Grupuri și inele

download Grupuri și inele

of 106

description

Grupuri și inele pentru fundamentele algebrice ale informaticii.

Transcript of Grupuri și inele

  • Capitolul II

    Grupuri

    2.1. Operatii algebriceInca din cursul scolar de matematica sunt bine cunoscute un sir de

    operatii cu numere, multimi, matrice, functii etc. Observam ca toateaceste operatii sunt n esenta niste aplicatii. De exemplu, operatia deadunare a numerelor naturale poate fi privita ca o aplicatie.

    : N N N, (x, y) (x, y) = x+ y,

    unde perechii ordonate de numere naturale (x, y) i corespunde unnumar natural unic (x, y) = x+ y, numit suma numerelor naturale xsi y. Astfel, (1, 2) = 1 + 2 = 3, (0, 7) = 0 + 7 = 7 etc.

    Analog, operatia de adunare a matricelor de tipul (m,n) cu ele-mente din multimea numerelor reale R poate fi privita ca o aplicatie

    :Mm,n(R)Mm,n(R)Mm,n(R),

    (A,B) (A,B) = A+B,unde perechii ordonate (A,B) de matrice din Mm,n(R) i corespundematricea (A,B) = A+B din aceeasi multimeMm,n(R), numita sumamatricelor A si B.

    Exemplele cunoscute de operatii sugereaza posibilitatea definiriinotiunii de operatie pe o multime nevida, facand abstractie de naturaelementelor multimii date.

    Definitie. Fie A o multime nevida si n un numar natural. Oriceaplicatie : An A se numeste operatie nara pe multimea A.

    Pentru n = 0 s-a convenit ca A0 este o multime cu un singurelement, fixat n A. Astfel, a defini o operatie algebrica 0ara pe omultime nevida A nseamna a fixa un element n A.

    Pentru n = 1 avem A1 = A deci operatie algebrica 1-ara (maispunem operatie algebrica unara) pe A este orice aplicatie : A A.

    25

  • Pentru n = 2 obtinem operatii algebrice 2-are, pe care le numimoperatii algebrice binare, : A2 A, (x, y) (x, y).

    In acest capitol vom considera doar operatii algebrice binare, iarn text vom omite cuvantul binare. Astfel, vom utiliza definitiaurmatoare.

    Definitie. Orice aplicatie

    : AA A, (x, y) (x, y),

    unde A este o multime nevida, se numeste operatie algebrica (sau legede compozitie) definita pe multimea A.

    In acest caz elementul unic determinat (x, y) A, care corespundeperechii ordonate (x, y) AA prin aplicatia , se numeste compusulelementelor x si y prin .

    Nota. Operatiile algebrice (legile de compozitie) se vor nota cudiferite simboluri, de exemplu cu +, , , , 4, , , , >, , etc.Corespunzator, compusul elementelor x si y la operatia algebrica datase va nota cu x + y, x y, x y, x y, x4y, x y, x y, xy, x>y,x y, x y etc.

    Fie A = {a1, a2, . . . , an} o multime finita si : A2 A o operatiealgebrica definita pe A. Construim urmatorul tabel:

    a1 a2 aj ana1

    ...

    a2...

    ...ai (ai, aj) ...an

    ...

    Tabelul 1

    care se completeaza n asa fel, ncat la intersectia liniei elementului ai cucoloana elementului aj sa se afle elementul (ai, aj), unde 1 i, j n.

    26

  • Tabelul 1, obtinut n modul acesta, se numeste tabla operatiei algebrice.

    ExempluNotam cu F(E) multimea tuturor functiilor definite pe multimea

    E, cu valori n E.Daca E = {1, 2}, atunci F(E) consta din patru functii, pe care le

    notam, de exemplu, n felul urmator:

    e =(

    1 21 2

    ), f =

    (1 22 1

    ), g =

    (1 21 1

    ), h =

    (1 22 2

    ).

    Compunerea functiilor :

    F(E)F(E) F(E), (f1, f2) f1 f2,

    este o operatie algebrica definita pe F(E) avand tabla: e f g he e f g hf f e h gg g g g gh h h h h

    Nota. Notiunea de operatie algebrica prezinta un mare gradde generalitate, de aceea studiul operatiilor algebrice bazat doar pedefinitia lor este sarac n rezultate. Este productiva nsa ideea cercetariioperatiilor algebrice cu anumite proprietati.

    Fie A o multime nevida echipata cu o lege de compozitie ,

    AA A, (x, y) x y.

    Prezenta parantezelor ntr-o expresie la scrierea careia participa ele-mente din A si operatia algebrica , indica ordinea n care se vorefectua calculele pentru a determina valoarea expresiei. De exemplu,prezenta parantezelor n expresia (x y) z cere urmatoarea proce-dura de calcul: se determina la nceput compusul x y si apoi x y secompune la dreapta cu z, obtinandu-se n final elementul (xy)z A.

    27

  • Definitie. O lege de compozitie A A A, (x, y) x y, senumeste asociativa daca

    (x y) z = x (y z), x, y, z A.

    Exemple1. Adunarea si nmultirea numerelor reale sunt operatii algebrice

    asociative, deoarece

    (x+ y) + z = x+ (y + z) si (x y) z = x (y z), x, y, z R.2. Fie n N,n 1. Adunarea si nmultirea matricelor patratice de

    ordinul n cu elemente reale sunt operatii algebrice asociative deoarece

    (A+B) + C = A+ (B + C), A,B,C Mn(R).si

    (A B) C = A (B C), A,B,C Mn(R).3. Fie E o multime nevida si F(E) multimea tuturor functiilor

    definite pe E cu valori n E. Compunerea functiilor din F(E) este ooperatie algebrica asociativa pentru ca

    (f g) h = f (g h), f, g, h F(E).4. Scaderea numerelor ntregi

    Z Z Z, (x, y) x y,este o operatie algebrica pe Z nsa nu este asociativa deoarece, deexemplu, (2 1) 3 = 2 iar 2 (1 3) = 4.

    Astfel de proprietati ca asociativitatea simplifica mult efectuareacalculului algebric. Posibilitati largi n acest sens ofera si operatiilealgebrice pentru care compusul a doua elemente arbitrare este inde-pendent de ordinea n care se face compunerea lor. Asemenea operatiialgebrice se numesc comutative.

    Definitie. O operatie algebrica definita pe o multime nevidaA se numeste comutativa daca

    x y = y x, x, y A.

    28

  • Exemple1. Adunarea si nmultirea numerelor reale sunt operatii algebrice

    comutative.2. Reuniunea si intersectia partilor (submultimilor) unei multimi

    sunt operatii algebrice comutative.3. Inmultirea matricelor din M2(R) nu este comutativa deoarece,

    de exemplu, (1 01 0

    )(

    1 23 4

    )=(

    1 21 2

    ),

    iar (1 23 4

    )(

    1 01 0

    )=(

    3 07 0

    ).

    Nota. Comutativitatea unei operatii algebrice date pe omultime finita A poate fi verificata cu ajutorul tablei acestei operatii:elementul x y de la intersectia liniei lui x cu coloana lui y trebuiesa fie egal cu elementul y x de la intersectia liniei lui y cu coloanalui x, pentru orice x, y A. Prin urmare, operatia algebrica estecomutativa daca si numai daca tabla acestei operatii este simetrica nraport cu diagonala principala a sa.

    Multe operatii algebrice cunoscute poseda (pe multimi concrete)asa-numitul element zero sau element unitate. Dam cateva exemple.

    1. Pentru operatia de adunare, definita pe multimea numerelorreale R, exista numarul 0 R cu proprietatea

    x+ 0 = 0 + x = x,x R.

    2. Pentru operatia de nmultire pe multimea numerelor reale Rexista numarul 1 R astfel ncat

    x 1 = 1 x = x,x R.

    3. Pentru operatia de adunare a matricelor, definita pe multimeaMn(R), unde n N, exista matricea nula On Mn(R) astfel nct

    X +On = On +X = X, X Mn(R).

    29

  • 5. Daca E este o multime nevida si F(E) este multimea tuturorfunctiilor definite pe E cu valori n E, atunci pentru operatia de com-punere a functiilor exista functia identica F(E) astfel ncat

    f = f = f, f F(E).

    Notiunea de element zero sau element unitate se generalizeaza pen-tru operatii algebrice arbitrare n felul urmator.

    Definitie. Spunem ca operatia algebrica , definita pe o multimenevida A, poseda element neutru daca exista un element e A astfelncat

    x e = e x = x,x A.

    Teorema 1. Daca o operatie algebrica , definita pe o multimenevida A, poseda element neutru, atunci acesta este unic.

    Demonstratie. Admitem, de la contrariu, ca operatia algebrica poseda elementele neutre e, e

    A. Atunci au loc egalitatile e = ee =e, deci e = e

    .

    Nota. In notatie aditiva, adica daca operatia algebrica estenotata cu + , elementul neutru (daca exista) se noteaza, de regula,cu 0 si se numeste elementul zero.

    In notatie multiplicativa, adica daca operatia algebrica estenotata cu , elementul neutru (daca exista) se noteaza, de regula,cu 1 sau cu e si se numeste elementul unitate sau, simplu, unitateaoperatiei .

    Exemple1. Numarul 0 este elementul neutru al adunarii numerelor reale

    (naturale, ntregi, rationale, complexe, respectiv), iar numarul 1este elementul neutru al nmultirii numerelor reale (naturale, ntregi,rationale, complexe, respectiv).

    2. Aplicatia identica = idE a multimii nevide E este elementulneutru al operatiei de compunere a functiilor din F(E).

    3. Multimea vida este elementul neutru al operatiei de reuniune,definite pe multimea B(E) a tuturor partilor unei multimi date E, iar

    30

  • multimea E este elementul neutru al operatiei de intersectie definite peB(E).

    4. Operatia de nmultire definita pe multimea numerelor natu-rale pare 2N = {2n|n N} nu admite element neutru. Intr-adevar,egalitatile x e = e x = x,x 2N implica x = 1, nsa 1 6 2N.

    Fie A o multime nevida pe care este definita o operatie algebricaasociativa ce poseda elementul neutru e.

    Definitie.Un element x A se numeste simetrizabil n raport cuoperatia algebrica , daca exista un element x A astfel ncat

    x x = x x = e.

    In acest caz elementul xse numeste simetricul lui x (n raport cu

    operatia algebrica ).Teorema 2. Fie o operatie algebrica asociativa ce poseda

    element neutru, definita pe o multime nevida A. Daca un element x Aeste simetrizabil n raport cu , atunci simetricul lui este unic.

    Demonstratie. Fie ca elementul x A este simetrizabil n raportcu si fie x si x simetricele lui. Atunci x x = x x = e six x = x x = e, unde e este elementul neutru al operatiei algebrice. Prin urmare, x = x e = x (xx) = (x x)x = ex = x ,deci x

    = x

    .

    Nota. In notatie multiplicativa = simetricul lui x, n cazca exista, se noteaza, de regula, cu x1 si se numeste inversul lui x.

    In notatie aditiva = + simetricul lui x, n caz ca exista, senoteaza, de regula, cu x si se numeste opusul lui x.

    Exemple1. Fie o operatie algebrica asociativa definita pe o multime

    nevida E si fie ca poseda elementul neutru e. Asa cum e e = erezulta ca elementul neutru e este simetrizabil si simetricul sau coincidecu el.

    2. Orice numar ntreg este simetrizabil n raport cu adunarea nu-merelor ntregi.

    Unicele numere ntregi simetrizabile n raport cu nmultirea sunt 1si 1.

    31

  • 3. O matrice patratica de ordinul doi cu elemente reale

    A =(

    a bc d

    )este simetrizabila (inversabila) n raport cu nmultirea matricelor dinM2(R) daca si numai daca ad cb 6= 0 si atunci

    A1 =1

    ad cb(

    d bc a

    ).

    Propozitia 1. Fie o operatie algebrica asociativa ce posedaelement neutru, definita pe o multime nevida A. Daca elementele x siy din A sunt simetrizabile n raport cu , atunci elementele x y six, unde x

    este simetricul lui x, sunt simetrizabile si au loc egalitatile:

    a) (x y) = y x ;b) (x

    )= x.

    Demonstratie. a) Au loc egalitatile: (y x)(xy) = y (x (x

    y)) = y ((x x)y) == y (ey) = y y = e, unde e este elementul

    neutru al operatiei , xx = x x = e si y y = y y = e. Analogse demonstreaza ca (x y) (y x) = e. Prin urmare, (xy) = y x .

    Afirmatia b) rezulta din definitia elementului simetrizabil. Nota. 1) Egalitatile a) si b) din Propozitia 1 se transcriu n notatie

    multiplicativa n felul urmator:

    a) (x y)1 = y1 x1, b) (x1)1 = x.

    In notatie aditiva egalitatile a) si b) iau forma:

    a) (x+ y) = (y) + (x), b) (x) = x.

    2) In continuare vom utiliza notatia x y n loc de x+ (y).Definitie. Fie A o multime nevida si o lege de compozitie binara

    pe A. Pentru orice n N definim recursiv o lege de compozitie n-aran : An A n felul urmator:

    1 = idA (aplicatia identica a multimii A),

    32

  • n+1(a1, a2, . . . , an+1) = (n(a1, a2, . . . , an), an+1),

    pentru a1, a2, . . . , an, an+1 A.Propozitia 2. Fie A o multime nevida si o lege de compozitie

    binara asociativa, definita pe A. Atunci pentru orice doua numerem,n N si orice a1, a2, . . . , am+n A are loc egalitatea

    (m(a1, a2, . . . , am), n(am+1, am+2, . . . , am+n)) =

    = m+n(a1, a2, . . . , am+n) (1)

    Demonstratie. Aplicam inductia matematica dupa n. Pentru n = 1,

    (m(a1, a2, . . . , am), am+1) = m+1(a1, a2, . . . , am+1),

    conform definitiei lui m+1. Presupunem egalitatea (1) adevarata pen-tru n. Atunci

    (m(a1, a2, . . . , am), n+1(am+1, am+2, . . . , am+n+1)) =

    = (m(a1, a2, . . . , am), (n(am+1, am+2, . . . , am+n), am+n+1)) =

    ((m(a1, a2, . . . , am), n(am+1, am+2, . . . , am+n)), am+n+1) =

    = (m+n(a1, a2, . . . , am+n), am+n+1) =

    = m+n+1(a1, a2, . . . , am+n+1).

    Nota. 1) Egalitatea (1) se mai numeste legea asociativa generali-zata.

    2) Daca = , atunci notam expresia n(a1, a2, . . . , an) cua1 a2 . . . an. Astfel, obtinem prin definitie:

    a1 a2 . . . an = (a1 a2 . . . an1) an =

    = ((a1 a2 . . . an2) an1) an = . . . == (. . . ((a1 a2) a3) . . . an1) an.

    33

  • Este clar ca exista mai multe posibilitati de a grupa elementelepentru a forma un produs n-ar. Legea asociativa generalizata arata catoate aceste produse n-are vor coincide.

    Daca legea de compozitie binara poseda element neutru, atuncidefinim 0 : A0 A ca fiind acest element neutru. In acest cazse observa ca legea asociativa generalizata are loc pentru orice douanumere naturale m si n.

    Propozitia 3. Fie o lege de compozitie asociativa definita peo multime nevida A,n N si a1, a2, . . . , an A. Daca ai aj = aj ai,pentru orice i, j {1, . . . , n}, atunci

    a1a2...an = a(1)a(2) a(n), (2)

    pentru orice aplicatie bijectiva : {1, 2, ..., n} {1, 2, ..., n}.Demonstratie. Aplicam inductia matematica dupa n. Pentru n = 1

    si n = 2 afirmatia este evidenta. Presupunem ca afirmatia esteadevarata pentru oricem elemente, undem < n, n > 2. Daca (k) = n,unde k {1, 2, ..., n}, atunci

    a(1)a(2) a(n) = (a(1) a(k1))(ana(k+1)...a(n)) =

    = (a(1)...a(k1))(a(k+1)...a(n)an) =

    = (a(1)...a(k1)a(k+1)...a(n))an.

    Consideram aplicatia : {1, 2, ..., n 1} {1, 2, ..., n 1},

    (i) ={

    (i) daca i {1, 2, ..., k 1},(i+ 1), daca i {k, k + 1, ..., n 1},

    care este bijectiva. Avem a(1)...a(k1)a(k+1)...a(n) == a(1)...a(k1)a(k)...a(n1) = a1a2...an1 conform presupunerii in-ductive, deci

    a(1)a(2)...a(n) = (a1a2...an1)an = a1a2..an.

    Nota. Egalitatea (2) se mai numeste legea comutativa generalizata.

    34

  • Propozitia 4. Fie o operatie algebrica asociativa ce posedaelement neutru, definita pe o multime nevida A si n N. Dacaelementele x1, x2, ..., xn A sunt inversabile n raport cu ,atunci produsul x1x2...xn este un element inversabil si (x1x2...xn)1 =x1n ...x

    12 x

    11 .

    Demonstratie. Aplicam inductia matematica dupa n. Pentru n =1 este evident, iar pentru n = 2 afirmatia este adevarata conformPropozitiei 1. Presupunem afirmatia adevarata pentru n 1 elemente.Atunci x1x2...xn = (x1x2...xn1)xn, deci produsul x1x2...xn este unelement inversabil, fiind produsul a doua elemente inversabile si

    (x1x2...xn)1 = [(x1x2...xn1)xn]1 =

    = x1n (x1x2...xn1)1 = x1n ...x

    12 x

    11 .

    Definitie. Fie o operatie algebrica asociativa definita pe omultime nevida A, n N si a A. Elementul an = a1a2...an, undea1 = a2 = ... = an = a, se numeste puterea a n-a a elementului a (nraport cu ).

    Din definitia de mai sus rezulta ca a1 = a si an+1 = an a, n N.Daca operatia algebrica poseda elementul neutru e, atunci

    putem defini a0def= e.

    Conform legii asociative generalizate avem:

    am an = am+n si (am)n = amn, pentru m,n N.Daca a, b A si ab = ba, atunci conform legii comutative generali-

    zate, avem (ab)n = anbn pentru orice n N. Egalitatile1) am an = am+n,

    2) (am)n = amn, (3)

    3) (ab)n = anbn, daca ab = ba,

    se numesc legile puterii. Ele au loc pentru orice m,n N, iar daca poseda element neutru, atunci legile puterii (3) au loc pentrum,n N.

    35

  • Daca operatia algebrica asociativa poseda element neutru sielementul a A este inversabil n raport cu , atunci este inversabilsi elementul an si (an)1 = (a1)n, pentru orice n N. In acest cazputem defini puterile cu exponent negativ ale elementului a, luandan def= (an)1 = (a1)n, n N.

    Astfel, daca operatia algebrica asociativa poseda element neu-tru, elementele a, b A sunt inversabile n raport cu si ab = ba,atunci legile puterii (3) sunt adevarate pentru orice n,m Z. Intr-adevar, daca m si n sunt numere ntregi pozitive, atunci m n saum < n. Daca m n, atunci m n 0 si am an = (amnan)an =amn(an an) = amn(a a1)n = amn.

    Daca m < n, atunci nm > 0 si

    am an = am[am(a1)nm] = (am am)amn = amn.

    Prin urmare, au loc si egalitatile:

    am an = (a1)m (a1)n = (a1)m+n = am+(n);

    (am)n = ((am)n)1 = (amn)1 = amn = am(n);

    (am)n = ((a1)m)n = (a1)mn = amn = a(m)n;

    (am)n = (((am)1)1)n = (am)n = amn = a(m)(n);

    daca ab = ba, atunci (ab)n = ((ba)n)1 = (bnan)1 = anbn. Innotatie aditiva vom scrie na n loc de an si vom numi multiplul al n-leaal elementului a. Astfel, 0a = 0 (0 din partea stanga a egalitatii estenumarul natural 0, iar 0 din dreapta este elementul neutru n raportcu +), 1a = a, (n+1)a = na+ a. In notatie aditiva legile puterii iauforma:

    1) ma+ na = (m+ n)a,2) m(na) = (mn)a, (4)3) n(a+ b) = na+ nb, daca a+ b = b+ a.

    36

  • Exercitii

    1. Fie data multimea A pe care este definita operatia algebrica .Sa se verifice daca este comutativa, asociativa, cu element neutru.Sa se determine elementele simetrizabile (n caz ca exista).

    a) A = Z, x y = x+ y xy;b) A = Z, x y = x+ y + xy;c) A = N, x y = c.m.m.d.c(x, y);d) A = N, x y = c.m.m.m.c(x, y);e) A = R, x y = xy x y 2;f) A = R, x y = max{x, y};g) A = R, x y = min{x, y};h) A = (0;+), x y = 2xyx+y ;i) A = (0;+), x y = x+y2 ;j) A = (0;), x y = xy;k) A = N N, (x, y) (u, v) = (x+ u, y + v);l) A = N N, (x, y) (u, v) = (xu+ yv, xv + yu);m) A = Z Z, (x, y) (u, v) = (xv + yu, yv);n) A = Z Z, (x, y) (u, v) = (xu, yv).

    2. Sa se arate ca nmultirea matricelor este operatie algebrica pemultimea B, sa se verifice daca aceasta operatie este comutativa, cuelement neutru:

    a) B ={(

    a bc d

    )M2(Z)

    a+ b = c+ d} ;b) B =

    {(2x 3yy 2x

    )M2(Q)

    4x2 3y2 = 1} ;c) B =

    {(a a 10 1

    )M2(R)

    a 6= 0} ;d) B =

    {(11x2

    x1x2

    x1x2

    11x2

    )M2(R)

    x (1; 1)};

    e) B =

    a b bb a b

    b b a

    M2(R)detM = 1 ;

    37

  • f) B =

    1 0 aa 1 a22

    0 0 1

    a R ;

    g) B =

    a 0 0b a 0

    c b a

    M3(R)a 6= 0 ;

    h) B = {Mt|t R,Mt = t3A+ 13t2C} unde

    A =

    2 1 11 2 11 1 2

    , C = 1 1 11 1 1

    1 1 1

    ;i) B =

    {(a bb a

    )M2(R)

    a2 + b2 > 0} ;j) B =

    {(a 3bb a

    )M2(Q)

    a2 + 3b2 > 0} .3. Este oare operatia algebrica definita pe M2(R) asociativa,comutativa, cu element neutru?

    a) A B = AB +BA; b) A B = AB BA.4. Fie data multimea A, o operatie algebrica pe A si H A. Sa severifice daca operatia indusa pe H de catre este asociativa, comu-tativa, cu element neutru. Sa se construiasca tabla operatiei induse.Sa se determine elementele simetrizabile n H.

    a) A = Z,H = {0, 1, 2, 3, 4}, x y = |x y|;b) A = R, H = {5,

    1 +

    2, 33 +

    2},

    x y = max{x, y};c) A = N,H = {a N|12...a}, x y = c.m.m.d.c.(x, y);d) A = N, H = {a N|12...a}, x y = c.m.m.m.c.(x, y);e) A = Z,H = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, x y = x+y+|xy|2 ;f) A = Z,H = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, x y = x+y|xy|2 ;g) A = R,H = {1, 2, 3, 4},

    x y ={

    y x daca x 2, y > 2,5 y daca x > 2 sau y 2.

    38

  • 5. Sa se determine valorile reale ale parametrilor a, b, c astfel ncatlegea de compozitie pe multimea A sa fie comutativa, asociativasi sa se determine elementul neutru (daca exista):

    a) A = R, x y = a(x+ y) xy;b) A = R, x y = x+ y + axy;c) A = R, x y = xy + 2ax+ by.

    6. Fie A o multime nevida care contine n elemente. Cate operatiialgebrice se pot defini pe A? Cate dintre acestea sunt comutative?Cate admit element neutru?7. Sa se determine partile finite ale multimilor C,R,Q,Z, stabile fatade nmultire.8. Fie M o parte a lui C stabila fata de adunare, care contine toatenumerele complexe de modul 1. Sa se arate ca M = C.9. Fie M = {P (X) = a0 + a1X + ... + anXn C[X]|ai = ani, i {0, 1, . . . , n}}. Sa se arate ca M este o parte stabila a lui C[X], fata denmultire.10. Fie A o multime pe care este data o operatie algebrica asociativa,notata multiplicativ. Se stie ca exista a A cu proprietatea ca pentruorice x A exista y A, astfel ncat x = aya. Sa se arate ca operatiadata are element neutru.

    2.2. Grupoid, semigrup, monoid, grupAlgebra moderna (abstracta) se deosebeste de algebra clasica prin

    faptul ca ea utilizeaza consecvent metoda axiomatica.Aplicarea metodei axiomatice ntr-un domeniu al matematicii

    nseamna abstractizare, adica ignorarea naturii obiectelor investigatesi enumararea listei de proprietati, numite axiome, pe care le admitemreferitor la obiectele studiate, fiind interzisa utilizarea altor lucruri nafara de axiome si proprietatile obtinute din axiome cu ajutorul regu-lilor logicii.

    Aplicarea metodei axiomatice n algebra are la baza notiunea destructura algebrica: multime nevida, echipata cu una sau mai multeoperatii algebrice ce satisfac o lista specifica de proprietati, numite

    39

  • axiomele structurii. Specific pentru structurile algebrice este numarulmare de modele (exemple) pe care le admit. Aceasta decurge din faptulca la definirea structurilor algebrice sunt declarate axiome liste de pro-prietati care au fost ntalnite n multe cazuri concrete. Rezultateleobtinute pentru o structura algebrica se transfera imediat la orice modelal structurii, ceea ce reprezinta unul din principalele avantaje ale uti-lizarii metodei axiomatice n algebra. Insa modelele (exemplele) uneistructuri algebrice prezinta adesea si interes particular (grupul per-mutarilor, inelul polinoamelor, inelul matricelor, spatiul vectorial Rn

    s.a.).In cadrul acestui curs vom studia structurile algebrice de grup, inel

    si corp. Capitolul doi se refera la teoria grupurilor.Definitie. Un cuplu (A,) format dintr-o multime nevida A si o

    operatie algebrica , definita pe A, se numeste grupoid.Grupoidul (A,) se mai noteaza cu A() sau, simplu, cu A (daca

    este clara operatia algebrica a structurii de grupoid). Multimea A senumeste suportul sau multimea subiacenta a grupoidului (A,).

    Definitie. Grupoidul (A,) se numeste semigrup daca operatiaalgebrica este asociativa.

    Definitie. Semigrupul (A,) se numeste monoid daca operatiaalgebrica poseda element neutru.

    Sistematic notiunile de semigrup si, respectiv, monoid pot fi daten felul urmator.

    Definitie. Cuplul (A, ) format din multimea nevida A si operatiaalgebrica definita pe A se numeste semigrup, daca este satisfacutaconditia

    S) (x y) z = x (y z), x, y, z A.Conditia S) se numeste axioma semigrupului.Definitie. Cuplul (M, ) format din multimea nevidaM si operatia

    algebrica definita pe M se numeste monoid daca sunt satisfacuteconditiile:

    M1) (x y) z = x (y z), x, y, z M ;M2) e M astfel ncat e x = x e = x,x M.

    40

  • Conditiile M1) si M2) se numesc axiomele monoidului. Elemen-tul e M care verifica axioma M2) este unic determinat (conformTeoremei 1 din 2.1) si se numeste elementul neutru al monoidului(M, ).

    Un grupoid (semigrup, monoid) (A,) se numeste comutativ, dacaoperatia algebrica este comutativa.

    Exemple1. Multimea numerelor naturale formeaza monoid comutativ n ra-

    port cu operatia de adunare, deoarece adunarea numerelor naturale esteasociativa, comutativa si poseda elementul neutru 0 N . Monoidul(N,+) se numeste monoidul aditiv al numerelor naturale.

    De asemenea, cuplul (N, ), format din multimea numerelor naturaleN si operatia de nmultire, este un monoid comutativ, numit monoidulmultiplicativ al numerelor naturale.

    2. Fie E o multime si B(E) multimea tuturor partilor lui E. Cup-lul (B(E),) este un monoid comutativ cu elementul neutru . Deasemenea, cuplul (B(E),) este un monoid comutativ cu elementulneutru E.

    3. Fie E o multime nevida si F(E) multimea tuturor functiilordefinite pe E cu valori n E. Multimea F(E) formeaza monoid n ra-port cu operatia de compunere a functiilor, avand elementul neutru (functia identica pe E). Observam ca daca multimea E are cel putindoua elemente, atunci monoidul (F(E), ) nu este comutativ.

    Nota. Intr-un monoid sunt adevarate rezultatele obtinute n 2.1.referitoare la elementul neutru si elemente semitrizabile.

    Definitie. Un monoid (G, ) se numeste grup daca orice elementdin G este simetrizabil n raport cu .

    Notiunea de grup se defineste n mod axiomatic n felul urmator:Definitie. Un cuplu (G, ) format din multimea nevida G si

    operatia algebrica , definita pe G, se numeste grup daca sunt sa-tisfacute urmatoarele conditii:

    G1) (x y) z = x (y z), x, y, z G;G2) e G astfel ncat e x = x e = x, x G;G3) x G, x G astfel ncat x x = x x = e.

    41

  • Elementul e este unic (conform Teoremei 1 din 2.1) si se numesteelement neutru al grupului (G, ). Elementul x , existenta caruia esteasigurata de axioma G3) pentru orice x G, este unic determinat(conform Teoremei 2 din 2.1) si se numeste simetricul lui x. ConditiileG1), G2) si G3) se numesc axiomele grupului.

    Grupul (G, ) se numeste comutativ (sau abelian) daca este verifi-cata axioma:

    G4) x y = y x,x, y G.Conditiile G1)-G4) se numesc axiomele grupului comutativ (sau axi-

    omele grupului abelian).Exemple1. Grupul simetric de gradul 3. Fie E = {1, 2, 3}. Notam cu S3

    multimea aplicatiilor bijective definite pe E cu valori n E. Elementelemultimii S3 pot fi descrise astfel:

    1 =(

    1 2 31 2 3

    ), 2 =

    (1 2 32 3 1

    ), 3 =

    (1 2 33 1 2

    ),

    4 =(

    1 2 31 3 2

    ), 5 =

    (1 2 33 2 1

    ), 6 =

    (1 2 32 1 3

    ),

    deci S3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Compunerea functiilor este operatie algebrica pe S3, deoarece com-

    pusul oricaror doua functii din S3 este o functie din S3. Tabla operatieide compunere a functiilor este:

    1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 62 2 3 1 6 4 53 3 1 2 5 6 44 4 5 6 1 2 35 5 6 4 3 1 26 6 4 5 2 3 1

    Tabelul 2

    Cum operatia algebrica este asociativa, poseda elementul neu-tru 1 S3 si orice functie din S3 este inversabila n raport cu ,

    42

  • inversele apartinand multimii S3 (11 = 1, 12 = 3,

    13 = 2,

    14 =

    4, 15 = 5,

    16 = 6), deducem ca (S3, ) este grup. Grupul (S3, )

    se numeste grupul simetric de grad trei. Din Tabelul 1 deducem cagrupul (S3, ) nu este comutativ.

    Nota. 1) Tabla operatiei unui grup (G, ) se mai numeste si tablagrupului (G, ).

    2) Pentru n 1 si E = {1, 2, . . . , n} poate fi formata multimea Sna tuturor functiilor bijective definite pe E cu valori n E (multimeatuturor substitutiilor de grad n.) Atunci cuplul (Sn, ) formeaza grup,numit grupul simetric de grad n.

    2. Grupul lui Klein. Fie E = R R, unde R este multimeanumerelor reale. Consideram urmatoarele patru functii:

    : E E, (x1, x2) = (x1, x2) ( este functia identica pe E),

    u : E E, u(x1, x2) = (x1, x2),v : E E, v(x1, x2) = (x1,x2),w : E E, w(x1, x2) = (x1,x2)

    si notam K = {, u, v, w}. Compusul oricaror doua functii din K este ofunctie din K (se verifica prin calcul direct). Tabla operatiei esteurmatoarea:

    u v w u v wu u w vv v w uw w v u

    Tabelul 3

    Prin urmare, compunerea functiilor este o operatie algebricape K, este asociativa, comutativa si poseda elementul neutru . DinTabelul 2 observam ca orice element din K este simetrizabil n raportcu : 1 = , u1 = u, v1 = v, w1 = w. Astfel, cuplul (K, )formeaza grup abelian. Acest grup se numeste grupul lui Klein.

    43

  • 3. Din proprietatile adunarii numerelor rezulta ca (Z,+), (Q,+),(R,+) si (C,+) sunt grupuri abeliene (grupurile aditive ale numerelorntregi, rationale, reale, complexe, respectiv).

    Din proprietatile nmultirii numerelor rezulta ca (Q, ), (R, ) si(C, ), unde Q = Q \ {0}, R = R \ {0} si C = C \ {0}, sunt grupuriabeliene (grupurile multiplicative ale numerelor rationale nenule, realenenule, complexe nenule, respectiv).

    Asa cum orice grup este un monoid, calculul algebric cu elementeleunui grup beneficiaza de toate regulile admise pentru operatiile alge-brice asociative si cu element neutru. In grupuri exista nsa si regulide calcul care nu sunt valabile n cazul monoizilor.

    Propozitia 1. In orice grup (G, ) sunt adevarate regulile de sim-plificare la stanga si la dreapta:

    a b = a c b = c,b a = c a b = c.

    Demonstratie. Fie ca pentru a, b, c G are loc egalitatea ab = acsi fie a

    simetricul elementului a n (G, ). Avem: b = eb = (a a)b =

    a (a b) = a (a c) = (a a) c = e c = c deci b = c, de underezulta ca n (G, ) este adevarata regula de simplificare la stanga.

    Analog se demonstreaza ca n (G, ) este adevarata regula de sim-plificare la dreapta.

    Propozitia 2. Fie (G, ) un grup. Pentru orice a, b G ecuatiilea x = b si y a = b au solutiile unice x = a b si y = b a , respectiv,unde a

    este simetricul elementului a n (G, ).

    Demonstratie. Daca x1, x2 G si sunt solutii ale ecuatiei a x = b,unde a, b G, atunci a x1 = a x2 de unde, utiliznd regula desimplificare la stanga, obtinem x1 = x2. Deci, ecuatia a x = b are celmult o solutie n G.

    Pe de alta parte, a (a b) = (a a) b = e b = b, unde e esteunitatea grupului (G, ) iar a este simetricul lui a, deci x = a b Geste solutie a ecuatiei a x = b. Conform primei parti a demonstratiei,aceasta solutie este unica.

    Analog se arata ca ecuatia y a = b are solutia unica y = ba G,pentru a, b G.

    44

  • Nota. Daca operatia grupului G este + , atunci rezultatele dinPropozitia 2 se transcriu astfel:

    a+ x = b x = (a) + b;

    y + a = b y = b+ (a).Daca operatia grupului G este , atunci rezultatele din Propozitia

    2 se transcriu n felul urmator:

    a x = b x = a1 b;

    y a = b y = b a1.Urmatoarea propozitie simplifica verificarea axiomelor grupului.Propozitia 3. Cuplul (G, ) format din multimea nevida G si

    operatia algebrica , definita pe G, este grup daca si numai dacasunt verificate conditiile:

    G1) (x y) z = x (y z), x, y, z G;G2) e G astfel ncat e x = x,x G;

    G3) x G,x

    G astfel ncat x x = e.Demonstratie. Ramane de aratat ca G1), G

    2) si G

    3 implica

    G1), G2), G3). Fie ca pentru x G exista x G astfel ncatx x = e. Conform G3), pentru x

    exista elementul x

    G astfelncat x

    x = e. Avem: x = e x = (x x) x = x(x x) e = x

    x = x [x (x x)] = (x x) (x x) = e (x x) = x x , decix x = x x = e. Astfel, am obtinut ca G1), G2), G

    3) G3). Utilizand

    acum G1), G2) si G3), obtinem: x e = x(x

    x) = (x x) x = e x = x,pentru x G. Prin urmare, G1), G2), G

    3) implica G2).

    Definitie. Un grup (G, ) se numeste finit daca G consta dintr-unnumar finit de elemente.

    In acest caz numarul |G| se numeste ordinul grupului G.Propozitia 4. Daca (G, ) este un grup finit, atunci n orice

    linie (coloana) a tablei operatiei grupului G fiecare element din G sentalneste cate o singura data.

    45

  • Demonstratie. Fie |G| = n si G = {a1, a2, . . . , an}. In linia elemen-tului a G din tabla operatiei apar elementele:

    a a1, a a2, ..., a an. (1)

    Daca 1 i < j n, atunci a ai 6= a aj deoarece n caz contrar,aplicand regula simplificarii la stanga, am obtine ai = aj , contradictie.Prin urmare elementele din (1) sunt distincte doua cate doua, deci{aa1, aa2, . . . , aan} = {a1, a2, . . . , an} = G.

    Propozitia 5. Daca (G, ) este un grup abelian finit de ordinul n,atunci an = e,a G, unde e este unitatea grupului G.

    Demonstratie. Fie |G| = n si G = {a1, a2, . . . , an}. ConformPropozitiei 4, {aa1, aa2, . . . , aan} = G, a G. Prin urmare, (aa1) (aa2) ... (aan) = a1 a2 ... an an (a1 a2 ... an) = a1 a2 ... an,deoarece (G, ) este abelian. Din ultima egalitate, dupa simplificare,obtinem an = e.

    Exercitii

    1. Este oare cuplul (G, ) grupoid, semigrup, grup, grup abelian?a) G = Z, x y = x+ y 1;b) G = R \ {1}, x y = x+ y + xy;c) G = Q \ {1}, x y = x+ y xy;d) G = {(a, b) R2|b 6= 0}, (x, y) (u, v) = (x+ u, y v);e) G = {(a, b) R2|a 6= 0 sau b 6= 0}, (x, y) (u, v) =

    (xu yv, xv + yu);f) G = {(a, b) Q2|a 6= 0 sau b 6= 0}, (x, y) (u, v) =

    (xu+ 2yv, xv + yu);g) G = R, x y = 3

    x3 + y3;

    h) G = (1, 1), x y = x+y1+xy ;i) G = (0,+) \ {1}, x y = xln y;j) G = {f1, f2, f3, f4}, fi fj = fi fj , unde fi : R R,

    1 i 4, f1(x) = x, f2(x) = 1x, f3(x) = x, f4(x) = 1

    x,

    x R;

    46

  • k) G = {f1, f2, f3, f4, f5, f6}, fi fj = fi fj , undefi : R \ {1} R \ {1}, 1 i 6, f1(x) = x,f2(x) = 11x , f3(x) =

    x1x , f4(x) =

    1x , f5(x) = 1 x,

    f6(x) = xx1 , x R \ {1};l) G = (pi2 , pi2 ), x y = arctg(tgx+ tgy);m) G = { C|n = 1}, x y = x y;n) G =

    {(2x 4y5y 2x

    )|x, y N

    }, A B = AB;

    o) G ={(

    x 2y3y 4x

    )|x, y N

    }, A B = A+B;

    p) G ={(

    2a 3b4c 5d

    )|a, b, c, d Z

    }, A B = A+B.

    2. FieM o multime nevida si a M. Definim peM operatiile algebrice , si n felul urmator:

    x y def= a, x y def= x, x y def= y, x, y M.

    Sa se arate ca:a) (M, ), (M, ), (M, ) sunt semigrupuri;b) fiecare din semigrupurile precedente este grup daca si numai daca

    M contine un singur element.3. Fie (G, ) un grup. Sa se demonstreze urmatoarele afirmatii:

    a) G este abelian daca si numai daca (ab)2 = a2b2, a, b G;b) G este abelian daca si numai daca (xy)1 = x1y1, x, y G;c) xn = e daca si numai daca (y1xy)n = e, (e este elementul neutru

    n G).4. Fie (G, ) un grup. Sa se arate ca (G, ) este abelian daca se verificaoricare din urmatoarele conditii:

    a) x2 = e,x G.b) exista a G astfel ncat ax3a = x,x G;c) existam,n Z, (m,n) = 1 astfel ncat (xy)m = (yx)m si (xy)n =

    (yx)n pentru orice x, y G;d) exista n Z astfel ncat (xy)n = xnyn, (xy)n+1 = xn+1yn+1,

    (xy)n+2 = xn+2yn+2, x, y G;

    47

  • e) exista n Z astfel ncat (xy)n = xnyn, (xy)n+2 = xn+2yn+2,(xy)n+4 = xn+4yn+4, x, y G.5. Fie (G, ) un grup si a, b G. Sa se demonstreze urmatoareleafirmatii:

    a) Daca a2 = b2 = (ab)2, atunci a4 = b4 = e;b) Daca a3 = e si aba1 = b3, atunci b26 = e;c) Daca a2 = e si aba = b3 atunci b8 = e;d) Daca a2 = e si ab3a1 = b, atunci b8 = e;e) Daca a5 = b4 = e si ab = ba3, atunci a2b = ba si ab3 = b3a2.

    6. Fie (G, ) un grup si H o submultime finita a lui G astfel ncat (H, )este grupoid. Sa se demonstreze ca (H, ) este un grup.

    2.3. SubgrupuriStructura unui grup este determinata n mare parte de subgrupurile

    sale.Definitie. Fie A o multime nevida si : A2 A o operatie al-

    gebrica definita pe A. O submultime nevida B A se numeste partestabila a multimii A n raport cu daca (x, y) B, x, y B.

    Nota. Daca (A,) este un grupoid si B este parte stabila amultimii A n raport cu , atunci putem defini operatia algebrica: B2 B, (x, y) def= (x, y), x, y B. In acest caz se numeste

    operatie algebrica indusa de pe submultimea B. In continuare vomnota operatia algebrica indusa de pe o submultime tot cu simbolul.

    Definitie. Fie (A,) un monoid. Spunem ca submultimea nevidaB A formeaza submonoid (respectiv, subgrup) al monoidului (A,)daca sunt verificate conditiile:

    1) B este parte stabila a multimii A n raport cu ;2) B formeaza monoid (respectiv, grup) n raport cu operatia alge-

    brica indusa de pe B.In particular, cand (A,) este un grup, obtinem urmatoarea

    definitie a subgrupului.Definitie. Fie (G,) un grup. Spunem ca submultimea nevida

    B G formeaza subgrup n (G,) daca sunt verificate conditiile:

    48

  • 1) (x, y) B, x, y B;2) B formeaza grup n raport cu operatia algebrica indusa de pe

    B.Daca B formeaza subgrup n grupul (G,), atunci notam B G.Propozitia 1. Fie (M, ) un monoid. Submultimea elementelor

    inversabile U(M) ale monoidului (M, ) formeaza un subgrup n (M, ).Demonstratie. Fie x, y U(M). Atunci produsul xy este inversabil

    si (x y)1 = y1 x1, deci x y U(M), de unde rezulta ca U(M)este parte stabila n raport cu . Operatia algebrica indusa de peU(M) este asociativa, deoarece este asociativa (demonstrati!). Asacum e1 = e, unde e este unitatea monoidului (M, ) si (x1)1 = xpentru orice x U(M), obtinem ca e U(M) si orice element dinU(M) este inversabil n raport cu operatia . Prin urmare, U(M)este un subgrup al monoidului (M, ).

    Teorema 1. Fie (G, ) un grup cu unitatea e si 6= H G. Suntechivalente urmatoarele afirmatii:

    1) H este un subgrup al grupului (G, );2) sunt satisfacute conditiile:

    a) x y H,x, y H;b) x H x1 H;

    3) x, y H x y1 H.Demonstratie. Fie caH G.AtunciH este parte stabila a multimii

    G n raport cu operatia algebrica , deci x y H,x, y H. Asacum (H, ) formeaza grup, rezulta ca ecuatia x a = a are solutie unican H pentru a H. Notam aceasta solutie cu e , deci e a = a. Insaa G si e b = b, b G, unde e este unitatea grupului (G, ), decipentru b = a obtinem: e a = a = e a e = e H. Fie acumx H. Deoarece H G, elementul x este inversabil n grupul (H, )deci x H : x x = x x = e. Deoarece ultimele egalitati au loc sin grupul (G, ), iar inversul elementului n grup este unic, obtinem cax= x1 este inversul elementului x n grupul G. Asadar, 1) 2).Fie ca sunt satisfacute conditiile a) si b) din 2). Atunci pentru orice

    x, y H rezulta x, y1 H si x y1 H. Astfel, 2) 3).Fie ca are loc 3). Atunci pentru y = x (n H exista cel putin

    49

  • un element) obtinem e = x x1 H, iar pentru x = e obtinemy1 = e y1 H, y H. Mai mult, au loc implicatiile: x, y H x, y1 H x y = x (y1)1 H. Prin urmare, conditiile a) si b)sunt satisfacute. Deci, s-a demonstrat ca 3) 2).

    Sa aratam ca 2) 1). Daca x H, avem x1 H si e = x x1 H. Conform b), orice element dinH este inversabil n raport cu operatia (deci si cu operatia indusa de peH). Deoarece operatia algebricaindusa de pe H este asociativa, obtinem ca H G.

    Nota. Daca (G, ) este un grup cu elementul neutru e, atuncisubmultimile {e} si G sunt subgrupuri ale grupului G. Aceste douasubgrupuri se numesc triviale sau improprii. Subgrupurile grupului(G, ) care sunt diferite de {e} si G (daca exista) se numesc subgrupuriproprii.

    Propozitia 2. Fie (G, ) un grup, H G si 6= A H. AtunciA H daca si numai daca A G.

    Demonstratie. Deoarece A H, rezulta ca submultimea A esteparte stabila a multimii H n raport cu daca si numai daca A esteparte stabila a multimii G n raport cu aceeasi operatie algebrica.

    Propozitia 3. Pentru orice familie de subgrupuri {Hi|i I} aleunui grup (G, ) intersectia

    iIHi este subgrup n (G, ).

    Demonstratie. Fie (G, ) un grup cu unitatea e. Asa cum e Hi,i I, obtinem e

    iIHi, deci

    iI

    Hi 6= . Daca x, y iI

    Hi atunci

    x, y Hi, i I, deci x y1 Hi, i I, de unde rezulta ca x y1 iI

    Hi. Conform Teoremei 1 obtinem caiI

    Hi este subgrup n (G, ).

    Exemple1. Fie n N. Submultimea nZ = {nk|k Z} formeaza subgrup n

    (Z,+).2. Fie n N, = cos 2pin + i sin 2pin si Un = {1, , . . . , n1} mul-

    timea celor n radacini complexe de ordinul n din 1. Atunci (Un, )este subgrup al grupului multiplicativ al numerelor complexe (C, ).Intr-adevar, observam ca n = 1 si pentru orice i, j Un avemi j = i+j = r Un, unde r este restul de la mpartirea numaruluintreg i + j la n, deci 0 r < n. Prin urmare, Un este parte stabila

    50

  • a multimii C n raport cu . Mai mult, daca i Un, atuncii = 1 i = ni Un, deci Un C.

    Grupul (Un, ) se numeste grupul radacinilor complexe de ordinul nale unitatii.

    Fie (G, ) un grup. Pe multimea B(G) (booleanul multimii G)definim operatia algebrica n felul urmator:

    A B def= {a b|a A, b B},A,B B(G).Propozitia 4. Cuplul (B(G), ) formeaza monoid.Demonstratie. Operatia algebrica este asociativa asa cum

    (A B) C = {a b c|a A, b B, c C} = A (B C),pentru orice A,B,C B(G). Operatia poseda elementul neutru{e}, unde e este unitatea grupului G, deoarece {e} A = A = A {e},A B(G).

    Fie A B(G). Punem prin definitie A1 def= {a1|a A}.Propozitia 5. Pentru orice A,B B(G) are loc egalitatea

    (AB)1 = B1 A1.Demonstratie. Avem: (A B)1 = {(a b)1|a A, b B} =

    = {b1 a1|b B, a A} = B1 A1.Nota. Daca A = {a}, a G si B B(G), atunci n loc de A B

    (respectiv B A) vom nota aB (respectiv Ba). Astfel, aB def= {ab|b B}si Ba

    def= {ba|b B}.

    Propozitia 6. Fie (G, ) un grup. Submultimea nevida H amultimii G formeaza subgrup n (G, ) daca si numai daca H H = Hsi H1 = H.

    Demonstratie. Fie H G. Atunci H H = {x y|x, y H} H. Pede alta parte, 1 H, unde 1 este unitatea grupului G si H = H 1 ={h 1|h H} H H, deci H = H H.

    Fie x H. Atunci x1 H, deoarece H G, deciH1 = {x1|x H} H.

    Insa H = {(x1)1|x H} H1, deci H1 = H.

    51

  • Reciproc. Fie H G,H H = H si H1 = H. Atunci pentru oricex, y H avem x y H H = H, deci H este parte stabila a lui G nraport cu . Mai mult, daca x H, atunci x1 H1 = H. Prinurmare, H G.

    Propozitia 7. Fie (G, ) un grup si H o submultime nevida finitaa multimii G. Atunci H G daca si numai daca H H H.

    Demonstratie. Fie H G. Atunci, conform teoremei precedente,H H = H.

    Recirpoc. Fie H o submultime nevida finita a multimii G si fieH H H. Atunci H este parte stabila a lui G n raport cu .Definim aplicatia

    x : H H,x(h) = x h, h H,

    unde x H. Deoarece pentru h1, h2 H au loc implicatiile: x(h1) =x(h2) xh1 = xh2 h1 = h2, aplicatia x este injectiva. Insa|H| < , deci x este bijectiva pentru orice x H. Astfel, pentrux H exista un element h H : x(h) = x, adica xh = x, de undeobtinem ca h = e H, unde e este unitatea grupului (G, ). Mai mult,asa cum e H si x este bijectiva, pentru x H exista un elementx H astfel ncat x(x) = e, deci x x = e. Prin urmare, oriceelement din H este simetrizabil, deci H G.

    Nota. Ultima propozitie poate fi reformulata n felul urmator: osubmultime nevida finita H G formeaza subgrup n grupul (G, )daca si numai daca H este parte stabila n raport cu operatia .

    Propozitia 8. Fie H si K doua subgrupuri ale unui grup (G, ).Atunci HK este subgrup n (G, ) daca si numai daca HK = KH.

    Demonstratie. Daca HK G, atunci (HK) = (HK)1 =K1H1 = KH.

    Reciproc. Fie HK = KH. Atunci e = e e HK, unde e este uni-tatea grupului G, deci HK 6= . Mai mult, HK HK = H(KH)K =H(HK)K = (HH)(KK) = HK si (HK)1 = K1H1 = KH =HK, deci HK G.

    52

  • Exercitii

    1. Demonstrati ca submultimea H este subgrup al grupului dat G.a) H = {a+ ai C|a R}, G = (C,+);b) H = {a+ bi C|a, b R, a2 + b2 = 1}, G = (C, );

    c) H =

    a 0 00 a 0

    0 0 a

    M3(R)a R

    , G = (GL3(R), );d) H =

    {(x+ 4y 2y7y x 4y

    )M2(R)

    x2 2y2 = 1},

    G = (GL2(R), );e) H =

    {(a+ 2b 3b2b a 2b

    )M2(Q)

    a2 10b2 = 1},

    G = (GL2(R), );f) H =

    {(a b0 c

    )a, b, c Z, a c 6= 0}, G = (GL2(R), );

    g) H =

    {(2a 3b4c 5d

    )a, b, c, d Z}, G = (M2(Z),+);

    h) H = SLn(R) = {A GLn(R)|detA = 1}, G = (GLn(R), );i) H = {xn|x G}, (G, ) grup abelian, n numar natural fixat;j) H = {x G|xn = e}, (G, ) grup abelian, n numar natural fixat;k) H = Z(G) = {x G|ax = xa,a G}, (G, ) grup arbitrar

    (Z(G) se numeste centrul grupului G);l) H = Z(a) = {x G|xa = ax}, (G, ) grup arbitrar, a este un

    element fixat din G (Z(a) se numeste centralizatorul elementului a ngrupul G);

    m) H = N(A) = {a G|aAa1 = A}, (G, ) grup arbitrar, Asubgrup n G.2. Fie G un grup, iar A,B si C subgrupuri n G. Sa se demonstrezeurmatoarele afirmatii:

    a) A B G A B sau B A;b) Daca C A B, atunci C A sau C B.

    53

  • 3. Fie H un subgrup cu n elemente ale grupului (C, ). Aratati ca Heste grupul radacinilor de ordin n ale unitatii.4. Demonstrati ca daca (G, ) este un grup finit, atunci pentru oriceelement x G exista un numar n N astfel ncat xn = e, unde e esteunitatea grupului G.5. Sa se arate ca un grup ce contine cel putin doua elemente nu poatefi scris ca reuniune a doua subgrupuri proprii ale sale.6. Fie G un grup cu proprietatea ca exista a G astfel ncat H =G \ {a} este un subgrup al lui G. Sa se arate ca G are ordinul 2.7. Fie (G, ) un grup finit cu proprietatea x2 = e, x G. Sa se arateca ordinul grupului G este de forma 2k, k N.8. Fie (G, ) un grup si (H, ) un subgrup al sau. Daca elementul a Gare proprietatea ca exista m,n Z, (m,n) = 1, astfel ca an S siam S, atunci a S. Demonstrati.9. Fie (G, ) un grup astfel ncat pentru orice x, y G, x 6= y, existasubgrupurile H1,H2 ale lui G, astfel ncat x H1, y H2 si H1H2 ={e}.

    a) Sa se arate ca (G, ) este abelian;b) Sa se rezolve n G ecuatia xn = a, unde a G si n N.

    10. Fie G un grup si H un subgrup propriu al sau. Demonstrati ca nuexista o parte stabila proprie a lui G care sa includa G \H.11. Fie (G, ) un grup si H1,H2 subgrupuri proprii ale lui G, H1H2 ={e}, cu proprietatea ca exista un element a H1 H2 cu a2 6= e. Sa searate ca (G \ (H1 H2)) {e} nu este parte stabila a lui G.

    2.4. Subgrup generat de o multime de elemente.Grup ciclic

    Fie (G, ) un grup si S G. Notam cu < S > intersectia tuturorsubgrupurilor grupului G care contin submultimea S. Din definitierezulta ca < S > este subgrup al grupului (G, ) si S < S > . Maimult, daca H G si S H, atunci < S > este subgrup n H, deci< S > este cel mai mic subgrup al grupului (G, ) (n raport cu incluz-iunea), care contine submultimea S. Spunem ca < S > este subgrupul

    54

  • generat de submultimea S n grupul (G, ). Daca G =< S >, atuncispunem ca S este o multime de generatori ai grupului G sau ca grupulG este generat de submultimea S.

    Nota. Daca H G, atunci H =< H >, iar submultimea vidagenereaza subgrupul trivial {e}, unde e este unitatea grupului G.

    Definitie. Un grup G se numeste finit generat daca exista osubmultime finita S a multimii G astfel ncat < S >= G.

    Daca S = {x1, x2, . . . , xn} G, atunci mai notam< x1, x2, . . . , xn >n loc de < S > .

    Definitie. Un grup G se numeste ciclic daca exista un elementx G astfel ncat < x >= G. In acest caz elementul x se numestegenerator al grupului G.

    Teorema 1. Fie (G, ) un grup si S o submultime nevida a multimiiG. Atunci

    < S >= {x1x2...xn|n N, xi S sau x1i S,i = 1, n}.

    Demonstratie. Fie

    H = {x1x2...xn|n N, xi S sau x1i S,i = 1, n}.Vom arata ca H =< S > . Din definitia multimii H rezulta ca daca

    x, y H, atunci x y H, deci H este parte stabila a lui G n raportcu operatia algebrica . Mai mult, daca x = x1x2...xn H, atuncix1 = x1n ...x

    12 x

    11 H si 1 = x x1 H, unde 1 este unitatea

    grupului G. Prin urmare, H este subgrup n G si, asa cum S H,obtinem ca < S > este subgrup n H.

    Pe de alta parte, daca x H, atunci x poate fi reprezentat nforma x = x1x2...xn, unde xi S sau x1i S, i = 1, n. DeoareceS < S > si < S > este grup, obtinem xi < S >,i = 1, n, decix = x1x2...xn < S >, x H, adica H < S > . Prin urmare,H =< S > .

    Nota. 1) Daca (G, ) este un grup si elementele x1, x2, . . . , xn Gsunt permutabile doua cate doua, atunci

    < x1, x2, . . . , xn >= {xk11 xk22 ...xknn |k1, k2, . . . , kn Z}.

    55

  • Intr-adevar, n orice produs x1x2...xt < x1, x2, . . . , xn > putem grupatoti factorii ce coincid cu x1 sau cu x11 si scrie produsul lor pe primulloc, apoi putem grupa toti factorii ce coincid cu x2 sau cu x12 siscrie produsul lor pe locul al doilea s.a.m.d. pana epuizam cele n ele-mente ce genereaza subgrupul dat. Este clar ca n acest caz grupul< x1, x2, . . . , xn > este abelian.

    In particular, subgrupul ciclic generat de elementul x este

    < x >= {xk|k Z}si e abelian.

    2) In notatie aditiva (G,+), atunci cand elementele x1, x2, . . . ,xn G sunt permutabile doua cate doua, obtinem:

    < x1, x2, . . . , xn >= {k1x1 + k2x2 + ...+ knxn|k1k2, . . . , kn Z}si, respectiv,

    < x >= {kx|k Z}.Exemple1) Consideram grupul simetric de gradul trei S3 = {i|i =

    1, 2, . . . , 6}, unde 1 = , 2 = (123), 3 = (132), 4 = (23), 5 =(13), 6 = (12), care a fost construit n 2.2.

    Notand 2 = si 6 = , obtinem: 1 = , 2 = , 3 = 2, 4 =, 5 = 2, 6 = . Deci, S3 = {, , 2, , 2, } =< , > .

    2) Z = {k 1|k Z} = {k (1)|k Z}, deci Z =< 1 >=< 1 >,adica grupul aditiv al numerelor ntregi (Z,+) este ciclic, avand dreptgenerator fiecare dintre numerele 1 si 1.

    Propozitia 1. Numerele 1 si 1 sunt unicii generatori ai grupului(Z,+).

    Demonstratie. Fie n Z si < n >= Z. Atunci 1 < n >= {kn|k Z}, deci exista un numar m Z astfel ncat 1 = m n, de unde obtinemca m = n = 1 sau m = n = 1.

    Nota. Daca n Z atunci < n >= {n k|k Z} = nZ. Teoremaurmatoare descrie multimea tuturor subgrupurilor grupului (Z,+).

    Teorema 2. Daca H este un subgrup al grupului (Z,+), atunciexista n N astfel ncat H = nZ.

    56

  • Demonstratie. Daca H 6= {0}, atunci k H \ {0}. DeoareceH Z, obtinem ca k H, deci {k, k} H, adica multimea Hcontine atat numere ntregi pozitive, cat si numere ntregi negative.Fie n cel mai mic numar ntreg pozitiv din H. Deoarece n H, avem< n > H. Pe de alta parte, daca x H, atunci, conform teoremeimpartirii cu rest, q, r Z, 0 r < n, astfel ncat x = nq + r. Darx, n H implica x, nq H deci r = xnq H. Deoarece n este cel maimic numar ntreg pozitiv din H, obtinem ca r = 0, deci x = nq nZ,x H, adica H nZ =< n > . Prin urmare, H = nZ =< n > .

    Nota. Din teorema precedenta rezulta ca multimea tuturor sub-grupurilor grupului (Z,+) este {nZ|n N}.

    In particular, am obtinut ca orice subgrup, diferit de {0}, al grupu-lui (Z,+) este ciclic infinit. Propozitia urmatoare completeaza acestrezultat.

    Propozitia 2. Orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic.Demonstratie. Fie G =< a > un grup ciclic si fie H G. Daca

    H = {e}, unde e este unitatea grupului G, sau H = G, atunci Heste subgrup ciclic. Fie H un subgrup propriu al grupului G si fieak H pentru un k Z. Atunci si ak H. Notam cu m cel maimic ntreg pozitiv cu proprietatea am H. Deoarece am H, obtinem(am)t H,t Z, deci < am > H. Pe de alta parte, daca x H,atunci s Z astfel ncat x = as. Pentru numerele ntregi s si m,conform teoremei mpartirii cu rest, exista q, r Z, 0 r < m, astfelncat s = mq+r. Prin urmare, as = amq+r = amq ar, unde as, amq H,deci ar H. Deoarece 0 r < m, obtinem (conform alegerii numaruluim) r = 0, deci x = amq < a >,x H, adica H < am > . Prinurmare, H =< am > este un subgrup ciclic.

    Propozitia 3. In grupul (Z,+) sunt juste afirmatiile:

    a) mZ nZ daca si numai daca m...n;b) mZ+ nZ = (m,n)Z;c) mZ nZ = [m,n]Z.Demonstratie. a) Daca mZ nZ, atunci m = m 1 mZ nZ,

    deci k Z astfel ncat m = nk, ceea ce implica m...n.

    57

  • Reciproc, daca m...n, atunci k Z astfel ncat m = nk, deci

    < m > nZ, adica mZ nZ.b) Deoarece mZ si nZ sunt subgrupuri ale grupului (Z,+) si mZ+

    nZ = nZ + mZ, rezulta ca mZ + nZ Z, deci d N astfel ncatmZ+ nZ = dZ.

    Deoarece mZ+{0} mZ+nZ = dZ si {0}+nZ mZ+nZ = dZ,obtinem mZ dZ si nZ dZ, ceea ce implica m...d si n...d. Daca d =(m,n), atunci m

    ...dsi n

    ...d, deci, conform p. a), mZ dZ si nZ dZ.

    Astfel, obtinem dZ = mZ + nZ dZ, de unde rezulta ca d...d , decid = d

    .

    c) Daca x mZnZ, atunci k1, k2 Z astfel ncat x = mk1 = nk2,deci x

    ...m si x...n, ceea ce implica x

    ...[m,n], adica x [m,n]Z. Astfel,mZ nZ [m,n]Z.

    Pe de alta parte, daca x [m,n]Z, atunci k Z : x = [m,n]k, decix...m si x

    ...n, ceea ce implica x mZnZ. Astfel, am obtinut incluziunea[m,n]Z mZ nZ si, totalizand, [m,n]Z = mZ nZ.

    Corolar. Daca H este un subgrup al grupului (Z,+), atunci existaun singur numar n N astfel ncat H = nZ.

    Demonstratie. Admitem ca m,n N astfel ncat H = mZ = nZ.Atunci, conform p. a) din propozitia precedenta, m

    ...n si n...m, deci

    m = n.Nota. Din p. b) al Propozitiei 3 rezulta o noua argumentare a

    existentei descompunerii liniare a celui mai mare divizor comun a douanumere ntregi. Intr-adevar, deoarece (m,n) (m,n)Z = mZ + nZ,obtinem ca exista doua numere k1, k2 Z astfel ncat (m,n) = mk1 +nk2.

    Definitie. Fie (G,+) un grup si a G. Daca pentru orice n Nputerile an ale elementului a sunt distincte doua cate doua, atunci spu-nem ca a este un element de ordin infinit.

    Nota. a) Daca exista k, l N, k > l, astfel ncat ak = al, atunciakl = e, unde e este unitatea grupului (G, ).

    b) Prin definitie punem a0 = e.

    58

  • Definitie. Fie (G, ) un grup cu unitatea e si fie a G. Cel maimic numar ntreg pozitiv n cu proprietatea an = e se numeste ordinulelementului a n grupul (G, ).

    Daca ordinul elementului a este n, atunci vom nota o(a) = n.Propozitia 4. Fie a un element de ordinul n al unui grup (G, ).

    Sunt adevarate afirmatiile:1) elementele a0, a1, a2, . . . , an1 sunt distincte doua cate doua;2) ak {a0, a1, a2, . . . , an1}, k Z;3) daca k Z astfel ncat ak = e, unde e este unitatea grupului

    (G, ), atunci k...n;4) a1 = an1 si o(a) = o(a1);5) o(a) = | < a > |.Demonstratie. 1) Fie 0 k < s n1 si as = ak. Atunci ask = e,

    de unde rezulta s k = 0, deoarece o(a) = n si 0 k < s < n, decis = k (e este unitatea grupului (G, )).

    2) Fie k Z. Conform teoremei mpartirii cu rest, exista q,r Z : k = nq + r, 0 r < n. Astfel, ak = anq+r = (an)q ar =ar {a0, a1, . . . , an1}.

    3) Fie ak = e, unde e este unitatea grupului (G, ). Atunci q,r Z : k = nq + r, unde 0 r < n, deci e = ak = anq+r = (an)q ar =ar. Deoarece o(a) = n, obtinem ca r = 0, deci k

    ...n.4) Daca o(a) = n, atunci an = e, de unde rezulta ca a1 = an1.

    Deoarece (a1)n = (an)1 = e1 = e, obtinem o(a1) n. Daca amavea o(a1) = m < n, atunci (a1)m = e am = e am = e,contradictie. Prin urmare, o(a1) = n = o(a).

    5) rezulta din p. 1) si 2). Nota. a) Unicul element de ordinul unu al unui grup este unitatea

    grupului.b) Toate elementele unui grup finit sunt de ordin finit.c) Exista grupuri infinite n care fiecare element este de ordin finit.

    Aceste grupuri se numesc periodice. De exemplu, grupul U = { C|n N : n = 1} al radacinilor complexe de ordin arbitrar n Ndin 1 este un grup periodic.

    59

  • d) Exista grupuri orice element al carora, diferit de unitate, estede ordin infinit. Astfel de grupuri se numesc grupuri fara torsiuni. Deexemplu, (Z,+) este un grup fara torsiuni.

    Grupurile care contin atat elemente de ordin finit, diferite de uni-tatea grupului, cat si elemente de ordin infinit se numesc grupurimixte.

    Exercitii

    1. Demonstrati ca orice subgrup H 6= {e} al grupului G este generatde multimea H \ {e}.2. Demonstrati ca daca A si B sunt submultimi ale grupului G astfelncat A B, atunci < A >< B > . Indicati un exemplu candA B,A 6= B, dar < A >=< B > .3. Demonstrati ca subgrupul lui S4 generat de elementele =(

    1 2 3 42 1 3 4

    )si =

    (1 2 3 42 1 4 3

    )are ordinul 4 si nu este ci-

    clic.4. Sa se afle ordinul elementului n grupul dat

    a)(

    1 2 3 4 52 3 1 5 4

    ) S5;

    b)(

    1 2 3 4 5 62 3 4 5 1 6

    ) S6;

    c) 32

    +12i (C, );

    d)12 1

    2i (C,+);

    e)(

    0 i1 0

    ) GL2(C);

    f)( 1 a

    0 1

    ) GL2(C);

    g)(

    0 11 1

    ) GL2(C); h)

    0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 0

    GL4(R).

    60

  • 5. Cate elemente de ordinul 6 contine grupul (C, )?6. Demonstrati ca grupul (Q+, ) este generat de multimea

    {1p |p numar prim }.7. Sa se arate ca orice subgrup finit generat al grupului (Q,+) esteciclic.8. Sa se demonstreze ca daca G este un grup, atunci urmatoareleafirmatii sunt echivalente:

    a) Orice parte stabila fata de operatia grupului este subgrup al luiG;

    b) Orice element din G are ordin finit.9. Sa se demonstreze ca orice subgrup finit al grupului (C, ) esteciclic.10. Sa se demonstreze ca n orice grup de ordin par exista un elementde ordinul 2.11. Fie (G, ) un grup si x, y G. Sa se demonstreze urmatoareleafirmatii:

    a) o(x) = o(yxy1);b) o(xy) = o(yx);c) daca o(x) = n, atunci xk = xl daca si numai daca n|(k l);d) daca o(x) = n si (m,n) = d, atunci o(xm) = nd , unde m,n N.

    12. Fie x si y elemente de ordin finit ale grupului (G, ) si xy = yx. Sase demonstreze ca daca ordinele elementelor x si y sunt reciproc prime,atunci o(xy) = o(x) o(y).13. Sa se determine numarul elementelor de ordinul pm n grupul ciclicde ordinul pn, unde p este prim, 0 < m n.14. Fie G un grup multiplicativ finit, iar x G un element de ordinul15. Sa se demonstreze ca x poate fi scris n mod unic n forma: x =yz = zy, unde y, z G, o(y) = 3, o(z) = 5.15. Sa se arate ca grupul (Q, ) nu este ciclic.16. Fie (G, ) un grup, x, y G, x 6= e si o(y) = 2, yxy1 = x2. Sa sedetermine o(x).17. Fie (G, ) un grup si a G. Sa se demonstreze ca daca a este uniculelement de ordinul 2 n G, atunci a Z(G).

    61

  • 2.5. Morfisme de grupuriNumarul modelelor (exemplelor) de grupuri este considerabil si

    acest lucru impune o clasificare a lor sau, cel putin, determinarea unormodalitati de repartizare n clase de grupuri cu anumite proprietaticomune.

    Definitie. Fie (M, ) si (M , ) doi monoizi cu elementele neutree si e

    , respectiv. O aplicatie f : M M se numeste morfism de

    monoizi daca sunt satisfacute urmatoarele conditii:1) f(x y) = f(x) f(y), x, y M ;2) f(e) = e

    .

    In cazul grupurilor, dupa cum vom vedea n continuare, conditia adoua rezulta din prima.

    Definitie. Fie (G, ) si (G , ) doua grupuri. O aplicatie f : G Gse numeste morfism de grupuri daca

    f(x y) = f(x) f(x), x, y G.

    Exemplu. Aplicatia f : Z C, f(k) = cos 2kpin + i sin 2kpin , unden N, n fixat, este un mofism de grupuri (de la (Z,+) la (C, )).Intr-adevar, pentru orice k1, k2 Z avem:

    f(k1 + k2) = cos2(k1 + k2)pi

    n+ i sin

    2(k1 + k2)pin

    =

    = (cos2k1pin

    + i sin2k1pin

    )(cos2k2pin

    + i sin2k2pin

    ) = f(k1) f(k2).

    Propozitia 1. Fie (G, ) si (G , ) doua grupuri cu elementeleneutre e si e

    , respectiv. Daca f : G G este un morfism de grupuri,

    atunci:1) f(e) = e

    ;

    2) f(a1) = f(a)1, a G;3) f(an) = f(a)n, a G,n Z.Demonstratie. 1) f(e) = f(e) e = f(e) (f(e) f(e)1) = (f(e)

    f(e)) f(e)1 = f(e e) f(e)1 = f(e) f(e)1 = e .

    62

  • 2) f(a1) = f(a1)e = f(a1)(f(a)f(a)1) = (f(a1)f(a))f(a)1 = f(a1 a) f(a)1 = f(e) f(a)1 = e f(a)1 = f(a)1.

    3) Consideram la nceput cazul n N si aplicam inductia matema-tica dupa n.

    Pentru n = 0 avem: f(a0) = f(e) = e= f(a)0, deci egalitatea

    este adevarata. Presupunem ca este adevarata egalitatea f(an1) =f(a)n1. Atunci f(an) = f(an1a) = f(an1)f(a) = f(a)n1f(a) =f(a)n, a G. Conform principiului inductiei matematice, egalitateaf(an) = f(a)n este adevarata pentru orice n N.

    Fie acum m Z,m < 0. Notand m = n, unde n N, obtinem:f(am) = f(an) = f((a1)n) = f(a1)n = (f(a)1)n = f(a)n =f(a)m, deci egalitatea f(am) = f(a)m este adevarata pentru oricem Z.

    Propozitia 2. Compusul a doua morfisme de monoizi este unmorfism de monoizi.

    Demonstratie. Fie (M, ), (M , ) si (M , ) trei monoizi cu elemen-tele neutre e, e

    si e

    , respectiv, f : M M si g : M M doua

    morfisme de monoizi. Atunci g f este o aplicatie definita pe M, cuvalori n M

    , ce satisface conditiile:

    (g f)(x y) = g(f(x y)) = g(f(x) f(y)) == g(f(x)) g(f(y)) = (g f)(x) (g f)(y), x, y M ;

    (g f)(e) = g(f(e)) = g(e) = e .Prin urmare, aplicatia g f este un morfism de monoizi, de la (M, ) la(M

    , ).Corolar. Compusul a doua morfisme de grupuri este un morfism

    de grupuri.Propozitia 3. Fie (M, ) si (M , ) doi monoizi. Daca f : M

    Meste un morfism bijectiv de monoizi, atunci aplicatia inversa f1 :

    M M este de asemenea un morfism bijectiv de monoizi.Demonstratie. Fie x

    , y

    M . Deoarece f este aplicatie bijectiva,deci si surjectiva, exista x, y M astfel ncat f(x) = x , f(y) = y .Avem:

    f1(x y) = f1(f(x) f(y)) = f1(f(x y)) =

    63

  • = (x y) = x y = f1(x) f1(y),unde = idM , si f1(e

    ) = e, e (respectiv, e

    ) este elementul neutru

    al monoidului (M, ) (respectiv, (M , )). Prin urmare, f1 este unmorfism bijectiv de monoizi.

    Corolar. Daca (G, ) si (G , ) sunt doua grupuri si aplicatia f :G G este un morfism bijectiv de grupuri, atunci aplicatia inversaf1 : G G este de asemenea un morfism bijectiv de grupuri.

    Morfismele bijective de monoizi (respectiv, de grupuri) se numescizomorfisme de monoizi (respectiv, de grupuri). Doi monoizi se numescizomorfi daca ntre ei exista cel putin un izomorfism de monoizi. Douagrupuri se numesc izomorfe daca ntre ele exista cel putin un izomorfismde grupuri.

    Daca G si Gsunt doua grupuri si aplicatia f : G G este un

    izomorfism de grupuri, atunci notam G = G sau Gf= G .

    Nota. 1) Orice monoid (respectiv, grup) (M, ) este izomorf cusine, un izomorfism fiind aplicatia identica pe M : (x y) = x y =(x) (y),x, y M ; (e) = e, unde e este unitatea monoidului (M, ).

    2) Fie (G, ) si (G , ) doua grupuri finite de ordinul n, G ={a1, a2, . . . , an}, G = {b1, b2, . . . , bn}. Aplicatia bijectiva f : G G, f(ai) = bi, i = 1, n, este un izomorfism de grupri daca si numai

    daca, pentru orice 1 i, j n, imaginea prin f a elementului ai ajde la intersectia liniei lui ai cu coloana lui aj din tabla operatiei coincide cu elementul bi bj de la intersectia liniei lui bi = f(ai) cucoloana lui bj = f(aj) din tabla operatiei . In acest caz spunem catablele operatiilor si sunt n acelasi mod structurate relativla f.

    Exemple1. Fie (G, ) un grup finit cu patru elemente astfel ncat x2 =

    e,x G, unde e este elementul neutru al grupului (G, ). Aratam cagrupul (G, ) este izomorf cu grupul lui Klein (K, o) (v. 2.2).

    Fie G = {e, a, b, c}. Deoarece x2 = e, x G, tabla grupului (G, )contine doar elementul e pe diagonala ei principala. Este clar ca liniasi coloana elementului e coincid cu linia si, respectiv, coloana din bor-

    64

  • duri. Restul elementelor din tabla grupului G se deduc usor utilizandproprietatea ca n fiecare linie (coloana) a tablei unui grup elementelenu se repeta. Astfel obtinem:

    e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

    Aplicatia f : G K, definita prin:f(e) = , f(a) = u, f(b) =v, f(c) = w, este un izomorfism de grupuri, deoarece tablele grupurilor(G, ) si (K, ) sunt n acelasi mod structurate.

    2. Grupul aditiv al numerelor reale (R,+) este izomorf cu grupulmultiplicativ al numerelor reale pozitive (R+, ). Intr-adevar, pentrua R, a > 0, a 6= 1, aplicatia f : R R+, f(x) = ax, x R, estebijectiva si f(x + y) = ax+y = ax ay = f(x) f(y), x, y R, deci feste un izomorfism de la (R,+) la (R+, ).

    Observam ca ntre grupurile (R,+) si (R+, ) exista un numar infinitde izomorfisme: fiecarui numar real a, a > 0, a 6= 1, i corespunde cateun izomorfism.

    3. Grupul aditiv al numerelor rationale (Q,+) nu este izomorf cugrupul multiplicativ al numerelor rationale pozitive (Q+, ).

    Intr-adevar, daca aplicatia f : Q Q+ ar fi un izomorfism algrupurilor (Q,+) si (Q+, ), atunci ar exista un numar r Q astfelncat f(r) = 2. Deoarece r/2 Q si f(r/2) Q, obtinem:

    2 = f(r) = f(r

    2+r

    2) = f(

    r

    2) f(r

    2) = f(

    r

    2)2,

    deci2 = f( r2) Q, contradictie. Prin urmare, (Q,+) 6= (Q+, ).

    Propozitia 4. Relatia de izomorfism de monoizi (respectiv, degrupuri) este o relatie de echivalenta pe multimea tuturor monoizilor(respectiv, grupurilor).

    Demonstratie. Consideram relatia binara de izomorfism = pemultimea tuturor monoizilorM. Deoarece orice monoid este izomorf cu

    65

  • sine (un izomorfism fiind aplicatia identica), obtinem M = M, pentruoriceM M, deci relatia binara = este reflexiva. DacaM,M Msi M

    f=M , atunci M f1= M, deci relatia binara = este simetrica.

    In sfarsit, daca M,M,M

    M, Mf= M si M

    g= M , atunciM

    gf= M , deci relatia binara = este tranzitiva. Prin urmare,relatia binara = este o relatie de echivalenta pe multimea M.

    In mod analog se arata ca relatia binara de izomorfism de grupurieste o relatie de echivalenta pe multimea tuturor grupurilor.

    Nota. Relatia binara de izomorfism de grupuri, fiind o relatie deechivalenta pe multimea tuturor grupurilor, determina o partitie peaceasta multime. Clasa de echivalenta a acestei partitii care continegrupul G se numeste tipul grupului G.

    In teoria grupurilor se studiaza doar acele proprietati care ramaninvariante la izomorfism (adica, fiind adevarate pentru un grup G,raman adevarate si pentru orice grup izomorf cu G). Practic, n teoriagrupurilor nu se face distinctie ntre doua grupuri izomorfe.

    Doua probleme fundamentale n teoria grupurilor sunt urmatoarele:I. Descrierea tuturor tipurilor posibile de grupuri.II. Obtinerea unui procedeu prin care, fiind date doua grupuri, sa

    se poata decide daca ele au acelasi tip sau nu.Fie (G, ) si (G , ) doua grupuri, f : G G un morfism de grupuri,

    H G si K G . Punem prin definitie:

    f(H)def= {f(h)|h H},

    f1(K) def= {x G|f(x) K}.Multimea f(H) se numeste imaginea submultimii H la morfismul f,

    iar multimea f1(K) se numeste imaginea inversa a lui K la morfismulf.

    Propozitia 5. Fie (G, ) si (G , ) doua grupuri si fie f : G Gun morfism de grupuri. Sunt adevarate implicatiile:

    1)H G f(H) G ;2)K G f1(K) G.

    66

  • Demonstratie. 1) Fie H G si x , y f(H). Atunci x, y Hastfel nct x

    = f(x) si y

    = f(y). Avem: x

    y = f(x) f(y) =f(x y) f(H). Mai mult, daca x H, atunci x1 H si x1 =f(x)1 = f(x1) f(H). Astfel, f(H) G .

    2) Fie K G si x, y f1(K). Atunci f(x), f(y) K, decif(x y) = f(x) f(y) K, ceea ce implica x y f1(K). Mai mult,daca x f1(K), atunci f(x) K deci f(x1) = f(x)1 K, ceea ceimplica x1 f1(K). Prin urmare, f1(K) G.

    Nota. Daca (G, ) si (G , ) sunt doua grupuri, iar f : G G ,este un morfism de grupuri, atunci f(G) G si f1(e) G, unde eeste elementul neutru al grupului G

    . Subgrupul f(G) al grupului G

    se

    numeste imaginea morfismului f si se noteaza cu Imf, iar subgrupulf1(e) se numeste nucleul morfismului f si se noteaza cu Kerf. Astfel,avem:

    Imf = {f(x)|x G},Kerf = {x G|f(x) = e}.

    Propozitia 6. Fie (G, ) si (G , ) doua grupuri si fie f : G Gun morfism de grupuri. Sunt adevarate afirmatiile:

    1) f este surjectiv daca si numai daca Imf = G;

    2) f este injectiv daca si numai daca Kerf = {e}, unde e esteunitatea grupului G;

    3) f este bijectiv daca si numai daca Imf = Gsi Kerf = {e}.

    Demonstratie. Afirmatia 1) rezulta din definitia aplicatiei surjec-tive.

    2) Daca f este un morfism injectiv si x Kerf, atunci f(x) = e =f(e), unde e

    este unitatea grupului G

    , ceea ce implica x = e, deci

    Kerf = {e}.Reciproc, daca Kerf = {e} si f(x) = f(y), atunci e = f(x)

    f(y)1 = f(x) f(y1) = f(xy1) xy1 Kerf xy1 = e x = y, deci f este injectiv.

    Afirmatia 3) rezulta din 1) si 2). Nota. Morfismele injective de grupuri se mai numesc monomor-

    fisme, iar morfismele surjective - epimorfisme. Amintim ca mai sus amnumit morfismele bijective de grupuri izomorfisme.

    67

  • Exemple. 1. Fie (G, ) un grup cu unitatea e si fie H G.Aplicatia i : H G, i(x) = x, x H, se numeste incluziune canonicasi este un morfism injectiv de grupuri, deoarece Keri = {e}. Observamca Imi = H.

    2. Fie G si Gdoua grupuri, H G si fie f : G G un morfism

    de grupuri. Aplicatia

    f: H f(H), f (h) = f(h), h H,

    este un morfism surjectiv de grupuri, deoarece Imf= f(H). Ob-

    servam ca Kerf= H Kerf. Daca f este un morfism injectiv, atunci

    si feste un morfism injectiv, deci (n acest caz) f

    este un izomorfism:

    Hf= f(H).In particular, pentru H = G si f : G G - un morfism injectiv de

    grupuri, obtinem ca aplicatia

    f: G f(G), f (x) = f(x), x G,

    este un izomorfism, deci Gf= f(G), adica G este izomorf cu subgrupul

    f(G) = Imf al grupului G. Reciproc, daca grupul G este izomorf cu

    un subgrup K al grupului G, atunci aplicatia i f : G G , unde

    i : K G este incluziunea canonica, este un morfism injectiv degrupuri.

    Definitie. Spunem ca un grup G poate fi scufundat ntr-un grupGdaca exista un morfism injectiv de grupuri f : G G .Nota. Din rationamentul facut n exemplul 2 rezulta ca un grup

    G poate fi scufundat ntr-un grup Gdaca si numai daca grupul G este

    izomorf cu un subgrup al grupului G.

    Exercitii1. Fie (M, ) un monoid si x M. Sa se arate ca:

    a) Aplicatia f : (N,+) (M, ), f(n) = xn este un morfism demonoizi;

    b) Morfismul f este injectiv daca si numai daca Imf este o multimeinfinita.

    68

  • 2. Fie M o multime nevida si B(M) booleanul multimii M . Sa searate ca monoizii (B(M),) si (B(M),) sunt izomorfi.3. Sa se arate ca aplicatia f este un morfism de grupuri si sa se deter-mine Kerf si Imf.

    a) f : (C, ) (R, ), f(x) = |x|;b) f : (C, ) (R, ), f(x) = 1|x| ;c) f : (C, ) (R, ), f(x) = |x|2;d) f : (Z,+) (Q, ), f(x) = (1)x;e) f : (R+, ) (R,+), f(x) = loga x, unde a R, a > 0,

    a 6= 1.f) f : (R,+) (C, ), f(x) = cos 2pix+ i sin 2pix.

    4. Sa se arate ca aplicatia f este izomorfism de grupuri:a) f : (Q,+) (Q,+), f(x) = kx, unde k Q;b) f : (R,+) (R, ), f(x) = 3x, unde x y = 3

    x3 + y3.

    c) f ; (H, ) (R,+), f(x) = ln 1+x1x , unde H = (1, 1), x y =x+y1+xy .

    d) f : (R+, ) (H, ), f(x) = x1x+1 , unde (H, ) este grupul din c);e) f : (G, ) (R,+), f(x) = tgx, unde G = (pi2 , pi2 ) , x y =

    arctg(tgx+ tgy).5. Sa se arate ca (G, ) este un grup izomorf cu grupul indicat

    a) G =

    {(1 a0 1

    )a Z}, x y = x y; (Z,+).

    b) G =

    {(a a 10 1

    )a R}, x y = x y; (R, ).

    c) G =

    1 1 2a+ 10 0 1

    0 0 1

    a Z , x y = x y; (Z,+).

    d) G =

    a 0 a0 1 0

    a 0 a

    a R , x y = x y; (R, ).

    e) G = {5k 3l|k, l Z}, x y = x y, (H,+), unde H ={m+ n2|m,n Z}.

    f) G = (5,+), x y = xy 5x 5y + 30; (R+, ).

    69

  • g) G = (2,+), x y = xy 2x 2y + 6; (R,+).h) G = {fa|a R+}, unde fa : R R, fa(x) =

    {ax, x > 00, x 0,

    fa fb = fa fb; (R+, ).6. Pentru orice a R, b R definim functia fa,b : R R, fa,b(x) =ax + b. Fie A = {fa,b|a R, b R}, T = {f1,b|b R}, O = {fa,0|a R} (functiile fa,b (respectiv f1,b, fa,0) se numesc transformari afine(respectiv translatii, omotetii) ale dreptei reale). Sa se demonstrezeca:

    a) (A, ) este un grup;b) (T, ) este un subgrup al lui (A, ), izomorf cu grupul (R,+);c) (O, ) este un subgrup al lui (A, ), izomorf cu (R, ).

    7. Sa se demonstreze ca perechile de grupuri indicate nu sunt izomorfe.a) (Z,+) si (Q,+);b) (R, ) si (C, );c) (Z,+) si (Q, );d) (Z,+) si (Q+, );e) (Z,+) si (Z[x],+);f) (Q,+) si (Q[x],+).

    8. Fie (G, ) un grup. Sa se demonstreze ca urmatoarele trei propozitiisunt echivalente:

    a) G este abelian;b) f : G G, f(x) = x2 este morfism de grupuri;c) f : G G, f(x) = x1 este morfism de grupuri.

    9. Sa se determine toate morfismele de grupuria) de la Z6 la Z6;b) de la Z6 la Z18;c) de la Z18 la Z6;d) de la Z12 la Z15;e) de la Z6 la Z25;f) de la Zn la Zm.

    70

  • 2.6. Grupuri de permutari. Teorema lui CayleyFie A o multime nevida si fie F(A) multimea tuturor aplicatiilor

    de la A la A. Este clar ca multimea F(A) formeaza monoid n raportcu operatia de compunere a functiilor, al carui element neutru esteaplicatia identica pe A. Elementele inversabile ale monoidului (F(A), )sunt aplicatiile bijective : A A, numite si permutari ale multimii A.Grupul U(F(A)) al elementelor inversabile ale monoidului (F(A), ) senoteaza cu SA si se numeste grupul simetric pe multimea A sau grupulpermutarilor multimii A.

    Propozitia 1. Daca doua multimi A si B sunt cardinal echivalente,atunci grupurile simetrice SA si SB sunt izomorfe.

    Demonstratie. Daca multimile A si B sunt cardinal echivalente,atunci exista o aplicatie bijectiva f : A B. Definim doua aplicatiinoi si n felul urmator:

    : SA SB, () = ff1, SA;

    : SB SA, () = f1f, SB.Avem:

    (12) = f12f1 = f1f1f2f1 = (1)(2),

    1, 2 SA si, analog,

    (12) = f112f = f11ff12f = (1)(2),

    1, 2 SB. Prin urmare, si sunt morfisme de grupuri. Mai mult,deoarece () = (()) = (f1f) = f(f1f)f1 = , SB,si () = (()) = (ff1) = f1(ff1)f = , SA,obtinem ca = B si = A, unde B(A) este aplicatia identicape B (respectiv, pe A), deci aplicatiile si sunt bijective, adica suntizomorfisme de grupuri:

    SA= SB si SB

    = SA.

    71

  • Importanta grupurilor de permutari rezida n urmatoarea teorema.Teorema lui Cayley. Orice grup G este izomorf cu un subgrup al

    grupului simetric SG.Demonstratie. Fie (G, ) un grup cu unitatea e. Pentru fiecare x G

    definim aplicatia x : G G,x(g) = xg, g G. Observam ca pentruorice x, y G avem: (x y)(g) = x(y(g)) = x(yg) = (xy)g =xy(g), g G, deci

    x y = xy, x, y G. (1)

    Deoarece e(g) = eg = g,g G, obtinem e = G (aplicatia identicape G). Cum x x1 = xx1 = e = G, obtinem

    x1 = 1x , x G. (2)

    In particular, obtinem ca x SG, x G.Notam: H = {x|x G}. Conform celor demonstrate mai sus, H

    este subgrup n SG. Consideram aplicatia

    f : G SG, f(x) = x, x G.

    Deoarece f(xy) = xy = x y = f(x) f(y), x, y G, aplicatia feste un morfism de grupuri. Mai mult, daca x Kerf, atunci f(x) =G x = e x(g) = e(g), g G xg = g, g G x =e Kerf = {e}, deci f este un morfism injectiv de grupuri. Conformcelor stabilite n 2.5, grupul G poate fi scufundat n grupul SG, adicaG este izomorf cu un subgrup al grupului SG.

    Daca G este un grup, atunci morfismele f : G G se numesc en-domorfisme ale grupului G. Endomorfismele bijective ale unui grup Gse numesc automorfisme ale grupului G. Multimea tuturor endomorfis-melor unui grup G se noteaza cu EndG, iar multimea tuturor automor-fismelor lui G se noteaza cu AutG. Se verifica imediat ca EndG esteun submonoid al monoidului (F(G), ), iar AutG este un subgrup algrupului simetric SG. Grupul AutG se numeste grupul automorfismelorlui G.

    72

  • Exercitii1. Fie (G,+) un grup. Sa se demonstreze ca:

    a) (EndG, ) este un monoid.b) (Aut(G), ) este un grup (grupul elementelor inversabile ale

    monoidului (End(G), )).c) Daca (G,+) este abelian, atunci (End(G),+) este un grup

    abelian, unde adunarea endomorfismelor se defineste prin(f + g)(x) = f(x) + g(x), x G.

    2. Fie (G, ) un grup. Pentru fiecare a G definim aplicatia fa :G G, fa(x) = axa1. Sa se demonstreze ca:

    a) pentru orice a G aplicatia fa este un automorfism al grupuluiG (numit automorfismul interior determinat de a);

    b) daca I(G) = {fa|a G}, atunci (I(G), ) este un grup (numitgrupul automorfismelor interioare);

    c) G este abelian daca si numai daca I(G) = {fe}, unde e esteunitatea grupului G;

    d) aplicatia : (G, ) (I(G), ), (a) = fa, este un izomorfism degrupuri daca si numai daca Z(G) = {e}.3. Fie (G,+) un subgrup al grupului C,+).

    a) Sa se arate ca orice morfism de grupuri f : (Q,+) (G,+) estede forma f(x) = ax, unde a G.

    b) Sa se determine morfismele de grupuri de la (Q,+) la (Z,+).c) Sa se arate ca grupul (Q,+) nu este izomorf cu nici un subgrup

    propriu al sau.4. Sa se determine EndG si AutG daca:

    a) G = (Z,+);b) G = (Q,+);c) G = (Zn,+).

    5. Fie (G, ) un grup ciclic. Sa se demonstreze ca:a) daca numarul prim p este ordinul grupului G, atunci ordinul

    grupului Aut(G) este p 1;b) daca G este infinit, atunci grupul (Aut(G), ) este izomorf cu

    grupul (Z2,+).

    73

  • 2.7. Indicele unui subgrup. Teorema lui LagrangeFie (G, ) un grup si H G. Pe multimea G consideram relatia

    binara s definita n felul urmator:

    xs y x1y H. (1)

    Vom numi relatia binara s relatia de congruenta la stangamodulo H.

    Propozitia 1. Relatia de congruenta la stanga modulo H, definitan (1), este o relatie de echivalenta pe multimea G.

    Demonstratie. Deoarece x1x = e H,x G, rezulta x s x,x G, adica s este reflexiva. Daca x s y, atunci x1y H, decisi y1x = (x1y)1 H, ceea ce implica y s x. Prin urmare, relatia s este simetrica. In sfarsit, daca x s y si y s z, atunci x1y Hsi y1z H, deci x1z = (x1y)(y1z) H, ceea ce implica x s z.Prin urmare, relatia binara s este si tranzitiva, deci este o relatiede echivalenta pe G.

    Factorizand multimea G prin relatia de echivalenta s , obtinemmultimea factor G/ s, pe care o vom nota cu (G/H)s. Vom numielementele multimii factor (G/H)s clase de congruenta (sau clase derest) la stanga modulo H. Astfel, clasa Kx de congruenta la stangamodulo H ce contine elementul x este:

    Kx = {y G|x s y} = {y G|x1y H} =

    = {y G|y xH} = xH,deci (G/H)s = {xH|x G}.

    Deoarece (G/H)s este o partitie a multimii G, clasele de congruentala stanga modulo H sunt nevide, disjuncte doua cate doua sixG

    (xH) = G. Mai mult, observam ca:

    a) xH = yH x s y x1y H y xH;b) H = eH (G/H)s, unde e este unitatea grupului G;

    74

  • c) n mod analog poate fi definita relatia de congruenta la dreaptamodulo H (pe care o notam cu d ):

    xd y yx1 H. (2)

    Se observa imediat ca relatia binara d este o relatie deechivalenta pe multimea G. Clasa de congruenta la dreapta moduloH ce contine elementul x este:

    {y G|x d y} = {y G|yx1 H} = {y G|y Hx} = Hx.

    Prin urmare, notand multimea factor G/ d cu (G/H)d, obtinem:(G/H)d = {Hx|x G}.

    Este clar ca n cazul grupurilor abeliene relatiile binare s si d coincid.

    Propozitia 2. Fie (G, ) un grup si H G. Multimile factor(G/H)s si (G/H)d sunt cardinal echivalente.

    Demonstratie. Daca M (G/H)s, atunci x G astfel ncatM = xH, deci M1 = {y1|y M} = Hx1 (G/H)d. Definimaplicatia:

    : (G/H)s (G/H)d, (M) =M1, M (G/H)s.

    Din definitie este clar ca este o aplicatie surjectiva. Mai mult, dacax1, x2 G si (x1H) = (x2H), atunci

    Hx11 = Hx12 x11 d x12 x12 x1 H x1H = x2H,

    deci este o aplicatie injectiva. Astfel, este aplicatia bijectivacautata.

    Definitie. Numarul cardinal |(G/H)s| = |(G/H)d| se numesteindicele subgrupului H n grupul G.

    Vom nota indicele subgrupului H n grupul G cu |G : H|. Astfel,avem:

    |G : H| = |(G/H)s| = |(G/H)d|.

    75

  • Definitie. Fie (G, ) un grup si H G. Spunem ca H este unsubgrup de indice finit n G daca |G : H| este un numar natural. Incaz contar spunem ca H este un subgrup de indice infinit n G si notam|G : H| =.

    Exemple1. Fie (G, ) un grup cu unitatea e. Avem:

    (G/{e})s = {x{e}|x G} = {{x}|x G}si

    xs y x1y {e} x1y = e x = y,

    deci relatia de congruenta la stanga modulo {e} coincide cu relatia deegalitate pe G si |G : {e}| = |G|. Observam ca (G/{e})s = (G/{e})d.

    2. In grupul (G, ) consideram subgrupul impropriu G. In acest cazavem: x s y x1y G, deci clasa de congruenta la stanga moduloG a elementului x coincide cu G,x G. Astfel, (G/G)s = {G} si|G : G| = 1. Observam ca (G/G)s = (G/G)d.

    Teorema lui Lagrange. Fie (G, ) un grup. Pentru orice subgrupH al grupului G are loc egalitatea

    |G| = |H| |G : H|. (3)

    Demonstratie. Multimea factor (G/H)s este o partitie a multimiiG, deci G =

    M(G/H)s

    M si |G| = M(G/H)s

    |M |. Daca M (G/H)s,atunci exista x G astfel ncat M = xH. Definim aplicatia

    : H xH,(h) = xh,h H.Din definitie rezulta ca este o aplicatie surjectiva. Mai mult, daca(h1) = (h2), unde h1, h2 H, atunci xh1 = xh2 n grupul (G, ), decih1 = h2. Astfel, este o aplicatie bijectiva, ceea ce implica |H| = |xH|,x G. Prin urmare, |M | = |H|, M (G/H)s, si atunci

    |G| =

    M(G/H)s|M | = |H| |G : H|.

    76

  • Corolarul 1. Intr-un grup finit ordinul oricarui subgrup divideordinul grupului.

    Corolarul 2. Orice grup finit de ordin prim este un grup ciclic.Demonstratie. Fie (G, ) un grup finit de ordin prim p. Deoarece

    p 2, exista un element x G \ {e}, unde e este unitatea grupului G.Consideram subgrupul ciclic < x > al grupului G, generat de elementulx. Conform corolarului 1, | < x > | divide |G| = p. Deoarece x 6= e six, e < x >, obtinem | < x > | 2. Prin urmare, | < x > | = |G| = p,ceea ce implica < x >= G.

    Corolarul 3. Intr-un grup finit ordinul fiecarui element divideordinul grupului.

    Demonstratia acestui corolar rezulta din faptul ca n grupuri ordinulfiecarui element coincide cu ordinul subgrupului ciclic pe care acestelement l genereaza.

    Exercitii1. Fie (G, ) un grup si H G. Sa se arate ca daca |G : H| = 2, atunci(G/H)s = (G/H)d.2. Sa se afle clasele de rest ale grupului G n raport cu subgrupul Hdaca:

    a) G = (Z,+) si H = (mZ,+),m N;b) G = (R,+) si H = (Z,+);c) G = (C,+) si H = (R,+);d) G = (R, ) si H = (R+, );e) G = (C, ) si H = (R, );f) G = (C, ) si H = (R+, );g) G = (4Z,+) si H = (24Z,+);h) G = (C, ) si H = {x C||x| = 1}.

    3. Fie H1,H2 subgrupuri ale grupului (G, ) si g1, g2 G. Sa se demon-streze ca:

    a) g1H1 g2H2 daca si numai daca H1 H2 si g12 g1 H2;b) multimea g1H1 g2H2 este o clasa de rest la stanga a grupului

    G n raport cu subgrupul H1 H2.4. Fie H1 si H2 subgrupuri ale grupului G astfel ncat H1 H2. Sa se

    77

  • arate ca daca |G : H2| = m si |H2 : H1| = n, atunci |G : H1| = m n.5. Fie (G, ) un grup finit cu elementul neutru e. Sa se demonstrezeurmatoarele propozitii:

    a) daca |G| = n, atunci xn = e pentru orice x G;b) daca mai mult de jumatate din elementele grupului comuta cu

    toate elementele din grup, atunci grupul este abelian;c) daca G este abelian si mai mult de jumatate din elementele

    grupului G sunt solutii ale ecuatiei x2 = e, atunci toate elementeledin G sunt solutii ale acestei ecuatii.6. Fie n 2 un numar natural. Sa se arate ca n este numar prim dacasi numai daca orice grup cu n elemente are exact doua subgrupuri.7. Fie (G, ) un grup finit de ordin impar si H G,H 6= G un subgrupal sau. Aratati ca:

    a) a H daca si numai daca a2 H;b) exista a G \H si b G \H astfel ncat ab G \H.

    8. Sa se determine toate grupurile de ordinul n, abstractie facand deizomorfism, pentru fiecare n 7.

    2.8. Subgrupuri normale. Grup factorFie (G, ) un grup si H G. Conform rezultatelor expuse n 2.7,

    (G/H)s = {xH|x G}, (G/H)d = {Hx|x G} si |(G/H)s| =|(G/H)d| = |G : H|. Daca grupul G este abelian, atunci (G/H)s =(G/H)d. Daca grupul G nu este abelian, atunci, n general, (G/H)s 6=(G/H)d, dupa cum se observa si din urmatorul exemplu.

    Consideram grupul simetric S3 =< , >= {, , 2, , , 2},unde = (123), = (12) (vezi 2.4) si subgrupul sau H =< >={, }. Avem:

    (S3/H)s = {H| S3} = {H,H, 2H},

    unde H = {, } = {(123), (23)}, 2H = {2, 2} = {(132), (13)}si (S3/H)d = {H| S3} = {H,H,H2}, unde H = {, } ={(123), (13)},H2 = {2, 2} = {(132), (23)}. Prin urmare, (S3/H)s 6=(S3/H)d.

    78

  • Definitie. Subgrupul H al grupului G se numeste subgrup normalal grupului G daca (G/H)s = (G/H)d.

    Nota. Subgrupurile normale ale unui grup se mai numesc divizorinormali sau subgrupuri invariante.

    Daca H este un subgrup normal al grupului G, atunci notamH E G.

    Propozitia 1. Fie (G, ) un grup si H G. Urmatoarele afirmatiisunt echivalente:

    1) xHx1 H,x G;2) xHx1 = H,x G;3) xH = Hx,x G;4) (G/H)s = (G/H)d.Demonstratie. 1) 2).Deoarece xhx1 H, x G,h H, avem x1Hx H, x G.

    Pentru h H rezulta x1hx x1Hx H, x G, deci existah1 H astfel ncat x1hx = h1, de unde obtinem ca h1 H : h =xh1x

    1 xHx1, x G, deci H xHx1, x G. Prin urmare,H = xHx1,x G.

    2) 3).Pentru y xH avem: h H : y = xh yx1 = xhx1

    xHx1 = H h1 H : yx1 = h1 y = h1x, unde h1 H y Hx xH Hx, x G.

    Demonstram incluziunea inversa. Deoarece xHx1 = H, x G,rezulta ca si x1Hx = H, x G. Pentru z Hx avem: h2 H :z = h2x x1z = x1h2x x1Hx = H h2 H : x1z = h2 z = xh2 xH Hx xH,x G. Prin urmare, xH = Hx,x G.

    Implicatia 3) 4) este evidenta.4) 1).Fie (G/H)s = (G/H)d si xH (G/H)s. Atunci x G :xH = Hx

    x = x e xH = Hx Hx = Hx xH = Hx.Astfel, pentru h H avem: h1 H : xh = h1x xhx1 =h1 H xHx1 H,x G.

    Propozitia 2. Orice subgrup de indice doi al unui grup G este unsubgrup normal al lui G.

    79

  • Demonstratie. Daca H E G si |G : H| = 2, atunci (G/H)s ={H,G \H} = (G/H)d, deci H E G.

    Propozitia 3. Intersectia oricarei familii de subgrupuri normaleale unui grup G este un subgrup normal al lui G.

    Demonstratie. Fie {Hi|i I} o familie de subgrupuri normale alegrupului G si fie h

    iIHi. Atunci

    xhx1 xHix1 = Hi, x G,i I,

    deci xhx1 iI

    Hi, x G, ceea ce implica x(iI

    Hi)x1 iI

    Hi, x G. Conform Propozitiei 1,iI

    Hi E G.

    Nota. 1) Conform celor mentionate la nceputul acestui para-graf, orice subgrup al unui grup abelian este un subgrup normalal acestui grup. Exista nsa si grupuri necomutative, fiecare sub-grup al carora este un subgrup normal. Astfel de grupuri se numeschamiltoniene. Caracterizarea deplina a grupurilor hamiltoniene a fostobtinuta de Baer. In particular, se cunoaste ca orice grup hamiltoniancontine un subgrup izomorf cu grupul quaternionilor K8 =< , >={, , , , , 2, 3, 3}, unde = (1234)(5678), = (1537)(2846)(construiti tabla grupului quaternionilor!). Pe langa subgrupurile saletriviale, grupul K8 mai are unicul subgrup de ordinul doi < 2 > sitrei subgrupuri de ordinul patru: < >, < > si < > . Toatesubgrupurile grupului K8 sunt subgrupuri normale n K8 (verificati!),deci grupul quaternionilor este hamiltonian.

    2) Proprietatea a fi subgrup normal nu este tranzitiva: H E K,K E G 6 H E G (demonstrati!).

    Fie (G, ) un grup. In 2.3 am aratat ca booleanul B(G) multimiiG formeaza monoid n raport cu operatia algebrica definita n felulurmator:

    A B = {a b|a A, b B}, A,B B(G).Elementul neutru al monoidului (B(G), ) este {e}, unde e este elemen-tul neutru al grupului G.

    80

  • Propozitia 4. Subgrupul H al grupului G este un subgrup nor-mal n G daca si numai daca submultimea (G/H)s B(G) formeazasubgrup n monoidul (B(G), ).

    Demonstratie. Fie H E G si xH (G/H)s. Atunci xH yH =x(Hy)H = x(yH)H = (xy)(HH) = (xy)H (G/H)s deci (G/H)seste parte stabila a multimii B(G) n raport cu .

    Deoarece H = eH (G/H)s si H xH = eH xH = (ex)H = xH sixH H = xH eH = xH, xH (G/H)s, obtinem ca H este elementulneutru al operatiei algebrice induse de pe (G/H)s. Mai mult,deoarece xH x1H = (xx1)H = eH = H si, analog, x1H xH = H,x G, unde x1 este simetricul lui x n G, obtinem ca orice clasaxH (G/H)s este simetrizabila n raport cu si simetricul ei estex1H. Prin urmare, ((G/H)s, ) este subgrup al monoidului (B(G), ).

    Reciproc. Fie (G/H)s un subgrup al monoidului (B(G), ) siH G. Deoarece xH H = x(HH) = xH, xH (G/H)s, rezultaca H este elementul neutru al grupului ((G/H)s, ). Avem:

    Hx = Hx H = H xH = xH,x G,

    deci H E G.Definitie. Fie (G, ) un grup si H E G. Atunci ((G/H)s, ) se

    numeste grupul factor al grupului G prin H si se noteaza cu G/H.Nota. Daca H este un subgrup normal al grupului G, atunci

    submultimile (G/H)s si (G/H)d ale booleanului B(G) coincid, deciG/H = {xH|x G} = {Hx|x G}.

    Operatia algebrica a grupului factor G/H este definita n felulurmator:

    xH yH def= (xy)H,x, y G.Elementul neutru al grupului factor G/H este H, iar simetricul claseide congruenta xH G/H este clasa x1H, unde x1 este inversulelementului x n grupul G.

    Daca xH, yH (G/H)s atunci xH = yH x1y H.ExempleConsideram grupul aditiv al numerelor ntregi (Z,+) si subgrupul

    sau nZ, unde n N. Deoarece (Z,+) este abelian, obtinem ca nZ E Z.

    81

  • a) Daca n = 0, atunci nZ = {0} si Z/nZ = Z/{0} = {{k}|k Z}.(Demonstrati ca Z/{0} = Z!).b) Daca n 1, atunci Z/nZ = {k + nZ|k Z}. Conform teoremei

    mpartirii cu rest, pentru numerele k si n exista q, r Z, 0 r < n,astfel ncat k = nq+r, d