III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

34

Click here to load reader

Transcript of III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

Page 1: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

III. Modelarea motorului pas cu pas

3.1 Modelarea matematica a functionarii sistemului in regim dinamic

In sistemele de actionare specifice mecatronicii (care presupun conditii de

precizie dosebita) durata regimului tranzitoriu este aproximativ egala cu durata de regim.

In cele mai multe cazuri comportarea dinamica a sistemului de actionare in regim

tranzitoriu este foarte importanta, ea furnizand informatii despre timpii caracteristici si

stabilitatea sistemului.

Pentru calculul regimului dinamic se construieste un model matematic:

Se consideră că orice magnet poate fi înlocuit cu o înfăşurare fictivă. Dacă avem un

motor cu m faze, atunci acesta va fi deservit de m+1 circuite electrice (m circuite de

comandă pentru fiecare fază la care se adaugă circuitul electric principal). Analogia

mecanic – electric se face considerând un sistem unitar cu m+2 coordonate generalizate

(câte o ecuaţie pentru fiecare dintre cele m faze la care se adaugă o ecuaţie de mişcare şi

o ecuaţie a circuitului electric principal).

Modelul matematic este de forma de mai jos:

unde:

- U este matricea tensiunilor pe fază:

- R este matricea rezistenţelor pe fază:

Page 2: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

- I este matricea curenţilor pe fază şi pe circuitul principal:

- matricea fluxurilor:

In cazul particular al motorului pas cu pas hibrid numarul de faze m = 2 sunt

denumite a si respectiv b. Se considera ambele faze alimentate simultan. In acest caz,

particularizand modelul matematic de mai sus, se pot scrie urmatoarele relatii:

unde:

-     Laa, Lbb sunt inductivitati proprii fazei si Lab = Lba sunt inductivitati mutuale

-     um unghiul de pas cu care se roteste arborele motorului

-     Dr este coeficientul de frecare uscata

-     Mem este cuplul electromagnetic

Daca se lucreaza in camp magnetic saturat, ceea ce presupune ca inductivitatile

fie ele proprii sau mutuale depind atat de unghiul de pad cat si de curent. Din pacate

dependenta inductivitate – curent este greu de demonstrat, ea probandu-se in general prin

masuratori.

Daca se lucreaza in camp magnetic nesaturat se considera ca inductivitatile

depind numai de unghiul de pas (um). Curentii pe faza in acest caz variaza in functie de

Page 3: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

timp. Ne intereseaza cum variaza in timp curentii , precum si acceleratia si viteza

unghiulara in faza de pornire.

Pentru o mai mare usurinta in prelucrarea datelor primele doua ecuatii se pot

rezolva matricial. Se poate vorbi astfel de o matrice a inductivitatior, a derivatelor

acestora, o matrice a tensiunilor, o matrice a curentilor si a variatiilor curentilor.

Se ajunge astfel la un sistem de ecuatii diferentiale de felul urmator:

Matricile intalnite in modelul matematic general se particularizeaza pentru cazul

motorului pas cu pas hibrid alimentat cu doua faze.

·      matricea inductivitatilor:

Page 4: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

Inductivitatile mutuale:

unde:

- L0 este inductanta pe faza L0=0.0022H

- Lp este inductanta medie pe faza Lp=0.00005H

- pz este numarul de dinti rotorici pz=25

- ts este unghiul între doi poli statorici consecutivi ts =p/2

·      matricea variatiilor inductivitatilor (in raport cu unghiul de pas)

·      matricea tensiunilor pe faza

·      matricea curentilor pe faza

Pentru rezolvarea acestui sistem de ecuatii diferentiale se apeleaza la

metoda Runge – Kutta. Pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii diferenţiale s-a utilizat

mediul de lucru Matlab 6. Metoda de rezolvare aleasă este Runge-Kutta, existentă în

mediul de lucru prin funcţia ODE 23. Metoda constă în integrarea unui sistem de ecuaţii

diferenţiale pe un interval de timp cuprins între t0 şi t1, ţinându-se seama de condiţiile

iniţiale a căror valori sunt date de vectorul Y0. ODE 23 returnează o matrice în care:

- prima coloana conţine punctele la care este evaluată;

Page 5: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

- coloanele rămase conţin valorile corespondente ale solutiei şi primele sale n-1

derivate.

Spre deosebire de alte metode , care integrează în paşi de mărime egală pentru a

ajunge la o soluţie , ode 23 examinează cât de repede o soluţie se schimbă şi adaptează

mărimea paşilor săi corespunzător. Ode 23 va folosi paşi de mărime neuniformă intern

când rezolvă ecuaţia diferenţială, dar va returna soluţia în puncte distanţate egale.

Sistemul de ecuatii diferentiale este cuprins in functia ecdifRK.m care

furnizeaza vectorul de necunoscute functiei ode23.

function yp=ecdifRK(t,y)

Dr=0.001;

jr=0.0015;

Mrr=0.0025;

I=8.9;

R=0.3;

Ua=I*R;

Ub=Ua;

pz=25;

taus=pi/2;

L0=2.2*10^-3;

Lp=0.05*10^-3;

Lab=Lp*sin(2*pz*y(3));

Lba=Lab;

L=[L0;L0]+Lp*[cos(2*pz*y(4));cos(2*pz*y(4)-2*pz*taus)];

Laa=L(1,1);

Lbb=L(2,1);

Laaprim=-2*pz*Lp*sin(2*pz*y(4));

Labprim=2*pz*Lp*cos(2*pz*y(4));

Lbaprim=Labprim;

Lbbprim=-2*Lp*pz*sin(2*pz*y(4)-2*pz*taus);

Page 6: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

L=[Laa Lab;Lba Lbb];

U=[Ua-R*y(1);Ub-R*y(2)];

Lprim=[Laaprim Labprim;Lbaprim Lbbprim]';

I=[y(1);y(2)];

yp(4)=y(3);

x=(L^-1)*U-(L^-1)*Lprim*I*yp(4);

yp(1)=x(1);

yp(2)=x(2);

yp(3)=0.5*(y(1)^2*Laaprim+y(2)^2*Lbbprim)/jr +y(1)*y(2)*Labprim/jr-Dr/jr*yp(4)-

Mrr/jr;

yp=[yp(1) yp(2) yp(3) yp(4)]';

Vectorul necunoscutelor furnizate de functia ecdiRK.m este preluat de functia

ode23.m care este echivalentul in Matlab al algoritmului Runge-Kutta. Functia ode23.m

va furniza rezultatele sub forma numerica.

Functia solutii.m va apela ode23.m si va interpreta in mod grafic rezultatele

obtinute.

function solutii

[t,y]=ode23(@ecdifRK,[0 2],[0,0,0,0]);

subplot(2,2,1);plot(t,y(:,1));

grid;

ylabel('Ia[A]');

xlabel('timp[s]');

subplot(2,2,2);plot(t,y(:,2));

grid;

ylabel('Ib[A]');

xlabel('timp[s]');

subplot(2,2,3);plot(t,y(:,3));

grid;

ylabel('viteza unghiulara (omega)[rad/s]');

Page 7: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

xlabel('timp[s]');

subplot(2,2,4);plot(t,y(:,4));

grid;

ylabel(' unghiul motor (teta)[rad]');

xlabel('timp[s]')

Functia solutii.m va furniza patru grafice care surprind variatia necunoscutelor in

functie de timp respectiv:

-         Ia = f(t) variatia in timp a curentului pe faza alfa

-         Ib = f(t) variatia in timp a curentului pe faza beta

-         e= f(t) variatia intimp a acceleratiei unghiulare

-         v= f(t) variatia in timp a vitezei unghiulare

Solutiile furnizate de functia solutii.m pentru datele motorului sunt prezentate in

figura de mai jos:

Page 8: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

In figura de mai sus este prezentat graficul ce descrie modul de variaţie în regim

tranzitoriu de pornire a celor patru marimi ce caracterizează funcţionarea unui motor pas

cu pas cu doua faze, şi anume:

-      curentul de excitatie pe faza intai (alfa)

-      curentul de excitatie pe faza a doua (beta)

-      viteza unghiulara a arborelui de iesire (omega)

-      acceleratia unghiulara a arborelui de iesire (epsilon)

Datorita frecarilor de natura statica cat si a fenomenelor de saturatie ale campului

magnetic exista patru zone de functionare in regim tranzitoriu. Se pot calcula timpii

caracteristici sistemului de actionare in regim tranzitoriu.

Page 9: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

Timpii caracteristici :

-     timpul de prima stabilire reprezinta intervalul masurat din momentul

inceperii pornirii pana cand marimea de iesire este egela pentru prima data cu marimea

stationara (1.8 grade) te1;

-     timpul de crestere reprezinta timpul necesar pentru ca motorul sa execute o

deplasare unghiulara egala cu 90% din valoarea stationara a deplasarii tc;

-     timpul de incadrare initial reprezinta valoarea masurata de la inceputul

procesului tranzitoriu pana in momentul in care parametrul se incadreaza pentru prima

data in domeniul de toleranta admis tii;

-     timpul de incadrare final reprezinta valoarea masurata de la inceputul procesului tranzitoriu pana in momentul in

care parametrul se incadreaza definitiv in domeniul de toleranta admis tif.

Motorul te [S] tc [S] tii [S] tif [S]HY200-4247 0.0113 0.01503 0.9 0.9

Analizand graficele de variatie ale celor patru marimi caracteristice ale sistemului

de actionare in regim dinamic se poate constata ca:

- curentul ia se stabilizează la valoarea de 8 [A] din catalogul motorului ales;

- curentul ib se stabilizează la valoarea de 8 [A] din catalogul motorului ales ;

- unghiul motor q se stabilizează la valoarea de 1.8° din catalogul motorului ales;

- viteza unghiulară w se stabilizează la zero.

3.2 Simularea functionarii sistemului de actionare pentru comanda in tensiune: treapta, rampa, sinusoidala

Pentru studiul functionarii in regim tranzitoriu, pentru aprecierea stabilitatii si

fiabilitatii sistemului de actionare se simuleaza functionarea acestuia pentru diferite tipuri

de semnal(tensiune) , mai precis treapta, rampa si sinusoidal. Simularea functionarii

sistemului se face in mediul Matlab pe modulul Simulink care are ca principal domeniu

de lucru studiul diferitelor sisteme in regim dinamic.

Simularea pleaca de la realizarea blocurilor de simulare. Datorita volumului mare

de termeni al ecuatiei pentru realizarea schemei de simulare se vor forma subsisteme care

apoi se vor conecta in scopul obtinerii sistemului final. Fundamentul matematic pe care

Page 10: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

se bazeaza simularea este acelasi ca si in cazul studiului in regim tranzitoriu. Practic

trebuie reconstituite ecuatiile diferentiale care definesc caracteristicile dinamice ale

sistemului de actionare.

Pentru liniarizarea calculului ecuatia diferentiala ce furnizeaza variatia curentilor

de faza se descompune in doua ecuatii prin efectuarea operatiilor intre matricile

componente. Astfel ecuatia:

Functionarea sistemului de actionare va fi simulata pentru trei tipuri de semnal in tensiune: treapta, rampa si sinusoidal.

3.2.1 Schema de simulare pentru semnal treapta:

Page 11: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

In urma simularii se obtin uramtoarele grafice:

- variatia in timp a curentului pe faza alfa;

- variatia in timp a curentului pe faza beta;

Page 12: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

- variatia in timp a vitezei unghiulare;

- variatia in timp a unghiului de comanda.

Page 13: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

3.2.2 Schema de simulare pentru un semnal rampa:

In urma simularii se obtin urmatoarele grafice:

Page 14: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

- variatia in timp a curentului pe faza alfa;

- variatia in timp a curentului pe faza beta;

- variatia in timp a vitezei unghiulare;

Page 15: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

- variatia in timp a unghiului de comanda.

3.2.3 Schema de simulare pentru un semnal sinusoidal:

Page 16: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

In urma simularii se obtin urmatoarele grafice:

- variatia in timp a curentului pe faza alfa;

- variatia in timp a curentului pe faza beta;

Page 17: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

- variatia in timp a vitezei unghiulare;

- variatia in timp a unghiului de comanda.

Page 18: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

Din graficele obtinute se pot trage aceleasi concluzii ca si in cazul studiului pe

modelul matematic:

- curentul ia se stabilizează la valoarea de 8 [A] din catalogul motorului ales;

- curentul ib se stabilizează la valoarea de 8 [A] din catalogul motorului ales ;

- unghiul motor q se stabilizează la valoarea de 1.8° din catalogul motorului ales;

Se poate observa chiar o stabilizare mai rapida decat cea obtinuta prin metoda de

aproximare Runge-Kutta.

Din graficele de simulare rezulta ca motorul ales se integreaza armonios in

sistemul de actionare conferind acestuia o functionare relativ lina. Se observa ca nu exista

nici abateri fata de valorile din catalog ceea ce inseamna ca motorul are un randament

foarte bun.

3.3 Studiul stabilitatii sistemului de actionare

Page 19: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

Unul dintre cei mai importanti parametri, atunci cand vine vorba despre un sistem

de reglare automata, este stabilitatea acestuia. Stabilitatea presupune un echilibru reciproc

al mărimilor fizice (forţe mecanice, cupluri, tensiuni, curenţi, presiuni, etc.) care apar in

timpul functionarii sistemului de reglare automata.

Stabilitatea statica porneste de la premisa ca intr-un sistem de actionare pot exista

o infinitate de astfel de regimuri acţionate, corespunzător diferitelor valori ale perturbaţiei

(sau ale mărimii de intrare), fiecare dintre ele reprezentând o stare de echilibru static.

Stabilitatea dinamică a sistemelor automate, reprezintă stabilitatea regimului

tranzitoriu al acestora. Pentru a vedea dacă un sistem de reglare automată este stabil

trebuie analizat răspunsul y(t) (deci variaţia în timp a parametrului reglat) pentru o

perturbaţie exterioară (sau o variaţie a mărimilor de intrare) limitată ca valoare.

Un sistem automat este stabil dacă, după ce sub acţiunea unei perturbaţii

exterioare (sau a unei vibraţii la intrare ) îşi părăseşte starea de echilibru stabil, el tinde să

revină în regimul stationar o dată ce perturbaţia dispare. Sau, altfel spus: într-un sistem

stabil, o perturbaţie momentană şi limitată generează un răspuns amortizat.

Pentru un sistem instabil, răspunsul y(t) fie că tinde la infinit îndepărtându-se

continuu de valoarea yst, fie că execută oscilaţii permanente în jurul valorii staţionare a

răspunsului, conducând din punct de vedere matematic la depăşirea domeniului de

valabilitate a ecuaţiilor liniare, şi fizic, în unele situaţii, chiar la distrugerea obiectului

reglării.

Diagrame Bode. Rezerva de stabilitate. Marginea de amplitudine

Folosirea caracteristicilor de frecventă, amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie

(diagramele Bode) pentru evaluarea unui sistem de reglare automata permite, totodată

determinarea rezervei de stabilitate a acestuia.

Rezerva de stabilitate a unui sistem de reglare automata se evaluează prin două

mărimi caracteristice şi anume: rezerva de stabilitate în modul (numită şi margine de

amplitudine) şi rezerva de stabilitate în fază (numită şi margine de fază).

Se numeşte margine de fază unghiul g definit de relaţia g=180 grade +j(w0)

unde w0 reprezintă pulsaţia critică (sau de tăiere) la care amplitudinea( în decibeli) este

nulă.

Page 20: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

Pe locul de transfer pulsaţia w0 este determinată în punctul unde hodograful

intersectează cercul de rază unitară. Pe diagrama logaritmică, amplitudinea

corespunzătoare pulsaţiei w0 se determină la intersecţia cu axa w (de aici şi numele de

pulsaţie de tăiere). Marginea de fază se măsoară fie prin unghiul corespunzător punctului

de intersecţie între locul de transfer şi cercul de rază 1, în sens trigonometric, fie pe

diagrama fază-pulsaţie, faţă de dreapta j=-180 grade, la pulsaţiile critice(w01, respectiv

w02).

Sistemul automat este stabil dacă marginea de fază este pozitivă(g > 0), iar

rezerva de stabilitate se apreciază în raport cu valoarea lui g. Valorile uzuale ale lui g

sunt cuprinse între 20 şi 30 grade. Pentru SRA cu răspuns bine amortizat se recomandă

g=(30 grade …60grade).

Se numeşte margine de amplitudine (sau amplificare, sau câştig) inversa valorii

atenuării la pulsaţia wpi pentru care j=+180 grade. Astfel marginea de amplitudine mk se

exprimă în decibeli. Marginea de amplitudine este pozitivă dacă mk>1, ceea ce înseamnă

|H(wpi)|<1 (punctul M1 să fie la dreapta punctului –1,j0). Pe diagramele Bode, marginea

de amplitudine se măsoară la w=wpi şi este pozitivă dedesubtul axei w. Sistemul este

stabil dacă marginea de amplitudine este pozitivă. Valori uzuale pentru mk în cazul unui

sistem de reglare automata cu amortizare bună sunt mk =10…20dB.

Criteriul Bode reprezintă transpunerea la scară logaritmică a criteriului Nyquist

simplificat. El se exprimă astfel:

Condiţia necesară şi suficientă ca un sistem de reglare automată să fie stabil este

ca reprezentarea fază-pulsaţie să intersecteze axa w într-un punct situat după intersecţia

cu aceeaşi axă a reprezentării amplitudine-pulsaţie (deci wpi> w0).

Ne propunem în cele ce urmează să utilizăm criteriul anterior menţionat, pentru a

determina stabilitatea sistemului de acţionare ales la capitolul anterior, pentru aceasta

vom utiliza mediul de simulare SIMULINK şi anume schema de mai jos, formată din

următoarele blocuri:

-    Generator semnal de tip de funcţie treaptă;

- Funcţia de transfer a motorului dată de relaţia:

Page 21: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

- Analizor de spectru.

Elementele care intervin în funcţia de transfer sunt:

- Dr = coeficientul de frecare vâscoasă

- tm = Jm/Dr

- Ra = rezistenţa pe o fază

- Laa = inductivitatea proprie Laa = L0+Lp×cos(50×q) q =1.8×cos(p/2);

Sistemul este stabil daca marginea de faza si marginea de amplitudine sunt

pozitive. Rezerva de stabilitate se apreciaza in functie de valoarea lui g (marginea de

faza), care are urmatoarea formula:

g=180º +j(w0)

Rezerva de stabilitate se apreciaza in functie de valoarea lui g. marginea de

amplitudine:

Pentru a putea fi simulata functia de transfer se calculeaza parametrii acesteia:

Schema de simulare a functiei de transfer este:

Page 22: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

In urma simularii se obtine diagrama Bode:

Page 23: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

Din analiza spectrului se observa o variatie a fazei care se incadreaza in criteriul

de stabilitate. In cazul amplitudiinii tendinta este buna dar curba nu se integreaza in

norma de stabilitate deoarece marginea de amplitudine tinde la 0 dar nu este pozitiva.

Pentru a putea afla cauzele instabilitatii sistemului se calculeaza polii functiei de

transfer. Calculul este facut in fereastra de comanda Matlab:

>> roots([1.22643e-3 0.189982 -1.24])

ans =

-161.1794

6.2729

Conform teoriei stabilitatii sistemului o cauza a instabilitatii este existenta unui

pol pozitiv. Influenta polului pozitiv poate fi anulata prin utilizarea unui regulator PID

(proportional – integrativ – derivativ).

Page 24: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

Schema de studiu al stabilitatii devine:

Blocul functional PID din Simulink are urmatoarele particularitati:

Rezulta ca functia de transfer a unui regulator PID este:

Page 25: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

Aceasta functie trebuie particularizata astfel incat sa anuleze polul pozitiv care

provoaca instabilitatea sistemului. Parametrii regulatorului se determina pornind de la

relatia in bucla deschisa a sistemului de reglare automata:

Functia de transfer a regulatorului poate fi pusa in cazul cel mai general sub

forma:

unde:

Td, Ti1, Ti2 - timpi caracteristici ai SA

p1, p2 – polii functiei de transfer a sistemului

Presupunem ca polul pozitiv este p2. Functia de transfer pe care regulatorul

trebuie sa o aiba este:

Page 26: III. Modelarea Motoarelor Pas Cu Pas

Acesti parametrii se introduc in caracteristicile regulatorului PID din schema de

simulare a functiei de transfer. Se va obtine o noua diagrama Bode: