GEOMETRIE PROIECTIVĂ – LUCRĂRI PRACTICE PENTRU SEMINAR

Pentru studenţii la specializarea Măsurători terestre şi cadastru

I. Determinarea punctelor improprii

Coordonate carteziene omogene

Fie în plan un punct dat prin coordonatele sale carteziene ortogonale M (x,y).Definiţia 1. Numerele X, Y, Z nu toate nule, date prin egalităţile:

(1)

se numesc coordonatele omogene ale punctului din plan M. Se scrie M (X, Y, Z). Aceste coordonate sunt definite până la un factor de proporţionalitate nenul k, deoarece şi kX, kY, kZ reprezintă coordonate omogene ale punctului M, ele verificând ecuaţiile (1). Utilizarea coordonatelor omogene uşurează studiul dreptelor şi curbelor în plan. Astfel avem: 1) Ecuaţia unei drepte în plan, în coordonate carteziane obişnuite este:

.

După înlocuirea lui x şi y din (1) ecuaţia dreptei capătă forma omogenă: (2)

2) Ecuaţia unui cerc în plan în coordonate obişnuite are forma:

,

de unde, înlocuind x şi y din (1) şi eliminând numitorii, rezultă forma:

(3)

Observaţie. Revenirea la ecuaţia iniţială de la ecuaţia omogenă se face punând Z=1 şi schimbând eventual notaţia. Avantajul coordonatelor omogene faţă de cele obişnuite apare în problema determinării locului geometric al punctelor improprii din plan. Coordonatele x şi y ale acestor puncte trebuie să fie infinite şi acest lucru are loc dacă în (1) se înlocuieşte Z cu zero. Dar Z = 0 este un caz particular al ecuaţiei (2) care reprezintă o dreaptă, deci ecuaţia locului geometric căutat este Z = 0 şi aceasta reprezintă ecuaţia dreptei improprii a planului.

Fie acum un punct din spaţiu dat prin coordonatele carteziene ortogonale M(x, y, z).Definiţia 2. Numerele X, Y, Z, T nu toate nule, date prin egalităţile:

(4)

1

se numesc coordonatele omogene ale punctului din spaţiu M. Se scrie M(X, Y, Z, T). Coordonatele omogene în spaţiu sunt date până la un factor de proporţionalitate nenul k, căci odată cu X, Y, Z, T şi kX, kY, kZ, kT verifică relaţiile (4). Printr-un raţionament similar cu cel din cazul planului, va rezulta că ecuaţia planului impropriu (ca loc geometric al punctelor improprii, de coordonate infinite) este T = 0.Observaţie.Dacă se consideră un punct M(x) de abscisă x pe o axă, atunci putem defini

coordonatele omogene ale lui M prin perechea de numere X, Y care verifică relaţia:

În acest caz, punctul de la infinit al dreptei va fi dat în coordonate omogene prin (X, 0) sau (1, 0) ceea ce evită folosirea lui ∞.

A. Determinarea punctului impropriu al unei drepte din plan

Întrun plan dat se consideră un reper cartezian ortogonal OXY şi fie o dreaptă d determinată prin punctul şi prin unghiul α făcut cu OX (Fig.1). Un punct curent al dreptei,

notat cu M(x, y) poate fi determinat pe dreaptă prin distanţa faţă de M0.

Fig.1 Dreapta în plan

Coordonatele lui M exprimate cu ajutorul elementelor date au forma:

(5)

Acestea se mai numesc ecuaţiile parametrice ale dreptei d, parametrul fiind r. Dacă se transcriu în coordonate omogene, se obţin relaţiile:

(6)

Dacă se trece la limită în raport cu r, pentru , atunci punctul M tinde la M0 , iar coordonatele omogene ale lui M0 devin . Presupunând adică , relaţiile (6)se transcriu sub forma (6') (coordonatele omogene sunt date până la un factor

nenul, în cazul nostru ):

2

(6')

Dacă în relaţiile (6') se obţine punctul de la infinit al dreptei ; coordonatele acestui punct vor fi date prin:

(7)

sau . În particular, dacă α = 0, atunci dreapta d este paralelă cu axa OX, iar punctul impropriu al

acestei drepte va fi . Dacă , atunci d este paralelă cu OY şi punctul

impropriu va fi .

Dacă ,atunci din (7) se obţine:

(7')

deci punctul impropriu al dreptei are coordonatele omogene (l, m, 0) , unde (panta dreptei)

Concluzii:

1º. Dreapta are un singur punct la infinit determinat de direcţia ei; toate dreptele paralele între ele vor avea acelaşi punct impropriu.2º. Oricare ar fi dreapta d din planul dat, punctul de la infinit al ei are coordonata omogenă a treia egală cu zero, astfel că Z = 0 reprezintă în plan ecuaţia dreptei improprii (de la infinit) a planului, acesta reprezentând de fapt locul geometric al tuturor punctelor improprii ale planului.3º. Dacă (prin valori negative)se obţine acelaşi punct impropriu cum se constată din (6), (7), (7'). O reprezentare intuitivă a dreptei ar fi un cerc de rază infinită (Fig. 2).

Fig.2. Dreapta în plan împreună cu punctul impropriu al său

3

B. Determinarea punctului impropriu al unei drepte în spaţiu

Se consideră un reper cartezian ortogonal OXYZ în spaţiu şi fie o dreaptă d care trece prin

punctul şi are direcţia dată de , ,

numite cosinusurile directoare ale dreptei d ( ). Considerând punctul curent al

dreptei M(x, y, z) , se notează cu r segmentul (Fig.3).

Fig.3. Dreapta în spaţiu

Exprimând coordonatele lui M în funcţie de elementele date, se obţin ecuaţiile parametrice ale dreptei d (parametrul fiind r):

(8)

Trecând la coordonate carteziene omogene (utilizând (4)) se obţin ecuaţiile:

(9)

Dacă , punctul M se confundă cu ; pentru , prin împărţire cu r se obţin ecuaţiile (9') în care apar coordonatele omogene ale lui M cu factorul de

proporţionalitate :

(9')

4

Punctul impropriu al dreptei (punctul de la infinit) se obţine din (9' ) prin trecere la limită pentru . Rezultă :

care sunt coordonatele punctului impropriu .Dacă dreapta d este paralelă cu OX,

, deci punctul impropriu al dreptei paralele cu OX este . Analog

se obţin punctele improprii ale dreptelor paralele cu OY : , respectiv OZ

.

Concluzii :

1º. O dreaptă în spaţiu are un singur punct impropriu (punctul de la infinit) deteminat de direcţia ei prin cosinusurile directoare l, m, n. Rezultă că toate dreptele paralele între ele vor avea acelaşi punct impropriu.2º. Punctul impropriu al unei drepte din spaţiu are coordonata a patra omogenă egală cu zero; ecuaţia T = 0 reprezintă ecuaţia planului de la infinit a spaţiului, acesta fiind totodată locul geometric al tuturor dreptelor improprii din spaţiu.3º. Dacă prin valori negative, se obţine acelaşi punct impropriu.

Aplicaţii I :

1. Să se determine coordonatele omogene ale punctului impropriu pentru următoarele drepte din plan :a) o dreaptă care face un unghi de 600 cu axa OX.

R. sau .

b) a doua bisectoare a planului.

R. sau . Altfel, a

doua bisectoare are ecuaţia y = - x, deci are panta m = -1 .

c) o dreaptă de pantă .

R.

d) dreapta de ecuaţie 15x - 17y - 13 = 0.

R. panta .

e) dreapta de ecuaţie x - 9 = 0. R. dreapta este paralelă cu axa OY .f) dreapta de ecuaţie y - 10 = 0. R. dreapta este paralelă cu axa OX .

5

2. Să se determine coordonatele omogene ale punctului impropriu pentru următoarele drepte din spaţiu :

a) o dreaptă care face cu axele OX, OY, OZ, respectiv unghiurile .

R. ,

.

b) dreapta de ecuaţii .

R. vectorul director al dreptei este .

c) dreapta ca intersecţie a două plane, de ecuaţii

R. dreapta are direcţia .

6

C. Determinarea punctului impropriu al unui cerc

Considerăm în plan un cerc dat prin ecuaţia generală : (10)

Trecând la coordonatele omogene X, Y, Z date prin vom obţine ecuaţia

cercului sub forma omogenă : (11)Intersectăm cercul cu dreapta de la infinit a planului de ecuaţie Z = 0 :

(12)

Acest sistem se descompune în două sisteme

şi

Soluţiile acestor sisteme reprezintă punctele de intersecţie dintre cerc şi dreapta improprie. Ecuaţiile X + iY = 0 şi X - iY = 0 reprezintă două drepte imaginare conjugate care se numesc drepte izotrope (au proprietăţi independente de direcţia în spaţiu).După cum se ştie, punctul de la infinit al unei drepte din plan are coordonatele omogene (1,m,0) unde m reprezintă panta dreptei .În cazul celor două drepte izotrope, punem în

evidenţă pantele, scriind: şi ,

deci m = i , respectiv m = - i sunt pantele dreptelor izotrope, iar punctele improprii (de la infinit) căutate sunt I (1,i,0) , respectiv J (1,-i,0).

Concluzii: 1º. Punctele I, J nu depind de coeficienţii a, b, c , deci ele sunt comune tuturor cercurilor din plan. 2º. Aceste puncte sunt imaginare şi se numesc puncte absolute ale planului sau puncte ciclice.

D. Determinarea punctelor improprii ale unei sfere

Fie dată o sferă prin ecuaţia generală : (13)

Folosind coordonatele omogene în spaţiu X, Y, Z, T date prin

rezultă ecuaţia omogenă a sferei (14)Intersectând sfera cu planul impropriu (planul de la infinit), a cărui ecuaţie în coordonate omogene este T = 0 se obţine sistemul:

(15)

Prima ecuaţie din (15) reprezintă o sferă de rază zero cu centrul în origine (singurul punct real). Intersecţia acesteia cu planul impropriu este un cerc imaginar numit cercul absolut al spaţiului. Se verifică faptul că toate dreptele izotrope ale spaţiului se sprijină pe cercul absolut al spaţiului, constituind un con izotrop cu vârful în origine.

7

E. Determinarea punctelor improprii ale conicelor

a. Punctele improprii ale elipsei

Fie dată elipsa de ecuaţie:

(16)

Trecând în coordonate omogene în plan, rezultă ecuaţia omogenă: (17)Intersectând elipsa cu dreapta de la infinit a planului, Z = 0 , se obţine

(18)

Acest sistem se descompune în două sisteme

şi

Primele ecuaţii din cele două sisteme reprezintă drepte imaginare care se pot pune sub forma

respectiv .În acest fel, punctele improprii ale elipsei vor fi date

prin şi .

Observaţii: 1º. Aceste puncte depind de semiaxele elipsei a şi b. 2º. Punctele improprii ale ale elipsei sunt imaginare .

b. Punctele improprii ale hiperbolei.

Fie dată hiperbola de ecuaţie

(19)

a cărei ecuaţie se transcrie în coordonate omogene (20)Intersectând hiperbola cu dreapta improprie a planului, se obţine

(21)

Acest sistem se descompune în două sisteme:

şi

Primele ecuaţii ale acestor sisteme reprezintă asimptotele hiperbolei, iar punctele improprii căutate se află la intersecţiile asimptotelor cu hiperbola, adică sunt punctele improprii ale asimptotelor. Pantele celor două asimptote se obţin scriind ecuaţiile lor sub forma :

,

Astfel, punctele improprii ale hiperbolei vor fi

şi

8

Observaţii: 1º.Punctele improprii ale hiperbolei depind de a, b deci nu sunt comune tuturor hiperbolelor din plan (cu excepţia hiperbolei echilatere, care are a = b) 2º. Punctele improprii ale hiperbolei sunt reale. 3º. Ramurile din cadranele I şi III pe de o parte, şi ramurile din cadranele II şi IV pe de altă parte, au aceleaşi puncte improprii.

c. Punctele improprii ale parabolei Fie o parabolă dată prin ecuaţia: (22)sau în forma omogenă (23)Intersecţia cu dreapta improprie a planului este dată de sistemul

(24)

Prima ecuaţie din sistem (ecuaţia dublă Y = 0) reprezintă o dreaptă cu panta egală cu zero. Înseamnă că cele două puncte improprii ale parabolei coincid : şi au coordonatele omogene date prin . Observaţii: 1) Aceste puncte improprii sunt comune tuturor parabolelor de axă paralelă cu OX (nu depind de p). 2) Punctele improprii ale parabolei sunt reale. 3) În reprezentarea grafică alăturată (Fig. 4) se constată că parabola este tangentă dreptei improprii a planului (de ecuaţie Z = 0), la intersecţia ei cu axa OX (de ecuaţie Y = 0).

Fig. 4. Parabola şi dreapta improprie a planului

Aplicaţii II

1. Să se afle punctele improprii ale cercului :

Rezolvare : Trecând la coordonate omogene rezultă

Intersectând cu dreapta de la infinit a planului Z = 0 , se obţine adică

reprezentând două drepte imaginare de pante i şi - i.Aşadar punctele improprii sunt I (1,i,0) şi respectiv J (1,-i,0), puncte comune tuturor cercurilor din plan.

9

2. Să se afle punctele improprii ale conicelor :

Rezolvare : În coordonate omogene, ecuaţiile devin, respectiv

Intersectând cu dreapta de la infinit a planului: Z = 0 se obţin, respectiva) , reprezentând două drepte imaginare, de

pante: . Astfel punctele improprii ale elipsei a) sunt:

sau şi sau .

b) , care reprezintă două reale de pante . Atunci punctele

improprii ale hiperbolei b) sunt şi .

c) , reprezentând ecuaţia axei OX (dreaptă de pantă = 0) este punctul impropriu (dublu) comun tuturor parabolelor cu axa de simetrie Ox.

d) , reprezentând ecuaţia axei OY (dreaptă de pantă infinită, vezi (7) cu

) este punctul impropriu (dublu) comun tuturor parabolelor cu axa de

simetrie Oy.

10

II. Proiectivitate între două punctuale

a) Fie d şi d’ două punctuale (punctuala este, în geometria proiectivă, formată din toate puctele unei drepte inclusiv punctul ei impropriu, de la infinit). O proiectivitate între d şi d’ (o corespondenţă biunivocă între punctele celor două punctuale, definită printr-o funcţie omografică unică) este determinată de trei perechi de puncte corespondente:

ale celor două punctuale.Unind în cruciş (Fig. 5) punctele de pe d cu cele de pe d’ (A1 cu A2’ şi A3’, A2 cu A1’ şi A3’ , A3 cu A1’ şi A2’ ) se obţin trei puncte coliniare U, V, W (teorema lui Pappus). Se pune problema determinării punctelor limită ale proiectivităţii. Punctul limită I este punctul de pe d ce corespunde punctului impropriu al lui d’ iar punctul limită J’ este punctul de pe d’ ce corespunde punctului impropriu a lui d.Construcţia lui I : Punctele U, V, W determină o dreaptă numită axa coliniaţiei. Se uneşte punctul impropriu al lui d’ ( dat de direcţia dreptei) cu A3 (dreaptă prin A3 şi paralelă

cu d’) şi se obţine intersecţia X cu axa coliniaţiei. Dreapta taie pe d în punctul limită I.

Analog se obţine J’: Se uneşte punctul impropriu al lui d cu A1’ (dreaptă prin A1’ şi

paralelă cu d) şi se obţine intersecţia Y cu axa coliniaţiei. Dreapta taie pe d în punctul limită J’.

Fig. 5. Punctele limită ale proiectivităţii între două punctuale

b) Ecuaţia proiectivităţii între cele două punctuale are forma

(25)şi este determinată dacă se cunosc trei perechi de puncte corespondente date prin coordonatele abscise pe cele două drepte suport : , respectiv . Ecuaţia se obţine din dezvoltarea determinantului de ordin patru:

(26)

Exemple: 1. Să se afle ecuaţia proiectivităţii între două punctuale dacă se cunosc punctele corespondente: ; .

11

Rezolvare : Aplicând (26) se scrie . Scăzând linia a doua a

determinantului din celelalte linii : . Împărţind linia a treia

prin 2 şi dezvoltând după coloana a patra rezultă : .

Din dezvoltarea acestui determinant se obţine ecuaţia proiectivităţii : .

Observaţie: Din această ecuaţie : (funcţie omografică). Se verifică : x = -1 x’

= 1, x = 1 x’ = 2, x = 2 x’ = 5.

2. Analog : .

Rezolvare :

.

: .

12