II. I A · T R A I A N. INEGALITA. ŢI. I. Termeni pozitivi 2 22 2 12 12 0; 0.... 0 ; , 1, , , 2......
12
T R A I A N INEGALITAŢI I. Termeni pozitivi 2 2 2 2 1 2 1 2 0; 0. ... 0; , 1, , , 2 ... 0. egalitatea are loc egalitatea are loc n k n x x x x x x x k n n n x x x ≥ ∀∈ ⇔ = + + + ≥ ∀ ∈ = ∈ ≥ ⇔ = = = = II. Suma de 3 pătrate 2 2 2 ; , , . egalitatea are loc x y z xy xz yz xyz x y z + + ≥ + + ∀ ∈ ⇔ = = III. Termen adunat cu inversul * * 1 2, 1 2, , . egalitatea are loc egalitatea are loc x x x x x y xy y x x y + + + ≥ ∀∈ ⇔ = + ≥ ∀ ∈ ⇔ = IV. Produs de sume cu termeni inverşi ( ) ( ) ( ) 2 * 2 * 2 * 1 2 1 2 1 2 1 1 2, , . 1 1 1 3 , , , . 1 1 1 ... ... , , 1, , , 2 ... . egalitatea are loc egalitatea are loc egalitatea are loc n k n n x y xy x y x y x y z xyz x y z x y z x x x n x k n n n x x x x x x + + + + + ≥ ∀ ∈ ⇔ = + + + + ≥ ∀ ∈ ⇔ = = + + + + + + ≥ ∀ ∈ = ∈ ≥ ⇔ = = = V. Inegalitatea mediilor * max( , ) min( , ), , . egalitatea are loc p a g h xy m m m m xy xy x y + ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ∀ ∈ ⇔ = , min( , ) , x x y xy y x y ≤ = > , cel mai mic dintre numerele x şi y, 2 1 1 h m x y = + , media armonică a numerelor x şi y, g m xy = , media geometrică a numerelor x şi y, 2 a x y m + = , media aritmetică a numerelor x şi y, 2 2 2 p x y m + = , media pătratică a numerelor x şi y,
Transcript of II. I A · T R A I A N. INEGALITA. ŢI. I. Termeni pozitivi 2 22 2 12 12 0; 0.... 0 ; , 1, , , 2......
T R A
I A N
INEGALITAŢI
I. Termeni pozitivi
2
2 2 21 2
1 2
0 ;0.
... 0 ; , 1, , , 2... 0.
egalitatea are loc
egalitatea are locn k
n
x xx
x x x x k n n nx x x
≥ ∀ ∈⇔ =
+ + + ≥ ∀ ∈ = ∈ ≥⇔ = = = =
II. Suma de 3 pătrate 2 2 2 ; , ,
.egalitatea are locx y z xy xz yz x y z
x y z+ + ≥ + + ∀ ∈
⇔ = =
III. Termen adunat cu inversul *
*
1 2 ,
1
2 , ,
.
egalitatea are loc
egalitatea are loc
x xx
xx y x yy x
x y
+
+
+ ≥ ∀ ∈
⇔ =
+ ≥ ∀ ∈
⇔ =
IV. Produs de sume cu termeni inverşi
( )
( )
( )
2 *
2 *
2 *1 2
1 2
1 2
1 1 2 , ,
.
1 1 1 3 , , ,
.
1 1 1... ... , , 1, , , 2
... .
egalitatea are loc
egalitatea are loc
egalitatea are loc
n kn
n
x y x yx y
x y
x y z x y zx y z
x y z
x x x n x k n n nx x x
x x x
+
+
+
+ + ≥ ∀ ∈
⇔ =
+ + + + ≥ ∀ ∈
⇔ = =
+ + + + + + ≥ ∀ ∈ = ∈ ≥
⇔ = = =
V. Inegalitatea mediilor *max( , ) min( , ) , ,
.egalitatea are locp a g hx y m m m m x y x y
x y+≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ∀ ∈
⇔ =
,min( , )
,x x y
x yy x y
≤= >
, cel mai mic dintre numerele x şi y,
21 1hm
x y
=+
, media armonică a numerelor x şi y,
gm xy= , media geometrică a numerelor x şi y,
2ax ym +
= , media aritmetică a numerelor x şi y, 2 2
2px ym +
= , media pătratică a numerelor x şi y,
T R A
I A N
,max( , )
,y x y
x yx x y
≤= >
, cel mai mare dintre numerele x şi y.
VI. Inegalitatea Titu Andreescu
( )
( )
( )
22 2*
22 2 2*
22 2 222 21 2 *1 2
1 2 3 1 2
, , , ,
.
, , , , , ,
.
...... , , , 1, , 2
...
egalitatea are loc
egalitatea are loc
ega
nnk k
n
a ba b a b x yx y x y
a bx y
a b ca b c a b c x y zx y z x y z
a b cx y z
a a aaa a a x k n nx x x x x x
+
+
+
++ ≥ ∀ ∈ ∀ ∈
+
⇔ =
+ ++ + ≥ ∀ ∈ ∀ ∈
+ +
⇔ = =
+ + ++ + + ≥ ∀ ∈ ∀ ∈ = ≥
+ + +
1 2
1 2
...litatea are loc n
n
aa ax x x
⇔ = = =
VII. Inegalitatea Cauchy-Buniakovschi-Schwarz (CBS) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
22 2 2 2
22 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2
, , , ,
.
, , , , , ,
.
... ... ... , , , 1, , 2
egalitatea are loc
egalitatea are loc
egalitatea are
n n n n k k
a b x y ax by a b x y
a bx y
a b c x y z ax by cz a b c x y z
a b cx y z
a a a x x x a x a x a x a x k n n
+ + ≥ + ∀ ∈
⇔ =
+ + + + ≥ + + ∀ ∈
⇔ = =
+ + + + + + ≥ + + + ∀ ∈ = ≥
1 2
1 2
... .loc n
n
aa ax x x
⇔ = = =
Observaţie: se obţin inegalităţi folositoare pentru cazurile x=y=1,… VIII. Inegalitate CBS cu radicali
1 2 1 2 1 1 2 2
1 2
1 2
, , , ,
.
, , , , , ,
.
... ... ... , , , 1, , 2
egalitatea are loc
egalitatea are loc
egalitatea are loc
n n n n k k
a b x y ax by a b x ya bx y
a b c x y z ax by cz a b c x y za b cx y z
a a a x x x a x a x a x a x k n na ax x
+
+
+
+ ⋅ + ≥ + ∀ ∈
⇔ =
+ + ⋅ + + ≥ + + ∀ ∈
⇔ = =
+ + + ⋅ + + + ≥ + + + ∀ ∈ = ≥
⇔ =
... .n
n
ax
= =
T R A
I A N
1. Arătaţi că : a) 29 25 30 ;a a a+ ≥ ∀ ∈ b) 216 9 24 ;a a a+ ≥ ∀ ∈ c) 2100 121 220 ;a a a+ ≥ ∀ ∈
2. Arătaţi că : a) 2 216 25 40 ; ,a b ab a b+ ≥ ∀ ∈ b) 2 264 49 112 ; ,a b ab a b+ ≥ ∀ ∈ c) 2 216 625 200 ; ,a b ab a b+ ≥ ∀ ∈
3. Arătaţi că : a) 7 2 7 ;a a a ++ ≥ ∀ ∈ b) 3 5 60 ;a a a ++ ≥ ∀ ∈ c) 10 1 40 ;a a a ++ ≥ ∀ ∈
4. Arătaţi că :
a) 5 5 ;2
a a a ++
≥ ∀ ∈
b) 2 2 ; ,2
a b ab a b ++
≥ ∀ ∈
c) 4 9 6 ; ,2
a b ab a b ++
≥ ∀ ∈
5. Arătaţi că : a) 5 7 2 35 ; ,a b ab a b ++ ≥ ∀ ∈ b) 2 5 2 40 ; ,a b ab a b ++ ≥ ∀ ∈ c) 11 10 440 ; ,a b ab a b ++ ≥ ∀ ∈
6. Arătaţi că : a) 2 28 9 228 ; ,a b ab a b ++ ≥ ∀ ∈ b) 2 210 11 440 ; ,a b ab a b ++ ≥ ∀ ∈ c) 2 212 13 2 156 ; ,a b ab a b ++ ≥ ∀ ∈
7. Arătaţi că :
a) ; ,2 2
a b a b a b ++ +
≥ ∀ ∈
b) 2 2 ; ,2 2
a b a b a b ++ +
≥ ∀ ∈
c) 2 3 2 3 ; ,2 2
a b a b a b ++ +
≥ ∀ ∈
8. Arătaţi că :
T R A
I A N
a) 2 23 5 3 5 ; ,
2 2a b a b a b +
+ +≥ ∀ ∈
b) 2 26 7 6 7 ; ,
2 2a b a b a b +
+ +≥ ∀ ∈
c) 2 24 9 2 3 ; ,
2 2a b a b a b +
+ +≥ ∀ ∈
9. Arătaţi că :
a) *1 2 ; ,a ba bab +≥ ∀ ∈+
b) *1 2 ; ,33
a ba bab +≥ ∀ ∈+
c) *1 2 ; ,25 410
a ba bab +≥ ∀ ∈+
10. Arătaţi că :
a) *13 2 ;3
a aa ++ ≥ ∀ ∈
b) 2 *2
14 2 ;4
a aa ++ ≥ ∀ ∈
c) *17 2 ;7
a aa ++ ≥ ∀ ∈
11. Arătaţi că :
a) *3 2 ;3a a
a ++ ≥ ∀ ∈
b) *4 5 2 ;5 4a a
a ++ ≥ ∀ ∈
c) *7 2 ;7a a
a ++ ≥ ∀ ∈
12. Arătaţi că :
a) *12 2 ; ,2
ab a bab ++ ≥ ∀ ∈
b) *12 2 ; ,2
ab a bab ++ ≥ ∀ ∈
c) 2 *2
17 2 ; ,7
ab a bab ++ ≥ ∀ ∈
13. Arătaţi că :
a) *2 3 2 ; ,3 2a b a bb a ++ ≥ ∀ ∈
b) *3 2010 2 ; ,2010 3
a b a bb a ++ ≥ ∀ ∈
T R A
I A N
c) *2 3 2 ; ,3 2
a b a bb a ++ ≥ ∀ ∈
14. Arătaţi că :
a) *2 ; ,a b a bb a ++ ≥ ∀ ∈
b) *5 3 2 ; ,3 5a b a bb a ++ ≥ ∀ ∈
c) *2010 2011 2 ; ,2011 2010
a b a bb a ++ ≥ ∀ ∈
15. Arătaţi că : a) 2 23 4 0 ; ,a ab b a b− + ≥ ∀ ∈ b) 2 25 7 0 ; ,a ab b a b− + ≥ ∀ ∈ c) 2 22 0 ; ,a ab b a b− + ≥ ∀ ∈
16. Arătaţi că : a) 29 6 2 0 ;a a a+ + > ∀ ∈ b) 24 4 5 0 ;a a a− + > ∀ ∈ c) 2100 100 27 0 ;a a a− + > ∀ ∈
17. Arătaţi că : a) 2 1 0 ;a a a− + > ∀ ∈ b) 2 3 5 0 ;a a a− + > ∀ ∈ c) 2 5 13 0 ;a a a− + > ∀ ∈
18. Arătaţi că :
a) ( )2 2 2 2 249 16 7 4 28 7 4 ; , , ,3
a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d+ + + ≥ + + + + + ∀ ∈
b) ( )2 2 2 2 29 25 3 5 3 5 15 ; , , ,3
a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d+ + + ≥ + + + + + ∀ ∈
c) ( )2 2 2 2 29 25 3 5 3 15 5 ; , , ,3
a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d+ + + ≥ + + + + + ∀ ∈
19. Arătaţi că : a) 2 2 24 2 2 ; , ,a b c ab ac bc a b c+ + ≥ + + ∀ ∈ b) 2 2 24 9 2 3 6 ; , ,a b c ab ac bc a b c+ + ≥ + + ∀ ∈ c) 2 2 225 9 15 5 3 ; , ,a b c ab ac bc a b c+ + ≥ + + ∀ ∈
20. Arătaţi că : a) ( ) ( )2 3 ; , ,a b c ab ac bc a b c+ + ≥ + + ∀ ∈
b) ( ) ( )22 3 2 2 ; , ,a b c ab ac bc a b c+ + ≥ + + ∀ ∈
c) ( ) ( )22 3 3 2 3 6 ; , ,a b c ab ac bc a b c+ + ≥ + + ∀ ∈ 21. Arătaţi că :
T R A
I A N
a) ; , ,a b c ab ac bc a b c ++ + ≥ + + ∀ ∈
b) *; , ,a b c b c a a b cb c a a b c ++ + ≥ + + ∀ ∈
c) *1 1 1 1 1 1 ; , ,a b ca b c ab ac bc ++ + ≥ + + ∀ ∈
22. Arătaţi că :
a) *2 2 2
1 1 1 1 1 1 ; , ,a b ca b c ab ac bc ++ + ≥ + + ∀ ∈
b) *; , ,ab ac bc a b c a b cc b a ++ + ≥ + + ∀ ∈
c) 2 2 2
*2 2 2 ; , ,a b c a b c a b c
b c a c a b ++ + ≥ + + ∀ ∈
23. Arătaţi că :
a) *1 1 4 ; ,a ba b a b ++ ≥ ∀ ∈
+
b) *1 1 1 1 1 12 ; , ,a b ca b c a b a c b c +
+ + ≥ + + ∀ ∈ + + +
c) ( )2 3 3 4 4 5 2 5 26 12 20+ + +
+ + > −
24. Arătaţi că :
a) ; ,2 2
a b a b a b ++ +
≥ ∀ ∈
b) ; , ,2 2 2
a b a c b c a b c a b c ++ + +
+ + ≥ + + ∀ ∈
c) 1 2 ... 7 14+ + + < 25. Arătaţi că :
a) *1 2 ; ,a ba bab +≥ ∀ ∈+
b) *1 1 1 1 1 12 ; , ,a b ca b a c b cab ac bc +
+ + ≥ + + ∀ ∈ + + +
c) 1 1 1 1 23 5 7 11+ + + >
26. Arătaţi că :
a) *2
1 1 1 ; , ,4
a a b ca bc b c +
≤ + ∀ ∈ +
b) *2 2 2
1 1 1 2 ; , ,a b c a b ca b c a bc b ac c ab +
+ + ≥ + + ∀ ∈ + + +
T R A
I A N
c) ( )( )2 15 3 5
304
+ +>
27. Arătaţi că :
a) ( ) 2 *1 1 2 ; ,a b a ba b +
+ + ≥ ∀ ∈
b) ( ) 2 *1 1 1 3 ; , ,a b c a b ca b c +
+ + + + ≥ ∀ ∈
c) ( ) 2 *1 1 1 1 4 ; , , ,a b c d a b c da b c d +
+ + + + + + ≥ ∀ ∈
28. Arătaţi că :
a) *1 1 4 ; , ,2
a b ca b b c a b c ++ ≥ ∀ ∈+ + + +
b) *2 2 2 9 ; , ,a b ca b b c c a a b c ++ + ≥ ∀ ∈+ + + + +
c) *3 3 3 3 16 ; , , ,a b c da b c a b d a c d b c d a b c d ++ + + ≥ ∀ ∈+ + + + + + + + + + +
29. Arătaţi că :
a) ( )( )2 2 *1 1 8 ; ,a b a b ab a ba b +
+ + + ≥ ∀ ∈
b) ( )( )( )( )( )( )2 2 2 2 2 2 3 3 3 *64 ; , ,a b a c b c a b a c b c a b c a b c ++ + + + + + ≥ ∀ ∈
c) ( )( )( ) *1 1 1 1 1 1 64 ; , ,a b a c b c a b ca b a c b c +
+ + + + + + ≥ ∀ ∈
30. Arătaţi că :
a) ( ) ( )22 22 ; ,a b a b a b+ ≥ + ∀ ∈
b) ( ) ( )22 2 23 ; , ,a b c a b c a b c+ + ≥ + + ∀ ∈
c) ( ) ( )22 2 2 24 ; , , ,a b c d a b c d a b c d+ + + ≥ + + + ∀ ∈ 31. Arătaţi că :
a) ( ) ( )22 25 2 ; ,a b a b a b+ ≥ + ∀ ∈
b) ( ) ( )22 2 214 2 3 ; , ,a b c a b c a b c+ + ≥ + + ∀ ∈
c) ( ) ( )22 2 2 239 2 3 5 ; , , ,a b c d a b c d a b c d+ + + ≥ + + + ∀ ∈ 32. Fie ( ), , , , 0,a b c d e∈ ∞ . Arătaţi că :
a) 2a b c+ ≥ dacă 2011 2011 2 2011a b c+ + + = + b) 3a b c d+ + ≥ dacă 2011 2011 2011 3 2011a b c d+ + + + + = + c) 4a b c d e+ + + ≥ dacă
2011 2011 2011 2011 4 2011a b c d e+ + + + + + + = +
T R A
I A N
33. Arătaţi că :
a) 3 3 2 2
*2 2 ; ,a b a b a b
a b a b ++ +
≥ ∀ ∈+ +
b) 3 3 3 2 2 2
*2 2 2 ; , ,a b c a b c a b c
a b c a b c ++ + + +
≥ ∀ ∈+ + + +
c) 3 3 3 3 2 2 2 2
*2 2 2 2 ; , , ,a b c d a b c d a b c d
a b c d a b c d ++ + + + + +
≥ ∀ ∈+ + + + + +
34. Arătaţi că :
a) 2 2
*; ,a b a b a bb a ++ ≥ + ∀ ∈
b) 2 2 2
*; , ,a b c a b c a b cb c a ++ + ≥ + + ∀ ∈
c) 2 2 2 2
*; , , ,a b c d a b c d a b c db c d a ++ + + ≥ + + + ∀ ∈
35. Arătaţi că :
a) 2 2 2 2 2 2
*; , ,a b b c c a a b c a b ca b b c c a ++ + +
+ + ≥ + + ∀ ∈+ + +
b) 2 2 2 2 2 2 2 2
*; , , ,a b b c c d d a a b c d a b c da b b c c d d a ++ + + +
+ + + ≥ + + + ∀ ∈+ + + +
c) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
*; , , , ,a b b c c d d e e a a b c d e a b c d ea b b c c d d e e a ++ + + + +
+ + + + ≥ + + + + ∀ ∈+ + + + +
36. Arătaţi că :
a) *2 2 6 ; , ,2
a b a c b c a b cc b a ++ + +
+ + ≥ ∀ ∈
b) *3 3 6 ; , ,3
a b a c b c a b cc b a ++ + +
+ + ≥ ∀ ∈
c) *5 3 5 2 3 2 6 ; , ,2 3 5
a b a c b c a b cc b a ++ + +
+ + ≥ ∀ ∈
37. Arătaţi că :
a) *2 3 ; , ,2 2 2
a b c a b cb c a c a b ++ + ≥ ∀ ∈+ + +
b) *3 3 ; , ,3 3 2
a b c a b cb c a c a b ++ + ≥ ∀ ∈+ + +
c) *2 3 5 3 ; , ,3 5 2 5 2 3 2
a b c a b cb c a c a b ++ + ≥ ∀ ∈+ + +
38. Arătaţi că :
a) *3 ; , ,2 2 2 4
a b c a b ca b c a b c a b c ++ + ≤ ∀ ∈+ + + + + +
T R A
I A N
b) *3 ; , ,3 3 3 5
a b c a b ca b c a b c a b c ++ + ≤ ∀ ∈+ + + + + +
c) *1 ; , ,4 4 4 2
a b c a b ca b c a b c a b c ++ + ≤ ∀ ∈+ + + + + +
39. Arătaţi că :
a) *3 ; , ,a b c a b cb c a a b c a b c ++ + ≥ ∀ ∈+ − − + + −
b) *3 ; , ,2 2 2 2 2 2 5a b c a b c
a b c a b c a b c ++ + ≥ ∀ ∈+ + + + + +
c) *3 ; , ,2 2 2 4a b c a b c
a b c a b c a b c ++ + ≥ ∀ ∈+ + + + + +
40. Arătaţi că : a) ( )( )1 4 ; ,a b ab ab a b ++ + ≥ ∀ ∈ b) ( )( )4 8 ; ,a b ab ab a b ++ + ≥ ∀ ∈ c) ( )( )( )2 2 2 21 8 ; ,a b ab a b a b a b ++ + + ≥ ∀ ∈
41. Arătaţi că : a) ( )( )( ) 8 ; , ,a b b c a c abc a b c ++ + + ≥ ∀ ∈
b) ( )( )( ) 8 ; , ,a c b b a c a c b abc a b c ++ + + ≥ ∀ ∈
c) ( )( )( )2 2 2 22 ; , ,a b b c a c abc a b c ++ + + ≥ ∀ ∈ 42. Arătaţi că :
a) ( )( ) 21 1 2 ; ,a b ab a b ++ + ≥ ∀ ∈ b) ( )( )( ) 31 1 1 2 ; , ,a b c abc a b c ++ + + ≥ ∀ ∈ c) ( )( )( )( ) 41 1 1 1 2 ; , , ,a b c d abcd a b c d ++ + + + ≥ ∀ ∈
43. Arătaţi că :
a) 2 , , 0a b c a b cb c a c a b
+ + ≥ ∀ >+ + +
b) 1 2 3 4
2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
2 , 0kx x x x x
x x x x x x x x x x x x+ + + ≥ ∀ >
+ + + + + + + +
c) 1 2
2 3 1 3 1 2 1
... 2 , 0... ... ...
nk
n n n
x x x xx x x x x x x x x −
+ + + ≥ ∀ >+ + + + + + + + +
44. Arătaţi că : a) 3 3 3 ; , ,a b c ab ab ac ac bc bc a b c ++ + ≥ + + ∀ ∈ b) ( )4 4 4 ; , ,a b c abc a b c a b c ++ + ≥ + + ∀ ∈
c) ( )44 4 4 4 3 ; , , , 1a b c d abcd a b c d+ + + < + ∀ > 45. Arătaţi că :
a) 2 ; , ,a b a b a b ++ ≤ ⋅ + ∀ ∈
T R A
I A N
b) 3 ; , ,a b c a b c a b ++ + ≤ ⋅ + + ∀ ∈ c) 2008 2009 2010 2011 2012 5 2010+ + + + ≤ ⋅
46. Arătaţi că : a) 2 1 2 3 2 2 1 ;a a a a ++ + + ≤ ⋅ + ∀ ∈ b) 3 1 3 3 3 5 3 3 1 ;a a a a a ++ + + + + ≤ ⋅ + ∀ ∈ c) ( )8 1 8 1 8 1 8 1 4 2 1 , , ,a b c d a b c d a b c d ++ + + + + + + ≤ ⋅ + + + + ∀ ∈
47. Arătaţi că :
a) 8b c aa b ca b c
+ + + ≥
dacă *, ,a b c +∈ şi 1abc =
b) 2 3 6 48b c aa b ca b c
+ + + ≥
dacă *, ,a b c +∈ şi 1abc =
c) 2011 3 12 482011
b c aa b ca b c
+ + + ≥
dacă *, ,a b c +∈ şi 1abc =
48. Arătaţi că : a) ( )2 2 2a b a b a b+ + + ≥ + dacă ,a b +∈ şi 1ab =
b) ( )2 2 2 2a b c ab ac bc a b c+ + + + + ≥ + + dacă , ,a b c +∈ şi 1abc =
c) 2 2 2 2 10a b c d ab ac ad bc bd cd+ + + + + + + + + ≥ dacă , , ,a b c d +∈ şi 1abcd = 49. Arătaţi că :
a) 2 2
4 42 2 2a ba b
a b+
+ + ≥ dacă *,a b∈ şi 1a b+ =
b) 4 4
6 64 4 2a ba b
a b+
+ + ≥ dacă *,a b∈ şi 1a b+ =
c) 2010 2010
2012 20122010 2010 2a ba b
a b+
+ + ≥ dacă *,a b∈ şi 1a b+ =
50. Arătaţi că : a) ( ) ( )22 22 ; ,a b a b a b+ ≥ + ∀ ∈
b) 2
a b c+≥ dacă , , 0a b c > şi 2a b c+ =
c) 2
a b d+≥ dacă , , , 0a b c d > şi 2a c b c c d+ + + = +
51. Arătaţi că :
a) *2 2
1 1 ; ,a b a bb a a b ++ ≥ + ∀ ∈
b) ; , 0a b a b a bb a a b
+ ≥ + ∀ >
T R A
I A N
c) 2 2 2
1 1 12 ; , , 0a b a c b c a b cc b c a b c+ + + + + ≥ + + ∀ >
52. Arătaţi că :
a) *2 ; ,abab a ba b +≥ ∀ ∈+
b) 2 8 ; , , 0a b c abc a b cbc ac ab a b
+ + ≥ ∀ >+
c) 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 ; , , 04 2 2 2
a b c a b ca b c a b c a b c a b c
+ + ≥ + + ∀ > + + + + + +
53. Arătaţi că : a) 3 3 3 3 ; , ,a b c abc a b c ++ + ≥ ∀ ∈ b) 3 3 3 3a b c abc+ + ≥ dacă 0a b c+ + ≥ c) 0a b c+ + ≥ dacă 3 3 3 3a b c abc+ + ≥
54. (2004) Arătaţi că : 4a b c abc+ + − ≤ dacă 2 2 2 3a b c+ + =
55. (2005) Arătaţi că :
a) *2 2
1 1 ; ,a b a bb a a b ++ ≥ + ∀ ∈
b) *2
12 ; , ,x y x y zz x ++
≥ ∀ ∈∑ ∑
56. (2006) Arătaţi că : *
2
1 1 1 ; , ,2
a b ca bc ab +≤ ∀ ∈
+∑ ∑
57. (2009) Arătaţi că :
a) ( )( )
33 3
22 2 ; , 0 , 0a ba b a b x y
x y x y+
+ ≥ ∀ ≥ >+
b) 3
2
a ax
≥∑ ∑ dacă a b c x y z+ + = + + unde , , 0; , , 0a b c x y z≥ >
58. (2009) Dacă , ,a b c∈ astfel încât 2 2 2 1a b c+ + = , să se arate că sunt adevărate inegalitaţile:
a) 3a b c+ + ≤
b) ( )2 2 21 1 1 2a b c a b c− + − + − ≥ + +
T R A
I A N
![() n ()( )( ) - mec.upt.ro · Se consideră funcţiile trigonometrice y =sin(x) şi u =sin(x +3π4) pentru care se doreşte reprezentarea în intervalul x ∈ [0 ,π ] prin utilizarea](https://static.fdocumente.com/doc/165x107/5e0db359e5f131055d435531/-n-mecuptro-se-considerf-funciile-trigonometrice-y-sinx-i.jpg)