I.1 Evenimente s i operatii cu evenimentematiciuc/didactic/Probability...I.1 Evenimente s, i...

Capitolul I. Spat,ii de probabilitate Lect. dr. Lucian Maticiuc

Facultatea de MatematicaTeoria Probabilitat,ilor, Semestrul IVLector dr. Lucian MATICIUC

Cursurile 1 – 3

Capitolul I. Spat,ii de probabilitate

I.1 Evenimente s, i operat,ii cu evenimente

Printr-o experient, a aleatoare E înt,elegem acea experient, a în care intervine întâmplarea. Rezultateleposibile ale unei experient,e aleatoareE se numesc probe sau cazuri posibile ale experient,ei s, i le vom notacu ω.

Numim eveniment aleator (atas, at unei experient,e) sau, mai simplu, eveniment orice situat,ie care sepoate realiza prin una sau mai multe probe s, i despre care putem spune cu certitudine ca s-a produs saunu.

Evenimentul elementar este un eveniment care se realizeaza printr-o singura proba a experient,ei.Evenimentul compus este acel eveniment care se realizeaza prin mai multe probe. Evenimentul sigur esteacel eveniment care se realizeaza cu certitudine la fiecare efectuare a experient,ei, adica prin oricare dintreprobe. Evenimentul imposibil este evenimentul care nu se realizeaza prin nici o proba a experient,ei.Evenimentul complementar (sau contrar) unui eveniment dat este evenimentul care se realizeaza atuncis, i numai atunci când nu se realizeaza evenimentul dat.

Definitia I.1.1 Vom nota cu Ω mult,imea tuturor rezultatelor posibile în cadrul unei experient,ei E. Un el-ement generic al lui Ω se va nota cu ω; astfel ω reprezinta un eveniment elementar asociat experient,ei E.

Un eveniment va fi o colect,ie de elemente din Ω, prin urmare, un eveniment este un element al mult,imii1

P (Ω) a part,ilor lui Ω .Mult,imea tuturor evenimentelor asociate experient,ei E se noteaza cu F, prin urmare F va fi o sub-

mult,ime a mult,imii part,ilor P (Ω) (dar F nu coincide neaparat cu întreaga mult,ime a part,ilor).

Mult,imea Ω se numes, te s, i evenimentul sigur, ∅ este evenimentul imposibil, iar evenimentul com-plementar (sau contrar) lui A se va nota cu A. Avem, evident,

Ω = ∅, ∅ = Ω, A = A.

Exemplul I.1.2 Fie E experient,a aruncarii simultane a doua zaruri. Probele experient,ei sunt perechile

(1, 1) , . . . , (1, 6) ,

(2, 1) , . . . , (2, 6) ,...

(6, 1) , . . . , (6, 6) .

Proba (i, j) reprezinta aparit,ia fet,ei cu numarul i de puncte de la primul zar s, i a fet,ei cu numarul j depuncte de la al doilea zar. Numarul tuturor probelor (al cazurilor posibile) este de 6 · 6 = 36.

Fie A evenimentul ca suma numarului de puncte de pe cele doua fet,e sa fie 5. Atunci A se realizeazaprin probele (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1). Acesta este un eveniment compus.

Fie B evenimentul ca suma numarului de puncte de pe cele doua fet,e sa fie 13. Acesta este un eveni-ment imposibil.

Fie C evenimentul care consta în aparit,ia probei (6, 6). Acesta este un eveniment elementar.

1 Mult,imea part,ilor P (Ω) este data de P (Ω)def== A : A ⊆ Ω .

1


Fie D evenimentul care consta în aparit,ia unei perechi (i, j), cu i, j = 1, 6. Acesta este un evenimentsigur.

Evenimentul complementar C este evenimentul ce consta în aparit,ia perechilor (i, j), cu i, j = 1, 6 s, ii+ j < 12.

Date doua evenimente A s, i B numim reuniunea lor (notata A ∪ B) evenimentul care se realizeazaatunci când se realizeaza cel put,in unul dintre evenimentele A s, i B.

Se numes, te intersect,ia evenimentelorA s, iB (notataA∩B) evenimentul care se realizeaza atunci cândse realizeaza simultan evenimentele A s, i B.

Vom numi diferent,a a doua evenimente (notata A \B) evenimentul dat de A \B def== A ∩ B.

Evenimentele A s, iB se numesc compatibile daca se pot realiza simultan, adica daca exista probe careduc simultan atât la realizarea lui A cât s, i a lui B. În caz contrar evenimentele se numesc incompatibilesau disjuncte (i.e. ele nu se pot realiza simultan). Deci evenimentele A s, i B se numesc incompatibile saudisjuncte daca A ∩B = ∅.

Proprietat,ile operat,iilor cu evenimente sunt, evident, proprietat,ile operat,iilor cu mult,imi. Amintimdoar legile lui De Morgan

Propozitia I.1.3 Pentru orice A,B ∈ F,

A ∪B = A ∩ B s, i A ∩B = A ∪ B.

Exemplul I.1.4 Fie evenimentele A,B,C. Sa se exprime urmatoarele evenimente utilizând evenimenteleA,B,C s, i operat,ii între ele:

(a) Doar A are loc: A ∩ B ∩ C;

(b) Nici un eveniment nu are loc: A ∩ B ∩ C;

(c) Exact un singur eveniment are loc:(A ∩ B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩ B ∩ C

);

(d) Doar doua evenimente au loc:(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩ B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

);

(e) Cel put,in doua evenimente au loc:[(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩ B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

)]∪ (A ∩B ∩ C) ;

(f) Cel mult un eveniment are loc:(A ∩ B ∩ C

)∪[(A ∩ B ∩ C

)∪(A ∩B ∩ C

)∪(A ∩ B ∩ C

)](g) Cel put,in un eveniment are loc: A ∪B ∪ C = A ∩ B ∩ C.

I.2 Spat,iu finit de probabilitate

Este natural ca primele probleme aplicative sa fie legate de experient,e care au un numar finit de cazuriposibile; de asemenea, este natural sa presupunem ca toate cazurile posibile au aceeas, i s, ansa de aparit,ie.

Fie Ω = ω1, ω2, . . . , ωnmult,imea tuturor evenimentelor elementare corespunzatoare unei experient,ealeatoare E.

Definitia I.2.1 Spunem ca perechea (Ω,F) este un spat,iu finit de evenimente (sau câmp finit de eveni-mente) daca F este o familie nevida de part,i ale lui Ω, i.e. F ⊆ P (Ω), s, i sunt satisfacute condit,iile:

(i) Ω ∈ F,

(ii) Daca A ∈ F, atunci A ∈ F,

(iii) Daca A,B ∈ F, atunci A ∪B ∈ F.

Elemente lui F se numesc evenimente aleatoare sau evenimente (deci F este mult,imea tuturor evenimentelorasociate experient,ei aleatoare).

Remarca I.2.2 În multe situat,ii (probleme elementare etc.) vom lua drept mult,imea F a evenimentelorchiar mult,imea P (Ω) a tuturor part,ilor lui Ω.

Evident, daca F = P (Ω), atunci (Ω,F) devine un spat,iu finit de evenimente.

2


Remarca I.2.3 Având în vedere definit,ia precedenta, deducem ca mult,imea evenimentelor F este închisala operat,ii de reuniune, intersect,ie, complementaritate s, i diferent, a, adica A ∪ B, A ∩ B, A, A \ B ∈ F,pentru orice A,B ∈ F. Acest lucru este normal, având în vedera ca noi vom lucra cu evenimente (adicaelemente din F) s, i vom dori ca operând cu aceste evenimente sa ramânem în continuare în mult,imea deevenimente F.

Exemplul I.2.4 Daca n este numarul de evenimente elementare, atunci familia P (Ω) cont,ine 2n eveni-mente.

Într-adevar, daca Ω = ω1, ω2, . . . , ωn, atunci F = P (Ω) este mult,imea formata cu toate submult,imilecare se pot forma cu maxim n elemente (consideram s, i mult,imea vida) s, i este data de

∅,ωi , 1 ≤ i ≤ n : în numar de C1

n ,

ωi, ωj , 1 ≤ i < j ≤ n : în numar de C2n ,

ωi, ωj , ωk , 1 ≤ i < j < k ≤ n : în numar de C3n ,

...ω1, ω2, . . . , ωn = Ω : în numar de Cnn .

Deci numarul total de submult,imi ce se pot forma cu maxim n elemente este dat de2 1 +C1n + . . .+Cnn =

(1 + 1)n

= 2n.

Propozitia I.2.5 Au loc urmatoarele proprietat,i.(j) Evident, ∅ = Ω ∈ F.

(jj) Daca Ai ∈ F, pentru i = 1, r , atunci⋃r

i=1Ai ∈ F s, i

⋂r

i=1Ai ∈ F.

Definitia I.2.6 Fie Ai ∈ F, pentru i = 1, r . Spunem ca (Ai)i=1,r este un sistem complet de evenimente (sauo partit,ie sau o descompunere a lui Ω ) daca:

(i) Ai 6= ∅, i = 1, r ,

(ii) Ai ∩Aj = ∅, i, j = 1, r , i 6= j,

(iii)⋃r

i=1Ai = Ω .

Exemplul I.2.7 (i) DacaA ∈ F, atunciA, A

este o descompunere a lui Ω în doua evenimente disjuncte.

(ii) Daca A,B ∈ F astfel încât A ∩ B = ∅, atunciA,B,A ∪B

este o descompunere a lui Ω în trei

evenimente disjuncte.

Definitia I.2.8 Fie Ω = ω1, ω2, . . . , ωn mult,imea tuturor evenimentelor elementare s, i (Ω,F) un spat,iu finitde evenimente. Fie A ∈ F un eveniment. Numarul P (A) = m

n , unde m reprezinta numarul probelor care ducla realizarea evenimentului A s, i n reprezinta numarul tuturor probelor posibile asociate experient,ei, se numes, teprobabilitatea evenimentului A, i.e.3

P : F → R s, i P (A)def==

card (A)

card (Ω), pentru orice A ∈ F. (I.2.1)

Tripletul (Ω,F,P) se va numi spat,iu finit de probabilitate (sau câmp finit de probabilitate).2 Se poate da o demonstrat,ie a acestei identitat,i folosind exclusiv analiza combinatorie (vezi Seminarul).3 Cardinalul unei mult,imi A se va nota cu card (A) sau cu |A| .

3


Propozitia I.2.9 Au loc urmatoarele proprietat,i4, pentru orice A,B ∈ F s, i Ai ∈ F, pentru i = 1, n.

(i) 0 ≤ P (A) ≤ 1,

(ii) P (Ω) = 1, P (∅) = 0,

(iii) P (A ∪B) = P (A) + P (B) , daca A ∩B = ∅,

(iv) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) ,

(v) P(A)

= 1− P (A) ,

(vi) P(⋃n

i=1Ai

)=∑n

i=1P (Ai) , unde Ai ∩Aj = ∅, 1 ≤ i < j ≤ n.

Demonstratie. De exemplu, (iv) este o consecint, a5 a lui (iii) iar (v) este o consecint, a directa a lui (ii) s, i(iii).

Remarca I.2.10 Din definit,ia spat,iului finit de probabilitate observam ca nu trebuie sa avem neaparat caorice eveniment elementar sa fie din F, adica nu trebuie sa avem neaparat ca ω ∈ F, pentru oriceω ∈ Ω.

De exemplu, sa presupunem ca într-o urna avem trei bile: una alba s, i doua negre identice. Se extrageo bila din urna s, i ne intereseaza culoarea ei. Deci Ω = A1, N1, N2 iar mult,imea tuturor evenimentelorasociate experient,ei este data de F = ∅,Ω, A1 , N1, N2 P(Ω).

Evident, (Ω,F) este un spat,iu finit de evenimente dar evenimentele elementare N1 , N2 /∈ F.

Definitia I.2.11 Fie Ω = ω1, ω2, . . . , ωn mult,imea tuturor evenimentelor elementare, (Ω,P (Ω)) un spat,iufinit de evenimente s, i P data de (I.2.1).

Sa presupunem ca toate evenimentele elementare sunt echiprobabile, i.e. evenimentele elementare au aceas, is, ansa de a se realiza, adica

P (ω) =1

card (Ω), pentru orice ω ∈ Ω.

Atunci (Ω,P (Ω) ,P) este un spat,iu finit de probabilitate s, i este numit spat,iu de probabilitate Laplace (saucâmp de probabilitate Laplace).

Sa consideram acum experimentul aruncarii a doua zaruri.

Exemplul I.2.12 Vom lua drept spat,iul Ω mult,imea tuturor perechilor ordonate (i, j) cu i, j = 1, 6, adica

Ω =

(i, j) : i, j = 1, 6.

Având în vedere ca sunt s, ase posibilitat,i de alegere a lui i s, i fiecarei alegeri a lui i îi corespund s, ase alegeripentru j, deducem ca sunt 36 de posibile rezultate (despre care vom presupune ca sunt echiprobabile,deci P ((i, j)) = 1/36, pentru i, j = 1, 6).

Care este probabilitatea sa se obt,ina suma s, apte la aruncarea celor doua zaruri? sau suma unsprezece?Primul eveniment, notat cu A, este mult,imea

A = (1, 6) , (2, 5) , (3, 4) , (4, 3) , (5, 2) , (6, 1)

iar al doilea este B = (5, 6) , (6, 5). Deci P (A) este probabilitatea reuniunii celor s, ase evenimente ele-mentare posibile care compun A adica este suma P ((1, 6)) + P ((2, 5)) + . . . = 6 · 1/36 = 1/6.

De asemenea, P (B) = 1/36 + 1/36 = 1/18.Evident, probabilitatea obt,inerii a unei duble de unu sau de s, ase este P (C) = P ((1, 1) ∪ (6, 6)) =

1/18 iar P(C)

= 1− 1/18 = 17/18. 4 Vezi s, i Propozit,ia I.3.14.5 Pentru demonstrat,ie vezi pagina 12.

4


I.3 Spat,ii de probabilitate

Fie Ω o mult,ime abstracta (numita s, i mult,imea evenimentelor elementare). Un eveniment aleator(sau eveniment) va fi o submult,ime a lui Ω, deci vom lua ca mult,ime a evenimentelor o anumita familiede submult,imi a lui Ω, notata cu F. În Teoria probabilitat,ilor masuram s, ansele de aparit,ie a evenimentelor;deci trebuie sa definim acele mult,imi (sau evenimente) care pot fi masurate. În acest sens folosim con-ceptul de σ−algebra peste Ω pentru a obt,ine o colect,ie de submult,imi ale lui Ω pe care sa definim masurade probabilitate.

Prin urmare, vom cere ca familia F sa fie o σ−algebra peste Ω. Proprietat,ile cerute sunt cele vazutedeja în cazul spat,iului finit de probabilitate.

Definitia I.3.1 Fie Ω o mult,ime nevida. Familia nevida F ⊆ P (Ω) , de part,i ale lui Ω, se numes, te algebra pesteΩ daca:

(i) Ω ∈ F,

(ii) daca A ∈ F, atunci A ∈ F,

(iii) daca A,B ∈ F, atunci A ∪B ∈ F.

Elemente lui F se numesc evenimente aleatoare sau evenimente.

Remarca I.3.2 Fie F sa fie o algebra peste Ω. Din definit,ia anterioara se obt,ine, folosind s, i legile lui DeMorgan,

(iv) ∅ ∈ F,

(v) daca A,B ∈ F, atunci A ∩B ∈ F.

Într-adevar, ∅ = Ω ∈ F.

Deoarece A, B ∈ F, avem s, i A ∩B = A ∪ B ∈ F.

Remarca I.3.3 Evident, proprietat,ile (iii) s, i (v) sunt adevarate s, i pentru un numar finit de evenimentedin F, i.e.

(iii)′ daca Ai ∈ F, i = 1, n , atunci

⋃n

i=1Ai ∈ F,

(v)′ daca Ai ∈ F, i = 1, n , atunci

⋂n

i=1Ai ∈ F,

Remarca I.3.4 Putem spune ca o algebra peste Ω este o familie nevida de part,i ale lui Ω închisa la reuniunifinite, la intersect,ii finite s, i la trecerea la complementara.

Definitia I.3.5 Fie Ω o mult,ime nevida. Spunem ca F ⊆ P (Ω) este o σ−algebra peste Ω daca este o algebrapeste Ω s, i daca are loc

(iii)′′ daca Ai ∈ F, i ∈ N∗ , atunci

⋃∞i=1

Ai ∈ F.

Exemplul I.3.6 Fie Ω o mult,ime nevida. Atunci F = ∅,Ω este cea mai „saraca” σ−algebra peste Ω(este cea mai mica σ−algebra peste Ω ) iar F = P (Ω) este cea mai „bogata” σ−algebra peste Ω (este ceamai mare σ−algebra peste Ω ).

Remarca I.3.7 Daca F ⊆ P (Ω) este o σ−algebra, atunci proprietatea (v)′ este adevarata s, i pentru un

numar infinit dar numarabil de evenimente, i.e.

(v)′′ daca Ai ∈ F, i ∈ N∗ , atunci

⋂∞i=1

Ai ∈ F,

Acum putem defini probabilitatea ca fiind o funct,ie definita pe σ−algebra F cu valori în R ce satisfacanumite proprietat,i (ca s, i în cazul spat,iului finit de probabilitate).

5


Definitia I.3.8 Fie F o σ−algebra peste Ω. Se numes, te probabilitate (sau masura de probabilitate) o aplicat,ieP : F → R astfel încât

(i) P (A) ≥ 0, oricare ar fi A ∈ F,

(ii) P(⋃∞

i=1Ai

)=∑∞

i=1P (Ai) , oricare ar fi (Ai)i∈N∗ ⊂ F

evenimente incompatibile doua câte doua,

(iii) P (Ω) = 1.

Remarca I.3.9 Condit,ia (ii) este numita proprietatea de numarabila aditivitate a masurii P.

Remarca I.3.10 Din definit,ia anterioara se vede ca, de fapt, aplicat,ia P : F → [0, 1] , adica

(iv) 0 ≤ P (A) ≤ 1, oricare ar fi A ∈ F.

Definitia I.3.11 Daca F este o σ−algebra peste Ω, atunci perechea (Ω,F) se numes, te spat,iu masurabil.

Definitia I.3.12 Fie (Ω,F) un spat,iu masurabil s, i probabilitatea P : F → R.Atunci tripletul (Ω,F,P) se numes, te spat,iu de probabilitate (sau câmp de probabilitate).

Remarca I.3.13 Din definit,ia spat,iului finit de probabilitate observam ca nu trebuie sa avem, în modnecesar, ca orice eveniment elementar sa fie din F, adica nu trebuie sa avem, în mod necesar, ca ω ∈ F,pentru orice ω ∈ Ω.

Propozitia I.3.14 Fie (Ω,F,P) un spat,iu de probabilitate. Au loc urmatoarele proprietat,i:

(v) probabilitatea evenimentului imposibil este nula, i.e. P (∅) = 0;

(vi) probabilitatea evenimentului contrar este data de:

P(A)

= 1− P (A) , oricare ar fi A ∈ F;

(ix) P(⋃n

i=1Ai

)=∑n

i=1P (Ai) , oricare ar fi Ai ∈ F, cu i = 1, n ,

astfel încât Ak ∩Al = ∅, pentru k, l = 1, n, k 6= l.

Are loc s, i formula de calcul a probabilitat,ii unei reuniuni de doua evenimente:

(xi) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) , oricare ar fi A,B ∈ F.

Se obt,ine formula de calcul a probabilitat,ii unei reuniuni de trei evenimente:

(xi)′ P (A ∪B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C)

−P (A ∩B)− P (A ∩ C)− P (B ∩ C)

+P (A ∩B ∩ C) , oricare ar fi A,B,C ∈ F.

Demonstratie. (xi) Vezi relat,ia (I.6.1) s, i demonstrat,ia de la pagina 12.

(xi)′ Se obt,ine aplicând (xi) de trei ori.

Remarca I.3.15 Am obt,inut ca probabilitatea evenimentului imposibil∅ este nula. Dar sa ment,ionam ca,în cazul unui spat,iu de probabilitate infinit, nu orice eveniment cu probabilitatea nula6 este evenimentulimposibil; vezi, de exemplu, cazul unei variabile aleatoare X : Ω→ R de tip continuu, când evenimentulX = a este neglijabil, pentru orice a ∈ R, dar, pe de alta parte, daca a ∈ X(Ω), atunci X = a nu esteun eveniment imposibil. 6 Spunem ca evenimentul A ∈ F este nul sau P−nul sau neglijabil daca P (A) = 0.

Daca A este eveniment neglijabil (sau, echivalent, P(A) = 1), atunci spunem ca evenimentul A se produce P−aproape sigur (notatP−a.s.) sau P−aproape pentru tot,i ω sau P−aproape peste tot (notat P−a.p.t.) sau cu probabilitatea 1.

6


Remarca I.3.16 Formula (xi)′ se poate generaliza la n evenimente. Astfel se poate demonstra prin induct,ie

ca, dacaAi ∈ F, cu i = 1, n , atunci are loc formula de calcul a probabilitat,ii unei reuniuni de evenimente,numita formula lui Poincaré sau formula de incluziune-excluziune7:

(xi)′′ P

(⋃1≤i≤n

Ai

)=∑

1≤i1≤nP (Ai1)−

∑1≤i1<i2≤n

P (Ai1 ∩Ai2)

+∑

1≤i1<i2<i3≤nP (Ai1 ∩Ai2 ∩Ai3)− . . .+ (−1)

n−1 P (A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An) .

Definitia I.3.17 Fie (An)n∈N∗ un s, ir de evenimente din F.

Spunem ca8 are loc convergent,a An A, pentru n→∞, daca

An+1 ⊂ An , pentru orice n ∈ N∗ s, i⋂∞

n=1An = A.

Spunem ca are loc convergent,a An A, pentru n→∞, daca

An ⊂ An+1 , pentru orice n ∈ N∗ s, i⋃∞

n=1An = A.

În ambele cazuri putem scrie limn→∞An = A.

Propozitia I.3.18 Fie (An)n∈N∗ un s, ir de evenimente din F. Atunci are loc proprietatea9 de continuitate(secvent,iala) a masurii P în raport cu s, iruri monotone de evenimente, i.e.

(xiii) Daca An A, atunci P (An) P (A) , pentru n→∞.(xiv) Daca An A, atunci P (An) P (A) , pentru n→∞.(xv) Daca An ∅, atunci P (An) 0, pentru n→∞.

(xvi) Daca An Ω, atunci P (An) 1, pentru n→∞.

Demonstratie. (xiii) Fie An A, pentru n→∞. Sa definim

B1 = A1 , Bn = An \An−1 , pentru orice n ≥ 2.

Atunci (Bi)i=1,n sunt evenimente disjuncte doua câte doua iar⋃n

i=1Bi =

⋃n

i=1Ai = An s, i

⋃i≥1

Bi =⋃

i≥1Ai = A.

Folosind definit,ia (ii) obt,inem

P(A) = P(⋃

i≥1Ai

)= P

(⋃i≥1

Bi

)=∑∞

i=1P (Bi)

= limn→∞∑n

i=1P (Bi) = limn→∞ P

(⋃n

i=1Bi

)= limn→∞ P (An)

iar s, irul (P (An))n este s, ir crescator.

(xiv) Daca An A, atunci An A, deci P(An) P

(A)

sau, echivalent, P (An) P (A) , pentrun→∞.

Fie, în continuare, (An)n∈N∗ un s, ir de evenimente din F. Având în vedere ca F este o σ−algebra,obt,inem ca ⋃

n≥1

⋂m≥n

Am s, i⋂

n≥1

⋃m≥n

Am

7 Aceasta formula nu este pentru Examen !8 Aceste definit,ii nu sunt pentru Examen !9 Aceste proprietat,i s, i demonstrat,iile lor nu sunt pentru Examen !

7


sunt, de asemenea, evenimente. Ele se numesc10 limita inferioara, s, i respectiv limita inferioara, a s, iruluide evenimente (An)n∈N∗ s, i se noteaza (vezi s, i Definit,ia I.3.17):

lim infn→∞Andef==⋃

n≥1

⋂m≥n

Am = limn→∞⋂

m≥nAm ,

lim supn→∞Andef==⋂

n≥1

⋃m≥n

Am = limn→∞⋃

m≥nAm .

Folosind definit,ia, obt,inem ca

lim infn→∞An = ω : ω ∈ An pentru n suficient de mare= An se realizeaza „în cele din urma”

s, i respectiv calim supn→∞An = ω : ω ∈ An pentru o infinitate de n

= An se realizeaza „infinit de des” .(I.3.1)

În general, este dificil sa lucram cu o σ−algebra (fiind un concept abstract). Dar daca vom considerao σ−algebra generata de C ⊆ P (Ω) , atunci este mai us, or de lucrat cu ea; astfel, daca aratam ca au locanumite proprietat,i pentru orice element din C, atunci ele au loc s, i pentru orice element din σ−algebragenerata de C.

Definitia I.3.19 Fie C ⊆ P (Ω) o colect,ie de mult,imi din Ω. Vom nota σ−algebra generata de C cu σ (C) s, i eava fi data de cea mai mica σ−algebra care cont,ine pe C.

Deci σ (C) este definita de:(a) σ (C) este σ−algebra;(b) C ⊆ σ (C);(c) σ (C) este cea mai mica σ−algebra care cont,ine pe C, i.e.: daca C ⊆ D, iar D este o alta σ−algebra, atunciσ (C) ⊆ D.

Remarca I.3.20 Vom spune ca C este constituie un sistem de generatori pentru σ (C) sau ca C genereazaσ (C) .

Exemplul I.3.21 Daca C = ∅ sau C = Ω, atunci se obt,ine

σ (C) = Ω,∅ ,

adica cea mai mica σ−algebra peste Ω.

Exemplul I.3.22 Daca avem un spat,iu masurabil (Ω,F) s, i un eveniment A ∈ F, atunci

σ (A) =

Ω,∅, A, A

este σ−algebra generata de evenimentul A ∈ F.

Exemplul I.3.23 Daca avem un spat,iu masurabil (Ω,F) s, i evenimentele A,B ∈ F, astfel încât A ⊂ B,atunci

σ (A,B) =

Ω,∅, A,B, A, B, A ∪ B, A ∩B

este σ−algebra generata de evenimentele A,B ∈ F.

Definitia I.3.24 Notat,ia B (R) desemneaza σ−algebra Borel s, i este data de σ−algebra generata de clasa desubmult,imi deschise ale spat,iului topologic R.10 Aceste definit,ii nu sunt pentru Examen !

8


Remarca I.3.25 Se poate arata ca B (R) poate fi generata de orice fel de intervale, adica, de exemplu,

B (R) = σ ((−∞, a] : a ∈ R) ,

B (R) = σ ((−∞, a) : a ∈ R) ,

B (R) = σ ((a, b) : a, b ∈ R, a < b) .

Exercitiul I.3.26 (a) Sa se arate ca pentru orice a < b au loc, pentru ε→ 0+ ,

Aε = (a, b+ ε] (a, b], Bε = (a, b+ ε) (a, b],

Cε = (a, b− ε] (a, b), Dε = (a, b− ε) (a, b).

(b) Sa se determine limita urmatoarelor s, iruri de evenimente din spat,iul masurabil (R,B (R)), definite pentruorice n ∈ N∗:

A1n =

[a, b+ 1

n

], A2

n =[a, b+ 1

n

), B1

n =[a− 1

n , b], B2

n =(a− 1

n , b],

C1n =

[a, b− 1

n

], C2

n =[a, b− 1

n

), D1

n =[a+ 1

n , b], D2

n =(a+ 1

n , b],

E1n =

[a, n), E2

n =(− n, b

], F 1

n =(a− 1

n , a], F 2

n =[a− 1

n , a].

Propozitia I.3.27 (Lema lui Borel Cantelli) Fie (Ω,F,P) un spat,iu de probabilitate s, i (An)n∈N∗ un s, ir deevenimente din F. Atunci11

(i) daca∑∞

n=1P (An) <∞, atunci P

(lim supn→∞An

)= 0;

(ii) daca (An)n∈N∗ sunt evenimente independente în ansamblu12 (vezi Definit,ia I.5.5) s, i∑∞

n=1P (An) = ∞,

atunci P(

lim supn→∞An)

= 1.

Remarca I.3.28 Evident, (i) este echivalent cu

(i′) Daca P(

lim supn→∞An)> 0, atunci

∑∞

n=1P (An) =∞.

Prin urmare (ii) reprezinta, în condit,ii suplimentare, reciproca part,iala a afirmat,iei (i) sau (i′).

Remarca I.3.29 Condit,ia de independent, a este esent,iala pentru a obt,ine reciproca afirmat,iei (i).Un contraexemplu este urmatorul: sa consideram masura Lebesgue λ s, i spat,iul de probabilitate

(Ω,F,P)def== ([0, 1] ,B ([0, 1]) , λ).

FieAn =

(0,

1

n

), n ∈ N∗,

deci limn→∞An = lim supn→∞An =⋂n≥1An = ∅.

Astfel am obt,inut ca P(

lim supn→∞An)

= P (∅) = 0 < 1 s, i, cu toate acestea,∑∞

n=1P (An) =∑∞

n=1

1

n=∞.

Remarca I.3.30 Condit,ia de independent, a este esent,iala în (ii) .

Un contraexemplu simplu este urmatorul: sa consideram evenimentul A ∈ F astfel încât P (A) ∈(0, 1) s, i An = A. Deci ∑∞

n=1P (An) =

∑∞

n=1P (A) = P (A)

∑∞

n=11 =∞

dar, cu toate acestea, P(

lim supn→∞An)

= P(A)< 1.

11 Lema lui Borel Cantelli nu este pentru Examen !12 Concluzia punctului (ii) are loc s, i daca evenimentele (An)n∈N∗ sunt independente doua câte doua.

9


I.4 Probabilitat,i condit,ionate

Definitia I.4.1 Fie A,B ∈ F astfel încât P (A) > 0. Probabilitatea evenimentului B în ipoteza ca evenimentul As-a realizat, se numes, te probabilitatea lui B condit,ionata de A s, i va fi notata cu P (B|A) s, i este data de

P (B|A) =P (A ∩B)

P (A). (I.4.1)

Remarca I.4.2 Prin urmare obt,inem relat,ia:

P (B|A) · P (A) = P (A|B) · P (B) .

Remarca I.4.3 Fie A ∈ F un eveniment arbitrar fixat astfel încât P (A) > 0; atunci P (B|A) este o notat,iepentru PA (B) unde PA este funct,ia

PA : F → [0, 1] , definita de PA (B)def==P (A ∩B)

P (A), B ∈ F .

Se poate arata ca aceasta noua funct,ie este o masura de probabilitate iar tripletul (Ω,F,PA) este, deasemenea, un spat,iu de probabilitate.

De asemenea, daca se noteaza FAdef== B ∈ F : B ⊆ A , atunci tripletul (A,FA,PA) este s, i el unspat,iu

de probabilitate numit spat,iul de probabilitate indus pe A de spat,iul (Ω,F,P) . Daca E este experient,ealeatoare ce este modelata de spat,iul de probabilitate (Ω,F,P) , atunci (A,FA,PA) modeleaza experient,aaleatoare EA data de: EA se produce daca E se produce s, i rezultatul implica aparit,ia lui A.

Remarca I.4.4 Sa observam ca s, i probabilitatea originala P poate fi vazuta ca o probabilitate condit,ionata,

mai precis, putem lua P (B)def== PΩ (B) .

Remarca I.4.5 Obt,inem imediat s, i formule de calcul a probabilitat,ii unei intersect,ii de evenimente:

P (A ∩B) = P (A|B) · P (B) ,

P (A ∩B ∩ C) = P (A|B ∩ C) · P (B ∩ C)

= P (A|B ∩ C) · P (B|C) · P (C) ,

P (A ∩B ∩ C ∩D) = P (A|B ∩ C ∩D) · P (B ∩ C ∩D)

= P (A|B ∩ C ∩D) · P (B|C ∩D) · P (C|D) · P (D) ,

oricare ar fi A,B,C,D ∈ F astfel încât P (A ∩B ∩ C ∩D) > 0.

I.5 Evenimente independente

Intuitiv, spunem ca evenimentele A,B sunt independente daca probabilitatea ca unul dintre ele sa serealizeze nu depinde de realizarea sau de nerealizarea celuilalt.

Definitia I.5.1 Spunem ca evenimentele A s, i B sunt independente daca

P (A ∩B) = P (A) · P (B) .

Remarca I.5.2 Relat,ia de independent, a este deci simetrica.

Propozitia I.5.3 Evenimentele A s, i B sunt independente daca s, i numai daca are loc oricare dintre urmatoarelerelat,ii

(i) P (B|A) = P (B) ,

(ii) P (A|B) = P (A) ,

(iii) P(B|A

)= P (B) ,

(iv) P(A|B

)= P (A) .

10


Caracterizarile de mai sus au loc în condit,iile suplimentare P (A) > 0, P (B) > 0, P (A) < 1 s, i respectivP (B) < 1.

Remarca I.5.4 Avem urmatoarea legatura între independent, a s, i incompabilitate: daca doua evenimenteA s, i B, care nu sunt neglijabile, sunt independente, atunci evenimentele A s, i B sunt compatibile

Sau echivalent, daca doua evenimente, care nu sunt neglijabile, A s, i B sunt incompatibile, atuncievenimentele A s, i B sunt dependente.

Într-adevar, daca am presupune ca A s, i B sunt incompatibile, atunci P (A) · P (B) = P (A ∩B) =P (∅) = 0, deci A sau B este un eveniment neglijabil.

Definitia I.5.5 Daca avem o familie de evenimente (Ai)i=1,n , spunem ca acestea sunt independente (în ansam-blu13) daca probabilitatea intersect,iei a oricâte evenimente din familia (Ai)i=1,n este egala cu produsul probabili-tat,ilor evenimentelor intersectate, i.e. are loc

P(⋂r

k=1Aik

)=∏r

k=1P (Aik) , oricare ar fi 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ir ≤ n.

Definitia I.5.6 Daca avem o familie de evenimente (Ai)i=1,n , spunem ca acestea sunt independente douacâte doua daca probabilitatea intersect,iei a oricare doua evenimente din familia (Ai)i=1,n este egala cu produsulprobabilitat,ilor evenimentelor intersectate, i.e. are loc

P (Ai ∩Aj) = P (Ai) · P (Aj) , oricare ar fi 1 ≤ i < j ≤ n.

Remarca I.5.7 Evident, daca evenimentele A1, . . . , An sunt independente în ansamblu, atunci sunt in-dependente s, i doua câte doua. Reciproca nu este adevarata.

Exercitiul I.5.8 Fie Ω = a, b, c, d s, i (Ω,P (Ω) ,P) un spat,iu de probabilitate Laplace. Fie evenimentele A =a, b , B = a, c , C = a, d . Se poate arata ca evenimentele A,B,C sunt independente doua câte doua, dar nusunt independente în ansamblu deoarece

P (A ∩B ∩ C) =1

46=(

1

2

)3

= P (A)P (B)P (C) .

Exercitiul I.5.9 Pe de alta parte, exista exemple în care se vede ca relat,ia

P (A ∩B ∩ C) = P (A)P (B)P (C)

nu implica independent,a doua câte doua a evenimentelor A,B,C.

De exemplu, în cazul aruncarii a doua zaruri, fieA = (i, j) ∈ Ω : j = 1, 2, 5 , B = (i, j) ∈ Ω : j = 4, 5, 6s, i C = (i, j) ∈ Ω : i+ j = 9 .

Propozitia I.5.10 Daca evenimentele A1, . . . , An sunt independente, atunci s, i evenimentele B1, . . . , Bn sunt in-dependente, unde Bi = Ai sau Bi = Ai , cu i = 1, n .

Exemplul I.5.11 De exemplu, daca evenimentele A,B sunt independente, atunci sunt indepedente s, ievenimentele A, B, precum s, i evenimentele A, B, precum s, i evenimentele A, B.

Într-adevar, se poate arata ca P (A ∩B) = P (A) · P (B) va implica oricare dintre relat,iile

P(A ∩ B) = P (A) · P(B),

P(A ∩B) = P(A) · P (B) ,

P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Pentru a ilustra Definit,ia I.5.1 sa consideram urmatorul exemplu.

13 Daca nu se precizeaza explicit, atunci independent,a înseamna independent,a în ansamblu.

11


Exemplul I.5.12 Presupunem ca avem doua cutii cu bile ros, ii s, i albe. Prima cutie cont,ine o bila ros, ie s, itrei albe iar a doua cutie cont,ine doua bile ros, ii s, i trei bile albe. Extragem câte o bila din fiecare cutie.Care este probabilitatea ca sa extragem doua bile ros, ii?

Numarul total de posibile perechi este de 4 · 5 = 20 (unei bile din prima cutie îi corespund cinci biledin a doua cutie pentru a face o pereche). Sunt doua posibilitat,i de a extrage doua bile ros, ii: bila ros, ie dinprima cutie (eveniment notat cu A) cuplata pe rând cu cele doua bile ros, ii ale cutiei a doua (evenimentnotat cu B). Deci probabilitatea de a extrage doua bile ros, ii este de P (A ∩B) = 2/20.

Pe de alta parte probabilitatea extragerii unei bile ros, ii din prima cutie este 1/4 iar probabilitateaextragerii unei bile ros, ii din a doua cutie este 2/5, deci are loc

P (A ∩B) = 1/4 · 2/5 = P (A) · P (B) .

Similar se poate afla probabilitatea extragerii a doua bile albe care este de 3/4 · 3/5, s, i deci proba-bilitatea de a extrage o bila ros, ie s, i una alba este complementara evenimentelor de mai sus, deci areprobabilitatea 1− (2/20 + 9/20) = 9/20.

I.6 Formule probabiliste

În cele ce urmeaza, fie (Ω,F,P) un spat,iu de probabilitate.

I.6.1 Probabilitatea unei reuniuni de evenimente

Oricare ar fi evenimentele A,B ∈ F are loc relat,ia

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) . (I.6.1)

În particular, daca evenimentele sunt disjuncte (incompatibile), atunci

P (A ∪B) = P (A) + P (B) .

În cazul unui spat,iu de probabilitate oarecare formula (I.6.1) se demonstreaza cu ajutorul axiomelor cedefinesc probabilitatea P. Astfel are loc

P (A) = P (A \B) + P (A ∩B) ,

P (B) = P (B \A) + P (A ∩B) ,

P (A ∪B) = P (A \B) + P (B \A) + P (A ∩B) ,

deoarece (A \B) ∩ (A ∩B) = ∅ s, i (B \A) ∩ (A ∩B) = ∅.Astfel obt,inem

P (A) + P (B)− P (A ∩B) = P (A \B) + P (B \A) + P (A ∩B)

= P (A ∪B) .

Remarca I.6.1 Formula (I.6.1) se poate generaliza la n evenimente. Astfel se obt,ine, mai întâi,

P (A1 ∪A2 ∪A3) = P (A1) + P (A2) + P (A3)

− P (A1 ∩A2)− P (A1 ∩A3)− P (A2 ∩A3)

+ P (A1 ∩A2 ∩A3)

(I.6.2)

s, i, în cazul general, se poate demonstra prin induct,ie ca, daca Ai ∈ F, cu i = 1, n , atunci probabilitatearealizarii a cel put, in unui eveniment din familia (Ai)i=1,n este data de

P(⋃

1≤i≤nAi)

=∑

1≤i1≤nP (Ai1)−

∑1≤i1<i2≤n

P (Ai1 ∩Ai2)

+∑

1≤i1<i2<i3≤nP (Ai1 ∩Ai2 ∩Ai3)

− . . .+ (−1)n−1 P (A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An) .

(I.6.3)

12


Exemplul I.6.2 Fie (Ω,F,P) un spat,iu de probabilitate s, i A,B ∈ F doua evenimente. Se arate ca proba-bilitatea ca exact unul dintre evenimente sa se produca este

P (A) + P (B)− 2P (A ∩B) .

Într-adevar, evenimentul ca exact unul dintre evenimentele A s, i B sa apara este dat de(A ∩ B

)∪(B ∩ A

)= (A \B) ∪ (B \A) ,

iar evenimentele(A ∩ B

)s, i(A ∩B

)sunt incompatibile.

Pe de alta parte,

P (A) = P(

(A ∩B) ∪(A ∩ B

) )= P (A ∩B) + P

(A ∩ B

)P (B) = P

((B ∩A) ∪

(B ∩ A

) )= P (B ∩A) + P

(B ∩ A

),

deci probabilitatea ca exact unul dintre evenimentele A s, i B sa apara este:

P( (A ∩ B

)∪(A ∩B

) )= P

(A ∩ B

)+ P

(A ∩B

)(I.6.4)

= P (A) + P (B)− 2P (A ∩B) .

I.6.2 Regula de înmult,ire a probabilitat,ilor

Pentru doua evenimente arbitrare A,B ∈ F, astfel încât P (A) > 0, putem scrie definit,ia probabilitat,iicondit,ionate

P (B|A) =P (A ∩B)

P (A),

deci au loc formuleleP (A ∩B) = P (B|A) P (A) ,

P (A ∩B) = P (A|B) P (B) .

(I.6.5)

Similar se obt,ine s, i:

P (A ∩B ∩ C) = P (C|A ∩B) · P (B|A) · P (A) , (I.6.6)

oricare ar fi A,B,C ∈ F astfel încât P (A ∩B ∩ C) > 0.

Formula (I.6.6) se poate generaliza la n evenimente s, i obt,inem probabilitatea realizarii simultane an evenimente (Ai)i=1,n sau probabilitatea unei intersect,ii de n evenimente sau regula de înmult,ire aprobabilitat,ilor:

P (A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An) = P (An|A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An−1)

· P (An−1|A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An−2)

· . . .· P (A4|A1 ∩A2 ∩A3)

· P (A3|A1 ∩A2) · P (A2|A1) · P (A1) ,

(I.6.7)

oricare ar fi A1, A2, . . . , An ∈ F astfel încât P (A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An−1) > 0.

I.6.3 Formula probabilitat,ii totale (se aplica atunci când Ai , i = 1, n , s-au realizat)

Fie (Ai)i=1,n un sistem complet de evenimente s, i X un eveniment oarecare. Presupunem ca eveni-mentele Ai , i = 1, n , s-au realizat.

Atunci are loc formula probabilitat,ii totale (numita s, i legea probabilitat,ii totale) :

P (X) = P (A1)P (X|A1) + P (A2)P (X|A2) + . . .+ P (An)P (X|An) . (I.6.8)

13


Pentru demonstrat,ie observam mai întâi ca⋃ni=1Ai = Ω s, i deci

X = X ∩ Ω = X ∩ (A1 ∪ . . . ∪An) = (X ∩A1) ∪ (X ∩A2) ∪ . . . ∪ (X ∩An) .

Deoarece Ai ∩Aj = ∅, pentru orice i 6= j, rezulta ca s, i (X ∩Ai) ∩ (X ∩Aj) = ∅, pentru orice i 6= j.

Folosind Definit,ia I.3.8 obt,inem, mai întâi,

P (X) = P (X ∩A1) + P (X ∩A2) + . . .+ P (X ∩An) , (I.6.9)

(numita si ea formula probabilitat,ii totale sau legea probabilitat,ii totale) apoi, aplicând formula (I.6.5),deducem ca

P (X) = P (X|A1) P (A1) + P (X|A2)P (A2) + . . .+ P (X|An)P (An) ,

adica formula (I.6.8).

I.6.4 Formula lui Bayes (se aplica atunci când X s-a realizat)

Folosind relat,ia (I.4.1) se obt,ine formula lui Bayes

P (B|A) =P (B) · P (A|B)

P (A)

care ne da posibilitatea sa calculam probabilitatea condit,ionata P (B|A) daca se cunoas, te probabilitateacondit,ionata P (A|B) .

În general, fie (Ai)i=1,n un sistem complet de evenimente s, i X un eveniment oarecare. Presupunemca X s-a realizat.

Atunci are loc formula lui Bayes:

P (Ai|X) =P (Ai)P (X|Ai)∑nj=1 P (Aj)P (X|Aj)

, i = 1, n . (I.6.10)

Pentru demonstrat,ie observam ca

P (Ai ∩X) = P (Ai)P (X|Ai) = P (X)P (Ai|X)

s, i deci

P (Ai|X) =P (Ai)P (X|Ai)

P (X).

Apoi folosim (I.6.8).

I.7 Metode de numarare

Calculul probabilitat,ilor în cazul unui spat,iu de probabilitate finit conduce la numararea diferitelor ca-zuri posibile. Pentru aceasta este util principiul de baza al analizei combinatorii (principiul multiplicarii)iar apoi, pe baza acestuia, not,iunile de permutari, aranjamente s, i combinari.

I.7.1 Principiul multiplicarii

Sa presupunem ca avem doua evenimente astfel încât primul se poate realiza în m1 moduri iar aldoilea în m2 moduri. Atunci ambele evenimente se pot realiza simultan în m1 ·m2 moduri.

În general, daca avem n evenimente iar fiecare se poate realiza în mi moduri, cu i = 1, n , atunci celen evenimente se pot realiza simultan în

m1 ·m2 · . . . ·mn moduri14

Daca suntem în cazul particular mi = m, i = 1, n , atunci cele n evenimente se pot realiza simultan în

mn moduri. (I.7.1)14 Acest principiu se poate exprima s, i astfel: daca avem n elemente ai , i = 1, n , iar daca elementele pot fi alese în respectivm1,m2, . . . ,mn moduri, atunci numarul n−uplurilor ordonate (a1, a2, . . . , an) este m1 ·m2 · . . . ·mn .

14


Exemplul I.7.1 Numarul situat,iilor posibile care pot aparea daca aruncam doua zaruri este 6·6 = 62 = 36.Sa furnizam s, i modelul matematic al experient,ei aleatoare propuse, altfel spus sa determinam spat,iul

de probabilitate (Ω,F,P).Mult,imea Ω a evenimentelor elementare (sau mult,imea rezultatelor posibile) se poate scrie sub forma

Ω = (FZ1, FZ2) : FZ1, FZ2 ∈ 1, 2, . . . , 6

iar conform principiului multiplicarii card (Ω) = 62 care reprezinta numarul tuturor cazurilor posibile.În ceea ce prives, te spat,iul de evenimente, mult,imea F a part,ilor este chiar mult,imea P (Ω) a tuturor

part,ilor, adica a tuturor reuniunilor de elemente (sau evenimente) din Ω. Probabilitatea P a unui eveni-

ment A ∈ F este P (A) =|A||Ω|

, unde |A| = card (A) este numarul tuturor uplurilor care apar în A iar

|Ω| = card (Ω) este numarul tuturor uplurilor care apar în Ω.Ment,ionam ca, de asemenea, putem scrie Ω s, i sub forma

Ω = f : FZ1, FZ2 → 1, 2, . . . , 6 : f este funct,ie

iar |Ω| = 62, care este numarul tuturor posibilelor funct,ii între doua mult,imi de cardinal finit (vezi Re-marca I.7.13).

Exemplul I.7.2 Numarul situat,iilor posibile care pot aparea daca aruncam trei monede este 2 · 2 · 2 = 23.Modelul matematic al experient,ei aleatoare propuse este similar celui propus mai sus.Mult,imea Ω a evenimentelor elementare este

Ω = (FM1, FM2, FM3) : FM1, FM2, FM3 ∈ C,P

iar conform principiului multiplicarii card (Ω) = 23 care reprezinta numarul tuturor cazurilor posibile.Mult,imea F a part,ilor este mult,imea tuturor reuniunilor de evenimente elementare din Ω. Probabili-

tatea P a unui eveniment A ∈ F se defines, te similar ca mai sus.Putem scrie Ω s, i sub forma

Ω = f : FM1, FM2, FM3 → C,P : f este funct,ie

iar card (Ω) = 23.

Exemplul I.7.3 Numarul de coduri de trei cifre care se pot forma cu cifrele 0, 1,. . . ,9 este 103.Într-adevar,

Ω = (CP1, CP2, CP3) : CP1, CP2, CP3 ∈ 0, 1, . . . , 9

iar conform principiului multiplicarii card (Ω) = 103.

În continuare vom face distinct,ie între o mult,ime în care ne intereseaza ordinea elementelor sale s, i omult,ime în care nu ne intereseaza ordinea elementelor sale.

I.7.2 Permutari. Aranjamente. Combinari15

Daca, de exemplu, avem o mult,ime cu 3 elemente a, b, c, atunci acestea se pot aranja astfel: abc, acb,bac, bca, cab, cba. Deci prima pozit,ie poate fi ocupata de oricare din cele trei elemente, a doua pozit,iepoate fi ocupata de oricare din cele doua elemente ramase, iar a treia pozit,ie poate fi ocupata doar desingurul element ramas. Aplicând principiul multiplicarii obt,inem astfel un numar de 3 · 2 · 1 = 3!posibile aranjamente a celor 3 elemente.

În general, daca avem o mult,ime cu n elemente, prima pozit,ie poate fi ocupata de oricare din celen elemente, a doua pozit,ie poate fi ocupata de oricare din cele (n− 1) elemente ramase s, .a.m.d. Ul-tima pozit,ie, a n−a, poate fi ocupata doar de singurul element ramas. Aplicând principiul multiplicariiobt,inem astfel un numar de

n · (n− 1) · . . . · 1 = n!

posibile aranjamente a celor n elemente.

15 Aceste tehnici de numarare nu sunt prezentate în cadrul Cursului ci doar în cadrul Seminarului (prin exemple concrete).

15


Fiecare mult,ime ordonata formata cu n elemente (care nu se pot repeta) se numes, te permutare aelementelor acelei mult,imi iar numarul total de permutari al celor n elemente este n!.

Daca avem o mult,ime cu n elemente, atunci ne poate interesa s, i în câte moduri se pot aranja k ≤ nelemente. Astfel prima pozit,ie poate fi ocupata de oricare din cele n elemente, a doua pozit,ie poate fiocupata de oricare din cele (n− 1) elemente ramase s, .a.m.d. Ultima pozit,ie, a k−a, poate fi ocupata deelemente ramase, care sunt în numar de (n− (k − 1)). Aplicând principiul multiplicarii obt,inem astfelun numar de

n · (n− 1) · . . . · (n− (k − 1)) =n!

(n− k)!

posibile aranjamente a celor k elemente.Fiecare submult,ime ordonata de k elemente, care nu se pot repeta, formata din n elemente se

numes, te aranjament al celor n elemente luate câte k iar numarul total aranjamente posibile este notats, i dat de

Akndef==

n!

(n− k)!. (I.7.2)

Evident, aranjarea a n elemente luate câte n reprezinta Ann = n!0! = n! , adica exact numarul de permutari.

Exemplul I.7.4 Daca avem la dispozit,ie pânza de steag de cinci culori diferite, putem face un steag tri-color (conteaza ordinea culorilor) în A3

5 = 5!2! = 60 moduri.

Exemplul I.7.5 Câte parole cu câte cinci litere se pot forma, daca literele nu se pot repeta? Dar daca sepot repeta? (consideram ca sunt 26 de litere)

Daca nu se pot repeta, atunci avem A526 moduri (sau de submult,imi ordonate). Daca se pot repeta,

atunci avem 265 moduri, datorita principiului multiplicarii, deoarece fiecare pozit,ie poate sa fie ocupatade oricare dintre cele 26 de litere, independent de celelalte.

Daca, de exemplu, avem o mult,ime cu 5 elemente a, b, c, d, e, atunci ne poate interesa câte grupe decâte 3 se pot forma cu aceste elemente. Urmând metoda de numarare de la aranjamente obt,inem 5 · 4 · 3posibile modalitat,i de aranjare în grupe de câte 3 elemente. Pe de alta parte în fiecare grupa obt,inutaconteaza ordinea. De exemplu, o posibila grupa de aceleas, i 3 elemente este numarata de 3! ori deoareceapar variantele: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Deci numarul total de grupe ce pot fi obt,inute din cele 5elemente s, i pentru care nu conteaza ordinea în fiecare grupa este 5·4·3

3! .

În general, daca avem o mult,ime cu n elemente s, i dorim sa obt,inem grupe (neordonate) de câte kelemente, atunci numarul acestor grupe este

n · (n− 1) · . . . · (n− (k − 1))

k!=

n!

k! · (n− k)!.

Fiecare submult,ime neordonata de k elemente, care nu se pot repeta, formata din n elemente senumes, te combinare ale celor n elemente luate câte k iar numarul tuturor combinarilor posibile este notats, i dat de

Ckndef==

n!

k! · (n− k)!. (I.7.3)

Prin convent,ie vom luaCkn = 0 ori de câte ori k < 0 sau k > n.

Exemplul I.7.6 Pentru un joc avem cinci fete s, i trei baiet,i care trebuie sa formeze o echipa de câte patrupersoane. În câte moduri se poate forma echipa?

O grupa de patru persoane se poate forma, daca avem în vedere structura echipei, în C45 · C0

3 + C35 ·

C13 + C2

5 · C23 + C1

5 · C33 = 70 moduri. Pe de alta parte, sunt C4

8 echipe posibile (deoarece nu conteaza niciordinea nici daca sunt baiet,i sau fete).

Am obt,inut s, i am demonstrat, folosind astfel analiza combinatorie, identitatea16

C45 · C0

3 + C35 · C1

3 + C25 · C2

3 + C15 · C3

3 = C48 .

16 Vezi s, i identitatea algebrica combinatoriala obt,inuta în cazul aplicarii schemei hipergeometrice.

16


Exemplul I.7.7 În câte moduri 10 student,i pot ocupa 10 banci? Dar 12 banci?Evident, 10 student,i pot ocupa 10 banci în A10

10 = 10! moduri.În cazul a 12 banci avem: 10 banci pot fi alese în C10

12 moduri, iar pentru 10 banci fixate avem 10!moduri de a se as, eza student,ii. Conform principiului multiplicarii vom obt,ine C10

12 · 10! = A1012 moduri.

Putem generaliza formularea problemei de mai sus considerând urmatoarea situat,ie: avem o mult,imecu n elemente s, i dorim sa obt,inem r grupe (neordonate) de câte ki elemente fiecare, cu i = 1, r , unde∑ri=1 ki = n. Atunci numarul total de grupe posibile este dat, conform principiului multiplicarii, de

Ck1n · Ck2n−k1 · C

k3n−k1−k2 · . . . · C

krn−k1−...−kr−1

=n!

k1! · (n− k1)!· (n− k1)!

k2! · (n− k1 − k2)!· . . . · (n− k1 − . . .− kr−1)!

kr! · (n− k1 − . . .− kr)!=

n!

k1! · k2! · k3! · . . . · kr!.

S-a obt,inut o combinare a celor n elemente luate în r grupe de câte ki elemente fiecare, i = 1, r , cu∑ri=1 ki = n, iar numarul tuturor combinarilor posibile este notat s, i dat de

Ck1,k2,...,krndef==

n!

k1! · k2! · . . . · kr!. (I.7.4)

Remarca I.7.8 Evident, combinarea a n elemente luate în 2 grupe de câte ki elemente fiecare (k1 = k s, irespectiv k2 = n− k elemente) data de definit,ia (I.7.4) reprezinta combinarea celor n elemente luate câtek data de definit,ia (I.7.3), i.e. Ckn

not== Ck,n−kn .

Exemplul I.7.9 O sect,ie de polit,ie are angajat,i 10 polit,is, ti. S, tim ca 5 polit,is, ti trebuie sa fie pe teren, 2polit,is, ti lucreaza la birou iar 3 polit,is, ti sunt pentru situat,ii de urgent, a.

Atunci sunt posibile

C510 · C2

5 · C33 =

10!

5! 2! 3!= C5,2,3

10

moduri în care se pot diviza în cele 3 grupe cei 10 polit,is, ti.

Exemplul I.7.10 Se arunca un zar de 14 ori. Sa se arate ca probabilitatea ca fat,a 1 sa apara de 3 ori, fat,a 2sa apara o data, fat,a 3 sa apara de 4 ori, fat,a 4 sa apara de 2 ori, fat,a 5 sa apara de 3 ori s, i fat,a 6 sa apara o

singura data esteC3,1,4,2,3,1

14

614.

Într-adevar, numarul cazurilor tuturor posibile de 14−upluri este de 614. Pe de alta parte, numarultuturor cazurilor favorabile aparit,iei evenimentului avut în vedere este

C314 · C1

11 · C410 · C2

6 · C34 · C1

1 =14!

3! 1! 4! 2! 3! 1!= C3,1,4,2,3,1

14 .

Remarca I.7.11 Ne putem imagina s, i problema obt,inerii de submult,imi neordonate de k elemente darcare se pot repeta, formata din n elemente. Se poate arata17 ca numarul tuturor combinarilor posibile den elemente luate în grupe de câte k care se pot s, i repeta este dat de Ckn+k−1 .

Prin urmare, folosind s, i (I.7.1), (I.7.2), (I.7.3), se obt,ine urmatoarea sinteza legata de numarul total dek−upluri ce se pot forma din n elemente:

PPPPPPPPPPPPP

Modulde formare

Tipul deuplu Conteaza ordinea Nu conteaza ordinea

Repetit,ia este permisa nk Ckn+k−1

Repetit,ia nu este permisa Akn Ckn

17 Aceasta formula nu este pentru Examen !

17


Exemplul I.7.12 De exemplu, daca ne intereseaza submult,imi de 2 elemente care se pot forma, în diversemoduri, din 3 elemente, atunci avem urmatoarele variante:

PPPPPPPPPPPPP

Modulde formare

Tipul deuplu Conteaza ordinea Nu conteaza ordinea

Repetit,ia este permisa

(1, 1) (1, 2) (1, 3)

(2, 1) (2, 2) (2, 3)

(3, 1) (3, 2) (3, 3)

(1, 1) (1, 2) (1, 3)

(2, 2) (2, 3)

(3, 3)

Repetit,ia nu este permisa(1, 2) (1, 3)

(2, 1) (2, 3)

(3, 1) (3, 2)

(1, 2) (1, 3)

(2, 3)

Remarca I.7.13 Daca D,C sunt doua mult,imi cu un numar finit de elemente card (D) = |D| = n iarcard (C) = |C| = m, atunci numarul tuturor funct,iilor f : D → C este

mn = |C||D| .

Astfel, fiecarui element al mult,imii D i se poate asocia oricare din cele m valori, deci, folosind principiulmultiplicarii, numarul tuturor n−uplurilor ordonate (a1, a2, . . . , an) posibile este m ·m · . . . ·m︸︷︷︸

de n-ori

= mn .

Evident, daca |D| = n > m = |C| , atunci nu exista nici o funct,ie injectiva între D s, i C. Daca n ≤ m,numarul tuturor funct,iilor injective f : D → C este

Anm = A|D||C| .

Într-adevar, daca n ≤ m, atunci elementului a1 i se pot asocia m valori, elementului a2 i se pot asocia(m− 1) valori (deoarece asocierea este injectiva s, i deci o valoare din C nu se mai poate asocia nici unuialt element din D) s, .a.m.d. În final, elementului an i se pot asocia (m− (n− 1)) valori. Deci, folosindprincipiul multiplicarii, numarul tuturor n−uplurilor ordonate (a1, a2, . . . , an) care se pot scrie este

m · (m− 1) · . . . · (m− (n− 1)) =m!

(m− n)!= Anm .

Evident, numarul tuturor funct,iilor bijective f : D → C este

n! = A|C||C|

deoarece trebuie sa avem |C| = |D| .

I.8 Scheme clasice de probabilitate18

I.8.1 Schema lui Poisson (schema binomiala generalizata)

Fie E o experient, a care consta în efectuarea a n experient,e independente E1, . . .En, iar Ai, i = 1, n ,evenimente legate de experient,ele Ei respectiv. Fie X evenimentul care consta în realizarea a k eveni-mente (0 ≤ k ≤ n) din cele n evenimente Ai, i = 1, n , când se efectueaza experient,a E. Atunci areloc18 Aceste scheme clasice de probabilitate nu sunt prezentate în cadrul Cursului ci doar în cadrul Seminarului (prin exemple

concrete).

18


Propozitia I.8.1 Probabilitatea evenimentului X este coeficientul lui xk din polinomul

Q (x) = (p1x+ q1) · (p2x+ q2) · . . . · (pnx+ qn) ,

unde pi = P (Ai) s, i qi = 1− pi = P(Ai).

Demonstratie. Pentru simplitate, vom considera doar cazul n = 4 s, i k = 2. Evenimentul a carui realizareînseamna realizarea a 2 evenimente s, i neralizarea a 2 evenimente este scris sub forma unei reuniuni dealte C2

4 = 6 evenimente (în fiecare dintre ele 2 se realizeaza s, i celelalte 2 nu):(A1 ∩A2 ∩ A3 ∩ A4

)∪(A1 ∩ A2 ∩A3 ∩ A4

)∪(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩A4

)∪(A1 ∩A2 ∩A3 ∩ A4

)∪(A1 ∩A2 ∩ A3 ∩A4

)∪(A1 ∩ A2 ∩A3 ∩A4

).

Toate cele 6 evenimente sunt incompatibile între ele, iar fiecare dintre ele este intersect,ia a patru eveni-mente independente. Prin urmare, probabilitatea evenimentului precedent este

p1p2q3q4 + p1q2p3q4 + p1q2q3p4 + q1p2p3q4 + q1p2q3p4 + q1q2p3p4

care este exact coeficientul lui x2 din polinomul Q (x) = (p1x+ q1) (p2x+ q2) (p3x+ q3) (p4x+ q4) .

În cazul general,X conta în reuniunea aCkn evenimente, fiecare dintre acestea scriindu-se ca intersect,iaa n evenimente independente (dintre care k sunt de tipul Ai iar (n− k) sunt de tipul Aj).

Remarca I.8.2 Se vede din demonstrat,ie ca rezultatul obt,inut nu simplifica calculul efectiv al probabilitat,iicerute. Este doar o formulare condensata a metodei de calcul.

O varianta concreta s, i des întâlnita a schemei Poisson este urmatoarea: se dau n urne U1, ..., Un carecont,in bile albe s, i negre în proport,ii cunoscute (adica se cunosc probabilitat,ile pi de extragere a unei bilealbe din urna Ui , cu i = 1, n ). Fie E experient,a extragerii a câtei unei bile din fiecare urna Ui , i = 1, n .Daca X reprezinta evenimentul extragerii a k bile albe (s, i deci a n−k bile negre), când din fiecare urna seextrage câte o bila, atunci P (X) este ak, unde ak este coeficientul lui xk din polinomul Q (x) de mai sus.

Remarca I.8.3 Uneori se poate considera ca cele n evenimente Ai coincid între ele, Ai = A, i = 1, n .Evenimentul X consta atunci în faptul ca evenimentul A se realizeaza de k ori s, i de (n− k) ori nu serealizeaza, atunci când se efectueaza experient,aE ce consta în cele n experient,eEi . În acest caz particularse obt,ine schema binomiala.

I.8.2 Schema binomiala (schema bilei revenite)

Fie E o experient, a s, i A un eveniment legat de experient,a E. Notam cu p = P (A). Fie X evenimentulcare consta în realizarea lui A de k ori s, i în nerealizarea lui A de n − k , când se efectueaza experient,a E

de n ori. Atunci are loc

Propozitia I.8.4 Probabilitatea evenimentului X este

P (X) = Ckn pkqn−k, cu q = 1− p.

Demonstratie. Se observa ca suntem într-un caz particular al schemei lui Poisson în care pentru i = 1, n ,Ei = E, Ai = A, deci pi = p, qi = 1 − p iar Q (x) = (px+ q)

n. Prin urmare, probabilitatea ceruta estecoeficientul lui xk, adica Cknpkqn−k.

O varianta concreta a schemei binomiale este urmatoarea: se da o urna U care cont,ine bile a albe s, i bbile negre (deci probabilitatea p de extragere a unei bile albe din urna U este p = a/ (a+ b) s, i, evident,q = b/ (a+ b)). Fie E experient,a extragerii unei bile din urna U , urmând ca bila sa fie pusa înapoi. Seefectueaza E de n ori. Daca X reprezinta evenimentul extragerii a k bile albe s, i a n− k bile negre, atunci

P (X) = Ckn

(a

a+ b

)k (b

a+ b

)n−k.

Exemplul I.8.5 Dintr-o urna cu 14 de bile, dintre care 8 albe s, i 6 negre, se extrag cu revenire 3 bile. Careeste probabilitatea ca cele 3 bile extrase sa fie 2 albe s, i una neagra?

Suntem în cazul n = 3, k = 2, p = 8/14 = 4/7, q = 3/7.

19


I.8.3 Schema hipergeometrica (schema bilei nerevenite)

Sa consideram o urna U cu m bile de tipul a bile albe s, i b = m − a bile negre. Experient,a E consta înextragerea succesiva a n bile fara a pune bila extrasa înapoi (n ≤ m) (sau se poate considera ca se scot nbile simultan). Fie X evenimentul ca din cele n bile extrase α sa fie albe s, i β = n− α sa fie negre (α ≤ a,β ≤ b). Atunci are loc urmatorul rezultat.


P (X) =Cαa · C

βb

Cα+βa+b

, unde α+ β = n, a+ b = m.

Demonstratie. Sa presupunem ca se extrag n bile deodata. Numarul cazurilor posibile este Cna+b . Pe dealta parte, α bile albe se pot extrage în Cαa iar β bile negre se pot extrage în Cβb , deci, conform principiuluimultiplicarii, α bile albe s, i β bile negre se pot extrage în Cαa · C

βb moduri (fiecare grupa de α bile albe se

poate grupa cu fiecare grupa de β bile negre). Apoi folosim definit,ia clasica a probabilitat,ii.

Cazul în care bilele se extrag una câte una se rezolva similar: în aceasta situat,ie, numarul cazurilorposibile este Ana+b = n!Cna+b iar cel al cazurilor favorabile este n! · Cαa · C

βb .

Exemplul I.8.7 La o extragere, din 400 de bilete, 4 sunt câs, tigatoare. O persoana cumpara 10 bilete. Careeste probabilitatea ca sa nu aiba nici un bilet câs, tigator?

Avem a = 4, b = 396, α = 0, β = 10, n = 10. Deci probabilitatea sa obt,inem k = 0 bilete câs, tigatoare

esteC0

4 · C10396

C10400

= 0.903.

Putem sa generalizam în felul urmator: sa consideram o urna U cum bile de r culori; mai precis, avemai bile din fiecare culoare ci , i = 1, r . Experient,a E consta în extragerea succesiva a n bile fara a punebila extrasa înapoi (n ≤

∑ri=1 ai ) (sau se poate considera ca se scot n bile simultan). Fie X evenimentul

ca din cele n bile extrase α1 sa fie de culoarea c1 , . . . , αr sa fie de culoarea cr , cu∑ri=1 αi = n astfel încât

αi ≤ ai .În mod similar Propozit,iei I.8.6 se poate demonstra urmatorul rezultat.


P (X) =Cα1a1 · C

α2a2 · . . . · C

αmam

Cα1+...+αma1+...+am

, unde α1 + . . .+ αm = n.

Exemplul I.8.9 O urna cont,ine 8 bile albe, 9 bile negre s, i 10 bile ros, ii. Se extrag 3 bile. Care este probabil-itatea ca bilele extrase sa fie de culori diferite?

Dorim ca grupul celor trei bile sa arate astfel: una alba, una neagra s, i una ros, ie. Deci probabilitatea

evenimentului cerut esteC1

8 · C19 · C1

10

C327

= 0.246.

Exemplul I.8.10 Un magazin vinde un acelas, i tip de marfa produsa de trei firme. Magazinul are 300 deunitat,i de la prima firma, 260 de unitat,i de la a doua firma, 420 de unitat,i de la a treia firma s, i vinde 260de produse. Care este probabilitatea 80 de unitat,i sa fie de la prima firma, 50 de unitat,i de la a doua firmas, i 130 de unitat,i sa fie de la a treia firma?

20

I.1 Evenimente s i operatii cu evenimentematiciuc/didactic/Probability...I.1 Evenimente s, i...

Documents

Transcript of I.1 Evenimente s i operatii cu evenimentematiciuc/didactic/Probability...I.1 Evenimente s, i...