 1 1lim 1

2 2 1 2

n nn n k kk kk

n n

1 1= += == =

Rspuns corect d. AM - XI. 079 Avem:

( ) ( )

( )

( )

1

1ln 1

1

1 ln 11

1 ln 11

1ln 1

1

n

k

nkx

k

nkxxk

nf x n kx

k

n xkxke

=

+=

+=

= + +=

+==

=

( )( )1

1 2lim0

n n nkkf x e e

x

+== = Rspuns corect d.

Probleme model cu rezolvri i indicaii 391 AM - XI. 107

Artm c singurul punct de continuitate al funciei este 23

.

Fie i ( ) cu \0x \ _ xn n _` 0x xn n Avem ( ) ( )2 2 20 0 0f x x x x fn n n= = x , deci f nu e cont. n 0x Fie

2\0 3

x Q i ( ) cu \xn n \ _` 0x xn n Avem ( ) ( )2 2 20 0 0f x x x x f xn n n= = Dac

20 3x = arunci ( )( ) , 0x xn nn n ` x avem

( ) ( ) 40 3f x f xn n = , deci conf. T. Heine f este continu doar n 20 3x = Rspuns corect d. AM - XI. 009

Se tie c

( )( )( ]

0 1

1 1

1,

Nu exist, ,

x

xnx n x

x

=

,1

1

Se vede c irul ( ) ( )( )21 4

1

nx xa nn nx x

+ += + nu e definit n 0x =

Trecnd la limit avem ( )1 2 4 2 4

lim lim1

nx xn xxa xnn n xnx x nx

+ + += = +


( )( ) ( )

( ) (

1: 1, 0 0,1

, 3, 12 4

, , 1 1

xx

f x x

xx

x

= =

+ ),

Deci { }\ 0, 1A = \

( ) ( ) ( )1 0 1 5 1 0 3 0f f = = + = f Deci { }1D = Rspuns corect b. AM - XI. 012

Se folosete inegalitatea 2 2

12

x x x <

Pentru , nmulind cu 0x >3x

se obine

2 2 21

3 3 3 3x x x

x x x < =

2 rezult

2 2lim

3 300

xxx

x

=>

Pentru nmulind cu 0x

Rspuns corect c. AM - XI. 039 Avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

112 , cnd

1lim 0

00 1

0 cnd

00 0; ' 0 lim lim

0x x

nx

xnx

xx n

f x f f xf f

x x

== =

=

= = =

=

Probleme model cu rezolvri i indicaii 393 deci f este derivabil n ( )0 ' 0x i f= = 0

)

Rspuns corect b. AM - XI. 142 Funcia se scrie

( )( ] ( ]( ]( )

( )( ) (( )( )

67 7 , , 1 0,1, , 1 0,15 4, 1, 0 ' 5 , 1, 0

34 4 , 1,, 1,

x xx x

f x x x f x x x

x xx x

= =

( ) ( )( ) ( )

' 1 7 5 ' 1

' 0 ' 0

f fs df fs d

= = = ( ) ( )' 1 7 ' 1 4f fs d= =

Deci f nu este derivabil n 1 i 1x x= = Rspuns corect e. AM - XI. 152

( ) ( ) ( ) [ )( ) [ ]( )

2 23 1 8 6 1 3 1 3 1 1,

3 1, 1,103 1 0 9 1 10

1 3, 10,

x x x f x x x D

x xx i x x f x

x x

= + = = = =

( )( )( )

1, 1,10

2 1'

110,

2 1,

xx

f xx

x

=

( ) ( ) ( ) { }1 1' 1 ; ' 0 ; ' 10 1,106 6

f f f Ma s a= = = = Rspuns corect d.

394 Culegere de probleme AM - XI. 159 Punem succesiv condiiile ca f s fie continu n 1, derivabil n 1 i de dou ori derivabil n 1.

( ) ( )1 0 0, 1 0 0f f = + = + + + + = (1) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1, 0,1 ' 1 1

' 22 , 1, 0 ' 2

x fsxf xx x fd

== + +

1 2+ =

( ) ( ) ( )( )

( )1

, 0,1 '' 1 12'' 2 1 32 1, '' 2

x fsf x x

x fd

=

=

=

( ) ( ) ( ) 1 31 , 2 , 3 , 2,2 2

= = = Rspuns corect d. AM - XI. 178 Aplicm formula lui Leibnitz ( ) ( ) ( )f x u x v x=

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

22 ,

1 2' '' 0

1 2 ; ' 2 , '' 2 0 pentru 22

n n

xu x e v x x

n nn nf x u v C u v C u vn x knu e v x v v x

= = = + + +

= = = = > k

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 211 1 122 2 2 22 2 2 2

1 11 10 ; lim 02 22 2

n n n2

x x xn nnf x e x n e x e

nn n nn nnf Ln nn

= + +

= = =

Rspuns corect d. AM - XI. 190

Avem ( ) ( ) ( ) ( )( )7

' . : '0 0230f x Ec tg y f x f x

x= =

+x x


( ) 6 14 1 14' 2; 2 30 2142

f x y x + = = +

2 8 2 14y x = + Rspuns corect e. AM - XI. 203

Fie:

( ) ( )( ) ( )

2ln 1

212' 12 21 1

f x x x

xxf x

x x

= +

0= = > = = =

11 1a

a = = i 1b =

Rspuns corect e. AM - XI. 235

Avem: ( ) ( )3 3

'2 21 1

x x af x

x x

+=+ +

3 3x x a + = 0 0 irul lui Rolle : ( ) 2' 3 3x x = =

1 12 2a a

+

+ +

( )2 0 2, 22 0

aa

a+ >


Avem: ( ) 2 2' 2 4 0 2 4 2 0

11,2

f x x x xx

x

= + = + = =

irul lui Rolle

20 1

2

x

m m+

+

Trebuie ca: ( )2 2 0 1, 2m m m < Rspuns corect c. AM - XI. 266 Pe baza teoremei Lagrange rezult:

( )1ln 2 , 1, 2CC

=

Avem: 2 32 8 2 3ln 2 ln 23 2

e C< < > <

Demonstrm c: 1

2 ln 22

C > < . E suficient s demonstrm relaia:

( ) 11 ln ,tt tt

1< >

Dac

( ) ( )( ) ( )

1 1 1ln , 1 '

22

10, 1 descresctoare 1

2

t tg t t t g t

tt t

tt g

t

+= > = =+= < > +

Punem n ( )1 2t = Rspuns corect c. AM - XI. 275 Se verific imediat c toate punctele c menionate n lista de rspunsuri a) f ) aparin intervalului ( ),1 2x x n condiiile impuse, deci nu pot fi eliminate

apriori:

398 Culegere de probleme Aplicnd formula lui Cauchy pentru funciile f i , avem: g

( )sin sin cos2 1

3sin3 cos cos2 1

x x ccx x

=

2 1 2 12sin cos cos2 2sin2 1 2 12sin sin

2 2

x x x xc

x x x x c

+= +

Unica soluie pe ( ),1 2x x este : 1 22x xC += Rspuns corect c. AM - XI. 278 Avem: ( ) ( ) ( )( )0 ' ,f x f xf x = unde ( ) (cu 0,1x x = )

( ) ( ) [ ]1

' :21f x x

x=

+0,1

Avem: [ ] ( )1 1

1 1 : 0,121 1x

x x = + +

Deci ( ) ( )1 1 , 0,xx xx

+ = = 1

Evident 1 1 1

lim0 2x

Lx x

+ = = Rspuns corect c.

Probleme model cu rezolvri i indicaii 399 MATEMATIC , clasa a XII a ALGEBR SUPERIOAR (simbol AL XII) AL - XII. 018

Avem: ( )23 2 12x x x x x= = = Presupunem ( )2 1kx xk = i demonstrm c:

( )12 11 kx xk += + ( ) ( ) ( )12 1 2 2 1 2 1k k kx x x x x xk + = = + = x

deci ( ) ( )( ) ( )

( )

22 1 8 2 1 ,

22 1 8 2 8 8 1 ,

2 22 1 8 2 17 2 8 2 16 02

2 4 0 2 4 2

n nx x x x x

n nx x x

n n n n

n n n

=

= = + =

= = =

\\

Rspuns corect e. AL - XII. 025

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

2

E a b c ma nb p c m ma nb p nc p

E a b c a mb nc p ma n mb nc p p

= = + + = + + + += = + + = + + + +

din

( ) ( )( ) (( ) (

1 0 1

1 0 21 20 3

m m

E E n n

p m n

= =

=

))

Ec (3) poate fi satis. n 2 cazuri a)

m=n dar atunci op. * este comut i nu ne intere deci a; b) p=0 iar (1) i (2) ne conduc fiecare la 2 posibiliti: m=0 i n=0 m=1 i n=1 cnd * este comutat.

400 Culegere de probleme i m=1 i n=0 m=0 i n=1 cnd * nu este comut./ceeace ne intere. Deci soluiile sunt: (1,0,0) i (0,1,0) Rspuns corect a. AL - XII. 034 Avem:

0 0 1 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0 1 02 3 4, , 41 0 0 0 0 0 0 10 1 0 0 1 0 0 0

X X X= =

I=

Dar 1997=4.499+1

( )( ) (

4991997 4

11997 3 3 34

X X X X

)X X X X XX I= = = = =

Rspuns corect c. AL - XII. 039

( )( ) ( ) ( )( ), 0 0

0 , 0 0

nf x f x xm mf x f f fn m n m nmf x xm

>= =

D> 0m >

f

1

2001 12001 2001 1

Af f f f f en e e n nf f f f f n nn n

= = == = =

D DD D `

Rspuns corect b. AL - XII. 040 Inversul lui x n M este elem. simetric al operaiei 'x , adic: sau ' 1x x =( ) ( ) ( )2 ' ' 2 1, ' 2 ' 2 ' 'a b a b aa bb ab ba 1+ + = + + + =


' 2 ' 1' ' 0

aa bbba ab

+ = + = Nec.:

20, 0

a bb a

sau 2 22a b 0 (Condiie Nec) Dar, mai trebuie ca

i

1 20

' 2 22 111

'0

ba a

aa b

a bb

b

= = = = =

]

]

Rspuns corect c. AL - XII. 041 Elementul neutru e funcia identic 1 0fE =

( ) ( )

( ) ( )

1 1 0

1, 1 , , ,

2

211 , 1 , , ,

2 2

1 11 0

2 1 , adic1 102 21 0

f f f f ft t

f x y y x y x y Et

tx y t y y t x y x y

tt ft

t

t

= =

+ =

+ + + + =

= + =

= + =

+ =

D D8

8

\

8

( ) 1, ,2

x y x y yg 1= + + + ; Rspuns corect e.

402 Culegere de probleme AL - XII. 051

,z e z z = ^ este evident comutativ ( ) 1 1z e i ie i z z e i+ + = + =^

1e i=

2' 1 '

izz z i z

z i = = +

Deci orice { }\z ^ i este simetrizabil astfel nct { }( )\ ,i ^ este grup abelian i = Rspuns corect f. AL - XII. 058

Egalitatea se mai scriu sau Egalitatea

se scrie . Din (1) i (2) rezult

( )22a ab= 2a abab= ( )1a bab=( )22b ab= ( )2 2b abab b aba= =( )( ) ( ) 3ab bab aba ab b aba ba ab b a= = =

2 e nmulind la dreapta cu a obinem adic , de unde

. Cum ultima egalitate se poate scrie

3 2aba b a= 3 2b b a=2 2b a e= 2b a= 4a = sau 4 eb =

Rspuns corect a. AL - XII. 069

Elementul neutru este . Elementul 1 0

0 1E =

X x y

y x=

are un invers

'' '' '

Xx yy x

= dac i numai dac ' 'X X X X E = = adic ' ' 1; ' 'xx yy xy yx = + = 0

A doua relaie se scrie ' 'x yx y

= = . nlocuind n prima ' ; 'x x y y = = se

obine de unde o soluie este ( 2 2' x y + = )1 ' 1 = i 2 2 1x y+ = . Numrul


elementelor lui G este 9 deoarece { }, 0,1, 2x y . Grupul ( ),G va conine 4 elemente datorit condiiei 2 2 1x y+ = . Astfel ( ),G este izomorf cu ( ),n +] , deci n=4 Rspuns corect a. AL - XII. 071 Condiia de comutativitate ' 'X X X X = , unde

1 10 1 , ' 0 1 '0 0 1 0 0 1

a b a b' 'X c X c= =

, implic: ( )' 'ac a c=

Dar ( nu este satisfcut pentru orice ) , ,a b c\ n cazurile subgrupurilor generate de matricele d) i e). Astfel, sunt comutative subgrupurile generate de a), b), c), i f). Definim, acum, ( ) ( ): , ,f G+ \ prin

( )1 00 1 00 0 1

xf x =

Avem ( ) ( ) (1 0 ' 1 0 1 0 '

' 0 1 0 0 1 0 0 1 0 '0 0 1 0 0 1 0 0 1

x x x x)f x x f x f x

++ = = =

Iar f este bijecie. Rspuns corect c. AL - XII. 094

1 13 7 93 4 3 3 9; 7 2 3; 9 6 10;

4 6 2

= = = = = = =

l( ) l ( )l l9 5 10 3 9 10 3 8 10 0 10 0;E = + = = + = =

Rspuns corect a.


)AL - XII. 097 ( ) ( ) (1 2 1 2f z z i ( ) ( ) ( ) , ,1 2 1 2 1 2f z zf z f z+ = + ;z f z z z = ^2) 1) f

deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ): ,f f x yi f x f yi f x f y f i + = + + =^ ^ 1) 2) ( )f x xx

=\

( )x yf i+ ( ) ( )2 1 1;f i f= ( )f x x= deci ( ) ( )f i i f x yi x yi + = =

( ) 2f i ( ) ( ),f z z f z z= = (sunt morfisme i bijecii)

( ) 2S z z z ez = + = \ Rspuns corect e. AL - XII. 124 B este sistem generator, dac pentru ( ), ,V a b c avem ( )3, 1, 1 :a b c= = = ( ) ( ), , , ,1 1 2 2 3 3 1 2 3V a b c V V V = + + coordonatele vectorului V n baza

B.

31 2

2 3

3

a

b

c

= + += +=

2122

13

a b

b c

c

= == == =

( )2, 2, 1VB =

Rspuns corect c. AL - XII. 129 Sistemul S este baz dac i numai dac este liniar independent.


Deci

1 0 1 1 0 1 22 5 0 3 3 0 5 52 8

0 01 1 3 2 2 0 4 1 21 1 1 1 1 1 1 1

+

+ +

1 1 1 2

5 0 8 82 81 4

13 5 8 0

2 4 1 2 0 6

+

+

0

8 8 80

6 1 42 +

9 32 48 48 056 7

16 56 016 2

+ =

Rspuns corect b. AL - XII. 136 Avem:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) (

1 2 32,1 2,1,0 0,1,1 0,0, 21 1 11 2 31, 2 2,1,0 0,1,1 0,0, 22 2 2

f a a a

f a a a

= + += + +

)

sau

( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2 34,3, 1 2 , , 21 1 1 1 12 2 2 2 32,3, 2 2 , , 21 1 2 2 2

a a a a a

a a a a a

= + + = + +

1 12 4 21 1

1 2 23 11 1 12 3 32 11 1 1

a a

a a a

a a a

= = + = =

+ = =

1 2 i

1 12 2 12 21 2 23 22 2 22 3 32 22 2 2

a a

a a a

a a a

= = + = =

+ = =

[ ]2 11 2,1 2 1 2

A f B B = =

Rspuns corect a.


0

=

AL - XII. 140 ( ) ( ) ( )0 7 10 , 5 8 0, 01 2 1 2f x x x x x= + + =

7 101 25 8 01 2

x x

x x

+ = + =

. Acest sistem liniar omogen de 2 ecuaii cu 2 necunoscute admite

numai soluia banal deoarece determinantul sistemului este 0, 01 2x x=7 10

56 50 6 05 8 = = + = . Aadar . ( ) 20, 0x = \

( ) ( ) ( )7 10 , 5 8 ,1 2 1 2 1 2f x x x x x x x x = + + = 0

( )

( )7 101 2

5 8 01 2

x x

x x

+ = + =

Acest sistem admite soluie nebanal dac i numai

dac determinantul su 0 = , adic 7 10 20 6 0 2,1 25 8

= = = = = 3

Rspuns corect b. ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC (simbol AM - XII) AM - XII. 001

Pentru ( ) '10, sinx f x x =

. Dac f admite primitive pe , fie o primitiv.

\:F \ \

Atunci ( ) 1sin , 0,F x x c x cx

= + \ . Cum F este continu pe ( )0F C =\


Cum F este derivabil pe ( ) ( ) ( )0 1' 0 lim lim sin0 00F x F

F Kx xx x

= = = \ , limit care nu exist. Deci am obinut o contradicie, aadar f nu admite primitive pe \ Rspuns corect f. AM - XII. 004 f nu are proprietatea lui Darbaux pe [ ]1,1 f nu are primitive pe [ ]1,1 . ntr-adevr )1,0f i 0,1f sunt continue fr ca f s fie continu pe [ ]1,1

[ ] [ ]11,1 ,1 2,3fe

= nu este interval Rspuns corect e. AM - XII. 022 Schimbarea de variabile ( )tgx t x arctgt t= = = ( ) 1' 2 1t t = + ,2 2x t

\ 1 12 21 1 2 21 1

12ln 1 lncos

tg xdx t dt dtt t

t t C tgx Cx

+ = + = + += + + + = + +

=

Rspuns corect b. AM - XII. 031

sin cos;

sin cos sin cos

1

x xI dx J dx

x x xI J dx x c

= = + ++ = = +

x


( )

cos sinln sin cos 2sin cos

2 ln sin cos1 21

ln sin cos2

x xJ I dx x

x xI x c x x c

I x x k

= = + + += + +

= + +

x c

Rspuns corect d. AM - XII. 039

( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]

( )( )

2 2 2 25 16 16 3 , 10 36 36 8

5 3 5 3 10 8 10 8, 3,

2 2 2 2

2 2 8 18 2 22 3 1

2 2 2 2

x x x x x x

x x x x x x x xf x x

x xf x

F x x c

+ = + = + + + + + + = +

+ += + = + = = +

8

Rspuns corect b. AM - XII. 043

2 21 12 21 1 1

21

x x dx xI dx

x x x x x x

J x

+ +2

= = = + = + + +

= + +

unde

112 1 1

ln 122 1 11 12 2121 121 ln

ddxdx xxJ C

xxx xx x

xI x C

x

= = = = + + + +

++ + = + +

+

Rspuns corect b.

Probleme model cu rezolvri i indicaii 409 AM - XII. 052

( )3 1 1 1

1 ...3 6 3 11 1 1

an n nn n n

= + + + ++ + +

13 10 3

1

nan n i

in

= = +

Alegem funcia [ ] ( ) 1: 0,3 ,1

f f xx

= +\ care este continu deci

integrabil i diviziunea ( )3 13 6 9

0, , , ,..., ,30,3n

n n n n

=

i punctele ( )3 13 6

0, , ,...,n

i n n n =

( )3 3lim 2 1 2 1 3 1 0 2010 dxa xn x= = + = + + + = Rspuns corect b. AM - XII. 066

Cazul I. 1a ( ) ( )2 , , ,22 , ,

x a x a ax a

x a x a a

+ + =

( ) ( ) 31 12 103 30 xF a x a dx ax= + = + = a Cazul II. 1 0a <

( ) ( ) ( )1 4 12 2 3 30aF a x a dx x a dx a a aa= + + = + + Cazul III. 0 a


( ) ( )1 12 30F a x a dx a= + = + Rspuns corect c. AM - XII. 086

Avem integral pe interval simetric din funcia impar ( )1 1

xf x

x x= +

Deci 0I =Rspuns corect c. AM - XII. 114

Ecuaia , are ( )2 2 1 4t x t+ + = 0 ( ) ( )(24 2 3 4 1x x x x )3 = = + Dac cu ( )1,3 , 0 i , \1 2x t < ^ \t 21 2t t= = . Dac

( ] [ ), 1 3, , 0 ,1 2x i t t \ cu 21 21,2t x x x 3=

( ) 21 2 3, 13;

1 21 2 3,

x x x xt x

x x x x

= + +

( ) 2

21 2 3, 1

21 2 3, 3;

x x x xt x

x x x x

+ = +

aa c

( ) ( )21 2 3, 1

2 1

21 2 3, 3

x x x x

f x x

x x x x

+ =

+ +

, 3

Se calculeaz separat

( ) ( ) ( ) ( )12 22 2 3 1 4 1 1 4 2ln 1 1 42

I x x dx x dx x x x x= = = + 2

Probleme model cu rezolvri i indicaii 411 Atunci

( )4 1 3 42 21 2 3 2 1 2 32 2 1 3

7 3 513 3 5 2 ln

2

f x dx x x x dx dx x x x dx= + + + + +

= + +

=


Avem: ( )24 3 2 22 2 2 1x x x x x x+ + = + +1

Deci

( )( ) ( )

( )

2 1 '1 2 11 020 21 1

1 14 4 2

x xI dx arctg x

x x

arctg arctg

+ x= = +

+ +

= = =

=


( ) ( ) ( ) ( )( )1 11 1

2 31 11 1112 12 61 1

A f x g x dx g x f x dx

x xdx arctgx

x

= = =

2 3= = = +

Rspuns corect c. AM - XII. 169

52 2 32405 50

yV y dy

= = = Rspuns corect c.

412 Culegere de probleme AM - XII. 174

( )

( )

1 21 ; sin0

2 2 2sin cos 2sin cos0

2 22 2 22 sin cos sin 220 0

221 cos 4

4 80

V x x dx x t

V t t t td

t tdt tdt

t dt

= =

= =

= =

= =

t

=

Rspuns corect b.

INDICAII Matematic , clasa a IX a Matematic , clasa a X a Matematic , clasa a XI a Algebr superioar

Geometrie analitic Elemente de analiz matematic Matematic , clasa a XII a Elemente de analiz matematic AM XII. 036 Se provoac la numrtor derivata numitorului. AM XII. 037 Se provoac la numrtor derivata numitorului. ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC MATEMATIC , clasa a XII a ALGEBR SUPERIOAR

INDICATII matematica admitere politehnica

Documents

Transcript of INDICATII matematica admitere politehnica